Tudor GHIDEANU
PROPRIETĂŢILE GENERALE ALE PĂTRATELOR MAGICE 1. Un pătrat magic rămâne magic dacă se măreşte sau se micşorează cu acelaşi număr fiecare element al său, ceea ce este evident, pentru că dacă mărim sau micşorăm cu numărul x fiecare element al unui pătrat magic de n, atunci pe fiecare rând, pe fiecare coloană şi pe fiecare diagonală, suma magică iniţială Sm va deveni S'm= Sm+ nx, respectiv S"m= Sm- nx, deci va rămâne constantă. 2. Un pătrat magic rămâne magic dacă se înmulţeşte sau se împarte cu acelaşi număr x fiecare element al său, ceea ce este evident, pentru că dacă se înmulţeşte sau se împarte cu x fiecare element al unui pătrat magic de n, atunci pe fiecare rând, pe fiecare coloană şi pe ambele diagonale, suma magică iniţială Sm va deveni S'm= xSm, respectiv S"m= Sm/x, deci va rămâne constantă. 3. Din aliniatele 1 şi 2 de mai sus rezultă că un pătrat magic rămâne magic dacă se înlocuieşte şirul natural al primelor n2 numere (1...n2) prin orice şir de n2 numere consecutive, sau prin orice progresie aritmetică cu n2 termeni. Pentru comoditatea expunerii, vom folosi, în general, şirul natural al numerelor: l...n2. Aşadar, dintr-un pătrat magic de bază se pot confecţiona o infinitate de alte pătrate magice. 4. Dacă se adună două câte două elementele de acelaşi rang a două pătrate magice de aceeaşi mărime, se obţine un alt pătrat magic, ceea ce este evident, pentru că atunci pe fiecare rând, pe fiecare coloană şi pe ambele diagonale, suma magică a pătratului nou va fi Sm = Sm1+ Sm2, deci va rămâne constantă. Dacă cele două pătrate magice de adunat nu sunt de aceeaşi mărime, iar diferenţa n1- n2 este un număr par, atunci pătratul magic mai mic se înconjoară, cu o bordură de căsuţe, în care se pun zerouri, apoi se efectuează adunarea. Se înţelege că cele spuse în prezentul alineat cu privire la adunarea a două pătrate magice rămân valabile şi pentru cazul scăderii unui pătrat magic din alt pătrat magic. 5. Un pătrat magic rămâne magic dacă se schimbă între ele mai întâi două coloane corespondente, apoi două rânduri corespondente (sau invers: mai întâi două rânduri corespondente şi apoi două coloane corespondente), ceea ce este evident, pentru că schimbând mai întâi două şiruri (rânduri sau coloane), suma magică pe rânduri şi pe coloane rămâne neschimbată, deranjându-se
165