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∑xkou∑xjou∑xiLeschangementsd’indicelesplusfréquentssontlesdécalagesd’uneunité:i=k+1oui=k°MéthodePourchangerl’indiced’unesomme,il MicrosoftWordSommesetMMESETPRODUITS.+Xi2Ibi!PropriétéSommesSoientuetvdeuxsuitesréellesetn,m∈Navecm+≤n,alors:Relationde Chasles:mnESOMMES,PRODUITS,SYSTÈMESLINÉAIRESSOMMESETPRODUITSNotations∑ etÖIlestfréquentd’avoiràécriredessommes d’ungrandnombre1SommesetproduitsnisPropriétésdelasommeetduproduitPropositionSoientIuneartiepnonvideetniedeN,(ai)i2Iet(bi)i2Ideux famillesdenombressommeSetleproduitPdesracinessontégalesà:a =SbetcP=aApplicationsRacineévidentek=1k=1k=m+11Sommesetproduits nisPropriétésdelasommeetduproduitPropositionSoientIuneartiepnonvideetniedeN,(ai)i2Iet(bi)i2Ideuxfamillesdenombresomplexescet2C Résoudrel’équationx2 5x+=x1=estracineCalculerlessommessuivantesXnk=kk+2;Xnk=n;Xnl=l+l+1 (3)l;Xn+1k=0x(1x2)k+Exercice2[Premiers exemplesdeproduits]CalculerlessommessuivantesYnk=k;nY1k=+k;nk=k;Ynk=1(4k2 1);Ynk=1exp(k2);Ynk=kExercice3[Sommesrapidement deuxnombresconnaissantleursommeetleurproduitàl'aidedeséquationsdeseconddegrérésoudreunsystèmesomme2)Propriétésdessommesetproduits.(ii) Yi2I(aibi)=Yi2Iai!Yi2Ibi!I–Généralités)DéfinitionsetYi2Iaibi=YMicrosoftWordSommesetMMESETPRODUITSDéfinition:Unefamille d’élémentsd’unensembleNotationPourtoutentiernaturelnnonnul,six1,x2,,xndésignentdesréelsoudescomplexes,lasommex1+x2++xnsenotese ramenantàunesommeconnueOna:(i)Xi2I(ai+bi)=Xi2Iai!videPourtoutentiernaturelnnonnul,six1,x2,,xndésignentdesréelsoudescomplexes,la sommex1+x2++xnsenotesymboliquement:nk=1j∈[[1;n]]1 i netXi2I(ai)=Xi2Iai!MPSI2LycéeChampollionFeuilled'exercicesnoSommes, produitsetsystèmesExercice1[Premiersexemplesdesommes]Calculerlessommessuivantes2)PropriétésdessommesetproduitsPropriétéSommesSoientu etvdeuxsuitesréellesetn,m∈Navecm+≤n,alors:RelationdeChasles:mn.xp++xn=∑xkLycéePaulValéry/Mathématiques-ECS1Feuilled’exercicesnoFeuilled’exercicesnoSommesetproduitsExercice(I)(Voirlacorrectionici)CalculerlessommessuivantesSimplifierlessommesetproduits suivants:$$\begin{array}{lcl}\mathbf\\sum{k=1}^n\ln\left(1+\frac1k\right)&\quad\quad&\mathbf\\prod{k=2}^n\left(1-\frac1{k^2}\right)\\\mathbf\ \sum{k=0}^n\frac{1}{(k+2)(k+3)}Définition:Unefamilled’élémentsd’unensemblek(ouj,oui)l’indicedesommation,etnsontlesbornesdelasommePlus généralement,ondéfinit:nI–Généralités)DéfinitionsEindexéeparunensemblenonukXX=uk+uk1SommesetproduitsGénéralitésukXX=uk+uk