Matematrix 6, Grundbog/Web by Alinea

Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen

MATEMATRIX 6 · 6. klasse · Grundbog · Web

Matematrix er et katalog af aktiviteter, der både indeholder problemløsning, undersøgende opgaver, færdighedstræning og understøttende aktiviteter. Med sikker hånd føres eleverne ind i 6. kl. Der er stadig plads til intuitiv matematik, leg og spil, men samtidig lægges der vægt på matematisk præcision og strategisk tankegang. Det matematiske kernestof præsenteres i overskuelige og konkrete gennemgange med mange eksempler. Et varieret udbud af øvelser og opgavetyper, giver mulighed for at give eleverne en differentieret undervisning med fokus på mellemtrinnets matematiske begreber og matematikkens praktiske anvendelse. I Matematrix er der helt grundlæggende tænkt i læringsforløb med klare faglige pointer. Hvert kapitel indeholder opslag, der giver mulighed for faglig fordybelse, forundring og tematiske krumspring. Undersøgelsesafsnittet bagerst i bogen lægger i høj grad op til matematisk modellering og tilgodeser fagets mundtlige dimension og forskellige samarbejdsformer. MATEMATRIX 6 indeholder et screeningskapitel, ti faglige kapitler og otte undersøgelser. Ved køb af et klassesæt gives der adgang til resurser på matematrix.alinea.dk. Det drejer sig blandt andet om arbejdsark, regnearksfiler, GeoGebrafiler, faglige film og lydfiler.

Har du bog, har du web!

ISBN 978-87-23-53030-1

9 788723

530301

alinea.dk

9788723530301_omslag.indd 1

Matematik · 6. klasse · Grundbog · Web

13/05/2020 15.08

Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen

Matematik · 6. klasse · Grundbog · Web 9788723530301_indhold.indd 1

1 06/05/2020 11.15

Matematrix 6, Grundbog/Web Elevbog/Web, 6. klasse En titel i grundsystemet Matematrix © Alinea 2020 Forfattere: Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen. Redaktion: Peter Lund Billedredaktør: Vibeke Sommer Design: Lykke Grafisk/Karin Lykke Groth Illustrationer: Peter Bay Alexandersen og Jette Svane Fotos Forside: Pixtal RF; 29 Lucy Pringle; 36A Tonyflap/Shutterstock; 36B Hans Juhl; 36C Vladimirkarp/ Shutterstock; 36D juliefredborg.dk; 36E Photos.com; 36F Hans Juhl; 38 Trine Hornemann; 50 Hans Juhl; 56 Oleg Begunenco/Colourbox; 59 Mads Jensen/Ritzau Scanpix; 60ø Monty Rakusen/ Getty Images; 60n Mashabuba/iStockphoto; 62 Hans Juhl; 69 sp-forlag.dk; 69 Evgeny Karandaev/ Shutterstock; 78 akg-images/VISIOARS/British Museum/Ritzau Scanpix; 87 NASA/JPL; 88 Lone Knudsen/Colourbox; 101 Per Gregersen; 135ø Folkeskolens Atlas; 135n Naturstyrelsen; 144-145 Imgorthand/iStockphoto; 144v Lapina/Shutterstock; 144-145n Syda Productions/Colourbox; 146147 Hans Juhl; 147n Mixetto/iStockphoto; 148 Photos.com; 149 Photos.com; 150-151 Mike Kollöffel/Ritzau Scanpix; 151n Mads Jensen/Ritzau Scanpix; 152-153 Anders Tvevad/Biofoto/Ritzau Scanpix; 153øv Photos.com; 153øh Terkel Broe Christensen/Biofoto/Ritzau Scanpix; 153mh Hanne og Jens Eriksen/Biofoto/Ritzau Scanpix; 153nh Photos.com; 155 Hans Juhl; 156-157 Iakov Filimonov/Shutterstock; 156n Alex Potemkin/iStockphoto; 158-159 Jay Dickman/Corbis/Getty Images; 158øh iStockphoto. Trykt hos Livonia Print 2. udgave, 1. oplag 2020 ISBN 978-87-23-53030-1

Webressourcer: matematrix.alinea.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node. Forlaget har forsøgt at indhente tilladelse hos rettighedshavere til gengivelse af tekst og billeder i denne udgivelse. Rettighedshavere, som mod forventning har krav på honorar, bedes kontakte forlaget. Alinea støtter børn og unge Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år, laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært. alinea.dk

2 9788723530301_indhold.indd 2

06/05/2020 11.15

Indhold Forord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Godt i gang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Regning med parenteser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Modsatte regningsarter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Flytninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 TA’ KEGLER I.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Brøk gange brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Afrunding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Tegning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Udfoldning og fladeareal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tegn prismer med GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Konstruktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 T A ’ K E G L E R 2. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Opstil ligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ligningens historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Procent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Cirkeldiagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 T A ’ K E G L E R 3. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3 9788723530301_indhold.indd 3

06/05/2020 11.15

Statistik og sandsynlighed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Geometriske formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Byg formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Formler og regneark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Cylinderen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 T A ’ K E G L E R 4. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Sammenhænge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Proportionalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Virkelighed og matematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Dig og Danmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valuta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jorden rundt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Børn på jorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T A ’ K E G L E R 5. .

134 136 138 140 141

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Undersøgelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Din krop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En liter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesselationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Affald. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Danmarks natur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 146 148 150

152 Soduko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Prisforskelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Tallenes historie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Stikordsregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4 9788723530301_indhold.indd 4

06/05/2020 11.15

Forord Velkommen til 6. klasse. Din grundbog i matematik hedder Matematrix 6. Det er en bog, som du ikke må skrive i. Derfor skal du skrive dine svar til opgaverne et andet sted. Der hører en arbejdsbog med til grundbogen. Den må du gerne skrive i. Der er 11 kapitler i bogen. I det første kapitel, som hedder ”Godt i gang”, skal du løse nogle opgaver og bruge den matematik, du lærte i 5. klasse. Når du har klaret det, er du helt klar til at lære en masse ny matematik. De ti næste kapitler, er alle opbygget efter TIMEGLASMODELLEN, som er en læringsmodel. Den kan du se på næste side. I I N T R O E N indledes hvert undervisningsforløb med en tegning, som lægger op til en fælles samtale i klassen om kapitlet. Hvis du scanner den røde QR-kode, fortæller vi dig, hvad vi tænker, at du skal arbejde med i kapitlet. I N T R O A K T I V I T E T E R N E er en opvarmning til det, du skal lære i ka-

pitlet. Du skal både arbejde alene og sammen med dine klassekammerater. Introaktiviteterne kendes på de blå opgavenumre.

G E N N E M G A N G E N forklarer alt det nye, du skal lære i kapitlet. Hvis

du scanner de sorte QR-koder, får du eksempler og forklaringer til gennemgangen. Du kan bruge gennemgangssiderne, hvis der er noget, du ikke lige kan huske, når du arbejder med en opgave. Gennemgangssiderne kendes på de røde kanter på siderne. Ø V E L S E R N E har til formål at træne det, der blev forklaret i gennemgan-

gen. Overskrifterne fortæller præcist, hvad der trænes. Ligesom sportsudøvere bliver bedre til deres sport, når de træner, så bliver du også bedre til matematik, når du træner. Øvelserne kendes på de røde opgavenumre. O P G A V E R N E er skrevet, så de ligner virkeligheden mest muligt. De

første opgaver er ret enkle at gå til, mens de sidste er noget sværere. Men det hjælper måske, hvis I arbejder sammen. Det er vigtigt at kunne forklare, hvordan en opgave løses. Mange gange er der flere forskellige metoder, som giver det samme resultat. De fleste kapitler afsluttes med et eller flere faglige emner. Opgaverne kendes på de lilla opgavenumre.

Udover de 11 kapitler er der otte U N D E R S Ø G E L S E R . Undersøgelserne er åbne opgaver, hvor man arbejder sammen parvis eller i grupper. Undersøgelserne handler om problemer fra hverdagen, som kan løses ved hjælp af matematik. Sammen med jeres lærer bestemmer I, hvordan I vil arbejde, og hvor meget løsningen skal fylde. God fornøjelse med bogen Forfatterne

5 9788723530301_indhold.indd 5

06/05/2020 11.15

Timeglasmodellen

INTRO Fælles snak Skabe interesse

INTRO-AKTIVITETER Spørge tilbage Skabe nye behov Pege frem

GENNEMGANG Ny viden

ØVELSER Ind på rygraden Træne til man mestrer

OPGAVER Løse problemer Udforske

Anvende Samarbejde

Udføre

6 9788723530301_indhold.indd 6

06/05/2020 11.15

Godt i gang

Familien Kirk og familien Tarp skal på Viborg Idrætshøjskole en uge i sommerferien. De er 8 personer: • Hr. og fru Kirk og deres to børn, Amalie på 13 år og Jonas på 8 år. Deres ældste søn Alfred er ikke med i år. • Hr. Tarp og hans 3 børn, tvillingerne Martin og Marie på 13 år, og Buster på 9 år.

Familierne kører til højskolen i hver deres bil, og de regner med, at

hver familie skal bruge 600 kr. til benzin og 490 kr. til broafgift. Ud over udgifterne til transport og ophold afsætter hver familie også 2.500 kr. til entreer og lommepenge. 1 a Opstil et budget og beregn udgifterne for de to familier. b Beregn og forklar forskellen mellem de to familiers udgifter.

2 Hvad ville opholdet på højskolen koste for dig og din familie? GODT I GANG

9788723530301_indhold.indd 7

7 06/05/2020 11.15

På sommerkurset er der plads til 148 deltagere, men i særlige tilfælde tilbyder skolen en ekstra opredning eller barneseng på nogle af værelserne. Derfor har antallet af deltagere et par gange været højere end 148. I tabellen ses, hvor mange deltagere der har været de seneste fem år.

3 Udfyld et skema som det viste.

ARBEJDSBOG

SIDE 1

År

Voksne

Børn op til 13 år

Unge 13 til 17

voksne kursister

I alt

Samlet antal

20 10 0

1 2

1 2 3 4 5

År

4 a Tegn fire pindediagrammer, der viser antallet af kursister i hver

aldersgruppe og det samlede antal i de fem år.

b Hvilket år deltog der tilsammen flest børn og unge i sommer kurset? c Beskriv udviklingen i deltagerantallet fra år 1 til år 5.

5 Beregn det gennemsnitlige deltagerantal i de fem år for

a voksne.

b børn under 13 år.

6 Hvilke år er antallet af

a voksne højere end gennemsnittet? b unge lavere end gennemsnittet? Et fast tilbud på idrætshøjskolen er morgenmotion med en løbetur i terrænet rundt om højskolen. Der er to ruter, en på 3 km og en på 4,5 km. Hr. og fru Kirk og hr. Tarp deltager i løbeturene fire dage. Hr. Tarp løber 3 km to dage og 4,5 km to dage. Hr. Kirk løber 3 km tre dage og 4,5 km en dag. Fru Kirk løber 4,5 km alle fire dage.

7 Opstil regneudtryk med parenteser og beregn

a hvor langt hr. Tarp løber. c hvor langt fru Kirk løber.

8 9788723530301_indhold.indd 8

b hvor langt hr. Kirk løber. d hvor mange km fru Kirk løber længere end hr. Kirk.

GODT I GANG

06/05/2020 11.15

Der er mange ansatte på skolen for at få det hele til at fungere. Der er 17 lærere og 2 vikarer. 8 personer er ansat i ledelse og administration. Køkkenpersonalet består af 9 personer. Der er ansat 10 personer til rengøring og pedelarbejde, og 4 gartnere passer områderne omkring højskolen.

8 a Hvor mange ansatte er der på skolen?

b Hvor stor en del udgør hver gruppe af det samlede antal ansatte? Skriv først som brøk og omregn derefter til procent. c Vis dine beregninger i et procentdiagram. Hver formiddag er der planlagt forskellige aktiviteter, som man kan melde sig til. Den første formiddag vælger de 5 børn at følges ad. I en af aktiviteterne er der spændt et reb ud i et håndboldmål, så det ligner et edderkoppespind.

ARBEJDSBOG

SIDE 2

9 Mål de syv markerede vinkler i edderkoppespindet.

Konkurrencen går ud på så hurtigt som muligt at kravle gennem fem huller i spindet. Amalie bruger 1 minut og 20 sekunder, Martin bruger 95 sekunder, Buster bruger 1 min og 5 sekunder, Marie bruger 1 12 minut, og Jonas bruger 110 sekunder.

10 a Skriv børnenes tider i rækkefølge med den hurtigste først. b Hvem har den hurtigste tid? c Hvem har den langsomste tid? d Hvad er forskellen på de to tider? GODT I GANG

9788723530301_indhold.indd 9

9 06/05/2020 11.15

Stadion På stadion er der en fodboldbane og en løbebane på 400 m. Hovedbygning I ugen med sommerkurset overnatter 406 voksne, 175 unge og 420 børn. Alle personer havde 7 overnatninger.

Mountainbike Skolen har et mountainbikespor, hvor man kan øve sig, inden man kører ture i skoven. Sporet er 220 m langt. Det tager ca. 1 minut og 40 sekunder at køre en omgang.

Bådhuset Kursisterne kan frit benytte højskolens 70 kajakker. Der er 30 havkajakker, 12 surfkajakker og resten er almindelige kajakker.

Søerne I Viborg er der to søer, Nørresø og Søndersø, som højskolen ligger ned til. Nørresø er 2,3 km lang, ca. 700 m bred og har en omkreds på 5,4 km. Søndersø er 2,2 km lang, ca. 900 m bred og har en omkreds på 5,7 km. Det er muligt både at gå og løbe rundt om søerne.

10 9788723530301_indhold.indd 10

06/05/2020 11.15

Idrætshallen Idrætshallen benyttes ofte til opvisning, fordi der er tilskuerpladser. Der er 12 rækker med 50 stole i hver række.

Bjerget Bjerget er Nordeuropas største kunstige klatrevæg. Væggen er op til 12 m høj og 60 m lang. Bjerget kan bestiges via mange ruter. Den korteste er 11 m, og den længste er 26 m. Den fritstående søjle – som kaldes en pilar – er 14 m høj og kan også bestiges.

Beachvolley På højskolen er der to områder, hvor der kan spilles beachvolley. Det største område, med 4 baner, er 40 m x 20 m. Det mindste område, med 2 baner, er 10 m x 20 m.

Skoven Skoven bliver bl.a. brugt til orienteringsløb. Der er 3 ruter. • Rød rute på 3,1 km. • Blå rute på 4,4 km. • Sort rute på 5,3 km. Bålpladsen Op til sommerkurset får højskolen leveret 2 m3 birkebrænde til 925,90 kr. pr. rummeter og 3 m3 bøgebrænde til 855,50 kr. pr. rummeter.

11 Brug oplysningerne fra kortet til at skrive

mindst 5 opgaver, der ikke kun skal aflæses, men besvares ved hjælp af regneudtryk. Lad andre i klassen besvare dine spørgsmål.

Ud for højskolen er der anlagt en kaproningsbane, hvor kajakroerne kan træne i sprint. Banen er 300 m lang. Den hurtigste tid, der er målt på banen, er 2 minutter og 10 sekunder. Gennemsnitstiden er på 4 min.

Eksempel på opgave: Hvor mange personer kan spille beachvolley på samme tid, når der er 12 spillere på hver bane?

11 9788723530301_indhold.indd 11

06/05/2020 11.15

På idrætshøjskolen er der en stor svømmehal med 2 bassiner. Et stort bassin og et mindre varmtvandsbassin på 6 m x 8 m og en dybde på 1,2 m. 1 m3 = 1.000 liter

12 a

Beregn rumfanget af varmtvandsbassinet. b Hvor mange liter vand er der i varmtvandsbassinet, når vandstanden er 0,9 m? Jonas og Buster leger meget i varmtvandsbassinet, fordi der er meget forskelligt vandlegetøj. Der er blandt andet nogle store skumklodser, som de synes, det er sjovt at lege med.

0,2 m 0,5 m 0,3 m

13 Beregn

rumfanget af de tre klodser.

0,3 m

0,5 m

0,3 m

0,6 m 0,15 m

0,3 m

0,15 m 0,15 m

0,15 m

En formiddag, hvor børnene er i svømmehallen, deltager Amalie, Martin og Marie i en konkurrence med bolde. De er på hver sit hold. Det gælder om at få så mange bolde som muligt i nogle kurve i løbet af 10 min. Kurvene er placeret i midten af det store bassin. Børnene skal svømme med en bold ad gangen fra kanten af bassinet og ud til kurven. Holdene må selv vælge, hvilke bolde de vil svømme ud med. Der er tre størrelser bolde: Store bolde giver 21 point. Mellemstore bolde giver 14 point. Små bolde giver 7 point.

Amalies hold får 12 store, 15 mellemstore og 9 små bolde i deres kurv. Martins hold får 10 store, 14 mellemstore og 17 små bolde i deres kurv. Maries hold får 17 store og 13 mellemstore bolde i deres kurv.

14 a

Hvilket hold vinder? b Hvilket hold har fået flest bolde i deres kurv og dermed svømmet længst? c Hvilken strategi ville du vælge, hvis du skulle deltage i konkurrencen?

12 9788723530301_indhold.indd 12

GODT I GANG

06/05/2020 11.15

Efter højskoleopholdet tager de to familier på en udflugt i Viborg og omegn, inden de rejser hjem.

Viborg Domkirke

Viborg Domkirke er en af byens mest kendte bygninger. Den første kirkebygning blev opført i slutningen af vikingetiden og stod færdig i 1134. Efterfølgende er kirken brændt ned flere gange, men er hver gang blevet genopført. Den nuværende kirke er fra 1876. Den er kendt for Joakim Skovgaards bibelbilleder, der udsmykker hele kirken. Hvor mange år er det siden, at den første kirke i Viborg stod færdig? b Hvor mange år er det siden, at den nuværende kirke stod færdig?

15 a

ARBEJDSBOG

Ved siden af kirken ligger Skovgaard Museet, hvor Joakim Skovgaard og hans tre sønners værker er udstillet. Museet besøges af omkring 17.000 gæster årligt. Omkring 4.250 af gæsterne kommer fra udlandet. Resten er fra Danmark.

SIDE 3

16 Beregn, hvor stor en brøkdel af gæsterne der er

a fra udlandet

b fra Danmark

17 Ud fra billetsalget har museet beregnet, at 13 af de besøgende er under 18 år. Hvor mange af de besøgende er a under 18 år b over 18 år

Sidste stop for familierne er ved Mønsted Kalkgruber, der ligger 15 km vest for Viborg. Mønsted Kalkgruber er verdens største kalkgruber og besøges hvert år af mere end 65.000 gæster. I kalkgruberne overvintrer ca. 18.000 flagermus, der sover vintersøvn fra september til marts. Fem flagermusarter overvintrer i kalkgruberne, heraf er • • • • •

4 5 1 10 1 20 1 50 3 100

vandflagermus damflagermus frynseflagermus langøret flagermus og Brandts flagermus

18 Beregn antallet af hver af de 5 arter.

GODT I GANG

9788723530301_indhold.indd 13

13 06/05/2020 11.15

Algebra

14 9788723530301_indhold.indd 14

06/05/2020 11.15

1 Familien Sandberg skal på campingferie. De er to voksne og tre børn.

De overnatter i deres campingvogn. Hvad koster en overnatning for a to voksne? b tre børn? c en plads til campingvognen? Skriv regneudtryk, der viser, hvad familien med campingvogn skal betale for at overnatte d 1 nat. e 7 nætter. 2 Skriv regneudtryk med parenteser, der besvarer spørgsmålene. Du har 500 kr. Hvor mange penge har du tilbage, når du køber a solbriller og kasket? b kasket og solcreme? c badedyr og badehåndklæde? d badehåndklæde, solbriller og solcreme? e badedyr, kasket, badehåndklæde og solcreme? 3 Skriv regneudtrykkene med parenteser, så de bliver sande. a 12 + 12 : 4 + 8 = 14 b 12 + 12 : 4 + 8 = 13 c 12 + 12 : 4 + 8 = 23 d 12 + 12 : 4 + 8 = 2

4 En pose indeholder mange brikker med bogstaverne a, b og c.

Carl trækker disse syv brikker. Skriv resultatet af Carls trækning som et bogstavudtryk.

5 Ida har opfundet et spil, hun kalder Pladsholder, fordi hvert bogstav

er pladsholder for et tal. Spillet går ud på at få flest point.

Vi holder pladsen for hver vores ukendte tal.

Først trækker hun fem brikker. Så noterer hun resultatet af trækket: c+a+c+c+b=a+b+3c Derefter kaster hun en terning tre gange. Første kast bestemmer a’s talværdi, andet kast bestemmer b’s talværdi, og tredje kast bestemmer c’s talværdi.

ARBEJDSBOG

SIDE 4

a+b+3c 6+2+3·3 Hvor mange point fik Ida? ARBEJDSARK

1-2

6 Spil Pladsholder. I kan bruge skemaet i arbejdsbogen og arbejdsark 1 og 2.

ALGEBRA · INTROAKTIVITETER

9788723530301_indhold.indd 15

15 06/05/2020 11.15

Jeg hedder Laura, og mit træk kan skrives som

Jeg hedder Lukas, og mit træk kan skrives som

a+b+b+b+b+b+c+c+c eller a+5b+3c

a+a+a+b+b+c+c+c+c eller 3a+2b+4c

3a 3·a

Husk at er det samme som

Når lange regneudtryk skrives kortere, kaldes det at reducere.

Hvilke brikker har Laura og Lukas tilsammen?

Lauras brikker

Lukas brikker

3a+2b+4c+a+5b+3c = 4a+7b+7c Prøv selv! Reducer: a + a + a 2c + a + c + 3a

16 9788723530301_indhold.indd 16

a + b + a + b + b 4a + 3b + 2a + b

b+a+a+b+b 5c + 6c + c + 4b

ALGEBRA · GENNEMGANG

06/05/2020 11.15

Man kan indsætte talværdier på bogstavernes pladser, fordi bogstaverne er pladsholdere for tal.

3a+2b+4c= 3·6+ 1. Lad os sige, at a = 6, b = 4 og c = 2.

2. Hvem tror du har fået flest point?

a+5b+3c= 1·6+5·

3. Det tror jeg, jeg har, for jeg har flest a'er.

3a+2b+4c= 3·6+2·4+4·2= 18+8+8=34

2. OK. Lad os sige, at a = 6, b = 5 og c = 4. Hvem vinder så?

1. Jeg vandt med 34 point mod 32 point. Skal vi prøve igen med nye værdier?

a+5b+3c= 1·6+5·4+3·2= 6+20+6=32

Prøv selv! Udregn udtrykkene, når a = 2 og b = 5. 3a + 2b 2a – b

5b – 3a 6a + 2b

ALGEBRA · INTROAKTIVITETER

9788723530301_indhold.indd 17

4a + 2b 7b – 2b

17 06/05/2020 11.15

Øvelser Om at skrive regneudtryk med bogstaver

7 Skriv resultatet af hvert træk som regneudtryk.

b d

c e

8 Skriv som regneudtryk.

a To a plus fire b minus tre c c En a plus otte c minus to b e To a minus tre b plus tre a plus fem b

f b Fire b minus tre a plus to c d En halv a plus to b plus en halv a f En a minus to a plus tre a

Om at reducere

9 ARBEJDSARK

a a + 2a b b + 3b + b c 4a + 5a + a d 4a – 2a e 6b – b – 2 b f 10a – 3a

+ 2a

12 a 6a + 4a – 12a

a 4x + 5x – 2x b 3b + 6b + 2b – 10b c 6y – 5y + 8y d 16x + 12x – 14x – 6x e 17a + 3a + 12a – 21a f 2b + 19b – 11b + 100b

13 a 2a + 4b – a

b 4b – 6b + 10b c 3a – 5a + a d 3b – 5b – b e a – 2a + 3 · 2a f 4b + 2 · 2b – 9b

Om at indsætte værdier

b 3b – b + 2a c 5a + 10a – 2b + 8b d 5b – 2b + 4a + 2b e 3a + 5c – 5a + 3c f 2a + 5b + c – 4c + 2b

a 2 · 2a + 5a b 3a + 3 · 3a c 4a + 2 · 2a – 5a d 8b + 3 · 3b – 7b e 15b – 5 · 3b + b f 20b – 2 · 8b – 4b

HUSK REGNEREGLERNE 1. Gange ( · ) og division ( : ) 2. Plus (+) og minus ( – )

3a+5b=3·2+5·3=6+15=21

Find værdien af udtrykkene, når a = 2, b = 3 og c = 1 a 3a + 5b b a + 3b c a + 3c d 3c + b e 3b + c f c + 3a

ARBEJDSBOG

SIDE 5-6

ARBEJDSARK

4-5

Husk at reducere,

Find værdien af udtrykkene, når a = 6, b = 4 og c = 9 før du indsætter a 4c b 4c + 2b c 4c + a + 2b værdier. d 7a e 7a + 5b f 7a + 5b – 3c

Find værdien af udtrykkene, når a = 10, b = 12 og c = 8 a 8a + 4c – 2a b 8a + 4c – 2a – 5c c 8a + 4c – 2a + 5b – 5c – 2b d 8a + 4c – 2a + 5b – 5c – 2b + 10a

18 9788723530301_indhold.indd 18

ALGEBRA · ØVELSER

06/05/2020 11.15

Opgaver

17 Otte elever fra 6. klasse har regnet med bogstaver.

a Hvem har regnet rigtigt?

b Hvem har regnet forkert? Hvor gik det galt?

Alfred

Emma

Carl

Ella

Emil

Freja

William

Malthe

Jeg kalder det antal røde, jeg ikke kender for r, antallet af gule for g og antallet af blå for b.

Ida trækker r røde, g gule og b blå centicubes. a Skriv det som et bogstavudtryk. Oscar trækker halvt så mange røde, det samme antal gule og dobbelt så mange blå som Ida. b Skriv det som et bogstavudtryk. Noah trækker dobbelt så mange gule, 3 gange så mange blå og det samme antal røde som Ida. c Skriv det som et bogstavudtryk.

Hver centicube er pladsholder for et tal. Børnene slår med en terning og lader de røde centicubes være pladsholdere for 2, de gule for 4 og de blå for 6. Ida trækker 10 røde, 4 gule og 2 blå centicubes. a Hvad er værdien af hendes centicubes? b Brug bogstavudtrykkene fra opgave 18 og udregn værdien af Oscars og Noahs centicubes.

20 a Skriv bogstavudtryk for træk af røde, blå og gule centicubes, der giver 10, når man indsætter værdierne fra opgaven herover. b Hvor mange forskellige bogstavudtryk med plus, kan du finde, der giver 10? a Træk selv nogle centicubes i forskellige farver. b Kast så en terning og find ud af, hvilket tal hver farve centicube er pladsholder for. c Hvem fik den højeste værdi? Dig eller din sidemand?

ALGEBRA · OPGAVER

9788723530301_indhold.indd 19

Du bestemmer selv, hvor mange centicubes du vil trække.

19 06/05/2020 11.15

a Hvor meget vejer 3 elefanter, 4 giraffer og 5 næsehorn?

b Hvad mangler der at blive skrevet i cellen B9, for at

regnearket kan udregne den samlede vægt? c Hvad bliver svaret på opgave a, hvis næsehornets vægt ændres til 3 tons? d Hvad ville du ændre i regnearket for at regne den nye vægt ud?

REGNEARK

20 9788723530301_indhold.indd 20

23 I regnearket er der indtastet værdier i de gule celler. I de grønne celler er der indtastet formler, som beregner et resultat. a Hvilke formler kan der stå i cellerne I8, K8, M8, I9, K9 og M9. b Hvad vil der ske med tallene i de grønne felter, hvis du ændrer dyrenes vægt i de gule celler? c Hvorfor er det smart at bruge regneark?

ALGEBRA · OPGAVER

06/05/2020 11.15

ping Sølyst cam R. DØGN PRISER P

Voksne Børn plads Camping

80,35,35,-

Strandengens camping PRISER PR.DØGN

Voksne 80,Børn 65,Campingplads 130,-

Skovhegnets camping PRISER

N P R . D ØG

85,Voksne 0,6 Børn 0,9 ds Campingpla

Familien Stenberg skal på ferie med deres campingvogn. De er to voksne og tre børn. Skriv udtryk, der kan beregne, hvad skal de betale for en overnatning på a Strandengens camping. b Sølyst camping. c Skovhegnets camping. d Hvad koster en overnatning for familien på hver af de 3 campingpladser?

REGNEARK

Hvorfor kan den samlede pris for familiens overnatning skrives som p = 2v + 3b + 1c? De overvejer at invitere to bedsteforældre med. Hvilke bogstavudtryk kan beregne det? A p = 2v + 3b + 1c + 2b B p = 2v + 3b + 1c + 2v C p = 4v + 3b + 1c

Bedsteforældrene beslutter sig for at tage deres egen campingvogn med. Skriv et regneudtryk, der viser den samlede pris for en overnatning for bedsteforældrene og familien Stenberg på hver af de tre campingpladser.

Hvad koster det bedsteforældrene og familien Stenberg at overnatte a 3 nætter på Strandengens camping? b 5 nætter på Sølyst camping? c 6 nætter på Skovhegnets camping? d Hvad koster alle overnatningerne tilsammen?

28 Find selv på en eller flere opgaver om priser for en campingferie og skriv regneudtryk, der bruges til at løse opgaverne.

ALGEBRA · OPGAVER

9788723530301_indhold.indd 21

21 06/05/2020 11.15

Prisen på et skateboard kaldes a. Prisen på sikkerhedsudstyr kaldes b. a Hvad betyder a + b? b Indsæt værdier på a’s og b’s plads og udregn den samlede pris for tre forskellige boards med sikkerhedsudstyr.

a Hvad er den mindste pris for skateboard og sikkerhedsudstyr? b Hvad er den højeste pris for skateboard og sikkerhedsudstyr?

31 Hvad kan disse udtryk betyde? a 2 · a b 2 · a + b c (a + b) · 2 d 2a + 2b 32 Forretningen giver 125 kr. i rabat, når man køber et skateboard til a kr. og sikkerhedsudstyr til b kr. som et sæt. En dag sælger forretningen 6 sæt. Hvilke af disse udtryk viser prisen på det? A (a + b – 125) · 6

B C D

6 · (a + b) – 125 6a + 6b – 125 6a + 6b – 750

33 Skriv nogle udtryk med bogstaver, der viser prisen på a 10 sæt b 7 sæt c x sæt 34 Skriv regneudtryk, der viser køb med rabat i skatershoppen til a 550 kr. b 775 kr. c 1.010 kr.

22 9788723530301_indhold.indd 22

ALGEBRA · OPGAVER

06/05/2020 11.15

Skærmtid pr. dag Alma Benjamin Clara Dan

2 timer 1 time 2 3 timer 4 timer

Skriv med ord, hvad disse regneudtryk kunne vise om børnenes tid ved skærmen. A 2 · 7 B 2 + 12 + 3 + 4 C 3 · 365 D 12 · 30

Skriv regneudtryk, som kan besvare disse spørgsmål: a Hvor mange timers skærmtid bruger Clara og Benjamin tilsammen på 1 uge? b Hvor mange minutter bruger Alma ved skærmen om måneden? c Har Alma og Benjamin tilsammen mere skærmtid pr. dag end Clara? d Bruger Clara mere skærmtid på 1 uge, end Benjamin bruger på 1 måned?

Vi ved ikke, hvor mange timer Ida og Oscar bruger ved skærmen om ugen. Derfor kalder vi Idas skærmtid for a og Oscars skærmtid for b. Hvad kan disse udtryk betyde? a a + b b 7 · a c b – a d a=b

Skriv det udtryk, der er a 3 større end a d 7 gange mindre end a

b 5 mindre end a e det halve af a

c 4 gange større end a f 2 større end det halve af a

a er et tal. Hvad betyder a a + 4 b a – 3

c 5 + a

39 40

d 3a

a 5

Hvilke regneudtryk og sætninger passer sammen? 1

c+a·b 2

c+a+b

a · (b + c) 4

a+b·c

6 5

a·b·c

(a + b) · c 7

(c + a) · b

A a lægges sammen med b, og summen ganges med c. B a lægges sammen med b, som er blevet ganget med c. C a gange b lægges sammen med c. De her opgaver D a gange b ganges med c. er svære!

1 3

b·c+a ARBEJDSBOG

SIDE 7-8

Skal vi så ikke regne dem sammen?

Hvad skal man egentlig med bogstaver, når man regner?

ALGEBRA · OPGAVER

9788723530301_indhold.indd 23

23 06/05/2020 11.15

Regning med parenteser Hvorfor er 2 · (b + c) det samme som 2b + 2c? Her er 2 poser. I hver pose er der en b-brik og en c-brik. Der er 2 · (b + c).

2 · (b + c) =

Det er det samme som b + c og b + c.

(b + c) + (b + c) =

Det kan ordnes, så b’erne er samlet, og c’erne er samlet.

b+b+c+c=

Det er det samme som at have 2 b-brikker og 2 c-brikker.

2b + 2c

a(b+c) = ab+ac Det hedder den distributive lov.

Det er samme princip, uanset om man har 3 poser, 4 poser eller a poser.

Så kan vi skrive det med bogstaver som en regneregel.

Sandt eller falsk?

a 4 · (2 + 3) = 4 · 2 +4·3 b 3 · (7 – 4) = 3 · 7 –3·4 c 2(3 + 9) = 2 · 3 + 3·9 d 5(4 – 2) = 5 · 2 e 8(4 + 7) = 8 · 11 f 7(6 – 5) = 7(5 – 6)

24 9788723530301_indhold.indd 24

HUSK a · (b + c) = a(b + c).

Udregn a 3 · (b + 4) b 5 · (c – 3) c 4(a + 2) d 6(2 – b) e 2(6 + a) f 7(c + 5)

ALGEBRA · OPGAVER · REGNING MED PARENTESER

06/05/2020 11.15

Udregn

a 3(a + 2) b 4(3 + a) c 7(a + 8) d 5(2 + a) e 2(a + 5) f 8(9 + a)

Udregn

a 10(a + 10) b 20(a + 10) c 30(a + 10) d 40(10 + a) e 50(10 + a) f 60(10 + a)

Regn, reducer og find værdien af udtrykkene, når

a = 1, b = 3, c = 5

a 2(a + 4) + 4a + 12 b 5(3 + c) + 2c – 12 5) c 15 – 5b + 3(2b + +10 d 10a + 2(4 + a) – 8a +3 e 5b + 4(b + 3) – b ) + 5(b – 1) f 10c + 5b + 5(2c +1

Regn, reducer og find værdien af udtrykkene, når

a 2a + 3(2a + 4) – 2b 2c + 3(c – 1) b 2b + 3(2b + 4) – + 3(a – 1) c 2c + 3(2c + 4) – 2a 2b) – 6a – 4b d 4(a + b) + 2(2a + 2b) + 2(3a – 2b) e 4a + 4b + 2(2a +

ARBEJDSBOG

SIDE 9

Hvilke bestillinger og regneudtryk passer sammen? A

5 burgere og 5 cola.

4 kaffe og 4 kager.

2 hotdogs og 2 cola.

2 pizza og 2 kildevand.

a 5(30 + 15) c 4(17 + 12) e 2(75 + 12)

1-2

a = 5, b = 6 og c = 7

GEOGEBRA

+ 3(b – 1)

a 3(2a + 3) b 3(2b + 3) c 3(2c + 3) d 3b + 3(2a + 3) e 2c + 3(2a + 3)

Regn og reducer

b 5(50 + 15) d 4(12 + 30) f 2(30 + 15)

Skriv et regneudtryk med parentes, der kan bruges til at beregne omkredsen af et rektangel.

Skriv regnehistorier, der passer til disse udtryk.

a 2(a + b) + b) b 300 – 3(a c 7(a + b)

ALGEBRA · OPGAVER · REGNING MED PARENTESER

9788723530301_indhold.indd 25

25 06/05/2020 11.15

Modsatte regningsarter

Addition betyder ”at lægge sammen”. Addition kan skrives algebraisk som:

a+b=c

Tallene a og b kaldes addender. Resultatet c kaldes summen.

Fx er 4 + 3 = 7

Subtraktion betyder ”at trække fra”. Subtraktion er den modsatte regningsart til addition. Subtraktion kan skrives algebraisk som:

a – b = c når c + b = a

Tallet a kaldes minuenden. Tallet b kaldes subtrahenden. Resultatet c kaldes differensen.

Fx er 7 – 4 = 3, fordi 3 + 4 = 7

Multiplikation betyder ”at gange”. Multiplikation kan skrives algebraisk som:

a·b=c

Tallene a og b kaldes faktorer. Resultatet c kaldes produktet.

Fx er 3 · 4 = 12

Division betyder ”at dele”. Division er den modsatte regningsart til multiplikation. Division kan skrives algebraisk som:

a : b = c når c · b = a

Tallet a kaldes dividenden. Tallet b kaldes divisoren. Resultatet c kaldes kvotienten.

Fx er 12 : 3 = 4, fordi 4 · 3 = 12

Modsatte regningsarter kan bruges til reducering af regneudtryk.

Hvad skal du gøre for at få 5? a 5 + 8 b 8+5

c 5 – 12

d 5·5

Hvad skal du gøre for at få a? a b + a b b · a

c a+p–q

d b·c+a

REGNEARK

26 9788723530301_indhold.indd 26

ALGEBRA · OPGAVER · MODSATTE REGNINGSARTER

06/05/2020 11.15

Reducer

a 92 – 12 + 12 b 16 + 72 – 16 c 53 + 92 – 53 d –21 + 21 + 5

Reducer

a a + b – a b 3a + 5b – 3a c 7q + 3p – 7q d 2y + 3x – 2y

a 67 + 12 + 16 – 67 – 16 b 39 – 14 – 39 + 14 – 23 c 86 + 65 –14 – 65 + 14 d –11 + 48 +11 – 48 + 12

59 a 23b + 16 – 23b b 43a + 56 – 43a c 77 + 13p – 77 d 12 – 423a – 12

57 6 a 16 · 4 : 6 : 4 · 14 b 9 · 14 : 9 · 3 : 11 : 65 c 88 : 11 · 65 · : (–13) : 2 d 2 · (–13) · 46

a 5 · 17 : 5 b 2 · 38 : 2 c 14 · 12 : 14 d –2 · –5 : (–2)

60 a a · b : a b 3a · 5b : 3a c 7q : 3p · 7q d 2y · 3x : 2y

61 a 16 · 3x : 16 12a : 5 b 12a · 56 · 5 : : 78 · 48q c 78 · 13p : 48q : 12 : 5a d 12 · 423a · 5a

Emma har 6 æbler og giver Malthe 2 af dem. Bagefter plukker hun 2 nye æbler. a Hvor mange æbler har Emma? b Vis Emmas situation med et regneudtryk.

William skylder Alfred 20 kr. Han får 50 kr. i løn og betaler sin gæld. På vej hjem finder han 20 kr. a Hvor mange penge har William? b Vis Williams situation med et regneudtryk.

Freja tjener 80 kr. om dagen i to dage. Hun deler pengene med Elias. a Hvor mange penge har Freja? b Vis Frejas situation med et regneudtryk.

ARBEJDSARK

Felix har samlet 8 flasker, som han deler i 2 poser. Derefter finder han det dobbelte antal. a Hvor mange flasker har Felix? b Vis Felix's situation med et regneudtryk.

ALGEBRA · OPGAVER · MODSATTE REGNINGSARTER

9788723530301_indhold.indd 27

ARBEJDSBOG

SIDE 10-11

27 06/05/2020 11.15

Flytninger

28 9788723530301_indhold.indd 28

06/05/2020 11.15

1 Se på det store billede.

Kan figuren komme til at dække sig selv ved a en spejling? b en parallelforskydning? c en drejning? A

2 a Hvilke geometriske figurer indgår i korncirklerne?

GEOGEBRA

b Hvilke flytninger kan du finde på hver af dem?

3 Tegn selv en korncirkel.

a Hvilke geometriske figurer har du brugt? b Har du anvendt spejling, parallelforskydning eller drejning?

4 Hvordan skal figur A flyttes for at dække figur B i hvert af de

tre tilfælde? 1

A B

B A

5 Find andre figurer, som er spejlet, drejet eller skubbet.

Se dig omkring – i klassen, på skolen, i byen. Tegn skitser af figurerne, som viser, på hvilken måde de er blevet flyttet. FLYTNINGER · INTROAKTIVITETER

9788723530301_indhold.indd 29

29 06/05/2020 11.15

Flytninger Ved en flytning føres en figur over i et billede af figuren. En figur ændrer hverken form eller størrelse ved flytning. Der findes forskellige flytninger. D

Parallelforskydning Figuren er parallelforskudt langs pilen.

A C'

Ved en parallelforskydning skubbes hvert punkt lige langt i samme retning.

Spejling Figuren er spejlet i linjen l. Linjen l kaldes en spejlingsakse eller symmetriakse. Ved en spejling er hvert punkt i spejlingen lige så langt fra spejlingsaksen, som det tilsvarende punkt i den oprindelige figur.

Drejning Figuren er drejet 90º om punktet P i urets retning. A'

En drejning foretages om et punkt. Der drejes et antal grader med eller mod uret. P

B''

A''

Sammensat flytning Figuren er parallelforskudt og derefter spejlet i linjen l. Man taler om en sammensat flytning, når der er udført en flytning af en figur, hvorefter der udføres en flytning af figurens billede.

30 9788723530301_indhold.indd 30

FLYTNINGER · GENNEMGANG

06/05/2020 11.15

Her er grundformen.

Mønstre Et mønster består af en grundform, som gentages flere gange. Gentagelsen sker ved at flytte figuren.

Her er grundformen spejlet i de røde spejlingsakser.

Her er grundformen parallelforskudt i pilenes retninger og længder.

Grundformen er drejet 45° med uret.

Grundformen er først parallelforskudt i den røde pils retning og derefter spejlet i spejlingsaksen.

FLYTNINGER · GENNEMGANG

9788723530301_indhold.indd 31

31 06/05/2020 11.15

Per Gregersen, Tomas Højgaard Jensen, Lone Kathrine Petersen og Helle Thorbjørnsen

MATEMATRIX 6 · 6. klasse · Grundbog · Web

Har du bog, har du web!

ISBN 978-87-23-53030-1

9 788723

530301

alinea.dk

9788723530301_omslag.indd 1

Matematik · 6. klasse · Grundbog · Web

13/05/2020 15.08