Rozdział VIII Technologie w nauczaniu liczb w szkole podstawowej
Rozdział
Rozdział
czyli geometria płaszczyzny w szkole podstawowej
Rozdział XI Stereometria, czyli geometria przestrzenna w szkole podstawowej . 109
Rozdział XII Technologie w nauczaniu geometrii w szkole podstawowej 117
Rozdział XIII Algebra w szkole podstawowej 129
Rozdział XIV Technologie w nauczaniu algebry w szkole podstawowej 145
Rozdział XV Statystyka i prawdopodobieństwo w nauczaniu w szkole podstawowej 153
Rozdział XVI Technologie i gadżety w nauczaniu statystyki i prawdopodobieństwa w szkole podstawowej 167
Rozdział XVII Rozwiązywanie zadań w szkole podstawowej 177
Rozdział XVIII Szkoła podstawowa – zajęcia dodatkowe 185
Skorowidz 193
DYDAKTYKA
Przykład 8 (kto pierwszy do 20)
Grę tę opisano dokładniej w tomie I (rozdz. XIV, s. 157–159).
Istnieje wiele wariantów tej gry (patrz [PZ_NIM1], [PZ_NIM2]).
Gry i zabawy związane z liczbami naturalnymi
Gra nr 1 (bierze udział cała klasa, na tablicy lub ekranie wypisane są liczby od 1 do 60)
Uczniowie kolejno czytają liczby, podchodzą do tablicy i jeśli przypadająca na ucznia liczba nie jest podzielna przez 3 ani przez 5, podkreśla tę liczbę, jeśli jest podzielna przez 3, otacza ją czerwonym kółkiem, jeśli jest podzielna przez 5, niebieskim. Głównym celem tej gry jest odkrycie, jakie liczby będą otoczone dwoma kółkami.
Inna wersja tej gry, „dźwiękowa”, polega na tym, że jeśli liczba nie jest podzielna ani przez 3, ani przez 5, uczeń mówi swoją liczbę, a jeśli jest podzielna przez 3, mówi tt, przy podzielności przez 5 mówi pp, a przy podzielności przez 3 i przez 5 mówi ttpp
Gra nr 2
W układzie współrzędnych wybieramy punt startowy
START (punkt (0,0)) oraz punkt końcowy META (dowolny punkt o obu współrzędnych całkowitych nieujemnych), oba punkty wyznaczają planszę (prostokąt). Gracze na zmianę wykonują ruchy: do góry o1, w prawo o 1 lub na ukos o wektor [1,1] (można nie używać terminu wektor, mówiąc, że przesuwamy się o 1 do góry, a potem 1 w prawo). Wygrywa ten gracz, który pierwszy dotrze do mety. Spójrzmy na przykład z metą w punkcie (4,5) (obrazek pochodzi z programu LOGOMOCJA, w którym napisano program do opisywanej gry; więcej szczegółów można znaleźć w książce [LOGO]).
Ważna uwaga: nie wolno wychodzić poza planszę (plansza to prostokąt zaznaczony na szaro). Do gry można wykorzystać papier w kratkę; bardzo ważną zaletą opisywanej gry jest ćwiczenie notacji matematycznej, tj. zapisywanie punktów w układzie współrzędnych. Zapis gry rozpatrywanej może wyglądać tak:
START AB AB =→ → →→→ (, ), ,,, ??? () () ()() 00 11 12 2223
Warto z uczniami znaleźć teorię tej gry; przede wszystkim uczniowie powinni zauważyć, że metę można zmieniać i w przypadku, gdy jest ona blisko startu (punktu (0,0)), rozpatrzenie wszystkich możliwości nie zajmuje zbyt wiele czasu. Warto zaproponować uczniom stworzenie „Mapki zwycięstw”, tzn. zaznaczenie kolorem czarnym tych met, dla których wygrywa A, a kolorem białym – zwycięskich dla B (kolory można wybrać inne, nasz wybór wynika z „drukarskich” ograniczeń). Pewien niepokój budziła meta w punkcie (0,0) i wygrana B, ale można wytłumaczyć, że A nie może wykonać żadnego ruchu, więc przegrywa. Spójrzmy na otrzymane wyniki:
Mapka zwycistw ę x y
Posłuchajmy rozmów uczniów na temat strategii. Uczniowie, widząc powyższą mapkę, byli w stanie (czasami przy pomocy prowadzącego zajęcia) odkryć następujący fakt:
Meta w punkcie (, ) ab jest korzystna dla gracza A (rozpoczynającego grę) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest liczbą nieparzystą lub b jest liczbą nieparzystą.
Gra nr 3
To właściwie konkurs grupowy; każda grupa otrzymuje komplet kamieni domina (w komplecie jest 28 kamieni). Zadaniem każdej grupy jest ułożenie jak najwięcej działań z wykorzystaniem kamieni domina; jeśli kamień nie ma żadnej kropki, to przyjmujemy, że jest to cyfra 0. Przykładowe ułożenia mogą wyglądać tak: +
Zauważmy, że ten konkurs oprócz rywalizacji (większej motywacji) pozwala uczniom głębiej wejść w istotę działań pisemnych.
m.in. dzięki Galileuszowi, który używał liczb ujemnych do zaznaczania wektorów o przeciwnych znakach.
Liczby całkowite – szkolne początki
Opiszę swoje doświadczenie związane z liczbami ujemnymi: w czasie lekcji (klasa IV) o odejmowaniu ułamków zwykłych zaproponowałem klasie „odliczankę”. Wystartowaliśmy z liczbą 5, od której należało odjąć 23 , następnie od otrzymanego wyniku też odejmowano 23 itd. Na kolejnym etapie pojawiła się liczba 12 31 3 −= , a następnie 13 23 … i tutaj, ku mojemu zaskoczeniu, uczeń podał bezbłędną odpowiedź 13 , kolejny uczeń bez wahania powiedział –1. Liczby całkowite pojawiają się w V, VI klasie, ale jak widać już w IV klasie dzieci nie mają z nimi kłopotu. Oczywiście liczby ujemne dla uczniów nie są zupełną nowością, znają je na przykład z prognoz pogody, widzą termometry z ujemnymi temperaturami, zauważają, że niekiedy w windach piętra pod ziemią oznaczone są liczbami ujemnymi. Ważnym narzędziem przy wprowadzaniu liczb całkowitych jest oś liczbowa, a poprzez analogię do termometru warto, aby na początku uczniowie rysowali także pionowe osie liczbowe. Pamiętajmy o kilku bardzo dobrych modelach liczb całkowitych:
• zapisywanie liczb ujemnych i liczb dodatnich (przynajmniej na początku) z małymi znaczkami: 3, +3, lub używanie nawiasów;
• kojarzenie liczb dodatnich z zyskiem, ujemnych z długiem;
• wektorowa reprezentacja: plus jeden to →, minus jeden to ←, a zatem na przykład –4 to ←←←←.
W [MPM] można znaleźć skany fragmentów podręczników z wprowadzeniem liczb ujemnych.
Liczby całkowite – matematyczna definicja
Liczby całkowite „otrzymuje się” z liczb naturalnych, wprowadzając w NN × relację równoważności: mn cd md cn ,~ , () () ⇔+ =+ .
Klasy abstrakcji to liczby całkowite. Spójrzmy na przykład na klasę abstrakcji elementu (1,2), którą oznaczamy jako –1: [( ,)]{(, ), (, ), (, ), } 12 01 12 23 =… . Więcej informacji na ten temat czytelnik znajdzie w [MPM]; korzystając z powyższej definicji, definiuje się dodawanie i mnożenie liczb całkowitych.
Działania na liczbach całkowitych
Dodawanie liczb całkowitych w szkole jest podzielone na dwa etapy:
• dodawanie liczby dodatniej i liczby ujemnej,
• dodawanie dwóch liczb ujemnych.
Można tutaj zastosować model z zyskiem i długiem. Warto też skomentować dodanie zera do liczby całkowitej – zapytajmy uczniów o uzasadnienie, że dodanie zera nie zmienia wyniku.
Odejmowanie liczb całkowitych też warto podzielić na etapy:
• odejmowanie liczby dodatniej,
• odejmowanie liczby ujemnej.
Do wyjaśnienia reguł odejmowania można skorzystać z osi liczbowej; w przypadku odejmowania liczby dodatniej to racjonalne, bo na przykład ()24 oznacza liczbę mniejszą od () 2 o 4 , więc przesunięcie z punktu () 2 o 4 w lewo jest zrozumiałe. Nieco trudniej wyjaśnić, dlaczego w działaniu ()() 24 przesuwamy się po osi o 4 jednostki w prawo. Dlaczego w prawo? Można argumentować tak: skoro odjęcie () 4 przesunie nas do pewnego punktu, to odjęcie 4 spowoduje, że wrócimy do wyjściowego punktu () 2 , a zatem ()()−=24 2 Patrząc na oba rozpatrzone przypadki odejmowania, konstatujemy, że zamiast odejmować liczbę, możemy dodawać liczbę do niej przeciwną. Na zakończenie warto jeszcze zapytać o odejmowanie liczby 0.
Przyjrzyjmy się na koniec tego podrozdziału problemowi mnożenia liczb całkowitych. Rozpatruje się dwa przypadki:
• mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną,
• mnożenie dwóch liczb ujemnych.
Pierwszy przypadek jest łatwy, skorzystamy z faktu, że mnożenie przez liczbę naturalną możemy zastąpić dodawaniem tych samych składników, na przykład 32 222 6 ⋅− =− +−+− =− ()()()()
DYDAKTYKA
MATEMATYKI TOM II
Dużą ostrożność w kwestii liczb wymiernych można zaobserwować także w podręczniku WSiP12; bardzo krótki podrozdział Przykłady liczb niewymiernych zawiera nieco ambitniejsze zadanie dotyczące sum i iloczynów liczb wymiernych i liczb niewymiernych (ćwiczenie 3, s. 74).
Liczby rzeczywiste – czego brakuje w szkole podstawowej
Kompletnie nie rozumiem dużej niekonsekwencji – w PPM dla szkoły podstawowej mówi się o przedstawianiu liczb wymiernych w postaci ułamków dziesiętnych (skończonych lub nieskończonych od pewnego miejsca okresowych), a brakuje wzmianki o liczbach z rozwinięciami dziesiętnymi nieokresowymi. Taka wzmianka daje możliwość generowania w łatwy sposób przykładów liczb niewymiernych. Istnieją dwie definicje liczb niewymiernych:
• liczba jest niewymierna, jeśli jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe;
• liczba jest niewymierna, jeśli nie można jej przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych.
Obie definicje są równoważne, chociaż do dowodzenia zdecydowanie bardziej nadaje się druga definicja. Nie domagam się „rozdmuchiwania” problematyki wymierności (niewymierności), ale moim zdaniem powinno się spojrzeć na ten problem precyzyjnie, przytaczając obie definicje. Łatwo wtedy też o przykłady liczb niewymiernych, na przykład takie:
Pierwsza definicja jest mało przydatna, trudno zapisuje się działania nawet na liczbach wymiernych, nie mówiąc o liczbach niewymiernych; spójrzmy na przykład:
jeśli ab==01013 ,( ), , () , to ab ba +=−=0240 02 ,( ), , () (obliczenie ab ⋅ pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie).
Oczywiście, do praktycznych obliczeń (przybliżonych), w których występują liczby niewymierne, na przykład do obliczania długości przekątnej kwadratu, obwodu koła, pola koła, bierze się przybliżenia liczb niewymiernych. Ale jednak świadomość, że
12 Duvnjak Ewa, Kokiernik-Jurkiewicz Ewa, Wójcicka Maria, Matematyka wokół nas. Gimnazjum. Podręcznik, klasa I, WSiP (2015).
zawsze uzyskujemy wynik przybliżony i to, że możemy wziąć takie przybliżenie liczby niewymiernej, które minimalizuje błąd obliczeń, w głowie ucznia jest ważna.
Zgrabnie o liczbach wymiernych i liczbach niewymiernych napisano w podręczniku do 7 klasy WSiP13-u.
Liczba wymierna – można ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi (przy tym mianownik musi być różny od zera). Wynika z tego, że każdą liczbę wymierną można także przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego. I odwrotnie: każda liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, jest liczbą wymierną, gdyż może zostać przedstawiona w postaci ułamka zwykłego.
Na zakończenie tej części rysunek, który puentuje przedstawione dylematy.
Rozwinięcia dziesiętne niektórych liczb wymiernych
Przedstawimy, jak za pomocą kalkulatora można odkryć pewne prawidłowości. Na ekranikach przedstawiono dzielenia 1:9, 4:9, 8:9, 1:99, 13:99, 47:99 i wyniki tych dzieleń, a pod ekranikami zauważone prawidłowości.
Za pierwszy podręcznik algebry uważa się Krótką księgę o rachunku algebry i almukabały, której autorem był Al-Chwarizmi (patrz tom I, s. 101). W tym bardzo algorytmicznym podręczniku opisane zostały dwie operacje: al-dżabr – dodawanie jednakowych wyrazów do obu stron równania tak, aby zredukować wyrazy ze znakiem minus, al-mukabala – odejmowanie od obu stron równania tych samych wyrażeń. Nazwa algebra pochodzi od operacji al-dżabr. Przypomnijmy, jak Al-Chwarizmi rozwiązywał równanie kwadratowe:
xxx 22 40 4 =− ← stosujemy al-dżabr
540 2 xx = xx 2 8 = x = 8
Zauważmy, że nie ma tutaj rozwiązania x = 0 ; łatwo to wyjaśnić – w tamtych czasach zero nie było jeszcze pełnoprawną liczbą.
Epizod 2 (Indie, IX w.)
dodawanie yu wyraz wolny ru druga potęga va odejmowanie ksa pierwsza niewiadoma ya trzecia potęga gha mnożenie gu druga niewiadoma ka czwarta potęga va-va dzielenie bha trzecia niewiadoma ni piąta potęga va-gha-ghata
Wyrażenie xy 23 zapisywano jako yava-kagha-gu; a jak zapisywano xy 23 4 + ?
Epizod 3
W 1637 roku ukazała się Rozprawa o metodzie Kartezjusza29, jedno z najważniejszych dzieł w historii nauki. Dodatek do tego dzieła, LaGéométrie, zawierał ideę
29 René Descartes (1596–1650), francuski filozof, matematyk i fizyk. W swoim najważniejszym dziele Rozprawa o metodzie Kartezjusz (spolszczona wersja nazwiska Descartes) twierdził, że świadectwa zmysłów są zawodne, natomiast prawdy niepodważalne muszą mieć charakter rozumowy. Kartezjusza uważa się za twórcę racjonalizmu. Do historii przeszło jego słynne zdanie Cogito ergo sum (Myślę, więc jestem). Założenia idei stosowania języka algebry do geometrii znalazły się w dodatku do Rozprawy o metodzie, LaGéométrie
ROZDZIAŁ XIII. AlgebRA w SZkOle pODStAwOwej 133
równoważności geometrycznych konstrukcji z algebraicznymi operacjami. W szkole idee Kartezjusza znajdują odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, o której mówi się w bardzo ograniczonym zakresie w klasach VII–VIII.
Szkolna algebra
Algebra jako osobny dział pojawia się w klasach V–VI, ale z wyrażeniami z literami uczniowie spotkali się już wcześniej – przede wszystkim na lekcjach geometrii. Spora część rodziców, pomagając swoim dzieciom przy zadaniach domowych, używa na przykład równań, co nie jest zabronione, ale, jeśli zdarza się to już w klasie III lub IV, to jest zdecydowanie przedwczesne. Dla dorosłych algebra jest podstawowym narzędziem do rozwiązywania zadań związanych z równaniami, zastosowanie jej wydaje się proste i oczywiste, mogą więc zdarzyć się uczniowie, którzy potrafią rozwiązać nawet trudniejsze równania, ale nie rozumieją sensu wykonywanych czynności.
Algebra kojarzy się z literami i z manipulacjami na literach. Mechaniczne zastępowanie liczb literami nie sprawia większego kłopotu, gdy znany jest kontekst.
Problemy zaczynają się wtedy, gdy trzeba rozpoznać, co oznacza litera, może ona bowiem mieć przynajmniej cztery znaczenia:
• nazwa ogólna (np. we wzorze Pa h ( ) =⋅ 2 litera P oznacza pole, a – długość podstawy, h – długość wysokości opuszczonej na tę podstawę);
• zmienna;
• niewiadoma;
• stała.
Trudności sprawiają także uczniom umowy dotyczące zapisu działań; na przykład umowa, że 3 ⋅ x oznacza xxx ++ została „zapożyczona” ze świata liczb (3 · 5 = 5 + 5 + 5), ale już równość (umowa) 33 ⋅=xx nie ma swojego liczbowego odpowiednika, 312 312 ⋅≠
Na ogół szkolna (szkoła podstawowa) algebra koncentruje się wokół następujących tematów:
