1.3.
1.9.
2.1. Wektor przemieszczenia
2.3. Warunki brzegowe
2.4. Interpretacja geometryczna wspó rz dnych
2.5.
2.6.
3. Materia
3.1. Wprowadzenie
3.2. Równania HOOKE’A
3.3. Prawo zmiany obj to ci i prawo zmiany postaci
3.4. Energia odkszta cenia
Zagadnienia do utrwalenia
4. Zagadnienie brzegowe
4.1. Uk ad równa
4.2. Zasada wzajemno ci
4.3. Warunki brzegowe
4.4. Sformu owanie zagadnienia brzegowego
4.5. Warunki równowa no ci
4.6. Zasada DE SAINT-VENANTA
4.7. Zasada superpozycji
Zagadnienia do utrwalenia
5. Rozci ganie
5.1. Hipoteza p askich przekrojów
5.2. Sformu owanie zagadnienia
5.3. Strona zyczna
5.4. Strona statyczna
5.5. Strona geometryczna
5.6. Obci enie równomiernie roz o one
5.7. Statyczna próba rozci gania
5.8. Warunki wymiarowania
Zagadnienia do utrwalenia
6.1. Wprowadzenie
6.2. Sformu owanie zagadnienia
6.3. Strona geometryczna
6.4. Strona zyczna
6.5. Strona statyczna
6.6. Napr enie, odkszta cenie i przemieszczenie
6.7. Warunek wymiarowania
Przyk ady
7. Skr canie
7.1. Wprowadzenie
7.2. Sformu owanie zagadnienia
7.3. Strona geometryczna
7.4. Strona zyczna
7.5. Strona statyczna
7.6. Przekrój prostok tny
7.7. Warunki wymiarowania
Przyk ady
Zagadnienia do utrwalenia
8. Zginanie
8.1. Wprowadzenie
8.2. Sformu owanie zagadnienia
8.3. Strona zyczna
8.4. Strona statyczna
8.5. Strona geometryczna
8.6. Rozk ad napr e
8.7. Przekroje niesymetryczne
8.8. Warunki wymiarowania
do
Równanie ró niczkowe linii ugi cia
9.3. Warunki brzegowe i warunki ci g
9.4.
do utrwalenia
Ca ka MOHRA
10.1. Wprowadzenie
10.2. Geometryczna posta ca ki MOHRA.
10.3. Wzór WERESZCZAGINA
10.4. Wzory ca kowania gra cznego.
Metoda si
11.1. Wprowadzenie
11.2. Równania metody si .
Przyk ady
Zagadnienia do utrwalenia
12. Zginanie uko ne
12.1. Wprowadzenie
12.2. Napr enia
12.3. Równanie osi oboj tnej.
Przyk ady
Zagadnienia do utrwalenia
Literatura
13. Zginanie ze cinaniem
13.1. Wprowadzenie
13.2. Wzór URAWSKIEGO
13.3. rodek zginania
13.4. Warunki wymiarowania
Zagadnienia do utrwalenia
14.1. Wprowadzenie
14.2. Napr enia
14.3. Równanie osi oboj tnej.
14.4. Wi zy jednostronne
14.5. Rdze przekroju
Zagadnienia do utrwalenia
15. Wyboczenie
15.1. Wprowadzenie
15.2. Si a krytyczna EULERA
15.3. Zakres wa no ci wzoru EULERA
15.4. D ugo wyboczeniowa
15.5. Wyboczenie niespr yste
16. Zginanie ze ciskaniem
16.1. Wprowadzenie
16.2. Równanie osi ugi tej
Przyk ady
Zagadnienie do utrwalenia
17. Wyt enie
17.1. Wprowadzenie
17.2. Miary wyt enia
17.3. Hipotezy wyt eniowe
17.4. Napr enie zredukowane
17.5. Teoria wyt eniowa MOHRA
Przyk ady
Zagadnienia do utrwalenia
18. No no graniczna
18.1. Wprowadzenie
18.2. Podstawowe poj cia
18.3. Metoda statyczna
18.4. Metoda kinematyczna
Zagadnienia do utrwalenia
19. Pr ty zespolone
19.1. Wprowadzenie
19.2. Pr ty rozci gane
19.3. Pr ty zginane
19.4. Przekrój zast pczy
20.1. Wprowadzenie
20.2. Nieliniowo zyczna
20.3. Nieliniowo geometryczna –
20.4. Nieliniowo
21.2. Sformu owanie wariacyjne
21.3. Metoda RAYLEIGHA-RITZA
21.4. Metoda BUBNOWA-GALERKINA
21.5. Metoda najmniejszych kwadratów
21.6. Metoda ró nic sko czonych (MRS)
21.7. Metoda elementów sko czonych (MES)
Przyk ady
Zagadnienia do utrwalenia
Literatura
Dodatek A. Si y przekrojowe
A.1. Zasada zesztywnienia
A.2. Rodzaje podpór i reakcje podporowe
A.3. De nicje si przekrojowych
A.4. Znakowanie si przekrojowych
A.5. Zwi zek mi dzy obci eniem, si pod u n , si poprzeczn i momentem zginaj cym.
A.6. Punkty i przedzia y charakterystyczne
A.7. Wyznaczanie si przekrojowych
do utrwalenia
B.1. De nicje charakterystyk geometrycznych
B.2. Przesuni cie uk adu odniesienia – wzory
B.3. Obrót uk adu odniesienia
B4. G ówne osie i momenty bezw adno ci
B.5. Ko o MOHRA
C.2. Konwencja sumacyjna
C.3. Oznaczenia
Napr
Rozwa my stan równowagi wyci tego z cia a elementarnego sze cianu o cianach równoleg ych do p aszczyzn uk adu odniesienia (rys. 1.4). W celu zwi kszenia czytelno ci rysunku zosta y na nim przedstawione tylko te napr enia, których momenty si wzgl dem osi O3 s ró ne od zera.
Rys. 1.4.
Warunki zerowania si momentów si dzia aj cych na sze cian wzgl dem trzech wzajemnie prostopad ych osi O1, O2 i O3, przechodz cych przez jego rodek i równoleg ych do kolejnych osi uk adu odniesienia, mo emy przedstawi w postaci:
gdzie dV = dx1 dx2 dx3.
Pomijaj c w powy szych zale no ciach wielko ci niesko czenie ma e (ró niczki napr e ), otrzymujemy:
Powy sze relacje mo na zapisa w zwartej
Z powy szych zale no ci wynika, e macierz napr e jest symetryczna. Symetria ta pozwala na zredukowanie liczby niezale nych sk adowych macierzy napr e z dziewi ciu do sze ciu.
1.4. Stan napr enia. Tensor napr e
Aby wyznaczy stan napr enia w dowolnym punkcie rozwa anej bry y, czyli posta funkcji p = p(n) okre laj cej wektor napr enia na dowolnej p aszczy nie przechodz cej przez dany punkt, wytnijmy z niej my lowo niesko czenie ma y czworocian, którego trzy ciany s równoleg e do p aszczyzn uk adu odniesienia, czwarta za przecina trzy pozosta e (rys. 1.5). Zak adamy, e znamy macierz napr e w tym punkcie.
Rys. 1.5.
Z warunków równowagi si dzia aj cych na rozwa any czworo cian wynika równanie
112233 ii dAdAdAdAdA ppppp (1.10)
z którego otrzymujemy nast puj c zale no : i i dA dA pp (1.11)
Poniewa powierzchnia dA1 jest rzutem powierzchni dA na p aszczyzn prostopad do osi Oxi (rys. 1.5), to i i dA dA in (1.12)
Podstawiaj c powy szy zwi zek do zale no ci (1.11), wykorzystuj c relacj (1.5), a tak e mo liwo zamiany wska ników powtarzaj cych si (patrz podrozdz. C.2) oraz symetri (1.9), dostajemy iiijjiijij p piniiniin (1.13)
Z powy szej zale no ci wynika, e stan napr enia w punkcie okre la nast puj ca relacja:
5. Rozci ganie
Ca kuj c pierwsze trzy z powy szych równa , otrzymujemy:
(5.17)
gdzie cx , cy, cz s sta ymi ca kowania.
W miejscu utwierdzenia pr ta wszystkie wspó rz dne wektora przemieszczenia s równe zeru, czyli ˆˆˆ 0 uvw . Podstawiaj c zatem w powy szych zale no ciach 0 x yz oraz wykorzystuj c warunki brzegowe (4.34), otrzymujemy nast puj ce warto ci sta ych ca kowania:
(0)0,(0)0,(0)0 xyz ucvcwc (5.18)
Wykorzystuj c powy sze sta e w relacjach (5.17), dostajemy zale no ci:
(5.19)
okre laj ce wspó rz dne wektora przemieszczenia przy prostym rozci ganiu.
Z powy szych zale no ci wynika, e 0 uvww yzxzxy u v (5.20)
a zatem równania geometryczne (4.30)2,4,6 s spe nione to samo ciowo.
Poniewa wyznaczone napr enia (5.14), odkszta cenia (5.15) i przemieszczenia (5.19) spe niaj wszystkie równania i warunki brzegowe, to otrzymane rozwi zanie zagadnienia prostego rozci gania jest cis e (dok adne).
Ze wzoru (5.19)1 wynika, i przemieszczenie u ( x ) dowolnego przekroju pr ta rozci ganego obci onego si skupion jest funkcj liniow , a jego wyd u enie l jest równe przemieszczeniu ko ca pr ta u( l ) i wynosi
(5.21)
5.6. Obci enie równomiernie roz o one
Z porównania wzorów (5.15) i (5.21) wynika, e x l l (5.22)
Nale y podkre li , e z uwagi na spe nienie zasady DE SAINT-VENANTA wzory (5.14), (5.15), (5.19), (5.21) i (5.22) pozostaj wa ne równie w przypadku innego, statycznie równowa nego obci enia pr ta.
5.6. Obci enie równomiernie roz o one
W przypadku przy o enia do pr ta obci enia p równomiernie roz o onego po jego d ugo ci (rys. 5.4) si a pod u na jest liniow funkcj po o enia, czyli N ( x ) = p ( l x ).
Rys. 5.4.
W takim przypadku we wzorach (5.14) i (5.15) si N nale y zast pi si pod u n N ( x ) = p ( l x ). Otrzymamy wtedy zale no ci pozwalaj ce obliczy napr enia
()() x p xlx A (5.23) oraz odkszta cenia
()() x p xlx EA (5.24)
w pr cie obci onym równomiernie po swojej d ugo ci.
W celu obliczenia przemieszczenia u ( x ) punktów le cych na osi pod u nej takiego pr ta w równaniu (5.16)1 si N nale y zast pi si pod u n N ( x ) = p ( l x ).
W takim przypadku równanie to przyjmie posta
() up lx xEA (5.25)
Rozci ganie mimo
Rozwi zanie
Charakterystyki. Obliczamy promienie bezw adno ci przekroju: 44 2222 22 23276 6,36,2,09 36,536,5 y z yz J aJa iaia AaAa
O oboj tna. Obliczamy wspó czynniki: 2 2222,096,360,73,1,64 2,853,87 y z yz PP i iaa aaaa yaza
i wyznaczamy po o enie osi oboj tnej (rys. 14.9b).
Rys. 14.9.
Napr enia. Wyznaczamy rozk ad napr e normalnych w przekroju, czyli 22 1111,360,61 36,50,731,6436,5 x yz PyzPyzPyz Aaaaaaaaa
i obliczamy ekstremalne warto ci napr e w punktach najbardziej oddalonych od osi oboj tnej, a wi c w punktach 2(3,87a;1,4a) oraz 4( 2,85a; 3,87a):
(2) max 22 (4) min 22 3,871,4 11,360,610,14 36,5 2,853,87 11,360,610,19 36,5 x x PaaP aaaa aa PP aaaa
Przyk ady
Wykres napr e normalnych w rozpatrywanym przekroju przedstawia rysunek 14.9b.
Przyk ad 14.3.
W przypadku przekroju jak na rysunku14.10a nale y wyznaczy po o enie osi oboj tnej oraz rozk ad napr e normalnych, przyjmuj c, e si a ciskaj ca P jest przyo ona kolejno w czterech punktach, 1, 2, 3 i 4, znajduj cych si na osi Cz.
Dane: (1)(2)(3)(4) 22222 ,,2,0,0,/3,2/3,,/3,/12 PPPPPyz aPAayzzazazaiaia
Szukane: ,,,1,2,3,4 ii yzx aai
Rys. 14.10.
Rozwi zanie
Poniewa w rozwa anym przyk adzie yP = 0 ay = , to równanie (14.8) oraz wzór (14.6) przyjmuj odpowiednio nast puj c posta :
O oboj tna. Wyznaczamy kolejne po o enia o1, o2, o3 i o4 osi oboj tnej (rys. 14.10b): 22 (1)(1)(2)(2) (2) , 33(/3) ozoz P aa zazaa za 2222 (3)(3)(4)(4) (3)(4) , 33(/3)2333ozoz PP aaaaaa zaza zaza
Dodatek A. Si y przekrojowe
Wymienione wy ej reakcje podporowe H, V oraz M wyznaczamy z równa równowagi, które w przypadku p askiego uk adu pr towego – kiedy osie wszystkich pr tów i przy o one do nich obci enia le w jednej p aszczy nie uk adu odniesienia Oxz (porównaj rys. C.4) – mog by zapisane w trzech nast puj cych, równowa nych postaciach, a mianowicie [A.1]:
1. Suma rzutów wszystkich si dzia aj cych na uk ad na osie Ox i Oz oraz suma momentów tych si wzgl dem dowolnego punktu A s równe zeru:
0,0,0XZMA (A.1)
2. Suma rzutów wszystkich si dzia aj cych na uk ad na o Ox oraz suma momentów tych si wzgl dem dwóch dowolnych punktów A i B nie le cych na prostej prostopad ej do tej osi s równe zeru:
0,0,0 AB XMM (A.2)
3. Suma momentów wszystkich si dzia aj cych na uk ad wzgl dem trzech dowolnych punktów A, B i C nie le cych na jednej prostej jest równa zeru:
0,0,0ABC MMM (A.3)
Nale y podkre li , e wi kszo zada z mechaniki konstrukcji dotyczy p askich uk adów pr towych.
W przypadku elementów konstrukcji po czonych ze sob przegubem suma momentów wszystkich si dzia aj cych po jednej stronie przegubu wzgl dem tego przegubu jest równa zeru. Dlatego ka dy przegub dostarcza jednego dodatkowego równania równowagi.
Je li liczba niewiadomych reakcji jest równa liczbie równa równowagi, to uk ad pr towy nazywamy statycznie wyznaczalnym. Gdy liczba niewiadomych reakcji jest wi ksza od liczby równa równowagi, to taki uk ad nazywany jest statycznie niewyznaczalnym; w takim przypadku z równa równowagi nie mo emy wyznaczy reakcji podporowych, gdy równa tych jest za ma o. Je li natomiast liczba reakcji jest mniejsza od liczby równa równowagi, to uk ad jest chwiejny.
W celu sprawnego i szybkiego wyznaczania reakcji podporowych mo emy wykorzysta nast puj ce wskazówki:
1. Gdy nie wiemy, jaki zwrot ma reakcja podporowa, to przyjmujemy go dowolnie. Je li z oblicze wyniknie, e reakcja ma znak ujemny, to na rysunku zmieniamy jej zwrot na przeciwny. Pozwala to unikn pomy ek przy obliczaniu kolejnych reakcji i okre laniu znaku si przekrojowych.
A.3. De nicje si przekrojowych
2. Równania równowagi powinny by formu owane tak, aby (w miar mo liwo ci) zawiera y tylko jedn niewiadom reakcj . Unikniemy w ten sposób rozwi zywania uk adów równa .
3. Warto ci obliczonych reakcji nanosimy na rysunek. U atwia to obliczanie kolejnych reakcji i wyznaczanie warto ci si przekrojowych.
A.3. De nicje si przekrojowych
Rozpatrzmy pr t b d cy w równowadze, na który dzia a pewien uk ad si zewn trznych czynnych i biernych. Si y te wywo uj w pr cie si y wewn trzne b d ce skutkiem wzajemnych oddzia ywa mechanicznych mi dzy cz steczkami (atomami), z których zbudowany jest pr t.
Przetnijmy my lowo rozwa any pr t na dwie cz ci p aszczyzn prostopad do jego osi pod u nej. Aby ka da z odci tych cz ci pr ta by a w równowadze (nie zmienia a swojego po o enia), to si y wzajemnego oddzia ywania mi dzy cz steczkami materii le cymi po obu stronach p aszczyzny przeci cia, czyli si y zapewniaj ce spójno materia u pr ta musimy zast pi si ami wewn trznymi. Wyst puj ca w ka dym punkcie le cym na p aszczy nie przekroju jednej cz ci pr ta si a wewn trzna (rys. A.4a) jest równa wypadkowej (sumie geometrycznej) wszystkich si , z jakimi cz steczki cz ci drugiej pr ta dzia aj na ten punkt.
atwo mo na wykaza , e uk ad si zewn trznych (czynnych i biernych) przy o onych do jednej cz ci pr ta jest równowa ny uk adowi si wewn trznych przy o onych do jego cz ci drugiej, natomiast uk ad si zewn trznych przy o onych do cz ci drugiej pr ta jest równowa ny uk adowi si wewn trznych przy o onych do jego cz ci pierwszej [A.2].
Chocia si y wewn trzne równowa przy o one do ka dej z cz ci pr ta si y zewn trzne, to ich warto liczbowa i rozk ad na powierzchni przekroju s nieznane. Dlatego te oddzia ywanie uk adu si zewn trznych przy o onych do jednej z odci tych cz ci pr ta na powierzchni przekroju cz ci drugiej – czyli wyst puj ce na tej cz ci si y wewn trzne – sprowadzamy (redukujemy) do uk adu sk adaj cego si z si y (wektora g ównego) W i momentu (momentu g ównego) MC (rys. A.4b).
Wektor W jest sum geometryczn wszystkich si dzia aj cych na pierwsz z odcitych cz ci pr ta przy o on (zaczepion ) w rodku ci ko ci C przekroju cz ci drugiej pr ta, natomiast wektor MC – sum geometryczn momentów tych si wzgl dem tego samego rodka ci ko ci. Poniewa wyznaczone w ten sposób si a W i moment MC s przypisane przekrojowi pr ta, to nazywamy je si ami przekrojowymi.