Medidas de asimetría y curtosis

Medidas de AsimetrĂ­a y

Curtosis 15 DE FEBRERO DEL 2020

Nota editorial

Contenido

Me complace y enorgullece presentar el primer número de la revista donde trataremos el tema de las medidas de asimetría y curtosis. La presente edición presenta estudios de carácter técnico y teórico. El artículo es una contribución de diferentes sitios web quienes presentan un trabajo sobre los cálculos, aplicaciones y modelos del coeficiente de asimetría de Pearson y el coeficiente de Kurtosis. Al tratarse de este tema, de esta manera se realiza una importante contribución a los múltiples estudios de desarrollo en los distintos contextos que puede resultar de interés para diferentes ámbitos del ejercicio profesional. De esta manera se presenta de manera detallada y rigurosa diferentes estudios que tienen por objetivo determinar el análisis descriptivo de los datos estadísticos recogidos, destacando así que el desarrollo de una prueba con adecuada propiedades requiere también el análisis de diferentes formatos de respuestas. El trabajo no sólo constituye una contribución técnica al examinar las propiedades, sino que además constituye un ejemplo de las ventajas que ofrecen los análisis basados en estudio de la forma como se distribuyen los datos. Finalmente la presente edición consiste en desarrollar y validar los valores personales y organizacionales, constituyendo así un importante aporte para el campo de la medición y evaluación en el contexto organizacional.

Quiero agradecer a las diferentes fuentes de información donde pude recabar los variados conceptos sobre este tema. Sin su colaboración sería imposible la realización de esta revista.

Luis Ramos 28.613.368

¿Qué son las medidas de asimetría y curtosis?...................3 Coeficiente de Asimetria………………………………..3 Coeficiente de Curtosis…………………………………4 Cálculo y aplicación del coeficiente de simetría de Pearson……………………………………………………………….5 Distribución simétrica…………………………………...5 Distribución asimétrica por la derecha………………..5 Cálculos, aplicación e interpretación de los coeficientes de asimetría de la formula derivada de Pearson y de los cuartiles o de Bowley………………………………………………….……5 Índice de asimetría para variables ordinales…………5 Índice de asimetría para variables cuantitativas……..6 Primer coeficiente de Pearson…………………………6 Coeficiente de asimetría de Bowley-Yule…………….6 Cálculo y aplicación del coeficiente de Kurtosis…………….6 Distribución no apuntada(mesocúrtica)……………….6 Distribución apuntada(leptocúrtica)……………………6 Interpretación…………………………………………….6 Graficación de los coeficientes de asimetría y de Kurtosis…....7 Ejemplo(resuelto)…………………………………………………...8 Ejercicio 1…………………………………………………..…8 Ejercicio 2…………………………………………………...8 Reportaje Especial……………………………………………...9 Nota de cierre y avance de la próxima edición……………...9

Las medidas de asimetría y curtosis

Para asumir la descripción de los datos estadísticos recogidos y tabulados se dispone de muchas técnicas y métodos estadísticos. Así, en orden ascendente de complejidad se tendrá la clasificación, la construcción de tablas de frecuencia, las proporciones, los promedios y otras medidas de tendencia central y de posición, que darán una idea de la concentración de los datos alrededor de un valor, y las medidas de dispersión que por el contrario dará la idea de cuan dispersos o separados de ese valor central se encuentran los datos. Sin embargo, además de las medidas de tendencia central y de posición y las medidas de dispersión o de variabilidad, en el análisis descriptivo de los datos se debe hacer un estudio de la forma como se distribuyen los datos. Y las medidas que se utilizan para este propósito son el Coeficiente de Asimetría o coeficiente de sesgo y el Coeficiente de Curtosis

Coeficiente de Asimetría El Coeficiente de Asimetría: Mide las desviaciones del conjunto de datos que se analizan en sentido horizontal con respecto a la curva normal, esto es, que el Coeficiente de Asimetría dice si la distribución de los datos analizados es asimétrica a la derecha, a la izquierda, o en el mejor de los casos simétrica. El Coeficiente de Asimetría denotado por g1, esta dado por:

Esta medida permite identificar si los datos se distribuyen de forma uniforme alrededor del punto central (Media Aritmética). La asimetría presenta tres estados diferentes, cada uno de los cuales define de forma concisa como están distribuidos los datos respecto al eje de asimetría.

Se dice que la asimetría es positiva cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima del valor de la media aritmética, la curva es Simétrica cuando se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media, y se conoce como asimetría negativa cuando la mayor cantidad de datos se aglomeran en los valores menores que la media.

En resumen; tras desarrollar la fórmula, el resultado de g1, indicará: -

Si g1 > 0, la curva es asimétrica a la derecha

-

Si g1 < 0, la curva es asimétrica a la izquierda

-

Si g1 = 0, la curva es simétrica o normal

Cabe destacar que este coeficiente se debe a Karl Pearson (Londres 27 de marzo de 1857- Londres, 27 de abril de 1936) fue un prominente científico, matemático y pensador británico, que estableció la disciplina de la estadística matemática. Desarrolló una intensa investigación sobre la aplicación de los métodos estadísticos en la biología y fue el fundador de la bioestadística.

Este coeficiente de Pearson tiene la ventaja de utilizar la mediana, la cual es resistente a la presencia de valores extremos. De allí puede decirse que; Una curva con asimetría entre [- 0.37 ≤ Cp ≤ + 0.37] puede considerarse simétrica.

Si dicho coeficiente es menor que -1 ó mayor que 1, la asimetría será pronunciada.

Coeficiente de Curtosis Coeficiente de Curtosis: Este al igual que el coeficiente de asimetría, se refiere a la forma geométrica de la curva de frecuencias. Mide las frecuencias en sentido vertical con respecto a la curva normal, esto es, que dice si la curva es más "puntiaguda" ó plana que la normal (grado de apuntamiento) El Coeficiente de Curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis, se puede identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica), una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).

El coeficiente de Curtosis se denota por g2 y esta dado por:

Tras desarrollar la fórmula, el resultado de g2, indicará: -

Si g2 < 3, la curva es platicurtica (Aplanada o Platicúrtica)

-

Si g2 > 3, la curva es leptocurtica (Delgada o Leptocúrtica)

-

Si g2 = 3, la curva es mesocurtica (Normal o Mesocúrtica) Una forma alternativa de hallar el coeficiente de Curtosis, esta dado por:

Q = Es el rango intercuartílico D9 = Es el noveno decil, y D1 = Es el primer decil

El resultado obtenido con K, se comparará con 0.26, valor de la distribución normal.

Cálculo y aplicación del coeficiente de asimetría de Pearson

Sólo se puede utilizar en distribuciones uniformes, unimodales y moderadamente asimétricas. Se basa en que en distribuciones simétricas la media de la distribución es igual a la moda.

Donde µ es el momento ordinario de orden 1, que corresponde a la media aritmética de la variable X. Si la distribución es simétrica, µ = moda y Ap = 0. Si la distribución es asimétrica positiva la media se sitúa por encima de la moda y, por tanto, Ap > 0.

Cálculo, aplicación e interpretación de los coeficientes de asimetría de la formula derivada de Pearson y de los cuartiles o de Bowley A continuación se presentan diferentes índices estadísticos que permiten cuantificar el nivel de asimetría de una variable. Destacar antes que para variables nominales no tiene sentido el plantear este tipo de índices, dado que no existe un orden intrínseco a los valores de la variable.

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Índice de asimetría para variables ordinales: se basan en la distancia entre los cuartiles a fin de establecer un resumen de la asimetría de la distribución.

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Índice de asimetría para variables cuantitativas:

Primer coeficiente de Pearson: se basa en la relación existente entre la media y la moda en distribuciones unimodales asimétricas.

Interpretación del coeficiente de Pearson: los valores menores que 0 indican asimetría negativa; los mayores, asimetría positiva y cuando sea cero, o muy próximo a cero, simétrica. No está limitada a un rango de valores.

Coeficiente de simetría de Bowley-Yule Está basado en la posición de los cuartiles y la mediana, utiliza la siguiente expresión: ABY = Q3/4 + Q1/4 - 2Me Q3/4 - Q1/4 En una distribución simétrica el tercer cuartil estará a la misma distancia de la mediana que el primer cuartil. Por tanto ABY = 0.

Si la distribución es positiva o a la derecha, ABY > 0.

Cálculo y aplicación del coeficiente de Kurtosis Histogramas de dos conjuntos de datos con media cero y varianza 1:

Distribución no apuntada (mesocúrtica):

Distribución apuntada (leptocúrtica):

Los valores centrales son frecuentes.

Los valores centrales son muy frecuentes.

Interpretación: el valor de este coeficiente para la distribución normal será igual a 0, o sea que cualquier distribución para la que se obtenga un valor de K igual o próximo a 0 significará que su nivel de apuntamiento es como el de la distribución normal (mesocúrtica). Valores mayores que 0, expresan que la distribución es leptocúrtica, mientras que si son menores que 0 ponen de manifiesto que la distribución es platicúrtica. No está limitado a un rango de valores.

Graficación de los coeficientes de asimetría y de Kurtosis Si As < 0 : Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte izquierda de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica negativa Si As = 0 : la distribución será simétrica Si As > 0 : Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte derecha de la media, aunque en algunos casos no necesariamente indicará que la distribución sea asimétrica positiva Ejemplo ilustrativo: Calcular el Coeficiente de Pearson, Medida Cuartílica y la Medida de Fisher dada la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

El COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A9) es un valor que tiene consideraciones semejantes a la Medida de Fisher Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

Medida basada en Cuartiles y Percentiles :

k (letra griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil de curtosis Si < 0,263 : la distribución es platicúrtica Si= 0,263 : la distribución es normal o mesocúrtica Si > 0,263 : la distribución es leptocúrtica Esta medida no es muy utilizada.

Ejemplo resuelto:

Ejercicio 1 A partir de los siguientes datos:

1. Calcule el índice de asimetría y curtosis 2. ¿Qué puntuación típica corresponde a un sujeto que ocupa el centil 75?

3. Obtenga las puntuaciones para cada uno de los sujetos en la escala CI 4. Dado Y = 2 X + 5 4.1. ¿Cuál es la media y varianza de Y?

4.2. Si un sujeto obtuviera una típica de 1 en X, ¿Cuál sería su directa en Y?

Ejercicio 2 La dirección general de tráfico está interesada en estudiar la educación vial en los jóvenes. Para ello selecciona una muestra aleatoria de sujetos que acaban de obtener el carnet de conducir (grupo 1) y otra con sujetos que lo tienen hace 5 años (grupo 2) y registra el n° de veces que han perdido puntos en el último año. Los resultados se muestran a continuación:

Calcule los índices de asimetría y curtosis para cada grupo y elabore la representación de las dos distribuciones en una sola gráfica.

Reportaje Especial Los gráficos como apoyo para el estudio y la investigación.

Barcelona 15 Feb 2020

Cuando abrimos las páginas de un periódico, nos encontramos que lo componen diferentes piezas periodísticas: artículo, columna de opinión, viñetas, reportaje, entrevista, etc. En la gran mayoría de los casos, los artículos y los reportajes están acompañados de imágenes que ilustran y apoyan el texto, aportando información complementaria al mismo.

Los gráficos son recursos especialmente interesantes a la hora de ilustrar reportajes científicos o de investigación, ya que ayudan al lector a asimilar y comprender la información aportada. Por ejemplo, si hablamos de la evolución de las tasa de desempleo por sexo y edad, sin duda el lector agradecerá que los datos se ilustren en un grafico de barras a modo de resumen.

Internet pone a nuestra disposición una gran cantidad de herramientas, con las que los equipos participantes pueden realizar gráficos de todo tipo de manera gratuita y muy intuitiva. A continuación enunciamos algunos para que puedas visitar sus webs:

-Chartle.net -Chartpart.com -MapTools -NCes Kid Zone