Programmering i Python – vurderingseksemplar

TIL

Knut Skrindo Øystein Johannes Weider

VU

PROGRAMMERING

RD

I PYTHON ALGORITMER OG KODE

G

IN

ER

2

TIL

G

IN ER

RD VU

Knut Skrindo

TIL

Øystein Johannes Weider

VU

PROGRAMMERING

I PYTHON

RD

ALGORITMER OG KODE

G

IN

ER

TIL VU

© Lærebokforlaget DA, 2023 1. utgave, 1. opplag

RD

ISBN 978-82-693330-0-8

Grafisk produksjon: Bokstav og Bilde AS, Drammen Trykket i Latvia på miljøvennlig papir.

ER

Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Omslagsdesign: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Omslagsfoto: Glitch Lab App, Unsplash Sats og layout: Knut Skrindo og Øystein Weider Konsulenter: Harald Weider, Mathea Swensson og Maria Skrindo Figurer: Knut Skrindo, Øystein Weider og Python (www.python.org)

IN

Bildekrediteringer: Side 6 Monica Willard / Unsplash, 14 Scott Broome / Unsplash, 16 / Khoi Do Unsplash, 20 Luca Bravo / Unsplash, 36 Nick Hillier / Unsplash, 44 Randall Ruiz / Unsplash, 84 Mathew Schwartz / Unsplash, 93 Unsplash+, 104 Kier in Sight Archives / Unsplash, 116 Michael Dziedzic / Unsplash, 123 Sergio Medina / Unsplash, 139 Jason Leung / Unsplash, 182 Robert Stump / Unsplash, 190 Rene Böhmer / Unsplash Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er kun tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Lærebokforlaget DA.

Henvendelser om boka kan rettes til: Lærebokforlaget DA post@larebokforlaget.no www.lærebokforlaget.no

G

Forfatterne har mottatt støtte fra Norsk faglitterær forfatter- og oversetterforening.

TIL

Forord

Programmering i Python – algoritmer og kode er en helt nyskrevet lærebok i programmering for ungdomsskole og videregående skole.

I læreplanen Kunnskapsløftet 2020 ble programmering innført som en obligatorisk del av undervisningen i matematikk. Den nye eksamensordningen har vist at elevene også blir testet i programmering på eksamen i matematikk.

VU

Elever i ungdomsskole og i videregående skole trenger grundig opplæring i programmering i Python. Elevene trenger å kjenne noen sentrale algoritmer og å se hva de kan brukes til. I tillegg trenger de oppgaver de kan øve på. Programmering i Python – algoritmer og kode møter dette behovet.

ER

RD

Boka består av tre deler: Første del gir en innføring i grunnleggende programmering. Boka trekker linjer til tidligere erfaringer elevene har med flytskjemaer og med programmering i Scratch. Gjennom strukturerte eksempler og varierte oppgaver får elevene et godt grunnlag for videre programmering. Bokas andre del omhandler sentrale algoritmer og teknikker i programmering. Flere av algoritmene introduseres gjennom fysiske aktiviteter elevene kan gjøre i klasserommet. Algoritmene er beskrevet uten krav til høyere matematisk nivå, slik at de passer godt for både ungdomsskole og videregående skole. Tredje del inneholder anvendelser og er hentet fra ulike deler av læreplanen. Her finner du blant annet tallteori, modellering og funksjonslære, økonomi og simulering av stokastiske forsøk. De fleste temaene egner seg for både ungdomsskole og videregående skole.

Boka er utstyrt med kodeforslag til alle oppgavene i boka.

IN

På bokas eget nettsted www.lærebokforlaget.no finner du filmer med gjennomgang av alle eksempler og utvalgte oppgaver i boka.

Vi håper boka inspirerer lærere og elever til å løfte programmeringen i norske klasserom til nye høyder.

Knut Skrindo og Øystein Johannes Weider

G

Oslo og Jessheim, september 2023

TIL

Innhold 6 8 10 21 24 31 46 51 57 64 73 79 83

G

IN

ER

RD

VU

KAPITTEL 1 Vi programmerer i Python. . . . . . . . . . . . . .

1.1 Kom i gang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Tall, regning og variabler . . . . . . . . . .

1.3 Input. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Vilkår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Løkker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Turtle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Lister. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9 Anvendelser i tallteori . . . . . . . . . . . . .

1.10 Tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.11 Feilmeldinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.12 Ekstra biblioteker . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TIL

ER

RD

VU

KAPITTEL 2 Algoritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.1 Løpe gjennom lister . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 if-tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3 Største verdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4 Kombinasjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5 Sjekk alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.6 Sortering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.7 Søk med halvering. . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.8 Strengoperasjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.9 Større algoritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

G

IN

KAPITTEL 3 Vi bruker programmeringen . . . . . . . . . . . 116 3.1 Rekursive mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2 Grafisk framstilling. . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.3 Data fra eksterne kilder. . . . . . . . . . . . 136 3.4 Funksjoner i bruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.5 Økonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.6 Simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

TIL

G

IN

ER

RD

VU

Vi programmerer i Python

TIL

[1]

VU

G

IN

ER

RD

Å programmere betyr å skrive instruksjoner til en PC om hva som skal skje. Dette likner litt på å lage en matoppskrift. Du skriver alle instruksjoner som skal til for at en annen person skal kunne lage den samme retten.

Vi skriver instruksjonene i Python og sier vi programmerer.

8

KAPITTEL 1

1.1 Kom i gang

TIL

Programmeringsspråk Blokkbaserte: Scratch, Blockly Tekstbaserte: Python, Javascript, C++, PHP, Swift, Ruby, Go

Vi mennesker snakker mange forskjellige språk. På samme måte finnes det en rekke ulike språk vi kan programmere i. I denne boka programmerer vi i Python.

VU

Når du skriver en tekst, tegner en graf eller redigerer et bilde på PC-en, bruker du ulike programmer, for eksempel Word, GeoGebra, Paint og andre. Tilsvarende kan vi skrive Python-kode i flere programmer eller miljøer, for eksempel Spyder eller Thonny. Selve Python-koden er den samme uansett hvor vi skriver den, men de ulike programmeringsmiljøene har litt forskjellige fordeler og ulemper.

De vanligste programmeringsmiljøene

Konsollen

G

Et dokumentfokusert programmeringsmiljø: Jupyter Notebook

IN

Et nettbasert program: Replit, Trinket, Programiz og andre

Tekstvinduet

ER

Et eget program: Spyder, Thonny, Mu, PyCharm, Pythonista, Pyto og andre

RD

Et programmeringsmiljø består av to deler – et tekstvindu, hvor du skriver selve Python-koden, og et vindu, der resultatet fra programmet kommer. Dette vinduet kalles konsollen. Hvordan dette ser ut varierer fra program til program. Nedenfor ser du standardvinduet til Spyder:

I Spyder er tekstvinduet til venstre og konsollen nederst til høyre. Øverst til høyre kan du velge mellom faner, deriblant en oversikt over variablene. I Thonny er tekstvinduet øverst og konsollen nederst. Til høyre kan du for eksempel velge å vise en oversikt over variablene.

Kom i gang

9

TIL Tekstvinduet

VU

Konsollen

Konsollen

In [1]: 3 + 4 Out[1]: 7

RD

Vi kan regne i konsollen på samme måte som vi gjør på en kalkulator. Vi regner ut 3 + 4 ved å skrive det inn i konsollen og trykker på enter:

Ditt første program I tekstvinduet skriver vi:

IN

1 print('Programmering er gøy!')

ER

Vi får at 3 + 4 = 7. Når vi skriver lang kode, er det imidlertid mer praktisk å skrive i tekstvinduet. Når vi ønsker å vise et resultat, sender vi det til konsollen med kommandoen print(<det du skal printe>).

Heretter programmerer vi derfor mest i tekstvinduet.

Deretter trykker vi på knappen merket med «Run file» / «Run current script» eller liknende. Ofte er det et grønt symbol som likner på en Playknapp: . Da kommer følgende tekst opp i konsollen:

Gratulerer, du har nå skrevet ditt første program i Python! Programmet er på bare én linje og inneholder kun kommandoen print, sammen med teksten som skal vises.

G

Programmering er gøy!

10

KAPITTEL 1

TIL

1.2 Tall, regning og variabler Tall og regning Som vi så ovenfor, bruker vi print til å sende tekst til konsollen. Vi kaller det gjerne å skrive til skjerm eller å printe. Det skjer ingenting i konsollen uten at vi bruker print-kommandoen. Så hvis vi vil ha svaret i et regnestykke skrevet til konsollen, må vi printe svaret.

VU

: : : EKSEMPEL 1.1 Regn ut. a) 23 · 5 b) 2 + 8 − 11 LØSNING

Vi skriver et program som regner ut.

RD

a)

1 print(23*5)

Når vi kjører programmet, får vi 115 i konsollen.

b)

1 print(2 + 8 ‑ 11)

ER

Når vi kjører programmet, får vi −1 i konsollen.

3 + 4*5 ‑ 3/6 ‑ 1

betyr

IN

Programmeringen gir en naturlig struktur på arbeidet. Vi skriver utregninger og instrukser i tekstvinduet, og bruker print-kommandoen til å styre hva som blir synlig i konsollen. Eksempelet over viser at tegnene for de fire regneartene er de samme som de pleier å være på en datamaskin. Tegnene for multiplikasjon og divisjon virker på de tallene som står umiddelbart foran og bak tegnet: 3 + 4 · 5 − 36 − 1

: : : EKSEMPEL 1.2 Regn ut 3 +

4+7 + 1.

2

G

Det betyr at multiplikasjonstegnet virker bare på 4 og 5, mens divisjonstegnet virker på 3 og 6. Hvis vi skal avvike fra dette, bruker vi parenteser.

Tall, regning og variabler

11

TIL LØSNING

Vi setter parantes rundt telleren, siden den har flere ledd: 1 print(3 + (4 + 7)/2 + 1)

Hvis vi kjører dette programmet får vi 9,5.

VU

Vi skriver potenser med dobbelt gangetegn. Det betyr at 23 skrives som 2**3 og 52 skrives som 5**2.

I Python bruker vi punktum som desimalkomma.

: : : EKSEMPEL 1.3

addisjon: + subtraksjon: ‑ multiplikasjon: * divisjon: / potens: **

Regn ut 34,244 2 − 18,441 + 2 · 312 .

RD

LØSNING

Vi bruker punktum som desimalkomma og skriver inn: 1 print(34.2442 ‑ 18.441 + 2*3**(12)) Når vi kjører programmet, får vi 1 062 897,80.

ER

Det er vanlig å bruke et mellomrom på hver side av tegnene for pluss og minus, men ikke ved multiplikasjon og divisjon. Dette er imidlertid for at det skal være lettere å lese og se hva som hører sammen, og har ingen effekt på hvordan Python tolker det.

Når vi skal skrive en tekst til konsollen, bruker vi anførselstegn.

: : : EKSEMPEL 1.4 Skriv «Jeg liker å telle.» til konsollen.

LØSNING

Vi bruker enkle eller doble anførselstegn rundt teksten, inni printkommandoen: 1 print('Jeg liker å telle.')

G

IN

Utskrift av tekst

12

KAPITTEL 1

TIL

Når vi kjører programmet, blir teksten «Jeg liker å telle.» skrevet ut: Jeg liker å telle.

Hvis vi skal skrive ut flere ting, kan vi bruke flere print-kommandoer:

VU

1 print('Arealet av trekanten er ') 2 print(0.5*3*5)

Ulempen med dette er at vi får linjeskift etter hver print-kommando: Arealet av trekanten er 7.5

Dette kan vi fikse ved å legge til et ekstra argument til print, nemlig «end». Hvis vi ikke skriver noe, gir «end» et linjeskift til slutt. Hvis vi vil ha et mellomrom, skriver vi for eksempel print(3 + 4, end=' '):

RD

Vi kaller det som står inni parentesen til en kommando for et argument.

: : : EKSEMPEL 1.5

En rettvinklet trekant har grunnlinje 3 og høyde 5. Bestem arealet.

LØSNING

ER

1 print('Arealet av trekanten er', end=' ') 2 print(0.5*3*5) Når vi kjører programmet, får vi

IN

Arealet av trekanten er 7.5

Vi oppnår det samme med et komma mellom hver ting vi vil printe:

Dette gir samme output: Arealet av trekanten er 7.5

G

1 print('Arealet av trekanten er', 0.5*3*5)

Tall, regning og variabler

13

TIL

Kvadratrot og π

De fleste kommandoer vi trenger er innebygd i Python. Av og til trenger vi i tillegg å laste inn ekstra kommandoer, som ligger lagret i såkalte biblioteker. Vi laster inn bibliotekene med kommandoen import: 1 import math

VU

Kommandoen i linja over laster inn biblioteket Math. Dette biblioteket inneholder vanlige funksjoner og symboler, som blant annet kvadratrot og π. Når vi skal bruke kommandoer fra Math-biblioteket, skriver vi «math.» foran kommandoen. Kvadratrot får vi da med kommandoen sqrt() med math. som forstavelse.

: : : EKSEMPEL 1.6 Regn ut

√

2.

RD

LØSNING

1 import math 2 print(math.sqrt(2))

Når vi kjører programmet, får vi 1,414 213 562 373 095 1 til svar.

ER

Math-biblioteket må lastes inn i alle programmer der vi skal bruke det.

Hvis vi skal bruke konstanten π, skriver vi math.pi.

: : : EKSEMPEL 1.7 Beregn arealet av en sirkel med radius 3.

1 import math 2 print(math.pi*3**2)

G

Vi kjører programmet og får at arealet er omtrent 28,274.

IN

LØSNING

14

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.1 Bruk Python til å regne ut

1.5 Lag et program i Python som regner ut volumet av en sylinder med radius 4,5 cm og høyde 17,8 cm.

97,2 + 3 · 11,13

1.2 Lag et program i Python som regner ut

VU

88 · 45 − 12 · 6

sammen med en forklarende tekst.

1.3 Lag et program som skriver ut teksten «Their song played. They danced forever.».

3+8 3− +5 3

A=

( a + b) · h 2

RD

1.4 Lag et program i Python som regner ut

1.6 Skriv et program i Python som √ regner ut en 1+ 5 desimaltilnærming av .

2 1.7 Arealet av et trapes med høyden h og der sidene a og b er parallelle, er

Skriv et program i Python som regner ut arealet av et trapes der de parallelle sidelengdene er 14,3 cm og 10,4 cm og høyden er 13,6 cm.

G

IN

ER

Tall, regning og variabler

15

TIL

Kan vi stole på Python?

Når vi programmerer i Python, virker en del ting litt uvant og forvirrende i starten. Et eksempel er desimaltall. Kan vi stole på alle desimalene Python viser oss?

Vi regner litt i konsollen for å sjekke: In [1]: 0.1 + 0.1

Out[1]: 0.2

VU

Dette er som forventet, siden 0,1 + 0,1 = 0,2. Men se her: In [2]: 0.1 + 0.1 + 0.1

Out[2]: 0.30000000000000004

Dette ser rart ut! Vi vet jo at 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3, og ikke

RD

0,300 000 000 000 000 04.

Det viser seg at vi bare kan stole på ca. 15–16 sifre i Python. Alt som kommer etter må vi bare se bort fra. Slik er det i andre dataprogrammer også, som for eksempel GeoGebra og Excel, men dette blir vanligvis skjult for oss.

Variabler

ER

Årsaken til dette, er at PC-en har begrenset antall tall tilgjengelig. Det er ingen grenser for hvilke tall vi kan skrive inn i Python, men PC-en har ikke uendelig mange tall den kan bruke. Noen har derfor tatt et valg, og PC-en har ca. 15–16 sifre vi kan stole på.

Arealet av veggen: 8 · 4 = 32 Areal som skal males: 32 · 3 = 96 Mengde maling: 96 : 6 = 16 Lars må altså kjøpe 16 L maling.

G

IN

Når vi regner på en kalkulator eller i et matematikkprogram som for eksempel GeoGebra, regner vi ett og ett regnestykke, linje for linje. Vi bruker det svaret vi får videre i utregningen. Vi tenker oss for eksempel at Lars skal male en stor vegg på skolen. Veggen er 8 m lang og 4 m høy.

Veggen skal males med tre strøk av en maling som dekker 6 L/m2 . Hvor mye maling trenger han? Vi regner slik:

16

KAPITTEL 1

TIL

Når vi skal programmere dette, gir vi egne navn til de ulike svarene underveis i utregningen. Disse navnene kaller vi variabler. Koden nedenfor regner ut det samme: 1 vegg = 8*4 2 areal = vegg*3 3 maling = areal/6 4 5 print(maling)

VU

Når vi kjører programmet, får vi 16 til svar.

Variabler er altså en måte vi kan ta vare på midlertidige verdier, slik at vi kan bruke dem videre i programmet.

G

IN

ER

RD

Tall, regning og variabler

17

TIL

I Python oppretter vi variabler ved å tilordne en verdi ved hjelp av likhetstegnet.

1 svar = 15 + 3

Når vi kjører koden ovenfor, får variabelen «svar» verdien 18.

: : : EKSEMPEL 1.8

LØSNING

VU

Maria planlegger en treningsøkt. Hun skal varme opp 18 minutter.

Deretter skal hun ha 5 × 4 min intervaller med 2 minutters pause mellom hvert intervall. Til slutt har hun nedjogg 10 minutter.

Hvor lang tid varer treningsøkta?

Vi skriver et program i Python som regner ut tiden:

RD

1 oppvarming = 18 2 intervalltid = 5*4 3 pausetid = 4*2 4 nedjogg = 10 5 totaltid = oppvarming + intervalltid + pausetid + nedjogg

ER

6 print('Treningsøkta tar', end=' ') 7 print(totaltid, end=' ') 8 print('minutter.')

Når vi kjører programmet får vi dette resultatet: Treningsøkta tar 56 minutter.

IN

Vi kan godt bruke variabelens forrige verdi når vi tilordner ny verdi til en variabel.

Når vi kjører koden ovenfor blir først variabelen «svar» opprettet med verdien 15. Deretter blir verdien satt til den verdien variabelen hadde tidligere, addert med 5. Resultatet når vi kjører programmet blir 20.

G

1 svar = 15 2 svar = svar + 5 3 print(svar)

18

KAPITTEL 1

Disse reglene gjelder for hvilke tegn vi kan bruke til variabler:

TIL

Vi kan bruke vanlige bokstaver a–å, A–Å.

Vi kan bruke tall 0–9, men ikke i starten av en variabel.

Vi kan bruke understrek («_»).

Noen navn er opptatt

LOVLIG NAVN

ULOVLIG NAVN

start eller START

terning to

start1

3et

start_1 summen

start-1 sum

VU

Python leser koden ovenfra og nedover, fra venstre mot høyre. Når vi printer en variabel, spiller det ingen rolle om variabelen skifter verdi på et senere tidspunkt. I koden nedenfor har variabelen «svar» verdien 15 når den blir printet, så det er altså tallet 15 som kommer i konsollen. I linjen nedenfor blir verdien endret til 30, men det vises ikke i konsollen.

RD

1 svar = 15 2 print(svar) 3 svar = svar*2

Mange programmeringsmiljøer har mulighet til å vise en oversikt over hvilken verdi variablene har når programmet er ferdig. Dette er ofte til god hjelp. I Spyder heter denne visningen «Variable Explorer». Etter å kjørt programmet ovenfor, ser den slik ut:

ER

Dette betyr at variabelen «svar» har verdien 30 når programmet er ferdig.

IN

Skrive ut tekst og variabler sammen

Når vi bruker programmering til å løse matematikkoppgaver avslutter vi gjerne programmet med å skrive ut verdien av en variabel sammen med en forklarende tekst. Dette kan vi gjøre på flere måter.

1 svar = 15 2 print('Svaret er', svar)

G

En mulighet er å printe teksten og variabelen i samme kommando, atskilt med komma:

Når vi kjører dette programmet, får vi «Svaret er 15» i konsollen.

Tall, regning og variabler

19

TIL

En annen måte er å bruke et såkalt f-literal, en formatert tekst. Denne lager vi ved å sette bokstaven «f» foran et anførselstegn. Når vi så skal sette inn en variabel, setter vi parentesene «{» og «}» rundt: 1 tall1 = 43 2 tall2 = 6 3 print(f'Tallene er {tall1} og {tall2}.')

Når vi kjører dette programmet, får vi

VU

Tallene er 43 og 6.

Avrunding

: : : EKSEMPEL 1.9 Regn ut

RD

Vi runder enklest av med en f-literal. Rett før høyre parentes «}» setter vi et kolon og et punktum. Deretter skriver vi hvor mange desimaler vi ønsker, etterfulgt av bokstaven «f».

«f» står for «fiksert (bestemt) antall desimaler»

13 og rund av til tre desimaler.

7

LØSNING

ER

1 tall = 13/7 2 print(f'Variabelens verdi er {tall:.3f}.')

Når vi kjører programmet får vi Variabelens verdi er 1.857.

IN

Kommandoen round(<variabel>, <antall desimaler>) er en annen måte å runde av på. Vi bruker den slik:

Koden gir svaret 1,857. Vi ser at det første argumentet til round er tallet som skal rundes av, mens det andre argumentet er antall desimaler.

G

1 svar = 13/7 2 3 print(round(svar, 3))

20

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.8 Lag et program hvor du setter variabelen «svar» til 28 og skriver ut verdien av variabelen med en svarsetning. Resultatet av programmet skal bli: Verdien av svar er 28.

VU

1.9 Lag et program der du oppretter variabelen «tall», dividerer på 2 og skriver ut svaret.

1.12 En sommeruke kjører Johanne båten sin i om lag 17 timer. Båten forbuker omtrent 7 liter bensin per time. Bensinprisen er denne uka 26 kroner per liter.

Bruk Python til å regne ut hvor mye bensinforbruket koster denne uka.

1.13 Skriv et program som: Oppretter variabelen «tall» med verdien 5 Endrer verdien til 10 Legger til 11 Legger til 6 Dobler Skriver ut verdien

1.11 Velg to tall mellom 2 og 20. Skriv et program der du legger de to tallene i variablene a og b. Programmet skal skrive ut henholdsvis summen, differansen og produktet av

G

IN

ER

RD

1.10 Regn ut 23 : 7 og rund av til én desimal i svaret.

tallene i hver sin svarsetning. For eksempel «Summen av 2 og 5 er 7».

Input

21

TIL

1.3 Input

Vi har nå lært at vi får resultatene ut fra et program og inn i konsollen med kommandoen print. Tilsvarende får vi opplysninger fra konsollen inn i programmet med kommandoen input. input()

print()

program

INN

UT

VU

Nedenfor ser du hvordan vi kan bruke input-kommandoen: 1 navn = input('Skriv inn navnet ditt: ') 2 print(f'Du heter {navn}.')

Når vi kjører dette programmet, kommer først dette opp i konsollen:

RD

Skriv inn navnet ditt:

Hvis vi da skriver «Markus» i konsollen, blir dette navnet lagret i variabelen «navn» i linje 1 i programmet.

Du heter Markus.

Typer

ER

Når vi trykket «enter», blir navnet skrevet ut med en svarsetning fra linje 2 i programmet:

Når vi kjører programmet, får vi dette: 26 matematikkmatematikk

G

1 a = 13 2 print(2*a) 3 b = 'matematikk' 4 print(2*b)

IN

Python oppfatter tall og tekst på forskjellig måte. Vi kan se et eksempel i dette programmet:

22

KAPITTEL 1

TIL

Det viser seg altså at gangetegnet * betyr ulike ting for tall og tekst. Når det blir brukt på tall, fungerer det som vanlig multiplikasjon, mens når det blir brukt på en tekst, blir teksten repetert like mange ganger som tallet sier.

I variabeloversikten ser vi forskjellen på de to variablene «a» og «b»:

VU

Variabelen «a» er av typen int, som er en forkortelse for integer, altså det engelske ordet for heltall. variabelen «b» er av typen str fra det engelske ordet string, som betyr streng, tekststreng eller tekst.

str int float

RD

TYPE

ENGELSK string integer floating-point number

NORSK streng, tekststreng, tekst heltall desimaltall, flyttall

: : : EKSEMPEL 1.10

IN

Skriv et program som ber om et tall og så dobler tallet.

LØSNING

Vi lagrer resultatet av input-kommandoen i en variabel, og oversetter til desimaltall med float: 1 # Ber om et tall 2 tall = input('Skriv inn et tall: ') 3 # Konverterer til float 4 tall = float(tall)

G

I eksempelet ser du det vi kaller kommentarer til koden. Python hopper over alt som kommer etter tegnet «#» på en linje. Det gjør at vi kan skrive små forklaringer til koden.

ER

Resultatet av input-kommandoen blir alltid tolket som en str. Dersom det skal være et tall, må vi manuelt gjøre det om til int eller float.

Kommandoene for å gjøre om til en annen type heter det samme som typen. Vi ser hvordan vi kan gjøre dette i eksempelet nedenfor.

Input

23

TIL

5 # Dobler 6 dobbelt = 2*tall 7 print(f'Det dobbelte av {tall} er {dobbelt}.')

Når vi kjører programmet får vi teksten «Skriv inn et tall: » i konsollen. Dersom vi skriver inn «12.3» og trykker på enter, ser det slik ut;

VU

Skriv inn et tall: 12.3

Det dobbelte av 12.3 er 24.6.

Dersom vi bytter ut float med int i eksempelet over, vil programmet bare fungere med heltall. Hvis vi skriver inn et desimaltall, vil vi få en feilmelding.

RD

ValueError: invalid literal for int() with base 10: '12.3'

OPPG AVER

1.17 Lag et program som ber om lengde og bredde i et rektangel og som så skriver ut arealet og omkretsen av rektangelet.

G

1.16 Lag et program som ber om radius i en sirkel og så svarer med arealet av sirkelen.

1.18 a) Lag et program der du ber om et tall.

Programmet skal skrive ut 7 mer enn det dobbelte av tallet. b) Lag et nytt program der du forandrer mønsteret. For eksempel kan programmet halvere tallet og legge til fire. Få en annen til å foreslå et tall.

Programmet skriver ut hvilket tall som hører sammen med dette tallet. Gjenta helt til den andre forstår mønsteret.

IN

1.15 Lag et program som ber om et tall og skriver ut halvparten av tallet.

ER

1.14 Lag et program som ber om et navn og så svarer med en hilsen med dette navnet.

1.19 Lag et program som ber om høyde og grunnlinje i en trekant og svarer med arealet av trekanten.

24

KAPITTEL 1

TIL

1.4 Vilkår Vilkår handler i programmering om å bruke en test til å avgjøre hva programmet skal gjøre. I programmet nedenfor sjekker vi om tallet brukeren taster inn er positivt.

VU

1 tall = input('Skriv inn et tall: ') 2 tall = float(tall) 3 4 if tall > 0: 5 print(f'Tallet {tall} er positivt.')

RD

Når vi kjører dette programmet, blir vi bedt om å skrive inn et tall. Svaret vi gir blir oversatt til float og lagt i variabelen «tall». Så tester Python om «tall» er positivt. Hvis tallet er positivt, blir det skrevet ut en tekst om at tallet er positivt. Dersom vi kjører programmet og skriver inn for eksempel 17, så vil det se slik ut:

Skriv inn et tall: 17

Tallet 17.0 er positivt.

ER

En slik test kaller vi i Python en if-test. Programmet ovenfor kan utvides med en instruksjon om hva som skal utføres dersom testen ikke er sann.

Loddrett under if kan vi skrive else:, som betyr «ellers» .

Etter en if-test står det alltid et kolon.

G

IN

1 tall = input('Skriv inn et tall: ') 2 tall = float(tall) 3 4 if tall > 0: 5 print(f'Tallet {tall} er positivt.')

6 else: 7 print(f'Tallet {tall} er ikke positivt.')

I koden ovenfor blir linje 5 utført hvis testen er sann, mens linje 7 blir utført hvis testen ikke er sann.

I en if-test kan vi bruke disse tegnene:

Vilkår

TIL

TEGN < <= > >= == !=

not()

25

BETYDNING Mindre enn Mindre enn eller lik Større enn Større enn eller lik lik ikke lik motsatt betydning

VU

: : : EKSEMPEL 1.11

Skriv et program som ber om et tall og sjekker om tallet er åtte.

LØSNING

Vi bruker input for å be om et tall. Så konverterer vi svaret til desimaltall med float. En if-test avgjør om tallet er åtte.

RD

ER

1 # Ber om et tall 2 tall = input('Skriv inn et tall: ') 3 # Konverterer til float 4 tall = float(tall) 5 6 # Avgjør om tallet er 8 7 if tall == 8: 8 print('Du har skrevet inn tallet 8.')

9 else: 10 print('Du har skrevet inn noe annet enn

I Python bruker vi «=» når vi tilordner en verdi til en variabel og «==» for å sjekke om to utsagn er like.

8.')

IN

Koden i eksempelet ovenfor kan vi illustrere i et såkalt flytskjema.

Flytskjemaet viser en oversikt over hva programmet gjør: Først får variabelen «tall» en verdi. Deretter blir svaret enten «tall er 8» eller «tall er noe annet enn 8», avhengig av om testen «tall == 8» er sann eller usann.

G

tall

ja tall er 8

nei tall == 8

tall er noe annet enn 8

26

KAPITTEL 1

TIL

I en if-test kan vi også ha flere vilkår. Da kombinerer vi kommandoene else og if og skriver elif. Dette er en forkortelse for else–if.

Vi kan utvide forrige eksempel slik at programmet avgjør om tallet brukeren skriver inn er lik åtte, større enn åtte eller mindre enn åtte:

VU

: : : EKSEMPEL 1.12 Gjør endringer i koden fra eksempel 11 slik at det sjekker om tallet er lik åtte, større enn åtte eller mindre enn åtte.

LØSNING

Vi legger inn elif mellom if og else i koden for å sjekke om tallet er lik åtte, større enn åtte eller mindre enn åtte. Se linje 9.

RD

ER

1 # Ber om et tall 2 tall = input('Skriv inn et tall: ') 3 # Konverterer til float 4 tall = float(tall) 5 6 # Avgjør om tallet er 8 7 if tall == 8: 8 print('Du har skrevet inn tallet 8.')

9 elif tall > 8: 10 print('Du har skrevet inn ett tall som er større enn 8.')

mindre enn 8.')

IN

11 else: 12 print('Du har skrevet inn ett tall som er

G

Vi kan kombinere utsagn i testen med konjunksjonene and og or, som betyr henholdsvis «og» og «eller». I tabellen nedenfor ser du noen eksempler på tester.

De to sannhetsverdiene sann og usann heter i Python henholdsvis True og False. Alle tester blir evaluert til enten True eller False.

Vilkår

TEST

not(3 < 6)

usann

3 > 6

usann

not(3 > 6)

sann

2 > 1 and 6 > 3

sann

2 > 1 and 6 < 3

usann

2 > 1 or 6 < 3

sann

TIL 3 < 6

VERDI sann usann sann

2 == 1 + 1 2 == 1 + 2

Høyre og venstre side er like.

Venstre side er 2, høyre side er 3 3 er mindre enn 6 Det er ikke sant at 3 ikke er mindre enn 6 3 er ikke større enn 6 Det er sant at 3 ikke er større enn 6 Begge er sanne 6 er ikke større enn 3, så begge er ikke sanne Minst én av dem er sann, nemlig den første. 2 er større enn 1.

RD

VU

Innrykk

27

Vi legger merke til at linjene umiddelbart etter if, elif og else er rykket inn fra venstre marg. Innrykket viser når if-testen er ferdig.

I de to programkodene nedenfor er eneste forskjell at koden til høyre har et innrykk i starten av linje 6. I den første koden blir linje 6 utført uansett:

1 tall = float(input('Skriv inn et tall: ')) 2 if tall < 10: 3 print('Tallet er mindre enn 10.')

4 else: 5 print('Tallet er ikke mindre enn 10.')

6 print('Dette er siste linje.')

IN

ER

Vi kan både hente inn informasjon og gjøre det om til et heltall eller flyttall på én linje ved å skrive «tall = int(input(’Skriv inn et heltall: ’))» eller «tall = float(input(’Skriv inn et tall: ’))»

I denne koden blir linje 6 utført bare hvis testen i linje 2 er usann:

Den øverste koden, uten innrykk, gir dette resultatet:

G

1 tall = float(input('Skriv inn et tall: ')) 2 if tall < 10: 3 print('Tallet er mindre enn 10.')

4 else: 5 print('Tallet er ikke mindre enn 10.')

6 print('Dette er siste linje.')

28

KAPITTEL 1

TIL

Skriv inn et tall: 5

Tallet er mindre enn 10.

Dette er siste linje.

Den nederste koden gir dette: Skriv inn et tall: 5

Tallet er mindre enn 10.

VU FRA BLOKK TIL TEKST

En if-test i Python tilsvarer en styringsblokk med «hvis» i Scratch: Scratch-programmet nedenfor setter først variabelen «tall» til 10.

Deretter sjekker programmet om «tall» er større enn 10. Hvis det er det, sendes meldingen «ja». Hvis den ikke er det, spilles lyden «mjau».

RD

når

klikkes

sett tall hvis

til 10

tall > 50

ellers start lyden mjau

ER

send melding ja

G

1 tall = 10 2 3 if tall > 50: 4 print('ja') 5 else: 6 print('mjau')

IN

Dette tilsvarer omtrent Python-programmet nedenfor:

I stedet for å sende melding og spille av en lyd, bruker dette programmet print.

Vilkår

29

TIL

Tallteori, delelighet

VU

Når vi utfører divisjon for hånd, er det ikke alltid divisjonen går opp. Da får vi en rest. Hvis vi for eksempel dividerer 43 på 5 får vi 8 hele og 3 i rest.

Python har egne operatorer som regner ut disse, nemlig «//» og «%». Vi prøver vårt eksempel: En operator er et tegn eller kombinasjon av tegn som uttrykker en 1 print(43//5) regneoperasjon, for 2 print(43%5) eksempel +, -, *, /, **, //, %.

Når vi kjører programmet får vi at 43//5 er 8 og 43%5 er 3. Det betyr at «//» gir antall hele ved divisjonen, mens «%» gir resten ved divisjonen.

: : : EKSEMPEL 1.13

RD

Hvis et tall er delelig med et annet tall, er resten null. Vi kan derfor bruke «%» til å teste delelighet.

Skriv et program som ber om et tall og så undersøker om tallet er delelig med 3.

ER

LØSNING

1 tall = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 3 # Tester om vi får null i rest når vi deler på 3.

Vi tester programmet underveis og skriver vi inn 19 i konsollen: Skriv inn et heltall: 19 19 er ikke delelig med 3

G

IN

4 if tall%3 == 0: 5 print(f'{tall} er delelig med 3') 6 else: 7 print(f'{tall} er ikke delelig med 3')

30

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.20 Lag et program som ber om to tall og som avgjør hvilket av disse som er størst.

1.21 Lag et program som ber om to tall og som avgjør om de to tallene har samme fortegn.

VU

1.22 a) Lag et program som ber om et tall og undersøker om tallet er delelig med 5. b) Utvid programmet slik at programmet forteller hvor mange hele ganger 5 går opp i tallet.

1.26 En oppskrift på sukkerbrød inneholder blant annet disse ingrediensene: 3 egg 2,5 dL sukker 3,5 dL mel Prisen for seks egg er 32 kroner. 1 L mel koster 15 kroner og 1 L sukker koster 12 kroner.

Lag et program i Python som regner ut hvor mye det koster for egg, mel og sukker til 12 sukkerbrød.

RD

1.27 (Eksamen 2P 2022H)

1.23 Skriv et program som ber om et tall og som så avgjør om tallet er positivt eller negativt.

1.25 Lag et program som sjekker om to tall er like.

ER

1.24 Lag et program som ber om et heltall. Programmet skal svare om det er oddetall eller partall.

1 # Velger verdier for a, b og c 2 a = 4 3 b = 5 4 c = 3 5 6 if a**2 + b**2 == c**2 or a**2 + c**2 == b**2 or b**2 + c**2 == a**2:

7

print("

")

G

IN

Lars har laget programmet ovenfor.

Hva kan han bruke programmet til?

Foreslå en passende tekst som kan skrives i linje 7.

Løkker

31

TIL

1.5 Løkker

En løkke er en kodebit som gjør at du kan gjenta en oppgave flere ganger uten å måtte skrive den samme koden igjen og igjen. I Python har vi to løkker, while-løkker og for-løkker.

While-løkker

VU

En while-løkke er bygd opp omtrent som en if-test. Først står kontrollordet while, deretter en test, etterfulgt av et kolon. Alle linjene med samme innrykk etter dette, blir utført så lenge testen er sann.

Koden nedenfor inneholder en while-løkke. Løkka kjører så lenge variabelen «teller» er lavere enn 3. Hver gang løkka kjører, skriver programmet ordet «Hei» til konsollen og øker verdien av teller med én.

RD

1 teller = 0 2 while teller < 3: 3 print('Hei') 4 teller = teller + 1

Når vi kjører programmet, får vi dette: Hei Hei

ER

Hei

Koden nedenfor er nesten lik, men vi skriver ut variabelen teller underveis i løkka:

0 1 2

G

Resultatet av dette programmet blir:

IN

1 teller = 0 2 while teller < 3: 3 print(teller) 4 teller = teller + 1

32

KAPITTEL 1

En while-løkke må inneholde tre ting:

TIL

1. En test som avgjør om koden inni løkka skal utføres. Testen inneholder en variabel.

VU

2. Variabelen i testen må opprettes i koden over løkka.

1 teller = 0 2 3 while teller < 3: 4 print('Hei') 5 teller = teller + 1

3. Variabelen må oppdateres inni løkka.

RD

: : : EKSEMPEL 1.14

Skriv en kode i Python som halverer tallet 20 så lenge resultatet er større enn 1.

LØSNING

ER

1 # Startverdi for «tall» 2 tall = 20 3 4 # Løkke som gjentas så lenge «tall» er større enn 1

Resultatet av koden blir:

10.0 5.0 2.5 1.25

# Halverer «tall»

G

20

IN

5 while tall > 1: 6 print(tall) 7 tall = tall/2

Løkker

33

TIL

FRA BLOKK TIL TEKST

En while-løkke i Python tilsvarer styringsblokka «gjenta til» i Scratch.

når

klikkes

til 0

gjenta til

tall > 10

sett tall

VU

sett tall

til tall + 1

Koden ovenfor øker variabelen «tall» med én helt til verdien er over 10. En tilsvarende kode i Python blir denne:

RD

1 tall = 0 2 3 while tall <= 10: 4 tall = tall + 1

ER

Vi legger merke til at Scratch og Python har testene motsatt vei. I Scratch viser testen når løkka skal slutte å kjøre, nemlig når «tall» er blitt større enn 10. I Python viser testen når løkka skal kjøre, nemlig så lenge «tall» er mindre enn eller lik 10.

Løkka i eksempelet ovenfor kan vi illustrere i et flytskjema:

ja tall > 1

slutt

G

nei

halverer tall

IN

tall = 20

34

KAPITTEL 1

TIL

Alle kodelinjer som skal tilhøre løkka må ha samme innrykk etter linja med while. Første linje som ikke er rykket inn fra venstre markerer at løkka er slutt.

En while-løkke egner seg godt til å lage tallmønstre.

: : : EKSEMPEL 1.15

VU

a) Lag et program som starter med 3 og så dobler igjen og igjen, så lenge tallet er mindre enn 500. Programmet skal da skrive ut dette: 3 6 12 24 48 96 192 384

b) Endre programmet ditt slik at det stopper etter å ha skrevet ut ti tall.

RD

LØSNING

a) Vi lager en løkke som kjører så lenge tallet er mindre enn eller lik 500. Hver gang løkka kjøres, dobler vi tallet.

ER

1 tall = 3 2 3 while tall <= 500: 4 print(tall, end=' ') 5 tall = tall*2

b) Vi legger til en ny variabel som teller hvor mange ganger løkka har kjørt. Vi stopper løkka når telleren blir 10.

Når vi kjører dette programmet, får vi 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536

G

IN

1 tall = 3 2 teller = 0 3 4 while teller < 10: 5 print(tall, end=' ') 6 tall = tall*2 7 teller = teller + 1

Løkker

35

TIL

I neste eksempel bruker vi en egen variabel til å summere opp tallene i mønsteret.

: : : EKSEMPEL 1.16

a) Lag et program som skriver ut alle oddetallene under 100. b) Lag et program som summerer alle oddetallene under 100.

LØSNING

VU

a) Programmet starter på 1, siden det er første oddetall. For å komme til neste oddetall, legger vi til 2.

1 tall = 1 2 3 while tall <= 100: 4 print(tall, end=' ') 5 tall = tall + 2

RD

Output fra programmet blir

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

ER

b) Vi utvider programmet med en egen variabel som inneholder summen. For hver gang løkka kjører legger vi til verdien av variabelen tall. Vi starter med 0, siden dette ikke påvirker summen.

G

IN

1 tall = 1 2 summen = 0 3 4 while tall <= 100: 5 print(tall, end=' ') 6 summen = summen + tall 7 tall = tall + 2 8 print() 9 print(f'Summen av tallene er {summen}.')

36

KAPITTEL 1

TIL

Programmet i eksempelet over lister opp alle oddetallene 1, 3, 5, . . . , 99 og svarer at summen er 2500. Linje 9 inneholder en print-kommando uten noe argument. Den gir da et enkelt linjeskift, slik at summen kommer på en ny linje.

Vi legger merke til at løkkene ofte inneholder linjer av typen variabel = variabel + 1

VU

Det finnes en forkortet skrivemåte for dette: variabel += 1

Det gjør at vi slipper å skrive variabelen to ganger. Programmet gjør akkurat det samme, men vi sparer litt skriving.

G

IN

ER

RD

Løkker

37

TIL

Å avbryte en løkke Vi avbryter en while-løkke ved å sørge for at testen i første linje blir usann. Noen ganger kan det være nyttig med en egen variabel som bare har dette som oppgave.

: : : EKSEMPEL 1.17

Skriv et program som ber om ett og ett tall og summerer tallene.

VU

LØSNING

Vi lager en egen variabel «fortsett», som styrer om løkka skal kjøre.

Vi setter verdien til «ja» når programmet starter. Underveis i løkka har vi en if-test, som sjekker om vi har bedt om å avslutte. I så fall endrer vi «fortsett» til «nei».

RD

1 fortsett = 'ja' 2 summen = 0 3 4 print('Skriv inn ett og ett tall, avslutt med "q" etter siste tall.')

IN

ER

5 while fortsett == 'ja': 6 svar = input('Skriv inn et tall: ') 7 if svar == 'q': 8 fortsett = 'nei' 9 else: 10 tall = float(svar) 11 summen = summen + tall 12 13 print(f'Summen av tallene er {summen}.')

Vi kjører programmet og blir bedt om å taste inn et tall. Vi taster først inn 1, så 2, deretter 3 og så «q». Da ser det slik ut i konsollen:

Skriv inn ett og ett tall, avslutt med "q" etter

Skriv inn et tall: 2 Skriv inn et tall: 3 Skriv inn et tall: q Summen av tallene er 6.0.

G

siste tall.

Skriv inn et tall: 1

38

KAPITTEL 1

Vi kan også bruke kommandoen break for å avbryte en løkke.

TIL

: : : EKSEMPEL 1.18 Skriv et program som summerer tallene 1, 2, 3, . . . , 10. Programmet skal stoppe dersom summen på et tidspunkt blir akkurat 15. Da skal vi vite hvor langt vi er kommet i summeringen.

LØSNING

VU

Vi bygger opp en while-løkke som tidligere. I tillegg tar vi med en if-test som avbryter løkka dersom summen er 15.

RD

1 tall = 1 2 summen = 0 3 while tall < 10: 4 if summen == 15: 5 print(f'Vi er kommet til {tall}.')

6 break 7 summen = summen + tall 8 tall = tall + 1 9 10 print(f'Summen er {summen}.')

Resultatet av programmet blir

ER

Vi er kommet til 6.

Summen er 15.

Det betyr at 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Vi stopper løkka rett før vi skal til å addere 6.

IN

Evig løkke

G

Dersom vi i løpet av løkka ikke sørger for at testen i første linje i løkka blir usann, vil løkka aldri stoppe. Vi kaller dette en evig løkke. Vi må da manuelt avbryte programmet med programmeringsmiljøets stoppknapp.

Løkker

39

TIL

: : : EKSEMPEL 1.19

Koden nedenfor skal summere partallene under 51.

VU

1 tall = 2 2 summen = 0 3 4 while summen >= 0: 5 summen = summen + tall 6 tall = tall + 2 7 print(summen)

Når vi kjører programmet, går Python inn i en evig løkke.

Foreslå en endring slik at programmet stopper.

LØSNING

OPPG AVER

RD

Vi får en evig løkke siden testen i løkka alltid er sann. Uansett hvor mange ledd vi legger til, vil summen alltid være større enn eller lik null. Hvis vi endrer testen til tall <= 51, vil programmet stoppe når vi har summert alle partallene opp til og med 50.

1.31 Lag en verditabell til funksjonen y = 4x − 2 for x mellom −3 og 3. Avstanden mellom

G

1.30 Summer alle tallene i femgangen opp til og med 10 000.

1.33 Skriv et program som legger sammen tallene i sjugangen, 7 + 14 + 21 + . . ..

Programmet skal avgjøre hvor mange ledd man trenger for at summen skal bli 105.

IN

1.29 a) Skriv et program som starter med 2 og så dobler til tallet er blitt 5000 eller høyere. b) Summer alle tallene fra a).

x-verdiene skal være 0,5.

1.32 Lag et program som teller opp hvor mange ganger vi må doble tallet 3 for at svaret skal blir mer enn 1000.

ER

1.28 Lag en kode i Python som bruker en løkke til å skrive ut setningen «Jeg liker å programmere.» fem ganger.

1.34 Lag et program som skriver ut en hilsen og så spør om vi vil se hilsenen en gang til. Programmet skal fortsette å skrive ut hilsenen helt til vi svarer nei.

40

KAPITTEL 1

TIL

For-løkker Hvis vi vet hvor mange ganger en løkke skal utføres, kan vi bruke en forløkke i stedet for en while-løkke. Koden nedenfor skriver ut «Hei» tre ganger: 1 for i in range(3): 2 print('Hei')

VU

Resultatet av programmet blir: Hei Hei Hei

Koden ovenfor kan vi illustrere med et flytskjema:

RD

har løkka gått tre ganger?

slutt

print «Hei»

ER

ja

nei

G

IN

Vi lager en for-løkke ved å skrive kontrollordet for, deretter en variabel vi selv velger, deretter kontrollordet in, deretter en tallmengde og til slutt et kolon. Alle kodelinjer som kommer etterpå og som har samme innrykk, tilhører løkka og blir utført hver gang løkka kjører. Første linje som ikke har samme innrykk blir utført når løkka er ferdig.

Løkker

41

TIL

: : : EKSEMPEL 1.20

Lag et program som skriver ut firegangen.

LØSNING

Firegangen inneholder ti tall, så vi bruker en for-løkke som kjører ti ganger. Tallene starter på 4 og øker med 4 hver gang.

VU

1 tall = 4 2 3 for i in range(10): 4 print(tall, end=' ') 5 tall += 4

Programmet gir resultatet:

FRA BLOKK TIL TEKST

RD

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

når

klikkes

sett tall

til 1

sett tall

til tall + 1

1 tall = 1 2 3 for i in range(10): 4 tall = tall + 1

G

I Python kan vi gjøre det slik:

IN

gjenta 10 ganger

ER

En for-løkke i Python svarer til styringsblokka «gjenta» i Scratch.

Koden nedenfor setter variabelen «tall» til 1 og adderer 1 til «tall» 10 ganger.

42

KAPITTEL 1

TIL

I eksempelet ovenfor har vi brukt kommandoen range(10). Denne kommandoen lager en følge av tall. Kommandoen range kan ha 1–3 argumenter: Tre argumenter: range(<fra og med>, <til>, <steglengde>) To argumenter: range(<fra og med>, <til>), tilsvarer range(<fra og med>, <til>, 1)

VU

Ett argument: range(<til>), tilsvarer range(0, <til>, 1)

Her ser du en oversikt over hvilke tall range lager: KOMMANDO

range(0, 10)

range(5, 14, 2)

RD

range(20, 15, ‑1) range(5)

Vi legger merke til at range har med venstre endepunkt, altså startverdien, men har ikke med høyre endepunkt, altså sluttverdien.

: : : EKSEMPEL 1.21

ER

Det spiller ingen rolle hvilken variabel vi bruker i løkka – «x», «i», «tall», «y» eller noe annet.

TALL 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5, 7, 9, 11, 13 20, 19, 18, 17, 16 0, 1, 2, 3, 4

Lag et program som skriver ut de fire første naturlige tallene.

LØSNING

IN

1 for x in range(1, 5): 2 print(x, end=' ')

Når vi kjører programmet får vi dette resultatet: 1 2 3 4

G

Legg merke til at det første tallet er 1 og det siste tallet er 4. Vi tar altså ikke med 5.

I eksempelet under legger vi også til en steglengde på 4 som det tredje argumentet:

Løkker

43

TIL

: : : EKSEMPEL 1.22

Lag et program som skriver ut firegangen.

LØSNING

Firegangen starter på 4, slutter på 40 og har steglengde 4. Da bruker vi range(4, 41, 4).

VU

1 for x in range(4, 41, 4): 2 print(x, end=' ')

Resultatet av programmet blir:

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

: : : EKSEMPEL 1.23

RD

Vi kan også skrive ut tall i synkenede rekkefølge ved å la steglengden ha en negativ verdi.

Lag et program som skriver ut sjugangen i synkende rekkefølge: LØSNING

range(70,6,-7)

Vi går ned til 6.

Da vil 7 være det siste tallet i intervallet.

Når vi kjører koden får vi: 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7

Steglengden er –7

G

1 for i in range(70, 6, ‑7): 2 print(i, end = ' ')

IN

Vi starter på 70

ER

Vi vet at det høyeste tallet i sjugangen er 7 · 10 = 70 og det minste er 1 · 7 = 7. For å få med alle tallene må vi sette intervallet til [70, 7].

Ettersom vi skal ha synkende rekkefølge bruker vi steglengde −7. Vi skriver da range(70, 6, ‑7).

44

KAPITTEL 1

TIL

Å lage alle kombinasjoner av heltallige koordinater (x, y) mellom 0 og 10 er tidkrevende for hånd. I Python gjør vi det ganske enkelt – vi bruker en løkke inni en løkke.

: : : EKSEMPEL 1.24 Skriv opp alle heltallige koordinater (x, y) mellom 0 og 5.

VU

LØSNING

1 for x in range(6): 2 for y in range(6): 3 print(f'({x}, {y})', end=' ')

Vi kjører programmet og får

RD

(0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (4, 0) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (5, 0) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)

G

IN

ER

Løkker

45

TIL

OPPG AVER

1.35 Lag en Python-kode som skriver ut teksten «Vi programmerer i Python.» 10 ganger.

VU

1.36 Lag et program som skriver ut seksgangen.

Løs oppgaven på så mange ulike måter du klarer.

1.37 Lag et program som gir dette resultatet:

19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

1.40 Lag et program som gir dette resultatet: + +++ +++++ +++++++

Tips: '+'*4 gir ++++.

RD

1.41 Lag en Python-kode som ber om et tall og som så lager tilsvarende gangetabell.

Hvis vi kjører koden og taster inn 3 underveis, skal vi få følgende output: Skriv inn et helt tall: 3

1.38 Løs så mange som mulig av oppgavene ovenfor til while-løkker med for-løkker i stedet.

1.42 Skriv en kode som setter sammen alle oddetall mellom 1 og 10 med alle partall mellom 1 og 10.

G

IN

ER

1.39 Lag et program som summerer partallene mellom 2 og 1000.

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

46

KAPITTEL 1

TIL

1.6 Turtle

Hvis vi skriver import turtle i starten av Python-fila vår, får vi tilgang til det såkalte turtle-biblioteket. Det er laget for at vi kan lære å programmere ved å tegne.

Denne koden tegner først en rett strek på 40 piksler, dreier så 90 grader mot høyre, før den tegner en rett strek på 60 piksler.

VU

1 import turtle 2 3 turtle.forward(40) 4 turtle.right(90) 5 turtle.forward(60)

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet:

RD

Det kan godt hende figuren kommer opp i et eget vindu på maskinen din.

Vi kan skrive import turtle as t i stedet for import turtle. Da slipper vi å skrive «turtle» for hver kommando, og kan nøye oss med «t».

ER

: : : EKSEMPEL 1.25

a) Bruk en løkke til å tegne et kvadrat med sidelengde 50. b) Endre koden så vi tegner en likesidet trekant med side 50.

LØSNING

G

1 import turtle as t 2 for i in range(4): 3 t.forward(50) 4 t.right(90)

IN

a) Siden kvadratet har fire sider, lar vi løkka kjøre fire ganger. Hver gang markøren har gått fram, snur vi 90 grader mot høyre.

Når vi kjører programmet får vi tegnet et kvadrat:

b) Løkka skal nå kjøre tre ganger. Vinkelen blir 120 grader.

Turtle

47

TIL

1 import turtle as t 2 for i in range(3): 3 t.forward(50) 4 t.right(120)

Når vi kjører programmet får vi tegnet en trekant:

RD

VU FRA BLOKK TIL TEKST

Turtle minner ganske mye om Scratch. Koden nedenfor sender katten i Scratch ut i en evig sirkel.

klikkes

gjenta for alltid gå 10 steg 5 grader

IN

snu

ER

når

Python-koden nedenfor gjør akkurat det samme, den sender markøren ut i en evig sirkel.

G

1 import turtle as t 2 3 while True: 4 t.forward(10) 5 t.right(5)

48

KAPITTEL 1

TIL

: : : EKSEMPEL 1.26 Bruk turtle-biblioteket til å tegne punkter på linja y = 4x − 3. Velg x-verdier mellom −20 og 20 med trinnlengde 5.

LØSNING

RD

VU

1 # Importerer turtle‑biblioteket 2 import turtle as t 3 # Setter opp startverdier 4 xstart = ‑20 5 xslutt = 20 6 xsteg = 5 7 8 x = xstart 9 y = 4*x ‑ 3 10 11 # Løfter pennen, så den ikke tegner mens den beveger seg

# Går til angitt posisjon # Tegner en prikk her

ER

12 t.penup() 13 14 while x <= xslutt: 15 t.goto(x, y) 16 t.dot() 17 x = x + xsteg 18 y = 4*x ‑ 3

Vi kjører programmet og får dette resultatet:

G

IN

Turtle

49

Her er en oversikt over noen kommandoer fra turtle-biblioteket:

TIL KOMMANDO

t.forward()

t.backward()

t.left() t.goto()

t.dot()

t.circle() t.pendown()

t.pencolor() t.home()

t.backward(40) t.right(90) t.left(180) t.goto(50, 100)

t.dot()

t.circle(200) t.pendown() t.penup()

t.pencolor('red') t.home()

IN

t.setheading()

t.forward(20)

ER

t.penup()

EKSEMPLER

RD

VU

t.right()

HVA SKJER? Markøren flytter seg forover Markøren flytter seg bakover Markøren roterer mot høyre Markøren roterer mot venstre Markøren går til angitt posisjon Vi tegner en prikk med sentrum i markøren Vi tegner en sirkel med sentrum i markøren Markøren tegner Markøren tegner ikke Setter farge Markøren går tilbake til origo Markøren snur seg til angitt vinkel. 0 er til høyre, 90 er rett opp, 270 er rett ned.

t.setheading(270)

G

På https://docs.python.org/3/library/turtle.html finner du en fullstendig oversikt over mulige kommandoer.

50

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.43 Skriv et program som tegner en femkant.

Prøv deg fram for å finne ut hvor mange grader du må snu mot høyre hver gang for at du skal komme tilbake til punktet der du startet.

1 import turtle as t 2 t.speed(100) 3 for i in range(200): 4 t.forward(i) 5 t.left(71)

1.45

a) Skriv et program som tegner stjernen på figuren. b) Utvid programmet slik at en bruker kan bestemme hvor mange armer stjernen kan ha. c) Endre programmet slik at armene ikke blir så spisse. Se figuren under.

1.46 Tegn punkter på linja y = 50 − x. Velg xverdier mellom 0 og 70 med trinnlengde 10.

G

a) Forklar hva som skjer i hver av linjene i koden. b) Gjør endringer i programmet slik at du får tegnet opp figurer med henholdsvis

IN

ER

RD

VU

1.44 Koden under tegner en figur med fem «armer».

tre, fire og seks armer. c) Gjør endringer i programmet slik at du får «armene» rotert den andre veien.

Lister

51

TIL

1.7 Lister

Til nå har vi lagret bare en og en verdi i en variabel. Dersom vi skal lagre større mengder data, bruker vi lister. En liste består av en rekke elementer med komma mellom, innenfor de to parentesene «[» og «]». Dette er et eksempel på en liste: [1, 4, 3, 5, 'hei', 44, 21, 1, 2, 'hei', 'HEI']

VU

Vi oppretter en liste ved å tilordne en liste til en variabel. Koden nedenfor oppretter to lister, én liste med tre elementer og én tom liste.

1 liste1 = ['Niels Henrik', 'Thoralf', 'Sophus'] 2 liste2 = []

RD

Vi legger til elementer i en allerede eksisterende liste med kommandoen append. Denne kommandoen skal ha to argumenter, nemlig hva som skal legges til og i hvilken liste det skal legges til. I Python skriver vi først listenavnet, deretter et punktum, etterfulgt av «append» og til slutt elementet som skal legges til, inni parenteser. I koden nedenfor oppretter vi først en tom liste. Deretter legger vi til tre elementer.

IN

ER

1 liste1 = [] 2 3 liste1.append(5050) 4 liste1.append(1153) 5 liste1.append(1974)

Ingenting blir skrevet til konsollen når vi kjører dette programmet.

Men i variabeloversikten kan vi se at variabelen «liste1» nå har verdien [5050, 1153, 1974].

Lag et program som oppretter en liste med tallene 1–10.

LØSNING

Først oppretter vi en tom liste. Deretter bruker vi en løkke til å legge ett og ett tall fra tallene 1–10 inn i lista.

G

: : : EKSEMPEL 1.27

52

KAPITTEL 1

TIL

1 liste = [] 2 3 for i in range(1, 11): 4 liste.append(i) 5 6 print(liste)

VU

Resultatet fra programmet blir [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

Lister kan vi bruker til å lagre verditabeller, som vi ser i eksempelet her.

RD

: : : EKSEMPEL 1.28

Legg x- og y-verdier fra funksjonen y = 4x + 1 inn i to lister. La x starte på 1 og øke med 0,5 helt til x er 5.

LØSNING

G

Når vi kjører programmet, får vi:

IN

ER

1 xverdier = [] 2 yverdier = [] 3 x = 1 4 y = 4*x + 1 5 6 while x <= 5: 7 xverdier.append(x) 8 yverdier.append(y) 9 x = x + 0.5 10 y = 4*x + 1 11 12 print(xverdier) 13 print(yverdier)

[1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0]

[5, 7.0, 9.0, 11.0, 13.0, 15.0, 17.0, 19.0, 21.0]

Lister

53

TIL

FRA BLOKK TIL TEKST

append-funksjonen i Python svarer til liste-blokka «legg til i liste»

i Scratch. Koden nedenfor legger tallene 1, 2, . . . , 10 inn i lista «liste».

når

klikkes

sett tall

til 1

VU

gjenta 10 ganger

legg til tall i liste sett tall

til tall + 1

RD

Dette tilsvarer Python-koden i eksempelet ovenfor.

ER

Vi henter ut enkeltelementer fra lister ved å skrive listenavnet og så nummeret til det elementet vi skal ha. Nummeret skriver vi inni listeparentesene «[» og «]». I Python teller vi fra 0, så første element fra lista «liste» får vi med kommandoen liste[0], andre element med liste[1], og så videre. Hvis du bruker negative tall, teller Python fra høyre. liste[‑1] er derfor siste element i lista.

andre element, liste[1]

siste element, liste[–1]

sjette element, liste[5]

G

første element, liste[0]

IN

liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21]

54

KAPITTEL 1

TIL

: : : EKSEMPEL 1.29 Lag en liste med minst to navn. Skriv ut første og andre navn.

LØSNING

VU

1 fornavn = ['Niels Henrik', 'Thoralf', 'Sophus'] 2 3 første = fornavn[0] 4 andre = fornavn[1] 5 6 print(første) 7 print(andre)

Etter at vi har kjørt programmet står det i konsollen:

RD

Niels Henrik

Thoralf

: : : EKSEMPEL 1.30

ER

Kommandoen len kommer fra engelsk «length», som betyr ‘lengde’.

Kommandoen len gir lengden av en liste. Da gir range(len(liste)) en tallfølge 0, 1, 2, 3, . . ., med like mange tall som det er elementer i lista.

Det gjør at vi kan plukke ut alle elementer i lista.

Lag en liste med noen navn. Skriv et program som skriver alle navnene til konsollen.

LØSNING

IN

1 fornavn = ['Niels Henrik', 'Thoralf',

'Sophus', 'Vilhelm', 'Caspar', 'Viggo']

Programmet gir dette resultatet:

G

2 3 for i in range(len(fornavn)): 4 print(fornavn[i], end=', ')

Niels Henrik, Thoralf, Sophus, Vilhelm, Caspar, Viggo,

Lister

55

TIL

Det går også an å bruke en for-løkke direkte på lista, uten å bruke range. Nedenfor ser du en kode som gir samme resultat som i eksempelet ovenfor.

1 fornavn = ['Niels Henrik', 'Thoralf', 'Sophus', 'Vilhelm', 'Caspar', 'Viggo']

VU

2 3 for person in fornavn: 4 print(person, end=', ')

Når vi skal endre verdien til en variabel, definerer vi rett og slett variabelen på nytt. På samme måte kan vi bytte ut et element i en liste.

Vi setter et bestemt element til en ny verdi.

RD

: : : EKSEMPEL 1.31

Ta utgangspunkt i lista definert i denne koden:

1 grønnsaker = ['hodekål', 'spisskål', 'kålrot', 'blomkål', 'rosenkål']

Bytt ut tredje element med noe annet.

ER

LØSNING

Vi setter element nummer to til en annen verdi.

1 grønnsaker = ['hodekål', 'spisskål', 'kålrot', 'blomkål', 'rosenkål']

Når vi kjører koden, får vi

'rosenkål'] ['hodekål', 'spisskål', 'sukkerspinn', 'blomkål', 'rosenkål']

G

['hodekål', 'spisskål', 'kålrot', 'blomkål',

IN

2 print(grønnsaker) 3 grønnsaker[2] = 'sukkerspinn' 4 print(grønnsaker)

56

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.47 Koden definerer en liste.

1 liste = ['sykkel', 'båt', 'kjelke', 'bil', 'tog']

VU

a) Utvid koden slik at den plukker ut andre og tredje element i lista. b) Bytt ut «båt» med «fly» i lista.

1.48 Ta utgangspunkt i denne lista:

(30, 40), (34, 40), (70, 50), (74, 50)]

4 5 t.penup() 6 t.dot() 7 8 for port in porter: 9 t.goto(port) 10 t.dot() 11 12 t.goto(0, 0)

RD

1 frukt = ['eple', 'pære',

1 import turtle as t 2 3 porter = [(10, 50), (14, 50),

'plomme', 'appelsin',

'klementin', 'ananas', 'kiwi']

Skriv ut annenhver frukt.

1.51 Skriv opp alle kombinasjoner vi kan få av brød, rundstykke, knekkebrød, og pannekake kombinert med ost, syltetøy, agurk og egg.

G

IN

1.50 Koden nedenfor tegner tre porter, hvor hver port består av to punkter.

ER

1.49 Lag et program som legger oddetallene opp til 50 inn i en liste.

Utvid programmet slik at markøren tegner et spor gjennom portene uten at sporet berører portene.

Funksjoner

57

TIL

1.8 Funksjoner En funksjon i Python er en samling av kommandoer og instruksjoner. De innebygde kommandoene print og input er eksempler på funksjoner.

Vi bruker en funksjon ved å skrive navnet på funksjonen etterfulgt av to parenteser, «(» og «)». Vi sier at vi kaller på funksjonen. Her ser du et eksempel på en funksjon:

Resultatet blir: Hei, hei!

Klar til å lære mer?

RD

VU

1 # Her lager vi funksjonen 2 def hilsen(): 3 print('Hei, hei!')

4 print('Klar til å lære mer?')

5 6 # Her kaller vi på funksjonen 7 hilsen()

ER

Det er kontrollordet def som viser at dette er en funksjon. Det blir etterfulgt av en variabel, altså navnet på funksjonen, parenteser og et kolon. Alle påfølgende linjer med samme innrykk blir utført når vi kaller på funksjonen.

Funksjonen må være definert før vi bruker den. Hvis vi flytter «hilsen()» i linje 6 over de tre første linjene, får vi en feilmelding som sier at variabelen vi prøver å bruke ikke er definert:

IN

NameError: name 'hilsen' is not defined

Dette betyr altså at vi ikke kan kalle på funksjonen før den er definert.

G

En funksjon kan ta ett eller flere argumenter. Da setter vi i så fall argumentene inn i en parentes, og bruker dem som vanlige variabler i definisjonen.

58

KAPITTEL 1

TIL

: : : EKSEMPEL 1.32 Lag en funksjon som legger sammen to tall og skriver ut svaret.

LØSNING

Vi bruker to argumenter, «tall1» og «tall2». Når vi så kaller på funksjonen, setter vi argumentene til funksjonen i parentesene.

VU

1 def addisjon(tall1, tall2): 2 svar = tall1 + tall2 3 print(f'Summen av de to tallene er {svar}.')

4 5 addisjon(4, 5) Summen av de to tallene er 9.

RD

Funksjonene ovenfor skriver resultatet rett til konsollen. En annen mulighet er å la funksjonene returnere en verdi, som vi så kan bruke videre. Koden nedenfor gir samme resultat som koden i eksempelet over, men er bygget opp på en annen måte:

ER

Her returnerer funksjonen «addisjon» summen av de to argumentene.

Deretter lagrer vi resultatet av funksjonen i variabelen «regnestykke», før vi printer resultatet til skjerm i en egen operasjon. Det er mange måter å bruke funksjoner på. Etter hvert som du programmerer mer og mer, vil du bli flinkere til å vurdere hvordan det er lurt å bruke funksjoner i programmene dine.

G

Når vi definerer en matematisk funksjon med def, lar vi x-verdien være argumentet til funksjonen. Vi returnerer y-verdien med return.

IN

1 def addisjon(tall1, tall2): 2 svar = tall1 + tall2 3 return svar 4 5 regnestykke = addisjon(4, 5) 6 print(f'Summen av de to tallene er {regnestykke}.')

Vi tar med et eksempel hvor vi bruker en funksjon til å lage en verditabell.

Funksjoner

59

TIL

: : : EKSEMPEL 1.33

a) Lag et program som skriver ut en verditabell for funksjonen f(x) = 3x − 7. La x være tallene {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. b) Endre koden din slik at programmet lagrer x- og y-verdiene i to lister. La avstanden mellom hver x-verdi være 0,5.

LØSNING

VU

a) Vi definerer f(x) som en funksjon øverst i koden og bruker den underveis i programmet.

Når vi kjører koden, får vi dette:

‑1

‑10

0

‑7

1

‑4

2

‑1

3

2

4

5

5

8

b) Vi fjerner print-kommandoen fra linje 11. I stedet oppretter vi to lister «xverdier» og «yverdier» (linje 7–8), som vi så legger xog y-verdiene inn i, se linje 14–15.

G

‑13

IN

‑2

ER

RD

1 def f(x): 2 return 3*x ‑ 7 3 xstart = ‑2 4 xslutt = 5 5 xsteg = 1 6 7 x = xstart 8 y = f(x) 9 10 while x <= xslutt: 11 print(f'{x:4} {y:4}') 12 x += xsteg 13 y = f(x)

60

KAPITTEL 1

TIL

RD

VU

1 def f(x): 2 return 3*x ‑ 7 3 xstart = ‑2 4 xslutt = 5 5 xsteg = .5 6 7 xverdier = [] 8 yverdier = [] 9 10 x = xstart 11 y = f(x) 12 13 while x <= xslutt: 14 xverdier.append(x) 15 yverdier.append(y) 16 x += xsteg 17 y = f(x) 18 19 print(xverdier) 20 print(yverdier)

ER

Koden ovenfor gir dette resultatet:

[‑2, ‑1.5, ‑1.0, ‑0.5, 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0] [‑13, ‑11.5, ‑10.0, ‑8.5, ‑7.0, ‑5.5, ‑4.0, ‑2.5, ‑1.0, 0.5, 2.0, 3.5, 5.0, 6.5, 8.0]

IN

I kodene i Scratch og Python nedenfor returnerer funksjonen en verdi, nemlig kvadratet av input.

G

Funksjoner

61

TIL

FRA BLOKK TIL TEKST

Å definere en funksjon i Python tilsvarer å lage sin egen blokk i Scratch. Koden nedenfor lager en ny blokk «kvadrer», som kvadrerer tallet.

definer kvadrer number or text sett svar

til number or text * number or text

når

VU

klikkes

kvadrer 5

RD

Koden ovenfor tilsvarer omtrent følgende Python-kode: 1 def kvadrer(n): 2 return n**2 3 4 print(kvadrer(5))

ER

Når vi kjører programmene, får vi til svar at 52 = 25.

I eksempelet under returnerer ikke funksjonen noe, men utfører en gruppe instruksjoner hver gang funksjonen blir brukt.

Skriv et program som tegner følgende figur.

Avstanden mellom hvert kvadrat er lik sidelengden av kvadratet til venstre. Kvadratet helt til venstre har sidelengde 10. Neste kvadrat har sidelengde 20, deretter 30 og så videre.

G

IN

: : : EKSEMPEL 1.34

62

KAPITTEL 1

TIL

LØSNING

VU

1 import turtle as t 2 3 def tegnkvadrat(n): 4 for i in range(4): 5 t.forward(n) 6 t.right(90) 7 8 for i in range(10, 61, 10): 9 tegnkvadrat(i) 10 t.forward(2*i)

RD

Vi kan kombinere vilkår med funksjoner. La oss se på et eksempel:

: : : EKSEMPEL 1.35

Skriv et program som ber en bruker om et heltall. Programmet skal sjekke om tallet er delelig med 4 eller 7.

ER

LØSNING

Vi definerer funksjonen «delelig(n)». Vi sjekker om n er delelig med 4 eller 7. I såfall returnerer vi svarsetningen direkte. Hvis ikke returnerer vi det motsatte. Under funksjonen henter vi et tall fra en bruker med kommandoen input og gjør tallet om til et heltall med kommandoen int.

IN

1 def delelig(n): 2 if (n % 4 == 0) or (n % 7 == 0): 3 return f"{n} er delelig med 4 eller 7" 4 else: 5 return f"{n} er ikke delelig med 4

G

eller 7"

6 7 n = int(input("Skriv inn et heltall: ")) 8 print(delelig(n)) Hvis vi skriver inn 27 får vi:

Funksjoner

63

TIL

Skriv inn et heltall: 27 27 er ikke delelig med 4 eller 7

Hvis vi skriver inn 28 får vi: Skriv inn et heltall: 28 28 er delelig med 4 eller 7

VU

OPPG AVER

1.52 Lag en funksjon som returnerer produktet av to tall.

RD

1.53 Lag en funksjon som returnerer en liste over differansene i en liste.

1.56 Lag et program som skriver ut en verditabell for funksjonen y = x2 + 3x − 1. La x gå fra −5 til 5 med sprang på 1.

1.54 Koden nedenfor summerer alle tallene opp til n = 6:

1.58 Skriv et program som inneholder funksjonen «BingBang(n)». Programmet skal be en bruker om verdien av n, for så å returnere «Bing» hvis n er delelig med 3 «Bang» hvis n er delelig med 4 «BingBang» hvis n er delelig med 3 og 4 verdien av n hvis n verken er delelig med 3 eller 4

G

1.55 Lag en funksjon som summerer alle tallene i en liste.

Bruk turtle-biblioteket til å tegne figuren.

IN

Skriv om programmet slik at vi får en funksjon som summerer alle tallene opp til og med n.

ER

1 n = 6 2 3 summen = 0 4 for i in range(1, n + 1): 5 summen += i 6 7 print(summen)

1.57 Figuren består av tre kopier av fire sirkler tegnet horisontalt slik at avstanden mellom sentrum i to sirkler er lik radius.

64

KAPITTEL 1

TIL

1.9 Anvendelser i tallteori Hundrenettet Løkker egner seg godt til å illustrere eller oppdage egenskaper ved tallene våre. Vi skal programmere et hundrenett. Vi tar utgangspunkt i heltallene fra 1 til 100:

VU

1 for tall in range(1, 101): 2 print(tall, end=' ')

Koden gir disse tallene:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

RD

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ER

Vi legger inn en test slik at vi får linjeskift bare etter tallene i tigangen.

Dette gjør vi ved å sjekke om tallet har null i rest når vi deler på 10, altså ved å se om tall % 10 blir null.

Resultatet blir

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

IN

1 for tall in range(1, 101): 2 if tall % 10 == 0: 3 print(tall) 4 else: 5 print(tall, end=' ')

Anvendelser i tallteori

65

TIL

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Nå lar vi alle kolonnene ha bredde 3 ved å skrive f'{tall:3}'. Da ser det litt ryddigere ut:

VU

1 for tall in range(1, 101): 2 if tall % 10 == 0: 3 print(f'{tall:3}') 4 else: 5 print(f'{tall:3}', end=' ')

RD

Når vi kjører denne koden får vi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

41

42

43

44

45

46

47

48

49

51

52

53

54

55

56

57

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

71

72

73

74

75

76

77

78

79

81

82

83

84

85

86

87

88

89

91

92

93

94

95

96

97

98

99 100

ER

1 11

40 50 60 70 80

Nå har vi fått et hundrenett. Dette kan vi bruke til å utforske egenskaper og sammenhenger mellom de naturlige tallene.

Vi legger nå til en if-test i starten, som avgjør om tallet skal skrives ut eller ikke. For å bare skrive ut for eksempel tregangen, legger vi inn en test om tallet er delelig med 3. Dette gjør vi ved å sjekke om vi får null i rest når vi deler på 3, altså om tall % 3 blir null. Når vi ikke skal printe tallet, printer vi i stedet tre mellomrom, se linje 9.

G

IN

90

66

KAPITTEL 1

TIL

1 for tall in range(1, 101): 2 if tall % 3 == 0: 3 if tall % 10 == 0: 4 print(f'{tall:3}') 5 else: 6 print(f'{tall:3}', end=' ') 7 else: 8 if tall % 10 == 0: 9 print(' ') 10 else: 11 print(' ', end=' ')

VU Koden ovenfor gir: 3

21

6

24

30

36

42

45

54

39 48

57

63

60

66

72

75

84

93

Primtall

69 78

87

90

ER

81

18

27

33

51

9

15

RD

12

96

99

2, 3, 5, 7, 11, 13

IN

Primtallene er de hele tallene større enn 1 som bare er delelige med 1 eller seg selv. De første primtallene er

Vi skal lage et program som undersøker om et tall er et primtall. Da må vi undersøke alle tall lavere enn tallet, men større enn eller lik 2.

G

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 3 for i in range(2, n): 4 if n % i == 0: 5 print(f'{n} er ikke et primtall')

Anvendelser i tallteori

67

TIL

Når vi kjører dette programmet, kommer teksten «Skriv inn et heltall: » opp i konsollen. Hvis vi da taster 6 og trykker enter, ser det slik ut: Skriv inn et heltall: 6 6 er ikke et primtall 6 er ikke et primtall

VU

Vi ser at koden skriver ut én melding om at tallet ikke er et primtall for hver gang programmet finner en faktor. For å rette opp dette, legger vi inn en break:

RD

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 3 for i in range(2, n): 4 if n % i == 0: 5 print(f'{n} er ikke et primtall') 6 break

Det blir lettere å bruke koden dersom vi «pakker den inn» som en funksjon.

G

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 3 faktor_funnet = False 4 for i in range(2, n): 5 if n % i == 0: 6 faktor_funnet = True 7 break 8 if faktor_funnet == True: 9 print(f'{n} er ikke et primtall') 10 else: 11 print(f'{n} er et primtall')

IN

ER

Programmet gir nå beskjed når det vi taster inn ikke er primtall. Men hvordan kan vi vite om tallet er et primtall? Løsningen er at vi etter at løkka er ferdig må huske om vi fant en faktor eller ikke. Hvis vi ikke gjorde det, så er tallet et primtall. Vi bruker en variabel til dette. Vi kaller den faktor_funnet. Vi setter den til False før løkka kjører. Hvis vi finner en faktor, setter vi faktor_funnet til True.

68

KAPITTEL 1

TIL

1 def erPrimisk(n): 2 faktor_funnet = False 3 for i in range(2, n): 4 if n % i == 0: 5 faktor_funnet = True 6 break 7 return not(faktor_funnet) 8 9 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 10 11 if erPrimisk(n): 12 print(f'{n} er et primtall') 13 else: 14 print(f'{n} er ikke et primtall')

VU

RD

Funksjonen ovenfor returnerer True dersom n er et primtall, og False dersom n ikke er et primtall.

Testene if erPrimisk(n): og if erPrimisk(n) == True: betyr akkurat det samme.

Programmet fungerer slik det skal for de fleste tall, men inneholder noen forbedringspunkter. La oss se om vi kan forbedre koden.

ER

: : : EKSEMPEL 1.36

LØSNING

IN

Ta utgangspunkt i koden ovenfor. a) Koden fungerer bare for tall som er større enn eller lik 2. Gjør nødvendige endringer for å rette opp dette. b) Hva er det største tallet vi trenger å sjekke om n er delelig med?

Legg dette inn i koden.

2 if n <= 1: 3 return False

G

a) Vi legger inn en test i starten av koden, slik at funksjonen returnerer False dersom n ≤ 1:

b) Siden 2 er det minste primtallet, trenger vi ikke sjekke tall større enn n2 . Vi kunne derfor la range gå fra 2 til n2 . Vi må imidlertid

Anvendelser i tallteori

69

TIL

gjøre om n2 til et helt tall, for eksempel med int(n/2) + 1.

Dette gjør koden mer effektiv. √ Det er imidlertid tilstrekkelig å sjekke tall opp til n, siden ingen faktor kan være større enn det. Vi lar derfor range gå til int(math.sqrt(n)) + 1:

G

IN

ER

RD

VU

1 import math 2 3 def erPrimisk(n): 4 if n <= 1: 5 return False 6 faktor_funnet = False 7 stopp = int(math.sqrt(n) + 1) 8 for i in range(2, stopp): 9 if n % i == 0: 10 faktor_funnet = True 11 break 12 return not(faktor_funnet) 13 14 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 15 16 if erPrimisk(n): 17 print(f'{n} er et primtall') 18 else: 19 print(f'{n} er ikke et primtall')

70

KAPITTEL 1

TIL

Divisorer En divisor er et tall som et annet tall er delelig med. Vi kan bruke en løkke og en test med % til å finne alle divisorer.

: : : EKSEMPEL 1.37 a) Skriv et program som skriver ut alle divisorer til et tall. b) Gjør endringer i koden slik at programmet summerer alle divisorene til tallet.

VU LØSNING

a)

RD

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 for i in range(1, n + 1): 3 if n % i == 0: 4 print(i, end=' ')

Vi kjører programmet. Vi blir bedt om et heltall. Dersom vi skriver inn 12 og trykker på enter, ser konsollen vår slik ut: Skriv inn et heltall: 12 1 2 3 4 6 12

ER

b)

IN

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 summen = 0 3 for i in range(1, n + 1): 4 if n % i == 0: 5 print(i, end=' ') 6 summen += i 7 print() 8 print(f'Summen av divisorene er {summen}')

Skriv inn et heltall: 12 1 2 3 4 6 12 Summen av divisorene er 28

G

Når vi kjører programmet og taster inn 12 underveis, får vi

Anvendelser i tallteori

71

TIL

Primtallsfaktorisering Å primtallsfaktorisere et tall betyr å bryte ned et tall i alle primtall som tallet er et produkt av. For eksempel kan tallet 12 skrives som 2 · 2 · 3. Vi kan bruke Python til å hjelpe oss med primtallsfaktoriseringen.

VU

Vi tar utgangspunkt i et tall, n. Så lager vi en for-løkke som går gjennom alle tall fra og med 2 opp til n. Ved å bruke restoperatoren %, kan vi sjekke om n er delelig med hvert av tallene fra og med 2 og oppover.

Hvis n er delelig med et tall, skriver vi ut dette tallet og oppdaterer verdien n ved å dele det på tallet vi får fra for-løkka, helt til n er lik 1. La oss primtallsfaktorisere tallet 12:

RD

1 n = 12 2 for i in range(2, n): 3 while n % i == 0: 4 print(i, end=' ') 5 n = n/i 6 if n == 1: 7 break

2 2 3

Det betyr at 12 = 2 · 2 · 3.

Vi hadde ikke trengt linje 6 og 7 i koden, men legg merke til at den største primtallsfaktoren er 3. Det betyr at n = 1 når for-løkka er kommet til i = 3. Dermed slipper datamaskinen å gjøre beregninger med alle tallene større enn 3.

Grunnen til at vi bare får primtall, er at vi starter på et lavest mulig tall og går oppover. Hvis n er delelig med et tall som ikke er et primtall, for eksempel 4, vil ikke dette komme opp som faktor ettersom vi sjekker om det er delelig med 2 før vi sjekker om det er delelig med 4.

G

IN

ER

Her vil for-løkka gå gjennom ett og ett tall fra og med 2 til og med 11.

Dermed vil while-løkka starte med tallet 2. Vi vet at 12 : 2 = 6. Når while-løkka kjører for andre gang, vil n = 6. Tallet 6 er også delelig med 2. Tredje gang vi kommer til testen i linje 3 er derfor n = 3. Men tallet 3 er ikke delelig med 2, så derfor går vi ut av while-løkka. Vi forsetter på den neste verdien av i i for-løkka, nemlig i = 3. Ettersom 3 er delelig med 3, får vi at 3 er den siste primtallsfaktoren. Da er n = 1 og vi avbryter forløkka. Når vi kjører koden får vi

72

KAPITTEL 1

TIL

: : : EKSEMPEL 1.38 Skriv et program som ber om et heltall, for så å skrive ut primtallsfaktorene til tallet. Hvis tallet som skrives inn er et primtall, skal programmet skrive ut at tallet er et primtall.

LØSNING

I linje 8 endrer vi en variabel når vi finner en faktor. Du kan lese mer om dette på side 102.

RD

VU

1 n = int(input('Skriv inn et heltall: ')) 2 3 faktor_funnet = False 4 for i in range(2, n): 5 while n % i == 0: 6 print(f'{i} er en primtallsfaktor') 7 n = n/i 8 faktor_funnet = True # 9 if not faktor_funnet: 10 print(f'Tallet er et primtall')

Når vi kjører programmet og for eksempel skriver inn «170» underveis, får vi dette resultatet: Skriv inn et heltall: 170

ER

2 er en primtallsfaktor 5 er en primtallsfaktor

17 er en primtallsfaktor

Hvis vi skriver inn tallet «457» underveis får vi:

OPPG AVER

1.60 Finn alle tall som er delelige med 2 eller 3 og

skriv dem ut på hundrenettet.

G

1.59 Skriv et program som skriver ut seksgangen på hundrenettet.

IN

Skriv inn et heltall: 457 Tallet er et primtall

1.61 Lag en kode i Python som skriver ut den lille gangetabellen.

Tallmønstre

73

TIL

1.10 Tallmønstre En tallfølge er tall som kommer i en bestemt rekkefølge etter et bestemt mønster. Et eksempel kan være tallene 1, 4, 9, 16, 25

Vi kan se mønsteret tydelig ved å skrive tallfølgen som

VU

1 2 , 22 , 32 , 42 , 52

Mønsteret er her altså at vi opphøyer de naturlige tallene i andre potens.

: : : EKSEMPEL 1.39

Lag et program som skriver ut tallfølgen nedenfor.

RD

1, 4, 9, 16, 25 LØSNING

Vi bruker en for-løkke til å lage tallene 1, 2, 3, 4 og 5. Vi printer ut kvadratet av tallene.

ER

1 for n in range(1, 6): 2 print(n**2, end=' ')

Dersom vi klarer å finne en formel for tall nummer n, bruker vi formelen til å lage og skrive ut tallene. I eksempelet nedenfor finner vi en formel for rektangeltallene.

Rektangeltallene framkommer ved disse figurene:

R2

R3

R4

Lag et program som skriver ut hvor mange firkanter det er i hver figur i de ti første figurene.

G

R1

IN

: : : EKSEMPEL 1.40

74

KAPITTEL 1

TIL

LØSNING

Første figur har to ruter. Vi finner neste figur ved å legge til en rad og en kolonne på hver figur. Figur 2 har to rader og tre kolonner og derfor 2 · 3 = 6 ruter. Figur 3 har tre rader og fire kolonner og 3 · 4 = 12 ruter. Det betyr at figur n har n rader og n + 1 kolonner.

Antall ruter blir da n · (n + 1).

VU

1 for n in range(1, 11): 2 tall = n*(n + 1) 3 print(tall, end=' ')

Vi kjører programmet og får: 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

RD

Hvis vi ikke finner en formel for tallene, kan vi likevel programmere mønsteret, bare vi avslører hva regelen for neste tall er.

: : : EKSEMPEL 1.41

Tallene nedenfor danner et mønster:

ER

3, 7, 15, 31, 63, 127, . . .

Lag et program som skriver ut de ti første tallene i mønsteret.

LØSNING

Resultatet i konsollen blir 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047

G

1 tall = 3 2 for i in range(10): 3 print(tall, end=' ') 4 tall = 2*tall + 1

IN

Vi prøver oss fram og oppdager at hvert tall er én mer enn det dobbelte av forrige tall. Vi lager en løkke hvor vi adderer én til det dobbelte av forrige tall. Vi bruker en for-løkke som går ti ganger.

Tallmønstre

75

TIL

Når vi må bruke flere tidligere ledd for å regne ut neste ledd i en tallfølge, må vi bruke en ekstra variabel til å huske forrige tall.

: : : EKSEMPEL 1.42

Fibonacci-tallene er tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .

Lag et program som skriver ut de ti første Fibonacci-tallene.

VU

LØSNING

Vi legger merke til at hvert tall i følgen er summen av de to forrige tallene. Før vi regner ut ny verdi for tall2 må vi lagre verdien. Vi lagrer den i en variabel «minne».

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Fraktaler er geometriske figurer som ser like ut enten vi zoomer inn eller ut. Mange fraktaler inneholder en ganske enkel definisjon, men virker ganske kompliserte når vi lar datamaskinen bruke definisjonen flere ganger.

: : : EKSEMPEL 1.43 Den drageliknende fraktalen «Jurassic Park» lages etter følgende oppskrift: a) Start med en «H».

G

IN

Fraktaler

ER

RD

1 tall1 = 1 2 tall2 = 1 3 print(tall1, end=' ') 4 # Trenger ni tall til 5 for i in range(9): 6 print(tall2, end=' ') 7 minne = tall2 8 tall2 = tall1 + tall2 9 tall1 = minne

76

KAPITTEL 1

TIL

b) Lag en kopi av forrige liste. c) Bytt ut «H» med «V» og «V» med «H» i lista. d) Snu rekkefølgen. e) Legg til en «H» og så den endrede kopien. f ) Gjenta flere ganger. g) Tegn. «H» betyr snu 90° til høyre og gå rett fram, «V» betyr snu 90° til venstre og gå rett fram.

Når vi tegner, skal vi etter en, to, tre og fire omganger få disse figurene.

VU

Skriv programmet som tegner fraktalen.

RD

LØSNING

Først lager vi en startliste «[’h’]» (linje 7). Inni løkka tar vi en kopi av lista (linje 11) og utvider lista med en «’h’» (linje 12). Så snur vi kopien (linje 13) og bytter om «’v’» og «’h’» (linje 18). Så setter vi lista og kopien sammen (linje 24). Til slutt tegner vi figuren: «’h’» betyr til høyre og rett fram, mens «’v’» betyr til venstre og rett fram.

ER

G

IN

1 import turtle as t 2 t.speed(speed=0) 3 4 antall_iterasjoner = 13 5 lengde = 4 6 7 ny = ['h'] # Starter med høyre 8 # Teller antall runder (iterasjoner) 9 iterasjon = 1 10 while iterasjon < antall_iterasjoner: 11 kopi = ny # Tar vare på en kopi.

12 ny = ny + ['h'] # Legger på en ekstra 'h' 13 kopi.reverse() # Snur kopien

Tallmønstre

77

TIL

G

IN

ER

RD

VU

17 # Bytter om på venstre og høyre 18 for i in range(len(kopi)): 19 if kopi[i] == 'h': 20 kopi[i] = 'v' 21 else: 22 kopi[i] = 'h' 23 # Legger til den endrede kopien 24 ny = ny + kopi 25 26 iterasjon += 1 27 28 for instruks in ny: 29 if instruks == 'h': 30 t.right(90) 31 t.forward(lengde) 32 else: 33 t.left(90) 34 t.forward(lengde)

78

KAPITTEL 1

TIL

OPPG AVER

1.62 Lag et program som skriver ut kubikktallene, altså 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, . . .

VU

1.63 En tallfølge ser slik ut:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, . . .

1.64 En tallfølge er gitt som 256, 128, 64, 32, 16, 8, . . .

1.65 Tallfølgen nedenfor kalles Lucas-tallene:

ER

Lag et program som skriver ut de første ti leddene i følgen.

Fraktalen har fått navnet Koch-snøfnugget.

Lag et program som bruker turtle-biblioteket til å tegne fraktalet.

G

IN

2, 1, 3, 4, 7, 11, 17, . . .

1.66 Den svenske matematikeren Helge von Koch fant på en fraktal med følgende oppskrift: a) Start med «HHH». b) Bytt ut «H» med «HVHV» og «V» med «VVHV». c) Gjenta noen ganger. d) Tegn. «H» betyr snu 120° til høyre og gå rett fram, «V» betyr snu 60° til venstre og gå rett fram.

Når vi kjører programmet, skal vi ved henholdsvis ingen, en og to iterasjoner få disse figurene:

RD

a) Finn et mønster av geometriske figurer som illustrerer tallfølgen. b) Lag et program i Python som skriver ut de 15 første tallene i tallfølgen.

Lag et program som skriver ut de ti første Lucas-tallene.

Feilmeldinger

79

TIL

1.11 Feilmeldinger Det er irriterende å trykke på «Run», for så å få en feilmelding. Men feilmeldingene er til stor hjelp, om vi bare forstår hvordan de virker.

SyntaxError

Syntaks handler om regler for oppbygning av koden. Hvis du får «SyntaxError», betyr det at koden din avviker fra reglene.

VU

Denne feilmeldingen viser at det antakelig er en feil på slutten av linja: for i in range(2, n)

^

SyntaxError: invalid syntax

RD

Her mangler det er kolon, som det alltid skal være på slutten av første linje i løkker.

Den samme feilen får vi hvis vi glemmer kolon på slutten av en linje med if: if n % i == 0 ^

ER

SyntaxError: invalid syntax

Feilmeldingen inneholder et tegn som peker på et mulig sted feilen ligger. I koden nedenfor peker pila mot likhetstegnet: if n % i = 0:

IN

^ SyntaxError: invalid syntax

Og det er nettopp der feilen ligger – vi har brukt ett likhetstegn i stedet for to.

print(f'{n} er ikke et primtall) ^ SyntaxError: EOL while scanning string literal

G

Dersom vi glemmer å avslutte en streng med anførselstegn, ser feilmeldingen slik ut:

80

KAPITTEL 1

TIL

Her står «EOL» for «end of line». Feilmeldingen betyr at programmet leser en streng når linja er slutt.

Noen ganger peker feilmeldingen på linje under der feilen er: 1 if faktor_funnet: 2 print(f'{n} er ikke et primtall' 3 else: 4 print(f'{n} er et primtall')

VU

Koden over gir denne feilmeldingen: else: ^

SyntaxError: invalid syntax

RD

Det kan virke som at koden inneholder en feil på linja som begynner med else. Det er imidlertid linja over som har feil. Det mangler en parentes på slutten av linja, men feilen oppdages ikke av Python før på neste linje.

IndentationError

Innrykk er en del av reglene for koding i Python. Hvis vi bryter disse reglene, får vi «IndentationError» – feil ved innrykket.

ER

Koden nedenfor gir en feilmelding om innrykk: 1 for i in range(2, n): 2 if n % i == 0: 3 faktor_funnet = True 4 break

break ^

IN

Feilmeldingen vi får er:

indentation level

G

IndentationError: unindent does not match any outer

Innrykket skal være det samme for alle linjer i samme if-test. Det betyr at break skal ha samme innrykk som linja over.

Ett eller flere mellomrom i starten av en linje som ikke skal ha innrykk gir også en IndentationError:

Feilmeldinger

81

TIL

1 faktor_funnet = False 2 for i in range(2, n): 3 if n % i == 0: 4 faktor_funnet = True 5 break

Når vi kjører denne koden får vi

^

VU

for i in range(2, n):

IndentationError: unexpected indent

Her viser feilmeldingen at det er et ekstra mellomrom før for-løkka.

TypeError

RD

Dersom koden inneholder et brudd på hvordan de ulike typene skal brukes, får vi «TypeError». Koden nedenfor gir en TypeError: 1 n = int(input('Skriv inn et tall: ')) 2 n = n(3) Programmet gir følgende feilmelding:

ER

n = n(3)

TypeError: 'int' object is not callable

Hvis vi ikke har definert en variabel før den brukes, får vi en «NameError».

I koden nedenfor er det en skrivefeil: 1 tall = 17 2 print(tal)

G

NameError

IN

I dette programmet har variabelen n type int. På neste linje står det en parentes umiddelbart etter variabelen. Man kunne kanskje tro det skulle bety n · (3)? Dette er imidlertid slik vi i Python bruker funksjoner. Her har vi altså brukt variabelen n som en funksjon, mens den egentlig er et heltall. Da får vi «’int’ object is not callable».

82

KAPITTEL 1

Det gir denne feilmeldingen:

TIL

print(tal)

NameError: name 'tal' is not defined

IndexError

VU

Når vi arbeider med elementer i lister, må vi passe på antall elementer i lista. Feilmeldingen «IndexError» kommer dersom vi prøver å lese eller endre et element utenfor lista:

RD

1 liste = [7, 4, 4, 6, 3, 3, 7, 9] 2 3 for i in range(len(liste)): 4 x1 = liste[i] 5 x2 = liste[i + 1] 6 print(x2 ‑ x1)

I koden ovenfor vil indeksen i få verdier mellom 0 og 7, siden det er åtte elementer i lista. I linje 5 er imidlertid indeksen i + 1, som da får verdier mellom 1 og 8. Når Python får kommandoen liste[8] får vi feilmelding. Feilmeldingen blir

ER

x2 = liste[i + 1]

IndexError: list index out of range

G

IN

Ekstra biblioteker

83

TIL

1.12 Ekstra biblioteker

Til nå har du i denne boka møtt på import-kommandoen ved to anledninger, nemlig når vi skulle regne med kvadratrot eller π, og når vi skulle bruke Turtle-grafikk. Vi bruker import når vi skal bruke funksjoner som ikke følger med i grunninstallasjonen av Python.

VU

Når vi bruker import-kommandoen, leser vi inn en fil med tillegsfunksjoner. Filene kaller vi biblioteker. Vanlige biblioteker er Matplotlib, Random, Pandas, SciPy, NumPy, PyGame og andre, i tillegg til Math og Turtle.

Noen biblioteker følger alltid med Python og må bare aktiveres med import-kommandoen. Andre biblioteker må installeres spesielt i det programmeringsmiljøet du bruker.

1 import math

RD

Vi kan undersøke om et bibliotek er installert ved å skrive import sammen med biblioteknavnet og så kjøre programmet. Eksempel: Vi undersøker om Math-biblioteket er installert ved å skrive:

Når vi kjører programmet skjer det ingenting i konsollen. Det betyr at biblioteket er installert og lastet inn uten problemer.

1 import pygame

ER

Dersom vi prøver å bruke et bibliotek som ikke er installert i programmeringsmiljøet vi bruker, får vi feilmeldingen «ModuleNotFoundError».

Slik ser det ut når vi prøver å bruke biblioteket PyGame på en PC hvor PyGame ikke er installert. Vi skriver et program med én linje:

import pygame ModuleNotFoundError: No module named 'pygame'

Feilmeldingen betyr at biblioteket PyGame ikke er installert.

Noen foretrekker å importere slik: from math import *. Da lastes alle kommandoer fra biblioteket inn og kan brukes uten forstavelse, altså pi i stedet for math.pi. Det er fordeler og ulemper med begge metodene, men den anbefalte metoden er å importere slik vi har beskrevet ovenfor.

G

IN

Når vi kjører programmet får vi følgende i konsollen:

Det varierer fra program til program hvordan vi installerer nye biblioteker. Mange programmer bruker en pakkehåndterer fra Python, som kalles pip.

TIL

G

IN ER

RD VU

Algoritmer

Ekstra biblioteker

85

TIL

[2]

VU

G

IN

ER

RD

Å tenke algoritmisk handler om å tilnærme seg et problem på en systematisk måte og å kunne vurdere hvilke steg som skal til for å løse et problem. Det handler om å bryte problemet ned i mindre delproblemer for så å kunne lage fremgangsmåter for å løse problemet.

86

KAPITTEL 2

TIL

2.1 Løpe gjennom lister Noen sammensatte problemer i programmering krever at vi tar vare på mange tall. Disse kan vi lagre i en liste. Nedenfor ser vi derfor på noen teknikker knyttet til lister.

Løpe gjennom en liste direkte Med en for-løkke kan vi løpe gjennom en liste direkte.

VU

: : : EKSEMPEL 2.1 Skriv en kode som løper gjennom en liste og skriver ut elementene.

LØSNING

RD

1 liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21] 2 3 for x in liste: 4 print(x, end=' ')

Når vi kjører koden får vi dette resultatet: 1 1 2 3 5 8 13 21

ER

Vil vi summere disse tallene, lager vi en egen variabel til summen.

: : : EKSEMPEL 2.2

Skriv et program som summerer alle tallene i en liste.

1 liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21] 2 3 summen = 0 4 for x in liste: 5 summen = summen + x 6 7 print(summen) Når vi kjører koden, får vi 54 til svar.

G

IN

LØSNING

Løpe gjennom lister

87

TIL

Teknikken vi bruker i linjene 3–5 i eksempelet kan sammenfattes slik: Vi oppretter en variabel som til slutt skal inneholde summen. Hver gang løkka kjører, oppdaterer vi summen med den verdien vi er kommet til i lista. Dette er en generell teknikk vi kan bruke i mange sammenhenger.

Det finnes en innebygd kommando som gir akkurat det samme resultatet, nemlig sum. I dette kapittelet trener vi på algoritmisk tenkning og bruker derfor minst mulig av disse innebygde kommandoene. Når vi ellers programmerer, bruker vi det vi kan av kommandoer.

VU

Bruke indeksering til å løpe gjennom en liste I stedet for å la løkka løpe gjennom selve lista, kan løkka løpe gjennom plassnumrene til lista. Vi kaller plassnumrene for indekser. Indeks 0 er første plass i lista, indeks 1 er andre plass i lista, og så videre. andre element, indeks 1

siste element, indeks –1

RD

liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21]

første element, indeks 0

sjette element, indeks 5

: : : EKSEMPEL 2.3

ER

Vi bruker range-kommandoen til dette. Kommandoen len regner ut lengden av lista. Da gir kommandoen range(len(liste)) alle plassnumrene til lista liste.

Skriv en kode som løper gjennom en liste og skriver ut elementene.

Resultatet av denne koden blir 1 1 2 3 5 8 13 21

G

1 liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21] 2 3 for i in range(len(liste)): 4 x = liste[i] 5 print(x, end=' ')

IN

LØSNING

88

KAPITTEL 2

TIL

De to eksemplene ovenfor gir akkurat det samme resultatet. Fordelen med å bruke indekser er at vi også kan plukke ut for eksempel neste eller forrige element i lista. Det plassnummeret vi er på kaller vi gjerne for i.

Neste element har indeks i + 1, mens forrige element har indeks i − 1.

Da betyr liste[i] det elementet vi er på, mens liste[i+1] er neste element, og så videre.

: : : EKSEMPEL 2.4

VU

En liste av tall er gitt som 1 1

2

3

5 8

13

21

Lag en kode som regner ut differansen mellom alle tallene.

LØSNING

1

RD

Vi skal regne ut differansen mellom to tall som står ved siden av hverandre: 1

0

2

1

3

1

5

2

8

3

5

13

21

8

liste[i] er det elemementet vi er kommet til. Neste element i

lista blir da liste[i + 1]. Differansen mellom elementene blir liste[i + 1] ‑ liste[i].

ER

Resultatet av å kjøre programmet blir 0 1 1 2 3 5 8

G

IN

1 liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21] 2 3 for i in range(len(liste) ‑ 1): 4 differanse = liste[i + 1] ‑ liste[i] 5 6 print(differanse, end=' ')

I linje 3 i koden i eksempelet over står det range(len(liste) ‑ 1).

Hvorfor står det −1 der? Hold opp en hånd, så ser du det: En hånd har fem fingre. Mellom fingrene er det fire mellomrom. Lista ovenfor består av len(liste) elementer. Antall mellomrom blir da len(liste) ‑ 1.

Løpe gjennom lister

89

TIL

OPPG AVER

2.1 Skriv et program som multipliserer tallene i lista [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21].

liste = [1, 1, 2, 3, 5, 8] vekter = [1, 1, 1, 1.5, 2, 2]

Det vektede gjennomsnittet av tallene blir da 1 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1, 5 + 5 · 2 + 8 · 2 6 = 5,75

RD

VU

2.2 Vi skal skrive en kode som finner midtpunktet mellom tall. a) Finn et uttrykk for midtpunktet mellom to tall a og b.

Tips: Start med to små tall, for eksempel 5 og 11. Hvilket tall ligger midt mellom 5 og 11? hvordan kan du regne deg fram til det ved hjelp av tallene 5 og 11? Prøv gjerne med flere tall. b) Skriv en kode som regner ut midtpunktet mellom tall som står ved siden av hverandre i en liste.

tallene med en liste med vekter. Når vi regner ut gjennomsnittet multipliserer vi først tallene med tilhørende vekt.

Eksempel: Nedenfor ser du en liste med tall sammen med en liste med vekter.

KARAKTER 1 2 3 4 5 6

FREKVENS 1 4 7 9 6 2

IN

Skriv et program som regner ut gjennomsnittskarakteren.

G

2.4 Når vi regner ut gjennomsnitt av en liste med tall, er alle tallene i lista like viktige og bidrar like mye til gjennomsnittet. I et vektet gjennomsnitt kan vi la noen av tallene være viktigere enn de andre. Vi utstyrer

2.5 Tabellen viser standpunktkarakterene i matematikk i klasse 1STB.

ER

2.3 Gjennomsnittet av en liste med tall er summen av alle tallene dividert med antall tall.

Lag en kode som regner ut gjennomsnittet av alle tallene i en liste.

Skriv et program som regner ut det vektede gjennomsnittet av tallene i en liste.

90

KAPITTEL 2

TIL

2.2 if-tester Vi tar utgangspunkt i en liste med tre tall. Hvordan velger vi ut det største tallet? En mulighet er å sammenlikne alle kombinasjoner av to tall i lista:

ER

RD

VU

1 liste = [1, 6, 12] 2 3 a = liste[0] 4 b = liste[1] 5 c = liste[2] 6 7 if a < b: 8 if b < c: 9 print(c) 10 else: 11 print(b) 12 else: 13 if a < c: 14 print(c) 15 else: 16 print(a)

La oss bruke samme tankegang for å finne det midterste tallet. Det er mange muligheter underveis, og det kan gjøre det lettere hvis vi først lager et flytskjema:

a<c nei ja a a<c

ja b

ja c

nei

nei

ja

c

a

G

b<c

nei

b<c

nei

ja

IN

a<b

if-tester

91

TIL

: : : EKSEMPEL 2.5

Bruk flytskjemaet over til å skrive en kode som bruker if-tester til å plukke ut det midterste tallet, altså det tallet som har nest lavest og nest høyest verdi, i en liste med tre tall.

ER

RD

VU

1 def midterst(liste): 2 a = liste[0] 3 b = liste[1] 4 c = liste[2] 5 if a < b: 6 if b < c: 7 return b 8 elif a < c: 9 return c 10 else: 11 return a 12 elif a > b: 13 if a < c: 14 return a 15 elif b < c: 16 return c 17 else: 18 return b

Eksempelet nedenfor er stein–saks–papir. Også her bruker vi flytskjema.

nei

S1:

S1 S2:

ja nei

S1 ja S1: S2: nei S2

nei

S1: S2:

ja S1

G

uavgjort

IN

S1 == S2

92

KAPITTEL 2

TIL

: : : EKSEMPEL 2.6 Bruk flytskjemaet ovenfor til å lage et program som avgjør hvem som har vunnet i en omgang med stein–saks–papir. Brukeren skal taste inn hva spillerne har valgt.

LØSNING

VU

Vi ber brukeren om å taste inn sine valg og lagrer valgene i to variabler «spiller1» og «spiller2». Så går vi gjennom flytskjemaet. Til slutt skriver vi ut hvem som vant.

1 print('Skriv inn hva spillerne har valgt.')

2 print('Skriv inn «stein», «saks» eller «papir».')

RD

3 spiller1 = input('Spiller 1, skriv inn valg: ') 4 spiller2 = input('Spiller 2, skriv inn valg: ') 5 6 if spiller1 == spiller2: 7 vinner = 0 8 elif spiller1 == 'stein' and spiller2 == 'saks':

9 vinner = 1 10 elif spiller1 == 'saks' and spiller2 ==

ER

'papir':

11 vinner = 1 12 elif spiller1 == 'papir' and spiller2 == 'stein':

G

IN

13 vinner = 1 14 else: 15 vinner = 2 16 17 if vinner == 0: 18 print('Det ble uavgjort.')

19 else: 20 print(f'Spiller {vinner} vant.')

if-tester

93

TIL

OPPG AVER

2.6 To tall er gitt som variablene «n» og «m».

Skriv et program som avgjør hvilket tall som er størst.

G

IN

ER

RD

VU

2.7 Bygg ut eksempelet ovenfor, slik at to spillere kan spille stein–saks–papir flere ganger. Programmet skal til slutt skrive en oppsummering over hvor mange ganger hver av spillerne har vunnet.

2.8 Et tallspill med to spillere.

To spillere står vendt mot hverandre. Når de sammen har telt til 3, roper den ene ut et tall. Samtidig holder begge spillerne fram et antall fingre på den ene hånda.

Dersom summen av fingrene er tallet som ble ropt, vinner den som ropte runden. Så er det den andre spillerens tur til å rope.

Spill spillet og skriv et program som avgjør hvilken av de to spillerne som har vunnet en runde av spillet.

94

KAPITTEL 2

TIL

2.3 Største verdi

Aktivitet

RD

VU

For en gruppe på 10–15 elever.

1. Still dere etter hverandre på en rekke.

2. Alle skriver et tilfeldig tall på hver sin lapp.

3. Vi begynner med den ytterste eleven. Sammenlikne med neste person. Hvis neste har lavere tall, bytter de plass. Den med høyest tall går videre til neste person.

4. Sammenlikne med neste person. Den som har det høyeste tallet går videre.

5. Gjenta til slutten av rekka.

6. Den som kom til slutten av rekka viser fram sitt tall. Dette er det største tallet.

Det største tallet i en liste kan vi finne med kommandoen max. Vi skal imidlertid lage vår egen algoritme som gjør det samme.

10

34

35

11

31

ER

Vi starter med en liste med tall:

75

34

76

72

79

13

31

68

73

71

G

IN

Vi sammenlikner de to første tallene, 10 og 34. Så tar vi med oss det største av disse, 34, og sammenlikner med det neste, 35. Det største av disse, 35, sammenlikner vi med neste tall, altså 11. Slik fortsetter vi til vi er ferdige med hele lista.

Hvordan oversetter vi dette til Python? I beskrivelsen ovenfor ser vi at vi hele tiden husker hvilket tall som til nå er størst. I Python tilsvarer dette å ha en egen variabel hvor vi lagrer det foreløpig største tallet. Så sammenlikner vi neste verdi med dette, og bytter ut verdien av variabelen når vi finner et større tall. Vi lager et flytskjema for programmet:

Største verdi

95

TIL

størst = første tall tall = andre tall

ja

tall > størst

størst = tall

VU

nei

tall = neste tall

Vi legger merke til at variabelen som inneholder største verdi må ha en startverdi når vi begynner. Vi setter den til første tall, og så sammenlikner vi med neste.

RD

: : : EKSEMPEL 2.7

Skriv et program i Python som finner det største tallet i en liste.

LØSNING

ER

Vi løper gjennom lista og sammenlikner med en variabel som husker det foreløpig største tallet. Dette gjør vi med en for-løkke.

Før vi starter på løkka setter vi variabelen til det første tallet i lista.

1 liste = [10, 34, 35, 34, 76, 72, 79, 13, 31, 68, 73, 71]

Koden gir 79 til svar.

Når vi skal finne største eller minste element i en liste og det tilhørende elementet i en annen liste, bruker vi plassnummeret, indeksen, som ovenfor på side 87.

G

IN

2 3 størst = liste[0] 4 5 for x in liste: 6 if x > størst: 7 størst = x 8 9 print(størst)

96

KAPITTEL 2

TIL

: : : EKSEMPEL 2.8 En verditabell er gitt som to lister: xverdier = [‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] yverdier = [32, 21, 12, 5, 0, ‑3, ‑4, ‑3, 0, 5]

Skriv en kode som finner minste y-verdi og tilhørende x-verdi.

VU

LØSNING

Vi antar at den første verdien i lista over y-verdier er minst, og lagrer denne i en variabel. Deretter sammenlikner vi denne variabelen med hvert ledd i lista med y-verdier. Hver gang vi finner en lavere yverdi, bytter vi innhold i variabelen. Samtidig lagrer vi indeksen i en egen variabel. Denne bruker vi til å finne den tilsvarende x-verdien.

ER

RD

1 xverdier = [‑3, ‑2, ‑1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] 2 yverdier = [32, 21, 12, 5, 0, ‑3, ‑4, ‑3, 0, 5] 3 4 minst_y = yverdier[0] 5 minst_indeks = 0 6 7 for i in range(len(yverdier)): 8 if yverdier[i] < minst_y: 9 minst_y = yverdier[i] 10 minst_indeks = i 11 12 print(f'Minste verdi er y = {minst_y}, for x = {xverdier[minst_indeks]}.')

IN

Koden gir følgende resultat:

Minste verdi er y = ‑4, for x = 3.

G

Største verdi

97

TIL

OPPG AVER

2.9 a) Beskriv en algoritme som finner det største tallet i en liste. b) Skriv en kode som bruker denne algoritmen. c) Utvid koden slik at programmet også finner det minste tallet.

VU

2.10 En verditabell er lagret i to lister:

xverdier = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] yverdier = [2.5, 9.3, 10.9, 13.6, 14.1, 19.9, 21.5, 25.2, 32.1, 31.3]

a) Skriv et program som for hver x-verdi skriver ut differansen mellom y og 3 · x.

Eksempel: Når x er 2, blir 3 · x = 3 · 2 = 6.

Her er y = 9,3, så differansen blir 9,3 − 6 = 3,3. b) Utvid programmet til å summere kvadratet av alle differansene. Du skal altså gange hver differanse med seg selv før du summerer. c) I programmet ovenfor summerte vi kvadratet av differansene mellom y og a · x med a = 3. Utvid programmet ditt til å gjøre det samme for alle verdier a ∈ {3, 3.1, 3.2, . . . , 3.9, 4}. Bestem den verdien av a hvor summen av kvadratet av differansene blir minst.

‑1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]

yverdier = [‑11, ‑4, 1, 4, 5, 4, 1, ‑4, ‑11, ‑20, ‑31,

Bestem det punktet (x, y) som har størst yverdi.

G

IN

ER

RD

xverdier = [‑6, ‑5, ‑4, ‑3, ‑2,

‑44]

2.11 En verditabell er gitt som to lister:

98

KAPITTEL 2

TIL

2.4 Kombinasjoner Vi skal sette sammen alle kombinasjoner av bokstaven x med de tre tallene 1, 2 og 3 x

1 2 3

VU

Kombinasjonene blir: x1, x2, x3

Hvordan kan vi gjøre dette i Python? På figuren er det tre sammensetninger. Disse kan vi lage med en for-løkke som går tre ganger.

RD

1 for y in [1, 2, 3]: 2 print('x', y)

Resultatet blir: x 1 x 2

ER

x 3

Så utvider vi: Vi skal sette sammen alle mulige kombinasjoner av de tre bokstavene a, b og c med de tre tallene 1, 2 og 3. Vi begynner å liste opp mulige kombinasjoner:

IN

a1, c2, b1, a3, c1, . . .

For å sikre at vi får med oss alle kombinasjoner, leter vi etter et system.

Vi kommer fram til at vi for hvert element i den første lista lager en sammensetning med hvert element i den andre lista: a b c

a b c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

G

a b c

Hver figur tilsvarer situasjonen tidligere, som ga x1, x2 og x3. Vi må nå lage tre slike figurer. Dette kan vi også gjøre med en for-løkke som går tre ganger. Vi plasserer den ene løkka inni den andre:

Kombinasjoner

99

TIL

1 for x in ['a', 'b', 'c']: 2 for y in [1, 2, 3]: 3 print(x, y, end=', ')

Resultatet blir nå:

a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1, c 2, c 3,

VU

Listene vi kombinerer trenger ikke være like lange, som vi ser nedenfor. I neste eksempel setter vi elementene sammen og legger dem i en ny liste.

: : : EKSEMPEL 2.9

RD

Til lunsj kan Malin velge mellom loff, kneipp og rundstykker.

Påleggene hennes er syltetøy, ost, kaviar, egg og skinke.

Skriv et program som lister opp alle kombinasjonene hun kan lage til lunsj.

LØSNING

Vi bruker én løkke for brødtypene og én løkke for påleggstypene og legger løkkene inni hverandre.

'skinke']

ER

1 brød = ['loff', 'kneipp', 'rundstykke'] 2 pålegg = ['syltetøy', 'ost', 'kaviar', 'egg', 3 4 for nederst in brød: 5 for øverst in pålegg: 6 print(f'{nederst} med {øverst}')

IN

Når vi kjører programmet, skriver Python ut 24 linjer. De første linjene ser slik ut loff med syltetøy loff med kaviar loff med egg loff med skinke kneipp med syltetøy kneipp med ost

G

loff med ost

100

KAPITTEL 2

TIL

Vi kan bruke range-kommandoen til å generere tall, som vi så kombinerer som vi gjorde ovenfor.

: : : EKSEMPEL 2.10 Skriv et program som lager alle tallpar (x, y) der x og y er hele tall mellom −2 og 2.

LØSNING

VU

Heltallene mellom −2 og 2 lager vi med range(‑2, 3). Så bruker vi en for-løkke til å kombinere dem.

1 for x in range(‑2, 3): 2 for y in range(‑2, 3): 3 print(x, y, end=' | ')

RD

Når vi kjører programmet, skriver Python ut 49 linjer. De første er: ‑2 ‑2 | ‑2 ‑1 | ‑2 0 | ‑2 1 | ‑2 2 | ‑1 ‑2 | ‑1 ‑1 | ‑1 0 | ‑1 1 | ‑1 2 | 0 ‑2 | 0 ‑1 | 0 0 | 0 1 | 0 2 | 1 ‑2 | 1 ‑1 | 1 0 | 1 1 | 1 2 | 2 ‑2 | 2 ‑1 | 2 0 | 2 1 | 2 2 |

ER

Teknikken ovenfor kan vi kombinere med en if-test.

: : : EKSEMPEL 2.11

Skriv et program som finner alle hele verdier av x og y fra og med 0 til og med 10 som passer inn i likningen:

LØSNING

IN

2x − 5y = 10

1 for x in range(0, 11): 2 for y in range(0, 11): 3 if 2*x ‑ 5*y == 10: 4 print(f'({x}, {y})')

G

Vi lager alle kombinasjoner av tallpar (x, y). Vi skriver dem ut hvis de oppfyller likningen.

Kombinasjoner

101

TIL

Når vi kjører programmet, får vi: (5, 0)

(10, 2)

VU

Dette betyr at x = 5 og y = 0 oppfyller likningen. Det gjør også x = 0 og y = 2.

En alternativ print-kommando i linje 4 er print('(', x, ',', y, ')') eller print((x, y)).

OPPG AVER

2.12 Skriv om eksempelet på side 99 til å bruke indekser over de to listene.

RD

2.13 Ta utgangspunkt i de to listene:

liste1 = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f']

kombinasjonene av terningkast vi kan få. b) Endre programmet slik at det ikke skriver ut samme kombinasjon flere ganger. Altså skal (1, 2) og (2, 1) bare skrives ut som (1, 2).

liste2 = ['f', 'g', 'h', 'i']

x2 + y2 = z2

2.17 Skriv et program som med n = 5 gir følgende output: 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

2.15 a) Vi kaster to vanlige terninger. Skriv et program som skriver opp de ulike

G

for tall mellom 1 og 10.

2x + 3y = 24

IN

2.14 Skriv et program som plukker ut alle talltripler (x, y, z) som er slik at

ER

Skriv et program som lager en ny liste med alle mulige sammensetninger av ett element fra den ene lista med ett element fra den andre lista.

2.16 Skriv et program som skriver opp alle heltall x og y mellom −10 og 10 som passer i likningen

102

KAPITTEL 2

TIL

2.5 Sjekk alle Ved første øyekast ser det ut til at alle tallene nedenfor er delelige med 3.

6 27 21 39 33 9 24 33 27 12 21 45 3 36 39 36 13 24 18

VU

Vi skal undersøke om dette stemmer. Det mest naturlige er å starte på første tall og så sjekke tall for tall om det er delelig med 3. Hvis vi kommer til et tall som ikke er delelig med 3, husker vi dette. Det gjør vi enklest ved at vi endrer verdien på en en variabel. Denne variabelen må opprettes før vi undersøker første tall. tall = neste tall

delelig = ja tall = første tall

tall er delelig med 3

ja

delelig = nei

ER

RD

: : : EKSEMPEL 2.12

nei

Skriv et program som avgjør om alle tallene er delelig med 3: 6 27 21 39 33 9 24 33 27 12 21 45 3 36 39 36 13 24 18 LØSNING

IN

Vi oppretter variabelen «delelig». Vi setter verdien av denne til True. Vi endrer verdien til False hvis vi finner et tall som ikke er delelig med 3.

1 liste = [6, 27, 21, 39, 33, 9, 24, 33, 27, 12,

G

21, 45, 3, 36, 39, 36, 13, 24, 18]

2 3 delelig = True 4 for x in liste: 5 if x % 3 != 0: 6 delelig = False

Sjekk alle

103

TIL

7 if delelig == True: 8 print('Alle tallene i lista er delelige med 3.')

9 else: 10 print('Ikke alle tallene er delelige med 3.')

VU

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet: Ikke alle tallene er delelige med 3.

Det er altså minst ett tall som ikke er delelig med 3.

RD

Koden i eksempelet over vil bruke kortere tid dersom vi etter linje 6 legger til kommandoen break, som med én gang avslutter løkka.

Den samme teknikken bruker vi for å lage et program som undersøker om et tall er et primtall.

: : : EKSEMPEL 2.13

Skriv et program som avgjør om et tall er et primtall.

Vi kjører programmet og får at 57 ikke er et primtall.

G

1 n = 57 2 3 primisk = True 4 for i in range(2, n): 5 if n % i == 0: 6 primisk = False 7 8 if primisk == True: 9 print(f'{n} er et primtall') 10 else: 11 print(f'{n} er ikke et primtall')

IN

ER

LØSNING

104

KAPITTEL 2

TIL

OPPG AVER

2.18 Skriv et program som avgjør om alle tallene i lista under er delelig med sju:

{14, 56, 84, 133, 122, 28, 77}

VU

2.19 Skriv et program som sjekker om alle tallene er oddetall:

2.20 Markus har en liste med tall. Han regner med at avstanden på tallinja fra 10 til hvert tall er mindre enn 5. Skriv et program som undersøker dette. Tallene er:

{5, 7, 4, 6, −3, 16, −18, 2, 3, 17}

{3, 7, 6, 13, 31, 15, 55, 97, 13, 11, 3, 5, 10}

G

IN

ER

RD

Sortering

105

TIL

2.6 Sortering Å programmere sortering er en god øvelse i algoritmisk tenkning. Det er mange ulike måter å sortere på. Her følger noen sorteringsalgoritmer.

Boblesortering

VU

Aktivitet

RD

For en gruppe elever, gjerne om lag 10–15 personer.

1. Still dere etter hverandre på en rekke.

2. Still dere opp etter alder.

3. Dere skal nå sortere dere etter høyde. Gjør følgende: (a) Begynn i enden. Står de to første riktig? Hvis ikke, bytt plass. (b) Står nummer to og tre riktig? Bytt eventuelt plass. (c) Står nummer tre og fire riktig? Bytt eventuelt plass. (d) Fortsett slik gjennom hele rekka. (e) Begynn forfra igjen. (f ) Fortsett om og om igjen til ingen må bytte plass.

IN

: : : EKSEMPEL 2.14

ER

Boblesortering foregår slik: Vi sammenlikner de første to tallene. Hvis de står feil, så bytter vi plass. Så fortsetter vi med tall to og tre – og bytter plass om de står feil. Slik fortsetter vi gjennom hele lista. Når vi er ferdig, begynner vi forfra igjen, helt til det ikke er nødvendig å bytte noen tall.

Da er lista sortert.

Skriv et program som bruker boblesortering til å sortere en liste med tall.

LØSNING

G

I programmet får vi gjentatte ganger bruk for å bytte plass på to tall i lista. Vi lager først en funksjon som gjør dette.

Vi bruker en for-løkke til å sammenlikne to og to tall i lista.

Lengden av lista er len(liste). Da er antall par som skal sammenliknes len(liste) ‑ 1.

Vi bruker en while-løkke til å gjenta for-løkka flere runder. Hver

106

KAPITTEL 2

TIL

gang vi starter på en ny runde med for-løkke, setter vi variabelen «byttet» til False. Dersom vi må bytte to tall, setter vi «byttet» til True. Hvis en runde med for-løkka er ferdig uten at «byttet» er blitt True, vet vi at vi kan stoppe. Da setter vi «fortsett» til False.

1 liste = [30, 10, 86, 68, 69, 31, 77, 3, 14, 23, 99, 6, 66, 2, 27, 84, 16, 81, 99, 31]

RD

VU

2 3 # Funksjon som bytter plass på to elementer 4 def bytt(liste, n, m): 5 minne = liste[n] 6 liste[n] = liste[m] 7 liste[m] = minne 8 9 # Sørger for at while‑løkka starter 10 fortsett = True 11 12 while fortsett: 13 # Husker om vi har gått gjennom hele uten å bytte plass på noen.

G

IN

ER

14 byttet = False 15 for i in range(len(liste) ‑ 1): 16 17 if liste[i] > liste[i + 1]: 18 bytt(liste, i, i + 1) 19 byttet = True 20 # Hvis ingen har byttet, er vi ferdige.

21 if byttet == False: 22 fortsett = False 23 24 print(liste)

Sortering

107

TIL

Skyttelsortering

Aktivitet

1. par

3. par

2. par

5. par

4. par

ER

RD

VU

For en gruppe elever, gjerne om lag 10 personer.

1. Still dere etter hverandre på en rekke.

2. Dere skal nå sortere dere etter alder. Gjør følgende: (a) Begynn i enden. Står de to første riktig? Hvis ikke, bytt plass. (b) Står neste par, altså nummer to og tre, riktig? Bytt eventuelt plass. Sjekk også første par. (c) Står nummer tre og fire riktig? Bytt eventuelt plass. Sjekk også andre par og deretter første par. (d) Fortsett slik gjennom hele rekka.

Slik sorterer du med skyttelsortering: Sammenlikne første par, og bytt om nødvendig plass. Gå deretter videre til neste par. Sammenlikne og bytt om nødvendig. Sjekk også første par. Gå videre til tredje par: Sammenlikne og bytt, og gjenta for andre og første par. Slik fortsetter du gjennom hele lista.

Skriv et program som sorterer en liste med skyttelsortering.

Vi lager først en egen funksjon som bytter plass på to elementer i en liste.

Vi lager en for-løkke som sammenlikner og bytter plass fra slutt til start på alle elementene i en liste. Denne løkka legger vi inni en annen for-løkke, som teller opp fra start til slutt i lista.

G

LØSNING

IN

: : : EKSEMPEL 2.15

108

KAPITTEL 2

TIL

1 liste = [30, 10, 86, 68, 69, 31, 77, 3, 14, 23, 99, 6, 66, 2, 27, 84, 16, 81, 99, 31]

VU

2 3 # Funksjon som bytter plass på to tall.

4 def bytt(liste, n, m): 5 minne = liste[n] 6 liste[n] = liste[m] 7 liste[m] = minne 8 9 # Løkke som går gjennom lista fra start til slutt.

10 for i in range(len(liste) ‑ 1): 11 # Løkke som går gjennom en del av lista fra slutt til start.

2.21 Sorter lista under ved å bruke boblesortering.

G

2.22 Lag en liste med 10 tall i vilkårlig rekkefølge.

Lag et program som sorterer lista med skyttelsortering.

2.23 Innstikksortering er å sortere på denne måten: Start med første tall i lista.

Neste tall legger du på riktig plass – til høyre eller til venstre – i forhold til det første.

Det tredje tallet legger du på riktig plass.

Lag plass i lista dersom det skal inn mellom to tall.

Fortsett slik til du har sortert alle.

Lag et program som sorterer med innstikksortering.

IN

{6, 3, 5, 1, 8, 79, 43}

ER

OPPG AVER

RD

12 for j in range(i, ‑1, ‑1): 13 if liste[j] > liste[j + 1]: 14 bytt(liste, j, j + 1) 15 16 print(liste)

Søk med halvering

109

TIL

2.7 Søk med halvering Vi skal nå fram til en algoritme for å finne et element i en sortert liste.

Svaret skal være indeksen til elementet, altså hvilken plass elementet har. Én mulighet er å løpe gjennom lista fra begynnelse til slutt. For hvert element i lista sjekker vi om elementet er det vi er på jakt etter. En kode for dette kan se slik ut:

VU

1 liste = [1, 4, 5, 7, 8, 9, 14, 16, 17] 2 mål = 9 3 4 for i in range(len(liste)): 5 if liste[i] == mål: 6 print(i)

RD

Koden ovenfor leter etter første forekomst av tallet 9 i lista. Når vi kjører denne koden, får vi 5 til svar. Det betyr at indeksen til første forekomst av 9 i lista er 5.

Dersom lista er lang, vil koden ovenfor bruke lang tid. Kan vi gjøre dette på en raskere måte?

ER

Aktivitet

G

IN

For en gruppe elever, gjerne mange.

Vi skal finne plassnummeret til et tall i rekka.

1. Alle unntatt lederen skriver hvert sitt tall på to lapper hver.

2. Gi den ene lappen til lederen.

3. Still dere på en rekke med tallene i stigende rekkefølge.

4. Lederen trekker en lapp, uten å vise til de andre. Dette er tallet lederen skal finne.

5. Lederen sjekker lappen til midterste elev. Hvis målet er til venstre, setter alle på høyre side seg ned, og motsatt.

6. Lederen sjekker nå lappen til midterste elev av de som er igjen.

Hvis målet er til venstre, setter alle på høyre side seg ned, og motsatt.

7. Slik fortsetter det til riktig lapp er funnet.

8. Til slutt teller lederen hvor mange elever det er fram til den som ble stående igjen. Antallet er plassnummeret.

110

KAPITTEL 2

Algoritmen i aktiviteten ovenfor sammenfatter vi slik:

TIL

Sammenlikne tallet du leter etter med det midterste tallet i lista.

Avgjør om målet ligger i venstre eller høyre halvdel av lista.

Let videre på samme måte i den halvdelen målet befinner seg: Finn det midterste tallet i halvdelen og avgjør i hvilken del målet ligger.

Fortsett til du finner målet.

VU

Koden i eksempelet nedenfor bruker denne algoritmen.

: : : EKSEMPEL 2.16 Bruk algoritmen i teksten ovenfor til å skrive et program som finner et tall i en sortert liste.

LØSNING

IN

ER

RD

Vi tar utgangspunkt i en sortert liste med tall og oppretter en variabel mål for det tallet vi skal finne.

Vi skal finne indeksen, altså plassnummeret, til målet. Svaret er derfor et tall mellom 0 og antall elementer i lista. Vi lager to variabler start og slutt, som er indeksen til ytterpunktene i lista og en variabel midtpunkt, som er midten av lista. Siden indeksen må være et helt tall, bruker vi heltallsdivisjon (\\) når vi regner ut midten, se linje 6.

Vi leter gjennom lista ved å hele tiden undersøke hvilken halvdel målet er i: Vi sammenlikner målet med midtpunktet. Hvis målet er mindre enn midtpunktet, utelukker vi høyre halvdel ved å flytte høyre endepunkt til midten. Hvis målet er større enn midtpunktet, utelukker vi venstre halvdel ved å flytte venstre endepunkt til midten. Så regner vi ut nytt midtpunkt, se linje 15–20. Hvis målet faktisk er midtpunktet, avslutter vi søket, se linje 12.

Vi avslutter søket ved å la en while-løkke kjøre til variablene funnet skifter verdi fra False til True, se linje 14.

G

1 liste = [1, 4, 5, 7, 8, 9, 14, 16, 17] 2 mål = 9 3 4 start = 0 5 slutt = len(liste) 6 midtpunkt = (start + slutt)//2

Søk med halvering

111

TIL

RD

VU

9 funnet = False 10 11 while funnet == False: 12 if liste[midtpunkt] == mål: 13 svar = midtpunkt 14 funnet = True 15 elif liste[midtpunkt] > mål: 16 slutt = midtpunkt 17 midtpunkt = (start + slutt)//2 18 else: 19 start = midtpunkt 20 midtpunkt = (start + slutt)//2 21 22 print(f'Indeksen til {mål} er {svar}.')

Når vi kjører koden, blir resultatet dette: Indeksen til 9 er 5.

OPPG AVER

2.25 Ta utgangspunkt i koden i eksempelet på side 110 over. Skriv om koden til en funksjon som tar inn en liste og et tall og returnerer indeksen til første forekomst av tallet i lista.

G

IN

ER

2.24 a) Beskriv en algoritme som finner et tall i en sortert liste ved å flere ganger dele lista i tre og forkaste de delene som ikke inneholder målet. b) Bruk algoritmen til å skrive et program.

112

KAPITTEL 2

TIL

2.8 Strengoperasjoner Noen problemer løses enklest ved å konvertere tall til tekststrenger.

Operatorene + og * og relasjonene <, <=, > og >= fungerer også på strenger.

Vi kan løpe gjennom en streng med en for-løkke, omtrent som en liste.

VU

Det finnes egne kommandoer som bare fungerer på strenger, for eksempel .upper() og .strip().

Vi slår sammen to strenger ved hjelp av +. Så 'abc' + 'def' blir til

'abcdef'. Når vi setter sammen en streng i en løkke bruker vi en tom

streng, altså '', som utgangspunkt. Dette tilsvarer 0 når vi summerer tall.

: : : EKSEMPEL 2.17

RD

Kommandoen s.upper() gjør om strengen s til store bokstaver. s.strip() fjerner mellomrom i starten og slutten av s.

Bruk en løkke til å lage en tekststreng med ti «x»-er etter hverandre.

LØSNING

Vi starter med en tom streng. For hver runde i løkka legger vi til en «x».

ER

1 svar = '' 2 for i in range(10): 3 svar = svar + 'x' 4 5 print(svar)

IN

Koden ovenfor lager teksten «xxxxxxxxxx».

Operatoren * setter sammen samme streng flere ganger etter hverandre.

Så 'abc' * 3 blir 'abcabcabc'.

1 streng = 'programmering' 2 for x in streng: 3 print(x, end=' ')

G

Vi bruke en for-løkke til å løpe gjennom en streng på samme måte som en liste. I koden nedenfor plukker vi ut én og én bokstav fra strengen:

Når vi kjører programmet, får vi «p r o g r a m m e r i n g » til svar.

Strengoperasjoner

113

TIL

: : : EKSEMPEL 2.18

Et tall er et palindrom dersom det er symmetrisk om midten av tallet. Så 12321 og 1441 er palindromer, mens 123 og 89 ikke er det.

Lag en funksjon som undersøker om et tall er et palindrom.

LØSNING

Vi undersøker om første og siste tegn i strengen er like. Så sjekker vi andre og nest siste. Slik fortsetter vi til midten av strengen.

VU

RD

1 def palindrom(n): 2 streng = str(n) 3 svar = True 4 for i in range(len(streng)//2): 5 if not streng[i] == streng[‑i ‑ 1]: 6 svar = False 7 return svar 8 print(palindrom(125421)) Når vi kjører programmet, får vi at 125421 ikke er et palindrom.

OPPG AVER

* ** ***

2.29 Et program skriver ut et mønster av tall.

Med input n = 3, skriver programmet ut 1 121 12321

Lag programmet.

G

2.27 En tallek foregår slik: Deltakerne står i en ring. Første deltaker sier: «én». Neste sier: «to». Slik fortsetter det, men hver gang noen kommer til et tall som er delelig med 3 eller 4 sier de «biip» i stedet for tallet. a) Lek leken. b) Lag et program som skriver ut en fasit.

2.28 Lag en funksjon som skriver tall baklengs.

IN

****

ER

2.26 Bruk en løkke til å skrive ut mønsteret:

2.30 Lag et program som sjekker om sifrene i et tall står i stigende rekkefølge.

114

KAPITTEL 2

TIL

2.9 Større algoritmer Til slutt i dette kapittelet øver vi på å følge litt større algoritmer. Selv om algoritmen strengt tatt inneholder alt vi trenger for å oversette til programkode, er det ikke alltid rett fram. Noen tips på veien: Lag en skisse over hva programmet skal gjøre, for eksempel i form av et flytskjema.

Gå gjennom algoritmen manuelt noen ganger.

VU

Hvilke verdier må du lagre underveis? Hvilke variabler trenger du?

Kjør koden underveis, slik at du oppdager eventuelle feil.

Bruk print-kommandoen ofte underveis i arbeidet. Skriv ut verdien av variablene, slik at du følger med på hva som skjer.

RD

: : : EKSEMPEL 2.19

LØSNING

IN

ER

Vi skal programmere Eratostenos’ sil. Dette er en algoritme for å finne primtall. Med n = 0 fungerer algoritmen slik: Skriv opp alle tallene fra 1 til 100.

Stryk 1.

2 er et primtall. Stryk annethvert tall som er større enn 2, altså 4, 6, 8, 10 og så videre.

Neste tall som ikke er strøket ut er 3. Dette er et primtall. Stryk alle tall i 3-gangen oppover. Vi stryker 6, 9, 12, 15, 18 og så videre.

Slik fortsetter vi til vi ikke kan stryke flere tall.

Tallene som nå står igjen er primtallene.

Skriv en kode som bruker Eratostenos’ sil til å finne alle primtallene under 100.

G

Vi lager en liste «tall» hvor hver plass representerer tallene fra 1 til n. Målet er å stå igjen med True på primtallsplassene og False på resten.

Vi bruker en for-løkke til å løpe gjennom alle tallene opp til n.

For hver i sjekker vi om det står True på plassen (linje 8). Da er i + 1 et primtall, i + 1 fordi Python teller fra 0. Vi starter på andre forekomst (2i + 1) og stryker med mellomrom i + 1 i resten av lista, se linje 9. Til slutt skriver vi ut primtallene.

115

Større algoritmer

TIL

RD

VU

1 n = 100 2 # Legger True på alle plasser i lista: 3 tall = [True] * n 4 # Tallet 1 er ikke primtall: 5 tall[0] = False 6 i = 1 7 while i < n: 8 if tall[i]: 9 for j in range(2*i + 1, n, i + 1): 10 tall[j] = False 11 i += 1 12 # Skriver ut alle primtallene 13 for i in range(len(tall)): 14 if tall[i]: 15 print(i + 1, end=' ')

Når vi kjører programmet får vi:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

2.32 Du skal skrive et program som bruker Herons metode til å regne ut kvadratrot.

Som eksempel forklarer vi metoden ved å √ regne ut 42: Vi starter med en tilnærmingsverdi x0 = 6.

IN

Vi finner neste ledd i følgen: x1 =

x0 + x42 0

2 x1 + x42

Vi finner neste ledd i følgen x2 = 2 1 Slik fortsetter vi til vi har et nøyaktig nok svar.

Skriv et program som bruker denne algoritmen til å regne ut kvadratrot.

G

2.31 Collatz formodning: Du skal lage et program som følger følgende algoritme: 1. Start med et helt tall n, og skriv ut tallet.

2. Hvis n er et partall, så setter du n til n2 .

Hvis n er odde, setter du n til 3n + 1.

3. Skriv ut n til skjerm.

4. Gjenta punkt 2 og 3 til n = 1.

Tallene n i hvert trinn danner en tallfølge.

Eksempel: Vi setter n til 24. Da blir tallfølgen 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Antall ledd i dette eksempelet er 11.

Koden skal skrive ut antall ledd i følgen.

ER

OPPG AVER

TIL

G

IN

ER

RD

VU

Vi bruker programmeringen

Større algoritmer

117

TIL

[3]

VU

G

IN

ER

RD

Med programmering kan vi løse matematiske problemer. Ved å gjøre numeriske beregninger kan vi også løse de problemene som ikke lar seg løse analytisk.

I tillegg kan vi simulere situasjoner fra virkeligheten og gjøre beregninger knyttet til sannsynlighet og statistikk.

118

KAPITTEL 3

TIL

3.1 Rekursive mønstre Når vi jobber med tallmønstre i programmering leter vi ikke etter et eksplisitt uttrykk for det n-te leddet i en tallfølge, men vi bruker datamaskinens regnekapasitet til å finne de neste leddene. Vi har gitt tallfølgen 5, 12, 21, 32, 45, . . .

VU

Vi ønsker å finne det femtende leddet i denne følgen, samt hvor mange ledd vi minst må ha med for at summen skal bli mer enn 5000.

2

2

9

7 5

RD

Først leter vi etter et mønster. Vi ser at avstanden mellom hvert ledd ikke er den samme. Men la oss se om det er et mønster i differansen mellom to ledd som følger etter hverandre i tallfølgen, altså hvor mye vi må legge til for å få det neste leddet. Hvis differansen ikke er konstant, finner vi differansene mellom differansene og så videre. Dette gjør vi helt til vi får en tallfølge med konstanter.

12

2

11

21

13

32

45

ER

Legg merke til at vi finner hvert ledd i den midterste tallfølgen ved å legge til 2 for å komme til neste ledd. Vi kan altså uttrykke tallfølgen rekursivt med formelen Neste ledd = leddet + 2 eller med symboler: an+1 = an + 2,

med a1 = 7

IN

Dermed har vi et mønster som gjør at vi kan finne så mange ledd vi vil i den midterste tallfølgen. Vi bruker Python til å finne de 10 første leddene:

Når vi kjører koden får vi: 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

G

1 a = 7 2 for i in range(10): 3 print(a, end=' ') 4 a = a + 2

Rekursive mønstre

119

TIL

I den nederste tallfølgen {bn } ser vi at det første leddet er 5. De neste leddene får vi ved å summere de n − 1 første leddene i den midterste tallfølgen:

b1 = 5

b2 = b1 + a1 = 5 + 7 = 12 !"#$

VU

b3 = b1 + a1 + a2 = 5 + 7 + 9 = 21 ! "# $

b4 = b1 + a1 + a2 + a3 = 5 + 7 + 9 + 11 = 32 ! "# $

I konsollen får vi:

IN

ER

1 a = 7 2 b = 5 3 for i in range(15): 4 print(b, end=' ') 5 b = b + a 6 a = a + 2

RD

Vi bruker en løkke til å summere ett og ett ledd i den midterste tallfølgen og legger denne summen til b. Vi lar løkka gå 15 ganger ettersom vi skal finne det femtende leddet i tallfølgen.

5 12 21 32 45 60 77 96 117 140 165 192 221 252 285

Det femtende leddet er 285.

G

For å finne ut hvor mange ledd vi minst må ha med for at summen skal bli større enn 5000, oppretter vi en variabel summen med startverdi lik null. Vi bruker en while-løkke som går helt til summen er over 5000. Vi oppretter variabelen teller som teller hvor mange ganger løkka går, altså hvor mange ledd vi minst må ta med for at summen skal bli større enn 5000:

120

KAPITTEL 3

TIL

1 a = 7 2 b = 5 3 summen = 0 4 teller = 0 5 6 while summen <= 5000: 7 summen = summen + b 8 teller = teller + 1 9 b = b + a 10 a = a + 2 11 12 print(f'Vi trenger minst {teller} ledd for at

VU

summen skal bli mer enn 5000. Da er summen {summen}.')

Vanlig tekst

kursiv

y

RD

Når vi kjører koden, får vi:

Vi trenger minst 23 ledd for at summen skal bli mer enn 5000. Da er summen 5428.

ER

: : : EKSEMPEL 3.1x

Kristoffer har laget fire figurer av klosser som følger et mønster. Han ønsker å fortsette å lage større og større figurer etter det samme mønsteret.

Figur 2

Figur 3

IN

Figur 1

Figur 4

G

a) Hvor mange klosser trenger han for å lage figur nummer 10?

Kristoffer har 3000 klosser og ønsker å lage så mange figurer som mulig. b) Hvor mange figurer kan han lage? Hver kloss kan bare brukes i én figur.

Rekursive mønstre

121

TIL LØSNING

a) Vi teller klosser i de fire første figurene og får tallfølgen: 5, 11, 20, 32, . . .

Vi finner differansene mellom leddene og differansen mellom differansene: 3

9

6 11

12

VU

5

3

20

32

Vi bruker metoden vi brukte ovenfor: Vi finner leddene i den midterste følgen ved å starte med a = 6 og så legge til 3.

RD

1 a = 6 2 for i in range(10): 3 print(a,end=',') 4 a = a + 3

Når vi kjører koden, får vi de ti første leddene i den midterste tallfølgen: 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

ER

Leddene i denne tallfølgen er differansene mellom leddene i den nederste tallfølgen. Vi finner leddene i den nedeste tallfølgen ved å starte med b = 5 for så å legge til a1 for å finne b2 , a1 + a2 for å finne b3 osv:

den midterste følgen for å finne leddene i den nederste følgen.

6 for i in range(10): 7 print(b,end=' ') 8 b = b + a 9 a = a + 3

G

IN

1 # Det første leddet i den midterste følgen 2 a = 6 3 # Det første leddet i den nederste følgen 4 b = 5 5 # Legger til summen av stadig flere ledd i

122

KAPITTEL 3

TIL

Når vi kjører koden, får vi de ti første leddene i den nederste tallfølgen.

5 11 20 32 47 65 86 110 137 167

VU

Det tiende leddet er 167. Det betyr at Kristoffer trenger 167 klosser for å lage figur nummer 10. b) Vi oppretter variablene summen og teller, begge med startverdien null. Vi gjør løkka om til en while-løkke og lar løkka gå så lenge summen en mindre enn 3000. Hver gang løkka går, oppdaterer vi verdien av summen ved å legge ett og ett ledd i tallfølgen inn i denne variabelen. Antall figurer Kristoffer kan lage vil være teller − 1 siden summen vil bli over 3000 siste gangen løkka går:

ER

RD

1 a = 6 2 b = 5 3 summen = 0 4 teller = 0 5 while summen <= 3000: 6 summen = summen + b 7 teller = teller + 1 8 b = b + a 9 a = a + 3 10 print(f'Kristoffer kan bygge {teller ‑ 1} figurer.')

Når vi kjører koden, får vi:

IN

Kristoffer kan lage 17 figurer.

G

x

Rekursive mønstre

123

TIL

OPPG AVER

3.1

Figur 1

Figur 4

VU

Figur 3

Figur 2

Figurene over viser klosser som følger et mønster. a) Hvor mange klosser trenger vi for å

lage figur nummer 12? b) Hvor mange figurer kan vi lage til sammen hvis vi har 6000 klosser og hver kloss bare kan brukes i én figur?

3.2 Skriv et program som finner ledd nummer 20 i tallfølgen under: 7

18

33

52

75

G

IN

ER

RD

124

KAPITTEL 3

TIL

3.2 Grafisk framstilling Vi bruker biblioteket Matplotlib til å tegne grafer og diagrammer. I alle koder importerer vi først biblioteket: 1 import matplotlib.pyplot as plt

Deretter bruker vi blant annet plt.plot og plt.bar til å tegne.

VU

Linjediagram

I et linjediagram avsetter vi punkter i et koordinatsystem og trekker rette linjer mellom punktene. I Python lagrer vi x-koordinatene i én liste og ykoordinatene i en annen. Så tegner vi linjediagrammet med plt.plotkommandoen:

ER

RD

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [0, 5, 10, 15, 17, 18, 20] 4 yverdier = [0, 15, 10, 22, 3, 8, 11] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier) 7 plt.show()

Koden ovenfor tegner nå et diagram med rette linjer mellom punktene (0, 0), (5, 15), (10, 10), (15, 22), (17, 3), (18, 8) og (20, 11):

G

IN

Grafisk framstilling

125

Vi bruker gjerne et linjediagram til å illustrere en utvikling over tid.

TIL : : : EKSEMPEL 3.2

Verdien av en aksje i et vaksineselskap på Oslo Børs noen dager i mai er gitt i tabellen nedenfor: Dato 1 4 12 15 17 18 19 23 Verdi 29,3 32,1 28,2 29,8 25,7 25,1 26,4 25,2 Lag et linjediagram som viser utviklingen i aksjekursen.

VU

LØSNING

Vi legger x-verdiene inn i én liste, og y-verdiene i en annen. Deretter tegner vi diagrammet med plt.plot fra Matplotlib-biblioteket.

RD

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [1, 4, 12, 15, 17, 18, 19, 23] 4 yverdier = [29.3, 32.1, 28.2, 29.8, 25.7, 25.1, 26.4, 25.2]

5 6 plt.plot(xverdier, yverdier) 7 plt.show()

G

IN

ER

126

KAPITTEL 3

TIL

Spredningsdiagram

Et spredningsdiagram viser x-verdiene og y-verdiene som punkter i et koordinatsystem. Vi lager spredningsdiagram på samme måte som et linjediagram, men vi skriver en 'o' som tredje argument i plt.plotkommandoen.

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [0, 5, 10, 15, 17, 18, 20] 4 yverdier = [0, 15, 10, 22, 3, 8, 11] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') 7 plt.show()

VU

I noen programmer, for eksempel Spyder, kan vi utelate kommandoen plt.show(), mens i andre programmer, for eksempel Thonny, må den brukes.

Programmet over gir dette spredningsdiagrammet:

IN

ER

RD TEGN 'o' '.' '+' 'x'

RESULTAT sirkel liten sirkel + kryss

G

Ved å variere det tredje argumentet i plt.plot-kommandoen kan vi få litt ulike punkter.

Grafisk framstilling

127

TIL

: : : EKSEMPEL 3.3

Lag et spredningsdiagram med disse punktene: (3, 5), (5, 6), (8, 12), (11, 3), (12, 7), (15, 10)

LØSNING

Vi lager to lister, én til x-koordinatene og én til y-koordinatene.

Spredningsdiagrammet tegner vi med plt.plot.

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'x') 7 plt.show()

RD

Resultatet blir dette diagrammet:

G

IN

ER

128

KAPITTEL 3

TIL

Stolpediagram

Stolpediagram tegner vi med kommandoen plt.bar, som brukes på samme måte som plt.plot:

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.bar(xverdier, yverdier) 7 plt.show()

Stolpene plasseres på x-verdiene og har y-verdiene som høyder. Koden ovenfor gir dette stolpediagrammet:

IN

ER

RD G

I eksempelet nedenfor kombinerer vi linjediagram, stolpediagram og spredningsdiagram. Ikke fordi det er ryddig og lesbart, men som eksempel på at det kan gjøres.

Grafisk framstilling

129

TIL

: : : EKSEMPEL 3.4

Verdien av en aksje i et vaksineselskap på Oslo Børs noen dager i mai er gitt i tabellen nedenfor: Dato 1 4 12 15 17 18 19 23 Verdi 29,3 32,1 28,2 29,8 25,7 25,1 26,4 25,2 Lag et diagram med punkter, stolper og linjer som viser utviklingen i aksjekursen.

VU

LØSNING

Vi bruker tilsvarende kode som i eksemplene ovenfor, og legger til en kommando fra Matplotlib for hvert diagram:

RD

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [1, 4, 12, 15, 17, 18, 19, 23] 4 yverdier = [29.3, 32.1, 28.2, 29.8, 25.7, 25.1, 26.4, 25.2]

5 # linjer 6 plt.plot(xverdier, yverdier) 7 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') # punkter 8 plt.bar(xverdier, yverdier) # stolper 9 plt.show()

G

IN

ER

130

KAPITTEL 3

TIL

Tilpasninger av utseendet Python gir oss i utgangspunktet en enkel grafisk framstilling. Vi kan gjøre en del tilpasninger, slik at vi får det utseendet vi ønsker.

Utsnitt Vi bestemmer utsnittet ved å justere grensene på aksene. Dette gjør vi med plt.xlim og plt.ylim:

RD

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') 7 plt.xlim(‑5, 20) # x går fra ‑5 til 20 8 plt.ylim(‑10, 15) # y går fra ‑10 til 15 9 plt.show()

Med denne koden får vi x-verdier mellom −5 og 20 og y-verdier mellom −10 og 15:

G

IN

ER

Grafisk framstilling

131

TIL

Forklaring på grafen

Hvis vi utvider plt.plot med argumentet label, kan vi sette en merkelapp på grafen. For at merkelappen skal synes, må vi bruke kommandoen plt.legend():

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o', label='målinger') 7 plt.legend() 8 plt.show()

Det gir følgende graf:

Når vi tegner for hånd eller med en graftegner, lar vi gjerne koordinataksene skjære gjennom origo. I Python gjør vi dette ved å lagre de fire kantene venstre, høyre, topp og bunn i variabelen akser. Vi flytter venstre og nedre kant til origo: 1 akser.spines['bottom'].set_position('zero') 2 akser.spines['left'].set_position('zero')

G

IN

ER

RD Plassering av koordinataksene

132

KAPITTEL 3

Høyre og øvre kant skjuler vi:

TIL

1 akser.spines['top'].set_visible(False) 2 akser.spines['right'].set_visible(False)

Da blir hele koden slik:

RD

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [‑3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [‑5, 2, 12, ‑3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') 7 akser = plt.gca() 8 akser.spines['bottom'].set_position('zero') 9 akser.spines['left'].set_position('zero') 10 akser.spines['top'].set_visible(False) 11 akser.spines['right'].set_visible(False) 12 plt.show()

Dette gir følgende graf:

G

IN

ER Alternativt går det an å tegne en horisontal og en vertikal linje gjennom origo:

Grafisk framstilling

133

TIL

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') 7 plt.axhline() 8 plt.axvline() 9 plt.show()

Rutenettet slår vi på med plt.grid():

G

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, 'o') 7 plt.grid() 8 plt.show()

IN

Rutenett

ER

RD

VU

Det ser slik ut:

134

KAPITTEL 3

Denne koden gir grafen nedenfor:

TIL VU Farger

RD

Python fargelegger diagrammene automatisk. Dersom vi ønsker å styre fargevalget selv, kan vi legge til en instruks color='<fargenavn>'. For å få et rødt linjediagram i et blått rutenett skriver vi:

G

IN

Det gir dette diagrammet:

ER

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 xverdier = [3, 5, 8, 11, 12, 15] 4 yverdier = [5, 6, 12, 3, 7, 10] 5 6 plt.plot(xverdier, yverdier, color='red') 7 plt.grid(color='blue') 8 plt.show()

Grafisk framstilling

135

Noen vanlige fargenavn:

TIL FARGE

VU

NAVN white black blue orange green red purple brown pink gray olive cyan

OPPG AVER

3.6 Tabellen viser sammenhengen mellom variablene x, y1 og y2 . x 4 6 7 10 11 10 12 y1 -3 -3 -5 9 -6 -7 -1 y2 -10 -7 8 -1 -8 1 -10 Tegn linjediagrammene for x og y1 og for x og y2 i samme koordinatsystem.

G

3.4 Lag et spredningsdiagram med disse punktene: (0, 16), (1, 6), (2, 20), (3, 14), (4, 20), (5, 18), (6, 10), (7, 0), (8, 5) og ( 9, 3) .

3.5 Lag et spredningsdiagram av verditabellen. x 0 2 4 5 8 10 15 16 y 9 -7 -10 -3 -3 7 6 -6

IN

3.3 Sammenhengen mellom x og y er gitt i en verditabell: x 0 4 5 10 14 16 20 y 3 8 2 5 16 14 15 a) Lag et linjediagram over verditabellen. b) Lag et spredningsdiagram over x og y.

ER

RD

Så hvis du skriver plt.plot(xverdier, yverdier, color='pink'), så får du rosa graf. Vi kan bruke mange andre farger også, for eksempel CSS-farger, som «papayawhip» og «seagreen».

136

KAPITTEL 3

TIL

3.3 Data fra eksterne kilder En samling med tall fra målinger eller annet kaller vi gjerne for et datasett. Datasett kan vi legge inn i Python som lister. Men når datasett er store, lagrer vi dem heller i egne filer. Filene får vi fra målinger vi gjør selv eller laster dem ned fra dataleverandører som Statistisk sentralbyrå, Ektedata.no eller andre.

VU

Det finnes mange ulike filtyper for datasett, for eksempel CSV, Excel eller andre. Her viser vi hvordan vi leser inn CSV-filer. CSV er en forkortelse for «Comma separated values». En CSV-fil er en tekstfil hvor dataene er adskilt med et skilletegn, for eksempel semikolon (;). Starten på en CSV-fil kan se for eksempel slik ut: Kårbø;15.5

Rakkestadstranda;20.0

RD

Tussvatnet;20.0 Rolfsbukta;23.0

IN

ER

Det finnes flere måter Vi bruker biblioteket Pandas til å laste inn csv-filene. Først importerer vi å lese inn filer fra Pandas: eksterne datakilder på. Vi bruker her 1 import pandas as pd Pandas. Alternativer er for eksempel NumPy sin loadtxt() Før vi kan lese fra CSV-fila, undersøker vi hvordan fila er bygget opp. eller den innebygde Hvilket skilletegn er brukt? Vanlige skilletegn er semikolon (;), with open()kolon (:) eller komma (,). Det kan også være et tabulatortegn, som metoden. representerer ett trykk på tabulatortasten, som er til venstre for Q på tastaturet. Python-koden for dette er '\t'.

Hvilket tegn for desimalkomma er brukt? Vanlige tegn er punktum (.) eller komma (,).

G

Inneholder fila noen kommentarer? Hva er i så fall kommentartegnet?

Inneholder fila overskrift over kolonnene med data?

Nedenfor ser du starten av et datasett som inneholder målinger av vanndybden i havet i Vestfold.

Data fra eksterne kilder

137

# Vanndybde på et skjær utenfor Hudøy i Vestfold

TIL

# Tid i antall timer fra midnatt natt til 04.09.2023 # Vanndybde i meter #

Tid;Dybde 0;75

1;72.2 2;75.9 3;82.3 5;86.2 6;89.6

VU

4;85.4

CSV-filene i boka finner du på www.lærebokforlaget.no.

Fra denne CSV-fila noterer vi oss: Skilletegnet er semikolon (;)

RD

Desimalkommaet er punktum (.)

Kommentartegnet er nummertegn/hashtag (#)

Datakolonnene har overskriftene «Tid» og «Dybde»

Nå er vi klare til å lese inn CSV-fila i Python. Vi bruker kommandoen pd.read_csv() og legger inn informasjonen vi fant i CSV-fila.

ER

1 import pandas as pd 2 3 fil = 'vannstand.csv' 4 df = pd.read_csv(fil, sep=';', decimal='.', comment='#')

IN

Når vi kjører dette programmet, ligger datasettet lagret i variabelen df. For å bruke datasettet, lagrer vi x-verdiene og y-verdiene i hver sin variabel. Vi bruker kommandoen tolist() for å lage lister av variablene.

Nå kan vi legge til instruksjoner så vi får tegnet et linjediagram, slik vi gjør det i eksempelet nedenfor.

G

5 tid = df['Tid'].tolist() # x‑verdier 6 dybde = df['Dybde'].tolist() # y‑verdier

Vi har lagt navnet på CSV-fila i variabelen fil for å gjøre koden enklere.

138

KAPITTEL 3

TIL

: : : EKSEMPEL 3.5 Bruk CSV-fila vannstand.csv til å lage et linjediagram for vanndybden utenfor Hudøy i Vestfold.

LØSNING

VU

Vi inspiserer CSV-fila og ser at den bruker: «;» som skilletegn «.» som desimalkomma «#» som kommentartegn Vi ser at datakolonnene har overskrift «Tid» og «Dybde». Vi bruker Pandas til å lese inn datasettet og Matplotlib til å lage linjediagrammet.

RD

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 import pandas as pd 3 4 # Leser inn datasett 5 fil = 'vannstand.csv' 6 df = pd.read_csv(fil, sep=';', decimal='.', comment='#')

ER

7 tid = df['Tid'].tolist() 8 dybde = df['Dybde'].tolist() 9 10 # Tegner linjediagram 11 plt.plot(tid, dybde) 12 plt.show()

Vi kjører programmet og får dette linjediagrammet:

G

IN

Data fra eksterne kilder

139

TIL

Vi åpner alltid CSV-filer i Python-programmet eller i et tekstbehandlingsprogram. Noen regnearkprogram, som for eksempel Excel, kan av og til ødelegge fila. Dette skjer dersom vi har automatisk lagring påslått.

Dersom dette skjer, må vi skaffe til veie en ny kopi av datasettet.

OPPG AVER

3.8 CSV-fila lonn.csv viser gjennomsnittlig årslønn i Norge mellom 2015 og 2022.

Fremstill dataene i et spredningsdiagram linjediagram søylediagram

G

IN

ER

RD

VU

3.7 Bruk CSV-fila norges-befolkning.csv til å lage et linjediagram for antall innbyggere i norge mellom 1741 og 2023.

140

KAPITTEL 3

3.4 Funksjoner i bruk

TIL I matematikken er en funksjon en tilordning fra x til y slik at det til hver verdi av x hører maksimalt én verdi av y.

I matematikken er f(x) = 2x + 5 og f(x) = x2 − 3x + 1 eksempler på funksjoner. Noen skriver også y = 2x + 5 og y = x2 − 3x + 1 og mener det samme. Programmering kan være et godt verktøy i vårt arbeid med funksjoner. I Python definerer vi funksjoner med kontrollordene def og return.

VU

Verditabell

Vi lager verditabell i Python ved å produsere x- og y-verdier med en løkke. Her ser du en kode der vi først definerer funksjonen f(x) = 2x + 5, før vi bruker en while-løkke til å lage alle par (x, y) slik at y = f(x) for x mellom 0 og 6:

# Definerer funksjonen

RD

1 def f(x): 2 return 2*x + 5 3 4 x = 0 5 while x <= 6: 6 print(x, f(x)) 7 x = x + 1

# Øker x med 1

Når vi kjører koden ovenfor, blir dette resultatet:

Variabelen må opprettes før løkka.

4 13

1 7 2 9 3 11 5 15 6 17

G

0 5

IN

Testen må inneholde en variabel. Her er det x.

Variabelen må endres inni løkka.

# Skriver ut x og y

ER

Husk: Når vi bruker en while-løkke, må vi oppfylle tre krav:

# Startverdi for x

Det kan være en god regel å samle startverdier i toppen av koden. Det gjør det enklere når vi senere vil endre startverdiene. Koden nedenfor er en omskrivning av koden som lager verditabellen ovenfor. Koden gjør akkurat det samme, men vi har opprettet startverdiene xstart, xslutt og xsteg i toppen av koden.

Funksjoner i bruk

141

TIL

1 def f(x): 2 return 2*x + 5 3 xstart = 0 4 xslutt = 6 5 xsteg = 1 6 7 x = xstart 8 9 while x <= xslutt: 10 print(x, f(x)) 11 x = x + xsteg

VU

Vi tar med et eksempel der vi bruker f-literaler til å lage tabellen penere.

: : : EKSEMPEL 3.6

f(x) = −x2 + 4x + 2

RD

En funksjon er gitt som

Lag en tabell for f(x) med x mellom −2 og 4 med steglengde 1.

LØSNING

print(f'{x:3} {y:3}') x = x + xsteg y = f(x)

G

verdiene

13 14 15

IN

ER

1 def f(x): 2 return ‑x**2 + 4*x + 2 3 xstart = ‑2 4 xslutt = 4 5 xsteg = 1 6 y') # Overskrift 7 print(f' x 8 print('=========') # Rett linje 9 x = xstart # Startverdi for x 10 y = f(x) # Startverdi for y 11 # Løkke som skriver 12 while x <= xslutt:

142

KAPITTEL 3

TIL

Programmet gir denne verditabellen: x

y

========= ‑2 ‑10 ‑3

0

2

1

5

2

6

3

5

4

2

VU

‑1

Grafer

RD

Koden vi brukte til å lage verditabell for en funksjon kan vi endre til å tegne grafen til funksjonen: Vi lagrer verditabellen i to lister, en med x-verdier og en med y-verdier.

Verdiene lagrer vi med kommandoen append.

Vi lager et linjediagram av de to listene med Matplotlib:

ER

plt.plot(xverdier, yverdier)

Jo flere punkter vi har med i verditabellen, jo glattere blir kurven.

Eksempelet nedenfor tegner grafen til en funksjon.

La f(x) være funksjonen gitt ved f(x) = x2 − 3x + 1

Tegn grafen til funksjonen for x mellom −1 og 5.

LØSNING

G

IN

: : : EKSEMPEL 3.7

Vi tar utgangspunkt i kodene for verditabell og for linjediagram.

Steglengden vi bruker er 0,01, slik at det blir kort avstand mellom hvert punkt og grafen blir glattere.

Funksjoner i bruk

143

TIL

ER

RD

VU

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 3 def f(x): 4 return x**2 ‑ 3*x + 1 5 6 xstart = ‑1 7 xslutt = 5 8 xsteg = 0.01 9 10 xverdier = [] 11 yverdier = [] 12 13 x = xstart 14 y = f(x) 15 16 while x <= xslutt: 17 xverdier.append(x) 18 yverdier.append(y) 19 x = x + xsteg 20 y = f(x) 21 22 plt.plot(xverdier, yverdier) 23 plt.show()

Når vi kjører programmet, får vi tegnet grafen til f:

G

IN

144

KAPITTEL 3

TIL

Topp- og bunnpunkter Vi kan finne toppunkter og bunnpunkter på en graf slik vi fant største eller minste verdi i en liste, se ovenfor på side 94. Vi viser teknikken.

: : : EKSEMPEL 3.8 Grafen til f(x) = −x2 + 2x + 3 har ett toppunkt mellom x = −2 og x = 4. Bestem en tilnærmingsverdi for koordinatene til toppunktet.

Svaret skal ha en tusendels nøyaktighet.

VU LØSNING

RD

Vi skriver en kode med en løkke som løper gjennom x-verdier fra x = −2 og oppover. Så fort vi finner en y-verdi som er lavere enn forrige verdi, stopper vi.

Fordi vi har fått vite at grafen til f har nøyaktig ett toppunkt, trenger vi ikke fortsette etter at y-verdiene har begynt å avta.

Siden nøyaktigheten skal være en tusendel, velger vi steg i xretning på 0,001.

Når vi kjører programmet, får vi: Toppunktet er (1.0010, 4.0000).

G

IN

ER

1 def f(x): 2 return ‑x**2 + 2*x + 3 3 4 xstart = ‑2 5 xsteg = 0.001 6 7 x = xstart 8 y = f(x) 9 største_y = y 10 11 while y >= største_y: 12 største_y = y 13 x = x + xsteg 14 y = f(x) 15 16 print(f'Toppunktet er ({x:.4f}, {y:.4f}).')

Funksjoner i bruk

145

TIL

Nullpunkter

Et nullpunkt til en graf er et punkt der grafen skjærer x-aksen. Det kalles et nullpunkt fordi y-verdien i punktet er null.

Heltallige nullpunkter

På y-aksen har alle punkter x = 0, mens på x-aksen har alle punkter y = 0.

VU

Hvis vi vet at grafen til en funksjon skjærer x-aksen akkurat der koordinatene er hele tall, kan vi bruke samme teknikk som i avsnittet om kombinasjoner på side 98: Vi lar en løkke produsere x-verdier og undersøker om y = 0.

: : : EKSEMPEL 3.9

En funksjon er definert som

f(x) = −2x4 + 15x3 − 21x2 − 23x + 15

RD

Bestem alle heltallige nullpunkter for x-verdier mellom −3 og 10.

LØSNING

Vi definerer f(x) og lar x variere mellom −3 og 10 med steglengde 1. Det gir heltallige x-verdier. For hver x-verdi sjekker vi om y = 0.

Hvis y = 0, så skriver vi ut nullpunktet.

+ 15

3 4 xstart = ‑3 5 xslutt = 10 6 7 for x in range(xstart, xslutt + 1): 8 y = f(x) 9 if y == 0: 10 print(f'({x}, {y})')

(‑1, 0) (3, 0) (5, 0)

G

Koden gir dette resultatet:

IN

ER

1 def f(x): 2 return ‑2*x**4 + 15*x**3 ‑ 21*x**2 ‑ 23*x

146

KAPITTEL 3

TIL

Når nullpunktet ikke er et helt tall Når vi på forhånd ikke vet om grafen skjærer x-aksen akkurat i et helt tall, bruker vi Python til å finne en tilnærmingsverdi. Det betyr at vi skriver et program som finner et desimaltall som ligger i nærheten av det faktiske nullpunktet.

Vi tar utgangspunkt i følgende situasjon: Vi har funksjonsuttrykket til en funksjon f(x).

VU

Vi kjenner to tall a og b som er slik at grafen til f skjærer x-aksen på ett sted mellom a og b.

Eksempel: Grafen til f(x) = x2 − 2 skjærer x-aksen mellom 0 og 2, se figuren. y

RD f

0

2

x

ER

Vi prøver først med følgende algoritme:

Vi starter i et punkt på grafen der x-verdien er a. Så går vi et lite steg i x-retningen langs grafen.

IN

Hvis det nye punktet ligger på samme side av x-aksen, går vi videre langs x-aksen.

G

Hvis det nye punktet ligger på den andre siden av x-aksen, vet vi at nullpunktet er mellom de to x-verdiene.

Vi trenger altså en måte å avgjøre om to punkter ligger på samme side eller på motsatt side av x-aksen. Det er det samme som å avgjøre om yverdiene i de to punktene har samme fortegn eller motsatt fortegn.

Produktet av to tall med samme fortegn er positivt, mens produktet av to tall med ulikt fortegn er negativt. Det gir oss ideen til dette programmet:

Funksjoner i bruk

147

TIL

1 tall1 = float(input('Skriv inn et tall: ')) 2 tall2 = float(input('Skriv inn et tall: ')) 3 4 if tall1*tall2 > 0: 5 print('De to tallene har samme fortegn.')

6 elif tall1*tall2 < 0: 7 print('De to tallene har forskjellig fortegn.')

8 else: 9 print('Minst ett av tallene er null.')

VU

Vi kjører programmet. Vi blir bedt om å taste inn to tall underveis. Hvis vi skriver inn 3 og −4, får vi dette resultatet: Skriv inn et tall: 3

RD

Skriv inn et tall: ‑4

De to tallene har forskjellig fortegn.

Nå har vi klar en algoritme for å finne en tilnærmingsverdi for nullpunktet mellom a og b:

ER

Vi starter i a og øker med et lite tall d.

Er f(a) · f(a + d) > 0? Da flytter vi oss ett steg til høyre.

Er f(a) · f(a + d) < 0? Da stopper vi.

x=x+d

Vi oversetter algoritmen til Python:

G

nei

IN

ja f(x) f(x + d) > 0

148

KAPITTEL 3

TIL

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 2 3 4 a = 0 5 b = 2 6 d = 0.1 7 8 x = a 9 10 while x <= b: 11 if f(x) * f(x + d) > 0: 12 x = x + d 13 else: 14 print(f'{x:.1f}') 15 break

RD

VU

Når vi kjører programmet, får vi 1.4 til svar.

Det er mulig å forkorte koden litt. De nederste seks linjene kan erstattes med disse:

ER

10 while f(x) * f(x + d) > 0: 11 x = x + d 12 print(x)

Forbedring 1: Mindre og mindre steg

IN

For å øke nøyaktigheten i koden ovenfor, kan vi redusere størrelsen på variabelen d, steget vi tar i x-retning. Men hvis vi starter langt unna nullpunktet, vil programmet bruke lang tid. Kan vi gjøre koden bedre?

Vi starter i a og øker med et lite tall d.

G

En mulighet er å starte med en forholdsvis stor d, men så å redusere d når vi er i nærheten av nullpunktet:

Er f(a) · f(a + d) > 0? Da flytter vi oss ett steg til høyre.

Er f(a) · f(a + d) < 0? Da deler vi d på 10 og fortsetter der vi er.

Funksjoner i bruk

TIL nei

ja

f(x) f(x + d) > 0

d = d/10

149

x=x+d

VU

Flytdiagrammet viser at prosessen vil gå til evig tid. For å hindre dette, legger vi inn en ekstra test: Vi avslutter programmet når vi er tilstrekkelig nærme nullpunktet, det vil si når d er mindre enn en viss grense.

Nå vi kjører programmet får vi ti desimalers nøyaktighet: 1.4142135623

G

IN

ER

RD

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 2 3 4 a = 0 5 b = 2 6 d = 0.1 7 8 x = a 9 10 while d > 0.0000000001: 11 if f(x) * f(x + d) > 0: 12 x = x + d 13 else: 14 d = d/10 15 16 print(f'{x:.10f}')

150

KAPITTEL 3

TIL

Forbedring 2: Raskere søkealgoritme (vgs) I avsnittet om søk med halvering på side 109 fant vi en rask måte å søke på, nemlig ved å bruke midtpunktet til å avgjøre hvilken halvdel målet ligger i. Denne ideen kan vi bruke også her, når vi søker etter et nullpunkt: Vi finner den x-verdien som ligger midt mellom a og b. Vi kaller den a+b m. Vi finner m med m = .

2

VU

Så sjekker vi i hvilken halvdel nullpunktet ligger.

Hvis f(a) · f(m) < 0, ligger nullpunktet mellom a og m. Da flytter vi b til m.

Hvis f(b) · f(m) < 0, ligger nullpunktet mellom m og b. Da flytter vi a til m. y

y

y

RD x

a

m

a

b

m m b

x

x

b

a

ER

Trinn 1

Trinn 2

m m b a

b

Trinn 3

Algoritmen ovenfor er illustrert i flytdiagrammet nedenfor:

a+b 2

nei f(a) f(m) < 0

G

ja b=m

IN

m=

a=m

Også her trenger vi et mål på når vi skal stoppe. Vi velger å stoppe når avstanden mellom a og b er tilstrekkelig liten, altså mindre enn et lite tall

Funksjoner i bruk

151

TIL

vi velger. I koden nedenfor har vi kalt tallet som viser nøyaktigheten for d.

Koden blir da:

Når vi kjører programmet, får vi:

ER

1.4142135624

RD

VU

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 2 3 4 a = 0 5 b = 2 6 d = 0.0000000001 7 8 m = (a + b)/2 9 10 while b ‑ a > d: 11 if f(a) * f(m) < 0: 12 b = m 13 else: 14 a = m 15 m = (a + b)/2 16 17 print(f'{m:.10f}')

Resultatet blir akkurat det samme som vi fikk med koden på side 149, men programmet bruker kortere tid.

Metoden vi har brukt her er det vanlig å kalle halveringsmetoden.

Likninger med hele tall som løsninger

Å løse en likning vil si å finne alle de verdiene av x som gjør likningen sann, altså at venstre og høyre side er like. Her ser du en førstegradslikning: 2x − 4 = 12

Førstegradslikninger har bare én mulig løsning. Hvis vi greier å finne den x-verdien som oppfyller likningen, kan vi si at vi har løst likningen.

G

IN

Likninger

152

KAPITTEL 3

TIL

: : : EKSEMPEL 3.10 Løs likningen: 2x − 4 = 12

LØSNING

Vi prøver ved å sette inn alle heltalllige x-verdier mellom −10 og 10:

VU

1 for x in range(‑10, 11): 2 if 2*x ‑ 4 == 12: 3 print(x)

Koden ovenfor gir resultatet 8. Siden vi vet at likningen har bare én løsning, har vi nå løst likningen. Svaret er x = 8.

RD

Dersom likningen har flere løsninger, kan vi utvide leteområdet til vi finner riktig antall løsninger.

: : : EKSEMPEL 3.11 Løs likningen:

x2 − 100x = 101

ER

LØSNING

Vi prøver samme teknikk som ovenfor og setter inn heltallige verdier. Vi velger et stort intervall, x-verdier mellom −100 og 100:

IN

1 for x in range(‑100, 101): 2 if x**2 ‑ 100*x == 101: 3 print(x)

Vi kjører programmet og får x = −1. Denne likningen har imidlertid to løsninger. Vi utvider området, og ser om vi får en løsning til:

G

1 for x in range(‑1000, 1001): 2 if x**2 ‑ 100*x == 101: 3 print(x)

Når vi kjører programmet får vi at x = −1 og x = 101 er løsninger.

Likningen kan ikke ha mer enn to løsninger og er derfor løst.

Funksjoner i bruk

153

TIL

Et lineært likningssett med to ukjente har også kun én løsning, med mindre linjene er parallelle. Da er det nok å prøve seg fram til vi finner løsningen.

: : : EKSEMPEL 3.12

Løs likningssettet: % & 4x − 8y = −160 LØSNING

VU

−12x + y = 158

Vi prøver alle kombinasjoner av x og y til vi finner en som passer:

RD

1 for x in range(‑1000, 1001): 2 for y in range(‑1000, 1001): 3 if 4*x ‑ 8*y == ‑160 \ 4 and ‑12*x + y == 158: 5 print(x, y) Når vi kjører programmet, får vi ‑12 14

Alle likninger

ER

Det betyr at løsningen er x = −12 og y = 4.

Men hva gjør vi når vi ikke vet om løsningen er et helt tall? La oss ta utgangspunkt i denne likningen:

IN

x2 = 3

Uansett hvor mange verdier vi prøver med, vil vi aldri finne en xverdi som passer, så lenge vi leter blant de hele tallene. Vi må finne et desimaltall som passer så bra som mulig.

x2 − 3 = 0 Å løse denne likningen er det samme som å finne nullpunktene til funksjonen f(x) = x2 − 3. Det vet vi heldigvis hvordan vi gjør, se side 149. Dette gir oss en generell måte å løse likninger på:

G

Hvis vi trekker fra 3 på begge sider i likningen ovenfor, får vi denne likningen:

154

KAPITTEL 3

TIL

Trekk fra alle ledd på høyre side, slik at likningen har null på høyre side.

La venstre side av likningen være en funksjon.

Løsningen av likningen er nå nullpunktene til funksjonen.

: : : EKSEMPEL 3.13 Løs likningen for x mellom 0 og 10, med syv riktige desimaler.

VU

x2 = 5

LØSNING

Vi trekker fra 5 på begge sider av likningen. Da får vi: x2 − 5 = 0

RD

Vi lar nå f være funksjonen f(x) = x2 − 5. Å løse likningen vil si å finne nullpunktene til f.

Vi bruker metoden der vi løper gjennom intervallet med mindre og mindre steg, som på side 149.

Når vi kjører programmet, får vi: Løsning: x = 2.2360679

G

IN

ER

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 5 3 4 a = 0 5 b = 10 6 d = 0.1 7 8 x = a 9 10 while d > 0.0000001: 11 if f(x) * f(x + d) > 0: 12 x = x + d 13 else: 14 d = d/10 15 16 print(f'Løsning: x = {x:.7f}')

Funksjoner i bruk

155

TIL

OPPG AVER

3.9 Lag en verditabell over y = 4x + 3 for xverdier mellom −10 og 10.

VU

3.10 La f være funksjonen f(x) = x2 + 2x − 3.

Tegn grafen til f for x mellom −4 og 3.

3.11 La f være funksjonen f(x) = x2 + 2x − 3.

Bestem en tilnærmingsverdi for koordinatene til bunnpunktet på grafen til f.

f(x) = 2x3 + x2 + x

3.15 (Eksamen 1P 2022H) 1 def f(x): 2 return 3*x ‑ 15

#

Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = 3x ‑ 15

3 4 x = 0 5 6 while x <= 10: 7 if f(x) == 0: 8 print(x) 9 10 x = x + 1

Bestem alle heltallige nullpunkter på grafen til f for x mellom −100 og 100.

3.13 Funksjonen f(x) = x2 − 3 har et nullpunkt mellom 1 og 5. Bestem en tilnærmingsverdi for nullpunktet.

Lars har skrevet programkoden ovenfor. a) Hva ønsker han å finne ut?

Hva blir resultatet når han kjører programmet? b) Hva vil resultatet bli om han endrer funksjonsuttrykket til x2 − 6x + 8?

Lars endrer funksjonsuttrykket til x2 − 144 og ser at han må gjøre noe med programmet. c) Foreslå endringer Lars kan gjøre.

G

IN

3.14 Ovenfor på side 151 lagde vi en kode som bruker halveringsmetoden til å finne et nullpunkt. I denne oppgaven skal vi se på en svakhet ved koden. a) Bruk koden til å finn nullpunktet til funksjonen f(x) = x − 1 mellom 0 og

ER

RD

3.12 La f være funksjonen

2. Hvilket svar gir programmet og hva er riktig svar? b) Forklar hvorfor koden gir feil svar. c) Gjør en endring av koden slik at feilen ikke oppstår.

156

KAPITTEL 3

TIL

Derivasjon (vgs) Den deriverte f !(x) av en funksjon f(x) er definert som gjennomsnittlig vekstfart over et lite intervall, altså brøken Δy Δx når Δx → 0. y

f

f(x + ∆x) ∆y

f(x)

x

VU

∆x x + ∆x

x

Vi bruker at

Δy = f(x + Δx) − f(x)

I Python setter vi Δx til et lite tall og regner ut.

RD

: : : EKSEMPEL 3.14

En funksjon f er gitt ved

f(x) = x2 − 4x + 1

Bestem en tilnærmingsverdi for f !(3).

ER

LØSNING

Vi setter Δx = 0,000 000 1 og regner ut gjennomsnittlig vekstfart.

Vi kjører koden og får til svar at f !(3) ≈ 2,0000.

G

IN

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 4*x + 1 3 4 x = 3 5 delta_x = 0.0000001 6 delta_y = f(x + delta_x) ‑ f(x) 7 derivert = delta_y/delta_x 8 9 print(f'{derivert:.4f}')

Nå kan vi kombinere dette med koden vi brukte til å tegne grafen til en funksjon. Da får vi tegnet grafen til f !(x).

Funksjoner i bruk

157

TIL

: : : EKSEMPEL 3.15

En funksjon f er gitt ved

f(x) = x2 − 4x + 1

Tegn grafen til f sammen med grafen til den deriverte f !(x).

LØSNING

VU

Vi lager tre lister: Én for x-verdier, én for funksjonsverdier og én for verdiene til den deriverte. Så bruker vi en løkke til å bygge opp listene, før vi plotter dem.

G

IN

ER

RD

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 # Definerer funksjonen 3 def f(x): 4 return x**2 ‑ 4*x + 1 5 # Setter opp tabellen 6 xstart = ‑4 7 xslutt = 8 8 xsteg = 0.01 9 xverdier = [] # Oppretter lister til verdiene 10 yverdier = [] 11 derivertverdier = [] 12 x = xstart # Startverdier 13 delta_x = 0.0000001 14 delta_y = f(x + delta_x) ‑ f(x) 15 derivert = delta_y/delta_x 16 17 while x <= xslutt: 18 xverdier.append(x) # Lagrer verdiene 19 yverdier.append(f(x)) 20 derivertverdier.append(derivert) 21 x = x + xsteg 22 delta_y = f(x + delta_x) ‑ f(x) 23 derivert = delta_y/delta_x 24 25 plt.plot(xverdier, yverdier) 26 plt.plot(xverdier, derivertverdier) 27 plt.show()

158

KAPITTEL 3

TIL

Når vi kjører koden, får vi denne grafen:

VU

Grafen viser parabelen f(x) sammen med den lineære funksjonen f !(x).

RD

Den deriverte skifter fortegn i ekstremalpunktene. Dette kan vi bruke til å finne et ekstremalpunkt: Vi regner ut den deriverte i hvert punkt, og avslutter når den deriverte skifter fortegn.

: : : EKSEMPEL 3.16

ER

En funksjon f er gitt ved

f(x) = x2 − 4x + 1

Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til f.

IN

LØSNING

G

1 def f(x): 2 return x**2 ‑ 4*x + 1 3 4 xstart = ‑4 5 xsteg = 0.01 6 7 x = xstart 8 delta_x = 0.0000001 9 derivert = (f(x + delta_x) ‑ f(x))/delta_x

Funksjoner i bruk

159

TIL

11 while derivert < 0: 12 x = x + xsteg 13 derivert = (f(x + delta_x) ‑ f(x))/delta_x 14 15 print(x, f(x))

VU

Når vi kjører programmet, får vi at bunnpunktet på grafen til f er omtrent (2, −3).

Teknikken fra avsnittet om største verdi på side 94 kan vi bruke til å finne største vekst.

: : : EKSEMPEL 3.17

f(x) = x3 + 3x2 − 10x

RD

La f være funksjonen gitt ved

Bestem koordinatene til det punktet på grafen hvor vekstfarten er lavest.

LØSNING

G

1 def f(x): 2 return x**3 + 3*x**2 ‑ 10*x 3 4 xstart = ‑7 5 xslutt = 5 6 xsteg = 0.01 7 delta_x = 0.0001 8 9 x = xstart 10 derivert = (f(x + delta_x) ‑ f(x))/delta_x 11 minstderivert = derivert 12 tilhørendex = x

IN

ER

Vi definerer funksjonen, og setter opp koden slik vi gjør når vi lager verditabell. Underveis i løkka regner vi ut den deriverte, og lagrer den verdien som til en hver tid er minst, sammen med den x-verdien som hører til.

160

KAPITTEL 3

TIL

VU

13 while x <= xslutt: 14 if derivert < minstderivert: 15 minstderivert = derivert 16 tilhørendex = x 17 x = x + xsteg 18 derivert = (f(x + delta_x) ‑ f(x))/delta_x 19 20 print(tilhørendex, f(tilhørendex))

Når vi kjører programmet, får vi: ‑1.0000000000001057 12.000000000001375

Dette betyr at veksten er minst i punktet (−1,00, 12,00).

RD

Integrasjon (vgs)

y

ER

Utgangspunktet for å beregne integraler er ønsket om å beregne areal av flater begrenset av krumme kurver. Vi ser her på hvordan vi beregner arealet avgrenset av en funksjonsgraf, to vertikale linjer og x-aksen, altså det markerte området på figuren til venstre. y

f

IN

x

f

x

G

Det markerte området på figuren til høyre er summen av rektanglene under grafen. Vi kaller summen av rektanglene for trappesummen, siden rektanglene ser ut som en trapp. Vi kaller det en venstresidig trappesum, siden høyden i hvert rektangel er bestemt av funksjonverdien i venstre kant av rektangelet.

Når grafen vokser, vil den venstresidige trappesummen bli litt mindre enn det arealet vi ønsker å beregne. Når grafen synker, blir den venstre-

Funksjoner i bruk

161

TIL

sidige trappesummen litt for stor. Men hvis vi lager veldig mange rektangler, blir bredden av hvert rektangel liten. Da blir de to markerte områdene omtrent like store.

Vi skal lage et program i Python som regner ut den venstresidige trappesummen under grafen til en funksjon f(x) mellom to tall a og b.

Først lager vi en følge av x-verdier mellom a og b:

RD

VU

1 N = 10 2 a = 1 3 b = 11 4 delta_x = (b ‑ a)/N 5 6 x = a 7 8 for i in range(N): 9 print(x, end=' ') 10 x = x + delta_x

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet:

ER

1 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Vi har fått ti x-verdier mellom a = 1 og b = 1. Avstanden mellom hver 11 − 1 b−a = = 1. Dette blir bredden av hvert rektangel. x-verdi er N 10

IN

Nå endrer vi koden: Vi definerer en funksjon f(x) = x2 . Inni løkka regner vi ut arealet av rektangelet vi er på, og printer.

G

1 def f(x): 2 return x**2 3 4 N = 10 5 a = 1 6 b = 11 7 delta_x = (b ‑ a)/N

162

KAPITTEL 3

TIL

8 x = a 9 10 for i in range(N): 11 areal = f(x)*delta_x 12 print(areal, end=' ') 13 x = x + delta_x

Det gir dette resultatet:

VU

1.0 4.0 9.0 16.0 25.0 36.0 49.0 64.0 81.0 100.0

Trappesummen blir nå summen av disse arealene. Vi legger til en egen variabel som vi lagrer summen i underveis i løkka:

RD

G

IN

ER

1 def f(x): 2 return x**2 3 4 N = 10 5 a = 1 6 b = 11 7 delta_x = (b ‑ a)/N 8 9 x = a 10 summen = 0 11 12 for i in range(N): 13 areal = f(x)*delta_x 14 summen = summen + areal 15 x = x + delta_x 16 17 print(summen)

Hvis vi nå øker antall rektangler i trappesummen, kan vi si at koden beregner arealet under grafen til f fra a til b numerisk, altså finner ' b f(x) dx. programmet en numerisk tilnærmingsverdi av a

Funksjoner i bruk

163

TIL

: : : EKSEMPEL 3.18

Finn en numerisk tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f(x) = x2 fra x = 1 til x = 1.

LØSNING

Vi beregner venstresidig trappesum, men setter antall rektangler til 10 000.

Når vi kjører programmet, får vi 443,27.

Resultatet av koden ovenfor er det bestemte integralet. Koden beregner altså ' 11 x2 dx 1

G

IN

ER

RD

VU

1 # Vi definerer funksjonen 2 def f(x): 3 return x**2 4 5 # Startverdier for N, a, b og delta x 6 N = 10000 7 a = 1 8 b = 11 9 delta_x = (b ‑ a)/N 10 11 # x starter i a 12 x = a 13 # Integralet er null når vi starter 14 summen = 0 15 16 for i in range(N): 17 areal = f(x)*delta_x # Beregner arealet 18 summen = summen + areal # Summerer arealene 19 x = x + delta_x # Øker x 20 21 print(summen)

164

KAPITTEL 3

TIL

Vi kan finne en tilnærmingsverdi for integralet på flere måter. Nedenfor ser du en illustrasjon av fire ulike måter. y

y f

VU x

Venstresidig

y

y f

f

f

x

Høyresidig

x Midtpunkt

x Trapes

Bredden av hvert areal er Δx. Den venstresidige trappesummen har høyde f(x). Den høyresidige trappesummen har høyde f(x + Δx).

Rektangelet med midtpunkt har høyde f( a+b 2 ).

RD

Da gjenstår bare å finne arealet av trapeset. Arealet av et trapes er gitt ved formelen A=

a+b ·h 2

Om vi setter inn a = f(x), b = f(x + Δx) og h = Δx, får vi: A=

ER

f(x) + f(x + Δx) · Δx 2

I koden i eksempelet over tilsvarer linje 17 arealet av rektangelet i en venstresidig trappesum. Nå kan vi erstatte denne linja med passende linjer for de tre andre alternative utregningsmetodene: Høyresidig trappesum:

areal = f(x + delta_x)*delta_x

Midtpunkt:

Trapes: 13

G

13

IN

13

areal = f((2*x + delta_x)/2)*delta_x

areal = (f(x) + f(x + delta_x))/2*delta_x

Funksjoner i bruk

165

TIL

: : : EKSEMPEL 3.19 Løs likningen. ' x √ x dx = 18 0

LØSNING

VU

Vi kan ikke bruke samme kode som i eksempelet ovenfor, for vi vet ikke på forhånd hva øvre grense er. Da kan vi heller ikke beregne Δx fra a, b og N. I stedet setter vi Δx til et passende lite tall, for eksempel Δx = 0,000 01. Så bytter vi ut for-løkka med en whileløkke som stopper når integralet er blitt 18.

# Trapes

Når vi kjører programmet, får vi x ≈ 9,00.

G

IN

14 summen = summen + areal 15 x = x + delta_x 16 17 print(x)

ER

RD

1 import math 2 3 def f(x): 4 return math.sqrt(x) 5 6 a = 0 7 delta_x = 0.00001 8 9 x = a 10 summen = 0 11 12 while summen < 18: 13 areal = (f(x) + f(x + delta_x))/2*delta_x

166

KAPITTEL 3

TIL

OPPG AVER

3.16 En funksjon f er gitt ved

f(x) = −x2 + 6x + 2

Skriv et program i Python som finner toppunktet på grafen til f når du får vite at f !(0) > 0.

VU

3.17 Finn en numerisk tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f(x) = −x2 + 5x + 6 fra x = 2 til x = 6.

1 a = 0 2 b = 2 3 n = 10000 4 5 # Definerer funksjonen f(x)=x^2 + 2

6 def f(x): 7 return x**2 + 2 8 9 I = 0 10 h = (b‑a)/n 11 12 # Lar i gjennomløpe tallene 0,

RD

3.18 (Eksamen R1 2022V) En elev har skrevet denne programkoden:

3.19 (Eksempeloppgave S2 2022H) En elev har skrevet følgende kode:

13 for i in range(n): 14 I = I + f(a + i*h)*h 15 16 print(round(I, 3))

a) Forklar hva eleven ønsker å regne ut. b) Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?

G

IN

a) Forklar hva som skjer når programmet kjøres? Hva ønsker eleven å finne ut? b) Gjør nødvendige beregninger, og bestem svaret eleven ønsker å finne.

1, ..., n ‑ 1

ER

1 # Definerer funksjonen 2 # f(x) = x/(1+x^2) 3 def f(x): 4 return x/(1 + x**2) 5 6 x = 0 7 h = 0.001 8 9 while f(x) <= f(x + h): 10 x = x + h 11 12 print(x)

Økonomi

167

TIL

3.5 Økonomi Leiligheter, biler og penger er eksempler på ting som endrer seg i verdi eksponentielt med tiden. Det betyr at verdien vokser eller avtar med en bestemt prosent per tidsenhet, for eksempel per år. Vi kan beregne fremtidige eller tidligere verdier ved å multiplisere eller dividere med en vekstfaktor. Skal vi finne verdien av noe om fem år, multipliserer vi med vekstfaktoren fem ganger. Når vi programmerer, kan vi bruke løkker til å hjelpe oss med flere prosentvise endringer etter hverandre.

VU

: : : EKSEMPEL 3.20

LØSNING

RD

En leilighet er i dag verdt 3 000 000 kr. Vi forventer at verdien til leiligheten øker med 5 % per år. a) Bestem forventet verdi til leiligheten de neste tre årene. b) Hvor mange år tar det før leiligheten er verdt mer enn 5 000 000 kroner?

a) Ettersom verdien av leiligheten stiger med 5 % hvert år, finner vi vekstfaktoren: 100 % + 5 % = 105 % = 1,05

1 verdi = 3000000 2 vekstfaktor = 1.05 3 4 for år in range(3): 5 verdi = verdi*vekstfaktor 6 print(verdi)

Når vi kjører koden, viser konsollen verdien de neste tre årene: 3150000.0 3307500.0 3472875.0

G

IN

ER

Vi lager en løkke der vi oppdaterer verdien til leiligheten ved å multiplisere med vekstfaktoren 1,05 hver gang løkka kjører. I tillegg printer vi verdien av leiligheten hver gang løkka kjører, altså for hvert år:

168

KAPITTEL 3

TIL

b) Vi bytter ut for-løkka med en while-løkke. Den kjører så lenge verdien er mindre enn 5 000 000. I tillegg oppretter vi en variabel år, som teller hvor mange ganger løkka kjører:

VU

1 verdi = 3000000 2 vekstfaktor = 1.05 3 4 sluttverdi = 5000000 5 år = 0 6 while verdi < sluttverdi: 7 verdi = verdi*vekstfaktor 8 år += 1 # år = år + 1 9 print(f'Det tar om lag {år} år før leiligheten er verdt mer enn 5 millioner kroner.')

RD

Når vi kjører koden, får vi:

Det tar om lag 11 år før leiligheten er verdt mer enn 5 millioner kroner.

ER

Sparing

: : : EKSEMPEL 3.21

IN

Hvis vi sparer et beløp hver måned med en fast månedlig rente, vil rentene vi har opptjent være avhengig av hvor lenge hvert av sparebeløpene har stått på kontoen. I tillegg vil et eventuelt beløp vi allerede hadde på konto da vi startet å spare, også øke eksponentielt med tiden. Da kan det være praktisk å bruke programmering i Python til å gjøre beregninger.

G

Ida har 20 000 kr på konto og ønsker å spare et fast beløp hver måned, første gang 1. januar og siste gang 1. desember. Renta i banken er 0,3 % per måned hele året. a) Hvor mye har Ida på konto etter et år hvis hun sparer 1800 kr per måned? b) Hvor mye må Ida spare hver måned for å ha 50 000 kr på konto etter et år?

Økonomi

169

TIL LØSNING

a) Vi lager variabler for sparebeløp, rente, vekstfaktor og saldo og bruker en for-løkke til å regne ut saldoen for én og én måned.

Når vi skal regne ut saldoen etter én måned, må vi multiplisere både de 20 000 kronene som står der fra før og sparbeløpet hun setter inn med vekstfaktoren. Derfor skriver vi inni løkka: saldo = (saldo + sparebeløp)*vekstfaktor

VU

Dette gjentar vi i løkka for alle tolv månedene. Så går vi ut av løkka og skriver ut verdien av saldoen. Koden kan se slik ut:

RD

1 sparebeløp = 1800 2 rente = 0.3 3 vekstfaktor = 1 + rente/100 4 saldo = 20000 5 for i in range(12): 6 saldo = (saldo + sparebeløp)*vekstfaktor 7 print(f'Ida har {saldo:.2f} kr på konto etter et år.')

Når vi kjører koden, får vi:

Ida har 42757.87 kr på konto etter et år.

ER

b) Vi legger for-løkka inn i en while-løkke. Øverst i while-løkka oppdaterer vi variabelen saldo slik at vi starter på 20 000 hver gang while-løkka kjører. Før vi går inn i for-løkka, øker vi sparebeløpet med én krone. Når saldoen overstiger 50 000, går vi ut av while-løkka og skriver ut sparebeløpet.

10 print(f'Sparebeløpet må være {sparebeløp:.2f} kr. Da er saldo {saldo:.2f} kr.')

G

sparebeløp)*vekstfaktor

IN

5 while saldo < 50000: 6 saldo = 20000 7 sparebeløp += 1 8 for i in range(12): 9 saldo = (saldo +

170

KAPITTEL 3

TIL

Når vi kjører koden, får vi: Sparebeløpet må være 2392.00 kr. Da er saldo 50001.93 kr.

OPPG AVER

Hva blir resultatet når vi kjører programmet, og hva tror du Ole ønsker å finne ut?

3.22 (Eksempeloppgave 2P–Y 2022H) 1 beløp = 10000 2 verdi = beløp 3 vekstfaktor = 1.03 4 år = 0 5 6 while verdi < beløp*2: 7 verdi = verdi*vekstfaktor 8 år = år + 1 9 10 print(verdi) 11 print(år)

3.21 Ole har skrevet følgende program:

En elev har skrevet programkoden ovenfor.

Hva ønsker eleven å finne ut? Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

G

IN

1 verdi = 150000 2 vf = 0.88 3 for i in range(8): 4 verdi = verdi/vf 5 print(verdi)

ER

RD

VU

3.20 Anne har 40 000 kr på konto og ønsker å spare 3000 kr per måned de neste 10 månedene. Første innskudd gjør hun i dag, og renten i banken er 0,27 % i hele spareperioden. a) Skriv et program som regner ut hvor mye penger Anne har på kontoen én måned etter det tiende innskuddet. b) Endre programmet slik at det regner ut hvor lang tid det går før hun har 120 000 kr på konto.

Simulering

171

TIL

3.6 Simulering Når vi kaster en terning er sannsynligheten en sjettedel for at vi får en treer. Men det betyr ikke at vi kan være sikker på å få en treer når vi kaster terningen seks ganger. Kaster vi derimot terningen veldig mange ganger, vil om lag en sjettedel av kastene være treere. Andelen av treere kaller vi den relative frekvensen til treere, og når vi kaster terningen veldig mange ganger, vil den relative frekvensen for treere nærme seg sannsynligheten for å få en treer på ett kast.

VU

Det er her programmeringen kommer inn i bildet. Istedenfor å fysisk kaste terningen veldig mange ganger for å finne en sannsynlighet, kan vi bruke Python til å simulere kastene.

Når vi skal simulere et terningkast med Python, kan vi importere biblioteket random og skrive randint(1,6) for å trekke et tilfeldig heltall fra og med 1 til og med 6.

RD

1 import random 2 3 resultat = random.randint(1,6) 4 print(f'Terningen viser {resultat}.')

Terningen viser 2.

ER

I konsollen kan vi få:

Her kan vi få et hvilket som helst tall mellom 1 og 6, avhengig av hvilket resultat vi får fra random.randint(1,6).

a) Skriv et program som skriver ut hvert av resultatene når vi kaster en terning 100 ganger. b) Utvid programmet så programmet finner den relative frekvensen for antall firere ved 100 kast. c) Finn en tilnærming til sannsynligheten for å få firer når vi kaster en vanlig terning.

LØSNING

a) Vi lager en for-løkke som går 100 ganger. Hver gang løkka går, skriver vi ut resultatet til konsollen:

G

IN

: : : EKSEMPEL 3.22

172

KAPITTEL 3

TIL

1 import random 2 3 for i in range(100): 4 resultat = random.randint(1,6) 5 print(resultat, end = ' ') Når vi kjører programmet, får vi for eksempel dette:

VU

4 2 4 2 3 1 6 4 2 2 2 4 5 3 6 3 1 6 5 6 3 2 5 1 2 6 2 2 6 1 5 4 4 1 5 6 5 3 5 3 5 4 6 3 3 4 4 3 1 5 5 6 6 4 4 1 3 3 6 5 3 1 6 3 4 1 6 4 3 6 4 3 5 1 6 2 1 2 4 4 6 5 2 1 3 2 2 4 6 3 1 1 2 5 3 3 1 2 3 3

RD

b) Vi oppretter en variabel firere med startverdien null. Så legger vi en if-setning i løkka. Hvis resultatet er fire, øker vi verdien til variabelen firere med én. Under oppretter vi variabelen relativ_frekvens som viser hvor stor andel firerne utgjør av alle de 100 kastene:

er {relativ_frekvens}.')

I konsollen får vi for eksempel dette:

G

IN

ER

1 import random 2 3 antall_kast = 100 4 firere = 0 5 6 for i in range(antall_kast): 7 resultat = random.randint(1,6) 8 if resultat == 4: 9 firere = firere + 1 10 11 relativ_frekvens = firere/antall_kast 12 13 print(f'Den relative frekvensen for firere

Den relative frekvensen for firere er 0.18.

Simulering

173

TIL

c) Ettersom den relative frekvensen nærmer seg sannsynligheten når vi gjør forsøket veldig mange ganger, setter vi variabelen antall_kast til et stort tall, for eksempel 1 000 000. Da kan vi få: Den relative frekvensen for firere er 0.167218.

VU

Dette stemmer ganske bra når vi vet at sannsynligheten for å få 1 en firer er ≈ 0,1667 6

La oss se på et eksempel der vi kaster flere terninger:

: : : EKSEMPEL 3.23

LØSNING

RD

a) Skriv et program som finner sannsynligheten for at summen av antall øyne er seks når vi kaster to terninger. b) Gjør forandringer i programmet slik at det finner sannsynligheten for at summen av antall øyne er større enn 21 når vi kaster fem terninger.

G

1 import random 2 3 antall_kast = 10000 4 summen_6 = 0 5 6 for i in range(antall_kast): 7 terning1 = random.randint(1,6) 8 terning2 = random.randint(1,6) 9 sum_øyne = terning1 + terning2 10 if sum_øyne == 6: 11 summen_6 = summen_6 + 1

IN

ER

a) Vi tar utgangspunktet i det samme programmet som i det forrige eksemplet og oppretter variabelen terning2 inne i for-løkka. I linje 9 legger vi summen av antall øyne på de to terningene inn i variabelen sum_øyne. Variabelen over løkka som teller opp har vi kalt summen_6. Verdien av denne øker vi med én hver gang summen av antall øyne er seks.

174

KAPITTEL 3

TIL

12 relativ_frekvens = summen_6/antall_kast 13 14 print(f'Den relative frekvensen for summen seks er {relativ_frekvens}.')

Vanlig tekst Her har vi kastet tokursiv terninger 10 000 ganger. Når vi kjører koden, kan vi få: y

VU

Den relative frekvensen for summen seks er 0.1388.

RD

Figuren under viser alle de 36 utfallene vi kan få når vi kaster to terninger. I hver rute står xsummen av antall øyne. Ettersom alle utfallene er like sannsynlige og fem av rutene viser at summen 5 ≈ 0,1389. er seks, er sannsynligheten for summen seks lik 36

Terning 2

Terning 1

3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12

ER

1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8

b) Når vi skal kaste fem terninger sparer vi litt plass ved å bruke en for-løkke inni for-løkka til å kaste fem terninger om gangen. Hver gang den innerste løkka går, legger vi resultatet i variabelen sum_øyne, som vi har plassert inni den ytterste løkka.

G

IN

1 import random 2 3 antall_kast = 10000 4 større_enn_21 = 0

Simulering

175

TIL

VU

5 for i in range(antall_kast): 6 sum_øyne = 0 7 for i in range(5): 8 terning = random.randint(1,6) 9 sum_øyne = sum_øyne + terning 10 if sum_øyne > 21: 11 større_enn_21 += 1 12 relativ_frekvens = større_enn_21/antall_kast 13 print(f'Den relative frekvensen for at summen er større enn 21 er {relativ_frekvens}.')

Når vi kjører programmet, kan vi få for eksempel dette:

RD

Den relative frekvensen for at summen er større enn 21 er 0.146.

Dette betyr at sannsynligheten for å at summen er mer enn 21 er omtrent 0,146.

ER

Trekking med tilbakelegging

Vi trekker et element fra en liste med kommandoen random.choice().

: : : EKSEMPEL 3.24

LØSNING

Vi lager en liste med alle navnene og bruker kommandoen random.choice():

1 import random 2 kollektiv = ["Anne", "Ivar", "Tonje", "Oda"] 3 må_vaske = random.choice(kollektiv) 4 print(må_vaske) Konsollen viser at det er Ivar som må vaske denne gangen.

G

IN

De fire vennene Anne, Ivar, Tonje og Oda bor i kollektiv. Skriv et program som avgjør hvem som skal vaske kjøkkenet denne uka.

176

KAPITTEL 3

TIL

Vi kan også trekke flere elementer fra en liste. Hvis de fire personene i kollektivet i eksemplet over vil trekke hvem som skal vaske kjøkkenet hver av de neste tre ukene, kan vi trekke tre navn fra lista med kommandoen random.choices(). Da legger vi inn et ekstra argument, k = 3, i kommandoen.

VU

1 import random 2 kollektiv = ["Anne", "Ivar", "Tonje", "Oda"] 3 må_vaske = random.choices(kollektiv, k=3) 4 print(må_vaske)

Når vi kjører denne koden, får vi for eksempel ['Anne', 'Oda', 'Anne']

RD

Her ser vi at Anne er trukket ut to ganger. Dette kan skje fordi kommandoen random.choices() legger navnene tilbake i lista igjen mellom hvert trekk. Det er kanskje ikke en veldig rettferdig måte å avgjøre vaskeansvaret på.

Trekking uten tilbakelegging

: : : EKSEMPEL 3.25

ER

Hvis vi trekker fra en liste uten å legge elementene tilbake i lista etter hvert trekk, kan vi bruke kommandoen random.sample().

Skriv et program som trekker ut de tre personene, som de tre neste ukene skal vaske kjøkkenet i kollektivet til Anne, Ivar, Tonje og Oda.

IN

1 import random 2 kollektiv = ["Anne", "Ivar", "Tonje", "Oda"] 3 må_vaske = random.sample(kollektiv, k=3) 4 print(må_vaske)

['Tonje', 'Ivar', 'Anne']

G

Når vi kjører programmet, kan vi få:

Ettersom trekkene er uten tilbakelegging, må ingen vaske kjøkkenet mer enn én gang.

Simulering

177

TIL

En kjent problemstilling i matematikk er å trekke kuler med forskjellig farge uten tilbakelegging.

: : : EKSEMPEL 3.26

VU

I en krukke ligger tre grønne og to blå kuler. Trekk to kuler fra krukka uten tilbakelegging og skriv resultatet til skjerm.

RD

LØSNING

Vi lager en liste med de fem kulene ved å skrive kuler = 3*['grønn'] + 2*['blå']

Så bruker vi kommandoen random.sample() til å trekke to av kulene:

Resultatet i konsollen kan bli:

Vi har trukket en blå og en grønn kule.

Situasjoner som denne beskriver vi i matematikken med det vi kaller en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling.

I eksemplet over trakk vi en blå og en grønn kule. Hvor ofte kommer vi til å trekke en kule av hver farge?

G

IN

['blå', 'grønn']

ER

1 import random 2 kuler = 3*['grønn'] + 2*['blå'] 3 trukket = random.sample(kuler, k=2) 4 print(trukket)

178

KAPITTEL 3

TIL

: : : EKSEMPEL 3.27 Skriv et program som finner en tilnærming til sannsynligheten for å trekke én kule av hver farge når vi trekker to kuler fra en krukke med tre grønne og to blå kuler.

LØSNING

VU

Vi bruker en for-løkke til å trekke 10 000 ganger. Så oppretter vi variabelen frekvens med startverdien null. Med en if-setning avgjør vi om trekkingen inneholder én kule av hver farge ved å skrive if trukket.count("blå") == 1. Hvis dette vilkåret er oppfylt, øker vi verdien av variabelen frekvens med én.

RD

1 import random 2 N = 10000 3 frekvens = 0 4 for i in range(N): 5 kuler = 2*["blå"] + 3*["grønn"] 6 trukket = random.sample(kuler,k=2) 7 if trukket.count("blå") == 1: 8 frekvens = frekvens + 1 9 relativ_frekvens = frekvens/N 10 print(f'En tilnæring til sannsynligheten for å

ER

trekke en kule av hver farge er {relativ_frekvens}.')

Når vi kjører koden, får vi for eksempel:

En tilnærming til sannsynligheten for å trekke

IN

en kule av hver farge er 0.5969.

Vi kan også beregne sannsynligheten i eksempelet over med sannsynlighetsregning: blå og grønn

# $! " eller # $! " 3 2 #$!" 2 3 + · · 5 4 5 4

=

G

grønn og blå

6+6 12 6 = = = 60 % 20 20 10

Dette passer godt med resultatet fra simuleringen.

Simulering

179

TIL

Stokke en liste

Vi kan stokke en liste med kommandoen random.shuffle().

Kommandoenen lager en ny liste der elementene er stokket i tilfeldig rekkefølge.

: : : EKSEMPEL 3.28

LØSNING

VU

Skriv et program som bestemmer i hvilken rekkefølge de fem vennene Anne, Ivar, Tonje, Markus og Oda skal vaske kjøkkenet i kollektivet sitt de neste fem ukene.

1 import random 2 3 kollektiv = ["Anne", "Ivar", "Tonje",

RD

"Markus", "Oda"]

vaske kjøkkenet.')

Når vi kjører koden, får vi for eksempel: Uke 1 skal Ivar vaske kjøkkenet.

Uke 2 skal Anne vaske kjøkkenet.

Uke 3 skal Markus vaske kjøkkenet.

Uke 4 skal Oda vaske kjøkkenet.

Uke 5 skal Tonje vaske kjøkkenet.

G

IN

ER

4 5 # Random.shuffle stokker selve lista.

6 # Lista 'kollektiv' får da elementene 7 # i en annen rekkefølge.

8 random.shuffle(kollektiv) 9 print(kollektiv) 10 11 for i in range(len(kollektiv)): 12 print(f'Uke {i+1} skal {kollektiv[i]}

180

KAPITTEL 3

TIL

Sannsynlighetsfordelinger La oss tenke oss at vi kaster to terninger. Da vil summen av antall øyne variere mellom to og tolv.

VU

Vi kan finne en tilnærming til en bestemt sannsynlighet ved å simulere mange kast i Python. Men vi kan også bruke Python til å vise hvordan sannsynligheten for hvert av utfallene fordeler seg. Med kommandoen plt.bar() fra biblioteket Matplotlib kan vi tegne opp et søylediagram som viser de relative frekvensene for de enkelte utfallene. Når vi lar antall kast bli veldig stort, vil dette søylediagrammet vise en tilnærming til sannsynlighetsfordelingen.

For å kaste de to terningene, velger vi denne gangen å lage en funksjon, to_terninger(), som returnerer summen av antall øyne når vi kaster to terninger. Den kan se slik ut:

RD

4 def to_terninger(): 5 return random.randint(1,6) + random.randint(1,6)

Vi ønsker å gjenta forsøket mange ganger, så vi setter N = 10 000 og oppretter en liste der vi lagrer frekvensene av de enkelte utfallene. I tillegg lager vi en liste som skal vise summen av antall øyne langs x-aksen når vi plotter diagrammet.

ER

7 N = 10000 8 frekvenser = [0] * 13 9 xverdier = list(range(13))

Legg merke til at at vi ganger lista med 13 siden vi starter å telle på plass nummer 0. Da blir plass nummer 12 den siste plassen i lista. På denne plassen ønsker vi å legge frekvensen for summen 12. På plass nummer 8 ønsker vi å legge frekvensen for summen 8 og så videre. Vi lar en forløkke simulere 10 000 kast med de to terningene. For hvert resultat legger vi til én på riktig plass i lista. Løkka ser da slik ut: 11 for i in range(N): 12 resultat = to_terninger() 13 frekvenser[resultat] += 1

G

IN

De to første elementene i lista frekvenser vil forbli null, siden summen av antall øyne ikke kan være null eller en.

Simulering

181

Hele koden ser da slik ut:

TIL

RD

VU

1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 def to_terninger(): 5 return random.randint(1,6) + random.randint(1,6) 6 7 N = 10000 8 frekvenser = [0] * 13 9 xverdier = list(range(13)) 10 11 for i in range(N): 12 resultat = to_terninger() 13 frekvenser[resultat] += 1 14 15 plt.bar(xverdier, frekvenser) 16 plt.show()

I konsollen får vi tegnet opp søylediagrammet over fordelingen:

G

IN

ER Søylediagrammet viser fordelingen til frekvensen for hvert av utfallene, men for å kunne tilnærme oss sannsynlighetsfordelingen trenger vi de relative frekvensene. Disse kan vi finne ved å dele hver av frekvensene i lista frekvenser med totalt antall kast og legge dem i lista relative_frekvenser:

182

KAPITTEL 3

TIL

1 relative_frekvenser = [] 2 for f in frekvenser: 3 rf = f/N 4 relative_frekvenser.append(rf)

: : : EKSEMPEL 3.29

LØSNING

ER

RD

VU

Tegn et søylediagram som viser en tilnærming til sannsynlighetsfordelingen til summen av antall øyne når vi kaster fem terninger én gang.

G

IN

I linje 4–11 har vi laget funksjonen terninger(n), som gir oss summen av antall øyne ved et kast med n terninger. I vårt tilfelle er n = 5. Inne i funksjonen bruker vi en for-løkke til å kaste hver av terningene. Funksjonen returnerer summen av antall øyne.

I linje 15 oppretter vi en liste til frekvensene. Lista må ha minst 31 plasser, da plass nummer 30 skal vise frekvensen til kast med summen 30. Startverdiene til alle elementene i lista er null. Lista lager vi ved å skrive frekvenser = [0]*31.

I linje 16 lager vi en liste med x-verdier fra og med null til og med 30.

I linje 20–22 bruker vi en for-løkke til å kaste fem terninger 10 000 ganger. For hvert kast øker vi frekvensen med én på den tilhørende plassen i lista frekvenser. Hvis terningen for eksempel viser 20 øyne, øker vi frekvensen med én på plass nummer 20.

Simulering

183

TIL

I linje 24–28 lager vi en liste med relative frekvenser ved å dele hvert av leddene i lista frekvenser med totalt antall kast, N. Vi tegner søylediagrammet med kommandoen plt.bar() og skriver navn på aksene med plt.xlabel() og plt.ylabel():

G

IN

ER

RD

VU

1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 def terninger(n): 5 sum_øyne = 0 6 7 for i in range(n): 8 utfall = random.randint(1, 6) 9 sum_øyne += utfall 10 return sum_øyne 11 12 13 n = 5 14 15 frekvenser = [0] * 31 # n*6 + 1 16 xverdier = list(range(31)) 17 18 N = 10000 19 20 for i in range(N): 21 resultat = terninger(n) 22 frekvenser[resultat] += 1 23 24 relative_frekvenser = [] 25 26 for f in frekvenser: 27 rf = f/N 28 relative_frekvenser.append(rf) 29 30 plt.bar(xverdier, relative_frekvenser) 31 plt.xlabel('Summen av antall øyne') 32 plt.ylabel('Relativ frekvens') 33 plt.show()

184

KAPITTEL 3

TIL

Når vi kjører koden, får vi:

RD

VU Linjene 24–28 i koden over kan vi forenkle ved å skrive:

Vi har en binomisk fordeling når

det bare er to mulige utfall i hvert delforsøk

Vi kaster kron og mynt 50 ganger. Hvordan kan vi finne en tilnærming til sannsynlighetsfordelingen til antall kron? Denne fordelingen kaller vi i matematikken for binomisk fordeling.

IN

vi gjør identiske delforsøk

Kron og mynt

ER

24 relative_frekvenser = [f/N for f in frekvenser]

G

Vi lar en funksjon mynter(n) finne hvor mange kron vi får når vi kaster kron og mynt n ganger. I dette tilfellet setter vi n = 0. Vi oppretter en variabel sum_kron med startverdi null. I en for-løkke trekker vi kron og sannsynligheten er mynt og teller opp hvor mange kron vi får. Vi lar 0 bety kron og 1 bety mynt. Hvis resultatet er 0, altså kron, øker vi variabelen sum_kron med konstant én. Til slutt returnerer vi antall kron. Det betyr at hver gang vi kaller på funksjonen får vi et tall mellom 0 og 50. forsøkene er uavhengige

Simulering

185

TIL

1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 def mynter(n): 5 sum_kron = 0 6 for i in range(n): 7 utfall = random.randint(0,1) 8 if utfall == 0: 9 sum_kron += 1 10 return sum_kron 11 12 n = 50

VU

RD

Vi oppretter en liste der vi lagrer frekvensene. Før vi lagrer frekvenser i denne lista, vil alle elementene i denne lista være null, så vi skriver frekvenser = [0]*51. Antall kron på 50 kast vil variere mellom null og 50. Derfor lager vi en liste med x-verdier ved å skrive xverdier = list(range(51)).

13 frekvenser = [0]*51 14 xverdier = list(range(51))

20 relative_frekvenser = [] 21 for f in frekvenser: 22 rf = f/N 23 relative_frekvenser.append(rf)

G

Til slutt lager vi en liste med de relative frekvensene:

IN

15 N = 10000 16 17 for i in range(N): 18 resultat = mynter(n) 19 frekvenser[resultat] += 1

ER

Vi lar en for-løkke kjøre N ganger. For hver gang løkka kjører, bruker vi funksjonen mynter(n) til å kaste kron og mynt n ganger. Så øker vi frekvensen med én på tilhørende plass i lista. Blir for eksempel resultatet 17, øker vi frekvensen på plass nummer 17 med én:

186

KAPITTEL 3

TIL

Til slutt tegner vi et søylediagram som viser fordelingen av de relative frekvensene for antall kron. Dette er da en tilnærming til søylediagrammet som viser sannsynlighetsfordelingen. Hele koden ser slik ut:

Resultatet når vi kjører koden kan bli slik:

G

IN

ER

RD

VU

1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 def mynter(n): 5 sum_kron = 0 6 for i in range(n): 7 utfall = random.randint(0,1) 8 if utfall == 0: 9 sum_kron += 1 10 return sum_kron 11 12 n = 50 13 frekvenser = [0]*51 14 xverdier = list(range(51)) 15 16 N = 10000 17 for i in range(N): 18 resultat = mynter(n) 19 frekvenser[resultat] += 1 20 21 relative_frekvenser = [] 22 for f in frekvenser: 23 rf = f/N 24 relative_frekvenser.append(rf) 25 26 plt.bar(xverdier, relative_frekvenser) 27 plt.show()

Simulering

187

TIL

Virrevandring

Er det noe mønster i rekkefølgen på kron og mynt når vi kaster en mynt mange ganger? La oss undersøke dette nærmere.

: : : EKSEMPEL 3.30

Lag en visualisering av resultatet når vi kaster kron og mynt 1000 ganger. Finner du noe mønster?

VU

LØSNING

Vi lar x-aksen vise kastnummeret. Vi starter i origo. Så går vi én opp hvis vi får kron og én ned hvis vi får mynt. Vi lar 0 bety kron og 1 bety mynt. Vi bruker kommandoen random.randint() til å kaste mynten. En for-løkke lar oss gjenta kastet 1000 ganger. For hver gang løkka går, legger vi x- og y-verdiene i hver sin liste.

RD

kast

14

resultat = random.randint(0,1) # Kaster mynten

15 if resultat == 0: 16 y = y + 1 # Går opp hvis vi får kron 17 else: 18 y = y ‑ 1 # Går ned hvis vi får mynt 19 20 plt.plot(xverdier, yverdier) 21 plt.show()

G

IN

ER

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 import random 3 4 N = 1000 5 xverdier = [] # Lister for å plotte grafen 6 yverdier = [] 7 x = 0 8 y = 0 # Starter i origo 9 10 for i in range(N): 11 xverdier.append(x) 12 yverdier.append(y) 13 x = x + 1 # Går én i x‑retning for hvert

188

KAPITTEL 3

TIL

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet:

RD

VU Ut ifra grafen ser det ikke ut til at det er noe mønster i rekkefølgen når vi kaster kron og mynt. Vi får ulik graf hver gang vi kjører programmet. Det er ikke uten grunn at denne simuleringen kalles «virrevandring».

G

IN

ER

Simulering

189

TIL

OPPG AVER

3.23 Et lykkehjul med 8 like store felter er nummerert fra og med 1 til og med 8. Skriv et program som finner en tilnærming til Vanlig tekst sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på 5. y

VU

3.24 Skriv et program som finner en tilnærming til sannsynligheten for at summen av antall øyne når vi kaster et kast med tre vanlige terninger er åtte.

3.26 (Eksamen S1 2022V) I et spill kaster du tre terninger. Du multikursiv pliserer sammen antall øyne på terningene.

Dersom dette produktet er større enn 100, vinner du.

Bestem sannsynligheten for å vinne ved å kjøre simuleringer. Husk å vise hvordan du kommer fram til svaret.

3.27

x

RD

3.25 (Eksamen S1 2022V) En elev har skrevet denne programkoden:

3.28 (Eksempeloppgave S1 2021H) I et spill skal du kaste to terninger. Du vinner dersom minst en av de to terningene viser fem eller seks øyne. Bruk simuleringer til å bestemme sannsynligheten for å vinne i dette spillet.

G

IN

a) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut? b) Bruk sannsynlighetsregning til å bestemme svaret som eleven ønsker å finne.

Vi kaster tre terninger med fire like store sider nummerert fra og med én til og med fire. Resultatet er summen av tallene som vender opp på de tre terningene. Skriv et program som viser en tilnærming til sannsynlighetsfordelingen til resultatet.

ER

1 from random import randint 2 3 N = 1000000 4 gunstige = 0 5 6 for i in range(N): 7 a = randint(1, 6) 8 b = randint(1, 6) 9 if a + b == 9: 10 gunstige = gunstige + 1 11 12 print(gunstige/N)

TIL

G

IN ER

RD VU

Oppgaver

Oppgavesamling

191

TIL G

IN

ER

RD

VU

For å bli skikkelig god til å programmere, er det trening som gjelder.

192 1

x Oppgavesamling 4

TIL

(Eksamen usk 2022V) Bildet viser et dataprogram.

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39

a=4

5

b=5

Gjenta b ganger

Tegn et linjestykke med lengde a

Snu (360 : b) grader til høyre

VU

a) Forklar hva som skjer når programmet blir kjørt. b) Tegn figuren og sett riktige mål på figuren din.

2

Skriv et program som skriver ut disse tallene:

Trekanten er r e t t v i n k l e t .

6

Lag et program som sjekker om to tall har samme fortegn eller ikke.

Eksempel på output: Hvis vi legger inn tallene 3 og −4 skal programmet gi: T a l l e n e har f o r s k j e l l i g fortegn .

RD

(Eksamen usk 2023V) Emira utforsker store talls lov ved å kaste terning med seks sider. Hun lager et dataprogram som kaster terning for henne.

Nedenfor vises Emiras forslag til en kode til et dataprogram.

Ta utgangspunkt i tre sidelengder i en trekant.

Lag et program som undersøker om trekanten er rettvinklet.

Eksempel: Hvis programmet får sidelengdene 3, 4 og 5, skal programmet svare:

7

antall _terningkast = skriv inn et heltall

t a l l 1 e r nå 21 t a l l 2 e r nå 15

Gjenta antall _terningkast ganger

legg tall til liste

Skriv liste til skjerm

Lag et program som starter med 2 og så dobler ti ganger.

Eksempel på output: 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

8

Likningen nedenfor har et heltall som løsning: 2x + 4 = 18

Skriv et program som finner den x-verdien mellom −10 og 10 som oppfyller likningen.

9

Nedenfor ser du en likning med både x og y.

2x + 4y = 10

G

3

Variablene skal altså bytte verdi. I koden kan du ikke skrive noen tall på nytt. Du kan heller ikke bruke noen matematiske operasjoner, som addisjon eller subtraksjon.

IN

a) Forklar hva som skjer når dataprogrammet blir kjørt Emira vil lage en tabell for å vise at det er like stor sannsynlighet for å få de ulike resultatene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. b) Hvilken verdi for antall_terningkast vil du anbefale Emira å velge? Begrunn svaret.

ER

tall = tilfeldig tall fra og med 1 til og med 6

Lag et program der du setter variabelen «tall1» til 15 og «tall2» til 21. Skriv så nødvendig kode slik at output blir:

Det finnes mange kombinasjoner av x og y som oppfyller likningen.

Lag et program som finner alle kombinasjoner av hele tall x og y mellom −10 og 10 som oppfyller likningen.

Oppgavesamling 10

TIL

Skriv ut de hele tallene under 1000 som er delelig med både 13 og 17.

11

Maria skal løpe intervaller. Hun har 4 minutter dragtid, deretter 2 minutter pause.

Lag et program som skriver ut hvor mange minutter det har gått hver gang hun skifter mellom drag og pause.

Eksempel på output: fra fra fra fra fra fra fra fra fra

drag t i l pause : pause t i l drag : drag t i l pause : pause t i l drag : drag t i l pause : pause t i l drag : drag t i l pause : pause t i l drag : drag t i l pause :

4 6 10 12 16 18 22 24 28

18

Skriv et program som ber brukeren om et helt tall n og som så skriver ut alle tall som n er delelig med.

19

Skriv et program som ber brukeren om ett og ett tall. Etter siste tall skal programmet regne ut gjennomsnittet av tallene.

20

n! leser vi som «n fakultet». Vi har definert n! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · n Det betyr at for eksempel 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Lag en funksjon som regner ut n!.

Lag et program som lar deg skrive inn stigningstallet og konstantleddet til en rett linje. Programmet skal så svare med skjæringspunktene med aksene.

14

Skriv et program som regner ut absoluttverdien |x| av et tall x.

Absoluttverdien er tallverdien, uten fortegnet.

Så | − 5| = 5 og |5| = 5.

15

Skriv et program som tar koordinatene til to punkter som input. Programmet skal finne stigningen mellom de to punktene.

16

Skriv et program som tar koordinatene til to punkter som input. Programmet skal skrive ut likningen for den rette linjen gjennom punktene.

Skriv et program som ber brukeren om et helt tall. Programmet skal så skrive ut alle mulige heltallige koordinater opp til og med dette tallet.

Et eksempel på output ser du her:

Lag et program som ber brukeren om et tall og som deretter skriver ut alle kvadrattallene som er lavere enn dette tallet.

22

Lag et program som finner det største av tre tall.

Husk å håndtere hvis noen av tallene er like store!

23

Ada lager et program som skal sjekke om et tall er delelig med 3. I tillegg skal programmet skrive ut resten ved divisjonen. Her er starten av koden til Ada: 1 n = 42 2 i f n % 3 == 0 : 3 p r i n t ( f ’ t a l l e t { n } er d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r null ’ ) 4 elif :

G

13

21

IN

Skriv et program som sjekker om et positivt heltall er et primtall.

Et primtall er et tall som ikke er delelig med andre tall enn 1 og seg selv.

ER

12

17

tall : 3 3) (1 , 1) (1 , 1) (2 , 2) (2 , 2) (3 , 3)

RD

VU

Går Går Går Går Går Går Går Går Går

S k r i v inn et h e l t (0 , 1) (0 , 2) (0 , 2) (1 , 3) (2 , 3) (3 , 1) (3 ,

193

a) Fullfør programmet til Ada. b) Gjør koden om til en funksjon der programmet ber en bruker om et heltall.

Dette tallet skal være argumentet i funksjonen som skal returnere de samme svarsetningene som du hadde i programmet i oppgave a).

194 24

Oppgavesamling 26

TIL

(Eksamen R1 2022H) Marianne har skrevet følgende program:

1 2 3 4 5 6 7 8

Hva ønsker Ada å finne ut?

Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

RD 27

* 2:

En elev har skrevet programkoden ovenfor.

Hva ønsker eleven å finne ut?

Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

28

(Eksamen R1 2022V) Gitt tre punkter A(a, b), B(c, d) og C(e, f). a) Beskriv en algoritme du kan bruke til å avgjøre om "ABC er en rettvinklet trekant. b) Skriv en kode basert på algoritmen du beskrev i oppgave a). Input skal være koordinatene a, b, c, d, e og f. Output skal være én av følgende tekster: Punktene danner en rettvinklet trekant.

G

a) Hva bør hun skrive i hver av linjene 8, 10 og 12? b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

while verdi < s t a r t v e r d i verdi = verdi * vekstfaktor 8 år = år + 1 9 10 p r i n t ( v e r d i ) 11 p r i n t ( å r )

IN

1 a = 1 2 b = 2 3 c = 1 4 5 d = b ** 2 − 4 * a * c 6 7 i f d < 0: 8 9 e l i f d == 0 : 10 11 e l s e :

s t a r t v e r d i = 2000 verdi = startverdi vekstfaktor = 1.05 år = 0

ER

(Eksempeloppgave 1T 2021H) Malin arbeider med andregradslikninger og har begynt med å skrive programkoden nedenfor. I linje 8, 10 og 12 vil hun legge inn kode som gjør at hun får skrevet ut passende tekster.

(Eksamen 1P 2022V) 1 2 3 4 5 6 7

Bestem verdien av variabelen b som defineres på linje 12.

25

beløp = 0 vekstfaktor = 1.02 i n n s k u d d = 20000 år = 0

w h i l e beløp < 5 0 0 0 0 0 : beløp = beløp + i n n s k u d d beløp = beløp * vekstfaktor 9 år = år + 1 10 11 p r i n t ( å r ) 12 p r i n t ( beløp )

VU

1 def f ( x ) : 2 return (6* x − 3) / ( x − 1) # Definerer funksjonen f ( x ) = ( 6 x− 3 ) / ( x − 1 ) 3 h = 0.00001 4 d e f Df ( x ) : 5 return ( f ( x + h) − f ( x ) ) /h 6 7 a = 1.5 # En s t a r t v e r d i 8 9 w h i l e Df ( a ) < −3: 10 a = a + 0.001 11 12 b = f ( a ) − Df ( a ) * a # Regner u t konstantleddet 13 14 p r i n t ( ’ y = −3x + ’ , b )

(Eksamen 2P 2022V) Ada har skrevet programkoden nedenfor.

Oppgavesamling 31

TIL

Punktene danner ikke en rettvinklet trekant.

29

En elev har skrevet programkoden ovenfor. a) Hva ønsker eleven å finne ut? b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva blir resultatet?

32

(Eksempeloppgave R1 2021H) En sirkel C kan beskrives ved å oppgi sentrum S(a, b) og radius r. a) Beskriv en algoritme som du kan bruke til å avgjøre om et gitt punkt P(s, t) ligger på, inni eller utenfor sirkelen C. b) Skriv en kode basert på algoritmen fra oppgave a). Input skal være a, b r og s.

Output skal være en av følgende tekster: Punktet ligger innenfor sirkelen Punktet ligger på sirkelen Punktet ligger utenfor sirkelen

Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden og resultatet Lars får når han kjører programmet.

Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding. a) Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding? b) Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen. c) Skisser grafen til funksjonen f som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.

30

(Eksamen 1T 2022V)

(Eksempeloppgave S1 2021H) 1. januar hvert år setter Halvor inn 10 000 kroner på en konto med en fast årlig rentefot på 1,8 %. Første innskudd var 1. januar 2020. a) Hvor stort vil beløpet på kontoen være 31. desember 2022?

Vi lar B(x) være beløpet på kontoen x år etter 1. januar 2020. b) Er B en kontinuerlig funksjon? Begrunn svaret.

Halvor ønsker å kunne regne ut hvor mange år det tar før beløpet han har på konto når en viss størrelse K. c) Lag et program Halvor kan bruke.

Input skal være rentefot, innskudd og K. Output skal være antall år det går før

G

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres.

Hva blir resultatet?

33

IN

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x ** 2 # D e f i n e r e r f u n k s j o n e n f g i t t ve f ( x ) = x^2 3 4 x = 1 5 6 w h i l e f ( x ) <= 4 0 0 : 7 print ( f ( x ) ) 8 x = x + 1

ER

RD

VU

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n ( 1 − 2* x ) / ( x − 2 ) 3 4 x = 8 5 w h i l e x >= −8: 6 print (x , f ( x ) ) 7 x = x − 1

−2.5 −2.6 −2.75 −3.0 −3.5 −5.0

(Eksempeloppgave R1/S1 2021H) 1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x / ( 1 + x ** 2 ) 3 4 h = 0.0001 5 x = 0 6 7 while ( f ( x + h ) − f ( x ) ) /h > 0 : 8 x = x + 0.01 9 10 p r i n t ( ’ x = ’ , x )

(Eksamen 1T 2022H)

8 7 6 5 4 3

195

196

Oppgavesamling

TIL

beløpet er større eller lik K. Du kan for eksempel starte slik: 1 rentefot = 1.8 2 i n n s k u d d = 10000 3 K = 250000 4 5 p r i n t ( ’ Det t a r ’ , år ,

’ år . ’ )

Figuren under viser at når vi legger sammen de første oddetallene får vi kvadrattall.

1 + 3

+

VU

34

1 x1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ x1 : ’ ) ) 2 y1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ y1 : ’ ) ) 3 x2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ x2 : ’ ) ) 4 y2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ y2 : ’ ) ) 5 6 a = # 7 b = # 8 9 pr i n t ( f ’ Likningen for l i n j a gjennom { ( x1 , y1 ) } og { ( x2 , y2 ) } e r : ’ ) 10 p r i n t ( f ’ y = { a } x + { b } ’ )

+

5

=

7

16

Skriv koden som skal stå i linje 6 og 7.

36

Legg merke til at summen av de fire første oddetallene er det fjerde kvadrattallet.

Når vi legger sammen de første kvadrattallene får vi en pyramide med firkantet grunnflate. La oss kalle dem pyramidetallene.

Kaja har skrevet følgende kode.

t a l l 1 = −5 t a l l 2 = 32

RD

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

14

a) Bruk opplysningene over til å finne summen av de 10 første kvadrattallene. b) Bruk opplysningene over til å finne summen av de 10 første pyramidetallene.

Nora har skrevet et program i Python.

Nedenfor ser du et eksempel på hva som skjer når hun kjører programmet:

Nedenfor ser du koden til Nora:

p r i n t ( ’ T a l l e n e har f o r s k j e l l i g fortegn . ’ ) 10 p r i n t ( ’ T a l l e n e h a r samme fortegn . ’ )

a) Hva vil Kaja oppnå med koden sin? b) Flytt kodelinjene 9 og 10 til riktig plass i koden.

37

William har skrevet programkoden nedenfor, men han er ikke helt ferdig.

1 vekstfaktor = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn vekstfaktoren : ’ ) ) 2 3 i f vekstfaktor > 1: 4 prosent = ## 5 else : 6 prosent = ##

G

x1 : 1 y1 : 3 x2 : 6 y2 : 2 L i k n i n g e n f o r l i n j a gjennom ( 1 . 0 , 3 . 0 ) og ( 6 . 0 , 2 . 0 ) e r : y = −0.2 x + 3 . 2

* tall2 < 0:

IN

35

tall1 ## else : ##

ER

1

if

Oppgavesamling

TIL

7 p r i n t ( f ’ En v e k s t f a k t o r på { vekstfaktor } tilsvarer en p r o s e n t v i s e n d r i n g på { prosent } prosent . ’ )

6 w h i l e y2 / y1 < 2 : 7 x = x + 1 8 y1 = 2 * x + 3 9 y2 = 8 * x − 5 10 teller = teller + 1 11 12 p r i n t ( t e l l e r )

a) Hva er hensikten med koden til William? b) Skriv ferdig linje 4 og 6 i koden.

38

40

VU

Forklar og beskriv koden nedenfor. Lag en skisse av resultatet du får når du kjører koden.

Sondre har kjøpt en elektrisk sykkel til 30 000 kroner. Han skriver koden nedenfor for å beregne verdien av sykkelen de første fem årene han har den.

1 2 3 4 5 6 7 8

p r i s = 30000 verditap = .1 vekstfaktor = 1 − verditap verdi = pris

RD

1 import m a t p l o t l i b . pyplot as plt 2 3 def f ( x ) : 4 r e t u r n ( 1 / 3 ) * x ** 3 − x 5 def f d er ( f , x , d e l t a x ) : 6 return ( f ( x + deltax ) − f ( x ) ) / deltax 7 x s t a r t = −3 8 xslutt = 3 9 xsteg = .1 10 d e l t a x = . 0 0 1 11 x v e r d i e r = [ ] 12 y v e r d i e r = [ ] 13 x = x s t a r t 14 y = f d e r ( f , x , d e l t a x ) 15 16 w h i l e x <= x s l u t t : 17 x v e r d i e r . append ( x ) 18 y v e r d i e r . append ( y ) 19 x = x + xsteg 20 y = fder ( f , x , deltax ) 21 22 p l t . p l o t ( x v e r d i e r , y v e r d i e r ) 23 p l t . show ( )

a) Forklar hver linje i koden. b) Hvor mange prosent årlig verditap regner Sondre med? c) Sondre vil endre programmet slik at det beregner hvor lang tid det tar før verdien av sykkelen er mindre enn halvparten av prisen han betalte.

Hvilke endringer må Sondre gjøre i koden?

41

Sara har skrevet dette programmet:

1 xstart = 0 2 x s l u t t = 10 3 4 x = xstart 5 6 w h i l e x <= x s l u t t : 7 i f x ** 2 − 8 * x + 12 == 0 : 8 print ( x ) 9 x = x + 1

G

1 x = 0 2 3 y1 = 2 * x + 3 4 y2 = 8 * x − 5 5 teller = 0

print ( verdi )

IN

Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres. Hva skrives ut på linje 12?

9 10

f o r i i n range ( 5 ) : verdi = verdi * vekstfaktor

ER

39

197

Hva ønsker Sara å finne ut?

Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

198 42

Oppgavesamling

TIL

En liste består av tre tall. a) Beskriv en algoritme som plukker ut det midterste tallet, altså det tallet som er hverken størst eller minst. b) Skriv et program basert på algoritmen.

43

VU

44

a) Skriv en kode som avgjør om et tall er delelig med 3. b) Utvid koden til å avgjøre om et tall er delelig med 3 og 5. c) Lag et program som plukker ut alle tall under 100 som er delelig med 3 og 5.

Skriv en kode som undersøker om det finnes en heltallig løsning på likningen for x ∈ [−10, 10].

y mellom −10 og 10.

3x + 4y = 4 b) Lag en kode basert på algoritmen.

48

Skriv et program som finner alle talltripler (a, b, c) som oppfyller Pytagoras’ setning, altså som tilfredsstiller likningen a2 + b2 = c2 .

Tallene a, b og c skal være mellom 1 og 20.

49

a) Lag en algoritme som finner det største tallet i en liste. b) Skriv en kode som bruker denne algoritmen.

Vi har to lister. Vi skal sette sammen ett og ett tall fra den ene lista med et tall fra den andre lista til et produkt. a) Lag en algoritme som finner det største produktet. b) Skriv en kode basert på algoritmen.

Eksempel: Med utgangspunkt i listene {3, 6, 5} og {12, 43} blir resultatet 258.

50

3x + 6 − x + 9 = 5x − 3

46

Input i et program er to tall, n og m. a) Lag en algoritme som undersøker om det ene tallet kan skrives som en potens av det andre tallet. b) Skriv en kode som bruker algoritmen.

RD

45

47

19) 17) 19) 17) 19) 17)

En lineær, diofantisk likning er en likning på formen ax + by = c Her er a, b og c hele tall. Vi skal finne hvilke hele tall x og y som oppfyller likningen. a) Beskriv en algoritme som finner alle løsninger av likningen nedenfor for x og

G

IN

(20 , (20 , (15 , (15 , (18 , (18 ,

n personer med hatt står etter hverandre i en ring. Personene er nummerert med 1, 2, 3 og så videre.

Du går rundt i ringen. Hver gang du stopper ved en person tar du hatten av hvis den er på og setter den på hvis den ikke er på.

Første runde stopper du ved alle.

Andre runde stopper du ved alle som har partallsnummer.

Tredje runde stopper du ved alle som har et nummer i tregangen.

Slik fortsetter du til du har tatt like mange runder som det er personer i ringen.

Skriv et program som finner ut hvor mange personer som har på hatt etter at du er ferdig.

Eksempel: Hvis det er ti personer i ringen, vil syv personer ha hatten på når du er ferdig.

ER

Vi har to lister med tall. Lag en kode som skriver ut alle mulige tallpar. Første tall i paret skal være fra den ene lista, andre tall i paret skal være fra den andre.

Eksempel: Med utgangspunkt i de to listene {20, 15, 18} og {19, 17} skal programmet returnere

51

52

Fire punkter i et koordinatystem er gitt. Skriv et program som avgjør om de fire punktene utgjør et kvadrat.

53

To rektangler ligger i et koodinatsystem. Alle sidekantene i begge rektanglene er parallelle med en koordinatakse.

Oppgavesamling 58

TIL

Skriv et program som avgjør om de to rektanglene overlapper.

54

Anders har skrevet programmet under. Forklar hva programmet under regner en tilnærming til: teller = 0

f o r a i n range ( 1 , 7 ) : f o r b i n range ( 1 , 7 ) : i f a + b == 7 : t e l l e r += 1 r e l = t e l l e r / ( a *b ) print ( rel )

v e r d i = 5000 vekstfaktor = 1.04 f o r i i n range ( 1 0 ) : verdi = verdi* vekstfaktor print ( verdi )

a) Gjør endringer i programmet slik at det regner ut hvor mye renta må være per år for at Olav skal ha minst 8000 kroner på kontoen om ti år. b) Gjør endringer i programmet slik at det regner ut hvor mye Olav må sette inn i dag hvis han skal ha 8000 kroner om ti år. Vi regner med en rente på 4 % per år.

a) Hva tror du Anders vil finne ut? b) Gjør endringer i programmet slik at resultatet blir en tilnærming til 13 .

RD

55

Olav har skrevet følgende program for å finne ut hvor mye han har i banken om ti år når han setter inn 5000 kroner i dag. Han regner med en rente på 4 % per år.

1 2 3 4 5 6

VU

1 2 3 4 5 6 7 8

199

Skriv et program som ber en bruker om et tall mellom 1 og 100. Programmet skal deretter primtallfaktorisere tallet, legge faktorene i en liste, for så å skrive dem ut med en svarsetning.

Skriv et program som ber en bruker om et areal av en sirkel. Programmet skal skrive ut radien og omkretsen av sirkelen.

57

Vi kan gjøre om mellom temperaturer gitt i Fahrenheit og Celsius med formlene:

Ole jobber 162,5 timer per måned og og får 50 % ekstra lønn for overtidstimer. Han trekkes 29 % skatt av lønna. Lag et program som ber en bruker om å skrive inn fast månedslønn samt hvor mange overtidstimer Ole har jobbet. Programmet skal skrive ut hvor mange kroner Ole får utbetalt etter skatt.

61

Skriv et program som beregner hvor mange ganger du minst må doble tallet 3 for at svaret skal bli over en million.

62

Dette er kvikksortering: Ta utgangspunkt i første element.

Løp gjennom lista og legg de som er større i den høyre delen og resten i den venstre.

Gjenta sorteringen på de delene du da har.

Sett alle bitene sammen igjen.

Lag et program som sorterer med kvikksortering.

G

Her er C grader Celsius og F er grader Fahrenheit. a) Skriv et program som ber en bruker om en temperatur i grader Fahrenheit.

Programmet skal skrive ut temperaturen i grader Celsius . b) Skriv et program som ber en bruker om en temperatur i grader Celsius. Programmet skal skrive ut temperaturen i grader Fahrenheit.

60

IN

9 C + 32 5 5 C = (F − 32) 9

F=

Skriv et program som ber en bruker om to tall.

Programmet skal legge sammen tallene og avgjøre om tallet er et partall eller et oddetall.

ER

56

59

200

Løsninger

TIL

Løsninger til oppgavene 1.1

1 p r i n t ( 9 7 . 2 + 3 * 1 1 . 1 ** 3 )

Svaret blir 4200,093.

1.2

1 p r i n t (88*45 − 12*6)

VU

Svaret blir 3888.

1.3

1 p r i n t ( ’ T h e i r song p l a y e d . They danced f o r e v e r . ’ )

1.4

1 p r i n t (3 − (3 + 8) /3 + 5)

1.5

RD

Svaret blir 4,3333.

1 i m p o r t math 2 p r i n t ( math . p i * 4 . 5 * * 2 * 1 7 . 8 )

Volumet blir 1132,4 cm3 .

1 i m p o r t math 2 p r i n t ( ( 1 + math . s q r t ( 5 ) ) / 2 )

Tilnærmingsverdien er 1,618034.

1 print ((14.3 + 10.4) /2*13.6)

Svaret blir 167,96 cm2 .

1.8

1.9 1 t a l l = 45 2 t a l l = t a l l /2 3 print ( t a l l )

G

1 s v a r = 28 2 p r i n t ( f ’ V e r d i e n av s v a r e r { s v a r } . ’ )

IN

1.7

ER

1.6

Løsninger

201

1.10

TIL

1 t a l l = 23/7 2 print ( f ’ { t a l l : . 1 f } ’ )

1.11

VU

1 a = 17 2 b = 9 3 summen = a + b 4 differansen = a − b 5 p r o d u k t e t = a *b 6 p r i n t ( f ’ Summen av { a } og { b } e r { summen } . ’ ) 7 p r i n t ( f ’ D i f f e r a n s e n mellom { a } og { b } e r { d i f f e r a n s e n } . ’ ) 8 p r i n t ( f ’ P r o d u k t e t av { a } og { b } e r { p r o d u k t e t } . ’ )

1.12

t i m e r = 17 bensinforbruk = timer * 7 k o s t n a d = b e n s i n f o r b r u k * 26

1 2 3 4 5 6 7

tall tall tall tall tall

RD

1 2 3 4 5

p r i n t ( f ’ Johanne b r u k e r omtrent { k o s t n a d } k r o n e r t i l b e n s i n . ’ )

1.13

print ( t a l l )

1.14 1 navn = i n p u t ( ’ S k r i v i n n e t navn : 2 p r i n t ( f ’ Hei , { navn } ! ’ )

ER

= 5 = 10 = t a l l + 11 = tall + 6 = t a l l *2

’)

t a l l = input ( ’ S k r i v inn et t a l l : ’ ) tall = float ( tall ) svar = t a l l /2 p r i n t ( f ’ H a l v p a r t e n av { t a l l } e r { s v a r } . ’ )

1 2 3 4 5 6

i m p o r t math

1.16

radius = f l o a t ( input ( ’ radius = ’ ) ) a r e a l = math . p i * r a d i u s ** 2

G

1 2 3 4

IN

1.15

p r i n t ( f ’ A r e a l e t av en s i r k e l med r a d i u s { r a d i u s } e r { a r e a l } . ’ )

202

Løsninger

1.17

TIL 1 2 3 4 5 6 7

1.18

lengde = f l o a t ( i n p u t ( ’ lengde = ’ ) ) bredde = f l o a t ( i n p u t ( ’ bredde = ’ ) ) a r e a l = lengde * bredde omkrets = 2 * lengde + 2 * bredde p r i n t ( f ’ E t r e k t a n g e l med lengde { lengde } og bredde { bredde } h a r omkrets { omkrets } og a r e a l { a r e a l } . ’ )

a)

VU

1 t a l l = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn e t t t a l l : ’ ) ) 2 s v a r = 2* t a l l + 7 3 p r i n t ( f ’ Syv mer enn d e t d o b b e l t e av { t a l l } e r { s v a r } . ’ )

b) – 1.19

RD

1 grunnlinje = f l o a t ( input ( ’ grunnlinje : ’ ) ) 2 høyde = f l o a t ( i n p u t ( ’ høyde : ’ ) ) 3 4 a r e a l = . 5 * g r u n n l i n j e * høyde 5 6 p r i n t ( f ’ A r e a l e t av t r e k a n t e n e r { a r e a l } . ’ )

1.20

t a l l 1 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : t a l l 2 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : if

’)) ’))

ER

1 2 3 4 5 6 7 8 9

tall1 > tall2 : p r i n t ( f ’ { t a l l 1 } e r s t ø r r e enn { t a l l 2 } ’ ) elif tall2 > tall1 : p r i n t ( f ’ { t a l l 2 } e r s t ø r r e enn { t a l l 1 } ’ ) else : p r i n t ( ’ De t o t a l l e n e e r l i k e . ’ )

t a l l 1 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : t a l l 2 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : if

’)) ’))

tall1 * tall2 > 0: p r i n t ( ’ De t o t a l l e n e h a r samme f o r t e g n . ’ ) e l i f tall1 * tall2 < 0: p r i n t ( ’ De t o t a l l e n e h a r m o t s a t t f o r t e g n . ’ ) else : p r i n t ( ’ M i n s t e t t av t a l l e n e e r n u l l . ’ )

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

IN

1.21

Løsninger 1.22

203

a)

TIL

1 t a l l = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : ’ ) ) 2 i f t a l l %5 == 0 : 3 p r i n t ( f ’ Ja , { t a l l } e r d e l e l i g med 5 . ’ ) 4 else : 5 p r i n t ( f ’ Nei , { t a l l } e r i k k e d e l e l i g med 5 . ’ )

b)

VU

1 t a l l = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : ’ ) ) 2 i f t a l l %5 == 0 : 3 p r i n t ( f ’ Ja , { t a l l } e r d e l e l i g med 5 . ’ ) 4 else : 5 p r i n t ( f ’ Nei , { t a l l } e r i k k e d e l e l i g med 5 . ’ ) 6 p r i n t ( f ’ 5 g å r { t a l l / / 5 } ganger opp i { t a l l } . ’ )

1.23

t a l l = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : i f t a l l > 0: p r i n t ( f ’ { t a l l } er p o s i t i v t ’ ) e l i f t a l l < 0: p r i n t ( f ’ { t a l l } er negativt ’ ) else : p r i n t ( ’ Du h a r t a s t e t i n n n u l l . ’ )

1.24

’))

ER

1 t a l l = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : 2 i f t a l l %2 == 0 : 3 p r i n t ( f ’ { t a l l } er et p a r t a l l ’ ) 4 else : 5 p r i n t ( f ’ { t a l l } er et oddetall ’ )

1.25

t a l l 1 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : t a l l 2 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : if

’)) ’))

t a l l 1 == t a l l 2 : p r i n t ( ’ De t o t a l l e n e e r l i k e . ’ ) else : p r i n t ( ’ De t o t a l l e n e e r f o r s k j e l l i g e . ’ )

G

IN

1 2 3 4 5 6 7

’))

RD

1 2 3 4 5 6 7

204

Løsninger

1.26

TIL

Han kan skrive ut «Pytagoras setning er oppfylt for en trekant med disse sidene.»

1.28

1.29

a) 1 tall = 2 2 3 while t a l l < 5000: 4 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ ) 5 t a l l = t a l l *2

G

1 teller = 0 2 while t e l l e r < 5 : 3 p r i n t ( ’ Jeg l i k e r å programmere . ’ ) 4 teller = teller + 1

IN

1.27

ER

RD

VU

1 antall_egg = 3 # stk 2 volum_sukker = 2 . 5 # dL 3 volum_mel = 3 . 5 # dL 4 p r i s _ e g g = 32 # f o r 6 egg 5 p r i s _ m e l = 15 # f o r 1L 6 p r i s _ s u k k e r = 12 # f o r 1L 7 8 a n t a l l _ s u k k e r b r ø d = 12 9 antall_egg = antall_egg*antall_sukkerbrød 10 v o l u m _ s u k k e r = v o l u m _ s u k k e r * a n t a l l _ s u k k e r b r ø d 11 volum_mel = volum_mel * a n t a l l _ s u k k e r b r ø d 12 13 # Behov 14 i f a n t a l l _ e g g % 6 == 0 : 15 eggekartonger = antall_egg /6 16 e l s e : 17 eggekartonger = antall_egg / / 6 + 1 18 i f volum_mel % 10 == 0 : 19 melposer = volum_mel / 1 0 20 e l s e : 21 melposer = volum_mel / / 1 0 + 1 22 i f v o l u m _ s u k k e r % 10 == 0 : 23 sukkerposer = volum_sukker /10 24 e l s e : 25 sukkerposer = volum_sukker / / 1 0 + 1 26 27 # P r i s 28 egg = e g g e k a r t o n g e r * p r i s _ e g g 29 mel = melposer * p r i s _ m e l 30 s u k k e r = s u k k e r p o s e r * p r i s _ s u k k e r 31 t o t a l p r i s = egg + mel + s u k k e r 32 33 p r i n t ( f ’ T o t a l t k o s t e r d e t { t o t a l p r i s } k r o n e r . ’ )

Løsninger

205

b)

TIL

1 tall = 2 2 summen = 0 3 4 while t a l l < 5000: 5 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ ) 6 summen += t a l l 7 t a l l = t a l l *2 8 9 print () 10 p r i n t ( f ’ Summen av t a l l e n e e r { summen } . ’ )

VU

1.30

1.31

1 x s t a r t = −3.0 2 xs lu tt = 3.0 3 xsteg = .5 4 5 x = xstart 6 y = 4* x − 2 7 8 w h i l e x <= x s l u t t : 9 print ( f ’ { x :5.1 f } { y :5.1 f } ’ ) 10 x += x s t e g 11 y = 4* x − 2

tall = 3 teller = 0 w h i l e t a l l <= 1 0 0 0 : t a l l = 2* t a l l print ( t a l l ) teller = teller + 1 print ( teller )

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

IN

1.32

ER

RD

1 tall = 5 2 3 summen = 0 4 5 w h i l e t a l l <= 1 0 0 0 0 : 6 summen += t a l l 7 t a l l += 5 8 9 p r i n t ( summen )

206

Løsninger

1.33

TIL

VU

1 tall = 7 2 summen = 0 3 teller = 0 4 w h i l e t a l l <= 7 0 : 5 summen = summen + t a l l 6 teller = teller + 1 7 i f summen == 1 0 5 : 8 p r i n t ( f ’ V i h a r l a g t sammen de { t e l l e r } f ø r s t e t a l l e n e i 7−gangen . ’ ) 9 break 10 tall = tall + 7 11 12 p r i n t ( f ’ Summen e r { summen } . ’ )

1.34

RD

1 fortsett = ’ ja ’ 2 h i l s e n = ’ Hei ! ’ 3 4 w h i l e f o r t s e t t == ’ j a ’ : 5 print ( hilsen ) 6 s v a r = i n p u t ( ’ V i l du s e h i l s e n e n en gang t i l ? ( j a / n e i ) 7 i f s v a r == ’ n e i ’ : 8 f o r t s e t t = ’ nei ’

1.35

’)

1.36 1 tall = 6 2 f o r i i n range ( 1 0 ) : 3 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ ) 4 t a l l += 6

1 f o r odd i n range ( 1 9 , 0 , − 2 ) : 2 p r i n t ( odd , end= ’ ’ )

1.38

– 1 summen = 0 2 f o r t a l l i n range ( 2 , 1 0 0 1 , 2 ) : 3 summen += t a l l 4 p r i n t ( summen )

G

1.39

IN

1.37

ER

1 f o r i i n range ( 1 0 ) : 2 p r i n t ( ’ V i programmerer i Python . ’ )

Løsninger

207

1.40

TIL

1 f o r i i n range ( 1 , 8 , 2 ) : 2 print ( ’+ ’* i )

1.41

1 n = 2 n = 3 for 4

’)

VU

1.42

input ( ’ S k r i v inn et h e l t t a l l : int (n) i i n range ( n , 10 * n + 1 , n ) : p r i n t ( i , end= ’ ’ )

1 f o r i i n range ( 1 , 1 1 , 2 ) : 2 f o r j i n range ( 2 , 1 1 , 2 ) : 3 p r i n t ( f ’ ( { i } , { j } ) ’ , end= ’ ’ )

1.43

1.44

a) –

RD

1 import t u r t l e as t 2 3 f o r i i n range ( 5 ) : 4 t . forward ( 5 0 ) 5 t . right (72)

b) Vi endrer linje 5 til henholdsvis t.left(71), t.left(89) og t.left(119). c) Vi skriver t.right() istedenfor t.left() i linje 5.

1.45

a) import t u r t l e

ER

a n t a l l _ s p i s s e r = 14 i n n _ v i n k e l = 160 v i n k e l r e d = 360/ a n t a l l _ s p i s s e r ut_vinkel = inn_vinkel − vinkelred

f o r i i n range ( a n t a l l _ s p i s s e r ) : t u r t l e . forward ( 4 0 ) turtle . right ( inn_vinkel ) t u r t l e . forward ( 4 0 ) turtle . l e f t ( ut_vinkel )

G

b) Bytt ut linje 3 i kode med:

IN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

antall_spisser = int(input('Hvor mange armer skal stjernen ha? ')).

c) Gjør variabelen inn_vinkel i koden i a-oppgaven mindre.

208

Løsninger

1.46

TIL 1.47

a) 1 2 3 4 5

l i s t e = [ ’ s y k k e l ’ , ’ b å t ’ , ’ k j e l k e ’ , ’ b i l ’ , ’ tog ’ ] valg_a = l i s t e [ 1 ] valg_b = l i s t e [ 2 ] p r i n t ( valg_a , valg_b )

ER

b)

RD

VU

1 # Importerer turtle −biblioteket 2 import t u r t l e as t 3 # S e t t e r opp s t a r t v e r d i e r 4 xstart = 0 5 x s l u t t = 70 6 x s t e g = 10 7 8 x = xstart 9 y = 50− x 10 11 # L ø f t e r pennen , s å den i k k e t e g n e r mens den beveger seg 12 t . penup ( ) 13 14 w h i l e x <= x s l u t t : 15 t . goto ( x , y ) # Går t i l a n g i t t p o s i s j o n 16 t . dot ( ) # Tegner en p r i k k h e r 17 x = x + xsteg 18 y = 50− x

1 l i s t e = [ ’ s y k k e l ’ , ’ b å t ’ , ’ k j e l k e ’ , ’ b i l ’ , ’ tog ’ ] 2 3 liste [1] = ’ fly ’

1.48

1.49

G

1 oddetall = [ ] 2 f o r t a l l i n range ( 1 , 5 0 , 2 ) : 3 o d d e t a l l . append ( t a l l ) 4 print ( oddetall )

IN

1 f r u k t = [ ’ e p l e ’ , ’ pære ’ , ’ plomme ’ , ’ a p p e l s i n ’ , ’ k l e m e n t i n ’ , ’ ananas ’ , ’ kiwi ’ ] 2 3 f o r i i n range ( l e n ( f r u k t ) ) : 4 i f i %2 == 0 : 5 print ( frukt [ i ])

Løsninger

209

1.50

TIL

RD

VU

1 import t u r t l e as t 2 porter = [ ( 1 0 , 50) , (14 , 50) , (30 , 40) , (34 , 40) , (70 , 50) , (74 , 50) ] 3 4 t . penup ( ) 5 t . dot ( ) 6 7 f o r punkt i n p o r t e r : 8 t . goto ( punkt ) 9 t . dot ( ) 10 11 t . goto ( 0 , 0 ) 12 # #### 13 t . pendown ( ) 14 t . goto ( 1 2 , 4 0 ) 15 t . l e f t ( 9 0 ) 16 t . f o r w a r d ( 2 0 ) 17 t . goto ( 3 2 , 5 0 ) 18 t . r i g h t ( 1 8 0 ) 19 t . f o r w a r d ( 3 0 ) 20 t . l e f t ( 9 0 ) 21 t . goto ( 7 2 , 4 0 ) 22 t . l e f t ( 9 0 ) 23 t . f o r w a r d ( 3 0 )

1.51

1.52

1.53

G

1 def d i f f e r a n s e r ( l i s t e ) : 2 utliste = [] 3 f o r i i n range ( l e n ( l i s t e ) − 1 ) : 4 differanse = l i s t e [ i + 1] − l i s t e [ i ] 5 u t l i s t e . append ( d i f f e r a n s e ) 6 return u t l i s t e 7 8 p r i n t ( d i f f e r a n s e r ( [ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 4 9 ] ) )

IN

1 d e f p r o d u k t ( n , m) : 2 r e t u r n n *m

ER

1 l i s t e 1 = [ ’ brød ’ , ’ r u n d s t y k k e ’ , ’ knekkebrød ’ , ’ pannekake ’ ] 2 l i s t e 2 = [ ’ o s t ’ , ’ s y l t e t ø y ’ , ’ a g u r k ’ , ’ egg ’ ] 3 4 f o r bunn i n l i s t e 1 : 5 f o r topp i n l i s t e 2 : 6 p r i n t ( f ’ { bunn } med { topp } ’ )

210

Løsninger

1.54

TIL

1 d e f summer ( n ) : 2 summen = 0 3 f o r i i n range ( 1 , n + 1 ) : 4 summen += i 5 r e t u r n summen 6 7 p r i n t ( summer ( 6 ) )

1.55

1.56

VU

1 d e f summer ( l i s t e ) : 2 summen = 0 3 for t a l l in l i s t e : 4 summen += t a l l 5 r e t u r n summen 6 7 p r i n t ( summer ( [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] ) )

1.57

G

IN

1 import t u r t l e as t 2 3 def t e g n s i r k l e r ( n ) : 4 f o r i i n range ( 4 ) : 5 t . forward ( n ) 6 t . circle (n) 7 8 f o r i i n range ( 1 0 , 3 1 , 1 0 ) : 9 tegnsirkler ( i ) 10 t . forward (2* i )

ER

RD

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x ** 2 + 3 * x − 1 3 4 x s t a r t = −5 5 xslutt = 5 6 xsteg = 1 7 8 x = xstart 9 y = f (x) 10 11 w h i l e x <= x s l u t t : 12 print (x , y ) 13 x = x + xsteg 14 y = f (x)

Løsninger

211

1.58

TIL 1.59

VU

1 d e f BingBang ( n ) : 2 i f ( n % 3 == 0 ) and ( n % 4 == 0 ) : 3 r e t u r n ” BingBang ” 4 i f n % 3 == 0 : 5 r e t u r n ” Bing ” 6 i f n % 4 == 0 : 7 r e t u r n ” Bang ” 8 else : 9 return n 10 11 n = i n t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n e t h e l t a l l : ’ ) ) 12 13 p r i n t ( BingBang ( n ) )

1.60

1 f o r t a l l i n range ( 1 , 1 0 1 ) : 2 i f t a l l % 2 == 0 o r t a l l % 3 == 0 : 3 i f t a l l % 10 == 0 : 4 print ( f ’ { t a l l :3} ’ ) 5 else : 6 p r i n t ( f ’ { t a l l : 3 } ’ , end= ’ ’ ) 7 else : 8 i f t a l l % 10 == 0 : 9 print ( ’ ’) 10 else : 11 print ( ’ ’ , end= ’ ’ )

1 teller = 1 2 3 f o r i i n range ( 1 , 1 1 ) : 4 f o r j i n range ( 1 , 1 1 ) : 5 i f t e l l e r %10 == 0 : 6 print ( f ’ { i *j :3} ’ )

G

1.61

IN

ER

RD

1 f o r t a l l i n range ( 1 , 1 0 1 ) : 2 i f t a l l % 3 == 0 : 3 i f t a l l % 10 == 0 : 4 print ( f ’ { t a l l :3} ’ ) 5 else : 6 p r i n t ( f ’ { t a l l : 3 } ’ , end= ’ ’ ) 7 else : 8 i f t a l l % 10 == 0 : 9 print ( ’ ’) 10 else : 11 print ( ’ ’ , end= ’ ’ )

212

Løsninger else : p r i n t ( f ’ { i * j : 3 } ’ , end= ’ ’ )

TIL

7 8 9 10

t e l l e r += 1

1.62

1 f o r i i n range ( 1 , 1 1 ) : 2 t a l l = i ** 3 3 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ )

a) Vi lar antall prikker tilsvare tallet.

T1

VU

1.63

T2

T3

T4

RD

Tallfølgen danner det som gjerne kalles trekanttallene.

b) Vi begynner med 1 og en differanse på 2. Differansen øker med én hver gang.

1.64

1.65 tall1 = 2 tall2 = 1 p r i n t ( t a l l 1 , end= ’ ’ ) f o r i i n range ( 1 0 ) : p r i n t ( t a l l 2 , end= ’ ’ ) minne = t a l l 2 tall2 = tall1 + tall2 t a l l 1 = minne

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

IN

1 t a l l = 256 2 3 f o r i i n range ( 1 0 ) : 4 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ ) 5 t a l l /= 2

ER

1 tall = 1 2 differanse = 2 3 4 f o r i i n range ( 1 5 ) : 5 p r i n t ( t a l l , end= ’ ’ ) 6 t a l l += d i f f e r a n s e 7 d i f f e r a n s e += 1

Løsninger

213

1.66

TIL

import t u r t l e as t t . speed ( speed = 0 ) d e f delopp ( t r e k a n t ) : nytrekant = ’ ’ f o r tegn i n t r e k a n t : i f tegn == ’ h ’ : n y t r e k a n t += ’ hvhv ’ else : n y t r e k a n t += ’ vvhv ’ return nytrekant

VU

antall_iterasjoner = 4 lengde = 5 t r e k a n t = ’ hhh ’

f o r i i n range ( a n t a l l _ i t e r a s j o n e r ) : t r e k a n t = delopp ( t r e k a n t )

RD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

f oVanlig r i n stekst t r u k s i nkursiv trekant : i f i n s t r u k s == ’ h ’ : yt . r i g h t ( 1 2 0 ) t . f o r w a r d ( lengde ) else : t . left (60) t . f o r w a r d ( lengde )

G

IN

ER

Med fire iterasjoner får vi denne figuren: x

214

Løsninger

2.1

TIL 1 2 3 4 5 6 7

2.2

a)

produkt = 1 for x in l i s t e : produkt = produkt *x p r i n t ( produkt )

a+b 2

VU

b)

l i s t e = [ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21]

1 l i s t e = [ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21] 2 3 f o r i i n range ( l e n ( l i s t e ) − 1 ) : 4 a = liste [ i ] 5 b = l i s t e [ i + 1] 6 m = ( a + b ) /2 7 8 p r i n t (m, end= ’ ’ )

RD

2.3

2.4

G

1 l i s t e = [1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8] 2 vekter = [1 , 1 , 1 , 1.5 , 2 , 2] 3 4 summen = 0 5 f o r i i n range ( l e n ( l i s t e ) ) : 6 x = liste [ i ] 7 vekt = vekter [ i ] 8 produkt = x* vekt 9 summen = summen + p r o d u k t 10 11 v e k t e t _ g j e n n o m s n i t t = summen / l e n ( l i s t e ) 12 p r i n t ( v e k t e t _ g j e n n o m s n i t t )

IN

ER

1 l i s t e = [ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21] 2 3 summen = 0 4 for x in l i s t e : 5 summen = summen + x 6 7 g j e n n o m s n i t t = summen / l e n ( l i s t e ) 8 9 p r i n t ( gjennomsnitt )

Løsninger

215

2.5

TIL 2.6

1 n = 45 2 m = 3 3 4 i f n > m: 5 print (n , 6 else : 7 p r i n t (m,

2.7

’ er s t ø r s t ’ ) ’ er s t ø r s t ’ )

p r i n t ( ’ S k r i v i n n hva s p i l l e r n e h a r v a l g t . ’ ) p r i n t ( ’ S k r i v inn « s t e i n » , «saks» e l l e r «papir» . ’ )

ER

def s p i l l ( ) : s p i l l e r 1 = input ( ’ S k r i v inn valg : s p i l l e r 2 = input ( ’ S k r i v inn valg : if

’) ’)

s p i l l e r 1 == s p i l l e r 2 : vinner = 0 e l i f s p i l l e r 1 == ’ s t e i n ’ and s p i l l e r 2 == ’ s a k s ’ : vinner = 1 e l i f s p i l l e r 1 == ’ s a k s ’ and s p i l l e r 2 == ’ p a p i r ’ : vinner = 1 e l i f s p i l l e r 1 == ’ p a p i r ’ and s p i l l e r 2 == ’ s t e i n ’ : vinner = 1 else : vinner = 2 return vinner spiller1 = 0 spiller2 = 0 uavgjort = 0 f o r t s e t t = True

G

IN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

RD

VU

1 karakter = [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6] 2 frekvens = [1 ,4 ,7 ,9 ,6 ,2] 3 4 summen = 0 5 sum_frek = 0 6 7 f o r i i n range ( l e n ( k a r a k t e r ) ) : 8 delsum = k a r a k t e r [ i ] * f r e k v e n s [ i ] 9 summen += delsum 10 s u m _ f r e k += f r e k v e n s [ i ] 11 12 g j e n n o m s n i t t = summen / s u m _ f r e k 13 p r i n t ( f ’ { g j e n n o m s n i t t : . 2 f } ’ )

216

Løsninger while f o r t s e t t : vinner = s p i l l ( ) i f v i n n e r == 1 : s p i l l e r 1 += 1 e l i f v i n n e r == 2 : s p i l l e r 2 += 1 else : u a v g j o r t += 1 s v a r = i n p u t ( ’ V i l du s p i l l e i g j e n ? ( j / n ) : f o r t s e t t = s v a r == ’ j ’ a n t a l l _ s p i l l = s p i l l e r 1 + s p i l l e r 2 + uavgjort

TIL

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

VU

2.8

’)

p r i n t ( f ’ Dere s p i l t e { a n t a l l _ s p i l l } ganger . ’ ) p r i n t ( f ’ Det b l e u a v g j o r t { u a v g j o r t } ganger . ’ ) p r i n t ( f ’ S p i l l e r 1 v a n t { s p i l l e r 1 } ganger . ’ ) p r i n t ( f ’ Resten , { s p i l l e r 2 } ganger , v a n t s p i l l e r 2 . ’ )

2.9

a) – b)

ER

RD

1 mål = i n t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n d e t s p i l l e r 1 r o p e r : ’ ) ) 2 t a l l 1 = i n t ( i n p u t ( ’ Hvor mange f i n g r e h o l d e r s p i l l e r 1 fram ? ’ ) ) 3 t a l l 2 = i n t ( i n p u t ( ’ Hvor mange f i n g r e h o l d e r s p i l l e r 2 fram ? ’ ) ) 4 5 i f t a l l 1 + t a l l 2 == mål : 6 p r i n t ( ’ S p i l l e r 1 h a r vunnet . ’ ) 7 else : 8 p r i n t ( ’ S p i l l e r 2 h a r vunnet . ’ )

c)

G

IN

1 l i s t e = [ 1 2 , 43 , 27 , 46 , 49 , 25 , 49 , 11 , 10 , 35 , 48 , 36 , 4 , 34 , 50 , 28 , 28 , 13 , 33 , 35] 2 3 størst = liste [0] 4 for x in l i s t e : 5 if x > størst : 6 størst = x 7 8 print ( størst )

1 l i s t e = [ 1 2 , 43 , 27 , 46 , 49 , 25 , 49 , 11 , 10 , 35 , 48 , 36 , 4 , 34 , 50 , 28 , 28 , 13 , 33 , 35] 2 3 størst = liste [0] 4 minst = s t ø r s t

Løsninger

217

TIL

5 for x in l i s t e : 6 if x > størst : 7 størst = x 8 i f x < minst : 9 minst = x 10 11 p r i n t ( f ’ M i n s t : { m i n s t } , s t ø r s t : { s t ø r s t } . ’ )

2.10

2.11

RD

VU

1 x v e r d i e r = [ − 6 , −5 , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] 2 y v e r d i e r = [ − 1 1 , −4 , 1 , 4 , 5 , 4 , 1 , −4 , −11 , −20 , −31 , −44] 3 4 størst_y = yverdier [0] 5 størst_indeks = 0 6 7 f o r i i n range ( l e n ( y v e r d i e r ) ) : 8 i f yverdier [ i ] > størst_y : 9 størst_y = yverdier [ i ] 10 størst_indeks = i 11 12 x = x v e r d i e r [ s t ø r s t _ i n d e k s ] 13 y = s t ø r s t _ y 14 15 p r i n t ( f ’ ( { x } , { y } ) ’ )

a)

b)

xverdier = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10] yverdier = [2.5 , 9.3 , 10.9 , 13.6 , 14.1 , 19.9 , 21.5 , 25.2 , 32.1 , 31.3] kvadratsum = 0 f o r i i n range ( l e n ( x v e r d i e r ) ) : x = xverdier [ i ] y = yverdier [ i ] d i f f e r a n s e = y − 3* x kvadratsum = kvadratsum + d i f f e r a n s e ** 2

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

IN

ER

1 xverdier = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10] 2 yverdier = [2.5 , 9.3 , 10.9 , 13.6 , 14.1 , 19.9 , 21.5 , 25.2 , 32.1 , 31.3] 3 4 f o r i i n range ( l e n ( x v e r d i e r ) ) : 5 x = xverdier [ i ] 6 y = yverdier [ i ] 7 d i f f e r a n s e = y − 3* x 8 print ( f ’ { differanse : . 1 f } ’ )

218

Løsninger c)

TIL

RD

VU

1 xverdier = [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10] 2 yverdier = [2.5 , 9.3 , 10.9 , 13.6 , 14.1 , 19.9 , 21.5 , 25.2 , 32.1 , 31.3] 3 4 a = 3 5 m i n s t = 10 ** 10 6 minste_a = a 7 8 w h i l e a <= 4 : 9 kvadratsum = 0 10 f o r i i n range ( l e n ( x v e r d i e r ) ) : 11 x = xverdier [ i ] 12 y = yverdier [ i ] 13 d i f f e r a n s e = y − a*x 14 kvadratsum = kvadratsum + d i f f e r a n s e ** 2 15 i f kvadratsum < m i n s t : 16 m i n s t = kvadratsum 17 minste_a = a 18 a = a + .1 19 20 p r i n t ( m i n s t e _ a )

2.12

2.13

ER

1 brød = [ ’ l o f f ’ , ’ k ne i p p ’ , ’ r u n d s t y k k e ’ , ’ knekkebrød ’ ] 2 pålegg = [ ’ s y l t e t ø y ’ , ’ o s t ’ , ’ k a v i a r ’ , ’ egg ’ , ’ s k i n k e ’ , ’ m a k r e l l ’ ] 3 4 f o r i i n range ( l e n ( brød ) ) : 5 f o r j i n range ( l e n ( pålegg ) ) : 6 n e d e r s t = brød [ i ] 7 ø v e r s t = pålegg [ j ] 8 p r i n t ( f ’ { n e d e r s t } med { ø v e r s t } ’ )

Vi bruker én løkke for hver liste, altså to løkker, inni hverandre: l i s t e 1 = [ ’a ’ , ’b ’ , ’ c ’ , ’d ’ , ’e ’ , ’ f ’ ] l i s t e 2 = [ ’ f ’ , ’g ’ , ’h ’ , ’ i ’ ] liste3 = [] for x in l i s t e 1 : for y in l i s t e 2 : l i s t e 3 . append ( x + y )

Vi kjører koden og får følgende resultat:

G

print ( liste3 )

IN

1 2 3 4 5 6 7 8 9

[ ’ a f ’ , ’ ag ’ , ’ ah ’ , ’ a i ’ , ’ bf ’ , ’ bg ’ , ’ bh ’ , ’ bi ’ , ’ c f ’ , ’ cg ’ , ’ ch ’ , ’ c i ’ , ’ df ’ , ’ dg ’ , ’ dh ’ , ’ d i ’ , ’ e f ’ , ’ eg ’ , ’ eh ’ , ’ e i ’ , ’ f f ’ , ’ fg ’ , ’ fh ’ , ’ f i ’ ]

Løsninger

219

2.14

TIL

1 f o r x i n range ( 1 , 1 1 ) : 2 f o r y i n range ( 1 , 1 1 ) : 3 f o r z i n range ( 1 , 1 1 ) : 4 i f x ** 2 + y ** 2 == z ** 2 : 5 print (x , y , z )

2.15

a)

b)

VU

1 f o r i i n range ( 1 , 7 ) : 2 f o r j i n range ( 1 , 7 ) : 3 print ( f ’ ({ i } , { j }) ’ )

2.16

1 print ( ’x ’ , ’y ’ ) 2 3 f o r x i n range ( − 1 0 , 1 1 ) : 4 f o r y i n range ( − 1 0 , 1 1 ) : 5 i f 2 * x +3 * y == 2 4 : 6 print (x , y )

2.17

1 t a l l e n e = [ 1 4 , 56 , 84 , 133 , 122 , 28 , 77] 2 d e l e l i g = True 3 for t a l l in tallene : 4 i f t a l l %7 ! = 0 : 5 delelig = False

G

2.18

IN

1 n = 5 2 3 f o r i i n range ( n + 1 ) : 4 f o r j i n range ( i , 0 , −1) : 5 p r i n t ( j , end= ’ ’ ) 6 print ()

ER

RD

1 liste = [] 2 f o r i i n range ( 1 , 7 ) : 3 f o r j i n range ( 1 , 7 ) : 4 i f ( j , i ) not i n l i s t e : 5 l i s t e . append ( ( i , j ) ) 6 7 for x in l i s t e : 8 print ( x )

220

Løsninger

TIL

6 i f d e l e l i g == T r u e : 7 p r i n t ( ’ A l l e t a l l e n e e r d e l e l i g e med 7 . ’ ) 8 else : 9 p r i n t ( ’ M i n s t e t t av t a l l e n e e r i k k e d e l e l i g med 7 . ’ )

2.19

t a l l = [ 3 , 7 , 6 , 13 , 31 , 15 , 55 , 97 , 13 , 11 , 3 , 5 , 10]

o d d e t a l l = True for x in t a l l : i f x % 2 == 0 : oddetall = False

VU

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

i f oddetall : p r i n t ( ’ A l l e t a l l e n e er oddetall . ’ ) else : p r i n t ( ’ Det f i n n e s p a r t a l l b l a n t t a l l e n e . ’ )

RD

2.20

2.21 l i s t e = [6 ,3 ,5 ,1 ,8 ,79 ,43] d e f b y t t ( l i s t e , n ,m) : minne = l i s t e [ n ] l i s t e [ n ] = l i s t e [m] l i s t e [m] = minne

f o r t s e t t = True w h i l e f o r t s e t t == T r u e : byttet = False

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

IN

ER

1 t a l l = [ 5 , 7 , 4 , 6 , −3 , 1 6 , −18 , 2 , 3 , 1 7 ] 2 3 OK = T r u e 4 5 for x in t a l l : 6 i f 10 − x > 5 o r x − 10 > 5 : 7 OK = F a l s e 8 9 i f OK == T r u e : 10 p r i n t ( ’ Ja , a l l e t a l l e n e l i g g e r nærmere enn 5 f r a 1 0 . ’ ) 11 e l s e : 12 p r i n t ( ’ Nei , d e t f i n n e s t a l l som h a r s t ø r r e a v s t a n d t i l 10 enn 5 . ’ )

Løsninger

221

TIL

13 f o r i i n range ( l e n ( l i s t e ) −1) : 14 i f l i s t e [ i ]> l i s t e [ i +1]: 15 b y t t ( l i s t e , i , i +1) 16 b y t t e t = True 17 18 i f b y t t e t == F a l s e : 19 fo rt se tt = False 20 p r i n t ( l i s t e )

2.22

d e f b y t t ( l i s t e , n , m) : minne = l i s t e [ n ] l i s t e [ n ] = l i s t e [m] l i s t e [m] = minne

f o r i i n range ( l e n ( l i s t e ) −1) : f o r j i n range ( i , −1 , −1) : if liste [ j ] > liste [ j + 1]: bytt ( l i s t e , j , j + 1) print ( l i s t e )

RD

2.23

l i s t e = [45 ,2 ,35 ,43 ,87 ,1 ,4 ,65 ,12 ,60]

VU

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.24

a) – b) 1 l i s t e = [ 1 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 14 , 16 , 17] 2 mål = 9 3 4 start = 0 5 s l u t t = len ( l i s t e )

G

IN

ER

1 l i s t e = [ 3 0 , 10 , 86 , 68 , 69 , 31 , 77 , 3 , 14 , 23 , 99 , 6 , 66 , 2 , 27 , 84 , 16 , 81 , 99 , 31] 2 3 sortert = [ liste [0]] 4 5 for x in l i s t e [ 1 : ] : 6 plassert = False 7 f o r i i n range ( l e n ( s o r t e r t ) ) : 8 if x < sortert [ i ] : 9 sortert = sortert [ : i ] + [x] + sortert [ i : ] 10 p l a s s e r t = True 11 break 12 i f not ( p l a s s e r t ) : 13 s o r t e r t . append ( x ) 14 15 p r i n t ( s o r t e r t )

222

Løsninger

TIL

6 m1 = s t a r t + ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 7 m2 = s t a r t + 2 * ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 8 9 funnet = False 10 11 w h i l e f u n n e t == F a l s e : 12 i f l i s t e [ m1 ] == mål : 13 s v a r = m1 14 funnet = True 15 e l i f l i s t e [ m2 ] == mål : 16 s v a r = m2 17 funnet = True 18 e l i f mål < l i s t e [ m1 ] : 19 s l u t t = m1 20 m1 = s t a r t + ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 21 m2 = s t a r t + 2 * ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 22 e l i f mål < l i s t e [ m2 ] : 23 s t a r t = m1 24 s l u t t = m2 25 m1 = s t a r t + ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 26 m2 = s t a r t + 2 * ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 27 else : 28 s t a r t = m2 29 m1 = s t a r t + ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 30 m2 = s t a r t + 2 * ( s l u t t − s t a r t ) / / 3 31 32 p r i n t ( f ’ I n d e k s e n t i l { mål } e r { s v a r } . ’ )

funnet = False

w h i l e f u n n e t == F a l s e : i f l i s t e [ midtpunkt ] == mål : s v a r = midtpunkt funnet = True e l i f l i s t e [ midtpunkt ] > mål : s l u t t = midtpunkt midtpunkt = ( s t a r t + s l u t t ) / / 2 else : s t a r t = midtpunkt midtpunkt = ( s t a r t + s l u t t ) / / 2 return svar

Vi starter med en enkelt «*» i en streng. For hver runde i løkka legger vi til én.

G

2.26

f i n n ( l i s t e , mål ) : start = 0 s l u t t = len ( l i s t e ) midtpunkt = ( s t a r t + s l u t t ) / / 2

IN

1 def 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ER

RD

VU

2.25

Løsninger

223

TIL

1 svar = ’* ’ 2 f o r i i n range ( 4 ) : 3 print ( svar ) 4 svar = svar + ’* ’

2.27

a) –

b) Vi skriver ut de 50 første svarene:

2.28

baklengs ( n ) : streng = s t r ( n ) lengde = l e n ( s t r e n g ) resultat = ’ ’

RD

1 def 2 3 4 5 6 7 8

VU

1 n = 50 2 3 f o r x i n range ( 1 , n + 1 ) : 4 svar = x 5 i f x%3 == 0 o r x%4 == 0 : 6 svar = ’ biip ’ 7 print ( svar )

f o r i i n range ( lengde ) : r e s u l t a t += s t r e n g [ lengde − i − 1 ] return int ( resultat )

1 n = 6 2 3 f o r i i n range ( 1 , n + 1 ) : 4 streng = ” ” 5 f o r j i n range ( 1 , i + 1 ) : 6 s t r e n g += s t r ( j ) 7 streng = streng + streng [ : − 1 ] [ : : − 1 ] 8 print ( streng )

2.30 t a l l = 1468 streng = s t r ( t a l l ) lengde = l e n ( s t r e n g ) s v a r = True f o r i i n range ( lengde − 1 ) : i f i n t ( s t r e n g [ i ] ) >= i n t ( s t r e n g [ i + 1 ] ) : svar = False

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

IN

ER

2.29

224

Løsninger

TIL

10 i f s v a r : 11 p r i n t ( ’ S i f r e n e i t a l l e t er i stigende rekkefølge . ’ ) 12 e l s e : 13 p r i n t ( ’ S i f r e n e i t a l l e t er ikke i stigende rekkefølge . ’ )

2.31

’))

2.32

RD

VU

1 n = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et h e l t a l l : 2 3 teller = 0 4 while n != 1 : 5 i f n%2 == 0 : 6 n = n//2 7 else : 8 n = 3* n + 1 9 10 p r i n t ( n , end= ’ ’ ) 11 t e l l e r += 1 12 13 p r i n t ( ) 14 p r i n t ( ) 15 p r i n t ( t e l l e r )

3.1

IN

ER

1 n = 42 2 3 presisjon = .01 4 5 n_0 = 1 6 differanse = presisjon + 1 7 8 while d i f f e r a n s e > p r e s i s j o n : 9 f o r r i g e _ n = n_0 10 n_0 = ( n_0 + n / n_0 ) / 2 11 d i f f e r a n s e = abs ( f o r r i g e _ n − n_0 ) 12 13 p r i n t ( n_0 )

a) Vi finner leddene i den midterste følgen ved å starte med a = 7 og så legge til 4.

Når vi kjører koden, får vi de ti første leddene i den midterste tallfølgen: 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43

G

1 a = 7 2 f o r i i n range ( 1 0 ) : 3 p r i n t ( a , end= ’ ’ ) 4 a = a + 4

Løsninger

225

Leddene i tallfølgen er differansene mellom leddene i den nederste følgen. Vi finner leddene i den

TIL

nederste følgen ved å starte med b = 4 for så å legge til a1 for å finne b2 , a1 + a2 for å finne b3 osv:

VU

1 # Det f ø r s t e l e d d e t i den m i d t e r s t e f ø l g e n 2 a = 7 3 # Det f ø r s t e l e d d e t i den n e d e r s t e f ø l g e n 4 b = 4 5 # Legger t i l summen av s t a d i g f l e r e l e d d i den m i d t e r s t e f ø l g e n f o r å f i n n e leddene i den n e d e r s t e f ø l g e n .

6 f o r i i n range ( 1 2 ) : 7 p r i n t ( b , end= ’ ’ ) 8 b = b + a 9 a = a + 4

Når vi kjører koden, får vi de tolv første leddene i den nederste tallfølgen.

4 11 22 37 56 79 106 137 172 211 254 301

RD

Det tolvte leddet er 301. Det betyr at vi trenger 301 klosser for å lage figur nummer 12. b) Vi oppretter variablene summen og teller. Vi gjør løkka om til en while-løkke og lar løkka gå så lenge summen er mindre enn 6000. Vi oppdaterer verdien av summen ved å legge ett og ett ledd i tallfølgen inn i variabelen.

Når vi kjører koden, får vi: V i kan l a g e 20 f i g u r e r .

1 def ledd ( n ) : 2 a = 11 3 b = 7 4 f o r i i n range ( n − 1 ) : 5 b = b + a 6 a = a + 4 7 return b

G

3.2

IN

ER

1 a = 7 2 b = 4 3 summen = 0 4 teller = 0 5 w h i l e summen <= 6 0 0 0 : 6 summen = summen + b 7 teller = teller + 1 8 b = b + a 9 a = a + 4 10 p r i n t ( f ’ V i kan l a g e { t e l l e r − 1 } f i g u r e r . ’ )

226

Løsninger

TIL

8 p r i n t ( f ’ Ledd nummer 20 e r { l e d d ( 2 0 ) } . ’ )

Når vi kjører koden, får vi: Ledd nummer 20 e r 9 0 0 .

3.3

a)

1 2 3 4 5 6 7

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t

1 2 3 4 5 6 7

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t

plt . plot ( xverdier , yverdier ) p l t . show ( )

x v e r d i e r = [ 0 , 4 , 5 , 10 , 14 , 16 , 20] y v e r d i e r = [ 3 , 8 , 2 , 5 , 16 , 14 , 15]

RD

3.4

VU

b)

x v e r d i e r = [ 0 , 4 , 5 , 10 , 14 , 16 , 20] y v e r d i e r = [ 3 , 8 , 2 , 5 , 16 , 14 , 15]

plt . plot ( xverdier , yverdier , p l t . show ( )

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t

1 2 3 4 5 6 7

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t

ER

1 2 3 4 5 6 7

’x ’ )

xverdier = [0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9] y v e r d i e r = [ 1 6 , 6 , 20 , 14 , 20 , 18 , 10 , 0 , 5 , 3] plt . plot ( xverdier , yverdier , p l t . show ( )

’o ’ )

x v e r d i e r = [ 0 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 15 , 16] y v e r d i e r = [ 9 , −7 , −10 , −3 , −3 , 7 , 6 , −6] ’o ’ )

3.6 1 import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t 2 3 x v e r d i e r = [ 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12] 4 y 1 v e r d i e r = [ − 3 , −3 , −5 , 9 , −6 , −7 , −1]

G

plt . plot ( xverdier , yverdier , p l t . show ( )

IN

3.5

Løsninger y 2 v e r d i e r = [ − 1 0 , −7 , 8 , −1 , −8 , 1 , −10]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t i m p o r t pandas a s pd

TIL

5 6 7 8 9 10

227

p l t . p l o t ( x v e r d i e r , y 1 v e r d i e r , l a b e l = ’ y1 ’ ) p l t . p l o t ( x v e r d i e r , y 2 v e r d i e r , l a b e l = ’ y2 ’ ) p l t . legend ( ) p l t . show ( )

3.7

VU

f i l = ’ norges − b e f o l k n i n g . c s v ’

d f = pd . r e a d _ c s v ( f i l , sep = ’ ; ’ ) å r = d f [ ’ Aar ’ ] . t o l i s t ( ) innbyggere = df [ ’ Innbyggere ’ ] . t o l i s t ( )

3.8

import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t i m p o r t pandas a s pd f i l = ’ lonn . csv ’

d f = pd . r e a d _ c s v ( f i l , sep = ’ ; ’ ) å r = d f [ ’ Ar ’ ] . t o l i s t ( ) l ø n n = d f [ ’ Lonn ’ ] . t o l i s t ( )

’ x ’ ) # Spredningsdiagram

p l t . p l o t ( år , lø n n ) p l t . show ( )

# Linjediagram

p l t . b a r ( år , l ø n n ) p l t . show ( )

# Søylediagram

x s t a r t = −10 x s l u t t = 10 xsteg = 0.5

G

def f ( x ) : r e t u r n 4* x + 3

IN

p l t . p l o t ( år , lønn , p l t . show ( )

3.9 1 2 3 4 5 6

ER

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

RD

p l t . p l o t ( år , i n n b y g g e r e ) p l t . show ( )

228

Løsninger

TIL

7 x = xstart 8 9 w h i l e x <= x s l u t t : 10 print (x , f ( x ) ) 11 x = x + xsteg

3.10

3.11

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n 2 * x ** 3 + x ** 2 − x

G

3.12

IN

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x ** 2 + 2 * x − 3 3 4 x s t a r t = −4 5 xsteg = 0.001 6 7 x = xstart 8 9 while f ( x ) > f ( x + xsteg ) : 10 x = x + xsteg 11 12 p r i n t ( x , f ( x ) )

ER

RD

VU

1 import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t 2 3 def f ( x ) : 4 r e t u r n x ** 2 + 2 * x − 3 5 6 x s t a r t = −4 7 xslutt = 3 8 xsteg = 0.01 9 10 x v e r d i e r = [ ] 11 y v e r d i e r = [ ] 12 13 x = x s t a r t 14 15 w h i l e x <= x s l u t t : 16 x v e r d i e r . append ( x ) 17 y v e r d i e r . append ( f ( x ) ) 18 x = x + xsteg 19 20 p l t . p l o t ( x v e r d i e r , y v e r d i e r ) 21 p l t . show ( )

Løsninger

229

TIL

3 f o r x i n range ( − 1 0 0 , 1 0 1 ) : 4 i f f ( x ) == 0 : 5 print ( f ’ ({ x } , { f ( x ) }) ’ )

Koden gir to nullpunkter. Siden dette er en tredjegradsfunksjon, kan det hende at grafen har tre nullpunkter. Ut fra det koden gir oss vet vi ikke om grafen har bare to nullpunkter eller om det er et nullpunkt til. Et tredje nullpunkt ligger da enten utenfor intervallet fra −100 til 100 eller så har det ikke heltallige koordinater.

VU

3.13

3.14

ER

RD

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x ** 2 − 3 3 4 a = 1 5 b = 5 6 d = 0.0000000001 7 8 m = ( a + b ) /2 9 10 w h i l e b − a > d : 11 i f f ( a ) * f (m) < 0 : 12 b = m 13 else : 14 a = m 15 m = ( a + b ) /2 16 17 p r i n t ( f ’ {m: . 1 0 f } ’ )

a) Programmet svarer at x ≈ 2 er et nullpunkt, mens nullpunktet er x = 1.

b) Ved første halvering blir m = 1, altså nullpunktet. Da ligger ikke nullpunktet i noen av de to halvdelene.

G

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n x −1 3 4 a = 0 5 b = 2 6 d = 0.0000000001 7 8 m = ( a + b ) /2 9 10 w h i l e b − a > d : 11 i f f (m) == 0 : 12 break

IN

c) Vi legger til en test i starten av løkka om f(m) = 0:

230

Løsninger

TIL

13 e l i f f ( a ) * f (m) < 0 : 14 b = m 15 else : 16 a = m 17 m = ( a + b ) /2 18 19 p r i n t ( f ’ {m: . 1 0 f } ’ )

3.15

a) Lars ønsker å finne nullpunktene til funksjonen f(x).

Programmet starter med x = 0. For hver x sjekker programmet om f(x) = 0. Hvis programmet

VU

finner et nullpunkt, blir x-verdien skrevet ut. Så øker programmet x med 1 og sjekker igjen. Slik fortsetter det til x er 10.

b) Vi løser likningen x2 − 6x + 8 = 0 og får x = 2 eller x = 4.

De to x-verdiene 2 og 4 blir skrevet i konsollen.

c) Likningen x2 − 144 = 0 har løsningene x = ±12. Dersom Lars setter f(x) = x2 − 144 må han sørge for at x har muligheten til å finne de to løsningene. Derfor må Lars i linje 4 sette x til en verdi lavere

RD

enn −12, for eksempel −20. I tillegg kan ikke løkka stoppes før x er større enn 12. 10-tallet i linje 6

må erstattes med for eksempel 20.

3.16

Når vi kjører koden, får vi at toppunktet er (3, 11).

3.17

G

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n −x ** 2+5 * x+6 3 4 xstart = 2 5 xslutt = 6 6 delta_x = 0.01 7 8 x = xstart

IN

ER

1 def f ( x ) : 2 r e t u r n −x ** 2 + 6 * x + 2 3 4 xstart = 0 5 xsteg = 0.001 6 7 x = xstart 8 delta_x = 0.0000001 9 derivert = ( f ( x + delta_x ) − f ( x ) ) / delta_x 10 11 w h i l e d e r i v e r t > 0 : 12 x = x + xsteg 13 derivert = ( f ( x + delta_x ) − f ( x ) ) / delta_x 14 15 p r i n t ( f ’ ( { x : . 2 f } , { f ( x ) : . 2 f } ) ’ )

Løsninger

231

TIL

9 integral = 0 10 11 w h i l e x <= x s l u t t : 12 rektangel = f ( x ) *delta_x 13 integral = integral + rektangel 14 x = x + delta_x 15 16 p r i n t ( i n t e g r a l )

a) Når programmet kjøres, settes x til 0. Deretter kjøres en løkke som gjentatte ganger øker x med et

VU

3.18

lite tillegg h = 0,001. Løkka kjøres så lenge f(x) ≤ f(x + Δx), altså så lenge funksjonen f vokser.

Eleven ønsker å finne første toppunkt etter x = 0. x2 + 1 − x · 2x 1 − x2 = 2 . b) f !(x) = (x2 + 1)2 (x + 1)2 !

Vi løser likningen f (x) = 0 og får x ± 1.

Nevneren i f !(x) er alltid positiv, så telleren avgjør fortegnet. Telleren er en andregradsfunksjon med toppunkt. f !(x) er derfor negativ fram til x = −1, positiv for x ∈ &−1, 1' og negativ for x > 1.

RD

Det betyr at f stiger fram til x = −1, synker for x ∈ &−1, 1' og stiger for x > 1.

Første toppunkt etter x = 0 er derfor x = 1, som er den x-verdien eleven ønsker å finne.

3.19

a) Programmet definerer funksjonen f(x) = x2 + 2. I starten er I = 0 og x = 0. For hver gang løkka kjører adderes produktet av h, nemlig 10 1000 av intervallet [0, 2], med funksjonsverdien av x. Deretter økes x med h og løkka gjentas. Dette blir en venstresidig trappesum og en

3.20

a) s a l d o = 40000 s p a r e b e l ø p = 3000 rentesats = 0.27 v e k s t f a k t o r = 1 + r e n t e s a t s /100

1 2 3 4

s a l d o = 40000 s p a r e b e l ø p = 3000 rentesats = 0.27 v e k s t f a k t o r = 1 + r e n t e s a t s /100

IN

1 2 3 4 5 6 7 8

ER

tilnærmingsverdi for integralet. !2 Eleven ønsker å beregne 0 x2 + 2 dx.

20 b) 3

f o r i i n range ( 1 0 ) : saldo = ( saldo + sparebeløp ) * v e k s t f a k t o r print ( saldo )

G

b)

232

Løsninger

TIL

5 måneder = 0 6 w h i l e s a l d o <= 1 2 0 0 0 0 : 7 saldo = ( saldo + sparebeløp ) * v e k s t f a k t o r 8 måneder = måneder + 1 9 p r i n t ( måneder )

3.21

Resultatet i konsollen blir:

VU

170454.54545454544 19 36 9 8 .3 47107438 220111.75807663408 250126.9978143569 284235.2247890419 322994.57362391124 367039.28820899007 417090.1002374887

3.22

RD

Han ønsker for eksempel å finne verdien av bilen sin de åtte foregående årene.

Eleven ønsker å finne ut hvor lang tid det tar å doble 10 000 når beløpet vokser med 3 % hvert år.

Når programmet kjøres, blir variabelen «beløp» satt til 10 000. Så øker verdien med en vekstfaktor på 1,03, en gang for hver gang løkka kjører. Løkka kjører til verdien er det dobbelte av beløpet, altså 20 000.Linje 10 printer ut verdien, mens linje 11 printer ut antall år det tar.

ER

3.23

3.24 1 i m p o r t random 2 3 N = 100000 4 sum_øyne = 0

G

IN

1 i m p o r t random 2 3 N = 100000 4 femmere = 0 5 6 f o r i i n range ( N ) : 7 r e s u l t a t = random . r a n d i n t ( 1 , 8 ) 8 i f r e s u l t a t == 5 : 9 femmere += 1 10 11 r e l a t i v _ f r e k v e n s = femmere / N 12 p r i n t ( f ’ S a n n s y n l i g h e t e n f o r a t l y k k e h j u l e t s t o p p e r på fem e r t i l n æ r m e t lik { relativ_frekvens } . ’ )

Løsninger

233

TIL

5 f o r i i n range ( N ) : 6 t 1 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 7 t 2 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 8 t 3 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 9 r e s u l t a t = t1+t2+t3 10 i f r e s u l t a t == 8 : 11 sum_øyne += 1 12 13 r e l a t i v _ f r e k v e n s = sum_øyne / N 14 15 p r i n t ( f ’ En t i l n æ r m i n g t i l s a n n s y n l i g h e t e n f o r summen 8 e r { relativ_frekvens } . ’ )

VU

3.25

a) Programmet simulerer 1 000 000 kast med to terninger og teller opp hvor mange ganger summen av kastene blir 9. Output fra programmet er den relative frekvensen for at det blir 9.

Eleven ønsker å simulere sannsynligheten for at summen av antall øyne når du kaster to terninger er ni.

b) Siden sannsynligheten er uniformt fordelt ved kast av to terninger, kan vi beregne sannsynlighe-

RD

ten ved å å beregne andelen av gunstige utfall av antall mulige utfall: 1 4 = ≈ 0,111 36 9 3.26

Vi skriver et program i Python som simulerer 1 000 000 runder av spillet. En løkke kjøres 1 000 000 ganger. Hver gang trekker programmet et heltall mellom 1 og 6 tre ganger. Dersom produktet av tallene blir over 100, teller vi omgangen som vinst. Output fra programmet er den relative frekvensen

G

1 i m p o r t random 2 3 N = 1000000 4 5 antall_vinst = 0 6 f o r i i n range ( N ) : 7 t e r n i n g 1 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 8 t e r n i n g 2 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 9 t e r n i n g 3 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 10 r e s u l t a t = terning1 * terning2 * terning3 11 i f r e s u l t a t > 100: 12 antall_vinst = antall_vinst + 1 13 14 p r i n t ( a n t a l l _ v i n s t / N )

IN

ER

for at produktet er over 100.

234

Løsninger

3.27

TIL 3.28

ER

RD

VU

1 i m p o r t random 2 import m a t p l o t l i b . pyplot as p l t 3 4 def t e r n i n g e r ( n ) : 5 resultat = 0 6 f o r i i n range ( n ) : 7 t e r n i n g = random . r a n d i n t ( 1 , 4 ) 8 resultat = resultat + terning 9 return resultat 10 11 n = 3 12 N = 1000000 13 x v e r d i e r = l i s t ( range ( 1 3 ) ) 14 f r e k v e n s e r = [ 0 ] * 1 3 15 16 f o r i i n range ( N ) : 17 u t f a l l = terninger (n) 18 f r e k v e n s e r [ u t f a l l ] += 1 19 20 r e l a t i v e _ f r e k v e n s e r = [ ] 21 22 f o r f i n f r e k v e n s e r : 23 r f = f /N 24 r e l a t i v e _ f r e k v e n s e r . append ( r f ) 25 26 p l t . b a r ( x v e r d i e r , r e l a t i v e _ f r e k v e n s e r ) 27 p l t . show ( )

Vi skriver et program i Python som simulerer spillet.

G

IN

1 i m p o r t random 2 3 N = 100000 4 5 teller = 0 6 7 f o r i i n range ( N ) : 8 t e r n i n g 1 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 9 t e r n i n g 2 = random . r a n d i n t ( 1 , 6 ) 10 i f t e r n i n g 1 >= 5 o r t e r n i n g 2 >= 5 : 11 t e l l e r += 1 12 13 r e l a t i v _ f r e k v e n s = t e l l e r / N 14 15 p r i n t ( f ’ S a n n s y n l i g h e t e n f o r å v i n n e e r { r e l a t i v _ f r e k v e n s } . ’ )

Når vi kjører programmet, kan vi for eksempel få «Sannsynlighet for å vinne er 0.55553.». Det betyr at sannsynligheten for å vinne er omtrent 0,56.

Løsninger 1

235

a) Hver gang løkka går tegner programmet et linjestykke med lengde 4, ettersom a = 4. Så snur man

TIL 360 5

= 72◦ til høyre. Det betyr at det nye linjestykket man skal tegne danner en vinkel på 108◦ med

linjestykket man allerede har tegnet, ettersom 180◦ − 72◦ = 108◦ . Så går løkka en gang til. Det samme skjer altså fem ganger etter hverandre. Da er man tilbake på det samme stedet der man startet, og man har laget en regulær femkant.

4

108 o

4

108 o

108 o

VU

4

108 o

108 o

4

4

b) 2

a) En bruker blir bedt om å skrive inn et heltall. Dette tallet forteller hvor mange ganger en løkke skal

RD

kjøre. Hver gang løkka kjører kastes en terning og resultatet legges i variabelen tall. Verdien av denne variabelen legges hver gang til en liste. Etter at løkka er ferdig å gå skriver programmet ut lista til skjerm.

b) Det er ikke noe fasit på akkurat hvor mange terningkast man må kaste, men når man kaster veldig mange ganger, vil den relative frekvensen for en hendelse gå mot sannsynligheten. Det vil si at omtrent en sjettedel av kastene viser hver av de seks resultatene.

3

4

5

IN

1 x = 3 2 f o r i i n range ( 1 0 ) : 3 p r i n t ( x , end= ’ ’ ) 4 x = x + 4

ER

1 x = 2 2 3 f o r i i n range ( 1 0 ) : 4 p r i n t ( x , end= ’ ’ ) 5 x = 2* x

G

1 a = 3 2 b = 4 3 c = 5 4 5 i f a ** 2 + b ** 2 == c ** 2 o r b ** 2 + c ** 2 == a ** 2 o r a ** 2 + c ** 2 == b ** 2 : 6 p r i n t ( ’ Trekanten er r e t t v i n k l e t . ’ ) 7 else : 8 p r i n t ( ’ Trekanten er ikke r e t t v i n k l e t . ’ )

236

Løsninger

6

TIL 1 2 3 4 5 6 7 8 9

tall1 = 3 tall2 = 0 if

t a l l 1 == 0 o r t a l l 2 == 0 : p r i n t ( ’ M i n s t e t t av t a l l e n e e r n u l l . ’ ) e l i f tall1 * tall2 > 0: p r i n t ( ’ T a l l e n e h a r samme f o r t e g n . ’ ) else : p r i n t ( ’ T a l l e n e har f o r s k j e l l i g fortegn . ’ )

VU

7

RD

1 t a l l 1 = 15 2 t a l l 2 = 21 3 4 m = tall2 5 tall2 = tall1 6 tall1 = m 7 8 p r i n t ( f ’ t a l l 1 e r nå { t a l l 1 } ’ ) 9 p r i n t ( f ’ t a l l 2 e r nå { t a l l 2 } ’ )

8

1 f o r x i n range ( − 1 0 , 1 0 ) : 2 i f 2 * x + 4 == 1 8 : 3 p r i n t ( f ’ x = { x } e r en l ø s n i n g ’ )

10 1 f o r i i n range ( 1 , 1 0 0 1 ) : 2 i f i %13 == 0 and i %17 == 0 : 3 print ( i )

1 2 3 4 5

antall_drag = 0 dragtid = 4 pausetid = 2 total_dragtid = 0 totaltid = 0

G

11

IN

1 s t a r t = −10 2 slutt = −start 3 4 f o r x i n range ( s t a r t , s l u t t ) : 5 f o r y i n range ( s t a r t , s l u t t ) : 6 i f 2 * x + 4 * y == 1 0 : 7 print (x , y )

ER

9

Løsninger

237

TIL

6 a k t i v i t e t = ’ drag ’ 7 8 while antall_drag < 10: 9 i f a k t i v i t e t == ’ drag ’ : 10 p r i n t ( ’ Går f r a drag t i l pause . ’ ) 11 t o t a l t i d += d r a g t i d 12 a k t i v i t e t = ’ pause ’ 13 t o t a l _ d r a g t i d += d r a g t i d 14 a n t a l l _ d r a g += 1 15 else : 16 p r i n t ( ’ Går f r a pause t i l drag . ’ ) 17 t o t a l t i d += p a u s e t i d 18 a k t i v i t e t = ’ drag ’ 19 print ( totaltid ) 20 print () 21 22 p r i n t ( t o t a l _ d r a g t i d )

VU

12

’))

13

ER

RD

1 n = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : 2 3 funnet = False 4 f o r i i n range ( 2 , n ) : 5 i f n%i == 0 : 6 funnet = True 7 break 8 i f not ( f u n n e t ) : 9 print ( ’ primisk ! ’ ) 10 e l s e : 11 print ( ’ nei ’ )

14 1 def a b s o l u t t v e r d i ( n ) : 2 i f n >= 0 : 3 return n 4 else : 5 r e t u r n −n

G

IN

1 a = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn s t i g n i n g t a l l e t : ’ ) ) 2 b = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn konstantleddet : ’ ) ) 3 x = 0 4 y = b 5 p r i n t ( f ’ S k j æ r i n g s p u n k t e t med y− aksen e r ( { x : . 3 f } , { y : . 3 f } ) . ’ ) 6 x = −b / a 7 y = 0 8 p r i n t ( f ’ S k j æ r i n g s p u n k t e t med x− aks en e r ( { x : . 3 f } , { y : . 3 f } ) . ’ )

238

Løsninger

15

TIL 16

VU

1 x1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n f ø r s t e x− v e r d i : ’ ) ) 2 y1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n f ø r s t e y− v e r d i : ’ ) ) 3 x2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n andre x− v e r d i : ’ ) ) 4 y2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n andre y− v e r d i : ’ ) ) 5 6 d e l t a x = x2 − x1 7 d e l t a y = y2 − y1 8 9 i f deltax != 0: 10 a = deltay / deltax 11 p r i n t ( f ’ S t i g n i n g e n mellom punktene ( { x1 } , { y1 } ) og ( { x2 } , { y2 } ) e r {a:.3 f }. ’ ) 12 e l s e : 13 p r i n t ( f ’ De t o punktene l i g g e r på l i n j e n x = { x1 } . ’ )

17 1 n = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et h e l t t a l l : 2 f o r i i n range ( 0 , n + 1 ) : 3 f o r j i n range ( 1 , n + 1 ) : 4 p r i n t ( f ’ ( { i } , { j } ) ’ , end= ’ ’ )

’))

G

IN

ER

RD

1 x1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n f ø r s t e x− v e r d i : ’ ) ) 2 y1 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n f ø r s t e y− v e r d i : ’ ) ) 3 x2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n andre x− v e r d i : ’ ) ) 4 y2 = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n andre y− v e r d i : ’ ) ) 5 print () 6 7 d e l t a x = x2 − x1 8 d e l t a y = y2 − y1 9 10 i f d e l t a x ! = 0 : 11 a = deltay / deltax 12 b = y1 − a * x1 13 i f a == 0 : 14 p r i n t ( f ’ L i n j e n gjennom punktene ( { x1 } , { y1 } ) og ( { x2 } , { y2 } ) e r y = {b :.3 f } . ’ ) 15 e l i f b == 0 : 16 p r i n t ( f ’ L i n j e n gjennom punktene ( { x1 } , { y1 } ) og ( { x2 } , { y2 } ) e r y = {a:.3 f }x. ’ ) 17 else : 18 p r i n t ( f ’ L i n j e n gjennom punktene ( { x1 } , { y1 } ) og ( { x2 } , { y2 } ) e r y = {a :.3 f } x + {b :.3 f } . ’ ) 19 e l s e : 20 p r i n t ( f ’ L i n j e n gjennom punktene ( { x1 } , { y1 } ) og ( { x2 } , { y2 } ) e r x = { x1 : . 3 f } . ’ )

Løsninger

239

18

TIL

1 n = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et h e l t t a l l : 2 3 f o r i i n range ( 1 , n ) : 4 i f n%i == 0 : 5 print ( i )

’))

19

20

fakultet (n) : produkt = 1 f o r i i n range ( 2 , n + 1 ) : p r o d u k t *= i r e t u r n produkt

21

ER

1 def 2 3 4 5

’)

RD

VU

1 f o r t s e t t = True 2 summen = 0 3 antall_tall = 0 4 5 while f o r t s e t t : 6 svar = input ( ’ S k r i v inn neste t a l l : 7 i f s v a r == ’ q ’ : 8 fo rt se tt = False 9 else : 10 t a l l = f l o a t ( svar ) 11 a n t a l l _ t a l l += 1 12 summen += t a l l 13 14 p r i n t ( summen / a n t a l l _ t a l l )

’))

22 1 2 3 4 5 6

t a l l 1 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : t a l l 2 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : t a l l 3 = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn et t a l l : if

t a l l 1 == t a l l 2 == t a l l 3 : p r i n t ( ’ Tallene er l i k e store . ’ )

’)) ’)) ’))

G

IN

1 n = i n t ( input ( ’ S k r i v inn et h e l t a l l : 2 3 kvadrattall = [] 4 5 f o r i i n range ( 1 , n ) : 6 f o r j i n range ( 1 , i + 1 ) : 7 i f j ** 2 == i : 8 k v a d r a t t a l l . append ( i ) 9 10 p r i n t ( k v a d r a t t a l l )

240

Løsninger elif

t a l l 1 == t a l l 2 o r t a l l 2 == t a l l 3 o r t a l l 1 == t a l l 3 : i f t a l l 1 == t a l l 2 and t a l l 1 > t a l l 3 : p r i n t ( f ’ { t a l l 1 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 1 == t a l l 2 and t a l l 1 < t a l l 3 : p r i n t ( f ’ { t a l l 3 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 1 == t a l l 3 and t a l l 1 > t a l l 2 : p r i n t ( f ’ { t a l l 1 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 1 == t a l l 3 and t a l l 1 < t a l l 2 : p r i n t ( f ’ { t a l l 3 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 2 == t a l l 3 and t a l l 2 > t a l l 1 : p r i n t ( f ’ { t a l l 2 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 2 == t a l l 3 and t a l l 2 < t a l l 1 : p r i n t ( f ’ { t a l l 1 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 1 > t a l l 2 and t a l l 1 > t a l l 3 : p r i n t ( f ’ { t a l l 1 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 2 > t a l l 1 and t a l l 2 > t a l l 3 : p r i n t ( f ’ { t a l l 2 } er s t ø r s t ’ ) e l i f t a l l 3 > t a l l 2 and t a l l 3 > t a l l 2 : p r i n t ( f ’ { t a l l 3 } er s t ø r s t ’ )

TIL

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

RD

VU

23

a)

b)

Programmet definerer funksjonen f til f(x) =

6x − 3 x−1

e r i k k e d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 1 . ’ e r i k k e d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 2 . ’ heltall : ” ) )

G

24

e r d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 0 . ’

IN

1 def delelig_med_tre ( n ) : 2 i f n % 3 == 0 : 3 return f ’ T a l l e t {n} 4 e l i f n % 3 == 1 : 5 return f ’ T a l l e t {n} 6 else : 7 return f ’ T a l l e t {n} 8 9 n = i n t ( input ( ” S k r i v inn et 10 11 p r i n t ( d e l e l i g _ m e d _ t r e ( n ) )

ER

1 n = 42 2 i f n % 3 == 0 : 3 p r i n t ( f ’ T a l l e t { n } e r d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 0 . ’ ) 4 e l i f n % 3 == 1 : 5 p r i n t ( f ’ T a l l e t { n } e r i k k e d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 1 . ’ ) 6 else : 7 p r i n t ( f ’ T a l l e t { n } e r i k k e d e l e l i g med 3 . R e s t e n e r 2 . ’ )

I tillegg defineres funksjonen Df(x) som er en numerisk tilnærmingsverdi for den deriverte f !(x).

Programmet starter så med x = 1,5. Programmet regner ut verdien av den deriverte i denne x-verdien.

Dersom f !(x) < −3 øker programmet x med 0,001. Slik fortsetter det til den deriverte ikke er mindre

Løsninger

241

TIL

enn −3. Denne x-verdien lagres i variabelen a.

Likningen til tangenten til f er gitt som y = f !(x) · x + b

For et punkt (x0 , f(x0 )) på linja har vi f(x0 ) = f !(x0 ) · x0 + b

Med x0 = a får vi

VU

f(a) = f !(a) · a + b

Det gir b = f(a) − f !(a) · a. Det betyr at linje 12 regner ut konstantleddet b til den første tangenten til f med stigningstall −3 med x-verdi større enn 1,5.

Vi deriverer og får f !(x) =

6(x − 1) − (6x − 3) −3 = (x − 1)2 (x − 1)2

f !(x) = −3

−3 = −3 (x − 1)2

−3 = −3 · (x − 1)2

x − 1 = ±1 x=0∨x=2

ER

RD

Vi løser likningen f !(x) = −3:

Første x-verdi større enn 1,5 blir da 2, som er verdien til a i koden.

Det gir b = f(a) − f !(a) · a = f(2) − f !(2) · 2 = 9 − (−3) · 2 = 9 + 6 = 15.

25

b a) I linje 8 bør hun skrive at det ikke blir noen løsning. I linje 10 bør hun regne ut x = − 2a og i linje 12 √ 2 −b± b −4ac bør hun regne ut x = .

2a

G

IN

1 a = 1 2 b = 2 3 c = 1 4 5 d = b ** 2 − 4 * a * c 6 7 i f d < 0: 8 p r i n t ( ’ L i k n i n g e n h a r ing en l ø s n i n g . ’ ) 9 e l i f d == 0 : 10 x = −b / ( 2 * a ) 11 p r i n t ( f ’ Likningen har løsning x = { x } . ’ ) 12 e l s e : 13 x_1 = ( −b + d * * ( 1 / 2 ) ) / ( 2 * a ) 14 x_2 = ( −b − d * * ( 1 / 2 ) ) / ( 2 * a ) 15 p r i n t ( f ’ L i k n i n g e n h a r l ø s n i n g e n x = { x_1 } e l l e r x = { x_2 } . ’ )

242

Løsninger

TIL

b) Når programmet kjøres blir a, b og c satt til henholdsvis 1, 2 og 1. Programmet setter d = b2 − 4ac.

Resten av programmet består av en if-test. I linje 8 skal det stå hva som skal skje om diskriminanten er negativ, altså at likningen ikke har noen løsning. I linje 10 skal det stå hva som skal skje hvis b . I linje 12 skal det stå hva som skal skje når diskriminanten er diskriminanten er null, altså at x = − 2a

positiv, altså når likningen har to løsninger. Når dette gjøres, løser programmet andregradslikningen med koeffisientene a, b og c. Med verdiene i progarmmet blir diskriminanten null, og programmet svarer x = −1.

26

Ada ønsker å finne ut hvor mange år det tar før hun har 500 000 kroner på kontoen dersom hun hvert år

VU

sparer 20 000 kroner og renta er 2 % per år.

Når programmet kjøres, settes først noen startverdier. Deretter kjøres en løkke som øker saldoen på 20 000 kroner og legger til 2 % rente. Telleren år økes med én. Når løkka er ferdig skrives verdien av år og beløp ut.

27

Eleven ønsker å beregne hvor mange år det tar før 2000 kroner vokser til det dobbelte når det øker med 5 % per år.

Når programmet kjøres, økes variabelen «verdi» med 5 % gjentatte ganger, helt til verdien overstiger

RD

det dobbelte av startverdien. Til slutt skrives verdien ut, sammen med antall år.

28

− → − → − → a) 1) Regn ut vektorene AB = [c − a, d − b], BC = [e − c, f − d] og AC = [e − a, f − b]. → − → − → − → − → − → − 2) Beregn skalarproduktene AB · AC, AB · BC og AC · BC. 3) Hvis en av skalarproduktene er 0, så er trekanten rettvinklet.

b)

G

IN

ER

1 # F u n k s j o n som s j e k k e r om t o v e k t o r e r s t å r v i n k e l r e t t på h v e r a n d r e .

2 def v i n k e l r e t t ( vektor1 , vektor2 ) : 3 i f v e k t o r 1 [ 0 ] * v e k t o r 2 [ 0 ] + v e k t o r 1 [ 1 ] * v e k t o r 2 [ 1 ] == 0 : 4 r e t u r n True 5 else : 6 return False 7 8 a = 0 9 b = 0 10 c = 1 11 d = 0 12 e = 0 13 f = 1 14 15 # Bestemmer v e k t o r e n e mellom punktene .

16 AB = [ c − a , d − b ] 17 BC = [ e − c , f − d ] 18 AC = [ e − a , f − b ] 19 20 i f v i n k e l r e t t ( AB , AC ) o r v i n k e l r e t t ( AB , BC ) o r v i n k e l r e t t ( AC , BC ) : 21 p r i n t ( ’ Punktene danner en r e t t v i n k l e t t r e k a n t . ’ ) 22 e l s e : 23 p r i n t ( ’ Punktene danner i k k e en r e t t v i n k l e t t r e k a n t . ’ )

Løsninger 29

243

a) Lars ønsker å lage en verditabell til funksjonen. Definisjonsmengden til f er alle tall unntatt 2. Når

TIL

programmet prøver å regne ut f(2) blir nevneren null, og programmet gir en feilmelding.

b) Dersom Lars stopper tabellen før x = 2, vil han ikke få feilmelding.

Alternativt kan Lars skrive om programmet, slik at det tester om nevneren er null før det regner ut funksjonsverdien.

RD

VU

1 def f ( x ) : 2 t e l l e r = ( 1 − 2* x ) 3 nevner = ( x − 2 ) 4 i f nevner == 0 : 5 return ’ udefinert ’ 6 else : 7 r e t u r n t e l l e r / nevner 8 9 x = 8 10 w h i l e x >= −8: 11 print (x , f ( x ) ) 12 x = x − 1

Når vi kjører programmet, får vi denne outputen:

Programmet regner ut funksjonsverdier for x ∈ {1, 2, 3, . . .} helt til funksjonsverdien overstiger 400.

Resultatet blir kvadrattallene 1, 4, 9, 16, . . . , 400.

31

G

30

IN

c) –

ER

8 −2.5 7 −2.6 6 −2.75 5 −3.0 4 −3.5 3 −5.0 2 udefinert 1 1.0 0 −0.5 −1 −1.0 −2 −1.25 −3 −1.4 −4 −1.5 −5 −1.5714285714285714 −6 −1.625 −7 −1.6666666666666667 −8 −1.7

a) Eleven ønsker å finne første x-verdi større enn x = 0 hvor den deriverte av f skifter fra positivt til negativt fortegn, altså x-verdien til et mulig toppunkt. x . Deretter settes h til et lite tall (0,0001). Så b) Først defineres funksjonsuttrykkket f(x) = 1 + x2

244

Løsninger

TIL

lenge tilnærmingsverdien for den deriverte f(x+h)−f(x) er positiv, så øker vi x med h. Når brøken blir h negativ, skriver vi ut h.

Siden f !(x) = 0 for x = 1, vil programmet skrive ut «x = 1.0».

32

a) Mulig algoritme:

1) Regn ut avstanden fra sentrum til P. 2) Sammenlikne med r. Hvis avstanden er lik r, ligger punktet på sirkelen. Hvis avstanden er større enn r, ligger punktet utenfor sirkelen. Ellers ligger den inni.

b) Vi skriver algoritmen i Python:

VU

a) Vi skriver et program som regner ut saldo på kontoen hvert år.

i n n s k u d d = 10000 rentefot = 1.8 å r s t a l l = 2020 saldo = 0

f o r i i n range ( 3 ) : p r i n t ( f ’ Saldo 1 . januar { å r s t a l l } : { saldo : . 2 f } ’ ) p r i n t ( f ’ In n s ku d d : { i n n s k u d d } ’ ) # F o r e t a r n y t t innskudd . s a l d o += i n n s k u d d

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

IN

33

ER

RD

1 i m p o r t math 2 3 # Sentrum S ( a , b ) .

4 # Radius r 5 # Punkt P ( s , t ) 6 7 a = 3 8 b = −4 9 r = 2 10 s = 6 11 t = 8 12 13 # F i n n e r a v s t a n d e n mellom S og P : 14 d = math . s q r t ( ( s − a ) ** 2 + ( t − b ) ** 2 ) 15 16 i f d > r : 17 p r i n t ( ’ Punktet l i g g e r utenfor s i r k e l e n . ’ ) 18 e l i f d == r : 19 p r i n t ( ’ P u n k t e t l i g g e r på s i r k e l e n . ’ ) 20 e l s e : 21 p r i n t ( ’ Punktet l i g g e r innenfor s i r k e l e n . ’ )

Løsninger # Regner u t r e n t e n e . r e n t e r = saldo * r e n t e f o t /100 p r i n t ( f ’ Renter : { renter : . 2 f } ’ ) # Legger t i l r e n t e r . s a l d o += r e n t e r p r i n t ( f ’ S a l d o 3 1 . desember { å r s t a l l } : { s a l d o : . 2 f } ’ ) print () # Øker å r s t a l l e t med en . å r s t a l l += 1

TIL

12 13 14 15 16 17 18 19 20

245

VU

b) B(x) er samlet beløp på kontoen etter x år, med innskudd hvert år. Da blir det et sprang i funksjonsverdien ved hvert innskudd, og funksjonen er ikke kontinuerlig der. c) Vi skriver et program som legger til renter og foretar innskudd hvert år:

34

a)

1 a n t a l l = 10 2 3 summen = 0

G

Summen blir 385. b)

IN

1 a n t a l l = 10 2 summen = 0 3 f o r i i n range ( 1 , a n t a l l + 1 ) : 4 n = 1 5 kvadrattall = 0 6 f o r j i n range ( i ) : 7 k v a d r a t t a l l += n 8 n += 2 9 summen += k v a d r a t t a l l 10 11 p r i n t ( summen )

ER

RD

1 rentefot = 1.8 2 i n n s k u d d = 10000 3 K = 250000 4 5 s a l d o = i n n s k u d d # B e l ø p e t på kontoen .

6 år = 0 # Antall år .

7 8 while saldo < K : 9 s a l d o *= ( 1 0 0 + r e n t e f o t ) / 1 0 0 # Legger t i l r e n t e r .

10 s a l d o += i n n s k u d d # F o r e t a r innskudd .

11 å r += 1 # Øker a n t a l l å r med 1 .

12 13 p r i n t ( f ’ Det t a r { å r } å r . ’ ) 14 p r i n t ( f ’ E t t e r { å r } å r e r s a l d o e n { s a l d o : . 2 f } . ’ )

246

Løsninger

TIL

4 f o r k i n range ( 1 , a n t a l l + 1 ) : 5 pyramidetall = 0 6 f o r i i n range ( 1 , k + 1 ) : 7 n = 1 8 kvadrattall = 0 9 f o r j i n range ( i ) : 10 k v a d r a t t a l l += n 11 n += 2 12 p y r a m i d e t a l l += k v a d r a t t a l l 13 14 summen += p y r a m i d e t a l l 15 p r i n t ( summen )

VU

Vi får at summen av de 10 første pyramidetallene er 1210.

35

6 a = ( y2 − y1 ) / ( x2 − x1 ) 7 b = y1 − a * x1

a) Kaja vil at koden skal sjekke om de to tallene har samme fortegn. b)

37

t a l l 1 = −5 t a l l 2 = 32

tall1 * tall2 < 0: p r i n t ( ’ T a l l e n e har f o r s k j e l l i g fortegn . ’ ) else : p r i n t ( ’ T a l l e n e h a r samme f o r t e g n . ’ ) if

ER

1 2 3 4 5 6 7

a) Koden skal regne om fra en vekstfaktor til prosentvis endring. b)

v e k s t f a k t o r = f l o a t ( input ( ’ S k r i v inn v e k s t f a k t o r e n : i f vekstfaktor > 1: p r o s e n t = ( v e k s t f a k t o r − 1 ) * 100 else : p r o s e n t = ( 1 − v e k s t f a k t o r ) * 100

’))

IN

1 2 3 4 5 6 7 8

p r i n t ( f ’ En v e k s t f a k t o r på { v e k s t f a k t o r } t i l s v a r e r en p r o s e n t v i s e n d r i n g på { p r o s e n t } p r o s e n t . ’ )

Koden tegner grafen til den deriverte av f(x) = 13 x3 − x for x mellom −3 og 3.

G

38

RD

36

Først blir funksjonen og den deriverte definert. Deretter etableres verditabellen, før en løkke legger inn

verdier for x og den deriverte. Til slutt blir grafen til den deriverte tegnet, altså parabelen gitt ved grafen til f !(x) = x2 − 1.

39

er større enn eller lik Programmet regner ut verdien av y1 = 2x + 3 og y2 = 8x − 5 helt til forholdet y2 y1

2. Løkka kjører tre ganger før dette skjer, så i linje 14 blir tallet «3» skrevet ut.

Løsninger 40

247

a) –

TIL b) 10 % c)

41

verdi = pris teller = 0

w h i l e v e r d i >= p r i s / 2 : verdi = verdi * vekstfaktor t e l l e r += 1 print ( teller )

42

1 n = 46 2 3 i f n%3 == 0 : 4 p r i n t ( ’ T a l l e t e r d e l e l i g med 3 . ’ ) 5 else : 6 p r i n t ( ’ T a l l e t e r i k k e d e l e l i g med 3 . ’ )

G

a)

IN

43

midterst ( l i s t e ) : a = liste [0] b = liste [1] c = liste [2] if a < b: if b < c: return b elif a < c: return c else : return a elif a > b: if a < c: return a elif b < c: return c else : return b

ER

1 def 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

RD

2 6

p r i s = 30000 verditap = .1 vekstfaktor = 1 − verditap

VU

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

248

Løsninger b)

TIL

1 n = 45 2 3 i f n%3 == 0 and n%5 == 0 : 4 p r i n t ( ’ T a l l e t e r d e l e l i g med 3 og 5 . ’ ) 5 else : 6 p r i n t ( ’ T a l l e t e r i k k e d e l e l i g med 3 og 5 . ’ )

c)

44

VU

1 f o r n i n range ( 0 , 1 0 1 ) : 2 i f n%3 == 0 and n%5 == 0 : 3 print (n)

1 f o r x i n range ( − 1 0 , 1 1 ) : 2 i f 3 * x + 6 − x + 9 == 5 * x − 3 : 3 print ( x )

RD

45

46 1 l 1 = [ 2 0 , 15 , 18 , 9 , 5 , 11 , 14 , 14 , 9 , 3] 2 l 2 = [ 1 9 , 17 , 11 , 20 , 2 , 10 , 6 , 10 , 7 , 8] 3 4 for x in l1 : 5 for y in l2 : 6 print ( f ’ ({ x } , { y }) ’ )

G

IN

ER

1 n = 3 2 m = 81 3 4 d e f s j e k k p o t e n s ( n , m) : 5 produkt = 1 6 w h i l e p r o d u k t < m: 7 p r o d u k t = p r o d u k t *n 8 i f p r o d u k t == m: 9 r e t u r n True 10 return False 11 12 i f n < m: 13 s v a r = s j e k k p o t e n s ( n , m) 14 e l s e : 15 s v a r = s j e k k p o t e n s (m, n ) 16 17 i f s v a r : 18 p r i n t ( ’ Ja , d e t ene t a l l e t e r en pot e ns av de t andre . ’ ) 19 e l s e : 20 p r i n t ( ’ Nei , ing en av de t a l l e n e kan s k r i v e s som en pot e ns av de t andre tallet . ’ )

Løsninger

249

47

TIL

1 xmin = −10 2 xmaks = 10 3 ymin = −10 4 ymaks = 10 5 6 f o r x i n range ( xmin , xmaks + 1 ) : 7 f o r y i n range ( ymin , ymaks + 1 ) : 8 i f 3 * x + 4 * y == 4 : 9 print (x , y )

VU

48

1 f o r a i n range ( 1 , 2 1 ) : 2 f o r b i n range ( 1 , 2 1 ) : 3 f o r c i n range ( 1 , 2 1 ) : 4 i f a ** 2 + b ** 2 == c ** 2 : 5 print (a , b , c )

49

l i s t e = [ 3 , 6 , 5 , 4 , 4 , 5 , 12 , 3 , 12 , 22 , 3 , 4 , 3 , 22] størst = liste [0] for t a l l in l i s t e : if tall > størst : størst = tall

RD

p r i n t ( f ’ Det s t ø r s t e t a l l e t i

50

l i s t e 1 = [ 3 , 6 , 5 , 4 , 4 , 5 , 12 , 3 , 12 , 22 , 3 , 4 , 3 , 22] l i s t e 2 = [ 1 2 , 43 , 15 , 63 , 34 , 13] størst1 = liste1 [0] størst2 = liste2 [0] størst = størst1*størst2

G

for t a l l 1 in l i s t e 1 : for t a l l 2 in l i s t e 2 : produkt = t a l l 1 * t a l l 2 i f produkt > s t ø r s t : s t ø r s t = produkt størst1 = tall1 størst2 = tall2

IN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

l i s t a er { s t ø r s t } . ’ )

ER

1 2 3 4 5 6 7 8 9

p r i n t ( f ’ Det s t ø r s t e p r o d u k t e t e r { s t ø r s t } . ’ ) p r i n t ( f ’ Det f å r v i ved m u l t i p l i s e r e { s t ø r s t 1 } med { s t ø r s t 2 } . ’ )

250

Løsninger

51

TIL 52

VU

1 n = 10 2 3 r i n g = [ True ]* n 4 5 f o r i i n range ( 1 , n + 1 ) : 6 f o r j i n range ( 1 , n + 1 ) : 7 i f j % i == 0 : 8 r i n g [ j − 1 ] = not ( r i n g [ j − 1 ] ) 9 print ( i , ring ) 10 11 p r i n t ( sum ( r i n g ) )

53

G

1 # Rektangel 1 2 A = [0 , 1] 3 B = [4 , 1] 4 C = [4 , 3] 5 D = [0 , 3] 6 # Rektangel 2 7 E = [3 , 2] 8 F = [7 , 2] 9 G = [7 , 8] 10 H = [ 3 , 8 ]

IN

ER

RD

1 Ax = 1 2 Ay = 4 3 Bx = 3 4 By = 6 5 Cx = 5 6 Cy = 4 7 Dx = 3 8 Dy = 2 9 10 ADx = Dx − Ax 11 ADy = Dy − Ay 12 BCx = Cx − Bx 13 BCy = Cy − By 14 ABx = Bx − Ax 15 ABy = By − Ay 16 DCx = Cx − Dx 17 DCy = Cy − Dy 18 19 i f ADx == BCx and ADy == BCy and ABx == DCx and ABy == DCy : 20 p r i n t ( ’ Ja , ABCD e r e t k v a d r a t . ’ ) 21 e l s e : 22 p r i n t ( ’ Nei , f i r k a n t e n ABDC e r i k k e e t k v a d r a t . ’ )

Løsninger

251

TIL

11 i f ( A [ 0 ] < E [ 0 ] < B [ 0 ] o r A [ 0 ] < F [ 0 ] < B [ 0 ] ) \ 12 and ( A [ 1 ] < E [ 1 ] < D [ 1 ] o r A [ 1 ] < H [ 1 ] < D [ 1 ] ) : 13 p r i n t ( ’ Ja , r e k t a n g l e n e o v e r l a p p e r . ’ ) 14 e l s e : 15 p r i n t ( ’ Nei , r e k t a n g l e n e o v e r l a p p e r i k k e . ’ )

54

a) Anders vil finne sannsynligheten for at summen av antall øyne er sju når han kaster to vanlige terninger.

b) Her er det flere alternative løsninger. En mulighet er å finne sannsynligheten for at summen av

55

teller = 0

f o r a i n range ( 1 , 7 ) : f o r b i n range ( 1 , 7 ) : i f a + b <= 4 o r a + b >= 1 0 : teller = teller + 1 r e l = t e l l e r / ( a *b ) print ( rel )

RD

1 2 3 4 5 6 7 8

VU

antall øyne terningene viser når vi kaster to terninger er høyst fire eller minst ti:

56 1 2 3 4 5

a)

i m p o r t math a r e a l = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n a r e a l e t av en s i r k e l : ’ ) ) r a d i u s = math . s q r t ( a r e a l / math . p i ) omkrets = 2 * math . p i * r a d i u s p r i n t ( f ’ R a d i e n e r { r a d i u s : . 2 f } og Omkretsen e r { omkrets : . 2 f } . ’ )

G

57

IN

ER

1 n = i n t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n e t t a l l mellom 1 og 1 0 0 : ’ ) ) 2 3 primtallsfaktorer = [] 4 5 f o r i i n range ( 2 , n ) : 6 w h i l e n % i == 0 : 7 p r i m t a l l s f a k t o r e r . append ( i ) 8 n = n/ i 9 i f n == 1 : 10 break 11 p r i n t ( p r i m t a l l s f a k t o r e r )

1 F = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n en t e m p e r a t u r i g r a d e r F a h r e n h e i t : 2 C = ( 5 / 9 ) *( F − 32) 3 p r i n t ( f ’ Temperaturen i g r a d e r C e l s i u s e r { C } . ’ )

’))

252

Løsninger b)

TIL

1 C = f l o a t ( i n p u t ( ’ S k r i v i n n en t e m p e r a t u r i g r a d e r C e l s i u s : 2 F = ( 9 / 5 ) * C + 32 3 p r i n t ( f ’ Temperaturen i g r a d e r F a h r e n h e i t e r { F } . ’ )

58

’))

a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

i n n s k u d d = 5000 vekstfaktor = 1.04

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i n n s k u d d = 5000 vekstfaktor = 1.04

v e r d i = innskudd

VU

while verdi < 8000: v e r d i = innskudd v e k s t f a k t o r = v e k s t f a k t o r + 0.0001 f o r i i n range ( 1 0 ) : verdi = verdi * vekstfaktor r e n t e = ( v e k s t f a k t o r − 1 ) * 100 p r i n t ( f ’ Renta b l i r { r e n t e : . 2 f } p r o s e n t pe r å r . ’ )

v e r d i = innskudd

RD

b)

p r i n t ( innskudd )

59

inn et t a l l : ’ ) ) inn et t a l l t i l :

’))

t a l l e n e er et p a r t a l l . ’ )

G

t a l l e n e er et oddetall . ’ )

IN

1 a = i n t ( input ( ’ S k r i v 2 b = i n t ( input ( ’ S k r i v 3 4 i f ( a+b ) %2==0: 5 p r i n t ( ’ summen av 6 else : 7 p r i n t ( ’ Summen av

ER

while verdi < 8000: v e r d i = innskudd f o r i i n range ( 1 0 ) : verdi = verdi * vekstfaktor innskudd = innskudd + 1

Løsninger

253

60

TIL 61

62

timer_overtid = f l o a t ( input ( ’ An t a l l timer overtid :

’))

’))

timelønn = f a s t l ø n n /162.5 timelønn_overtid = 1.5* timelønn overtidslønn = timelønn_overtid* timer_overtid bruttolønn = fastlønn + overtidslønn nettolønn = bruttolønn *0.71

p r i n t ( f ’ Ole f å r u t b e t a l t { n e t t o l ø n n } k r o n e r i n e t t o l ø n n ’ )

tall = 3

teller = 0

w h i l e t a l l <= 1 0 0 0 0 0 0 : t a l l = 2* t a l l teller = teller + 1 print ( teller )

RD

1 2 3 4 5 6 7 8

f a s t l ø n n = f l o a t ( i n p u t ( ’ Hva e r den f a s t e månedslønna :

VU

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

G

IN

ER

1 l i s t e = [ 3 0 , 10 , 86 , 68 , 69 , 31 , 77 , 3 , 14 , 23 , 99 , 6 , 66 , 2 , 27 , 84 , 16 , 81 , 99 , 31] 2 3 def s o r t e r ( l i s t e ) : 4 i f l e n ( l i s t e ) <= 1 : 5 return l i s t e 6 else : 7 første = liste [0] 8 venstre = [ ] 9 høyre = [ ] 10 for x in l i s t e [ 1 : ] : 11 i f x <= f ø r s t e : 12 v e n s t r e . append ( x ) 13 else : 14 hø yre . append ( x ) 15 r e t u r n s o r t e r ( v e n s t r e ) + [ f ø r s t e ] + s o r t e r ( hø yre ) 16 17 s o r t e r t = s o r t e r ( l i s t e ) 18 19 p r i n t ( s o r t e r t )

254

Stikkord

TIL

Stikkord algoritme, 114

kombinasjoner, 98

argument, 12

konsoll, 8, 9

avrunding, 19

kvadratrot, 13

bibliotek, 13, 83

likhetstegn, 17

break, 37

likninger, 151

def, 57 derivasjon, 156 desimaltall, 15 diagram, 124 divisor, 70

linjediagram, 124

eksterne data, 136 ekstremalpunkt, 144 elif, 26 evig løkke, 38 f-literal, 19 faktorisering, 71 flytskjema, 25 for-løkke, 40 funksjon, 57 kalle på, 57

append, 51 løpe gjennom, 86 tom liste, 51 løkke, 31 avbryte løkke, 37 Math, 13 Mu, 8

mønstre, 118 nullpunkt, 145 Pandas, 136 primtall, 66 print, 10

ER

feilmelding, 79

liste, 51

RD

VU

CSV-fil, 136

Programiz, 8

programmeringsmiljø, 8

programmeringsspråk, 8 PyCharm, 8

Pythonista, 8 Pyto, 8

farger, 134 koordinatakser, 131

range, 40, 42

rutenett, 133

rekursiv, 118

utsnitt, 130

Replit, 8 return, 58

if, 24, 90 import, 13, 83 innrykk, 27 input, 21 integrasjon, 160 Jupyter Notebook, 8

round, 19 sannsynlighet, 171, 180 simulering, 171 sjekke alle, 102 sortere, 105 spredningsdiagram, 126

G

IN

graf, 124, 142

Stikkord Spyder, 8, 126

255

Trinket, 8

TIL stolpediagram, 128

turtle, 46, 49

strenger, 112

type, 21

størst verdi, 94

variabel, 16

søke, 109

verditabell, 140

tallmønstre, 118

vilkår, 24, 90

tallteori, 29, 64 tekstvindu, 8

Thonny, 8, 126

while-løkke, 31 økonomi, 167

G

IN

ER

RD

VU

terningkast, 171

TIL

G

IN ER

RD VU