Sesión de aprendizaje N° 01: La recta
La Recta Introducción Histórica
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos
por
G.
Cantor,
R.
Dedekind,
K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray, cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación de análisis.
Así, Dedekind definió el número real como un corte en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación Dedekind Richard
geométrica en forma de “Línea Recta”.
Definición y características de la recta Según una página Web didáctica, WiKipedia.org, “Desde un punto de vista geométrico, el concepto de recta es sumamente difícil de construir. Puede decirse que una recta es el elemento geométrico unidimensional (su única dimensión es la longitud), el cual puede ser determinado por dos puntos del espacio, es decir, por un segmento de recta”. Además se aluden ciertas matizaciones semánticas en las cuales, la Recta: → →
Es la línea más corta entre dos puntos. Es un conjunto de puntos en el cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la mínima distancia a estos; se prolonga al infinito en ambas direcciones, en contraposición con el segmento y la semirrecta.
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→
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que tomados dos puntos cualesquiera de ella, la pendiente “m” calculada mediante la fórmula,
→
resulta siempre constante.
Es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
La Recta Ángulo de Inclinación y Pendiente de una Recta Siguiendo a Coveñas (s.f.): El ángulo de Inclinación ( ) de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando el eje X como el lado inicial. Se llama pendiente “m” de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Si se conocen las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta, tales como A( x1 ; y1 ) y B( x2 ; y2 ) pendiente (m) de la siguiente manera:
m
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, podemos calcular su
m tg
y 2 y1 x 2 x1
, es decir:
Diferencia: Ordenadas Diferencia: Abscisas
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Ecuaciones de la Recta A continuación se presentan las diversas ecuaciones de la Recta: Forma Punto – Pendiente; de los Dos Puntos; Pendiente y Ordenada al Origen; de las Coordenadas al Origen y su Forma General, cada una de ellas con
sus
respectivas demostraciones.
Forma Punto – Pendiente De acuerdo a Figueroa (2002), la ecuación de una recta no vertical L
que pasa por el punto fijo P1 x1 , y1 y de pendiente dada “m”, es:
Demostración: 1.- Sea
P x , y
punto fijo P1 x1 , y1.
un punto cualquiera del lugar geométrico diferente del
2.- Por definición de recta, para cualquier posición de P, se debe verificar que:
m
y y1 x x1
3.- De donde obtenemos:
y y1 mx x1
Forma de los Dos Puntos La Recta que pasa por dos puntos fijos P1
x1, y1 y P2 x2 , y2 tiene
por ecuación: (Figueroa; 2002)
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y y1 y2 y1 , x x1 x2 x1
x1 x2
Demostración. En efecto:
P x , y
1. Sea y
P2
2. Si
Y si
un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de P1
m1 mP1P2
m1
y y1 x x1
m2 mP1P2
m2
y2 y1 x2 x1
P , P1 y P2
3. Como
son colindantes, entonces
m1 m2 , esto es:
y y1 y2 y1 , x1 x2 x x1 x2 x1
Forma Pendiente y Ordenada al Origen La Recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por ecuación:
Demostración: 1. Sea
P x , y
un punto cualquiera del lugar geométrico y sea (0, b) otro
punto del lugar geométrico situado en el eje Y.
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2.- Por el teorema de la forma punto pendiente, la ecuación de la recta es:
y b mx 0 3.- De donde obtenemos:
:
(Figueroa; 2002)
Forma de las Coordenadas al Origen Esta forma de la ecuación de una recta, llamada también simétrica, es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual los puntos son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.
La Recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son
a0
y
,b 0 respectivamente, tiene por ecuación:
x y 1 a b Demostración: Efectivamente:
1. Sea
P x , y
un punto cualquiera del lugar geométrico y sean (a, 0) y
(0, b) los interceptos del lugar geométrico con los ejes X y Y respectivamente.
2. Por el Teorema en la Ecuación de la Forma de los dos Puntos, la ecuación del lugar geométrico es:
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y 0 0b xa a0
ay bx ab
3. De donde obtenemos:
x y 1 a b
:
(Figueroa; 2002)
Forma General Cualquier ecuación de primer grado en X e Y se puede escribir de la forma:
Ax By C 0 En donde A, B y C son constantes arbitrarias, con Ay B no nulas simultáneamente.
CASOS Caso 01: Si
A 0, B 0
y
C0
, la ecuación general se puede escribir de la
forma:
y
A C x B B
Comparando con la ecuación Geometría Analítica
, se deduce que: Página 6
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m
A B
Y
b
C A
Caso 02: Si
A 0, B 0
C 0
y
y
A x B
, la ecuación general toma la forma:
O
y mx
Se dice entonces que la recta pasa por el origen de coordenadas.
Caso 03:
A 0, B 0
x
y
C A
C0
O
, la ecuación general toma la forma:
xa
Se dice entonces que la recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y.
Caso 04: Si
A 0, B 0
y
C B
y C 0 , la ecuación general toma la forma: O
y b
Se dice entonces que la recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje Y.
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Posiciones Relativas de Dos Rectas
Dadas las ecuaciones de Dos Rectas
L1
:
A1 x B1 y C1 0
L2
:
A2 x B2 y C2 0
Las Relaciones siguientes son condiciones necesarias suficientes para:
→ Paralelismo:
A1 B1 A2 B2
A1B2 A2 B1 0
O sea,
→ Perpendicularidad:
A1 A2 B1B2 0
→ Coincidencia:
A1 KA2
,
B1 KB2
,
C1 KC2
,
K 0
→ Intersección en uno y solamente un punto:
A1 B1 A2 B2 (Lehmann; 2002)
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Distancia de un Punto a una Recta
A continuación se presenta la Demostración de la fórmula que determina la distancia de un punto a una recta, gracias a la contribución de Peterson (1998):
L1
1° Hallamos “m”, de
ax by c 0 y
ax c b b
m1
Entonces: 2°
a b
L1 L'
m1 .m ' 1 m'
b a
3° Hallamos la Ecuación:
y y1 m( x x1 ) y y1
b ( x x1 ) a
a( y y1 ) bx bx1 ay ay1 bx bx1
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4° Formamos un Sistema
a
b
b
a
a 2 b 2 ( a 2 b 2 )
ay ay1 bx bx1 ax by c 0 ax by c 0 ax ay bx1 ay1 ax by c bx ay bx1 ay1
x
c
b
bx1 ay1
a
ca (b 2 x1 aby1 )
b 2 x1 aby1 ac (b 2 x1 aby ac)
y
a
c
b bx1 ay1
a (bx1 ay1 ) bc
a 2 y1 abx1 bc (a 2 y1 abx1 bc)
x
x
(b 2 x1 aby1 ac) (b 2 x1 aby1 ac) (a 2 b 2 ) (a 2 b 2 )
y
y
(a 2 x1 aby1 bc) (a 2 x1 aby1 bc) (a 2 b 2 ) a2 b2
pero : d 2 d 2 (Q, Q ´ ) ( X X 1 ) 2 (Y Y1 ) 2
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Entonces:
b 2 x aby1 ac x x1 x1 2 2 a b 2 b x1 abx1 ac a 2 x1 b 2 x1 a2 b2 a (ax1 by1 c) a2 b2 a 2 y1 abx1 bc y y1 y1 a2 b2 a 2 y1 abx1 bc a 2 y1 b 2 y1 a2 b2 b(ax1 by1 c) a2 b2 Por tanto:
a 2 (ax1 by1 c) 2 ( x x1 ) (a 2 b 2 ) 2 2
b 2 (ax1 by1 c) 2 (a 2 b 2 ) 2
(ax1 by1 c) 2 2 ( x x1 ) ( y y1 ) .( a b 2 ) 2 2 2 2 (a b ) 2
2
ax by c ( x x1 ) ( y y1 ) 1 2 1 2 a b 2
d
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2
2
ax1 by1 c a 2 b2 Página 11