Spis treści
Wprowadzenie
2
Obwody rezystancyjne 3
Indukcyjność i pojemność
4
Stany nieustalone RC RL RC RL
5
Analiza stanów ustalonych w obwodach prądu sinusoidalnego
Charakterystyki częstotliwościowe, wykresy Bode’go i rezonanse
Komputery, mikrokontrolery oraz komputerowe systemy pomiarowe
Układy logiczne
C TOM III
Diody
Wzmacniacze: dane techniczne i charakterystyki zewnętrzne
Tranzystory polowe
C TOM IV 14
Obwody magnetyczne i transformatory
15
Maszyny (silniki) prądu stałego
Tranzystory bipolarne pnp
16
Maszyny (silniki) prądu zmiennego
Wzmacniacze operacyjne
Skorowidz
ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie
1.1. Przegląd zagadnień związanych z elektrotechniką
Mo na powiedzie , e g ówne zadania systemów projektowanych przez in ynierów elektryków to:
1. Gromadzenie, przechowywanie, przetwarzanie, transport i udost pnianie informacji. 2. Dystrybucja, przechowywanie i konwersja energii pomi dzy ró nymi jej postaciami.
W wielu systemach elektrycznych manipulowanie energi i manipulowanie informacj s od siebie wzajemnie zale ne. Na przyk ad w prognozowaniu pogody stosuje si wiele aspektów elektrotechniki zwi zanych z informacj . Dane o zachmurzeniu, opadach, pr dko ci wiatru itp. s gromadzone elektronicznie przez satelity meteorologiczne, naziemne stacje radarowe oraz czujniki w licznych stacjach meteorologicznych. (Czujniki to urz dzenia, które przekszta caj pomiary zyczne na sygnay elektryczne). Informacje te s przesy ane przez systemy komunikacji elektronicznej i przetwarzane przez komputery w celu uzyskania prognoz, które s rozpowszechniane i wy wietlane elektronicznie.
W elektrowniach energia jest przekszta cana z ró nych róde na posta elektryczn . Systemy dystrybucji energii elektrycznej transportuj t energi do praktycznie ka dej fabryki, domu i rmy na wiecie, gdzie jest ona przekszta cana w wiele u ytecznych form, takich jak energia mechaniczna, ciep o i wiat o.
Bez w tpienia mo na wymieni dziesi tki zastosowa elektrotechniki w yciu codziennym. W coraz wi kszym stopniu elementy elektryczne i elektroniczne s wbudowywane w nowe produkty. Samochody osobowe i ci arowe stanowi tylko jeden z przyk adów tego trendu. Warto elektroniki w przeci tnym samochodzie szybko ro nie. Pojazdy autonomiczne s w fazie szybkiego rozwoju i w ko cu stan si norm . Projektanci samochodów zdaj sobie spraw , e technologia elektroniczna jest dobrym sposobem na zapewnienie wi kszej funkcjonalno ci przy ni szych kosztach. W tabeli 1.1 przedstawiono niektóre zastosowania elektrotechniki w pojazdach samochodowych.
Warto poszuka w Internecie stron zwi zanych z tematem „mechatronika”.
Innym przyk adem mo e by fakt, e wiele urz dze gospodarstwa domowego zawiera klawiatury lub ekrany dotykowe do obs ugi, czujniki, wy wietlacze elektroniczne i uk ady komputerowe, a tak e bardziej konwencjonalne prze czniki, elementy grzejne i silniki. Elektronika sta a si tak ci le zintegrowana z systemami mechanicznymi, e dla okre lenia tego po czenia u ywa si nazwy mechatronika.
Obszary elektrotechniki
Przedstawmy ogólny obraz elektrotechniki, wymieniaj c i krótko omawiaj c osiem jej g ównych obszarów.
1. Systemy komunikacyjne ( czno ci) przesy aj informacje w postaci elektrycznej. Przyk adami systemów komunikacyjnych s telefonia komórkowa, radio, telewizja satelitarna i Internet. Praktycznie dowolne dwie osoby (lub komputery) na ca ym wiecie mog komunikowa si ze sob niemal natychmiast. Alpinista na szczycie góry w Nepalu mo e zadzwoni lub wys a e-mail do przyjació , którzy w druj po Alasce lub siedz w biurze w Nowym Jorku. Ten rodzaj czno ci wp ywa na sposób, w jaki yjemy, na sposób, w jaki prowadzimy interesy, oraz na konstrukcj wszystkiego, z czego korzystamy. Na przyk ad systemy czno ci maj wp yw na kierowanie ruchem na autostradzie, poniewa informacje o ruchu drogowym i stanie dróg, zbierane przez przydro ne czujniki, b d mog y by
przekazywane do centralnych lokalizacji i wykorzystywane do kierowania ruchem. W razie wypadku sygna elektryczny mo e by emitowany automatycznie po uruchomieniu poduszek powietrznych, podaj c dok adn lokalizacj pojazdu, wzywaj c pomoc i powiadamiaj c komputery kontroli ruchu.
2. Komputer przetwarza i przechowuje informacj w postaci cyfrowej. Bez w tpienia zetkn li cie si ju z zastosowaniami komputerów w swojej dziedzinie. Oprócz komputerów, o których istnieniu wiemy, wiele z nich znajduje si w nieoczywistych miejscach, takich jak sprz t gospodarstwa domowego czy samochody. W typowym nowoczesnym samochodzie znajduje si kilkadziesi t komputerów specjalnego przeznaczenia. Procesy chemiczne i rozdzielnie kolejowe s rutynowo sterowane za pomoc komputerów.
Komputery, które s cz ci produktów takich jak urz dzenia i samochody, s nazywane komputerami wbudowanymi 1.1. Przegląd zagadnień związanych
Tabela 1.1. Obecne i przysz e aplikacje elektroniczne/elektryczne w samochodach osobowych i ci arowych
Bezpiecze stwo
Hamulce antypo lizgowe
Nadmuchiwane urz dzenia przytrzymuj ce
Ostrzeganie przed kolizj i unikanie kolizji
Wykrywanie pojazdów w martwej stre e (zw aszcza w du ych samochodach ci arowych)
Systemy noktowizyjne na podczerwie
Wy wietlacze Heads-up
Automatyczne powiadamianie o wypadkach
Kamery cofania
Komunikacja i rozrywka
Radio AM/FM
Cyfrowa transmisja d wi ku
Odtwarzacz CD/DVD
Telefon komórkowy
Komputer/ poczta elektroniczna
Radio satelitarne
Udogodnienia
Elektroniczna nawigacja GPS
Spersonalizowane ustawienia foteli, lusterek i radia
Elektroniczne zamki drzwi
Emisja spalin, osi gi i zu ycie paliwa
Oprzyrz dowanie pojazdu
Elektroniczny zap on Czujniki ci nienia w oponach
Skomputeryzowana ocena osi gów i planowanie konserwacji
Dostosowywane uk ady zawieszenia
Alternatywne uk ady nap dowe
Pojazdy elektryczne
Zaawansowane akumulatory
Pojazdy hybrydowe
3. Systemy sterowania zbieraj informacje za pomoc czujników i wykorzystuj energi elektryczn do sterowania procesem zycznym. Stosunkowo prostym
Urz dzenia elektroniczne opieraj si na sterowaniu elektronami. Urz dzenia fotoniczne spe niaj podobne funkcje poprzez sterowanie fotonów. ROZDZIAŁ 1. Wprowadzenie
uk adem sterowania jest system ogrzewania/ch odzenia w mieszkaniu. Czujnik (termostat ) porównuje temperatur z warto ci dan . Obwody steruj ce uruchamiaj piec lub klimatyzator, aby osi gn dan temperatur . Podczas walcowania blachy stalowej do uzyskania danej grubo ci blachy stosuje si elektryczny system sterowania. Je li blacha jest zbyt gruba (lub zbyt cienka), do walców przyk adana jest wi ksza (lub mniejsza) si a. W podobny sposób kontroluje si temperatury i nat enie przep ywu w procesach chemicznych. Systemy sterowania zosta y nawet zainstalowane w wysokich budynkach, aby ograniczy ich ruchy spowodowane wiatrem.
4. Elektromagnetyzm zajmuje si badaniem i zastosowaniem pól elektrycznych i magnetycznych. Jednym z zastosowa jest urz dzenie (znane jako magnetron) u ywane do wytwarzania energii promieniowania mikrofalowego w piekarniku. Podobne urz dzenia, ale o znacznie wi kszej mocy, stosuje si w produkcji arkuszy sklejki. Pola elektromagnetyczne podgrzewaj klej znajduj cy si mi dzy warstwami drewna, dzi ki czemu szybko zastyga. Przyk adami urz dze elektromagnetycznych s równie anteny telefonii komórkowej i telewizji.
5. Elektronika zajmuje si badaniem i stosowaniem materia ów, urz dze i obwodów s u cych do wzmacniania i prze czania sygna ów elektrycznych. Najwaniejszymi urz dzeniami elektronicznymi s ró nego rodzaju tranzystory. S one stosowane niemal wsz dzie tam, gdzie wykorzystuje si informacj lub energi elektryczn . Na przyk ad stymulator serca jest uk adem elektronicznym, który wykrywa bicie serca, a je li bicie nie nast puje w odpowiednim momencie, wysy a do serca niewielki bodziec elektryczny, który wymusza skurcz serca. Oprzyrz dowanie elektroniczne i czujniki elektryczne mo na znale w ka dej dziedzinie nauki i in ynierii. Wiele z aspektów wzmacniaczy elektronicznych omówionych w dalszej cz ci ksi ki znajduje bezpo rednie zastosowanie w urz dzeniach stosowanych w innych dziedzinach in ynierii.
6. Fotonika jest now , ekscytuj c dziedzin nauki i in ynierii, która mo e zast pi konwencjonalne urz dzenia – obliczeniowe, przetwarzaj ce sygna y, sensoryczne oraz komunikacyjne, oparte na manipulowaniu elektronami – znacznie ulepszonymi produktami opartymi na manipulowaniu fotonami. Fotonika obejmuje generowanie wiat a przez lasery i diody wiec ce, transmisj wiat a przez elementy optyczne, a tak e prze czanie, modulacj , wzmacnianie, wykrywanie i sterowanie wiat em przez urz dzenia elektryczne, akustyczne i fotonowe. Obecne zastosowania obejmuj czytniki dysków DVD, hologramy, optyczne procesory sygna owe i systemy komunikacji wiat owodowej. Przysz e zastosowania obejmuj komputery optyczne, pami ci hologra czne i urz dzenia medyczne. Fotonika oferuje ogromne mo liwo ci dla niemal wszystkich naukowców i in ynierów.
7. Systemy elektroenergetyczne przetwarzaj energi na posta elektryczn wykorzystuj oraz przesy aj j na du e odleg o ci. Systemy te sk adaj si z generatorów, transformatorów, linii rozdzielczych, silników i innych elementów. In ynierowie mechanicy cz sto wykorzystuj silniki elektryczne do wzmacniania swoich konstrukcji. Dobór silnika o odpowiedniej charakterystyce pr dko ciowej momentu obrotowego do danego zastosowania mechanicznego to kolejny przyk ad zastosowania informacji zawartych w tej ksi ce.
8. Przetwarzanie sygna ów dotyczy sygna ów elektrycznych nios cych informacj . Cz sto celem przetwarzania sygna ów jest wydobycie u ytecznych informacji z sygna ów elektrycznych pochodz cych z czujników. Jednym z zastosowa jest przemys owy system wizyjny dla robotów stosowanych w produkcji. Innym
1.1. Przegląd zagadnień związanych z elektrotechniką
zastosowaniem przetwarzania sygna ów jest sterowanie uk adami zap onowymi silników spalinowych. Czas zap onu iskry ma decyduj ce znaczenie dla uzyskania dobrych osi gów i niskiego poziomu zanieczyszcze . Optymalny punkt zap onu w stosunku do obrotów wa u korbowego zale y od jako ci paliwa, temperatury powietrza, ustawienia przepustnicy, pr dko ci obrotowej silnika i innych czynników.
Je eli punkt zap onu zostanie przesuni ty nieco poza punkt najlepszych osi gów, nast puje spalanie stukowe. Stukanie mo na us ysze jako ostry metaliczny d wi k, który jest spowodowany gwa townymi zmianami ci nienia podczas spontanicznego uwalniania energii chemicznej w komorze spalania. Impuls ci nienia w komorze spalania obrazuj cy spalanie stukowe przedstawiono na rysunku 1.1. Przy wysokich poziomach ci nienia stukanie powoduje zniszczenie silnika w bardzo krótkim czasie. Przed pojawieniem si praktycznych uk adów elektronicznych przetwarzaj cych sygna y w tym celu, aby unikn spalania stukowego w ró nych kombinacjach warunków pracy, rozrz d silnika musia by regulowany w sposób znacznie poni ej optymalnej wydajno ci.
Po pod czeniu czujnika przez rurk do komory spalania uzyskuje si sygna elektryczny proporcjonalny do ci nienia. Uk ady elektroniczne przetwarzaj ten sygna , aby okre li , czy wyst puj gwa towne wahania ci nienia charakterystyczne dla spalania stukowego. Nast pnie uk ady elektroniczne na bie co reguluj czas zap onu w celu uzyskania optymalnych osi gów przy jednoczesnym unikni ciu spalania stukowego.
nienie (psi)
Rys. 1.1. Zale no ci nienia od czasu w silniku spalinowym, w którym wyst puje spalanie stukowe. Czujniki przetwarzaj ci nienie na sygna elektryczny, który jest przetwarzany w celu regulacji czasu zap onu, aby zminimalizowa zanieczyszczenia i zapewni dobre osi gi
Dlaczego powinniśmy studiować elektrotechnikę?
Czytelnik tej ksi ki mo e studiowa inn dziedzin in ynierii lub nauki i bra udzia w kursie z elektrotechniki. By mo e Twoim bezpo rednim celem jest spe nienie wymaga niezb dnych do uzyskania dyplomu w wybranej dziedzinie. Istnieje jednak kilka innych powodów, dla których warto pozna i utrwali podstawow wiedz z zakresu elektrotechniki:
1. Zdanie egzaminu z podstaw elektrotechniki (ang. Fundamentals of Engineering) jest pierwszym krokiem do uzyskania tytu u zawodowego in yniera (ang. Regi-
Zachowaj t ksi k i notatki z kursu, aby przygotowa si do egzaminu FE.
Rozwiązanie
Po pierwsze, nale y zauwa y , e indukcyjno ci 3 H, 6 H i 2 H s po czone równolegle.
Zatem ich indukcyjno zast pcza wynosi 1 1H. 1/31/61/2
Otrzymana w ten sposób pojemno zast pcza jest pokazana na rysunku 3.22(b)
Na koniec czymy szeregowo indukcyjno ci 4 H i 1 H, uzyskuj c w ten sposób 5 H, jak pokazano na rysunku 3.22(c).
Ćwiczenie 3.8. Wyka , e indukcyjno zast pcza indukcyjno ci po czonych szeregowo jest równa ich sumie.
Ćwiczenie 3.9. Wyka , e indukcyjno zast pcza indukcyjno ci po czonych równolegle jest wyra ona za pomoc zale no ci przedstawionej na rysunku 3.21(b).
Ćwiczenie 3.10. Oblicz indukcyjno zast pcz ka dego z obwodów przedstawionych na rysunku 3.23.
Odpowiedź: (a) 3,5 H; (b) 8,54 H.
Rys. 3.23. Patrz wiczenie 3.10
3.6.
Rzeczywiste cewki indukcyjne
Rzeczywiste cewki indukcyjne maj ró ny wygl d, zale nie od ich indukcyjno ci i zastosowania. (Przyk adowo, wzbudnik o indukcyjno ci 1 H mo e sk ada si z 25 zwojów cienkiego (np. 28) drutu nawini tego na toroidalny (w kszta cie donata) rdze z tlenku elaza o rednicy zewn trznej ½ cm. Z drugiej strony, typowy wzbudnik 5 H sk ada si z kilkuset zwojów drutu numer 18 nawini tego na elazn form o masie 1 kg.
Zazwyczaj metalowe formy elazne, zwane rdzeniami, s wykonane z cienkich arkuszy zwanych laminatami. [Przyk ad mo na znale na rysunku 3.16(c)]. Jest to ROZDZIAŁ 3. Indukcyjność
konieczne, poniewa w rdzeniu pod wp ywem zmiennego pola magnetycznego indukuj si napi cia. Napi cia te powoduj przep yw pr dów wirowych w rdzeniu, co powoduje rozpraszanie energii. Zazwyczaj takie straty w rdzeniu s niepo dane. Zastosowanie izolowanych od siebie laminatów pozwala zmniejszy straty zwi zane z pr dami wirowymi. Laminaty s u o one prostopadle do spodziewanego kierunku pr du. Innym sposobem eliminacji pr dów wirowych jest zastosowanie rdzenia z o onego z ferrytów, czyli tlenków elaza b d cych izolatorami elektrycznymi. Jeszcze inn metod jest po czenie sproszkowanego elaza ze spoiwem izolacyjnym.
ZASTOSOWANIE PRAKTYCZNE 3.1.
Elektroniczna lampa błyskowa
Na rysunku PA3.1 pokazano obwód elektryczny elektronicznej lampy b yskowej, jak mo na spotka w aparatach fotogra cznych. Zadaniem tego urz dzenia jest wytworzenie jasnego b ysku wiat a poprzez dostarczenie du ego pr du do lampy b yskowej, gdy migawka aparatu jest otwarta. Podczas b ysku, który trwa mniej ni milisekund , do lampy b yskowej dostarczane jest a 1000 W. Mimo e poziom mocy jest do wysoki, ca kowita dostarczona energia nie jest du a ze wzgl du na krótki czas trwania b ysku. (Energia jest rz du jednego d ula).
Z kilku powodów nie jest mo liwe dostarczenie energii bezpo rednio z baterii do lampy b yskowej. Po pierwsze, praktyczne baterie dostarczaj najwy ej kilkadziesi t woltów, podczas gdy do dzia ania lampy b yskowej potrzebne jest kilkaset woltów. Po drugie, zgodnie z zasad dopasowania mocy, maksymalna moc dost pna z baterii jest ograniczona do 1 W z powodu jej rezystancji wewn trznej Thévenina. (Patrz równanie (2.78) i dyskusja na ten temat ). Nie zaspokaja to w pe ni potrzeb lampy b yskowej. Zamiast tego energia jest dostarczana z akumulatora przez kilka
Model zast pczy Thévenina dla baterii
sekund i magazynowana w kondensatorze. Zmagazynowana energia mo e by szybko pobrana z kondensatora, poniewa szeregowa rezystancja paso ytnicza kondensatora jest bardzo ma a.
Prze cznik elektroniczny na przemian otwiera si i zamyka oko o 10 000 razy na sekund (W niektórych urz dzeniach mo na us ysze dono ny gwizd, który jest wynikiem przypadkowej zamiany cz ci energii na energi akustyczn ). Gdy prze cznik elektroniczny jest zamkni ty, bateria powoduje wzrost pr du w cewce indukcyjnej. Nast pnie, gdy prze cznik si otwiera, cewka indukcyjna wymusza przep yw pr du przez diod , aduj c kondensator. (Przypomnijmy, e pr d w cewce indukcyjnej nie mo e zmienia si b yskawicznie). Przez diod pr d mo e p yn tylko w kierunku wskazanym przez strza k . Dioda pozwala wi c na przep yw adunku do kondensatora, gdy prze cznik elektroniczny jest otwarty, i zapobiega odp ywowi adunku z kondensatora, gdy prze cznik elektroniczny jest zamkni ty. W ten sposób adunek zgromadzony na kondensatorze wzrasta za ka dym razem, gdy otwiera si prze cznik elektroniczny. C 4 V L dioda Rt 4
Prze cznik, który zamyka si po otwarciu migawki
Lampa b yskowa
Prze cznik elektroniczny
PA3.1
Taki stopie szczegó owo ci jest rzadko konieczny. Zazwyczaj modelowanie rzeczywistej cewki indukcyjnej jako indukcyjno ci z uwzgl dnieniem co najwy ej kilku efektów paso ytniczych jest wystarczaj co dok adne. Oczywi cie, komputerowo wspomagana analiza obwodów pozwala na stosowanie bardziej z o onych modeli i uzyskiwanie dok adniejszych wyników ni tradycyjna analiza matematyczna.
3.7. Indukcyjność wzajemna
Czasami kilka cewek jest nawini tych na ten sam rdze , tak e strumie magnetyczny wytwarzany przez jedn cewk czy pozosta e. Wówczas zmienny w czasie pr d p yn cy przez jedn cewk indukuje napi cia w pozosta ych cewkach. Symbole obwodów dla dwóch wzajemnie sprz onych indukcyjno ci s pokazane na rysunku 3.25. Indukcyjno ci w asne dwóch cewek oznaczono odpowiednio jako L1 i L2 Jednostk indukcyjno ci wzajemnej, oznaczanej symbolem M, jest równie henr. Zauwa my, e na rysunku 3.25 dla ka dej cewki wybrano pasywn kon guracj (strza kowanie odbiornikowe).
Rys. 3.25. Symbole oraz podstawowe zale no ci mi dzy napi ciem a pr dem indukcyjno ci wzajemnych
Równania dotycz ce napi i pr dów s równie pokazane na rysunku 3.25. Sk adowe wzajemne Mdi1/dt oraz Mdi2/dt pojawiaj si ze wzgl du na wzajemne sprzenie cewek. Sk adowe w asne, L1di1/dt oraz L2di2/dt, s napi ciami indukowanymi w ka dej cewce przez jej w asny pr d.
Strumie magnetyczny wytwarzany przez jedn cewk mo e wspomaga lub przeciwstawia si strumieniowi wytwarzanemu przez drug cewk . Kropki na kocach zwojów wskazuj , czy pola s skierowane ku sobie, czy przeciwnie. Je li jeden pr d wp ywa do zacisku oznaczonego kropk , a drugi z niego wyp ywa, to pola si przeciwstawiaj . Na przyk ad, je li na rysunku 3.25(b) oba pr dy i1 oraz i2 maj warto ci dodatnie, to pola s przeciwsobne. Je li oba pr dy wp ywaj do odpowiednich punktów (lub oba z nich wyp ywaj ), to kierunki linii obu pól s zgodne. Je li wi c na rysunku 3.25(a) oba pr dy i1 oraz i2 maj warto ci dodatnie, to pola s skierowane zgodnie.
Znaki wzajemnych sk adników w równaniach napi zale od tego, jak pr dy s zorientowane wzgl dem kropek. Je li oba pr dy s zwrócone do (lub oba s zwrócone od) zacisków oznaczonych kropkami, jak na rysunku 3.25(a), to sk adowa wzajemna
Strumie magnetyczny wytwarzany przez jedn cewk mo e wspomaga lub przeciwstawia si strumieniowi wytwarzanemu przez drug cewk .
Rys. 4.12. Schemat obwodu do wiczenia 4.5
Ćwiczenie 4.6. Rozwa my obwód pokazany na rysunku 4.13. Zak adamy, e prze cznik by zamkni ty przez bardzo d ugi czas poprzedzaj cy chwil t 0. Znajd wyra enia na i (t ) oraz v (t ).
Odpowiedź: () 1,0 dla 0 itt / 0,50,5e dla 0, t t () 0 dla 0 vtt / 100e dla 0, t t
gdzie sta a czasowa 5 ms.
Rys. 4.13. Schemat obwodu do wiczenia 4.6
4.4. Obwody RC oraz RL zasilane źródłami dowolnego kształtu
Po wst pnym zapoznaniu si z obwodami RL i RC przedyskutujemy nieco bardziej ogólnie problemy zwi zane z ich rozwi zywaniem. W tym rozdziale zajmiemy si obwodami, które zawieraj jeden element magazynuj cy energi – albo indukcyjno , albo pojemno
Rozwa my obwód pokazany na rysunku 4.14(a). Obwód znajduj cy si wewn trz obudowy mo e sk ada si z dowolnej kombinacji oporów i róde . Pojedyncza indukcyjno L jest wyprowadzona na zewn trz i pokazana w sposób jawny. Przypomnijmy, e mo emy znale obwód zast pczy Thévenina dla obwodów sk adaj cych si ze róde i rezystancji. Równowa nik Thévenina to niezale ne ród o napi cia vt(t ) po czone szeregowo z rezystancj Thévenina R. Zatem ka dy obwód sk adajcy si ze róde , rezystancji i jednej indukcyjno ci mo na przedstawi za pomoc równowa nego obwodu przedstawionego na rysunku 4.14(b). (Oczywi cie w podobny sposób mo na zredukowa dowolny obwód zawieraj cy ród a, rezystancje i pojedyncz pojemno ).
Obwód z o ony z rezystancji oraz róde
(a)(b)
Rys. 4.14. Obwód (liniowy – przyp. t um.) z o ony z rezystancji i róde oraz jego schemat zast pczy sk adaj cy si z szeregowego po czenia ród a napi cia i rezystancji po czone z jedn indukcyjno ci
Zapisuj c równanie wed ug II prawa Kirchho a dla obwodu z rysunku 4.14(b), otrzymujemy ()() d d t i L Ritvt t . (4.37)
Po podzieleniu stronami przez rezystancj , otrzymamy () () d d t vt Li it RtR (4.38)
Ogólnie rzecz bior c, równanie dla dowolnego obwodu zawieraj cego jedn indukcyjno lub jedn pojemno mo na zapisa w postaci
() ()() d , d xt xtft t (4.39)
gdzie x (t ) reprezentuje pr d b d napi cie, które chcemy wyznaczy . W kolejnym kroku, szukamy rozwi zania równania (4.39), które spe nia warunki pocz tkowe (takie jak np. pr d pocz tkowy p yn cy przez cewk indukcyjn ).
Sta a (która w tym przypadku jest sta czasow ) zale y tylko od rezystancji oraz indukcyjno ci (lub pojemno ci). ród a s reprezentowane funkcj f (t ), któr b dziemy nazywali funkcj wymuszaj c . Je li w naszym obwodzie nie ma róde (jak np. w obwodzie z rysunku 4.1), to funkcja wymuszaj ca jest równa zeru. Dla róde sta opr dowych, funkcja wymuszaj ca jest sta
Równanie (4.39) nazywamy równaniem ró niczkowym pierwszego rz du, poniewa pochodna najwy szego rz du jest pierwszego rz du. Jest to równanie liniowe, poniewa nie zawiera pot g ani innych nieliniowych funkcji x (t ) lub jej pochodnych. Zatem, aby rozwi za obwód RL (lub RC), musimy znale ogólne rozwi zanie liniowego równania ró niczkowego pierwszego rz du o sta ych wspó czynnikach.
Rozwiązanie równania różniczkowego
Z wa nego twierdzenia z dziedziny równa ró niczkowych wynika, e ogólne rozwi zanie równania (4.39) sk ada si z dwóch cz ci. Pierwsza cz nazywana jest
Ogólne rozwi zanie równania (4.39) sk ada si z dwóch cz ci.
ROZDZIAŁ 4. Stany nieustalone
Rozwi zanie ogólne (nazywane równie wymuszon odpowiedzi ) jest to dowolne wyra enie spe niaj ce równanie.
Aby otrzyma rozwi zanie, które spe nia warunki pocz tkowe, musimy do rozwi zania szczególnego doda rozwi zanie ogólne.
rozwi zaniem szczególnym x p(t ) i jest to dowolne wyra enie spe niaj ce równanie (4.39). Zatem,
Równanie jednorodne otrzymujemy przez podstawienie za funkcj wymuszaj c zera.
Rozwi zanie szczególne jest równie nazywane wymuszon odpowiedzi , poniewa zale y od funkcji wymuszaj cej (która z kolei wynika z niezale nych róde ) Nawet je li dane rozwi zanie spe nia równanie ró niczkowe, mo e nie by zgodne z warunkami pocz tkowymi, takimi jak pocz tkowe napi cie na kondensatorze lub nat enie pr du w indukcyjno ci. Dodaj c kolejny cz on, znany jako rozwi zanie ogólne (uzupe niaj ce), otrzymujemy rozwi zanie, które spe nia zarówno równanie ró niczkowe, jak i warunki pocz tkowe.
W przypadku funkcji wymuszaj cych, z którymi b dziemy mieli do czynienia, cz sto mo emy wybra posta rozwi zania ogólnego na podstawie analizy funkcji. Zazwyczaj rozwi zanie ogólne zawiera cz ony o takich samych postaciach funkcyjnych jak cz ony wyst puj ce w funkcji wymuszaj cej i jej pochodnych.
Sinusoidalne funkcje czasu s jednym z najwa niejszych rodzajów funkcji wymuszaj cych wyst puj cych w elektrotechnice. Na przyk ad, rozwa my funkcj wymuszaj c postaci
()() 10cos200 . f tt
Poniewa pochodne funkcji sinus i cosinus s równie funkcjami sinus i cosinus, spróbujemy znale rozwi zanie ogólne w postaci
()()() cos200sin200, p x tAtBt
gdzie A i B s sta ymi, które nale y wyznaczy . Warto ci tych sta ych mo na wyliczy przez podstawienie proponowanego rozwi zania ogólnego do równania ró niczkowego i porównanie obu stron równania. W ten sposób uzyskamy równania, na podstawie których wyznaczymy warto ci A i B. (W rozdziale 5 omówimy skrócone metody rozwi zywania wymuszonej odpowiedzi obwodów ze ród ami sinusoidalnymi).
Druga cz rozwi zania ogólnego jest nazywana rozwi zaniem komplementarnym xc(t ) i jest to rozwi zanie równania jednorodnego
() () d 0.
Rozwi zanie komplementarne (równie nazywane naturaln odpowiedzi ) otrzymujemy rozwi zuj c równanie jednorodne.
Równanie jednorodne otrzymujemy przez podstawienie za funkcj wymuszaj c zera. Zatem, posta rozwi zania komplementarnego nie zale y od róde . To rozwizanie jest równie nazywane odpowiedzi naturaln , poniewa zale y od elementów pasywnych obwodu. Rozwi zanie komplementarne trzeba doda do rozwi zania szczególnego, a eby otrzyma ca kowite (pe ne) rozwi zanie spe niaj ce warto ci pocz tkowe pr dów oraz napi
Równanie jednorodne mo emy przekszta ci do postaci
() () d/d 1 . c c xtt xt (4.42)
Po obustronnym sca kowaniu równania (4.42), dostajemy
() ln, c t xtc (4.43)
gdzie c jest sta ca kowania. Równanie (4.43) jest równowa ne () () / / eee . tc ct c x t
Nast pnie, je li zde niujemy sta K jako K ec, to rozwi zanie komplementarne przyjmie posta
() / e . t c x tK (4.44)
Metoda rozwiązywania krok po kroku
Poni ej podsumowano kolejne etapy analizy obwodów sk adaj cych si z rezystancji, ród a oraz cewki indukcyjnej (lub kondensatora):
1. Napisz równanie obwodu i zredukuj je w taki sposób, by uzyska równanie róniczkowe pierwszego rz du.
2. Znajd rozwi zanie ogólne. Szczegó y zwi zane z wykonaniem tej operacji zale od postaci funkcji wymuszaj cej. Na przyk adach, w wiczeniach oraz dodatkowych zadaniach przedstawili my kilkana cie rodzajów funkcji wymuszaj cych.
3. Wyznacz ca kowite rozwi zanie przez dodanie do rozwi zania szczególnego rozwi zania komplementarnego, które jest dane równaniem (4.44). Równanie to zawiera dowoln sta K
4. Skorzystaj z warunków pocz tkowych, by wyznaczy warto sta ej K. Ca powy sz procedur zilustrujemy przyk adem.
Przykład 4.6. Analiza stanu nieustalonego w obwodzie RC ze źródłem sinusoidalnym
Oblicz pr d w obwodzie przedstawionym na rysunku 4.15. Kondensator jest pocz tkowo na adowany do napi cia vC(0+) 1 V.
Rys. 4.15. Obwód pierwszego rz du ze ród em sinusoidalnie zmiennym. Patrz przyk ad 4.6
Rozwiązanie
Na pocz tek zapiszemy równanie napi ciowe dla t > 0. Poruszaj c si zgodnie ze wskazówkami zegara po oczku i dodaj c kolejne napi cia, otrzymamy
Krok 1: Napisz równanie obwodu i zredukuj je w taki sposób, by uzyska równanie ró niczkowe pierwszego rz du. 4.4. Obwody RC oraz RL zasilane źródłami