Matematrix 1A, Lærervejledning/Web
© Alinea 2015
Lærervejledning (trykt)
Per Gregersen, Carsten Hedegaard, Tomas Højgaard og Lone Kathrine Petersen
Redaktion: Peter Lund og Erik C. Stenbøg
Design: mollers.dk · Hans Møller
Forsideillustration: Karin Lykke Groth
Illustrationer: mollers.dk · Hans Møller
Fotos: Ricky John Molloy
Trykt hos: ScandinavianBook
2. udgave 8. oplag 2022
ISBN: 9788723512833
ISBN Overnummer 9788723524423
Svanemærket tryksag
5041 0826
Scandinavian Print Group
Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node.
Lærervejledning (web)
Webadgangen er inkluderet i prisen. Ved køb af en lærervejledning gives der webadgang til en række resurser på matematrix.dk. Her kan man også læse om aftaler, rettigheder og betingelserne for brugen af resurserne. Man får adgang med Uni-login.
Alinea støtter børn og unge
Alinea er en del af Egmont, der som Danmarks største mediekoncern har bragt historier til live i mere end 100 år. Egmont er en dansk fond, som hvert år uddeler 150 millioner kroner til børn og unge, der har det svært.
alinea.dk
Beskrivelse af materialet 4
Grundtankerne bag Matematrix 6
Indhold i Matematrix 8
Matematrix som læringsværktøj 16
Matematrix som undervisningsværktøj 19
Kommentarer til de enkelte kapitler 28
Jubii 30
Addition 38
Geometriske figurer 50
Positionssystemet 60
Spejling 68
Addition med tierovergang 76
Jul 84
Kommentarer til undersøgelserne 88
Understøttende aktiviteter 93
Trix-historier 103
Resurser på matematrix.dk 112
Elevbog
• 5 faglige kapitler med evaluering
• 1 screeningskapitel
• 1 julekapitel
• 4 undersøgelser
Lærervejledning
• Grundtankerne bag Matematrix
• Kommentarer til de enkelte kapitler
• Kommentarer til undersøgelserne
• Understøttende aktiviteter
• Trix-historier
Web
• Arbejdsark
• Regnearksfiler
• GeoGebrafiler
• Faglige film
• Introlyd
• Forenklede Fælles Mål
• Evaluering af matematiske kompetencer
• Facitliste til arbejdsarkene
figurer med geobrikker
42-43 Find omkredsen (A og B)
44 Positionssystemet Find antallet. 45 Talrækker 46-47 Skriv tal og saml stænger (A og B) 48-49 Find tallet, læg sammen og angiv antallet (A og B)
50 Spejling Tegn spejlbilledet
51 Spejl figurerne og tegn mønstre
52-53 Spejl geobrikker og farv (A og B)
54 Spejl geobrikker
55-56 Byg med centicubes. Spejlingsmønstre (A og B)
57-58 Addition med tierovergang Addition af to tal (A og B)
59-60 Regn plusstykkerne (A og B)
61-62 Regn plusstykkerne. Stregsammenfør resultaterne (A og B)
63-64 Regn plusstykker og farv (A og B)
65 Regn plusstykkerne og farv. Find tallet
66 Gæster i badeland. Priser på entre og ved isboden 67 Trafiktælling - konkrete observationer
Trafiktælling - skabelon
Matematrix 1A er en del af et matematiksystem, der spænder fra børnehaveklassen til 9. klassetrin. I udarbejdelsen af systemet har der fra start været fokus på tre centrale forhold og relationen imellem dem.
• Matematisk faglighed og indhold Hvilke kompetencer, begrebsforståelser og færdigheder skal eleverne udvikle, og i hvilken rækkefølge? På hvilket klassetrin og i hvilke kapitler skal det matematiske kernestof placeres?
• Læringsværktøj for og til eleven Hvordan skal stoffet præsenteres, så det understøtter elevernes læring bedst muligt? Hvordan kan eleverne tage medansvar for egen læring?
• Undervisningsværktøj til læreren Hvilke resurser skal læreren bruge for at kunne tilrettelægge en undervisning, der tilgodeser elevernes læring, lever op til samfundets krav, og som samtidig giver en række forskellige handlemuligheder?
Grundtankerne i denne vejledning er disponeret ud fra disse tre helt centrale forhold, som uddybes på de følgende sider.
I forbindelse med revisionen af Matematrix har vi udviklet en række digitale resurser, som skal understøtte elevernes læring. Der er lagt stor vægt på at gøre det enkelt at integrere it i den daglige undervisning. Samtidigt er elevernes adgang til filer og film blevet betydelig lettere, idet de selv kan hente relevante resurser på matematrix.dk
Der er flere grunde til, at Matematrix er blevet mere digital i forbindelse med revisionen:
• Undervisningsministeriet har generelt fokus på øget digitalisering af grundskolen. Vi vil naturligvis gerne medvirke til denne udvikling, som kommer til udtryk i forenklede Fælles Mål.
• It giver mulighed for og lægger op til en række aktiviteter, som både kan motivere, støtte og
udfordre eleverne. På matematrix.dk drejer det sig blandt andet om filer og film, som eleverne kan bruge til undersøgende læringsprocesser, præsentationer, og når de har brug for tydelige instruktioner og en alternativ og mere direkte tilgang til matematiske forklaringer. Læs mere om indholdet på webben.
• Vi vil udnytte, at skolerne generelt har fået bedre it-faciliteter, flere digitale resurser og en forbedret digital infrastruktur.
I det reviderede koncept er bog og web knyttet helt tæt sammen i en løsning, vi kalder, ”Har du bog har du web”. Ved køb af et klassesæt af grundbøgerne, får eleverne automatisk adgang til sitet.
Elevbog
Kernestof
Komplette læringsforløb – baseret på timeglasmodellen – se side 17.
→ henviser til
Web
Elevresurser
Arbejdsark, GeoGebra- og Excelfiler, faglige film og lyd.
Den nyreviderede lærervejledning er også blevet en del af ”Har du bog, har du web-løsningen”.
Ved køb af en vejledning gives der adgang til en række lærerresurser. Det drejer sig blandt andet om evalueringsværktøjer, understøttende arbejdsark til undersøgelser og facitlister (jf. side 4).
L ydfiler (Rød QR-kode) Jubii
1. Velkommen
rix-historierRegnearkGeoGebra filerFaglige film (Sort QR-kode)
1. Mester T rix –Tallenes vogter
1. Skriv tallene 0-4
2. Skriv tallene 5-9
1-8 11.-2. Persongalleriet
1. Talsange 2. Først til 10
2
4. Tal på ryggen
3. Dan mængder med nipsting 33. Optælling af hjælpninger 44.-5. Byg og tegn tallene med centicubes 6.-11. Talbog
5. Talbold 1 6. Talbold 2
8. Læg tal i rækkefølge
512. Farv talsymboler 13. Byg figurer og tæl centicubes 14. Byg talsymboler og tæl centicubes
7. Gæt en figur 716. Tegn mønstre 817. Skriv tal i rækkefølge
9. Byg med centicubes
615. Figurjagt
1. Bananer4. Regnehistorier
3. Geometriske figurer, intro
2. I sneglefart
9-26
10. Krig Addition
2. Plus, intro Introaktiviteter
11. Klunse 12. Sumstik 13. Plusleg
10-1118. Find det samlede antal 19. Hvad giver terningerne?
5. T ier-venner 6. Mål brædder
7. Antal kanter 8. T æl kanter
1. Prøv dig frem
2. Tæl æbler
3. Regnestykker
4. Madpakke2. Tier-venner 3. Omkreds
4. Trekanter 5. Firkanter 6. Trekanter, firkanter og femkanter
12
14. Små regnestykker
14-1620. Regnestykker og talfølger 21.-22. Regnestykker med terninger (A og B) 23.-24. Regnestykker (A og B) 25.-26. Feltfarvning (A og B)
15. Papkænguruer
16. Skærmleg 17. Lav et geo-væsen 18. Lav en uro
19. Gem en geometrisk figur
20. Tegn en navnefigur3. En kantet kage
22. Figurer på dæksler 23. Tegn en raket 24. Geometri-stopleg
Gennemgang
3. Lær om plus Øvelser
17-2427. Tier-venner 28. Regn med tier-stænger 29.-30. Edderkoppespind (A og B)
31. Mål og læg sammen 32.-33. Isvafler (A og B)
34. Murstensregning
25-26
27-38
2735.-37. Geo-spil(A og B)
28-2938. Find trekanter og firkanter (feltfarvning)
Opgaver
Evaluering
Geometriske figurer
Intro/Introaktiviteter
Gennemgang
30
31-3639.-40. Find og tegn polygoner (A og B)
41. Dæk figurer med geobrikker 42.-43. Find omkredsen (A og B)
37-38
Øvelser
21. Tegn med lineal Opgaver
Positionssystemet
4. Positionssy- stemet, intro
5. Spejling, intro
6. Mere om plus,intro
9. 10´ere og 1´ere 10. Veksle penge
11. Lær om spejling 1
12. Lær om spejling 2
13. Addition med ti‘er overgang 1
14. Addition med ti‘er overgang 2
5. Taltavle
4. Ridderne og brovogterne
6. 10´ere og 1´ere
5. Når enden er god…
7. Trekantspejling 8. Firkantspejling
7. Spejl med tal
8. Loppemarked
6. Trix’ fødselsdag
25. Saml og gruppér elastikker 26. Tier-stafet 27. Optælling 28. På jagt efter store tal 29. Spring til 100
30. Positionsspil 31. V ekslespil
41
42-4544. Find antallet 45. T alrækker
46-4746.-47. Skriv tal og saml stænger (A og B)
48.-49. Find tallet, læg sammen og angiv antallet (A og B) 32. Byg med centicubes
48-49
33. Kropsspejling
34. På jagt efter eget spejlbillede
Intro
Introaktiviteter
Gennemgang
Øvelser
Opgaver
50 Evaluering
51-52 Spejling
5350. Tegn spejlbilledet
53-62 Intro/Introaktiviteter
54-5551. Spejl figurerne og tegn mønstre
56-5752.-53. Spejl geobrikker og farv (A og B) 54. Spejl geobrikker
58-6055.-56. Byg med centicubes. Spejlingsmønstre (A og B35. Spejling med centicubes
36. Find noget der er spejlet 37. Spejl tal, bogstaver og ting
38. Centicubeleg 39. Vekslespil
40. Trafiktælling
Gennemgang
Øvelser
Opgaver
61-62
65-74
65
66-6757.-58. Addition af to tal (A og B)
6859.-60. Regn plusstykkerne (A og B)
69--7261.-62. Regn plusstykkerne. Stregsammenfør resultaterne (A og B) 63.-64. Regn plusstykker og farv (A og B) 65. Regn plusstykkerne og far v. Find tallet
66. Gæster badeland. Priser på entre og ved isboden
Evaluering
Addition med tierovergang
Intro/Introaktiviteter
Gennemgang
Øvelser
Opgaver
67. Trafiktællingkonkrete observationer 68. Trafiktællingskabelon
7. En urigtig drillenisse
9. Holder slæden?
Evaluering
75-79
73--74 Jul
7. Jul 7670. Nissernes julekalender.
7569. Farvelæg nisser.
71. Find vægten og farv tegningen.
77
7872. Mål juletræer og find vej gennem labyrinten.
7973. Småkager
80-87
80-81
82-83
86-8775. Min butik.
Undersøgelser
Os i klassen
Kan man det?
Understøttende aktiviteter/Trix historier Kommentarer til kapitlerne
84-8574. Ved mosen. Min butik Grundtankerne Matematrix 1A · Lærervejledning / Web 9
Matematiske begreber er ordnet hierarkisk. Det enkelte matematiske begreb skal ses i sammenhæng med den overordnede struktur, det indgår i. Eksempelvis vil begrebet koordinatsystem give ringe mening uden kendskab til tal og tallinjer.
De matematiske begreber skal imidlertid bruges i tilknytning til virkelige problemstillinger, der ikke er pænt tilrettelagt og struktureret. Tværtimod! Begreber som fx sum, proportionalitet og procent dukker pludselig op i forskellige sammenhænge og kræver ofte handling her og nu.
For at udvikle kompetente matematikbrugere skal matematikundervisningen altså både have fokus indad på matematikken og udad på anvendelser.
„Hvordan vedligeholder og videreudvikler man forståelsen og handlemulighederne af de matematiske begreber samtidig med, at der løbende inddrages nye begrebsområder?“
Problemstillingen kan løses gennem en spiralorganisering af undervisningen. Herved foregår repetition og færdighedstræning af begreber fra tidligere klassetrin parallelt med arbejdet med det nye stof. Da mængden af stof, der skal repeteres, har en tendens til at blive større og større, kan det være hensigtsmæssigt at afsætte tid til at „samle trådene“. Det er baggrunden for de kapitler, der omtales som kerneområder.
For 0.-3. klassetrin drejer det sig om:
0. klasse: Tælletallene, Ordninger og Geometriske figurer.
1. klasse: Addition, Subtraktion og Positionssystemet.
2. klasse: Multiplikation og Areal.
3. klasse: Koordinatsystemet og Vinkler.
Progression af faglige begreber
De fleste matematiske begreber er forbundet med hinanden, og progressionen af faglige begreber er hierarkisk opbygget. For at kunne fastlægge en progression er det derfor vigtigt at have kendskab til begrebernes indbyrdes sammenhæng.
Eksempelvis introducerer vi i Matematrix 4 formelt brøk som matematisk begreb. Det giver kun mening, fordi der i hele indskolingen er blevet arbejdet med en lang række begreber, som danner grundlag for at forstå, hvad en brøk er: En grundlæggende talforståelse danner udgangspunkt for arbejdet med addition, derefter multiplikation, så anvendt brøkregning i
form af deling og brøkdele, og så brøk som en talmæssig repræsentationsform.
På mellemtrinnet bruges det introducerede brøkbegreb bl.a. som grundlag for arbejdet med division, decimaltal, procent, frekvens og størrelsesforhold. Med fokus på kapitlerne i bøgerne til hvert klassetrin ser progressionen således ud (kapitler der arbejder videre med tidligere introducerede begreber er udeladt for overblikkets skyld):
Klassetrin Fokus på
0. klasse: Tallene 0-9
1. klasse: Addition og subtraktion.
2. klasse: Chance (frekvens) og multiplikation.
3. klasse: Deling og brøkdele.
4. klasse: Brøk, Koordinatsystemet (tallinjer), division og decimaltal.
5. klasse: Størrelsesforhold og frekvens.
6. klasse: Ligninger og procent.
I introduktionen til hvert grundbogskapitel her i lærervejledningen præsenterer vi den begrebsmæssige progression, som kapitlet indgår i.
Ved skolestart besidder børnene viden og erfaringer, der er nyttige, rigtige, og som bør være fundament til den videre læring. Men børns viden er anderledes organiseret end voksnes, og ofte kan børnene ikke redegøre for den viden, de besidder, fordi de mangler sprog. De fleste førskolebørn ved eksempelvis, at en million er noget stort, men ikke om det er større end nitusindeottehundredefemogtredive. Deres viden om en million stammer måske fra udtryk som „Nej skat, jeg har travlt, jeg skal nå en million ting i dag“. De fleste af os bruger jo „million“ i betydningen „en masse” eller ”meget“ i dagligdagssproget. Det er blevet en naturlig del af helhedsforståelsen af „en million“, lige så vel som at det er heltallet efter 999.999. I rammen nedenfor er nogle få eksempler på begreber, som voksne forbinder med en million. Hvert af disse begreber hænger igen sammen med andre begreber. Illustrationen ville derfor meget hurtigt blive uoverskuelig, hvis alt dette skulle med. Og alligevel ville det blot udføre en brøkdel af det samlede antal mentale begrebslige forbindelser.
Børnenes forskellige udviklingstrin og måde at tilegne sig viden på, skyldes i høj grad, at der er så ufatteligt mange mulige mentale forbindelser. Større eller mindre forståelse af et eller andet handler nemlig om, hvor mange forbindelser, der er dannet mellem begrebet og alle de øvrige begreber, man kender. At forstå noget nyt handler altså om at få etableret nogle få stærke forbindelser (eller relationer) mellem det nye begreb og de allerede kendte sikre begreber. Eksempelvis har et barn på 7 år måske dannet stærke levedygtige relationer mellem en „million“ og „meget“. Udfordringen for læreren er at bygge videre på den „rigtige“ relation, således at begrebet en million bliver mere præcist forstået. I indskolingen er der selvfølgelig ingen, der forventer, at børnene præcist ved, hvad en million er. Men hvis et barn hævder, at en million er større end tusind, er barnet jo på rette vej. Og i mange klasser sidder der faktisk nogle meget velorienterede elever, der har god fornemmelse for „store tal“.
elev med selv at konstruere et arkivsystem (en begrebsstruktur) og få anbragt både de eksisterende og nye hidtil ukendte begreber i det.
At lære et nyt begreb er altså at koble det til de eksisterende begreber. Denne kobling sker i forbindelse med elevens faglige aktivitet med det pågældende begreb. I hvilken grad det lykkes, afhænger af en række faktorer:
• Begrebet skal være inden for rækkevidde for eleven. Det skal indgå i en naturlig sammenhæng og progression i forhold til den unges øvrige begrebsverden.
• Aktiviteterne skal bringe eleven til at tænke i de rette baner. Aktiviteterne skal ideelt tage udgangspunkt i begreber, som er velkendte for eleverne. Da en del forskning har vist, at også elevens humør og motivation har stor betydning, må vi endvidere stille krav om, at aktiviteterne opleves som vedkommende og spændende.
• Der skal være tilstrækkeligt mange aktiviteter, og de skal spredes over tid. Begreber, der ikke arbejdes intensivt med i læringsperioden, kobles ikke med stærke forbindelser og nedbrydes efter kort tid. Som en analogi kan vi tænke på muskeltræning. Trænes der ikke hårdt nok, svarer kroppen ikke igen med at opbygge flere og stærkere muskelfibre.
Hvert knudepunkt svarer til et begreb, og hver streg til en relation.
Udfordringen er, at begreberne ikke sådan bare kan sættes ind efter en nærmere tilrettelagt plan. Begreberne opstår som led i elevens „trial and error“ og „aha-oplevelser“, når de selv er virksomme. Den pædagogiske opgave er derfor at hjælpe hver enkelt
AMeget forsimplet kan en væsentlig del af matematikundervisningen forstås som aktiviteter, der har til formål at skabe forståelse, fasttømre forståelsen og udvide forståelsen for matematiske begreber. Det er vigtigt at påpege, at der næsten altid findes flere grader af forståelse. Eksempelvis har et 4-årigt barn, en 9. klasseelev og en biolog en forskellig forståelse af begrebet insekt. Spørger vi det 4-årige barn, finder det et insekt og siger „sådan en“! Eleven i 9. klasse nævner måske et par konkrete arter og forklarer om forskellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer, at et insekt er „en treleddet struktur med seks ben“.
De forskellige grader af forståelse er et spørgsmål om, hvor mange og hvor stærke relationer, der er mellem
det, der skal forstås, og øvrige relevante begreber. At udvide sin forståelse kræver tid til at opleve, tænke og erfare. Nye sammenhænge erkendes ud fra kendte begreber, og pludselig har man fået baggrund og rum til at forstå det, man ikke tidligere forstod.
A A
Nye aktiviteter skaber flere relationer mellem begrebet A og andre begreber.
Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskellige måder at forstå begreber på. Han opererer med to typer af forståelse, relationel forståelse og instrumentel forståelse. Førstnævnte er det, som er skitseret ovenfor. Som modpol kan man tale om instrumentel forståelse, hvilket betyder, at man bare „gør noget“ uden at forstå det og uden at se det som en del af en større sammenhæng. Man kan udføre korrekte regneoperationer, men man har ikke fat i begrebet. Og det er tydeligt, at den usikre forståelse gør det meget vanskeligt at bruge begrebet i nye sammenhænge. Hvis læreren spørger på en ny måde, kan der opstå store problemer med overhovedet at opfatte spørgsmålet.
Eksempler på instrumentel forståelse:
1 At kunne lægge tal sammen uden at forstå additionsbegrebet.
2 At kunne bruge algoritmer uden at forstå, hvordan de virker.
3 At kunne den lille tabel uden at forstå multiplikation.
Instrumentelle forståelser virker på kort sigt. Eleven får jo de rigtige facitter. Men den instrumentelle forståelse viser sig utilstrækkelig til at bygge ny viden ovenpå. Desuden tvinges man til at lære mere udenad, end når begrebsstrukturen forstås. Fx er ideen bag navngivningen af polygoner, at man ikke behøver at huske de enkelte figurers navne. På samme måde er princippet bag titalssystemet, at man ved at forstå selve systemet, slipper for at skulle huske alle tallenes forskellige navne.
I skolesystemet, hvor læring baseres på tidligere lærte begreber, metoder osv. må instrumentelle forståelser altså ikke være mål i sig selv. I en række af livets
øvrige sammenhænge er den instrumentelle forståelse dog ofte tilstrækkelig. Fx har de færreste andet end en instrumentel forståelse af en gearkasse og kobling i en bil, eller hvordan der rent teknisk skabes forbindelse til internettet.
Evnen til at kommunikere med andre har stor betydning for læringen. Derfor må sproget beherskes. At kunne sætte ord på begreberne gør det let for eleverne at præcisere og teste begrebsforståelsen løbende:
„Er det sådan, du mener?“, „Hvorfor mon ikke det er en funktion?“, „Forklar lige…“. Mange forløb i bogen lægger op til samtaler klassevis, gruppevis og to og to.
Den russiske psykolog, Lev Semenovich Vygotskij, argumenterede for, at sprog og begreb udvikler sig dialektisk. Det giver eksempelvis ikke mening at lære at lægge brøker sammen uden at få at vide, at det faktisk hedder „brøk“, „tæller“, „nævner“, „addere/ plusse“. Vygotskij har givet udtryk for, at det er en vigtig del af begrebsudviklingen at kunne udtrykke sig sprogligt. Og med sprogligt mente han ikke kun det talte sprog, men alle de sprog, hvormed et menneske kan kommunikere – altså også kropssprog, tegninger osv. Jo mere kommunikation, og jo flere forskellige mennesker, der kommunikeres med, des bedre. Men det er ikke ligegyldigt, hvordan denne kommunikation finder sted. Det handler i høj grad om at være „på bølgelængde“.
Læringsmæssigt er det symbolske sprog (tal-, tegn- og bogstavssymboler) et svært sprog. Årsagen er, at der ikke er nogen intuitiv sammenhæng mellem det, der skal læres (begrebet), og det navn (eller symbol), begrebet har. Det er hverken intuitivt eller logisk, at symmetri netop hedder „symmetri“, eller at > betyder „større end“, og + betyder „lægge sammen“.
Vygotskij har skabt nogle begreber, der kan hjælpe med at forstå problemstillingen lidt bedre.
Vygotskijs 1. ordens sprog: Man udtrykker sig spontant, hverdagsagtigt og uden at tænke på oversættelse mv. Sproget og begreberne har udviklet sig samtidigt for eleven. Det er uadskilleligt – en del af et hele. Et eksempel er barnet, der tegner fire biler for at forklare, at hun har set set fire biler.
Vygotskijs 2. ordens sprog er sprog, som ikke står i direkte kontakt med begrebsindholdet. Derfor er
man nødt til at „oversætte“. Et eksempel er en elev i
1. kl., der skriver „4 biler“ for at forklare at han har set fire biler.
2. ordens sproget er altså frakoblet de konkrete ting, det omhandler. Når eleverne skal lære det, må man bygge videre på deres eksisterende viden ved at tage udgangspunkt i deres naturlige sprog. Udviklingen af 2. ordens sproget forudsætter med andre ord, at man udnytter elevens sprog af 1. orden som en slags oversættelsesled. Derfor må man tage afsæt i dagligdagssproget og elevernes viden og bruge den aktivt som fundament til den nye viden.
2. ordens sprog, „niveau 2“ Ikke nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 1. klasse, da der forudsættes mere 1. og
2. ordens sprog (niveau 1) og flere personlige erfaringer.
2. ordens sprog, „niveau 1“ Nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 1. klasse.
Kort formuleret bruger vi ordet kompetence i betydningen ekspertise. At have kompetence betyder både at have viden og færdigheder og at være i stand til at handle på en hensigtsmæssig måde. Desuden skal man have fornemmelse for og kunne vurdere, hvad udfordringerne i en given situation består i med henblik på at kunne træffe den rigtige beslutning. Kompetence indbefatter almindeligvis, at man bevidst kan inddrage sine færdigheder som værktøj i forskellige situationer. Kompetencebegrebet rummer altså mange aspekter, ligesom når det anvendes i sammenhænge som det kompetente barn og den kompetente lærer. I komprimeret form kan man sige, at kompetence er en persons indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation.
1. ordens sprog. Hverdagssprog
To æbler og et mere – så har jeg tre.
Begrebet, zonen for nærmeste udvikling, handler om overgangen mellem de to sprog.
Vygotskij beskriver læring som overgang mellem to zoner. Den aktuelle zone (der hvor man befinder sig inden læringen) beskrives som elevens mentale operationer, som allerede er etableret som resultat af tidligere udviklingsniveau. Den defineres altså ud fra, hvad eleven kan.
Den potentielle eller proximale zone defineres af det, som eleven er på vej mod. Eleven skal strække sig for at forstå det nye begreb, hvilket er muligt med hjælp og støtte fra andre.
En væsentlig pædagogisk udfordring består i at finde de aktiviteter, der kan være oversættelsesled. Det drejer sig altså om aktiviteter, som kan støtte eleven i at „koble sin eksisterende viden“ til den ny viden.
I Matematrix lægger vi naturligvis op til, at eleverne udvikler alle de matematiske kompetencer, som udgør en central del af FFM. Kompetencebegrebet har lige fra starten haft en fremtrædende placering i systemet og med en særlig vægt på matematisk modelleringskompetence, som vi anser som den mest centrale kompetence i en almendannende matematikundervisning. I bøgerne til 1. klasse kommer dette til udtryk ved, at hovedparten af oplæggene til undersøgelser bagest i hver bog er udviklet med modelleringskompetence som det primære læringsmål. Se omtalen af de enkelte undersøgelser på side 88-92.
I de enkelte kapitler i bøgerne til 1. klasse er der fokus på andre faglige kompetencer jf. kompetence/ kapitel-matricen på side 21. Det skyldes ikke mindst, at de mange kapitler, der i indskolingen handler om regningsarterne, naturligt vil fokusere meget på symbolbehandlings- og repræsentationskompetence, fordi det at arbejde symbolsk med regnestykker – frem for fx at tælle på fingrene – er en af de største udfordringer i den indledende aritmetik. Den mundtlige del af kommunikationskompetence er også meget i spil, fordi eleverne har brug for at sætte ord på det, de laver, for at kunne forstå det. Endelig fylder hjælpemiddelkompetencen meget, fordi eleverne som nye i matematikundervisningen har brug for støtte for at kunne håndtere de fleste hjælpemidler fra lineal til lommeregner.
Matematisk kompetence Karakteristiske udfordringer med begreber fra 1. klasse
Problembehandling
At kunne løse og formulere både rent faglige og mere anvendelsesorienterede matematiske problemer.
Modellering*
At kunne gennemføre en matematisk modelleringsproces med fokus på systematisering, matematisering, matematisk bearbejdning og fortolkning af resultatet.
At kunne
- vurdere egenskaber ved matematiske modeller og resultater stammende herfra.
- være konstruktivt kritisk i forhold til andres brug af matematik.
Ræsonnement
At kunne
- gennemføre matematiske ræsonnementer.
- følge og forholde sig til andres matematiske ræsonnementer.
Det er individuelt, hvad der opfattes som et problem. Det nogle elever oplever som matematiske problemer, er ofte let gennemskuelige øvelser for andre elever. Derfor giver det ikke mening generelt at eksemplificere i forhold til, hvad gode problemer er. Spredningen i elevernes forudsætninger er ganske enkelt alt for stor.
• Skriv et regnestykke der viser, at antallet af elever i klassen er antallet af drenge plus antallet af piger.
• Hvem i klassen har størst fødder?
• Byg en klassekammerat/din matematiklærer i legoklodser. Prøv også at tegne ham/hende ved hjælp af cirkler, trekanter og firkanter.
A: ”Jeg skal bruge længere tid på at komme i skole end dig, for jeg bor længere væk.”
B: ”Ja, men du kan tage bussen, og jeg skal gå, så det passer ikke.”
A: ”Vi er 12 + 9 = 21 personer i klassen, for der er 12 piger og 9 drenge.”
B: ”Ja, men du har glemt læreren, så vi er en mere, end du tror.”
A: ”Der er kun hundrede forskellige tal, fordi taltavlen ikke har plads til flere.”
B: ”Nej, for man kan jo bare lægge nye taltavler ved siden af og så tælle videre på dem.”
A: ”Trekanter er mindre end firkanter, fordi tre kanter er mindre end fire kanter.”
B: ”Ja, men kanterne i trekanten kan jo godt være nogle andre end dem i firkanten, så den bliver større alligevel.”
Tankegang
At kunne
- vurdere matematikkens ”spilleregler” og strukturelle opbygning.
- bruge sin viden om, hvad der er karakteristisk for matematik som fag.
• Kan I give eksempler på, hvornår man bruger plus/minus?
• Hvordan kan vi med sikkerhed vide, at den blå figur er en firkant?
• Hvordan kan vi finde antallet af borde og stole i klassen?
*Den røde stiplede linje skal medvirke til at holde fokus på både den konstruktive og den kritisk undersøgende side af matematisk modelleringskompetence, så arbejdet med matematiske modeller generelt vægtes højt i planlægningen af matematikundervisningen. Derudover er sondringen praktisk begrundet, idet elevernes arbejde med selv at bygge og bruge modeller skal tilrettelægges helt anderledes, end hvis udgangspunktet er at forholde sig kritisk til brugen af eksisterende matematiske modeller.
Matematisk kompetence Karakteristiske udfordringer med begreber fra 1. klasse Repræsentation
At kunne
- arbejde med forskellige repræsentationer af matematiske objekter: Hands on, ikonisk og symbolsk.
- skifte mellem og vælge den mest hensigtsmæssige repræsentation i en given situation.
- være konstruktivt kritisk i forhold til andres valg af repræsentationsform.
Symbolbehandling
At kunne
- afkode, dvs. italesætte bagvedliggende betydninger.
- oversætte frem og tilbage til ”almindeligt” sprog.
- foretage beregninger med symboler, når det giver mening.
- være konstruktivt kritisk i forhold til andres symbolbehandling.
Kommunikation
At kunne
- udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik.
- forstå og forholde sig konstruktivt kritisk til andres matematikholdige udtryk.
• ”Forskellen i år på mig og min lillesøster kan vises som alle fingrene på en hånd minus pege- og tommelfinger eller som x x x eller som 7 – 4 eller som 3. Jeg kan også bare vælge at sige ”tre”.
• Er der en idé i at skrive antallet af drenge i klassen som 12 frem for at slå en streg for hver dreng?
• ”Når jeg skal lave en spejlet figur, vil jeg helst folde papiret, for så er jeg sikker på, at stykkerne passer sammen.”
• ”Jeg synes, tal over ti er svære at lægge sammen, for der kan jeg ikke bruge fingrene.”
• I hvilke situationer bruger man minus (–) i et regnestykke? Og i hvilke bruger man plus (+)?
• Hvad er forskellen på at skrive 47 og 74?
• Hvad betyder 7 – 4 = 3?
Hjælpemidler
At kunne
- betjene sig af forskellige hjælpemidler i forbindelse med matematisk virksomhed.
- skifte mellem og vælge det mest hensigtsmæssige hjælpemiddel i en given situation.
- være konstruktivt kritisk i forhold til andres brug af hjælpemidler.
A: ”Jeg synes, tal over ti er svære at lægge sammen, for der kan jeg ikke bruge fingrene.”
B: ”Jo, du kan bare lægge enerne sammen først og så tage tierne bagefter.”
A: ”Jeg kan skrive, hvor gamle vi er som 7 + 8 = 15.”
B: Jeg forstår godt + (plus), men hvad betyder det, når du skriver = (lig med)?”
• ”Plus og minus er på en måde næsten det samme, fordi man arbejder med de samme tal, når man regner.”
• ”Når jeg skal lave en spejlet figur, vil jeg helst folde papiret. Så er jeg nemlig sikker på, at stykkerne passer sammen.”
• ”Trekanter kan være større end firkanter, selvom tre kanter er mindre end fire kanter.”
• ”På den her side i bogen tror jeg, det handler om at …, fordi …”
• ”Når jeg skal lave en linje på en tegning, bruger jeg en lineal, for hvis jeg laver den uden, kommer den nemt til at blive skæv og grim.”
• ”Når jeg tegner firkanter i GeoGebra, bliver de helt rigtige at se på.”
• Hvad er det smarte ved en lommeregner?
• Man kan regne med tocifrede tal ved at repræsentere hvert af tallene med centicubes og samle dem til centicubestænger, der viser, hvordan resultatet skrives i titalssystemet.
Læringsprincipper
Læringsprincipper er velegnede at bruge i tilrettelæggelsen af undervisningen. De skal bidrage med at fastholde undervisningen på rette spor. En afgørende forudsætning for læring er, at den lærende skal have mulighed for selv at bygge (konstruere) sin viden, færdigheder og kompetencer, som jo ikke overføres
hurtigt og lige så enkelt, som når man downloader fra nettet. Konstruktionen af viden og færdigheder kræver, at vi er motiverede og fokuserede på at lære, og at vi aktivt prøver os frem. En hovedopgave for læreren er derfor at organisere og tilrettelægge meningsfyldte situationer for eleverne.
Man lærer bedst, når man kender målet med undervisningen.
Ved at være fortrolig med den faglige dagsorden øges ejerskabet til læringen, og man kan arbejde mere målrettet og fokuseret. Også af den grund er det vigtigt, at eleverne deltager i planlægningen af arbejdsmåder, samarbejdsformer og valg af materialer.
Man lærer bedst, når man er virksom. Eleverne skal selv arbejde med stoffet frem for at få det fortalt. Det er vigtigt, at man generelt forholder sig aktivt til omverdenen og dagligdagen (dialog, tegning, skrivning, regning, skuespil, tænkning, mimik osv.)
Man lærer bedst, når man får god feedback
Man lærer bedst, når man får god feedback fra en kyndig person (læreren). Feedbacken giver anledning til refleksion, selvevaluering og metakognition.
Man lærer bedst, når man er motiveret. Eleverne vil være mere motiverede, hvis de kan se meningen med aktiviteterne og har haft indflydelse på dele af undervisningen. Adgang til it fremmer også motivationen. Motivationen skal drive læringen og gøre læringsprocessen mere fokuseret.
Man lærer bedst, når man møder det nye stof ud fra egne forudsætninger. Begrebsmæssigt og kompetencemæssigt vil eleverne i en klasse normalt befinde sig på flere forskellige faglige niveauer. For at motivere og understøtte elevernes læring er det vigtigt at tilgodese elevernes forforståelse.
Man lærer bedst, når man oplever fremgang. Giv eleverne succesoplevelser og anerkendelse for deres indsats. Læg op til, at eleverne selv er med til at bedømme kvaliteten af deres arbejde. Derved oplever de også tilfredsstillelsen ved, at en god indsats giver et godt resultatet.
Man lærer bedst gennem gentagelser. Gentagelser fortæller hjernen, at noget er vigtigt og skal huskes, og i gentagelsen opdages ofte nye sammenhænge.
Man lærer bedst, når man er godt forberedt og undgår at komme bagefter. Det er vigtigt, at alle aktørerne omkring eleven understøtter skolens matematikundervisning, så risikoen for, at der opstår kritiske faglige huller hos eleven, bliver mindre.
Man lærer bedst, når kroppen er med. Inddrag mange ikke-boglige aktiviteter, tænk i it, repræsentationsformer og læringsstile.
Man lærer bedst, når man har mulighed for at tegne, bygge modeller og foretage udregninger på kladdepapir eller i et digitalt medie.
Hvis en opgave er problematisk venter mange elever med at skrive noget, indtil de er sikre på, hvad de skal gøre. Det er en misforståelse. Problemløsning handler netop om at turde afprøve forskellige muligheder og strategier.
Man lærer bedst, når man er vedholdende. Det er vigtigt at kunne fastholde arbejdet i længere perioder uden at give op, hvis man vil dygtiggøre sig. Vejen til indsigt og kompetence kan være slidsom. Evnen til problemløsning handler i høj grad om at lære at styre sin frustration og hele tiden forsøge at tænke i muligheder.
TIMEGLASMODELLEN
De fagligt organiserede kapitler i Matematrix er opbygget efter en læringsmodel, vi har kaldt „timeglasmodellen“. Timeglasset bruges, når eleverne skal tilegne sig nye og centrale begreber og metoder. Et kapitel tager udgangspunkt i elevernes erfaringsgrundlag og elevernes forforståelse. Derefter indsnævres det indholdsmæssige fokus til et præcist og velafgrænset matematisk kerneindhold.
Læringsforløbet fortsætter med konsolidering og anvendelse af begreberne i virkelige, relevante og forskelligartede sammenhænge og afsluttes med en evaluering.
Timeglasset er en meget vigtig del af læringsværktøjet, fordi det består af seks helt centrale forløbsfaser, som tilsammen og hver for sig indeholder Matematrix’ væsentligste læringsmæssige pointer.
Introduktion
Ideen med introduktionen er at motivere eleverne for det nye emne og synliggøre dagsordenen. Der lægges op til en samtale med eleverne om, hvorfor det er vigtigt at bruge tid på de aktuelle faglige begreber.
Intro-aktiviteter
Inden de nye matematiske begreber indføres og forklares, er det vigtigt, at eleverne involveres aktivt, så de kommer til at tænke i de rigtige baner. Der lægges op til, at eleverne enkeltvis eller parvis arbejder med aktiviteter, der genopfrisker tidligere lærte faglige begreber og relevante erfaringer på en måde, så de peger frem mod og skaber behov for en ny gennemgang.
Matematisk gennemgang
Det er bevidst gjort tydeligt, at der nu foretages et “spring“ ind i matematikkens verden. Der samles op på aktiviteterne, så fælles træk og karakteristika udpeges. Mødet med det abstrakte matematiske begreb tager altså direkte udgangspunkt i de erfaringer (matematiske og dagligdags), som eleverne „får op til overfladen“ i introen.
Øvelser
Her trænes centrale færdigheder i tilknytning til det nye stof. Øvelserne er inddelt i særlige øvelseskategorier, så træningen af fagligt kernestof gøres så synligt og præcist som muligt for eleverne. Der lægges op til mange gentagelser af den samme arbejdsproces. Når en elev behersker en øvelseskategori, er det meningen, at han/hun går videre til næste aktivitet.
Opgaver
Opgaverne har til formål at forstærke begrebsdannelsen ved at skabe flere relationer mellem de forskellige begreber hos den enkelte. Den simple forståelse, der er etableret gennem arbejdet i øvelsesafsnittet, bliver udfordret i denne fase. I forhold til øvelserne er opgaverne mere varierede og komplekse. Opgavernes forskellige sværhedsgrad gør dem velegnede til differentiering. Det er på ingen måde meningen, at alle elever skal løse samtlige opgaver. De sidste opgaver i hvert kapitel er vanskelige.
Evaluering
Siderne har fokus på evaluering og kompetencer, begrebsforståelse og færdigheder. Evalueringens rolle er først og fremmest at gøre eleverne bevidste om, hvordan det går med at arbejde sig hen mod målene.
• Grundtankerne bag Matematrix
Didaktiske overvejelser, udvikling af færdigheder, begreber og kompetencer. Matematrix som et lærings-og undervisningsværktøj.
• Kommentarer til de enkelte kapitler
Faglige læringsmål, faglig vinkling og progression, differentieringsmuligheder, metodiske råd og vejledning til siderne i elevbogen.
• Understøttende aktiviteter
39 forslag til konkrete aktiviteter, der er tænkt ind i forløbene og den daglige praksis.
• Trix-historier
Til hvert af bogens 7 kapitler findes en historie med en matematisk pointe. Universet er hyggeligt og lægger op til fællesoplevelser.
• Facitliste til elevbogen
Ved køb af en lærervejledning gives der adgang til resurser på matematrix.alinea.dk.
Det drejer sig blandt andet om arbejdsark, regnearksfiler, GeoGebrafiler, faglige film, lydfiler og facitliste til arbejdsarkene.
