Meningsfulde fejl oplæg

Meningsfulde fejl Oplæg Lærfest 2025, v. Morten Elkjær og Daniel Clive Ebeling

Indhold:

Hvordan opgavedesign kan omsættes til inkluderende undervisning og formativ evaluering

Hvem er vi?

Morten Elkjær, ph.d. og forlagsredaktør med særligt fokus på Matematikfessor

Daniel Clive Ebeling, Forlagsredaktør med særligt fokus på matematikvanskeligheder

Vi begynder med et eksempel:

8 + 4 = ___ + 5 40% af danske skolebørn I 6. klasse svarer forkert på denne opgave, når de bliver bedt om at vælge et tal, der skal stå på den tomme streg.

Indblik i rammeværk for opgavedesign specielt til formativ evaluering • Opgavedesigns potentiale

• Store datasæt • Små datasæt • Greb til at skabe inkluderende undervisning ved brug af fejltyper

Hvilke udfordringer er der med formativ evaluering?

Det er først, når vi ved præcis, hvor hunden ligger begravet, at vi kan undervise på den helt rigtige måde.

- Mogens Niss

Vi skal ikke tale om misopfattelser…

… fordi det skaber et forkert billede af de matematiske begreber, som hele tiden udvikler sig • Vi kan kun handle på baggrund af vores erfaringer og erkendelser. Hvis vi ikke har erfaret lighedstegnet som 'det samme som’, men at det 'giver' noget, så kan årsagen til fejltypen i vores regnestykke 8+4=_+5 afsløre denne manglende erkendelse.

• Altså ikke en misopfattelse, for hvorfor forventer vi, at elevens erkendelse har flyttet sig, snarere end at interessere os for, at det var godt, at vi opdagede, at den nok burde flyttes.

• Når vi går i dybden med, hvorfor fejl opstår og vælger at spørge ind til fejlen eller på anden måde konkluderer årsagen finder vi I bedste fald frem til et hvorfor… og så kan vi søge rette op på at fejlen (med udgangspunkt I fejlen).

De ‘rette’ opgaver til formativ evaluering

Opgave

Elev

Diagnostisk værdi

Lærer

Hvad er diagnostisk værdi?

Opgave 1. Mængden af tolkbare svar bør være lille, hvilket betyder, at en vis ide om diagnostisk værdi går tabt, når mængden af anerkendte (matematiske) fejlagtige svar vokser i kardinalitet.

Elev

Diagnostisk værdi

Lærer

2. Fordelingen af svarene mellem tolkbare og ikketolkbare skal favorisere de tolkbare svar, hvilket betyder, at andelen af svar, der anses for ikke-tolkbare, bør være lav.

(Kilde: Elkjær, 2024)

BAGGRUND

Opgaver fra et ph.d-projekt

1

892 ligninger

2

94.000 elever

3

2.500.000 besvarelser

Forskellige typer af ligninger

Hvilke fejl så vi?

Navn

Antal svar

% af total

% of tolkbare fejl

Korrekt svar

1722740

80.7

---

Ukendt årsag

182450

8.5

---

Additiv invers

73373

3.4

31.8

Ombytning af udtryk

36046

1.7

15.6

“En mere / en mindre”

35814

1.7

15.5

Ombyning og additive invers

27863

1.3

12.1

Ombytning og multiplikation

13417

0.6

5.8

Addition af koefficient

9098

0.4

3.9

Eksempler på opgaver

8 + 4 = ___ + 5

Svar

Hyp

%

7

501

62,9

17

143

17,9

12

119

14,9

3

8

1,0 (Kilde: Elkjær & Hodgen, 2022)

4-x=5

Svar

Hyp

%

-1

7066

53,9

9

4212

32,2

1

1296

9,8

-9

391

2,9

6

126

0,9 (Kilde: Elkjær, 2024)

9 = 11 - x

Svar

Hyp

%

2 20 3 -2 1

4279 460 364 53 27

82,5 8,8 7,0 1,0 0,5 (Kilde: Elkjær, 2024)

x + 2 + 2x = 8 Svar

Antal

Kode

% Andel

2

342

C

74

4

80

Strat

17

3

15

3

1

12

2

6

8

1 (Kilde: Elkjær & Kieran, in review)

x + 4 + 2x = 10 Svar

Antal

Kode

% Andel

2

343

C

69

4

82

Strat

16

3

31

6

6

23

4

1

13

2 (Kilde: Elkjær & Kieran, in review)

x + 5 + 2x = 14 Svar

Antal

Kode

% Andel

3

272

C

65

7

57

Strat

13

2

47

11

4

22

5

6

18

4 (Kilde: Elkjær & Kieran, in review)

Eksempel på feedback (til underviseren)

𝐚𝐱 = 𝐛 𝐚𝐱 = 𝐛,

𝐱=𝐛−𝐚

Fejlen kommer til udtryk, når elever vælger at tolke et udtryk, som 𝑎𝑥 som værende 𝑎 + 𝑥 i stedet for 𝑎 ∙ 𝑥.

Som eksempel kan fejlen komme til udtryk ved løsning af ligningerne: • 7𝑥 = 14, hvor der svares at 𝑥 = 7, eller • 4𝑥 = 8, hvor der svares at 𝑥 = 4.

Disse ligninger er oplagte eksempler, da de er simple og ikke indbyder til en større mængde af andre fejl. Denne type ligning har på Matematikfessor en rigtighedsprocent på 81% i gennemsnit.

De bedste observationer viser, at op til 8% af svarene på denne type opgaver viser sig at være denne fejltype.

Eksempel på materiale (også til underviseren)

KIM - et formativt evalueringsværktøj

Tre kategorier af fejl

1

Læsefejl

2

Typiske fejl (høj hyppighed)

3

Atypiske fejl (lav hyppighed)

NB: Kendskabet til typiske fejlsvar bygger dels på forskningsviden og dels fra analyser af 150 - 200 elevbesvarelser på hvert klassetrin.

Vinkler i KIM

Forskel i KIM

Feedback i KIM

Opgavedesign (er vigtigt)

Det kan være svært at vide alt om opgaverne

Eksempel

Tag fejlene med ind i klassen

For yderligere info kontakt: → Morten Elkjær: meh@alinea.dk → Daniel Clive Ebeling: dce@alinea.dk