Factorizac lu

Factorización LU de matrices cuadradas Antes de comenzar a ver este tema convendría hacer un repaso de las nociones de matrices:  Operaciones con matrices (Suma de matrices, producto por un escalar).  Matrices cuadradas, matriz inversa de una matriz.  Matriz fila, matriz columna.  Matriz diagonal, matriz triangular.

En concreto, sobre este último aspecto tenemos: a) Matriz diagonal:  d11 0  0 d 22 D   0 0  0  0

0 0 d33 0

0   0  0   d 44 

b) Matriz triangular superior (Upper triangular):  u11 u12  0 u22 U   0 0  0  0

u13 u23 u33 0

u14   u24  u34   u44 

c) Matriz triangular inferior (Lower triangular):  l11 0  l21 l22 L  l31 l32   l41 l42

0 0 l33 l43

0  0 0  l44 

En los tres casos citados el determinante de la matriz es el producto de los elementos de la diagonal. 

Matriz estrictamente dominante diagonalmente.

Se dice que una matriz es estrictamente dominante diagonalmente si cumple: n

aii   aij i 1 i j

Las matrices estrictamente dominantes diagonalmente son no singulares (su determinante es no nulo), además pueden resolverse por eliminación gaussiana sin intercambio de filas y por tanto pueden siempre factorizarse en la forma A = L.U.

Ejemplo de matriz estrictamente dominante diagonalmente: 6 2 A 1   1

2 1 1 4 1 0  1 4 1  0 1 3 

Para una matriz cuadrada A es muy útil descomponerla como producto de una matriz triangular inferior por una triangular superior: A=L.U La factorización L.U de una matriz cuadrada tiene la siguiente ventaja: Al operar con un sistema en la forma A . x = b, si expresamos A = L . U tendremos: L.U.x=b Y ahora podemos poner: U . x = L-1. b Y teniendo en cuenta que U es triangular y L-1 también es triangular, la solución del sistema se limita a:  a ) L1. b  y U . x  L1. b   b) U . x  y Es decir, se resuelven dos sistemas triangulares (más simple y exacto que resolver uno no triangular): en a) se obtiene y, finalmente en b) se obtiene x.

La factorización LU de una matriz cuadrada A se podría hacer por el método de Gauss (consultar las pag. 173-174 de “Curso de Métodos Numéricos” de Virginia Muto), sin embargo hay otros métodos como el de Doolittle, el de Crout, y el de Cholesky.

 l11 0  l l L.U   21 22  l31 l32   l41 l42

0 0   u11  0 0   0  l33 0   0   l43 l44   0  a11 a12 a a   21 22  a31 a32   a41 a42

u12 u22 0 0 a13 a23 a33 a43

u13 u14  u23 u24   u33 u34   0 u44  a14  a24  a34   a44 

Observad arriba que conocida A, tendríamos 16 ecuaciones con 20 incógnitas: lij, uij, sin embargo, nosotros podemos dar cualquier valor a 4 de ellas. Así hay dos métodos que se suelen utilizar: a) Método de Doolittle: se toman los cuatro elementos de la diagonal de L como ‘1’, lii=1 . b) Método de Crout: se toman los cuatro elementos de la diagonal de Ucomo ‘1’, uii=1.

Nosotros aquí seguiremos el método de Doolittle, con un ejemplo. Sea dada A, entonces es sencillo hallar L y U, sin más que resolver un sistema:

 u11 u12  0 u 22 U   0 0  0  0 1 0 l 1 L   21  l31 l32   l41 l42

0 0  6 0 0   2  1 0  1   l43 1   1

2 4 1 0

u13 u23 u33 0 1 1 4 1

u14  u24  u34   u44   1 0  A  1  3 

La forma de operar “manualmente” es: - 1) Considerar el desarrollo de los elementos de la primera fila de A. - 2) Considerar el desarrollo de los elementos de la primera columna de A. - 3) Considerar el desarrollo de los elementos de la segunda fila de A. - Etc. etc.

Es decir, u11  6, u12  2, u13  1, u14  1  uij  Ahora continuamos con: l21u11  2, l31u11  1, l41u11  1  l j1 

a j1

u11 1 1 1 Así obtenemos: l21  , l31  , l41   .

3 6 6

a1 j l11

Hasta ahora tenemos:

2  6 u u U   11 22  0 0  0 0  0  1  1/ 3 1 L  1/ 6 l32   1/ 6 l42

0 0 1 l43

0  6 0   2  0  1   1   1

1 1  u23 u24  u33 u34   0 u44  2 1  1 4 1 0  A 1 4  1  0 1 3 

Seguiríamos con la siguiente fila de U:

l21u12  l22u22  a22  u22 

1 (a22  l21u12 ) l22

l21u13  l22u23  a23  u23 

1 (a23  l21u13 ) l22

   En realidad para obtener la segunda fila de U sirve la siguiente fórmula: u2 j 

i 1 1   a  l2 k ukj  (j=1, …, 4)  2j  l22  k 1 

Para una fila i-ésima de U serviría: i 1 1  uij   aij   lik ukj  lii  k 1  De una manera análoga, la columna i-ésima de L se calcula por la fórmula: l ji 

i 1 1  a  l jk uki   ji  uii  k 1 

ALGORITMO DE FACTORIZACIÓN DE DOOLITTLE. Entrada: Elementos de A. Tomaremos inicialmente L= eye(4), U = zeros(4).

Salida: Matrices L y U, producto L*U. Paso 1: Para j = 1, …, n tomar: a uij  1 j (primera fila de U). l11 a l j1  j1 (primera columna de L). u11 Paso 2: Para i = 2, 3,…, n-1 seguir paso 3.

Paso 3: Para j = i+1, …, n tomar: i 1

3-A:

uii  aii   lik uki ; k 1

i 1

4-A:

uij  aij   lik ukj ; k 1

i 1 1  a  l jk uki  ;  ji  uii  k 1  Paso 4: Para el último término, un,n :

5-A:

l ji 

n 1

Tomar: unn  ann   lnk ukn k 1

Paso 5: (Salida): Desplegar L, U y L*U.

MÉTODO DE CHOLESKI En el caso de que la matriz A, n x n, sea simétrica y definida positiva (Xt . A . X > 0), entonces A admite una factorización en la forma A = L.Lt, siendo L triangular inferior.  l11 0  l21 l22 t L.L    l31 l32   l41 l42

0 0 l33 l43

0   l11 l21 l31 l41   a11    0   0 l22 l32 l42  a21     a31 0   0 0 l33 l43      l44   0 0 0 l44   a41

a12

a13

a22

a23

a32

a33

a42

a43

a14   a24  a34   a44 

Los 10 elementos de L se obtienen a partir de los elementos conocidos de A:

Algoritmo de Choleski Entrada: Matriz A, L = zeros(n) Salida: Matriz A, Matriz L, Matriz producto L*Lt. Paso 1: Tomar l11  a11 Paso 2: Para j = 2,…, n tomar l j1 

a j1 l11

,

Paso 3: Para i = 2, … , n-1 seguir los pasos 4 y 5. i 1

Paso 4: Tomar lii  aii   lik2 k 1

Paso 5:

Para j = i+1, … , n tomar: i 1 1  l ji   a ji   l jk lik  lii  k 1  n 1

Paso 6: Tomar

lnn  ann   lnk2 k 1