(( (( ( (( ( ( ( (( (
)) ))) )) ) ) ) ) )) )
l og33, s i n(A ) 2 s n(B) s i n(C ) 2 2i 5 2 =c −2 =⋅c a =b + ⋅b⋅c os(A) 3 3 8 8 1 1 , 7 , 7 l o l o g g 4, a b c(C ) 5 s i n(A ) 2 s i n(B) s i n 3 3 3 , 5 , 5 l og3 2 =c 2−2 =⋅c aa == a =b + ⋅b⋅c os(A) 2 4 4 , 5 , 57 a b c l o l o g g381, l o g 2 2 2 2 2 a2 = b 2+ c 2−2⋅b⋅c ⋅c os(A) 3 , 5 2 , 4 4 −1 3 = t va = a n b = a + c −2 ⋅a⋅c ⋅c os(B) 4 , 5 2 0 l og 2, 2 2 2 4 4 b2 = =b a2++ cc2− −2 2 a⋅⋅cc⋅⋅c c o s(A) (B) v = t a n−1 2 a ⋅⋅b o s 20 Sinusrelationerne Cosinusrelationerne 2 4 , 4 4 4 a b, c −−1 12 2 2 2 vv == t t a a n n = = b22= b a22+ c 2 − ⋅a⋅ ⋅ os(B) a 2 2b c c (A) 2 2 0 0 s i n(A ) s i n (B) s i n(C ) c = a + b −2⋅a⋅b⋅c os(C ) a b c 2 2 2 = −1 2 , 44= a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ c o s(A) 2 2 2 vi = a ns 2+ b2−2 n (A ) t i n(B) s i n(C ) c2 på =a abagflappen. a⋅⋅cb⋅⋅c c o s (C ) H:s ind under Cosinusrelationerne 20 b = + c −2 ⋅⋅a o s (B) a =
2 2
2 2
2 2
Regnearternes hierarki - Parenteser 3 2+ 4 ⋅√ 2 5− 3 = 8+ 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Potenser og rødder 3 -2 Multiplikation +4 ⋅√ 2 5− 3 = og 8+division 4⋅5− 3 = 8+ 20− 3 = 25 - Addition og subtraktion
c = abagflappen. +b ⋅a⋅b (C ) b på c −2 c ⋅c os(B) H:si ind) under Cosinusrelationerne n(A s i n(B) s i n(C ) = = Kvadratsætningerne b på = abagflappen. + c −2 a⋅ac ⋅c os(B) H: H: ind ind underb Cosinusrelationerne Cosinusrelationerne på bagflappen. a under c b + c ⋅− s i n(A ) s i n(B) s i n(C ) os cc =(A) a= + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) = = Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c a b c b + c − a H: ind under Cosinusrelationerne på cos =(A) abagflappen. + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c = Kvadratsætningerne Kvadratsætningerne 2 ⋅b⋅c (a + b)
2
2
2
= a + b + 2ab
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2 c −a c =(A) a =+ b b + −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c os Kvadratsætningerne 2 2 2 2 ⋅b2⋅c 2 Kvadratsætningerne 2 (a + b) = a + b + 2ab a +c − b c os(B )= b2+ c 2− a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a (a (a + + b) b) = = a + + b b + + 2 2 ab ab ⋅a2⋅c 2 2 2 2 22 c o s (A) = a =b) b + c= −a2 ⋅+bb ⋅c − ⋅c os (A) (a − 2 ab a +⋅cb⋅ 2− 2 cb c os(B )= b22 +c − a 2 2 2 c o s (A) = 2 ⋅ a ⋅ c 2 2 2 2 2 2⋅c 2 2 a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c o s (A) a +⋅cb2⋅−c b 2 (a− + b) = ab (a = a +b + −2 2 ab c os(B )= b22 +c − a c os(A) = 2 2 2 2 2 2 2 ⋅a2 ⋅c 2 2 (a (a2−−b) b)2 ==2 aa ++bb −−2 2 ab ab 2 cc a +⋅b⋅− 2 b a +− c b) −2 ⋅= a⋅ca⋅2c os c os(C ) =a2+ c 2− b2 (a +=b)(a − b(B) ⋅ a ⋅ b 2 22 2 c o s (B ) = 2 2 2 2 2 a +⋅a b2 c −c2 b(a = a2 + c=−a 2 ⋅a c o s (B) 2 2 − b) +⋅bc ⋅− 2 ab c os(C ) = a22 + c ⋅− b (a + b)(a − b) = a − b c os(B )= 22 ⋅a2 ⋅b 2 a22 +⋅b − c 2 2 2 2 2 a ⋅ c (a (a2++b)(a b)(a −b) b) == aa −−bb 2 − 2 c os(C ) = a + c − b2 cBrøkregneregler Potenser = a + b −2 ⋅a⋅b⋅c os(C ) c os(B )= 2 ⋅a⋅b 2 ⋅a⋅c 2 2 2 2 2 2 2 c(a = a + b− b) −2 ⋅= a⋅ba⋅2 c os a + b −c + b)(a − b(C ) c o s (C ) = 0 a b a+b a =1 2 ⋅a⋅ 2b 2 + = a2 +b − c c os(C ) = c c c 22 ⋅b 2 n m n+ m⋅a2 aos ⋅ a(C )==aa + b −c 2 2 2 c b +c − a c osb (A) =a ⋅ b 2 ⋅a⋅b a ⋅ = 22 ⋅b2 ⋅c 2 n bc + c − a a n⋅ b n = ( a ⋅ b ) c c os(A) = 2 ⋅b⋅c
a a :c = 2 2 2 a +c − b b b c os(B )=⋅ c
a−n =
2 ⋅a2⋅c 2 a +c − b c aos(B b )=a ⋅ d2 b ⋅ c ad + bc ⋅+a⋅c = + = 2
c
d
c ⋅d
2
d ⋅c
2
cd
2
a + b −c c aosc(C ) =ac 22 b 2 ⋅ = a +⋅ba2⋅− c bosd(C ) = bd c 2 ⋅a⋅b
2
(a )
n m
2
1 an
=a
n⋅m
a n a = bn b
n
4
3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√2 25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8 4
3 8 = 38= −2 4 +⋅2 9 1+ 20− 3 = 25 2−+7 4 ⋅+√25− 80 +1 4 5−=3 2 =3 8
Kernestof Mat B
KERNESTOF MAT B Indhold i opslag Opslagene indeholder en introcase, matematikteori, eksempler og øvelser. Hvert kapitel indeholder mellem tre og seks opslag. Der er opgaver bagerst i hvert kapitel, og formelsamling på coverets flapper. QR-koder linker til små film med uddybninger og eksempler. Facitliste bag i bogen.
4
8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3 4
8−7+42 = 8−42401+ 2 = 2391 (8− 7) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3 4
4
2 ) + 2 = 1+ 2 = 1 (8 +)⋅2 (4−−7 15)⋅4+ 2 (16− 15 4+=2 3 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 9 √4 4 2 (8 −7 ) + 2 = 1+ 2 = 1+ 2 = 3 (4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3 √9 2
(4− 15)⋅4+ 2
(16− 15)⋅4+ 2
2
–4 · x + 2 = –6
3 · x+1=x– 7
−4 x 8 − –6 6−–22 –4 · +x=2 +−22 –= 2=
3x 32 · +x1 +−= 1x–−=x7=x x−–7− 7 –x x
−4 x+ 2= − 6 − 4 −8 –4 ·xx= −4 x 8 ==−–8 −4 4 −2 4 −=6− 6− 2 − x+ 2−= − −x− 4 4⋅4 −− 88 x⋅x x−=2− 8 = ==−−−−2 −4 4 4= − 6− 2 − x+==2 8 − −4 4 − −4 4
x− 4 =x− 2− 8 −4 −4 −4 x −8 = x− = 4− 2− 4
Parenteser a c a d : = ⋅ b d b c a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
x = −2
(a + b ) ⋅ (c + d ) = ac + ad + bc + bd
3x+ 1= x − 7
22x ·+x1 +−= 11= −=–7 7− 7− 1
3x+ 1−=x x=− x7− 7− x
22x ·+x=1 +− –=1 − =7 –−71 –1 −11 8 3 2x+ 1−=x −=7x − 7− x
22x · x = –88
2 x+== − −8 2 x −=7− 7− 1 2 2 x +1 1−=12 22 ⋅x x 88 =−−−4 xx+== 1 − = − 7− 1 2 2 −1 8 2 = 22 x = −4 2 2 2x 8 x2==−−42
2 x–4 8 x = x2 = =− −8
4 ⋅(x − 3)= 0 x = −4 Ligningsløsning med Nulreglen
”Hvis giver 0, er en af faktorerne 0”. 4 ⋅(x −produktet 3)= 0 4x·=(x3– 3) = 0
4 ⋅(x − 3)= 0
Lindhardt og Ringhof
ISBN 9788770665667
9 788770 665667
Per Gregersen og Peter Limkilde
ISBN 978-87-7066-566-7
xx–=33 =0
4 ⋅(x − 3)= 0
x(x = +3 1)⋅(7− x ) = 0
Per Gregersen og Peter Limkilde
4+ 2 6 = = 2 3 3
(4− 15)⋅4+ 2 (16− 15)⋅4+ 2 1 ⋅4+ 2 4+ 2 6 = = = = = 2 3 3 3 3x+ 1− x =3 9 √ −4 x+ 2−=2−=6− 6− 2 = x −x 7− 7− x
=−8 x−=4x 2=
www.lru.dk/kernestof
1 ⋅4+ 2
=ved omformning= = Ligningsløsning 3 3x+ 1= x −3 9 −4 x+ √2 = −6 7
x =3
1)⋅·(7 (x(x++1) (7− –x )x)==0 0 x =3
xx+ = 1 =−01eller ellerx 7=– 7 x=0 (x + 1)⋅(7− x ) = 0
xx= = –1− 1 eller 77 eller xx== (x + 1)⋅(7− x ) = 0
www.lru.dk
x = − 1eller x = 7 x = − 1eller x = 7
4. Differentialregning 2 Matematiske modeller – sammenhænge mellem variable 1 Intro Jørgen kæmper med at få pumpet sin cykel, men ventilen har sat sig fast, så der kommer ikke noget luft ind. Jo hårdere han trykker, jo længere kan han presse stemplet ind. Senere, efter at ventilen er skiftet, begynder han at tænke over, hvilken sammenhæng der mon er mellem lufttryk og stempel?
2 Øvelse Her er en tabel med sammenhørende værdier for tryk og stempelposition a. Tegn en graf over tryk som funktion af stempelposition. b. Brug potensregression med CAS-værktøj
Stempelposition i cm
Tryk i bar
30 20 15 11
0,33 0,55 0,73 1,0
og tilføj en tendenslinje, der bedst beskriver data: c. F indes der en position, der svarer til 0 bar?
3 Definition En matematisk model bruges til at beskrive, forklare eller undersøge et udsnit af virkelighedens problem
matematisk problem
den virkelige verden. Når en model skal opstilles, vælger man variable, giver dem navne og fastlægger sammenhængen mellem dem enten med formler, ligninger eller grafer.
virkelighedens matematisk løsning løsning
Opgaven løses først i den matematiske verden, og løsningen oversættes derefter til den virkelige verden.
4 Øvelse a. Hvilken sammenhæng (model) er der mellem de variable i øvelse 2? b. Hvordan afgjorde du, hvilken model der bedst beskriver data i øvelse 2?
5 Eksempel I øvelse 2 benyttede vi regression til at finde en model (tendenslinje), der beskrev data. Nu vil vi benytte data på en ny måde til at finde en forklaring. Vi udregner produktet af stempelposition og tryk:
84
4. Differentialregning 2
Måling nr.
Produkt af stempelposition og tryk
1 2 3 4
9,9 11 11 11
Der er noget der tyder på, at produktet er konstant lig 11 uafhængigt af stemplets position. I naturvidenskab forklarer man fænomener med alment gyldige naturlove. Da stemplets position ændrer rumfanget i pumpen, vil det kunne inspirere os til at formulere den lovmæssighed, at produktet af tryk og rumfang er konstant. Inden for fysikken kaldes denne lov Boyle-Mariottes lov. Den siger faktisk, at produktet af tryk og rumfang er konstant, når temperaturen og stofmængden er bevaret. En matematisk model er her benyttet til at formulere en naturlov. Robert Boyle (1791-1867)
6 Øvelse a. Hvad bliver trykket ifølge modellen i øvelse 2, når stemplets position er 25 cm? b. Hvilket gyldighedsområde for stemplets stilling hører til modellen i intro 1?
7 Definition Modeller opnået ved regression på givne måledata kaldes erfaringsbaserede modeller (empiriske modeller). Modeller, der bygger på teoretiske overvejelser, kaldes teoribaserede modeller (a priori modeller). Ved oversættelsen til matematik kan man blive nødt til at afgrænse og forsimple. Der optræder derfor et informationstab.
8 Eksempel Fire venner diskuterer sundhed og kost. Jesper ved, at et menneskes fedtfri vægt, dvs. vægten af knogler og muskler mm., kan beregnes beregnes med von Döbelns formel 2
–6 0,712
FFW = 15,1 · (L · R · F · 10 )
hvor L er højden i cm, R er summen af højre og
venstre håndledsbredde og F er summen af knæleddenes bredde målt i cm. ”Det vigtige er, at man ikke synker sammen med alderen” , siger han, ”for højden indgår i anden potens i formlen!” ”Det er jo bare en model”, siger de andre.
9 Øvelse a. Mål dine egne håndled og knæled og beregn din fedtfri vægt b. Kan von Døbelns model være rigtig? c. Hvilket informationstab kan der være i forbindelse med modellen?
4. Differentialregning 2
85
Den matematiske modelleringsproces 10 Intro På et husmandssted skal der bygges en rektangulær hønsegård ud af 20 m hegn. Vi vil designe hønsegården, så vi får mest muligt areal til hønsene for de 20 m hegn, vi har til rådighed. Vi vælger at lægge den ene side op til en lade, så der skal kun være hegn på 3 sider. Begreber vi skal bruge: Sidelængde, rektangel, omkreds og areal. De tre blå sider har længderne x, y og x, og da vi kun har 20 m til rådighed, skal summen af de tre sider give 20. Vi har altså: x + y + x = 20 x + y + x = 20 ⇔ 2x + y = 20 ⇔ y = 20 – 2x Vi isolerer y, so vi skal bruge til at beregne arealet. Rektanglets Areal = x ∙ y. I denne ligning substituerer (erstatter) vi y med 20 – 2x: 2
2
Vi har nu: A real = x·y ⇔ Areal = x·(20– 2x) ⇔ Areal = 20x– 2x ⇔ Areal = –2x + 20x 11 Øvelse 2
Arealet er altså en funktion af x. A(x)= –2x + 20x a. Bestem forskriften for A′(x) og funktionens maksimumsted. b. Hvad bliver hønsegårdens dimensioner?
12 Definition Med udtrykket modelleringsproces vil vi forstå aktiviteterne (a) til (f ) i figuren på næste side, der fører modelbyggeren fra virkeligheden til en handling eller erkendelse. Bemærk altså, at evalueringen af erkendelsen og en eventuelt ny runde med alle eller dele af aktiviterne er en del af processen.
13 Øvelse År
2003
2004
2005
2006
Solenergi
32,8
49,4
68,9
116,4
Tabellen viser mængden af udvunden solenergi målt i MW i Spanien. I en model antages det, at sammenhængen kan beskrives ved en eksponentiel model, hvor den uafhængige variable er antal år efter 2003. a. Bestem forskriften og forudsig mængden produceret af solenergi i Spanien i 2008. b. H vilke modelleringsfaser har du arbejdet med? (Vink: Brug fremgangsmåden på næste side)
86
4. Differentialregning 2
14 Eksempel (fortsættelse af intro 10)
Virkelighed. Vi har et ’virkeligt problem’. Konkretisering af opgaven. Opgavens rammer stilles op uden matematiske betegnelser eller overvejelser.
Vi vil bygge en hønsegård op af en bygning. Hønsegården skal være firkantet og være så stor som muligt. Vi har et begrænset stykke hegn til rådighed.
Virkelighedsudsnit. Vi har nu indsnævret opgaven med fokus på faktorer, vi finder mest relevante. Systematisering. For at gøre en matematisk modellering mulig bliver vi nødt til at fokusere på de elementer af opgaven, der kan oversættes til matematik. Det betyder samtidig, at en masse faktorer, der måske kunne være relevante, forsvinder. Begreber bliver nødt til at være entydige.
Hønsegården skal være rektangulær. Hegnet må være rektanglets omkreds (dog er den ene side en bygning). Der er tre sider, hvoraf de to sider overfor hinanden er lige store. Hønsegårdens areal skal være så stort som mulig. Vi kigger ikke på hegnets materiale, stolpernes form, beliggenhed på ejendommen etc.
System. Vi har nu skåret ind til benet og kan forholde os til få oplysninger og deres indbyrdes sammenhæng. Matematisering. For at kunne foretage en matematisk analyse må vi oversætte den indsnævrede systematiserede situation til matematik.
Vi kalder hønsegårdens areal for A. Hegnet (som jo er omkredsen) kalder vi O. Vi ved at O = 20. De to ens sider kaldes begge for x og den anden side for y. Der må nu gælde at A = x · y og x + y + x = O og dermed at x + y + x = 20. Ved at isolere y i omkredsformlen og indsætte i arealformlen kan vi få arealet som funktion 2 af x (vi har elimineret y) A(x) = –2 · x + 20x.
Matematisk system. Nu har vi reduceret kompleksiteten så meget, at vi kan bruge vores matematiske redskaber til at finde en matematisk løsning på problemet. Matematisk analyse. Vi er nu helt ovre i matematikkens verden og står overfor en matematisk optimeringsopgave, som vi kan løse ved hjælp af differentialregningen.
Vi differentierer arealfunktionen A(x), sætter A′(x) lig med nul og sikrer os, at vi har fundet et maksimumssted. Resultatet bliver, at x = 5 og dermed er y = 10.
Modelresultater. Vi har nu en matematisk løsning. Tolkning og vurdering. Den matematiske løsning oversættes tilbage til virkeligheden og fortolkes i forhold til den virkelige problemstilling.
De to ens sider skal være 5 m og den anden side 10 m, det giver den største firkantede hønsegård. Vi er nu parate til at gå i gang med hammer og sav med vished om, at vi får mest muligt ud af vores indkøbte hegn.
Handling/Erkendelse. Vi har nu en ’virkelig løsning’ på vores problem. Vurdering af modellen. Til sidst reflekterer vi over modellen og virkeligheden og de valg, vi har foretaget. Kunne man have lavet andre prioriteringer, eller kom vi til at bruge modellen i situationer, hvor den ikke helt gælder?
Kunne vi have brugt hegnet bedre ved at lave en halvcirkulær hønsegård op af bygningen? Er der tilstrækkelig plads foran bygningen? Er bygningen overhovedet 10 m bred? Ellers kan den jo ikke bruges som den sidste side. Måske kunne vi med den nye viden opstille en mere præcis opgave og foretage modelleringen igen.
4. Differentialregning 2
87
Matematiske modeller – fokus på matematisering 15 Intro En flaske sodavand med pant koster i alt 18 kr. Sodavanden koster 14 kr. mere end panten. Hvordan kunne man bestemme panten?
16 Info De første skridt i modelleringsprocessen handler groft fortalt om at sætte matematik på sproglige formuleringer. Som nævnt kaldes denne proces matematisering.
17 Eksempel Det følgende er et lille kursus i matematisk modellering, hvor vi sætter fokus på den svære kunst at matematisere. Arbejdet med matematisering kræver mod til at begå fejl. Og det kræver, at du kommer i gang med at få skrevet noget ned. Måske kom du hurtigt frem til, at panten koster 4 kr. i øvelse 15? Det er forkert. I stedet har du brug for en tavle, noget krussedullepapir eller noget it-udstyr, hvor du kan skrive og tegne masser af skitser med pile m.v., hurtigt og effektivt.
18 Eksempel Matematisering – et par metodiske råd. Gør dig helt klart hvad du skal – formuler med (egne) ord, hvad det er, du skal bestemme. Indfør passende variable – kald det, du skal bestemme, for x (og y, z osv.). Udtryk sammenhængene ved hjælp af de variable. Hvis du har mere end en variabel, så prøv om du kan eliminere variable med den metode, der blev gennemgået på side NN.
19 Eksempel Vi vil gennemføre en lille modelleringsproces om casen fra øvelse 15. Systematisering: I øvelse 15 havde vi følgende begreber i spil: Pantprisen, sodavandsprisen og den samlede pris. Vi kender også to relationer, nemlig en mellem sodavandsprisen og pantprisen, og en mellem disse priser og den samlede pris.
88
4. Differentialregning 2
Matematisering: Vi skulle finde panten, så vi skriver:
x: pantprisen i kr.
Endvidere har vi sodavanden i spil, så:
y: sodavandsprisen i kr.
Vi ved, at sodavanden og panten koster 18 kr.:
x + y = 18
(1)
Vi ved også, at sodavanden koster 14 mere end panten: y = x + 14
(2)
Analyse: Vi eliminerer variablen y ved at indsætte y fra ligning (2) i ligning (1) og vi får: x + (x + 14) = 18 Nu har vi kun en variabel og kan finde en værdi for x. x + (x + 14) = 18 ⇔ x + x+14 =18 ⇔ 2x +14 =18 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 Erkendelse: Panten koster altså 2 kr. (og derved koster sodavanden 16 kr., og den samlede pris bliver 18 kr.)
20 Øvelse En kasse skal have rumfanget 125 liter og længden 5 dm. a. Hvis højden skal være 2 dm, hvor stor bliver så bredden?
21 Øvelse En kasse med samme højde, længde og bredde, hver på 10 cm (1 dm), indeholder i 3
alt et rumfang på 1 liter (1 dm ). a. H vis en ny kasse også skal have højde og bredde på 10 cm, men skal indeholde 3 liter, hvor lang skal længden så være?
22 Øvelse Svend, Birger og Niels har en tipsklub, hvor de deler gevinster efter deres indsatser. Af en bestemt gevinst får Svend halvdelen, Birger en fjerdedel og Niels en sjettedel – mens de beslutter at give resten på 2.000 kr. til Læger uden grænser. a. Hvor stor er gevinsten?
23 Øvelse Mona er blevet træt af sin samling af gamle LP-plader og beslutter derfor at forære dem væk. Moderen forærer hun halvdelen af pladerne plus 1. Faderen får derefter halvdelen af, hvad der er tilbage, og så lige 2 mere. De sidste to plader får postbuddet. a. Hvor mange LP-plader havde hun?
4. Differentialregning 2
89
Optimering med fokus på eliminering af variable 24 Intro Hvordan kan man spare på metallet til en dåse, der rummer 500 ml? Holder vi pladetykkelsen konstant, må det være ved at gøre overfladearealet mindst muligt. Overfladen på en cylinder med rumfanget 500 ml er givet ved 2
–1
O(r) = 2 · p r + 1000 · r , hvor r er endefladens radius. Den afledte funktion for O er O′(r) = 4 · pr – 1000 · r . –2
Fortegnet for O′(r) varierer som ”– 0 +” omkring r = 4,3. Dvs. ”grafen aftager først og vokser så igen, når r bliver større end 4,3. Derfor får vi det mindste metalforbrug, når radius er 4,3 cm (dvs. en diameter på 8,6 cm).
25 Øvelse –2
a. Løs ligningen 4 · p r – 1000 · r = 0 (husk at r −2 =
1 r2
)
b. Hvad har ligningen i a. med eksempel 24 at gøre? –2 c. Find fortegnet for O′(r) = 4 · pr – 1000 · r når r = 2 og r = 5
26 Øvelse En cylinderformet dåse har højden h og radius r i den cirkelformede endeflade. a. Opstil en formel for den samlede overflade, hvor både højden h og radius r indgår. b. Opstil en formel for rumfanget V, hvor både højden h og radius r indgår.
Om elimination af variable 27 Eksempel Når en variabel i en formel afhænger af to uafhængige variable, kan man bruge en ekstra oplysning som hjælp til at ”skaffe sig af med” (eliminere) den ene uafhængige variable i formlen. En rektangulær mark er omgivet af et 500 m. langt hegn. De korte sider kaldes x og den lange side y. Vi finder en funktion, der udtrykker arealet af marken. A=x·y O = 2x + 2y
Omkredsen er summen af de to korte og to lange sider
Nu kombinerer vi oplysningerne som brikker i et puslespil: 2x + 2y = 500
Omkredsen er 500
y = 250 – x Vi isolerer y
90
4. Differentialregning 2
Arealet er bredde gange længde
A(x) = x · (250 – x)
Vi sætter det fundne y ind i arealformlen på y’s plads.
A(x) = x · (250 – x) .
Nu er A (kun) en funktion af x
Metoden kaldes eliminering af en variabel.
28 Øvelse Vi vender tilbage til metaloverfladen på en cylinder med højde h og radius r . Arealet af de to endeflader og det lodrette sidestykke er 2
O = 2 · p r + 2 · p r · h (1) Rumfanget, V , er grundfladen gange højden: 2
2
V = p r · h når V er 500 ml får vi 500 ml = p r · h
(2)
a. Brug metoden eliminering af en variabel sammen med ligning (2) til at ”skaffe dig af med” variablen h , så overfladen i formel (1) alene er udtrykt ved r. b. Sammenlig resultatet med formlen i eksempel 24. Er det den samme formel? c. Overfladen er mindst, når r er 4,3 cm. Hvilken højde svarer det til? ( brug ligning (2)) d. Hvor stor bliver højden i forhold til diameteren?
29 Eksempel I intro 62 på side 68 var situationen den, at der skulle designes en kasse med kvadratiske endeflader, hvor der kunne være mest muligt tøj, ud fra reglerne om at: • længden højst må være 150 cm og • Summen af pakkens mindste omkreds og største længde må højst være 300 cm. Vi tegner en skitse og sætter nogle betegnelser på. Længden af endefladens sider benævnes x og langden kaldes y. Volumen af en kasse findes ved at gange længderne af de tre sider sammen: 2
V=x· x· y ⇒ V=x · y Nu er opgaven at eliminere y.
30 Øvelse Omkredsen af pakken bliver 4 · x. Volumen er en funktion af to variable x og y. a. Brug metoden fra ovenfor til at eliminere variablen y. b. Bestem et udtryk for volumen som funktion af variablen x, og sammenlign med intro 62 og øvelse 63 i kapitel 3.
4. Differentialregning 2
91
Opgaver – 4. Differentialregning 2 Opgave 401
Planet
Hastighed km/h
Bremselængde m
Middelafstand til Solen i AE
Omløbstid i år
Merkur
0,387
0,241
30
04
Venus
0,723
0,615
60
16
Jorden
1,00
1,00
90
36
Mars
1,52
1,88
120
64
Jupiter
5,20
11,9
150
100
Saturn
9,54
29.5
180
144
Uranus
19,2
84,3
210
196
Neptun
30,1
1645
Pluto (dværgplanet)
39,2
248
a. Afgræns og opstil en model for en bils standselængde ud fra tallene i tabellen. b. Er modellen erfaringsbaseret eller teoribaseret? c. H vilket informationstab er der i forbindelse med afgrænsningen?
Opgave 406 Når to personer sammen skal bære en stige (eller en anden lang genstand), vil man normalt tage
Opgave 402
fat i hver sin ende. Hvis de to personer ikke er lige
a. M odellér, hvor meget større en hønsegård kan
stærke, kan den stærkeste imidlertid aflaste den
blive, hvis man har en mur at bygge opad i
mindre stærke ved at tage fat længere inde på
forhold til, hvis man bygger den fritstående.
genstanden. a. M odellér, hvordan fordelingen af belastningen
Opgave 403
afhænger af, hvor den stærkeste tager fat.
Et stakit skal deles i tre dele, som skal danne en lukket indhegning ved at blive anbragt ind imod
Opgave 407
en mur.
a. M odellér – og diskuter på baggrund af model-
a. H vordan skal de deles og anbringes, for at indhegningen bliver så stor som muligt?
len – hvornår det er rimeligt at anvende plangeometri til beregning af afstande på jorden.
Opgave 404
Opgave 408
a. Modellér, hvor langt væk horisonten er.
I bogen ”Da Vinci Mysteriet” påstås det, at et menneskes højde fra isse til fod og fra navle til gulv
Opgave 405
danner forholdet Φ = 1,618 (det gyldne snit).
Planeters afstand fra solen målt i Astronomisk
a. Undersøg den påstand ved at måle de to af-
Enhed (Jordens afstand fra solen er 1 AE) og deres
stande på alle elever i klassen.
omløbstider målt i år fremgår af tabellen a. Opstil ved hjælp af regression en matematisk model for sammenhængen mellem omløbstid og middelafstand til solen. b. H vilken astronomisk lov svarer modellen til? c. Er modellen teori- eller efaringsbaseret?
92
4. Differentialregning 2
Opgave 409 a. M odellér, hvor lang en stige man kan få rundt om et hjørne.
Opgave 410
given station i en given periode. For en station i
a. M odellér, hvilken vej en livredder, som befinder
provisen så tallene sådan ud i januar 2002:
sig et stykke oppe på en strand, skal vælge ud til en person, som er ved at drukne.
a. M odellér, hvad risikoen er for at misse en forbindelse, hvis du ankommer med et tog, som du ifølge køreplanen lige netop kunne nå et
Opgave 411
andet tog med.
a. M odellér, hvor højt et (kegleformet) snapseglas skal skænkes for at være halvt fyldt.
Opgave 416 Indholdet af kuldioxid i atmosfæren er af væ-
Opgave 412
sentlig betydning for jordens klima. Ændringer i
a. M odellér, hvor mange gange man kan børste
kuldioxid-indholdet undersøges derfor grundigt.
tænder med en tube tandpasta.
I en model for den fremtidige udvikling af atmosfærens kuldioxid-indhold Q (målt i mia. tons)
Opgave 413
antages det, at væksthastigheden for kuldioxid-
Et teater hæver billetprisen med 30%. Det medfø-
indholdet er givet ved: t Q′(t) = –3 + 5 · 1,02
rer, at den samlede billetindtægt stiger med 17 %. a. M ed hvor mange procent har publikumstallet ændret sig? b. Afhænger svaret af størrelsen af hhv. billetpris, billetindtægt og publikumstal? Begrund svaret.
hvor t betegner tiden (målt i år) efter 1984. a. Angiv væksthastigheden Q′(t) i år 1984 og i år 1989. b. H vornår er væksthastigheden dobbelt så stor som i 1984?
Opgave 414 En kasse har rumfanget 125 liter og længden 5 dm. Vi kalder højden for x og bredden for f(x).
Kilde: Opgave 5.019 fra Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik, (b-niveau). Matematiklærerforeningen 1998.
Tallene for længde og rumfang vil sammen med
Vi vil her udvide opgaven.
formlen for rumfanget bestemme bredden f(x).
c. H vilke(n) proces(ser) i modelleringsprocessen
Bredden f(x) kan derfor opfattes som en funktion
arbejder man med i forbindelse med spørgsmål
af højden, x.
a. og b.?
a. H vilken type funktion er der tale om: lineær, potens eller eksponentiel?
Måske er fremskrivningsfaktoren et afrundet tal? (det ville i hvert fald være underligt, hvis væksthastigheden af CO2-indholdet præcis voksede 2%
Opgave 415
pr. år.) d. Lav en følsomhedsanalyse af afrundingens
Forsinkelse
Relativ hyppighed
0 – 2 min.
86,7 %
betydning, hvor du regner a. og b. igennem for
3 – 5 min.
8,9 %
de to tilfælde, at fremskrivningsfaktoren var
6 –15 min.
3,3 %
1,0152 og 1,0245.
16 – 30 min
0,9 %
> 30 min.
0,2 %
DSB offentliggør med mellemrum en statistik
e. H vilke(n) proces(ser) i modelleringsprocessen arbejder man med i forbindelse med spørgsmål d.?
over, hvor forsinkede togene har været på en
4. Differentialregning 2
93
Opgaver – 4. Differentialregning 2 Opgave 417
d. Prøv på baggrund af grafen at give et bud på,
I en model for udgifterne til en bestemt type institutioner er de årlige udgifter givet ved
hvor mange procent af BNP husholdningernes udlån vil være i år 2021.
y = ax + b hvor y er de årlige udgifter målt i millioner kr. og x er antal år efter 2000.
e. H vilke(n) proces(ser) i modelleringsprocessen arbejder man med i spørgsmål d.?
a. Bestem a og b, når udgifterne i år 2000 var Opgave 419
b. Benyt modellen til at bestemme de årlige institutionsudgifter i år 2020. Opgave 418 En husholdning er en lejlighed eller et parcelhus el.lign., altså en enhed hvor der bor en eller flere
Antal fødsler efter år 2000 Antal fødsler per år
50 mio. kr. og i 2005 var 60 mio. kr.
800 700 600 500 400 300 200 100 0
personer. På grafen her ses, hvor mange penge
0
husholdningerne i Danmark har lånt, sammen-
1 2 Antal år efter 2000
3
4
lignet med BNP. Grafen er ret upræcis, og det er
Figuren viser antal fødsler på et sygehus i en lille
uklart, om startåret er 1991, og om slutåret er
by i Danmark som funktion af tiden målt i år efter
2011.
år 2000. a. H vor mange fødsler var der i år 2000? (begyn-
Samlet udlån til husholdninger
delsesværdien).
pct. af BNP 160 %
b. H vor meget ændrer fødselstallet sig hvert år?
140 %
c. Stiger fødselstallet med tiden eller falder det?
120 %
d. H vad er hældningen på den indtegnede tendenslinje?
100 % 80 %
Som antydet fremkommer denne svært-aflæselige
60 %
graf fra en regression.
40 %
e. H vor i opgaveteksten er dette antydet?
20 %
f. I ndgår der en model i opgaven her?
0% 1991
2011
a. Alligevel fortæller grafen vel en del om de danske husholdningers udlån. Nemlig hvad? b. H vis grafen havde været et vandret linje, var
g. I så fald, hvad er modellen? h. I hvilket år fødes der ikke flere børn i byen ifølge modellen? i. H vilke modelleringsprocesser er der foretaget, før vi som læsere går i gang med spørgsmål a.?
udlånet så konstant målt i kroner, eller var lånene blevet større og større? c. H vilke(n) proces(ser) i modelleringsprocessen
Træk en elastik x cm tilbage over kanten på en
arbejder man med i spørgsmålene a. og b.?
lineal og skyd den af sted. Mål hvor langt den
I perioden op til den finansielle krise i 2007/2008
kommer (y).
var Danmark et af de lande i verden med højest
a. Brug målingerne til at opstille en matematisk
udlån til husholdningerne.
94
Opgave 420
4. Differentialregning 2
model for sammenhængen mellem x og y.
Opgave 421
• Vurdere svaret (modelkontrol) i forhold til Johan har et problem: han skal hjem hurtigst muligt fra diskoteket i en taxa, men er 200 kr. nok, når der er 9 km hjem? Taxaen tager 24 kr. i startgebyr. Dertil kommer 18 kr. pr. kørt km.
a. Løs problemet ved at opstille en matematisk model (ligning) – brug modellen til at lave udregninger. Regn fx ud, hvor langt man kan køre for 200 kr.
spørgsmålet. Skal der bruges andre værdier for de variable og/eller skal modellen laves om? a. H vor meget maling går der til at male et undervisningslokale på et gymnasium? b. H vor mange penge tjener en dansker i løbet af et liv? c. H vor mange sko skal der til at dække gulvet i et klasselokale? d. H vor meget luft indånder en teenager i løbet af en nat? e. H vor mange soveværelser går der på svaret til spm. d.? f. H vor mange blade er der på et løvtræ? g. H vor meget vand er der i en rund dam?
Opgave 422 I Johans fødeby er taxaprisen om dagen 30 kr. i
h. H vor mange elever kan dele en tube tandpasta på en hyttetur med en overnatning?
startgebyr og 9 kr. pr. kørt km. a. H vor langt kan man komme for 200 kr. i Johans
Opgave 425
fødeby? b. H vor mange km skal man køre, før turen i fødebyen er billigere end byen i opgave 421? Opgave 423 a. H vilke informationstab kan der være i opgave 422? b. Lav en modelkontrol ved at vurdere, om priserne på startgebyr og kilometerpris er rimelige. To kvinder måler deres reaktionstid, ved at den Opgave 424 (forskellige projektoplæg)
ene slipper en lineal i den ende, hvor det højeste
Denne opgave handler om at opstille en formel
tal står, og den anden holder en hånd lige under
og beregne et kvalificeret gæt på størrelsen af
linealen parat til at fange den. De ser på tallene,
noget. Hver delspørgsmål besvares ved at
hvor langt den faldt (l), før den blev grebet til
• Vælge nogle få variable, som man mener, sva-
tiden t. Fra fysik ved vi, at faldvejen, l , afhænger
ret afhænger af (giver informationstab). • Opbygge en formel der viser, hvordan hver variabel indgår i udregningen. • G ætte realistisk på de variables værdier. • I ndsætte værdierne i formlen og dermed beregne et cirka svar på spørgsmålet.
af tiden, t, efter følgende formel: l (t ) =
1 2
⋅ 9,82
m s2
⋅ t2
a. Opstil en teoribaseret model for reaktionstiden i sek. som funktion af faldvejen i cm. b. M ål din egen og sidemandens reaktionstid.
4. Differentialregning 2
95
Opgaver – 4. Differentialregning 2 Opgave 426
Iværksætternes indtægt udgøres af virksom-
Vi antager, at et menneskes hoved med tilnær-
hedens overskud (profit). Profitfunktionen P(x)
melse er en kugle, at kroppen, benene og armene
udregnes som omsætningsfunktionen R(x) minus
er cylindere, og at vægtfylden er som for vand
omkostningsfunktionen C(x).
3
(1 gram per cm )
c. Bestem forskriften for profitfunktionen
a. Opstil en model for et menneskes vægt som funktion af hovedets diameter.
P(x) = R(x) – C(x) I afsætningsøkonomien betegner R revenue (omsætning), C cost (omkostninger) og P profit
Opgave 427
(overskud).
På en togstrækning på y km kører toget parallelt med en landevej. Der er x stationer på stræknin-
Opgave 429
gen herunder de to endestationer.
Et tøjfirma sælger jeans og regner med, at enheds-
a. Opstil en model for den kørte togstrækning
prisen, som de kan tage for varen, er en funktion
som funktionen af tiden. b. H vor hurtigt skal toget køre mellem stationerne for at matche en bil, der kører på vejen?
af antal varer og er givet ved: f(x) = –0,01x + 500, hvor x er antal styk. a. Bestem enhedsprisen (prisen i kr. pr. styk) der svarer til salg på 5000 styk.
Opgave 428
Omsætningen er enhedspris gange afsætning (pris gange mængde). b. Bestem omsætningen ved en afsætning på 5000 styk. c. Bestem omsætningsfunktionen R(x) d. Bestem den maksimale omsætning. De variable omkostninger (omkostninger pr. styk) er på 320 kr. pr. styk. De faste omkostninger (startomkostninger uanset
En lille iværkstættervirksomhed skal til at sælge
om der sælges eller ej) er på 8000 kr.
guitarstrenge og indfører først en matematisk mo-
e. Bestem forskriften for omkostningsfunktionen
del over sammenhængen mellem deres omkost-
for de samlede omkostninger ved salg af x styk:
ninger, salgsindtægter, prisen og salget i styk.
C(x)
I systematiseringen vælger de, at prisen på en
Fortjenesten P(x) udregnes som omsætningen R(x)
pakke guitarstrege skal ligge fast på 60 kr. Afsæt-
minus omkostningerne C(x).
ningen i styk betegnes med x, og salgsindtægten
Altså: P(x) = R(x) – C(x).
er prisen i kr. pr. styk multipliceret med antal styk
f. Bestem forskriften for fortjenestefunktionen.
(”pris gange antal”). a. Bestem salgsindtægtsfunktionen R(x).
Opgave 430
Omkostningerne ved produktion af strengene er
Prisfunktionen i opgave 429 var
2
givet ved C(x)= -0,1x +50x+6000
f(x) = –0,01x + 500, hvor x er antal styk og f(x) er
b. Tegn grafen for omkostningsfunktionen.
enhedsprisen i kr. pr. styk. a. Er det en matematisk model? Begrund svaret.
96
4. Differentialregning 2
Opgave 431
x op på langs, så der fremkommer en rende med Glace-iso er et nystartet
rektangulært tværsnit.
isfirma, der sælger special-
a. Find en formel for tværsnitsarealet A(x).
is på steder, hvor man normalt ikke kan købe is
b. Find monotoniintervallerne for tværsnitsarealet ved hjælp af A′(x).
(oppe i fly, nede i kulminer
c. H vor meget skal han bukke op på hver side for
osv.).
at få størst muligt tværsnitsareal?
Literprisen er en funktion af afsætningen (salget i styk),
Opgave 434
således at:
En cylinderformet konservesdåse skal have rum-
p(x) = –0,08x + 100,
fanget 100 cm (1 dl). Højden kaldes h, overfladen
hvor x er antal liter.
for O(x) og radius i grundfladen for x.
a. Bestem den pris pr. liter der svarer til salg på 800 liter. Omsætningen (salgsindtægten) beregnes ved at gange antal med pris.
3
a. Bestem h som funktion af x. b. Bestem en formel for O(x). c. Find den x-værdi og h-værdi hvor materialeforbruget er mindst muligt.
b. Bestem omsætningen ved en afsætning på 800 liter.
Opgave 435
c. Bestem omsætningsfunktionen R(x).
Torben vil bygge en opbevaringskasse af ædeltræ,
De variable omkostninger er 15 kr. pr. liter.
bundfladen skal være dobbelt så lang som den
d. Bestem forskriften for omkostningsfunktionen
er bred (længderne x og 2x). Højden kalder vi h.
C(x) for de variable omkostninger ved salg af
Træet koster 0,04 kr. pr. cm og bunden skal være
x styk.
dobbelt tykkelse. Den samlede pris skal være 150 kr.
Fortjenesten udregnes som omsætningen minus de variable omkostninger. e. Bestem fortjenesten ved et salg på 300 liter. f. Bestem forskriften for fortjenestefunktionen
2
a. Opstil en formel for den samlede pris og en formel for rumfanget af kassen b. Eliminer variablen h, og find en formel for rumfanget alene som funktion af x c. Bestem den værdi af x, der giver det største
P(x).
rumfang til prisen. Opgave 432 En kasse har en kvadratisk bund (og låg) og en
Opgave 436
given sidelængde. Kassen har et rumfang på
Et sportsanlæg består af et rektangulært område
3
200 cm .
med siderne x og y afsluttet af to halvcirkler med
a. Tegn en graf over kassens samlede ydre over-
diameter x. Omkredsen skal være 250 m i alt
flade som funktion af sidelængden.
(indhegning). a. H vilke værdier skal x og y have, for at arealet af
Opgave 433
anlægget bliver størst muligt?
Jens vil lave en tagrende til sit drivhus ud af en lang metalplade, han har i forvejen. Pladen er 18 cm bred. Han bukker på begge sider stykket
4. Differentialregning 2
97
Opgaver – 4. Differentialregning 2 Opgave 437
c. (Svært spørgsmål) Hvor stor skal vinklen være,
Hanne og Niels går på kunstmuseum. Et af deres
hvis forholdet mellem trekantens areal og
favoritbilleder er 2 m højt og hænger på væggen
trekantens omkreds skal være størst mulig?
1,5 m over gulvet.
(mindste stakit omkring)
a. H vor langt fra væggen skal de stå, for at se billedet under den største synsvinkel?
d. Begrund svaret med udregninger, fx med brug af trigonometriske formler og metoder til at finde maksimum.
Opgave 438 Et blomsterbed har
Opgave 441
form af et rektangel
Asta vil anlægge et firkantet blomsterbed i haven.
afsluttet af en enkelt
Siderne skal være lige lange på h meter.
halvcirkel. Omkred-
a. Opstil en formel for bedets areal, hvori h og
sen skal være 8 m. a. H vilken størrelse skal siderne i rektanglet have, for
den mindste af firkantens vinkler, v, indgår b. H vor stor skal vinkel v være, for at bedets grundareal bliver størst muligt? c. (Svært spørgsmål) Hvor stor skal vinklen være,
at bedet får størst
hvis forholdet mellem firkantens areal og
muligt areal?
firkantens omkreds skal være størst mulig? (mindst muligt hegn).
Opgave 439
d. Begrund svaret med udregninger, fx med brug
4m
En familie vil sætte
af trigonometriske formler og metoder til at
et vindue i gavlen
finde maksimum.
på deres hus. a. H vilke dimensi-
Opgave 442
oner (længde og højde) skal vinduet have for at
16 km
få størst muligt 6m
areal?
Opgave 440
x
Hanne vil anlægge et trekantet blomsterbed i
En olieboreplat formligger 16 km udenfor en kyst.
haven. Det skal være trekantet med to lige lange
Olien skal transporteres til et raffinaderi lidt nede
sider på h meter.
af kysten. Det koster 300.000 pr. km i vandet at
a. Opstil en formel for bedets areal, hvori h og
lægge en olieledning, og 210.000 kr. pr. km på
vinklen, v, mellem de lige lange sider indgår
land. (Vink: Brug Pythagoras’ læresætning og
b. H vor stor skal vinklen mellem de lige lange si-
98
0
kald derudover afstanden fra (0,0) til raffinade-
der være, for at bedets grundareal bliver størst
riet for L)
muligt?
Find ud af, hvor vi skal føre olieledningen på land (x).
4. Differentialregning 2
Opgave 443
toget eller løbe videre over broen. Du kan løbe
På en mark, der er 20 m på hver led, vil man an-
20 km/t, og med den fart viser det sig, at du i
lægge to grusstier, der går tværs over marken på
begge tilfælde lige akkurat kan nå til enden af
hver sin led.
broen samtidig med toget.
a. H vor brede stier kan man anlægge, hvis man
a. Hvor hurtigt kører toget?
kun har grus nok til at dække 19 % af markens Opgave 448
areal? b. H vor brede kan stierne være, hvis man kun lægger gruset i et halvt så tykt lag?
To pakker har samme omkreds ved bunden og samme længde. Kasse nr. 1 har en endeflade som
c. Hvorfor er svaret ikke det dobbelte af før?
en cirkel, mens kasse nr. 2 har et kvadrat som endeflade.
Opgave 444
a. Hvilken pakke har størst rumfang?
To biler: en Mercedes (A) og en Volvo (B) holder ved den samme vej. De sætter begge i gang
Opgave 449 (svær opgave)
samtidig og kører i samme retning, A med 60 km/
En pakke skal overholde reglen om at længden
time, B med 40 km/time.
højst er 150 cm og omkreds + længde højst er
a. H vor lang tid går der, før A overhaler B, hvis A
300 cm tilsammen.
fra starten holdt 5 km bagud?
a. H vilken facon (trekantet, firkantet eller cirkulær andeflade) og hvilke mål skal pakken have, for
Opgave 445
at den indeholder det største rumfang?
En tur med en rulletrappe tager 20 sekunder, hvis
b. Begrund svaret med udregninger.
man lader rulletrappen gøre hele arbejdet, og 10 sekunder hvis man løber op ad den rullende
Opgave 450
trappe.
Du finder nogle af brikkerne til et puslespil. Du
a. H vor lang tid tager det at løbe op, hvis rulle-
finder i alt 50 brikker, og de 10 er kantbrikker.
trappen står stille?
a. Opstil en teoribaseret model for brøkdelen af kantbrikker i et puslespil.
Opgave 446
b. Opstil en model for sammenhængen mellem
To løbere træner på en 400 m bane rundt om stadion. Den ene kan løbe fire gange rundt, mens den anden løber to gange. Hvis de starter
antallet af brikker og størrelsen af et puslespil. c. Du finder 50 brikker til et puslespil, de 10 er kanter, hvor stort er puslespillet?
på samme punkt af banen og løber hver sin vej, mødes de efter 40 sekunder.
Opgave 451
a. Hvor hurtigt løber hver af dem?
En kasse har højden 10 cm, bredden 10 cm og længden x; vi kalder kassens rumfang for f(x), og
Opgave 447
vi opfatter kassens rumfang som en funktion af
Forestil dig, at du er på vej over en smal jernbanebro, og netop i det øjeblik du er nået
1 4
af vejen
over broen, hører du bagfra et tog komme i det
længden. a. H vilken type funktion er der tale om: lineær, potens eller eksponentiel?
fjerne. For at forsøge at komme af broen inden toget kommer, kan du nu enten løbe tilbage mod
4. Differentialregning 2
99