momento de inercia

Dinamica de rotasiones Luis Alonso Hernández Tellez 1 de junio de 2020

1.

Momento de inercia

Cuando se analiza un movimiento traslacional y rectilı́neo se considera a la masa del objeto como una medida de su inercia. Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camión y luego a un auto, observamos que el auto acelera más que el camión. En este caso, decimos que el auto cambia su estado de movimiento con mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En términos técnicos, el auto tiene menos inercia que el camión.

Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es en este sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad.

Análogamente, al hacer que un objeto sólido rote o se mueva en trayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimiento rotacional. Esta oposición del objeto al cambio de su rotación se conoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otras palabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumple el mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilı́neo.

1.1.

Cálculo de momentos de inercia de Área.

En qué consiste el momento de inercia de secciones planas. Los momentos de inercia de una sección plana con respecto a los ejes x e y respectivamente están definidos por la R R integral mostrada Ix = y 2 dA Iy = x2 dA en que x y Figura 1: Area de una elipse y son las coordenadas del elemento diferencial de área. Debido a que el elemento de Área es multiplicado por el cuadrado de la distancia del eje de referencia, los momentos de inercia son también llamados momento segundos momentos de área también vemos los momentos de inercia son siempre positivos.

Momento de inercia ⇒ Segundo momento de área.

Para ilustrar conocimientos inercia son obtenidos integración consideramos 2 2 la siguiente elipse una elipse xa2 + yb2 = 1 (Figura 1) Figura 2: Momento de inercia en 1 una elipse

Demostración y2 x2 + 2 =1 2 a b bp 2 y= a − x2 a Aelipse = 2A0 dA0 = ydx bp 2 a − x2 dx dA0 = a 2b p 2 dA = a − x2 dx a Z x2 dA

Iy = Z

a

2b p 2 a − x2 dx a −a Z 2b a 2 p 2 x a − x2 dx Iy = a −a Z 2b a 2 p 2 x a − x2 dx = a −a " # a r r x bx3 x2 x2

a3 b a2 bx = arcsen( ) + 1− 2 − 1− 2

4 a 2 a 4 a

−a Z a p 3 2b πa b x2 a2 − x2 dx = a −a 4 Iy =

x2

Para encontrar Ix Por la geometrı́a de la elipse Ix tiene que ser homologa a Iy πab3 πa3 b Ix = 4 4 πab 2 2 Iz = (a + b ) 4

Iy =

Momento de inercia para un eje paralelo.

Finalmente para obtener el momento de inercia con respecto a un eje paralelo contamos con el teorema de ejes paralelos o el primer teorema de Steiner, Ix = Ixc + Ad2 y Iy = Iyc + Ad2 este nos dice que: El momento de inercia respecto respecto a un eje paralelo que pasa por Figura 3: Un bloque unido a un resorte

2

el centroide, más el producto del área de la de la sección y la distancia entre ejes al cuadrado. Se aplica tanto para los ejes x como y nuevamente tenemos nuestra elipse en el cual conocemos su momento de inercia que pasa por el centroide y usando el teorema de Steiner.

Iy = Iyc + Ad2 πa3 b + πaba2 4 5 Iy = πa3 b 4 Ix = Ixc + Ad2

Iy =

πab3 + πabb2 4 5 Ix = πab3 4

Ix =

De la misma forma podemos encontrar los momento de inercia en putos medios de la elipse. cuando dy = a/2 y dx = b/2 Iy = Iyc + Ad2 a πa3 b + πab( )2 4 2 πa3 b Iy = 2 Ix = Ixc + Ad2

Iy = Figura 4: Momento de inercia en distancias medias

πab3 + πabb2 4 5 Ix = ab3 4

Ix =

Del primer teorema de Steiner comprobamos qué el momento de inercia crece a medida que el eje es alejado del centroide de forma paralela. Por lo tanto “El momento de inercia respecto al eje centroidal es el menor momento de inercia del área para una cierta dirección”

3

1.2.

Cálculo de momentos de inercia de un objeto extenso.

El momento de inercia se define con respecto a un determinado eje de rotación. El momento de inercia de una masa puntual con respecto a un eje se define como el producto de la masa por la distancia perpendicular al eje elevada al cuadrado. El momento de inercia de cualquier objeto extenso, se construye a partir de esa definición básica. La forma general del momento de inercia involucra una integral.

Para una masa puntual momento de inercia es el producto de la masa por el Figura 5: Momento de inercia de radio al cuadrado. I = mr2 una masa Para una colección de masas puntuales el momento de inercia es justo la suma de los momentos de inercia de las masas. I = kmr2 Para un objeto con eje de simetrı́a, el momento de inercia es una fracción del si toda la masa estuviera concentrada en el radio r. I = P que2 se tendrı́a 2 3 i mi ri + m2 r2 + m3 r3 + ...

Suma de los momentos de inercia de las masas puntuales. Las distribuciones continuas de masa requieren una suma infinita de todos los objetos de masas puntuales que conforman el objeto entero esto se consigue mediante la integraRM ción sobre toda la masa. I = 0 r2 dm Para ilustrar conocimientos inercia son obtenidos por integración considera2 2 mos nuevamente la elipse una elipse xa2 + yb2 = 1 (Figura 1)

Demostración 2b p 2 dx a − x2 A = πab a M ρ= dm = pdA A M 2b p 2 dm = a − x2 dx πab a 2M p 2 dm = a − x2 dx πa2Z

dA =

x2 dm

I= Z

a

I= −a

x2

2M p 2 a − x2 dx πa2

4

Z 2M a 2 p 2 x a − x2 dx = πa2 −a " # a r r x M x3 a2 M x2 aM x x2

+ 1− 2 − 1− 2

arcsen 4π a 2πa a 4π a

−a

2

Iy =

a M 4

Para encontrar Ix Por la geometrı́a de la elipse Ix tiene que ser homóloga a Iy Iy =

a2 M 4

Ix =

b2 M 4

Iz =

M 2 (a + b2 ) 4

Momento de inercia para un eje paralelo.

Una vez que se ha determinado el momento de inercia de un objeto sobre su centro de masa, el momento sobre cualquier otro eje se puede calcular, por medio del teorema de ejes paralelos: I = Icm + M d2 En este caso, esto viene a ser.

Iy = Iycm + M d2y

dy = a

2

5 a M + M a2 = a2 M 4 4 Ix = Ixcm + M d2x dx = b Iy =

Ix =

b2 M 5 + M b 2 = b2 M 4 4

De la misma forma podemos encontrar los momento de inercia en putos medios de la elipse. Cuando dy = a/2 y dx = b/2 a 2 a2 M a 2 a2 M Iy = + M( ) = 4 2 2 b 2 Ix = Ixcm + M dx dx = 2 b 2 b2 M b2 M + M( ) = Ix = 4 2 2 Iy = Iycm + M d2y

5

dy =

1.3.

Resumen

Como se pudo observar, el momento de inercia en función al eje de giro varia en función del cuadrado de la distancia, por el primer teorema de Steiner podemos observar que el máximo momento de inercia es cuando esta mas alejado del centro de la figura, esto quiere decir que mientras mas alejado del centro de rotación hagamos girar un objeto mas difı́cil sera hacerlo girar, y para hallar el punto en el que mas sencillo sea hacer girar el objeto es en el centro de masa. Ya que el momento de inercia es directamente proporcional a la masa este aumente cuando la masa aumenta y disminuye cuando la masa disminuye, en un caso en el que tengamos distintos objetos de diferentes materiales, de mismos tamaños el objeto con mismas formas y mismos ejes de giro el momento de mayor inercia sera del objeto con mayor densidad. Si todos fueran esferas del mismo tamaño y giraran sobre uno de sus diámetros la esfera de mayor momento de inercias seria la mas pesada.

Referencias

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