1. Trigonometriske funktioner
2. Trigonometriske funktioner Trigonometrien opstod i forbindelse med den antikke astronomi og blev især videreudviklet i den indiske kultur. Både i Europa og Asien benyttede man sig af det klassiske babylonske vinkelmål med opdelingen af en cirkels omkreds i 360 grader, der igen blev opdelt i 60 bueminutter osv. Men dette vinkelmål er ikke naturligt knyttet til en cirkel. Det stammer fra forestillingen om cirklen som en model for Solens årlige bane hen over himmelkuglen, der tager ca. 360 dage. Allerede i oldtiden blev funktioner svarende til sinus og cosinus tabellagt, hvor vinklers gradtal blev sammenknyttet med siders længdemål. Sådanne tabeller blev reproduceret op gennem historien uden større ændringer. Da man under den franske revolution fra 1789 besluttede at standardisere alle former for mål, vægt osv. og erstatte gamle enheder med 10-talssystemet, var planen også at gøre dette for vinkelmål, så en ret vinkel fx skulle være 100° og ikke 90°. Men her måtte man give op efter få år; traditionen var for stærk, og man havde heller ikke i tide fået udarbejdet nye tabeller. Med funktionsbegrebets udvikling opdager man imidlertid, at sinus og cosinus kan være modelfunktioner for svingninger. Dermed var man nødt til at indføre en ny uafhængig variabel i stedet for grader, det som vi i dag kalder for radianer.
2.1 Grader og radianer I Hvad er matematik? 1, kapitel 6, indførte vi de trigonometriske funktioner sinus og cosinus som koordinater til vinklens retningspunkt på enhedscirklen: y y 1
1
Pv
sin(v)
Pv
sin(v)
b v
x cos(v)
1
v
x cos(v)
1
Når punktet Pv gennemløber cirklen, gennemløber vinklen v intervallet [0;360°], og funktionerne sinus og cosinus varierer inden for intervallet [–1;1]. Radiantallet til en vinkel v er lig med længden af den bue b, som vinklen spænder over på enhedscirklen. Da omkredsen af enhedscirklen er 2 · p · 1 = 2 · p, er sammenhængen mellem grader og radianer givet ved:
360° = 2 · p radianer 180° = p radianer
Heraf kan vi finde et udtryk for 1° eller for 1 radian: 180 π grader 1° = radianer og 1 radian = π 180
53
9788770668781_indhold.indb 53
12/08/2019 12.39