Spis treści
Od autora
Podzi kowania
Wprowadzenie
Królowa nie bez skazy
Liczby.
Rozmyta logika
Ci gi i równania.
Ró niczkowanie i ca kowanie
Niesko czono
Niezupe no
Dziecko Newtona
Trajektorie.
Opory.
. Wszech wiat klasyczny
. . Klasycyzm w praktyce
Gra w kulki
. Ruchy Browna
Entropia.
. Wszystko jest wzgl dne
Czasoprzestrze
. Dylatacja czasu
. Kontrakcja odleg o ci.
Ugi cie wiat a
Czarne dziury.
. Energia.
. G ow mur przebijesz
. Kwanty.
. . Zasada nieoznaczono ci
. Fluktuacje kwantowe.
. Wirtualne cz stki.
. . Pró nia.
. . Efekt Casimira.
. . Tunelowanie
. . Funkcja falowa
. . Obiekty kwantowe
Pomiar
Spl tanie
Wielo wiat.
Orka atraktorem
Nieliniowo
Efekt motyla
Atraktory.
Fraktale.
Mechaniki
Zakres stosowalno ci.
Chaotyczno i niestabilno
Prawdopodobie stwo.
Przewidywalno
Determinizm
Socjologia.
. Medycyna.
. Inne nauki nie cis e.
Matrix z o.o.
. Komputery
. Symulacje
Holo wiat
Kula a pi ka
Niedok adny wiat
. Teoria a praktyka
Zako czenie
Literatura
Spis rysunków
Dodatki
Pomiary
rodki pomiarowe.
B dy pomiarowe.
Niepewno pomiarowa
Prawdopodobie stwo
Rozk ad normalny
Charakterystyki rozk adu.
Poziom istotno ci i ufno ci
Aproksymacja, interpolacja i ekstrapolacja
Zaokr glanie
Dok adno a precyzja
– Panie Spock, czy dosi gniemy tych dwóch stra ników? Jakie s nasze szanse na wydostanie si st d?
– Trudno dok adnie okre li , Kapitanie. Powiedzia bym, e w przybli eniu , do .
– Trudno dok adnie okre li ? do ?
– , do
– To jest bardzo dobre przybli enie.
– Stara em si by dok adny.
Star Trek, The Original Series, odc. Errand of Mercy (t umaczenie autora)
Przybli enie. Tak e niedok adno , nieprecyzyjno , niedoskona o , niepewno . Równie b d, odchylenie, ograniczenie. Ale te wada, usterka czy u omno . Poj cia te nie s abstrakcjami w tym sensie, e funkcjonuj na co dzie w realnym wiecie i wiat ten konstytuuj . Dlaczego istniej ? Jakie maj w asno ci? Gdzie si znajduj ? Czy mo na je wyra a ilo ciowo? Jakie skutki powoduj ? Czy s po yteczne, czy szkodliwe?
Chyba ka dy z nas ju jako dziecko mia w r ku linijk i o ówek. Do czego mo na je wykorzysta ? Na przyk ad do narysowania domku z kominem za pomoc zestawu odpowiednio dobranych odcinków. W tym przypadku o ówek jest przedmiotem g ównym, a linijka przedmiotem pomocniczym. Mo na jednak odwróci role. Linijka stanie si wa niejsza, gdy za jej pomoc zechcemy zmierzy o ówek. Za ó my, e po przy o eniu linijki do o ówka mamy sytuacj tak , jak przedstawia rysunek . Jak d ugi jest zatem ten „zminiaturyzowany” o ówek? cm i mm czy cm i mm?
Gdyby koniec o ówka znajdowa si bli ej kreski oznaczaj cej cyfr , to powiedzieliby my, e , cm, gdyby za znajdowa si bli ej dziewi tki, uznaliby my, i , cm. Co jednak pocz , gdy wydaje nam si , e koniec o ówka znajduje si po rodku przedzia u ograniczonego cyframi i ? Nie mo emy poda d ugo ci o ówka jako , cm, poniewa nie ma ku temu adnych metrologicznych podstaw. Przyrz d pomiarowy, jakim jest linijka, ma narysowane kreski centymetrowe i milimetrowe. Oznacza to, e jego dok adno pomiarowa wynosi mm, poniewa taka jest odleg o mi dzy dwiema s siednimi kreskami (wskazuj cymi milimetry). Nie da si wi c poda wyniku jako „na oko cm i , mm”. Musimy si zdecydowa na wybór której z dwóch najbli szych kresek.
Rysunek 1. | Pomiar długości
Spójrzmy teraz na t sam sytuacj naukowo. Mamy o ówek, czyli obiekt pomiaru, oraz linijk , czyli przyrz d pomiarowy wyskalowany wzgl dem jakiego wzorca d ugo ci. Przyk adaj c linijk do o ówka i odczytuj c jego d ugo , dokonujemy aktu pomiaru. Jest to pomiar bezpo redni, poniewa mo emy odczyta jego warto wprost za pomoc przyrz du. Nie musimy wyznacza d ugo ci o ówka na podstawie rezultatów bezpo rednich pomiarów innych wielko ci zycznych, które z d ugo ci wi e jaka zale no funkcyjna. Poniewa koniec o ówka znajduje si mi dzy cm i mm a cm i mm, a jako warto zmierzon przyj li my , cm, wynik pomiaru nie odzwierciedla w sposób cis y prawdziwej d ugo ci o ówka, tylko jej warto przybli on . Pope nili my wi c b d, ale by on nie do unikni cia. Mo emy go jedynie zminimalizowa , stosuj c jak pozwalaj c na to metod . Dzi ki temu wynik pomiaru b dzie bli szy prawdziwej warto ci mierzonego obiektu, ale poziom ufno ci wyniku pomiaru nigdy nie osi gnie warto ci % (wi cej informacji na temat b dów pomiarów wielko ci zycznych znajduje si w Dodatkach).
Opracowanie wyników pomiarów dostarcza dodatkowych informacji zwi zanych z pomiarem czy te seri pomiarów. Umo liwia ilo ciowe wyznaczenie b dów, odchylenia standardowego, jak równie wspomnianej ju ufno ci wyniku pomiaru. Stosowane w tym celu metody mog si ogranicza do uzyskania podstawowych informacji na temat wyników pomiarów lub by rozbudowane do postaci wyra nowanej analizy statystycznej bazuj cej na poj ciu prawdopodobie stwa. Tak czy inaczej, prawdziwej d ugo ci o ówka nie poznamy nigdy, zawsze b dzie to warto przybli ona i obarczona b dem. Na szczcie do pomiaru zarówno d ugo ci o ówka, jak i wielu innych obiektów posiadamy na tyle precyzyjne przyrz dy i na tyle zaawansowane metody redukcji b dów, e potra my estymowa prawdziw warto danego obiektu z zadowalaj c nas dok adno ci , która umoliwia i u atwia codzienne funkcjonowanie ludzkiego wiata.
B dy wspomniane powy ej zalicza si do kategorii b dów statystycznych. Pojawiaj si one przy pomiarze, a w pe ni uwidaczniaj podczas statystycznej analizy wyników pomiarów lub danych. Stanowi podzbiór szerszego zbioru b dów logicznych, które s zwi zane z procesem logicznego rozumowania. Logika jest uniwersalnym sposobem wyboru post powania, dokonywanego na co dzie przez ka dego z nas (np. podczas opracowywania wyników pomiarów, ale te w trakcie zakupów czy mycia samochodu) . Oczywi cie zdarza si , e jako ludzie czasami post pujemy nielogicznie czy te – jako to si mówi – wbrew logice, ale raczej s to wyj tkowe sytuacje, a nie regu a. Prawie ka da decyzja, jak podejmujemy, bez wzgl du na jej warto moraln , jest – przynajmniej z naszego osobistego punktu widzenia – logiczna, a cz sto nawet obiektywnie logiczna. Niemniej, pomijaj c sytuacje, w których wiadomie podejmujemy decyzje nielogiczne, do procesu logicznego rozumowania mog si wkra b dy, czyli ró nego rodzaju pomy ki w rozumowaniu czy wnioskowaniu,
1 W lmach z serii Star Trek istnieje humanoidalna rasa Wolkanów, którzy przy podejmowaniu decyzji kieruj si wy cznie racjonalnym i logicznym my leniem (ang. pure logic).
Marian Smoluchowski ( – ), znamienity polski zyk. Nasz rodak stwierdzi ponadto, e za przesuni cia py ków odpowiedzialne s nie tyle zderzenia z cz stkami, ile raczej uktuacje g sto ci cieczy w bezpo rednim ich s siedztwie (rysunek ).
Rysunek 5. | Fluktuacje gęstości cieczy w ruchach Browna
Wahania g sto ci cz stek cieczy wynikaj z ich ci g ego przemieszczania si . W danej chwili w okre lonym obszarze jest ich wi cej lub mniej i maj ró ny rozk ad pr dko ci. Jest to proces ca kowicie stochastyczny i dlatego daj cy si opisywa wy cznie w kategoriach prawdopodobie stwa. Nie mo na skonstruowa wzoru, za pomoc którego w sposób cis y zostanie wyznaczona trajektoria danego py ku.
Obecnie nie dysponujemy komputerami, które by yby w stanie oblicza trajektorie uk adu sk adaj cego si z miliardów cz stek. Równie w przewidywalnej przysz o ci prawdopodobnie nie powstanie maszyna mog ca okre la stan takiego uk adu w czasie rzeczywistym lub eksperymentalnie akceptowalnym. Poniewa naczynie o pojemno ci cm zawiera , · cz steczek, liczba oblicze , któr musia oby przetworzy takie urz dzenie, jest trudna do wyobra enia . Pozostaje nam jedynie wyra anie zjawisk mikroskopowych, w których uczestniczy wiele cz stek, j zykiem statystyki. Nie jest to sposób doskona y, ale ubieranie przybli e rzeczywisto ci w szat prawdopodobie stw jest konieczno ci pozwalaj c obja nia zachowanie systemów z o onych z tak gigantycznej liczby sk adników.
22 Dopiero komputer kwantowy najprawdopodobniej potra by sobie poradzi z tym zadaniem.
Dzi ki rozwojowi metod statystycznych potra my okie zna demona przypadkowo ci i, cho nie ze stuprocentow pewno ci , przewidywa jego dzia ania. Brown obserwuj cy malutkie drobinki pod mikroskopem widzia ich ruch wywo any zderzeniami z chaotycznie poruszaj cymi si cz steczkami. Samych cz steczek zobaczy jednak nie móg (nawet nie wiedzia , e istniej ), poniewa najwi kszy obiekt mo liwy do zobaczenia pod mikroskopem optycznym jest ok. tysi c razy wi kszy ni typowa molekua. To dlatego Brown my la , e drobinki materii poruszaj si dzi ki w asnej „woli”. „ wiadomo ” materii okaza a sie jednak tylko z udzeniem wynikaj cym z niedok adno ci (zbyt ma ej rozdzielczo ci) przyrz du obserwacyjnego.
3.2. Entropia
Wszyscy s jako zadowoleni ze swoich miejsc, które im wyznaczy o przeznaczenie i a cuch genów. Wykonuj skromnie, co im ka e Wielka Entropia.
Tadeusz Konwicki
Jest coraz gorzej. Z godziny na godzin , z minuty na minut , z sekundy na sekund . Ka dy moment przynosi ze sob kolejn porcj nieporz dku. Bez chwili przerwy coraz szerzej rozlewa si morze chaosu. Bez jakiejkolwiek lito ci i z elazn konsekwencj bezw ad morduje kolejne o ary. Co prawda lokalnie mo na ten proces odwróci , ale tylko tymczasowo. W dalszej perspektywie dla nikogo nie ma bezpiecznego miejsca. Ucieczka mo e zatem jedynie opó ni przeznaczenie, ale go nie odwróci.
John von Neumann ( – ), ameryka ski matematyk, chemik, zyk i informatyk, nazywa entropi (poj cie wprowadzone do nauki przez Rudolfa Clausiusa ( – ), zyka niemieckiego) funkcj niepewno ci. Powszechnie jest ona znana jako miara nieuporz dkowania (rysunek ). Zasady termodynamiki kszta tuj jej wizj w czarnych barwach. Nie mo e ona bowiem male , lecz ci gle „poch ania” kolejne obszary wiata zycznego, wiata realnego, w którym yjemy. Nie jest to matematyczna abstrakcja, któr mo na porzuci i szuka jej lepszej nast pczyni. Odwracanie si plecami nic nie daje, poniewa nawet nieobserwowana entropia stale ro nie. W praktyce oznacza to, e pozostaje coraz mniej energii, któr mo na spo ytkowa na podtrzymywanie ycia.
Na szcz cie nieustanny przyrost entropii to proces nielokalny. S miejsca (uk ady otwarte), w których mo e ona male ! Dzi ki temu w ogóle istniejemy. Z drogi ku niedoskona o ci mo na gdzieniegdzie zawraca i cieszy si u ud samoporz dkowania. Có , taka iluzja trwa na Ziemi ju cztery i pó miliarda lat i organizmy ywe ca y czas si doskonal . Z punktu widzenia przedstawicieli gatunku homo sapiens nie ma wi c na razie powodu do narzeka . Nale y jednak pami ta , e cen , jak p aci Wszech wiat za umo liwienie rozwoju naszej (i ewentualnych innych) cywilizacji, jest degradacja jakiego innego obszaru czasoprzestrzeni.
wiec c latark w ciemno ci, widzimy plam wiat a w miejscu, na które pada wybiegaj cy z latarki promie . Gdy wstawimy jaki nieprzezroczysty obiekt mi dzy ród o wiat a a ekran, na ekranie pojawi si cie tego obiektu. Jest to dowód na to, e promie wiat a porusza si po linii prostej. Mo e ule odbiciu (zgodnie z prawem odbicia) lub za amaniu (zgodnie z prawem Snelliusa). Przej cie takie wi e si z gwa town zmian kierunku, po czym promie biegnie znowu po linii prostej. Tor promienia wiat a od ród a do celu jest zatem zawsze lini aman niezawieraj c adnych odcinków krzywoliniowych . Promie wietlny czasami zachowuje si jak fala, innym razem uwidacznia swoj korpuskularn natur . Konsekwencj przelotu promienia wietlnego w pobli u masywnego obiektu jest zatem zakrzywienie si toru, po którym wiat o si porusza (rysunek ). Zakrzywienie jest tym wi ksze, im silniejsze pole grawitacyjne wytwarza obiekt oraz im bli ej takiego obiektu przelatuje promie . Ugi cie promienia wietlnego mo na wyt umaczy równie nast puj co: im bardziej masywny jest obiekt, tym bardziej odkszta ca czasoprzestrze . Promie wiat a, poruszaj c si w pobli u takiego cia a, musi przelecie przez wytworzone wg bienie, a zatem ulega zakrzywieniu, biegn c po uku. Co prawda promie porusza si po najkrótszym mo liwym torze, ale nie jest on lini prost , lecz zakrzywion w widzianej przez nas trójwymiarowej przestrzeni. Tor b d cy najkrótsz mo liw drog w czterowymiarowej czasoprzestrzeni nazywa si geodetyk .
Rysunek 10. | Uproszczone przedstawienie zakrzywienia promieni świetlnych w polu grawitacyjnym Einstein twierdzi , e jest „g boko wierz cym ateist ”. Swoje pogl dy religijne okrela jako religijne odczucie kosmicznego porz dku. W uznaniu jego „zas ug” przyznano mu zupe nie unikatowy krzy . Jest to tzw. krzy Einsteina (rysunek ), czyli soczewka Huchry (od nazwiska Johna Huchry ( – ), ameryka skiego astronoma, który dokona jej
35 Istniej te o rodki, w których wspó czynnik za amania wiat a zmienia si w sposób ci g y – wówczas to zdanie nie jest prawdziwe.
odkrycia w roku). Wygl d tego obiektu stanowi naoczny dowód soczewkowania grawitacyjnego. wiat o dalekiego kwazara Q + zakrzywia si (na skutek oddzia ywania grawitacyjnego) podczas przelotu w pobli u galaktyki spiralnej, a nast pnie dociera do obserwatora. Galaktyka pe ni w tym schemacie tak sam rol jak soczewka skupiaj ca przechodz ce przez ni wiat o w uk adzie optycznym. Ró nica jest taka, e na niebie obserwatora mog si pojawia obrazy wielokrotne ród a wiat a.
Rysunek 11. | Krzyż Einsteina, zwany też soczewką grawitacyjną Huchry Źródło: Wikipedia (2)
W pobli u S o ca promie wiat a mo e zosta odchylony o nieca e sekundy uku. W przypadku cia generuj cych wy szy potencja pola grawitacyjnego, czyli masywnych i zwartych, k t ugi cia jest znacznie wi kszy. Obiektem, który bardzo znacz co mody kuje trajektorie fotonów, jest gwiazda neutronowa. Obliczenia przeprowadzone przeze mnie ponad lat temu wskazuj , e w przypadku takiej gwiazdy o promieniu ok. km i masie
Georg Cantor w roku zaproponowa prost do wykonania konstrukcj matematyczn . Domkni ty odcinek [ , ] nale y podzieli na trzy równe cz ci, a nast pnie usun rodkow z nich. Z pozosta ymi dwoma odcinkami trzeba post pi analogicznie. Podobnie nale y uczyni z czterema odcinkami na kolejnym poziomie podzia u. Procedur t trzeba kontynuowa niesko czon ilo razy. W ten sposób narodzi si pierwszy w dziejach wiata fraktal, cho nie zosta jeszcze wówczas tak nazwany. Stworzony obiekt uzyska nazw zbioru lub py u Cantora.
Pomys Cantora nie zyska jednak uznania w oczach wspó czesnych mu kolegów po fachu. Charles Hermite ( – ), francuski matematyk, stwierdzi , e prace Cantora nie maj sensu, dopóki nie zostanie odkryty jaki g bszy sens odwzorowania linii na powierzchni . Ówczesna matematyka nie radzi a sobie bowiem z obiektami, których „prawie nie ma”, a taki wydawa si w a nie zbiór Cantora. Co gorsza, na ten obiekt mo na by o spojrze nie tylko z jednego punktu widzenia. Jego makroskopowy, „d cy do nico ci” obraz zupe nie nie ró ni si od tego, który uwidacznia si w skali mikroskopowej. Schodz c „w g b” na dowolnie „niski” poziom struktura zbioru pozostawa a bowiem niezmienna i mo na j by o bada dost pnymi metodami analizy i topologii. Cho z formalnego punktu widzenia trudno by o Cantorowi cokolwiek zarzuci , „rozdwojenie ja ni” jego dzie a, a co za tym idzie k opoty z interpretacj , sprawi o, e na temat tej i innych jego prac pojawi o si wiele krytycznych opinii.
Spo ród innych obiektów geometrycznych fraktale wyró niaj si dwiema cechami: samopodobie stwem (w ka dej skali fraktal jest taki sam albo, mówi c inaczej, fraktal jako ca o jest podobny do swoich cz ci) i wymiarem, który nie musi by liczb ca kowit . Chcia bym zatrzyma si przy tej drugiej w a ciwo ci. Wprowadzenie jej w wiat fraktali zawdzi czamy Benoît Mandelbrotowi ( – ), francuskiemu matematykowi. To jego w a nie uwa a si za „ojca” fraktali (rysunek ), poniewa u y tego okre lenia w stosunku do obiektów maj cych dwa wspomniane wy ej przymioty. Rozpatruj c py Cantora, nie mo na powiedzie , e jest on punktem. Jest jednak czym znacznie mniejszym ni odcinek. Zarówno przypisanie mu wymiaru , jak i wymiaru nie by oby wi c w a ciwe. Dobrze by oby zatem znale jaki opis, który w lepszy sposób odzwierciedla t w asno zbioru. G owi c si nad tym zagadnieniem w przypadku ró nych fraktali, Mandelbrot zdecydowa si na przepis stworzony przez Felixa Hausdor a ( – ), matematyka niemieckiego. De nicja wymiaru Hausdor a jest trudna, dlatego najlepiej przedstawi j na przyk adzie. Do tego celu wybior obiekt, którego wynalazc by Niels Fabian Helge von Koch ( – ), matematyk szwedzki. Algorytm generowania krzywej Kocha, zwanej równie p atkiem Kocha (rysunek ), jest prosty i cz ciowo podobny do konstrukcji py u Cantora. Ró nica polega na tym, e w krzywej Kocha odcinek pocz tkowy mo e mie dowoln d ugo l, a po jego podziale na trzy równe cz ci usuni t cz rodkow zast puje si dwoma odcinkami o d ugo ci / l (krok ). W kolejnych krokach operacj t wykonuje si dla wszystkich istniej cych odcinków. Ka dy krok polega wi c na trzykrotnym zmniejszeniu skali (l, l/ , l/ , l/ itd.)
i czterokrotnym zwi kszeniu liczby elementów ( , , , itd.). W krzywej Kocha, bior c trzy razy mniejsze jednostki, mie ci si ich zatem cztery razy wi cej. Wymiar zbioru, oznaczony liter d, mo na w takim razie zapisa jako d = , z czego wynika, e d = ln /ln , . Mandelbrot „mia nosa”, wybieraj c t , a nie inn de nicj wymiaru dla fraktali. Z punktu widzenia topologicznego krzywa Kocha jest po prostu lini aman o wymiarze , ale takie uproszczenie gubi informacj o jej wewn trznej strukturze. Zastosowanie de nicji Hausdor a „dodaje jej g bi”, przez co umo liwia lepsze poznanie jej w a ciwo ci. Wymiar stanowi zatem istotn informacj o danym fraktalu i pokazuje, jak bardzo ró ni si on od g adkich obiektów klasycznych, których wymiar opisywany jest zawsze liczb ca kowit . Dzi ki temu mo na powiedzie , ile „pustki” zawiera dany obiekt.
U amkowo wymiaru fraktali jest cen , jak p aci si za zdobycie dodatkowej wiedzy otych obiektach. Co gorsza, wymiar mo e by liczb niewymiern , a one, jak pami tamy z podrozdzia u Liczby, budzi y wstr t pitagorejczyków i by y przez wielu uczonych uwaane za „niedoskona e”. Okazuje si jednak, e ponownie mo na si pos u y czym tak niedoskona ym. Struktur fraktaln mog mie bowiem porowate ska y, szczyty górskie, chmury, ordy, b yskawice, kwiaty kala orów, dendryty, systemy naczy krwiono nych lub oddechowych (oskrzela) czy nawet sam Wszech wiat do odleg o ci gigaparseków