Issuu on Google+

Volumen 1, nº 1 15/02/2017

Luisana Cordero

Estructura Discreta II Álgebra Booleana. Introducción. Álgebra de Boole en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

CONTENIDO: Introducción

1

Ejercicio propuesto 1

2

Ejercicio propuesto 2

3

Ejercicio propuesto 3

4

Ejercicio propuesto 4

5-6

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar promiGeorge Boole nente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

¿Qué es el Álgebra Booleana? El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema


PÁGIN A 2

Ejercicio Propuesto 1. Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes: P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’) Q (w, x, y, z) = x + z’ + y Justifique cada paso con la ley que esté utilizando Solución: P (w, x, y, z) = wx + (x” + z’) + (y + z’) = wx + (x + z’) + (y + z’) Doble complemento. = (wx + x) + z’ + (z’ + y) Asociativa y Conmutativa. = (wx + x 1) + (z’ + z’) + y Asociativa e Identidad. = x(w + 1) + z’ + y Distributiva e Idempotencia. = x 1 + z’ + y Dominación. = x + z’ + y Identidad. = Q(w, x, y, z) De enunciado. Por lo tanto, los polinomios P y Q son equivalentes.

ESTRUC TURA D ISC RETA I I


VO LUMEN 1, N º 1

PÁGIN A 3

Ejercicio Propuesto 2. Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z) Justifique cada paso con la ley que esté utilizando Solución: Mediante la tabla de la verdad:

x y

0

z

x+ y’

x’+z’

y’ +z

P(x,y ,z)

P’(x,y ,z)

La forma normal disyuntiva del complemento es: P’(x, y, z) = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz

0

0

1

1

1

1

0

0 0

1

1

1

1

1

0

0 1

0

0

1

0

0

1

0 1

1

0

1

0

0

1

1 0

0

1

1

1

1

0

1 0

1

1

0

1

0

1

1 1

0

1

1

1

1

0

1 1

1

1

0

1

0

1

P(x, y, z) = (x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz)’ Por morgan: P(x, y, z) = (x’yz’)’(x’yz)’(xy’z)’(xyz)’ Por morgan y doble negación: P(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z’) Forma normal conjuntativa


Ejercicio Propuesto 3. Encuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguiente polinomio: P (x, y, z) = (x + y’)z´ Justifique cada paso con la ley que esté utilizando Solución: Mediante la tabla de la verdad:

x

y

z

x+y’

z’

P(x,y,z)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

La forma normal disyuntiva: P(x, y, z) = x’ y’ z’ + x y’ z’ + x y z’


Ejercicio Propuesto 4. Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´ Solución: Mediante la tabla de verdad:

x

y

z

w

wx

x”

z’

w’

(x”+z’)’

(yz’)w’

P(w,x,y,z)

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0


PÁGIN A 6

TÍTULO D E L B O LETÍN

Circuito Lógico


VO LUMEN 1, N ยบ 1

PรGIN A 7


Revista estructura algebra booleana