SPIS TRE ´ SCI
´ czpodr ˛ ecznika
0.1 Znajdowaniemiejscazerowegofunkcji1d .............
0 1 1.Metodabisekcji............................ 9
0.1.2.MetodaNewtona–Rhapsonaorazsiecznych...........
0 2 Znajdowanieminimum (maksimum) funkcji1d 10
0.2.1.Metodazłotegopodziału......................
2 2.Innemetody..............................
0.3 ´ Cwiczenia .................................. 12
1projekt : prostok ˛ atnasko ´ nczonastudniakwantowa –stacjonarnerównanieschrödingerawjednym wymiarze 13
1 1 Podstawyfizyczne:wybranekoncepcjemechanikikwantowej.... 14
1.2 Problem:stanywłasnecz˛astkiwprostok˛atnejsko´nczonejstudni potencjału................................... 16
1 3 Metodynumeryczne:wyznaczaniemiejsczerowychfunkcji charakterystycznych............................. 17
1.4 ´ Cwiczenia .................................. 18
2projekt: dyfrakcja ´ swiatłanaszczelinie 21
2 1 Podstawyfizyczne:elementyfizykifal................ 21
2.2 Problem:dyfrakcjafalinaszczelinie.................. 24
2 3 Metodynumeryczne:schematyopartenalokalnychaproksymacjach funkcji..................................... 25
2.3.1.Pochodne:schematy2,3i5-punktowy.............. 25
2 3 2.Kwadratura:metodaprostok˛atów,trapezóworazparabol (Simpsona).............................. 26
2.4 ´ Cwiczenia .................................. 28
3projekt: wahadłojakowzorzecjednostkiczasu33
3 1 Podstawyfizyczne:zasadydynamikiNewtona,równanieruchu. 33
3.2 Problem:wahadłomatematycznejakowzorzecjednostkiczasu. 35
3 3 Metodynumeryczne:formułyrekurencyjneopartenalokalnej ekstrapolacjifunkcjipodcałkowejcałki1-krokowej............
3.3.1.MetodaRungego–Kutty.......................
3 4 ´ Cwiczenia
4projekt: układplanetarny
4.1 Podstawyfizyczne:prawopowszechnegoci˛azenia...........
4 2 Problem:ruchplanetwpolugrawitacyjnymgwiazdy.......
4.3 Redukcjaruchupojedynczejplanetywpolucentralnymdojednego wymiaru....................................
4 4 Metodynumeryczne:algorytmVerleta................
4.5 ´ Cwiczenia ..................................
5projekt: grawitacjawewn ˛ atrzgwiazdy 51
5 1 Podstawyfizyczne:prawoGaussa,równaniePoissona......... 52
5.2 Problem:polegrawitacyjneodci˛agłegorozkładug˛esto´scimasy...
5 3 Metodynumeryczne:algorytmNumerowa–Cowellsa.........
5.4 ´ Cwiczenia ..................................
6projekt: modynormalnewfalowodziecylindrycznym57
6 1 Podstawyfizyczne:równaniefalowe,falastoj˛aca............ 57
6.2 Problem:modywłasnew´swiatłowodzie................ 59
6 3 Metodynumeryczne:metodastrzałów................. 59
6.4 ´ Cwiczenia .................................. 60
7projekt : wła ´ sciwo ´ sci ´ scianyjakoizolatora termicznego 63
7 1 Podstawyfizyczne:dyfuzjastacjonarna................ 63
7.2 Problem:dyfuzjastacjonarnaciepłaprzez´scian˛e............ 65
7 3 Metodynumeryczne:metodaróznicsko´nczonych........... 65
7.4 ´ Cwiczenia .................................. 68
8projekt: kondensatorcylindryczny 71
8 1 Podstawyfizyczne:zasadawariacyjnadlaukładuelektrostatycznego 72
8.2 Problem:kondensatorcylindryczny................... 73
8 3 Metodynumeryczne:metodaelementówsko´nczonych(FE)..... 73
8.4 ´ Cwiczenia .................................. 74 Projektyzaawansowane 77
9projekt: sprz ˛ ezoneoscylatoryharmoniczne 79
9 1 Problem:ruchsprz˛ezonychoscylatorówharmonicznych........ 80
9.2 Zadania .................................... 81
10projekt: problemfermiego–pasty–ulama–tsingou87
10 1 Problem:dynamikajednowymiarowegoła´ncuchaoddziałuj˛acychmas punktowych.................................. 87
10.2 Zadania .................................... 92
Spistre´sci
11projekt: zimnagwiazdawodorowa 95
11 1 Problem:rozkładg˛esto´scimasywzimnejgwie´zdziewodorowej... 95 11 2 Algorytmnumeryczny........................... 96
11 3 Zadania 98
12projekt: prostok ˛ atnastudniakwantowawypełniona elektronami – ideaoblicze ´ nsamouzgodnionych101
12 1 Problem:studniakwantowawypełnionaelektronami zneutralizuj˛ac˛aładunekdodatni˛agalaret˛a................ 103
12.2 Zadania .................................... 103
13projekt : równanieschrödingerazale ˙ zneodczasu105
13.1 Problem:ewolucjaczasowafunkcjifalowejw 1Dstudnikwantowej105
13.2 Zadania .................................... 108
14projekt : równaniepoissonaw2d 111
14.1 Problem:reguławariacyjnadladwuwymiarowegoukładu elektrostatycznegoiteoriajednoznaczno´sci................ 112
14 2 Metodynumeryczne:metodaelementówsko´nczonychdlaukładu 2D 113
14 3 Zadania
Literaturauzupełniaj ˛ aca
amateriałydodatkowe
a 1 ReprezentacjaEuleraliczbyzespolonej.................
a 2 Lokalnareprezentacjafunkcjijednejzmiennejwpostaciszeregu pot˛egowego..................................
A.2 1.SzeregTaylora.............................
A.2 2.WielomianyLagrange’a.......................
a 3 RównanieruchuwahadłaWilberforce’a.................
a 4 Zwi˛azekdyspersyjnywproblemieFPUT................
a.5 Równowazno´s´csformułowaniarózniczkowegoiwariacyjnego welektrostatyce................................
a.6 1.i2.prawojednoznaczno´scirozwi˛aza´nrównaniaLaplace’a......
A.6.1.Pierwszeprawojednoznaczno´sci.................. 125
A.6 2.Drugieprawojednoznaczno´sci................... 126 a 7 Dyskretyzacjafunkcjonałuenergiicałkowitejwelektrostatyce...
a 8 G˛esto´s´cgwiazdy...............................
a 9 Zalezno´s´cenergiisieciatomówwodoruwukładzieregularnym odobj˛eto´scikomórkielementarnej.....................
projekt: prostok ˛ atnaskonczonastudniakwantowa
dułupomnozonyprzezelementobj˛eto´sciopisujeprawdopodobie´nstwo,aprawdopodobie´nstwoznalezieniacz˛astkigdziekolwiekwdanymstaniemusiby´crówne1. Matematycznieoznaczato, zecałkazkwadratumodułufunkcjifalowejpocałejrozpatrywanejprzestrzenimusiby´crówna1.Normowanietakiejestzawszemozliwe, poniewazrównanieSchrödingerajestliniowe,czylifunkcjab˛ed˛acarozwi˛azaniem pomnozonaprzezdowoln˛aliczb˛edalejnimpozostaje.
1.2problem: stanywłasnecz ˛ astkiwprostok ˛ atnej sko ´ nczonejstudnipotencjału
WtymprojekciezastosujemystacjonarnerównanieSchrödingera(1 1 2),abywyznaczy´cstanyienergiewłasneelektronuwprostok˛atnej,sko´nczonejstudnipotencjału.Niejesttoproblemczystoakademicki,gdyzukładtakimodelujenaprzykład bardzodobrzeheterostrukturypółprzewodnikowe(układywarstwowe).Mówimy wówczas, ˙ zeukładjestkwazijednowymiarowy,poniewa ˙ zistotnezmianycharakterystykfizycznychwyst˛epuj˛atylkowjednymkierunku.Tutajjednakpotraktujemy tenukładjakonajprostszy,jednowymiarowymodelatomuwodoru.Wtakimprzypadkurównanie(1 1 2)przyjmujeposta´c
zpotencjałemrównym(rys. 1 1) V(x)= V
a/2 ≤ x ≤ a/2 0dla x < a/2lub x > a/2.
Wjednostkachatomowych(Hartree)¯h = me = e = 1torównanieupraszczasi˛edo
gdzie k2(x)= 2(ε V(x)).Rozwi˛azaniaanalitycznedziel˛asi˛enatrzyrodzaje:dwa wewn˛atrzstudni(rys. 1 1)rózni˛acesi˛esymetri˛a(symetryczneiantysymetryczne) oraztrzecietoadekwatnerozwi˛azanianazewn˛atrzstudni:
ψ(x)=
A cos(kx) dla a/2 ≤ x ≤ a/2 (parzyste) A sin(kx) dla a/2 ≤ x ≤ a/2 (nieparzyste) B exp(∓κx) dla x < a/2lub x > a/2. (
)
Jakwida´c,rozwi˛azanias˛azalezneoddwóch parametrów: k –liczbafalowa(wewn˛atrz studni)i κ –szybko´s´cwykładniczegospadku (nazewn˛atrz).Jakzobaczymywkolejnejsekcji, metodanumerycznasprawdzasi˛edowyznaczeniatychparametrówdlakolejnychstanów własnych(b˛ed˛aonezindeksowane).
Wartozwróci´cuwag˛e, ˙ zefunkcjafalowa(jak ikwadratjejmodułu)masko´nczonewarto´sci pozastudni˛a,czyliwobszarze,gdzieenergia kinetycznacz˛astkijestujemna.W´swietlemechanikiklasycznejcz˛astkaniemozemie´cujemnejenergiikinetycznej,dlategonazywamyten obszarklasyczniezabronionym,azjawisko–tunelowaniemkwantowym.
metodynumeryczne x
Rysunek 1 1.Studniapotencjałuwraz zrozwi˛azaniami:symetrycznym(dolne) iantysymetrycznym(górne)
1.3metodynumeryczne: wyznaczaniemiejsc zerowychfunkcjicharakterystycznych
Warunkiemnato, zetypowanawarto´s´cenergii wformule(1.2.1)towarto´s´cwłasna,jestgładkiezszycierozwi˛azaniawewn˛atrzstudnizrozwi˛azaniemnazewn˛atrz (rys. 1.2)(warunekci˛agło´scifunkcji).Matematycznieoznaczato, ˙ zewarto´scifunkcji ijejpochodnejmusz˛aby´crównew x = a/2(dzi˛ekisymetriiniemusimyuwzgl˛ednia´cpunktu a/2).Otrzymujemy:
• dlarozwi˛aza´nsymetrycznych
±A cos(ka/2)= ±B exp( κa/2)
∓Ak sin(ka/2)= ∓Bκ exp( κa/2), (1.3.1)
• dlarozwi˛aza´nantysymetrycznych
±A sin(ka/2)= ±B exp( κa/2) ±Ak cos(ka/2)= ∓Bκ exp( κa/2), (1 3 2)
gdzie k = 2(ε + Vo) i κ = √ 2ε
Dziel˛acrównaniaprzezsiebiewpowyzszychukładach,otrzymujemydwiefunkcjecharakterystyczne: Feven(ε) i Fodd(ε) wrazznałozonymnaniewarunkiemzerowaniasi˛e,dlarozwi˛aza´nsymetrycznych(parzystych)iantysymetrycznych(nieparzystych):
Feven(ε)= sin(ka/2) κ/k · cos(ka/2)= 0 (parzyste)
Fodd(ε)= sin(ka/2)+ k/κ · cos(ka/2)= 0 (nieparzyste) (1.3.3)
projekt: prostok ˛ atnaskonczonastudniakwantowa
Warto´sciwłasneznajdujemy,rozwi˛azuj˛acterównania(znajduj˛acmiejscazerowetak skonstruowanychfunkcjicharakterystycznych). gładkie zszycie
(x)≠g(x)
(x)≠g'(x) x
Rysunek 1 2.Rozwi˛azaniawewn˛atrzinazewn˛atrzstudni(odpowiednio f (x) i g(x)) musz˛amie´ctakiesamewarto´sciitakiesamewarto´scipochodnychnakraw˛edzistudni, dzi˛ekiczemuzapewnionajestci˛agło´s´cigładko´s´crozwi˛azania,cojestjednocze´sniewarunkiemnaznalezieniewarto´sciwłasnej
1.4 ´ cwiczenia
Obowi ˛ azkowe
1.Uzywaj˛acprogramuQWELL,stablicujfunkcje Feven(ε) i Fodd(ε) (s˛atofunkcjeodpowiadaj˛acerozwi˛azaniomparzystyminieparzystym,którychmiejsca zerowes˛aenergiamipoziomówkwantowych).Obliczeniawykonajdlatrzech istotnieró ˙ zni˛acychsi˛ezestawówparametrów a i V0 (np.studniapłytkaiszeroka,gł˛ebokaiw˛aska,po´srednia).Wykonajodpowiednierysunki.
2.(Prostok˛atnastudniakwantowajakomodelatomuwodoru).Spróbujdopasowa´cpierwszedwapoziomykwantowestudnidopierwszychdwóchpoziomówenergiiwatomiewodoru,stosuj˛acmetod˛epróbibł˛edów(wskazówka: rozpocznijposzukiwaniaodwarto´sci a = 3 Bohr oraz Vo = 1 Hartree).Jaka jestwarto´s´ctrzeciejenergiiiczymie´scisi˛eonawzakresieenergiiwewn˛atrz studni?Moznatakzespróbowa´cdopasowa´cpierwszyitrzecipoziom.Jak˛a warto´s´cmawówczasdrugipoziom?Jakbardzoróznisi˛eodprawdziwejwarto´sci?(Uwaga:wjednostkachatomowychenergiewłasneatomuwodorudane s˛awyrazeniem: εn = 1/(2n2);poniewazstudniajestukładem2-parametrowym,dwapoziomymoznadopasowa´czdowolniemał˛aniepewno´sci˛a).
´ cwiczenia
Zaawansowane
1.Zaproponuj algorytminapiszprogram,któryautomatycznieznajdowałbyparametrystudnimaj˛acedwapierwszepoziomyenergiizgodne(zzadan˛aniepewno´sci˛a)zenergiamiwatomiewodoru.
2.Dlawyznaczonychenergiiwłasnychnarysujfunkcjewłasneorazkwadraty ichmodułu,natlerysunkustudni(pomi´nprocedur˛enormowania).Zaobserwujzjawiskotunelowaniakwantowego.
projekt: układplanetarny
Mamydoczynieniazukłademrówna´nrózniczkowychIrz˛edu,liniowych,niejednorodnych.Moznajerozwi˛azywa´cmetodamipoznanymiwpoprzednimrozdziale. Jednaktutajzastosujemyinnyalgorytm,specyficznydlarówna´nruchuicz˛estostosowanywzagadnieniachdynamikimolekularnej.JesttoalgorytmVerleta,który zbudowanyjestbezpo´sredniodlarównaniaIIrz˛edu,ajegopodstawowawersja opisanajestwtymrozdziale.
4.3redukcjaruchupojedynczejplanetywpolu centralnymdojednegowymiaru
´ Cwiczeniazwi˛azaneztymprojektemrozpoczynaj˛asi˛eodanalizyruchupojedynczejplanetywpolucentralnymgwiazdy(rys. 4.2).Ruchtakimoznazredukowa´cdojednegowymiaru,copomagazrozumie´cjegowła´sciwo´sci.Odpowiednia transformacjapokazanajestponi ˙ zej.Rozpoczniemyodklasycznegohamiltonianu układu(energiacałkowita):
Rysunek 4 2.Schematruchuplanetypoorbicieeliptycznejwzgl˛edemgwiazdyulokowanejwjednymzjejognisk,zgodnyzIprawemKepplera
Je´sli p wyrazimywewspółrz˛ednychpolarnych(patrzrys. 4.3
gdzie ˆ eφ, ˆ er s˛awektoramijednostkowymilokalnego(zwi˛azanegozplanet˛a)prosto-
y r
Rysunek 4 3.Konstrukcjalokalnegoprostok˛atnegoukładuwspółrz˛ednychdoreprezentowaniawektorówwukładziebiegunowym
metodynumeryczne
k˛atnegoukładuwspółrz˛ednych,wówczashamiltonianprzyjmieposta´c:
= p2 r 2m + (pφr)2 2mr2 G mM r , (4 3 2)
gdzieczynnik r2 zostałwprowadzonywlicznikuimianownikudrugiegoczłonu. Poniewazwielko´s´c pφr jestmomentemp˛eduplanety L,któryjestzachowanywpolu centralnym,mozemyprzepisa´chamiltonianwpostaci:
= p2 r 2m + Veff (r), (4 3 3)
gdzie Veff (r)= L2 2mr2 G mM r jestzalezn˛a od r,efektywn˛aenergi˛apotencjaln˛acz˛astki wnieinercjalnymukładzieodniesieniazwi˛azanymzwektorempołozeniaplanety (rys. 4.4).Energiapotencjalnajestsum˛aenergiigrawitacyjnej G mM r orazenergii potencjalnejod´srodkowej L2 2mr2 (obecnejwukładzie nieinercjalnym).Gdyznanyjest hamiltonian,mo ˙ znanapisa´ckanonicznerównaniaHamiltonawjednymwymiarze.Tymrazemjednakskupimysi˛enaefektywnympotencjale(energiipotencjalnej masyjednostkowej).Dladanejwarto´scimomentup˛edu(zachowanegopodczasruchu)niezmieniasi˛eon,jednakenergiacałkowitaruchumozeprzyjmowa´crózne warto´sci.Narysunku 4 5 pokazano,jakcharaktertrajektoriizalezyodenergiicałkowitejwzgl˛edempotencjałuefektywnego.Łatwomoznazidentyfikowa´ctrajektoriekołowe,eliptyczne,paraboliczneihiperboliczne,cob˛edzieprzedmiotemjednegoz´cwicze´n.Wartowspomnie´c, zebardzopodobn˛aoperacj˛e(redukcjaukładu 3Ddo1D)wykonujesi˛eprzyrozwi˛azywaniukwantowo-mechanicznegozagadnieniaatomuwodoru.Takzewtymprzypadkutrójwymiarowyhamiltonianredukowanyjestdojednowymiarowegopoprzezwprowadzeniepotencjałuod´srodkowego.Momentp˛edujestskwantowany,coreprezentujeorbitalnaliczbakwantowa l.Liczbatapojawiasi˛ewczłoniereprezentuj˛acympotencjałefektywny,awi˛ectak ˙ ze indeksujerozwi˛azania(stanykwantowe)atomuwodoru.
Rysunek 4 4.Pocz˛atekukładuwspółrz˛ednychmozeby´cumieszczonywdowolnym punkcieprzestrzeni O (niezwi˛azanymzpołozeniemgwiazdy)
projekt: układplanetarny
zwrotny
Rysunek 4 5.Potencjałefektywny,poformalnejredukcjiukładudwuwymiarowego dojednowymiarowego.Jestonsum˛adwóchczłonów:potencjałuod´srodkowego ∼ 1/r2 orazgrawitacyjnego ∼−1/r.Rysunekidentyfikujetrajektorieplanetwzalezno´sciododpowiadaj˛acejimenergiicałkowitej
4.4metodynumeryczne: algorytmverleta
AlgorytmVerletatoschematdonumerycznegorozwi˛azywaniarówna´nruchu Newtonadlaukładucz˛astek(dynamikamolekularna)ijestnajcz˛e´sciejuzywany dosymulacjiMD.Tutajpoznamyjegonajprostsz˛aform˛e,aideaalgorytmuzostaniezaprezentowananaprzykładzieruchujednowymiarowego,jednak,jaktomiało miejscewprzypadkuwcze´sniejomawianychalgorytmów,jegoimplementacjamoze by´cłatworozszerzonanawielowymiarowyukładwielucz˛astek.
RównanieruchuNewtonadlamasypunktowej m wjednymwymiarzemaposta´c: d2x dt2
gdzie F tosiładziałaj˛acanacz˛astk˛eomasie m,a x towspółrz˛ednacz˛astkinaosi X. Abywyznaczy´ctrajektori˛ewprzestrzenifazowej,potrzebnajesttakzeznajomo´s´c pr˛edko´sci v = dx/dt.Wykorzystujemy3-punktoweformułynapochodnefunkcji (2 3 3, 2 3 4)dowyrazeniaprzy´spieszeniaipr˛edko´sci,którepoprzekształceniuprowadz˛adoformułrekurencyjnych(algorytmVerleta):
gdzie τ jestkrokiemczasowym.
Trzebazauwazy´c, zejakowarunkipocz˛atkowezwykleznamypołozenieipr˛edko´s´c(lubp˛ed)(xo, vo),awi˛ecpojawiasi˛epewnatrudno´s´cwzapocz˛atkowaniu
´ cwiczenia
3-punktowegoschematu rekurencyjnego,którywymagaznajomo´sci2punktówpocz˛atkowych.Trudno´s´ctamozeby´cprzezwyci˛ezonanaprzykładprzezzałozenie, zewpierwszymkrokuruchjestjednostajnieprzy´spieszony
cojestjednakmniejdokładneorz˛adwielko´sci τ ipowinnoby´cstosowaneostroznie.Alternatyw˛ajestwykorzystaniewpierwszymkrokudokładniejszegoschematu 1-krokowego(np.Rungego–Kutty).
4.5 ´ cwiczenia
Obowi ˛ azkowe
1.(Testowanieprogramu)PrzetestujprogramPLANETSnaprzykładzieruchu pojedynczejplanetypoorbiciekołowej.Wtymceluzmodyfikujkodtak,aby jednazplanetbyłaunieruchomionawduzejodległo´sciimiałamał˛amas˛e. Sprawd´z,czyzachowanajestenergiaimomentp˛eduorazznajd´znajwi˛ekszy mozliwykrokczasowy,przyktórymtewielko´scis˛azachowane.Porównaj wynikizrozwi˛azaniemanalitycznym.
2.(Ruchpojedynczejplanety)Dlazadanegomomentup˛edunarysujpotencjał efektywnyizidentyfikujtrajektorie:kołow˛a,eliptyczn˛a,paraboliczn˛aihiperboliczn˛a.Wykonajsymulacjeruchudlatychorbit. Wskazówka –abyustawi´c wła´sciwewarunkipocz˛atkowedlaróznychenergii,nalezyuzy´cformuły(4 3 2) zradialnymp˛edemrównymzeru pr = 0: H = L2 2mr2 G mM r . (4.5.1)
Wówczasprzyzadanymmomenciep˛edu L energiastajesi˛efunkcj˛a r.Jednak nalezypami˛eta´c, zeabyzachowa´cwarto´s´cmomentup˛edu,gdyzmieniasi˛e r, trzebazmienia´ctakzepoprzeczn˛askładow˛ap˛eduwedługformuły: pφ = L/r Wpraktycemoznaustawi´c r jakoskładow˛a x (przy y = 0)oraz pφ = py (przy px = 0).
3.Dlamocnowydłuzonejorbityeliptycznejnarysujzalezno´s´cenergiicałkowitej odczasu.Wyja´snijzaobserwowanezachowanie.
4.Wł˛aczruchdrugiejplanety.Wybierzjedenzsugerowanychscenariuszyiwykonajdlaniegosymulacje:
a)układplanetarny–ruchplanetoróznychmasachponiezaleznychorbitach,wpolusiłcentralnychgwiazdy;
projekt: równaniepoissonaw2d
14.1problem: reguławariacyjnadla dwuwymiarowegoukładuelektrostatycznego iteoriajednoznaczno ´ sci
Wramachtegoprojekturozwazymydwuwymiarowyukład,dlaktóregorównaniePoissona(12 0 2)przyjmujeposta´c
którewrazzwarunkamibrzegowymiprowadzidozagadnieniawarunkówbrzegowych(analogicznegodotegodyskutowanegowrozdz. 5).Zapisanytamfunkcjonał (8.1.2)wukładziedwuwymiarowymmaposta´c
Korzystaj˛aczokazji, zezblizamysi˛ebardziejdofundamentówelektrostatyki, którejzasadniczepytaniesprowadzasi˛edo: Jakijestpotencjałpolaelektrycznegoprzy zadanymrozkładzieładunków?,chcieliby´smypo´swi˛eci´codrobin˛eczasupewnejosobliwo´scirozwi˛aza´ntegoproblemu.Rzecz˛aznan˛aosobom,którepo´swi˛eciłytejdziedziniefizykiniecoczasu,alezarazemnietrywialnymzagadnieniemjestzastanowieniesi˛enadjednoznaczno´sci˛auzyskanychrezultatów.Toznaczystawiamypytanie, czyuzyskanerozwi˛azaniedwuwymiarowegorównaniaPoissonajestzadanejednoznacznieprzezwarunkibrzegowe.Inaczejmogliby´smybowiemmie´cdoczynienia ztak˛asytuacj˛a,jakznakr˛etk˛awsłoikulubbutelce,dlaktórejistniejekilkamozliwychpozycji.Wnaszymprzypadkuoznaczałobyto, zefunkcjonałmiałbyniejedno, akilkaminimówglobalnych.
Pytanietozadajemywtymmiejscu,przedprzyst˛apieniemdorozwaza´nnumerycznychomawianegoproblemu,gdyzzagadnienietomagł˛ebszycharakterniz problemrachunkowy,tkwibowiemwanalitycznympodej´sciudoszukaniarozwi˛aza´npola.Nale ˙ zyspodziewa´csi˛e, ˙ zejednoznaczno´s´crozwi˛azanianiewynika zwybranejmetodyjegoszukania,alezpraw,którejedefiniuj˛a.
Powinnoby´cbowiemjasnezarównowtedy,gdykierujemysi˛eprzeczuciem,jak iwtedy,gdyopieramysi˛enado´swiadczeniu, zewyznaczonypotencjałjestzawsze obliczanyjednoznacznie.Inaczejmogliby´smypodejrzewa´c, ze´swiat,jakikazdy innyukład,istniałbywjednymzwielumetastabilnychstanówpodwzgl˛edemrozkładupolaelektrycznegoiwwynikupewnych,trudnychdookre´sleniaczynnikówmógłbyprzeskakiwa´cmi˛edzynimi,coniemamiejsca.Dowodzitegoteoria jednoznaczno´scipodpostaci˛adwóchpraw.St˛adoczekujemy, zedowolnewarunki pocz˛atkowezawszepowinnydoprowadzi´cdotegosamegorezultatu,coczytelnik
metodynumeryczne
powiniensprawdzi´cwramachjednegozzada´n.Czytelnikaszczególniezainteresowanegowspomnianymidowodamiodsyłamydomateriałówdodatkowych,gdzie przedstawionoobieteorie(A.6).
14.2metodynumeryczne: metodaelementów
sko ´ nczonychdlaukładu2d
Podobniejakwprzypadkuwcze´sniejszychproblemówdokonamydyskretyzacji przestrzeni,wktórejb˛edziemypracowa´c,toznaczywprowadzimysiatk˛epunktów, naktórejb˛edziemywykonywa´crachunki,przyczymrozpoczniemyodprzypadku siatkiprostok˛atnej,dlaktórejparametrsiatkiwobukierunkachmozesi˛erózni´c (hx, hy).Wwynikudyskretyzacjifunkcjonał(14 1 2)przyjmujeposta´c:
Podyskretyzacjifunkcjonałstajesi˛efunkcj˛awieluzmiennych, F(φ) → F(φij),awarunekzerowaniasi˛ewariacji δF sprowadzasi˛edowarunkuzerowaniasi˛epochodnychcz˛astkowych: ∂F/∂φij = 0.Stosuj˛actenwarunek,otrzymujemy:
cowszczególnymprzypadkusiatkikwadratowej hx = hy ≡ h upraszczasi˛edo
Dokładnewyprowadzeniepowyzszychzalezno´scipozostawiamywmateriałach dodatkowychnako´ncuksi˛azki(A.7).Cociekawe,powyzsz˛arelacj˛emogliby´smy równiezuzyska´cniecopro´sciejprzezdyskretyzacj˛erównaniaPoissona(5.1.2)lub bezpo´sredniozewzoruna´sredni˛apotencjału(A.6.1)wdwóchwymiarach,któredla ρ(r)= 0maposta´c´sredniejarytmetycznej φij = 1 4 (φi 1j + φi+1j + φij 1 + φij+1).Nale ˙ zy zwróci´cuwag˛e, ˙ zewarunkibrzegowemog˛aby´ctuokre´slonenietylkonabrzegachobszaru,alerówniezwjegown˛etrzu,poprzezzadanieustalonychwarto´sci wwybranychw˛ezłachsiatki.Wtensposóbmoznasymulowa´crózneukładyelektrostatyczne(kondensator,klatk˛eFaradaya,ładunkipunktowe).
Podsumowuj˛ac,algorytmrozwi˛azanianieróznisi˛ezasadniczoodtegodlaprzypadkukondensatoracylindrycznego(przypadkukwazijednowymiarowego).Kolejne krokito:
projekt: równaniepoissonaw2d
1.Wyjd´zzjakiej´spocz˛atkowejfunkcji φij (np.płaszczyzny φ(xi, yj)= a,pomi˛edzy φ(0, yj), φ(xi,0), φ(xNi , yj), φ(xi, yNj )),wył˛aczaj˛acwybranepunktyoustalonychwcze´sniejwarto´sciach;
2.Now˛awarto´s´c φij obliczzewzoru(14 2 2)wkazdympunkciesiatki xi, yj (poza punktamibrzegowymi);
3.Dlanowychwarto´sci {φij} obliczwarto´s´cfunkcjonału F[φ] (14.2.1);
4.Powtórzprocedur˛e,azwarto´s´ctasi˛eustabilizuje,uzyskuj˛acoczekiwan˛aróznic˛e F[φnew] F[φold] ponizej ε
Procedur˛et˛emoznaniecozmodyfikowa´cprzezmieszaniepotencjałów φij:
gdzie φnew ij jestnowymrozwi˛azaniemliczonymnapodstawiestarejwarto´sci(14.2.2) φold ij .Przypadekdwuwymiarowywprowadzajednaknow˛aswobod˛ewukładzie. Mamytunamy´sliwybórkolejno´sciaktualizowaniawarto´sci.Moznabowiembra´c ju ˙ znowewarto´sci φ ws˛asiednichw˛ezłach,alewtedymo ˙ zeokaza´csi˛e, ˙ zewybór kolejno´sciaktualizowania(losowo,rz˛edami,kolumnami,rz˛edamiikolumnamijednocze´snie)mozewpłyn˛a´cnaefektywno´s´coblicze´n.Wramachzada´nczytelnikpowiniensprawdzi´cróznemozliwo´sci.
14.3zadania
Testowaniealgorytmu
1.Zapoznajsi˛ezdziałaniemprogramu2DPOISSONprzezprzetestowanieróznychwarunkówbrzegowychiparametrówkontrolnych.
2.Zbadajefektmieszaniapotencjałów.Znajd´zzakresparametru ω,dlaktórego algorytmjestzbie ˙ zny,orazsprawd´z,kiedyalgorytmzbieganajszybciej. Wskazówka– zbiezno´s´cmozezaleze´codrozkładuładunków.
3.Wykonajwpełnizbiezneobliczeniadlawarunkówbrzegowych,dlaktórych znanes˛arozwi˛azaniaanalityczne,iporównajwynikizrozwi˛azaniemanalitycznym.
4.Zweryfikujteori˛ejednoznaczno´sci.Wtymceluwyznaczpotencjałdlawybranegorozkładuładunkówzzadanymiwarunkamibrzegowymidlaróznych warunkówpocz˛atkowychproceduryiteracyjnej.
zadania
Zastosowanie modelu
1.Rozwazdwiemetalowe,niesko´nczone(wkierunku Z),uziemione(potencjał0)płaszczyzny y = 0i y =+a ozadanejszeroko´sci l,poł˛aczonetrzeci˛a płaszczyzn˛a x = 0,naktórejzadanyjestrozkładpotencjału V(y) (rys. 14.1). Znajd´zpotencjałpomi˛edzypłaszczyznamidla:
a) V(y)= V0,
b) V(y)= V0y,
c) V(y)= V0y(y a).
y z
Rysunek 14 1.Schematukładuomówionegowzadaniu5–dwiepłaszczyznypoł˛aczone wzdłuz
2.Rozwazdwiemetalowe,niesko´nczone(wkierunku Z)płaszczyznyoszeroko´sci l w y = 0i y =+a ostałympotencjale+V,któres˛a: a)odizolowane;
b)poł˛aczonedwiemapłaszczyznamiostałympotencjale V0 (rys. 14.2): i)0 < V0 < V, ii) V < V0, iii)0 < V0 < V napierwszej V < V0 nadrugiej.
y z V
Rysunek 14 2.Schematukładuomówionegowzadaniu 6