1.2 Ligninger og deres løsninger
9 Introduktion
Disse to kvinder er i perfekt balance. En matematisk ligning udtrykker også en perfekt balance.
10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt. En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes på x's plads.
11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, for der er et lighedstegn og talstørrelser på hver side. Vi påstår, at ligningen har løsningen 5. Det kan vi teste ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Vi er nu kommet frem til noget, som åbenlyst er sandt: 10 er lig med 10. Dermed har vi vist, at 5 er en løsning. I dette eksempel blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret, at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede. For at finde frem til en løsning på en mere systematisk måde, kan man omforme ligningen, så man får x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det kaldes at isolere x. Når man isolerer x, er det vigtigt at huske, at en ligning er en balance. For at opretholde balancen, skal man altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.
12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4 4x + 8 = –4 4x + 8 – 8 = –4 – 8
1. Modeller og variable
Ligningen er reduceret. 8 er trukket fra på begge sider.
4x = –12
Ligningen er reduceret.
4 x −12 = 4 4
Begge sider er divideret med 4.
x = –3
10
x er lagt til på begge sider.
Løsningen er altså –3.