Produtos educacionais e resultados de pesquisas em Educação Matemática

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Copyright © 2021 Editora Livraria da Física Editor: J OSÉ R OBERTO M ARINHO Editoração Eletrônica: E DI C ARLOS P EREIRA DE S OUSA Capa: E DI C ARLOS P EREIRA DE S OUSA Texto em conformidade com as novas regras ortográficas do Acordo da Língua Portuguesa. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Produtos educacionais e resultados de pesquisas em educação matemática / organização Marcele Tavares Mendes, Andresa Maria Justulin. – 1. ed. – São Paulo: Livraria da Física, 2021. ISBN 978-65-5563-111-1 1. Matemática - Estudo e ensino 2. Práticas educacionais 3. Professores - Formação profissional I. Mendes, Marcele Tavares. II. Justulin, Andresa Maria. 21-68901

CDD-370.71

Índices para catálogo sistemático: 1. Práticas educativas: Formação docente: Educação

370.71

Aline Graziele Benitez – Bibliotecária – CRB-1/3129 ISBN: 978-65-5563-111-1 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n. 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Impresso no Brasil • Printed in Brazil Editora Livraria da Física Tel./Fax: +55 11 3459-4327 / 3936-3413 www.livrariadafísica.com.br






PREFÁCIO

Um livro como declaração política: a divulgação de produtos educacionais gerados em um Programa de Mestrado Profissional

A

do que se tem feito em boa parte dos trabalhos de pesquisa em Educação Matemática, penso ser importante trazer algumas considerações de natureza histórica sobre a constituição dos Mestrados Profissionais no país, posto que essa história, com seus conflitos e distorções ainda ecoando no panorama atual, pode dar uma dimensão mais clara da importância deste livro que, gentilmente, as organizadoras me convidaram a prefaciar. Em geral alguns elementos históricos sobre um determinado tema participam, quando muito, como um mero discurso introdutório, para sugerir erudição e cuidado com uma certa “tradição” que nos constitui. Mas vencidos os primeiros parágrafos, a estratégia é completamente abandonada para que se trate, efetivamente, do tema que o autor se propõe a abordar, à revelia de qualquer posicionamento historiográfico. O Mestrado Profissional (MP) como uma modalidade stricto sensu da pós-graduação decorre de uma portaria da CAPES, datada de novembro de 1998. Esta portaria1 distingue entre duas modalidades de mestrado: o acadêmico e o profissional. Sendo assim estabelecido a partir de legislação específica que os Mestrados Profissionais não podem ser discriminados de modo negativo em concursos públicos, sejam aqueles de preenchimento de vagas de função profissional, sejam aqueles de seleção a doutorados. Disso sensatamente já nos alertava Renato Janine Ribeiro em um de seus conhecidos textos sobre o tema2 . Não é desatualizado lembrarmos dessa disposição quando ainda ouvimos em corredores de Departamentos de Ensino das nossas Universidades comentários do tipo “pode, mas não deveria poder” ou “pode, mas é preciso desencorajar”, pressupondo ser a formação nessas modalidades profissionais como de qualidade inferior à acadêmica, por exemplo, quando há necessidade de contratar profissionais docentes. Embora legalmente estabelecida em 1998, a modalidade profissional de pós-graduação não encontrou repercussão significativa entre as IES pelo menos até meados da década seguinte. Tendo sido criada nos termos da legislação, prioritariamente, para atender demandas do mercado de trabalho, as resistências à criação de MPs eram justificadas pela afirmação de que, como propostos, esses mestrados seriam mais do interesse de empresas que dos centros de produção de conhecimento desinteressado, no que se incluíam as Universidades e, em decorrência, a comunidade científica das mais diversas áreas. Sendo interessante ao setor empresarial, correr-se-ia o risco de tornar a pesquisa “subalterna em relação aos interesses do capital”3 . 1 Trata-se

O CONTRÁRIO

da Portaria 80, de 16 de novembro de 1998, que “Dispõe sobre o reconhecimento dos mestrados profissionais e dá outras providências”, publicada no Diário Oficial da União de 11 de Janeiro de 1999, seção 1, página 14. 2 Trata-se do texto Ainda Sobre o Mestrado Profissional, de Renato J. Ribeiro, na Revista Brasileira de Pós-Graduação, (Brasília, v. 3, n.6, dez./2006). 3 Trata-se do artigo O mestrado profissional na política atual da CAPES, de Renato J. Ribeiro, na Revista Brasileira de Pós-graduação (Brasília, v. 2, n. 4, jul./2005). Todas as citações apresentadas entre aspas no corpo deste prefácio foram extraídas de um dos dois textos de Renato Janine Ribeiro, explicitados nessas notas de rodapé.


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O Diretor de Avaliação da CAPES, Renato Janine Ribeiro, em texto de 2005, pontuava ser importante um diálogo contínuo e constante entre os que apontavam o foco mais diretamente para a interação dessa formação com o mundo da produção e os que tinham apreço maior pela necessidade de um compromisso com os setores sociais e com as políticas públicas. Sem esse diálogo, dizia Ribeiro, corriam-se sérios riscos, “primeiro, que efetivamente o incremento na produção econômica se dê sem uma boa discussão sobre quem se beneficia com os ganhos de produtividade [...]; segundo, que o centro de decisões sobre a pesquisa desloque-se da universidade e do meio acadêmico at large para as empresas; terceiro, que as áreas de Ciências Humanas e Sociais, embora as mais adequadas, por definição, para contribuírem com a melhora de nossos indicadores sociais, fechem-se no mundo universitário e não transfiram, para aqueles que, de fato, agem no mundo da prática, os meios mais novos e aptos a lutar contra a miséria e a iniquidade”. É importante lembrar que, até aqui, as discussões eram feitas na tentativa de que se efetivasse a proposta dos Mestrados Profissionais de tal forma que eles fossem implantados nas mais diversas universidades e estivessem vinculados às mais distintas áreas do conhecimento. As exemplificações do que seriam esses Mestrados, como se daria seu funcionamento e quais seriam seus resultados, vinham mais frequentemente, até então, de exercícios e postulações em áreas muito variadas. Da Saúde Pública à Administração de Empresas, passando pela Produção Agrícola, Arquitetura e Urbanismo, Segurança Pública, etc. Todas adequadas para uma exploração clara, e muitas vezes inédita, de resultados práticos possíveis. É o caso de trabalhos sobre produção agrícola (que poderiam aumentar o lucro das safras, promover uma reforma nas leis de trabalho dos campesinos, diminuir a poluição causada por detritos da produção, aprimorar o manejo dos insumos agrícolas, cuidar da saúde e do ambiente social do homem do campo, fixando-o à terra e evitando êxodos rurais, explorar a potencialidade de estratégias tecnológicas inovadoras etc) ou do Urbanismo (cujos resultados poderiam interferir positivamente na construção de moradias mais baratas, mais seguras, termicamente mais adequadas e mais confortáveis; na organização de conglomerados urbanos e de áreas de lazer públicas viáveis; na atenção às diferenças entre condições e oportunidades nas cidades). Raramente incluíam as áreas da Educação ou do Ensino. A relativa ausência destas áreas na discussão, naquele primeiro momento, talvez se devesse ao fato de que a aproximação com “as demandas da prática”, no caso desses dois campos, se resumiam à aproximação dos projetos de mestrado com a escola, com a efetividade das práticas escolares. Tal fato era familiar à maioria das investigações desenvolvidas em cursos de mestrado acadêmico nas áreas da Educação e de Ensino de Ciências e Matemática (para nos restringirmos aos dois campos que nos são mais familiares). Para as áreas da Educação e do Ensino, portanto, a diferenciação entre as modalidades acadêmica e profissional ainda parecia muito obscura. Essa dificuldade de diferenciar um Mestrado Profissional em Ensino de Matemática e um Mestrado (Acadêmico) em Ensino de Matemática, aliás, ainda é bem viva em boa parte dos cursos em funcionamento. Um conjunto de fatores4 levou a CAPES a defender e motivar os Mestrados Profissionais: um deles é a constatação de que o mundo contemporâneo exigia (ainda exige) cada vez mais uma formação qualificada e especializada. Por isto a Universidade desempenha um papel fundamental, com seus cursos de graduação, em relação às necessidades desses profissionais buscados pelo mercado, ao passo que parte dos mestres e doutores formados em nossos Programas de Pós-graduação não seguia (e não segue) atuando na docência do ensino superior. Julgando que, em larga escala, a função de cuidar da formação e da atuação dos profissionais do ensino superior vinha sendo cumprida pela CAPES, tornava-se 4 Essas

disposições seguem aquelas de Ribeiro, disponíveis no artigo de 2005, já citado.


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necessário, à época5 , segundo o discurso da própria agência, cuidar dos mestres e doutores que, titulados, atuariam fora do ambiente acadêmico. Este discurso subjaz à defesa da CAPES sobre a necessidade de criação dos cursos de mestrado profissionais, considerando, ainda, as palavras do diretor de avaliação da agência. Ele afirmava que, embora não houvesse preconceito algum em relação à transferência de conhecimento científico para empresas ou para o mercado, “também é relevante para a sociedade que o setor público e os movimentos sociais sejam alvos dessa transferência”, do que decorre o “empenho da CAPES em facilitar, às distintas áreas do conhecimento, sua aplicação prática para além dos muros da academia”. Soma-se à proposta de criação de MPs, o fato de tais mestrados terem “por vocação o autofinanciamento”6 , com um peso bastante decisivo quando se leva em conta o grande número de universidades privadas que os abraçaram. As argumentações também não encontravam muito eco nas comunidades da Educação ou dos pesquisadores do Ensino de Ciências, ao menos no que diz respeito às Universidades Públicas. No momento em que alguns pesquisadores reconhecidos no campo do Ensino de Ciências7 dedicaram-se à defesa dos Mestrados Profissionais8 , houve uma verdadeira explosão na proposição de APCNs9 de Mestrados Profissionais. Isto implicando na defesa de alterações fundamentais no funcionamento da Área de Ensino de Ciências10 da CAPES, no sentido de promover essa modalidade de pós-graduação, com assessorias específicas e facilidades quanto à implantação de novos cursos. A abertura um tanto quanto acelerada de Mestrados Profissionais gerou algumas distorções que até hoje se mantém. Note-se, por exemplo, que muitos Programas de Mestrado Profissionais foram criados por instituições que já mantinham Programas de Mestrado (Acadêmico) e Doutorado. Alguns tinham a intenção de promover uma maior aproximação com as comunidades escolares, outros buscavam melhorar a avaliação dos seus Programas “usuais” no ranking da CAPES, outros ainda visando ampliar sua clientela. O novo 5 Segundo

dados do INEP, relativos aos anos de 2000-2010, dois terços dos mestres e um terço dos doutores titulados no país não atuavam no ensino superior. 6 Isso, obviamente, reforça a “vocação” das IES privadas pelos Mestrados Profissionais. Nas IES públicas, como o próprio Janine Ribeiro lembra, o autofinanciamento dos Mestrados Profissionais não ocorre: “[...] as dificuldades que há no financiamento do MP em IES públicas, embora tornem mais demorada e complexa sua instituição, podem ser amplamente compensadas pelo alcance dos mesmos. [...] o MP não é essencialmente um modo de a IES pública financiar-se, mas faz parte de sua missão na transferência altamente refletida de conhecimento, expressando ainda o compromisso [...] de dar destinação pública aos recursos que são do Estado [...]”. 7 Deve-se lembrar que, à época, a área da Educação – ao contrário do que ocorreu com o Ensino de Ciências – foi extremamente resistente à criação dos Mestrados Profissionais. Essa resistência durou até recentemente, quando começaram a surgir cursos de Mestrado Profissional em Educação. 8 A implantação mais definitiva da Proposta dos Mestrados Profissionais demandou muitas reuniões, à época. Renato Janine Ribeiro cita, em seu artigo, um seminário promovido pela Direção da CAPES com representantes das áreas de conhecimento, visando a promover os Mestrados Profissionais, ocorrido em março/abril de 2005, na USP, em São Paulo. Também na área da Educação Matemática (EM) ocorreu um seminário especifico, realizado na PUCSP, com representantes da comunidade de pesquisadores em EM da USP, da UNESP, da UNICAMP e da PUC. Até onde me recordo, essa reunião foi organizada pelo professor Romulo Campos Lins, da UNESP de Rio Claro, e contou com a presença do professor Marco Antonio Moreira, do Ensino de Física, um defensor entusiasmado da proposta. 9 Sigla de Avaliação de Propostas de Cursos Novos. Na prática tornou-se expressão que significa o conjunto de documentos submetido à CAPES para a solicitação de abertura de cursos de Pós-graduação. 10 É importante considerar que, à época, as Áreas da CAPES tinham configuração um pouco distinta da atual, havendo então uma Área de Ensino de Ciências, hoje incorporada à Área de Ensino, que congrega Programas de diferentes campos do conhecimento, não só de Ciências e Matemática. A natureza dos MPs, usualmente interdisciplinares, levava, por exemplo, à discussão sobre a pertinência desses cursos se inscreverem não nas respectivas áreas ou na área de Educação ou de Ensino de Ciências, mas na Área Multidisciplinar da CAPES.


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mercado poderia incorporar aqueles professores que, por diferentes motivos, se esquivavam dos Mestrados Acadêmicos. Também haviam aqueles que julgavam ser “natural” e bem visto, inicialmente, a criação de um curso profissional para abrir futuramente as portas do almejado mestrado acadêmico e/ou doutorado - claramente apoiados e motivados pela ênfase com que a Área de Ensino da CAPES defendia essa “nova” modalidade. Julgando que os objetivos, o desenvolvimento e os resultados das diferentes modalidades de mestrado, embora próximas, se diferenciavam, tornou-se difícil operar com registro distinto em instituições que mantinham ambas as modalidades de Mestrado. Um dos motivos é que o aproveitamento do mesmo corpo docente, cujos projetos panorâmicos de pesquisa dificilmente se alterariam de um momento ao outro para atender a uma exigência para a criação de um MP. Disso, resulta que muitos dos MPs foram implantados com projetos meramente declaratórios, que na prática funcionavam como sombra dos cursos já existentes. Assim, era fácil encontrarmos, no início dos cursos, uma falta de limites claros entre uma coisa e outra. Os resultados dos Mestrados Profissionais, em boa parte, ou eram uma simplificação extremada do que se entendia por pesquisa, ou eram similares às dissertações resultantes dos Mestrados Acadêmicos. Essa confusão chegou a criar movimentos preconceituosos dentro das comunidades acadêmicas – em nosso caso, um exemplo emblemático é a decisão dos organizadores de um dos Encontros Brasileiros de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática (EBRAPEM) de proibir a apresentação de projetos desenvolvidos em cursos de Mestrado Profissionais. Nesse movimento de criar uma nova modalidade e conseguir diferenciá-la da já consagrada, várias foram as tentativas de configurar aquilo em que, efetivamente, os Mestrados se diferenciavam, chegando-se a apostar na elaboração simplória (e talvez por isso uma das mais equivocadas, ainda que duradoura) de que Mestrados Profissionais são cursos de pós-graduação práticos, voltados (no caso dos MP em Ensino) à atuação docente e desvinculados da elaboração teórica, quase que operando como centros de negação da importância da teoria, ambientes em que vige apenas a afirmação da prática. Nessas proposições infelizes se esboroava, muitas vezes sem que se percebesse, a argumentação sobre a retroalimentação entre teoria e prática, onipresente – implícita ou explicitamente – em todos os trabalhos de pesquisa em Educação e áreas afins. Nenhuma intervenção prática, se legítima, ocorre sem ter lastro teórico, tomando aqui uma teoria como um conjunto de ferramentas com as quais se enfrenta uma determinada prática ou tema. Frequentemente o discurso mais simplista confunde a mobilização de uma teoria com a elaboração de uma crítica teórica. Dos Mestrados Profissionais não se pretende uma crítica teórica, mas a mobilização de uma teoria para a elaboração de uma prática consistente e bem fundamentada. Além disso, toda e qualquer teoria é um conjunto de ferramentas de que dispomos para compreender o mundo. Uma teoria, portanto, só se dá no uso, no modo como ela se manifesta efetivamente. Mas também esse modo de pensar os Mestrados Profissionais – a partir do uso de teorias – pode ser enganoso, não devido ao que ocorre nos Mestrados Profissionais, mas, ao contrário, devido ao que ocorre nos projetos desenvolvidos em Mestrados Acadêmicos, onde é comum a ausência de qualquer crítica teórica, e as referências teóricas são, não raramente, declarações vazias que não encontram ressonância no que é desenvolvido, posto que as tais “teorias” são muito frequentemente abandonadas tão logo os textos em que elas são apresentadas, numa tese ou dissertação, terminam. Renato Janine Ribeiro concorda com essa perspectiva ao afirmar que “não são raras as dissertações e mesmo teses em que a discussão bibliográfica e o trabalho propriamente do autor se movem em mundos totalmente independentes. [...] no caso do Mestrado Profissional, se não se espera que o aluno conteste as teorias utilizadas, quer-se pelo menos que aplique efetivamente a pesquisa [...] em seu trabalho profissional.”.


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Estamos, pois, transitando num conjunto de observações visando a diferenciar as modalidades de mestrado profissional e acadêmico. Uma resposta mais objetiva parece ser aquela que coloca a diferença entre elas no produto resultante dos estudos. Se a um Mestrado Acadêmico cabe formar um pesquisador e que a potencialidade dessa formação deve se manifestar em uma dissertação, no Mestrado Profissional, em que também deve ocorrer a imersão na pesquisa, “o objetivo é formar alguém que no mundo profissional externo à academia saiba localizar, reconhecer, identificar e, sobretudo, utilizar a pesquisa de modo a agregar valor a suas atividades”. É exatamente porque a distinção entre o Mestrado Profissional e o Mestrado Acadêmico mais frequentemente se esconde quando tentamos caracterizá-la a partir do uso da teoria ou da redução de um desses cursos à ação prática que se torna necessário realçar a importância dos produtos educacionais gerados nos Mestrados Profissionais, dado que é nesse resultado que se mostra mais claramente a distinção que aqui discutimos. É devido à importância desses produtos educacionais que soa inconsistente a total ausência de estratégias propostas, efetivadas, promovidas e/ou financiadas pela CAPES para escoar essa produção que é vital aos cursos profissionais. Se a diferença entre as modalidades de formação em cursos de mestrado não tem se estabelecido nem a partir do corpo docente – já que, usualmente, um mesmo conjunto de pesquisadores atua, ao mesmo tempo, em cursos de ambas as modalidades – nem a partir dos modos de ação usados para que os trabalhos se desenvolvam – usualmente, no dia a dia dos cursos de pós-graduação, a ênfase tem sido colocada no desenvolvimento de trabalhos em Grupos de Pesquisa que, por sua vez, também concentram estudantes de cursos de diferentes modalidades. Se os produtos gerados nos Mestrados Profissionais, quando tornados textos escritos, são necessariamente distintos dos artigos científicos que usualmente lemos nas revistas especializadas, nas quais a produção dos MPs usualmente é rejeitada11 , convém perguntar quais espaços há para a divulgação e a socialização desses tantos produtos educacionais? Eu considero insuficiente a exigência de que cada curso mantenha um acervo digital para a socialização das produções. Essa iniciativa é, obviamente, necessária a qualquer programa de pós-graduação, seja qual for a modalidade que se ofereça, já que a divulgação integral e irrestrita das produções é parte essencial da transparência que deve caracterizar as práticas científicas. Mas a transformação de um produto educacional em um capítulo ou artigo implica em um esforço além, seja aquele de trabalhar com a linguagem, de comunicar mais agilmente, sem perder a qualidade, aquilo que foi longamente produzido; ou de expandir o público desses produtos e, assim, ampliar e efetivar os compromissos sociais dos cursos com as mais distintas comunidades escolares. Criar políticas que motivem e financiem revistas para escoamento da produção dos produtos educacionais dos Mestrados Profissionais, bem como promover fóruns coletivos para a discussão desses produtos e valorizar livros em que essa produção esteja registrada devem necessariamente estar no horizonte de atuação da CAPES, que hoje, infelizmente, negligencia essas necessidades. Essas considerações mostram que, em meio aos conflitos, distorções, acertos e sucessos do cenário no qual se desenvolvem os Mestrados Profissionais, o livro organizado por Marcele Tavares Mendes e Andresa Maria Justulin é mais que uma mera produção que torna mais visíveis os esforços da comunidade de pesquisa que constitui o Programa 11 As

revistas científicas tendem a rejeitar contribuições que não sigam uma perspectiva acadêmica pois as normas mais gerais, impostas por agências de avaliação e fomento de periódicos, desaconselham que as revistas mantenham um espaço reservado, por exemplo, aos relatos de experiências em sala de aula e a textos de natureza mais “prática”.


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de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, PPGMAT, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná: é uma declaração política e, como tal, deve circular entre os Mestrados Profissionais como uma estratégia extremamente meritória e como modelo a ser seguido. Que esses livros formem séries. Que dessas séries resultem coleções. Que essas coleções sejam interinstitucionais. Que essas séries e coleções se tornem disponíveis em acervos escritos, digitais, orais e videográficos nas mais diversas instituições. Por ser esse meu entendimento é que considero ainda mais honroso o convite que foi feito a mim para prefaciar essa obra. Antonio Vicente Marafioti Garnica Bauru-SP, março de 2021


S UMÁRIO PREFÁCIO

Antonio Vicente Marafioti Garnica

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INTRODUÇÃO

Marcele Tavares Mendes | Andresa Maria Justulin

17

PRODUTOS EDUCACIONAIS PARA A INVESTIGAÇÃO E PARA A PROMOÇÃO DA CRIATIVI DADE EM MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Elvis Ricardo Viana | Rafael Montenegro Palma | Rodolfo Eduardo Vertuan

23

EXPERIMENTAÇÃO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA : ABORDAGENS PARA A SALA DE AULA

Karina Alessandra Pessoa da Silva | Paulo Henrique Hideki Araki | Robson Aparecido Ramos Rocha

41

MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL : UMA ALTERNATIVA PARA O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO PROPORCIONAL

Emerson Tortola | Letícia Coutinho

61

METODOLOGIA DE ENSINO - APRENDIZAGEM - AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS : A CONSTRUÇÃO DE UM E - BOOK SOBRE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Marcela Camila Picin de Melo | Andresa Maria Justulin

79

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EM SALA DE AULA : ALGUNS APONTAMENTOS PARA O PROFESSOR

Elaine Cristina Ferruzzi | Jéssica Concentino

101

CONJECTURAS , GENERALIZAÇÕES , JUSTIFICAÇÕES : EXEMPLOS DE ALGUNS PROCESSOS DO RACIOCÍNIO MATEMÁTICO NA LITERATURA DA ÁREA

Luís Felipe Gonçalves Carneiro | Eliane Maria de Oliveira Araman

119

TAREFAS MATEMÁTICAS NA PERSPECTIVA DO ENSINO HÍBRIDO

Camila Garbelini da Silva Ceron | Rodrigo Tavares da Silva | Adriana Helena Borssoi

137

AMBIENTE DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM DE CÁLCULO PAUTADO EM EPISÓDIOS DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS : RESULTADOS E PERSPECTIVAS FUTURAS

André Luis Trevisan | Roberta Marcelino de Almeida Alves | Mariana Vasconcelos Negrini155 DERIVADAS QUIZ : ESTUDO DE DERIVADAS SOB UM NOVO OLHAR

Adriele Carolini Waideman | Claudete Cargnin

175

O USO DO JOGO DE TABULEIRO “ TRILHA MATEMÁTICA CRIPTOGRAFADA ” NA APRENDI ZAGEM DE FUNÇÕES POLINOMIAIS

Solange Mariano da Silva Santos | Zenaide de Fátima Dante Correia Rocha

191


ENSINO DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA UTILIZANDO

softwares COMPUTACIONAIS NA SALA

DE AULA

Leonardo Sturion | Meiri das Graças Cardoso

211

TAREFAS DE APRENDIZAGEM PROFISSIONAL : PROPOSTAS PARA O DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL BASEADO NA PRÁTICA DOCENTE

Henrique Rizek Elias | Silmara Ribeiro Rodrigues | Flávia Maria Gonçalves

227

TAREFAS DE ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA EM MATEMÁTICA ( TAPE ): POSSIBILIDA DES NO ENSINO , PESQUISA E FORMAÇÃO DE PROFESSORES Fernando Francisco Pereira | Iara Souza Doneze | Jader Otavio Dalto

243

UM CONTEXTO HÍBRIDO DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM ENTRE O FORMATIVO E SOMATIVO

Talita Canassa Weber | Marcele Tavares Mendes “ TRABALHAR

261

A PARTIR DA VIDA ”: UM CURSO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES COM

COMPLEXOS DE ESTUDO EM ESCOLAS DO CAMPO

Línlya Sachs | Wanderson Rocha Lopes

281

NARRATIVAS ORAIS SOBRE UM GRUPO ESCOLAR RURAL COMO PRODUTO EDUCACIONAL : REFLEXÕES SOBRE SUAS POTENCIALIDADES

Mirian Maria Andrade | Grasielly dos Santos de Souza SOBRE OS AUTORES

301 317


INTRODUÇÃO

N

ESTE LIVRO ,

reúne-se um conjunto de artigos que apresentam produtos educacionais e pesquisas desenvolvidas no contexto do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática – PPGMAT. Cada um dos 16 capítulos tem como autores e coautores docentes do programa, em parceria com orientandos e/ou orientados. Dessa forma, esse livro versa sobre as linhas de pesquisa associadas ao PPGMAT: Formação de Professores e Construção do Conhecimento Matemático; Recursos Educacionais e Tecnologias no Ensino de Matemática. O Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática é uma proposta multicampi, parceria entre os campi Cornélio Procópio e Londrina da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). O Programa traz como diferenciais: ter como público-alvo professores que ensinam Matemática nos diferentes níveis de escolaridade (desde os anos iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Superior). O foco está na área de ensino da Matemática, com pesquisa aplicada e desenvolvimento de produtos e processos educacionais implementados em condições reais, articulando conteúdos matemáticos às tendências para o ensino dessa disciplina bem como demais focos de interesse da Educação Matemática. O Programa iniciou suas atividades no 2º semestre de 2015. Até o final de 2020, 53 dissertações e 53 produtos ou processos educacionais foram defendidos, cujas temáticas tratam, entre outros assuntos, de Avaliação da Aprendizagem e Ensino de Matemática, Educação do Campo, Ensino de Matemática em contextos não formais, História da Matemática e da Educação Matemática, Investigações Matemáticas, Resolução de Problemas, Matemática no Ensino Superior, Modelagem Matemática, Tecnologias Digitais no Ensino de Matemática e Interdisciplinaridade. Os Produtos Educacionais estão disponíveis no repositório da universidade (http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/2119), no qual é possível reconhecer nas temáticas uma variedade de possibilidades para inserção desses produtos, tanto em contexto de sala de aula, como para cursos de formação e estudos do campo da Educação Matemática. No Capítulo 1, Produtos Educacionais para a investigação e para a promoção da Criatividade em Modelagem Matemática no Ensino Fundamental, é apresentado desde as fundamentações teóricas de Modelagem Matemática e de Criatividade, como a investigação sobre Produtos Educacionais de Modelagem desenvolvidos em programas de mestrados profissionais, até o relato de como os produtos Criatividade e Modelagem Matemática e Modelagem matemática nos anos iniciais: caderno de atividades de modelagem matemática para os anos iniciais, implementados em salas de aula da Educação Básica. No Capítulo 2, Experimentação em atividades de Modelagem Matemática: abordagens para a sala de aula, é apresentado um tópico teórico com entendimentos sobre Modelagem Matemática e Experimentação que subsidiaram a construção dos produtos educacionais Experimentação nas aulas de Matemática e Modelagem Matemática e Experimentação: sugestões ao professor. Além disso, discorre-se sobre o conteúdo de cada um desses produtos e são produzidas análises, oriundas das dissertações das quais os produtos educacionais se originaram. A modelagem matemática como uma alternativa para o desenvolvimento do raciocínio proporcional na Educação Infantil é abordada no Capítulo 3, Modelagem Matemática na Educação Infantil: uma alternativa para o desenvolvimento do Raciocínio Proporcional. Além das considerações teóricas, é descrita uma atividade e também há sugestões de


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encaminhamentos para a sala de aula que fazem parte do produto educacional Modelagem Matemática e Raciocínio Proporcional: orientações para professores da Educação Infantil, evidenciando como esse produto pode auxiliar no ensino de matemática da Educação Infantil, especificamente no que se refere ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. No Capítulo 4, Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas: a construção de um E-book sobre potenciação e radiciação, são apresentadas ideias a respeito da resolução de problemas, do contexto e do planejamento do produto educacional Potenciação e Radiciação através da Resolução de Problemas. Trata-se de um e-book com problemas elaborados e validados, com orientações para o trabalho do professor e folhas para uso com os alunos visando a construção de estratégias de resolução sobre potenciação e radiciação por meio de problemas. Considerando a Investigação Matemática uma prática pedagógica, no Capítulo 5, Investigação Matemática em sala de aula: alguns apontamentos para o professor, são apresentadas algumas justificativas para sua inserção em sala de aula, como proporcionar sua implementação e o papel do professor, para então apresentar roteiros para atividades investigativas presentes no produto educacional Investigação Matemática: orientações para o professor. No Capítulo 6, Conjecturas, generalizações, justificações: exemplos de alguns processos do raciocínio matemático na literatura da área, são discutidos os processos de conjectura, justificação, exemplificação, identificação de padrões e generalização a partir de exemplos de processos do raciocínio matemático com base em um recorte de pesquisas que realizam descrições detalhadas das resoluções de tarefas por parte de alunos e que possuem enquanto objetivo a identificação de processos de raciocínio matemático. Esse texto é um recorte do produto educacional cujo título é o mesmo deste capítulo. São apresentadas no Capítulo 7, Tarefas Matemáticas na perspectiva do Ensino Híbrido, considerações sobre os produtos educacionais Folhas de trabalho no GeoGebra em uma abordagem híbrida para o ensino de integrais e Tarefas Matemáticas com Tecnologia Digitais para os anos iniciais, que têm em comum a ênfase na proposição de tarefas matemáticas na perspectiva do Ensino Híbrido. Neste capítulo, além de serem apresentados aspectos teóricos acerca do Ensino Híbrido, é evidenciado o movimento das pesquisas no processo de construir os produtos educacionais e, de forma mais detalhada, é abordado o segundo produto citado, evidenciando uma de suas tarefas propostas. O Capítulo 8, Ambiente de ensino e de aprendizagem de Cálculo pautado em episódios de resolução de tarefas: resultados e perspectivas futuras, sintetiza e resgata a caracterização construída para ambiente de ensino e de aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, evidencia o processo de organização de tarefas de aprendizagem para salas de aula regulares que contribuem para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos estudantes e para a elaboração de conceitos. Nesse processo de síntese e resgate são tomados os produtos educacionais Caderno de Tarefas: sequências numéricas como desencadeadoras do ensino de limite: uma proposta em Cálculo Diferencial e Integral 1; Caderno de Tarefas: proposta de tarefas para um estudo inicial de derivadas; Caderno de Tarefas: ideias do raciocínio covariacional e suas possibilidades. No Capítulo 9, DERIVADAS QUIZ: estudo de derivadas sob um novo olhar, são apresentados elementos abordados na pesquisa de mestrado que culminou com a criação do aplicativo “Derivada Quiz”, um aplicativo didático (disponível no PlayStore) para o estudo de derivadas de uma função real de variável real, que compõe o produto educacional, intitulado Do papel à tela do celular: um aplicativo para os estudos de derivadas. Esses elementos referem-se: à contribuição das tecnologias no ensino de CDI, aos Elementos


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da Teoria de Registro de Representação Semiótica; e ao papel da representação gráfica no estudo das derivadas. Reconhecendo que o aspecto lúdico de um jogo é imprescindível no processo de construção do conhecimento, no Capítulo 10, O uso do jogo de tabuleiro “Trilha matemática criptografada” na aprendizagem de funções polinomiais, é apresentado o produto educacional Trilha Matemática Criptografada, seu modo de uso e uma análise de sua aplicação, evidenciando que sua utilização em contexto de sala de aula pode possibilitar aos alunos avançar em seus conhecimentos. O Capítulo 11, Ensino de Estatística Descritiva utilizando Softwares Computacionais na sala de aula, versa a respeito de como a estatística é uma ferramenta essencial para a tomada de decisão por parte dos alunos frente às questões do cotidiano da sala de aula e de fora dela. Também apresenta o produto educacional Mapas e contornos: caminhos para o ensino de Estatística no RStudio, que consiste em um manual com orientações para professores sobre como criar um curso utilizando o software RStudio. A partir do Estudo de Aulas, uma perspectiva de desenvolvimento profissional enquanto processo formativo que o diferencia de modelos tradicionais, no Capítulo 12, Tarefas de aprendizagem profissional: propostas para o desenvolvimento profissional baseado na prática docente, são apresentadas características de tal perspectiva e de processos de construção de Tarefas de Aprendizagem Profissional que são parte de dois produtos educacionais, a saber: Desenvolvendo o conhecimento matemático para o ensino de Frações por meio de Tarefas de Aprendizagem Profissional e Tarefas de Aprendizagem Profissional: A colaboração na construção do conhecimento matemático. No Capítulo 13, Tarefas de Análise da Produção Escrita em Matemática (TAPE): possibilidades no ensino, pesquisa e formação de professores, considerando a Análise da Produção Escrita como uma estratégia de ensino de conteúdos matemáticos, é apresentada a conceituação das Tarefas de Análise da Produção Escrita – TAPE – e suas implicações para a formação de professores que ensinam Matemática. As TAPEs mencionadas no texto fazem parte dos produtos educacionais Tarefas de Análise da Produção Escrita: uma proposta para um de curso de extensão e Caderno de Tarefas de Análise da Produção Escrita para o Ensino de Matemática. Aspectos de uma proposta de contexto avaliativo, a partir de uma discussão teórica, são apresentados no Capítulo 14, Um Contexto Híbrido de Avaliação da Aprendizagem entre o Formativo e Somativo. Esses aspectos são oriundos do Produto Educacional Contexto Híbrido Avaliativo e fomentam uma reflexão sobre o que é fundamental para organizar, planejar e desenvolver práticas avaliativas de matemática que articulem aspectos da avaliação formativa e da avaliação somativa. Além disso, é apresentada uma experiência avaliativa de um professor e de alunos ao lidarem com uma prova em duas fases. No Capítulo 15, “Trabalhar a partir da vida”: um curso de formação de professores com complexos de estudo em escolas do campo, é apresentado o planejamento de um curso de formação continuada para profissionais de duas escolas do campo e como ele se efetivou, aliado a uma análise crítica. Esse curso é retratado no produto educacional Complexos de Estudo: uma proposta formativa para a Educação do Campo. Os autores entendem que essa socialização pode favorecer que outros cursos formativos sejam possibilitados a partir deste. No último capítulo do livro, Capítulo 16, Narrativas orais sobre um grupo escolar rural como produto educacional: Reflexões sobre suas potencialidades, é trazida à tona uma discussão acerca de uma coleção de livretos que compõem o produto educacional Eu conto, tu contas, nós contamos: histórias sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes, reconhecendo que a sua leitura pode ser uma oportunidade de estar frente a


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diferentes narrativas que favorecem compreender uma experiência escolar. Sua construção baseia-se em aspectos metodológicos de pesquisadores que trabalham com a História Oral. Com essa organização compartilhamos parte de experiências e de produtos educacionais construídos no contexto do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, nos quais temos estruturas e formatos diversificados (Cursos de Extensão, Cursos de Formação, Caderno de Tarefas, Reflexão Teórica, Aplicativos e Livretos com Narrativas). Temos por expectativa que os leitores reconheçam no que foi apresentado possibilidades para replicar em outras salas de aula e de vivenciar experiências comprometidas com a Educação Matemática. Que com isso possamos levar, para além dos muros da universidade, a professores atuantes nos diversos níveis de escolaridade e profissionais interessados no ensino de Matemática, a oportunidade de refletir e repensar suas práticas docentes, reorientando-as de forma fundamentada nos aspectos que forem necessários. Marcele Tavares Mendes Andresa Maria Justulin


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Produtos Educacionais para a investigação e para a promoção da Criatividade em Modelagem Matemática no Ensino Fundamental Elvis Ricardo Viana | Rafael Montenegro Palma | Rodolfo Eduardo Vertuan

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uma pesquisa com vistas a desenvolver, aplicar e refinar um Produto Educacional implica, necessariamente, considerar o desafio de abarcar a complexidade de um fenômeno de investigação que por algum motivo interessa e considerar uma fundamentação teórica pertinente e que sirva como lente para analisar o fenômeno. Além disso, é necessário conhecer o contexto em que se dará a produção e a coleta de dados da pesquisa, e principalmente, vislumbrar o perfil das pessoas que, em algum momento e por algum motivo, terão acesso aos produtos publicados e poderão ver neles um descortinar de possibilidades. É o que almejamos também ao produzir os dois Produtos Educacionais que apresentaremos no decorrer deste capítulo. Ambos foram desenvolvidos no âmbito do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, GEPEEM, e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, PPGMAT, e tinham como intenção, de modo geral, propor atividades de Modelagem Matemática voltadas para alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, especialmente alunos de quintos anos (nível de escolaridade em que se deu a aplicação dos produtos), ao mesmo tempo em que procuram investigar e promover, no contexto destas atividades, a criatividade em Modelagem Matemática. Mas em que medida os dois produtos que serão aqui discutidos se diferenciam? O Produto Educacional desenvolvido por Palma (2019) tinha como intenção apresentar atividades de Modelagem Matemática que, segundo a pesquisa associada ao produto, poderiam levar os alunos a colocar em ação aspectos da criatividade, tais como elaboração, fluência, flexibilidade e originalidade. O Produto Educacional desenvolvido por Viana (2020), por sua vez, já considerando a pesquisa desenvolvida por Palma, buscou implementar, no desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática com alunos de mesmo nível de escolaridade, as estratégias de estímulo do pensamento criativo de brainstorming, de alteração e de dramatização, investigando as ações dos alunos quando o professor, consciente e intencionalmente, utiliza alguma destas estratégias. O produto de Viana (2020) reflete esta intencionalidade. Neste sentido, a intenção deste capítulo é discutir a elaboração dos referidos Produtos Educacionais, considerando desde as fundamentações teóricas de Modelagem Matemática e de Criatividade, e a investigação sobre Produtos Educacionais de Modelagem desenvolvidos em programas de mestrados profissionais, até o relato de como os produtos foram vivenciados pelos estudantes, quando aplicados nas turmas de quintos anos do Ensino Fundamental. Que este texto possa encorajar professores dos diferentes níveis de escolaridade a empreender práticas de Modelagem Matemática e práticas que visem, conscientemente, contribuir para o desenvolvimento da criatividade de seus alunos! EALIZAR


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Sobre Modelagem Matemática No âmbito das práticas e pesquisas em Educação Matemática, principalmente aquelas relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática, a Modelagem Matemática tem despertado o interesse e ganhado a atenção de professores e pesquisadores nos últimos anos. Neste contexto, diferentes entendimentos têm figurado na literatura do que é, do como fazer e do como caracterizar a Modelagem Matemática. Assim, a Modelagem Matemática tem sido entendida como estratégia de ensino e aprendizagem (BASSANEZI, 1999), alternativa pedagógica (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2016), processo que envolve a obtenção de um modelo (BIEMBENGUT; HEIN, 2016), ambiente de aprendizagem (BARBOSA, 2003), entre outros. Apesar de reconhecermos a importância da pluralidade de compreensões e caracterizações da Modelagem Matemática no contexto do movimento da Educação Matemática, nas atividades e pesquisas que desenvolvemos, temos nos orientado pelas indicações de Almeida, Silva e Vertuan (2016), tanto no que diz respeito às fases e procedimentos presentes no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática, quanto aos modos de introduzi-la nas salas de aula em que os alunos ainda não vivenciam atividades investigativas. Deste modo, tanto o planejamento das atividades de Modelagem, quanto o desenvolvimento dos produtos educacionais que discutimos neste capítulo, pautam-se nas orientações destes autores. Apesar de ter sua origem no âmbito da Matemática Aplicada e visar encontrar respostas para problemas relacionados aos fenômenos da natureza e ao cotidiano em geral, na perspectiva da Educação Matemática a Modelagem Matemática apresenta-se como uma alternativa pedagógica que tem como intenção desenvolver um processo dinâmico e investigativo nas salas de aula. Visa a busca, pelo viés da matemática, por respostas para problemas da realidade e não essencialmente matemáticos nos seus contextos de origem. A Modelagem Matemática pode ser entendida, assim, como um modo de trabalhar com atividades nas aulas de Matemática (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2016): atividades constituídas a partir de temas de interesse e importantes para os alunos; atividades que partam de um problema aberto, sem encaminhamentos e soluções conhecidos à priori; atividades que considerem o trabalho em grupo como organização dos estudantes e atividades essencialmente investigativas. Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2016), o “fazer” Modelagem em sala de aula perpassa por algumas fases. A primeira delas é a inteiração, momento em que professor e alunos buscam informações sobre a temática a ser estudada. A matematização, segunda fase para estes autores, consiste no processo de utilização de uma linguagem matemática para o manejo das informações obtidas da situação-problema, ou, dito de outro modo, da transição dos dados do contexto da situação para o contexto matemático. De posse das informações já em uma linguagem matemática e a partir de algumas simplificações da situação original, bem como de hipóteses e vislumbres de encaminhamento e resolução, empreende-se a construção de um modelo matemático que possibilite responder/pensar o problema. Trata-se do que os autores denominam de Resolução. Por fim, são feitas as verificações do modelo obtido, julgando se o mesmo pode ser considerado válido ou não, de modo a usar os resultados obtidos para interpretar a situação inicial. É a fase de interpretação de resultados e validação. Considerando que a implementação de atividades de Modelagem Matemática nas aulas de Matemática, sobretudo da Educação Básica, pode representar certo estranhamento e desconforto para professores e alunos, dada a mudança de paradigmas que isso pode


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significar, Almeida, Silva e Vertuan (2016) sugerem que as atividades de Modelagem podem ser implementadas segundo três momentos. Atenta-se, todavia, que os autores não consideram que os momentos precisem ser inseridos linearmente. Eles representam uma orientação que pode contribuir com professores e alunos que se aventuram a transpor uma prática de aula de Matemática, estruturada essencialmente na repetição de exercícios do tipo padrão, trazendo atividades em que os alunos precisam assumir a responsabilidade pela investigação de um problema aberto. Como estes momentos se configuram no ambiente escolar, no entanto, depende de cada contexto e do docente que planeja e realiza as atividades. De todo modo, em um primeiro momento, o professor se responsabiliza por trazer a situação-problema a ser investigada, contendo os dados necessários para a realização da atividade, cabendo aos alunos investigarem a situação com a orientação intencional e focada do professor. No segundo momento, o professor apresenta a situação-problema para que os alunos, de forma mais independente, busquem mais informações, coletem dados, levantem hipóteses, realizem simplificações e elejam as variáveis necessárias para a construção de um modelo matemático que permita responder o problema que interessa. No terceiro momento, por sua vez, além de os estudantes realizarem as ações apresentadas no segundo momento, precisam também elencar um tema de interesse e identificar um problema que interesse investigar por meio da Matemática. Consideramos que a utilização da Modelagem Matemática por professores em suas salas de aula pode contribuir efetivamente para o desenvolvimento de sujeitos mais autônomos e criativos, engajados socialmente e matematicamente mais preparados no que tange à resolução de problemas. Por fim, acreditamos que o trabalho em grupo em atividades de Modelagem Matemática se faz necessário por ser a Modelagem uma prática essencialmente cooperativa (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2016) e por partilharmos da ideia de que a criatividade “se desenha” e “se constrói” socialmente, a partir da interação do sujeito com seu entorno social e o desenvolvimento desse processo. Sobre Criatividade Embora a criatividade tenha sido entendida por muito tempo como uma habilidade ligada à genialidade e, consequentemente, uma característica de poucas pessoas, as pesquisas contemporâneas têm defendido a ideia de que toda pessoa é criativa (CARVALHO, 2015), de modo que os focos dos estudos têm incidido na compreensão do desenvolvimento do potencial criativo de cada pessoa e no entendimento do que pode ser considerado criativo diante de certas variáveis. Nicolau (2014), por exemplo, retrata a criatividade como sendo um comportamento natural do ser humano, que flui a todo instante, desde as situações mais simples às mais complicadas. Apesar de a Criatividade não apresentar uma definição comum entre os pesquisadores, Gontijo, Silva e Carvalho (2012) apontam que no senso comum há certa concordância de que a criatividade é necessária, sobretudo à vida moderna e ao mundo do trabalho e que a escola precisa favorecer o desenvolvimento de habilidades criativas dos estudantes. No que tange à aprendizagem da matemática, consideramos que as atividades de Modelagem Matemática podem suscitar o uso, pelos estudantes, de diferentes aspectos da criatividade (PALMA, 2019). Além disso, o uso consciente de estratégias de estímulo do pensamento criativo, pelo professor, pode contribuir com a aprendizagem da matemática e com a emergência de outras manifestações de criatividade no contexto das atividades (VIANA, 2020).


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Quando nos referimos aos aspectos de criatividade, consideramos o que Alencar (1990) denomina, baseando-se em Guilford (1967), por: i) Fluência: quantidade de ideias diferentes produzidas sobre um mesmo assunto; ii) Flexibilidade: capacidade de alterar o pensamento; iii) Originalidade: apresentação de respostas infrequentes; e iv) Elaboração de ideias: apresentação de grande quantidade de detalhes em uma ideia. Estes aspectos de criatividade, no contexto escolar, podem se revelar em diferentes situações e sobre diferentes domínios. Um professor que pergunta aos seus alunos se eles entenderam sua explicação e, frente a uma negativa, busca alternativas diferentes de apresentar o mesmo conceito, evidencia tanto o aspecto de flexibilidade, por utilizar outro “caminho” para ensinar o mesmo assunto, quanto o aspecto de fluência, por ter que lidar com diferentes ideias relacionadas a uma mesma ação, de modo a selecionar a que julga melhor para o contexto desenhado. Um aluno, por sua vez, que desafiado a pensar sobre um modo de calcular a quantidade de fios de cabelo de uma pessoa, propõem-se a construir um protótipo do couro cabeludo para ajudar a pensar sobre a quantidade de fios em diferentes regiões da cabeça, bem como realiza estimativas a partir da contagem de fios de um voluntário, manifesta, ao mesmo tempo, os aspectos de originalidade e de elaboração de ideias. É neste viés que os produtos educacionais que apresentamos neste capítulo foram construídos, visando investigar e promover aspectos da criatividade quando os alunos realizam atividades de Modelagem Matemática. O que há de Criatividade em Modelagem Matemática? Ao nos questionarmos sobre o que há de criatividade na Modelagem Matemática, somos conscientes da complexidade e das variáveis envolvidas nesta questão. Deste modo, nosso objetivo, nesta seção, é apresentar alguns dos resultados que vêm sendo publicados na produção nacional, tomando como ponto de partida o trabalho de Pereira (2008). No que diz respeito aos trabalhos produzidos de Modelagem Matemática juntamente com a Criatividade, o trabalho de Pereira (2008) é tido como pioneiro no âmbito da produção nacional. A dissertação de título: “A modelagem matemática e suas implicações para o desenvolvimento da Criatividade” teve como objetivo identificar e analisar elementos referentes à criatividade presentes em práticas de Modelagem Matemática descritas na literatura da área. Para este fim, Pereira (2008) selecionou quatro dissertações de mestrado cujo foco incidia no desenvolvimento de atividades de Modelagem com alunos da Educação Básica (pesquisa meta-analítica). Os resultados apontam que a Modelagem Matemática enquanto prática de ensino possui vários aspectos que se associam ao desenvolvimento e à promoção da Criatividade no âmbito escolar como a liberdade de escolha do tema de investigação pelos estudantes, a formulação de hipóteses, a busca por soluções e a geração de ideias. A perspectiva heurística de desenvolvimento das atividades, por exemplo, é um dos fatores identificados na descrição das atividades analisadas que se relacionam ao desenvolvimento da Criatividade, segundo a autora. Por outro lado, a autora enfatiza que a Modelagem Matemática em si não garante o desenvolvimento da criatividade dos estudantes, pois o modo como o professor orienta a atividade pode influenciar, positivamente ou não, na manifestação da criatividade dos estudantes. Assim, se na atividade o professor determinar todos os caminhos a serem percorridos, não deixando espaço e liberdade para os alunos se manifestarem, os estudantes certamente deixarão de desenvolver muitas das habilidades relacionadas à criação (PE-


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REIRA, 2008). Logo, entendemos que a liberdade e a autonomia são fatores de íntima relação quando o assunto é a criatividade na sala de aula. Em Viana et al. (2019), os autores destacam que nem sempre a abundância de ideias ou estratégias estará presente em outras práticas de modelagem matemática, pois ao considerar a natureza da atividade, tal como o tema escolhido ou mesmo a questão da familiarização dos alunos com a modelagem, pode ocorrer que alguns dos aspectos relacionados à criatividade estejam mais ou menos presentes no desenvolvimento das atividades. Há na literatura nacional outros trabalhos que associam a Modelagem Matemática e a Criatividade (PEREIRA, 2013; 2016; BRANDT, 2016; VERTUAN, SETTI, 2018; DAL PASQUALE JÚNIOR, 2019). São trabalhos que se fizeram essenciais para a concepção dos produtos educacionais que apresentamos neste capítulo. Estes produtos, de Palma e Vertuan (2019) e Viana e Vertuan (2020), foram elaborados a partir da literatura, desenvolvidos com turmas de quintos anos do Ensino Fundamental e, finalmente, refinados diante das reflexões advindas das análises das pesquisas a que estão associados. Os principais resultados apresentados em suas dissertações sugerem que a manifestação da criatividade em atividades de Modelagem Matemática pode ocorrer, segundo Palma (2019), devido: i) aos conhecimentos dos alunos acerca das situações investigadas; ii) ao papel ativo dos alunos e do envolvimento do grupo nas resoluções das atividades; iii) ao interesse dos estudantes pelo tema; iv) ao uso de experimentação nas atividades de Modelagem. Já no que diz respeito ao uso de estratégias de estímulo do pensamento criativo pelo professor, nas atividades de Modelagem desenvolvidas pelos alunos, os resultados de Viana (2020) evidenciam que o uso destas estratégias sinaliza para o favorecimento da aprendizagem dos alunos, ao mesmo tempo em que permite o desenvolvimento de diferentes habilidades criativas como, por exemplo, a geração de novas ideias e a mobilização de ações cognitivas pelos alunos. Com intuito de apresentar os produtos educacionais correlatos às pesquisas supracitadas é que organizamos a próxima seção deste capítulo. Produtos Educacionais em Modelagem Matemática Os trabalhos que temos desenvolvido no âmbito do nosso grupo de pesquisa apresentam a Criatividade e a Modelagem Matemática como focos integrados de investigação. Ao nos questionarmos sobre o que há de Criatividade em Modelagem Matemática, algumas evidências apontam para a Modelagem como uma prática de ensino com potencial para o desenvolvimento e a manifestação de aspectos da Criatividade pelos estudantes. Para a elaboração dos Produtos Educacionais que apresentamos neste capítulo, empreendemos em Viana e Vertuan (2018) um estudo acerca de como produtos educacionais de Modelagem Matemática têm sido realizados no âmbito dos programas de pós-graduação profissionais em Ensino e/ou Educação Matemática. Este estudo tratou de um mapeamento dos produtos educacionais de Modelagem Matemática desenvolvidos no período de 2002 até o primeiro semestre de 2018. Uma busca no documento da Capes sobre programas de Pós-Graduação referentes às áreas de ensino e educação nos levou a identificar 26 cursos profissionais relacionados à Matemática. Após esta etapa, empreendemos uma busca pelos referidos programas na internet, a fim de identificar os seus sites e realizar o download dos produtos educacionais relacionados à Modelagem Matemática. Deste levantamento identificamos 47 produtos educacionais, os quais foram analisados segundo sua natureza (guias, vídeos, livros, blog, etc), nível de ensino a que se destina, temas extramatemáticos desenvolvidos (por serem produtos de Modelagem Matemática), ano de produção, entre outros.


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No que se refere à natureza dos produtos educacionais analisados, aproximadamente 83% deles correspondiam a guias didáticos que apresentavam em sua estrutura uma apresentação, uma fundamentação teórica a respeito da Modelagem e propostas de atividades. O restante dos produtos encontrados (17%) era composto por vídeos, aplicativos, livros, blog e documentários. Já no que diz respeito aos níveis de ensino para os quais estes produtos foram desenvolvidos, em aproximadamente 30% deles não foi possível identificar, através da leitura do produto, o nível de ensino para os quais as atividades foram propostas ou desenvolvidas. 19% se deram em contextos de formação de professores, minicursos, oficinas; 5% não apresentavam atividades de modelagem matemática no produto,. Em relação aos produtos destinados à Educação Básica, 21% dos produtos analisados correspondiam aos anos finais do Ensino Fundamental, 23% ao Ensino Médio e apenas 2% correspondiam aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Esta constatação nos motivou a pensar e desenvolver Produtos Educacionais que atentassem concomitantemente para a natureza do produto e para o nível de ensino que apresentava um número pequeno de trabalhos produzidos. Neste contexto, bem como considerando outro foco das pesquisas desenvolvidas no âmbito do nosso grupo de pesquisa, a saber, a transição do quinto para o sexto ano do Ensino Fundamental, nos dedicamos a desenvolver nossas pesquisas com alunos de quintos anos. Na próxima seção, portanto, apresentamos a concepção dos dois produtos educacionais, um com vistas à investigação da criatividade em atividades de Modelagem Matemática (PALMA; VERTUAN, 2019) e outro com vistas a promover a criatividade em atividades de Modelagem Matemática (VIANA; VERTUAN, 2020), no contexto de quintos anos do Ensino Fundamental. Um Produto Educacional para a investigação da Criatividade em atividades de Modelagem Matemática (PALMA; VERTUAN, 2019) Partindo do pressuposto de que experiências com atividades de Modelagem Matemática podem contribuir para o protagonismo dos estudantes, é possível inferir que as atividades de Modelagem podem favorecer a autonomia e a responsabilidade dos alunos em relação às suas aprendizagens, bem como instigar a realização e manifestação de ações criativas por eles nos percursos de investigação. Esse aspecto pode, ainda, ser reforçado pelo trabalho ser desenvolvido no âmbito de grupos de estudantes, os quais partilham saberes e debatem ideias. Neste contexto, a construção de um Produto Educacional voltado à investigação da Criatividade de alunos quando realizam atividades de Modelagem Matemática parece profícuo, já que ao invés de repetir exercícios como geralmente fazem nas aulas de Matemática, passam a investigar problemas abertos de contextos que interessam. Todavia, embora essa investigação pudesse ser realizada sob diferentes perspectivas, tomamos como fundamentação os aspectos de fluência, originalidade, flexibilidade e elaboração, já discutidos neste texto, e inferidos a partir dos registros escritos e manifestações orais dos estudantes ao desenvolverem as atividades de Modelagem. Deste modo, o Produto Educacional voltado à observação de manifestações de aspectos da criatividade nas resoluções dos alunos está atrelado ao objetivo de auxiliar o professor no desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática, fortalecendo as diferentes aprendizagens e estimulando a criatividade dos estudantes. No referido produto, são apresentadas 07 atividades com os seguintes temas (Quadro 1):


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Quadro 1 – Atividades de Modelagem Matemática do Produto Educacional de Palma (2019)

Fonte: Elaboração dos autores

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No Quadro 1, o tema “Quero ser um Youtuber” está com a linha destacada, para denotar que é essa a atividade que trazemos à baila na seção deste capítulo específica sobre as atividades. Um Produto Educacional para a promoção da Criatividade em atividades de Modelagem Matemática (VIANA; VERTUAN, 2020) Pereira (2008) ressalta que a Modelagem por si só não garante a promoção da criatividade, pois o modo como o professor orienta a atividade e o seu conhecimento a respeito da Criatividade, são fatores que devem ser considerados. É neste sentido que foi desenvolvido o segundo produto educacional. Nele, realizamos a inserção intencional de algumas estratégias de estímulo do pensamento criativo presentes na literatura no desenvolvimento das atividades de Modelagem, a saber: estratégia de brainstorming (geração de ideias), estratégia de alteração e estratégia de dramatização. Estas estratégias têm por objetivo estimular e favorecer o desenvolvimento de diferentes habilidades criativas pelos alunos. O brainstorming é uma estratégia que tem por objetivo a geração de múltiplas ideias. Nesta estratégia todos os participantes podem expor suas ideias, aquilo que vem à mente, sem um julgamento a priori. Em seguida, em grupos, julgam a mais adequada, buscando aquela que melhor represente uma questão de investigação ou possa levar à solução de um problema (GONTIJO, 2007). Embora possa ser empreendida durante todo o desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática, esta estratégia pode ser especialmente apropriada na fase de inteiração, momento em que os alunos escolhem um tema e elaboram um problema. A partir das estratégias de alteração, por sua vez, os alunos mudam sistematicamente partes de um produto ou mesmo uma situação-problema. Questões do tipo “E se” ajudam os alunos a refletirem sobre possíveis encaminhamentos de uma atividade matemática (GONTIJO, 2007). Por exemplo, se ao investigar o custo da produção de determinado legume, os alunos pensassem “E se o cultivo adotado para a produção da horta escolar for a hidroponia? Haveria mais lucro?”, poderiam dar um encaminhamento bem diferente em relação ao que se vinha desenhando como percurso de investigação. Nota-se com este tipo de estratégia, portanto, a mudança de direção de uma investigação, por vezes, inclusive, de direção de um problema. Esta estratégia tanto pode ser usada na fase de levantamento de hipóteses (interação), quanto no desejo de se conhecer ou investigar mais além de um determinado problema (fase de interpretação de resultados). A dramatização, finalmente, relaciona-se à interação dos estudantes com os problemas. Esta estratégia tem por objetivo fazer com que os alunos expressem suas experiências pessoais, coloquem em jogo aquilo que eles têm de conhecimento prévio (GONTIJO, 2007). Permite, ainda, que os alunos manifestem sua compreensão do problema abordado. Tanto na fase de inteiração, quanto na fase de validação da Modelagem, consideramos esta estratégia adequada. Neste sentido, este produto foi organizado no formato de um caderno de atividades com orientações e indicações sobre Modelagem e também sobre Criatividade, no qual vislumbramos o uso das estratégias de estímulos à Criatividade. Ademais, os planos de intervenção de cada atividade presente no produto educacional estão disponíveis também a partir de um Qr Code. Basta um clique no celular para o professor baixar e levar o plano para a sala de aula. No Quadro 2 são apresentadas as cinco atividades que constituem o Produto Educacional, com algumas informações sobre a realização das atividades.


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Quadro 2 – Atividades de Modelagem Matemática do Produto Educacional de Viana (2020)

Fonte: Elaboração dos autores

Para a seção deste capítulo em que discutimos as atividades, selecionamos a atividade com tema “Quantas vezes piscamos ao dia”. Atividades de Modelagem Matemática para alunos de quintos anos do Ensino Fundamental Nesta seção, apresentamos duas das atividades de Modelagem Matemática realizadas pelos quintos anos do Ensino Fundamental, uma relativa a cada produto educacional desenvolvido. Esperamos que a leitura deste capítulo sirva tanto como inspiração para os professores em relação ao “aventurar-se” com atividades de Modelagem nas aulas de Matemática, especialmente, dos anos iniciais do Ensino Fundamental, quanto seja entendido como um convite para a leitura dos respectivos produtos educacionais, os quais apresentam também as outras atividades dos Quadros 1 e 2 que podem ser utilizadas (e adaptadas) nas salas de aula dos diferentes níveis de escolaridade.


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Dentre as atividades presentes no Produto Educacional intitulado como “Caderno de Atividades de Modelagem Matemática para os Anos Iniciais” (PALMA; VERTUAN, 2019), apresentamos aqui a atividade “Quero ser um youtuber”, pois foi uma das atividades mais empolgantes para os alunos de um 5º ano de uma escola pública da cidade de Bandeirantes no norte do Paraná. A turma participante da pesquisa era formada por 26 alunos com idades que variavam entre 09 e 11 anos. A atividade foi realizada em uma manhã, das 07:30 às 08:30. Apesar de as atividades serem realizadas em uma turma na qual o pesquisador não era o regente, a professora desta turma mostrou-se bem receptiva com a novidade, concordando com a realização das atividades em sua turma, se colocando à disposição sempre que necessário. Caracterizada como atividade do primeiro momento de Almeida, Silva e Vertuan (2016), a atividade foi apresentada já com a situação-problema elaborada (a possibilidade de renda de um youtuber) e com os dados disponíveis (valores que podem ser pagos, caso haja sucesso na publicação de material). Apesar de o tema ter sido proposto pelo professor da turma, conversas sobre youtubers queridos dos alunos denotavam, antes mesmo da proposição da atividade, um interesse deles em relação ao tema. Assim, os alunos foram convidados a responder às seguintes questões: Seu sonho é ser um youtuber? Se sim, você teria vontade de ganhar dinheiro postando vídeos na internet? Quanto você gostaria de ganhar (em reais) e como conseguiria isso sendo youtuber? Para a realização da atividade, foi entregue um papel impresso com a notícia de que para cada 1 mil visualizações, os valores a serem pagos pelos direitos autorais do vídeo variavam entre US$ 1 e US$ 5, e que o próprio Youtube retém 50% de todo o faturamento arrecadado. Como os valores apresentados estavam em dólares, o professor trouxe a cotação do dia, que estava em aproximadamente R$ 3,82 (cotação em 18 de março de 2019). Com a atividade em mãos e separados em grupos, os alunos começaram a discutir nos grupos sobre a forma como encaminhariam a atividade. Durante o processo de resolução e discussão dos grupos, o professor sempre agiu como mediador. Para discutir os aspectos de criatividade que emergiram no desenvolvimento desta atividade, apresentamos uma das resoluções e as respectivas considerações dos alunos em sua produção. Por apresentarem motivação em relação ao tema, um dos grupos formados, já no primeiro contato com a atividade, denotou o desejo de terem seu canal de vídeos. Ao analisarem a situação-problema proposta, questionaram se as perguntas seriam respondidas de forma pessoal ou em grupo. Após cada integrante responder à questão inicial, se gostariam de ser youtubers, os alunos também apresentaram de forma individual o valor que desejariam ganhar com a postagem de vídeo. Ao ver o valor que o grupo gostaria de ganhar, o professor questionou sobre quais os meios que este grupo buscaria para atingir o valor. Os valores detalhados que cada aluno gostaria de ganhar podem ser observados na Figura 1. Os números apresentados na figura 1, evidenciam a quantidade que cada integrante vislumbrava ganhar, em reais, pelo trabalho, variando entre R$10.000,00 e R$50.000,00. Este tipo de inferência na atividade demonstra certa originalidade na resolução, pois diferentemente dos demais grupos, eles buscaram valorizar o desejo de cada integrante, sem se incomodar com o fato de alguns terem pretensões maiores que outros.


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Figura 1 – Fragmento de resposta de um aluno do grupo na Atividade “Quero ser um youtuber”

Fonte: Palma (2019)

Outro detalhe apresentado na resolução do grupo, foi o de considerar US$ 1,00 como sendo R$ 4,00, uma simplificação interessante no âmbito de atividades de Modelagem e que surgiu devido a maior facilidade em multiplicar os valores em reais por 4 do que por 3,80, valor do dólar no momento da experiência (acreditem!), apresentando assim o aspecto de flexibilidade. Mas o que destaca esse grupo em relação às ideias empreendidas foi a concepção de que, sendo iniciantes na área de youtubers, eles não imaginariam receber o valor máximo de US$ 5 (uma aluna até comentou que como seria um canal novo, ninguém gostaria de ver), pois acreditavam que quem recebe esses valores são youtubers já consolidados. Essa noção de qual valor mereceriam receber, pode caracterizar a fluência, característica relacionada à quantidade de ideias que o indivíduo apresenta sobre um determinado assunto. A elaboração de ideias pode ser associada à intenção de um dos grupos em ganhar um valor por mês com os vídeos, como acontece com grande parte das profissões remuneradas. Dentre as atividades presentes no Produto Educacional intitulado “Criatividade e Modelagem Matemática” (VIANA; VERTUAN, 2020) apresentamos aqui a atividade “Quantas vezes piscamos ao dia?”. Esta atividade, assim como a primeira que descrevemos, refere-se também a uma atividade de primeiro momento de familiarização, cujo tema foi o Corpo Humano (o número de vezes que piscamos durante um dia), na qual o professor, intencionalmente, fez o uso de estratégias de estímulo do pensamento criativo durante o desenvolvimento da atividade com os alunos. Deste modo, a descrição da atividade destaca, além dos procedimentos empreendidos pelos alunos, a intervenção do professor, quando conscientemente, fez o uso das estratégias: brainstorming, alteração e dramatização. Participaram desta atividade 29 alunos de uma turma do quinto ano do Ensino Fundamental de uma escola do campo localizada na região dos Campos Gerais – PR, com idades que variavam entre 09 e 14 anos. No período, o autor deste texto não era professor regente da turma. A turma foi escolhida entre a coordenação da escola e o professor responsável, os quais acolheram nosso projeto e apoiaram o desenvolvimento da nossa pesquisa. Essa atividade, especificamente, foi desenvolvida em único período compreendido das 7h20min às 11h30min. Para o momento de inteiração da atividade o professor levou para a sala de aula, um vídeo1 que dizia respeito às “17 coisas sobre o corpo humano que vão fazer seu queixo 1 Vídeo

2020.

disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=G6h4QYYkVyI. Acesso em 13 dezembro de


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cair”. Este vídeo apresentava, dentre outras coisas, curiosidades e informações sobre o corpo humano, como por exemplo, que nossos rins filtram em média 25 vezes todo o nosso sangue ao dia; que a pele de um adulto pode corresponder a aproximadamente 16% do seu peso corporal; e ainda, que o ser humano pode piscar, em média, quinze vezes por minuto e em comparação com os homens, as mulheres piscam um número ainda maior. Após a apresentação do vídeo uma folha de atividades foi entregue aos alunos, divididos em seis grupos, trazendo o seguinte enunciado: “quantas vezes nós piscamos ao dia?”. Feita a leitura da atividade, o professor conduziu os alunos para o momento da resolução da atividade. As orientações do professor nesta fase, tanto no que diz respeito ao estímulo como a proposição de ideias pelos grupos, caracterizam o uso da estratégia de brainstorming. Após esse momento da atividade os alunos prosseguiram para a resolução assumindo como estratégia a conversão do número de piscadas de minuto para horas. Das respostas apresentadas pelos grupos, encontramos o número médio de 900 piscadas por hora, bem como que uma pessoa realiza em média 21.600 piscadas durante um dia (900x24h). Todavia, havia uma inconsistência nas respostas dos alunos que residia no fato de terem considerado, na estimativa do número de piscadas, um dia completo com 24h sem levar em conta, por exemplo, o tempo que uma pessoa poderia passar dormindo. Observado este fato, o professor instigou uma discussão nos pequenos grupos, que tendo constatado esta inconsistência, passaram a considerar uma nova estimativa considerando o “sono” como variável importante a se considerar na resolução do problema. Dos seis grupos que desenvolveram a atividade, cinco deles assumiram como hipótese que uma pessoa passa, em média, 8h dormindo e obtiveram como resposta que uma pessoa pisca em média 14.400 vezes ao dia. Outro grupo, baseado em suas rotinas diárias, assumiram o tempo médio de 9h de sono e obtiveram como resposta que uma pessoa nestas condições pisca, em média, 13.500 vezes durante um dia. A Figura 2 apresenta registros das respostas dos alunos. Figura 2 – Fragmento de registros dos alunos na atividade sobre o número de piscadas

Fonte: Viana (2020)

Após concluída esta etapa da atividade, o professor organizou uma plenária na qual solicitava aos alunos que comunicassem os resultados encontrados, explicitando aos demais os passos tomados bem como as estratégias utilizadas pelo grupo. A ação do professor neste momento da atividade refere-se ao uso da dramatização, estratégia que tem por objetivo estimular e envolver os estudantes com a atividade, os quais expressam seus conhecimentos e desenvolvem diferentes aptidões para a comunicação. Consideramos, ainda, que este momento se mostra promissor no que tange à organização, pelos alunos, das ideias utilizadas no desenvolvimento da atividade e no monitoramento dos seus modos de pensar e realizar as ações que desencadearam a resolução.


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Antes do término da plenária, aproveitando a discussão da atividade, o professor lançou para os alunos uma nova questão: “e se nós estivéssemos assistindo TV, o número de piscadas iria aumentar ou diminuir?”. A proposição do novo problema pelo professor na atividade caracteriza o uso da estratégia de alteração, a qual tem por objetivo fazer com que os alunos “ataquem” o problema por um outro ângulo. Em virtude do questionamento proposto pelo professor os alunos se manifestaram de diferentes modos, tanto a favor do aumento como da diminuição do número de piscadas. Perante tal discussão, os alunos chegaram à conclusão que o fato poderia ser aferido através de uma observação direta, em que um aluno da sala poderia estar em frente a uma TV, enquanto outro realiza a contagem do número de piscadas. Mediante esta ideia o professor preparou os materiais necessários para a coleta de dados e foram utilizados para tal dois computadores portáteis e a TV da sala de aula (Figura 3). Figura 3 – Coleta de dados na atividade referente ao número de piscadas em frente à TV

Fonte: Viana (2020)

Dos resultados encontrados pelos alunos, o número de piscadas dos colegas em frente ao monitor foram: 4 vezes por minuto; 8 vezes por minuto; 4 vezes por minuto; 9 vezes por minuto; 3 vezes por minuto e 23 vezes por minuto. Durante a discussão dos resultados, os alunos inferiram que o número de piscadas por minuto realmente diminui em frente à TV e dentre as hipóteses levantadas pelos alunos do porque isto ocorre, foi mencionado que a concentração de uma pessoa em frente à TV estaria relacionada ao número de vezes que ela pisca, o que justificaria, segundo os estudantes da turma, a falta de concentração da aluna que piscou 23 vezes no período de um minuto, apresentando um número de piscadas maior que as dos demais grupos. Algumas Considerações Neste capítulo apresentamos dois produtos educacionais desenvolvidos no âmbito do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação e Educação Matemática, GEPEEM, relativos à investigação e à promoção da Criatividade em contextos de aulas com Modelagem Matemática. Para além de atentar para a importância de práticas de investigação nos anos iniciais do Ensino Fundamental, tal como possibilitam as atividades de Modelagem, buscamos enfatizar a necessidade, cada vez mais latente, de promovermos um ambiente de aprendizagem em que os alunos possam desenvolver-se como sujeitos criativos, aptos a lidar com problemas abertos e significativos, de modo original e considerando diferentes modos de pensar e encaminhar soluções.


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No âmbito do GEPEEM, outros produtos educacionais foram realizados, ora atentando para a Modelagem Matemática, ora atentando para a Criatividade. O trabalho de Fonteque (2019), por exemplo, busca apresentar propostas de atividades que têm como intenção levar os estudantes a “elaborarem” seus próprios problemas de Matemática, isso porque, nas aulas de Matemática, os alunos estão habituados a resolver exercícios e problemas, mas não a elaborá-los. Como a criatividade se manifestou nestas atividades desenvolvidas com um quarto e um sétimo anos? Em linhas gerais, foi o que Fonteque (2019) buscou investigar ao desenvolver e aplicar o produto. Já Setti (2017), em seu produto, teve como propósito auxiliar docentes no trabalho com Modelagem Matemática, com a criação de um Site/Blog como um canal de comunicação para trocas de experiências. As situações de Modelagem empreendidas por Setti (2017) e seus alunos, apresentadas no site/blog, atentavam para temas relacionados ao curso dos participantes da pesquisa (Ensino Médio Técnico Integrado em Informática), mas são passíveis de serem empreendidas em diferentes contextos e situações. A pesquisa de Setti (2017) atentava para a interdisciplinaridade configurada nas práticas de Modelagem desenvolvidas e nos conceitos construídos e ressignificados pelos estudantes neste contexto. Por fim, Santos (2020) teve como intenção de seu produto apresentar atividades de Modelagem para auxiliar professores que formam outros professores em/com Modelagem Matemática. Ao trabalhar com estudantes da graduação que desenvolveram sua primeira atividade de Modelagem Matemática na condição de professor nas escolas em que já desenvolviam projetos pelo curso de Licenciatura, Santos (2020) pode investigar as angústias e alegrias dos professores em formação ao viverem essa primeira experiência e, a partir disso, construir um produto educacional com as atividades de Modelagem desenvolvidas pelos diferentes professores em formação e orientados pelo próprio pesquisador. A associação de um tema diferente da própria Modelagem em nossos produtos educacionais parece constituir-se um diferencial, principalmente quando consideramos a pesquisa de Viana e Vertuan (2018). Durante o mapeamento que empreendemos, observamos que dos produtos que analisamos, poucos tratavam de um outro tema além da Modelagem Matemática. Constatamos que a maior parte dos produtos analisados apresentavam somente conceitos e orientações exclusivas para as atividades de Modelagem. Tanto a Modelagem Matemática quanto a Criatividade, enquanto corpus teórico, são apresentadas e discutidas nos produtos que construímos. Deste modo, não concebemos nossos produtos como um produto exclusivamente da Modelagem, mas sim como uma produção também da Criatividade. Por outro lado, ao tratarmos da questão da Criatividade nestes produtos, foi nosso objetivo trazer à tona um campo de pesquisa pouco difundido e explorado no âmbito do cenário nacional da Educação Matemática. A incipiência de trabalhos, tanto referentes à Educação Matemática e Criatividade, como à Modelagem Matemática e Criatividade, mostra que um vasto campo ainda precisa ser discutido (VIANA, 2020), pois assim como assinalam Setti, Viana e Vertuan (2019), na maioria das vezes, o uso do termo Criatividade está associado ao senso comum, sendo citado em muitos trabalhos acadêmicos sem apresentar uma fundamentação ou concepção teórica explícita. Neste sentido, convidamos os leitores a conhecerem os produtos educacionais que apresentamos no decorrer do texto e, principalmente, a se aventurarem na realização de atividades de Modelagem Matemática e na realização de aulas em que a criatividade também se constitua uma intencionalidade.


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PEREIRA. E. Modelagem Matemática e Resolução de Problemas como potencializadoras da criatividade no ensino de Matemática. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 2013, 11., Curitiba, Anais [...]. Curitiba: PUC-PR, 2013, p. 1-13. PEREIRA, E. A Modelagem Matemática e o papel do professor de Matemática para o desenvolvimento da Criatividade. In: BRANDT, C. F.; BURAK, D.; KLÜBER, T. E. (Orgs). Modelagem Matemática: perspectivas, experiências, reflexões e teorizações [online]. 2 ed., Ponta Grossa: editora UEPG, 2016, p. 201-2012. SANTOS, R. P. C. dos. Primeira experiência em sala de aula em / com modelagem matemática de professores em formação inicial. 2020. 112 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020. SETTI, E. J. K. Modelagem matemática no curso técnico de informática integrado ao ensino médio: um trabalho interdisciplinar. 2017. 194 f. Dissertação (Programa de PósGraduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2017. SETTI, E. J. K.; VIANA, E. R.; VERTUAN, R. E. Criatividade na Educação Matemática: o que se mostra dos trabalhos publicados no XII ENEM. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 2019, 3., Cuiabá. Anais [...] Cuiabá: UNEMAT, 2019, p. 1-15. VERTUAN, R. E.; SETTI, E. J. K. Criatividade e Modelagem Matemática: o que dizem alunos egressos de um curso de Licenciatura em Matemática sobre suas formações iniciais. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. 2018, 7., Foz do Iguaçu. Anais [...]. Foz do Iguaçu: SBEM, 2018, p. 1-16. VIANA et al. Aspectos de Criatividade no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, 2019, 15., Londrina, Anais [...]. Londrina: UEL e UTFPR, 2019, p. 1-15. VIANA, E. R. Estratégias de estímulo do pensamento criativo em atividades de modelagem matemática. 2020. 184 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020. VIANA, E. R.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática no mestrado profissional: um olhar para os produtos educacionais. In: Simpósio Nacional de ensino e aprendizagem. 2018, 4., Londrina, Anais [...]. Londrina: UTFPR, 2018, p. 1-14. VIANA, E. R.; VERTUAN, R. E. Criatividade e Modelagem Matemática. 2020. 37 f. Produto Educacional (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020.


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Experimentação em atividades de Modelagem Matemática: abordagens para a sala de aula Karina Alessandra Pessoa da Silva | Paulo Henrique Hideki Araki | Robson Aparecido Ramos Rocha

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sala de aula, de imediato, pensamos em um espaço destinado ao ensino e à aprendizagem constituído por quatro paredes, uma lousa, carteiras enfileiradas e uma mesa para o professor. Todavia essa caracterização de espaço para ensino e aprendizagem, no contexto educacional, se encontra ultrapassada visto que a possibilidade de ensinar e aprender vai além de um espaço físico delimitado por quatro paredes. Entendemos que um ambiente educacional é constituído por um “[...] conjunto de elementos, de ordem material ou afetiva, que circunda o educando, que nele deve necessariamente se inserir e que o inclui, quando vivencia os processos de ensino e aprendizado” (TRONCON, 2014, p. 265). Com isso, temos empreendido esforços em articular elementos de ordem material e afetiva no desenvolvimento de atividades investigativas em aulas de Matemática e em aulas em que a Matemática se faz presente. Para tanto, nos amparamos na Modelagem Matemática como uma possibilidade para abordar conteúdos matemáticos por meio de situações extra matemáticas. A partir de uma situação problemática, define-se um problema em que uma solução é apresentada por meio de um modelo matemático, uma representação matemática. Corroboramos com Almeida e Vertuan (2014, p. 2) de que o modelo matemático “é o que dá forma à solução do problema e a Modelagem Matemática é a atividade de busca por esta solução”. Para se obter uma solução subsidiada na Matemática, os sujeitos envolvidos com uma atividade de modelagem desenvolvem um conjunto de ações tanto físicas quanto cognitivas. Dentre essas ações, a definição de um problema, a coleta de dados qualitativos e quantitativos, a definição de variáveis, o levantamento de hipóteses, a dedução de um modelo matemático, a interpretação dos resultados com o intuito de validar a representação matemática da situação, a busca de uma solução para o problema e a comunicação dos resultados. Considerando a coleta empírica de dados para o desenvolvimento de atividades de modelagem, temos nos debruçado em investigar e desenvolver experimentação com alunos em aulas de Matemática e de Química (SILVA, 2017, SILVA, 2018, SILVA; VERTUAN; SILVA, 2018, SILVA; ARAKI; BORSSOI, 2018, ARAKI; SILVA, 2018, ARAKI; ROGOSKI; SILVA, 2019, SILVA; DALTO, 2019, ARAKI; SILVA, 2019, ROCHA; SILVA, 2019a, ROCHA; SILVA, 2019b, ARAKI, 2020). Entendemos que, por meio da experimentação, o aluno “raciocina sobre o problema proposto e procura respostas para sua solução a partir da proposição de hipóteses e análise dos dados, manifestando assim, suas habilidades de cognição” (SUART; MARCONDES, 2009, p. 51-52). Além disso, a experimentação permite ao estudante utilizar-se de sua percepção qualitativa e quantitativa acerca de determinado fenômeno em prol do aprendizado científico, tecnológico e matemático (FEITOSA; LEITE; FREITAS, 2011). Abordando a experimentação em atividades de modelagem desenvolvidas em aulas de Matemática e Química, elaboramos os produtos educacionais apresentados neste capítulo. Trata-se de dois cadernos de atividades que foram planejadas e/ou desenvolvidas com UANDO MENCIONAMOS


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alunos da Educação Básica e cujas orientações possibilitam a professores interessados em práticas com Modelagem Matemática nas quais dados experimentais se fazem presentes. Todavia, com vistas a apresentar nossos entendimentos sobre Modelagem Matemática e Experimentação apresentamos um tópico relativo à fundamentação teórica que subsidiou ambos produtos educacionais para, em seguida, apresentar de forma sucinta a forma e o conteúdo de cada um desses produtos. Finalizamos com algumas considerações em que destacamos as análises empreendidas nas dissertações das quais os produtos educacionais se originaram. Experimentação e Modelagem Matemática: alguns aspectos A busca por se desenvolver abordagens variadas para a promoção do ensino e da aprendizagem tem ocupado professores e pesquisadores das diferentes áreas do conhecimento. Um aspecto que parece estar presente é o fato de inserir o aluno como agente ativo na sua aprendizagem, aproximando-o dos conceitos científicos. Dentre tais abordagens, a experimentação com a manipulação de objetos e materiais tem sido defendida, visto que promove a transição entre o abstrato e o concreto, entre os aspectos teóricos decorrentes de conceitos científicos e seus concomitantes práticos evidenciados em determinado fenômeno (LABURÚ, 2006). De forma geral, no trabalho experimental, os alunos são colocados diante de situações que tenham realmente carácter problemático, de modo a que sejam encorajados a levantar questões, a planear experiências simples, visando a testagem de uma dada hipótese de trabalho, a fazer previsões, a observar semelhanças e diferenças, a usar uma pluralidade de métodos, a comunicar as suas ideias e a criticamente sobre todo o percurso investigativo (FERNANDES; SILVA, 2004, p. 46).

Neste sentido, fazer uso da experimentação possibilita a formação de estudantes com capacidade para argumentar, levantar hipóteses e realizar análise de dados oriundos de sua realidade. De certo modo, seguir os procedimentos subsidiados na experimentação cria um ambiente investigativo em que o ensino se aproxima de forma simplificada dos processos de um trabalho científico (CARVALHO, 2013). Essa aproximação se deve ao fato de os alunos se engajarem “com as discussões e, ao mesmo tempo em que travam contato com fenômenos naturais, pela busca de resolução de um problema, exercitam práticas e raciocínios de comparação, análise e avaliação bastante utilizadas na prática científica” (SASSERON, 2015, p. 58). Sandri (2018) orienta que o desenvolvimento da experimentação pode ser feito a partir de três momentos distintos: o momento pré-laboratório, o momento laboratório e o momento pós-laboratório. O pré-laboratório está associado a ações de definição e contextualização do problema a ser investigado, bem como proposição de um protocolo a ser seguido no experimento. O momento laboratório é constituído pelos procedimentos experimentais, com base na manipulação de materiais e/ou reagentes necessários de modo a se evidenciar o fenômeno. Já o momento pós-laboratório consiste nas análises dos resultados obtidos, bem como em correlações com os aspectos teóricos mobilizados. Os encaminhamentos empreendidos na experimentação se aproximam do desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática. Isso se deve ao fato de que atividades de modelagem requerem dos alunos a formulação de um problema e a definição de metas para sua resolução, a definição de hipóteses, a formulação de previsões e a apresentação de explicações e respostas para a situação em estudo, bem como a comunicação destas respostas e/ou explicações para outros (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009). Desta forma, entendemos que a Modelagem Matemática se configura como uma alternativa pedagógica que parte de uma situação inicial problemática com vistas a chegar a uma situação final,


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uma solução para o que se está investigando (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). O desenvolvimento de atividades de modelagem, geralmente, é realizado de forma cooperativa, em que o trabalho em grupo é seu aporte. Com isso, diferentes conhecimentos são compartilhados entre os alunos e entre alunos e professor. No desenvolvimento de uma atividade de modelagem, o que se objetiva é a busca por uma solução para o problema. Para essa busca, há necessidade de perpassar por uma ou mais representações matemáticas para um objeto ou fenômeno não-matemático, criando “uma complexa relação estrutural entre duas entidades de diferente natureza epistemológica: a situação a ser modelada e o sistema matemático” (ALMEIDA; SILVA, 2015, p. 45). Tais representações matemáticas, a literatura em Educação Matemática convencionou denotar por modelo matemático – um sistema conceitual, descritivo ou explicativo que tem por finalidade descrever, explicar e mesmo predizer o comportamento do fenômeno (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). Corroboramos com Souza e Justi (2010, p. 4) quando afirmam que, para deduzir um modelo, “não existem regras fixas ou um único caminho a ser seguido”, todavia, há de se considerar “a finalidade da construção de um modelo em um determinado contexto”. No caso de nossos interesses, o modelo está atrelado à experimentação articulada com conceitos matemáticos. Segundo Carreira e Baioa (2011), a experimentação atrelada à Modelagem Matemática permite desenvolver três fatores: (1) Estudantes têm a oportunidade de aprender fazendo (enquanto executam a manipulação e experimentação e engajados na conjectura e validação). (2) Trabalhar com materiais concretos e físicos é uma forma de investigar as propriedades matemáticas dos objetos. (3) Investigar por meio da experimentação reflete nas ações mentais e sobre a aprendizagem subsequente das ideias matemáticas e se torna uma forma de desenvolver a compreensão sobre modelos matemáticos (CARREIRA; BAIOA, 2011, p. 214).

Entendemos assim como Almeida e Silva (2017, p. 209), que a “introdução e o uso da Modelagem Matemática nos diversos níveis de escolaridade e em diferentes cursos e disciplinas remete, entretanto, ao uso, à aplicação e à construção de conhecimento em Matemática”. Todavia essa introdução não é algo simplista e, de acordo com Almeida, Silva e Vertuan (2012), pode ser feita considerando a familiarização dos alunos por meio de três momentos: no primeiro momento, o professor apresenta aos alunos uma situaçãoproblema, subsidiada por dados e informações necessárias para a sua investigação, ao passo que o professor acompanha de perto os alunos no decorrer da atividade; o segundo momento também é demarcado pela sugestão de uma situação-problema por parte do professor, sendo que a coleta de informações e dados para a investigação, bem como a definição de variáveis e hipóteses simplificadoras ficam a critério dos alunos; por fim, no terceiro momento cabe aos alunos a condução de uma atividade de modelagem em sua totalidade, da definição de uma situação-problema a ser investigada aos procedimentos necessários para a condução da atividade. Levando em consideração os apontamentos supracitados é que desenvolvemos os produtos educacionais descritos neste capítulo.


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Produtos educacionais envolvendo Experimentação e Modelagem Matemática Neste tópico apresentamos, de forma abreviada, os produtos educacionais desenvolvidos no contexto de aulas de Matemática e no contexto de aulas de Química. Como mencionamos anteriormente, nos subsidiamos no desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática respaldadas por dados experimentais. As atividades referentes à experimentação em contexto de aulas de Matemática foram desenvolvidas por uma turma de 15 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Utilizamos a letra M seguida por um número subscrito para a identificação desses alunos que desenvolveram as atividades no contexto de aulas de Matemática. Ao todo, sete atividades constam do produto educacional, conforme a síntese apresentada no Quadro 1. Quadro 1

– Síntese das atividades de modelagem desenvolvidas

Fonte: Araki (2020)

O desenvolvimento dessas atividades se deu de acordo com os momentos de familiarização do aluno com a Modelagem Matemática (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). Nesse sentido, as três primeiras atividades, referentes ao primeiro e ao segundo momento de familiarização, foram planejadas pelo professor e desenvolvidas por todos os alunos da turma, divididos em grupos de três a quatro integrantes. Já as atividades 4, 5, 6 e 7, concernentes ao terceiro momento de familiarização, foram planejadas pelos alunos, ao passo que cada grupo ficou responsável apenas pelo desenvolvimento da atividade idealizada. Com relação às atividades referentes à experimentação em contexto de aulas de Química, oito alunos da 2ª série do Ensino Médio de um colégio público do interior do Paraná foram imersos na proposta de duas das quatro atividades que compõem o produto educacional, conforme apresentamos no Quadro 2. Quadro 2

– Síntese das atividades de modelagem desenvolvidas

Fonte: Rocha (2020)


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Para o desenvolvimento das atividades em sala, seguimos as orientações de Almeida, Silva e Vertuan (2012) no que compete a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica e a classificação Araújo e Abib (2003) para a experimentação. Ambas as atividades foram elaboradas pelo professor. Enfatizamos que os produtos educacionais não se tratam de direcionamentos ordenados a serem seguidos rigorosamente, mas sim de possíveis encaminhamentos para atividades de modelagem por meio da experimentação. Assim, convidamos a quem desejar utilizar do material em suas aulas a se fazer uma leitura das dissertações e dos produtos educacionais1 para reflexões acerca da prática e do aporte teórico. Experimentação nas aulas de Matemática O produto educacional intitulado “Experimentação nas aulas de Matemática” foi desenvolvido como parte integrante da pesquisa de mestrado “Atividades experimentais investigativas em contexto de aulas com Modelagem Matemática: uma análise semiótica”. Trata-se de um material pensado de modo a permitir ao usuário contemplar sugestões de atividades experimentais investigativas para serem desenvolvidas no âmbito da disciplina de Matemática. As atividades apresentadas partiram de conceitos provenientes da Matemática, da Química e da Física. Entretanto, o principal enfoque se deu acerca da abordagem de conceitos matemáticos evidenciados nos fenômenos observados experimentalmente, optando-se em não aprofundar os estudos acerca da teoria científica envolvida. O presente produto educacional encontra-se dividido em quatro seções. Inicialmente, são apresentados alguns aspectos iniciais, um diálogo acerca da motivação por trás da elaboração do material. Em seguida, são apresentados alguns aspectos teóricos acerca da Modelagem Matemática e experimentação investigativa que embasaram o trabalho. Na seção seguinte, são apresentados os desdobramentos das sete propostas de atividades experimentais desenvolvidas pelos alunos. Por fim, são apresentadas algumas considerações acerca da realização das atividades experimentais no contexto das aulas de Matemática. A apresentação dessas atividades seguiu um mesmo padrão. Inicialmente, foram apresentados o título da atividade, os conceitos matemáticos e científicos mobilizados, bem como o tempo de realização da atividade, embasado nas ações dos alunos do 9º ano. A Figura 1 indica a forma como essas informações foram apresentadas no produto educacional. Elegemos a atividade 1 para exemplificar a forma como o produto educacional encontra-se constituído.

1 Os

textos de dissertação e os produtos educacionais mencionados no decorrer deste capítulo podem ser acessados de maneira virtual na página do Repositório Institucional da UTFPR.


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Figura 1 – Conceitos envolvidos e tempo de realização na atividade 1

Fonte: adaptado de Araki e Silva (2020)

É válido destacar que, em todas as atividades apresentadas, os conceitos matemáticos identificados se referiam aos conceitos que se mostraram presentes nas resoluções dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, ao passo que alunos de diferentes turmas poderiam recorrer a outros conhecimentos, dependendo do seu domínio. Ainda, o tempo de desenvolvimento da atividade levou em consideração a quantidade de aulas destinadas a cada um dos momentos de uma atividade experimental, conforme evidenciados por Sandri (2018). Assim, como a atividade se deu em concomitância com as aulas de Matemática, a sua realização aconteceu ao longo de três dias. Em seguida, é apresentado ao leitor um texto de caráter introdutório, evidenciando um panorama geral acerca da temática da atividade, as informações relevantes para o seu desenvolvimento e uma sugestão de problema a ser investigado, conforme apresentado no Quadro 3.


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Quadro 3 – Texto introdutório da atividade 1

Fonte: Araki e Silva (2020)

Nesse sentido, a coleta de dados experimentais referentes à atividade 1 encontravase embasada na construção e manipulação de um calorímetro (instrumento utilizado para o estudo de trocas de calor entre dois ou mais corpos). Para tanto, são apresentados os materiais e os reagentes utilizados, bem como algumas orientações referentes à sua construção, conforme apresentado no Quadro 4. Quadro 4 – Orientações para a construção do calorímetro utilizado na atividade 1

Fonte: Araki e Silva (2020)


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De modo a facilitar o acesso a essas informações, o texto de introdução e o quadro contendo os materiais e os reagentes utilizados e as orientações para o desenvolvimento de cada atividade foram disponibilizados por meio de códigos QR, direcionando os leitores a um arquivo em nuvem. Além de permitir o acesso rápido, possibilita ao leitor a impressão e distribuição desses materiais. Em cada atividade são apresentadas as ações empreendidas no decorrer dos experimentos, evidenciando a forma como os dados foram coletados. Ainda, são apresentadas fotografias dos alunos no decorrer da atividade, evidenciando a construção de instrumentos e o modo de manuseá-los. A Figura 2 apresenta uma dessas fotografias presentes no produto educacional. Figura 2 – Alunos realizando o experimento no decorrer da atividade 1

Fonte: Araki e Silva (2020)

Como afirmado anteriormente, a realização de experimentos investigativos possibilitou a coleta dos dados a serem utilizados na dedução de um modelo matemático capaz de solucionar a situação-problema. No caso do calorímetro, o seu manuseio possibilitou observar a variação da temperatura da água ao ser exposta à chama decorrente da combustão de uma amostra de alimento (Figura 3). Figura 3 – Dados experimentais encontrados pelos alunos na atividade (Os alimentos utilizados por esse grupo no decorrer dos experimentos foram: torrada (alimento 1), salgadinho (alimento 2), amendoim (alimento 3) e biscoito doce (alimento 4).)

Fonte: Araki e Silva (2020)

A obtenção desses dados permitiu que os alunos refletissem sobre a situação-problema “Quantas calorias existem em 15 g de amendoim?”. No produto educacional, apresentamos as ações empreendidas por um grupo, que recorreu aos dados e ao conhecimento prévio dos alunos para a dedução de um modelo matemático, como apresentado no Quadro 5.


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Quadro 5 – Modelo matemático deduzido por um grupo na atividade 1

Fonte: Araki e Silva (2020)

Um dos grupos recorreu ao conceito de caloria e ao conhecimento acerca de proporcionalidade para a dedução de um modelo matemático capaz de relacionar a massa de amendoim e o valor energético. A validação desse modelo se deu a partir da comparação do valor energético obtido para 15 gramas de amendoim e a comparação com a tabela de informações nutricionais presentes na embalagem do alimento (12,8 kcal e 63 kcal, respectivamente). A diferença nos resultados possibilitou a discussão acerca dos motivos que poderiam ter influenciado, a constar: a falta de isolamento térmico do calorímetro e a combustão incompleta da amostra de amendoim. É válido reforçar que as sugestões de resolução apresentadas no produto educacional decorreram do conhecimento prévio daqueles alunos, não constituindo a única solução possível ao problema. As propostas apresentadas no produto educacional constituem uma possibilidade para o professor transformar a sua sala de aula em um ambiente de pesquisa, com suas particularidades e necessidades. Assim, incentivamos o desenvolvimento das atividades presentes nesse produto educacional e a troca de ideias e experiências entre os professorespesquisadores. Atividades de Modelagem Matemática com experimentação na Química O produto educacional intitulado “Modelagem Matemática e Experimentação: sugestões ao professor”2 faz parte da pesquisa “Comunicação em atividades de Modelagem Matemática com Experimentação: uma análise semiótica”. Tanto para a pesquisa quanto para a elaboração do produto educacional, pensamos na Modelagem Matemática por se tratar de uma alternativa que viabiliza a exploração de situações originadas em diferentes contextos, até mesmo fora do contexto da matemática (ALMEIDA, 2010) e pelo desafio de recriar na sala de aula um ambiente diferente do contexto escolar estabelecido culturalmente (CARREIRA; BAIOA, 2018). Na experimentação, pensamos como uma estratégia 2 Na

elaboração deste capítulo, o produto educacional estava em fase de finalização e fazia parte da pesquisa do terceiro autor do capítulo.


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construtiva e interdisciplinar (BRIDI, et al., 2010) que pode proporcionar ao aluno o contato direto com a coleta de dados empíricos. Pensamos também no desenvolvimento de um material que tem como característica sugerir atividades de Modelagem Matemática com experimentação por meio de uma estrutura flexível, que possa ser analisada, adequada e utilizada por professores de Matemática ou Química da Educação Básica ou adaptada para o desenvolvimento no Ensino Superior de acordo com as necessidades do professor, dos alunos e da matriz curricular. Vale ressaltar que o produto educacional apresenta sugestões de desenvolvimento das quatro atividades propostas e exemplifica por meio das duas atividades que foram desenvolvidas em sala de aula. No Quadro 6 apresentamos as seções que compõem o material e a descrição do que buscamos contemplar em cada uma delas. Quadro 6 – Descrição das seções que compõem o produto educacional

Fonte: Elaboração dos autores


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Experiências de práticas no ensino são sempre bem-vindas, desse modo, tendo como intenção atender às expectativas dos professores sobre as atividades e servindo de sugestão para o desenvolvimento de novas práticas docentes em parceria com outras áreas do conhecimento, achamos pertinente apresentar aqui os resultados de um dos grupos, a partir do desenvolvimento de uma das atividades em sala de aula. Para isso escolhemos a atividade 1 “Condensação da água”. No Quadro 7 apresentamos uma síntese dessa atividade. Quadro 7 – Síntese da atividade

Fonte: Elaboração dos autores

Para o início do desenvolvimento da atividade, momento pré-laboratório, iniciamos por meio da leitura do texto “Condensação3 ” a fim de muni-los de informações e inteirá-los sobre a situação a ser investigada. Após a leitura do texto, o professor direcionou indagações intencionais a respeito do texto, tais como “O que vocês entendem por condensação?”, “Já presenciaram este fenômeno?”, a fim de que os alunos se familiarizassem com o que seria abordado na prática. A partir das respostas dos alunos, o professor conceituou condensação e trouxe mais alguns exemplos sobre o tema, o que permitiu a elaboração do problema de investigação “Que quantidade de água conseguimos coletar por meio da condensação?”. Desse modo, a busca por informações sobre o tema a ser trabalhado e a elaboração de um problema de pesquisa se tornam o foco central desta aula. Após a elaboração do problema de investigação, ocorreu a transformação da linguagem natural do problema para a linguagem matemática. Nessa fase, com vistas a responder o problema de investigação, os alunos sugeriram deixar um recipiente com gelo em repouso sobre um prato e coletar a massa de água condensada por meio de uma balança de precisão. No momento laboratório, o professor iniciou apresentando os materiais disponíveis para experimentação e sugeriu a coleta de água condensada a cada 30 minutos durante um intervalo de 3 horas. Vale ressaltar que o colégio em que a atividade foi desenvolvida não disponibilizava de laboratório próprio para este tipo de atividade, desse modo, utilizamos a biblioteca da escola como ambiente para a experimentação. 3O

texto adaptado do Manual de Confronto Térmico (FROTA; SCHIFFER, 2001, p. 36) poderá ser encontrado nos apêndices do Produto Educacional.


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Para a coleta de dados os alunos divididos em dois grupos se revezavam a cada 30 minutos para coletar os dados obtidos por meio do experimento. Os dados coletados pelos alunos são apresentados no Quadro 8. Quadro 8 – Quadro de dados dos alunos após 30, 60, 90, 120, 150 e 180 minutos

Fonte: Elaboração dos autores

Após a coleta de dados, no momento pós-laboratório, os alunos conseguiram responder ao primeiro problema de investigação. A diferença entre a massa final do prato com água condensada pela massa do prato vazio possibilitou concluir que é possível coletar 10 gramas de água condensada, considerando constantes a umidade relativa do ar e a temperatura do ambiente durante o intervalo de 3 horas para experimentação. Como se trata de atividades de Modelagem Matemática com experimentação, cabe ao professor orientar os alunos durante o desenvolvimento. Desse modo, tendo em vista novas abordagens, o professor sugeriu um novo problema de investigação: “Que quantidade de água condensada conseguiríamos se deixássemos este recipiente em repouso por 10 horas?”. Os alunos divididos em dois grupos deduziram modelos com a intenção de responder o segundo problema de investigação. Um dos grupos, orientados pelo professor, utilizou o software GeoGebra para o desenvolvimento do gráfico e a realização de ajustes de curvas conforme mostra a Figura 5. Figura 5 – Modelos produzidos por meio da ferramenta de ajustes de curvas no software GeoGebra

Fonte: Relatório dos alunos

O GeoGebra permitiu acompanhar o comportamento de diferentes representações gráficas de funções com base em um sistema de eixos ortogonais, fornecendo dados passíveis de serem interpretados matematicamente. Inicialmente os alunos afirmaram que o modelo que melhor se aproximava da situação estudada era o modelo senoidal, representado pela função f (x) = 176, 31 +


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5, 27sen(0, 01x − 1, 46). Por meio da manipulação do gráfico para a validação do modelo, os alunos verificaram que o modelo não poderia representar a situação estudada pelo fato da água condensada não diminuir e aumentar sua quantidade. As Figuras 6 e 7 mostram o momento em que os alunos validam o modelo. Figura 6 – Momento em que os alunos manipulam o gráfico da função senoidal

Fonte: Arquivo do professor/pesquisador

Figura 7 – Não validação do modelo por meio da representação gráfica do modelo senoidal

Fonte: Relatório dos alunos

Após algumas discussões sobre os modelos apresentados pelo software, os alunos concluíram que a melhor representação para a situação era a função f (x) = 0, 00009x2 + 0, 04167 + 170, 7381 e validaram o modelo utilizando o software como mostra a Figura 8 em que f (x) representa a quantidade de água em gramas em função do tempo em minutos.


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Figura 8 – Validação por meio da representação gráfica da função Polinomial

Fonte: Relatório dos alunos

Assim, os alunos responderam o problema inferindo que a quantidade de água após 10 horas (600 minutos) de condensação seria de 58 gramas, resultante da diferença entre a massa do prato com água após 10 horas de condensação pela massa do prato vazio. Nota-se que a atividade de Modelagem Matemática permitiu que os alunos determinassem estratégias de resolução partindo de uma situação inicial não necessariamente matemática, isso evidencia as assertivas de Almeida, Silva e Vertuan (2012). Com relação à experimentação, evidenciamos as afirmações de Arruda e Laburú (1998), ao salientarem que atividades que envolvem experimentação podem proporcionar a construção de conhecimento, pois mais importante que conhecer respostas é saber como chegar até elas. Como sugestão o professor pode promover discussões sobre a desconsideração de algumas variáveis, por exemplo a variação da umidade relativa do ar e da temperatura que podem influenciar diretamente na obtenção de novos modelos matemáticos. Palavras finais Com o intuito de extrapolar os limites das quatro paredes da sala de aula, podemos levar nossos alunos a desenvolver experimentos ao mesmo tempo em que discutem e constroem conhecimentos matemáticos. Para isso, implementar atividades de modelagem das quais dados coletados empiricamente se fazem presentes, aproximam os alunos do trabalho de um cientista. Neste sentido, propomos um ambiente educacional que se aproxima de um laboratório em que conceitos se articulam e se complementam com a manipulação de instrumentos e reagentes. Diante desse cenário, temos criado no Mestrado Profissional produtos educacionais que podem auxiliar professores interessados em implementar Modelagem Matemática em suas aulas. Desse modo temos em mente que nosso material, construído ao longo das pesquisas, pode ser empregado no contexto escolar proporcionando novas perspectivas de estudos futuros na área de ensino de Matemática. Logo, acreditamos que as sugestões de atividades de Modelagem Matemática com experimentações sugeridas e exemplificadas nos produtos educacionais podem contribuir para a aprendizagem da Matemática. Para além das atividades apresentadas e sugeridas para serem encaminhadas no ambiente educacional que intentamos configurar, os produtos educacionais exemplificados


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neste capítulo fazem parte de duas pesquisas que articulam, além da Modelagem Matemática e da Experimentação, a Semiótica que subsidia nossa análise com relação à atribuição de significado a partir dos diferentes signos produzidos pelos alunos. O aporte teórico relativo à semiótica se pauta nas assertivas de Charles Sanders Peirce, que a compreende como a ciência dos signos, os signos da linguagem. Para Peirce (2005), signo é algo que representa alguma coisa para alguém. No contexto matemático, esse algo é o objeto matemático que somente é acessível à percepção por meio de signos. Por exemplo, o signo gráfico representa, sob certo aspecto, o objeto matemático função, que também pode ser representado por meio de um signo algébrico, um signo tabular. O signo estabelece uma mediação entre o objeto e um interpretante, ou seja, com o “efeito interpretativo que o signo produz em uma mente real ou meramente potencial” (SANTAELLA, 2007, p. 23). No contexto da Matemática, uma das formas de se evidenciar a geração de signos vem a ser por meio da utilização de ações e artefatos, sejam eles produzidos fisiologicamente ou por meio de aparatos tecnológicos. Nesse sentido, Mavers (2004) argumenta que recursos como diagramas, esquemas, imagens, gestos, dentre outros, que são escolhidos e utilizados efetivamente na produção de signos podem ser caracterizados como sendo recursos semióticos. Recursos como gestos e expressões podem ser utilizados pelos envolvidos em um ambiente comunicacional. Desse modo, o signo é também a base da comunicação, pois “não há, de modo algum, comunicação, interação, projeção, compreensão, etc, sem signos” (SANTAELLA, 2012, p. 4). Entendemos comunicação como sendo um ramo dos estudos semióticos, especificamente uma forma de interação social entre indivíduos, em que um signo criado na mente interpretadora resulta no que Peirce (2005) denomina signo interpretante. As enunciações da Teoria da Comunicação de Peirce associam a geração de novos signos interpretantes com conceitos da semiose, que por sua vez é caracterizada como uma evolução da ação própria do signo de ser interpretado por outro signo (PEIRCE, 2005). Assim, entendemos signos interpretantes como recursos que alguém utiliza para representar algo (SANTAELLA, 2012), podendo ser recursos de pensamento, de compreensão de raciocínio e de aprendizagem. A semiótica, em nossos trabalhos, alicerça nossas análises com relação à interpretação que os alunos fazem do objeto matemático que emergem em atividades de modelagem e, com isso, nos possibilita inferir sobre a atribuição do significado para tais objetos. Nesse sentido, a pesquisa que originou o produto educacional “Experimentação nas aulas de Matemática” desenvolveu atividades experimentais investigativas em um contexto de aulas com Modelagem Matemática buscando contribuir para a atribuição de significado para o objeto matemático. Para tanto, levou-se em consideração os signos interpretantes que foram produzidos a partir da mobilização de diferentes recursos semióticos no decorrer das atividades. Pautada nas considerações de uma pesquisa qualitativa, a análise dos dados foi inspirada nas considerações da Análise de Conteúdo (BARDIN, 2016). A pesquisa que deu origem ao produto educacional intitulado “Modelagem Matemática e Experimentação: sugestões ao professor” trata da análise da comunicação por meio da Semiótica Peirceana. O objetivo principal foi evidenciar que papéis assumem os signos interpretantes usados ou produzidos pelos estudantes, pelo pesquisador, bem como aqueles que são resultado da comunicação entre os envolvidos no desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática com experimentação. Os dados que compõem a pesquisa são oriundos de recortes de registros escritos dos estudantes, fotografias, gravações de vídeo e transcrições de gravações de áudio. Para as análises fizemos uso das assertivas da Teoria


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da Comunicação de Charles Sanders Peirce, que são exploradas por pesquisadores como Pietarinen (2003), Netto (2007), Santaella (2012) e D’Amore, Pinilla e Iori (2015). Nas duas pesquisas que destacamos, a abordagem semiótica está relacionada a objetos matemáticos que emergiram no contexto das atividades desenvolvidas com alunos nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Empreendimentos relativos a pesquisas voltadas para os anos iniciais do Ensino Fundamental e Ensino Superior podem se configurar alicerçados na Modelagem Matemática e na Experimentação, sendo uma possibilidade de trabalhos futuros com produtos educacionais constituídos. Referências ALMEIDA, L. M. W. Um olhar semiótico sobre modelos e modelagem: metáforas como foco de análise. Zetetiké. FE-Unicamp, v. 18, número temático, p. 387-414, 2010. ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v. 2, n. 2. p. 117-134, 2009. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. A Ação dos Signos e o Conhecimento dos Alunos em Atividades de Modelagem Matemática. Bolema, v. 31, n. 57. p. 202-2019, 2017. ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. The Meaning of the Problem in a Mathematical Modelling Activity. In STILLMAN, G. A.; BLUM, W.; BIEMBENGUT, M. S. (Eds.), Mathematical Modelling in Education Research and Practice: cultural, social and cognitive influences, p. 45-54. New York: Springer, 2015. ALMEIDA, L. M. W.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Matemática. In: ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. A. P. (Orgs). Modelagem em Foco. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2014. ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012. ARAKI, P. H. H. Atividades experimentais investigativas em contexto de aulas com Modelagem Matemática: uma análise semiótica. 2020. 169 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020. ARAKI, P. H. H.; ROGOSKI, K. F.; SILVA, K. A. P. Raciocínio funcional mobilizado em atividades de modelagem matemática: um encaminhamento envolvendo a experimentação investigativa. Ensino e Tecnologia em Revista, v. 3, p. 76-92, 2019. ARAKI, P. H. H.; SILVA, K. A. P. Modelagem Matemática no contexto de uma atividade experimental investigativa. In: ENCONTRO PARANAENSE DE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2018. Anais... Cascavel: Unioeste, 2018, p. 1-15. ARAKI, P. H. H.; SILVA, K. A. P. Mobilização de recursos semióticos por alunos nos diferentes momentos de familiarização com a Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 11., 2019. Anais... Belo Horizonte: UFMG, 2019a, p. 1-15. ARAKI, P. H. H.; SILVA, K. A. P. Mobilização de recursos semióticos por alunos no desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2019. Anais... Cuiabá: SBEM-MT, 2019b, p. 1-15.


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Modelagem Matemática na Educação Infantil: uma alternativa para o desenvolvimento do Raciocínio Proporcional Emerson Tortola | Letícia Coutinho

Introdução

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abordamos a modelagem matemática como uma alternativa para o desenvolvimento do raciocínio proporcional na Educação Infantil. Para isso nos fundamentamos no Produto Educacional “Modelagem Matemática e Raciocínio Proporcional: orientações para professores da Educação Infantil” (COUTINHO; TORTOLA, 2020)1 , resultante da pesquisa de mestrado de Coutinho (2020). Trata-se de um material pedagógico no qual trazemos considerações teóricas e apresentamos atividades, bem como sugestões de encaminhamentos para a sala de aula. O raciocínio proporcional é “utilizado para descrever conceitos e pensamentos requeridos para a compreensão de taxas, razões e proporções” (NORTON, 2005, p. 17). Está associado à “consideração de um número em termos relativos, ao invés de termos absolutos” (ONTARIO, 2012, p. 3) e está intimamente ligado ao estabelecimento de relações de natureza multiplicativa (NORTON, 2005). É necessário para o entendimento de porcentagens, taxas de variação, trigonometria, álgebra e outras vertentes da matemática. Embora “possa ser desenvolvido antes e fora da escola, é nela que os conhecimentos iniciais e espontâneos se tornam sistematizados e mais efetivos” (SPINILLO, 1994, p. 113). A Educação Infantil, portanto, se mostra como um momento oportuno para o desenvolvimento desse raciocínio que servirá como base na compreensão de vários conceitos que serão estudados ao longo da vida escolar do aluno. A modelagem matemática, por sua vez, é uma alternativa pedagógica que, na perspectiva da Educação Matemática, compreende o ensino e a aprendizagem da matemática a partir da problematização e da investigação de temáticas reais, na medida do possível, associadas ao cotidiano dos alunos (TORTOLA, 2016). Ela prioriza situações que os alunos vivenciam ou possam vir a presenciar e os levam a interpretá-las com o auxílio da matemática (TORTOLA; ALMEIDA, 2016). Atividades de modelagem matemática além de priorizar a problematização e a investigação de situações associadas às experiências dos alunos, oportunizam o desenvolvimento de uma gama de estratégias de resolução de problemas, em contraposição à obtenção de uma resposta única, e encorajam os alunos a explicar seu raciocínio, a comunicar e a refletir sobre suas próprias ideias (FOX, 2006), auxiliando na sistematização de noções que eles trazem de fora da escola e na construção de novos conhecimentos, preparando os alunos para estudos futuros. “Problematizar situações simples e do cotidiano da criança mostra-se uma prática pedagógica interessante, pois coloca a criança no movimento do pensamento matemático” (GRANDO; MOREIRA, 2012, p. 122). Consideramos, portanto, que atividades de ESTE CAPÍTULO

1 Disponível

em: http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/5141.


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modelagem matemática podem ser uma boa alternativa para desenvolver o raciocínio proporcional na Educação Infantil. Com a intenção de mostrar como atividades de modelagem matemática podem auxiliar no desenvolvimento do raciocínio proporcional na Educação Infantil, elaboramos um produto educacional com base no desenvolvimento de atividades de modelagem matemática com uma turma de alunos de 3 e 4 anos (Maternal III) e, a partir das discussões, resoluções e registros dos alunos, sinalizamos ideias e ações que se alinham ao que Lamon (2012) caracteriza como aspectos do raciocínio proporcional. Nesse contexto, damos sugestões de como ele pode ser explorado no âmbito dessas atividades. Neste capítulo apresentamos e discutimos uma das atividades abordadas no produto educacional. Trazemos, portanto, neste texto, algumas considerações teóricas a respeito do ensino de matemática na Educação Infantil, sobre modelagem matemática na perspectiva da Educação Matemática e sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional no contexto escolar. Apresentamos, também, os aspectos metodológicos que orientaram o desenvolvimento do produto educacional, sua estrutura e características, bem como o contexto em que a pesquisa que lhe deu origem foi realizada. Por fim, descrevemos uma atividade, cujo tema “Quanto come um cachorro?” foi escolhido pelos alunos e fazemos indicações sobre como a atividade viabilizou o desenvolvimento do raciocínio proporcional. Para concluir, fazemos algumas considerações a respeito de como os alunos se envolveram nas atividades de modelagem matemática e apresentamos nossas expectativas quanto a como esse produto pode auxiliar no ensino de matemática da Educação Infantil, particularmente no que se refere ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. Ensino de matemática na educação infantil Atualmente as práticas de ensino estão, ainda, predominantemente alinhadas às práticas tradicionais de sala de aula, as quais contemplam exercícios pouco ou nada contextualizados, repetitivos e que requerem pouco esforço cognitivo do aluno, uma vez que as informações necessárias para a resolução já estão todas disponíveis nos enunciados. Já os problemas exteriores à sala de aula nem sempre estão completos e bem definidos, havendo a necessidade de buscar mais informações para compreendê-los (TORTOLA; ALMEIDA, 2016). Vale a pena, portanto, pensar em práticas pedagógicas que se aproximem dessas características, que contemplem, ou pelo menos considerem, as vivências dos alunos. Na Educação Infantil a situação não é diferente, atividades fotocopiadas predominam e os conhecimentos que os alunos trazem de fora da escola são deixados de lado, em consequência de uma supervalorização do conhecimento escolar em detrimento do conhecimento cotidiano, muitas vezes até antecipando, de forma equivocada, conceitos que deveriam ser ensinados apenas em séries posteriores. Dessa forma, o ensino de matemática na Educação Infantil “não deve se limitar à identificação e nomeação de números, formas geométricas básicas e sequências numéricas, antecipando atividades desenvolvidas no ensino nos anos iniciais do Ensino Fundamental” (AGUIAR; PALMA, 2018), ao invés disso, devemos oportunizar a construção de noções básicas por meio de situações-problema que incentivem a autonomia e a interação com as demais crianças. Cabe ao professor criar situações que envolvam as vivências dos alunos e prepararse para formalizar noções que eles trazem de seu cotidiano e para propiciar a construção de novos conhecimentos. Para isso, deve levar em consideração que a Educação Infantil é a primeira etapa da Educação Básica e abrange crianças com idades entre 0 e 5 anos e 11 meses e, portanto, as práticas propostas devem estar alinhadas às atividades que


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são características da infância, como as interações e as brincadeiras, que são, inclusive, indicadas como eixos estruturantes da prática da Educação Infantil pela Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018). Acreditamos que a prática do professor da Educação Infantil deva se inspirar em atitudes que visem a problematização e a investigação de situações associadas ou provenientes às vivências dos alunos, que, nesse contexto, [...] expressam percepções simples, mas bem definidas, de sua vida familiar, seus grupos e seus espaços de convivência. No cotidiano, por exemplo, [...] sabem a hora de dormir e de ir para a escola, negociam horários, fazem relatos orais [...] começam a levantar hipóteses e a se posicionar sobre determinadas situações (BRASIL, 2018, p. 352).

Consideramos que atividades de modelagem matemática podem ser uma alternativa pertinente à tal prática, condizente com essas atitudes. Modelagem na perspectiva da educação matemática A modelagem matemática, na perspectiva da Educação Matemática, possui vários entendimentos, entre eles a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica às práticas escolares, que envolve a investigação de uma situação-problema não essencialmente matemática, na qual os alunos buscam na matemática subsídios para solucionar um problema (TORTOLA, 2016). Almeida, Silva e Vertuan (2012) explicam que a modelagem matemática, ou abreviadamente modelagem, está relacionada com um “modo”, uma “maneira” de trabalhar com atividades matemáticas nas aulas e oferece aos alunos a oportunidade de investigar situações nas quais eles podem mobilizar uma gama de conhecimentos, ao se deparar com contextos reais relacionados às suas vivências, interesses e outros aspectos, geralmente externos à matemática (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). Nesse contexto, valoriza os conhecimentos dos alunos, os encaminhamentos e as estratégias pensadas por eles para a resolução de problemas e propicia a compreensão de fenômenos exteriores à sala de aula, fazendo uso da linguagem matemática para abordálos (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). Porém, o trabalho com a modelagem matemática requer tanto de professores, quanto de alunos (re)posicionamentos no contexto escolar atual, pois a modelagem configura-se como uma prática que requer atitudes investigativas, nas quais o professor é o orientador e os alunos são os responsáveis pelo encaminhamento da atividade (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). Considerando que “as crianças podem e devem lidar com situações que envolvem mais do que apenas contagens e medidas simples” (ENGLISH, 2009, p. 162), acreditamos que atividades de modelagem matemática podem ser inseridas já nos primeiros anos escolares, ou seja, desde a Educação Infantil, uma vez que, segundo English (2009), a modelagem permite que as crianças estudem situações complexas, as quais, de acordo com a autora, envolvem situações da vida real, que têm significado para elas e estão relacionadas com o que elas vivenciam, dessa forma, elas têm condições de matematizá-las partindo de seus conhecimentos. Sendo assim, ao fazer uso da modelagem matemática na Educação Infantil, é preciso que os professores tenham um olhar atento e intencional sobre as situações do dia a dia das crianças que podem ser exploradas matematicamente (AZEVEDO, 2007), pois como em atividades de modelagem matemática os alunos assumem o papel de modeladores, espera-se que eles possam aprender matemática enquanto resolvem problemas baseados em fenômenos e/ou situações reais.


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No âmbito da Educação Infantil a modelagem matemática assume algumas especificidades, cujas atividades devem ser desenvolvidas em sala de aula prezando por características lúdicas, interativas e instigantes, contemplando brincadeiras, jogos e diversão (SILVA, 2013). Também são características que devem ser levadas em consideração na prática de modelagem matemática na Educação Infantil a interdisciplinaridade e a inspiração em situações da rotina das crianças (MARCONDES; SILVA, 2019), como exemplo podemos citar os desenhos animados, os cuidados com nossa saúde (CARVALHO; OLIVEIRA; LUNA, 2012), a contação de estórias (CARVALHO, OLIVEIRA, LUNA; 2012; SILVA, 2013), entre outras atividades que fazem parte do universo infantil. Atividades de modelagem matemática, portanto, favorecem “situações de debate acerca de temas sociais, oportunizando a interação de crianças com conhecimentos matemáticos e com outras ciências desde a fase inicial da sua escolaridade” (CARVALHO; OLIVEIRA; LUNA, 2012, p. 4), respeitando suas estratégias de resolução de problemas e utilizando conhecimentos condizentes com sua idade e série escolar (ENGLISH, 2006; 2009; FOX, 2006; TORTOLA, 2012; 2016). Dessa forma, ao trabalhar com atividades de modelagem matemática na Educação Infantil, esperamos que os alunos se sintam motivados a participar, se disponham a compartilhar suas ideias e se envolvam nas resoluções dos problemas. Para isso o professor, na qualidade de mediador, deve dar condições aos alunos de explorar seus conhecimentos matemáticos, por meio de ações que não descartem as características citadas, para que essas atividades possam auxiliar, para além das experiências com situações associadas à sua rotina, as relações entre os alunos, entre alunos e professor, bem como no desenvolvimento da criatividade e da autonomia (SILVA, 2013). Raciocínio proporcional Na Educação Infantil, o desenvolvimento do raciocínio proporcional deve partir do princípio de valorizar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de problemas, já que, de acordo com Costa e Ponte (2008), eles já conseguem resolver situações-problema que envolvem relações proporcionais no seu dia a dia, antes mesmo do ensino formal, recorrendo a estratégias intuitivas, de caráter informal, ainda que geralmente aditivas. Caso contrário, os alunos tendem a utilizar estratégias formais, ensinadas na escola e não compreender o que estão fazendo, descreditando seu conhecimento intuitivo. O conceito de raciocínio proporcional vai muito além da mecanização de estratégias formais de resolução de problemas, está associado à capacidade de analisar, de forma consciente, as relações entre quantidades, evidenciadas por argumentos e explicações sobre as relações proporcionais (COSTA; PONTE, 2008, p. 66).

Sendo assim, é importante que os professores oportunizem aos alunos já na Educação Infantil situações-problema que envolvam proporcionalidade, sob diferentes aspectos (LAMON, 2012; CYRINO et al., 2014; MENDUNI-BORTOLOTI; BARBOSA, 2018), incentivando-os a elaborar e justificar estratégias, sem a preocupação ou obrigação de usar regras ou fórmulas, isto é, sem a necessidade de memorização de mecanismos prontos e pré-determinados. Para auxiliar o professor em como identificar e desenvolver o raciocínio proporcional em sala de aula, descrevemos alguns aspectos que podem ser levados em consideração. Lamon (2012) sistematizou as várias ideias e formas de pensar relacionadas ao raciocínio proporcional em sete aspectos, que podem ser interpretados como elementos necessários para a identificação ou desenvolvimento do raciocínio proporcional, são eles: 5 fontes de


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significado para a/b, Medição, Raciocínio Progressivo e Regressivo, Partilha e Comparação, Unitização, Raciocínio Relativo, Quantidades e Covariação. A Figura 1 apresenta esses aspectos em sete balões, os quais estão conectados uns aos outros por meio de segmentos, formando o que a autora denomina de rede. Cada balão representa ideias e conceitos do conhecimento matemático que são constituídos pelos alunos por meio de diferentes vivências ao longo de sua trajetória escolar (CYRINO et al., 2014). Os segmentos que se entrecruzam formando “nós”, podem ser interpretados como diferentes caminhos, estratégias e formas de pensar matematicamente, que levam à compreensão de conceitos e de ideias associadas ao raciocínio proporcional. Figura 1 – Rede Lamon

Fonte: Lamon (2012, p. 10)

É importante compreendermos o significado de cada aspecto citado por Lamon (2012) para que possamos ampliar a abordagem sobre o raciocínio proporcional. As 5 fontes de significados para a/b indicam a necessidade de se compreender as diferentes formas de interpretar o registro de um número racional, escrito na forma a/b, em diferentes contextos, ou seja, as frações e seus subconstrutos. Segundo Lamon (2012), esse registro pode indicar cinco fontes de significados (subconstrutos): relação parte-todo (medida), razão, taxa, quociente e operador. A medição está relacionada à compreensão da representação fracionária dos números racionais e consequentemente está na base do desenvolvimento do Raciocínio Proporcional (CYRINO et al., 2014). Medir significa comparar grandezas de mesma natureza, “baseiase na visualização e quantificação direta de objetos (quantidades discretas ou contínuas)” (OLIVEIRA, 2016, p. 4). Ao trabalhar com medições na Educação Infantil é preciso partir de medidas não padronizadas (palmo, pé, mão, passo, dedo), para que posteriormente as crianças possam perceber a necessidade das medidas padronizadas (LOPES; GRANDO, 2012).


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O Raciocínio Progressivo e Regressivo pode ser entendido como um [...] procedimento mental que envolve calcular de maneira progressiva, a partir de uma fração qualquer, as relações de proporcionalidade equivalentes ao inteiro (à unidade referencial) e, em seguida, encontrar relações proporcionais para outras frações quaisquer desse inteiro, a partir dessas relações já encontradas, ou vice-versa (OLIVEIRA, 2014, p. 62).

A partilha e comparação é outro aspecto associado por Lamon (2012) ao raciocínio proporcional . A partilha, ou divisão equitativa, refere-se ao ato de dividir uma quantidade, seja ela discreta ou contínua, em seções disjuntas, finitas e iguais, ou seja, dividir de modo que as partes resultantes não se sobreponham e todas façam parte da unidade (LAMON, 2012; CYRINO et al., 2014). Esse procedimento associado à comparação permite que sejam estabelecidas relações entre as partes e entre as partes e o todo, procedimentos frequentemente utilizados na escrita do registro fracionário. Compreender que ao efetuar divisões em uma unidade e estabelecer comparações entre as partes resultantes está também relacionada à medição. A unitização pode ser compreendida como um processo de reorganizar uma unidade em subconjuntos de diferentes tamanhos (OLIVEIRA, 2014). Ou seja, é a reorganização ou (re)agrupamento de uma grandeza em subgrupos que preservam a mesma quantidade total, cujos inteiros ou unidades referenciais permanecem iguais, porém representados por formas fracionárias diferentes (CYRINO et al., 2014). Essa ideia deixa evidente que a unitização está intimamente ligada ao conceito de frações equivalentes. Por meio do raciocínio relativo, os alunos aprendem a mensurar quantidades mais abstratas, que não podem ser medidas diretamente com o uso de instrumentos específicos ou contagem imediata, como por exemplo, “as quantidades resultantes de comparações/relações entre grandezas de naturezas por vezes distintas como velocidade, densidade, inclinações, concentração, etc.” (CYRINO et al., 2014, p. 54). O aspecto quantidades e covariação está relacionado à capacidade que os alunos têm em “identificar e mensurar quantidades, além de perceber de que maneira essas quantidades variam (covariam) quando relacionadas” (CYRINO et al., 2014, p. 54). Com base nesses aspectos explicitados por Lamon (2012) e Cyrino et al. (2014), nos propusemos a investigar o desenvolvimento do raciocínio proporcional a partir de uma atividade de modelagem matemática desenvolvida com alunos da Educação Infantil. Aspectos metodológicos: contexto da atividade e produto educacional A atividade que abordamos neste capítulo foi a quinta de um conjunto de cinco atividades, que constituem o produto educacional “Modelagem matemática e raciocínio proporcional: orientações para professores da Educação Infantil”. O produto educacional foi elaborado com o intuito de incentivar professores que desejam modificar suas práticas em sala de aula e vivenciar novas experiências no ensino de matemática na Educação Infantil. Dessa forma, o produto educacional é um material pedagógico com sugestões de atividades de modelagem matemática e possíveis encaminhamentos para promover o desenvolvimento do Raciocínio Proporcional. A Figura 2 apresenta a estrutura desse material.


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Figura 2 – Estrutura do material pedagógico

Fonte: Coutinho e Tortola (2020)

Como se pode observar na Figura 2, no material são apresentadas considerações teóricas a respeito da modelagem matemática na perspectiva da Educação Matemática, discutindo nosso entendimento, encaminhamentos para a sala de aula, o que são modelos matemáticos, especificidades da modelagem matemática no âmbito da Educação Infantil e como introduzir atividades de modelagem matemática de modo que os alunos possam se familiarizar com ações e procedimentos que lhes são característicos. Apresentamos também considerações teóricas a respeito do raciocínio proporcional no contexto escolar, discutindo como pode ser entendido e desenvolvido. Nesse sentido, descrevemos os sete aspectos sistematizados por Lamon (2012) em sua rede (Figura 1), discutindo e exemplificando cada um deles. Para ilustrar como esses aspectos podem ser explorados na prática, descrevemos no material três atividades de modelagem matemática que foram desenvolvidas com 17 alunos de uma turma de Maternal III, de 3 e 4 anos, em um Centro Municipal de Educação Infantil, público, localizado na Região Centro Ocidental Paranaense, durante as aulas regulares. Conforme descrevemos as atividades, pontuamos orientações e sugestões, com base em nossas experiências, que podem auxiliar na mobilização e/ou desenvolvimento do Raciocínio Proporcional.


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Além dessas três atividades, sugerimos mais duas, para as quais fornecemos informações sobre as temáticas, de modo que os professores possam se aventurar a desenvolvê-las e colocar em prática as orientações propostas no material pedagógico. Com essas considerações teóricas e práticas esperamos que os professores tenham um suporte inicial para compreender e auxiliar o desenvolvimento do raciocínio proporcional em sala de aula, usando atividades de modelagem matemática. As atividades relatadas e sugeridas no material pedagógico foram desenvolvidas segundo os três momentos de familiarização dos alunos com a modelagem matemática, sugeridos por Almeida, Silva e Vertuan (2012), uma vez que a pesquisa desenvolvida por Coutinho (2020) foi o primeiro contato dos alunos com atividades de modelagem matemática. O objetivo desses momentos é que os alunos se familiarizem com ações e procedimentos específicos da modelagem matemática a cada atividade. Para isso, em um primeiro momento, os autores sugerem que o professor proponha aos alunos uma situação-problema e já disponibilize as informações necessárias para sua resolução, seja na forma de um texto, um vídeo, ou mesmo uma conversa sobre o assunto. Cabe aos alunos identificar as informações necessárias para a resolução do problema e obter uma solução coerente. Em um segundo momento, o professor pode propor aos alunos uma situação-problema e solicitar que eles busquem informações que os auxiliem na resolução. Por fim, em um terceiro momento, cabe aos alunos o desenvolvimento da atividade desde a escolha do tema e formulação do problema, realizando as ações necessárias para obter uma solução. Os dados das atividades foram coletados por meio de gravações em áudio e vídeo, imagens, anotações em diário de campo dos pesquisadores e produções escritas dos alunos. Os materiais utilizados com os alunos foram disponibilizados nos apêndices do produto educacional. Neste capítulo, fazemos a descrição de uma dessas atividades e destacamos os principais encaminhamentos e discussões dos alunos, sinalizando trechos em que identificamos ideias e formas de pensar que refletem os aspectos do desenvolvimento do raciocínio proporcional apontados por Lamon (2012), conforme apresentamos no produto educacional (COUTINHO; TORTOLA, 2020). A atividade escolhida foi desenvolvida em agosto de 2019 e tem como tema “Quanto come o cachorro?”. Ela se enquadra no terceiro momento de familiarização dos alunos com a modelagem matemática, ou seja, os alunos sob a orientação da professora, segunda autora do texto, foram os responsáveis pelos encaminhamentos da atividade, desde a escolha do tema e a definição do problema, até a resolução e a validação dos resultados (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012). As discussões que realizamos neste capítulo estão alinhadas à pesquisa de Coutinho (2020) e, portanto, são orientadas por uma abordagem de pesquisa qualitativa (LUDKE; ANDRÉ, 2014), cujo foco não está na quantificação de dados, mas na compreensão dos resultados e nas implicações que eles têm para o campo da Educação Matemática, particularmente para a modelagem matemática como uma alternativa para o desenvolvimento do raciocínio proporcional na Educação Infantil. Com a intenção de manter a identidade dos alunos preservada, nos referimos a eles da seguinte forma: A1, o primeiro aluno de uma lista que organizamos; A2, o segundo aluno da lista; e assim por diante, até o código A17. À professora pesquisadora atribuímos o código P; às professoras regentes da turma R1 e R2 e à estagiária E.


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Desenvolvimento do raciocínio proporcional na atividade “quanto come o cachorro?” A atividade “Quanto come o cachorro?” teve o tema escolhido pelos alunos. Essa escolha se deu devido ao fato de o cachorro ser o animal com o qual eles mais convivem. A coleta dos dados foi realizada pelos alunos com seus familiares, a qual consistiu em uma conversa a respeito das características físicas de seu cachorro, tipos de alimentação, cuidados necessários, etc. Também solicitamos que os alunos levassem para a escola uma fotografia de seu cachorro. Ouvimos inicialmente o que os alunos tinham a dizer a respeito do assunto e observamos que a maioria das falas se referia aos cuidados com a alimentação dos cachorros, uma vez que muitos afirmaram ajudar nessa tarefa. Além disso, a maioria dos alunos que possuía cachorros afirmou que eles eram de médio e/ou de grande porte, o que se verificou nas fotografias. Definimos, então, como questão de investigação: qual a quantidade de ração e quantas vezes por dia cachorros, de médio e de grande porte, precisam ser alimentados? (COUTINHO, 2020). Foi durante as discussões relativas à definição do problema que surgiram os primeiros indícios de raciocínio proporcional, quando discutimos a respeito do tamanho dos animais e quais poderiam ser considerados domésticos, ou seja, quais poderiam conviver em casa conosco. Nesse momento, a aluna A2, pensando no elefante, afirmou “o elefante é muito grande, não cabe ele. Ele é muito gordo”. Ao relacionar o tamanho do elefante com o espaço ocupado por uma casa, ou com o tamanho dela ou das pessoas com as quais convive, ela fez uma comparação entre grandezas de naturezas distintas, sem o uso de instrumentos específicos, ou sem realizar uma comparação direta ou uma contagem imediata, o que mostra que ela foi capaz de mensurar e comparar quantidades abstratas (CYRINO et al., 2014), ações características do raciocínio relativo (LAMON, 2012). Ainda nesse momento inicial, a partir de questionamentos da professora, os alunos concluíram que cada cachorro precisa de uma casa de acordo com seu tamanho, nas palavras das alunas A2 e A5: “um cachorro grande precisa ter uma casa grande e um cachorro pequeno precisa de uma casa pequena”. Essas relações evidenciadas pelas alunas remetem à ideia de grandezas diretamente proporcionais, uma vez que denota a compreensão das alunas de como varia o tamanho da casa em relação ao tamanho do cachorro, quanto maior o cachorro, maior deve ser sua casa, ideia característica do aspecto quantidades e covariação, descrito por Lamon (2012). Além disso, quando os alunos classificaram o tamanho de seus cachorros e determinaram se eles precisavam de uma casa grande ou pequena, maior ou menor, eles sinalizaram sua capacidade de mensurar sem medir diretamente com a utilização de instrumentos específicos, que sugere, novamente, o raciocínio relativo (LAMON, 2012; CYRINO et al., 2014). Essa capacidade de medir indiretamente, sem a utilização de instrumentos específicos é evidenciada quando a aluna A17 indica o tamanho de sua cachorra por meio de um gesto, conforme mostra a Figura 3. Esse gesto também sinaliza o aspecto medição, caracterizado por Lamon (2012), pois ao indicar que o tamanho da sua cachorra vai da sua mão posicionada embaixo até sua mão posicionada em cima, a aluna A17 utiliza uma medida não convencional, cuja variação permite mensurar o que deseja. Em seguida, quando a professora questionou os alunos se os cachorros crescem para sempre, eles perceberam que cada cachorro atinge uma altura máxima quando adulto, independente da quantidade de ração que eles comem, o que indica o aspecto quantidades e covariação.


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Figura 3 – Gesto indicativo do tamanho da cachorra da aluna A17

Fonte: Coutinho (2020)

Nesse momento, os alunos começaram a discutir a respeito da quantidade de ração que deve ser dada aos cachorros, a fim de iniciar a resolução. Chamamos atenção dos alunos para as variáveis envolvidas na problemática (quantidade de ração e quantidade de vezes que devemos alimentar cachorros de médio e de grande porte em um dia). Também discutimos características da situação que deveriam ser consideradas ou não, definindo as hipóteses e simplificações que orientariam a resolução (a ração deve ser ofertada todos os dias da semana, e, preferencialmente, mais de uma vez por dia). Comparamos, inicialmente, as quantidades de ração que os cachorros comeriam a partir de seus tamanhos, tomando como ponto de partida as fotografias que os alunos levaram. Vários questionamentos foram feitos aos alunos como: “Oferecer ração somente de manhã é suficiente? Todos os cachorros comem a mesma quantidade de ração? Um cachorro de grande porte e um de médio porte comem a mesma quantidade de ração? As quantidades são iguais? É menor ou maior que a outra?” Para que os alunos conseguissem responder tais questões sugerimos que eles pensassem na nossa alimentação: “É saudável fazer só uma refeição por dia, comer tudo de uma só vez? Vocês comem somente uma vez por dia? Ou vocês comem várias vezes? Quais refeições fazem? Quantas são por dia?” Esses questionamentos auxiliaram os alunos no desenvolvimento do aspecto quantidades e covariação ao perceber que “quanto maior o cachorro, mais ração ele vai comer’, uma vez que tal relação remete à ideia de grandezas diretamente proporcionais, e que “quanto menos ração por refeição, mais refeições são necessárias”, remetendo a grandezas inversamente proporcionais. Também auxiliaram no desenvolvimento do aspecto unitização quando perceberam que ao estipular uma quantidade de ração para um cachorro, não faria diferença, em termos de quantidade, dar essa ração em uma, duas ou mais porções, pois o total de ração dado em um dia permaneceria o mesmo; e do aspecto partilha e comparação, quando concluíram que a divisão da quantidade total de ração ofertada por dia é mais adequada se colocada em mais porções semelhantes, que remetem à ideia de divisão equitativa.


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Esses raciocínios auxiliaram os alunos a definir um total de 2 refeições para alimentar um cachorro de médio porte e 3 refeições ou mais para alimentar um cachorro de grande porte, em um dia, respondendo a uma parte da questão, sobre quantas vezes no dia um cachorro deveria ser alimentado. Restava saber, agora, a quantidade de ração a ser dada para cada cachorro. Para que os alunos refletissem sobre essa quantidade, mostramos a eles potes de diferentes tamanhos, para que fosse decidido qual pote seria usado para medir a quantidade de ração a ser dada para cada cachorro. O aspecto quantidades e covariação teve vários indícios durante essa discussão. A aluna A17, por exemplo, falou que para alimentar o cachorro grande “precisa de um pote mais um pouquinho grande”, ou seja, precisava de um pote maior, indicando também que para colocar mais ração, o tamanho do pote precisava ser maior (grandezas diretamente proporcionais). O diálogo a seguir corrobora com as observações da aluna A17. P: O cachorrinho vai comer no recipiente pequeno ou no grande? A5, A17: Pequeno. P: Então pequeno com pequeno. O cachorro grande vai comer no... A3, A5: Grande. A2: Grande com grande.

A aluna A2, por sua vez, pensou em outra estratégia, disse que utilizaria o pote menor para alimentar o cachorro grande, “e se colocar! Coloca de novo”, ou seja, se ela usasse o pote menor, apenas colocaríamos mais vezes (grandezas inversamente proporcionais). Mas essa observação da aluna A2 também sinaliza outro aspecto, o de unitização, pois mostra que a aluna compreendeu que um pote maior corresponde a vários potes pequenos, ou vice e versa, ou seja, a fala da aluna A2 sinaliza o entendimento de que a quantidade ofertada em um pote maior poderia ser ofertada em vários potes menores, pois o total de ração ainda seria o mesmo, porém organizado de formas diferentes. Tendo em mãos os potes, propomos aos alunos que refletissem sobre a quantidade de ração que deveríamos colocar dentro dos potes do cachorro de médio e de grande porte. Para definir essa quantidade, os alunos fizeram o uso das mãos, remetendo ao processo de quantificação e uso do sistema de numeração decimal, conforme mostra a Figura 4. Figura 4 – Contagem das mãozinhas

Fonte: Coutinho (2020)


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A cada mão de ração colocada no pote, um número foi enunciado, ou seja, não relacionamos a mesma mãozinha a números iguais, nem deixamos mãozinha alguma sem contar, portanto, a cada mãozinha colocada, um número foi enunciado. Nesse contexto, o aspecto quantidades e covariação (LAMON, 2012; CYRINO et al., 2014) foi observado, assim como o aspecto medição, pois os alunos fizeram a visualização e a quantificação direta de objetos, ou seja, usaram as mãos como instrumento de medida não padronizado. Os alunos decidiram que a quantidade de ração adequada, por vez, para alimentar o cachorro de médio porte é de 1 potinho de iogurte mais 5 mãozinhas deles, e para alimentar o cachorro de grande porte é de 11 mãozinhas de ração. Para a interpretação dos resultados e validação, fizemos a proposta para que os alunos organizassem suas ideias sobre o desenvolvimento da atividade em um cartaz. Os alunos usaram cartolinas, recortes em E.V.A na cor marrom (para representar a ração), figuras de potes pequenos e de potes grandes, assim como imagens impressas de cachorros de médio e de grande porte. A Figura 5 mostra os cartazes confeccionados pelos alunos, que podem ser considerados como modelos matemáticos para a alimentação dos cachorros de médio e de grande porte. Figura 5 – Modelos matemáticos produzidos pelos alunos

Fonte: Coutinho (2020)

Os modelos matemáticos elaborados sugerem que o cachorro de médio porte come em menores quantidades, porém mais vezes por dia, já o cachorro de grande porte come menos vezes por dia, mas em maior quantidade. Ao comunicar as ideias apresentadas nos cartazes os alunos fizeram a contagem da quantidade de potes, isto é, da quantidade de ração que iriam usar para alimentar cada cachorro, mobilizando novamente o aspecto quantidades e covariação, uma vez que para essa comunicação eles utilizaram a correspondência biunívoca entre cada pote e um número enunciado. Durante as conversas com os alunos, observamos que eles se comunicaram por meio da linguagem oral ou por meio de gestos, meios que alunos da Educação Infantil usam frequentemente para se comunicar (SILVA, 2013; GRANDO; MOREIRA, 2012). Considerações finais O desenvolvimento da atividade “Quanto come o cachorro?” mostrou que alunos da Educação Infantil já demonstram afinidades por determinados assuntos, possuem interesse em investigá-los e têm condições de discutir, refletir e opinar de acordo com os conhecimentos adquiridos a partir de suas vivências cotidianas. No caso da atividade descrita neste capítulo, os alunos escolheram o tema animais para estudar e, em conjunto, definimos estudar a quantidade de ração que comem cachorros de médio e de grande porte e quantas vezes por dia eles precisam se alimentar.


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Percebemos que a atividade de modelagem matemática oportunizou aos alunos trabalharem com situações que eles vivenciam fora do ambiente escolar, ou seja, como a problemática estava relacionada às suas vivências, os alunos se sentiram envolvidos para resolvêla. O papel da professora foi de valorizar as experiências dos alunos, incentivando o uso da linguagem matemática para abordar conceitos matemáticos, enquanto problematizavam e investigavam a situação (ENGLISH, 2006; FOX, 2006; TORTOLA, ALMEIDA; 2016). Os alunos tiveram autonomia e liberdade para expressar suas ideias, usar estratégias próprias, bem como procedimentos espontâneos. Dessa forma, constatamos que a Educação Infantil é uma etapa oportuna para o desenvolvimento de ideias e conceitos, formas de pensar e raciocinar, características importantes para atividades de modelagem matemática e para o desenvolvimento do raciocínio proporcional. No que diz respeito a esse raciocínio, observamos que os alunos usaram com frequência a correspondência biunívoca, que diz respeito ao aspecto quantidades e covariação, sistematizado por Lamon (2012), que é fundamental em ações que envolvem números, tais como comparação de quantidades e contagem (a cada objeto contado fez-se corresponder um único número falado) e que mais tarde auxiliará na compreensão do conceito de função (SMOLE, 2019). Observamos também que ao fazer contagens, os alunos verbalizaram a sequência numérica e apontaram para os objetos enquanto os contavam, devido à dificuldade que eles ainda têm de ordenar os números mentalmente. Trata-se, porém, de uma ação característica dessa idade, sendo importante que os alunos estejam seguros de que não deixaram de contar nenhum objeto ou de que não repetiram nenhum enquanto contavam. Os alunos também criaram estratégias para medir e fazer comparações sem usar instrumentos de medida padronizados, recorrendo aos gestos, uso das mãos e ao uso da relação aditiva. No desenvolvimento da atividade, utilizaram também a comunicação de ideias, explicações, registros pictóricos, fizeram questionamentos e dialogaram, atitudes que foram favoráveis para o desenvolvimento do raciocínio proporcional. Por fim, acreditamos que o relato dessa atividade de modelagem matemática mostrou algumas possibilidades de implementar essa alternativa nesse nível de escolaridade, sinalizando o potencial que tem para criar situações em que o raciocínio proporcional pode ser explorado e desenvolvido, assim como outras ideias e conceitos matemáticos pertinentes a esse contexto. Referências AGUIAR; C. A; PALMA, R. C. D. O espaço e a matemática na educação infantil. In: ENCONTRO MATO-GROSSENSE DE PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA, 1., 2018, Tangará da Serra. Anais... Tangará da Serra, SBEM, 2018. ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012. AZEVEDO, P. D. Os fundamentos da prática de ensino de matemática de professores da educação infantil municipal de Presidente Prudente/SP e a formação docente. 2007. p. 245. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Presidente Prudente, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2018. CARVALHO, L. S. S.; OLIVEIRA, L. A.; LUNA, A. V. A. Modelagem Matemática na Educação Infantil: um estudo sobre a proteção solar com crianças de três anos. In: SIMPÓSIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., Fortaleza. Anais... Recife: SIPEMAT, 2012.


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Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas: a construção de um E-book sobre potenciação e radiciação Marcela Camila Picin de Melo | Andresa Maria Justulin

Introdução

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foi construído em consonância com a pesquisa de mestrado profissional intitulada “A Resolução de Problemas: uma metodologia ativa no Ensino da Matemática para a construção dos conteúdos de potenciação e radiciação com alunos do Ensino Fundamental”, defendida em 2020 pela primeira autora deste trabalho, sob a orientação da segunda. O objetivo da pesquisa foi analisar as contribuições da Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas quando utilizada para implementar problemas de potenciação e radiciação aos alunos dos anos finais do Ensino Fundamental (MELO, 2020). A Matemática desempenha um papel de grande importância no currículo escolar e a construção de um conceito matemático é “muito mais do que uma sequência de passos mecânicos para a execução de uma operação, e um aluno não forma um conceito em um dia ou ao decorar uma definição. Conceitos são redes de significados, são modelos” (SZTAJN, 1997, p. 20). O professor, de posse do conteúdo que deseja ensinar, deve proporcionar oportunidades para que o aluno se torne agente dessa construção e, enquanto mediador, deve criar um ambiente de discussão, o qual possibilite a ele revisitar situações e estabelecer conexões com conceitos já estudados em um processo de relacionar novos conhecimentos aos já existentes (MELO, 2020). Nesse sentido, é preciso propor atividades que tirem os estudantes da “zona de conforto” e que os levem a refletir e a criar novas ideias, novas estratégias. Ao trabalhar Matemática através da Resolução de Problemas a aprendizagem é centrada no aluno. O ensino deve começar com as ideias que os alunos têm os seus conhecimentos prévios, “é um processo que requer confiança no aluno uma convicção de que todos eles podem criar ideias significativas sobre a Matemática” (VAN DE WALLE, 2009, p. 58). Ao longo do texto será apresentada a referida concepção sobre resolução de problemas, que também foi adotada na pesquisa desenvolvida. O Produto Educacional construído é destinado a professores de Matemática, alunos de licenciatura em Matemática e pesquisadores da área, os quais têm como objetivo compreender e apresentar aos seus alunos o trabalho com potenciação e radiciação, lançando mão de uma Metodologia de Ensino mais atual, além de promover um ambiente de construção de conhecimento, apresentando e discutindo possibilidades de exploração desse conteúdo e, em particular, de relacionar esse conhecimento aos já existentes. Um e-book com os problemas elaborados e validados, com orientações para o trabalho do professor, folhas para uso com os alunos, bem como as principais estratégias de resolução desenvolvidas pelos participantes. STE PRODUTO EDUCACIONAL


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Resolução de Problemas: ideias relevantes para a pesquisa Problema e resolução de problemas são expressões que podem ter diferentes significados, dependendo do contexto no qual se está inserido e do arcabouço teórico considerado. Neste texto concorda-se e adota-se a definição de que problema “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver” (ONUCHIC, 1999, p. 215). Quanto à resolução de problemas a principal referência, e uma das pioneiras, é George Polya, com seu livro “How to solve it” traduzido como “A arte de resolver problemas” (1944/1995). Nele, o autor enfatiza quatro passos necessários para a resolução de um problema: compreender o problema, estabelecer um plano, executá-lo e fazer o retrospecto da resposta. Polya acreditava que para resolver um problema é preciso, inicialmente, entender o que é necessário; em seguida criar um plano de resolução, para se ter uma ideia de como seria a solução; então executar este plano e por fim fazer o retrospecto a fim de validar o resultado encontrado e dar uma resposta para o problema (POLYA, 1944/1995). Vale destacar que o método de resolução apresentado pelo autor não estava diretamente relacionado com a Matemática. Polya sempre foi uma grande referência para a resolução de problemas, contudo ele não se preocupava com seu uso no ensino de Matemática, mas nas etapas envolvidas no processo de resolução ou em como ensinar o aluno a pensar. Assim, ao analisar a utilização da resolução de problemas em sala de aula, na década de 1980, nos Estados Unidos, Schroeder e Lester (1989) destacaram três formas de abordá-la: ensinar sobre resolução de problemas, explicando passos e estratégias para se obter a solução, inspirados nos passos de Polya; ensinar Matemática para a resolução de problemas, quando o professor explica o conteúdo matemático e, em seguida, apresenta problemas como aplicação deste conteúdo – essa prática é muito utilizada por professores para a fixação de conteúdos matemáticos; e ensinar Matemática através da Resolução de Problemas, em que o problema matemático é apresentado antes de se iniciar o conteúdo, e o aluno, ao resolvê-lo, irá construir um conceito que ainda não conhece. Essa última perspectiva tem sido o foco dos estudos de pesquisadores como Onuchic (1999), Shimizu (2003), Allevato e Onuchic (2009), Van de Walle (2009), Allevato (2013), Allevato e Onuchic (2014), dentre outros. Esses estudos ampliaram o conceito de resolução de problemas apresentado por Polya, em 1944. O grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas (Gterp) passou a utilizar em seus trabalhos o termo Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas1 . Nessa visão, “A palavra composta ensino-aprendizagem-avaliação tem o objetivo de expressar uma concepção em que o ensino, a aprendizagem e a avaliação devem ocorrer simultaneamente durante a construção do conhecimento pelo aluno” (ALLEVATO; ONUCHIC, 2014, p. 43). No referido processo, o papel do professor é o de guia ou mediador. No ensejo de auxiliar os professores a colocarem em prática a Metodologia, apesar de não haver formas rígidas ou únicas para implementá-la, Allevato e Onuchic (2014), com base em trabalhos anteriores do Gterp, organizam as atividades em dez etapas: (1) proposição do problema: O professor deve criar/adaptar um problema que deve almejar construir um novo conteúdo matemático. Ele é chamado de problema gerador; (2) leitura individual: Ao aplicar o problema, o professor deve solicitar que os alunos façam uma leitura individual, para que tenham uma compreensão própria do problema; (3) leitura em conjunto: Os alunos devem se organizar em pequenos grupos e fazer uma leitura em conjunto, analisando o problema e apresentando possíveis dificuldades de entendimento. 1A

fim de evitar repetições será utilizada apenas a expressão Metodologia.


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O professor pode auxiliar os grupos a entender o problema, auxiliando-os em problemas secundários (dúvidas em relação à notação, conceitos prévios e técnicas operatórias, dentre outras); (4) resolução do problema: Os alunos, ao sanarem todas as dúvidas, devem iniciar a resolução do problema utilizando ideias próprias e conhecimentos já existentes, a fim de criar uma estratégia de resolução e na exploração do problema gerador, que os conduzirá à construção do conhecimento; (5) observar e incentivar: Durante a resolução do problema pelos grupos, o professor observa, incentiva o uso de conhecimentos prévios, auxilia nas dúvidas, sem fornecer respostas ou caminhos para obtê-las; (6) registro das resoluções na lousa: Nessa etapa, um integrante de cada grupo é convidado a fazer o registro do que foi feito (resoluções certas, erradas ou que utilizem estratégias distintas); (7) plenária: É o momento em que cada grupo fala sobre a sua resolução, sobre as estratégias utilizadas e o resultado obtido; (8) busca do consenso: Diante das várias estratégias, há a busca por consenso, momento em que os grupos decidem se todas as resoluções estão satisfatórias para o problema; (9) formalização do conteúdo: O professor formaliza o conteúdo que planejou ensinar a partir daquele problema, fazendo uso da linguagem matemática e (10) proposição e resolução de novos problemas: nessa última etapa, o aluno resolve novos problemas propostos pelo professor para aprofundar e ampliar sua compreensão do conteúdo. É importante destacar que ao fazer uso dessa metodologia, “é oportunizado ao aluno aprender tanto sobre resolução de problemas, quanto para resolver novos problemas, enquanto se trabalha através da resolução de problemas, pois nela está incutido tudo que havia de bom nas propostas anteriores” (MELO; JUSTULIN, 2019, p. 6). O contexto da pesquisa A pesquisa realizada se enquadra como qualitativa, na modalidade de pesquisa pedagógica. Os investigadores qualitativos, preocupados com questões referentes ao ensino/aprendizagem, dedicam grandes quantidades de tempo em escolas, ou outros locais, na tentativa de elucidar questões educativas. Utilizam diversos instrumentos para recolher dados que, posteriormente, serão analisados na sua totalidade (BOGDAN; BIKLEN, 1994). Além disso, a pesquisa pode ser considerada pedagógica, uma vez que a professora se fez pesquisadora com o intuito de analisar aquilo que estava sendo produzido em sua sala de aula, com vistas a reorientar suas práticas pedagógicas e proporcionar ao aluno um papel protagonista na construção do conhecimento matemático. Os participantes da pesquisa, e cujos dados produzidos são analisados, se referem a uma turma de 7º ano do Ensino Fundamental, alunos da professora-pesquisadora. A turma era composta por 15 alunos com idades entre 11 e 12 anos. O colégio em que os problemas foram aplicados pertence a uma rede particular de ensino da cidade de Sertanópolis, região Norte do Paraná, próximo a Londrina. É importante destacar que os problemas aqui apresentados foram criados e aplicados a turmas de 8° e 9° ano, inicialmente, para que fossem validados e, também, para que a professora pudesse fazer possíveis ajustes, extensões e deixá-los preparados a serem implementados à turma de 7° ano, alvo de análise da pesquisa, que propiciou a construção deste produto. O registro das informações foi feito por meio dos seguintes recursos: fotos, gravações de áudio, anotações da professora-pesquisadora (diário de campo) e documentos elaborados pelos alunos (resoluções escritas que os alunos fizeram para os problemas e entrevistas) organizados em portfólios de Resolução de Problemas.


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Durante as aulas, foram realizadas gravações de áudio com o auxílio de um gravador digital (no celular), que permaneceu de posse da professora-pesquisadora enquanto circulava entre os Grupos, gravando os diálogos ocorridos. Alguns desses diálogos foram transcritos para posterior análise. Foram feitas anotações durante as aulas e também após o término delas e assim, diariamente, fez-se um relato escrito daquilo que foi ouvido, visto e experienciado no decorrer da resolução dos problemas geradores: dificuldades, impressões e percepções apresentadas pelos alunos. Planejamento do Produto Educacional O presente Produto Educacional tem por objetivo apresentar ao professor sugestões de problemas geradores para a construção do conteúdo de potenciação e radiciação no conjunto dos Números Naturais e que podem ser trabalhados à luz da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, buscando uma aprendizagem ativa em um ambiente escolar mais colaborativo. Os problemas geradores foram pensados para a construção dos conteúdos de potenciação e radiciação. Para isso, fez-se necessário construir os conceitos de potenciação quadrada, potenciação cúbica e a potenciação de base dois e três, além disso, as operações inversas, portanto, a radiciação quadrada e a radiciação cúbica. Os problemas foram adaptados e criados pelas autoras para serem implementados a uma turma de 7° ano. Com os problemas finalizados, a professora-pesquisadora os aplicou a uma turma de 8° ano do mesmo colégio, onde devido a uma reformulação apresentada pela Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2017) esses conteúdos passaram a ser contemplados neste ano escolar. Isso serviu como aporte para a validação dos problemas, verificação de possíveis ajustes e para a professora foi um modo aprazível de retomar os conteúdos e de ampliá-los. A partir da análise da BNCC (BRASIL, 2017), foi possível elencar quais habilidades estavam relacionadas a cada problema criado/adaptado para serem trabalhados, conforme o Quadro 1.


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Quadro 1 – Habilidades e problemas

Fonte: Elaboração dos autores

Problema 1 – Na dobradura também tem Matemática Este problema foi criado com base em ideias do Blog “Praticando a Matemática2 ”. Foi pensado para a construção da potenciação de base 2, com a utilização de material manipulável e com recurso da dobradura. Desse modo, para a resolução deste problema é necessário que o professor disponibilize folhas de papel retangular aos alunos.

2 Disponível

2019.

em http://apraticamatematica.blogspot.com/2013/06/potenciacao.html. Acesso em: fevereiro de


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A potenciação pode ter diferentes bases e também diferentes expoentes e, neste caso, ao trabalhar a potenciação de base 2 utilizando como recurso a dobradura o aluno poderá visualizar, compreender e construir o que acontece com o papel cada vez que ele é dobrado ao meio, relacionando os expoentes à multiplicação de fatores iguais. Poderá ainda abarcar a potenciação com expoente zero e entender o porquê do resultado 1. Mesmo que o problema pareça claro, é possível que os alunos apresentem dúvidas sobre dobrar ao meio ou dobrar cinco vezes ao meio ou manifestem não entender a relação existente entre as dobras e a quantidade de retângulos obtidos. Ante essas dúvidas o professor deve mediar o entendimento do problema para que os alunos possam prosseguir para a resolução. Ao utilizar a Metodologia de Resolução de Problemas é importante que o professor permita aos alunos utilizarem estratégias próprias de resolução: desenhos, linguagem escrita, linguagem matemática, tabelas, colagens, entre outras ideias. Desse modo, os conhecimentos prévios são reativados e são alicerces para a construção de novos conceitos e conteúdos. Para esse problema, dentre as diversas estratégias que podem ser utilizadas, destacamos: fazer uma tabela, uma lista organizada e utilizar a operação de multiplicação, conforme a Figura 1. Figura 1 – Estratégias para o problema 1

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Com a resolução do problema espera-se que os alunos compreendam que a cada dobra o número de retângulos anterior é o dobro e que, com isso, cheguem ao resultado de 32 retângulos. O problema pode ser ampliado, por exemplo, ao aumentar a quantidade de dobras, dependendo dos objetivos que se deseja alcançar e do ano escolar em que será implementado. Como possibilidade para além do problema, foi proposto a confecção de um “abre e fecha” com as potenciações trabalhadas. Figura 2 – Abre e Fecha da potenciação

Fonte: Melo e Justulin (2020)


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Problema 2 – Vocês são os construtores Para a criação deste problema, utilizamos ideias presentes no “Blog Práticas Pedagógicas3 ”. Ele foi pensado para explorar a potenciação quadrada a partir da construção de um muro quadrado com tijolos quadrados. Anterior à implementação deste problema, deve-se iniciar uma conversa informal sobre a construção de um muro e deixar que os alunos apresentem suas ideias a respeito. É importante discutir e falar sobre a base (alicerce) do muro, e esclarecer que será feita uma suposição de construção, a partir de um modelo de muro quadrado e com tijolos quadrados. Disponibilizar, juntamente com o problema, uma folha de papel quadriculado, a qual poderá ser utilizada para auxiliar a pensá-lo.

A potenciação quadrada é utilizada em todo o Ensino Fundamental, desde o 6° ano. Portanto, faz-se importante o seu estudo e representação geométrica através da associação com um quadrado, pois é daí o seu nome, associado ao conceito de bidimensional. Antes de iniciar a resolução, os alunos podem apresentar dúvidas sobre o posicionamento dos tijolos. É importante reforçar que é uma possibilidade de construção, nos quais os tijolos ficarão um sobre o outro. Após esse entendimento, é possível que eles desenvolvam diferentes estratégias de resolução, dentre as quais: utilização do papel quadriculado para construir os quadrados, relacionando com a linguagem escrita e realizar a operação de multiplicação. Figura 3 – Estratégias para o Problema 2

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Após a resolução espera-se que os alunos entendam que ao multiplicar a base pela altura terão a quantidade de tijolos necessária para a construção do muro quadrado. 3 Disponível

em http://praticaspedagogicas.com.br/blog/?p=113. Acesso em: fevereiro de 2019.


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Problema 3 – Quantos cubinhos são necessários? Este problema surgiu com inspirações do “Blog Práticas Pedagógicas” e relacionase com a construção do conteúdo de potenciação cúbica. Com o intuito de tornar o processo mais dinâmico, o problema conta com a utilização do cubo mágico (físico) como ferramenta para auxiliar o aluno a pensar o problema. Ao disponibilizar o problema e o cubo mágico (físico) pode ser que os alunos apresentem curiosidade em manipulá-lo. Recomenda-se, assim, que seja disponibilizado um tempo para conhecerem o material e se interessem pela resolução.

A potenciação cúbica deve estar relacionada com a construção de um cubo, o que remete à nomenclatura utilizada. Um possível problema secundário que os alunos podem apresentar é saber se o cubinho é cada face colorida (no caso quadrado) ou a união das seis faces. Essa dúvida aparenta ser insignificante, mas é de fato algo que os intriga. Isso pode ocorrer em virtude da falta de manipulação de objetos tridimensionais. Para resolver este problema, os alunos podem estabelecer uma relação com o volume, caso já tenham estudado e analisando as três dimensões, multiplicá-las a fim de chegar ao resultado de 27 cubinhos. Figura 4 – Estratégia para o Problema 3

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Uma possível ampliação para o problema seria trabalhar com cubos de outras dimensões, o que pode ser explorado através do aplicativo Cubo Mágico 3D, disponível na Play Store para download gratuito. Nele há possibilidade de escolher o tamanho do cubo e outros modelos.


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Figura 5 – Print de tela do app Cubo Mágico 3D

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Ao fazer uso do referido aplicativo o problema pode ser ampliado, o que exige dos alunos mais esforço e a busca por novos métodos de resolução.

Problema 4 – Sorteio nas Redes Sociais Este problema foi criado pelas autoras, motivadas pela onda de informações que os alunos recebem pelas redes sociais e pelo modo como as pessoas as utilizam para disseminar propagandas e apresentar produtos. O problema trata de um sorteio nas redes sociais e foi pensado para a construção da potenciação de base três com diferentes expoentes, inclusive a construção do expoente zero. Anteriormente à aplicação do problema é interessante discutir com os alunos sobre as redes sociais e o cuidado que se deve tomar ao deixar informações pessoais expostas. Pode ser, ainda, que existam alunos que não têm contato com essa realidade virtual e vale a pena falar e explicar sobre curtidas e compartilhamentos, elementos que serão necessários para a resolução do problema.


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O emprego de diferentes estratégias que emergem dos conhecimentos prévios dos alunos, torna a utilização da Resolução de Problemas uma metodologia de grande valia para o ensino da Matemática. Para este problema foram elencadas três estratégias utilizadas pelos participantes da pesquisa: desenho, linguagem escrita e linguagem matemática. Figura 6 – Estratégia para o Problema 4

Fonte: Melo e Justulin (2020)

As possibilidades apresentadas não esgotam outras que podem ser desenvolvidas pelos alunos. Quanto mais estratégias forem utilizadas mais abundante será o conhecimento e as discussões posteriores.


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Problema 5 – A construção e a desconstrução Este problema foi criado pelas autoras para trabalhar a operação inversa da potenciação quadrada, que é a radiciação quadrada. A partir do problema 2 foi proposta a desconstrução dos muros, como forma de explorar essas operações, além de analisar a possibilidade da inexistência de algumas raízes quadradas.

A raiz quadrada pode ser determinada com a descoberta do lado de um quadrado quando se conhece sua área. Essa pode ser uma das dúvidas dos alunos, que demoram a construir conceitos geométricos como a área. Espera-se que relacionem o problema com a atividade de construção do muro quadrado e percebam que se busca a operação inversa. Para chegar à solução deste problema, fazse necessário o uso apenas da operação de multiplicação, na qual obterá o número que multiplicado por ele mesmo forneça o valor solicitado e esse número será a base do quadrado. Ao compreender que o quadrado tem lados com a mesma medida, a quantidade total de tijolos seria dada pela multiplicação entre os tijolos da base e da altura. Desse modo, devem procurar um número que vezes ele mesmo resulte no total de tijolos pedido. Figura 7 – Estratégias para o Problema 5

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Dependendo do ano escolar é possível colocar outras quantidades totais de tijolos, valores mais altos que exigem maior raciocínio, pois é fundamental que o aluno continue a explorar as situações de contagem, “de ordenação, de codificação em que tenha oportunidade de realizar a leitura e escrita de números grandes” (BRASIL, 2017, p. 67). Outro ponto interessante, na extensão do problema, é propor números que não têm raiz quadrada exata, pois geram excelentes discussões e uma possibilidade para inserir também o conjunto do Números Racionais.


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Problema 6 – Desconstruindo o Cubo Este problema foi criado pelas autoras com o objetivo de explorar a operação inversa da potenciação cúbica que é a radiciação cúbica. Foi pensado como uma desconstrução do cubo do problema 3. Como possibilidade foi apresentado o uso de aplicativo (app) que substitui o cubo mágico físico. O app cubo mágico 3D (já apresentado no problema 3) é uma forma para auxiliar a pensar o problema, uma vez que se refere a cubos com diferentes quantidades de cubinhos e o app apresenta todas essas possibilidades e diferentes modelos.

Ao fazer a leitura do problema os alunos podem apresentar dúvidas quanto às dimensões e o professor pode auxiliá-los fazendo referência aos óculos 3D. No processo de resolução deste problema, espera-se que os alunos utilizem as operações básicas. Para obter a quantidade de cubinhos em cada dimensão, basta determinar um número que, ao ser multiplicado por ele mesmo três vezes, dê o resultado pedido, pois o cubo tem todas as dimensões com a mesma medida. Figura 8 – Estratégias para o Problema 6

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Os alunos podem também, relacionar a situação com a ideia de volume, que já foi utilizada no problema do cubo mágico. Podem, inclusive, revisitar a atividade se for oportuno.


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Organização do Produto Educacional Os seis problemas aqui descritos fazem parte do Produto Educacional intitulado “Ensinando potenciação e radiciação através da Resolução de Problemas: uma metodologia ativa na sala de aula” (MELO; JUSTULIN, 2020), organizado em três capítulos. O Produto Educacional na íntegra pode ser acessado no Repositório Institucional da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (RIUT), através do link: http://repositorio.utfpr.edu. br/jspui/handle/1/4972. No primeiro capítulo, conforme Figura 9, é apresentada a Metodologia de EnsinoAprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas e sua aproximação com as metodologias ativas, bem como o roteiro de atividades do professor para a implementação da Metodologia em sala de aula, segundo Allevato e Onuchic (2014). Figura 9 – Páginas do capítulo 1

Fonte: Melo e Justulin (2020)

No segundo capítulo, “Para os Alunos”, são disponibilizados nove problemas geradores criados/adaptados à construção dos conteúdos de potenciação e radiciação, que foram aplicados, refinados e validados. Desse modo, estão prontos para serem impressos e implementados nas aulas de Matemática. A Figura 10 traz quatro exemplos desses problemas.


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Figura 10 – Modelo de problemas geradores

Fonte: Melo e Justulin (2020)

No terceiro capítulo, “Para os Professores”, foram expandidas e explicadas as possibilidades de implementação: como contextualizar o problema antecedendo a aplicação; as justificativas para a escolha; os materiais que podem ser utilizados para auxiliar os alunos a pensarem o problema; as turmas para o qual é adequado; a quantidade de aulas necessárias para a implementação; os problemas secundários que podem surgir durante a leitura e interpretação; as possíveis estratégias de solução apresentadas pelos alunos; o que se espera da sessão plenária e exemplos de como os participantes da pesquisa fizeram; a formalização do conteúdo e o que deve ser explicado nessa etapa e ainda trouxe, quando há, possíveis extensões para os problemas, uma forma de aprofundar o que foi estudado. Figura 11 – Páginas do Capítulo 3

Fonte: Melo e Justulin (2020)


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Como forma de propor novos problemas e explorar os conteúdos de potenciação e radiciação de forma divertida, foi proposta a utilização de um jogo matemático o qual nomeado “Dorminhoco de potenciação e radiciação”. No Produto Educacional foram apresentados os objetivos, a justificativa, possíveis problemas secundários, as extensões e o baralho com 78 cartas utilizando as mais variadas potenciações e radiciações. As cartas podem ser selecionadas e o professor optar por trabalhá-lo desde o 6.° ano, com o conjunto dos Números Naturais, e até o 9.° ano, com o conjunto dos Números Racionais. Figura 12 – Modelo de cartas do jogo

Fonte: Melo e Justulin (2020)

Vale destacar que as autoras trazem uma possibilidade para o ensino de potenciação através de problemas geradores. Ao utilizar a Metodologia de Ensino-AprendizagemAvaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, uma metodologia ativa, é oportunizada a construção de conceitos, princípios e procedimentos os quais o aluno ainda não conhece. A intenção das autoras é trazer sugestões para que os professores se sintam inspirados a utilizar a Metodologia em suas aulas dos anos finais do Ensino Fundamental e, assim, transformá-las em verdadeiros ambientes de construção de conhecimento e aprendizagem ativa. Reflexões sobre a implementação Não há dúvidas de que ensinar através da Resolução de Problemas é difícil. “As tarefas devem ser planejadas ou selecionadas a cada dia e a compreensão atual dos alunos e as necessidades curriculares devem ser levadas em consideração. Contudo, há boas razões para prosseguir nesse esforço” (VAN DE WALLE, 2009, p. 59). De acordo com este autor, essas “boas razões” seriam: A Resolução de problemas concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e em dar sentido as mesmas; a Resolução de Problemas desenvolve nos alunos a convicção de que eles são capazes de fazer matemática e de que a matemática faz sentido; a Resolução de Problemas fornece dados contínuos para a avaliação que podem ser usados para tomar decisões educacionais, ajudar os alunos a ter bom desempenho e manter os pais informados; a Resolução de Problemas possibilita um ponto de partida para uma ampla gama de alunos; uma abordagem de Resolução de problemas envolve os estudantes de modo que ocorra menos problemas de disciplina; a Resolução de Problemas desenvolve o potencial matemático; é muito divertida (VAN DE WALLE, 2009, p. 59).

Cada uma das razões mencionadas deve promover reflexões, no que tange ao uso da Resolução de Problemas como Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, para uma aprendizagem ativa. A aprendizagem se


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torna ativa quando avança em espiral, de níveis mais simples para níveis mais complexos, tanto de conhecimento quanto de competências em todas as dimensões da vida, além de aumentar a capacidade de alternar e realizar diferentes tarefas, operações mentais e desenvolver a habilidade de se adaptar a situações inesperadas, superando modelos mentais rígidos e pouco eficientes (MORAN, 2018). Desenvolvida assim, a aprendizagem ativa promove uma interação relevante entre os alunos, os quais constroem ou reativam conhecimentos que servirão de alicerce para aprender novos conteúdos através da Resolução de Problemas. Para a condução da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, uma metodologia ativa, é interessante que o professor fique atento às orientações sugeridas por Allevato e Onuchic (2014), pois oferecem subsídios para o professor potencializar a resolução de problemas em sala de aula. A escolha do problema gerador é uma etapa essencial para o desenvolvimento do trabalho através da Resolução de Problemas; o professor deve conhecer os seus alunos e preparar problemas relevantes de acordo com os objetivos que se deseja alcançar. A implementação do problema é relevante em sala de aula, uma vez que a partir da resolução do problema gerador é possível, dentre outros fatores, retomar conhecimentos prévios e construir conhecimento novo usando diferentes estratégias: linguagem escrita, desenhos e linguagem matemática; utilizar operações básicas relacionadas aos conhecimentos prévios; resolver problemas fazendo uso de materiais manipulativos; relacionar o problema com situações oriundas do cotidiano. Após essa etapa, os alunos fazem uma leitura individual e, em conjunto, devem utilizar seus conhecimentos prévios para resolver o problema. Durante a resolução do problema, o professor assume o papel de mediador, diferente daquele que valida o conhecimento, pois “os alunos olharão para você pedindo aprovação para seus resultados ou ideias. Evite ser a fonte da ‘verdade’ ou do ‘certo ou errado’. Deixe os alunos caminharem por si mesmos” (VAN DE WALLE, 2009, p. 65). “Aparentemente, essa recomendação parece ser fácil de ser seguida, mas, na prática, isso é bem difícil, leva certo tempo até conseguir e faz com que alunos achem tudo mais difícil” (MELO, 2020, p. 159). As resoluções dos grupos devem ser registradas por escrito e entregues ao professor. Tais resoluções apresentam o registro das estratégias e explicações que levaram à solução do problema. Do mesmo modo, fornecem elementos importantes para as próximas etapas: plenária e busca por consenso. Após essa etapa, representantes de cada grupo são convidados a registrarem as resoluções na lousa. O momento de plenária e da busca por consenso convidam-nos a refletirem sobre as suas estratégias, analisando os caminhos percorridos pelo próprio grupo e pelos demais. A implementação dos problemas foi algo desafiador, novo e que possibilitou aos alunos construírem os conteúdos de potenciação e radiciação a partir da resolução de problemas com diferentes contextos. Na etapa de formalização do conteúdo, o professor deve apresentar aos alunos as formalidades do conteúdo que deseja construir. O professor precisa dominar o conteúdo matemático para que, a partir das resoluções apresentadas, promova a reflexão e apresente ideias matemáticas que contribuam para a aprendizagem ativa. Ao resolverem um problema, os alunos refletem sobre as ideias construídas de forma cooperativa, de modo que todos do grupo podem se expressar e, durante a plenária, discutir, defender e relacionar as ideias construídas. Os alunos evoluem das ideias individuais para as desenvolvidas no grupo. Nesse sentido, é possível compreender que a Resolução de Problemas vai além da prática de resolver problemas em aulas de Matemática, “pressupõe aulas de Matemática com professores e alunos envolvidos em comunidades de aprendizagem, desempenhando


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diferentes papéis e responsabilidades, visando uma aprendizagem mais significativa” (MORAIS; ONUCHIC, 2014, p. 17). As etapas são findadas com a proposição de novos problemas, que podem ser de aplicação do conteúdo estudado, e propostos tanto pelos alunos como pelo professor. A ideia foi trabalhar com um jogo matemático que serviu como forma de retomar o que foi estudado, sendo uma possibilidade apreciada pelos alunos. Desse modo, “toda vez que a turma resolve um problema e os alunos desenvolvem sua compreensão, a autoconfiança e a autoestima são ampliadas e fortalecidas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 59). Considerações Finais Trabalhar com potenciação e radiciação através da Resolução de Problemas pode promover avanços relevantes no ensino e na aprendizagem desses conteúdos, pois permite atuar com problemas em diversos contextos, aproximando a Matemática da realidade dos alunos. Outro aspecto interessante evidenciado na pesquisa é a diversidade de estratégias que podem ser utilizadas pelos alunos e a possibilidade de apresentar a potenciação e a radiciação como operações inversas, a partir dos problemas geradores. Além disso, a utilização de materiais para auxiliar a pensar os problemas e a criação de situações contextualizadas foram privilegiadas na temática. O trabalho com Resolução de Problemas potencializa a aprendizagem ativa e contribui para a ampliação do repertório matemático dos alunos, uma vez que foi possível verificar um acréscimo na variedade das estratégias de resolução ao longo das aulas, o que contribui para melhorar as atividades de ensino e de aprendizagem da Matemática, sobretudo pelo uso da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. A mudança de um ensino individualizado para um ensino em grupo pode contribuir para a aprendizagem, gerando um ambiente de interação em que a Resolução de Problemas “no início, ajuda a pensar fora da caixa e, no final, para saber quem acertou e quem errou e como os métodos não são mostrados, podemos “inventar” os nossos métodos e usar nossa imaginação” (GRUPO 3). Desse modo, é necessário estar atento as resoluções apresentadas pelos alunos, deixando evidente que cada um possui suas estratégias, o que não esgota outras possibilidades. Durante a implementação da Metodologia ficou evidente que a Resolução de Problemas concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e sobre dar sentido as mesmas, o que corrobora Van de Walle (2009). Quando os alunos estão resolvendo problemas, eles refletem sobre conceitos, elementos e outros aspectos daquele problema que sejam relevantes e culminem em sua solução. Assim, as ideias que vão emergindo misturam-se às já existentes, havendo uma nova compreensão das soluções envolvidas naqueles problemas possibilitando a aprendizagem ativa pelos alunos.


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Referências ALLEVATO, N. S. G. Trabalhar através da resolução de problemas: possibilidades em dois diferentes contextos. VIDYA, v. 34, n. 1, p. 209-232, jan./jun., 2014 - Santa Maria, 2014. Disponível em: <https://www.periodicos.unifra.br/index.php/VIDYA/article/view/ 26>. Acesso em: 30 jun. 2018. ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na Sala de Aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 55, p. 1-19. 2009. Disponível em: <http://www.ufrrj.br/SEER/index.php/gepem/article/view/54/87>. Acesso em: 26 jun. 2018. ALLEVATO, N. S. G., ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática: por que Através da Resolução de Problemas? In: ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G.; NOGUTI, F. C. H.; JUSTULIN, A. M. (Orgs). Resolução de problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco Editorial, 2014. BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em Educação: fundamentos, métodos e técnicas. In: ______. (org.). Investigação qualitativa em educação. Portugal: Porto Editora, 1994. p. 15-80. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2017. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wpcontent/uploads/2018/06/BNCC_ EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf>. Acesso em: 26 jun. 2018. MELO, M. C. P.; JUSTULIN, A. M. J. O conceito de potenciação através da Resolução de Problemas: uma possibilidade no ensino-aprendizagem de Matemática. In: XIII ENEM, 2019, Cuiabá. Anais do XIII ENEM. Cuiabá, 2019. Submetido à publicação. MELO, M. C. P.; JUSTULIN, A. M. J. Ensinando potenciação e radiciação através da Resolução de Problemas: uma metodologia ativa na sala de aula, Londrina, 2020. Disponível em: http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4972. Acesso em 20 out 2020. MELO, M. C. P. A Resolução de Problemas: uma metodologia ativa no ensino da Matemática para a construção dos conteúdos de “Potenciação e Radiciação” com alunos do Ensino Fundamental. 2020. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020. MORAIS, R.S., ONUCHIC, L.R. Uma Abordagem Histórica da Resolução de Problemas. In: ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G.; NOGUTI, F. C. H.; JUSTULIN, A. M (Orgs). Resolução de problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco Editorial, 2014. MORAN, J. Metodologias ativas para uma aprendizagem mais profunda. In: BACICH, L.; MORAN, J. Metodologias ativas: para uma educação inovadora. Porto Alegre: Penso, 2018. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G.; NOGUTI, F. C. H.; JUSTULIN, A. M. (Orgs). Resolução de problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco Editorial, 2014. ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999, pp.199-220. POLYA, G. A arte de resolver problemas: Um novo aspecto do método matemático/ G. Polya; tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araújo. – reimpr. – Rio de Janeiro: interciência, 1995. 196p. Do original em inglês: How to solve it, 1944.


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SCHROEDER, T. L.; LESTER, F. K. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: TRAFTON, P. R.; SHULTE, A. P. (Org.). New directions for elementar school mathematics. Reston: NCTM, 1989, pp. 31-42. SHIMIZU, Y. Problem Solving as a Vehicle for Teaching Mathematics: A Japanese Perspective. In: LESTER JR, F. K. (Ed.). Teaching Mathematics through Problem Solving. Prekindergarten-Grade 6. Reston, VA: NCTM, 2003, p. 205-214. SZTAJN, P. Conteúdos, Atitudes e ideologia: a formação do professor de matemática. In: Candau, V. M. F (org) Magistério, Construção. Cotidiano. Petrópolis, Editora Vozes, p. 184-204, 1997. VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Tradução Paulo Henrique Colonese. – 6.ed. Porto Alegre: Artmed, 2009. 584p.



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Investigação Matemática em sala de aula: alguns apontamentos para o professor Elaine Cristina Ferruzzi | Jéssica Concentino

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neste capítulo resultados de uma pesquisa que tomou direcionamento em um dos encontros do GEPMIT – Grupo de Estudos e Pesquisa em Modelagem, Investigação e Tecnologia- quando a primeira autora deste texto fez o seguinte questionamento a um grupo de professores: Você já utilizou a Investigação Matemática em sua prática pedagógica? Para nossa surpresa, obtivemos respostas negativas por parte de todos os integrantes do grupo. Quando questionados sobre quais seriam os motivos da não utilização, obtivemos uma diversidade de respostas: não conheço muito bem; nunca tive contato; ocupa muito tempo; é difícil; entre outras. Estas respostas causaram-nos estranhamento, tendo em vista que se tratava de um grupo de jovens professores, formados a pouco tempo, em um cenário que, em sua grande maioria, incentiva, teoricamente, a inserção de práticas pedagógicas diferentes da expositiva. Diante disso questionamos: Se jovens professores, formados há menos de 5 anos, como era o caso dos professores citados no início deste capítulo, não utilizam a Investigação Matemática em suas aulas, será que professores com mais tempo de formação e docência a utilizam? Se não, por quê? Com isso em mente, realizamos uma pesquisa com docentes de matemática da rede estadual de ensino de um município do norte do Paraná, na busca por mais informações sobre conhecimento e utilização da Investigação Matemática em sala de aula. De 25 docentes de matemática deste município, 64% permitiram uma entrevista e autorizaram o uso dos dados coletados para fins de pesquisa. Estas entrevistas foram gravadas e posteriormente transcritas para análise. Para nossa surpresa, apenas 6% dos entrevistados declararam ter tido formação específica sobre a Investigação Matemática, porém nunca a utilizaram em sala de aula. Os outros 94% alegaram não terem tido formação específica, sendo este um dos motivos alegados por eles para não desenvolverem com seus alunos (CONCENTINO; FERRUZZI, 2018). Nosso estranhamento, e consequentemente nossa preocupação, tornou-se mais acentuada com esses dados. Porém, por que isto nos interessou? Nosso interesse tem por base argumentos favoráveis à inserção da Investigação Matemática em sala de aula, como por exemplo, os citados em Corradi (2011), Cunha (2009), Castro (2004), Cardozo e Possamai (2019), Galvão e Assis (2019) Goldenberg (1999), Ponte (2003), Oliveira (1998), Fonseca (2000), Brocardo (2001) entre outros, que foram acentuados diante da evolução científica e tecnológica da sociedade. A evolução científica e tecnológica tem ocasionado alterações na sociedade, que refletem diretamente no ensino (PIRES, 2002), ou seja, mudanças na sociedade repercutem em alterações no perfil desejado para o mercado de trabalho. A sociedade passa a exigir profissionais com “autonomia, criatividade, profissionalidade, descentralização, participação e cooperação” (PIRES, 2002). O mercado de trabalho por sua vez exige que a formação acadêmica seja de tal forma que resulte em cidadãos mais críticos, criativos, resolvedores de problemas e conflitos, mais ativos, com capacidade de trabalhar em equipe e lidar com perspectivas diferenciadas. Esta exigência acarretou, pelo menos teoricamente, na reestruturação do ensino, tendo em vista que a prática educacional, geralmente adotada pela maioria dos professores, o PRESENTAMOS


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ensino expositivo, já não parecia ser suficiente. Diante deste cenário, diversas recomendações em documentos oficiais e uma gama de argumentos favoráveis à inserção de práticas pedagógicas como a Investigação Matemática em sala de aula foram sendo construídos. No que tange às recomendações governamentais, ponderamos que em nossa sociedade contemporânea, o ensino transmissivo, com sua estrutura enraizada em métodos reprodutivos, sendo o professor o detentor do conhecimento, aquele que transmite conceitos e informações, “deixou de ser socialmente útil” (ROLDÃO, 2005, p. 95), pois “quase nada mais impede ao homem o pleno acesso à informação” (LEÃO, 1999, p. 188). De fato, a diversidade de fontes tecnológicas que nos rodeiam propaga de forma acelerada as informações, tornando-as acessíveis instantaneamente, e deste modo, compreendese que o ensino tradicional, tal como é caracterizado, necessita de algumas modificações1 . Estas modificações devem ser de tal forma que o ensino seja concebido na perspectiva de mediar e orientar, desenvolvendo o comprometimento do aluno com seu papel ativo diante da sua aprendizagem. Neste sentido, alguns documentos oficiais, por exemplo Brasil (1998) e Paraná (2008), que norteiam o ensino de Matemática, apontam sobre [...] a necessidade de reverter um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significados para o aluno. Há urgência em reformular objetivos, rever conteúdos e buscar metodologias compatíveis com a formação que hoje a sociedade reclama (BRASIL, 1998, p. 15).

Observamos que, já em 1998, os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais – apontavam para a importância de o professor atuar como mediador e orientador no processo de ensino, não mais aquele que expõe todo o conteúdo (BRASIL, 1998), mas sim aquele que oferece condições e considera o “aluno como protagonista da construção de sua aprendizagem” (Ibidem, p. 15). Além disso, já discorria sobre a importância de estimular a cooperação e interação entre os alunos e o professor, promovendo o confronto de ideias e reflexão sobre o modo de pensar do colega, desenvolvendo a “formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e de validá-los (questionando, verificando, convencendo)” (BRASIL, 1998, p. 38). Visando uma prática que proporcione o recomendado em Brasil (1998), Skovsmose (2000) sugere que o professor pode apresentar e direcionar suas atividades de forma investigativa para estimular os alunos a formularem questões e a explorar soluções, para que assim possam construir um ambiente de aprendizagem, de modo a propor que o aluno realize ações investigativas e entenda o significado dos conceitos envolvidos. Dentre as práticas pedagógicas recomendadas pelas Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná – DCE (PARANÁ, 2008) – com vistas a atenuar o ensino teórico e expositivo, está a Investigação Matemática, a qual, em seu desenvolvimento, requer o envolvimento ativo do aluno, contribuindo assim com a formação matemática e global do estudante. Esta contribuição é enfatizada por Ponte (2003), para quem [...] a realização continuada de investigações, num quadro de discussão e reflexão sobre o significado dos resultados obtidos e dos processos empregues, é susceptível de influenciar de modo muito significativo as concepções dos alunos. Estes podem alterar a sua visão do trabalho investigativo, das características da Matemática, do modo de aprender Matemática e dos papéis do professor e do aluno, desenvolvendo o gosto pela disciplina e a sua confiança neste tipo de trabalho (PONTE, 2003, p.38).

Entretanto, como constatamos, esta prática pedagógica é pouco utilizada em sala de aula e um dos motivos elencados pelos professores tem sido a dificuldade de elaborar e 1O

termo ‘ensino tradicional’ é entendido neste texto como caracterizado por Alro e Skovsmose (2006): “ambiente escolar em que os livros-texto ocupam papel central, onde o professor atua trazendo novos conteúdos, onde aos alunos cabe resolver exercícios e onde o ato de corrigir e encontrar erros caracteriza a estrutura geral da aula” (p. 16).


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conduzir atividades desta natureza por não terem conhecimento suficiente (CONCENTINO; FERRUZZI, 2018). Consideramos que esta falta de conhecimento está diretamente ligada ao fato de que poucas pesquisas e estudos sobre o tema tenham sido realizadas no Brasil. Segundo Wichnoski e Klüber (2015, p. 2) trata de “um campo pouco explorado no país”. Tendo em vista que a sociedade exige um cidadão com as características citadas anteriormente, os documentos oficiais recomendam práticas pedagógicas de cunho investigativo e diversos pesquisadores incentivam sua inserção, apresentando contribuições para o indivíduo e sua formação e, mesmo assim, observamos pouca adesão, nos empenhamos em pesquisar possibilidades de contribuição para a inserção da mesma em sala de aula. Neste sentido, na tentativa de auxiliar docentes que não a utilizam por falta de conhecimento (como os professores citados no início deste artigo), procuramos desenvolver um material que tivesse a capacidade de oferecer aos professores alguns conhecimentos sobre a Investigação Matemática e como utilizá-la em sala de aula. Deste modo, em nossa pesquisa procuramos i) identificar, na literatura, possíveis ações do professor que contribuam para o envolvimento ativo do aluno nas atividades de Investigação Matemática; ii) elencar, com base na literatura, questionamentos que o professor pode fazer no ambiente de Investigação Matemática que possuam potencial para auxiliar, o docente e o aluno, no desenvolvimento da atividade e iii) propor instrumento ao professor, ancorados na literatura, que possa auxiliá-lo e estimulá-lo na inserção da Investigação Matemática em sala de aula. Este instrumento, após várias reformulações derivadas de desenvolvimento por professores, tornou-se um manual intitulado “Investigação Matemática: orientações para o professor” (CONCENTINO; FERRUZZI, 2019), o qual constituiu-se o Produto Educacional deste estudo. Com vistas a apresentar este Produto Educacional dissertamos, a seguir, sobre os resultados da nossa investigação, discorrendo sobre o que entendemos por Investigação Matemática, algumas justificativas para sua inserção em sala de aula, como proporcionar sua implementação e o papel do professor. Por fim apresentaremos um dos roteiros para atividades investigativas presente no produto educacional. Investigação Matemática Uma tarefa por si só não possui autonomia ou característica suficiente para ser uma atividade de cunho investigativo. Vários aspectos precisam estar presentes, entre eles a vontade do aluno e a ação do professor. Nesse sentido, Borssoi, Silva e Ferruzzi (2020, p. 299) apontam que as ações do professor são a base para que os alunos “aceitem pesquisar com afinco, testar conjecturas, procurar com atenção, indagar e buscar provas para suas descobertas”, ou seja, “aceitem o convite” posto por Skovsmose (2000). A Investigação Matemática é uma prática pedagógica que utiliza um conjunto de processos peculiares da atividade matemática, levantando “questões que nos interessam, para as quais não temos essa resposta pronta e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 9). Ancorados em Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), compreendemos que a Investigação Matemática se caracteriza por apresentar quatro momentos em sua realização. O primeiro engloba o reconhecimento da situação e a elaboração de questões sobre a problemática. O segundo refere-se ao processo de organização dos dados e formulação de conjecturas (hipóteses ou ideias com fundamento não verificado). No terceiro acontece o tratamento dos dados, a realização dos testes e o eventual refinamento das conjecturas. E, por fim,


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o último diz respeito à elaboração do relatório, avaliando o raciocínio e apresentando resultados (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009). Ressaltamos, ainda, que a formulação de hipóteses, o teste e a confirmação ou validação são características fundamentais da Investigação Matemática, tendo em vista que para Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 10) a característica essencial da Investigação Matemática é o “estilo de conjectura-teste-demonstração”. Assim, compreendemos a Investigação Matemática como uma prática pedagógica em que os alunos são convidados a explorar uma situação, formulando questões e conjecturas. Estas conjecturas devem ser testadas e reformuladas até serem aceitas como solução para a situação. Vale salientar que uma mesma situação pode ter mais de um desenvolvimento e, consequentemente, resultados diferentes, porém todos satisfazendo a situação. Argumentos favoráveis à inserção da Investigação Matemática em sala de aula O termo “investigar” é tratado em alguns estudos como “uma poderosa forma de construir conhecimento” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 10) e esta assertiva, por si só, já seria suficiente para sua implementação em sala de aula. Entretanto, diversos pesquisadores têm apresentado argumentos próprios da Investigação Matemática, como vemos na sequência. Atividades de Investigação Matemática em sala de aula iniciam-se com uma situação desafiadora para o aluno e geralmente são desenvolvidas em pequenos grupos, possibilitando a busca de meios para solucionar o problema, a utilização de argumentações, a produção de significados para a Matemática, a comunicação, a elaboração de relatórios e a apresentação dos resultados (CORRADI, 2011). Neste sentido, Ponte et al. (1997, p.10) consideram que este tipo de atividade possibilita “o desenvolvimento de atitudes e valores como o gosto pela Matemática, a autonomia e a cooperação”, e ainda contribui com a formação geral do aluno (PONTE, 2003), pois ao comunicar seus resultados de forma oral e escrita desenvolve habilidades além da Matemática. No que tange ao levantamento de hipóteses e testes para sua validação, Cunha (2009) considera que as mesmas favorecem a construção da argumentação e legitimação de descobertas. Para Ponte et al. (1998) um grande objetivo de trabalhar com a investigação é conduzir os alunos “a graus progressivos de generalização e abstração” (p. 17), deste modo, a justificação das conjecturas torna-se uma componente ímpar no trabalho. Para estes pesquisadores, “o grau de formalização dessa justificação depende do nível de desenvolvimento matemático do aluno”, entretanto, o professor tem o papel de conduzir o aluno à “necessidade de se ‘convencer’ a si próprio e aos outros dos seus argumentos”. Paterlini (2010) também atribui importância significativa à atividade investigativa, considerando que os processos de pensamento utilizados para solucionar uma tarefa “dão origem a percepções de regularidades e padrões, de invariantes, de relações funcionais e de transformações, abstração e generalização, formulação de conjecturas, testes de conjecturas e validação, e construção de modelos matemáticos” (PATERLINI, 2010, sp). No mesmo sentido, para Azevedo (2004) a participação de atividades investigativas proporciona ao aluno o desenvolvimento de habilidades cognitivas, como a reflexão e a argumentação, as quais contribuem para a mobilização e consolidação dos conhecimentos matemáticos. Além destes pesquisadores, muitos outros apresentam argumentos favoráveis à inserção da Investigação Matemática em sala de aula. Alguns destes argumentos são: Contri-


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buição para a aprendizagem de ideias e conceitos matemáticos; desenvolvimento de conhecimentos transversais como a comunicação e relação interpessoal (ROCHA; PONTE, 2006); desenvolvimento da capacidade de solucionar problemas, sentido de cooperação e pensamento crítico (MENDES, 1997); participação ativa do estudante (BROCARDO, 2002; MENDES, 1997; PONTE et al., 1998a); ambiente estimulante (MENDES, 1997); formulação de questões e hipóteses, elaboração de estratégias, generalização de resultados (PONTE et al., 1998b); contribuição para a compreensão dos processos e ideias matemáticas e da atividade matemática (BROCARDO, 2002). Entendemos assim que os caminhos a percorrer no processo da Investigação Matemática podem desenvolver habilidades dos envolvidos na prática investigativa, pelo fato de contemplar e valorizar “a adivinhação sagaz, a hipótese fértil, o salto arrojado para uma conclusão tentativa – essa é a moeda mais valiosa do pensador em ação, qualquer que seja o seu campo” (BRUNER, 1978, p. 12). Acreditamos que os argumentos aqui apresentados são suficientes para nos empenharmos em desenvolver a Investigação Matemática com nossos alunos. Como proporcionar a ocorrência da Investigação Matemática em sala de aula: planejamento e formas de implementação A estrutura de uma aula com abordagem investigativa exige do professor “uma preparação cuidadosa que vai para além da tarefa que propõe aos alunos” (FONSECA; BRUNHEIRA; PONTE, 1999, p. 3). Ou seja, a elaboração da tarefa, a qual consideramos de extrema importância em relação aos cuidados que devem ser tomados, é um processo que se inicia antes da sala de aula e é constituído pela reflexão do professor com relação às características da sua turma e aos objetivos que deseja alcançar. Para Oliveira et al. (1999, p. 100) “é um trabalho criativo (para o qual não há receitas)”. Deste modo, o professor deve delinear seus objetivos e “recorrer à sua criatividade para dar forma à tarefa, adaptando as situações, reconstruindo as questões da maneira que melhor servir os seus objetivos” (CORRADI, 2011). Isso é parte de um processo cuidadoso que exige habilidades que demandam tempo para adquirir (CORRADI, 2011), sendo “necessário que o professor invista bastante na preparação dessas aulas” (FONSECA; BRUNHEIRA; PONTE, 1999). Assim, sugerimos que ao planejar uma tarefa de modo que a mesma possa gerar uma atividade de Investigação Matemática, o professor pode, caso sinta-se confiante, elaborar algo novo, ou caso ainda não se sinta à vontade, pode optar propor tarefas já elaboradas e desenvolvidas por outras pessoas ou ainda adaptar alguma tarefa da literatura, sempre considerando as características de sua turma, o objetivo e o grau de familiaridade dos alunos. Sobre o grau de participação do professor e do aluno e do direcionamento da tarefa, classificamos, baseados em Tudella et al. (1999) e Baptista (2010), as tarefas em: tarefas estruturadas, menos estruturadas e abertas. As tarefas estruturadas podem ser compostas por roteiros de procedimentos para auxiliar o professor na apresentação e condução da atividade, contendo a questão a investigar, tratada no roteiro ou definida previamente pelo professor. Os procedimentos são conduzidos pelas intervenções do docente e esse conhece de antemão as soluções possíveis para a investigação. As tarefas menos estruturadas são aquelas em que o professor propõe uma situação contendo uma questão que norteia a investigação, e nesse processo podem surgir outros questionamentos levantados pelos alunos que levam a procedimentos distintos na busca


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de solucionar o problema. Nesse nível, os alunos já trabalham com a formulação de conjecturas, com os testes para validação da conjectura e o debate e discussões a respeito das soluções obtidas. Já nas tarefas abertas os alunos são responsáveis por todo o processo, assumindo a responsabilidade pelo papel ativo no desenvolvimento da investigação, pois a configuração aberta remete a formulação das questões, a recolha e a organização de dados, a experimentação e também as explicações e debates sobre a investigação realizada. Esses tipos de desenvolvimentos constituem finalidades distintas que permeiam, desde o processo em que o aluno aplica um conceito adquirido e chegue ao resultado, no qual estão habituados (ensino tradicional e reprodução de conceitos), como também podem ser introduzidos momentos em que eles desenvolvem suas estratégias e métodos para alcançar soluções. Sobre a forma de implementação, compreendemos que ao adotar novas concepções de ensino e propor um ambiente de Investigação Matemática nos deparamos com possibilidades diversificadas para iniciar a prática pedagógica. Entretanto, a introdução de atividades investigativas gera alguns desconfortos e dificuldades para os alunos. Nesse contexto é “essencial que o professor esteja atento e os ajude a ultrapassá-las”, pois é um processo que incide na “quebra da rotina a que os alunos estão habituados”, rompendo a segurança e a comodidade centrada no ensino do professor (BAPTISTA, 2010). Isso significa que devemos propor atividades acessíveis ao nível cognitivo dos alunos, para não causar o efeito contrário dos objetivos da investigação. O desenvolvimento de atividades investigativas, demanda do professor a flexibilização em relação ao tempo para que o aluno pense, observe e compreenda a questão, pois cada aluno tem seu próprio ritmo de cognição. Porém ainda tem que se observar que tempo demasiado pode ocasionar a perda da motivação e consequentemente a dispersão (BAPTISTA, 2010). Observamos que o professor necessita acompanhar com atenção o desenvolvimento da tarefa, de modo a auxiliar os que estão com dificuldades, ao mesmo tempo que deve cuidar para não deixar os outros impacientes. No mesmo sentido, considerando o objetivo de despertar o interesse do aluno para o ambiente de aprendizagem, devemos tomar cuidado para não o desmotivar já no início e, portanto, é aconselhável que sejam trabalhadas tarefas a princípio mais estruturadas e depois, quando os alunos estiverem mais acostumados (e o professor mais seguro) podemos aumentar o grau de complexidade paulatinamente, inserindo atividades menos estruturadas e na sequência atividades abertas. Formas de encaminhamento no desenvolvimento em sala de aula Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) propõem três etapas que podem contribuir para o desenvolvimento da Investigação Matemática: o arranque da aula; o desenvolvimento do trabalho e a discussão e conclusão do mesmo. O arranque da aula é um momento muito importante da atividade, onde será apresentada a tarefa a ser desenvolvida, com considerável cuidado, levando em consideração “os alunos que tem pouca ou nenhuma experiência com as investigações” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 26). Esta etapa é importante pois é nela que o aluno vai aceitar ou não o convite à investigação. Ou seja, neste momento o professor deve tomar o cuidado para provocar o aluno, desafiando-o e indicando que possui capacidade para desenvolver a tarefa. A questão do desafio é deveras importante, tendo em vista que o arranque pode conduzir a uma sensação de que a situação seja muito desafiadora ou nada desafiadora. Ambas as situações podem implicar em desmotivação. Assim, é sempre necessário


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a apresentação precisa do professor, de modo que fique claro o que se deseja realizar e a capacidade dos alunos para desenvolver o trabalho. Após o entendimento sobre a situação proposta, inicia-se a fase do desenvolvimento do trabalho, em que os alunos, divididos em grupos, formulam questões e conjecturam, realizam testes e, se necessário, reformulam e avaliam os resultados encontrados. Esta fase é a que Mason, Burton e Stacey (2010), ao tratarem da resolução de uma situação, denominam fase de ataque. Nela ocorre a particularização de casos, de modo a procurar algum padrão ao que está acontecendo e, caso encontrem um padrão, elabora-se uma conjectura ou hipótese. Para Mason, Burton e Stacey, (2010, p. 63) “a particularização oferece uma ideia de como as coisas estão indo; detectar algum padrão subjacente e articulá-lo produz uma conjectura que pode ser examinada, contestada e modificada”. Ainda nesta fase de ataque, o passo seguinte é o teste das conjecturas. As conjecturas podem ser aceitas ou refutadas e, caso ocorra esta segunda hipótese, é necessário que se volte à análise da particularização para refletir o que deixamos passar despercebido. Vale ressaltar que “Uma conjectura é uma afirmação que aparece razoável, mas cuja verdade não foi estabelecida” (MASON, BURTON, STACEY, 2010, p. 58), sendo importante lembrar que “é um palpite formado sobre um possível padrão ou regularidade que possa explicar o que é intrigante em uma questão específica. Uma vez formulada, a conjectura é investigada para verificar se deve ser modificada ou se pode ser convincentemente justificada” (MASON, BURTON, STACEY, 2010, p. 82). O aceite de uma conjectura requer provas ou demonstração de que a mesma é válida (sempre respeitando o grau de conhecimento matemático do aluno), executando assim o que Yeo e Yeap (2009) denotam por justificação. Deste modo podemos distinguir neste processo atividades como a “realização de experiências (o que acontece neste ou naquele caso específico?), a formulação de conjecturas (que regra geral poderemos propor?) e o teste das conjecturas (quais serão as experiências fundamentais para verificar a validade desta conjectura? Será possível prová-la?)” (PONTE; MATOS, 1996, p. 239). Após a justificação da conjectura, ou seja, seu aceite como verdadeiro e válido para aquela situação, o aluno deve procurar generalizar a situação. Generalizar é “derivar ou induzir a partir de casos particulares, para identificar pontos em comum, para expandir domínios de validade” (DREYFUS, 2002, p. 35, tradução nossa), ou seja, é transpor regularidades encontradas em casos particulares para casos gerais. Dreyfus (2002) considera a generalização um processo mental, que auxilia a construção de estruturas mentais a partir de estruturas matemáticas, ao passo em que Mata-Pereira e Ponte (2013) a consideram um processo central no raciocínio matemático. A última etapa, não menos importante, constitui-se da discussão e conclusão do trabalho, onde o professor deve oportunizar aos alunos a apresentação dos resultados encontrados, bem como os caminhos percorridos. É um momento em que cada grupo tem que defender sua estratégia, suas conjecturas e suas justificações. Esse momento é considerado por diversos pesquisadores o mais enriquecedor da Investigação Matemática enquanto atividade, argumentando que “sem a discussão final, se corre o risco de perder o sentido da investigação” (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 41).


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O papel do professor Conduzir os alunos a envolverem-se em uma atividade de Investigação Matemática pode não ser tão simples como parece. Existe o desafio de gerenciar os grupos nos momentos iniciais, tendo em vista que geralmente os alunos não estão habituados ao trabalho em grupo e ao desenvolvimento de investigações. Esse fato poderá gerar alguns desconfortos tanto para o professor quanto para os alunos. Algumas atitudes do professor podem auxiliar este processo. Uma delas é a intervenção que o professor realiza no transcorrer da atividade. Neste sentido, Cunha (2009) alerta que o “professor saiba dosar as suas intervenções, permitindo que os alunos criem seus caminhos e tirem suas próprias conclusões". Ou seja, intervir, provocando e incentivando, porém sem oferecer a resposta para as questões, conduzindo o aluno à sua construção. A interação, em se tratando da intencionalidade do ensino e aprendizagem, não é algo simples de estabelecer. Requer explorar o ouvir e o perguntar (MILANI, 2017), habilidade essa que se desenvolve entre os erros e acertos no processo do ensino e da aprendizagem. O professor precisa saber ouvir o que o aluno tem a dizer, considerar as concepções e o ponto de vista do estudante, para assim elaborar questionamentos de forma a direcioná-lo em suas próprias descobertas. Neste sentido, concordamos com Sasseron (2013) quando expõe que: Boas perguntas dependem tanto do conhecimento sobre o tema abordado quanto da atenção ao que os alunos dizem: muitas das informações trazidas por eles precisam ser exploradas, seja colocando-as em evidência, seja confrontando a ideia exposta ou mesmo solicitando aprofundamento do que já foi dito (SASSERON, 2013, p. 3).

O professor deve agir de tal forma que conduza seus alunos visando a descoberta, por meio de questionamentos com intencionalidade. Geralmente esta atitude por parte dos alunos é pouco incentivada no ensino expositivo, onde a fala e explanação do professor é predominante, não oportunizando espaço para os alunos expressarem suas ideias e trabalharem em descobertas ativamente. Como podemos perceber, o professor possui um papel deveras importante na promoção da Investigação Matemática em sala de aula, desde seu planejamento, passando pelo desenvolvimento e fase final da atividade. Tendo isto em mente, desenvolvemos nosso Produto Educacional no qual procuramos elencar algumas orientações/sugestões para os professores que intentam se aventurar pela Investigação Matemática. Algumas dessas orientações são apresentadas no próximo tópico. O Produto Educacional: sugestões para os professores desenvolverem a Investigação Matemática em sala de aula O produto Educacional fruto da nossa Dissertação do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT/UTFPR) intitulada “Caminhos a percorrer: desafios do processo de Investigação Matemática” (CONCENTINO, 2018) foi sendo construído durante nosso percurso no PPGMAT, sendo elaborado, revisado, aplicado por professores externos, recebendo considerações e críticas, reelaborado e finalmente aceito tanto pelos docentes que o utilizaram quanto pela banca de mestrado ao qual foi submetido. Como já mencionamos, o objetivo desse Produto Educacional é contribuir para que professores que não conhecem a Investigação Matemática, ou que conhecem, mas não se sintam confiantes para desenvolvê-la com seus alunos, possam sanar suas dúvidas, obter dicas para seu desenvolvimento e ainda ter contato com alguns roteiros de desenvolvimento. Deste modo, este produto é composto por uma caracterização da Investigação Matemática e


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instruções/orientações/sugestões para o professor sobre o desenvolvimento da Investigação Matemática. Uma das sugestões presentes nesse Produto Educacional são algumas ações que o professor pode executar em cada fase do trabalho com vistas a colaborar para que a situação proposta desencadeie atividade de Investigação Matemática. Estas ações podem ser visualizadas no Quadro 1 e foram elaboradas a partir das considerações de Corradi (2011) e Baptista (2010). Quadro 1 – Ações docente na promoção da Investigação Matemática

Fonte: Concentino (2019) baseado em Corradi (1011) e Baptista (2010)


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Observa-se que na segunda fase, quando ocorre o desenvolvimento da atividade investigativa, o professor deve provocar o raciocínio, instigar, incentivar, validar as assertivas dos alunos, auxiliar os conflitos existentes, estimular o confronto de pontos de vistas e ainda promover a reflexão e argumentação (TUDELLA et al., 1999). Com vista a auxiliar o professor neste desenvolvimento, apresentamos no Produto Educacional, alicerçados em Tudella et al. (1999), algumas questões que podem ser enunciadas pelo professor de modo a auxiliar este processo. Quadro 2 – Questionamentos do professor no ambiente de Investigação Matemática

Fonte: As autoras, com base em Tudella et al. (1999)

Além dos cuidados na intervenção, ressaltamos a importância do professor no retorno oferecido aos alunos, tendo em vista que essa ação pode potencializar a reflexão dos envolvidos. Para Corradi (2011, p.171) a [...] reflexão permite a valorização do processo de resolução que cada aluno desenvolve para chegar a um resultado, mesmo não sendo o correto, permite ainda estabelecer conexões com outras ideias matemáticas e pode constituir um ponto de partida para outras investigações.

Por fim, apresentamos no Quadro 3 um dos roteiros para o desenvolvimento de uma situação-problema presentes no Produto Educacional, que pode, dependendo da postura do professor e do envolvimento dos alunos, gerar atividade de Investigação Matemática.


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Quadro 3 – Roteiro para desenvolvimento de uma atividade de Investigação Matemática

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Fonte: Concentino e Ferruzzi (2018)


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Quadro 4 – Folha de auxílio para a realização da atividade referente ao número de diagonais de um polígono regular

Fonte: Concentino e Ferruzzi (2018)

Palavras finais Temos ciência, pela nossa experiência e pela pesquisa realizada em Concentino (2019), que muitos professores não desenvolvem tarefas investigativas com seus alunos por não terem clareza de como planejar, proceder ou dar encaminhamento. Com vistas a minimizar estes problemas e incentivar o desenvolvimento de tarefas que gerem Investigação Matemática é que desenvolvemos o referido Produto Educacional como forma de fornecer maiores esclarecimentos aos professores de Matemática.


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A leitura do produto antes de iniciar o trabalho em sala de aula com atividades de Investigação Matemática, tem suas contribuições como forma de entender do que se trata a prática pedagógica, acompanhado de encaminhamentos, ações e questionamentos que o professor pode desempenhar no desenvolvimento da Investigação Matemática. Para trabalhos iniciais em sala de aula, apresentamos alguns roteiros que orientam seu desenvolvimento. Consideramos que a prática no desenvolvimento da Investigação Matemática oportuniza ao professor um olhar diferenciado em relação ao ensino da Matemática, no sentido de perceber que com planejamento, flexibilidade e gestão do tempo é possível oferecer ao aluno possibilidades de desenvolver processos matemáticos tais como elaborar e justificar hipóteses, argumentar e defender seus pontos de vista e generalizar resultados. Assim, desejamos que este material contribua para o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática, promovendo ainda a compreensão e a reflexão sobre essa proposta e que as experiências tragam motivação para aprofundamento nos estudos sobre Investigação Matemática. Referências AZEVEDO, M. C. P. S. de. Ensino por investigação: problematizando as atividades em sala de aula. In: CARVALHO, A. M. P. (org.). Ensino de ciências: unindo a pesquisa e a prática. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, p. 19–33. 2004. E-book. BAPTISTA, M. L. M. Concepção e implementação de atividades de investigação: um estudo com professores de física e química do ensino básico. 2010. - Universidade de Lisboa, [S. l.], 2010. BORSSOI, A. H.; SILVA, K. A. P. da; FERRUZZI, E. C. Ensino por Investigação mediado por tecnologias digitais em aulas de Matemática. Vidya, Santa Maria, v. 40, n. 1, p. 297– 313, 2020. Disponível em: https://periodicos.ufn.edu.br/index.php/VIDYA/article/view/ 3101. BRASIL, MEC. Terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental Matemática. 1998. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ttransversais.pdf. BROCARDO, J. Investigações na aula de matemática: A história da Rita. In: (P. Figueiredo (EDs. I. C. Lopes, J. Silva, Org.) 2001, Lisboa. Actas ProfMat. Lisboa: APM, 2001. p. 155–161. BROCARDO, J. As investigações na aula de Matemática: Um projeto curricular no 8o ano. 2002. - Universidade de Lisboa, [S. l.], 2002. BRUNER, J. S. O processo da Educação. São Paulo, Nacional, 1978. CARDOZO, D; POSSAMAI, J. P. Resolver E Investigar: Possibilidades Para O Ensino De Funções Exponenciais. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, [S. l.], v. 10, n. 1, p. 164–183, 2019. Disponível em: https://doi.org/10.26843/rencima.v10i1.1875. CASTRO, J. F. Um estudo sobre a prática em um contexto de aulas investigativas de matemática. 2004. - UNICAMP, [S. l.], 2004. CONCENTINO, J.; FERRUZZI, E. C. Como anda o conhecimento dos docentes sobre a Investigação Matemática como prática pedagógica? In: 2018, Londrina. Simpósio Nacional De Ensino E Aprendizagem: Atualidades, Prospectivas E Desafios. Londrina: [s. n.], 2018. Disponível em: https://sites.google.com/site/anais4sea/home/trabalhos.


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Conjecturas, generalizações, justificações: exemplos de alguns processos do raciocínio matemático na literatura da área Luís Felipe Gonçalves Carneiro | Eliane Maria de Oliveira Araman

Introdução

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é parte de uma pesquisa em andamento sobre o desenvolvimento do raciocínio matemático e seus processos. O que apresentamos neste texto é um recorte teórico que compõe parte do Produto Educacional desta pesquisa, que descrevemos com mais detalhes ao longo do texto. O raciocínio matemático pode permitir aos estudantes ir além do uso rotineiro de procedimentos para a aprendizagem (MATA-PEREIRA; PONTE, 2017). Desse modo, desenvolver o raciocínio matemático dos alunos é um dos objetivos do ensino da matemática na escola (MATA-PEREIRA; PONTE, 2017; 2018). Além disso, documentos curriculares estrangeiros e, mais recentemente, brasileiros, têm dedicado atenção ao raciocínio matemático (OCDE, 2007; JEANNOTTE; KIERAN, 2017; BRASIL, 2018; ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020). No entanto, apesar de bastante comum na educação matemática, o termo raciocínio é frequentemente utilizado com um significado impreciso (MATA-PEREIRA; PONTE, 2017). Além disso, o discurso sobre o raciocínio matemático na comunidade acadêmica da área não é único, consistindo de várias visões que se chocam umas com as outras, sendo que, inclusive em documentos curriculares, o modo como o raciocínio matemático é descrito tende a ser vago (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Assim, dada a recente importância do raciocínio matemático nos documentos curriculares nacionais e para o ensino e aprendizagem da matemática, e considerando que não há uma única visão sobre o tema na comunidade da educação matemática, definimos como objetivo deste estudo buscar na literatura da área exemplos de processos do raciocínio matemático e descrevê-los à luz do referencial teórico adotado. STE CAPÍTULO

O raciocínio matemático no currículo Como mencionado, o raciocínio matemático tem recebido atenção de documentos curriculares nacionais e internacionais. Em Portugal, por exemplo, é uma das capacidades transversais a serem desenvolvidas pelos alunos durante os três ciclos do ensino básico, enquanto na Inglaterra os alunos devem ser capazes de elaborar conjecturas e hipóteses, explicar e justificar como chegaram a uma conclusão e usar o raciocínio matemático para explicar e reconhecer inconsistências (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2019). Nos Estados Unidos os alunos devem se envolver em tarefas que os levem a produzir e investigar conjecturas, desenvolver argumentos e provas matemáticas, entre outros aspectos (STYLIANIDES, 2009). No Brasil, são destacadas atividades de investigação e exploração nos Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos finais do Ensino Fundamental (PONTE; BROCARDO;


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OLIVEIRA, 2019). São enfatizados no documento (BRASIL, 1998) alguns processos do raciocínio matemático, como nos seguintes trechos: “as principais funções do desenho são as seguintes: visualizar [...]; ajudar a provar; ajudar a fazer conjecturas” (BRASIL, 1998, p. 125); “[...] as observações do material concreto [devem ser] elementos desencadeadores de conjecturas e processos que levem a justificativas mais formais” (BRASIL, 1998, p. 127). Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2002) também há menções nesse sentido: Para alcançar um maior desenvolvimento do raciocínio lógico, é necessário que [...] haja um aprofundamento dessas ideias [experimentações e deduções informais] no sentido de que o aluno possa conhecer um sistema dedutivo, analisando o significado de postulados e teoremas e o valor de uma demonstração para fatos que lhe são familiares (BRASIL, 2002, p. 124).

No entanto, ainda que esses documentos mencionem alguns dos processos, o termo raciocínio matemático não é citado e o termo raciocínio é utilizado com um significado pouco preciso (CARNEIRO; ARAMAN; SERRAZINA; 2019). Por outro lado, na Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018), publicação mais recente, o termo raciocínio matemático é mencionado e o termo raciocínio utilizado com maior precisão (CARNEIRO; ARAMAN; SERRAZINA, 2019), como se pode verificar a seguir: Para o desenvolvimento de competências que envolvem raciocinar, é necessário que os estudantes possam [...] investigar, explicar e justificar as soluções apresentadas para os problemas; [e] embora todos esses processos pressuponham o raciocínio matemático, em muitas situações são também mobilizadas atividades relativas à representação e à comunicação para expressar as generalizações [e] justificar o raciocínio utilizado (BRASIL, 2018, p. 529).

Na Base Nacional Comum Curricular, para o Ensino Fundamental é ressaltado o letramento matemático, definido como as habilidades e competências de “raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas” (BRASIL, 2018, p. 266). Para o Ensino Médio, há a competência específica 5: Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações e diferentes tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas. (BRASIL, 2018, p. 531).

Portanto, com a publicação da Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018), o raciocínio matemático ganhou importância no ensino da matemática no Brasil em relação aos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998; BRASIL, 2002). Possivelmente, a intensificação das pesquisas sobre o raciocínio matemático no período entre a publicação desses documentos tenha influenciado a maior atenção a ele na Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2018). No momento tal investigação não é nosso foco. Assim, considerando a presença do raciocínio matemático e dos seus processos nos documentos curriculares nacionais, discutiremos alguns de seus aspectos teóricos na próxima seção. Processos do raciocínio matemático O raciocínio matemático consiste em utilizar informação matemática já conhecida para obter outras conclusões de maneira justificada (MATA-PEREIRA; PONTE, 2018). Ou, ainda, pode ser entendido como um processo de comunicação com outros ou consigo mesmo que permite inferir enunciados matemáticos a partir de outros enunciados matemáticos (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Lannin, Ellis e Elliott (2011) compreendem o


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raciocínio matemático como um processo progressivo de conjecturar, generalizar, investigar porquês, além de elaborar e avaliar argumentos. Em ideia semelhante, Stylianides (2009) utiliza o termo raciocínio-e-prova para descrever as atividades que envolvem identificar padrões, produzir conjecturas, fornecer argumentos e provas. É importante ressaltar que o raciocínio matemático pode ser visto sob o aspecto estrutural, mais estático e relacionado à sua forma – raciocínio dedutivo, indutivo ou abdutivo – ou sob o aspecto de processos, que deriva narrativas sobre objetos ou relações matemáticas a partir da exploração das relações entre os objetos (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Mata-Pereira e Ponte (2017) compreendem que os processos de raciocínio matemático compreendem formular questões e estratégias de resolução, formular e testar conjecturas e outras generalizações e justificá-las. Jeannotte e Kieran (2017), por sua vez, elencam nove processos distintos do raciocínio matemático. Entre eles estão os processos relacionados à busca por semelhanças e diferenças (generalização, conjectura, identificação de padrões, comparação, classificação), por validação (justificação, prova, prova formal ou demonstração) e por exemplificação, que apoia os demais processos. Discutiremos alguns deles neste trabalho. A conjectura, por exemplo, é um processo que infere uma narrativa sobre uma regularidade com um valor epistêmico de provável e que tem potencial para teorização matemática (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Desse modo, é um processo que, pela sua própria natureza, requer maiores investigações para a determinação de sua validade (MORAIS; SERRAZINA; PONTE, 2018; STYLIANIDES, 2009). Por conta disso, de acordo com Lannin, Ellis e Elliott (2011), a conjectura cria uma necessidade pelo raciocínio matemático na sala de aula, já que requer o emprego de outros processos para a sua investigação. Além disso, as conjecturas nem sempre são verbalizadas, ficando restrita, nesses casos, apenas à mente dos estudantes (LANNIN, ELLIS; ELLIOTT, 2011). Por outro lado, raciocínios e conjecturas inválidas também se revelam importantes na sala de aula, já que criam um porto de partida para o entendimento de ideias matemáticas (ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020; LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011). De acordo com Cañadas et al (2007), um processo que se relaciona, entre outros, com a conjectura, é a identificação de padrões, que é definido como um que infere uma narrativa sobre uma relação recursiva entre objetos ou relações matemáticas (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). A identificação de padrões pode levar à conjectura, mas esses processos não devem ser confundidos (JEANNOTTE; KIERAN, 2017), podendo ser, na verdade, um estágio que conduz à conjectura (CAÑADAS et al, 2007). Mais um processo relacionado à conjectura é a generalização. Ponte, Mata-Pereira e Henriques (2012) afirmam que uma generalização pode ser entendida como uma conjectura de âmbito mais geral, assim como Lannin, Ellis e Elliott (2011), que entendem que elas podem ou não ser expandidas para expressar relações matemática em meios mais gerais. A generalização também é importante porque a matemática busca fazer afirmações não apenas sobre objetos particulares, mas também afirmações gerais sobre classes de objetos, constituindo-se como uma importante modalidade de conjectura (MATA-PEREIRA, 2012). Desse modo, a generalização é um processo que envolve identificar pontos em comum entre casos ou estender um raciocínio para além do domínio no qual se originou (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011). Carraher, Martinez e Schliemann (2008), por sua vez, fazem uma distinção entre as generalizações empíricas e as generalizações teóricas. As empíricas surgem a partir da observação dos dados e da identificação de tendências e regularidades, enquanto as teóricas buscam atribuir um modelo a partir da observação dos dados, sem recorrer a casos particulares (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008).


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As generalizações mais baseadas em propriedades do que casos particulares revelam uma maior capacidade de raciocínio dos alunos, por estabelecerem conexões mais complexas (MATA-PEREIRA, 2012), enquanto as justificadas por casos particulares revelam uma falta de conexão entre um esquema geométrico que estabeleça alguma relação entre a regra elaborada e o contexto (LANNIN, 2005). De acordo com Mata-Pereira (2018), a generalização e a justificação são processos centrais para o raciocínio matemático. Já Lannin (2005) descreve-os como processos estreitamente relacionados, sendo a justificação um componente crítico da generalização. De acordo com esse autor, as justificativas dos estudantes propiciam pistas importantes sobre o entendimento que possuem das suas generalizações (LANNIN, 2005). A justificação é, por sua vez, um processo relacionado à validação que, pela busca de dados, garantias, apoio e suporte, permite mudar o valor epistêmico de uma narrativa, seja de provável para verdadeiro, de provável para falso ou, até mesmo, de provável para mais provável (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Lannin, Ellis e Elliott (2011) compreendem a justificação como avaliar a validade dos argumentos fornecidos. Uma justificativa é aceitável, segundo Lannin (2005), quando liga a generalização a uma relação geral no contexto do problema. Além disso, há a refutação, um caso particular da justificativa que envolve mostrar que determinada declaração é falsa (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011). No entanto é comum que, ao se depararem com uma tarefa, os estudantes precisem de algum tempo para começar a mobilizar os processos do raciocínio matemático mais complexos. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2019), em muitas tarefas os alunos começam a organizar e a gerar mais dados antes de formular questões. Além disso, pode ser que gerem novos dados (tabelas, desenhos ou modelos expressos com símbolos e números) a partir dos dados já fornecidos pela tarefa, com o intuito de reunir elementos que levem a uma generalização (CHIMONI; PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2018). Compreendemos que a geração de novos dados mencionada por esses autores é englobada pela definição de exemplificação de Jeannotte e Kieran (2017), visto que esse processo possibilita inferir dados sobre um problema. Assim, a exemplificação é um processo do raciocínio matemático que dá suporte a outros processos do raciocínio matemático ao inferir exemplos que auxiliam na busca por semelhanças e diferenças e na busca pela validação (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Procedimentos metodológicos Este estudo é de âmbito qualitativo e possui caráter interpretativo (BOGDAN; BIKLEN, 1994). Nosso objetivo neste texto é identificar processos do raciocínio matemático em publicações sobre o tema para, dessa maneira, exibir exemplos de resoluções nas quais os alguns dos processos do raciocínio matemático foram empregados pelos estudantes ao fornecerem respostas às tarefas realizadas. Nessa direção buscamos pesquisas nas quais os autores efetuassem descrições detalhadas das resoluções das tarefas por parte dos alunos. Também demos preferência àquelas nas quais os pesquisadores definissem como objetivo a identificação de processos do raciocínio matemático. Entretanto, em casos nos quais os trabalhos versassem sobre outros assuntos, mas ainda assim exibissem as resoluções dos estudantes, procuramos identificar os processos do raciocínio matemático empregado pelos estudantes à luz do referencial teórico adotado. As publicações que selecionamos foram: Araman, Serrazina e Ponte (2020); Brunheira e Ponte (2019); Carneiro, Araman e Serrazina (2020); Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018); e Mata-Pereira e Ponte (2018).


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O produto educacional Ao estudar o raciocínio matemático, bem como suas implicações para a aprendizagem matemática, encontramos uma série de definições sobre raciocínio matemático e seus processos. Estas definições, pautadas em grande parte em pesquisas internacionais, apresentam particularidades e similitudes que podem dificultar o entendimento das mesmas, principalmente para aqueles que se interessam pelo tema, gostariam de desenvolver o raciocínio matemático em sala de aula, mas ainda estão iniciando seus estudos sobre ele. Pensando nisso nosso intuito é desenvolver, a partir do presente texto, um Produto Educacional que exemplifique os processos do raciocínio matemático empregados por estudantes ao resolverem uma tarefa matemática. Para além de apresentar as definições, são apresentadas as resoluções das tarefas matemáticas pelos alunos em que, no decorrer de tais resoluções, emergem alguns processos de raciocínio matemático. Com este Produto Educacional temos a intenção de abordar o raciocínio matemático de maneira mais direta, buscando oferecer subsídios teóricos, mas também exemplos já discutidos na literatura, que auxiliem professores que lecionam matemática na Educação Básica a reconhecer os processos de raciocínio matemático dos alunos e pensar em estratégias para potencializá-los. A seguir discutimos processos que identificamos na literatura sobre o raciocínio matemático. Começamos com uma pesquisa realizada por nós na qual verificamos, principalmente, o emprego dos processos de conjectura e justificação. Conjecturas, justificações e exemplificações Os primeiros processos de raciocínio que exemplificamos foram obtidos de uma pesquisa na qual analisamos a resolução de uma tarefa de geometria por alunos de 6º Ano do Ensino Fundamental (CARNEIRO; ARAMAN; SERRAZINA, 2020). A geometria é um campo bastante favorável para atividades de natureza exploratória e investigativa (ABRANTES, 1999; BRUNHEIRA; PONTE, 2019). Verificamos isso na pesquisa por nós realizada quando identificamos que os alunos discutiram intensamente sobre a tarefa e mobilizaram os processos de conjectura, exemplificação e justificação. Figura 1 – Tarefa Mais hexágonos...

Fonte: Adaptado de Abrantes (1999)


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Uma das resoluções analisada foi a da dupla formada pelos alunos Lucas e José. Logo após cada um deles construir suas próprias figuras e verificarem seu perímetro, visando obter uma resposta para a primeira questão, produziram os seguintes diálogos: José: O meu deu dezessete. O seu também? Lucas: Não sei. Não contei ainda. [...] José: Pensei que ia dar dezoito. [...] Lucas: O meu deu mais de dezoito. [...] O meu deu vinte e dois. José: Mas jamais. Ele é com tudo, assim. [...] Beatriz: Deu vinte e dois. Lucas: Deu vinte e dois, mesmo. Mesma coisa que o seu. José: Deu a mesma coisa. [...] José: Ah, não. Deu dezoito. Eu contei errado. (CARNEIRO; ARAMAN; SERRAZINA, 2020, p. 39)

José havia construído uma figura diferente da construída por Lucas com os cinco hexágonos, sendo que o perímetro de ambas também era diferente. José havia determinado incorretamente o perímetro de sua própria figura como sendo 17, o que corrige no decorrer da tarefa. O estudante, ao ser confrontado com o 17 e com o 22, que era o perímetro da figura construída por Lucas, nos revela uma conjectura com a frase: “pensei que ia dar 18”. Isso porque, muitas vezes, as conjecturas produzidas pelos estudantes não são verbalizadas (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011). O perímetro da figura dada como exemplo no enunciado da tarefa era 18. Isso pode ter levado o aluno a conjecturar que figuras construídas com seis hexágonos teriam 18 como perímetro. José passou a identificar dados que apontavam para a não validade de sua conjectura. Desse modo, já possuía elementos para mudar o valor epistêmico de sua conjectura de verdadeiro para falso (JEANNOTTE; KIERAN, 2017), constituindo, assim, uma refutação matemática (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011). No entanto, José não se convence disso e não faz uso desses dados para refutar a sua própria conjectura. Para a segunda questão da tarefa, a dupla constrói outras duas figuras com os cinco hexágonos. Por coincidência, ambas com 16 de perímetro. Os alunos constroem uma terceira figura, também com 16 de perímetro. Então o professor constrói uma figura de perímetro 22, a reorganiza, sendo que o perímetro dessa vez é 20, e pede que os alunos produzam conclusões sobre os diferentes perímetros do conjunto de figuras construídas. O ato de construir e observar outras figuras formadas por cinco hexágonos, tanto nessa questão quanto na anterior, se caracteriza como um processo de exemplificação, pois auxilia na busca por semelhanças e diferenças, necessária para produzir as conjecturas, e no seu processo de validação (JEANNOTTE; KIERAN, 2017), como veremos a seguir. Professor: Por que aqui deu vinte e dois e aqui deu dezesseis? O que é que muda dessa para essa? José: Está mais fechada. Professor. [...] O que isso quer dizer? Por que nessa o perímetro é menor? José: Sim, mas tem mais negocinho fechado aqui. [...] Está mais para dentro. Lucas: As linhas de dentro não ficam mais para fora. [...] José: Ah, elas estão juntas. Uma do lado da outra. Professor: De dois hexágonos, você fala? José: Sim. [...] Dos dois. [...] Lucas: [Cada linha] É de dois hexágonos. Professor: É de dois hexágonos. No que isso influencia no perímetro? Lucas: Ah, aqui fica maior. José: Aqui você tem que contar dois, não é? [...] De dentro, de dentro! Professor: De fora, não. Por que de fora não? Lucas: Porque de fora é apenas um. [...]


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Professor: Então o que você conclui? Quanto mais linhas dentro o perímetro é maior ou o perímetro é menor? Lucas: Mais dentro é menor. Professor: Menor. Por quê? Lucas: Porque quanto mais dentro, vai ter menos o de fora. (CARNEIRO; ARAMAN; SERRAZINA, 2020, p. 40-41).

Ao construir uma figura, menor seria seu perímetro à medida que mais lados dos hexágonos utilizados estivessem unidos. Os alunos começam a perceber isso a partir da observação das várias figuras construídas, o que é evidenciado pelas percepções: “está mais fechada”, “está mais para dentro”, “elas estão juntas”... Em outras palavras, começam a identificar semelhanças e regularidades a partir do processo de exemplificação (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Com isso, os estudantes produzem novas conjecturas. A de José é de que “as linhas de dentro” representam, na verdade, dois lados unidos dos hexágonos (“Aqui você tem que contar dois, não é? [...] De dentro, de dentro!”); e a de Lucas de que quanto mais lados unidos dos hexágonos, menor o perímetro (“Mais dentro é menor”). Quando questionado, Lucas ainda fornece uma justificativa ao dizer que quanto mais lados dos hexágonos unidos, restam menos para serem considerados no cálculo do perímetro (“quanto mais dentro, vai ter menos o de fora”). Dessa maneira, a exemplificação apoiou tanto a produção das conjecturas quanto da justificativa, pois gerou elementos que possibilitaram ambos os processos (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Generalizações enquanto conjecturas com características próprias Há também exemplos de conjecturas e justificações no trabalho desenvolvido por Araman, Serrazina e Ponte (2020). Nessa pesquisa, os autores analisam as resoluções dos alunos a uma tarefa que “tinha como objetivo desenvolver a flexibilidade do cálculo em problemas de multiplicação” (ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020). Na figura 2 pode-se visualizar a tarefa, que possuía duas partes, nas quais os estudantes eram chamados a elaborar maneiras de se obter 13 e 26 cêntimos1 , respectivamente, com moedas de 1, 2 e 5 cêntimos. Figura 2 – Tarefa dos cêntimos

Fonte: Adaptado de Araman, Serrazina e Ponte (2020)

1 Um cêntimo corresponde à centésima parte do Euro, moeda utilizada em Portugal.

ao centavo brasileiro.

O cêntimo é o equivalente


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Os alunos começam por resolver a primeira parte da tarefa na lousa, buscando compor 13 cêntimos com moedas de 1, 2 e 5 cêntimos, e a explicá-la para a turma e para a professora: Professora: Vamos ouvir a Marta explicar. Marta: Primeiro fiz 2 × 5 que era 10, depois 1 × 2 que era 2, 10 + 2 e depois mais 1, que é 1 × 1. Professora: Me diz o que você esteve a fazer com esse número. Marta: Decompor. [...] João: Eu fiz 1 × 5 que é 5, fiz 4 × 2 que era 8 e depois pus o 0. Aqui, aqui tem 0, mais 2 × 4 mais 5 dava 13. [...] Luís: Nós fizemos 1 × 5, 2 × 2, 4 × 1. Porque 1 × 5 é 5 e 2 × 4 é 8, soma 5 com 8 dá 13. Professora: Tudo bem, mas você está a dizer que o do João está mal? Luís: Não, mas há outras formas. (ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020, p. 453-454).

A partir dos diálogos acima, podemos perceber que os estudantes começam todos a apresentar as suas estratégias à classe. Como destacou Marta, os alunos obtêm 13 cêntimos com as moedas de 1, 2 e 5, com a decomposição do 13. De acordo com Araman, Serrazina e Ponte (2020), essas estratégias são conjecturas que eram validadas ou não pelos alunos. Luís, por exemplo, “além de relatar o procedimento usado, justifica porque ele era válido” (ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020, p. 454). Uma conjectura é uma declaração que precisa ser examinada para sua validação (MORAIS; SERRAZINA; PONTE, 2018) e Luís justifica quando, logo após apresentar sua estratégia, explicita que o resultado era 13, obtendo elementos que dão apoio à sua declaração com o intuito de validá-la (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). João: 4 vezes 5 dá 20. Depois eu fiz 2 × 2 dá 4 mais 2 × 1 que é 2 dá 6, dá 26. [...] Ricardo: Então, eu fiz de uma maneira diferente. Primeiro fui fazer 2 vezes 5, duas vezes moedas de 5 cêntimos davam 10 cêntimos, depois fiz esse cálculo outra vez, só que ao contrário, com moedas de 2 cêntimos (referindo-se a 5 × 2), já tinha 20 cêntimos, mais 6 cêntimos que é 6 × 1, dava 26. (ARAMAN; SERRAZINA; PONTE, 2020, p. 455-456).

Na segunda parte da questão, quando deveriam obter 26 cêntimos, os alunos utilizam a mesma estratégia, dessa vez da decomposição do 26. Isso fica evidente nas falas de João e Ricardo. De acordo com Araman e Serrazina (2020), os alunos utilizam uma estratégia para os demais casos ao perceberem que ela conduz a um resultado correto. Além disso, generalizam a ideia de que podem fazer a multiplicação a partir da decomposição, pois alcançam o mesmo resultado (ARAMAN; SERRAZINA, 2020). Assim, essa generalização se caracteriza como uma que estende o raciocínio para além do domínio na qual se originou (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011) ou, ainda, como uma conjectura com características particulares (MATA-PEREIRA, 2012). Também encontramos generalizações desse mesmo tipo no estudo de Brunheira e Ponte (2019), no qual os autores analisam a resolução de duas tarefas de geometria por estudantes do Ensino Superior. Para exemplificar mais dois processos de generalização, utilizaremos duas resoluções da primeira tarefa, exibida na figura 3 e que tinha o seguinte enunciado: Na tarefa “Relações entre ângulos” encontraste uma generalização para a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer de n lados. Vamos procurar justificá-la. Para isso, observa as três figuras seguintes. Todas elas partem do mesmo hexágono, no qual se iniciou uma estratégia possível para chegar à justificação procurada. Usa uma das figuras e completa a justificação recorrendo ainda a outras relações que já tenhas estabelecido (BRUNHEIRA; PONTE, 2019, p. 95).


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Figura 3 – Tarefa sobre a soma dos ângulos internos de um polígono

Fonte: Adaptado de Brunheira e Ponte (2019)

A seguir, a resposta de Anita para a tarefa: Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, conseguimos descobrir a soma dos ângulos internos do polígono. Nesse caso, conseguimos dividir este polígono em 4 triângulos, ou seja, se multiplicarmos 180 por 4 obtemos a soma dos ângulos internos do polígono (BRUNHEIRA; PONTE, 2019, p. 98).

De acordo com os autores, Anita explicita propriedades relevantes e obtém uma resposta para o caso da soma dos ângulos internos de um hexágono. Entretanto não explora a relação entre o número de lados do polígono e o número de triângulos em que é decomposto (BRUNHEIRA; PONTE, 2019). Além disso, os autores consideram que a resolução de Anita incide apenas para o caso do hexágono, sem recorrer a exemplos genéricos (BRUNHEIRA; PONTE, 2019). Entendemos que Anita não apresentou uma generalização por não ampliar uma conjectura que produziu para um âmbito mais geral (PONTE; MATAPEREIRA; HENRIQUES, 2012). A seguir vemos a resolução de Célia da mesma tarefa. O primeiro hexágono está dividido em 4 triângulos. Todos os vértices de cada triângulo cobrem todos os ângulos internos do polígono. A expressão que generaliza é (n-2) ×180. Se um polígono tiver 10 lados, é possível desenhar 8 triângulos; se tiver 6 lados, desenhamos 4 triângulos. Se tiver n lados, desenhamos n-2 triângulos (BRUNHEIRA; PONTE, 2019, p. 97).

Nesse caso, Brunheira e Ponte (2019) consideram que Célia usou o hexágono e o decágono como exemplos genéricos, uma vez que destaca uma propriedade comum a todos os elementos da classe. Assim como Anita, Célia adota uma estratégia inicial que foca na decomposição do hexágono em quatro triângulos e determina, a partir disso, um procedimento para calcular a soma dos ângulos internos do hexágono, considerando que o triângulo possui 180° como soma de seus ângulos internos. É, portanto, um claro processo de utilizar informação já conhecida para obter novas conclusões (MATA-PEREIRA; PONTE, 2018). A resposta de Célia se diferencia da de Anita no momento da generalização, que explicita na resolução da tarefa: “a expressão que generaliza é (n-2) × 180”. Além disso, Célia justifica sua generalização ao utilizar os exemplos do hexágono e do decágono, como mencionado por Brunheira e Ponte (2019) e, principalmente, de um polígono de n lados, ampliando uma conjectura de exemplos particulares para uma generalização, infere uma narrativa sobre um conjunto de objetos matemáticos (MATA-PEREIRA, 2012; JEANNOTTE; KIERAN, 2017).


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Generalização empírica Discutimos anteriormente as generalizações empíricas e as generalizações teóricas (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008). A pesquisa de Chimoni, PittaPantazi e Christou (2018) contou com a participação de 684 estudantes e, no momento da análise, os autores agruparam as resoluções semelhantes em quatro grupos de acordo com o pensamento algébrico utilizado. Recorreremos ao exemplo de uma tarefa – figura 4 – utilizada na pesquisa para ilustrar o uso de generalizações empíricas na resolução de determinados estudantes. Figura 4 – Tarefa das mesas trapezoidais

Fonte: Adaptado de Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018)

Exibiremos uma resolução dessa questão característica ao grupo 3, que era composto por estudantes que “tinham melhor performance em tarefas de aritmética generalizada e pensamento funcional [...], mas pareciam encontrar dificuldades em tarefas de modelagem” (CHIMONI; PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2018, p. 65). Nosso foco está no tipo de generalização que produziram. Segue abaixo uma resolução que caracteriza esse grupo, de acordo com os autores. Figura 5 – Resolução da tarefa das mesas trapezoidais

Fonte: Adaptado de Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018)


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No item (a), os alunos tornaram possível obter a resposta após perceberem que a primeira mesa comportava cinco crianças e que, a cada mesa adicionada, mais três crianças poderiam se sentar. Desse modo, foi realizado o processo do raciocínio matemático de identificação de padrões, uma vez que os estudantes inferiram uma narrativa sobre uma relação recursiva que era a sucessiva adição de 3 da segunda mesa em diante (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Para a resolução do item (b), os estudantes partem da resposta anterior e passam a determinar o número de crianças que pode se sentar a cada mesa adicionada até chegarem ao número de dez mesas. Portanto, os alunos geraram novos dados, que organizaram em uma tabela, para chegar à resposta (CHIMONI; PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2018). Compreendemos que isso é, novamente, um processo de exemplificação, uma vez que inferiram dados sobre o problema com a intenção de apoiar a busca por semelhanças e diferenças e possíveis processos de validação (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018) argumentam que, para a geração dos novos dados, os estudantes formularam uma conjectura a partir do padrão identificado. Isso é diferente de conjecturar para todos os casos e de somente identificar o padrão; tal conjectura consiste em determinar o próximo termo desconhecido com base no padrão identificado (CAÑADAS et al, 2007). Além disso, a geração dos novos dados desencadeou passos indutivos de raciocínio que levaram os alunos a uma generalização que confirmava a relação entre as duas variáveis – números de mesas e número de crianças (CHIMONI; PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2018). Essa generalização é empírica porque surgiu da análise de casos particulares e do destaque de suas tendências e regularidades. (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008; MATA-PEREIRA, 2018). Os estudantes também justificam com base em casos particulares – determinação do próximo termo com base no anterior –, o que evidencia a falta de uma conexão entre um esquema geométrico que estabelecesse uma relação entre a regra e o contexto do problema (LANNIN, 2005), ou seja, de um modelo que represente os dados observados, o que caracterizaria uma generalização teórica (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008). Generalizações teóricas Na pesquisa desenvolvida por Mata-Pereira e Ponte (2018), encontramos algumas generalizações teóricas. Os autores analisam as resoluções de tarefas de sequências por alunos de 8º Ano, bem como as ações da professora que podem contribuir com o desenvolvimento do raciocínio matemático desses estudantes. Uma das tarefas utilizada na pesquisa é mostrada na figura 6.


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Figura 6 – Sequência de azulejos

Fonte: Adaptado de Mata-Pereira e Ponte (2018)

A tarefa trazia também uma tabela que levava os alunos a desenvolverem um termo geral para o número de azulejos cinzentos e brancos, além do número total de azulejos. Apesar da tabela, os estudantes que participaram da pesquisa de Mata-Pereira e Ponte (2018) não a utilizaram da mesma maneira que os participantes da pesquisa de Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018), que partiram para uma observação empírica dos dados. Uma das alunas, por exemplo, encontrou rapidamente o termo geral dos quadrados cinzentos empregando uma generalização teórica: Andreia: Então... Eu encontrei o termo geral dos quadrados cinzentos e dos quadrados brancos. Professora: Fizeste logo, foi a tua primeira abordagem? [...] Como é que fizeste, Andreia? Explica-me. Andreia: Dos quadrados cinzentos [...] Eu pus que era 2n mais 2 [...] E dos quadrados brancos é n mais 4. [...] Olhei para a figura e vi que por baixo estava [...] Estava dois. Então eu vi que de cima e de baixo era dois também. [...] E depois tinha mais dois de cada lado. Professora: 2n mais os dois das pontas, muito bem. (MATA-PEREIRA; PONTE, 2018, p. 795-796).

Andreia identificou o termo geral do número de pontos de azulejos brancos e de cinzentos. Dos brancos, ela revela que generalizou corretamente para n+4, mas não justificou. Para os azulejos cinzentos, Andreia generalizou para 2n+2. Dessa vez, a estudante justifica o seu raciocínio. No diálogo acima, Andreia estava se referindo à


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segunda figura dos azulejos, percebendo que havia dois quadrados cinzentos na linha superior e dois na linha inferior da figura. Além disso, ainda havia mais dois quadrados cinzentos na primeira e na última coluna de azulejos. Assim, como se tratava da segunda figura, o número de quadrados cinzentos poderia ser determinado pela multiplicação dos azulejos cinzentos das linhas pelo número da figura, mais os dois quadrados cinzentos das colunas das pontas, ou seja, por 2n+2. Segundo Lannin (2005), a justificativa é crítica para o processo de generalização. E Andreia não baseou sua justificação em casos particulares, mas conectou a relação que construiu com o contexto do problema (LANNIN, 2005). Isso aponta para uma generalização teórica, pois a aluna construiu um modelo para os dados observados. Depois é Guilherme quem expressa uma generalização sobre o número total de azulejos. Guilherme: Foi um que é 6 mais 3n. Professora: E isso tem alguma relação com o que a Andreia fez? Agora sou eu a pôr-vos a pensar. O termo do Guilherme [...] 6 mais 3n. Qual é a relação do teu termo geral com aquilo que a Andreia fez? [...] Guilherme: Sim, o meu, os 6 era dos que mantinha de lado. [...] Álvaro: O três é o número de... pronto... é o número de... [gesticula aproximando e afastando as mãos na horizontal]. (MATA-PEREIRA; PONTE, 2018, p. 796-797).

Guilherme inicia a justificação da generalização para o número total de azulejos que produziu (“6 mais 3n”). A princípio, Guilherme diz que o 6 se refere aos quadrados que “mantinha de lado”, ou seja, as duas colunas laterais das figuras que, juntas, somam 6 azulejos. Depois, Álvaro, parecendo se apropriar dessa generalização, complementa que o 3 se refere ao número de colunas centrais das figuras. Cada uma delas possui 3 azulejos e aumenta de acordo com o número da figura. Portanto, o número de azulejos dessas colunas é dado por 3n, sendo n o número da figura. De acordo com Mata-Pereira e Ponte (2018), os alunos encontraram dificuldades para comunicar as suas estratégias. Apesar disso, Guilherme e Álvaro também não recorreram a justificativas que fossem baseadas em casos particulares e buscaram relacionar a regra construída por Guilherme com o contexto do problema. Em outras palavras, os alunos atribuíram um modelo que representasse os dados observados, empregando, assim, uma generalização teórica (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008). Considerações finais Neste texto buscamos ilustrar alguns processos do raciocínio matemático a partir de uma busca por exemplos em textos que versam sobre o tema. Dessa maneira, discutimos os processos de conjectura, justificação, exemplificação, identificação de padrões e generalização, abordando ainda, nesta última, as generalizações empíricas e as teóricas. Evidentemente os processos estão todos entrelaçados, mesmo que feita por nós uma tentativa de observá-los separadamente. “Eles estimulam e influenciam uns aos outros” (JEANNOTTE; KIERAN, 2017, p. 14). O primeiro processo que discutimos, por exemplo, foi o de conjectura. Lannin, Ellis e Elliott (2011) compreendem que frequentemente o processo de raciocínio se inicia com a formulação de uma conjectura. Apesar de compreendermos que o raciocínio matemático se inicia, por vezes, com processos anteriores, é inegável que a conjectura, pela sua própria natureza, requer futuras investigações (STYLIANIDES, 2009). Verificamos isso no primeiro exemplo, quando José formula uma conjectura sobre a tarefa dos hexágonos. Embora o estudante não chegue a produzir uma justificativa, os elementos que recebeu


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a partir das resoluções de seus colegas deixou-o com dúvidas em relação à validade de sua estratégia. Na mesma tarefa, em um momento em que os estudantes não conseguiam enxergar novas relações entre os objetos matemáticos, a construção de novas figuras suscitou a elaboração de conjecturas e de justificativas. O processo de exemplificação estimulou os demais (JEANNOTTE; KIERAN, 2017). No exemplo seguinte, quando os alunos precisavam organizar maneiras de obter 13 e 26 cêntimos com moedas de 1, 2 e 5, começaram por elaborar conjecturas baseadas na propriedade distributiva da multiplicação. Em determinado momento, um aluno produz uma justificativa e, depois, percebendo a validade das conjecturas, os estudantes ampliamna para um conjunto mais amplo de objetos matemáticos, empregando o processo de generalização (PONTE; MATA-PEREIRA; HENRIQUES, 2012). Na tarefa sobre a soma dos ângulos internos de um polígono, percebemos esse mesmo delineamento de ideias, quando Célia parte de uma conjectura formulada para o caso particular do hexágono e a generaliza para polígonos de n lados. A justificativa produzida por Célia é essencial para que fosse possível obter informações sobre seu pleno entendimento da generalização (LANNIN, 2005). Em Chimoni, Pitta-Pantazi e Christou (2018), pudemos perceber que os estudantes produziram uma generalização empírica, mas que foi apoiada pela geração de novos dados (ou exemplificação) possibilitada, por sua vez, pela identificação de padrões (CHIMONI; PITTA-PANTAZI; CHRISTOU, 2018). Já no trabalho de Mata-Pereira e Ponte (2018), verificamos a produção de generalizações teóricas, que não se apoiavam em evidências empíricas. As estratégias desenvolvidas pelos alunos nesse caso buscavam conectar as regras que elaboravam com o contexto do problema (CARRAHER; MARTINEZ; SCHLIEMANN, 2008). Além disso, as justificativas que forneceram não se baseavam em casos particulares, mas procuravam por esquemas geométricos que proporcionassem elementos que apoiassem as suas generalizações. Buscamos, portanto, dar exemplos de processos do raciocínio matemático que estudantes mobilizaram ao realizar certas tarefas. Destacamos novamente a importância do desenvolvimento do raciocínio matemático, enfatizada tanto por pesquisadores quanto por documentos curriculares e nos propomos, diante disso, a ampliar e adequar este texto na forma de um Produto Educacional que auxilie professores de matemática a reconhecerem os processos do raciocínio matemático e a pensarem em estratégias que o privilegiem na sala de aula. Referências ABRANTES, P. Investigações em Geometria na Sala de Aula. In: VELOSO, E.; VELOSO, H.; PONTE, J. P.; ABRANTES, P. (Orgs.). Ensino de Geometria no virar do milênio. Lisboa: Grafis, 1999. ARAMAN, E. M. O.; SERRAZINA, M. L. Processos de raciocínio matemático na resolução de tarefas exploratórias no 3º Ano de escolaridade. RPEM, v. 9, n. 18, p. 118-136, 2020. ARAMAN, E. M. O.; SERRAZINA, M. L.; PONTE, J. P. Raciocínio Matemático nos Primeiros Anos: ações de duas professoras ao discutir tarefas com seus alunos. Bolema, v. 34, n. 67, p. 441-461, 2020. BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Porto Alegre: Porto Editora, 1994.


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BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. BRASIL. PCN+: Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002. BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília: MEC, 2018. BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. P. Justificando Generalizações Geométricas na Formação Inicial de Professores dos Primeiros Anos. Bolema, v. 33, n. 63, p. 88-108, 2019. CAÑADAS, M. C. et al. The Conjecturing Process: Perspectives in Theory and Implications in Practice. Journal of Teaching and Learning, v. 5, n. 1, p. 55-72, 2007. CARNEIRO, L. F. G.; ARAMAN, E. M. O.; SERRAZINA, M. L. A abordagem ao raciocínio matemático em documentos curriculares brasileiros: uma breve análise. In: Congresso Internacional de Ensino, II, 2019, Cornélio Procópio. Anais... Cornélio Procópio: Uenp, 2019. CARNEIRO, L. F. G.; ARAMAN, E. M. O.; SERRAZINA, M. L. Processos do Raciocínio Matemático Mobilizados por Estudantes de 6º Ano do Ensino Fundamental ao Resolverem uma Tarefa de Geometria. JIEEM, v. 13, n. 1, p. 35-45, 2020. CARRAHER, D. W.; MARTINEZ, M. V.; SCHLIEMANN, A. D. Early algebra and mathematical generalization. ZDM, v. 40, n. 1, p. 3-22, 2008. CHIMONI, M.; PITTA-PANTAZI, D.; CHRISTOU, C. Examining early algebra thinking: insights from empirical data. Educ Stud Math, v. 98, n. 1, p. 57-76, 2018. JEANNOTTE, D.; KIERAN, C. A conceptual model of mathematical reasoning for school mathematics. Educ Stud Math, v. 96, n. 1, p. 1-16, 2017. LANNIN, J. K. Generalization and Justification: The Challenge of Introducing Algebraic Reasoning Through Patterning Activities. Mathematical Thinking and Learning, v. 7, n. 3, p. 231-258, 2005. LANNIN, J. K.; ELLIS, A. B.; ELLIOTT, R. Developing essential understanding of mathematical reasoning for teaching mathematics in prekindergarten-grade 8. Reston: NCTM, 2011. MATA-PEREIRA, J. As ações do professor para promover o raciocínio matemático na sala de aula. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade de Lisboa. Lisboa, 2018. MATA-PEREIRA, J. O raciocínio matemático em alunos do 9º ano no estudo dos números reais e inequações. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa. Lisboa, 2012. MATA-PEREIRA, J.; PONTE, J. P. Enhancing students’ mathematical reasoning in the classroom: teacher actions facilitating generalization and justification. Educ Stud Math, v. 96, n. 2, p. 781-801, 2017. MATA-PEREIRA, J.; PONTE, J. P. Promover o Raciocínio Matemático dos Alunos: uma investigação baseada em design. Bolema, v. 32, n. 62, p. 781-801, 2018. MORAIS, C.; SERRAZINA, L.; PONTE, J. P. Mathematical Reasoning Fostered by (Fostering) Transformations of Rational Number Representations. Acta Scientiae, v. 20, n. 4, p. 552-570, 2018. OCDE. Conhecimentos e habilidades em Ciências, Leitura e Matemática: estrutura da avaliação do PISA 2006. São Paulo: Editora Moderna, 2007.


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PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. 4. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2019. PONTE, J. P.; MATA-PEREIRA, J.; HENRIQUES, A. O raciocínio matemático nos alunos do Ensino Básico e do Ensino Superior. Práxis Educativa, v. 7, n. 2, p. 355-377, 2012. STYLIANIDES, G. J. Reasoning-and-Proving in School Mathematics Textbooks. Mathematical Thinking and Learning, v. 11, n. 4, p. 258-288, 2009.


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Tarefas Matemáticas na perspectiva do Ensino Híbrido Camila Garbelini da Silva Ceron | Rodrigo Tavares da Silva | Adriana Helena Borssoi

Introdução

N

compartilhamos considerações sobre os produtos educacionais desenvolvidos pelos autores, que tem em comum a ênfase na proposição de tarefas matemáticas na perspectiva do Ensino Híbrido. As investigações às quais estão associados os produtos educacionais são parte do projeto de pesquisa Recursos Tecnológicos em Ambientes de Ensino Híbrido que tinha por objetivo identificar como os alunos se apropriam das tecnologias no desenvolvimento de tarefas propostas na perspectiva do Ensino Híbrido e que, entre outros aspectos, pretendia investigar os efeitos do uso de recursos educacionais digitais de forma direcionada, integrados às atividades de ensino e aprendizagem. O Ensino Híbrido, ou Blended Learning, remete a uma proposta com diferentes modalidades, que combina o ensino on-line e o ensino presencial visando promover experiências de aprendizagem no ambiente educacional (MOSKAL; DZIUBAN; HARTMAN, 2013, HORN; STAKER, 2015). Assumimos que recursos educacionais digitais compreendem quaisquer tecnologias digitais que possam ser utilizadas no ambiente educacional, como por exemplo objetos de aprendizagem, jogos e softwares, disponíveis em diferentes formatos (como texto, imagem, vídeo, áudio, página web, etc). Por ambiente educacional entendemos o conjunto de elementos acessados pelos alunos e pelo professor com finalidades educacionais, como o espaço físico da sala de aula ou laboratório de informática, o espaço virtual em que parte das atividades podem se dar e a presença de diferentes recursos educacionais, digitais ou não digitais (BORSSOI; CERON, 2020). Nesse sentido, defendemos que o ambiente educacional não se limita ao espaço físico da sala de aula, especialmente em virtude de que a integração de recursos educacionais digitais pode contribuir para a criação de ambientes de aprendizagem que ampliam as possibilidades das tecnologias mais clássicas. Dentre esses recursos destacamos a integração de um ambiente virtual de ensino e aprendizagem (AVEA). Segundo Bacich, Tanzi Neto e Trevisani (2015, p. 146-147) um AVEA é entendido como um espaço que pode possibilitar a construção coletiva do conhecimento e o desenvolvimento da aprendizagem. É um espaço on-line que oferece meios para a organização de materiais ou atividades que possam apoiar o processo de ensino e aprendizagem. Tal espaço é caracterizado pela possibilidade de proporcionar interações, tanto síncronas quanto assíncronas entre as pessoas que dele participam. Considerando o exposto, passamos a caracterizar os produtos educacionais que, embora preservem aspectos em comum, são bastante distintos em relação aos focos das pesquisas a que estão associados. Silva e Borssoi (2019) intitulam o produto educacional como Folhas de trabalho no GeoGebra em uma abordagem híbrida para o ensino de integrais. Esta produção é vinculada à temática do ensino de Cálculo Diferencial e Integral para cursos de graduação ESTE CAPÍTULO


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e aborda tópicos do estudo da integral de funções de uma variável real. Já a produção em Ceron e Borssoi (2019), intitulada Tarefas matemáticas com tecnologias digitais para os anos iniciais, é uma proposta voltada aos anos iniciais do Ensino Fundamental e aborda tarefas voltadas ao desenvolvimento do pensamento funcional dos alunos, além de orientar a proposição de tais tarefas no ambiente educacional. Ao longo do texto trazemos aspectos teóricos sobre o Ensino Híbrido. Em seguida, situamos nosso entendimento de que o delineamento dos produtos educacionais é parte do processo de pesquisa e expressamos como se deu esse movimento em cada caso. Na sequência nos dedicamos a apresentar mais especificamente a produção de Ceron e Borssoi (2019) e finalizamos o capítulo trazendo algumas reflexões. Ensino Híbrido Pesquisas no âmbito da Educação Matemática têm promovido discussões e reflexões acerca do uso de recursos educacionais digitais com potencial para promover o ensino e a aprendizagem nas diferentes etapas da educação formal. Já se sabe que não é apenas o potencial de um recurso educacional digital que regula como este pode contribuir com a aprendizagem dos alunos, mas antes é a forma como eles são explorados nas tarefas de ensino e aprendizagem (CERON, 2019, SILVA, 2019, RIBEIRO et al., 2017, BORBA et al., 2016; SILVA, 2016, MORAN, 2015, BORSSOI, 2013). Embora pesquisas que propõem complementar o ensino em sala de aula com atividades em AVEA existam desde o final do último século (HORN; STAKER, 2015; MOSKAL; DZIUBAN; HARTMAN, 2013), em Educação Matemática elas têm se intensificado nas últimas décadas e devem receber um notável incremento em 2020, considerando a iminência do cenário de pandemia e do ensino remoto (ENGELBRECHT et al., 2020). O Ensino Híbrido tem se destacado como uma abordagem que vem ganhando espaço para constituir ambientes educacionais que não se limitem à sala de aula convencional. Conforme Bacich, Tanzi Neto e Trevisani (2015), “a expressão ensino híbrido está enraizada em uma ideia de educação híbrida, em que não existe uma forma única de aprender e na qual a aprendizagem é um processo contínuo, que ocorre de diferentes formas, em diferentes espaços” (p. 51-52). Para Horn e Staker (2015), o Ensino Híbrido pode ser definido como “[...] qualquer programa educacional formal no qual o estudante aprende, pelo menos em parte, por meio do ensino online, com algum elemento de controle do estudante sobre o tempo, o lugar, o caminho e/ou o ritmo” (p. 34-35). Características da instituição de ensino, da população estudantil, processos de planejamento estratégico, capacidade de resposta do corpo docente, aceitação do aluno, valores da comunidade, recursos disponíveis, mecanismos de apoio à instituição são alguns dos componentes que, segundo Moskal, Dziuban e Hartman (2013), são fatores determinantes para se definir a abordagem de Ensino Híbrido adequada. Segundo os autores, como os contextos institucionais variam muito, pode ocorrer que um projeto de Ensino Híbrido adotado por uma instituição não promova os mesmos resultados se implementado por outra. Nesse sentido, Moran (2015) sugere que o professor que deseja propor uma abordagem híbrida comece a experienciar progressivamente alterações em sua prática docente. Isso pode se dar ao optar pelo desenvolvimento de projetos interdisciplinares, proposição de metodologias ativas e tarefas que exijam maior envolvimento dos alunos e que, em certa medida, associe o ensino presencial com o on-line. Lima e Moura (2015) mencionam que, quando se almeja implementar o Ensino Híbrido, é desejável que o professor busque conhecer, testar, pesquisar, escolher e validar tecnologias


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digitais das quais possa lançar mão, com o intuito de conhecer o potencial de cada qual para atender os objetivos de aprendizagem. Bacich, Tanzi Neto e Trevisani (2015, p. 54) apresentam quatro modelos de ensino caracterizados como híbridos, que são: de rotação, flex, à la carte e virtual enriquecido. O modelo de rotação se subdivide em quatro modalidades, que são consideradas sustentadas e não disruptivas. São elas a rotação por estações, em que são propostas atividades para serem desenvolvidas em grupos e distribuídas em diferentes estações de trabalho, sendo pelo menos uma delas on-line; o laboratório rotacional, em que os alunos revezam entre atividades realizadas em sala de aula e no laboratório de informática; a sala de aula invertida em que se propõe que determinados conceitos sejam estudados com antecedência (disponibilizados no formato on-line e não presencial para que na sala de aula atividades complementares sejam propostas, priorizando participação ativa dos alunos) e a rotação individual, em que um cronograma de atividades é disponibilizado a cada aluno podendo contemplar características das outras modalidades. No modelo flex, que propõe um plano de trabalho para cada estudante de acordo com o seu ritmo, o papel do professor é mais passivo, ficando apenas para sanar dúvidas. Nele as atividades podem contemplar temas sem distinção do ano escolar. O formato à la carte compreende um curso totalmente on-line, sendo um modelo mais disruptivo quando comparado com os outros já mencionados, cabendo maior envolvimento e responsabilidade do estudante. Já o modelo virtual enriquecido tem semelhanças com o modelo anterior, contudo requer uma maior organização institucional, pois envolve toda a comunidade escolar ou acadêmica. Borba et al. (2016) destacam vários estudos que apontam a abordagem do Ensino Híbrido associado a um processo de ensino que “[...] aumenta o envolvimento dos estudantes (permitindo que controlem o ritmo e a sequência instrucional), reduz distrações que são típicas em salas de aula ou auditórios, aumenta o tempo na tarefa e melhora o desempenho dos alunos” (p. 603). Os referidos autores discutem como o uso de tecnologias digitais pode favorecer o conhecimento matemático, trazendo novas configurações para a interação estudantes-conhecimento-professor-contexto. Em ambas as pesquisas citadas neste capítulo, Silva (2019) e Ceron (2019), foi implementado o modelo de rotação, considerado menos disruptivo em relação à cultura de ensino tradicional predominante nas instituições de ensino. Isso porque se utiliza tanto das principais características da sala de aula tradicional quanto do ensino on-line e não presencial, de modo que, de acordo com Horn e Staker (2015), se complementam e não alteram significativamente a estrutura institucional ou a concepção curricular. Dentre as modalidades de rotação, neste texto, trazemos uma tarefa desenvolvida como rotação por estações, [...] os estudantes são organizados em grupos, cada um dos quais realiza uma tarefa, de acordo com os objetivos do professor para a aula em questão. Podem ser realizadas atividades escritas, leituras, entre outras. Um dos grupos estará envolvido com propostas on-line que, de certa forma, independem do acompanhamento direto do professor. É importante valorizar momentos em que os estudantes possam trabalhar de forma colaborativa e aqueles em que possam fazê-lo individualmente (BACICH; TANZI NETO; TREVISANI, 2015, p. 55).

As próximas seções são dedicadas à caracterização dos produtos educacionais já mencionados, que expressam as experiências de dois professores pesquisadores (primeiros autores deste capítulo) na implementação de diferentes modalidades de rotação vinculadas às proposições de tarefas matemáticas.


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Da Pesquisa ao Produto Educacional ou vice-versa? Não há uma forma única de se constituir um produto educacional, como é possível verificar ao consultarmos repositórios dos diversos programas profissionais de pós-graduação, por exemplo no próprio Repositório Institucional da UTFPR (RIUT1 ). Alguns produtos apenas tomam forma ao final da pesquisa, enquanto outros são estruturados inicialmente considerando o quadro teórico, podem influenciar na definição da questão investigada e são o ponto de partida para a coleta de dados, sendo implementados em condições reais de ensino. Nesse segundo caso, de acordo com Borba, Almeida e Gracias (2018), “ a análise visa a validação do produto, o que permite que ele seja reformulado, se necessário. Aqui a voz dos dados está presente, juntamente com a voz teórica” (p. 84). O produto educacional nas suas diferentes formas de constituição, configuração e formato, em ambas as situações, tem como premissa responder e/ou atender a objetivos definidos na pesquisa, para que possa contribuir e auxiliar no trabalho docente como um instrumento didático-pedagógico. As duas produções que apresentaremos tiveram seu delineamento desde o início da pesquisa e foram se constituindo de acordo com as opções teóricas e metodológicas. Embora possuam especificidades, já que o primeiro se destina ao ensino de graduação e o segundo aos anos iniciais do Ensino Fundamental, também guardam similaridades, dentre elas o desenvolvimento de tarefas matemáticas na perspectiva de Ensino Híbrido. Folhas de trabalho no GeoGebra em uma abordagem híbrida para o ensino de integrais A dissertação “Atividades para estudo de Integrais em um ambiente de Ensino Híbrido”2 decorre da implementação do produto educacional “Folhas de trabalho no GeoGebra em uma abordagem híbrida para o ensino de integrais”. Os dados que resultaram da implementação deste produto subsidiaram a investigação da questão de pesquisa: como o uso da tecnologia pode contribuir para o estudo da integral de funções de uma variável real, a partir de tarefas propostas em uma perspectiva de Ensino Híbrido? A definição quanto à configuração do produto não se deu de imediato. Segundo o autor, as primeiras experiências na implementação da tecnologia em suas aulas se deram durante o mestrado, motivados por leitura sobre o Ensino Híbrido enquanto cursava a disciplina Recursos Digitais e Objetos de Aprendizagem para o Ensino de Matemática. O estágio supervisionado trouxe oportunidades de experienciar o uso de diferentes AVEA (Google Drive, Moodle), tanto com uma turma de Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável real, como em uma turma do segundo ano de um curso técnico em nível médio. Essas duas experiências permitiram avaliar a viabilidade de experimentar outros AVEA, pois até esse momento não se havia definido um ambiente que atendesse aos objetivos visados para a proposição das tarefas. O AVEA utilizado na pesquisa e que abriga o produto educacional é a plataforma online do GeoGebra, mais especificamente o ambiente Grupos organizado a partir de Folhas de Trabalho, que permite a proposição de tarefas, armazenamento de arquivos com as resoluções, possibilidade de feedback e interação entre dos alunos com o professor e entre eles. 1 <http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/2119> 2 Disponível

em: <http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4331>. Acesso em: 07 nov. 2020.


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Os sujeitos da pesquisa foram alunos do 2º ano do curso de Ciências Econômicas que cursavam a disciplina de Matemática Aplicada, durante o segundo semestre de 2018. Inicialmente os participantes foram familiarizados com a plataforma durante o estudo de tópicos que antecederam a implementação do produto educacional. As tarefas exploradas na pesquisa foram pensadas e elaboradas conforme as aulas foram acontecendo, o que permitiu escolher a modalidade híbrida que fosse mais adequada para atender os objetivos com os estudos. Na pesquisa foram contempladas duas modalidades híbridas de rotação, o laboratório rotacional e a sala de aula invertida, que foram as mais convenientes para implementar na referida turma. O Quadro 1 apresenta como foram organizadas as aulas. Os links para as tarefas correspondem à versão final, após terem sido validadas e/ou reformuladas a partir da análise dos dados. Quadro 1 – Organização das aulas e links para as tarefas de pesquisa

Fonte: Elaborado a partir de Silva (2019)

Este produto educacional é composto pelas tarefas que foram aplicadas em condições reais de ensino e por outras que figuram como propostas. Além das tarefas, o produto contém um material em extensão pdf que traz orientações de como organizar o AVEA no GeoGebra. Além disso, em cada tarefa há recomendações para o professor sobre os encaminhamentos híbridos para implementar em sala de aula. Contudo, as tarefas e/ou os applets podem ser adaptados e modificados para atender as necessidades de ensino de cada professor. Em Silva e Borssoi (2019) e Silva (2019) encontram-se sugestões de associação de múltiplas mídias ou recursos educacionais digitais às Folhas de Trabalhos, tanto aqueles produzidos pelo próprio pesquisador, quanto outros que podem ser reutilizados ou adaptados de repositórios como, por exemplo, GeoGebra3 , Khan Academy4 , Merlot5 , Phet6 . 3 <https://www.geogebra.org/materials> 4 <https://www.khanacademy.org>

5 <https://www.merlot.org/merlot> 6 <https://phet.colorado.edu/>


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Tarefas Matemáticas com Tecnologia para os anos iniciais A dissertação “O pensamento funcional nos anos iniciais em aulas de matemática na perspectiva do Ensino Híbrido”7 originou-se da implementação do produto educacional “Tarefas Matemáticas com Tecnologia Digitais para os anos iniciais”. Foram propostas, por meio desse produto, tarefas matemáticas que buscam instigar o pensamento funcional de alunos do 4º ano do Ensino Fundamental. Assim, uma análise qualitativa dos dados da implementação permitiu responder à questão: como se manifesta o pensamento funcional dos alunos do 4º ano do Ensino Fundamental a partir do desenvolvimento de tarefas na perspectiva do Ensino Híbrido? As tarefas que integram este produto educacional, implementadas com uma turma do 4º ano, foram elaboradas considerando os conteúdos programáticos dos bimestres deste ano e as orientações da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) quanto às habilidades sugeridas (BRASIL, 2017). Essas tarefas tiveram o objetivo de levar os conteúdos matemáticos para o ambiente educacional utilizando diferentes modalidades do Ensino Híbrido, de modo a associar atividades presenciais e atividades on-line a fim de desenvolver a aprendizagem de determinado conteúdo (HORN; STAKER, 2015). Tais tarefas visavam estimular o pensamento funcional dos alunos, que é um tipo de pensamento algébrico que explora o pensamento voltado para uma função (CANAVARRO, 2007). Isso vem ao encontro do que propõe a BNCC sobre explorar padrões recursivos nessa faixa etária. O Quadro 2 apresenta as tarefas que compõem o produto educacional. O produto foi organizado em um AVA por meio do Google Classroom8 (Figura 1), no qual são disponibilizadas as tarefas planejadas bem como orientações para professores e algumas informações quanto aos encaminhamentos metodológicos e referenciais teóricos utilizados na pesquisa. Assim, ele contém uma introdução, uma contextualização apresentando um pouco do aporte teórico utilizado na construção das tarefas, as tarefas, algumas considerações e referências. Esse material está disponível virtualmente por meio de um AVEA que pode ser acessado pelo link: <https://classroom.google.com/c/Mzc4NzM4ODQ1NDda?cjc=ruihig4>. Para acessar basta se inscrever na turma utilizando o código ruihig4 ou encaminhar um e-mail para cami.garbelini@gmail.com e solicitar acesso. Figura 1 – Interface do produto educacional no AVEA – Google Classroom

Fonte: <https://classroom.google.com/c/Mzc4NzM4ODQ1NDda?cjc=ruihig4>

7 Disponível 8 Disponível

em: <http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4748>. Acesso em: 07 nov. 2020. em: <https://classroom.google.com/h>. Acesso em: 07 nov. 2020.


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Quadro 2 – Apresentação de tarefas que constituem o Produto Educacional

Fonte: Elaborado a partir de CERON (2019)

Optamos pelo Google Classroom pois é um AVEA livre e gratuito, seu formato de sala de aula permite a interação entre professores e alunos, que podem compartilhar tarefas, textos, vídeos, links, oferecendo diferentes ferramentas para organizar os materiais da disciplina/curso, além de permitir a comunicação e feedbacks entre os membros da turma. O produto educacional no Classroom tem o objetivo de facilitar o acesso e a busca por materiais para serem abordados em sala de aula, com a disponibilidade das tarefas para impressão e os recursos educacionais digitais para auxiliar os educadores dos anos iniciais do Ensino Fundamental. As tarefas foram planejadas considerando os conteúdos programáticos desta fase escolar que permitissem olhar para o pensamento funcional recursivo utilizando metodologias do Ensino Híbrido. Associado a esta opção metodológica para as aulas, utilizou-se também a Aprendizagem Colaborativa (CORREA, 2000), estimulando os alunos a terem o diálogo, negociação e sincronização para realizarem as tarefas propostas. O produto educacional foi organizado pensando nos professores dos anos iniciais. Assim, está estruturado com uma carta destinada a estes, introdução, contextualização com os aportes teóricos: Ensino Híbrido, Pensamento Funcional, Aprendizagem Colaborativa e Modelagem Matemática, as tarefas e referências. A Figura 2 mostra a estrutura organizada do produto educacional.


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Figura 2 – Estrutura do produto educacional no AVEA

Fonte: <https://classroom.google.com/c/Mzc4NzM4ODQ1NDda?cjc=ruihig4>

A contextualização teve o objetivo de apresentar uma síntese dos aportes teóricos de modo que o professor (a) conheça um pouco do embasamento teórico utilizado para a construção das tarefas. No ícone de tarefas trazemos os temas abordados, que contém dentro da pasta o tema, objetivos e habilidades da BNCC, em anexo a tarefa para impressão e as orientações para o desenvolvimento dela. Algumas destas tarefas têm links disponíveis de softwares ou vídeos. A seguir trazemos o exemplo da tarefa 1: Descobrindo minha altura, cujo tema é medidas de comprimento e gráfico de coluna. Figura 3 – Tarefa 1 conforme disponível no AVEA

Fonte: <https://classroom.google.com/c/Mzc4NzM4ODQ1NDda?cjc=ruihig4>

A implementação do produto educacional na turma do 4º ano mostrou as possibilidades da utilização das tecnologias em sala de aula por meio das metodologias do ensino híbrido e o desenvolvimento do pensamento funcional em alunos de 8 e 9 anos de idade.


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Discutimos em Ceron (2019) três dentre as tarefas desenvolvidas: “Descobrindo minha altura; Rotação por Estações explorando o conceito de área e Crescimento do feijão”, que possibilitaram analisar o pensamento funcional dos alunos. Na próxima seção buscamos apresentar com mais detalhes uma das tarefas do produto educacional e considerações sobre sua implementação com a turma. A tarefa Rotação por Estações: Explorando os sólidos geométricos Na tarefa Rotação por Estações: Explorando os sólidos geométricos a ênfase não estava relacionada ao pensamento funcional, mas sim à implementação da modalidade rotação por estações do Ensino Híbrido. Em seguida, caracterizamos a tarefa e trazemos o resultado de sua implementação com os alunos. A tarefa foi desenvolvida em 2019, com 22 alunos de uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental em uma escola do norte do Paraná, com o intuito de desenvolver o conteúdo de sólidos geométricos. Nessa proposta os alunos foram organizados em grupos, que neste texto são referenciados como grupo1, grupo2, grupo3, grupo4 e grupo5, enquanto os alunos serão denominados como A1, A2, A3, ..., A22. As estações foram planejadas com o objetivo de atender a habilidade EF04MA17 da BNCC, “associar prismas e pirâmides a suas planificações e analisar, nomear e comparar atributos, estabelecendo relações entre as representações planas e espaciais” (BRASIL, 2017, p. 291), além de permitir aos alunos conhecerem os sólidos geométricos e identificarem suas características e propriedades como faces, vértices e arestas. A proposta foi desenvolvida em três aulas consecutivas de 50 minutos no ensino regular. O ambiente educacional foi preparado antecipadamente, com cinco espaços dentro da sala de aula. Em cada um estavam disponíveis os materiais necessários para a realização de subtarefas em cada estação, com uma plaquinha que continha as instruções (Figura 4). Figura 4 – Ambiente preparado na perspectiva da metodologia “Rotação por Estações”

Fonte: Arquivo da pesquisadora

As cinco estações foram organizadas de forma independente e os grupos se dedicaram a cada uma delas de maneira aleatória. O Quadro 3 as descreve brevemente:


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Quadro 3 – Estações para a tarefa Explorando Sólidos Geométricos

Fonte: Elaboração dos autores

Inicialmente os alunos foram organizados em cinco grupos e direcionados a uma estação cada. Foi explicado que o tema da aula seria sólidos geométricos e que esta foi planejada em diferentes estações, ou seja, em momentos diversificados para aprenderem o conteúdo. Propôs-se o trabalho em grupo, para que pudessem aprender com o outro a partir da interação, diálogo e troca de ideias. Foi explicado que as atividades nas estações teriam duração de 20 minutos e que a professora faria o controle do tempo, avisando o momento de trocar. Após as intruções, os alunos começaram a realizar a tarefa. A estação do Material Manipulável teve o objetivo de, por meio do tato, promover a observação, o reconhecimento dos sólidos geométricos e a verificação de características como as formas dos sólidos, a quantidade de faces, arestas e vértices ou outras características que conseguissem observar. Os grupos realizaram a proposta e notou-se a interação entre eles, discutindo e explorando os sólidos. Cada aluno pegava um sólido e analisava-o e, quando surgiam dúvidas sobre alguma característica, um auxiliava o outro ou pediam auxílio para a professora. O interessante foi que puderam analisar também as diferenças de sólidos poliédricos e não poliédricos. Percebeu-se que alguns grupos se envolveram mais, explorando cada sólido, e outros menos, fazendo de forma rápida e brincando com os materiais. A estação de planificação e construção dos sólidos geométricos possibilitou aos alunos conhecerem as planificações dos sólidos e, por meio da manipulação e construção dos mesmos, se apropriarem dos conceitos de faces, arestas, vértices, formas. Nesta estação


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percebeu-se que os grupos tiveram um pouco de dificuldade em montar os sólidos devido às habilidades motoras ao colar os materiais, mas os grupos se ajudaram e realizaram a proposta com o auxílio dos colegas e da professora. A estação do recurso educacional digital foi conduzida em uma lousa digital integrada na sala de aula. O objetivo desta estação foi explorar um recurso educacional digital on-line, de forma que os alunos pudessem manusear e compreender os conceitos dos sólidos geométricos. O recurso disponibilizado é uma folha de trabalho do software GeoGebra, disponível em: https://www.geogebra.org/m/qhQe2gbW, que consistia em uma apresentação sobre o que são sólidos geométricos, com exemplos de figuras representativas, um vídeo explicativo sobre as características dos sólidos e uma sequência de atividades interativas. Devido ao tempo foi solicitado realizar até o sexto exercício, embora o recurso compreenda 12 exercícios. Observou-se que os alunos gostaram bastante desta estação por estarem utilizando um recurso educacional digital e também pela disposição da folha de trabalho. Os grupos fizeram a leitura em conjunto, assistiram ao vídeo e realizaram as tarefas, que por serem interativas os motivou ainda mais. É interessante ressaltar que os alunos revezavam entre si para que todos pudessem manipular a lousa. A estação Leitura teve a intenção de fazer com que os alunos buscassem, pesquisassem e investigassem em livros e descobrissem os conceitos sobre os sólidos geométricos. E que, por meio da leitura, os alunos pudessem discutir, dialogar, trocar ideias e opiniões e que em grupo construíssem conceitos sobre os sólidos geométricos. Nesta estação, exigia-se atenção e concentração, alguns grupos se envolveram mais, em que folheavam os materiais, discutiam entre si e também questionavam a professora. Outros grupos, não se envolveram tanto, então apresentaram dificuldades em pesquisar nos livros e em encontrar o conteúdo explorado, foi necessário a intervenção da professora. Na estação Tarefa impressa, foi proposta a realização de alguns exercícios a fim de desenvolver as habilidades e conhecimentos que os alunos possuíam acerca do tema. Observou-se que os alunos conseguiram reconhecer os sólidos e nomeá-los, associar o sólido ao seu nome, mas ao desenhar a planificação de um paralelepípedo os grupos apresentaram dificuldades, o grupo1 e o grupo4 representaram a planificação como desenho de um retângulo (Figura 5 e Figura 6), ou seja, apenas com uma face, o grupo2 desenhou as seis faces porém separadas uma da outra, quatro retângulos e dois quadrados (Figura 7), o grupo3 não desenhou e o grupo5 desenhou o sólido indicando uma representação tridimensional (Figura 8). Figura 5 – Planificação paralelepípedo grupo1

Fonte: Arquivo da pesquisadora – grupo1


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Figura 6 – Planificação paralelepípedo grupo4

Fonte: Arquivo da pesquisadora – grupo4

Figura 7 – Planificação paralelepípedo grupo2

Fonte: Arquivo da pesquisadora – grupo2

Figura 8 – Planificação paralelepípedo grupo5

Fonte: Arquivo da pesquisadora – grupo5

O último exercício consistia em quantificar as faces, arestas e vértices dos seguintes sólidos: pirâmide de base quadrangular, cubo, prisma de base retangular e paralelepípedo (Figura 9), foi possível notar que a maioria dos grupos teve dificuldades em identificar estes elementos nas figuras, não quantificando de forma correta. Apenas o grupo1 conseguiu realizar com êxito apresentando apenas um equívoco, na quantificação das arestas do prisma, em que colocaram 8 porém são 9.


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Figura 9 – Resolução grupo1

Fonte: Arquivo da pesquisadora – produção do grupo1

Por meio da atividade impressa percebeu-se que os alunos conseguiram associar o nome às figuras geométricas espaciais (sólidos) e nomeá-las, porém, ao analisar a quantidade de vértices, arestas e faces e quantificá-las, apresentaram dificuldades. Associar a planificação ao sólido também foi compreendido, porém desenhar uma planificação gerou dúvidas e dificuldades. É interessante ressaltar que os alunos nessa faixa etária estão iniciando a exploração com os sólidos geométricos e começam a conhecer e identificar as características dos mesmos, pois nos anos futuros este tema continua a ser explorado com grau de complexidade, gradativamente, maior. Após todos os grupos terem passado por todas as estações, a professora propôs uma roda de conversa para que os alunos relatassem essa experiência de rotação por estações. Iniciamos o diálogo comentando sobre a metodologia utilizada, que foi uma experiência nova para turma e que esse momento seria para partilharem o que gostaram, o que não gostaram, quais atividades foram fáceis e quais foram difíceis. Prosseguimos a conversa sobre a estação do recurso digital, em que foi questionado o que eles aprenderam nesta estação. Os alunos comentaram que o recurso digital apresentava exercícios sobre faces, arestas, vértices, comprimento, largura e altura. Foi questionado sobre o que se tratava o último exercício do recurso digital, a questão 6. O aluno A5 movimentou as mãos, expressando abrir e fechar e disse: A5: Era sobre desmontar. Professora: Desmontar! Isso é o quê? A5: É... Professora: Planificação.

Foi comentado com os alunos que na estação da construção dos sólidos, havia a planificação dos sólidos e eles recortaram, montaram e colaram construindo o sólido, quando utilizaram o recurso digital ao movimentar o controle deslizante verificavam a planificação do sólido, que no caso foi o paralelepípedo. Em seguida, conversamos sobre a estação da leitura, como alguns grupos não se empenharam muito em pesquisar, foi um momento em que aproveitamos para orientá-los em como realizar uma pesquisa, a forma de procurar e o que deseja encontrar. Depois falamos da estação da tarefa impressa,


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onde todos realizaram de maneira satisfatória. Após comentar sobre todas as estações, foi questionado se acharam que esta experiência foi fácil ou difícil. A9: Difícil. Professora: O que foi difícil? A9: A forma de montar os negocinhos. A5: Por que foi cansativo.

Percebemos que a dificuldade mencionada, na estação em recortar, colar e montar os sólidos, pode estar relacionada com a natureza da tarefa, que requer habilidades motoras e paciência. A fala de A5, “foi cansativo”, parece indicar que a atividade se estendeu bastante, pois os alunos ficaram envolvidos em três aulas consecutivas por isso pode ter gerado cansaço. Também foi questionado sobre como foi o trabalho em grupo, alguns alunos relataram que foi difícil, notamos que a negociação entre eles não foi fácil, mas necessária para que os grupos realizassem as tarefas. Os alunos do grupo1, se expressaram dizendo: “Um disse que o cubo tem quatro faces, o outro que tem 8, mas tem 6”. O interessante é que precisaram, mesmo sendo difícil, entrar em um acordo para realizarem o proposto. E nossa intenção era essa mesma, que eles pudessem negociar e entrar em um consenso para compreenderem os conceitos. Uma aluna relatou a dificuldade no manuseio com a lousa: A21: A minha parte mais difícil foi mexer na lousa, porque eu apertava e subia de mais ou a gente apertava e saía do lugar.

Essa foi uma primeira experiência com essa metodologia de ensino, tanto para os alunos quanto para a professora-pesquisadora, então alguns contratempos ocorreram, como manuseio da lousa, a conexão da internet, a demora nas estações. Mas consideramos uma atividade enriquecedora, que precisaria ser ajustada e melhorada em uma próxima aplicação, mas que alcançou os objetivos desejados. O trabalho em grupo foi extremamente importante e válido, o diálogo no final permitiu avaliar como foi o desenvolvimento das tarefas e discutir conceitos que ainda não haviam ficado esclarecidos. Ao longo da implementação do produto educacional esta metodologia pode ser aplicada novamente levando em consideração todos os aspectos positivos e negativos desta experiência. A tarefa: “Rotação por Estações: Explorando o conceito de área”, descrita e analisada na dissertação (CERON, 2019), foi planejada e aplicada baseada nesta proposição com mais sucesso, pois, vários aspectos foram melhorados conforme os apontamentos dos alunos e a percepção da professora-pesquisadora. Considerações Finais Intencionamos neste capítulo compartilhar dois produtos educacionais constituídos por tarefas matemáticas na perspectiva do Ensino Híbrido. O primeiro, associado uma pesquisa sobre ensino de Cálculo Diferencial e Integral de funções de uma variável real, foi brevemente caracterizado. O segundo diz respeito ao desenvolvimento do pensamento funcional e implementação de diferentes modalidades do Ensino Híbrido com uma turma dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Neste caso o produto educacional foi apresentado com mais detalhes, além de evidenciarmos uma das tarefas proposta como rotação por estações. Em ambos os casos, a análise dos dados decorrentes da implementação dos produtos permitiu evidenciar que as proposições provocaram mudanças na dinâmica da sala de aula e influenciaram o envolvimento dos alunos com o ambiente educacional. Resultados


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parciais das pesquisas a que se vinculam os produtos educacionais podem ser consultados em Borssoi e Ceron (2020) e Borssoi e Silva (2020), assim como em Silva (2019) e Ceron (2019). Em tempos em que o ensino e a aprendizagem estão sendo ressignificados em decorrência do cenário de pandemia entendemos que diferentes recursos educacionais digitais que integram os produtos educacionais podem ser utilizados ou adaptados ao ensino remoto e quem sabe possam inspirar novas produções técnicas. Referências BACICH, L.; TANZI NETO, A.; TREVISANI, F. DE M. Ensino híbrido: personalização e tecnologia na educação. Porto Alegre: Penso, 2015. BORBA, M. C. et al. Blended learning, e-learning and mobile learning in mathematics education. ZDM – Mathematics Education, v. 48, n. 5, p. 589–610, 2016. BORBA, M. C.; ALMEIDA, H. R. F. L.; GRACIAS, T. A. S.. Pesquisa em ensino e sala de aula: diferentes vozes em uma investigação. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2018. BORSSOI, A. H. Modelagem Matemática, Aprendizagem significativa e tecnologias: articulações em diferentes contextos educacionais. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2013. BORSSOI, A. H.; CERON, C. G. S.. Estudiantes de los primeros años escolares en tareas matemáticas desde la perspectiva de la Enseñanza Híbrida. Paradigma, [S. l.], v. XLI, n. extra 2, p. 353–382, 2020. DOI: 10.37618/paradigma.1011-2251.0.p353-382.id913. Acesso em: 30 nov. 2020. BORSSOI, A. H.; SILVA, R. T.. Estudo de Integrais por meio de tarefas na perspectiva do Ensino Híbrido. Revista Paranaense de Educação Matemática. v.09, n.19, p. 683-703, jul.-out. 2020. DOI: https://doi.org/10.33871/22385800.2020.9.19.683-703. Acesso em: 30 nov. 2020. BRASIL. Base Nacional Comum Curricular, Ministério da educação / Área da Matemática – MEC, 2017, p. 268. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase>. Acesso em: 27 mai. 2019. CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, Vol. XVI, Nº 2, 2007. CERON, C. G. S.. O pensamento funcional nos anos iniciais em aulas de matemática na perspectiva do ensino híbrido. 2019. 219 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. CERON, C. G. S., BORSSOI, A. H.. Tarefas matemáticas com tecnologias digitais para os anos iniciais. Londrina, 2019. Disponível em: http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/ bitstream/1/4748/2/LD_PPGMAT_M_Ceron%2c_Camila_Garbelini_da_Silva_2019_1. pdf. Acesso em: 30 nov. 2020. CORREA, L. M. Z. Aprendizaje Colaborativo: una nueva forma de diálogo interpessoal y en red. Quaderns Digital, n. 27, p. 1-10, 2000.


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ENGELBRECHT, J.; BORBA, M. C.; LLINARES, S.; KAISER, G.. Will 2020 be remembered as the year in which education was changed? ZDM – Mathematics Education, [S. l.], n. Sehoole, p. 1–4, 2020. DOI: 10.1007/s11858-020-01185-3. HORN, M. B; STAKER, H. Blended: usando a inovação disruptiva para aprimorar a educação. Porto Alegre: Penso, 2015. LIMA, L. H. F.; MOURA, F. R. O professor no ensino híbrido. In BACICH, TANZINETO e TREVISANI, L.; A.; F. M. (Orgs.). Ensino híbrido: personalização e tecnologia na educação. Porto Alegre: Penso, 2015. MORAN, J. Educação Híbrida: Um conceito-chave para a educação hoje. In: BACICH, L.; TANZI NETO, A; TREVISANI, F. de M. (Org.) Ensino híbrido: personalização e tecnologia na educação. Porto Alegre: Penso, 2015. MOSKAL, P.; DZIUBAN, C.; HARTMAN, J. Blended learning: A dangerous idea? Internet and Higher Education, [S. l.], v. 18, p. 15–23, 2013. DOI: http://dx.doi.org/10. 1016/j.iheduc.2012.12.001. Acesso em: 30 nov. 2020. RIBEIRO, M. S. N., KALINKE, M. A., SANTOS, L. M.. Algumas possibilidades de apropriações da lousa digital por professores em sala de aula. Educação, Formação & Tecnologias, 10(1), 2017, 74-87. DOI: https://doi.org/10.1549/1646933Xv10n120177487. Acesso em: 30 nov. 2020. SILVA, M. R. C. Ensino Híbrido em Cursos Presenciais de Graduação das Universidades Federais: Uma Análise da Regulamentação. Dissertação (Mestrado em EDUCAÇÃO). – Universidade Federal de Mato Grosso – Cuiabá, 2016. SILVA, R. T.. Atividades para o estudo de integrais em um ambiente de ensino híbrido. 2019. 128 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. SILVA, R. T., BORSSOI, A. H.. Folhas de trabalho no GeoGebra em uma abordagem híbrida para o ensino de integrais. Londrina, 2019. Disponível em: http://twixar.me/54Bm. Acesso em: 30 nov. 2020.


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Ambiente de ensino e de aprendizagem de Cálculo pautado em episódios de resolução de tarefas: resultados e perspectivas futuras André Luis Trevisan | Roberta Marcelino de Almeida Alves | Mariana Vasconcelos Negrini

Introdução

A

no Ensino Superior, em especial o ensino e a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral (CDI), tem sido foco de pesquisa há algumas décadas. Essa importância é evidenciada nos principais eventos da área, tanto em âmbito nacional, como o SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, quanto internacional, a exemplo do PME – Psychology of Mathematics Education e do ICME – International Congress on Mathematics Education, em grupos de discussão com esse foco específico. Assumindo a concepção de que os processos de ensino e de aprendizagem se conectam e se completam de forma indissociável e que, embora o professor não possa dirigir diretamente o processo de aprendizagem dos estudantes, pode oportunizar ambientes de aprendizagem para eles (STEINBRING, 1998), temos nos debruçado, nos últimos anos, em investigar propostas de trabalho factíveis em sala de aula reais de CDI. O projeto de pesquisa aplicada intitulado “Investigação de um ambiente educacional para o CDI em condições reais de ensino”, aprovado no Edital Universal 14/2014 do CNPq, realizado sob coordenação do primeiro autor e contando com a participação de outros pesquisadores do PPGMAT, entre os anos de 2014 e 2017, objetivou analisar os processos envolvidos na caracterização e na implementação de um ambiente de ensino e de aprendizagem para a disciplina de CDI considerando as condições reais de ensino. O contexto de trabalho inclui cursos de Engenharia que ofertam a disciplina de CDI em um contexto real de ensino: uma sala com 50 estudantes, um plano de ensino a cumprir, avaliações, correções, enfim, tudo o que realmente compõe o dia a dia de sala de aula (TREVISAN; MENDES, 2018). Tomando-se como pressuposto a importância de o estudante assumir um papel ativo em seu processo de aprendizagem, em nossa prática de sala de aula, desenvolvemos uma proposta de trabalho com episódios de resolução de tarefas, que foge de uma aula “usual” de CDI, nos aspectos metodológicos (BORSSOI; TREVISAN; ELIAS, 2017; COUTO; FONSECA; TREVISAN, 2017; TREVISAN; FONSECA; PALHA, 2018; TREVISAN; MENDES, 2018) e na organização curricular, com conteúdo em formato de espiral e um “adiamento”, para o final do curso, de um tratamento rigoroso do conceito de limites e das definições formais de derivada e integral (TREVISAN; MENDES, 2017). Apesar dos resultados promissores desse trabalho, pouco ainda sabíamos a respeito do desenvolvimento do raciocínio matemático dos estudantes, dos conceitos mobilizados, do papel das intervenções do professor durante esses episódios e das possibilidades de avaliação nesse contexto. Assim, nos dois últimos anos, passamos a investigar algumas dessas temáticas por meio do projeto “Conceitos mobilizados por estudantes de Cálculo Diferencial e Integral no trabalho em episódios de resolução de tarefas de aprendizagem”, sob responsabilidade do primeiro autor e com fomento da Fundação Araucária, na modalidade EDUCAÇÃO MATEMÁTICA


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de Bolsa de Produtividade em Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico. Encontram-se em desenvolvimento, no âmbito desse projeto e sob supervisão do primeiro autor, entre os anos de 2019 e 2020, quatro dissertações do PPGMAT (incluindo os trabalhos da segunda e da terceira autoras deste capítulo) e duas teses do Programa de Doutorado em Ensino e Tecnologia do campus Ponta Grossa. É importante destacar que esses trabalhos estão respaldados pelo Comitê de Ética em Pesquisa da UTFPR, por meio de um projeto que agrega diversos docentes e pesquisadores do PPGMAT que atuam em disciplinas matemáticas no campus Londrina, sob o Parecer de número 3.318.427. O objetivo deste capítulo é sintetizar alguns resultados dos projetos supracitados, com destaque para os Produtos Educacionais já desenvolvidos e outros em desenvolvimento, no âmbito do PPGMAT. Para tal, ao longo do capítulo (construído em parceria por orientador – primeiro autor, e orientandas – segunda e terceira autoras), resgatamos a caracterização construída para ambiente de ensino e de aprendizagem de CDI pautado em episódios de resolução de tarefas, revisitamos trabalhos já desenvolvidos nesse contexto e dados de pesquisa coletados anteriormente, no intuito de evidenciar potencialidades do material já produzido, e finalizamos apresentado perspectivas de continuidade dos estudos. Antecedentes Em seus estudos de doutorado (TREVISAN, 2013), o primeiro autor aprofundou estudos acerca de uma abordagem de ensino de Matemática que ganhou força na Holanda entre as décadas de 1960 e 1970, conhecida como Educação Matemática Realística. Proposta como uma forma de “resistência” ao Movimento de Matemática Moderna dos Estados Unidos, essa abordagem foi ancorada nas ideias de Hans Freudenthal (19051990). Para esse matemático (FREUDENTHAL, 1968), o que os estudantes precisam aprender não é matemática como um sistema fechado, mas como uma atividade humana, um processo de matematizar a realidade e, inclusive, de matematizar a própria Matemática (TREVISAN; BURIASCO, 2015). Inspirados nessas ideias, mas também considerando a dificuldade de implementar, no contexto real de ensino, propostas de ensino que as contemplem em plenitude, Palha, Dekker e Gravemeijer (2015) propuseram, para aulas de CDI, “momentos” do trabalho pedagógico que diferem significativamente de uma aula “usual”, tendo os seguintes pressupostos: • Os conteúdos matemáticos são apresentados aos estudantes fora da estrutura do “manual escolar” e por meio de sequências de tarefas com elementos que estimulam sua reflexão e a promoção de um raciocínio mais conceitual. • O estudante assume um papel mais ativo, organizando, discutindo e transformando ideias intuitivas necessárias à compreensão dos conceitos, a partir do diálogo que emerge na resolução de tarefas em pequenos grupos e de forma colaborativa. • O professor, ao invés de fornecer explicações, estimula os grupos de estudantes a mostrar, explicar, justificar, criticar e melhorar as ideias matemáticas que emergem no grupo. Reconhecemos essa proposta como factível em nossas aulas regulares da disciplina de CDI e passamos a adotar a expressão ambiente de ensino e de aprendizagem pautados em episódio de resolução de tarefas para enfatizar esses “momentos” de trabalho com tarefas, buscando caracterizá-la considerando as “condições reais” de contexto de trabalho. Tal proposta provém da própria experiência do primeiro autor e de outros pesquisadores do


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PPGMAT como professores da disciplina de CDI. No campus Londrina, nossa atuação nessa disciplina dá-se no âmbito dos diferentes cursos de Engenharia (Ambiental, de Materiais, Mecânica, de Produção e Química). O contato inicial dos estudantes com o CDI ocorre já no 1º semestre desses cursos, com carga de 90 horas-aula e uma ementa que contempla o estudo de funções, limites, derivadas e integrais de funções reais, de uma variável real. No 2º semestre, o foco da disciplina de CDI 2 é o estudo de funções de duas ou mais variáveis reais. Alguns desses cursos também contemplam em sua grade a disciplina de CDI 3, que trata de funções vetoriais e sequências e séries numéricas. Além dessas disciplinas, o Departamento de Matemática oferta disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear, Equações Diferenciais Ordinárias, Cálculo Numérico e Estatística e Probabilidade. Nos projetos desses diferentes cursos consta que o objetivo da disciplina é (salvo pequenas variações de redação de um curso para o outro) desenvolver o raciocínio matemático e possibilitar aos estudantes o domínio das técnicas do Cálculo Diferencial e Integral, visando sua aplicação na análise e resolução de problemas relacionados à área específica de formação, bem como em áreas afins. O que se observa na prática, entretanto, é a manutenção de uma ementa e de um conteúdo programático que replicam o índice de livros clássicos de CDI, como Guidorizzi (1987) e Leithold (1994). Apesar de algumas discussões realizadas nos últimos anos, tanto nos diferentes campi da UTFPR quanto em âmbito de reitoria, no sentido de repensar a estrutura curricular dos cursos de Engenharia e as ementas de suas disciplinas, pouco (ou nada) se tem avançado nesse sentido. Prevalece, ainda, a “tradição”. Todavia, o docente que assume essas disciplinas têm autonomia em organizar seu planejamento didático, desde que atenda à ementa prevista na disciplina. É nesse contexto que o primeiro autor deste capítulo, em parceria com a docente e pesquisadora do PPGMAT, Dra. Marcele Tavares Mendes, ousaram inverter a estrutura curricular1 da disciplina de CDI ofertada aos ingressantes (CDI1) dos cursos de Engenharia Ambiental e Engenharia de Materiais no 1º semestre de 2013. Dessa primeira experiência, que rendeu muitas noites em claro preparando aulas, resultaram várias outras, possibilitando o aprimoramento de uma estrutura curricular “não usual” para o CDI 1, por meio da organização dos conteúdos em formato de espiral, associado à metodologia de trabalho com episódios de resolução de tarefas. Essa forma de trabalho, relatada em detalhes em Trevisan e Mendes (2017), foi inspirada, inicialmente, em estudos a respeito da Educação Matemática Realística que esses pesquisadores realizaram junto ao GEPEMA2 durante o Doutorado, mas avançou a partir de estudos realizado no âmbito do GEPEAM3 , com o objetivo de compreender as dificuldades de aprendizagem do CDI observadas em nossas turmas. Deve-se também, e principalmente, do “incômodo” desses dois pesquisadores que na época, na condição de doutorandos em Educação Matemática, não queriam continuar a ministrar a disciplina de CDI do “mesmo jeito”. Nossa proposta não resultou apenas desse “incômodo”, mas de estudos teóricos e empíricos que a respaldassem. Destacam-se aqui, além dos livros de Freudenthal (1973, 1991), as ideias discutidas pelo professor Roberto Baldino: 1 Por

estrutura curricular entendemos a distribuição dos conteúdos que contemplam cada um dos conceitos presentes na ementa da disciplina. Trata-se de um currículo organizado no âmbito da interpretação dos autores do currículo prescrito (SACRISTÁN, 1999). 2 Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação, está situado no Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL) e desenvolve suas atividades no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da referida Universidade. 3 Grupo de Estudo e Pesquisa em Ensino e Aprendizagem de Matemática, situado no Departamento de Matemática da UTFPR, campus Londrina, congregando diversos pesquisadores que atuam no PPGMAT.


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haverá maneira mais útil de empregar o tempo dedicado ao conceito de limite no primeiro curso de Cálculo? Não seria melhor usar esse tempo para reforçar o conceito de função com exemplos, como os de velocidade, densidade e pressão? O curso de Cálculo não poderia ser fundado sobre a idéia de continuidade que, enfim, é a que termina ficando? (BALDINO et al, 1995 apud REIS, 2001, p. 40).

Destaca-se, também, o livro de Thompson e Martin Gardner (1998), que nos serviu de base para pensar os conceitos fundamentais do Cálculo de forma intuitiva, com pouco formalismo e valorização de aplicações. No intuito de postergar um tratamento mais rigoroso de limites, o livro de Moise (1972) inspirou-nos a uma organização de conteúdos presentes na ementa de CDI1 em formato de espiral. Assim, por exemplo, uma primeira ideia de limite, de derivada e de integral definida aparece pela primeira vez no início do livro, postergando definições em sua forma final. A estrutura assim apresentada sustenta “uma longa preparação para a definição formal, com o fim de eliminar com antecedência tantas dificuldades quanto possível” (MOISE, 1972 - prefácio). Essa proposta de estrutura curricular é evidenciada também em Apostol (1988), que propõe uma sequência dos assuntos com base no desenvolvimento histórico e filosófico do CDI e da Geometria Analítica. O autor destaca o fato de que a integração é tratada antes da derivação: “[ainda] que esta ordenação de matérias possa ser pouco frequente, é historicamente correcta e pedagogicamente adequada” (APOSTOL, 1988, p. vii). Essa abordagem mais “genética” do CDI está presente também no livro de Toeplitz (1963), em que o autor propõe basear-se nas condições de aparecimento e de desenvolvimento histórico do CDI para pensar o modo de apresentação de conceitos dessa disciplina. Uma proposta inicial de caracterização desse ambiente Além da estrutura curricular “não usual” e organização curricular em formato de espiral, outros elementos compõem nossa proposta de caracterização do ambiente de ensino e de aprendizagem de CDI pautado em episódios de resolução de tarefas, como detalhado na Figura 1. Figura 1 – Esquema da proposta do ambiente

Fonte: Adaptação do esquema de Ramos (2017, p. 34)


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Esse esquema é proposto pela segunda autora deste capítulo em sua dissertação (em fase de finalização) junto ao PPGMAT. Foi adaptado de um esboço inicial apresentado por uma das discentes do PPGMAT (RAMOS, 2017), e incorporou elementos relacionados ao desenvolvimento do raciocínio matemático e das possibilidades de avaliação nesse contexto. Essa caracterização de um ambiente de ensino e de aprendizagem busca considerar “aspectos estruturais (estrutura da instituição de ensino, a natureza dos cursos de graduação oferecidos por ela, o perfil do egresso que se almeja e o perfil dos estudantes matriculados na disciplina de Cálculo, entre outros) e aspectos pedagógicos e procedimentais” (BORSSOI; SILVA; FERRUZZI, 2016, p.4). No que diz respeito às condições reais de ensino, Ramos, Fonseca e Trevisan (2016) e Trevisan e Mendes (2018) descrevem um perfil típico dos estudantes que ingressam nos cursos de Engenharia, que inclui [...] falta de experiências anteriores com tarefas de carácter investigativo; expectativa de aula expositivas, sucedidas pela resolução de tarefas similares aos exemplos apresentados pelo professor; concepções equivocadas acerca de alguns conceitos matemáticos ( muitas vezes decorridas do foco na mecanização de processos, em vez de compreensão e atribuição de significado); hábito de trabalhar, na maioria das vezes, de forma individual, tendo dificuldades em expor e discutir suas ideias em grupo ou para toda a sala (TREVISAN; MENDES, 2018, p. 213).

As tarefas que antecedem conceitos centrais da disciplina são uma ferramenta norteadora essencial para o ensino e a aprendizagem da Matemática (e do CDI). Uma tarefa, segundo Ponte (2014, p. 16), [...] pode ter ou não potencialidades em termos de conceitos e processos matemáticos que pode ajudar a mobilizar. Pode dar lugar a atividades diversas, conforme o modo como for proposta, a forma de organização do trabalho dos alunos, o ambiente de aprendizagem, e a sua própria capacidade e experiência anterior.

Possibilidades de utilização das tarefas nas aulas de CDI são discutidas em diferentes trabalhos desenvolvidos no âmbito dessa proposta, como, por exemplo, em Couto, Fonseca e Trevisan (2017), Mendes, Trevisan e Elias (2018), Trevisan, Borssoi e Elias (2015), Trevisan e Goes (2016, 2017) e Trevisan, Fonseca e Palha (2018). Temos utilizado a expressão de natureza exploratória para caracterizar as tarefas que compõem nosso ambiente, por apresentarem um grau de desafio mais reduzido com uma estrutura aberta, considerando o esquema proposto por Ponte (2005), com destaque para a participação ativa dos estudantes. Finalizando, reforçamos que ao esquema inicialmente proposto em Ramos (2017), foram incorporados dois novos elementos: a promoção do raciocínio matemático (que será brevemente discutido ao final do capítulo) e a articulação do caráter formativo e somativo da avaliação nesse contexto de trabalho (foco da dissertação da segunda autora, discutido brevemente em Alves e Trevisan (2020)). Um destaque para os Produtos Educacionais Vários estudantes do PPGMAT foram imersos nesse contexto de trabalho com episódios de resolução de tarefas em aulas de CDI, e nele desenvolveram suas pesquisas. Os dados foram produzidos em turmas nas quais o primeiro autor atuou como professor da disciplina de CDI1. Em alguns casos, os próprios mestrandos conduziram diretamente as aulas em que o Produto foi implementado; em outros, atuaram como observadores participantes. O primeiro trabalho a ser destacado é o de Maycon Odailson dos Santos da Fonseca, que elaborou a primeira Dissertação e o primeiro Produto Educacional nesse contexto


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(FONSECA, 2017; FONSECA, TREVISAN, 2017). Neles, o autor apresenta uma proposta de tarefas que oportunizam aos estudantes a exploração de ideias necessárias à compreensão do conceito de derivadas, a serem aplicadas em momentos que iniciam o estudo desse conceito. Após a aplicação de dois ciclos, elencaram-se três tarefas para compor o produto final da pesquisa. Por meio das análises, notou-se que, entre os ciclos, foi necessária a adaptação/reformulação das tarefas, sendo a versão final apresentada em seu Produto Educacional. Uma dessas tarefas (Figura 2), que aqui trazemos a título de exemplo, tem o objetivo de possibilitar que os estudantes reconheçam diferentes tipos de sequências numéricas e investiguem seus comportamentos. É uma tarefa que pode ser proposta logo no início da disciplina de CDI1 (inclusive, como temos feito, logo na primeira ou na segunda aula), com os estudantes organizados em grupos de três ou quatro integrantes, sendo disponibilizada em arquivo em formato Excel, que pode ser manipulado nos próprios smartphones. Figura 2 – Tarefa Caso Compunet

Fonte: Fonseca e Trevisan (2017, p. 7)

A tarefa foi inspirada em Weigand (2004) e considera que há inúmeras situações práticas que podem ser descritas por funções ou sequências discretas, que, por serem bastante acessíveis, tornam possível que os estudantes detectem “padrões” em fenômenos e em situações. A tarefa potencializa que os estudantes analisem a modificação geral do


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comportamento das sequências, sendo uma ferramenta importante para entender o conceito de variação e, posteriormente, de taxas de variação. Como extensão à análise preliminar realizada por Fonseca e Trevisan (2017), Trevisan, Fonseca e Palha (2018) realizaram uma análise retrospectiva da experiência, com foco em outra tarefa que compôs o Produto Educacional (Figura 3). A hipótese dos autores, durante sua formulação, foi que o estudo das sequências de diferenças possibilitaria aos estudantes realizar uma análise da modificação geral do comportamento das sequências (enquanto casos particulares de funções), sendo uma ferramenta importante para explorar aspectos relacionados ao crescimento/decrescimento, à diferença entre termos consecutivos e às taxas de variação. Figura 3 – Tarefa Sequência de Diferenças

Fonte: Fonseca e Trevisan (2017, p. 9)

Entretanto, ao revisitar os dados coletados durante a elaboração da dissertação e do Produto Educacional, contando agora com a parceria e o olhar “externo” da pesquisadora Sonia Abrantes Garcez Palha (Universidade de Amsterdã), reconhecemos apenas respostas locais provocadas pela exploração dos controles deslizantes do Geogebra, sem que algum conceito mais sistematizado pudesse emergir das respostas obtidas. Refletimos que desenvolver o conhecimento usando tarefas matemáticas que façam uso de tecnologias digitais de informação e comunicação TDIC requer uma boa compreensão da relação de três aspectos-chave de conhecimento: a tecnologia, a didática e o conteúdo (MISHRA; KOEHLER, 2006). No caso da experiência de ensino em questão, um uso efetivo de TDIC envolveria a articulação do conceito de derivada (associado ao estudo da sequência de diferenças), a utilização de vários tipos de representações (representações simbólicas, como equações ou representações visuais, como os gráficos) e o aplicativo Geogebra (usado para exibir e manipular as diferentes representações). Uma boa articulação entre estes aspectos permitiria aos estudantes interagir com o aplicativo de forma a visualizar dinamicamente e manipular representações gráficas (TREVISAN; FONSECA; PALHA, 2018).


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Outra tarefa também revisitada e que fez parte do Produto Educacional de Nélvia Santana Ramos (RAMOS, 2017; RAMOS; TREVISAN, 2017) foi aquela apresentada na Figura 2, porém como foco no estudo da convergência de sequências numéricas. Uma discussão articulada dos dados coletados a partir dos dois trabalhos é apresentada em Fonseca, Ramos, Trevisan e Mendes (2018), com foco em elementos constituintes do conceito de limite de uma sequência numérica mobilizados a partir da tarefa, a constar: identificação de diferentes tipos de sequências; discussão de possíveis formas de organizações dos seus termos; observação quanto ao modo de crescimento desses termos; análise da diferença na variação entre os termos das sequências e de seu comportamento em curto e longo prazo. O trabalho de Nélvia resultou na elaboração de um conjunto de tarefas para o estudo inicial de sequências numéricas e critérios de convergência, como temáticas desencadeadoras do ensino e de aprendizagem do conceito de limite de uma sequência numérica. Após a aplicação dos ciclos de pesquisa e análise retrospectiva, elencaram-se três tarefas para compor o Produto Educacional, e destacamos, aqui, parte de uma delas (Figura 4). A tarefa prevê o uso do software Geogebra, permitindo que os grupos de estudantes trabalhem com diferentes representações de sequências numéricas e o estudo de seus comportamentos, destacando elementos essenciais para a sistematização da definição formal de convergência. Em especial, possibilita o estudo do comportamento de uma sequência como crescimento/decrescimento a partir da análise da variação entre termos consecutivos e indicativos do comportamento de uma sequência convergente e divergente. Figura 4 – Tarefa Convergência de sequências numéricas.

Fonte: Ramos e Trevisan (2017, p. 15-16)


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Um terceiro trabalho a ser destacado é o desenvolvido por William José Gonçalves (GONÇALVES, 2018; GONÇALVES; TREVISAN, 2018). A opção pela estrutura curricular “não usual” do CDI1, com conteúdo em formato de espiral levou-nos a buscar formas alternativas de explorar o conceito de função no âmbito dessa disciplina. Afinal, embora desde a década de 1930 a definição de função como correspondência entre elementos de dois conjuntos tenha sido tomada como “oficial” no âmbito da Matemática, seu caráter estático esconde muitas das realizações intelectuais anteriores, tornando-a fonte de fortes críticas pedagógicas (THOMPSON, 1994). Desde o final da década de 1980, Patrick Thompson, pesquisador da School of Mathematical and Statistical Sciences, Arizona State University, tem conduzido pesquisas no âmbito do raciocínio quantitativo e, mais especificamente, do raciocínio covariacional (RC), segundo ele, epistemologicamente necessário para que estudantes e professores desenvolvam conceitos úteis e robustos de funções e, consequentemente, do próprio CDI. De modo bastante simplificado, na teoria do raciocínio quantitativo de Thompson e Carlson (2017), uma pessoa raciocina covariacionalmente quando ela imagina os valores de duas quantidades variando, e os imagina variando simultaneamente. Assim, o trabalho de William procurou desvelar ideias do RC mobilizadas durante as discussões coletivas desencadeadas pelo trabalho com tarefas. Para fins de análise, foram tomados recortes da produção escrita e trechos de diálogos nos grupos, buscando identificar o potencial das tarefas em termos de fomentar discussões que envolviam ideias do RC, utilizando, para tal, um modelo analítico de sete fases interativas. Da análise realizada, inferiu-se que, em vários momentos, embora os estudantes parecessem verbalizar compreensão da situação, reconhecendo a covariação entre as grandezas envolvidas, falhavam nas representações, ou não eram capazes de estabelecer relações explícitas entre ideias do RC e conceitos do CDI. Figura 5 – Tarefa da garrafa

Fonte: Gonçalves e Trevisan (2018, p. 16)

A título de exemplo, apresentamos, na Figura 5, parte de uma das tarefas que compõem o Produto Educacional organizado. Inspirada nos trabalhos de Thompson e Carlson (2017), a tarefa leva em conta um conjunto de ideias do RC que poderiam ser mobilizadas, a constar: (i) Constituir quantidades envolvidas na situação (reconhecer atributos de uma situação passíveis de medição); (ii) Raciocinar sobre o processo de medição dessas quantidades; (iii) Imaginar medidas de quantidades variando continuamente; (iv) Coordenar duas quantidades que variam juntas: (a) reconhecendo que as quantidades se relacionam; (b) reconhecendo a direção de crescimento – ambas crescem/decrescem, por exemplo; (c) reconhecendo a existência de taxas de variação – cresce mais rápido/mais lento, ou cresce


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a uma taxa crescente ou decrescente; (d) identificando eventuais mudanças na taxa de crescimento. Cada uma dessas ideias é detalhada em Gonçalves, Trevisan, Silva e Ribeiro (2020). Silva, Trevisan, Gonçalves e Cargnin (2020) reformularam a Tarefa da garrafa proposta por Gonçalves e Trevisan (2018), e propuseram outras duas, no intuito de atribuir um design experimental à atividade matemática, integrando TDIC e propondo a utilização do GeoGebra como recurso à investigação. Propõe-se o trabalho com formatos diversificados de garrafas e a utilização de dinagráficos4 (GOLDENBERG; LEWIS; O’KEEFE, 1992) como recurso para visualização, com objetivo estimular o estudante a pensar nas situações envolvidas, na correlação entre as grandezas e, a partir dessa concepção, nas suas múltiplas representações em articulação com o uso de TDIC (Figura 6). Figura 6 – Dinagráfico para Tarefa da garrafa

Fonte: Silva, Gonçalves, Trevisan e Cargnin (2020, p. 250)

Perspectivas futuras Como já mencionado, apesar dos resultados promissores do trabalho com episódios de resolução de tarefas em salas de aulas regulares de CDI, pouco ainda sabíamos a respeito da promoção do raciocínio matemático dos estudantes, os conceitos mobilizados e o papel das intervenções do professor (em nível de organização das tarefas, feedback e conduções de discussões) durante esses episódios. No que diz respeito à promoção do raciocínio matemático, destacamos alguns trabalhos mais recentes, e outros ainda em fase de elaboração. O artigo apresentado no XLVII Cobenge – Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia (TREVISAN et al. 2019), objetivou compreender de que modo o trabalho com tarefas contextualizadas, atrelado às ações do professor na condução de discussões matemáticas, pode contribuir para a promoção do raciocínio matemático em aulas de CDI. Foi descrita e analisada uma tarefa (Figura 7) na qual se exploram os conceitos de concavidade, com foco em aspectos como: (i) a proposição da tarefa e condução de discussões em consonância com competências e habilidades requeridas à formação do engenheiro; e (ii) as ações de encorajamento à partilha de ideias e busca por generalizações e formulação de conjecturas gerais, um aspecto primordial da estrutura conceitual relacionada ao desenvolvimento da capacidade de raciocínio matemático. 4 Uma

classe de ferramentas de visualização de uma função em que a variável de domínio é dinamicamente manipulada pelo usuário, sendo essa e sua imagem representadas cada uma em seu próprio espaço (no caso, eixos horizontais).


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Figura 7 – Tarefa do boato

Fonte: Trevisan et al. (2019, p. 5)

Essa tarefa, que compôs o produto educacional de Gonçalves e Trevisan (2018), foi “revisada” pelos mestrandos e doutorandos ingressantes em 2019 e, a partir de sua replicação em uma turma de CDI1, trouxe um direcionamento ao raciocínio matemático. A dissertação e o Produto Educacional de Márcio Alexandre Volpato, ainda em fase de elaboração junto ao PPGMAT, considera essa e outras tarefas reformuladas do mesmo produto e investiga as ações do professor de CDI para a promoção do raciocínio matemático. Trevisan e Araman (2021), por sua vez, “revisitaram” os dados coletados por Gonçalves e Trevisan (2018), buscando compreender os processos do raciocínio matemático de estudantes de CDI no trabalho com três das tarefas que compõem esse Produto Educacional, e que envolvem a análise coordenada das mudanças que ocorrem em duas variáveis interdependentes. Jeannotte e Kieran (2017) apontam que processos de raciocínio podem ser organizados e caracterizados da seguinte forma: (i) a procura de semelhanças e diferenças, como sejam os processos de generalizar, conjecturar, identificar um padrão, comparar e classificar; (ii) a validação, como sejam os processos de justificar e provar; e (iii) o suporte a outros processos de raciocínio, como seja o processo de exemplificar. Como resultados, Trevisan e Araman (2021) destacaram um processo de construção de conjecturas apoiado em conhecimentos matemáticos que os estudantes já possuíam, na percepção de relações presentes na tarefa ou, ainda, no senso comum. Além disso, a busca por motivos para validação ou refutação dessas conjecturas, momento no qual os estudantes resgataram conhecimentos que já possuíam, ou construíram novos conhecimentos matemáticos, com a elaboração de novas conjecturas ou aprimoramento de uma já elaborada, novas investigações e tentativas de justificar. Por fim, destacaram o papel desempenhado pela discussão entre os estudantes na mobilização desses processos, bem como o potencial e as limitações das tarefas. Já o trabalho da terceira autora deste capítulo, aluna integrante do PPGMAT no ano de 2020, buscará compreender de que modo a realização de tarefas exploratórias pode contribuir para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos estudantes de CDI, com foco no raciocínio criativo. Para tal, considerará registros escritos e em áudio já coletados em turmas de CDI em anos anteriores enquanto os estudantes trabalhavam colaborativamente em tarefas exploratórias que compuseram Produtos Educacionais já desenvolvidos. No âmbito do Ensino Superior, especificamente no CDI, consideramos a categorização de raciocínio matemático proposta por Lithner (2008). Para o autor, o raciocínio é a linha de pensamento adotada para produzir afirmações e chegar a conclusões na resolução de tarefas, e os estudos empíricos por trás da estrutura de raciocínio identificam dois principais tipos de raciocínio: o imitativo (memorizado ou algorítmico) e o criativo. Para Lithner (2008), o raciocínio memorizado atende às seguintes condições: a escolha da estratégia baseia-se na recuperação de uma resposta completa; a implementação da estratégia consiste apenas em desenvolvê-la. Esse tipo de raciocínio baseia-se na “lembrança” como principal estratégia e é utilizado corriqueiramente, quando a tarefa solicita fatos, definições e provas. Em contrapartida, o raciocínio criativo proposto por Lithner (2008) atende aos seguintes critérios: (i) novidade, com uma nova sequência de raciocínio sendo criada


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ou uma sequência esquecida sendo recriada; (ii) flexibilidade, admitindo com fluência diferentes abordagens e adaptações à situação, sem “fixação” de universo de conteúdo ou busca de soluções memorizadas ou algorítmicas; (iii) plausibilidade, considerando argumentos que sustentam a escolha e/ou a execução da estratégia, motivando por que as conclusões são verdadeiras ou plausíveis e (iv) fundamentos matemáticos, com os argumentos ancorados nas propriedades matemáticas intrínsecas dos componentes envolvidos no raciocínio. Segundo Lithner (2008), a criatividade para resolver tarefas é, portanto, baseada em processos de pensamento flexíveis, que admitem fluentemente diferentes abordagens e adaptações à situação. De acordo com o autor, para projetar uma tarefa que promova o raciocínio criativo, é preciso considerar que o estudante não conheça um método específico de solução. É preciso também projetar essa tarefa de uma maneira que não seja muito difícil para o estudante resolver e que lhe possibilite construir argumentos ancorados na Matemática. A partir desses critérios, Lithner (2017) aponta que é possível que os estudantes produzam argumentos fundamentados na Matemática que suportem o raciocínio na resolução de tarefas. Se os estudantes não possuírem acesso a um método de solução (lembrado ou dado), sobram apenas dois cenários para resolver a tarefa. Um é adivinhar, mas, embora a adivinhação possa ser uma parte construtiva da solução de problemas, quase nunca é possível resolver uma tarefa apenas adivinhando. A outra possibilidade é construir (parte da) solução, e essa construção requer alguma orientação, algum tipo de argumento (explícito ou implícito) para apoiar as escolhas e conclusões. Com base nessas perspectivas, revisitamos dados apresentados por Ramos (2017) em um diálogo de estudantes que resolveram a tarefa Caso Compunet (Figura 2), com vistas a identificar indícios do raciocínio criativo por eles mobilizado. O objetivo da tarefa era explorar diferentes representações de sequências numéricas. A tarefa apresenta potencial para a exploração de uma progressão aritmética, no caso da primeira empresa, progressão geométrica, na segunda empresa, e, na terceira empresa, fornece indícios de certa “estabilização” em seu comportamento. A seguir, um trecho do diálogo que ocorreu entre os estudantes. Estudante B: Se fizer o cálculo entre um valor e outro, encontrou o tanto que cresce a cada mês. Estudantes A: Mas dá certo? Estudante C: Sim... Verdade... É claro... A primeira cresce 2000 a cada mês. Estudante A: Ah, sim, isso eu tinha percebido... Verdade, vamos organizar isso... Estudante B: Sim, podemos escrever a razão da primeira empresa que é 2000 e da segunda, como cresce a uma taxa percentual constante, é P.G. e usamos um “q” para representar sua razão... Alguém lembra a fórmula da P.G? Estudante C: Ah, dá pra escrever nossa razão de 1,1 e nosso primeiro termo é o número inicial 10.000 aí elevamos o número de meses. Estudante A: Gente, se elevarmos a t =1, não temos os 10.000. Estudante C: Então, elevamos a t-1, aí dá certo. Estudantes A e B: Sim, vamos fazer... Mas... E a terceira empresa... Estudante C: Ela parece que cresce, depois pára.

Com base nos dados coletados e usando critérios do raciocínio criativo proposto por Lithner (2008), reconhecemos: i) Novidade: O estudante B, em seu grupo, sintetizou em sua fala: se fizer o cálculo entre um valor e outro encontrou o tanto que cresce a cada mês, o conceito de razão de uma progressão aritmética, sem a necessidade da utilização de termos técnicos, ou de recuperar “fórmulas”. ii) Flexibilidade: De início o estudante A não parece concordar totalmente com o estudante B. Em sua fala: Mas dá certo?, ela questiona se é possível validar o raciocínio do


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estudante B, fazendo com que o grupo passasse a refletir e a considerar outras possibilidades, sem “fixação” de um universo de conteúdos. iii) Plausibilidade: O estudante B, ao falar: Sim, podemos escrever a razão da primeira empresa que é 2000 e da segunda, como cresce a uma taxa percentual constante, é P.G, elabora argumentos baseados em Matemática, evidenciando a plausibilidade da escolha da estratégia e da conclusão. iv) Fundamento matemático: O grupo tem uma compreensão conceitual de progressão aritmética e progressão geométrica e está baseando seu raciocínio em uma propriedade intrínseca, quando o estudante A relata : [...] se elevarmos a t =1, não temos os 10.000”, e o estudante C propõe: Então, elevamos a t-1, aí dá certo. Isso torna o grupo capaz de construir uma solução matematicamente bem fundamentada. Fechando, sem fechar Resgatamos, neste capítulo, a caracterização construída para ambiente de ensino e de aprendizagem de CDI pautado em episódios de resolução de tarefas, revisitando trabalhos já desenvolvidos (com destaque para os Produtos Educacionais no âmbito do PPGMAT) e sinalizando perspectivas futuras. Em todos esses trabalhos, o intuito foi investigar o processo de organização de tarefas de aprendizagem para salas de aula regulares (contextos reais de ensino), que contribuíssem para o desenvolvimento do raciocínio matemático dos estudantes e a elaboração de conceitos de CDI. Visto que um conceito não se forma apenas por memorização e associação de palavras, mas pelo surgimento de um problema ou como ponto de partida de uma proposição, de uma atividade inquisidora ao sujeito da experiência, buscamos constituir um ambiente em que “o trabalho com conceitos requer a criação de um espaço de trabalho pela ‘atividade’, mobilizando os estudantes para a ação, substituindo a passividade da pedagogia tradicional da aula verticalizada do vetor professor → aluno” (LAUDARES, 2013, p. 5). Destacamos que o desenho de tarefas de aprendizagem, enquanto “processo de elaboração, criação e preparação de situações matemáticas a serem aplicadas em sala de aula” (MOREIRA; GUSMÃO; MOLL, 2016, p.789) configura-se, assim, como atividade importante, porém complexa, no escopo da Educação Matemática. Trata-se de uma “construção que não ocorre de forma rápida e aligeirada, que demanda tempo e estudo” (ibd.) e, portanto, justifica a relevância dos trabalhos aqui mencionados. Um elemento que evidenciamos nas tarefas apresentadas ao longo do capítulo foi a incorporação, quando possível, de recursos tecnológicos. Concordamos com Borba, Silva e Gadanidis (2015, p. 48) quando eles destacam que “é fundamental explorarmos não somente os recursos inovadores de uma tecnologia educacional, mas a forma de uso de suas potencialidades com base em uma perspectiva educacional” (BORBA; SILVA; GADANIDIS, 2015, p. 48). Finalizando, destacamos que, embora os trabalhos já desenvolvidos utilizem a expressão natureza exploratória, inspirada na categorização proposta por Ponte (2005), recentemente nos deparamos com uma caracterização de tarefa matematicamente rica (ou simplesmente tarefa rica) proposta por White e Mesa (2013) no contexto dos materiais curriculares de CDI, que, possivelmente, passaremos a adotar em trabalhos futuros. Essa caracterização considera a potencial demanda cognitiva de uma tarefa, ou seja, o tipo e o nível de pensamento exigido para se envolver e resolvê-la de modo bem-sucedido.


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DERIVADAS QUIZ 1: estudo de derivadas sob um novo olhar Adriele Carolini Waideman | Claudete Cargnin

Introdução

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é um dos objetos matemáticos mais interessantes do Cálculo Diferencial e Integral (CDI), mas também um dos que apresentam maior dificuldade por parte dos estudantes. A prática profissional mostra uma tendência discente de desistir da disciplina nesse ponto do estudo, o que causa desconforto a professores e, em parte, isso foi o que incentivou a pesquisa de mestrado nessa área. O índice de reprovação em CDI não é novidade (DALL’ANESE, 2000; FLORES et al., 2017) e inúmeras investigações para mudar essa realidade surgem a cada dia, “observa-se elevado índice de reprovação e de desistência nesta disciplina, sinalizando a existência de problemas no processo de ensino e aprendizagem” (DALL’ANESE, 2000, p. 9). No caso que relatamos neste capítulo, a pesquisa surgiu a partir de alguns pontos: 1) na região em que moram as autoras, os alunos dispendem longo tempo em ônibus ou vans no trajeto casa – faculdade, pois muitos moram em outras cidades, e nesse período, ficam acessando redes sociais nos celulares; 2) alunos consideram derivadas o tema de maior complexidade em CDI; 3) livros didáticos dão ênfase nas técnicas algébricas, mas Duval (1995) argumenta sobre a necessidade de se trabalhar ao menos dois registros de representação semiótica para que se tenha acesso aos objetos matemáticos sem confundilos com sua representação. Discutir esses pontos com colegas e professores fez pensar que um aplicativo para celular pudesse permitir ao aluno refletir sobre o conteúdo abordado em cada questão, o que possibilitaria mais um contato com derivadas, além das teorias, definições, demonstrações e técnicas já apresentadas em sala de aula. Desde 1999, Villareal (1999) apontava que, geralmente, os estudantes tinham um bom desempenho nos exercícios de calcular as derivadas (desenvolver as técnicas, os algoritmos), chamado de processo mecânico, mas surgiram dificuldades quando as representações gráficas estavam envolvidas no cálculo de taxas de variação. Tais dificuldades apontadas e o interesse das autoras pelo tema fez surgir uma das perguntas norteadoras da pesquisa desenvolvida, que será abordada neste texto: Quais aspectos do tema derivadas devem ser considerados no desenvolvimento do aplicativo? Para melhor compreensão do leitor, estruturamos o capítulo em seções, sendo elas: a contribuição das tecnologias no ensino de CDI, Elementos da Teoria de Registro de Representação Semiótica; o papel da representação gráfica no estudo das derivadas; a criação do aplicativo Derivadas Quiz. Finalizamos com algumas considerações.

1 Acessar

ERIVADAS

o link para baixar gratuitamente o aplicativo: https://play.google.com/store/apps/details?id=com. Leticia.Derivadas_Quiz


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As tecnologias no ensino de CDI Estudos relacionados à utilização de Recursos Digitais e Novas Tecnologias de Informação e Comunicação (NTIC) vêm sendo cada vez mais realizados. Os trabalhos de Ferreira, Camponez e Scortegagna (2015), Mendes Neto (2017) e Scremim e Bulegon (2017) alertam que o uso de software computacional possibilita uma inovação no ensino, por ser considerado um auxílio na construção de conceitos e aplicações relacionados ao ensino de matemática. A parte gráfica desses softwares colabora com a Álgebra e a Geometria, por exemplo. Muitas tecnologias que vêm ganhando espaço na educação, especialmente na disciplina de CDI, podem estar ligadas ao fato de devolver um feedback rápido e diferenciado, de acordo com o nível de cada aluno. Almeida (2013) enfatiza que os recursos tecnológicos digitais se mostravam como alternativas que permitiam a visualização do objeto, oferecendo um retorno mais rápido em relação às respostas, colaborando com a dinamicidade da aula. Assim, as “Tecnologias Inteligentes”, as Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) e as NTIC, ou Tecnologias Digitais, estão presentes no dia a dia do professor, do aluno, nas escolas, universidades, etc, ou seja, fazem parte do cotidiano de todos. Porém, o uso das tecnologias digitais não pode ser considerado suficiente para a mudança das ações pedagógicas, pois em muitas situações, sem planejamento, acabam se constituindo em um suporte novo para as aulas expositivas (FLORES, 2013). Soares e Sauer (2004) enfatizam que o estudante, frente a um computador, pode apenas repetir procedimentos sugeridos pelo professor, manipulando um software, o que pode não representar qualquer mudança na sua aprendizagem. Mendes Neto (2017) também defendeu o uso das tecnologias de forma planejada e crítica, ou seja: Na medida em que os alunos e os professores estão cada vez mais conectados às novas tecnologias digitais, o grande desafio a ser discutido no âmbito da comunidade escolar é o desenvolvimento de suas habilidades para o uso crítico da rede, tema que está contido na ideia de alfabetização midiática e informacional (MENDES NETO, 2017, s/p).

A proposta de Menk (2005) mostrou que um software é utilizado para resolver problemas, cujos conceitos envolvidos são máximos e mínimos de funções. Os participantes da pesquisa construíram hipóteses, confirmaram ou descartaram, em uma proposta que privilegiava o pensamento livre e autônomo. O autor defende que esta concepção de uso da tecnologia digital favorece a análise, a interpretação e a resolução de problemas em Cálculo, aspectos que historicamente constituem-se em entraves para o estudante. Dentro das salas de aula, com os estudantes, as Novas Tecnologias da Informação e Comunicação e sem Fio (NTIMS) são realidade, é possível aproveitar isso e tornar recursos pedagógicos os celulares com aplicativos, como já anunciavam Bento e Cavalcante (2013). Silva (2012) também defendeu que a telefonia móvel pode contribuir para a aprendizagem dentro e fora da sala de aula. Nesse mesmo sentido, Moura (2012) esclareceu que o acesso aos conteúdos multimídias deixou de restringir-se a computadores pessoais e estendeu-se às mídias portáteis (telemóvel, PDA, Pocket PC, Tablet PC, Netbook), proporcionando um novo paradigma educacional. O uso de recursos tecnológicos em aulas de CDI pode contribuir para que o momento de aprendizagem se materialize com uma assimilação mais natural dos conceitos estudados, como aponta a pesquisa de Scremim e Bulegon (2017), ou como uma forma de tornar os alunos mais ativos e interessados, como concluiu a pesquisa de Tomazi, Costa e Camargo (2018) ao propor atividades contextualizadas com o uso de dispositivos móveis.


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Embora essas e outras pesquisas indiquem que tecnologias que fazem parte do que se tem chamado de Mobile Learning2 tragam benefícios para a aprendizagem matemática, pois despertam interesse pelo estudo, o que se tem percebido, na prática, é que elas ainda não são realidade nas salas de aulas de CDI. É justamente esse espaço que o aplicativo Derivadas Quiz quer ajudar a preencher. A nosso ver, isso indica a pertinência da pesquisa que culminou no produto educacional ora em discussão: software para o estudo de derivadas. Para muitos, os celulares passaram a ser o único meio de assistir às aulas e de “postar” as atividades desenvolvidas. A realidade dos alunos da universidade pesquisada é de que muitos não têm notebook ou computadores, sendo o celular, o único recurso para a aprendizagem, além dos mesmos conter pacote de dados (internet) apenas nos celulares. Nesse contexto, o aplicativo Derivada Quiz pode contribuir com o dinamismo nas aulas de CDI, com a auto explicação durante o uso, por não utilizar muito espaço da memória do celular, entre outros benefícios. Cada questão do aplicativo Derivada Quiz foi pensada à luz da Teoria de Registro de Representação Semiótica (TRRS) de Raymond Duval como uma forma de diversificar as representações semióticas em língua natural, algébrica, numérica e, principalmente, gráfica do tema derivadas. É sobre essa teoria que trata brevemente a próxima seção. Elementos da Teoria de Registro de Representação Semiótica e o papel da representação gráfica no estudo das derivadas Para a matemática, “uma escrita, uma notação, um símbolo, representam um objeto matemático: um conjunto, uma função, um vetor” (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p. 467). Dessa forma, os objetos matemáticos não devem ser jamais confundidos com a representação que se faz deles, podendo ter perda de compreensão ao longo do tempo. “A distinção entre um objeto e sua representação é, portanto, um ponto estratégico para a compreensão da matemática” (DUVAL, 2012, p. 37). Por outro lado, os objetos matemáticos só são acessíveis por meio das suas representações semióticas. Para Henriques e Almouloud (2016), Representação Semiótica é definida como: [...] uma representação de uma ideia ou um objeto do saber, construída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é determinada, de um lado, pela sua forma no sistema semiótico e de outro lado, pela referência do objeto representado (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p. 467).

Duval (2009) chama de semiósis a apreensão ou produção de uma representação semiótica e noésis os atos cognitivos (apreensão conceitual), ou seja, para ele, não há noésis sem semiósis. Para o autor, “é a semiósis que determina as condições de possibilidade e de exercício da noésis” (p. 17 – grifo do autor) e “não há noésis sem o recurso a uma pluralidade ao menos potencial de sistemas semióticos, recurso que implica sua coordenação para o próprio sujeito” (p. 18 – grifo do autor). A teoria de Registros de Representação Semiótica envolve um sistema de signos que tem por objetivo a comunicação e atividades cognitivas do pensamento, o tratamento da informação e a objetivação. Segundo Duval (2012),

2 Mobile

learning, ou m-learning, é uma modalidade da educação a distância (EAD) que se apropria de dispositivos móveis para a realização de atividades educacionais. Na prática, trata-se do uso de aparelhos, como smartphones, celulares e tablets para estudar conteúdos otimizados para tais plataformas. Disponível em: http://webaula.com.br/index.php/pt/acontece/noticias/3285-mobile-learning-metodologias-ead.


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Na realização de diferentes funções cognitivas: a função de objetivação (expressão particular) que é independente daquela de comunicação (expressão para outrem), e a função de tratamento que não pode ser preenchida pelas representações mentais (algumas atividades de tratamento são diretamente ligadas à utilização de sistemas semióticos, por exemplo, o cálculo) (DUVAL, 2012, p. 269).

Duval (2012) ainda complementa: [...] é essencial, na atividade matemática, poder mobilizar muitos registros de representação semiótica (figuras, gráficos, escrituras simbólicas, língua natural, etc...) no decorrer de um mesmo passo, poder escolher um registro no lugar de outro. E, independentemente de toda comodidade de tratamento, o recurso a muitos registros parece mesmo uma condição necessária para que os objetos matemáticos não sejam confundidos com suas representações e que possam também ser reconhecidos em cada uma de suas representações (DUVAL, 2012, p. 70, grifo do autor).

Levando-se em conta que cada representação de um objeto matemático traz consigo um conteúdo em particular, como se depreende da Teoria de Registro de Representação Semiótica, quanto maior a diversidade de representações utilizada, maior a chance de aprendizagem, de apreensão do objeto em estudo. Nos Registros de Representação Semiótica (RRS), Duval (2012) chama a atenção para dois tipos de atividades cognitivas: os tratamentos e conversões. O tratamento é uma transformação da representação dentro do mesmo registro de representação na qual ela foi formada, ou seja, ela é interna ao registro; já a conversão é uma transformação de uma representação em outra, em um registro diferente do inicial. O quadro 1 ilustra um tratamento, enquanto o quadro 2 ilustra uma conversão. Quadro 1 – Ilustração de um tratamento no registro algébrico

Fonte: Waideman (2018a, p. 47)


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Quadro 2

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– Ilustração de uma conversão de representação

Fonte: Waideman (2018a, p. 48)

Gravina e Santarosa (1998) ressaltaram que os objetos matemáticos podem ser representados de diferentes formas e no processo de construção dos conceitos é importante o trânsito entre suas múltiplas representações para que ocorra aprendizagem. A representação gráfica, por exemplo, por vezes deixada de lado em aulas de CDI, é destacada na pesquisa de Costa e Souza Júnior (2007), que usam softwares gráficos como ferramentas eficientes para o ensino de funções, gráficos, limites, derivadas, integrais, áreas e volumes como alternativa para minimizar os problemas da disciplina de CDI. A utilização de vários registros de representação semiótica aumenta significativamente as capacidades cognitivas de um indivíduo com a diversificação das representações, especialmente quando há uma conversão entre representações em dois registros de representações. As questões abordadas no aplicativo Derivadas Quiz foram pensadas a partir da utilização de tratamentos e conversões, especialmente partindo das representações gráficas, pois Duval (2009) já alertava que fazer uma conversão, por exemplo, do registro algébrico (RA) para o registro gráfico (RG), não significa fazer de forma natural a conversão no sentido contrário, por isso a necessidade de se trabalhar nesse sentido RG → RA. A questão mostrada no quadro 3, por exemplo, enunciada apenas no registro em língua natural, pode ser respondida em outros registros semióticos ou, ainda, por meio de tratamentos. Nesta questão, se optarmos por alguma conversão, dizemos que há uma


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conversão intermediária, pois a resposta final volta a ser em registro em língua natural, a mesma do enunciado. Como observação, registramos que todas as questões propostas no aplicativo, formatadas para uso em sala de aula, podem ser encontradas em Waideman (2018c)3 . Quadro 3 – Questão do aplicativo e possibilidades de conversões e tratamentos

Legenda: Registro Algébrico (RA) e Registro em Língua Natural (RLN) Fonte: Waideman (2018a, p.62)

3 Produto

Educacional II disponível em: http://twixar.me/dlBm.


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Note que, em geral, o procedimento teórico utilizado é algébrico. Dada uma função, deriva-se, encontra-se o zero da derivada, analisa-se o sinal e, se for o caso, conclui-se que C e D são pontos de mínimo ou máximo, pouca importância se dá ao significado geométrico dessa operação e desse número calculado. Outro exemplo no qual a conversão do registro gráfico para o numérico foi requerida está na questão 41 do aplicativo, mostrada na figura 1. Figura 1 – Questão 41 do aplicativo Derivadas Quiz

Fonte: Waideman (2018a, p. 67)

Novamente, é muito comum os livros de Cálculo trazerem o teste da derivada segunda para concavidade, cujo enunciado é mostrado como “dica” no aplicativo em discussão, como mostra a figura 2, apenas em língua natural ou na representação algébrica. Entretanto, a equiparação entre as diferentes representações desse teste poderia ser profícua em termos de aprendizagem do conceito de concavidade e suas relações com a derivada segunda. Figura 2 – “Dica” da questão 41 do aplicativo Derivadas Quiz

Fonte: Waideman (2018a, p. 67)

Outro aspecto a favor da utilização da representação gráfica é que desde o ensino médio os alunos confundem a função ser positiva, com ser crescente. No ensino superior, algumas vezes, as palavras crescente, contínua e constante também são confundidas, talvez devido ao fato de que o ensino se restrinja à representação algébrica, ainda são poucos os professores que trabalham com outras representações. No caso do exemplo mostrado na figura 1, partindo da representação gráfica, o aluno teria que:


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1. Reconhecer que o gráfico de uma função tem concavidade voltada para cima quando a derivada segunda é positiva; 2. Reconhecer que uma função é positiva quando seu gráfico está acima do eixo das abscissas, o eixo x; 3. Determinar que o gráfico mostrado está acima do eixo x no intervalo; 4. Assinalar a alternativa d. No passo 3, ainda precisa estar atento para que o fato do gráfico de f ′′ (x) ter concavidade voltada para baixo não interfira no fato que deve ser observado, que é onde a função é positiva. Claro que se tivesse sido dada a expressão da função derivada segunda, outros conhecimentos seriam requeridos, mas talvez não com o mesmo custo cognitivo, e também não com as mesmas implicações lógicas e redes de relações que foram necessárias aqui. Não estamos com isso dizendo para abolir os exercícios em registro algébrico, estamos reforçando a necessidade de se trabalhar também com o registro gráfico como registro de partida. A criação do aplicativo Derivadas Quiz Toda a pesquisa bibliográfica realizada, que pode ser consultada em Waideman (2018a), levou aos requisitos considerados essenciais no aplicativo considerado como produto educacional do mestrado profissional: servir como fonte de estudo – atendendo aos aspectos essenciais para aquisição do conhecimento matemático, segundo a abordagem teórica utilizada, ser um instrumento com o qual o aluno pudesse avaliar sua proficiência no tema, desafiar o progresso dos estudantes dando-lhes condições teóricas para tal. Decidiu-se por criar duas fases: Questões de Aquecimento e Questões de Aprofundamento. Na primeira, os alunos podiam avaliar seu nível de conhecimento. A segunda já requeria um nível básico de proficiência. Para garantir a possibilidade de estudo mesmo sem o livro, a teoria necessária para a resolução de cada questão era apresentada como dica (como mostrado na figura 2) ao usuário, que poderia requerê-la após uma tentativa de resposta. O passo seguinte foi criar as questões segundo os preceitos da TRRS, e desafiando os próprios conhecimentos, já que o estudo das derivadas a partir das representações gráficas também não era uma atividade corriqueira. Considerando que o produto educacional deve ser algo “que possa ser disseminado, analisado e utilizado por outros professores” (MOREIRA; NARDI, 2009, p. 4), houve a preocupação de testagem prévia das questões que comporiam o aplicativo. Ainda no papel, como questões piloto, foram elaboradas 15 questões (14 delas sobre o tema e 1 sobre a viabilidade de uso do aplicativo), algumas com itens “a” e “b” para serem respondidos, outras de “SIM” ou “NÃO”, com quatro ou cinco alternativas que abrangiam os tópicos do tema derivadas de funções reais de uma variável real: técnicas, representação geométrica, máximos e mínimos. Nesse primeiro momento, as questões foram aplicadas, de forma presencial e em dupla, nas aulas de CDI, para 30 alunos da turma de Engenharia de Produção Agroindustrial, do 1º ano. Os alunos deveriam resolvê-las e justificar suas respostas, por meio de definições, teoremas, explicações ou língua natural suas respostas. O intuito era validar as “Dicas” já pensadas pela professora pesquisadora. Com isso, foi possível adequar as questões e as dicas para a elaboração do aplicativo.


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A programação e desenvolvimento do aplicativo foram realizados por uma aluna4 do Bacharelado em Ciências da Computação da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – campus Campo Mourão (UTFPR-CM), convidada para fazer parte desse projeto. Ao apresentar-lhe a proposta em reunião, decidiu-se a forma de apresentação das duas fases. A primeira: Questões de Aquecimento contém 11 questões teóricas, com resposta de “SIM” e “NÃO”, não possui dicas e, são necessários 7 acertos para liberar a segunda fase. O número 7 foi considerado, pelas autoras, como mínimo necessário para se ter maior aproveitamento da segunda fase. Quem não atinge esse número, tem a oportunidade de reiniciar a fase, com as questões misturadas aleatoriamente. Ao clicar na resposta, o feedback é imediato, piscando a resposta na cor verde, se estiver correta, ou vermelha, caso contrário. Para a produção dos dados dessa pesquisa, por facilidade de contato, escolheramse alunos do curso de Licenciatura em Matemática (do 1º ao 4º ano), de Engenharia de Produção Agroindustrial (do 1º e 2º ano), para os quais a professora-pesquisadora lecionara nos anos de 2016 e 2017 a disciplina de CDI-I, além de serem os únicos cursos da instituição que possuíam na grade curricular a disciplina de CDI-I. O questionário elaborado ao final da pesquisa, quando os alunos testaram o aplicativo, reforçou a intenção da elaboração da 1ª fase, como podemos perceber nas respostas apresentadas no quadro 4: Quadro 4 – Respostas de alunos sobre a fase de aquecimento do Derivadas Quiz

Fonte: Waideman (2018a, p. 73)

Na segunda fase, Questões de Aprofundamento, foram pensadas e elaboradas 32 questões objetivas, apresentadas em uma ordem estabelecida de acordo com os livrostextos, pois em geral é a que é estudada em sala de aula. Cada questão apresenta quatro alternativas, apenas uma correta. A elaboração dessa fase contemplou representações em registros em língua natural, algébrico, numérico e gráfico. As representações gráficas foram elaboradas com o auxílio do Software GeoGebra. Também foram usadas gravações de vídeos referentes à tela do software, com o uso dos “controles deslizantes”, o que permitiu uma dinamicidade dos gráficos não vistos nos livros-textos. Os vídeos complementam ou até enunciam as questões, por isso, podem ser pausados e recomeçados quantas vezes forem necessárias. Essa fase também conta com as “Dicas” que são habilitadas após a primeira tentativa de resposta sem sucesso. A 2ª fase permite a visualização ou desenvolvimento de vários registros de representação semióticos. Assim, é possível construir conceitos sobre qualquer tema. “Analisar várias facetas de um objeto matemático é fundamental, tanto para o ensino como para a aprendizagem. Na língua natural, mais utilizada em exercícios, devemos nos atentar para a clareza, objetividade e coerência nos enunciados” (WAIDEMAN, 2018a, p. 68-69). 4 Agradecimentos

a aluna Leticia Mazzo Portela.


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Partes da interface do Derivadas Quiz podem ser observadas nas figuras 3 e 4 ou no Produto Educacional I de Waideman (2018b)5 . Figura 3 – Interface do aplicativo Derivadas Quiz

Fonte: Waideman (2018b)

Figura 4 – Interface das fases e questões do aplicativo Derivadas Quiz

Fonte: Waideman (2018b)

Quando os alunos do curso de Licenciatura em Matemática (1º ao 4º ano) e de Engenharia de Produção Agroindustrial (1º e 2º ano) testaram o aplicativo, estes receberam o link por e-mail, juntamente com um questionário para avaliação. Tais dados foram analisados sob duas perspectivas: 1ª) Enquanto conhecimento matemático e possibilidades de tratamento e conversão, proporcionado pelas questões. 2ª) A contribuição de um aplicativo que permite o estudo em diferentes tempos e lugares. Em relação à primeira perspectiva, ressalta-se a importância de diversificar os registros de representação do objeto em análise, conforme já citado (DUVAL, 1995). Na pesquisa realizada (WAIDEMAN, 2018a, 2018b, 2018c), foi percebida dificuldade de interpretação dos estudantes ao se depararem com os dados contidos nos gráficos, bem como a deficiência 5O

Produto Educacional II está disponível em: http://twixar.me/0lBm.


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de conceitos relacionados ao comportamento do gráfico de uma função e suas derivadas, como citam Gonçalves e Reis (2013). Inferimos que a ausência de diversificação de RRS pode ser uma das causas das dificuldades apresentadas por Dall’Anese, (2000), Flores et al., (2017), em relação ao CDI. Já em relação à segunda perspectiva, as respostas dos estudantes mostraram consciência sobre o uso pedagógico do aplicativo (Aluno A), também validaram as expectativas das autoras em relação a otimização do tempo (Aluno C), bem como a dinamicidade e acessibilidade na hora de estudar (Aluno E). Vejam as respostas no quadro 5. Quadro 5 – Respostas de alunos sobre o uso de aplicativos em aula de CDI

Fonte: Waideman (2018a, p. 78-79)

Os estudantes destacaram como características positivas os gráficos, as dicas e o uso offline, também solicitaram mais fases separadas por níveis. A seguir, algumas considerações sobre o uso da TRRS nas aulas de CDI por meio do uso do Derivadas Quiz. Considerações O produto educacional Derivadas Quiz, elaborado como fruto da pesquisa de mestrado de Waideman (2018a), foi criado como um recurso digital que funciona offline, para o estudo do tema Derivadas, considerado, pelos estudantes, como um dos mais difíceis em CDI. Com ele, os alunos têm acesso à teoria relativa ao tema, bem como a questões de revisão e aprofundamento, na palma da mão, pelo celular (android). Os estudantes que participaram da pesquisa com o aplicativo (WAIDEMAN, 2018a) citaram a facilidade de manuseio, a possibilidade de uso offline e o fato de ter dicas usando a teoria como altamente positivo para o estudo. Mesmo após o período de pesquisa, os estudantes que o baixaram continuaram usando-o. Professores de matemática que tiveram contato com ele têm recomendado o aplicativo a estudantes, justamente por priorizar as representações gráficas, o que permite um novo olhar para o estudo das derivadas. Vale


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destacar a importância da Taxa de Variação Instantânea para diversos estudos como na Biologia, Economia, Mecânica, Eletricidade, Física, entre outros. Dificuldades como interpretação de dados, relações entre conteúdos, conversões de representações existem, evidentemente. Sugerimos o uso do aplicativo Derivadas Quiz ao término do tema derivadas, com objetivo de avaliar o aproveitamento dos alunos em relação ao conteúdo bem como a necessidade de retomar algum tópico. Os smartphone podem corroborar com essa aliança, por ser: de fácil acesso, interativo e dinâmico e não precisar de internet para o uso, uma vez baixado. Possui um feedback rápido e diferenciado; com uso consciente a favor da aprendizagem e diversas representações para o mesmo objeto matemático. Retomando a questão de pesquisa, “Quais aspectos do tema derivadas devem ser considerados no desenvolvimento do aplicativo?”, podemos dizer que ela deve ser respondida sob duas óticas: primeira, em relação ao objeto derivadas – consideramos que deve ser enfatizada a abordagem da derivada enquanto taxa de variação instantânea e as relações com o coeficiente angular da reta tangente a partir da representação gráfica e a equivalente representação algébrica, e vice-versa; segunda, o aplicativo deve ser de fácil manuseio, dar feedback imediato, funcionar offline e ter o conteúdo teórico relativo ao tema (por exemplo teoremas) disponível para pesquisa, se necessário. O Derivadas Quiz foi o passo inicial, ainda tem muito a ser melhorado. De modo geral, pode-se dizer que enfatiza as aplicações de máximos e mínimos das derivadas, a partir das representações gráficas. Contudo, ainda há tantos outros aspectos que poderiam ser inseridos em outras fases, essas, deixamos como sugestão de trabalhos futuros, inclusive para outros tópicos de estudo do CDI. Referências ALMEIDA, H. R. F. L. O uso das tecnologias digitais da informação e comunicação na aula de cálculo 1 a distância. In: XVII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Anais...Vitória, ES: [s.n.], 2013. COSTA, P. O.; SOUZA JÚNIOR, A. J. Tecnologia de Informação e Comunicação no ensino de Cálculo. FAMAT em Revista, n. 9, p. 431-440, 2007. Disponível em: http: //www.famat.ufu.br. BENTO, M. C.M.; CAVALCANTE, R. S. Em Educação: o uso do celular na sala de aula. ECCOM, v. 4, n. 7, jan./jun. 2013. p. 113-120. DALL’ANESE, C. Conceito de derivada: Uma proposta para seu ensino e aprendizagem. 2000. 140 f. Dissertação (Mestrado)- Educação de Matemática, PUC, São Paulo, 2000. Disponível em: https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/11160/1/dissertacao_claudio_ dall%20Anese.pdf DUVAL, R. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. 1993. Trad. de Méricles Thadeu Moretti. Revemat, Florianópolis, v. 7, n. 2, 2012. p. 266-297. ______. Sémiosis et pensée humaine: Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995. ______.Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais. (fascículo I). Tradução de Lenio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.


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O uso do jogo de tabuleiro “Trilha matemática criptografada” na aprendizagem de funções polinomiais Solange Mariano da Silva Santos | Zenaide de Fátima Dante Correia Rocha

Introdução

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dos alunos em avaliações de Matemática e os altos índices de evasão escolar e reprovação nessa disciplina têm sido motivo de muita preocupação por parte de todos aqueles que enxergam a educação como uma possibilidade de transformação da sociedade, conforme o Referencial Curricular do Paraná (PARANÁ, 2018) que prevê a perspectiva do ensino de Matemática na formação integral dos estudantes, e a escola como um espaço dialógico, social, cultural e político. Embora a Matemática seja uma disciplina fundamental e uma ferramenta útil, tendo em vista as suas múltiplas aplicações no cotidiano, fazendo parte da vida das pessoas, desde as experiências mais simples como contar até as atividades profissionais, ela ainda é temida por muitos alunos pelo fato de ser considerada uma área de conhecimento difícil de ser compreendida (DANTAS FILHO, 2017). Na busca por tentar compreender esses obstáculos enfrentados pelos estudantes na aprendizagem Matemática foi aplicado um questionário aos alunos do 1º, 2º e 3º ano do Ensino Médio do Colégio, onde a professora-pesquisadora lecionava no ano de 2018, com o intuito de observar as percepções sobre os fatores relacionados ao desinteresse e às dificuldades nas aulas de Matemática. Com base nas respostas dos alunos, a professora-pesquisadora elaborou e aplicou um jogo de tabuleiro interativo com o intuito de potencializar a aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau e o desenvolvimento dos estudantes, tendo em vista seu aspecto lúdico. Desta forma, o jogo “Trilha Matemática Criptografada”, também chamado de Produto Educacional, foi aplicado a alunos do 1º ano do Ensino Médio para a aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau. Esse produto foi elaborado, aplicado e validado no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) multicampi – Cornélio Procópio e Londrina e se encontra disponibilizado em http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4562. O trabalho realizado teve como questão de pesquisa investigar de que maneira a utilização desse recurso didático contribui para aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau. BAIXO DESEMPENHO

O produto educacional O Produto Educacional apresentado neste capítulo foi elaborado pela professorapesquisadora e sua orientadora para atender aos anseios dos alunos da primeira. Desta forma tomou-se por base as respostas ao questionário de uma pesquisa feita com 52 alunos de três turmas do Ensino Médio, sendo 20 do 1º ano, 17 do 2º e 15 do 3º, de um Colégio Estadual na região Norte do Paraná, nas quais a professora-pesquisadora deste trabalho


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ministrou aulas no ano letivo de 2018, esta pesquisa pode ser lida na íntegra na dissertação de Mestrado de SANTOS (2019). O jogo envolve o conteúdo de funções polinomiais do 1º e 2º grau. As cartas-perguntas com situações-problema foram adaptadas ou copiadas de livros didáticos e/ou sites educacionais (DANTE, 2013, 2015; EXERCÍCIOS..., 2019; GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI JUNIOR, 2012; MATEMATIQUÊS, 2019; QUESTÕES..., 2019; SMOLE; DINIZ, 2005). De acordo com Grando (1995), os jogos podem ser classificados em: jogos de azar, jogos de quebra-cabeça, jogos de estratégia, jogos de fixação de conceitos, jogos pedagógicos e jogos computacionais, para isso leva-se em consideração a função que ele assume num contexto social e didático-metodológico. Lara (2003) diferencia os tipos de jogos pedagógicos em jogos de construção, jogos de treinamento, jogos de aprofundamento e jogos estratégicos. No entanto, a professora-pesquisadora teve o cuidado de selecionar questões que se enquadrassem nas classificações de Grando (1995) e Lara (2003), mais especificamente nos jogos pedagógicos de treinamento e de aprofundamento. Para Grando (1995) jogos pedagógicos são aqueles utilizados durante o processo de ensino e aprendizagem quando ultrapassam a barreira lúdica do jogo. As situações-problema contidas nas cartas-perguntas foram apresentadas criptografadas, em forma de QR CODE1 , para isso a professora-pesquisadora utilizou o site Rcodemonkey2 (2019), que cria os códigos gratuitamente. O jogo Trilha Matemática Criptografada contém: 20 cartas-pergunta vermelhas criptografadas, 20 cartas-resposta vermelhas criptografadas, 20 cartas-pergunta amarelas criptografadas, 20 cartas-resposta amarelas criptografadas, 20 cartas-pergunta azuis criptografadas, 20 cartas-resposta azuis criptografadas, 01 tabuleiro (Figura 1), 01 manual de instruções, 01 dado e 02 carrinhos de cores diferentes, folhas com gráficos, tabelas e diagramas. Aqui utilizamos somente a escala cinza nas cores das figuras e imagens, tendo 03 tons de cinza, cinza escuro representa o vermelho, cinza médio representa o azul e cinza claro representa o amarelo.

1 Sigla

do inglês Quick Response, resposta rápida em português, é um código de barra dimensional que pode ser facilmente escaneado usando a maioria dos telefones celulares equipados com câmera, esse código é convertido em texto, um endereço URL, um número de telefone, uma localização etc. 2 www.qrcode-monkey.com


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Figura 1 – Tabuleiro do jogo Trilha Matemática Criptografada

Fonte: SANTOS (2019, p.41)

Figura 2 – Peças do jogo Trilha Matemática Criptografada

Fonte: SANTOS (2019, p.41)

Cada tipo de problema foi classificado por uma cor de carta: as cartas amarelas apresentam exercícios para aplicação de algoritmos e se enquadram dentro dos jogos de treinamento; as cartas azuis envolvem a análise e interpretação de gráficos e tabelas, enquadrando-se dentro dos jogos de treinamento e/ou aprofundamento; as cartas vermelhas contêm situações-problema mais elaboradas e contextualizadas, que se enquadram dentro dos jogos de aprofundamento. A título de exemplo, apresentamos a carta-pergunta vermelha 10, que possui o seguinte problema: “Um cabeleireiro cobra R$ 12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$ 10,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora


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marcada e um número variável de clientes sem hora marcada. Qual foi a quantia arrecadada num dia em que foram atendidos 18 clientes?”. A Figura 3 mostra essa pergunta vermelha 10 com a sua resposta na forma de QR CODE. Figura 3 – Cartas vermelhas do jogo Trilha Matemática Criptografada

Fonte: SANTOS (2019, p.42)

A seguir apresentamos como exemplo a carta-pergunta amarela 20, que possui o seguinte enunciado: “Escreva a função afim f (x) = ax + b, sabendo que: f (1) = 5 e f (−3) = −7”. A Figura 4 mostra essa pergunta com sua respectiva resposta na forma de QR CODE. Figura 4 – Cartas amarelas do jogo Trilha Matemática Criptografada

Fonte: SANTOS (2019, p.43)

Apresentamos no Quadro 1 a carta-pergunta azul 05, e logo em seguida a Figura 5 com a mesma pergunta e sua respectiva resposta, mas na forma criptografada. Quadro 1 – Pergunta Azul 05

Fonte: SANTOS (2019, p.43)


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Figura 5 – Pergunta Azul 05

Fonte: SANTOS (2019, p.43)

Pressupostos teóricos que orientaram a elaboração, aplicação e análise do produto educacional Ao recorrermos ao dicionário on-line encontramos como definição da palavra Jogo; qualquer atividade recreativa que tem por finalidade entreter, divertir ou distrair; brincadeira, entretenimento, folguedo (JOGO..., 2019). Santos e Rocha (2019), afirmam que o fato de muitas vezes o jogo ser visto somente como sinônimo de entretenimento e distração, pode contribuir para o fato de não ser levado tão a sério por muitos educadores quando se referem ao jogo como uma ferramenta de ensino. Carcanholo (2015), em sua dissertação de mestrado sobre os jogos como alternativa metodológica no ensino de matemática, afirma que o jogo pode também ser utilizado para fins educacionais. O jogo também é considerado um campo propício para o valor educativo, considerado por diversos estudiosos esta função. O que pode alterar o suporte de tal significação é a base teórica que respalda o seu uso. Desta maneira, o jogo pode ser utilizado como análogo a exercícios mecânicos, para treinos de conteúdo específicos, para desenvolver o raciocínio, com fins à cooperação e interação social, com o intuito de aperfeiçoamento e auxílio à memória, para desenvolver a descentração do pensamento ou com a finalidade de fixar a aprendizagem e reforçar o desenvolvimento de atitudes e habilidades (CARCANHOLO, 2015, p. 85-86).

De acordo com Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2018), a educação básica tem o compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático do aluno. [...] as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. (BRASIL, 2018, p.264)

Santos e Rocha (2019) defendem que o letramento matemático proporciona aos estudantes reconhecerem os conhecimentos matemáticos como fundamentais para a compreensão e para sua atuação no mundo, enfatizando ainda que o jogo pedagógico propicia o desenvolvimento das competências e habilidades descritas em Brasil (2018). Assim, o jogo intelectual da matemática favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso, o que mobiliza a aprendizagem de conceitos matemáticos pela via emocional. Grando (2000, p.16), em sua pesquisa sobre a concepção e trabalho com jogos no processo de formação de conceitos matemáticos num contexto escolar, defende que “o


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jogo de regras possibilita à criança a construção de relações quantitativas ou lógicas, que se caracterizam pela aprendizagem em raciocinar e demonstrar, questionar o como e o porquê dos erros e acertos”. Porém, a atividade do jogo, no contexto do processo ensino e aprendizagem da Matemática não é algo tão simples, e existe a possibilidade de não surtir efeito. Diante disso, Grando (2000) afirma que tal fato pode ser evitado se o professor tomar alguns cuidados como: propor objetivos claros que se pretende alcançar com o jogo, uma metodologia adequada ao nível dos alunos e que represente uma atividade desafiadora. Baseado em suas investigações sobre o desenvolvimento dos processos superiores do ser humano, Vygotsky, Luria e Leontiev (2010) afirmam que, o brinquedo também cria uma zona de desenvolvimento proximal na criança, tendo enorme influência em seu desenvolvimento. O termo brinquedo utilizado por Vygotsky se refere ao ato de brincar, caracterizando esse brincar da criança como imaginação em ação, assim a situação imaginária é eleita pelo autor como um dos elementos fundamentais das brincadeiras e dos jogos. O desenvolvimento do ser humano depende do aprendizado que realiza em um determinado grupo social por meio de interações. Segundo Vygotsky (apud OLIVEIRA, 2011), o aprendizado ou aprendizagem é o processo pelo qual o indivíduo adquire valores, informações, habilidades, etc., a partir do seu contato com a realidade, com o meio social e com as outras pessoas. Sobre a lei do desenvolvimento das funções psicointelectuais superiores na criança, Vygotsky afirma que: Todas as funções psicointelectuais superiores aparecem duas vezes no decurso do desenvolvimento da criança: a primeira vez, nas atividades coletivas, nas atividades sociais, ou seja, como funções interpsíquicas: a segunda, nas atividades individuais, como propriedades internas do pensamento da criança, ou seja, como funções intrapsíquicos (VYGOTSKY apud OLIVEIRA, 2011, p.19-20).

Face ao exposto, Vygotsky identifica dois níveis de desenvolvimento: o nível de desenvolvimento real e o nível de desenvolvimento potencial. O nível de desenvolvimento real, refere-se àquilo que o sujeito já sabe e que realiza sozinho, sem o auxílio de alguém mais experiente; o nível de desenvolvimento potencial, refere-se aquilo que o sujeito é capaz de fazer, mas com o auxílio de outra pessoa (mediação). A distância entre esses dois níveis de desenvolvimento, o real e o potencial, é o que Vygotsky chama de zona de desenvolvimento proximal, ou seja, é o caminho que o indivíduo percorre para desenvolver suas funções que estão em processo de amadurecimento, sendo assim, o aprendizado é o responsável por criar essa zona de desenvolvimento proximal. O aprendizado é o principal objetivo em um ambiente escolar e, seguindo as concepções de Vygotsky, é papel do professor interferir na zona de desenvolvimento proximal dos alunos, provocando avanços que não ocorreriam espontaneamente, isso não significa que o professor deve ocupar uma postura autoritária ou dar respostas prontas para seus alunos, mas auxiliá-los e instigá-los a raciocinar, a pensar. Porém, em um ambiente escolar, o professor não é o único que pode intervir no desenvolvimento dos estudantes, isso também pode ocorrer pela interação com os outros alunos; assim um estudante que esteja mais avançado em um determinado assunto pode contribuir com o desenvolvimento dos demais enquanto mediador do conhecimento.


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Coleta de dados A coleta de dados realizada para a pesquisa de Santos (2019) foi subsidiada por quatro momentos, no 3º bimestre do ano letivo de 2018. No primeiro momento, intitulado por nós de pré-jogo, a professora-pesquisadora elaborou e aplicou uma tarefa com 08 situações-problema envolvendo os conteúdos matemáticos, funções polinomiais do 1º e 2º grau, sendo estes os conteúdos estudados no 1º e 2º bimestres; a tarefa foi resolvida individualmente em sala de aula sem o auxílio da professora-pesquisadora, sendo utilizada uma hora/aula de 50 minutos. No segundo momento, um dia após a aplicação da tarefa e sem saberem quais questões eles haviam acertado, a professora-pesquisadora propôs o jogo “Trilha Matemática Criptografada” envolvendo os mesmos conteúdos, mas não as mesmas questões da tarefa do dia anterior, como um instrumento possível para aprendizagem de funções polinomiais do 1º e 2º grau, para esta ação foram necessárias duas horas/aula de 50 minutos cada. Em um terceiro momento, a professora-pesquisadora discutiu e apresentou no quadro de giz, estratégias de resoluções possíveis para as situações-problema propostas no jogo; para isso foi utilizada uma hora/aula de 50 minutos. Por fim, no quarto momento, a professora-pesquisadora aplicou novamente a tarefa inicial sobre funções polinomiais do 1º e 2º grau mantendo os mesmos problemas, porém acrescentando um questionamento: se o jogo “Trilha Matemática Criptografada” havia auxiliado na aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau. Para essa atividade também foi utilizada uma hora/aula de 50 minutos. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram gravações de áudio e imagem, registros escritos e orais dos alunos. Todos os participantes e/ou seus responsáveis legais assinaram o termo de consentimento livre e esclarecido, seguindo as recomendações do comitê de ética da pesquisa. Desta forma, para preservar a identidade deles na organização e análise dos dados, os 20 alunos foram representados pela letra A, seguido do número de alunos de forma aleatória (A1, ..., A20), e a professora-pesquisadora, pela letra P. Aplicação do produto e análise dos resultados Inicialmente, a professora-pesquisadora apresentou uma tarefa com 08 situaçõesproblema envolvendo os conteúdos matemáticos funções polinomiais do 1º e 2º grau, explicando que estes conteúdos haviam sido estudados nos bimestres anteriores, e que a tarefa deveria ser resolvida individualmente e em sala de aula, mas sem o auxílio dela. O objetivo dessa tarefa pré-jogo foi verificar o nível de desenvolvimento real dos alunos em relação aos conteúdos de funções polinomiais do 1º e 2º grau, ou seja, a capacidade que eles tinham de realizar essa tarefa de forma independente para, posteriormente, poder contrastar com os resultados da tarefa pós-jogo, podendo assim observar se o jogo “Trilha Matemática Criptografada” oportunizou aos alunos a aprendizagem dos conteúdos trabalhados mediante este recurso didático. A tarefa aplicada encontra-se no Quadro 2, as situações-problema nela apresentada foram adaptadas ou copiadas de livros didáticos e/ou sites educacionais.


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Quadro 2 – Tarefa do pré-jogo

Fonte: Adaptado de Dante (2013, 2015), Exercícios... (2019), Giovanni, Castrucci e Giovanni Junior (2012), Matematiquês (2019), Questões... (2019) e Smole e Diniz (2005)

Na resolução dessa tarefa, percebemos que todos estavam empenhados em realizála, embora alguns alunos apresentassem dificuldades por não lembrarem determinados conceitos ou fórmulas, recorrendo diversas vezes à professora-pesquisadora no sentido de solicitar auxílio, o que lhes foi negado, posto que o objetivo estava em realizarem sozinhos, raciocinando, pensando a partir do conhecimento por eles apropriado, que em analogia à concepção Vigotskyana corresponde ao nível real de conhecimento que o sujeito traz naquele instante. O Quadro 3 apresenta a quantidade de acertos por questão. Quadro 3 – Número de acertos da tarefa pré-jogo

Fonte: SANTOS (2019, p.48)


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Ao analisarmos os dados apresentados no Quadro 3, nota-se que as questões 1 e 2 foram as que obtiveram o maior percentual de acerto, por valorizar a reprodução mecânica, ou seja, a memorização e repetição, o que pode ser confirmado pela Figura 6, que apresenta a produção de dois alunos distintos, mas com a mesma linha de raciocínio. Figura 6 – Questão 2 resolvida por 2 alunos distintos

Fonte: SANTOS (2019, p.49)

Já as questões 7 e 8, foram as que tiveram o menor índice de acertos, por tratarem de situações-problema que exigiam do aluno ler, compreender e aplicar o conhecimento matemático. A Figura 7 apresenta a resolução de um aluno que não foi capaz de ler e interpretar adequadamente o que se pedia no enunciado da questão 7. Figura 7 – Dificuldade na interpretação e resolução de problemas

Fonte: SANTOS (2019, p.49)

Buriasco, Ferreira e Ciani (2009), afirmam que além de compreender, o aluno precisa interpretar o enunciado para conseguir buscar uma estratégia para resolvê-lo, considerando que a interpretação está diretamente ligada à ação, o que justifica o fato de 11 alunos terem deixado a questão 7 em branco e 15 alunos a questão 8. A dificuldade dos alunos na leitura e interpretação é ainda mais visível nas aulas de Matemática, pois é necessário o conhecimento tanto da linguagem materna quanto da linguagem matemática. No dia seguinte à aplicação da tarefa pré-jogo e mediante a condição dos estudantes desconhecerem quais questões eles haviam acertado, aplicamos o jogo “Trilha Matemática Criptografada”. Inicialmente a professora-pesquisadora separou os vinte alunos (A1, ..., A20) da turma em dez duplas, sendo representadas pela letra D seguida do número de duplas (D1, ..., D10), colocando propositalmente um aluno com mais facilidade junto a um outro que apresentava maior dificuldade, sem que eles soubessem desse critério. Esta ação pedagógica teve por base no proposto por Vygotsky, quando este afirma que uma criança que tenha conhecimento mais avançado em um determinado assunto pode contribuir com o desenvolvimento de seus pares, agindo como mediadora desse conhecimento.


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Nessa perspectiva, as duplas formadas foram distribuídas em cinco grupos, sendo estes representados pela letra G seguido do número de grupos (G1, ..., G5), em que uma dupla jogava contra a outra, e a dupla adversária ficava responsável em cronometrar o tempo de cada jogada que não podia ultrapassar o tempo máximo de 3 minutos. Após a formação dos grupos, a professora-pesquisadora apresentou o jogo aos alunos, deixando claro quais eram as regras, e explicando que durante o jogo não iria esclarecer dúvidas relacionadas à Matemática, suas intervenções seriam somente sobre o funcionamento do jogo, e ainda, solicitou que as duplas utilizassem a folha rascunho para resolverem as situações-problema, e que deviam ser entregues para ela ao término do jogo, junto com a gravação do áudio das discussões dos grupos. Optamos por analisar esse momento em duas partes: o jogo, relacionado ao aspecto cognitivo; e o jogar, relacionado ao aspecto afetivo e emocional. O jogo contém 60 cartas-perguntas e 60 cartas-respostas, todas criptografadas, distribuídas igualmente em três cores: vermelha, amarela e azul. Decidimos por classificar cada tipo de problema por uma cor de carta e um tipo de jogo, esta classificação pode ser vista na íntegra na dissertação de mestrado de Santos (2019). Para facilitarmos a leitura e análise dos dados, decidimos por nomear as cartas amarelas por CAM, as cartas azuis por CAZ e as cartas vermelhas por CV, todas elas sucedidas pelo número da pergunta. O jogo possui: * 20 cartas-perguntas amarelas (CAM1, ..., CAM20), que contêm perguntas que não exigem um raciocínio mais aprimorado, são exercícios para aplicação de algoritmos que, seguindo a classificação de Lara (2003), enquadram-se dentro dos jogos de treinamento, nos quais o aluno usa o mesmo tipo de pensamento várias vezes com intuito de se familiarizar com o conceito estudado; * 20 cartas-perguntas azuis (CAZ1, ..., CAZ20), envolvem a análise de gráficos e tabelas. Como os sites e/ou aplicativos que convertem imagem em QR CODE são pagos, a professora-pesquisadora não os utilizou, convertendo somente a parte textual, mas as imagens ficaram em tamanho reduzido; para que não comprometesse a análise das imagens, foi entregue a cada grupo uma folha frente e verso com as imagens ampliadas. Seguindo a classificação de Lara (2003), enquadram-se dentro dos jogos de treinamento e/ou aprofundamento; * 20 cartas-perguntas vermelhas (CV1, ..., CV20), que contêm situações-problema mais elaboradas e contextualizadas que, de acordo com a classificação de Lara (2003), enquadra-se dentro dos jogos de aprofundamento, nos quais o aluno aplica conceitos matemáticos já estudados na resolução de problemas. O jogo como um instrumento mediador do conhecimento nos permite verificar o nível de desenvolvimento potencial (NDP) dos alunos, isto é, a capacidade que eles têm de desempenhar tarefas com a ajuda dos colegas. Para fins de análise desse jogo, denominamos os 20 alunos por A1, ..., A20, as 10 duplas por D1, ..., D10 e os 05 grupos por G1, ..., G5. A Figura 8 mostra como os alunos, duplas e grupos, foram distribuídos.


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Figura 8 – Distribuição dos alunos por grupos

Fonte: SANTOS (2019, p. 64)

Para Santos (2019), de acordo com Vygotsky, há tarefas que um indivíduo não é capaz de realizar sozinho, mas será capaz de realizá-las se alguém lhe auxiliar ou der instruções, o que fica claro no diálogo abaixo, no qual A3 e A4 do G1, resolve a CAZ4: A4: Esse é o contradomínio? A3: Primeiro tem que ver se é função A4: Como eu sei se é função? A3: Um daqui não pode tá ligando em dois ou mais de lá, e daqui todos tem que tá ligando com um de lá. A4: Então é função! A3: Isso coloca aí... É função, domínio é esse daqui, contradomínio é 5,7... A4: Não... É todos daqui. A3: Verdade, e a imagem? A4: Todos que tá ligando, 3,5, e 7. A3: É? Não lembro muito. A4: Sim, é o que recebe a flechinha. A gente terminou. A1: Pode falar. A4: É função, domínio é 0,1 e 4, o contradomínio e domínio são esses daqui. A1: Tá certo. A3: Uhul.

Os alunos A3 e A4 só conseguiram resolver corretamente esse problema porque interferiram na zona de desenvolvimento proximal um do outro e trocaram ideias e informações, com isso colocaram em atividade o que Vygotsky chama de processos de desenvolvimento das funções mentais, tais como: percepção, atenção e memória. Para ele, o


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desenvolvimento humano está baseado no aprendizado, e este, sempre envolve a interferência direta ou indireta de outros na reconstrução dos significados. É válido ressaltar que, em uma sala de aula, os alunos são heterogêneos quanto ao conhecimento já adquirido em diversas áreas e que um indivíduo mais avançado num determinado assunto pode contribuir com a aprendizagem dos outros. O jogo “Trilha Matemática Criptografada” como um instrumento de ensino foi utilizado pela professora-pesquisadora mediante uma situação que proporciona uma zona de desenvolvimento proximal (ZDP) nos alunos, promovendo avanços nos processos de aprendizagem e desenvolvimento. Durante a aplicação do jogo e, ao analisar as gravações de áudio e imagem, a professorapesquisadora, notou que os alunos mesmo após não terem acertado a resposta e terem passado a vez para a dupla adversária, buscavam entender onde havia errado, isso mostra que não jogaram por jogar, eles queriam saber o jeito certo de resolver, sendo assim, o jogo “Trilha Matemática Criptografada” assume o seu valor pedagógico ao ultrapassar a barreira lúdica do jogo pelo jogo. Para Rego (1995), o instrumento tem a função de regular as ações sobre o psiquismo das pessoas. Os signos seriam, para Vygotsky, os mesmos instrumentos, porém numa dimensão psicológica. A ação de jogar enfatiza os aspectos afetivos resgatados durante um momento lúdico. Os aspectos de ordem emocional que envolvem interesse, atitudes e valores, são difíceis de mensurar, devido ao seu alto grau de subjetividade; assim decidimos utilizar o domínio afetivo da taxonomia de Bloom para auxiliar na compreensão de tais aspectos. Figura 8 – Domínio afetivo da taxonomia de Bloom

Fonte: Adaptada de Ferraz e Belhot (2010, p.423)

Durante o processo de aplicação do Produto Educacional, os alunos ouviram atentamente quando a professora-pesquisadora apresentou o jogo e explicou as regras, receberam e aceitaram o que lhes foi oferecido (receptividade); e, a partir daí, eles se dispuseram a jogar, demonstrando interesse pelo jogo (resposta); expondo seus pontos de vista e suas interpretações na resolução dos problemas (valorização); e quando um colega os questionava sobre a sua resposta, eles defendiam a sua linha de raciocínio e argumentavam apresentando exemplos (organização). A única categoria que não observamos durante a aplicação do jogo, foi a caracterização por não ser objetivo deste estudo, visto que está relacionada a valores incorporados e associados ao caráter.


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De acordo com Vygotsky, a afetividade é uma construção social, elaborada a partir da mediação com o outro, e é imprescindível no processo de construção do conhecimento. A seguir, apresentamos um diálogo entre os alunos da D2 e a professora que ilustra esse aspecto: A3: Queria comprar um negócio desse para brincar. A4: Né, porque a gente brinca e estuda matemática. A4: Professora... P: Oi. A4: Eu amei esse jogo! A3: Você que comprou? P: Eu que fiz. A3: Ah, a gente queria saber onde vende, a gente queria comprar para jogar. P: Não tem para vender, fui eu que elaborei. A3: Tudo essas cartinhas? P: Sim. A3: Nossa que legal. A4: A gente achou que tinha para vender, queríamos comprar. P: Quem sabe um dia (risos). A3: Que legal, eu quero um desse! A4: Eu também queria um. A3: Gente que massa, achei que ela tinha comprado. A3: Quando terminarmos vamos jogar de novo? A4: Vamos ficar aqui jogando até dar meio-dia.

Pelas falas dos alunos nesse diálogo fica evidente o interesse e envolvimento deles com o jogo “Trilha Matemática Criptografada”, o que auxilia no gosto pelo aprender e na busca pelo conhecimento. Esse envolvimento permite a implicação da aprendizagem, já que por meio do prazer eles se envolvem e aprendem a Matemática. Para Vygotsky, não se pode separar o afetivo do cognitivo, e para ele um grande problema da psicologia tradicional é a ruptura entre o intelecto e o afeto, uma vez que o pensamento vem do que ele chama de esfera de motivação, que corresponde às necessidades, interesses, afetos e emoção. Assim, ao trabalharmos com os aspectos afetivos que permeiam o jogo estamos tornando a aprendizagem formal dos alunos mais prazerosa e eficiente. Ao término da aplicação do jogo, a professora-pesquisadora recolheu a folha rascunho das duplas. No dia seguinte, em momento de plenária, promoveu uma discussão dos processos de resolução, conduzindo os alunos à compreensão e à interpretação das situaçõesproblema que eles apresentaram dificuldades durante o jogo. Após a verificação por parte da professora-pesquisadora das situações-problema que os alunos consideraram mais complexas, com base nas folhas rascunhos e em seu diário de campo, ela deu início à plenária. Ao começar a resolução das situações-problema, a professora-pesquisadora convidou os alunos a partilharem as suas estratégias, onde apareceram algumas representações diferentes, permitindo aos alunos avaliarem os argumentos apresentados e compararem diferentes caminhos e, por fim, mediante tais intervenções fez conexões entre os diversos tipos de raciocínio registrando no quadro de giz. O diálogo a seguir mostra um momento da plenária em que alunos de duas duplas, a D4 e a D5, apresentam suas estratégias de resolução para a CV3:


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A10: Professora eu posso falar como que a gente fez? P: Claro. A10: Primeiro eu fiz 80 menos 36, porque o problema falava que a conta tinha que ser inferior a 80 reais, e 36 reais já era o valor mensal da assinatura. P: Certo. A10: Que deu 44 reais, aí eu peguei esses 44 reais e dividi por 1,75. P: Por que você dividiu 44 por 1,75? A10: Para achar o total de minutos que podia falar. P: Isso mesmo, muito bem. A10: Deu 25, Vírgula, alguma coisa, então eu coloquei que para não ultrapassar o valor de 80 reais, podia usar no máximo 25 minutos durante o mês. A7: O meu também tinha dado 25, vírgula, alguma coisa, mas tinha ficado negativo. A10: Como que a quantidade de minutos ia ficar negativo? A7: Eu fiz de outro jeito, eu montei a lei de formação dessa função. A10: Professora pode ter respostas diferentes para esse problema, dependendo do jeito que fizer? P: Não, vocês podem seguir caminhos diferentes, mas precisam chegar no mesmo resultado. A7 você pode vir até o quadro mostrar como você chegou nesse resultado? A7: Posso sim. Eu fiz assim 36 – 1,75 × < 80. P: O que significa esses valores que você colocou antes do sinal de desigualdade? A7: O valor que vai ser pago da conta. P: O enunciado diz o seguinte “A assinatura mensal de um telefone celular é de R$ 36,00 e cada minuto falado custa R$ 1,75”, o que você colocou ali condiz com o que está no enunciado? A7: Nossa professora, eu troquei o sinal, tinha que ser mais no lugar de menos, é 36 reais da assinatura mais 1,75 por minuto falado, não acredito, que raiva. P: Se a A7 não tivesse trocado o sinal, eles chegariam no mesmo resultado? Todos: Sim. P: Isso mesmo, o A10 fez a mesma coisa, mas sem utilizar a linguagem matemática, ele não montou a lei de formação da função, mas a parte procedimental foi a mesma.

Na abordagem de Vygotsky, o professor deixa de ser visto como um agente exclusivo de informação e formação dos alunos, uma vez que as interações estabelecidas entre os colegas de classe também têm um papel fundamental na promoção dos avanços no desenvolvimento individual. No dia posterior à plenária, a professora-pesquisadora propôs novamente a tarefa aplicada no momento do pré-jogo, ela entregou uma nova folha, mas com as mesmas situações-problema sem ter dito a eles quais estavam certas ou erradas. O Quadro 4 apresenta o desempenho por aluno, tanto da tarefa pré-jogo, quanto no pós-jogo. Ao analisarmos os dados expostos no Quadro 4, é possível perceber que todos os participantes da pesquisa, ou seja, os 20 alunos dessa turma, obtiveram avanços entre os números de acertos da tarefa pré-jogo e pós-jogo, assim, aquilo que precisava ser mediado (atividade Inter psíquica) passou a constituir-se em um processo voluntário e independente (atividade intrapsíquica), o que nos permite inferir sobre a potencialidade do jogo como instrumento importante para o ensino de matemática.


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Quadro 4 – Comparativo de acertos por aluno no pré-jogo e no pós-jogo

Fonte: SANTOS (2019, p. 75-76)

Considerações finais O Produto Educacional, jogo de tabuleiro “Trilha Matemática Criptografada”, teve como objetivo investigar os efeitos da aplicação deste recurso didático na aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau, e no desenvolvimento dos estudantes tendo em vista seu aspecto lúdico. Para isto apresentou-se a análise na ordem em que sua aplicação ocorreu: inicialmente o pré-jogo, na sequência a aplicação do jogo, a sistematização e, por fim, o pós-jogo. Ao analisarmos a tarefa que foi aplicada no momento do pré-jogo, notamos que os alunos estavam empenhados em realizá-la, embora alguns deles apresentassem dificuldades por não lembrarem alguns conceitos ou fórmulas; essa dificuldade pode ser observada nos dados que foram apresentados no Quadro 3, que mostra o percentual de acertos por questão. A intenção dessa tarefa pré-jogo foi verificar o nível do desenvolvimento real dos alunos em relação aos conteúdos de funções polinomiais do 1º e 2º grau, ou seja, a capacidade que eles tinham de realizar essa tarefa de forma independente. Em seguida, aplicamos o Produto Educacional o jogo de tabuleiro “Trilha Matemática Criptografada”, analisamos e interpretamos os seus resultados. Optamos por fazer essa análise em duas partes para que o objetivo de pesquisa pudesse ser evidenciado, então olhamos para o jogo, relacionado ao aspecto cognitivo; e o jogar, relacionado ao aspecto afetivo e emocional. O jogo como um instrumento mediador do conhecimento nos permitiu verificar o nível de desenvolvimento potencial dos alunos, isto é, a capacidade que eles tinham de desempenhar tarefas com a ajuda dos colegas. Os trechos dos diálogos apresentados entre


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aluno/aluno e alunos/professora reforçam o que Vygotsky defendia, que existem tarefas que um indivíduo não é capaz de realizar sozinho, mas será capaz de realizá-las se alguém mais capaz lhe auxiliar. O aspecto lúdico do jogo enfatiza o desenvolvimento afetivo e emocional, e para Vygotsky é imprescindível no processo de construção do conhecimento. Ainda, pelas falas dos alunos, é possível percebermos o interesse e envolvimento deles com o jogo, o que os auxilia no desejo em aprender Matemática, enfatizamos ainda, que a utilização de tecnologias (smartphones) e criptografias (QR CODE) também foi importante para a motivação dos estudantes e contribuiu para que o jogo fosse mais instigante. O jogo “Trilha Matemática Criptografada” assume o seu valor pedagógico ao ultrapassar a barreira lúdica do jogo pelo jogo, já que os alunos mesmo após não terem acertado a resposta e passarem a vez para a dupla adversária, buscavam entender onde haviam errado, isso mostra que não jogaram por jogar, eles queriam saber o jeito certo de resolver, o que lhes possibilitou avançar em seus conhecimentos, sair do nível real atual de conhecimento sobre o conteúdo para um nível mais sofisticado a partir daquele potencial desencadeado na atividade cognitiva, o que oportunizou aprender sobre esse determinado conceito em foco. Por fim, pelo Quadro 4, constatou-se melhora no rendimento dos alunos, ao compararmos o desempenho deles na tarefa pré-jogo com a tarefa pós-jogo. No entanto, consideramos haver indícios de que esse Produto Educacional oportunizou a aprendizagem das funções polinomiais do 1º e 2º grau, concomitante com o proposto por Vygotsky, o desenvolvimento individual ocorre num ambiente social determinado por relações com o outro, e a maneira como esse jogo foi pensado, elaborado e aplicado, principalmente pela organização em duplas, que foram cuidadosamente definidas, pensando em colocar um aluno com mais facilidade com outro que apresentasse maior dificuldade, permitiu a interação entre os estudantes por meio do ato mediado, e aquilo que um estudante conseguia resolver “no aqui e agora” foi posto em ação com ajuda de alguém, o que provavelmente o mobilizou a fazer sozinho em outro momento, colocando em atividade um novo conhecimento. Ademais, é possível projetar para análises futuras, face aos dados coletados na aplicação deste produto educacional à situação investigada, sua contribuição para a formação de atitudes sociais como respeito ao próximo, cooperação, obediência a regras, iniciativa pessoal, a considerar o fato de ter proporcionado um ambiente agradável e atraente para a aprendizagem Matemática. Referências BRASIL. Ministério da Educação. Base nacional comum curricular. Brasília: MEC: SEB, 2018. BURIASCO, R. L. C.; FERREIRA, P. E. A.; CIANI, A. B. Avaliação como prática de investigação (alguns apontamentos). Bolema, Rio Claro, ano 22, n. 33, p. 69-96, 2009. CARCANHOLO, F. P. S. Os jogos como alternativa metodológica no ensino de matemática. 2015. 128 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2015. DANTAS FILHO, J. V. Baixo rendimento na disciplina de matemática. EDUCA – Revista Multidisciplinar em Educação, Porto Velho, v. 4, p. 98-113, 2017. DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações - ensino médio. 2 ed. São Paulo: Ática, 2013. v. 1.


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Ensino de Estatística Descritiva utilizando Softwares Computacionais na sala de aula Leonardo Sturion | Meiri das Graças Cardoso

Apresentação

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será apresentado em seis partes. A primeira parte traz uma pequena introdução sobre a sensibilização e motivação para a utilização de softwares específicos para o ensino de Estatística. A segunda parte apresenta a Estatística como disciplina essencial para a formação dos alunos dentro de um contexto crítico proporcionando uma visão mais holística do pensar e de como aplicar a estatística no seu cotidiano. Na terceira parte, apresentamos uma fundamentação teórica sobre o software R. Na quarta, apresentamos informações sobre os pacotes swirl/swirlify. Na quinta parte se apresenta o software como ferramenta complementar no ensino de Matemática. A sexta e última parte traz algumas aplicações destas tecnologias com seus respectivos fundamentos de orientação e formas de usá-los em sala de aula. STE CAPÍTULO

Introdução As tecnologias digitais móveis vêm ganhando, nas últimas décadas, espaço em praticamente todos os segmentos da sociedade, consolidando-se, ao mesmo tempo, como um recurso indispensável para o desenvolvimento de todas as áreas do conhecimento. Os dispositivos móveis como os smartphone e os softwares específicos estão entre os principais recursos que têm transformado o mundo e o jeito de ensinar/aprender de alunos e professores, influenciando cada vez mais a maneira de viver das pessoas. Esses dispositivos móveis permitem realizar diversas atividades, independentemente de tempo e espaço e os softwares específicos permitem potencializar a forma de ensinar os alunos com mais eficácia e rapidez, uma vez que estamos trabalhando com a educação 4.0. A educação 4.0 é uma nova realidade digital que “invade” diretamente os meios de comunicação e os ambientes educacionais. (HARARI, 2018). Insere-se em um processo cada vez mais integrado com um cenário de adaptações e nivelamentos tecnológicos e culturais para uma melhor estruturação do processo de ensino e de aprendizagem. No nosso dia a dia, os dispositivos móveis e os softwares computacionais vieram alterar de forma irreversível a facilidade de acessos à informação de forma globalizada e rápida, possibilitando que a qualquer momento possamos nos conectar com o mundo externo e ao mesmo tempo ser conectados pelos nossos pares, sejam eles amigos, parentes ou clientes nos vários segmentos empresariais e/ou educacionais. As possibilidades de utilização dos dispositivos móveis são inúmeras, sobretudo por meio das inovações tecnológicas. Nesse contexto, os dispositivos móveis são, na atual conjuntura, instrumentos inseparáveis da nossa vivência econômica e social. Sendo assim, por que não os utilizar em contextos educativos e formativos? Conectamo-nos a todo o momento com pessoas e instituições através do modo online causando a sensação de que não existe nem tempo e nem espaço entre nós. O conectivismo tecnológico nos permite como caracterizado por George Siemens (2005), Stephen Downes (2006) e Carvalho


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Amorin (2018) uma nova forma de aprender, ensinar e interagir, sem propriamente uma teoria, mas uma prática moderna de comunicação. Os dispositivos móveis smartphones e tablets tornaram-se inseparáveis, segundo se observa na sociedade. O setor de serviço capacita seus funcionários e fornecem esses equipamentos para aperfeiçoar os trabalhos nas empresas. E o contrário acontece muitas vezes no setor educacional onde professores ainda proíbem seus alunos de fazer pesquisas ou resolver problemas do cotidiano escolar com o uso dos celulares, por exemplo. É imperativo que educadores em geral não devam mais ignorar essa realidade “cerceativa”, é necessário “virar o jogo” a seu favor e a favor da aprendizagem de seus alunos, é preciso aperfeiçoar o uso dos dispositivos móveis e os softwares computacionais e não os proibir. No entanto, é necessário dar alguma orientação metodológica inicial sobre como usar e rentabilizar estes dispositivos móveis dos alunos à favor da Educação utilizando estes recursos no ensino e aprendizagem dos alunos, Carvalho (2017). O setor educacional, ao planejar e colocar em prática propostas de aulas que utilizem a tecnologia como ferramenta pedagógica, contribui para o ensino e estimula a aprendizagem. Neste capítulo, intencionou-se reunir uma tecnologia que vem sendo aplicada pelos autores, tendo como resultado uma melhoria e eficácia na motivação dos alunos, aumentando sua participação e autoconfiança na resolução de problemas e também independência na forma de se estudar e aprender. A Estatística como ferramenta essencial para a tomada de decisão frente ao contexto do cotidiano dos alunos dentro e fora de sala de aula Campos et.al (2011) ressalta que o ensino de Estatística para Educação Básica, precisa enfatizar que, com o avanço da ciência e da tecnologia, torna-se imprescindível que o professor utilize recursos didáticos, metodológicos que facilitem a aprendizagem e permitam que os estudantes sejam capazes de compreender os resultados e possa, avaliar criticamente os resultados estatísticos obtidos, através da interpretação de gráficos, quadros e tabelas presentes em pesquisas de seu cotidiano ou de situações problemas que envolvem , fazer previsões e tomar decisões baseadas nas informações. A aprendizagem de Estatística está alicerçada em três competências: literacia estatística, raciocínio estatístico e pensamento estatístico. Na realidade educacional, na qual as inovações acontecem em tempo real e as tecnologias digitais estão inseridas no contexto do dia a dia, torna-se necessário que todos os educadores busquem se aprimorar constantemente a fim de que não fiquem desatualizados e à margem da sociedade nesse quesito. Sendo assim, é fundamental que o corpo docente como um todo, adote medidas urgentes para que haja uma capacitação digital efetiva de modo que os métodos de se ensinar sejam mais arrojados, contemporâneos e condizentes com a realidade de seus alunos, os considerados nativos digitais da geração z que exigem um professor que além de ministrar conhecimentos, atuem como mediadores educacionais digitais da situação aluno/aprendizado. Para abordar o campo da Estatística é preciso compreender os conceitos deste campo de estudo, e adentrar ao que ela significa o pensamento estatístico. Webster (2006, p.10) conceitua estatística como sendo: População: conjuntos de todos os itens ou elementos; – Parâmetro: característica que descreve a população; – Amostra: uma parte da população representativa da população, que será analisada; – Variável: característica da população que será analisada; – Dado: valor coletado no estudo; – Estimador: característica numérica estabelecida na amostra e; – Observação: descrição.


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A Estatística mencionada pelo autor refere-se aos campos em que esta pode ser abordada. Pode-se observar a Estatística em um dado populacional, dentro do campo da Matemática, para compor uma variável e também transpor nas Ciências Exatas, bem como nas Ciências Humanas. Pode ser usada dentro das organizações, das escolas, e é vista em sua maioria dentro das empresas, bem como no âmbito educacional, a partir de métodos estatísticos e de abordagem quali/quantitativo. Em vista disto, como se pode definir Estatística? Para Ignácio (2010, p. 4) A Estatística é definida como um conjunto de métodos e técnicas que envolvem todas as etapas de uma pesquisa, desde o planejamento, coordenação, levantamento de dados por meio de amostragem ou censo, aplicação de questionários, entrevistas e medições com a máxima quantidade de informação possível para um dado custo, a consistência, o processamento, a organização, a análise e interpretação dos dados para explicar fenômenos socioeconômicos, a inferência, o cálculo do nível de confiança e do erro existente na resposta para uma determinada variável e a disseminação das informações.

Este conjunto pode estar envolto em todas as áreas e contextos, e que serve como aporte de informação, para que posteriormente seja disseminada para todos. Assim, de acordo com Rodrigues, Lima e Barbosa (2017, p. 620), a Estatística “é uma ciência que usa a análise dos dados para testar as hipóteses estatísticas, verificar a força da evidência clínica e, assim, se existem associações entre grupos ou a veracidade de fenômenos de interesse”. Esta ciência é aplicada a fim de que se consigam resultados verídicos de fatos que foram apontados, e que precisam ser comprovados. Para tanto, a Estatística visa contribuir com as áreas, sendo elas indistintas e que podem servir de produto informacional para uma determinada população. Santos et al (2016) salienta sobre a importância da estatística para as diversas áreas, sendo elas a área financeira, a partir da aplicabilidade em que se dedica nos lucros, custos, análises e os processos; já na área da produção, a Estatística lida com os métodos, que são usados para a verificação desde os produtos, processos e até funcionários; na área de Marketing é vista como algo para que se observe a aceitação do público em geral sobre determinado produto e na área de recursos humanos é vista na relação entre empregado e empregador, agregando para a empresa os potenciais de cada um. Neste sentido, a Estatística está em todos os contextos e pode ser atrelada a situações em que envolvam a sua aplicabilidade, com o objetivo de conhecer as características de determinada situação, bem como população e instrumento de aplicação. Segundo Ignácio (2010, p. 3) Com a velocidade da informação, a estatística passou a ser uma ferramenta essencial na produção e disseminação do conhecimento. O grau de importância atribuído à estatística é tão grande que praticamente todos os governos possuem organismos oficiais destinados à realização de estudos estatísticos.

Sendo assim, a Estatística auxilia no processo de tomada de decisão, no qual os sujeitos, ou a sociedade precisam se respaldar a partir de uma análise referente a uma determinada situação. Como por exemplo, ao se apontar estudos acerca da população, e sobre o que a maioria das pessoas consome. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza uma pesquisa, (PENAD) na qual é possível conhecer estatisticamente qual a faixa etária destas pessoas, sexo, e os produtos mais consumidos. Também no âmbito educacional, a Estatística pode ser abordada e utilizada dentro do campo das exatas, mas que pode ser englobada em outras disciplinas, trabalhando assim com conteúdos interdisciplinares, que são capazes de relacionar os demais campos com o uso estatístico.


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Lopes (2008, p. 57) salienta sobre o desenvolvimento de uma prática pedagógica, em que: Acreditamos que é necessário desenvolver uma prática pedagógica na qual sejam propostas situações em que os estudantes realizem atividades, as quais considerem seus contextos e possam observar e construir os eventos possíveis, por meio de experimentação concreta, de coleta e de organização de dados. A aprendizagem da estocástica só complementará a formação dos alunos se for significativa, se considerar situações familiares a eles, que sejam contextualizadas, investigadas e analisadas.

A formação escolar deve propor para os estudantes, elementos que os façam pensar, incitando-os a que produzam e observem situações a que possam experimentar. A partir desta proposta, levar os estudantes a coletar e organizar as informações encontradas, com o objetivo de divulgar os dados coletados. Também, elaborar pesquisas nas quais os alunos terão que propor situações a serem descobertas, e investigar dentro ou fora do próprio colégio, a fim de envolver a comunidade interna e externa. Desse modo, trabalhar todos os conteúdos, a ideia de socialização e também o conceito estatístico. A forma de se ensinar Estatística, nos dias atuais para a Educação Básica, exige dos professores muita criatividade. Os adolescentes são nativos digitais como dito anteriormente, e o professor precisa se adequar às novas tecnologias. Não se concebe mais ensinar Estatística como na década passada. A utilização de dispositivos móveis e tecnologias midiáticas fazem parte da realidade vivenciada por estes alunos. Portanto, há necessidade de incorporá-los ao ensino como um recurso didático potencial para a aprendizagem (CARVALHO, 2015; MOURA, 2010; SANTOS, 2015). Na visão de Kataoka (2011), uma das maiores dificuldades em relação ao desenvolvimento da Estatística na Educação Básica está na forma de se ensinar os conteúdos desta disciplina, pois os professores não tiveram, em sua formação acadêmica, uma discussão a respeito de questões relacionadas à Didática da Estatística, fazendo com que muitos docentes apresentem os conteúdos desconectados do cotidiano dos alunos e com uso excessivo de fórmulas, fato que causa muitas vezes desmotivação na participação dos alunos em sala de aula. O Software R O software livre R foi desenvolvido por Robert Gentleman e Ross Ihaka em 1991, no departamento de Estatística na Universidade de Auckland em Nova Zelândia, sendo seu objetivo produzir um software para as aulas de laboratório baseado na linguagem S, do software comercial S-Plus (VENABLES; SMITH, 2016). O R é um programa que utiliza a abordagem construtiva, ou seja, as análises estatísticas não são realizadas com um simples clicar de ícone. É necessário construir, por meio de linhas de comando, os procedimentos da análise, sendo fundamental o conhecimento teórico e construtivo de cada metodologia empregada para que a análise possa ser realizada. O R está disponível para download no site do programa cujo endereço é https://cran.rproject.org/ para os sistemas operacionais Windows, Mac e Linux. Após a instalação padrão é possível ainda instalar pacotes adicionais com funções mais específicas, dependendo do tipo de análise. Mais informações sobre o pacote R podem ser obtidas em Venables e Smith (2016), R Core Team (2017). Além da facilidade de estar disponível gratuitamente para download e a instalação não ter a necessidade de compra de licenças periódicas (o que oneraria e inviabilizaria a realização do projeto), o R é multiplataforma e pode ser acessado de várias estações de trabalho sem preocupação com compatibilidade com o sistema operacional.


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Na pesquisa relata foi utilizado o software RStudio por possui ferramentas mais acessíveis para a construção de cursos usando os pacotes Swirl e Swirlify. Para que o software Rstudio funcione, primeiro é necessário instalar o R. Pacotes Swirl/Swirlify O Swirl é um pacote do software R, através desse pacote, é possível transformar o console do R em um ambiente interativo para o aprendizado do software R relacionando as mais diversas áreas do conhecimento. A ferramenta torna tudo muito divertido e leve de se aprender, tanto a programar quanto analisar dados. Para a criação de cursos Swirl são necessários os pacotes Swirl e Swirlify do software RStudio. Os pacotes Swirl e Swirlify foram desenvolvidos por pesquisadores do Departamento de Bioestatística da Johns Hopkins School of Public Heath. Informações sobre os pacotes podem ser obtidas em http://swirlstats.com/. O Software como ferramenta complementar no ensino de Matemática As novas tecnologias podem oportunizar uma nova forma de interação entre alunos e professores, possibilitando uma forma de comunicação e aproximação entre aluno, professor e conteúdo. Os jovens deste século estão inseridos num ambiente em que a tecnologia permeia seu contexto social, estão mergulhados no mundo dos computadores, tablets e smartphones. No entanto, a escola pouco mudou num período de 20 anos. As salas de aulas permanecem iguais. Para Borba e Lacerda (2015, p. 499), “as salas de aula estão necessitando de mudanças estruturais e, embora ainda não incorporadas à sua dinâmica, as tecnologias já fazem parte da realidade social na qual que vivemos”. Segundo Morais (2003) os softwares foram criados com o objetivo de auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, fazendo com que os educandos iniciem ou aprimorem seus conhecimentos, tanto de informática, como das áreas do conhecimento nas quais os softwares forem inseridos. O que diferencia um software educacional dos demais é o fato dele ter sido desenvolvido com o propósito de ensino e aprendizagem e não apenas para diversão. Quando utilizado com um objetivo específico, o software pode garantir melhor aproveitamento dos conteúdos, pois são considerados instrumentos didáticos importantes e devem estar a serviço do processo da construção e identidade do conhecimento dos alunos. Oliveira e Sanches (2018), não bastam apenas escolher as ferramentas tecnológicas, é essencial que o professor busque pelo conhecimento e domínio das especificidades e potencialidades dos recursos tecnológicos para garantir o aprendizado. De acordo com Gladcheff, Zuffi & Silva (2001), o uso dos softwares pode ser um importante aliado no desenvolvimento cognitivo dos alunos, adaptando-se a distintos ritmos de aprendizagens, permitindo que os educandos aprendam com seus erros. Para Rocha et al (2019) qualquer software que seja utilizado como apoio aos processos de ensino e de aprendizagem pode ser considerado um software educacional. Os softwares matemáticos podem ser uma proposta pedagógica para auxiliar na motivação e na aprendizagem, rompendo dessa forma uma postura passiva do aluno. Aliar as vantagens da utilização de softwares no processo de ensino e aprendizagem, extraindo ao máximo todas as oportunidades que o software oferece, traz uma grande transformação para o contexto escolar.


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Portanto, cada dia mais se vê a importância de se criar ferramentas úteis dinâmicas e de fácil acesso para os professores, que auxiliem tanto no processo de ensino quanto no quesito indisciplina, pois este último tem ficado cada vez mais evidente nas aulas cujos professores não permitem que os alunos manuseiem seus dispositivos móveis. Nessa queda de braço, entre professores e alunos, o uso de metodologias que possam empregar tecnologias de informação atenderia a ambas as partes, além de enriquecer o aprendizado dos alunos, que muitas vezes só usam a internet para acesso a redes sociais. Percebemos que a cada dia, estamos sendo absorvidos pela utilização de tecnologias em diversas esferas da sociedade. Dentro do contexto educacional, a tecnologia vem trazendo muitas estratégias de como utilizar artefatos como os dispositivos móveis, tablets e computadores nas aulas de Matemática. A prática com essa tecnologia permite uma melhoria no conhecimento e na aprendizagem. Para que isso ocorra, se faz necessário que os professores utilizem em suas aulas práticas que permitam o uso de APPS e jogos digitais, criando situações de aprendizagem. Nessa perspectiva, Souza (2019) sugere que os professores devam trabalhar com projetos ou a partir de exemplos contextualizados, valorizando-se o trabalho em grupo com a utilização de software, como por exemplo, Excel, R, Geogebra, com os seus referidos pacotes estatísticos, os quais permitam a participação efetiva do aluno no processo de ensino aprendizagem. Questões Norteadoras e Objetivas da Pesquisa Pensando em contribuir para mudanças no processo de ensino e de aprendizagem surgiram algumas questões norteadoras aqui relatada: a. Quais contribuições um manual didático com conteúdo de Estatística pode melhorar o aprendizado dos alunos? b. Ter a tecnologia como aliada no processo de ensino e de aprendizagem pode trazer melhorias nesse processo? c. Como os alunos lidaram com o uso do Software RStudio/swirl para aprender Estatística? Atualmente, existem diversos softwares que apresentam pacotes de Estatística, que podem ser utilizados na escola e que são objetos de investigação de educadores. Partindo destas questões, o objetivo principal deste trabalho é elaborar e validar um material didático que será apresentado por meio de um manual com conteúdos de Estatística aplicando o Software RStudio/Swirl para auxiliar alunos e professores no processo de ensino e de aprendizagem dos conceitos estatísticos na Educação Básica e Ensino Médio. O produto educacional apresentado neste capítulo consiste em um manual com orientações para professores de como criar um curso no software RStudio. Este produto está vinculado à pesquisa de mestrado intitulada como “Ensino de Estatística: O Estudo de Conceitos Potencializado pelo Software RStudio”, de autoria da segunda autora deste texto, sob a orientação do primeiro, desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática – PPGMAT. Neste estudo, a abordagem utilizada foi de caráter qualitativo, buscando apresentar um produto educacional que auxiliasse os professores na elaboração de suas aulas, com o objetivo de torná-las mais motivadoras. Para essa pesquisa, utilizou-se do software RStudio e o pacote swirl.


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Esse produto ofereceu o passo a passo para os professores de como elaborar atividades dentro do programa e assim, aplicar em suas aulas. Nesse sentido, “a análise dos dados na pesquisa qualitativa passou a depender muito da capacidade e do estilo do pesquisador” (GIL, 2008, p.175). Nesse sentido, na elaboração da atividade foi preciso compreender os diversos contextos, a faixa etária, bem como os conhecimentos destes professores sobre a ferramenta aqui utilizada. Para atingir os objetivos propostos, que no caso foi apresentar um produto educacional elaborado por meio do software RStudio utilizando o pacote swirl, para que os professores utilizassem em suas aulas, foi realizada uma pesquisa exploratória. O manual foi organizado da seguinte forma: • Apresentação da Interface do RStudio. • Instalação do R. • Uma ilustração com questões de múltipla escolha e os dizeres dos alunos. Apresentação da Interface do RStudio A tela principal do RStudio é disposta em 4 janelas. No canto superior à esquerda é apresentada a janela Source, na qual são disponibilizados os scripts (códigos de programação previamente redigidos e salvos em arquivo com extensão R), arquivos de texto, documentos Sweave, documentação do R e documentos TeX. Na janela superior à direita, a primeira aba é disponibilizada para gerenciar diferentes áreas de trabalho. Já na segunda aba desta janela fica registrado o histórico de todos os scripts, funções e ações executadas. Na parte inferior à esquerda, localiza-se a janela do Console. E finalmente, na janela inferior à direita, são agrupadas em uma janela outras 4 abas: a primeira delas é um gerenciador de arquivos (aba File), na segunda são exibidos os gráficos gerados pelo RStudio (aba Plots). Na terceira aba são apresentados os pacotes já instalados (aba Packages). E finalmente, a quarta aba trata-se da Ajuda (aba Help) do RStudio. Na janela Source ao editar o script é possível comentar ou não automaticamente (sem necessidade de digitação) determinada parte do código utilizando a opção Edit/Comment/Uncomment Lines, mantendo o cursor na linha a ser executada ou selecionar o conjunto de linhas desejado. Nesta tela, também é possível identificar automaticamente comandos, uma prática comum na organização de scripts na ciência da computação. Os scripts podem ser executados por meio do botão Run, não havendo mais necessidade de clicar com o botão direito do mouse linha a linha do script como é feito no R padrão.


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Figura 1 – Tela principal do RStudio

Fonte: Elaboração dos autores

Também é possível executar várias linhas de comando, selecionando as linhas desejadas e executando-as por meio do botão Run ou pelas teclas Ctrl+Enter. O Console do RStudio inclui uma variedade de recursos destinados a facilitar o trabalho no R, de maneira a tornálo mais produtivo e simples. Um dos recursos em destaque na tela do Console do RStudio é a conclusão automática de código usando a tecla Tab. O recurso auto completar código também funciona para os argumentos de funções. Tal como acontece com o Console padrão do R, o Console do RStudio permite executar comandos usados anteriormente por meio das teclas Up (↑) e Down (↓). Além disso, apresenta uma lista de comandos usados recentemente, por meio das teclas Ctrl+Up (↑) ou Crtl+Down (↓). Na aba Workspace da tela superior à direita do RStudio é apresentada a área de trabalho onde seus dados são apresentados em forma de conjunto de dados (vetores, matrizes etc.) disponíveis na área de trabalho e variáveis, que podem ser alterados por meio de duplo clique. Nessa aba, também é possível carregar um conjunto de dados e carregar uma nova área de trabalho, alternando-se facilmente entre elas. Na aba Plots da tela inferior à direita do RStudio onde são apresentados os gráficos gerados, é possível salvar as imagens em formato PDF e figuras de diferentes formatos (JPG, BMP, TIFF, PNG, metalife etc.) A Instalação do R Nesta seção do curso foi apresentado o passo a passo de como instalar os programas que seriam utilizados nessa pesquisa e como criar o curso, utilizando o pacote Swirl. Para que o programa funcionasse corretamente, foi necessário fazer o download do programa R e em seguida, fazer o download do programa RStudio. A partir da instalação dos dois programas, o próximo passo foi instalar os pacotes swirl e swirlif. Com a instalação dos pacotes, o próximo passo foi criar o curso. Os cursos são conjuntos de lições individuais. Ficando a critério do professor, definir o conteúdo, a quantidade de material de cada lição e o número de lições. Ao criar um curso, é necessário compreender alguns conceitos como: a estrutura de uma lição, a questão meta, message question, command question, command info, multiple choice questions, compilação da lição usando a função demo_lesson como compartilhar


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o curso desenvolvido, como obter os resultados dos alunos de um curso “swirl” em um formulário Google fazendo verificações dos resultados. A questão meta é um “cabeçalho” com informações básicas a ser editada pelo professor que criou o curso/lição, essa informação não aparecerá para os alunos, faz parte da programação. A message question mostra um texto para o aluno. Conforme o uso da tecla “enter” dá-se uma nova orientação do que é preciso fazer para se continuar no curso. O command question, são frases que demonstram que alguém está sendo instruído a fazer algo. Como mostra a figura 2. Figura 2 – Command question – como o aluno visualiza

Fonte: Elaboração dos autores

Command info, esse comando deverá ser utilizado quando o aluno não souber responder à pergunta e quiser passar para a próxima ou caso queira parar de responder as perguntas no meio da lição. Multiple choice questions, apresentam uma seleção de opções para o estudante. Essas opções são apresentadas em uma ordem diferente sempre que a questão for visualizada. Compilação da lição usando a função demo_lesson(), após finalizar o conteúdo de uma lição, é necessário compilar. Para isso, usa-se a função demo_lesson(). Ao realizar esse processo, todas as questões irão fazer parte da lição. Como compartilhar o curso desenvolvido? Para compartilhar é necessário “compactar” o curso no formato SWC. Ao usar a função pack course(), o arquivo e sua extensão SWC, irá aparecer na mesma pasta em que o curso foi desenvolvido. Feito isso, o arquivo poderá ser compartilhado por e-mail, pen drive etc. Na próxima sessão apresentamos o modo de como se obter os resultados dos alunos de um curso “swirl” em um formulário Google e em seguida fazer a verificação dos resultados. Para que essa etapa seja concluída, se faz necessário que o aluno, ao finalizar as atividades, envie a lição, que será salva em um formulário Google. Uma ilustração com questões de múltipla escolha e os dizeres dos alunos O curso foi aplicado em uma turma com 14 alunos do 8º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede particular do município de Londrina, Norte do Estado do Paraná. No primeiro encontro da atividade, foi realizado um questionário no qual os alunos responderam virtualmente. A aplicação do questionário se deu em uma aula de 55 minutos. Esse questionário era composto de 6 questões. Algumas eram abertas e se referiam aos conteúdos de Estatística básica sobre medidas de tendência central como: médias, moda, mediana, amplitudes e coeficiente de variabilidade de múltipla escolha e outras abertas. O questionário foi elaborado no Google. A professora mostrou para os alunos a interface do software RStudio, como mostra a figura, explicando sua funcionalidade, pois eles mesmos nunca tinham ouvido falar


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desse software, o que causou um grande entusiasmo e curiosidade por parte dos alunos. A professora explicou que a atividade seria de responder 6 questões referentes ao conteúdo de Medidas de Tendência Central, já estudado pelos alunos. Porém, nessa primeira fase, como seria o primeiro contato com o software, as questões seriam de múltipla escolha. Toda vez que um aluno finalizava as questões era necessário que o aluno seguinte desse os comandos para que se reiniciassem as questões. No primeiro momento a professora fez junto com os alunos, demonstrando passo a passo. A cada passo digitado, o programa reinstala o curso. É necessário dar esses comandos para que o curso funcione como mostram os passos a seguir. Os comandos são digitados no console o primeiro passo. (1º Passo – digitar library (swirl)) No último passo, os alunos foram orientados a enviar as respostas. Um fato importante a ressaltar é que o programa usa um processo aleatório de apresentação das questões, evitando assim que o aluno tente decorar o número correto da resposta em uma avaliação. Após finalizarem a atividade, cada aluno respondeu de forma manuscrita a seguinte questão, pois tínhamos como objetivo saber como foi a experiência com o aplicativo RSudio. Diante da aula de Matemática por meio do software RStudio, na sua opinião, quais foram as vantagens e desvantagens de uma aula com essa dinâmica? Quadro 2 – Respostas emitidas pelos alunos

Fonte: Dados da pesquisa


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Pode-se constatar pelas respostas dos alunos que a aplicação do RStudio proporcionou aos estudantes uma visão mais ampla da utilização de um software que pode ser aplicado a qualquer disciplina. No nosso estudo, ele foi utilizado para utilizações na Matemática com o uso de questões de Estatística básica. Vale salientar que a utilização do software RStudio não visa apenas resolver questões onde não haja esforços do aluno, o seu papel é desenvolver no aluno a curiosidade, a investigação para a solução de problema mais complexos que futuramente terá que enfrentar em seu cotidiano escolar. E por último, o estudo mostrou que a utilização do software RStudio aplicado nas atividades de Estatística proporcionou melhorias na aprendizagem, uma vez, que os alunos tinham a oportunidade de refazer a questão quando não acertavam, dessa forma, refletiam sobre a mesma buscando averiguar os conteúdos estudados. Considerações finais O presente capítulo buscou contribuir com anseios de um professor que busca uma pratica um pouco diferente dos meios tradicionais, por meio da elaboração de um manual, que explora recursos tecnológicos atuais. É de suma importância que os educadores não fiquem aquém do que acontece no mundo de seus alunos. Portanto, cada vez mais se vê a necessidade de incorporar na vida dos educandos a utilização de recursos digitais. Diante destes apontamentos, o presente trabalho buscou fazer o uso da tecnologia veiculada com conteúdos básicos de Estatística, fazendo uso do software RStudio/Swirl. O Swirl é um pacote que contém funções que conversam com o usuário e, por meio dessas, vai ensinando o R (programa estatístico). A ferramenta torna tudo muito divertido e leve de se aprender, tanto a programar quanto análise de dados. A experiência oportunizou aos alunos manusear uma nova tecnologia no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática enfatizando os conteúdos de Estatística, ficando evidente para o professor que o manuseio de novas tecnologias é fator decisivo na escolha deste tipo de experiência em sala de aula. A aplicação do RStudio proporciona aos alunos uma visão mais ampla da utilização de um software aplicado a qualquer disciplina, no nosso estudo ele foi utilizado para aplicações na Matemática com aplicações de questões Estatística Básica. O uso de novas tecnologias exige da escola e do professor uma nova postura na qual o professor nem sempre será o protagonista das ações, mas o mediador que orienta as atividades dos alunos a todo o momento. Finalizando, a utilização do RStudio aplicado nas atividades de Estatística trouxe uma nova motivação tanto para os alunos quanto para o professor, proporcionando uma melhor aprendizagem e aumento da participação e interação entre os colegas nas atividades feitas na sala de aula.


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Tarefas de aprendizagem profissional: propostas para o desenvolvimento profissional baseado na prática docente Henrique Rizek Elias | Silmara Ribeiro Rodrigues | Flávia Maria Gonçalves

Introdução

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reúne propostas de dois Produtos Educacionais (PE) resultantes de duas dissertações de mestrado profissional que estão sendo desenvolvidas no âmbito do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) campi Cornélio Procópio/Londrina. As duas pesquisas de mestrado investigam o mesmo contexto, um projeto1 de formação continuada em Matemática destinado à professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental desenvolvido nas dependências da UTFPR – Londrina. Tal processo formativo ocorreu de abril a novembro de 2019, sendo realizados oito encontros presenciais, um por mês, de 4 horas cada. Entre um encontro presencial e outro, aconteceram atividades não presenciais, totalizando uma carga horária de 60 horas ao longo do ano. No primeiro semestre, o grupo contou com a participação de 14 professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental em diferentes escolas de Londrina, duas professoras e estudantes do PPGMAT (autoras das dissertações que deram origem aos PE e autoras deste capítulo) e dois professores formadores (sendo um deles orientador das duas mestrandas e autor deste capítulo). No segundo semestre, o grupo aumentou, passando a contar com 24 professoras dos anos iniciais (seis delas já participavam desde o primeiro semestre). O objetivo do processo formativo era contribuir para o desenvolvimento profissional das professoras participantes a partir das demandas de suas práticas, fazendo uso dos Estudos de Aula (PONTE; BAPTISTA; VELEZ; COSTA, 2012; PONTE; QUARESMA; MATAPEREIRA; BAPTISTA, 2016) como uma abordagem de trabalho colaborativo, estreitamente conectada à prática docente e com potencial para promover o desenvolvimento profissional de professores (PONTE; QUARESMA; MATA-PEREIRA; BAPTISTA, 2016). A perspectiva de desenvolvimento profissional que embasou o processo formativo foi a considerada por Ponte (1998), que diferencia desenvolvimento profissional de modelos tradicionais de formação da seguinte maneira: i) a formação está muito ligada à ideia de “frequentar” cursos, enquanto, no desenvolvimento profissional, a ideia de frequentar cursos acontece também, mas vem acompanhada de outras atividades e trocas de experiências; ii) na formação, o movimento acontece de fora para dentro na assimilação dos conhecimentos que lhe são transmitidos, enquanto, no desenvolvimento profissional, o movimento é de dentro para fora, cabendo ao professor as decisões que deseja considerar, isto é, o professor deixa de ser objeto e passa a ser sujeito do processo; iii) a formação foca a suposta carência STE CAPÍTULO

1 Trata-se

de um Projeto de Extensão desenvolvido na UTFPR de Londrina durante os anos de 2018 e 2019, cujo título era Formação Continuada em Matemática para docentes dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Apesar de ser um único Projeto de Extensão nesses dois anos, os grupos de professoras dos anos iniciais participantes em cada ano foram totalmente diferentes. Neste capítulo, apresentamos os PE desenvolvidos nas pesquisas realizadas com o grupo de 2019.


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de conhecimentos, o que difere do desenvolvimento profissional, que direciona o olhar para as potencialidades do professor; iv) a formação é compartimentada por assuntos ou disciplinas, enquanto, no desenvolvimento profissional, o professor é visto como um todo nos aspectos cognitivos, afetivos e relacionais; v) a formação parte da teoria e, geralmente, não chega à prática, já o desenvolvimento profissional considera a teoria e a prática de forma interligada (PONTE, 1998). Tal como apontam Fiorentini e Crecci (2013), algumas práticas podem ser consideradas indutoras ou catalisadoras do desenvolvimento profissional. Uma delas, segundo Fiorentini e Crecci (2013), é o Estudo de Aula, abordagem na qual Os professores trabalham em conjunto, procurando identificar dificuldades dos alunos, e reparam em detalhe uma aula que depois observam e analisam em profundidade. No fundo, realizam uma pequena investigação sobre a sua própria prática profissional, em contexto colaborativo, informada pelas orientações curriculares e pelos resultados da investigação relevante (PONTE; QUARESMA; MATA-PEREIRA; BAPTISTA, 2016, p. 869).

Em síntese, o Estudo de Aula envolve a identificação, por um grupo de professores, de um tema matemático de interesse comum. Em conjunto, esse grupo planeja em detalhes uma aula sobre a temática escolhida e, em seguida, um dos professores desenvolve a aula planejada em sua turma enquanto os outros membros do grupo a observam e fazem registros. Após a aula executada, o grupo se reúne novamente e a aula é analisada coletivamente. Em seguida, o processo pode ser repetido por outro professor e em outra turma, visando refinar a estratégia de ensino (MERICHELLI; CURI, 2016). Dois aspectos se destacam no trabalho com Estudo de Aula: a investigação sobre a própria prática dos docentes envolvidos e o contexto colaborativo. De acordo com Boavida e Ponte (2002), o termo colaboração é adequado nos casos em que os envolvidos trabalham conjuntamente, em uma relação não hierárquica, mas em uma base de igualdade, de modo a haver ajuda mútua e a atingirem objetivos que beneficiem a todos. Nesse trabalho conjunto, é importante que se tenha um grupo heterogêneo, com integrantes atuando em diferentes contextos e realidades. Nessa direção, Saraiva e Ponte (2003) consideram que a colaboração entre professores que atuam nas escolas e pesquisadores “pode contribuir para anular a separação entre a prática profissional do professor e a investigação educacional, bem como a separação entre as escolas e as universidades e, em última análise, a separação da teoria e da prática” (SARAIVA; PONTE, 2003, p. 8-9). Tais perspectivas fundamentaram o processo formativo desenvolvido no ano de 2019: desenvolvimento profissional (PONTE, 1998; FIORENTINI; CRECCI, 2013) potencializado por um trabalho colaborativo (BOAVIDA; PONTE, 2002) realizado pela abordagem do Estudo de Aula (PONTE; BAPTISTA; VELEZ; COSTA, 2012; PONTE; QUARESMA; MATA-PEREIRA; BAPTISTA, 2016). No que se refere ao desenvolvimento profissional, havia foco em um de seus aspectos principais, os conhecimentos profissionais. Para estes, nossa referência foi o modelo do Conhecimento Matemático para o Ensino (BALL; THAMES; PHELPS, 2008), quadro teórico que envolve os conhecimentos matemáticos necessários para que o professor possa exercer seu papel de ensinar matemática, tratando-se de uma teoria baseada na prática docente, a partir das demandas matemáticas para o ensino. Também, são sob essas perspectivas que as duas pesquisas de mestrado profissional estão sendo realizadas e cujos PE estão sendo elaborados e, em partes, apresentados neste texto. Os PE serão Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP) que, segundo Ribeiro e Ponte (2019), podem ser caracterizadas como tarefas elaboradas com a finalidade de propiciar aprendizagens aos professores em uma situação específica, fazendo uso de registros de situações próprias da prática docente, como protocolos de resoluções de estudantes, recortes de propostas curriculares, planejamento de aulas e planos de ensino.


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Construídas a partir de dados produzidos em uma formação continuada de professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental e em situações próprias da prática docente durante o desenvolvimento de dois ciclos2 de Estudo de Aula, as TAP aqui produzidas se destinam ao trabalho com professores e professoras em formação inicial ou continuada. Na próxima seção, detalhamos aspectos ligados à produção dos dados e a forma como estes se relacionam com as TAP aqui elaboradas. O processo de construção das Tarefas de Aprendizagem Profissional Como já mencionamos, o grupo formado por professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, estudantes do mestrado e professores formadores, se reunia presencialmente uma vez por mês, em uma quinta-feira, das 13h30 às 17h30 na UTFPR – Londrina. Ao longo do ano, dois ciclos completos de Estudo de Aula foram realizados. Como as TAP aqui apresentadas foram elaboradas a partir de situações que ocorreram durante esses ciclos, apresentamos, no Quadro 1, uma breve síntese das ações desenvolvidas no processo formativo ao longo dos cinco primeiros encontros, pois são os encontros que englobam os dois ciclos de Estudo de Aula citados. As demais ações, realizadas nos três últimos encontros do ano, não foram objetos de investigação ainda e, portanto, não são nosso foco no momento. Quadro 1 – Ações desenvolvidas ao longo dos cinco primeiros encontros do professor formativo

Fonte: Elaboração dos autores

Como pode ser observado no Quadro 1, os três primeiros encontros, junto com a aula desenvolvida no dia 14 de maio de 2019, compõem o primeiro ciclo do Estudo de Aula realizado. Já os dois encontros presenciais seguintes, junto com a aula desenvolvida no dia 31 de julho de 2019, compõem o segundo ciclo. Todos esses encontros presenciais e aulas desenvolvidas foram gravadas (em áudio e/ou em vídeo) e essas gravações foram transcritas. Além desses dados oriundos das gravações, também foram produzidos dados a partir das produções escritas das professoras durante os encontros presenciais e dos estudantes das professoras que ministraram as aulas planejadas coletivamente. 2 Consideramos

um ciclo do Estudo de Aula as ações que envolvem o planejamento em conjunto de uma aula, o desenvolvimento dessa aula por uma das professoras e sua posterior análise com o grupo de professores.


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Esse conjunto de dados produzidos durante os dois ciclos de Estudo de Aula nos ofereceram amostras autênticas da prática (SMITH, 2001), isto é, materiais obtidos de situações reais que envolvem o trabalho docente, tais como: tarefas matemáticas utilizadas por professores, diálogos entre estudantes e professor em sala de aula, protocolos de resolução de estudantes, planejamentos de aula feito pelo professor. Para Smith (2001), tais materiais têm potencial para auxiliar os professores a desenvolverem compreensões a respeito de um conteúdo específico, questões pedagógicas ou, ainda, conhecimentos sobre a aprendizagem dos estudantes. No entanto, segue a autora, as amostras autênticas da prática não são auto-organizadas, mas fornecem a matéria-prima em torno da qual uma TAP pode ser concebida. Isto significa que as amostras autênticas da prática precisam ser organizadas de acordo com determinado objetivo a fim de se tornarem TAP e fazerem parte de um currículo para a formação de professores (SMITH, 2001). Para Smith (2001), uma maneira de delinear uma TAP é considerar o conjunto de ações que comumente envolvem o trabalho docente. A autora destaca, basicamente, as ações de planejar, ensinar e refletir, o mesmo ciclo considerado no Estudo de Aula. Assim, alguma amostra dentro de uma dessas ações pode ser organizada para se tornar uma TAP. A autora exemplifica alguns tipos de TAP que poderiam ser utilizadas com um grupo de professores. Estes podem começar analisando as tarefas matemáticas que foram usadas durante o ensino e responderem a perguntas como: que oportunidades para aprender matemática são oferecidas pela tarefa? Que conhecimentos prévios os alunos precisam para participar da tarefa com sucesso? Como você esperaria que os alunos resolvessem a tarefa? Em seguida, os professores podem passar a assistir ao vídeo da aula e analisar o ambiente de aprendizagem: que decisões tomou o professor durante o curso da aula? Que decisões foram tomadas pelos alunos? Quem fez as perguntas? Qual era a natureza das perguntas feitas pelos alunos? E pelo professor? Os professores podem analisar o que os alunos parecem estar aprendendo e como eles aprenderam: quais ideias matemáticas que os estudantes estavam lidando? Que fatores pareciam apoiar o envolvimento dos estudantes na atividade matemática? Que fator parece atrapalhar tal engajamento? A discussão pode ser concluída com o planejamento da próxima aula: qual seria o objetivo matemático da instrução na próxima aula? Que conhecimentos os alunos demonstraram que servirá de base para a construção de novos conhecimentos? Que tarefa completaria o objetivo de aprendizagem? (SMITH, 2001). Dessa maneira, com base no que foi proposto por Smith (2001) e em seus exemplos de TAP, selecionamos e organizamos algumas amostras autênticas da prática produzidas ao longo do processo formativo e elaboramos perguntas para promover discussões e reflexões entre professores em formação que estejam fazendo uso das TAP propostas. Para as escolhas das amostras autênticas da prática, demos preferências àquelas que envolviam alguma das seguintes características: i) tarefas matemáticas de natureza exploratória, isto é, uma tarefa aberta e acessível à maioria dos alunos (PONTE, 2014, p. 21); ii) diálogos (entre as professoras no grupo, entre as professoras e professores formadores no grupo, entre a professora e os estudantes durante as aulas desenvolvidas) que explicitassem a mobilização de aspectos do Conhecimento Matemático para o Ensino (BALL; THAMES; PHELPS, 2008); iii) produções escritas de estudantes com potencial para gerar discussões matemáticas; e iv) momentos em que alguns aspectos da colaboração (BOAVIDA; PONTE, 2002) foram evidenciados. A próxima seção é dedicada às quatro TAP organizadas por nós. Ressaltamos que, ao falarmos em TAP, estamos nos referindo às amostras autênticas da prática acompanhadas de perguntas intencionalmente elaboradas. Decidimos iniciar a próxima seção pela des-


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crição de cada TAP e de seus objetivos, deixando as TAP propriamente ditas para serem apresentadas individualmente, sem outros textos que possam desviar o foco pretendido. As tarefas de aprendizagem profissional As quatro TAP foram pensadas para serem utilizadas em um contexto de trabalho colaborativo, com um grupo de professores ou de futuros professores que possuem um objetivo específico. Por isso, antes de apresentá-las, descrevemos as TAP destacando a natureza3 das amostras autênticas da prática, bem como os objetivos esperados para cada uma delas. Esses objetivos não são fixos, podem ser adaptados de acordo com a intenção de quem vai usar a TAP em um contexto formativo. Além disso, as TAP são independentes umas das outras, isto é, não se trata de uma sequência de tarefas interligadas. A primeira TAP foi construída a partir de uma tarefa matemática (Figura 1) retirada de Campos, Magina e Nunes (2006), que já era destinada a professores, uma vez que visava conhecer as percepções desses acerca da resposta de um suposto estudante e discutir possíveis abordagens de ensino. Essa tarefa matemática gerou discussões no segundo encontro presencial (destinado ao planejamento de uma aula, conforme Quadro 1) com as professoras do processo formativo e alguns trechos das discussões entre as professoras foram usados para construir a TAP. Assim, a TAP tem como objetivo trabalhar diferentes significados dos números racionais na forma fracionária (CAMPOS; MAGINA; NUNES, 2006), em particular os significados de parte-todo e de razão. Para tanto, propomos aos professores em formação trabalhar as práticas de compreender maneiras de pensar dos alunos, sugerir encaminhamentos para formas inadequadas de resolver a tarefa e analisar possíveis intervenções realizadas por outros professores. A segunda TAP foi construída com um diálogo autêntico de sala de aula, ocorrido no dia 14/05/2019 (conforme Quadro 1), durante o desenvolvimento da aula planejada coletivamente. A professora buscava, em sua turma do ano do Ensino Fundamental, introduzir a necessidade das frações e sua representação por meio do significado de medida (KIEREN, 1976), solicitando aos alunos usarem um canudo para medirem objetos da sala de aula4 . O trecho de diálogo utilizado para construir essa segunda TAP aconteceu já no final da aula, quando a professora tentava sintetizar as discussões feitas pelos alunos em pequenos grupos e apresentar a notação usual de frações. Assim, fazendo uso somente dos diálogos de sala de aula, a TAP visa gerar reflexões a respeito do uso de situações do cotidiano (o uso do sistema monetário) no ensino da Matemática e, em particular, no ensino dos números racionais. Para tanto, são utilizadas as formas de pensar dos próprios alunos para refletir sobre possíveis problemas na aprendizagem da matemática gerados por essa associação com o sistema monetário. A terceira TAP foi construída a partir de uma tarefa matemática (Quadro 2) retirada de Ponte e Quaresma (2014), que pretendia trabalhar as ideias de comparação e ordenação de frações. Utilizada no quarto encontro presencial (destinado ao planejamento de uma nova aula, conforme Quadro 1), essa tarefa matemática gerou discussões produtivas entre as professoras participantes e um dos professores formadores. Alguns trechos dessas discussões foram usados para construir a TAP. Nas primeiras questões da TAP, o objetivo é trabalhar a prática de antecipar formas de pensar dos estudantes e identificar as potencialidades da tarefa matemática utilizada. Após apresentar trechos de diálogos 3 Por

“natureza” das amostras autênticas da prática, queremos dizer a origem dessas amostras, isto é, se são tarefas matemáticas, diálogos entre os participantes no grupo, produções escritas dos estudantes ou diálogos em sala de aula. Para evidenciar a natureza das amostras, destacamos em negrito ao descrever cada TAP. 4 Para mais detalhes dessa tarefa, veja Gonçalves, Rodrigues, Elias e Trevisan (2019).


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entre professoras participantes do processo formativo e um professor formador, novos questionamentos são feitos na TAP com o objetivo de compreender a forma como uma professora estava pensando e, principalmente, reconhecer o papel do trabalho colaborativo na mudança da forma de pensar de uma professora. A quarta TAP começa com a apresentação de uma tarefa matemática (Quadro 3) que é uma adaptação (sugerida pelas professoras durante o quarto encontro do processo formativo) da tarefa retirada de Ponte e Quaresma (2014) (Quadro 2) e utilizada na terceira TAP. No entanto, o centro da quarta TAP é a produção escrita dos estudantes de um ano do Ensino Fundamental durante a aula desenvolvida no dia 31/07/2019 (conforme Quadro 1) e a intervenção feita pela professora durante a sua aula, ilustrada por um trecho da fala dela para orientar seus alunos. Por meio dessas produções escritas dos estudantes, espera-se trabalhar a prática de compreender maneiras de pensar dos alunos e refletir sobre possíveis encaminhamentos a partir formas inadequadas de resolução. Por meio do trecho da fala da professora da turma, busca-se analisar a intervenção realizada pela professora da turma. Primeira tarefa de aprendizagem profissional

A Figura 1 apresenta uma tarefa retirada de Campos, Magina e Nunes (2006). Com base nessa tarefa, responda aos itens apresentados na sequência. Figura 1 – Tarefa matemática envolvendo o significado de parte-todo

Fonte: Campos, Magina e Nunes (2006)

a) Como vocês acham que a criança que deu como resposta 1/4 raciocinou? b) Como vocês fariam para promover a compreensão dessa criança? c) Ao responder como essa criança raciocinou, uma professora afirmou: “Eu coloquei que ela não compreende a noção do todo. E o todo é o cinco.”. Vocês concordam com essa afirmação? Expliquem suas respostas. d) A mesma professora, ao responder como faria para promover a compreensão dessa criança, afirmou: “Pediria para o aluno fazer um círculo no quadro. Então, falar para ele representar no círculo a quantidade de colheres utilizadas. Depois eu perguntaria a quantidade de colheres utilizadas. Daí, como a quantidade de colheres são 5, ele teria que dividir em 5. Pinte a quantidade na figura representativa de remédio. Aí pintaria uma


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parte. Que fração ela representa? Que fração podemos representar a parte de groselha, que é a parte não pintada?” Como vocês avaliam essa intervenção que a professora sugere fazer? e) Como a intervenção proposta pela professora no item d) se relaciona com a discussão sobre o todo discreto e o todo contínuo em uma situação de parte-todo? Como vocês trabalham com exemplos de todo contínuo e de todo discreto em suas aulas? f) Outra professora apresentou o seguinte comentário: “Aqui tem uma outra questão, além dessa do todo que ele [aluno] não desenvolveu. Na escola, a gente apresenta como parte-todo, mas, tem uma outra questão que é a da razão, da fração enquanto razão. Quatro colheres de groselha para cada colher de remédio. Então, quantas de groselha teria que colocar se eu quisesse dar duas de remédio? Então é razão, proporcionalidade. Geralmente, você só vai apresentar essa ideia quando vai trabalhar proporcionalidade. Você não apresenta a fração com essa construção de ideia de razão. O 1/4, por exemplo, que ele enxergou aqui, ele poderia estar pensando no para .”. Como vocês avaliam esse comentário feito pela professora? A ideia de razão pode estar relacionada com a resposta 1/4 dada pelo aluno na Figura 1? Segunda tarefa de aprendizagem profissional

Em sua turma de 5º ano do Ensino Fundamental, a professora Maria5 queria trabalhar com seus alunos a necessidade da criação de números entre e partindo de ideias fundamentais como metade, a metade da metade e a terça parte, conduzindo-os às formas de representar frações usuais, como 1/2, 1/4 e 1/3. Em um determinado momento da aula, a professora Maria indaga seus alunos, que parecem aceitar a ideia da existência de números entre e , mas isso estaria atrelado ao sistema monetário. Vejamos o diálogo ocorrido em sala de aula: Maria: Quem acha que existem números entre o 0 e o 1? Pensem um pouquinho. A pergunta é: Existem números entre 0 e o 1? Atenção: levante a mão quem acha que não existem números entre 0 e 1. [Alguns alunos levantam a mão]. Abaixem as mãos. Quem acha que têm números entre o 0 e o 1?? João: É de reais? É de reais? Porque se for de reais... [o aluno levanta a mão, indicando que, se for “de reais”, concorda que existem números entre 0 e 1]. Maria: Se for em reais tem? Então, o João está dando um exemplo, se for de reais tem. Dá um exemplo, João. João: Porque, olha... a metade de um real é cinquenta centavos. Maria: e agora? [questionando o restante da turma] [Muitos alunos falam ao mesmo] Maria: Olha! O Lucas está falando que a metade de 50 centavos é 25.

Nesse momento, João balança a cabeça na vertical e diz “Acertou”, concordando com a resposta de Lucas. A professora chama João para ir à lousa. Apontando para um segmento de reta que fez na lousa, com o número em uma ponta e o número na outra, a professora pergunta: Maria: Se esse 1 fosse 1 real, o que seria aqui, João? João: Cinquenta centavos. Maria: Quer anotar? Como a gente anota cinquenta centavos? Paulo: zero vírgula cinquenta. Maria: zero vírgula cinquenta.

João registra na lousa o número 0,50 entre o 0 e o 1, como mostra a Figura 2. 5 Os

nomes utilizados são todos fictícios, visando preservar o anonimato dos envolvidos.


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Figura 2 – Representação de cinquenta centavos feita na lousa pelo aluno João

Fonte: Dados da pesquisa

Após João sentar-se em seu lugar, a professora continua. Maria: Vocês concordam com isso? Alunos: Sim. [...] Maria: Quando eu faço uma marcação aqui no meio [a professora reforça o traço do 0,50 na Figura 2], quando eu quero saber a metade, eu divido em quantas partes? Alunos: É... em duas? Maria: Não é? Vocês não me disseram que quando eu quero a metade eu divido ao meio? O que acontece se eu pegar 1 e dividir em duas partes? [Na lousa, a professora monta a divisão de 1 por 2 na chave]. Lara: Vai ficar cinquenta centavos, se for em reais. Maria: Vai ficar cinquenta centavos! É possível dividir 1 para 2? Lara e outros alunos: Não! Simone: Sim! Lara: [Sim] se for em dinheiro! Se for em dinheiro. Maria: Se não for em dinheiro, não tem jeito? Lara: Não! Sônia: Se for comida também dá. Maria: Ah, se for comida também dá! [...] Então, olha só, 1 dá para dividir por 2? A resposta é: não inteiro, mas se eu cortar, dividir...

Com base no diálogo apresentado acima, discuta com seu grupo as seguintes questões: a) Como vocês avaliam a resposta do aluno João, que reconhece a existência de números entre 0 e 1, mas essa existência faz sentido se estivermos falando de dinheiro? b) Vocês acreditam que a fala “a metade de um real é cinquenta centavos” feita por João é adequada para as ideias matemáticas que a professora Maria quer ensinar? Comentem. c) Vocês acreditam que a forma de registrar os cinquenta centavos fazendo “zero vírgula cinquenta”, como mostra a Figura 2, é apropriada para a aprendizagem dos alunos? Essa compreensão pode acarretar erros futuros? De que tipo? d) Na sequência da aula da professora Maria, a professora escreve na lousa o número e pergunta: “Como a gente chama esse ‘zero vírgula cinco’, alguém sabe?”. Na expectativa de algum aluno responder “meio”, a professora se surpreende com a resposta de uma aluna: “cinco centavos”. Ao que outra aluna comenta: “É ‘zero vírgula cinco’, porque se fosse centavos, ia ter outro zero na frente do cinco, então não é centavos”. Interpretem esses comentários, tentando compreender a forma como essas duas alunas estavam pensando. e) Diante das respostas dos alunos, associando a existência de números entre zero e um a situações envolvendo dinheiro ou comida, discuta com seu grupo o uso dessas contextualizações no ensino da Matemática.


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Terceira tarefa de aprendizagem profissional

O Quadro 2 apresenta a Tarefa do Basquete, discutida por um grupo de professoras durante o planejamento de uma aula para o ano do Ensino Fundamental. Responda aos questionamentos feitos após o quadro. Quadro 2 – Tarefa do Basquete

Fonte: Ponte e Quaresma, 2014

a) Antes de ouvir os demais integrantes de seu grupo, reflita e registre como você acredita que seus alunos poderiam resolver os dois itens da tarefa. b) No grupo, compartilhem as respostas dadas no item anterior (Como você esperaria que os alunos resolvessem a tarefa?). Justifiquem suas decisões e registrem, se houver, as diferentes formas de resolver que surgiram no grupo. c) Que oportunidades para aprender matemática são oferecidas pela tarefa? No grupo de professoras que ensinam Matemática no Ensino Fundamental em que essa tarefa foi discutida, diferentes formas de pensar e de resolver a tarefa surgiram. Um trecho da conversa está transcrito a seguir. Nele, participam as professoras Bia, Joana e Deise e o professor formador Paulo6 . Ao resolver a Tarefa do Basquete, a professora Deise concluiu que quem deveria ser indicado para representar a equipe deveria ser Tomé e seu argumento era de que, em um jogo de basquete, quem cria mais oportunidades para arremessar na cesta e quem acerta mais deve ser o escolhido. Esse argumento surge para Deise depois de tentar buscar, sem sucesso, frações com mesmo denominador para fazer a comparação. Vejamos o diálogo. Bia: [essa tarefa] dá margem para muita coisa, né? Se nós, como professoras, já quebramos um pouco a cabeça, imagina um aluno. Vai do direcionamento do que você quer que o aluno... onde você quer que o aluno chegue. Deise: Ou uma fração, duas frações, que você consiga chegar em uma equivalência, para você poder comparar. Pode até dar duas frações com denominadores diferentes, não tem problema. Mas, que tenha alguma forma de ele fazer uma comparação, achar um [denominador] comum e desenhar e ver..., sabe? Paulo: Mas, nesse caso não daria para fazer isso? Com essas frações? Deise: É, não! Eu acho que não. Não por causa do . Paulo: Por quê? O 7 é... Deise: Porque aqui [nessas frações] eu não vou conseguir, por exemplo, nem simplificar e nem ir... ah, aqui dá, mas... [referindo-se à fração 4/6, que é possível simplificar]. Paulo: Uma você consegue simplificar, a outra não? Deise: Ah, não! É... aqui também dá para chegar no 12 [referindo-se ao denominador da fração 4/6], se eu fizer por 2.

6 Os

nomes utilizados são todos fictícios, visando preservar o anonimato dos envolvidos.


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A professora faz as contas, multiplicando numerador e denominador por 2 e conclui: Deise: oito doze avos. Aí eu vou... ah, aí vai ser o Henrique. [contrariando sua primeira resposta dada anteriormente, que considerava o Tomé como o escolhido] Joana: É verdade! [também surpresa com a nova conclusão] Paulo: Aí essa comparação de frações agora você fez como? Deise: Aí essa comparação... É! Não, eu queria achar um denominador comum. Então, eu achei agora, com a multiplicação. Deu oito doze avos para o Henrique e 7 doze avos para o Tomé. Então, aí o Henrique, nessa comparação, teve mais ... Eu consigo mostrar para meu aluno, ele consegue ver que o Henrique foi melhor. Mas, na situação do jogo... eu estava pensando nisso [referindo-se à tentativa de fazer comparação de frações], mas aí eu apaguei tudo e falei: Não, mas é jogo. Se o jogador lançou mais e fez mais, é ele. [esse era o argumento inicial da Deise para escolher o Tomé e não o Henrique] Paulo: Sim, é uma forma de pensar. Em um jogo, quem consegue mais oportunidades de fazer gol, pensando no futebol, eu prefiro esse jogador que consegue gerar mais oportunidades do que alguém que gera menos. Deise: Sim, então, mas agora que eu achei uma equivalente... eu não estava conseguindo achar um jeito por causa do 7, eu fiquei parada no 7. Mas, agora, comparando, o Henrique está melhor. [...] Mas, eu ainda acho que na situação de basquete, quem arremessa e faz mais, ganha.

Com base diálogo acima, discutam em grupo os seguintes questionamentos: d) No início do trecho, a Deise sugere uma impossibilidade de fazer a comparação de frações. Por que vocês acreditam que aconteceu isso? O que a motivou a pensar dessa forma? Os números utilizados no enunciado deveriam ser modificados para evitar um pensamento como o apresentado pela Deise? e) Aos poucos, a Deise parece ir modificando sua compreensão a respeito da comparação daquelas frações. A que vocês atribuem essa mudança? f) Ao final do diálogo, é possível perceber que Deise levanta duas possibilidades: 1) Fazer a comparação entre as frações e escolher o Henrique; 2) Levar em consideração que se trata de um jogo de basquete e escolher o Tomé, pois ele criou mais oportunidades de arremesso e fez mais pontos. Comente com seu grupo sobre essas duas possibilidades. Seria necessário fazer alguma reformulação no enunciado para evitar alguma dessas possibilidades? Quarta tarefa de aprendizagem profissional

O Quadro 3 apresenta a Tarefa do Festival da Matemática, utilizada por uma professora em sua turma do 5º ano do Ensino Fundamental. Quadro 3 – Tarefa do Festival da Matemática

Fonte: Dados da pesquisa


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Os alunos resolveram a Tarefa do Festival de Matemática e algumas das resoluções feitas por eles estão apresentadas a seguir, nas Figuras 3, 4 e 5. Figura 3 – Resolução escrita do primeiro grupo de estudantes

Fonte: Dados da pesquisa

Figura 4 – Resolução escrita do segundo grupo de estudantes

Fonte: Dados da pesquisa

Figura 5 – Resolução escrita do terceiro grupo de estudantes

Fonte: Dados da pesquisa

Com base nas resoluções acima apresentadas, responda aos questionamentos: a) Como vocês entendem cada uma das resoluções apresentadas nas Figuras 3, 4 e 5? Há alguma relação entre as resoluções? Comentem. b) Matematicamente, essas ideias apresentadas nas Figuras 3, 4 e 5 estão corretas? Justifiquem suas conclusões. c) Como vocês abordariam esses estudantes para que compreendam que as ideias apresentadas nas Figuras 3, 4 e 5 não estão corretas? Que perguntas/intervenções poderiam ser realizadas no sentido de desconstruir essas respostas inadequadas? d) Que perguntas/intervenções poderiam ser realizadas no sentido de conduzir os estudantes para uma ideia adequada para resolver a tarefa?


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e) Quando a professora da turma percebeu que boa parte dos alunos estavam pensando da mesma forma como as Figuras 3, 4 e 5 indicam, resolveu orientar seus alunos. Pediu a atenção de toda a turma, que estava dividida em pequenos grupos, e disse: “Deixa eu só dar uma ideia para alguns grupos que eu vi que estão vendo só a questão das diferenças de pontuação de um grupo para outro. Mas, eu posso comparar coisas que não estão equivalentes? Eu posso comparar um desafio que teve 6 questões com um desafio que teve 12? O que eu preciso fazer para conseguir achar essa equivalência e conseguir descobrir quem pontuou mais para conseguir classificar no festival? Como vocês acham que a gente pode resolver isso? Lembram da questão dos bolos, das coisas que a gente faz sempre? Como que eu posso comparar um que está dividido em um monte de pedaços com um outro que dividido em menos? [...] O que a gente tem que fazer para conseguir comparar?” Em seguida, a professora deixou os alunos retornarem à resolução da tarefa. Como vocês avaliam essa intervenção da professora? A abordagem da professora aproximou-se da abordagem sugerida no item c)? Comentários finais Neste capítulo, trouxemos quatro TAP que foram desenvolvidas a partir das amostras autênticas da prática obtidas ao longo de um processo formativo que visou contribuir para o desenvolvimento profissional das professoras participantes a partir de um trabalho colaborativo por meio do Estudo de Aula. Nossa expectativa ao apresentar essas TAP é proporcionar à comunidade de professores formadores, professores em serviço e futuros professores possibilidades de se trabalhar em processos formativos com situações da prática como as que vivenciamos e que estão sendo objetos de investigação em pesquisas de mestrado. A partir do estudo que realizaram, Ribeiro, Aguiar e Trevisan (2020,) concluem que o uso das tarefas de aprendizagem profissional, articulado ao papel e ações dos formadores, permitiu aos professores participantes saírem do isolamento que vivem nas suas escolas e vivenciarem oportunidades de aprenderem uns com os outros (Ball, BenPeretz, & Cohen, 2014), favorecendo a mobilização e o aprofundamento de seus conhecimentos matemáticos para o ensino de padrões e regularidades na escola básica (RIBEIRO; AGUIAR; TREVISAN, 2020, p. 71).

Como sugerem os autores, as TAP por si só não garantem um ambiente propício para a aprendizagem profissional dos professores. As ações e mediações dos professores formadores envolvidos são fundamentais para a construção desse contexto que favorece a mobilização e aprofundamento dos Conhecimentos Matemáticos para o Ensino (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). No entanto, acreditamos que as TAP elaboradas têm potencial para servirem a esses propósitos. Também chamamos a atenção para o fato de que, conforme aponta Smith (2001), os registros de prática, como os utilizados em nossas TAP, não representam a própria situação de ensino do professor. Por isso, a autora, baseando-se em trabalhos de Deborah Ball, destaca que esses registros de prática fornecem detalhes ricos sobre situações particulares, mas é importante ir além dos detalhes em vez de ficar presos neles. É necessário cuidado para que o processo de examinar registros de prática não se tornarem tão analítico a ponto de perder sua conexão com o trabalho de ensinar (SMITH, 2001). Concordamos com Smith (2001) quando aponta que o trabalho de analisar registros de prática tem como objetivo ajudar os professores a desenvolverem uma base de conhecimento matemático para o ensino para melhorar sua tomada de decisão em sala de aula.


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Isso significa que o trabalho de analisar as TAP ou registros de prática não deve ser pensado como algo que ajuda os professores a se tornarem hábeis em realizar análises por si mesmas. Evitar essa armadilha, finaliza Smith (2001), requer manter o trabalho de ensino como um foco e fazer conexões entre a TAP em mãos e o trabalho real que os professores desenvolvem em sala de aula. Referências BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, n. 59, p. 389-407, 2008. BOAVIDA, A. M.; PONTE, J. P. Investigação colaborativa: Potencialidades e problemas. In: GTI (Org.). Reflectir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM, 2002. p. 43-55. CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; NUNES, T. O professor polivalente e a fração: conceitos e estratégias de ensino. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.8, n.1, p. 125-136, 2006. FIORENTINI, D.; CRECCI, V. Desenvolvimento profissional docente: um termo guardachuva ou um novo sentido à formação? Formação Docente – Revista Brasileira de Pesquisa sobre Formação de Professores, v. 5, n. 8, p. 11-23, 30 jun. 2013. GONÇALVES, F. M.; RODRIGUES, S. R.; ELIAS, H. R.; TREVISAN, A. L. Conhecimento do conteúdo e dos estudantes mobilizado por uma professora dos anos iniciais do Ensino Fundamental. In: EPREM - Encontro Paranaense de Educação Matemática, 15. 2019, Londrina. Anais... Londrina, 2019. KIEREN, T. E. On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational numbers. In: LESH, R. (Ed.) Number and measurement: papers from a research workshop. Columbus, Ohio: Eric/Smeac, 1976, p.101-144. MERICHELLI, M. A. J.; CURI, E. Estudos de Aula (“Lesson Study”) como metodologia de formação de professores. REnCiMa, Edição Especial: Educação Matemática, v. 7, n.4, p. 15-27, 2016. PONTE, J. P. Da formação ao desenvolvimento profissional. In: Actas do ProfMat 98. Lisboa: APM, 1998. p. 27-44. PONTE, J. P.; Tarefas no ensino e na aprendizagem da Matemática. In: PONTE, J. P. (Org.) Práticas profissionais dos professores de Matemática. Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, 2014, p.13-27. PONTE, J. P.; BAPTISTA, M.; VELEZ, I.; COSTA, E. Aprendizagens profissionais dos professores através dos estudos de aula. Perspectivas da Educação Matemática, Campo Grande, n. 5, p. 7-24, 2012. PONTE, J. P.; QUARESMA, M.; MATA-PEREIRA, J.; BAPTISTA, M. O Estudo de Aula como Processo de Desenvolvimento Profissional de Professores de Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), v. 30, n. 56, p. 868 - 891, dez. 2016. PONTE, J. P.; QUARESMA, M. Representações e Processos de Raciocínio na Comparação e Ordenação de Números Racionais numa Abordagem Exploratória. Bolema, Rio Claro (SP), v. 28, n. 50, p. 1464-1484, dez. 2014.


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RIBEIRO, A. J.; AGUIAR, M.; TREVISAN, A. L. Oportunidades de aprendizagem vivenciadas por professores ao discutir coletivamente uma aula sobre padrões e regularidades. Quadrante, v. 29, n. 1, 2020. RIBEIRO, A. J.; PONTE, J. P. Professional learning opportunities in a practice-based teacher education program about the concept of function. Acta Scientiae, v. 21, p. 49-74, 2019. SARAIVA, M.; PONTE, J. P. O trabalho colaborativo e o desenvolvimento profissional do professor de Matemática. Quadrante, v. 12, n. 2, p. 25-52, 2003. SMITH, M. S. Practice-Basead Professional Development for Teachers of Mathematics. Reston, Virgínia: National Council of Teachers of Mathematics, 2001.


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Tarefas de Análise da Produção Escrita em Matemática (TAPE): possibilidades no ensino, pesquisa e formação de professores Fernando Francisco Pereira | Iara Souza Doneze | Jader Otavio Dalto

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docentes remetem os professores a atividades cotidianas que requerem, de modo geral, conhecimentos acerca da disciplina que ministra, do currículo, das abordagens para ensinar os conteúdos. Por trás de cada conhecimento há componentes que o descrevem e eles encontram-se impregnados de concepções teóricas e práticas, as quais podem constituir-se cientificamente ou de forma espontânea a partir das interações entre professores e alunos (SHULMAN, 1986; D’AMBRÓSIO, 1993; CARVALHO; GIL-PÉREZ, 2011). Em específico, o contexto supramencionado conduz a um momento importante do processo de ensino e aprendizagem, a avaliação. A avaliação vista como instrumento de quantificação e classificação é repleta de pensamentos de senso-comum que se propagam ao longo de toda a construção da identidade docente. A avaliação, vista sob as limitações de uma concepção tradicionalista, está fadada a replicar velhos mitos de acreditar que a aprendizagem limita-se à capacidade dos alunos de replicar o que lhes foi apresentado, a fim de julgá-los em bons ou ruins, pautados por um rito sistêmico de pesquisar ou elaborar questões acerca do conteúdo matemático que se está ensinando, reuni-las em um único arquivo que recebe o nome de prova, distribuí-la aos alunos e solicitar que realizem a resolução sem interferência externa, seja de outro colega ou de material escrito, recolher e realizar a correção do que está certo ou errado conforme espera o professor como uma cópia do que fora exposto. Tais mitos e ritos não se constituem parte do conhecimento docente, tampouco do processo formativo dos professores, mas são empiricamente concebidos do seu contato com o meio o qual permaneceram inseridos quando alunos, tornando evidente a prevalência por reproduzi-los agora sobre a doma de professores (HOFFMANN, 2005; BARLOW, 2006). Em discordância a essas concepções tradicionalistas acerca da avaliação, surge a ação de analisar produções escritas de alunos como uma abordagem investigativa da aprendizagem. Considerando que as produções escritas apresentadas pelos alunos são subvencionadoras de informações fidedignas do que os alunos sabem ou estão próximos de saber, de quais dificuldades o cercam ou de quais estratégias fazem uso, é possível e desejável investigar, por meio delas, o processo de aprendizagem dos alunos como forma de avaliá-los (DALTO, 2007). Nessa vertente, surge a Análise da Produção Escrita (APE) que, posterior à concepção de estratégia de avaliação sobre uma perspectiva investigativa, passa a ser considerada como estratégia de ensino de conteúdos matemáticos (SANTOS, 2014). A par destas considerações, neste capítulo apresentamos resultados advindos das investigações que desenvolvemos no PPGMAT acerca da utilização da APE no ensino de matemática, perpassando pela conceituação das Tarefas de Análise da Produção Escrita – TAPE – e suas implicações para a formação de professores que ensinam matemática. Sobre a prospecção de APE como estratégia de ensino, Cardoso (2017) conduz estudos práticos acerca do ensino de conteúdos matemáticos por meio da APE, apresentando apontamentos sólidos que elucidaram os apontamentos teóricos acerca dessa perspectiva. Os S PRÁTICAS


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apontamentos revelados por Cardoso (2017) suscitaram as investigações de Doneze, Pereira e Dalto (2019) e Pereira, Doneze e Dalto (2018), os quais por um lado, planificaram os pressupostos evidenciados por Cardoso (2017) e, por outro lado, conduziram investigações acerca das ações gerais que envolviam os professores que se propusessem a conceber a APE como uma estratégia de ensino, dando início às primeiras concepções de Tarefas de Análise da Produção Escrita (TAPE). O ponto central dos estudos de Doneze (2019) foi investigar a elaboração de TAPE a fim de explanar considerações consistentes acerca do processo de construção e condução dessa nova perspectiva na visão da formação docente. No cenário da formação docente e das reflexões sobre as ações de implementação das TAPE no ensino, Pereira (2019) buscou identificar que conhecimento matemático é mobilizado por professores ao refletirem sobre a elaboração e aplicação de uma proposta de TAPE no ensino de conteúdos matemáticos. Ambas as pesquisas expandiram as potencialidades iniciais traçadas pela APE como perspectiva de superar velhas concepções e hábitos enraizados na formação docente. Os frutos das pesquisas impulsionaram a apresentação de dois produtos educacionais, Doneze e Dalto (2019) e Pereira e Dalto (2019), que elucidam não apenas o cenário que se constituem as TAPE, mas também a sua delineação como subsidiária do desenvolvimento profissional baseado na prática. A transição por essa nova concepção será detalhadamente apresentada no decorrer da construção teórica que segue. Tarefas de Análise da Produção Escrita (TAPE) Os primeiros indícios de que a APE poderia ser concebida como uma tarefa foram apresentados no estudo de Cardoso (2017), no qual a pesquisadora atribui a denominação de tarefa às questões que levam os alunos a questionamentos para a construção de um novo conhecimento a partir da investigação, interpretação e julgamento dos erros e acertos presentes nas resoluções escritas de outros alunos sobre determinadas tarefas. As resoluções que compõem as tarefas devem ser previamente analisadas pelo professor, pautando a escolha de acordo com o propósito do ensino. Investigando as pistas acerca de como esse processo de elaboração das tarefas poderia ser estruturado, Doneze, Pereira e Dalto (2019) elaboraram um ambiente de ações divididos em dois momentos conforme apresentado na Quadro 1. Quadro 1 – Ações do professor frente ao uso da Análise da Produção Escrita

Fonte: Doneze, Pereira e Dalto (2019)

A investigação proposta por Doneze, Pereira e Dalto (2019) concebia a tarefa como um instrumento de ensino que deveria ser elaborado e conduzido de acordo com os momentos apresentados na Quadro 1. O instrumento pautou-se em elaborar tarefas de acordo com o proposto por Cardoso (2017), de modo que os alunos são levados a construir conhecimento a partir das ações de investigar, refletir e levantar argumentação sobre erros e acertos


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presentes nas produções escritas de outros alunos. Foram selecionadas, de uma turma de Ensino Fundamental na modalidade Educação de Jovens e Adultos (EJA), três produções escritas referentes à resolução de uma situação matemática envolvendo o conteúdo de lucro e prejuízo. Essas produções vieram a compor o instrumento de ensino que foi apresentado a alunos do 7º ano do Ensino Fundamental conforme revela a Figura 1. Figura 1 – Instrumento de ensino contendo as produções selecionadas da turma de EJA

Fonte: Doneze, Pereira e Dalto (2019)

Para guiar a análise das produções, algumas indagações, reveladas na Quadro 2, foram feitas aos alunos do 7º Ano com objetivo de auxiliá-los na reflexão. Quadro 2 – Questões que compuseram o instrumento de Ensino

Fonte: Doneze, Pereira e Dalto (2019)

Algumas considerações dessa investigação foram tecidas por Doneze, Pereira e Dalto (2019) A análise revelou que, em alguns casos, os alunos consideram apenas uma forma de resolver determinada situação, a sua, e passam a desconsiderar possíveis outras formas de se resolver a mesma situação, apenas por apresentarem um algoritmo ou procedimento diferente do que seria adotado por ele no lugar do resolvedor [...] ao voltar os olhos para as produções que refletiam corretamente a solução da situação, passou a considerá-la incorreta ou parcialmente correta apenas pela ausência de simbologias. Pode-se supor que esta ação esteja associada com as práticas avaliativas com as quais esse aluno foi condicionado (DONEZE; PEREIRA; DALTO, 2019, p. 26).


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Diante dessas considerações e preocupados em superar as limitações do certo e errado, Doneze, Pereira e Dalto (2019) teceram ressalvas à proposta, sugerindo aos interessados em pôr à prova a APE como estratégia de Ensino, que transcendam a elaboração de tarefas com esse foco, tornando-a um instrumento de maior reflexão sobre outros detalhes presentes nas produções. Essa proposta já estava sendo posta em prática por Pereira, Doneze e Dalto (2018). A partir da análise, reflexão e sintetização dos trabalhos desenvolvidos acerca da APE como estratégia de ensino, Pereira, Doneze e Dalto (2018) passaram não apenas focar os questionamentos no certo ou errado, mas como uma tarefa cujo surgimento advenha de uma produção escrita previamente analisada pelo professor, de modo que sua construção tenha sido no cerne desta produção escrita, tudo nele(a) proposto esteja envolto ao objetivo de se analisar tal produção escrita, norteando o ensino e a aprendizagem de determinado conteúdo, configurando-se como uma tarefa de questionamentos, reflexões, de comparação e discussão quanto aos diferentes pontos de vista e procedimentos que permitem solucionar as situações (PEREIRA; DONEZE; DALTO, 2018, p. 240).

Munidos dessa concepção, os pesquisadores se propuseram a investigar na prática como se encaminharia e quais as possibilidades das TAPE conduzindo o ensino de equações de 1º grau a alunos do Ensino Fundamental modalidade EJA. A tarefa foi desenvolvida a partir da apresentação de duas produções escritas de alunos do 8º e 9º ano de um exercício do conteúdo proposto, conforme revela a Figura 2. Figura 2 – Produções escritas apresentadas aos alunos da EJA

Fonte: Doneze, Pereira e Dalto (2018)

Nota-se que foi apresentado aos alunos uma produção escrita parcialmente correta e outra correta. No entanto, procurando seguir a nova concepção de TAPE, os pesquisadores propuseram indagações de forma a conduzir a atenção dos alunos para partes específicas das produções conforme revela a Quadro 3. Quadro 3 – TAPE aplicada na turma de EJA para o ensino de equações de 1º grau

Fonte: Doneze, Pereira e Dalto (2018)


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Algumas considerações dessa investigação foram tecidas pelos investigadores, como o fato de mesmo o professor “não tendo trabalhado em sala de aula a propriedade distributiva da multiplicação, as observações das produções feitas pelos participantes revelaram, de forma elementar, tal propriedade”. Ainda sobre as análises feitas pelos alunos da EJA, quanto ao procedimento de isolar os valores numéricos das incógnitas, é justificado por eles como a ação de “separar as letras dos números e trocar o sinal, o que é positivo passa a ser negativo e vice-versa”, esse fato remete a forma que muitos professores tentam utilizar na explicação, não sendo possível afirmar se os alunos compreendiam o real significado da ação (PEREIRA; DONEZE; DALTO, 2018, p. 253). Os pesquisadores apontam para a necessidade de que as tarefas sejam elaboradas de forma crescente, ao passo que os alunos atinjam os objetivos e/ou habilidades de forma gradual, de modo que a próxima questão possa ser respondida a partir do que foi construído na anterior e assim sucessivamente. Essa contribuição gradativa incentiva os alunos a utilizarem conhecimentos já construídos na construção de um novo, como ocorreu na exemplificação da propriedade distributiva e também os professores ao buscarem apresentar conceituações matemáticas em sua natureza estrita, para além da redução a afirmativas clichês que transitam por entre as falas dos professores (PEREIRA; DONEZE; DALTO, 2018). O planejamento, elaboração e aplicação das TAPE não se revelam em ações simples, que necessitem de pouco tempo. De modo geral, os professores não possuem o tempo a seu favor, visto o número expressivo de aulas, turmas e alunos, ao passo que também exercem suas atividades pessoais. Assim, procurou-se apresentar um catálogo de produções escritas1 já coletadas e agrupadas de acordo com conteúdo de interesse ao longo da Educação Básica, conforme pode ser visto na Figura 3. Figura 3 – Layout do catálogo de produções escritas organizadas em pastas

Fonte: Elaboração dos autores (2020)

Tal catálogo encontra-se publicamente disponibilizado para uso, sugestões e acréscimos. Sua elaboração contribuiu para a condução de um curso de Formação Inicial e Continuada intitulado “Tarefas de Análise da Produção Escrita como oportunidade de ensino e aprendizagem”, tendo como público-alvo professores de matemática, pedagogos (anos iniciais do Ensino Fundamental) e graduandos em matemática. Com uma carga horária 1O

link compartilhado de acesso ao catálogo e às produções pode ser encontrado em: https://drive.google. com/file/d/1pBhpfm9-vyMyZL2Cvont2GLKiQZ5iKhD/view?usp=sharing


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total de 10 horas, foi dividido em quatro momentos, sendo um deles a elaboração de uma TAPE utilizando-se das produções escritas presentes no catálogo. O curso foi dividido em quatro momentos, sendo o primeiro, responder a um formulário digital acerca da APE como estratégia de avaliação e prática investigativa e a APE como estratégia de ensino; o segundo, responder e discutir uma atividade de verdadeiro ou falso elaborada a partir das respostas dadas pelos próprios participantes no primeiro momento; o terceiro, elaborar uma TAPE a partir de produções escritas disponibilizadas no catálogo fornecido; o quarto, aplicar a TAPE e refletir individualmente a aplicação. Todos os momentos que compunham o curso em questão, serviram de ambiente investigativo e subsidiador de dados para a pesquisa de Doneze (2019) e Pereira (2019), tratando-se de duas investigações que se utilizaram do mesmo ambiente e sujeitos, mas que seguiram por caminhos distintos de acordo com cada objetivo. Respectivamente, essas pesquisas e seus produtos educacionais serão explorados a seguir. A construção de TAPE para o ensino e a aprendizagem de Matemática A pesquisa desenvolvida por Doneze (2019) deu origem a dissertação de mestrado intitulada: a A construção de Tarefas de Análise da Produção Escrita para o ensino e a aprendizagem de Matemática, a qual teve como objetivo geral analisar o processo de construção de TAPE bem como caracterizar tal processo a partir de um plano de investigação que buscou compreender todo o processo de elaboração de TAPE, destacando ainda suas potencialidades. Os dados analisados emergiram de tarefas desenvolvidas por graduandos e professores que ensinam matemática, no curso sobre TAPE já mencionado anteriormente. Em busca de atingir o objetivo, constatou-se que a existência ou não de experiência no momento da construção das tarefas se fez irrelevante, por outro lado, esboçou sentido quanto à motivação na escolha do conteúdo. A pesquisa se deu em dois momentos, inicialmente tendo como intuito ter um contato direto com tarefas em que produções escritas se faziam presentes, buscou-se sustentação em Pereira, Doneze e Dalto (2018) e Doneze, Pereira e Dalto (2019). No que se refere a esse primeiro momento, salienta-se que este se fez necessário, pois o contato com essas investigações, em que produções escritas foram o cerne de suas investigações, foram primordiais para o processo de elaboração do curso de extensão já mencionado. Esse contexto foi o ponto de início da pesquisa de Doneze (2019), na qual os entendimentos mais consolidados sobre TAPE emergiram. O segundo momento da pesquisa trata-se da exploração dos dados oriundos das TAPE elaboradas pelos participantes do curso de extensão. Para tanto, lançou-se um olhar para as tarefas elaboradas por eles, com o intuito de obter subsídios que revelassem características e considerações usadas ao construí-las. Tal exploração foi pautada nas unidades de análises conforme Quadro 4.


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Quadro 4 – Características a se compreender em cada tarefa

Fonte: Doneze (2019)

Ao findar das análises, foi possível caracterizar substancialmente TAPE, como uma ação que deve ser elaborada centrada em produções escritas que permitam ao professor formular, de modo gradual, questionamentos investigativos e reflexivos para seus alunos, a fim de auxiliar na construção de seus conhecimentos. Tal tarefa pode ser composta por uma única produção escrita, duas ou mais, gerando possibilidades que conduzem a um ambiente reflexivo e de interação. Caderno de TAPE para o Ensino de Matemática As tarefas analisadas em Doneze (2019) junto ao conceito definido de TAPE compuseram um Caderno de Tarefas de Análise da Produção Escrita para o Ensino de Matemática, (DONEZE; DALTO, 2019). Este material conta com sete TAPE, das quais cinco foram elaboradas pelos participantes do curso de extensão mencionado e duas foram elaboradas em conjunto com os autores deste capítulo. O Quadro 5 mostra quais são as principais características de cada uma das TAPE apresentadas no produto educacional de Doneze e Dalto (2019), bem como o conteúdo estruturante, conteúdo específico e objetivos.


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Quadro 5 – Características das tarefas apresentadas em Doneze (2019b)

Fonte: Doneze e Dalto (2019)

Uma das tarefas que compõem o caderno está apresentada na Quadro 6.


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Quadro 6 – TAPE 7 elaborada pelos participantes durante o curso

Fonte: Doneze e Dalto (2019)

Esta tarefa foi elaborada por um participante do curso de extensão, licenciando em Matemática e, ao analisá-la a partir das características das TAPE apresentadas na Quadro 6, percebemos que ele utiliza uma única produção escrita para elaborar questionamentos que chamam a atenção do aluno para alguns aspectos apresentados na produção escrita. A partir destes questionamentos, o aluno tem condições de, ao final, decidir se a produção escrita está correta ou incorreta. Esta e outras tarefas que são apresentadas no caderno podem servir como possibilidades para o professor diversificar a dinâmica das suas aulas e servir de guia para que o professor possa elaborar suas próprias TAPE. Conhecimentos mobilizados por graduandos e professores que ensinam Matemática em um curso de formação sobre TAPE A pesquisa de Pereira (2019) resultou na dissertação de mestrado intitulada: Conhecimentos mobilizados por graduandos e professores que ensinam Matemática em um curso de formação sobre Tarefas de Análise da Produção Escrita. O objetivo geral da pesquisa consistiu em identificar conhecimentos mobilizados por graduandos e professores que ensinam matemática a partir de TAPE, para tanto pautou-se em construir respostas ao questionamento: Que conhecimentos são mobilizados por graduandos e professores em um ambiente de discussão e construção de Tarefas de Análise da Produção Escrita, visando refletir sobre a prática profissional do professor que ensina matemática? Como já revelado, os participantes da pesquisa foram professores e graduandos em Matemática que participaram do curso de formação proposto.


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Ao olhar para todo o contexto que envolve os professores e as suas ações antes, durante e depois de uma TAPE, Pereira (2019) vislumbrou que: primeiro vem a prática avaliativa, pois selecionar produções escritas requer dos professores conhecimentos específicos acerca do conteúdo matemático e dos alunos; segundo vem práticas investigativas e de ensino, pois a condução da TAPE depende, por parte do professor, de conhecimentos do conteúdo e de como ensiná-lo; terceiro vem a prática reflexiva, envolvendo os conhecimentos do conteúdo, dos alunos e do currículo atrelando-os a avaliação e autoavaliação como um processo reflexivo. Para guiar sua investigação, Pereira (2019) procurou sustentar-se sobre o Conhecimento Matemático para o Ensino (Matematical Knowledge for Teaching - MKT) de Ball, Thames e Phelps (2008) os quais estruturam esse conhecimento em 6 (seis) domínios: Conhecimento Especializado do Conteúdo; Conhecimento do Conteúdo no Horizonte; Conhecimento Comum do Conteúdo; Conhecimento do Conteúdo e do Ensino; Conhecimento do Conteúdo e do Currículo; Conhecimento do Conteúdo e do Aluno. Ao realizar uma primeira análise do corpus, notou-se que os domínios do conhecimento matemático requisitados em todas as ações frente a elaboração, aplicação e reflexão das TAPE foram o: Conhecimento Especializado do Conteúdo; Conhecimento do Conteúdo e do Aluno; Conhecimento do Conteúdo e do Ensino. Podemos justificar a mobilização maior destes três domínios pelo fato de estarem estritamente associados às oportunidades de ensino e de aprendizagem. Dentre os sujeitos participantes, foram selecionados três para comporem a análise, sendo: PROFMAT1, um professor licenciado em Matemática e Física com experiência no Ensino Fundamental – Anos Finais e Ensino Médio; PEDAGOGA1, graduada em Pedagogia com vinte e quatro anos de experiência na Educação Infantil e responsável pelo Apoio Pedagógico de Matemática da Rede Municipal de Educação, trabalhando diretamente com a formação dos professores do Ensino Fundamental – Anos Iniciais; GRADUANDA5, graduanda do curso de licenciatura em Matemática e licenciada em Química com experiência no Ensino Fundamental Anos – Finais e Ensino Médio. A opção por esses sujeitos para comporem a análise se deu em função da heterogeneidade entre suas formações e experiências docentes. Esse fator pode ter exercido influência sobre suas participações de modo que pudessem apresentar contribuições em todos as ações. Ao atentar individualmente para cada um dos três domínios do conhecimento matemático mobilizado durante o curso, Pereira (2019) tece algumas conclusões. Acerca do Conhecimento Especializado do Conteúdo, Pereira (2019) notou que os dois primeiros momentos do curso, responder e refletir sobre seus conhecimentos acerca da APE como estratégia de avaliação e ensino foram os principais responsáveis por mobilizar os aspectos ligados a esse conhecimento. Outro aspecto revelado acerca desse conhecimento foi a capacidade de apresentar um conhecimento matemático diferente do senso comum, livre do ensino mecânico, levando a considerar e avaliar a criatividade dos alunos como uma possível alternativa para a condução do ensino. Assim, conhecer e apresentar diferentes representações e exemplificações para determinado conteúdo matemático, com o objetivo de torná-lo visível aos alunos e auxiliá-los na compreensão, foram as habilidades fundamentais associadas ao Conhecimento Especializado do Conteúdo. Embora essas habilidades possam parecer mais desenvolvidas por professores como PROFMAT1 e PEDAGOGA1 devido o tempo de experiência como professores, a GRADUANDA5 apresentou habilidades relacionadas a esse conhecimento, provavelmente advindas das experiências como professora em sua primeira graduação, além das recentes como professora temporária de Matemática. Tratando-se do Conhecimento do Conteúdo e do Aluno mobilizados no curso, Pereira (2019) considerou que, assim como anteriormente, o primeiro e segundo momentos


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foram consideráveis impulsionadores para que os participantes mobilizassem habilidades relacionadas a familiaridade do professor com os alunos e seu pensamento matemático. Essas habilidades, atreladas ao Conhecimento do Conteúdo e do Aluno, foram encontradas com mais frequência nas falas de PROFMAT1 e PEDAGOGA1, mesmo que a segunda participante esteja em um cargo fora das salas de aula, suas vivências ao longo de todos os anos como professora subsidiaram aportes para que, durante o momento de aplicação da TAPE, ela apresentasse proximidade com os alunos e com os obstáculos vivenciados e soubesse avaliar e propor abordagens e exemplificações diante de determinadas situações intrínsecas dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Ainda acerca desse conhecimento, cabe considerar GRADUANDA5, que também apresentou familiaridade com os alunos, ao ponto de prever possíveis dificuldades ou anseios que poderiam vir a ter no decorrer da resolução de uma situação-problema. Por fim, quanto ao Conhecimento do Conteúdo e do Ensino, Pereira (2019) considerou que, nas falas dos participantes residiu o interesse por incentivar que os alunos busquem diferentes métodos de resolução de uma situação, que tanto alunos, quanto professores não fiquem fixados em padronizações de resoluções. Essas diferentes estratégias podem subsidiar novas formas de se ensinar determinado conteúdo. Nas falas dos três participantes analisados, foi possível encontrar a mobilização de habilidades acerca de quando usar as observações ou representações, apresentadas pelos alunos em suas respostas ou discussões, como oportunidade de introduzir o ensino de um conteúdo ainda não ensinado ou aprofundar um conteúdo ainda pouco explorado, a partir dessas representações práticas. Ao final, Pereira (2019) encerra apresentado aportes para que se considere a formação de professores em TAPE como uma Tarefa de Aprendizagem Profissional (TAP), de acordo com os pressupostos de Ball e Cohen (1999) e Smith (2001). Visto que as TAPE são planejadas, aplicadas e refletidas a partir de materiais específicos da prática docente, como são as produções escritas, assim, atreladas ao ambiente formativo poder-se-á tornar uma oportunidade de formação profissional baseada na prática. Esse contexto é justamente o que abordou o produto educacional de Pereira e Dalto (2019) a ser explorado na sequência. TAPE: uma proposta de curso de extensão O conceito de TAP surgiu inicialmente em 1999, na pesquisa Ball e Cohen (1999), que assumiram Ambientes de Formação Profissional Baseados na Prática (PBPD) como pontos inicias para o desenvolvimento de TAP. Em 2001, surge os estudos de Smith, que se agregados ao de Ball e Cohen (1999) permitiram concluir que as TAP são tarefas desenvolvidas em ambientes formativos, organizadas a partir de materiais extraídos da prática, como: gravação de aulas, diários de aula e produções escritas de alunos, seja cópias do caderno, de atividades ou de avaliações, elas buscam considerar os conhecimentos prévios e experiências dos professores, objetivando sua aprendizagem. Para Smith (2001), a organização de TAP envolve um ciclo, conforme apresenta a Figura 4.


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Figura 4 – A organização e condução de uma TAP

Fonte: Pereira e Dalto (2019) adaptado de Smith (2001)

O sistema cíclico supramencionado é descrito por Smith (2001): tem como início o planejamento das aulas, momento em que os professores se engajam na decisão de quais os conhecimentos e processos matemáticos espera-se que os alunos aprendam. Para isso eles pesquisam, criam ou adaptam tarefas e atividades que têm por base conhecimentos já construídos e que impulsionarão a aprendizagem do conteúdo almejado. Em seguida, vem o ensino, momento em que o professor põe seu plano em execução, faz correções ou indagações, fornece subsídios para a aprendizagem dos alunos e avalia formal e informalmente o que os alunos estão aprendendo. Completando o ciclo, vem a reflexão, sendo o momento em que os professores olham para as representações e ideias matemáticas dos alunos, as estratégias gerais e o envolvimento dos alunos. Assim, considerando a perspectiva de TAPE apresentada anteriormente, podemos elaborar um sistema cíclico semelhante ao proposto por Smith (2001), conforme revela a Figura 5. Figura 5 – A organização e condução de uma TAPE

Fonte: Pereira e Dalto (2019)


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Ambos os ciclos anteriormente apresentados revelam proximidades da TAPE como uma TAP se consideradas dentro de um ambiente de formação profissional. Nota-se, diante de toda descrição apresentada ao longo do capítulo, que todo o contexto que circunda as TAPE propicia momentos para o compartilhar de experiências entre o professor e seus pares, ou entre o professor e seus alunos a fim de formar conclusões e construir novos conhecimentos. Nesse sentido, Pereira e Dalto (2019) propõem um produto educacional intitulado: Tarefas de Análise da Produção Escrita: uma proposta de curso de extensão. Esse produto consistiu em um informativo que reúne teoria e prática na construção de uma proposta de curso de extensão que visa implementar as TAPE como um componente da formação docente sustentado pelos pressupostos de Ball e Cohen (1999) e Smith (2001) acerca de TAP. Nesse informativo, surge a proposta que vem a se configurar em um curso conforme apresentado no Quadro 7. Quadro 7 – Proposta de curso de extensão sobre TAPE na perspectiva de uma TAP

Fonte: Pereira e Dalto (2019)


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Essa proposta configura-se em um guia que não necessariamente deve ser seguido à risca, mas que pode ser utilizado para nortear um processo formativo. Procurou-se apresentar aportes suficientes para todos aqueles que quiserem aventurar-se por essa perspectiva de avaliação, ensino e formação, cabendo assim adaptações para o ambiente e público que cerca o contexto a ser trabalhado. Ressalta-se a importância de uma atenção significativa ao Ciclo: Planejamento da aula; Ensino; Reflexão (Figura 9). O ciclo não se configura em uma TAP, mas sim serve como pilar de sustentação em sua elaboração e promoção. Outro fator que requer atenção é que, na busca por usar artefatos intrínsecos à sala de aula, suscita-se um olhar especial para a produção escrita dos alunos, que se configura como um exímio material da prática docente, capaz de refletir informações não apenas dos alunos, mas também da própria identidade do professor. Algumas Considerações Neste capítulo apresentamos parte de nossa trajetória de pesquisa no Programa de PósGraduação em Ensino de Matemática – PPGMAT, partindo das primeiras experiências com a Análise da Produção Escrita – APE – no ensino de Matemática, passando pela proposição de uma conceituação sobre TAPE, sua construção, utilização no ensino e possibilidades para a formação profissional de professores. Apesar de a APE estar mais frequentemente associada ao trabalho do professor, no que se refere à sua utilização como possibilidade de avaliação como prática de investigação, entendemos, a partir do que foi apresentado neste capítulo, que a APE pode contribuir efetivamente também para o ensino de matemática, a partir da utilização das TAPE. Consideramos que as características das TAPE podem fazer com que haja uma mudança na dinâmica das aulas, pois sua resolução requer do aluno uma reflexão sobre resoluções de outros alunos, ou seja, requer algo diferente do que possivelmente já estão habituados – apenas resolver uma questão, utilizando algum conhecimento matemático e fornecer a resposta. Diante desta falta de familiaridade dos alunos com questões que demandam mais reflexão do que simples habilidades matemáticas, é possível que o professor que as utilize enfrente alguma resistência dos alunos em resolvê-las. Essa resistência pode ser minimizada com o acompanhamento do professor, de modo a deixar explícito aos alunos que o objetivo da tarefa não é fornecer a resposta para a questão, mas sim pensar sobre a(s) resolução(ões) que a tarefa apresenta. A partir das investigações relatadas neste capítulo, evidenciamos, ainda, que a elaboração das TAPE também pode contribuir com a formação profissional de professores, na medida em que sua elaboração mobiliza uma série de conhecimentos necessários à docência. Nesta direção, outras investigações acerca da APE e TAPE, tão importantes quanto as relatadas aqui, estão sendo desenvolvidas no âmbito do PPGMAT. Referências BALL, D. L.; COHEN, D. K. Developing Practice, Developing Practitioners: Toward a Practice-Based Theory of Professional Education. In: SYKES, G.; DARLINGHAMMOND, L. (Eds.), Teaching as the Learning Profession: Handbook of Policy and Practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p. 3-32. BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching. Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, 2008, p. 389 – 407. doi: 10.1177/0022487108324554


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BARLOW, M. Avaliação escolar: mitos e realidades. Porto Alegre: Artmed, 2006. CARDOSO, M. A. M. Análise da produção escrita em Matemática: quatro histórias da construção de uma proposta de ensino para a Educação de Jovens e Adultos. 2017. 101 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Londrina, 2017. CARVALHO, A. M. P. de; GIL-PÉREZ, D. Formação de professores de ciências: tendências e inovações. 10ª ed. São Paulo: Cortez, 2011. D’AMBRÓSIO, B. S. Formação de professores de matemática para o século XXI: O grande desafio. Pró-Posições, Campinas, v. 10, n. 1, p. 35-40, 1993. DALTO, J. O. A produção escrita em matemática: análise interpretativa da questão discursiva de matemática comum à 8ª série do Ensino Fundamental e a 3ª série do Ensino Médio da AVA/2002. 2007. 100f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina. Londrina, 2007. DONEZE, I. S.; PEREIRA, F. F.; DALTO, J. O. As Primeiras Impressões da Análise da Produção Escrita como Fio Condutor de uma Aula de Matemática. Revista de Ensino, Educação e Ciências Humanas, Londrina, v. 20, n. 1, p. 21-27, 2019. DONEZE, I. S. A construção de tarefas de análise da produção escrita para o ensino e a aprendizagem de matemática. 2019. 102 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019a. DONEZE, I. S.; DALTO, J. O. Caderno de Tarefas de Análise da Produção Escrita para o Ensino de Matemática. 2019. 31 f. Produto Educacional (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. HOFFMANN, J. M. L. Avaliação: mito e desafio – uma perspectiva construtivista. 35 ed. Porto Alegre: Editora Mediação, 2005. PEREIRA, F. F.; DONEZE, I. S. DALTO, J. O. Caracterizando Tarefas de Análise da Produção Escrita por meio do ensino de Equações. Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão, v.7, n.14, p. 236-255, jul.- dez. 2018. PEREIRA, F. F. Conhecimentos mobilizados por graduandos e professores que ensinam matemática em um curso de formação sobre tarefas de análise da produção escrita. 2019. 124 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. PEREIRA, F. F.; DALTO, J. O. Tarefas de Análise da Produção Escrita: uma proposta de curso de extensão. 2019. 36 f. Produto Educacional (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. SANTOS, E. R. dos. Análise da produção escrita em matemática: de estratégia de avaliação a estratégia de ensino. 2014. 156 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Centro de Ciências Exatas, Universidade Estadual de Londrina. Londrina, 2014. SHULMAN, L. S. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, v. 15, n. 2, 1986, p. 4 – 14. doi: 10.2307/1175860. SMITH, M. S. Practice-based professional development for teachers of mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2001.



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Um Contexto Híbrido de Avaliação da Aprendizagem entre o Formativo e Somativo Talita Canassa Weber | Marcele Tavares Mendes “A escola poderia existir sem avaliação? – e pensando em nós professores e professoras, haveria consenso na resposta?” (ESTEBAN, 2000, p. 9).

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M UM CONTEXTO ESCOLAR ,

a avaliação tem um papel expressivo nos processos de ensino e de aprendizagem, um papel que pode ter diversos propósitos, funções e usos sociais. Sendo assim, entre as autoras desse texto, há o consenso de que a escola precisa de avaliação para existir, mas daquela que fornece informações que subsidiam os processos de ensino e de aprendizagem. Nesse capítulo, apresenta-se aspectos de uma proposta de contexto avaliativo, a partir de uma discussão teórica. Esses aspectos são oriundas do Produto Educacional “Contexto Híbrido Avaliativo” e da dissertação “Articulação da Avaliação Formativa com Avaliação Somativa em aulas de matemática”, desenvolvidos no contexto do Programa de PósGraduação em Ensino de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio e Londrina – PR pela primeira autora, orientados pela segunda autora. Para fomentar essa discussão, esclarecemos, de antemão, que a intenção não é julgar a avaliação existente nas escolas e apresentar a solução para todos os problemas, até mesmo por estarmos tratando de avaliação em uma dimensão em que se acredita não ser conveniente ter um juízo final estático. Os indícios, assim como os resultados dos processos de avaliação somativo ou formativo, são subjetivos; a precisão e a justiça são questionáveis em ambas as situações, no entanto quanto mais bem elaborados forem os critérios avaliativos, quanto mais evidências, ou, como compara Hadji (2001), quanto mais fotos se tirarem do processo, de modo que oportunize a aprendizagem, mais perto da realidade desejada se estará. O propósito desse capítulo é provocar um pensar, ou um repensar, a respeito do que é fundamental para organizar, planejar e desenvolver práticas avaliativas de matemática que articulem aspectos da avaliação formativa e da avaliação somativa. Essa provocação parte de uma reflexão teórica, da construção de quadros a partir desses referenciais e da análise de uma experiência avaliativa de um professor e de alunos de um 2º ano do Ensino Médio ao lidarem com uma prova em duas fases. Tipos de avaliação: algumas considerações Alguns documentos oficiais nacionais mencionam que intenções formativas devem não apenas estar presentes, mas ser prioritárias no sistema de formação. A LDB 9394/96 dispõe que A verificação do rendimento escolar observará critérios, dentre eles podemos destacar: a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais (LDB 9394/96, Artigo 24, inciso V).


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Nessa mesma direção, a Deliberação do CEE/PR apresenta “a avaliação com fundamento em uma perspectiva formativa” (DELIBERAÇÃO DO CEE/PR N.º 03/18, Artigo 4º, inciso IX, p. 3). A avaliação deve ocorrer com a finalidade de orientar os processos de ensino e de aprendizagem e, para que isso seja possível, deve dispor de metodologias pertinentes à aprendizagem: A avaliação deve subsidiar e orientar o processo de ensino e aprendizagem na fase da transição entre anos iniciais e finais do Ensino Fundamental, por meio de diferentes métodos avaliativos, capazes de garantir os direitos e objetivos de aprendizagem (DELIBERAÇÃO DO CEE/PR N.º 03/18, Artigo 11, Parágrafo único, p. 5).

Apesar de a avaliação formativa ser mencionada na legislação brasileira, no contexto de sala de aula, ainda é realidade a dissociação entre as ações formativas e os momentos avaliativos. Momentos avaliativos são quase que exclusivos para medir o rendimento dos alunos, e os formativos, exclusivos da ação pedagógica do professor (que não inclui a ação de avaliar). É pertinente que a avaliação se incorpore aos processos de ensino e de aprendizagem, tornando-se elemento constituinte dos dois processos, favorecendo que o indivíduo seja respeitado e valorizado no desenvolvimento de sua aprendizagem. A avaliação somativa ainda é a mais presente no contexto escolar, e esse movimento de articulação aqui discutido pode representar um passo para que ações formativas cada vez mais componham o processo avaliativo escolar. É necessário, porém, que essa mudança de paradigma1 ocorra de forma processual, sem imposição e percorra um caminho em que o professor se torne seguro em lidar, também, com a avaliação formativa. O formativo e o somativo desafiam-se mutuamente, sem obedecer necessariamente a uma ordem, e geram informações que podem ser compartilhadas. Com isso, parte-se da hipótese de que é possível articular, de forma estruturada, o formativo e o somativo (e vice-versa), reconhecendo suas diferenças e semelhanças com a clareza de que podem se relacionar no contexto da prática escolar. Tal articulação organiza-se com a ambição de uma avaliação menos injusta no contexto escolar. A avaliação somativa caracteriza-se por ser realizada ao final de uma etapa dos processos de ensino e de aprendizagem, ou, ainda, ao final de um período de tempo maior, como um curso ou semestre. O objetivo é “atribuição de notas, certificados, avaliação do progresso ou pesquisa da eficiência de um currículo, curso de estudos ou plano educacional” (BLOOM, HASTINGS; MADAUS, 1983, p. 129). Esses autores ressaltam, ainda, que tanto a avaliação somativa realizada ao final de uma etapa, intermediária, como a utilizada ao final de um tempo maior não podem ser depreciadas, pois “Talvez a característica fundamental da avaliação somativa seja de que o julgamento do aluno, do professor ou do programa é feito em relação à eficiência da aprendizagem ou ensino, uma vez concluídos” (BLOOM, HASTINGS; MADAUS, 1983, p. 129). A partir desse balanço, decisões de certificação podem ocorrer de várias maneiras, não unicamente por meio de notas. Podem estar implícitas em decisões ou ainda em um inventário que sumarize algumas informações de uma fase de formação. Santos (2016) considera a avaliação somativa com uma dimensão social de responsabilidade do professor que certifica em função da comunidade escolar (interna e/ou externa) e do mundo do trabalho sem, no entanto, considerar as individualidades do aluno e sem contar com o aluno enquanto corresponsável no desenvolvimento do processo avaliativo. 1 De

um contexto em que uma “avaliação administrativa” é o foco do Sistema Educacional para um contexto em que as concepções de avaliação somativa e formativa estejam em sinergia para a promoção da aprendizagem.


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Já a avaliação formativa, Allal (1986), apresenta que sua finalidade é “fornecer informações que permitam uma adaptação do ensino às diferenças individuais observadas na aprendizagem” (ALLAL, 1986, p. 160), o aluno deve aprender algo ao ser avaliado. A avaliação formativa deve agir colaborando de fato para sua formação e não apenas a fim de constatação do que é de domínio do aluno (BARLOW, 2006). Uma característica da avaliação formativa é a de incluir o aluno como “ativo” no processo de aprendizagem. Por um lado, ela é direcionada ao professor, contribuindo para que ele repense e formule estratégias de ensino que melhor contemplem as necessidades educacionais dos alunos. Por outro lado, direciona-se também ao aluno, ao fornecer evidências que podem ser utilizadas para apoiá-lo em sua aprendizagem individualizada, configurando-se, assim, como uma dimensão pedagógica (SANTOS, 2016). Após discorrer sobre as ideias centrais dos conceitos de avaliação somativa e avaliação formativa, apresentamos no Quadro 1 suas características gerais de forma sintetizada. Quadro 1 – Características das avaliações formativa e somativa

Fonte: (WEBER, 2020, p. 29)

Santos (2011, p.155) ao afirmar que não nega a existência de uma avaliação somativa, tão essencial para a sobrevivência de múltiplos sistemas educativos e para a defesa dos cidadãos, considera a pertinência e a importância de uma avaliação ao serviço da aprendizagem. Uma avaliação que articula características e aspectos apresentados no Quadro 1. Mas como articular dois tipos de avaliação de naturezas distintas? Como organizar, planejar e desenvolver práticas avaliativas de matemática que articulem aspectos da avaliação formativa e da avaliação somativa (e vice-versa)? A intenção não é apresentar uma resposta, ou uma receita, mas reflexões que provoquem um repensar a respeito das práticas avaliativas em contexto de sala de aula. A primeira é referente a não ser conveniente sobrepor uma avaliação à outra, porque avaliar é importante nas duas distinções apresentadas. Avaliação somativa e avaliação formativa podem coexistir. O contexto escolar possui muitas diversidades, de informações e de exigências, e duas forças juntas em um mesmo propósito, o da aprendizagem, podem colaborar para o processo de avaliação escolar.


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Enquanto a avaliação somativa apresenta características de ocorrer mais pontualmente, de modo intermediário ou ao final da formação, e não contínuo, a avaliação formativa está inserida continuamente na aprendizagem. Harlen (2005) não apenas acredita em uma possível interação entre as avaliações somativa e formativa como acrescenta que a ambição não deve estar tanto na distinção das avaliações formativa e somativa, mas em uma boa2 avaliação: Uma boa avaliação formativa apoiará bons julgamentos por parte dos professores sobre o progresso do aluno e níveis de realização (Hutchinson3 ) e uma boa avaliação somativa fornecerá feedback que pode ser usado para ajudar no aprendizado. Maxwell descreve a avaliação progressiva, que consideramos a seguir, como confundir a fronteira entre a avaliação formativa e sumativa. No entanto, permanece o caso de que formativa e sumativa possuem propósitos diferentes de avaliação e, embora a mesma informação possa ser usada para ambos, é necessário garantir que a informação seja usada de maneiras que atendam a esses propósitos. (HARLEN, 2005, p. 214). Figura 1 – Coexistência da avaliação somativa e avaliação formativa

Fonte: Elaboração dos autores

Ao lidar com uma avaliação somativa que privilegia a função principal de certificar (fazer o ponto da situação), o professor “debruçar-se-á sobre comportamentos globais, socialmente significativos” (HADJI, 1994, p. 62). Ao lidar, porém, com uma avaliação formativa, em que a função principal do processo é regular, “o avaliador esforçar-se-á por obter informações sobre as estratégias de ataque dos problemas e sobre as dificuldades encontradas” (HADJI, 1994, p. 62). O desejo de sua função principal gera uma mobilização de estratégias de forma compatível a ela, a energia principal do processo. A avaliação somativa é direcionada à aprendizagem que ocorreu, e sua função principal é certificar as aprendizagens (HADJI, 1994). Às vezes, a avaliação somativa é reduzida à atribuição de notas, o que gera confusões e certa aversão ao tratar dessa forma de avaliação, o que não exclui uma outra questão que é sua limitação ao tratar da aprendizagem. Para Allal (2010), é importante que alunos e professores tenham conhecimento das condições de realização da avaliação somativa. Ao aluno, isso pode trazer influência na regulação de seu investimento para a realização de tarefas, e ao professor, influência na organização das atividades de aprendizagem e interação com alunos. A autora conclui que “as avaliações formativas e sumativas fornecem quadros explícitos de referências que 2 Para

Harlen (2005) uma boa avaliação deve ocorrer preservando as distintas funções da avaliação somativa e da avaliação formativa e usando as informações dos dois processos distintos para subsidiar os processos de ensino e de aprendizagem. 3 Hutchinson (2001); Assessment i s for learning: the way ahead (lnternal Policy Paper, Scottish Executive Education Department (SEED).


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orientam os processos de co-regulação4 da aprendizagem dos alunos” (ALLAL, 2010, p. 352). Ter clareza e tornar público os critérios e intenções são aspectos a serem considerados ao planejar um processo avaliativo, o tornar público por meio de um contrato de avaliação entre professor e alunos. Esse contrato, segundo Hadji (2001), seria um conjunto de “combinados” estabelecidos que, ao serem negociados por professor e alunos, pode favorecer até mesmo a que o estudante se autoavalie e ser um passo para sua inclusão como participante do processo. Ao encontro dessa proposta, Hadji (1994) propõe que a elaboração de um “dispositivo”, apresentado no Quadro 2, pode se relacionar com o contexto avaliativo e, ao que indica, pode clarificar e orientar informações do processo avaliativo ao professor. Quadro 2 – Fio condutor para construir um dispositivo de avaliação

Fonte: (HADJI, 1994, p. 156)

Ao responder aos questionamentos propostos por Hadji (1994) para auxiliar na elaboração de um dispositivo, destacamos os seguintes elementos: intenção, concepção, momento, instrumento, produção dos alunos e a análise da produção, e, a partir deles, apresentamos um dispositivo, Figura 2, que pode suscitar reflexões e novas práticas sobre como pode ocorrer uma avaliação formativa articulada com a somativa. 4A

regulação da aprendizagem em contextos educacionais pode, portanto, ser considerada fundamentalmente como um processo de co-regulação ou de regulamentação compartilhada (Hadwin e Oshige, 2007). Isso significa que a auto-regulação do aluno se desenvolve em interação com várias fontes de regulação no ambiente de aprendizagem e, ao mesmo tempo, contribui para a implantação e exploração dessas fontes nas atividades de aprendizagem realizadas em sala de aula (ALLAL, 2010, p. 349).


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Figura 2 – Elementos para uma prática avaliativa em um dispositivo

Fonte: (WEBER, 2020, p.45)

Ressaltamos que estamos nos referindo, aqui, a práticas de avaliação que podem proporcionar não apenas um momento de certificação da aprendizagem, mas também recolher informações, indícios que possibilitem ao professor repensar sua prática e oportunizar a aprendizagem, e isso é possível com a avaliação formativa (PEDROCHI, 2018). Um outro ponto que precisa ser abordado ao pensar-se em uma avaliação que articula aspectos formativos e somativos são os instrumentos avaliativos. Nessa perspectiva, é importante que o professor utilize diferentes instrumentos para recolher e interpretar informações de diferentes qualidades, o que possibilita conclusões mais plausíveis a respeito do processo de aprendizagem do aluno (PEDROCHI JUNIOR; BURIASCO, 2019). O Quadro 3 apresenta alguns tipos de instrumentos de avaliação.


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Quadro 3 – Alguns tipos de instrumento de avaliação

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Fonte: (WEBER, 2020, p.48)

O professor pode, ainda, adequar cada instrumento à realidade de seus alunos e às suas intenções, conforme perceba a necessidade. Além disso, embora se reconheça que a avaliação não depende necessariamente de uma “prova”, a prova escrita merece atenção, pois, com a análise da produção escrita, o professor pode investigar as informações apresentadas pelos alunos e utilizá-las não apenas para certificar a aprendizagem, mas para favorecer momentos de oportunidades de aprendizagens. Dessa forma, a análise da produção escrita pode contribuir para a regulação do ensino, ao permitir que o professor repense suas estratégias, assim como a regulação da aprendizagem do aluno. O Quadro 04 apresenta ações que podem auxiliar e nortear a análise da produção escrita, identificadas por Santos (2014). Quadro 4 – Ações norteadoras da análise da produção escrita

Fonte: (WEBER, 2020, p.39); construído baseada em Santos (2014)


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A análise da produção escrita é uma ferramenta que pode ser utilizada para investigar estratégias e procedimentos dos alunos, ou, ainda, é uma fonte de informações que possibilita auxiliar na comunicação por meio de feedbacks e que pode favorecer a ocorrência de regulações dos processos de ensino e de aprendizagem, pois “permite que o professor levante hipóteses acerca das produções dos alunos e propiciem a obtenção de informações que auxiliam durante a inferência e interpretação a ratificar ou a refutar alguma dessas hipóteses” (SANTOS, 2014, p. 27). Um único instrumento de avaliação pode servir aos anseios das avaliações somativa e formativa. Pedrochi Junior (2018) chama a atenção para a necessidade de o professor escolher o melhor instrumento para ser aplicado em cada realidade escolar, levando em conta determinados fatores: o ambiente (as condições da sala de aula), o perfil dos alunos e o objetivo do professor. Embora o foco do autor seja a avaliação formativa, ele respeita a função somativa, que não deve interromper a avaliação formativa, mas, sim, refletir suas intenções, ressaltando instrumentos utilizados para a avaliação formativa “podem ser uma forma de mostrar o rendimento do estudante para todos os interessados: o professor, os pais, os administradores, a sociedade e, principalmente, o próprio estudante” (PEDROCHI JUNIOR, 2018, p. 61-62). Uma prova em duas fases No intuito de atender às expectativas formativas e somativas, estabelecendo uma comunicação entre professor e aluno, a prova em duas fases, associada a feedbacks de qualidade, pode ser uma opção conveniente. Nessa seção apresentamos uma experiência avaliativa utilizando uma Prova em Duas Fases desenvolvida em uma turma do 2° ano do Ensino Médio, com 21 alunos, de um colégio particular de Londrina-PR, em que o professor responsável é mestre em Educação Matemática e busca configurar sua sala de aula a partir de práticas de ensino e de aprendizagem em que seus alunos são protagonistas de seus processos de aprendizagem. Mendes (2014) apresenta que a prova em duas fases (oriunda de De Lange (1987)) é composta por questões abertas (favorece e oportuniza o raciocínio do aluno, não exigindo e/ou considerando apenas um raciocínio ou resolução) e de ensaio (oportuniza ao aluno expressar-se acerca de um tema/conteúdo). Na primeira fase, ela é resolvida como uma prova tradicional, em que os alunos resolvem o que conseguem em um tempo estipulado pelo professor. Após, o professor corrige, mas não há menção a certo ou errado, apenas apontamentos (feedbacks) com a intenção de promover reflexão e avanços nos erros e auxiliar o aluno a avançar em estratégias plausíveis, já apresentadas, e em novas estratégias. O professor devolve a prova com os feedbacks, e os alunos têm uma nova oportunidade de aprendizagem ao responder às intervenções. O instrumento, originalmente, sugere duas fases, mas isso pode ser ampliado à medida que o professor perceba a necessidade e/ou negocie com a turma.


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Figura 3 – Esquema para a Prova em duas Fases

Fonte: Mendes (2014, p. 46)

Mais do que analisar a aplicação da prova em fases, a intenção é direcionar o olhar para as possibilidades de lidar com duas avaliações distintas com o recurso desse instrumento e propor análises capazes de inspirar novas reflexões e práticas avaliativas. A prova em fases desenvolvida era composta de uma Tarefa portuguesa, que foi adaptada acrescentando-se alguns itens para a resolução. A escolha do conteúdo da questão foi determinada pelo professor regente da turma. Ele relatou que os alunos já haviam estudado o conteúdo da questão anteriormente, no mesmo bimestre em que foi aplicada a prova, porém os objetivos de ensino e de aprendizagem não foram atingidos satisfatoriamente, portanto havia a necessidade de retomar o tema com a turma. O Quadro 5 apresenta a Tarefa da prova em duas fases, os conteúdos e o as competências que se buscam evidenciar nas produções dos alunos ao realizar uma prova em duas fases.


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Quadro 5 – Enunciado, conteúdos e expectativas da Tarefa da Prova em fases

Fonte: (WEBER, 2020, p. 56)

A aplicação foi planejada de modo que, em um primeiro momento, os alunos resolveriam a prova sem quaisquer intervenções do professor ou consulta a materiais, em duas aulas de 50 min. Após, as provas resolvidas seriam analisadas pelas pesquisadoras, autoras desse texto, que realizaria feedbacks escritos com base nas produções realizadas pelos alunos e, em um segundo momento, quinze dias depois, os alunos teriam oportunidade de refletir e, possivelmente, avançar em sua aprendizagem, novamente em duas aulas de 50 min. A primeira fase foi realizada sem a interferência do professor pelos 21 alunos. A prova foi analisada e corrigida, para, então, realizar intervenções (feedbacks escritos) com a intenção de orientá-los na regulação de suas aprendizagens e de proporcionar uma


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certificação relacionada ao rendimento desse processo de aprendizagem, na segunda fase, 17 alunos estiveram presentes. Uma prova proposta em fases tem potencial para o professor reconhecer indícios de que o processo de ensino atende às expectativas individuais de cada aluno, sendo possível uma reelaboração de estratégias quando necessário. Já ao aluno são dadas novas oportunidades de aprendizagem, favorecendo sua autonomia e desvinculando a visão tradicional da educação, em que o professor é detentor e transmissor de todo conhecimento. O aluno, ao responder aos questionamentos e sugestões indicados pelos feedbacks, teve a oportunidade de refletir em sua resolução, justificar sua estratégia e estabelecer um diálogo de “igual para igual” com o professor. Essa interação entre professor e aluno, ao lidarem com as resoluções individuais da prova em fases, pode favorecer a ocorrência de regulações interativas da aprendizagem: “Entre as diferentes formas de regulação interativa, a da interação do aluno com o professor é sem dúvida a mais “poderosa” do ponto de vista de seus efeitos diretos no processo de aprendizagem” (ALLAL, 1988, p. 108). Na resolução de um aluno, apresentada no Quadro 6, ao compararmos a resolução nas fases 1 e 2 da prova, podemos ter indícios do potencial gerado pelo feedback (questionamentos escritos). O aluno apresentou uma nova produção escrita, que, possivelmente, regula as estratégias e procedimentos e que responde corretamente ao que foi solicitado. Quadro 6 – Resolução dos itens a) e b) do aluno PF-A nas fases 1 e 2 da prova

Fonte: Elaboração dos autores

Ressalta-se que o professor, ao questionar, ao realizar as intervenções, não espera uma resposta, por escrito, para o questionamento específico, espera, sim, que essas intervenções sejam provocadoras de reflexões. Esse aluno reconhece que foram 5 horas que se passaram, pois utiliza, em sua segunda produção, t = 5, assim como reconhece que é preciso converter 12000 litros em metros cúbicos. Mais importante que puni-lo por não ter resolvido corretamente na primeira fase, é intervir e perceber que o aluno conseguiu reconhecer seus equívocos e avançar na regulação de sua aprendizagem.


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A Prova em Duas Fases pode favorecer a oportunidade de aprender por meio de “erros” apresentados pelos alunos, orientados por intervenções escritas com potencial de serem feedbacks de qualidade, e pode aprofundar a interpretação que um aluno teve ao apresentar uma produção correta. Esses tipos de situação são favoráveis ao processo de regulação interativa na medida em que “ atribuem ao professor o papel de observador-animador e, portanto, levam-no a individualizar suas interações com os alunos” (ALLAL, 1988, p. 107). O professor tem a oportunidade de analisar as produções e refletir acerca das estratégias e dos procedimentos apresentados, podendo elaborar melhor as intervenções, em respeito às características e necessidades individuais de cada aluno. Isso pode ser observado em uma produção de um outro aluno, ao resolver o item d da Tarefa proposta (Quadro 7). Quadro 7 – Resolução do item d) do aluno PF-B nas fases 1 e 2 da prova

Fonte: Elaboração dos autores

Nesse processo, o aluno teve a oportunidade de revelar suas compreensões conceituais, sendo uma prática avaliativa não pela falta, mas baseada no potencial que cada aluno tem, evidentemente, para subsidiar decisões do professor que favoreçam o desenvolvimento de todos os alunos na direção do que se deseja, não de forma única, mas respeitando o desenvolvimento individual de cada estudante. Esse aluno resolveu corretamente a Tarefa na primeira fase e, ao responder à intervenção escrita do professor, revela uma linguagem matemática que envolve relação de dependência entre variáveis, de função inversa. Uma reflexão oriunda do desenvolvimento desta pesquisa é o fato de que uma ação direcionada a uma avaliação formativa e/ou somativa, uma orientação que o professor planeja ser de qualidade e com potencial para o aluno regular sua aprendizagem, nem sempre é suficiente. É importante reconhecer que cada aluno é único, possui características individuais de interpretação, reflexão e compreensão. Um diferencial dessa proposta de interação entre as avaliações formativa e somativa está em considerar esses aspectos individuais no contexto da prática escolar, não julgando o erro, mas possibilitando ações que oportunizem a aprendizagem. A prova em fases permite essa reflexão e é mais uma ação, no sentido de uma nova fase, com feedbacks mais claros ou mais diretivos. A produção de um terceiro aluno (Quadro 8) é um exemplo dessa situação. Na primeira fase, ele não apresentou resolução e, na segunda fase, mesmo com uma intervenção escrita do professor, novamente não conseguiu resolver.


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Quadro 8 – Resolução do item d) do aluno PF-C nas fases 1 e 2 da prova

Fonte: Elaboração dos autores

Nas oportunidades geradas por meio da Prova em Duas Fases, na correção, estão implícitas intenções de regulação da aprendizagem, e não ocorre uma mera “remediação” dos erros. As oportunidades geradas sugerem um diálogo significativo entre professor e aluno, dando voz ativa ao aprendiz. Ele é convidado a retomar sua resolução e a refletir nela, e não recebe apenas o resultado final do processo (correto ou errado). Do mesmo modo, posiciona o professor, pois, quando o aluno comunica que não consegue imaginar essa relação (Quadro 8), o professor passa a ter um referencial de ação e de planejamento. Essa ação pode ser individual (por exemplo, por meio de novas fases), ou em pequenos grupos (atividades diferenciadas para os alunos a partir de agrupamentos de resoluções), assim como em um diálogo com toda a turma por meio de novas tarefas. Ao analisarmos o rendimento dos alunos, em cada uma das fases, no sentido de produções corretas e incorretas, não temos alterações tão expressivas, conforme mostra o Quadro 9. Quadro 9 – Correção da 1ª e 2ª fase da Prova em Fases

Fonte: (WEBER, 2020, p. 71)

Embora o Quadro 9 não apresente alterações tão expressivas, da primeira fase em relação à segunda fase, observa-se uma evolução, o que poderá ser ampliado com a realização de mais fases da prova. Infere-se que a qualidade da prática avaliativa no contexto escolar, por meio da interação do formativo com o somativo, está além de dados


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quantitativos. Está nos diferentes níveis de compreensão e características específicas de aprendizagem de cada aluno, investigando e informando, sem julgar a falta, mas no sentido de buscar estratégias e gerar oportunidades para regulações dos processos de ensino e de aprendizagem. As análises das produções sugerem indícios desse instrumento de avaliação (Prova em Duas Fases) na articulação da avaliação formativa com a somativa, visto que momentos de avaliação foram significativos para os alunos, pois oportunizaram reflexão e reelaboração de suas resoluções e, possivelmente, ampliação de conhecimentos e raciocínios matemáticos. Para o professor, trouxeram a possibilidade de refletir em sua prática, planejar como melhor intervir para a aprendizagem e, assim, o processo somativo, que é mais distante da aprendizagem individual do aluno, ao dialogar com essas informações do processo formativo, apresenta mais pertinência à aprendizagem. Isso não impede que as informações do processo somativo possam vir a ser fonte de informações que favoreçam percepções acerca da aprendizagem. A intenção do professor regente e das autoras foi implementar a avaliação formativa articulada com a avaliação somativa. Para esse momento foi preciso de uma “quebra de barreiras”, de mais cuidados para um processo de avaliação somativo, de modo a valorizar a aprendizagem e “abrir caminho” para ações formativas. Algumas Considerações Ao apresentar aspectos teóricos da articulação entre a avaliação formativa e a somativa e da experiência avaliativa com a prova em duas fases, reconhecemos que existem fronteiras já demarcadas entre as duas avaliações. Ao mesmo tempo, que estreitamos essa demarcação ao buscar um lugar intermediário no qual se questionam limites e se propõe uma comunicação, uma negociação que favoreça um processo híbrido de avaliação. Estabelecer um diálogo, colocar em processo de investigação e negociação a avaliação formativa e a somativa pode gerar novas oportunidades para a aprendizagem. Nessa articulação, as hipóteses formuladas na avaliação somativa serão mais “robustas” e individualizadas ao levar em consideração informações oriundas de uma avaliação formativa. Em suma, no que se refere às regulações, a avaliação somativa não carrega em si uma ação prognóstica. A informação vinda de uma avaliação somativa precisa encontrar uma intenção e ação da avaliação formativa para melhor ser aproveitada para a aprendizagem. A avaliação formativa, ao lidar com as informações oriundas de uma avaliação somativa, por se tratarem de informações diferentes das do próprio processo, pode oportunizar momentos diferentes para a aprendizagem, estar implementada no contexto escolar e minimizar aspectos de risco da avaliação somativa, como, por exemplo, a exclusão pelo erro. Pode ocorrer uma avaliação menos injusta para o aluno. No entanto, para ocorrer a articulação, devem ser preservadas as funções da avaliação formativa e da avaliação somativa. Uma informação oriunda de uma avaliação somativa ser utilizada para fins formativos, por exemplo, não faz dela formativa. Por isso, entende-se um diálogo das avaliações em uma dimensão intermediária. Esse caminho que é anunciado nos desafia pelo desejo de uma avaliação menos injusta a serviço dos processos de ensino e de aprendizagem. Reconhecer que existe um conflito entre a ordem, supostamente apresentada por uma avaliação que certifica, e o suposto caos, gerado por uma avaliação dinâmica que se movimenta e se revela no processo, é um primeiro passo para, a partir desse conflito, trazer reflexões para a avaliação escolar, de modo que a avaliação formativa esteja cada vez mais implementada no contexto escolar.


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“Trabalhar a partir da vida”: um curso de formação de professores com complexos de estudo em escolas do campo Línlya Sachs | Wanderson Rocha Lopes

Introdução

A

itinerantes do Paraná, organizadas pelo Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem Terra (MST), surgem como forma de resistência e de garantia ao direito à educação no espaço em que se vive, com particularidades e modos de vida sendo respeitados. Inspiradas em uma experiência anterior do estado do Rio Grande do Sul, as escolas itinerantes têm um caráter provisório, como forma de efetivar a educação em acampamentos rurais da reforma agrária. Justamente pela incerteza e instabilidade dos espaços rurais ocupados pelos acampamentos, as escolas têm a característica de serem itinerantes, isto é, de migrarem junto com os acampamentos. Em dezembro de 2003, o Conselho Estadual de Educação do Paraná (CEE/PR) emitiu um parecer, que, em fevereiro de 2004, foi transformado em uma resolução da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR) aprovando o funcionamento das escolas itinerantes como “experiência pedagógica”, pelo período de dois anos. Em dezembro de 2005, esse período foi renovado por mais três anos. No ano de 2008, o CEE/PR aprovou definitivamente a regularização das escolas itinerantes no estado. Uma das primeiras propostas pedagógicas das escolas itinerantes do Paraná foi referenciada nos temas geradores de Paulo Freire. Nessa proposta, um tema gerador inicial, que tivesse pertinência com a realidade dos estudantes e que fosse reconhecido por eles, era utilizado para refletir, problematizar e transformar a vida. Entretanto, um problema encontrado, após um período de implementação da proposta, foi um “esvaziamento de conteúdos no processo pedagógico” (MST, 2014 apud SAPELLI, 2017, p. 618). Desse modo, entre os anos de 2010 e 2012, o Setor de Educação do MST do Paraná promoveu encontros para avaliar as experiências dessas escolas itinerantes e propor alternativas pedagógicas para essas escolas. Foi, então, desenvolvido o Plano de Estudos das Escolas Itinerantes (MST, 2013), baseado nos complexos de estudo como modo de organização curricular. Em linhas gerais, os complexos de estudo são propostas curriculares interdisciplinares que reúnem as dimensões da natureza, da sociedade, em conexão com o trabalho, de modo que, em conjunto, tratem da complexidade de uma parte da realidade, chamada de porção da realidade (FREITAS, 2009). O Setor de Educação do MST do Paraná propõe que as escolas em áreas de reforma agrária do estado, em acampamentos ou em assentamentos1 , adotem os complexos de estudo em suas práticas pedagógicas, adequando-se à realidade local. S ESCOLAS

1 “Acampamento

é um espaço de luta e resistência. É a materialização de uma ação coletiva que torna pública a intencionalidade de reivindicar o direito à terra para produção e moradia. O acampamento é uma manifestação permanente para pressionar os governos na realização da Reforma Agrária” (CALDART et al., 2012, p. 23). Assentamento é quando ocorre a consolidação da Reforma Agrária, quando as terras são conquistadas pelos acampados.


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Neste texto, apresentamos o desenvolvimento de um curso de formação continuada para profissionais de duas escolas do campo2 , localizadas em assentamentos rurais de reforma agrária, no município de Londrina, estado do Paraná, com centralidade em aulas de 3º, 4º e 5º anos do Ensino Fundamental com os complexos de estudo. Com isso, pretendemos socializar o planejamento desse curso e como ele se efetivou, aliado a uma análise crítica. Assim, entendemos que outros processos formativos podem ser elaborados a partir deste, possivelmente com foco na Educação do Campo e nos complexos de estudo. Esse texto envolve, de alguma forma, três pesquisas desenvolvidas no Programa de PósGraduação em Ensino de Matemática, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná: em ordem cronológica, a primeira delas é a pesquisa de Cíntia Aparecida Paião (PAIÃO, 2019), que aparece com mais detalhes no relato do segundo encontro do curso, e trata da história de criação da escola itinerante do Acampamento Eli Vive; a pesquisa de Whendelly Lorena Leite Alves (ALVES, 2020), que apresenta o processo de construção coletiva do inventário da realidade por profissionais das escolas do Assentamento Eli Vive; e, por fim, a pesquisa em desenvolvimento de Wanderson Rocha Lopes, com foco nas tensões, como produtoras de conhecimento, no encontro entre uma proposta curricular de um movimento social do campo e os sujeitos de diferentes envolvimentos com essa realidade. Complexos de estudo: de sua origem às escolas itinerantes do MST Os complexos de estudo, enquanto proposta curricular, foram idealizados e experienciados no contexto dos primeiros anos após a revolução russa, na antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas, especialmente nas Escolas-Comuna, locais de experimentações pedagógicas do NarKomPros3 . Moisey M. Pistrak, um dos idealizadores russos da proposta, indica como característica importante dos complexos de estudo a superação do isolamento dos conhecimentos na escola tradicional. Em suas palavras, “quando o objetivo torna-se não o estudo da disciplina, mas sim o estudo da realidade viva, é natural que as fronteiras entre as disciplinas tornemse mais móveis; que a ligação entre as disciplinas seja mais forte”, desse modo, “[...] o método dos complexos exige trabalho coletivo, unido, de todos os professores [...]” (PISTRAK, 1934, p. 120-121 apud FREITAS, 2009, p. 45). Dois elementos eram centrais nas Escolas-Comuna: a auto-organização dos estudantes e o princípio da atualidade. A auto-organização compreende o autosserviço, em que os próprios estudantes se organizam para que o espaço escolar tenha condições para que a educação se efetive (envolvendo alimentação, limpeza, infraestrutura etc.), mas também a organização para decisões com fins pedagógicos e administrativos (em que os estudantes sejam capazes de liderar e serem liderados). O princípio da atualidade, por sua vez, trata do elo entre a escola e o momento histórico em que se vive. Para isso, é imprescindível que os estudantes e os professores estejam atentos e conscientes dos problemas sociais, políticos e econômicos e ao que se passa ao seu redor e no resto do mundo. Enquanto método, os complexos de estudo dizem respeito a uma forma de organização curricular, em que o trabalho, conectado aos fenômenos naturais e sociais, é base fundante da organização da escola. Nesse contexto, o trabalho é entendido como aquele socialmente necessário, útil, importante para a sociedade, e não o da exploração das forças de trabalho. 2 Participaram do curso professores de 3º, 4º e 5º ano de Ensino Fundamental, dois coordenadores e um diretor,

além de outros professores das duas escolas em um dos encontros (como será relatado posteriormente). semelhante ao Ministério da Educação da antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas.

3 Órgão


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Com base nas experiências das Escolas-Comuna, por meio da participação do professor Luiz Carlos de Freitas (que traduziu algumas obras soviéticas do russo para o português), o Setor de Educação do MST do Paraná elaborou seu Plano de Estudos (MST, 2013). Esse documento destina-se aos anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano), mas indica que propostas semelhantes podem ser desenvolvidas para os anos iniciais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Consta no Plano de Estudos: O complexo é uma unidade curricular do plano de estudos, multifacetada, que eleva a compreensão do estudante a partir de sua exercitação em uma porção da realidade plena de significações para ele. Por isso, o complexo é indicado a partir de uma pesquisa anteriormente feita na própria realidade das escolas itinerantes. É uma exercitação teórico-prática que acontece na realidade existente no mundo do estudante, vivenciada regularmente por ele em sua materialidade cotidiana e que agora precisa ter sua compreensão teórica elevada (MST, 2013, p. 31).

Assim, os complexos de estudo buscam articular o ensino com uma prática social da comunidade em que a escola está situada, considerando as bases das ciências e das artes, com diferentes perspectivas das áreas do conhecimento. Portanto, cada unidade curricular de um complexo tem em si ligadas diferentes disciplinas, mas não necessariamente todas elas, de modo que cada disciplina apresente uma determinada perspectiva de um mesmo fenômeno do complexo. Contexto do curso O curso “Educação do Campo: possibilidades pedagógicas”, que é relatado neste texto, ocorreu durante o ano de 2019, em continuidade a outros dois cursos realizados nos anos de 2017 e 2018, em uma parceria entre a Universidade Tecnológica Federal do Paraná e a Secretaria Municipal de Educação de Londrina. Em 2017, como parte de um projeto maior de extensão (“Pacto Municipal pela aprendizagem: formação continuada em matemática para docentes dos anos iniciais do Ensino Fundamental”), a primeira autora deste texto realizou ações específicas com professores de duas escolas do campo, localizadas no Assentamento Eli Vive4 , abordando, entre outros temas, a etnomatemática, a Educação do Campo e formas específicas para que os professores conheçam a realidade em que estão inseridos. No ano de 2018, como uma demanda dos próprios professores no ano anterior, foi desenvolvido o curso “Educação do Campo e a Construção do Inventário da Realidade”, destinado à construção coletiva do inventário da realidade, junto a profissionais das escolas do Assentamento Eli Vive5 . Trata-se de um documento que contém informações importantes sobre um determinado local, como características físicas, geográficas, sociais, econômicas, políticas, religiosas, culturais etc. No ano de 2019, o curso “Educação do Campo: possibilidades pedagógicas” teve como objetivo auxiliar os professores no planejamento de aulas para o 3º, o 4º e o 5º anos do Ensino Fundamental, das escolas do Assentamento Eli Vive. Essas aulas seriam planejadas tendo como base a proposta educativa adotada pelo MST (2013), que considera os ciclos de formação humana6 , a importância do inventário da realidade e os complexos de estudo. 4 Chamaremos

de Assentamento Eli Vive as áreas que correspondem a dois assentamentos próximos, Eli Vive I e Eli Vive II. 5 O inventário da realidade constituiu-se como produto educacional da pesquisa de mestrado de Whendelly Lorena Leite Alves (ALVES; SACHS, 2020). 6 Nos ciclos de formação humana, os tempos da escola são organizados por ciclos, da seguinte maneira: ciclo da educação infantil, de crianças de 4 e 5 anos; ciclo I, das crianças de 6, 7 e 8 anos; ciclo II, crianças de 9,


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Esse curso teve sete participantes, sendo quatro professores de 3º, 4º e 5º ano de Ensino Fundamental, dois coordenadores e um diretor7 . Cabe ressaltar que, embora este tenha sido o terceiro curso, grande parte dos professores dessas escolas tinha contrato temporário de, no máximo, dois anos8 . Assim, muitos dos professores que participaram dos cursos anteriores tiveram seus contratos encerrados em 2017 e 2018, e novos contratos foram feitos. A rotatividade de professores é uma dificuldade enfrentada por essas escolas, e de uma forma mais geral, por muitas escolas do campo, pois impossibilita a continuidade da formação ao longo dos anos. No total, o curso constituiu-se de nove encontros, sendo oito em forma de reunião com duas a três horas de duração, como uma “roda de conversa” com os professores sobre diversos assuntos pertinentes ao curso, e um para assistirmos às aulas desses professores, as quais gerariam materiais de vídeo e áudio, que seriam utilizados nos últimos quatro encontros do curso para discussão e reflexão conjunta. Os encontros ocorreram no período vespertino (exceto o quinto, que aconteceu no período matutino), na Escola Municipal do Campo Trabalho e Saber, no horário de trabalho dos participantes – professores, coordenadores e diretor. Para que fosse possível ocorrer o curso, outros professores assumiram os alunos das turmas desses professores participantes, unindo turmas e desenvolvendo atividades em conjunto. O curso organizou-se como consta no Quadro 1:

10 e 11 anos; e ciclo III, crianças de 12, 13 e 14 anos; por último, há um ciclo único para o Ensino Médio. As duas escolas envolvidas oferecem os anos iniciais do Ensino Fundamental, englobando o ciclo I e parte do ciclo II. Por essa razão, adaptamos a proposta para envolver professores de 3º, 4º e 5º anos do Ensino Fundamental. 7 Uma dessas pessoas, que ocupava o cargo da coordenação de uma das escolas, participou até o terceiro encontro apenas. 8 Dentre os profissionais que participaram do curso de 2017, seis tinham contrato temporário (de um total de dez); e, dentre os que participaram do curso de 2018, sete tinham contrato temporário (de um total de 15, sendo sete concursados e uma profissional terceirizada).


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Quadro 1 – Organização do curso

Fonte: Elaboração dos autores

O Quadro 1 apresenta como o curso se desenvolveu – e não um plano que havíamos elaborado antes do primeiro encontro. Apesar de haver um planejamento prévio, ele sofreu alterações ao longo do curso. O quinto encontro, por exemplo, foi tomando forma à medida que a nossa proposta foi apresentada aos professores e negociada com eles. Como se tratava de um momento de realização das aulas planejadas, os professores precisaram se organizar a partir de um calendário escolar próprio e de outras demandas, externas ao curso. Na seção seguinte, apresentamos um relato do desenvolvimento do curso.


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Caminhos percorridos Pretendemos, nesta seção, apresentar um relato do desenvolvimento do curso como uma maneira de organização de uma ação de formação continuada de professores com foco nos complexos de estudo. Mesclaremos essa apresentação com alguns trechos de falas dos participantes9 , que estão em caixas de texto, e servem para melhor compreensão dos acontecimentos e da vida ali pulsante. Primeiro encontro: Educação do Campo Como um primeiro e importante momento do curso, fizemos uma rodada de apresentações, pedindo para que os participantes (e nós também) se apresentassem e falassem de suas experiências profissionais e acadêmicas anteriores, para que pudéssemos abordar a Educação do Campo e, posteriormente, os complexos de estudo, de forma responsável e inclusiva. Dos sete participantes presentes nesse dia, quatro eram novos nas escolas (três professoras e uma coordenadora), das quais duas professoras não tinham vivências em escolas do campo. De todo modo, para essas quatro pessoas, a Educação do Campo, enquanto uma área do conhecimento, com fundamentações teóricas e sua historicidade, não era familiar. Os outros três participantes já conheciam mais a esse respeito; um deles era assentado e integrante do MST (tendo realizado diversas formações referentes à Educação do Campo e participado da própria história da construção da escola do Assentamento) e os outros dois já estavam há alguns anos atuando nessa escola, tendo participado dos cursos que foram citados, nos anos de 2017 e 2018, e de outras formações nesse período. Diante dessa diversidade de experiências entre os participantes, abordamos alguns aspectos que consideramos centrais na Educação do Campo, como mudanças históricas nas políticas e proposições do que, até o fim do século XX, era chamada de educação rural e algumas dificuldades ainda persistentes. Algumas experiências anteriores em escolas rurais de participantes do curso foram importantes para estabelecermos esse diálogo, abordando, por exemplo, a precarização dessas escolas.

A proposta da Educação do Campo, enquanto uma ruptura com o que se entendia por educação rural, foi apresentada em suas linhas gerais e, para alguns participantes, tratouse de algo novo. Não houve tempo para aprofundamentos, mas, para aqueles que não 9 Os

nomes são todos fictícios, exceto dos autores deste texto.


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conheciam o tema, ficou claro que havia muitas pesquisas e proposições que precisavam ser mais bem compreendidas. Segundo encontro: a história da escola O segundo encontro do curso abordou a história da criação da Escola Itinerante Maria Aparecida Rosignol Franciosi, que deu origem às escolas do Assentamento Eli Vive. Entendemos que a compreensão de que as escolas se vinculam a um movimento social de luta pela reforma agrária passa por conhecer sua história e suas particularidades. Para isso, houve a participação de Cíntia Aparecida Paião, que realizou uma pesquisa fundamentada na História Oral sobre a história da criação dessa escola, quando a área do atual assentamento ainda era um acampamento (PAIÃO, 2019). Ela iniciou contando como fez sua pesquisa, por meio de entrevistas com sete pessoas que trabalharam e foram importantes na construção da escola, durante os anos de 2009 a 2016, período em que foi uma Escola Itinerante. Na sequência, Cíntia apresentou seu produto educacional (PAIÃO; SACHS, 2019), que é um livro ilustrado, destinado a crianças, com a história da escola, entregando uma cópia para cada participante, que poderia ser utilizado em suas aulas futuramente. Leu o material em voz alta, alternando com alguns complementos, com detalhes que não estão presentes no livro, explicitando qual entrevistado contou sobre cada parte da história e explicando os desenhos, que foram feitos a partir das fotografias cedidas por uma colaboradora de sua pesquisa.

Esse momento foi uma oportunidade para os participantes do curso conhecerem a história da escola, já que alguns deles a ignoravam. Um fato interessante é que vários colaboradores da pesquisa eram conhecidos de muitos ali, incluindo os participantes contratados como professores há menos tempo, por trabalharem nas escolas (seja como professores, com serviços gerais ou como motorista), por terem filhos em idade escolar ou por outras razões. Assim, a história da escola se mostrou como algo próximo deles – como é característico da perspectiva da História Oral.


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Terceiro encontro: os complexos de estudo Após os dois primeiros encontros, que foram introdutórios à temática do curso e ao contexto daquele local, decidimos por iniciar uma discussão a respeito dos complexos de estudo. O terceiro encontro foi realizado em um período de recesso escolar, destinado à formação de todos os professores. Por essa razão, estavam presentes 11 professores das duas escolas, além dos coordenadores e do diretor – e não apenas o grupo de sete participantes. Destacamos a presença de professores com vivências anteriores, dentro do MST, com os complexos de estudo, que enriqueceu muito o diálogo.

Foram utilizados, nesse dia, alguns materiais de apoio: os conteúdos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) referentes a 3º, 4º e 5º anos do Ensino Fundamental; um pequeno texto com informações importantes sobre os complexos de estudo; um exemplo de organização curricular com os complexos, para a porção da realidade “A luta pela


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Reforma Agrária”, destinada ao 4º ou ao 5º ano10 ; e uma folha com algumas instruções para o planejamento de aula, que seria realizado pelos participantes. Propusemos que eles se dividissem em três grupos, mas um participante sugeriu que fizessem o planejamento todos juntos; por fim, foram dois grupos. A porção da realidade definida pelos participantes foi a temática da água, visto que as escolas participariam do Projeto Água, proposto pela Secretaria Municipal de Educação. Após muita discussão nos grupos a respeito de como abordar o tema, quais os conteúdos das disciplinas que seriam a ele relacionados e consulta aos materiais, foram elaborados os planejamentos presentes no Quadro 2. Quadro 2 – Planejamento de aulas em grupo – primeira versão

Fonte: Elaboração dos autores

É possível perceber que os planejamentos, apesar de tratarem do mesmo tema e em disciplinas semelhantes, possuem diferenças de abordagens. O Grupo 1 focou na captação de água, enquanto o Grupo 2 abordou a água enquanto direito universal e sua necessidade social. 10 Essa

proposta foi elaborada a partir do inventário da realidade e pode ser vista em Alves, Lopes e Sachs (2019).


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Quarto encontro: planejamento No quarto encontro, voltou a participar o grupo com quatro professores, um coordenador e o diretor. A ideia era que eles detalhassem melhor os planejamentos das aulas, pensando nos materiais necessários e elaborando as atividades a serem desenvolvidas. Os professores optaram por planejar em pares e, depois, realizar as aulas de forma conjunta também. A ideia era que os professores refinassem os planejamentos, pensando nos detalhes das aulas e nos materiais necessários. Isso foi feito por eles e está presente no Quadro 3. Quadro 3 – Planejamento de aulas em grupo – segunda versão

Fonte: Elaboração dos autores


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Percebe-se que houve mudanças significativas entre a primeira e a segunda versão dos planejamentos de ambos os grupos. O Grupo 1 diminuiu as áreas do conhecimento, retirando Matemática, História e Língua Portuguesa, e as unidades temáticas envolvidas. Também, mudou a questão disparadora, que, antes, tratava do abastecimento de água e, depois, passou a tratar da purificação da água para consumo. No caso do Grupo 2, foi modificada a temática da proposta e as questões disparadoras foram reduzidas a uma só. As disciplinas de História e Matemática11 foram retiradas e a disciplina de Artes foi incluída. Destacamos que, somando o tempo destinado ao planejamento do terceiro e do quarto encontros, foram mais de cinco horas para esse fim, realizado de forma coletiva. Assim, foi possível antever problemas, dúvidas ou dificuldades que poderiam surgir nas aulas. Antes ainda da realização das aulas, que descreveremos no quinto encontro, houve um último refinamento do planejamento, que poderíamos chamar de terceira versão, feito pelos professores, nas vésperas das aulas. Quinto encontro: colocando em prática O quinto encontro ocorreu em dia e horário diferentes dos demais encontros, visto que acompanhamos o desenvolvimento das aulas pelos professores em suas turmas. As duas professoras que compunham o Grupo 1 desenvolveram a aula com turmas de 3º e 4º anos do Ensino Fundamental, de forma conjunta; e os dois professores do Grupo 2 desenvolveram a aula com suas turmas de 4º e 5º anos do Ensino Fundamental, também de forma conjunta. Cada uma dessas aulas durou cerca de duas horas e foi gravada em áudio e em vídeo, para posterior estudo (do sexto ao nono encontro). O Grupo 1 organizou a aula do seguinte modo: • Atividade 1: leitura silenciosa de um texto sobre a importância da água e discussão sobre a interpretação dos estudantes da leitura realizada; • Atividade 2: produção de dois textos sobre desperdício e economia de água; • Atividade 3: apresentação das etapas do tratamento e da distribuição da água; • Atividade 4: confecção de filtros de água, utilizando areia, pedras e garrafas de plástico. O Grupo 2, por sua vez, organizou a aula da seguinte maneira: • Momento 1: conversa sobre o que já havia sido estudado no decorrer do ano a respeito do tema da água; • Momento 2: reflexão sobre as letras das músicas “Planeta água” e “Planeta azul”; • Momento 3: apresentação das formas de captação de água nos domicílios dos estudantes, por meio de desenhos e explicação oral; • Momento 4: apreciação de uma exposição na sala de aula de fotografias, poemas e desenhos por todos. 11 Não

interferimos nas escolhas das disciplinas pelos professores, coincidindo de ambos retirarem a Matemática de suas propostas, apesar de, em um dos casos, haver uma proposta de trabalho com gráficos, que poderia ser contemplado em Matemática.


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Na descrição dos encontros seguintes, em que foram realizados estudos sobre as aulas desenvolvidas pelos professores, há uma análise mais detalhada das atividades propostas. Sexto e sétimo encontros: estudos da aula do Grupo 1 No sexto e no sétimo encontros, realizamos um estudo, com análise e discussão a respeito da aula desenvolvida pelo Grupo 1, com participação de todos – e não apenas das professoras desse grupo. Para isso, consideramos os planejamentos da aula (primeira e segunda versões) e o desenvolvimento da aula em si. Vale lembrar que os outros participantes do curso não acompanharam essa aula, pois estavam com suas respectivas turmas no mesmo horário. Primeiramente, apresentamos a todos os participantes as duas versões de planejamento feitas pelo Grupo 1 (conforme Quadros 2 e 3) e, então, conversamos a respeito. Na sequência, apresentamos as atividades desenvolvidas na aula e discutimos sobre cada uma delas. Utilizamos trechos da gravação em vídeo, transcrições dos áudios e produções dos estudantes. Na atividade 1, após a leitura silenciosa, a professora Sara propôs discutir com os estudantes a compreensão do texto, também como uma estratégia para minimizar o problema relativo à alfabetização e/ou à interpretação, que os estudantes podiam apresentar. Apresentamos, então, um trecho do vídeo e sua transcrição, como segue:

Destacando a resposta da Aluna 1, que diz que “os animais não podem beber a água ‘xuja’, né? Nem nós”, abordamos a diferença entre a água que pode ser consumida pelos seres humanos e pelos outros animais. Como não há uma definição muito clara do que seria uma “água potável” para animais (pois esse termo é adotado para consumo humano), conversamos sobre quais dúvidas essa aluna poderia ficar, considerando que ela possivelmente tenha animais de estimação e/ou de criação, que consumam água sem tratamento – de rios, por exemplo. Também, discutimos quais estratégias poderiam ser


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utilizadas para lidar com essas dúvidas, já que, possivelmente, essa dúvida não tenha sido antecipada pelas professoras, no planejamento. Também, grande parte da aula foi dedicada a abordar as etapas do tratamento e da distribuição da água. Durante a atividade 1, houve o seguinte diálogo, que foi apresentado em vídeo e transcrito para os participantes:

Na atividade 3, essa temática foi retomada, com a explicação das etapas do tratamento da água. Um trecho da aula foi apresentado em vídeo e transcrito:

Durante o estudo desses trechos, apresentamos uma informação que consta no inventário da realidade (que não foi usado no planejamento das aulas, pois ainda não estava pronto): Sobre o acesso à água, todos têm acesso de alguma forma. Como a maioria dos lotes é seco, isto é, não tem poços artesanais ou outras fontes de água, os moradores se unem em coletivos para a construção de rodas d’água ou, pela distância do lote, por bombas elétricas; alguns têm poços artesanais; e outros têm acesso à água por meio da gravidade. Há a utilização de fossas como acesso ao saneamento, por todos (ALVES; SACHS, 2019, p. 20).


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Algumas dessas formas de acesso à água foram abordadas por uma das professoras. Porém, ao apresentar a empresa de saneamento como predominante no município, explicando todo o processo de tratamento e de distribuição de água, a professora não considerou a realidade local. Questionamos, então, aos participantes do curso se seria interessante realizar um trabalho anterior a respeito do fornecimento de água para o planejamento da aula. Desse modo, nos dois dias, dialogamos sobre diversas partes da aula, proporcionando uma reflexão coletiva sobre o planejamento, as atividades propostas e sobre outras possibilidades para aquela aula ou para aulas futuras. Procuramos deixar claro que não se tratava de simples críticas à aula observada, mas de uma forma de refletir sobre o que aconteceu, levando em consideração, também, o que não se previa (nas interações com os estudantes, por exemplo). Oitavo e nono encontros: estudos da aula do Grupo 2 No oitavo e no nono encontros, realizamos um estudo, com análise e discussão a respeito da aula desenvolvida pelo Grupo 2. Seguimos as mesmas estratégias do que fizemos com o Grupo 1, com apresentação das versões do planejamento (conforme Quadros 2 e 3), apresentação das atividades desenvolvidas e discussão sobre cada uma delas, utilizando, para isso, trechos da gravação em vídeo, transcrições dos áudios e produções dos estudantes. Apresentamos um trecho do vídeo, junto com a transcrição seguinte, referente à parte inicial da aula, em que os professores do Grupo 2 conversaram com os alunos sobre estudos que realizaram em aulas anteriores sobre a temática da água.


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Um dos professores buscava, em sua fala, relacionar a temática da água com questões da atualidade, como a seca e as queimadas na Amazônia, como propõem os complexos de estudo: Não se deve apenas estudar a atualidade. [...] A escola deve formar nas ideias da atualidade; a atualidade deve, como um rio amplo, desembocar na escola, desembocar de forma organizada. A escola deve penetrar na atualidade e identificar-se com ela. [...] O objetivo da escola não é apenas conhecer a atualidade, mas dominá-la. [...] É preciso tomar os fenômenos em suas mútuas ligações e interações (BEREZANSKAYA et al., 2009, p. 114-115, grifos dos autores).

Conversamos com os participantes do curso sobre maneiras para tratar da atualidade em suas aulas e das dificuldades que professores e estudantes podem encontrar. Também, no fim do trecho transcrito, um estudante parece não entender qual a importância da chuva. Ele diz: “Professor, de que adianta? Pode chover um monte. Chove, chove, chove um monte. Passa mais umas duas semanas, o tanto de chuva que choveu vai e sobe tudo de novo. [...] Daí não adianta nada chover”. No curso, abordamos a dúvida que esse estudante parece ter com relação ao ciclo da água, a partir de uma explicação de que a água que cai sobre uma mata pode voltar para a atmosfera por evapotranspiração ou


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atingir o solo, por meio da folhagem ou do tronco das árvores. De toda a água que chega ao solo, parte segue para cursos d’água e atinge as nascentes. Desse modo, quando há desmatamento próximo às nascentes, não acontece a cheia dos rios12 . Toda essa explicação não foi feita pelos professores, que podem não ter compreendido, durante a aula, qual era exatamente a dúvida do estudante. No curso, com tempo para assistir, pausando e voltando o vídeo quantas vezes fossem necessárias, as falas dos estudantes puderam ser mais bem debatidas pelos professores e, então, pensar em possíveis abordagens para a aula. Na aula, os professores também abordaram formas de captação, armazenamento e distribuição de água nos domicílios dos estudantes, quando esses apresentaram desenhos e fizeram explicações orais. Houve uma diversidade de respostas, que envolveram gravidade, bombas, minas, captação coletiva, caixas d’água, rodas d’água etc. Discutimos, entre os participantes do curso, potencialidades para ações futuras na escola que essa atividade, de desenhar, relatar e olhar para o próprio ambiente, pode ter. Alguns estudantes disseram, por exemplo, que não sabiam com detalhes como era feita a captação da água em suas casas e, com essa atividade, puderam aprender com seus familiares como isso acontece. Em dois dias de encontro, pudemos abordar com bastante cuidado diversos momentos da aula desenvolvida pelos professores do Grupo 2. Esse foi um exercício de repensar, ter ideias e planejar futuras aulas não apenas para eles, mas a todos os participantes do curso. Vários diálogos evidenciaram articulações que poderiam ser feitas, considerando a complexidade em torno da porção da realidade (no caso, a água), envolvendo diversas disciplinas. Na próxima e última seção deste texto, são apresentadas algumas considerações críticas a respeito do processo formativo desenvolvido no curso aqui relatado. Algumas considerações Como um processo formativo para professores em atuação em escolas do campo, o curso “Educação do Campo: possibilidades pedagógicas” abordou a Educação do Campo e, mais especificamente, a proposta curricular dos complexos de estudo. Essa abordagem é pouco conhecida no Brasil, sendo inviabilizado o trabalho nessa perspectiva pelos professores se não houver formação para esse fim. A organização do curso, aqui relatada, foi o modo que encontramos para, no período de um ano, com nove encontros de duas a três horas cada, possibilitarmos aos participantes uma experiência com os complexos de estudo. Temos consciência de que isso não é suficiente para uma mudança na prática e a adoção dessa perspectiva pelos professores. É necessário, para isso, que haja uma ação conjunta dos profissionais da escola e, também, espaços e tempos permanentes destinados ao planejamento coletivo de aulas e discussões, com envolvimento de todos. Ao fim do curso, tivemos uma percepção de que os complexos de estudo foram, para muitos professores participantes, quase atividades extracurriculares – como costuma acontecer, em muitas escolas, com projetos de temas transversais (muitas vezes, também com a temática da água). Entendemos que isso tem relação com exigências da Secretaria Municipal de Educação que, apesar de contribuir para que esse curso fosse possível, possui políticas para toda a rede municipal de escolas. Além disso, como mostram diversas pesquisas que tratam da formação de professores, as práticas pedagógicas são construídas 12 Disponível

em: https://www.juntospelaagua.com.br/2016/12/08/relacao-arvore-e-agua/.


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ao longo do tempo pelos profissionais, considerando, entre outros fatores, vivências anteriores, enquanto aluno e professor. Como aborda a pesquisa desenvolvida pelo segundo autor deste texto, houve muitas tensões durante o curso, quando se encontraram a proposta curricular do MST, com foco nos complexos de estudo, e os participantes do curso, com diferentes envolvimentos com a realidade dessa escola do campo. Principalmente nos quatro últimos encontros, situações de conflito foram evidentes. A apresentação dos vídeos com trechos das aulas e a transcrição de diálogos para o debate causaram certo constrangimento dos participantes e fortes autocríticas. Procuramos lidar com essas situações, esclarecendo os objetivos que tínhamos com essas atividades, que não se resumia a indicar problemas ou erros nas aulas, mas realizar uma reflexão conjunta e pensar em outras possibilidades para aulas futuras. Buscamos, também, evidenciar que não se tratava de buscar uma aula perfeita, reformulando a aula já ministrada e corrigindo eventuais equívocos dos professores – primeiro, porque não acreditamos que seja possível esse tipo de perfeição por meio de uma evolução, já que envolve seres humanos, diálogos e situações imprevisíveis; e, segundo, pois a ideia era olhar para o que já aconteceu, a aula desenvolvida, e pensar sobre ela, para, então, planejar ações futuras. Nesse caso específico, de trabalho com os complexos de estudo, entendemos que seria necessário (principalmente, para os professores mais recentes nas escolas) experienciar uma aula, após planejá-la coletivamente, e discuti-la com os demais. Caso contrário, corríamos o risco de o curso ter um caráter exclusivamente teórico, que não era o que objetivávamos. Referências ALVES, W. L. L. Da realidade ao inventário: a construção coletiva do inventário da realidade na Educação do Campo. 2020. 114 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020. ALVES, W. L. L.; LOPES, W. R.; SACHS, L. A realidade em aulas de matemática: uma proposta com complexos de estudo. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2019. Anais... Cuiabá, 2019, p. 1-16. ALVES, W. L. L. SACHS, L. Inventário da realidade: Escola Municipal do Campo Trabalho e Saber, Escola Municipal do Campo Egídio Domingos Brunetto. Londrina, 2020. Disponível em: https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/5052/8/LD_PPGMAT_ M_Alves%2c%20Whendelly%20Lorena%20Leite_2020_1.pdf. Acesso em 20 de setembro de 2020. BEREZANSKAYA, E. S. et al. Parte I. In: PISTRAK, M. M. (Org.) A Escola-Comuna. Tradução de Luiz Carlos de Freitas e Alexandra Marenich. 1. ed. São Paulo: Expressão Popular, 2009. p. 109-325. CALDART, R. S. et al. (Org.). Dicionário da Educação do Campo. 1. ed. Rio de Janeiro, São Paulo: Escola Politécnica de Saúde Joaquim Venâncio, Expressão Popular, 2012. FREITAS, L. C. A luta por uma pedagogia do meio: revisitando o conceito. In: PISTRAK, M. M. (Org.) A Escola-Comuna. Tradução de Luiz Carlos de Freitas e Alexandra Marenich. 1. ed. São Paulo: Expressão Popular, 2009. p. 9-101. LOPES, W. R. Tensões em um curso de formação de professores de uma escola do campo. 2021. 215 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2021.


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MOVIMENTO DOS TRABALHADORES RURAIS SEM TERRA. Escola Itinerante: Plano de Estudos. Cascavel: Unioeste, 2013. PAIÃO, C. A. Memórias da Escola Itinerante “Maria Aparecida Rosignol Franciosi”: história do fazer uma outra escola no Movimento dos Trabalhadores Rurais Sem Terra. 2019. 210 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2019. PAIÃO, C. A.; SACHS, L. Memórias da Escola Itinerante “Maria Aparecida Rosignol Franciosi”: a escola que caminhou com a comunidade do Acampamento Eli Vive. Londrina, 2019. Disponível em: https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/4081/2/LD_ PPGMAT_M_Pai%c3%a3o%2c%20Cintia%20Aparecida_2019_1.pdf. Acesso em 20 de setembro de 2020. SAPELLI, M. L. S. Ciclos de Formação Humana com Complexos de Estudo nas Escolas Itinerantes do Paraná. Educação e Sociedade, Campinas, v. 38, n. 140, p. 611-629, jul./set. 2017.


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Narrativas orais sobre um grupo escolar rural como produto educacional: reflexões sobre suas potencialidades Mirian Maria Andrade | Grasielly dos Santos de Souza

Considerações sobre a pesquisa

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EFENDEMOS QUE , ao nos colocarmos em uma prática historiográfica, é importante

nos questionarmos sobre nossas concepções sobre passado, história, historiografia e sobre os modos como o passado nos está “acessível” (ou passível de produção – como preferirmos). Contar histórias, narrar, relatar, enunciar... Contar história é uma arte de contá-las de novo. Cada voz traz novas histórias, “meu enleio vem de que um tapete é feito de tantos fios que não posso me resignar a seguir um fio só, meu enredamento vem de que uma história é feita de muitas histórias” (LISPECTOR, 1964, p. 6). E essa nossa história teve um objetivo: compreender um Grupo Escolar Rural por meio das narrativas de alguns de seus personagens; professores e alunos. Parametrizados na metodologia da História Oral e assim essa história foi se construindo, ganhando vida, pulsando! Nossa pesquisa de mestrado, “Da fuligem à Edificação do Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes: narrativas que contam história(s)” (SOUZA, 2019), de autoria da segunda autora deste texto, sob a orientação da primeira1 , desenvolvida no Programa de PósGraduação em Ensino de Matemática – PPGMAT, traz à cena uma escola rural e envolve sujeitos que nos contaram suas histórias. No nosso caso, os nossos narradores protagonizaram o movimento de um Grupo Escolar Rural e, ainda, vivenciaram parte de suas vidas em prol de uma educação campesina2 , no Norte Pioneiro do Estado do Paraná, no período de 1947 a 1977. Trata-se do Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes, localizado na zona rural do município de Bandeirantes-PR, nas imediações de um complexo de uma usina de açúcar e álcool. Nessa perspectiva consideramos a escola como uma montagem provisória, instável e composta de artefatos, desenvolvendo termos de valores, normas e relações interpessoais, um arranjo particular de pessoas, tempo, espaço e matéria. Tratou-se de um exercício a constatação de que estamos abertos a análise do outro, é um deixar-se levar pelas discussões, no sentido de mostrar aspectos da escola, do estar na escola, do ordinário da escola, de uma memória escolar em suas atualizações, do cotidiano escolar, do repetitivo da escola, enfim, de aspectos que a compõem e a fazem existir como lócus de espaço e tempo, sem temer o caos que, ao fim, se mostra pleno de estabilidade. Nossa pesquisa insere-se no âmbito da História da Educação Matemática e o nosso objetivo explora um cenário mais amplo da escola, trazemos um olhar para o que foi uma escola rural e que, ao ser constituída narrativamente, vai nos revelando alguns de seus aspectos e nos permitindo perceber questões mais específicas do ambiente escolar. Na busca por constituir uma história do Grupo Escolar, nos debruçamos para as possibilidades metodológicas pautadas na História Oral e acreditamos que essa metodologia 1 Tanto

a dissertação como o produto educacional podem ser acessados neste link: https://repositorio.utfpr. edu.br/jspui/handle/1/4719. Último acesso: novembro de 2020. 2 Neste texto, assim como na nossa pesquisa, utilizamos o termo campesino(a) como um sinônimo de rural.


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possibilita que essa profusão de vozes reverbere, registrando, sempre de modo inaugural, marcas de uma experiência educacional. No âmbito da Educação Matemática Brasileira, a utilização das narrativas, constituídas por meio do ato de narrar oralmente, vem ganhando espaço. São várias as investigações que têm focado nos processos de constituições de narrativas (MARTINS-SALANDIM, 2012; SOUZA, 2011; SILVA, 2018; MORAIS, 2017) e que versam, grande parte, sobre a constituição dos movimentos escolares e de formação de professores. Por meio dessas considerações procuramos assentar nosso entendimento sobre as narrativas orais e pensamos que o trabalho com narrativas desta investigação pode corroborar para o cenário da problematização, o modo como o sujeito narrador retraça narrativamente as experiências vividas de circunstâncias distintas, tais como, socioculturais, étnica e profissionais. Assim a narrativa é uma exposição das experiências de um sujeito, de um narrador, que exprime singularidades, pois é subjetiva, intencional e traz uma tessitura de informações abordando múltiplas possibilidades de leituras e de produções de significados. “Uma forma de constituir realidades, isto é, a narrativa não se limita à expressão de dimensões singulares sobre a experiência vivida, mas, de modo potente, configura a construção social da realidade” (TIZZO, 2019, p. 257). Sobre a experiência, nossas inspirações estão em Larrosa (2002, p. 21): “a experiência é o que nos passa, nos acontece, o que nos toca. Não o que se passa, não o que acontece, ou o que toca”, que não considera a experiência apenas como o que se faz, mas principalmente, o que nos toca, e quando toca nos transforma de alguma maneira, deixando marcas. A experiência, a possibilidade de que algo nos aconteça ou nos toque, requer um gesto de interrupção, um gesto que é quase impossível nos tempos que correm: requer parar para pensar, parar para olhar, parar para escutar, pensar mais devagar, olhar mais devagar, e escutar mais devagar, demorar-se nos detalhes, suspender a opinião, suspender o juízo, suspender a vontade, suspender o automatismo da ação, cultivar a atenção e a delicadeza, abrir os olhos e os ouvidos, falar sobre o que nos acontece, aprender a lentidão, escutar aos outros, cultivar a arte do encontro, calar muito, ter paciência e dar-se tempo e espaço (LARROSA, 2016, p. 25).

O modo como procuramos conduzir as entrevistas com os colaboradores e, posteriormente, a relação que procuramos estabelecer com cada narrador segue os apontamentos de Portelli (2016) sobre a postura dos que trabalham com História Oral, ou seja, as potencialidades do entrevistador se mostrar aberto e responder com ânimo às perguntas. “Eu principalmente escutei o que eles tinham para dizer. Eles viam que eu não os estava estudando, mas aprendendo com eles” (PORTELLI, 1997, p. 14). Nessa pesquisa de mestrado foram produzidas seis entrevistas com professores e exalunos do Grupo Escolar, sendo duas delas com dois colaboradores ao mesmo tempo, totalizando oito colaboradores. Por meio de uma conjugação de diferentes perspectivas e enfoques, buscamos entender centros e margens das narrativas orais. Sob nossa ótica, não buscamos encadeamentos para idealizar o passado dessa instituição escolar (não se trata de modo algum de romantizar a escola) ou para retornar ao passado (restaurando a escola tradicional). Após realizar as entrevistas com nosso grupo de depoentes, iniciamos o tratamento dos áudios de cada entrevista. Realizamos a transcrição, que se trata da escrita, palavra por palavra e também da tentativa do registro de entonações, das pausas, das expressões de tudo que foi dito naquele momento da entrevista. O pesquisador procura reproduzir, o mais fiel possível, todos os elementos linguísticos do diálogo entre pesquisador e narrador durante a entrevista, sem cortes e nem acréscimos. Entretanto, entendemos que ao transcrever uma entrevista alguns elementos podem se perder, há uma limitação da escrita de transportar


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para o papel todos os aspectos que compõem a entrevista. Sobre isso nos solidariza Matucheski (2016, p. 342): Antes de encerrar este texto, quero registrar uma tristeza minha: em quase todas as gravações das entrevistas é possível ouvir os pássaros cantando na UFPR Litoral. Esse registro me faz lembrar a paz que sinto quando estou no espaço da UFPR Litoral, e isso – aqueles sons, aquela paz – deixou o processo de transcrição menos penoso e mais lírico, mas trouxe também uma angústia: “O que fazer, nas textualizações, quanto ao canto dos pássaros?”... Não consegui uma resposta para isso. Então, registro, aqui, a limitação do papel, a limitação do texto escrito, e a minha limitação como autora destes textos: não consegui registrar o canto dos pássaros; não consegui registrar as lágrimas de um colaborador desta pesquisa; e não consegui registrar o que senti enquanto realizava essas entrevistas.

Como nos antecipa a citação de Matucheski (2016), seguida da transcrição dos áudios, há um tratamento que é possível dar aos textos, que chamamos de textualização. Compreendemos a textualização como um processo de produção de significados, que segundo Tizzo (2019, p. 379): [...] ao procedermos com o exercício de textualização, nos envolvemos com um processo de elaboração de compreensão dos aspectos que circundam as experiências que foram narradas pelo depoente, já que tentamos estabelecer coerências para os enunciados, e avaliar os significados que eles têm para quem os enuncia.

Com relação aos procedimentos descritos até aqui, Garnica (2008, p. 153) ressalta que: [...] alguns fazem assim, outros fazem assado, mas, de modo geral, todos concordam que uma pesquisa – qualquer que seja ela – tem um objetivo, um tema, um cenário a explorar. Concordam ainda que a oralidade é o recurso a partir do qual buscamos compreender os temas, concordam quanto às estratégias básicas para uma entrevista (seja elaborando roteiros ou perguntas de corte ou ficha, seja promovendo uma ou duas sessões de entrevistas) e concordam quanto a necessidade de transcrever e quanto a possibilidade de textualizar (embora as textualizações sejam elaboradas de diferentes maneiras).

Nós interpretamos as cercanias produzindo os depoimentos, interpretamos quando produzimos as transcrições e as textualizações e, ainda, a partir do cotejamento das fontes orais constituídas e das referências bibliográficas, construímos um mosaico, desenhamos contornos – ora de subjetividade ou coletâneo, ora de manifestações de tremores ou vibrações, uma captação do disforme do múltiplo e diverso, buscando disparar uma compreensão sobre o que nos propomos, atribuindo significados ao que obtivemos escrevendo sobre eles. Olhar para as textualizações (narrativas constituídas por meio das entrevistas) em conjunto e individualmente, ao mesmo e em diferentes tempos, produzi-las em parceria com diferentes pessoas, de diferentes lugares, com diferentes histórias é um árduo processo: longo, tortuoso, atento, artesanal (GARNICA, 2014). Em nossa pesquisa analisamos e interpretamos cada narrativa em sua completude única; nas relações que o pesquisador detecta entre eles; nas possíveis brechas e fissuras por entre os resíduos das falas, que ao serem interpretadas, ganham novos significados atribuídos pelo pesquisador; estes, provocam a abertura de novos pensares e, então, nos possibilitam elaborar um conjunto de textos, inter-relacionados, que, conectados a esta trama, culminam em uma análise narrativa de narrativas que foi proposta nesta pesquisa. “Esses conjuntos de relações, contudo, não são imanentes aos próprios eventos, existem apenas na mente do historiador que reflete sobre eles” (WHITE, 2014, p. 111). Existindo na mente do pesquisador, que atribui sentidos a partir de leituras, de vivências e reflexões, um conjunto de relações é, então, criado e inventado intencionando pensar, de novas formas, problemas antigos. Na procura de como desenvolver uma análise sob as fontes constituídas, nossa intenção foi elaborar uma narrativa de narrativas segundo as ideias de White (2014). Para tanto, buscamos, inicialmente, realizar uma análise de singularidades com o respaldo teórico em Martins-Salandim (2012).


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Propomos, então, a produção de uma análise sobre e a partir de cada entrevista, lançando um olhar para os pontos que nos chamaram a atenção em cada uma delas e buscamos “focar as potencialidades que as formas artísticas carregam para nortear – e deixar-se nortear – pelas narrativas geradas” (GARNICA, 2008, p. 86). Buscamos e encontramos em Martins-Salandim (2012) o nosso respaldo e a inspiração para a nossa análise de singularidades, uma vez que consideramos as vozes que nos contaram sobre as situações vivenciadas no Grupo Escolar. Essa análise é que nos deu suporte para realçar as singularidades de cada depoente e, por meio dessa, pudemos evidenciar e registrar algumas características sobre a escola (como arquitetura do prédio escolar, as regras, demandas e rotina instituídas, condições do trabalho docente, os contextos e relações presentes no ambiente escolar). Na perspectiva da autora, a análise de singularidades pode ser entendida como um processo de sistematização de uma etapa analítica que intenciona registrar, sob o olhar do pesquisador, aspectos que caracterizam os entrevistados e os depoimentos compostos a partir de uma entrevista. Neste sentido, “buscamos registrar nossas percepções de como cada narrativa apresenta-se, seu fio condutor, suas marcas” (MARTINS-SALANDIM, 2012, p. 242). Nesse exercício nos mantivemos atentos ao que Martins-Salandim (2012) indica em sua pesquisa, que uma análise de singularidades não pode e nem deve ser redizeres sintéticos dos depoentes, mas uma tentativa de atribuição de sentidos a modos próprios. Assim, optamos por uma análise onde “situa-se no terreno da contra generalização e contribui para relativizar conceitos e pressupostos que tendem a universalizar e a generalizar as experiências humanas” (DELGADO, 2010, p. 18). Posteriormente aos exercícios da análise de singularidades, onde evidenciamos as subjetividades de cada depoente relacionado ao Grupo Escolar, iniciamos a escrita da análise narrativa de narrativas orais, nos apoiamos nos ideais de White (2014) que aponta que “a história é um tipo de arte”. As narrativas históricas, segundo ele, são manifestações verbais ficcionárias, cujo conteúdo é tanto inventado quanto descoberto e cujas formas têm mais em seu comum com os seus equivalentes na literatura, do que com os seus correspondentes nas ciências (WHITE, 2014, p. 39). Para White (2014), o que distingue os relatos históricos dos ficcionais são, em essência, os conteúdos, mais do que a forma de apresentá-los, pois o conteúdo dos relatos históricos são acontecimentos reais, coisas que realmente ocorreram e não acontecimentos imaginários inventados pelo narrador. Apresentamos em nossos registros uma análise narrativa de narrativas, segundo os ideais de White (2014)3 , e nela buscamos salientar os movimentos de um Grupo Escolar Rural, sem a pretensão de redigir traços sobre a sua história, mas sim redesenhar e (re)constituir atos da história educacional campesina, nos permitindo compreender não só o universo escolar, mas, também, compreendermos algo que desconhecíamos4 . Perguntamos e procuramos formas de romper com alguns dos silêncios e, por outro lado, questionamos as condições históricas que permitiram que esta experiência não permanecesse sepultada no passado. Trata-se, muitas vezes, de um (re)dizer criador. 3 Para

White (2014), o estilo não se encontra apenas no campo da escrita, mas na sua interação com o escritor, o estilo literário não inviabiliza a representação da realidade. “São, em essência, os conteúdos, mais do que a sua forma de apresentá-los, pois – o conteúdo dos relatos históricos são acontecimentos reais, coisas que realmente ocorreram, e não acontecimentos imaginários, inventados pelo narrador” (WHITE, 2014, p. 65, grifos do autor). 4 Os documentos oficiais do Grupo Escolar referente ao período estudado não foram encontrados. Foram realizadas buscas na Secretaria Municipal de Educação e, também, em escolas do município cujas informações nos apontavam como possíveis lugares em que haviam sido guardados os documentos do Grupo Escolar, porém não houve êxito em nenhuma das nossas buscas.


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A análise narrativa de narrativas trata-se, portanto, de um movimento de buscar, de perseguir pistas e rastros, juntando peças e tomando suas incertezas em relação à história que escreve como ponto de partida para iniciar e, cada vez mais, aprofundar uma investigação na qual devem estar tanto quanto explícitas as intercambiantes relações que tecem o contexto temporal e geográfico, portanto, é um contexto entendido como lugar de possibilidades historicamente determinadas. Todo esse movimento nos levou a criação do nosso Produto Educacional “Eu conto, Tu contas, Nós contamos: histórias sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes, pois consideramos que as narrativas que produzimos com cada depoente e, nossa narrativa de narrativas, são registros históricos da escola, são vozes que nos potencializam (re)criar uma escola rural e na falta dos documentos oficiais foram as vozes que ecoaram abrindo o caminho, o discurso de cada depoente, foi a força que possibilitou a produção de múltiplas histórias, de variados sentidos. O que produzimos, portanto, são discursos. Elaborações que, uma vez manifestadas/criadas na/pela linguagem, são fixadas pela escrita. Acreditamos que nenhum documento histórico é o reflexo inequívoco do acontecimento, do “real”, mas elaborações intencionalmente produzidas por alguém em um determinado tempo e espaço. Os significados produzidos, seja em uma narrativa, seja a partir de vestígios físicos, são construções, fluxos inseridos sem um movimento de transformação ao longo do tempo. Essa característica temporal é o que faz com que, no limite, não haja uma narrativa completa, acabada. O que fazemos ao narrar é registrar uma história. Por essa vertente, a Coleção de Livretos – baseados nas narrativas que produzimos durante a pesquisa é composta por três livretos. Compõem os livretos as narrativas dos ex-alunos, as narrativas das professoras e, por fim, a narrativa de narrativas elaborada na pesquisa. Acreditamos que as narrativas são uma forma de comunicação e os livretos são fontes históricas privilegiadas quando se busca compreender, pelos registros da escrita, as possíveis relações entre os saberes produzidos na escola e seus atores sociais, articulados nesse espaço de interação da prática educativa: gestores, professores, alunos, objetos educativos, dentre outros. Dito de outro modo, vemos que essas histórias que registramos são como um “museu” para o Grupo Escolar e é de um valor imenso para professores e estudantes do município de Bandeirantes, mas também para a comunidade como um todo, para historiadores... São Histórias de uma cidade, de uma escola, de uma época, são potencialidades em movimento, é referência e é, também, possibilidade. Eu conto, tu contas, nós contamos: histórias sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes O produto educacional “Eu conto, tu contas, nós contamos: histórias sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes” (SOUZA; ANDRADE, 2019), vinculado à dissertação de mestrado antes anunciada, é uma coleção composta por três livretos que contam uma(s) história(s) da educação rural local da região Norte do Estado do Paraná, especificamente sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes do município de Bandeirantes. A coleção de livretos (capa na figura 1), é um produto dos atravessamentos, das inquietações, do afeto e dos deslocamentos dos movimentos inerentes do fazer pesquisa e de modo intrínseco do tornar-se, ou melhor, do devir pesquisadora. Difícil é encontrar um fio condutor que engloba o tema da pesquisa, dada a riqueza e a complexidade dos elementos encontrados nas narrativas de oito depoentes. Essa pluralidade corrobora discussões no entorno da História da Educação Matemática. De modo breve, sem intenções de fixar


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uma noção, a leitura dos livretos fornece oportunidade de se deparar com as diferentes perspectivas de narrativas e, além disso, é mediadora entre mundos e acena enquanto potência para compreender uma experiência escolar. Figura 1 – Capa da Coleção dos Livretos

Fonte: Elaboração dos autores

O primeiro livreto (volume 1) - figura 2 – “O hino, o sermão e a ordem do dia”, reúne e apresenta as histórias e as memórias, em forma de narrativas, de três ex-alunos que vivenciaram o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes. Figura 2 – Capa do Livreto – volume 1

Fonte: Elaboração dos autores

As histórias que compõem este livreto são permeadas de saudosismo da escola e expressam as relações de poder colocadas em ação no cotidiano da escola, em que os registros dos ex-alunos dialogam e manifestam cuidados referentes às regras ali estabelecidas.


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Trazem à cena uma cultura escolar, assinalam a hierarquia das relações entre quem ensinava e quem aprendia. Revelam características do prédio escolar como também do ensino e da aprendizagem, rituais cotidianos, regras bem definidas. As falas estão permeadas pelas lembranças e crenças daquilo que o depoente acredita como aspectos essenciais de ensino e de aprendizagem ao se posicionarem. Algumas narrativas reconstituíram o universo cultural que lhe era peculiar ao descrever como era o modo de ensino na época (salas de aulas simples, pouco aparato, aulas tradicionais baseadas na tríade ler-contar-escrever...) e a proposta educacional de ensino do Grupo Escolar. Havia, ainda, um comprometimento, uma liberdade consciente entre o que se podia fazer e realizar dentro do espaço escolar. “Ofício de professora: a arte da educação rural”, intitula o volume 2 (figura 3) da coleção e apresenta as narrativas elaboradas a partir das memórias de cinco ex-professoras desta escola. Figura 3 – Capa do Livreto – volume 2

Fonte: Elaboração dos autores

As narrativas das professoras que compõem o livreto volume 2, pela leitura das histórias das trajetórias de vida pessoal e profissional das educadoras de nossa pesquisa, possibilitam apreender teorias e práticas de formação, de ensino, de relações interpessoais e institucionais, de construção identitária – do ser educador – relacionados aos diferentes momentos e nos presenteiam com a valorização social do professor naquela época (1947 – 1977). As histórias das professoras enfatizam o respeito que recebiam dos alunos e toda essa valorização vinha da importância dada à educação, que propiciou uma representação sobre a profissão docente nas quais o professor era visto como o responsável pela formação do povo, o elemento reformador da sociedade, o portador de uma nobre missão cívica e patriótica. Aborda, também, o sentido de ser professora e todos os valores vinculados ao Grupo Escolar representado (a disciplina, a hierarquia, a padronização e o respeito). Possibilitam, ainda, acesso à cultura escolar do Grupo Escolar no que se refere ao ensino de matemática e, sobretudo, um breve panorama sobre a formação das professoras dessa escola. Por fim, como mostra a figura 4, o volume 3, “Entre a roça e o ditado: uma narrativa”, trata de registrar a interpretação da pesquisadora, também em forma de narrativa, como resultado de uma análise das narrativas dos ex-alunos e ex-professoras. Então, ao tempo que compõem uma coleção de livretos, os registros narrativos podem ser lidos de modo


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independente, tendo o volume 3 o caráter de sintetizar as compreensões em torno do objetivo da pesquisa. Figura 4 – Capa do Livreto – volume 3

Fonte: Elaboração dos autores

A análise narrativa pode desempenhar o papel de construir os significados das experiências dos narradores (depoentes), mediante a busca de elementos unificados e coletivos, buscando com isso um desvelamento do modo autêntico da vida individual dos depoentes e da situação investigada. Portanto, a coleção reconta uma história da educação local, e até regional, a partir do mundo rural, priorizando a diversidade sociocultural característica da população campesina numa determinada época (1947-1977). Procura dar visibilidade social à educação dos povos que habitavam as terras na cidade de Bandeirantes-PR. Aborda a riqueza dessas experiências escolares, focaliza o auge e a agonia de um jeito específico de organizar a escola rural. Na sequência deste texto apresentamos um recorte da narrativa do volume 3 desta coleção. *** Dentre as trilhas, um caminho, uma narrativa Esta narrativa é apenas uma das muitas formas de relatar, contar, compor uma construção ficcional que se alimenta de poderosos saltos imaginativos configurados sob a visão de quem presenciou esta escola. Graças a eles, transcendemos qualquer fronteira: quem comanda a narração não é a voz, é o ouvido! “Como contar essa história”? Bom, podemos pensar que o início desta história poderia se dar com um “era uma vez”. Há em nossa cultura, um fascínio por essa expressão e ela exerce sobre nós um remontar ao passado, aos contos e às narrativas orais. O movimento que aqui elaboramos busca explicitar um passado e ainda querendo dizer sobre um passado numa forma narrativa. Parece que tudo conspira para começarmos desta forma, mas não!


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Essa história não começa com um “era uma vez”, que num passe de mágica nos transporta, eu e você, para uma terra, um lugar muito distante, cheio de encanto, num tempo sem tempo, com personagens fabulosos e estranhos. Um mergulhar ao fundo do encantamento. As terras (nem tão encantadas e nem tão distantes) em que se passam esta história são as do Estado do Paraná, mais precisamente, do norte do estado do Paraná, no município de Bandeirantes. Um passado contado e revivido pelas vozes que nos contaram fatos, que fizeram florescer a história por onde a poeira já fazia morada, se escondia, se silenciava. Escondidos sob as marcas temporais, as memórias, as lembranças, esperavam (talvez) a chance de despertar e este movimento de pesquisa ecoou feito um lampejo, como a brisa, o fertilizante necessário para que brotassem daquele chão, as histórias, pela arte de rememorar. Terras conhecidas como terra vermelha, terra roxa, que fizeram surgir plantações de cana de açúcar e que surgiu uma usina de açúcar bem ali. Neste momento a porta se abriu, a população foi surgindo numa multidão e se instalaram, veio gente de todo lado, construindo suas casas de madeira, simples e modestas, casas, casinhas, casarão... o tamanho era insignificante, lá cabiam todos e isso era dignificante, inúmeras delas, espalhadas pela extensão dessas terras, talvez, podemos dizer que essas eram, também, terras da esperança. Um povo que trilhou na procura de versos livres, a evolução, aprendendo o tempo de plantar e de colher, num tempo que o tempo escorre, num tempo de 1947. Neste tempo bem demarcado, de vida dura, a data foi um convite para todos virem bem de perto. Em 1947, sobre essa terra se estendia um tapete da educação, uma escola: o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes, entre a poeira e a fumaça, entre a usina e a estrada, entre as casas e as passagens, dividindo nesse espaço a extensão de todos os quintais. Assim nasceu para aquele povo uma possibilidade de acesso à educação. Nessa terra o dia começava cedo, pela janela os olhos enxergavam a beleza do mundo: era possível ver a fuligem que o vento assoprava e levemente descia até o solo. Toda janela era algum tipo de saída, de um olhar era possível percorrer, ao longe, algumas colinas, um horizonte tão distante refletia nas pupilas a luz de uma educação. Construções que nasciam de madeira aqui, construções de madeira acolá, assim se desenhava uma colônia sem muitos traços e contornos, sem muita cor escolhida, a grande magia estava no fim da estrada de poeira, essas são as mesmas terras que mantinham todos ali, não era bom e não era mau, era a vida que se vivia, tanta coisa se podia ver por debaixo da janela, que até parecia um portal, que fazia logo de manhã o trabalhador, a família, a moçada e as meninas sonharem. Agora contaremos o que a escola tinha de extraordinária: situava-se em um terreno seco, ao centro das casas de madeiras com teto de telhas que giravam em torno de si como um novelo, ao lado de uma usina cinza de pedras, desdobrando roldanas, soltando fumaça, construções de diferentes alturas, ligadas por uma estrada de poeira, ergueu-se com linhas e curvas arquitetônicas o prédio escolar. Eis o que se conta a respeito de sua fundação: homens e mulheres que trabalhavam nas terras, cortando cana, das mais diferentes raças, tinham um sonho, sonhavam uma escola para seus filhos, assim o dono da usina decidiu construir uma escola como a do sonho. Não se sabe qual mandamento induziu os fundadores a dar essa forma à escola, mas o que se sabe, com certeza, é que quando se pede seja a quem seja, que descreva sua vida escolar nessa escola, este sempre imagina a escola no meio das casinhas, talvez uma escola diferente, desfraldando estandartes e rastros, mas sempre construída a partir dessa combinação de elementos do espaço. Lá estava a escola, com os elementos tradicionais, capazes de vincular as novas gerações, num povo em formação, a sua terra, a sua gente e os seus antepassados. Não é


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menos verdade que o único meio de cultivar a personalidade é enraizá-la na tradição. O ambiente da escola, em que das linhas arquitetônicas à moldura dos jardins, da paisagem envolvente à decoração interior, tudo possa servir às sugestões de ordem e da harmonia e contribuir para despertar e desenvolver, na idade mais acessível, o sentido da beleza e da arte. Ditas essas palavras abriu-se a porta e, ao entrar, o que viu causou espanto. Era uma escola com coordenadas espaciais e temporais, os olhos das crianças se encantavam com tudo. Seus olhos eram preenchidos com as formas da escola. Encantava-se, também, quem via o rosto dos alunos. Tinham o prazer de observar quantos traços diferentes entre si atravessavam a escola: traços retos sobre as pilastras, curvas sobre o quadro de giz, traços cobertos uns pelos outros, curvas sobrepostas, quantas variedades de formas de janelas apresentavam-se diante a escola, retangulares, quadradas, com meias-luas. Quantas espécies de pavimento cobriam o chão: de pedregulhos, de tijolos, de lajotas, de vermelho a vermelhão. Em todos os pontos, a escola oferecia surpresas para os olhos: um conjunto de vasos ao final do corredor, uma passadeira estendida pelo chão vermelho, salas de aulas com inúmeras carteiras de madeira. Na porta da escola, via-se as professoras, o olhar percorria as paredes, o corredor, como se fossem páginas escritas, que continha, que escondia. Feliz era aquele que todos os dias tinha a escola que ensinava saberes ao alcance dos olhos e nunca acabava de ver as coisas que ela continha. Salas de aulas bem poucas, dentro havia algumas carteiras, um quadro de giz e, bem à frente, a mesa da professora, ao fundo um armário, crianças separadas em grupos chamados “séries”, um chão vermelho, um corredor bem limpo e ao meio uma passadeira, corredor este não tão comprido levava para a porta de entrada, do lado de fora um pátio, depois se tinha as extensões de todos os quintais. Lembre-se que era preciso esquecer quase tudo que se sabe sobre uma escola de hoje para entender essa aqui. Então, nos arriscamos a dizer que sob a visão daqueles que vivenciaram esse Grupo Escolar, a escola era um luxo! E havia uma passadeira... Ah! A passadeira, sempre a passadeira, é passagem, é regra, é a passadeira! Sem muito charme, mas na escola que ensinava saberes, ela ganhava um lugar de destaque. Ganha destaque, também, nas memórias. Frequentavam, passeavam juntos ou isolados, deslizavam seus passos bem calculados, sobre a passadeira, nada de pisar fora. Ai de pisar fora! Jamais, não podia pisar fora da passadeira, e todos obedeciam... é passagem, é regra, é a passadeira! E regras nessa escola eram sempre obedecidas. Aos olhos de outros alunos, a passadeira era vista como sinônimo de limpeza. Limpeza, palavra que caracterizava muito essa escola, era possível notar, desde o chão vermelho até a luz que iluminava, a limpeza também fazia morada nessa escola que ensinava saberes, em meio à fuligem, em meio à poeira. É passagem, é regra e também limpeza! Atravessavam a passadeira com passos equilibrados, chegavam à sala de aula, antes das professoras começarem a ensinar os novos saberes, havia o momento de rezar. Todos em pé. Postura! Sem brincadeiras, era o momento de agradecer. O pátio escolar, com um chão recoberto por tijolos, que nos dias luminosos uma sombra refletia as folhagens, não havia nada de diferente, um espaço sem muito encanto para as crianças brincarem, nesse espaço contemplavam fascinados a Bandeira Nacional hasteada em seu mastro. Cantavam o Hino Nacional, esticavam o fio pendurado, subiam a bandeira, todos enfileirados, permaneciam assim até a “... dos filhos deste solo és mãe gentil, pátria amada, Brasil”! Muito bem delimitado, todos os dias antes das aulas começarem nessa escola que ensinava saberes, os alunos sabiam que esse ritual era necessário. Ao virem enfileirados não se distinguia qual é um, qual é outro, todos bem comportados nessa vida rotineira, seguindo sempre o mesmo itinerário: formavam a fila no pátio, cantavam o Hino Nacional e hasteavam a bandeira, depois, seguiam para a sala de aula, tudo organizado um


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de cada vez, cuidado! Não pisem foram da passadeira! Todo dia iniciava e se guiava pela passadeira, pelo hino e pela prece. Por longo tempo, a escola foi um espaço em que os percursos eram traçados entre pontos suspensos no vazio, o caminho mais desejado para alcançar novos horizontes, os passos seguiam não o que se encontrava fora do alcance dos olhos, mas dentro, se entre eles continuava a parecerem mais alegres era porque uma certa hora do dia recebiam uma luz como daqueles lustres que ganham destaque na sala de estar. A escola era um modelo de educação, era assim que todos viam aquela escola. Espaço que recebia durante as manhãs e as tardes todas as crianças que residiam em seu entorno. O soar do sino avisava que estava na hora de começar a aula, todos já sabiam que tinham que ir para a fila. Era assim que iniciava mais um dia de aula em que a gurizada aprendia novas lições na escola. Passadeira, hino, prece, badalar do sino, fila! Aprendiam números, contas, ler e escrever, a lição da vida, num tempo com tempo, a educação fez moradia e refletia a luz que procuravam. Nesse espaço localizado bem no centro das casinhas de madeira, as crianças se aproximavam, estudavam com o que tinham, não importava o que diziam, era tudo assim, na simplicidade de um povo. Chegando à sala de aula aquela criançada já sabia que naquele espaço não se permitia brincadeiras dissociadas do contexto escolar, já estavam cientes, seja pelos pais ou pelos confidentes, que a hora de estudar era sagrada, nada de incidente, era permitido apenas estudar e obedecer. No espaço escolar, na sala de aula, nada muito sofisticado, se ensinava o básico, o essencial: ler, contar e escrever. E a obedecer! Nas salas as professoras ensinavam saberes. Ah! As professoras, quem eram elas? De onde vinham? Na luta diária pela felicidade, no cotidiano para quem ainda não sabe, em manhãs de cinzas, em tardes de sol e em noites sem estrela, lá vinham elas, dentro de um ônibus ou penduradas num caminhão, elas também travaram grandes batalhas neste movimento de educação. Assim chegavam à escola, todos os dias, as professoras com sua autonomia cultivavam o misterioso processo de ensino e de aprendizagem, folheavam e ensinavam folhear as cartilhas e os livros, desfiavam o que podiam usando o giz no quadro, letras, sílabas, palavras... números, contas, tabuada, era assim que elas alfabetizavam. Uma série de relatos, antigas observadoras e não existe razão para crer que sejam inverídicos – professoras que atribuíram ao Grupo Escolar um constante sortimento de qualidades, quando comparado, claro, às escolas da cidade. Professoras que iam e vinham diariamente que até se tornou habitual e os defeitos e as dificuldades de ensinar na escola rural, perderam a excelência num ajuste de virtudes. Captaram uma imagem sólida e compacta da escola e o resultado foi o seguinte: era melhor trabalhar nessa escola do que numa escola da cidade. Assim, para as professoras que ali passaram, em certas horas, em certas estradas, surgiu a suspeita de que ali havia algo de inconfundível, de raro, talvez até magnífico; sentiram o desejo de descobrirem o que era, por isso sempre enfatizavam que lecionavam numa escola em que não só crescia em função do nome e se deram conta da escola que cresciam sobre o solo. Tocava um sino. Terminava o tempo da aula. As professoras saíam. Os alunos iam embora. Outros entravam. Começava uma nova aula. Novos saberes eram ensinados. Como as professoras ensinavam? Adentravam em rotinas de letras, números e muita leitura, o que se ensinava transformava aquelas crianças em pessoas alfabetizadas. Quem ali chegava da porta podia ouvir a professora tomando leitura, logo ao lado se ouvia a boa e velha tabuada, assim eram os saberes ensinados nessa escola. Separados por grupos, cada grupo aprendendo uma nova lição.


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Saberes ministrados em tempos definidos, um após o outro, seja português ou matemática, sem recursos metodológicos apropriados e assim iam inventando ferramentas e técnicas, à medida que se defrontavam com a necessidade surgia um cartaz, algumas sementes, recursos poucos evidentes, lecionar era uma arte! Para que os alunos apreendessem, tudo o que se achava era utilizado, ensinar matemática com sementes, com grãos ou com qualquer outra plantação que se encontrava pelo chão, era uma tecnologia da época. Números, contas de adição e subtração, a matemática ensinada dessa maneira era, para eles, uma inovação. Provas. Reprovas. Aprovação. Nessa escola a ordem era estudar, com as provas marcadas os alunos revisavam seus cadernos, tudo era levado muito a sério. Chegou a prova de leitura, em suas carteiras prestavam a atenção, tudo bem sincronizado, começava a prova. No quadro, o texto para a leitura coletiva e individual, a professora que organizava: começava com um, terminava com outro. A diretora também aplicava provas, havia a prova oral: aluno por aluno, um de cada vez, seguiam até a sala da diretora, chegavam suando frio de nervoso, hora da prova! A diretora analisava a leitura, tomava a tabuada, perguntava sobre tudo. Era assim que a criança era cobrada e avaliada. Para alcançarem a aprovação todos corriam atrás, estudavam, decoravam, aprendiam, era assim que funcionava e no final os resultados: aprovado, aprovada... Pode-se dizer que nessa escola não havia tanta reprovação. Na escola que ensinava saberes havia muita educação. Havia a passadeira, o hino, a prece, o badalar do sino, a fila, as provas, a aprovação e pouca reprovação. Além dos saberes as professoras deixavam uma lição social: todos partilhavam de um mesmo espaço, de um mesmo mundo. Pequenos ou grandes eram companheiros numa mesma aventura. Todos ajudavam. Não havia competição. Havia cooperação. Ao ritmo de cada um a escola funcionava bem, o que se ensinava ao caipira lhe dava uma alegria, trocava o cabo do facão para pegar num lápis. Nessa escola havia disciplina, concentração, alegria e eficiência. Tudo muito bem controlado, pela diretora. “Olha! A diretora”! A primeira que chegava e a última que ia embora. Com seu jeito enérgico, muito respeitada, não dava mole para a criançada, era ela quem controlava tudo, bem delimitado, regras e deveres, nessa escola que se ensinava saberes. Feito o maestro que controla a sinfonia, a diretora coordenava e controlava a disciplina, a educação, a falta de obediência e a bagunça, tocava a escola ao seu ritmo. Reconhecida pelas professoras, a diretora, sempre auxiliava e dava todo o apoio necessário para tudo e para todas, foi uma figura muito marcante para quem passou pela escola, seja para aluno ou para professora, ela deixou um legado de boa conduta, dedicou a sua profissão sem dar espaço para controversas. Assim, podemos chegar à conclusão que bastava percorrer pela escola para ver o respeito que havia pela diretora, em toda sua extensão, dentro ou fora, a figura da diretora. Não é possível ouvir sobre essa escola, sem ouvir sobre a diretora. Saberes e nessa escola havia deveres, havia castigos e muita obediência, as crianças não desrespeitavam, sabiam o que podiam e o que não podiam fazer. Ao saírem de suas casas os pais já desfiavam um rosário de sermões, nada de brigar ou desobedecer a professora. Desobedecer era palavra tão ouvida pela molecada, que o medo fazia morada, o respeito acima de tudo, nessa escola que ensinava saberes, os alunos eram educados, também para obedecer... Para a comunidade, a criação da escola foi o maior acontecimento, assim desenvolviam um espaço cultural na escola, que tinha como meta alargar os horizontes da infância, sendo um lugar especial onde a música, o desenho, os trabalhos manuais, a dança e o teatro fossem privilegiados. Momentos que reuniam todos: alunos, pais e comunidade, todos participavam! Chegou o dia de desfilar, todos bem preparados, família reunida, que responsabilidade! Era um momento muito esperado, roupas em dia, cabelos arrumados


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e um traje todo especial, meninas com suas saias bem engomadas e meninos com suas vestes formais. Mas a escola não conta o seu passado, ela o contém como as linhas da mão, escrito nos ângulos das estradas, nas grades da janela, nas paredes do corredor, nas rachaduras do quadro de giz, nos mastros das bandeiras, cada segmento riscado por arranhões, grifos, entalhes, esfoladuras. Essa escola que ensinava saberes, onde o caipira fez morada, desenvolveu um papel que enriqueceu quem pode ouvir sobre ela, muitas histórias e memórias essa escola deixou para quem ali passou, seja aluno ou professor, cada um guardou algo que marcou. Quem a viu uma vez nunca mais conseguiu esquecer, como uma escola memorável uma imagem extraordinária nas recordações. A escola que ensinava saberes deixou sua propriedade permanecida na memória ponto por ponto, na sucessão das estradas de poeira e das casas de madeiras ao longo da fumaça, das portas e janelas das casas, demonstrando toda sua particular beleza ou raridade. O seu segredo é o modo pelo qual o olhar percorre as figuras que sucedem como uma partitura musical da qual não se pode modificar ou deslocar nenhuma nota. Quem passou por seus bancos escolares, à noite, quando não consegue dormir, imagina caminhar pela estrada de poeira e recorda a sequência em que se sucedem, as casas de madeira, a porta de entrada, o chão vermelho, a passadeira, a travessa que leva ao pátio, o mastro com a bandeira, as salas de aulas, o quadro rabiscado, a usina de pedras cinzas soltando fumaça. Essa escola não se elimina da cabeça, é como uma armadura ou um retículo em cujos espaços cada um pode colocar as coisas que deseja recordar: nomes ilustres, virtudes, números, datas de batalhas, partes do discurso. Entre cada noção e cada ponto do itinerário pode-se estabelecer uma relação de afinidades ou de contrastes que sirva de evocação da memória. Aqui nesta narrativa você foi convidado a visitar a escola como se estivesse observando uns velhos cartões-postais ilustrados que mostram como esta foi: a colônia se encontra idêntica, mas com umas casas soltando uns pregos, outras faltando algumas tábuas, outras já desmoronaram. A janela ainda é a mesma, mas ninguém sonha por debaixo dela, a estrada de poeira o asfalto levou, dois caminhões no lugar das pessoas caminhando, a fumaça saindo da chaminé da usina continua a mesma. Ainda no centro das casinhas de madeira e do lado da usina se encontra a escola que ensinava saberes, porém não tão movimentada como antes, as pessoas que iam e vinham, hoje dão lugar a alguns matos que crescem e escondem as paredes. Só agora reconhecemos a magnificência e a prosperidade da escola que ensinava saberes e ela pode ser apreciada através dos velhos cartões-postais, enquanto antes, não se via absolutamente nada de gracioso, que mediante o que se tornou pode-se recordar com saudades daquilo que foi. Em 1977, o Grupo Escolar se desbota, apagam-se os florões, os traços e as curvas perdem seus contornos. Trinta anos depois a escola que ensinava saberes definhou-se, desfez-se. Acabou o Grupo Escolar, seus costumes, suas ideologias de ensino, o prédio cedeu lugar à outra escola e outros valores... Não há mais o Hino Nacional e o hastear da bandeira, não há mais a prece, o badalar do sino silenciou-se e não dispara mais a formação da fila. Não há fila, não há regras, não há castigos, não há obediência, nem provas, nem a diretora! Perderam-se os documentos oficiais, mas há memórias, há histórias que não se perderam quando se fecharam as portas e as janelas do Grupo. A escola física continuou, o Grupo continuou nas memórias. Continuou a passadeira. Ah, a passadeira... que passa, que leva, que continua viva em memória e suas distintas funções sempre permanecerão. Agora a escola que ensinava saberes se tornou um museu: os habitantes, os alunos e as professoras a visitam por meio de suas memórias, correspondem aos seus desejos,


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contemplam-na imaginando, percorrendo por cada lembrança e deslizando pela espiral das vivências em forma de caracol. *** Fechando o texto e disparando reflexões Elaborar um produto educacional é um movimento permeado, quase sempre, de incertezas. O que pode um produto educacional? Discutir sobre um produto educacional elaborado a partir de uma pesquisa que mobiliza narrativas orais, que investigou uma escola do passado, uma escola viva em memórias e não mais existente, provocou em nós bastante inquietação. Operar nessa direção não é um caminho fácil, pois exige algo do pesquisador que ele não tem, não é, e, nem ao menos, conhece. Nesse arcabouço de circulação e aprofundamento – para nós foi preciso pensar e se abrir a uma produção de um saber da experiência que acontece junto ao sujeito da experiência – a pesquisa não investiga a experiência, mas as formas de expressões em termos de saberes e poderes que se dão em meio à constituição dos sujeitos. Mobilizamos memórias de professores e alunos, e de um modo ou de outro, a escola. Mobilizamos os saberes das professoras, os modos de ensinar e aprender matemática e letras, registrando por meio da escrita e a partir de suas memórias, o cenário daquela escola. Os movimentos iniciais de pesquisa não nos trouxeram registros de uma escola que ora fora tão representativa para aquela comunidade. Não havia registros, não havia documentos oficiais. As narrativas dos nossos colaboradores disparam a produção de documentos, constituem fontes histórias sobre esse movimento de educação (rural) no norte do Estado do Paraná. E isso dispara em nós uma necessidade, a de elaborar um material que seja de acesso público, que registre aquela história, uma história, ao menos, do Grupo Escolar Rural. Essa necessidade e essa contribuição da nossa pesquisa se apresenta em forma de Produto Educacional. As narrativas, ao trazerem em cena as memórias de alunos e professores, ao denunciarem seus modos de ensinar e aprender matemática e outros saberes, resgatam uma escola, a fazem reviver! Possibilitam um registro histórico. E, então, nos questionamos sobre os modos que esse produto atende às demandas exigidas para um produto educacional num curso de ensino de matemática. Nossa preocupação está em validar essa nossa tentativa como uma possibilidade. Aceitamos que os livretos atendem às tais exigências. Narrativas produzidas por meio da metodologia de História Oral, livretos que registram essas narrativas tornam essa(s) história(s) do Grupo Escolar acessível à comunidade e aos possíveis interessados em estudar o movimento histórico da educação, passível de ser utilizada, com mais frequência, naquele contexto social. Esta movimentação metodológica é que propiciou as discussões aqui apresentadas, desejando-se a intensificação dos estudos e ações em defesa, de que as narrativas – constituídas como fontes de pesquisa em trabalhos da História da Educação Matemática –, em nossas pesquisas, possam ser consideradas patrimônio educativo, e por meio da divulgação desse patrimônio educativo, contribuir para a produção do conhecimento científico e para sua projeção social, cultural e acadêmica. O contato com a escola, com alunos e professores, com metodologias de ensino se deu num outro tempo, na dimensão do disparar das memórias. Escrevemos histórias, elaboramos narrativas históricas, produzimos fontes históricas, socializamos... E, entendemos, esse produto educacional permitiu e permite levar conhecimento. Podemos trazer a cena vários objetos educacionais, que são considerados pelos narradores que vivenciaram certas situações, como heranças, pois, a convergência entre as experiências narradas nos mos-


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tram que vários colaboradores comungam a intenção de manter preservada uma memória, por meio da narrativa. Sem que fosse nossa intenção inicial, alardes do desenvolvimento da pesquisa se espalharam rapidamente naquela região e, em dado momento, fomos contactados e convidados a contribuir numa feira de ciências de uma escola do município em cena. Então, mobilizados, num projeto de uma atual escola do município de Bandeirantes- PR, os livretos foram divulgados aos alunos dessa comunidade, possibilitando reconhecimentos por parte deles e de seus familiares. Podemos afirmar, então, que este produto possui potencial de aplicabilidade? Aplicabilidade para ensinar matemática? Não! Entendemos que a aplicabilidade possível presente nos livretos está em produzir conhecimento sobre os modos, um dia mobilizados, naquele espaço geográfico, para ensinar, também, matemática e a produção de conhecimentos sociais e culturais. Aplicabilidade ao se mostrar à Secretaria de Educação local, um documento de História da Educação (Matemática), contribuindo para a permanência dessa história, único registro, talvez! As inquietações sobre ser aplicado e aplicável que contornam nosso produto educacional são muitas. Refletimos se ser “aplicado” significa somente dar uma aula ou uma formação para professores usando o produto educacional? E o produto que foi desenvolvido junto a alunos, professores, ele é considerado “não aplicado”? Ser “aplicável” significa que alguém pode tomar o produto e dar aulas ou formações com ele, sendo que já está tudo pronto ou traçando adaptações? Concluímos com a reflexão em torno de que é possível, por meio dos nossos estudos, entender o patrimônio educativo para além do material, no qual se busca preservar heranças educacionais, reconhecidas em discursos isolados que apesar de não possuir aparentemente ligação, estão conectados e coexistem, interagem e até se ressignificam. Referências DELGADO, L. A. N. História Oral – memória, tempo, identidades, 2ª. ed. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2010. GARNICA, A. V. M. A experiência do labirinto: metodologia, história oral e educação matemática. São Paulo: Editora Unesp, 2008. GARNICA, A. V. M. Cartografias Contemporâneas: mapear a formação de professores de Matemática. In: GARNICA, A. V. M. (Org.) Cartografias contemporâneas: mapeando a formação de professores de Matemática no Brasil. Curitiba: Appris, 2014. p. 39-66. LARROSA, J. Notas sobre a experiência e o saber de experiência. Tradução de João Wanderley Geraldi. Revista Brasileira de Educação, São Paulo, n. 19, p. 20-28, jan./abr. 2002. LARROSA, J. Tremores: escritos sobre experiência. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2016. LISPECTOR, C. A legião estrangeira, Rio de Janeiro: Rocco, 1964. MARTINS-SALANDIM, M. E. A Interiorização dos cursos de Matemática no estado de São Paulo: um exame da década de 1960. 2012. 379 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2012. MATUCHESKI, S. Diferenciação e Padronização: um estudo sobre o setor litoral da Universidade Federal do Paraná. 2016. 458f. Tese (Doutorado em Educação Matemática)


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– Instituto de Geociências e Ciências Exatas – Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2016. MORAES, M. B. Se um viajante ...percursos e histórias sobre a formação de professores de matemática no Rio Grande do Norte. 2017. 1006f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2017. PORTELLI, A. História Oral como arte da escuta. São Paulo: Letra e voz, 2016. PORTELLI, A. Tentando aprender um pouquinho. Algumas reflexões sobre a ética na história oral. Revista Projeto História, São Paulo, n.15, p. 13 - 49, 1997. SILVA, C. S. Escolas rurais como espaços formativos: vozes de professores que atuaram na região de Borebi/SP. 2018. 153 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Ciências – Universidade Estadual Paulista – UNESP, Bauru, 2018. SOUZA, G. S. Da fuligem à edificação do Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes: narrativas que contam história(s). 2019. 161f. (Dissertação de Mestrado). Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, Londrina – PR, 2019. Disponível em: http://twixar.me/BgBm. Acesso em 24 de novembro de 2020. SOUZA, G. S.; ANDRADE, M. M. Eu conto, Tu contas, Nós contamos: histórias sobre o Grupo Escolar Rural Usina Bandeirantes. Londrina, 2020. Disponível em: http://twixar. me/RgBm. Acesso em 23 de novembro de 2020. SOUZA, L. A. Trilhas na construção de versões históricas sobre um grupo escolar. 2011. 420f. Tese (Doutorado) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas – Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2011. TIZZO, V. S. Mobilizações de narrativas na (e para a) formação de professores: potencialidades no (e a partir do) Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência. 2019. 488 f. Tese (Doutorado) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas – Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2019. WHITE, H. Trópicos do Discurso: ensaios sobre a crítica da cultura 2.ed. 1reimpr. Tradução de Alípio Correia de Franca Neto. São Paulo: Edusp, 2014 (Ensaios de Cultura; 6).


Sobre os autores

Adriana Helena Borssoi – Doutora e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná. Docente da Graduação e Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR, Brasil). Temas de pesquisa: Modelagem Matemática; Aprendizagem Significativa; Tecnologias Educacionais. Adriele Carolini Waideman – Doutoranda do Programa do Pós-Graduação em Educação e Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do Paraná- Cascavel, com pesquisa na linha de Insubordinação Criativa e Modelagem Matemática; Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Tecnológica Federal Do Paraná - Cornélio Procópio e Londrina; Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Paraná – Campo Mourão. Atua como professora de Matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental ao Ensino Superior. André Luis Trevisan – Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas, Licenciado em Matemática e Bacharel em Matemática Aplicada e Computacional pela Universidade de Campinas. Realizou Estágio de Pós-Doutorado na Universidade Federal do ABC. Atualmente é professor efetivo da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, e docente permanente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (campi Londrina/Cornélio Procópio) e do Doutorado em Ensino de Ciência e Tecnologia (campus Ponta Grossa). É Bolsista Produtividade do CNPq. Áreas de Interesse: Educação Matemática na Educação Básica e no Ensino Superior, Ensino de Cálculo Diferencial e Integral, Tarefas Matemáticas, Raciocínio matemático, Aprendizagem profissional do professor. Andresa Maria Justulin – Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - Rio Claro (SP), Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - Bauru (SP) e Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Bauru (SP). Atualmente é Professora Adjunta na Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Cornélio Procópio, atuando no curso de Licenciatura em Matemática e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT). Seus interesses de pesquisas abarcam a Resolução de Problemas, a Formação de professores e outras temáticas relacionadas. Camila Garbelini da Silva Ceron – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Professora da Educação Básica. Temas de pesquisa: Pensamento Funcional; Tecnologias Educacionais; Anos Iniciais do Ensino Fundamental.


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Claudete Cargnin – Doutora em Educação para a Ciência e a Matemática pela Universidade Estadual de Maringá, Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina, licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá. Atualmente é Professora titular na Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Campo Mourão, docente permanente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT). Realiza pesquisas em Didática da Matemática e Transtorno do Espectro Autista. Eliane Maria de Oliveira Araman – Doutora e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL), Licenciada em Ciências (habilitação Matemática) pelo Centro de Estudos Superiores de Londrina. Docente efetivo da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (campus Cornélio Procópio), na qual atua no curso de Licenciatura em Matemática e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática. Realizou Estágio de Pós-Doutorado na Universidade de Lisboa com bolsa Cnpq do Programa de Pesquisador Junior. Áreas de interesse: Formação de professores, História da Matemática, Raciocínio Matemático. Elaine Cristina Ferruzzi – Doutora em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina, licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Atualmente é professora efetiva da Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Modelagem Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem matemática, tecnologia em eletrotécnica, investigação matemática e educação matemática. Elvis Ricardo Viana – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campi Cornélio Procópio e Londrina, Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual do Paraná. Professor da Educação Básica, com experiência nas disciplinas de Matemática e Física do Ensino Médio. Áreas de Interesse: Tem interesse em Educação Matemática, principalmente no que diz respeito à Modelagem Matemática e Criatividade. Emerson Tortola – Doutor e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Licenciado em Matemática pela Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão. Docente efetivo da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR - campus Toledo), na qual atua no Curso de Licenciatura em Matemática e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT - campi Cornélio Procópio / Londrina). Tem interesse em Modelagem Matemática e Linguagem na Educação Matemática, especialmente em Modelagem Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental.


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Flávia Maria Gonçalves – Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campi Cornélio Procópio e Londrina. Licenciada em Ciências com habilitação em Matemática pela Universidade Estadual Norte do Paraná (UENP), campus Cornélio Procópio. Atua como professora de Matemática e Ciências do Ensino Fundamental e Médio pela Secretaria Estadual de Educação do Paraná (SEED - PR). Tem interesses de pesquisa na área de Formação de Professores que Ensinam Matemática, Tecnologias em Educação Matemática e Avaliação em Educação Matemática. Fernando Francisco Pereira – Doutorando na Universidade Estadual de Maringá pelo Programa de Pós-graduação em Educação para Ciência e a Matemática - PCM/UEM, Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática PPGMAT/UTFPR, Licenciado em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. Possui experiência no Ensino Fundamental Anos Finais e Ensino Médio e atualmente é professor na Rede Particular de Ensino. Grasielly dos Santos de Souza – Doutoranda do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, PPGEDC/Unesp/Bauru. Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Licenciada em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio. Temas de interesse: História Oral, História da Educação Matemática e da Formação de Professores, Narrativas, Educação Rural e Escolas Rurais do Paraná. Henrique Rizek Elias – Doutor e mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL), licenciado e bacharel em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP), campus São Carlos. Docente do Departamento Acadêmico de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Londrina e docente permanente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da UTFPR campus Cornélio Procópio e Londrina. Tem interesses de pesquisa na área de Formação de Professores que Ensinam Matemática, em especial a Álgebra na formação de professores. Iara Souza Doneze – Doutoranda na Universidade Estadual de Maringá pelo Programa de Pós-graduação em Educação para Ciência e a Matemática - PCM/UEM, Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática - PPGMAT/UTFPR e Licenciada em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR. Possui experiência no Ensino Fundamental Anos Finais e Ensino Médio.


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Jader Otavio Dalto – Doutor e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Graduado em Psicologia pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná e em Matemática. Professor Associado I da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio, Atua no Departamento Acadêmico de Matemática, onde desenvolve atividades de ensino, pesquisa e extensão junto ao Curso de Licenciatura em Matemática e ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática. Tem interesse de pesquisa nas áreas de Análise da Produção Escrita de alunos em questões discursivas de Matemática e formação de professores; Avaliação em Educação Matemática; Neuropsicologia e Aprendizagem de Matemática. Jéssica Concentino – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio e Londrina, licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Norte do Paraná, campus Cornélio Procópio. Especialização em Educação Matemática e Especialização em Educação Especial. Karina Alessandra Pessoa da Silva – Doutora e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Docente da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Londrina, atuando nos cursos de Licenciatura em Química e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática. Leonardo Sturion – Doutor e Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina, Graduação em Engenharia Agronômica e Licenciatura Em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Professor da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR – campus Londrina no Departamento de Matemática DAMAT, com atuação no Mestrado de Educação do Ensino de Matemática e no Mestrado de Tecnologia de Alimentos. Linhas de pesquisa na área de Inovação Tecnológica e do uso de recurso digitais na Educação e no Ensino de Estatística. Realizou estágio de pósdoutorado na Universidade de Coimbra, Portugal, na Faculdade de Educação e Psicologia com investigação na área de Comunicação e Informação. Letícia Coutinho – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Licenciada em Matemática pela Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão, graduação em Licenciatura em Pedagogia. Atua como professora de Educação Infantil na Rede Municipal de Campo Mourão. Línlya Sachs – Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática, pela Universidade Estadual de Londrina, bacharel e licenciada em Matemática, pela Universidade de São Paulo. Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Cornélio Procópio, e atua como professora permanente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, oferecido pela UTFPR, multicampi Cornélio Procópio e Londrina. Seus interesses atuais de pesquisa estão relacionados a Educação Matemática, Educação do Campo, Etnomatemática, Currículo e Formação de Professores.


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Luís Felipe Gonçalves Carneiro – Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Londrina e campus Cornélio Procópio, licenciado em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio. Atualmente, é professor da Educação Básica e pesquisa sobre o desenvolvimento do raciocínio matemático dos estudantes. Marcela Camila Picin de Melo – Mestra em Ensino de Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT), UTFPR campus Cornélio Procópio e Londrina e Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Norte do Paraná (UENP), campus Cornélio Procópio. Marcele Tavares Mendes – Doutora em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá e Licenciada e Bacharel em matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Docente efetiva da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Londrina, atuando em cursos de graduação e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática - Londrina/Cornélio Procópio. Áreas de interesse: Educação Matemática na Educação Básica e Ensino Superior, Avaliação da Aprendizagem, Tarefas matemáticas, Ensino de Cálculo Diferencial e Integral. Mariana Vasconcelos Negrini – Mestranda em Ensino de Matemática e Licenciada em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Cornélio Procópio e licenciada em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Meiri das Graças Cardoso – Mestre em Ensino Profissional de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina. Graduada em Gastronomia pela Universidade Positivo. Pós-graduada Psicopedagogia na Instituição Escolar pela Universidade Estadual de Londrina. Atua em monitora de Pós-graduação da Faculdade Unina. Mirian Maria Andrade – Doutora e Mestre em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Rio Claro, Licenciada em Licenciatura em Matemática pela Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Jacarezinho. Atualmente é professora associada do Departamento Acadêmico de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Curitiba; docente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT), UTFPR campi Cornélio Procópio e Londrina e do Programa de Pós-Graduação em Formação Científica, Educacional e Tecnológica (PPGFCET), UTFPR campus Curitiba. Áreas de Interesse: História da Educação Matemática, Formação de Professores e Análise de textos escritos. Paulo Henrique Hideki Araki – Doutorando do Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade Estadual de Maringá. Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Londrina. Graduado em Tecnologia em Processos Químicos, pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Apucarana, Licenciatura em Matemática, pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Cornélio Procópio e Licenciatura em Química pelo Centro Universitário Filadélfia. Professor de Matemática da Educação Básica.


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Rafael Montenegro Palma – Mestre em Ensino da Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campi Cornélio Procópio/ Londrina e Licenciado em Matemática pela mesma universidade. Professor da Educação Básica, com experiência em ensino de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental. Tem interesse em Educação Matemática, principalmente nos temas Modelagem Matemática e Criatividade. Roberta Marcelino de Almeida Alves – Mestre em Ensino de Matemática e Licenciada em Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campi Cornélio Procópio e Londrina. Foi Bolsista do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID). Atualmente é professora da rede pública de ensino do estado do Paraná. Rodolfo Eduardo Vertuan – Doutor e Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática e licenciado em Matemática, pela Universidade Estadual de Londrina. Professor do Magistério Superior da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, campus Toledo e Docente Permanente do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da UTFPR, Cornélio Procópio e Londrina, do Programa de Pós-Graduação, Mestrado e Doutorado, em Educação em Ciências e Educação Matemática (PPGECEM) da UNIOESTE, Cascavel, e do Programa de Pós-Graduação em Rede Nacional (PROFMAT) da UTFPR, Toledo. Tem experiência na área de Educação Matemática com ênfase em Ensino e Aprendizagem da Matemática, especialmente em Modelagem Matemática, Metacognição e Criatividade. Robson Aparecido Ramos Rocha – Mestrando do Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR, Cornélio Procópio e Londrina). Licenciado em Matemática com Ênfase em Informática pela Faculdade de Apucarana e aperfeiçoamento pedagógico em Licenciatura em Química pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Boa Esperança. Professor de Matemática e Química da Educação Básica. Rodrigo Tavares da Silva – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual do Paraná, (UTFPR, Brasil). Docente da Graduação da Universidade Estadual do Paraná (UNESPAR, Brasil) e dos anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio da Secretaria da Educação e do Esporte do Paraná (SEED, Brasil). Temas de pesquisa: Tecnologias Educacionais, Modelagem Matemática, Ensino Superior. Silmara Ribeiro Rodrigues – Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR – campi Cornélio Procópio e Londrina), Licenciada em Pedagogia com habilitação em orientação e supervisão escolar pela Universidade Estadual Norte do Paraná (UENP – campus Cornélio Procópio). Professora dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Tem interesse em pesquisa na área de Formação de Professores que ensinam matemática. Solange Mariano da Silva Santos – Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Federal Tecnológica do Paraná, Cornélio Procópio e Londrina e Licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Norte do Paraná. Atualmente é professora na Educação Básica. Tem experiência na área do ensino de Matemática, nos anos finais do Ensino Fundamental, Médio e Educação de Jovens e Adultos.


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Talita Canassa Weber – Doutoranda do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Estadual de Londrina. Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Federal Tecnológica do Paraná, Cornélio Procópio e Londrina e Licenciada Professora de Matemática, graduada em Licenciatura em Matemática com ênfase em Informática pela Faculdade de Apucarana. Atua como professora da Educação Básica. Zenaide de Fátima Dante Correia Rocha – Doutora em Educação pela Universidade Estadual de Campinas. Mestre em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estatual de Londrina. Licenciada em Ciências, Matemática e Pedagogia. Atualmente é docente da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Londrina – PR, no Departamento de Ciências Humanas, atuando no Curso de Licenciatura em Química, no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática e no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Humanas, Sociais e da Natureza. Tem experiência na área de Educação/Ensino e pesquisa com ênfase na Formação de professores e processos de ensino e aprendizagem. Wanderson Rocha Lopes – Doutorando (bolsista CAPES) em Educação Matemática, pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (Unesp), Rio Claro, Mestre em Ensino de Matemática pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Cornélio Procópio e Londrina, Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Rondônia (UNIR), campus Ji-Paraná.



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