ECUACIONES PARAMETRICAS

ECUACIONES PARAMETRICAS Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Luis C. Hernández F. ING DE MANTENIMIENTO MECANICO

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EDITORIAL

ECUACIONES PARAMETRICAS

En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. . Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un auto En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión. Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y

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INDICE Pág.

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Ecuaciones Paramétricas…………………………………………….3 - 5 Longitud de Arco……………………………………………………... 6 - 7 Ejercicios:………………………………………………………………8 - 20 o Ecuaciones Paramétricas o Grafica de Ecuaciones Paramétricas o Transformación de Ecuaciones Paramétricas o Longitud de Arco

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ECUACIONES PARAMETRICAS

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.

Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión .

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función.

Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo

Dada la ecuación

, una parametrización tendrá la forma

Una parametrización posible sería Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1

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Curvas notorias Circunferencia Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que

Una expresión paramétrica es Elipse Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje X en a y -a, y con el eje Y en b y -b, verifica que

Una expresión paramétrica es Representación paramétrica de una curva La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma , donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t) Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.

Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima.

Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el

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origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma .

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LONGITUD DE ARCO

Longitud de Arco de una Circunferencia En algunas ocasiones en vez de conocer la longitud total de una circuferencia necesitamos saber solo una parte de ella, es decir, la longitud de un arco de circunferencia. Para determinarla hacemos uso de la siguiente fórmula: s = r∙θ Donde r es el radio y θ el ángulo en radianes.

FÓRMULA

La longitud del arco (s) en una circunferencia, conociendo el radio (r) y el ángulo (θ) que forman los dos radios, es: s = r∙θ

Con el ángulo en radianes.

Ejemplo: hallar la longitud del arco de una circunferencia con radio r = 10 cm y ángulo central θ = 3,5 rad.

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Aplicando la fórmula, tenemos: s = r∙θ = (10 cm)(3,5 rad) = 35 cm

s = 35 cm

CUANDO EL ÁNGULO ESTÁ EN GRADOS Considerando que un ángulo de 360° equivale a 2π radianes, entonces la longitud de un arco de circunferencia, cuando el ángulo está en grados es: s = (2∙π∙r∙θ) / (360°)

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de una circunferencia con radio r = 20 cm y ángulo central θ = 60°.

Aplicando la fórmula, tenemos: s = (2∙π∙r∙θ) / (360°) = [2π(20 cm)(60°)] / 360 = 7539,82 cm / 360

s = 20,94 cm

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EJERCICIOS

1) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la ecuación de la curva: 4𝑥 2 − 101 − 9𝑦 2 − 54𝑦 − 16𝑥 = 0 Resolución: Reordenando la ecuación y completando cuadrados 4𝑥 2 − 16𝑥 − 9𝑦 2 − 54𝑦 = 101 4(𝑥 2 − 4𝑥 + 4 − 4) − 9(𝑦 2 + 6𝑦 + 9 − 9) = 101 4(𝑥 − 2)2 − 16 − 9(𝑦 + 3)2 + 81 = 101 4(𝑥 − 2)2 − 9(𝑦 + 3)2 = 36 (𝑥 − 2)2 (𝑦 + 3)2 − =1 9 4 La ecuación tiene forma de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje x (𝑥 − ℎ )2 (𝑦 − 𝑘 )2 − =1 𝑎2 𝑏2

Por tanto la curva queda parametrizada de la siguiente forma: 𝑥−2 = cosh 𝑡 3 𝑦+3 = sinh 𝑡 2 Ya que cosh2 𝑡 − sinh2 𝑡 = 1. Entonces: 𝐶∶{

𝑥 = 3 cosh 𝑡 + 2 𝑦 = 2sinh 𝑡 − 3

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2) Parametrizar la curva definida por la ecuación: 2

2

𝑥3 + 𝑦3 = 4 Resolución: 2

2

2

2

( 3√𝑥 ) + ( 3√𝑦 ) = 4 ( 3√𝑦 ) ( 3√𝑥 ) + =1 4 4 2.3

3

2

3

Como 4 = 22 = 2 3 = (√23 ) = (√8)2 2

2

𝑥 3 𝑦 (√ ) + (√ ) = 1 8 8 3

Dado que cos 2 𝑡 + sin2 𝑡 = 1 , entonces: 𝑥 √ = cos 𝑡 8

3

𝑦 √ = sin 𝑡 8

3

La curva quedará parametrizada de la siguiente manera: 𝑥 = 8 cos 3 𝑡 𝐶: { 𝑦 = 8 sin3 𝑡 La curva C se le conoce como astroide

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, 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]

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3) Parametrizar la curva 𝐶: 𝑥 3 + 𝑦 3 = 6𝑥𝑦 Resolución: Realizando el siguiente arreglo: 𝑥 3 (1 + 𝑥 (1 +

𝑦3 ) = 6𝑥𝑦 𝑥3

𝑦3 𝑦 )=6 , 𝑥≠0 3 𝑥 𝑥

𝑦 3 𝑦 𝑥(1 + ( ) ) = 6( ) 𝑥 𝑥 De la ecuación original se sabe que si 𝑥 = 0 entonces 𝑦 = 0; si se sustituye

𝑦 𝑥

= 𝑡 → 𝑦 = 𝑥𝑡 , se obtiene que: 𝑥(1 + 𝑡 3 ) = 6𝑡 𝑥=

6𝑡 1 + 𝑡3

Entonces C queda descrita por la parametrización: 6𝑡

𝑥 = 1+𝑡 3

𝐶: { 6𝑡 2 𝑦 = 1+𝑡 3

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, 𝑡 ≠ −1

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4) Esbozar la siguiente gráfica: 𝐶: {

1 𝑡 3 𝑦 = 𝑡 − 3𝑡 𝑥=𝑡+

Resolución: Se observa que el dominio de 𝑡 es 𝐷 = ℝ − {0} Si evaluamos los límites laterales de las componentes cartesianas cuando 𝑡 → 0 se observa que: 1

1) lim+ 𝑥 = lim+(𝑡 + 𝑡 ) → + ∞ 𝑡→0

𝑡→0

Es decir ∄ lim+ 𝑥 pero diverge a +∞ 𝑡→0

lim 𝑦 = lim+(𝑡 3 − 3𝑡) = 0

𝑡→0+

𝑡→0

𝑥 → +∞ ∴ 𝑡 → 0+ { 𝑦 → 0 Lo cual da a entender que existe una Asíntota Horizontal Derecha 𝑦 = 0 cuando 𝑥 → +∞ 1

2) lim− 𝑥 = lim− (𝑡 + 𝑡 ) → − ∞ 𝑡→0

𝑡→0

lim 𝑦 = lim−(𝑡 3 − 3𝑡) = 0

𝑡→0−

𝑡→0

𝑥 → −∞ ∴ 𝑡 → 0− { 𝑦 → 0 Lo cual da a entender que existe una Asíntota Horizontal Izquierda 𝑦 = 0 cuando 𝑥 → −∞ Ahora se busca alguna Asíntotas Oblicuas de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 𝑡 4 − 3𝑡 2 = lim+ 2 =0 𝑥→+∞ 𝑥 𝑡→0 𝑡 +1

𝑚 = lim

𝑏 = lim (𝑦 − 𝑚𝑥) = lim 𝑦 = lim+ (𝑡 3 − 3𝑡) = 0 𝑥→+∞

𝑥→+∞

𝑡→0

𝑦 𝑡 4 − 3𝑡 2 𝑚 = lim = lim− 2 =0 𝑥→−∞ 𝑥 𝑡→0 𝑡 +1 𝑏 = lim (𝑦 − 𝑚𝑥) = lim 𝑦 = lim−(𝑡 3 − 3𝑡) = 0 𝑥→−∞

𝑥→−∞

𝑡→0

En conclusión la recta 𝑦 = 0 resulta ser la única Asíntota en la gráfica Se buscan las intersecciones con lo ejes: C cortará en el eje X si 𝑦 = 0 , entonces 0 = 𝑡 3 − 3𝑡

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0 = 𝑡(𝑡 − √3)(t + √3) ⇒ t = {−√3; √3 } Entonces C corta en X para: 𝑡

−√3

√3

𝑥

−2.309

2.309

C cortará en el eje Y si 𝑥 = 0 , entonces: 0=

𝑡2 + 1 𝑡

𝑡=∅ Además es simétrica al origen ya que: 1 𝑥(−𝑡) = − (𝑡 + ) = −𝑥(𝑡) 𝑡 𝑦(−𝑡) = −𝑡 3 + 3𝑡 = −𝑦(𝑡) Además : 𝑥′(𝑡) = 1 −

1 𝑡2

𝑦 ′ (𝑡) = 3𝑡 2 − 3 𝐷𝑦

Dado que 𝐷𝑥 𝑦 = 𝐷𝑡 𝑥 , entonces haciendo 𝑥 ′ (𝑡) = 0 se deduce que 𝑡

existen tangentes verticales cuando 𝑡 = ±1: 𝑡

−1

1

𝑥

−2

2

𝑦

2

−2

Haciendo 𝑦 ′ (𝑡) = 0 se deducen las mismas soluciones para 𝑡, por lo que los puntos (−2; 2) y (2, −2) son puntos singulares.

Es así que los puntos críticos son: 0, ±1

Calculamos la primera y segunda derivada de 𝑦(𝑥 ) para analizar su monotonía: 𝑦 ′ (𝑥 ) =

𝑦 ′ (𝑡 ) 𝑥 ′ (𝑡 )

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∴ 𝑦 ′ (𝑥 ) = 3𝑡 2 𝑦 ′′ (𝑥 ) = 𝑥 ′′ (𝑡) =

𝑥 ′ (𝑡)𝑦 ′′ (𝑡) − 𝑦 ′ (𝑡)𝑥 ′′ (𝑡) 3

(𝑥 ′ (𝑡)) 2 𝑡3

𝑦 ′′ = 6𝑡 ∴ 𝑦 ′′ (𝑥 ) =

6𝑡 3 𝑡2 − 1

Tabulando los valores de la gráfica para los cuales es creciente y decreciente obtenemos: 𝑡

𝑥

𝑦 ′ (𝑥 )

𝑦

𝑦 ′′ (𝑥 ) <0

(−∞ , −1)

−∞ < 𝑥 < −2

−∞ < 𝑦 < 2

>0

Cóncava

creciente

hacia abajo >0

(−1 , 0)

−∞ < 𝑥 < −2

0<𝑦<2

>0

Cóncava

creciente

hacia

𝑡 = −1 representa un máximo relativo

arriba <0 (0 , 1)

(1, +∞)

2 < 𝑥 < +∞

2 < 𝑥 < +∞

−2 < 𝑦 < 0

−2 < 𝑦 < +∞

>0

Cóncava

creciente

hacia

𝑡=1

abajo

representa

>0

un mínimo

>0

Cóncava

relativo

creciente

hacia arriba

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5) Graficar la siguiente parametrización: 𝑥= 𝐶:

1 √17

𝑡

1 4 𝑦 = − 𝑡2 + 𝑡 17 { √17

, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4√17

Resolución: Del Dominio de 𝑡 se deduce que 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 Tabulando los valores se obtiene 𝑡

𝑥

𝑦

0

0

0

2

0.49

1.70

5

1.21

3.38

7

1.70

3.91

9

2.18

3.97

12

2.90

3.17

15

3.6

1.32

16

3.8

0.46

16.49

4.00

0.02

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6) Obtener la ecuación rectangular de la curva dada por las ecuaciones: 𝐶: {

𝜋 𝜋 𝑥 = cos 3 𝑡 , 𝑡 ∈ (− ; ) 2 𝑦 = cos 𝑡 . sin 𝑡 2 2

Resolución: De las dos ecuaciones se deduce que: 𝑦 sin 𝑡 = = tan 𝑡 𝑥 cos 𝑡 𝑦 𝜋 𝜋 tan−1 ( ) = 𝑡 , 𝑡 ∈ (− ; ) 𝑥 2 2 Remplazando el valor de t en la primera ecuación parametrizada 𝑥 = cos 2 𝑡 . cos 𝑡 𝑦 𝑦 𝑥 = cos 2 ( tan−1 ( )) . cos(tan−1 ( )) 𝑥 𝑥 1

De la siguiente identidad: cos(tan−1 𝑥 ) = √1+𝑥 2 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ se deduce que: 𝑥=

1 𝑦 1 + (𝑥 )

2

∙

1 √1 + (𝑦 ) 𝑥

2

1

𝑥=

3

𝑦 2 2 (1 + (𝑥 ) ) 1

2

𝑥3 = 2

𝑥3 =

𝑦 2 1 + (𝑥 ) 𝑥2 𝑥2 + 𝑦2 4

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥3 4

𝑦2 = 𝑥3 − 𝑥2 4

2

𝑦 2 = 𝑥 3 (1 − 𝑥 3 ) 4

𝑦 2 = ( 3√𝑥 ) (1 − 3√𝑥 )(1 + 3√𝑥 )

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7) Obtener la ecuación cartesiana de la siguiente curva: 1

𝐶: {

𝑥 = 𝑒 −𝑡

2

𝑦 = 𝑡. 𝑒 𝑡

Resolución: De la primera ecuación se deduce que: 𝑥=

1 1

𝑒𝑡

1 1 𝑒 𝑡 = … (𝑖) 𝑥

Remplazando el resultando en la segunda ecuación: 1 2 𝑦 = 𝑡( ) 𝑥 𝑦𝑥 2 = 𝑡 … (𝑖𝑖) Remplazando (ii) en (i): 1

1 , 𝑥 1 1 = 𝐿𝑛 ( ) 2 𝑦𝑥 𝑥 𝑒 𝑦𝑥 2 =

1 = −𝐿𝑛(𝑥 ) 𝑦𝑥 2 −

1 𝑥 2 𝐿𝑛(𝑥 )

𝑦=−

=𝑦

1 ,𝑥 > 1 𝐿𝑛(𝑥 𝑥 2 )

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8) Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas: 𝐶: {

𝑥 = 5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 , 𝑡 ∈ (0, 2𝜋) 𝑦 = 5 sin 𝑡 − sin 5𝑡

Resolución: Derivamos cada ecuación paramétrica con respecto a 𝑡 𝑥 ′ (𝑡) = − 5sin 𝑡 + 5 sin 5𝑡 𝑦 ′ (𝑡) = 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡 Del dominio de 𝑡 se deduce que los límites de integración serán 𝑎 = 0 y 𝑏 = 2𝜋 Calculamos la integral definida: 2𝜋

𝑙 = ∫ √(− 5sin 𝑡 + 5 sin 5𝑡)2 + (5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡)2 𝑑𝑡 0 2𝜋

= ∫ √25 sin2 𝑡 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 + 25 sin2 5𝑡 + 25 cos 2 𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡2 + 25 cos 2 5𝑡 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = ∫ √50 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡2 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = 5 ∫ √2 − 2 sin 𝑡 sin 5𝑡 − 2 cos 𝑡 cos 5𝑡2 𝑑𝑡 0

Usando las identidades: 2 sin 𝑥 sin 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦) 2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦) Entonces: 2𝜋

𝑙 = 5 ∫ √2 − cos(4𝑡) + cos(6𝑡) − cos(4𝑡) − cos(6𝑡) 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = 5 ∫ √2 − 2 cos(4𝑡) 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = 5 ∫ √2(1 − cos(4𝑡)) 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = 5 ∫ √4 sin2 2𝑡 𝑑𝑡 0 2𝜋

𝑙 = 10 ∫ |sin 2𝑡| 𝑑𝑡 0

Debido a la geometría de 𝑦 = sin 2𝑡 se puede deducir que: 𝜋 2

𝑙 = 40 ∫ sin 2𝑡 𝑑𝑡 0

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𝑙 = 20(− cos 𝜋 + cos 0) 𝑙 = 40 𝑢 9) Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica 𝑟 = 𝑎𝑒 𝑚𝜃 , 𝑚 > 0 que se encuentra dentro del círculo 𝑟 = 𝑎 Resolución: Se deduce que 𝜃𝜖 (−∞; +∞) y 𝑟𝜖(0; +∞) Los puntos de intersección entre las dos gráficas es: a = aemθ 1 = 𝑒 𝑚𝜃 ,

𝑚>0

0 = 𝑚𝜃 ⟹0=𝜃 Entonces intersectan el punto (𝑎, 0) Además si 𝜃 → −∞, entonces 𝑟 → 0 Es decir mientras más pequeño se haga el ángulo, el radio tenderá a cero tal como se ve en la gráfica.

Teniendo en cuenta el punto de intersección (𝑎, 0) y el lim 𝑟 = 0 , 𝜃→−∞

entonces se deduce que los límites de integración son 𝜃 → −∞ y 𝜃 = 0 El cálculo de la longitud en coordenadas polares sería: 0

2

𝑙 = ∫ √𝑟 2 + (𝑟 ′ (𝜃)) 𝑑𝑟 −∞ 0

𝑙 = ∫ √𝑒 2𝑚𝜃 + 𝑚2 𝑒 2𝑚𝜃 𝑑𝜃 −∞ 0

𝑙 = √1 + 𝑚2 ∫ 𝑒 𝑚𝜃 𝑑𝜃 −∞ 0

𝑙 = √1 + 𝑚2 lim ∫ 𝑒 𝑚𝜃 𝑑𝜃 𝑥→−∞ 𝑥

∫ 𝑒 𝑚𝜃 𝑑𝜃 =

1 𝑚𝜃 𝑒 +𝐶 𝑚

𝑙 = √1 + 𝑚2 lim ( 𝑥→−∞

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1 1 𝑚𝑥 − 𝑒 ) 𝑚 𝑚

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𝑙=

√1 + 𝑚2 𝑢 𝑚

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