Hvad er matematik? A, Opgavebog

Page 19

4. Første ordens differentialligninger

4.6 Supplerende og udfordrende opgaver Opgave 4.60 I en model for en bestemt fiskeart antages det, at en fisks længde (målt i cm) er en funktion l af tiden t (angivet i år). Det antages, at l er løsning til differentialligningen dy = 5 − 1 y (1) dt

6

a) B estem den hastighed, hvormed længden af en fisk vokser på det tidspunkt, hvor fiskens længde er 15 cm.

b) Bestem en forskrift for l, når det oplyses, at l(1) = 8.

I samme model antages det, at en fisks vægt (målt i gram) er en funktion V af tiden t (angivet i år). Det antages, at V er løsning til differentialligningen

dy dt

2

1

= 5y 3 − y, 0 < y < 1000 2

(2)

c) Gør rede for, at enhver funktion af typen

y = (10 − c ⋅ e

− 61 t 3

)

(3)

er løsning til differentialligningen (2). Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen (2) udgøres af funktioner af typen (3).

d) Bestem en forskrift for V, når det oplyses, at V(6) = 253.

e) Bestem tallet V∞ = lim V ( t ), og giv en fortolkning af dette tal. t →∞

Opgave 4.61 a) Vis, at F ( x ) = 1 ⋅ ln  3 + x  , x ∈ ]0; 2[ 6  3 − x er en stamfunktion til f ( x ) = 1 , x ∈ ]0;2[ 9− x

2

b) Bestem den løsning til differentialligningen dy = y , x ∈ ]0 ;2[ , 2 dx

9− x

hvis graf indeholder punktet P(1,2) . c) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.

Hvad er matematik? A, opgavebog

© 2014 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København

23


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
Hvad er matematik? A, Opgavebog by Alinea - Issuu