101132746

S P I S T R E Ś C I ˛ Wstep ˛ Jak korzystać z podrecznika Pierwsze kroki 0.1

0.2

0.3

Znajdowanie miejsca zerowego funkcji 1d . . . . . . . . . . . . .

0.1.1. Metoda bisekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.2. Metoda Newtona–Rhapsona oraz siecznych . . . . . . . . . . .

Znajdowanie minimum (maksimum) funkcji 1d . . . . . . . . . . .

0.2.1. Metoda złotego podziału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.2. Inne metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5 9 9 9 10 10 10 11 12

˛ 1 projekt: prostok atna sko ńczona studnia kwantowa– stacjonarne równanie schrödingera w jednym wymiarze 13 1.1 1.2 1.3 1.4

Podstawy fizyczne: wybrane koncepcje mechaniki kwantowej . . . .

Problem: stany własne czastki ˛ w prostok atnej ˛ skończonej studni potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: wyznaczanie miejsc zerowych funkcji charakterystycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 projekt: dyfrakcja światła na szczelinie 2.1 2.2 2.3

2.4

Podstawy fizyczne: elementy fizyki fal . . . . . . . . . . . . . . . .

Problem: dyfrakcja fali na szczelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: schematy oparte na lokalnych aproksymacjach funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Pochodne: schematy 2, 3 i 5-punktowy . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Kwadratura: metoda prostokatów, ˛ trapezów oraz parabol (Simpsona) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 projekt: wahadło jako wzorzec jednostki czasu 3.1 3.2

14 16 17 18

21 21 24 25 25 26 28

33

Podstawy fizyczne: zasady dynamiki Newtona, równanie ruchu . 33 Problem: wahadło matematyczne jako wzorzec jednostki czasu . 35

3.3

3.4

Metody numeryczne: formuły rekurencyjne oparte na lokalnej ekstrapolacji funkcji podcałkowej całki 1-krokowej . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1. Metoda Rungego–Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 projekt: układ planetarny 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Podstawy fizyczne: prawo powszechnego cia˛żenia . . . . . . . . . . .

Problem: ruch planet w polu grawitacyjnym gwiazdy . . . . . . .

Redukcja ruchu pojedynczej planety w polu centralnym do jednego wymiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: algorytm Verleta . . . . . . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˛ 5 projekt: grawitacja wewnatrz gwiazdy

41 41 43 44 46 47

51

Podstawy fizyczne: prawo Gaussa, równanie Poissona . . . . . . . . .

Problem: pole grawitacyjne od ciagłego ˛ rozkładu gestości ˛ masy . . .

Metody numeryczne: algorytm Numerowa–Cowellsa . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 53 55 56

6 projekt: mody normalne w falowodzie cylindrycznym

57

Podstawy fizyczne: równanie falowe, fala stojaca ˛ . . . . . . . . . . . .

Problem: mody własne w światłowodzie . . . . . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: metoda strzałów . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 59 59 60

5.1 5.2 5.3 5.4 6.1 6.2 6.3 6.4

7 projekt: wła ściwo ści ściany jako izolatora termicznego 7.1 7.2 7.3 7.4

Podstawy fizyczne: dyfuzja stacjonarna . . . . . . . . . . . . . . . .

Problem: dyfuzja stacjonarna ciepła przez ściane˛ . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: metoda różnic skończonych . . . . . . . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 projekt: kondensator cylindryczny 8.1 8.2 8.3 8.4

Podstawy fizyczne: zasada wariacyjna dla układu elektrostatycznego Problem: kondensator cylindryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Metody numeryczne: metoda elementów skończonych (FE) . . . . .

Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projekty zaawansowane 9 projekt: sprz e˛żone oscylatory harmoniczne 9.1 9.2

63 63 65 65 68

71 72 73 73 74

77 79

Problem: ruch sprze˛ żonych oscylatorów harmonicznych . . . . . . . . 80 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10 projekt: problem fermiego–pasty–ulama–tsingou

87

10.1 Problem: dynamika jednowymiarowego łańcucha oddziałujacych ˛ mas punktowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Spis treści

11 projekt: zimna gwiazda wodorowa

95

11.1 Problem: rozkład gestości ˛ masy w zimnej gwieździe wodorowej . . . 95 11.2 Algorytm numeryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

˛ 12 projekt: prostok atna studnia kwantowa wypełniona elektronami – idea obliczeń samouzgodnionych 101 12.1 Problem: studnia kwantowa wypełniona elektronami z neutralizujac ˛ a˛ ładunek dodatnia˛ galareta˛ . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13 projekt: równanie schrödingera zale żne od czasu 105 13.1 Problem: ewolucja czasowa funkcji falowej w 1D studni kwantowej105 13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14 projekt: równanie poissona w 2d

111

14.1 Problem: reguła wariacyjna dla dwuwymiarowego układu elektrostatycznego i teoria jednoznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . 112 14.2 Metody numeryczne: metoda elementów skończonych dla układu 2D 113 14.3 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

˛ Literatura uzupełniajaca a materiały dodatkowe

117 119

a.1 Reprezentacja Eulera liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 a.2 Lokalna reprezentacja funkcji jednej zmiennej w postaci szeregu potegowego ˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.2.1. Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A.2.2. Wielomiany Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 a.3 Równanie ruchu wahadła Wilberforce’a . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 a.4 Zwiazek ˛ dyspersyjny w problemie FPUT . . . . . . . . . . . . . . . . 123 a.5 Równoważność sformułowania różniczkowego i wariacyjnego w elektrostatyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 a.6 1. i 2. prawo jednoznaczności rozwiaza ˛ ń równania Laplace’a . . . . . . 124 A.6.1. Pierwsze prawo jednoznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 A.6.2. Drugie prawo jednoznaczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 a.7 Dyskretyzacja funkcjonału energii całkowitej w elektrostatyce . . . 127 a.8 G estość ˛ gwiazdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 a.9 Zależność energii sieci atomów wodoru w układzie regularnym od objetości ˛ komórki elementarnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

˛ projekt: prostok atna sko ńczona studnia kwantowa

dułu pomnożony przez element objetości ˛ opisuje prawdopodobieństwo, a prawdopodobieństwo znalezienia czastki ˛ gdziekolwiek w danym stanie musi być równe 1.

Matematycznie oznacza to, że całka z kwadratu modułu funkcji falowej po całej rozpatrywanej przestrzeni musi być równa 1. Normowanie takie jest zawsze możliwe, ponieważ równanie Schrödingera jest liniowe, czyli funkcja bed ˛ aca ˛ rozwiazaniem ˛ pomnożona przez dowolna˛ liczbe˛ dalej nim pozostaje.

1.2

˛ ˛ problem: stany własne cz astki w prostok atnej sko ńczonej studni potencjału

W tym projekcie zastosujemy stacjonarne równanie Schrödingera (1.1.2), aby wyznaczyć stany i energie własne elektronu w prostokatnej, ˛ skończonej studni potencjału. Nie jest to problem czysto akademicki, gdyż układ taki modeluje na przykład bardzo dobrze heterostruktury półprzewodnikowe (układy warstwowe). Mówimy wówczas, że układ jest kwazijednowymiarowy, ponieważ istotne zmiany charakterystyk fizycznych wystepuj ˛ a˛ tylko w jednym kierunku. Tutaj jednak potraktujemy ten układ jako najprostszy, jednowymiarowy model atomu wodoru. W takim przypadku równanie (1.1.2) przyjmuje postać "

# h̄2 d2 − + V ( x ) ψ( x ) = εψ( x ) 2me dx2

(1.2.1)

z potencjałem równym (rys. 1.1)

V (x) =

−Vo 0

dla − a/2 ≤ x ≤ a/2 dla x < − a/2 lub x > a/2.

W jednostkach atomowych (Hartree) h̄ = me = e = 1 to równanie upraszcza sie˛ do

d2 2 + k ( x ) ψ( x ) = 0, dx2

(1.2.2)

gdzie k2 ( x ) = 2(ε − V ( x )). Rozwiazania ˛ analityczne dziela˛ sie˛ na trzy rodzaje: dwa wewnatrz ˛ studni (rys. 1.1) różniace ˛ sie˛ symetria˛ (symetryczne i antysymetryczne) oraz trzecie to adekwatne rozwiazania ˛ na zewnatrz ˛ studni:   A cos(kx ) ψ( x ) = A sin(kx )  B exp(∓κx )

16

dla − a/2 ≤ x ≤ a/2 ( parzyste) dla − a/2 ≤ x ≤ a/2 (nieparzyste) dla x < − a/2 lub x > a/2.

(1.2.3)

metody numeryczne

Jak widać, rozwiazania ˛ sa˛ zależne od dwóch parametrów: k – liczba falowa (wewnatrz ˛ studni) i κ – szybkość wykładniczego spadku (na zewnatrz). ˛ Jak zobaczymy w kolejnej sekcji, metoda numeryczna sprawdza sie˛ do wyznaczenia tych parametrów dla kolejnych stanów własnych (bed ˛ a˛ one zindeksowane).

Warto zwrócić uwage, ˛ że funkcja falowa (jak i kwadrat jej modułu) ma skończone wartości poza studnia, ˛ czyli w obszarze, gdzie energia kinetyczna czastki ˛ jest ujemna. W świetle mechaniki klasycznej czastka ˛ nie może mieć ujemnej energii kinetycznej, dlatego nazywamy ten obszar klasycznie zabronionym, a zjawisko – tunelowaniem kwantowym.

1.3

-a/2

V(x) a/2

x

-V0 Rysunek 1.1. Studnia potencjału wraz z rozwiazaniami: ˛ symetrycznym (dolne) i antysymetrycznym (górne)

metody numeryczne: wyznaczanie miejsc zerowych funkcji charakterystycznych

Warunkiem na to, że typowana wartość energii e w formule (1.2.1) to wartość własna, jest gładkie zszycie rozwiazania ˛ wewnatrz ˛ studni z rozwiazaniem ˛ na zewnatrz ˛ (rys. 1.2) (warunek ciagłości ˛ funkcji). Matematycznie oznacza to, że wartości funkcji i jej pochodnej musza˛ być równe w x = a/2 (dzieki ˛ symetrii nie musimy uwzgled˛ niać punktu − a/2). Otrzymujemy: • dla rozwiaza ˛ ń symetrycznych

± A cos(ka/2) = ± B exp(−κa/2) ∓ Ak sin(ka/2) = ∓ Bκ exp(−κa/2),

(1.3.1)

• dla rozwiaza ˛ ń antysymetrycznych

± A sin(ka/2) = ± B exp(−κa/2) (1.3.2) ± Ak cos(ka/2) = ∓ Bκ exp(−κa/2), p √ gdzie k = 2(ε + Vo ) i κ = −2ε.

Dzielac ˛ równania przez siebie w powyższych układach, otrzymujemy dwie funkcje charakterystyczne: Feven (ε) i Fodd (ε) wraz z nałożonym na nie warunkiem zerowania sie, ˛ dla rozwiaza ˛ ń symetrycznych (parzystych) i antysymetrycznych (nieparzystych):

Feven (ε) = sin(ka/2) − κ/k · cos(ka/2) = 0 ( parzyste) (1.3.3) Fodd (ε) = sin(ka/2) + k/κ · cos(ka/2) = 0 (nieparzyste).

17

˛ projekt: prostok atna sko ńczona studnia kwantowa

Wartości własne znajdujemy, rozwiazuj ˛ ac ˛ te równania (znajdujac ˛ miejsca zerowe tak skonstruowanych funkcji charakterystycznych).

gładkie zszycie

f'(x)≠g'(x) f(x)≠g(x)

x

Rysunek 1.2. Rozwiazania ˛ wewnatrz ˛ i na zewnatrz ˛ studni (odpowiednio f ( x ) i g( x )) musza˛ mieć takie same wartości i takie same wartości pochodnych na kraw˛edzi studni, dzieki ˛ czemu zapewniona jest ciagłość ˛ i gładkość rozwiazania, ˛ co jest jednocześnie warunkiem na znalezienie wartości własnej

1.4

ćwiczenia

˛ Obowiazkowe 1. Używajac ˛ programu QWELL, stablicuj funkcje Feven (ε) i Fodd (ε) (sa˛ to funkcje odpowiadajace ˛ rozwiazaniom ˛ parzystym i nieparzystym, których miejsca zerowe sa˛ energiami poziomów kwantowych). Obliczenia wykonaj dla trzech istotnie różniacych ˛ sie˛ zestawów parametrów a i V0 (np. studnia płytka i szeroka, głeboka ˛ i waska, ˛ pośrednia). Wykonaj odpowiednie rysunki.

2. (Prostokatna ˛ studnia kwantowa jako model atomu wodoru). Spróbuj dopasować pierwsze dwa poziomy kwantowe studni do pierwszych dwóch poziomów energii w atomie wodoru, stosujac ˛ metode˛ prób i błedów ˛ (wskazówka: rozpocznij poszukiwania od wartości a = 3 Bohr oraz Vo = 1 Hartree). Jaka jest wartość trzeciej energii i czy mieści sie˛ ona w zakresie energii wewnatrz ˛ studni? Można także spróbować dopasować pierwszy i trzeci poziom. Jaka˛ wartość ma wówczas drugi poziom? Jak bardzo różni sie˛ od prawdziwej wartości? (Uwaga: w jednostkach atomowych energie własne atomu wodoru dane sa˛ wyrażeniem: ε n = −1/(2n2 ); ponieważ studnia jest układem 2-parametrowym, dwa poziomy można dopasować z dowolnie mała˛ niepewnościa). ˛

18

ćwiczenia

Zaawansowane 1. Zaproponuj algorytm i napisz program, który automatycznie znajdowałby parametry studni majace ˛ dwa pierwsze poziomy energii zgodne (z zadana˛ niepewnościa) ˛ z energiami w atomie wodoru.

2. Dla wyznaczonych energii własnych narysuj funkcje własne oraz kwadraty ich modułu, na tle rysunku studni (pomiń procedure˛ normowania). Zaobserwuj zjawisko tunelowania kwantowego.

projekt: układ planetarny

Mamy do czynienia z układem równań różniczkowych I rzedu, ˛ liniowych, niejednorodnych. Można je rozwiazywać ˛ metodami poznanymi w poprzednim rozdziale.

Jednak tutaj zastosujemy inny algorytm, specyficzny dla równań ruchu i czesto ˛ stosowany w zagadnieniach dynamiki molekularnej. Jest to algorytm Verleta, który zbudowany jest bezpośrednio dla równania II rzedu, ˛ a jego podstawowa wersja opisana jest w tym rozdziale.

4.3

redukcja ruchu pojedynczej planety w polu centralnym do jednego wymiaru

Ćwiczenia zwiazane ˛ z tym projektem rozpoczynaja˛ sie˛ od analizy ruchu pojedynczej planety w polu centralnym gwiazdy (rys. 4.2). Ruch taki można zredukować do jednego wymiaru, co pomaga zrozumieć jego właściwości. Odpowiednia transformacja pokazana jest poniżej. Rozpoczniemy od klasycznego hamiltonianu układu (energia całkowita): H=

p2 mM −G .

2m r

p r

ar

(4.3.1)

Planeta

ar

Gwiazda

p

Rysunek 4.2. Schemat ruchu planety po orbicie eliptycznej wzgledem ˛ gwiazdy ulokowanej w jednym z jej ognisk, zgodny z I prawem Kepplera

Jeśli p wyrazimy we współrzednych ˛ polarnych (patrz rys. 4.3), p = pφ êφ + pr êr , gdzie êφ , êr sa˛ wektorami jednostkowymi lokalnego (zwiazanego ˛ z planeta) ˛ prosto-

êΦ

êr

y

P(r,ɸ) P(x,y)

r ɸ O

x

Rysunek 4.3. Konstrukcja lokalnego prostokatnego ˛ układu współrzednych ˛ do reprezentowania wektorów w układzie biegunowym

44

metody numeryczne

katnego ˛ układu współrzednych, ˛ wówczas hamiltonian przyjmie postać:

H=

( p φ r )2 p2r mM + −G , 2 2m r 2mr

(4.3.2)

gdzie czynnik r2 został wprowadzony w liczniku i mianowniku drugiego członu.

Ponieważ wielkość pφ r jest momentem pedu ˛ planety L, który jest zachowany w polu centralnym, możemy przepisać hamiltonian w postaci:

H=

p2r + Ve f f (r ), 2m

(4.3.3)

2

mM L ˛ gdzie Ve f f (r ) = 2mr 2 − G r jest zależna˛ od r, efektywna˛ energia˛ potencjalna˛ czastki w nieinercjalnym układzie odniesienia zwiazanym ˛ z wektorem położenia planety (rys. 4.4). Energia potencjalna jest suma˛ energii grawitacyjnej − G mM r oraz energii 2

L potencjalnej odśrodkowej 2mr 2 (obecnej w układzie nieinercjalnym). Gdy znany jest hamiltonian, można napisać kanoniczne równania Hamiltona w jednym wymiarze. Tym razem jednak skupimy sie˛ na efektywnym potencjale (energii potencjalnej masy jednostkowej). Dla danej wartości momentu pedu ˛ (zachowanego podczas ruchu) nie zmienia sie˛ on, jednak energia całkowita ruchu może przyjmować różne wartości. Na rysunku 4.5 pokazano, jak charakter trajektorii zależy od energii całkowitej wzgledem ˛ potencjału efektywnego. Łatwo można zidentyfikować trajektorie kołowe, eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne, co bedzie ˛ przedmiotem jednego z ćwiczeń. Warto wspomnieć, że bardzo podobna˛ operacje˛ (redukcja układu 3D do 1D) wykonuje sie˛ przy rozwiazywaniu ˛ kwantowo-mechanicznego zagadnienia atomu wodoru. Także w tym przypadku trójwymiarowy hamiltonian redukowany jest do jednowymiarowego poprzez wprowadzenie potencjału odśrodkowego. Moment pedu ˛ jest skwantowany, co reprezentuje orbitalna liczba kwantowa l. Liczba ta pojawia sie˛ w członie reprezentujacym ˛ potencjał efektywny, a wiec ˛ także indeksuje rozwiazania ˛ (stany kwantowe) atomu wodoru.

p Gwiazda a

pɸ r

r

Planeta

pr

O Rysunek 4.4. Poczatek ˛ układu współrzednych ˛ może być umieszczony w dowolnym punkcie przestrzeni O (niezwiazanym ˛ z położeniem gwiazdy)

45

projekt: układ planetarny

Veff

L2 2mr2 hiperbola E > 0

rpunkt zwrotny rmin r0

rmax

mM G r

parabola E = 0 elipsa E < 0 okrąg E = Emin E < Emin

r

Rysunek 4.5. Potencjał efektywny, po formalnej redukcji układu dwuwymiarowego do jednowymiarowego. Jest on suma˛ dwóch członów: potencjału odśrodkowego ∼ 1/r2 oraz grawitacyjnego ∼ −1/r. Rysunek identyfikuje trajektorie planet w zależności od odpowiadajacej ˛ im energii całkowitej

4.4

metody numeryczne: algorytm verleta

Algorytm Verleta to schemat do numerycznego rozwiazywania ˛ równań ruchu Newtona dla układu czastek ˛ (dynamika molekularna) i jest najcześciej ˛ używany do symulacji MD. Tutaj poznamy jego najprostsza˛ forme, ˛ a idea algorytmu zostanie zaprezentowana na przykładzie ruchu jednowymiarowego, jednak, jak to miało miejsce w przypadku wcześniej omawianych algorytmów, jego implementacja może być łatwo rozszerzona na wielowymiarowy układ wielu czastek. ˛ Równanie ruchu Newtona dla masy punktowej m w jednym wymiarze ma postać: d2 x = F/m, (4.4.1) dt2 gdzie F to siła działajaca ˛ na czastk ˛ e˛ o masie m, a x to współrzedna ˛ czastki ˛ na osi X. Aby wyznaczyć trajektorie˛ w przestrzeni fazowej, potrzebna jest także znajomość predkości ˛ v = dx/dt. Wykorzystujemy 3-punktowe formuły na pochodne funkcji (2.3.3, 2.3.4) do wyrażenia przyśpieszenia i predkości, ˛ które po przekształceniu prowadza˛ do formuł rekurencyjnych (algorytm Verleta): xn+1 = 2xn − xn−1 + τ 2 F/m + O(τ 4 ), vn = ( xn+1 − xn−1 )/(2τ ) + O(τ 2 ),

(4.4.2)

gdzie τ jest krokiem czasowym.

Trzeba zauważyć, że jako warunki poczatkowe ˛ zwykle znamy położenie i pred˛ kość (lub ped) ˛ (xo , vo ), a wiec ˛ pojawia sie˛ pewna trudność w zapoczatkowaniu ˛ 46

ćwiczenia

3-punktowego schematu rekurencyjnego, który wymaga znajomości 2 punktów poczatkowych. ˛ Trudność ta może być przezwycie˛ żona na przykład przez założenie, że w pierwszym kroku ruch jest jednostajnie przyśpieszony x1 = xo + vo τ + ( F/m)τ 2 /2 + O(τ 3 ),

(4.4.3)

co jest jednak mniej dokładne o rzad ˛ wielkości τ i powinno być stosowane ostrożnie. Alternatywa˛ jest wykorzystanie w pierwszym kroku dokładniejszego schematu 1-krokowego (np. Rungego–Kutty).

4.5

ćwiczenia

˛ Obowiazkowe 1. (Testowanie programu) Przetestuj program PLANETS na przykładzie ruchu pojedynczej planety po orbicie kołowej. W tym celu zmodyfikuj kod tak, aby jedna z planet była unieruchomiona w dużej odległości i miała mała˛ mase. ˛ Sprawdź, czy zachowana jest energia i moment pedu ˛ oraz znajdź najwiekszy ˛ możliwy krok czasowy, przy którym te wielkości sa˛ zachowane. Porównaj wyniki z rozwiazaniem ˛ analitycznym.

2. (Ruch pojedynczej planety) Dla zadanego momentu pedu ˛ narysuj potencjał efektywny i zidentyfikuj trajektorie: kołowa, ˛ eliptyczna, ˛ paraboliczna˛ i hiperboliczna. ˛ Wykonaj symulacje ruchu dla tych orbit. Wskazówka – aby ustawić właściwe warunki poczatkowe ˛ dla różnych energii, należy użyć formuły (4.3.2) z radialnym pedem ˛ równym zeru pr = 0: H=

L2 mM −G .

2 r 2mr

(4.5.1)

Wówczas przy zadanym momencie pedu ˛ L energia staje sie˛ funkcja˛ r. Jednak należy pamietać, ˛ że aby zachować wartość momentu pedu, ˛ gdy zmienia sie˛ r, trzeba zmieniać także poprzeczna˛ składowa˛ pedu ˛ według formuły: pφ = L/r.

W praktyce można ustawić r jako składowa˛ x (przy y = 0) oraz pφ = py (przy p x = 0).

3. Dla mocno wydłużonej orbity eliptycznej narysuj zależność energii całkowitej od czasu. Wyjaśnij zaobserwowane zachowanie.

4. Włacz ˛ ruch drugiej planety. Wybierz jeden z sugerowanych scenariuszy i wykonaj dla niego symulacje: a) układ planetarny – ruch planet o różnych masach po niezależnych orbitach, w polu sił centralnych gwiazdy; 47

projekt: równanie poissona w 2d

14.1

problem: reguła wariacyjna dla dwuwymiarowego układu elektrostatycznego i teoria jednoznaczności

W ramach tego projektu rozważymy dwuwymiarowy układ, dla którego równanie Poissona (12.0.2) przyjmuje postać 2

∂ ∂2 + 2 φ( x, y) = −4πρ( x, y), (14.1.1) ∂x2 ∂y które wraz z warunkami brzegowymi prowadzi do zagadnienia warunków brzegowych (analogicznego do tego dyskutowanego w rozdz. 5). Zapisany tam funkcjonał (8.1.2) w układzie dwuwymiarowym ma postać " " # 2 2 # Z 1 ∂φ ( x, y ) ∂φ ( x, y ) F [ φ ] = d2 r + − 4πρ( x, y)φ( x, y) .

(14.1.2) 2 ∂x ∂y S Korzystajac ˛ z okazji, że zbliżamy sie˛ bardziej do fundamentów elektrostatyki, której zasadnicze pytanie sprowadza sie˛ do: Jaki jest potencjał pola elektrycznego przy zadanym rozkładzie ładunków?, chcielibyśmy poświecić ˛ odrobine˛ czasu pewnej osobliwości rozwiaza ˛ ń tego problemu. Rzecza˛ znana˛ osobom, które poświeciły ˛ tej dziedzinie fizyki nieco czasu, ale zarazem nietrywialnym zagadnieniem jest zastanowienie sie˛ nad jednoznacznościa˛ uzyskanych rezultatów. To znaczy stawiamy pytanie, czy uzyskane rozwiazanie ˛ dwuwymiarowego równania Poissona jest zadane jednoznacznie przez warunki brzegowe. Inaczej moglibyśmy bowiem mieć do czynienia z taka˛ sytuacja, ˛ jak z nakretk ˛ a˛ w słoiku lub butelce, dla której istnieje kilka możliwych pozycji. W naszym przypadku oznaczałoby to, że funkcjonał miałby nie jedno, a kilka minimów globalnych.

Pytanie to zadajemy w tym miejscu, przed przystapieniem ˛ do rozważań numerycznych omawianego problemu, gdyż zagadnienie to ma głebszy ˛ charakter niż problem rachunkowy, tkwi bowiem w analitycznym podejściu do szukania rozwiaza ˛ ń pola. Należy spodziewać sie, ˛ że jednoznaczność rozwiazania ˛ nie wynika z wybranej metody jego szukania, ale z praw, które je definiuja. ˛ Powinno być bowiem jasne zarówno wtedy, gdy kierujemy sie˛ przeczuciem, jak i wtedy, gdy opieramy sie˛ na doświadczeniu, że wyznaczony potencjał jest zawsze obliczany jednoznacznie. Inaczej moglibyśmy podejrzewać, że świat, jak i każdy inny układ, istniałby w jednym z wielu metastabilnych stanów pod wzgledem ˛ rozkładu pola elektrycznego i w wyniku pewnych, trudnych do określenia czynników mógłby przeskakiwać miedzy ˛ nimi, co nie ma miejsca. Dowodzi tego teoria jednoznaczności pod postacia˛ dwóch praw. Stad ˛ oczekujemy, że dowolne warunki poczatkowe ˛ zawsze powinny doprowadzić do tego samego rezultatu, co czytelnik 112

metody numeryczne

powinien sprawdzić w ramach jednego z zadań. Czytelnika szczególnie zainteresowanego wspomnianymi dowodami odsyłamy do materiałów dodatkowych, gdzie przedstawiono obie teorie (A.6).

14.2

metody numeryczne: metoda elementów sko ńczonych dla układu 2d

Podobnie jak w przypadku wcześniejszych problemów dokonamy dyskretyzacji przestrzeni, w której bedziemy ˛ pracować, to znaczy wprowadzimy siatke˛ punktów, na której bedziemy ˛ wykonywać rachunki, przy czym rozpoczniemy od przypadku siatki prostokatnej, ˛ dla której parametr siatki w obu kierunkach może sie˛ różnić (h x , hy ). W wyniku dyskretyzacji funkcjonał (14.1.2) przyjmuje postać: # Ni −1 Nj −1 (φij − φi−1j )2 (φij − φij−1 )2 + h x hy ∑ ∑ 4πρij φij . h2x h2y i =2 j =2 (14.2.1) Po dyskretyzacji funkcjonał staje sie˛ funkcja˛ wielu zmiennych, F (φ) → F (φij ), a warunek zerowania sie˛ wariacji δF sprowadza sie˛ do warunku zerowania sie˛ pochodnych czastkowych: ˛ ∂F/∂φij = 0. Stosujac ˛ ten warunek, otrzymujemy: N −1

h x hy Ni −1 j F [φ] = ∑ 2 i∑ =2 j =2

φij =

"

h2x h2y 4πρij + h2y (φi−1j + φi+1j ) + h2x (φij−1 + φij+1 ) 2(h2x + h2y )

,

(14.2.2)

co w szczególnym przypadku siatki kwadratowej h x = hy ≡ h upraszcza sie˛ do φij =

1 2 h 4πρij + φi−1j + φi+1j + φij−1 + φij+1 .

4

(14.2.3)

Dokładne wyprowadzenie powyższych zależności pozostawiamy w materiałach dodatkowych na końcu ksia˛żki (A.7). Co ciekawe, powyższa˛ relacje˛ moglibyśmy również uzyskać nieco prościej przez dyskretyzacje˛ równania Poissona (5.1.2) lub bezpośrednio ze wzoru na średnia˛ potencjału (A.6.1) w dwóch wymiarach, które dla ρ(r) = 0 ma postać średniej arytmetycznej φij = 41 (φi−1j + φi+1j + φij−1 + φij+1 ). Należy zwrócić uwage, ˛ że warunki brzegowe moga˛ być tu określone nie tylko na brzegach obszaru, ale również w jego wnetrzu, ˛ poprzez zadanie ustalonych wartości w wybranych w˛ezłach siatki. W ten sposób można symulować różne układy elektrostatyczne (kondensator, klatke˛ Faradaya, ładunki punktowe).

Podsumowujac, ˛ algorytm rozwiazania ˛ nie różni sie˛ zasadniczo od tego dla przypadku kondensatora cylindrycznego (przypadku kwazijednowymiarowego). Kolejne kroki to: 113

projekt: równanie poissona w 2d

1. Wyjdź z jakiejś poczatkowej ˛ funkcji φij (np. płaszczyzny φ( xi , y j ) = a, pomie˛ dzy φ(0, y j ), φ( xi , 0), φ( x Ni , y j ), φ( xi , y Nj )), wyłaczaj ˛ ac ˛ wybrane punkty o ustalonych wcześniej wartościach; 2. Nowa˛ wartość φij oblicz ze wzoru (14.2.2) w każdym punkcie siatki xi , y j (poza punktami brzegowymi); 3. Dla nowych wartości {φij } oblicz wartość funkcjonału F [φ] (14.2.1); 4. Powtórz procedure, ˛ aż wartość ta sie˛ ustabilizuje, uzyskujac ˛ oczekiwana˛ różnice˛ F [φnew ] − F [φold ] poniżej ε.

Procedure˛ te˛ można nieco zmodyfikować przez mieszanie potencjałów φij : φij0 = φijnew ω + φijold (1 − ω ),

(14.2.4)

gdzie φijnew jest nowym rozwiazaniem ˛ liczonym na podstawie starej wartości (14.2.2) φijold . Przypadek dwuwymiarowy wprowadza jednak nowa˛ swobode˛ w układzie.

Mamy tu na myśli wybór kolejności aktualizowania wartości. Można bowiem brać już nowe wartości φ w sasiednich ˛ w˛ezłach, ale wtedy może okazać sie, ˛ że wybór kolejności aktualizowania (losowo, rzedami, ˛ kolumnami, rzedami ˛ i kolumnami jednocześnie) może wpłynać ˛ na efektywność obliczeń. W ramach zadań czytelnik powinien sprawdzić różne możliwości.

14.3

zadania

Testowanie algorytmu 1. Zapoznaj sie˛ z działaniem programu 2DPOISSON przez przetestowanie różnych warunków brzegowych i parametrów kontrolnych.

2. Zbadaj efekt mieszania potencjałów. Znajdź zakres parametru ω, dla którego algorytm jest zbieżny, oraz sprawdź, kiedy algorytm zbiega najszybciej. Wskazówka – zbieżność może zależeć od rozkładu ładunków.

3. Wykonaj w pełni zbieżne obliczenia dla warunków brzegowych, dla których znane sa˛ rozwiazania ˛ analityczne, i porównaj wyniki z rozwiazaniem ˛ analitycznym.

4. Zweryfikuj teorie˛ jednoznaczności. W tym celu wyznacz potencjał dla wybranego rozkładu ładunków z zadanymi warunkami brzegowymi dla różnych warunków poczatkowych ˛ procedury iteracyjnej.

114

zadania

Zastosowanie modelu 1. Rozważ dwie metalowe, nieskończone (w kierunku Z), uziemione (potencjał 0) płaszczyzny y = 0 i y = + a o zadanej szerokości l, połaczone ˛ trzecia˛ płaszczyzna˛ x = 0, na której zadany jest rozkład potencjału V (y) (rys. 14.1).

Znajdź potencjał pomiedzy ˛ płaszczyznami dla: a) V (y) = V0 , b) V (y) = V0 y, c) V (y) = −V0 y(y − a).

V(y)

z

y x

Rysunek 14.1. Schemat układu omówionego w zadaniu 5 – dwie płaszczyzny połaczone ˛ wzdłuż

2. Rozważ dwie metalowe, nieskończone (w kierunku Z) płaszczyzny o szerokości l w y = 0 i y = + a o stałym potencjale +V, które sa: ˛ a) odizolowane; b) połaczone ˛ dwiema płaszczyznami o stałym potencjale V0 (rys. 14.2): i) 0 < V0 < V, ii) V < V0 , iii) 0 < V0 < V na pierwszej V < V0 na drugiej.

V 0V

V

z

V0

y x

Rysunek 14.2. Schemat układu omówionego w zadaniu 6

115