Hvad er matematik? 2, OPGAVEBOG

Hvad er matematik?

2 Opgavebog Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

L&R Uddannelse

1

9788770668729_indhold.indb 1

13/05/2019 16.28

Hvad er matematik? 2, Opgavebog Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2019 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler.

Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave, 1. oplag ISBN 978 87 7066 872 9

www.lru.dk

Bogens illustrationer: Colourbox: 26n, 135ø, 136n Europe Cultural Heritage: 12 FlamingoForm/Flemming Steffensen: 161 Photos.com/Kristian Husar: 35, 60 Polfoto: 49 Iberfoto Portsmouth Estate: 92 Shutterstock: 152 StatistaCharts: 135n Wikimedia Commons: 8 Wolfgang Beyer, 33

2

HEM_2_opgaver_00.indd 2

20/05/2019 14.13

Indholdsfortegnelse

Forord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.1 Iteration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.2 Matematikkens skønhed – fraktalernes verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Matematisk modellering med funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.0 1.2 1.3 1.4

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . .

Regningsarterne anvendt på funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 14 17 18

2. Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.0 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2. . . . . . . . . . . . . . . .

Andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression . . . . . . . . . . . . . . .

Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 22 26 28 33 35

3. Polynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.0 3.2 3.3 3.4 3.5

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . .

Tredjegradspolynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vilkårlige polynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelse af polynomier – regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 43 45 47

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.0 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . .

Logaritmefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Logaritmeregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammenhængen mellem ax og ak·x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 52 54 55 56 58

5a. Differentialregning 1 – Om polynomier og monotoniforhold. . . . . . . . . 59 5a.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 5a. . . . . . . . . . . . . . . 59 5a.2 Kontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5a.3 Differentiable kurver og differentialkvotienter – introduktion . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

9788770668729_indhold.indb 3

13/05/2019 16.28

5a.4 Differentiation af polynomier – regneregler for differentiation . . . . . . . . . . . . .

5a.5 Bestemmelse af tangentligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5a.6 D ifferentialregningens hovedsætninger – lokale ekstrema og monotoniforhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5a.7 Anvendelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5a.8 Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 72

5b. Differentialregning 2 – Om specialfunktioner og krumningsforhold.

91

76 81 88

5b.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 5b. . . . . . . . . . . . . . 91 5b.3/5b.4 Sammensat funktion og differentiation af sammensat funktion . . . . . . . . 95 5b.5 Differentiation af eksponential-, logaritme- og potensfunktiner . . . . . . . . . . . . 96 5b.6 Grafers krumning og den anden afledede funktion (supplerende stof). . . . . . . 101 5b.7 Anvendelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. Matematisk modellering med afledede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 Differentialligningsmodeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.3 Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7. Vektorer og analytisk geometri i planen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.0 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . .

Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Den rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vinkel mellem linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skæring mellem linjer og cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Afstand mellem punkt og linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 119 121 123 124 126 127

8. Numeriske metoder og algoritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.0 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . .

Regressionsanalyse og bedste rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Stykkevis definerede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modellering af svingninger og sinusregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Numerisk bestemmelse af nulpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynomiers division og polynomiumsbrøker (især A-niveau) . . . . . . . . . . . . . .

128 131 134 137 140 141

9. Binomialfordelingen – Om testteori og konfidensintervaller . . . . . . . . 143

9.0 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . .

Binomialmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Binomialfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelser af binomialfordelingen – testteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 147 150 154 157 161

Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4

9788770668729_indhold.indb 4

13/05/2019 16.28

Forord

Opgavebogen er skrevet til grundbogen Hvad er matematik? 2, og følger dennes inddeling i kapitler og afsnit.

Alle kapitler har fået en ny facilitet i forhold til de tidligere opgavebøger til C, B og A, nemlig et afsnit 0: ”X.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel [X]” Dette afsnit er først og fremmest tænkt som en hjælp til den daglige lektielæsning og til en afsluttende repetitionsfase. Afsnit 0 retter sig altså i lige så høj grad mod fagets mundtlige dimension som mod den skriftlige.

Vi har bestræbt os på at skrive grundbogen, så eleverne faktisk kan læse en matematisk tekst. Men for enhver faglig tekst gælder, at det første gang man læser den, er svært at vide, hvad der er de vigtigste begreber og oplysninger. Hvad er det især, man skal have tilegnet sig, efter at have læst teksten? Det fremgår af spørgsmålene i afsnit X.0.

Eleverne kan således med spørgsmålene selv evaluere, om de har styr på det faglige emne. Og lærerne kan anvende disse opgaver, når man giver lektier for, ved at udpege de relevante opgaver i afsnit X.0 for eleverne. Endelig kan de anvendes i en repetitionsfase, hvor eleverne med brug af disse opgaver selv kan arbejde stoffet igennem. Der er derfor ikke facit til spørgsmålene i afsnit X.0, men alle opgaver kan besvares ved opslag i grundbogens kapitel X. Man kan evt. bruge stikordsregistret.

Vi har valgt også at lægge spørgsmål ind til alle de indledende fortællinger i afsnit 1 i grundbogens kapitler. Man skal i undervisningen dække både den historiske og den anvendelsesmæssige dimension af det faglige stof, og de indledende fortællinger er velegnede hertil. Men det enkelte hold vil sikkert kun gennemgå nogle få af disse, og der er frit valg her. Derfor har vi lagt spørgsmål ind til alle afsnit.

De fleste kapitler afsluttes med et afsnit med udfordrende opgaver. Disse opgaver har emner eller sværhedsgrad, der ligger over det niveau, eleverne vil møde til en skriftlig prøve.

Opgaverne i alle de øvrige afsnit dækker fuldt og helt pensum til en skriftlig prøve i de faglige emner, der er behandlet i Hvad er matematik? 2

Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

5

9788770668729_indhold.indb 5

13/05/2019 16.28

Hvad er matematik?

0.

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0. . . . . . . . . . . . . . . .

6

1. Iteration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Matematikkens skønhed – fraktalernes verden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0 Opgave 0.1 Hvad betyder iteration? Giv eksempler på iteration med anvendelse af funktioner.

Opgave 0.2 En lineær iteration med en given startværdi kan illustreres ved hjælp af en tabel, eller grafisk ved anvendelse af en tidsserie eller ved et webdiagram. Forklar de tre metoder, og illustrer din forklaring med eksempler.

Opgave 0.3 Hvad er et fixpunkt? Illustrer grafisk, at et tal, x0, er fixpunkt for en funktion f.

Opgave 0.4 Givet en lineær iteration med funktionen f(x) = a · x + b.

a) Forklar begreberne tiltrækkende og frastødende fixpunkter.

b) F or en iterationsproces kan der være en tredje mulighed, nemlig at iterationen er stationær. Hvad betyder det? Illustrer det grafisk.

c) Hvilken rolle spiller a-tallet for iterationsprocessen?

6 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 6

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.5 a) Hvad er en kvadratisk iteration? b) A ntag, at iterationsfunktionen er f(x) = a · x · (1 – x). I grundbogen s. 12 står der: ”Startværdien x0 ligger mellem 0 og 1. Hvis de følgende iterationer også skal ligge mellem 0 og 1, må vi forlange, at der skal gælde 0 < a < 4.” Hvorfor det?

Opgave 0.6 a) I intervallet 1 < a < 3 er der ét tiltrækkende og ét frastødende fixpunkt. Hvilke?

Illustrer dette ved hjælp af en af metoderne fra 0.2. b) Når a bliver lidt større end 3, opstår der tiltrækkende 2-cykler, 4-cykler osv.

Illustrer dette ved hjælp af en af metoderne fra 0.2.

Opgave 0.7 a) Forklar, hvad figentræet er et diagram over. b) Forklar, hvad man mener med ”figentræets fraktale struktur”.

Opgave 0.8 Feigenbaum undersøgte især, hvad han kaldte periodefordoblingen, og opdagede et mønster heri, der ledte ham på sporet af en ny naturkonstant, som vi i dag kalder for Feigenbaums konstant. Fortæl den historie! (Hint: Grundbogen, s. 16-17)

0.9 Opgave Hvad menes med udtrykket fraktal struktur. Giv eksempler fra naturen.

Opgave 0.10 Mandelbrot publicerede i 1967 en artikel med titlen How long is the coast of Britain?

a) Hvad var Mandelbrots pointe med det spørgsmål?

b) Han indførte begrebet selv-similær. Hvad betyder det?

Opgave 0.11 I grundbogens kapitel 0, afsnit 1.2 generaliseres det velkendte dimensionsbegreb, så vi kan tillægge ”krøllede” fraktale figurer en dimension, D, der ikke er et helt tal.

Forklar formlen: D = −

log ( N ) , og illustrer den med nogle fraktale figurer. log ( s )

7 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 7

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 0.12 a) G ør rede for den iterative proces, der frembringer Kochs snefnug? Kurven blev oprindelig konstrueret med et helt andet formål end studiet af fraktaler. Hvilket? b) Anvend

formlen fra 0.11 til at vise, at kurven har dimensionen log(4) ≈ 1,26 log(3)

c) V is, at kurven er uendelig lang, og argumenter for, at arealet er begrænset.

Opgave 0.13

a) M andelbrotmængden konstrueres i den komplekse talplan. Hvad er det for en iterativ proces, der ligger bag figuren?

b) H vad er det for komplekse tal, der indgår i selve Mandelbrotmængden (det mørke omsluttede område)? Og hvad betyder de forskellige farvekoder på den utroligt komplicerede rand om figuren?

0.1 Iteration og kaos – værktøjsprogrammer åbner nye verdener Opgave 0.14 Givet den lineære iteration f(x) = 0,7x + 0,4.

a) V ælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. c) Bestem fixpunktet. d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller stationært?

Opgave 0.15 Givet den lineære iteration f(x) = 1,2x + 0,4.

a) Vælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunktet.

d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller stationært?

8 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 8

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.16 Givet den lineære iteration f(x) = –x + 0,4.

a) Vælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunktet.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller stationært?

Opgave 0.17 Givet den kvadratiske iteration f(x) = x 2 – 2.

a) Vælg x0 = 0,3 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunkterne.

d) Er fixpunkterne tiltrækkende, frastødende eller stationære?

Opgave 0.18 Givet den kvadratiske iteration f(x) = x 2 +

1 8.

a) Vælg x0 = 0,3 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunkterne.

d) Er fixpunkterne tiltrækkende, frastødende eller stationære?

Opgave 0.19 Bestem fixpunkter for den kvadratiske iteration: f(x) = a · x · (1 – x)

9 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 9

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

0.2 M atematikkens skønhed – fraktalernes verden Opgave 0.20

Cantors støvmængde fremkommer ved følgende iteration:

Et linjestykke med længde 1, fx stykket fra 0 til 1 på en x-akse, er udgangs1 2 punkt. Herfra fjernes først den midterste tredjedel, dvs. på aksen:  3 ; 3  .   Dernæst fjernes den midterste tredjedel af hver af de to linjestykker. Sådan fortsættes: a) Argumenter for, at mængden ikke kan indeholde noget interval. b) Angiv en række tal, som må være med i mængden. c) ( svær!) Hvis vi anvender tretalssystemet, hvor de eneste cifre er 0, 1 og 2, og skriver  1 ; 2 = 0,2, 5 = 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = 0,012. brøkerne som decimaltal, så er  1 ;=20,1,   27 3 32 33  3 3  3 3  Argumenter for, at støvmængden indeholder alle decimalbrøker, der kun består af cifrene 0 og 2. d) Anvend formlen for dimensionen D, fra grundbogen s. 21: D = −

log ( N ) , til at bestemlog ( s )

me dimensionen af støvmængden. N står for skaleringen i antallet af linjestykker, når vi går én iteration frem. s står for skaleringen i længden af disse linjestykker.

Opgave 0.21 he Heighway dragon fremkommer ved følgende iteration: T Startfiguren og første iteration er:

Man erstatter altså hvert linjestykke med en nedskaleret version af startfiguren og lægger disse skiftevis til den ene og den anden side.

a) Tegn figuren i næste trin.

b) Find ud af, hvordan slutfiguren ser ud. Ses fx på wikipedia.

c) A nvend formlen for dimensionen D, fra grundbogen s. 21: D = −

log ( N ) , til at log ( s )

bestemme dimensionen af The Heighway dragon. N står for skaleringen i antallet af linjestykker, når vi går én iteration frem. s står for skaleringen i længden af disse linjestykker.

10 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 10

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.22 Peanos kurve fremkommer ved følgende iteration: Startfiguren er følgende, hvor man skal forestille sig, at man starter i 0, vandrer 2  1 i; 2,hvor fra venstre, drejer lodret op ved 1 ;og 3 3 fortsætter rundt og tilbage til aksen    3 31 2  man drejer til højre og går tilbage til ,; for så at dreje lodret ned og køre rundt til 3 3 man igen er på aksen, hvor man drejer til højre og ender i 1.

I hver iteration erstattes hvert linjestykke med en nedskaleret version af startfiguren, så det starter således:

a) Tegn videre på figuren i første trin.

b) P eanos kurve ender med at fylde et kvadrat helt ud! Dvs. at en ”linje” ender med at gå igennem alle punkter i et kvadrat. Læs om kurven på nettet.

c) A nvend formlen for dimensionen D, D = −

log ( N ) , til at bestemme dimensionen log ( s )

af Peanos kurve. N står for skaleringen i antallet af linjestykker, når vi går én iteration frem. s står for skaleringen i længden af disse linjestykker.

11 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 11

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Matematisk modellering med funktioner

1.

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Regningsarterne anvendt på funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1 Opgave 1.1 I 1637 udgiver den franske filosof Descartes et værk, der bliver et af hovedværkerne i filosofiens historie. Værket indeholder en række bilag, bl.a. et om regnbuen.

a) Hvad er titlen på Descartes værk?

b) Hvad er hans begrundelse for tage disse bilag med?

Opgave 1.2 Det var en gammel viden, at regnbuer opstår, når sollyset reflekteres i regndråber. a) D escartes anvender en særlig metode, der giver ham mulighed for at gennemføre eksperimenter mht. at studere lysets gang. Hvad gør han? b) Hvordan forklarer Descartes regnbuen? c) Hvordan forklarer Descartes biregnbuen?

Opgave 1.3 Det er en gammel viden, at regnbuen flytter sig, når vi går hen imod den, dvs. at regnbuen ikke er et fysisk fænomen, men et optisk fænomen. I 1266 giver den engelske naturvidenskabsmand Roger Bacon en geometrisk beskrivelse af regnbuen.

Hvad er det for en iagttagelse, han har gjort mht. regnbuevinklen?

Opgave 1.4 Redegør ved hjælp af en tegning for en solstråles gang i en regndråbe.

(Hint: Se tegning s. 32 og øvelse 1.5 s. 34 i grundbogen)

12 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 12

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 1.5 Givet et bestemt stof:

a) Hvad er definitionen på stoffets brydningsforhold?

b) Hvad siger brydningsloven?

c) Antag, at vi står og ser på en regnbue. Hvad er spredningsvinklen?

d) Spredningsvinklen er en funktion af indfaldsvinklen. Udled denne formel.

(Hint: Øvelse 1.5, s. 34 i grundbogen)

Opgave 1.6 Med baggrund i sit eksperiment forklarer Descartes, hvorfor der fremkommer forskellige farver i en regnbue. Hvad er hans forklaring?

Opgave 1.7 En stor klasse af opgaver i matematik kaldes for optimeringsopgaver.

a) Hvad mener vi med optimering?

b) H vis optimeringsproblemet oversættes til matematik i form af en variabelsammenhæng, hvad går så det matematiske optimeringsproblem ud på?

Forklar det gerne grafisk.

c) D et er ikke altid, at løsninger fundet i den matematiske model giver mening i det oprindelige problem. Forklar dette med et eksempel.

(Hint: Se kapitel 1, afsnit 2, eksempel 3, s. 42f)

Opgave 1.8 I løsning af optimeringsproblemer bringes to forskellige metoder i brug: Løsning med geometriske metoder og løsning ved opstilling af variabelsammenhænge.

Redegør ved hjælp af eksempler for, hvad vi forstår ved de to metoder.

Opgave 1.9 I en matematisk tekst kan vi finde formuleringer som: ”Tegn grafen i det relevante interval”. Hvad menes med det relevante interval?

Opgave 1.10 Når vi matematiserer optimeringsproblemer ved at indføre variable, vil vi ofte have 3, 4 eller flere variable. Hvilken teknik kan vi da anvende for at oversætte problemet til et, der vedrører optimering af en funktion af én variabel? Giv gerne eksempler.

(Hint: Se kapitel 1, afsnit 2, eksempel 4, s. 44f)

Opgave 1.11 Man taler om 4 faser i en matematisk modellering. Redegør for disse 4 faser.

13 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 13

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 1.12 Hvad menes med de 4 repræsentationsformer for variabelsammenhænge?

Opgave 1.13 Da funktionsbegrebet blev indført i 1700-tallet, var funktioner givet direkte eller indirekte ved regneforskrifter. I vor tid har vi udvidet funktionsbegrebet. Hvad mener vi med dette? Hvad er forskellen mellem dette og det oprindelige begreb?

Opgave 1.14

Når vi udfører regneoperationer inden for tallenes, vektorernes eller funktionernes verden, taler vi om forskellige love: Den kommutative lov, den associative lov og den distributive lov. Forklar disse begreber.

1.2 Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering Opgave 1.15 Arealet af et bestemt rektangel kan beskrives ved arealfunktionen A(x) = –2x3 + 20x, hvor x er en af siderne. Benyt arealfunktionen til at besvare nedenstående spørgsmål:

a) Hvor stort er rektanglets areal, når x = 2?

b) Hvor stor skal x være, for at rektanglets areal bliver 20?

Opgave 1.16 En klods har kvadratiske endeflader med siden x, og længden af klodsen er y.

x

y

For en bestemt type af sådanne klodser oplyses, at rumfanget er bestemt ved

x

a) Bestem klodsens overflade udtrykt ved x og y.

V ( x ) = 1 (16 − x 2 ) x, 0 < x < 4.

2

b) Bestem den værdi af x, for hvilken klodsens rumfang V er størst mulig.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen august 2011 med)

Opgave 1.17 Givet funktionen f(x) = –2x2 + 180.

a) Tegn grafen og bestem grafisk de x-værdier, hvor f(x) er positiv eller nul.

For en given x-værdi, hvor f(x) er positiv eller nul, indlægges et rektangel i parabelbuen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet –x til tallet x på 1. aksen. Rektanglets lodrette sider tegnes fra henholdsvis –x og x på 1. aksen op til linjerne rammer parablen.

14 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 14

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

1. Matematisk modellering med funktioner

b) T egn en skitse af rektanglet, og argumenter for, at rektanglets sider er henholdsvis 2x og f(x).

c) B estem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

d) Bestem ved en geometrisk metode siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.18 Givet funktionen f(x) = 2x + 3, hvor x ∈ [0;12].

a) Tegn grafen med den angivne definitionsmængde.

b) F or en given x-værdi i intervallet [0;12] indlægges et rektangel mellem 1. aksen og linjen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet x til tallet 12 på 1. aksen. Rektanglets ene lodrette side trækkes fra tallet x op til linjen rammer grafen.

c) T egn en skitse af rektanglet, og argumenter for, at sidelængderne er henholdsvis 12 – x og f(x).

d) Bestem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

e) Bestem geometrisk siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.19 Givet funktionen f ( x ) =

x , hvor x ∈ [0;25].

a) Tegn grafen med den angivne definitionsmængde.

For en given x-værdi i intervallet [0;25] indlægges et rektangel mellem 1. aksen og grafen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet x til tallet 25 på 1. aksen. Rektanglets ene lodrette side trækkes fra tallet x op til linjen rammer grafen.

b) T egn en skitse af rektanglet, og argumenter for, at sidelængderne er henholdsvis 25 – x og f(x).

c) B estem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

d) Bestem geometrisk siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.20

y

På figuren ses en rektangulær løbegård til en hund. Løbegården skal bygges op ad en mur, og de tre øvrige sider skal dannes af et 20 m langt hegn. Løbegårdens længde betegnes med y, og løbegårdens bredde betegnes med x.

x

x

Bestem y udtrykt ved x. Bestem x, så arealet af løbegården bliver størst muligt.

15 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 15

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 1.21 En familie vil konstruere en rektangulær hundegård i baghaven ved hjælp af 100 m hegn. De to par af sider skal altså være lige lange. De finder ud af, at arealet af indhegningen som funktion af indhegningens ene side kan beskrives ved A(x) = 50x – x2, hvor A(x) betegner arealet af indhegningen, når det ene par af sider har længden x.

a) A rgumenter for, at der en øvre og nedre grænse for x: x > 0 og x < 50.

b) B estem sidelængden x i indhegningen, så arealet bliver størst muligt.

Hvor lang bliver den anden side?

Opgave 1.22 En kasse uden låg har kvadratisk bund. Rumfanget af kassen er 32 dm3. På figuren betegner x sidelængden i den kvadratiske bund, og h betegner kassens højde. h

a) Bestem h udtrykt ved x.

x

b) S æt den nedre grænse for x til 1 og den øvre grænse til 10, og bestem den værdi af x, som gør kassens samlede overfladeareal mindst muligt.

x

(stx-B eksamen august 2010 uden)

Opgave 1.23 På figuren ses symønsteret for en taskes ene side. Symønsteret har form som et rektangel, hvori der er udskåret en halvcirkel. Rektanglets sidelængder er 2x og y.

x

a) Opstil et udtryk, der beskriver symønsterets omkreds udtrykt ved x og y.

b) Bestem y udtrykt ved x, når omkredsen er 100 cm.

c) Er der en øvre og en nedre grænse for størrelsen af x?

d) Bestem symønsterets areal som funktion af x.

e) Bestem x, således at symønsterets areal bliver størst muligt.

y

2x

(stx-A eksamen august 2011 med)

Opgave 1.24 Et blomsterbed har form som et rektangel sammensat med en halvcirkel (se figuren). Blomsterbedets omkreds er 16. r

a) Bestem h udtrykt ved r.

h

b) Bestem blomsterbedets areal udtrykt ved r. c) Bestem r, så blomsterbedets areal er størst muligt.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2009 med)

16 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 16

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

1. Matematisk modellering med funktioner

Opgave 1.25 En madkasse skal udformes, så den ene side i bunden er dobbelt så lang som den anden side i bunden, og den skal kunne rumme 1 liter (som er lig med 1000 cm3 ).

a) F astlæg selv nogle grænser for bundens korte side, og bestem madkassens dimensioner, idet materialeforbruget skal minimeres.

1.3 Regningsarterne anvendt på funktioner Opgave 1.26 a) T egn graferne for følgende funktioner: p0 : x → 1, p1 : x → x og p2 : x → x2 b) Opskriv en regneforskrift for funktionen p = 0,5 · p2 – 2 · p1 + 3 · p0 c) Tegn grafen for p. d) Opret funktionen q = a · p2 + b · p1 + c · p0, hvor a, b og c er reelle tal.

Undersøg det grafiske billede, idet a, b og c repræsenteres med skydere. e) I den indledende vektorregning indførte vi betegnelsen basisvektorer i de todimensionelle vektorers verden. Kan din undersøgelse begrunde, at p0, p1 og p2 kaldes for basispolynomier i andengradspolynomiernes verden?

Opgave 1.27 a) T egn graferne for følgende funktioner: p0 : x → 1, p1 : x → x, p2 : x → x2 og p3 : x → x3 b) Opskriv en regneforskrift for funktionen p = 0,2 · p3 – 1,5 · p2 + 2 · p1 – 3 · p0 c) Tegn grafen for p. d) Opret funktionen q = a · p3 + b · p2 + c · p1 + d · p0, hvor a, b, c og d er reelle tal.

Undersøg det grafiske billede, idet a, b, c og d repræsenteres med skydere. e) I den indledende vektorregning indførte vi betegnelsen basisvektorer i de todimensionelle vektorers verden. Kan din undersøgelse begrunde, at p0, p1, p2 og p3 kaldes for basispolynomier i tredjegradspolynomiernes verden?

Opgave 1.28 a) T egn graferne for følgende funktioner: exp1 : x → ex og exp2 : x → e –x b) Opskriv regneforskriften for funktionen H1 : x → 2 · exp1 + 0,5 · exp2 c) Tegn grafen for H1.

17 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 17

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

d) Opret funktionen: H1 : x → a · exp1 + b · exp2, hvor a og b er reelle tal.

Undersøg det grafiske billede, idet a og b repræsenteres med skydere. e) I dette tilfælde er der ikke tale om basispolynomier i de eksponentielle funktioners verden. Linearkombinationerne skaber helt nye typer af funktioner, som omfatter de hyperbolske funktioner, der er præsenteret i Hvad er matematik? 1, s. 280ff.

Slå op der, og beskriv, hvor funktionerne optræder.

1.4. Udfordrende opgaver Opgave 1.29 y

Publikumsområde

Scene x

2x

I en park skal der anlægges en trekantet scene samt et publikumsområde. Sammen med scenen danner publikumsområdet et rektangel med sidelængderne 2x og y. Publikumsområdet er på tre sider afgrænset af et hegn (se skravering på figur). Den samlede længde af hegnet skal være 300 m. a) Bestem y udtrykt ved x. b) Bestem arealet af publikumsområdet udtrykt ved x. c) Bestem det størst mulige areal.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen december 2010 med)

Opgave 1.30

h

l

E n bestemt affaldscontainer har form som en åben kasse. Sammenhængen mellem kassens højde h og kassens bredde x er 3x + h = 3, mens sammenhængen mellem kassens længde l og kassens bredde er l = 2x.

Bestem kassens rumfang udtrykt ved x.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen august 2011 uden)

x

Opgave 1.31 En bestemt type af massive metalgenstande fremkommer ved at fjerne en halvkugle i hver ende af en cylinder. Radius i halvkuglerne er lig med cylinderens radius. For en metalgenstand af denne type, hvor overfladen skal være 4 dm2, gælder, at

2 π r h + 4 π r 2 = 4 og V = π r 2 h − 43 π r 3 ,

hvor r (dm) er radius i både cylinderen og halvkuglerne, h (dm) er cylinderens højde, og V (dm3 ) er metalgenstandens rumfang.

Bestem V som funktion af r. (stx-B eksamen maj 2007 med)

18 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 18

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Andengradspolynomiet

2.

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2. . . . . . . . . 19 2. Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression . . . . . . . 26 4. Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5. Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.0 B egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2 Opgave 2.1 I 1537 udkommer en lærebog om ballistik, skrevet af den italienske matematiker Tartaglia.

a) Hvad er ballistik?

b) Hvad var Tartaglias væsentligste opdagelser inden for ballistik?

c) T artaglia opfandt et særligt instrument, der kaldes Tartaglis kvadrant, til at bestemme skudvinklen. Forklar, hvordan kvadranten anvendes.

Opgave 2.2 På Tartaglias tid i 1500-tallet var den græske filosof og naturvidenskabsmand Aristoteles stadig den store autoritet. Hvordan beskrev man i denne tradition en kanonkugles bevægelse?

Opgave 2.3 I 1592 gennemfører Galileis et eksperiment, der kommer til at betyde et opgør med Aristoteles bevægelseslære.

a) Hvad går eksperimentet ud på? b) Hvad var Galileis konklusion vedrørende banekurven?

19 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 19

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.4 I 1638 udgiver Galileis et samlet værk, hvor han fremlægger sin nye teori om, hvilke love der gælder for bevægelser.

a) Hvad er titlen på værket? Hvad er meningen med den titel?

b) Hvordan er Galileis egen situation, da han udgiver bogen?

Opgave 2.5 Udgangspunktet for Galilei er studiet af det frie fald.

a) Hvordan kan han med sin tids ure registrere en kugles bevægelse i et frit fald? b) G alilei når frem til, at der er en sammenhæng mellem det frie fald og de ulige tal.

Hvad mener han med det? Forklar det med en tabel eller et sildeben.

Opgave 2.6 Galilei argumenterer ud fra et klassisk princip om naturens indretning.

a) Hvad går dette princip ud på?

b) G alilei opstiller ud fra dette princip en bestemt sammenhæng mellem hastigheden, v, og tiden, t, i et frit fald. Hvad er det for en sammenhæng?

Opskriv det med symboler.

c) Hvilken konsekvens har denne formel mht. accelerationen i et frit fald?

Opgave 2.7 Ud fra formlen i 2.6 b) udleder Galilei en formel for sammenhængen mellem strækningen, s, som en kugle falder, og tiden, t.

a) Opskriv denne formel.

b) Formlen udledes ud fra en geometrisk betragtning. Gennemfør dette.

Opgave 2.8 Galilei bygger sin analyse af det skrå kast på analysen af det frie fald. Forklar dette.

Opgave 2.9 Gennemfør udledningen af bevægelsesligningerne for det skrå kast (se s. 62-63).

20 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 20

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.10 a) Hvad forstår vi ved graden af et polynomium? b) Hvad er et nultegradspolynomium? Opskriv et eksempel. c) Hvad er et førstegradspolynomium? Opskriv et på symbolsk form.

Opgave 2.11 Opskriv forskriften for et andengradspolynomium, og forklar, hvad vi forstår ved koefficienterne. Giv nogle taleksempler. Kan alle tal være koefficienter?

Opgave 2.12 Hvilken betydning for det grafiske forløb af et andengradspolynomium har:

a) Koefficienten til x2? Kommenter både størrelse og fortegn.

b) Koefficienten til x? Hvordan kan vi ud fra en given graf aflæse fortegnet?

c) Konstantleddet? Hvordan kan vi ud fra en given graf aflæse fortegnet?

Opgave 2.13 En parabel, der er graf for et andengradspolynomium, har en lodret symmetriakse.

a) Hvad er ligningen for denne lodrette linje?

b) Symmetriaksen skærer parablen i et bestemt punkt. Hvad kaldes dette punkt?

c) Hvad er koordinaterne for dette punkt?

Opgave 2.14 a) H vordan kan man bestemme forskriften for et andengradspolynomium ud fra 3 punkter på grafen? Kunne man have valgt tre tilfældige punkter i planen? b) H vordan kan man bestemme forskriften for det andengradspolynomium, hvis graf bedst tilnærmer 4 eller flere dataværdier?

Opgave 2.15 Antag, at vi har lavet andengradsregression ud fra et antal dataværdier.

Hvad forstår vi ved residualerne? Hvad er et residualplot?

21 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 21

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.16 Givet en andengradsligning.

a) Hvad betyder det, at et givet tal ”er en løsning” til andengradsligningen?

b) Hvornår har en andengradsligning en løsning?

c) Opskriv løsningsformlen.

d) Løsningsformlen udledes gennem en række omskrivninger.

Hvad er den grundlæggende ide i disse omskrivninger?

Opgave 2.17 a) Opskriv formeludtrykket for diskriminanten. b) Hvad menes med at faktorisere et andengradspolynomium? c) Hvornår kan et andengradspolynomium faktoriseres?

Opgave 2.18 Hvordan løses opgaver af typen: Skæring mellem en parabel og en ret linje?

Opgave 2.19 I opgaver med økonomisk optimering optræder begreberne maksimalt udbytte og optimal investering. Forklar de to begreber ud fra en grafisk skitse.

Opgave 2.20 Giv (mindst) to eksempler, hvor andengradspolynomier og -ligninger er i spil i løsningen af det givne problem. (Hint: Se grundbogen kapitel 2, afsnit 5)

2.2. Andengradspolynomiet Opgave 2.21 En funktion f er givet ved f(x) = 2x 2 – 4x.

Bestem f(3). (stx-B eksamen august 2010 uden)

Opgave 2.22 En funktion f er givet ved f(x) = x 2 + 5x + 1.

Bestem f(3). (stx-B eksamen december 2010 uden)

22 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 22

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.23 Angiv koefficienterne a, b og c i de følgende andengradspolynomier:

a) p1(x) = 3x 2 + 7x – 10

b) p2 (x) = 3x 2 + 19 + 25x

c) p3 (x) = –2x 2 + 10x

d) p4 (x) = x 2 + 50

e) p5 (x) = x – 3x 2 + 19

Opgave 2.24 Nedenfor ses fire parabler. Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b og c for det tilhørende andengradspolynomium.

a) b) y

y 12

12 11

11

10

10

9

9

8

8

f

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

g

2 1

1

x

x

0 1 –4 –3 –2 –1 –1

2

3

–4 –3 –2 –1 –1

4

y

c) d)

3

4

2

3

4

y 12

12 11

11

10

10

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3 2

2 i

1 –4 –3 –2 –1 –1

2

–2

–2

h

0 1

1

x

x 0 1

2

3

4

–2

–4 –3

–1 –1

0 1

–2

23 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 23

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.25 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + c.

a) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og c < 0.

b) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og c < 0.

c) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og c > 0.

d) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og c > 0.

Opgave 2.26 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + bx.

a) Tegn en mulig graf for f, hvor hvor a < 0 og b < 0.

b) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og b < 0.

c) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og b > 0.

d) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og b > 0.

Opgave 2.27 Skitser grafen for hver af følgende andengradspolynomier uden brug af et værktøjsprogram:

a) p1(x) = 2x 2 + 10

b) p2 (x) = 3x 2 + 9x

c) p3 (x) = –x 2 + 5

d) p4 (x) = x 2 + 5x – 2

e) p5 (x) = –x 2 + 10x + 4

Opgave 2.28 Skitser i hvert af følgende tilfælde en parabel, der er grafen for et andengradspolynomium f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c, hvor koefficienterne opfylder betingelserne:

a) a > 0, b < 0 og c > 0

b) a > 0, b < 0 og c < 0

c) a < 0, b < 0 og c < 0

24 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 24

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.29

y

Hver af graferne A, B og C på figuren er graf for en af funktionerne f, g og h, der er givet ved:

f(x) = 2 x

g(x) = 2 –x

h(x) = x 2 + 1

B A

Angiv for hver af graferne A, B og C, hvilken af de tre funktioner den er graf for. Begrund svaret.

C

x

(stx-B eksamen maj 2012 uden) (2)

y = 8x + 1

Opgave 2.30 En parabel er graf for funktionen

T(2,9)

f(x) = a · x2 + b · x + c

Det oplyses, at tangenten til grafen for f i punktet P(0,1) er givet ved ligningen y = 8x + 1, samt at parablen har toppunkt i punktet T(2,9).

Bestem tallene a, b og c. (stx-A eksamen maj 2017 uden)

f

P(0,1) (1)

Opgave 2.31 Bestem koordinatsættet til toppunktet for den parabel, der er graf for funktionen

f(x) = –7x 2 + 28x + 25

.

(stx-B eksamen december 2008 med)

Opgave 2.32 Grafen for funktionen f(x) = 3x 2 – 12x + 9 er en parabel.

a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt grafisk.

b) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt ved beregning.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen august 2010 uden)

25 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 25

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.33 Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen med ligningen

y = x 2 – 6x + 19.

Du skal både bestemme koordinatsættet ved beregning og grafisk.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen august 2010 uden)

Opgave 2.34 Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved ligningen

y = 2x 2 – 8x + 3.

Du skal både bestemme koordinatsættet ved beregning og grafisk.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2011 uden)

Opgave 2.35 En funktion f er givet ved f (x) = –2x2 + 10x + 4.

a) Tegn grafen for f.

b) T egn grafen for g givet ved g(x) = f (x – 3) + 20, og sammenlign den med grafen for f.

c) T egn grafen for h givet ved h(x) = 3 ∙ f (x) – 5, og sammenlign den med grafen for f.

d) Tegn grafen for i givet ved i ( x ) = f  

x − 4 , og sammenlign den med grafen for f.

3 

2.3. Bestemmelse af forskrift ud fra graf – andengradsregression Opgave 2.36 I hvert af følgende tilfælde går grafen for et andengradspolynomium f igennem de nævnte tre punkter. Bestem forskriften for f ved løsning af et ligningssystem.

a) Punkterne er (–4,8), (0,1) og (2,6).

b) Punkterne er (0,8), (3,–4) og (10,6).

c) Punkterne er (–1,–6), (3,5) og (6,–1).

d) Punkterne er (–2,0), (6,7) og (10,0).

Bestem desuden forskrifterne ved hjælp af kvadratisk regression på et værktøjsprogram.

26 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 26

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.37 I USA har man opgjort det totale antal af personer med AIDS. Personer opdeles efter det år, de har fået diagnosen. År Antal personer med AIDS

1999

2000

2001

2002

2003

41356

41267

40833

41289

43171

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c

a) Angiv de to variable x og y.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved kvadratisk regression.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) Benyt modellen til at bestemme det totale antal personer med AIDS i 2007.

e) Benyt modellen til at bestemme det år, hvor der er 50000 personer med AIDS.

Kilde: US. Dept. Of Health and Human Services, Centers for Disease Control and Prevention, HIV/AIDS Surveillance, 2003.

Opgave 2.38 En person får tilført medicin gennem et drop. Koncentrationen af medicinen i blodet måles hver halve time. Tabellen viser en række af disse målinger.

Tid i timer

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Koncentration af medicin målt i mg/l

0

78,1

99,8

84,4

50,1

15,6

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c.

a) Angiv de to variable x og y.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) Benyt modellen til at bestemme koncentrationen af medicin i personens blod efter 2,25 timer.

e) B enyt modellen til at bestemme de tidspunkter, hvor medicinens koncentration i blodet er 60 mg/l.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved kvadratisk regression.

27 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 27

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2.4. Andengradsligningen Opgave 2.39 I det følgende er der en række andengradsligninger.

a) Vis, at x = 7 er en løsning til x 2 – 6x – 7 = 0.

b) Vis, at x = 1 er en løsning til x 2 – 10x + 9 = 0.

c) Vis, at x = –3 er en løsning til 3x 2 + 6x – 9 = 0.

d) Vis, at x = –5 er en løsning til

1 2

x 2 + 75 x + 725 = 0.

2

Opgave 2.40 I det følgende er der en række andengradsligninger.

a) Undersøg, om x = 2 er en løsning til x 2 – 5x – 9 = 0.

b) Undersøg, om x = –4 er en løsning til 3x 2 + 10x – 7 = 0.

c) Undersøg, om x = –20 er en løsning til x 2 + 21x + 19 = 0.

d) Undersøg, om x = 50 er en løsning til –x 2 + 2500 = 0.

Opgave 2.41 Vend tilbage til opgave 2.23.

Beregn diskriminanten for hver af de 5 andengradspolynomier.

Opgave 2.42 Løs andengradsligningen 2x 2 – 5x – 3 = 0. (stx-A eksamen december 2010 uden)

Opgave 2.43 Bestem diskriminanten d for andengradsligningen x 2 – 7x + 10 = 0 og beskriv, hvad værdien af d fortæller om antallet af løsninger til ligningen. (stx-B eksamen maj 2011 uden)

Opgave 2.44 Løs andengradsligningen x 2 – 3x + 2 = 0. (stx-B eksamen maj 2011 uden)

28 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 28

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.45 Løs andengradsligningen x 2 – 4x + 3 = 0. (stx-B eksamen august 2011 uden)

Opgave 2.46 Løs andengradsligningen x 2 + x – 12 = 0. (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.47 Bestem diskriminanten, og løs andengradsligningen x 2 + 8x + 15 = 0. (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.48 Løs andengradsligningen x 2 + x – 30 = 0. (stx-A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.49 Løs følgende andengradsligninger. Du skal anvende hver af de tre løsningsmetoder mindst en gang:

a) x 2 – 6x = 0

b) x 2 – 10x – 200 = 0

c) 2x 2 – 24x + 54 = 0

d) –x 2 + 8x – 7 = 0 y

Opgave 2.50 På figuren ses to parabler P og Q. Hver af parablerne er graf for en funktion af typen

P x

f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c.

a) G ør rede for fortegnet for a og c samt diskriminanten d for hver af de to parabler.

b) Gør rede for fortegnet for b.

Q

(Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2008 uden)

29 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 29

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.51

y

En af parablerne P, Q og R på figuren er graf for et andengradspolynomium med forskriften

P

Q

f(x) = x 2 – 4x + 5.

Bestem diskriminanten d, og gør rede for, hvilken af parablerne der er grafen for f. x (stx-B eksamen august 2009 uden)

R

Opgave 2.52 Vend tilbage til opgave 2.24 Aflæs for hver af de fire parabler fortegnet for d.

Opgave 2.53 Om andengradspolynomiet f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c oplyses, at a < 0 og diskriminanten d er positiv.

Skitser en mulig graf for f. (stx-B eksamen august 2011 uden)

Opgave 2.54 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c.

Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0, d > 0 og c < 0. (stx-B eksamen december 2011 uden)

Opgave 2.55 En parabel er givet ved ligningen y = x 2 – 2x – 8.

Bestem koordinatsættet til parablens skæringspunkter med førsteaksen, og bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. (stx-A eksamen december 2011 uden)

Opgave 2.56 To funktioner f og g er givet ved f(x) = x 2 – 7x + 16 og g(x) = x + 1.

a) Bestem f(8).

Grafen for f er en parabel.

b) Bestem parablens toppunkt.

c) Løs ligningen f(x) = g(x).

(stx-B eksamen maj 2010 med)

30 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 30

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.57 Bestem diskriminanten for hver af følgende andengradspolynomier, og undersøg om de tilhørende parabler skærer, rører eller ikke-skærer x-aksen:

a) f(x) = x 2 + x + 1

b) g(x) = 5x 2 – 11x + 3

c) h(x) = – 4x 2 + 5

Opgave 2.58 Bestem for hvert af følgende andengradspolynomier diskriminanten d, og afgør ud fra værdien af d, om andengradspolynomiet har rødder:

a) f(x) = x 2 – 8x + 15

b) g(x) = –2x 2 + 20x –22

c) h(x) = –5x 2 + 615x

d) i(x) = 4x 2 + 8x – 252

Opgave 2.59 Indtegn for hver af følgende situationer det grafiske billede, og anvend en grafisk metode til at bestemme de eventuelle skæringspunkter mellem den vandrette linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) y = 5 og f(x) = x 2 – 6x + 8

b) y = –3 og g(x) = x 2 – 6x + 8

c) y = 1 og h(x) = –5x 2 + 25x + 30

d) y = 0 og i(x) = –5x 2 + 25x + 30

e) y = –10 og j(x) = –5x 2 + 25x + 30

Opgave 2.60 Bestem for hver af følgende situationer skæringspunktet mellem den lodrette linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) x = 5 og f(x) = x 2 – 5x + 8

b) x = –3 og g(x) = x 2 – 5x + 8

c) x = 0 og h(x) = –5x 2 + 10x + 30

d) x = 11 og i(x) = –x 2 + x + 19

31 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 31

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.61 Indtegn for hver af følgende situationer det grafiske billede, og anvend en grafisk metode til at bestemme de eventuelle skæringspunkter mellem den skrå linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) y = 2x + 1 og f(x) = x 2 – 6x + 8

b) y = –x + 2 og g(x) = x 2 – 6x + 8

c) y = –3x + 5 og h(x) = –5x 2 + 25x + 30

d) y = 7 + 10x og i(x) = –5x 2 + 25x + 30

Bestem for a) og c) førstekoordinaten til skæringspunkterne ved at opstille en ligning og løse denne.

Opgave 2.62 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x 2 – 4x – 5.

Bestem koordinatsættet til hvert af grafens skæringspunkter med førsteaksen. (stx-A eksamen december 2008 uden)

Opgave 2.63 Bestem den sammenhæng, der er mellem tallene a og c, når andengradsligningen a ⋅ x 2 + 2x + c = 0 har netop én løsning. (stx-B eksamen december 2007 med)

Opgave 2.64 Et andengradspolynomium f er bestemt ved f(x) = –5x 2 + b ⋅ x + c.

Det oplyses, at f har rødderne 3 og 7.

Bestem tallene b og c.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2008)

32 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 32

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

2.5. Anvendelser af andengradspolynomiet Opgave 2.65 I en trekant ABC er c = 10, ∠ABC = 42° og b = 8.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Opstil en andengradsligning til bestemmelse af a.

Opgave 2.66

På billedet ses Golden Gate Bridge indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. Koordinatsystemets nulpunkt ligger ved vandoverfladen hos den nordlige pylon til venstre i billedet. Bærekablets monteringspunkter på de to pyloner ligger 220 m over vandoverfladen, og kablets laveste punkt er 80 m over vandoverfladen. Afstanden mellem monteringspunkterne er 1280 m. I en model beskrives bærekablet mellem de to pyloner ved en del af grafen for et andengradspolynomium:

(2)

f

(1)

f(x) = ax2 + bx + c a) Bestem en forskrift for f.

Opgave 2.67 Antal personer

Grafen viser befolkningstallet for Gedser i perioden 1900-2008 (opgørelse pr. 2. januar).

1400 1200 1000

I en model antages det, at befolkningstallet kan beskrives ved funktionen

800 600

f(x) = –0,164x 2 + 18,9x + 710

400

hvor f(x) er befolkningstallet til tiden x (antal år efter 1900).

?

200

Benyt modellen til at bestemme, hvor stort befolkningstallet i Gedser var, da det var størst, og hvornår befolkningstallet i Gedser bliver 200.

0 1900

1920

1940

1960

1980

2000

2020

2040

Årstal

Kilde: www.samvirke.dk

(stx-B eksamen maj 2008 med)

33 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 33

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.68 Et bassin har et lodret tværsnit, hvis form er en del af en parabel med toppunkt T (se skitsen). Bassinets største 10m bredde AB er 10 m, og dets dybde er 4 m.

B

A

4m

T egn en model af tværsnittet i et passende koordinatsystem, og bestem en ligning for parablen i dette koordinatsystem.

(stx-A eksamen august 2008 med) T

Opgave 2.69 y f ?

8

P(0,2)

?

C

D

α B 25

A 10

x

En person prøver at kaste en cricketbold over en kasseformet bygning, der er 15 m bred og 8 m høj.

I et koordinatsystem med enheden 1 m på begge akser, slipper personens hånd bolden i punktet P(0,2). Den bane, bolden følger, er en del af grafen for funktionen

f(x) = 0,02388x 2 + 0,8693x + 2.

Tværsnittet af bygningen er rektanglet bestemt af punkterne A(10,0), B(25,0), C(25,8) og D(10,8).

a) Undersøg, om bolden kommer over bygningen.

Den retning, bolden har i starten, er bestemt ved vinklen a mellem vandret og tangenten til grafen for f i punktet P(0,2).

b) Bestem a.

(stx-B eksamen maj 2010 med)

Opgave 2.70 Hvis en bold til tiden t = 0 smides lodret op i luften fra begyndelseshøjden h0 med begyndelseshastigheden v0 , vil dens højde over jorden til tiden t være givet ved

h = h0 + v0 ⋅ t – 12 ⋅ g ⋅ t 2 I det følgende antages det, at h0 = 1 m, v0 = 20 m/s og tyngdeaccelerationen g = 9,82 m/s2

a) Hvor højt oppe befinder bolden sig efter 2 sek.?

b) Hvornår rammer den jorden?

34 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 34

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.71 år man kører bil med hastigheden v og bliver nødt til at bremse, N kører bilen først et stykke med hastigheden v, svarende til reaktionstiden t, inden man trykker på bremsen. Dernæst kurer bilen et stykke, mens den på grund af gnidning tager af i fart. Det sidste stykke afhænger af gnidningskoefficienten a mellem kørebanen og bilens dæk. Hvis reaktionstiden t måles i sekunder, og bilens hastighed v måles i km/timen, gælder der følgende ligning for den samlede bremselængde s målt i meter: S=

t ⋅v 3, 6

+ a ⋅ v2

I det følgende regner vi med en typisk reaktionstid t på 1 sek. For en spejlglat isbelagt kørebane gælder a = 0,04.

a) Hvor stor bliver den samlede bremselængde, hvis hastigheden er 40 km/timen?

b) E n barn på cykel skrider ud, og falder ind på den spejlglatte kørebane 15 m foran en bilist. Hvor stor en hastighed v må bilisten have, hvis en påkørsel skal undgås?

2.6 Udfordrende opgaver Opgave 2.72 Figuren viser en tønde, der har højden h og endefladediameter d, og hvis diameter på det bredeste sted er D. Tøndens rumfang V er bestemt ved V =

πh 15

(

)

2 2 2D + dD + 43 d .

h

En tønde skal have højde h = 8, endefladediameter d = 4 og rumfang V = 150.

Beregn D for denne tønde. d

Opgave 2.73

D

Gavlen i et sommerhus er formet som en ligebenet trekant med grundlinjen 8 m og højden 4 m.

Sommerhusejeren ønsker at indsætte et panoramavindue i gavlen. Han har sparet 15000 kr. sammen til panoramavinduet, der koster 2000 kr. pr. m2.

a) Kald

panoramavinduets højde x. Vis, at højden x må opfylde andengradsligningen

4m

4 · x 2 – 16 · x + 15 = 0 8m

og løs herefter andengradsligningen. b) H vad bliver de mulige mål på vinduet? Giv en kort begrundelse for, hvilket vindue han bør foretrække!

35 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 35

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 2.74 En gårdejer afskærer et hjørne af en mark ved hjælp af 30 m hegn på en sådan måde, at det skrå stykke er 1 m længere end det lodrette stykke.

I det følgende betegner x længden af det lodrette stykke, jfr. figuren.

x+1

x

a) Gør rede for, at det vandrette stykke må have længden 29 – 2 · x .

b) Gør rede for, at x må opfylde andengradsligningen

4 · x 2 – 118 · x + 840 = 0

c) Hvilken værdi har x?

d) Hvad bliver arealet af det afskårne stykke?

Opgave 2.75 Ved konstruktion af en olieboreplatform skal man bruge en helikopterlandingsplads.

Kravene til landingspladsen er følgende:

•

Den skal være 10 m længere end den er bred.

•

Dens areal skal være mellem 375 m2 og 600 m2.

Hvilke bredder er mulige?

Opgave 2.76 Bestem tallet k, så andengradsligningen 2x 2 – 3x + k = 0 har netop en løsning. (stx-A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 2.77 Bestem tallet c, så andengradsligningen 3x 2 – 2x + c = 0 har netop en løsning. (stx-A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.78 Bestem tallet a, så andengradsligningen ax 2 + 4x + 3 = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

36 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 36

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.79 Bestem tallet b, så andengradsligningen 2x 2 + bx + 18 = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

Opgave 2.80 Bestem tallet c, så andengradsligningen 3x 2 – x + c = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

Opgave 2.81 En femtedel af en flok aber fratrukket 3 – det hele kvadreret – er gået ind i en hule.

Den sidste abe er klatret op på en gren i et træ. Hvor mange aber er der?

(Fra indisk skrift Bija-Ginati)

Opgave 2.82 Summen af to forskellige kvadrater er lig med 1525. Siden af det ene kvadrat er siden i det andet kvadrat adderet med 5.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Indfør variable, og bestem de to kvadraters sider.

2 3

af

(Den Babylonske lertavle BM 13901)

Opgave 2.83 To kvadrater har et samlet areal på 100, og siden i det ene kvadrat er andet kvadrat.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Indfør variable og bestem de to kvadraters sider.

3 4

af siden i det

(Papyrus Berlin)

37 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 37

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Polynomier

3.

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3. . . . . . . . . 38 2. Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Vilkårlige polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Anvendelse af polynomier – regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3 Opgave 3.1 Før computerne blev anvendt til design af bil-, fly-, og skibsmodeller, anvendtes mekaniske metoder, der samlet blev kaldt for lofting. Hvad gik denne metode ud på?

Opgave 3.2 Forklar princippet i den geometriske konstruktion af Bezierkurver (af tredje grad).

Opgave 3.3 I en Bezierkurve er punkternes koordinater (x(t),y(t)) begge funktioner af en parameter t. Hvilken type funktion er der tale om?

Opgave 3.4 Man har før kunnet tegne bløde kurver i en designproces. Hvad var det revolutionerende nye, som Bezierkurverne skabte, i relationen mellem design og produktion?

Opgave 3.5 En stor klasse af opgaver i matematik kaldes for optimeringsopgaver. a) Hvad mener vi med optimering?

b) H vis optimeringsproblemet oversættes til matematik i form af en variabelsammenhæng, hvad går så det matematiske optimeringsproblem ud på? Forklar det gerne grafisk.

c) D et er ikke altid, at nulpunkter og lokale ekstrema fundet i den matematiske model, giver mening i det oprindelige problem. Forklar dette med et eksempel.

(Hint: Se kapitel 3, afsnit 2, Øvelse 3.3 s. 99)

38 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 38

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 3.6 Når vi selv skal beskrive det grafiske forløb for en given funktion, har vi en række begreber til rådighed. Redegør for disse, og forklar dem ved hjælp af grafskitser.

(Hint: Praxisboks, s. 102)

Opgave 3.7 Opskriv forskriften for et tredjegradspolynomium, og forklar, hvad vi forstår ved koefficienterne. Giv nogle taleksempler. Kan alle tal være koefficienter?

Opgave 3.8 Hvilken betydning for det grafiske forløb af et tredjegradspolynomium har:

a) Fortegnet for koefficienten til x3?

b) Fortegnet for koefficienten til x2?

c) Koefficienten til x? Hvordan kan vi ud fra en given graf aflæse fortegnet?

d) Konstantleddet? Hvordan kan vi ud fra en given graf aflæse fortegnet?

Opgave 3.9 Hvad forstår vi ved et vendepunkt og en vendetangent til en graf?

Opgave 3.10 Alle tredjegradspolynomiers grafer har et vendepunkt med tilhørende vendetangent.

a) Hvad mener vi med, at tredjegradskurver er symmetriske om deres vendepunkt?

b) Hvad er formlen for vendepunktets x-koordinat?

Opgave 3.11 a) Hvad forstår vi ved graden af et polynomium? b) Opskriv en forskrift for et femtegradspolynomium på standardform. c) H vad er den afgørende forskel på de grafiske forløb af polynomier af lige grad og polynomier af ulige grad?

Opgave 3.12 a) Hvad forstår vi ved en rod i et polynomium? b) Hvad siger algebraens fundamentalsætning?

39 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 39

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 3.13 Hvad kan vi med sikkerhed udtale os om vedrørende antallet af rødder, antallet af ekstrema og antallet af vendepunkter for polynomier?

(Hint: Se kapitel 3, afsnit 3.1, specielt praxisboksen, s. 110)

Opgave 3.14 a) H vordan kan man bestemme forskriften for et tredjegradspolynomium ud fra fire punkter på grafen? Kunne man have valgt fire tilfældige punkter i planen? b) H vordan kan man bestemme forskriften for det tredjegradspolynomium, hvis graf bedst tilnærmer fem eller flere dataværdier? c) H vordan ville du formulere tilsvarende spørgsmål som i a) og b), hvis det drejede sig om fjerdegradspolynomier? Femtegradspolynoimier?

Opgave 3.15 Antag, at vi har lavet polynomiel regression ud fra et antal dataværdier.

Hvad forstår vi ved residualerne? Hvad er et residualplot?

Opgave 3.16 I kapitel 3, afsnit 4 gives eksempler på anvendelser af polynomier.

a) Hvad er et Lorenzdiagram?

b) Hvad er Ginikoefficienten?

3.2. Tredjegradspolynomier Opgave 3.17 Angiv koefficienterne a, b, c og d i følgende tredjegradspolynomier:

a) p1(x) = 3x 3 + 49x 2 + 12x + 3

b) p2 (x) = –x 3 + x 2 + x

c) p3 (x) = – 4x 3 + 15x + 20

d) p4 (x) = –10x 3 + 5x 2+ 9

e) p5 (x) = –x 3 + 64

f) p6 (x) = 3x 3 + 75x

g) p7(x) = –5x 3 + 125x 2

40 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 40

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

3. Polynomier

Opgave 3.18 Brug dit værktøjsprogram til at omskrive følgende tredjegradpolynomium til standardform, og angiv koefficienterne a, b, c og d:

a) p1(x) = 3(x – 2) 2 · (x + 1)

b) p2 (x) = (x – 3) · (x + 1) · (x – 10)

c) p3 (x) = –2(x – 2) · (x 2 + 1)

d) p4 (x) = x · (x + 1) · x

Opgave 3.19 Nedenfor ses graferne for fire forskellige tredjegradspolynomier

p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d.

Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b, c og d ud fra graferne.

y

a)

y

b)

12

12 11

11 10

f

9

10

g

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3 2

1

1 x

x –4 –3 –2 –1 –1

0 1

2

3

–4 –3 –2 –1 –1

4

–2

0 1

2

3

4

2

3

4

–2 y

c)

y

d)

12

12

11

11

10

10

i

h

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2 1

1

x

x –4 –3 –2 –1 –1

0 1

2

3

4

–4 –3

–2

–2 –1 –1

0 1

–2

41 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 41

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 3.20 Undersøg, om det angivne tal er rod i det tilhørende tredjegradspolynomium:

a) Er tallet 3 rod i p1(x) = x 3 – 27?

b) Er tallet –4 rod i p2 (x) = –x 3 + 6 4 ?

c) Er tallet 1 rod i p3 (x) = 4x 3 + x 2 – 5x + 1?

d) Er tallet –1 rod i p4 (x) = x 3 – 6x 2 + 7?

e) Er tallet 10 rod i p5 (x) = x 3 + 7x 2 – 28x + 20 ?

Opgave 3.21 Undersøg, om 2 er løsning til ligningen x 3 – 5x 2 + 3x + 6 = 0. (stx-B eksamen december 2007 uden)

Opgave 3.22 Undersøg, om det eller de angivne tal er løsning til tredjegradsligningen:

a) Er tallet –1 en løsning til ligningen x 3 – 5x 2 + 6 = 0.

b) Er tallene –1 og 1 løsninger til ligningen –x 3 – x 2 – x – 1 = 0.

c) Er tallene 0 og 2 løsninger til ligningen 10x 3 – 14x 2 + 4x = 0.

d) Er tallene –1 og 1 løsninger til ligningen 5x 3 – 20x 2 + 15 = 0.

Opgave 3.23 Bestem koordinaterne til vendepunktet for følgende tredjegradspolynomier:

a) p1(x) = x 3 – 2x + 5

b) p2 (x) = –x 3 + x 2 + 5x + 7

c) p3 (x) = –2x 3 + 20x 2 + 10

d) p4 (x) = 2x 3 – 20x 2 + 19x – 1

Opgave 3.24 En funktion f er givet ved f(x) = x3 – 4,5x2 – 30x + 30.

a) Bestem funktionens nulpunkter.

b) Bestem grafisk monotoniforholdene for f.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2010 med)

42 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 42

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

3. Polynomier

Opgave 3.25 Bestem forskriften for et tredjegradspolynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved opstilling og løsning af et ligningssystem:

y

Punkterne er (–2,2), (0,5), (3,8) og (10,100).

Opgave 3.26

B

5

Ud fra et tredjegradspolynomium f er funktionen g bestemt ved g(x) = f(x + 4). På figuren ses graferne for de to funktioner f og g.

x –6

–4

–2

Gør for hver af de to grafer A og B rede for, hvilken funktion, f eller g, den er graf for.

2

4

–5

–10

Opgave 3.27

y

Ud fra et tredjegradspolynomium f er funktionen g og h bestemt ved:

A

10

g(x) = f (x – 3)

A

10

C

h(x) = f (x + 2) – 3

5

B

På figuren ses graferne for de tre funktioner f, g og h.

Gør for hver af de tre grafer A, B og C rede for, hvilken funktion, f, g eller h, den er graf for.

x –6

–4

–2

2

4

–5 –10

3.3. Vilkårlige polynomier Opgave 3.28 Angiv graden af følgende polynomier:

a) p1(x) = 30 – 10x

b) p2 (x) = x3 – 10x + x 7

c) p3 (x) = 19 + 33 · x 2 + 20x d) p4 (x) = 0

e) p5 (x) = (x – 4) · (x 10 + 3x) · (45 – x 2)

f) p6 (x) = (x + 5) · 4 · (7 – x)

g) p7(x) = (x + 3) · (x 2 + 5) + 6x4

43 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 43

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 3.29 De to figurer viser graferne for to polynomier.

Hvad kan vi sige om graden af hvert af de to polynomier? y

y

a) b) 12

12

11

11

10

10

9

9

8

8

p

7

q

7

6

6

5

5

4

4

3

3 2

1

1 x

x –4 –3 –2 –1–1

0 1

2

3

–4 –3 –2 –1 –1

4

–2

0 1

2

3

4

–2

Opgave 3.30 Kan du uden at tegne grafen sige noget om antallet af rødder for de følgende polynomier?

a) p(x) = x 2 – 5x – 6

b) q(x) = x3 + x 2 + 6x – 1

Kan du også sige noget om røddernes fortegn?

Opgave 3.31 Bestem forskriften for polynomier, hvis graf går igennem følgende punkter, ved opstilling og løsning af et ligningssystem. (Der er mange muligheder, men vælg fx et polynomium af lavest mulig grad).

a) Punkterne er (–5,20), (–2,–5), (0,5), (3,8) og (10,100).

b) Punkterne er (–3,0) og (1,11).

Opgave 3.32 Svar på følgende uden at udregne produktet.

Hvad bliver graden af polynomierne nedenfor?

a) p1(x) = (7x5 – x + 8) · (11 – 4x 3 )

b) p2 (x) = 18 · (x 8 + 9) · (11 – x 2) · (3x + x6 + 17x 2)

44 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 44

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

3. Polynomier

3.4 Anvendelse af polynomier – regression Opgave 3.33 Bestem forskriften for et tredjegradspolynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved anvendelse af polynomiel regression:

a) Punkterne er (–3,0), (1,0), (5,0) og (9,30).

b) Punkterne er (–5,–10), (–1,–3), (0,0) og (3,50).

Opgave 3.34 Bestem forskriften for et polynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved anvendelse af polynomiel regression. (Der er mange muligheder, men vælg fx et polynomium af lavest mulig grad).

Punkterne er (–5,0), (–1,0), (0,0), (3,0), (8,0) og (11,50). y

Opgave 3.35 f

En funktion f er bestemt ved f(x) = 5 – x4.

Et rektangel med højden h, hvor 0 < h < 5, er placeret som vist på figuren.

Bestem bredden af rektanglet udtrykt ved h, og bestem arealet af rektanglet udtrykt ved h.

h x

(stx-A eksamen december 2009 med)

Opgave 3.36 For en motorbåd har man målt motorbådens hastighed i knob sammenholdt med motorens hastighed målt i 100 omdrejninger pr. minut.

Motorens hastighed Bådens hastighed

9

11

13

15

17

19

21,5

6,43

7,61

8,82

9,86

10,88

12,36

15,24

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a · x3 + b · x2 + c · x + d

a) Angiv de to variable x og y.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved polynomiel regression.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) Bestem ud fra modellen bådens hastighed, når motorens hastighed er 1600 omdrejninger per minut.

e) Bestem ud fra modellen motorens hastighed, når bådens hastighed er 14 knob.

45 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 45

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 3.37 En virksomhed fremstiller en vare. I en model er omkostningerne O(x) ved fremstilling af x varer (målt i tusinder) pr. uge givet ved

O(x) = 0,04x3 – 0,5x2 + 2,35x + 7,5

1≤ x ≤ 15.

Ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge kan de producerede varer sælges til en pris, der svarer til, at tusind styk af varen kan sælges for beløbet p(x), hvor

p(x) = 8 – 0,4x

1≤ x ≤ 15.

Fortjenesten F(x) ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge er under disse forudsætninger bestemt ved

F(x) = p(x) · x – O(x)

1≤ x ≤ 15.

Den møntenhed, som O(x), p(x) og F(x) er målt i, er underordnet i denne forbindelse.

estem en forskrift for F(x), og benyt modellen til at bestemme størrelsen B af den produktion pr. uge, som giver størst fortjeneste.

(stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 3.38 En virksomhed producerer og afsætter årligt x enheder af en vare, hvor 5000 ≤ x ≤ 20000.

Omkostningerne O(x) ved produktionen er givet ved

O(x) = 4,58 · 10 –6 x3 – 0,05x2 + 184,2x + 2 · 107

hvor O(x) måles i kr.

a) Skitser grafen for O, og bestem omkostningerne, når der produceres 10000 varer.

Enhedsomkostningen E(x) (målt i kr. pr. enhed) ved produktion af x enheder er bestemt ved O( x ) E( x) = . x

b) Bestem enhedsomkostningen ved produktion af 10000 enheder.

Fortjenesten F(x) er bestemt ved

F(x) = x · (–0,53x + 10000) – O(x),

hvor F(x) måles i kr.

c) Bestem graden af polynomiet F(x).

d) Bestem grafisk den værdi af x, der giver størst mulig fortjeneste.

(Udgangspunktet stx-B eksamen august 2010 med)

46 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 46

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

3. Polynomier

3.5 Udfordrende opgaver Opgave 3.39 En postkasse har form som vist på figuren, hvor hver af postkassens endeflader er sammensat af et rektangel og to halvcirkler. Disse halvcirkler har radius r, mens rektanglets sider er 2r og h. Desuden er postkassens bredde 10r.

r h

a) Bestem postkassens overfladeareal udtrykt ved r og h.

2r

For en bestemt type postkasse med denne form er postkassens rumfang V som funktion af r bestemt ved 25 r (500 − π r ) V (r ) = , 0 < r < 12.

10r

2

3

b) G ør rede for, at volumenet af postkassen som funktion af radius har denne forskrift. Overfladearealet af den bestemte postkassetype er 5000.

c) S kitser grafen for V, og bestem grafisk r, så en postkasse af denne type har størst muligt rumfang.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2010 med)

Opgave 3.40

21 x 4

−

1 84

T

Q y 21 cm

Figuren viser et rektangulært papir, der er 21 cm bredt. Papiret er foldet langs den rette linje ST, således at QS = SR(se figuren).

Arealet af trekanten PRS betegnes A(x), hvor x er afstanden mellem P og R.

a) Gør rede for, at A( x ) =

b) Bestem x, så A(x) = 35.

c) Skitser grafen for A, og bestem grafisk monotoniforholdene for A.

d) Bestem grafisk x, så A(x) er størst mulig.

3

x .

S 21– y P

x

R

Opgave 3.41 I en kasseformet beholder er længden seks gange højden, og bredden er 18 cm kortere end længden.

a) Tegn en model af kassen, og indfør passende variabel.

b) Opstil en model for rumfanget af kassen.

c) Hvilket polynomium beskriver rumfanget af kassen?

d) Bestem siderne i beholderne, når rumfanget skal være 1000 cm3.

47 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 47

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Logartimefunktioner og eksponentialfunktioner

4.

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4. . . . . . . . . . . . . 48 2. Logaritmefunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Logaritmeregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4. Sammenhængen mellem a x og ek · x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5. Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag. . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4 Opgave 4.1 a) Hvornår fandt den franske revolution sted? b) M an inddeler historien i perioder, der er givet karakteristiske navne. Du kan finde en oversigt på indersiden af omslagene til Hvad er matematik?

Hvad kaldes den periode, hvor den franske revolution foregår? c) I denne periode udgives i Frankrig historiens første encyklopædi.

Hvad er en encyklopædi?

Opgave 4.2 I kølvandet på den franske revolution investeres stort i uddannelse og videnskab, og der etableres bl.a. to berømte institutioner, der stadig er aktive: Ecole Polytechnique og Ecole Normale. Hvad er specielt formålet med disse to institutioner?

Opgave 4.3 En af de mange nyskabelser efter revolutionen er et nyt målesystem mht. længder, vægt, rumfang, tid og andet; alt indrettet efter titalssystemet.

a) Hvad kan være årsagen til disse reformer?

b) Giv eksempler på gamle mål.

c) Lykkedes projektet? Skete der det samme i andre lande?

48 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 48

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Opgave 4.4 De første logaritmetabeller blev skabt i begyndelsen af 1600-tallet.

a) Hvad var formålet med dette?

b) I videnskabshistorien tales om ”den danske forbindelse” i forhistorien til udarbejdelsen af logaritmetabellerne. Redegør for, hvad dette går ud på.

c) D en grundlæggende logaritmeregel er inspireret af den fundamentale potensregneregel. Forklar denne sammenhæng.

4.5 Opgave John Napier, der var den første, der tog fat på at udarbejde logaritmetabeller, fandt på ordet logaritme, der betyder forholdstal.

a) Begrund, hvorfor han valgte dette ord.

b) H vordan var Napiers formel for log(a · b) sammenlignet med den, vi bruger i dag?

c) D a Napier dør, overtager Briggs arbejdet. Han indfører en forenkling af Napiers logaritmer. Hvad går den ud på?

John Napier (1550-1617)

Opgave 4.6 I arbejdet med at reformere målesystemerne efter den franske revolution besluttes det også at udarbejde nye logaritmetabeller.

a) Hvilke krav blev der opstillet til nøjagtigheden af tabellerne?

b) D er skulle beregnes en halv million værdier. Hvordan organiserede lederen Gaspard Prony dette arbejde?

c) Forklar princippet i lineær interpolation.

d) Hvad blev den videre skæbne for Pronys tabeller?

Opgave 4.7 a) Hvad er det grundlæggende i logaritmernes vidunderlige egenskaber? b) Hvad kan forklare andre fags omfattende brug af logaritmer?

Opgave 4.8 Hvad er en logaritmisk transformation?

(Hint: Se fx kapitel 4, afsnit 2, øvelse 4.8, s. 128)

49 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 49

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 4.9 Hvad forstår vi ved det udvidede potensbegreb?

(Hint: Se evt. Hvad er matematik? 1, kap. 3)

Opgave 4.10 a) Givet et tal a. Hvad er definitionen på log(a)? b) Hvad mener vi med sætningen: Log er den omvendte funktion til 10x? c) Hvad betyder det for de grafiske billeder, at log og 10x er omvendte funktioner?

Opgave 4.11 Hvad er definitionen på den naturlige eksponentialfunktion ex?

Opgave 4.12 I grundbogen s. 131 er givet to formler for Eulers tal, e. Formlerne indeholder begge uendeligt mange tal. Forklar, hvordan formlerne skal forstås.

Opgave 4.13 a) Givet et tal a. Hvad er definitionen på ln(a)? b) Hvad mener vi med sætningen: Ln er den omvendte funktion til ex? c) Hvad betyder det for de grafiske billeder, at ln og ex er omvendte funktioner?

Opgave 4.14 Angiv de tre første og grundlæggende logaritmeregneregler.

Opgave 4.15 a) Hvad er definitionsmængden for log(x) og ln(x)? Kan du begrunde det? b) Hvad sker der med log(x) og ln(x), når x → ∞? c) Hvad sker der med log(x) og ln(x), når x → 0?

Opgave 4.16 a) Hvordan omskrives a x til formen ek · x? b) Hvordan omskrives ek · x til formen a x?

50 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 50

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Opgave 4.17 Hvad menes med påstande som: ”Logaritmefunktioner kan ekspandere meget små intervaller og komprimere uoverskueligt store intervaller”?

Opgave 4.18 a) Hvordan foretages en logaritmisk transformation af eksponentielle sammenhænge? b) R edegør for variabelsammenhængen og det grafiske billede efter denne transformation.

Opgave 4.19 a) Hvordan foretages en logaritmisk transformation af potenssammenhænge? b) R edegør for variabelsammenhængen og det grafiske billede efter denne transformation.

Opgave 4.20 a) H vordan er Richterskalaen indrettet? Hvordan kan man ud af din forklaring se, at det er en logaritmisk skala? b) Hvor meget vokser den udløste energi med, når vi går et trin op på Richterskalaen.

Opgave 4.21 I 1936 gjorde den danske geolog Inge Lehmann en stor opdagelse vedrørende Jordens opbygning. Hvad var det, hun opdagede? – Og hvordan gjorde hun det?

Opgave 4.22 a) Hvad måles med pH-skalaen? Hvor og i hvilken sammenhæng blev skalaen skabt? b) Hvad er pH-værdien for neutralt vand?

Opgave 4.23 a) Hvad måles med decibelskalaen? Hvad svarer en decibelværdi på 0 til? b) B eskriv decibelskalaens indretning. Hvordan kan man ud af din forklaring se, at det er en logaritmisk skala?

51 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 51

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4.2. Logaritmefunktioner Opgave 4.24

a) V ælg et tal, udregn en potens, hvor grundtallet er 10, og det tal, som du valgte, er eksponent, og tag logaritmen til det nye tal. Hvad får du?

b) G eneraliser dette, så du vælger et tal x, og udtryk ovenstående med matematiske symboler.

c) V ælg et tal, tag logaritmen til tallet, udregn en potens, hvor 10 er grundtallet, og det nye tal er eksponent. Hvad får du?

d) Generaliser dette, så du vælger x,og udtryk ovenstående med matematiske symboler.

e) H vad er gælder der om potens med grundtal 10 og logaritme som funktioner?

Opgave 4.25 Vi har funktionen f(x) = 10x.

a) Udfyld tabellen.

1 2

9 10

1

3

5

0,01

2

3,5

10

20

x f(x)

b) Udfyld tabellen. x f(x)

Opgave 4.26

a) Bestem med et værktøjsprogram e1.

b) Er e = e1 ?

c) Hvad giver ln(ex )?

d) Hvad giver eln(x)?

e) Hvad kan du sige om ex og ln(x)?

52 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 52

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Opgave 4.27

a) Udfyld tabellerne. x

0,00000001

0,0000001

0,000001

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

log10 (x) x log10 (x)

–2 · 108

–1 · 107

–3 · 106

–1 · 105

–1 · 104

–1 ·103

–1 · 101

b) Hvad fortæller tabellerne om grafen for log10 (x)?

Opgave 4.28 Grafen viser et plot af sammenhørende værdier af dykkedybden x (målt i m) og varigheden y (målt i min) af et dyk for nogle grønlandske pukkelhvaler. I en model kan sammenhængen mellem varigheden af et dyk og dykkedybden beskrives ved

Dykkevarighed (min)

–1 · 109

8 7 6 5 4 3 2 1

y = 2,4657 · ln(x) – 6,2434.

a) B enyt modellen til at bestemme varigheden af et dyk på 300 m.

b) Bestem dykkedybden for en hval, hvis dyk har en varighed på 8 min, og benyt modellen til at opskrive dykkedybden x som funktion af varigheden y af et dyk.

0 0

25

50

75

100

125

150

175

200 225 250 Dykkedybden (m)

Kilde: Satellite tracking of Humpback whales in West Greenland, National Environmental Research Institute, Ministry of the Environment, Denmark. (stx-B eksamen december 2008)

Opgave 4.29 Af en rapport fra sundhedsstyrelsen fremgår det, at sammenhængen mellem husradonkoncentrationen og stueradonkoncentrationen i enfamiliehuse er givet ved udtrykket log(H) = 0,227 + 0,922 · log(S), hvor H er husradonkoncentrationen (målt i Bq/m3 ), og S er stueradonkoncentrationen (målt i Bq/m3 ).

a) B estem husradonkoncentrationen som funktion af stueradonkoncentrationen, og bestem, hvor mange procent husradonkoncentrationen stiger med, når stueradonkoncentrationen stiger med 20 %.

Kilde: Radon i danske boliger - Kortlægning af lands-, amts- og kommuneværdier, Sundhedsstyrelsen, Statens Institut for Strålehygiejne, Januar 2001. (stx-A eksamen december 2008)

53 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 53

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 4.30 Sammenhængen mellem maksimal relativ væksthastighed V (målt i døgn-1) og kropsmasse M (målt i gram) for flercellede vekselvarme dyr er givet ved log(V) = –1,64 – 0,27 · log(M).

a) Bestem V, når M = 3000.

b) Bestem V som funktion af M.

Kilde: Kaj Sand-Jensen: Økologi og biodiversitet, Gads forlag, 2000. (stx-A eksamen maj 2010)

4.3. Logaritmeregneregler Opgave 4.31 Uden værktøjsprogram skal du

a) bestemme log(200) – log(40).

b) bestemme log(32) – log(8) + log(10).

c) bestemme log(25 ) + log(29 ) – log(210 ).

Kontroller resultaterne i dit værktøjsprogram.

Opgave 4.32 Uden værktøjsprogram skal du

a) bestemme log(1000) – log(40).

b) bestemme log(300) – log(10) + log(4).

c) bestemme log(82) – log(25 ).

Kontroller resultaterne i dit værktøjsprogram.

Opgave 4.33 Uden værktøjsprogram skal du

a) bestemme log(x12) – log(x3 ).

b) bestemme log(x7) + log(x4 ) – log(x10 ).

c) bestemme log(2x5 ) + log(32x7) – log(8x10 ).

Kontroller resultaterne i dit værktøjsprogram.

54 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 54

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Opgave 4.34

a) Løs ligningerne log(x + 2) + log(x + 1) = 2 og log(x + 4) + log(x) = 3.

b) K ontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 4.35

a) Løs ligningerne log(x + 1) – log(x) = 2 og log(x + 4) – log(x + 1) = 3.

b) K ontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

4.4. Sammenhængen mellem ax og ek· x

Opgave 4.36 Du har en eksponentiel udvikling g(x) = 5 · 1,2365x.

a) Er g voksende eller aftagende? Forklar.

b) Omskriv g, så grundtallet i fremskrivningsfaktoren er e.

Opgave 4.37 Du har en eksponentiel udvikling h(x) = 7 · e –0,56x.

a) Er h voksende eller aftagende? Forklar.

b) Omskriv g, så grundtallet i fremskrivningsfaktoren er uden e.

c) Bestem halveringskonstanten.

4.38 Opgave Vi har givet funktionen f(x) = 157 ∙ 0,862 x.

a) Tegn grafen.

b) Er funktionen aftagende eller voksende?

c) Omskriv regneforskriften til formen b ∙ ek∙x

Opgave 4.39 Vi har givet funktionen c(x) = 0,9 ∙ e1,23x.

a) Tegn grafen.

b) Er funktionen aftagende eller voksende?

c) Omskriv regneforskriften til formen b ∙ a x.

55 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 55

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4.5. Linearisering og anvendelsen af logaritmer i andre fag Opgave 4.40 Hent på bogens website en tabel, der for en række forskellige dyr viser sammenhængen mellem dyrets hjerterytme og dets vægt.

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige hjerterytme y a og den gennemsnitlige vægt x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · x .

a) Bestem a og b i modellen ved potensregression.

b) Bestem logaritmeværdierne til x og y.

c) Udfør lineærregression på log(x) og log(y).

d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen.

Kilde: Scaling Laws in Biology af Bader AL-dabaan og Professor Ron Smith, Birkbech College, University of London.

Opgave 4.41 Decibel er en enhed til at måle intensiteten af lydbølger. For forskellige aktiviteter findes der følgende data:

Lydtypen

Intensiteten (W/m2 )

Decibel Niveau (dB) 10

Raslende blad

1 · 10 –11

Stille bibliotek

1 · 10 –8

40

Normal tale

1 · 10

–6

60

Støvsuger

1 · 10 –5

70

Lastbil (10 meter væk)

1 · 10 –3 10

90 130

100

140

Vuvuzela Fly (50 meter væk)

I en model antager vi, at sammenhængen mellem intensiteten y og decibelniveauet x kan beskrives ved en eksponentialfunktion y = b · a x.

a) Bestem a og b i modellen ved eksponentiel regression.

b) Bestem logaritmeværdierne til y.

c) Udfør lineær regression på x og log(y).

d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultatet fra den eksponentielle regression.

Du kan via QR-koden hente tabellen.

56 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 56

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

4. Logaritmefunktioner og eksponentialfunktioner

Opgave 4.42 Størrelsen af et jordskælv angives typisk med tal fra richterskalaen.

Richterskalaen viser mængden af energi, der bliver udløst ved jordskælvet, og højden af bølgen, der optages ved jordrystelsen.

For seks forskellige jordskælv er der følgende data:

Richterskala

Energi (1021erg)

San Francisco, USA, 1906

8,25

1500

Yugoslavien, 1963

6,0

Alaska, 1964

8,6

5000

Peru, 1970

7,8

320

Italien, 1976

6,5

Loma Prieta, USA, 1989

7,1

0,63

3,5 28

I en model antager vi, at sammenhængen mellem energien y og richterskalaen x kan beskrives ved en eksponentialfunktion y = b · a x.

a) Bestem a og b i modellen ved eksponentiel regression.

b) Bestem logaritmeværdierne til y.

c) Udfør lineær regression på x og log(y).

d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultatet fra den eksponentielle regression.

Opgave 4.43 For en række dværgplaneter gælder følgende data om gennemsnitlig afstand til Solen og omløbstiden:

Gennemsnitlig afstand til Solen (AU) Ceres

Omløbstid (år)

2,8

4,6

Makemake

45,3

305,3

Pluto

39,5

247,9

Haumea

43,0

281,9

Eris

68,0

561,4

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige afstand til Solen y og omløbstiden x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · x a.

a) Bestem a og b i modellen ved potensregression.

b) Bestem logaritmeværdierne til x og y.

c) Udfør lineær regression på log(x) og log(y).

d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen.

Kilde: http://solarsystem.nasa.gov/planets

57 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 57

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28

Opgave 4.44 Planeten Uranus har 27 måner. I tabellen er der angivet nogle data for 5 af disse måner:

Gennemsnitlig afstand til Uranus (km)

Omløbstid (dage)

Cordelia

49800

0,335

Juliet

64400

0,493

Cupid

74295

0,613

Stephano

8007400

Margaret

14146700

677,47 1661

I en model antager vi, at sammenhængen mellem den gennemsnitlige afstand til Uranus y og omløbstiden x kan beskrives ved en potensfunktion y = b · xa.

a) Bestem a og b i modellen ved potensregression.

b) Bestem logaritmeværdierne til x og y.

c) Udfør lineær regression på log(x) og log(y).

Illustration af Uranus med 5 af sine måner.

d) Sammenlign resultatet fra den lineære regression med resultat fra potensregressionen.

Kilde: http://solarsystem.nasa.gov/planets

4.6. Udfordrende opgaver Opgave 4.45

a) Løs ligningerne log(10x + 19) = 2 og 12 log(x + 4) = 30.

b) K ontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 4.46

a) Løs ligningerne 2log(x + 1) + log(x) = 2 og log(x + 1) + 2log(x – 1) = 1.

b) K ontroller resultatet i dit værktøjsprogram.

Opgave 4.47 Logaritmen med grundtal a log a (x) er den omvendte til a x.

På samme måde er logaritmen med grundtal b logb (x) den omvendte til bx.

a) Vis ligningen logb ( x ) =

b) V is ligningen

loga ( x ) – dette kaldes Eulers gyldne regel for logaritmer. loga ( b)

logb ( y ) loga ( y ) , og oversæt ligningen til ord. = logb ( x ) loga ( x )

58 Hvad er matematik? 2, opgavebog

9788770668729_indhold.indb 58

© 2019 L&R Uddannelse, København

13/05/2019 16.28