74
Chivotul syncategorematelor şi Infinitul Astfel, pe o hartă sferică, pot fi şi feţe mărginite de o singură linie, sau de 2 arce de cerc, rezultă că suma ( ) din formula (6) poate începe de la n = 1, şi nu de la n = 3, ceea ce dă: 5f1+4f2+3f3 2f4 f5-f7-2f8 ... = 12 (7) Kempe a ajuns la formula: 5f1 4f2+3f3+2f4+f5-f7-2f8 ...= 0 (8) Kempe a tras concluzia că : „primii 5 termeni fiind singurii pozitivi, cel puţin unul dintre ei f1,f2, ....f5, trebuie să nu fie zero, şi, deci, „orice hartă a unui domeniu simplu conex, trebuie să aibă o regiune cu mai puţin de 6 hotare” (Florica T.Câmpan, Probleme celebre, Ed.Albatros, 1972, p.230). Concluzie: În locul unei regiuni cu 5 hotare, apare pe hartă, un vârf cu cinci muchii. Din relaţia (8), se conchide că: o hartă se poate petici, fără ca să se pună un petic pe o regiune cu mai mult de cinci hotare. Astfel, conform teoremei: sunt suficiente numai 3 cuburi, ca să se coloreze regiunile din jurul lui. După ce se scoate peticul de pe hartă, trebuie o curbare şi pentru regiunea care există acolo: aşadar, cu 4 culori, se poate colora orice hartă”. P.J .Heawood a relevat că formula (8) a lui Kempe nu e exactă şi că trebuie înlocuită cu formula (7). S-a dovedit că pentru „colorarea unei hărţi”, care conţine până la 36 de regiuni (Tetractis, n.n). Heawood a demonstrat Teorema celor 3 culori, astfel: „Condiţia necesară şi suficientă ca o hartă normală să fie colorată cu cel mult 3 culori, este ca fiecare regiune a ei să aibă un număr par de muchii.” Teorema finală a lui Heawood: „ O hartă normală în care fiecare regiune ar 3n muchii, poate fi colorată cu 4 culori.” C.E.Winn a lărgit teorema lui Heawood, astfel: „O hartă normală care conţine cel puţin o regiune cu mai mult de 6 muchii, poate fi colorată în 4 culori”. Heawood a demonstrat Teorema celor 3 culori, astfel: