Progressões Aritméticas e Geometricas

Progressões Aritméticas e Geometricas Teoria e Exercícios

Paulo Henrique (Governador) Laudelino Gomes Ferreira

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First printing, March 2013

Sumário

I

Teoria e Exercícios

1

Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1

Definição e exemplos

8

1.2

Classificação das progressões aritméticas

8

1.3

Termo geral

8

1.4

Representações especiais

12

1.5

Propriedades de uma progressão aritmética

13

1.6

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

14

1.7

Progressões aritméticas de segunda ordem

17

1.7.1

Termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem . . . . . . . . . . . 18

1.8

Exercícios Propostos

2

Progressões Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1

Definição e exemplos

23

2.2

Termo geral

23

2.3

Produto

25

2.4

Propriedades

26

2.5

Soma dos termos de uma progressão geométrica

27

2.6

Representações especiais

29

2.7

Soma dos Termos de uma progressão geomé-trica infinita

30

2.8

Exercícios propostos

33

20

Resolução dos Exercícios

II 3

Resolução dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1

Progressões aritméticas

41

3.2

Progressões geométricas

49

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Articles

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67

I

Teoria e Exercícios

1

Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Definição e exemplos Classificação das progressões aritméticas Termo geral Representações especiais Propriedades de uma progressão aritmética Soma dos termos de uma progressão aritmética finita Progressões aritméticas de segunda ordem Exercícios Propostos

2

Progressões Geométricas . . . . . . . . . . . . 23

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Definição e exemplos Termo geral Produto Propriedades Soma dos termos de uma progressão geométrica Representações especiais Soma dos Termos de uma progressão geomé-trica infinita Exercícios propostos

2.8

1. Progressões aritméticas

Neste capítulo damos início ao estudo das progressões aritméticas (que são comumente chamadas de PA). Começamos analisando o seguinte problema: Problema 1.1 — (ENEM/2011). O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

Primeiro organizaremos as informações em uma tabela.

Mês Janeiro Fevereiro Março

Passagens vendidas 33000 34500 36000

Note que existe um padrão no número de passagens vendidas em cada mês. Por exemplo, a quantidade de passagens vendidas em fevereiro é igual ao número de passagem vendidas em janeiro somado a 1500, ou seja, 34500 = 33000 + 1500 = 34500,

o mesmo ocorre com a quantidade de passagens vendidas em março, 36000 = 34500 + 1500 = 36000,

logo, mantendo-se esse padrão, a quantidade de passagens vendida em um mês qualquer ( a partir de janeiro) será igual a quantidade de passagens vendidas no mês anterior somada a 1500 passagens.

Capítulo 1. Progressões aritméticas

8

Logo, analisando a partir de janeiro, temos 6 meses até chegarmos em julho, ou seja, a quantidade de passagens vendidas em julho será de : 33000 + 6 · 1500 = 42000 passagens.

1.1

Definição e exemplos O Problema 1.1 nos motiva a apresentar a seguinte definição para progressão aritmética.

Definição 1.1.1 Chamamos de progressão aritmética(PA) qualquer sequência onde cada termo,

a partir do segundo, é igual a soma do termo anterior com uma constante r, denominada razão da progressão an = an−1 + r, n > 1 (1.1) São exemplos de progressões aritméticas: (a) A sequência (3; 5; 7; 9; 11) é uma progressão aritmética, pois a partir do segundo termo um termo qualquer é igual a soma do termo anterior mais 2. (b) A sequência (20; 17; 14; . . . ; 5; 2; −1) é uma progressão aritmética,pois a partir do segundo termo um termo qualquer é igual a soma do termo anterior mais −3. (c) A sequência (3; 3; 3) é uma progressão aritmética,pois a partir do segundo termo um termo qualquer é igual a soma do termo anterior mais 0. Esta PA é chamada de constante. (d) considere a progressão aritmética finita dada por :

a1 = 4 an = an−1 − 2

A razão dessa PA é r = −2 e seus primeiros termos estão representados abaixo: (4; 2; 0; −2; −4, −6 . . .).

1.2

Classificação das progressões aritméticas (a) Quanto ao número de termos • finitas, se possuem um número finito de termos. Por exemplo, a PA (1; 3; 5; 7) é finita.

• infintas, se possuem um número infinito de termos. Por exemplo, a PA (2; 4; 6; . . .) é infinita. (b) As progressões aritméticas formadas só por números reais podem ser: • crescentes, se cada termo an é maior que o seu antecedente an−1 .

• estacionária(constante), se cada termo an é igual ao seu antecedente an−1 .

• decrescentes, se cada termo an é menor que o seu antecedente an−1 .

1.3

Termo geral Nesta seção apresentamos uma expressão que nos possibilite calcular o n-ésimo termo de uma progressão aritmética conhecendo-se o primeiro termo a1 e a razão r.

Teorema 1.3.1 Se {an } é uma progressão aritmética de razão r, então o termo de ordem n, an , é

dado por: an = a1 + (n − 1)r

(1.2)

1.3 Termo geral

11

Exemplo 1.4 — IFRN. A sequência (A1 , A2 , A3 , . . . , An , . . .) é uma progressão aritmética de termos

positivos com razão r não nula.

Se o somatório S é dado por n 1 √ S=∑√ i=1 Ai + Ai+1

então S é representado pela expressão n2 √ (a) √ A1 + An+1 n √ (b) √ A1 + An+1 n−1 √ (c) √ A1 + An+1 n+1 √ (d) √ A1 + An+1 Primeiro expandiremos o somatório, 1 1 1 √ +√ √ +···+ √ √ S= √ An + An+1 A1 + A2 A2 + A3

(1.3)

agora, racionalizando uma das parcelas, temos 1 √ √ An+1 + An

= =

√ √ 1 A − A √ · √ n+1 √ n √ An+1 + An An+1 − An √ √ An+1 − An An+1 − An

Assim, substituindo em (1.3), tem-se √ √ √ √ √ √ A2 − A1 A3 − A2 An+1 − An S= + +···+ (1.4) A2 − A1 A3 − A2 An+1 − An e, como a sequência é progressão aritmética, temos que An+1 − An = r (razão da progressão ). Logo, substituindo em (1.4), temos √ √ An+1 − A1 S= (1.5) r Usaremos o termo geral para calcularmos a razão r. Logo, An+1 = A1 + nr, ou seja, An+1 − A1 (1.6) n √ √ √ √ note que An+1 − A1 = ( An+1 − A1 ) · ( An+1 + A1 ). Logo, substituindo (1.6) em (1.5), tem-se r=

√ √ An+1 − A1 S = An+1 − A1 n p p n = ( An+1 − A1 ) · (An+1 − A1 ) p p n √ √ √ = ( An+1 − A1 ) · √ ( An+1 − A1 ) · ( An+1 + A1 ) n √ Portanto, S = √ . ( An+1 + A1 )

2. Progressões Geométricas

Problema 2.1 kkkk

2.1

Definição e exemplos Definição 2.1.1 Uma progressão geométrica de razão q, é uma sequência tal que:

an = an−1 · q

2.2

(2.1)

(a) Na sequência (2, 4, 8, 16, 32) observamos que cada termo, a partir do segundo, é igual o termo anterior multiplicado por 2. Portanto, é uma progressão geométrica de primeiro termo igual a a1 = 2 e razão q = 2. (b) Na sequência (18, 6, 2, 2/3, 2/9) observamos que cada termo, a partir do segundo, é igual o termo anterior multiplicado por 1/3. Portanto, é uma progressão geométrica de primeiro termo igual a a1 = 18 e razão q = 1/3.

Exemplo 2.1

Termo geral Nesta seção apresentamos uma expressão que nos possibilite calcular o n-ésimo termo de uma progressão geométrica conhecendo-se o primeiro termo a1 e a razão q.

Teorema 2.2.1 Se (an ) é uma progressão geométrica de razão q, então o termo de ordem n, an ,

é dado por an = a1 · qn−1

(2.2)

Demonstração. Sejam a1 , a2 , . . . , an−1 , an os termos de uma progressão geométrica de razão q. Daí,

Capítulo 2. Progressões Geométricas

32

Exemplo 2.12 — IME. Dada um circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir,

inscreve-se uma circunferência nesse quadrado. Esse processo se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.

Observe a figura abaixo:

note que a soma das áreas hachurada é o que se pede. Seja A1 , A2 , . . . , An , . . . as áreas de cada n

uma das regiões e seja Sn = ∑ Ai a soma das áreas delimitadas. i=1

Figura 2.1: Área A1

Figura 2.2: Área A1 + A2

Note que cada área delimitada é a diferença entre a área do círculo e área do quadrado inscrito. Sejam Ai = Ci − Qi , i = 1, 2, . . ., onde Ci , Qi são as áreas dos círculos e dos quadrados, respectivamente.

Calculemos A1 . A área do círculo é C1 = R2 π, para área do quadrado apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo (ver Figura 2.1), √ (2R)2 = l12 + l12 ⇒ l1 = R 2 √ ou seja, Q1 = (R 2)2 ⇒ Q1 = 2R2 . Logo, A1 = R2 π − 2R2 ⇒ A1 = R2 (π − 2).

3.2 Progressões geométricas

3.2

49

Progressões geométricas 1. (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. calcule a razão da progressão. (a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 9 Solução: Seja a PG (a1 , a1 q, a1 q2 , a1 q3 ), pelo enunciado a1 + a1 q = 1

(3.2)

a1 q2 + a1 q3 = 9

(3.3)

e dividindo (3.3) por (3.2), temos a1 q2 + a1 q3 9 = a1 + a1 q 1 ou seja, a1 q2 (1 + q) =9 a1 (1 + q) isto é, q2 = 9 √ assim, q = ± 9 = ±3, como a PG tem os quatro termos positivos, a razão é positiva, daí q = 3.

2. (Ufjf) Os comprimentos das circunferências de uma sequência de círculos concêntricos formam uma progressão geométrica de razão 3. As áreas desses círculos formam uma: (a) progressão geométrica de razão 9 (b) progressão aritmética de razão 1/3 (c) progressão geométrica de razão 1/3 (d) progressão aritmética de razão 9 (e) progressão geométrica de razão 1/9 Solução: Sejam C1 , C2 , C3 , . . ., Cn círculos concêntricos de raios r1 , r2 , . . ., rn e áreas A1 , A2 , A3 , . . ., An , respectivamente. Pelo enunciado (2πr1 , 2πr2 , 2πr3 , . . . , 2πrn ) forma uma P.G de razão 3. Tomamos dois termos quaisquer consecutivos desta P.G, temos 2πrn =3 ∀n>1 2πrn−1 isto é

rn rn−1

=3

elevando-se ao quadrado em ambos os membros, temos

rn

2

rn−1

= 32

donde, rn2 2 rn−1

=9

Capítulo 3. Resolução dos Exercícios

50 ou equivalentemente,

πrn2 =9 2 πrn−1 assim, An = 9 ⇐⇒ An = 9 · An−1 ∀ n > 1 An−1 Com isso a razão entre duas áreas consecutivas é constante. Portanto as áreas desses círculos formam uma progressão geométrica de razão 9.

3. Os lados de um triângulo retângulo apresentam medidas em PG. Calcular a razão da PG. Solução: Sejam x, y e z os lados do triângulo retângulo de hipotenusa z e q a razão pra PG. Como estes números estão em Progressão Geométrica, temos que y = x · q e z = x · q2 . Pelo teorema de Pitágoras z2 = x 2 + y2 substituindo os valores conhecidos, temos (xq2 )2 = x2 + (xq)2 ou seja, x2 q4 = x2 + x2 q2 dividindo toda equação por x2 , temos q4 − q2 − 1 = 0 façamos a mudança de variável q2 = w , daí w2 − w − 1 = 0 ou seja, w=

1±

p (−1)2 − 4 · 1 · (−1) 2·1

isto é

√ 1± 5 w= 2 Note que w é positivo e portanto descartamos a raiz negativa. Assim, √ 1+ 5 w= 2 como q2 = w, temos s q=±

como q > 0, concluímos que s q=

√ 1+ 5 2

√ 1+ 5 2

4. (MARCK) O terceiro termo √ de uma progressão geométrica de termos positivos é que o√ sétimo termo é 16 2, a razão da progressão é? (a) 2 (b) 2

√ 2. Sabe-se

3.2 Progressões geométricas

51

1 2 1 (d) 2 (e) Nenhuma das respostas acima. √ √ Solução: Sabemos que a3 = 2 e a7 = 16 2. Vamos denotar por q a razão da PG, escrevendo o sétimo termo em função do terceiro, temos (c)

a7 = a3 · q4 Substituindo os valores já conhecidos, obtemos √ √ √ √ 4 16 2 = 2 · q4 ⇐⇒ q = ± 16 ⇐⇒ q = ± 2 Como, os termos da PG são positivos, sua razão também o é. Logo, q = 2.

5. (Ufrn) Um fazendeiro dividiu 30km2 de suas terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão geométrica, de acordo com a idade, tendo recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2km2 de área. O filho que tem idade imediatamente superior á do mais novo recebeu um terreno de área igual a: (a) 10 km2 (b) 8 km2 (c) 4 km2 (d) 6zkm2 Solução: Sejam x, y, z e w nesta ordem a quantidade do terreno em km2 que cada filho (do mais moço ao mais velho) irá receber, como estão em P.G, temos (x, xq, xq2 , xq3 ) onde q > 0 a razão. Sabemos que o fazendeiro irá dividir um total de 30 km2 para os filhos e que o mais novo recebeu um terreno com 2 km2 . Com estas informações, temos a equação 2 + 2q + 2q2 + 2q3 = 30 dividindo toda equação por 2, obtemos a equação q3 + q2 + q − 14 = 0 resolvendo esta equação obtemos q = 2, e as outras raízes são complexas ao qual não servem, logo a razão é 2. Como precisamos determinar o quanto o filho que tem idade imediatamente superior ao mais novo recebeu de terreno, temos, y = 2q = 2 · 2 = 4 km2 .

6. (Ufrrj) A Sequência (x, 6, y, z, 162) é uma progressão geométrica. É correto afirmar que o produto de x por z vale: (a) 36 (b) 72 (c) 108 (d) 144 (e) 180 Solução: Seja q > 0 a razão da P.G. Pelo enunciado temos que r 162 3 162 3 3 162 = 6 · q =⇒ q = =⇒ q = =⇒ q = 3 6 6 6 com isso, x = , donde x = 2. Daí q x · z = x · (x · q3 ) =⇒ x · z = x2 · q3 =⇒ x · z = 22 · 33 = 108 Portanto x · z = 108.

Capítulo 3. Resolução dos Exercícios

52

7. (UDESC) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: (a) 9◦ dia. (b) 10◦ dia. (c) 8◦ dia. (d) 5◦ dia. (e) 6◦ dia.

Solução: Temos que a contaminação a cada dia é 1, 2, 4, . . . , 512. Veja que esta sequência constitui uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo igual a 1. Considere n o número de dias em que a turma estará contaminada. Pela fórmula do termo geral, an = a1 · qn−1 =⇒ 512 = 1 · 2n−1 =⇒ 2n−1 = 29 =⇒ n − 1 = 9 de n − 1 = 9, temos n = 10. Isto significa que no décimo dia, todos estariam contaminados.

8. (Ufba) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro.Qual o quinto termo da progressão?

Solução: Sejam a1 , a3 , a4 e a5 respectivamente o primeiro, terceiro, quarto e quinto termo da progressão geométrica de razão q. Pelo enunciado a4 = 20% · a3 =⇒ a1 · q3 = 20% · a1 · q2 =⇒ q = 20% = 0, 2 daí a5 = a1 · q4 =⇒ a5 = 7500 · (0, 2)4 =⇒ a5 = 12 Logo, a5 = 12 9. (IME) Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica 2 de razão √ 2. Sua área total é de 28 cm . Calcule o valor da diagonal do referido prisma. (a) √17 cm (b) √19 cm (c) √ 21 cm (d) √ 2 7 cm (e) 29 cm Solução: Sejam a, b e c as arestas e EC a diagonal do prisma (paralelepípedo), como mostrado na figura

Figura 3.1: Prisma Como a, b e c, forma uma P.G de razão 2, temos b = 2a, c = 4a. Vamos denotar por At a área toral do prisma. Temos da geometria que At = 2 · (ab + ac + bc)

3.2 Progressões geométricas

53

substituindo os valores conhecidos, tem-se 28 = 2 · (a(2a) + a(4a) + (2a)(4a)) ou seja, 28 = 2 · (2a2 + 4a2 + 8a2 ) ⇐⇒ 28a2 = 28 ⇐⇒ a = ±1 como a > 0, temos então que a = 1. De a = 1, temos b = 2 e c = 4. Daí, p p √ EC = a2 + b2 + c2 ⇐⇒ EC = 12 + 22 + 42 ⇐⇒ EC = 21. √ Portanto a diagonal do prisma é EC = 21 cm .

10. Obter um P.G de quatro elementos em que a soma dos dois primeiro é 12 e a soma dos três últimos é 300.

Solução: Seja a P.G (a, aq, aq2 , aq3 ), pelo enunciado, a + aq = 12

(3.4)

aq2 + aq3 = 300

(3.5)

e

dividindo a equação (3.5) por (3.4), ordenadamente, obtemos aq2 (1 + q) 300 = a(1 + q) 12 ou seja,

√ q2 = 25 =⇒ q = ± 25 =⇒ q = ±5

note que q > 0, assim q = −5, não serve. Substituindo q = 5 em (3.4), obtemos a + 5a = 12 =⇒ 6a = 12 =⇒ a = 2 Portanto, os quatro números são (2, 10, 50, 250).

11. Provar que se x, y e z estão em P.G. nesta ordem, então vale a relação (x + y + z)(x − y + z) = x2 + y2 + z2 .

De fato, sendo q a razão da P.G, temos que y = x · q, z = x · q2 . Daí (x + y + z)(x − y + z) = (x + x · q + x · q2 )(x − x · q + x · q2 ) = x · x · x(1 + q + q2 )(1 − q + q2 ) = x2 ((1 + q2 )2 − q2 ) = x2 (1 + 2q2 + q4 − q2 ) = x2 + 2x2 q2 + x2 q4 − x2 q2 ) = x2 + (xq)2 + (xq)2 q2 mas, xq = y, daí (x + y + z)(x − y + z) = x2 + y2 + y2 q2 ou seja, (x + y + z)(x − y + z) = x2 + y2 + (yq)2 observe que, yq = z, logo (x + y + z)(x − y + z) = x2 + y2 + z2 .