Kontext 9 - tavlebog

om_9788779884243.qxd:Kernebog_9_omslag

07/04/11

15:21

Side 1

M AT E M AT I K

9 · MATEMATIK

9

788779 884243

ALINEA

ISBN 978-87-7988-424-3

BENT LINDHARDT · HENRIK THOMSEN · PETER WENG

KERNEBOG

ALINEA

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side FS4

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 1

BENT LINDHARDT · HENRIK THOMSEN · PETER WENG

ALINEA

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:15

KonteXt 9 Samhørende titler: KonteXt 9, Træningshæfte KonteXt 9, Lærervejledning KonteXt 9, Fordybelseshæfte Forfattere: Bent Lindhardt, Henrik Thomsen og Peter Weng Ekstern redaktør: Bent Lindhardt Faglig/pædagogisk redaktion: Michael Wahl Andersen og Peter Weng Forlagsredaktion: Susanne Schulian Grafisk tilrettelægning: Jesper Frederiksen Omslag: Jesper Frederiksen Illustrationer: Jesper Frederiksen Fotos: Polfoto: 4 AP iStockPhoto: 5bagved, 53øtv, 53øtv, 53nth, 89, 117øth, 163nth Fotolia: 5foran Jesper Frederiksen: 12, 21ø, 52, 54-55, 60, 63, 70, 74, 116, 117n Web Gallery of Art: 20 Wikipedia: 21n Scanpix: 31ø, 31tv, 163 Corbis, 117øtv EPA Nationalbanken: 31th Klaus Mack: 53ntv M.C. Escher’s “Symmetry Drawing E20” © 2007 The M.C. Escher Company Holland. All rights reserved: 57 Lucky Look: 88 Alamy Bridgeman Art Library: 141øtv New York University: 141 Smitsonian Institution Libraries: 141mfth Tryk: Balto Print © 2007 Alinea, København Tidligere udgivet af Forlag Malling Beck under samme ISBN nr.

1. udgave, 10. oplag 2018 Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler.

ISBN: 978 87 7988 424 3

www.alinea.dk

Side 2

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 3

INDHOLD

Tal og størrelser Tal – potens og kvadratrødder Procent og økonomi

.............................

.......................................

5

31

Former og dimensioner Form og konstruktion

.....................................

52

.............................................

89

Data og chance Data og chance

Mønstre og sammenhænge Grafer og lineære sammenhænge

......................

117

Formler, ligninger og beviser

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Ikke lineære sammenhænge

.............................

163

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 4

TAL OG STØRRELSER

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 5

TAL - POTENS OG KVADRATRØDDER

788779 883857

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 6

6

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Kan du regne den ud?

Det er mandag. Der står matematik på skemaet for 9.b på Nørre Skole. Anton, deres lærer, har valgt, at de i dag skal diskutere det “at kunne regne”.

“Hvad er gode regnefærdigheder?” spørger han ud i forsamlingen. “Hvad bør man kunne, når man forlader 9. klasse?”

Nogle fra klassen mener, at det er ligegyldigt med skriftlig regning på papir. Hvorfor kan man ikke bare bruge lommeregneren? Andre mener, at det er meget vigtigt at kunne regne noget hurtigt ud i hovedet og for at gøre det, skal man kende regnereglerne, som en siger. “Nej, regning på papir er nu engang god regnekunst,” hævder til gengæld en anden. “Her ser man virkelig, hvad der sker med tallene, når man regner – og måske er der ingen lommeregner, når man skal bruge den.”

“Hvor gode er I selv til at regne?” spørger Anton ud i klassen og sætter dem i gang med at undersøge deres færdigheder.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 7

7

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

“Inden I går videre, skal I se nogle eksempler på personer, som har haft svært ved at regne,” siger Anton.

Person A

Person B

Person C

Person D

Dorte og Ulla kigger på hinanden, da de får papiret med eksemplerne udleveret.

“Svært ved at regne. Det kender vi godt,” siger Ulla, mens hun ser på Dorte.

OPGAVE 1

Undersøg, og beskriv de fejl, som personerne har lavet.

Dorte siger: “Hvis de havde lært overslagsregning, ville de nok have opdaget fejlene.

For eksempel er 56 + 97 ⬇ 60 + 100 = 160. Det er langt fra 1413, som er B’s resultat.”

OPGAVE 2

Regn ved overslag, og kontroller med lommeregner, hvor langt du er fra det rigtige svar. a. 243 · 24 b. 3428 + 8275 + 5327 c. 8679 – 1312 d. 23 419 : 214 Ulla fortsætter og siger: “Det kan også nogle gange være svært at finde ud af, om man skal lægge sammen eller gange først, når der står 3 · 4 + 8.”

Dorte udbryder: “Det er også tit svært, hvis der er parenteser i regneudtrykkene.”

OPGAVE 3

Udfør følgende beregninger. a. 7 + 5 · 8 c. 5 + 6 · 7 – 8 : 4 + 2 · 2 · 2

b. 4 · 2 + 8 – 4 : 2 + 6 · 3 : 3 d. 3 · 14 : 7 – 21 + 14 : 2 – 6 · 9 + 1

OPGAVE 4

Udfør følgende beregninger. a. 6 + 7 · 8 + 6 · (6 + 9 – 5)

b. (6 + 12) : (36 : 6)

c. ((3 + 6 · 4) : 9 + 27) : 10

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:10 PM

8

Page 8

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Ulla sukker: “Det bliver ikke lettere, når vi også skal kunne regne med brøktal, negative tal og decimaltal.”

OPGAVE 5

a. Regn følgende opgaver på papir, og sammenlign din måde med din makkers.

1) 4) 5,1 + 0,46 2) 37 – 0,16 3) 1,4 · 2,4 1,125 : 0,5 b. Skriv en historie, som passer til regnestykket 18 : 4,5.

OPGAVE 6

a. b. c. d.

Skriv tallet, som er 0,01 større end 53,724.

Læg 0,1 til –0,7, og skriv svaret.

Hvor stor temperaturforskel er der mellem –73 °C og 32 °C? Beregn følgende opgaver: 1) 2) 3) 4) 5) 23 – 234 –23 – 234 –23 · 19 –23 · –19 255 : –5

OPGAVE 7

Regn følgende opgaver uden brug af lommeregner.

2 b. 0,666666 … + 0,333333 … + 9 a. 3,6 + _ 5 + 150% 6 1 _ _2 _5 d. _ c. 5 · 15 + 5 · 4 – 7 4 · 16 + 5 · 15 + 4 · 40 1 2 _ _ e. 28, 8 – 30 + 0,002 – 173 f. 3 2 · 5 OPGAVE 8

Regn følgende opgaver uden brug af lommeregner. a. 8 – (8 + 9 (– (–7))) b. – (52 – 63 + 12 +19 – 60 + 7) c. (–45) – 52 – (–30) d. (–7) · 9 · (–5) · (–2) A: 40 cm

B: 60 cm

C: 80 cm

Anton tegner tre pinde på tavlen. Den ene pind A er på 40 cm. Den anden pind B er på 60 cm, og den sidste pind C er på 80 cm.

“Hvad kan man sige om størrelsesforholdet mellem de tre pinde?” spørger han.

OPGAVE 9

a. b. c. d. e.

Hvor meget længere er C end A? Beskriv i procent, hvor meget C er længere end A. Hvor meget længere er B end A? Hvor meget kortere er A end B? Hvor meget længere er B i forhold til A? Hvor meget er A kortere i forhold til B? Beskriv opgave c og d som både brøktal, decimaltal og procenttal.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 9

9

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

Anton skriver to brøktal på tavlen og omregner dem til decimaltal. ”Der er to slags decimaltal. Dem, hvor brøktal kan omregnes til decimaltal med et endeligt antal 3 decimaler fx _ 5 = 0,6 og dem, hvor omregningen bliver med et uendeligt antal deci3 maler. Den sidste slags decimaltal har det, man kalder en periode, fx har _ 7 perioden 428571. Det skrives 0,428571.”

OPGAVE 10 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _1 a. Afgør for hvert af brøktallene _ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 og 12 , om de er periodiske og hvis ja, hvilken periode de har. b. Hvilket brøktal passer til decimaltallet 0,6 ? c. Beskriv de brøktal, som altid giver endelige decimaler.

“Man kan også regne med forholdstal,” siger Anton og fortæller et par historier.

Fire piger har købt en hest i fællesskab til 42 000 kr. De har ikke betalt lige meget men indskudt henholdsvis 8000 kr., 10 000 kr., 17 000 kr. og 7000 kr., så hver har én anpart i hesten. Efter at have haft hesten i 2 år sælges den for 33 600 kr.

OPGAVE 11

a. Hvor mange penge skal de fire hver især have ved salget? b. Tabte de lige mange procent af deres indskud? Begrund dit svar.

Danbys fodboldhold bliver efter turneringen belønnet af deres sponsor. Hver af de 14 spillere får et antal biografbilletter, i forhold til det antal kampe de har spillet for holdet.

Spiller

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Kampe

18

9

13

18

14

17

18

5

13

3

14

17

18

9

OPGAVE 12

Beskriv en fordeling af biografbilletter, når du ved, at man har besluttet at give spiller 2 tre billetter.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 10

10

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Engang i Babylon For omkring 4000 år siden arbejdede nogle arabere i et matematisk værksted i Babylon. De fremstillede lertavler, der beskrev den matematik, man kendte på det tidspunkt. De gjorde det ved at trykke symboler i våde lertavler, så der fremkom det, man i dag kalder kileskrift. Nogle af disse lertavler er bevaret.

1

11

21

31

41

51

2

12

22

32

42

52

3

13

23

33

43

53

4

14

24

34

44

54

5

15

25

35

45

55

6

16

26

36

46

56

7

17

27

37

47

8

18

28

38

48

9

19

29

39

49

10

20

30

40

50

57 58 59

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:16 PM

Page 11

11

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

Det babylonske talsystem var et 60-talsystem. Det betød, at når babylonerne skulle skrive tal større end 60, så brugte de igen symbolet Y men nu på en ny position lige som vi bruger symbolet 1, når vi bevæger os fra ni til ti.

YY

52 =

YY

62 = Y YY

72 = Y YY Y

32 =

YY YY Y

YY

Y Y Y

12 =

Y

2 = YY

Det vil sige, at YYY betød 3 og med lidt større afstand Y YY 62!

Bemærk, at babylonerne ikke havde opfundet nullet endnu, så man kunne se, hvor mange pladser der var mellem tegnene.

OPGAVE 1

5)

YYY YYY YY

6)

Kolonne 1

YYY YYY

YY YY Y

YYY YYY YY

Y YY Y

Y

4)

Y Y

Y Y Y

a. Skriv i vores titalsystem. Se i taltavlen til venstre.

1) 2) YYY YYY YYY 3) YY

Y Y

.

Y

b. Skriv med kileskrift det tal, der kommer før c. Skriv med kileskrift, det tal, der er dobbelt så stort som Y . d. Omskriv 7, 28, 50 og 64 til kileskrift.

Man har fundet en lertavle, som er fra ca. 1600-1800 f. Kr., hvor der var to kolonner af tal.

OPGAVE 2

a. Hvilke tal står der i kolonne 1? b. Find ud af, hvad de fem første tal i kolonne 2 står for. c. Hvilket talmønster finder du? d. Omskriv resten af tallene i kolonne 2.

Vi genfinder det baylonske talsystem i vores tidsenheder fx, at 1 min. er 60 sek.

OPGAVE 3

a. Skriv på kileskrift antallet af sekunder for tiden 3 min. 2 sek. b. Skriv på kileskrift antallet af sekunder for tiden 3 timer 3 min. 2 sek.

Kolonne 2

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 12

12

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Hvor småt kan det blive?

“Hvor småt kan det egentlig blive!” udbryder den unge teknikker Otto Bernsen til sin kollega Daniel Cubrik, mens han stirrer ned i elektronmikroskopet. ”Kan så små tingester virkelige udrette så meget skade?”

Daniel kigger smilende på ham. Han havde tænkt det samme, da han startede med at arbejde på viruscentret for et par år siden. At se på virus, som kun er én milliontedel – ja helt ned til én milliardtedel meter, er fascinerende.

“Du kan ændre på forstørrelsen her,” siger Daniel henvendt til Otto og peger på en drejeknap på elektronmikroskopet. På en skala fra 1-10, kan han bestemme, hvor meget billedet skal forstørres på skærmen. Efter hvert trin fremad på skalaen lyder der et klik, og billedet bliver forstørret ti gange.

Tallet 1 betyder x 10, tallet 2 betyder x 10 x 10, tallet 3 betyder x 10 x 10 x 10 osv.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 13

13

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 1

Ved hvilket tal på skalaen står knappen, når billedet er forstørret 10 000 gange?

Hvor mange gange er billedet forstørret, hvis knappen står ud for 6 på skalaen?

Hvor står knappen, hvis Otto siger, han har forstørret billedet 107?

Hvilke af følgende regneopgaver viser, at Otto har forstørret billedet fra 3 på skalaen til 5 på skalaen?

1) 2) 3) 4) 10 3 · 10 10 3 · 10 · 10 10 3 · 10 2 10 · 10 · 10 · 10 · 10 4 3 7 e. Beskriv, hvorfor 10 · 10 = 10 . f. Fremstil en regel for multiplikation med potenstal. Giv eksempler, som understøtter din forklaring.

a. b. c. d.

OPGAVE 2

Hvad sker der med størrelsen af billedet, når man skruer til venstre på knappen?

Hvor mange klik er der fra en forstørrelse på 10 9 til en forstørrelse på 106?

Hvordan kan man beskrive den regneproces som formindsker?

Hvor står knappen, hvis en forstørrelse på 10 5 gøres 1000 gange mindre?

Hvilke af følgende regneopgaver viser, at Otto har ændret forstørrelsen fra 7 på skalaen til 4 på skalaen?

1) 2) 3) 4) 10 7 : 10 10 7 : 10 : 10 : 10 10 7 : 10 3 10 3 : 107 f. Fremstil en regel for division med potenstal. Giv eksempler, som understøtter din forklaring. a. b. c. d. e.

Otto ender med at lade mikroskopet have en forstørrelse på 10 5.

OPGAVE 3

Hvor står knappen på skalaen?

Beskriv forstørrelsen som et tal på lang form.

Hvis han drejer knappen fem gange baglæns, hvilken situation har han så?

Denne situation beskrives som 105 : 105. Omskriv regneudtrykket som en brøk, og angiv resultatet. e. Regn følgende opgaver: 1) 2) 3) 4) 10 : 10 10 2 : 10 2 10 9 : 10 9 10 10 : 10 10 f. Forklar nu, hvorfor det er en fornuftig vedtagelse at sige, at 10 0 = 1. a. b. c. d.

10 i første 10 1 = 10 10 2 = 10 · 10

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

14

Side 14

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Decimaltal og brøktal 0,001 = 10 –3

_1 = 2

19:55

“Se her, nu kan man se virus B17. Den er kun to milliontedel meter lang.” Otto peger ivrigt på skærmen.

–3

23

Videnskabelig skrivemåde Man kan omskrive store og små tal til videnskabelig skrivemåde.

Den består af et starttal mellem 1 og 10 gange et tierpotenstal.

720 000 = 7,2 · 105 0,0032 = 3,2 · 10–3

OPGAVE 4

a. b. c. d.

Hvordan vil du beskrive længden af virusset som et brøktal? Som et decimaltal?

Beskriv længden, hvis det er 10 2 gange større.

Beskriv længden, hvis det er 10 –2 gange mindre.

Beskriv længden i centimeter og millimeter.

OPGAVE 5

a. Hvorfor kan man beskrive længden af virus B17 som 2 · 10 –6 m? b. Tag stilling til hvilke af følgende regneudtryk, som beskriver det samme tal.

1) 2) 3) 4) 20 · 10–5 0,2 · 10 –5 2 · 10 2 · 10 –8 2000 · 10 –3 c. Hvordan vil du beskrive en længde, der er 10 gange større? Brug potenstal.

Otto kan se på en beskrivelse, at længden af virus B17 er målt mere præcist til 2,236 · 10–6 m.

OPGAVE 6

a. Hvordan vil du beskrive længden af virusset, hvis du skal skrive det som et decimaltal på lang form? b. Skriv længden på videnskabelig skrivemåde, hvis starttallet skal ligge mellem 100 og 1000.

“Fik du for øvrigt undersøgt bakteriekulturen Bakteria Fludelia fra i går?” Daniel ser spørgende på Otto.

“Nej for pokker,” svarer Otto undskyldende og skal til at rejse sig, men bliver bremset af Daniel, som siger: “Bare rolig, det er i orden. Jeg har målt deres fordoblingstid til 1 time. Rapporten er skrevet og afleveret.”

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 15

15

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 7

a. b. c. d.

Hvor lang tid går der, inden en enkel Bakteria Fludelia er blevet til 8?

Hvor mange bakterier vil der dannes efter 7 timer?

Hvorfor kan man skrive antallet af bakterier efter 10 timer som 210?

Udfyld nedenstående tabel, som viser udviklingen af bakterier fra 0 timer (start) til 10 timer.

Timer

0

Antal bakterier

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

OPGAVE 8

a. Tilfør en række mere i tabellen, så bakterieantallet omskrives til potenstal.

Timer

0

Antal bakterier

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Potenstal

b. c. d. e.

Beskriv ud fra tabellen, hvorfor 2 2 · 2 3 = 2 5.

Beskriv en regel for, hvordan man kan regne 2 n · 2 m.

Beskriv ud fra tabellen, hvorfor 2 5 : 2 3 = 22. p Beskriv en regel for, hvordan man kan regne 2 k : 2 .

OPGAVE 9

a. Hvordan vokser tallene i tabellen fra time til time? b. Hvis man kan forestille sig den modsatte proces ved at gå til venstre i tabellen, 1 skal der divideres med 2 eller ganges med _ 2 . Tegn denne tabel, og udfyld de tomme felter.

Timer Antal bakterier

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

1

Potenstal OPGAVE 10 1 1 a. Hvis 2 –3 kan omskrives til _ , hvordan kan så _ omskrives?

23 25 5 –3 b. Udregn 2 · 2 . Brug evt. tabellen fra opgave 9. c. Hvorfor er 2 4 · 2 –4 = 1?

2

3

4

5

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 16

16

TA L O G S T Ø R R E L S E R

I fliseforretningen

1

2

3

4

Eva og Troels har besluttet sig for, at de skal have nyt flisegulv til deres stue. Gulvet er kvadratisk, og siderne er 6 m lange. De er derfor på besøg hos FliseHans for se på mulighederne.

Eva har sagt, at når gulvet er kvadratisk, skal fliserne også være det.

Hos FliseHans er der en kvadrattavle, hvor man kan se, hvordan antallet af fliser forøges. Vælger man kvadrat 2 , skal man bruge 4 fliser, kvadrat 3 kræver 9 fliser osv.

OPGAVE 1

Flise A: 100 cm2

a. Beskriv antallet af fliser, der skal bruges til kvadraterne fra 1-10. b. Beskriv sammenhængen mellem kvadratets nummer og antallet af fliser. c. Hvad sker der med arealet af kvadratet, hvis man fordobler sidelængden?

I et andet rum kan man se tre forskellige fliser: flise A, flise B og flise C. Der står størrelsen i kvadratcentimeter.

Flise B: 200 cm2

OPGAVE 2

Flise C: 300 cm2

a. b. c. d. e.

Skitser de tre fliser, og skriv arealmålet på.

Gæt på længden af siderne, og skriv resultatet.

Beregn længden af siderne ved at bruge kvadratrodstegnet på din lommeregner.

Sammenlign dit gæt med en anden fra klassen. Hvem er tættest på?

Aftal med en anden fra klassen et areal på et kvadrat. Gæt sidelængden, og undersøg med lommeregneren, hvem der er tættest på.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 17

17

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 3

a. Beskriv med dine egne ord, hvad det vil sige “at tage kvadratroden”. b. Brug de sidelængder, du udregnede på de tre fliser i opgave 2. Beregn flisernes areal. c. Der er en flise, hvor udregningen i opgave b passer og to fliser, hvor udregningen ikke passer. Hvad er der særligt ved det tal, hvor det passer? d. Giv tre eksempler på tal, som altid har et præcist resultat, når man tager kvadratroden af tallet. e. Giv tre eksempler på tal, som aldrig giver et præcist resultat, når man tager kvadratroden af tallet.

Da hverken Eva eller Troels har en lommeregner med sig hos FliseHans, gætter de begge på sidelængden af flise B. Eva foreslår 14,2 cm, mens Troels gætter på 14,8 cm.

OPGAVE 4

a. Undersøg, hvilke af tallene, som bedst passer til de 200 cm2. b. Undersøg, om gennemsnittet af de to gæt giver den rigtige sidelængde, så arealet er 200 cm2. c. Overvej, om det er muligt at finde et decimaltal for sidelængden, som helt præcis passer til et fliseareal på 200 cm2.

OPGAVE 5

a. Hvis man tager kvadratet på et helt tal, vil man så altid få et helt tal? Giv mindst tre eksempler, som underbygger dit svar. b. Hvis man tager kvadratroden af et helt tal, vil man så altid få et helt tal? Giv mindst tre eksempler, som underbygger dit svar. c. Kan man tage kvadratet af et negativt tal? Giv mindst tre eksempler. d. Prøv at tage kvadratroden af et negativt tal på lommeregneren. Hvorfor kan det ikke lade sig gøre?

OPGAVE 6 1 a. Undersøg, om kvadratroden af 5, 10, 36, _ 4 og 1,69 er irrationelle tal. b. Hvilke tal fra 1-100 kan man tage kvadratroden af, så det bliver et helt tal?

Irrationale tal Tal, der ikke kan skrives som et brøktal eller ikke kan skrives som et decimaltal med en bestemt periode, kaldes for irrationale tal.

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:18 PM

Page 18

18

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Både Troels og Eva har besluttet sig for flise B, som er 200 cm2.

De er dog ikke sikre på, at hele gulvet skal dækkes. Eva lægger et mønster med tre fliser ved siden af hinanden.

OPGAVE 7

a. Hvorfor er den ene sidelængde i dette mønster vv vvv0v cm lang?

20 3 · avv

flise B

b. Skriv et regneudtryk for det samlede areal af de tre fliser.

OPGAVE 8

a. Beskriv sidelængden på dette mønster. b. Skriv et regneudtryk for arealet af mønstret.

Eva prøver med et andet mønster, hvor både flise B og C indgår.

Hun tegner en skitse og skriver mål på.

flise C

flise B OPGAVE 9

a. b. c. d. e. f.

Tegn en skitse som ovenstående, og skriv sidelængder på. vv vvv0v · avv vv vvv0v ?

20 30 Hvorfor er arealet af de hvide rektangler avv Beregn arealet af de hvide rektangler.

6 ·100?

Hvorfor kan arealet udregnes som avv a · avv b= Beskriv en regel for at gange med kvadratrødder, fx avv avv avv Prøv reglen efter, fx med 4 · 9.

OPGAVE 10

a. Undersøg om den samme regel findes, når man lægger kvadratrødder sammen. v1 ?

5 + av3vvvvv 6 = av6vvv Er det rigtigt, at av2vvvvv b. Giv tre andre eksempler, som viser, hvad du har fundet ud af i opgave a. avv a c. Undersøg, om følgende regel virker: a = vvv avv b b d. Undersøg, om der er en regel, når man trækker kvadratrødder fra hinanden.

!

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 19

19

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 11

1 3

4 2

a. Gør sådan: I Klip et kvadrat med siden 16 cm og arealet 256 cm2 . Kald det kvadrat 1.

Brug millimeterpapir.

I Afmærk midten i kvadrat 1.

I Fold hvert hjørne ind til midten, så der dannes et nyt kvadrat 2.

I Skriv kvadratets areal og sidelængde. b. Gentag processen, så langt du kan. c. Fremstil en tabel med sidelængder og tilhørende arealer.

Kvadrat Sidelængde cm Areal cm2

1 16 256

2

3

128

64

4

5

6

7

Materialer Millimeterpapir Saks Lineal

8

OPGAVE 12

a. Beregn arealet på dine kvadrater ved at bruge den målte sidelænge. Passer det med tallene fra tabellen? b. Hvordan kan du ved brug af lommeregner regne dig til en mere præcis sidelængde? c. Ved udregning på lommeregner får man sidelængden på kvadrat 2 til 11,3137085.

Hvordan kan du med lommeregneren vise, at det ikke er det helt nøjagtige svar?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 20

20

TA L O G S T Ø R R E L S E R

U N DERSØG SELV Tal kan være smukke Gennem historien har arkitekturen og kunsten ofte tænkt i særlige forholdstal, som gjorde billeder og bygninger smukke. Af en eller anden grund har vi “et æstetisk øje”, som foretrækker visse forholdstal frem for andre. Et af disse forhold er det gyldne snit også kaldet den gyldne brøk.

a

Leonardo Da Vinci (1452-1519) var meget optaget af dette forhold. Han forestillede sig, at forholdstallet også indgik i proportionerne hos det perfekte menneske. Hans forhold så sådan ud: Fod til navle Højde = Navle til top Fod til navle

b

OPGAVE 1

a. Konstruer en tegning som til højre med passer og lineal. Indtegn afstandene a og b. b. Omskriv sætningen ovenover med a og b. c. Foretag en undersøgelse, om forholdet passer med dig og dine klassekammerater.

Der er kun ét forholdstal _ a , som opfylder den sætning, du har skrevet i opgave b. Dette tal er opkaldt efter det græske bogstav “Fi” og skrives . minder om , idet det også er et irrationelt tal. er ca. 1,62. b

c. En linje er 21 cm lang. Hvor vil du sætte et mærke på linjen, så du har delt den i det gyldne snit? d. Hvis længden på et rektangel er 21 cm, hvad skal bredden så være for, at man har et gyldent rektangel? Giv et andet eksempel på et gyldent rektangel.

En mere præcis beskrivelse af er

1+ avv 5 .

2

OPGAVE 3 OPGAVE 2

a. Hvis længden af a er 8 cm, hvor lang vil så b være? b. Hvis længden af b er 10 cm, hvor lang vil så a være?

a. Vis ved udregning, at værdien ovenover ca. er 1,62. b. Regn de følgende opgaver, og beskriv nogle egenskaber ved .

1 1 1 1) _ 2) – 1 3) 2 4) + 1 5) –_

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 21

21

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

12

I kunsten, design- og medieverdenen bruger man ofte dette harmoniske forhold.

De vigtige elementer i billedet bliver placeret i forhold til det gyldne snit. Tingene bliver formet i forhold til det gyldne snit.

12

4

12

OPGAVE 4

a. Tegn et rektangel fx på 8 cm x 13 cm. b. Inddel længden og bredden i det gyldne snit, og tegn de fire linjer som på fotografiet. c. Undersøg forskellige reklamebilleder, kunstbilleder eller lignende, og indtegn på samme måde det gyldne snit (0,62 · længden). Har man komponeret billedet i forhold til det gyldne snit? Begrund det. d. Mål på forskellige ting omkring dig. Undersøg, om der er nogle talforhold som på flaget, der passer til det gyldne snit.

Man kan genfinde det gyldne snit i naturen, fx i en særlig spiral.

8 cm 13 cm 8 cm 13 cm

13 cm

5 cm 5 cm

1

21 cm

2

OPGAVE 5

Tegn spiralen.

1 Tegn det gyldne rektangel med målene 21 cm og 13 cm. Brug ternet papir. Tegn kvadratet på 13 x 13 cm.

2 Tegn det nye kvadrat på 8 x 8 cm.

3 Tegn et nyt kvadrat på 5 x 5 cm.

Bliv ved at tegne kvadrater, så længe du kan.

4 Tegn cirkelbuerne som på den sidste tegning.

3

4

4

21

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 22

22

TA L O G S T Ø R R E L S E R

VIDEN OM

Alt er tal!

PYTHAGORAS OG HANS DICIPLE

De naturlige tal har Gud skabt, alt andet er menneskeværk!

KRONECKER, BERØMT MATEMATIKER

De reelle tal

1

2

3

–18

4

avv 3

0,3

0 –1

_2

50%

3

avv 5 3

TALMÆNGDER

De naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, …

De naturlige tal består af to slags tal, dem, der kaldes de sammensatte tal og dem, der kaldes primtal, samt tallet 1.

De sammensatte tal består af alle de naturlige tal, der har mere end to divisorer.

Det vil sige alle de tal, som kan divideres med mindst tre forskellige naturlige tal.

Primtal er tal, der kun har to divisorer – tallet selv og tallet 1.

De hele tal: … –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Det modsatte tal til 5 er –5.

Minusstregen foran –5 betyder, at tallet hører til mellem –6 og –4 på tallinjen.

–(–5) betyder det modsatte tal af –5, hvilket er tallet 5.

De rationale tal: Brøktallene, decimaltallene og procenttallene.

Endelige decimaltal har et endeligt antal decimaler fx 7,34 og 78,567.

Periodiske decimaltal har et uendeligt antal decimaler men efter et bestemt 2 talmønster – en såkaldt periode fx _ 11 = 0,181818 …, hvor perioden er 18.

Det skrives 0,18 1 Det omvendte tal til 3 er _ 3 .

De irrationale tal: Alle tal, der omskrevet til decimaltal, er uendelige ikke periodiske.

Fx avv 2 = 1,414213562... og = 3,141592654…

De reelle tal: De rationale tal sammen med de irrationale tal udgør tilsammen de reelle tal.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 23

23

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

REGNINGSARTERNE OG TALLENE

Der er fire regningsarter: addition, subtraktion, multiplikation og division.

Addition og subtraktion er modsatte regningsarter.

Multiplikation og division er modsatte regningsarter.

Symbolerne for subtraktion og addition, “+” og “–” deler regneudtryk i led.

For eksempel er der tre led i regneudtrykket 34 + 2 · 4 – 17 : 4 .

Der et et regnehierarki, en rækkefølge, man skal følge for at regne rigtigt.

1) Alle potenstal og kvadratrødder udregnes.

2) Alle parenteser udregnes.

3) Alle multiplikationer og divisioner udregnes.

4) Alle additioner og subtraktioner udregnes.

EKSEMPEL

23 · 32 + 4 · (45 – 22) – 32 : 23 = 8 · 9 + 4 · (45 – 4) – 32 : 8 = 8 · 9 + 4 · 41 – 32 : 8 = 72 + 164 – 4 = 232 Der er særlige regneregler for brøktal.

_1 + _1 = _2 + _3 = _5 3 2 6 6 6

_2 · _3 = _6 3 4 12

_3 : _2 = _3 · _3 = _9 4 3 4 2 8

1 _1 _1 _1 _5 7_ 2 + 2 3 = (7 + 2) + ( 2 + 3 ) = 9 6

Multiplikation med negative hele tal.

•

3

2

1

0

–1

–2

–3

3 2 1 0 –1 –2 –3

9 6 3 0 –3 –6 –9

6 4 2 0 –2 –4 –6

3 2 1 0 –1 –2 –3

0 0 0 0 0 0 0

–3 –2 –1 0 1 2 3

–6 –4 –2 0 2 4 6

–9 –6 –3 0 3 6 9

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 24

24

TA L O G S T Ø R R E L S E R

POTENSREGNEREGLER 23 er et eksempel på et potenstal. 23 udtales “to i tredje”.

2 kaldes for roden og 3 for eksponenten.

23 er en omskrivning af produktet 2 · 2 · 2. an er en omskrivning af produktet a · a · a · a … (n gange). a0 = 1 altså 20 = 1. Alle værdier i nulte har værdien 1.

1 .

Der gælder, at 2 –3 = _ 3 2

Der er særlige regneregler ved regning med potenstal.

1) 23 · 25 = 28 an · am = an + m Det gælder kun, når roden er den samme – ikke ved 22 · 5 3. n

2) 26 : 23 = 23 a : am = an – m Det gælder kun, når roden er den samme – ikke ved 26 : 5 2. (an) m = an · m

3) (23)2 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 26 2 _2 _2 _2 4) (_ 3) = 3 · 3 · 3 = 3

3 2 _ 3

3

a n (_ b) =

an _ n b

Store eller små tal kan skrives på videnskabelig skrivemåde.

Skrivemåden er produktet af et starttal mellem 1-10 og en tierpotens.

Fx kan tallet 345 000 000 skrives 3,45 · 108.

100 = 102

10 = 101

1 = 100

0,1 = 10–1

0,01 = 10–2

Små tal fx 0,00000000237 cm kan således skrives som 2,37 · 10 –9.

REGNEREGLER FOR KVADRATRØDDER OG KUBIKRØDDER avv 4vv9 udtales som “kvadratroden af 49”. avv 4vv9 = 7, fordi 7 2 = 7 · 7 = 49.

Bemærk, at man kun kan tage kvadratroden af noget positivt.

3 av 1vvv2vv5v udtales som “kubikroden af 125” eller “den tredje rod af 125”.

3 av1vvv2vv5v = 5 fordi 53 = 5 · 5 · 5 = 125. Det vil sige, at kubikroden af 125 er 5.

3 vvvvv –1 2v5v = – 5.

Man kan godt tage kubikroden af et negativt tal, fx er avvv

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 25

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

Der er særlige regneregler ved regning med kvadratrødder: v1vvv v6 · avv vv vvvvv0v = 4 · 10 = 40 1) avv 10 avv vv vvvv·vvvv1vvv0vvvvv0v = avvv1vvvv 16 6vvv 0vvv0 = 40 vv = avvavvvvv· vbv Altså avva · avvb

2) avv8vvv1v : avv 6vv4v = 9 : 8 = 1,125 avvv v vvv v v v vvv vvv v v vvvvvv 81 : 64 = avv1, 2vvv6vvv 5vvv 6vvv 2vvvv5 = 1,125 vv = avvavvvvv : vbv , når b ikke er 0.

Altså avva : avvb

EKSEMPEL

Man kan sætte uden for kvadratrodstegnet. avv vv = avv 12 4 · avv 3 = 2avv 3 Man kan sætte inden for kvadratrodstegnet. vv 3 = avv 9 · avv 3 = avv 27 3avv Bemærk, at avv 4 både kan være 2 og –2.

Ved addition og subtraktion er der ikke de samme regler: avv 3 + avv 2 er ikke det samme som avv 5. avv avv avv 3 – 2 er ikke det samme som 1 .

FORHOLDSTAL Man taler om forholdstal, når man skal dele noget på en bestemt måde.

Hvis to deler noget, så de får lige meget, er forholdstallene 1:1, og de får det halve hver.

Hvis to deler noget, så den ene får dobbelt så meget som den anden, er forholds1 _2 tallene 1:2. Den ene får _ 3 og den anden får 3 .

25

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 26

26

TA L O G S T Ø R R E L S E R

OPFØLGNING

OPGAVE 8

Afrund tallene til nærmeste tiendedele. a. 0,34 b. 1,89 c. 3,054 d. 0,072 OPGAVE 1

Skriv hele tallet. a. Syv tusinde og sytten b. Tre millioner femhundrede c. Syv tusinde og fire

OPGAVE 9

OPGAVE 2

OPGAVE 10

Skriv tallene i rækkefølge med det mindste tal først. a. –9 –9,5 –9,55 –9,03 b. 0,3 –0,8 1 –0,25 c. –1,6 –2 –1,99 0,05

a. 597 – (–534) b. –6282 – (+817) c. 529 – (–639) d. –3 – (–5) – (–7) – 9 e. 45 + (–34) – 19 + (–16)

a. 2035 – 3528 b. 2142,4 – 878,54 c. 34,7 – 0,4 · 32 + 23,5 d. 3,5 · 2,4 – 3 · 23 + 215

OPGAVE 3

a. c. e. f.

200 · 334 000 b. 3000 · 0,34 0,2 · 100 · 0,4 · 0,1 d. 2300 : 100 : 10 200 · 200 · 200 · 200 2,3 : 100 g. 0,2 : 10

Skriv som potenstal med grundtallet 10. fx 100 = 102. a. 100 000 b. 10 000 000 000 c. 100 000 000 d. 10 mio.

OPGAVE 12

Omskriv til potenstal. a. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 b. 12 · 12 · 12 · 12 · 12 c. 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7

OPGAVE 4

a. 23 · 114 c. 5,6 · 3,45

OPGAVE 11

b. 56 · 889 d. 0,65 · 23,4

OPGAVE 5

OPGAVE 13

Afrund resultaterne i forrige opgave til nærmeste 10.

Omskriv potenstallene til lang form. b. 93 c. 25 d. 134 a. 44

OPGAVE 6

OPGAVE 14

Hvor stor er forskellen mellem tallene? a. 116 og –83 b. –108 og –23 c. –24,3 og 2,8 d. –54,3 og 48,9

Omskriv de store tal til videnskabelig skrivemåde.

Fx 23 000 000 000 = 2,3 · 1010. a. 27 000 000 b. 435 000 000 c. 364 250 000 000 d. 3 000 000 000

OPGAVE 7

a. 7 · –78 d. 245 : –5

b. –4 · 34,5 e. –45 · –2,3

c. –24 : -6 f. –2 : 0,5

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 27

27

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 15

OPGAVE 22

Omskriv til decimaltal. b. 10 –1 c. 10 –7 a. 10 –3

2 _4 _4 a. _ 7 + 7 + 7 1 _3 _1 c. 3_ 4 + 54 – 24

d. 10 –2

b. d.

_3 + _1 – _5 13 13 13 _5 – _4 – _1 11

11

11

OPGAVE 16

OPGAVE 23

Omsæt decimaltallene til tierpotenstal. fx 0,003 = 3 · 10 –3. a. 0,0009 b. 0,0005 c. 0,00073 d. 0,00000396 e. 0,000410 f. 0,0333

a. Hvis 20 % af bogen er på 34 sider, hvor mange sider er der så i alt? b. Hvis 15 % af bogen er på 45 sider, hvor mange sider er der så i alt?

OPGAVE 24

OPGAVE 17

Omsæt til decimaltal. b. 2,6 · 10–2 a. 4 · 10–3 d. 3,2 · 10–3 e. 0,4 · 10 –1

c. 1,5 · 10–4 f. 320 · 10–3

a. b. c. d.

3,9 · 104 + 7,4 · 104 7,6 · 103 + 9 · 103 1,6 · 102 + 2,4 · 103 9,1 · 104 + 1,2 · 105

OPGAVE 18

OPGAVE 25

Sæt brøktallene i rækkefølge med det mindste først.

3 _2 _1 _5 b. _3 _2 _3 _3 a. _ 12 12 12 12 7 5 4 6 1 _4 _7 14 _ c. 1_3 _7 _8 1_1 c. 1_ 2 3 6 10 4 5 6 2

Afrund til 2 decimaler. a. 0,2555 b. 2,3094

Gør tallet 0,18 mindre. a. 3,44 b. 7,02 d. 5 e. –7,56

OPGAVE 26

a. c. e.

OPGAVE 19

c. 0,2 f. –2

c. 6,33333

_1 + _1 5 10 _2 + _3 – _1 5 10 2 _2 + _2 3

4

b. d. f.

_1 + _1 3 9 _7 + _3 9 5 _1 + _1 + _1 4

5

6

OPGAVE 27

Omskriv brøktallene til decimaltal. Afrund evt. med 2 decimaler.

3 4 6 7 _ b. _ c. _ d. _ e. 26 a. _ 8 12 13 5 13

Omskriv sætningen til procenttal.

1 a. _ 3 af klassen har briller. b. Du får hele beløbet.

1 c. Du kan få _ 5 af prisen i rabat.

1 d. Den bliver 1_ 2 gange større.

OPGAVE 21

OPGAVE 28

OPGAVE 20

Skriv tallet med a. 7 hundrededele + 3 tiendedele + 3 enere. b. 15 tiere + 13 hundrededele + 5 tiendedele. c. 5 hundrede + 27 tiendedele + 10 enere. d. Skriv et decimaltal med 3 decimaler.

1 _3 b. 7 _3 + 5 _3 a. 3_ 2 + 12 4 4 4 1 _3 _1 d. 5 _ – e.

5 – 1 4 4 3

1 _1 c. 4 _ 3 + 3 4 2 _1 f. 3_ 3 – 15

OPGAVE 29

Beregn resultatet, og skriv det som ét tierpotenstal. b. 104 · 105 c. 102 · 101 a. 102 · 103

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 28

28

TA L O G S T Ø R R E L S E R

OPGAVE 30

OPGAVE 36

Omskriv til procenttal og decimaltal.

Afgør, om følgende tal er sammensatte tal eller primtal. a. 17 b. 133 c. 121 d. 127 e. 354 f. 103

Brøktal

_3 4 _7 8 12 _ 5 _3 9 _1 6 _8 3 _4 5 _1 1

Decimaltal

Procenttal

OPGAVE 37

Opløs tallene i primtalsfaktorer fx 102 = 2 · 3 · 17. a. 368 b. 256 c. 435 OPGAVE 38

2

OPGAVE 31 1 a. Beregn _ 3 af 250 kr. _ b. Beregn 23 af 15 m.

3 c. Beregn _ 2 af 4,2 liter vand.

OPGAVE 32 2 Forlæng brøktallet _ 3 . Giv tre eksempler.

Skriv det sammensatte tal, der kan skrives som b. 53 · 32 · 72 a. 22 · 32 · 112 OPGAVE 39

Hvor mange procent er a. 3 kr. af 35 kr.? b. 120 kr. af 800 kr.? c. 23 kr. af 288 kr.? d. 32 kr. af 133 kr.?

OPGAVE 40

OPGAVE 33

Forkort følgende brøktal mest muligt.

90 29_ 04 _ _ b. 66 c. _ a. _ 230 99 92 40

a. 3 % af 700 kr. c. 1,5 % af 12 kr.

b. 15 % af 23,50 kr. d. 0,3 % af 300 kr.

OPGAVE 41 OPGAVE 34

a. 0,3 af 35 kr. c. 15 % af 72 kr.

2 b. _ 3 af 632 kr.

d. 1,4 af 620 kr.

OPGAVE 35

Regn ud på lommeregner. a. 5 + 8 · 7 b. 19 – 42 4 _ c. 27 – 5 6 d. avvvv 36 · 3 – 11 3,71 + 6,49 6,42 – 2,17 vvv 31,25 – avvvv 14vvvv ,44 f.

2,37 + 1,29 e.

g. –2,5 + 4,2 · (–3,7)

a. 4 ‰ af 25 liter

b. 0,5 ‰ af 35 000 kr.

OPGAVE 42

Hvor stor er stigningen i procent, hvis prisen hæves… a. fra 10 kr. til 14 kr.? b. fra 18 kr. til 24 kr.?

OPGAVE 43

Hvor stort er det procentvise fald, hvis prisen sænkes fra … a. 100 kr. til 85 kr.? b. 120 kr. til 95 kr.? c. 1200 kr. til 1175 kr.?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 29

29

TA L – P O T E N S O G K VA D R AT R Ø D D E R

OPGAVE 44

OPGAVE 53

Skriv resultatet med 2 decimaler. b. avv c. avv a. avv vv vvvvvv 2 14 4 2vvv,v5v

Tegn på samme tallinje tallene.

OPGAVE 45

OPGAVE 54

2 a. avv 4vv

4 b. avv 3vv

8 c. avv 3vv

OPGAVE 46

Sæt inden for kvadratrodstegnet 2 = avv 4 · avv 2 = avvv 4vv·vv2v = avv 8. fx 2 avv avv avv avv b. 4 4 c. 2 5 d. 4avv 3 a. 3 3 OPGAVE 47

Udregn. a. avv 4 · avv4

vv vvv · avv b. avv 16 9

vv vv vvvvvvv c. avv 8vv1 · avv 10 0v

_

105 103

c.

_

109 102

d.

_

105 105

_3 7

Udregn. a. 10 2 · 10 3 · 10 –3 c. 10 –3 · 10 –2 · 10 –1

b. 10 2 · 101 · 10–3 d. 1010 · 10 –10 · 101

OPGAVE 50

b. 10 0 · 100

c. 10 0 · 10 –3 · 103

_

12 36

55 _ _

110

Sæt uden for kvadratrodstegnet, hvis det kan lade sig gøre. b. avv c. avv a. avv v3vvvv v3vvv v7v5v v1vvvv 0v0v 0v8v OPGAVE 55

Udregn kubikroden. b. 3avv a. 3avv vvv7vv vvvvv 2 1 2v5v 3 3 c. avv d. v3vvvv v v v v vvv avv 43 17v2vvv8 OPGAVE 56

b. 109 : 107

c. 1016 : 1011

OPGAVE 57

Udregn. a. 10 –2 · 10 c. 100 · 10 –2

OPGAVE 49

Udregn. a. 10 0 · 10

5

Udregn. a. 106 : 103

OPGAVE 48

Udregn. _3 b. a. 10 102

_1

b. 104 · 10 –2 d. 1010 · 10 –5

OPGAVE 58

Skriv om til ét potenstal. Skriv resultatet på lang form. b. 56 : 54 c. 52 : 51 a. 53 : 5 4 0 5 2 d. 5 : 5 e. 3 : 3 f. 73 : 72

OPGAVE 51

OPGAVE 59

Omsæt til decimaltal.

Når man skal måle bølgelængder, anvender man måleenheden Ångstrøm (Å).

1 Å = 10–10 m.

Omskriv de følgende målinger til Ångstrøm. a. Bølgelængden på en røntgenstråling kan være 10–11 m. b. Ultraviolet lys kan have en bølgelængde på 10–7 m. c. Bølgelængden på synligt lys kan være 10–6 m.

a.

avv 4 avv 9

b. 5 avv 3

c. 10 avv 1v0v

OPGAVE 52

Omskriv til lang form. b. 10 · 105 a. 1 · 105 d. 5,233 · 1012 e. 433 · 107

c. 1,2 · 10 f. 1,0074 · 103

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 30

30

TA L O G S T Ø R R E L S E R

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Blandt de følgende 19 tal er der 12 primtal, 6 sammensatte tal og 1 tal, der hverken er et primtal eller et sammensat tal.

23, 49, 59, 77, 1, 17, 93, 69, 37, 87, 97, 101, 71, 103, 11, 75, 19, 43 og 105 a. Skriv de forskellige typer af tal hver for sig. b. Beskriv de faktorer, de sammensatte tal består af. c. Find ud af, om tallet 371 er et primtal.

2. Spørgsmål (–2) · 4 = –8

5 · (–3) = –15

(–3) · (–4) = 12

a. Vælg et blåt regnestykke, og beskriv en hverdagssammenhæng, som passer til.

5 · 4 – 3 + 7 · (5 + 2) – 8 : 4 – 2 = 48 b. Ovenstående grønne udregning er forkert. Find ud af, hvad der er gået galt.

3. Spørgsmål 1 kg oksekød koster 69 kr. Tobias køber 0,6 kg. Hvor meget koster det?

Vælg hvilke af følgende regneudtryk, som passer til opgaven og begrund det.

1)

69 · 0,6

2)

69 : 0,6

3)

0,6 : 69

4. Spørgsmål Skriv et tal, som ligger mellem 1 _1 1) _ 2) 3) 0,7 og 0,8 5 og 6

4)

0,6 · 69

5)

69 – 0,6

12 _ og _ 11 4

4

5. Spørgsmål Gæt på, hvad disse kvadratrødder er som decimaltal.

0,9 0,09 10 1000 0,1 0,01 Kontroller med lommeregner.

6. Spørgsmål Et lysår er en afstandsenhed. Den beskriver den afstand, lyset tilbagelægger i løbet af et år. Lysets hastighed er 300 000 km/sek. a. Beskriv lysets hastighed i km/sek. på videnskabelig skrivemåde. b. Beskriv et lysår i kilometer. Hvor langt er det i kilometer skrevet på videnskabelig skrivemåde? (Starttallet med 2 dec.) c. Stjernen Sirius er ca. 8,6 lysår væk. Hvor langt er det i kilometer skrevet på videnskabelig skrivemåde? (Starttallet med 2 dec.)

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 31

PROCENT OG ØKONOMI

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 32

32

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Var alting billigere i gamle dage?

“Alting var billigere i gamle dage.”

Mathilde har besøg af sin morfar. Det er en af hans standardbemærkninger. Hvor irriterende, tænker hun tit.

Dagen efter beslutter hun sig for at besøge museets gamle købmandsgård for at spørge om priserne før og nu.

I købmandsgården får hun en snak med Dinesen, som står i butikken. Der er ikke andre kunder, så han har god tid til at finde nogle materialer frem til hende.

“Her kan du se en liste over varer fra dengang, og hvad de kostede for 100 år siden,” fortæller han.

1 kg Oksekød

90 øre

250 g Smør

54 øre

6 Æg

37 øre

5 kg Kartofler 2 kg Sukker 1 Øl (0,5 liter)

35 øre 107 øre 11 øre

1 liter Brændevin 37 øre 0,5 kg Kaffe

107 øre

OPGAVE 1

a. Hvad kostede 1 kg kartofler? b. Hvad kostede 0,5 kg sukker? c. Hvad kostede en kasse med 30 øl?

SUPERKØB 1/2 kg oksekød . . . . . . . 55 kr.

Smør pr. kg . . . . . . . . 48,50 kr.

36 æg . . . . . . . . . . . . . . 81,50 kr.

Dinesen har et reklameblad fra det lokale supermarked liggende, hvor han kan se nogle priser for de samme varer i dag.

“Det er selvfølgelig ikke helt de samme varer i dag som dengang, men lad os forestille os, at det er sådan et øjeblik,” siger Dinesen Dinesen fortsætter: “Dengang betalte man ikke moms på varerne, så vi finder priserne uden moms for bedre at kunne sammenligne.”

10 kg kartofler . . . . . . . . 60 kr.

1 kg sukker . . . . . . . . . . . 11 kr.

1 øl (0,33 liter) . . . . . . . 6,50 kr.

70 cl brændevin . . . . . . 140 kr.

250 g kaffe . . . . . . . . 32,50 kr.

OPGAVE 2

a. Beregn, hvor meget du skal betale, hvis en vare koster 60 kr., og du skal lægge 25 % moms til. b. Hvorfor kan det udregnes som 1,25 · 60 kr.? c. Hvordan vil du udregne den oprindelige pris, som med moms er 150 kr.? d. Fremstil en tabel med priserne fra supermarkedet uden moms. Momsen er 25 %.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 33

33

PROCENT OG ØKONOMI

OPGAVE 3

a. Hvor meget koster 1 kg oksekød i supermarkedet? b. Hvor meget er det blevet dyrere efter 100 år? c. Hvor mange procent er det blevet dyrere?

OPGAVE 4

Fremstil en tabel som nedenstående, hvor du sammenligner priserne på alle varerne i dag med priserne for 100 år siden.

Vare

Pris for 100 år siden

Pris i dag

Procentvis forskel

I kg oksekød

“Hvad tjente man dengang?” spørger Mathilde nysgerrigt. ”Man skal vel sammenligne det med, hvad man havde af penge til at købe for.”

“Lad mig se,” siger Dinesen. “Jeg har en gammel bog fra 1910, hvor der står, at en ufaglært arbejder ved købmandsgården fik udbetalt 40 øre i timen. Det var endda til hele familien, fordi kvinderne sjældent havde arbejde dengang.”

“Vi kan prøve at sammenligne med en ufaglært jeg kender, som efter skat får udbetalt ca. 70 kr. i timen,” fortsætter Dinesen.

OPGAVE 5

a. Hvor lang tid skulle man arbejde for 100 år siden for at have råd til 1 kg oksekød? b. Hvor lang tid skal man arbejde i dag for at have råd til 1 kg oksekød?

OPGAVE 6

a. Fremstil en ny tabel, hvor du beregner den arbejdstid, der skal bruges for at købe varerne i dag og for 100 år siden.

Vare

Arbejdstid for 100 år siden

Arbejdstid i dag

Oksekød Æg b. Hvilke varer, vil du nu sige, var billigere for 100 år siden end i dag? c. Var der andre ting, man skulle have taget hensyn til, for at det blev en bedre sammenligning?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 34

34

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Hjælp – flimmeren er død!

Andrea trykker febrilsk på fjernkontrollen: “Hvad sker der? Jeg skal se tegnefilm nu – og det er allerede begyndt!” udbryder hun.

“Tegnefilm,” vrisser hendes storebror Tobias. “Det er da værre med den film, der kommer i aften.”

Børnene retter deres blikke mod mor og far, der netop kommer ind i stuen.

“Tjah,” siger far, “fjernsynet er 12 år gammelt, ingen tvivl om, at det er helt kaput, men vi har ikke lige pengene til et nyt lige nu”. “Ikke penge lige nu!?” Begge børn stirrer vantro på deres far. “Hmm, vi må vist hasteindkalde familierådet,” siger mor.

Familien diskuterer muligheden for at indkøbe et nyt fjernsyn. De har ét i kikkerten til omkring 11000 kr.

“Måske skal vi først spare pengene op og så blot reparere det gamle,” siger moren højt. Hun er kommet i tanke om, at de har en opsparingskonto. Der står 4300 kr. på kontoen til en rente på 4 % p.a.

“Hvor hurtigt kommer den mon op på 11 000 kr.?” tænker hun.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 35

PROCENT OG ØKONOMI

OPGAVE 1

a. Hvor mange penge vil der stå på kontoen om et år? b. Hvorfor kan udregningen beskrives som 1,04 · 4300 kr.? c. Hvorfor kan man udregne deres beløb på kontoen til at være 1,042 · 4300 kr. efter 2 år? Beregn, hvad der står på kontoen efter 2 år. d. Hvordan vil beregningen af deres opsparing se ud efter 6 år? Beregn den. e. Eksperimentér med lommeregneren, og find ud af, hvor mange år der skal gå, før de får opsparet 11000 kr.

Efter at have regnet det ud indser moren, at det tager alt for lang tid. Til gengæld overvejer hun muligheden for at lave en opsparing for hver måned gennem et år.

Hun forestiller sig en indbetaling på 500 kr. hver måned. Renten er 4 % p.a. og tilskrives efter et år.

OPGAVE 2

a. b. c. d. e.

Hvordan er rentebeløbet i celle D8 beregnet?

Hvordan er beløbet i celle E9 beregnet?

Hvad svarer de 282,00 til i celle D20? Hvordan er det beregnet?

Hvordan er tallet i celle E20 fremkommet?

Hvor mange penge mangler familien for at kunne købe fjernsynet om et år?

35

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 36

36

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Finansbutikken

Lån nu

– betal først efter et år Tobias og Andrea ser på begge forældre.

“Et år er altså for lang tid at vente,” siger Tobias.

Oprettelsesgebyr

9%

Vælg mellem:

A. Årlig rentetilskrivning

27,6 %

Faren har undersøgt nogle lånetilbud hos B. Månedlig rentetilskrivning Finansbutikken.

2,1% Han er specielt fristet af tilbudet, fordi han først begynder at tilbagebetale om 12 måneder.

Tilbudet med en rente på 2,1 % ser særligt billigt ud.

OPGAVE 3

a. Hvor meget skal de betale i oprettelsesgebyr, hvis lånet er på 11 000 kr.? b. Hvor meget skal de låne i alt, hvis de ingen penge har? (Det kalder vi startgæld).

OPGAVE 4

a. Hvor meget skal de betale i rente af startgælden efter det første år ved A-lånet? b. Hvor meget skal de betale i rente af startgælden efter det første år ved B-lånet? c. Hvilket lån kan bedst betale sig?

OPGAVE 5

a. Hvor meget skylder familien efter det første år med renter, hvis de vælger A-lånet? b. Hvor mange procent er gælden vokset? c. Hvad vil familien skylde efter 2 år, hvis der havde været 24 måneders betalingsfrihed?

Finansbutikken har regnet ud, at hvis de tager A-lånet, skal den månedlige ydelse efter det første år være på 600 kr. i 36 måneder. Så har de betalt både lån, renter samt gebyr.

OPGAVE 6

a. Hvor mange penge har familien betalt i alt gennem de 4 år? b. Hvor mange penge tjener firmaet på lånehandlen? c. Hvor stor en procentdel udgør indtjeningen af lånet på de 11000 kr.?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 37

37

PROCENT OG ØKONOMI

Familien giver sig også til at undersøge, hvad deres bank kan tilbyde af lån. Banken behøver tre dage til at udarbejde lånetilbudet.

Bisberg Bank

A/S

Lånebeløb 11000 kr.

5Oprettelsesgebyr 5Pålydende

rente 5 % p.a.

5Rentetilskrivning 5Ydelse 5Lånet

OPGAVE 7

a. b. c. d.

Hvad menes der med termin 0?

Se tabellen. Vis, hvordan udregningerne er foretaget ved første og anden termin.

Hvor meget skal familien betale, den sidste gang de betaler?

Hvor meget skal familien i alt betale i renter og gebyrer på dette lån?

OPGAVE 8

Overvej, hvilke af lånene du vil anbefale familien, og begrund det.

800 kr.

–14 årlig

1100 kr. hvert kvartal

løber over 3 år

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 38

38

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Husvild – hvad skal vi købe?

Anders og Lærke bor på et kollegieværelse i Storeby på femte år og er lige blevet færdige med deres uddannelser. De har begge fået arbejde med fast månedsløn, så nu er der råd til forandring. Begge har længe ønsket at bo i en større bolig, men hvilken slags? De beslutter at undersøge mulighederne for at købe en ejerlejlighed og går til en ejendomsmægler, for at se på mulighederne.

Hos ejendomsmægleren Bo Strøm får de det råd at undersøge, hvor mange penge de har til rådighed, inden de overvejer, hvad de vil købe. Han beder dem bruge en budgetformel for en måned.

Boligudgiften (B) + Øvrige udgifter (Ø) + Opsparing (O) = Udbetalt løn (U) OPGAVE 1

a. Hvorfor står der udbetalt løn og ikke bare løn? b. Giv mindst tre eksempler på, hvad øvrige udgifter kan dække. c. Beregn opsparingen, hvis boligudgiften er 9500 kr., øvrige udgifter er 10 000 kr., og udbetalt løn er 20 000 kr. d. Beregn boligudgiften, hvis øvrige udgifter er 11 500 kr., opsparingen er 800 kr., og udbetalt løn er 23 000 kr.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 39

39

PROCENT OG ØKONOMI

Anders og Lærke får tilsammen udbetalt 24 000 kr. i løn pr. måned.

OPGAVE 2

a. Beregn boligudgiften ved hjælp af budgetformlen, når udbetalt løn er 24 000 kr., øvrige udgifter er 10 000 kr., og opsparing er 1000 kr. b. Skriv tre andre eksempler med budgetformlen, hvor udbetalt løn er 24 000 kr.

Lærke har fundet et sted i avisen, hvor man har vist, hvordan priserne på lejligheder har ændret sig inden for de sidste 8 kvartaler.

I avisen har man taget udgangspunkt i 4. kvartal og en lejlighed, der kostede 2 000 000 kr. Det beløb er sat til at være 100 % eller indekstallet 100, som der står i avisen. De andre procenttal/indekstal er beregnet i forhold til det.

Prisindeks for boligpriser Kvartal Pris Indekstal

1

2

3

1880 000 94

4

5

2 000 000 96

99

100

6

7

8

104

103

104

6

7

8

2 080 000 103

OPGAVE 3

a. Tegn tabellen, og udfyld de tomme pladser. b. Hvor mange penge var lejligheden billigere i 1. kvartal end i 4. kvartal? c. Hvor mange procent (2 dec.) har lejligheden været billigere i 1. kvartal end i 4. kvartal? d. Hvor mange procent (2 dec.) er lejligheden blevet dyrere i 4. kvartal end i 1. kvartal? e. Hvorfor er procenten i opgave d ikke det samme som i opgave c?

I en anden avis har man sat prisen i 1. kvartal til 100.

OPGAVE 4

a. Tegn tabellen, og udfyld de tomme felter. Afrund til hele tal. b. Vis, hvordan indekstallet på 6. kvartal er beregnet til 111.

Prisindeks for boligpriser Kvartal Pris Indekstal

1

2

3

4

5

1 880 000

2 000 000

2 080 000

100

106

111

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 40

40

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Næste gang de møder op hos ejendomsmægleren Bo Strøm, har de bestemt sig for, at de har omkring 10 000 kr. til boligudgifterne.

Bo fortsætter fra sidst: “Hvis I fx skal købe et hus eller en ejerlejlighed, som koster 2 millioner kr., så har I vel næppe alle pengene?” Anders og Lærke ser på hinanden – hvem har lige 2 mio. kr?

“Nej vel,” fortsætter Bo, “I kan derfor låne pengene i en bank eller i en kreditforening. De skal selvfølgelig betales tilbage med renter og afdrag, men det er billigere end almindelige lån, og så skal lånet først betales tilbage over 20 til 30 år. Her er fx et banklån på 7 % p.a., som skal betales over 20 år. Renten tilskrives efter et år.”

OPGAVE 5

a. Hvor meget skal de betale i rente det første år?

1 b. Hvor meget er renten på lånet efter _ 2 år? efter 3 mdr.? d_ c. Beregn renten på 25 dage ud fra renteformlen: R = K · _ 360 · p R er rentebeløbet, K er startkapital, d er dage (der regnes her med 360 dage på et renteår), p er renteprocenten.

Bo fortsætter: “Hvis I låner pengene i kreditforeningen, får I dem udleveret som obligationer. Det er en slags boligpenge i stedet for rigtige penge som vores mønter og sedler. Forskellen mellem obligationer og rigtige penge er, at obligationerne ofte ændrer værdi. Hvis obligationerne fx en dag har en kurs 95, betyder det, at de kan omsættes til rigtige penge, men kun til 95 % af det beløb, der står på dem.”

“Man kan også sige, at I kun får 95 % af det, I har lånt. Forskellen 100 % – 95 % = 5 % kaldes for kurstabet,” afslutter Bo sin lange forklaring.

“Betyder det så meget?” spørger Anders. “Ja,” svarer Bo. “Prøv at se her.”

Lånet

Til udbetaling

Kurstabet i kr.

100 000 kr.

95 000 kr

5 000 kr.

1 000 000 kr.

950 000 kr.

50 000 kr.

2 000 000 kr.

1 900 000 kr.

100 000 kr.

OPGAVE 6

a. Vis med et eksempel fra tabellen, hvordan kurstabet på kreditforeningslånet kan udregnes. b. Beregn kurstabet på et 30-årigt lån på 2 000 000 kr. med en kurs 91,9. c. Beregn kurstabet som procent, hvis 250 000 kr. har et kurstab på 6250 kr.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 41

41

PROCENT OG ØKONOMI

Anders og Lærke vælger et obligationslån på 7 % over 20 år. Lånet skal være på 2 000 000 kr.

Bo viser dem en tabel, han har lavet over lånet: “Her kan I se, hvordan et lån på 2 000 000 kr. skal betales tilbage. I skal hvert år betale en ydelse, som består af afdrag på lånet og nogle af renterne. Det skal passe, så I har betalt hele lånet og alle renterne, efter de 20 år er gået.”

Kursværdien for obligationslånet: 98 Kurtage: 1,5 ‰ af kursværdien (Betaling til pengeinstituttet)

Stempelafgift til staten: 1,5 % af lånets størrelse Administrationsafgift til Kreditforeningen: 3000 kr.

OPGAVE 7

a. Hvordan regner man sig til renterne ved første termin? b. Hvordan regner man sig til afdragene ved første termin? c. Hvorfor er der forskel på, hvor meget man betaler i renter og afdrag gennem de forskellige terminer? Brug tabellen og begrund dit svar.

OPGAVE 8

a. Fremstil beregninger, som passer til tallene ved den anden termin. b. Tegn tabellen for de første seks terminer af lånet, og udfyld de tomme felter.

“Men…,” fortsætter Bo, “I skal overveje, om I skal låne flere penge, så I kan betale alle omkostningerne på lånet.”

OPGAVE 9

a. Beregn kursværdien af lånet. b. Beregn kurtagen, og find derefter de samlede afgifter på lånet.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 42

42

TA L O G S T Ø R R E L S E R

U N DERSØG SELV Skat

I Skatanien har man et princip om, at alle betaler 16 % til staten og 18 % til kommunen i skat.

Dog er de første 1900 euro skattefri. Årsopgørelsen for André Basonac, der betaler børnebidrag til barn af tidligere ægteskab, og som ejer et sommerhus, han udlejer, ser sådan ud:

Årsopgørelse André Basonac Indtægter

Lønindkomst Renteindtægter Lejeindtægter Børnebidrag

46 664 euro 1276 euro 11 000 euro 0 euro

Personlig indkomst (sum) Skattepligtig indkomst

(Personlig indkomst – fradrag – 1900 euro)

Indkomstskat

(Skattepligtig indkomst · 34 % )

Fradrag

Befordring Fagligt kontingent

2456 euro 900 euro

Renteudgifter

3145 euro

Børnebidrag

1704 euro

Samlet fradrag

OPGAVE 1

a. Hvorfor må man trække visse beløb fra, inden man beregner skatten? b. Giv eksempler på, hvad de forskellige indtægter og fradrag dækker. c. Tegn tabellen, og udfyld de manglende felter.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 43

43

PROCENT OG ØKONOMI

Basonacs kusine Vicenta er meget rig og har en personlig indtægt på 170 000 euro dette år. Årsopgørelse Vicenta Basonac Indtægter

Lønindkomst Renteindtægter Lejeindtægter

170 000 euro 1276 euro 11 000 euro

Børnebidrag

0 euro

Personlig indkomst (sum)

Fradrag

Befordring Fagligt kontingent

2456 euro 900 euro

Renteudgifter

3145 euro

Børnebidrag

1704 euro

Samlet fradrag

Skattepligtig indkomst

(Personlig indkomst – fradrag – 1900 euro)

Indkomstskat

(Skattepligtig indkomst · 34 % )

OPGAVE 2

a. Undersøg ved hjælp af skemaet, hvor meget Vincenta betaler i indkomstskat, hvis hun har de samme fradrag? b. Forklar, hvem det har størst betydning for, hvis skatteprocenten sættes op til 36 %.

I Nordvestland har man et andet princip for indkomstskat. Her betaler man mere i skat, hvis man tjener flere penge. Man siger, at man har en progressiv indkomstskat. Hvis Basonac havde boet i Nordvestland og haft samme årsopgørelse, så ville hans indkomstskat blive beregnet således:

Kommuneskat Bundskat Mellemskat Topskat (over 60 000 euro)

31% af den skattepligtige indkomst 5,5 % af personlig indkomst – 4900 euro 6,0 % af personlig indkomst – 34667 euro 15 % af personlig indkomst – 42600 euro

OPGAVE 3

a. Hvor meget kommer Basonac til at betale i indkomstskat i Nordvestland? b. Hvor meget kommer Vicenta til at betale i indkomstskat i Nordvestland? c. Begrund, i hvilket land André og Vincenta betaler mindst i skat.

Undersøgelse T Undersøg, hvad kommuneskatten er i din kommune.

T Undersøg, hvad man betaler i skat til staten.

T Skaf en selvangivelse. Opfind en person eller interview en person, så du får udfyldt en selvangivelse. Prøv, om du kan regne skatten ud.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 44

44

TA L O G S T Ø R R E L S E R

VIDEN OM DECIMALTAL, BRØKTAL OG PROCENTTAL

Rationelle tal kan skrives både som decimaltal, brøktal og procenttal. Traditionerne for, hvornår vi bruger det ene frem for det andet, er forskellige, fx køber vi ikke 50 % 1 5 __ af en liter mælk, men _ 2 liter mælk og renten i banken er ikke 100 , men 5 % .

At den samme talstørrelse kan skrives enten som decimaltal, brøktal eller procenttal skyldes vores titalsystem, som er et positionssystem.

Brøktallene er den form, vi har kendt i længst tid. Der har været flere måder at skrive dem på, men tanken har været den samme – at illustrere delen ud af helheden 4 fx 4 ud af 5 som _ 5 .

At omskrive brøktal til decimaltal er først opfundet i slutningen af 1500-tallet, og decimaltal er nu den almindeligste form i hverdagen. I gamle dage kaldte man decimaltal for decimalbrøker.

Decimaltallenes opbygning: 1 _1_ _1_ 4376,895 = 4 ·1000 + 3·100 + 7·10 + 6·1 + 8 · _ 10 + 9 · 100 + 5 · 1000 Procenttallene gør det mere overskueligt, når man skal sammenligne størrelser.

Her sammenlignes to længder. Linjen B er 25 % større end A. A B

Procentallene kan udtrykke delen af en helhed, så den kan sammenlignes med dele af andre helheder.

EKSEMPEL

I en gruppe med 200 personer bærer de 30 briller. I en anden gruppe med 400 personer bærer de 52 briller.

Antallet kan beregnes forholdsmæssigt til henholdsvis 15 % og 13 %.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 45

45

PROCENT OG ØKONOMI

At regne med procent Man kan regne procentdelen af et bestemt tal.

17 % af 345 kr. = 0,17 · 345 kr. = 58,65 kr. På en lommeregner: 345 x 17

%

Man kan finde det oprindelige tal ud fra procentallet.

Når 78 kr. udgør 7 % af hele beløbet, svarer 1 % til 78 : 7 = 11,1429.

100 % er da 100 · 11,1429 kr. = 1114,29 kr.

Man kan beskrive et forhold mellem to tal i procent.

5 Hvis en pris er steget 5 kr. ud af oprindelige 15 kr., er forholdet _ 15 . _5 = 0,333.. 艐 33 %. På lommeregner: 5 ÷ 15 % 15 Man kan beregne en procentvis stigning eller fald, fx 25 kr. som er steget 15 %.

Metode 1: Væksten er 0,15 · 25 = 3,75 kr. Prisen er nu 25 kr. + 3,75 kr. = 28,75 kr.

På lommeregner kan det sådan ud: 25 + 15 % Metode 2: Prisen er (100 % + 15 %) · 25 kr. = 115 % · 25 kr. = 1,15 · 25 kr. = 28,75 kr.

På lommeregner kan det sådan ud: 25 x 115 % 0%

25 %

100 %

0 kr.

125 kr.

500 kr.

0% 0 kr.

75% 375 kr.

100 % Formindsk 25 % 500 kr.

0%

100 %

0 kr.

500 kr.

125% Forøg 25 % 625 kr.

Noget kan stige eller falde med den samme procentdel flere gange.

Hvis 55 kr. stiger med 6 % tre gange, kan det beregnes på følgende måde: 55 · 1,06 · 1,06 · 1,06 = 55 · 1,063 = 55 · 1,191016 = 65,50588 Hvis 55 kr. falder med 6 % tre gange, kan det beregnes på følgende måde: 55 · 0,94 · 0,94 · 0,94 = 55 · 0,943 = 42,04119.

Promille En promille betyder én tusindedel og skrives 1‰.

Når man skal afgøre, om en person har drukket for meget spiritus til at kunne køre bil, måler man, hvor meget alkohol personen har i sit blod, og udtrykker det i promille.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 46

46

TA L O G S T Ø R R E L S E R

Indekstal Man taler om indekstal, når man skal sammenligne forandringer i store tal.

EKSEMPEL

På en skole udleverede man æbler i fem på hinanden følgende år: Æbler

33677

30345

41 234

57 225

60 345

Indekstal

100

85

116

160

169

For at sammenligne disse tal vælges et basisår, her 1. år, hvor man sætter dette års antal af udleverede æbler lig med 100.

Det vil sige, at indekstallet for 1. år er 100.

De andre års indekstal regnes så ud i forhold til dette indekstal.

41 234 _345 _ ___ Indekstal for 3. år: ( 33 Indekstal for 2. år: ( 30 33 677) · 100 = 85 677) · 100 = 116 57 225 60 _ __ _ __ Indekstal for 4. år: ( 33 677) · 100 = 160 Indekstal for 5. år: ( 33 345 677) · 100 = 169 Man kan vise procentvis forskel ved at bruge begrebet procentpoint.

EKSEMPEL

Noget stiger fra 50 % til 75 %, dvs. stigningen kan beskrives som 25 procentpoint.

25% _ _ = 50 %.

Det er ikke det samme som en stigning på 25 %. Stigningen i procent er 50% Lån og opsparing Når man låner penge i en bank, koster det noget, fordi man skal betale gebyrer og renter.

Gebyrer kan være et oprettelsesgebyr, som man skal betale for at få behandlet låneansøgningen. Gebyret kan være et fast beløb eller en promille af det beløb, man vil låne.

Rente kan udtrykkes på to måder. Det kan enten være rentebeløbet i kroner eller den procentsats, som renten skal beregnes med. Den sidste betydning kaldes også for rentefoden.

Renten angives i procent inden for et bestemt tidsrum. Man taler om, at renten tilskrives pr. måned, pr. kvartal eller pr. år. Hvis der står p.a. efter procentsatsen – fx 6 % p.a. – står det for pro anno og betyder pr. år.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 47

PROCENT OG ØKONOMI

Rentesregning Man kan beregne renten mellem to rentetilskrivninger ved at bruge renteformlen: d_ R=K·_ 360 · p R er rentebeløbet, K er startkapital, d er dage (der regnes her med 360 dage på et renteår), p er renteprocenten.

EKSEMPEL

Der indsættes 3400 kr. på en opsparingskonto til 5 % p.a. Rentetilskrivning foregår én gang om året d. 1. januar. Hvor mange penge er der på kontoen efter 34 dage?

34 R = 3400 · __ 360 · 0,05 艐 16 – altså der er tilløbet 16 kr. i renter.

Der er nu 3416 kr. på kontoen.

Rentes renteregning Hvis fx et beløb i en opsparing står på en konto og trækker renter i flere rentetilskrivningsperioder, er der tale om rentes renteregning. Man kalder rentetilskrivningsperioderne for terminer. n Man kan bruge en vækstformel til beregningerne: K n = K 0 · (1 + r) K n er kapitalen efter alle rentetilskrivningerne, K 0 er startkapitalen, r er renten, og n er antallet af terminer.

EKSEMPEL

Der indsættes 3400 kr. på en opsparingskonto til 5 % p.a. Rentetilskrivningen foregår hvert år d. 1/1. Hvis man sætter pengene ind d. 1/1 og lader dem stå i 4 år, hvor mange penge kan man så hæve?

Antallet af terminer n = 4, K 0 = 3400, r = 0,05 K n = 3400 · (1 + 0,05)4 = 3400 · 1,05 4 = 3400 · 1,21550625 = 4132,72125 Man kan hæve 4132,72 kr. på kontoen efter 4 år.

Værdipapirer – aktier og obligationer Obligationer udstedes af kreditforeningen, som låner penge ud mod at få pant i fast ejendom.

Obligationer har en pålydende eller nominel værdi. Det er lånets størrelse.

De har en kursværdi, som de handles for.

En obligation med nominel værdi på 20 000 til kurs 95 betyder, at man kan få 0,95 · 20 000 kr. udbetalt.

Aktier er pant i en forretning eller et firma. Man er dermed medejer af et aktieselskab, hvor man får udbetalt en del af firmaets overskud i forhold til aktiens størrelse.

Aktier har en kursværdi, som kan varierer meget. Man handler med aktier på Børsen.

47

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 48

48

TA L O G S T Ø R R E L S E R

OPFØLGNING

OPGAVE 9

Noget messing består af 68 % kobber, og resten er zink.

Hvor meget zink findes der i 50 kg messing?

OPGAVE 1

a. 12 % af 120 kr. c. 115 % af 90 kr.

b. 60 % af 840 elever d. 37 % af 40 kr.

I tre dage har der været loppemarked i byen.

Antallet af gæster blev registreret for hver dag.

OPGAVE 2

Omskriv til decimaltal. a. 32 % b. 5 % c. 125 %

OPGAVE 10

d. 0,5 %

OPGAVE 3

Hvor meget er det hele, hvis … a. 10 % svarer til 5 kr. b. 3 % svarer til 9 kr. c. 7 % svarer til 50 kr. d. 75 % svarer til 16 kr.

OPGAVE 4

Hvor meget fedt er der i 250 g ost, hvis fedtindholdet er 16 %?

Dag 1: 2330 Dag 2: 4145 Dag 3: 10 305 a. Beregn den procentvise stigning fra dag 1 til dag 2. b. Beregn den procentvise stigning fra dag 2 til dag 3. c. Beregn den procentvise stigning fra dag 1 til dag 3.

OPGAVE 11

æk v l a k s t Al % rabat 45

OPGAVE 5

Tobias har en månedsløn på 17 825 kr. Han får en lønstigning på 500 kr.

Hvor stor en procentvis lønstigning har han fået? (Svar med 1 decimal).

Beregn følgende priser med rabat. a. 420 kr. b. 355 kr. c. 34 kr.

OPGAVE 6

OPGAVE 12

Tegn en streg på 4 cm. Tegn en ny streg, som er… a. 75 % større b. 10 % større c. 35 % større d. 100 % større

Prisen på en skirejse er steget fra 5350 kr. til 5930 kr. a. Hvor stor er stigningen i kroner? b. Hvor stor er stigningen i procent?

OPGAVE 7

OPGAVE 13

Tøj krymper i vask. På et tøjbælte, der er 1,2 m langt, står der “krymper 5 %”.

Hvor langt er bæltet efter vask?

180 kr.

320 kr.

132,50 kr.

OPGAVE 8

I en klasse er der 10 % venstrehåndede – en pige og to drenge.

Hvor mange elever er der i klassen?

Priserne er uden moms. Momsen er 25 %.

Beregn momsen og prisen inklusiv moms.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 49

49

PROCENT OG ØKONOMI

OPGAVE 14

OPGAVE 20

4900 kr.

2373 kr.

187,45 kr.

Momsen er 25 %. Priserne er med moms.

Beregn priserne uden moms.

Et beløb på 3500 kr. er indsat på en konto med en rente på 3,5 % p.a.

1 a. Hvor stor er renteindtægten efter _ 2 år? b. Hvor stor er renteindtægten efter 3 mdr.? c. Hvor stor er renteindtægten efter 20 dage?

OPGAVE 21

OPGAVE 15

a. 107 % af 4500 kr. c. 1,03 af 340 kg

b. 109 % af 3400 kr. d. 103 % af 340 kg

OPGAVE 16

a. 1,03 · 85

b. 1,033 · 85

c. 1,035 · 85

OPGAVE 17

Friske fisk 72 kr. / kg a. Beregn prisen på 0,2 kg. b. Beregn prisen på 1,3 kg. c. Hvor meget kan man ca. få for 100 kr.?

OPGAVE 18

I et land har man registreret befolkningstilvæksten for hvert år. Den har været ca. 3 % i mange år.

I år er der ca. 4 450 000 indbyggere. a. Beregn det forventede antal indbyggere om et år. b. Beregn det forventede antal indbyggere om to år. c. Beregn det forventede antal indbyggere om fem år. d. Beregn det forventede antal indbyggere om ti år.

I en ejendom bor tre familier med følgende samlede indtægter: T Hansen 390 000 kr.

T Jensen 560 000 kr.

T Nielsen 750 000 kr. a. Hvor meget tjener Jensen mere end Hansen? b. Hvor mange procent tjener Jensen mere end Hansen? c. Hvor mange procent tjener Hansen mindre end Jensen?

OPGAVE 22

Huslejen er ens for Hansen, Jensen og Nielsen, 7000 kr./måned. a. Hvor mange procent af indkomsten går til husleje for de tre familier pr. år? b. Beregn opgave a, hvis huslejen stiger med 500 kr. pr. måned. c. Hvem rammer huslejestigningen hårdest?

Forklar.

OPGAVE 23

En cylinderformet bjælke har en diameter på 35 cm. Ingeniør Friis beregner, at den skal være 15 % kraftigere.

Beregn længden af diameteren på den nye bjælke.

OPGAVE 19

Beregn renteindtægten af 5000 kr., hvis renten er a. 8 % p.a. b. 14 % p.a. c. 12,5 % p.a.

OPGAVE 24

Skriv brøktallene som procenttal (1 decimal).

1 4 _ _34_ b. _ c. 11 d. 110 a. _ 6 9 24

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 50

50

TA L O G S T Ø R R E L S E R

OPGAVE 25

OPGAVE 29

Frederik opretter som 25-årig en konto, hvor han sætter 50 000 kr. ind. Renten er 3,2 % pr. år. Renten tilskrives én gang årligt. a. Hvor meget står der på hans konto efter 10 år, hvis renten er uforandret? b. Hvor meget efter 20 år?

Salgsprisen på en fabriksny bil hos en forhandler er 81316 kr. ekskl. moms og registreringsafgift. Moms udgør 25 %.

Registreringsafgift udgør 105 % af de første 64 200 kr. og 180 % af resten af prisen. a. Beregn prisen inkl. moms. b. Beregn registreringsafgiften. c. Beregn forhandlerens købspris, hvis salgsprisen inkluderer 15 % fortjeneste.

OPGAVE 26

Et boliglån på 150 000 kr. skal tilbagebetales med 4,5 % i rente p.a. Ydelsen er sat til 8000 kr. pr. år. a. Hvad er den månedlige ydelse første år? b. Hvor meget koster det i rente første år? c. Hvor meget betales i afdrag første år?

OPGAVE 27

Manuel køber en fladskærm til 8 600 kr. på et kontokort med 2,4 % i rente pr. måned. a. Hvor stor bliver renten i procent p.a.? b. Hvor meget betaler han i rente første år? c. Banken har et forbrugslån til 12,4 % p.a.

Beregn renteudgiften på banklånet. d. Beregn renteforskellen på de to lån.

OPGAVE 28 d_ Brug renteformlen R = K · r · _ 360 . a. Beregn renten, når startkapitalen er 7800 kr., rentefoden 2,6 % og antallet af rentedage er 276. b. Beregn startkapitalen, når renten er 232 kr., rentefoden er 3,1 %, og antallet af rentedage er 198. c. Beregn rentefoden, når renten er 58 kr., startkapitalen er 5130 kr., og antallet af rentedage er 187. d. Beregn antallet af rentedage, når renten er 7024,50 kr., startkapitalen er 44 600 kr., og rentefoden er 13,5 %.

OPGAVE 30

Et 20-årigt obligationslån er på 5 % p.a. med en nominel værdi på 250 000 kr. a. Hvor meget er obligationen værd, hvis den står til kurs 93? b. Hvis ydelsen er på 20 000 kr., hvor meget er så renter, og hvor meget er afdrag efter det første år? c. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter, som viser restgæld, renter, ydelse, afdrag og ny restgæld.

Termin 1 2 3 4

Restgæld 250.000

Renter 12.125

234.625 11.318

Ydelse 20.000 20.000 20.000 20.000

Afdrag 7.875 8.269

Ny restgæld 242.500 234.625 217.674

OPGAVE 31

Indekstallene for den månedlige gennemsnitspris på 1 liter benzin et år.

Januar 64

Februar 75

Marts 100

April 112

a. Hvornår har prisstigningen været størst? b. Angiv det i procentpoint. c. Hvor stor har den procentvise stigning været i den periode? d. Hvis benzinprisen i marts var 11,50 kr. pr. liter, hvor meget kostede så 1 liter benzin i januar?

Maj 115

4

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 51

PROCENT OG ØKONOMI

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Ronni køber en cykel til 2000 kr., der er nedsat fra 3000 kr.

Tag stilling til følgende udsagn, og forklar, hvorfor de enten er korrekte eller ukorrekte. a. Ronni sparer 50 %. b. Ronni sparer 33,3 %.

2 c. Ronni skal kun give _ 3 af den oprindelige pris for cyklen. d. Hvis man ganger den oprindelige pris med 0,66, får man prisen, Ronni betalte. e. Hvis man ganger Ronnis købspris med 1,33, får man den oprindelige pris.

2. Spørgsmål En bluse koster 800 kr. uden moms. Der er rabat på 30 %.

Hvis man køber blusen, skal man så bede om, at få momsen lagt til de 800 kr. før rabatten fratrækkes, eller skal man vente, til momsen er lagt til – eller er det ligegyldigt?

3. Spørgsmål Eriksen og Carlsen går jævnligt ud for at spise sammen på en restaurant, hvor de skiftes til at betale drikkepenge. Eriksen plejer at give ca. 10 % i drikkepenge, mens Carlsen giver ca. 15 %. a. Hvor meget vil Eriksen og Carlsen betale i drikkepenge, hvis en regning er på 351 kr.? b. Tag stilling til, hvem der har betalt drikkepenge, hvis regningen var på 195,80 kr., og der blev givet 30 kr. i drikkepenge. c. Tag stilling til, hvor stort beløbet har været på regningen, hvis Carlsen betalte 25 kr. i drikkepenge.

4. Spørgsmål _d_ · p. a. Beskriv de ubekendte, som er med i renteformlen R = K · 360 b. Giv et forslag til en renteprocent og en periode, hvor 2000 kr. får tilskrevet ca.

100 kr. i renter 5. Spørgsmål Kan det være rigtigt, at man kan nå at opspare 20 000 kr., hvis man sætter 10 000 kr. ind på en konto med en fast rente på 6 %, når man er 14 år og hæver dem, når man bliver 25 år?

Begrund dit svar.

51

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:55

Side 52

FORMER OG DIMENSIONER

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 53

FORM OG KONSTRUKTION

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 54

54

FORMER OG DIMENSIONER

En verden af mønstre

Islamisk kunst er blandt andet kendt for de meget smukke dekorationer. Man kan se det i arkitektur og kunsthåndværk i de lande, hvor araberne har haft indflydelse på historien, fx i det berømte palads Alhambra i Spanien.

To vigtige geometriske figurer i islamisk kunst er cirklen og den ligesidede sekskant.

Figur 1

Figur 2

OPGAVE 1

a. Tegn en sekskant ved hjælp af passer og lineal, som vist i figur 1. Lad radius i cirklen være 4 cm. b. Konstruer den samme sekskant med brug af lineal og vinkelmåler. Se figur 2. c. Tegn alle symmetriakser i den tegnede sekskant.

OPGAVE 2

a. Beskriv de trekanter, som sekskanten er opbygget af. b. Find centrum i din sekskant. c. Hvor mange grader skal man dreje sekskanten om dette centrum, før sekskanten dækker sig selv?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 55

55

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 3

4 cm

a. Brug en af de tegnede sekskanter fra opgave 1. Tegn en stjerne indeni som vist i figur 3. b. Hvor mange symmetriakser kan der tegnes i denne stjerne? c. Find fire forskellige trekanter i mønstret. d. Tegn skitser af trekanterne, og find samtlige vinkler.

Figur 3

OPGAVE 4

a. Brug figur 3 til at tegne figur 4. b. Beskriv størrelsesforholdet mellem den nye stjerne og den oprindelige stjerne. c. Tegn en ny tredje stjerne inden i figur 4. d. Bestem størrelsesforholdet mellem denne stjerne og den oprindelige stjerne. e. Giv tre eksempler på figurer i mønstret, der er ligedannede. f. Giv tre eksempler på figurer, der er kongruente.

De islamistiske mønstre er, som mønstre i mange andre kulturer, karakteriseret ved, at hele figuren eller dele af den kan parallelforskydes, spejles eller drejes over i sig selv.

Figur 4

OPGAVE 5

Tegn en passende stor sekskant.

Tegn først de symmetriakser, der går gennem sekskantens centrum som i figur 5.

Hvor mange grader er der mellem disse linjer?

Tegn resten af figur 5, og farv kongruente figurer i samme farve.

Beskriv, hvordan romben A flyttes over i romben B ved enten drejning, spejling eller parallelforskydning. f. Beskriv, hvordan trekant C flyttes over i trekanten D ved enten drejning, spejling eller parallelforskydning. g. Kan alle flytninger af figurerne i sekskanten ske ved en drejning?

Begrund dit svar. a. b. c. d. e.

D B

A

C

Figur 5

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 56

56

FORMER OG DIMENSIONER

H6 H4 H1

H

H5

H7

H3

H2

OPGAVE 6

a. Tegn den blå figur H og figuren H1, som de er placeret på tegningen ovenfor.

Brug ternet papir til hjælp. b. Beskriv, og tegn ved brug af drejninger, spejlinger eller parallelforskydninger, hvordan H er flyttet over i H1. c. Tegn en ny figur H og figuren H2, som de er placeret på tegningen ovenfor. d. Beskriv, og tegn ved brug af drejninger, spejlinger eller parallelforskydninger, hvordan H er flyttet over i H2. e. Gentag øvelsen med figurerne H3 til H7.

a

Rotationssymmetri Når en figur dækker sig selv ved drejning i et centrum på figuren.

b

c

d

e

OPGAVE 7

a. Hvilke af ovenstående figurer indeholder symmetriakser? Angiv antallet af symmetriakser for hver af disse. b. Hvilke af ovenstående figurer indeholder symmetri omkring et punkt. Beskriv drejningscentrum og drejningsvinkel, som fører figuren over i sig selv. c. Fremstil selv to figurer inden for hver af følgende kategorier: T Figurer med 1 symmetriakse.

T Figurer med 3 symmetriakser.

T Figurer med uendelige mange symmetriakser.

T Figurer med symmetri omkring et punkt med en drejningsvinkel på 90°.

T Figurer med symmetri omkring et punkt med en drejningsvinkel på 60°.

f

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 57

57

FORM OG KONSTRUK TION

En verdenskendt grafiker hollænderen Maurits Escher (1898-1972) besøgte i 1922 Alhambra for at studere de islamiske mønstre. Det – og et senere besøg – inspirerede ham til en række spændende mønsterkunst ofte med brug af dyremotiver.

Escher forfinede måden at tegne symmetriske mønstre, så de motiver han valgte kunne gentages og gentages. Han opdagede, at matematikken kunne hjælpe ham til at systematisere mulighederne.

OPGAVE 8

a. Undersøg, om de fisk der er en del af motivet, er kongruente. b. Beskriv symmetrien mellem den røde, hvide, grønne og blå fisk. c. Beskriv symmetrien på den blå streg, som løber langs kanten på det lyse kvadrat.

Escher vidste, at for at et mønster skal dække planen, skal man starte med en grundfigur, som i forvejen dækker planen. Bagefter kan man ændre på grundfigurens sider og lave en ny mønsterbrik, som kan gentages.

OPGAVE 9

a. b. c. d.

Tegn et gitter af 3 x 3 kvadrater hver med siden 2 cm.

Tegn den nye mønsterbrik fra tegning a . Fyld gitteret ud.

Beskriv den parallelforskydning, som er foretaget.

Tegn et nyt 3 x 3 gitter af kvadrater, og fremstil din egen mønsterbrik, hvor der indgår en eller to parallelforskydninger.

a

f OPGAVE 10

a. Tegn to gitre på 3 x 3 kvadrater som i opgave 9. b. Beskriv drejningsvinkel og drejningscentrum på tegning b og c. Tegn de to mønsterbrikker i hvert sit gitter. Fyld gitteret ud.

c

.

b

OPGAVE 11

a. Undersøg kvadratet på Eschers billede, og skitsér den mønsterbrik, som gentager sig. b. Eksperimenter med at tegne mønsterbrikker på baggrund af en grundfigur, som dækker planen, fx kvadratet, rektanglet og den ligesidede trekant. c

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 58

58

FORMER OG DIMENSIONER

Pythagoras

Pythagoras’ sætning

a

c

b a2 + b2 = c2

I det 6. århundrede før Kristus levede der i det sydligste af Italien en lille koloni af grækere i byen Kroton under ledelse af grækeren Pythagoras. Han var tidligere flygtet fra hovedlandet Grækenland og begyndte sit liv i Kroton med at gå rundt i byen og holde tale for ungdommen om livet og døden.

Efter et stykke tid startede han en skole, hvor man kunne blive uddannet til at holde taler om Pythagoras’ ideer eller blive uddannet til matematiker. De sidste er dem, man i dag kalder pythagoræerne.

Fra dem kom der mange berømte sætninger, der alle er knyttet til Pythagoras’ navn.

Han ville have æren for alt, hvad de lavede. Da der engang var en af de studerende, der selv ville tage æren for en matematisk sætning, han havde bevist, fandt man ham nogle få dage senere druknet i havet! En af de mest berømte sætninger, som tillægges pythagoræerne, kaldes i dag for Pythagoras’ sætning.

OPGAVE 1

a. Undersøg sætningen ved at beregne de manglende sider i disse retvinklede trekanter.

10

?

5

?

10

?

5

4 ?

4 12 8

b. Mål længden og bredden på denne side i bogen. Beregn længden af diagonalen.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 59

59

FORM OG KONSTRUK TION

Om det i virkeligheden var Pythagoras, som fandt denne sammenhæng, kan man sætte spørgsmålstegn ved, bl.a. fordi kineserne kendte til sætningen om den retvinklede trekant meget tidligere.

Det formodentligt ældste bevis for “Pythagoras’ sætning” stammer fra før Pythagoras var født, nemlig fra 1200 år f. Kr. og er vist på denne kinesiske tegning.

OPGAVE 2

a. Beskriv længden af a og b. b. Det blå kvadrat har siden 1 eller skrevet med bogstaver a – b. Hvorfor kan man skrive arealet som (a – b)2 ? c. Udregn (a – b)2. d. Beregn arealet af en af de orange retvinklede trekanter. Skriv arealet af en af trekanterne med bogstaverne a og b.

1 2 e. Hvorfor er arealet af det store farvede kvadrat lig med 4 · _ 2 · (a · b) + (a – b) ?

1 _ f. Hvorfor gælder det, at c2 = 4 · 2 · (a · b) + (a – b)2 ? g. Reducer regneudtrykket på højre side, så Pythagoras’ sætning c2 = a2 + b2 kommer frem.

Senere i matematikkens historie er der kommet mange flere beviser.

Her er et eksempel.

1

b

a b

c

a

c

a c

b

a

2

c

a

+

a

OPGAVE 3

+ b

b

b

b

+

a

c

c

a

b

+

b a

a. Tegn skitser af tegneserie 1 , og sæt bogstaverne på. b. Hvorfor kan man skrive arealet af kvadratet som 2ab + c2 ? c. Tegn skitser af den anden tegneserie 2 , og sæt de manglende bogstaver a og b på de rigtige steder. d. Hvad står hvert af leddene for? 2ab + c2 = 2ab + b2 + a2. e. Bevis Pythagoras’ sætning ud fra opgave d, altså at a2 + b2 = c2.

c b

a

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 60

60

FORMER OG DIMENSIONER

En anden kultur der tidligt har haft kendskab til Pythagoras’ sætning er den babylonske. På en af de gamle babylonske lertavler her til højre har man fundet skitser, der tyder på, at man kendte sætningen. a OPGAVE 4

a

a

c

a. Skriv et bogstavudtryk for arealet af den røde retvinklede trekant, hvor kateten har længden a. b. Hvorfor kan man beskrive arealet af det gule kvadrat, som c2 = a2 + a2 ? c. Hvorfor kan man ikke sige, at dette er et bevis for, at Pythagoras’ sætning gælder for alle retvinklede trekanter?

a

På den kinesiske tegning til højre, som er fra det 7. århundrede efter Kristus, kan du se en knækket bambusstok.

Toppen af bambusstokken rører jorden 3 chic fra foden af stokken.

Længden af det lodrette stykke er ca. 6 chic.

OPGAVE 5

a. Hvad svarer “det knækkede stykke” til på en retvinklet trekant? b. Hvor langt er “det knækkede stykke” af stokken?

Gennem historien har Pythagoras’ sætning været i brug i mange sammenhænge, fx når man skulle finde afstande til solen og stjernerne, eller når mennesker har skuet ud over havet.

Forestil dig, du står på en bakketop, der er 200 m høj (A på tegningen) og kigger ud mod horisonten (C på tegningen). Jordens radius er 6300 km.

OPGAVE 6

a. Tegn en skitse, som svarer til tegningen af situationen.

Kald linjestykket AC for b. b. Opstil Pythagoras’ sætning med de værdier og ubekendte, du har. c. Regn ud, hvor langt der er til horisonten (fra A til C).

A 200 m b c 6300 km

B

a

C

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 61

61

FORM OG KONSTRUK TION

Pythagoras’ sætning har også mange anvendelser i hverdagen.

Man kan fx bruge sætningen på en “omvendt” måde. Hvis der gælder, at siderne i en trekant overholder reglen a 2 + b 2 = c 2, er den retvinklet.

Er man håndværker, har man ofte brug for at vide, om det, man har fremstillet, indeholder en ret vinkel, fx når man bygger et hus.

OPGAVE 7

Hvor lang skal diagonalen være på cementgulvet, for at det er en retvinklet trekant?

4,2 m 5,4 m

OPGAVE 8

a. Afgør, om følgende trekanter er retvinklede.

1) Siderne er 3, 4 og 5.

2) Siderne er 5, 17 og 8.

3) Siderne er 10, 5 og 5avv 3. b. Hvis siderne på de retvinklede trekanter bliver dobbelt så store, vil de så stadig være retvinklede? Vis med to eksempler.

OPGAVE 9

Tre håndværkere skal bære en planke, som er 12 m lang gennem en del af den indre by med høje huse. I et kryds skal de svinge til venstre (se tegningen). Der er 4 m mellem husene. Kan de komme rundt?

OPGAVE 10

En lastbil med lukket kasse har målene 3 m x 3 m x 6 m. En dag skal chaufføren medbringe en 7 m lang bjælke. Kan det lade sig gøre?

Tegn en skitse af hvordan.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

62

23/09/08

19:56

Side 62

FORMER OG DIMENSIONER

Klasseturen til Nordra bygden

9.a har gennem flere år haft kontakt med en klasse i venskabsbyen Nordrabygden i Norge. Klassen har gennem længere tid samlet penge sammen og befinder sig nu en mandag morgen i maj på fjeldet.

Dagens program er et orienteringsløb i skovene omkring Nordrabygden. Den norske venskabsklasse er med. De er sammen to og to, så der er en norsk og en dansk elev på hvert hold. Den danske lærer Karin deler kort og opgaver ud til dem.

“Der er poster undervejs. I kan se, de er tegnet ind på kortet,” siger hun, mens hun samtidig formaner om forsigtighed til de danske elever. “Husk, det er ikke en park, I skal ud i,” lyder det som afsluttende bemærkning.

Norske Bjørn og danske Sofie danner et hold. Sofie ser lidt ængsteligt på det hele.

Hun er ikke vant til det her, men Bjørn virker, som om han har prøvet det før. Det beroliger hende. Vejret er smukt, så hun glæder sig til turen.

De har forskellige ting med i rygsækken til at klare opgaverne undervejs.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 63

63

FORM OG KONSTRUK TION

Den første post er tegnet ind. Bjørn kender området, så han foreslår, de går den tur, som de hvide streger viser. Kortet er 1:50 000.

N V

Ø S

START

POST 1

OPGAVE 1

a. b. c. d. e.

Beskriv afstanden fra start til post 1 i fugleflugtslinje.

Hvor langt skal de gå, før de foretager den første drejning?

Hvor meget skal de dreje?

Bestem den næste afstand de skal gå og den efterfølgende drejningsvinkel.

Hvor stor forskel er der mellem længden af den direkte linje og længden af den tur, de har gået?

Ved post 1 er der en seddel med beskrivelse af, hvor den næste post ligger.

T Gå 1 km mod nord og drej 30° mod højre.

T Gå 1,5 km frem og drej 125°mod højre.

T Gå 1,2 km frem. Her er post 2.

OPGAVE 2

a. Find post 2 på kortet. Brug evt. en kopi til at tegne på. b. Hvor stor er afstanden i fugleflugtslinje fra start til post 2? c. Hvad menes der med, at “den resulterende vinkel ved første drejning er 150°”?

Vis det evt. med en tegning. d. Beskriv den resulterende vinkel ved den anden drejning.

Drejningsvinkel

Den gule vinkel er drejningsvinklen.

Den røde vinkel er den resulterende vinkel.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 64

64

FORMER OG DIMENSIONER

På vejen taler Bjørn og Sofie om, hvordan man nogle gange kan komme til at gå i ring, så man pludselig er tilbage igen ved start.

OPGAVE 3

a. Hvis man hver gang går det samme stykke og drejer samme vinkel, hvor mange gange skal man så dreje 60°, før man er tilbage til samme sted? b. Hvilken figur kommer der ud af det? Tegn en skitse af figuren. c. Kan du komme tilbage til samme punkt, hvis du på samme måde hele tiden drejer 70°? Giv et eksempel, som illustrerer dit svar. d. Beskriv en rute, hvor drejningen danner en ligesidet trekant. Et kvadrat.

Et parallelogram. En ligesidet femkant.

Post 2 viser sig at være ved den store birk tæt på den gamle træhytte. Opgaven er her at finde højden af træet uden at klatre op i træet. Der ligger en pind ved siden af, som er 1 m lang, et spejl og en særlig vinkelmåler.

Metode 1

De har nogle ideer til, hvad de kan gøre.

I den første metode sætter Sofie pinden lodret i jorden. Hun måler nu skyggen af træet og skyggen af pinden.

1m

I den anden metode bruger Bjørn et spejl.

Spejlet placerer han på jorden et sted, så han kan se toppen af træet. Han skal nu bruge afstanden fra, hvor han står og hen til spejlet. Bagefter skal han måle afstanden fra spejlet og hen til træet. Hans egen højde kender han. Den skal han også bruge.

Metode 2

2m

1m

I den tredje metode skal Bjørn ligge på ryggen, mens Sofie holder pinden på 1 m lodret ved hans fødder. Han skal finde en afstand, så han får en sigtelinje gennem pindens spids og træets top. Bagefter måler de afstanden fra Bjørns hoved til træet. De skal også bruge Bjørns højde.

Metode 3

1m 2m

7,5 m

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:17

Side 65

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 4

a. Se metode 1. Hvordan kan man bruge skyggen fra 1 m-pinden og skyggen af birketræet til at finde højden på træet? b. Se metode 2. Hvorfor er de to retvinklede trekanter ligedannede? c. Brug målene ved metode 2, og regn ud, hvor højt træet er.

Sofie og Bjørn vælger metode 3. De måler afstanden fra Bjørns hoved til træet til 30 m. De ved, at Bjørn er næsten 2 m høj.

OPGAVE 5

a. b. c. d. e.

Hvor mange grader er den vinkel, pinden danner med jordoverfladen?

Hvor mange grader er den vinkel, som træet danner med jordoverfladen?

Er der andre vinkler, som er ens?

Beregn højden af træet.

Hvis træet havde været 10 m højt, hvor stor havde så afstanden været fra Bjørn til træet?

En fjerde måde kan være at måle vinklen ved Bjørns hoved og afstanden til træet.

Derefter kan de tegne målene ind på millimeterpapir og konstruere situationen, fx i målestoksforholdet 1:200. Til sidst kan de måle højden af det tegnede træ og regne den virkelige højde ud.

OPGAVE 6

a. Hvis vinklen er målt til 27°, og afstanden til træet er 30 m, skal du tegne målene ind på millimeterpapir i målestoksforholdet 1:200. b. Mål længden af “træet” på din tegning, og beregn højden i virkeligheden.

65

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 66

66

FORMER OG DIMENSIONER

6m

Bjørn og Sofie har løst opgaven ved post 2 og er nu på vej til tredie post.

På beskrivelsen af posten står der bl.a. at de skal holde øje med Nordrabygd vartegnet.

Der er tegnet en skitse af det med mål på.

Da de kommer frem, kan de se, at vartegnet er opbygget af tre lige store trærafter.

3m

3m

OPGAVE 7

a. Hvor lange er de trærafter, som er brugt? b. Beregn sidemålene på den plade, hvor der står Nordrabygd.

8m

O

J

T

Q

U 9

?

21 K

9

?

12,5

L

3 H

I ?

M

4

2

1

P

8

N

R

10

V

2

3

OPGAVE 8

a. Tegn skitser af de tre figurer 1 , 2 og 3 . De blå linjer er parallelle. b. Beregn de manglende længder ved spørgsmålstegnene.

OPGAVE 9

a. Tegn en trekant ABC. Tegn en ny trekant ADE, hvor siderne er ca. dobbelt så store, men hvor formen er den samme. b. Tegn en ny trekant AFG, hvor siderne er ca. tre gange så store, men hvor formen er den samme som i opgave a. c. Beskriv vinklerne i alle tre trekanter. d. Hvad gælder der for ligedannede trekanter?

S

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 67

67

FORM OG KONSTRUK TION

Ved den fjerde post står Bjørn og Sofie højt oppe på en klippe, som går lige ned til en stor sø. Ude på søen ligger der en båd for anker. Opgaven her er at finde ud af, hvor langt væk båden er.

“Det er ligesom før med træet,” siger Bjørn på klingende norsk.

Ved posten er der et langt tov. De hejser det ned af skråningen og måler højden til 8 m. Bjørn tager målepinden på 1 m og stiller sig som på tegningen.

1m 2,5 m

8m

OPGAVE 10

a. Hvordan finder Bjørn ud af, hvor langt der er hen til båden? b. Bjørn påstår, at der ca. er 12 m hen til båden. Hvordan regner han sig frem til det? c. Beskriv de ligedannede trekanter, han bruger til beregningen.

På den sidste post ligger der et telt, som de skal slå op.

Opgaven består i at beregne arealet på et oversejl, der skal være udover teltet, som det kan ses på tegningen.

Sofie tegner en skitse, og Bjørn måler teltet.

Kravet er at oversejlet skal være i en vandret afstand på 25 cm fra teltet.

OPGAVE 11

a. Hvor stort skal arealet af oversejlet være? b. Begrund, hvordan du fandt frem til størrelsen.

1 2 c. Hvis sejldug koster 75 kr. for hver _ 2 m , hvad bliver så prisen til dette oversejl?

1,20 m

2,40 m

1,50 m 0,25 m

0,25 m

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 68

68

FORMER OG DIMENSIONER

Projekt skumfigurer

6 cm 6 cm

4 cm 6,5 cm

6 cm 12 cm 12 cm 6,5 cm

4 cm

Børnehaven Myretuens leder Else er en meget initiativrig og kreativ person. Hun vil gerne have bygget et lille rum, der skal fyldes med mange små skumgummifigurer.

Tanken er, at børnene skal kunne boltre sig frit mellem figurerne, kaste med dem eller begrave sig i dem, alt efter hvad de lyster. Hun vil også gerne have, at børnene opdager og undres over de forskellige figurers sjove faconer.

Hun har kontaktet skumgummifirmaet Skumfidusen, der synes godt om hendes ide. De har derfor bedt hende om at finde på nogle former og nogle størrelser, som vil passe godt.

OPGAVE 1

a. Tegn skitser af to forskellige rumlige figurer med kvadratisk grundflade. b. Tegn skitser af to forskellige rumlige figurer med rund grundflade. c. Tegn skitser af to forskellige rumlige figurer med en anden slags grundflade.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 69

69

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 2

a. Tegn to forskellige prismer. Beskriv de egenskaber, som karakteriserer et prisme. b. Er en terning et prisme? Begrund dit svar. c. Tegn to forskellige cylindre. Beskriv de egenskaber, som karakteriserer en cylinder. d. Tegn to forskellige pyramider. Beskriv de egenskaber, som karakteriserer en pyramide. e. Tag stilling til, om følgende figurer er pyramider:

a

b

c

OPGAVE 3

a. Beregn rumfanget af den blå terning og den røde kasse på venstre side. b. Beregn sidelængderne på en kasse, der har samme rumfang som terningen. c. Beregn sidelængden (3 dec.) på en terning, der har samme rumfang som den røde kasse. d. Hvorfor er formlen for rumfanget af en kasse længde · bredde · højde? e. Kan man bruge den samme formel til en terning?

OPGAVE 4

a. Beskriv, hvordan man beregner rumfanget af et prisme. b. Beregn rumfanget af det gule prisme på tegningen til venstre. c. Skriv målene på et prisme, som har ca. samme rumfang som den røde kasse.

6 cm

Else er på besøg hos firmaet Skumfidusen. Værkfører Jokumsen viser nogle af produkterne frem, som ser lidt skæve ud.

“Kan de her bruges?” spørger han interesseret. “Dem har vi mange af.

De blev lavet til en kunde i Sverige, men den ordre blev aldrig til noget.”

3 cm 8 cm

6 cm

OPGAVE 5

a. Tegn en isometrisk tegning af figuren, og skriv mål på. b. Hvor meget skumgummi er der brugt? Beregn rumfanget af figuren.

2 cm

6 cm

2 cm

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

70

19:56

Side 70

FORMER OG DIMENSIONER

Else svarer venligt nej tak til den skumgummifigur, Jokumsen foreslår, og spørger ham, om firmaet har nogle mere enkle figurer i stedet for.

“Se her,” siger Jokumsen og viser tre ens pyramider frem, “kan du få dem til at blive til en terning?”

OPGAVE 6

a. Sammenlign de tre pyramider og begrund, hvorfor de har samme rumfang. b. Begrund, hvorfor terningens rumfang er tre gange så stort som én af pyramiderne. c. Brug grundfladen G og højden h til at beskrive en formel for pyramidens rumfang.

Else overvejer et øjeblik, om hun skal vælge at få lavet pyramider til sit legerum.

Men hvor store skal de være?

OPGAVE 7

a. Beregn rumfanget af en pyramide med højden 9,5 cm og T en grundflade med form som et kvadrat med siden 4,5 cm.

T en grundflade med form som en ligesidet trekant med højden 3 cm og siden 5,5 cm. b. Beskriv målene på en pyramide, som har et rumfang på 200 cm3.

Else og firmaet Skumfidusen overvejer at lægge et plastfolie på alle flader på de skumgummifigurer, de vælger, så de er nemme at rengøre. De er således interesseret i at vide, hvor store overflader der er på figurerne for at finde ud af, hvor meget plast der skal bruges.

OPGAVE 8

a. b. c. d. e. f.

Tegn en udfoldning af en terning med kantlængden 3,5 cm.

Sæt mål på tegningen, og beregn det samlede overfladeareal.

Hvor stort bliver overfladearealet, hvis du gør kantlængderne dobbelt så store?

Hvor stort bliver rumfanget, hvis kantlængderne gøres dobbelt så store?

Hvor meget er overfladearealet blevet større?

Hvor meget er rumfanget blevet større?

001-192_9788779884243.qxp:Kernebog 9_OMBR_3.korr

11/04/11

11:30

Side 71

71

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 9

a. b. c. d. e. f. g.

Tegn en udfoldning af en cylinder med en diameter på 6 cm og en højde på 8 cm.

Sæt mål på, og beregn den samlede overflade.

Hvor stor bliver overfladen, hvis radius stiger med 1 cm?

Hvor stor er den procentvise forandring af overfladearealet?

Hvor stort bliver rumfanget, hvis radius stiger med 1 cm?

Hvor stor er den procentvise forandring af rumfanget?

Hvorfor ændres rumfanget mere end overfladearealet?

OPGAVE 10

a. Tegn en skitse af en pyramide med rektangulær bund.

Skriv følgende mål på: Højden er 4 cm. Sidelængderne i grundfladen er 3 cm og 4 cm. b. Beregn diagonalens længde i grundfladen. Brug Pythagoras. c. Beregn sidelinjen på pyramiden. Brug Pythagoras. d. Tegn en nøjagtig tegning af en udfoldning med passer og lineal.

Skriv mål på.

OPGAVE 11

a. Skitser en cylinder med mål, hvor der ca. kan være 100 cm3. Sæt = 3,14. b. Hvad sker der med formen på cylinderen, hvis du gør radius mindre og bevarer et rumfang på 100 cm3? c. Hvad sker der med radius på cylinderen, hvis du gør højden større og bevarer rumfanget på 100 cm3? d. Fremstil en tabel med mindst fem værdier, og sæt værdierne ind i et koordinatsystem. Lad x-aksen være radius og y-aksen være højden. Brug evt. millimeterpapir.

Radius (cm)

2

Højde (cm)

7,9

4

6

8

10

Højde cm

e. Tegn en graf gennem de afmærkede punkter.

Hvad viser grafen?

Radius cm

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 72

72

FORMER OG DIMENSIONER

Efter mange overvejelser beslutter Else sammen med Skumfidusen, at de vil lave runde former. Det skal være en blanding af cylindre, kegler og kugler.

De skal ligne hinanden, så de beslutter sig for disse modeller.

Sid

OPGAVE 12

8 cm

je elin

8 cm

h

8 cm

8 cm

8 cm

Hvor mange gange større er rumfanget af cylinderen end keglen?

OPGAVE 13

a. Hvor stor en brøkdel udgør kuglens rumfang af cylinderens rumfang? b. Er det altid sådan, når højden er den samme? Giv et andet eksempel.

OPGAVE 14

Keglens krumme overflade

a. Beregn sidelinjen i keglen. Brug Pythagoras’ sætning. b. Se på tegningen af keglens krumme overflade. Hvad svarer de blå linjer til på keglen? c. Se på tegningen. Hvad svarer den røde cirkelperiferi til på keglen? d. Hvor lang er den røde cirkelperiferi? e. Beregn arealet af keglens krumme overflade, når formlen er: Krumme overflade = Sidelinje · Radius · f. Beregn den samlede overflade, når der også er bund i keglen.

Else holder en skumgummiterning og en skumgummikugle i hver sin hånd. De er lige store, dvs. de har samme rumfang. De er begge på 500 cm3.

“Hvilken en af dem har den største overflade?” spekulerer hun på.

OPGAVE 15

a. Beregn kantlængden (1 dec.) på terningen, når rumfanget ca. er 500 cm3. Prøv dig frem på lommeregneren. b. Beregn bagefter den samlede overflade på terningen. c. Beregn radius (1 dec.) i kuglen, når rumfanget ca. er 500 cm3. Prøv dig frem på lommeregneren. d. Beregn derefter overfladen på kuglen, når formlen er: Samlet overflade = 4 · · r 2 e. Hvilken af de to rumlige figurer havde den største overflade?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 73

73

FORM OG KONSTRUK TION

10 cm

20 cm

30 cm

Else og Skumfidusen har valgt at producere skumgummikugler i tre forskellige størrelser. Den gule kugle har en radius på 10 cm, den røde har en radius på 20 cm, og den grønne har en radius på 30 cm.

OPGAVE 16

a. Hvor mange gange større er rumfanget af den røde kugle i forhold til den gule kugle? b. Hvor mange gange større er rumfanget af den grønne kugle i forhold til den gule kugle? c. En anden kugle er 40 cm i radius. Hvor mange gange større er rumfanget på denne kugle i forhold til den røde kugle?

Firmaet Skumfidusen skal anskaffe nogle kasser til skumgummikuglerne, så de kan fragtes fra fabrikken og stables nemt.

OPGAVE 17

a. b. c. d. e.

Hvordan kan en papkasse, som indeholder fire af de grønne kugler se ud?

Tegn en skitse af papkassen, og skriv mål på.

Hvor mange muligheder er der, hvis formen på papkassen skal være kasseformet?

Hvor mange af de røde kugler kan der være i den papkasse, du har valgt?

Hvor mange af de gule kugler kan der være i den papkasse, du har valgt?

For at lave det hele lidt anderledes har firmaet besluttet at lave papkasser med en ligesidet trekantet grundflade. Se tegningen. Der skal kun være tre kugler i hver kasse.

OPGAVE 18

a. Tegn en model af skitsen til højre. Brug passer og lineal. Brug evt. trekantspapir til hjælp. Lad radius i cirklen være 3 cm. b. Mål trekanten og bestem bagefter målene på papkassen.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 74

74

FORMER OG DIMENSIONER

U N DERSØG SELV En terning er ikke altid en terning Mange af de terninger, man bruger i spil, er ikke terningformet, men andre regelmæssige rumlige figurer.

Et udvalg af dem er helt specielle. De kaldes for de platoniske legemer.

a

b

c

d

e

OPGAVE 1

a. Undersøg, hvor mange flader der er på de fem platoniske legemer. b. Beskriv, hvad du kan finde af regelmæssigheder.

OPGAVE 2

Udfyld skemaet.

Platonisk legeme

Polygoner

Antal flader

Antal kanter

Antal hjørner

Kvadrater

6

12

8

Tetraeder Heksaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder

6 Femkanter 30

OPGAVE 3

a. Konstruer et tetraeder.

T Tegn tre cirkler med radius 3 cm.

T Tegn streger mellem skæringspunkterne.

T Klip de fire ligesidede trekanter ud, og fold et tetraeder. b. Find en måde at bestemme rumfanget.

OPGAVE 4

a. Konstruer et oktaeder.

T Tegn seks cirkler med radius 3 cm.

T Tegn otte ligesidede trekanter, og fold et oktaeder. b. Find en måde at bestemme rumfanget.

Polygon En polygon er en plan mangekantet figur.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 75

75

FORM OG KONSTRUK TION

Klip et kræmmerhus Materialer: Saks, passer, vinkelmåler, tape

Du skal undersøge, hvordan du konstruerer et kræmmerhus, så det får det størst mulige rumfang.

OPGAVE 1

a. b. c. d. e. f.

Konstruer en cirkel med en diameter på 20 cm.

Klip et cirkeludsnit på 100° ud af cirklen.

Fremstil et kræmmerhus. Brug tape til hjælp.

Mål højden (h) på kræmmerhuset. Find en god metode. Sammenlign evt. med andre.

Find radius (r) i kræmmerhusets cirkel.

Beregn rumfanget af kræmmerhuset.

OPGAVE 2

a. b. c. d.

Konstruer og klip syv cirkler med en diameter på 20 cm.

Klip forskellige cirkeludsnit af hver cirkel. Brug 20°, 40°, 60°, 80°, 120°, 140° og 160°.

Fremstil syv forskellige kræmmerhuse, som i opgave 1.

Tabellæg en sammenhæng mellem graderne i cirkeludsnittet og rumfanget af kræmmerhuset.

Grader (°)

20

40

60

80

100

120

140

160

3

Rumfang (cm )

OPGAVE 3

a. Plot tallene ind i et koordinatsystem med grader ud af x-aksen og kubikcentimeter ud af y-aksen.

Brug millimeterpapir. b. Undersøg ud fra grafen, hvor mange grader et cirkeludsnit skal være, for at rumfanget af kræmmerhuset bliver størst muligt. c. Prøv evt. efter med andre cirkler, om det passer.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 76

76

FORMER OG DIMENSIONER

VIDEN OM DEN RETVINKLEDE TREKANT

Pythagoras sætning for en retvinklet trekant: a2 + b2 = c2 A

Hvis en trekant er retvinklet, og man kender to af siderne, kan man beregne den tredje side, fx: Hvis a = 12 og b = 7 gælder: vvv3v 艐 13,9 c2 = 122 + 72 = 144 + 49 = 193 og dermed c = avv 19

c b

C

a

B

En trekant har siderne 6, 4 og 8. Hvis trekanten er retvinklet, skal der gælde, at 62 + 42 = 82. Altså 36 + 16 = 64 Da 52 ( 64, er trekanten ikke retvinklet.

Vinkler Polygoner er mangekanter. Den mindste mangekant er en trekant, som har en vinkelsum på 180°. En hvilken som helst mangekant kan opdeles i trekanter.

Vinkelsummen i denne sekskant er således 4 · 180° = 720°.

Regulære polygoner har ens vinkler og lige store sider.

Den gule vinkel er en drejningsvinkel. Den røde vinkel er den resulterende vinkel.

Ligedannede og kongruente figurer Hvis to figurer er ligedannede, har de samme form, men kan have forskellige størrelser. Den ene figur er forstørret eller formindsket med en forstørrelsesfaktor i forhold til den anden figur. Trekanter med samme vinkler er altid ligedannede.

·2

B

A

1 ·_ 2

E

F

Afstandene i den røde trekant er 2 gange større end i den grønne trekant.

Størrelsesforholdet EF : BA er 2:1. Størrelsesforholdet BA : EF er 1:2.

Man kalder dette forhold for længdeforholdet eller målestoksforholdet.

Arealet af den røde trekant er 4 gange så stort som arealet af den grønne trekant.

Man kalder dette forhold for arealforholdet.

Kongruente figurer er helt ens figurer med samme form og samme størrelse.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 77

FORM OG KONSTRUK TION

MØNSTERGEOMETRI

Alle mønstre bygger på gentagelser af en bestemt figur eller et bestemt motiv. Motivet kan gentages i lange rækker. Det kan spejles, det kan skubbes, og det kan drejes. Men lige meget hvad man gør med motivet, kan man genkende det i mønstret.

Hvis to figurer kan bringes til at dække hinanden ved at blive drejet, spejlet og skubbet, kaldes det for en flytning. Da der ikke er ændret på hverken form eller størrelse ved en flytning, er de to figurer kongruente.

FORSKELLIGE TYPER AF FLYTNING

Drejning Når et motiv drejes, foregår det rundt om et drejningscentrum med en bestemt drejningsvinkel. Det eneste punkt, der ikke flytter sig ved drejningen, er drejningscenteret. Man kan dreje et motiv i retningen med uret eller mod uret.

Her er motivet drejet fire gange omkring et drejningscentrum.

Hver drejning er på 90°. Det giver ingen forskel, om drejningen har været med eller mod uret.

Spejling Ved en spejling flyttes motivet over på den modsatte side af en linje, som kaldes for spejlingsaksen. Motivet og spejlbilledet vender modsat, som venstre og højre hånd vender modsat.

Spejlbilledet siges at være spejlvendt.

Motivet er her spejlet i den vandrette stiplede linje.

Parallelforskydning Ved en parallelforskydning skubbes en figur i en bestemt retning med en bestemt afstand.

Her er motiverne parallelforskudt i pilens længde og retning.

Glidespejling En glidespejling dækker over en sammensat flytning. Først flyttes motivet parallelt med en akse (vist med fed pil). Derefter spejles motivet i aksen (vist med stiplet linje).

Glidespejlinger giver et typisk fodsporsmønster:

77

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 78

78

FORMER OG DIMENSIONER

FLERE MÅDER AT TEGNE DET SAMME

En rumlig figur kan gengives på flere måder, fx som arbejdstegning, som isometrisk tegning eller som perspektivisk tegning.

Isometrisk tegning

Arbejdstegning

h

h

b

g

Areal:

Perspektivisk tegning (To forsvindingspunkter)

l

_1 · h · g

g

Areal: h · g

Areal: l · b

2

a r

h a

b

Areal:

Areal:p · r 2

_1 · h · (a + b) 2

Areal: a2

REGULÆRE POLYEDER

Rumlige figurer opbygget af polygoner kaldes polyeder.

Regulære polyeder er opbygget af regulære polygoner.

Der findes kun fem regulære polyeder i hele verden. De kaldes for de platoniske legemer.

Tetraeder

Heksaeder

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:20 PM

Page 79

79

FORM OG KONSTRUK TION

RUMLIGE FIGURER OG FORMLER KASSE

Højde (h)

Kassens rumfang = l · b · h

k

Længde (l)

Terningens rumfang = k · k · k = k3 k

Bredde (b)

Kassens overflade = 2 (l · b + b · h + l · h)

k

PRISME

Prismets rumfang = h · G

Højde (h) G

G 3-sidet prisme

PYRAMIDE

Grundflade (G)

4-sidet prisme

5-SIDET PYRAMIDE

Toppunkt Højde (h)

Sidelinje Sideflade

Højde (h)

G

G Grundflade (G) Pyramidens rumfang = 31 · h · G

Grundflade (G) Pyramidens rumfang =

1 3

·h·G

CYLINDER Højde (h)

Højde (h) Cylinderflade Grundflade (G)

G

r Radius (r)

Cylinderens rumfang = G · h = ! · r 2 · h

2·!·r Cylinderens krumme overflade

Samlet overflade = 2 · ! · r2 + 2 · ! · r · h KUGLE Toppunkt

KEGLE

Centrum

Radius (r) Diameter

(s) Sidelinje

Højde (h)

Kegleflade G

r

Grundflade (G) Keglens rumfang = 31 · h · G Keglens krumme overflade = s · ! · r

s

Kuglens rumfang =

4 3

· ! · r 3 ! 4,19 · r 3

Kuglens overflade = 4 · ! · r2 ! 12,6 · r2

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 80

80

FORMER OG DIMENSIONER

OPGAVE 6

OPFØLGNING

Omskriv til kubikcentimeter. b. 780 dm3 c. 0,5 dm3 a. 3 dm3 OPGAVE 1

a. Tegn en sekskant med omkredsen 22 cm. b. Tegn en regulær sekskant med omkredsen 18 cm. c. Beregn arealet af sekskanten.

OPGAVE 7

Omskriv til kubikcentimeter. b. 50 mm3 a. 3000 mm3

c. 134 mm3

OPGAVE 8 OPGAVE 2

a. Tegn et kvadrat, som har en diagonal på 3 cm. b. Beregn længden af siderne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

Omskriv til liter. a. 5 dm3 b. 0,5 dm3 c. 300 cm3 d. 0,3 m3 OPGAVE 9

Omskriv til kvadratcentimeter. a. 45 mm2 b. 45 dm2 c. 0,04 m2

OPGAVE 3

a. Tegn en ligebenet retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 7 cm. b. Beregn længden af kateterne med en nøjagtighed på 2 decimaler.

OPGAVE 4

a. b. c. d.

Tegn en stumpvinklet trekant.

Tegn alle tre højder i trekanten.

Beregn trekantens areal.

Beregn arealet af det omskrevne rektangel.

Man har målt mængden af renset vand, som kommer ud af Grundkøbings rensningsanlæg. Resultatet er blevet 2300 liter pr. sek. a. Hvor mange kubikmeter er renset på 1 min.? b. Hvor mange kubikmeter er renset på et døgn?

OPGAVE 11

En emballage skal kunne indeholde 2 liter.

Undersøg med lommeregner og find cirkamål, hvis emballagen er: a. terningformet b. kasseformet c. cylinderformet

OPGAVE 5

a. Konstruer denne trekant.

OPGAVE 10

B

7,4 cm

OPGAVE 12 67° A

8 cm

C

b. Konstruer ved brug af passer og lineal et punkt i trekanten, som ligger lige langt fra alle vinkelspidser. c. Konstruer ved brug af passer og lineal et punkt, som ligger lige langt fra alle siderne.

a. Konstruer et parallelogram med en omkreds på 24 cm. b. Tegn et nyt parallelogram med et større areal. c. Tegn det største parallelogram med en omkreds på 24 cm.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 81

81

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 13

OPGAVE 20

Hvor mange liter benzin indeholder en tankbil, hvis den cylinderformede tank er 6 m lang og har en diameter på 2 m?

a. Tegn et kvadrat, hvor diagonalerne er 4 cm lange. b. Tegn den omskrevne cirkel og angiv cirklens radius. c. Beskriv forholdet mellem de to figurers areal.

OPGAVE 14

En cylinder har rumfanget 48 cm3. Udregn højden, hvis grundarealet er: a. 8 cm2 b. 12 cm2 c. 16 cm2

OPGAVE 21

Angiv vinklerne i en regulær ottekant.

OPGAVE 15

11 m

OPGAVE 22

5m

a. Tegn to kongruente parallelogrammer. b. Tegn to ligedannede parallelogrammer.

1,2 m 0,8 m

Regnvandsopsamleren var tom, inden det begyndte at regne. Hvor mange millimeter regn er der kommet, når tønden svømmer over?

OPGAVE 23

Tegn en firkant, hvor en af de indre vinkler er over 180°.

OPGAVE 24

OPGAVE 16

Beregn diameteren (2 dec.) på en kugle, som har et rumfang på a. 200 cm3 b. 20 liter c. 1 m3 d. 0,5 dm3 OPGAVE 17

a. Konstruer et cirkeludsnit på 45 grader med en radius på 2 cm. b. Beregn omkredsen af figuren. c. Beregn arealet af figuren.

Hvilke af disse trekanter er retvinklede, når sidelængderne er følgende? a. 12 cm, 16 cm og 20 cm b. 28 cm, 12 cm og 36 cm c. 43 cm, 37 cm og 54 cm d. 40 cm, 50 cm og 34 cm OPGAVE 25

Beregn arealet af et kvadrat med omkredsen 24 cm.

OPGAVE 18

OPGAVE 26

a. Konstruer en cirkel, som har et areal på ca. 30 cm2. b. Beregn omkredsen af figuren.

Der skal lægges et nyt væg-til-væg tæppe i et rektangulært værelse med målene 6,30 m og 3,45 m. Der skal sættes kantlister langs hele væggen. a. Hvor mange kvadratmeter tæppe er der brug for? b. Hvor mange meter liste er der brug for?

OPGAVE 19

Et cykeldæk har ca. en diameter på 67 cm.

Hvor mange omdrejninger har dækket foretaget, hvis der er kørt 4 km?

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:30

Side 82

82

FORMER OG DIMENSIONER

OPGAVE 27

4m

OPGAVE 32 2m

En sandkasse har arealet 6,25 m2. Hvor tykt et lag sand får man, hvis man kommer 1,25 m3 sand i sandkassen?

OPGAVE 28

2m

1m 1m 3m

a. Beregn omkredsen. b. Beregn arealet.

4m

105˚

115˚

90˚

OPGAVE 33

b 80˚

a

125˚ 50˚

110˚

40˚

5 cm

7 cm

130˚

35˚ c

6 cm

6 cm 10 cm

Beregn de manglende vinkler.

5 cm

35˚

OPGAVE 29

En trekant har arealet 36 cm2. Beregn højden, hvis grundlinjen er 7 cm.

Konstruer disse trekanter.

OPGAVE 34

OPGAVE 30 9 cm

B

3m

a

b

C 3,6 m

85˚

2,1

9 cm 105˚ A

m

G

110˚ F

D

4,3 m

m 3c 80˚

3 cm

12 cm

c 3,9 m

5 cm

m

5c

H

5,6 m 9,7 m

E

Konstruer de to figurer.

Beregn arealet af disse blå figurer.

OPGAVE 31 OPGAVE 35 57˚

a

39˚ b

c

a

22˚

c

x

y

70° b 94˚

113˚

d

Beregn de manglende vinkler.

45°

65° z

Beregn de manglende vinkler.

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:32

Side 83

83

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 36

OPGAVE 40

7 cm

6,0 m

3 cm

9 cm 4 cm 10 cm

6 cm 8 cm

2,5 m

Beregn rumfang og overflade på disse figurer.

Hvor lang er stigen?

OPGAVE 41

OPGAVE 37 b

C 4

6

5 B

a

10

12 cm

30 cm

24

10 A

20

?

E

D

14

a. Beregn længden af a og b. b. Beregn længden af DE og BD.

Hvor lang er siden på maleriet?

OPGAVE 42

c

5 cm

OPGAVE 38 F

10 cm

a

C

?

3 cm ?

50˚

21

12

A

5 cm 75˚

B

D

75˚

55˚

9 cm

b

E

7 cm

a. Hvorfor er de to trekanter ligedannede? b. Bestem en forstørrelsesfaktor.

?

Beregn de manglende sider.

OPGAVE 39 1,5 cm

1,5 cm

1,5 cm

OPGAVE 43

3,6 m

5,4 m

a. Udregn arealet af det gule område. b. Udregn arealet af det røde område. c. Udregn arealet af det grønne område.

1,5 cm

6,0 m

1,3 m

Dette er en plan for en have som er opdelt i tre områder.

Tegn den grønne figur, og beregn arealet af den.

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:34

Side 84

84

FORMER OG DIMENSIONER

C

OPGAVE 44

OPGAVE 48

6 cm

D B 10 cm

120°

B

A

Siderne DC = CB = DB. Siderne AD og AB er 10 cm.

Tegn figuren.

I “Ishuset” får man isvafler, hvor isen kun fylder vaflen ud. Der er altså ikke top på. Hvor mange vafler kan der laves af de 2 liter is?

OPGAVE 45

OPGAVE 49

2

C

4

E

a

D

c

1

6 cm

6 cm

G 3

G = 10 cm2

G = 9 cm2

b

B

d

A

Bestem arealet af den røde figur.

5 dm

OPGAVE 46

4 dm

12cm

3 dm 6 cm

?

Beregn rumfanget af disse fire rumlige figurer.

1m

,4 m

0

OPGAVE 50 4,2 m

5 cm ? cm

Beregn tagets bredde (spørgsmålstegnet).

5 cm 5 cm

OPGAVE 47

5 cm 10 cm

Beregn den manglende side, hvis rumfanget af begge kasser er det samme.

A

OPGAVE 51 8 cm

9 cm

B

13 cm

Hvor lang er siden AC?

C

r = 3,2 cm

r = 20 cm

Beregn rumfanget af de tre bolde.

r = 23 cm

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:36

Side 85

85

FORM OG KONSTRUK TION

OPGAVE 52

OPGAVE 57 7 dm

10 dm

18 cm

15 cm 15 cm

40 cm

18 cm

Beregn rumfanget af denne glascontainer.

Beregn rumfanget af denne brødkasse.

10 cm

OPGAVE 53

OPGAVE 58

4 cm

18 cm

Hvor meget væske kan der være i glasset?

OPGAVE 54 a

b

40 cm

5 dm 6 dm

30 cm

25 cm

Du skal dække denne dåse med en etikette. a. Hvor lang skal etiketten være? b. Hvor stort er arealet af etiketten? c. Hvor stort er rumfanget af dåsen?

OPGAVE 59

4 dm

Beregn rumdiagonalen i begge kasser.

OPGAVE 55 8 dm

40 cm

Radius i den store cirkel er 4 cm. Hvor lang er den røde streg, som deler cirklen i to dele?

OPGAVE 60

5 dm

5 dm

30 cm

Beregn højden i pyramiden og keglen.

OPGAVE 56 6,5 cm 19,5 cm

Tre bolde ligger i et cylinderhylster. Beregn rumfanget af en af boldene.

Et sammensat bord består af tre rektangulære borde hver med en længde på 1,5 m og bredden 1 m samt af et halvcirkelformet bord i hver ende.

Hvor mange personer får man plads til, hvis de hver skal have 60 cm?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 86

86

FORMER OG DIMENSIONER

OPGAVE 61

OPGAVE 63

2m

30 m

Catrine ser husets tag gennem spejlet, som ligger på jorden. Se tegningen. a. Hvorfor er de to gule trekanter ligedannede? b. Hvor højt er huset, hvis Catrine er 1,5 m høj?

a. Konstruer stjernen og gør rede for symmetriforholdene. b. Beskriv, hvordan man kan flytte den røde figur over i den blå figur.

OPGAVE 62

OPGAVE 64

a

12

y

9

9

x

6

b

12 8 y

4

6

x

Trekanterne er ligedannede. Beregn de manglende sider.

a. Tegn et F på ternet papir. b. Tegn to spejlingsakser, som står vinkelret på hinanden. c. Spejl figuren i begge akser. d. Tegn en lodret spejlingsakse s1 ca. 3 cm fra F’et. Tegn en ny lodret spejlingsakse s2 6 cm fra s1. e. Spejl figuren i begge akser. f. Drej figuren 90° med drejningscentrum i det røde punkt på F’et.

OPGAVE 65

a. Tegn en figur med tre symmetriakser. b. Tegn en figur med fem symmetriakser. c. Tegn en figur, som kan dække sig selv ved en drejning på 120° om et drejningscentrum.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 87

87

FORM OG KONSTRUK TION

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål a. Beskriv, hvilken egenskab punkterne på en cirkel har. b. Et hjul af træ kan fremstilles ved, at man konstruerer en polygon og derefter filer hjørnerne af. Tegn en cirkel og brug den til at konstruere en ligesidet 16-kant. Beskriv de trekanter, 16-kanten er opbygget af.

2. Spørgsmål Silla har planlagt at renovere huset. Der skal ordnes plader på taget og den ene gavl på huset skal males. Hun har en aftale med en håndværker, men hun skal inden have beregnet arealet af taget og væggen. Håndværkerne tager 550 kr. pr. m2 på taget og 120 kr. pr. m2 væg, som skal males.

Hvor meget forventer hun at skulle betale? Brug bl.a.

Pythagoras’ sætning til hjælp.

6m

6m

Væg der skal males

6m 16 m 10 m

3. Spørgsmål Villasen skal lægge fliser på et firkantet område i en have.

Firkanten har sidemålene 4,1 m og 2,3 m. Han måler en af diagonalerne til at være 4,6 m.

Forklar, hvorfor firkanten ikke er et rektangel.

4. Spørgsmål Beskriv målene på en kegle og en pyramide, så de hver især ca. kan indeholde 1 liter vand.

5. Spørgsmål Gør rede for symmetriforholdene i figurerne

a

,

b

og

6. Spørgsmål Trekanterne er ligedannede. a. Find ud af hvilke vinkler, som svarer til hinanden. b. Beregn længden af ER og VS.

c

a

c

b

.

R V 32 40 P

40

E

S

60

I

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 88

DATA OG CHANCE

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 89

DATA OG CHANCE

001-192_9788779884243.qxp:Kernebog 9_OMBR_3.korr

11/04/11

11:33

Side 90

90

DATA O G C H A N C E

Ungdommen nu til dags Christiansberg Kommune har to lokalaviser Vestavisen og Østbladet. Denne uges forside i begge aviser er præget af et sammenstød med politiet ved den årlige musikfestival. Begge aviser bruger statistisk materiale, som rækker 8-9 år tilbage. År 9 er således i år, mens år 6 er for 3 år siden.

De unge overholder loven

UNGE GIK AMOK Antallet af politisager med unge under 15 år tre gange større på 8 år

Ingen større ændring i antallet af politisager

Vest avisen

Østbladet Politisager for personer under 15 år

Politisager for personer under 15 år

45 50

40

45 35

35

Politisager

Politisager

40

30 25 20

30 25

15 10

20

5 0 År 2

15 År 4

År Politisager

År 6

2 10

4 12

År 8

6 12

8 13

År 1

År 3

År Politisager

År 5

1 16

3 22

År 7

5 34

År 9

7 38

9 42

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 91

91

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 1

a. Hvilket indtryk giver de to grafer avisernes læsere? b. Beskriv forskellen på de to grafiske gengivelser. c. Hvor meget er antallet af politisager steget fra de første år til de sidste år ud fra henholdsvis Vestavisens og Østbladets tal? d. Hvor stor er den procentvise stigning ud fra henholdsvis Vestavisens og Østbladets tal? Østbladets journalist Berntsen har kontaktet en tegner for at illustrere, at stigningen i antallet af politisager er blevet tre gange større fra år 1 til år 9.

OPGAVE 2

a. Hvorfor er det en urimelig illustration af avisens påståede stigning? b. Tegn et billeddiagram, som mere korrekt illustrerer en stigning, som er blevet tre gange større.

Vestbladets journalist Møller har besluttet at omdanne tallene til indekstal. Hun vælger at sætte tallene i forhold til år 2. År 2 sætter hun til værdien 100 og regner derefter indekstallene for år 4, år 6 og år 8 ud i forhold til det.

År 1

År 9

År

2

Politisager

10

Indekstal

100 120

4

6

8

OPGAVE 3

a. Vis, hvorfor indekstallet for det fjerde år er 120. b. Beregn indekstallene for sjette og ottende år. c. Hvordan ser indekstallene ud, hvis Møller vælger at bruge år 1 med 16 politisager som basistal?

OPGAVE 4

a. Tegn denne tabel, og udfyld de tomme felter. År 1 2 3 4 Politisager b. Brug tabellen, og fremstil en graf i et koordinatsystem, som viser udviklingen fra år 1 til år 9 i Christiansberg Kommune. Brug evt. millimeterpapir. c. Hvert andet år afholdes en musikfestival i byen for unge med mange besøgende udefra. Aflæs på grafen fra opgave b, hvilke år du mener, der er musikfestival og begrund dit svar. d. Tag stilling til de to avisers overskrifter på baggrund af dine data i denne opgave.

5

6

7

8

9

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 92

92

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 5

a. Beregn middeltallet for antallet af politisager set ud fra Vestavisens tal. b. Beregn middeltallet for antallet af politisager set ud fra Østbladets tal. c. Find et mere rimeligt svar på spørgsmålet: “Hvor mange politisager har der i gennemsnit været inden for de sidste 9 år?” Brug tallene fra opgave 4.

På redaktionen på Østbladet overvejer man at lade omtalen af politisager følge op af en diskussion om ungdomskriminalitet i området. Hos politiet får Berntsen oplyst antallet af straffesager for alle aldre fra den kriminelle lavalder på 15 år og frem. Han udvælger alderstrinene fra 15 til 50. År

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Straffesager

8

32

58

48

52

47

49

30

31

37

25

45

27

25

42

32

32

40

År

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Straffesager

31

35

39

25

29

41

25

32

23

42

24

24

23

26

12

31

19

21

OPGAVE 6

a. Hvilket alderstrin har de fleste straffesager? b. Hvilket alderstrin har de færreste straffesager? c. Hvor mange straffesager er der i alt?

Berntsen synes, at tallene er for uoverskuelige, så han vælger at inddele dem i intervaller.

OPGAVE 7

a. Hvis det første interval er 15-18, hvordan ser de andre intervaller så ud? b. Tegn hyppigheds- og frekvenstabellen, og udfyld resten af felterne.

Interval

15-18

Straffesager

146

Frekvens

13 %

31-34

OPGAVE 8

a. Fremstil et søjlediagram (histogram), som viser frekvensen af straffesager for de forskellige aldersintervaller. b. Fremstil et cirkeldiagram, som viser procentdelen af straffesager for de forskellige aldersgrupper. Brug en stor radius fx 5 cm.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 93

93

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 9

a. Hvad kan man læse ud af tallene og diagrammerne i opgave 8? b. Er det rimeligt, når Berntsen skriver, at: “Kriminaliteten falder med alderen.”

“De unge er de mest kriminelle i kommunen.”

På Vestbladet har Møller opsnappet nyheden om, at Berntsen vil skrive om de kriminelle unge, så hun undersøger sagen nærmere.

På kommunen får hun oplyst, hvor mange personer der er i de ni aldersgrupper.

OPGAVE 10

a. Hvor mange personer er der samlet i aldersgruppen 15-50 år? b. Fremstil en tabel, som viser, hvor stor en procentdel antallet af personer med straffesager udgør af det samlede antal personer i hver aldersgruppe.

Interval

15-18

Straffesager

146

Personer i alt

3452

Procentvis

4%

OPGAVE 11

a. Hvad kan Møller skrive i sin avis, som svar på Berntsens artikel? b. Er det rigtigt, når Møller skriver, at sandsynligheden kun er 5 % for, at en ung person på 19-22 år har en straffesag? Begrund dit svar.

For at høre den offentlige mening beslutter Møller at tage ud på gågaden i byen og spørge folk. En tirsdag formiddag kl. 10 midt i juli måned står hun for enden af gågaden for at spørge 10 forbipasserende personer om deres mening.

Hun spørger dem: ” Synes du, at de unge er blevet mere kriminelle?”

OPGAVE 12

a. Tag stilling til, om man kan regne med, at de folk, som bliver spurgt, er repræsentative for kommunens borgere. Begrund det. b. Giv forslag til en bedre undersøgelse.

15-18 år

3452

19-22 år

3700

23-26 år

2534

27-30 år

2456

31-34 år

2276

35-38 år

2393

39-42 år

2198

43-46 år

1100

47-50 år

955

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 94

94

DATA O G C H A N C E

I junglen

Et hold naturforskere er sendt afsted til jungleområdet Murra i Brasilien. Her er et meget frodigt og spændende dyre- og planteliv. Forskerne skal bo der omkring et år for at kortlægge og beskrive livet på stedet.

Karson, som er botaniker, undersøger væksten på en særlig smuk plante, han har givet navnet Karsonia. Han sår nogle frø og følger deres vækst gennem syv dage.

Han måler væksten i millimeter.

Antal planter

Karsonias vækst efter 7 dage 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Vækst i mm

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 95

95

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 1

a. Hvor mange planter har været med i forsøget? b. Se på diagrammet. Hvad beskriver søjlen ud for tallet 7? c. Skriv to udsagn om Karsonias vækst ud fra diagrammet.

Karson viser sine målinger til kollegaen Gibsenfeld, som påstår, at planterne i gennemsnit er blevet ca. 10 mm høje på 7 dage. Karson siger, at medianen er 11.

OPGAVE 2

a. Har Gibsenfeld ret? b. Beskriv, hvordan du regnede det ud. c. Hvad vil det sige, at medianen er 11? Begrund dit svar.

Ved en tidligere ekskursion har man fundet nogle optegnelser, men der er kun brudstykker tilbage. Karson har dem liggende foran sig.

Han overvejer, hvordan diagrammerne vil se ud. Der har ca. været 100 planter med i hver undersøgelse.

Den plante, der voksede mest, blev 12 mm højere. Der lå ca. lige så mange planter til højre for som til venstre for de 12 mm.

Der var færrest planter, som havde en meget lille vækst og en meget stor tilvækst. a

c

Dataene var fra 4 mm til 18 mm. Det var næsten det samme antal for hver højde. b

Planterne groede ganske stærkt, de fleste omkring 12 - 14 mm.

Der var ingen, som var særligt korte og kun nogle få, som var særligt høje.

OPGAVE 3

a. Tegn søjlediagrammer, som kan passe til hver af de tre beskrivelser. b. Bestem median, typetal og middeltal for hver af de søjediagrammer, du har lavet.

Karson sidder og kigger på de data, han har fundet i sin egen undersøgelse.

Vækst i mm

0

1

2

Hyppighed

2

5

5

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12 13 14 15

Frekvens Summeret frekvens

OPGAVE 4

Fremstil en hyppighedstabel, frekvenstabel og summeret frekvenstabel over Karsons undersøgelse. Se venstre side.

16 17

18 19 20 21

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 96

96

DATA O G C H A N C E

100% 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 mm

OPGAVE 5

a. Tegn et koordinatsystem med x-aksen som vækst og y-aksen som frekvens i fx procent. Brug millimeterpapir. b. Tegn den summerede frekvens, og bestem 25 %-fraktilen, 50 %-fraktilen og 75 %-fraktilen.

OPGAVE 6

a. Begrund ud fra kurven, hvilke af disse udsagn, som er rigtige.

“50 % af planterne har vokset under 6 mm.”

“60 % af planterne har vokset mindst 12 mm.”

“20 % af planterne har vokset højst 7 mm.” b. Tegn svarene ind på dit koordinatsystem.

Karson tegner et boksplot for at beskrive, hvor spredt tallene er i hans egen undersøgelse. Til det skal han kende medianen, mindsteværdi og størsteværdi samt 25 % fraktilen og 75 %-fraktilen til sin undersøgelse.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21

OPGAVE 7

a. Find mindsteværdi og størsteværdi i Karsons undersøgelse. Hvad svarer disse værdier til på boksplottegningen? b. Aflæs 25 %- og 75 %-fraktilen på din kurve i opgave 5. c. Hvor finder du disse tal på boksplottegningen? d. Aflæs værdien af den blå streg i kassen. Hvilken statistisk størrelse svarer denne værdi til?

OPGAVE 8

Fremstil et boksplot til et af de diagrammer, du lavede i opgave 3.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 97

97

DATA O G C H A N C E

I en hule, ved udkanten af hvor forskerne har lejr, er der flagermus. En særlig stor type som ofte har givet anledning til historier blandt øens lokalbefolkning. De kommer frem i hobetal om aftenen og kendes ved deres pibende lyd og baskende vinger.

Tønnesen og Schmidt har valgt at se nærmere på disse dyr. De har en uge undersøgt, hvor lang tid de er væk fra hulen og sammenligner det med dagtemperaturen.

Temperatur i °C

Tid i min.

Dag 1

20

16

Dag 2

22

21

Dag 3

19

15

Dag 4

22

24

Dag 5

26

30

Dag 6

23

23

Dag 7

19

14

OPGAVE 9

a. Fremstil et koordinatsystem med x-aksen som temperatur i °C og y-aksen som tid i minutter. Vælg passende enheder. Brug millimeterpapir. b. Plot dataene ind i koordinatsystemet. c. Beskriv sammenhængen mellem temperaturen, og den tid flagermusen er uden for hulerne.

OPGAVE 10

a. Tegn en linje, som bedst tænkeligt viser den sammenhæng, du beskrev i opgave 9 c. b. Besvar ud fra denne linje, hvor meget tid flagermusen vil være ude, hvis temperaturen er 21°C ? 15°C ? c. Hvor koldt skal det være, før man ikke regner med, at der kommer flagermus ud af hulerne?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 98

98

DATA O G C H A N C E

Hvad er koden?

“Øv for pokker, jeg har glemt koden”. Hans Kofod står febrilsk og ser på hæveautomaten. Hvordan var det med den pinkode? Bag ham er en kø, som bliver større og større. Utålmodigheden breder sig.

Han prøver forgæves at trykke på tasterne. Han får en fejlmeddelelse samt en besked om, at han kun har to forsøg tilbage, inden kortet bliver inddraget.

Hans Kofod forsøger at bevare fatningen og tænker sig om. Hvert ciffer i koden kan være tallene fra 0 til 9.

OPGAVE 1

a. Hvor mange muligheder er der for det første ciffer? b. Hvor mange muligheder er der for det andet ciffer? c. Hvor mange mulige kombinationer er der i alt for en 4-cifret pinkode?

OPGAVE 2

a. Hvor mange muligheder vil der være, hvis man regner de koder fra, hvor alle cifrene er ens? b. Hvor mange muligheder vil der være, hvis det første ciffer ikke er 0?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 99

99

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 3

a. Hvis der kun er cifrene 1, 2, 3, hvor mange 4-cifrede koder er det så muligt at fremstille? b. Tegn tælletræet færdigt, så det illustrerer alle mulighederne i opgave a. Brug evt. stort papir. c. Beskriv eller skitser et tælletræ for pinkodens 10-cifrede muligheder.

Hans Kofod kan pludselig huske, at de fire cifre er forskellige fx 0247 men ikke 2247.

1. ciffer

2. ciffer

OPGAVE 4

a. Hvor mange muligheder er der ved valget af det første ciffer? b. Hvor mange muligheder er ved valget af det andet ciffer? c. Hvor mange muligheder er der i alt for en 4-cifret pinkode, hvis cifrene skal være forskellige?

“Nå ja, det er cifrene 6, 8, 3 og 1,” husker Hans pludselig, og overvejer nu, hvordan rækkefølgen er.

OPGAVE 5

a. Hvor mange mulige rækkefølger er der med de fire cifre? b. Hvor mange mulige rækkefølger er der, hvis det er cifrene 6, 8, 8 og 3? c. Hvor mange mulige rækkefølger er der, hvis han indser, at det første ciffer er 6?

“Nu nærmer det sig,” tænker Hans. ”Chancen for, at jeg vælger rigtigt, er efterhånden blevet større.”

OPGAVE 6

__1_ første gang Hans gættede på den rigtige pinkode? a. Hvorfor er chancen 10 000 b. Hvor stor er chancen for, at han gætter den rigtige pinkode, hvis cifrene er forskellige? c. Hvor stor er chancen for, at han gætter den rigtige pinkode, hvis cifrene er 6, 8, 3 og 1? d. Hvor stor er chancen for, at han gætter den rigtige pinkode, hvis det første ciffer er 6, og resten er enten 8, 3 og 1? e. Hvor stor er chancen for opgave d, hvis han har to forsøg?

3. ciffer

4. ciffer

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 100

100

DATA O G C H A N C E

Hvor stor er chancen?

Jesper, Nadia, Signe og Kenneth sidder tit i frikvarteret og spiller spil. Der bliver spillet både med kort og terninger.

“Hvad med at lave vores eget spil?” siger Nadia en dag og ser rundt på de andre.

Vil de mon være med?

“Fint nok”, “OK”, lyder det, og der opstår en ivrig diskussion om, hvordan spillet skal være.

Jesper er mest til noget med terninger. “Hvordan er det nu med chancen for … .”

Han begynder at tegne nogle tabeller.

OPGAVE 1

a. Hvad er sandsynligheden for 1 2 3 4 5 6 at slå en 4’er, hvis man kaster 1 (1,1) en enkelt terning?

2 (2,1) b. Hvad er sandsynligheden for 3 (3,3) at slå først en 4’er og derefter 4 en 5’er med terningen?

5 c. Fremstil en tabel, der viser alle 6 (6,5) de 36 mulige udfald, der kan forekomme ved to kast med en terning. d. Betyder det noget, om man kaster en terning to gange efter hinanden, eller om man kaster to terninger på en gang?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 101

101

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 2

a. Fremstil en tabel, der viser alle de produkter af øjentallene, der fremkommer ved kast med to terninger. b. Hvilke produkter er der mindst sandsynlighed for at få? c. Hvilke produkter er der størst sandsynlighed for at få? d. Hvad er sandsynligheden for, at produktet bliver et lige tal? e. Kast 50 gange med to terninger. Fremstil en hyppigheds- og frekvenstabel. f. Sammenligning frekvenserne med sandsynlighederne du beregnede i b, c og d.

·

1

1 2

2

3

1

2

3

2

4

4

3 4 5 6

OPGAVE 3

a. Fremstil en tabel, der viser alle de differenser mellem øjentallene, der kan komme ved kast med to terninger. b. Hvilken differens er der mindst sandsynlighed for at få? c. Hvilken differens er der størst sandsynlighed for at få? d. Hvad er sandsynligheden for, at differencen bliver 0? e. Kast 50 gange med to terninger. Fremstil en hyppigheds- og frekvenstabel som i opgave 2. f. Sammenlign frekvenserne med sandsynlighederne du beregnede i b, c og d.

Jesper eksperimenterer med, hvor mange gange han skal slå med en terning, før der kommer en 6’er.

OPGAVE 4

a. Hvor stor er sandsynligheden for at få en 6’er i første kast? b. Foretag 50 eksperimenter. Noter for hver gang, hvor mange slag der skal til for at slå en 6’er. c. Tegn en hyppigheds- og frekvenstabel som den nedenstående.

1 slag

2 slag

3 slag

4 slag

5 slag

6 slag

7 slag

8 slag

9 slag

Hyppighed Frekvens

d. Hvornår er sandsynligheden ud fra tabellen størst for at slå en 6’er? e. Hvor stor er sandsynligheden ud fra tabellen for at slå en 6’er i to slag? f. Hvor stor er sandsynligheden ud fra tabellen for at slå en 6’er i enten 1., 2. eller 3. slag? g. Hvor stor er sandsynligheden ud fra tabellen for at slå en 6’er på mere end seks slag?

10 slag

Flere slag

5

6

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

102

Jesper ser på resultatet fra opgave 4: “Hmm, man kan også regne sig til chancen.”

1 Han tegner et chancetræ og fortsætter: “Sandsynligheden er _ 6 for at få en 6’er første gang, jeg slår med en terning. Sandsynligheden for først at få en 6’er efter to 1 _5 slag må være _ 6 · 6 .”

ikk es ek se r

·

Side 102

DATA O G C H A N C E

ikk es ek se r 1 6

19:56

5 6

OPGAVE 5 ks

se er

·

1 6

·

5 6

1 6

·

1 6

·

1 6

se

1 6

r

e ks 1 6

·

1 6

a. Hvor stor er sandsynligheden for ikke at slå en 6’er ved første slag med en terning? Begrund dit svar. b. Tegn chancetræet her til venstre, og skriv de manglende sandsynligheder på grenene. c. Hvor stor er sandsynligheden for ikke at have slået en 6’er efter tre slag? d. Tegn et nyt chancetræ, som bedre passer til situationen. Chancetræet skal vise, at man stopper med at slå, når der kommer en 6’er. Skriv sandsynligheder på.

Jesper stopper med sine udregninger og viser sine resultater til de andre. Kan der komme et spil ud af det? Han spørger de andre, og der kommer følgende ideer: 1) Ved kast med to terninger lægger man øjentallene sammen. Der kan spilles på lige eller ulige.

2) Ved kast med to terninger lægger man øjentallene sammen. Man kan satse på den røde plade eller den gule plade.

T Den gule plade indeholder øjentallene 2, 3, 4, 5 samt 10, 11 og 12.

T Den røde plade indeholder øjentallene 6, 7, 8 og 9.

3) Ved kast med to terninger ganges øjentallene. Hvis man får 5 eller derunder, får man tre gange sin indsats tilbage, ellers tilfalder indsatsen banken.

4) Ved kast med to terninger ganges øjentallene. Der kan spilles på lige og ulige.

G G

OPGAVE 6

G

a. Brug de udregninger, du har lavet, og tag stilling til hver af de fire spil, om de er fair eller ikke-fair. b. Brug din viden fra opgave 5. Fremstil et fair spil ud fra dette.

G G

G G

G G G

G G G

Nadia har en anden ide. Hun vil lave spilleplader, hvor man kan satse på at få en gevinst eller ej. Hun tegner et stort G på nogle af felterne. Det betyder gevinst. Hun dækker bagefter felterne med papbrikker.

OPGAVE 7

a. Afgør sandsynligheden for at få gevinst på de tre forskellige plader.

1 b. Fremstil en spilleplade, hvor sandsynligheden er _ 3 for gevinst.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 103

DATA O G C H A N C E

Signe vil spille kort, så hun overvejer sandsynligheden for træk af et udvalg af kort fra et almindeligt spil på 52 kort.

OPGAVE 8

a. b. c. d. e.

Hvor mange forskellige muligheder er der, når man trækker ét kort?

Hvor mange muligheder er der for at trække et billedkort?

Hvor stor er sandsynligheden for at få et billedkort?

Hvor mange muligheder er der for at trække et es?

Hvor stor er sandsynligheden for at trække et es?

Kenneth samler alle tretten ruder i en bunke og spørger: “Hvor mange måder kan man tage tre kort ud af bunken?”

“Se her,” siger han, “første gang jeg trækker et kort, er der 13 muligheder. Når jeg beholder kortet, er der 12 muligheder næste gang, og 11 den sidste gang jeg trækker. Altså 13 · 12 · 11 og det bliver …?

“Stop nej, det er ikke rigtigt.” Nadia bremser ham. “Du får for mange muligheder med. Hvis du tænker på en hånd, hvor du har trukket en 2’er, en 10’er og en 5’er, så er du jo ligeglad med rækkefølgen. I det du regner ud, får du for mange ens situationer med.”

Nadia fortsætter: “Hver af de seks muligheder vil du opfatte som den samme hånd.

Du skal altså dividere de 13 · 12 · 11 muligheder med 6.”

OPGAVE 9

a. Hvor mange forskellige muligheder er der for at trække fire ruder ud 13 ruder? b. Hvor mange forskellige muligheder er der for at trække tre kort ud af 52 kort? c. Hvor mange forskellige muligheder er der for at trække to kort ud af 52 kort?

OPGAVE 10

a. Hvorfor er sandsynligheden for at trække tre knægte 224100 ? b. Hvor stor er sandsynligheden for at trække tre ruder?

OPGAVE 11

Fremstil et fair spil med træk af tre kort fra et spil kort på 52 kort.

103

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 104

104

DATA O G C H A N C E

U N DERSØG SELV Hvor lander mønten?

Materialer: 50-øre, ternet A4-papir

Du skal fremstille et spil ved brug af en 50-øre og en spilleplade med kvadratnet.

OPGAVE 1

a. Tegn den første spilleplade. Brug ternet A4-papir.

Tegn kvadrater på 3 cm x 3 cm. Gør stregerne tydelige. b. Lær at snurre 50-øren. Øv dig lidt. c. Lad 50-øren snurre rundt på din spilleplade og noter, om den falder helt inden for et kvadrat eller falder uden for kvadraterne.

Falder den uden for papiret, tæller den ikke med. d. Udfør forsøget 50 gange, og udfyld skemaet.

Inden i kvadrat

Uden for kvadrat

Hyppighed Frekvens

OPGAVE 2

Aftal i klassen nogle som: T Udfører det samme forsøg som i opgave 1, men nu med kvadrater på 4 cm x 4 cm.

T Udfører det samme forsøg som i opgave 1, men nu med kvadrater på 5 cm x 5 cm.

OPGAVE 3

a. Beskriv sandsynlighederne for de tre forskellige spilleplader. b. Hvilket kvadratnet vil du bruge, hvis du spiller med en af de andre fra klassen? c. Hvor meget vil du give i gevinst, hvis mønten lander inden i et kvadrat? Begrund dit valg.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 105

105

DATA O G C H A N C E

Højere eller lavere?

Er det rent tilfældigt?

Materialer: Ti kort med numrene 1-10 Antal deltagere: 2 personer

I et videnskabeligt tidsskrift bad man på et tidspunkt læserne om at vælge et tilfældigt tal mellem 1-20. Mærkeligt nok var der blandt de ca.

400 besvarelser en overvægt af personer, som valgte 17. Man lod også en computer vælge tallene tilfældigt.

Du skal spille et spil, hvor chancerne for gevinst hele tiden ændrer sig. Fremstil eller skaf ti kort med tallene 1-10. Brug evt. spillekort.

Bland kortene, og læg dem med bagsiden opad som her. Træk det første kort.

Sådan spiller du: T Vurder, om det næste kort er højere eller lavere. Sig “højere” eller “lavere”.

T Lad din modspiller vurdere det samme kort.

T Bliv enige om, hvad sandsynligheden er for højere og lavere.

T Man må godt gætte det samme. Den, der har ret, får et point.

T Bliv ved, indtil alle kortene er vendt, og gør regnskab på pointene.

Variation: Spil med flere kort, fx tallene 1-20, eller et helt spil kort.

I kan ændre spillet til et bookmaker-spil. Del 50 tændstikker ud til hver. Lad en af jer være bookmaker. Aftal for hver gang en handel for, hvad man får for sin indsats. Både bookmakeren og spilleren må godt lade være at indgå handlen.

OPGAVE 1

a. Hvor stor er sandsynligheden for, at 17 bliver valgt ud fra undersøgelsen? Ud fra computerens valg? b. Overvej om valget er tilfældigt, eller om der kan være grunde til, at man vælger, som man gør. c. Lav din egen undersøgelse på skolen, og sammenlign den med denne.

20%

Menneske 15

Computer

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 106

106

DATA O G C H A N C E

VIDEN OM STATISTIK

Statistik bruger man, når man behandler indsamlede tal systematisk for at kunne præsentere dem på en overskuelig måde.

Til at beskrive de datasæt/observationssæt man indhenter i en undersøgelse, anvender man en række deskriptorer. De skal beskrive centrale egenskaber ved de indhentede data og give mulighed for at sammenligne med data fra andre undersøgelser.

Medianen er det tal, der står i midten af de ordnede data, når disse skrives i rækkefølge efter størrelse. Hvis antallet af data er lige, vælges i Danmark det mindste af de to midterste data.

Medianen er en god deskriptor, hvis der i et datasæt er nogle enkle atypiske data, der er meget store eller omvendt meget små.

Hvis der i et firma arbejder 50 mennesker og de 48 tjener under 30 000 kr. om måneden, mens de to sidste tjener over 80000 kr. om måneden, så er medianen en god deskriptor.

Typetallet er det tal, der forekommer hyppigst eller flest gange i et datasæt.

Middeltallet, middelværdien eller gennemsnittet er det tal, man får ved at lægge alle tallene i datasættet sammen og dividere det med antallet af data.

Datasættet { 3, 3, 9, 12, 12, 18, 20 } har middeltallet

(3 + 3 + 9 + 12 + 12 + 18 + 20) 7

Til at beskrive spredningen i et datasæt anvendes variationsbredde, som fås ved at trække mindsteværdien fra størsteværdien i datasættet.

Datasættet { 3, 3, 9, 12, 12, 18, 20 } har variationsbredden 20 – 3 = 17.

GRUPPERET ELLER IKKE-GRUPPERET

Et datasæt kan være grupperet eller ikke-grupperet.

De ikke-grupperede data består af enkeltobservationer. Ikke-grupperede data er typisk målinger, som kun opgøres i heltallige værdier, fx skonumre, der kan være 36 eller 37, men ikke kan være 36,4. Det bruges også, når observationerne ikke er tal men kategorier, fx antal af forskellige kæledyr. Er der mange forskellige heltallige observationer, kan man samle dem i intervaller, så de bliver til grupperede observationer.

Grupperede data består af intervaller. Intervaller beskrives ved brug af intervaltegn, fx ved inddeling af højder.

I intervallet ]160;170] er 160 cm ikke med, men 170 cm er med.

I intervallet ]170;180] er 170 cm ikke med, men 180 cm er med.

= 11

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:23 PM

Page 107

107

DATA O G C H A N C E

Trappediagram Summeret frekvens

DIAGRAMMER OG TABELLER

Man kan lave en tabel over hyppighed, frekvens, summeret hyppighed og summeret frekvens.

EKSEMPEL Ikke-grupperede data

Fordelingen af skonumre hos 10 personer.

100% 90 80 70 60 50 40

x

h(x)

f(x)

F(x)

30

36

3

30 %

30 %

20

37

2

20 %

50 %

10

38

4

40 %

90 %

0

39

1

10 %

100 %

35

36

37

38

39 Skonumre

EKSEMPEL: Grupperede data

Fordelingen af højder hos 20 personer.

Højder x

]130;140]

]140;150]

]150;160]

]160;170]

]170;180]

]180;190]

]190;200]

3

5

2

2

4

2

2

Hyppighed h(x) Summeret hyppighed H(x)

3

_3 = 15 %

Frekvens f(x)

20

Summeret frekvens F(x)

_5

20

15 %

8

10

= 25 % 40 %

18

7 6 5 4 3 2

_2 =10 %

_2 =10 %

50 %

50 %

80 %

90 %

100 %

20

20

20

100 % 80 60 40 20

1 140

150

160

170

180

190 200 Højde cm

130 140 150 160 170 180 190 200 Højder

Man kan aflæse kvartiler og median på sumkurven.

25 %-kvartilen svarer til ca. 143 cm. Der er 25 % af personerne, som er under 143 cm høje.

50 %-kvartilen svarer til 160 cm. Det er midterværdien og dermed også medianen.

75 %-kvartilen svarer til ca. 178 cm. Der er 75 % af personerne, som er under 178 cm høje.

Man kan beskrive spredningen i et datasæt ved brug af boksplot.

Mindsteværdi

130

25 % -kvartil

140

Median

150

160

20

_6 =30 %

Sumkurve Summeret frekvens

Antal personer

16

0%

Søjlediagram/histogram

0 130

12

_2 =10 %

75 %-kvartil

170

180

Størsteværdi

190

200

20

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 108

108

DATA O G C H A N C E

MULIGHEDER OG SANDSYNLIGHEDER

Kast med tre mønter Når man kaster med tre mønter, udfører man et eksperiment. Man kan i dette eksperiment ikke være sikker på udfaldet. Det indeholder en tilfældighed. Men man ved hvilke muligheder, der er. Hvis K betyder krone, og k P betyder plat, er der følgende muligheder: k

KKK KKP KPK KPP PKK PKP PPK PPP k

Af tælletræet ses, at et kast med tre mønter kan få otte forskellige udfald. Disse otte udfald kan inddeles i fire hændelser.

p

k p k

p

k p p

Hændelsen “tre kroner” forekommer ved et udfald af de otte mulige udfald.

1 T Sandsynligheden P(tre kroner) = _ 8 .

2 _ T Sandsynligheden P(to kroner) = 8 .

4 T Sandsynligheden P(en krone) = _ 8 .

1 T Sandsynligheden P(ingen krone) = _ 8 .

p

k p

Summen af sandsynlighederne for alle udfald skal altid være 1.

Hvis man kaster tre mønter 800 gange, vil man fx forvente, at mulighederne tre, to, en eller ingen kroner vil være cirka 100, 200, 400 og 100 gange.

Når man ser på, hvordan forskellige udfald fordeler sig efter at have udført mange eksperimenter, kan man bruge denne fordeling til at beregne den statistiske sandsynlighed for et udfald eller en hændelse.

EKSEMPEL

Man kaster en tegnestift 60 gange. Spidsen rører bordet 43 gange og peger lodret op 17 gange. Man kan derfor sige, at den statistiske sandsynlighed, for at denne _. tegnestift lander med spidsen nedad, er 43 60 Når man kan skrive alle mulighederne op, kan man beregne den kombinatoriske sandsynlighed for et udfald eller en hændelse.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 109

109

DATA O G C H A N C E

Beregning af muligheder EKSEMPEL

Hvor mange to-cifrede tal kan man lave med talkortene 1, 2 og 3, hvis de må bruges flere gange?

1. På tiernes plads kan man vælge 1, 2 eller 3. Altså 3 muligheder.

2. På enernes plads kan man igen vælge 1, 2 eller 3. Altså 3 muligheder.

3. Til sammen er der 3 · 3 muligheder.

EKSEMPEL

Hvor mange to-cifrede tal kan man lave med talkortene 1, 2 og 3, hvis man kun må bruge kortene én gang?

På tiernes plads kan man vælge 1, 2 eller 3. Altså 3 muligheder.

På enernes plads kan man vælge mellem de to cifre, der ikke blev brugt. Altså 2 muligheder. Til sammen er der 3 · 2 muligheder.

EKSEMPEL

Der skal trækkes to talkort ud af talkortene 1, 2 og 3. Talkortene må kun bruges en gang. Hvor mange muligheder er der, hvis rækkefølgen ikke betyder noget?

1. Der er 3 · 2 muligheder for at lave talkort, hvor rækkefølgen betyder noget, fx 31 og 13. Se eksemplet ovenfor.

2. Situationen 31 og 13 opfattes som den samme, idet rækkefølgen er ligegyldig.

3. De 3 · 2 muligheder skal divideres med 2. Der er således 3 muligheder.

Beregning af sandsynligheder Ved beregning af sandsynligheder tæller eller beregner man først de udvalgte gunstige tilfælde og de samlede mulige tilfælde.

Gunstige tilfælde Sandsynligheden for en hændelse X er: P(X) = Mulige tilfælde

1 2 K

1 P 2

EKSEMPEL

I en pose er der 7 hvide og 13 røde bolsjer. Hvis man trækker et bolsje op af posen, er sandsynligheden for et hvidt bolsje: P(hvidt bolsje) =

Gunstige bolsjer = Mulige bolsjer

_7 20

Man kan fremstille chancetræer som hjælp til beregning af sandsynligheder.

1 P 2

1 6 5

1 6 1 3 6

2 1 6

Der kastes med en mønt og en terning. Hvor stor er sandsynligheden for, at man får plat og et tal større end 4 på en terning?

1 _1 _1 _1 _2 _1 P(6 og plat) + P(5 og plat) = _ 6 · 2 + 6 · 2 = 12 = 6

1 6

1 2

·

1 6

K

4

EKSEMPEL

·

1 2

1 6 6

1 2

1 1 6

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 110

110

DATA O G C H A N C E

OPFØLGNING

c. Beregn antallet af indbyggere pr. kvadratkilometer, og afbild det i et diagram. d. Sammenlign med tallene fra opgave 2 og beskriv, hvor der viser sig en forskel.

OPGAVE 1 EU

Rusland

453,006 mio. indb.

144,527 mio. indb.

3,978 mio. km2

17,075 mio. km2

BNP 13 926 873 mio. USD

BNP 755 437 mio. USD

USA

Kina

300,043 mio. indb.

1286,976 mio. indb.

9,372 mio. km2

9,597 mio. km2

BNP 12 438 873 mio. USD

BNP 1 843 117 mio. USD

BNP = Bruttonationalproduktet.

OPGAVE 4

Unge som drikker alkohol en gang om ugen 1,2 % af 11-årige piger 2,2 % af 11-årige drenge 7,1 % af 13-årige piger 12,0 % af 13-årige drenge 39 % af 15-årige piger 50 % af 15-årige drenge

a. Afrund befolkningstallene til et helt antal 100 mio. b. Afrund arealerne til helt antal mio. km2. c. Afrund BNP tallene til helt antal milliarder.

a. Vælg oplysninger, som du vil illustrere i et cirkeldiagram. b. Opfind to avisoverskrifter, der passer til din grafiske fremstilling.

OPGAVE 2

OPGAVE 5

a. Afbild tallene i opgave 1a som et billeddiagram, hvor 100 “tændstikmænd” udgør alle mennesker i alt i de fire supermagter. b. Afbild tallene i opgave 1b i et søjlediagram. c. Afbild tallene i opgave 1c som et cirkeldiagram. d. Sammenligning tallene inden for hvert diagram, og beskriv, hvad du kan læse ud af dem.

Grafen viser, hvor mange kilogram (x 1000) mælk der er ydet pr. ko pr. år.

OPGAVE 3

Brug afrundede tal fra opgave 1. a. Beregn BNP pr. indbygger. Afbild resultaterne i et diagram. b. Sammenlign dette diagram med diagrammet i opgave 1a og angiv forskellene i, hvad man kan læse ud af de to diagrammer.

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1860

1880

1900

1920

1940

1960

1980

2000

a. Afgør om det er sandt, at grafen viser: Vi drikker meget mere mælk i dag end for 100 år siden.

Mælkeproduktionen har været konstant stigende.

Største produktionsfremgang er siden slutningen af 1980’erne.

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:25 PM

Page 111

111

DATA O G C H A N C E

b. Fremstil et koordinatsystem og en kurve, som får stigningen til at se større ud. Årstal

1860 1880 1900

Mælk x 1000 kg

800

1920 1940 1960 1980 2000

c. Tegn tabellen, og udfyld de tomme felter ved aflæsning på grafen. d. Beskriv den procentvise ændring fra 1860 til 2000.

OPGAVE 6

Eleverne i 8.-9. klasses valgordning i idræt fordeler sig på følgende måde: Svømning Håndbold Badminton

15 12 22

Redskabsgymnastik 9 Volleyball 12 Aerobic 14

a. Hvor mange elever er der i gennemsnit på hvert hold? b. Vis frekvensen grafisk.

d. Tegn en sumkurve, der viser den summerede intervalfrekvens. e. Aflæs 25 % -, 50 % - og 75 %-kvartilen. f. Tegn et boksplot, som viser spredningen af tallene.

OPGAVE 8

10 ansøgere til et job får bl.a. en test. Antallet af ansøgernes fejl er: 0 1 2 2 3 4 4 4 5 7 a. Beregn middelværdien og medianen. b. Vælg to ekstra talværdier, så middelværdien stadig er den samme. c. Find typetallet. x

Hyppighed

Frekvens

Summeret frekvens

0 1

d. Udfyld tabellen for observationsværdierne 0-7. e. Tegn et trappediagram, der viser den summerede frekvens.

OPGAVE 7

OPGAVE 9

Avisbudene i udvalgte distrikter i København deler følgende antal aviser ud hver morgen.

Aldersfordelingen ved en generalforsamling i andelsboligforeningen Ungebo.

134, 146, 120, 103, 99, 143, 112, 152, 137, 122, 135, 152, 133, 125, 164, 144, 131, 115, 149, 102, 154, 155, 97, 100, 138, 147, 140, 102, 103, 126, 110, 157

19 19 24 28 14 15 24 28 18 18 27 32 18 18 24 18 17 27 23 16 21 23 26 18 18 25 22 17 17 16 15 21 31 30 28 20 29 20 25 21 16 16 17 15 24 20 20 19 18 23

a. Inddel datasættet i fire intervaller. b. Tegn, og udfyld skemaet.

a. Grupper intervallerne med intervallængden 5. b. Tegn, og udfyld tabellen.

Interval ]a;b]

Interval-hyppighed

Interval-frekvens

Summeret interval-frekvens

c. Tegn et histogram, der viser intervalhyppigheden.

Interval

Interval-hyppighed

Interval-frekvens

Summeret interval-frekvens

c. Tegn en sumkurve, der viser den summerede intervalfrekvens.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 112

112

DATA O G C H A N C E

Antal elever

OPGAVE 10

OPGAVE 12 Frekvens 30 25 20 15 10 5 0

8 7 6 5 4 3

5

10

20

25

27

30 Dage

2 1 0

Hvilke fejl er der i dette diagram?

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 Træningstimer

Man har undersøgt, hvor mange timer nogle elever trænede i idræt en uge. a. Hvor mange elever er med i undersøgelsen? b. Hvad er typetallet? c. Fremstil en hyppighedstabel ud fra søjlediagrammet. d. Hvor mange timer trænede eleverne i gennemsnit?

OPGAVE 11

OPGAVE 13

I byen Bredkøbing har man undersøgt befolkningsudviklingen siden 1920 og beskrevet den ved brug af indekstal. År

1920 1930

1940

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Indekstal

59

81

100

67

120

138

122

a. Hvilket år er sat til at være basisår? b. Hvor mange mennesker boede der færre i Bredkøbing i 1930, hvis der var 30 000 borgere i 1950? c. Hvor stor er den procentvise forskel fra 1950 til 1930?

OPGAVE 14

Dagtemperaturen en uge så sådan ud.

a. Beskriv, hvor stor en procentdel hver af de farvede områder dækker. b. Tegn et cirkeldiagram, som viser fordelingen af fødte drenge og piger d. 29. marts på sygehuset.

Ballebjerg Sygehus d. 29. marts: Fødte drenge: 19 Fødte piger: 23

122

Ugedag

Temperatur

Mandag

17,4 °C

Tirsdag

15,2 °C

Onsdag

14,8 °C

Torsdag

15,7 °C

Fredag

16,9 °C

Lørdag

17,2 °C

Søndag

17,6 °C

a. Find variationsbredden. b. Tegn en graf, som beskriver udviklingen. c. Tegn en graf, som viser gennemsnitstemperaturen de syv dage.

129

0

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:53

Side 113

113

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 15

Foran hotel Norden er der fem flagstænger med det danske, norske, svenske, finske og islandske flag. a. Hvor mange måder kan flagene anbringes? b. Hvor mange måder kan de anbringes, hvis Danmark skal stå længst til venstre? c. Hvor mange måder er der, hvis Danmark skal stå længst til venstre, og Norge ikke må stå ved siden af Sverige?

OPGAVE 16

a. Hvor mange 2-cifrede tal kan skrives med tallene 1, 2, 3, 4 og 5, når tallene må bruges flere gange? b. Hvor mange 2-cifrede tal kan skrives med tallene 1, 2, 3, 4 og 5, når tallene kun må bruges én gang?

OPGAVE 17

a. alle farver skal repræsenteres? b. der er frit valg mellem de fem farver? c. der ikke må være to ensfarvede klædningsstykker?

OPGAVE 18

I en 9. klasse med 14 piger og 10 drenge skal der vælges tre personer til festudvalget. Den første, der vælges, er formand, den næste kasserer, og den sidste er ansvarlig for madlavning. a. Hvor mange måder kan udvalget vælges på? b. Hvor mange måder kan der vælges på, hvis udvalget kun skal bestå af drenge? c. Hvor mange måder kan der vælges på, hvis udvalget kun skal bestå af piger?

OPGAVE 19

Klassen trækker lod om fire andre elever til et udvalg. Man er altså ligeglad med rækkefølgen. Hvad er sandsynligheden for: a. at den første i udvalget bliver en dreng? b. at den første i udvalget bliver en pige? c. at alle i udvalget bliver drenge? d. at alle i udvalget bliver piger? e. at Ali bliver valgt?

OPGAVE 20

To håndboldklubber slår sig sammen og skal finde en ny klubdragt.

Hvor mange forskellige dragter kan der kombineres med ensfarvede trøjer, bukser og sokker, når:

Fra et spil kort udtages ét kort, som lægges tilbage i bunken, hvorefter et nyt kort trækkes, der også lægges tilbage.

Hvad er sandsynligheden for: a. at begge kort er sorte? b. at begge kort er esser? c. at begge kort er billedkort? d. at det ene er ruder 4? e. at det ene er sort og det andet rødt? f. at det ene er et es og det andet er et billedkort?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 114

114

DATA O G C H A N C E

OPGAVE 21

OPGAVE 26

Find sandsynligheden for ved kast med én terning: a. ikke at få en 6’er? b. ikke at få en 5’er eller en 6’er? c. at få enten en 5’er eller en 6’er? d. at få enten en 1’er, 3’er eller 5’er?

Ved et almindeligt bankospil bruges numrene fra 1–90. Hvad er sandsynligheden for, at man trækker: a. 35 som første tal? b. 56 som første tal og 57 som det andet tal? c. 90, efter der er trukket 26 numre først?

OPGAVE 22

Find følgende sandsynligheder for med kast med to terninger. a. At få en 4’er og en 6’er. b. Enten at få en 1’er eller 2’er. c. Ikke at få en 1’er eller en 2’er. d. Både få en 1’er og en 2’er. e. At få to ens. f. At få enten en 1’er eller 2’er og enten en 5’er eller en 6’er.

OPGAVE 27

OPGAVE 23

OPGAVE 28

Jesper har købt en kasse med blandede rock, pop og hiphop cd’ere.

Hvor mange cd’ere kan der have været i alt, hvis sandsynligheden for at trække en 1 rock cd’ er _ 6 ?

Der kastes med en mønt og en terning. a. Hvor stor er sandsynligheden for at få plat og en 5’er? b. Hvor er sandsynligheden for plat og et lige øjental? c. Hvor stor er sandsynligheden for at få en 4’er og enten plat eller krone?

OPGAVE 24

I en kasse sodavand er der 14 stk, hvoraf de seks er colaer, og de otte er appelsinvand.

Hvad er sandsynligheden for at tage: a. én appelsinvand? b. to appelsinvand? c. to colaer?

Antag, at en familie planlægger, at de vil have tre børn. a. Hvor stor er sandsynligheden for, at det bliver tre piger? b. Hvor stor er sandsynligheden for, at det bliver tre drenge? c. Hvor stor er sandsynligheden for, at det bliver en dreng og to piger?

OPGAVE 29

Der kastes med to 4-sidede terninger. Ved et kast lægges øjentallene sammen. a. Beskriv de mulige udfald. b. Tegn følgende tabel og angiv sandsynligheden for hvert udfald.

OPGAVE 25

Du kaster med en mønt. Hvad er sandsynligheden for at slå: a. krone to gange i træk? b. plat fire gange i træk? c. krone, krone og plat?

X

2

3

P(X)

c. Hvor stor er sandsynligheden for at få mindst summen 4?

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:54

Side 115

115

DATA O G C H A N C E

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Familien Jensen tjener 640 000 kr. et år, og de bliver brugt til følgende: Vis ved hjælp af et cirkeldiagram, hvordan familien bruger sine penge.

2. Spørgsmål På en fabrik, hvor de fremstiller lyspærer, undersøger de, hvor lang tid 400 pærer kan brænde. a. Beskriv ”Levetid i timer” i intervaller med intervaltegn. b. Forklar, hvordan følgende tal er beregnet eller fundet ud fra tabellen.

1) 2) 3) 4) 5) 799 100 949,5 76 62/400 = 0,155 c. Tag stilling til, om det er rigtigt, at 25 % af alle pærer har en levetid på over 900 timer.

3. Spørgsmål a. Tegn et tælletræ, som beskriver alle kombinationsmulighederne for drenge og piger i en 3-børnsfamilie. b. Forklar, hvorfor der er ca. 40 % chance for, at en familie med tre børn har en pige og to drenge.

4. Spørgsmål Tobias kaster en mønt 10 gange, og den viser krone hver gang. Tobias siger, det er det rene held, og han vil helt sikkert få plat ved næste kast. a. Er du enig med Tobias? Begrund det. b. Hvad er sandsynligheden for at få krone 10 gange i træk ved kast med en mønt? c. Hvad er sandsynligheden for henholdsvis krone og plat, når Tobias kaster 11. gang?

Skat

310 000 kr.

Husleje

124 000 kr.

Mad

80 000 kr.

Tøj

20 000 kr.

Bil

48 000 kr.

Forsikringer

22 000 kr.

Diverse

36 000 kr.

Levetid i timer

Antal pærer

300-399

14

400-499

46

500-599

58

600-699

76

700-799

68

800-899

62

900-999

48

1000-1099

22

1100-1199

6

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 116

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 117

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 118

118

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Er der en sammenhæng?

Sygeplejersken havde lige været der for at undersøge den nyfødte. Det lille “hyleapparat,” som Karin allerede havde navngivet sin nye lillesøster, var fundet sund og rask.

Der havde været flere målinger på programmet. Hospitalet havde igangsat en undersøgelse for at vide, om der er en sammenhæng mellem nyfødte børns hovedstørrelse og deres kropslængde. Sygeplejersken havde målt omkredsen af hovedet med et centimetermål og bagefter kropslængden med en lang lineal. Den nyfødtes hovedstørrelse havde en omkreds på 34 cm, og kropslængden var 48 cm.

Hun havde efterladt et skema på de andre målinger, hun indtil nu havde udført.

Hovedomkreds 39 cm 38 cm 37 cm

34 cm 33 cm 32 cm

I I I I II I I I

35 cm

I

36 cm

I I I I I I I I IIII IIIIII II III IIII IIIIIIII IIIII I I I IIIIII IIIIIIIIIIIIIIII III III I IIII IIIII IIII I I I I 47 cm

48 cm

49 cm

50 cm

51 cm

52 cm

53 cm

54 cm

55 cm

56 cm

Kropslængde

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:30 PM

Page 119

119

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 1

a. Se på skemaet. Find kropslængden på det barn, som har det største hoved. b. Kan man ud fra skemaet sige noget om nyfødtes hovedstørrelse, når kropslængden stiger? c. Find to eksempler på observationer, som udskiller sig.

Tallene fra skemaet er plottet ind i et koordinatsystem. Karin og Karins mor diskuterer, hvad det viser.

Karins mor siger: “Der er en sammenhæng. Jo længere barnet er, desto større hoved har det.”

“Det er ikke helt rigtigt,” siger Karin, “der er børn, som har forskellige længder og samme hovedstørrelse.”

“Ja, men de ligger lidt uden for det hele.

Det passer med de fleste tal,” siger Karins mor.

“Jeg synes ikke, det er tydeligt nok. Tallene ligger da ikke på linje,” siger Karin.

Hovedstørrelse i cm 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 47

48

49

50

51

OPGAVE 2

a. Der er informationer, som går tabt, når man viser resultatet i koordinatsystemet frem for i skemaet. Hvilke? b. Tag stilling til, hvad Karin og hendes mor siger. Har de ret? Begrund dit svar. c. Brug plotter-diagrammet til at forudsige hovedstørrelsen på et barn, som har en kropslængde på 55 cm.

OPGAVE 3

a. Tegn det viste koordinatsystem med kropslængde ud ad x-aksen og hovedstørrelse ud ad y-aksen. b. Plot punkterne ind fra skemaet. c. Skitser en linje, som bedst viser sammenhængen mellem kropslængde og hovedstørrelse. d. Tabellæg linjen. x y

52

53

54

Kropslængde i cm

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 120

120

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Banan

1,24 kg

43,40 kr.

Dru er

0,25 3 kg

12,6 5 kr.

Da Karins mor skal hvile sig, går Karin ned i Patientbutikken for at købe frugt til sin mor.

Frugten er placeret i et særligt hjørne af butikken. Karin tager en klase vindruer og et par bananer. Hun vejer frugten på en elektronisk vægt, som kører prismærker ud.

“Her kan man da tydeligt se sammenhængen,” tænker hun, da hun klistrer prismærkerne på poserne med frugt.

OPGAVE 4

a. Beskriv sammenhængen mellem pris og vægt på de to slags frugt. b. Afgør om prisen er afhængig af vægten, eller om vægten er afhængig af prisen. c. Tegn denne tabel for både bananer Vægt 0,1 kg 0,2 kg 0,3 kg 0,5 kg 1 kg og druer, og udfyld de tomme felter.

1,5 kg

Pris OPGAVE 5

a. Tegn et koordinatsystem med x-aksen som vægt med enheden 0,1 kg og y-aksen som pris med enheden 10 kr. Brug millimeterpapir. b. Plot tallene fra skemaet ind i koordinatsystemet. c. Aflæs, hvad prisen er for henholdsvis 800 g bananer og 800 g druer. d. Aflæs vægten på henholdsvis druer og bananer, som koster 20 kr.

Forskrift y = 2x er en forskrift.

Sammenhængen mellem prisen (y) og vægten (x) kan beskrives som værende ligefrem proportional med forskriften y = a · x eller f(x) = a · x.

OPGAVE 6

a. Find værdien af a i sammenhængen mellem vægten (x) og prisen (y) for både druer og bananer. Skriv forskriften for begge. b. Hvordan kan man finde værdien af a ved at aflæse på graferne i opgave 5?

OPGAVE 7

a. Tegn et koordinatsystem med kilogram ud ad x-aksen og kroner ud ad y-aksen samt en linje, som går gennem punkterne (2,30) og (6,90). b. Udfyld en tabel, som beskriver sammenhængen mellem x-værdierne og y-værdierne. c. Beskriv en hverdagssituation, som passer til opgave a og b. d. Skriv en forskrift til denne sammenhæng.

X

4

Y

Pris i kr.

80 60 40 20 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 kg

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:56

Side 121

121

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Karin bliver fristet af de tag-selv-slikbokse, som er i butikken. Måske skulle hun købe slik til sin mor?

På et skilt står der 12,50 kr. pr. 100 g. Hun overvejer lidt, om det kan betale sig at købe slikket i Patientbutikken eller i Slikhuset, en butik, som er lige uden for sygehuset. I Slikhuset får man en pose til at samle slikket i.

Man kan få poser, der kan rumme ca. 200 g, ca. 400 g, ca. 600 g og ca. 800 g slik.

Slikposerne koster henholdsvis 20 kr., 40 kr., 60 kr. og 80 kr.

OPGAVE 8

a. Fremstil en tabel for køb af slik i Patientbutikken. b. Fremstil en tabel for køb af slik i Slikbutikken. c. Hvilke værdier vil y have i intervallet fra 0 g til 200 g i Slikbutikken?

I intervallet 400 g til 600 g?

Patientbutikken x (kg)

0,1

0,2

0,3

0,5

0,8

1

0,2

0,3

0,5

0,8

1

y (kr.)

Slikbutikken x (kg)

0,1

y (kr.)

OPGAVE 9

a. Fremstil et koordinatsystem med vægt ud ad x-aksen og prisen ud ad y-aksen.

Brug millimeterpapir. b. Tegn de to grafer, som henholdsvis beskriver sammenhængen mellem vægt og pris i de to butikker.

OPGAVE 10

a. Se på de to grafer i intervallet 0 til 200 g. Aflæs, hvornår det bedst kan betale sig at handle i Patientbutikken. b. Beskriv det samme for intervallet 200 g - 400 g, 400 g - 600 g og 600 g - 800 g.

OPGAVE 11

a. Beskriv en forskrift for sammenhængen mellem vægt og pris for slik i Patientbutikken. b. Se på sammenhængen mellem vægt 0 x 200 Forskrift: y = 20 og pris i Slikbutikken. Skriv en for200 x 400 Forskrift: y = skrift for hvert af disse intervaller: 400 x 600

Forskrift: y =

600 x 800

Forskrift: y =

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 122

122

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Flaget skal hejses

Det er Sofies fødselsdag, og som sædvanligt skal det fejres med en flaghejsning fra morgenstunden. Sofies mor står klar til at hejse flaget, mens både lillesøster og Sofie ser på.

Sofies mor står med flagsnoren i hånden og skal til at trække flaget op.

Højde 8m

Højde 8m

Tid Højde 8m

Højde 8m

Tid Højde 8m

Tid

Tid Højde 8m

Tid

OPGAVE 1

Beskriv med dine egne ord, hvordan flaghejsningen vil foregå, hvis den skal følge graferne.

Tid

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 123

123

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 2

Tegn skitser af grafer, som passer til følgende flaghejsninger: a. Flaget hejses støt og roligt, indtil det er helt oppe. b. Flaget hejses hurtigere end i opgave a. c. Flaget hejses dobbelt så hurtigt som i opgave a. d. Flaget hejses støt og roligt, indtil det er nået halvvejs. Så holdes der en pause.

Derefter hejses flaget i samme hastighed som i starten. e. Flaget hejses, så det går hurtigere og hurtigere. f. Flaget hejses, så det går langsommere og langsommere.

Efter flaghejsning og morgenmad skal Sofie afsted til skole. Hun har en cykeltur foran sig på 8 km. Hun starter hjemmefra kl. 7.20. Hendes veninde Karoline bor i nærheden og har også 8 km til skolen. Hun starter hjemmefra kl. 7.30. Da de når skolen, har deres tur set ud som på grafen.

Afstand i km

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

10

20

30

40 min.

OPGAVE 3

a. Beskriv Sofies tur ud fra grafen. b. På et tidspunkt mødes Karoline og Sofie. Hvem havde cyklet hurtigst af de to piger, inden de mødtes, og hvordan kan man aflæse det af grafen? c. Hvor meget hurtigere? d. Kommer de til tiden? Begrund dit svar.

Afstand

OPGAVE 4

a. Tegn et koordinatsystem med to rette linjer, som viser gennemsnitshastigheden for Karoline og Sofie fra start til slut. b. Skriv en forskrift for den røde linje.

Tid

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 124

124

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Computerspillet Torpedo

Det er søndag aften. Louis og Mads har som sædvanligt aftalt at mødes i Computergames. Mads har fundet et spil, som hedder Torpedo.

“Det ligner lidt spillet Sænke slagskibe,” siger han til Louis og åbner for computeren mens han fortsætter: “Der er en patruljebåd, som bevæger sig lodret op og ned ad en y-akse. I det punkt, hvor båden stopper, kan der affyres torpedoer mod fjendtlige mål. Computeren skal “kende” retningen fra patruljebåden, så den rigtige kurs for torpedoen mod målet kan beregnes.”

OPGAVE 1

a. Tegn et koordinatsystem med alle fire kvadranter. b. Indtegn fem mulige positioner for patruljebåden og angiv koordinaterne. c. Indtegn en position for et fjendtligt mål i 3. kvadrant.

OPGAVE 2

a. Afmærk punktet (0,3) som patruljebådens position. Afmærk punktet (3,5) som fjendtligt mål. Tegn linjen gennem de to punkter. b. Begrund, hvorfor linjen kan 2 beskrives som y = _ 3 x + 3.

6 5 4 3 2 1 –3

–2

–1

1 –1

2

3

4

5

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:55

Side 125

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 3 5_ –3 _2 a. Kursen eller hældningen på linjen kan beregnes efter formlen _ 3–0 = 3 . Forklar hvorfor. b. Indtegn en linje med hældningstallet 2 med udgangspunkt i (0,3). c. Indtegn en linje med hældningstallet –2 med udgangspunkt i (0,3). d. Skriv ligningen for de to linjer.

Spillet starter, og patruljebåden sejler lodret nedad og befinder sig i punktet (0,2), da beskeden om fjendtligt skib i position (4,6) modtages.

OPGAVE 4

a. b. c. d.

Tegn et nyt koordinatsystem, og angiv patruljebådens- og fjendens positioner.

Tegn linjen, der skal vise torpedoens kurs.

Beregn hældningstallet for linjen som i opgave 3a.

Skriv linjens ligning.

OPGAVE 5

Indtegn følgende skudlinjer i et koordinatsystem, og beskriv linjernes ligning, hvis: a. Patruljebåden er i punktet (0,2), og hældningstallet skal være –1 1 b. Patruljebåden er i punktet (0,2), og hældningstallet skal være _ 3 . c. Patruljebåden er i punktet (0,2), og hældningstallet skal være 0.

Niveau 2 i spillet er sværere. Nu er det ikke nok længere at skyde én torpedo fra én patruljebåd. På niveau 2 indgår der to patruljebåde, som hver især skal ramme fjenden med en torpedo for at sænke den. Patruljebåd 1 sejler fra (0,0) og lodret op, mens patruljebåd 2 sejler fra (0,0) og lodret ned. Fjenden kan ikke være i flådebasen (0,0).

Louis laver et eksempel. Patruljebåd 1 er i positionen (0,5), og patruljebåd 2 er i (0,–1).

OPGAVE 6

Find skudlinjernes ligninger til torpedoerne, hvis fjenden er i: a. (4,7) b. (–3, 8) c. (–3,–1) d. (17, 5) Niveau 3 i spillet er igen et trin sværere. Nu får man linjerne for torpedoernes kurs fra patruljebåd 1 og patruljebåd 2 at vide, og man skal så finde positionen for fjenden.

125

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:56

Side 126

126

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 7

a. Tegn et koordinatsystem. b. Tegn følgende skudlinjer fra patruljebåd 1 og 2.

1) y = 4x – 5 og y = –2x + 1 2) y = –3x + 4 og y = 2x – 11 3) y = –x – 2 og y = – 4x + 4 c. Aflæs de tre skæringspunkter for fjendtlige mål.

Louis er god til at spille Torpedo. Han finder og tegner torpedoernes skudlinjer hurtigt. Men han ved, at han vil kunne udføre operationerne endnu hurtigere og score flere points, hvis han ikke behøvede at tegne linjerne for at finde skæringspunktet.

Han prøver at regne sig frem til skæringspunktet.

1) 2) 3) 4)

y = 4x – 5 og y = –2x + 1 4x – 5 = –2x + 1 6x = 6 x=1

Hvis x = 1 må y = 4 · 1 – 5 = –1, altså må skæringspunktet (x,y) = (1,–1).

OPGAVE 8

a. Beregn skæringspunkterne for 2) og 3) i opgave 7b. b. Beregn skæringspunktet for følgende ligninger: 1 1) 2) y = 2x – 8 og y = _ y = 0,8x + 40 og y = 0,2x + 100 2 x – 8 OPGAVE 9

a. Overvej, om der er et fælles skæringspunkt mellem linjerne i henholdsvis 1) og 2): 1) y = 2x – 123 og y = 2x + 4 2) y = x – 5 og y = 2x – 5 b. Giv et eksempel på to linjers ligning, som har et skæringspunkt i (4,5).

OPGAVE 10

a. Aflæs skæringspunktet mellem de to linjer. b. Skriv de to linjers ligning. c. Find ved beregning skæringspunktet for de to linjer.

5 4 3 2 1

–1

1

2

3

4

5

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 127

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Tegneseriemessen

Kommiteen til Tegneseriens Fremme (KTF) har iværksat, at der den første weekend i marts skal være en stor tegneseriemesse. Karen Nørregård, som er formand for foreningen, er også den ansvarlige for, at messen planlægges og afvikles på fornuftig vis.

Karen har sammen med sin arbejdsgruppe inviteret små og store forlag, tegnere og organisationer til at deltage og bedt dem tage stilling til, hvor stor en stand de ønsker. De kan vælge mellem en almindelig stand eller en stor stand. Den almindelige stand (A-standen) er 3 m bred – den store stand (S-standen) er 5 m bred.

I Tullerød Hallen, som KTF har lejet, kommer standene til at stå op af hinanden i lange rækker. Man har regnet sig frem til, at der maximalt kan være stande i en samlet længde på 600 m.

OPGAVE 1

a. Hvor mange A-stande er der maximalt plads til? b. Hvor mange S-stande er der maximalt plads til? c. Beskriv to muligheder for antallet af A-stande og S-stande, som bruger pladsen helt ud.

127

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 128

128

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 2

a. Tabellæg den sammenhæng, der er mellem antallet af A-stande og S-stande.

A-stande (x)

0

S-stande (y)

100 60

0

b. Fremstil sammenhængen mellem antallet af S-stande og A-stande. c. Hvilken af følgende ligninger beskriver denne sammenhæng?

1) 2) x · 3 + y · 5 = 600 5y – 3x = 600 3 _ 3) 4) y = – 5 x + 120 600 = 3x + 5y OPGAVE 3

a. Fremstil et koordinatsystem som det til højre. Punktet (150,30) beskriver løsningen 150 A-stande og 30 Sstande. b. Tegn den linje, som beskriver ligningen fra opgave 2b grafisk. c. Beskriv de punkter på linjen, som ikke er en løsning.

Antal S-stande 200

100

(150, 30)

Karen Nørregård har registreret, at 150 udstillere har bestilt deres stande.

0 0

100

200 Antal A-stande

OPGAVE 4

a. Skriv en ligning, der beskriver sammenhængen mellem antallet af A-stande (x) og S-stande (y). b. Tabellæg nogle mulige værdier for denne sammenhæng.

OPGAVE 5

a. Tegn ligningen fra opgave 4 grafisk i koordinatsystemet fra opgave 3b, så du kan sammenligne de to forskellige sammenhænge. b. Aflæs på koordinatsystemet, om det er muligt, at de 150 udstillere præcist bruger de 600 m, som der er afsat plads til?

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

14:59

Side 129

129

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Karen har endeligt indset, at ønsket om at få brugt alle 600 m ikke er realistisk.

Hun overvejer derfor, hvor mange muligheder der er, hvis den samlede længde på standene også er mindre end 600 m.

OPGAVE 6

a. Beskriv med egne ord uligheden 3x + 5y 600. b. Brug koordinatsystemet fra opgave 3, og skraver det område, som viser løsningsmulighederne for uligheden. c. Beskriv de tre linjer, som afgrænser det skraverede område.

OPGAVE 7

a. Vil 50 S-stande og 30 A-stande ligge inden for det mulige område? b. Vil de punkter, som ligger på linjen 3x + 5y = 600 høre med til det mulige område for uligheden i opgave 6a? Begrund det. c. Hvilken sammenhæng svarer henholdsvis punktet (25,50) og (50,25) til?

OPGAVE 8

a. Begrund, om det er muligt, at 120 udstillere ønsker A-stande, og de andre ønsker S-stande? b. Begrund om det omvendte er muligt – at 120 udstillere ønsker S-stande, og resten ønsker A-stande?

Da der kun er to dage tilbage, er der kommet 250 udstillere. Man beslutter sig derfor i sidste øjeblik til at låne den tilhørende hal, som kan rumme 900 m stande.

Kravene er nu: T Det samlede antal stande skal være mindre eller lig med 900 m.

T Det totale antal af A-stande og S-stande er højest 250.

T Der må ikke være mere end 200 A-stande.

OPGAVE 9

a. Beskriv de tre krav som uligheder. b. Tegn kravene ind i et koordinatsystem, og skraver det område, som tilfredsstiller alle kravene.

Ulighed x < 360 er en ulighed.

Den beskriver, at x-værdierne skal være mindre end 360.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 130

130

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

U N DERSØG SELV Hvad koster en dollar?

Materialer: Millimeterpapir, tilgang til nettet

Navn

Kurs

Dollar ($)

550,92

Euro (€)

745,51

Islandske kr. (ISK)

Der offentliggøres dagligt valutakurser, som viser, hvad 100 valutaenheder fx 100 $ er værd i danske kroner (DKK).

8,4

Norske kr. (NOK) 92,06 Svenske kr. (SEK)

80,32

Her er en oversigt over valutakurserne en dag et år for udvalgte lande.

OPGAVE 1

a. Beregn, hvor meget du får udbetalt i danske kroner, hvis du veksler 350 af hver af de fem valutaer. b. Beregn, hvor meget du får udbetalt i de fem forskellige valutaer, hvis du veksler 500 DKK.

OPGAVE 2

a. Fremstil en valutagraf, som viser sammenhængen mellem prisen på danske kroner og amerikanske dollar ud fra tabellen ovenfor. Brug millimeterpapir. Lad 1 cm på x-aksen være 10 $ og 1 cm på y-aksen være 10 kr. b. Skriv en forskrift, som passer til denne sammenhæng. c. Aflæs på grafen, hvad 25 $ koster. d. Aflæs på grafen, hvor mange dollar man får for 140 kr.

DKK 500

400

300

200

OPGAVE 3 100

a. Gå på nettet, og find valutakurserne for i dag. b. Beskriv forskellen mellem tabellens kurser og dagens kurser.

0

0

10

20

30

40

OPGAVE 4

a. Vælg selv en valuta, som du følger over en periode ved at aflæse kurserne jævnligt. b. Fremstil en tabel, og plot punkterne ind i en graf, så man kan følge udviklingen. c. Aftal i klassen, at hver gruppe modtager 10 000 kr. til at købe valuta for. Aftal, hvordan og hvornår der skal handles. Vælg evt. en bank, som I handler med. Før regnskab. Aftal en dato, hvor handlen er slut, og hvor I tager stilling til, hvem der har tjent mest.

50 Dollar

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 131

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Hvor længe kan et lys brænde?

Materialer: Mindst fem forskellige glasbeholdere, et fyrfadslys, tændstikker, stopur, måleglas, millimeterpapir

Du skal undersøge, hvor lang tid et stearinlys er om at brænde ud i en bestemt luftmængde.

Det skal beskrives som en funktion med graf, tabellægning og forskrift.

Sådan gør du: T Anbring et tændt fyrfadslys på et bord med et underlag, så lyset ikke laver mærker.

T Sæt et glas over stearinlyset, så det er lukket inde.

T Mål med stopur, hvor lang tid der går, inden stearinlyset slukker.

T Mål rumfanget af glasset. Brug vand og et måleglas til hjælp.

OPGAVE 1

a. Tabellæg din undersøgelse.

Rumfang i ml/cm3 Brændtid i sek.

b. Plot resultaterne ind i et koordinatsystem. c. Vurder, om det er muligt at tegne en linje gennem punkterne, som med rimelighed er et udtryk for sammenhængen mellem brændtid og rumfanget af luft. d. Skriv forskriften for linjen.

OPGAVE 2

a. Beregn ud fra undersøgelsen, hvor længe et fyrfadslys kan brænde i et lukket rum på 1 m3. b. Beregn ud fra undersøgelsen, hvor længe et fyrfadslys teoretisk kan brænde i klassen, hvis det er et lukket rum. c. Hvor meget luft skal der til, hvis et fyrfadslys skal kunne brænde 1 time i et lukket rum?

131

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 132

132

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

VIDEN OM Overalt i vores omgivelser møder man sammenhænge, som kan beskrives matematisk.

Der kan fx være en sammenhæng mellem de to variable, afstand og tid, når man løber en tur. Jo længere tid der går, jo længere har man løbet.

Man kalder ofte de variable for x og y. x kaldes den uafhængige variabel, fordi man vælger den selv. Når x er valgt, er y fastlagt, derfor kaldes y for den afhængige variable. y afhænger af det valgte x.

Matematiske sammenhænge kan beskrives på forskellige måder. Man kan fx vise sammenhængen på følgende 3 måder: 1) Som en tabel, hvor man udvælger nogle x-værdier og udregner de tilhørende y-værdier.

2) Som en forskrift, hvor man skriver en formel eller en ligning, som viser sammenhængen.

3) Som en graf, hvor man plotter de talpar (x,y), som passer til sammenhængen ind i et koordinatsystem.

EKSEMPEL

En vandretur, hvor man går ca. 4 km på 1 time, kan fx beskrives på følgende måde: 1) Tabellægning: x

0

0,5

1

4,5

10

y

0

2

4

18

40

2) Forskrift: y = 4x km 30 25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6 timer

3) Tiden sættes til x og beregnes i timer. Afstanden sættes til y og beregnes i kilometer.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 133

133

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

FUNKTIONER

I de tilfælde af matematiske sammenhænge, hvor der til en x-værdi kun hører én bestemt y-værdi, er der tale om en funktion.

Ikke en funktion

En funktion

1

1 1

1

Man skriver nogle gange f(x) i stedet for y. Der er således ikke forskel på, om man skriver f(x) = 4x eller y = 4x.

Nogle gange skriver man også f: x k 4x.

Den mængde, man vælger x fra, kaldes definitionsmængden.

Den mængde af værdier y = f(x) antager, kaldes værdimængden.

Grafisk repræsentation Der er sammenhænge, som er regelmæssige og sammenhænge, der er uregelmæssige.

Måler man, hvor langt man har gået på en vandretur, fx efter hvert minut kan man plotte tallene ind i et koordinatsystem.

Km 4

1

Timer

Den grønne kurve er grafen for en funktion, som ikke er en ret linje. Man kan dog tegne en linje, som tilnærmelsesvis passer. Det er ikke lige så præcist, men gør det nemmere at overskue funktionen. Linjen er her en ret linje med funktionsforskriften f(x) = 4x.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 134

134

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

LINEÆRE FUNKTIONER

En lineær funktion er de matematiske sammenhænge, der fremstår som rette linjer, når funktionsværdierne plottes ind i et koordinatsystem.

En lineær funktion kan skrives som f(x) = ax + b eller y = a · x + b.

Man kalder også y = ax + b for linjens ligning.

Tallet a beskriver linjens hældningstal.

Hvis a er positiv, stiger y værdierne, når x-værdierne stiger fx y = 3x – 5.

Hvis a er negativ, falder y-værdierne, når x-værdierne stiger fx y = –3x – 5.

Tallet b beskriver, hvor linjen skærer y-aksen. Hvis x = 0 er f(0) = a · 0 + b = b.

EKSEMPEL

y = 2 · x + 3 er en lineær funktion.

Hvis x = 0, fås y = 2 · 0 + 3 = 3, altså er f(0) = 3.

Hvis x = 4, fås y = 2 · 4 + 3 = 11, altså er f(4) = 11.

Hvis x vælges så x = –2, fås y = 2 · (–2) + 3 = –1

5 4 3 2 1

x

0

4

–2

0,5

y = f(x)

3

11

–1

4

–3 –2

–1

1

2

3

Hældningen på kurven er 2. For hver gang x-værdierne bliver 1 større, stiger y-værdierne med 2. Der er tale om en konstant tilvækst på 2.

Linjen skærer y-aksen i (0,3), idet f(0) = 3.

Regn med lineære funktioner Kender man to punkter på linjen, kan man regne sig til funktionens forskrift y = ax + b.

EKSEMPEL

På en linje indgår punkterne (6,5) og (2,3). Hældningstallet for linjen kan beregnes 5_ –3 _2 _1 som a = _ 6–2 = 4 = 2 Altså er y = 0,5x + b.

(6,5) 5

Vi ved fx, at (x,y) = (6,5), så der gælder at: 5 = 0,5 · 6 + b 5=3+b b=2 altså er y = 0,5x + 2

4

5–3

(2,3)

3

6–2

2 1 1

2

3

4

5

6

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 135

135

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Særlige lineære funktioner I de tilfælde, hvor den lineære funktion kan skrives som y = ax, kaldes den for ligefrem proportional.

EKSEMPEL

Hvis 1 kg tomater koster 25 kr., kan sammenhængen mellem vægt og pris beskrives som y = 25x. x står for vægten i kilogram, og y står for prisen i kroner.

I de tilfælde, hvor den lineære funktion kan skrives som y = a, kaldes den for en konstant funktion, og grafen bliver en vandret linje.

EKSEMPEL

I Fitnesscenteret kan man komme så meget, man har lyst, hvis man betaler et månedskort på 600 kr. Sammenhængen mellem pris (y) og antal gange (x), man tager i Fitnesscenteret, er en konstant lineær funktion, som kan skrives y = 600 og gengives grafisk som en vandret linje gennem 600 på y-aksen.

Hvis en funktion består af flere forskellige linjestykker, kaldes den for stykvis lineær.

Når man skal beskrive funktionen, deler man den i intervaller.

1 y=_ 0 x 4 2 x y=2 4 x 8 1 8 x y=_ 2 x – 2

4 3 2 1 –1 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

–2

TO LINJERS SKÆRINGSPUNKT

Man kan bestemme to linjers skæringspunkt, ved at tegne dem i et koordinatsystem.

EKSEMPEL

Man kan vælge mellem at betale 600 kr. pr måned i Fitnesscenteret eller 65 kr. pr. gang.

Efter hvor mange gange er det billigst at have betalt et månedskort?

Kr 1000 800 600 400 200

Ud fra grafen kan det ses, at efter syv gange er månedskortet det billigste.

Antal gange

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 136

136

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPFØLGNING

OPGAVE 4

En liter juice koster 9,50 kr. a. Tegn sammenhængen i et koordinatsystem med passende enheder, hvor x-aksen viser mængden af juice, og y-aksen viser prisen. b. Aflæs, hvad 2, 5, 10 og 25 liter koster. c. Skriv funktionens forskrift.

OPGAVE 1

6 5 4 3

OPGAVE 5

2

Afgør hvilke linjer, der passer til forskrifterne.

1 c. y = 4 a. y = 2x + 3 b. y = – _ 2 x

Afgør, om talparrene er udtryk for ligefrem proportionalitet. a. (0,0), (2,1), (4,2), (8,4) b. (7,1), (3,4), (0,7), (8,–1) c. (0,2), (3,4), (6,6), (9,8) d. (–1,–3), (1,3), (2,6), (3,9)

OPGAVE 2

OPGAVE 6

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1

2

3

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

–2

OPGAVE 7

–3

Beskriv to linjer, som er parallelle med y = 5x – 4.

–4

Afgør hvilke linjer, der passer til forskrifterne. a. y = 5x b. y = 5x + 2 1 x – 3 d. x = –3 c. y = – _ 2 OPGAVE 3

MOMS

Tegn følgende linjer i det samme koordinatsystem. a. y = 2x b. y = 2x + 2 c. y = –2x d. y = –2x + 5

R E VA R E PÅ ALL

25%

Skiltet viser en sammenhæng mellem prisen (x) på en vare og den tilhørende moms (y).

Afgør hvilke forskrifter, som passer til denne sammenhæng.

25 __ _ b. y = _ a. y = x · 100 25 100 · x _ c. y = x · 0,25 d. y = 100 · 25 X __ e. y = 0,25 · x f. 25y = 100 X

OPGAVE 8

a. Beskriv to sammenhænge, som er ligefrem proportionale. b. Beskriv sammenhængen som en forskrift med y og x.

OPGAVE 9

En linje i et koordinatsystem kan beskrives som y = ax + b.

Afgør for hver af følgende linjer, hvad værdien af a og b er.

1 1 b. y = – _ a. y = 3x – 2_ 2 3 x + 4,5 2 c. y = –3x d. y = x – _ 3 e. y = –x f. y – 5 = 2x

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

15:01

Side 137

137

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 10

OPGAVE 14

Bestem den linje, som går gennem følgende punkter. a. (0,–2) og (6,4) b. (–4,–2) og (2,4) c. (0,4) og (2,0) d. (–3,2) og (3,4)

En linje i et koordinatsystem kan beskrives som y = ax + b.

Angiv linjens ligning, hvis der gælder følgende: 1 a. a = 2 og b = –3 b. a = – _ 2 og b = 5 c. a = 0 og b = 3,89 d. a = 1 og b = 0

OPGAVE 11

a. Skriv ligningerne for to linjer, som har et 1 hældningstal på _ 2 . b. Skriv ligningen for linjen, som går gennem punktet (0,3), og som har hældningen –2.

OPGAVE 12

OPGAVE 15

Beskriv nogle sammenhænge med de variable y og x, hvor: a. Tiden er den uafhængige variabel x. b. Prisen er den uafhængige variabel x. c. Vægten er den uafhængige variabel x.

Medlemskab 100 kr.

Leje af film: Medlemmer 40 Ikke-medlemmer 50 kr.

a. Tegn et koordinatsystem med antallet af film ud af x-aksen og lejen i kr. ud af yaksen. b. Tegn grafen, som viser, hvad det koster ikke-medlemmer at leje film. c. Tegn grafen, som viser, hvad det koster medlemmer at leje film. d. Afgør ud fra graferne, hvor mange film man skal leje, for at det kan betale sig at være medlem.

OPGAVE 13

I vand stiger trykket jævnt, jo dybere man kommer ned. Trykket ved overfladen er 1 atmosfære (atm). Trykket i 15 m dybde er 2,5 atm. a. Beskriv sammenhængen mellem trykket og vanddybden som forskrift og graf. b. Beregn ud fra forskriften, hvor stort trykket er i 7 m dybde. c. Beregn ud fra forskriften, hvor dybt nede man er, hvis trykket er 4,5 atm.

OPGAVE 16

I Skovby Kommune vil man indkøbe 45 telte, som eleverne kan låne til overnatning i naturen. Det skal være firemandstelte (F) og seksmandstelte (S). a. Skriv en ligning, som beskriver denne sammenhæng. b. Tegn sammenhængen i et koordinatsystem. c. Omform ligningen til en ulighed, som beskriver, at der højest skal indkøbes 45 telte. d. Skraver det område i koordinatsystemet, som er løsning til uligheden. e. Giv et eksempel på en løsning til uligheden.

OPGAVE 17

Posttakster Vægt

Pris

0 - 1 kg

52 kr.

1 kg - 5 kg

54 kr.

5 kg - 10 kg

68 kr.

10 kg - 15 kg

98 kr.

15 kg - 20 kg

110 kr.

Fremstil en graf, som viser sammenhængen mellem vægt og pris ved forsendelser af pakker.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 138

138

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 18

OPGAVE 24

Find skæringspunktet for de følgende linjer. a. y = 3x – 6 og y = x + 2 b. y = 4 og y = x – 3 c. y + 4 = 3x og y – 1 = –2x

4,5

Befolkning i 1000

4

3,5

OPGAVE 19

a. Find forskriften på en linje, der står vinkelret på linjen y = x + 3. b. Find forskrifterne på to parallelle linjer.

3

2,5 1930

OPGAVE 20

Skitser en graf, som beskriver aktivitetsniveauet i jeres matematiktime.

OPGAVE 21

Giv et eksempel på to linjer, som har skæringspunkt i (2,2).

OPGAVE 22

1950

1970

1990 2000

Grafen viser befolkningsudviklingen i Bredballe fra 1930 til 2000. a Hvilket 10-år var væksten størst? b. Hvordan ses det på grafen? c. Hvilket 10-år var væksten mindst? d. Hvordan havde grafen set ud, hvis tilvæksten fra 1970-80 havde været nul?

OPGAVE 25

6 5

Afstand hjemmefra

20

4 3 2 1

10

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a. Beskriv de steder, hvor linjen “knækker”. b. Beskriv de intervaller, som indgår i denne stykvis lineære funktion. c. Skriv linjernes ligning for hvert interval.

OPGAVE 23

En linje i et kordinatsystem indeholder punkterne (2,2) og (4,6).

Find linjens ligning.

0

0

20

40

60

80

100 min

Oskar er på cykeltur. Grafen viser, hvor langt væk han er fra sit hjem.

Beskriv cykelturen.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 139

139

GRAFER OG LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 26

OPGAVE 29

Et busfirma tilbyder følgende priser på en køretur:

Svømmelængde i m Vending 25 Lotte

20

Carina

Tilbud 1: En pris pr. passager på 200 kr. + startgebyr på 500 kr.

Tilbud 2: En samlet pris på 4000 kr.

15 10 5 0

0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 sek.

Lotte og Carina har deltaget i en svømmekonkurrence. De deltog bl.a. i 50 m brystsvømning, som svarer til to baner – en tur frem og en tur tilbage. Grafen viser sammenhængen mellem tid og svømmelængde. a. Hvor mange sekunder var Carina bagved Lotte ved vendingen? b. Hvornår overhaler Carina Lotte? c. Hvordan kan man på grafen se, at Lotte er hurtigere de første 25 m?

a. Skriv en funktionsforskrift for begge tilbud. b. Indtegn tilbud 1 og 2 som grafer i et koordinatsystem. c. Brug graferne til at finde prisen: T For 11 passagerer.

T For antallet af passagerer, hvor 1 og 2 er lige dyre.

T For hvor mange passagerer, der har været på en tur, hvor prisen var 3500 kr.

OPGAVE 30 Måleglas

Kolbe

Rundkolbe

OPGAVE 27

Formlen for cirklens omkreds er to gange radius gange pi. a. Skriv omkredsen (y) som en funktion af radius (x). b. Tabellæg funktionen med r = 3, 6, 8 og 11. c. Tegn funktionen i et koordinatsystem.

Bægerglas Glasskål

Vandhøjde

a

Vandhøjde

Vandhøjde

b

c

Tid

OPGAVE 28

Hayel arbejder i en butik. Hun får 80 kr. i timen samt et mødetillæg på 55 kr. Kald lønnen L og antallet af arbejdstimer for x. a. Skriv en funktion, der beskriver, hvor meget Hayel tjener, når hun arbejder x timer. b. Tegn funktionen i et koordinatsystem. c. Aflæs på grafen, hvor meget hun tjener på 5 timer, 8 timer og 37 timer. d. Aflæs på grafen, hvor mange timer hun har arbejdet, hvis hun har tjent 1500 kr.

Flaske

Tid

Vandhøjde

Vandhøjde

d

e

Tid

Tid Vandhøjde

f

Tid

Der løber vand ned i hvert af de seks glas.

Efter bestemte tidsrum måles vandhøjden i glasset. Graferne viser vandhøjden i glasset.

Hvilken graf passer til hvilket glas?

Tid

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 140

140

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Fire linjer i et koordinatsystem l, m, n, og o kan beskrives på følgende måde: l: y = x + 2 m: y = x + 4 n: y = x + 6 o: y = x + 8 a. Hvad er fælles for alle fire linjer? b. Tegn de fire linjer i et koordinatsystem.

2. Spørgsmål a. Skriv ligningerne for fire rette linjer, der er lodrette, og hvor afstanden mellem linjerne er 2. b. Skriv ligningerne for fire rette linjer, der er vandrette, og hvor afstanden mellem linjerne er 4. c. Find ligningen for den linje, der går gennem punkterne (1,1) og (3,5).

3. Spørgsmål a. Beskriv en hverdagssammenhæng, som er ligefrem proportional. b. Beskriv en hverdagssammenhæng, som er lineær men IKKE ligefrem proportional.

4. Spørgsmål Guld har en massefylde på 19,3 g/cm3. Det betyder, at 1 cm3 guld har en vægt på ca. 20 g. a. Fremstil en tabel, som beskriver denne sammenhæng mellem vægt og rumfang. b. Tegn en graf i et koordinatsystem, som beskriver sammenhængen. c. Fremstil en forskrift, som beskriver sammenhængen mellem vægt og rumfang.

5. Spørgsmål Graferne nedenfor beskriver en eller anden sammenhæng, men hvilken? a. Beskriv en situation til hver graf, som passer. b. Tabellæg sammenhængen for hver graf. c. Tegn to koordinatsystemer med enheder, som passer til de to grafer. y

y

0

x

0

x

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 141

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER Archimedes

Pascal

Descartes

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 142

142

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

De gamle klodser

1

En dag, da Stian rydder op på loftet, finder han sit gamle byggesæt. De gode gamle klodser. Hans farfar havde dengang skåret en hel kasse af træklodser, som han havde fået på sin syvårs fødselsdag.

“Mærkeligt, det virker som en evighed siden og så alligevel ikke,” tænker Stian. Han husker tydeligt, hvor meget han havde bygget med klodserne, og hvor glad han havde været for dem.

2

3

Stian tager et par klodser op og begynder at bygge som dengang. Efter lidt tid starter han forfra.

“Man kan også lave en figur, som bliver større og større,” mumler han for sig selv.

De tre første figurer ser ud som her til venstre.

OPGAVE 1

a. Tegn tabellen, og udfyld de tomme felter.

Figur (n)

1

2

3

Antal kuber (An)

3

5

7

b. c. d. e.

4

5

10

11

12

50

n

n +1

Beskriv tilvæksten fra figur til figur.

Skriv antallet af kuber for figur 6 og 7.

Beskriv med egne ord, hvad denne formel beskriver: Any = Agammel + 2.

Giv tre eksempler på, at man også kan beskrive væksten, som An+1 = An + 2.

OPGAVE 2

a. Hvordan kan man regne sig til, hvor mange kuber der vil være i figur nr. 63? b. Hvorfor kan antallet af kuber i den n’te figur beskrives ved formlen 2n + 1?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 143

143

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

Stian fortsætter sit arbejde med klodserne.

“Man kan også bygge trappetrin,” tænker han ved sig selv.

OPGAVE 3 2

1

3

a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

Figur (n)

1

2

3

Antal kuber (An)

1

3

6

4

5

6

11

12

13

n

n +1

b. Skriv en vækstformel for figur 5 og 6: A5 = A4 … og A6 = A5 … c. Skriv en generel vækstformel: An+1 = An …

“Man kan lave dobbelttrapper,” bliver Stian ved.

OPGAVE 4

1

a. Tegn tabellen og udfyld de tomme felter.

Figur (n)

1

2

3

4

5

6

2

7

3

8

Antal kuber (An)

b. Hvad særligt er der ved denne talfølge? c. Skriv formlen for antallet af kuber i den n’te figur. b

a

1

2

1

3

c

2

3

d

1

2

3 1

OPGAVE 5

a. Tabellæg figurtallene til figurerne i a, b, c og d. b. Skriv formlen for antallet af kuber i den n’te figur. c. Beskriv vækstformlen for hver figur: An+1 = An …

2

3

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 144

144

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Hvor meget kan der være i bægret?

8 cm

17 cm

6 cm På Cafe Antonsen har de fået nye bægre til sodavand og varme drikke. Sara og Julie, stedets servitricer, diskuterer indbyrdes, hvor meget der kan være i bægrene. Der står ikke noget på dem. De vædder om, hvem der er bedst til at gætte rumfanget.

Sara gætter på en halv liter. Julie mener, der kan være mere.

Da de ikke har noget målebæger men en lommeregner foran sig, overvejer de, hvordan man kan regne sig frem til, hvad der kan være i bægret.

Sara drejer lidt rundt på bægret og siger: “Hvis vi siger, det næsten er en cylinder, skal vi bare måle radius og højde og så bruge formlen for rumfang.”

OPGAVE 1

a. Beregn rumfanget, hvis radius i cylinderen svarer til radius i bægrets top. b. Beregn rumfanget, hvis radius i cylinderen svarer til radius i bægrets bund. c. Hvor stor forskel er der på de to beregninger?

OPGAVE 2

a. Vis, hvorfor alle disse udtryk er formler for rumfanget af en cylinder.

V 1) 2) 3) _ 2 V = 3,14 · r2 · h V=h·G h = · r b. Gør rede for de variable, som indgår i formlerne. c. Hvorfor kalder man størrelsen for en konstant størrelse? d. Beskriv med egne ord, hvad formlen beskriver.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 145

145

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

Både Sara og Julie er enige om, at det er for upræcist at betragte bægret som en cylinder. De skal derfor finde en anden og bedre matematisk model for rumfanget af deres bæger.

I stedet forestiller de sig, at bægret er en slags gennemsnitscylinder. En cylinder, som er et gennemsnit af rumfanget på den store cylinder med toppen som grundflade og den lille cylinder med bunden som grundflade.

OPGAVE 3

Beregn rumfanget af en gennemsnitscylinder.

De kan også gøre modellen mere præcis ved at betragte bægret som en keglestub. R er radius i toppen af bægret, r er radius i bunden, og h er højden.

Keglestub Rumfangsformel 1 2 2 V=_ 3 · h · · (R + r + R · r) R

OPGAVE 4

Beregn rumfanget af bægret. Se faktaboks.

OPGAVE 5

a. Sammenlign resultatet i opgave 4 med resultatet i opgave 3.

Hvor stor forskel er der? b. Beregn rumfanget af et bæger med en diameter på 16 cm i toppen, en diameter på 4 cm i bunden og en højde på 10 cm. Sæt = 3. Brug begge modeller til at udregne rumfanget. c. Hvilken af de to modeller, synes du, er mest troværdig?

OPGAVE 6

a. Hvilke af disse udtryk, viser formlen for rumfanget af en keglestub?

1 _1 _1 1) 2 2 V=_ 3 · h · · R + 3 · h · · r + 3 · h · · R · r 1 _1 _1 2) 2 2 V= _ 3 h R + 3 h r + 3 h Rr 1 _1 _1 3) 2 2 V– _ 3 h R = 3 h r + 3 h Rr 4) V ⬇ 1,05 · h · (R2 + r2 + R · r) b. Beskriv de variable størrelser, som indgår i formlen. c. Beskriv de konstante størrelser, som indgår i formlen. d. Beskriv formlen med dine egne ord.

h

r

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 146

146

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Kan det bevises?

Nogle gange kan man høre folk sige, at noget er lige så sikkert, som at “2 + 2 = 4,” og at “tallene lyver ikke”. Bag sådanne udtryk ligger der en tro på, at man i matematikken kommer frem til sandheder.

En af grundene til denne overbevisning kan være en viden om, at det er logik, der er anvendes, når man vil bevise, at noget er sandt. I logikken tager man udgangspunkt i noget, som man tidligere har bevist eller vedtaget, er sandt. Dernæst ræsonnerer man sig frem til en ny viden, fx ved at sige “hvis det er rigtigt at ..., så må også det være rigtigt, at ...”. Man bruger argumenter, som hver især er sande. Man beviser noget.

Når man i matematikken vil bevise noget, begynder man ofte med et udsagn, fx “Der er altid en vinkelsum på 180° i en trekant”. Dernæst begynder man at undersøge, om udsagnet er falskt eller sandt.

Fx kan man begynde med at undersøge, om udsagnet gælder for nogle trekanter ved at måle de tre vinkler og lægge dem sammen. Det viser sig at passe med lidt måleusikkerhed. Sådan kan man blive ved. Problemet er, om man får undersøgt alle trekanter. Det kan jo være, at der pludselig dukker en trekant op, hvor det ikke passer.

For at sikre sig at det gælder for alle trekanter, må man føre et matematisk bevis.

BEVISFØRELSE 1 Udsagn: Vinkelsummen i en trekant er altid 180°. x

z

y

c

b

a

Den røde linje er tegnet gennem toppunktet parallelt med grundlinjen i trekanten.

Derfor må vinklerne a og x være lige store, ligesom vinklerne y og b må være lige store.

Man ved også, at vinkel z må være lige så stor som c, da de er topvinkler.

Vinkel x + y + z danner til sammen en ret linje, som man ved er 180°.

Altså er vinkelsummen i en trekant altid 180°.

OPGAVE 1

a. Bevis, at vinkelsummen i en firkant altid er 360°. b. Bevis, at vinklerne i en ligesidet trekant altid er 60°. c. Bevis, at vinklerne i en ligebenet retvinklet trekant altid er 90°, 45° og 45°.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 147

147

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

BEVISFØRELSE 2 Definition: a · a · a = a3 og a0 =1 Udsagn: a2 · a3 = a2+3 = a5 Et eksempel afslører, at det kan passe med nogle tal, men det er selvfølgelig ikke et bevis for, at det gælder alle tal. Fx gælder det at: 22 · 23 = 4 · 8 = 32 = 25.

I stedet for tal skal man bruge bogstaver. På den måde kan man fremstille et bevis, som er uafhængigt af hvilket tal, det er. Det vil altid gælde. a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a = a5 OPGAVE 2

a. Vis, at

1)

a3 · a4 = a7

2)

a0 · a3 = a3

3)

_=a

a3 a2

b. Vis, at an · ap = an + p

BEVISFØRELSE 3 I et magisk kvadrat med 3 x 3 felter, skal tallene, lagt sammen på kryds og tværs, give samme sum. Det første magiske kvadrat har en sum på 21.

OPGAVE 3

6

5

10

7

6

11

11

7

3

12

8

4

4

9

8

5

10

9

a. Tegn det tredje magiske kvadrat, og udfyld de tomme felter. b. Vis, at summen på kryds og tværs altid er 3x.

x+3 x

BEVISFØRELSE 4 Udsagn: n3 = n + n + n Hvis man prøver med et eksempel, kan man se, at fx 23 = 2 · 2 · 2 = 8, som er forskelligt fra 2 + 2 + 2. Udsagnet er kun sandt for n=0 og kan derfor ikke bruges generelt.

Udsagn: (7 + a)2 = a2 + 14a + 49 Hvis man igen prøver med et eksempel, fx (7 + 2) 2 = 22 + 14 · 2 + 49, ser det ud til at være et sandt udsagn. Det generelle bevis med brug af bogstaver kan se sådan ud: (7 + a)2 = (7 + a) · (7 + a) = 49 + 7a + a7 + a2 = a2 + 14a + 49.

OPGAVE 4

Vis, om det er sande eller falske udsagn. a) b) n4 = n + n + n + n –2 · (4 – 8) = –24 d) e) (k + l) + (k + l) = 2(k + l) x(x + y) = x2 + y2

(5 – a)2 = a2 – 10a + 25 f) n5 = 5n

c)

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 148

148

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

BEVISFØRELSE 5 En flaske kan være halvt fuld eller halvt tom.

Fx vil det i en literflaske svare til 0,5 liter.

Altså: _1 fuld = _1 tom Hvis man ganger med 2 på begge sider af ligningen, får man 2 2 fuld = tom OPGAVE 5

Er der en fejl i beviset? Begrund det.

BEVISFØRELSE 6 OPGAVE 6

Hvis man tegner et rektangel i en taltavle med tallene 0-99, kan det se sådan ud:

30 31 32 20 21 22 23

52 53 54 55

10 11 12 13

42 43 44 45

0

1

2

3

32 33 34 35 a. Læg de grønne hjørnetal sammen. Læg bagefter de røde hjørnetal sammen.

Træk de to tal fra hinanden. b. Bevis, at det altid giver nul ligegyldigt, hvilke rektangler du laver i taltavlen.

OPGAVE 7 m k

n q

p

o

a. Vis ved brug af tegningen, at (q + p + o) · (k + n) = kq + nq + np + kp + ko + no. b. Inddel et kvadrat, som viser, at (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

4

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 149

149

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

OPGAVE 8

a. Tag tre tal, som kommer efter hinanden, fx 7, 8 og 9. Lav følgende udregning: 82 – 7 · 9 = 1 b. Prøv med tallene 10, 11 og 12. c. Kald det midterste af tre tal, som kommer efter hinanden, x. Bevis, at udregningen i opgave a altid giver 1.

OPGAVE 9

a. Se på de tre tal, som udgør den gule vandrette talstribe. 20 er midtertallet M. Ydertallene Y1 og Y2 er 16 og 24.

Det ses, at 16 + 24 = 2 · 20.

Bevis, at det for alle vandrette talstriber gælder, at Y1 + Y2 = 2 · M. b. Vis, at det også gælder for lodrette striber. c. Se på det grønne kvadrat. Læg hjørnetallene sammen som i opgave 7.

Subtraher de to resultater.

(35 + 48) – (40 + 42) = 1. d. Undersøg andre kvadrater på samme måde. Sæt det ene hjørnetal til x . e. Vis, at det altid giver 1.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8 10 12 14 16 18

3

6

9 12 15 18 21 24 27

4

8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 10 20 30 40 50 60 70 80 90

OPGAVE 10

To linjer giver et skæringspunkt. Tre linjer giver højest tre skæringspunkter. Fire linjer giver højst seks skæringspunkter. a. Undersøg, hvor mange skæringspunkter der højest er for fem, seks og syv linjer. b. Tabellæg din viden, og fremstil en formel.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 150

150

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

LØSE LIGNINGER Man kan oversætte regnehistorier fra hverdagen til ligninger, så de er lettere at regne ud. x

2 2,5

EKSEMPEL

En plade, der er trapezformet, har arealet 4 m2. Hvor stor er siden x?

Situationen kan beskrives som en ligning, når man ved, at formlen for arealet er: 1 A=_ 2 · h · (a + b).

1 4=_ 2 · 2 · (2,5 + x) 4 = 1 · (2,5 + x) 4 = 2,5 + x 1,5 = x

TRIN 1

23 = x + 21 23 – 21 = x + 21 – 21 2=x a. x + x – 255 = 345 b. x + x + 4 = x – 32 c. x + 32 = 28 – 5 d. 45 = –x + 55 e. x + 6 + 7 – 5 = 18 + 4 f. x + x + 7 = x + x + x – 15 g. 41 – 50 + 6x – 5x = –9

TRIN 4

_x = 25 3

x = 75 a. b. c. d. e. f. g.

_x = 10 5 _x = 1,5 3 _x + 4 = 15 3 2x _ 5 + 6 = 10 _x – 3 = 0 3 2x _ 3 + 3 = 6 14 _x – 3 = 25 11

TRIN 2

TRIN 5

5x + 35 = 2x + 50 5x – 2x = 50 – 35 3x = 15 x=5

2(3x – 3) + 5 = 25 – (2x + 4) 6x – 6 + 5 = 19 – 2x – 4 6x – 1 = –2x + 15 6x + 2x = 15 + 1 8x = 16 x=2

a. b. c. d. e. f.

5x = 250 5x + 2 = 502 8x + 5 = 47 + 2x 28 = 7x + 7 36 + 12x = 42 + 8x 1,2x = 0,48

a. b. c. d.

5(2x + 8) = 50 25(4x – 1) = 275 3x – 2(x + 4) = 14 36 = 3(2x – 12) + 54

Siden x er 1,5 m.

Løs ligningerne i de næste trin.

TRIN 3

TRIN 6

15 – 2x = 9 15 = 9 + 2x 15 – 9 = 2x 6 = 2x 3=x

x+5 = 22 2 x + 5 = 44 x = 39

a. b. c. d. e.

12 – x = 6 0 = 60 – 12x 5 – 2x = 0 27 – 5x = 2 17 = 51 – 2x

a. 2x + 1 = 5 3 b.

3x – 2 = 5x – 60 4

c.

2 2x + =4 3 3

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 151

151

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

LØSE ULIGHEDER TRIN 7

To ligninger med to ubekendte 1) y = 10x + 200 2) y = 3x + 150 3x + 150 = 10x + 200 4x = 100 x = 25 y = 3 · 25 + 150 = 225 a. b. c.

x–y=1 1) 2x – y = 4 1) y–x=5 1)

TRIN 8

_x + _x = 6 6 3 _x + 2_x = 6 6 6 5 _x = 6 6

3x = 36 x = 12 a. b. c. d.

_x + _x = 6 5 10 _x + _x = 15 3 2 10 _ + _2 = 3 x x 1_ 00 _ =5 x +1

x+y=5 2) x+y=5 2) 3x + y = –1 2)

I en ligning indgår der et lighedstegn, fx 2x = 34.

I en ulighed indgår der et ulighedstegn, fx 2x 34.

Uligheden x 3 læses “x er mindre end eller lig med 3”. Dvs. at løsningen er 3 og tal til venstre for 3 på tallinjen.

Uligheden x 3 læses “x mindre end 3”. Dvs. at løsningen er tal til venstre for 3 på tallinjen.

Man kan regne med uligheder som med ligninger bortset fra nogle særlige tilfælde.

TRIN 1

a. b. c. d. e.

x + 9 12 x+4 0 x – 32 21 5x 45 20x 440

TRIN 2

a. b. c. d. e.

16x – 2 13x + 4 3(6 – x) 16 – 2x 0,5x 0,25 x + 3x 2(4 + x) _x 6 9

EKSEMPEL

5x + 35 2x + 50 5x – 2x 50 – 35 3x 15 x 5 De særlige tilfælde Når man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal ulighedstegnet vendes om.

Det er sandt, at 12 34. Hvis man ganger med –1 på begge sider af lighedstegnet, står der –12 –34, hvilket ikke er sandt.

Vender man lighedstegnet, passer det: –12 –34.

EKSEMPEL

23 – 5x 33 –5x 33 – 23 –5x 10 x –2

TRIN 3

a. b. c. d.

–4x 20 –x 5 –35 –2x 2x – 7 5x + 8

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 152

152

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

U N DERSØG SELV Fraktaler I 1904 tegnede den svenske matematiker Helge von Koch en meget speciel kurve, Von Koch-kurven.

Trin 0

OPGAVE 1

a. Tegn de første tre trin i Von Koch-kurven. Start med en vandret linje på fx 27 cm. Brug evt. trekantspapir til hjælp. b. Beskriv med egne ord, hvordan Von Koch-kurven ændrer sig fra trin til trin. c. Tegn trin 3 i Von Koch-kurven.

27

9

Trin 1

9

9

3

9

3

3

Trin 2

Von Koch kurven kan bruges til at tegne snefnug-lignende figurer.

9

3

3

OPGAVE 2

a. Tegn til start en ligesidet trekant med siden 9 cm. Brug trekantspapir eller isometrisk papir. b. Tegn trin 1 og 2. c. Hvad sker der med omkredsen af figuren fra trin til trin?

Trin 0

OPGAVE 3

Trin 1

Trin 2

a. Udfyld de tomme felter i tabellen. Sæt linjelængden i figur 1 til 1.

Trin (n)

0 (Start)

1

Linjelængde (L)

1

_1

Antal linjer (A)

3

12

Omkreds (O)

3

4

3

2

3

9

27

_1

_1

4

5

48

1 b. Tag stilling til, om følgende vækstformel er rigtig: L ny = L gammel · _ 3 c. Beskriv vækstformlerne for A ny = …. og Ony = …

OPGAVE 4

Gå på opdagelse i andre fraktaler. Undersøg selv på nettet.

n

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 153

153

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

Skal vi spille billard?

A

B

A

B

D

C

d

d

D

C

Du skal forestille dig et billardbord, hvor der kun er fire huller – et i hvert hjørne. Du skyder kuglen hver gang fra hjørnet A, og på et tidspunkt falder den ned i et hul. Kuglen bevæger sig kun langs diagonalerne i kvadratnettet. På tegningerne er der vist to forskellige billardborde, hvor kuglen bevæger sig som de stiplede linjer. Hver af de stiplede linjer kalder vi “en tur.”

På det første billardbord består kuglens bevægelse af to ture (d). Kuglen går ned i hullet D. På det andet billardbord er der fire ture, inden kuglen går i hullet B. OPGAVE 1

Hvis billardbordet ændrer form, hvor mange ture (d) består så kuglens bevægelse af?

Undersøg først disse to billardborde. Tegn på kvadratpapir.

A

B

A

B

D

C

D

C

OPGAVE 2

Opfind en formel, som beskriver sammenhængen mellem formen på billardbordet, og det antal ture kuglen gennemløber.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 154

154

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

VIDEN OM TALFØLGER

Talfølger er en uendelig række af tal, som vokser eller aftager efter et bestemt mønster.

EKSEMPEL

De lige tal er en talfølge med et bestemt mønster.

Man kan vise mønstret ved at lave en tabellægning.

Trin (n)

1

2

3

4

5

6

Antal (A)

2

4

6

8 10 12

Man kan beskrive talmønstret ved at angive en formel. Man kalder ofte et tilfældigt trin i talfølgen for n.

Det n’te lige tal kan skrives som 2n, fx er det 23’ende lige tal 2 · 23 = 46. Det kan kaldes for en direkte formel.

Man kan også beskrive de lige tal ved at kortlægge, hvordan tallene forandrer sig fra trin til trin.

Det kan skrives som An+1 = An + 2, og er en vækstformel.

Nogle gange kalder man særlige talfølger for figurtal.

EKSEMPEL

1

2

3

På tegningen ses de første tre figurer i en uendelig række af tændstikfigurer, som vokser efter et bestemt mønster. Der vælges fx at fokusere på antallet af tændstikker.

Vækstformel: An+1 = An + 2 Direkte formel: An = 2n + 1

Trin (n)

1

2

3

4

Antal (A)

3

5

7

9 11 13

5

6

EKSEMPEL

1

2

3

På tegningen ses de første tre figurer i en uendelig række af tændstikfigurer, som vokser efter et bestemt mønster. Der vælges fx at fokusere på antallet af trekanter.

Vækstformel: An+1 = 2 · An Direkte formel: An = 2n

Trin (n)

1

2

3

4

5

6

Antal (A)

2

4

8 16 32 64

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 155

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

FORMLER

Formler er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng, fx formlen på arealet af en cirkel: A = · r 2 En formel kan indeholde variable størrelser og konstante størrelser. I arealformlen for en cirkel er arealet A og radius r variable. Værdien af er den samme altid, derfor er den en konstant størrelse.

LIGNINGER

En ligning indeholder et lighedstegn. En ligning er en påstand (et udsagn), som enten kan være falsk eller sand, fx 5x = 10.

Hvis x sættes til 4, er ligningen falsk. Hvis x sættes til 2, er ligningen sand.

At finde de værdier, som gør ligningen sand, svarer til at løse ligningen.

I ligningen 5x =10 er det kun værdien 2, som gør ligningen sand.

Ligninger bruger man for bedre at overskue komplicerede udregninger. Det kan være en fordel at oversætte et regneproblem til en ligning.

EKSEMPEL

Fire kasser A, B, C, D vejer tilsammen 112 kg. Kasse B er tre gange så tung som kasse A, og kasse C er dobbelt så tung som kasse B. Kasse D vejer lige så meget som A og B tilsammen. Hvor meget vejer hver kasse?

Vægten af kasse A gøres til den ubekendte x.

Kassen B vejer da 3x. Kassen C vejer 2 · 3x = 6x. Kassen D vejer x + 3x = 4x. x + 3x + 6x + 4x = 112 14x = 112 x=8 Kassen A vejer 8 kg. Kassen B vejer 3 · 8 kg = 24 kg. Kassen C vejer 6 · 8 kg = 48 kg.

Kassen D vejer 4 · 8 kg = 32 kg.

Hvis ligningerne er enkle, kan man nogle gange løse dem ved at gætte sig frem.

EKSEMPEL

3x – 7 = 2x + 3 Hvis man sætter x til 2, får man –1 = 7. Det er forkert, x må være større.

Hvis man sætter x til 5, får man 8 = 13. Det er forkert, x må være større endnu.

Hvis man sætter x til 8, får man 17 = 19. Nu er det tæt på.

Hvis man sætter x til 10, får man 23 = 23. Det passer. Ligningen er løst.

155

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 156

156

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

REGLER I ALGEBRA

Emne

Tal

Husk at

Bogstaver 1·a=a 5 · a = 5a a + a + a = 3a 1 _a a·_ b = b 5 + 2a er ikke 7a

Den kommutative lov

2 + 10 = 10 + 2 2 · 10 = 10 · 2

a+b=b+a a·b=b·a

Gange ind i parentes

2(3 + 6) = 2 · 3 + 2 · 6

a(b + c) = a · b + a · c

Plusparanteser

46 + (13 – 5) = 46 + 13 – 5

a + (b – c) = a + b – c

Minusparanteser

46 – (13 – 5) = 46 – 13 + 5 46 – (13 + 5) = 46 – 13 – 5

a – (b – c) = a – b + c a – (b + c) = a – b – c

Parentes gange parentes 1

(3 + 5) · (4 + 6) = 3·4+3·6+5·4+5·6

(a + b) · (c + d) = a·c+a·d+b·c+b·d= ac + ad + bc + bd

Parentes gange parentes 2

(3 + 5)2 = (3 + 5) · (3 + 5) = 3·3+3·5+5·3+5·5= 32 + 2 · (3 · 5) + 52

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a·a+a·b+b·a+b·b= a2 + 2ab + b2

Parentes gange parentes 3

(3 – 5)2 = (3 – 5) · (3 – 5) = 3·3–3·5–5·3+5·5= 32 – 2 · (3 · 5) + 52

(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a·a–a·b–b·a+b·b= a2 – 2ab + b2

Parentes gange parentes 4

(3 + 5) · (3 – 5) = 3·3–3·5+5·3+5·5= 32 – 52

(a + b) · (a – b) = a·a–a·b+b·a–b·b= a2 – b2

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 157

157

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

Brøkregning 1

–2 _ _2 _2 3 = –3 = – 3 2 –2 _ =_ –3

Brøkregning 2

Brøkregning 4

Brøkregning 5

b

_3 + _5 = _6 + _5 = 11 _

2 5·_ 3 =

b a·_ c =

10

10

10

10

__

5·2 3

a

2a

2a

·2 _3 · _2 = 3__

·c _a · _c = a__

2:

6

5·6

2_ ·5 _3 = _ 5 3

b

2a

c

_a : c = _a b

2a

ab _

3 _3 : 2 = __ _3 5 5 · 2 = 10

5

Brøkregning 6

–b

3

_4 + _3 = _8 + _3 = 11 _ 5

Brøkregning 3

_ = _a = – _a b –b b –a _ = _a –a

bc

b·d

d

b a:_ c =

a·c __ b

Brøkregning 7

_2 : _3 = _2 · _4 = _8 6 4 6 3 18

ad _a : _c = _a · _d = _ b d b c bc

Potensregning 1

2 · 2 · 2 · 2 = 24

a · a · a · a = a4

Potensregning 2

1 2–3 = _ 3

1 a–n = _ n

Potensregning 3

30 = 170 = 342580 = 1

a0 = g0 = k0 = 1

Potensregning 4

24 · 23 = 24 + 3 = 27

an · am = an + m

Potensregning 5

24 : 23 = 24– 3 = 21

an : am = an – m

Potensregning 6

(24)3 = 24 · 3 = 212

(a4)3 = a4 · 3

Kvadratrødder 1

avv vv 22 = 2

avv vv a2 = a

Kvadratrødder 2

vv avv 3 · avv 2 = avv 2·vvv3v

vv avv a · avv b = avv avv·vbv

Kvadratrødder 3

vv avv 3 : avv 2 = avv 3:vvv2v

vv avv a : avv b = avv avv:vbv

2

a

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 158

158

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPFØLGNING

OPGAVE 5

Et hotel beregner prisen pr. person efter følgende formel: P = d · (745 + m · 745) P = pris d = antal dage m = momsprocent a. Beregn P, når d = 4 og m = 25 %. b. Beregn d, når P = 4470 og m = 20 %. c. Beregn m, når P = 864,2 og d = 1.

OPGAVE 1

Fortsæt talfølgen. a. 17, 34, 51, … b. 3, 9, 15, … c. 4, 28, 196, ... d. 3, 7, 15, ...

OPGAVE 6 OPGAVE 2

1

2

3

1

2

3

a. Udfyld tabellen. Find antallet af tændstikker for hver figur.

Figur (n)

1

2

3

4

8

10 15 n

Antal tændstikker (A)

b. Find formlen for væksten i begge mønstre: A n+1 = …

OPGAVE 3

Tegn et figurmønster, som kan beskrives med vækstformlen A n+1 = An + 2.

OPGAVE 4

Skriv talfølger, der starter med 1. a. Gang tallet med 3 og træk 1 fra. b. Gang tallet med 4 og træk 3 fra. c. Gang tallet med –1 og læg 3 til. d. Gang tallet med –1 og læg 2 til.

Forkort udtrykket. a. 4x – 3y – x + 6y b. 2a + 9b – 7a + b – 5a c. –8z + 5v + 3 – 5v + 6z d. 13 – 4x + 5y – 5 + 8x – 11y 1 _1 e. _ 2 a + 7y + 3a – 4 2 y OPGAVE 7

Hæv parenteser og forkort. a. (2x – 6y) + (4x + y) b. (–9a + 4b) + (7a – 5b) c. (12v – 3z) + (–9v + 3z) d. (7x + 4y – 5z) + (x – 8y + 2z) OPGAVE 8

Hæv parenteserne og forkort. a. (13x – 9y) – (4x + 3y) b. (5a + 2b) – (6a – b) c. (–8v + 7z) – (–7v + 9z) d. (–10m – 2n) – (–5m – 3n) OPGAVE 9

Gang ind i parenteserne. a. 4(5x + 7) b. 9(3y – 3) c. 2(4x + 8y) d. 6(2x – 5y)

001-192_9788779884243.qx6:Kernebog 9_OMBR_3.korr

07/04/11

15:02

Side 159

159

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

OPGAVE 10

OPGAVE 15

Gang ind i parenteserne og forkort. a. 3(x – 4) + 7(5x + 1) b. 8(–2a + 3) + 2(5a – 6) c. 7(5b – 11) – 4(–b + 9) d. –5(8x – 1) – 3(–x – 7)

Løs ligningerne. a. 6x + 13 = 2x + 23 b. 3x – 23 = 4x – 36 c. 28 – 7x = –10x + 49 d. 46 + 11x = 166 – 9x

OPGAVE 11

OPGAVE 16

Forkort udtrykket. a. (2x + 4) · (3x + 1) b. (a – 5) · (4a + 6) c. (3v – 4) · (8 – 2v) d. (9 – z) · (5z – 2)

Løs ligningerne. a. 3(x + 5) = 75 b. 7(x – 13) = 28 c. (4x + 3)5 = 115 d. (–x – 9)4 = 52

OPGAVE 12

OPGAVE 17

Sæt uden for parentes. a. 5x – 25 b. 64a + 8 c. 13b + 91 d. 144g – 120 e. –33m + 11 f. –15n – 60

Løs ligningerne. a. 2(x + 7) = 8x – 4 b. (3x – 4)4 = 4(x + 4)

OPGAVE 13

Forkort udtrykket. a. x2 · x b. y 2 · y 4 = c. 4a3 · 2a2 d. 5b5 · 7b7 e. 3x 2 · 5x1 · x3 f. 2y 4 · 9y5 · 6y 6 OPGAVE 14

Løs ligningerne. a. 16 = 2x + 4 b. –3x – 22 = –4 1 c. 10 = _ 2 x – 8 1 x – 3 = 24 d. _ 3

OPGAVE 18

Hansen og Jensen er tilsammen 75 år. Jensen er 5 år ældre end Hansen. a. Afgør, hvilken af de følgende ligninger som er sande, hvis x = Hansens alder.

1) x + 5x = 75 2) (x – 5) + x = 75 3) 5 + x = 75 4) x + (x + 5) = 75 b. Find Jensens og Hansens alder.

OPGAVE 19

To dvd’er koster tilsammen 325 kr. Den billigste koster 25 kr. mindre end den dyreste. a. Opstil en ligning, der viser sammenhængen mellem priserne på de to dvd’er. b. Hvad koster de to dvd’er?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 160

160

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 20

OPGAVE 24

Et rektangels omkreds er 40 cm. Den ene side er 8 cm længere end den anden.

Sæt en af sidelængderne til x. a. Opstil en ligning, der viser sammenhængen mellem længderne på rektanglet. b. Beregn længden af de to sider.

Omregning fra euro til danske kroner foregår ved en formel: K · x : 100 = y, hvor K er kursen, x er euro, og y er danske kroner. a. Beregn, hvor meget 2000 euro er i danske kroner, når kursen er 765. b. Beregn, hvor meget 5000 danske kr. er i euro, når kursen er 765 c. Beregn, hvad kursen på euro er, når 3500 euro veksles til 26 250 kr.

OPGAVE 21

Peter optræder i klassen. “Gæt, hvilket tal jeg tænker på. Når jeg lægger 3 til tallet og ganger det med 5, så får jeg 50.” a. Opstil en ligning, hvor x er tallet. b. Find tallet.

OPGAVE 22

Søndre og Vestre skole ligger i samme kommune. Om 2 år vil Søndre Skole være dobbelt så gammel som Vestre, der er bygget for 12 år siden. a. Opstil en ligning, hvor den ubekendte x er Søndre skoles alder. b. Hvor gammel er Søndre Skole?

OPGAVE 23

Priserne i en forretning er fremkommet ved denne formel: Salgspris (S) = Samlede udgifter (SU) + Fortjeneste (F) a. Beregn S, hvis SU er 1500 kr., og F er 610 kr. b. Beregn SU, hvis S er 7200 kr., og F er 820 kr. c. Beregn F, når S er 12 550 kr., og SU er 9900 kr.

OPGAVE 25

Formlen på en cirkels omkreds O er: O = 2 · · r. a. Beregn O, når r = 12,5 cm. b. Beregn r, når O = 628 cm2.

OPGAVE 26

Når man lader en sten falde mod jorden, bevæger den sig efter følgende formel: s = 4,9 · t 2, hvor s er strækningen i meter og t er tiden i sekunder. a. Hvor langt er stenen faldet efter 5 sek.? b. Hvor lang tid går der inden stenen er faldet 100 m? c. Hvor langt vil stenen falde efter 1 time?

OPGAVE 27

En formel ser således ud: S = 1,5 · n · 6,43 · p Beregn S (1 dec.), når n = 350 og p = 36 OPGAVE 28

Løs ligningerne med to ubekendte. a. y = 3x – 2 og y = –2x + 3 b. y = x + 5 og y = –2x – 1 c. y = 0,5x + 4 og y = 1,5x – 2 d. y = 2x + 6 og y = –0,25x – 3

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:32 PM

Page 161

161

FORMLER, LIGNINGER OG BEVISER

OPGAVE 29

OPGAVE 33

En formel ser således ud: x L=_ 8 · F(F + 4,5) a. Beregn L (1 dec.), når x = 4 og F = 1,02. b. Beregn x (1 dec.), når L = 100 og F = 10,2.

4,5 x

a 18 y

OPGAVE 30

6x

Løs følgende ligninger med to ubekendte. a. y = x + 3 og y = 2x + 1 b. y = 3x + 2 og y = 5x –2 c. y = x + 2 og y = –2x + 5 d. y = –x + 5 og y = –2x + 6

b

10 y

3x

c

OPGAVE 31

7y

Løs følgende ligninger med to ubekendte. a. y = 3x + 5 og y = 2x + 8 b. y = 6x + 2 og y = 2x + 6 c. y = x – 9 og y = 3 – x d. y = 3x – 4 og y = 4x – 6 OPGAVE 32 a

8b

10 a

b 1,5 c

4d

c 3k

4,5 s

a. Skriv udtryk for figurernes areal. b. Skriv udtryk for figurernes omkreds.

Skriv et udtryk for figurens areal.

OPGAVE 34

I tøjforretningen Lækker findes der en hylde med bluser, en med bukser og en med skjorter.

Der er dobbelt så mange bluser, som der er skjorter. Der er tre gange så mange bluser som bukser. Der er 77 skjorter, bukser og bluser i alt. a. Skriv en ligning, som passer til historien. b. Hvor mange bluser, skjorter og bukser er der?

OPGAVE 35

Min onkel er tre gange så gammel som mig, og min far er 35 år ældre end mig. Tilsammen er vi 95 år. a. Skriv en ligning, som passer til sammenhængen. b. Find personens alder.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 162

162

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Jens Hansen har en bondegård med høns og grise, der tilsammen har 286 fødder. a. Skriv en ligning, som beskriver denne sammenhæng. b. Hvordan kan det beskrives med en graf?

2. Spørgsmål Hvis man sætter parenteser ind i regneudtrykket 1 – 2 – 3, kan man få to forskellige resultater: (1 – 2) – 3 = – 4 eller 1 – (2 – 3) = 2.

Hvor mange forskellige resultater kan man få ved sætte parenteser ind i regneudtrykket 1 – 2 – 3 – 4 – 5?

3. Spørgsmål Hvis en klassekammerat påstår, at (a + b)2 = a2 + b2, hvordan vil du så overbevise ham om, at det er forkert?

4. Spørgsmål Lin tænker på et tal. Du skal gætte tallet. Bed hende om følgende: T Gang tallet med 50, og læg 100 til.

T Gang resultatet med 2, og divider det med 10.

T Træk 20 fra, og divider resultatet med 10.

Sæt Lins tal til x, og bevis, at man ved ovenstående udregning finder tallet.

1

2

3

5. Spørgsmål Her er de første tre figurer af en række. a. Tegn figur nr. 4. b. Hvor mange små trekanter består denne figur af? c. Hvor mange små trekanter vil figur nr. 5 bestå af? d. Fremstil en formel for antallet af små trekanter i den n’te figur.

6. Spørgsmål Cylinderskallens rumfang (V) kan beskrives som: V = · (R2 – r2) · h, hvor h er højden, r er den indvendige radius, og R er den udvendige radius.

Find højden på et cementrør, hvor cylinderskallens rumfang ca. er 6400 cm3, R er 21 cm, og r er 20 cm.

R

r

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 163

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 164

164

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Nybyggerne i Blanderup

I Blanderup Kommune har man besluttet, at det store engområde uden for byen skal udlægges til nybebyggelse.

Det er Jesper Knorresteds opgave, som leder af byggeafdelingen i teknisk forvaltning at finde ud af, hvordan grundene skal udstykkes.

“Stor opgave,” sukker Jesper lidt, da han modtager beskeden og kigger på kortet over engområdet.

Han kommer samtidig i tanke om en artikel, han har læst, om dengang man gravede guld i Amerika. Et sted fik man udleveret fire stolper og en snor på 100 m. Så kunne man afmærke sit eget rektangelområde.

Jesper overvejer, hvordan det vil se ud, hvis man bruger samme princip for at udstykke grundene.

OPGAVE 1

a. Tegn skitser af tre forskellige rektangler, som alle har en omkreds på 100 m.

Skriv mål på tegningen og beregn arealet. b. Beskriv, hvad der sker med arealet af rektanglet, når den ændrer form, fx når bredden bliver mindre, og længden bliver større.

OPGAVE 2

a. Fremstil en tabel, som viser 12 forskellige muligheder for rektangler med en omkreds på 100 m.

Længde (m)

20

30

Bredde (m)

30

20

b. Beskriv omkredsen af disse rektangler med en formel, hvor længden svarer til x og bredden til y. c. Omskriv formlen, så den er en forskrift på en funktion y = …

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 165

165

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Længde m 50

OPGAVE 3

a. Fremstil et koordinatsystem som på tegningen.

Lad 1 cm svare til 10 m. Brug millimeterpapir. b. Vis, at rektanglet med sidemålene 20 m og 30 m kan ligge to steder. c. Tegn de andre rektangler fra tabellen ind på samme måde.

OPGAVE 4

40

30

20

10

a. Sæt et mærke i det øverste højre hjørne af hvert rektangel. b. Tegn en linje gennem punkterne. c. Beskriv linjens ligning. Brug den variable x for bredden, og y for længden. d. Beskriv med egne ord, hvorfor det er en lineær funktion.

10

20

“Det kunne ellers se sjovt ud,” siger Jesper højt. Han har tegnet en lang tynd stribe, hvor en grund er 5 m bred og 45 m lang. “Men sådan kan det jo ikke gøres.”

“I stedet for en bestemt omkreds, kan vi vælge et fast areal. Hvis alle grunde får tildelt 400 m2, hvordan mon det så….”

Jesper var allerede begyndt at lave skitser.

OPGAVE 5

a. Bliver omkredsen af rektanglerne forskellig eller den samme, hvis arealet skal være 400 m2? Giv mindst tre eksempler. b. Fremstil en tabel over længde og bredde på rektangler, som alle har et areal på 400 m2.

Længde (m)

10

40

Bredde (m)

40

10

30

40

50 m Bredde

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 166

166

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 6 m

a. Tegn et koordinatsystem. Lad 1 cm svare til 10 m på både x-aksen og y-aksen. b. Indtegn fem forskellige rektangler på samme måde som før, men denne gang skal de alle have det samme areal på 400 m2. c. Afmærk som før punktet i øverste højre hjørne, og tegn en graf gennem punkterne.

50

40

30

20

OPGAVE 7

10

10

20

30

40

50 m

Omvendt proportional En sammenhæng mellem x og y, der kan beskrives a som x · y = a eller y = _ x , hvor a et bestemt tal, kaldes omvendt proportional. Den graf, som beskriver sammenhængen, kaldes en hyperbel.

a. Tabellæg sammenhængen. b. Tegn en graf, som illustrerer sammenhængen. c. Indtegn det rektangel, som har en omkreds på 140 m. d. Hvordan vil forskriften til denne sammenhæng se ud?

40

30

20

10 –30

–20

“Hvordan vil det mon gå, hvis man ændrer arealet til 600 m2?” tænker Jesper.

OPGAVE 8

50

–40

a. Hvordan vil du beskrive kurven fra opgave 6 med egne ord? b. Vil grafen komme til at røre y-aksen, hvis man gør bredden mindre og mindre? c. Vil grafen komme til at røre x-aksen, hvis man gør længden mindre og mindre? d. Beskriv grafen med en formel, hvor x er bredden, og y er længden. e. Skriv formlen som en forskrift y = …

–10 10

20

30

40

OPGAVE 9 –10

–20

–30

–40

5 a. Tabellæg en funktion f, som har forskriften y = _ x .

Brug både negative og positive værdier for x. b. Tegn en graf for funktionen f. c. Hvorfor er der ikke negative x-værdier med i besvarelsen af opgave 7?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 167

167

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Der bliver flere og flere

En ny sygdomsbakterie er kommet til Danmark.

Den bærer navnet Baktorella Snufus. Den er ikke livsfarlig, men giver en influenzaagtig sygdom.

På sygdomsinstituttet ønsker man at kende til bakteriens udbredelse, og her forsker man i, hvordan sygdommen kan behandles.

På laboratoriet har man ladet en bakteriekultur stå i 100 min. med gode vækstbetingelser. Man har målt, at 1 bakterie er blevet til ca. 1000 bakterier på de 100 min.

På laboratoriet spekulerer man nu over, hvor hurtigt bakterierne udvikler sig, så man kan forudsige, hvor hurtigt man bliver syg.

Hvis man forestiller sig, at bakteriekulturen vokser lineært, ser grafen sådan ud.

1100

Antal bakterier

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 10

20

30

40

50

60

70

80

90 100 Antal minutter

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 168

168

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 1

a. Hvor mange bakterier er der ca. efter 50 minutter? b. Hvor mange minutter tager det, før der ca. er 200 bakterier? c. Fremstil en tabel, som beskriver en lineær sammenhæng mellem tid og antal bakterier.

Tid (min.)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Bakterier

d. Hvor lang tid går der, inden der er 10 000 bakterier? e. Hvor mange bakterier er der efter 5 timer?

OPGAVE 2

a. Tegn en graf, som viser den lineære sammenhæng mellem tid og antallet af bakterier. Lad 1 cm på x-aksen svare til 10 min. Lad 1 cm på y-aksen svare til 100 bakterier. b. Beskriv med egne ord sammenhængen mellem tid og antallet af bakterier. c. Skriv en forskrift for sammenhængen, hvor x er tid, og y er antallet af bakterier.

OPGAVE 3

a. Hvordan ser grafen ud, hvis bakterierne vokser dobbelt så hurtigt? b. Skriv forskriften for denne sammenhæng.

OPGAVE 4

Fremstil en tabel, som viser udviklingen de næste 100 min.

Tid (min.)

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Bakterier

Søren Sørensen, som er laboratoriemedarbejder, ved, at sådan er der ingen bakterie, der vokser. Det foregår mere eksplosivt. Han kan i sit mikroskop se, at cellen deler sig hele tiden og registrerer, at det sker for hvert 10. min.

OPGAVE 5

a. Hvor mange bakterieceller er der efter 10 min.? Efter 20 min.? Efter 30 min.? b. Fremstil en tabel, som beskriver væksten af celler op til den 10. deling.

Deling nr. (x)

0

1

Bakterier (y)

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 169

169

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 6

a. Plot punkterne fra opgave 5 ind i et koordinatsystem. Lad 1 cm på x-aksen svare til delinger hvert 10. minut. Lad 1 cm på y-aksen svare til 100 bakterier. b. Tegn en “blød kurve” gennem punkterne. c. Beskriv forskellen mellem denne graf og grafen fra opgave 2.

OPGAVE 7

a. Aflæs, hvor mange bakterier der ca. er efter 5. deling. b. Aflæs, hvor mange minutter det tager, før der ca. er 200 bakterier.

OPGAVE 8

a. I grafen fra opgave 2 vokser bakterieantallet hele tiden med + 10. Hvordan vil du beskrive væksten ud fra tabellen i opgave 5? b. Man kan beskrive sammenhængen med forskriften y = 2 x. Brug tabellen fra opgave 5 og giv eksempler på, at det passer.

OPGAVE 9

a. Hvor mange delinger har der været efter 5 timer? b. Udregn, hvor mange bakterier der vil være efter 5 timer.

OPGAVE 10

a. Fremstil en tabel, som viser bakterievæksten efter de næste 100 min.

Tid (x)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Bakterier (y)

b. Sammenlign væksten med besvarelsen i opgave 4, og beskriv forskellen. c. Begrund, hvorfor man kalder væksten i opgave 4 for konstant vækst. d. Begrund, hvorfor man kalder væksten i opgave 5 og 10 for relativ vækst.

OPGAVE 11

a. Fremstil en tabel for funktionen y = 1,1x.

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

b. Tegn et grafisk billede af funktionen. c. Fortsæt tabellægningen med negative x-værdier. Plot punkterne ind i koordinatsystemet fra opgave b, og tegn det grafiske billede af funktionen y = 1,1x færdigt. d. Er der tale om konstant eller relativ vækst?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 170

170

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Hvor meget tandpasta?

Det er morgen. Astrid står, som sædvanlig lidt træt foran spejlet, mens hun trykker på tandpastatuben. Hendes morgenstribe dukker op på tandbørsten.

“Er der ikke mere, end der plejer,” tænker hun og kigger på tuben. “Hullet er da større end det plejer – hvad i alverden?”

Astrid funderer lidt over, hvor meget mere tandpasta hun har på sin stribe. Hun måler også tubens diameter. Den er 8 mm.

OPGAVE 1

a. Beregn størrelsen på hullets radius i cm. b. Hvor stort er hullet i kvadratcentimeter?

“Hvor meget tandpasta vil der komme ud, hvis hullet er større?” Astrid sidder lidt og regner.

OPGAVE 2

Fremstil en tabel, hvor du viser sammenhængen mellem længden af radius og arealet af hullet i tuben. Sæt til 3.

Radius (cm)

0,1

0,2

Hullets størrelse (cm2)

0,03

0,12

0,3

0,4

0,5

0,6

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 171

171

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 3

cm2

a. Fremstil et koordinatsystem, hvor 1 cm på x-aksen svarer til en radius på 0,1 cm, og 1 cm på y-aksen svarer til 0,1 cm2. b. Plot punkterne ind fra opgave 2, og tegn en kurve gennem punkterne.

1,2

1

0,8

OPGAVE 4

a. Aflæs på grafen fra opgave 3, hvor stort arealet af hullet er, hvis det har en radius på 0,35 cm. b. Aflæs længden af radius, hvis arealet af hullet er 0,8 cm2.

0,6

0,4

OPGAVE 5 0,2

a. Beskriv med egne ord sammenhængen mellem arealet af hullet og længden af radius. b. Begrund, hvorfor sammenhængen kan skrives som y = 3 · x2.

0,5

Astrid forestiller sig megatuber, hvor hullet kan være helt op til 10 cm i diameter.

OPGAVE 6

a. Fremstil en tabel, som beskriver sammenhængen mellem radius og arealet af hullet.

Radius (cm)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Areal (cm ) 2

b. Fremstil et koordinatsystem på millimeterpapir. Lad 1 cm på x-aksen være radius 1 cm. Lad 1 cm på y-aksen være 10 cm2. c. Plot punkterne fra tabellen ind i koordinatsystem og tegn grafen. d. Kan man stadig beskrive grafen med forskriften y = 3x2 Astrid kan ikke lade være med at tegne videre på sin graf.

OPGAVE 7

a. Fremstil en tabel med negative værdier ud fra forskriften y = 3x2 ?

Radius (cm)

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

Areal (cm ) 2

b. Fremstil et nyt koordinatsystem, hvor du tegner alle fire kvadranter. Lad enheden være 1 cm på både x- og y-aksen. Brug millimeterpapir. c. Tegn grafen for funktionen y = 3x2 for x-værdier mellem –10 og 10.

cm

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

172

Side 172

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

Vandstrålen

Parabelbue Den bue, en vandstråle danner, ligner en parabelbue.

Det er sommerferie på Bornholm. De ligger alle fire sammen i haven og blunder, mens solen bager ned over dem. Maja keder sig lidt, da hun får en ide, som hun listigt hvisker i øret på Emil. De forsvinder begge ned i skuret og henter vandslangen. Nu skal resten af flokken have vand. De stiller sig bag rækværket, hvor de andre ikke kan se dem. Der lyder et vræl, da vandstrålen rammer de andre.

OPGAVE 1

a. Tegn en skitse af vandstrålens parabelbue, hvis vandslangen holdes vandret. b. Tegn en skitse af vandstrålens parabelbue, hvis vandslangen holdes ca. i en vinkel på 45° i forhold til jorden. c. Hvordan vil vandstrålen se ud, hvis vandstrålen blev holdt 90° i forhold til jorden?

Det havde udviklet sig til en større vandkamp. Nu står de alle fire udmattede og griner.

Emil lægger sig bagefter på maven og leger med at gøre vandstrålen højere og lavere. Hvis han holder vandslangen nede ved jorden og næsten lodret, kommer der en flot bue ud af det, opdager han.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 173

173

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 2

Hvis vandslangen danner en vinkel på omkring 80º med jorden, vil vandet stråle i en parabelbue, der kan beskrives som funktionen y = –0,7 x2 + 7x. a. Tabellæg funktionen ved at udfylde de tomme felter. x

0

1

y

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11,2

b. Indsæt værdierne i et koordinatsystem. Brug millimeterpapir. Tegn funktionens graf ved at forbinde punkterne. c. Beskriv med egne ord, hvad punkterne (0,0), (5, 17) og (10,0) på grafen svarer til på vandstrålen.

OPGAVE 3

Parabelbuer kan se meget forskellige ud. Grenene kan vende opad eller nedad, og buerne kan være smalle eller brede. a. Tabellæg følgende funktioner: 1 2 1 2 1) 2) 3) 4) 5) 6) y = x2 y = –x2 y = 2x2 y = –2x2 y=_ y=_ 2 x 4 x x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

b. Indtegn hver af de seks funktioner i samme koordinatsystem. Brug millimeterpapir. c. Beskriv de seks grafer.

OPGAVE 4

En parabelbue kan flyttes op og ned eller frem og tilbage i koordinatsystemet. a. Tabellæg følgende funktioner: 1) 2) 3) 4) 5) y = x2 y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = x2 – 4 y = x2 + 4 x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

b. Indtegn hver af de fem funktioner i samme koordinatsystem. Brug millimeterpapir. c. Beskriv de fem grafer.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 174

174

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 5

a. Tabellæg følgende funktioner: 1) y = (x – 1)2 2) y = (x + 1)2 3) y = (x – 1)2 + 2 x

–5

–4

–3

–2

–1

4)

0

y = (x + 1)2 – 1 1

2

5)

3

y = x2 – 2x + 3 4

5

y

b. Indtegn hver af de fem funktioner i samme koordinatsystem. Brug millimeterpapir.

OPGAVE 6

a. De grafer, der er tegnet i opgave 3, blev alle udtrykt på formen y = ax2. Beskriv, hvilken betydning størrelsen af a har for grafens udseende. b. De grafer, der er tegnet i opgave 4, blev alle udtrykt på formen y = ax2 + c.

Beskriv, hvilken betydning størrelsen c har for grafens beliggenhed.

OPGAVE 7

a. Undersøg de grafer, der blev tegnet i opgave 5, og beskriv ligheder og forskelle mellem graferne. b. Afgør, om det er muligt at sige noget om formen og beliggenheden af graferne ud fra funktionernes forskrift y = ….

OPGAVE 8

De følgende ligninger er fremkommet ved at sætte y = 0.

1) 2) 3) 4) x2 = 0 2x2 = 0 x2 – 4 = 0 (x – 1)2 = 0 5) 2 6) 2 7) (x + 1) = 0 x + 2x = x(x + 2) = 0 (x + 1)·(x – 2) = 0 Find værdierne af x. Bemærk, at der nogle gange er to løsninger.

OPGAVE 9

a. Se på grafen for y = x2 – 4 fra opgave 4. Hvor på grafen kan man aflæse løsningen til ligningen x2 – 4 = 0? b. Se på grafen for y = x2 – 2x + 3 fra opgave 5. Hvordan kan man se, at ligningen x2 – 2x + 3 = 0 ingen løsning har?

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 175

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

Sommeren fortsætter varm og god. Det bliver en vane, at de fire venner tager på badetur ud til vandet.

Emil er den store vandhund. Han er vild med at springe ud fra klipperne. Han ved, at han skal give et godt afsæt, så han kommer i en bue uden om klippen.

OPGAVE 10

Den parabelbue, Emils spring danner, kan beskrives med funktionen y = –1,2 x2 + 2.

Værdien af x svarer til afstanden fra klippen. Værdien af y svarer til højden over vandoverfladen. x og y måles i meter. a. Tegn parablen y = –1,2 x2 + 2 i et koordinatsystem. Brug millimeterpapir.

Lad 1 cm svare til 0,1 m. b. Tegn den klippe, som Emil står på, ind i parablen.

OPGAVE 11

a. b. c. d.

Hvor højt over vandet starter udspringeren?

Hvordan havde forskriften set ud, hvis han var startet fra en højde på 3,5 m?

Hvor langt væk fra klippen er Emil i 1 m’s højde?

Hvor langt væk fra klippen rammer Emil vandet?

175

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 176

176

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

VIDEN OM Hvis sammenhængen mellem to mængder af tal er sådan, at der til hvert tal i den ene mængde findes nøjagtigt et tal i den anden mængde, kaldes sammenhængen en funktion.

Sammenhænge, der ikke kan beskrives som lineære, og hvis grafer ikke er rette linjer, kaldes ikke-lineære sammenhænge eller ikke-lineære funktioner.

Det kan fx være parabler, hyperbler og vækstkurver.

PARABLER

(0,2)

(3,0)

(0,0)

y = x2

y = x2 + 2

y = (x – 3)2 = x2 – 6x + 9

(0,2) (3,0)

(0,0)

y = – x2

y = –x2 + 2

y = –(x – 3)2 = – x2 – 6x + 9

Sammenhænge, der kan beskrives ved en ligning på formen y = ax2 + bx + c, hvor a er forskellig fra 0, kaldes andengradsfunktioner, og graferne kaldes parabler.

EKSEMPEL

Andengradsfunktionen y = –x2 + 6x – 9 indeholder således a = –1, b = 6 og c = –9.

Værdierne af a, b og c bestemmer, hvordan grafen ser ud, og hvor den ligger i koordinatsystemet.

Se eksemplerne ovenfor.

Hvis a er negativ, vender grenene på parablen nedad.

Hvis a er positiv, vender grenene på parablen opad.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 177

177

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

6

y = 5 · x2

4

y = 0,5 · x2 2

20

Jo større a bliver, jo smallere bliver parablen.

Jo mindre a bliver, jo bredere bliver parablen.

Værdien af c afgør, hvor parablen skærer y-aksen. y = x2 + 4, hvis x = 0, vil y = 02 + 4 = 4 y = –x2 + 6x – 9, hvis x = 0, vil y = –1 · 02 + 6 · 0 – 9 = –9 EKSEMPEL

Når en person springer længdespring, fremkommer der en parabel. Vandstrålen i et springvand vil også danne en parabel.

Når man kører bil, skal man huske på, at sammenhængen mellem bremselængden og hastigheden ikke er en lineær funktion, men en andengradsfunktion.

Det vil sige, at hvis man sætter farten op fra 40 km/t til 80 km/t, så bliver hastigheden dobbelt så stor, men bremselængden bliver 22 = 4 gange så stor.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 178

178

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

HYPERBLER

EKSEMPEL

Mikkel vil opspare 2000 kr. ved at lægge et bestemt beløb i en sparegris hver uge.

Lægger han 50 kr. i sparegrisen hver uge, tager det 40 uger.

Lægger han 200 kr., varer det 10 uger. Jo flere penge, jo færre uger.

Sammenhængen kan beskrives som en omvendt proportional funktion y · x = 2000 kr., hvor x er pengene i kroner og y er antallet af uger.

2000 Funktionen kan omskrives til y = _x_ .

50

40

30

y=

1 x

20

10 –30

–20

–10 10

20

30

40

–10

uger 120

–20

100

–30

80

–40

60

Sammenhænge, der kan beskrives ved en ligning på a formen y = _ x eller y · x = a, hvor hverken a eller x er 0, kaldes en omvendt proportionalitet, og grafen kaldes en hyperbel.

40

20

100

Ved en omvendt proportional funktion bliver y-værdierne mindre, når x-værdierne bliver større.

200

300 kroner

EKSEMPEL

Sammenhængen mellem, hvor højt man spiller musik med sin radio, og den levetid batterierne har, 0 . kan beskrives med funktionen y = 1_5x_ Værdien x er styrken, angivet med tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 på radioen, og y er antallet af timer radioen fungerer. Jo højere lydstyrke, jo kortere levetid for batterierne og omvendt.

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

9/17/09

1:33 PM

Page 179

179

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

VÆKSTFUNKTIONER

Sammenhænge, der kan beskrives med forskriften y = ax, hvor a er et bestemt tal forskelligt fra 0, og x er den variable eksponent, kaldes en vækstfunktion, og grafen kaldes det samme. Grafen viser funktionen y = 2x .

32 30 28 26 24

En vækstfunktion kaldes også for en eksponentialfunktion, fordi eksponenten x fortæller noget om, hvordan og hvor hurtigt noget vokser.

22 20 18 16

EKSEMPEL

14

Hvis man vil finde ud af, hvor mange tip-tip-tip- … oldeforældre, man har haft gennem et vist antal generationer tilbage i tiden, vil sammenhængen mellem antallet af forfædre og antallet af generationer tilbage være bestemt ved vækstfunktionen y = 2x.

12 10 8 6 4

1. trin tilbage er far og mor, som består af 2 personer.

2. trin tilbage er bedsteforældre, som består af 4 personer.

3. trin tilbage er oldeforældre, som består af 8 personer.

4. trin tilbage …

2 5

Det kan tabellægges.

5500

Trin tilbage

1

2

3

4

5

6

n

Antal forfædre

2

4

8

16

32

64

2n

5000 4500 4000

Det kan beskrives med en forskrift y = 2x, hvor x er antallet af trin tilbage i familien, og y er antallet af forfædre.

3500 3000

EKSEMPEL

Når man ser på renteudviklingen på et lån, udvikler det sig typisk som en vækstfunktion.

Indbetaler man 2000 kr. på en opsparingskonto med en rentetilskrivning på 5 % pr. gang, kan det beskrives med følgende formel: K n = 2000 · 1,05n, hvor K n er beløbet på kontoen efter n rentetilskrivninger.

Det kan omskrives til funktionen y = 2000 · 1,05x.

2500 2000 1500 1000 500

1

2

3

4

5

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 180

180

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPFØLGNING OPGAVE 1

Tag stilling til hvilke grafer, som passer til hvilke forskrifter. b. y = 5x c. y = –2x + 3 d. y = 1,5x a. y = 2 x 2

–15

–10

2 e. y = _ x

1 2 f. y = – _ 2 x – 3

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

–5

5

10

15

–15

–10

–5

–2

5

10

15

5

10

15

5

10

15

–2

10

10

8

–15

–10

–5

6

8

4

6

2 4 5

10

15

–2

2

–4 –6

–15

–10

–5

–8

–2

–10

2 10 –15

–10

–5

5

10

15

8

–2 6 –4 4 –6 2 –8 –10 –12

–15

–10

–5 –2

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 181

181

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 2

OPGAVE 5

En funktion f(x) er beskrevet ved sammenhængen y = 3x 2.

10

x

0

2

–2

5

–5

8

y 6

a. Tegn tabellen, og beregn y-værdier. b. Beskriv funktionen som en graf i et koordinatsystem. c. Tegn grafen for funktionen g(x) beskrevet som y = 3x 2 + 1.

4 2

–15

–10

–5

5

10

15

–2 –4

OPGAVE 3 –6

Tegn de følgende funktioner som grafer i samme koordinatsystem. a. f(x) = x2 + 2x b. g(x) = –x2 – 2x c. h(x) = x2 – 3x + 5 d. k(x) = –3x2 + x + 4

–8 –10

Afgør, hvilke af følgende funktioner der er afbildet som graf. a. y = x2 + 4x – 6 b. y = x2 – 5x – 5 c. y = 3x2 + 6x + 5 d. y = x2 – 5x + 6 e. y = x2 + 5x + 5 f. y = 2x2 – 6x – 6

OPGAVE 4

8 6 4 2

OPGAVE 6 –15

–10

–5

5

10

–2 –4 –6 –8

15

a. Aflæs skæringspunkterne med x-aksen på parablen i opgave 5. b. Vis ud fra forskriften, at y = 0, når x har de to værdier.

–10

Afgør, hvilken af følgende funktioner som passer til grafen, og begrund hvorfor. a. b. c. d.

y = x2 – 5 y = –x2 – 5 y = –0,5 x2 – 5 y = 0,5 x2 – 5

OPGAVE 7

Tegn graferne, og aflæs skæringspunkterne. a. y = x + 3 og y = x2 – 9 b. y = x + 6 og y = –x2 + 2x + 8

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 182

182

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

OPGAVE 8

OPGAVE 12

En andengradsfunktion kan beskrives ved y = ax2 + bx + c Beskriv funktionen, hvis a. a = 2,5 b=0 c = –4 b. a = –5 b = –3 c=0 c. a = –1 b = 0,04 c = –250 d. a = –0,2 b = –1 c = 300

100 80 60 40 20 –160–140 –120 –100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100 120 140 –20 –40

OPGAVE 9

–60

I en skål findes der fra start 500 bakterier.

Antallet af bakterier forøges med 25 % for hvert 10. minut. a. Skriv en formel for væksten. Lad y være antallet af bakterier og x være tiden i minutter. b. Tegn en graf, som viser væksten efter 60 min. c. Hvor mange bakterier vil der være efter 30 min.? d. Hvor lang tid tager det, inden der er 1500 bakterier?

–80 –100

a. Beskriv, hvad der sker med y-værdierne, når x-værdierne vokser. b. Beskriv, hvad der sker med x- værdierne, når y-værdierne vokser. c. Fortæl en historie, der passer til grafen.

OPGAVE 13

Tid 10

OPGAVE 10

8

En funktion f er beskrevet ved y = _ x.

24

6

a. Skriv, hvilket tal x ikke kan være. x

3

2

1

–1

–2

–3

y

b. Tabellæg funktionen. Udfyld de tomme felter i tabellen med både positive og negative tal. c. Tegn grafen i et koordinatsystem.

OPGAVE 11

_.

En funktion h er beskrevet ved y = 18 x a. Tabellæg funktionen. b. Tegn grafen for funktionen. c. Hvilke kvadranter ligger grafen i?

4 2

20

40

60

Fart

Hvis farten kaldes v, afstanden for s og tiden for t, så gælder sammenhængen t = s/v.

I cykelløbet Danmark Rundt køres en etape på 240 km. a. Beregn, hvor lang tid det tager at køre turen, hvis farten er 15 km/t, 40 km/t og 60 km/t. b. Tegn koordinatsystemet og grafen for s funktionen t = _v .

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side 183

183

IKKE LINEÆRE SAMMENHÆNGE

OPGAVE 14

OPGAVE 18

Emma arver 30 000 kr., som hun sætter ind på en konto med 7 % i rente p.a.

Rentetilskrivning én gang om året.

Skriv en historie om hver af de seks grafer.

Tiden er ud ad x-aksen, og afstanden fra hjemmet er ud ad y-aksen.

Termin

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

y

Saldo (kr.) 30000

a. Udfyld skemaet. b. Tegn et koordinatsystem med terminer på x-aksen og saldoen i kroner på y-aksen. c. Tegn grafen for vækstfunktionen.

a

x

b

x

y

y

OPGAVE 15

En opsparing, hvor der indsættes 6000 kr. forrentes med 3 % hver tredje måned. a. Tegn en graf i et koordinatsystem, som beskriver udviklingen i opsparingens størrelse inden for 2 år. b. Hvor mange terminer skal der til, før de 6000 kr. er blevet fordoblet?

c

x

y

d

x

y

OPGAVE 16

a. Tegn grafen for funktionen f: y = x2 + 1. b. Tegn grafen for funktionen g: y = 2x + 4. c. Aflæs på grafen, hvilke fælles skæringspunkter de to grafer har. d. Vis ved udregning, at det er de rigtige to punkter, der er fundet.

OPGAVE 17

40 mand kan udføre et arbejde på 10 dage. a. Hvor længe vil 16 mand være om at udføre det samme arbejde? b. Er der tale om ligefrem eller omvendt proportional sammenhæng? c. Tegn en graf, der kan bruges til aflæsning af indtil 50 mand i arbejde.

x

e

x

f

OPGAVE 19

I et område var der en kaninbestand i år 2000 på 8000 dyr. Man konstaterede, at bestanden voksede med 5 % hvert år frem til i år. a. Hvor mange harer var der i 2001? b. Hvor mange harer var der i 2004? c. Tegn en graf, som beskriver bestandens størrelse fra år 2000 til i år. d. Hvor mange år går der, inden bestanden af kaniner er blevet fordoblet til 16 000 kaniner?

80570_kontext9_kerne_01-03.qx6

184

9/17/09

1:36 PM

Page 184

MØNSTRE OG SAMMENHÆNGE

KAN DU FORKLARE DET? 1. Spørgsmål Funktionen f er givet ved følgende forskrift: f(x) = x2 – 1 a. Beregn værdien af f (2) og f (–2). b. Beskriv og begrund sammenhængen mellem f(2) og f(–2). c. Hvis der gælder, at f (x) = 15, hvilke værdier kan x så være? d. Tegn f (x), og forklar (ud fra opgave a-c), hvorfor grafen er symmetrisk omkring y-aksen og går gennem (0, –1).

2. Spørgsmål Karleby og Toreby ligger 50 km fra hinanden. Ulla skal køre med tog fra Toreby til Karleby. a. Hvor lang tid tager det, hvis toget kører 100 km i timen? 200 km i timen? 50 km i timen? b. Hvad sker der med tiden (y), når farten (x) bliver mindre og mindre? c. Fremstil en forskrift for ovenstående sammenhæng, og tegn den tilhørende graf i et koordinatsystem.

1 d. Begrund, at talparret (150, _ 3 ) ligger på grafen.

3. Spørgsmål Silja starter kl. 8.30 med at cykle til skole og kører stærkere og stærkere, indtil hun efter 10 min. har kørt 2 km. Derefter kører hun med den samme fart i 12 min., indtil hun har kørt 4 km, hvor hun kommer til et lyskryds. Da der er rødt lys, må hun holde stille i 2 min.

Da hun fortsætter, er hun træt og cykler nu med den halve hastighed i forhold til før lyskrydset. Det tager hende 15 min., og så er hun ved skolen. a. Hvor lang tid er Silja om at cykle til skolen? b. Tegn en graf, der beskriver Siljas cykeltur. Sæt tiden i minutter ud af x-aksen og antallet af kilometer ud ad y-aksen. c. Hvor mange kilometer cykler Silja til skolen?

4. Spørgsmål Fremstil en vækstfunktion, som har en tilvækst på 15 % for hver gang.

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side ES1

KONTEXT_Kernebog_9_3.korr.

23/09/08

19:57

Side ES2