T de student

Distribuciรณn t de Student Autor(es):

โ ข Mtr. Luis Fernando Aguas

Condiciones:  Se utiliza en muestras pequeñas de 30 o menos elementos.  La desviación estándar de la población no se conoce.

Características:  La distribución t-Student es menor en la media y más alta en los extremos que una distribución normal.  Tiene mayor parte de su área en los extremos que la distribución normal.

t- Stude nt

Comparaciรณn entre Normal y T Student Distribuciรณn Normal

Distribuciรณn Normal

Distribuciรณn t Student

Distribuciรณn t Student

Media

Nivel de Significación

α = (A+B) Se rechaza la hipótesis nula

Se rechaza la hipótesis nula

Región de aceptación

95% α/2=0,025 Area A

α/2=0,025

Certeza

Area B

Deseada

- Valor critico

Valor teórico de la diferencia

+ Valor critico

Grados de Libertad 

Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.



Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.



Grados de libertad: Para un conjunto de datos de una muestra, con distribución t-Student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: G.L. = n – 1

Ejemplo: 

Se tiene una muestra de 7 elementos con una media de 16.

Media= a+b+c+d+e+f+g =16 7 G.L.= n – 1 =7-1= 6

Tabla t Student

Ejercicio 

Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido para desarrollar una prueba de matemática.



Para ello se elige una muestra aleatoria de 16 estudiantes, la que produce una media de 13 y una desviación estándar de 5.6 minutos.

Encontrando t  

Confianza al 99% con (n-1) grados de libertad.

GL=16 - 1=15 α = 1% = 0.01 α = 0,005 2

α1=0,005

99 %

α2=0.005

Cálculo de los valores extremos del intervalo

x valores extremos    

tS =X ± n

n= 16 X =13 minutos S = 5.6 minutos tcrítico = 2,947 (valor que se obtiene de la tabla, para G.L. = 15)

(2,947)(5,6) Xvalores extremos = 13 ± 16

x1 = 8,88 x2 = 17,12 I = [8,88

17,12]

16,50 xi = 13 ± 4

xi = 13 ± 4,12

Tiempo medio requerido para desarrollar la prueba de matemática será entre 8.88 y 17.12 minutos con una certeza del 99%

Prueba de hipótesis con t-Student

Hipótesis Nula ( H0 ):

Ho : µ1 = µ2

Hipótesis Alterna ( H1 ):

H1: µ1 ≠ µ2

tObtenido n: tamaño de la muestra

Siendo: G.l. = n-1

X obtenido −µ = S n

X: Media muestral µ: Media poblacional S: Desviación estándar

tCrítico =

Valor obtenido de la tabla t-Student

Significancia estadística: Prueba de hipótesis

tObtenido = Cálculo a partir de los datos de la muestra. tCrítico

= Valor de tabla con n-1 grados de libertad

Relación mejorada: Si |tObtenido | ≥ |tCrítico|, entonces se rechaza la hipótesis nula (Ho); y por lo tanto, se acepta la hipótesis alterna H1.

Problema:

Suponga que usted tiene una técnica que puede modificar la edad a la cual los niños comienzan a hablar. En su localidad, el promedio de edad, en la cual un niño emite su primera palabra, es de 13,0 meses. No se conoce la desviación estándar poblacional. Usted aplica dicha técnica a una muestra aleatoria de 15 niños. Los resultados arrojan que la edad media muestral en la que se pronuncia la primera palabra es de 11.0 meses, con una desviación estándar de 3,34.

1.

2.

3.

¿Cuál es la hipótesis alterna ? ¿Cuál es la hipótesis nula? ¿Funciona la técnica? Utilice α=0,052colas

Hipótesis Nula H0: La técnica no afecta la edad en que los niños comienzan a hablar.

Por lo tanto, la muestra con X obtenido = 11,0 es una muestra aleatoria , extraída de una población con µ = 13,0.

Hipótesis alterna H1: La técnica afecta la edad en que los niños comienzan a hablar.

Por lo tanto, la muestra con X obtenido = 11,0 es una muestra aleatoria, extraída de una población donde µ ≠ 13,0.

tObtenido

X obtenido − µ 11,0− 13,0 −2 = = = = −2,32 S 3,34 8,862 n 15

tCrítico = 2,145 Si tObtenido ≥ tCrítico , entonces , se rechaza la Hipótesis nula; por lo que se acepta la hipótesis alterna: “La técnica afecta la edad en que los niños comienzan a hablar”.