Page 1

MATEMATRI 9 8 PER GREGERSEN · TOMAS HØJGAARD JENSEN · LENE HVILSOM LARSEN · BO BOISEN PEDERSEN · HELLE THORBJØRNSEN

PER GREGERSEN · KAJ JENSEN · TOMAS HØJGAARD JENSEN · BO BOISEN PEDERSEN

GRUNDBOG/WEB GRUNDBOG/WEB

ALINEA


MATEMATRI 9 PER GREGERSEN · TOMAS HØJGAARD JENSEN · LENE HVILSOM LARSEN · BO BOISEN PEDERSEN · HELLE THORBJØRNSEN

GRUNDBOG/WEB

ALINEA


MATEMATRIX 9, Grundbog/WEB 2. udgave, 1. oplag 2016 © 2016 Alinea København Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Peter Lund Billedredaktion: Vibeke Sommer Grafisk tilrettelægning: Lykke Grafisk/Karin Lykke Groth Omslag: Knud Udbye Tegninger: Peter Bay Alexandersen Prepress: Highlight Tryk: Livonia Print Billedfortegnelse: Forside: Hans Henrik Tholstrup/Polfoto; 9 selezenj13/iStock/Thinkstock; 9øv koya79/iStock/ Thinkstock; 9nv DMI; 10øv Helle Thorbjørnsen; 10mv Jakob Thornbjørnsen; 10øh ValeryBrozhinsky/ iStock/Thinkstock; 10mh Knud Udbye; 10n pacaypalla/iStock/Thinkstock; 11øh Kort- og Matrikelstyrelsen(9715701 nr. 1); 11øm Kraks Forlag AS; 11øv Knud Udbye; 11m DSB; 12ø Peter Lund; 12 Henning Larsens Architect; 15øv Smitt/iStock/Thinkstock; 15øh Hans Juhl; 15m Hans Juhl; 15n Hans Juhl; 18 Magone/iStock/Thinkstock; 24 NASA Jet Propulsion Laboratory; 25ø Hans Juhl; 27 NASA; 29 Hans Juhl; 31 Hans Juhl; 36 Hans Juhl; 37 Hans Juhl; 38m Alan Kraft/ Shutterstock; 38v Eva og Nils Koppel, Gert Edstrand; 39ø Oliver Foerstner/Shutterstock.com Editorial; 39n Hemera Technologies/PhotoObjectnet/Thinkstock; 43 Memitina/iStock/Thinkstock; 44 Hans Juhl; 47 FlairImages/iStock/Thinkstock; 63 benjamas11/Shutterstock; 65 ricochet64/ iStock/Thinkstock; 67 Andy Hooper/Daily Mail/REX/All Over Press Editorial; 69 Henning Bagger/ Scanpix; 81ø Pavel Losevsky/Hemera/Thinkstock; AGrigorjeva/iStock/Thinkstock; 85 fergregory/ iStock/Thinkstock; 91 Hans Juhl; 93 Frank Peters/iStock/Thinkstock; 94 Skat; 97 Doug Scott/AGE/ Scanpix; 98 Britta Pedersen/dpa/Scanpix; 99 Guo Yong/Xinhua/Action Press/All Over Press; 101ø David Andrews/Masterfile/Scanpix ; 101n Indsat: Christian Bertrand/Shutterstock.com Editorial; 112 justme_yo/iStock/Thinkstock; 117 DB Museum im Verkehrsmuseum Nürnberg; 117 Indsat: EQRoy / Shutterstock.com Editorial; 119 Kristian Brasen for Danmarks Domstole; 133 Polar Is; 137 De Visu/Shutterstock; 153 www.vivaenergi.dk; 155 Milan Zeremski/iStock; 156ø ryabuhanazar/ iStock/Thinkstock; 156n Stockbyte/Thinkstock; 157ø Chiyacat/iStock/Thinkstock ; 158v Design56/ iStock/Thinkstock; 158mv Hans Juhl; 158mh Amebar/iStock/Thinkstock; 158h Koya79/iStock/ Thinkstock; 159v Goxi/iStock/Thinkstock; 159mv Oboltus/iStock/Thinkstock; 159mh a40757/iStock/ Thinkstock; 159h Swedish Match AB; 160øh Hans Juhl; 160øv nuwatphoto/iStock/Thinkstock; 160n Volt Collection/Shutterstock; 161 M.C. Escher’s ”Waterfall” © 2016; The M.C. Esher Company-The Netherlands.All rights reserved. www.mcescher.com; 165 SerrNovik/iStock/Thinkstock; 170-171 Stanislav_Moroz/iStock/Thinkstock; 172-173 DonLand (gallery-1268305p1.html)/Shutterstock.com Editorial; 174-175 Sturti/E+/Getty Images; 176-177 gilaxia/E+/Getty Images; 178-179 Meinzahn/ iStock; 180-181 Wavebreakmedia Ltd./Thinkstock; 182-183 McIek/Shutterstock; 184-185 Stephen Gerard/Photo Researchers/Scanpix.

ISBN: 978-87-23-03845-6 Web-resurserne findes på matematrix.dk Her findes også betingelser for brug af disse.


Indhold Til eleverne

5

Matematisk modellering

9

Overslagsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Anvendelseskritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Skat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Astronomiske modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

JordnĂŚre modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Rumfang og dimensioner

29

Overslagsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Udfoldninger og overfladeareal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Statistik

47

Stikprøveundersøgelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Anvendelseskritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Grupperede observationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Funktioner og grafer

67

Anvendelseskritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Ligningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Uligheder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Parablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Sandsynlighedsregning

85

Casino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Odds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98


Vækst

101

Finansiel forståelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Rejser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Ræsonnement og bevisførelse

119

Anvendelseskritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Multiplikation af toleddede størrelser. . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Pythagoras' sætning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Potensregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Trigonometri

137

Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Enhedscirklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Solenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Tegning

155

Indret dit værelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Undersøgelser

167

Indkomst og skat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Ud at rejse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Idræt og motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Hvad koster jeg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Bliv iværksætter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Kodning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Fraktaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Stikordsregister

188


Til eleverne Hvis din hjerne skal lære noget nyt, er du nødt til at være aktiv og fokuseret. Du lærer fx ikke at spille badminton ved at se andre spille det. Tværtimod hvis du vil lære at spille, må du selv møde motiveret op til træningen i hallen. Allerede mens du klæder om, begynder du måske at fokusere på den forestående træning. I hallen varmer du op ved at slå nogle slag, du allerede behersker. Dernæst viser træneren dig et nyt slag - baghåndsslaget. Det øves en masse gange. Til sidst skal det bruges i en kamp. Her skal det bruges i pressede situationer. Det er her, du oplever glæden ved at have lært slaget, og det er her, du bliver motiveret til at træne mere og derefter spille mere osv. Efterhånden mestrer du slaget og kan begynde at lære nye ting, fx finter, så slaget maskeres, og du kan udspille din modstander. Der er nogle modstandere, du endnu ikke kan slå. Hvis det skal lykkes, er du hele tiden nødt til at lære nye slag og finter og øve dem. Matematik kan stort set læres på samme måde som badminton. Derfor er kapitlerne i denne bog opbygget som forløb, der indeholder alle væsentlige sider af læringsprocessen. For at gøre det lettere at forstå, hvad vi mener, har vi lavet en model - timeglasmodellen - som du kan se på side 6-7. Udover kapitlerne er der otte undersøgelser. Hvordan du arbejder med dem, kan du læse mere om på side 167-169. Det er vigtigt, at du kender bogens opbygning - ikke mindst faserne i timeglasset - så har du nemlig bedre mulighed for at forstå, hvad du skal lære. Du kan også bedre forstå, hvad aktiviteterne går ud på, og hvordan de skal gennemføres. I bogen er der indsat en række ikoner, som angiver, at der findes digitale resurser til aktiviteterne: Regneark

GeoGebra

Arbejdsark

GeoGebra

Geogebra

Regneark

Geogebrafilm

Evalueringsark

Arbejdsark

Evalueringsark

Man kan få adgang til disse resurser på matematrix.dk

Faglige film


TIMEGLASSETS FASER

INTRO

Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og din klasse skal få en ide om, hvad kapitlet handler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålene igen, når I har været igennem hele kapitlet. Der er sikkert forskel på jeres svar før og efter, fordi I har lært noget undervejs. INTRO-AKTIVITETER

Man lærer bedst matematik, når nye begreber knyttes sammen med begreber, som man kender i forvejen. I de første introaktiviteter er det derfor vigtigt, at du får genopfrisket begreberne fra tidligere klassetrin. De sidste introaktiviteter peger direkte frem mod de nye ting, du får forklaret i gennemgangen. Nogle af disse aktiviteter kan være vanskelige at klare. Her skal du selv - alene eller sammen med andre - forsøge at finde en god løsningsstrategi. Introaktiviteterne kan kendes på, at deres numre er blå. GENNEMGANG

Her præsenteres du for det nye stof, du skal lære. At lære nye begreber og metoder kan være vanskeligt. Derfor er det vigtigt, at du har fuld fokus på og forstår indholdet. Du kan bruge gennemgangen som ”leksikon”, når du senere skal arbejde med øvelser og opgaver. ”Hvordan var det nu, det var?” Gennemgangens sider er markeret med røde streger i kanten. ØVELSER

I gennemgangen blev du præsenteret for nye begreber og nye metoder. Nu skal du træne, indtil du behersker metoderne. Der er ikke meget tekst på øvelsessiderne. Husk at ”øvelse gør mester”. Bliv ved, indtil du er sikker i dine beregninger, men heller ikke længere, så er det bedre at lade sig udfordre af opgaverne. Øvelserne kan kendes på, at deres numre er røde. OPGAVER

Nu skal du bruge stoffet fra gennemgangen til at klare forskellige udfordringer. Det kan dreje sig om matematiske udfordringer som for eksempel, ”Hvad er vinkelsummen i en trekant?” Det kan også dreje sig om udfordringer, der vedrører hverdagen som fx ”Hvor meget har man sparet på en vare, hvis den er nedsat fra 295 kr. til 245 kr.?” De blandede opgaver bliver sværere og sværere, så man kan vælge netop de opgaver, der opleves som en tilpas udfordring. Opgaverne kan kendes på, at deres numre er violette EVALUERING

Kapitlet afsluttes med åbne spørgsmål, hvor du skal forklare, hvad du har lært. Desuden skal du prøve at forklare sammenhængen mellem de begreber, som er spredt ud over siden.


INTRO

HVAD S KAL

VI LÆRE

- OG HV ORNÅR

LE KLASSESAMTA

INTRO-AKTIVITETER

N REPETITIO KOM L IDT

MNING OPVAR

OR NY BEHOV F

NYE BEGREBER NY VIDE N

E NY

I GANG

R GE N I DR R FO UD

VIDEN

GENNEMGANG

ER NYE METOD

ØVELSER PRØV SE LV E FÆ S L E G A R DIGHED GENT TEKNIK TRÆNING IND PÅ RYGRADEN OPGAVER SAMARBEJDE OVERVINDE ÅBNE PROB SIG SELV LEMER G IN UDFORSKN UDFORDRINGER UNDERSØGELSER PROBLEM LØSES MERE TRÆNIN G? ANVENDELSE

EVALUERING NYE MÅL SIKKER I UDREGNINGERNE? FIK VI LÆRT DET VI SKULLE? STYR PÅ BEGREBER, FÆRDIGHEDER OG KOMPETENCER?


Udover at kende timeglasset er det vigtigt, at du er opmærksom på, hvordan du kan arbejde med matematik på en god måde. Her får du nogle gode råd.

• • • • • • • • • •

Vær altid opmærksom på, hvad der er meningen med de aktiviteter, du arbejder med. Hvad skal jeg lære? Hvorfor? Hvad er det for en type aktivitet, du skal i gang med? Skal du repetere stof, læse en faglig tekst, træne, undersøge eller ...? Skab overblik over problemstillingen i en opgave. Hvad går den ud på? Tegn skitser og modeller som kan gøre det lettere at forstå problemstillingen. Vurder altid resultatet, når du har løst en opgave. Kan det passe? Eller er der noget galt? Forklar indholdet i en tekst for dig selv eller for andre. Stop op med jævne mellemrum, når du læser en tekst, og stil spørgsmål til indholdet. Hvad står der egentligt? Brug dine egne ord, når du besvarer spørgsmålene. Brug regneark, Geogebra og andre relevante it-programmer som hjælpemidler, men hold fokus på de begreber og metoder du skal lære. Deltag aktivt i gruppearbejdet, når I laver eksperimenter og besvarer undersøgelser. Vær opmærksom når du læser tekster i aviser og på nettet. Formålet med mange af disse tekster er at påvirke læseren. Teksterne kan indeholde mange tal, tabeller og diagrammer. Hvordan bruges tallene? Bruges de på en fair måde, eller er der tale om manipulation? Du kan selv bruge matematik, når du skal løse nogle af dagligdagens problemer. Matematik kan fx hjælpe dig med at få bedre styr på økonomien, hvis du har brug for det. Glem ikke dine succeser i matematik og opfat det svære som en udfordring du kan lære noget af.

God fornøjelse med bogen! Forfatterne


Matematisk modellering Hva

d er

lighe

den

mell

em e

n pin

dem a e t sand nd og Hvad har slot? en meteo rolog og fi nansminis teren til fæ lles?

sk model del, matemati odel”? o m js tø e g le Fotomodel, u på, når du ser ordet ”m er d – hvad tænk

BYG ET SANDSLOT FORUDSIG VEJRETS UDVIKLING

Kan matematik spille en rolle ved løsningen af disse opgaver? I så fald; på hvilken måde?

BYG EN

BRO


1

En sodavand koster 9 kr. inkl. pant. Hvad er panten, hvis indholdet koster 4 kr. mere end flaskepanten?

2

Hvad er rumfanget af en bog?

3

Hvor meget papir skal du bruge for at binde bogen ind?

4

Jakob på 3 år har tegnet sig selv. a Hvilke ting ved sig selv er Jakob tilsyneladende særligt opmærksom på? b Nævn nogle ting ved Jakob, som ikke er med på tegningen. c Vis en fremstilling af Jakob, som fokuserer på noget andet, end det han selv har valgt.

5

Hvad forestiller tegningen? a Hvilke ting er valgt til modellen? b Er det en god model? c Vælg selv en ting og tegn en model. Forklar dine valg.

6

Hvor høj er den bygning, du bor i? a Hvilken model vil du bruge til udregningen? b Findes der andre modeller? Hvilke?

10

MODELLERING


AG G ER AD E

SK IN DE RG AD E

BM KØ ET

LSKAFT

VIMME

E

D GA

R DE

TO

NY

RV

P

M

KO

N AG

DE

Æ

TR

IS

7

DE

ST

NY

a Hvad er eller kan hvert billede være en model af? b Hvilke ting fra virkelighedens verden fremhæves? Hvilke ses der bort fra? c Hvilke fordele/ulemper er der ved modellen frem for den virkelige situation?

MATEMATISK MODELLERING

11


En model er en forenklet fremstilling af noget: En ting, en situation, en udvikling, en problemstilling, eller noget helt andet.

En matematisk model kan indeholde tal, tegninger af figurer, ligninger, funktioner eller andre matematiske objekter.

Modellering er at skabe eller vælge modeller og bruge dem bagefter.

Matematisk modellering er at skabe eller vælge matematiske modeller og hypoteser og derefter bruge dem til løsning af et problem.

VIRKELIGHEDENS VERDEN

MATEMATIKKENS VERDEN

En problemstilling En udvikling En situation

Opstilling af model: En ligning, en tegning eller en funktion.

Oversættelse

?

Virkeligt resultat

12

Matematisk bearbejdning

Fortolkning

Matematisk resultat

MATEMATISK MODELLERING


Luna skal bruge 5.000 kr. til Roskilde Festival. Hun passer kassen i supermarkedet, hvor hun tjener 64 kr. i timen. En vagt er på 7 timer. Hvor mange vagter skal Luna have, før hun har 5.000 kr.? Hun indfører variablen x for antal vagter og opstiller en ligning. MATEMATIKKENS VERDEN

VIRKELIGHEDENS VERDEN Hvor mange vagter skal Luna have, før hun har tjent 5.000 kr.?

Antal vagter kaldes x

?

Luna skal have 12 vagter

5.000 = x · 64 · 7

5.000 = x · 448 448x = 5.000

11,16 vagter giver præcis 5.000 kr. Derfor skal hun have 12 vagter

x = 11,16

Hvor mange meter stof skal du bruge for at sy en dug? MATEMATIKKENS VERDEN

VIRKELIGHEDENS VERDEN

Hvor mange meter stof skal man bruge til at sy en dug til et bord?

Model: Jeg vælger, at bordet er rektangulært 1,2 · 3 m Udhæng sætter jeg til 30 cm

Dugens bredde: 1,2 + 0,3 + 0,3 = 1,8 m. Dugens længde: 3 + 0,3 + 0,3 = 3,6 m 3,6 m 1,8 m

Hvis stoffet har en bredde på 1,50 m, så kan dugen syes sammen to gange på den korte led.

?

1,5 m 0,6 m 1,5 m

Der skal bruges 5,4 m stof til en dug.

MATEMATISK MODELLERING

Så skal der bruges 3 · 1,8 m = 5,4 m stof. Dugen kan syes som på skitsen til højre

1,8 m

13


Arbejdsark

1-2

10 liter maling rækker til mellem 30-50 m2

14

Opgaver Opstil en modelleringsfigur som vist på side 13 og besvar opgave 8-15.

8

Hvor mange sodavandsflasker skal du samle, før du har tjent 50 kr. i pant?

9

Hvor meget bland selv slik kan du købe for 100 kr.?

10

Hvor meget kan du nå at tjene på en sommerferie?

11

Hvordan ser et badebassin ud, der kan rumme 5.000 l?

12

Hvor mange meter tæppe skal man købe for at kunne lægge ”væg til vægtæppe” i en stue?

13

Hvor mange liter maling skal man købe for at male vægge og lofter en gang i en stue?

14

Hvor mange meter tapet skal man købe for at kunne tapetsere en stue, når rullebredden er 53 cm?

15

Hvor mange meter stof skal der bruges til at sy a en kortærmet bluse? b et par shorts?

16

Lige fra man begynder i skole bruger man, uden at vide det, matematisk modellering, når situationer fra den virkelige verden skal oversættes til simple regnestykker. Find nogle situationer som kan modelleres med hver af de fire regningsarter addition, subtraktion, multiplikation og division.

MATEMATISK MODELLERING


61,5 mm ◀

250 mm

17

a b c d

18

Hvor mange terninger kan der være i et raflebæger?

19

Hvor mange tandbørstninger er der til i en tube tandpasta?

220 mm

Hvad er overfladearealet af de tre figurer? På hvilken måde har du brugt matematisk modellering for at regne det ud? Hvilke forhold gør, at modelberegningen ikke er nøjagtig? Hvor er usikkerheden størst?

MATEMATISK MODELLERING

15


Opgaver

MATEMATIKKENS VERDEN

VIRKELIGHEDENS VERDEN

Hvor højt er huset?

Husets højde kaldes b i en retvinklet trekant

49 + b2 = 100 b2 = 51 b = 51

?

Det er 7,14 m højt

20

16

a2 + b2 = c2 72 + b2 = 102

Husets højde er 7,14 m

b = 7,14

a Forklar de forskellige dele af den matematiske model herover. b Hvilken matematisk formel bruges i modellen? c Brug modellen til at udregne højden af en anden bygning, hvor du selv antager en længde langs jorden og en højde på stigen.

MATEMATISK MODELLERING


SkoleOL vil slå sin egen rekord

9

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

SkoleOL finale 2014 drenge 60 m løb

9

9.2

9.4

9.6

9.8

SkoleOL finale 2014 piger 60 m løb

21

Er boksplot en matematisk model? Hvad fortæller boksplottet om SkoleOL finalen? Fortæller boksplottet, hvor mange der deltog? Fortæller boksplottet, hvor hurtigt den hurtigste pige løb? Er drengene hurtigere end pigerne? Sammenlign de to boksplot og fortæl, hvad de viser om drenges og pigers løbetider på 60 m.

MATEMATISK MODELLERING

GeoGebra

a b c d e f

Boksplot

17


22

Disse kurver fortæller noget om børn og unge ved hjælp af matematik. Brug så vidt muligt kurverne til at svare på følgende spørgsmål:

Piger / Højde (cm)

Drenge / Højde (cm) 190

190 185 180 175 170 165 160 155 150 145 140 135 130 125 120 115 110

180 170 160 150 140 130 120 8

9

10

11

12

13

14

15

ALDER

16

110

8

9

10

11

12

13

14

15

16

ALDER

a Hvordan foregår væksten i højde blandt børn og unge? b Hvor meget er du vokset, siden du var 8 år? c Hvor stor en del af alle elever, der går i 9. klasse, følger samme kurve som dig? d Hvilke ting er vigtige for at elever, der går i 9. klasse, er er lykkelige?

PARK 1

PARK 2

18

8 cm

23

Park 1 er i virkeligheden 120 m lang og 80 m bred. a Hvilket målestoksforhold vil det være smart at vælge, når du skal tegne parken på et stykke A4-papir? Hvorfor? Længden af hver side i Park 2 er 20 m i virkeligheden. b Tegn parken på et stykke A4-papir. Hvad er et godt målestoksforhold?

24

Kan koppen rumme ca. 12 cl, ca. 20 cl. eller ca. 25 cl? Begrund dit svar og forklar, hvilken model du har brugt.

MATEMATISK MODELLERING


25

Magnus, Julie og Emil skal beregne rumfanget af en kasse. De måler alle tre på kassen, og når frem til disse tal: Magnus

Julie

Emil

Længde

14,0 cm

13,8 cm

14,1 cm

Bredde

7,5 cm

7,4 cm

7,5 cm

Højde

8,3 cm

8,2 cm

8,5 cm

Hvad er kassens rumfang?

26

Bertrams båd er 5 m høj, og han vil beregne fyrtårnets højde ved at se på skyggerne fra solen. Du skal hjælpe ham ved at: a tegne en geometrisk model af situationen b opskrive en algebraisk model c løse ligningerne fra modellen d skrive en konklusion

27

Thorbjørn vil overraske sin kone med en miniferie på hotel. Opstil en model for prisen for x antal overnatninger på et eller flere hoteller, som du selv vælger. Du kan hjælpe ham med at finde ud af, hvad det kommer til at koste ved at: a opskrive en funktion b evt. oprette et regneark c tegne en graf d skrive en konklusion

28

Tegn en skitse af et hus på 135 m2. Overvej bl.a: • hvilken synsvinkel huset skal ses fra. • hvilke rum huset skal have. • hvilke detaljer ved huset, det er godt at have med på skitsen, og hvilke det er mere hensigtsmæssigt at se bort fra.

MATEMATISK MODELLERING

19


Overslagsberegninger Opgaverne på denne side handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget. I kan svare på hvert spørgsmål ved at:

20

vælge nogle variable, som I mener, svaret er afhængig af

bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse variable

gætte kvalificeret på værdien af hver variabel

foretage beregninger med disse værdier ved at indsætte dem i formlen og beregne et cirka-svar på spørgsmålet

vurdere cirka-svaret: Virker det fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal beregningerne foretages på en anden måde?

29

Hvor stor en del af dit liv har du brugt på transport til og fra skole?

30

Hvor mange håndklæder skal der til for at dække en badebro?

31

Hvor mange liter cola kunne der være i din krop, hvis den var hul?

32

Hvor stor en del af dit liv kommer du til at bruge foran en skærm?

33

Hvor meget skal man motionere for at forbrænde en pose chips?

34

Hvor meget føde kommer du til at spise i dit liv?

35

Hvor meget alkohol kommer du til at drikke i dit liv?

36

Hvor meget vand bruger I derhjemme på en almindelig dag?

37

Hvad vil du gerne være når du bliver voksen (fx dagplejemor, bager, lærer eller ingeniør)? Hvor mange af disse stillinger er der behov for i Danmark?

MATEMATISK MODELLERING


Anvendelseskritik Opgaverne her handler om at tænke over, diskutere og kritisere andres anvendelse af matematik. I kan bruge disse spørgsmål som hjælp: ●

Hvad handler teksten om?

Hvor mener I, at der er anvendt matematik?

I hvilke sammenhænge er matematikken anvendt?

Er det en god og rimelig måde at anvende matematik på?

39 Arbejdsark

a Hvordan hænger antallet af drukneulykker sammen med antallet af solgte is? b Er overskriften her rimelig?

Danske børn ”koster” 1 million kroner i gennemsnit Nye beregninger viser, at et barn fra første til attende leveår koster forældrene 1 million kroner.

3-4

Politiken 5. september 2014

Arbejdsark

40

S og V fortsætter krig om jobtal Hverken S eller V har helt ret i debatten om beskæftigelsestallene – alligevel ser begge partier det som en sejr.

5-6

ANTAL DRUKNEULYKKER

38

ANTAL SOLGTE ISPINDE OG VAFLER

Spisning af is øger antallet af drukneulykker. Januar

5.388.000

Jan 3

Februar

5.022.000

Feb 2

Marts

10.406.000

Mar 1

April

14.612.000

Apr 2

Maj

25.884.000

Maj 1

Juni

18.545.000

Jun 6

Juli

29.315.000

Jul 14

August

16.354.000

Aug 5

September 5.899.000

Sep 2

Oktober

6.277.000

Okt 1

November

4.351.000

Nov 3

December

2.379.000

Dec 2

I alt

144.432.000

www.dr.dk 7. juli 2015

Arbejdsark

41

7-8

Markant fald i unges druk Unge hælder sjældnere alkohol i sig i dag, end de gjorde i 90erne. Det viser tal fra Skolebørnsundersøgelsen, som Institut for Folkesundhed netop har offentliggjort. www.videnskab.dk 7. februar 2014

42

Se en nyhedsudsendelse. I hvilke indslag er der brugt matematisk modellering? Begrund svaret.

MATEMATISK MODELLERING

21


TEMA

Skat

Skemaet viser nogle af de mest grundlæggende regler for betaling af indkomstskat i Danmark for skatteåret 2016. Fradrag for arbejdsmarkedsbidrag

AM-bidrag og indkomstskat

teriets På Skatteminis w.skat.dk w w e id es hjemm

Betaling af skat er et eksempel på, at virkeligheden på visse områder er beskrevet ved hjælp af matematik: Reglerne for skattebetaling findes i den matematiske model, man har vedtaget at bruge. Der er imidlertid mange regler at holde styr på, så selv om ”oversættelsen” fra virkelighed til matematik går let, er skattebetaling alligevel ofte svær at overskue.

Bundfradrag 467.300 kr.

Topskat

Bundfradrag i pos. kapitalindkomst kr. /61.600

Bundskat

9,08 pct

Sundhedsbidrag PersonLigningsmæsfradrag sige fradrag* og 44.000 kr. negativ nettokapitalindkomst over 50.000/100.000 kr.

Kommune- og kirkeskat

Arbejdsmarkedsbidrag

15 pct

5,0 pct

25,3 pct

8 pct

Indkomst *Inkl. beskæftigelsesfradrag på 7,65 pct, dog maks 25.000 Regneark

Skat

22

Anm.: Skattesatsen er for en gennemsnitskommune i 2014 på 25,6 pct. inkl. kirkeskat. Skattesatsen varierer fra 23,2 pct. i den billigste til 27,99 pct. i landets dyreste kommune.

MATEMATISK MODELLERING


Når skatten skal regnes ud, har man brug for at kende den skattepligtige indkomst Skattepligtig indkomst = personlig indkomst – arbejdsmarkedsbidrag – beskæftigelsesfradrag

43

Julie tjener 1.200 kr. om måneden. Hvor meget er hendes årlige indkomst?

44

Louise arbejder i en bagerbutik og tjener 64,78 kr. i timen. Hun arbejdede 28 timer i januar måned. a Hvor meget tjente Louise i januar? b Hvis hun arbejder det samme antal timer til den samme løn i resten af året, hvad vil hendes personlige indkomst så være?

Beskæftigelsesfradrag År

Procent

Fradrag er højst

Beløb du mindst skal tjene for at få fuldt fradrag

2014

7,65

25.200

326.800

2015

8,05

26.800

332.920

Eksempel på årsopgørelse

45

Brug skattereglerne og udfyld en tabel som den viste for a Jan, der tjener 300.000 kr. om året b Freja, der tjener 60.000 kr. om året c Lars, der tjener 585.000 kr. om året

Personlig indkomst AM-bidrag 8 % Løn efter AM-bidrag Beskæftigelsesfradrag 8,05 % Skattepligtig indkomst

MATEMATISK MODELLERING

120.000 9.600 110.400 8.887 101.513

23


Astronomiske modeller

Afstand fra Solen (AE) Solen

Diameter (km)

0

1.392.000

Merkur

0,387

4.878

Venus

0,723

12.103

Jorden

1,000

12.756

Mars

1,523

6.786

Jupiter

5,202

142.984

Saturn

9,538

120.536

Uranus

19,181

51.118

Neptun

30,058

49.528

AE er en forkortelse for Astronomisk Enhed. 1AE = 149,6 ¡ 10 6 km

46

24

Hvor langt er der i km fra a Solen til planeterne? b Jorden til Mars? c Venus til Saturn? d Hvilke planeter ligger lĂŚngst fra hinanden?

MATEMATISK MODELLERING


Hvis planeternes diameter omregnes til et forhold, der kan sammenlignes med kendte objekter, som fx frugter og grøntsager, får man en ide om deres indbyrdes størrelsesforhold. Hvis planeternes afstand til Solen omregnes i samme målestoksforhold, får man en ide om deres indbyrdes afstand.

47

48

49

Vis planeternes størrelse og afstand med en sådan model.

a Hvor mange kilometer er et lysår? b Hvor gammelt er det lys, vi ser på Jorden? c Hvilke simplificeringer er der foretaget i forbindelse med beregningerne?

Lysets hastighe d tomt rum er ca i . 300.000 km/sek . Den afstand, so m lys tilbagelægg er på et år, kaldes et lysår.

Afstanden mellem Solen og Jorden er ca. 149.600.000 km

a Hvor hurtigt bevæger Jorden sig om Solen? b Hvor hurtigt bevæger Månen sig om Jorden? c Hvor hurtigt bevæger et hus på Jordens overflade sig som følge af Jordens rotation om sig selv?

MATEMATISK MODELLERING

Afstanden mellem Jorden og Månen er ca. 384.400 km

25


VERDENS BEFOLKNING 1976

4.146.135.850

1977

4.220.816.737

1978

4.295.664.825

1979

4.371.527.871

1980

4.449.048.798

1981

4.528.234.634

1982

4.608.962.418

1983

4.691.559.840

1984

4.776.392.828

1985

4.863.601.517

1986

4.953.376.710

1987

5.045.315.871

1988

5.138.214.688

1989

5.230.452.409

1990

5.320.816.667

1991

5.408.908.724

1992

5.494.899.570

1993

5.578.865.109

1994

5.661.086.346

1995

5.741.822.412

1996

5.821.016.750

1997

5.898.688.337

1998

5.975.303.657

1999

6.051.478.010

2000

6.127.700.428

2001

6.204.147.026

2002

6.280.853.817

2003

6.357.991.749

2004

6.435.705.595

2005

6.514.094.605

2006

6.593.227.977

2007

6.673.105.937

2008

6.753.649.228

2009

6.834.721.933

2010

6.916.183.482

2011

6.997.998.760

2012

7.080.072.417

2013

7.162.119.434

2014

7.243.784.121

2015

7.324.782.225

2016

7.393.916.700

26

Jordnære modeller 50

Tabellen viser, hvor mange mennesker der var i verden ved udgangen af hvert år. a Hvilke usikkerhedsfaktorer er der ved en sådan modelberegning? b Indsæt tabellens oplysninger i et koordinatsystem og tegn grafen for den lineære funktion, der egner sig bedst som matematisk model af befolkningstallets udvikling. c Brug modellen til at komme med et bud på, hvor mange mennesker der er på Jorden i år, om 10 år og i år 2100. d Hvilke problemer er der ved at bruge en lineær funktion som model? e Skitser den graf, som du mener, er den bedste model for udviklingen i befolkningstallet.

51

Kunne du nå at tælle verdens befolkning, hvis du brugte hele livet på det?

52

Giv et overslag på, hvor mange børn og unge under 18 år der er i verden.

53

Hvor mange 9. klasseselever er der ca. i Danmark?

54

Jordens omkreds ved ækvator er ca. 40.000 km. Hvor langt er der ca. fra Danmark til Australien?

55

Hvor hurtigt flyves der på langdistance ruter som fx København – Beijing?

56

Hvad tid skal man ca. regne med at være fremme (lokal tid), hvis man flyver kl. 17 direkte fra København til: a Sydney? b New York? c Cape Town? d …?

Til opg. 54, 55 og 56 skal du bruge en globus.

MATEMATISK MODELLERING


MATEMATISK MODELLERING

27


Evaluering ■

Hvad er matematisk modellering?

Modeller giver ingen mening. Virkelighedens verden er da aldrig så simpel! Er du enig?

Fordelen ved at arbejde med matematik er, at man altid får et indiskutabelt svar – 2 plus 2 er jo som bekendt 4! Er du enig?

Matematik

Funktio n

Sand slot

Bea rbe jdni ng

Oversættelse

d lighe e k r i V

Fortolkning

Matemat isk mode llering

ndbil a r b s j ø Leget Geometrisk figur

Model Evalueringsark

1- 4

28

Modelle ring

model k s i t a m Mate

Profile for Alinea

Matematrix 9 Læseprøve  

Kapitel 1

Matematrix 9 Læseprøve  

Kapitel 1