Número de ouro na música

Trabalho realizado pelas alunas do 11ºB: Bruna Jesus nº 2 Filipa Campos nº 5 Lara Lomba nº 12 Leonor Brito nº 13

Data de realização: Abril/ Maio 2019

Índice: 1. Introdução……………………………………………………………………………..………3 2. Número de ouro na música……………………………………………………………..…..5 2.1.

Sexta Maior…………………………………………………………………….....….5 2.2.

Violinos de Stradivari……………………………...…………………………......…5 2.3.

“Variações de Goldberg”…………………………...…………………………..…..6 2.4.

“Música para cordas, percussão e celesta”……...…………………………..…..7 2.5.

“5ª Sinfonia”……………………………………………………………………..……8 2.6.

Sonatas de Mozart…………………………………………………………………..8 3. Conclusão………………………………………………………………………………....….9 4. Bibliografia………………………………………………………………………….………..10

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1. Introdução O Número de Ouro ou Proporção Áurea é uma constante real algébrica irracional misteriosa e enigmática cujo símbolo é a letra grega ɸ (phi), em homenagem ao escultor Phideas, que a teria utilizado para construir o Parthenon. Este número pode ser obtido através da proporção ɸ=

1+√5 2

, que é igual a 1,61803398, e surge-nos numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão. Este foi o primeiro número irracional que se teve consciência de que o era.

Os primeiros registos da presença do número de ouro na civilização humana foram feitos pelos Egípcios. As Pirâmides de Gizé, situadas nos arredores de Cairo, foram construídas tendo em conta o número de ouro: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, que era 1,618 menor que a da fila seguinte e assim sucessivamente; para além disso, a razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind, documento egípcio de cerca de 1 650 a.C., refere-se também a uma “razão sagrada” que dizem ser o número de ouro.

Fig. 1- Pirâmides de Gizé, Egito.

Mais tarde, o povo grego criou o retângulo de ouro. Este retângulo é conhecido porque a razão entre o lado maior e o lado menor corresponde ao número de ouro. Ainda, se se dividir o retângulo de ouro num quadrado e num retângulo, este último vai ser semelhante ao primeiro. Os gregos deram uso à Proporção Áurea ao incluir o retângulo de ouro na construção do Pártenon uma vez que tanto o retângulo que forma a face central como o que forma a face lateral possuem as proporções do retângulo áureo.

Fig. 2- Parthenon, Grécia

Os Pitagóricos, alunos da Escola Pitagórica, construíram a estrela pentagonal com base na razão áurea. Nesta estrela, a razão entre a área do pentágono maior e a área do pentágono de menores dimensões, formado pelas diagonais do pentágono maior, é a quarta potência do número de ouro.

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Leonardo Da Vinci, apesar de não ter contribuído significativamente para a Matemåtica, teve um importante papel neste assunto. Os seus desenhos revelam a utilização do número de ouro como ideal de perfeição, beleza e harmonia. Foi Da Vinci que desenhou o famoso Homem Vitruviano, que Ê um homem em forma de uma estrela de cinco pontas, que estå relacionada com a estrela pentagonal.

Fig. 3- Estrela Pentagonal

Fig. 4- Homem Vitruviano

A sequĂŞncia de Fibonacci ĂŠ uma sucessĂŁo de nĂşmeros inteiros que começa maioritariamente por 0 e 1 e na qual cada termo corresponde Ă soma dos dois termos anteriores. Esta foi descrita por Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, enquanto estudava o crescimento de uma população de coelhos. Os nĂşmeros de Fibonacci sĂŁo os nĂşmeros que compĂľem a seguinte sequĂŞncia: 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... Esta sequĂŞncia ĂŠ definida pela seguinte fĂłrmula: đ??šđ?‘› = đ??šđ?‘› − 1 + đ??šđ?‘› − 2, considerando đ??š1 = 1.

A espiral de Fibonacci constrói-se com base nesta sequência. Esta inicia-se com dois quadrados de lado 1 a partir dos quais se vão acrescentando quadrados cujas dimensþes correspondem a cada termo da sucessão de Fibonacci. Em cada um destes quadrados Ê traçado um arco, com centro num dos vÊrtices e a fazer ligação entre os dois vÊrtices adjacentes. Repetindo este processo, obtÊm-se a famosa espiral de Fibonacci, que aparece recorrentemente na Natureza, nomeadamente nas folhas das årvores, nas pÊtalas das rosas, em frutos como o abacaxi, nas conchas dos caracóis e nas galåxias.

Fig. 5- Retângulo åureo

Fig.6- Espiral de Fibonacci

A sequĂŞncia de Fibonacci estĂĄ interligada com o nĂşmero de ouro uma vez que, Ă medida que os nĂşmeros aumentam ao longo da sucessĂŁo, o quociente entre dois termos consecutivos aproximase cada vez mais do nĂşmero de ouro.

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2. Número de ouro na música 2.1.

Sexta Maior

Sabe-se que o ser humano tem tendência a preferir tudo o que se relacione com a proporção áurea.

Um exemplo disto é o facto de o retângulo considerado esteticamente perfeito pelo Homem ter comprimentos cuja razão entre eles seja aproximadamente o número de ouro.

Fig. 7- Retângulo áureo

À semelhança da preferência pelo retângulo áureo, verifica-se também a preferência por certos intervalos musicais tais como o uníssono, a terceira maior, a sexta maior e a oitava. Ainda o número de ouro está presente na música uma vez que a razão entre as frequências das notas da sexta maior é 1.6, aproximadamente o número de ouro, tal como acontece no retângulo áureo.

Fig. 8- Razões entre frequências de vários intervalos musicais

2.2.

Violinos de Stradivari

Além disso, podemos também encontrar no violino, um instrumento musical que chama a atenção pela beleza do som que ele emite e da sua aparência, a espiral de Fibonacci na voluta (extremidade do braço). Verifica-se também a presença da proporção áurea na razão entre o comprimento do braço do violino e o comprimento total do instrumento.

Fig. 9- Voluta de violino e espiral de Fibonacci

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Alguns violinos famosos foram feitos por Antonio Stradivari, (1644-1737) que é o nome mais conhecido da luteria (arte de fabricar instrumentos musicais). Stradivari revolucionou a produção de violinos, violas e violoncelos. Um dos segredos da beleza estética dos violinos de Stradivari, é a utilização do número de ouro, que representa um elemento de equilíbrio estético. O arco plano na base é centrado no ponto da Seção Áurea, a partir da linha do centro. Desenhos originais de Stradivari, na figura abaixo, mostram que ele se preocupava em dispor geometricamente e em posições determinadas pela Razão Áurea os ouvidos ou “efes”.

Fig. 10- Esboço de Stradivari

2.3.

“Variações de Goldberg” de Bach

Bach, um compositor de reconhecido mérito do período barroco, também apresenta na sua obra, apesar de não propositadamente, a Proporção Áurea. Na obra “Variações de Goldberg” há uma clara divisão das 30 variações em duas partes, evidenciada pelo final da Variação 15 (uma escala ascendente que termina de forma inconclusiva), seguida de uma “Ouverture” na Variação 16, que se identifica como o início de uma segunda parte da obra.

Variação em música é uma técnica formal em que o material é alterado durante várias repetições.

As mudanças podem ser harmónicas, melódicas, rítmicas ou de timbre.

Como a Proporção Áurea pressupõe uma divisão assimétrica dos elementos, foca-se a análise no único elemento assimétrico, que consiste na posição das variações em modo menor (15, 21 e 25), que dividem a peça em quatro partes diferentes (1 - 15, 16 - 21, 22 - 25, 26 – 30). Todas as possibilidades foram identificadas e todas as distâncias comparadas entre si, calculando sua proporção com a divisão do valor maior pelo menor, cujo resultado se aproxima da Proporção Áurea.

Fig. 11- Divisão da obra de Bach

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Para estabelecer a proporção, não foi considerada a numeração das variações, mas sim a distância numérica entre elas. Foram comparadas, portanto, as distâncias: 30, 25, 21, 15, 10, 9, 6, 5 e 4. De 25

todas as combinações, as seguintes tiveram resultados próximos à Proporção Áurea: 15 = 1,66667; 15 10

= 1,5;

10 6

6

= 1,66667; 4 = 1,5;

15 9

9

= 1,66667; 6 = 1,5.

Fig. 12- Razão das distâncias entre variações

2.4.

“Música para cordas, percussão e celesta” de Béla Bartók

O compositor e pianista húngaro Béla Bartók provavelmente usou o Número de Ouro de forma propositada nas suas obras. Uma das obras onde isto se verifica mais claramente é a “Música para cordas, percussão e celesta” no modo de divisão da obra.

Os 89 compassos dos movimentos são divididos em duas partes, uma com 55 compassos e outra com 34 compassos, e esta divisão foi feita tendo em conta o ponto da obra de maior volume de sonoridade. Ainda, cada uma dessas partes está dividida em duas: a 1ª parte, de 55 compassos, está dividida em 34 compassos e em 21 compassos, consoante a altura em que os instrumentos de cordas removem as surdinas¹; a 2ª parte, de 34 compassos, foi dividida em 13 e 21 compassos no momento em que os instrumentos de cordas substituem as surdinas. Finalmente, os 34 compassos anteriores à remoção das surdinas são também divididos em 21 e 13 compassos, sendo que os primeiros 21 correspondem ao tema, e os últimos 21 compassos da obra estão divididos em duas partes, 13 e 8 compassos, consoante a mudança de textura da obra.

Calculando a razão entre as divisões dos compassos, é possível concluir que todos os valores são 55

aproximadamente a razão áurea: 34 = 1,618;

34 21

= 1,619;

21 13

= 1,615;

13 8

= 1,625.

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Fig. 13- Divisão da obra de Béla Bártok

1- Uma surdina é um aparelho que se encaixa num instrumento musical para alterar o som produzido, afetando o timbre e/ou diminuindo o volume do som.

2.5.

5ª Sinfonia de Beethoven

Outra obra onde é possível encontrar a Proporção Áurea é a 5ª Sinfonia de Beethoven. Esta obra é composta por 615 compassos e inicia-se com um tema de 5 compassos que se repete ao longo da obra.

Após os 5 compassos iniciais, o tema volta a ser tocado 372 compassos depois e novamente 228 compassos posteriores a esses.

Fig. 14- Divisão da obra de Beethoven

Ao dividirmos os primeiros compassos até a repetição do tema (primeiros 377 compassos da obra) pelos últimos 233 compassos, obtém-se o valor de 1,618, que se aproxima bastante do número de ouro.

2.6.

Sonatas de Mozart

Por último, Mozart, um reconhecido compositor, também deu uso ao número de ouro. Foram analisados todos os movimentos das suas sonatas e, dos 56 movimentos, 29 destes eram divididos em duas partes: “Exposição” e “Desenvolvimento e Recapitulação”. Se se dividir o número de compassos da segunda parte pelo número de compassos da primeira, dá aproximadamente o número de ouro.

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3. Conclusão Toda a pesquisa desenvolvida no âmbito da realização deste trabalho foi muito útil ao grupo tendo em conta que nos foi permitido expandir os conhecimentos em relação ao misterioso número de ouro, um assunto que era completamente desconhecido ao grupo e que, agora, conseguiu-se ter a noção da sua importância e da sua presença nas coisas mais comuns do nosso quotidiano.

Concluiu-se que a descoberta do número de ouro foi um processo ao longo da história da Humanidade, no qual intervieram as civilizações egípcia e grega e personalidades importantes tais como Leonardo Da Vinci e Leonardo de Pisa. Em relação ao tema em específico desenvolvido pelo grupo, o número de ouro encontra-se muito presente na música, destacando-se Beethoven na 5ª Sinfonia, Béla Bartók com a obra “Música para cordas, percussão e celesta” e Bach nas “Variações de Goldberg”.

O aspeto que mais cativou os elementos do grupo durante as pesquisas elaboradas em torno desta temática foi a inexplicável coincidência da tendência do ser humano para preferir o que quer que seja que esteja relacionado com a proporção áurea, como, por exemplo, a sexta maior e o retângulo de ouro. Considera-se também muito interessante o facto de se ter encontrado esta constante de forma tão aleatória, sendo que, na maior parte dos casos, a sua utilização não foi propositada.

Apesar de ter sido um trabalho muito construtivo e enriquecedor, foi também muito complicado de se encontrar explicitamente a informação que era necessária. A informação era escassa e, quando aparecia algo que era útil ao desenvolvimento do projeto, a sua descodificação era bastante trabalhosa sendo que isso prejudicou a rentabilização de tempo. Ainda, devido aos horários nem sempre compatíveis, a reunião com todos os membros do grupo foi algumas vezes impossível pelo que nem todos conseguiram ter o mesmo envolvimento no trabalho. Contudo, este aspeto acabou por se revelar insignificante visto que todos os membros contribuíram da melhor forma que conseguiram e ninguém ficou sobrecarregado de trabalho. Embora tenham surgido algumas dificuldades, conseguiu-se alcançar os parâmetros estabelecidos de modo a cumprir a planificação do trabalho.

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4.

Bibliografia

Huntley, H.E., “A Divina Proporção- Um ensaio sobre a beleza na matemática” (1985) Jank, H., “Variações de Goldberg de J.S.Bach- A Divina Proporção” (2011) https://www.infoescola.com/matematica/numero-de-ouro/ (26/04) https://bernardon.wordpress.com/2011/07/14/o-numero-phi-ou-a-proporcao-aurea-numero-de-ouronumero-aureo-ou-proporcao-de-ouro/ (26/04) http://cnat7.blogspot.com/2012/01/numero-de-ouro.html (28/04) https://www.estudofacil.com.br/numero-de-ouro-definicao-origem-representacao-e-formula/ (28/04) http://www.portal.famat.ufu.br/sites/famat.ufu.br/files/Anexos/Bookpage/Famat_revista_11_artigo_05.pdf (28/04) https://www.youtube.com/watch?v=keLN89CWZ-A&feature=youtu.be (02/05) http://matematicadenaiure.blogspot.com/2015/03/numero-de-ouro.html (07/05) https://www.todamateria.com.br/sequencia-de-fibonacci/ (07/05) https://www.estudopratico.com.br/numero-de-ouro-historico-e-aplicacoes/ (07/05)

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