Når vi har givet en differentialligning, kan vi for ethvert punkt (x, y) indsætte og udregne tangentens hældningskoefficient i det pågældende punkt, hvorved vi har tallet y ′= s(x, y). Herefter kan linjeelementet tegnes. Gør vi dette for tilpas mange punkter, får vi et mønster af linjeelementer, som antyder graferne for de funktioner, der er løsning til differentialligningen. Måske kan vi så mønstergenkende dette og få et indtryk af, hvilke funktioner der ser ud til at være løsninger til differentialligningen. Under alle omstændigheder kan vi få et indtryk af de grafiske forløb for løsningerne i bestemte områder af koordinatsystemet, fx når x går mod uendelig.
Øvelse 3.8
Tegning af linjeelementer
Vi vil undersøge differentialligningen y ′= 0,5 · y – 0,5 · x ved hjælp af linjeelementer. a) I hvilke punkter (x, y) er y ′= 0? Tegn nogle af de tilsvarende linjeelementer. b) Angiv fem punkter, hvor linjeelementerne har hældningskoefficient +1, samt fem punkter hvor hældningskoefficienten er –1. Tegn nogle af de tilsvarende linjeelementer. c) Udfyld følgende tabel, og tegn de tilsvarende linjeelementer: (x, y)
(–5, –3)
(–3, –1)
(0, 1.5)
(2, 3)
(4, 4)
(6, 3)
(7, 0)
(8, –4)
y′
d) Skitser en graf, der stort set følger de linjeelementer, du har udregnet i c).
Den grafiske repræsentation af en differentialligning består af den samlede mængde af linjeelementer. Men der kan jo tegnes linjeelementer i alle punkter, så det ville sværte hele planen til, og vi ville ikke kunne skelne løsningsfunktionernes grafiske forløb. Dette skyldes, at vi her ikke ser på forløbet af 10 y én enkelt graf, men på forløbet af uendeligt mange grafers forløb. En graf, der repræsenterer en bestemt løsning, kaldes også for en løsningskurve. x
–10
–10
Her ses linjeelementer samt tre løsningskurver ′ 0,5 · y – 0,5 · x. hørende til differentialligningen y = Vi kan her få et tydeligt indtryk af de forskellige grafiske forløb, adskilt af linjen y = x + 2.
10
Vi vil i stedet vælge at visualisere et uddrag af den grafiske repræsentation, dvs. at vi nøjes med at tegne linjeelementer i nogle af koordinatsystemets punkter, og vi kan på den måde ved hjælp af et værktøjsprogram få et godt indtryk af forløbet af de forskellige løsningskurver. På bogens website kan du finde en interaktiv version af illustrationen, samt en vejledning i at tegne linjeelementer i de gængse værktøjsprogrammer.
142
9788770668781_indhold.indb 142
12/08/2019 12.40