Módulo 1 Noveno

Matemática

Noveno de básica “ ”

Estudiante:

Elaborado y recopilado por: C.P.A Nancy Alvarado N. Adaptaciones Lic. Lourdes Alvarez c.

Desarrolla tu imaginación e ingenio:

Unidad 1

Conjunto de números Reales

DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO A SER DESARROLLADAS:

M.4.1.30. Establecer relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta numérica y la simbología matemática (=, <, ≥).

Reconocer el conjunto de los números irracionales. Ref. (M.4.1.26.).

Calcular expresiones numéricas usando las operaciones básicas ylas propiedades algebraicas en R. (Ref. M.4.1.31.). (Ref. Ref. M.4.1.32.)

M.4.1.36. Reescribir expresiones numéricas o algebraicas con raíces en el denominador utilizando propiedades en R (racionalización).

INDICADORES ESENCIALES DE EVALUACIÓN

 Identificar los diferentes conjuntos de números que integran los reales mediante el desarrollo de ejercicios.

 Ordenar el conjunto de números reales mediante el uso de la recta numérica.

 Comparar el conjunto de números reales mediante el uso de la simbología matemática (=, <, ≤, >, ≥).

 Resolver operaciones básicas, la radicación y potenciación con números reales mediante la resolución de ejercicios y problemas.

INDICADORES DE EVALUACIÓN

 Establece relaciones de orden en un conjunto de números racionales con el empleo de la recta numérica (representación geométrica); aplica las propiedades algebraicas de las operaciones (adición y multiplicación) y las reglas de los radicales en el cálculo de ejercicios numéricos y algebraicos con operaciones combinadas; atiende Correctamente la jerarquía de las operaciones. (Ref.I.M.4.1.3.).

D.C.D. 1.1

M.4.ASU9.1.1. Reconocer el conjunto de los números reales R (naturales, enteros, racionales e irracionales) e identificar sus elementos.

NÚMEROS REALES

Recordemos que el conjunto de los números reales está formado por los Racionales e Irracionales, a su vez los Racionales contienen a los Enteros y Fraccionarios y finalmente los Enteros abarcan a los Naturales y los Negativos.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9)

En teoría el conjunto de los números naturales es decir todos los números enteros positivos con o sin él cero.

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales:

ACTIVIDAD 1

a) Coloque el signo 457 455 98 454 555 534 556 096 43 000 567 65 456 435 5 000 897 34 789 500 43 005 567

b) Escriba los números van antes y después de: 1 001 096 23 567 1 000 456 9 000 _____ 578 _____ _____ _____ 700 324 678 600 _____

NÚMEROS ENTEROS

Son aquellos números positivos y negativos, incluido el cero, que no tienen parte decimal dentro de su estructura (3,28, por ejemplo, no es un número entero). El término número entero nace del latín númerus y se representan mediante la letra Z.

NÚMEROS RACIONALES

Proviene de Quotient que significa «cociente» (Resultado que se obtiene al dividir una cantidad por otra).

Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de números enteros Todos los enteros están incluidos en los números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z /1. Este conjunto de números incluye a los números enteros (positivos y negativos), decimales y a las fracciones. Es el conjunto formado por todas las fracciones de dos números enteros, con un denominador diferente de cero y aquellos decimales que pueden ser expresados como fracción.

Fracción propia: El numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia: El numerador es mayor al denominador.

Fracción aparente: El numerador y el denominador son iguales.

Fracción mixta: Se combina la fracción propia y los enteros.

Fracción equivalente: Se pueden obtener fracciones equivalentes si se divide o multiplica el numerador y denominador por el mismo número

2 3 = 4 6 = 8 12

Fracciones decimales:

Tienen como denominador el número 10, 100 y 1000 Una de sus características principales es leer el número decimal y fraccionario de la misma forma

5 10 = 0,5 cinco décimos

5 100 = 0,05 cinco centésimos 5 1000 = 0,005 cinco milésimos

ACTIVIDAD 3

a) Escriba 5 ejemplos de cada fracción estudiada: Fracción Propia: a) b) c) d) e) Fracción Impropia: a) b) c) d) e) Fracción Mixta: a) b) c) d) e) Fracción Aparente: a) b) c) d) e) Fracción Decimal: a) b) c) d) e)

b) Aplique fracción equivalentes con amplificación:

1 2 3 4

c) Simplifique cada fracción, pinte de color azul las fracciones irreducibles.



EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL:

Para obtener un decimal, dada una fracción, se divide el numerador para el denominador. Ejemplo: �� �� =��÷��=��,��

Decimales limitados exactos:

Ejemplos: 7 40 = 0,175 1 2 = 0,5 225 100 = 2,25

1,242 = 1242 1000

Decimales periódicos puros: se pueden presentar con un arco sobre la parte que se repite, con una barra o vínculo, o con puntos suspensivos: Ejemplos: 0,3 0,3 0,3 1,27 1,27

FRACCION GENERATRIZ

REGLA: Si queremos pasarlos a fracción generatriz, lo único que hacemos es anotar el número como que fuera entero en el numerador y en el denominador el 1 acompañado de tantos ceros como indique la cantidad de decimales, luego simplificar todo lo que sea posible, así:

0,5= 5 10 = 1 2

En este ejercicio hemos tomado la quinta hasta obtener la fracción generatriz. 2,25= 225 100 = 45 20 = 9 4

En este ejercicio hemos tomado primero una quinta y luego otra quinta, pero podríamos haber tomado la veinte y cinco ava, hasta obtener la fracción generatriz.

1,242= 1242 1000 = 621 500

En este ejercicio se pudo tomar únicamente la mitad, hasta obtener la fracción generatriz.

REGLA: Para obtener la fracción generatriz, colocamos en el numerador el número como que fuera entero, restamos la parte entera, si la hay, y en el denominador tantos nueves como decimales tenga en el arco, así: 0,3= 3 9 = 1 3

En este ejercicio hemos tomado la tercera, hasta obtener la fracción generatriz. 1,27 = 127 1 99 = 126 99 = 42 33 = 14 11

En este ejercicio hemos tomado primero una tercera y luego otra tercera, pero podríamos haber tomado la novena, hasta obtener la fracción generatriz. 2,863 2863 2 999 = 2861 999

Decimales periódicos mixtos:

Ejemplos: 0,13 1,0024 1,321123

Si divides

Si divides Si divides

En este ejercicio no se ha podido simplificar nada más, por lo tanto es la fracción generatriz.

REGLA: Para obtener la fracción generatriz, colocamos en el numerador el número como que fuera entero, restamos la parte que no se repite, y en el denominador tantos nueves como decimales tenga en el arco, y tantos ceros como decimales haya entre la coma y la parte que se repite, así:

0,13 ̂ = 13 1 90 = 12 90 = 6 45 = 2 15

En este ejercicio hemos tomado primero una mitad y luego una tercera, hasta obtener la fracción generatriz.

1,0024= 10024 100 9900 = 9924 9900 = 4962 4950 = 2481 2475 = 827 825

En este ejercicio hemos tomado dos veces la mitad y luego una tercera, hasta obtener la fracción generatriz. 1,1123 ̂ = 11123 11 9990 = 11112 9990 = 5556 4995

En este ejercicio hemos tomado la mitad, hasta obtener la fracción generatriz.

ACTIVIDAD 4

Determinar la fracción generatriz de los siguientes decimales: 1,2= 0,2= 0,42= 2,224= 1,29= 0,1242=

NÚMEROS IRRACIONALES

Son los números cuya expresión decimal es infinita no periódica y no pueden ser representados como fracción.

Ejemplos de números irracionales:

INVESTIGA: ¿Cuál es el número de oro y su valor?

APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO IRRACIONAL: Para realizar operaciones con números irracionales no podemos utilizar una cantidad infinita de decimales, en tal razón se utiliza la aproximación por truncamiento o por redondeo.

Aproximación por redondeo: Primero tomamos en cuenta el orden de aproximación que deseamos, es decir si queremos redondeado de acuerdo a las décimas, nos fijamos en las centésimas; si queremos de acuerdo a las centésimas nos fijamos en las milésimas, y así sucesivamente, en donde tendremos dos casos:



Si es menor que cinco, la cifra inmediata anterior se queda igual.

Si es mayor o igual que cinco, añadimos una unidad a la cifra inmediata anterior.

Aproximación por truncamiento: Suprimimos directamente las cifras decimales de acuerdo al orden de aproximación deseado.

Número

Orden de aproximación Aproximación por redondeo Aproximación por truncamiento 1,326865…. Según décimas 1,3 1,3 1,8972345….. Según centésimas 1,90 1,89 2,9765412 Según centésimas 2,98 2,97 0,325876104….. Según milésimas 0,326 0,325

1) Aproximelossiguientesdecimalespor redondeoy portruncamiento,según las centésimas:

1)1,9765 2)0,1235 3)2,425713 4)0,386965 5)1,5789365 6)0,38696

7)3,2314266 8)0,057986 9)3,742176

1) Ubique los números siguientes en la parte correspondiente del diagrama: ��,����

2) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros. ��,�� √��

3) Señale con una X en el número que corresponda, recuerde que puede estar en más de una casilla.

M.4.ASU9.1.2. relaciones de orden en un conjunto de números reales utilizando la recta

En elconjunto de losnúmerosrealestambiénexiste una relaciónde orden, entenderlate permitirá establecer qué reales representan más que otros.

El siguiente cuadro nos indica la simbología que usaremos: SÍMBOLO PALABRAS EJEMPLO = Igual que 4+4=8 < Menor que √2<7 > Mayor que �� >1

Representación de los reales en la recta numérica:

Recuerde:

Todo número que esté ubicado a la derecha de otro en la recta numérica siempre será el mayor. Los números negativos se encuentran al lado izquierdo del cero y los números positivos se encuentran a la derecha del cero.

Cuando tenemos varios números reales los podemos ordenar de forma ascendente o descendente.

Orden ascendente: cuando se les ubica de menor a mayor.

Ejemplo: 3, √8, 1, 0, √2, �� →������������������������������

Orden descendente: cuando se les ubica de mayor a menor.

Ejemplo: ℮, 2, 0, √3 √5 4 →�������������������������������� 6

c) Represente en la recta numérica, las siguientes fracciones y ordénelas de menor a mayor.

d) Ubique en la recta numérica y ordene de forma descendente los siguientes números reales: √��; ��; ��; �� ��; √��; ��; ��,��

e) Ubique en la recta numérica y ordene de forma ascendente los siguientes números reales: ℮; √�� ��,�� +�� ���� �� ��,�� ̂

f) Coloque el signo <, >, = según corresponda: �� _____ 3 √3 √5 8 10 d) 1 3 1 2 √7 3 f) 2 ℮ 0,5 √2 h) 1 5 1 4 i) 0,2 0,3 ̂ �� 2