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LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS


Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x

mQRS m∠PQS = 2

Se traza la cuerda SQ

Q 70º+x

50°

2X

P

Reemplazando:

m∠PQS =

140º +2x = 70º + x 2

En el triángulo PQS:

R X

X + (X+70) + 50°= 180° Resolviendo la ecuación:

S

140° X = 30°


Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m∠ ∠HRS=20º; calcule la m∠ ∠QPR. RESOLUCIÓN PSQ = x

En el triángulo rectángulo RHS m ∠ S = 70º Por ángulo inscrito

Q

70º = S

70°

140° 20°

R

X

mQR 2

mQR = 140°

Es propiedad, que: P

140°+ X = 180°

Resolviendo:

X = 40°


Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior

APD = x A

130° + mBC = 90° 2

B 130°

50° D

C

mBC = 50°

Medida del ángulo exterior

x

P

130° − 50° X= 2 Resolviendo:

X = 40°


Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠ ∠APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM

54° A

Luego triángulo PMO es isósceles

M

o

x

x B

Ángulo central igual al arco x

P Medida del ángulo exterior

54° − X X= 2 Resolviendo:

X = 18°


Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m∠ ∠PRQ. RESOLUCIÓN B

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70°+ mPQ = 180°

70° 110°

Medida del ángulo inscrito:

Q

P

X= x A

R

mPQ = 110°

C

110° 2

Resolviendo:

X = 55°


Problema Nº 06

Calcule la medida del ángulo “X”.

A

70°

X

B

P

Resolución


RESOLUCIÓN

C

A

70°

140º

X

P

B Medida del ángulo inscrito: 70 º =

mAB 2

mAB=140º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

140º + x = 180º

Resolviendo:

X = 40º


Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”

A

130º

B

X

Resolución

P


A

260º

130º

RESOLUCIÓN

C

X

P

B mAB Medida del ángulo inscrito: 130 º = 2

mAB = 260º

En la circunferencia: 260º + mACB = 360º

mACB = 100º

Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º formado por dos tangentes:

X = 80º


Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.

B

2

A

C 5

5 Resolución


RESOLUCIÓN B

a

2

b

A 5

5

C

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)

(2p) = 14 + 10

(1) (2) (2p) = 24


Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m∠ ∠QPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º

X

P

R S a

Resolución


RESOLUCIÓN Q a 80º

P

X

R En la circunferencia: S a

2a + 80º = 360º a = 140º

Medida del ángulo exterior:

a − 80º 140º −80º X= = 2 2

X = 30º


Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m∠ ∠Q = m∠ ∠S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3

R

P 2

Resolución S


Q

RESOLUCIÓN Dato:

a

b

3

a + b + c + d = 22cm

R

P 2

d

Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) PSR  c + d = PR+2(2)

c S

+

a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10

PR = 6cm


Problemas de la circunferencia