4. Første ordens differentialligninger
4.6 Supplerende og udfordrende opgaver Opgave 4.60 I en model for en bestemt fiskeart antages det, at en fisks længde (målt i cm) er en funktion l af tiden t (angivet i år). Det antages, at l er løsning til differentialligningen dy = 5 − 1 y (1) dt
6
a) B estem den hastighed, hvormed længden af en fisk vokser på det tidspunkt, hvor fiskens længde er 15 cm.
b) Bestem en forskrift for l, når det oplyses, at l(1) = 8.
I samme model antages det, at en fisks vægt (målt i gram) er en funktion V af tiden t (angivet i år). Det antages, at V er løsning til differentialligningen
dy dt
2
1
= 5y 3 − y, 0 < y < 1000 2
(2)
c) Gør rede for, at enhver funktion af typen
y = (10 − c ⋅ e
− 61 t 3
)
(3)
er løsning til differentialligningen (2). Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen (2) udgøres af funktioner af typen (3).
d) Bestem en forskrift for V, når det oplyses, at V(6) = 253.
e) Bestem tallet V∞ = lim V ( t ), og giv en fortolkning af dette tal. t →∞
Opgave 4.61 a) Vis, at F ( x ) = 1 ⋅ ln 3 + x , x ∈ ]0; 2[ 6 3 − x er en stamfunktion til f ( x ) = 1 , x ∈ ]0;2[ 9− x
2
b) Bestem den løsning til differentialligningen dy = y , x ∈ ]0 ;2[ , 2 dx
9− x
hvis graf indeholder punktet P(1,2) . c) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.
Hvad er matematik? A, opgavebog
© 2014 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København
23