Kernestof 1, hhx_LÆSEPRØVE

Af Henrik Bindesbøll Nørregaard og Per Gregersen

Kernestof Mat 1 hhx Lindhardt og Ringhof

KERNESTOF Mat 1 hhx Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard © 2020 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler.

Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 1. udgave 1. oplag 2020 ISBN 978 87 7066 961 0

www.lru.dk

Indhold

Forord 6

1. Modeller og variable

8

1.1 Modeller med én variabel

8

1.2 Ligninger og deres løsninger

10

1.3 Overslagsregning og principskitser

12

Opgaver til kapitel 1

14

Træningssider 1

20

2. Lineære funktioner 2.1 Lineær vækst

22 22

2.2 Beregning a og b 24 2.3 Lineære modeller

26

2.4 Lineær regression

28

2.5 Lineær regression og determinationskoefficient

30

2.6 Ræsonnementer og beviser

32

Opgaver til kapitel 2

34

Træningssider 2

38

3. Statistik 3.1 Ikke-grupperede observationer

3.2 Diagrammer og kvartilsæt

40 40 42

3.3 Boksplot

44

3.4 Grupperede observationer

46

3.5 Diagrammer for grupperede observationer

48

Opgaver til kapitel 3

50

Træningssider 3

54

4. Procent 56 4.1 Fremskrivningsfaktor 56

4.2 Procentregning og indekstal 58 4.3 Beregning af start- og slutkapital

60

4.4 Beregning af renter r og terminer n 62

Opgaver til kapitel 4 64

Træningssider 4 68

Indhold

3

5. Eksponentielle funktioner 5.1 Eksponentiel vækst

5.2 Beregning af a og b

70 70 72

5.3 Halverings- og fordoblingskonstant

74

5.4 Eksponentielle vækstmodeller

76

5.5 Logaritmefunktioner

78

5.6 Logaritmer og eksponentielle ligninger

80

5.7 Ræsonnementer og beviser

82

Opgaver til kapitel 5

84

Træningssider 5

88

6. Proportionalitet 6.1 Ligefrem proportionalitet

90

6.2 Omvendt proportionalitet

92

Opgaver til kapitel 6

94

Træningssider 6

98

7. Funktioner 7.1 Definitions- og værdimængde

7.2 Ekstrema

7.3 Uligheder og fortegnsvariation

90

100 100 102 104

7.4 M onotoniforhold

106

7.5 Stykkevist definerede funktioner

108

Opgaver til kapitel 7

110

Træningssider 7

114

8. Andengradspolynomier 8.1 Parabler og koefficienter

116 116

8.2 Toppunkter og optimering med andengradspolynomier 8.3 Rødder, fortegnsvariation og faktorisering

4

Indhold

118 120

8.4 R æsonnementer og beviser

122

Opgaver til kapitel 8

124

Træningssider 8

128

9. LĂĽn og opsparing 130 9.1 Opsparingsannuitet 130

9.2 Terminsindbetaling, rente og antal terminer

132

9.3 AnnuitetslĂĽn

134

9.4 H ovedstol, antal terminer og rentefod 136

9.5 Frem- og tilbageskrivning 138 9.6 Gennemsnitlig rente

140

9.7 Nominel og effektiv rente

142

144

Opgaver til kapitel 9

Facitliste

148

Indhold

5

Forord Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse hhx. Den kan bruges alene på C-niveau, eller som første del af undervisningen på B-niveau.

Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen.

I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. En stjerne (*) markerer, at beviset for en sætning er placeret i afsnittet 'Ræsonnementer og beviser'.

Efter hvert kapitel er der opgaver, der følger kapitlets og bogens progression.

Mellem alle kapitler er der træningssider med små opgaver om regneoperationer, regnearternes hierarki, brøkregning og parentesregneregler mv.

At forstå matematik Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller.

Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10 000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hjernen danner disse forbindelser helt ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker om begreber og opgaver.

To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse.

Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber.

Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo.

6

Forord

Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen.

Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl!

Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker.

Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgå i en sammenhæng, der giver mening.

Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?

• "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher" Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussedullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken.

Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet.

God fornøjelse med bogen.

Henrik og Per

Forord

7

1. Modeller og variable 1.1 Modeller med én variabel 1 Introduktion Der skal købes is til en klasse.

Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr., bliver udgiften 30 · 25 kr. = 750 kr.

Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr. n · 25.

Udgift i kr. = 25 · n Variabel Bogstavet n er her brugt som variabel for antal elever.

En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier.

Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige muligheder.

2 Eksempel En elev har 300 kr. og vil gerne give is, der koster 12 kr. pr. styk til hele klassen.

Hvor mange elever må der højst være i klassen den dag?

Det svarer til at spørge: Hvad kan n være, for at 12 · n = 300 .

Dette er et eksempel på en ligning.

Det viser sig, at 12 · 25 = 300. Dvs. ligningen har løsningen n = 25.

Der må, med andre ord, højst være 25 elever i klassen den dag.

3 Eksempel En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk. til de elever, der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste?

Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift.

Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n: n

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Udgift

240

255

270

285

300

315

330

345

360

375

390

405

420

435

450

For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog.

I matematikken bruger man ofte bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal.

De hele tal er tallene …, –2, –1, 0, 1, 2, … og denne talmængde har symbolet Z. I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Talmængden bestående af alle tal kaldes ”de reelle tal”, og symbolet er R.

8

1. Modeller og variable

4 Eksempel En 1.g’er er 15 år og vil holde en rund fødselsdag sammen med sin 6 år ældre bror.

Hun indfører nogle variable og opstiller en sammenhæng for at finde ud af, hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen: Hendes egen alder benævnes x.

Hendes brors alder er dermed x + 6.

Deres samlede alder er x + x + 6 = 2x + 6 Hun sætter nu 40 lig med 2x + 6 (som var deres samlede alder).

Det giver ligningen 40 = 2x + 6.

Løsningen til ligningen er x = 17. De må altså vente, til 1.g’eren er 17 år.

5 Den matematiske modelleringsproces Det er en god ide at lade x betegne den

Problemstilling

størrelse, man skal bestemme.

Matematisk beskrivelse ’ligning med x'

I eksempel 4 var problemstillingen at bestemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x. Herefter skal de øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x.

Tolkning af x i forhold til problemstillingen

Matematisk løsning ’talværdi af x’

6 Øvelse En elev har 125 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 25 elever. a. Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste. b. Løs ligningen.

7 Øvelse En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når: a. Personen er 15 år? b. Personen er x år?

8 Øvelse Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres ”tilsammen 30-års fødselsdag”. a. Indfør en variabel for din alder målt i år. b. Udtryk hundens alder ud fra variablen. dtryk summen af jeres aldre og forkort udtrykket, så variablen kun optræder c. U et sted. d. Opstil en ligning og løs den. e. H vor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre 30-års fødselsdag sammen?

1. Modeller og variable

9

1.2 Ligninger og deres løsninger

9 Introduktion

Disse to kvinder er i perfekt balance. En matematisk ligning udtrykker også en perfekt balance.

10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt.

En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes på x's plads.

11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, for der er et lighedstegn og talstørrelser på hver side.

Vi påstår, at ligningen har løsningen 5.

Det kan vi teste ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Vi er nu kommet frem til noget, som åbenlyst er sandt: 10 er lig med 10.

Dermed har vi vist, at 5 er en løsning.

I dette eksempel blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret, at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede.

For at finde frem til en løsning på en mere systematisk måde, kan man omforme ligningen, så man får x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det kaldes at isolere x. Når man isolerer x, er det vigtigt at huske, at en ligning er en balance. For at opretholde balancen, skal man altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet.

12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4 4x + 8 = –4 4x + 8 – 8 = –4 – 8

1. Modeller og variable

Ligningen er reduceret.

8 er trukket fra på begge sider.

4x = –12

Ligningen er reduceret.

4 x −12

= 4 4

Begge sider er divideret med 4.

x = –3

10

x er lagt til på begge sider.

Løsningen er altså –3.

Man kan også løse ligninger grafisk ved at indtegne dem i et koordinatsystem.

13 Eksempel

y

Løsningen på ligningen 2x – 3 = 5 findes ved at aflæse x-værdien til

7 6

skæringspunktet mellem linjen y = 5 og linjen y = 2x – 3.

5

Det ses, at graferne skærer hinanden, når x = 4. Så x = 4 er løsning

4

til ligningen 2x – 3 = 5.

3 2 1 –1

1

–1

2

3

4

5

6

7 x

3

4

5

6

7

8 x

Ligninger kan også løses ved hjælp af et Computer Algebra System, hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS-programmer, og deres skrivemåder (syntax) er lidt forskellige.

14 Eksempel Ligningen 2x + 14 = 2 – 4x kan, i nogle CAS-programmer, løses med kommandoen: solve(2x+14=2–4x,x) Programmet vil returnere noget i stil med: x = –2 Det betyder, at løsningen til ligningen netop er –2.

15 Øvelse a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4x = 8. Argumenter som i eksempel 11. b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4x = 8.

16 Øvelse Løs ligningerne ved omformning og derefter med CAS. a. 4x – 2 = 18 b. 1 + 4x = 2 + 3x c. 3x + 1 = 2x

17 Øvelse

y

På figuren ses graferne for y = –0,5x + 4 og y = x + 1.

7 6

a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5x + 4 = x + 1.

5

b. Kontroller ved indsættelse, at løsningen er rigtig.

4 3 2

18 Øvelse

1

a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning.

–1

1

2

1. Modeller og variable

11

1.3 Overslagsregning og principskitser 19 Introduktion Et firma sælger vand på flaske. De har brug for en vurdering af, hvor meget væske man indtager på et helt liv. De laver en overslagsberegning: • Væskeindtag = dagligt indtag · antal levedage.

• Dagligt indtag: 2 liter.

• Der er 365 dage på et år og 36500 dage på 100 år.

Dette afrundes til 35000 dage.

Væskeindtag = 35 000 dage · 2 liter pr. dag = 70 000 liter.

Overslagsregning Overslagsregning handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget, uden at have adgang til hjælpemidler. Man kan strukturere processen ved at: • vælge nogle størrelser, som man mener, svaret afhænger af • bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse størrelser • gætte kvalificeret på nogle afrundede værdier af hver størrelse • beregne et cirka-svar på spørgsmålet • vurdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?

20 Eksempel Hvor lang tid tager det at tælle til 1 milliard?

Vi vil vurdere, hvor mange tal der kan tælles pr. time, og hvor mange timer om dagen man kan tælle.

• Det tager omkring 6 sekunder pr. tal, så man kan nå 10 pr. minut og dermed 600 pr. time.

• Vi regner med, at man kan tælle 10 timer hver dag.

Antal tal pr. dag = 10 timer · 600 tal pr. time = 6 000.

Der er cirka 1 000 dage på tre år, hvor der så vil kunne tælles 1000 · 6000 = 6 000 000, altså 6 millioner tal.

Det vil sige, at man kan nå 600 mio. tal på 300 år, og så er vi kun lidt over halvvejs.

Et menneske kan altså ikke nå at tælle til 1 milliard på et helt liv.

I de to indledende eksempler er der truffet en lang række valg, som indvirker på beregningerne.

Usikkerhedsvurdering Det er relativt let at få et indtryk af usikkerheden ved en overslagsberegning.

Man kan fx prøve at regne det hele igennem med let ændrede tal.

12

1. Modeller og variable

21 Eksempel I modellen for hvor lang tid det tager at tælle til 1 milliard, kan vi ændre tælletiden pr. tal. Måske tælles der hurtigere eller langsommere end 6 sek. pr. tal.? Husk at 90 % af tallene er større end 100 000 000. Prøv selv at tælle et minut, hvor du starter ved 143 736 415 (et hundrede tre og fyrre millioner syvhundrede seks og tredive tusind fire hundrede og femten). Måske mener du, at man ikke kan tælle 10 timer nonstop pr. dag 7 dage om ugen, og vil indføre lidt pauser og ferier osv.

Principskitser En principskitse viser en overordnet sammenhæng mellem nogle størrelser.

22 Eksempel I økonomien taler man ofte om udbuds- og efterspørgselskurverne. Bemærk, at

Pris

mængde er afsat ud ad førsteaksen og pris op ad andenaksen. Udbudskurven U er

E

U

den røde opadgående kurve på figuren.

Kurven skal ikke aflæses præcist. Den viser en principiel sammenhæng: ”jo lavere pris – jo større udbud”.

Antal

23 Eksempel Kurven viser sammenhængen mellem alder og højde for et menneske. På tidspunktet 0 fødes vi med en given længde. Herefter stiger højden, efterhånden som

Højde

tiden går, og på et tidspunkt omkring gymnasietiden stopper højdevæksten.

I alderdommen falder man lidt sammen.

24 Øvelse a. Gennemfør en overslagsberegning af væskeindtaget fra introduktionen med

Alder

nogle antagelser, du mener også godt kunne være rigtige. b. Beregn forskellen mellem dit resultat fra a. og de 70000 liter fra introduktionen.

Denne forskel er et godt bud på usikkerheden i beregningen.

25 Øvelse Tegn principskitser for: a. Sammenhængen mellem alder og vægt for et menneske. b. Sammenhængen mellem alder og årsløn for et menneske.

26 Øvelse a. Giv et argument for, at den blå efterspørgselskurve fra eksempel 22 er nedadgående.

27 Øvelse a. Hvor lang tid tager det at gå 5 kilometer? b. Hvor mange skridt tager man, når man går 1 kilometer? c. Hvor lang tid tager det at køre 5 kilometer gennem en by?

1. Modeller og variable

13

1.4 Modeller med to variable 28 Introduktion En person drømmer om at åbne en cafe. Han starter med at arbejde hos en ven, og han får 15 kr. pr. kop kaffe, han sælger.

Hans indtægt pr. dag er en funktion af, hvor meget han sælger pr. dag.

Sælger han 20 kopper, tjener han 300 kr.: 20 · 15 kr. = 300 kr.

Vi kunne have lavet en principskitse for, hvordan hans indtjening stiger, for hver kop han sælger. Nu vil vi imidlertid beskrive mere præcist, hvordan to variable kan afhænge af hinanden. Vi starter med at se på de variable, der er i spil i cafe-eksemplet.

29 Eksempel Vi indfører to variable: x betegner det antal kopper, han sælger pr. dag. y betegner hans samlede indtægt i kr. pr. dag. x y

I tabellen her har vi indsat en række valgte tal i x-kolonnen.

0

Dvs. vi har udvalgt nogle forskellige antal solgte kopper, for

1

at regne på forskellige tilfælde.

5 10

50

Når x-værdierne er valgt, kan y-værdierne beregnes.

0 kopper: 15 · 0 = 0 1 kop: 15 · 1 = 15 5 kopper: 15 · 5 = 75, osv. x

y

0

0

1

15

5

75

10

150

50

750

I tabellen her er y-værdierne sat ind.

Da der kun er én y-værdi til hver x-værdi, siger man, at ”y er en funktion af x”.

Det kan man også skrive således: ”y = f(x)”.

Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså y = f(x) = 15x eller blot f(x) = 15x.

14

1. Modeller og variable

30 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x må kun være ét f(x).

Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x).

Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi.

Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion.

Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x.

Med en regneforskrift: f(x) = 15x Med en tabel i eksempel 29.

Den fjerde repræsentationsform – den grafiske – ser vi på nu. Vi minder først om et par ting ved koordinatsystemet. y-aksen

31 Definition

4 3

Et koordinatsystem består af to akser, en vandret (første-

2. kvadrant (– , +)

aksen) og en lodret (andenaksen). Normalt kaldes den vandrette akse x-aksen og den lodrette akse y-aksen.

Akserne skærer hinanden i punktet (0,0), og akserne inddeler planen i fire kvadranter.

1. kvadrant (+ , +)

2 1

-4

-3

-2

-1

1 -1

3. kvadrant (– , –) -2

2

3

4

5 x-aksen

4. kvadrant (+ , –)

-3

y

32 Eksempel Til højre ses grafen for funktionen f(x) = 15x.

Bemærk, at enhederne på de to akser er valgt forskelligt – ellers bliver grafen meget stejl.

10

33 Øvelse a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem?

-1

1

x

-10

34 Øvelse En funktion har regneforskriften f(x) = 3x a. Udfyld en tabel som den viste x f(x)

–1

0

1

2

3

35 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 2x – 3 i et CAS-program.

1. Modeller og variable

15