101151321

Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Rozdział I

Scenariusze i konspekty. Rola nauczyciela w edukacji . . . . . . . . . .

9

Rozdział II

Nauczanie matematyki w okresie wczesnoszkolnym . . . . . . . . . . . .

19

Rozdział III

Liczby w nauczaniu szkolnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Rozdział IV

Liczby naturalne w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Rozdział V

Liczby wymierne w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Rozdział VI

Liczby całkowite w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Rozdział VII

Liczby rzeczywiste w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Rozdział VIII Technologie w nauczaniu liczb w szkole podstawowej . . . . . . . . . .

77

Rozdział IX

Geometria w nauczaniu w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . .

85

Rozdział X

Planimetria, czyli geometria płaszczyzny w szkole podstawowej . . .

99

Rozdział XI

Stereometria, czyli geometria przestrzenna w szkole podstawowej . . 109

Rozdział XII

Technologie w nauczaniu geometrii w szkole podstawowej . . . . . . . 117

Rozdział XIII Algebra w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Rozdział XIV Technologie w nauczaniu algebry w szkole podstawowej . . . . . . . . 145 Rozdział XV

Statystyka i prawdopodobieństwo w nauczaniu w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Rozdział XVI Technologie i gadżety w nauczaniu statystyki i prawdopodobieństwa w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Rozdział XVII Rozwiązywanie zadań w szkole podstawowej . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Rozdział XVIII Szkoła podstawowa – zajęcia dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

46

DYDAKTYKA MATEMATYKI TOM II

Przykład 8 (kto pierwszy do 20) Grę tę opisano dokładniej w tomie I (rozdz. XIV, s. 157–159).

Istnieje wiele wariantów tej gry (patrz [PZ_NIM1], [PZ_NIM2]).

Gry i zabawy związane z liczbami naturalnymi Gra nr 1 (bierze udział cała klasa, na tablicy lub ekranie wypisane są liczby od 1 do 60) Uczniowie kolejno czytają liczby, podchodzą do tablicy i jeśli przypadająca na ucznia liczba nie jest podzielna przez 3 ani przez 5, podkreśla tę liczbę, jeśli jest podzielna przez 3, otacza ją czerwonym kółkiem, jeśli jest podzielna przez 5, niebieskim.

Głównym celem tej gry jest odkrycie, jakie liczby będą otoczone dwoma kółkami.

Inna wersja tej gry, „dźwiękowa”, polega na tym, że jeśli liczba nie jest podzielna ani przez 3, ani przez 5, uczeń mówi swoją liczbę, a jeśli jest podzielna przez 3, mówi tt, przy podzielności przez 5 mówi pp, a przy podzielności przez 3 i przez 5 mówi ttpp.

Gra nr 2 W układzie współrzędnych wybieramy punt startowy START (punkt (0,0)) oraz punkt końcowy META (dowolny punkt o obu współrzędnych całkowitych nieujemnych), oba punkty wyznaczają planszę (prostokąt). Gracze na zmianę wykonują ruchy: do góry o 1, w prawo o 1 lub na ukos o wektor [1,1] (można nie używać terminu wektor, mówiąc, że przesuwamy się o 1 do góry, a potem 1 w prawo). Wygrywa ten gracz, który pierwszy dotrze do mety. Spójrzmy na przykład z metą w punkcie (4,5) (obrazek pochodzi z programu LOGOMOCJA, w którym napisano program do opisywanej gry; więcej szczegółów można znaleźć w książce [LOGO]).

Ważna uwaga: nie wolno wychodzić poza planszę (plansza to prostokąt zaznaczony na szaro). Do gry można wykorzystać papier w kratkę; bardzo ważną zaletą opisywanej gry jest ćwiczenie notacji matematycznej, tj. zapisywanie punktów w układzie współrzędnych. Zapis gry rozpatrywanej może wyglądać tak:

ROZDZIAŁ IV. Liczby naturalne w szkole podstawowej

START = (0, 0) → A (11 , ) →B (1, 2) → A (2, 2) →B (2, 3) → ???

Warto z uczniami znaleźć teorię tej gry; przede wszystkim uczniowie powinni zauważyć, że metę można zmieniać i w przypadku, gdy jest ona blisko startu (punktu (0,0)), rozpatrzenie wszystkich możliwości nie zajmuje zbyt wiele czasu. Warto zaproponować uczniom stworzenie „Mapki zwycięstw”, tzn. zaznaczenie kolorem czarnym tych met, dla których wygrywa A, a kolorem białym – zwycięskich dla B (kolory można wybrać inne, nasz wybór wynika z „drukarskich” ograniczeń). Pewien niepokój budziła meta w punkcie (0,0) i wygrana B, ale można wytłumaczyć, że A nie może wykonać żadnego ruchu, więc przegrywa. Spójrzmy na otrzymane wyniki: y

x Mapka zwycięstw

Posłuchajmy rozmów uczniów na temat strategii. Uczniowie, widząc powyższą mapkę, byli w stanie (czasami przy pomocy prowadzącego zajęcia) odkryć następujący fakt: Meta w punkcie (a , b) jest korzystna dla gracza A (rozpoczynającego grę) wtedy b jest liczbą nieparzystą. i tylko wtedy, gdy a jest liczbą nieparzystą lub �� Gra nr 3 To właściwie konkurs grupowy; każda grupa otrzymuje komplet kamieni domina (w komplecie jest 28 kamieni). Zadaniem każdej grupy jest ułożenie jak najwięcej działań z wykorzystaniem kamieni domina; jeśli kamień nie ma żadnej kropki, to przyjmujemy, że jest to cyfra 0. Przykładowe ułożenia mogą wyglądać tak:

+

Zauważmy, że ten konkurs oprócz rywalizacji (większej motywacji) pozwala uczniom głębiej wejść w istotę działań pisemnych.

47

66

DYDAKTYKA MATEMATYKI TOM II

m.in. dzięki Galileuszowi, który używał liczb ujemnych do zaznaczania wektorów o przeciwnych znakach.

Liczby całkowite – szkolne początki Opiszę swoje doświadczenie związane z liczbami ujemnymi: w czasie lekcji (klasa IV) o odejmowaniu ułamków zwykłych zaproponowałem klasie „odliczankę”. Wystartowaliśmy z liczbą 5, od której należało odjąć 2 3 , następnie od otrzymanego wyniku też odejmowano 2 3 itd. Na kolejnym etapie pojawiła się liczba 1 − 2 3 = 1 3 , a następnie 1 3 − 2 3 … i tutaj, ku mojemu zaskoczeniu, uczeń podał bezbłędną odpowiedź − 1 3 , kolejny uczeń bez wahania powiedział –1. Liczby całkowite pojawiają się w V, VI klasie, ale jak widać już w IV klasie dzieci nie mają z nimi kłopotu. Oczywiście liczby ujemne dla uczniów nie są zupełną nowością, znają je na przykład z prognoz pogody, widzą termometry z ujemnymi temperaturami, zauważają, że niekiedy w windach piętra pod ziemią oznaczone są liczbami ujemnymi. Ważnym narzędziem przy wprowadzaniu liczb całkowitych jest oś liczbowa, a poprzez analogię do termometru warto, aby na początku uczniowie rysowali także pionowe osie liczbowe. Pamiętajmy o kilku bardzo dobrych modelach liczb całkowitych: • zapisywanie liczb ujemnych i liczb dodatnich (przynajmniej na początku) z małymi znaczkami: −3, +3, lub używanie nawiasów; • kojarzenie liczb dodatnich z zyskiem, ujemnych z długiem; • wektorowa reprezentacja: plus jeden to →, minus jeden to ←, a zatem na przykład –4 to ←←←←.

W [MPM] można znaleźć skany fragmentów podręczników z wprowadzeniem liczb ujemnych.

Liczby całkowite – matematyczna definicja Liczby całkowite „otrzymuje się” z liczb naturalnych, wprowadzając w N × N relację równoważności: m, n ~ c , d ⇔ m + d = c + n .

( ) ( )

Klasy abstrakcji to liczby całkowite. Spójrzmy na przykład na klasę abstrakcji elementu (1,2), którą oznaczamy jako –1: [(1, 2)] = {(0, 1),(1, 2),(2, 3), …} . Więcej informacji na ten temat czytelnik znajdzie w [MPM]; korzystając z powyższej definicji, definiuje się dodawanie i mnożenie liczb całkowitych.

ROZDZIAŁ VI. Liczby całkowite w szkole podstawowej

Działania na liczbach całkowitych Dodawanie liczb całkowitych w szkole jest podzielone na dwa etapy: • dodawanie liczby dodatniej i liczby ujemnej, • dodawanie dwóch liczb ujemnych.

Można tutaj zastosować model z zyskiem i długiem. Warto też skomentować dodanie zera do liczby całkowitej – zapytajmy uczniów o uzasadnienie, że dodanie zera nie zmienia wyniku.

Odejmowanie liczb całkowitych też warto podzielić na etapy: • odejmowanie liczby dodatniej, • odejmowanie liczby ujemnej.

Do wyjaśnienia reguł odejmowania można skorzystać z osi liczbowej; w przypadku odejmowania liczby dodatniej to racjonalne, bo na przykład (−2) − 4 oznacza liczbę mniejszą od (−2) o 4 , więc przesunięcie z punktu (−2) o 4 w lewo jest zrozumiałe. Nieco trudniej wyjaśnić, dlaczego w działaniu (−2) − (−4) przesuwamy się po osi o 4 jednostki w prawo. Dlaczego w prawo? Można argumentować tak: skoro odjęcie (−4) przesunie nas do pewnego punktu, to odjęcie 4 spowoduje, że wrócimy do wyjściowego punktu (−2) , a zatem (−2) − (−4) = 2. Patrząc na oba rozpatrzone przypadki odejmowania, konstatujemy, że zamiast odejmować liczbę, możemy dodawać liczbę do niej przeciwną. Na zakończenie warto jeszcze zapytać o odejmowanie liczby 0.

Przyjrzyjmy się na koniec tego podrozdziału problemowi mnożenia liczb całkowitych. Rozpatruje się dwa przypadki: • mnożenie liczby całkowitej dodatniej przez liczbę ujemną, • mnożenie dwóch liczb ujemnych.

Pierwszy przypadek jest łatwy, skorzystamy z faktu, że mnożenie przez liczbę naturalną możemy zastąpić dodawaniem tych samych składników, na przykład 3 ⋅ (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

67

72

DYDAKTYKA MATEMATYKI TOM II

Dużą ostrożność w kwestii liczb wymiernych można zaobserwować także w podręczniku WSiP12; bardzo krótki podrozdział Przykłady liczb niewymiernych zawiera nieco ambitniejsze zadanie dotyczące sum i iloczynów liczb wymiernych i liczb niewymiernych (ćwiczenie 3, s. 74).

Liczby rzeczywiste – czego brakuje w szkole podstawowej Kompletnie nie rozumiem dużej niekonsekwencji – w PPM dla szkoły podstawowej mówi się o przedstawianiu liczb wymiernych w postaci ułamków dziesiętnych (skończonych lub nieskończonych od pewnego miejsca okresowych), a brakuje wzmianki o liczbach z rozwinięciami dziesiętnymi nieokresowymi. Taka wzmianka daje możliwość generowania w łatwy sposób przykładów liczb niewymiernych.

Istnieją dwie definicje liczb niewymiernych: • liczba jest niewymierna, jeśli jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe; • liczba jest niewymierna, jeśli nie można jej przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych.

Obie definicje są równoważne, chociaż do dowodzenia zdecydowanie bardziej nadaje się druga definicja. Nie domagam się „rozdmuchiwania” problematyki wymierności (niewymierności), ale moim zdaniem powinno się spojrzeć na ten problem precyzyjnie, przytaczając obie definicje. Łatwo wtedy też o przykłady liczb niewymiernych, na przykład takie: 0, 10100100010000..., , 0 01001000100001..., , 0 1234567891011121314...

Pierwsza definicja jest mało przydatna, trudno zapisuje się działania nawet na liczbach wymiernych, nie mówiąc o liczbach niewymiernych; spójrzmy na przykład: = a 0= ,(1), b 0,(13) , to a + b = 0,(24), b − a = 0,(02) (obliczenie a ⋅ b pozojeśli stawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie).

Oczywiście, do praktycznych obliczeń (przybliżonych), w których występują liczby niewymierne, na przykład do obliczania długości przekątnej kwadratu, obwodu koła, pola koła, bierze się przybliżenia liczb niewymiernych. Ale jednak świadomość, że 12

Duvnjak Ewa, Kokiernik-Jurkiewicz Ewa, Wójcicka Maria, Matematyka wokół nas. Gimnazjum.

Podręcznik, klasa I, WSiP (2015).

ROZDZIAŁ VII. Liczby rzeczywiste w szkole podstawowej

zawsze uzyskujemy wynik przybliżony i to, że możemy wziąć takie przybliżenie liczby niewymiernej, które minimalizuje błąd obliczeń, w głowie ucznia jest ważna.

Zgrabnie o liczbach wymiernych i liczbach niewymiernych napisano w podręczniku do 7 klasy WSiP13-u.

Liczba wymierna – można ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi (przy tym mianownik musi być różny od zera). Wynika z tego, że każdą liczbę wymierną można także przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub nieskończonego okresowego. I odwrotnie: każda liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, jest liczbą wymierną, gdyż może zostać przedstawiona w postaci ułamka zwykłego.

Na zakończenie tej części rysunek, który puentuje przedstawione dylematy.

Rozwinięcia dziesiętne niektórych liczb wymiernych Przedstawimy, jak za pomocą kalkulatora można odkryć pewne prawidłowości. Na ekranikach przedstawiono dzielenia 1:9, 4:9, 8:9, 1:99, 13:99, 47:99 i wyniki tych dzieleń, a pod ekranikami zauważone prawidłowości.

13

Makowski Adam, Masłowski Tomasz, Toruńska Anna, Matematyka 7. Podręcznik, WSiP (2017).

73

132

DYDAKTYKA MATEMATYKI TOM II

Algebra – trzy epizody z historii Epizod 1 Za pierwszy podręcznik algebry uważa się Krótką księgę o rachunku algebry i almukabały, której autorem był Al-Chwarizmi (patrz tom I, s. 101). W tym bardzo algorytmicznym podręczniku opisane zostały dwie operacje: al-dżabr – dodawanie jednakowych wyrazów do obu stron równania tak, aby zredukować wyrazy ze znakiem minus, al-mukabala – odejmowanie od obu stron równania tych samych wyrażeń. Nazwa algebra pochodzi od operacji al-dżabr. Przypomnijmy, jak Al-Chwarizmi rozwiązywał równanie kwadratowe: x 2 = 40x − 4x 2 ← stosujemy al-dżabr 5x 2 = 40x x 2 = 8x x =8

Zauważmy, że nie ma tutaj rozwiązania x = 0 ; łatwo to wyjaśnić – w tamtych czasach zero nie było jeszcze pełnoprawną liczbą.

Epizod 2 (Indie, IX w.) dodawanie

yu

wyraz wolny ru

druga potęga va

odejmowanie

ksa

pierwsza niewiadoma ya

trzecia potęga gha

mnożenie

gu

druga niewiadoma ka

czwarta potęga va-va

dzielenie

bha

trzecia niewiadoma ni

piąta potęga va-gha-ghata

Wyrażenie x 2y 3 zapisywano jako yava-kagha-gu; a jak zapisywano x 2 + 4y 3 ?

Epizod 3 W 1637 roku ukazała się Rozprawa o metodzie Kartezjusza29, jedno z najważniejszych dzieł w historii nauki. Dodatek do tego dzieła, La Géométrie, zawierał ideę 29

René Descartes (1596–1650), francuski filozof, matematyk i fizyk. W swoim najważniejszym dziele Rozprawa o metodzie Kartezjusz (spolszczona wersja nazwiska Descartes) twierdził, że świadectwa zmysłów są zawodne, natomiast prawdy niepodważalne muszą mieć charakter rozumowy. Kartezjusza uważa się za twórcę racjonalizmu. Do historii przeszło jego słynne zdanie Cogito ergo sum (Myślę, więc jestem). Założenia idei stosowania języka algebry do geometrii znalazły się w dodatku do Rozprawy o metodzie, La Géométrie.

ROZDZIAŁ XIII. Algebra w szkole podstawowej

równoważności geometrycznych konstrukcji z algebraicznymi operacjami. W szkole idee Kartezjusza znajdują odzwierciedlenie w geometrii analitycznej, o której mówi się w bardzo ograniczonym zakresie w klasach VII–VIII.

Szkolna algebra Algebra jako osobny dział pojawia się w klasach V–VI, ale z wyrażeniami z literami uczniowie spotkali się już wcześniej – przede wszystkim na lekcjach geometrii. Spora część rodziców, pomagając swoim dzieciom przy zadaniach domowych, używa na przykład równań, co nie jest zabronione, ale, jeśli zdarza się to już w klasie III lub IV, to jest zdecydowanie przedwczesne. Dla dorosłych algebra jest podstawowym narzędziem do rozwiązywania zadań związanych z równaniami, zastosowanie jej wydaje się proste i oczywiste, mogą więc zdarzyć się uczniowie, którzy potrafią rozwiązać nawet trudniejsze równania, ale nie rozumieją sensu wykonywanych czynności.

Algebra kojarzy się z literami i z manipulacjami na literach. Mechaniczne zastępowanie liczb literami nie sprawia większego kłopotu, gdy znany jest kontekst.

Problemy zaczynają się wtedy, gdy trzeba rozpoznać, co oznacza litera, może ona bowiem mieć przynajmniej cztery znaczenia: • nazwa ogólna (np. we wzorze P = (a ⋅ h) 2 litera P oznacza pole, a – długość podstawy, h – długość wysokości opuszczonej na tę podstawę); • zmienna; • niewiadoma; • stała.

Trudności sprawiają także uczniom umowy dotyczące zapisu działań; na przykład umowa, że 3 ⋅ x oznacza x �+�x �+�x została „zapożyczona” ze świata liczb (3 · 5 = 5 + 5 + 5), ale już równość (umowa) 3 ⋅ x = 3x nie ma swojego liczbowego odpowiednika, 3 ⋅ 12 ≠ 312 .

Na ogół szkolna (szkoła podstawowa) algebra koncentruje się wokół następujących tematów: klasy V–VI • zapisywanie wyrażeń algebraicznych, • obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych,

133