Geometria analítica

Geometria Analítica Licio Hernanes Bezerra Ivan Pontual Costa e Silva

2ª Edição Florianópolis, 2010

Governo Federal Presidência da República Ministério de Educação Secretaria de Ensino a Distância Universidade Aberta do Brasil

Universidade Federal de Santa Catarina Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva Pró-Reitor de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante Centro de Ciências da Educação: Wilson Schmidt Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Roselane Neckel

Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância Coordenação de Curso: Neri Terezinha Both Carvalho Coordenação de Tutoria: Jane Crippa Coordenação Pedagógica/CED: Roseli Zen Cerny Coordenação de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau Burin

Comissão Editorial Antônio Carlos Gardel Leitão Albertina Zatelli Elisa Zunko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores

Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior

Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira

Diagramação: Gregório Bacelar Lameira, Laura Martins Rodrigues Ilustrações: Camila Piña Jafelice, Maximilian Vartuli, Jean Rissatti, Pricila Cristina da Silva

Capa: Maiara Ornellas Ariño

Design Instrucional Coordenação: Juliana Machado Revisão do Design Instrucional: Carla Morschbacher Revisão Gramatical: Vera Bazzo

Copyright © 2010, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.

Ficha Catalográfica B574g Bezerra, Licio Hernanes

Geometria analítica / Licio Hernanes Bezerra, Ivan Pontual Costa

e Silva. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2010.

170p.

ISBN 978-85-99379-87-5

1. Geometria analítica. I. Silva, Ivan Pontual Costa e. II. Título.

CDU 514.2 Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786

Sumário Apresentação.............................................................................. 7 1. Plano Cartesiano................................................................... 9 1.1 Introdução.................................................................................... 11 1.2 Distância entre dois pontos....................................................... 13 1.3 Circunferência............................................................................. 15 Resumo............................................................................................... 18 Bibliografia comentada..................................................................... 18

2. Retas no Plano..................................................................... 19 2.1 Equações de Retas....................................................................... 21 2.2 Ângulo entre duas retas............................................................. 25 2.3 Distância de ponto a reta........................................................... 28 Resumo............................................................................................... 34 Bibliografia comentada..................................................................... 35

3. Cônicas.................................................................................. 37 3.1 Introdução.................................................................................... 39 3.2 Parábola........................................................................................ 42 3.3 Elipse............................................................................................. 49 3.4 Hipérbole...................................................................................... 52 3.5 Rotação de eixos.......................................................................... 57 3.6 Observações finais...................................................................... 63 Resumo............................................................................................... 66 Bibliografia comentada..................................................................... 66

4. Vetores................................................................................... 67 4.1 Espaço cartesiano........................................................................ 69 4.2 Vetores na geometria analítica.................................................. 72 4.2.1 Vetores e a Física................................................................. 72 4.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana.....................................74 4.2.3 Operações com vetores...................................................... 78 4.2.4 Norma de um vetor............................................................ 82 4.2.5 Produto interno................................................................... 83 4.2.6 Dependência linear ........................................................... 84 4.2.7 Base ortonormal.................................................................. 86 4.2.8 Orientação do espaço......................................................... 87

4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço................ 87 4.2.10 O produto vetorial............................................................. 88 4.2.11 Produto misto.................................................................... 94 Bibliografia comentada..................................................................... 98

5. Retas e Planos no espaço.................................................... 99 5.1 Equação cartesiana do plano....................................................101 5.2 Equações paramétricas do plano............................................ 105 5.3 Equação da reta......................................................................... 108 5.4 Posições relativas de planos......................................................112 5.5 Posições relativas de reta e plano.............................................115 5.6 Posições relativas de duas retas...............................................117 5.7 Distâncias no espaço................................................................. 125 5.7.1 Distância de ponto a plano............................................... 125 5.7.2 Distância de ponto a reta.................................................. 128 5.7.3 Distância entre planos e de reta a plano........................ 133 5.7.4 Distância de reta a reta..................................................... 135 Bibliografia Comentada.................................................................. 138

6. Superfícies Quádricas...................................................... 139 6.1 Revisão de matrizes...................................................................141 6.2 Determinantes e sistemas lineares......................................... 150 6.3 Quádricas....................................................................................157 6.3.1 Quádricas centrais............................................................ 159 6.3.2 Quádricas não–centrais....................................................166 Bibliografia . .....................................................................................169

Referência............................................................................... 170

Apresentação Quando formulamos o curso de Licenciatura em Matemática, a disciplina de Geometria Analítica foi pensada de tal modo que contemplasse duas abordagens: a clássica, que se refere apenas a conceitos de Geometria Euclidiana; a vetorial, que utiliza o conceito de vetor, definido a partir da teoria moderna de conjuntos.

Essas duas abordagens são necessárias à formação do professor de ensino médio e fundamental, que deve compreender tanto a construção concreta dos conceitos em Matemática (Geometria Analítica clássica) como a formulação totalmente abstrata de conceitos, usual em Matemática avançada. Assim, dividimos a disciplina em duas partes: Geometria Analítica Plana, que é abordada, classicamente, nos capítulos 1-3; a Geometria Analítica Espacial, na qual usamos vetores para interpretar os conceitos básicos da Geometria Euclidiana Espacial, que é apresentada nos capítulos 4-6.

Esperamos que o leitor faça todos os exercícios da primeira parte e que adquira, ao final, um condicionamento físico e mental, pois os exercícios são braçais e exigem muita atenção: um leve erro de cálculo e todo o trabalho é perdido. Gostaríamos, também, que o leitor, ao final do livro, compreenda a economia de trabalho que o conceito de vetor oferece no estudo de Geometria Analítica.

Existe uma lacuna, propositalmente deixada para o leitor preencher: como fazer Geometria Analítica Plana usando as técnicas vetoriais estudadas na Geometria Analítica Espacial? Uma dica é a seguinte: pense que toda Geometria Analítica Plana pode ser feita a partir da Espacial no plano z = 0 .

Finalmente, introduzimos matrizes e determinantes no capítulo 6, para a formulação das equações quadráticas em três variáveis.

O conceito de matriz é definido a partir do conceito de função uma forma diferente de se apresentar uma matriz. Na verdade, o conjunto das matrizes reais, de ordem m × n , que comumente é introduzido como  m×n em Álgebra Linear, é visto aqui como o conjunto das funções de {1,..., m}× {1,..., n} em  . Parece uma complicação desnecessária, mas essa é uma forma de se introdu-

zir produtos cartesianos de um conjunto. Por exemplo,  3 pode ser visto como o conjunto das funções de {1, 2,3} em  . Ou seja, é mais um pretexto para se trabalhar conceitos da teoria de conjuntos.

Licio Hernanes Bezerra Ivan Pontual Costa e Silva

CapĂ­tulo 1 Plano Cartesiano

Capítulo 1 Plano Cartesiano Este capítulo é introdutório, uma vez que é uma preparação e um prenúncio do que virá em seguida. De forma sistemática, entretanto, vamos listar alguns dos objetivos almejados pelos autores: apresentar o plano cartesiano - uma representação gráfica do produto cartesiano  2 =  × ; introduzir a métrica usual, isto é, como usualmente medimos a distância entre dois pontos no plano cartesiano; introduzir a noção de lugar geométrico - um conjunto de pontos que satisfazem uma propriedade geométrica; utilizar a dedução da fórmula de equação de circunferência como um modo de traduzir algebricamente uma propriedade geométrica, de tal modo que o lugar geométrico definido pela propriedade seja identificado com essa tradução algébrica. Esperamos que os leitores reflitam, ao final do capítulo, sobre o seu conteúdo e comparem-no com os objetivos listados.

1.1 Introdução O plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII, independentemente, pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat para representar graficamente pares ordenados ( x, y ) de números reais.

René Descartes (1596-1650).

Também conhecido como Cartesius, Descartes foi filósofo, físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário na Filosofia, mas também foi famoso por inventar o sistema cartesiano de coordenadas, que influenciou o desenvolvimento do cálculo moderno.

Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coordenadas em relação a um sistema que consiste de duas retas orientadas – uma horizontal, outra vertical. O ponto de interseção (em ângulo reto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordenadas. O plano cartesiano fica, assim, dividido em quatro regiões, que são denominadas quadrantes: o primeiro fica acima do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo

12 do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; e, o quarto, abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. A cada ponto do plano corresponde, então, um par de coordenadas ( x, y ), em que | x | é a distância do ponto ao eixo das ordenadas e | y |, a distância do ponto ao eixo das abcissas. O sinal de x e o sinal de y dependem do quadrante em que o ponto está situado. A origem do plano cartesiano, denotada por O, tem, assim, ambas as coordenadas nulas. y 2º quadrante

1º quadrante

(−,+)

(+,+) x

0 3º quadrante

4º quadrante

(−,−)

(+,−) Figura 1.1

Quadrante

Abcissa

Ordenada

1º quadrante

+

+

2º quadrante

—

+

3º quadrante

—

—

4º quadrante

+

—

Tabela 1.1

O plano cartesiano é um modelo da geometria euclidiana plana. Ou seja, uma vez definidos um sistema de eixos cartesianos (perpendiculares entre si e com uma unidade de medida comum a ambos os eixos) e interpretados os conceitos primitivos da geometria euclidiana nesse sistema, verifica-se que nele os axiomas da geometria são válidos e, por conseguinte, os teoremas também o serão.

A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geometria analítica plana. Chamamos também o plano cartesiano de plano numérico, pois associamos cada ponto do plano a um par ordenado de números reais ( x, y ): x, a abscissa e y, a ordenada do ponto, ditas coordenadas cartesianas do ponto. De agora em diante, escreveremos P = ( x, y ) para denotar que ( x, y ) é o par associado ao ponto P.

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Exercício 1) Represente em um plano cartesiano os seguintes conjuntos de pontos: a) {(0, −1), (0,3), (−2, 0), (1, 0), (3, 0)} ; b) {(1,2), (2,3), (3,4)}; c) {( x, x 2 ) / x ∈ , −2 ≤ x ≤ 3} ; d) {( x, y ) / x ∈ , y ∈  e x = y } ; e) {( x, y ) / x = y }; f) {( x, y ) / x > y }; g) {( x, y ) / x > 1 e y < 2} ; h) {( x, y ) / x > 1 ou y < 2} ; i) {( x, y ) / x > 1 ⇒ y < 2}; j) {( x, y ) / x > 1 ⇔ y < 2}.

1.2 Distância entre dois pontos Dados dois pontos, A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ), a distância entre eles é dada por ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

d ( A, B) =

que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de comprimentos iguais a | x2 − x1 | e | y2 − y1 |, respectivamente.

y2 y1

B C

A x2

x1 Figura 1.2

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Ponto médio de um segmento Considere a figura abaixo, na qual M é o ponto médio do segmento AB. Observe que, por semelhança de triângulos, as coordenadas  x + x y + y2  de M são  1 2 , 1 .

2   2 y B

y2 y1

M A x1

C x2

x

Figura 1.3

Exercícios 2) Ache o comprimento e o ponto médio dos segmentos, cujos extremos são dados pelos pontos abaixo: a) (1, 2) e (2,4); b) (1, 0) e (0,1); c) (1,1) e (3,1); d) (−1, 0) e (−2,3); e) (−1, −1) e (−2, −4).

3) Divida os segmentos AB abaixo, em n (indicado em cada item) partes iguais e calcule as coordenadas dos pontos resultantes. a) A = (1, 0), B = (5, 0), n = 4; b) A = (0, 0), B = (10,10), n = 8; c) A = (0, 0), B = (2,3), n = 3; d) A = (1,1), B = (3, 4), n = 3; e) A = (1,1), B = (3, 4), n = 4; f) A = (1,1), B = (5,9), n = 8;

Deduza esse resultado.

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g) A = (−5, −6), B = (−1, 2), n = 8 ; h) A = (2, 4), B = (6,12), n = 8; i) A = (1, 2), B = (2,1), n = 4; j) A = (3,5), B = (4, 4), n = 4.

4) Sejam A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ). Mostre que um ponto P = ( x, y ) pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0,1] tal que  x = (1 − t ) x1 + t x2 .   y = (1 − t ) y1 + t y2

1.3 Circunferência Podemos definir uma circunferência, de raio r e centro em C , como sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que d ( P, C ) = r .

Se C = ( x0 , y0 ), então essa circunferência é o conjunto dos pontos P = ( x, y ) tais que ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r , ou seja, ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2.

Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r e centro em ( x0 , y0 ). Por exemplo, a equação ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 36 é uma equação da circunferência de raio 6 e centro em (3, − 4) . Eu disse uma equação e não a equação porque, depois de alguns cálculos, a equação acima se torna x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 11 = 0, e esta é outra equação que descreve a mesma circunferência.

Você saberia escrever qual é essa recíproca? Escreva-a!

A palavra equação quer dizer igualdade. As igualdades, ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 36 e x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 11 = 0 são obviamente diferentes, mas elas são equivalentes, no sentido que os pares de números, x e y, que tornam a primeira equação verdadeira fazem com que a segunda equação também seja verdadeira, e reciprocamente.

Por exemplo, (3 − 3) 2 + (2 + 4) 2 = 36, ou seja, a primeira equação é verdadeira quando x = 3 e y = 2; substituindo-se esses valores na segunda equação, ela fica 32 + 22 − 18 + 16 − 11 = 0, que também, é verdadeira. Agora, se eu tomar algum outro valor para x e algum

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outro valor para y que tornem a segunda equação verdadeira, esses valores também, tornarão a primeira equação verdadeira (experimente fazer isso com alguns pares de números !).

Assim, tanto uma como a outra são equações da mesma circunferência. Vamos ver se você sabe passar de uma para outra.

Exercícios 5) Escreva as equações abaixo na forma ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2. a) x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 15; b) x 2 + y 2 − 4 x − 6 y = 23; c) x 2 + y 2 + 6 y = 0; d) x 2 + y 2 − x + y − 15,5 = 0; e) x 2 + y 2 − x − y − 8,5 = 0; f) 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6 y = 12.

6) Esboce no plano cartesiano as circunferências do exercício anterior.

7) Calcule a distância entre os dois pontos dados em cada item abaixo. a) P = (3, 0), Q = (−2, 0) ; b) P = (0, 10), Q = (0, −2) ; c) P = (3, 0), Q = (0, 4); d) P = (1,1), Q = (−1, −1) ; e) P = (0, 0), Q = (5, 12); f) P = (1, 1), Q = (9, 16); g) P = (−1, −1), Q = (23, 6) ; h) P = (0,1), Q = (40,10); i) P = (1, −2), Q = (13,33) ; j) P = (10,11), Q = (150, − 40) .

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8) Ache uma equação da circunferência em cada item abaixo. raio = 3; a) com centro em (1, − 2) e raio

b) com centro em (0, 2) e que passa por (−1,1) ; c) tal que (1, −2) e (3, 4) sejam diametralmente opostos; d) que passa por (0, 0), (2, 2) e (−1, −3) ; e) situada no primeiro quadrante, tangente aos eixos coorderaio = 2; nados e de raio f) tangente às retas x = −1 e x = 1, e que passa por (0, 0); g) situada no 1º quadrante, tangente às retas y = 3 e y = 0, e que passa por (−1, 2) ; h) inscrita no triângulo ABC , em que A = (0, 0), B = (4, 0) e C = (2 3, 2); i) circunscrita ao triângulo ABC , em que A = (0, 0), B = (4, 0) e C = (2 3, 2).

9) Ache o centro e o comprimento do raio das seguintes circunferências. a) x 2 + y 2 = x + 2; b) x 2 + y 2 = 2 x − 1; c) x 2 + ( y − 2) 2 = 2 x ; d) x 2 + y 2 = x + y + 4; e) x 2 + y 2 = 2 x + 2 y ; f) 2 x 2 + 2 y 2 = 2 x + 2 y .

10) Ache a interseção das circunferências abaixo (ou seja, encontre o conjunto de pontos correspondentes à interseção das figuras). a) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + ( y − 1) 2 = 1; b) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = x + 2 ; 2 2 2 2 c) x + y = 1 e x + y = x + y ;

d) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = x + y + 4.

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11) Sejam A = (1,1) , B = (−1, −1) . Em cada item abaixo, ache as coordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) ABC satisfaça(m) as condições dadas. a) ABC é eqüilátero. b) AB é a hipotenusa e AC é um cateto de comprimento 2. c) ABC é isósceles e a altura em relação à base AB é 2.

Resumo • coordenadas de um ponto; • distância entre dois pontos; • ponto médio de um segmento; • equação da circunferência; • interseção de circunferências.

Bibliografia comentada IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 7.

A coleção do Iezzi é muito bem organizada, mas o seu conteúdo é dirigido para os alunos do Ensino Fundamental e Médio, e não especificamente para o aluno de licenciatura. É um livro que funciona bem, por exemplo, como um dicionário para um professor de Ensino Médio. Nele se acham informações claras sobre grande parte da geometria analítica.

CapĂ­tulo 2 Retas no Plano

Capítulo 2 Retas no Plano A intenção deste capítulo é aprofundar os objetivos listados no capítulo anterior. Gostaríamos que os leitores se familiarizassem com o plano cartesiano e compreendessem ainda mais o que é um lugar geométrico. Neste capítulo, apresentamos uma forma bem costumeira de como a Matemática é construída: a classificação. As retas compreendem uma classe de lugares geométricos - aqueles que são traduzidos por uma equação (igualdade) de primeiro grau, envolvendo as coordenadas de seus pontos.

2.1 Equações de Retas Vimos, anteriormente, que um ponto é interpretado no plano cartesiano como sendo um par ordenado de números. Vamos ver, agora, que a reta vai ser interpretada como um conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear do tipo ax + by = c, com a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observemos que o conjunto dos pares ( x, y ) que satisfazem ax + by = c é igual ao conjunto dos pares que satisfazem kax + kby = kc, k ≠ 0, pois essas equações são equivalentes entre si.

Uma vez interpretada a reta como um conjunto de pontos que satisfazem ax + by = c, em que a, b, c são números reais fixos e a 2 + b 2 ≠ 0 (o que é equivalente a a ≠ 0 ou b ≠ 0 ), será que o axioma de geometria euclidiana “por dois pontos distintos passa uma única reta” é válido? No caso, deve-se verificar se a proposição “dados dois pares ordenados distintos, existe um único conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação ax + by = c, a 2 + b 2 ≠ 0, que contém os dois pares” é verdadeira no plano cartesiano, que é o que faremos a seguir.

Proposição 2.1. Se P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ) são distintos então existem a, b e c, com a 2 + b 2 ≠ 0, tais que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c.

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Além disso, se existem outros a ′, b ′, c ′, com (a ') 2 + (b ') 2 ≠ 0, tais que a ′x1 + b ′y1 = c ′ e a ′x 2 + b ′y 2 = c ′, então existe um número k tal que a ' = k .a, b ' = k .b, c′ = k .c.

Demonstração: Observe que ( y2 − y1 ) x − ( x2 − x1 ) y = ( y2 − y1 ) x1 − ( x2 − x1 ) y1 é uma equação do tipo procurado, pois é da forma ax + by = c e a equação é satisfeita pelos pontos P e Q .

Mais adiante, veremos que essa equação não foi tirada da cartola.

Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição.

Vamos supor, então, que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c, e que a ′x1 + b ′y1 = c ′ e a ′x 2 + b ′y 2 = c ′.

Temos, então, que a ( x2 − x1 ) + b( y2 − y1 ) = 0 e

a′( x2 − x1 ) + b′( y2 − y1 ) = 0 . (*)

Se x1 = x 2 , então, y1 ≠ y 2 , pois P e Q são distintos. Obtemos, nesse caso, que b = b ′ = 0. Logo, tanto a como a ′ são não nulos. Assim, c c′ . x1 = x 2 = = a a′ a′ c′ = = k . E, como b = b ′ = 0 , b ' = k ⋅ b . a c Se y1 = y 2 , por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado.

Logo,

Vamos supor, agora, que x1 ≠ x 2 e y1 ≠ y 2 . Por (*), temos que y 2 − y1 a′ a =− =− . x 2 − x1 b′ a Logo,

a ′ b′ = = k . Por conseguinte, a b

k ⋅ c = k ⋅ (ax1 + by1 ) = (k ⋅ a ) x1 + (k ⋅ b) y1 = a ' x1 + b ' y1 = c '.

■ Definição 2.1. (Coeficiente angular de uma reta não vertical): o coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que passa por dois pontos P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ) , tais que x1 ≠ x 2 , é m=

y2 − y1 . x2 − x1

Com base no que foi desenvolvido no caso anterior, tente verificar este resultado!

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y B

y2 y1

y2 − y1

A x2 − x1 x1

x2

x

Figura 2.1

Observe que esse número é a razão entre a variação de ordenadas e a variação de abcissas dos dois pontos. Ele corresponde à tangente do ângulo que a reta, determinada por esses dois pontos, faz com o eixo horizontal.

No caso das retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa, dizemos informalmente que elas têm declividade infinita. A equação delas tem a forma x = x 0 , em que x 0 é a abcissa comum a todos os pontos da reta.

Agora, sejam dados dois pontos, P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ), em que x1 ≠ x 2 . Seja r a reta que passa por eles. Observe que o que chamamos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação linear em x e y, que é algo muito abstrato. Se esse conjunto realmente representa uma reta como a que estamos acostumados em geometria euclidiana plana, um ponto ( x, y ), desse conjunto, ( x, y ) ≠ P, é tal que a declividade da reta que passa por ( x, y ) e P é a mesma que a da reta P e Q . Traduzindo para a linguagem matemática, ( x, y ) ∈ r , ( x, y ) ≠ P ⇔ y − y1 = y2 − y1 , x2 − x1 x − x1 ou seja, y − y1 = Esta equação é aquela que apareceu na demonstração da primeira proposição deste capítulo, como tirada da cartola. Você lembra? Se não, retome a discussão que realizamos no início deste capítulo.

y2 − y1 ( x − x1 ) . x2 − x1

Essa equação é a que vamos chamar de equação reta-2 pontos, para chamar a nossa atenção sobre o que utilizamos para determinar uma equação de reta.

Observe que essa equação é da forma ax + by = c.

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Exemplo: Achar uma equação da reta que passa por (2,1) e (0,3).

3 −1 Resolução: Usando a fórmula acima, temos que y − 1 = ( x − 2), 0−2 ou seja, y = − x + 3 . y −y Note que, se m = 2 1 , então a equação reta-2 pontos pode ser x2 − x1 reescrita como y − y1 = m( x − x1 ) que vamos chamar de equação reta-declividade mais um ponto.

Exemplo: Achar uma equação da reta que tem declividade 2 e passa por (2,3).

Resolução: Pela fórmula acima, então, temos que uma equação é y − 3 = 2( x − 2), isto é, y = 2 x − 1.

Conclusão: se a, b e c ∈  , ax + by = c é equação de reta se e só se a ≠ 0 ou b ≠ 0 . Ou seja, a única coisa que não pode ocorrer é ambos os coeficientes a e b serem nulos, pois assim a equação se torna 0 x + 0 y = c , que ou não tem solução ( c ≠ 0), ou todos os pares ordenados são soluções ( c = 0 ), ou seja, o conjunto-solução é o plano todo.

Temos então um outro modo de achar equação de reta, dados dois pontos: eu substituo as coordenadas de cada ponto na equação da forma ax + by = c, obtendo assim um sistema de duas equações, cujas incógnitas são a, b e c.

Exemplo: Achar equação da reta que passa por (0,1) e (2,3).

Resolução: Substituindo os dois pontos em ax + by = c, obtenho  a ⋅ 0 + b ⋅1 = c  a ⋅ 2 + b ⋅ 3 = c b = c b = c que é equivalente ao sistema  , ou seja,  . a = − c 2 ⋅ a + 3 ⋅ b = c Atribuindo um valor qualquer a c, diferente de zero (pois a e b não podem ser ambos nulos), obtemos a reta cuja equação é x − y = −1.

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Exercício 1) Achar equação para a reta a) que passa por (1, 2) e (2,1); b) que passa por (1,1) e (2, 2); c) que passa por (0,1) e (0,5); d) que passa por (2, 0) e (0, 0); e) que tem declividade (−2) e passa por (0, 0); f) que tem declividade 3 e passa por (1,1).

2.2 Ângulo entre duas retas Duas retas distintas no plano podem ser ou concorrentes ou paralelas. Retas paralelas são aquelas que têm mesma declividade. Por exemplo, as retas r : x = 1 e s : x = −3 são paralelas; assim como as retas q : y = 2 x + 1 e t : y = 2 x − 3. O caso de retas coincidentes é considerado em alguns livros como um caso particular de retas paralelas. Notemos que duas equações de reta representam a mesma reta se e só se os coeficientes a, b e c de uma são múltiplos dos coeficientes respectivos da reta. Concluímos, então, que duas retas são concorrentes se e somente se suas declividades são distintas uma da outra.

Exercícios 2) Sejam ax + by = d e cx + dy = f , equações das retas r e s, respectivamente. Quais as condições que a, b, c, d devem satisfazer para que as retas sejam concorrentes?

3) Verifique se cada par de equações seguinte corresponde a um par de retas paralelas ou de retas coincidentes ou de retas concorrentes. Nestes casos, ache o ponto de interseção. 2 x + 3 y = 1 a)  ; 4 x + 6 y = 3

2 x + 3 y = 1 b)  ; 6y = 3 

26

2x + 3y = 1 c)  ; 4 x + 2 y = 3

2 x = 1 d)  ; 6 y = 3

2 x + 3 y = 1 e)  . 4 x + 6 y = 2 Um caso particular e interessante de retas concorrentes é quando elas são perpendiculares entre si. Note que o problema se resume às declividades das retas envolvidas. Excluindo o caso de pares de retas em que uma é vertical e a outra é horizontal, pares de retas do  y = m1 x + b1 tipo  , com m1 ⋅ m2 ≠ 0 , são perpendiculares se os ângu y = m2 x + b2 los 1 1ee  2 (0 < 1 <  2 < 180 ) , que as retas fazem respectivamente com o eixo horizontal, forem tais que  2 − 1 = 90.

Os coeficientes angulares (a terminologia que se adapta melhor a esse caso) das retas são m1 = tan(1 ) e m2 = tan( 2 ) .

Por relações trigonométricas, concluímos então que 1 1 m2 = tan( 2 ) = tan(1 + 90 ) = − =− . tan(1 ) m1 Mostramos, deste modo, o seguinte resultado: y = m1 x + b1 (m1 ≠ 0) e y = m2 x + b2 (m2 ≠ 0) são perpendiculares ⇔ m2 = −

1 . m1

Raciocínio análogo poderia ser aplicado para calcular a tangente do ângulo  entre duas retas concorrentes quaisquer, r e s, não perpendiculares entre si. Vejamos os casos: • r : x = x0 (vertical ) e s : y = mx + b, m ≠ 0 Há dois subcasos, que estão ilustrados pela figura 2.2. Verifique que, em ambos os subcasos:

tan () =

1 1 = . m tan 1

27

A

y

θ = θ1− 90° tg θ1 = m

r θ1

θ

x0

B

y

θ = 90°− θ1 tg θ1 = m

x

s

r s θ

θ1

θ1

x0 Figura 2.2

• r : y = m1 x + b1 e s : y = m2 x + b2 , m1 ⋅ m2 ≠ (−1)

Verifique, de modo análogo ao caso anterior, que tan () =

m1 − m2 .

1 + m1m2

Exercício 4) Calcule o ângulo entre as retas abaixo. 2 x + 2 y = 1 a)  ; y = 3

 y = − (2 + 3) x + 1 b)  ;  y = x + 3

 y = x − 1 c)  ; = + y ( 3 2) x 

( 5 − 1) x + 2 y = 1 d)  . ( 5 + 1) x − 2 y = 0

x

28

2.3 Distância de ponto a reta Vamos considerar o problema de calcular a distância de um ponto P = ( x0 , y0 ) a uma reta, que não é nem vertical nem horizontal, r : y = mx + b . Vamos supor, obviamente, que P não pertence à reta.

Quando falamos a distância do ponto à reta, queremos dizer com isso a menor distância, que corresponde ao comprimento do segmento que vai do ponto P à reta, perpendicularmente.

Uma solução seria encontrarmos a reta s, que passa por P e é perpendicular a r; depois, acharmos o ponto Q de interseção das duas retas e, então, calcularmos a distância de P a Q. Exemplo: Calcule a distância do ponto (1, 0) à reta r : y = 2 x + 3.

1 Resolução: A reta s : y − 0 = − ( x − 1) é a reta perpendicular a r 2  y = 2x + 3  que passa por (1, 0). Resolvendo o sistema  1 1 temos que  y = − 2 x + 2 o ponto Q = (−1,1) é a interseção das duas retas. Logo, a distância pedida é d (P, Q) = 5 .

Outra solução, que é uma versão resumida da primeira, seria achar o ponto Q da reta r tal que a declividade de P a Q é a de uma reta perpendicular a r. Ou seja, o ponto Q = ( x1 , y1 ) é a solução do sistema  y = mx + b  1 .  y − y0 = − x−x m 0  A solução é x1 =

x0 + m ⋅ y0 + m ⋅ b , y1 = mx1 + b. m2 + 1

A distância de P a Q é, então, igual a ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 , ou seja, | b − y0 + m ⋅ x0 | d ( P, Q ) = . m2 + 1

29

Exercícios 5) Calcule a distância do ponto P à reta r, em cada item abaixo. a) P = (1, −5), r : x = −2;

b) P = (−1, −5), r : y = 2; c) P = (1,1), r : y = −2 x; d) P = (0, 0), r : y = −2 x + 3; e) P = (0,1), r : y = 2 x + 3; f) P = (3,1), r : y = x.

6) Calcule a área dos triângulos ABC , dados abaixo, calculando a altura pela fórmula de distância de ponto a reta. a) A = (1, 0), B = (0, 0), C = (0, -2); b) A = (1,1), B = (1,3), C = (2,5); c) A = (0,1), B = (0, 4), C = (1,1); d) A = (1,1), B =(3, 0), C = (4,3);

e) A = (0, 2), B = (2, 0), C = (1, 4) ; f) A = (0, 0), B = (−1,1), C = (1,1) .

Observação avançada (no sentido de avançarmos até a unidade seguinte a essa – Álgebra Vetorial): A área de um triângulo pode ser calculada via álgebra vetorial, submergindo três pontos do plano cartesiano nos três pontos correspondentes a eles no plano z = 0 . Por exemplo, os pontos AA==(1,1), (1,1),, BB == (2,3) (2,3) ee C C == (3, (3,4) 4) A = (1,1), B = (2,3) ee C = (3, 4) corresponderiam a A' = (1,1, 0), B' = (2,3, 0) e C ' = (3, 4, 0).    Esses pontos dão origem aos vetores a = (2 − 1) i + (3 − 1) j e       b = (3 − 1)i + (4 − 1) j , em que i , j e k são vetores unitários na direção dos 3 eixos ortogonais do espaço cartesiano (observe que as  coordenadas do vetor a são as diferenças das coordenadas respectivas de A ' e B ' ; as de b , as diferenças das de A ' e C ' ). No espaço cartesiano, podemos definir uma função que leva dois trios ordena-

30

dos, ( x1 , y1 , z1 ) e ( x2 , y2 , z2 ) , em um terceiro trio ordenado, chamado de produto vetorial, cujas coordenadas são ( y1.z2 − y2 .z1 , − ( x1.z2 − x2 .z1 ), x1. y2 − x2 . y1 ) .

O cálculo dessas coordenadas segue a seguinte regra prática:  i x1 x2

 j y1 y2

 k    z1 = ( y1.z2 − y2 .z1 )i − ( x1.z2 − x2 .z1 ) j + ( x1. y2 − x2 . y1 )k . z2

  No caso acima, aplicando-se a regra, vê-se que a × b , o produto     vetorial de a por b (nessa ordem), é o vetor c = −k . Mostra-se, por outro lado, que a norma desse vetor (ou do trio ordenado formado pelas coordenadas do vetor) é duas vezes a área do triângulo formado pela origem e os dois pontos cujas coordenadas são os trios   ordenados dados pelas coordenadas de a e b . Ou, no nosso caso,   do triângulo A' B ' C ' . Note que as coordenadas de a e b correspondem a dois pontos, P e Q , e que o triângulo de vértices OPQ é congruente ao triângulo A ' B ' C ' , como se A' fosse trazido para a origem, B ' a P (ponto cujas coordenadas são as diferenças das de A 'e B ' ), e C ' a Q (ponto cujas coordenadas são as diferenças das de A 'e C ' ).

Finalmente, a área do triângulo ABC , que é a área do triângulo do trio (0, 0, −1), que são as coordenaA ' B ' C ', é 1, que é a norma    das do vetor 0.i + 0. j − k .

O uso de álgebra vetorial em geometria analítica pode ser visto em [1], [8] e [9].

Exercícios 7) Achar uma equação de reta em cada item abaixo. a) que passa por (0, 0) e (0, − 2) ; b) que passa por (1, 0) e (0, 2); c) mediatriz do segmento AB, em que A = (−3, 0) e B = (1, 0); d) mediatriz do segmento AB, em que A = (1, 1) e B = (3, 1); e) paralela à reta de equação x + y = 1 e que passa por (0, 2);

31 f) paralela à reta de equação x = 1 e que passa por (3, 2); g) paralela à reta de equação x + 2 y = 1 e que passa por (1, 1); h) paralela à reta de equação x + 2 y = 1, cuja distância a essa reta é 2; i) cuja declividade é 3 e passa por (−1, −1) ; j) perpendicular à reta de equação 2 x + y = 1 e que passa por (1, 2); k) mediatriz do segmento AB, em que A = (1,1) e B = (3,5); l) bissetriz do (menor) ângulo formado entre a reta de equação x + y = 1 e a reta de equação x + 2 y = 1 (lembrar que a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no interior do ângulo que eqüidistam das retas dadas).

8) Calcular a distância pedida em cada item abaixo. a) entre o ponto (0, 2) e a reta de equação x + y = 1; b) entre as retas r : x + y = 1 e s : x + y = 2; c) entre o ponto (1, − 2) e a circunferência ( x + 1) 2 + y 2 = 1; d) entre as circunferências ( x + 1) 2 + y 2 = 1 e ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 1; e) entre a reta r : x = 2 e a circunferência ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 1; f) entre a reta r : x + y = 1 e a circunferência ( x + 1) 2 + y 2 = 1.

9) Sejam A = (1,1), B = (−1, −1). Em cada item abaixo, ache as coordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) ABC satisfaça(m) as condições dadas. a) AC é hipotenusa de comprimento 4; b) BC é hipotenusa de comprimento 3; c) ABC é isósceles e a altura em relação a AB é 3; d) AB é hipotenusa e a altura do triângulo em relação a ela é 3; ˆ 30 e B= ˆ 60; e) A= ˆ 90 e B= ˆ 60; f) A= ˆ B ˆ = 30. g) A=

32

Comentamos no início do livro que a Geometria Analítica Plana é um modelo da Geometria Euclidiana Plana. Isto significa que a interpretação dos conceitos primitivos da Geometria Euclidiana Plana no Plano Cartesiano resulta na veracidade dos axiomas da teoria no modelo. Há cinco conceitos primitivos na Geometria Euclidiana Plana que são as bases para se definirem todos os outros termos geométricos da teoria. São eles: ponto, reta, relação de incidência, relação de vizinhança e relação de congruência.

A relação de incidência tem a ver com as expressões seguintes: “a reta r passa pelo ponto P”, “o ponto P pertence à reta r”, “o ponto P é incidente com a reta r” “por dois pontos passa uma única reta”, etc.

A relação de vizinhança é simplesmente a relação dada pela expressão “o ponto C está entre os pontos A e B”. Finalmente, a relação de congruência é a que está contida nas expressões “os lados AB e AC têm o mesmo tamanho”, “os ângulos de um triângulo eqüilátero são iguais”. Ou seja, é a relação que nos permite dizer que ângulos têm o mesmo número de graus ou que segmentos têm o mesmo tamanho (congruência de triângulos é um conceito definido). Mais informações sobre a axiomatização da Geometria Euclidiana Plana pode ser vista no excelente livro do Greenberg (ver bibliografia comentada).

Na Geometria Analítica Plana, pontos são interpretados como pares ordenados; retas, como conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear em x e y; a relação de incidência é interpretada como a relação de pertinência entre um par ordenado e um conjunto de pares ordenados; a relação de vizinhança é interpretada assim: C está entre A = (a, a ') e B = (b, b ') se e só se existe t , 0 < t < 1,, tal que C = ((1 − t )a + ta’, (1 − t )b + tb’). Finalmente, a relação de congruência: AB = CD se e só se d ( A, B ) = d (C , D);  =  se e só se tan  = tan , em que as tangentes são dadas pela fórmula do ângulo entre duas retas. É um bom exercício mostrar que os axiomas da Geometria Euclidiana Plana valem na Geometria Analítica Plana. Fazer demonstrações de teoremas geométricos via Geometria Analítica é bastante interessante. Por exemplo, vamos demonstrar o seguinte teorema:

33

10) Seja ABC um triângulo. Mostre que as mediatrizes dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o circuncentro do triângulo.

Demonstração: Seja ABC um triângulo qualquer. Escolha eixos cartesianos de tal modo que o eixo das ordenadas coincida com a mediatriz do lado AB e o eixo das abcissas contenha o lado AB. Assim, o ponto A tem coordenadas (−a, 0) , o ponto B tem coordenadas (a, 0), a > 0 , e o ponto C tem coordenadas (b, c). Basta mostrar, então, que a interseção das mediatrizes de AC e BC está sobre o eixo das ordenadas (uma vez que a mediatriz de AB é o eixo das ordenadas). y C

A (−a , 0)

B (a , 0)

x

Figura 2.4

A mediatriz de AC , a reta r, contém o ponto médio de AC ,  a+b c  ,  , e é perpendicular à AC . Logo, a equação de r é   2 2 y−

c a −b  a+b . = x −  2 c  2 

A mediatriz de BC , a reta s , contém o ponto médio de BC ,  −a + b c  ,  , e é perpendicular a BC . Logo, a equação de s é  2  2 c a+b  b−a y− = − x − .

2 c  2  A interseção dessas duas mediatrizes é o ponto cujas coordenadas são dadas pela solução do seguinte sistema:  c a −b  a+b x− y − =   2 c  2    , ou seja, y − c = − a +b  x − b − a     2 c  2 

34

 a+b b−a  a −b  a+b − c  x − 2  = c  x − 2       , isto é,  y − c = − a +b  x − b − a     c  2 2  x = 0   a2 − b2 + c2 . y =  2c  Logo, o ponto está sobre o eixo das abcissas, como queríamos mostrar.

11) Seja ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos cartesianos tal que A = (a, 0), B = (b, 0) e C = (0, c) . Mostre que as alturas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o ortocentro do triângulo (sugestão: mostre que as alturas em relação a AC e a BC encontram-se no eixo das ordenadas, que é o suporte da altura em relação a AB ).

12) Seja ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos cartesianos tal que A = (−a, 0), B = (a, 0) e C = (b, c). Mostre que as medianas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o baricentro do triângulo (sugestão: mostre que as medianas de AC e BC encontram-se sobre a mediana de AB).

Resumo • declividade de uma reta não vertical; • equação da reta, dados dois pontos; • equação da reta não vertical, dados um ponto e a declividade; • retas paralelas; • retas perpendiculares; • distância de ponto a reta; • distância entre duas retas paralelas; • ângulo entre retas concorrentes.

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Bibliografia comentada BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.

LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Esses dois livros são complementares. O primeiro é mais próximo ao que apresentamos até aqui. São livros essenciais, no sentido que há muitos exercícios, alguns elementares, para que o leitor aprofunde seu conhecimento geométrico no plano cartesiano. Recomendado.

GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry: development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.

Esse livro é a melhor fonte para um estudo axiomático da Geometria Euclidiana Plana que eu conheço. É um livro rigoroso e didático (a junção dessas qualidades é rara num livro). Além disso, é um excelente livro para se iniciar nas Geometrias não-Euclidianas.

Capítulo 3 Cônicas

Capítulo 3 Cônicas Este capítulo apresenta outra classe de lugares geométricos – aqueles que são descritos por uma equação de segundo grau, envolvendo as coordenadas dos seus pontos. Ao longo do capítulo, procuramos envolver o leitor em deduções algébricas – uma cadeia lógica de equações, cujos elos são operações algébricas, que são bem apresentadas através de produtos notáveis. Vemos aqui, também, dois movimentos rígidos que fazemos com os eixos: translação e rotação. Essas mudanças de variáveis chamam a nossa atenção para o fato de que a descrição dos objetos geométricos no plano cartesiano depende bastante dos eixos de referência. Por outro lado, tanto a translação como a rotação preservam as classes de lugares geométricos descritos por equações polinomiais. Por exemplo, uma equação de segundo grau permanece de segundo grau depois da mudança de variáveis dada por esses movimentos. O objetivo final deste capítulo é a identificação da cônica a partir dos coeficientes dos termos de segundo grau de sua equação.

3.1 Introdução

σ

Figura 3.1

Os geômetras gregos anteriores a Apolônio de Pérgamo necessitavam de três tipos de cone para obterem seções cônicas pela interseção de um plano (sempre) perpendicular a uma geratriz qualquer de um cone circular reto. Notemos que os gregos, naquela época, imaginavam um cone circular reto como sendo gerado pela revolução de duas retas em torno de um eixo de simetria (conforme figura 3.1). Se o ângulo  , que as duas retas geratrizes formam entre si, for agudo, teremos uma elipse; se for reto, uma parábola; se for obtuso, uma hipérbole. A palavra elipse, na sua etimologia, significava que se alcançaria a outra geratriz quando uma das duas fosse interceptada pelo plano; a parábola, que o plano era paralelo à outra geratriz; a hipérbole, que o plano se afastaria cada vez mais da outra geratriz.

40 Foi Apolônio quem mostrou que bastaria um cone circular reto de duas folhas qualquer para se obter as três (seções) cônicas; o que deveria variar era o ângulo de interseção do plano com uma das duas geratrizes.

Na verdade, basta fazer a revolução de apenas uma reta (a geratriz) para gerar um cone de 2 folhas, conforme a definição seguinte.

Definição 3.1: Consideremos um cone de duas folhas, uma figura que pode ser gerada pela revolução de uma reta g (geratriz) em torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo  em um ponto V (veja a figura 3.2). Chamamos de geratriz qualquer reta do cone que passa por V . Consideremos agora o conjunto de todos os planos que não passam por V . A curva que resulta da interseção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção cônica ou, simplesmente, uma cônica (veja a figura 3.4).

g

θ V

Apolônio de Pérgamo foi um matemático grego da escola alexandrina (c. 261 a.C.), chamado de o grande geômetra. Viveu em Alexandria, Éfeso e Pérgamo. Sua principal obra é um tratado intitulado As cônicas, trabalho composto de oito livros, dos quais sobreviveram sete.

Fonte: http://pt.wikipedia. org/wiki/Apol%C3% B4nio_de_Perga.

e

Figura 3.2

Note que a interseção de um plano, que passa por V , com o cone pode resultar ou no ponto V , ou em uma reta (interseção do cone com um plano tangente a ele) ou em duas retas (interseção do cone com um plano secante que contenha V ), que alguns autores chamam de cônicas degeneradas (veja a figura 3.3). r1 A

(um ponto)

r2

B

C

(r1 e r2: um par de retas concorrentes)

V

r

V

(r: uma reta)

V

α α α Figura 3.3

41

Um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica é dito um lugar geométrico. O Teorema de Apolônio, enunciado abaixo, afirma que uma cônica é um dos três lugares geométricos definidos a seguir: • elipse – seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é menor que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, é dito uma elipse.

• parábola – seja dada uma reta (diretriz) d , seja dado um ponto F (foco) fora da reta. O conjunto dos pontos, tais que a distância de cada ponto à diretriz é igual à distância dele até o foco, é dito uma parábola.

• hipérbole - seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é maior que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a diferença das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a ±2a, é dito uma hipérbole.

Figura 3.4 - Seções cônicas

Teorema de Apolônio: Seja C um cone de duas folhas, de vértice V .

Seja p um plano que não contém V . Consideremos a cônica obtida pela intersecção de C com p . Então: Paralelo a nenhuma geratriz: o plano paralelo a p passando por V não contém nenhuma geratriz do cone.

• se p não é paralelo a nenhuma geratriz, então a cônica é uma elipse. Observe que p corta o eixo e em um ângulo  e que p p (note que, quando  = , a curva é uma circunfe< ≤ 2 2 rência, que é uma elipse, então);

42

• se p é paralelo a somente uma geratriz, a cônica é uma parábola (observe que, nesse caso,  =  ); • se p é paralelo a duas geratrizes, a cônica é uma hipérbole (note que, se p cortar o eixo e, 0 <  <  ).

Elipse

Parábola

Hipérbole

α>θ

α=θ

α<θ

θ

θ

θ

V

V

V

α

α

α

π π

π

Figura 3.5

Não apresentaremos aqui a prova desse teorema, também chamada de prova de Dandelin, que utiliza esferas inscritas em um cone — essas esferas, hoje, são conhecidas como esferas de Dandelin, em homenagem a esse matemático belga. A prova pode ser encontrada em alguns livros (por exemplo, em [7]). Há vários sítios na rede com essa prova, que depende muito de uma boa representação gráfica para ser bem compreendida. A seguir, um pouco de teoria sobre cada cônica.

3.2 Parábola Definição 3.2. Dados uma reta r e um ponto F no plano  2, tais que F não pertence a r, uma parábola p de foco F e diretriz r é o conjunto dos pontos P eqüidistantes de F e de r , isto é,

Paralelo a somente uma geratriz: o plano paralelo a p passando por V contém somente uma geratriz do cone.

Paralelo a duas geratrizes: o plano paralelo a p passando por V contém duas geratrizes do cone.

43

p = {P ∈  2 | d (P, F) = d (P, r )}.

F r Figura 3.6

Uma parábola no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, podemos considerar uma parábola qualquer como um conjunto de pontos ( x, y ) do plano tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.

-5  -3  e o ponto F =  2,  . Seja 4  4  ( x, y ) um ponto P arbitrário da parábola p, definida a partir dessa diretriz e desse foco. Temos que Exemplo 1: Considere a reta r : y =

2

d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇔

3 5  ( x - 2) 2 +  y +  = y + 4 4  2

⇔

2

3  5  ⇔ ( x - 2) 2 +  y +  =  y +  ; 4  4 

que, por sua vez, é equivalente à equação y = x 2 - 4 x + 3.

Lembre-se que o gráfico da função g é o conjunto {( x, g ( x)) : x ∈ } .

Dada agora a função quadrática g :  →  g ( x) = x 2 - 4 x + 3, a parábola acima é o gráfico de g.

definida por

Parábola é a primeira cônica ao qual somos apresentados, ainda no nível fundamental, como sendo a curva que representa o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano.

44

Definição 3.3. Uma função f :  →  é dita ser quadrática (ou do segundo grau) se, e somente se, existirem constantes reais a, b e c, com a ≠ 0, tais que ∀x ∈ , f ( x) = ax 2 + bx + c.

As funções f :  →  dadas por f ( x) = x 2, f ( x) = ( x + 3) 2, ou f ( x) = -0,5 x 2 + 0,9 x são, todas, exemplos de funções quadráticas.

Observe que nem toda parábola é o gráfico de uma função quadrática, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 2: Vamos obter uma equação para a parábola de foco F = (-1,1) e diretriz r : y = x. Se P = ( x, y ) é um ponto arbitrário dessa parábola, temos: d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇒ ( x + 1) 2 + ( y - 1) 2 =

y-x 2

.

Calculando, obtemos (verifique!) que essa equação é equivalente à equação x 2 + 2 xy + y 2 + 4 x - 4 y + 4 = 0.

Note que a equação encontrada no exemplo 1 corresponde a uma equação que define uma função quadrática. Porém, a equação do exemplo 2 não corresponde a uma equação de função quadrática, pois dado um valor arbitrário para x (com exceção de apenas um valor, descubra qual) existem dois valores possíveis para y . A figura abaixo nos dá um esboço desta parábola, cujos eixos de simetria não são paralelos aos eixos cartesianos.

y F

d

x Figura 3.7

45

Exemplo 3: Vamos obter uma equação para a parábola de foco F = (0, p ) e diretriz r : y = - p, p > 0 . Se P = ( x, y ) é um ponto arbitrário dessa parábola, temos: d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇔

( x - 0) 2 + ( y - p ) 2 = y + p

⇔

2

3  ⇔ ( x - 0) +  y +  = ( y + p ) 2 ⇔ 4  2

⇔

x 2 - 4 yp = 0.

1 , então obtemos a parábola y = ax 2. Deste modo, 4a 2 o foco e a diretriz da parábola y = ax são, respectivamente,

Note que se p =

1  1   0,  e r : y = - 4a .  4a 

Exercício 1) Obtenha uma equação para as parábolas, cujo foco e cuja diretriz são dados abaixo, esboçando-as: a) F = (0, -1), r : y = 1; 1 1  b) F =  , 0  , r : x = - ; 4 4  c) F = (0, 0), r : y = x + 1.

O eixo de uma parábola é, por definição, a reta perpendicular à sua diretriz que passa por seu foco. Esse eixo é um eixo de simetria da figura (a definição de parábola resulta em uma figura simétrica em relação à reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz) . O eixo de uma parábola é uma reta vertical se, e somente se, a diretriz dessa parábola é uma reta horizontal. O eixo de simetria da parábola intercepta-a em um ponto chamado de vértice. Vamos mostrar que a equação de uma parábola é da forma y = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0, se, e somente se, o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas.

Proposição 3.1. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cujo eixo é paralelo ao eixo das ordenadas.

46

Demonstração: Considere a função quadrática y = ax 2 + bx + c , em que a ≠ 0. Note que essa equação é equivalente à equação  b b2  b2 + c. y = a  x2 + x + 2  a 4a  4a  Denotando b 2 - 4ac por ∆, essa equação também é equivalente à equação 2 ∆ b   y+ = a x +  .

4a 2a   Fazendo y ' = y +

∆ b e x' = x + , podemos reescrever esta equa4a 2a

2 ção da seguinte forma y ' = a ( x ') , que corresponde (ver exemplo 3)  1  a uma parábola cujos foco e diretriz, no eixo 0 x '0 y ' , são  0,  e  4a  1 r : y = - , respectivamente (ver figura 3.8).

4a

y

y'

− ∆ 4a

x' 0

− b 2a

x

Figura 3.8

Deste modo, no sistema 0 x0 y , y = ax 2 + bx + c é a equação da pa b -∆ + 1  rábola cujo foco é o ponto  - ,  e cuja diretriz é a reta  2a 4a  - ∆ -1 . y= 4a Por conseguinte, o seu eixo de simetria, que é perpendicular à diretriz, é uma reta vertical, isto é, paralelo ao eixo das ordenadas.

■

47

Exercício 2) Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por a) y = x 2 ; b) y = x 2 + 2; c) y = x 2 + 4 x + 4; d) y = - x 2 ; e) y = 2 x 2 - 7 x + 2; f) y = -2 x 2 + x.

Vamos mostrar agora a recíproca da proposição anterior.

Proposição 3.2. Uma parábola cujo eixo é uma reta vertical é o gráfico de uma função quadrática.

Demonstração: Seja p uma parábola com eixo vertical. Logo, sua diretriz é uma reta horizontal: y = c, em que c denota uma constante.

Seja F = (r , s ) seu foco. Como F não pertence à diretriz, s ≠ c.

Assim, para todo ponto ( x, y ) da parábola, temos que

( x - r )2 + ( y - s)2 = y - c .

Logo, 2( s - c) y = x 2 - 2rx + r 2 + s 2 - c 2 .

Como s ≠ c, podemos definir a :=

1 r r 2 + s2 - c2 , b := , c := .

2( s - c) ( s - c) 2( s - c)

Assim, a equação acima fica na forma y = ax 2 + bx + c, que define uma função quadrática.

■

Exercício 3) Aplicando a técnica utilizada na demonstração da proposição acima, obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as parábolas com foco e diretriz, dadas a seguir:

48

1 3  a) F =  , 0  , r : y = - ; 2 2  1 7  b) F =  , 0  , r : y = ; 2 2  3 5  c) F =  0, -  , r : y = - .

4 4  Observação: No exercício 1 b), vimos que uma equação da parábola 1 1  com foco  , 0  e diretriz r : y = é x = y 2, cujo traçado cor4a  4  responde à união dos gráficos das funções y = x e y = - x , em que x ≥ 0 . Da mesma forma, o gráfico da função y - y 0 = x - x0 , x ≥ x0 , é um dos ramos da parábola ( y - y0 ) 2 = x - x0 , cujo eixo de simetria é a reta y = y 0 e o vértice, o ponto ( x0 , y0 ) . Note que y - y0 = x - x0 ⇒ ( y - y0 ) 2 = x - x0 mas que a recíproca não é válida.

Exercício 4) Esboce o gráfico das funções abaixo. a) y = x - 2 + 1; b) y = - x - 2 + 1; c) y = - x - 2 - 1; d) y = 2 x - 2 + 1 .

Uma parábola, cujo eixo é paralelo é paralelo a um dos eixos coordenados, é descrita por uma das duas (famílias de) equações seguintes (a equação normal de uma parábola): • y - y0 = ( x - x0 ) 2 (o eixo de simetria é a reta y = y0 ); • x - x0 = ( y - y0 ) 2 (o eixo de simetria é a reta x = x0 ).

49

3.3 Elipse A excentricidade de uma elipse é um número entre c 0 e 1  0 < < 1 , que a   determina a sua forma.

Se este número for próximo de zero, então a elipse se aproxima de uma circunferência e se for próximo de 1 então a elipse se aproxima de um segmento de reta.

Definição 3.4. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é mec nor que 2a. A elipse E de focos F1 e F2, de excentricidade , é o a conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a , isto é, E = {P ∈  2 | d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a}.

Uma elipse no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, podemos representar uma elipse qualquer como um conjunto de pontos ( x, y ), do plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.

Exemplo 1: Considere os focos F1F=1 =(-(c-,c0), , 0), eF2F=2 =(c(,c0), 0) , c > 0 , e a exc centricidade . Seja ( x, y ) um ponto P arbitrário da elipse, definia da a partir desses dados. Temos que d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a ⇔ ⇔ ⇔

( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a ⇔ ( x + c ) 2 + y 2 = 2a - ( x - c ) 2 + y 2

⇔

2 2 2 2 2 ⇔ ( x + c ) 2 + y 2 = 4a - 4a ( x - c ) + y + ( x - c ) + y

⇔ a ( x - c) 2 + y 2 = a 2 - cx ⇔

⇔ a 2 ( x 2 - 2cx + c 2 ) + a 2 y 2 = a 4 - 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 - a 2c 2

⇔

⇔ (a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) ⇔ ⇔

x2 y2 + = 1. a2 a2 - c2

⇔

⇔

50

Definindo o número positivo b tal que b 2 = a 2 - c 2 , temos que esta equação é equivalente a x2 y2 + =1 a2 b2 que é uma equação da elipse dada.

b (−c, 0)

a (c, 0)

Figura 3.9

Observações: • se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas); • se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então ( x, - y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas).

Esses eixos são os eixos de simetria da elipse. Note que, nesse caso, a figura também é simétrica em relação à origem (0, 0) , pois, se ( x, y ) satisfaz a equação, (- x, - y ) também a satisfaz.

Note que se F1 = (0, -c), F2 = (0, c) e a excentricidade for a mesma, a elipse definida a partir desses dados será a mesma que a resultante de uma rotação de 90° da elipse acima (ver figura 3.10).

Sua equação será, agora, y2 x2 + = 1. a2 b2 Agora, se girarmos a elipse de 45o, as coordenadas dos focos são diferentes: c   c  c c  F1 =  ,,  , F2 =  .

2 2   2 2

(0,c) a b

(0,−c)

Figura 3.10

51

Vamos calcular a sua equação, como antes: d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a ⇔ 2

2

2

2

2

2

⇔

c   c  c   c    x +  +y+  + x  +y = 2a ⇔ 2  2 2  2  

⇔

c   c  c   c    x +  +y+  = 2a -  x  +y 2  2 2  2  

2

2

2

2

2

2

⇔

2

c   c  c   c  c   c     ⇔ x +  +y+  = 4a 2 +  x  +y - 4a  x  +y 2  2 2  2 2  2    2



2

⇔

2

  cy c  c  cx  a  x     y    a 2  2 2 2 2   2



2

  a 2 cy c  c  c2x2 c2 y2 a 2 cx  2 2  c 2 xy    a 4   a  x    a 2  y  2 2 2 2 2 2   2

 a 2 x 2  a 2 y 2  a 2c 2  a 4 

c2 x2 c2 y2   c 2 xy  2 2

⇔ (2a 2 - c 2 ) x 2 + (2a 2 - c 2 ) y 2 - 2c 2 xy = 2(a 4 - a 2 c 2 ) ⇔ ⇔ (a 2 + b 2 )x 2 + (a 2 + b 2 ) y 2 - 2(a 2 - b 2 ) xy = 2a 2b 2.

a b

Figura 3.11

52

Exercício 5) Ache equação para a elipse 3 ; 5 4 b) cujos focos são (0, -4) e (0, 4), e cuja excentricidade é ; 5

a) cujos focos são (-3, 0) e (3, 0), e cuja excentricidade é

c) cujos focos são (-c + x0 , 0) e (c + x0 , 0), c e cuja excentricidade é ; a d) cujos focos são (0, -c + y0 ) e (0, c + y0 ), c e cuja excentricidade é ; a e) cujos focos são (-c + x0 , y0 ) e (c + x0 , y0 ), c e cuja excentricidade é ; a f) cujos focos são ( x0 , -c + y0 ) e ( x0 , c + y0 ), c e cuja excentricidade é ; a g) cujos focos são (-2 2, -2 2) e (2 2, 2 2), 4 e cuja excentricidade é ; 5 h) cujos focos são ( - 3,3) e (3,3), e passa pelo ponto (0, 7); i) cujos focos são ( - 3, -1) e (5, -1), e passa pelo ponto (1, 2).

3.4 Hipérbole Definição 3.5. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é maior c que 2a. A hipérbole H de focos F1 e F2 , de excentricidade , é o a conjunto dos pontos P , tais que o valor absoluto da diferença das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, isto é, H = {P ∈  2 ; | d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a}.

A excentricidade de uma hipérbole é um número c  maior do que 1 1 <  a   que está relacionado com a abertura da hipérbole.

Quanto maior ele for, maior é a abertura da hipérbole.

53

Como anteriormente, uma hipérbole no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, é um conjunto de pontos ( x, y ), do plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.

Exemplo 1: Considere os focos F1 = (-c, 0), F2 = (c, 0) e a excentricic dade . Seja ( x, y ) um ponto P arbitrário da hipérbole, definida a a partir desses dados. Temos que | d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a ⇔ ⇔

( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 = 2a ⇔

⇔ ( ( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 = 4a 2

⇔

⇔ ( x + c) 2 + y 2 + ( x - c) 2 + y 2 = = 4a 2 + 2 ( x + c ) 2 + y 2 ( x - c ) 2 + y 2 ⇔

⇔

x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 = ( x + c ) 2 + y 2 ( x - c ) 2 + y 2

⇔

⇔ ( x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 ) 2 = [( x + c) 2 + y 2 ][( x - c) 2 + y 2 ] ⇔ ⇔

x 4 + y 4 + c 4 + 4 a 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 c 2 - 4 x 2 a 2 + 2 y 2 c 2 - 4 y 2 a 2 - 4c 2 a 2 =

= ( x 2 - c 2 ) 2 + y 2 [( x + c) 2 + ( x - c) 2 ] + y 4 ⇔ 4a 4 - 4c 2 a 2 = -4 x 2 c 2 + 4 x 2 a 2 + 4 y 2 a 2 ⇔

x 2c 2 - x 2a 2 - a 2 y 2 = a 2c 2 - a 4

⇔ ⇔

⇔

⇔ (c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 y 2 = a 2 (c 2 - a 2 ) ⇔ ⇔

x2 y2 = 1. a2 c2 - a2

Definindo o número positivo b, tal que, b 2 = c 2 - a 2, temos que esta equação é equivalente a

54

x2 y2 = 1, a2 b2 que é uma equação da hipérbole dada.

(−c,0)

(c,0) (−a,0)

(a,0)

Figura 3.12

Observações: • se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas); • se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então ( x, - y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas); • se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, - y ) também a satisfaz (simetria em relação à origem (0, 0) ); • os pontos dessa hipérbole têm abcissas não nulas e y 2 b2 b2 b2 b2 2 2 = ≤ . Logo, y ≤ 2 x , ou seja, os pontos dessa x2 a2 x2 a2 a b hipérbole estão entre as retas y = ± x; a • os pontos da hipérbole, quando x tende a ± ∞, tendem a se b aproximar das retas y = ± x . Por isso, chamamos essas retas a de assíntotas da hipérbole.

Note que se F1 = (0, -c), F2 = (0, c) e a excentricidade for a mesma, a hipérbole definida a partir desses dados será a mesma que a resultante de uma rotação de 90 da hipérbole acima.

55 2 2 Sua equação será, agora, y - x = 1 e suas assíntotas, y = ± a x. b a2 b2

(0,c)

(0,a)

(0,−a)

(0,−c) Figura 3.13

A hipérbole de excentricidade

c e focos a

c   c  c c  F1 =  ,,  , F2 =   2 2   2 2 pode ser calculada, a partir da definição de hipérbole, analogamente a como foi feito com a elipse:

| d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a ⇔ 2

⇔

2

2

c   c  c   c    x+  + y+  - x + y 2  2 2  2   2

2

2

2

2

2

= 2a ⇔

2

 c   c   c   c  ⇔  x +  +  y +  +  x  +  y  = 2  2  2  2 

c   c   = 4a + 2  x +  +y+  2  2  2

2

c   c   x  +y 2  2 

2

⇔

56

⇔ x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 = 2

2

2

  c2   c2  c2  =  x 2 -  +  y 2 -  + 2  xy -  + c 2 ( x - y ) 2 2  2 2  

⇔

⇔ ( x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 ) 2 = 2

2

2

 2 c2   2 c2   c2  =  x -  +  y -  + 2  xy -  + c 2 ( x - y ) 2 2  2 2  

⇔

⇔

x 4 + y 4 + c 4 + 4 a 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 c 2 - 4 x 2 a 2 + 2 y 2 c 2 - 4 y 2 a 2 - 4c 2 a 2 =

⇔ = x4 +

c4 c4 c4 - c 2 x 2 + y 4 + - c 2 y 2 + 2 x 2 y 2 + - 2 xyc 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 - 2c 2 xy ⇔ 4 4 2

⇔ c 2 x 2 - 2a 2 x 2 + c 2 y 2 - 2a 2 y 2 + 2c 2 xy = 2c 2 a 2 - 2a 4

⇔

⇔ (c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 x 2 + (c 2 - a 2 ) y 2 - a 2 y 2 + 2c 2 xy = 2(c 2 - a 2 )a 2

⇔

⇔ (b 2 - a 2 ) x 2 + (b 2 - a 2 ) y 2 + 2(b 2 + a 2 ) xy = 2b 2 a 2.

Observe na equação acima que, se b = a = 2 , então c = 2. Logo, 1 y = , e o gráfico da hipérbole, nesse caso, é o seguinte: x

( 2, 2) (− 2 , − 2 )

Figura 3.14

Exercício 6) Ache equação para a hipérbole a) cujos focos são ( - 5, 0) e (5, 0), e cuja excentricidade é

5 ; 3

57

b) cujos focos são (0, -5) e (0,5), e cuja excentricidade é

5 ; 4

c) cujos focos são ( - c + x0 , 0) e (c + x0 , 0) , c e cuja excentricidade é ; a d) cujos focos são (0, -c + y0 ) e (0, c + y0 ) , c e cuja excentricidade é ; a e) cujos focos são (-c + x0 , y0 ) e (c + x0 , y0 ), c e cuja excentricidade é ; a f) cujos focos são ( x0 , -c + y0 ) e ( x0 , c + y0 ), c e cuja excentricidade é ; a  -5 -5   5 5  g) cujos focos são  , ,  e  ,  2 2  2 2 5 e cuja excentricidade é ; 4

h) cujos focos são ( - 5,3) e (5,3), e passa pelo ponto (3,3); i) cujos focos são ( - 3, -6) e (-3,4), e passa pelo ponto (-3,3).

3.5 Rotação de eixos Veremos que uma curva no plano cartesiano é uma cônica somente se as coordenadas cartesianas de seus pontos satisfazem uma equação do tipo Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

Além disso, uma cônica c será identificada por uma regra simples: • c é uma hipérbole somente se B 2 - 4 AC > 0 ; • c é uma elipse somente se B 2 - 4 AC < 0 ; • c é uma parábola somente se B 2 - 4 AC = 0 .

58

Essa regra não é da forma “se e somente se” porque a equação geral acima pode representar vários conjuntos diferentes de cônicas: o conjunto vazio (por exemplo, x 2 + 2 = 0 ), duas retas paralelas (por exemplo, x 2 - 1 = 0 ), uma reta (por exemplo, x 2 = 0 ).

Lembre que as formas normais das cônicas, isto é, as suas expressões quando seus eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados são: • y - y0 = ( x - x0 ) 2 (parábola cujo eixo de simetria é a reta y = y 0); • x - x0 = ( y - y0 ) 2 (parábola cujo eixo de simetria é a reta x = x0 ); •

( x - x0 ) 2 ( y - y0 ) 2 + =1 a2 b2 (elipse cujos eixos de simetria são x = x0 e y = y 0 );

•

( x - x0 ) 2 ( y - y0 ) 2 = ±1 a2 b2 (hipérbole cujos eixos de simetria são x = x0 e y = y 0 ).

Em todas essas equações não há termos (de segundo grau) em xy.

Então a nossa estratégia para identificar uma curva, dada por uma expressão de segundo grau em x e y , será a seguinte: eliminar esse termo cruzado por uma mudança de variáveis conveniente. Se essa curva for uma cônica, então essa curva aparecerá na forma normal se os seus eixos de simetria forem paralelos aos novos eixos coordenados.

Para isso, iremos então girar os eixos até que fiquem paralelos aos eixos de simetria da cônica. Como descobriremos a direção desses eixos? Simples, aplicaremos uma rotação de um ângulo simbólico, obtendo uma nova expressão da curva. Calcularemos, então, qual deve ser o ângulo real zerando o coeficiente de xy na nova expressão.

59

A rotação dos eixos, no sentido anti-horário, de um ângulo , 0 <  < 90, dá origem a novos eixos, em relação aos quais um ponto P, de coordenadas originais ( x, y ), terá, agora, coordenadas ( x ', y ').

Essas novas coordenadas estão relacionadas às antigas pelas seguintes equações: Y Y'

X'

θ P

y V

S x'

U R

y' O

x

θ

X

Figura 3.15

 x ' = x cos  + y sen    y ' = - x sen  + y cos  .

Essas equações são a expressão algébrica das seguintes relações geométricas: OS = OR + RS .  OU = OV - VU Mas a nossa expressão original é em x e y, ou seja, preciso saber como essas coordenadas são escritas em função das novas:  x = x ' cos  - y ' sen  .   y = x ' sen  + y ' cos  Substituindo-as na expressão Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , temos:

60

A( x ' cos  - y ' sen ) 2 + B( x ' cos  - y ' sen )( x ' sen  + y ' cos ) + +C ( x ' sen  + y ' cos ) 2 +

+ D( x ' cos  - y ' sen ) + E ( x ' sen  + y ' cos ) + F = 0.

Fazendo os cálculos,

( A cos 2  + C sen 2  + B cos  sen ) x '2 + +( A sen 2  + C cos 2  - B cos  sen ) y '2 + +[(C - A) 2 cos  sen  + B(cos 2  - sen 2 )]x ' y '+ +( D cos  + E sen ) x '+ ( E cos  - D sen ) y '+ F = 0.

Agora, sejam: A' = ( A cos 2  + C sen 2  + B cos  sen ) , B' = [(C - A) 2 cos  sen  + B(cos 2  - sen 2 )] , C' = ( A sen 2  + C cos 2  - B cos  sen ) , D' = ( D cos  + E sen ), E' = ( E cos  - D sen ) e F ' = F , Então temos A ' x '2 + B ' x ' y '+ C ' y '2 + D ' x '+ E ' y '+ F ' = 0.

Queremos que B ' = 0, isto é,

[(C - A) 2 cos  sen  + B(cos 2  - sen 2 )] = 0 ou seja, que (C - A) sen 2 + B cos 2 = 0.

Temos, assim, dois casos: a) C = A e, logo,  = 45; b) C ≠ A e, nesse caso, tg 2 =

B .

A-C

Agora, fica fácil identificar que curva é descrita pela equação de 2º grau: A′x′2 + C ′y′2 + D′x′ + E ′y′ + F ′ = 0, A′ ≠ 0 ou C ′ ≠ 0 • se for parábola, ou A ' = 0 ou C ' = 0, o que é equivalente a A '.C ' = 0 ; • se for elipse, A ' e C ' têm o mesmo sinal, isto é, A '.C ' > 0 ; • se for hipérbole, A ' e C ' têm sinais contrários, ou seja, A '.C ' < 0.

61

Mas,

A '.C ' = ( A cos 2  + C sen 2  + B cos  sen )( A sen 2  + C cos 2  - B cos  sen ) = = ( A cos 2  + C sen 2 )( A sen 2  + C cos 2 ) - B 2 cos 2  sen 2  + + B cos  sen ( A sen 2  + C cos 2  - A cos 2  - C sen 2 ) = = ( A2 + C 2 ) cos 2  sen 2  + AC (sen 4  + cos 4 ) - B 2 cos 2  sen 2  + + B cos  sen  (C cos 2 - A cos 2) =

= ( A2 + C 2 ) cos 2  sen 2  + AC (sen 4  + 2 cos 2  sen 2  + cos 4 ) - 2 AC cos 2  sen 2  + sen 2 cos 2 - B 2 cos 2  sen 2  = s 2  sen 2  + AC (sen 4  + 2 cos 2  sen 2  + cos 4 ) - 2 AC cos 2  sen 2  + BB(C (C -- AA)) 2 = ( A2 - 2 AC + C 2 ) cos 2  sen 2  + AC (sen 2  + cos 2 ) 2 + sen 2 + B (C - A) cos 2 - B 2 cos 2  sen 2  = 2 sen 2 2 sen 2 = [( A - C ) - B ] + AC + B(C - A) cos 2 = 4 2 2

2

= [( A - C ) 2 - B 2 ]

sen 2 2 cos 2 2 - B2 + AC , 4 2

pois o ângulo  é tal que ( A - C ) sen 2 = B cos 2. Agora, como sen 2 2 + cos 2 2 = 1, essa expressão é igual a ( A - C )2

sen 2 2 sen 2 2 cos 2 2 cos 2 2 - B2 - B2 - B2 + AC = 4 4 4 4 = ( A - C )2 =

sen 2 2 B 2 cos 2 2 - B2 + AC = 4 4 4

( A - C ) 2 sen 2 2 - B 2 cos 2 2 B2 + AC = 4 4

B2 = AC , 4 novamente, pela igualdade ( A - C ) sen 2 = B cos 2.

62 B2 Assim, A ' C ' = AC - . Então, 4 • A ' C ' = 0 ⇔ AC -

B2 = 0 ⇔ B 2 - 4 AC = 0; 4

• A ' C ' > 0 ⇔ AC -

B2 > 0 ⇔ B 2 - 4 AC < 0; 4

• A ' C ' < 0 ⇔ AC -

B2 < 0 ⇔ B 2 - 4 AC > 0.

4

Terminamos de provar o seguinte teorema: Teorema. Se uma curva no plano cartesiano é uma cônica então as coordenadas dos pontos da curva satisfazem uma equação do tipo Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, em que A ≠ 0 ou B ≠ 0 ou C ≠ 0, e a curva, então, será • parábola se, e somente se, B 2 - 4 AC = 0; • elipse se, e somente se, B 2 - 4 AC < 0; • hipérbole se, e somente se, B 2 - 4 AC > 0.

Exercícios 7) Identifique as cônicas abaixo, transformando as equações na sua forma normal. a) x 2 + 9 y 2 + 6 x - 18 y + 36 = 0; b) x 2 - 9 y 2 + 6 x - 18 y - 36 = 0; c) x 2 + 6 x - y - 12 = 0; d) x 2 + x + 1 - y = 0; e) - y 2 + x - 12 = 0; f) x 2 - 4 y 2 + 4 x - 12 = 0; 2 2 g) ( x + y ) + ( x - y ) - 20 x + 8 y = 6.

63

8) Ache um ângulo apropriado para girar os eixos e eliminar o termo xy nas equações a seguir; calcule a equação nesses novos eixos e esboce, então, o gráfico correspondente. a) 2 xy = 1; b) 3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 4; c) 2 x 2 + xy + y 2 = 3; d) 21x 2 - 10 3 xy + 31 y 2 = 144 ; e) 2 x 2 - 3 xy - 2 y 2 + 10 = 0; f) x 2 - 3 xy + y 2 + x - y = 1; g) 16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 + 60 x - 80 y + 100 = 0; h) 3 x 2 - 2 xy + y 2 + 2 x + y = 2; i) 3 x 2 + 8 xy - 3 y 2 - 4 5 x + 8 5 y = 0; j) 3 x 2 - 2 3 xy + y 2 + 2 x + 2 3 y = 0.

9) Identifique as cônicas abaixo. a) x 2 + 2 xy + 9 y 2 + 6 x - 18 y = 100; b) x 2 + 2 xy + y 2 + 3 x - 2 y = 100; c) x 2 + 2 xy + y 2 + 3 x - 2 y = 100; d) x 2 + xy + 3 x - 2 y = 100; e) ( x + y ) 2 + ( x - y ) 2 - 2 y = 100; f) x 2 + 4 xy + 4 y 2 + 3x - 2 y = 100.

3.6 Observações finais 1 é a hipérbole x cujos eixos de simetria são as retas y = x e y = - x , cujos focos são (- 2, - 2) e ( 2, 2), e 2a = 2 2 . Há outras funções que podem ser definidas a partir de elipses e hipérboles, que pertencem à classe das funções irracionais.

Vimos que o gráfico da função recíproca y =

64

Algumas funções irracionais Funções do tipo y - y0 = ± b 1 -

( x - x0 ) 2 , b > 0, a2

cujos gráficos são semi-elipses, ou funções do tipo y - y0 = ± b 1 +

( x - x0 ) 2 , b > 0, a2

cujos gráficos são um dos ramos de uma hipérbole, ou do tipo y - y0 = ± b

( x - x0 ) 2 - 1, b > 0, a2

cujos gráficos dão semi-hipérboles, são funções ditas irracionais (lembre-se que c, o raio focal da hipérbole satisfaz a relação c 2 = a 2 + b 2 ). Observe os gráficos a seguir. i) y - y0 = -

b a2 - x2 a y x (−a, y0)

(a, y0)

(0, −b+y0) Figura 3.16

ii) y =

b a2 + x2 a

y (0, b) x y= bx a

y=− b x a Figura 3.17

65

iii) y =

b x2 - a2 a y

(−a, 0) y = − ab x

x (a, 0) y = ab x

Figura 3.18

Exercício 10) Esboce o gráfico de cada função abaixo. a) y =

1 ; ( x - 1)

1 b) y - 1 = ; x c) y - 1 =

1 ; ( x - 1)

d) x. y = 0; e) x. y = 2; f) x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0; g) ( x - 1) 2 + y 2 = 4, y ≥ 0; h) y = - 1 - x 2 ; i) y = 1 - 4 x 2 ; j) y = -

x 2 - 1;

k) y - 2 = 2

x 2 - 1;

l) y - 2 = 2 1 - x 2 ; m) y - 2 = 2 1 - 4 x 2 ; n) y - 2 = 2 1 - 2 x + x 2 ; o) y - 2 = 2 2 x + x 2 ; 2 x2 - 2x . p) y - 2 = 3

66

Resumo • seções cônicas; • equação de parábola; • equação de elipse; • equação de hipérbole; • rotação de eixos; • identificação de cônicas a partir dos coeficientes dos seus termos de segundo grau.

Bibliografia comentada LINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.

Esse livro é uma coletânea de artigos de professores de ensino médio dos Estados Unidos. A seção sobre cônicas é ótima, recomendo-a para ser lida por todos aqueles que querem aprender bastante sobre cônicas. Entretanto, não apresenta a identificação de cônicas via rotação de eixos.

SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum) Um dos poucos livros modernos onde se pode ler sobre rotação de eixos e sua conseqüência no estudo de cônicas. Recomendo, fortemente, a todos que querem fixar este conteúdo.

CapĂ­tulo 4 Vetores

Em Matemática, vetor tem um sentido bem mais geral do que o conceito apresentado aqui. No entanto, os vetores em geometria são fundamentais para a formação de uma intuição a respeito desses objetos em contextos mais avançados.

Capítulo 4 Vetores Neste capítulo, introduziremos a noção de vetor, que será de enorme utilidade no estudo da geometria analítica.

4.1 Espaço cartesiano Na primeira parte deste livro, você estudou Geometria Plana, utilizando coordenadas cartesianas no plano. Ou seja, no plano euclidiano P, foi fixada uma de medida e foram fixa unidade  dos dois eixos ortogonais, OX e OY (os eixos coordenados), interceptando-se em um ponto O, a origem. Escolhido  um ponto P ∈ P, traçam-se retas perpendiculares a OX e OY , passando por P,   que interceptam OX e OY nos pontos R e S. Os comprimentos dos segmentos OR e OS , xP e yP, respectivamente, são ditos as coordenadas cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P ∈ P um par ordenado ( xP , yP ) de números reais. Note que essa associação depende sempre da escolha da unidade de medida, dos eixos e da origem; outras escolhas podem associar coordenadas diferentes a um mesmo ponto.

Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e os eixos coordenados, dado um par ( x, y ) de números reais, podese obter, de modo único, um ponto P do plano cuja abscissa é x e cuja ordenada é y. Em outras palavras, fixado um sistema de eixos ortogonais no plano, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o fato fundamental que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana.

Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a E, fixados três eixos muGeometria Espacial. No espaço  euclidiano  tuamente ortogonais OX , OY e OZ intersectando-se na origem O , dado um ponto P ∈ E, podem se traçar uma reta perpendicular ao eixo  OZ e uma outra reta perpendicular ao plano contendo as retas OX e OY , o plano XY, passando por P.

70

O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de interseção da primeira perpendicular com o eixo OZ , z P é dito a cota de P. A segunda perpendicular intersecta o plano XY em um único ponto, digamos Aseguir, por este ponto traçamos retas perpen P '.  diculares a OX e OY , interceptando esses eixos em pontos cujas distâncias até a origem são xP e yP, respectivamente a abscissa e a ordenada de P. Os números reais xP , yP e z P são as coordenadas cartesianas de P no espaço (ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo ponto P ∈ P um terno ordenado ( xP , yP , z P ) de números reais. Novamente, essa associação depende sempre da escolha dos eixos e da origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo ponto. Usaremos ainda a notação P ( x, y, z ) para indicar que o ponto P do espaço tem coordenadas cartesianas x, y e z.

z zp P(xp , yp , zp)

yp

y

xp x Figura 4.1

Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e 4m de altura. Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as coordenadas dos seguintes pontos: a) dos oito cantos da sala; b) do ponto de interseção das diagonais do piso; c) de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do plano.

71

z 8

P7

P8 6

P P6

P5

P4

P1

4

x

y

D P2

P3 Figura 4.2

Resolução: a) Embora possamos escolher um sistema de coordenadas de várias maneiras, a escolha de um dos cantos inferiores da sala é a mais simples.

Pela simetria da sala, é natural também que alinhemos os eixos ao longo das três arestas da sala concorrentes com o canto que tomamos como origem.

Um sistema assim está mostrado na fig. 4.2. Em relação a tal sistema, temos as seguintes coordenadas para os cantos da sala: P1 (0, 0, 0), P2 (6, 0, 0), P3 (6,8, 0), P4 (0,8, 0), P5 (6, 0, 4), P6 (6,8, 4), P7 (0,8, 4), P8 (0, 0, 4). b) Uma vez que o ponto procurado D está no plano XY , sua terceira coordenada é nula, isto é, z D = 0. As coordenadas xD e yD de D são, respectivamente, 3 e 4, como mostra a fig. 4.3. Logo D(3, 4, 0).

D1

D4

4

3 P D2

8 x Figura 4.3

6

D3

y

72

c) As duas primeiras coordenadas do ponto buscado P coincidem com as de D, pois P e D estão em uma mesma vertical. A terceira coordenada de P é 2 porque P está situado duas unidades acima do plano XY . Logo, P (3, 4, 2).

Exercícios 1) Representar graficamente os seguintes pontos: A(1,3, 2) , B (0, −1, 0) , C (−2, 0,1) .

2) Representar graficamente: a) A reta definida pelos pontos A(2,1,3) e B (4,5, −2) . b) O plano definido pelos pontos A(0, 0,3) , B (2,3,1) e C (0,3, 4).

3) Descreva e represente graficamente os seguintes conjuntos de pontos: a) A = {( x, y, z ) : x = y = 0}; b) B = {( x, y, z ) : x = 2 e y = 3}; c) C = {( x, y, z ) : z = 1}; d) D = {( x, y, z ) : x 2 + y 2 = 1}.

4.2 Vetores na geometria analítica Poderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo como estudamos a plana. Vamos, porém, escolher um caminho diferente. Vamos construir um sistema cartesiano de coordenadas para o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que isso nos permitirá calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de uma forma mais concisa e eficiente.

4.2.1 Vetores e a Física Em cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo, a temperatura) são especificadas se damos um número (sua mag-

73

nitude) e uma unidade de medida. No caso de grandezas vetoriais, por outro lado, além de sua magnitude (em uma unidade de medida), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, para uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grandezas são velocidade e força.

Suponha que seu professor de Física apresentasse para você o seguinte esquema (ver figura 4.4): 3 vistas superiores de um mesmo bloco de massa m sobre uma mesa sem atrito, sendo puxado por duas cordas com força de magnitude F nos sentidos indicados pelas setas.

45° m

m

m

45° A

B

C

Figura 4.4

Esses conceitos (direção e sentido) às vezes são tomados como sinônimos na linguagem corrente, mas nosso exemplo ilustra como é importante diferenciá-los em ciência.

Suponha que seu professor, então, lhe pedisse para descrever como seria o movimento, usando as leis de Newton. Independentemente de sua desenvoltura com a Física, você provavelmente se dará conta que, embora as forças sejam as mesmas em magnitude nos três casos, o movimento resultante é bastante distinto. O caráter vetorial da força manifesta-se justamente nessa dependência da direção e sentido, ao contrário da massa - se dissermos que m = 3 kg, temos toda informação necessária a respeito da mesma. Note ainda que nos esquemas (b) e (c) da figura 4.4, a direção é a mesma, mas não o sentido das forças, e isso faz diferença para o movimento.

Outro aspecto fundamental a respeito das grandezas vetoriais, que é ilustrado na figura 4.4, é como estas se compõem, ou se combinam.

Se juntarmos dois blocos de 2 kg, podemos considerar o composto como um único bloco de 4 kg. A composição ou adição de forças, por outro lado, para obter a chamada força resultante é bastante distinta, e mais complicada, pois devem se levar em consideração a direção e o sentido daquelas.

74

Para fornecer uma descrição quantitativa de grandezas escalares e vetoriais, fixado um sistema de unidades, precisamos, portanto, considerar objetos matemáticos bem distintos: no primeiro caso, números reais; no segundo caso, os vetores. Estes últimos devem ter associados a eles, num sentido a ser tornado preciso, um número real dando sua magnitude, além de sua direção e sentido. Por outro lado, deverá estar definida uma operação entre vetores para obter outro vetor, de forma que se possa reproduzir, abstratamente, o modo como compomos forças na Natureza.

4.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana A área da Matemática onde a noção de vetor pode ser mais naturalmente definida é a Geometria. Afinal, magnitude, direção e sentido são noções de forte apelo geométrico. Algumas observações de caráter metodológico podem ser feitas aqui. É comum representar um vetor por uma seta, ou segmento de reta orientado, e o faremos normalmente a seguir. No entanto, é fundamental que o estudante tenha em mente a distinção entre um vetor, que é um objeto matemático que pode ser definido de forma precisa, e sua representação gráfica, que é um risco em papel. É comum, nos cursos de Física, e mesmo nas partes práticas do curso de Geometria Analítica, que nos contentemos com uma noção intuitiva, cuja importância é inegável.

Na Ciência, no entanto, e principalmente na Matemática, uma boa definição é fundamental. Antes de definirmos vetor, vamos lembrar os elementos que nossa definição deve contemplar: • um vetor deve ter magnitude, direção e sentido; • devemos ser capazes de operar com vetores, obtendo outros vetores.

A fim de comparar a magnitude e o sentido de vetores com a mesma direção, é conveniente termos ainda uma operação correspondente para aumentar ou diminuir a magnitude de um vetor, ou mudar seu sentido, o que será feito operando números com vetores, obtendo novos vetores. Consideraremos vetores na Geometria espacial. Podemos começar com a seguinte Definição Provisória. Um vetor é um par ordenado ( A, B) de pontos do espaço.

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Você pode perguntar: “Por que par ordenado? Não era para ser um segmento de reta orientado?” Bem, há uma boa definição de segmento (não orientado) na geometria, a saber AB = { A, B} ∪ {C : C está entre A e B}.

B

A Figura 4.5 - Representação gráfica de um vetor no plano.

A relação “estar entre” é um conceito primitivo em Geometria Euclidiana, isto é, não é definido. Agora, o uso de par ordenado serve para dar conta da noção de orientação do vetor. De fato, podemos representar um par ordenado ( A, B) graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao ponto B (ver figura 4.5). Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par ( A, B) de pontos.

Dessa forma, além de curta e precisa, nossa definição ainda admite a visualização intuitiva usual.

Um pouco de reflexão, no entanto, mostra que essa definição não pode funcionar como está. Duas setas com mesmo comprimento, direção e sentido em posições distintas do espaço corresponderiam a pares ( A, B) e (C , D) distintos, e portanto a vetores distintos. Isso significa que magnitude, direção e sentido não seriam suficientes para especificar o vetor nesta definição. Em suma, uma boa definição de vetor deve ser tal que a especificação do vetor depende somente de seu módulo, direção e sentido. Em particular, na representação gráfica, setas com mesma magnitude, direção e sentido representariam o mesmo vetor (ver figura 4.6).

1 unidade

1 unidade

1 unidade

Figura 4.6 - Setas com mesmo comprimento, direção e sentido devem representar o mesmo vetor.

B) e (C , D) na figura 4.7 não são colineNote que os segmentos  ( A, ares, isto é, as retas AB e CD não são as mesmas. Todavia, os seg-

76

mentos têm mesmo comprimento, mesma direção (lados opostos de um paralelogramo) e mesmo sentido.

B

D

C

A

Figura 4.7 - Um paralelogramo.

Lembremo-nos da seguinte caracterização de um paralelogramo: Proposição 4.1. Um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais cortam-se mutuamente em seus pontos médios.

Demonstração: Ver em [1].

A seguinte definição resume de modo preciso e rigoroso o que significa para dois segmentos orientados ter mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Nesse caso, diremos que os segmentos são equipolentes: Definição 4.1. Seja ( A, B) um segmento orientado, em que A ≠ B. Diremos que um segmento orientado (C , D) é equipolente a ( A, B), em símbolos (C , D)  ( A, B ), se os segmentos (não orientados) AD e CB têm o mesmo ponto médio. Se A = B, diremos que (C , D) é equipolente a ( A, B) se C = D. A figura 4.7, juntamente com a Proposição 4.1, esclarece porque essa definição funciona no caso de segmentos não colineares. Você pode se convencer, fazendo alguns desenhos, nos quais a definição garante que segmentos colineares que possuem mesmo comprimento, direção e sentido serão equipolentes.

Exercício 4) Sejam ( A, B), (C , D) e ( E , F ) segmentos orientados arbitrários.

Verifique graficamente as relações abaixo no conjunto dos segmentos orientados do espaço.

77

i) ( A, B )  ( A, B ); ii) Se ( A, B )  (C , D), então (C , D)  ( A, B ); iii) Se ( A, B )  (C , D) e (C , D)  ( E , F ), então ( A, B )  ( E , F ) .

(As propriedades (i), (ii) e (iii) significam que a relação de equipolência é uma relação de equivalência) Definição 4.2. Seja ( A, B) um segmento orientado. A classe de equipolência de ( A, B) é o conjunto  AB = {(C , D) segmento orientado: (C , D)  ( A, B)}.

Exercício 5) Use o exercício anterior para mostrar que se ( A, B) e (C , D) são segmentos orientados,     AB ∩ CD ≠ ∅ ⇒ AB = CD ou seja, classes de equipolência ou são disjuntos ou do contrário são iguais. Conclua que   ( A, B )  (C , D) ⇔ AB = CD. Definição 4.3. Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados.

Esta definição significa que cada vetor deve ser pensado como uma coleção de setas, ao invés de uma única seta. Cada seta, ou mais precisamente cada segmento orientado equipolente ao  segmento orientado ( A, B), é um representante do (mesmo) vetor AB. Um destaque especial deve ser dado à classe de equipolência dos pares da forma ( A, A): esta é, por definição, o vetor nulo. Seus representantes podem ser representados graficamente por pontos. Re presentaremos esse vetor por 0. Quando não quisermos enfatizar representantes, denotaremos vetores por u , v, w,.

Dado um vetor v , e qualquer representante ( A, B), note que o comprimento | AB | do segmento AB é o mesmo de qualquer outro representante, pois se ( A, B )  (C , D ), então | AB | = | CD | .

78

Um fato que será fundamental para nós é o seguinte: Teorema 4.1. Dado um segmento orientado ( A, B) e um ponto O, existe um único ponto X tal que ( A, B )  (O, X ).

Demonstração: Se A = B , pomos X = O. Se A ≠ B, temos dois casos: O não é colinear com A e B, ou é. No primeiro caso, X é simplesmente o quarto vértice do paralelogramo do qual AB e AO são lados consecutivos. O segundo caso tem dois subcasos: i) A está entre O e B , O = A ou O está entre A e B . Neste caso, tome a semi-reta de O a B e X o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a ( A, B ) (no caso O = A, temos claramente X = B ). ii) O = B ou B está entre A e O . Neste caso, tome a semi-reta oposta à semi-reta que vai de O a A e o ponto X como o único ponto tal que o segmento OX seja congruente a AB. ■ Em particular, se v é um  vetor e O um ponto, então existe um único ponto X tal que v = OX . Reciprocamente, fixado o ponto O, para cada ponto X existe um único vetor que tem  (O, X ) como representante, a saber a classe de equipolência OX . Isso significa que, fixado um ponto O , existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos. Esse fato será fundamental para compreender o que virá a seguir.

4.2.3 Operações com vetores Além de uma definição adequada de vetores, temos que operar com eles de modo conveniente. Historicamente, a motivação para essas definições é que as mesmas reproduzem adequadamente o comportamento de grandezas vetoriais na Física e na Engenharia.

A primeira dessas operações é a chamada soma ou adição de vetores.

O porquê desse nome é que essa operação, como veremos, satisfaz propriedades algébricas muito parecidas com as da adição de números reais.

79

Sejam u e v vetores. Escolha um ponto O arbitrariamente.   Pelo Teorema 4.1, existem únicos pontos X e Y tais que u = OX e v = OY .

Tomando Y como referência, existe, pelo mesmo teorema, um único (Y , Z )  (O, X ). Por definição, a soma de u e v é o veZ ponto  tal que tor OZ . Esse vetor soma é denotado por u + v. No caso em que O, X , Y são não colineares, Z é o quarto vértice do paralelogramo cujos lados adjacentes são OX e OY (fig. 4.8). Por isso, a regra para obter o vetor soma é chamada regra do paralelogramo. z x

u v

O

u+v y

Figura 4.8

A figura 4.8 também deixa claro que se tivéssemos escolhido X como referência e tomado o único ponto W tal que ( X , W )  (O, Y ), então W = Z . Isto significa que a soma de vetores é comutativa, isto é, u + v = v + u. É possível, embora um tanto trabalhoso, mostrar que, se escolhêssemos um outro ponto O ', e pontos X ' e Y ', obteríamos, repetindo o processo descrito acima, um ponto Z ' tal que (O ', Z ')  (O, Z ), definindo portanto a mesma classe de equipolência, isto é, o mesmo vetor. Isso significa que o vetor soma u + v não depende do ponto de referência O, somente de u e v .    Sendo 0 o vetor nulo, v + 0 = 0 + v = v, para qualquer vetor v. O vetor nulo, funciona então como o elemento neutro para a operação de adição de vetores. Será que essa operação tem elementos inversos?

Ou seja, dado um vetor v, será que existe um vetor oposto −v tal que v + (−v) = (−v) + v = 0 ? A resposta é sim. Seja ( A, B) um representante qualquer de v . Defina −v como a classe de equipolência do segmento orientado ( B, A). Representantes de −v são representados graficamente por setas com mesmo comprimento e direção de representantes de v, mas com sentido oposto. Enfatizamos que a esta altura −v é somente uma notação para o oposto, ou inverso aditivo, de v. Ainda não falamos da multiplicação de vetores por números, de modo que a priori não faz sentido (ainda) dizer que −v = (−1) ⋅ v .

80

Exercício 6) Verifique, escolhendo um ponto de referência O , que v + (−v) = 0.

Outra propriedade da adição de vetores que é idêntica a operações com números, é a associatividade: (u + v) + w = u + (v + w), para quaisquer vetores u, v, w. Não demonstraremos esta propriedade, mas a ilustramos na figura 4.9. v u

u+v

v+w

w

(u+v)+w = u+(v+w) Figura 4.9

Em resumo, temos as seguintes propriedades da soma de vetores: (A1) (Comutatividade) u + v = v + u, para quaisquer vetores u, v.

(A2) (Associatividade) (u + v) + w = u + (v + w), para quaisquer vetores u, v, w.  0 é o vetor nulo, v um vetor qualquer, (A3) (Elemento neutro) Se   v + 0 = 0 + v = v.

(A4) (Inverso aditivo) Dado qualquer vetor v, existe um vetor −v  tal que v + (−v) = (−v) + v = 0.

Exercício 7) Seja w um vetor tal que para todo vetor v, v + w = w + v = v.

Mostre, usando apenas as propriedades (A1) − (A4), que w = 0.

Ou seja, o elemento neutro da adição é único. Seja v um ve w, w ' vetores tais que v + w = w + v = 0 tor qualquer, e sejam  e v + w ' = w '+ v = 0. Mostre, novamente usando apenas as propriedades (A1) − (A4), que w = w '. O inverso aditivo de cada vetor v é portanto único, justificando nossa notação −v.

Tendo definido adição de vetores e obtido suas propriedades, é natural definir a subtração de vetores u, v quaisquer pondo u − v = u + (−v).

81

u−v

u v Figura 4.10

A interpretação geométrica, no caso em que u e v são não nulos e com direções distintas, está ilustrada na figura 4.10.

As seguintes propriedades da subtração de vetores podem ser facilmente mostradas, utilizando-se a definição e as propriedades (A1) − (A4) da adição:  (S1) v − v = 0, para qualquer vetor v; (S2) u − v = −(v − u ), para quaisquer vetores u, v; (S3) (u − v) + (v − w) = u − w, para quaisquer vetores u, v, w.

Por exemplo, para checar a propriedade (S2) assumindo (S1) e (S3),  basta notar que (v − u ) + (u − v) = v − v = 0 e, portanto, u − v = −(v − u ) pela unicidade do elemento inverso aditivo.

Outra operação fundamental de vetores é multiplicação por esca lar. Seja v um vetor, ∈ . Se  = 0, definimos  ⋅ v = 0 (vetor nulo).

Tome ( A, B) um representante qualquer de v . Se  > 0, tome B ' na semi-reta de A a B tal que . | AB | = | AB ' |. Se  < 0, tome B ' na semi-reta oposta à semi-reta de A a B tal que |  | . | AB | = | AB ' | (figura 4.11). Então definimos  ⋅ v como a classe de equipolência do segmento orientado ( A, B '). Novamente é possível mostrar que essa definição não depende da escolha do representante de v, pois se adotássemos um outro segmento orientado (C , D) equipolente a ( A, B), e aplicássemos o processo acima, obteríamos um segmento (C , D) equipolente a ( A, B '). A demonstração desse fato, bem como das propriedades abaixo, usando apenas Geometria Euclidiana é bastante elaborada e a omitiremos.

λ·v

A

λ·v v

λ<0

v

B

0<λ<1

Figura 4.11

λ·v v C

λ>1

82

Propriedades da multiplicação por escalar: (M1) ( ) ⋅ v =  ⋅ (  ⋅ v), para quaisquer números reais ,  e vetor v.

(M2) (  + ) ⋅ v =  ⋅ v +  ⋅ v , para quaisquer números reais ,  e vetor v.

(M3)  ⋅ (u + v) =  ⋅ u +  ⋅ v, para quaisquer  número real e u, v vetores.

(M4) 1 ⋅ v, para qualquer vetor v.

Como você aprenderá com detalhes em Álgebra Linear, o conjunto dos vetores, munido da operação de soma satisfazendo (A1) − (A4) e multiplicação por escalar satisfazendo (M1) − (M4), é um exemplo de um tipo de estrutura matemática conhecida como espaço vetorial. De fato, esse nome se deve justamente ao reconhecimento de que as propriedades abstratas da soma e multiplicação por escalar de vetores, como definidos aqui via Geometria, estão presentes em muitas outras situações na Matemática. Veremos um outro exemplo mais adiante.

4.2.4 Norma de um vetor Dado um vetor v , o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente é o mesmo. Para falarmos na medida desse segmento, precisamos escolher uma unidade de medida. Assim, vamos escolher um vetor não nulo u para ser um vetor unitário. Assim, todo segmento congruente a qualquer representante seu será um segmento de medida igual a 1.

Considere, agora, um vetor qualquer v . Se v for o vetor nulo, definimos sua norma como sendo o escalar 0 (zero). Se v for diferente do vetor nulo, existe um vetor unitário u colinear com v (por que?).

Pela definição de produto por escalar, existe um escalar t tal que v = t u. Define-se norma do vetor v , denotando-se por  , como sendo o módulo de t. Isto é,  =| t |.

O leitor pode verificar as seguintes propriedades:

83

1) (∀) || v || ≥ 0; 2) ||  || = 0 ⇔

  = 0;

3) (∀ t ∈ ) || t  || = | t | ||  ||;  4) se  ≠ 0,

 = 1. ||  ||

4.2.5 Produto interno Como você terá a oportunidade de aprender em uma disciplina de Álgebra Linear, a noção de produto interno é muito mais geral do que a que apresentamos aqui.

Em particular podemos introduzir várias operações entre vetores do espaço que merecem, nessa acepção mais geral, ser chamadas de produto interno. O produto interno que definimos aqui é freqüentemente chamado o produto interno usual do  3 .

Uma terceira operação entre vetores extremamente útil geometricamente é o chamado produto interno. Antes de introduzi-la, precisamos da definição de ângulo entre vetores.

Definição 4.4. Sejam u e v vetores não nulos no plano. Seja Aum  u = AB C ponto qualquer.

Sejam e os únicos pontos tais que e B  ˆ v = AC . O ângulo entre u e v é a medida  ∈ [0, ] do ângulo BAC. Note que escolhas diferentes do ponto A resultam em ângulos congruentes e, portanto, de mesma medida. Logo, a medida só depende dos vetores u e v, e não de seus representantes. Diremos que dois vetores u e v, não nulos, são paralelos se o ângulo  entre eles é 0  ou . Diremos que são ortogonais se  = . É conveniente incluir 2 na discussão o vetor nulo: dizemos que, por definição, o vetor nulo é ortogonal a todo vetor.

Definição 4.5. Sejam u e v vetores no espaço. Seu produto interno, denotado por u, v , é definido por • u , v := u v cos , se u e v são ambos não nulos, em que  é o ângulo entre u e v; • u , v := 0 , se u, ou v, for nulo.

Note que, ao contrário das operações definidas anteriormente, o resultado do produto interno entre dois vetores é um número real e não um vetor e, portanto, não é um produto no sentido usual. Mas a expressão já está consagrada e a mantemos.

84

O produto interno satisfaz as seguintes propriedades: 1) (∀ v)

2

v,v = v ;

2) u , v = v, u (simetria); 3) (∀ t )

tu , v = u , tv = t u , v (homogeneidade);

4) u , v + w = u , v + u, w (distributividade).

A demonstração de algumas dessas propriedades podem ser encontradas em [2].

Note que a propriedade da desigualdade triangular, || u + v || ≤ || u || + || v || pode ser demonstrada facilmente, utilizando-se as propriedades 1, 2 e 4 (deixo-a ao leitor).

4.2.6 Dependência linear Seja v um vetor. Sejam v1 ,..., v n n vetores. Dizemos que v é uma combinação linear dos vetores v1 ,..., v n se existem escalares t1 ,..., t n tais que v = t1v1 + ... + t n v n. Por exemplo, se v = 3u, dizemos que v é uma combinação linear de u. Outro exemplo: o vetor zero é combi nação linear de quaisquer n vetores v1 ,..., v n, pois 0 = 0.v1 + ... + 0.vn .

Observe que o zero à esquerda da equação é o vetor zero; os zeros à direita são escalares.

Vamos falar agora sobre dependência linear entre vetores. Por definição, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo é um conjunto linearmente dependente (abreviadamente, LD). Os conjuntos formados por um único vetor não nulo são todos linearmente independentes (abreviadamente, LI).

Definição 4.6. Um conjunto de n vetores, n > 1, é linearmente dependente se pelo menos um deles for combinação linear dos outros.

Neste caso, dizemos também que os vetores são linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente, ou que os vetores são linearmente independentes.

85

Proposição 4.2. Um conjunto de n vetores, v1 ,..., v n , é LI se, e somente se, a única forma do vetor zero se escrever co mo combinação  linear de v1 ,..., v n é a trivial, isto é, 0 = 0.v1 + ... + 0.vn.

A demonstração desse teorema é simples: suponha que os vetores v1, é combinação linear dos ousejam LD. Então um deles, digamos  tros: v1 = t 2 v 2 + ... + t n v n. Ou seja, 0 = 1.v1 + (−t2 ).v2 + ... + (−tn ).vn . Logo, o vetor zero se escreve de modo não trivial como combinação linear de v1 ,..., v n . Reciprocamente, suponha que o vetor zero se escre va de forma não trivial, digamos 0 = t1.v1 + t2 .v2 + ... + tn .vn , em que t t t1 ≠ 0 (sem perda de generalidade). Logo, v1 = − 2 v 2 + ... + − n v n , t1 t1 ou seja, v1 é combinação linear dos outros vetores, o que significa que v1 ,..., v n são LD. Um corolário dessa proposição é o seguinte: Corolário 4.1. Se v é combinação linear de n vetores, v1 ,..., v n, e v1 ,..., v n são linearmente independentes, então essa combinação linear é única, no sentido que, se v = t1v1 + ... + t n v n = s1v1 + ... + s n v n então t1 = s1 , ..., t n = s n .  A prova segue do fato que 0 = (t1 − s1 ).v1 + ... + (tn − sn ).vn e, como v1 ,..., v n são LI, t1 − s1 = 0, ... , t n − s n = 0 .

O conceito de dimensão algébrica de um espaço vetorial será visto com cuidado nas disciplinas de Álgebra Linear.

Note que um conjunto que contenha o vetor nulo é sempre LD (por quê?). Vemos, também, que dois vetores não nulos são linearmente dependentes se, e somente se, são colineares. Podemos concluir, ainda, que três vetores não nulos são LD se, e somente se, são coplanares. Logo, três vetores não nulos são LI se, e somente se, quaisquer representantes deles originados em um ponto qualquer do espaço formam um triedro, ou seja, cada par de representantes estão em planos distintos. Um fato importante: no espaço, quatro vetores são sempre LD e o número máximo de vetores LI é três. Por isso, dizemos que a dimensão algébrica do espaço é três.

Proposição 4.3. Sejam v1 , v 2 , v3 três vetores LI do espaço. Então qualquer vetor é uma combinação linear desses vetores (isso implica que quatro vetores do espaço são LD).

86

v A prova dessa proposição é geométrica.    Seja  um vetor qualquer.

Tome um ponto A, e sejam AB, AC , AD e AP representantes para v1 , v 2 , v3 e v, respectivamente. Por P, passe um plano paralelo ao plano que contém AB e AC. Esse plano vai cortar a reta que contém AD em um ponto D'. Analogamente, seja B' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AC e AD, que passa por P, com a reta que contém AB, e C' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AB e AD, passa por que    P, com a reta que contém AP AC ' + AD AC. Afirmo que um de = AB ' + ' (verifique,  fazendo  senho). Como AB ' = t1 AB, AC ' = t2 AC e AD ' = t3 AD, temos que v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3.

Observação: Por causa da Proposição 4.3, dizemos que 3 vetores LI do espaço geram o espaço euclidiano. Note, também, que a combinação é única, pela Proposição 4.2. Isso motiva as seguintes definições: Definição 4.7. Sejam v1 , v 2 , v3 vetores LI do espaço. Então o conjunto desses vetores é dito uma base do espaço.

Definição 4.8. Seja  = {v1 , v2 , v3 } uma base do espaço. Então, dado um vetor v qualquer do espaço, existem únicos escalares t1 , t 2 , t 3 tais que v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3. Dizemos que t1 , t 2 , t 3 são as coordenadas de v na base  e escrevemos (v)  = (t1 , t2 , t3 ).

4.2.7 Base ortonormal Um conjunto de vetores unitários (isto é, que têm norma igual a 1), que são ortogonais dois a dois, é dito um conjunto ortonormal de vetores.

Proposição 4.4. Se {v1 , v2 , v3 } é um conjunto ortonormal de vetores do espaço, então {v1 , v2 , v3 } é uma base.  A demonstração segue do fato que, se 0 = t1v1 + t2 v2 + t3v3 ,  0, vk = t1. v1 , vk + t2 . v2 , vk + t3 . v3 , vk , para todo k. Mas, como o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à equação 0 = tk . vk , vk = tk . Ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação linear de {v1 , v2 , v3 }.

87

O teorema abaixo nos mostra como calcular produtos internos de vetores escritos como combinações de vetores de uma base ortonormal.

Teorema 4.2. Seja {v1 , v2 , v3 } uma base ortonormal de vetores do espaço. Então, se u = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3 e v = s1v1 + s 2 v 2 + s3 v3, temos que u , v = t1s1 + t2 s2 + t3 s3 .

Demonstração: u , v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3 , s1v1 + s 2 v 2 + s3 v3 =

= t1 s1 v1 , v1 + t1 s 2 v1 , v 2 + t1 s3 v1 , v3 + t 2 s1 v 2 , v1 + t 2 s 2 v 2 , v 2 + t 2 s3 v 2 , v3 + = t1 s1 v1 , v1 + t1 s 2 v1 , v 2 + t1 s3 v1 , v3 + t 2 s1 v 2 , v1 + t 2 s 2 v 2 , v 2 + t 2 s3 v 2 , v3 ++ t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1 + t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1 + t 2 s 2 + t 3 s3 + t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1 + t 2 s 2 + t 3 s3 .

■

4.2.8 Orientação do espaço Seja {v1 , v2 , v3 } uma base do espaço. Dizemos que essa base é positiva se ela satisfaz à chamada regra da mão direita. Esta regra é muito utilizada em Física.

Vamos supor que temos três     representantes para AB, AC e AD . Vamos esses vetores:   girar AB (no sentido do menor  AB e AC ) até AB coincidir com um vetor colinear ângulo entre com AC , com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e AC. Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do plano que AD, então dizemos que os três vetores satisfazem a regra da mão direita. Observe que, para orientação, a ordem dos vetores é importante. Assim, representaremos a base {v1 , v2 , v3 } do espaço com orientação (positiva ou negativa) pelo triedro (v1 , v2 , v3 ).

4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço Vamos escolher um ponto O do espaço, ao qual chamaremos de    { i , j , k } origem. Tomemos uma base ortonormal positiva, , e seus

88    representantes OX , OY e OZ . A cada P do espaço vamos  ponto   associar as coordenadas do vetor OP = xi + y j + zk em relação a essa de vetor, escreveremos  base: P ( x, y, z ). Para diferenciar  ponto    OP = ( x, y, z ), para indicar que OP = xi + y j + zk . Observe que, daa, b, c) e Q( x, y, z ), o vetor PQ é dado pela diferença entre o dos P(     vetor OQ e o vetor OP : PQ = OQ − OP. Logo,  PQ = ( x − a, y − b, z − c).

Assim, é possível computar, por exemplo, o ângulo entre dois vetores, se conhecemos suas componentes. Em particular, é possível determinar quando dois vetores são ortogonais, pois isso ocorrerá se, e somente se, seu produto interno for zero.

Exemplo: Prove que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1, −1) e C (2, 2, −2) é um triângulo retângulo.

Resolução: Devemos calcular produtos internos entre os vetores que determinam os lados do triângulo a fim de descobrir se algum deles é zero.

Podemos tomar os vetores:

 AB = (0, −2, −2);  AC = (0, −1, −3);  BC = (0,1, −1);

ou os opostos destes. Temos, portanto:   AB, AC = 0 ⋅ 0 + (−2) ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−3) = 8 ≠ 0,   AB, BC = 0 ⋅ 0 + (−2) ⋅1 + (−2) ⋅ (−1) = 0.   Logo, o ângulo entre AB e BC é reto, com vértice B. Assim, o ∆ ABC é retângulo.

4.2.10 O produto vetorial Enquanto o produto interno fornece um número, nossa próxima operação com vetores resulta em um vetor, sendo por isso chamada de produto vetorial. Ao contrário do produto interno, esta é uma ope-

89

ração genuína entre vetores, que tem algumas propriedades pouco usuais: o produto vetorial não é comutativo, nem associativo!

Geometricamente, o produto vetorial aparece devido à seguinte questão: como obter um vetor w = ( x, y, z ) que seja simultaneamente perpendicular a dois vetores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) dados?

Devemos ter que u , w = 0 e v, w = 0 e, portanto, o sistema u1 x + u2 y + u3 z = 0, v1 x + v2 y + v3 z = 0.

Este sistema admite uma infinidade de soluções. Uma delas é x = u2 v3 − u3v2 y = u3v1 − u1v3 z = u1v2 − u2 v1 como você pode facilmente verificar. Claro que qualquer múltiplo do vetor w assim obtido será também solução. Essa forma da solução, no entanto, é a mais conveniente, por razões que ficarão mais claras à medida que prosseguirmos.

Definição 4.9. Sejam u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) vetores quaisquer.

O produto vetorial de u e v é o vetor u × v = (u2 v3 − u3v2 , u3v1 − u1v3 , u1v2 − u2 v1 ) . u×v

v

u Figura 4.12 - O produto vetorial.

Usando a definição de produto vetorial, obtemos que u , u × v = 0 v é a da normal e v, u × v = 0, ou seja, que a direção do vetor u ×  do plano que contém O, X e Y , pontos tais que OX e OY são representantes de u e v , respectivamente. Veremos na próxima seção que o sentido de u × v é dado pela regra da mão direita, isto é, u × v é um vetor ortogonal a u e v de tal modo que o triedro (u , v, u × v) é positivo (ver figura 4.12).

Uma forma mais mnemônica de apresentar a definição 4.9 é a seguinte.    Considere i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0), k = (0, 0,1). Sabemos que    i = j = k =1

1) 2

90

e que esses vetores sãodois a dois ortogonais. Pela nossa notação,   ( x, y, z ) = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k . Vamos considerar i j u1 u2 v1 v2

k u3 v3

(*)

como se fosse o determinante de uma matriz 3 × 3 sobre o conjunto dos números reais, desenvolvendo pela primeira linha:   i j u1 u2 v1 v2

 k u3 v3

   i u j u k u u  u u  2 3 u 1 u3  u 1 u 2  u u  u=1 v u2 v u⋅3i =− v2 v3 ⋅⋅ ij ++ v1 v3 ⋅⋅ kj += 1 2 ⋅ k = 2 3 v21 v33 v11 v32 v1 v2 v1 v2 v3    = (u2 v3 − u3v2 ) ⋅ i + (u3v1 − u1v3 ) ⋅ j + (u1v2 − u2 v1 ) ⋅ k .

Note que a última expressão é u × v . É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a memorização, e não um procedimento matemático bem definido.

De fato, até aqui você só estudou matrizes com entradas reais, e não uma matriz que mistura números reais e vetores do espaço!

Outro ponto muito importante é a ordem de u e v ao escrever o determinante (*). Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Se você deseja calcular u × v , escreva as componentes de u na segunda linha e as de v na terceira, e troque as linhas para calcular v × u.

Exemplo: Vamos computar o produto vetorial de u = (5, 4,3) e v = (1, 0,1) .    i j k 4 3  5 3  5 4  5 4 3 = ⋅i − ⋅j+ ⋅k = 0 1 1 1 1 0 1 0 1

   4 3  5 3  5 4  ⋅ i + (−1)3 ⋅ j + (−1) 4 ⋅ k = 4 ⋅ i + (−2) ⋅ j + +(−4) ⋅ k = (4, −2, −4) 0 1 1 1 1 0 Se trocarmos a ordem dos vetores, no entanto, temos:

91  i

  j k

1 0

1 =

0 1  1 1  1 0  ⋅i − ⋅j+ ⋅k = 4 3 5 3 5 4

   5 4 3 i j k    0 1  1 1  1 0  1 0 1 = (−1) 2 ⋅ i + (−1)3 ⋅ j + (−1) 4 ⋅ k = (−4) ⋅ i + 2 ⋅ j + 4 ⋅ k = (−4, 2, 4) .

4 3 5 3 5 4 5 4 3 O seguinte Teorema resume algumas propriedades do produto vetorial.

Teorema 4.3. Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número real  : (PV1) (Anti-simetria) u × v = −(v × u ); (PV2) (Bilinearidade) u × (v +  ⋅ w) = u × v +  ⋅ (u × w); (u +  ⋅ v) × w = u × w +  ⋅ (v × w); (PV3) u × (v × w) = u , w ⋅ v − u , v ⋅ w ; (u × v) × w = w, u ⋅ v − w, v ⋅ u; 2

(PV4) u × v = u

2

2

2

v − u, v .

Demonstração: Deixada como exercício.

(Sugestão: Escreva u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = ( w1 , w2 , w3 ) e, em cada item, desenvolva ambos os membros da equação separadamente, comparando-os ao final).

Note, que além de não ser comutativo, o produto vetorial não é associativo.   De fato, aplicando (PV3) a u = v = i e w = j , obtemos que               i × (i × j ) = − j e (i × i ) × j = 0. Em particular, i × (i × j ) ≠ (i × i ) × j .

Do ponto de vista geométrico, além de ser uma maneira de obter um vetor ortogonal a outros dois dados, o produto vetorial é a ferramenta por excelência para avaliar se três pontos estão em uma mesma reta, isto é, se são colineares.  Para ver isto, basta perceber que para qualquer vetor v, v × v = 0. Este fato segue imediatamente

92

da definição de produto vetorial. Ora, C são co três pontos A, B e  lineares se, e somente se, o vetor AB é paralelo vetor AC , o que  ao  por sua vez é equivalente a afirmar que AB =  ⋅ AC para algum  ∈ . Se esse é o caso, a bilinearidade (propriedade (PV 2)) nos dá        AB × AC = (  ⋅ AC ) × AC =  ⋅ ( AC × AC ) = 0.    Portanto, se A , B e C são colineares, AB × AC = 0. A recíproca dessa afirmação advém da seguinte proposição, que nos dá o módulo do vetor u × v .

Proposição 4.5. Se u e v são vetores não-nulos, u × v = u v sen , onde  é o ângulo entre u e v.

Demonstração: Usando a propriedade (PV 4) do Teorema 4.3, temos, 2 uu × × vv = = uu

2

22

vv 2 − − uu ,, vv

2

= uu =

22

2 − cos cos 22 )) = = uu vv (1 (1 −

2

22

= = uu

22

2

vv 2 − − uu 22

22

2

vv 2 cos cos  = =

2

2 2 vv sen sen 2 ,,

e, lembrando que sen  deve ser não-negativo, o resultado segue.

■ Corolário   4.2. Sejam A, B e C pontos quaisquer do espaço. Se AB × AC = 0, então A, B e C são colineares.

Demonstração: Se um dos pontos é igual a qualquer outro, a conclu   são vale de imediato. Se os três pontos são distintos, e AB × AC = 0 , concluímos pela Proposição 4.5 que sen  = 0, sendo  o ângulo en  tre AB e AC , que são, portanto, paralelos.

■ A colinearidade não é a única utilidade do produto vetorial. Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos com ângulo  entre eles, e considere um paralelogramo formado por setas representantes desses vetores (fig. 4.13).

u v

v θ

u Figura 4.13

93

A área A desse paralelogramo é bem conhecida da Geometria: A = b × h, em que b é o comprimento da base e h o comprimento da altura.

Em nosso caso, b é u e h é v sen , e portanto A = u v sen  = u × v .

Em outras palavras, o módulo do produto vetorial de u e v é numericamente igual à área do paralelogramo definido por u e v.

Exemplo: Calcular a área do triângulo de vértices A(1, −2,1), B (2, −1, 4) e C (−1, −3,3).

Resolução: A figura 4.14 mostra que, a partir do triângulo ABC , podemos construir um paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo.

D

B A

C Figura 4.14

 AB Considerando que o paralelogramo é determinado pelos vetores  e AC , obtemos que a área do triângulo é: Área∆ =

1   AB × AC .

2

  Mas AB = (1,1,3) e AC = (−2, −1, 2). Portanto i j k   AB × AC = 1 1 3 = (5, −8,1). −2 −1 2   Logo, podemos calcular que AB × AC = 3 10 e, assim, Área∆ =

3 10 .

2

94

Exercício 8) Se u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e as definições que u1 u × v, w = v1 w1

w = ( w1 , w2 , w3 ), mostre usando u2 v2 w2

u3 v3 . w3

4.2.11 Produto misto A operação u × v, w , entre três vetores u, v e w do espaço, aparece tantas vezes em Geometria que lhe damos um nome especial: produto misto de u, v e w, nessa ordem, e denotamo-la por [u , v, w] .

Na seção anterior ficou como exercício mostrar que, se u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = ( w1 , w2 , w3 ), u1 [u , v, w] = u × v, w = v1 w1

u2 v2 w2

u3 v3 . w3

O fato de o produto misto poder ser escrito como um determinante ajuda-nos a obter algumas de suas propriedades. O determinante de uma matriz muda de sinal se duas linhas quaisquer são permutadas e, portanto, se permutamos duas linhas um número par de vezes, o determinante não se altera (pode inclusive ser um par de linhas diferentes a cada vez). Temos, por exemplo, que u1 v1 w1

u2 v2 w2

u3 v1 v3 = w1 w3 u1

v2 w2 u2

v3 w1 w3 = u1 u3 v1

w2 u2 v2

w3 u3 v3

ou seja, que [u , v, w] = [v, w, u ] = [ w, u , v] .

Note que, nessas últimas igualdades, as trocas de u, v e w ocorrem ciclicamente, no sentido anti-horário. Por isso, essas permutações são ditas cíclicas. Observe que o determinante preserva a orientação de um triedro, pois (u , v, w) tem a mesma orientação que (v, w, u ), que tem a mesma orientação que ( w, u , v), que é a orientação contrária às dos triedros (v, u , w), (u , w, v) e ( w, v, u ). Uma propriedade importante de determinante é a seguinte: [u , v, w] = [ Ru, Rv, Rw],

95 em que R é uma transformação linear do espaço que preserva os módulos dos vetores, ou seja, (∀u ) Ru = u , e que preserva a orientação dos triedros. Por exemplo, as rotações no espaço são transformações desse tipo.

Vamos usar essa propriedade de determinante para mostrar que um triedro (u , v, w), em que w é ortogonal a u e v, é positivo se, e somente se, [u , v, w] > 0. Para isso, seja  o ângulo entre u e v ,  0 <  < . Considere a rotação R que leva o vetor u no vetor u .i e o  vetor w, no vetor w .k . Observe que esse triedro será positivo se, e   só se, o vetor v for levado no vetor v cos  i + v sen  j (convençase disso, fazendo um desenho). Temos então que u v cos  0

0 v sen  0

0 0 = ( u v sen ) w = u × v w > 0 . w

Por conseguinte, como para u e v, não colineares, temos que [u , v, u × v] = u × v, u × v > 0, concluímos que o triedro (u , v, u × v) é positivo, ou seja, que o sentido de u × v é dado pela regra da mão direita.

O produto misto também tem uma função geométrica muito importante. Enquanto o produto vetorial nos permite calcular áreas, o produto misto serve para calcular volumes. Na figura 4.15, vê-se o paralelepípedo definido por vetores u, v e w. A base desse paralelepípedo é o paralelogramo definido pelos vetores u e v, cuja área é u×v .

u× v w α h α

u área =

|| u × v || v

Figura 4.15 - O paralelepípedo é formado pelos vetores u, v e w.

A área da base é dada por u × v .

96

A altura h é dada por h = w cos a = w

u × v, w u × v, w . = u×v w u×v

Como o volume do paralelepípedo é por definição V = área da base × altura ,

segue-se que V = u×v ⋅

u × v, w u×v

= u × v, w .

Portanto, o módulo do produto misto dos vetores u, v e w é igual ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores.

Exemplo: O produto misto de u = (3,5, 7), v = (2, 0, −1) e w = (0,1,3) é 3 5 7 u × v, w = 2 0 −1 = −13 , 0 1 3 e, portanto, o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u , v e w é u × v, w = 13 .  , o segmento 2 representante do vetor w estará no plano contendo os segmentos representantes de u e v. Ou seja, os vetores u, v e w são coplanares.

Mas isso acontece precisamente quando w e u × v forem ortogonais, isto é, quando u × v, w = 0. Isso nos ajuda a descobrir se quatro pontos A, B, C e D dados são coplanares, isto é, se estão sobre o mesmo plano (claro que isso ocorre automaticamente se dois ou mais dos pontos em questão são iguais). Isso ocorrerá se, e somente se,    AB × AC , AD = 0. Não faremos uma prova mais rigorosa desse fato, mas o ilustramos em um exemplo.

Na figura 4.15 também notamos que, quando  =

Exemplo: Mostrar que os pontos A(1, 2, 4), B (−1, 0, −2), C (0, 2, 2) e D(−2,1, −3) são coplanares.

Resolução: O quatro pontos dados  serão coplanares se forem copla  nares os vetores, AB, AC e AD. Devemos, portanto, calcular seu produto misto. Temos

97

−2 −2 −6    AB × AC , AD = −1 0 −2 = 0 , −3 −1 −7 e, logo, os pontos são de fato coplanares. Você pode verificar por si só que a ordem em que nomeamos os pontos é irrelevante.

Exercícios 9) Dados os vetores u = (1,3, 2), v = (0, −1, 0), w = (−2, 0,1), calcule: a) u , v e v, u ;

b) u × v e v × u;

c) u × v, w e u , v × w ;

d) (u × v) × w;

e) u × v, v × w ;

f) o ângulo entre u e v.

10) Calcule a área do triângulo cujos vértices são: a) A(0, 0, 0), B (2,1,3) e C (4,5, −2); b) A(0, 0,3), B (2,3,1) e C (0,3, 4).

11) Sejam u = (1,1, 0), v = (2, 0,1), w1 = 3 ⋅ u − 2 ⋅ v, w2 = u + 3 ⋅ v e w3 = i + j − 2k . Determine o volume do paralelepípedo definido por w1, w2 e w3.

12) Verificar se são coplanares os pontos: a) A(1,1,1), B (−2, −1, −3), C (0, 2, −2) e D(−1, 0, −2); b) A(1, 0, 2), B (−1, 0,3), C (2, 4,1) e D(−1, −2, 2); c) A(2,1,3), B (3, 2, 4), C (−1, −1, −1) e D(0,1, −1).

13) Para que valor de m os pontos A(m,1, 2), B (2, −2, −3), C (5, −1,1) e D(3, −2, −2) são coplanares?

14) De um vértice de um cubo, traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal da face. a) Calcular o ângulo entre as duas diagonais. b) Calcular a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo.

98

15) Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos pontos A(1, −3, 2) e B (3, −9, 6) faz com os eixos do sistema de coordenadas.

16) Os ângulos ,  e  que o vetor não nulo u = ( x, y, z ) faz, respectivamente, com os vetores i, j, k são chamados ângulos diretores do vetor u. Mostre que z y x a) cos  = , cos  = , cos  = ; u u u b) cos 2  + cos 2  + cos 2  = 1.

17) Sejam u e v dois vetores não-nulos e com direções distintas.

O plano gerado por u e v é o conjunto   = {P ∈  3 : existem x, y ∈  tais que OP = x ⋅ u + y ⋅ v}.

Mostre que: a) Se x ⋅ u + y ⋅ v = x '⋅ u + y '⋅ v, então x = x ' e y = y '; b) Se u e v são unitários e ortogonais, então para todo ponto    P ∈ , OP = OP, u ⋅ u + OP, v ⋅ v.

Bibliografia comentada BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana plana.

6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.

Este livro contém, de forma rigorosa, os conteúdos de Geometria Euclidiana Plana. É um livro que toda biblioteca de Matemática deve ter.

SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e matrizes. 3. ed.

São Paulo: Thomson, 2007.

Este livro contém excelente texto sobre vetores, no sentido clássico, como é também apresentado aqui, e sobre quádricas. Os exercícios por ele propostos são ótimos.

Capítulo 5 Retas e Planos no espaço

101

Capítulo 5 Retas e Planos no espaço Nosso objetivo é utilizar as ferramentas vetoriais desenvolvidas no capítulo anterior para estudar problemas geométricos. Neste capítulo, nosso foco recairá sobre o estudo de retas e planos no espaço de três dimensões.

5.1 Equação cartesiana do plano Um plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. A primeira que estudaremos vem das seguintes considerações intuitivas. Dada uma direção, que você pode imaginar como sendo uma reta, existem uma infinidade de planos paralelos entre si, e perpendiculares a essa direção. No entanto, se além de fixarmos uma direção, também fixarmos um ponto, um e somente um plano dessa família de planos conterá o ponto em questão. Em outras palavras, um plano ficará fixado se dermos uma direção e um ponto.

v

α

P

Figura 5.1 – Um vetor não-nulo v determina uma infinidade de planos ortogonais a essa direção e paralelos entre si. Se, além de v, fixarmos um ponto ( P ) , selecionamos um único plano ( ) ortogonal a v e contendo P.

Mais adiante veremos outras maneiras de descrever planos. No entanto, a fim de verificar que todas essas descrições são equivalentes, é necessário ter uma definição precisa do que é um plano em nosso contexto. A idéia intuitiva acima pode ser tornada rigorosa e utilizada para esse fim.

102

Definição 5.1. Um subconjunto P   3 é dito ser um plano se existir um vetor v  (a, b, c) não-nulo e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 )   3 tais que P  {( x, y, z )   3 : a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0} .

Equivalentemente, para todo P   3,  P  P  P0 P, v  0 .

Você deve tentar reconhecer que essa definição não faz nada mais que capturar de forma precisa a idéia intuitiva acima. O vetor nãonulo v  (a, b, c) é chamado vetor normal ao plano P, assim definido por razões óbvias. Um resultado dessa definição é a seguinte: Proposição 5.1. Um conjunto P   3 é um plano se, e somente se, existirem números a, b, c, d   3 com (a, b, c)  (0, 0, 0) tais que P  {( x, y, z )   3 : ax  by  cz  d }.

Demonstração: (⇒) Supondo que P seja um plano, pela nossa definição existem um vetor v  (a, b, c) não-nulo e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ) tais que  P  P  P0 P, v  0 .

Tome as componentes a, b, c de v, notando que (a, b, c)  (0, 0, 0) e escolha d := ax0 + by0 + cz0 . Nesse caso, sendo P ( x, y, z ) um ponto arbitrário, temos P  P  a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0  ax  by  cz  ax0  by0  cz0  d e, portanto, os ponto de P são precisamente os que satisfazem à equação ax + by + cz = d . (⇐) Supondo agora existirem números (a, b, c)  (0, 0, 0) tais que

a , b, c , d   3

com

P  {( x, y, z )   3 : ax  by  cz  d }, podemos por exemplo assumir que a ≠ 0 (os casos b ≠ 0 ou c ≠ 0 são inteiramente análogos). Nesse caso, escolha o vetor v  (a, b, c)

103 d  e o ponto P0 , 0, 0. Temos, sendo P ( x, y, z ) um ponto arbitrário, a  P  P  ax  by  cz  d  d  a x   b( y  0)  c( z  0)  0  a   P0 P, v  0 completando a demonstração.

■ Essa Proposição significa que os pontos de um plano são precisamente as soluções ( x, y, z ) de uma equação linear da forma ax + by + cz = d , com a, b e c não todos nulos. Uma equação dessa forma será dita uma equação cartesiana para o plano em questão. No que segue, definiremos um plano por sua equação cartesiana.

Exemplo: Obter uma equação do plano que contém o ponto A(3, 0,4) e tem como vetor normal v  (5, 6, 2).

Resolução: Para qualquer ponto P ( x, y, z ) do plano, temos que ter que é a equação cartesiana procurada.

Exemplo: A equação z  0 descreve o plano XY . De fato, note que podemos reescrever essa equação como 0 x  0 y 1z  0 , donde inferimos que o vetor (0, 0,1) é normal ao plano. Mas esse vetor é obviamente paralelo ao eixo OZ e, portanto, o plano em questão é perpendicular a esse eixo. Além disso, uma simples inspeção mostra que o plano contém a origem, e o único plano com essas especificações é o plano XY . Analogamente, as equações x  0 e y  0 descrevem os planos YZ e XZ, respectivamente.

Exemplo: Obtenha a interseção do plano P cuja equação é x  2 y  4 com os eixos coordenados.

Resolução: Para que um ponto P1 ( x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OX , deve ser solução simultaneamente das equações do seguinte sistema:

104

x2 y  4 y0 z 0 .

O único tal ponto é P1 (4, 0, 0). De maneira similar, para que um ponto P2 ( x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OY , deve ser solução do sistema: x2 y  4 x0 z 0,

e a solução é o ponto P2 (0, 2, 0). Entretanto, para que um ponto P3 ( x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OZ , deveria ser solução do sistema: x2 y  4 x0

y0 , que obviamente não possui solução. Isso que dizer que o plano P não intersecta o eixo OZ , sendo portanto paralelo a este (faça um desenho dessa situação!).

Outra maneira de caracterizar um plano é através de três de seus pontos.

3 Teorema 5.1. Dados três pontos distintos A, B, C  �e não-colineares, existe um único plano que os contém.

Demonstração (Existência): Sejam A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2), C ( x3 , y3 , z3 ) os pontos do enunciado, e considere os vetores AB e AC . Ambos são não-nulos, por serem os pontos distintos, não e paralelos, por serem os pontos não-colineares. O vetor AB  AC é portanto não-nulo (por quê?) e ortogonal a ambos. Seja P o plano que tem n como vetor normal e contém A, ou em outras palavras, o conjunto de todos os pontos P ( x, y, z ) tais que

   AB  AC , AP  0 .

Claramente esse é o plano procurado (fig. 5.2).

(*)

105

C AC

n = AB × AC A

AB

P

B

Figura 5.2 – Um plano por três pontos não-colineares A, B, C . O plano  é  passando  ortogonal ao vetor n = AB × AC e passa por A, o que significa que é paralelo a AB e AC

É imediato verificar que A, B, C  P, bastando substituí-los alternadamente no lugar de P em (*). A demonstração de que este é de fato o único plano contendo A, B, C é mais complexa e será omitida.

■ Exemplo: Obter a equação do plano definido pelos pontos A(3,1,2), B (5, 2,1) e C (2, 0, 2).

Resolução: A demonstração do Teorema 5.1 nos fornece um méto  do para este problema. Primeiro, calcule que AB  AC  (7,11,1).

Este vetor será normal ao plano buscado, que ademais deve passar por A. Portanto se P ( x, y, z ) é um ponto do plano,    AB  AC , AP  0  7( x  3) 11( y 1) 1( z  2)  0.

Logo, a equação procurada é 7 x 11 y  z 12.

5.2 Equações paramétricas do plano Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos, e um ponto P0 . Intuitivamente, se consideramos retas ru e rv paralelas às direções de u e v, respectivamente, e concorrentes em P0 , teremos um único plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0. De fato, esse é precisamente o plano P que tem u  v como vetor normal e contém P0. Seja P um ponto qualquer do plano, e trace por P paralelas ru′ e rv′ a ru e rv respectivamente. A reta ru′ intersectará a reta rv no ponto P2 e rv′ intersectará a reta ru no ponto P1 , como mostra a Figura 5.3.

106

ru rv P0 v

u

P1 P0

ru

ru’ P2

P

rv’ rv

Figura 5.3

 Agora, P0 P1 é paralelo a  u , e, portanto, existe t   tal que  P0 P2  s v . Analogamente, P0 P2 é paralelo a v , logo existe tal s      que P0 P2  sv. u Mas pela regra do paralelogramo, P0 P1  P0 P2  P0 P , e, portanto,  P0 P  t u  sv.

Se P0  ( x0 , y0 , z0 ), u  (u1 , u2 , u3 ) e v  (v1 , v2 , v3 ), então para um ponto qualquer P ( x, y, z ) do plano podemos escrever ( x  x0 , y  y0 , z  z0 )  t (u1 , u2 , u3 )  s(v1 , v2 , v3 ), ou x  x0  tu1  sv1 y  y0  tu2  sv2 z  z0  tu3  sv3 , que são as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâmetros s, t, cujos valores determinam os pontos do plano.

O argumento acima é bastante geométrico e intuitivo. Sua versão rigorosa (que omitiremos) é a demonstração do seguinte teorema.

Teorema 5.2. Um conjunto P   3 é um plano se, e somente se, existirem um ponto P0  P e vetores u, v não-nulos e não-paralelos tais que  P  {P   3 : t , s   tais que P0 P  t u  sv}.

107

Esse teorema garante que um plano fica univocamente caracterizado por suas equações paramétricas.

Exemplo: Obtenha equações paramétricas e cartesianas do plano que contém o ponto P0 (2,3,1) e é paralelo aos vetores u  (3, 4, 2) e v  (2,2, 6).

Resolução: As equações paramétricas podem ser obtidas imediatamente dos dados: x  2  3t  2 s y  3  4t  2 s z 1 2t  6 s .

Para obter uma equação cartesiana, como u  v é normal ao plano, a equação procurada deve ter a forma 28( x  2) 14( y  3) 14( z 1)  0 ou 2x y  z  2 .

Exemplo: Se x  y  z  6 é equação cartesiana de um plano, obtenha equações paramétricas desse plano.

Resolução: Escreva a equação na forma z  6  x  y. Os pontos do plano terão que ser precisamente os da forma P ( x, y, 6  x  y ), com x e y arbitrários. Separando a parte constante e as contribuições de x e y, temos P ( x, y, 6  x  y )  (0, 0, 6)  x(1, 0,1)  y(0,1,1) .

Note que os vetores (1, 0,1) e (0,1,1) são não-nulos, não-paralelos e ortogonais a (1,1,1), que é normal ao plano. Portanto, P ( x, y, z ) pertencerá ao plano se, e somente se, x  0 1t  0 s

y  0  0t 1s z  6  t 1s,

que são as equações paramétricas procuradas.

108

5.3 Equação da reta Nossa intuição geométrica mais elementar nos diz que dois pontos determinam uma reta de maneira unívoca. No contexto da Geome3 tria um vetor  Analítica, dois pontos A, B   distintos  determinam  AB. SeP é um ponto qualquer na reta AB, o vetor AP é paralelo ao vetor AB, e, portanto, existe um número (único) t   tal que   AP  t  AB. Note que, ao determinar P, são realmente necessários  um ponto (no caso, A ) e uma direção (nesse caso definida por AB ). Isso motiva a seguinte definição: Definição 5.2. Um subconjunto    3 é uma reta se existirem um ponto A   e um vetor v não-nulo tais que    {P   3 : AP  t v para algum t  } .

As características geométricas dessa situação estão ilustradas na figura 5.4. �

v A

Figura 5.4 – Dado um vetor não-nulo v e um ponto A , há uma única reta  que passa por A e é paralela a v.

Algumas observações são pertinentes: 1) Dada uma reta , o vetor v e o ponto A não precisam de modo algum ser únicos. Se tomamos outro ponto A ' e outro vetor v ' não-nulo que seja paralelo a v, o conjunto   '  {P   3 : A ' P  t v ' para algum t  } é exatamente igual a . De fato, sendo v ' paralelo a v, existe  um número  ≠ 0 tal que v ' =  ⋅ v. Se P  , AP  t v, para algum número t. Mas então      t  A ' P = A ' A + AP = A ' A +   ⋅ v '.  

109 s Por outro lado, A ' A = s ⋅ v =   ⋅ v ', para algum s  , pois    (t + s ) A '  . Portanto, A ' P  t 'v ', se definimos t ' = . Logo  P   . De forma inteiramente análoga, prova-se que P   '  P  , e então    ', como havíamos afirmado. Um vetor v e um ponto A nas condições da Definição 5.2 são chamados vetor diretor e ponto inicial da reta, respectivamente.

2) Dada uma reta  , e dados A( x0 , y0 , z0 ) e v  (v1 , v2 , v3 ) como na Definição 5.2, e P ( x, y, z ) um ponto qualquer de  3, a condição  P    AP  t v é equivalente a afirmar que as coordenadas x, y e z de P satisfazem as equações x  x0  v1t y  y0  v2t z  z0  v3t para algum t  . À medida que t “varre” , as ternas ( x, y, z ) correspondentes (isto é, satisfazendo esse sistema de equações) descrevem toda a reta . Essas são ditas equações paramétricas da reta, pois são escritas em termos de um parâmetro t.

3) Uma analogia mecânica para visualização de uma reta é a seguinte: podemos pensar em uma reta como descrevendo a trajetória de uma partícula pontual em movimento retilíneo uniforme no espaço. Nesse caso, escolher um ponto de referência equivale a escolher uma posição inicial, e um vetor diretor corresponde ao vetor velocidade. Nesse caso o parâmetro t pode ser pensado como um instante de tempo. As várias possibilidades de escolha do vetor diretor e do ponto inicial corresponderão ao fato de que partículas com velocidades diferentes e com posições iniciais diferente podem percorrer uma mesma trajetória no espaço. Mas não leve a analogia longe demais. Em mecânica, uma trajetória retilínea não precisa corresponder a um movimento uniforme. Por exemplo, se uma partícula se move no espaço de acordo com as equações horárias

110 x(t )  t 3 y (t )  t 3 z (t )  t 3 seu movimento é retilíneo. De fato, fazendo s  t 3, obtemos as equações paramétricas xs ys z  s, que descrevem uma reta passando pela origem e com vetor diretor (1,1,1). Por exemplo, no instante t  2 a partícula está no ponto da reta correspondente ao valor 8 (oito) do parâmetro s. Veja que, como a função F ( x)  x 3 é bijetora, para qualquer valor de s, isto é, para qualquer ponto da reta, existe um único instante de tempo t tal que s  t 3. O movimento em questão não é uniforme, no entanto, e com as ferramentas que você aprenderá nos cursos de Cálculo, será possível provar que o vetor velocidade é dado em termos do tempo por v(t )  3t 2 (1,1,1) .

Note que esse vetor muda de norma, mas não de direção e nem de sentido, sendo sempre paralelo a (1,1,1).

Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(1, 2,3) e é paralela ao vetor v  (1,2, 2).

Resolução: Usando a prescrição acima, as equações são x 1 t y  2  2t z  3  2t .

Para se obter um ponto qualquer dessa reta, basta atribuir a t um valor particular. Para t  0 recobramos A. Para t 1 temos x2 y0 z 5 ,

e, portanto, (2, 0,5) é um ponto da reta. Já (3, 2,1) não pertence à reta, pois não existe t   tal que as equações

111

3 1 t 2  2  2t 1  3  2t

sejam simultaneamente satisfeitas.

A nossa intuição inicial é formalizada no seguinte resultado: Teorema 5.3. Dados dois pontos A, B   3 distintos, existe uma única reta  com A, B   .  Demonstração: Sendo A e B  distintos, o vetor AB é não-nulo.  Seja  a reta definida por A e AB. Um ponto P   3 estará nessa reta se, e somente se,   AP  t  AB para algum t  . Pondo t  0 e t 1, vemos que A e B estão ambos na reta.

Para provar a unicidade da reta, seja  ' uma reta qualquer contendo A e B e sejam C um ponto arbitrário nessa reta e v um vetor diretor. Existem t A , t B   com t A  t B tais que  CA  t A v  CB  t B v , uma vez que A e B são pontos distintos de  ' por hipótese. Subtraindo uma equação da outra, temos  AB  (t B  t A )v .  Portanto, v é paralelo a AB e  '  (veja a Observação 1 acima). O teorema está demonstrado.

■ Exemplo: Ache a reta que passa pelos pontos A(1,1,1) e B (2,3, 4).  Resolução: Podemos tomar AB  (1,4,3) como vetor diretor e A como ponto inicial. As equações serão x 1 t y 1 4t z 1 3t .

112

Poderíamos escolher B como ponto inicial, e, nesse caso, teríamos as equações x  2 t y 3 4t z  4  3t .

Finalmente, qualquer múltiplo não-nulo do vetor diretor é ainda vetor diretor. Por exemplo, podemos tomar v  (2,8, 6)  (2)(1,4,3) como vetor diretor, e escolher um ponto inicial diferente de A e B. Você pode verificar que C (3,7, 7) é um ponto da reta. Com essa escolha, as equações paramétricas ficam x  3 2t y 7 8t z  7  6t .

Fica a seu encargo mostrar que todo ponto ( x, y, z ) satisfaz um desses sistemas se, e somente se, satisfaz o outro (com valores do parâmetro diferentes para cada sistema!).

5.4 Posições relativas de planos Sejam  e  ' planos dados respectivamente por equações ax  by  cz  d a ' x  b ' y  c ' z  d '.

Note que esse sistema de equações pode ser olhado de duas formas.

Primeiro, de forma geométrica: o problema algébrico de dar uma solução do sistema de duas equações lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos de interseção de dois planos. De fato, isso pode ser generalizado para sistemas de n (n  2) equações lineares com três incógnitas. Resolver um tal sistema corresponde geometricamente a obter os pontos comuns a n planos.

Na outra forma, invertemos a ênfase, e vemos que o problema geral de encontrar a interseção de n planos (n  2) se reduz ao de resolver um sistema de n equações lineares com três incógnitas. É exatamente o tipo de interplay que torna a Geometria Analítica tão útil.

Sejam n  (a, b, c) e n '  (a ', b ', c ') os respectivos vetores normais. Intuitivamente, temos as seguintes três possibilidades:

113

π' π = π'

P

π' A

B

π C

Figura 5.5 – Posições Relativas de Planos: (a) coincidentes, (b) paralelos e (c) transversais.

n  n para algum    e d   d   e  são coincidentes, isto é, ,  n  n para algum    e d   d   e  são paralelos,    e  são transversos. n  n,    A primeira possibilidade corresponde ao fato trivial de que, se temos uma equação do plano e a multiplicamos por um número real nãonulo, ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo plano.

Na segunda possibilidade, os planos não podem ter pontos em comum. Isto ocorre porque o sistema é incompatível nesse caso, isto é, não admite soluções. Com efeito, se subtraímos membro a membro a segunda equação de  vezes a primeira, obtemos que d − d ' = 0, em contradição com nossa hipótese de que d ' ≠ d .

O terceiro caso é o mais interessante. Como os vetores n e n ' não são paralelos, seu produto vetorial n  n ' tem ao menos uma componente não-nula, digamos a terceira: (n  n ')3  ab ' a ' b  0.

Nesse caso você pode verificar (exercício!) que d b b d b b d ' b ' b ' x d ' b' b' a b x a b a' b' a' b' a d c a d c a ' d ' c ' y a' d ' c' a b y a b a' b' a' b'

c c z c' z c' a a z a' z a'

.

Ou seja, os pontos de interseção são da forma

114  d b  b c a d c a  z z    a' d ' c' a'  d ' b' b' c'  ( x, y, z )  , , z . a b a b   a' b' a' b'   Fazendo z  0, obtemos uma solução particular  d b a d     d ' b' a' d '  P0  , ,0 . a b a b     a' b' a' b'  a b t. a' b' Deixamos como exercício então, provar que a solução geral Pt se expressará em termos desse parâmetro como  P0 Pt  t.(n  n ') .

Podemos introduzir um novo parâmetro t   pondo z 

Esta é precisamente a forma paramétrica da equação da reta, e, portanto, provamos: Proposição 5.2. Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta.

Note que P0 funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal de cada plano, como seria de se esperar (figura 5.6). π n

π' n'

v v

P0

v

Figura 5.6 – A intersecção de dois planos.

115

Exemplo: Obter a interseção dos planos x  y  z 1 e x  y  3 z 1.

Resolução: Os vetores normais não são paralelos, logo os planos são transversos, e sua interseção é uma reta. Para obter equações paramétricas para essa reta, tomamos dois pontos arbitrários da mesma, ou um ponto e um vetor paralelo à reta. Temos que resolver o sistema x  y  z 1 x  y  3z 1 .

Resolvendo esse sistema em termos da variável z, temos: x 1 2 z y z.

Os pontos de interseção são da forma ( x, y, z )  (1 2 z , z , z ) .

Atribuindo valores a z, podemos encontrar pontos particulares. Pondo z  0 e z 1, obtemos os pontos P0 (1, 0, 0) e P1 (1,1,1) , e a reta que passa por esses pontos tem equações paramétricas x 1 2t y t z t.

Note que isso corresponde a escolher a própria coordenada z como parâmetro. Alternativamente, podemos tomar, por exemplo, P0 como ponto inicial, mas escolher (1,1,1)  (1,1,3)  (4,2,2) como vetor diretor. As equações paramétricas nesse caso serão x 1 4t y 2t z 2t .

5.5 Posições relativas de reta e plano Sejam agora P : ax  by  cz  d um plano, e  x = x0 + t   :  y = y0 + t  z = z + t 0 

116

uma reta. Podemos ter P     ou P    . No primeiro caso, dizemos que  e  são paralelos. Para que haja interseção, é necessário e suficiente que a ( x0 + t ) + b( y0 + t ) + c( z0 + t ) = d ,

(**)

para algum t  . Ou seja, ax0 + by0 + cz0 − d = −t (a  + b  + c ) .

Mas note que, se ax0  by0  cz0  d e a  + b  + c  ≡ 0, não é possível achar t   de modo a satisfazer a equação. Pondo n  a, b, c  e v  ( , , ), notamos então que para que  e  sejam paralelos é suficiente (e de fato necessário) que P0 ( x0 , y0 , z0 )  P e n, v  0 .

O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso, como seria de se esperar.

Se  e  não são paralelos, temos duas possibilidades: i) ax0  by0  cz0  d , ou seja, P0 ( x0 , y0 , z0 )  P. Se n, v  0, então, nesse subcaso, qualquer t   satisfaz (**). Isso significa que todo ponto da reta está no plano, isto é,    P . Geometricamente, se o ponto inicial da reta está no plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, então a reta toda permanece dentro do plano. Por outro lado, se n, v  0, então só podemos satisfazer (**) pondo t  0 . Ou seja, nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto P0. ii) ax0  by0  cz0  d , ou seja, P0 ( x0 , y0 , z0 )  P. Nesse subcaso, obrigatoriamente n, v  0, e só podemos satisfazer (**) pondo t=

ax0 + by0 + cz0 − d . a + b  + c

Provamos assim que: Proposição 5.3. Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano, ou o intersecta em um único ponto.

117

Exemplo: Determine a interseção da reta  x  3 2t   :  y 1 t   z  2  3t com o plano P : x  4 y  z 2 .

Resolução: É fácil ver, usando o produto interno, que o vetor normal ao plano  não é ortogonal à direção de , e portanto  intersecta P em um único ponto. De acordo com o esquema geral acima (Eq. (**)), temos que obter t  , para o qual (3 2t )  4(1 t )  (2  3t ) 2, isto é, t 1. O ponto de interseção é portanto I (1, 2,5).

5.6 Posições relativas de duas retas Dadas as retas  x  x0  v1t   :  y  y0  v2t   z  z0  v3t

 x '  x '0  v '1 t   ' :  y '  y '0  v '2 t.   z '  z '0  v '3 t

Intuitivamente, temos as seguintes possibilidades: concorrentes    '     e  ' são  coincidentes  paralelas    '     e  ' são  reversas.

Veja a figura 5.7.

A

� = �’

� B

�’

C

�

�’

D

�’

� Figura 5.7 – Posição Relativa de Retas: (a) coincidentes, (b) concorrentes, (c) paralelas e (d) reversas. Nos casos (a) - (c), as retas  e ′ estão sobre um mesmo plano, mas em (d) não existe um plano contendo ambas as retas.

118

Se v  (v1 , v2 , v3 ) e v '  (v '1 , v '2 , v '3 ), temos que estudar essas possibilidades de acordo com a direção relativa desses vetores diretores.

Dividiremos nossa análise em dois casos.

Caso (i): v é paralelo a v '.

Nesse caso, intuitivamente podemos ter retas paralelas ou coincidentes. Para ver que isso de fato é assim, escreva v ' =  ⋅ v, com  ≠ 0.

Agora, ou o ponto P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) PP '00  ( x '0 , y '0 , z '0 ) pertence à reta , ' ou não. No caso positivo, existirá tt0   tal que x0′ = x0 + v1t0′ y0′ = y0 + v2t0′ z0′ = z0 + v3t0′ .

Mas então, dado um pontoPP '0  ( x '0 , y '0 , z '0 ) arbitrário de  ', existe um s '   tal que x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1 y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2 z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3 pelo paralelismo dos vetores. Concluímos, então, que P '( x ', y ', z ')  , com valor do parâmetro t = t0′ + s′. . Portanto, todo ponto de  ' está em . Analogamente, podemos checar que    ', ou seja, as retas coincidem.

Se o ponto P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) não pertence à reta , então podemos verificar que nenhum ponto de  ' pertence a , pois se elas tivessem um ponto em comum, existiriam t0 , s0  , para os quais x0′ + s0v1′ = x0 + t0v1 y0′ + s0v2′ = y0 + t0v2 z0′ + s0v3′ = z0 + t0v3 e, portanto, x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1 y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2 z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3 .

119

Logo, P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) ∈  para o valor t = t0 − s0 do parâmetro, e temos uma contradição. Portanto, nesse caso as retas seriam paralelas.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas  x 1 2t   :  y 1 t   z  5  3t

x  4s   ' :  y  2  2s   z  8  6 s.

Resolução: Os vetores diretores são v  (1,3, 2) e (4, 2,6)  2(2,1,3), e portanto paralelos. O ponto inicial de  nessa parametrização é (1,1,5). Veja que esse ponto não pertence a  ', pois teríamos que ter 1  4s e 1  2  2s das equações para a primeira e segunda coordenada dos pontos de  ', o que é impossível.

Mas então as retas não têm pontos em comum, isto é, são paralelas.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas  x 1 2t   :  y 1 t   z  5  3t

x  9  6s   ' :  y  3  3s   z 7  9 s.

Resolução: Os vetores diretores são 2,1,3 e 6,3,9  32,1,3, e portanto paralelos. O ponto inicial de  ' é 9,3,7  . Você pode verificar que esse ponto está na reta , resolvendo o sistema 9 1 2t 3 1 t 7  5  3t

que admite a solução t  4, portanto as retas são coincidentes.

Caso (ii): v não é paralelo a v '.

Nesse caso, considere o vetor n  v  v '. Esse vetor é não-nulo, e podemos considerar a coleção de todos os planos que têm n como vetor normal. Note que há infinitos planos com essa propriedade, todos paralelos (fig. 5.8) entre si.

120

n

Figura 5.8 – A família de planos paralelos a um vetor n .

Para selecionar um dado membro dessa família, basta escolher um ponto (lembre que uma direção e um ponto fixam um plano de forma unívoca). Os vetores diretores de  e  ' são paralelos a qualquer plano dessa coleção, e portanto, como estudamos na seção 5.5, se tomamos um plano  qualquer dessa coleção, ou ( ') será paralela a  , ou estará inteiramente contida nesse plano. Sejam  e ′′ os membros dessa coleção contendo os pontos iniciais P0 ( x0 , y0 , z0 ) e P0( x0 , y0 , z0 ) de  e  ', respectivamente. Claro que   P e  '  P'′' ′ .

Temos então duas possibilidades: ou  e ′′ são paralelos ou  = ′′ . O primeiro caso corresponde precisamente a retas reversas, e em particular  e  ' não se intersectam. No segundo caso, as retas são coplanares. Mas então, uma vez que o plano  = ′′ =  admite equações paramétricas x = x0 + tv1 + sv1′ y = y0 + tv2 + sv2′ z = z0 + tv3 + sv3′ e como por hipótese P0′ ∈  , existirão (únicos) t0 , s0   tais que x0′ = x0 + t0v1 + s0v1′ y0′ = y0 + t0v2 + s0v2′ z0′ = z0 + t0v3 + s0v3′ .

O sistema pode ser reescrito na forma x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1 y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2 z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3 .

Logo,  e  ' se intersectam em um (único) ponto. Ou seja, as retas serão concorrentes nesse caso.

121 Note que este último subcaso estabelece um fato intuitivamente bastante natural: Proposição 5.4. Duas retas distintas contidas em um mesmo plano ou são paralelas ou se intersectam em um único ponto.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas x  2 t   :  y 1 3t   z 1 2t

 x 5  4 s   ' :  y  6  5s   z  4  3s.

Resolução: Note que os vetores diretores v  1,3, 2 e v '  4,5,3 não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas e muito menos coincidentes. Considere o vetor n  v  v '  (1,5, 7).

O plano  com vetor normal n passando pelo ponto inicial P0 (2,1,1) de  (ver fig 5.9) tem equação x 5 y  7 z  4 .

A reta  ' tem vetor paralelo a esse plano, e portanto ou é ela própria paralela a  , ou está inteiramente contida neste. Mas o ponto inicial PP0'0 (5, 6, 4) não está em  , pois 5  56  74  53  4, e portanto  ' é paralela a  e as retas são reversas (Exercício: obtenha o plano ′′ contendo  ' e verifique explicitamente que  e ′′ são paralelos).

Exemplo: Para as retas do exemplo anterior, obtenha a reta  que intersecta  e  ' perpendicularmente.

Resolução: A reta  estará contida no plano  ⊥ que contém a reta  e é perpendicular a  . Em particular,  ∩  ⊥ =  . A figura 5.9 abaixo ilustra essa situação. �'

π⊥ �

π

π'

�⊥ Figura 5.9 – Reta  perpendicular à  e à  '.  ' está contida no plano  ortogonal a  ⊥ que contém  .

122

Para obter uma equação para esse plano, temos que obter primeiramente um vetor normal. Note que o vetor n  v  (31,5,8) cumpre bem esse papel. A seguir, tomemos um ponto de referência. Como queremos que o plano contenha  , podemos tomar P0 (2,1,1). O plano  ⊥ terá então uma equação 31x  5 y 8 z  49.

Você deve verificar explicitamente que   P⊥ . A seguir, nossa estratégia é obter o ponto PI′ de interseção de  ⊥ com  '. Deixamos  449 116 306  , , como exercício mostrar que PP'II′ . O próprio vetor n  75 15 25  pode ser usado como vetor diretor para , de modo que podemos escrever as equações paramétricas  449 t x  75   116   5t .  :y  15   306  7t z   25 Verifique que  intersecta  e é a reta procurada.

Exemplo: Determine a posição relativa das retas  x 1 2t   :  y t  z  2 t

x  2  s   ' :  y 3  s .  z  2  2s

Resolução: Os vetores diretores v  (2,1,1) e v '  (1,1,2) não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas nem coincidentes.

Tomando o vetor n  v  v '  (3,3,3). O plano  com vetor normal n passando pelo ponto inicial P0 (1, 0, 2) de  tem equação x  y  z 1.

Note que esse plano contém o ponto inicial PP0'0 (2,3, 2) de  ' e portanto  '  P′'' ′ . As retas precisam ser concorrentes. De fato, podemos considerar o sistema 1 2t  2  s t 3  s 2  t  2  2 s.

123

Deixamos a seu cargo verificar que a (única) solução é t  2, s 1, e que, portanto, as retas se intersectam no ponto (3,2, 0).

Exercícios 1) Obtenha uma equação do plano que passa pelos pontos (1,1,1), (1,1,3) e (5,3,1).

2) Determine uma equação do plano cujas interseções com os eixos coordenados são os pontos (3, 0, 0), (0,2, 0) e (0, 0,3).

3) Determine o plano que passa pelos pontos A(0, 2, 0), B (0, 0,3) e é tal que, juntamente com os planos coordenados (isto é, x  0, y  0 e z  0 ), determina um tetraedro de volume 5 unidades no primeiro octante (a região formada por todos os pontos do espaço com as três coordenadas não-negativas).

4) Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto (1, 2,3) e é paralela à reta cujas equações paramétricas são x 1 t , y  2  4t e z  5 (t  ).

5) Encontre a reta que passa pelo ponto (2, 0,1) e é simultaneamente paralela aos planos x  y  z  0 e x  2 z 1  0.

6) Dados o ponto P (0,1, 0) e a reta  : x 1 t , y  2  2t , z  t (t  ), encontre uma equação cartesiana do plano que contém P e .

7) Obtenha uma equação que contém o ponto (2,1,3) e a reta de interseção dos planos 2 x  y  z  2 e z  0.

8) Calcule a interseção da reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor (1,1, 2) com o plano x  y  2 z  5.

9) Verifique se as retas  x  3t  x 18s    :  y 1 6t (t  ) e  ' :  y  3  s (s  )    z  2  3t z 1 se intersectam. Em caso positivo, obtenha o ponto de interseção.

124

10) Considere as retas x  t  x 1 7 s    :  y 1 t (t  ),  ' :  y  s (s  ).   z  2 t  z 1 2 s a) Mostre que  e  ' são reversas. b) Ache os planos  e ′′ que contêm  e  ', respectivamente. c) Determine equações paramétricas para a reta que intersecta  e  ' perpendicularmente.

11) Dados os pontos A(2,1, 0) e B (1,3, 2), determine equações para os seguintes planos: a) o que contém a origem, A e B; b) o que A e B e é perpendicular ao plano XY ; c) o que contém a origem e é perpendicular à reta que passa por A e B; d) o que é paralelo ao eixo dos x e contém A e B. 12) Obtenha a interseção dos planos P  : 2 x 3 y  z  3 e ' : 2 x  3 y  2 z 1.

P 13) Mostre que a reta  : x 1, y 1 t , z 2  3t (t  ) está contida no plano  da questão anterior e obtenha a projeção de  sobre o plano  dessa mesma questão (Sugestão: Claramente, o que é necessário aqui é descobrir qual o plano  ⊥ que contém  e é perpendicular ao plano  . A reta  ' =  ⊥ ∩  ' é a projeção procurada).

14) Considere o plano  P : ax  by  cz 1, onde a, b e c não são todos nulos. Obtenha todos os valores de a, b e c para os quais: a)  é paralelo ao eixo dos z; b)  é paralelo ao plano x  0; c) as condições (a) e (b) verificam-se simultaneamente.

125

15) Em um tetraedro ABCD , os triângulos ABC e BCD são isósceles. Prove que AD e BC são ortogonais.

16) Obtenha a interseção dos planos 1 : 2 x  y  2 z 1 2 : x  y  2 3 : x  2 y  z  0 e obtenha a projeção da reta 1   2 sobre o plano 3 .

17) Um paralelogramo OABC de área 4 6 está contido em um plano com vetor normal n  (1, 2,1), e seus vértices O(0, 0, 0), A(1, 2,3) e B contido no plano que passa pelos pontos (0, 0,1), (1, 0,1) e (1,1,1). Determine C .

5.7 Distâncias no espaço Nesta seção, queremos discutir como calcular distâncias: a) de ponto a plano; b) de ponto a reta; c) de plano a plano; d) de reta a plano; e) de reta a reta.

Em cada caso, o que temos em mente é a menor distância possível entre os pontos dos respectivos conjuntos.

5.7.1 Distância de ponto a plano Dados um plano   : ax  by  cz  d (com a, b e c não todos nulos) e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ), é claro que a distância d ( P0 , ) de P0 a  é obtida computando-se o comprimento do segmento P0 P ', onde P ' é o pé da perpendicular baixada de P0 a  (figura 5.10).

126

P0

π P'

Figura 5.10: Distância de Ponto a Plano.

Para obter P '( x ', y ', z '), tudo o que precisamos fazer é escrever equações para a reta  que passa por P0 e é perpendicular ao plano.

Basta tomar o vetor normal n  (a, b, c) como vetor diretor da reta.

Temos então as equações paramétricas  x  x0  at   :  y  y0  bt   z  z0  ct.

(1)

A interseção de  com  ocorre quando a ( x0  at )  b( y0  bt )  c( z0  ct )  d , isto é, quando t

ax0  by0  cz0  d . a 2 b2  c2

A substituição desse valor do parâmetro em (1) nos dá as coordenadas de P ': ax  by  cz0  d cz02 d x '  x0  a ax00 2by00  2 x '  x0  a ax0 a2 by czc  d 0b 2  x '  x0  a a 2  b 2  c022 ax a by  bczc0  d cz02 d y '  y0  b ax00 2by00  2 y '  y0  b ax0 a2 by

(2) czc  d . 0b 2  y '  y0  b a 2  b 2  c022 ax  czc  d  b a by cz002 d z '  z0  c ax00 2by00  2 z '  z0  c ax0 a2 by czc  d  b z '  z0  c a 2  b0 22  c022 a b  c Temos, portanto:

)  d ( P0 , P ')  ( x ' x0 ) 2  ( y ' y0 ) 2  ( z ' z0 ) 2 , d ( P0 , 

127

e daí um cálculo simples usando (2) nos dá a fórmula

dd((PP00,,P)) 

ax0  by0  cz0  d a 2 b2  c2

.

Note que essa equação faz sentido inclusive quando P0   . Nesse caso, a distância é identicamente nula, como seria de se esperar.

A fórmula acima é tão simples e simétrica que vale a pena você memorizá­la. Apesar disso, sugerimos fortemente que você compreenda a construção geométrica que nos levou a tal fórmula, para que você possa desenvolvê-la sempre que necessário, ou mesmo para usar tal construção para calcular a distância diretamente.

Exemplo: Ache uma equação do plano  paralelo ao plano P 0 : x  2 y  2 z 1 cuja distância ao ponto P0 (3, 7,10) é de 100 unidades.

Resolução: Todo plano paralelo a 0 será da forma Pdd : x  2 y  2 z  d , onde cada valor de d determina exatamente um de tais planos. A distância de qualquer  d para P0 pode ser calculada através da fórmula da distância de ponto a plano. O resultado é

dd((PP00, ,Pdd )) 

13  (2)7  210  d 12  (2) 2  22



9 d .

3

Quando impomos que d ( P0 ,  d ) =100, obtemos duas possíveis soluções (conforme assumamos d  9 ou d  9 ): d  309 ,  d 291, correspondendo aos planos paralelos  : x  2 y  2 z  309   : x  2 y  2 z 291.

Os planos  e  são paralelos a 0 e simetricamente colocados com respeito a 0 , ambos distando 100 desse ponto.

128

5.7.2 Distância de ponto a reta Seja agora P0 ( x0 , y0 , z0 ) um ponto, e  x  x1  at   :  y  y1  bt (t  )   z  z1  ct uma reta. Em particular (a, b, c)  (0, 0, 0) . Para calcular a distância d ( P0 , ) , nossa estratégia é simples. Consideramos o plano normal a v  a, b, c  passando por P0 . Esse plano intersecta a reta  em um ponto P0′( x0′ , y0′ , z0′ ) , digamos.

A distância d ( P0 , P0′) é exatamente a distância procurada. Essa situação está ilustrada na fig. 5.11 abaixo.

P0 P0’

�

v

π Figura 5.11 – Distância de Ponto a Reta.

O plano  buscado terá equação a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0.

O ponto de interseção de  com  ocorrerá para t0   tal que a ( x1  at0  x0 )  b( y1  bt0  y0 )  c( z1  ct0  z0 )  0, que após algumas manipulações algébricas nos dá t0 

a ( x1  x0 )  b( y1  y0 )  c( z1  z0 )  a 2 b2  c2

sendo P1 ( x1 , y1 , z1 ).

 v, P0 P1 v, v

,

129

Note que introduzimos uma notação vetorial na última igualdade.

Temos, portanto,  x0′ = x1 + at0   y0′ = y1 + bt0  z′ = z + ct .

1 0  0

Usando a fórmula de distância usual entre pontos, vem

d ( P0 , )  d ( P0 , P0)  ( x0  x1  at0 ) 2  ( y0  y1  bt0 ) 2  ( z0  z1  ct0 ) 2 Mas, introduzindo a forma vetorial para t0, você pode verificar que essa equação pode ser reescrita na forma   v, P0 P1 d ( P0 , )  P0 P1  v . v, v Esta fórmula requer explicação. Primeiro, note que o ponto P0′ já não aparece na equação, só o ponto P0 e os parâmetros da reta . Isto é, v e P1 ( x1 , y1 , z1 ). A fim de entender o significado geométrico dessa fórmula, introduzimos a seguinte definição: Definição 5.4. Sejam u, v vetores, com v  0. A projeção (ortogonal) de u sobre v é o vetor v, u v. Pvv u  v, v Muito bem, mas qual o significado geométrico dessa definição? Na verdade, é bastante simples. Suponha que u, v são ambos não-nulos e  o ângulo entre eles (se u é nulo, a projeção também é). Teremos então u v cos  v v = u cos  . Pvv u = 2 v v v é o vetor unitário na direção e sentido de v, e u cos  mede v o “segmento projeção” da seta de u sobre v, conforme ilustrado na fig. 5.12.

Ora,

130

u

⊥

uv = u − Pvu

θ

v

Pvu Figura 5.12 – Projeção ortogonal de u sobre v . O módulo de v u é dado por u cos  na situação da figura.

A projeção v u , portanto, é um vetor com mesma direção de v e módulo u cos  . Em particular, se u e v são ortogonais, v u é o vetor nulo. É interessante notar que v u não depende do módulo de v, e nem do seu sentido, só de sua direção! Pois se consideramos v '  t v, com t   \{0}, teremos Pv'u  

v ', u t 2 v, u v ' 2 vP vvuu . v ', v ' t v, v

Exercício 18) Verifique, usando a definição, que se v é um vetor não-nulo, então dados quaisquer vetores u, w e qualquer número t  , temos v (u  w)  v u  v w ,

v (t u )  t v u .

Outro aspecto interessante de nossa definição é que, se pomos vvuu uv  u  P

temos v, uv  v, u 

v, u v, v  v, u  v, u  0 , v, v

isto é, uv é ortogonal a v (fig. 5.12). O vetor uv pode então ser pensado também como uma “projeção”, só que em uma direção ortogonal à de v. Além disso, podemos escrever vvuu . u  uv  P Ou seja, o vetor u pode ser escrito como uma soma vetorial entre um vetor com mesma direção de v com outro ortogonal a v. Essa

131

decomposição de fato é única. Com efeito, suponha que escrevamos u  u1  u2, onde u1 é ortogonal e u2 paralelo a v. Nesse caso, podemos escrever u2 =  ⋅ v, e temos 0 = u1 , v = u − u2 , v = u −  ⋅ v, v = u , v −  v, v , e, portanto,  =

u, v , isto é v, v u2 

v, u vP vvuu . v, v

Mas então u1  u  v u  uv .

A unicidade da decomposição acima tem outra conseqüência interessante. Suponha que u seja um vetor com mesma direção de v . Nesse  caso, se escrevemos u  0  u, estamos de fato decompondo u em uma soma de um vetor na direção de v (a saber, o próprio u ), e outro ortogonal a v (o vetor nulo, que é ortogonal a qualquer vetor).  Pela unicidade da decomposição, teremos que uv  0 e Pv u  u. Isso também pode ser verificado diretamente das definições de uv e Pv u, assumido-se que u  t v, para algum t  . Moral da história: a projeção em v de um vetor u paralelo a v é o próprio u.

Exercício 19) Mostre que uv⊥ = u sen , e interprete geometricamente.

Voltemos à nossa fórmula de distância. Usando a notação de projeção, podemos reescrevê-la na forma (veja a figura 5.13.)

   d ( P0 , )  P0 P1  v ( P0 P1 )  ( P0 P1 )v P0

⊥

(P0P1)v

−P0P1

P1

v

�

Pv(P0P1)

Figura 5.13 – Calculando a distância de um ponto a uma reta usando projeção ortogonal.

132

Exemplo: Obtenha as projeções do vetor v  ( x, y, z ) sobre os vetores unitários i  (1, 0, 0), j  (0,1, 0) e k  (0, 0,1).

Resolução: Usando a definição, temos  Pv iiv 

v, i i  xi . i, i

Pkkv  z k .

Analogamente, obtemos que  Pjjv  y j e  Duas últimas observações: Primeiro, sugerimos que você não se preocupe em decorar fórmulas. Tente, ao invés disso, entender bem a geometria da situação e levar em conta o significado do vetor P0 P1 v .

Em segundo lugar, a distância calculada pelas fórmulas acima não depende da escolha do vetor diretor para , pois a projeção sobre v só depende de sua direção, como vimos, e qualquer outro vetor diretor terá a mesma direção de v . Mas essa fórmula dá a impressão de que a distância de P0 a  depende de qual ponto inicial P1 ( x1 , y1 , z1 ) escolhemos para escrever as equações paramétricas de . Essa dependência, no entanto, é apenas aparente. Com efeito, seja dado outro ponto P2 ( x2 , y2 , z2 ) sobre a reta . Teremos    P0 P1  P0 P2  P2 P1 , e temos também      v ( P0 P1 )  v ( P0 P2 )  v ( P2 P1 )  v ( P0 P2 )  P2 P1 .

Note que na última igualdade usamos o fato de que P1 e P2 estão em  , e portanto o vetor P2 P1 tem a mesma direção de v. Assim, obtemos

    d ( P0 , )  P0 P1  v ( P0 P1 )  P0 P2  v ( P0 P2 ) , o que mostra que o resultado é o mesmo, independentemente do ponto inicial. A razão geométrica deste fato está ilustrada na figura 5.14.

P0 ⊥

⊥

(P0P1)v = (P0P2)v

P1

�

v

P2





Figura 5.14 – Tomando pontos de referência distintos P1 e P2 sobre , temos P0 P1 ≠ P0 P2 e         v ( P0 P1 ) ≠ v ( P0 P2 ) , mas ( P P )   ( P P )  P P   ( P P )  P P  ( P P ) .

0

1 v

v

0

1

0

1

v

0

2

0

2

0

2 v

133

Exemplo: Uma partícula movendo-se no espaço sai do ponto A(2,3, 2) no instante t  0 e tem movimento retilíneo uniforme     com velocidade v 3i  2 j  k (distâncias em metros, intervalos de tempo em segundos). Qual a menor distância que essa partícula tem da origem?

Resolução: A reta  ao longo da qual a partícula se move terá equações paramétricas x 2  3t y  3  2t z  2 t, sendo o parâmetro t o tempo. Queremos calcular a distância d (O, ) O(0, 0, 0). Podemos tomar a projeção do vetor dessa  reta à origem  OA (2,3, 2) ( AO também funciona, como você poderá verificar) sobre a direção de v. Calculando:  (3, 2,1), (2,3, 2) (3, 2,1)  (3, 2,1)  v . Pvv (OA)  (3, 2,1), (3, 2,1) Portanto,   d (O, )  OA  v (OA)  (2,3,2)  (3, 2,1)  (1,1,1)  3.

Logo, a distância buscada é

3 metros.

5.7.3 Distância entre planos e de reta a plano Os dois casos desta seção podem ser calculados por um mesmo método. Comecemos com distância entre planos.

Sejam  , ′ planos. Nosso interesse é calcular a distância d(  , ′ ) entre eles, supondo que são paralelos (se não são paralelos, então se intersectam, e definimos sua distância nesse caso como sendo zero).

Podemos então escrever, sem perda de generalidade  : ax  by  cz  d  : ax  by  cz  d  em que (a, b, c)  (0, 0, 0) e d  d '. Nossa estratégia é a seguinte: escolha arbitrariamente P0 ( x0 , y0 , z0 ) P e tome a distância desse ponto a ′ . Essa é a distância procurada. Usando a fórmula da distância de ponto a plano, temos

134

d ( P,, P′')) d(

ax0  by0  cz0  d ' 2

2

a b  c

2

d d '



2

a b2  c2

,

no qual usamos o fato de que ax0  by0  cz0  d , pois P0  P  (por hipótese), para obter a última igualdade.

Exemplo: Dados os planos P : 2 x  3 y  z 1  P′' : ax  6 y 1 b  z  2, obtenha, se possível, os valores de a e b para os quais os planos são paralelos e calcule a distância entre eles.

Resolução: Para que  e ′ sejam paralelos, devemos ter que o vetor n  (2,3,1) normal a  é paralelo ao vetor  a (b 1) , n '  (a, 6,1 b)  (2) ,3,   2 2  a (b1) 2 e 1, isto é a 4 e b  3.

2 2 O plano ′ tem equação 4 x  6 y  2 z  2, ou alternativamente 2 x  3 y  z 1. A distância será e portanto é preciso ter

d( ′')) d (P,, P

1 (1) 2

2

2

2  (3) 1



2 .

14

Se contemplamos calcular a distância entre uma reta e um plano, novamente o único caso de interesse é quando a reta é paralela ao plano. Basta tomar novamente um ponto arbitrário da reta e calcular a distância desse ponto ao plano. Esse caso é tão simples e similar ao anterior que o deixamos como exercício para você:

Exercício

 x 1 t  20) Verifique que a reta  :  y  3  t (t  ) e é paralela ao plano  z  2 t P :: 2 x  y  z  3 e calcule a distância entre eles.

135

5.7.4 Distância de reta a reta O único caso não-trivial é o caso de retas reversas. Se as retas são coincidentes ou concorrentes, tomaremos a distância entre elas igual a zero por definição. Se são paralelas, para calcular a distância entre elas basta tomar um ponto arbitrariamente em uma delas (qualquer ponto em qualquer uma das duas retas funcionará) e calcular a distância desse ponto a outra reta: essa é a distância buscada. Faremos isso concretamente em um exemplo.

Exemplo: Calcule a distância entre as retas x  t  x 1 t    :  y  t (t  ) e  :  y  2  t (t  ) .   z  t  z 1 t Resolução: Essas retas são claramente paralelas, pois seus vetores diretores são iguais e você pode checar que o ponto A '(1, 2,1) está em  ' mas não em . Tomando o próprio ponto A ', podemos usar a tecnologia da Seção 5.7.2 para computar a distância desse ponto à reta  . Tomemos arbitrariamente um ponto  em , digamos a origem O(0, 0, 0), e calculemos a projeção de OA (1, 2,1) sobre v  (1,1,1) (vetor diretor de  e  ' ):  4 4 4 (1, 2,1), (1,1,1) (1,1,1)  , ,  . Pvv (OA)  3 3 3 (1,1,1), (1,1,1) A distância buscada é o módulo do vetor    1 2 1  OA v (OA)  , , ,  3 3 3 ou seja,  1 2 1 2 d (,  ')   , ,   .  3 3 3 3 Você pode tentar repetir o cálculo com outros pontos e checar o resultado.

Quando as retas, digamos  e  ', são reversas, já vimos que é possível obter planos  e ′ paralelos, contendo respectivamente  e  '.

A distância entre as retas é a distância entre esses planos (convençase disto, fazendo uma figura). Novamente, basta trabalhar com um exemplo.

136

Exemplo: Calcule a distância entre as retas reversas  x 1 t  x  2  3s    :  y 1 t e  ' :  y 1 2 s    z  3 t  z 1 s.

Resolução: Para obter os planos paralelos, temos que obter um vetor normal comum, o que é feito através do produto vetorial dos vetores diretores das retas, n  (1,1,1)  (3, 2,1)  (3,4,1). O plano  contendo  é o plano de vetor normal n passando pelo ponto A(1,1,3) de , que é P : 3 x  4 y  z 2 .

Nem precisamos obter a equação para ′ pois, sabendo que esse plano é paralelo a ′ só precisamos tomar um ponto nele, digamos A '(2,1,1)   ' , e calcular sua distância a  . Portanto

d (,  ')  d ( A ',  ) 

32  411 2 32  (4) 2  (1) 2



3 .

26

Exercícios 21) Sejam  x  x0  v1t  x  x '0  v '1 s    :  y  y0  v2t e  ' :  y  y '0  v '2 s    z  z0  v3t  z  z '0  v '3 s, retas reversas. Seja n um vetor não-nulo ortogonal simultaneamente a v  (v1 , v2 , v3 ) e v '  (v '1 , v '2 , v '3 ). Sejam A ponto de  e A ' ponto de  '. Mostre que  d (,  ')  n ( AA ') .

Use esse resultado para calcular novamente a distância entre as retas reversas do segundo exemplo da seção 5.7.4.

22) Considere o plano P : 3 x  6 y  4 z 12. Calcule a distância desse plano à origem e obtenha o ponto de  que realiza essa distância.

137

23) Calcule a distância entre o ponto P (1, 2,1) à reta  x 1 3t   :  y  2  4t (t  )  z  3 Idem para a distância entre P e o plano P : x 4  2t  s, y  t , z  s (t , s  ).

24) Sejam 1 a reta que passa pelos pontos A 2,3, 2 e B 2,1, 0, e  2 a reta interseção dos planos P11: x  y  z  3 e P22: x  2 y  0 .

Mostre que as retas 1 e  2 são reversas e calcule a distância entre elas.

25) Dados dois pontos distintos A e B, obtenha uma equação para o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes de A e B. Examinando essa equação, verifique que L é o plano com vetor normal paralelo à reta que passa por A e B e contém o ponto médio do segmento AB. 26) Dados três pontos distintos e não-colineares A, B e C , mostre que o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes a A, B e C é uma reta perpendicular ao plano  contendo A, B e C .

Determine a interseção de L e  .

27) Dois aeroportos A e B distam 18km. Por um erro no projeto, os prolongamentos das pistas de decolagem se intersectam em um ponto O de modo que o triângulo AOB é eqüilátero. Para tentar compensar a falha, os controladores de vôo determinaram que os aviões saindo de A devem passar a uma altitude de 2km sobre O , e os que saem de B devem estar a 3km sobre O. Sabe-se que a distância mínima de segurança entre as aeronaves é de 992m. Você embarcaria em algum desses vôos?

138

Bibliografia Comentada Além dos livros comentados ao final do capítulo 4, podemos incluir os seguintes livros: [1] LIMA, Elon L. de. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: SBM, 2001.

Esse livro contém todo o conteúdo do capítulo 5. O tratamento é rigoroso, com vários exemplos. É um livro que deve constar em qualquer biblioteca de matemática.

[2] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.

[3] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.

Esses dois livros têm um tratamento similar, são uma introdução à Geometria Analítica Plana e Espacial, respectivamente. O livro sobre coordenadas no plano tem vários exercícios e passou por várias revisões. O professor Elon escreveu vários textos universitários de matemática, todos são fontes confiáveis de consulta.

Capítulo 6 Superfícies Quádricas

Capítulo 6 Superfícies Quádricas Neste Capítulo, apresentamos uma classe de figuras geométricas em três dimensões – isto é, subconjuntos do  3 – de grande interesse em aplicações fora e dentro da Matemática, as (superfícies) quádricas. Antes disso, a fim de introduzir adequadamente o tema, será necessária uma breve revisão de certos resultados sobre matrizes e determinantes.

6.1 Revisão de matrizes Em tratamentos informais, uma matriz é apresentada como uma tabela retangular de números reais como, por exemplo:  2 3 6  .  −1 0 p  Em que pese seu apelo intuitivo, porém, essa definição deixa a desejar em um tratamento mais cuidadoso porque dá a impressão (errônea) de uma matriz como sendo um objeto matemático mal definido. Isso pode ser facilmente corrigido por uma definição rigorosa, que, no entanto, permite manter intacta a visualização da matriz como uma tabela.

Denotamos por I n o conjunto dos n primeiros números naturais, isto é, I n  {1, 2, , n}.

Definição 6.1. Sejam m, n   . Uma matriz m por n é uma função A : I m  I n  . Para cada (i, j )  I m  I n , o valor A(i, j )   é chamado entrada da matriz A .

No exemplo dado acima, temos duas linhas e três colunas e, portanto, gostaríamos de pensar nessa tabela como uma matriz 2 por 3 no sentido de nossa definição. Se consideramos então a função A : I 2  I3  

142

dada por A(1,1)  2 , A(1, 2)  3 , A(1,3)  6 , A(2,1) 1, A(2, 2)  0 , A(2,3) = p ,

vemos que A pode ser inteiramente descrita pela tabela do exemplo: pela tabela, o número localizado na i ésima linha (contada de cima para baixo) e na j ésima coluna (contada da esquerda para a direita) representa o valor (entrada) A(i, j ) da matriz. Por exemplo, o número localizado na 2ª linha e 3ª coluna é o p, logo escrevemos A(2,3) = p. Reciprocamente, se nos é dada a função A como acima, nada nos impede de organizar os valores em uma tabela, já que existe um número finito deles, estabelecendo por convenção que cada par ordenado (i, j ) no domínio I 2  I 3 de A dá as coordenadas do número A(i, j ) na tabela, sendo i o número da linha, e j o da coluna, em que A(i, j ) aparece na tabela. Recuperaríamos, nesse caso, precisamente a tabela do exemplo.

Essa discussão, é claro, visa apenas a colocar a definição de matrizes em bases mais sólidas. No que segue, adotaremos na prática a apresentação usual de uma matriz por uma tabela. No entanto, você deverá estar ciente de que essa tabela, que é um desenho no papel, é apenas uma representação gráfica conveniente da matriz, que é um objeto matemático abstrato (uma função), podendo ser obtido sem ambigüidade a partir da tabela. Além disso, se A é uma matriz m por n, escreveremos seu valor em (i, j ) pondo Aij ao invés de A(i, j ), que seria uma notação precisa, mas não usada tradicionalmente. Em termos concretos, escreveremos A na forma  A11  A1n        .    Am1  Amn  Também utilizaremos freqüentemente a notação A  [ Aij ]1im ou 1 jn

sua versão mais curta A  [ Aij ], quando não houver possibilidade de confusão.

No espírito acima, damos uma definição precisa de linha e coluna de uma matriz.

143

Definição 6.2. Seja A uma matriz m por n . Para cada 1  i  m (respectivamente, 1  j  n ), a i-ésima linha (respectivamente, j-ésima coluna) da matriz A é a função liA : I n   dada por liA (k )  A(i, k ) para 1  k  n (respectivamente, c Aj : I m   dada por c Aj (k )  A(k , j ) para cada 1  k  m ). A tem, portanto, m linhas e n colunas.

Valem aqui observações semelhantes às feitas após a Definição 6.1.

Na prática, se apresentamos a matriz A como uma tabela, sua i-ésima linha é dada univocamente pelos n números Ai1 , , Ain , dispostos horizontalmente ao longo da i-ésima linha na tabela, e sua jésima coluna, pelos m números A1 j , , Amj dispostos verticalmente na coluna correspondente na tabela. Esse fato é precisamente o que justifica os termos linha e coluna dados às funções abstratas da definição 6.2.

No primeiro exemplo, a segunda linha seria formalmente a função I 2 : I 3   dada por l2 (1) 1, l2 (2)  0, l2 (3) = p.

Exercício 1) Na função I : I 2  I 2  , dada por I (1,1)  I (2, 2) 1 e I (1, 2)  I (2,1)  0, represente–a por uma tabela. Obtenha as funções correspondentes respectivamente à segunda linha e à primeira coluna dessa tabela. Faça o mesmo com a função I : I n  I n   dada por 1, se i  j .

I (i, j )   0, se i  j Finalmente, dada a tabela  2 3   2 0   3 4 

5  1 , 2 6 

obtenha a função correspondente (domínio, contradomínio e valores).

144

Entre as matrizes, há alguns tipos que merecem atenção especial, e portanto um nome em separado. Seja A uma matriz m por n.

Dizemos que A é uma matriz–linha (ou vetor–linha) se m 1, isto é, se A tem uma única linha. De forma semelhante, A é dita ser uma matriz–coluna (ou vetor–coluna) se n 1, ou seja, se A possui uma única coluna. A matriz nula m por n tem todas as entradas iguais a zero, e será denotada por 0mn.

Se m  n, dizemos que A é uma matriz quadrada, e o número n é a ordem da matriz A. Sendo  A11  A1n    A         An1  Ann  uma matriz quadrada de ordem n, a seqüência A11 , A22 , , Ann é chamada diagonal principal. Uma matriz quadrada de ordem 1 pode ser identificada com um número real, sua única entrada.

Entre as matrizes quadradas de uma ordem fixada n, uma se destaca: a matriz identidade (de ordem n), que representamos por I n , da forma 1  0   IInn      ,   0  1 ou seja, essa matriz tem todas as entradas da diagonal principal iguais a 1 e todas as demais entradas iguais a zero. Uma matriz quadrada que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero é chamada de diagonal. A matriz identidade é um exemplo desse tipo de matriz.

Dada uma matriz A, m por n, definimos sua transposta, denotada por At, como a matriz n por m (note a troca!) obtida a partir de A trocando suas linhas por suas colunas. Mais precisamente, cada entrada (i, j ) da transposta é a entrada ( j , i ) de A. Em símbolos:

( At )ij  Aji ,1  i  m,1 j  n.

145

Como exemplo, a transposta da matriz do primeiro exemplo é  2 −1   3 0  . 6 p    Uma matriz A é dita ser simétrica se é igual à sua transposta, isto é, se A  At, ou equivalentemente se Aij  Aji ,1  i  m,1 j  n .

Para isso acontecer, a matriz tem que ser necessariamente quadrada (por quê?). A matriz identidade de qualquer ordem n é simétrica.

De fato, toda matriz diagonal é simétrica. Mais adiante veremos outros exemplos de matrizes quadradas especiais e, em particular, de matrizes simétricas.

Parte da utilidade das matrizes é que podemos definir operações entre elas, à semelhança do que fazemos com números ou vetores.

Definição 6.3. Sejam A e B ambas matrizes m por n . A soma de A e B é a matriz A  B m por n com entradas dadas por A  B  [ Aij  Bij ], isto é, para cada 1  i  m, e cada 1  j  n, a entrada da soma correspondente a (i, j ) é aij  bij.

Note que a soma de matrizes só está definida entre matrizes com mesmo número de linhas e colunas. A próxima Proposição, cuja demonstração é deixada como exercício, lista as principais propriedades da soma de matrizes.

Proposição 6.1. A soma de matrizes goza das seguintes propriedades: (S1) ( A  B )  C  A  ( B  C ) , para matrizes m por n quaisquer A, B, C (Associatividade), (S2) A  0mn  0mn  A  A, para uma matriz m por n qualquer A (Existência de Elemento Neutro),

146

(S3) Para uma matriz m por n qualquer A, existe uma matriz m por n, que denotamos por A, tal que A  (A)  (A)  A  0mn (Existência de Inverso Aditivo), (S4) A  B  B  A, para matrizes m por n quaisquer A , B (Comutatividade).

Você pode verificar, também como exercício, que o elemento neutro da soma (a matriz nula) é único, assim como também é única, para cada matriz A, a sua matriz oposta (isto é, seu inverso aditivo). Note que essas propriedades são idênticas às das somas de números ou de vetores, o que justifica o nome “soma” dada à operação.

Assim como fizemos com vetores, podemos multiplicar matrizes por escalares.

Definição 6.4. Seja A uma matriz m por n e  um número real.

A multiplicação de  por A é a matriz A m por n com entradas dadas por A  [ Aij ] , isto é, A é a matriz obtida a partir de A multiplicando cada entrada por .

A próxima proposição, cuja demonstração é também deixada como exercício, lista as principais propriedades da multiplicação de matrizes por escalares.

Proposição 6.2. A multiplicação de matrizes por escalares goza das seguintes propriedades: (SM1) ( 1 2 ) A = 1 ( 2 A), para uma matriz m por n A e 1 , 2 ∈  quaisquer, (SM2) ( 1 + 2 ) A = 1 A + 2 A, ( A + B) = A + B para matrizes m por n A , B e 1 , 2 ,  ∈  quaisquer, (SM3) 1A  A para uma matriz m por n A qualquer.

Novamente, note que essas são precisamente as propriedades da multiplicação de vetores por escalares. Isso não é mera coincidên-

147

cia, pois, com essas operações, tanto as matrizes m por n (com m e n arbitrários mas fixos) quanto os vetores são exemplos de uma estrutura algébrica chamada espaço vetorial, que você estudará em detalhes na Álgebra Linear. Mas as matrizes ainda possuem, além dessas operações, uma terceira, o produto de matrizes.

Definição 6.5. Sejam A matriz m por n e B matriz n por p . O produto de A por B é a matriz AB m por p com entradas dadas por n

( AB )ij :  Aik Bkj ,1  i  m, i  j  p. k1

Observe que o produto de matrizes só está definido se o número de colunas da matriz “à esquerda” for igual ao número de linhas da matriz “à direita”, sendo o resultado uma matriz com o número de linhas igual ao da primeira matriz e com o número de colunas igual ao da segunda matriz. Em particular, pode existir um produto AB e não existir o produto BA. Uma situação muito importante é quando consideramos matrizes quadradas A e B de uma certa ordem fixada n. Nesse caso, o produto AB e o BA das duas matrizes está definido e dá uma matriz de ordem n em ambos os casos. O interessante é que o produto, ao contrário do caso com números, não precisa ser comutativo, isto é, pode acontecer que AB  BA .

Você pode verificar isso explicitamente calculando o produto AB, sendo o BA sendo, por exemplo, 0 1  2 0 A   e B  . 1 0  0 1 O resultado será  0 1   0 2 AB    BA.  2 0  1 0  Em alguns casos particulares, no entanto, é possível ter AB  BA (você conseguiria pensar em alguns exemplos?). Outra propriedade curiosa do produto de matrizes é que, ao contrário do que

148

acontece com números, podemos ter que AB é a matriz nula com A e B ambas não nulas, por exemplo, se 0 1  2 0 A   e B  . 1 0  0 1 Listamos agora as propriedades do produto de matrizes.

Proposição 6.3. O produto de matrizes goza das seguintes propriedades: (P1) ( AB )C  A( BC ), para matrizes A m por n, B n por p e C p por q quaisquer, (P2) AI n  I m A  A , para uma matriz m por n qualquer A, (P3) A( B  C )  AB  AC , para matrizes A m por n e B, C n por p quaisquer, (P4) ( A  B)C  AC  BC , para matrizes A, B m por n e C n por p quaisquer.

Demonstração: Exercício.

A propriedade (P2) acima mostra que, se A é uma matriz quadrada de ordem n, a matriz identidade de ordem n, I n , funciona como um elemento neutro, isto é, AI n  I n A  A . Mais precisamente, se chamamos de M n o conjunto de todas as matrizes quadradas de uma ordem fixada n, então o produto de matrizes define uma operação nesse conjunto com elemento neutro dado por I n . Ora, dado a um número real não-nulo, sempre existe um número real b tal que ab  ba 1. Ocorre o mesmo com matrizes? Isto é, dada uma matriz A  M n não-nula, será que sempre existe alguma matriz B  M n tal que AB  BA  IInn ? A resposta, em geral, é não.

Exemplo. Seja

1 0 A  .  0 0

Dada qualquer matriz 2 por 2 B , podemos escrever a b  B  . c d 

149

Mas temos

e

 a b AB  ,  0 0  a 0 BA  ,  c 0

e nenhuma dessas duas matrizes pode ser igual à matriz identidade de ordem 2 (por que?).

Definição 6.6. Uma matriz quadrada de ordem n é dita ser invertível se existir uma matriz B tal que

AB = BA = I n .

Nesse caso, a matriz B é dita ser a inversa de A . (Observe que em caso positivo, essa condição implica que B também tem que ser quadrada de ordem n).

Como vimos acima, a inversa de uma matriz quadrada pode não existir, isto é, nem toda matriz quadrada é invertível. Mas se existe, é única: sendo A uma matriz quadrada de ordem n e se B, B ' são inversas, temos

B = BI n = B( AB ') = ( AB ) B ' = I n B ' = B '.

A primeira igualdade segue de que I n é elemento neutro para o produto em M n; a segunda igualdade de B ' ser inversa de A; a terceira da associatividade do produto de matrizes; a quarta de B ser inversa de A; e a última igualdade ocorre novamente de I n ser elemento neutro do produto em M n. A unicidade da inversa justifica o uso do artigo definido que usamos na Definição 6.6. Também justifica que denotemos por A1 a matriz inversa de A. Note ainda que o fato da inversa ser única sempre significa que, se A1 é a matriz inversa de A, então A é a matriz inversa de A1, isto é, ( A1 )1  A (por quê?).

Uma questão que surge então naturalmente é: dada uma matriz quadrada, como saber se ela é invertível? Será possível calcular sua inversa? A resposta vem do uso do determinante de uma matriz, que será discutido na próxima Seção.

150

6.2 Determinantes e sistemas lineares A partir de agora, matriz sempre significará, a menos de menção explícita em contrário, matriz quadrada de ordem n, com n fixado.

Só nos interessarão de forma mais detalhada os casos n  2,3.

Historicamente, os determinantes de matrizes apareceram como formas de expressar de maneira concisa soluções para sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Alguns cálculos envolvendo determinantes de matrizes já ocorriam em tratados chineses do séc.

III a.C., embora no Ocidente só começassem a ser utilizados com esse fim a partir do séc. XVII d.C.. No século XIX de nossa era, passaram a ser estudados de forma sistemática, e várias de suas principais propriedades foram estabelecidas nessa época. Hoje, os determinantes são ferramenta fundamental em vários aspectos do estudo de matrizes, como a existência de soluções de certos sistemas de equações lineares e na determinação da inversibilidade de uma matriz.

Um desenvolvimento sistemático da teoria dos determinantes e, em particular sua aplicação aos sistemas lineares, está fora do nosso escopo e será apresentado com detalhes no curso de Álgebra Linear.

Apresentaremos aqui os resultados principais de forma relativamente esquemática, enfatizando os casos n  2,3.

Comecemos considerando um sistema de n equações lineares com n incógnitas x1 , , xn:

a11 x1   a1n xn  b1     an1 x1   ann xn   bn

(1)

Usando a definição de produto de matrizes, você pode verificar que o sistema pode ser reescrito na forma

 a11  a1n  x1   b1               .       an1  ann  xn  bn 

(2)

151

Se então chamamos  a11  a1n   x1   b1        A     , X    e b   ,        an1  ann   xn  bn  podemos reescrevê-la na forma simples AX  b.

Dessa maneira, o sistema com n equações numéricas se torna uma única equação entre matrizes, tendo como incógnita a matriz–coluna X . A eq. (2) é chamada forma matricial do sistema (1), e A, a matriz dos coeficientes desse sistema. A ordem do sistema é a ordem de sua matriz de coeficientes. Uma solução do sistema (1) é então uma matriz coluna X satisfazendo (2).

Como você pode imaginar, o problema de obter diretamente soluções para (1) fica mais complicado à medida que n, o número de equações e incógnitas, cresce. Surpreendentemente, o matemático suíço Gabriel Cramer (1704–1752) desenvolveu um método, hoje conhecido como Regra de Cramer, que dá a solução geral do sistema (1) em termos de certos determinantes (mediante algumas hipóteses – veja abaixo).

Para ver como a Regra de Cramer funciona, é interessante considerar dos casos n  2 e n  3, que serão os únicos importantes para nós, nesse momento.

Iniciando com o sistema de n  2 a11 x1  a12 x2  b1 a21 x1  a22 x2  b2 podemos subtrair a segunda equação multiplicada por a12 da primeira equação multiplicada por a22 e obter

(a11a22  a12 a21 ) x1  b1a22  b2 a12,

e assumindo que a11a22  a12 a21  0, teremos x1 

b1a22  b2 a12 . a11a22  a12 a21

(3)

152

Similarmente, você pode tentar obter, multiplicando a primeira equação do sistema por a21, a segunda por a11 e, operando de forma conveniente, que

(a11a22  a12 a21 ) x2  b2 a11  b1a21 .

(4)

Novamente, sendo a11a22  a12 a21  0, teremos x2 

b2 a11  b1a21 . a11a22  a12 a21

 x1  Portanto, há uma única solução   , inteiramente determinada pelas  x2  equações acima, desde que nossa hipótese a11a22  a12 a21  0 se verifique.

Note que em ambas as equações, à parte dos denominadores serem ambos iguais a a11a22  a12 a21 , a solução não parece muito simples de memorizar.

Isso muda se introduzirmos a seguinte definição: Definição 6.7. Dada uma matriz 2 por 2 qualquer  b11 b12  B   b21 b22  o determinante de B, denotado por det B, é o número b11b22  b12b21 .

Com essa definição, concluímos que, para existir uma única solução de nosso sistema, é suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes  a11 A   a21

a12   a22 

seja diferente de zero. Em caso afirmativo, teremos  b1 a12   a11 b1  det det   b2 a22   a21 b2  x1  e x2  det A det A como você pode verificar diretamente, usando a Definição 6.7. O numerador de cada xi é o determinante da matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes substituindo a i-ésima coluna (i 1, 2 confor-

153  b1  me o caso) dessa matriz pelo vetor–coluna  , e o denominador, b2  comum a todos eles, é det A Regra de Cramer para sistemas 2 por 2 é precisamente essa.

Exemplo. Use a Regra de Cramer para obter a solução do sistema 2 x1  x2  5 x1  3 x2  6.

Resolução. Primeiro, note que o determinante da matriz dos coeficientes é 2 1  det  2(3) 11 7  0,  1 3 e, portanto, podemos aplicar a regra de Cramer, que nesse caso dá: 5 1   2 5 det det   7  6 3 (21)  1 6 x1    3 e x2   1, (7) (7) (7) (7) 3 ou seja,   é a (única) solução. 1 E se det A 0? Nesse caso, obtemos de (3) e (4) que: b1a22  b2 a12  0 x1 b2 a11  b1a21  0 x2 ,.

Temos então duas possibilidades. Na primeira b1a22  b2 a12  b2 a11  b1a21  0.

Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções: qualquer vetor–  x1  coluna   é solução do sistema. A segunda possibilidade é se  x2  b1a22  b2 a12  0 ou b2 a11  b1a21  0 Nessa situação, o sistema não admite nenhuma solução.

Em situações concretas, os sistemas dois por dois são simples o suficiente para que os resolvamos sem utilizar a Regra de Cramer. No entanto, é possível generalizar essa discussão para sistemas de ordem n qualquer, nos quais o método pode se tornar de grande valia.

O principal resultado a esse respeito pode ser resumido no seguinte Teorema, que apresentaremos sem demonstração:

154

Teorema 6.1 (Regra de Cramer – Caso Geral). Um sistema com n equações e n incógnitas a11 x1   a1n xn  b1    , an1 x1   ann xn   bn cuja matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, em símbolos,  a11  a1n    det     0 ,    an1  ann  tem uma única solução dada por  a11  b1  det     an1  bn xi   a11   det     an1 

 a1n       ann  , a1n      ann 

com i 1, 2, , n, em que o numerador é a matriz obtida a partir da matriz dos coeficientes substituindo–se a i-ésima coluna pelo vetor  b1    coluna   .   bn  Apesar de dar a solução do sistema de forma explícita, a Regra de Cramer não é muito utilizada em cálculos numéricos concretos quando n é grande, pois o cálculo dos determinantes se torna bastante pesado, mesmo usando o computador. Mas com n  3, essa regra é utilíssima, e os cálculos envolvidos podem ser feitos manualmente. Note ainda que não se pode utilizar a Regra de Cramer caso o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo. Nesse caso, ou a solução do sistema não existe, ou existem infinitas soluções.

Para utilizar a Regra de Cramer, obviamente temos que calcular determinantes. Para o caso n  3, a definição é:

O caso intermediário, em que o número de soluções é finito e maior do que um, não pode ocorrer. Como já indicamos, a razão disto ficará clara quando você estudar álgebra linear.

155  a11  det a21   a31

a12 a22 a32

a13   a23  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a31a22 a13  a32 a23 a11  a33 a21a12 .  a33 

Podemos escrever a soma do segundo membro na forma a11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (a21a33  a23 a31 )  a13 (a21a32  a22 a31 ) ou, ainda, como  a22 a11 det  a32

 a21 a23   a12 det a33   a31

 a21 a23   a13 det a33   a31

a22  . a32 

Chame de A a matriz, 3 por 3, original e, para cada i, j  1, 2,3, chame de A(ij ) a matriz 2 por 2 obtida a partir de A removendo-se a i ésima linha e a j ésima coluna. Finalmente, definimos o cofator do elemento aij por   ij  (1)i j det A(iij, )j , e podemos, então, escrever 3

det A  a1111  a12 12  a13 13   a1 j 1 j . j1

É interessante notar que (a11 a12 a13 ) é a primeira linha da matriz A . No entanto, você pode testar por você mesmo que, se tomássemos qualquer linha, o resultado seria o mesmo! Isto é, se considerássemos a i-ésima linha (i 1, 2,3) ainda teríamos 3

det A  ai1i1  ai 2 i 2  ai 3 i 3   aij ij . j1

Esta fórmula é o desenvolvimento do determinante de A pela i-ésima linha. Tem mais: uma fórmula análoga vale para colunas! Em outras palavras, se fixamos a j-ésima coluna ( j 1, 2,3), temos 3

det A  a1 j 1 j  a2 j  2 j  a3 j 3 j   aij ij. i1

Essas fórmulas podem ser generalizadas para n qualquer, e são chamadas de desenvolvimento de Laplace do determinante.

156

Exemplo. Obtenha o determinante da matriz  1 2 3    A  2 1 1.   2 1 2  Resolução. Vamos tomar, por exemplo, a segunda coluna para desenvolver o determinante. A fórmula geral, nesse caso, se torna: det A (2)12 1 22  (1)32.

Calculando os cofatores:  2 1 12  (1)12 det 2; 2 2   1 3  22  (1) 22 det  8; 2 2 1 3  32  (1)32 det  7.  2 1

Portanto, det A (2)(2) 18  (1)7  5.

Você pode escolher outra linha ou coluna e desenvolver o determinante a partir dela, para verificar que o mesmo resultado é obtido.

Exemplo. Resolva o sistema 3 por 3 2 x  3 y  7 z 1 x  3z  5 2 y  z  0.

Resolução. Considerando a matriz dos coeficientes, temos  2 3 7    det 1 0 3 1  0 .    0 2 1 Portanto, podemos usar a Regra de Cramer. Nesse caso, temos 1 3 7    det 5 0 3    0 2 1 49 x 1

157 2 1 7    det 1 5 3     0 0 1 9 y 1  2 3 1   det 1 0 5    0 2 0 z 18. 1 Definição. Seja A uma matriz quadrada. Cof ( A) é a matriz tal que sua entrada ij é o cofator ij . Verifique que A.(Cof ( A))t  (det A).I n .

(Cof ( A))t é chamado de adjunta clássica de A.

6.3 Quádricas As (superfícies) quádricas são subconjuntos de pontos ( x, y, z )   3 que satisfazem uma equação da forma ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2exz  2 fyz  gx  hy  iz  j  0 , em que a, , j são números reais quaisquer. Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio r  0 é uma quádrica, pois se fazemos a  b  c 1, d  e  f  g  h  i  0 e j r obtemos sua equação como um caso particular da equação geral. É conveniente escrever essa equação na forma matricial

(x

y

a  z ) d  e

d b f

e  x    f  y  ( g   c  z 

 x   h i ) y  j  0   z

d b f

g  x e      f , N  h  e X  y ,      c i z

(Verifique). Fazendo a  M  d  e

podemos reescrever aquela equação na forma mais simples X t MX  N t X  j  0 .

158

Assim como fizemos no estudo das cônicas (que, aliás, podem ser pensadas como versões, no plano, das quádricas), dada uma equação na forma quadrática acima, podemos realizar rotações e translações dos eixos coordenados de modo a reduzir a equação a uma forma mais simples, que nos permita identificar e esboçar as quádricas. No entanto, esse processo é bem mais difícil em três dimensões, pois no espaço há um número maior de possibilidades geométricas ao se realizarem rotações e translações. Apesar disso, o resultado final desse processo pode ser resumido no seguinte resultado, a ser provado na Álgebra Linear: Teorema 6.2. Dada uma matriz simétrica M de ordem n, existe uma matriz ortogonal Q, isto é, tal que

Q ' Q = QQ ' = I n , , tal que QMQ t é uma matriz diagonal. Dizemos que Q diagonaliza M .

Dada uma matriz M simétrica qualquer, em geral não é tarefa fácil obter uma matriz ortogonal que a diagonaliza. Esse processo corresponde, como mencionamos, a obter novos eixos coordenados, realizando rotações em três dimensões, com respeito aos quais a equação da quádrica se simplifica. Para nós, os detalhes desse processo não serão importantes. O que importa é que a matriz que realiza a diagonalização existe. Dada a matriz M , seja Q uma matriz 3 por 3 ortogonal que a diagonaliza.

Note que, se A e B são matrizes (quadradas de ordem n) quaisquer, temos n

n

n

k1

k1

k1

( AB ) ij  ( AB ) ji   Ajk Bki   Bki Ajk  ( B t )ik ( At ) kj ( B t At )ij , t

t para quaisquer 1  i, j  n e, portanto,  AB   B t At. Assim,

D  QMQ t, S  QN e Y  QX , lembrando-se que Q ' Q = QQ ' = I n , que é o elemento neutro para o produto de matrizes. Logo, X t MX  N t X  j  X t Q t QMQ t QX  N t Q t QX  j   (QX )t QMQ t QX  (QN )t QX  j  Y t DY  S tY  j.

159

Agora, escrevendo  1  D  0  0

0 2 0

 x '  1  0      0 , S  2  e Y  y ',      3   z '  3 

a equação da quádrica ficará

1 x '2 + 2 y '2 + 3 z '2 + 1 x '+ 2 y '+ 3 z '+ j = 0.

No que segue, omitimos o sobrescrito '.

6.3.1 Quádricas centrais Temos uma variedade bastante grande de possíveis quádricas. Concentrar-nos-emos inicialmente no caso em que 1 = 2 = 3 = 0: 1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + j = 0.

As quádricas correspondentes são ditas centrais, pois se um ponto ( x, y, z ) pertence à quádrica, então (x,y,z ) também pertence, ou seja, quádricas desse tipo permanecem inalteradas se realizamos uma reflexão em torno da origem. Por exemplo, uma esfera de raio unitário com centro em (1,1,1) não é uma quádrica central, pois sua equação pode ser escrita na forma: (verifique!) x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  2  0, que não tem a forma geral. De fato, por uma reflexão em torno da origem, essa esfera seria levada em uma esfera de raio unitário, mas com centro em (1,1,1). Geralmente, não é difícil se convencer de que somente uma esfera com centro na origem pode ser uma quádrica central.

Mesmo entre as quádricas centrais, existe uma variedade bastante grande, dependendo dos sinais relativos dos i 's e de j. Temos as seguintes possibilidades: i) Os três i 's são nulos.

Esse caso é meramente uma curiosidade. Nesse caso, a equação reduzida se torna j  0.

160

Se, de fato, j  0, todo ponto de  3 é solução; caso j  0, o conjunto de soluções é vazio. Portanto,  3 e o conjunto vazio são tipos particulares de quádricas. ii) Só dois dos i 's são nulos.

Para fixar idéias, tome 1 = 2 = 0 e 3 ≠ 0 (os demais casos serão inteiramente análogos, diferindo por uma troca adequada de direções). Nesse caso, a equação reduzida se torna z2 = −

j . 3

Se j  0, essa é uma equação do plano XY, que é portanto uma j quádrica central! Se > 0, não podemos ter solução, pois nes3 se caso o segundo membro seria negativo, enquanto que z 2  0, j e a quádrica correspondente é novamente o conjunto vazio. Se < 0, 3 j escrevemos a = − , e a equação reduzida se torna 3 z 2  a 2  z a, que descreve um par de planos paralelos ao plano XY ( z  a e z a ). iii) Somente um dos i 's é nulo.

Suponha que 3 = 0, 1 2 ≠ 0. Nesse caso, 1 e 2 podem ter o mesmo sinal ou sinais opostos.

Caso j  0, teremos, em resumo, que: 1 x 2 ± 2 y 2 = 0.

Para o sinal ‘ ’, todo ponto da forma (0, 0, t ) com t   é solução, e teremos então uma parametrização do eixo Z (verifique!). Do contrário, teremos

1 x 2 − 2 y 2 = ( 1 x +

2 y )( 1 x −

2 y ) = 0,

que descreve dois planos paralelos ao eixo Z (por quê?).

161

Se j  0, podemos dividir a equação reduzida por j e ficamos com 1 2 2 2 x + y = 1. j j Se

1 2 , < 0, a solução é o conjunto vazio. Do contrário, escrevemos j j j j a= e b= , 1 2

para obter as possibilidades x2 y 2 a) 2  2 1 a b

b)

x2 y 2  1 a 2 b2

c) 

x2 y 2  1 a 2 b2

O caso (a) corresponde ao cilindro (reto) de base elíptica, representado na figura 6.1. Isso porque, para todo plano z  constante, a equação em (a) descreve a mesma elipse, independentemente do valor de z . z

y x Figura 6.1 - Cilindro reto de base elíptica

Um caso particular interessante ocorre quando a  b, em que os cortes transversais do cilindro são circunferências de raio a. Nesse caso, podemos pensar no cilindro como tendo sido gerado pela rotação da reta paralela ao eixo z passando por (a, 0, 0) em torno do eixo Z. Esse é o chamado cilindro (reto) de revolução.

Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação 4 z 2  9 y 2 1.

162

Resolução. Note que a interseção da quádrica com os planos x  constante não dependem do valor de x. Basta identificar o aspecto dessa interseção quando x  0. Nesse caso, a equação dada descreve uma elipse no plano ZY , e temos então um cilindro de base elíptica.

Os casos (b) e (c) descrevem, por razões semelhantes às do caso (a), um cilindro (reto) de base hiperbólica, pois suas seções transversais são hipérboles (fig. 6.2). z

y

x

Figura 6.2 - Cilindro de base hiperbólica

iv) Nenhum dos i 's é nulo.

Essa é a situação mais rica. Novamente temos dois subcasos: iv.a) j  0.

Nessa situação, a equação reduzida se torna 1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 0.

Se todos os i 's tiverem o mesmo sinal, podemos escrever essa equação na forma 1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 0 que só admite uma solução, a saber x  y  z  0, e, portanto, a quádrica será um único ponto (a origem). Do contrário, teremos dois dos i 's negativos (positivos) e o terceiro positivo (negativo). Você pode verificar, como exercício, que todas as possibilidades são dadas por equações da forma:

163 x 22 y 22 z  x 22  y22 , z  ax 2  by2 , z  a 22  b 22 , ax bz y 22  x 222  z 222 , y 2  ax 2  cz 2 , y  a 22  c 22 , ay cz x 22  y222  z 222 . x 2  by2  cz 2 . x  b2  c2 . b c 2 2 2

z

x

y

Figura 6.3 - Cone duplo de base elíptica

Estas três possibilidades correspondem a um cone duplo de base elíptica. Vamos considerar a primeira dessas equações. Para ver o porquê dessa denominação, basta notar que a interseção com um plano paralelo ao plano XY é dada, tomando-se z  constante na equação.

Se z  0, temos que ter x  y  0, e, portanto, o plano XY intersecta essa quádrica em um único ponto. Quando z  0, a equação descreve elipses, cujo tamanho, porém, depende do valor de z 2, e em particular a equação é invariante pela transformação z z , o que mostra que a figura se mantém inalterada por uma reflexão com respeito ao plano XY . A interseção dessa quádrica com o plano YZ y ( x  0 ) são as retas z  , e com o plano XZ ( y  0 ) são as retas b x z  . A representação desse tipo de cone está na figura 6.3. b O eixo Z nesse caso coincide com o eixo do cone. No caso particular em que a  b, temos um cone duplo de revolução, pois podemos penx sá–lo como tendo sido gerado pela rotação da reta z  em torno a do eixo Z. As duas equações restantes descrevem cones cujo eixo coincide com os eixos Y e X , respectivamente.

Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação x 2  2 y 2  z 2  0.

Resolução. Podemos escrever essa equação na forma z 2  x 2  2 y 2, que tem a forma da primeira equação, sendo portanto um cone duplo de base elíptica. Para esboçá–lo, considere elipses representativas com z 1.

164

iii.b) j  0.

Nessa situação, além do conjunto vazio, as demais possibilidades se reduzem a um dos grupos abaixo: • Grupo (E) x2 y 2 z 2   1, a 2 b2 c2

• Grupo (H1) x 22 y 22 z 22  x 22  y22  z 22 1,  ax 2  by2  cz 2 1, 2a 2 2b 2 2c 2 1, x 2a y 2b z 2c x 2  y 2  z 2 1, ax 22  by22  cz 22 1, a 2  b 22  c 2 1, ax 2 by 2 cz 2 x 2  y 2  z 2 1, ax 22  by22  cz 22 1, a 2  b 2  c 2 1, a b c • Grupo (H2) x 22 y 22 z 22 x 2  y22  z 22 1, 1, ax 22  by2  cz 2   1, a2  b c2  2 2 2 2 a x2 b y 2 c z 2  x 22  y22  z 22 1,  ax 2  by2  cz 2 1,  a 22  b 22  c 22 1, ax 2 by 2 cz 2  x 22  y22  z 22 1,  ax 2  by2  cz 2 1,  a 2  b 2  c 2 1, a b c O Grupo (E) tem um único representante, o elipsóide (figura 6.4). z

z

O

O

y x

x A

B

Figura 6.4 - (a) Elipsóide e (b) elipsóide de revolução

y

165

Suas interseções com os planos XY , XZ e YZ são respectivamente as elipses x2 y 2 x2 z 2 y2 z2   1,   1,  1. a 2 b2 a2 c2 b2 c2 2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide, cada um deles contido em um eixo ordenado (figura 6.4a). Se dois desses três são iguais, temos um elipsóide de revolução. Por exemplo, se b  c, o x2 ( y 2  z 2 ) elipsóide 2  1 pode ser pensado como gerado pela roa b2 x2 y 2 tação da elipse 2  2 1, em torno do eixo X (figura 6.4b). a b

z

y

x

Figura 6.5 - Hiperbolóide de uma folha

As quádricas do Grupo (H1) são hiperbolóides de uma folha (figura 6.5). Por exemplo, se tomamos a terceira das equações acima, temos que a interseção da quádrica correspondente com o plano XZ é a x2 z 2 y2 z2 hipérbole 2  2 1, com o plano YZ é a hipérbole 2  2 1. Por a c b c outro lado, a interseção com um plano z  d paralelo ao plano XY é dada por x2 y 2 d2 ,   1  a 2 b2 c2 que é a equação de uma elipse. No caso em que a  b, essas elipses são circunferências, e temos um hiperbolóide de revolução de uma folha, x2 z 2 gerado pela rotação da hipérbole 2  2 1 situada no plano XZ a c em torno do eixo Z.

166

As quádricas do Grupo (H2) são hiperbolóides de duas folhas (figura 6.6). z

x

y

Figura 6.6 - Hiperbolóide de duas folhas

Novamente, se tomamos a terceira das equações acima, e reescrevemo-la na forma z2 x2 y 2  1   , c2 a 2 b2 fica claro que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição z  c.

Ou seja, essa quádrica não possui pontos entre os planos z  c e z c. A interseção da mesma com qualquer plano z  d com d  c é dada pela equação x2 y 2 d2 ,   1  a 2 b2 c2

que descreve uma elipse. A quádrica intersecta o plano XZ, segunx2 z 2 do a hipérbole 2  2 11, e com o plano YZ, segundo a hipérboa c 2 2 y z le 2  2 1. Novamente, se a  b, temos o hiperbolóide de revolub c ção de duas folhas.

6.3.2 Quádricas não–centrais Essas quádricas correspondem à situação na qual algum dos a i 's da equação reduzida é não nulo. Os únicos casos que vamos considerar serão aqueles que possam ser reduzidos aos seguintes grupos:

167

• Grupo (PE) y22 z22 x  y z , x  yb222  zc222 , x  b 22  c 22 , bx2 cz2 y  x 22  z 22 , y  xa2  zc2 , y  a 2  c 22 , ax2 cy2 z  x 22  y 22 , z  xa2  yb2 , z  a 2  b2 , a b • Grupo (PH) y 22 z 22 x  y22  z 22 , x  by22  cz 22 , x  by222  cz 222 , x  byyx222  czz 222 , xy  bx22   cz 22 ,, xy   bbax2222  ccz 2222 , y  ax222  cz 222 , y  xax222  cyzz 222 ,  xa22   cy 22 , zyy  z  axa2222  bccy2222 ,, z  ax 22  byy22 ,,2 2 b z  axx 22 y 2 b y222zz,2 , zx  a 2 y   2 zx  2 b 2 z,22 a 2by  2  a b ccz 222 ,, x  by2222  y x  byx222  czz 22222 , xy  bx22  cz 22 , xy   bx222   cz 222 ,, y  baax2222  ccz 2222 , y  xax222  cyzz 222 ,  xa22   cy 22 ., zyy  z  axa2222  bcyc2222 ., z  ax 22  by22 . z  axx 22  byy22 . z  a 2  b 2 . z  a 2  b 2 . a b As equações do Grupo (PE) descrevem o parabolóide elíptico (figura 6.7). z

y x Figura 6.7 - Parabolóide elíptico

Consideremos a terceira das equações do grupo PE. Primeiramente, note que a quádrica correspondente não possui ponto para os quais

168 x2 z  0 . Sua interseção com o plano XZ é a parábola z  2 , e com a y2 o plano YZ é a parábola z  2 . Sua interseção com o plano XY é b x2 y 2 dada pela equação 2  2  0 , que só possui solução x  y  z  0, a b e com os planos z  d com d  0 pelas equações x2 y 2   d, a 2 b2

que são elipses. Quando a  b, temos um parabolóide de revolução.

Finalmente, as equações do Grupo (PH) descrevem parabolóides hiperbólicos (figura 6.8) z

y x Figura 6.8 - Parabolóide hiperbólico

Considere, por exemplo, a primeira dessas equações. A interseção da y2 d 2 quádrica com os planos z  d são as parábolas x  2  2 , e com o b c z2 eixo XZ é a parábola x  2 . Essa figura é formada ao deslizar a c y2 parábola x  2 (contida no plano XY ) sobre seu vértice ao longo b z2 da parábola invertida x  2 . c

Exercícios Identifique e esboce as seguintes quádricas: 2) 4 x 2  4 y 2  z 2  4; 3) 3 x 2 8 y 2  4 z 2 1; 4) 3 x 2 8 y 2  4 z 2 1;

169

5) z  4 x 2  y 2; 6) z  4 x 2  y 2; 2 2 2 7) y  x  z ;

8) z 2  x 2  2 y 2.

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170

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(Schaum).

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