Hvad er matematik? A, Opgavebog by Alinea

Første ordens differentialligninger

Introduktion til differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

S eparation af de variable (supplerende stof). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

S upplerende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Introduktion til differentialligninger Opgave 4.1 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er konstant. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.2 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med differensen mellem 30 og f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,45. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.3 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,65. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.4 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med produktet af f(x) og differensen af 30 og f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,45. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.5 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

y′

ln(2)

2ln(2)

4ln(2)

8ln(2)

a) Vi antager der er en lineær sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved lineær regression en differentialligning, som y opfylder.

b) H vilken type differentialligning er dette?

Opgave 4.6 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

y′

ln(2)

2ln(2)

4ln(2)

8ln(2)

a) V i antager der er en lineær sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved lineær regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er dette?

Opgave 4.7 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

1,4621

1,7616

1,9051

1,9641

y′

0,3932

0,2100

0,0903

0,0353

a) V i antager der er en kvadratisk sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved kvadratisk regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er dette?

Opgave 4.8 Til højre er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer givet et plot af linjeelementer sammen med en løsningskurve.

0 0

Hvilken af tegningerne hører til differentialligningen y ′= y, med begyndelsesbetingelsen y(2) = 3?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.9 Nedenfor er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer givet et plot af linjeelementer sammen med en løsningskurve 10

0 0

Hvilken af tegningerne hører til differentialligningen y ′= 1 med begyndelsesbetingelsen y(1) = 3?

Opgave 4.10 Tegn for hver af følgende differentialligninger et plot af linjeelementer, og undersøg hvilke typer af løsningskurver der findes. Er der blandt løsningskurverne nogle, hvor du kender funktioner med sådanne grafiske forløb?

a) y ′= 2 · y · ( 5 – y)

b) y ′= y – x

c) y ′= –3 · y d) yy′′==

y x

Opgave 4.11 I en model er antallet P af individer i en bestemt population en funktion af tiden t (målt i døgn). Den hastighed, hvormed P vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af individer til tidspunktet t og forskellen mellem 2600 og antallet af individer til tidspunktet t. Det oplyses, at væksthastigheden er 10, når der er 100 individer i populationen. Opskriv en differentialligning, som P må opfylde. (stx A eksamen maj 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.12 Gør rede for, at funktionen f(x) = e2x + 3 er en løsning til differentialligningen

dy dx

= 2 y − 6.

(stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 4.13 Undersøg, om f(x) = e4x – 2x2 – x – dy dx

1 4

er en løsning til differentialligningen

= 24y y− + 68x2.

Beskriv, i hvilke områder af planen løsningskurver er voksende og i hvilke de er aftagende. (stx A eksamen august 2009 uden)

Opgave 4.14 Gør rede for, at funktionen f(x) = x2 · ex er en løsning til differentialligningen

dy dx

2y x

+ y.

(stx A eksamen december 2009 uden)

Opgave 4.15 Der løber vand fra en vandhane ned i et badekar med en hastighed på 0,4 l/s. Bundproppen i badekaret er lidt utæt, så vandet løber samtidigt ud af badekarret med en hastighed, der er proportional med vandmængden i badekarret (målt i l). Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er 0,001 s–1. Indfør passende variable, og opstil en differentialligning, der beskriver, hvordan vandmængden i badekarret ændrer sig med tiden. (stx A eksamen december 2009 uden)

Opgave 4.16 Undersøg, om f(x) = xe x + 3x er en løsning til differentialligningen y ′ = y +

y x

− 3x.

(stx A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 4.17 Gør rede for, at funktionen f(x) = x · lnx er en løsning til differentialligningen y ′ =

y x

+ 1.

(stx A eksamen august 2010 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.18 En funktion f er løsning til differentialligningen punktet P(2,4).

dy dx

x +1 y

og grafen for f går gennem

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) A nvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linjeelementer, indtegn forskellige løsningskurver og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

(Baseret på stx A eksamen juni 2010 uden)

Opgave 4.19 I en model for glukoseindholdet i blodbanen hos en person er g(t) mængden af glukose (målt i mg), der er absorberet fra mave/tarmsystemet t timer efter indtagelsen af glukosen. Det oplyses, at g ′(t) = 675000 · t · e –3t , 0 ≤ t ≤ 4, g(0) = 0 Hvor meget glukose er der ifølge modellen absorberet fra mave/tarmsystemet 4 timer efter indtagelse af glukosen? (stx A eksamen august 2010 med)

Opgave 4.20 En funktion f er bestemt ved f(x) = ex – x – 1 Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen (stx A eksamen maj 2011 uden)

dy dx

x +1 y

= y+x

Opgave 4.21 Om en funktion f oplyses, at punktet P(1,3) ligger på grafen for f, samt at funktionen er løsning til differentialligningen 3

x +1 y

dy dx

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) A nvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linje-elementer, indtegn forskellige løsningskurver og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

= 2x + xy

(stx A eksamen august 2011 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.22 Grafen for en funktion f går gennem punktet P(0,3). Funktionen f har den egenskab, at i ethvert punkt (x,y) på grafen, er tangentens hældningskoefficient proportional med funktionsværdien i punktet. Proportionalitetskonstanten er 0,17. Bestem hældningskofficienten for tangenten til grafen for f i punktet P, og opstil en differentialligning, der har f som løsning. (stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 4.23 Gør rede for, at funktionen f(x) = (x + 1) · ex er en løsning til differentialligningen y dy = y+ x +1

(stx A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 4.24 En funktion f er løsning til differentialligningen dy y − 1 = , x>0 dx

og grafen for f går gennem punktet P(2,7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen december 2012 uden)

Opgave 4.25 En steg sættes til langtidsstegning i en ovn. I en model er stegens indre temperatur T (målt i ºC) en funktion af tiden x (målt i minutter). Den hastighed, hvormed stegens indre temperatur stiger til tidspunktet x, er proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur. Det oplyses, at ovnens temperatur er 150 ºC, og at proportionalitetskonstanten er 0,011. Opstil en differentialligning, som T må opfylde. (stx A eksamen maj 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.26 En funktion f er løsning til differentialligningen dy x 3 + 1 = 3y + 5 dx

Grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen august 2013 uden)

Opgave 4.27 En funktion f er bestemt ved f(x) = x · ex – x Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen dy y = + x ⋅ ex dx

(stx A eksamen net maj 2013 uden)

4.3 Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer Opgave 4.28 En funktion f er løsning til differentialligningen dy 1 = ⋅ y +1 dx

og grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en forskrift for f. (stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 4.29 I en model antages det, at en bestemt populations vækst er sådan, at antallet N af individer i populationen til tidspunktet t (målt i døgn) tilfredsstiller differentialligningen dN 0, 08 t − 1 = N, t > 0,5 dt

Det oplyses, at antallet af individer i populationen til tidspunktet t = 1 er 1,2 ⋅ 10 . Benyt modellen til at bestemme populationens væksthastighed til tidspunktet t = 1, og bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er mindst. (stx A eksamen august 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.30 I en model for sammenhængen mellem længde og alder for atlantiske havkatte antages, at en havkats længde L (målt i cm) som funktion af dens alder t (målt i år) er en løsning til differentialligningen dL = 0,619 ⋅ e −0,22 t ⋅ L dt

I modellen antages, at en 10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang.

a) Bestem en forskrift for L(t).

b) B estem ved hjælp af modellen længden af en 16 år gammel atlantisk havkat, og bestem, hvor gammel en atlantisk havkat er, når den er 40 cm lang.

Kilde: Northw. Atl. Fish. Sci., Vol. 13 s 53–61, Distribution, Growth and Food Habits of the Atlantic Wolffish (Anarhichas lupus) from the Gulf of Maine-Georges Bank Region, Gary A. Nelson and Michael R. Ross, J.

(stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 4.31 I en model for udviklingen af befolkningstallet i Mexico efter 2007 antages det, at den årlige vækstrate r er en funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007), som tilfredsstiller differentialligningen dr = −0,025 r dt

og at r(0) = 0,017.

a) Bestem r som funktion af t.

Endvidere antages det, at befolkningstallet N(t) (målt i mio.) som funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007) tilfredsstiller differentialligningen dN = r (t ) ⋅ N dt

og at N(0) = 106,5.

b) B estem N som funktion af t, og benyt N til at bestemme, hvor mange år der går fra 2007, til befolkningstallet når op på 200 mio.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.32 Et vandbad opvarmes fra 20°C til 100°C. Den indre temperatur (målt i °C) i et bestemt objekt, der befinder sig i vandbadet under opvarmningen, er en funktion f af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses at f er en løsning til differentialligningen

y ′ = 0,03 · (g(t) – y)

hvor g(t) er vandbadets temperatur til tiden t. Endvidere oplyses det, at til tidspunktet t = 0 er objektets indre temperatur 10°C, og at g(t) = 20 + 0,25 · t, 0 ≤ t ≤ 320 Bestem objektets indre temperatur, når vandbadets temperatur bliver 100°C. (stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 4.33 Ved en bestemt sygdom tilføres en patient medicin intravenøst over en femtimers periode. Medicinen tilføres kontinuerligt med en bestemt mængde p (målt i mg) pr. time. Den mængde medicin M (målt i mg), som til tidspunktet t (målt i timer) er i patientens blodbaner, opfylder differentialligningen dM = p − 0,03M dt

Vi går ud fra M(0) = 0. For at kurere sygdommen, skal patienten efter 3 timer have 100 mg af medicinen i blodbanerne. Bestem en forskrift for M som funktion af t udtrykt ved p, og bestem mængden p. (stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 4.34 I et bestemt kredsløb er strømstyrken I(t) (målt i ampere) en funktion af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses, at I(t) er løsning til differentialligningen dI 0,4 ⋅ + 10 I = 9 dt

og I(0) = 0.

a) Bestem strømstyrkens væksthastighed, når strømstyrken er 0,3 ampere.

b) Bestem en forskrift for I(t).

(stx A eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.35 I en model for udviklingen i en bestemt type kræftsvulst er antallet af kræftceller en funktion af tiden, der opfylder differentialligningen dN = 0,82 ⋅ 0,88 t ⋅ N dt

hvor N er antallet af kræftceller (målt i mio.) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at N(10) = 266.

a) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 10.

b) Bestem en forskrift for N(t).

Kilde: IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology (1987) 4, 379.

(stx A eksamen august 2011 med)

Opgave 4.36 Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med rent vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen dC = 0,4 − 0,02 ⋅ C dt

Det oplyses, at C(0) = 0.

a) Bestem en forskrift for C(t)

b) S kitsér grafen for C(t), og bestem det tidspunkt, hvor koncentrationen af det forurenende stof i tønden er 10 ppm.

c) B estem C ′(15), og giv en fortolkning af dette tal.

(stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 4.37 I en model kan udviklingen i et barns højde de første 4 leveår beskrives ved differentialligningen dh = 5,24 − 0,045 ⋅ h, 0 ≤ t ≤ 48 dt

hvor t er barnets alder (målt i måneder), og h er barnets højde (målt i cm). I modellen er et barn 50 cm højt ved fødslen.

a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden, når barnet er 100 cm højt.

b) B estem en forskrift for h, og benyt denne til at bestemme barnets alder, når det er 100 cm højt.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.38 Et kar med saltvand tilføres løbende en saltopløsning, mens der samtidig løber saltvand ud af karret. I en model kan udviklingen i saltmængden i karret beskrives ved en funktion S, der er løsning til differentialligningen dS = 1,5 − 2 ⋅ S 100 + t

hvor S(t) er saltmængden (målt i kg) til tidspunktet t (målt i minutter). Det oplyses, at der er 30 kg salt i karret til tidspunktet t = 0.

a) Bestem en forskrift for S.

b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 60 kg salt i karret.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Opgave 4.39 I en model er en persons vægt som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dm k 42 = − ⋅m dt

7000

hvor m(t) er personens vægt (målt i kg) til tidspunktet t (målt i døgn), og k er personens kostindtag (målt i kcal/døgn). En bestemt person vejer 85 kg og indtager 3300 kcal/døgn.

a) Hvad er væksthastigheden for denne persons vægt?

Om en anden person oplyses, at personen vejer 87 kg til tidspunktet t = 0. Bestem personens vægt udtrykt ved t og k.

c) Bestem k, så personen vejer 80 kg efter 100 døgn.

(stx A eksamen august 2012 med)

Opgave 4.40 I en model for farten af en raket, der skydes lodret op, er rakettens fart som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dv dt

−

1 15 − t

⋅v =

300 15 − t

− 9,81, 0 ≤ t ≤ 14

hvor v(t) er rakettens fart (målt i m/s) til tidspunktet t målt i sekunder efter affyring. Til tidspunktet t = 0 er rakettens fart 0 m/s. Bestem en forskrift for v, og bestem det tidspunkt, hvor rakettens fart når op på 1000 m/s. (stx A eksamen december 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.41 I en model for koncentrationen af et bestemt rygestopmiddel i blodet hos en person er koncentrationen c(t) (målt i mg/L) som funktion af tiden t (målt i timer efter indtagelsen af stoffet) en løsning til differentialligningen

c ′ = –0,035 · c

a) H vor hurtigt aftager koncentrationen af rygestopmidlet, når koncentrationen i blodet er på 1,5 mg/L?

b) B estem en forskrift for c(t), når det oplyses at koncentrationen af rygestopmidlet er 2,0 mg/L til tidspunktet t = 0.

(stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 4.42 En Pintado fodres med en bestemt slags krebsdyr, hvorved det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv forøges. I en model kan udviklingen i det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv beskrives ved differentialligningen dM = 5,1742 − 0,1584M dt

hvor M betegner det relative kulstof-13-indhold (målt i promille) til tiden t (målt i døgn efter påbegyndt fodring). Det oplyses, at det relative kulstof-13-indhold var 20 promille, da fodringen blev påbegyndt.

a) Bestem en forskrift for M(t).

b) S kitsér grafen for M, og bestem den øvre grænse for det relative kulstof-13indhold i Pintadoens muskelvæv.

(stx A eksamen net 2012 med)

Opgave 4.43 En beholder er fyldt med en gas under tryk. Fra en lille ventil i toppen af beholderen strømmer gas ud. I en model er trykket i beholderen P (målt i atm) som funktion af tiden t (målt i minutter efter åbning af ventilen) en løsning til differentialligningen dP = − k ⋅ ( P − 1,0) dt

Det oplyses, at trykket til tidspunktet t = 0 er 5,0 atm, og at trykket til tidspunktet t = 25 er 2,0 atm. Bestem en forskrift for P(t), og skitsér grafen for P(t). (stx A eksamen net 2013 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4.4 Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst Opgave 4.44 I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr. 1000 indbyggere) i Danmark i perioden efter 1968 beskrives ved differentialligningen dN = 0,0004 ⋅ N ⋅ (315 − N ) dt

hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 1968). a) B estem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i 1968 var 198.

b) G iv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 2008, og kommentér resultatet.

Kilde:Transportrådets Notat 99-02 fra 1999, Personbilparkens udvikling 1955-2010 – bestand, nybilsalg og ophugning.

(stx A eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.45 I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antallet af individer til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at N er løsning til differentialligningen dN = 0,00013·N·(1000 − N ) dt

og at der er 50 individer i populationen til tidspunktet t = 0. Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 0, og bestem antallet af individer til hvert af de tidspunkter, hvor væksthastigheden er 31 individer pr. døgn. (stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 4.46 I en model antages det, at en populations vækst kan beskrives ved differentialligningen

N ′ = 4 · 10 –6 · N · (K – N)

hvor N er antallet af individer til tiden t (målt i år). Endvidere antages det, at N(0) = 10000 og N ′(0) = 2000.

a) Bestem K.

b) Bestem væksthastigheden, når antallet af individer i populationen er 35000.

(stx A eksamen august 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.47 I en model for udviklingen i antallet af bakterier i en bakteriekultur betegner B(t) antallet af bakterier til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at dB = 1,55 ⋅ 10 −4 ⋅ B ⋅ (2000 − B ) dt

Det oplyses, at der til tidspunktet t = 0 er 50 bakterier i bakteriekulturen. Bestem antallet af bakterier i bakteriekulturen efter 15 døgn. (stx A eksamen december 2009 med)

Opgave 4.48 I en model betegner V vægten af en gris til tidspunktet t. I modellen antages det, at V er løsning til differentialligningen dV = 0,000193V (139,6 − V ) dt

hvor V måles i kg, og t måles i døgn efter at grisen er begyndt at indtage fast føde. Grisens vægt er 7,3 kg, når den begynder at indtage fast føde.

a) Bestem en forskrift for V.

b) B estem ved hjælp af modellen grisens vægt til det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.

Kilde: www.infosvin.dk

(stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 4.49 I en model for dyrkning af en bestemt afgrøde på en mark kan sammenhængen mellem høstudbyttet M (målt i ton) og mængden af tilført kunstgødning x (målt i kg) beskrives ved differentialligningen dM = 0, 000369·M·(15,50 − M ), 0 ≤ x ≤ 1000 dx

Det oplyses, at høstudbyttet er 13,1 ton, når der tilføres 400 kg kunstgødning. Bestem en forskrift for M som funktion af x. Salgsprisen for 1 ton af afgrøden er 700 kr., og 1 kg kunstgødning koster 1,97 kr. Skitsér grafen for fortjenesten (målt i kr.) som funktion af x, og bestem den værdi af x, der giver den største fortjeneste. Kilde: Mathematical models of crop growth and yield. Allen R. Overman, Richard V. Scholtz, 2002.

(stx A eksamen august 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.50 SARS-epidemiens udvikling i Singapore i 2003 kan beskrives ved differentialligningen dN = 0,00526 ⋅ N ⋅ (209 − N ) dt

hvor N er antal smittede til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at der efter 30 døgn var 103 smittede.

a) Bestem væksthastigheden til det tidspunkt, hvor antal smittede var 100.

b) Bestem N(t), og gør rede for, hvad tallet 209 i modellen fortæller om epidemiens udvikling. (stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 4.51 I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaido-området i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dN = 0,00029N ⋅ (1500 − N ) dt hvor t er antal år efter 1975.

a) B estem tranebestandens væksthastighed, da der var 500 traner i bestanden.

Det oplyses, at tranebestanden i 1975 var 194 traner. b) Bestem en forskrift for N.

c) B estem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for tranebestanden var størst.

Kilde: A simple population viability analysis of Tancho (Grus japonensis) in southeastern Hokkaido, Japan, Yoshiyuki Masatomi, Seigo Higashi and Hiroyuki Masatomi, 2007.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 4.52 I en matematisk model kan udviklingen i antallet af guppyer i et bestemt akvarium beskrives ved differentialligningen dP = 0,0015 ⋅ P ⋅ (150 − P ) dt

hvor P betegner antallet af guppyer i akvariet til tiden t (målt i uger). Det oplyses, at der fra start sættes i alt 12 guppyer af forskelligt køn ned i akvariet.

a) Bestem en forskrift for P, og bestem den tid t, der går, før akvariet indeholder 80 guppyer.

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

b) T egn grafen for P i et passende interval, og bestem den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet.

c) B estem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet er størst.

(stx A eksamen december 2013 med)

Opgave 4.53 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Vægtudviklingen for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen dV =0,00018 ⋅ V ⋅ (53,63 − V ) dt

hvor V(t) betegner vægten (målt i g) til tiden t (målt i døgn). Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne.

a) Bestem en forskrift for V(t).

b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst.

Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li’an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifenget m.fl., Journal of Shellfish Research, 28(3) 465-470. 2009.

(stx A eksamen net maj 2012 med)

4.5 Separation af de variable (supplerende stof) Opgave 4.54 Afgør hvorvidt hver af differentialligningerne er separable eller ej

a) y ′ ==

x y

b) y ′ = x – y

c) y ′ = 1 – y

d) y ′ =

y x

Opgave 4.55 En funktion f er løsning til differentialligningen dy =2 y 2 ⋅ ( x − 1) dx

og grafen for f går gennem punktet P(2, − 21 ).

a) Bestem en forskrift for f, og bestem definitionsmængden for f.

b) Bestem den værdi af x, for hvilken f(x) antager sin mindsteværdi.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Opgave 4.56 I en model for en bestemt kemisk reaktion omdannes et stof A. Mængden af stoffet A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dM = −k ⋅ M2 dt

hvor k er en konstant, og M er mængden af stoffet A (målt i mg) til tidspunktet t (målt i minutter). Til tidspunktet t = 0 er der 70 mg af stoffet A, og til tidspunktet t = 60 er der 20 mg tilbage af stoffet A.

a) Bestem en forskrift for M(t), og bestem konstanten k.

b) Bestem M ′(60), og gør rede for betydningen af dette tal.

Opgave 4.57 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen dy 2 x − 5 = dx

og at f(0) = –2 .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,–2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 4.58 En funktion f er løsning til differentialligningen dy = − 5x4 ⋅ y2 dx

Grafen går gennem P(1,2).

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 4.59 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen dy = 3 x 2 ⋅ ( y − 1) dx

og at f(1) = 3.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,3).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Om en anden løsning g til differentialligningen gælder, at g(0) = 0.

c) Bestem en forskrift for g.

Hvad er matematik? A, opgavebog

4. Første ordens differentialligninger

4.6 Supplerende og udfordrende opgaver Opgave 4.60 I en model for en bestemt fiskeart antages det, at en fisks længde (målt i cm) er en funktion l af tiden t (angivet i år). Det antages, at l er løsning til differentialligningen dy = 5 − 1 y (1) dt

a) B estem den hastighed, hvormed længden af en fisk vokser på det tidspunkt, hvor fiskens længde er 15 cm.

b) Bestem en forskrift for l, når det oplyses, at l(1) = 8.

I samme model antages det, at en fisks vægt (målt i gram) er en funktion V af tiden t (angivet i år). Det antages, at V er løsning til differentialligningen

dy dt

= 5y 3 − y, 0 < y < 1000 2

(2)

c) Gør rede for, at enhver funktion af typen

y = (10 − c ⋅ e

− 61 t 3

)

(3)

er løsning til differentialligningen (2). Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen (2) udgøres af funktioner af typen (3).

d) Bestem en forskrift for V, når det oplyses, at V(6) = 253.

e) Bestem tallet V∞ = lim V ( t ), og giv en fortolkning af dette tal. t →∞

Opgave 4.61 a) Vis, at F ( x ) = 1 ⋅ ln  3 + x  , x ∈ ]0; 2[ 6  3 − x er en stamfunktion til f ( x ) = 1 , x ∈ ]0;2[ 9− x

b) Bestem den løsning til differentialligningen dy = y , x ∈ ]0 ;2[ , 2 dx

9− x

hvis graf indeholder punktet P(1,2) . c) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Kapitlerne indledes med fortĂŚllinger fra fortid og nutid, hvor matematik har spillet en rolle. De afrundes med en rĂŚkke detaljerede projektoplĂŚg.

Opgavebogen indeholder opgaver til alle kapitler i grundbogen.

Den matematiske teori er grundigt behandlet og bringes i spil i mange anvendelser og med omfattende inddragelse af matematiske vĂŚrktĂ¸jsprogrammer.

i-bogen omfatter grundbogen, opgavebogen, studieretningskapitler, projekter, links, animationer, hjĂŚlp til vĂŚrktĂ¸jsprogrammer samt vejledninger til brug af bogen.

A-bogens emnefelt: Kontinuitet, differentialregning og integralregning, differentialligninger af fĂ¸rste og anden orden, vektorregning og analytisk geometri i 2D og 3D, vektorfunktioner, lineĂŚr programmering og statistisk regressionsanalyse.

DEN MODERNE MATEMATIK

Gert Uttenthal Jensen (mat-mus)

1995 Forskere pĂĽ MIT prĂŚsenterer modellen World3 1995 Andrew Wiles beviser Fermats sidste sĂŚtning 2003 Grigori Perelman beviser PoincarĂŠ formodningen

1990

1947 Dantzig, LineĂŚr programmering 1950 Hammings fejlkorrigerende kode 1955-75 Vietnamkrigen 1963 Paul Cohen viser at continuumshypotesen ikke kan bevises 1975 Feigenbaum opdager FigentrĂŚet 1976 Appel og Hagen giver et computerbevis for Ă&#x20AC;UIDUYHVÂ WQLQJHQ 1984 FĂ¸rste version af strengteori

1945

Ventil

P17

0.5

P2Â&#x203A;

P13.3

MATEMATIKKENS OPRINDELSE

Hvad er matematik? y'= y.(b-a.y)

P10

0.5

BjĂ¸rn GrĂ¸n BjĂ¸rn Felsager Bodil Bruun Olav Lyndrup

POSTMODERNISMEN N

Panserslaget ved Kurskbuen

Regressionsanalyse

Gauss og den manglende planet

Konstruktionen af de reelle tal

DiĂŚtproblemet

Projektioner i n dimensioner

Rumfangsberegninger

Stregkoder og QR-koder

Felix Baumgartners spring

RSA-Kryptering

Cantors djĂŚvletrappe

Vektorfunktioner

Riemannintegraler

FirfarvesĂŚtningen

HovedsĂŚtninger om diďŹ&#x20AC;erentiabilitet

LineĂŚr Programmering

DĂŚmpede svingninger og resonans

MotorvejsudďŹ&#x201A;etninger og klotoider

Taylorpolynomier

Krumningsforhold

Centralperspektivet

Den falske Vermeer

DiďŹ&#x20AC;erentialligninger

Rumgeometri

Rivest, Shamir og Adleman lancerer den moderne NU\SWRJUDĂ&#x20AC; PHG RSA-systemet 1977

HovedsĂŚtninger om kontinuitet

7KH EXWWHUĂ \ HIIHFW

Vektorer i 2D og 3D

Hilberts hotel

DNA dobbelthelix Watson og Crick 1953

Skrevet af: Michael Olesen Dorthe Agerkvist (mat-fys) Keld Nielsen Birgit Andresen (mat-kemi) Anne Krarup Susanne HĂ¸jte (mat-bio) Christina Blach Hansen Per Henriksen (mat-samf)

Ă DS PP

fold

Hulemalerierne i Lascaux 17000 f.v.t.

Ulveknoglerne 30000 f.v.t.

Pyramiderne 2500 f.v.t

FORHISTORISK TID -1000

Grundbogen omfatter alt kernestof og giver et omfattende tilbud om supplerende stof.

fold

-5000

i-bogenÂŽ LQGHKROGHU VSHFLĂ&#x20AC;NNH studieretningskapitler til: â&#x20AC;&#x201C; matematik-kultur â&#x20AC;&#x201C; matematik-fysik â&#x20AC;&#x201C; matematik-kemi â&#x20AC;&#x201C; matematik-biologi â&#x20AC;&#x201C; matematik-samfundsfag â&#x20AC;&#x201C; matematik-musik

Hvad er matematik? gĂ¸r matematikken levende og vedkommende gennem fortĂŚllinger, eksempler, opgaver, projekter og studieretningskapitler.

Hvad er matematik?

Arbejd digitalt, analogt eller kombiner bog og i-bogÂŽ

ryg 24 mm

Skriftsprogets oprindelse 3500 f.v.t.

fold

-30000

fold

Ă DS PP

Babylonsk lertavle Ca. 1700 f.v.t.

Papyrus Rhind 1650 f.v.t. Beregning af cirklens areal

ISBN 978 87 7066 493 6

von Neumann begynder bygningen MandelbrotmĂŚngden 1982 af computeren EDVAC 1946

BRPVODJ LQGG

9 788770 664936 www.lru.dk

Lindhardt og Ringhof

Fra piktogram til kileskrift 3000 f.v.t.