Revista de matemáticas final

MATEMAGAZINE Triángulos Ángulos Congruencia de triángulos Semejanza de triángulos Polígonos Circunferencia Razones trigonométricas

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Introducción Un saludo cordial a todos los lectores, en esta revista presentamos algunos temas de Matemáticas II, presenta algunos conceptos, que son para facilitar al lector el entendimiento de los temas.

Los temas son triángulos, ángulos, congruencia de triángulos, semejanza de triángulos, polígonos, circunferencia y razones trigonométricas.

Esperamos que la información se de utilidad, que los puedan entender y les sirva.

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Índice

Triángulos: Ángulos y relaciones métricas.................................. 4 Ángulos en el plano ................................................................ 4 ¿Qué es un ángulo?.............................................................................................. 4 Medición de ángulos .......................................................................................... 5 Sistema sexagésimal ............................................................................................ 5 Clasificación de los ángulos según su medida.................................................... 5 Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas ................................. 6 Clasificación de pares de ángulos por la pocision de sus lados ....................... 6 Clasificación de pares de ángulos por su pocision entre dos rectas paralelas y una transversal......................................................................... 6 Triángulos ..........................................................................8 Clasificación de los triángulos ........................................................................... 8 Clasificación de los triángulos según sus ángulos ............................................ 8 Clasificación de los triángulos según el número de lados congruentes que posee................................................................................................... 8 Propiedades de los triángulos ............................................................................. 9 Segmentos y puntos importantes de un triángulo ............................................ 9 Congruencia de triángulos...................................................... 10 Criterios de congruencia......................................................................................10 Semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras ............................. 11 Criterios de semejanza dé triángulos................................................................... 11 Teorema de Pitágoras ........................................................................................... 12 Teorema de Tales ....................................................................................................12 Polígonos............................................................................13 Ángulos internos y externos de un polígono ........................................................13 Diagonales de un polígono .....................................................................................13 Clasificación de los polígonos según su número de lados ....................................14 Clasificación de los polígonos según sus ángulos ..................................................14 Elementos de un polígono regular ..........................................................................15 Triangulación y propiedades de los polígonos convexos....................................... 15 Perímetro y Área de triángulos y paralelogramos.................................................. 16 Circunferencia........................................................................ 18 La circunferencia y sus elementos............................................................................ 18 Medición de ángulos de la circunferencia............................................................... 19 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo..............................20 Razones trigonométricas........................................................................................... 20 Ley de los senos y cosenos............................................................. 22 Estadística descriptiva .................................................................. 23

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Triángulos: ángulos y relaciones métricas

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Ángulos en el plano ¿Qué es un ángulo?

Un ángulo resulta de la unión de dos rayos que comparten un extremo común. A estos rayos se les denomina lados y el extremo en común, vértice.

El ángulo se represente con el símbolo , además existen varias formas de escribir los ángulos:

V

V

• Mediante tres letras mayúsculas; la que se escriba en medio corresponde al vértice, y las otras dos a puntos sobre los lados del ángulos.

ABC o CBA A. • Con la letra mayúscula que corresponde al vértice.

N B. • Por medio de una letra minúscula en el interior del ángulo.

C. a Mediante un número natural en el interior de un ángulo.

• 1 D.

V V V

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C

B

M

a

D

C

1 N A

B

A.

Q

Medición de ángulos

Sistema sexagésimal Utiliza el grado como unidad de medida, el cual se obtiene de la sig. manera: la circunferencia se divide en 360 partes iguales; cada una de estas partes se llama grado.

Cada grado se puede dividir en 60 partes iguales llamados minutos, y a su vez cada minuto se puede dividir en otras 60 partes iguales llamadas segundos.

Los símbolos son los siguientes: Grado: Minuto: ' Segundo: " EJEMPLO: Un ángulo que mide 82 grados, 15 minutos, 12 segundos se escribe: 82 15' 12"

Clasificación de los ángulos según su medida • Agudo: Mide más de 0*, pero menos de 90* (A) • Recto: Mide 90* (B) • Obtuso: Mide más de 90*, pero menos de 180* (C) • Llano: Mide 180* (D) • Cóncavo: Mide más de 180*, pero menos de 360* (E) • Perígono: Mide 360*

D

Ejemplos

A

B

C

E

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Clasificación de los ángulos por la sumas de sus medidas Complementarios: Cuando la suma de sus medidas es igual a 90 . A cada ángulo se le llama complemento del otro.

Suplementarios: Cuando la suma de sus medidas es igual a 180 . A cada ángulo se llama suplemento del otro.

Conjugados: Cuando la suma de sus medidas es 360 . A cada ángulo se le llama conjugado del otro.

A + B = 90

X + Y = 180 X

A

Y

B

Clasificación de pares de ángulos por la posición de sus lados • Adyacentes: Cuando tienen el mismo vértice y un lado en común, pero no tienen puntos interiores comunes.

• Adyacentes que forman un par lineal: dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son rayos opuestos forman un par lineal.

Clasificación de pares de ángulos por su posición entre dos rectas paralelas y una transversal • Ángulos externa • Ángulos interna

exteriores:son los que quedan en la parte de las dos rectas coplanares.(1,2,7 y 8) interiores: son los que quedan en la parte de las dos rectas coplanares.(3,4,5 y 6)

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• Ángulos alternos externos: son los pares de ángulos externos, no adyacentes y que se encuentran en un lado diferente de la transversal. (1 y 7, 2 y 8) • Ángulos alternos internos:son los pares de ángulos internos que no son adyacentes y que se encuentran en un lado diferente de la transversal. (4 y 6, 3 y 5) • Ángulos correspondientes: son los pares de ángulos no adyacentes situados en el mismo lado de la transversal.

(1 y 5, 2 y 6, 4 y 8, 3 y 7) • Ángulos exteriores consecutivos: los dos pares de ángulos externos situados del mismo lado de la transversal.(1 y 8, 2 y 7) consecutivos: son los • Ángulos internos dos pares de ángulos ángulos internos situados del mismo lado de la transversal.(3 y 1 2 6, 4 y 5) 4 5 8

3

6 7

Teorema de ángulos alternos internos Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos

Teorema de ángulos internos consecutivo Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos

Teorema de ángulos alternos externos Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos son congruentes entre sí.

Teorema de ángulos externos consecutivos Si dos rectas paralelas son cortada por una transveral, entonces cada par de ángulos externos consecutivos son suplementarios.

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Triángulo El triángulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde estos se cortan se llaman vértices.

Clasificación de los triángulos Los triángulos pueden clasificarse de acuerdo con sus ángulos, y con el número de lados congruentes que posean.

Clasificación de los triángulos según sus ángulos TRIÁNGULO ACUTÁNGULO Es aquel cuyos tres lados son agudos.

72

48

60

TRIÁNGULO RECTÁNGULO Es aquel que tiene un ángulo recto.

Triángulo obtusángulo Es el que tiene un ángulo obtuso

Clasificación de los triángulos según el número de lados congruentes que poseen

Triángulo escaleno Es aquel en el que todos los lados son de diferente longitud, es decir no tiene lados congruentes

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Triángulo isósceles Es aquel que tiene dos lados congruentes, es decir, dos lados de igual longitud.

Triángulo equilátero Es aquel cuyos tres lados tienen la misma longitud, es decir, son congruentes.

Propiedades de los triángulos

1. En todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180.

2. En cualquier triángulo, un ángulo extern es igual a la suma de dos internos no adyacentes a él.

3. La suma de los ángulos externos es igual a 360.

4. Cada ángulo de un triángulo equilatero mide 60.

5. En cualquier triángulo solo puede haber un ángulo recto.

6. Los dos ángulos de un triángulo rectángulo son complementarios.

7. En todo triángulo solo puede haber un ángulo obtuso.

8. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

Segmentos y puntos importantes de un triángulo

ALTURA DE UN TRIÁNGULO: Es un segmento de recta perpendicular trazado desde uno de los vértices del triángulo hasta el lado opuesto de esta figura.

ORTOCENTRO: Es el punto donde se concurren las alturas del triángulo.

MEDIANA: Es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

Mediatriz: Es una semirecta perpendicular a uno de los lados de un triángulo que pasa por el punto medio de ese lado.

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?

= Congruencia de triángulos

2

Bisectriz: Es una semirecta que divide un ángulo en dls ángulos de igual medida.

Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes sí y solo si sus elementos correspondientes son congruentes.

Criterios de congruencia

Para saber si dos triángulos son congruentes no es preciso verificar que sus seis elementos sean congruentes, basta con utilizar alguno de los criterios de congruencia, los cuales son LLL, LAL, ALA, donde L= lado y A= ángulo.

Criterio LLL Si tres lados de un triángulo son congruentes con los tres del otro, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LAL En un triángulo, si dos de sus lados y el ángulo que forman son congruentes a los lados y el ángulo que forman de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio ALA Si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos son congruentes con los dos ángulos y el lado comprendido del otro, entonces son congruentes 10

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Semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras

Semejanza de triángulos Dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. La semejanza está ligada a la proporcionalidad, pues los lados correspondientes de polígonos semejantes son proporcionales y sus ángulos, iguales.

10 8 5

4

53.1 3 3

53.13

Los triángulos anteriores son semejantes porque la misma forma, pero diferente tamaño.

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tienen

Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si y solo si: • Sus ángulos son congruentes.

• Sus lados son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos:

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Criterio AA (รกngulo-รกngulo): si dos รกngulos de un triรกngulo son congruentes a dos รกngulos de otro triรกngulo, entonces los triรกngulos son semejantes.

Criterio LLL (lado-lado-lado): si tres de los lados de un triรกngulo son proporcionales a los tres lados del otro triรกngulo, entonces los triรกngulos son semejantes.

Criterio LAL (lado-รกngulo-lado): si las longitudes de dls lados de un triรกngulo son proporcionales a las longitudes de dls lados de otro triรกngulo y los รกngulos correspondientes que forman estos lados son congruentes, entonces los triรกngulos son semejantes.

Teorema de Pitรกgoras

En un triรกngulo rectรกngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (a y b).

Teorema de Tales

Dos triรกngulos con un รกngulo comรบn y los lados opuestos a estรฉ paralelos se llaman triรกngulos en posiciรณn de Tales, en honor al matemรกtico griego Tales de Mileto.

El teorema de tales dice lo siguiente: "Toda recta paralela a un lado de un triรกngulo divide los otros lados proporcionalmente".

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Polígonos

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Polígonos Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados donde el extremo de un segmento es origen del otro.

Una figura es un polígono si cumple las siguientes condiciones: 1. Tiene 3 o más lados.

2. Los lados que tienen extremos en común no son colineales 3. Cada lado interseca a dos de los otros lados, pero solo uno de sus extremos.

Ángulos internos y externos de un polígono

Los ángulos formados por cada dos lados consecutivos de un polígono se llaman ángulos internos, y los adyacentes a ellos, ángulos externos

Diagonales de un polígono.

El segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono se llama diagonal.

Las líneas punteadas de la siguiente figura son 13

sus diagonales.

Clasificación de los polígonos

Según según su número de lados.

Nombre

Número de lados

Triángulo

3

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Heptágono

7

Octagono

8

Eneagono

9

Decágono

10

Endecagono

11

Dodecágono

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N-ágono

n lados

Clasificación de los polígonos según sus ángulos Polígono convexo: No tiene ángulos mayores de 180 y la recta con la que se prolonga cada uno de sus lados no corta ninguno de ellos.

Polígono cóncavo: Tiene al menos un ángulo mayor de 180 y la prolongación de cualquiera de sus lados corta al menos uno de ellos.

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Elementos de un polígono regular Pueden inscribirse y se circunscribe en una circunferencia. Un polígono está inscrito es una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de ella, y está circunscrito cuando sus lados son tangentes a una circunferencia.

• Centro del polígono regular: los centros de la circunferencia sen que se inscribe y se circunscribe un polígono regular coinciden.

• Radio de un polígono regular: se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono; un radio de un polígono regular es un segmento de recta que une el centro de este con cualquiera de sus vértices.

• Apotema de un polígono regular: se llama apotema de un polígono regular al segmento de recta perpendicular trazado desde el centro del polígono a cualquiera de sus lados.

• Ángulo central: se llama ángulo central de un polígono regular al ángulo que forman dos radios consecutivos.

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida se calcula con la expresión 360 n , donde n representa el número de lados.

Triangulación y propiedades de los polígonos convexos

1. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados, se designa como: Sainternos = 180(n-2)

2. Los pares de ángulos externo e interno en cada vértice son suplementarios.

3. La suma de la medida de los ángulos externos de un polígono, uno en cada vértice es 360 4. La medida de cada angulo externo de un polígono regular de n lados es igual a 360 n

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5. El número de diagonales (d) que pueden trazarse desde cada uno de los vértices de un polígono convexo de n lados es igual a n-3.

6. El número de diagonales (d) que se pueden trazar desde todos los vértices de un polígono se obtiene con la expresión: n(n-3) d= 2

Perímetro y Área de triángulos y paralelogramos.

El perímetro de una figura es la longitud de su contorno. Área de un triángulo Él área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la base y de la altura. Área = b*h 2

Área de un paralelogramo Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene paralelos sus dos pares de lados opuestos.

B

AB CD

BC AD

A

C

A= b*h

D

Propiedades de los paralelogramos En un paralelogramo: • Los lados paralelos son congruentes.

• Dos ángulos consecutivos son suplementarios.

• Dos ángulos opuestos (no consecutivos) son congruentes.

• Las diagonales se cortan en sus puntos medios. Área de un rectángulo El rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatros ángulos internos son rectos.

16 A= b*h

Área de un cuadrado.

Un cuadrado es un rectángulo equilatero, o sea, sus cuatro lados son congruentes.

A= l*l

Área de un rombo Un rombo es un paralelogramo equilatero, es decir, sus cuatro lados son congruentes y sus ángulos contiguos desiguales.

En un rombo las diagonales: • Se cortan en un punto medio.

A= D*d • Son perpendiculares entre sí.

2 • Son bisectrices.

Área de un trapecio Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un y solo un par de lados paralelos, los cuales reciben el nombre de bases del trapecio, en tanto que los no paralelos se llaman piernas. Si los lados no paralelos son congruentes, entonces se trata de un trapecio isóceles.

A= h(b+b') 2

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Circunferencia

5

La circunferencia y sus elementos Circunferencia La circunferencia es el conjunto de los puntos en un plano que equidistan a la misma distancia de un punto fijo denominado centro.

Centro

r

Radio

de El radio es cualquier segmento de recta, uno de cuyos extremos es el centro de una circunferencia y el otro es un punto cualquiera de esta.

Cuerda Es cualquier segmento de recta cuyos extremos son puntos que pertenecen a la circunferencia.

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Diámetro Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia; generalmente se simboliza con la letra d.

Medición de ángulos de la circunferencia Medida de un ángulo central Un ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro de una circunferencia. La medida de un ángulo central es igual a la medida de su arco correspondiente.

O

Medida de un ángulo inscrito Un ángulo inscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados contienen cuerdas de ésta. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Medida de un ángulo seminscrito Un ángulo seminscrito es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia, pero uno de sus lados contiene una cuerda de la circunferencia y el otro es una recta tangente a esta última. La medida de un ángulo seminscrito es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

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Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Razones trigonométricas La palabra trigonometría proviene de las raíces griegas trigon, " triángulo", y metra, "medida". Por tanto, podemos definirla como la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Seno: es la razón entre la longitud del lado opuesto y la de la hipotenusa. Se representa con el símbolo sen, de manera que: Lado opuesto Sen= hipotenusa

Coseno: es la razón entre la longitud del lado adyacente y la de la hipotenusa. Se representa con el símbolo cos, de forma que: Lado adyacente Cos= hipotenusa

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Tangente: es la razón entre la longitud del lado opuesto y la del adyacente. Se representa con el símbolo tan, o sea que: Lado opuesto Tan= Lado adyacente

Cotangente: es la razón entre la longitud del lado adyacente y la del lado opuesto. Se representa con el símbolo cot, de modo que: Lado adyacente Cot = Lado opuesto

Secante: es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del lado adyacente. Se representa con el símbolo sec, de manera que: Hipotenusa Sec = Lado adyacente

Cosecante: es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la del lado opuesto. Se representa con el símbolo csc, de modo que: Hipotenusa Csc = Lado opuesto

Si el triángulo rectángulo ABC, la literal a representa la longitud de BC, b la de AC y c la de la hipotenusa AB, entonces tenemos las razones trigonométricas siguientes respecto al ángulo A:

sen A = a c Cos A= b c

Tan A= a b

Cosec A= c a

Sec A= c b

Cot A= b a

Para el ángulo B: Sen B= b c

Cosec B= c b

Sec B= c a

Cot B= a b Cos B= a c

Tan B= b a

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Leyes de los senos y cosenos

7

Ley de los senos Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos .

Si a,b y c son las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera y A,B y C son,respectivamente,los ángulos que se oponen a dichos lados,entonces se tiene la relación que no es otra que la ley de los senos: a = b c = Sen A Sen B Sen C

Sen A = a

Sen B b

= Sen C c

Ley de los cosenos El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los otros dos lados,menos el doble del producto de la longitud de dichos lados por el coseno del ángulo que formarán .

Si a,b y c las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera y C representa la medida del ángulo comprendido entre los lados de la longitud a y b.

22

12% 17% 14% 21% 17% 19%

Estadística descriptiva

8

¿Qué es la estadística descriptiva?

La estadística fue usada por los Estados para recolectar y analizar datos relativos a la población y su riqueza.La palabra estadística proviene de la voz italiana statista,que significa estadísticas.

Definiremos la estadística como la rama de las matemáticas,cuyo objeto es ayudar a recolectar,organizar,presentar y analizar datos numéricos relativos a un conjunto de observaciones,lo que permite obtener conclusiones válidas que formarán parte del proceso de toma de desiciones.

Población:Población es el conjunto de todos los elementos de un grupo que se estudia.

Muestra:La muestra es un subconjunto de una población,el cual se selecciona por distintos métodos.

Variable y dato:Una variable es una característica de interés que presentan los elementos de una población de una muestra.

Un dato es el valor de la variable asociado a un elemento de una población o de una muestra.

Experimento:Un experimento es la actividad mediante el cual se obtiene un conjunto de datos.

Estadístico:Es un número que resume los datos recopilados de una muestra.

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Parámetro:Es un número que resume los datos recopilados de una población .

Distribución de frecuencias:Es una tabla en la que se presentan en forma estructurada todos los datos recopilados de la variable de estudio.

Se llama frecuencia absoluta ,o simplemente frecuencia,al número de veces que se repite el

.

i-èsimo termino y se representa con él símbolo f

Amplitud de clase:

La amplitud de clase,también conocida como ancho de clase,es la diferencia entre la frontera superior e inferior.

Marca de clase: La marca d clase es el valor medio del intervalo de clase y se obtiene mediante la fórmula.

M=

Límite inferior de clase + límite superior de clase 2

Distribución de frecuencias relativas

Una distribución de frecuencias relativas incluye los mismos intervalos de clase que una distribución de frecuencias,pero se utiliza las frecuencias relativas en lugar de las frecuencias reales.

Frecuencias de clases Frecuencias relativas = N

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