Przedmowa
Część I. Hipoteza Riemanna
1. Wyobrażenia o liczbach: starożytność, średniowiecze i współczesność.
2. Czym są liczby pierwsze?
3. Liczby pierwsze „nazwane”.
4. Sita
5. Pytania dotyczące liczb pierwszych, które może sobie zadać każdy z nas
6. Kolejne pytania dotyczące liczb pierwszych
7. Ile jest liczb pierwszych?
8. Liczby pierwsze widziane z oddali
9. Matematyka czysta i matematyka stosowana
10. Prawdopodobieństwo – pierwsze domysły
11 Czym jest „dobre przybliżenie”?
12 Błąd pierwiastkowy i błądzenie losowe
13. Co to jest hipoteza Riemanna? (pierwsze ujęcie)
14. Tajemnica przenosi się na błąd
15. Wygładzenie Cesàra
16. Rzut oka na |Li(X ) – (X )|
17. Twierdzenie o liczbach pierwszych
18. Informacje zawarte w schodkowej funkcji liczb pierwszych
19. Dłubiemy w stolarce schodów liczb pierwszych.
20. Co mają ze sobą wspólnego: pliki muzyczne, kompresja danych i liczby pierwsze?.
21. Słowo „spektrum” – widmo
22. Widmo i sumy trygonometryczne
23. Widmo i schody liczb pierwszych
24. Do Czytelników części I.
Część II. Dystrybucje
25. Jak analiza matematyczna radzi sobie ze znajdowaniem nachylenia wykresów funkcji, które nie mają wyraźnych spadków lub wzniesień
26. Dystrybucje: wyostrzanie funkcji aproksymujących, nawet jeśli muszą wystrzelić do nieskończoności
27. Transformata Fouriera. Drugie podejście
28. Jak wygląda transformata Fouriera funkcji delta Diraca?
29. Szeregi trygonometryczne.
30. Zapowiedź części III.
Część III. Widmo Riemanna liczb pierwszych
31. W sprawie utraty informacji.
32. Od liczb pierwszych do widma Riemanna.
33. Ile jest i ?..
34. Kolejne pytania dotyczące widma Riemanna
35. Od widma Riemanna do liczb pierwszych
Część IV. Powrót do hipotezy Riemanna
36. Jak skonstruować funkcję (X ) z widma Riemanna?
37. Tak jak przewidział to Riemann: funkcja zeta wiąże schody liczb pierwszych z ich widmem Riemanna
38. W towarzystwie funkcji zeta
Uwagi końcowe
Część I: Hipoteza Riemanna
Francuski filozof i matematyk René Descartes prawie cztery wieki temu wyraził nadzieję, że „wkrótce nie będzie już prawie nic więcej do odkrycia w geometrii”. Współcześni fizycy marzą o Teorii Ostatecznej1, ale pomimo swej dostojności oraz wielkiej mocy i piękna, czysta matematyka liczb może wciąż znajdować się w początkowej fazie swego rozwoju, z niezbadanymi głębinami, które są nieskończone jak ludzka dusza, i biorąc to pod uwagę, nigdy nie stworzymy Teorii Ostatecznej.
(Biblioteka Narodowa)
1 Zobacz książka Stevena Weinberga Dreams of a Final Theory: The Search for the Fundamental Laws of Nature (Pantheon Books, New York 1992).
1.Wyobrażenia o liczbach: starożytność, średniowiecze i współczesność
Liczby są bardzo niesforne. Don Kichot doświadczył tego, gdy poprosił, aby „bakałarz” skomponował wiersz dla Dulcynei w ten sposób, by pierwsze litery każdej linijki wyrażały jej pełne imię – Dulcynea z Tobosco, (Dulcinea del Tobosco (hisz.), księga V, rozdział 4).
„Bakałarz stwierdził, że jest to niemożliwe, gdyż w związku z tym, że liczba liter w jej pełnym imieniu wynosi 17, to: komponując wiersz składający się z czterech zwrotek po cztery wersy, zostałaby do wykorzystania jeszcze jedna litera, a układając pięć zwrotek czterowersowych ośmiozgłoskowych, tzw. decimas czy redondillas wersowych, zabrakłoby wówczas trzech liter. Don Kichot, nie chcąc pogodzić się z tym, że 17 nie daje się podzielić, wciąż nalegał, twierdząc, że powinno się to udać.”2
Faktycznie siedemnaście jest liczbą pierwszą: nie można jej przedstawić jako iloczynu liczb mniejszych od niej. Ten fenomen tłumaczy –jak powiadają mądrzy ludzie – jej występowanie w niektórych zjawiskach natury. Chociażby cykady, co siedemnaście lat wychodzą na kilka tygodni z ziemi, by świętować swoje „spotkania” w lasach i dolinach.
Rysunek 1.3. Cykady pojawiają się co 17 lat (fot. makamukiO (Pixabay))
2 Zobacz rozdział IV części II dzieła Ingenious Gentleman Don Quixote of La Mancha.
Część I: Hipoteza Riemanna
Wiele ekscytujących rezultatów nastąpiło po przełomie Zhanga; obecnie wiemy, dzięki wynikom2 Jamesa Maynarda i innych, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, które różnią się o nie więcej niż 246.
Czy każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych? Odpowiedź: Nieznana. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych o 1 mniejszych od pełnego kwadratu? Odpowiedź: Nieznana.
Rysunek 5.1. Yitang Zhang (en.wikipedia.org)
Pamiętamy liczbę pierwszą Mersenne’a p 243 112 609 z rozdziału 3. Wykazaliśmy wówczas, poprzez czysto rozumową argumentację, że musi istnieć liczba pierwsza P większa od p. A gdyby ktoś zapytał nas, czy istnieje liczba pierwsza Mersenne’a większa od tego p. To znaczy, czy istnieje liczba pierwsza postaci
2pewna liczba pierwsza 1
większa od 243 112 609 ? Odpowiedź: Przez wiele lat odpowiedź nie była znana, jednakże w 2013 roku Curtis Cooper odkrył liczbę pierwszą
2 Zobacz https://www.simonsfoundation.org/quanta/20131119-together-and-alone-closing-the-prime-gap/, a następnie http://michaelnielsen.org/polymath1/ index.php?title Bounded_gaps_between_primes.
5.Pytania dotyczące liczb pierwszych, które może sobie zadać każdy z nas
Mersenne’a, mianowicie 2 57 885 161 1 z ogromem 17 425 170 cyfr! Czy istnieją liczby pierwsze Mersenne’a większe od tej odkrytej przez Coopera w 2013 roku? Odpowiedź: Nie wiemy.3 Możliwe, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne’a, ale odpowiedź na to pytanie jest dzisiaj jeszcze zbyt odległa.
Rysunek 5.2. Marin Mersenne (1588–1648) (Wellcome)
3 Od tłumacza: Znamy obecnie już trzy takie liczby: Pierwsza z nich okryta przez Coopera w 2016 roku. Jest to 274 207 281 1 (przeszło 22 miliony cyfr), następnie w 2017 roku odkryto 277 232 917 1 (przeszło 23 miliony cyfr) i ostatnia znana odkryta w 2018 roku to 282 589 933 1 mająca prawie 25 milionów cyfr.
Część I: Hipoteza Riemanna
Rysunek 10.2. Wykres schodów π(X) i gładkiej krzywej Gaussa G(X)
Oznaczmy krzywą Gaussa przez G(X); ma ona elegancki, prosty wzór, zrozumiały dla każdego, kto miał choć trochę do czynienia z analizą matematyczną. Jeśli zgodzimy się, że prawdopodobieństwo tego, że liczba X jest liczbą pierwszą jest odwrotnie proporcjonalne do liczby cyfr tej liczby, to jesteśmy gotowi na spotkanie z krzywą Gaussa. Zatem mamy:
G ( X ) X jest w przybliżeniu proporcjonalne do liczba cyfr X .
Jednakże, aby móc opisać krzywą Gaussa dokładniej, musimy pochylić się nad funkcją logarytmu naturalnego1 „log(X)”, która jest elegancką, gładką krzywą zdefiniowaną dla liczb dodatnich X. Wartości funkcji log(X) są, z grubsza biorąc, proporcjonalne do liczby cyfr części całkowitej liczby X.
Rysunek 10.3. Wykres funkcji logarytmu naturalnego log(X)
1 W matematyce wyższej „zwyczajne” logarytmy (logarytmy o innych podstawach) są tak rzadko spotykane, że prawie zawsze używa się zapisu log(X) w przypadku logarytmu naturalnego zamiast przyjętego kiedyś zapisu ln(X).
10. Prawdopodobieństwo – pierwsze domysły
Słynna stała Eulera e 2,71828182… , która jest granicą ciągu
jest podstawą definicji logarytmu naturalnego. Mianowicie, mówimy, że: log(X) A wtedy i tylko wtedy, gdy e A X.
Zanim pojawiły się kalkulatory elektroniczne, logarytmy były często używane do przyspieszenia obliczeń, ponieważ logarytmy przekształcają trudne mnożenia w łatwiejsze dodawanie, które można wykonać mechanicznie. W takich obliczeniach wykorzystuje się fakt, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów czynników tego iloczynu; to znaczy log(XY) log(X) log(Y).
Rysunek 10.4. Obliczanie iloczynu 2X dokonane na suwaku logarytmicznym z wykorzystaniem tego, że log(2X) log(2) log(X)
Na rysunku 10.4 widać, że liczby zapisane na każdej z przesuwanych części suwaka są rozmieszczone zgodnie z ich logarytmami, tak że gdy przesuwamy suwak, układając go w taki sposób, by widoczna na jednej części suwaka liczba X znalazła się na jednej linii z liczbą 1 na drugiej jego części, otrzymamy, że dla każdej liczby Y umieszczonej na pierwszej części, liczba jej odpowiadająca umieszczona na drugiej części suwaka jest iloczynem XY. Efektem działania suwaka logarytmicznego jest dodanie log(X) do log(Y), które daje log(XY).
W 1791 roku, w wieku 14 lat Gauss dostał książkę zawierającą tablice logarytmiczne liczb naturalnych do 10 milionów i tablicę liczb pierwszych do 10 009. Kilka lat później w liście napisanym w 1849 roku (patrz rysunek 10.5) Gauss stwierdził, że już w 1792 lub 1793 roku zaobserwował, że gęstość występowania liczb pierwszych w przedziałach liczbowych długości X można w przybliżeniu szacować przez 1/log(X).
Czas na podsumowanie:
1. Funkcja zeta Riemanna koduje rozmieszczenie potęg liczb pierwszych wśród wszystkich liczb.
Kluczem jest wzięcie logarytmu, a następnie obliczenie pochodnej (s) (sprowadza się to do utworzenia d ds ( s )/ (s). Zakładając że część rzeczywista s jest > 1, to logarytmując (s) i używając rezultatu Eulera dotyczącego nieskończonego iloczynu otrzymamy:
log=− p liczba pierwsza log(1− p s ) (s)
i możemy to zrobić wyraz po wyrazie, ponieważ część rzeczywista s jest > 1. Następnie pochodna daje nam: d ds ( s )/=− n =1 n ) n Λ s (s) ,
gdzie n log(p), gdy n = p k dla liczby pierwszej p i k > 0, 0, ):= Λ gdy n nie jest potęgą liczby pierwszej.
W szczególności funkcja (n) „zapisuje” rozmieszczenie potęg liczb pierwszych.
2. Znajomość zer i biegunów funkcji analitycznej mówi o niej wiele. Na przykład biorąc pod uwagę wielomiany lub nawet funkcje wymierne: jeśli wiemy, że pewna funkcja wymierna f (s) ma zero jednokrotne w 0, znika w nieskończoności i ma podwójny biegun w s 2, a w pozostałych punktach ma skończone niezerowe wartości, to natychmiast wywnioskujemy, że tą tajemniczą funkcją jest s/(s − 2)2. Znajomość samych zer i biegunów (na płaszczyźnie zespolonej) funkcji zeta Riemanna nie daje nam wyczerpujących informacji o całej funkcji. Musimy coś wiedzieć o jej zachowaniu w nieskończoności – gdyż przykładowo pomnożenie funkcji przez ez nie zmienia struktury jej zer i biegunów. Ale pełne zrozumienie zer i biegunów (s) da nam wszystkie informacje potrzebne do ustalenia położenia liczb pierwszych wśród innych liczb.
Oto ostateczne rezultaty: a) Co do biegunów: (s) ma jeden biegun. Znajduje się w s 1 i jest rzędu 1 (biegun jednokrotny).
37. Tak jak przewidział to Riemann: funkcja zeta wiąże schody liczb pierwszych…
b) Co do zer: Wspomnieliśmy już o zerach trywialnych (w ujemnych parzystych). Jednakże funkcja ζ(s) ma nieskończenie wiele zer nietrywialnych. Wiemy, że zera te znajdują się pionowym pasie
0 < część rzeczywista s < 1.
I teraz kolejne równoważne sformułowanie hipotezy Riemanna. Jest ono najbardziej zbliżone do tego, które podał w swoim pamiętniku z 1859 roku:
Hipoteza Riemanna (czwarte ujęcie)
Wszystkie nietrywialne zera funkcji ζ(s) znajdują się na prostej pionowej płaszczyzny zespolonej. Prosta ta składa się z punktów o części rzeczywistej 1 2 . Zera te to nic innego niż 1 2 ± iθ1 , 1 2 1 2 ± iθ2 ,± iθ3, gdzie 1, 2, 3, … stanowią widmo liczb pierwszych, o których wielokrotnie pisaliśmy w poprzednich rozdziałach.
Wartość 1 2 „” pojawiająca się we wzorze na zera jest bezpośrednio związana i wynikająca z hipotezy Riemanna, z tym że (X ) jest przybliżeniem kwadratowym funkcji Li(X). Oznacza to, że błąd przybliżenia jest
ograniczony przez 1 2 X + Postuluje się również, że wszystkie zera funkcji ζ(s) są zerami jednokrotnymi.
Tak sam Riemann pisał o swojej hipotezie:
„Rzeczywiście w tych granicach można znaleźć pierwiastki rzeczywiste. Jest bardzo prawdopodobne, że wszystkie pierwiastki są rzeczywiste.
Z pewnością można by sobie życzyć bardziej ścisłego dowodu; ja tymczasem, po kilku daremnych próbach, tymczasowo odłożyłem go na później, ponieważ wydaje się on zbędny w moich przyszłych badaniach”.
W tym cytacie Riemann odnosił się do i jako do pierwiastków. Stwierdzenie, że są one „rzeczywiste” jest równoważne hipotezie Riemanna. Funkcja zeta jak imadło ściska w objęciu rozmieszczenie liczb pierwszych wraz z ich widmem!
Prosta geometryczna własność tych zer (leżą na prostej!) jest bezpośrednio odpowiedzialna za głębokie (i trudne do wyrażenia) prawidłowości liczb pierwszych. Sugeruje również, że te zera wraz z korowodem poprawek Riemanna gdy naprawdę zrozumiemy ich przesłanie – mogą pozwolić nam na lepsze zrozumienie arytmetyki. Ten nieskończony