Øvelse 3.25 Samlede antal riskorn på skakbrættet Benyt et værktøjsprogram til automatisk at udregne, hvor mange riskorn der ligger på de enkelte felter, samt hvor mange det summerer op til (dette kaldes også: at kumulere). felt nr.
formel
Antal riskorn på de enkelt felter
Kumuleret antal riskorn
1
1
1
1
2
2
2
3
3
22
4
7
4
23
8
…
...
...
...
a) A fbild de første 10 sammenhørende værdier af første og tredje kolonne i tabellen i et koordinatsystem, og forbind punkterne med en graf. Det vi her ser, er et eksempel på eksponentiel vækst. b) I regnearket kan man også hurtigt finde de kumulerede antal, dvs. det samlede antal riskorn, for det første felt, de første to felter, de første tre felter osv. Herved finder vi også den samlede sum fra alle skakbrættets felter. Kan du finde en sammenhæng mellem tallene i søjlen med de kumulerede antal og feltets nummer? Kan du finde en formel der udtrykker denne sammenhæng? Når vi ser på regnearket, synes der at gælde følgende generelle formel:
Sætning 4: Sum af totalspotenser For ethvert positivt helt tal n gælder 2 3 n n+1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 – 1
Øvelse 3.26 Skriv formlen ud for nogle små værdier af n, og kontroller at formlen er korrekt. Det særlige i matematik er, at formler og påstande gælder for alle tal, alle tilfælde, der er i spil i den givne situation. I øvelsen har vi afprøvet formlen for en række tal, men vi kan jo ikke afprøve uendeligt mange tilfælde. I matematik klarer vi alle tilfælde i ét hug ved hjælp af et matematisk bevis, hvor vi argumenterer helt generelt for formlen eller påstanden. Der kan være mange forskellige beviser for den samme påstand, og grunden til, at man ofte er interesseret i at finde eller undersøge flere beviser for den samme ting, er at hvert bevis kan sætte nye tanker i gang om andre formler eller andre metoder. På bogens website kan du finde et geometrisk bevis for påstanden.
122
Matematik_3_ny.indd 122
05/07/2018 19.27