101150434

K.A. Stroud Dexter J. Booth

MATEMATYKA INŻYNIERSKA

POZIOM ZAAWANSOWANY WYDANIE VI Z języka angielskiego przełożył Szymon Wąsowicz

Pętla

Tytuł oryginału: Advanced Engineering Mathematics (8th Edition) Copyright © K.A. Stroud, Dexter Booth 2020 This translation of Advanced Engineering Mathematics, 6th edition is published by arrangement with Bloomsbury Publishing Plc. Copyright © for the translation by Pętla Sp. z o.o. 2023 Copyright © for the Polish edition by Pętla Sp. z o.o. 2023 Wszystkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie i rozpowszechnianie całości albo fragmentów tej książki – z wyjątkiem cytatów w artykułach i przeglądach krytycznych – możliwe jest tylko na podstawie pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

REVIEW BOARD FOR THE SIXTH EDITION: Declan Bates, Professor of Bioengineering, School of Engineering, University of Warwick, UK Stewart Chidlow, Senior Lecturer in Applied Mathematics, School of Applied Mathematics, Liverpool John Moores University, UK Patrick Johnson, Senior Lecturer in Mathematics, Department of Engineering and Mathematics, Sheffield Hallam University, UK Colin Steele, Director of Service Teaching, Department of Mathematics, University of Manchester, UK Tłumaczenie Szymon Wąsowicz Redakcja Agnieszka Jarosz Oprawa graficzna i skład Marta Dobrzyńska ISBN 978-83-944283-3-4 Pętla Sp. z o.o. http://www.stroud.edu.pl/ www.facebook.com/matematykastroud/ info@stroud.edu.pl tel. 508 270 779

Skrócony spis treści Przedmowa do pierwszego wydania Przedmowa do szóstego wydania Jak korzystać z tej książki Przydatne informacje

xxi xxii xxiv xxv

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 43 85 112 140 174 213 240 266

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Numeryczne rozwiązywanie równań i interpolacja Transformaty Laplace’a 1 Transformaty Laplace’a 2 Transformaty Laplace’a 3 Równania różnicowe i transformata Wprowadzenie do niezmienniczych układów liniowych Szeregi Fouriera 1 Szeregi Fouriera 2 Wprowadzenie do transformat Fouriera Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 1 Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 2 Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 3 Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych Algebra macierzy Układy równań różniczkowych zwyczajnych Pola kierunków Analiza płaszczyzny fazowej Układy równań nieliniowych Układy dynamiczne Pochodne cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych Całki funkcji wielu zmiennych 1 Całki funkcji wielu zmiennych 2 Funkcje określone przez całki Analiza wektorowa 1 Analiza wektorowa 2 Analiza wektorowa 3 Analiza zespolona 1 Analiza zespolona 2 Analiza zespolona 3 Optymalizacja i programowanie liniowe

Dodatek Odpowiedzi Indeks iii

299 318 333 350 383 421 448 472 510 528 561 598 630 671 714 750 781 821 865 888 921 961 989 1011 1019 1055

Spis treści Przedmowa do pierwszego wydania Przedmowa do szóstego wydania Jak korzystać z tej książki Przydatne informacje Program 1

xxi xxii xxiv xxv

Numeryczne rozwiązywanie równań i interpolacja

1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Zasadnicze twierdzenie algebry Związki między współczynnikami a pierwiastkami równania wielomianowego Równania sześcienne Przekształcanie równania sześciennego do postaci zredukowanej Metoda Tartaglii dla pierwiastka rzeczywistego Metody numeryczne Metoda połowienia Numeryczne rozwiązywanie równań przez iterację Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego Adresy względne Metoda iteracyjna Newtona-Raphsona Tabelaryczne przedstawienie wyników Zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona Interpolacja Interpolacja liniowa Interpolacja graficzna Wzór interpolacyjny Gregory’ego-Newtona z różnicami progresywnymi Różnice centralne Różnice wsteczne Gregory’ego-Newtona Interpolacja Lagrange’a

1 2 2 4 7 7 8 9 9 11 11 13 13 15 19 22 23 23 24 28 30 32

Podsumowanie 1 Czy potrafisz? Lista kontrolna 1 Zadania sprawdzające 1

Dalsze wyzwania 1

35 37 38 39

Program 2

43

Transformaty Laplace’a 1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Transformaty Laplace’a Różniczkowanie i całkowanie transformat Twierdzenie 1: Pierwsze twierdzenie o przesunięciu Twierdzenie 2: Mnożenie przez oraz Twierdzenie 3: Dzielenie przez Transformaty odwrotne v

43 44 44 50 50 51 52 56

Spis treści

vi

Zasady rozkładu na ułamki proste Metoda zakrywania Tabela transformat odwrotnych Rozwiązywanie równań różniczkowych z zastosowaniem transformat Laplace’a Transformaty pochodnych Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu Rozwiązywanie równań różniczkowych drugiego rzędu Układy równań różniczkowych Podsumowanie 2 Czy potrafisz? Lista kontrolna 2 Zadania sprawdzające 2 Dalsze wyzwania 2

57 62 63 64 64 66 68 74 79 82 82 83

Program 3

85

Transformaty Laplace’a 2

Czego się nauczę z tego programu?

85 Wprowadzenie 86 Funkcja skokowa Heaviside’a 86 Funkcja skokowa w zerze 87 Co daje zastosowanie funkcji skokowej?

87 Transformata Laplace’a funkcji

90 Transformata Laplace’a funkcji (drugie twierdzenie o przesunięciu) 90 Równania różniczkowe zawierające funkcje skokowe 99 Splot 102 Twierdzenie o splocie 106 Podsumowanie 3 108 Czy potrafisz? Lista kontrolna 3 109 Zadania sprawdzające 3 109 Dalsze wyzwania 3 110 Program 4

Transformaty Laplace’a 3

Czego się nauczę z tego programu?

Transformaty Laplace’a funkcji okresowych Funkcje okresowe Transformaty odwrotne Delta Diraca – impuls jednostkowy Interpretacja graficzna Transformata Laplace’a delty Diraca

Pochodna funkcji skokowej Heaviside’a Równania różniczkowe zawierające impuls jednostkowy Oscylatory harmoniczne Ruch drgający tłumiony Ruch harmoniczny wymuszony z tłumieniem Rezonans Podsumowanie 4 Czy potrafisz? Lista kontrolna 4 Zadania sprawdzające 4

112 112 113 113 118 121 122 123 125 126 128 130 132 134 136 137 138

Spis treści

vii

Dalsze wyzwania 4

138

Program 5

140

Równania różnicowe i transformata Z

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Ciągi Równania różnicowe Rozwiązywanie równań różnicowych Rozwiązywanie przez ogląd Rozwiązanie szczególne Transformata Tabela transformat Własności transformat Liniowość Pierwsze twierdzenie o przesunięciu (przesuwanie w lewo) Drugie twierdzenie o przesunięciu (przesuwanie w prawo) Skalowanie Twierdzenie o wartości końcowej Twierdzenie o wartości początkowej Pochodna transformaty Transformaty odwrotne Rozwiązywanie równań różnicowych Próbkowanie Podsumowanie 5 Czy potrafisz? Lista kontrolna 5 Zadania sprawdzające 5 Dalsze wyzwania 5

140 141 142 142 144 144 147 150 154 154 154 155 156 157 157 158 158 159 162 165 167 169 170 171

Program 6

174

Wprowadzenie do niezmienniczych układów liniowych

Czego się nauczę z tego programu?

Liniowe układy niezmiennicze Układy Relacja typu wejście-odpowiedź Układy liniowe Niezmienniczość w czasie układu ciągłego Niezmienniczość układu dyskretnego ze względu na przesunięcia Równania różniczkowe Ogólne równanie n-tego rzędu Odpowiedź wejścia zerowego i odpowiedź stanu zerowego Wejście zerowe, odpowiedź zerowa Niezmienniczość w czasie Odpowiedzi układu ciągłego Odpowiedź impulsowa Wejście dowolne Splot Odpowiedź wykładnicza

174 175 175 176 177 179 181 182 182 183 186 188 189 189 189 190 192

Spis treści

viii

Transmitancja operatorowa

Równania różniczkowe Odpowiedzi układu dyskretnego Dyskretny impuls jednostkowy Wejście dowolne Odpowiedź wykładnicza Transmitancja impulsowa Równania różnicowe Podsumowanie 6 Czy potrafisz? Lista kontrolna 6 Zadania sprawdzające 6 Dalsze wyzwania 6

194 196 199 199 200 201 202 203 206 208 210 210

Program 7

213

Szeregi Fouriera 1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Funkcje okresowe Wykresy funkcji postaci

Harmoniki Funkcje okresowe, które nie są sinusoidalne Wyznaczanie wzorów analitycznych funkcji okresowych Całki funkcji okresowych Funkcje ortogonalne Szeregi Fouriera Warunki Dirichleta Jak harmoniki wpływają na szereg Fouriera?

Efekt Gibbsa Suma szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości funkcji Podsumowanie 7 Czy potrafisz? Lista kontrolna 7 Zadania sprawdzające 7 Dalsze wyzwania 7

213 214 214 214 215 216 216 220 222 223 226 231 233 233 234 235 236 237

Program 8

240

Szeregi Fouriera 2

Czego się nauczę z tego programu?

Funkcje parzyste, funkcje nieparzyste i szeregi Fouriera według cosinusów oraz według sinusów Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste Iloczyny funkcji parzystych i funkcji nieparzystych Szeregi Fouriera według cosinusów oraz według sinusów Szeregi zawierające tylko harmoniki o numerach parzystych lub tylko harmoniki o numerach nieparzystych.

Interpretacja wyrazu stałego Funkcje o okresach innych niż Funkcje o okresie Współczynniki Fouriera

240 241 241 243 250 253 255 256 256 256

Spis treści

ix

Szeregi według cosinusów oraz według sinusów dla funkcji o dowolnym okresie Podsumowanie 8 Czy potrafisz? Lista kontrolna 8 Zadania sprawdzające 8 Dalsze wyzwania 8

259 262 263 264 264

Program 9

266

Wprowadzenie do transformat Fouriera

Czego się nauczę z tego programu?

Zespolone szeregi Fouriera Wprowadzenie Zespolone funkcje wykładnicze Widma sygnału Dwa sposoby opisu przebiegów okresowych Widma ciągłe Wzór całkowy Fouriera Transformaty Fouriera ważniejszych funkcji Funkcje parzyste Funkcje nieparzyste Funkcja prostokątna Delta Diraca Funkcja trójkątna Postaci alternatywne Własności transformat Fouriera Liniowość Przesunięcie w czasie Przesunięcie w częstotliwości Skalowanie czasu Symetria Różniczkowanie Funkcja skokowa Heaviside’a Splot Twierdzenie o splocie Cosinusowe i sinusowe transformaty Fouriera Tabela transformat Podsumowanie 9 Czy potrafisz? Lista kontrolna 9 Zadania sprawdzające 9 Dalsze wyzwania 9 Program 10

266 267 267 267 271 272 273 274 276 276 277 278 280 281 282 282 282 283 283 284 284 285 286 287 288 290 291 292 295 296 296

Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 1

299

Czego się nauczę z tego programu?

Pochodne wyższych rzędów Wzór Leibniza – pochodna n-tego rzędu iloczynu dwóch funkcji Wybór funkcji u oraz v

299 300 303 304

Spis treści

x

Rozwiązania w postaci szeregów potęgowych Metoda Leibniza-Maclaurina Równania liniowe Eulera Podsumowanie 10 Czy potrafisz? Lista kontrolna 10 Zadania sprawdzające 10 Dalsze wyzwania 10 Program 11

305 306 311 315 316 316 316

Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 2

318

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Frobeniusa Równanie indeksowe Podsumowanie 11 Czy potrafisz? Lista kontrolna 11 Zadania sprawdzające 11 Dalsze wyzwania 11

318 319 319 326 331 331 332 332

Program 12

Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych 3

333

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Równanie Bessela Funkcja gamma i funkcje Bessela Wykresy funkcji Bessela oraz

Równanie Legendre’a Wielomiany Legendre’a Wzór Rodriguesa i funkcja tworząca Zagadnienie Sturma-Liouville’a Ortogonalność Równanie Legendre’a raz jeszcze Wielomiany jako kombinacje liniowe wielomianów Legendre’a Podsumowanie 12 Czy potrafisz? Lista kontrolna 12 Zadania sprawdzające 12 Dalsze wyzwania 12

333 334 334 335 339 339 340 340 342 344 345 345 346 348 348 349

Program 13

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Szereg Taylora Przyrost funkcji Równania różniczkowe pierwszego rzędu Metoda Eulera

350 350 351 351 352 352 352

Spis treści

xi

Wartości dokładne i błędy Interpretacja graficzna metody Eulera Metoda Eulera-Cauchy’ego, czyli ulepszona metoda Eulera Obliczenia metodą Eulera-Cauchy’ego Metoda Rungego-Kutty Równania różniczkowe drugiego rzędu Metoda Eulera drugiego rzędu Metoda Rungego-Kutty dla równań różniczkowych drugiego rzędu Metoda predyktor-korektor Podsumowanie 13 Czy potrafisz? Lista kontrolna 13 Zadania sprawdzające 13 Dalsze wyzwania 13

359 362 364 364 369 372 372 374 378 380 381 382 382

Program 14

Algebra macierzy

384

Czego się nauczę z tego programu?

Macierze osobliwe i nieosobliwe Rząd macierzy Operacje elementarne i macierze równoważne Zgodność układu równań liniowych Jednoznaczność rozwiązania Rozwiązywanie układów równań liniowych Metoda macierzy odwrotnej Metoda przekształcania wierszy Metoda eliminacji niewiadomych Gaussa Metoda rozkładu na iloczyn macierzy trójkątnych (rozkładu LU) Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego Porównanie metod Przekształcenia układów współrzędnych Obrót układu współrzędnych Podsumowanie 14 Czy potrafisz? Lista kontrolna 14 Zadania sprawdzające 14 Dalsze wyzwania 14

384 385 386 387 390 391 394 394 397 401 403 408 412 413 414 416 418 418 419

Program 15

421

Układy równań różniczkowych zwyczajnych

Czego się nauczę z tego programu?

Wartości własne macierzy

Równania charakterystyczne Suma i iloczyn wartości własnych Wektory własne Układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu Identyczne wartości własne Diagonalizacja macierzy Macierz modalna Macierz spektralna

421 422 422 423 423 426 430 436 436 436

Spis treści

xii

Układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu Podsumowanie 15 Czy potrafisz? Lista kontrolna 15 Zadania sprawdzające 15 Dalsze wyzwania 15

440 444 445 446 446

Program 16

Pola kierunków

448

Czego się nauczę z tego programu?

Równania różniczkowe Wprowadzenie Rodzina rozwiązań szczególnych Pola kierunków Program DFIELD Wprowadzenie Rozwiązanie szczególne Rodzina rozwiązań szczególnych Autonomiczne równania różniczkowe Rozwiązania równowagi Linia fazowa Równania nieautonomiczne Wprowadzenie Podsumowanie 16 Czy potrafisz? Lista kontrolna 16 Zadania sprawdzające 16 Dalsze wyzwania 16

448 449 449 449 451 453 453 454 455 456 457 459 464 464 468 469 469 470

Program 17

472

Analiza płaszczyzny fazowej

Czego się nauczę z tego programu?

Analiza płaszczyzny fazowej Wprowadzenie Wahadło sprężynowe Program PPLANE Analiza płaszczyzny fazowej Wartości własne a płaszczyzna fazowa Urojone wartości własne Zespolone wartości własne Co dzieje się wokół punktu krytycznego?

Dwie rzeczywiste ujemne wartości własne Co dzieje się wokół punktu krytycznego?

Dwie rzeczywiste dodatnie wartości własne Dwie rzeczywiste wartości własne różnych znaków Dwie identyczne wartości własne Węzeł gwiaździsty Osobliwa macierz współczynników Niejednorodny układ równań Przesunięcie punktu krytycznego do początku układu współrzędnych

472 473 473 473 475 478 478 478 483 486 487 488 491 494 497 498 499 500 501

Spis treści

xiii

Podsumowanie 17 Czy potrafisz? Lista kontrolna 17 Zadania sprawdzające 17 Dalsze wyzwania 17

504 506 506 507

Program 18

Układy równań nieliniowych

510

Czego się nauczę z tego programu?

Układy równań różniczkowych z wieloma punktami krytycznymi Wprowadzenie Linearyzacja Problemy z linearyzacją Podsumowanie 18 Czy potrafisz? Lista kontrolna 18 Zadania sprawdzające 18 Dalsze wyzwania 18

510 511 511 514 521 525 525 526 526

Program 19

528

Układy dynamiczne

Czego się nauczę z tego programu?

Układy dynamiczne Wprowadzenie Zagadnienia typu drapieżnik-ofiara Współzawodnictwo w pojedynczej populacji Dwie populacje bez wzajemnych interakcji Dwie populacje z wzajemnymi interakcjami Równania różniczkowe drugiego rzędu Wahadło nietłumione – małe odchylenia Wahadło nietłumione – brak aproksymacji Wahadło tłumione Bifurkacja Równania pierwszego rzędu Równania drugiego rzędu Cykle graniczne Równanie van der Pola Podsumowanie 19 Czy potrafisz? Lista kontrolna 19 Zadania sprawdzające 19 Dalsze wyzwania 19

528 529 529 529 531 532 534 540 540 541 543 546 546 550 551 553 555 555 556 556

Program 20

Pochodne cząstkowe

561

Czego się nauczę z tego programu?

Małe przyrosty Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych Małe przyrosty Tempo zmiany wartości funkcji Funkcje uwikłane

561 562 562 562 563 565 566

Spis treści

xiv

Zamiana zmiennych Funkcje odwrotne Przypadek ogólny Punkty stacjonarne funkcji dwóch zmiennych Maksima i minima lokalne Punkt siodłowy Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange’a Funkcje trzech zmiennych rzeczywistych Podsumowanie 20 Czy potrafisz? Lista kontrolna 20 Zadania sprawdzające 20 Dalsze wyzwania 20

566 570 572 577 578 583 588 590 593 594 595 596

Program 21

Równania różniczkowe cząstkowe

598

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Równania różniczkowe cząstkowe Rozwiązywanie przez bezpośrednie całkowanie Warunki początkowe i warunki brzegowe Równanie struny Rozwiązanie równania struny Rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych Równanie przewodnictwa cieplnego dla jednorodnego pręta ograniczonego Rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego Równanie Laplace’a Rozwiązanie równania Laplace’a Równanie Laplace’a we współrzędnych biegunowych Problem Rozdzielenie zmiennych Przypadek n = 0 Podsumowanie 21 Czy potrafisz? Lista kontrolna 21 Zadania sprawdzające 21 Dalsze wyzwania 21

598 599 599 599 601 602 602 602 610 611 615 615 619 620 620 623 625 626 627 628

Program 22

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Numeryczna aproksymacja pochodnych Funkcje dwóch zmiennych rzeczywistych Wartości w punktach siatki Gwiazdy różnicowe Podsumowanie metody Warunki brzegowe zawierające pochodne cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

630 630 631 631 633 634 636 639 642 646

Spis treści

xv

Równania eliptyczne Równania hiperboliczne Równania paraboliczne Pochodne cząstkowe drugiego rzędu Równania zależne od czasu Metoda Cranka-Nicolsona Analiza wymiarowa Podsumowanie 22 Czy potrafisz? Lista kontrolna 22 Zadania sprawdzające 22 Dalsze wyzwania 22

646 646 646 648 651 656 661 662 664 665 666

Program 23

671

Całki funkcji wielu zmiennych 1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Różniczki Różniczka zupełna Całkowanie różniczek zupełnych Obszary ograniczone krzywymi zamkniętymi Całki krzywoliniowe skierowane Alternatywna postać całki krzywoliniowej skierowanej Własności całek krzywoliniowych skierowanych Obszary ograniczone krzywymi zamkniętymi Całki krzywoliniowe skierowane wzdłuż krzywych zamkniętych Całki krzywoliniowe nieskierowane Krzywe określone równaniami parametrycznymi Niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania Różniczka zupełna funkcji trzech zmiennych Twierdzenie Greena Podsumowanie 23 Czy potrafisz? Lista kontrolna 23 Zadania sprawdzające 23 Dalsze wyzwania 23

671 672 678 680 682 683 687 687 690 692 692 696 697 698 702 703 709 711 712 712

Program 24

714

Całki funkcji wielu zmiennych 2

Czego się nauczę z tego programu?

Całki podwójne Całka powierzchniowa niezorientowana Układy współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej Współrzędne kartezjańskie Współrzędne walcowe Współrzędne sferyczne Element objętości w trzech rodzajach współrzędnych Całki potrójne Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych

714 715 719 724 724 724 725 727 728 735

Spis treści

xvi

Współrzędne krzywoliniowe Zamiana zmiennych w trzech wymiarach Podsumowanie 24 Czy potrafisz? Lista kontrolna 24 Zadania sprawdzające 24 Dalsze wyzwania 24

737 743 744 747 747 748

Program 25

750

Funkcje określone przez całki

Czego się nauczę z tego programu?

Funkcje gamma oraz beta Funkcja gamma Funkcja beta Wzory rekurencyjne Związek pomiędzy funkcjami gamma i beta Zastosowania funkcji gamma oraz beta Wzór Legendre’a o podwajaniu Funkcja błędu Wykres funkcji

Uzupełniająca funkcja błędu

Funkcje eliptyczne Standardowe postaci funkcji eliptycznych Całki eliptyczne zupełne Alternatywne postaci funkcji eliptycznych Podsumowanie 25 Czy potrafisz? Lista kontrolna 25 Zadania sprawdzające 25 Dalsze wyzwania 25

750 751 751 758 759 761 763 765 766 767 767 769 769 770 773 776 777 778 779

Program 26

Analiza wektorowa 1

781

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Iloczyny potrójne Iloczyn skalarny trzech wektorów (iloczyn mieszany) Własności iloczynu mieszanego Wektory komplanarne Potrójne iloczyny wektorowe Różniczkowanie wektorów Różniczkowanie sum i iloczynów wektorów Jednostkowy wektory styczny Pochodne cząstkowe funkcji wektorowej Całkowanie funkcji wektorowych Pola skalarne i wektorowe Gradient funkcji skalarnej Pochodne kierunkowe Jednostkowy wektory normalny Gradienty sumy i iloczynu funkcji skalarnych

781 782 786 786 787 788 789 793 796 797 799 800 801 802 804 807 808

Spis treści

xvii

Dywergencja funkcji wektorowej Rotacja funkcji wektorowej Podsumowanie wiadomości o gradiencie, dywergencji i rotacji Złożenia operatorów gradientu, dywergencji i rotacji Podsumowanie 26 Czy potrafisz? Lista kontrolna 26 Zadania sprawdzające 26 Dalsze wyzwania 26

810 810 812 813 815 817 818 819

Program 27

Analiza wektorowa 2

821

Czego się nauczę z tego programu?

Całki krzywoliniowe Pole skalarne Pole wektorowe Całki potrójne Całki powierzchniowe Pole skalarne Pole wektorowe Zachowawcze pola wektorowe Wzór Gaussa-Ostrogradskiego Wzór Stokesa Zwrot jednostkowego wektora normalnego do powierzchni S a obieg na ograniczającej ją krzywej c Twierdzenie Greena Podsumowanie 27 Czy potrafisz? Lista kontrolna 27 Zadania sprawdzające 27 Dalsze wyzwania 27

821 822 822 824 828 832 832 835 839 843 849

Program 28

865

Analiza wektorowa 3

Czego się nauczę z tego programu?

Współrzędne krzywoliniowe Ortogonalne współrzędne krzywoliniowe Ortogonalne układy współrzędnych w przestrzeni Współczynniki skali Współczynniki skali dla współrzędnych kartezjańskich, walcowych i sferycznych Dowolne układy współrzędnych krzywoliniowych

Równania przejścia Element łuku oraz element objętości w układzie ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych Gradient, dywergencja, rotacja i laplasjan w układzie ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych Gradient, dywergencja i laplasjan we współrzędnych kartezjańskich, walcowych i sferycznych

851 856 859 861 862 862

865 866 869 870 873 874 876 877 877 878 881

Spis treści

xviii

Podsumowanie 28 Czy potrafisz? Lista kontrolna 28 Zadania sprawdzające 28 Dalsze wyzwania 28

883 885 886 886

Program 29

888

Analiza zespolona 1

Czego się nauczę z tego programu?

Funkcje zmiennej zespolonej Odwzorowanie zespolone Wyznaczanie obrazu linii prostej leżącej na płaszczyźnie w odwzorowaniu

Typy odwzorowań postaci

Odwzorowania nieliniowe Wyznaczanie obrazów obszarów Podsumowanie 29 Czy potrafisz? Lista kontrolna 29 Zadania sprawdzające 29 Dalsze wyzwania 29

888 889 890

Program 30

Analiza zespolona 2

921

Czego się nauczę z tego programu?

Różniczkowanie funkcji zmiennej zespolonej Funkcja analityczna Równania Cauchy’ego-Riemanna Funkcje harmoniczne Całkowanie funkcji zespolonych Całki po konturach, czyli całki krzywoliniowe na płaszczyźnie Twierdzenie Cauchy’ego Deformacja konturu w punkcie osobliwym Odwzorowania konforemne Warunki konforemności odwzorowania Punkty krytyczne Odwzorowanie Schwarza-Christoffela Wielokąty otwarte Podsumowanie 30 Czy potrafisz? Lista kontrolna 30 Zadania sprawdzające 30 Dalsze wyzwania 30

921 922 923 925 926 930 930 933 937 943 944 944 947 951 956 958 959 959

Program 31

961

Analiza zespolona 3

Czego się nauczę z tego programu?

Szeregi Maclaurina Promień zbieżności Punkty osobliwe Bieguny

891 895 902 906 917 918 918 919

961 962 965 966 966

Spis treści

xix

Punkty pozornie osobliwe Koło zbieżności Szereg Taylora Szereg Laurenta Residua Obliczanie residuów Całki funkcji rzeczywistych

967 967 968 969 973 975 976

Całki postaci

977

Całki postaci

978

Całki postaci

980

Podsumowanie 31 Czy potrafisz? Lista kontrolna 31 Zadania sprawdzające 31 Dalsze wyzwania 31

982 985 986 987

Program 32

989

Optymalizacja i programowanie liniowe

Czego się nauczę z tego programu?

Optymalizacja Programowanie liniowe (optymalizacja liniowa) Nierówności liniowe Graficzna reprezentacja nierówności liniowych Solver Parametry Solvera Zastosowania Programowanie nieliniowe Podsumowanie 32 Czy potrafisz? Lista kontrolna 32 Zadania sprawdzające 32 Dalsze wyzwania 32

989 990 990 990 991 996 997 1001 1003 1005 1006 1006 1007

Dodatek Odpowiedzi Indeks

1011 1019 1055