Por exemplo, para adicionarmos três números a, b e c, nesta ordem, temos duas possíveis associações: (a + b) + c e a + (b + c); a associatividade da adição assegura que as duas somas são iguais: (a + b) + c = a + (b + c) e, dessa maneira, fica definida a soma a + b + c. Contudo, a associatividade, sozinha, não assegura que essa soma seja igual a, por exemplo, (a + c) + b; para tanto, são necessárias a associatividade e a comutatividade da adição. A associatividade e a comutatividade da adição, juntas, garantem que: (a + b) + c = a + (b + c) = a + (c + b) = (a + c ) + b. Analogamente, podemos provar que qualquer associação dos três termos a, b e c, conduz ao mesmo resultado. Cumpre observar que a propriedade associativa para três termos implica na associatividade generalizada para quatro ou mais termos, apenas se for mantida a ordem dos termos. O que afirmamos para a operação de adição vale, analogamente, para a operação de multiplicação. Equações lineares Quando se recorre à álgebra para modelar situações na qual alguns elementos são desconhecidos surgem as equações. Na maioria das coleções, o estudo das equações inicia-se, também, no volume do 7º ano. Os conceitos básicos de incógnita e de solução (raiz) são estudados em todas as obras. Já os de conjunto-universo e conjunto-solução, por vezes, não são devidamente tratados, o que limita a discussão sobre os vários tipos de equação: com uma única solução; sem nenhuma solução; e com infinitas soluções. Com respeito à resolução de equações, nem sempre é explicitado que a solução de uma equação deve ser obtida partindo-se da equação original e seguindo-se uma sequência de equações equivalentes, que são aquelas que possuem as mesmas raízes. Como sabemos, as operações inversas da adição e da multiplicação desempenham um papel-chave na obtenção de equações equivalentes do 1º grau. Ao se buscar obter equivalência entre duas equações, recorre-se frequentemente à denominada “metáfora da balança”. A igualdade entre os dois membros de uma equação é associada ao equilíbrio entre os dois pratos de uma balança, que são ocupados por objetos de vários tipos. Obter uma equação equivalente a uma dada equação é realizar acréscimos ou retiradas de objetos nos pratos, de modo que o equilíbrio persista na balança. Uma crítica que podemos fazer a algumas obras é o excesso de recurso a esse procedimento, quando se leva em consideração o estudante visado. É necessário que se comece a trabalhar com as operações inversas diretamente na equação, para desenvolver no estudante a capacidade de abstração, uma das características mais importante do pensamento algébrico. Em algumas obras, ocorrem ainda outras limitações. De fato, modela-se uma situação por meio de uma equação algébrica, da qual se obtêm uma (ou mais de uma solução). Um procedimento relevante é verificar se a solução obtida é coerente com a situação modelada, mas nem sempre isso é feito. Outro tópico presente em todas as coleções é a resolução de sistemas de equações linea- 32 res com duas incógnitas. Os métodos de resolução dos sistemas são os usuais de substituição de variáveis e o de adição de equações, que são apresentados satisfatoriamente. Em algumas obras, as deficiências indicadas com respeito ao conjunto-universo e ao conjunto-solução são encontradas, também com respeito aos sistemas de equações. Inequações lineares As bases matemáticas para o estudo das inequações residem no conceito de relação de ordem no conjunto dos números reais e na compatibilidade dessa relação de ordem com as operações de adição e de multiplicação de reais. Em quase todas as obras, observamos que essas bases conceituais são muito pouco trabalhadas. Prevalece a abordagem em que os procedimentos de resolução das inequações são ensinados com apelo a uma sequência de regras a serem memorizadas. Sobre a relação de ordem no conjunto dos números reais, podemos observar, de início, que os números reais admitem uma única representação na reta. Para x e y números reais, podemos definir x < y, se e somente se, x está representado à esquerda de y na reta. Tal definição equivale a afirmar que y = x + z com z = y – x positivo. Com essa definição é fácil ver que a ordem é irreflexiva (é sempre falso que x < x), transitiva (x < y e y < z acarretam x < z) e total (dados x e y temos que ocorre uma das possibilidades: x < y, x = y ou y < x). Além disso, a ordem é compatível com a adição: dado z real, temos x < y, se, e somente se, x + z < y + z. É, também, compatível com a multiplicação: se 0 < z, temos x < y, se e somente se, x∙z < y∙z. Essas propriedades da compatibilidade da ordem com as operações são cruciais na resolução de inequações. De fato, a resolução de uma inequação linear precisa ser uma sequência de equivalências e não somente uma sequência de implicações diretas, que não asseguram que a condição necessária obtida é de fato também a condição suficiente para a solução. Por exemplo, a resolução da inequação 2x + 3 < 8 – x, no conjunto dos números reais, consiste na sequência de equivalências: 2x + 3 < 8 – x 3x + 3 < 8 3x < 5 x < 5/3 . Como vemos, trata-se de uma sequência em que as passagens de uma inequação para a seguinte se dão por duplas implicações. Estas nada mais são do que as duplas implicações mencionadas quando tratamos da compatibilidade da relação de ordem no conjunto dos números reais com as operações de adição e de multiplicação. Poucas obras tratam dessa questão com os cuidados necessários. Para resolver uma inequação não é incomum que se recorra a uma sequência de implicações: 2x + 3 < 8 – x 3x + 3 < 8 3x < 5 x < 5/3 . Ora, tal sequência só garante a condição necessária x < 5/3, mas não assegura que todos estes valores de x são soluções da inequação. 33

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