Spis treści
Przedmowa .
Wykaz ważniejszych symboli i oznaczeń .
1. Rzuty Monge’a
1.1. Wykroje wieloboków
1.2. Ci cie wieloboku p aszczyzn
1.3. Przebicie wieloboku prost
1.4. Przenikanie wieloboków
1.4.1. Przenikanie wieloboków, z których jeden nale y do p aszczyzny rzutuj cej
1.4.2. Przenikanie wieloboków w pozycji dowolnej .
7
9
10
10
20
40
48
48
58
1.5. Przekroje (wykroje amane) wielo cianów 68
1.6. Ci cie wielo cianu p aszczyzn wraz z rozwini ciem powierzchni bocznej (k ady, obroty, transformacje)
1.7. Przebicie wielo cianu prost
90
114
1.8. Przenikanie wielo cianu z wielobokiem . . 126
1.8.1. Przenikanie wielo cianu z wielobokiem nale cym do p aszczyzny rzutuj cej
1.8.2. Przenikanie wielo cianu z wielobokiem w pozycji dowolnej
1.9. Przenikanie wielo cianów
1.10. Geometria dachów .
2. Rzut cechowany
2.1. Ci cie wieloboku p aszczyzn
2.2. Przebicie wieloboku prost
126
140
162
178
204
204
212
2.3. Przenikanie wieloboków . . .
. 220
2.4. Ci cie wielo cianu p aszczyzn . . . . . . . . 230
2.5. Przebicie wielo cianu prost
242
2.6. Przenikanie wielo cianu z wielobokiem . . 250
2.7. Roboty ziemne w zagadnieniach budowlanych
2.7.1. Konstrukcje podstawowe .
2.7.2. Budowle na planie warstwicowym . .
3. Rzut aksonometryczny
3.1. Odwzorowanie wielo cianów w aksonometrii
3.2. Ci cie wielo cianu p aszczyzn . .
3.3. Przebicie wielo cianu prost
3.4. Przenikanie wielo cianu z wielobokiem
3.5. Przenikanie wielo cianów .
3.5.1. Cz I
3.5.2. Cz II
4. Perspektywa stosowana
4.1. Kompozycje wielo cianów w metodzie punktów mierzenia .
4.2. Kompozycje wielo cianów w wybranych metodach po rednich
Dodatek: elementy i konstrukcje pomocnicze . . 406
Bibliografia
Abstrakt
Przykład 1.4.1.1
TEMAT: Wykre li kraw d przenikania dwóch wieloboków oraz okre li widoczno powsta ego uk adu.
ROZWIĄZANIE:
ETAP I – Rozwi zanie zadania stanowi odcinek wspólny dla obu wieloboków. Jest to prostsza wersja zadania, gdy jeden z wieloboków nale y do p aszczyzny rzutuj cej (jeden z rzutów wieloboku jest odcinkiem). Zadania tego typu rozwi zujemy zawsze tak samo. Wprowadzamy p aszczyzn pomocnicz przez ten rzut wieloboku, który jest odcinkiem. Wprowadzamy zatem pomocnicz p aszczyzn poziomo rzutuj c ( = h ) zawieraj c wielobok KLMNO.P aszczyzna przecina wielobok A B C D w punktach 1 i 2 le cych odpowiednio na bokach A D i B C . Po odniesieniu ich na rzut pionowy otrzymujemy odcinek stanowi cy kraw d przeci cia czworoboku ABCD p aszczyzn . Cz odcinka le ca na rzutach obu pól wieloboków stanowi ich kraw d przenikania (Q1Q2).
Punkt Q1 jest punktem przebicia boku ML przez czworobok ABCD, a punkt Q2 – punktem przebicia boku BC przez wielobok KLMNO.
ETAP II – Okre lenie widoczno ci rozpoczynamy od rzutu pionowego. W tym celu rozpatrzymy
po o enie poszczególnych elementów na rzucie poziomym, analizuj c ich g boko ci. Wida wyranie, e na pierwszym planie le boki A D i C D oraz cz boku C 2 (patrz skrzy owanie boku
D C i M L oznaczone trójk tem). Kre limy je lini ci g grub . Punkt B le y za wielobokiem
K L M N O i b dzie niewidoczny, dlatego cz boku A B od punktu B , a do wyj cia poza rzut pola wieloboku K L M N O , oraz cz boku B C od punktu B do Q 2 kre limy jako niewidoczne. Widoczno drugiego wieloboku atwo okre li przez analogi – tam, gdzie pole rzutu czworoboku A B C D jest widoczne, tam wielobok K L M N O b dzie niewidoczny i na odwrót. Kraw d przenikania w tego typu zadaniach b dzie zawsze widoczna. Przechodzimy do analizy widoczno ci uk adu na rzucie poziomym. W tym celu pos u ymy si rzutem pionowym, analizuj c wysoko ci poszczególnych elementów. Na rzucie poziomym wielobok K L M N O jest odcinkiem, wi c nie mo e nic zas oni , dlatego czworobok A B C D b dzie ca y widoczny (linia ci g a gruba). O widoczno ci wieloboku K L M N O le cego w pozycji rzutuj cej b d decydowa y górne boki M N i M L . Wierzcho ki M i N le na samej górze, wi c boki M N i M Q 1 b d widoczne. Q1 jest punktem przebicia boku M L i zmieni jego widoczno na przeciwn , wi c odcinek Q 1L b dzie niewidoczny.
Przykład 1.4.1.2
TEMAT: Wykre li kraw d przenikania trójk ta z dwu cianem oraz okre li widoczno powsta ego uk adu.
ROZWIĄZANIE:
ETAP I – Rozwi zanie zadania stanowi dwa odcinki, b d ce cz ci wspóln dwu cianu oraz trójk ta. Dwu cian sk ada si z dwóch trójk tów po o onych w pozycji rzutuj cej (na rzutni pionowej ich obrazami s dwa odcinki). Zadanie rozpoczynamy od opisania wierzcho ów, otrzymujemy trójk t ABC oraz dwu cian KLMN. Wprowadzamy w pierwszej kolejno ci p aszczyzn pomocnicz pionowo rzutuj c ( = v ) przez trójk t KLN dwucianu. P aszczyzna przecina trójk t A B C w punktach 1 i 2 . Kolejnym krokiem b dzie znalezienie ich rzutów poziomych. Punkt 1 b dzie le a na boku C B . Punkt 2 le y na boku A B nalecym do p aszczyzny prostopad ej do obu rzutni. Ze wzgl du na takie po o enie znalezienie rzutu poziomego 2 wymaga zastosowania dodatkowej konstrukcji. Mo emy pos u y si trzeci rzutni lub zasad zachowania równoleg o ci w rzutach Monge a. Wybierzmy drugi wariant jako prostszy. Przeniesiemy punkt 2 na bok A C równolegle do boku B C , punkt po redni zrzutujmy na bok A C i odwrócimy post powanie, przenosz c go równolegle do boku B C na bok A B . Tym samym znale li my punkt 2 W wyniku otrzymujemy odcinek 1 2 (kraw d cicia p aszczyzn trójk ta ABC), z którego wybieramy cz le c na polu rzutu trójk ta K L N –Q 1Q 2. Odcinek Q1Q2 jest kraw dzi przenikania trójk ta ABC z cz ci dwu cianu KLN. ETAP II – Analogicznie post pujemy z drugim trójk tem dwu cianu LMN. Wprowadzamy przez
niego drug p aszczyzn pomocnicz ( = v ). W wyniku ci cia p aszczyzn otrzymujemy na bokach A C i A B odpowiednio punkty 3 i 4 . Rzut poziomy 3 znajdziemy na boku A C , natomiast punkt 4 przeniesiemy równolegle do boku B C na bok A C , nast pnie otrzymany punkt po redni zrzutujemy na bok A C i równolegle do boku B C przeniesiemy go na bok A B , otrzymuj c poszukiwany punkt 4 (konstrukcja analogiczna jak w przypadku punktu 2 ). Odcinek 3 4 jest krawdzi ci cia p aszczyzn trójk ta ABC. Wybieramy z niego cz le c na polu rzutu trójk ta L M N – Q 2Q 3. Odcinek Q2Q3 jest kraw dzi przenikania trójk ta ABC z cz ci dwu cianu LMN. ETAP III – Okre lenie widoczno ci rozpoczynamy od rzutu pionowego. Obie cz ci dwu cianu w tym rzucie s odcinkami, wi c rzut pionowy trójk ta A B C b dzie widoczny, natomiast o widoczno ci dwu cianu b d decydowa y boki L M i K L . Bok K L le y bli ej kierunku rzutowania ni bok B C dlatego kre limy go jako widoczny. W celu okre lenia widoczno ci boku L M rozpatrzmy jego skrzy owanie z bokiem A C (oznaczone kwadratem). Odnosz c kwadrat na odpowiednie boki w rzucie poziomym widzimy, e bok A C le y g biej ni L M . Dlatego bok L M kre limy tak e jako widoczny. Analizuj c widoczno na rzucie poziomym widzimy, e wierzcho ek K le y na samej górze, w zwi zku z czym cz K L Q 1Q 2 b dzie widoczna (sprawdzenie stanowi analiza skrzy owania K L i A C oznaczonego trójk tem). Dalej punkty Q1 i Q2 zmieniaj widoczno odpowiednich boków na przeciwn . Nast pnie odcinki Q 1N i Q 2N le ce przy wierzcho ku N , boki A B i B C , bok A C od C do Q 3 oraz cz przy wierzcho ku A b d widoczne (sprawdzenie stanowi analiza skrzy owania boków A C i M N oznaczonego kó kiem).