Hvad er matematik? B, opgavebog by Alinea

Hvad er matematik?

Opgavebog Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun & Olav Lyndrup

Indholdsfortegnelse 0. Hvad er matematik? 1. Kan vi bevise det? Om keglesnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Kan vi beregne det? Om iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Matematisk modellering – optimeringsproblemer og funktioner 2. Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . 12 3. Funktioner og repræsentationsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Funktioner og monotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Andengradspolynomiet 2. Andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Anvendelser af andengradspolynomiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Polynomier 2. Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Vilkårlige polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Anvendelser af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Differentialregning 2. Differentiable kurver og differentialkvotienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Regneregler – differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4. Anvendelser af differentialregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5. Sammensatte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6. Omvendte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Lindhardt og Ringhof

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_00.indd 3

14/06/13 14.15

5. Integralregning 2. Stamfunktioner og ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Arealberegninger og bestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Anvendelser af integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Modellering med f ′ 2. Differentialligningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Logistisk vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Grafisk løsning af differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Trigonometriske funktioner 2.

Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Periodiske egenskaber og andre symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84.

2.3 Trigonometriske grundligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Differentiation og integration af sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86.

2.5 Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelser af trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur 2.

Random walk – tilfældig variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93.

2.2 Grundlæggende egenskaber ved en random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Pascals trekant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4 Standardafvigelsen og de exceptionelle udfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Random walk-testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1 Definition af normalfordelinger – random walk med et stort antal skridt . . 101 3.2 Normalfordelingen repræsenteret som graf og som funktion . . . . . . . . . . . 102 3.3 Familien af normalfordelinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4 Anvendelser af normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen 1.

Bomberegn over London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Sandsynlighedsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.1 Binomialmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_00.indd 4

14/06/13 14.15

2.2 Sandsynlighedsfelter og stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.3 Middelværdi og spredning af stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.4 Tællemetoder og binomialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.

Binomialfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.1 Det mest sandsynlige udfald i en binomialfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. 4.

Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Anvendelser af binomialfordelingen – testteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Facitliste 0. Hvad er matematik?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1. Matematisk modellering – optimeringsproblemer og funktioner. . . . . . . . . . . 134 2. Andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3. Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4. Differentialregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5. Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6. Modellering med f ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7. Trigonometriske funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen . . . . . . 164

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_00.indd 5

14/06/13 14.15

Hvad er matematik?

Kan vi bevise det? Om keglesnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Kan vi beregne det? Om iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.1 Kan vi bevise det? Om keglesnit Opgave 0.1

x y En ellipse har ligningen   +   = 1 . 3 2

a) Bestem centrum og halvakser for ellipsen.

b) Tegn ellipsen.

c) Bestem ellipsens excentricitet.

d) Hvilke to funktioner har tilsammen ellipsen som graf?

Opgave 0.2 En ellipse har ligningen

x 49

y 25

= 1.

a) Bestem centrum og halvakser for ellipsen.

b) Tegn ellipsen.

c) Bestem ellipsens excentricitet.

d) Hvilke to funktioner har tilsammen ellipsen som graf?

Opgave 0.3 En cirkel har ligningen x 2 + y 2 = 81.

a) Bestem centrum og radius for cirklen.

b) Tegn cirklen.

c) Hvilke to funktioner har tilsammen cirklen som graf?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 6

14/06/13 14.24

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.4 En cirkel har ligningen x 2 + y 2 = 121.

a) Bestem centrum og radius for cirklen.

b) Tegn cirklen.

c) Hvilke to funktioner har tilsammen cirklen som graf?

Opgave 0.5 Hvordan bestemmes cirkeltangent og ellipsetangent.

a) Konstruer en ellipse som en ’fladtrykt cirkel’ fx via konstruktionen fra øvelse 0.6 i afsnit 1. Afsæt et frit punkt P på ellipsen. Konstruer det tilsvarende punkt Q på cirklen og den tilhørende cirkeltangent, idet det udnyttes, at cirkeltangenten står vinkelret på radius. Cirkeltangenten skærer x-aksen i punktet R. Forbind nu ellipsepunktet P med punktet R på x-aksen. Argumenter for, at der må være tale om en ellipsetangent.

b) Indlæg et koordinatsystem med begyndelsespunkt C. Cirkelpunktet Q får da koordinaterne ( x, ± a2 − x 2 ) . Argumenter for, at radius må have hældningen ±

a − x x

og at cirkeltangenten må have hældningen 

x 2

a −x

c) Argumenter for, at ellipsetangenten må have hældningen  a ⋅

Opgave 0.6

x 2

a − x

x y Udgangspunktet er ellipsen med ligningen   +   = 1 . 3 2

a) Vælg et punkt P på ellipsen.

b) Bestem hældningen for ellipsetangenten i P.

c) Bestem en ligning for ellipsetangenten i P.

d) Tegn ellipsen og ellipsetangenten i samme koordinatsystem.

Opgave 0.7 Udgangspunktet er ellipsen med ligningen

x 49

y 25

= 1.

a) Vælg et punkt P på ellipsen.

b) Bestem hældningen for ellipsetangenten i P.

c) Bestem en ligning for ellipsetangenten i P.

d) Tegn ellipsen og ellipsetangenten i samme koordinatsystem.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 7

14/06/13 14.24

Opgave 0.8 Udgangspunktet er cirklen med ligningen x 2 + y 2 = 81.

a) Vælg et punkt P på cirklen.

c) Bestem en ligning for cirkeltangenten i P.

b) Bestem hældningen for cirkeltangenten i P.

d) Tegn cirklen og cirkeltangenten i samme koordinatsystem.

Opgave 0.9 Udgangspunktet er cirklen med ligningen x 2 + y 2 = 121.

a) Vælg et punkt P på cirklen.

b) Bestem hældningen for cirkeltangenten i P.

c) Bestem en ligning for cirkeltangenten i P.

d) Tegn ellipsen og cirkeltangenten i samme koordinatsystem.

Opgave 0.10

a a

V i kan også finde en arealformel for ellipsen. Ellipsen og cirklen har fælles grundlinje. b

D a alle højderne i ellipsen er ba gange så store som de tilsvarende højder i cirklen, må det samme gælde for arealet, dvs. vi finder Aellipse = ba ⋅ π ⋅ a2 = π ⋅ a ⋅ b . 2

x y a) Bestem arealet af ellipserne   +   = 1 og 3 2

x 49

y 25

= 1.

0.2 Kan vi beregne det? Om iteration Opgave 0.11 Givet den lineære iteration f(x) = 0,7x + 0,4.

a) V ælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. c) Bestem fixpunktet. d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller neutralt?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 8

14/06/13 14.24

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.12 Givet den lineære iteration f(x) = x + 0,4.

a) Vælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunktet.

d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller neutralt?

Opgave 0.13 Givet den lineære iteration f(x) = –x + 0,4.

a) Vælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer. c) Bestem fixpunktet. d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller neutralt?

Opgave 0.14 Givet den lineære iteration f(x) = 1,2x + 0,4.

a) Vælg x0 = 2 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunktet.

d) Er fixpunktet tiltrækkende, frastødende eller neutralt?

Opgave 0.15 Givet den kvadratiske iteration f(x) = x 2 – 2.

a) Vælg x0 = 0,3 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunkterne.

d) Er fixpunkterne tiltrækkende, frastødende eller neutrale?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 9

14/06/13 14.24

Opgave 0.16 Givet den kvadratiske iteration f(x) = x 2 +

1 8.

a) Vælg x0 = 0,3 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

b) Vælg x0 = 10 og konstruer et webdiagram med 5 iterationer.

c) Bestem fixpunkterne.

d) Er fixpunkterne tiltrækkende, frastødende eller neutrale?

0.3 Kan vi tro på det? Om Sankt-Petersborg-paradokset Opgave 0.17 I Landbrugslotteriet er gevinstplanen

Antal 1 gevinst

Gevinst pr. lod 4.000.000 kr.

6 gevinster

300.000 kr.

6 gevinster

100.000 kr.

10 gevinster

50.000 kr.

20 gevinster

20.000 kr.

20 gevinster

10.000 kr.

200 gevinster

4.000 kr.

1.070 gevinster

2.000 kr.

84.000 gevinster

260 kr.

85.333 gevinster

Spillet består af 210.000 lotterisedler, og en lotteriseddel koster 260,00 kr. Vi går ud fra, at alle lotterisedler sælges, inden prisen per lotteriseddel falder. Se www.lotteributikken.dk.

Bestem det forventede udbytte pr. spil.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 10

14/06/13 14.24

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.18 I en tombola er gevinstplanen for en gymnasieklasse ved den årlige årsfest opgjort i kr.

Antal

Gevinst pr. lod

1 gevinst

500 kr.

6 gevinster

300 kr.

6 gevinster

250 kr.

10 gevinster

100 kr.

20 gevinster

50 kr.

200 gevinster

20 kr.

243 gevinster

Spillet består af 500 lotterisedler, og en lotteriseddel koster 20,00 kr.

Bestem det forventede udbytte pr. spil.

Opgave 0.19 Kvit eller dobbelt Jeg skylder dig en krone, og jeg tilbyder dig at spille "Kvit eller dobbelt". Jeg taber og skylder dig 2 kr., og jeg tilbyder dig igen at spille "Kvit eller dobbelt". Jeg taber og skylder dig nu 4 kr., og jeg tilbyder dig igen at spille "Kvit eller dobbelt"… Vi spiller "Kvit eller dobbelt" på følgende måde Jeg kaster en mønt gentagne gange, indtil den viser krone, eller indtil plat er kommet n gange. Hvis krone kommer på det r’te kast, så skal du betale mig 1 kr. Hvis krone ikke kommer i de første n kast, så betaler jeg dig 2n – 1 kr.

a) Opstil en tabelrepræsentation af spillet.

b) Vis, at din forventningsværdi for spillet er 0.

c) Hvis vi spiller spillet uendeligt, hvad skal du så betale mig?

d) Hvad bliver din forventningsværdi ved uendeligt spil?

Opgave 0.20 Hvordan udvikler spillet i Sankt-Petersborg-paradokset sig, hvis mønten som kastes ikke er fair. Vælg fx 0,48 for sandsynligheden for krone.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 11

14/06/13 14.24

Matematisk modellering – optimeringsproblemer og funktioner

Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering . . . . . . . . . . . . . . . 12

Funktioner og repræsentationsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Funktioner og monotoni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Løsning af optimeringsproblemer ved matematisk modellering Opgave 1.1 Arealet af et bestemt rektangel kan beskrives ved arealfunktionen A(x) = –2x3 + 20x, hvor x er en af siderne. Benyt arealfunktionen til at besvare nedenstående spørgsmål:

a) Hvor stort er rektanglets areal, når x = 2?

b) Hvor stor skal x være, for at rektanglets areal bliver 20?

Opgave 1.2 n klods har kvadratiske endeflader med siden x, og længden af E klodsen er y.

a) Bestem klodsens overflade udtrykt ved x og y.

or en bestemt type af sådanne klodser oplyses, at rumfanget er F bestemt ved

V ( x ) = 1 (16 − x 2 ) x, 0 < x < 4. 2

b) Bestem den værdi af x, for hvilken klodsens rumfang V er størst mulig.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen august 2011 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 12

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

Opgave 1.3 Givet funktionen f(x) = –2x2 + 180.

a) Tegn grafen og bestem grafisk de x-værdier, hvor f(x) er positiv eller nul.

For en given x-værdi, hvor f(x) er positiv eller nul, indlægges et rektangel i parabelbuen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet –x til tallet x på 1. aksen. Rektanglets lodrette sider tegnes fra henholdsvis –x og x på 1. aksen op til linjerne rammer parablen.

b) Tegn en skitse af rektanglet, og argumenter for, at rektanglets sider er henholdsvis 2x og f(x).

c) Bestem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

d) B estem ved en geometrisk metode siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.4 Givet funktionen f(x) = 2x + 3, hvor x ∈ [0;12].

a) Tegn grafen med den angivne definitionsmængde.

b) For en given x-værdi i intervallet [0;12] indlægges et rektangel mellem 1. aksen og linjen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet x til tallet 12 på 1. aksen. Rektanglets ene lodrette side trækkes fra tallet x op til linjen rammer grafen.

c) Tegn en skitse af rektanglet og argumenter for, at sidelængderne er henholdsvis 12 – x og f(x).

d) Bestem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

e) Bestem geometrisk siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.5 Givet funktionen f ( x ) =

x , hvor x ∈ [0;25].

a) Tegn grafen med den angivne definitionsmængde.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 13

19/06/13 10.45

For en given x-værdi i intervallet [0;25] indlægges et rektangel mellem 1. aksen og grafen på følgende måde: Rektanglets ene vandrette side tegnes fra tallet x til tallet 25 på 1. aksen. Rektanglets ene lodrette side trækkes fra tallet x op til linjen rammer grafen.

b) Tegn en skitse af rektanglet, og argumenter for, at sidelængderne er henholdsvis 25 – x og f(x).

c) Bestem ud fra variabelsammenhænge siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

d) Bestem geometrisk siderne i det rektangel, der har det maksimale areal.

Opgave 1.6 y

å figuren ses en rektangulær løbegård til en hund. Løbegården skal bygges P op ad en mur, og de tre øvrige sider skal dannes af et 20 m langt hegn. Løbegårdens længde betegnes med y, og løbegårdens bredde betegnes med x. Bestem y udtrykt ved x. Bestem x, så arealet af løbegården bliver størst muligt.

Opgave 1.7 En familie vil konstruere en rektangulær hundegård i baghaven ved hjælp af 100 m hegn. De to par af sider skal altså være lige lange. De finder ud af, at arealet af indhegningen som funktion af indhegningens ene side kan beskrives ved A(x) = 50x – x2, hvor A(x) betegner arealet af indhegningen, når det ene par af sider har længden x.

a) Argumenter for, at der en øvre og nedre grænse for : x > 0 og x < 50.

b) Bestem sidelængden x i indhegningen, så arealet bliver størst muligt. Hvor lang bliver den anden side?

Opgave 1.8 En kasse uden låg har kvadratisk bund. Rumfanget af kassen er 32 dm3. På figuren betegner x sidelængden i den kvadratiske bund, og h betegner kassens højde.

a) Bestem h udtrykt ved x.

b) Sæt den nedre grænse for x til 1 og den øvre grænse til 10, og bestem den værdi af x, som gør kassens samlede overfladeareal mindst muligt.

(stx-B eksamen august 2010 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 14

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

Opgave 1.9 På figuren ses symønsteret for en taskes ene side. Symønsteret har form som et rektangel, hvori der er udskåret en halvcirkel. Rektanglets sidelængder er 2x og y.

a) Opstil et udtryk, der beskriver symønsterets omkreds udtrykt ved x og y.

b) Bestem y udtrykt ved x, når omkredsen er 100 cm.

c) Er der en øvre og en nedre grænse for størrelsen af x?

d) Bestem symønsterets areal som funktion af x.

e) Bestem x, således at symønsterets areal bliver størst muligt.

(stx-A eksamen august 2011 med)

Opgave 1.10 Et blomsterbed har form som et rektangel sammensat med en halvcirkel (se figuren). Blomsterbedets omkreds er 16.

a) Bestem h udtrykt ved r.

b) Bestem blomsterbedets areal udtrykt ved r.

c) Bestem r, så blomsterbedets areal er størst muligt.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2009 med)

Opgave 1.11 En madkasse skal udformes, så den ene side i bunden er dobbelt så lang som den anden side i bunden, og den skal kunne rumme 1 liter (som er lig med 1000 cm3). Fastlæg selv nogle grænser for bundens korte side, og bestem madkassens dimensioner, idet materialeforbruget skal minimeres.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 15

14/06/13 14.24

1.3 Funktioner og repræsentationsformer Opgave 1.12 En lineær funktion har forskriften f(x) = –5x + 10.

a) Tegn grafen for f, og opstil en funktionstabel for f.

b) Undersøg, om punkterne A(3,5), B(–1,–2) og C(1,3) ligger på grafen for f.

c) Udregn funktionsværdierne f(2), f(4) og f(–2). Opskriv koordinaterne til de tilsvarende punkter på grafen for f.

d) Bestem funktionsværdien f(10). Hvilket punkt på grafen for f svarer denne beregning til? e) Løs ligningen –5x + 10 = 7. Hvor i funktionstabellen kan du finde løsningen til denne ligning? Opskriv koordinaterne til det punkt på grafen for f, som svarer til løsning af ligningen.

f) Løs ligningen f(x) = 0. Hvor på grafen finder vi det punkt, som svarer til løsningen af ligningen?

Opgave 1.13 Bestem definitionsmængde og værdimængde, og tegn grafen for følgende funktioner: a) f(x) = x2 + 5

b) g(x) = –x2 + 1

( x) = c) hh(x)

i ( x ) == − x d) i(x)

j ( x ) == e) j(x)

x +5

x −6

Opgave 1.14 Bestem definitionsmængde og værdimængde for følgende funktioner:

a) f(x) = 5

b) g(x) = x 2 + 1

c) h(x) = –x2 + 4

i( x ) = d) i(x)

x +2

j( x ) = e) j(x)

x − 10

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 16

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

Opgave 1.15 Skitser en mulig graf for følgende funktioner:

hvor Dm(f) = [–5,12] og Vm(f) = [2,10]

a) f

b) g hvor Dm(g) = [10,20] og Vm(g) = [–20,–8]

c) h hvor Dm(h) Dm( h) =  og Vm(h) = [–5,6]

( h) ==  d) i hvor Dm(i) = [0,15] og Dm Vm(i)

Til de følgende opgaver: Hvis der er tegnet en udfyldt bolle på grafen, betyder det, at grafen stopper her, og at punktet er med på grafen. Er det en hul bolle, så stopper grafen, men punktet er ikke med på selve grafen. Hvis der ikke er tegnet noget sådant, så fortsætter grafen blot.

Opgave 1.16 Aflæs definitionsmængde og værdimængde grafisk for følgende funktioner. y

a) b) 12

1 x

–4 –3 –2 –1 0

6 5 f

–2

1 2 –1 –3

–4

–6

–5 x –4 –3 –2 –1 0 –11 2

–7

–8

–2

–9

c) d)

12 y12

-2

x 4

–2

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 17

2 1

0 -5 –4 -4 –3 -3 –2 -2–1 -1-1 0 0–1 1 2 2 3 3

–4 –3 –2 –1 0

–1

–2

14/06/13 14.24

Opgave 1.17 Aflæs definitionsmængde og værdimængde grafisk for følgende funktioner.

10 9

9 f

6 5

5 g

4 3

2 1

1 x –4 –3 –2 –1

1 –1

x –4 –3 –2 –1

y c)

–2

1 –1

3 –3 –2 –1

2 1 0 –1 1

–1

–2 x

–3 –2 –1

–3

–4

–2

–5

–3

–6

Opgave 1.18 En funktion f er bestemt ved f ( x ) =

4 x

+ 3x

a) Bestem f(4) og løs ligningen f(x) = 4

b) Giv en grafisk fortolkning af de to resultater.

(stx-B eksamen august 2011 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 18

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

1.4 Funktioner og monotoni Til de følgende opgaver: Hvis der er tegnet en udfyldt bolle på grafen, betyder det, at grafen stopper her, og at punktet er med på grafen. Er det en hul bolle, så stopper grafen, men punktet er ikke med på selve grafen. Hvis der ikke er tegnet noget sådant, så fortsætter grafen blot.

Opgave 1.19 Aflæs monotoniforhold for følgende funktioner ud fra deres graf.

1 x

–4 –3 –2 –1

6 f

–2

1 –1

–3

–4

–6

–5

–7

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–8 –9

–2

c) y 12 12

11 11

10 10

6 5

x -5 –4 -4–3 -3–2 -2–1 -1-1 0 0 1 1 2 23 34 4 –1

1 x

-2 –2

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 19

–4 –3 –2 –1

1 –1

–2

14/06/13 14.24

Opgave 1.20 Bestem de lokale og/eller globale ekstrema for følgende funktioner ud fra deres graf.

a) 12

1 x

–4 –3 –2 –1

6 f

–2

1 –1

–3

–4

–6

–5

–7

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–8 –9

–2

c) y 12 12

11 11

11 10

6 5

-2 –2

Hvad er matematik? B, opgavebog

x -5 –4 -4–3 -3–2 -2–1 -1-1 0 0 1 1 2 23 34 4 –1

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 20

10 10

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–2

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

Opgave 1.21

a) Bestem monotoniforholdene for følgende funktioner ud fra deres graf.

b) Bestem de lokale og/eller globale ekstrema for følgende funktioner ud fra deres graf. y

1) 2) 12

10 9

9 f

6 5

5 g

4 3

2 1

1 x –4 –3 –2 –1

1 –1

x –4 –3 –2 –1

–2

3) 4)

1 –1

3 –3 –2 –1

x 0 –1 1

–3 –4

–2

–5

–3

–6

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 21

–1 –2

1 –3 –2 –1

14/06/13 14.24

Opgave 1.22 Skitser en mulig graf for følgende funktioner:

a) f er voksende i intervallet [–5,5] og aftagende i intervallet [5,20]

b) g er aftagende i intervallet [1,7] og konstant i intervallet [7,15]

c) h er voksende i intervallet [0,1], aftagende i intervallet [1,6] og voksende i intervallet [6,100]

d) i er aftagende i intervallet [–10,3], konstant i intervallet [3,7] og voksende i intervallet [7,30]

Opgave 1.23 Skitser en mulig graf for følgende funktioner:

a) f har lokalt minimum i x = –2 med værdien f(–2) = 5 og globalt maksimum i x = 7 med værdien f(7) = 8.

b) g har globalt minimum i x = 5 med værdien g(5) = 0.

c) h har lokalt maksimum i x = –7 med værdien h(–7) = –1, lokalt maksimum i x = 0 med værdien h(0) = 5 og lokalt maksimum i x = 10 med værdien h(10) = 6 (10,6).

d) i har globalt maksimum i x = –10 med værdien i(–10) = 3, lokalt minimum i x = 0 med værdien i(0) = 0 (0,0) og globalt minimum i x = 20 med værdien i(20) = –2.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 22

14/06/13 14.24

1. matematisk modellering

Opgave 1.24 Aflæs tangenthældning ud fra følgende funktioner ud fra deres graf i de markerede punkter, og formuler sammenhængen mellem tangenthældning og monotoniforhold for de forskellige funktioner.

9 8

8 f

2 1 x –4 –3 –2 –1

1 –1

x –4 –3 –2 –1

c) 12

–2

1 –1

5 i

4 3

1 x

–4 –3 –2 –1

1 –1

–2

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 23

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–2

14/06/13 14.24

1.5 Udfordrende opgaver Opgave 1.25 y

Scene x

Publikumsområde

I en park skal der anlægges en trekantet scene samt et publikumsområde. Sammen med scenen danner publikumsområdet et rektangel med sidelængderne 2x og y. Publikumsområdet er på tre sider afgrænset af et hegn (se skravering på figur). Den samlede længde af hegnet skal være 300 m. a) Bestem y udtrykt ved x

b) Bestem arealet af publikumsområdet udtrykt ved x.

c) Bestem det størst mulige areal.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen december 2010 med)

Opgave 1.26 h

n bestemt affaldscontainer har form som en åben kasse. SammenhænE gen mellem kassens højde h og kassens bredde x er 3x + h = 3, mens sammenhængen mellem kassens længde l og kassens bredde er l = 2x. Bestem kassens rumfang udtrykt ved x.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen august 2011 uden)

Opgave 1.27 En bestemt type af massive metalgenstande fremkommer ved at fjerne en halvkugle i hver ende af en cylinder. Radius i halvkuglerne er lig med cylinderens radius. For en metalgenstand af denne type, hvor overfladen skal være 4 dm2, gælder, at

2 π r h + 4 π r 2 = 4 og V = π r 2 h − 43 π r 3 ,

hvor r (dm) er radius i både cylinderen og halvkuglerne, h (dm) er cylinderens højde, og V (dm3 ) er metalgenstandens rumfang. Bestem V som funktion af r. (stx-B eksamen maj 2007 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 24

14/06/13 14.24

Andengradspolynomiet

Andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Andengradsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Anvendelser af andengradspolynomiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Andengradspolynomiet Opgave 2.1 En funktion f er givet ved f(x) = 2x 2 – 4x. Bestem f(3). (stx-B eksamen august 2010 uden)

Opgave 2.2 En funktion f er givet ved f(x) = x 2 + 5x + 1. Bestem f(3). (stx-B eksamen december 2010 uden)

Opgave 2.3 Angiv koefficienterne a, b og c i de følgende andengradspolynomier:

a) p1(x) = 3x 2 + 7x – 10

b) p2(x) = 3x 2 + 19 + 25x

c) p3(x) = –2x 2 + 10x

d) p4(x) = x 2 + 50

e) p5(x) = x – 3x 2 + 19

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 25

14/06/13 14.24

Opgave 2.4 Nedenfor ses fire parabler. Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b og c for det tilhørende andengradspolynomium. y

a) b) 11

9 8

8 f

2 1

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–4 –3 –2 –1

–2

c) d) 12

1 –1

3 2

2 i

1 x

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–4 –3

–1

1 –1 –2

–2

Opgave 2.5 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + c.

a) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og c < 0.

b) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og c < 0.

c) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og c > 0.

d) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og c > 0.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 26

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.6 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + bx.

a) Tegn en mulig graf for f, hvor hvor a < 0 og b < 0.

b) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og b < 0.

c) Tegn en mulig graf for f, hvor a > 0 og b > 0.

d) Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0 og b > 0.

Opgave 2.7 Skitser grafen for hver af følgende andengradspolynomier uden brug af et værktøjsprogram:

a) p1(x) = 2x 2 + 10

b) p2(x) = 3x 2 + 9x

c) p3(x) = –x 2 + 5

d) p4(x) = x 2 + 5x – 2

e) p5(x) = –x 2 + 10x + 4

Opgave 2.8 Skitser i hvert af følgende tilfælde en parabel, der er grafen for et andengradspolynomium f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c, hvor koefficienterne opfylder betingelserne:

a) a > 0, b < 0 og c > 0

b) a > 0, b < 0 og c < 0

c) a < 0, b < 0 og c < 0

Opgave 2.9

Hver af graferne A, B og C på figuren er graf for en af funktionerne f, g og h, der er givet ved:

f(x) = 2 x

g(x) = 2 –x

h(x) = x 2 + 1

Angiv for hver af graferne A, B og C, hvilken af de tre funktioner den er graf for. Begrund svaret.

B A

(stx-B eksamen maj 2012 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 27

14/06/13 14.24

Opgave 2.10 I hvert af følgende tilfælde går grafen for et andengradspolynomium f igennem de nævnte tre punkter. Bestem forskriften for f ved løsning af et ligningssystem.

a) Punkterne er (–4,8), (0,1) og (2,6).

b) Punkterne er (0,8), (3,–4) og (10,6).

c) Punkterne er (–1,–6), (3,5) og (6,–1).

d) Punkterne er (–2,0), (6,7) og (10,0).

Bestem desuden forskrifterne ved hjælp af kvadratisk regression på et værktøjsprogram.

Opgave 2.11 Bestem koordinatsættet til toppunktet for den parabel, der er graf for funktionen

f(x) = –7x 2 + 28x + 25

(stx-B eksamen december 2008 med)

Opgave 2.12 Grafen for funktionen f(x) = 3x 2 – 12x + 9 er en parabel.

a) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt grafisk.

b) Bestem koordinatsættet til parablens toppunkt ved beregning.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen august 2010 uden)

Opgave 2.13 Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen med ligningen

y = x 2 – 6x + 19.

Du skal både bestemme koordinatsættet ved beregning og grafisk. (Udgangspunktet er stx-A eksamen august 2010 uden)

Opgave 2.14 Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved ligningen y = 2x 2 – 8x + 3. Du skal både bestemme koordinatsættet ved beregning og grafisk. (Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 28

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

2.3 Andengradsligningen Opgave 2.15 I det følgende er der en række andengradsligninger.

a) Vis at x = 7 er en løsning til x 2 – 6x – 7 = 0.

b) Vis at x = 1 er en løsning til x 2 – 10x + 9 = 0.

c) Vis at x = –3 er en løsning til 3x 2 + 6x – 9 = 0.

d) Vis at x = –5 er en løsning til

1 2

x 2 + 75 x + 725 = 0. 2

Opgave 2.16 I det følgende er der en række andengradsligninger.

a) Undersøg om x = 2 er en løsning til x 2 – 5x – 9 = 0.

b) Undersøg om x = –4 er en løsning til 3x 2 + 10x – 7 = 0.

c) Undersøg om x = –20 er en løsning til x 2 + 21x + 19 = 0.

d) Undersøg om x = 50 er en løsning til –x 2 + 2500 = 0.

Opgave 2.17 Vend tilbage til opgave 2.3. Beregn diskriminanten for hver af de 5 andengradspolynomier.

Opgave 2.18 Løs andengradsligningen 2x 2 – 5x – 3 = 0. (stx-A eksamen december 2010 uden)

Opgave 2.19 Bestem diskriminanten d for andengradsligningen x 2 – 7x + 10 = 0 og beskriv, hvad værdien af d fortæller om antallet af løsninger til ligningen. (stx-B eksamen maj 2011 uden)

Opgave 2.20 Løs andengradsligningen x 2 – 3x + 2 = 0. (stx-B eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 29

22/11/2016 14.51

Opgave 2.21 Løs andengradsligningen x 2 – 4x + 3 = 0. (stx-B eksamen august 2011 uden)

Opgave 2.22 Løs andengradsligningen x 2 + x – 12 = 0. (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.23 Bestem diskriminanten, og løs andengradsligningen x 2 + 8x + 15 = 0. (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.24 Løs andengradsligningen x 2 + x – 30 = 0. (stx-A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.25 Løs følgende andengradsligninger. Du skal anvende hver af de tre løsningsmetoder mindst en gang:

a) x 2 – 6x = 0

b) x 2 – 10x – 200 = 0

c) 2x 2 – 24x + 54 = 0

d) –x 2 + 8x – 7 = 0

Opgave 2.26 y

f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c.

å figuren ses to parabler P og Q. Hver af parablerne er graf for en funktion P af typen

a) G ør rede for fortegnet for a og c samt diskriminanten d for hver af de to parabler. b) Gør rede for fortegnet for b. (Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2008 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 30

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.27 Vend tilbage til opgave 2.4 Aflæs for hver af de fire parabler fortegnet for d.

Opgave 2.28 Om andengradspolynomiet f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c oplyses, at a < 0 og diskriminanten d er positiv. Skitser en mulig graf for f. (stx-B eksamen august 2011 uden)

Opgave 2.29 Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c. Tegn en mulig graf for f, hvor a < 0, d > 0 og c < 0. (stx-B eksamen december 2011 uden)

Opgave 2.30 En parabel er givet ved ligningen y = x 2 – 2x – 8. Bestem koordinatsættet til parablens skæringspunkter med førsteaksen, og bestem koordinatsættet til parablens toppunkt. (stx-A eksamen december 2011 uden)

Opgave 2.31 To funktioner f og g er givet ved f(x) = x 2 – 7x + 16 og g(x) = x + 1.

a) Bestem f(8).

Grafen for f er en parabel.

b) Bestem parablens toppunkt.

c) Løs ligningen f(x) = g(x).

(stx-B eksamen maj 2010 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 31

14/06/13 14.24

Opgave 2.32 Bestem diskriminanten for hver af følgende andengradspolynomier, og undersøg om de tilhørende parabler skærer, rører eller ikke-skærer x-aksen:

a) f(x) = x 2 + x + 1

b) g(x) = 5x 2 – 11x + 3

c) h(x) = – 4x 2 + 5

Opgave 2.33 Bestem for hvert af følgende andengradspolynomier diskriminanten d, og afgør ud fra værdien af d, om andengradspolynomiet har rødder:

a) f(x) = x 2 – 8x + 15

b) g(x) = –2x 2 + 20x –22

c) h(x) = –5x 2 + 615x

d) i(x) = 4x 2 + 8x – 252

Opgave 2.34 Indtegn for hver af følgende situationer det grafiske billede, og anvend en grafisk metode til at bestemme de eventuelle skæringspunkter mellem den vandrette linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) y = 5 og f(x) = x 2 – 6x + 8

b) y = –3 og g(x) = x 2 – 6x + 8

c) y = 1 og h(x) = –5x 2 + 25x + 30

d) y = 0 og i(x) = –5x 2 + 25x + 30

e) y = –10 og j(x) = –5x 2 + 25x + 30

Opgave 2.35 Bestem for hver af følgende situationer skæringspunktet mellem den lodrette linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) x = 5 og f(x) = x 2 – 5x + 8

b) x = –3 og g(x) = x 2 – 5x + 8

c) x = 0 og h(x) = –5x 2 + 10x + 30

d) x = 11 og i(x) = –x 2 + x + 19

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 32

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.36 Indtegn for hver af følgende situationer det grafiske billede, og anvend en grafisk metode til at bestemme de eventuelle skæringspunkter mellem den skrå linje og grafen for andengradspolynomiet:

a) y = 2x + 1 og f(x) = x 2 – 6x + 8

b) y = –x + 2 og g(x) = x 2 – 6x + 8

c) y = –3x + 5 og h(x) = –5x 2 + 25x + 30

d) y = 7 + 10x og i(x) = –5x 2 + 25x + 30

Bestem for a) og c) førstekoordinaten til skæringspunkterne ved at opstille en ligning og løse denne.

Opgave 2.37 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x 2 – 4x – 5.

Bestem koordinatsættet til hvert af grafens skæringspunkter med førsteaksen. (stx-A eksamen december 2008 uden) y

Opgave 2.38 En af parablerne P, Q og R på figuren er graf for et andengradspolynomium med forskriften

f(x) = x 2 – 4x + 5. Bestem diskriminanten d, og gør rede for, hvilken af parablerne der er grafen for f .

x R

(stx-B eksamen august 2009 uden)

2.4 Anvendelser af andengradspolynomiet Opgave 2.39 I en trekant ABC er c = 10, ∠ABC = 42° og b = 8.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Opstil en andengradsligning til bestemmelse af a.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 33

01/12/2016 13.54

Opgave 2.40 I USA har man opgjort det totale antal af personer med AIDS. Personer opdeles efter det år, de har fået diagnosen. År Antal personer med AIDS

1999

2000

2001

2002

2003

41356

41267

40833

41289

43171

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c

a) Angiv de to variable x og y.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved kvadratisk regression.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) Benyt modellen til at bestemme det totale antal personer med AIDS i 2007.

e) Benyt modellen til at bestemme det år, hvor der er 50000 personer med AIDS.

Kilde: US. Dept. Of Health and Human Services, Centers for Disease Control and Prevention, HIV/AIDS Surveillance, 2003.

Opgave 2.41 En person får tilført medicin gennem et drop. Koncentrationen af medicinen i blodet måles hver halve time. Tabellen viser en række af disse målinger Tid i timer

0,5

1,5

2,5

Koncentration af medicin målt i mg/l

78,1

99,8

84,4

50,1

15,6

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c.

a) Angiv de to variable x og y.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) B enyt modellen til at bestemme koncentrationen af medicin i personens blod efter 2,25 timer.

e) Benyt modellen til at bestemme de tidspunkter, hvor medicinens koncentration i blodet er 60 mg/l.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved kvadratisk regression.

Opgave 2.42 Bestem den sammenhæng, der er mellem tallene a og c, når andengradsligningen a ⋅ x 2 + 2x + c = 0 har netop én løsning. (stx-B eksamen december 2007 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 34

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.43 Et andengradspolynomium f er bestemt ved f(x) = –5x 2 + b ⋅ x + c. Det oplyses, at f har rødderne 3 og 7.

Bestem tallene b og c.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2008)

Opgave 2.44

Antal personer

Grafen viser befolkningstallet for Gedser i perioden 1900-2008 (opgørelse pr. 2. januar).

1400 1200 1000

I en model antages det, at befolkningstallet kan beskrives ved funktionen

800 600 400

f(x) = –0,164x 2 + 18,9x + 710

200

hvor f(x) er befolkningstallet til tiden x (antal år efter 1900).

0 1900

1920

1940

1960

1980

2000

2020

2040

Årstal

Benyt modellen til at bestemme, hvor stort befolkningstallet i Gedser var, da det var størst, og hvornår befolkningstallet i Gedser bliver 200. Kilde: www.samvirke.dk

(stx-B eksamen maj 2008 med)

Opgave 2.45 Et bassin har et lodret tværsnit, hvis form er en del af en parabel med toppunkt T (se skitsen). Bassinets største bredde AB er 10 m, og dets dybde er 4 m.

10m

Tegn en model af tværsnittet i et passende koordinatsystem, og bestem en ligning for parablen i dette koordinatsystem. (stx-A eksamen august 2008 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 35

14/06/13 14.24

Opgave 2.46 En person prøver at kaste en cricketbold over en kasseformet bygning, der er 15 m bred og 8 m høj. I et koordinatsystem med enheden 1 m på begge akser, slipper personens hånd bolden i punktet P(0,2). Den bane, bolden følger, er en del af grafen for funktionen f(x) = -0,02388x 2 + 0,8693x + 2.

y f ?

P(0,2)

α B 25

A 10

Tværsnittet af bygningen er rektanglet bestemt af punkterne A(10,0), B(25,0), C(25,8) og D(10,8).

a) Undersøg, om bolden kommer over bygningen.

Den retning, bolden har i starten, er bestemt ved vinklen a mellem vandret og tangenten til grafen for f i punktet P(0,2).

b) Bestem a.

(stx-B eksamen maj 2010 med)

Opgave 2.47 Hvis en bold til tiden t = 0 smides lodret op i luften fra begyndelseshøjden h0 med begyndelseshastigheden v0 , vil dens højde over jorden til tiden t være givet ved h = h0 + v0 ⋅ t – 12 ⋅ g ⋅ t 2 I det følgende antages det, at h0 = 1 m, v0 = 20 m/s og tyngdeaccelerationen g = 9,82 m/s2

a) Hvor højt oppe befinder bolden sig efter 2 sek.?

b) Hvornår rammer den jorden igen?

Opgave 2.48

Når man kører bil med hastigheden v og bliver nødt til at bremse, kører bilen først et stykke med hastigheden v, svarende til reaktionstiden t, inden man trykker på bremsen. Dernæst kurer bilen et stykke, mens den på grund af gnidning tager af i fart. Det sidste stykke afhænger af gnidningskoefficienten a mellem kørebanen og bilens dæk. Hvis reaktionstiden t måles i sekunder, og bilens hastighed v måles i km/timen, gælder den følgende ligning for den samlede bremselængde s målt i meter: S=

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 36

t ⋅v 3, 6

+ a ⋅ v2

01/12/2016 13.56

2. Andengradspolynomiet

I det følgende regner vi med en typisk reaktionstid t på 1 sek. For en spejlglat isbelagt kørebane gælder a = 0,04.

a) Hvor stor bliver den samlede bremselængde, hvis hastigheden er 40 km/timen?

b) E n barn på cykel skrider ud, og falder ind på den spejlglatte kørebane 15 m foran en bilist. Hvor stor en hastighed v må bilisten have, hvis en påkørsel skal undgås?

2.5 Udfordrende opgaver Opgave 2.49 Figuren viser en tønde, der har højden h og endefladediameter d, og hvis diameter på det bredeste sted er D. Tøndens rumfang V er bestemt ved V =

πh 15

(2D

+ dD +

3 2 d 4

En tønde skal have højde h = 8, endefladediameter d = 4 og rumfang V = 150. Beregn D for denne tønde. d

Opgave 2.50

Gavlen i et sommerhus er formet som en ligebenet trekant med grundlinjen 8 m og højden 4 m. Sommerhusejeren ønsker at indsætte et panoramavindue i gavlen. Han har sparet 15000 kr. sammen til panoramavinduet, der koster 2000 kr. pr. m2.

a) Kald panoramavinduets højde x. Vis, at højden x må opfylde andengradsligningen

4 · x 2 – 16 · x + 15 = 0 og løs herefter andengradsligningen.

b) H vad bliver de mulige mål på vinduet? Giv en kort begrundelse for, hvilket vindue han bør foretrække!

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 37

14/06/13 14.24

Opgave 2.51 En gårdejer afskærer et hjørne af en mark ved hjælp af 30 m hegn på en sådan måde, at det skrå stykke er 1 m længere end det lodrette stykke. I det følgende betegner x længden af det lodrette stykke, jfr. figuren.

x+1

a) Gør rede for, at det vandrette stykke må have længden 29 – 2 · x .

b) Gør rede for, at x må opfylde andengradsligningen

4 · x 2 – 118 · x + 840 = 0

c) Hvilken værdi har x?

d) Hvad bliver arealet af det afskårne stykke?

Opgave 2.52 Ved konstruktion af en olieboreplatform skal man bruge en helikopterlandingsplads. Kravene til landingspladsen er følgende:

•

Den skal være 10 m længere end den er bred.

•

Dens areal skal være mellem 375 m2 og 600 m2.

Hvilke bredder er mulige?

Opgave 2.53 Bestem tallet k, så andengradsligningen 2x 2 – 3x + k = 0 har netop en løsning. (stx-A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 2.54 Bestem tallet c, så andengradsligningen 3x 2 – 2x + c = 0 har netop en løsning. (stx-A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.55 Bestem tallet a, så andengradsligningen ax 2 + 4x + 3 = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 38

14/06/13 14.24

2. Andengradspolynomiet

Opgave 2.56 Bestem tallet b, så andengradsligningen 2x 2 + bx + 18 = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

Opgave 2.57 Bestem tallet c, så andengradsligningen 3x 2 – x + c = 0 har

a) netop en løsning.

b) ingen løsninger.

c) to løsninger.

Opgave 2.58 En femtedel af en flok aber fratrukket 3 – det hele kvadreret – er gået ind i en hule. Den sidste abe er klatret op på en gren i et træ. Hvor mange aber er der? Fra indisk skrift Bija-Ginati.

Opgave 2.59 Summen af to forskellige kvadrater er lig med 1525. Siden af det ene kvadrat er siden i det andet kvadrat adderet med 5.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Indfør variable, og bestem de to kvadraters sider.

2 3

(Den Babylonske lertavle BM 13901)

Opgave 2.60 To kvadrater har et samlet areal på 100, og siden i det ene kvadrat er andet kvadrat.

a) Tegn en skitse af problemet.

b) Indfør variable og bestem de kvadraters sider.

3 4

af siden i det

(Papyrus Berlin)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_0-2.indd 39

14/06/13 14.24

Polynomier

Tredjegradspolynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Vilkårige polynomier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Anvendelser af polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Tredjegradspolynomier Opgave 3.1 Angiv koefficienterne a, b, c og d i følgende tredjegradspolynomier:

a) p1(x) = 3x 3 + 49x 2 + 12x + 3

b) p2(x) = –x 3 + x 2 + x

c) p3(x) = – 4x 3 + 15x + 20

d) p4(x) = –10x 3 + 5x 2+ 9

e) p5(x) = –x 3 + 64

f) p6(x) = 3x 3 + 75x

g) p7(x) = –5x 3 + 125x 2

Opgave 3.2 Brug dit værktøjsprogram til at omskrive følgende tredjegradpolynomium til standardform, og angiv koefficienterne a, b, c og d:

a) p1(x) = 3(x – 2)2 · (x + 1)

b) p2(x) = (x – 3) · (x + 1) · (x – 10)

c) p3(x) = –2(x – 2) · (x 2 + 1)

d) p4(x) = x · (x + 1) · x

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 40

14/06/13 14.30

3. Polynomier

Opgave 3.3 Nedenfor ses graferne for fire forskellige tredjegradspolynomier

p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d.

Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b, c og d ud fra grafen for et tredjegradspolynomium.

a) 12

10 g

3 2

1 x

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–4 –3 –2 –1

–2

12 11

10 i

2 1

1 x 1 –1

–2

c) 12

–4 –3 –2 –1

1 –1

x –4 –3

–1

1 –1 –2

–2

Opgave 3.4 Undersøg, om det angivne tal er rod i det tilhørende tredjegradspolynomium:

a) Er tallet 3 rod i p1(x) = x 3 – 27?

b) Er tallet –4 rod i p2(x) = –x 3 + 6 4?

c) Er tallet 1 rod i p3(x) = 4x 3 + x 2 – 5x + 1?

d) Er tallet –1 rod i p4(x) = x 3 – 6x 2 + 7?

e) Er tallet 10 rod i p5(x) = x 3 + 7x 2 – 28x + 20?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 41

14/06/13 14.30

Opgave 3.5 Undersøg, om 2 er løsning til ligningen x 3 – 5x 2 + 3x + 6 = 0. (stx-B eksamen december 2007 uden)

Opgave 3.6 Undersøg, om det eller de angivne tal er løsning til tredjegradsligningen:

a) Er tallet –1 en løsning til ligningen x 3 – 5x 2 + 6 = 0.

b) Er tallene –1 og 1 løsninger til ligningen –x 3 – x 2 – x – 1 = 0.

c) Er tallene 0 og 2 løsninger til ligningen 10x 3 – 14x 2 + 4x = 0.

d) Er tallene –1 og 1 løsninger til ligningen 5x 3 – 20x 2 + 15 = 0.

Opgave 3.7 Bestem koordinaterne til vendepunktet for følgende tredjegradspolynomier:

a) p1(x) = x 3 – 2x + 5

b) p2(x) = –x 3 + x 2 + 5x + 7

c) p3(x) = –2x 3 + 20x 2 + 10

d) p4(x) = 2x 3 – 20x 2 + 19x – 1

Opgave 3.8 En funktion f er givet ved f(x) = x3 – 4,5x2 – 30x + 30.

a) Bestem funktionens nulpunkter.

b) Bestem grafisk monotoniforholdene for f.

(Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2010 med)

Opgave 3.9 Bestem forskriften for et tredjegradspolynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved opstilling og løsning af et ligningssystem:

Punkterne er (–2,2), (0,5), (3,8) og (10,100).

Opgave 3.10 Bestem forskriften for et tredjegradspolynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved anvendelse af polynomiel regression:

a) Punkterne er (–3,0), (1,0), (5,0) og (9,30).

b) Punkterne er (–5,–10), (–1,–3), (0,0) og (3,50).

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 42

14/06/13 14.30

3. Polynomier

3.3 Vilkårlige polynomier Opgave 3.11 Angiv graden af følgende polynomier:

a) p1(x) = 30 – 10x

b) p2(x) = x3 – 10x + x 7

c) p3(x) = 19 + 33 · x 2 + 20x

e) p5(x) = (x – 4) · (x 10 + 3x) · (45 – x 2)

f) p6(x) = (x + 5) · 4 · (7 – x)

g) p7(x) = (x + 3) · (x 2 + 5) + 6x4

d) p4(x) = 0

Opgave 3.12 De to figurer viser graferne for to polynomier. Hvad kan vi sige om graden af hvert af de to polynomier? y

a) b) 12

9 8

8 p

3 2 1

x –4 –3 –2 –1

1 –1

–4 –3 –2 –1

1 –1

–2

Opgave 3.13 Kan du uden at tegne grafen sige noget om antallet af rødder for de følgende polynomier?

a) p(x) = x 2 – 5x – 6

b) q(x) = x3 + x 2 + 6x – 1

Kan du også sige noget om røddernes fortegn?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 43

14/06/13 14.30

Opgave 3.14 Bestem forskriften for polynomier, hvis graf går igennem følgende punkter, ved opstilling og løsning af et ligningssystem. (Der er mange muligheder, men vælg fx et polynomium af lavest mulig grad).

a) Punkterne er (–5,20), (–2,–5), (0,5), (3,8) og (10,100).

b) Punkterne er (–3,0) og (1,11).

Opgave 3.15 Bestem forskriften for et polynomium, hvis graf går igennem følgende punkter, ved anvendelse af polynomiel regression. (Der er mange muligheder, men vælg fx et polynomium af lavest mulig grad).

Punkterne er (–5,0), (–1,0), (0,0), (3,0), (8,0) og (11,50).

Opgave 3.16 Svar på følgende uden at udregne produktet. Hvad bliver graden af polynomierne nedenfor?

a) p1(x) = (7x5 – x + 8) · (11 – 4x 3)

b) p2(x) = 18 · (x 8 + 9) · (11 – x 2) · (3x + x6 + 17x 2)

Opgave 3.17

a) Angiv alle divisorer i 80.

b) Opskriv en fuldstændig faktorisering af tallene 50, 91, 121, 200, 324 og 1250.

Opgave 3.18

a) Vis, at tallet 1 er en rod i polynomiet p(x) = 5x 3 – 2x 2 + 17x – 20.

b) B estem koefficienterne i et andengradspolynomium, q(x) = a · x 2 + b · x + c, så p(x) kan skrives på formen: p(x) = (x – 1) · q(x)

Opgave 3.19 Faktoriser følgende vha. dit værktøjsprogram:

a) p1(x) = x4 + 5x 3 – 7x 2 – 29x + 30

b) p2(x) = 2x 5 + 11x4 + 2x 3 – 15x 2

c) p1(x) = x4 – x 3 + 5x 2 – 5x + 12

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 44

14/06/13 14.30

3. Polynomier

Opgave 3.20 Gennemfør ved hjælp af dit værktøjsprogram følgende division af polynomier og tegn graferne for hver af polynomiumsbrøkerne: 2

x + 3x − 1 x +1

x + 3x − 4 x −1

x + 2x + 5x + 7 x +1

3x − 1 x +1

x3 − 5x2 + 3 x2 + 1

Opgave 3.21 Bestem for hver af ovenstående polynomiumsbrøker de eventuelle lodrette, vandrette eller skrå asymptoter til graferne.

3.4 Anvendelser af polynomier y

Opgave 3.22 En funktion f er bestemt ved f(x) = 5 – x4. Et rektangel med højden h, hvor 0 < h < 5, er placeret som vist på figuren.

Bestem bredden af rektanglet udtrykt ved h, og bestem arealet af rektanglet udtrykt ved h.

(stx-A eksamen december 2009 med)

Opgave 3.23 For en motorbåd har man målt motorbådens hastighed i knob sammenholdt med motorens hastighed målt i 100 omdrejninger pr. minut. Motorens hastighed Bådens hastighed

21,5

6,43

7,61

8,82

9,86

10,88

12,36

15,24

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 45

14/06/13 14.30

Vi ønsker at modellere talmaterialet med en funktion af typen y = a · x3 + b · x2 + c · x + d

a) Angiv de to variable x og y.

b) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne ved polynomiel regression.

c) Benyt et residualplot til at vurdere, hvor godt modellen passer til data.

d) Bestem ud fra modellen bådens hastighed, når motorens hastighed er 1600 omdrejninger per minut.

e) Bestem ud fra modellen motorens hastighed, når bådens hastighed er 14 knob.

Opgave 3.24 En virksomhed fremstiller en vare. I en model er omkostningerne O(x) ved fremstilling af x varer (målt i tusinder) pr. uge givet ved

O(x) = 0,04x3 – 0,5x2 + 2,35x + 7,5

1≤ x ≤ 15.

Ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge kan de producerede varer sælges til en pris, der svarer til, at tusind styk af varen kan sælges for beløbet p(x), hvor

p(x) = 8 – 0,4x

1≤ x ≤ 15.

Fortjenesten F(x) ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge er under disse forudsætninger bestemt ved

F(x) = p(x) · x – O(x)

1≤ x ≤ 15.

Den møntenhed, som O(x), p(x) og F(x) er målt i, er underordnet i denne forbindelse.

Bestem en forskrift for F(x), og benyt modellen til at bestemme størrelsen af den produktion pr. uge, som giver størst fortjeneste.

(stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 3.25 En virksomhed producerer og afsætter årligt x enheder af en vare, hvor 5000 ≤ x ≤ 20000. Omkostningerne O(x) ved produktionen er givet ved

O(x) = 4,58 · 10 –6 x3 – 0,05x2 + 184,2x + 2 · 107

hvor O(x) måles i kr.

a) Skitser grafen for O og bestem omkostningerne, når der produceres 10000 varer.

Enhedsomkostningen E(x) (målt i kr. pr. enhed) ved produktion af x enheder er bestemt ved O( x ) E( x) = . x b) Bestem enhedsomkostningen ved produktion af 10000 enheder.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 46

14/06/13 14.31

3. Polynomier

Fortjenesten F(x) er bestemt ved F(x) = x · (–0,53x + 10000) – O(x), hvor F(x) måles i kr.

c) Bestem graden af polynomiet F(x)

d) Bestem grafisk den værdi af x, der giver størst mulig fortjeneste.

(Udgangspunktet stx-B eksamen august 2010 med)

3.5 Udfordrende opgaver Opgave 3.26 En postkasse har form som vist på figuren, hvor hver af postkassens endeflader er sammensat af et rektangel og to halvcirkler. Disse halvcirkler har radius r, mens rektanglets sider er 2r og h. Desuden er postkassens bredde 10r.

r h

a) Bestem postkassens overfladeareal udtrykt ved r og h.

For en bestemt type postkasse med denne form er postkassens rumfang V som funktion af r bestemt ved 25 r (500 − π r ) V (r ) = , 0 < r < 12.

10r

b) G ør rede for at volumenet af postkassen som funktion af radius har denne forskrift. Overfladearealet af den bestemte postkassetype er 5000.

c) Skitser grafen for V og bestem grafisk r, så en postkasse af denne type har størst muligt rumfang.

(Udgangspunktet er stx-A eksamen maj 2010 med)

Opgave 3.27

21 x 4

−

1 84

a) Gør rede for, at A( x ) =

b) Bestem x så A(x) = 35.

c) Skitser grafen for A, og bestem grafisk monotoniforholdene for A.

d) Bestem grafisk x, så A(x) er størst mulig.

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 47

S 21– y

x3 .

Hvad er matematik? B, opgavebog

21 cm

Figuren viser et rektangulært papir, der er 21 cm bredt. Papiret er foldet langs den rette linje ST, således at QS = SR(se figuren). Arealet af trekanten PRS betegnes A(x), hvor x er afstanden mellem P og R.

14/06/13 14.31

Opgave 3.28 I en kasseformet beholder er længden seks gange højden, og bredden er 18 cm kortere end længden.

a) Tegn en model af kassen, og indfør passende variabel.

b) Opstil en model for rumfanget af kassen.

c) Hvilket polynomium beskriver rumfanget af kassen?

d) Bestem siderne i beholderne, når rumfanget skal være 1000 cm3.

Opgave 3.29 Gennemfør en fortegnsundersøgelse af polynomierne

a) p1(x) = x4 + 5x 3 – 7x 2 – 29x + 30

b) p2(x) = 2x 5 + 11x4 + 2x 3 – 15x 2

c) p3(x) = x4 – x 3 + 5x 2 – 5x + 12

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 48

14/06/13 14.31

Differentialregning

Differentiable kurver og differentialkvotienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Regneregler – differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Anvendelser af differentialregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Sammensatte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Omvendte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Differentiable kurver og differentialkvotienter Opgave 4.1 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4. Bestem f ′(x). (stx-B eksamen august, december 2009 uden)

Opgave 4.2 En funktion g er givet ved forskriften g(x) = 0,1 · x 3.

a) Bestem g ′(–2), g ′(0) og g ′(2), og giv en fortolkning af tallene.

b) Løs ligningen g ′(x) = 30, og giv en fortolkning af løsningen.

c) For hvilke tal a har ligningen g ′(x) = a en løsning?

Opgave 4.3 Betragt funktionen h( x ) =

5 , x

x ≠ 0.

a) Bestem grafisk tangentligningen i (5,h(5)).

b) For hvilke tal a har ligningen h ′(x) = a en løsning?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 49

14/06/13 14.31

Opgave 4.4 A

Figuren viser graferne for funktionerne f(x) og f ′(x).

Gør rede for, hvilken graf der hører til hvilken funktion.

(stx-B eksamen august 2008 uden) x

Opgave 4.5

N(t)

I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tidspunktet t (målt i døgn). Nedenfor er vist en del af grafen for N.

Benyt grafen til at bestemme N ′(10), og gør rede for, hvad dette tal fortæller om udviklingen af antallet af individer i populationen.

500

100

t (stx-B eksamen maj 2011 uden) 5

4.3 Regneregler – differentiation Opgave 4.6 Bestem f ′(x), samt f ′(0) og f ′(4) af følgende funktioner:

a) f(x) = –4x + 300

b) f(x) = x + x 2

( x ) == c) ff(x)

d) f(x) = x 6 – 5x4 + 3x + 30

1 33 x + 98 4

Opgave 4.7 En funktion f er givet ved f(x) = 2x3 + 4x 2. Bestem f ′(x). (stx-B eksamen maj 2009 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 50

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

Opgave 4.8 En funktion f er givet ved f(x) = 2x 3 – x 2 + 3x. Bestem f ′(x). (stx-A eksamen august 2011 uden)

Opgave 4.9 Funktionen f har forskriften f(x) = x4 + 5x. Bestem f ′(x). (stx-B eksamen december 2011 uden)

Opgave 4.10 En funktion f er givet ved f(x) = x 2 + 5x. Bestem f ′(x), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(4,f(4)). (stx-B eksamen december 2008 uden)

Opgave 4.11 En funktion f er bestemt ved f(x) = x 3 + 2x + 8. Bestem f ′(1), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)). (stx-B eksamen maj 2007 uden)

Opgave 4.12 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 + 5x. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet (1,f(1)). (stx-B eksamen august 2008 uden)

Opgave 4.13 En funktion f er givet ved f(x) = x 3 + 4x 2 – 2x – 1. Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)). (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 51

14/06/13 14.31

Opgave 4.14 En funktion f er givet ved forskriften f(x) = 3x 2 – 5x + 100. a) Bestem f ′(0) og f ′(10), og giv en fortolkning af hvad tallene betyder. b) Bestem ved beregning en ligning for tangenten til grafen i punktet (0,f(0)). c) Løs ligningen f ′(x) = 0, og giv en fortolkning af dit resultat.

4.4 Anvendelser af differentialregning Opgave 4.15 Givet funktionen p(x) = – 0,5x 2 + 7x – 2.

a) Bestem en ligning for tangenten i punktet (2, p(2)).

b) Vis, der findes en tangent med stigningstal lig med 8. Bestem en ligning for denne tangent.

Opgave 4.16 Givet funktionen q(x) = 0,2x 5 + 2x4 – 21x 3 + x 2 – 3x + 19.

a) Bestem q ′(0), og giv en fortolkning af dette.

b) Bestem ligningen for tangenten i punktet (–1, q(–1)).

c) Denne tangent skærer grafen i yderligere tre punkter. Bestem 1.-koordinaterne til disse punkter.

Opgave 4.17 Aflæs monotoniforhold, og skitser en mulig graf ud fra fortegnslinjen: a)

f ′( x)

–

f ′( x)

+ 0

–

1 +

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 52

0 0

–

x f ′( x)

0 0

f ′( x)

–

22/11/2016 14.56

4. Differentialregning

Opgave 4.18 Tegn en mulig graf for en funktion f, der opfylder, at

f(0) = 5 og f(10) = –1,

og at fortegn og nulpunkter for f ′ er som angivet på tallinjen:

f ′( x)

x –

(stx-A eksamen december 2009 uden)

–

Opgave 4.19 Funktionen f er givet ved f(x) = x 3 – 7x 2 – 48x + 18.

a) Tegn grafen for f.

b) Bestem ved hjælp af f ′ monotoniforholdene for funktionen f.

Opgave 4.20 En funktion f er givet ved f(x) = x 3 – 3x 2 – 9x. Bestem x, så f ′(x) = 0, og bestem monotoniforholdene for f. (stx-B eksamen maj 2010 uden)

Opgave 4.21 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 – 3x 2 – 4.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx-A eksamen august 2010 med)

Opgave 4.22 En funktion er givet ved f(x) = x 3 – 4x 2 + 4x + 5. Bestem monotoniforholdene for f. (stx-B eksamen december 2010 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 53

14/06/13 14.31

Opgave 4.23 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 + 2x 3 – 11x 2 – 12x + 36.

a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

c) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx-B eksamen maj 2011 med)

Opgave 4.24 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 – 8x 2 + 1.

a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet i P(3,f(3)).

c) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx-B eksamen august 2011 med)

Opgave 4.25 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 + 8x 3 + 18x 2 + 16x + 5.

a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Bestem f ′(x), og bestem monotoniforholdene for f.

(stx-B eksamen maj 2012 med)

Opgave 4.26 Bestem monotoniforholdene for funktionen f(x) = –x 3 – 3x 2 + 9x. (stx-B eksamen august 2007 uden hjælpemidler)

Opgave 4.27 En funktion f er givet ved f(x) = x 3 – 3x 2 + 4. Bestem f ′(x), og gør rede for monotoniforholdene for f. (stx-B eksamen maj 2008 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 54

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

Opgave 4.28 ( x ) = 41 x 33 –− xx22–−xx++4. 4 En funktion f er bestemt ved ff(x) Det skæringspunkt mellem grafen for f og førsteaksen, der har den mindste førstekoordinat, kaldes A.

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet A.

(stx-B eksamen august 2007)

Opgave 4.29 En funktion f er bestemt ved f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x. Det oplyses, at grafen for f har to tangenter med hældningskoefficient 14.

Bestem førstekoordinaten til røringspunktet for hver af disse tangenter.

(stx-B eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.30 En funktion f er bestemt ved ff(x) ( x ) == x +

16 , x

x > 0.

Bestem f ′(x), og gør rede for, at funktionen har et minimum. (stx-B eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.31 En funktion f er bestemt ved f(x) = x 3 + x 2 – x + 2. a) B estem f ′(x), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)).

b) Bestem monotoniforholdene for f , og bestem de lokale ekstrema.

(stx-B eksamen august 2009 med)

Opgave 4.32 En virksomhed fremstiller en vare. I en model er omkostningerne O(x) ved fremstilling af x varer (målt i tusinder) pr. uge givet ved

O(x) = 0,04x 3 – 0,5x 2 + 2,35x + 7,5

1 ≤ x ≤ 15.

Ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge kan de producerede varer sælges til en pris, der svarer til, at tusind styk af varen kan sælges for beløbet p(x), hvor

p(x) = 8 – 0,4x

1 ≤ x ≤ 15.

Fortjenesten F(x) ved produktion af x varer (målt i tusinder) pr. uge er under disse forudsætninger bestemt ved F(x) = p(x) · x – O(x)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 55

1 ≤ x ≤ 15.

14/06/13 14.31

Den møntenhed, som O(x), p(x) og F(x) er målt i, er underordnet i denne forbindelse.

a) Bestem en forskrift for F(x).

b) Benyt modellen til at bestemme størrelsen af den produktion pr. uge, som giver størst fortjeneste.

(stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 4.33 I en model betegner O(x) (målt i kr.) en virksomheds samlede omkostninger ved en produktion på x enheder af et bestemt produkt. Den pris pr. enhed, som virksomheden kan sælge samtlige x enheder for, betegnes a(x) (målt i kr.). I modellen antages det, at

O(x) = 0,0024 · x 2 + 106 og a(x) = –0,008x + 1300.

I modellen kan virksomhedens fortjeneste ved salg af samtlige x enheder bestemmes ved

F(x) = x · a(x) – O(x).

a) Bestem en forskrift for F(x).

b) Benyt forskriften til at bestemme det antal enheder, som virksomheden skal fremstille for at gøre fortjenesten størst mulig.

(stx-B og A eksamen august 2008)

Opgave 4.34 En virksomhed producerer og afsætter årligt x enheder af en vare, hvor 5000 ≤ x ≤ 20000. Omkostningerne O(x) ved produktionen er givet ved

O(x) = 4,58 · 10 –6 x 3 – 0,05x 2 + 184,2x + 2 · 107

hvor O(x) måles i kr. Enhedsomkostningen E(x) (målt i kr. pr. enhed) ved produktion af x enheder er bestemt ved O( x ) E( x) = . x

a) B estem enhedsomkostningen ved produktion af 10000 enheder, og løs ligningen O ′(x) = E(x).

Fortjenesten F(x) er bestemt ved F(x) = x · (–0,53x + 10000) – O(x), hvor F(x) måles i kr.

b) Bestem x, så fortjenesten er størst mulig.

(stx-B eksamen august 2010 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 56

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

Opgave 4.35 I en model for væksten af en bestemt population er antallet af individer i populationen N som funktion af tiden t (målt i døgn) givet ved 2000 . N(t ) = −0,1⋅ t 1 39 + ⋅e a) Bestem ved hjælp af modellen antallet af individer og væksthastigheden til tiden t = 0.

b) Skitser grafen for N i intervallet [0;100], og bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer er 1000.

(stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 4.36 En funktion f er bestemt ved f(x) = –x 3 + 4x 2 + 3x –3.

a) Bestem de lokale ekstrema for f.

b) Tegn grafen for f, og bestem de værdier af a, for hvilke ligningen f(x) = a har netop 3 løsninger.

(stx-B eksamen december 2007 med)

Opgave 4.37 To funktioner f og g er givetf (ved x ) = x 2 − x + 2,

f ( x ) = x 2 − x + 2, og

5 2

g( x ) = − x 2 + 5 x − .

5 2

a)g(Bestem x ) = − x 2en + 5ligning x − . for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)).

Det oplyses, at graferne for f og g har netop et fælles punkt Q.

b) Bestem koordinatsættet til Q.

(stx-A eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.38

En kasse har kvadratisk bund med sidelængden x, og højden af kassen er h. Kassen har et cirkulært hul i låget med en diameter på 0,8x.

0,8 x

a) Bestem kassens overfladeareal udtrykt ved x og h.

Det oplyses, at kassens rumfang er 10, og at 1 ≤ x ≤ 10.

b) Bestem h udtrykt ved x. Bestem den værdi af x, der giver kassen det mindste overfladeareal. (stx B eksamen maj 2010 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 57

h x x

14/06/13 14.31

Opgave 4.39 Et overdækket fuglebur skal bygges op af en 18 m bred mur, således at muren udgør den ene side, og jorden udgør bunden af buret. Den del af buret, der skal indhegnes med trådnet, består således af loftet og de tre sider. Buret skal være 6 gange så langt, som det er bredt. Bredden betegnes med x, og højden betegnes med h. a) Gør rede for, at fugleburets overflade O og rumfang V udtrykt ved x og h er givet ved

x 6x

O = 6 · x 2 + 8 · h · x og V = 6 · h · x 2. Det oplyses, at der er 80 m2 trådnet til rådighed. b) B estem rumfanget V udtrykt ved x, og bestem x, således at rumfanget af buret er størst muligt, når 0 < x < 3.

(stx-B eksamen december 2011 med)

Opgave 4.40 4 F

Et kvadrat ABCD har sidelængden 4. I kvadratet er der indskrevet et paralleloC gram EFGH, som vist på figuren. x a) Bestem arealet af trekanterne AEH og BEF udtrykt ved x, og gør rede for, at arealet af parallelogrammet EFGH er givet ved G 4

E x A

T(x) = 4x 2 – 12x + 16.

b) B estem den værdi af x, der gør arealet af parallelogrammet mindst muligt, idet 0 < x < 2. D

c) B estem en geometrisk løsning for det parallelogram, der har det mindste areal. (Udgangspunktet er stx-B eksamen maj 2012 med)

Opgave 4.41 Sammenhængen mellem en bils hastighed og benzintilførslen til motoren kan beskrives ved funktionen

f ( x ) = 40,7 ⋅ x − 1,5 ,

2 ≤ x ≤ 25,

hvor f(x) er bilens hastighed (målt i km/t), og x er benzintilførslen til motoren (målt i liter pr. time).

a) Bestem bilens hastighed ved en benzintilførsel på 10 liter pr. time, og bestem den benzintilførsel, der svarer til, at bilens hastighed er 130 km/t.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 58

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

Bilens benzinøkonomi (målt i km/liter) ved en benzintilførsel på x liter pr. time er givet ved funktionen f(x) g( x ) = x , 2 ≤ x ≤ 25 .

b) Skitser grafen for g, og giv en fortolkning af tallet g(5).

c) Bestem den benzintilførsel, der giver den bedste benzinøkonomi for bilen.

d) Bestem bilens hastighed ved denne benzintilførsel. (Udgangspunktet er stx-B eksamen august 2009 med)

4.5 Sammensatte funktioner Opgave 4.42 Bestem de afledede til : a) f ( x ) = (2 x − 7)12 b) g( x ) = 3 x + 1 c) h( x ) =

1 2x + 3

Opgave 4.43 En funktion f er bestemt ved f(x) = 2x + e3x. Bestem f ′(0) (stx-B eksamen december 2007 uden)

Opgave 4.44 En funktion f er givet ved f(x) = e x – 3x + 1.

a) Bestem f ′(x), og gør rede for, at funktionen f har et minimum.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)).

(stx-B eksamen august 2010 med)

Opgave 4.45 En funktion f er bestemt ved f(x) = 5x – e x,

–4 ≤ x ≤ 8.

Bestem funktionens maksimum. (stx-B eksamen august 2007 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 59

14/06/13 14.31

Opgave 4.46 En funktion f er givet ved f(x) = 2 · e x + 1. Bestem f ′(x), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,f(0)). (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 4.47 En funktion f er givet f(x) = 5 · 2 x – x.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen i punktet P(1,f(1)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx-B eksamen december 2011 med)

Opgave 4.48 Afkølingen af en bestemt kop te kan beskrives ved funktionen

H(t) = 18 + 69 · e – 0,0491 · t,

hvor t angiver antal minutter efter, at teen er blevet stillet til afkøling, og H(t) er teens temperatur (målt i °C) til tiden t.

a) Bestem teens temperatur efter 20 minutter, og bestem, hvor mange minutter, der går, før teens temperatur er 60°C?

b) Bestem den hastighed, hvormed teens temperatur aftager efter 2 minutter.

(stx-B eksamen august 2008)

Opgave 4.49 Ved en bestemt infektion er antallet af bakterier hos en inficeret person givet ved funktionen M(t) = 3,2 · 10 5 + 7,8 · 10 5 · e 0,154 · t , hvor M er antallet af bakterier, og t er tiden (målt i timer). Bestem M ′(18), og beskriv, hvad dette tal fortæller om udviklingen i antallet af bakterier. (stx-B eksamen maj 2009 med)

Opgave 4.50 En funktion f er bestemt ved f(x) = 3e x + 5x 7. Bestem f ′(x). (stx-B eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 60

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

4.6 Omvendte funktioner Opgave 4.51 En funktion f er bestemt ved f(x) = 2x3 + 4lnx. Bestem f ′(x). (stx-B eksamen august 2011 uden)

Opgave 4.52 En funktion f er givet ved f(x) = 2ln(x) + 5x3. Bestem f ′(2). (stx-A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 4.53 En funktion f er givet ved f(x) = 4ln(x) – 2x + 8.

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

(stx-B eksamen december 2010 med)

Opgave 4.54 En funktion f er bestemt ved f(x) = ln(x) – 3x, x > 0. Gør rede for, at funktionen f har et maksimum, og bestem dette maksimum. (stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 4.55 En funktion f er bestemt ved f(x) = 3 · lnx – x 3 , x > 0. Bestem f ′(x), og gør rede for, at f har et maksimum. (stx-B eksamen december 2008)

Opgave 4.56 En funktion f er bestemt ved f(x) = 18 ln(x) – x 2 , x > 0.

a) Skitser grafen for f.

b) Bestem f ′(x), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)).

c) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx B eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 61

14/06/13 14.31

4.7 Udfordrende opgaver Opgave 4.57 En funktion f er bestemt ved f(x) = x 3 + 6x 2 + k, hvor k er et tal. Bestem de værdier af tallet k, for hvilke grafen for f har netop to skæringspunkter med førsteaksen. (stx-A eksamen december 2008 med)

Opgave 4.58 Lad funktionen h være givet ved h(x) = 0,2x 3 + 2,2x 2 + 4,6x – 7.

a) For hvilket tal a har ligningen h ′(x) = a en løsning?

b) Kan du generalisere resultatet i a), så du beskriver antallet af løsninger afhængig af værdien af a?

Opgave 4.59 Funktionen f er givet ved f(x) = 0,1x4 – 2,6x 2 + 2,5.

a) Bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet (1,0).

rafen for f har to andre tangenter, der er parallelle med t. Bestem koordinab) G terne til røringspunktet for disse tangenter.

c) For hvilke tangenthældninger er der en, to eller tre tangenter med samme hældning?

Opgave 4.60 Om en funktion f oplyses, at dens differentialkvotient er givet ved f ′(x) = x4 – x 3 – 3x 2 + 5x – 2.

Bestem monotoniforholdene for f.

(stx-B eksamen maj 2008 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 62

14/06/13 14.31

4. Differentialregning

Opgave 4.61 Der findes to tangenter til parablen y = x 2, der begge går gennem punktet (–1,–3).

a) Bestem ligningerne for de to tangenter.

b) Hvor mange tangenter går der igennem punktet, hvis det ligger på x-aksen?

c) Hvor mange tangenter går der igennem punktet, hvis andenkoordinaten er negativ?

d) Hvor mange tangenter går der igennem punktet, hvis det ligger på y-aksen, og andenkoordinaten er positiv?

Opgave 4.62 Mellem to punkter A og B i to forskellige lande skal der etableres en vej APB som vist på figuren. Prisen for stykket AP er 50 mio. kr. pr. km, og prisen for stykket PB er 60 mio. kr. pr. km.

40 km A x P 46 km

a) Bestem AP og PB udtrykt ved x, idet 0 ≤ x ≤ 46 (se figuren).

Grænse

b) Bestem prisen for vejen udtrykt ved x, og bestem den værdi af x, der gør vejen APB billigst mulig.

33 km

(stx-B eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.63

En funktion f er givet ved f(x) = a · x 3 + b · x 2 . Grafen for f har et lokalt ekstremumspunkt i punktet A(2,2).

f 2

A(2,2)

Bestem konstanterne a og b.

(stx-A eksamen maj 2012 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 63

x 2

14/06/13 14.31

Integralregning

Stamfunktioner og ubestemte integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Arealberegninger og bestemte integraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Anvendelser af integralregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Stamfunktioner og ubestemte integraler Opgave 5.1 Bestem stamfunktioner til

a) f(x) = x 2,5

b) g(x) = x –1,5

c) h(x) = x 21

d) i(x) = 5

e) j(x) = 0

f ) k(x) = e –x

Opgave 5.2 Bestem stamfunktioner til

a) f(x) = 34 + 6x

b) g(x) = 7x 2 + 9

c) h(x) = x 7 – 5x 6 + 9x 5 + 7

d) i(x) = x + e3x

Opgave 5.3 Hvilke funktioner er de følgende stamfunktioner til

a) F(x) = 4x 3 + 6x – 100

b) G(x) = e10x + 20x

c) H(x) = 45 · In(x) + 4

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 64

14/06/13 14.31

5. Integralregning

Opgave 5.4 Bestem følgende ubestemte integraler

∫ x + 5 xdx b) ∫ 5 x + e dx a)

∫ 4 − x + 6 x dx 5 d) ∫ 6 x − x dx 5

Opgave 5.5 Bestem den stamfunktion, hvis graf går igennem det angivne punkt P

a) f(x) = 2 + 3x

P(1,8)

og P(0,–5)

b) g(x) = 3x + 9

c) h(x) = x4 – x 3 + 2x 2 + 11 og P(0,–5)

d) i(x) = e 3x

og P(0,10)

Skitser i samme koordinatsystem graf for funktion og stamfunktion.

Opgave 5.6 I det følgende er grafen for en funktion f og en af de mulige stamfunktioner F tegnet. Bestem, hvilken graf der hører til f henholdsvis F. y

a) 12

b) 12

0 –11

x –1

–3 –2

y 12

–4 –3 –2

–2

1 –1 –2

x –4 –3 –2 –1

1 –1

x –4 –3 –2

–2

–1

1 –1

–2

Opgave 5.7 En funktion f er givet ved f(x) = 6x 2. Bestem forskriften for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,10). (stx-B eksamen maj 2009 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 65

14/06/13 14.31

Opgave 5.8 En funktion f er givet ved f(x) = 4x 3 – 8x. Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,5). (stx-A eksamen december 2009 uden)

Opgave 5.9 1

En funktion f er bestemt ved f ( x ) = 2 x + x ,

x > 0.

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem P(1,3). (stx-A eksamen maj 2011 uden)

Opgave 5.10 En funktion f er bestemt ved f(x) = 5x4 + ex. Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,10). (stx-B eksamen maj 2011 uden)

Opgave 5.11 En funktion f er givet ved

f(x) = 4x + 3,

og funktionerne F1, F2 og F3 er givet ved

F1(x) = 2x 2 + 3x + 5

F2(x) = x 2 + 3x + 6

F3(x) = 2x 2 + 3x + 10

En af disse tre funktioner er den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,10). Gør rede for, hvilken af de tre funktioner der er denne stamfunktion. (stx-B eksamen maj 2012 uden)

Opgave 5.12 1

En funktion f er bestemt ved f ( x ) = x + x ,

x > 0.

Bestem den stamfunktion F til f, der opfylder, at F(1) = 3,5.

(stx-B eksamen august 2007 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 66

22/11/2016 14.57

5. Integralregning

Opgave 5.13 En funktion f er bestemt ved f(x) = 3x 3 – 24x 2 + 48x.

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(4,60).

(stx-B eksamen december 2007 med)

Opgave 5.14 5

En funktion f er givet ved f ( x ) = x + 6 x 2 , x > Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2,3). (stx-B eksamen maj 2010 med)

5.4 Arealberegninger og bestemte integraler Opgave 5.15 Bestem følgende bestemte integraler

∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ a)

0 2 −3

2 x + 4 dx − x 2 + 16 dx

0 10

e 1 x

0,75

+ x dx

Du skal både bestemme integralet vha. dit integralværktøj, dit grafiske værktøj og stamfunktioner.

Opgave 5.16 Bestem integralet

∫

1 0

(2 x 3 + e x ) dx .

(stx-B eksamen maj 2007 uden)

Opgave 5.17 Bestem integralet

∫ (6 x 2

)

− 2 x dx .

(stx-A eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 67

14/06/13 14.31

Opgave 5.18 Beregn integralet

∫

(3 x 2 − 10 x ) dx .

(stx-A eksamen august 2010 uden)

Opgave 5.19

∫

Bestem integralet

8 x 3 + e x dx .

(stx-A eksamen december 2010 uden)

Opgave 5.20 y f

Grafen for funktionen f(x) = –3x 2 + 6x afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M (se figuren). Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen august 2009 uden)

Opgave 5.21 y

På figuren ses grafen for en funktion f(x), der har nulpunkterne –5, –2, 1 og 4. Sammen med førsteaksen afgrænser grafen tre punktmængder M1, M2 og M3, der henholdsvis har arealerne 12, 7 og 12. f

Bestem M1 –5

M2 –2

M3 1

∫

−2 −5

f ( x ) dx og

∫

4 −5

f ( x ) dx .

(stx-B eksamen maj 2008 uden) x

Opgave 5.22 y

På figuren ses graferne for to lineære funktioner f og g. 5 5 Det oplyses, at ∫ f ( x ) dx = 12,5 og ∫ g( x ) dx = 7,5 .

Giv en geometrisk fortolkning af integralet ABC.

A g

1 1

C 5

∫

f ( x ) dx .=Bestem 12,5 arealet af trekant

(stx-B eksamen maj 2011 uden)

Opgave 5.23 Bestem

∫

0,5

(4 x +

1 x

+ 3 x ) dx .

(stx-B eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 68

14/06/13 14.31

5. Integralregning

Opgave 5.24

Grafen for f(x) = x 3 – 12x 2 + 45x – 50 afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figuren).

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2007 med)

Opgave 5.25 En funktion f er bestemt ved f(x) = 3x 3 – 24x 2 + 48x.

a) Løs ligningen f(x) = 0.

Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen august 2008 med)

Opgave 5.26 En funktion f er bestemt ved f(x) = x 2 – 10x + 30. Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 10 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen december 2008 med)

Opgave 5.27

y f

Grafen for funktionen f(x) = –x 2 + 3x afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M, der har et areal.

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2010 uden)

Opgave 5.28 Grafen for funktionen f ( x ) = x − x + 2 afgrænser sammen med koordinatakserne et område M, der har et areal.

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2010 med)

M x 4

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 69

14/06/13 14.31

Opgave 5.29 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = x 2 + 4x + 10

g(x) = x + 14

Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen august 2007 med)

Opgave 5.30

raferne for funktionerne f(x) = 8 – x 2 og g(x) = x 2 afgrænser i første og G anden kvadrant et område M, der har et areal.

–2

Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2008 med)

Opgave 5.31 Der er givet et andengradspolynomium f(x) = –x 2 + 9.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i hvert af grafens skæringspunkter med førsteaksen.

b) Bestem arealet af den punktmængde, som grafen for f afgrænser sammen med de to tangenter.

(stx-B eksamen december 2007 med)

Opgave 5.32 y

f ( x ) = 12 ⋅ x f ( x ) = 12 ⋅ x g( x ) = x 22 − 7 x + 18. g( x ) = x − 7 x + 18.

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. x a) Løs ligningen f(x) = g(x). b) Bestem arealet af M.

To funktioner f og g er givet ved

(stx-B eksamen august 2010 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 70

14/06/13 14.31

5. Integralregning

Opgave 5.33 En funktion f er givet ved f(x) = x4 – 2x 2 + 4.

a) Løs f ′(x) = 0

b) Bestem monotoniforholdene for f.

En anden funktion g er givet ved g(x) = x 2 + 2. I området –1≤ x ≤ 1 afgrænser graferne for f og g en punktmængde M, der har et areal.

c) Tegn graferne for f og g, og bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2012 med)

Opgave 5.34

To funktioner f og g er bestemt ved f(x) = x 3 og g(x) = 8. Graferne for f og g afgrænser sammen med andenaksen en punktmængde M, der har et areal.

f g M

Bestem arealet af M. x

(stx-B eksamen august 2011 med) 2

Opgave 5.35 En funktion f er givet ved f(x) = –2x 2 + 20x – 32.

Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde M, der har et areal (se figur 1).

a) Bestem arealet af M.

x 8

En funktion g er givet ved g(x) = 2x + 4.

Figur 1

Graferne for f og g afgrænser en punktmængde N, der har et areal (se figur 2).

f N

b) Bestem arealet af N.

(stx-B eksamen december 2011 med). x Figur 2

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 71

01/12/2016 14.01

Opgave 5.36 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) = x , x ≥ 0 f( x) = x , x ≥ 0 g( x ) = 0,5 x g( x ) = 0,5 x

a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem graferne for f og g.

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2012 med).

Opgave 5.37 En funktion f er givet ved f(x) = x4 – 2x 2 + 4

a) Løs f ′(x) = 0.

b) Bestem monotoniforholdene for f.

En anden funktion g er givet ved g(x) = x 2 + 2. I området –1≤ x ≤ 1 afgrænser graferne for f og g en punktmængde M, der har et areal.

c) Tegn graferne for f og g, og bestem arealet af M.

(stx-B eksamen maj 2012 med)

5.5 Anvendelser af integralregning Opgave 5.38 En persons årlige indtægt l(t) som funktion af antal år t, personen har været i arbejde, kan modelleres ved

l(t) = 300000 + 20000t, hvor 0 ≤ t ≤ 8.

Samme persons årlige udgifter U(t) som funktion af antal år t, personen har været i arbejde, kan modelleres ved U(t) = 250000 + 30000t, hvor 0 ≤ t ≤ 8.

a) Tegn graferne for l og U i samme koordinatsystem.

b) Bestem arealet af punktmængden, der er afgrænset af de to grafer, den lodrette linje x = 0 og x = 8. Hvad fortæller dette tal om personens økonomi?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 72

14/06/13 14.31

5. Integralregning

Opgave 5.39 Værdien af en arbejders samlede produktion i løbet af en dag er en funktion P(t) af tiden t, der er gået siden arbejdsdagen startede. Den afledede funktion p(t) = P ′(t) måler den såkaldte produktivitet. Ved et bestemt fabriksarbejde kan produktiviteten modelleres med funktionen

p(t) = – 0,75t 2 – 0,5t + 100

hvor t angiver antal timer, der er gået, siden arbejdsdagen startede.

a) Udregn p(3), og giv en fortolkning af dette tal.

egn grafen for produktiviteten som funktion af tiden for en 8-timers arbejdsdag, b) T og giv en sproglig fremstilling af grafens forløb.

c) Bestem den samlede produktion P(8) for alle 8 timer.

estem den samlede produktion for de første 4 timer og for de sidste 4 timer. d) B

vor mange procent udgør produktionen de første 4 timer og de sidste 4 timer af e) H produktionen i alle 8 timer? Kommentér resultatet.

Opgave 5.40 Det ugentlige salg s(t) af et produkt kan modelleres ved funktionen −t s( t ) = 100 − t e 5 , hvor 0 ≤ t ≤ 10

a) Tegn grafen for s.

b) Bestem det samlede salg af produktet efter 5 uger og 10 uger.

Opgave 5.41 I en model for glukoseindholdet i blodbanen hos en person er g(t) mængden af glukose (målt i mg), der er absorberet fra mave/tarmsystemet t timer efter indtagelsen af glukosen. Det oplyses, at g ′(t) = 675000 · t · e –3t , 0 ≤ t ≤ 4, og g(0) = 0. Hvor meget glukose er der ifølge modellen absorberet fra mave/tarmsystemet 4 timer efter indtagelse af glukosen? (stx-A eksamen august 2010 med).

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 73

14/06/13 14.31

5.6 Udfordrende opgaver Opgave 5.42 Bestem den stamfunktion, hvis graf går igennem det angivne punkt P f(x) = 2 + 3x og P(m,5m).

Opgave 5.43 y

f g M

To funktioner f og g er givet ved f(x) = – 4x 2 + 20x g(x) = 8x. Graferne for de to funktioner afgrænser et område M, der har et areal (se figuren). Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem graferne for x f og g, og bestem arealet af området M. (stx-A eksamen august 2009 uden)

Opgave 5.44 En funktion f er bestemt ved f(x) = x · (k – x), vor k er et positivt tal. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets h førsteakse en punktmængde M, der har et areal.

a) Skitser for k = 10 området M, og bestem arealet af M.

b) Bestem tallet k, når det oplyses, at arealet af M er 100.

(stx-B eksamen maj 2009 med)

Opgave 5.45 y

På figuren ses en punktmængde M, der i intervallet 0 ≤ x ≤ 3 afgrænses af f graferne for de to funktioner f(x) = 5 · 1,2 x og g(x) = k, M

hvor 0 ≤ k ≤ 5.

Bestem k, så arealet af M er 14.

(stx-B eksamen august 2009 med) g x

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 74

14/06/13 14.31

5. Integralregning

Opgave 5.46 To funktioner f og g er givet ved f(x) = x 2 – 4x + 6 og g(x) = –x + 6. Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Tegn graferne for f og g, og bestem arealet af M.

En vandret linje skærer grafen for f i enten nul, et eller to punkter.

estem de værdier af b, for hvilke linjen med ligningen y = b skærer grafen for f b) B i netop to punkter.

(stx-B eksamen december 2010 med).

Opgave 5.47 y

(x,f(x)) M x Figur 2

Figur 1

En funktion f er givet ved f ( x ) = 4 −

x2 4

Grafen for f og førsteaksen afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figur 1).

a) Bestem arealet af M.

Fra punktmængden M er der udskåret et rektangel (se figur 2).

b) Bestem arealet af det skraverede område på figur 2 udtrykt ved x.

(stx-A eksamen maj 2012 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_3-5.indd 75

14/06/13 14.31

Modellering med f ′

Differentialligningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Logistisk vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Grafisk løsning af differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2 Differentialligningsmodeller Opgave 6.1

a) Gør rede for, at funktionen f(x) = 5x + 8 er en løsning til differentialligningen y ′= 5

b) Gør rede for, at ovenstående løsning opfylder f(0) = 8.

Opgave 6.2

a) Gør rede for, at funktionen f ( x ) = 7 e 2 1 er en løsning til differentialligningen f ′( xy) ′= ⋅· fy( x ) 2

b) Gør rede for, at ovenstående løsning opfylder f(0) = 7.

Opgave 6.3

a) Gør rede for, at funktionen f(x) = 2e–0,3x er en løsning til differentialligningen y ′= – 0,3 · y

b) Gør rede for, at ovenstående løsning opfylder f(0) = 2.

Opgave 6.4 Gør rede for, at funktionen f(x) = e2x + 3 er en løsning til differentialligningen

dy dx

= 2 y − 6.

(stx-A eksamen august 2008 uden)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 76

14/06/13 14.38

6. Modellering med f ′

Opgave 6.5 1 Undersøg, om f ( x ) = e4 x − 2 x 2 − x −

er en løsning til differentialligningen

4 dy dx

= 4y + 8x2.

(stx-A eksamen august 2009 uden)

Opgave 6.6 En funktion f er bestemt ved f(x) = e x – x – 1 Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen

dy dx

= y + x.

(stx-A eksamen maj 2011 uden)

Opgave 6.7 Betragt differentialligningen f ′(x) = –2. Giv en sproglig fortolkning af, hvad dette udtrykker om funktionen f(x).

Opgave 6.8 Betragt differentialligningen f ′(x) = 0,3 · f(x). Bestem væksthastigheden, når f(x) = 20.

Opgave 6.9 Vi har differentialligningen f ′(x) = – 0,1 · f(x). Bestem væksthastigheden, når f(x) = 100.

Opgave 6.10 Mængden af CFC-gasser i atmosfæren afhænger af udledningen af CFC-gasser og nedbrydningen af CFC-gasser.

a) Opstil et SD diagram over CFC-mængden i atmosfæren, når udledningen af CFC-gasser er konstant og nedbrydningen af CFC-gasser er proportional med mængden af CFC-gasser i atmosfæren.

b) Opstil den til SD-diagrammet hørende differentialligning.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 77

14/06/13 14.38

Opgave 6.11 Et persons indestående på en bankkonto afhænger af den månedlige rente, som banken giver, og tiden målt måneder.

a) Opstil et SD-diagram for udviklingen i personens indestående på bankkontoen

Personen vælger at indbetale et beløb hver måned.

b) O pstil et nyt SD-diagram for udviklingen i personens indestående på bankkontoen.

c) Opstil for hvert af SD-diagrammerne en tilhørende differentialligning.

Opgave 6.12 Kilde

Antallet af mobiltelefoner kan beskrives ved følgende SDMobiltelefoner diagram.

a) G iv en sproglig beskrivelse af udviklingen i antallet af mobiltelefoner.

b) Indfør variable, og opstil en differentialligning for udviklingen af antallet af mobiltelefoner.

Salg

Opgave 6.13 Antallet af besøgende på en blog kan beskrives ved følgende SD-diagram. Blog besøgende

Kilde

a) G iv en sproglig beskrivelse af udviklingen i antallet af besøgende på bloggen.

b) Indfør variable, og opstil en differentialligning for udviklingen af antallet af besøgende på bloggen.

Vækstrate, r

Opgave 6.14 På en afrikansk savanne kan udviklingen i antallet af elefanter beskrives ved hjælp af følgende SDDræn Elefanter diagram.

Kilde Fødsler

Døde

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 78

a) G iv en sproglig beskrivelse af udviklingen af elefanter på den afrikanske savanne.

b) I ndfør variable, og opstil en differentialligning for udviklingen af antallet af elefanter.

14/06/13 14.38

6. Modellering med f ′

6.3 Logistisk vækst Opgave 6.15 I en model for udviklingen af antallet af indbyggere i en by er hastigheden, hvormed antallet af indbyggere i byen ændres, proportional med antallet af indbyggere i byen samt med forskellen mellem byens bæreevne og antallet af indbyggere i byen.

a) Indfør passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver udviklingen i antallet af indbyggere i byen.

b) Opstil et SD diagram, der beskriver udviklingen i antallet af indbyggere i byen.

Opgave 6.16 I en model for udviklingen af antallet af bakterier i en kultur er hastigheden, hvormed antallet af bakterier i kulturen ændres, proportional med antallet af bakterier i kulturen og forskellen mellem kulturens bæreevne og antallet af bakterier i kulturen.

a) Indfør passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver udviklingen i antallet af bakterier i kulturen.

b) Opstil et SD diagram, der beskriver udviklingen i antallet af bakterier i kulturen.

Opgave 6.17 I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antallet af individer til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at N er løsning til differentialligningen dN = 0,00013 ·N·(1000 − N ), dt

og at der er 50 individer i populationen til tidspunktet t = 0.

a) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 0.

b) Bestem antallet af individer til hvert af de tidspunkter, hvor væksthastigheden er 31 individer pr. døgn. (stx-A eksamen maj 2009 med)

Opgave 6.18 I en model antages det, at en populations vækst kan beskrives ved differentialligningen N ′ = 4 · 10 –6 · N · (K –N), hvor N er antallet af individer til tiden t (målt i år). Endvidere antages det, at N(0) = 10000 og N ′(0) = 2000.

a) Bestem K.

b) Bestem væksthastigheden, når antallet af individer i populationen er 35000.

(stx-A eksamen august 2009 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 79

14/06/13 14.38

Opgave 6.19 En influenzaepidemi på en skole kan beskrives ved modellen N(t ) =

800 1 + 99 ⋅ e −0,5 t

hvor N(t) er antallet af personer, der er influenzaramte t døgn efter epidemiens udbrud.

a) Tegn grafen for N(t), når 0 ≤ t ≤ 25, og bestem antallet af influenzaramte 5 døgn efter epidemiens udbrud.

b) Bestem N ′(12), og beskriv, hvad dette tal fortæller om antallet af influenzaramte.

(stx-B eksamen maj 2010 med)

Opgave 6.20 I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t (målt i døgn). I modellen antages, at N(t ) =

4200 1 + 10 ⋅ e −0,1⋅t

Bestem N ′(20), og giv en fortolkning af dette tal. (stx-A eksamen december 2010 med)

6.4 Grafisk løsning af differentialligninger Opgave 6.21 5

Der er givet en plot af linjeelementer fra en differentialligning, samt et begyndelsespunkt. vilken type funktion er løsning ud fra plottet af linjeelementer? a) H

(2;1,5)

Punktet P(0,1) ligger på samme løsningskurve.

–4

x 4

b) Giv et bud på forskriften for løsningskurven og hvilken differentialligning, der har dette plot af linjeelementer.

–1

Opgave 6.22 5

Der er givet en plot af linjeelementer fra en differentialligning.

a) H vilken type funktion er løsning ud fra plottet af linjeelementer? Koordinaterne for punkterne på løsningskurven er S(0,1) og R(1,e0,5).

–4

b) Giv et bud på forskriften for løsningskurven og hvilken differentialligning, der har dette plot af linjeelementer.

–1

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 80

14/06/13 14.38

6. Modellering med f ′

Opgave 6.23 Der er givet en differentialligning

dy dx

= 0,7 ⋅ y

a) Tegn i vinduet [–10;10]×[0;10] et plot af linjeelementerne hørende til differentialligningen.

b) T egn i samme plot den løsningskurve, der går igennem punktet P(2,4). Hvilken funktionstype har en graf som denne løsningskurve?

Vi kan udvide vinduet til [–10;10]×[–10;10].

c) Beskriv forskellen på de to løsningskurver, der har henholdsvis P(2,4) og P(2,–4) som begyndelsespunkter.

d) Generaliser resultatet fra c) til at gælde vilkårlige begyndelsespunkter (x0,y0), y0 ≠0.

Opgave 6.24 Betragt differentialligningen

dy dx

= −1,2 ⋅ y

a) T egn i vinduet [–10;10]×[0;10] et plot af linjeelementerne hørende til differentialligningen.

b) T egn i samme plot den løsningskurve, der går igennem punktet P(2,4). Hvilken funktionstype har en graf som denne løsningskurve?

Vi kan udvide vinduet til [–10;10]×[–10;10].

c) Beskriv forskellen på de to løsningskurver, der har henholdsvis P(2,4) og P(2,–4) som begyndelsespunkter.

d) Generaliser resultatet fra c) til at gælde vilkårlige begyndelsespunkter (x0,y0), y0 ≠0.

Opgave 6.25 Betragt differentialligningen

dy dx

a) T egn i vinduet [–10;10]×[–10;10] et plot af linjeelementerne hørende til differentialligningen.

b) T egn i samme plot den løsningskurve, der går igennem punktet P(2,4). Hvilken funktionstype har en graf som denne løsningskurve? 5

Opgave 6.26 Der er givet en plot af linjeelementer fra en differentialligning Hvilken type funktion er løsning ud fra plottet af linjeelementer?

x 4

–4 –1

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 81

14/06/13 14.38

6.5 Udfordrende opgaver Opgave 6.27 En funktion f er løsning til differentialligningen

dy dx

x3 + 1 , y

og grafen for f går gennem punktet P(2,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx-A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 6.28 Grafen for en funktion f går gennem punktet P(0,3). Funktionen f har den egenskab, at i ethvert punkt (x,y) på grafen, er tangentens hældningskoefficient proportional med funktionsværdien i punktet. Proportionalitetskonstanten er 0,17. Bestem en forskrift for f. (stx-A eksamen december 2011 med)

Opgave 6.29 Når fisk, derer forurenet med stoffet hexachlorbenzen, udsættes i vand, aftager hexachlorbenzen-koncentrationen i fiskene med tiden. I en model betegner y hexachlorbenzen-koncentrationen til tiden t, og der gælder, at den hastighed, som y ændres med, er proportional med y. I det følgende regnes t i timer.

a) Opstil en differentialligning, der beskriver y’s ændring som funktion af t.

b) Løs differentialligningen.

Koncentrationen y halveres i løbet af 347 timer.

c) Bestem proportionalitetskonstanten i modellen.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

Opgave 6.30 Et krydstogtskib har i alt 1500 personer ombord. Ved afsejlingen har 5 personer influenza, og efter en dag på havet har 20 personer influenza. I en model for influenzasmitten er hastigheden, hvormed antallet af personer med influenza ændres, proportional med antallet af personer ombord, der har influenza, og antallet af personer ombord, der ikke har influenza.

a) Opstil et SD diagram, der beskriver udviklingen i antallet af personer med influenza ombord på skibet.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 82

14/06/13 14.38

6. Modellering med f ′

b) Indfør passende variable, og opstil en differentialligning der beskriver udviklingen i antallet af personer med influenza ombord på skibet.

c) H vilke begyndelsesbetingelser har vi for udviklingen i antallet af personer med influenza ombord på skibet?

d) Løs differentialligningen.

e) Tegn en graf for løsningen.

f ) Brug løsningen til at bestemme antallet af personer med influenza efter, at krydstogtet har varet 14 dage.

Opgave 6.31 I Adriaterhavet har man målt på en algevækst. En række målinger af algevæksten viser Tid i dage Algemassen i mm2

Tid i dage Algemassen i mm2

0,00476

0,0105

0,0207

0,0619

0,337

0,74

1,7

2,45

3,5

4,5

5,09

Gennemfør en modellering af talmaterialet, hvor du lader dig inspirere af afsnit 3.2 i kapitel 6, og behandlingen af solsikkens vækst, som du finder der. Gennemfør først logistisk regression. Gennemfør dernæst beregninger af den relative væksthastighed, plot denne mod algemassen og modeller denne variabelsammenhæng ved hjælp af lineær regression. Overvej om alle data skal anvendes i den videre modellering. Opstil endelig på baggrund af den sidste lineære model en logistisk differentialligning, løs denne og sammenlign med den logistiske regression. (Kilde: Fitting a Logistic Curve to Data, by Fabio Cavallini, College Mathematics Journal, 1993, Volume 24, Number 3, Pages 247-253)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 83

14/06/13 14.38

Trigonometriske funktioner

Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.2 Periodiske egenskaber og andre symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3 Trigonometriske grundligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4 Differentiation og integration af sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.5 Harmoniske svingninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.

Anvendelser af trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

(Vær opmærksom på, at en række af de følgende opgaver forudsætter, at man har gennemgået differentiation af sammensat funktion, samt produktreglen for differentiation).

7.2 Trigonometriske funktioner 7.2.2 P eriodiske egenskaber og andre symmetrier Opgave 7.1

a) Tegn grafen for f(x) = sin(x) med følgende forskellige definitionsmængde

• Dm(f) = [0;2π]

• Dm(f) = [–π;π]

• Dm(f) = [0;4π]

Hvad viser de forskellige grafer om funktionen f? b) Hvad sker der med graferne, hvis dit værktøj regner i grader i stedet for i radianer?

Opgave 7.2

a) Tegn grafen for f(x) = cos(x) med følgende forskellige definitionsmængder

• Dm(f) = [0;2π]

• Dm(f) = [–π;π]

• Dm(f) = [0;4π]

Hvad viser de forskellige grafer om funktionen f? b) Hvad sker der med graferne, hvis dit værktøj regner i grader i stedet for i radianer?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 84

14/06/13 14.38

7. Trigonometriske funktioner

Opgave 7.3 Tegn grafen for f(x) = sin(x) og g(x) = cos(x) i samme koordinatsystem med følgende forskellige definitionsmængder

• Dm(f) = [0;2π]

• Dm(f) = [–π;π]

• Dm(f) = [0;4π]

Hvad viser de forskellige grafer om sammenhængen mellem funktionen f og funktionen g?

7.2.3 Trigonometriske grundligninger Opgave 7.4 Løs følgende ligninger henholdsvis grafisk og med brug af et Solve-værktøj: a) sin( x ) =

3 2

i intervallet [0;2π]

b) sin( x ) =

3 2

i intervallet [0;4π]

c) sin( x ) =

3 2

i intervallet [0;6π]

Hvilket system ser du i løsningerne til a), b), og c)?

Opgave 7.5 Løs følgende ligninger henholdsvis grafisk og med brug af et Solve-værktøj: a) cos( x ) =

3 2

i intervallet [0;2π]

b) cos( x ) =

3 2

i intervallet [0;4π]

c) cos( x ) =

3 2

i intervallet [0;6π]

Hvilket system ser du i løsningerne til a), b), og c)?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 85

14/06/13 14.38

Opgave 7.6 Løs følgende ligninger grafisk:

a) cos(x) = 0,4

i intervallet [0;2π]

b) sin(x) = – 0,6

i intervallet [0;2π]

c) cos(x) = –0,88 i intervallet [0;2π] d) sin(x) = 0,1

i intervallet [0;2π]

Hvilke løsninger ville vi i hvert af de fire tilfælde få, hvis intervallet i stedet var [– π;π]?

Opgave 7.7 Løs følgende ligninger grafisk:

a) cos(x) = 0 i intervallet [0;2π]

b) sin(x) = 0 i intervallet [0;2π]

c) cos(x) = 1 i intervallet [0;2π]

d) sin(x) = 1 i intervallet [0;2π]

Hvilke løsninger ville vi i hvert af de fire tilfælde få, hvis intervallet i stedet var [– π;π]?

7.2.4 D ifferentiation og integration af sinus og cosinus Opgave 7.8 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(x) + 67

b) g(x) = 45 + cos(x)

c) h(x) = sin(x) + x 2

d) i(x) = ex + cos(x)

Opgave 7.9 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(x) · x 3

b) g(x) = (5x + 7) · cos(x)

c) h(x) = sin(x) · e x

d) i(x) = cos(x) · sin(x)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 86

14/06/13 14.38

7. Trigonometriske funktioner

Opgave 7.10 Bestem de afledte funktioner til følgende:

a) f(x) = sin(4x + 7)

b) g(x) = cos(x) · cos(x)

c) h(x) = (cos(x))2

d) i(x) = sin(x) · sin(x)

Opgave 7.11 Bestem stamfunktioner til følgende funktioner:

a) f(x) = sin(x) + 67

b) g(x) = 45 + cos(x)

c) h(x) = sin(x) + x 2

d) i(x) = ex + cos(x)

Opgave 7.12 Der er givet funktionen f med forskriften

f(x) = sin(x) + cos(x) , x ∈ [0;π] a) Tegn grafen for funktionen i det nævnte interval.

Grafen for f, x-aksen og y-aksen afgrænser i 1. kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

Opgave 7.13 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x + 2sin(x) , x ∈ [0;2π]. Løs ligningen f ′(x) = 0, og gør rede for monotoniforholdene for f .

(stx-A eksamen december 2008 med )

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 87

19/06/13 10.41

Opgave 7.14 Der er givet to funktioner f og g med forskrifterne

f(x) = sin(x), x ∈ [0;π]

g(x) = sin(2x), x ∈ [0;2π]

a) Tegn graferne for f og g i samme koordinatsystem, og bestem grafernes skæringspunkter.

De to grafer afgrænser to punktmængder M og N, hvor punktmængden M kan karakteriseres ved g(x) ≥ f(x) og punktmængden N kan karakteriseres ved g(x) ≤ f(x).

b) Bestem arealet af M og N.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

7.2.5 Harmoniske svingninger Opgave 7.15 Bestem for hver af de følgende harmoniske svingninger de 4 konstanter: amplituden A, vinkelhastigheden w, begyndelsesfasen ϕ og ligevægtskonstanten B.

a) f(x) = 5 · sin(x – 2) + 2

b) g(x) = sin(2x + 2) – 3

c) h(x) = 3 · sin(5x + 1) + 0,5

d) i(x) = 3 · sin(1,5x – 2) – 4

Opgave 7.16 Nedenfor ses graferne for tre funktioner af typen

f(x) = A · sin(w · x + ϕ) + B

Bestem i hvert tilfælde ved aflæsning de 4 konstanter: amplituden A, vinkelhastigheden w, begyndelsesfasen ϕ og ligevægtskonstanten B. a)

y 3

2 1 x –1

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 88

3p 10

15 5p

19/06/13 10.41

7. Trigonometriske funktioner

y 4

2 1

x 5 –4 -π –p

5 5

2p 2π

3p 10 3π 10

4p 4π

y 4

x –4

–p

3p 10

7.3 Anvendelser af trigonometriske funktioner Opgave 7.17 I en model kan vandstanden i en bestemt havn beskrives ved funktionen

f(t) = 0,71 · sin(0,26 · t) + 1,12

0 ≤ t ≤ 24

hvor f(t) betegner vandstanden (målt i meter) til tidspunktet t (målt i timer efter kl. 00.00).

a) Tegn grafen for f i det angivne interval – hvorfor er det netop dette interval?

b) Bestem vandstanden ved lavvande og ved højvande, og bestem der ud fra, hvor stort et udsving vandstanden har i løbet af det pågældende døgn.

c) Bestem de tidspunkter på døgnet, hvor vandstanden er 1,5 m.

d) Bestem de tidsrum, hvor vandstanden er under 1 m.

e) Bestem f ′(18), og gør rede for betydningen af dette tal.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 89

14/06/13 14.38

Opgave 7.18 I en model kan udviklingen i gennemsnitstemperatur i 2011 et bestemt sted i Danmark beskrives ved funktionen: f(t) = 9,34 · sin(0,017 · t – 1,53) + 11,12 0 ≤ t ≤ 365 hvor f(t) betegner temperaturen (målt i °C), og t betegner tiden (målt i døgn efter 1. januar 2011).

a) Tegn grafen for f i det nævnte interval.

b) B enyt funktionen til at beregne gennemsnitstemperaturen d. 1. april 2011, og sammenlign denne værdi med den tilsvarende, som kan aflæses på grafen.

c) Løs ligningen f(t) = 10 grafisk, og giv en fortolkning af de to løsninger, du får.

d) Hvilken del af året var gennemsnitstemperaturen over 10°C?

e) Bestem ved aflæsning på grafen den dag på året, hvor man oplevede den højeste temperatur.

f ) Bestem væksthastigheden for temperaturen d. 1. maj 2011.

Opgave 7.19 ”Sæsonvariation i aktivitetspuls for uforstyrrede dyr. Sinuskurven er den kurvefunktion, som bedst beskriver materialet. Data repræsenterer i alt 2.071 timers registrering i 96 forskellige døgn.” Sådan står der i rapporten Råvildt og forstyrrelser. Faglig rapport fra DMU nr. 237 fra 1998.

130 Puls (slag/minut)

120 110 100 90 80 70

60 1.feb 3.mar 2.apr 2.maj 2.jun 2.jul 1.aug 1.sep 1.okt

(Kilde: www2.dmu.dk/1_viden/2_publikationer/3_fagrapporter/rapporter/FR237.pdf)

Dato

Sinuskurven på figuren kan således anvendes som model for sæsonvariationen i aktivitetspulsen for råvildt. Kurven er graf for funktionen

p(t) = 15,8 · sin(0,038 · t – 4,25) + 93,8

70 ≤ t ≤ 235

hvor p(t) betegner pulsen (målt i antal hjerteslag pr. minut) til tidspunktet t (målt i døgn efter 1. januar)

a) Tegn grafen for p.

b) Bestem p(120), og gør rede for, hvad dette tal betyder.

c) Løs ligningen p(t) = 90, og gør rede for, hvad løsningerne fortæller om rådyrets aktivitetspuls.

d) B estem den procentvise stigning i rådyrets aktivitetspuls i tidsrummet [120;140].

e) Bestem rådyrets laveste og højeste aktivitetspuls.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 90

14/06/13 14.38

7. Trigonometriske funktioner

Opgave 7.20 Når man anvender en symaskine, bevæger nålen sig i forhold til den såkaldte stingplade. Nålespidsens højde over stingpladen kan i en model beskrives ved 3 h( t ) == ⋅· sin(12 ⋅·ðπ⋅·tt)) h(t) 2

hvor h(t) betegner nålespidsens højde (målt i cm) over stingpladen til tidspunktet t (målt i sekunder).

a) Tegn grafen for h.

b) Hvor højt er nålespidsen over stingpladen, når nålen er i højeste stilling?

c) Hvor mange sting sys der i sekundet?

Opgave 7.21 På grund af tidevandet ændres vanddybden over en sandrevle. I et bestemt døgn er vanddybden f(t), målt i meter, bestemt ved 1 f ( t ) = 7 + 5 sin  t − 1 0 ≤ t ≤ 24 2 hvor t angiver antallet af timer efter middag.

a) Bestem den største og den mindste vanddybde over sandrevlen i døgnets løb.

b) Bestem f ′(t), og bestem den hastighed, hvormed vanddybden ændrer sig, til tidspunktet t = 12. (Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

Opgave 7.22 Med O(x) betegnes de samlede omkostninger, angivet i mio. kr., ved produktionen af x enheder af en vare. Funktionen O er givet ved

O(x) = 0,2x + 100 + 30sin(0,006x)

x ∈ [0;1000]

a) Vis ved at benytte O ′(x), at O(x) er en voksende funktion af x.

Hver produceret enhed sælges for 0,35 mio. kr. Fortjenesten F som funktion af antallet x af producerede enheder er derfor bestemt ved

F(x) = 0,35x – O(x) b) Vis ved at benytte F ′(x), at fortjenesten har en størsteværdi, og bestem denne.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3 årigt forløb til A niveau, 1999)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 91

19/06/13 10.42

Opgave 7.23 En bestemt type skibsdieselmotor har en slaglængde på 2180 mm. Slaglængden er afstanden mellem øverste og nederste stilling af stempelmotoren. Stemplets afstand fra topstillingen målt i mm er en funktion af tiden målt i sekunder. Denne funktion er af formen

f(t) = r (1 – cos(mt)) hvor r og m er positive konstanter.

Stemplet udfører 97 gange i minuttet en hel bevægelse fra topstilling til bundstilling og tilbage igen.

a) Bestem konstanterne r og m .

b) Bestem stemplets maksimale fart.

Indsprøjtningen af dieselolie til motoren sker en gang for hver hele stempelbevægelse. Indsprøjtningen begynder, når stemplet befinder sig 1,49 mm fra topstillingen på vej opad, og slutter, når stemplet efter at have passeret topstillingen befinder sig 37,14 mm under denne.

c) Hvor lang tid varer en indsprøjtning?

Opgave 7.24 På www.worldclimate.com kan man finde data for en hel række byers middeltemperatur på årets forskellige måneder.

a) Find data for København for årets tolv måneder, og plot dem i et koordinatsystem.

Lad i det følgende T(t) angive middeltemperaturen i København som funktion af t, hvor t angiver antal måneder siden nytårsskiftet 1/1.

b) Bestem vha. trigonometrisk regression en forskrift for T.

c) Bestem ud fra modellen de tidspunkter, hvor middeltemperaturen er 10.

Opgave 7.25 I en have skal anlægges et blomsterbed, der har form som et cirkeludsnit (se figuren). Blomsterbedet skal indhegnes af et særligt hegn, som der er indkøbt 20 m af.

a) Bestem radius som funktion af vinklen υ (målt i radianer).

b) Vis, at arealet af blomsterbedet som funktion af vinklen, er A(υ ) =

c) Bestem υ, så arealet af blomsterbedet bliver størst muligt.

200 υ ( υ + 2)2

(Udgangspunktet er stx-A eksamen december 2009 med)

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 92

14/06/13 14.38

Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Random walk – tilfældig variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.1 Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2 Grundlæggende egenskaber ved en random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3 Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4 Standardafvigelsen og de exceptionelle udfald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5 Random walk-testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.

Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1 Definition af normalfordelinger – random walk med et stort antal skridt . . . . . . 101 3.2 Normalfordelingen repræsenteret som graf og som funktion . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3 Familien af normalfordelinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4 Anvendelser af normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.

Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.2. Random walk – tilfældig variation 8.2.1 Random walk Opgave 8.1 En beruset person går afsted på en vandresti, der følger retning syd/nord. Personens gang kan modelleres ved en random walk, dvs. at der for hvert skridt er 50% sandsynlighed for, at personen går nordpå, og 50% sandsynlighed for, at personen går sydpå. Hvert skridt nordpå har en værdi på +1, hvert skridt sydpå en værdi på –1. Det sted, personen befinder sig efter et vist antal skridt, kan derfor angives med en koordinatværdi. Personen tager et skridt hvert 5. sekund.

a) Hvad er personens normale antal skridt efter 10 minutters gang? Efter en halv time?

b) Hvad er de mulige slutværdier efter en halv time?

Personens skridtlængde er konstant lig med 50 cm.

c) Hvad er de mulige afstande fra udgangspunktet efter en halv time?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 93

14/06/13 14.38

d) P ersonen befinder sig faktisk 20 m fra udgangspunktet. Hvor mange skridt i hver retning har personen taget

e) Personens gode ven prøver nu at tage hånd om ham, men han hævder, at han ikke er så beruset. Han bevæger sig jo i den rigtige retning. Lav en simulering af situationen, og giv en vurdering af, om det ville være usædvanligt at nå 20 m frem, hvis der er 50% sandsynlighed for at gå frem og tilbage hver gang.

8.2.2 G rundlæggende egenskaber ved en random walk Opgave 8.2 Vi undersøger en random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængden 1.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) Gentag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) Bestem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.3 Vi undersøger en random walk med 10 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængden 1.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) Gentag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) Bestem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 94

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Opgave 8.4 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængden 2.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) Gentag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) Bestem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.5 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængden 3.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) Gentag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) Bestem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Opgave 8.6 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 7 og skridtlængden 3.

a) Hvad er de mulige udfald for dette stokastiske eksperiment?

b) Gentag eksperimentet 10 gange ved, at du hver gang kaster en mønt 9 gange, og opsaml resultaterne for slutværdien i en antalstabel.

c) Bestem gennemsnittet af slutværdien for de ti gentagelser.

d) Bestem kvadratet af slutværdien for hver af de ti gentagelser, og bestem gennemsnittet for kvadratet af slutværdien.

e) Bestem den forventede slutværdi og det forventede slutkvadrat, og sammenlign med de værdier, som du fik fra de ti gentagelser.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 95

14/06/13 14.38

8.2.3 Pascals trekant Opgave 8.7 Benyt sumreglen for Pascals trekant til at konstruere 8., 9. og 10. række i Pascals trekant.

Opgave 8.8 L’hombre er et særligt kortspil. Der er 40 kort – 8'erne, 9'erne, 10'erne og jokerne er fjernet. 4 personer deltager, den ene giver kort og sidder selv over. Der fordeles kort til de 3 personer samt til en bunke med byttekort, så hver person og byttebunken får lige mange.

Bestem antallet af måder kortene kan fordeles.

Opgave 8.9 En klasse med 28 elever skal vælge et udvalg på 3 personer til klassens aktiviteter ved skolens årsfest.

På hvor mange måder kan udvalget dannes?

Opgave 8.10 En krukke indeholder 6 grønne og 8 blå kugler, der er nummereret fra 1 til 14. På en tilfældig måde udtages 3 kugler.

a) På hvor mange måder kan de tre kugler udvælges?

b) På hvor mange måder kan 3 grønne kugler udvælges?

c) På hvor mange måder kan 3 blå kugler udvælges?

d) På hvor mange måder kan 1 grøn kugle og 2 blå kugler udvælges?

e) På hvor mange måder kan 2 grønne kugler og 1 blå kugle udvælges?

f) H vad er sammenhængen mellem resultatet i spørgsmål a) og i de øvrige spørgsmål?

Opgave 8.11 Et indkøbscenter har 5 tøjbutikker, 4 brilleforretninger og 3 elektronikforretninger. På hvor mange måder kan en person gå på indkøb i 3 tøjforretninger, 2 brilleforretninger og 1 elektronikforretning?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 96

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Opgave 8.12 Et dommerpanel består af 3 kvinder og 4 mænd udvalgt blandt 7 kvinder og 10 mænd.

På hvor mange måder kan dommerpanelet sammensættes?

Opgave 8.13 Et pizzeria har 15 forskellige pizzaer.

a) På hvor mange måder kan en person købe 3 forskellige pizzaer?

b) På hvor mange måder kan en person købe 3 pizzaer, når de ikke behøves at være forskellige?

Opgave 8.14 Inge har 3 værelser, der skal males, og udvalget i malerbutikken er 30 forskellige farver.

a) På hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de skal have hver deres forskellige farve?

b) På hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de kan have samme farve?

c) På hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når de alle skal have samme farve?

å hvor mange måder kan Inge male de 3 værelser, når 2 af dem skal have d) P samme farve?

8.2.4 Standardafvigelsen og de exceptionelle udfald Opgave 8.15 Vi undersøger en random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængde 1.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 97

14/06/13 14.38

Opgave 8.16 Vi undersøger en random walk med 10 tilfældige skridt, startværdi 0 og skridtlængde 1.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Opgave 8.17 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængde 2.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Opgave 8.18 Vi undersøger en generaliseret random walk med 9 tilfældige skridt, startværdi 5 og skridtlængde 3.

a) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

b) Opstil en tabel med kvadratet på de mulige slutværdier og forventede hyppigheder.

c) Opstil en tabel med de mulige slutværdier og tilhørende sandsynligheder.

d) Bestem det mest sandsynlige udfald og den tilhørende sandsynlighed.

e) Bestem standardafvigelsen.

f ) Bestem de normale udfald.

g) Bestem de exceptionelle udfald.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 98

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

8.2.5 Random walk-testen Opgave 8.19 I 2010 fordelte børnefødslerne sig på 32466 drenge og 30968 piger i Danmark. Vi vil med en random walk undersøge, om dette kan tilskrives tilfældigheder, eller der må være andre forklaringer.

a) Opstil den nulhypotese, du vil undersøge.

b) Undersøg med en random walk test, om nulhypotesen skal forkastes eller ej.

Opgave 8.20 I et år blev der i et land født 100000 børn. Vi vil med en random walk undersøge, om der statistisk set fødes lige mange drenge og piger i dette land.

a) Opstil nulhypotesen.

b) Hvor meget skal fødselstallene for hhv. drenge og piger i dette år afvige fra 50000, for at vi forkaster nulhypotesen?

Opgave 8.21 Vi undersøger et baseball-hold, som er helt gennemsnitligt, dvs. de har 50% sandsynlighed for at vinde en kamp og 50% sandsynlighed for at tabe. I en baseball sæson er der 162 kampe. I det følgende antages, at en random walk kan modellere baseball-holdets spil i sæsonen.

a) Bestem standardafvigelsen for denne random walk.

b) Bestem de normale udfald for dette baseball-hold.

c) Bestem de exceptionelle udfald for dette baseball-hold.

d) S æsonen endte med, at holdet vandt 90 kampe og tabte 72. Det fik holdets anfører til at udtale til pressen, at nu måtte man kunne se, at holdet var klart over gennemsnittet og hørte til i den bedre del af ligaen. Giv en statistisk vurdering af denne udtalelse.

Opgave 8.22 Nævningekendelser kræver ikke enighed, men kan ske ved flertalsbeslutning, hvor stemmerne mindst skal stå 8-4, for at kendelsen skyldig kan afgives. En enkelt uerfaren nævnings stemme kan således blive afgørende for, om udfaldet bliver langvarig straf eller frifindelse. Man må understrege det forhold, at hvis nævningerne afgjorde sagen ved at slå plat og krone om udfaldet — og det ville vel ingen i vore dage finde var udtryk for retfærdighed — så ville udfaldet blive skyldig med 8 stemmer mod 4 i 12 pet. eller 1/8 af tilfældene. Afgørelsen kan således bero på rene tilfældighedsmomenter. Man skal op på et stemmetal på 10 eller flere af 12, for at man med nogenlunde sikkerhed kan sige, at afgørelsen ikke er tilfældig, for at der foreligger det, som man i statistisk fagsprog kalder signifikans.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 99

14/06/13 14.38

Det viste udklip stammer fra Politikens kronik d. 14. september 1978. Kronikken er skrevet af overlæge Poul Horstmann, og den handler dels om en konkret straffesag, dels om nævningeinstitutionen i dansk retsvæsen. Antag i det følgende, at nævningene afgør skyldspørgsmålet tilfældigt, dvs. at sandsynligheden er 1/2 for, at en vilkårlig nævning stemmer skyldig. Så kan vi knytte en random walk med 12 skridt til nævningenes afgørelse, idet vi rykker et skridt til højre, når en nævning stemmer skyldig, og et skridt til venstre, når en nævning stemmer uskyldig.

a) Hvor stor bliver standardafvigelsen?

b) Hvordan skal stemmerne stå, hvis vi skal være uden for en standardafvigelse? To standardafvigelser? Tre standardafvigelser (exceptionel)?

c) Hvad menes der i kronikken med, at afgørelsen er signifikant? Find evt. svaret i bogens kapitel 8, afsnittet om Random Walk test.

ind ved hjælp af Pascals trekant sandsynlighederne for de 13 udfald i en random d) F walk med 12 skridt.

e) I kronikken påstås det, at udfaldet skyldig med 8 stemmer mod 4 forekommer i 12% af tilfældene. Vurder denne påstand.

f) Beregn sandsynligheden for, at 10 eller flere ud af de 12 nævninge stemmer skyldig.

g) Giv en vurdering ud fra statistiske overvejelser af bestemmelsen om, at et stemmeflertal på 8-4 kan afgøre et skyldsspørgsmål.

Opgave 8.23 Det viste udklip stammer fra Politiken d. 17. marts 1989. Artiklen handler om, at drenge tilsyneladende er mere udsat end piger for at få meningitis. a) Forklar, hvordan man kan udføre en random walk-test på tallene i artiklen. b) Hvor stor bliver standardafvigelsen? c) Kan du ud fra testen konkludere, at drenge har større sandsynlighed end piger for at få meningitis?

100

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 100

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

8.3 Normalfordelingen 8.3.1 D efinition af normalfordelinger – random walk med et stort antal skridt Opgave 8.24 Vi undersøger en ideel random walk med 16 skridt.

a) Bestem slutværdierne og de tilhørende ideelle sandsynligheder.

b) Hvad skal slutværdierne nedskaleres med, for at standardafvigelsen er 1?

c) H vad skal de ideelle sandsynligheder opskaleres med, for at arealet under histogrammet er 1?

d) Tegn histogrammet.

e) Hvilken normalfordeling følger histogrammet?

f ) Tegn normalfordelingen sammen med histogrammet.

g) Bestem procentdelen af areal, der ligger inden for en standardafvigelse fra den forventede slutværdi.

h) B estem procentdelen af areal, der ligger inden for to standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

i ) Bestem procentdelen af areal, der ligger uden for tre standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

Opgave 8.25 Vi undersøger en ideel random walk med 25 skridt.

a) Bestem slutværdierne og de tilhørende ideelle sandsynligheder.

b) Hvad skal slutværdierne nedskaleres med, for at standardafvigelsen er 1?

c) H vad skal de ideelle sandsynligheder opskaleres med, for at arealet under histogrammet er 1?

d) Tegn histogrammet.

e) Hvilken normalfordeling følger histogrammet?

f ) Tegn normalfordelingen sammen med histogrammet.

g) Bestem procentdelen af areal, der ligger inden for en standardafvigelse fra den forventede slutværdi.

h) B estem procentdelen af areal, der ligger inden for to standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

i) B estem procentdelen af areal, der ligger uden for tre standardafvigelser fra den forventede slutværdi.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 101

101

14/06/13 14.38

8.3.2 Normalfordelingen repræsenteret som graf og som funktion Opgave 8.26 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: − 1 x2 1 Φ ( x) = ⋅e 2 2π

der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1)

a) Tegn grafen med et værktøjsprogram.

b) Bestem

∫

Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

−1

∫

Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

c) Bestem

d) Bestem 1 − ∫ Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet.

−2

−3

Opgave 8.27 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: Φ ( x) =

− 1 x2 2

⋅e

2π der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1)

a) Bestem

b) Bestem

c) Bestem

∫ Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet. ∫ Φ ( x )dx . Giv en fortolkning af tallet. 0 1

0,5

∫

1,2

Φ ( x )dx. Giv en fortolkning af tallet.

0,5

Opgave 8.28 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: 1

− 1 x2

Φ ( x) = ⋅e 2 2π der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1)

102

∫ Φ ( x )dx = 0,2 . b) Bestem tallet k, så ∫ Φ ( x )dx = 0,5 . Giv en fortolkning af tallet k.

a) Bestem tallet k, så

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 102

−k

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

8.3.3 Familien af normalfordelinger Opgave 8.29

a) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 5 og spredning 1.

b) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 2 og spredning 3.

c) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 1 og spredning 1.

d) Opskriv forskriften for den normalfordeling, der har middelværdi 0 og spredning 2.

Opgave 8.30 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: Φ ( x ) =

1 2π

− 1 x2 2

⋅e

der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1) a) Bestem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  x 1− 2  . b) Bestem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  2x  . c) Bestem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  x − 0, 5  . 



d) B estem middelværdi og spredning for den normalfordeling, der har forskriften: Φ  3x − 2 .

8.3.4 Anvendelser af normalfordelingen Opgave 8.31 I Edinburgh målte man i perioden 1896-1965 hvert år den samlede regnmængde. Målt i tommer gav det følgende resultat: Regnmængde Antal år

16-18

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

34-36

36-38

38-40

a) Tegn et histogram over de årlige regnmængder.

b) Bestem middelværdi, spredning og areal under histogrammet.

c) Tegn den tilnærmede normalfordelingskurven i samme koordinatsystem og vurder, om de årlige regnmængder med rimelighed kan siges at være normalfordelte.

d) Bestem sandsynligheden for, at den årlige regnmængde i følge normalfordelingsmodellen er mellem 20 og 30 tommer.

e) Bestem sandsynligheden for, at den årlige regnmængde i følge normalfordelingsmodellen er over 20 tommer.

(Bygget på Vejledende HF Fællesfag eksamensopgaver fra 1994).

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 103

103

14/06/13 14.38

Opgave 8.32 Hastighed i m/s

Frekvens

<100

100-200

200-300

17%

300-400

22%

400-500

20%

500-600

15%

600-700

700-800

>800

Tabellen viser fordelingen af nogle iltmolekylers hastigheder, målt i m pr. sek., ved en temperatur på 0°C. I de følgende spørgsmål regnes i denne enhed. a) Tegn et histogram over frekvenserne for iltmolekylernes hastigheder. b) Bestem middelværdi, spredning og areal under histogrammet. c) Tegn den tilnærmede normalfordelingskurve i samme koordinatsystem, og vurder, om iltmolekylernes hastigheder med rimelighed kan siges at være normalfordelte.

d) Bestem sandsynligheden for, at iltmolekylernes hastigheder i følge normalfordelingsmodellen er mellem 335 og 425 m pr. sek.

e) Bestem sandsynligheden for, at iltmolekylernes hastigheder i følge normalfordelingsmodellen er under 250 m pr. sek.

(Bygget på Vejledende HF Fællesfag eksamensopgaver fra 1994)

Opgave 8.33 Tid t i timer

Procentdel af lysstofrør, der stadig fungerer efter t timer.

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

104

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 104

For bestemte lysstofrør har målinger af deres levetid givet resultatet, som vises i tabellen. I det følgende antages, at levetiden for lysstofrør følger denne fordeling. a) Undersøg, om det antal timer, et lysstofrør kan fungere, med rimelighed kan siges at være normalfordelt. b) Bestem middelværdi og spredning for denne normalfordeling. c) Bestem sandsynligheden for, at et lysstofrør kan fungere i mere end 12500 timer.

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Opgave 8.34 Ved optælling af røde blodlegemer i blodet betragter man under mikroskop et tællekammer fyldt med fortyndet blod. Et tællekammer er et lille fladt rum med glasvægge, der indeholder et ganske bestemt rumfang. Tællekammeret er inddelt i lige store felter på en sådan måde, at man kan tælle antallet af blodlegemer i hvert felt. I skemaet nedenfor ses resultatet af tællingerne i 200 sådanne felter. Antal blodlegemer

Antal felter

a) Bestem middelværdien og standardafvigelsen.

b) Bestem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for én standardafvigelse fra middelværdien.

c) Bestem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for to standardafvigelser fra middelværdien.

d) T egn et histogram med tilhørende normalfordeling og vurder, om antallet af blodlegemer med tilnærmelse kan siges at være normalfordelt.

Opgave 8.35 På et glas med C-vitaminpiller står angivet, at hver pille indeholder 50 mg ascorbinsyre. Ved kemisk analyse af 25 piller fandtes følgende indhold af askorbinsyre (angivet i mg):

51,4

50,2

49,6

50,3

51,2

50,6

50,7

51,2

49,4

50,6

48,8

51,3

50,4

50,5

51,8

50,7

49,5

50,3

50,2

49,4

51,1

50,3

49,3

50,8

50,5

a) Bestem middelværdi og standardafvigelse.

b) Bestem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for en standardafvigelse fra middelværdien.

c) Bestem den brøkdel af observationerne, der ligger inden for to standardafvigelser fra middelværdien.

d) T egn et histogram med intervalbredden 0,5 mg sammen med den tilhørende normalfordeling og vurder, om askorbinsyreindholdet med tilnærmelse kan siges at være normalfordelt.

e) Et rimeligt krav til god markedsføring kunne være, at mindst 95% af pillerne skal have et askorbinsyreindhold, som er større end det angivne indhold på 50 mg askorbinsyre. Er dette krav opfyldt her?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 105

105

14/06/13 14.38

Opgave 8.36 Det gyldne snit Den tyske psykolog Fechner gennemførte i 1876 et eksperiment, hvor personer blev bedt om at udpege det rektangel, de syntes havde de smukkeste proportioner. De kunne vælge mellem rektangler, hvis form varierede fra et kvadrat, hvor siderne er 1:1, til et rektangel, hvor siderne var 1:2,5. Tabellen viser frekvenserne for forsøgspersonernes svar. Observationerne x angiver forholdet mellem rektanglets bredde og højde, og f(x) angiver, hvor mange procent af personerne, der foretrak dette rektangel: x f(x)

1,00

0,83

0,80

0,75

0,69

0,67

0,62

0,57

0,50

0,40

3,0

0,2

2,0

2,5

7,7

20,6

35,0

20,0

7,5

1,5

a) Undersøg, om svarene med tilnærmelse passer med en normalfordeling.

Opgave 8.37 Bestem tæthedsfunktion og fordelingsfunktion for en normalfordelt variabel X, hvor

a) Middelværdien er 2, og spredningen er 4. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

b) Middelværdien er 0, og spredningen er 4. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

c) Middelværdien er 1, og spredningen er 5. Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

iddelværdien er 1, og spredningen er 0,5. d) M Tegn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem.

Opgave 8.38 En normalfordelt variabel X har middelværdi 5 og spredning 1.

106

a) Opskriv tæthedsfunktionen og fordelingsfunktion.

b) Bestem sandsynligheden for, at X ≤ 4 og X ≥ 6.

c) Bestem sandsynligheden for, at 4 ≤ X ≤ 6.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 106

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Opgave 8.39 På et marked sælges der 50 græskar. Vægten af græskar antages at være normalfordelt med middelværdien 12,4 kg og en spredning på 2,31 kg.

a) Opskriv tæthedsfunktionen.

b) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at græskar har en vægt, der er mindre end 11 kg. Bestem værdien af integralet.

c) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at græskar har en vægt, der er større end 14 kg. Bestem værdien af integralet.

Opgave 8.40 I et land er levealderen normalfordelt med middelværdien 81 år og en spredning på 7 år.

a) Opskriv tæthedsfunktionen.

b) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at man lever mere end 92 år. Bestem værdien af integralet.

c) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at man lever mellem 78 og 88 år. Bestem værdien af integralet.

Opgave 8.41 Intelligenskvotienten (IQ) er normalfordelt med middelværdien 100 og en spredning på 15.

a) Opskriv tæthedsfunktionen.

b) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at IQ er over 115. Bestem værdien af integralet.

c) Opskriv et integral, der giver sandsynligheden for, at IQ er mellem 100 og 110. Bestem værdien af integralet.

pskriv et integral, der giver den mindste værdi for IQ, når IQ-værdien skal være d) O blandt de 15% bedste. Bestem denne mindste IQ-værdi.

Opgave 8.42 Om en normalfordelt variabel X gælder, at spredningen er 3 og sandsynligheden for X ≤ 10 er 0,80.

a) Bestem middelværdien for X.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 107

107

14/06/13 14.38

Opgave 8.43 Den mest anvendte skala for test af intelligenskvotient (IQ) anvender følgende inddelinger: Meget lavt • Under 70: Lavt • 70-90: Normalt • 90-110: Højt • 110-130: • 130 og derover: Meget højt 1325 børn er blevet intelligenstestet, og deres intelligenskvotienter er normalfordelte med middelværdi 102 og spredning 11.

a) Bestem, hvor mange % af børnene, der er normalt begavede.

b) Hvor mange % af børnene har en IQ over 120? Hvor mange har en IQ over 130?

Opgave 8.44 En maskine producerer 5 mm lange skruer. Skruernes længde målt i mm er normalfordelte med middelværdi på 5,1 og en spredning på 0,11.

a) Hvor mange % af skruerne er under 5,0 mm lange?

b) Hvor mange % af skruerne er over 5,2 mm lange?

8.4 Udfordrende opgaver Opgave 8.45 Op til folkeafstemningen om Danmarks tilslutning til Maastricht-Traktaten i 1992 blev der foretaget mange forskellige opinionsundersøgelser. TV-avisen spørger 20 tilfældigt udvalgte personer, hvad de vil stemme. 12 svarer nej, mens 8 svarer ja.

a) Talmaterialet er meget spinkelt, men vi gennemfører alligevel en random walktest for at svare på spørgsmålet: Hvis denne stikprøve er repræsentativ, kan vi så med rimelighed konkludere, at der er flertal for nej?

En gymnasieklasse diskuterer TV-avisens undersøgelse. De bliver enige om, at det er et for tyndt et grundlag og vil selv gennemføre en undersøgelse. De har lært om repræsentative stikprøver og udvælger 100 tilfældige mennesker, som de spørger. Svarene viser sig blot at være en opskalering af svarene fra TV’s undersøgelse: 60 svarer nej og 40 svarer ja.

108

b) Undersøg med en random walk-test følgende: Hvis denne stikprøve er repræsentativ, kan vi så med rimelighed konkludere, at der er flertal for nej? I a) og b) er der samme stemmeprocent for ja og nej. Sammenlign resultaterne af random walk-testene og kommenter.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 108

14/06/13 14.38

8. Naturens tilfældighed – tilfældighedens natur

Gallup har ressourcer til at gennemføre undersøgelser, der er repræsentative. De spørger 1200 tilfældigt udvalgte om, hvad de vil stemme, hvis der var afstemning i morgen. 600 svarer nej og 400 svarer ja.

c) Undersøg med en random walk-test følgende: Hvis denne stikprøve er repræsentativ, kan vi så med rimelighed konkludere, at der er flertal for nej? I a) og b) og c) er der samme stemmeprocent for ja og nej. Sammenlign resultaterne af random walk-testene og kommenter.

Vi forestiller os nu, at man laver en kostbar undersøgelse, hvor 10000 personer udspørges. Nulhypotesen er, at det står 50-50 mellem ja og nej. Vi kan derfor analysere problemet som en random walk. ja betyder, at vi går til venstre, nej, at vi går til højre på tallinjen

d) H vor mange nej-svar skal man mindst have for at lande i det "højre"-exceptionelle område?

e) Hvor mange procent udgør disse nej-svar af samtlige adspurgte?

f) I Danmark sagde ca. 51% nej, da det rigtigt gjaldt. Kommenter dette i lyset af svarene i a) og b).

Opgave 8.46 Betragt funktionen Φ (x) med forskriften: Φ ( x) =

− 1 x2 2

⋅e

der er tæthedsfunktionen for standardnormalfordelingen, N(0,1)

2π

a) Bestem de x, hvor den afledte til Φ (x) har ekstremum.

Kommenter resultat i forhold til middelværdi og spredning for N(0,1). Betragt funktionen Φ2(x) med forskriften: Φ2 ( x ) =

1 ⋅ 2

1 2π

1 x  −   2 2

⋅e

der er tæthedsfunktionen for normalfordelingen N(0,2).

b) Bestem de x, hvor den afledte til Φ2(x) har ekstremum.

Kommenter resultat i forhold til middelværdi og spredning for N(0,2). Betragt funktionen Φ3(x) med forskriften: 1 ⋅ σ

1 2π

1 µ −  xσ−   2

⋅e Φ3 ( x ) = der er tæthedsfunktionen for normalfordelingen N(µ,σ).

c) Bestem de x, hvor den afledte til Φ3(x) har ekstremum.

Kommenter resultat i forhold til middelværdi og spredning for N(µ,σ).

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 109

109

14/06/13 14.38

Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binominalfordelingen

Bomberegn over London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Sandsynlighedsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.1

Binomialmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.2

Sandsynlighedsfelter og stokastiske variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.3

Middelværdi og spredning af stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4

Tællemetoder og binomialkoefficienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Binomialfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.1

Det mest sandsynlige udfald i en binomialfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Anvendelser af binomialfordelingen – testteori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.1 Bomberegn over London Opgave 9.1 Kromosomdefekter Hvis man bestråler celler med røntgenstråling, er der risiko for kromosomdefekter. Antallet af kromosomdefekter i en bestrålet celle afhænger af intensiteten og varigheden af denne røntgenstråling. I et klassisk eksperiment bestrålede man en cellekoloni bestående af 482 celler og konstaterede i alt 138 Antal defekter 0 1 2 3 kromosomdefekter. Tabellen viser, hvordan disse Hyppighed (antal celler) 359 109 13 1 var fordelt på de enkelte celler. Vi vil undersøge, om de 138 kromosomdefekter er fordelt tilfældigt i cellerne. Hertil betragter vi et eksperiment, hvor de 138 defekter fordeles tilfældigt én efter én blandt de 482 celler.

110

a) Udregn sandsynligheden for, at en given celle har 0, 1, 2 eller flere defekter.

b) Udregn på basis heraf de forventede hyppigheder for 0, 1, 2 eller flere kromosomdefekter.

c) Sammenlign disse med de observerede hyppigheder. Hvad er din konklusion? Hvordan kunne man foretage en beregningsmæssig sammenligning?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 110

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.2 Prøjsiske hestespark I afhandlingen "Das Gesetz der kleinen Zahlen" af tyskeren Bortkiewicz fra forrige århundrede undersøgte Bortkiewicz 200 regimenter i den prøjsiske hær for at finde ud af, hvor mange soldater der var døde af hestespark. I alt var der omkommet 122 soldater, og de fordelte sig således på de forskellige regimenter: Udfald (antal døde) Hyppighed (antal regimenter)

109

Vi vil undersøge, om de 122 dødsfald er tilfældigt fordelt i regimenterne. Hertil betragter vi et eksperiment, hvor de 122 hestespark fordeles tilfældigt ét efter ét på de 200 regimenter.

a) Udregn sandsynligheden for, at et givet regiment har 0, 1, 2 eller flere dødsfald.

b) Udregn på basis heraf de forventede hyppigheder for 0, 1, 2 eller flere dødsfald

c) Sammenlign disse med de observerede hyppigheder. Hvad er din konklusion? Hvordan kunne man foretage en beregningsmæssig sammenligning?

9.2 Sandsynlighedsteori 9.2.1 Binomialmodeller Opgave 9.3 Ved sidste folketingsvalg opnåede parti X 11,2% af stemmerne. I en spørgeskemaundersøgelse spørger man 955 tilfældigt udvalgte personer, om han eller hun ville stemme på parti X, hvis der var valg i morgen. Vi ønsker at modellere antallet af personer, der stemmer på parti X, med en binomialmodel. Hvad er p, 1 – p og n?

Opgave 9.4 I en gruppe af 1000 hunde er der 23 Labradorhunde. Man laver nu et eksperiment, hvor man på tilfældig måde udtrækker 10 hunde ud af de 1000. Vi ønsker at modellere antallet af Labradorhunde, der udtrækkes blandt de 10, med en binomialmodel? Hvad er p, 1 – p og n?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 111

111

14/06/13 14.38

Opgave 9.5 For et bestemt gen gælder, at hver person, der bærer genet, med sandsynligheden 0,70 vil få en bestemt sygdom. 100 personer med det bestemte gen deltager i undersøgelse over mange år. Vi ønsker at modellere antallet af personer blandt de 100, der får den bestemte sygdom, med en binomialmodel. Hvad er p, 1 – p og n?

Opgave 9.6 Et firesidet terning kastes 15 gange. Antallet af 1’ere tælles. Vi ønsker at modellere antallet af 1’ere med en binomialmodel. Hvad er p, 1 – p og n?

9.2.2 Sandsynlighedsfelter og stokastiske variable Opgave 9.7 I en krukke er der 11 blå, 8 grønne og 4 røde kugler. En vilkårlig kugle tages fra krukken og farven af kuglen noteres.

a) Opstil en sandsynlighedstabel for det stokastiske eksperiment.

b) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Opgave 9.8 I en krukke er der 11 blå, 8 grønne og 4 røde kugler. En vilkårlig kugle tages fra krukken, og farven af kuglen noteres. Fra krukken med nu 22 kugler tages endnu en vilkårlig kugle, og farven af kuglen noteres.

a) Opstil en sandsynlighedstabel for det stokastiske eksperiment.

b) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Opgave 9.9 I en krukke er der 11 blå, 8 grønne og 4 røde kugler. En vilkårlig kugle tages fra krukken, og farven af kuglen noteres, hvorefter kuglen lægges tilbage i krukken. Fra krukken tages endnu en vilkårlig kugle, og farven af kuglen noteres.

112

a) Opstil en sandsynlighedstabel for det stokastiske eksperiment.

b) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 112

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.10 I en bunke kort er der 4 hjerter og 9 spar. Fra bunken trækkes et kort, og kuløren af kortet noteres. Derefter trækkes af den resterende bunke endnu et kort, og kuløren af kortet noteres.

a) Opstil en sandsynlighedstabel for det stokastiske eksperiment.

b) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Opgave 9.11 I en bunke kort er der 4 hjerter og 9 spar. Fra bunken trækkes et kort, og kuløren af kortet noteres. Derefter trækkes af den resterende bunke endnu et kort, og kuløren af kortet noteres. Af den resterende bunke trækkes endnu et kort, og kuløren af kortet noteres.

a) Opstil en sandsynlighedstabel for det stokastiske eksperiment.

b) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

Opgave 9.12 En sandsynlighedstabel er givet ved Udfald u

Sandsynlighed p

0,1

0,23

0,4

og sandsynligheden for u1 er det dobbelte af sandsynligheden for u4.

Bestem sandsynligheden for u1 og u4.

Opgave 9.13 En sandsynlighedstabel er givet ved Udfald u

Sandsynlighed p

0,1

0,45

og sandsynligheden for u1 er kvadratet af sandsynligheden for u3.

Bestem sandsynligheden for u1 og u3.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 113

113

14/06/13 14.38

Opgave 9.14 En sandsynlighedstabel er givet ved Udfald u

Sandsynlighed p

og sandsynlighedsfeltet er symmetrisk.

Bestem sandsynligheden for hvert af udfaldene.

Opgave 9.15 Vi ønsker at opstille en sandsynlighedstabel over den numeriske værdi af forskellen mellem øjnene, når vi kaster med to terninger. Vi tænker på dem som farvede terninger, så vi kan skelne dem. Vi lader X være den stokastiske variabel, der angiver den numeriske værdi af forskellen mellem øjnene.

a) Opstil en krydstabel, og noter den numeriske værdi af forskellen mellem øjnene.

b) Argumenter for, at X kan antage værdierne {0,1,2,3,4,5}.

c) Udfyld nu en sandsynlighedstabel.

d) Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt?

9.2.3 Middelværdi og spredning af stokastiske variable Opgave 9.16 En stokastisk variabel X har følgende sandsynlighedstabel xi P(X = xi)

0,1

0,3

0,5

0,1

a) Bestem middelværdi og spredning for X. Du skal bestemme de statistiske deskriptorer både uden hjælpemidler og vha. dit værkstøjsprogram.

b) Undersøg, om alle værdier for X er normale.

(Udgangspunkt: Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3-årigt forløb til A-niveau).

114

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 114

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.17 En stokastisk variabel X har følgende sandsynlighedstabel xi P(X = xi)

100

1000

0,75

0,13

0,10

0,02

a) Bestem middelværdi og spredning for X. Du skal bestemme de statistiske deskriptorer både uden hjælpemidler og vha. dit værkstøjsprogram.

b) Undersøg, om alle værdier for X er normale.

(Udgangspunkt: Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3-årigt forløb til A-niveau).

Opgave 9.18 Kromosomdefekter – fortsat Vend tilbage til opgave 9.1, hvor der er angivet en tabel over hyppigheden af bestemte kromosomdefekter. Udregn på basis af ovenstående hyppigheder såvel middelværdi som spredning for antallet af kromosomdefekter i en celle.

Opgave 9.19 Prøjsiske hestespark – fortsat Vend tilbage til opgave 9.2, hvor der er angivet en tabel over hyppigheden af hestespark i den prøjsiske hær. Udregn på basis af ovenstående hyppigheder såvel middelværdi som spredning for antallet af dødsfald som følge af hestespark i et givet regiment.

Opgave 9.20 Nogle børn vil lave en spillebod. En af dem foreslår følgende spil med to terninger: • Hvis spilleren ved kast med de to terninger får en sum, der er fem eller derunder, skal boden udbetale 1 kr. • Hvis summen bliver over ti, skal boden udbetale 3 kr. • Hvis summen bliver fra seks til ti, skal spilleren indbetale 1 kr. til boden. Nogle af børnene mener, at dette spil vil give underskud for boden.

en matematisk beskrivelse af spillet, og benyt denne til at tage stilling til a) Giv spørgsmålet om underskud for boden.

b) L av en simulering af 1000 spil i dit regneark. Bestem stikprøvens middelværdi og spredning. Sammenlign med de teoretiske værdier.

(Udgangspunkt: Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3-årigt forløb til A-niveau).

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 115

115

14/06/13 14.38

Opgave 9.21 En forretning reklamerer med, at man får rabat ved hjælp af et terningspil. Når man har valgt, hvad man vil købe, og har betalt for varen, får man lov at kaste med tre terninger. Hvis man ingen sekser får, er der ingen rabat, hvis man får en sekser, er der 10% i rabat, hvis man slår to seksere, er der 50% i rabat, og hvis man endelig slår tre seksere i træk, får man alle sine penge tilbage.

a) Beregn sandsynligheden for at få netop 0, 1, 2, eller 3 seksere, når man kaster 3 gange med en terning.

b) Hvad er den gennemsnitlige rabat på forretningens varer?

Opgave 9.22 Et populært spil i England er "Crown and Anchor". Der anvendes en spilleplade som den viste. Der anvendes ydermere tre symmetriske terninger, der hver er mærket med de samme tegn: spar, hjerter, ruder, klør, krone og anker. En spiller sætter 1£ på et af de seks tegn, og der kastes en gang med de tre terninger. Hvis ingen af terningerne viser det pågældende tegn, mister spilleren sin indsats, og gevinsten sættes til –1£. I modsat fald får spilleren sin indsats tilbage og får desuden gevinsten 1£, 2£ eller 3£ svarende til, hvor mange af terningerne der viser det pågældende tegn.

a) Antag, at du sætter 1£ på ankeret. Hvor stor er sandsynligheden for, at du ved kast med de tre terninger får netop 0, 1, 2 eller 3 ankre?

b) Hvad er din gennemsnitlige gevinst?

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3-årigt forløb til A-niveau).

Opgave 9.23 Vi betragter det stokastiske eksperiment med kast af en mønt. Hvis det bliver plat, så får den stokastiske variabel X værdien 0, og hvis det bliver krone, så får den stokastiske variabel X værdien 1.

116

a) Opstil en sandsynlighedstabel for X.

b) Bestem middelværdi og spredning for X.

c) Opstil i dit regneark en liste for kast med en mønt på fx 1000 elementer.

estem stikprøvens middelværdi og spredning. d) B Sammenlign med det teoretiske værdier.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 116

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.24 Vi betragter det stokastiske eksperiment med kast af to mønter. Hvis det bliver plat og plat, så får den stokastiske variabel X værdien 0, hvis det bliver krone og plat, så får den stokastiske variabel X værdien 1, og hvis det bliver krone og krone, så får den stokastiske variabel X værdien 2.

a) Opstil en sandsynlighedstabel for X.

b) Bestem middelværdi og spredning for X.

c) Opstil i dit regneark en liste for kast med to mønter på fx 1000 elementer.

d) B estem stikprøvens middelværdi og spredning. Sammenlign med det teoretiske værdier.

9.2.4 Tællemetoder og binomialkoefficienter Opgave 9.25 En kro har et menukort med 3 forretter, 7 hovedretter og 2 desserter.

a) På hvor mange måder kan man sammensætte en treretters menu? En treretters menu skal bestå af en forret, en hovedret og en dessert.

b) På hvor mange måder kan man sammensætte en toretters menu? En toretters menu kan bestå af en forret og en hovedret eller en forret og en dessert eller en hovedret og en dessert.

Opgave 9.26 En kro har et menukort med 3 forretter, 4 mellemretter, 7 hovedretter og 2 desserter.

a) På hvor mange måder kan man sammensætte en fireretters menu? En fireretters menu skal bestå af en forret, en mellemret, en hovedret og en dessert.

b) På hvor mange måder kan man sammensætte en treretters menu? Man bestemmer, hvilke typer af retterne der skal med blandt de tre.

c) På hvor mange måder kan man sammensætte en toretters menu?

Opgave 9.27 Udregn følgende binomialkoefficienter, og giv en fortolkning af tallet ud fra en stikprøvesituation. a) K(8,2)

b) K(9,4)

c) K(131,1)

d) K(17,3) og K(17,14) – forklar også hvorfor disse to tal er ens.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 117

117

14/06/13 14.38

Opgave 9.28 En gymnasieelev skal pakke kufferten til studieturen. Han skal have 5 par sokker, 3 par shorts, 2 par bukser, 5 trøjer og 6 par underbukser med. I klædeskabet hjemme har han 12 par sokker, 4 par shorts, 8 par bukser, 15 trøjer og 20 par underbukser med.

På hvor mange måder kan han pakke sin kuffert til studieturen?

Opgave 9.29 Fra et kortspil trækkes et antal kort uden tilbagelægning. Hvor mange forskellige kombinationer kan man få i følgende situationer:

a) Der trækkes 1 kort.

b) Der trækkes 2 kort.

c) Der trækkes 3 kort.

d) Der trækkes 4 kort.

e) Der trækkes 5 kort.

Besvar for hver af trækningerne sandsynligheden for, at alle kort er billedkort. Besvar for hver af trækningerne sandsynligheden for, at alle kort har samme kulør.

Opgave 9.30 Når man bruger den viste snurretop, kan man få resultaterne blå, grøn og rød, alt efter hvilken kant der ender med at hvile mod bordet, som toppen snurrer på. I nedenstående tabel kan man i første søjle aflæse resultaterne af en serie på 100 eksperimenter, i anden søjle resultaterne af en serie på 200 osv.

118

antal forsøg i en serie

100

200

300

400

600

800

1000

2000

antal gange blå

108

135

214

293

365

720

antal gange grøn

124

164

211

420

antal gange rød

138

182

262

343

424

860

frekvens for blå

46%

frekvens for grøn

15%

frekvens for rød

39%

a) Udfyld resten af tabellen i et regneark.

b) Giv et skøn over sandsynlighederne for de tre udfald blå, grøn og rød.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 118

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.31 Et eksperiment består i et kast med to sædvanlige terninger. Når de to terninger viser samme øjental, er eksperimentets udfald dette tal. Når de to terninger ikke viser samme øjental, er eksperimentets udfald det største af de to tal.

udfaldet er 3

udfaldet er 4

Eksperimentet har udfaldene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. 5 . 36

a) Gør rede for, at P(3) =

b) Bestem sandsynligheden for hvert af de øvrige udfald, og udfyld et skema som nedenstående. u

P(u)

Opgave 9.32 Et eksperiment består i at tage 2 kugler op af en pose, der indeholder 3 røde og 1 sort kugle. Først trækkes 1 kugle. Kuglens farve noteres, og den lægges tilbage i posen. Derefter trækkes igen en kugle, og farven noteres.

a) Tegn et tælletræ, der viser de forskellige trækninger.

b) Beregn hver af følgende sandsynligheder: P(2 røde kugler), P(2 sorte kugler) og P(1 rød og 1 sort kugle).

Opgave 9.33 En mønt kastes 3 gange, og man opgør antallet af plat.

a) Tegn et tælletræ, der viser de forskellige møntkast.

b) Gør rede for, at de 4 mulige antal af resultatet plat har de sandsynligheder, der angives i skemaet nedenfor:

antal plat

sandsynlighed

1 8

3 8

1 8

c) Beregn middelværdi og spredning for antallet af plat. Hvilke antal plat er normale udfald? Findes der exceptionelle udfald?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 119

119

14/06/13 14.38

Opgave 9.34

a) Der kastes med to terninger. Hvad er sandsynligheden for, at de to terninger viser det samme?

b) S andsynligheden for at føde en pige er 48%. Hvad er sandsynligheden for at få otte piger i træk?

c) Der kastes fire gange med en symmetrisk mønt. Hvad er sandsynligheden for, at man får krone hver anden gang?

Opgave 9.35 På figuren ses en firesidet terning, hvor en af spidserne er malet rød. Hver side på terningen er en ligesidet trekant. I et spil kastes 3 af disse tetraedre, og X angiver antallet af tetraedre, der viser rød, dvs. vender den røde spids opad. Find sandsynlighedsfordelingen for X.

9.3 Binomialfordelingen Opgave 9.36 Erfaringen har vist, at 8% af bildækkene i en bestemt produktion er defekte. I det følgende regner vi med, at sandsynligheden for, at et tilfældig valgt bildæk af denne type er defekt, er 0,08. Der udtages en stikprøve på 1600 dæk fra fabriksproduktionen. X er den stokastiske variabel, der angiver antallet af defekte dæk ud af de 1600.

a) Bestem ved hjælp af binomialfordelingen sandsynligheden for, at højest 150 dæk er i stykker.

b) Bestem middelværdi og spredning for X.

(Opgaven fortsættes i næste afsnit)

Opgave 9.37 Erfaringen har vist, at 4% af skovlene i en bestemt produktion er defekte. I det følgende regner vi med, at sandsynligheden for, at et tilfældig valgt skovl af denne type er defekt, er 0,04. Der udtages en stikprøve på 1200 skovle fra fabriksproduktionen. X er den stokastiske variabel, der angiver antallet af defekte skovle ud af de 1200.

a) Bestem ved hjælp af binomialfordelingen sandsynligheden for, at højest 40 skovle er i stykker.

b) Bestem middelværdi og spredning for X. (Opgaven fortsættes i næste afsnit)

120

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 120

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

9.3.1 Det mest sandsynlige udfald i en binomialfordeling Opgave 9.38 I et lotteri er sandsynligheden for at få gevinst på en lodseddel 33%.

a) Bestem sandsynligheden for at få gevinst, når man køber tre lodder.

b) Bestem sandsynligheden for at få gevinst, når man køber 8 lodder.

c) Hvor mange lodder skal man købe for, at sandsynligheden for gevinst er 50%?

d) B estem middelværdi og spredning for den stokastiske variabel, der betegner antallet af gevinster, når man køber 10 lodder. Hvad fortæller middelværdien?

e) Hvad er det mest sandsynlige udfald, når man køber 10 lodder?

Opgave 9.39 Sandsynligheden for, at en LED pære brænder mere end 25000 timer, er 85%. En kunde skifter 30 lamper til LED pærer.

a) Bestem sandsynligheden for, at højest 25 pærer kan brænde efter 25000 timer.

b) Bestem sandsynligheden for, at netop 27 pærer kan brænde efter 25000 timer.

c) Bestem det mest sandsynlige udfald.

vad skal sandsynligheden for, at en LED pære brænder mere end 25000 timer, d) H være, hvis kunden skal have 99% sandsynlighed for, at mindst 27 pærer brænder efter 25000 timer?

Opgave 9.40 Journalerne fra et hospital viser, at patienter, der lider af en bestemt sygdom, med 75% sandsynlighed vil dø af denne. På hospitalet har man 5 patienter indlagt med den bestemte sygdom.

a) Hvad er sandsynligheden for, at alle overlever sygdommen?

b) Hvad er sandsynligheden for, at 4 overlever sygdommen?

c) Hvad er det mest sandsynlige udfald?

Opgave 9.41 Førhen var det ikke sikkert, at man fik forbindelse, når man ønskede at ringe. I 90% af tilfældene fik man forbindelse. En person foretog 30 telefonopkald på en dag.

a) Bestem sandsynligheden for, at mindst 25 af opkaldene gav forbindelse.

b) Bestem det mest sandsynlige udfald.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 121

121

14/06/13 14.38

Opgave 9.42 Gorilla-snittet

I en multiplechoice-test er der 25 spørgsmål, hvor hvert spørgsmål har 5 svarmuligheder A, B, C, D og E. Til hvert spørgsmål hører netop et rigtigt svar.

a) E n gorilla kommer ind fra gaden og besvarer de 25 spørgsmål helt tilfældigt. Hvad er det forventede antal rigtige svar (det såkaldte gorillasnit)?

E n elev, hvis præstation ligger uden for gorillaens normalområde, kan hævde at være signifikant bedre end gorillaen.

b) Hvor mange rigtige svar skal man have, hvis man skal være sikker på, at man har fået noget ud af undervisningen (dvs. for at man er signifikant bedre end gorillaen)?

Opgave 9.43 En kaninavler ved, at et bestemt kaninpar får unger, hvis pelse kan have fire forskellige farver: Sort, blå (bæver), chokolade (havanna) og lilla. Sandsynligheden for, at en kaninunges pels har en bestemt farve, fremgår af nedenstående skema. Farve Sandsynlighed

Sort

Blå (bæver)

Chokolade (havanna)

Lilla

9 16

3 16

1 16

I det følgende antages, at en kaninunges pelsfarve er uafhængig af de andre ungers pelsfarve. Det antages endvidere, at kaninparret får et kuld på syv unger. Bestem sandsynligheden for følgende:

a) Alle ungerne i kuldet har sort pelsfarve.

b) Netop fire af ungerne i kuldet har sort pelsfarve.

c) Alle ungerne i kuldet har samme pelsfarve.

d) Bestem det mest sandsynlige antal kaninunger med sort pelsfarve i kuldet.

(Eksamensopgaver i matematik, gymnasiet, matematisk linje 3-årigt forløb til A-niveau).

122

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 122

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

Opgave 9.44 Hvis man selvbestøver ærteplanter, som har anlæg for både rund og rynket ærteform (genotypen betegnes så Rr, hvor R står for arveanlægget rund og r står for rynket), så vil frøene (ærterne) få genotype RR, Rr og rr med sandsynligheder henholdsvis 0,25, 0,50 og 0,25. Da rund (R) dominerer over rynket (r), vil 75% af ærterne blive runde (RR eller Rr) og 25% vil blive rynkede (rr).

a) Hvis der kommer 50 ærter efter en sådan selvbestøvning, hvad er så sandsynligheden for, at højst 35 er runde?

b) Hvad er sandsynligheden for, at præcis 40 er runde?

c) Hvad er sandsynligheden for, at højst 10 er rynkede?

9.4 Binomialfordelingen og normalfordelingstilnærmelsen Opgave 9.45 (fortsættelse af opgave 9.36) I opgave 9.36 undersøgte vi en stikprøve af bildæk på i alt 1600 under antagelse af, at 8% var fejlbehæftede.

a) Undersøg om normalfordelingsapproksimationen kan anvendes for antallet af dæk, der er i stykker.

b) Bestem ved hjælp af normalfordelingen sandsynligheden for, at højest 150 dæk er i stykker. Sammenlign med resultatet i opgave 9.36.

Opgave 9.46 (fortsættelse af opgave 9.37) I opgave 9.37 undersøgte vi en stikprøve af skovle på i alt 1200 under antagelse af, at 4% var fejlbehæftede.

a) Undersøg om normalfordelingsapproksimationen kan anvendes for antallet skovle, der er i stykker.

b) Bestem ved hjælp af normalfordelingen sandsynligheden for, at højest 40 skovle er i stykker. Sammenlign med resultatet i opgave 9.37.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 123

123

14/06/13 14.38

Opgave 9.47 Afgør hvorvidt følgende binomialfordelingen er venstreskæve, centrale eller højreskæve. Bestem desuden de(t) mest sandsynlige udfald.

a) X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 40 og sandsynlighedsparameteren p = 2.

b) X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 40 og sandsynlighedsparameteren p = 0,5.

c) X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 40 og sandsynlighedsparameteren p = 0,7.

d) X være en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 150 og sandsynlighedsparameteren p = 0,7.

Opgave 9.48 Lad X være en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 150 og sandsynlighedsparameteren p = 0,3.

a) Bestem følgende sandsynligheder P(40 ≤ X ≤ 80) og P(X ≥ 40) vha. binomialfordelingen.

b) Bestem de samme sandsynligheder vha. normalfordelingsapproksimationen.

Opgave 9.49 Lad X være en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 100 og sandsynlighedsparameteren p = 0,4.

124

a) Bestem følgende sandsynligheder P(X ≤ 36) og P(X ≥ 46) vha. binomialfordelingen.

b) Bestem de samme sandsynligheder vha. normalfordelingsapproksimationen.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 124

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

9.5 Anvendelser af binomialfordelingen – testteori Opgave 9.50 I en smagstest med cola får deltagerne oplyst, at der for hver smagning er to coca cola'er og en jolly cola. Vi vil undersøge, om man kan smage forskel mellem de to cola typer.

a) Opstil en nulhypotese.

b) Der udføres 15 smagninger. Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 5%.

Opgave 9.51 I en opinionsundersøgelse i 2012 med 1014 personer, er der en vælgertilslutning på 8,1% til SF. Find via nettet ud af, hvor stor procentandel partiet fik ved valget i 2011.

a) Opstil en nulhypotese til at undersøge, om vælgertilslutningen til SF har ændret sig.

b) Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 5%.

Opgave 9.52 Et hotel har 100 værelser, og sandsynligheden for, at et værelse er booket til en overnatning, er 60%. Vi antager (det lidt usandsynlige), at bookning af hvert enkelt værelse er uafhængigt af bookning af de andre værelser.

a) Opstil en binomialmodel for antallet af bookede værelser på hotellet.

b) Bestem sandsynligheden for, at hotellet har en belægning på mindst 75% vha. binomialmodellen.

c) Opstil en model baseret på en normalfordelingsapproksimation.

d) Bestem sandsynligheden for, at hotellet har en belægning på mindst 75% vha. denne approksimation.

e) B estem sandsynligheden for, at hotellet har en belægning på mellem 50% og 60% vha. begge modeller.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 125

125

14/06/13 14.38

Opgave 9.53 Baseret på en undersøgelse vurderes det, at sandsynligheden for, at en person har en cykel, er 70%. På en skole er der 300 personer.

a) Opstil en binomialmodel for antallet af personer med en cykel blandt de 300 personer.

b) B estem vha. binomialmodellen sandsynligheden for, at færre end 200 personer har en cykel.

c) Opstil en model baseret på en normalfordelingsapproksimation.

d) B estem vha. denne approksimation sandsynligheden for, at færre en 200 personer har en cykel.

e) Bestem vha. begge modeller sandsynligheden for, at mellem 240 og 280 personer har en cykel.

Opgave 9.54 40 babyer får muligheden for at vælge mellem en rød eller en grøn rangle.

a) Opstil en nulhypotese til at undersøge, om babyerne vælger den ene farve rangle fremfor den anden farve rangle.

b) Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 5%.

c) Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 1%.

d) 35 babyer vælger den røde rangle fremfor den grønne rangle. Skal nulhypotesen ved de to signifikansniveauer forkastes?

e) Gennemfør en χ2-test til at undersøge, om nulhypotesen skal forkastes ved de to signifikansniveauer.

Opgave 9.55 70 2.g'ere får muligheden for at smage forskel på to forskellige drinks A eller B.

126

a) Opstil en nulhypotese til at undersøge, om 2.g'erne vælger den ene drink fremfor den anden drink.

b) Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 5%.

c) Bestem det centrale område ved et signifikansniveau på 1%.

d) 45 2.g'ere vælger drink A fremfor drink B. Skal nulhypotesen ved de to signifikansniveauer forkastes?

e) Gennemfør en χ2-test til at undersøge, om nulhypotesen skal forkastes ved de to signifikansniveauer.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 126

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

9.6 Udfordrende opgaver Opgave 9.56 X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameteren n = 40 og binomialfordelingen er højreskæv.

a) Bestem de mulige værdier for sandsynlighedsparameteren p.

X er en binomialfordelt stokastisk variabel med sandsynlighedsparameteren p = 0,6 og binomialfordelingen er venstreskæv.

b) Bestem de mulige værdier for antalsparameteren n.

Opgave 9.57 Vi ønsker at opstille en sandsynlighedstabel over summen af øjnene, når vi kaster med tre terninger. Vi tænker på dem som farvede terninger, så vi kan skelne dem. Vi lader X være den stokastiske variabel, der angiver summen af øjnene.

Opstil og udfyld en sandsynlighedstabel for eksperimentet.

Opgave 9.58 Russisk roulette Russisk roulette er et spil, der har været populært blandt unge mænd, der ønskede at demonstrere deres mandighed. Man tager en seksløber med rullende magasin, anbringer en patron i magasinet og ruller magasinet rundt et par gange. Spillerne tager nu efter tur seksløberen, lader den pege mod egen tinding og trykker af. Går skuddet af, har man tabt. Der er to varianter af spillet. I den første rækkes pistolen blot videre til den næste, der trykker af mod egen tinding. I denne variant kan der højst deltage 6 spillere. I den anden variant rulles magasinet et par gange efter hvert forsøg. Hver spiller skyder kun en gang, så måske er der slet ingen taber. Seks unge mænd skal til at spille russisk roulette. Besvar nu for hver af de to varianter følgende spørgsmål:

a) Er det en fordel at være den første eller den sidste? (Gæt!)

b) Find ved hjælp af et sandsynlighedstræ sandsynligheden for, at den første, anden, ..., sjette spiller taber.

c) Find sandsynligheden for, at der overhovedet bliver en taber.

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 127

127

14/06/13 14.38

Opgave 9.59 Elgsdyrjagt I Los Angeles Times den 18. juli 1978 kunne man læse den følgende artikel: Man, Wife Beat Odds in Moose-Hunt Draw The Washington State Game Department gennemførte en offentlig lodtrækning i sidste uge i Olympia for tre tilladelser til elgjagt. Der var 2898 ansøgninger i en tønde forsynet med trådnet. Tønden blev drejet rundt flere gange, før det første navn blev trukket: Judy Schneider fra East Wenatchee, Washington. Cylinderen blev drejet rundt igen. Næste navn trukket: Bill Schneider, Judys mand. Resultat: Højlydte udbrud af vantro fra håbefulde elgjægere i auditoriet.

a) Hvad er sandsynligheden for, at Judys navn vil være det første, der udtrækkes, og hendes mand Bill vil være det andet navn?

b) Hvilke antagelser gør du, når du besvarer dette spørgsmål?

c) Ifølge artiklen sagde en talsmand fra Game Department, at "Matematikere ved University of Washington fortalte os, at oddsene for at det sker, er astronomiske." Kommenter!

Opgave 9.60 Busruten Fra et boligområde er der en busforbindelse til byen. Efter en bus har forladt boligområde, passerer den tre stoppesteder, før den kommer til byen. Busselskabet forventer at der for hvert af de tre busstop er 70% chance for, at der er passagerer, som skal med bussen. Ingen stiger af bussen, før den er kommet til byen. Lad X være antallet af gange, et bus stopper på vej til byen. Busselskabet forventer, at sandsynligheden for, at bussen skal stoppe ved præcis k opholdssteder er givet ved, 3 p( X = k ) =   ⋅ 0,7k ⋅ 0,33 − k , k

k = 0,1,2,3

a) Hvilke forudsætninger har busselskabet gjort?

eregn sandsynligheden for, at bussen stopper ved henholdsvis 0, 1, 2 og 3 b) B stoppesteder på turen ind til byen.

I morgenmyldretiden må busselskabet sætte to busser ind på ruten for at få alle passagerer med. Bus A kører først fra boligområdet. Bussen B følger direkte efter. Når de kommer til det første stoppested, hvor der står folk og venter, stopper A for at tage passagererne med, mens bus B kører forbi. Ved det næste stop er det bus B, der stopper og tager passagerer, mens bus A kører forbi, etc.

128

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 128

14/06/13 14.38

9. Tilfældighedernes spil – stokastiske variable og binomialfordelingen

c) F orklar, hvorfor bus A kommer først til byen, hvis der er passagerer, der venter ved 0 eller 2 stoppesteder, mens bus B kommer først, hvis der er passagerer, der venter på ved 1 eller 3 stoppesteder.

d) B eregn sandsynligheden for, at bussen B kommer først til byen.

vilken bus skal man tage fra boligområdet, hvis man gerne vil komme først e) H til byen?

Ovenstående tal gælder uden for feriesæsonen. I sommerferieperioden regner busselskabet med, at der ved hvert stoppested kun er 20% chance for, at der er passagerer, der skal med bussen. Antag, at busselskabet stadig sætter to busser ind i morgenmyldretiden.

f) H vilken bus betaler det sig nu at tage fra boligområdet, hvis man vil komme først til byen?

Opgave 9.61 Et olieefterforskningsfirma har planer om at bore 10 brønde på ti forskellige steder. Hver brønd har sandsynligheden 0,1 for at producere olie. Det vil koste virksomheden 50.000$ at bore en brønd. Man regner med, at en succesfuld brønd vil skaffe olie til en værdi af million dollars.

a) Find virksomhedens forventede gevinst fra de 10 brønde.

b) Find standardafvigelsen af virksomhedens gevinst for de 10 brønde.

c) Find sandsynligheden for, at virksomheden vil miste penge på de 10 brønde.

ind sandsynligheden for, at virksomheden vil tjene mindst 1,5 millioner dollars d) F på de 10 brønde.

Opgave 9.62 Et olieefterforskningsfirma beslutter sig for at bore brønde i et bestemt område, indtil det finder en brønd, der kan producere olie. Hver brønd har sandsynlighed 0,1 for at producere olie. Det koster virksomheden 50.000$ at bore en brønd.

a) Hvad er det forventede antal brønde, der skal bores?

b) Hvad er den forventede værdi og standardafvigelse af omkostningerne ved at bore for at finde den første succesfulde brønd?

c) Hvad er sandsynligheden for, at det vil tage mindst 5 forsøg for at finde den første vellykkede brønd?

vad er sandsynligheden for, at det vil tage mindst 15 forsøg for at finde den d) H første vellykkede brønd?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 129

129

14/06/13 14.38

Opgave 9.63 (Pepys problem, 1693) A kaster 6 terninger og vinder, hvis der kommer mindst 1 sekser. B kaster 12 terninger og vinder, hvis der kommer mindst 2 seksere. Hvem har størst sandsynlighed for at vinde? Problemet blev forelagt Newton, der svarede, at en triviel beregning viser, at det er A, der har fordelen. Pepy bad om få detaljerne, men Newton kunne ikke overbevise ham.

a) Vis, at sandsynligheden for, at A vinder, er 66.51%

Vi ser nu på vinderchancerne for B:

b) Hvad er sandsynligheden for, at der slet ingen seksere kommer i de tolv kast?

c) Hvad er sandsynligheden for, at der kommer netop 1 sekser i de tolv kast?

d) Hvad er sandsynligheden for, at der kommer mindst 2 seksere i de tolv kast?

e) Havde Newton ret?

Opgave 9.64 Flyselskaber overbooker rutinemæssigt populære flyvninger, fordi de ved, at det ikke er alle, der har købt billetter, som rent faktisk dukker op. Hvis der dukker flere passagerer op, end der er ledige pladser, giver et bestemt flyselskab passagererne 100$ som en slags "bøde", de idømmer sig selv, samt en plads på det næste fly. Et bestemt rutefly med 120 sæder har en 10% udeblivelsesrate.

130

a) Hvis flyselskabet sælger 130 billetter, hvor mange nye flysæder skal de så skaffe, og hvor mange penge forventes det at skulle betale i bøder per flyvning?

b) H vor mange billetter skal flyselskabet ned på at sælge per flyvning, hvis de ønsker, at sandsynligheden for, at de skal udbetale kompensation, højst må være 0,05?

Hvad er matematik? B, opgavebog

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_6-9.indd 130

14/06/13 14.38

Facitliste

Facitliste Kapitel 0

Opgave 0.3

Opgave 0.1

a) Har centrum (0,0) og radius 9. b)

a) Har centrum (0,0) og halvakserne 3 og 2 i henholdsvis x- og y-aksen retning. b)

2 1

–3

–1

–2

–5

–10

–5

–1 –2

c) e =

c) De to cirkelfunktioner er f(x) ( x ) == ±± 81 − x 2

5 3

d) De to ellipsefunktioner er f ( x ) = ±

2 3

9 − x2

Opgave 0.2

Opgave 0.4 a) Har centrum (0,0) og radius 11. b) 10

a) H ar centrum (0,0) og halvakserne 7 og 5 i henholdsvis x- og y-aksen retning. b)

–10

–6

–4

–2

–5

–5 2

–10

–2

c) De to cirkelfunktioner er f(x) ( x ) == ±± 121 − x 2

–4

c) e =

24 5

d) De to ellipsefunktioner er f ( x ) = ±

5 7

49 − x 2

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 131

131

14/06/13 14.50

−

Opgave 0.5

Opgave 0.6

a) Konstruktionen med opgavens betegnelser ses nedenfor – cirklerne har radius 5 og 11.

a-d) En mulig konstruktion 3 Q d

P P

–5

c –4 –3

–2

–5

–10

–2

–3

–10

Opgave 0.7 a-d) En mulig konstruktion

b) L injen gennem punkterne P og Q har 2 2 hældning a x− x og bruges resultatet om ortogonale linjer, fås at cirkeltangenten har −x hældningen 2 2

b d

a −x

c) Da ellipsen fremkommer ved at gange alle b −x y-værdierne i den lille cirkel med a følger at a2 − x 2 b ellipsetangenten har hældningen a −2 x 2

R –8 –6 –4

–2

y= y=

b a

− x0

⋅

a − x0

( x − x0 ) = − a ⋅

a − x0

( x − x0 ) = − a ⋅

x+ ⋅ a

a − x0

x+ ⋅ a

a − x0

b ⋅ a

Opgave 0.8

a-d) Her er skitse af en mulig tangent: 2

a − x0

At vise denne linje er tangent, svarer til at bestemme skæringspunkterne mellem denne linje og funktionen f (x) =

–6

0 2 –2 –4

Her følger argumentet for, at linjen gennem E og R er tangent til ellipsen: Vi betegner x-koordinaten til E med x0. Med betegnelserne ovenfor følger at linjen gennem E og R har ligningen b

6 4

a −x

− x0

–5

0 1 –1

–1

A –10

a2 − x 2

–10 x0

a2 − x 2 = − a ⋅

a − x0

x+ a⋅

2 2

a − x0

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=−

2 0

−a

) ⋅·

x0 + a − x0 a

∨

2 0

−a

) ⋅·

a 2 0

132

MateB_Opgaver_Facit.indd 132

−a

) ⋅·

x0 + a − x0

∨

2 0

−a

) ⋅·

x0 + a + x0 a

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.50

Facitliste

Opgave 0.9

Opgave 0.17

a-d) Her er skitse af en mulig tangent:

Det forventede udbytte er –106,29.

Opgave 0.18 10 B

Det forventede tab er på 40 øre pr. spil.

Opgave 0.19

A 0

–10 –5

Krone i kast nr

Sandsynlighed

Gevinst i kr.

1 2

1 4

De to ellipser har areal 6p og 35p.

1 8

Opgave 0.11

–5 –10

Opgave 0.10

 4 4 c) Fixpunktet er  3 , 3  d) Fixpunktet er tiltrækkende

1 16

…

Opgave 0.12

1 n 2

1–2n

c) Der er ikke noget fixpunkt.

Opgave 0.13

b) Forventet gevinst er

(

c) Fixpunktet er (0,2;0,2). d) Iterationen er stationær.

)

 1 − 1  ⋅ 1 − 1 ⋅ 2n − 1 = 0 n n  2  2

Opgave 0.14

Opgave 0.20

c) Fixpunktet er (–2,–2). d) Fixpunktet er frastødende.

Svarer til at vurdere rækken S =

Opgave 0.15

elser svarer til indholdet af kapitel 0 afsnit 3.

∞

∑0,92

n =1

som har grænseværdi 1,84. De øvrige overvej-

c) Fixpunkterne er (2,2) og (-1,-1). d) Begge fixpunkter er frastødende.

Opgave 0.16 c) Fixpunkterne er

 

d) Fixpunktet

 

2 2

fixpunktet

 

2 2

2 ±1 2 2

2 −1 2 +1

2 ± 1

2 2

2 − 1 2 2



2 + 1 2 2



er tiltrækkende og er frastødende.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 133

133

14/06/13 14.50

Kapitel 1

Opgave 1.5

Opgave 1.1

c) og d) R ektanglet med maksimalt areal har 50 5 . sidelængderne 3 og 3

a) Rektanglet har et areal på 24. b) x skal være 1,15 eller 2,42.

Opgave 1.6

Opgave 1.2

y = 20 – 2x. Arealet af løbegården bliver størst, når x er 5 m.

a) 0 = 2x 2 + 4xy b) x = 83

Opgave 1.7 a) Da A(x) = 0 ↔ x = 0 ∨ x = 50. Da vi kræver, at arealet er positivt, må der derfor gælde at 0 < x < 50 . b) Arealet bliver størst muligt, når sidelængden x er 25 m.

Opgave 1.3 a) f(x) ≥ 0 i intervallet − 90, 90  b) 180

Opgave 1.8

160

a) h =

140

b) Kassens overfladeareal bliver mindst muligt, når x er 4 dm = 40 cm.

32 x2

120

Opgave 1.9 100

a) 0 = (2 + p)x + 2y

b) y = − c)

< x < 50 2

e) S ymønstrets areal bliver størst, når 100 x er 4 + 3 π cm.

20 B

A –x

Opgave 1.10

a) h = 8 − c) Sidelængderne er her 120 og 120 (samme facit i d).

c) og d) R ektanglet med maksimalt areal har sidelængderne 27 og 27 . 4

MateB_Opgaver_Facit.indd 134

2+π 2

b) A ( r ) = 16 r − 4 + π ⋅ r 2 2

c) Blomsterbedets areal bliver størst, når r =

Opgave 1.4

134

d) A ( x ) = 100 x − 4 + 3 π ⋅ x 2

–10

100 4 +π

(2 + π ) x + 50

Hvad er matematik? B, opgavebog

16 4 +π

Opgave 1.11 Madkassens materialeforbrug er minimalt, når dimensionerne på den korte side er 7,21 cm, den lange side er 14,42 cm og højden er 9,61 cm.

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 1.12

Opgave 1.18

a) Funktionstabel over udvalgte værdier:

a) f(4) = 13 og f(x) = 4 har ingen løsninger. b) Grafen for f går gennem punktet (4,13). Ingen punkter på grafen har 4 som y-koordinat.

–2

–1

f(x)

–5

–10

–40

Opgave 1.19

b) Ingen af punkterne ligger på grafen. c) f(–2) = 20, f(2) = 0 og f(4) = –10 svarende til punkterne (–2,20), (2,0) og (4,–10). d) f(10) = – 40 svarende til punktet (10,– 40). e) Løsning er x =

3 5

3 svarende til punktet  5 ,7 .

f) Løsning er x = 2 svarende til punktet (2,0) – dette er grafens skæringspunkt med x-aksen.

Opgave 1.13 a) b) c) d) e)

Dm(f) =  og Vm(f) = [5,∞[ Dm(g) =  og Vm(g) = ]–∞,1] Dm(h) = [0,∞[ og Vm(h) = [5,∞[ Dm(i) = [0,∞[ og Vm(i) = ]–∞,0] Dm( j) = [6,∞[ og Vm( j) = [0,∞[

Opgave 1.14 a) b) c) d) e)

Dm(f) =  og Vm(f) = {5} Dm(g) =  og (g) = [1,0[ Dm(h) =  og Vm(g) = ]– ∞,4] Dm(i) = [0,∞[ og Vm(h) = [2,∞[ Dm( j) = [10,∞[ og Vm( j) = [0,∞[

Opgave 1.16 a) b) c) d)

Dm(f) = ]–2,3] og Vm(f) = [2,11] Dm(g) = [–3,1] og (g) = [–6,3] Dm(h) = ]–2,1] og Vm(g) = [–1,8[ Dm(i) = [–2,1[ og Vm(i) = [2,11[

Opgave 1.17 a) b) c) d)

a) f er aftagende i intervallet ]–2,0] og voksende i intervallet [0,3]. b) g er voksende i intervallet [–3,0] og aftagende i intervallet [0,1]. c) h er aftagende i intervallet ]–3,1]. d) i er voksende i intervallet ]–2,2[.

Opgave 1.20 a) f har globalt minimum i x = 0 og globalt maksimum i x = 3. b) g har globalt minimum i x = –3, globalt maksimum i x = 0 og lokalt minimum i x = 1. c) h har globalt minimum i x = 1 og h har ikke et globalt maksimum. d) i har ikke et globalt minimum og maksimum.

Opgave 1.21 1) a ) f er voksende i hele R. b) f har ingen lokale eller globale ekstrema. 2) a) g er aftagende i intervallet ]– ∞;1,6] og g er voksende i intervallet [1,6;∞[. b) g har et globalt minimum i x = 1,6. 3) a) h er aftagende i intervallet ]–2;2,5] og h er voksende i intervallet [2,5;∞[. b) h har et globalt minimum i x = 2,5. 4) a) i er aftagende i intervallet ]–2;3] og i er voksende i intervallet [2;∞[. b) i har et globalt minimum i x = 3.

Dm(f) =  og Vm(f) =  Dm(g) =  og Vm(g) = [–1,2;∞[ Dm(h)= ]–2,∞[ og Vm(h)= [–3,∞[ Dm(i)= [–2,∞[ og Vm(i)= [–6,∞[

Opgave 1.24

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 135

135

14/06/13 14.51

a) f har tangenthældningen –2 for x = –1, tangenthældningen er 0 for x = 0, tangenthældningen er 2 for x = 1, tangenthældningen er 4 for x = 2. Når tangenthældningen er negativ, er f aftagende, og når tangenthældningen er positiv, er f voksende. b) g har tangenthældningen 0,5 for x = –1, tangenthældningen er 1 for x = 0, tangenthældningen er 1,5 for x = 1, tangenthældningen er 2,5 for x = 2. Når tangenthældningen er positiv, er g voksende. c) h har tangenthældningen –1 for x = –1, tangenthældningen er –1 for x = 0, tangenthældningen er –1 for x = 1, tangenthældningen er –1 for x = 2. Når tangenthældningen er negativ, er h aftagende. d) i har tangenthældningen 1,5 for x = –1, tangenthældningen er 1,5 for x = 0, tangenthældningen er 1,5 for x = 1, tangenthældningen er 1,5 for x = 2. Når tangenthældningen er positiv, er i voksende.

Kapitel 2 Opgave 2.1 f(3) = 6

Opgave 2.2 f(3) = 25

Opgave 2.3

Opgave 1.26 R = 6x 2 – 6x 3

Opgave 1.27 4 3

V = − π r 3 − 2π r 2 + 2r

–10

–2

–3

–

Opgave 2.4

Opgave 1.25 a) y = 150 – 2x b) A(x) = 300x – 300x 2 c) Det størst mulige areal er 7500 m2

Opgave 2.9 A svarer til g, B svarer til h og C svarer til f.

Opgave 2.10 a) b) c) d)

f(x) = 0,71x 2 + 1,09x + 1 f(x) = 0,54x 2 – 5,63x + 8 f(x) = –0,68x 2 + 4,11x – 1,21 f(x) = –0,22x 2 + 1,75x + 4,38

Opgave 2.11 T = (2,53)

Opgave 2.12 T = (2,–3)

136

MateB_Opgaver_Facit.indd 136

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 2.13

Opgave 2.22

T = (3,10)

Har løsning x = –5 eller x = 4

Opgave 2.14

Opgave 2.23

T = (2,–5)

Diskrimanten er d = 4 og de to løsninger x = –5 eller x = –3

Opgave 2.15 a) Da 7 2 – 6 ∙ 7 – 7 = 49 – 42 – 7 = 0, er x = 7 en løsning. b) Da 12 – 10 ∙ 1 + 9 = 1 – 10 + 9 = 0, er x = 1 en løsning. c) D a 3 ∙ (–3)2 + 6 ∙ (–3)– 9 = 27 – 18 – 9 = 0, er x = –3 en løsning. 2 1 725 25 = 2 − 375 + 725 = 0, d) D a ( −5) + 75 ⋅ ( −5) + 2 2 2 er x = –5 en løsning.

Opgave 2.24

Opgave 2.16

Opgave 2.26

Har løsning x = –6 eller x = 5

Opgave 2.25 a) b) c) d)

Har løsning Har løsning Har løsning Har løsning

x = 0 eller x = 6 x = –10 eller x = 20 x = 3 eller x = 9 x = 1 eller x = 7

a) Da 2 – 5 ∙ 2 – 7 = 4 – 10 – 7 = –13, er x = 2 ikke en løsning. b) Da 3 ∙ (– 4)2 + 10 ∙ (– 4) – 7 = 48 – 40 – 7 = 1, er x = –4 ikke en løsning. c) Da (–20)2 + 21 ∙ (–20) + 19 = 400 – 420 + 19 = –1, er x = –20 ikke en løsning. d) D a –502 + 2500 = –2500 + 2500 = 0, er x = 50 en løsning.

Opgave 2.17

–

Opgave 2.27 f har negativ diskriminant, g, h og i har positiv diskriminant.

p1 har diskriminant 169, p2 har diskriminant 397, p3 har diskriminant 100, p4 har diskriminant –200 og p5 har diskriminant –67.

Opgave 2.30

Opgave 2.18

Opgave 2.31

Har løsning x ==

−1 2

eller x = 3

Skærer førsteaksen i (–2,0) og (4,0) og har toppunkt i (1,–9).

a) f(8) = 24  b) T =  72 , 19 4

Opgave 2.19 Har diskriminant d = 9 > 0, dvs. andengradsligningen har to løsninger.

c) f(x) = g(x) ⇔ x = 3 ∨ x = 5

Opgave 2.20

a) f har diskriminant –3, dvs. skærer ikke x-aksen. b) g har diskriminant 61, dvs. skærer x-aksen. c) h har diskriminant 80, dvs. skærer x-aksen.

Har løsning x = 1 eller x = 2

Opgave 2.21

Opgave 2.32

Har løsning x = 1 eller x = 3

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 137

137

14/06/13 14.51

Opgave 2.33

Opgave 2.40

a) f har diskriminant 4 og har derfor to rødder. b) g har diskriminant 224 og har derfor to rødder. c) h har diskriminant 378225 og har derfor to rødder. d) i har diskriminant 4096 og har derfor to rødder.

a) De to variable er: år som uafhængig variabel og antal personer med AIDS som afhængig variabel. b) a = 345,14, b = –1015,37 og c = 41543,1. d) Der var 55509 personer med AIDS i 2007. e) D er vil være 50000 personer med AIDS i 2006.

Opgave 2.34

)

(

a) Skæringspunkter er 3 ± 6,5 .

Opgave 2.41

b) Har ingen skæringspunkter.

a) De to variable er: Tid som uafhængig variabel og koncentration om afhængig variabel. b) a = –56,2, b = 139,3 og c = 9,35. d) Efter 2,25 timer er koncentrationen 38,3 mg/l. e) D er vil være en koncentration på 60 mg/l efter 0,44 og 2,04 timer.

)

(

c) Skæringspunkter er 2,5 ± 12,05;1 . d) Skæringspunkter er (–1,0) og (6,0).  5 ± 57  e) Skæringspunkter er  , −10 . 2

Opgave 2.35 a) b) c) d)

Skæringspunkter er (5,8). Skæringspunkter er (–3,20). Skæringspunkter er (0,30). Skæringspunkter er (11,–91).

Opgave 2.42 a og c er omvendt proportionale med proportionalitetsfaktor 1.

Opgave 2.36

Opgave 2.43

a) Skæringspunkter er (1,3) og (7,15). b) Skæringspunkter (2,0) og (3,–1). c) –3x + 5 = –5x 2 + 25x + 30 x=−

321 − 14 5

∨

b = 50 og c = –105

Opgave 2.44

321 + 14 5

Gedsers største befolkningstal var på 1254 personer, og der vil bo 200 mennesker i Gedser i 2037.

d) L øsning fra wordmat i filen 10x + 7 = –5x2 + 25x + 30 x=−

685 − 15 10

∨

685 + 15 10

Opgave 2.45 y = 0,16x 2

Opgave 2.37 Skærer førsteaksen i (–1,0) og (5,0).

Opgave 2.46

Opgave 2.38

a) Da f(10) = 8,305 og f(25) = 8,8075, kommer bolden over bygningen. b) a = 41,0°.

f har diskriminant –4, og dermed er P graf for f.

Opgave 2.39 b) 82 = 102 + a2 – 20acos(42) .

138

MateB_Opgaver_Facit.indd 138

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 2.47

Opgave 2.56

a) Bolden er 1,36 m oppe i luften efter 2 sek. b) Bolden rammer jorden efter 2,13 sek.

a) b = ±6 giver netop en løsning. b) b < 6 giver ingen løsninger. c) b > 6 giver to løsninger.

Opgave 2.48

Opgave 2.57

a) En hastighed på 40 km/t giver en bremselængde på 75,1 m. b) E n bil må højst køre 16,2 km/t for at undgå en påkørsel.

a) c = b) c >

Opgave 2.49

Opgave 2.58

D = 5,31

Der var 50 aber.

Opgave 2.50

Opgave 2.59

a) A real · 2000 = 15000 giver andengradsligningen: x · (8 – 2x) · 2 = 15, og andengradsligningen har x = 1,5 og x = 2,5 som rødder. b) D e mulige mål er 1,5 x 2,5 el. 2,5 x 1,5 m. Skal han kigge ud stående, vil jeg foretrække x = 2,5 m.

b) Kaldes siderne x og y, får man x = 30 og y = 25 løser problemet.

Opgave 2.51 a) Følger ved at de tre sidelængder tilsammen giver 30. b) Følger af Pythagoras sætning anvendt på en retvinklet trekant med kateter x og 29 – x og hypotenuse x + 1. c) x = 12 m. d) Arealet bliver 30 m2.

c) c <

Kapitel 3 Opgave 3.1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

Opgave 2.53

Opgave 2.54 1 3

Opgave 2.55 b) a > c) a <

4 3 4 3 4 3

giver netop en løsning. giver ingen løsninger. giver to løsninger.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 139

a 3

b 49

c 12

D 3

–1

–4

–10

–5

125

Opgave 3.2

9 8

a) a =

giver to løsninger.

b) Kaldes siderne x og y, får man x = 8 og y = 6 løser problemet.

Den skal være mellem 15 og 20 m bred.

giver ingen løsninger.

Opgave 2.60

Opgave 2.52

1 12 1 12 1 12

a) b) c) d)

3 ∙ (x – 2)2 ∙ (x + 1) = 3 ∙ x 3 – 9 ∙ x 2 + 12 (x – 3) ∙ (x + 1) ∙ (x – 10) = x 3 – 12 ∙ x 2 + 17 ∙ x + 30 –2(x – 2) ∙ (x 2 + 1) = –2 ∙ x 3 + 4 ∙ x 2 – 2 ∙ x + 4 x(x + 1) ∙ x = x 3 + x 2 p1 p2 p3 p4

a 3

b –9

c 0

D 12

–12

–2

139

14/06/13 14.51

Opgave 3.3

Opgave 3.10 a

–

a) p(x) = 0,08x 3 – 0,23x 2 – 1,02x + 1,17 b) p(x) = 0,40x 3 + 2,625x 2 + 5,23x

Opgave 3.11 a) b) c) d) e) f) g)

Opgave 3.4 a) b) c) d) e)

Ja. Nej. Nej. Ja. Nej.

Grad 1. Grad 7. Grad 2. Grad –∞. Grad 13. Grad 2. Grad 4.

Opgave 3.12

Opgave 3.5

a) Har mindst grad 4. b) Har mindst grad 5.

Da 23 – 5 ∙ 22 + 3 ∙ 2 + 6 = 8 – 20 + 6 + 6 = 0, er 2 en løsning.

Opgave 3.13

Opgave 3.6 a) b) c) d)

–1 er en løsning. –1 er en løsning, og 1 er ikke en løsning. 0 er en løsning, og 2 er ikke en løsning. –1 er ikke en løsning, og 1 er en løsning.

a) Har højst to rødder. Da a > 0 og c < 0, er der to rødder med modsat fortegn. b) Da d < 0, c > 0 og b > 0, er der én positiv rod. Der kan yderligere være to negative rødder.

Opgave 3.14

a) Et polynomium af grad 4 kan have forskriften p ( x ) = 0,040079 x 4 − 0,27302 x 3 − 0,80754 x 2 + 4,7976 x + 5,0000 4 3 x ) = 0,040079 x − 0,27302 x − 0,80754 x 2 + 4,7976 x + 5,0000 . Har vendepunktpi ((0,5) b) E t polynomium af grad 1 kan have forskriften 1 326 Har vendepunkt i  3 , 27  q(x) = 2,75x + 8,25. 10 4270  Har vendepunkt i  ,  3 27  Opgave 3.15 Har vendepunkt i  10 , − 2317  3 27 Et polynomium af grad 5 kan have forskriften

Opgave 3.7 a) b) c) d)

Opgave 3.8

( x ) = 0,00098643 x 5 − 0,0049321x 4 − 0,036498 x 3 + 0,087792 x 2 + 0,11837 x

( x ) = 0,00098643 x 5 − 0,0049321x 4 − 0,036498 x 3 + 0,087792 x 2 + 0,11837 x + 1,9036 ⋅ 10 −15 5 = –4,24 ∨ x = 3 a) f(x) = 0 ⇔ x ∨ x = x7,84 − 0,036498 + 0,087792 x 2 + 0,11837 x + 1,9036 ⋅ 10 −15 ( x ) = 0,00098643 x − 0,0049321x 4 0,90 b) f er voksende i intervallet ]–∞,–2], aftagende 9 Opgave 3.16 i intervallet  −2,  og voksende i intervallet 2  9  , ∞. a) Grad 8. 2  b) Grad 16. Opgave 3.9 p(x) = 0,11x 3 – 0,21x 2 + 0,64x + 5

140

MateB_Opgaver_Facit.indd 140

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 3.17

Opgave 3.23

a) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 og 80. b) 50 = 2 · 52, 121 = 112, 200 = 23 · 52, 324 = 22 · 92 og 1250 = 2 · 54.

a) Motorens hastighed er uafhængig variabel, bådens hastighed er afhængig variabel. b) a = 0,0048, b = −0,19, c = 3,13, d = −9,53 d) Bådens hastighed er 10,3 knob. e) Motorens hastighed er 2055 omdrejninger.

Opgave 3.18 a) Da p(1) = 5 ∙ 13 – 2 ∙ 12 + 17 · 1 – 20 = 5 – 2 + 17 – 20 = 0, er 1 rod. b) a = 5, b = 3 og c = 20.

Opgave 3.24 F(x) = – 0,04x 3 + 0,1x 2 + 5,65x – 7,5 Grafen for F tegnes, og maksimumsstedet aflæses vha. it-værktøjets maksimumsfacilitet.

Opgave 3.19

a) x4 + 5x 3 – 7x 2 – 29x + 30 = (x – 2) · (x – 1) · (x + 3) · (x + 5) b)

2 ∙ x 5 + 11x4 + 2x 3 – 15x 2 = (x – 1) ∙ x 2 ∙ (x + 5) ∙ (2 ∙ x + 3)

x4 – x 3 + 5x 2 – 5x + 12 = (x 2 – 2 · x + 3) · (x 2 + x + 4)

25 20 15 10 5

Opgave 3.20 x2 + 3x − 1 x +1

= x +2−

x2 + 3x + 4 x −1

= x+4

x3 + 2x2 + 5x + 7 x +1

3x − 1 x +1

x3 − 5x2 + 3 x2 + 1

A(7.81, 23.66)

= 3−

3 x +1

x 0

Konklusion: Den produktion, der giver størst fortjeneste, er på 7810 enheder pr. uge.

= x2 + x + 4 +

3 x +1

Opgave 3.25

4 x +1

= x −5−

a) 40000000

x −8 x2 + 1

35000000

Opgave 3.21

30000000

a) Har skrå asymptote y = x + 2 og lodret asymptote x = –1. b) Har skrå asymptote y = x + 4. c) Har lodret asymptote x = –1. d) Har vandret asymptote y = 3 og lodret asymptote x = –1. e) Har skrå asymptote y = x – 5.

25000000 20000000 15000000 10000000 5000000

Opgave 3.22 Bredden er 2 ⋅ 4 5 − h og arealet 2 ⋅ 4 5 − h ⋅ h .

5000

10000

15000

20000

b) E(1000) = 2142,20 c) Graden af F er 3.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 141

141

14/06/13 14.51

d) 30000000 A(9052, 26104670.24) 25000000

b) V(x) = x · (6x – 18) · 6x c) V = 36x 3 – 108x 2 d) Højden bliver 4,421 cm.

Opgave 3.29

20000000 15000000 10000000 5000000

5000

10000

15000

Konklusion: Ved en produktion på 9052 opnås den største fortjeneste.

a) p1 har nulpunkter x = –5 ∨ x = –3 ∨ x = 1 ∨ x = 2. p1 er positiv i intervallerne ]–∞,–5[, ]–3,–1[ og ]2,∞ [. p1 er negativ i intervallerne ]–5,–3[ og ]1,2[. b) p2 har nulpunkter x = –5 ∨ x = –1,5 ∨ x = 0 ∨ x = 1. p2 er negativ i intervallerne ]–∞,–5[, ]–1,5,0[ og ]0,1[. p2 er positiv i intervallerne]–5,–1,5[ og ]1,∞[. c) p3 er positiv for alle reelle tal.

Opgave 3.26 a) O = 2 ⋅ h ⋅ 2r + 2 ⋅ h ⋅ 10 r + 2 ⋅ r 2 ⋅ π + 2r ⋅ π ⋅ 10 r b) Da postkassen kan opdeles i en cylinder og en kasse, fås volumenet til V = h ∙ 2r ∙ 10r + p ∙ r 2 ∙ 10r c) r = 7,17

Kapitel 4 Opgave 4.1 f ′( x) = 4x 3

Opgave 3.27

Opgave 4.2

a) Fås ved at bruge Pythagoras' sætning i trekant PRS fulgt af arealet for trekanten som 1 PS PR . 2 b) A(x) = 35 ⇔ x = 7,7 ∨ x = 16,1 hvor enheden er cm. c) A er voksende i intervallet  0,7 3 og aftagende i intervallet 7 3, ∞  . d) A er størst mulig for x =7 3,. ∞ 

a) g ′(–2) = 1,2, g ′(0) = 0 og g ′(2) = 1,2. Hermed bestemmer man væksthastigheden svarende til den givne x-værdi. b) g ′( x) = 30 ⇔ x = ±10 c) g ′( x) = a har en løsning for a ≥ 0.

Opgave 3.28

Opgave 4.3 1

a) y = − x + 2 5 b) h ′( x) = a har en løsning for a < 0.

Opgave 4.4

a) x er højden

Ved at se på, hvilken graf som har nulpunkter, hvor den anden har vandrette tangenter, ses, at graf A svarer til f, og graf B svarer til f .′

Opgave 4.5 x

6x 6x – 18

142

MateB_Opgaver_Facit.indd 142

Hvad er matematik? B, opgavebog

Grafisk lægges en tangent til kurven i punktet (10,500). Denne tangent har hældningen 100. Dvs. at efter 10 døgn, så er væksthastigheden for populationen 100 individer per døgn.

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 4.6

Opgave 4.16 a) q ′(0) = –3. Hermed bestemmer man væksthastigheden svarende til den givne x-værdi. b) y = –75x – 29,2 c) Førstekoordinaten til de tre øvrige skæringspunkter er x = –16,36 ∨ x = 2,53 ∨ x = 5,83.

a) f (′ x) = – 4

f (′0) = – 4

f (′4) = – 4

b) f (′ x) = 2x + 1

f (′0) = 1

f (′4) = 9

c) f (′ x) = 43 x + 1

f (′0) = –12

f (′4) = 12

d) f (′ x) = 6x5 – 20x 3 + 3

f (′0) = 3

f (′4) = – 4861

Opgave 4.7

Opgave 4.17

f ′( x) = 2x + 5 og y = 13x – 16

a) f er aftagende i intervallet ]–∞,2] og voksende i intervallet [2,∞ [. b) f er aftagende i intervallet ]–∞,–1], voksende i intervallet [–1,3] og aftagende i intervallet [3,∞ [. c) f er voksende i intervallet ]–∞,–2] , aftagende i intervallet [–2,1] og voksende i intervallet [1,∞ [. d) f er aftagende i intervallet ]–∞,–1], voksende i intervallet [–1,4] og aftagende i intervallet [4,∞ [.

Opgave 4.11

Opgave 4.18

f ′( x) = 6x 2 + 8x

Opgave 4.8 f ′( x) = 6x 2 – 2x + 3

Opgave 4.9 f ′( x) = 4x 3 + 5

Opgave 4.10

f ′( x) = 3x + 2 og y = 5x + 6

På baggrund af info kan en mulig graf skitseres som: y

Opgave 4.12 f ′( x) = 4x 3 + 5 og y = 9x – 3

Opgave 4.13 4

f ′( x) = 3x 2 + 8x – 2 og y = 26x – 33

Opgave 4.14

a) f ′(0) = –5 og f ′(10) = 55 Hermed bestemmer man væksthastigheden svarende til den givne x-værdi b) y = –5x + 100 c) f ′( x) = 0 ⇔ x = 65 . Dette er x-værdien for toppunktet til parablen.

Opgave 4.15 a) y = 5x b) p ′( x) = 8 ⇔ x = –1 I (–1,f(–1)) har tangenten til grafen for p lignin3 gen y = 8 x − 2

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 143

x 0

Opgave 4.19 b) f er voksende i intervallet ]–∞;–2,30], aftagende i intervallet [–2,30;6,96] og voksende i intervallet [6,96;∞[.

Opgave 4.20 f ′( x) = 0 ⇔ x = –1 ∨ x = 3, og f er voksende i intervallet ]–∞,–1], aftagende i intervallet [–1,3] og voksende i intervallet [3,∞[.

143

14/06/13 14.51

Opgave 4.21

Opgave 4.29

a) y = 21x – 40 b) f er aftagende i intervallet  −∞, − 32  , voksen   3  de i intervallet  − 2 ,0  , aftagende i interval  let 0, 32  og voksende i intervallet  32 , ∞  .    

f ′( x) = 14 ⇔ x = 1 ± 5

Opgave 4.22 f er voksende i intervallet  −∞, 32 , aftagende i intervallet  32 ,2 og voksende i intervallet [2,∞[.  

Opgave 4.23 a) f(x) = 0 ⇔ x = –4,6 ∨ x = –2,22 b) y = –21x + 38 c) f er aftagende i intervallet ]–∞;–3,56], voksende i intervallet [–3,56;–0,47], aftagende i intervallet [–0,47;1,78] og voksende i intervallet [1,78;∞[.

Opgave 4.24 a) f(x) = 0 ⇔ x = ±2,81 ∨ x = ±0,36 b) y = 60x – 170 c) f er aftagende i intervallet ]–∞,–2], voksende i intervallet [–2,0], aftagende i intervallet [0,2] og voksende i intervallet [2,∞[.

Opgave 4.25 a) f(x) = 0 ⇔ x = –5 ∨ x = –1 b) f ′( x) = 4x3 + 24x2 + 36x + 16 f ′( x) = 0 i x = –4 og x = –1. f er aftagende i intervallet ]–∞,–4] og voksende i intervallet [–4,∞[.

Opgave 4.30 16

f ′( x) = 1 – 2 . Man finder, at f ′( x) = 0 ⇔ x = ± 4, x hvor man ved en monotoniundersøgelse finder, at x = 4 er et minimum.

Opgave 4.31 a) f ′( x) = 3x 2 + 2x – 1 og y = 15x – 18 b) f er voksende i intervallet ]–∞,–1], aftagende i intervallet  −1, 31  og voksende i intervallet  1 , ∞ .  3 

Opgave 4.32 a) F(x) = –0,04 ∙ x 3 + 0,1x 2 + 5,65x – 7,5 b) Det grafiske billede i [1;15] giver: Fortjenesten er størst mulig, hvis der produceres 7745 enheder.

Opgave 4.33 a) F(x) = –0,0104x 2 + 1300x + 1000000 b) Ud fra F ′( x) = – 0,0208x + 1300 fås ligningen F ′( x) = 0 ⇔ x = 62500. Da andengradspolynomiet har negativ a koefficient er det et makssted. Konklusion: Virksomheden skal producere 62500 enheder, for at fortjenesten er størst mulig.

Opgave 4.34

f er aftagende i intervallet ]–∞,–3], voksende i intervallet [–3,1] og aftagende i intervallet [1,∞[.

a) Enhedsomkostningen ved en produktion af 10000 enheder er 20138,76 kr. O ′( x) = E(x) ⇔ x = 15100,17 b) Fortjenesten er størst mulig, hvis der produceres 9056 enheder.

Opgave 4.27

Opgave 4.35

Opgave 4.26

f ′( x) = 3x – 6x. f er voksende i intervallet ]–∞,0], aftagende i intervallet [0,2] og voksende i intervallet [2,∞[.

a) Til t = 0 er der 50 individer, og væksthastigheden er 4,875 individer i døgnet. b) Der er 1000 individer, når t = 10 · ln(39)

Opgave 4.28 y = 6x + 12

144

MateB_Opgaver_Facit.indd 144

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 4.36

Opgave 4.42

a) F har lokalt maksimum i x = og lokalt minimum i x = 3. b) f(x) = a har tre løsninger, når x tilhører et af . intervallerne  −2, −31 ,  −31 ,2 og  2, 14 3 

a) f f' (′( x) x ) == 14 ⋅ (2 x − 7)

Opgave 4.37

Opgave 4.43

a) y = 3x – 2  b) Q =  32 , 11 4

f ′(0) = 5

Opgave 4.38 a) O = (2 – 0,16p) · x 2 + 4xh b) x = 2,37 giver det mindste overfladeareal.

a) f ′( x) = e x – 3. Det ses ved en monotoniundersøgelse, at f har minimum i x = ln(3). b) y = (e2 – 5)x – e2 + 7

Opgave 4.39

Opgave 4.45

a) Siden, der vender udad, har areal 6xh. Toppen af buret har areal 6x·x, og de to sider har samlet areal 2xh.

f har maksimum i x = ln(5)

−1 3

b) x =

40 3

'( x ) b) gg′(x) == '( x ) c) hh′(x) ==

3 2 3x + 1 −2

(2 x + 3)2

Opgave 4.44

Opgave 4.46 f ′( x) = 2e x og y = 2x + 3

m giver det største rumfang.

Opgave 4.40

Opgave 4.47

a) Hele kvadratet har arealet 4x . To af trekanterne har areal x · (4 – 2x), og to andre har areal (4 – x) · 2x. Trækkes disse fire arealer fra, fås udtrykket fra opgaven. b) x = 1,5 giver det mindst mulige areal af parallelogrammet.

a) y = (10ln(2) – 1)x + 10 – 10ln(2) 1   ln   5·ln (2)    b) f er aftagende i intervallet  −∞,  ln (2)  

Opgave 4.41

Opgave 4.48

a) En benzintilførsel på 10 liter pr. time giver en hastighed på 118,7 km/t. En hastighed på 130 km/t kræver en benzintilførsel på 11,7 liter pr. time b) g(5) = 15,2 giver hvor mange km pr. liter bilen kører, hvis benzintilførslen er 5 liter i timen. c) Den bedste benzinøkonomi opnås, når der tilføres 3 liter pr. time. d) Den hastighed der giver den bedste benzinøkonomi er 49,8 km/t.

a) Teen er 43,8°C efter 20 minutter og 60°C, når der er gået 10,1 minut. b) H ′(2) = –3,07. Dvs. at efter 2 minutter falder teens temperatur med 3,07°C pr. minut.

 ln  1     5·ln (2)   og voksende i intervallet  , ∞.  ln (2) 

Opgave 4.49 M ′(18) = 1,92 · 106. Dvs. at efter 2 timer vokser antallet af bakterier med 1,92 mio. bakterier i timen.

Opgave 4.50 f ′( x) = 3e x + 35x 6

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 145

145

22/11/2016 15.06

Opgave 4.51 f f(′(xx)) = 6x + '

Opgave 4.58

4 x

52 a) h ′( x) = a har en løsning for a ≥ − 15 52 b) Der er to løsninger for aa > ≥ − 15 og én løs52 ning for a = −15

Opgave 4.52 f ′(2) = 61

Opgave 4.59

Opgave 4.53

a) y = –4,8x + 4,8 b) (– 4;–13,5) og (3;12,8) c) Der er to løsninger hvis a = ±

y = 2x + 4

Opgave 4.54 Det ses ved en monotoniundersøgelse, at f har 1 maksimum i x = . 3

3 x

5408 , 2700

5408 2700

  

og tre løsninger i alle øvrige tilfælde.

Opgave 4.55 f ′( x ) =

 én løsning hvis a ∈  − 

5408 , 2700

Opgave 4.60

− 3 x2

Det ses ved en monotoniundersøgelse, at f har maksimum i x = 1.

f er voksende i intervallet ] – ∞;–2], aftagende i [–2;1] og voksende i [1;∞[.

Opgave 4.56

Opgave 4.61

a) y = 2x – 1 og y = 6x + 9 b) Der går to tangenter gennem et vilkårligt punkt på x-aksen (med 0 og 2a som x-koordinat til røringspunkt). c) D er går to tangenter gennem punkter på yaksen med negativ andenkoordinat. d) Der er ingen tangenter, der går gennem punkter på y-aksen med positiv andenkoordinat.

x 0

Opgave 4.62 a) AP =

x 2 + 1600 og BP = 332 + (46 − x )

b) P ( x ) = 50 x 2 + 1600 + 60 332 + (46 − x ) . 2

b) f 'f(′(xx)) = x − 2x og y = 16x – 7 c) f er aftagende i intervallet ]0,3] og voksende i intervallet [3,∞[. 18

x = 28,03 gør vejen APB billigst muligt.

Opgave 4.63 a=

−1 2

og b =

3 2

Opgave 4.57 Grafen for f har netop to skæringspunkter med x-aksen når k = 0 eller k = –32.

146

MateB_Opgaver_Facit.indd 146

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Kapitel 5 Opgave 5.1 a) FF(x) ( x ) ==

2 7

I alle fire opgaver er stamfunktionen polynomiet af højeste grad. a) f har den blå graf, og F har den røde graf. b) f har den blå graf, og F har den røde graf. c) f har den blå graf, og F har den røde graf. d) f har den blå graf, og F har den røde graf.

x2 + k −1 2

b) GG(x) ( x ) = −2 x c) HH(x) (x) =

Opgave 5.6

1 22

x 22 + k

d) I(x) = 5x + k

Opgave 5.7

e) J(x) = k

F(x) = 2x 3 + 8

f) K(x) = –e –k + k

Opgave 5.8 F(x) = x4 – 4x 2 + 8

Opgave 5.2

Opgave 5.9

a) F(x) = 3x 2 + 34x + k b) GG(x) (x) = c) HH(x) (x) = d) II(x) (x) =

7 3 x + 9x + k 3 1 8 5 7 3 x +7x +2 8

1 2 x 2

F(x) = x 2 + in(x) + 2 x6 + 7x + k

Opgave 5.10 F(x) = x 5 + e x + 9

+ 31 e 3x + k

Opgave 5.11 Opgave 5.3

Vi har, at (F1(x)) ′= (F3(x)) ′= f(x), og dermed er den søgte stamfunktion en af disse to. Da F1(1) = 10, er det F1, som er den søgte stamfunktion.

a) f(x) = 12x 2 + 6 b) g(x) = 10e10x + 20 c) h(x) =

45 x

Opgave 5.12

Opgave 5.4 a) b) c) d)

1 3

5 2

∫ x + 5 xdx = x + x + k ∫ 5 x + e dx = x + e + k 1 ∫ 4 − x + 6 x dx = − 6 x + 2 x + 4 x + k 5 ∫ 6 x − x dx = 4 x − 5ln ( x ) + k 2

3 2

x2 + 2x +

b) G(x) = x + 9x – 5 1 1 x = x5 − x4 c) HH(x) 5 4 1 29 x = e3x + d) I I(x) 3 3

2 3

x 3 + 11x − 5

( )

Opgave 5.13 FF(x) (x) =

3 4

x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 4

Opgave 5.14

∫ 2 x + 4dx = 140

∫−x

−3 10

∫e 0

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 147

x 2 + ln ( x ) + 3

Opgave 5.15

9 2

( )

1 2

F(x) = 2x 3 + 5 ln(x) – 13 – ln(25)

Opgave 5.5 a) FF(x) ( x ) ==

FF(x) (x) =

∫

+ 16dx =

−0,75 x

205 3

dx = 1,33

1 99 + xdx = ln (10) + 2 x

147

14/06/13 14.51

Opgave 5.16 1

∫ 2x

Opgave 5.27

+ e dx = e − x

1 2

Arealet af M er 2 .

Opgave 5.17 2

∫ 6x

Opgave 5.28 Arealet af M er

− 2 xdx = 11

Opgave 5.18 2

∫ 3x

Opgave 5.29 Arealet af M er

− 10 xdx = −12

Opgave 5.19 1

∫ 8x 0

16 . 3

125 . 6

Opgave 5.30 Arealet af M er

+ e x dx = e + 1

64 . 3

Opgave 5.20

Opgave 5.31

Da f(x) ≥ 0 for 0 ≤ x ≤ 2, er arealet af punkt2 mængden M lig ∫ − 3 x 2 + 6 xdx = 4 .

a) De to tangenter har ligningerne y = 6x + 18 i (-3,0) og y = –6x + 18 i (3,0). b) Arealet af punktmængden er 18.

Opgave 5.21

∫

−2 −5

f ( x )dx = 12 og

∫ f ( x ) dx = 31.

Opgave 5.32

−5

a) x 2 − 7 x + 18 = 12 x ⇔ ⇔x x==11∨ x∨=x9= 9

Opgave 5.22 Da f(x) ≥ 0 for 0 ≤ x ≤ 5 betyder at arealet af trekant BCO er 12,5.

∫ f ( x ) dx = 12,5 , 0

Da arealet af trekant ABC svarer til arealet mellem de to grafer for f og g i intervallet [0,5], kan arealet bestemmes som 5

∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 12,5 − 7,5 = 5. 0

Opgave 5.23

∫

4 x+

0,5

1 x

Arealet af M er

Opgave 5.33 a) f ′( x) =0 ⇔ x = –1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 b) f er aftagende i intervallet ]– ∞,–1], voksende i intervallet [–1,0], aftagende i intervallet [0,1] og voksende i intervallet [1,∞[. c) f(x) = g(x) ⇔ x = ±1 ∨ x = ± 2 og arealet af . punktmængden M er 12 5

Arealet af M er 12. 27 . 4

Opgave 5.35

Opgave 5.25

a) Arealet af M er 72. b) Arealet af N er 9.

a) Løsningerne til tredjegradsligningen er x = 0 og x = 4, hvor x = 4 er en dobbeltrod. b) Arealet af M er 64.

Opgave 5.36

Opgave 5.26 Arealet af M er

148

MateB_Opgaver_Facit.indd 148

304 . 3

Opgave 5.34

+ 3 x dx = 14,60

Opgave 5.24

b) Arealet af punktmængden M er

a) Skæringspunkterne er (0,0) og (4,2). 4 b) Arealet af M er 3 .

400 . 3

Hvad er matematik? B, opgavebog

01/12/2016 14.04

Facitliste

Opgave 5.37

Opgave 5.38

a) Ligningen f ′( x) =0 har løsningerne x = –1, x = 0 og x = 1 b) Grafen for f:

Kroner

20000x + 300000 30000x + 250000

450000 400000

350000 5

300000 250000

4 3

7 8 Antal år

b) D et bestemte integral ∫ I (t ) − U (t ) dt = 80000 . 0 Tallet fortæller, at personen efter 8 år har et overskud på 80000kr.

2 1

Opgave 5.39

x –1

Ud fra grafen og svaret fra a) får vi: f er aftagende i ]– ∞,–1], voksende i [–1,0], aftagende i [0,1] og voksende i [1,∞[ . c) Graferne ser ud som:

a) p(3) = 91,75 dvs. efter 3 timers arbejde er produktiviteten på 91,75. b) Produktivitet 100

–0,75x 2– 0,5x+100

80 60

40 f

3 2 1 x –1

Arealet af M bliver

12 . 5

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 149

8 Tid

Det ses, at man i starten af dagen arbejder med en produktivitet på 100. Efterhånden falder produktiviteten. Ved arbejdsdagens slutning er man ca. halvt så produktiv som ved dens start. c) P(8) = 656,0. d) Produktiviteten de første fire timer er 380 og 276 de fire sidste timer. e) P roduktiviteten de første fire timer udgør 57,9% og 42,1% de sidste fire timer. Selv om man er mest produktiv i starten, bliver der stadig bestilt noget efter frokost.

149

14/06/13 14.51

Opgave 5.40

Opgave 5.46

Salg 100

6 5

3 2

1 0

95 0

10 Uge

1,5

2,5

3,5

Opgave 5.47 64

a) M har arealet 3 . b) Det skraverede område har arealet x3 − 8 x + 64 , hvor –4 ≤ x ≤ 4 . 4 3

På 4 timer er der absorberet 4

0,5

M har arealet b) Toppunkt er i (2,2), b > 2

Opgave 5.41

9 . 2

b) Efter 5 uger er der solgt 493 enheder. Efter 10 uger er der solgt 985 enheder.

∫

x 2 – 4x+6 –x+6

t 100 – t·exp(– ) 5

67500 ⋅ t ⋅ e −3 t dt = 74994 mg

Opgave 5.42 F ( x ) = 2 x + 1,5 x 2 + 3 m − 1,5 m 2

Kapitel 6

Opgave 5.43 Graferne for f og g skærer hinanden i punkterne med førstekoordinaterne 0 og 3. M har arealet 18.

Opgave 5.44 a) M har arealet

500 3

for k = 10.

Opgave 6.1 a) Da f ′( x) = 5 er f(x) en løsning til differentialligningen. b) Vi har f(0) = 5 · 0 + 8 = 0 + 8 = 8

Opgave 6.2

x·(10 – x )

x )== 7 ⋅ 1 e 2 = a) ff' ′((x)

b) Vi har f(0) f (0)== 7 ⋅ e

x 1 ⋅ 7 ⋅ e2 2 1⋅0 2

1 ⋅f 2

(x)

= 7 ⋅1 = 7

Opgave 6.3

5 0

a) f f' (′(xx)) = 2 ⋅ ( −0,3) e−0,3 x = −0,3 ⋅ 2 ⋅ e−0,3 x = −0,3 ⋅ f ( x ) b) Vi har f (0) = 2 ⋅ e−0,3⋅0 = 2 ⋅ 1 = 2

b) kk==22· · 75 , når M har areal 100. 3

Opgave 6.4

))

dy dy = f '' x = 2 ⋅ e22xx = 2 e22xx + 3 − 6 = 2 ⋅ f x − 6 = 2 y − 6 = f ′(((x) x))== 2 ⋅ e = 2 e + 3 − 6 = 2 ⋅ f (( x)) − 6 = 2 y − 6 dx dx dy ' 2x 2x k = 1,988, når M har areal 14. = f ( x ) = 2 ⋅ e = 2 e + 3 − 6== 2 ⋅ f ( x ) − 6 = 2 y − 6 dx

Opgave 5.45

(

150

MateB_Opgaver_Facit.indd 150

Hvad er matematik? B, opgavebog

)

((

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 6.5 dy dy

Opgave 6.11

(

)

x = 4ex −−1x=og −41⋅ +e4xx =− f2(xx2)−+ xx −= 1y ++a)x8 x 2 = 4f ( x ) + 8 x 2 = 4 y + 8 x 2 xx) === 4e⋅ e−4 1 === ff ′(( x) − dx  4 dx 1 dy 1 x −  + 8 x 2 = 4=f f('x( x) +) =8 x42⋅ e=4 4 y− + 4 x8 x−21== 4 ⋅  e4 x − 2 x 2 − x −  + 8 x 2 = 4f ( x ) + 8 x 2 = 4 y + 8 x 2 4 4 dx Kilde Indestående = 4e4x – 4x – 1, er f(x) en løsning til

differentialligningen.

Opgave 6.6 Da

dy dx

(

)

== ff' ′(( x) x ) == e x − 1 =oge x − x − 1 + x = f ( x ) + x = y + x x

y + x = (e – x – 1) + x = e – 1, Vækstrate r

er f(x) en løsning til differentialligningen. b)

Opgave 6.7 Af differentialligningen ses, at f(x) har en konstant vækst på –2. Dermed er f(x) en lineær funktion med hældningskoefficient –2.

Kilde Indestående Kilde

Opgave 6.8 Vi har f ′( x) = 6 Indbetaling m

Opgave 6.9 Vi har f ′( x) = –10

Vækstrate r

Opgave 6.10 a) Kilde

Dræn

CFC

Udledning

Nedbrydning

b) C ′(t) = U – k · C(t), hvor U er den konstante udledning, k er proportionalitetsfaktoren for nedbrydning og C(t) er CFC-mængden i atmosfæren.

c) K ′(t) = r · K(t), hvor r er renten pr. måned, og K(t) er indestående. Med indbetaling bliver ligningen K ′(t) = r · K(t) + m, hvor m er det månedlige beløb.

Opgave 6.12 a) Tilvæksten i antallet af mobiltelefoner sker alene ved, at der sælges et konstant antal pr. tidsenhed. b) Lad M angive det samlede antal mobiltelefoner og S angive antallet af solgte mobiltelefoner pr. tidsenhed. Så gælder: M ′(t) = S.

Opgave 6.13 a) Tilvæksten i antallet af besøgende på bloggen er proportional med det samlede antal, der har besøgt den. b) Lad B angive det samlede antal besøgende på bloggen og lad r angive proportionalitetsfaktoren. Så gælder: B ′(t) = r · B(t).

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 151

151

14/06/13 14.51

Opgave 6.14

Opgave 6.18

a) D et ses, at på savannen vil antallet af døde og fødte elefanter afhænge af det samlede antal. b) Sæt E = det samlede antal elefanter og kd til proportionalitetsfaktor for antal døde elefanter og k f = proportionalitetsfaktor for antal fødte elefanter. Så er E ′(t) = (k f – kd) · E(t).

a) K = 60000 b) Væksthastigheden er på 3500 individer pr. år ved en befolkning på 35000.

Opgave 6.19 a) Der er 87 influenzaramte efter 5 døgn.

Opgave 6.15

800 700 Influenzaramte

a) Sæt M = byens bæreevne og B = byens befolkning. Hvis størrelserne afhænger af tiden, vil differentialligningen være B ′(t) = k · B(t) · (M – B(t)). b)

800

(1+ 99 ⋅ exp( −0,5 ⋅ t ))

600 500

800

400 300 200 100

Kilde

Dræn

Indbyggere Dræn

Fødsler

Døde

R(B)

25 Døgn

N ′(20) = 102,6. Dvs. fra det 20'nde til det 21'ne døgn vokser populationen med 102 individer.

a) Sæt M = kulturens bæreevne og B = antal bakterier. Hvis størrelserne afhænger af tiden, vil differentialligningen være B ′(t) = k · B(t) · (M – B(t)) . b) Dræn

Bakterier Dræn Døde

Opgave 6.20

Opgave 6.16

Nye

Ekstra nedgang

b) N ′(12) = 63,3. Dvs. fra det 12'te til det 13'ne døgn smittes 63 med influenza. kd

Kilde

Ekstra nedgang

Opgave 6.21 a) Det er lineære funktioner med hældning 41 . 1 b) Løsningskurven har forskriften y = 4 x + 1, og differentialligningen er y ′= 41 .

Opgave 6.22 a) Det er eksponentielle funktioner. b) Løsningskurven har forskriften y = e0,5x, 1 og differentialligningen er y ′= 2 y.

R(B)

Opgave 6.17 a) Væksthastigheden, når t = 0, er på 6,18 individer pr. døgn. b) Antallet af individer findes ved at løse 0,00013 · N · (1000 – N) = 31. Løsningerne er 392,6 og 607,4. dvs ca. 393 og 607.

152

MateB_Opgaver_Facit.indd 152

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 6.23 a)

b) Vi har at gøre med aftagende eksponentielle funktioner.

–10

10 –1

b) Vi har at gøre med voksende eksponentielle funktioner. 10

–10

c) F orskellen på de to løsningskurver er, at den ene er den anden spejlet i x-aksen. d) For y0 > 0 er løsningerne sædvanlige eksponentielle funktioner. For y0 er det "spejlede" eksponentielle funktioner.

Opgave 6.25 a)

–10

10 –1

x 10 –1

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 153

–1

–10

b) Vi har at gøre med parabler på formen y= 21 x 2 + k

Opgave 6.24 a)

–10

10 –1

153

14/06/13 14.51

Opgave 6.26 Det er logistisk vækst med y = 0 og y = 4 som grænser.

Opgave 6.27 y=

9 4

x−

1 2

må være betydelig. De øvrige dataværdier giver en variabelsammenhæng mellem den relative væksthastighed og algemassen, der kan modelleres med en lineært aftagende funktion. Forskriften afhænger af den præcise metode, men vil være af typen: y = – 0,05x + 0,2.

Opgave 6.28 f(x) = 3 · e0,17x

Kapitel 7

Opgave 6.29

Opgave 7.1

a) y(t) = k · y(t) hvor k er proportionalitetsfaktoren. b) y(t) = c · ekt c) k = – 0,002

a) Nedenfor ses f tegnet for de forskellige intervaller. Man ser, at sinus er en periodisk funktion med periode 2p. b) Regner man i grader, bliver graferne rette linjer.

Opgave 6.30 a)

Kilde

Dræn

Smittede Dræn

Ikke smittede

Raske

Ekstra nedgang

0,5 sin x 0

–0,5

R(I)

–1

b) V i har l = antal smittede og t = tid i dage. Hermed er differentialligningen l ′(t) = k · l(t) · (1500 – l(t)) c) Vi har at I(0) = 5 og N(1) = 20 d) l ′(t) = k · l(t) · (1500 – l(t)) e) I (t ) =

1500 299 ⋅ e

−1.396 t

f) E fter 14 dage er der 1499 smittede (lad os håbe det er kaptajnen som er rask).

a) Nedenfor ses f tegnet for de forskellige intervaller. Man ser, at cosinus er en periodisk funktion med periode 2p. b) Regner man i grader, bliver graferne rette linjer 1

cos x 0

5, 0949

–0,5

1 + 257, 96 ⋅ e −0,1213 ⋅ t

De første 4 dataværdier kan man vælge at se bort fra, da det er så små tal, at usikkerheden

MateB_Opgaver_Facit.indd 154

Opgave 7.2

Kald M den maksimale algemasse og N den nuværende algemasse. Sæt t til tid i dage.

154

0,5

Opgave 6.31

Logistisk regression giver: N ( t ) =

–2

Hvad er matematik? B, opgavebog

–1

–2

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 7.3

Opgave 7.6

a) b) c) d)

cos x

sin x 0,5

Har løsningerne Har løsningerne Har løsningerne Har løsningerne

x = 1,16 x = 3,79 x = 2,65 x = 0,10

og og og og

x = 5,12 x = 5,64 x = 3,64 x = 3,04

–0,5

–1

–2

Ovenfor ses cosinus og sinus tegnet for de forskellige intervaller. Man ser, de to funktioner er identiske på nær en translation: π cos ( x ) = sin  x +  2

Opgave 7.4

sin ( x ) =

3 2

⇔x=

π 3

a) sin ( x ) =

3 2

⇔x=

π 3

∨x=

2π 3

b) sin ( x ) =

3 2

⇔x=

π 3

∨x=

2π 3

c) sin ( x ) =

3 2

⇔x=

π 3

∨x=

2π ∨ 3

∨x=

2π ∨ 3

7π 3

∨x=

8π 3

∨x=

Den generelle løsning er hvor p er et helt tal.

π 3

13 π 3

∨x=

7π 3

∨x=

8π 3

7π 3

∨x=

8π 3

14 π 3

+ 2π p ∨ 23π + 2π p ,

cos ( x ) =

3 2

⇔x=

π 6

∨x=

11π 6

b) cos ( x ) =

3 2

⇔x=

π 6

∨x=

11π ∨ 6

⇔x=

π 6

∨x=

c) cos ( x ) = cos ( x ) =

3 2

⇔x=

π 6

∨x=

11 π ∨ 6

11π ∨ 6 3 2

a) Har løsningerne x = π2 og x = 32π . π x =– π2 I [–p;p]: x = 2 og b) Har løsningerne x = 0, x = p og x = 2p. I [–p;p]: x = –p, x = 0 og x = p c) Har løsningerne x = 0 og x = 2p. I [–p;p]: x = 0 d) Har løsningerne x = π2 . I [–p;p]: x = π2

Opgave 7.8 a) 13 f ′(πx) = cos(x) 14 π ∨x= ∨x= 3 b) g3 ′( x) = –sin(x) c) h ′( x) = cos(x) + 2x d) i ′( x) = e x – sin(x)

a) b) c) d) x=

13 π ∨ 6

23 π 6

23 π ∨ 6

25 π ∨ 6

13 π ∨ 6

f ′( x) = x 2(cos (x)x + 2sin(x)) g ′( x) = 5cos(x) – (5x + 7)sin(x) h ′( x) = ex(cos(x) + sin(x)) i ′( x) = cos2(x) – sin2(x)

23 π 6 Opgave

7.10

a) f ′( x) = 4cos(x + 7) b) g ′( x) = –2cos(x) sin(x) ovenfor 11 π 13 π 23 π c) Samme 25 π som35 π π ⇔x= ∨x= ∨x= ∨x= ∨x= ∨x= 6 6 6 6 d) i ′( x) 6= 2cos(x)6sin(x)

13 π ∨ 6

Den generelle løsning er hvor p er et helt tal.

π 6

35 π 6

11 π + 2π p∨ + 2π p , 6

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 155

Opgave 7.7

Opgave 7.9

Opgave 7.5 a) cos ( x ) =

Brugte man intervallet [– p,p], ville løsningerne i d) være uforandrede. Løsningerne ville i a) være x = –1,16 og x = 1,16, i b) være x = – 0,70 og x = –2,50 og i c) være x = –2,65 og x = 3,04

Opgave 7.11 a) b) c) d)

∫sin(x) + 67dx = –cos(x) + 67 + k ∫45 + cos(x)dx = 45x + sin(x) + k 1 ∫sin(x) + x2dx = –cos(x) + 3 x 3 + k ∫ex + cos(x)dx = ex + sin(x) + k

155

14/06/13 14.51

Opgave 7.12

Opgave 7.16

Funktion

1,5

– 0,07

0,5

–3,02

0,5

1,5

1,12

sin(x) + cos(x)

0 –0,5

Opgave 7.17

–1 –1,5

Vandstand 0

0,5

1,5

2,5

0,71 · sin(0,26t) + 1,12

b) Arealet af punktmængden M er 1 + 2 .

1,5

Opgave 7.13

π π f '′((x)x )==00·⋅ xx == 2 ∨ x = 4 . f er voksende i interval3 3 π 2 π i intervallet  23π , 43π  og let 0, 3 , aftagende voksende i intervallet  43π ,2π  . π

0,5

Opgave 7.14

Timer

a) f(x) f ( x= g ( x⇔ ) =g(x) ) ⇔x x= =0 0∨∨ x == 3 ∨∨x x= =π p b) M har areal 41 og N har areal 94 .

a) Grafen er tegnet ovenfor. Vi har valgt vores interval, så det svarer til et døgn (24 timer). b) Når der er lavvande, er vandstanden 0,41 m, og når der er højvande, er den 1,83 m. Udsvinget er altså på 1,42 m. c) Vandstanden er på 1,5 m kl. 2.10 og kl. 9.54. d) Vandstanden er under 1 m mellem kl. 12.44 og kl. 23.30. e) f ′(t) = – 0,006. Dvs. at efter 18 timer falder vandstanden med 0,6 cm i timen.

Opgave 7.15

Opgave 7.18

sin(x)

0,5 sin(2x)

0 –0,5 –1

0,5

1,5

2,5

Funktion

–2

–3

0,5

1,5

–2

–4

Temperatur i °C 25 9,34 · sin(0,017t – 1,53) + 11,12°C

20 15 10 5 0 0

156

MateB_Opgaver_Facit.indd 156

Hvad er matematik? B, opgavebog

100

150

200

250 300 350 Tid i døgn efter nytår

14/06/13 14.51

Facitliste

b) Middeltemperaturen 1. april er 11,3 grader, svarende til f(91). c) f(t) = 10 ⇔ t = 82,93 ∨ t = 281,87 dvs. gennemsnitstemperaturen er 10 grader sidst i marts og i starten af oktober. d) Temperaturen var over 10 grader fra 23. marts til 8. oktober. e) Den højeste temperatur blev opnået 1. juli. f ) Temperaturen voksede med 0,14 grader den 1. maj.

Aktivitetspuls 110 105 100 95 90 85

15,8 · sin(0,038t – 4,25) + 93,8

80 75 60

100

120

140

160

180 200

220 240 Dag efter nytår

b) p(120) = 98,6 dvs. den 30. april er aktivitetspulsen på 98,6. c) p(t) = 90 ⇔ t = 105,2 ∨ t = 270,8 dvs. rådyret havde både 16. april og 28. august en aktivitetspuls på 90. d) Aktivitetspulsen steg med 9,2%. e) Den højeste aktivitetspuls var 109,6, og den laveste var 78.

Opgave 7.20 a)

Højde i cm 1,5

a) Den mindste vanddybde er 2 m og den højeste er 12 m over sandrevlen. b) f f' (′(tt)) = 52 cos  21 t − 1 . Vandet steg med 0,71 m i timen efter 12 timer.

Opgave 7.22

Fortjeneste i mio 60 –30 · sin(0,006x) + 0,15 · x – 100 40 20 0 –20 –40 –60 –80 –100 –120 0

200

400

600

800 1000 Antal enheder

Opgave 7.23 π a) r = 1090 og m = 9730⋅ b) Stemplets maksimale fart er 11072 mm/sek. c) Det varer 0,03 sek.

Opgave 7.24

3 ⋅ sin(12 ⋅ p ⋅ t ) 2

Opgave 7.21

a) Da O ′(x) = 0,2 + 0,18cos(0,006x) ≥ 0,2 – 0,18 = 0,02 > 0 følger af monotonisætningen, at O er voksende i hele sin definitionsmængde. b) Man finder at F ′(x) = 0 ⇔ x = 949,6 ∨ x = 97,6 i intervallet [0,1000]. Af grafen nedenfor ses, at x = 949,6 er et maksimum med en fortjeneste på 59,0 millioner.

Opgave 7.19 a)

b) Nålen er højst 1,5 cm over stingpladen. c) Der sys 12 sting i sekundet.

a) Data for København, hentet fra www.worldclimate.com

0,5 0 –0,5 –1

°C

–1,5 –1

–0,5

0,5

Tid i sekunder

°C

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 157

Jan

Feb

Mar

Apr

Maj

Jun

-0,4

1,3

5,8

11,1

15,4

Jul

Aug

Sep

Okt

Nov

Dec

17,1

16,6

13,3

8,8

4,1

1,3

157

14/06/13 14.51

b) Graf:

Opgave 8.2 a) De mulige udfald er –9, –7, …, 7 og 9. e) Den forventede slutværdi er 0. Slutkvadratet er 9.

16 14 12 10

Opgave 8.3

a) De mulige udfald er –10, –8, …, 8 og 10. e) Den forventede slutværdi er 0. Slutkvadratet er 10.

6 4 2 –2 –1 0 –2

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10

a) De mulige udfald er –13, –7, …, 19 og 23. e) Den forventede slutværdi er 5. Slutkvadratet er 36.

–4

Sinusregression giver: T(t) = 8,99 sin (0,55t – 2,19) + 8,27 hvor 0 ≤ t ≤ 12. c) Ud fra modellen er t = 4,3 eller t = 9,3.

Opgave 8.5 a) De mulige udfald er –22, –16, …, 26 og 32. e) Den forventede slutværdi er 5. Slutkvadratet er 81.

Opgave 7.25 a) Da omkredsen er 20, er 2r + r · v = 20. . Dvs. r = 220 2 +v v 20 b) Arealet bliver A( v ) = 2 π π ⋅  2 + v  eller A( v ) =

200v

( v + 2)2

Opgave 8.4

Opgave 8.6 a) De mulige udfald er –20, –14, …, 28 og 34. e) Den forventede slutværdi er 7. Slutkvadratet er 81.

, hvor 0 ≤ v ≤ 2p .

c) v = 2.

Opgave 8.7 1

Kapitel 8

1 1 1

Opgave 8.1 a) En person tager 120 skridt på 10 minutter og 360 skridt på 30 minutter. b) De mulige slutværdier er –360, –358, –356, …, 356, 358 og 360. c) De mulige afstande er –180, –179, …, 179 og 180 m. d) Personen har taget 200 skridt i den ene retning og 160 m den anden retning. e) D er er 4,0% chance for, at han er endt 20 m eller mere fra udgangspunktet.

1 1

36 45

4 10

20 35

56 84

1 3

8 9

6 7

1 1

1 2

15 35

1 5

1 6

21 56

126 126

28 84

120 210 252 210 120

1 9

1 10

Opgave 8.8 Kortene kan gives på 4,7 · 1021 måder.

158

MateB_Opgaver_Facit.indd 158

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 8.9

Opgave 8.16

Der kan dannes 3276 forskellige udvalg.

a) – c)

Opgave 8.10

Slutværdi

±10

±8

±6

±4

±2

a) b) c) d) e) f)

Hyppighed

120

210

252

De tre kugler kan vælges på 364 måder. 20 56 168 120 Summen af resultaterne i b) til e) giver facit i a) da det er det samlede antal måder man kan vælge tre kugler på.

Sandsynlighed

105

1024

512

1024

128

512

256

Kvadrat på slutværdi

100

Hyppighed

252

420

240

7350

d) D et mest sandsynlige udfald er 0 med en 63 . sandsynlighed på 256 e) Standardafvigelsen er 10 . f ) De normale udfald er – 6 til 6 (begge inklusive). g) –10 og 10 er exceptionelle udfald.

Opgave 8.13

Opgave 8.17

a) 455 b) 680

a) – c)

Opgave 8.11 180

Opgave 8.12

Slut- Hyppig- Sandsynværdi hed lighed

Opgave 8.14 a) b) c) d)

24360 27000 30 2610

Opgave 8.15 a) – c) Slutværdi

±9

±7

±5

±3

±1

Hyppighed

126

Sandsynlighed

512

128

256

Kvadrat på slutværdi

Hyppighed

252

9 168

25 72

d) D e mest sandsynlige udfald er –1 og 1. 63 . Begge med en sandsynlighed på 256 e) Standardafvigelsen er 3. f) De normale udfald er –5, –3, –1, 1, 3 og 5. g) Der er ingen exceptionelle udfald.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 159

–13

–9

–5

–1

126

19 23

9 1

1 512 9 512 9 128 21 128 63 256 63 256 21 128 9 128 9 512 1 512

Kvadrat på Hyppigslutværdi hed 1

162

135

121

169

225

361

469

d) D e mest sandsynlige udfald er 3 og 7. 63 Begge er med en sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 9 ⋅ 4 = 6 . f ) De normale udfald er –5, –1, 3, 7, 11, 15 g) Der er ingen exceptionelle udfald.

159

14/06/13 14.51

Opgave 8.18

Opgave 8.21

a) – c)

a) Standardafvigelsen er 12,7. b) De normale udfald er mellem 56 og 106 sejre. c) De exceptionelle udfald er 120 sejre eller mere og 42 sejre eller mindre. d) Med basis i observationerne ovenfor viste holdet ikke mere, end der kan forklares med statistisk usikkerhed, dvs. at de ikke var blevet bedre.

Slut- Hyppig- Sandsynværdi hed lighed –22

–16

–10

–4 2 8 14 20 26 32

84 126 126 84 36 9 1

1 512 9 512 9 128 21 128 63 256 63 256 21 128 9 128 9 512 1 512

Kvadrat på Hyppigslutværdi hed 4

126

100

Opgave 8.22

196

256

400

484

676

1024

a) Standardafvigelsen er 3,46. b) Uden for en standardafvigelse skal der stå 8 – 4 eller mere. Uden for to standardafvigelser skal der stå 10 –2 eller mere. Eneste exceptionelle udfald er 12– 0 (enstemmighed). c) A t en afgørelse er signifikant betyder, at den ikke kan forklares som en tilfældighed. d) 12 – 0 har en sandsynlighed på 0,02%, 11–1 har en sandsynlighed på 0,3%, 10 – 2 har en sandsynlighed på 1,6%, 9 – 3 har en sandsynlighed på 5,4%, 8 – 4 har en sandsynlighed på 12,1%, 7– 5 har en sandsynlighed på 19,3% og 6 – 6 har en sandsynlighed på 22,6%. e) Jf. beregningerne ovenfor stemmer det godt. f ) Baseret på udregningerne ovenfor svarer det til ca. 2,0%. g) Med basis i statistik er 8 – 4 for lidt. Derimod ville 9 – 3 ud fra svaret i f) være signifikant.

d) D e mest sandsynlige udfald er 2 og 8. 63 Begge er med en sandsynlighed på 256 . e) Standardafvigelsen er 9 ⋅ 9 = 9 . f ) De normale udfald er –10, –4, 2, 8, 14, 20 g) Der er ingen exceptionelle udfald.

Opgave 8.19 a) Nulhypotesen er, at der er samme sandsynlighed for drenge og pigefødsler. b) En random walk-test viser, at nulhypotesen skal forkastes.

Opgave 8.20 a) Nulhypotesen er, at der er samme sandsynlighed for drenge- og pigefødsler. b) Antallet af pige- og drengefødsler skal afvige med 633 eller mere.

160

MateB_Opgaver_Facit.indd 160

Hvad er matematik? B, opgavebog

Opgave 8.23 a) Ved at se det som en random walk med 43 trin. b) Standardafvigelsen er 6,6. c) F orskellen på smittede drenge og piger er 17. Dette tal er større end den dobbelte standardafvigelse. Dvs. der er en forskel – drenge bliver smittet oftere.

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 8.24 a)

Opgave 8.26 1

Slutværdi

Sandsynlighed i %

±16

0,0015

±14

0,024

±12

0,18

±10

0,85

±8

2,77

±6

6,67

±4

12,22

±2

17,46

±0

19,63

b) ∫ Φ ( x ) dx = 0,6827, dvs. der er 68,27% −1

chance for at havne inden for én standardafvigelse. 2

c) ∫ Φ ( x ) dx = 0,9545, dvs. der er 95,45% −2

chance for at havne inden for to standardafvigelser. d) ∫ Φ ( x ) dx = 0,9973 , dvs. der er 99,73% 3

−3

chance for at havne inden for tre standardafvigelser.

b) Slutværdierne skal nedskaleres med 4, for at standardafvigelsen er 1. c) De ideelle sandsynligheder skal opskaleres med 2, for at arealet under histogrammet er 1. e) N(0,1) g), h), i) For fordelingerne inden for en, to og tre standardafvigelser – se sætning 4, s. 359.

Opgave 8.27 1

a) ∫Φ ( x ) dx = 0,3413 , dvs. der er 34,13% 0

chance for udfald mellem 0 og 1. b) Bestem

∫ Φ ( x ) dx = 0,1499 . dvs. der er 0,5

14,99% chance for udfald mellem 0,5 og 1. c) Bestem

∫ Φ ( x ) dx = 0,1935. dvs. der er 0,5

19,35% chance for udfald mellem 0,5 og 1,2.

Opgave 8.25 a) Nedenfor er nævnt sandsynlighederne for udfald mellem –15 og 15.

Opgave 8.28 a) k = 0,5244 b) k = 0,6745. Halvdelen af udfaldene vil ligge mellem –0,6745 og +0,6745.

Slutværdi

Sandsynlighed i %

±15

0,16

±13

0,53

Opgave 8.29

±11

1,43

±9

3,22

a) Φ ( x − 5)

±7

6,09

±5

9,74

±3

13,28

±1

15,50

c) Φ ( x − 1) d)

b) Slutværdierne skal nedskaleres med 5, for at standardafvigelsen er 1. c) De ideelle sandsynligheder skal opskaleres 5 med 2 , for at arealet under histogrammet er 1. e) N(0,1) g), h) og i) For fordelingerne inden for en, to og tre standardafvigelser – se sætning 4, s. 359.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 161

1  x − 2 Φ 3  3 

1  x Φ 2  2

Opgave 8.30 a) b) c) d)

µ = 2 og σ = 1 µ = 0 og σ = 2 µ = 0,5 og σ = 2 µ = 6 og σ = 3

161

14/06/13 14.51

Opgave 8.31 f1(x)=

a), c)

2·71 x – 26,55 · normPDF 4,47 4,47

(

Opgave 8.34

)

a) Middelværdien er 6,2, og standardafvigelsen er 2,2. b) 0,735 c) 0,93 d) 200 x – 6,21

f1(x) =

2,25

· normPDF(

2,25

)

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 Regnmængde

b) Middelværdien er 26,55, og spredningen er 4,4712. Arealet er 142. d) 0,7085 e) 0,9286

Opgave 8.32 f1(x) =

a), c)

0 –1

9 10 11 12 13 Blodlegemer

100 x – 417 · normPDF 174,39 174,39

(

)

0,18 0,12

Opgave 8.35 a) Middelværdien er 50,4, og standardafvigelsen er 0,7. b) 0,56 c) 0,96 250,5 x – 50,404 d) f (x) = · normPDF( ) 1

0,06

0,7296

100 200 300 400 500 600 700 800 900 Hastighed

b) Middelværdien er 417, og spredningen er 174,39. Arealet er 100. d) 0,1992 e) 0,1691

0 48,8

Opgave 8.33 a)

f1(x) = –

1000 x – 10306,1 · normPDF 2929,99 2929,99

(

)

49,4

50,0

50,6

51,2 51,8 Askorbinsyre

e) Nej, 71% opfylder kravet.

Opgave 8.36

0,12

0,09 0,06

0,3

0,03 0,2 0

4000

6000

8000

10000 12000 14000 16000 Tid

b) Middelværdien er 10306,1, og spredningen er 2930,0. c) 0,2169

162

MateB_Opgaver_Facit.indd 162

Hvad er matematik? B, opgavebog

0,1

0 0,35 0,45 0,55

0,65 0,75

0,85

0,95 1,05 Forhold

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 8.37

Opgave 8.38 y

a) Φ (x – 5) b) P(X ≤ 4) + P(X ≥ 6) = 0,1586 c) P(4 ≤ X ≤ 6) = 0,6827

1,08

y = normCDF(– ∞,x,2,4) f1(x) = normPDF(

x–2 4

Opgave 8.39

)

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

∫

x –12,1

–0,096

12,1

f4(x) = normCDF(– ∞,x,0,4) x 4

dx = 0,2722

∞

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

dx = 0,2443

Opgave 8.40

1,09

f 3(x) = normPDF(

1 x − 12, 4  Φ 2, 31  2, 31 

−∞

)

1 Φ 7

∫

∞

92 88

∫

 x − 81  7 

1  x − 81 Φ 7  7 

dx = 0,0580

1  x − 81 Φ 7  7 

dx = 0,5072

Opgave 8.41 x –12

–0,093

c) 1,06

x–1 5

1  x − 100  Φ 15  15 

∫

∞

115 15 110

100 15

d) L øs

f6(x) = normCDF(– ∞,x,1,5) f5(x) = normPDF(

)

Φ

x − 100  15 

dx = 0,1587

Φ

x − 100  15 

dx = 0,2475



∫

∞ k

1 15

⋅ ϕ 

x − 100  dx 15 

= 0,15 mht. k.

Det giver k = 115,5

Opgave 8.42 x –12

–0,081

Opgave 8.43

a) 62, 88% er normalt begavede. b) 5,1% har en IQ over 120 og 0,5% har en IQ over 130.

d) 1,1

Opgave 8.44

f8(x) = normCDF(– ∞, x, 0,5) x–1 f 7(x) = normPDF 0,5

(

Middelværdi = 7,475

)

a) 18,2% af skruerne er under 5,0 mm lange. b) 18,2% af skruerne er over 5,2 mm lange.

x –12

–0,1

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 163

163

14/06/13 14.51

Opgave 8.45

Opgave 9.3

a) Nej. Med 20 skridt accepterer vi op til 14-6 som insignifikant. b) Nej. Med 100 skridt accepterer vi op til 60-40 som insignifikant. c) Ja. Med 1000 skridt accepter vi kun 532-468.

p = 0,112, 1 – p = 0,888 og n = 955

d) D er skal mindst 5151 nej-svar til, for at vi havner i det "højre"-exceptionelle område. e) Disse udgør 51,51% af de adspurgte.

p = 0,70, 1 – p = 0,30 og n = 100

Opgave 9.4 p = 0,023, 1 – p = 0,977 og n = 1000

Opgave 9.5

Opgave 9.6 p = 0,25, 1 – p = 0,75 og n = 15

Opgave 8.46 a), b) og c) A lle tre funktioner har maksimum i middelværdien. Den afledte har ekstremum i en spredning fra middelværdien.

Opgave 9.7 a)

Farve

Blå

Grøn

Rød

Sandsynlighed

11 23

8 23

4 23

b) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Kapitel 9

Opgave 9.8 a)

Opgave 9.1 a) Sandsynligheden for 0 defekter er 75,1%, for 1 defekt 21,5% og for 2 eller flere defekter 3,4% b) De tilsvarende hyppigheder bliver 362, 104 og 16 (afrundet). c) De observerede og forventede hyppigheder stemmer meget pænt overens. Om det passer, at fordelingen af defekter er tilfældig, kan f.eks. testes ved en χ2-test.

Farve

Sandsynlighed

5 23

8 23

4 23

28 253

32 253

6 253

b) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Opgave 9.9 a)

Farve

Sandsynlighed

121 529

176 529

88 528

64 523

64 529

16 529

Opgave 9.2 a) Sandsynligheden for 0 døde er 54,3%, for 1 død 33,3% og for 2 eller flere døde 12,5%. b) De tilsvarende hyppigheder bliver 108,5;66,5 og 24 (afrundet). c) De observerede og forventede hyppigheder stemmer meget pænt overens. Om det passer, at fordelingen af defekter er tilfældig, kan f.eks. testes ved en χ2-test.

b) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Opgave 9.10 a)

Farve

Sandsynlighed

72 156

12 156

b) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

164

MateB_Opgaver_Facit.indd 164

Hvad er matematik? B, opgavebog

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 9.11 a)

Opgave 9.17

Farve

SSS

SSH

SHH HHH

Sandsynlighed

42 143

72 143

27 143

2 143

a) µ = 26,5 og σ = 141,7 b) Udfaldet 1000 er exceptionelt.

Opgave 9.18 µ = 0,29 og σ = 0,46

b) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Opgave 9.12

Opgave 9.19 µ = 0,61 og σ = 0,64

u1 = 0,18 og u4 = 0,09

Opgave 9.20

Opgave 9.13

u1 = 0,113 og u4 = 0,337

Opgave 9.14 Sandsynligheden for de enkelte udfald er

1 7.

Opgave 9.15 a)

Udfald

Sum fem eller mindre

Sum fra seks til ti

Sum over ti

10 36

23 36

3 36

Sandsynlighed

b) Den forventede værdi eller middelværdien 1 for spillet er 9 . c) Spredningen for spillet er 1,2862.

Opgave 9.21

a) Sandsynligheden for 0 seksere er 57,9%, for 1 sekser 34,7%, for 2 seksere 6,9% og for 3 seksere 0,5%. b) Den gennemsnitlige rabat er 7,4%.

Opgave 9.22

b) Forskellen mellem værdien af to terninger er 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 c) Forskel

Sandsynlighed

3 18

5 18

4 18

3 18

2 18

1 18

d) Det er ikke et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Opgave 9.16

a) Sandsynligheden for 0 ankre er 57,9%, for 1 anker 34,7%, for 2 ankre 6,9% og for 3 ankre 0,5%. b) Den gennemsnitlige gevinst er – 0,08£ – altså et tab på 0,08£ .

Opgave 9.23 a)

Udfald

Sandsynlighed

1 2

b) µ = σ = 0,5

a) µ = 1,6 og σ = 0,8 b) Alle værdier for X er normale.

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 165

165

14/06/13 14.51

Opgave 9.24 a)

Opgave 9.30

Udfald Sandsynlighed

b) µ = 1 og σ σ=

1 4

1 2

1 4

a) Tabel med de manglende oplysninger

1 2

Opgave 9.25 a) En treretters menu kan sammensættes på 42 måder. b) En toretters menu kan sammensættes på 41 måder.

Opgave 9.26 a) En fireretters menu kan sammensættes på 168 måder. b) En treretters menu kan sammensættes på 192 måder. c) En toretters menu kan sammensættes på 89 måder.

Frekvens grøn

Frekvens rød

200

38,5%

18,5%

43%

300

36%

18%

46%

400

33,75%

20,25%

46%

600

35,7

20,7%

43,7%

800

36,6

20,5%

42,9%

1000

36,5

21,1%

42,4%

2000

21%

43%

b) Estimeret som gennemsnit af alle 5400 udfald er P(blå) = 36,3%, P(Grøn) = 20,5% og P(Rød) = 43,2%.

Opgave 9.31

Opgave 9.27 a) b) c) d)

Frekvens blå

28 126 131 680 – Det to udtryk er ens, fordi valg af 3 af 17 mulige svarer til fravalg af 14 af 17 mulige.

a) I tabellen til opgave 9.15 ses, at netop 5 af de 36 udfald har 3 som største antal øjne. b) Udfald

Sandsynlighed

1 36

3 36

5 36

7 36

9 36

11 36

Opgave 9.28

Opgave 9.32

På 10324815621120 måder.

Opgave 9.29 a) 52 – sandsynlighed for et billedkort er 23,1%. b) 1326 – sandsynlighed for to billedkort er 5,0% og for to af samme kulør: 23,5%. c) 22100 – sandsynlighed for tre billedkort er 1,0% og for tre af samme kulør: 5,2%. d) 270725 – sandsynligheden for fire billedkort er 0,2% og for for fire af samme kulør: 1,1%. e) 2598960 – sandsynligheden for fem billedkort er 0,03% og for fem af samme kulør: 0,2%.

166

MateB_Opgaver_Facit.indd 166

Hvad er matematik? B, opgavebog

r r r r

r s

r r r

b) P(2 røde kugler) =

9 , 16

r r r

P(2 sorte kugler) =

og P(1 rød og 1 sort) =

s 1 16

6 16

Opgave 9.33 a)

K k

p P

k p

P p

14/06/13 14.51

Facitliste

b) Tæl efter i ovenstående tabelrepræsentation af tælletræet. c) µ =

3 2

og σ =

3 2

Der er ikke exceptionelle udfald.

a) 92,7% b) 27

8 1 0,48 6

b) 0,488 = 0,0028 c)

Opgave 9.42

1 8

a) µ = 5 b) Man skal have 10 rigtige.

Opgave 9.35 Udfald Sandsynlighed

a) 0,1% b) 1,0% c) 4

Opgave 9.41

Opgave 9.34 a)

Opgave 9.40

27 64

9 64

1 64

Opgave 9.43 a) b) c) d)

Opgave 9.36

1,8% 29,3% 1,8% 4

Opgave 9.44

a) 97,9% b) µ = 128 og σ = 10,9

Opgave 9.37

a) 25,2% b) 9,9% c) 26,2%

a) 13,3% b) µ = 48 og σ = 6,8

Opgave 9.45

Opgave 9.38 a) b) c) d)

69,9% 95,9% 2 lodder µ = 3,3 og σ = 1,49. Man vil i gennemsnit få 3,3 gevinster. e) Det mest sandsynlige udfald er 3 gevinster.

Opgave 9.39 a) b) c) d)

47,6% 17,0% 26 p = 0,972

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 167

a) Normalfordelingsapproximationen kan benyttes da binomialfordelingen er central. b) Sandsynligheden er 97,8% hvor binomialfordelingen gav 97,9%.

Opgave 9.46 a) Normalfordelingsapproximationen kan benyttes da binomialfordelingen er central. b) Sandsynligheden er 12,0% hvor binomialfordelingen gav 13,3%.

Opgave 9.47 Alle fire centrale. De mest sandsynlige udfald er: a) 8 b) 20 c) 28 d) 135

167

14/06/13 14.51

Opgave 9.48

Opgave 9.54

a) P(40 ≤ X ≤ 80) = P(X ≥ 40) = 0,8364 b) P(40 ≤ X ≤ 80) = P(X ≥ 40) = 0,8135

a) Nulhypotesen er: Babyer er farveblinde. b) Det centrale område er mellem 15 og 25 (begge inklusive). c) D et centrale område er mellem 12 og 28 (begge inklusive). d) Nulhypotesen forkastes ved begge signifikansniveauer. e) Udfør et GOF-test. Teststørrelsen er 22,5 og p-værdien er 0,0002%. Dvs. at nulhypotesen forkastes i begge tilfælde.

Opgave 9.49 a) P(X ≤ 36) = 0,239 og P(X ≥ 46) = 0,131 b) P(X ≤ 36) = 0,207 og P(X ≥ 46) = 0,110

Opgave 9.50 a) Nulhypotesen er: Man kan ikke smage forskel. b) Det centrale område er mellem 4 og 11 korrekte svar (begge inklusive).

Opgave 9.55

Opgave 9.51 a) Nulhypotesen er: 9,2% vil stadig stemme på SF. b) Det centrale område er mellem 76 og 112 (begge inklusive) i en tosidet test.

Opgave 9.52 a) Svarer til en binomialmodel med n = 100 og p = 0,60. b) Sandsynligheden er 0,11% c) S varer til en normalfordeling med spredning 4,9 og middelværdi 60. d) 0,11% e) Binomialfordeling giver 52,1% og normalfordeling 47,9%.

a) Nulhypotesen er: Der er ikke forskel på 2.g'ernes valg af drinks. b) Det centrale område er mellem 27 og 43 (begge inklusive). c) Det centrale område er mellem 23 og 46 (begge inklusive). d) Nulhypotesen forkastes ved 5% signifikansniveau og accepteres på 1% signifikansniveau. e) Udfør et GOF-test. Teststørrelsen er 5,71 og p-værdien er 1,7%. Dvs. nulhypotesen forkastes med et signifikansniveau på 5% og accepteres ved et signifikansniveau på 1%.

Opgave 9.56 a) p er over 87,5% b) n er 8 eller mindre.

Opgave 9.53

Opgave 9.57

a) Svarer til en binomialmodel med n = 300 og p = 0,70. b) Sandsynligheden er 11,6%. c) Svarer til en normalfordeling med spredning 7,9 og middelværdi 210. d) 10,4%. e) Binomialfordeling giver 0,0059% og normalfordeling 0,0077%.

P(3) = P(18) = P(4) = P(17) = P(5) = P(16) = P(6) = P(15) = P(7) = P(14) = P(8) = P(13) = P(9) = P(12) = P(10) = P(11) =

168

MateB_Opgaver_Facit.indd 168

Hvad er matematik? B, opgavebog

1 216 3 216 6 216 10 216 15 216 21 216 26 216 26 216

14/06/13 14.51

Facitliste

Opgave 9.58 b) Variant 1 + 2: Alle har c) Variant 1: 100% Variant 2: 66,5%

Opgave 9.64 1 6

chance

a) De forventes at betale 31,8 dollar i bøde. b) De skal sælge 127 billetter.

Opgave 9.59 a) 1,19 · 10 –7 b) At de to trækninger er uafhængige af hinanden.

Opgave 9.60 a) At antal passagerer ved hvert stop er uafhængige af hinanden. b) S andsynligheden for 0 stop er 2,7%, for 1 stop 18,9%, for 2 stop 44,1% og for 3 stop 34,3%. c) F øring skifter hver gang en bus stopper. Da A fører til at starte med, vil 0 eller 2 stop gøre, at A fører til slut. d) 53,2% e) B f) A

Opgave 9.61 a) b) c) d)

Den forventede gevinst er på 500.000 dollar. σ = 0,95 P(antal boringer med succes = 0) = 0,34 P(antal boringer med succes ≥ 2) = 0,26

Opgave 9.62 a) Det forventede antal boringer er 10. b) S predningen er 9,48, så de forventede omkostninger er 10 · 50000, og standardafvigelsen på de forventede omkostninger er 9,48 · 50000. c) P(X ≥ 5) = 0,6561 d) P(X ≥ 15) = 0,23

Opgave 9.63 a) R esultatet af A’s terningekast er binomialt 6 5 1 fordelt med n = 6, p = 6 . P(A vinder) = 1−  6  . b) 11,2% c) 26,9% d) 61,9% e) Ja

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 169

169

14/06/13 14.51

170

MateB_Opgaver_Facit.indd 170

Hvad er matematik? B, opgavebog

ÂŠ 2013 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, KĂ¸benhavn

14/06/13 14.51

0. Hvad er matematik?

Hvad er matematik? B, opgavebog

MateB_Opgaver_Facit.indd 171

ÂŠ 2013 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, KĂ¸benhavn

171

19/06/13 15.00

172

MateB_Opgaver_Facit.indd 172

Hvad er matematik? B, opgavebog

ÂŠ 2013 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, KĂ¸benhavn

19/06/13 15.01

Hvad er matematik? B, Opgavebog Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2013 L indhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Billedredaktion: Nina Jensen, Kathrine Storm Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 2. oplag 2014 ISBN 978 87 7066 555 1 www.lru.dk

Denne opgavebog findes også som i-bog på hjemmesiden web.lru.dk Her er alle links aktive, og der er adgang til kilder og autentisk data.

Bogens illustrationer: Flemming Steffensen/FlamingoForm og Systime: 122 Photos.com/Kristian Husar: 36 Photos.com/Hannu Liivaar: 92

Hvad_er_Matematik_B_Opgaver_00.indd 2

24/04/14 09.19