100896573

Spis treści

Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Wykaz ważniejszych symboli i oznaczeń . . . . .

9

1. Rzuty Monge’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1. Wykroje wieloboków . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. CiĊcie wieloboku páaszczyzną . . . . . . . . .

1.3. Przebicie wieloboku prostą . . . . . . . . . . . .

1.4. Przenikanie wieloboków . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1. Przenikanie wieloboków, z których jeden naleĪy do páaszczyzny rzutującej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Przenikanie wieloboków w pozycji dowolnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Przekroje (wykroje áamane) wieloĞcianów 1.6. CiĊcie wieloĞcianu páaszczyzną wraz z rozwiniĊciem powierzchni bocznej (káady, obroty, transformacje) . . . . . . . . . .

1.7. Przebicie wieloĞcianu prostą . . . . . . . . . . .

1.8. Przenikanie wieloĞcianu z wielobokiem . .

1.8.1. Przenikanie wieloĞcianu z wielobokiem naleĪącym do páaszczyzny rzutującej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.2. Przenikanie wieloĞcianu z wielobokiem w pozycji dowolnej . . . . . . . . .

1.9. Przenikanie wieloĞcianów . . . . . . . . . . . .

1.10. Geometria dachów . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 20 40 48

48 58 68

90 114 126

126 140 162 178

2.3. Przenikanie wieloboków . . . . . . . . . . . . . .

2.4. CiĊcie wieloĞcianu páaszczyzną . . . . . . . .

2.5. Przebicie wieloĞcianu prostą . . . . . . . . . . .

2.6. Przenikanie wieloĞcianu z wielobokiem . .

2.7. Roboty ziemne w zagadnieniach budowlanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1. Konstrukcje podstawowe . . . . . . . . .

2.7.2. Budowle na planie warstwicowym . .

220 230 242 250

3. Rzut aksonometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

3.1. Odwzorowanie wieloĞcianów w aksonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. CiĊcie wieloĞcianu páaszczyzną . . . . . . . .

3.3. Przebicie wieloĞcianu prostą . . . . . . . . . . .

3.4. Przenikanie wieloĞcianu z wielobokiem . .

3.5. Przenikanie wieloĞcianów . . . . . . . . . . . . .

3.5.1. CzĊĞü I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2. CzĊĞü II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286 298 310 318 328 328 340

4. Perspektywa stosowana . . . . . . . . . . . . . . . .

352

258 258 272

4.1. Kompozycje wieloĞcianów w metodzie punktów mierzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Kompozycje wieloĞcianów w wybranych metodach poĞrednich . . . . . . . . . . . . . . . . .

386

Dodatek: elementy i konstrukcje pomocnicze . .

406

352

2. Rzut cechowany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

412

2.1. CiĊcie wieloboku páaszczyzną . . . . . . . . .

2.2. Przebicie wieloboku prostą . . . . . . . . . . . .

204 212

Abstrakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414

54

1. Rzuty Monge'a

Przykład 1.4.1.1

TEMAT: WykreĞliü krawĊdĨ przenikania dwóch wieloboków oraz okreĞliü widocznoĞü powstaáego ukáadu.

ROZWIĄZANIE:

ETAP I – Rozwiązanie zadania stanowi odcinek wspólny dla obu wieloboków. Jest to prostsza wersja zadania, gdyĪ jeden z wieloboków naleĪy do páaszczyzny rzutującej (jeden z rzutów wieloboku jest odcinkiem). Zadania tego typu rozwiązujemy zawsze tak samo. Wprowadzamy páaszczyznĊ pomocniczą przez ten rzut wieloboku, który jest odcinkiem. Wprowadzamy zatem pomocniczą páaszczyznĊ poziomo rzutującą Į(Įƍ = hĮ) zawierającą wielobok KLMNO. Páaszczyzna Įƍ przecina wielobok AƍBƍCƍDƍ w punktach 1ƍ i 2ƍ leĪących odpowiednio na bokach AƍDƍ i BƍCƍ. Po odniesieniu ich na rzut pionowy otrzymujemy odcinek stanowiący krawĊdĨ przeciĊcia czworoboku ABCD páaszczyzną Į.

CzĊĞü odcinka leĪąca na rzutach obu pól wieloboków stanowi ich krawĊdĨ przenikania (Q1Q2).

Punkt Q1 jest punktem przebicia boku ML przez czworobok ABCD, a punkt Q2 – punktem przebicia boku BC przez wielobok KLMNO. ETAP II – OkreĞlenie widocznoĞci rozpoczynamy od rzutu pionowego. W tym celu rozpatrzymy

poáoĪenie poszczególnych elementów na rzucie poziomym, analizując ich gáĊbokoĞci. Widaü wyraĨnie, Īe na pierwszym planie leĪą boki AƍDƍ i CƍDƍ oraz czĊĞü boku Cƍ2ƍ (patrz skrzyĪowanie boku DƎCƎ i MƎLƎ oznaczone trójkątem). KreĞlimy je linią ciągáą grubą. Punkt Bƍ leĪy za wielobokiem KƍLƍMƍNƍOƍ i bĊdzie niewidoczny, dlatego czĊĞü boku AƎBƎ od punktu BƎ, aĪ do wyjĞcia poza rzut pola wieloboku KƎLƎMƎNƎOƎ, oraz czĊĞü boku BƎCƎ od punktu BƎ do QƎ2 kreĞlimy jako niewidoczne. WidocznoĞü drugiego wieloboku áatwo okreĞliü przez analogiĊ – tam, gdzie pole rzutu czworoboku AƎBƎCƎDƎ jest widoczne, tam wielobok KƎLƎMƎNƎOƎ bĊdzie niewidoczny i na odwrót. KrawĊdĨ przenikania w tego typu zadaniach bĊdzie zawsze widoczna. Przechodzimy do analizy widocznoĞci ukáadu na rzucie poziomym. W tym celu posáuĪymy siĊ rzutem pionowym, analizując wysokoĞci poszczególnych elementów. Na rzucie poziomym wielobok KƍLƍMƍNƍOƍ jest odcinkiem, wiĊc nie moĪe nic zasáoniü, dlatego czworobok AƍBƍCƍDƍ bĊdzie caáy widoczny (linia ciągáa gruba). O widocznoĞci wieloboku KƍLƍMƍNƍOƍ leĪącego w pozycji rzutującej bĊdą decydowaáy górne boki MƍNƍ i MƍLƍ.

Wierzchoáki MƎ i NƎ leĪą na samej górze, wiĊc boki MƍNƍ i MƍQƍ1 bĊdą widoczne. Q1ƍ jest punktem przebicia boku MƍLƍ i zmieni jego widocznoĞü na przeciwną, wiĊc odcinek Qƍ1Lƍ bĊdzie niewidoczny.

55

56

1. Rzuty Monge'a

Przykład 1.4.1.2

TEMAT: WykreĞliü krawĊdĨ przenikania trójkąta z dwuĞcianem oraz okreĞliü widocznoĞü powstaáego ukáadu.

ROZWIĄZANIE:

ETAP I – Rozwiązanie zadania stanowią dwa odcinki, bĊdące czĊĞcią wspólną dwuĞcianu oraz trójkąta. DwuĞcian skáada siĊ z dwóch trójkątów poáoĪonych w pozycji rzutującej (na rzutni pionowej ich obrazami są dwa odcinki). Zadanie rozpoczynamy od opisania wierzchoáów, otrzymujemy trójkąt ABC oraz dwuĞcian KLMN. Wprowadzamy w pierwszej kolejnoĞci páaszczyznĊ pomocniczą pionowo rzutującą Į(ĮƎ = vĮ) przez trójkąt KLN dwuĞcianu. Páaszczyzna ĮƎ przecina trójkąt AƎBƎCƎ w punktach 1Ǝ i 2Ǝ. Kolejnym krokiem bĊdzie znalezienie ich rzutów poziomych. Punkt 1ƍ bĊdzie leĪaá na boku CƍBƍ. Punkt 2Ǝ leĪy na boku AƎBƎ naleĪącym do páaszczyzny prostopadáej do obu rzutni.

Ze wzglĊdu na takie poáoĪenie znalezienie rzutu poziomego 2ƍ wymaga zastosowania dodatkowej konstrukcji. MoĪemy posáuĪyü siĊ trzecią rzutnią lub zasadą zachowania równolegáoĞci w rzutach Mongeƍa.

Wybierzmy drugi wariant jako prostszy. Przeniesiemy punkt 2Ǝ na bok AƎCƎ równolegle do boku BƎCƎ, punkt poĞredni zrzutujmy na bok AƍCƍ i odwrócimy postĊpowanie, przenosząc go równolegle do boku BƍCƍ na bok AƍBƍ. Tym samym znaleĨliĞmy punkt 2ƍ.

W wyniku otrzymujemy odcinek 1ƍ2ƍ (krawĊdĨ ciĊcia páaszczyzną Į trójkąta ABC), z którego wybieramy czĊĞü leĪącą na polu rzutu trójkąta KƍLƍNƍ – Qƍ1Qƍ2. Odcinek Q1Q2 jest krawĊdzią przenikania trójkąta ABC z czĊĞcią dwuĞcianu KLN. ETAP II – Analogicznie postĊpujemy z drugim trójkątem dwuĞcianu LMN. Wprowadzamy przez

niego drugą páaszczyznĊ pomocniczą ȕ(ȕƎ = vȕ).

W wyniku ciĊcia páaszczyzną ȕƎ otrzymujemy na bokach AƎCƎ i AƎBƎ odpowiednio punkty 3Ǝ i 4Ǝ. Rzut poziomy 3ƍ znajdziemy na boku AƍCƍ, natomiast punkt 4Ǝ przeniesiemy równolegle do boku BƎCƎ na bok AƎCƎ, nastĊpnie otrzymany punkt poĞredni zrzutujemy na bok AƍCƍ i równolegle do boku BƍCƍ przeniesiemy go na bok AƍBƍ, otrzymując poszukiwany punkt 4ƍ (konstrukcja analogiczna jak w przypadku punktu 2ƍ). Odcinek 3ƍ4ƍ jest krawĊdzią ciĊcia páaszczyzną ȕ trójkąta ABC. Wybieramy z niego czĊĞü leĪącą na polu rzutu trójkąta LƍMƍNƍ – Qƍ2Qƍ3. Odcinek Q2Q3 jest krawĊdzią przenikania trójkąta ABC z czĊĞcią dwuĞcianu LMN. ETAP III – OkreĞlenie widocznoĞci rozpoczynamy od rzutu pionowego. Obie czĊĞci dwuĞcianu w tym rzucie są odcinkami, wiĊc rzut pionowy trójkąta AƎBƎCƎ bĊdzie widoczny, natomiast o widocznoĞci dwuĞcianu bĊdą decydowaáy boki LƎMƎ i KƎLƎ. Bok KƎLƎ leĪy bliĪej kierunku rzutowania niĪ bok BƎCƎ dlatego kreĞlimy go jako widoczny.

W celu okreĞlenia widocznoĞci boku LƎMƎ rozpatrzmy jego skrzyĪowanie z bokiem AƎCƎ (oznaczone kwadratem). Odnosząc kwadrat na odpowiednie boki w rzucie poziomym widzimy, Īe bok AƍCƍ leĪy gáĊbiej niĪ LƍMƍ. Dlatego bok LƎMƎ kreĞlimy takĪe jako widoczny. Analizując widocznoĞü na rzucie poziomym widzimy, Īe wierzchoáek Kƍ leĪy na samej górze, w związku z czym czĊĞü KƍLƍQƍ1Qƍ2 bĊdzie widoczna (sprawdzenie stanowi analiza skrzyĪowania KƍLƍ i AƍCƍ oznaczonego trójkątem).

Dalej punkty Q1 i Q2 zmieniają widocznoĞü odpowiednich boków na przeciwną. NastĊpnie odcinki Qƍ1Nƍ i Qƍ2Nƍ leĪące przy wierzchoáku Nƍ, boki AƍBƍ i BƍCƍ, bok AƍCƍ od Cƍ do Qƍ3 oraz czĊĞü przy wierzchoáku Aƍ bĊdą widoczne (sprawdzenie stanowi analiza skrzyĪowania boków AƍCƍ i MƍNƍ oznaczonego kóákiem).

57