Af Henrik BindesbĂ¸ll NĂ¸rregaard og Per Gregersen

Kernestof Mat 3 Lindhardt og Ringhof

KERNESTOF Mat 3 Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen © 2019 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Billedredaktion: Frederikke Carlsen Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 1. oplag 2019

ISBN 978 87 7066 876 7 www.lru.dk

Indhold

Forord 5

1. Integralregning 1

1.1 Stamfunktion og arealet under en graf

1.2 Ubestemt integral

1.3 Bestemt integral

1.4 Grafen for en stamfunktion

1.5 Regneregler for integraler

Opgaver til kapitel 1

Træningssider 1

2. Integralregning 2 2.1 Arealberegninger

2.2 Omdrejningslegemer og kurvelængder

2.3 Integration ved substitution

2.4 Beviser 1

2.5 Beviser 2

2.6 Beviser 3

2.7 Numerisk integration

Opgaver til kapitel 2

Træningssider 2

3. Normalfordelingen 3.1 Beregning af sandsynligheder 3.2 Normalfordelingens tæthedsfunktion

46 46 48

3.3 Normalfordelingens fordelingsfunktion

3.4 Normalfordelingsplot

3.5 Teori om standardnormalfordelingen

3.6 Teori bag normalfordelingsplottet

Opgaver til kapitel 3

Træningssider 3

4. Trigonometriske funktioner 4.1 Sinus og cosinus

4.2 Harmoniske svingninger

4.3 Beviser 70 4.4 Trigonometriske ligninger 72 4.5 Tangens 74 Opgaver til kapitel 4

Træningssider 4

Indhold

5. Vektorfunktioner 84 5.1 Banekurver 84 5.2 Skæringspunkter

5.3 Hastighed og acceleration

5.4 Tangenter 90

Opgaver til kapitel 5

Træningssider 5

6. Differentialligninger 1 100 6.1 Hvad er en differentialligning? 100 6.2 Eksponentiel vækst og differentialligninger af typen y ′ = ky 102 6.3 Væksthastighed og tangentligning

104

6.4 Linjeelementer og hældningsfelt

106

6.5 Logistisk vækst

108

6.6 Beviser

110

Opgaver til kapitel 6 112

Træningssider 6 116

7. Differentialligninger 2 120 7.1 Forskudt eksponentiel vækst 120 7.2 L ineære førsteordens differentialligninger

122

7.3 Separable differentialligninger

124

7.4 Beviser 126 Opgaver til kapitel 7 128

Træningssider 7

130

8. Funktioner af to variable 134 8.1 Funktionsværdier og grafer 134 8.2 N iveaukurver og snitfunktioner

136

8.3 Partielle afledede

138

8.4 Maksimum og minimum 140 Opgaver til kapitel 8 142

Indhold

Facitliste

144

Forord Kernestof Mat3, stx præsenterer den tredje del af matematikken på den gymnasiale stx-uddannelse, hvor den kan bruges som grundbog på A-niveau. Hvert afsnit i de otte kapitler er skrevet som små læringsforløb med introcase, teori, forklaringer, eksempler og øvelser. Efter hvert kapitel er en opgavesektion med opgaver, der følger kapitlets progression. Links eller QR-koder henviser til screencasts, hvor sætninger, eksempler eller beviser uddybes. I kapitel 3 om normalfordelingen er der endvidere links til seriens hjemmeside, hvorfra der kan hentes større datasæt til import i regneark. Der er facitlister til alle øvelser i bogen, mens facit til træningsopgaver og opgaver findes på websitet: www.lru.dk/kernestof.

Mellem alle kapitler er der et afsnit med træningsopgaver (på grå baggrund). Opgaverne på afsnittets første to sider genopfrisker de grundlæggende færdigheder og metoder fra C- og B-niveau, før de skal i brug igen. På de to sidste træningssider af hvert kapitel repeteres udvalgte dele af vektorregningen, eller der er særlige små forløb om omvendte funktioner, reelle tal og det udvidede potensbegreb. Kapitlernes og træningssidernes rækkefølge er tilrettelagt, så begreber og metoder følger en faglig progression.

God fornøjelse med bogen. Henrik og Per

Forord

1. Integralregning 1 1.1 Stamfunktion og arealet under en graf 1 Introduktion G rafen viser en elbils fart de første 3 sekunder af en accelerationstest. Tiden, x, er målt i sekunder, og farten, f(x), er målt i meter pr. sekund. Afstanden, som bilen har tilbagelagt

30 f(x) 20 f 10

efter x sekunder, kan findes som arealet under grafen.

2 x

2 Eksempel Elbilens hastighed i de første 3 sekunder kan beskrives ved modellen f(x) = 11 · x, 0 ≤ x ≤ 3 Som grafen viser, er funktionen lineær, og arealet under grafen (det skraverede område) udgør derfor en trekant med grundlinjen x og højden f(x). Arealet A(x) kan således beregnes som 1 2

1 2

A( x ) = ⋅ x ⋅ f ( x ) = ⋅ x ⋅ 11x = 5,5 x 2 Vi kan beregne, hvor langt bilen har kørt efter 2 sekunder, ved at sætte 2 ind på x’s plads: 2 A(2) = 5,5 · 2 = 5,5 · 4 = 22

Enheden er meter:

meter

== meter sekunder ⋅ sekunder     Enheden for x -aksen Enheden for y -aksen

Det betyder, at vi kan tolke resultatet på følgende måde: Efter 2 sekunder har bilen kørt 22 meter.

3. Eksempel Det viser sig, at når vi differentierer funktionen A(x) = 5,5x2, får vi den oprindelige funktion f(x). A ′(x) = 5,5 ∙ 2x = 11x = f(x). Man siger, at A(x) er en stamfunktion til f(x).

4 Definition En funktion F er stamfunktion til en anden funktion f, når der gælder, at F (′ x) = f(x).

1. Integralregning 1

5 Eksempel Funktionen F(x) = x2 er stamfunktion til f(x) = 2x. Det kan vi teste ved at differentiere:

2–1 1 F (′ x) = 2x = 2x = 2x = f(x).

Differentiation af x

(xn) ′ = n · xn–1

Stamfunktioner viser sig at være meget nyttige, når man skal beregne arealer under grafer – også under grafer der ikke er pæne rette linjer. Vi vil derfor beskæftige os med stamfunktioner i dette og det følgende afsnit, før vi vender tilbage til problemet med at bestemme arealer under grafer.

6 Eksempel Funktionen F(x) = x3 + 5x2 er stamfunktion til f(x) = 3x2 + 10x.

At anvende definition 4 til at kontrollere om en funktion er stamfunktion til en anden, kaldes integrationsprøven.

Det kan vi teste ved at differentiere:

3–1 2–1 2 F (′ x) = 3x + 5 · 2x = 3x + 10x = f(x).

7 Eksempel

Funktionen G(x) = ln(x) er stamfunktion til g(x) = x , idet G (′ x) = (ln(x)) ′= x . 1

8 Eksempel Funktionen H(x) = x3 er ikke stamfunktion til h(x) = x2 . Hvis vi tester, får vi nemlig:

H (′ x) = (x3) ′= 3x2 ≠ x2.

9 Øvelse

1 2

A( x )== x⋅ x2 ⋅er f ( xen ) =stamfunktion ⋅ x ⋅ 11x = 5,5 xtil2 f(x) = x. a. Vis, ved at differentiere, at F(x) 3 2 b. Vis, ved at differentiere, at G(x) = 4x er stamfunktion til g(x) = 12x . 2 c. Vis, ved at differentiere, at P(x) = 10x + 2x + 2 er stamfunktion til p(x) = 20x + 2.

d. Vis, ved at differentiere, at H( x ) =

1 ⋅ 3 x er stamfunktion til h(x) = 3x. ln(3)

Differentiation af en eksponentialfunktion x x (a ) ′ = ln(a) · a

10 Øvelse a. Er funktionen F(x) = x8 + 4x2 stamfunktion til f(x) = 8x7 + 8x? 4 3 b. Er funktionen G(x) = x + 7x stamfunktion til g(x) = x + 7?

11 Øvelse a. H vilke(n) af nedenstående

b. H vilke(n) af nedenstående

c. H vilke(n) af nedenstående funktioner er stamfunktion

funktioner er stamfunktion

3 til h(x) = x ?

til g(x) = 2 ?

4 til f(x) = 5x + 3?

1 2x + 2 ln( 2 ) G2(x) = 1 2x – 2 ln( 2 ) G3(x) = 1 2x ln( 2 )

4 F1(x) = 5x + 3x

H1(x) = 0,25x

4 4

H2(x) = 0,25x – 10 4 2 H3(x) = 0,25x – 10x

G1(x) =

5 F2(x) = 4x + 2x + 3

5 F3(x) = x + 3x + 3

1. Integralregning 1

1.2 Ubestemt integral

12 Introduktion B ørn arver visse egenskaber fra deres forældre. En funktion f arver også

nogle bestemte egenskaber fra en stamfunktion F. Det kan vi bruge til at gætte på en stamfunktion, hvis vi kun har f.

13 Eksempel

I formelsamlingen er der en tabel over funktioner med tilhørende stamfunktioner. Her kan man fx se, at funktioner af typen

f(x) = x

har stamfunktioner af typen 1 F( x ) = x a +1 a +1

Vi kan derfor udlede, at g(x) = x5 har G( x ) = som en stamfunktion.

1 1 x 5 +1 = x 6 5 +1 6

14 Eksempel

Reglen i eksempel 13 gælder for alle tal a, undtagen a = –1, svarende til x . At reglen er korrekt, kan man vise med integrationsprøven:

1 a + 1 ′ 1 = ⋅ (a + 1) ⋅ x a + 1− 1 = x a F ′( x ) =  x  a +1  a +1

De andre regler i tabellen i formelsamlingen kan også vises ved brug af integrationsprøven.

15 Eksempel Differentiation af en konstant: (k) ′= 0

Funktionerne G1(x) = 0,2x5 og G2(x) = 0,2x5 + 100 er begge stamfunktioner til 4 g(x) = x . Hvis vi bruger integrationsprøven, får vi:

5 5–1 4 G1(′ x) = (0,2x ) ′= 0,2 · 5x = x = g(x)

5 5–1 4 G2(′ x) = (0,2x + 100) ′= 0,2 · 5x = x = g(x).

En funktion kan altså godt have mere end én stamfunktion.

16 Sætning [bevis i afsnit 2.5] 1. H vis F1 og F2 begge er stamfunktioner til den samme funktion f, findes der en konstant k, så F2(x) = F1(x) + k. 2. O g omvendt: Hvis F1 er en stamfunktion til f, så er alle funktioner på formen F2(x) = F1(x) + k også stamfunktioner til f.

1. Integralregning 1

17 Eksempel Alle stamfunktioner til f(x) = 3x2 er funktioner af typen F(x) = x3 + k, hvor k er en konstant.

18 Definition En angivelse af samtlige stamfunktioner til en funktion f kaldes det ubestemte integral til funktionen. Det ubestemte integral skrives ofte som ∫ f(x)dx. At opskrive det ubestemte integral af f omtales ofte som at integrere f. Tegnet ∫ kaldes et integraltegn.

( x ) dx. dx Den funktion, der integreres, kaldes integranden∫∫ f Integrand

Man skriver dx til sidst, hvis den uafhængige variabel er x. Hvis den uafhængige variabel er noget andet, fx t, skriver man dt: ∫ f(t)dt.

19 Eksempel

∫4x+1dx = 2x2 + x + k, hvor k er en konstant. Ved at skrive ”+ k” sørger vi for, at vi har beskrevet alle de mulige stamfunktioner. Vi kan teste, at vi har regnet rigtigt ved at differentiere vores svar: 2 2–1 (2x + x + k) ′= 2 · 2x + 1 + 0 = 4x + 1.

20 Øvelse Find tabellen over stamfunktioner i formelsamlingen, og angiv stamfunktioner for nedenstående funktioner: x

a. f1(x) = e

b. f2(x) =

d. f4(x) = x2,5

e. f5(x) = 5x

c. f3(x) = x

f. f6(x) = sin(x)

21 Øvelse Bestem følgende ubestemte integraler uden CAS: a. ∫ 3x +5dx

b. ∫ x2 + 4x dx

∫ x dx

d. ∫ x9 dx

e. ∫ cos(x)dx

f. ∫ 5dx

22 Øvelse Betragt funktionen med forskriften f(x) = x2 + 2x. a. Bestem, uden CAS, tre forskellige stamfunktioner til f. b. Tjek dine svar til a. ved at differentiere dem. c. Tegn, med CAS, graferne for dine tre stamfunktioner i samme koordinatsystem. d. Beskriv med ord, hvordan de tre grafer ligger i forhold til hinanden.

1. Integralregning 1

1.3 Bestemt integral 23 Introduktion

Effekt/GigaWatt

Produktionen af energi fra danske vind-

møller afhænger naturligvis af vejret.

Grafen viser energiproduktionen et be-

stemt døgn i august 2018. Den samlede

produktion af vindenergi det pågældende døgn er arealet under grafen. Som vi skal se, kan dette

10 15 20 25 Antal timer efter midnat

areal beregnes som det bestemte integral af funktionen i intervallet [0,24].

24 Definition Lad funktionen f være kontinuert i intervallet [a;b]. Kort sagt er en funktion kontinuert, hvis dens graf hænger sammen.

Det bestemte integral af f i dette interval er defineret som

dx == [[FF((xx))]] ∫∫ ff((xx))dx

== FF((bb)) −− FF((aa)) ,

hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.

25 Eksempel Vi vil beregne det bestemte integral af f(x) = 4x i intervallet fra x = 1 til x = 5. Dvs. a = 1 og b = 5, hvis vi bruger betegnelserne fra definitionen.

∫

48 4 x dx = 2 x 2  1 = 2 ⋅ 5 − 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ 25 − 2 ⋅ 1 = 50 − 12 == 49

26 Bemærkning At beregne et bestemt integral af en funktion f i intervallet fra a til b, kaldes at integrere f fra a til b.

27 Eksempel 1

(

)

2 2 2 ∫ 2 x + 10 dx =  x + 10 x  −2 = 1 + 10 ⋅ 1 − ( −2) + 10 ⋅ ( −2) −2 = 10−–((4 20) 11−–( −(–16) 11+ +2416= =35. 27 4 −–20 24) ==11 = 11 ++10 ) ==11 Det er vigtigt at holde styr på parenteserne, hvis integranden har

flere led.

28 Sætning [bevis i afsnit 2.4] H vis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b]

er det bestemte integral

∫

f ( x ) dx lig med arealet mellem grafen

for f og x-aksen i intervallet [a;b]. a

1. Integralregning 1

29 Eksempel I margenen ses grafen for funktionen g(x) = x2. Vi ønsker at beregne

arealet af det markerede område. Det kan vi gøre ved at beregne det

bestemte integral af g(x) med grænserne 1 og 2. 2

22 22 11 33 11 33 11 33 11 11 77 dx == ∫∫ xx dx dx ==  xx  == ⋅⋅ 22 −− ⋅⋅ 11 == ⋅⋅88 −− == ≈≈ 2,3 2,333.. ∫∫11 gg((xx))dx 11 3 11 33 3 3 3 33 3 3 3 3   2 2 2 2  1 3 3 1 1 3 1 1 7 x dx = af det x  markerede = ⋅ 2 − område ⋅ 1 = ⋅ er 8 −altså = .≈ 2,33. ∫1 g (x )dx = ∫1 Arealet 3 3 3 3 3 3  1 22

30 Eksempel

g 1

Hvis vi vender tilbage til eksemplet med vindenergi, kan vi nu beregne den samlede mængde energi, der er produceret i det pågældende døgn. Det viser sig, at energiproduktionen kan beskrives med modellen

f(x) = –0,0011x + 0,0255x + 0,057x + 0,8211, 0 ≤ x ≤ 24,

hvor x er antal timer efter midnat, og f(x) er energiproduktionen målt

4 3

2 1

i GigaWatt. Arealet kan beregnes som det bestemte integral af f med 5

grænserne 0 og 24.

∫

24 24

f ( x ) dx = 62,388 ≈ 62, 4

Scan QR-koden for at se, hvordan integralet kan beregnes med CAS. Konklusionen er, at de danske vindmøller i det pågældende døgn producerede 62,4 GigaWatt-timer. En punktmængde er en mængde af punkter. Området under en graf er et eksempel på en punktmængde.

31 Øvelse Beregn følgende bestemte integraler uden brug af CAS: a.

∫

8x dx

∫

2 x + 5 dx

∫

1 −1

x 2 dx y

32 Øvelse

Beregn følgende bestemte integraler med CAS: a.

∫

5 −5

x dx

∫

1,35 dx

3 g

33 Øvelse

1 2

Figuren viser grafen for funktionen g(x) = –x + 4. a. Beregn arealet af den markerede punktmængde uden CAS.

34 Øvelse Figuren viser grafen for funktionen f(x) =

–2

–1

y 4

x + 2.

a. Beregn arealet af den markerede punktmængde med CAS.

2 1 1

1. Integralregning 1

1.4 Grafen for en stamfunktion 35 Introduktion De kraftige russiske Soyuz-raketter kan bruges til at sende satellitter i kredsløb. Under en bestemt opsendelse måles accelerationen, og dataene gemmes som en funktion a(t) af tiden t efter lift off. Rakettens hastighed v(t) kan beskrives ved en stamfunktion til accelerationen:

v(t) = ∫ a(t)dt.

36 Eksempel Soyuz-rakettens acceleration kan beskrives med modellen a(t) = 0,0035t2 + 0,01t , 0 ≤ t ≤ 100. m . s2

Her er t tiden i sekunder, og a(t) er accelerationen målt i

Vi vil bestemme en forskrift for den funktion, der beskriver hastigheden af raketten. Det ubestemte integral beregnes først: v (0) = 0

vv((tt)) == ∫ 0,0035 0,0035tt22 ++ 0,01 0,01ttdt dt ==

0, 0,0035 0035 33 0, 0,01 01 22 tt ++ tt ++ kk 33 22

Da starthastigheden er nul, v(0) = 0, er også k = 0 (se beregning i margenen).

0, 0035 3 0, 01 2 0 + 0 +k=0 3 2

Hastigheden de første 100 sekunder kan dermed beskrives med modellen

0+0+k = 0 0, 0035 3 0, 01 2 v(t) v (t ) = ∫ 0,0035t 2 + 0,01 t dt = t + t .+ k 3 2 k=0 Vi kan fx beregne hastigheden efter 50 sekunder til

v (50) =

0, 0035 3 0, 01 2 50 + 50 = 158,333 ≈ 158 . 3 2

Efter 50 sekunder er rakettens hastighed 158 meter pr. sekund, eller ca. 570 km pr. time.

37 Eksempel Vi ønsker at finde en forskrift for den stamfunktion til f(x) = x – 4, hvis graf går gennem punktet P(1,2). Først findes det ubestemte integral:

11 22

Konstanten k bestemmes ud fra kravet

F (1) = 2

F(1) = 2 (se beregning i margenen), og vi ser,

1 2 ⋅1 − 4 ⋅1+ k = 2 2

at k = 5,5. Den efterspurgte stamfunktion har

−3,5 + k = 2 k = 5,5

F( x ) =

dermed forskriften

∫

1 4 dx == x 2 − 4 x + k5,5. x − F(x) 2

I koordinatsystemet ses grafen for stamfunktionen F samt grafen for funktionen f.

1. Integralregning 1

FF((xx)) == ∫ xx −− 44dx dx == xx22 −− 44xx ++ kk 5 4 3

P(1,2)

2 1 –1 –1

6 F

–2 f

38 Eksempel I margenen ses to grafer, A og B, i samme koordinatsystem. Den ene er graf for en funktion g, og den anden er graf for en stamfunktion G til g. Men hvilken graf hører til G, og hvilken hører til g?

Her kan vi udnytte, at G ′(x) = g(x), så situationen er faktisk identisk med

forholdet mellem en funktion og dens afledede funktion – en problemstilling vi kender fra Kernestof 2. x

Vi lægger mærke til, at graf B skærer x-aksen to steder, og at de to steder A

svarer til der, hvor graf A har vandret tangent. Vi kan også se, at der hvor graf A er voksende, ligger graf B over x-aksen; samt at der hvor graf A er aftagende, ligger graf B under x-aksen. Vi kan samlet konkludere, at A må være graf for stamfunktionen G, og at B må være graf for g, da G ′(x) = g(x).

39 Øvelse En funktion er givet ved forskriften g(x) = –2x + 5. a. Bestem den stamfunktion til g, hvis graf går gennem punktet P(4,10).

40 Øvelse En funktion er givet ved forskriften f(x) = 4x2 – 3. a. Bestem den stamfunktion F1 til f, hvis graf går gennem punktet P(1,2). b. Bestem den stamfunktion F2 til f, hvis graf går gennem punktet Q(–2,–5). c. Tegn graferne for begge stamfunktioner i samme koordinatsystem. d. Beskriv, hvordan graferne ligger i forhold til hinanden. Brug begrebet parallelforskydning i din forklaring.

41 Øvelse

På figuren er to grafer A og B tegnet i samme koordinatsystem. Den ene

er graf for funktionen f, og den anden er graf for en stamfunktion F til f. a. Gør rede for, hvilken der er graf for f, og hvilken der er graf for stamfunktionen F.

–1

–2 –3

1. Integralregning 1

1.5 Regneregler for integraler y

42 Introduktion Grafen viser omsætningen for en bestemt virksomhed i årene 2014 til 2017. Førsteaksen viser antal måneder efter

15 10

nytår 2014, og andenaksen viser den månedlige omsætning i millioner kroner.

Den samlede omsætning de tre år kan udregnes som arealet under grafen.

43 Sætning I det nedenstående er f og g to kontinuerte funktioner, og k er et tal. Der gælder følgende regneregler for ubestemte integraler.

Regneregler for differentiation:

(k · f(x)) ′= k · f ′(x) (f(x) ± g(x)) ′= f (′x) ± g ′(x)

1. ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x)dx

2. ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

44 Bevis for sætning 43 Regel 1: Det, der står på venstre side af lighedstegnet, er en stamfunktion til k · f(x). Vi skal vise, at k · ∫ f(x)dx også er en stamfunktion til k · f(x). Det gør vi ved differentiation: . (k · ∫ f(x)dx) ′= k ·( ∫ f(x)dx) ′= k · f(x)

Fra definitionen af det ubestemte integral har vi, at

(∫f(x) dx) ′= f(x)

Regel 2 bevises på tilsvarende måde.

45 Eksempel Med disse regneregler kan vi finde stamfunktioner til alle polynomier. Fx

∫ 3x

+ 6 x 3 − 5 x dx = 3 ⋅ ∫ x 4 dx + 6 ⋅ ∫ x 3 dx − 5 ⋅ ∫ x dx 1 5

1 4 1 x − 5 ⋅ x 2 + k. 4 2

= 3 ⋅ x5 + 6 ⋅

46 Sætning I det nedenstående er f og g to kontinuerte funktioner, og k, a, b og c er tal. Der gælder følgende regneregler for bestemte integraler.

1. Integralregning 1

∫

k ⋅ f ( x ) dx = k ⋅ ∫ f ( x ) dx a

f ( x ) ± g( x ) dx = f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx ±

f ( x ) dx +

∫

f ( x ) dx

g( x ) dx

(kaldes indskudssætningen)

47 Bevis for sætning 46 Vi vil bevise indskudssætningen (regel 3). Regel 1 og 2 bevises på tilsvarende måde. Beviset går ud på at vise, at højre og venstre side af lighedstegnet giver det samme. Lad F være en stamfunktion til f. Venstre side giver:

∫

f ( x ) dx = F(b) dx + ∫ f ( x–) F(a) a

∫

f ( x ) dx

Højre side giver:

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx +

∫

f ( x ) dx = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)

Det giver det samme, og det var, hvad vi skulle vise.

48 Eksempel Virksomheden (jf. 42 Introduktion) finder ud af, at deres omsætning kan beskrives med modellen

2 0,01x − 0, 4 x + 12 , 0 ≤ x ≤ 20 f (x) =  20 < x ≤ 36 , 0,5 x − 2 ,

hvor x er antal måneder efter nytår 2014, og f(x) er omsætningen i millioner kroner. For at beregne det samlede areal under grafen, og dermed den samlede omsætning, er vi nødt til at bruge indskudssætningen: 36 36 36

20 20 20

000

∫∫

10 5

36 36 36

dx dx===∫∫ fff(((xxx)))dx dx dx+++∫∫ fff(((xxx)))dx dx dx fff(((xxx)))dx 20 20 20

20 20 20

36 36 36

0,01 0,01xxx −−−0, 0, 0,444xxx+++12 12 12dx dx dx+++∫∫ 0,5 0,5 0,5xxx−−−222dx dx dx ===∫∫ 0,01 222

000

20 20 20

186,7 186,7+++192 192 192 ===186,7 378,7. 378,7. ===378,7.

Den samlede omsætning hen over de tre år er 378,7 millioner kroner.

49 Øvelse a. Bestem integralet

∫ 6x

− 2 x dx .

50 Øvelse Det oplyses, at a. Bestem

∫

f ( x ) dx = 10 , og at

– g(x) f ( x ) dx = 10dx.

∫

g(x) 3. f ( x ) dx = 10

51 Øvelse

Det oplyses, at arealet under grafen for h i intervallet [0;10] er 15.

a. Bestem integralet 3 ⋅ ∫ h( x ) dx . 0

52 Øvelse En funktion f er givet ved forskriften 2 0≤ x ≤2  x , f (x) =  2 . − x + 4 x , 2 <x≤4  a. Bestem arealet under grafen for f i intervallet [0;4]. Se grafen i margenen.

3 f 2 1

1. Integralregning 1

Opgaver – 1. Integralregning 1

Opgave 105

S can QR-koden for at komme til facitlisten.

Brug listen over stamfunktioner i formelsamlingen, og angiv stamfunktioner for nedenstående funktioner:

Opgave 101

a. f1(x) = x

a. Vis, ved at differentiere, at F(x) = x2 er en

b. f2(x) = x x c. f3(x) = 4

stamfunktion til f(x) = 2x. 4 b. Vis, ved at differentiere, at G(x) = 2x er 3

stamfunktion til g(x) = 8x .

4,3

d. f4(x) = e

e. f5(x) = cos(x) 3

c. Vis, ved at differentiere, at P(x) = 4x – 5x + 1

f. f6(x) = 8

2 er stamfunktion til p(x) = 12x – 5.

Opgave 106 Opgave 102

Bestem følgende ubestemte integraler uden CAS: 2

a. Vis, ved at differentiere, at G(x) = 0,15x + 1 er stamfunktion til g(x) = 0,3x. 2 b. Vis, ved at differentiere, at F(x) = 5x ikke er en

stamfunktion til f(x) = 12x. c. Vis, ved at differentiere, at H( x ) = x

stamfunktion til h(x) = 4 .

1 ⋅ 4 x er ln(4)

a. ∫ 2x – 3 dx

3 b. ∫ x – 2xdx

2 c. ∫ x dx

9 d. ∫ x dx

e. ∫ sin(x) dx

Opgave 107 Opgave 103

Bestem følgende ubestemte integraler uden CAS 5

a. E r funktionen F(x) = x – 3x stamfunktion 3 2 til f(x) = 5x – 9x ?

b. E r funktionen G(x) = x til g(x) = x

3,1

4,1

– 3x2 stamfunktion

– 6x?

x c. Er funktionen H(x) = e – 312 stamfunktion x til g(x) = e ?

a. ∫ 4x + 1dx

2 b. ∫ 3x + xdx

3 c. ∫ 4x dx

0,9 d. ∫ x dx

e. ∫ 2sin(x) dx

Opgave 108 Opgave 104

Bestem følgende ubestemte integraler uden CAS

a. H vilke(n) af nedenstående funktioner er stam-

a. ∫ 3dx

2 funktion til h(x) = 6x + 2x? 3 2 1. H1(x) = 2x + x 3

2. H2(x) = 2x + x + 2x 3 2 3. H3(x) = 2x + x – 2

1. Integralregning 1

3 2 b. ∫ –x + 2x dx 2 c. ∫ 3x + 3x dx

5 d. ∫ 3x dx

e. ∫ cos(x) + sin(x) dx

Opgave 109

Opgave 114

Betragt funktionen med forskriften f(x) = 3x – 4.

Bestem følgende integraler uden CAS:

a. Bestem, uden CAS, tre forskellige stamfunktio-

∫ 1,2x dx b. ∫ e dx π c. ∫ 3sin( x ) dx π

ner til f. b. Tjek dine svar til a. ved at differentiere dem. c. Tegn, med CAS, graferne for dine tre stamfunktioner i samme koordinatsystem. d. Beskriv med ord, hvordan de tre grafer ligger i forhold til hinanden.

Opgave 115 Bestem følgende integraler uden CAS: a.

Beregn følgende bestemte integraler uden brug

af CAS:

b. c.

1 3

4 x dx

∫ 2 x + 3 x − 4 dx ∫ −1,5 + 3 dx ∫ 4 x + 5 x − 2 x + 3 dx 2

2 2

0 1

Opgave 116 y 4

x 2 + 1dx dx

−2

Opgave 111 3

∫

x 4 dx

−3

1,5 x + 2 dx

Beregn følgende bestemte integraler med CAS: a.

2 x − 6 dx

∫ ∫ ∫

0 3

Opgave 110

−1 ln(2)

Figuren viser grafen for funktionen f(x) = x + 1.

Opgave 112

a. Beregn arealet af den markerede punktmængde

Beregn følgende bestemte integraler uden

uden CAS.

brug af CAS a. b. c.

∫ ∫ ∫

0 4

3 x + 1dx dx

0 2

−1

Opgave 117 y

2x dx

5 f

3x 2 + x dx

4 3

Opgave 113

Beregn følgende bestemte integraler med CAS 5

∫ x dx b. ∫ 1,02 + 1dx dx c. ∫ 2 + 1dx dx a.

3,2

1 3

−1 3

–3

–2

–1

Figuren viser grafen for funktionen f(x) = x2 + 1. a. Beregn arealet af den markerede punktmængde uden CAS.

1. Integralregning 1

Opgaver – 1. Integralregning 1

Opgave 118

Opgave 121 3

Figuren viser grafen for f(x) = x + 2.

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 2x. a. Bestem forskriften for den stamfunktion til f,

hvis graf går gennem punktet P(4,10).

Opgave 122 2

En funktion er givet ved forskriften f(x) =

x + 1.

a. Bestem forskriften til den stamfunktion til f, hvis graf går gennem (1,4).

Opgave 123 –1

a. Beregn arealet af den markerede punktmængde.

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 3x2 + 2x. a. Bestem den stamfunktion F1 til f, hvis graf går gennem punktet P(0,2). b. Bestem den stamfunktion F2 til f, hvis graf går

Opgave 119

gennem punktet Q(–1,3).

Figuren viser grafen for f(x) =

x + 1.

c. Tegn graferne for begge stamfunktioner i samme koordinatsystem. d. Beskriv, hvordan de ligger i forhold til hinanden.

4 3

Opgave 124 En funktion er givet ved forskriften f(x) = cos(x)

a. Bestem forskriften til den stamfunktion til f,

hvis graf går gennem (0,–1). 1

Opgave 125

a. Beregn arealet af den markerede punktmængde.

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 8x – 3 a. Bestem forskriften til den stamfunktion til f, hvis

Opgave 120

graf går gennem (4,6).

y 10

8 6 4 2

–1

Figuren viser grafen for funktionen f(x) = –3x2 + 9. a. Beregn arealet af den markerede punktmængde.

1. Integralregning 1

Opgave 126

Opgave 128 y

a. Bestem integralet ∫ 4x3 +

x dx.

–3

–2

–1

Opgave 129

Det oplyses, at 1

–1

a. Bestem

–2

b. Bestem

–3

∫

f ( x ) dx = 6 , og at

∫

g( x ) dx = 4.

f ( x ) − g( x ) dx . f ( x ) + g( x ) dx .

På figuren er to grafer A og B tegnet i samme koor-

Opgave 130

dinatsystem. Den ene er graf for funktionen f, og

Det oplyses, at arealet under grafen for g i inter-

den anden er graf for en stamfunktion F til f.

vallet [–1;3] er 9.

a. Gør rede for, hvilken der er graf for f, og hvilken

a. Bestem integralet 2 ⋅ ∫ g( x ) dx .

der er graf for stamfunktionen F.

−1

Opgave 131 y

Opgave 127 På figuren er to grafer A og B tegnet i samme koor-

dinatsystem. Den ene er graf for funktionen f, og

den anden er graf for en stamfunktion F til f.

14 12 10 8 6 4 2 –6 –4 –2 –2 –4

–1

En funktion f er givet ved forskriften B

4 6

8 10 12 14 16

, 0≤ x ≤2 2 x f (x) =  4 20 .  − 3 x + 3 , 2 < x ≤ 5

a. Bestem arealet under grafen for f i intervallet [0;5].

a. Gør rede for, hvilken der er graf for f, og hvilken der er graf for stamfunktionen F.

1. Integralregning 1

Træningssider 1

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

f(x)-notation Eksempel: For funktionen f med forskriften f(x) = x2 – 1 beregnes funktionsværdien f(3) ved indsættelse: f(3) = 32 – 1 = 9 – 1 = 8

1. Lad f(x) = 2x + 3

2. Lad g(x) = x2 – 1

3. L ad h(x) = –(x + 2)2

Beregn følgende funktionsværdier uden CAS

a. f(2)

a. g(2)

a. h(0)

b. f(3)

b. g(1)

b. h(1)

c. f(–1)

c. g(–1)

c. h(–2)

d. f(0)

d. g(0)

d. h(–3)

Funktioner Eksempel: Ud fra funktionen f med forskriften f(x) = –2x2 + 4 kan vi danne en ny funktion g(x) = 3 · f(x) + 15 Vi vil beregne funktionsværdien g(1). Først beregnes f(1) som f(1) = –2 · 12 + 4 = –2 + 4 = 2. Dernæst beregnes g(1) som g(1) = 3 · f(1) + 15 = 3 · 2 + 15 = 6 + 15 = 21.

4. Lad f(x) = 4x + 2

5. Lad f(x) = 3x – 2, og

6. L ad g(x) = x2 + 1, og

7. L ad g(x) = (x2 – 3)2, og

a. f(2) + 3

lad g(x) = f(x) + 4 Beregn uden CAS

lad f(x) = 3 · g(x) Beregn uden CAS

lad f(x) = 2 · g(x) + 1 Beregn uden CAS

b. f(–1) + 6

a. f(1)

a. g(0)

a. g(1)

c. 3 · f(0)

b. g(1)

b. f(0)

b. f(1)

d. –2 · f(1)

c. g(3)

c. f(1)

c. f(3)

d. g(–1)

d. f(–1)

d. f(4)

Beregn uden CAS

Funktioner og grafer Eksempel: Den røde linje på figuren viser grafen for funktionen f. På figuren kan man aflæse funktionsværdien f(6) ved at finde x = 6, bevæge sig op til grafen, og dernæst bevæge sig vandret hen til y-aksen. Det er markeret med de to grønne pile. Man kan aflæse, at f(6) = 2.

y 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1

8. Figuren viser grafen for funktionen g. Aflæs følgende funktionsværdier på grafen. Alle facit er heltal. a. g(4)

b. g(0)

c. g(–4)

d. g(6)

e. g(–2)

f. g(2)

Træningssider

5 6

7 8

y 6 g

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

2 3

7 x

9. Figuren viser grafen for funktionen f.

5 4 3 2 1

Aflæs følgende funktionsværdier på grafen. Alle facit er heltal. a. f(2)

c. f(4)

b. f(0)

d. f(8)

e. f(6)

–2 –1–1 –2 –3

Differentialregning

2 3 4 5 6 7 8 9

Find oversigten over funktioner og deres afledede funktioner, samt regnereglerne for differentialregning i formelsamlingen. Eksempel: Hvis f(x) = 5x3 – 2x2, er f ′(x) = (5x3) ′– (2x2) ′= 3 · 5x3–1 – 2 · 2x2–1 = 15x2 – 4x Eksempel: 1 Hvis g(x) = x · ln(x), er g ′(x) = (x) ′· ln(x) + x · (ln(x)) ′= 1 · ln(x) + x x = ln(x) + 1 Differentier følgende funktioner “i hånden”:

12. a . h1(x) = x2 · x

11. a . g1(x) = 4x6 – 3x4

10. a. f1(x) = x4 b. f2(x) = sin(x)

c. f3(x) = 1x

13. a. f1(x) = 5 x + 3

2 c. g3(x) = x – 5x 3x d. g4(x) = x + e

2 2 d. h4(x) = (x + 3x) · (5x + 3)

d. f4(x) = x

b. h2(x) = x · 2 4x c. h3(x) = cos(x) · e

b. g2(x) = ln(x) + 3x

b. f2(x) =

1 2x + 6

c. f3(x) = 5 · sin(2x + 1) + 3 d. f4(x) = e–3x–5

Beregn nedenstående differentialkvotienter uden brug af CAS: 14. a. f1 ′(3), når f1(x) = x2

15. a . g1 ′(4), når g1(x) = x3 ·

b. f2 ′(9), når f2(x) = x c. f3 ′(4), når f3(x) = ln(x) 2 d. f4 ′(–2), når f4(x) = x – 6x + 12

b. g2 ′(2), når g2(x) = sin(2x – 4) 2 c. g3 ′(1), når g3(x) = x · ln(x) 4 d. g4 ′(3), når g4(x) = (2x – 5)

Differentiation af sammensat funktion Kædereglen: (f (g(x))) ′= f ′(g(x)) · g ′(x) Eksempel: Funktionen h(x) = sin(ln(x)) kan opfattes som en sammensat funktion med indre funktion g(x) = ln(x) og ydre funktion f(x) = sin(x). Den kan differentieres med kædereglen. 1 Først differentierer vi den indre funktion og den ydre funktion hver for sig: f ′(x) = cos(x) og g ′(x) = x Vi kan nu indsætte i kædereglen: h ′( x ) = (f ( g( x ))) ′ = f ′( g( x )) ⋅ g ′( x ) = cos(ln( x )) ⋅ 1x =

cos(ln( x )) x

Differentier følgende funktioner ”i hånden”

16. a. h(x) = ln(x2) b. h(x) = cos(ln(x)) 3

c. h(x) = sin(x )

18. a . g(x) = e4x

17. a. f(x) = x 3 2

b. f(x) = (ln(x))

b. g(x) = ln( x )

c. f(x) = sin(cos(x))

3 5 c. g(x) = (x –2x)

Træningssider

Træningssider 1

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Vektorbegrebet Begrebet vektor En vektor er en retning og en længde. Eksempel: ’3 cm nordlig retning’ eller ’7 enheder sydøst’. Man bruger pile til at vise en længde med en bestemt retning. Pilene er repræsentanter for vektoren. Eksempel: På figuren ses fem pile. To af pilene repræsenterer vektoren ’3 enheder nordlig retning’, og tre pile repræsenterer vektoren ’7 enheder sydøstlig retning’. Vi ser altså kun to vektorer på figuren.

Betegnelse for vektor Vektorer gives navne på samme måde som linjestykker, med den forskel   0 at der sættes en pil henover bogstaverne. På figuren ses a =(vektor a).  3

  0 a=  3

En vektors koordinater Vektorer kan være givet ved koordinater. Koordinaterne har en helt særlig betydning, der er illustreret i nedenstående eksempel.

y 6

Eksempel:     0  3    0 3 Vektor a =og b =er givet ved koordinaterne a = og b =         3 4 − 3  4 −   0 a =er den vektor, der fås ved at gå 0 enheder ud af x-aksen og 3 enheder op af y-aksen.  33  b =er den vektor, der fås ved at gå 3 enheder ud af x-aksen og 4 enheder ned af y-aksen.  − 4 I koordinatsystemet er der tegnet en repræsentant for hver vektor.

5 4

  0 a=  3

  3 b=  − 4

3 2 1 1

Længden af en vektor

  0   0 Med symbolet | a|=menes længden af a.=    3 3  a  For a =  a1  kan længden bestemmes med formlen: a = a12 + a22 2 Eksempel:   Længden af vektor v =  3  er | v | = 32 + ( − 4)2 = 9 + 16 = 25 = 5 –4

Vektor mellem to punkter En vektor, der er repræsenteret ved pilen fra punkt A(x1,y1) til punkt B(x2,y2),  x −x er givet ved AB =  2 1   y 2 − y1  Eksempel:   8 − 2  6 = Vektoren mellem punkt A(2,6) og B(8,–3) har koordinaterne AB =  −3 − 6  −9

Stedvektor En vektor, der afsættes fra punkt O(0,0) til punkt A(a1,a2),   a1 − 0   a1  = har koordinaterne: OA =  a2 − 0  a2  En sådan vektor kaldes en stedvektor til punkt A, og den deler koordinater med punkt A. Eksempel:  4 Vektoren OA = er stedvektor til punkt A(4,3).  3

Træningssider

y 4

A(4,3)

  4 OA =  3

2 1 1

19. Tegn to repræsentanter for hver af vektorerne  2 a. a =    3   −1  b. b =  4   0 c. v =   –2

  3 b=  − 4

5 4 3

 c

20. Bestem koordinaterne til de fire vektorer i koordinatsystemet.

  0 a =1  3 –2 –1

 d

21. Tegn to repræsentanter for hver af vektorerne  5 a. a =    −1   −2  b. b =  −2

  3 b=  − 4

5 4 3

 6 c. v =    0

  0 a =1  3

22. Bestem koordinaterne til de fire vektorer i koordinatsystemet. 23. Beregn længden af vektorerne

–2 –1 –1

 d

 c

24. Beregn længden af vektorerne  −6 a. a =    

 4 a. a =    3   −3  b. b =   4

 −1 b. b =     4

  2 c. v =   −1

 0 c. v =    2

25. Bestem navn og koordinater til

26. Bestem navn og koordinater til

27. Tegn stedvektorer

vektoren mellem punkterne

til punkterne

a. A(2,7) og B(5,3)

a. A(1,–3) og B(4,2)

a. A(2,1)

b. P(–1,4) og Q(8,6)

b. P(0,2) og Q(–2,3)

b. B(–2,4)

c. C(3,6) og D(–2,–3)

c. C(1,–2) og D(5,0)

c. C(5,–3)

28. a. Bestem navne og koordinater til de syv vektorer i koordinatsystemet. b. Bestem, hvilke vektorer der er stedvektorer. y B

C J

S can og se en

F 2 1

gennemgang af begreber og eksempler.

E O

–4

–3

–2

–1

1 –1

–2

I D

Træningssider

2. Integralregning 2 2.1 Arealberegninger

1 Introduktion

Grafen viser et tværsnit af en kanal i Holland. Kanalen er 10 meter

–5 –4

–3

–2

–1

bred, og 3 meter dyb på det dybeste sted.

–2

Tværsnitsarealet kan beregnes ved hjælp af

–3

integralregning, selv om funktionen er negativ i intervallet fra –5 til 5. y

2 Sætning [bevis i afsnit 2.5]

Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-positiv i intervallet [a;b], er

− ∫ f ( x )dx dx a

lig med arealet mellem x-aksen og grafen for f i intervallet [a;b].

3 Eksempel

Vi vil beregne tværsnitsarealet af kanalen fra introduktionen. Det viser sig, at tværsnittet tilnærmelsesvist kan beskrives med modellen

2 f(x) = 0,12x – 3, –5 ≤ x ≤ 5.

–5 –4

–3

–2

–1 –1

–3

0,5

–1

–0,5

−−55

0,12xx22 −− 33dx dx == −−20 20 0,12 b

−5

2 Det vil sige, at arealet er – ∫ f ( x )dx dx== –(–20) − 3 dx = − 20 ∫ 0,12=x 20.

Konklusion: Tværsnitsarealet af kanalen er 20 kvadratmeter.

4 Eksempel

Vi vil gerne bestemme arealet af det markerede område på figuren i margenen. Men hvis vi blot udregner integralet fra –1 til 1, får vi 11

11 44  11 44  11 44 11 11 11 33 x3 ∫−−11x dx =  44 x  −−11 = 441 − 44 ( −1) = 44 − 44 = 0 . Vi har glemt at tage højde for, at en del af området ligger under

0,5 –0,5

dx == ∫ ∫ ff((xx))dx

y 1

F ørst beregnes det bestemte integral. Scan QR-koden for at se mellemregningerne.

–2

x-aksen. For at beregne arealet korrekt, er vi nødt til at splitte op i to intervaller. Et, hvor grafen er under x-aksen, og et, hvor grafen er over. 0

0 1 1 1 − ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx = −  x 4  +  x 4  −1 0  4  −1  4  0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 –1 − ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx = −  x 4  +  x 4  = −  0 −  +  − 0 = + = −1 0  4  −1  4  0   4 4 2 4  4 1 1 1 1  1 + er = . = −  0 − Konklusion: Arealet  +  − 0 =   4 4 2 4  4

2. Integralregning 2

Somme tider har man brug for at bestemme arealet mellem to grafer i et givet interval. Det kan også lade sig gøre med integralregning. Endda uden at tage hensyn til om den ene eller begge grafer ligger over eller under x-aksen. y

Der gælder nemlig følgende sætning: f

5 Sætning [bevis i afsnit 2.5] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at de begge er kontinuerte i intervallet [a;b], og derudover at f(x) er større end g(x) for alle x i samme interval, kan arealet mellem graferne i intervallet bestemmes som

∫

– g(x)dx. f ( x )dx = ∫ 0,12 x 2 − 3 dx = − 20 −5

y 8

6 Eksempel 6

Figuren i margenen viser graferne for funktionerne f(x) = x2 og g(x) = 3x. Vi ønsker at bestemme arealet af den markerede punktmængde, dvs. arealet

mellem graferne i intervallet [1;2]. Grafen for g ligger øverst, så arealet kan beregnes med integralet til

13 ≈ 2,17 . 6

∫

g( x ) − f ( x ) dx =

∫

3 x − x 2 dx . Arealet beregnes

Scan QR-koden for at se mellemregningerne.

7 Øvelse

En funktion er givet ved forskriften f(x) = x2 – x – 2. fra x = –1 til x = 2.

a. Bestem arealet af området mellem x-aksen og grafen for f i intervallet –2

–1

–1 –2

8 Øvelse Betragt igen funktionerne f(x) = x2 og g(x) = 3x fra eksempel 6 ovenfor. a. Bestem x-koordinaterne til de to skæringspunkter mellem graferne ved at løse ligningen f(x) = g(x). y

b. Bestem arealet af det område, der dannes mellem de to grafer.

9 Øvelse

1 2

I margenen ses graferne for f(x) = –x + x + 3 og g(x) = x – 3. a. Bestem, uden CAS, arealet mellem graferne i intervallet [0;2]. Området er markeret på figuren.

–2

–1

–1 –2 –3

2. Integralregning 2

2.2 Omdrejningslegemer og kurvelængder

10 Introduktion En vuvuzela er et langt plastikhorn, som nogle gange bruges af fodboldfans. Hornets form er symmetrisk om en akse på langs gennem midten af hornet. Objekter med denne slags symmetri kaldes omdrejningslegemer.

11 Sætning [bevis i afsnit 2.6]

Lad funktionen f være kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b]. Hvis området mellem grafen for f og x-aksen drejes 360º om x-aksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Rumfanget V af omdrejningslegemet kan

beregnes med formlen V = π ∫ f ( x )2 dx . a

12 Eksempel

y 5

f 10

–5

60 x

–5

En bestemt vuvuzela kan modelleres som omdrejningslegemet af grafen for funktionen 2 f(x) = 0,001x + 1, 0 ≤ x ≤ 60.

Enheden på akserne er centimeter. Rumfanget kan nu beregnes som V = π∫

(0,001 ⋅ x

)

+ 1 dx = 1129, 465... ≈ 1129 .

Rumfanget af vuvuzelaen er altså 1129 kubikcentimeter.

13 Sætning

Antag, at funktionerne f og g er kontinuerte og ikkef g a

negative i intervallet [a;b], samt at f(x) er større end g(x)

for alle x i samme interval. Hvis området mellem graferne for f og g drejes 360º om x-aksen, fremkommer et hult

omdrejningslegeme.

Rumfanget V af det hule omdrejningslegeme kan beregnes med formlen

2. Integralregning 2

2 V = π ∫ f ( x )2 d–xg(x) dx. a

14 Eksempel 2

Graferne for funktionerne f(x) = x + 3 og g(x) = 0,1x samt de lod-

rette linjer x = 1 og x = 4 afgrænser et område M. Vi vil bestemme

rumfanget V af det hule omdrejningslegeme, der fremkommer, når området M drejes 360º om x-aksen:

(

)

V = π ∫ ( x + 3) − (0,1x 0,2 x ) dx dx==285,7 266,5 2

22 2 2

3 2 1 –1 –1

15 Sætning

Lad funktionen f være differentiabel, med kontinuert afledet funktion f ′, i intervallet [a;b]. Da er kurvelængden L af grafen for f i dette interval givet ved L =

∫

1 + f ′( x )2 dx .

y 3

16 Eksempel Vi ønsker at beregne kurvelængden af grafen for f(x) = x3 – x2 – 1 2 i intervallet [0;2]. Først bestemmes f ′: f ′(x) = 3x – 2x.

2 1

Vi kan nu indsætte i formlen:

∫

(

)

1 + 3 x 2 − 2 x dx = 5,2240... ≈ 5,2

Kurven har længden 5,2.

17 Øvelse

–1

(

)

a. Bestem rumfanget π ∫ − x 2 + 3x dx af et bestemt omdrejningslegeme. Brug CAS.

18 Øvelse En funktion er givet ved forskriften f ( x ) = 2 x + 1. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og de lodrette linjer x = 1 og x = 2 et område M. a. Tegn grafen for f samt de lodrette linjer x = 1 og x = 2. b. B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.

19 Øvelse Lad f(x) = x2. a. Beregn kurvelængden af grafen for f fra x = 0 til x = 2.

20 Øvelse

Graferne for funktionerne f(x) = –x + 3 og g(x) = x , samt de lodrette linjer x = 1 og x = 2 afgrænser et område M. a. Tegn graferne for f og g samt linjerne x = 1 og x = 2. b. B estem rumfanget V af det hule omdrejningslegeme, der fremkommer, når området M drejes 360º om x-aksen.

2. Integralregning 2

2.3 Integration ved substitution 21 Introduktion Når tidevandet skifter, skal store mængder vand gennem et smalt udløb ved Ringkøbing Fjord. En forenklet model over vandhastigheden som funktion af tiden kan, med passende enheder, beskrives ved modellen: f(x) = 7 · sin(0,5x + 1).

Den samlede vandmængde, der løber gennem udløbet over et givet tidsrum, kan beregnes ved hjælp af integralregning. I dette afsnit skal vi se på en metode til at bestemme integraler af nogle bestemte typer sammensatte funktioner.

22 Sætning [bevis i afsnit 2.6] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at f er kontinuert, og at g er differentiabel, er

∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dx = ∫ f (t ) dt ,

hvor t = g(x).

Metoden kaldes integration ved substitution, fordi den indre funktion g(x) substitueres (dvs. erstattes) med variablen t. I praksis bruges en helt bestemt fremgangsmåde, som udnytter, at g ′(x) = t ′ kan skrives som dt . dx

23 Eksempel Vi vil bestemme integralet ∫ 7 · sin(0,5x + 1) dx (jf. modellen i introduktionen). Det gør vi med substitutionen t = 0,5x + 1 og med beregningerne, som ses i boksen. sin(0,5 x ++ 1)dx 1) dx = sin(t ) ·⋅2dt 2dt = ∫ 77 ·⋅ sin(t) ∫∫77 ⋅· sin(0,5x = ∫ 14 sin(t ) dt

= − 14 cos(t ) + k = − 14 cos(0,5 x + 1) + k .

Konklusion:

6x dx = dx 22 + 11

∫

∫ 3x

6x dx. Det gør vi med substitutionen t = 3x2 + 1. dx 2 +1

6x 1 ⋅ dt t 6x 1 dt t

= ln(| t |) + k

2. Integralregning 2

dt = 0,5 dx 2dt = dx

∫ 3x

Vi vil bestemme integralet

dt = 0,5 dx

∫7 · sin(0,5x + 1)dx = –14cos(0,5x + 1) + k.

24 Eksempel

t = 0,5 x + 1 t ′ = 0,5

(

)

= ln 3 x 2 + 1 + k

dt = 6x dx

dt = 6 x ⋅ dx 1 dt = dx 6x

Vi kan også benytte integration ved substitution ved bestemte integraler:

25 Sætning [bevis i afsnit 2.6] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at f er kontinuert, og at g er differentiabel i et interval [a;b], er

g( b )

g( a )

∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dx = ∫

f (t ) dt ,

hvor t = g(x).

26 Eksempel Vi vil bestemme integralet 3 t = x + 1.

∫

x 2 ⋅ ( x 3 + 1)4 dx = =

∫

1 = 3

∫

x 2 ⋅ ( x 3 + 1)4 dx . Det gør vi med substitutionen

x2 ⋅ t4 ⋅

1 2 dt 3x

x 4 2 t dt 3x

∫

t dt 2

1 1 5 ⋅ t 3  5 1

1 1 ⋅ ⋅ (25 − 15 ) 3 5 31 = 15

Substitution: t = g( x ) = x 3 + 1 dt = 3x 2 dx

dt = 3 x 2 ⋅ dx 1 dt = dx 3x2

Når x = 0, er t = g(0) = 03 + 1 = 1. 3 Når x = 1, er t = g(1) = 1 + 1 = 2.

27 Øvelse Benyt integration ved substitution til at bestemme følgende ubestemte integraler:

∫ sin(5 x − 3) dx 2x b. ∫ dx x +5 c. ∫ 3 x + 8 dx a.

28 Øvelse Benyt integration ved substitution til at bestemme følgende bestemte integraler: a. b. c.

∫ 12 ⋅ (3 x − 16) dx ∫ sin(2x + π ) dx ∫ 7sin(0,5x + 1)dx 3

5 5π 0 24 0

2. Integralregning 2

2.4 Beviser 1 Vi vil i dette afsnit bevise den vigtige sætning 28 fra kapitel 1. Men vi skal først gennem lidt forarbejde.

29 Definition Lad f være kontinuert og ikke-negativ i et interval [a;b], og lad x ligge i dette interval.

Arealfunktionen A(x) giver os arealet mel-

A(x)

lem grafen for f og x-aksen i intervallet [a;x].

Se det markerede område på figuren.

30 Sætning H vis arealfunktionen A(x) er defineret som ovenfor, er den en stamfunktion til f. Det vil sige, at A ′(x) = f (x).

31 Bevis for sætning 30

Vi skal vise, at A ′(xx0) = lim h→0

A( x 0 + h) − A( x 0 ) = f ( x0 ) . h

Vi antager i beviset, at f er voksende i intervallet [a;b], og at tilvæksten h er positiv. Vi vender tilbage til dette sidst i beviset. A(x0 + h) – A(x0) er arealet af området markeret på figur 1.

A ′( x ) = lim Første trin i tretrinsreglen er at opskrive differenskvotienten

x0+ h

h→0

A( x 0 + h) − A( x 0 ) .= f ( x 0 ) h

Vi kan ikke umiddelbart komme nærmere, hvad differenskvotienten er, men vi kan ’klemme’ A(x0 + h) – A(x0) ind mellem to størrelser, som vi kan beregne. På figur 2 kan vi se, at A(x0 + h) – A(x0) er klemt inde mellem to rektangler. Begge rektangler har bredden h. Det lille rektangel har højden f(x0), og det store rek-

2  f 

f(x0)

 a

tangel har højden f(x0 + h).



Vi kan altså opstille følgende dobbeltulighed:

f(x0+ h)

 x0+ h

f ( x 0 ) ⋅ h ≤ A( x 0 + h) − A( x 0 ) ≤ f ( x 0 + h) ⋅ h    

Arealet af det lille rektangel

Arealet af det store rektangel

Vi kan dividere igennem med h, uden at det ændrer ulighedstegnet, da h er positiv. ) =0)lim ≤ A ′( xf(x h→0

2. Integralregning 2

A( x 0 + h) − A( x 0 ) = ( x00 + ) h) ≤ ff(x h

Vi er nu klar til at lade h gå mod nul. f(x0) bliver ikke påvirket, da h slet ikke indgår her. Da f er kontinuert, vil f(x0 + h) gå mod f(x0). Det betyder, at A ′( x ) = lim h→0

A( x 0 + h) − A( x 0 ) =erf (klemt x 0 ) inde mellem to tal, der begge går mod f(x0). h

Det kan kun lade sig gøre, hvis A( x 0 + h) − A( x 0 ) lim = f ((xx0)) h→0

En funktion g er differentiabel i x0, hvis grænseværdien lim h→0

g( x 0 + h ) − g( x 0 ) = g ′( x 0 ) h

eksisterer.

Hvis grænseværdien eksisterer, er den lig med differentialkvotienten:

lim

Med andre ord: A ′(x0) = f (x0).

h→0

Da x0 er valgt vilkårligt i intervallet [a;b], er A ′(x) = f (x) for alle x i intervallet. Dermed har vi bevist sætningen.

g( x 0 + h ) − g( x 0 ) = g ′( x 0 ). h

En funktion g er kontinuert i x0, hvis

lim g( x 0 + h) = g( x 0 ). h→0

Vi har et par hængepartier: Hvis enten h havde været negativ, eller hvis f havde været aftagende, ville ulighedstegnene have vendt omvendt. Men det A( x + h) − A( x 0 ) A ′( x ) =for lim 0 =ville f ( x 0stadig ) blive ændrer jo ikke på vores konklusion, h→0

klemt inde imellem to tal, der går mod f(x0).

Hvis f ikke er monotont voksende eller aftagende, kan vi opdele i et endeligt antal monotoniintervaller. At det altid vil gå godt, er ikke oplagt og ligger uden for det, vi kan gennemgå her, men det er betinget af, at vi kun betragter funktionen i et lukket interval [a;b].

[28 Sætning, kapitel 1] Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b], er det

bestemte integral

∫

dx = f ( x )dx

∫

5 −5

A(b)

0,12 x 2 − 3 dx = − 20

lig med arealet mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [a;b].

32 Bevis for sætning 28 Først bemærker vi, at f er kontinuert og ikke-negativ, så vi ved, at der findes en arealfunktion A(x), som er en stamfunktion til f i intervallet [a;b]. Om arealfunktionen må gælde, at A(a) = 0, og at A(b) er lig med hele arealet mellem grafen og x-aksen i intervallet [a;b]. Se figuren. Vi ved også fra sætning 16 i kapitel 1, at hvis vi har to forskellige stamfunktioner, F og A, til den samme funktion, så eksisterer der en konstant k, så F(x) = A(x) + k.

Det bestemte integral er defineret som bb

Hvis vi nu beregner det bestemte integral, får vi bb

dx == FF((bb)) −− FF((aa)) == ((AA((bb)) ++ kk)) −− ((AA((aa)) ++ kk)) == AA((bb)) ++ kk −− AA((aa)) −− kk == AA((bb),), ∫∫ ff((xx))dx

dx == FF((bb)) −− FF((aa)), ∫ ff((xx))dx aa

hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.

og A(b) var jo netop arealet mellem grafen og x-aksen i intervallet [a;b], så det var, hvad vi skulle vise.

2. Integralregning 2

2.5 Beviser 2 [16 Sætning, kapitel 1] 1. H vis F1 og F2 begge er stamfunktioner til den samme funktion f, findes der en konstant k, så F2(x) = F1(x) + k. 2. O g omvendt: Hvis F1 er en stamfunktion til f, så er alle funktioner på formen F2(x) = F1(x) + k også stamfunktioner til f.

33 Bevis for sætning 16 Vi skal vise to ting: 1. H vis F1 og F2 begge er stamfunktioner til den samme funktion f, findes der en konstant k, så F2(x) = F1(x) + k. Vi definerer en ny funktion H(x) = F2(x) – F1(x) og differentierer den:

H ′( x ) = (F2 ( x ) − F1( x )) ′ = F2 ′ ( x ) − F1 ′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 .

Hvis H ′(x) = 0 for alle værdier af x, ved vi fra differentialregningen, at grafen for H må have vandret tangent overalt. Det kan kun lade sig gøre, hvis grafen er en vandret linje. Dvs. hvis H er en konstant funktion. Så H(x) = k for en eller anden konstant k. Men da H(x) = F2(x) – F1(x), betyder det, at F2(x) – F1(x) = k, som kan omskrives til

F2(x) = F1(x) + k,

som jo netop var det, vi skulle vise. 2. O g omvendt: Hvis F1 er en stamfunktion til f, så er alle funktioner på formen F2(x) = F1(x) + k også stamfunktioner til f. At F2(x) = F1(x) + k er en stamfunktion til f, vises ved differentiation:

F2 ′ ( x ) = (F1( x ) + k ) ′ = F1 ′( x ) + k ′= f ( x ) + 0 = f ( x ) .

[5 Sætning, afsnit 2.1] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at de begge er kontinuerte i interval-

let [a;b], og derudover at f(x) er større end g(x) for alle x i samme interval, kan a

arealet mellem graferne i intervallet bestemmes som

2. Integralregning 2

∫

– g(x) f ( x )dx = Fdx. (b ) − F (a) = ( A(b ) + k ) − ( A(a) + k ) = A(b ) + k − A(a) − k = A(b ),

34 Bevis for sætning 5 Da g er kontinuert i det lukkede interval [a;b], har den et minimum i intervallet. Hvis vi parallelforskyder begge grafer lodret opad med et tal c, som numerisk er større end dette minimum, kan vi få begge grafer til at ligge over x-aksen. Vi har nu grafer for de to funktioner f(x) + c og g(x) + c. f+c

Da vi har parallelforskudt graferne nøjagtig lige meget, har vi ikke ændret på arealet mellem dem. Arealet mellem graferne må være arealet under grafen for f(x) + c fratrukket

g+c

arealet under grafen for g(x) + c.

Vi beregner arealet og omskriver ved hjælp af regnereglerne for integraler:

∫

f ( x ) + c dx − ∫ g( x ) + c dx = a

∫

(f ( x ) + c ) − ( g( x ) + c ) dx

a b

g( x=) − c(dx f ( x ) + c dx=−∫∫a f (gx( x) +) +c c−dx ∫ f ( x ) + c ) − ( g( x ) + c ) dx

∫

f ( x ) − g( x ) dx=.

∫

Dermed har vi vist, at arealet kan beregnes som=

∫

f ( x ) + c − g( x ) − c dx f ( x ) − g( x ) dx .

[2 Sætning, afsnit 2.1] Hvis funktionen f er kontinuert og ikke-positiv i intervallet [a;b], er b

– ∫ f ( x )dx dx = F (b ) − F (a) = ( A(b ) + k ) − ( A(a) + k ) = A(b ) + k − A(a) − k = A(b ), a

lig med arealet mellem x-aksen og grafen for f i intervallet [a;b].

35 Bevis for sætning 2 Vi definerer funktionen g(x) = 0. Grafen for denne funktion er sammenfaldende med x-aksen, så arealet mellem graferne for g og f i intervallet [a;b] må netop være det samme som arealet mellem x-aksen og grafen for f. Grafen for g ligger øverst, så ifølge sætning 5 kan dette areal beregnes som

∫

g( x ) − f ( x ) dx =

∫

0 − f ( x ) dx =

∫

−f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx , a

og det var jo netop, hvad vi skulle vise.

2. Integralregning 2

2.6 Beviser 3 [22 Sætning, afsnit 2.3] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at f er kontinuert, og at g er differentiabel, er

∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dx = ∫ f (t ) dt ,

hvor t = g(x).

36 Bevis for sætning 22

∫f(t)dt = F(t) + k, hvor F er en stamfunktion til f, og k er en konstant. = ∫gøres Det Vi skal vise, at F(t) + k er en stamfunktion til∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) .dx f (t ) dtsom

sædvanlig ved integrationsprøven, hvor vi bruger reglen for at differentiere sammensatte funktioner (kædereglen):

(F (t ) + k ) ′ = (F ( g( x )) + k ) ′ = F ′( g( x )) ⋅ g ′( x ) + 0 = f (g( x )) ⋅ g ′( x ) .

Det var, hvad vi skulle vise.

[25 Sætning, afsnit 2.3] Hvis der om to funktioner f og g gælder, at f er kontinuert, og at g er differentiabel, er b

g( b )

g( a )

∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dx = ∫

f (t ) dt ,

hvor t = g(x).

37 Bevis for sætning 25 Beviset går ud på at beregne, at det, der står på venstre side af lighedstegnet, giver det samme som det, der står på højre side. Funktionen f er kontinuert, så den har en stamfunktion, som vi kalder F. Venstre side: Først bemærkes, at hvis F er en stamfunktion til f, så er F( g(x)) en stamfunktion til = ∫ f (t ) dt ∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dxidet

(F ( g( x ))) ′ = F ′(g( x )) ⋅ g ′( x ) = f (g( x )) ⋅ g ′( x ).

Venstre side giver da

∫ f ( g( x )) ⋅ g ′( x ) dx = F (g( x ))

= F ( g(b )) − F ( g(a)) .

Højre side:

∫

g( b ) g( a )

f (t ) dt = [F (t )]g( a ) = F ( g(b )) − F ( g(a )). g( b )

Det var netop, hvad vi skulle vise.

2. Integralregning 2

[11 Sætning, afsnit 2.2] Lad funktionen f være kontinuert og ikke-negativ i intervallet [a;b]. Hvis området mellem grafen for f og x-aksen drejes 360º om x-aksen, fremkommer et omdrej-

ningslegeme. Rumfanget V af omdrejningslegemet kan beregnes med formlen

V = π ∫ f ( x )2 dx . a

38 Bevis for sætning 11 På samme måde, som vi indførte en arealfunktion i afsnit 2.4, vil vi nu indføre en volumenfunktion V(x), som giver os rumfanget af den del af omdrejningslegemet, som ligger mellem a og et tal x i [a;b]. Se figur 1. 2 Størstedelen af beviset går ud på at vise, at V ′(x) = π · f (x) . Vi følger samme fremgangsmåde som i beviset for, at arealfunktionen er en stamfunktion, og vi vil også her antage, at f er voksende i intervallet [a;b], samt at tilvæksten h er positiv.

Resultatet kan generaliseres på samme måde som i det andet bevis. f

∆V

Funktionstilvæksten ∆V = V(x0 + h) – V(x0) svarer til en smal skive af omdrejningslegemet. Se figur 2.

Vi kan ikke umiddelbart beregne rumfanget af denne skive, men vi kan klemme

x0 x0+ h b

den ind mellem to flade cylindere, som vi kan beregne rumfanget af. Se figur 3. Begge cylinderes ”højde” er tilvæksten h på x-aksen. Radius af den lille cylinder er 2 f(x0), så rumfanget er π · f(x0) · h. Den store cylinder har radius f(x0 + h) og dermed 2 rumfang π · f(x0 + h) · h.

Vi kan nu opstille dobbeltuligheden

f(x0+ h) f(x0)

π ⋅ f ( x 0 )2 ⋅ h ≤ V ( x 0 + h) − V ( x 0 ) ≤ π ⋅ f ( x 0 + h)2 ⋅ h .

Ved at dividere igennem med h får vi

∆V

π ⋅ f ( x 0 ) ≤ V ( x 0 + h) − V ( x 0 ) ≤ π ⋅ f ( x 0 + h)2. h 2

Det, der står i midten, er differenskvotienten for V(x).

x0 x0+ h b

2 2 Når vi lader h gå mod nul, vil π · f(x0 + h) gå mod π · f(x0) , da f er kontinuert. 2 π ⋅ f ( x 0 )2at≤ V ( x 0 + h) − V ( x 0 ) ≤bliver π ⋅ f ( xklemt Det betyder, 0 + h) inde mellem to tal, der begge går

2 mod π · f(x0) . Det kan kun lade sig gøre, hvis

lim h→0

V ( x 0 + h) − V ( x 0 ) = π ⋅ f ( x 0 )2 h

V ( x + h) − V ( x 0 ) Ifølge definitionen af differentialkvotienten er lim 0 = Vπ ′⋅(xf0(),x 0så )2 vi h→0 h 2 har vist, at V ′(x) = π · f(x) , og er dermed færdige med første del af beviset.

Rumfanget af en cylinder med radius r og højde h er 2 π·r ·h

Til anden del af beviset bemærker vi først, at V(a) = 0, og at V(b) er lig rumfanget af hele omdrejningslegemet i intervallet [a;b], altså at V(b) = V. Det giver os

V = V (b ) = V (b ) − V (a) = [V ( x )]a = b

∫

V ′( x ) dx = b

∫

dx dx . π ⋅ f ( x )2 dx = π ∫ f ( x )2dx a

Så uden mellemregningerne er V = π ∫ f ( x )2 dx , som jo netop er det, vi skulle bevise.

2. Integralregning 2

2.7 Numerisk integration 39 Introduktion I Kernestof 2 mødte vi normalfordelingen. Den skal vi beskæftige os mere med i kapitel 3. For at beregne sandsynligheder med normalfordelingen skal man beregne arealer under en helt bestemt type grafer. Men der er et problem! Netop den funktion, der beskriver normalfordelingen, har ikke en ’pæn’ stamfunktion. Så man er nødt til at beregne arealet på en anden måde.

40 Eksempel Funktionen, der bruges til beregninger med normalfordelingen, er af typen 1

–x f(x) = e .

Vi vil beregne en tilnærmelse til arealet under grafen for f i intervallet [0;1]. 0

f( 1 )

0 1 1 1 − ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx = −  x 4  +  x 4  4  −1  4  0 −1 0  I første omgang tilnærmer vi arealet med to rektangler. Se figur 1. Vi har delt 1 1 1 1 1 = . = så −  bredden − 0 = + er 0 −  + af rektanglerne intervallet [0;1] i to lige store delintervaller,   4 4 2 4  4 Højden af rektanglerne beslutter vi os for at bestemme ud fra midten af

f f( 3 ) 4

delintervallet, således at det første rektangel har højden f ( 4 ) og det andet 1 2

1 4

–1 4

3 4

5 4

rektangel har højden f ( 4 ) . Arealet af et rektangel kan som bekendt bereg-

nes som højden gange bredden.

Summen S2 af arealerne af de to rektangler kan nu beregnes:

 1

 3

−  −  S2 = f  1  ⋅ 1 + f  3  ⋅ 1 = e  4  ⋅ 1 + e  4  ⋅ 1 = 0,75459... ≈ 0, 755  4 2  4 2 2 2      

Areal af rektangel 1

Areal af rektangel 2

Vi kan få en bedre tilnærmelse til det rigtige areal ved at lave en finere inddeling af intervallet og dermed lave flere rektangler. I figur 2 har vi inddelt 1 4

–1 4

1 2

3 4

5 4

i 4 delintervaller. Bemærk, at bredden af rektanglerne nu er 4 . Summen af arealerne af rektanglerne er  1 1  3 1  5 1  7 1 S4 = f   ⋅ + f   ⋅ + f   ⋅ + f   ⋅ ≈ 0,749 .  8 4  8 4  8 4  8 4

Ved at gøre inddelingen finere og finere kan vi komme tættere og tættere

på det rigtige areal. Hvis vi inddeler i 8 intervaller, får vi s8 = 0,7473. Hvis vi lader antallet af inddelinger vokse og vokse, nærmer vi os en grænseværdi, der er 0,746824... Dette er det rigtige areal! Det betyder, at 1 4

–1 4

1 2

3 4

x 1

5 4

∫e

− x2

dx = 0,746824...

1,5

41 Eksempel Vi ønsker at beregne en tilnærmelse til arealet under

grafen for g(x) = ln(x) i intervallet [1;5]. Vi inddeler

intervallet i 8 delintervaller. Hvert delinterval har

0,5

g(x) = ln(x)

0,5

1,5

bredden 2

2,5

2. Integralregning 2

3,5

4,5

5,5

5 −1 = 0,5. Højderne vil vi igen lade være 8

bestemt at midtpunktet af delintervallerne.

Fremgangsmåden, vi bruger, kaldes numerisk integration.

Midtpunktet af første delinterval er 1,25, så højden af første rektangel er g(1,25) = ln(1,25). Midtpunktet af andet delinterval er 1,75, så højden af andet

Man kan vise, at så længe funktionen er kontinuert i det pågældende interval, vil denne fremgangsmåde altid virke. Det vil sige, at hvis man lader inddelingen blive finere og finere, vil man nærme sig det rigtige areal.

rektangel er g(1,75) = ln(1,75) etc. Summen af rektanglernes arealer er

S8 = ln(1, 25) ⋅ 0 , 5 + ln(1, 75) ⋅ 0 , 5 +  + ln( 4 , 75) ⋅ 0 , 5 = 4 , 055 .

Det korrekte areal, med tre decimalers nøjagtighed, er

∫

ln( x ) dx = 4,047 .

Vi kan beregne den %-vise afvigelse af den tilnærmede værdi fra den korrekte værdi:

I praksis er strategien indbygget i CAS, så man kan opskrive integraler, som man plejer.

4, 047 − 4, 055 = − 0,002 = − 0,2% %. 4, 047

Med en inddeling på 8 delintervaller er afvigelsen fra det korrekte altså helt nede på 0,2% i dette tilfælde!

42 Numerisk integration med midtsummer Hvis man vil tilnærme arealet under grafen for en kontinuert funktion i et interval [a;b] med n lige store delintervaller, bliver intervalbredden Vi kalder midtpunkterne af intervallerne for x1, x2, x3, ..., xn –1, xn.

b−a = ∆x . n

Summen af arealerne er da en sum med n led:

Sn = f ( x1 )∆x + f ( x 2 )∆x + f ( x 3 )∆x +  + f ( x n−1 )∆x + f ( x n )∆x

a x1 x2

xn–1 xn b

En sådan sum kan skrives kort med det såkaldte sumtegn:

Sn =

∑ f ( x )∆x . i =1

Hvis inddelingen er fin, svarende til at n er et stort tal, er n

∑ f ( x )∆x ≈ ∫ i =1

f ( x ) dx .

43 Øvelse Vi betragter funktionen f ( x ) =

x . Vi vil gerne tilnærme arealet under grafen

for f i intervallet [0,4]. Først inddeler vi intervallet i to lige store delintervaller. Se figuren i margenen. Højden af hvert rektangel er bestemt som funktionsværdien af midtpunktet af

y f

2 1

intervallet. Det første rektangel har højden f(1), og det andet har højden f(3). a. Bestem summen af arealerne af de to rektangler. b. Bestem integralet

∫

f ( x ) dx . Dvs. det korrekte areal.

c. Bestem den %-vise forskel på det rigtige areal og din tilnærmede værdi fra delopgave a. d. Lav nu en finere inddeling, fx med 4 eller 8 rektangler, og bestem summen af deres arealer. Hvor stor er den %-vise afvigelse fra det rigtige areal nu?

2. Integralregning 2

Opgaver – 2. Integralregning 2

I koordinatsystemet ses graferne for

S can QR-koden for at komme til facitlisten.

2 f(x) = –x – x + 3 og g(x) = –x.

a. Bestem, uden CAS, arealet mellem graferne i in-

Opgave 201

tervallet [–1;1]. Området er markeret på figuren.

Opgave 205

–2

–1

y 5

–1

–2

–4

–3 –3

En funktion er givet ved forskriften f(x) = x – 3.

–2

–1

a. B estem arealet af området mellem x-aksen og

–1

–2 –3

grafen for f i intervallet fra x = –1 til x = 2.

–4

Opgave 202

I koordinatsystemet ses graferne for funktionerne

En funktion er givet ved forskriften f(x) = x2 – 1.

3 2 f(x) = x – x – 5x + 2 og g(x) = x + 2.

a. Tegn grafen for f.

I opgaven her skal vi bestemme arealet af det skra-

b. Bestem arealet af området mellem x-aksen og

verede område, som er en punktmængde afgræn-

grafen for f i intervallet fra x = 0 til x = 3.

set af graferne for f og g. a. Bestem først x-koordinaterne til de tre skærings-

Opgave 203

punkter mellem graferne ved at løse ligningen

Vi betragter funktionen med forskriften

f(x) = g(x).

h(x) = 3x – 3x – 6.

b. Bestem, hvilken graf der ligger øverst i afgræns-

a. B estem, uden CAS, arealet af området mellem

ningen af det første skraverede område. Opstil

x-aksen og grafen for h i intervallet fra x = –1

et bestemt integral, der kan bestemme arealet

til x = 2.

af området.

b. Tegn grafen med CAS, og tjek, at du har regnet rigtigt.

c. Bestem, hvilken graf der ligger øverst i afgrænsningen af det andet skraverede område. Opstil et bestemt integral, der kan bestemme arealet

Opgave 204

af dette område.

d. Bestem nu det samlede areal af de to områder.

Opgave 206

Graferne for funktionerne 3 2 2 f(x) = –x – 3x + 2 og g(x) = 0,1x – 1

afgrænser to områder i planen.

a. Tegn graferne for de to funktioner. –3

–2

–1

1 –1

2. Integralregning 2

b. Bestem skæringspunkterne mellem de to grafer. c. Bestem det samlede areal af de to områder.

Opgave 207 a. Bestem rumfanget π ∫

Opgave 209

3 x + 1 dx af et bestemt

En funktion er givet ved forskriften f ( x ) = 0,8 x + 2 . Grafen for f afgrænser sammen

omdrejningslegeme. Brug CAS.

med x-aksen og de lodrette linjer x = 1 og x = 3

Opgave 208

et område M. a. Tegn grafen for f samt de lodrette linjer x = 1 og x = 3. b. Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.

Opgave 210 y 2

Figuren viser grafen for

f(x) = sin(x) · ( 1 – cos(x))

I koordinatsystemet ses grafen for funktionen

a. Bestem arealet af den skraverede punktmængde.

2 f(x) = 0,01x + 0,1x + 2,5 samt en markeret punkt-

b. Bestem volumen af det omdrejningslegeme, der

mængde mellem grafen og x-aksen i intervallet [0;9].

1,5

, 0≤x≤π

fremkommer, når den skraverede punktmængde drejes 360º om x-aksen.

Opgave 211 En funktion er givet ved forskriften f(x) = 2x2 + x.

6 4

Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og de

lodrette linjer x = 0 og x = 2 et område M.

–2

a. Tegn grafen for f samt de lodrette linjer x = 0 2

I en model for lerkruset, der drejes på billedet, drejes punktmængden 360º om x-aksen.

og x = 2. b. Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.

a. Bestem volumen af omdrejningslegemet. b. Vurder, om målene er passende i modellen, idet en enhed på akserne svarer til 1 cm i virkeligheden. c. Bestem enheden på volumen i modellen.

2. Integralregning 2

Opgaver – 2. Integralregning 2

Opgave 212

Opgave 215

Lad f(x) = x .

Graferne for funktionerne f ( x ) =

a. Tegn grafen for f.

g( x ) = x samt y-aksen afgrænser et område M i

b. B estem kurvelængden af grafen for f fra x = 0,5

koordinatsystemets første kvadrant.

3,4

1 2

x + 6 og

a. Tegn graferne for f og g.

til x = 2. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen og de lodrette linjer x = 0,5 og x= 2 et område M.

b. Bestem skæringspunktet mellem f og g. c. Bestem rumfanget V af det hule omdrejningslegeme, der fremkommer, når området M drejes 360º

c. Bestem arealet af området M.

om x-aksen.

d. B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.

Opgave 216 Benyt integration ved substitution til at bestemme

Opgave 213 4

følgende ubestemte integraler: 2

Lad f(x) = x – 2x + 5. a. B estem kurvelængden af grafen for f fra x = 0 til x = 3.

a. ∫ sin(3x + 1)dx b.

∫

2 x − 4 dx

Opgave 217 Opgave 214

Benyt integration ved substitution til at bestemme

følgende ubestemte integraler: a. ∫ cos(7x + 1) dx

5 4

2x dx 2 −1

Opgave 218

3 2

Benyt integration ved substitution til at bestemme

følgende ubestemte integraler:

∫x

–1

2 3 a. ∫ 4x (x + 1) dx

Graferne for funktionerne g(x) = x og 2

3x dx 3 −2

∫x

Opgave 219

f(x) = 0,2x + 0,1x afgrænser et område M.

Benyt integration ved substitution til at bestemme

a. Bestem skæringspunkternes x-koordinater.

følgende ubestemte integraler:

b. B estem rumfanget V af det hule omdrejnings-

2 3 2 a. ∫ 3x (x + 1) dx

legeme, der fremkommer, når området M drejes 360º om x-aksen.

2x dx 4 +4

∫x

Opgave 220 Benyt integration ved substitution til at bestemme følgende ubestemte integraler: 2 a. ∫ 2xsin(x + 2)dx

2. Integralregning 2

∫ 4x

x 2 + 3 dx

Opgave 221

Opgave 224

Benyt integration ved substitution til at bestemme

følgende bestemte integraler:

a. b.

∫ ∫

2 −2

3π

3 ⋅ (2 x + 6) dx

∫

sin( x − π ) dx

∫

Opgave 222 y

−1

4π

2π 7 2

(

)

2 x ⋅ x 2 + 1 dx 2cos( x − π ) dx 2 x ⋅ x 2 + 2 dx

Opgave 225

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Figuren viser grafen for f ( x ) = sin( x ) 1 − cos( x ) , 0 ≤ x ≤ ππ. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen en punktmængde, der er markeret på figuren. a. Bestem arealet af punktmængden ved hjælp af integralet:

∫

sin( x ) 1 − cos( x ) dx .

Graferne for funktionerne f(x) = –x2 + 2x + 3 og g(x) = –x + 3 afgrænser et område M i koordinatsystemets første kvadrant.

2 Vi betragter funktionen f(x) = x . Vi vil gerne til-

nærme arealet under grafen for f i intervallet [0;4]. Først inddeler vi intervallet i to lige store delinterHøjden af hvert rektangel er bestemt som funktionsværdien af midtpunktet af intervallet. Det første rektangel har højden f(1) og det andet har højden f(3).

a. Bestem summen af arealerne af de to rektangler.

b. Bestem integralet ∫ f(x)dx, dvs. det korrekte 0

areal.

c. Bestem den %-vise forskel på det rigtige areal

1 –1

valler. Se figuren.

Opgave 223

–1

og din tilnærmede værdi fra delopgave a. 1

–1

a. Bestem arealet af området M. b. Bestem kurvelængden af grafen for f fra

d. Lav nu en finere inddeling, fx med 4 eller 8 rektangler, og bestem summen af deres arealer. Hvor stor er den %-vise afvigelse fra det rigtige areal nu?

x = 0 til x = 3. c. Bestem omkredsen af området M. d. Bestem rumfanget V af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området M drejes 360° om x-aksen.

2. Integralregning 2

Træningssider 2

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødderanan,

n n

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b Eksempel: 2 Vi vil beregne udtrykket: 52 + 3 ⋅ 3 − 16 . Ifølge regnearternes hierarki skal vi starte med udtrykket i parentesen. I parentesen står to led. Det ene er en rod, så det skal vi beregne først. Parentesen bliver altså til (3 − 16 ) = (3 − 4) = ( −1) Nu kan vi regne videre på resten. Først potenserne, så produktet, og til sidst summen. 52 + 3 ⋅ ( −1)2 = 25 + 3 ⋅ 1 = 25 + 3 = 28 . Det hele kan også samles til én beregning:

(

)

52 + 3 ⋅ (3 − 16 )2 = 52 + 3 ⋅ (3 − 4)2 = 52 + 3 ⋅ ( −1)2 = 25 + 3 ⋅ 1 = 25 + 3 = 28. Husk, at rodtegn og brøker også tæller som parenteser. Eksempel: 5 + 3 = 8 = 4 og 2

1. Udregn

2. U dregn

3. U dregn

a. 13 +3 · 5

a. 3 ⋅ 49

b. 4 · 2 – 3

c. (2 – 3)

d. 5 · (5 – 7)

Brøker Produkt af to brøker:

9–5

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

Fællesnævner og sum af brøker:

(

14 − 4 2+3 9⋅2 b. 21 − 12

25 − 32

)

4 + 3 − 42

(

12 − 3 = 9 = 3.

4. U dregn

a. 32 − 24 + 12

25 ⋅ 4

c. (7 + 1) · 3

d. 5 − 4 − 9

)

Eksempel:

5 − 4 +1 4 −1 2

3 2 3⋅2 6 = ⋅ = 4 5 4 ⋅ 5 20

a c a⋅d c⋅b a⋅d + c⋅b 4 5 4 ⋅ 2 5 ⋅ 3 8 + 15 23 + = + = + = = Eksempel: + = 3 2 3⋅2 3⋅2 6 6 b d b⋅d b⋅d b⋅d

Beregn ”i hånden”, og forkort nedenstående så meget som muligt, så der stadig står heltal i tæller og nævner. Brug evt. multiplikationstabellen i formelsamlingen. 1 1 ⋅ 1 3 3 2 b. 2 ⋅ 3 2 4 c. 6 ⋅ 2 2 4 d. 5 ⋅ 3

2 6. a.  5 

5. a.

3 2 4

b. 4 ⋅ 1 ⋅ 3 3  1 c.  3  5 10 4

d. 10 ⋅ 5 ⋅ 2

2 1 + 5 4 2 1 b. 3 + 5

7. a . 43 + 42 1

8. a .

b. 3 + 2

c. 1 + 2

c. 3 + 3

9 3 7 7 d. 2 − 3

1 1 d. 2 + 4

Sandsynlighed Hvis alle udfald har samme sandsynlighed, kan sandsynligheden for en hændelse beregnes som P=

Antal gunstige udfald Antal mulige udfald

Eksempel: Kast med en 6-sidet terning. Sandsynligheden for at få 1 er P(1) =

1 6

Sandsynligheden for at få et lige tal er P(lige) =

Træningssider

3 1 = 6 2

9. Ved kast med en 10-sidet terning,

10. Der trækkes et kort fra et almindeligt kortspil uden jokere.

hvad er da sandsynligheden for at få

a. Hvad er sandsynligheden for at få spar knægt?

a. Udfaldet 3

b. Hvad er sandsynligheden for at få en ruder?

b. Et lige tal

c. Hvad er sandsynligheden for at få en konge?

c. Et tal mindre end 4

d. Hvad er sandsynligheden for at få enten en 2’er eller en 3’er?

d. Enten 3, 6 eller 9

11. Vi kaster med to 4-sidede terninger, og noterer summen af de to udfald. a. Hvad er de mulige udfald? b. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 8? c. Hvad er sandsynligheden for, at summen er 2? d. Hvad er sandsynligheden for, at summen er større end 5? e. Hvad er sandsynligheden for, at summen er et lige tal?

Parenteser Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 5(11 + 2a) = 5 · 11 + 5 · 2a = 55 + 10a 4 – 2(2x – 4) = 4 – (2 · 2x – 2 · 4) = 4 – (4x – 8) = 4 – 4x + 8 = –4x + 12

12. Ophæv parenteserne

13. Ophæv parenteserne

14. O phæv parenteserne

og reducer

a. 3(x – 1)

a. 4 + (3 – x)

a. 3(x + 4y) – 2(y – 4x)

b. –2(6 + b)

b. 3 – (x+1)

2 2 b. 3(x + 2x) – x –9

c. 4(2x + 3)

c. a + 2 (3 – 2a)

c. 2a – 4(a + 2) + 10

d. –3(2x + 5y)

d. –4(x + 3y) + 3x – 4y

d. 3a + 4b – 2(6a + 2) – 4

Ligninger Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det. Eksempel: Løsning af ligningen 2x + 10 = 2 · (3x – 1)

2x + 10 = 6x – 2

2x + 10 –2x = 6x – 2 – 2x

10 = 4x – 2

10 + 2 = 4x – 2 + 2

12 = 4x

12 = x 4

x = 3

2 er ganget ind i parentesen. 2x er trukket fra på begge sider. Ligningen er reduceret. 2 er lagt til på begge sider. Ligningen er reduceret. Begge sider er divideret med 4. Løsningen er 3.

Løs nedenstående ligninger i hånden. Facit er heltal eller brøker.

15. Løs ligningerne

16. L øs ligningerne

17. Løs ligningerne

18. Løs ligningerne

a. x + 4 = 12

a. 4x – 7 = 15

a. 2x – 7 = 28 – 3x

a. 3(x – 5) = 30

b. x + 3 = 6

b. 5x + 8 = –7

b. 5x – 5 = –3x + 35

b. 3(x + 4) = 33

c. 4x = 28

c. 14 = 2 – 4x

c. 3x – 19 = –3x + 23

c. 15 = –5(x + 3)

d. 3x = –15

d. 3x – 5 = 16

d. 7x + 5 = 2x + 30

d. 24 = –3(4 – 2x)

Træningssider

Træningssider 2

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Vektorer Modsat vektor

  a1  En vektor, der har samme længde som en vektor a ,=men  a2 den modsatte a retning, kaldes vektorens modsatte vektor, og den skrives – a .=  a1 

 a a =  a1 

 a – a =  a1 

Regning med vektorer

  a  a  b1  b Vektorerne a =og ab1 nedenfor er givet ved koordinaterne a =  a1  og b =  1  , og k er et tal. = 2 2  b2   b2    a +b Sum af to vektorer: a + b =  1 1   a2 + b2    a −b  Differens af to vektorer: a − b = 1 1  a2 − b2  Eksempel:

 5  4  5 + 4  9 + = =  3  −2  3 − 2   1 S can og se en gennemgang af begreber og eksempler.

 5  4  5 − 4   1 − = =  3  −2  3 − ( −2)  5 

Konstant gange vektor: ka = 

ka1   ka2 

4 5 ⋅ 4  20 Eksempel: 5 ⋅   =  =  2   5 ⋅ 2   10 

−

 4  4  −1 ⋅ 4  −4 = −1⋅ = =  2  2   −1 ⋅ 2   −2

Regning med vektorer, geometrisk

 a   b1    a1  a =afsættes Sum af to vektorer: a =+ b.a1=Vektor et givet punkt.   a2  ud fra   a1  b 2 b   1  ud fra det 2 a = Vektor afsættes punkt, hvor vektor slutter. b =  a2  Summen  a   b1 b2  a =+ ba1er = den vektor, som er repræsenteret ved pilen fra det punkt, 2  b   a1 afsat fra, til det punkt, som repræsentanten for 2 som vektor  ab1=blev  a2   vektor b sluttede i. =  b2   a1   b1    a1  Vektor Differens af to vektorer: a =– b.a=  b1a =afsættes  a2  ud fra et givet 2  b2 punkt. Den modsatte vektor til afsættes b =   a1   a1b2 b1  ud fra det punkt, hvor a =– ba=er vektor a =slutter. Differensen som er repræsen a2   den vektor, 2 b   a1  teret ved pilen fra det punkt, som vektor2 a =blev fra, og ud til  a2 afsat b det punkt, som repræsentanten for vektor –b sluttede i. = 1  b2 

19. En vektor er givet således:   2 a=  1 Beregn koordinaterne til vektorerne  a a. 2 a =  a1  2  a b. – a =  a1  2  a c. –3 a =  a1  2

Træningssider

20. En vektor er givet således:  − 3 a=  2 Beregn koordinaterne til vektorerne  a a. 4 a =  a1  2  a b. – a =  a1  2  a c. –3 a =  a1  2

 a a =  a1 

 b  b= 1  b2 

 a1   b1  a =– ba=  2 b  2

 a b a =+ ba1=  1  2 b  2  b –b =  1  b2   a a =  a1  2

21. Beregn a.

 b  b= 1  b2 

 a a =  a1 

 2   7 +  4  3

6 −1 b.   −    3   8 9 c. 2 ⋅    −3

22. To vektorer er givet ved    4 3 og b =   a=  2  − 1 Beregn  a  b  a. a =+ ba1= 1 2 b   a1   b12  b. a =– ba=  2 b   a1   b2 1  c. 2a =– ba=  2 b  2

23. To vektorer er givet ved  0   2 og b =   a=  0  3 Beregn  a b a. a =+ ba1=  1  2 b   a1   b12  b. a =– ba=  2 b   a 2 b  c. 4a =– 2ab1 = 1  b2  2

24. Beregn a. 3 ⋅

 2  4 −  5  6 

b. − 4 ⋅ c. 7 ⋅

 2  3 + 2⋅  5  4

 −1  2   12 − 3⋅ +  2  4  5 

  2 25. To vektorer er givet ved a =   og b = 

3  − 1  a  b1  a. Tegn repræsentanter for vektorerne a =og ab1 på = kvadreret papir.  b2  2  a1   b1  ud fra de to vektorer. b. Vis, hvordan vektoren a =+ ba =fremkommer  2 b   a1   b12 ud fra de to vektorer. c. Vis, hvordan vektoren a =– ba=fremkommer  2 b  2    0  2 To vektorer er givet ved a = og b =  − 1  4  a  b1  a. Tegn repræsentanter for vektorerne a =og ab1 på = kvadreret papir.  b2  2  a1   b1  ud fra de to vektorer. b. Vis, hvordan vektoren a =+ ba =fremkommer  2 b   a1   b12 fremkommer ud fra de to vektorer. c. Vis, hvordan vektoren a =– ba=  2 b  2  − 2  1 To vektorer er givet således a =   og b =  1  2   a1   b1  a. Tegn repræsentanter for vektorerne a =og ab på = kvadreret papir.  b2  2  a1   b1  ud fra de to vektorer. b. Vis, hvordan vektoren a =+ ba =fremkommer  2 b   a1   b12 ud fra de to vektorer. c. Vis, hvordan vektoren a =– ba=fremkommer  2 b  2   2  − 3 To vektorer er givet således a = og b =  − 2  − 1  a  b1  a. Tegn repræsentanter for vektorerne a =og ab1 på = kvadreret papir.  b2  2  a   b1  ud fra de to vektorer. b. Vis, hvordan vektoren a =+ ba1=fremkommer  2 b   a1   b12 ud fra de to vektorer. c. Vis, hvordan vektoren a =– ba=fremkommer  2 b  2  −2  1 To vektorer er givet således a =   og b =    1  2   a  b1  a1   b1  a. Tegn repræsentanter for de fire vektorer a ,=b, =a21a =og = kvadreret papir.  a3b på  b2  2  b2  2 Vis, hvordan følgende vektorer kan bestemmes geometrisk på det kvadrerede papir.  a  b  b. 2a =+ ba1= 1 2 b   a  b 2 c. a =+ 3ab1 = 1 b  2  a 2b  d. 2a =+ 3ab1 = 1 2 b   a1   b1 2 e. 2a =– ba=  2 b    a1   2b1  f. 2a =– 3ab =  b2  2

 1

26.

27.

28.

29.

Træningssider

3. Normalfordelingen 3.1 Beregning af sandsynligheder 1 Introduktion I Kernestof 2 mødte vi normalfordelingen som en approksimation til binomialfordelingen. I dette kapitel skal vi se nærmere på normalfordelingen. Den viser sig nemlig at kunne beskrive en lang række fænomener, hvor der er et element af tilfældighed eller usikkerhed. Som fx ’længden af 40 mm-skruer’ fra en bestemt producent.

2 Eksempel En producent af skruer beslutter sig for at teste virksomhedens maskineri. De udtager en stikprøve på 1000 40 mm-skruer og måler deres længde. Alle skruerne er ikke 40 mm lange. Der er fx 56 skruer, som er mellem 36 mm og 37 mm lange, i stikprøven. Tabellen viser hyppigheden og frekvensen af længderne, grupperet i intervaller med længde 1 mm. Længde i mm Hyppighed Frekvens Frekvens

]34;35] ]35;36] ]36;37] ]37 ; 38] ]38 ; 39] ]39 ; 40] ]40 ; 41] ]41 ; 42] ]42 ; 43] ]43 ; 44] 4

156

278

244

163

0,004

0,02

0,056

0,156

0,278

0,244

0,163

0,06

0,015

0,004

0,3

D et viser sig, at længderne med god tilnærmelse er normalfordelte med middelværdi 39 mm og spredning 1,4 mm. Det ser umiddelbart

0,25

ud til, at de producerede skruer er lidt for korte.

0,2 0,15

I margenen ses et histogram, der viser fordelingen af længderne.

Oven i histogrammet er tegnet en kurve, der beskriver den tilhørende

0,1

normalfordeling.

0,05

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Længde/mm

D er gælder følgende sætning om beregning af sandsynligheder for normalfordelte stokastiske variable.

3 Sætning

Lad X være en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi µ og spredning σ. Det skrives kort som X ∼ N( µ ,σ ).

S andsynligheden for at få et udfald mellem a og b kan beregnes med følgende integral. b

P(a ≤ X ≤ b ) = ∫

3. Normalfordelingen

P(a ≤ X ≤ bf(x) ) = ∫= I ntegranden x

tæthedsfunktion.

1  x − µ σ 

1  x − µ σ 

− ⋅ 1 e 2 2π ⋅ σ

dx dx kaldes normalfordelingens

4 Eksempel En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ = 5 og spredning σ = 2. Dvs. X ∼ N(5,2). Sandsynligheden for at få et udfald mellem 1 og 4 er

P(1 ≤ X ≤ 4) =

Dvs. 29%

∫

1  x − 5 2 

− ⋅ 1 e 2  2π ⋅ 2

De fleste CAS-værktøjer har normalfordelingen indbygget som en kommando. Som fx normCdf(a,b, µ,σ).

dx = 0,28578 … ≈ 0,29 .

Sandsynligheden for at få et udfald, der er mindre end eller lig med 3, er

P( X ≤ 3) =

Dvs. 16%

∫

3 −∞

− 1 e 2π ⋅ 2

1  x − 5 ⋅ 2  2 

dx = 0,15865 0,30853… . . . ≈ 0,31 0,16

Sandsynligheden for at få et udfald, der er større end eller lig med 1, er

P( X ≥ 1) =

Dvs. 98%

∫

∞

1  x −5   2 

− ⋅ 1 e 2  2 π ⋅2

dx = 0,97724 … ≈ 0,98 .

5 Eksempel Hvis skruerne produceret på en bestemt maskine er normalfordelte

0,3

med middelværdi µ = 39 mm og spredning σ = 1,4 mm, kan vi be-

0,25

regne sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt skrues længde er mellem 39 mm og 41 mm ved at bruge formlen fra sætningen

P(39 ≤ X ≤ 41) =

∫

1  x −39   1,4 

− ⋅ 1 e 2  2 π ⋅ 1, 4

dx = 0, 423436 … ≈ 0 , 42

En tilfældigt udvalgt skrue vil altså med 42 % sandsynlighed have

0,2 0,15 0,1 0,05

en længde mellem 39 mm og 41 mm. Eller sagt på en anden måde:

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

42% af de producerede skruer vil være mellem 39 mm og 41 mm lange.

Længde/mm

6 Øvelse En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ = 10 og spredning σ = 3. Dvs. X ∼ N(10,3). a. Bestem sandsynligheden P(7 ≤ X ≤ 11) for at få et udfald mellem 7 og 11. b. Bestem sandsynligheden P(X ≤ 4) for at få et udfald mindre end eller lig med 4. c. Bestem sandsynligheden P(X ≥ 13) for at få et udfald større end eller lig med 13.

7 Øvelse En æbleplantage sælger poser med æbler. De skriver på poserne, at de indeholder 1 kg æbler. I virkeligheden er vægten af poserne normalfordelt med middelværdi µ = 1050 gram og spredning σ = 70 gram. a. Hvor stor en %-del af poserne vejer mellem 900 gram og 1100 gram? b. Du køber en tilfældigt udvalgt pose æbler. Hvad er sandsynligheden for, at posen vejer mindre end 900 gram?

3. Normalfordelingen

3.2 Normalfordelingens tæthedsfunktion

8 Introduktion Figuren viser fordelingen af antal

y 0,1

fødsler i 2017 fordelt på morens alder, hhv. i Tønder kommune (blå graf ) og Frederiksberg kommune

0,05

(rød graf ). I Tønder var middelværdien 28,9 år og spredningen 4,9 år. I Frederiksberg kommune var middelværdien 32,2 år og spredningen er 4,6 år.

18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

Dette afsnit handler om, hvordan de to koefficienter middelværdien µ og spredningen σ påvirker tæthedsfunktionen for en normalfordeling.

µ – 3σ

µ – 2σ

µ–σ

µ 68,27 % 95,45 % 99,73 %

Middelværdien µ for en stokastisk variabel X kaldes nogle gange for den forventede værdi og skrives E(X) .

9 Bemærkning b

1  x − µ σ 

− ⋅ 1 e 2 2π ⋅ σ

P(a ≤ X ≤ bf(x) ) = ∫= Tæthedsfunktionen

for den normalfordelte stokastiske variabel X ∼ N( µ ,σ ) er symmetrisk omkring x = µ.

µ+σ

µ + 2σ

µ + 3σ

Det betyder, at middelværdien og medianen er ens.

Det samlede areal under grafen er 1 = 100 %.

68,27% af udfaldene ligger mellem µ – σ og µ + σ.

95,45% af udfaldene ligger mellem µ – 2σ og µ + 2σ.

99,73% af udfaldene ligger mellem µ – 3σ og µ + 3σ.

Udfald i intervallet mellem µ – 2σ og µ + 2σ kaldes normale. Udfald uden for intervallet mellem µ – 3σ og µ + 3σ kaldes exceptionelle.

µ = 10 µ = 12

µ=5

0,2

10 Eksempel F iguren i margenen viser graferne for tæthedsfunktionerne for tre normalfordelte stokastiske variable: X ∼ N(5,2), Y ∼ N(10,2) og

0,1

Z ∼ N(12,2). Alle tre har spredning 2, men de har forskellig middel2

værdi, nemlig hhv. 5, 10 og 12.

σ=1

0,4 0,3 0,2

–2

11 Eksempel

F iguren i margenen viser graferne for tæthedsfunktionerne for tre normalfordelte stokastiske variable: X ∼ N(6,1), Y ∼ N(6,2) og

σ=2

0,1

Z ∼ N(6,4). Alle tre har middelværdi 6, men de har forskellig

σ=4 6

3. Normalfordelingen

spredning, nemlig hhv. 1, 2 og 4.

12 Eksempel Figuren i margenen viser graferne for tæthedsfunktionerne hørende til tre normalfordelte stokastiske variable.

Vi får at vide, at én af de stokastiske variable har middelværdi 28 og spredning 5. Vi vil bestemme, hvilken graf der hører til denne stokas-

tiske variabel. Vi kan aflæse, at A har middelværdi 20, så den kan vi udelukke. C og B har begge middelværdi 28, så vi kigger på spredningen.

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Lidt over 95% af arealet under grafen skal ligge i intervallet mellem µ – 2σ = 28 – 2 · 5 = 18 og µ + 2σ = 28 + 2 · 5 = 38. Det passer dårligt med C (her ligger for meget af arealet i dette interval), men det passer godt med B. Den korrekte graf er dermed B.

13 Eksempel Vi betragter igen antal fødsler i 2017 i Frederiksberg kommune, fordelt på morens alder. Middelværdien er 32,2 år, og spredningen er 4,6 år. 95,45% af udfaldene ligger i intervallet fra µ – 2σ = 32,2 – 2 · 4,6 = 23 og til µ + 2σ = 32,2 + 2 · 4,6 = 41,4. Vi kan konkludere, at ved 95,45% af fødslerne var morens alder mellem 23 år og 41,4 år.

14 Øvelse Vi betragter de normalfordelte stokastiske variable: X ∼ N(4,3), Y ∼ N(–2,5) og Z ∼ N(0,1). a. Tegn, i det samme koordinatsystem, graferne for tæthedsfunktionerne hørende til de tre stokastiske variable.

15 Øvelse Figuren i margenen viser graferne for tæthedsfunktionerne hørende

til tre normalfordelte stokastiske variable. a. Bestem, hvilken af graferne A, B eller C, der hører til tætheds-

funktionen for den normalfordelte stokastiske variabel, der har middelværdi 140 og spredning 2.

130

140

150

160

170

180

190

16 Øvelse Vi betragter antal fødsler i 2017 i Tønder kommune, fordelt på morens alder. Middelværdien er µ = 28,9 år, og spredningen er σ = 4,9 år. a. Beregn µ – σ og µ + σ , og giv en fortolkning af resultatet. b. Er udfaldet 45 år et exceptionelt udfald?

3. Normalfordelingen

3.3 Normalfordelingens fordelingsfunktion 17 Introduktion Figuren viser en sumkurve over dataene fra en undersøgelse, hvor man har målt kolesterolindholdet (målt i mg/dl) hos næsten 6000 ældre mennesker. En sumkurve er som bekendt en oversigt

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

over de kumulerede frekvenser.

Kumuleret frekvens

100

150

200

250

300

350

400

Kolesterolindhold

Ligesom normalfordelingens tæthedsfunktion er en model for højderne af søjlerne i et histogram, kan man lave en model for de kumulerede sandsynligheder. Denne funktion kaldes normalfordelingens fordelingsfunktion. F(x0)

18 Definition

Lad X ∼ N( µ ,σ ) være en normalfordelt stokastisk variabel med middelx

værdi µ og spredning σ .

Fordelingsfunktionen F(x) for X ∼ N( µ ,σ ) er defineret ved F(x) = P(X ≤ x).

∫ ∞f (t ) dt , P(a ≤ X ≤ bf(x) ) = ∫= hvor f er tæthedsfunktionen

Med andre ord er F ( x ) =

F(x0)

−

0,5

1  x − µ σ 

− ⋅ 1 e 2 2π ⋅ σ

.dx

Da F(x) = P(X ≤ x) kan man aflæse sandsynligheder direkte ud fra grafen

for F, på nøjagtig samme måde som man ville aflæse fra en sumkurve. µ

19 Eksempel

Figuren viser grafen for fordelingsfunktionen F for en normalfordelt stokastisk variabel. Vi kan fx aflæse fra grafen, at P(X ≤ 23) = F(23) ≈ 0,24, og at P(X ≤ 40) = F(40) ≈ 0,84.

Dvs. at sandsynligheden for et udfald, der er 23 eller min-

dre, er omkring 24%, og sandsynligheden for at få 40 eller

0,9 0,8

mindre er omkring 84%. Vi kan også aflæse medianen. Det

0,7

er markeret med grønne pile. Vi kan se, at medianen er 30.

0,6

Dvs. P(X ≤ 30) = F(30) ≈ 0,50. Da normalfordelingen er en

0,5

symmetrisk fordeling, er medianen lig med middelvær-

0,4

dien, så middelværdien er µ = E(X) = 30. Ud fra disse af-

0,3

læsninger kan vi også konkludere, at

0,2

P(X ≥ 23) = 1 – F(23) ≈ 1 – 0,24 = 0,76 og at

0,1

P(X ≥ 40) = 1 – F(40) ≈ 1 – 0,84 = 0,16 samt at 5

3. Normalfordelingen

P(23 ≤ X ≤ 40) = F(40) – F(23) ≈ 0,84 – 0,24 = 0,60 .

y 1

20 Eksempel

µ = 10

µ=5

Figuren i margenen viser graferne for fordelingsfunktionerne for tre normalfordelte stokastiske variable: X ∼ N(5,2), Y ∼ N(10,2) og

µ = 12

0,5

Z ∼ N(12,2). Alle tre har spredning 2, men de har forskellig middelværdi, nemlig hhv. 5, 10 og 12.

21 Eksempel

Figuren i margenen viser graferne for fordelingsfunktionerne

σ=1

for tre normalfordelte stokastiske variable: X ∼ N(6,1), Y ∼ N(6,2)

σ=4

0,5

og Z ∼ N(6,4). Alle tre har middelværdi 6, men de har forskellige σ=2

spredninger, nemlig hhv. 1, 2 og 4. 2

22 Øvelse

Figuren viser grafen for fordelingsfunktionen F

0,9

for en normalfordelt stokastisk variabel.

0,8

a. Aflæs funktionsværdierne F(6), F(9), F(17) og

0,7 0,6

F(22), så præcist som det er muligt ud fra grafen.

0,5

b. Bestem P(X ≤ 6) og P(X ≤ 22).

0,4

c. Bestem P(X ≥ 9) og P(X ≥ 17).

0,3

d. Bestem P(6 ≤ X ≤ 9) og P(6 ≤ X ≤ 22)

0,2

e. Bestem middelværdien E(X).

0,1 –1

1 2

3 4

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

23 Øvelse Lad X være en stokastisk variabel med middelværdi µ = 5 og spredning

σ = 2, dvs. X ∼ N(5,2). b

P(a ≤ X ≤ bf(x) ) = ∫= a. Definer tæthedsfunktionen

1  x − µ σ 

− ⋅ 1 e 2 2π ⋅ σ

b. Definer fordelingsfunktionen F ( x ) =

∫ ∞f (t ) dt −

dx i dit CAS-værktøj.

i dit CAS-værktøj.

c. Beregn F(4), og giv en tolkning af resultatet. d. Tegn grafen for fordelingsfunktionen F.

1 4 1 +  x4  x 4  −1  4  0

1 1 0 −  +  − 0  4  4

24 Øvelse −

1 1 4 1 4 3 3 ∫−1 x dx + ∫0 x dx = −  4 x  −1 +  4 x 0 Figuren viser graferne A, B og C for fordelingsfunktionerne hørende 1 1 1 1 1 = ) og = −variable − 0 = Y +  0 −  +X∼ N(8,5), til de normalfordelte stokastiske ∼ N(3,     4 4 2 4 4 1 1 1 = Z+ = ). ∼ N(8,

y 1 A

0,5

a. Bestem, hvilken graf der hører til hvilken variabel.

3. Normalfordelingen

3.4 Normalfordelingsplot 25 Introduktion Et bageri producerer en bestemt type brød, som de påstår vejer 800 gram. Vægten varierer dog

Frekvens 0,2 0,15

lidt fra brød til brød. De vejer nu 83 tilfældigt udvalgte brød, og

0,1

figuren viser et histogram over

0,05

dataene. Kan det antages, at vægten af brødene er normal-

730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840

Vægt/gram

fordelt? y

26 Bemærkning Det kan være svært at se på et histogram eller en sumkurve, om et

datasæt er normalfordelt eller ej. Men med et CAS-værktøj kan man

lave et såkaldt normalfordelingsplot over datasættet. Hvis datasættet x

–1

er normalfordelt, vil punkterne tilnærmelsesvist ligge på en ret linje i et normalfordelingsplot. Den rette linje har ligningen y =

x−µ

σ , og

de fleste CAS-værktøjer angiver også linjens ligning, så man direkte kan

–2

aflæse middelværdien µ og spredningen σ. Normalfordelingsplottet kaldes også nogle gange for et fraktilplot eller et QQ-plot.

27 Eksempel

Figuren i margenen viser et normalfordelingsplot af vægten af de 83 brød, der indgik i bageriets kontrolvejning. Det ses, at punkterne lig-

ger pænt samlet om den rette linje, så brødenes vægt er normalfordelt.

Vi kan også aflæse på den angivne ligning for linjen, at middelværdien x –1

–2

er µ = 777,09113 ≈ 780, og spredningen er σ = 19,51273 ≈ 20.

Konklusion: Vægten af brødene er x − 777, 09113 19, 51273 780 gram og spredning 20 gram.

normalfordelt med middelværdi

28 Eksempel Figurerne viser histogrammet og

normalfordelingsplottet for et da2

tasæt, der ikke er normalfordelt.

Der vises stadig en ret linje og en 1000

–1 –2

2000

3000

x − 2,82111 ⋅ 10 511,01187

4000 −11

3. Normalfordelingen

0,3

ligning, når CAS-værktøjet laver

0,2

et normalfordelingsplot, men det

0,1

er tydeligt at se, at punkterne ikke ligger tilfældigt spredt om den rette linje.

Frekvens 0,4

1000

2000

3000

4000

5000

Lineær regression og residualer Kvaliteten af en lineær regression kan vurderes ved at undersøge, om residualerne er normalfordelte med middelværdi 0. 1

29 Eksempel

180

En gruppe elever får til opgave at bestemme massefylden af husholdnings-

140

Masse/g

160 y = 0,758x + 5,75

120

sprit. De måler 100 sammenhørende værdier af massen målt i gram og rum-

100

fanget målt i kubikcentimeter. Tabellen viser et udsnit af deres målinger.

80 60

Rumfang/cm3

101

168

138

…

171

140

Masse/gram

127

109

…

179

147

40 20 20 40 60

80 100 120 140 160 180 200

Rumfang/cm3

Figur 1 viser et punktplot af målingerne samt resultatet af en lineær regres3 sion. Hældningen af regressionslinjen er netop massefylden i enheden g/cm .

For at vurdere modellens anvendelighed laver vi et residualplot, se figur 2.

Det ser umiddelbart ud, som om punkterne ligger tilfældigt spredt, men vi

kan nu undersøge det mere præcist ved at lave et normalfordelingsplot,

vist på figur 3. Man kan se, at punkterne ligger pænt fordelt omkring den

100

rette linje, så residualerne er normalfordelte. Lineært Reg Titel

RegEqn CLower CUpper b ME df s SESlope a r² r

t-interval a+b*x 0,707341 0,808439 0,75789 0,050549 98 7,067275 0,025472 5,746603 0,900333 0,948859

Tabellen til venstre viser et output fra et CAS-værktøj, der

120

140

160

180

200

–5 –10 –15

har foretaget en lineær regression på dataene. Man kan se, at hældningen (markeret med blåt) er bestemt til

b = 0,75789 ≈ 0,76. Ud over hældningen kan man også

aflæse residualspredningen (markeret med grønt) til

s = 7,067275 ≈ 7,1. Man kan også aflæse den øvre og nedre grænse for et 95 % konfidensinterval for hæld-

–20

–15

–10

–5

ningen af regressionslinjen. Den nedre grænse er

–1

0,707341 ≈ 0,7, og den øvre grænse er 0,808439 ≈ 0,8.

–2

x − 2,169 ⋅ 10 −13 7,031

Det kan vi tolke på følgende måde:

Ud fra de givne data vil den korrekte værdi af hældningen med 95% sikkerhed ligge i intervallet [0,7; 0,8]. I forhold til modellen betyder det, at den korrekte værdi af 3 3 sprits massefylde med 95 % sikkerhed ligger mellem 0,7 g/cm og 0,8 g/cm .

30 Øvelse En gruppe elever får til opgave at bestemme massefylden af en prøve med saltvand. De måler 100 sammenhørende værdier af massen målt i gram og rumfanget målt i kubikcentimeter. QR-koden linker til et Excel-dokument, der indeholder deres målinger. a. Download dataene, og overfør dem til dit CAS-værktøj. b. Udfør en lineær regression. c. Lav et residualplot, og bestem residualspredningen. d. Lav et normalfordelingsplot af residualerne. Er det rimeligt at antage, at residualerne er normalfordelte? e. Bestem et 95 % konfidensinterval for hældningen af regressionslinjen. Giv en fortolkning af resultatet. 3. Normalfordelingen

3.5 Teori om standardnormalfordelingen

31 Definition Normalfordelingen med middelværdi µ = 0 og spredning σ = 1, dvs. X ∼ N(0,1), kaldes standardnormalfordelingen.

Den har tæthedsfunktionen ϕ ( x ) =

og fordelingsfunktionen Φ( x ) =

∫

x −∞

− ⋅x 1 e 2 2π 1 − ⋅t2 1 e 2 dt . 2π

32 Sætning

0,4

Hvis Φ(x) er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, og

0,3

1  u− µ σ 

− ⋅ 1 P(a XF ( xb) )= f (t ) dt e 2  a −∞ 2π ⋅ σ xb

∫∫

0,2

–3

–2

er fordelingsfunktionen for den normalfordelte stokastiske variabel

0,1

x−µ

–1

X ∼ N( µ ,σ ), så er yΦ=( σ

) = F(x).

33 Bevis for sætning 32

 x − µ Φ =  σ 

Sætningen bevises ved direkte

beregning. Se boksen. Undervejs benyttes substitutionen

0,5

u−µ

u=σ·t+µ ⇔ t= σ , der giver du = σ, som omskrives til dt = σ1 du.

–3

–2

–1

∫ ∫

x −µ

2π

−∞

1 − ⋅t2 2

−∞

2π σ

⋅

1  u − µ − ⋅ 2  σ 

= F ( x ).

Mht. integrationsgrænserne sker der følgende: Den nedre grænse bliver ved med at være –∞, fordi u også går mod –∞, når t gør.

x−µ

Mht. den øvre grænse: Hvis yt = σ , bliver u =yσ=· σ

+ µ = x – µ + µ = x.

34 Bemærkning Sætning 32 har som konsekvens, at sandsynligheder for fordelingen X ∼ N( µ ,σ ) kan beregnes udelukkende ud fra viden om standardnormalfordelingen! Vi har jo tidligere set, at sandsynligheden for at få et udfald mindre end eller lige så stort som a, kan beregnes som P(X ≤ a) = F(a), så det betyder, at a−µ P(X ≤ a) = Φ  σ  .

3. Normalfordelingen

Φ(x)

Før det blev almindeligt at bruge computere til beregninger, brugte man tabeller

0,0

0,5000

over værdier for Φ(x). I margenen ses et lille udsnit af sådan en tabel. Vi betragter

0,1

0,5398

nomalfordelingen X ∼ N(5,2) og vil gerne beregne sandsynligheden for at få et

0,2

0,5793

0,3

0,6179

0,4

0,6554

0,5

0,6915

0,6

0,7257

36 Bemærkning

0,7

0,7580

Hvis datasættet {z1, z2, z3, . . . , zn} er standardnormalfordelt (dvs. med middelværdi 0

0,8

0,7881

0,9

0,8159

1,0

0,8413

1,1

0,8643

1,2

0,8849

...

35 Eksempel

udfald mindre end eller lig med a = 6,4. 6, 4 − 5  1, 4 P( X ≤ 6, 4) = Φ  0,7) == 0,7580. 0,7580. = Φ   = Φ ((0,7) 2  2

Dvs. der er 75,8% chance for et udfald mindre end eller lig med 6,4.

og spredning 1), så er datasættet {µ + σ · z1, µ + σ · z2, µ + σ · z3, . . . , µ + σ · zn} normalfordelt med middelværdi µ og spredning σ. Omvendt, hvis datasættet {x1, x2, x3, . . . , xn} er normalfordelt med middelværdi µ x −µ  x − µ x2 − µ x3 − µ , , ,..., n og spredning σ, så er datasættet  1  standardσ σ σ   σ normalfordelt.

37 Eksempel

0,4

Figur 1 viser, hvad der sker grafisk, når man transformerer

0,3

standardnormalfordelingen Z ∼ N(1,0) til X ∼ N(12,3).

0,2

Først multipliceres med spredningen σ = 3, og derefter

0,1

lægges middelværdien µ = 12 til. Figur 2 viser den omvendte transformation, nemlig fra

–4

z·σ z·σ + µ

–2

normalfordelingen X ∼ N(12,3) til standardnormal-

0,4

fordelingen Z ∼ N(1,0). Først trækkes µ = 12 fra, og

0,3

derefter deles med σ = 3.

0,2

x −µ

x– µ

0,1

38 Øvelse

–4

–2

Vi betragter normalfordelingen X ∼ N(7,5). a. Brug metoden fra eksempel 35 til at bestemme P(X ≤ 8).

39 Øvelse a. Gennemgå detaljerne i beviset for sætning 32, og skriv mellemregninger ned på et stykke papir.

3. Normalfordelingen

3.6 Teorien bag normalfordelingsplottet 40 Sætning Antag følgende: 1. F (x) er fordelingsfunktionen for den normalfordelte stokastiske variabel X ∼ N( µ ,σ ). 2. Φ(x) er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen. –1 3. Φ (x) er den omvendte funktion til Φ(x).

Da er grafen for funktionen Φ

–1

(F(x)) en ret linje med ligningen y =

x−µ

y Graf for F(x)

41 Bevis for sætning 40

x−µ

I sidste afsnit viste vi, at F(x) =yΦ=( σ ) . –1 Vi bruger den omvendte funktion Φ på begge sider af lighedstegnet:

0,5

x − µ F ( x ) = Φ  σ  x − µ Φ −1 (F ( x )) = Φ −1  Φ   x − µ  x −σµ  F ( x ) F ( x ) = Φ  Φ = –1 Graf for Φ (F(x)) x −µ σ  σ  Φ −1 (F ( x )) = σ x − µ x − µ  Φ −1 (F ( x )) = Φ −1  Φ   xΦ−−1µ(F ( x ))1 = Φ −µ1 Φ  F( x ) = Φ σ  Φ−1 (Fσ( x )) = x − .  σ   σ σ x −µ x −µ −1 −1 F (−x )µ) = Φ (F ( x )) = µ –2σ µ –σ µ 1 1 Φ (x σ σ )) = Φ −omskrivning Φ −Den (F ( xsidste  Φ  σ  gør det klart, at der er tale om en lineær x µ –σ µ +2σ µ 1 1 −1 −1 og skæring med y-aksen ved funktion med hældning F ( x ) x . F ( x ) Φ = Φ = − ) σ ( ) σ x − σµ . Der er x −µ ( −1 σ F ( x ) Φ = ( ) x−µ σ at skrive denne linjes ligning som y = x − µ i stedet for y= σ tradition for σ x

y 2 1

–1 –2

1 Φ −som (F ( x )y) =

x−

µ ., så det vil vi også gøre her. σ

Plot af de kumulerede frekvenser p

42 Sætning H vis datasættet {x1, x2, x3, . . . , xn} tilnærmelsesvist er normalfordelt –1 med middelværdi E(x) = µ og spredning σ, så vil et plot over Φ (p),

0,5

hvor p er de kumulerede frekvenser, tilnærmelsesvist ligge på en ret linje med ligningen y =

x−µ

σ .

x y

Plot af Φ–1(p)

43 Bevis for sætning 42

Hvis datasættet er normalfordelt, vil sumkurven (som jo er et

3 2

plot af de kumulerede frekvenser p) ligge tæt på grafen for F(x).

Vi har netop vist, at grafen for F(x) bliver transformeret til en ret x

–1 –2 –3

x−µ

linje med ligningen y =

3. Normalfordelingen

–1

σ , når vi bruger Φ på F(x). Det må

betyde, at punkterne på sumkurven bliver transformeret til at

–1 lægge tæt på denne rette linje, hvis vi bruger Φ på de kumu-

lerede frekvenser.

x−µ

44 Eksempel Vi vender tilbage til eksemplet med undersøgelsen af kolesterolindholdet fra afsnit 3.3. Tabellen viser hyppighed, frekvens, kumuleret –1 frekvens samt den transformerede kumulerede frekvens Φ (p). –1 De fleste CAS-værktøjer har funktionen Φ indlagt, med komman-

doer som fx InvNorm(0.3)=–0.524. En sumkurve er som bekendt et plot af de kumulerede frekvenser, hvor x-koordinaten er højre endepunkt i intervallet. Det første punkt er altid lidt specielt: Det skal i dette tilfælde være (100 ; 0). De næste punkter bliver så (120;0,002), (140 ; 0,007), (160 ; 0,023), …, (420;1). Hvis vi i stedet vil lave et plot over de transformerede værdier af de kumulerede frekvenser, skal vi stadig vælge højre endepunkt af interx − µ  y-værdi. De første x − µ vallet som x-værdi og såFvælge ( x ) = ΦΦ (p) som F ( x ) = Φ  punkter  σ  µ (120;–2,935), (140 ; –2,457),σ(160 ; –1,995). Det sidste punkt x −så bliver  F( x ) = Φ   σ x − µ   −1 − µ −1 −1   x det Φ −1  Φ  bliver (400; 3,143). IΦ forhold er Φ vi nødt (F ( x ))til=sumkurven (F ( x )til) =atΦudelade  Φ σ σ  x − µ −1 −1   Φ (F ( x )) = Φ første sidste punkt. Et plot afµpunkterne −og en lineær regression µ x − x −  det  − 1 1  Φog  σ Φ (F ( x )) = Φ (F ( x )) = σ σ giver x − µ ligningen y = 0,021579x – 5,4799. Se figuren i margenen. −1 Φ (F ( x )) = µ µ 1 1 −1 σ os, at I forhold til linjens ligning F ( x ) x= −0,021579 . Φ −1 (F ( x )y) = x − . giverΦdet = ( ) –1

Φ −1 (F ( x )) = ogx − σ

Kumuleret frekvens p 0,002 0,002 0,005 0,007 0,016 0,023 0,033 0,056 0,069 0,125 0,111 0,236 0,15 0,386 0,172 0,557 0,149 0,706 0,129 0,835 0,083 0,919 0,05 0,969 0,021 0,989 0,007 0,997 0,002 0,999 0,001 1

KolesterolHyppig- Freindhold hed kvens i mg/dl

σ σ σ σ µ . = –5,4799. Løses det som ligninger, fås µ = 253,9 og σ = 46,3. σ

]100 ; 120] ]120 ; 140] ]140 ; 160] ]160 ; 180] ]180 ; 200] ]200 ; 220] ]220 ; 240] ]240 ; 260] ]260 ; 280] ]280 ; 300] ]300 ; 320] ]320 ; 340] ]340 ; 360] ]360 ; 380] ]380 ; 400] ]400 ; 420]

10 32 96 196 414 666 896 1028 892 773 499 300 125 44 14 5

Φ–1(p) –2,935 –2,457 –1,995 –1,591 –1,151 –0,719 –0,291 0,144 0,542 0,975 1,395 1,861 2,307 2,729 3,143 –

Konklusion: Dataene er med god tilnærmelse normalfordelte med middelværdi 253,9 mg/dl og med spredning 46,3 mg/dl.

y 3

45 Bemærkning

Hvis man i sin beregning af de kumulerede frekvenser lader interval-

lerne blive så små, at hvert interval kun indeholder én måling, får man et såkaldt fraktilplot. Det er netop sådan et plot, de fleste CAS-

–1

værktøjer laver, når de laver et normalfordelingsplot.

100

150

200

250

300

350

400

y = 0,021579x – 5,4799

–2

46 Øvelse Højde i cm ]96; 98] ]98;100] ]100; 102] ]102; 104] ]104; 106] ]106; 108] ]108 ;110] ]110 ;112] ]112; 114] ]114; 116] ]116; 118] Hyppighed

Tabellen viser resultatet af en undersøgelse af højden af 159 5-årige børn. a. Lav, med dit CAS-værktøj, en tabel som den i eksempel 44, hvor du beregner fre–1 kvens, kumuleret frekvens p og den transformerede kumulerede frekvens Φ (p).

b. Lav et punktplot over de transformerede værdier af de kumulerede frekvenser på samme måde som i eksempel 44. Husk, at du skal udelade det sidste punkt. Ligger punkterne tilnærmelsesvist på en ret linje? c. Udfør en lineær regression på punkterne, og bestem, ud fra regressionslinjens ligning, middelværdien og spredningen af børnenes højde.

3. Normalfordelingen

Opgaver – 3. Normalfordelingen

Opgave 303

S can QR-koden for at komme til facitlisten.

En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ = 100 og spredning σ = 5.

Opgave 301

Dvs. X ∼ N(100,5).

Længden på skruerne produceret på en bestemt

a. Bestem sandsynligheden P(95 ≤ X ≤ 105) for at

maskine er normalfordelt med middelværdi

µ = 55 mm og spredning σ = 8 mm. Vi kan derfor beregne sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt skrues længde er mellem 52 og 57 mm ved at bruge formlen fra sætning 3.

P(57 ≤ X ≤ 52) =

∫

1 e π ⋅ 1,7

− 1 ⋅  x − 57  3  1,7 

få et udfald mellem 95 og 105. b. Bestem sandsynligheden P(101 ≤ X ≤ 103) for at få et udfald mellem 101 og 103. c. Bestem sandsynligheden P(X ≤ 100) for at få et udfald mindre end eller lig med 100.

Ved indtastningen af formlen er der sket nogle fejl. a. S kriv den korrekte formel op til beregning af den ønskede sandsynlighed.

d. Bestem sandsynligheden P(X ≥ 112) for at få et udfald større end eller lig med 112.

Opgave 304

b. B eregn også sandsynligheden for, at en tilfældig skrue er 60 mm eller længere.

Opgave 302

En kartoffelavler sælger net med kartofler. Hun skriver på nettene, at de indeholder 5 kg kartofler. I virkeligheden er vægten af nettene normalfordelt med middelværdi µ = 5,1 kg og spredning σ = 0,2 kg. a. H vor stor en %-del af nettene vejer mellem 4,8 kg og 5,3 kg? En stokastisk variabel X betegner det antal timer,

b. Du køber et tilfældigt udvalgt net kartofler.

en bestemt type batterier kan holde spændingen.

Hvad er sandsynligheden for, at nettet vejer

X er normalfordelt med middelværdi 25 og spred-

mindre end 5 kg?

ning 2. a. B estem sandsynligheden for at få et batteri, der kan holde spændingen i 25 timer eller mere.

Vi betragter de normalfordelte stokastiske

b. B estem sandsynligheden for at få et batteri, der

variable: X ∼ N(2,1), Y ∼ N(–1,4) og Z ∼ N(0,2).

kan holde spændingen i 29 timer eller mere.

a. Tegn, i samme koordinatsystem, graferne

c. Bestem P(21 ≤ X ≤ 29), og forklar, hvad resultat betyder i forhold til batterierne.

Opgave 305

3. Normalfordelingen

for tæthedsfunktionerne hørende til de tre stokastiske variable.

Opgave 306

170

180

190

200

210

220 x

b. Bestem µ – 2σ og µ + 2σ , og giv en fortolk-

Figuren viser graferne for tæthedsfunktionerne hørende til tre normalfordelte stokastiske variable. a. Bestem, hvilken af graferne A, B eller C der hører til tæthedsfunktionen for den normalfordelte

ning af resultatet. c. Er udfaldet ’19 år’ et exceptionelt udfald? d. H vor stor en %-del af mødrene var 36 år eller

stokastiske variabel, der har middelværdi 200

ældre?

og spredning 2.

Opgave 309 Opgave 307

y 1 0,9 0,8

0,7 F

0,6 0,5 0,4

0,3

130

140

150

160

170

180

0,2 0,1

Figuren viser graferne for tæthedsfunktionerne hørende til tre normalfordelte stokastiske variable. a. Bestem, hvilken af graferne A, B eller C der hører

–1

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x

Figuren viser grafen for fordelingsfunktionen F for

til tæthedsfunktionen for den normalfordelte

en normalfordelt stokastisk variabel. Bestem ved

stokastiske variabel, der har middelværdi 160

aflæsning på figuren:

og spredning 5.

a. P(X ≤ 4) b. P(X ≤ 10)

Opgave 308

c. P(X ≥ 9)

Antal fødsler i en mellemstor by er blevet fordelt

d. P(6 ≤ X ≤ 9)

på morens alder. Efter lidt databehandling fandt

e. P(1 ≤ X ≤ 3)

man frem til, at antallet var normalfordelt med

f. Middelværdien E(X)

middelværdi µ = 30,7 år og spredning σ = 4,7 år. a. Bestem µ – σ og µ + σ , og giv en fortolkning af resultatet.

3. Normalfordelingen

Opgaver – 3. Normalfordelingen

b. Definer fordelingsfunktionen

Opgave 310

F( x ) =

∫ ∞f (t ) dt −

i dit CAS-værktøj.

c. Beregn F(8), og giv en tolkning af resultatet.

1 0,9

d. Tegn grafen for fordelingsfunktionen F.

0,8 0,7

Opgave 313

0,6

0,5 0,4

0,3

0,2

0,5

0,1

–1

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Figuren viser grafen for fordelingsfunktionen F for

–4

en normalfordelt stokastisk variabel. Bestem ved

–2

aflæsning på figuren

Figuren viser graferne A, B og C for fordelingsfunk-

a. P(X ≤ 7)

tionerne hørende til de normalfordelte stokastiske

b. P(X ≤ 10)

variable X ∼ N(5,1), Y ∼ N(2,3) og Z ∼ N(2,1).

c. P(X ≥ 11)

a. Bestem, hvilken graf der hører til hvilken

d. P(7 ≤ X ≤ 8)

variabel.

e. P(8 ≤ X ≤ 11)

Opgave 314

f. Middelværdien E(X)

Opgave 311 Lad X være en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi µ = 5 og spredning σ = 1, dvs. X ∼ N(5,1). a. D efiner tæthedsfunktionen f (x) =

1  x − µ σ 

− ⋅ 1 2 e 2π ⋅ σ

i dit CAS-værktøj.

b. Definer fordelingsfunktionen F ( x ) = i dit CAS-værktøj.

∫

x −∞

f (t ) dt

c. Beregn F(7) – F(3), og giv en tolkning af resultatet.

En pølsefabrikant producerer 10 cm lange grillpølser i ekstra god kvalitet. Der udtages en tilfældig stikprøve på 200 pølser, og længden i mm måles. QR-koden linker til et Excel-dokument, der indeholder virksomhedens målinger.

d. Tegn grafen for fordelingsfunktionen F.

a. Download dataene, og overfør dem til dit CASværktøj.

Opgave 312

b. Lav et normalfordelingsplot af længderne. Er

Lad X være en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi µ = 8 og spredning σ = 3, dvs. X ∼ N(8,3).

P(a X

bf(x) ) ∫=

c. Bestem middelværdi og spredning af pølselængderne.

a. D efiner tæthedsfunktionen b

det rimeligt at antage, at de er normalfordelte?

1 e 2π ⋅ σ

1  x − µ − ⋅ 2  σ 

3. Normalfordelingen

i dit CAS-værktøj.

d. Fuldfør sætningen: "Lidt over 95% af pølsernes længder er …"

Opgave 315

Opgave 318

QR-koden linker til et Excel-dokument, som indeholder 50 sammenhørende x- og y-værdier. a. Download dataene, og overfør dem til dit CAS-værktøj. b. Udfør en lineær regression. c. Lav et residualplot, og bestem residualspredningen.

d. Lav et normalfordelingsplot af residualerne. Hyppighed

Vægt i kg

af nogle får.

]80; 84]

a. Lav, med dit CAS-værktøj,

]8 4 ; 88]

en tabel som den i eksem-

]88; 92]

Opgave 316

pel 44, hvor du beregner

]92 ; 96]

En gruppe elever får til opgave at bestem-

frekvens, kumuleret fre-

me massefylden af olivenolie. De måler

kvens p og den transfor-

]96; 100]

100 sammenhørende værdier af massen målt i

merede kumulerede fre-

]100 ; 104]

gram og rumfanget målt i kubikcentimeter. QR-

–1 kvens Φ (p).

]104 ; 108]

]108; 112]

Er det rimeligt at antage, at residualerne er

Tabellen viser resultatet af

normalfordelte?

en undersøgelse af vægten

e. Bestem et 95 %-konfidensinterval for hældningen af regressionslinjen.

koden linker til et Excel-dokument, der indeholder

b. Lav et punktplot over de

deres målinger.

transformerede værdier

]112 ; 116]

a. Download dataene, og overfør dem til dit CAS-

af de kumulerede frekven-

]116 ; 120]

ser på samme måde som

]120; 124]

b. Udfør en lineær regression.

i eksempel 44.

]124 ; 128]

c. Lav et residualplot, og bestem residual-

Husk, at du skal udelade

værktøj.

spredningen. d. Lav et normalfordelingsplot af residualerne. Er det rimeligt at antage, at residualerne er normalfordelte? e. Bestem et 95 %-konfidensinterval for hæld-

det sidste punkt. Ligger punkterne tilnærmelsesvist på en ret linje? c. Udfør en lineær regression på punkterne, og bestem, ud fra regressionslinjens ligning, middelværdien og spredningen af fårenes vægt.

ningen af regressionslinjen. Giv en fortolkning af resultatet.

Opgave 317 Vi betragter normalfordelingen X ∼ N(9,4). a. Brug metoden fra eksempel 35 til at bestemme P(X ≤ 11). b. Tjek resultatet med dit CAS-værktøj.

3. Normalfordelingen

Træningssider 3

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Reduktion Husk, at du ikke må sammenblande variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 2 3a – b + 2a kan ikke reduceres.

1. Reducer udtrykket

2. Reducer udtrykket

a. 4a + 6 + 3a – 4b – 6

3. R educer udtrykket 2

a. 5p(q + p) + 3p – 4q

a. –(2x + 3y) – 4y 2

b. y(x + y) + 2y + 3xy

b. 2q(9p – 3q) – 3(pq + q2)

c. 5b + 3b – 2b + 4b

c. 5(x + 5) – 4x + 5

c. 4q – 3pq – q(6 + 3p)

d. 4a + 5ab – 2b – 4ab – 10a – ab

d. 2xy + 5x – 2x(y – 3x)

b. x – 3x + 5 – 8y + 5x – 4 2

d. (3pq – 5p )(–1) + 2pq

Brøker Forlænge med tallet c: Forkorte med tallet c:

a c ⋅a = b c ⋅b

Eksempel:

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

4. F orlæng brøkerne

Eksempel:

2 a. 3 4 b. 5 7 c. 10

20 a. 25 10 b. 30 10 c. 20

a. 4 ⋅ 61 7 b. ⋅ 4 8

c. 4 ⋅

3 24

3 2 3⋅2 6 = ⋅ = 4 5 4 ⋅ 5 20

5. F orkort brøkerne med 5

som muligt

20 10 2 = = 30 30 3

Eksempel: 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 4 = 12 og 3 ⋅ 15 = 3 ⋅ 15 = 45 7 7 7 2 2 2

med 4

7. Beregn, og forkort så meget

a c = b b

b a⋅b a = ⋅b Tal gange en brøk: a ⋅ = c c c

Produkt af to brøker:

10 ⋅ 2

Eksempel: 3 = 10 ⋅ 3 = 30

6. F orkort så meget som muligt (så der stadig står heltal i tæller og nævner) 18

a. 6

b. 24 28

8. Beregn, og forkort så meget

c. 14

som muligt 44 22

a. 88⋅.⋅33 b. 2525⋅.⋅2121

55 22

⋅.⋅ c. 10 10 77

Ligningsløsning 9. L øs ligningerne ved at isolere x ”i hånden”. Facit er heltal eller brøker.

10. L øs ligningerne ved at isolere t ”i hånden”. Facit er heltal eller brøker.

a. 3x + 4 = x + 8

a. 2t + 5t + 3 = 4t + 5

b. 5x – 2 = –x + 4

b. 8 + 2t = 4(2 – t)

c. 4(x – 2) = 3x – 5

c. 4(t – 2) = 3(2 – t)

Træningssider

Logaritmeregneregel: log(ax) = x · log(a)

2 ⋅ 5x = 6 5x = 6

Eksempel: Ligningsløsning, hvor den ubekendte er en eksponent:

5x = 3 log(5 x ) = log(3) x ⋅ log(5) = log(3) x=

log(3) log(5)

Løs ligningerne ved hjælp af logaritmeregnereglen. Angiv facit eksakt, som i eksemplet.

11. a. 3x = 5

12. a. 4 · 2x = 20

x b. 2 = 11

x b. 8 · 6 = 24

x c. 9 · 100 = 54

c. 7 = 10 x

d. 200 = 20

d. 25 = 5 · 18

13. L øs andengradsligningerne

14. B rug diskriminantmetoden

15. L øs ligningerne med CAS.

“i hånden” med diskriminantmetoden.

til at finde rødderne i andengradspolynomierne.

Vær sikker på, at du får alle løsninger med.

a. –2x2+ x + 1 = 0

a. f(x) = –x2– 4x – 3

a. x3+ 8x2–2x –12 = 0

b. f(x) = 2x – 2x – 4

b. –x + 4x – 3 = 0 2

c. f(x) = –2x + 4x + 6

c. 8 · 3 = 4

d. f(x) = x + 4x + 3

d. 2x – 3x – 2 = 0

–x2

c. x + 2x – 3 = 0

b. –x – 4x + 7x + 22x – 24 = 0 d. –2 = ln(0,4 · x ) y

Enhedscirklen, sinus og cosinus

metriske størrelser sinus og cosinus er defineret ud fra enhedscirklen. (Vinklen v er

v cos(v)

–1

vinklen mellem førsteaksen og en radius afsat i cirklen. Punktet, hvor den afsatte radius rammer cirklen, kaldes retningspunktet Pv . Sinus til v er defineret som ret-

det til højre ved hjælp af CAS.

cos(90º) = 0 1

sin (90º) = 1 1 P = (0,1) 90

Nogle af værdierne af sinus og cosinus kan aflæses direkte fra enhedscirklen. For eksempel kan man se, at sin(90º) = 1 og cos(90º) = 0.

17. U dfyld et skema som

x-koordinat. Se figuren.

det til højre uden brug af CAS.

–1

ningspunktets y-koordinat, og cosinus til v er defineret som retningspunktets

16. U dfyld et skema som

Pv( cos(v), sin (v))

sin (v)

Enhedscirklen er en cirkel med centrum i punktet (0,0) og med radius 1. De trigono-

v sin(v) cos(v)

–90º

v sin(v) cos(v)

–45º

90º

180º

270º

v = 90º

360º

–1

–20º

120º

60º

75º

210º

330º

18. Løs følgende ligninger med CAS. Find kun løsninger i intervallet 0 ≤ v ≤ 90. a. sin(v) = 0,5 b. sin(v) = 0,99 c. cos(v) = 0,9 d. cos(v) = 0,5.

Træningssider

Træningssider 3

Scan QR-koden for at komme til facitlisten

Tværvektor y 6

En vektors tværvektor findes ved at dreje vektoren 90 grader i positiv omløbsretning.

 4 a 3

 a    − a2   Koordinaterne til tværvektoren a til en vektor a =  a1  er givet ved: aˆ = 2  a1  Eksempel:

  5   −−2a2   er givet ved: aˆ = Koordinaterne til tværvektoren a til en vektor a =  2  5a1 

  0 a=  3

2 1 –3 –2 –1 –1

Skalarprodukt af et vektorpar    0  3   a1    0 3  b Givet to vektorer a = og b,=hvor a =  a  og b =  1  , er skalarproduktet eller prikproduktet a =· b = defineret ved:  3  − 4  3 − 4  b2  2    a1   b1  a⋅b = ⋅ = a1b1 + a2b2  a2   b2  Eksempel:  4   2   0 3  Lad der være givet to vektorer a = og b =   , da er a =· b = 2 · 4 + (–3) · 5 = 8 – 15 = –7  3 − 4  − 3  5 Skalarproduktet mellem to egentlige vektorer er nul, hvis og kun hvis vektorerne er ortogonale (dvs. at vinklen mellem dem er 90º). Eksempel:

  4   5  4  5 er ortogonale, da v ·=w =5 · 4 + 2 · (–10) = 20 – 20 = 0 Vektorerne v =   og w =  −10  2  −10  2

Vinklen v mellem to vektorer   a  b For to vektorer a =  a1  og b =  1  kan vinklen mellem dem beregnes med formlen: 2  b2        a ⋅ b cos(v ) =   , hvilket også kan udtrykkes: v = cos −1  a ⋅ b  a b a b Eksempel:

  1 5 Vi vil beregne vinklen mellem vektorerne a =   og b =    2  − 3    1  ⋅  5      a⋅b  2  −3 −1  −1   = cos −1  v = cos     = cos = 94, 4° 2 2 2 2  1 + 2 ⋅ 5 + ( −3)   5 ⋅ 34  a b −1

Eksempel:

  5   6 . Hvad skal t være, for at vektorerne og q = To vektorer er givet ved koordinaterne p = t   10 er ortogonale? Hvis prikproduktet er nul, er vektorerne ortogonale. Det giver os en ligning:   p⋅q = 0  5 ⋅  6 = 0  t   10 5 ⋅ 6 + t ⋅10 = 0 S can og se en 30 + 10 t = 0 gennemgang af begreber 10 t = − 30 og eksempler. t = −3 Konklusion: Vektorerne er ortogonale, når t = –3.

Træningssider

19. Bestem koordinaterne til tværvektorerne, og tegn vektor og tværvektor på kvadreret papir.  3 a. a =    1  − 1 b. a =  4   4 c. a =   −3   2 d. a =  0

21. Afgør, om vektorerne er ortogonale  −3   1 a. a = og b =    3  1   5   7 b. a = og b =  8  3   5  2 c. a = og b = −10  1

23. Beregn vinklen mellem vektorerne   −2    1 a. a = og b =  4  3   8  9 b. a = og b =  8  4   8   6 c. a =   og b =  − 6 10   9  4 d. a = og b =  7  2

25. Beregn vinklen mellem vektorerne

20. Beregn skalarproduktet af vektorerne   3   2 a. a = og b =  5  7   2  − 1 og b = b. a =  4  −5    8  2 c. a = og b =  6  1   1   15  d. a =   og b =  −1 12

22. Afgør, om vektorerne er ortogonale   −8  2 og b = a. a =  4  4   2  − 9 b. a =   og b =  −3 −6   7 5 c. a =   og b =    −3  8

24. B estem t, så vektorerne bliver ortogonale. Facit er heltal eller brøker.   −6   4 a. a = og b =  3  t   3  4 b. a = og b =  2 t  4  2t c. a =   og b =    8  8    6 2 d. a =   og b =   −2  3t 

26. B eregn vinklen mellem vektorerne

  −2   − 1  a. a =   og b =  2 3

  −21  0 a. a = og ba =  2  3

  3   4 b. a =   og b =  1 −1

 1   2 b. a =   og b =    5 −1

  2   −1  c. a =   og b = 2  6

  −2    −3 c. a =   og ba ==  − 4  21 2

  0  −4 d. a =   og b =  − 6 −5

  1  −1 d. a =   og b =  − 4 −3

Træningssider