h-7-ma

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.1. (Усно.)

5) (x + 3)2;

8) (x + y)2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) (a − b)2; 7) (4 − p)2

32.2. (Усно.) Які з рівностей є правильними:

1) (b − 2)2 = b2 − 22; не правильна

2) (a + 3)2 = a2 + 2 · a · 3 + 32; правильна

3) (x + 5)2 = x2 + x · 5 + 52; не правильна

4) (7 − y)2 = 72 − 2 · 7 · y + y2? правильна

32.3. Які з рівностей є правильними:

1) (a + 7)2 = a2 + 72; не правильна

2) (x − 3)2 = x2 − 2 · x · 3 + 32; правильна

3) (2 − y)2 = 22 − 2 · y + y2; не правильна

4) (b + 3)2 = b2 + 2 · b · 3 + 32? правильна

32.4. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a + m)2 = а2 + 2аm + m2; 2) (b − x)2 = x2 + 2xp + p2; 3) (x + p)2 = b2 – 2bх + x2; 4) (m − y)2 = m2 – 2mу + у2 .

32.5. Піднесіть до квадрата:

1) (b − p)2 = b2 – 2bp + p2; 2) (x + t)2 = х2 + 2xt + t2; 3) (c − a)2 = c2 – 2ca + a2; 4) (y + d)2 = y2 + 2yd + d2

32.6. (Усно.) Подайте

1) (a + 4)2 = а2 + 8а + 16; 2) (x − 3)2 = x2 – 6х + 9; 3) (b + 2)2 = b2 + 4b + 4; 4) (m − 5)2 = m2 – 10m + 25.

32.7. Піднесіть до квадрата:

1) (x − 9)2 = x2 – 18х + 81; 2) (a + 3)2 = а2 + 6а + 9; 3) (10 − m)2 = 100 – 20m + m2; 4) (7 + y)2 = 49 + 14у + y2; 5) (c − 0,2)2 = c2 – 0,4с + 0,04; 6) (0,8 + x)2 = 0,64 + 1,6х + х2 .

32.8. Перетворіть на многочлен:

1) (2x + 5)2 = 4х2 + 20х + 25; 2) (7b − 4)2 = 49b2 – 56b + 16; 3) (10x + 3y)2 = 100x2 + 60ху + 9у2; 4) (9a − 4b)2 = 81а2 – 72ab + 16b2; 5) (1 3x + 3y)2 = 1 9 x2 + 2ху + 9у2; 6) (5m − 0,2t)2 = 25m2 – 2mt + 0,04t2 .

32.9. Перетворіть на многочлен:

1) (a − 3)2 = а2 – 6а + 9; 2) (x + 9)2 = х2 + 18х + 81; 3) (c + 0,3)2 = с2 + 0,6с + 0,09; 4) (2a − 5)2 = 4а2 – 20а + 25; 5) (4y + 3)2 = 16у2 + 24у + 9; 6) (9a − 8b)2 = 81а2 – 144ab + 64b2; 7) (4b + 7a)2 = 16b2 + 56ab + 49а2; 8) (1 2m − 2n)2 = 1 4 m2 – 2mn + 4n2; 9) (0,5p + 2q)2 = 0,25p2 + 2pq + 4q2

32.10. Виконайте дії:

1) (3a + 1)2 − 1 = 9а2 + 6а + 1 – 1 = 9а2 + 6а;

2) 12ab + (2a − 3b)2 =12аb + 4а2 – 12аb + 9b2 = 4а2 + 9b2;

3) (4a + 8)2 − 16(a2 + 4) = 16а2 + 64а + 64 – 16а2 – 64 = 64а;

4) −4y2 + (5x − 2y)2 − 25x2 = –4y2 + 25х2 – 20ху + 4у2 – 25x2 = –20xу.

32.11. Спростіть:

1) 20a + (a − 10)2 = 20а + а2 – 20а + 100 = а2 + 100; 2) (3m + 5)2 − 9m2 = 9m2 + 30m + 25 – 9m2 = 30m + 25;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (x + 4)2 − 8(x + 2) = х2 + 8х+ 16 – 8х – 16 = х2; 4) (2a − 7b)2 − (4a2 + 49b2) = 4а2 – 28аb + 49b2 – 4а2 – 49b2 = –28аb.

32.12. Перетворіть вираз

1) (a − 2)2 + a(a + 4) = а2 – 4а + 4 + а2 + 4а = 2а2 + 4; 2) (b + 1)(b + 2) + (b − 3)2 = b2 + 2b + b + 2 + b2 – 6b + 9 = 2b2 – 3b + 11.

32.13. Спростіть вираз:

1) (m − 5)2 − m(m − 10) = m2 – 10m + 25 – m2 + 10m = 25; 2) (x + 4)2 + (x + 1)(x − 9) = x2 + 8х + 16 + x2 – 9х + х – 9 = 2х2+ 7.

32.14. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 3)2 − x2 = 12;

x2 + 6x + 9 – x2 = 12;

6х= 12 – 9; 6х = 3;

х = 0,5.

Відповідь: 0,5;

32.15. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 4)2 − x2 = 24;

x2 – 8х + 16 – х2 = 24; –

8х = 24 – 16; –

8х = 8;

х = – 1.

Відповідь: –1;

32.16. Заповніть

2х b 4x2 – 4xb + b2 2х 7b 4x2 – 28xb + 49b2

2) (y − 2)2 = y2 − 2y. y2 – 4у + 4 – у2 = –2у; –4у + 2у = –4; –2у = –4; у = 2.

Відповідь: 2.

2) (y + 5)2 = 5y + y2. у2 + 10y + 25 – у2 = 5у; 10y – 5у = –25; 5у = –25; у = –5.

Відповідь: –5.

5a

1) (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404;

2) 412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681;

3) 992 = (100 – 1)2 = 10000 – 200 + 1 = 9801; 4) 3,82 = (4 – 0,2)2 = 16 – 1,6 + 0,04 = 14,44.

32.19. Обчисліть,

1) (40 − 1)2 = 1600 – 80 + 1 = 1521;

2) 892 = (90 – 1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7921;

3) 5012 = (500 + 1)2 = 250000 + 1000 + 1 = 251001;

4) 4,022 = (4 + 0,02)2 = 16 + 0,16 + 0,0004 = 16,1604.

32.20.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(x − y)2, (x + y)2, (−y + x)2, (−x − y)2

1) (y + x)2 = (x + у)2 = (–х – у)2; 2) (y − x)2 = (х – у)2 = (–у + х)2 .

32.21. Подайте у вигляді многочлена:

1) (−p + 5)2 = (–(p – 5))2 = (р – 5)2 = р2 – 10p + 25; 2) (−a − 7)2 = (–(а + 7))2 = (а + 7)2 = a2 + 14а + 49;

3) (−p − 2m)2 = (–(р + 2m))2 = (р + 2m)2 = р2 + 4рm + 4m2; 4) (−3b + c)2 = (–(3b – с))2 = (3b – с)2 = 9b2 – 6bc + с2 .

32.22. Перетворіть на многочлен:

1) (−a + 3)2 = (–(а – 3))2 = (а – 3)2 = а2 – 6а + 9;

2) (−b − 5)2 = (–(b + 5))2 = (b + 5)2 = b2 + 10b + 25;

3) (−4m + p)2 = (–(4b – р))2 = (4b – р)2 = 16b2 – 8mp + р2;

4) (−a − 3b)2 = (–(а + 3b))2 = (а + 3b)2 = а2 + 6аb + 9b2 .

32.23. Перетворіть на многочлен:

1) (−9b + 4m)2 = (–(9b – 4m))2 = (9b – 4m)2 = 81b2 – 72bm + 16m2;

2) (−7a − 10b)2 = (–(7а + 10b))2 = (7а + 10b)2 = 49а2 + 140аb + 100b2;

3) (−0,5m − 0,4p)2 = (–(0,5m + 0,4р))2 = (0,5m + 0,4р)2 = 0,25m2 + 0,4рm + 0,16р2;

4) (−11 2x + 6y)2 = (–(–11 2 x – 6y))2 = (3 2 x – 6y)2 = 9 4 x2 – 18xy + 36y2;

5) (0,04p − 50q)2 = 0,0016р2 – 4рq – 2500q2;

6) (−0,25c − 0,2d)2 = (–(0,25с + 0,2d))2 = (0,25с + 0,2d)2 = 0,0625с2 + 0,1сd + 0,04d2 .

32.24. Подайте у вигляді многочлена:

1) (−3a + 5x)2 = (–(3а – 5х))2 – (3а – 5х)2 = 9а2 – 30а + 25х2;

2) (−8x − 5y)2 = (–(8х + 5y))2 = (8х + 5у)2 = 64х2 + 80хy + 25у2;

3) (−4b − 0,5y)2 = (–(4b + 0,5у))2 = (4b + 0,5у)2 = 16b2 + 4bу + 0,25y2;

4) (8x + 1 16y)2 = 64x2 + xy + 1 256y2;

5) (−0,02a − 10b)2 = (–(0,02а + 10b))2 = (0,02а + 10b)2 =0,0004a2 + 0,4аb + 100b2;

6) (−0,15m + 0,1n)2 = (–(0,15m – 0,1n))2 = (0,15m – 0,1n)2 = 0,0225m2 – 0,03mр + 0,01n2 .

32.25. Виконайте дію:

1) (a2 − 9)2 = а4 – 18а2 + 81;

2) (7 − y3)2 = 49 – 14у3 + y6;

3) (2a + c4)2 = 49а2 + 14ас4 + с8;

4) (−5a + b3)2 = (–(5а – b3))2 = (5а – b3)2 = 25а2 – 10аb3 + b6;

5) (4a2 − 5m3)2 = 16а4 – 40a2m3 + 25m6;

6) (1 3p4 + 9q3)2 = 1 9p8 + 6p4q3 + 81q6.

32.26. Піднесіть до квадрата:

1) (a2 + 2a)2 = a4 + 4a3 +4a2;

2) (1 4 m3 − 12m)2 = 1 16 m6 – 6m4 + 144m2;

3) (11 3p7 + 3p2)2 = (4 3p7 + 3p2)2 = 16 9 p14 + 8p9 + 9p4;

4) (7ab − 2b3)2 = 49a2b2 – 28ab4 + 4b6;

5) (10p6 + 1 2p4a3)2 = 100p12+ 10p10a3 + 1 4p8a6;

6) (0,2m2n + 15m3n4)2 = 0,04m4n2 + 6m5n5 + 225m6n8

32.27. Подайте

1) (b7 − 5)2 = b14 – 10b7 + 25;

2) (a3 + 2b4)2 = a6 + 4a3b4 + 4b8;

3) (8x6 − 1 4x2)2= 64x12 – 4x8 + 1 16x4;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) (6m3 + 11 6m5)2 = (6m3 + 7 6m5)2 = 36m6 + 14m8 + 49 36 m10;

5) (7a2 + 8ap3)2 = 49a4 + 112a3p3 + 64a2p6;

6) (1 2 b2m3 − 1 3 b3m2)2 = 1 4 b4m6 –1 3 b5m5 + 1 9 b6m4.

32.28. Спростіть вираз:

1) (3a − 4b)2 − (3a + 4b)2 = 9a2 – 24ab + 16b2 – (9a2 + 24ab + 16b2) = = 9a2 – 24ab + 16b2 – 9a2 – 24ab – 16b2 = –48ab; 2) (2a + 3b)2 + (a − 6b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 + (a2 – 12ab + 36b2) = = 4a2 + 12ab + 9b2 + a2 – 12ab + 36b2 = 5a2 + 45b2;

3) a(2a − 1)2 − 4a(a + 5)2 = a(4a2 – 4a + 1) – 4a(a2 +10a + 25) = = 4a3 – 4a2 + a – 4a3 – 40a2 – 100a = –44a2 – 99a; 4) 12m2 − 3(2m − n)2 − 12mn = 12m2 – 3(4m2 – 4mn + n2) – 12mn = = 12m2 – 12m2 + 12mn – 3n2 – 12mn = –3n2.

32.29. Виконайте дії:

1) (7a + 9b)2 − (7a − 9b)2 = 49a2 + 126ab + 81b2 – (49a2 – 126ab + 81b2) = = 49a2 + 126ab + 81b2 – 49a2 + 126ab – 81b2 = 252ab;

2) (10a − 3b)2 + (6a + 5b)2 = 100a2 – 60ab + 9b2 + 36a2 + 60ab + 25b2 = 136a2 + 34b2;

3) 18x2 − 12xy − 2(3x − y)2 = 18x2 – 12ху – 2(9х2 – 6ху + у2) = = 18x2 – 12xу– 18x2 + 12ху – 2y2 = –2у2;

4) a(9a − 1)2 − 81a(a − 2)2 = a(81a2 – 18a + 1) – 81a(a2 – 4a + 4) = = 81a3 – 18a2 + a – 81a3 + 324a2 – 324a = 306a2 – 323a.

32.30. Які

«зірочки», щоб утворилася тотожність: 1) (b + 2a)2 = b2 + 4ab + 4a2; 2) (2b – 3)2 = 4b2 – 12b + 9 = 4b2 + 9 – 12b; 3) (3a4 + 5)2 = 9a8 + 30a4 + 25; 4) (5x2 – 3m) = 25x4 – 30x2m + 9m2.

32.31. Замініть «зірочку»

тотожність: 1) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49; 2) (4p3 + 3)2 = 16p6 + 24р3 + 9 = 16p6 + 9 + 24p3.

32.32. Подайте

1) (x − 2)(x + 1)2 = (х – 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2х2 + х – 2x2 – 4x – 2 = x3 – 3x – 2; 2) (x + 1)(x − 5)2 = (x + 1)(x2 – 10x + 25) = x3 – 10x2 + 25x + x2 – 10x + 25 = = x3 – 9х2 + 15x + 25.

32.33. Доведіть тотожність:

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2); 2) m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn. (m + n)2 – 2mn = m2 + 2mn + n2 – 2mn = m2 + n2.

32.34. Доведіть тотожність:

1) −4ab = (a − b)2 − (a + b)2; (a – b)2 – (a + b)2 = a2 – 2ab + b2 – a2 – 2ab – b2 = –4ab; 2) (x − y)2 + 2xy = x2 + y2 (x – y)2 + 2xy = х2 – 2xy + y2 + 2xy = x2 + y2.

32.35. Розв’яжіть рівняння:

1) (3x − 4)2 − (3x + 2)2 = −24; 9x2 – 24x + 16 – 9x2 – 12x – 4 = –24; –36x = –24 – 12; –36x = –36; x = 1.

Відповідь: 1;

2) (2x − 3)2 + (1 − x)(9 + 4x) = 18. 4x2 – 12x + 9 + 9 + 4x2 – 9x – 4x2 = 18; –17x = 18 – 18; –17x = 0; x = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.36. Розв’яжіть рівняння: 1) x(x − 2) − (x + 5)2 = −1; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = –1; –12x = –1 + 25; –12x = 24; x = –2.

Відповідь: –2;

2) (2y − 7)2 + (5 − 4y)(y − 7) = 3(y − 6).

4y2 – 28у + 49 + 5y – 35 – 4у2 + 28y = 3у – 18; 5y + 14 = 3у – 18; 5y – 3y = –18 – 14; 2y = –32; у = –16.

Відповідь: –16.

32.37. Використовуючи малюнок, поясніть геометричний

формули (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для a > 0, b > 0, a > b. (a − b)2

32.38. Спростіть

= (((а2 + 2ab + b2

квадрата; a2, b2

a і b.

2ab)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = = (((а2 + b2)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = ((а4 + 2a2b2 + b

– 2a2b2)2 – 2а

4)2 –

= = ((а4 + b4)2 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = (a8 +2a4b4 + b8 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = = (а8 + b8)2 – 2а8b8 = а16 + 2a8b8 + b16– 2а8b8 = а16 + b16.

32.39. Доведіть формулу скороченого множення для: 1) Куба суми: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .

2) Куба різниці: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (а – b)3 = (а – b)2(а – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) = а3 – а2b – 2а2b + 2ab2 + ab2 – b3 = = а3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .

32.40. Піднесіть до куба за формулами скороченого множення: 1) (2 + a)3 = (а + 2)2(a + 2) = (a2 + 4a + 4)(a + 2) = a3 + 2a2 + 4a2 + 8a + 4a + 8 = = а3 + 6а2 + 12а + 8; 2) (2b − 1)3 = (2b – 1)2(2b – 1) = (4b2 – 4b + 1)(2b – 1) = 8b3 – 4b2 – 8b2 + 4b + 2b – 1 = = 8b3 – 12b2 + 6b – 1.

32.41. Піднесіть до куба: 1) (x − 2)3 = (x – 2)2(x – 2) – (х2 – 4х + 4)(х – 2) = х3 – 2х2 – 4x2 + 8x + 4x – 8 = = x3 – 6x2 + 12х – 8; 2) (1 + 2m)3 = (2m + 1)2(2m + 1) = (4m2 + 4m + 1)(2m + 1) = = 8m3 + 4m2 + 8m2 + 4m + 2m + 1 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1.

32.42. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.43.

2n; 2n + 2; 2n + 4

2n(2n + 2) + 104 = (2n + 2)(2n + 4); 4n2 + 4n + 104 = 4n2 + 8n + 4n + 8; 4n − 8n − 4n = 8 − 104; −8n = −96; n = −96 : (−8); n = 12.

I число: 2n = 24; II число: 2n + 2 = 26; III число: 2n + 4 = 28.

Відповідь: 24; 26; 28.

32.44. Доведіть, що значення виразу: 1) 810 − 89 + 88 кратне числу 152; 810 – 89 + 88 = 88(82 – 8 + 1) = 88 ∙ 57 = 88 ∙ 19 ∙

1) 45 ∙ 30 = 1350 (грн) – вартість бензину;

2) 1350 + 20 = 1370 (грн) – вартість

3) 1500 – 1370 = 130 (грн) – решта.

Відповідь: 130 грн.

32.46. Подайте у вигляді

1) 1 = 12; 2) 9 = 32; 3) 25 = 52; 4) 64 = 82; 5) 100 = 102; 6) 121 = 112; 7) 196 = 142; 8) 900 = 302

32.47. Подайте у вигляді квадрата одночлен: 1) x4 = (х2)2; 2) y8 = (у4)2; 3) m6 = (m3)2; 4) p10 = (p5)2; 5) 16a2 = (4a)2; 6) 49b10 = (7b5)2; 7) m2n4 = (mn2)2; 8) 36c2a2 = (6ca)2 .

32.48. Доведіть, що

+ 2) ділиться на 6. (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2); n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n2 + 2n + n + 2) = n((n2 + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) = = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) це

ділиться і на 6.

-

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.4. Розкладіть на множники: 1) a2 − 6a + 9 = (a − 3)2; 2) 64 + 16b + b2 = (8 + b)2;

3) 0,01m2 + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)2; 4) 1 25 − 2 5p + p2 = (1 5 − p)2; 5) 4m2 − 12m + 9 = (2m − 3)2; 6) 9c2 + 24cd + 16d2 = (3c + 4d)2.

33.5. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена:

1) a2 + 4a + 4 = (a + 2)2; 2) 9m2 − 6m + 1 = (3m − 1)2; 3) b2 − 1,2b + 0,3b = (b − 0,6)2; 4) 1 49 m2 − 2 7m + 1 = (1 7 m − 1)2; 5) 81a2 + 18ab + b2 = (9a + b)2; 6) 25m2 − 60mn + 36n2 = (5m − 6n)2 .

33.6. Обчисліть зручним способом:

1) 362 + 2 · 36 · 14 + 142 = (36 + 14)2 = 502 = 2500; 2) 1172 − 2 · 117 · 17 + 172 = (117 − 17)2 = 1002 = 10000.

33.7. Обчисліть зручним способом:

1) 872 + 2 · 87 · 13 + 132 = (87 + 13)2 = 1002 = 10000; 2) 1372 − 2 · 137 · 47 + 472 = (137 − 47)2 = 902 = 8100.

33.8. Знайдіть значення виразу,

1) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2; Якщо a = 91, то (91 − 1)2 = 902 = 8100.

Якщо a = −19, то (91 − (−19))2 = (91 + 19)2 = 1102 = 12100. 2) 4m2 + 28m + 49 = (2m)2 + 2 ∙ 2m ∙ 7 + 72 = (2m + 7)2. Якщо m = –3,5, то (2m + 7)2 = (2 ∙ (–3,5) + 7)2 = 0. Якщо m = 0, то (2m + 7)2 = (2 ∙ 0 + 7)2 = 49; 3) 16x2 – 40xy + 25y2 = (4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 5y + (5y)2 = (4x – 5y)2.

Якщо x = 5, у = 4, то (4x – 5у)2 = (4 ∙ 5 – 5 ∙ 4)2 = 0.

33.9. Знайдіть значення виразу:

1) a2 + 10a + 25 = (a + 5)2. Якщо a = −15, то (−15 + 5)2 = (−10)2 = 100.

Якщо a = 95, то (95 + 5)2 = 1002 = 10000. 2) 0,01x2 + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)2. Якщо х = 10, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ 10 + 4)2 = 25.

Якщо х = –40, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ (–40) + 4)2 = 0;

3) 4m2 + 28mn + 49n2 = (2m + 7n)2.

Якщо m = –3, n = –1 7, то (2m + 7n)2 = (2 ∙ (–3) + 7 ∙ (–1 7))2 = (–6–1)2 = (–7)2 = 49.

33.10. Перетворіть тричлен у квадрат двочлена:

1) 1 4 m2 + 4n2 + 2mn = 1 4 m2 + 2mn + 4n2 = (1 2m + 2n)2;

2) −10mn + 0,25m2 + 100n2 = 0,25m2 − 10mn + 100n2 = (0,5m − 10n)2;

3) 9p2 + pq + 1 36q2 = (3p + 1 6q)2;

4) m6 + 4n2 − 4m3n = (n3)2 − 4m3n + 4n2 = (n3 − 2n)2; 5) 25m12 + p6 − 10m6p3 = 25m12 − 10m6p3 + p6 = (5m6 − p3)2.

6) 9 64 c6 − 3dc5 + 16d2c4 = (3 8c3)2 − 3dc5 + (4dc2)2 = (3 8 c3 − 4dc2)2.

33.11. Розкладіть на множники:

1) 1 9 a4 + 9b2 + 2a2b = (1 3a2)2 + 2a2b + (3b)2 = (1 3 a2 + 3b)2;

2) −6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = (0,4a2)2 − 6,4a2y4 + (8y4)2 = (0,4a2 − 8y4)2; 3) 16m20 + n12 − 8m10n6 = (4m10)2 − 8m10n6 + (n6)2 = (4m10 – n6)2; 4) 6a4b2 + a6 + 9a2b4 = (a3)2 + 6a4b2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2.

33.12.

тричлен у

квадрата двочлена:

1) −1 + 4x − 4x2 = −(1 − 4x + 4x2) = −(1 − 2x)2; 2) −40a + 25a2 + 16 = 25a2 − 40a + 16 = (5a − 4)2;

3) 24xy − 9x2 − 16y2 = −(9x2 − 24xy + 16y2) = −(3x − 4y)2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) −140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 − 140x3y + 49y2 = (10x3 − 7y)2;

5) 4pq − 25p2 − 0,16q2 = −(25p2 − 4pq + 0,16q2) = (5p − 0,4q)2;

6) −0,64m6 − 1,6m3n2 − n4 = −(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = −(0,8m3 + n2)2.

33.13. Подайте

квадрата двочлена:

1) −9 − 30x − 25x2 = −(9 + 30x + 25x2) = −(3 + 5x)2;

2) −36b + 81b2 + 4 = 4 − 36b + 81b2 = (2 − 9b)2;

3) 42xy − 49x2 − 9y2 = −(49x2 − 42xy + 9y2) = −(7x − 3y)2; 4) −0,36a4 − 25b6 + 6a2b3 = −(0,36a4 − 6a2b3 + 25b6) = −(0,6a2 − 5b3)2.

33.14. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 10x + 25 = 0;

(x − 5)2 = 0;

x − 5 = 0; x = 5.

Відповідь: 5.

3) 9x2 + 1 = −6x; 9x2 + 6x + 1 = 0; (3x + 1)2 = 0;

3x + 1 = 0;

3x = −1;

x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

33.15. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 + 16x + 64 = 0;

(x + 8)2 = 0;

x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: −8.

3) 4x2 + 9 = −12x; 4x2 + 9 + 12x = 0; (2x + 3)2 = 0;

2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: −1,5.

1) * − 2mn + n2 = m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

2) 64y2 + 16y + 1 = 0; (8y + 1)2 = 0; 8y + 1 = 0; 8y = −1;

y = − 1 8 .

Відповідь: − 1 8 .

4) 16y2 − 56y = −49; 16y2 − 56y + 49 = 0; (4y − 7)2 = 0; 4y − 7 = 0; 4y = 7;

y = 7 4 = 1,75.

Відповідь: 1,75.

2) 36x2 − 12x + 1 = 0; (6x − 1)2 = 0; 6x − 1 = 0; 6x = 1;

x = 1 6 .

Відповідь: 1 6 .

4) x2 = 0,4x − 0,04; x2 − 0,4x + 0,04 = 0; (x − 0,2)2 = 0; x − 0,2 = 0; x = 0,2.

Відповідь: 0,2.

2) 25a2 + 20a + * = 25a2 + 2 · 2 · 5 · a + 4 = (5a + 2)2;

3) 64m2 + * + 49b2 = 64m2 + 112mb + 49b2 = (8m + 7b)2;

4) * −12mb3 + 9b2 = 4m6 − 12bm3 + 9b2 = (2m3 − 3b)2;

5) p2 −0,8p7 + * = p2 − 0,8p7 + 0,16p12 = (p − 0,4p6)2;

6) * + a2b2 + 1 4 a4 = b4 + a2b2 + 1 4 a4 = (1 2 a2 + b2)2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.17.

1) * − 28x + 49 = * − 2 · 7 · x · 2 + 72 = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2; 2) 64a2 − 16a + * = (8a)2 − 2 · 8a + 1 = (8a − 1)2; 3) 25a2 + * + 1 25 b6 = (5a)2 + 2ab3 + (1 5 b3)2 = (5a + 1 5 b3)2; 4) 0,01a8 + 100b6 + * = (0,1a4)2 + * + (10b3)2 = 0,01a8 + 2a4b3 + 100b6 = (0,1a4 + 10b3)2

33.18. Розкладіть

1) (x − 2)2 + 2(x − 2) + 1 = (x − 2 + 1)2 = (x − 1)

≤ 0;

3) −x2 − 8x + 16 і 0; −(x2 − 8x + 16) = −(x + 4)2 ≥ 0; 4) 36 − 12x + x2 і 0; 36 − 12x + x2 і 0 = (6 − x)2 ≥ 0. 33.22.

-

x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)2 +

x2 + 4x + 5

(x2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)2 + 2

1) * − 48xy + *;

36x2 − 48xy + 16y2 = (6x − 4y)2; 9x2 − 48xy + 64y2 = (3x − 8y)2; 144x2 − 48xy + 4y2 = (12x − 2y)2; 2) * + 20ab + *; 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a + 5b)2; 100a2 + 20ab + b2 = (10a + b)2; 1 4 a2 + 20ab + 400b2 = (1 2a + 20b)2 .

33.25. Подайте

1) x2 − 3x + 9, неможливо; 2) 49a2 − 140ab + 100b2 = (7a − 10b)2; 3) 4a2 − 9b2 − 12ab, неможливо; 4) 16y2 + 8y − 1, неможливо; 5) 1 16 x2 + 1 40xy + 1 25y2, неможливо. 6) −xy + 1 16y2 + 4x2 = (1 4y − 2x)2 .

33.26. Для яких значень x: 1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший за квадрат двочлена x – 3; (x + 2)2 = (x − 3)2 + 225; x2 + 4x + 4 = x2 − 6x + 9 + 225; 4x + 6x = 225 + 9 − 4; 10x = 230; x = 230 : 10; x = 23.

Відповідь: 23.

2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази більший за

x + 3? (2x – 6)2 = 4(x + 3)2; 4x2 – 24х + 36 = 4(х2 + 6х + 9);

4х2 – 24х + 36 = 4x2 + 24х + 36; 4х2 – 24х – 4х2 – 24х = 36 – 36; –48х = 0; х = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.27. Спростіть вираз: 1) (m − 2)(m + 3)(m − 5) = (m2 + 3m − 2m − 6) (m − 5) = (m2 + m – 6)(m – 5) = = m3 − 5m2 + m2 − 5m − 6m + 30 = m3 − 4m2 − 11m + 30; 2) (p2 + 1)(p8 – p6 + p4 – p2 + 1) = p10 − p8 + p6 − p4 + p2 + p8 – p6 + p4 – p2 + 1 = p10 + 1.

33.28. Щосереди

ліків становить 580 грн?

580 ∙ 0,15 = 87 (грн) – заощадить пенсіонер.

Відповідь: 87 грн.

33.29. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (х – 3)(х + 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9; 2) (у + 2)(у – 2) = y2 – 2y + 2y – 4 = y2 – 4; 3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m + m – m2 = 1 – m2; 4) (4 – а)(4 + а) = 16 + 4a – 4a – a2 = 16 – a2

33.30. Є піскові годинники двох

34.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) (a − c)(a + c) = a2 − с2, тотожність; 2) (m + p)(m − p) = m2 + p2, ні; 3) (y − x)(y + x) = (y − x)2 ні; 4) (d + n)(d − n) = n2 − d2, ні.

34.2. Закінчіть запис: 1) (c − 5)(c + 5) = c2 − 52 = с2 − 25; 2) (b + 7)(b − 7) = b2 − 72 = b2 − 49.

34.3. Знайдіть добуток: 1) (c − d)(c + d) = c2 – d2; 2) (p + a)(p − a) = р2 – a2.

34.4. Виконайте множення двочленів: 1) (b + t)(b − t) = b2 – t2; 2) (a − t)(a + t) = a2 – t2.

34.5. Виконайте множення: 1) (p − 9)(p + 9) = p2 − 81; 2) (5 + x)(5 − x) = 25 − x2; 3) (3 − c)(3 + c) = 9 − c2; 4) (7 + y)(y − 7) = y2 − 49.

34.6. Перетворіть на многочлен: 1) (m − 2)(m + 2) = m2 − 4; 2) (7 + a)(7 − a) = 49 − a2; 3) (4 − x)(4 + x) = 16 − x2; 4) (11 + b)(b − 11) = b2 − 121.

34.7. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9; 2) (3p + 8)(3p − 8) = 9p2 − 64; 3) (4 + 5a)(5a − 4) = 25a2 − 16; 4) (3m − 4p)(4p + 3m) = 9m2 − 16p2; 5) (7a + 10b)(10b − 7a) = 100b2 − 49a2; 6) �1 4 p 1

+

1 49 ����² .

34.8. Виконайте множення: 1) (p − 2m)(p + 2m) = p2 − 4m2 . 2) (2p + 7)(2p − 7) = 4p2 − 49; 3) (2c + 5)(5 − 2c) = 25 − 4c2; 4) (8a − 0,3x)(0,3x + 8a) = 64a2 − 0,09x2; 5) (0,1p + q)(q − 0,1p) = q2 − 0,01p2; 6) �2 7 a 3 5 b� �2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3a b (3a – b)(3a + b) 9a2 – b2 5m 2n (5m – 2n)(5m + 2n) 25m2 – 4n2

7 c 1 3 d

34.10. Виконайте дії: 1) 16 + (3a + 4)(3a − 4) = 16 + (9a2 − 16) = 16 + 9a2 − 16 = 9a2; 2) (5m − 3)(5m + 3) − 25m2 = 25m2 − 9 − 25m2 = −9m2 .

34.11. Спростіть вираз: 1) (8x − 5)(8x + 5) + 25 = 64x2 − 25 + 25 = 64x2; 2) 9m2 + (5 − 3m)(5 + 3m) = 9m2 + (25 − 9m2) = 25; 3) (2b − 3)(2b + 3) − 4b2 = 4b2 − 9 − 4b2 = −9; 4) (4a + 7)(7 − 4a) − 49 = 49 − 16a2 − 49 = −16a2 .

34.12. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x = (2x − 3)(2x + 3) − 4x2; 3x = 4x2 − 9 − 4x2; 3x = −9; x = −9 : 3; x = −3.

Відповідь: −3.

34.13. Знайдіть корені рівняння:

1) 8x = (5x − 4)(5x + 4) − 25x2; 8x = 25x2 − 16 − 25x2; 8x = −16; x = −16 : 8; x = −2.

Відповідь: −2.

34.14. Обчисліть зручним способом:

2) 9x2 + (8 − 3x)(8 + 3x) = 4x; 9x2 + 64 − 9x2 = 4x; 4x = 64; x = 64 : 4; x = 16.

Відповідь: 16.

2) (9 − 4x)(9 + 4x) + 16x2 = 3x; 81 − 16x2 + 16x2 = 3x; 3x = 81; x = 81 : 3; x = 27.

Відповідь: 27.

1) (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599. 2) 81 · 79 = (80 + 1)(80 − 1) = 6400 − 1 = 6399; 3) 1002 · 998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996; 4) 1,03 · 0,97 = (1 + 0,03)(1 − 0,03) = 12 − 0,032 = 1 − 0,0009 = 0,9991.

34.15.

1) (80 + 2)(80 − 2) = 802 − 22 = 6400 − 4 = 6396;

2) 59 · 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 602 − 12 = 3600 − 1 = 3599;

3) 108 · 92 = (100 + 8)(100 − 8) = 1002 − 82 = 10000 − 64 = 9936;

4) 12,3 · 11,7 = (12 + 0,3)(12 − 0,3) = 122 − 0,32 = 144 − 0,09 = 143,91

34.16. Подайте

1) (p2 + 3q)(3q − p2) = (3q)2 − (p2)2 = 9q2 − p4;

2) (2a − m3)(m3 + 2a) = (2a)2 − (m3)2 = 4a2 − m6;

3) (5a − b2)(b2 + 5a) = (5a)2 − (b2)2 = 25a2 − b4;

4) (0,7m + n2)(0,7m − n2) = (0,7m)2 − (n2)2 = 0,49m2 − n4;

5) (4t2 − p4)(4t2 + p4) = 16t4 − p8;

6) (3a3 − 4b4)(3a3 + 4b4) = (3a3)2 − (4b4)2 = 9a6 − 16b8

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.17. Виконайте множення:

1) (1,7a − 1,4p3)(1,4p3 + 1,7a) = 2,89a2 − 1,96p6;

2) (3a2 − 1 4 b3)( 1 4 b3 + 3a2) = (3a2 − 1 4 b3)(3a2 + 1 4 b3) = 9a4 − 1 16 b6;

3) (5m2n + 1 7p3)(1 7p3 – 5m2n) = (1 7p3 + 5m2n)( 1 7p3 – 5m2n) = 1 49p6 – 25m4n2;

4) (2 3 a7 + 1,2y8)(1,2y8 − 2 3a7) = (1,2y8 + 2 3 a7)(1,2y8 − 2 3 a7) = 1,44y16 − 2 3 a14 .

34.18. Виконайте множення:

1) (5a + b2)(b2 − 5a) = (b2)2 − (5a)2 = b4 − 25a2;

2) (4a3 − d2)(d2 + 4a2) = (4a3)2 − (d2)2 = 16a6 – d4;

3) (0,7p – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7p)2 − (m7)2 = 0,49p2 – m14;

4) (1 5 m2 + 3b7)(3b7 − 1 5 m2) = (3b7)2 – (1 5m2)2 = 9b14 –1 25m4;

5) (0,2a2b − 0,3ab2)(0,2a2b + 0,3ab2) = (0,2a2b)2 − (0,3ab2)2 = 0,04a4b2 − 0,09a2b4;

6) (1,2p7 − 2 3a8)( 2 3 a8 + 1,2p7) = (1,2p7)2 – (2 3a8)2 = 1,44p14 4 9 a16

34.19. Подайте у

1) (−a2 + 7)(7 + a2) = 72 − (a2)2 = 49 − a4; 2) (−p2 − q7)(p2 − q7) = −(p2 + q7)(p2 − q7) – ((p2)2 − (q7)2) = −(p4 − q14) = q14 – p4; 3) (−8m − 5p)(−8m + 5p) = (5p − 8m)(−8m − 5p) = (8m − 5p)(8m + 5p) = = (8m)2 − (5p)2 = 64m2 − 25p2; 4) (−2a3 − 3b)(−3b + 2a3) = −(2a3 + 3b)(2a3 − 3b) = (3b − 2a3)(2a3 + 3b) = = (3b)2 − (2a3)2 = 9b2 − 4a6.

34.20. Спростіть вираз:

1) (a − b)(a + b)(a2 + b2) = (a2 − b2)(a2 + b2) = (a2)2 − (b2)2 = a4 − b4; 2) (2a + x)(4a2 + x2)(2a − x) = ((2a)2 − x2)(4a2 + x2) = (4a2 − x2)(4a2 + x2) = = (4a2)2 − (x2)2 = 16a4 − x4; 3) (c3 + d2)(c3 – d2)(d4 + c6) = ((c3)2 − (d2)2)(d4 + c6) = (c6 − d4)(d4 + c6) = (c6)2 − (d4)2 = c12 − d8; 4) (−x − y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = = −(x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x4 − y4)(x4 + y4) = (y4 – x4)(x4 + y4) = (y4)2 − (x4)2 = y8 − x8 .

34.21. Перетворіть на многочлен:

1) (−a7 + b5)(a7 + b5) = (b5 − a7)(a7 + b5) = (b5)2 − (a7)2 = b10 − a14; 2) (−0,1m3 − p4)(0,1m3 − p4) = − (0,1m3 + p4)(−0,1m3 − p4) = (p4 − 0,1m3)(0,1m3 + p4) = = (p4)2 – (0,1m3)2 = p8 – 0,01m6; 3) (3x − 2p)(3x + 2p)(9x2 + 4p2) = (9x2 − 4p2) (9x2 + 4p2) = 81x4 − 16p4; 4) (−a2 − 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = −(a2 + 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = = −(a4 − 25b3)(a4 + 25b3) = (25b3 – a4)(a4 + 25b3) = (25b3)2 – (a4)2 = 625b6 – a8.

34.22. Замість «зірочок» запишіть такі

щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 7b)(2a − 7b) = 4a2 − 49b2; 2) (0,5m2 − 9p)(0,5m2 + 9p) = 0,25m4 − 81p2; 3) 100a8 − 9b6 = (10a4 + 3b3)(10a4 − 3b3); 4) (4x − 3y)(4x + 3y) = 16x2 − 9y2 .

34.23. Знайдіть корені рівняння: 1) 8x(1 + 2x) − (4x + 1)(4x − 1) = 17; 8x + 16x2 − (16x2 − 1) = 17; 8x + 16x2 − 16x2 + 1 = 17; 8x = 17 − 2; 8x = 16; x = 16: 8; x = 2.

Відповідь: 2.

2) x − 12x(1 − 3x) = 14 − (5 − 6x)(6x + 5); x − 12x + 36x2 = 14 − (25 − 36x2); x − 12x + 36x2 = 14 − 25 + 36x2; −11x = −11; x = −11: (−11); x = 1.

Відповідь: 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (4x + 1)(4x − 1) + (2x − 3)2 = 5x(4x − 11); 16x2 − 1 + 4x2 − 12x + 9 = 20x2 − 55x;

−12x + 55x = 1 − 9; 43x = −8;

x = −8 : 43;

Відповідь: 8 43 .

34.24. Розв’яжіть рівняння:

1) 5x(4x − 1) − (6x − 1)(6x + 1) = (4x + 3)(3 − 4x);

20x2 − 5x − (36x2 − 1) = 9 − 16x2;

20x2 − 5x − 36x2 + 1 = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 16x2 = 9 − 1;

−5x = 8;

x = 8 : (−5);

x = −1,6.

Відповідь: −1,6.

2) (3x − 4)(3x + 4) − (5x − 2)(5x + 2) = 2x(1 − 8x);

9x2 − 16 − (25x2 − 4) = 2x − 16x2;

9x2 − 16 − 25x2 + 4 = 2x − 16x2;

−2x = 16 – 4;

−2x = 12;

x = 12 : (−2);

x = −6.

Відповідь: −6.

3) (5x − 4)2 − 2x(8x − 5) = (3x − 2)(3x + 2);

25x2 − 40x + 16 − 16x2 + 10x = 9x2 − 4;

9x2 − 40x − 9x2 + 10x = −16 − 4;

−30x = −20;

x = −20 : (−30);

x = 2 3

Відповідь: 2 3 .

34.25. Спростіть вираз:

1) (a + 3)2 − (a + 3)(a − 3) = a2 + 6a + 9 − (a2 − 9) = a2 + 6a + 9 − a2 + 9 = 6a + 18; 2) (8x − 3y)(8x + 3y) − (3x − 8y)2 = 64x2 − 9y2 − (9x2 − 48xy + 64y2) = = 64x2 − 9y2 − 9x2 − 48xy + 64y2 = 55x2 + 48xy − 73y2; 3) (b − 3)2(b + 3)2 = ((b − 3)(b + 3))2 = (b2 9)2 = b4 − 18b2 + 81; 4) (a + 5)2(5 − a)2 = ((5 − a)(a + 5))2 = (25 − a2)2 = 625 − 50a2 + a4.

34.26. Спростіть вираз: 1) (c − 2)2 − (c − 3)(c + 3) = c2 − 4c + 4 − (c2 − 9) = c2 − 4c + 4 − c2 + 9 = −4c + 13; 2) (9x − 2y)(9x + 2y) − (5x − 2y)2 = 81x2 − 4y2 − (25x2 − 20xy + 4y2) = = 81x2 − 4y2 − 25x2 + 20xy − 4y2 = 56x2 − 8y2 + 20xy; 3) (a + 6)2(a − 6)2 = ((a + 6)(a − 6))2 = (a2 − 36)2 = a4 − 72a2 + 1296; 4) (2 − m)2(2 + m)2 = ((2 − m)(2 + m))2 = (4 − m2)2 = 16 − 8m2 + m4.

34.27. Доведіть, що квадрат

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.28. Виконайте

1) ((x + y) + 1)((x + y) − 1) = (x + y)2 − 12 = x2 + 2xy + y2 − 1; 2) (a + b + c)(a − (b + c)) = a2 − (b + c)2 = a2 − b2 − 2bc − c2; 3) (m + n + 2p)(m + n − 2p) = (m + n)2 − (2p)2 = m2 + 2mn +

(x

заасфальтувати ділянку площею 15х м2, а заасфальтували 18(х − 2) м2 .

Рівняння: 15х = 18(х − 2) + 12;

15х = 18х − 36 + 12;

15х − 18х = −36 + 12;

−3х = −24;

х = −24 : (−3);

х = 8.

8 годин мали асфальтувати ділянку площею 15 · 8 = 120 (м2). Відповідь: 8 годин; 120 м2 . 34.31.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

35.1. (Усно.)

рівностей є тотожностями:

1) c2 − d2 = (c − d)(c − d), не тотожність; 2) p2 − t2 = (p + t)(p − t), тотожність; 3) a2 + b2 = (a + b)(a + b), не тотожність;

4) 32 − b2 = (3 − b)(3 + b), тотожність.

35.2. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) a2 − 1 = (a − 1)(a + 1); 2) 4 − m2 = (2 − m)(2 + m).

35.3. Доберіть замість пропусків такий

1) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1); 2) 9 − c2 = (3 − c)( 3 + c).

35.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) a2 − 4 = (a − 2)(a + 2); 2) 36 − b2 = (6 − b)(6 + b); 3) 4x2 − 25m2 = (2x − 5m)(2x + 5m); 4) x2y2 − 1 = (xy − 1)(xy + 1).

35.5. Подайте многочлен у

1) a2 − 25 = (a − 5)(a + 5); 2) 16 − p2 = (4 − p)(4 + p);

3) d2 − 1,44 = (d − 1,2)(d + 1,2); 4) 0,09 − m2 = (0,3 − m)(0,3 + m);

5) b2 − 4 9= (b − 2 3)(b + 2 3); 6) 25 36 − c2 = (5 6− c)(5 6+ c).

35.6. Розкладіть на множники:

1) 36a2 − b2 = (6a − b)(6a + b);

2) −a2 + b2 = b2 − a2 = (b − a)(b + a);

3) 49x2 − 64 = (7x − 8)(7x + 8);

4) 9m2 − 16n2 = (3m − 4n)(3m + 4n);

5) −100m2 + 121k2 = 121k2 − 100m2 = (11k − 10m)(11k + 10m);

6) 0,25 − a2b2 = (0,5 − ab)(0,5 + ab);

7) 16m2a2 − 0,01 = (4ma − 0,1)(4ma + 0,1);

8) p2 − c2d2 = (p − cd)(p + cd);

9) 81p2m2 − n2 = (9pm − n)(9pm + n).

35.7. Подайте

1) a2 − 64 = (a − 8)(a + 8);

2) 0,25 − b2 = (0,5 − b)(0,5 + b);

3) −81 + 36x2 = (6x − 9)(6x + 9);

4) 169p2 − q2 = (13p − q)(13p + q);

5) 400a2 − 25m2 = (20a − 5m)(20a + 5m);

6) 49a2b2 − 16 = (7ab − 4)(7ab + 4);

7) 900 – a2b2 = 302 – (ab)2 = (30 – ab)(30 + ab);

8) c2d2 – 4m2 = (cd)2 – (2m)2 = (cd – 2m)(cd + 2m);

9) 100a2b2 – 0,16m2 = (10ab)2 – (0,4m)2 = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m).

35.8. Обчисліть, застосовуючи

1) 672 − 572 = (67 − 57)(67 + 57) = 1240;

2) 432 − 532 = (43 − 53)(43 + 53) = 960;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 1122 − 882 = (112 + 88)(112 − 88) = 200 · 24 = 4800;

4) 21,52 − 21,42 = (21,5 − 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 · 42,9 = 4,29;

5) 0,7252 − 0,2752 = (0,725 − 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,45 · 1 = 0,45; 6) (52 3)2 − (41 3)2 = (52 3 − 41 3)(52 3 + 41 3) = 11 3 · 10 = 4 3 · 10 = 40 3

35.9. Обчисліть зручним способом:

1) 432 − 332 = (43 − 33)(43 + 33) = 10 · 76 = 760; 2) 272 − 372 = (27 − 37)(27 + 37) = −10 · 64 = −640;

3) 0,972 − 0,032 = (0,97 − 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 · 1 = 0,94.

35.10. Знайдіть значення виразу x2 − y2 ,

1) Якщо x = 55, y = 45, то (x − y)(x + y) = (55 − 45)(55 + 45) = 10 · 100 = 1000; 2) Якщо x = 2,01; y = 1,99, то (x − y)(x + y) = (2,01 − 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 · 4 = 0,08.

35.11. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 4; −4.

3) y2 − 0,25 = 0;

(y − 0,5)(y + 0,5) = 0; y − 0,5 = 0; y = 0,5

або y + 0,5 = 0; y = −0,5.

Відповідь: 0,5; −0,5.

35.12. Знайдіть корені рівняння:

1) x2 − 36 = 0;

(x − 6)(x + 6) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 6; −6.

3) 0,49 − x2 = 0;

(0,7 − x)(0,7 + x) = 0; 0,7 − x = 0; x = 0,7 або 0,7 + x = 0; x = −0,7.

Відповідь: 0,7; −0,7.

35.13. Розкладіть на множники:

1) c4 − m6 = (c2)2 − (m3)2 = (c2 − m3)(c2 + m3);

2) p8 − a10 = (p4)2 − (a5)2 = (p4 − a5)(p4 + a5);

2) 1 9 − x2 = 0; (1 3 − x)(1 3 + x) = 0; 1 3 − x = 0; −x = −1 3; x = 1 3;

або 1 3 + x = 0; x = −1 3 .

Відповідь: 1 3; − 1 3 .

4) 4x2 − 9 = 0; (2x − 3)(2x + 3) = 0; 2x − 3 = 0; 2x = 3; x = 1,5;

або 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: 1,5; −1,5.

2) y2 − 1 16= 0; (y − 1 4)(y + 1 4) = 0; y = 1 4 або y = −1 4 .

Відповідь: 1 4; − 1 4 .

4) 64y2 − 49 = 0; (8y − 7)(8y + 7) = 0; 8y − 7 = 0; 8y = 7; y = 7 8;

або 8y + 7 = 0; 8y = −7; y = −7 8

Відповідь: 7 8; − 7 8

3) a6 − 9m4 = (a3)2 − (3m2)2 = (a3 − 3m2)(a3 + 3m2);

4) 100a6 − 25x8 = (10a3 − 5x4)(10a3 + 5x4);

5) 0,49 – m4p12 = (0,7)2 − (m2p6)2 = (0,7 – m2p6)(0,7 + m2p6);

6) 36x2c14 − 0,16d4 = (6xc7)2 − (0,4d2)2 = (6xc7 − 0,4d2)(6xc7 + 0,4d2);

7) 25 49 a8 − 36 49 b6c2 = (5 7a4)2 − (6 7 b3c)2 = (5 7 a4 − 6 7 b3c)(5 7 a4 + 6 7 b3c);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) −0,01m2 + 0,81x6y8 = (0,9x3y4)2 − (0,1m)2 = (0,9x3y4 − 0,1m)(0,9x3y4 + 0,1m);

9) 17 9 t20a24 – 111 25 p16q18 = 16 9 t20a24 − 36 25p16q18 = (4 3 t10a12)2 − (6 5p8q9)2 = = (4 3 t10a12 − 6 5p8q9)( 4 3 t10a12 + 6 5p8q9).

35.14. Розкладіть на множники:

1) a8 − 16m6 = (a4 − 4m3)(a4 + 4m3);

2) 36c6 − 49a10 = (6c3 − 7a5)(6c8 + 7a5); 3) 0,25 − m12a2 = (0,5)2 − (m6a)2 = (0,5 − m6a)(0,5 + m6a);

4) −121p8c4 + 4a2 = (2a)2 − (11p4c2)2 = (2a − 11p4c2)(2a + 11p4c2);

5) 25 36 a2b4 + 36 49 c6 = 36 49 c6 − 25 36 a2b4 = (6 7c3)2 − (5 6 ab2)2 = (6 7 c3 − 5 6 ab2)(6 7 c3 + 5 6 ab2);

6) 21 4 a2b8 − 1 9 16p6c18 = 9 4 a2b8 − 25 16p6c18 = (3 2 ab4)2 − (5 4p3c9)2 = (3 2 ab

1)

1) (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x + 4 − 1 = x2 + 4x + 3;

2) 4 − (y + 3)2 = 4 – y2 − 6y − 9 – y2 − 6y − 5; 3) (4m − 5)2 − 16 = 16m2 − 40m + 25 − 16 = 16m2 − 40m + 9; 4) 6,25 − (a − 3,5)2 = 6,25 − (a2 − 7a + 12,25) = = 6,25 – a2 + 7a − 12,25 = − 6 – a2 + 7a;

5) (2x − 5)2 − 49 = 4x2 − 20x + 25 − 49 = 4x2 − 20x − 24;

6) 1 − (2x + 1)2 = 1 − (4x2 + 4x + 1) = 1 − 4x2 – 4x – 1 = − 4x2 − 4x.

35.17. Розкладіть на множники:

1) 16x2 − (1 + 3x)2 = (4x − (1 + 3x)) · (4x + (1 + 3x)) = (4x − 1 − 3x)(4x + 1 + 3x) = = (x − 1)(2x + 1);

2) (3y − 5)2 − 16y2 = (3y − 5 − 4y)(3y + 5 + 4y) = (−5 − y)(7y − 5);

3) 49m2 − (a + 3m)2 = (7m − (a + 3m)) · (7m + (a + 3m)) = (4m − a)(10m + a);

4) (5a − 2b)2 − 25a2 = (5a − 2b – 5a)(5a − 2b + 5a) = −2b(10a − 2b).

35.18. Розкладіть на множники:

1) (p + 2)2 − 9 = (p + 2 − 3)(p + 2 + 3) = (p − 1)(p + 5);

2) 16 − (m − 3)2 = (4 − (m − 3))(4 + (m − 3)) = (7 − m)(1 + m);

3) (3x − 2)2 − 36 = (3x − 2 − 6)(3x − 2 + 6) = (3x − 8)(3x + 4);

4) x2 − (2x − 1)2 = (x − (2x − 1))(x + 2x − 1) = (−x + 1)(3x − 1); 5) (5a − 3b)2 − 9b2 = (5a − 3b − 3b)(5a − 3b + 3b) = (5a − 6b) · 5a;

6) (3x + 4y)2 − 100y2 = (3x + 4y − 10y)(3x + 4y + 10y) = (3x − 6y)(3x + 14y).

35.19. Знайдіть корені рівняння:

1) (x − 1)2 − 25 = 0; (x − 1 − 5)(x − 1 + 5) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 6; −4.

2) 49 − (2x + 5)2 = 0; (7 − (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; (2 − 2x)(12 + 2x) = 0; 2 − 2x = 0; −2x = −2; x = 1 або 12 + 2x = 0; 2x = −12; x = −6.

Відповідь: 1; −6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (5x + 3)2 = 64; (5x + 3)2 − 64 = 0; (5x + 3 − 8)(5x + 3 + 8) = 0; (5x − 5)(5x + 11) = 0; 5x − 5 = 0; 5x = 5; x = 1 або

5x + 11 = 0; 5x = −11; x = −11 5 .

Відповідь: 1; −11 5 .

35.20. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 2)2 − 36 = 0; (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0; (x − 4)(x + 8) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: 4; −8.

3) (2x + 7)2 = 49; (2x + 7)2 − 49 = 0; (2x + 7 − 7)(2x + 7 + 7) = 0;

2x(2x + 14) = 0;

2x = 0; x = 0 або

2x + 14 = 0; 2x = −14; x = −7.

Відповідь: 0; −7.

4) (0,1x − 0,5)2 = 0,36; (0,1x − 0,5 − 0,6)(0,1x − 0,5 + 0,6) = 0; (0,1x − 1,1)(0,1x + 0,1) = 0; 0,1x − 1,1 = 0; 0,1x = 1,1; x = 11 або 0,1x + 0,1 = 0; 0,1x = −0,1; x = −1.

Відповідь: 11; −1.

2) (5x − 4)2 − 81 = 0; (5x − 4 − 9)(5x − 4 + 9) = 0; (5x − 13)(5x + 5) = 0; 5x − 13 = 0; 5x = 13; x = 13 5 ;

або 5x + 5 = 0; 5x = −5; x = −1.

Відповідь: 13 5 ; −1.

4) (0,2x − 0,5)2 = 0,09; (0,2x − 0,5 − 0,3)(0,2x − 0,5 + 0,3) = 0; (0,2x − 0,8)(0,2x − 0,2) = 0; 0,2x = 0,8; x = 4 або 0,2x = 0,2; x = 1.

Відповідь: 4; 1.

35.21. Доведіть, що для будь-якого натурального

ділиться на 7.

(n + 7)2 − n2 = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7 · (2n + 7) ділиться на 7.

35.22. Подайте вираз у вигляді добутку:

виразу (n + 7)2 − n2

1) a6 − (b − 5a3)2 = (a3 − (b − 5a3))(a3 + (b − 5a3)) = (a3 − b+5a3)(a2+b−5a3) = (6a3 − b)(b − 4a3); 2) (−3m2 + 4p)2 − 9m4 = (−3m2 + 4p − 3m2)(−3m2 + 4p + 3m2) = (−6m2 + 4p) · 4p; 3) (7x + 2y)2 − (2x − 7y)2 = (7x + 2y − 2x + 7y)(7x + 2y + 2x − 7y) = (5x + 9y)(9x − 5y);

4) (a + b + c)2 − (a + b − c)2 = (a + b + c + a + b − c)(a + b + c − a − b + c) = (2a + 2b) · 2c;

5) a2(a + 1)2 – c8 = (a (a + 1) − c4) (a (a + 1) + c4) = (a2 + a − c4)(a2 + a + c4);

6) (5a − b − 1)2 − (5a + b − 1)2 = (5a − b − 1 − 5a − b + 1)(5a − b − 1+5a+b−1) = −2b(10a − 2).

35.23. Розкладіть на множники:

1) (5a2 − 3b)2 − 16a4 = (5a2 − 3b − 4a2)(5a2 − 3b + 4a2) = (a2 − 3b)(9a2 − 3b); 2) m8 − (3c − 2m4)2 = (m4 − 3c + 2m4)(m4 + 3c − 2m4) = (m4 − 3c)(3c − m4);

3) (2a + 3b)2 − (4a − 5b)2 = ((2a + 3b) − (4a − 5b))((2a + 3b) + (4a − 5b)) = = (2a + 3b − 4a + 5b)(2a + 3b + 4a − 5b) = (8b − 2a)(6a − 2b); 4) (x − y + t)2 − (x − y − t)2 = ((x − y + t) − (x − y − t))((x − y + t) + (x − y − t)) = = (x – y + t – x + y + t)(x – y + t + x – y – t) = 2t(2x − 2y).

35.24. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (5x − 8)2 = 0; ((3x − 4) − (5x − 8))((3x − 4) + (5x − 8)) = 0; (3x − 4 − 5x + 8)(3x − 4 + 5x − 8) = 0; (4 − 2x)(8x − 12) = 0; 4 − 2x = 0; −2x = −4; x = 2 або 8x − 12 = 0; 8x = 12; x = 12 8 ; x = 1,5.

Відповідь: 2; 1,5.

2) x4 − 81 = 0; (x2)2 − 92 = 0; (x2 − 9)(x2 + 9) = 0; (x − 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3; x2 + 9 > 0.

Відповідь: 3; −3.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 16x4 − 1 = 0; (4x2 − 1)(4x2 + 1) = 0; (2x − 1)(2x + 1)(4x2 + 1) = 0; 2x − 1 = 0; x = 1 2 або 2x + 1 = 0; x = −1 2; 4x2 + 1 > 0.

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

35.25.

більше число, дорівнює сумі цих чисел. n, n + 1 два послідовні числа; (n + 1)2 − n2 різниця квадратів двох

4) 81x2 + 4 = 0; 81x2 + 4 > 0; рівняння не

Відповідь: Не має коренів.

чисел; n + (n + 1) сума цих чисел. (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

35.26. Спростіть вираз: 1) (t + 1)(t − 7) − (t − 1)(t + 7) = t2 − 7t + t − 7 − (t2 + 7t − t − 7) = = t2 − 7t + t − 7 − t2 − 7t + t + 7 = −12t. 2) (a3 − 2b)(a2 + 2b) − (a2 − 2b)(a3 + 2b) = a6 + 2ba3

2) = = a6 + 2a3b – 2a2b – 4b2 – a6 – 2a2b + 2a3b + 4b2 = 4a3b – 4a2b.

35.27. Обчисліть, використовуючи формулу

1) (100 − 1)3 = 100000 − 3 · 10000 + 3 · 100 − 1 = 970299; 2) 413 = (40 + 1)3 = 403 + 3 · 402 · 1 + 3 · 40 · 1 + 13 = 68921; 3) 293 = (30 − 1)3 = 303 − 3 · 302 · 1 − 3 · 30 · 1 − 13 = 24389; 4) 0,993 = (1 − 0,1)3 = 1 − 3 · 1 · 0,1 + 3 · 1 · 0,12 − 0,01 = 0,970299

1) 11 вузлів = 11 ∙ 1,852 = 20,372 км/год

3) 60 : 3 = 20 (км) –

35.29. Подайте у

1) 1 = 13; 2) 27 = 33; 3) 64 = 43; 4) 216 = 63 . 35.30. Подайте

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.2. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями:

1) c3 + d3 = (c2 + d2)(c + d) не є тотожність; 2) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) тотожність; 3) m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) тотожність; 4) p3 − t3 = (p − t)(p2 + 2pt + t2) не є тотожність.

36.3. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями:

1) m3 − p3 = (m2 − p2)(m − p), ні; 2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2) тотожність; 3) c3 – d3 = (c – d)(c2 + cd + d2) тотожність; 4) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2)ні.

36.4. Розкладіть на множники: 1) m3 − p3 = (m − p)(m2 + mp + p2); 2) a3 + d3 = (a + d)(a2 − ad + d3);

3) 8 − a3 = (2 − a)(4 + 2a + a2); 4) q3 + 27 = (q + 3)(q2 − 3q + 9);

5) n3 − 64 = (n − 4)(n2 + 4n + 16); 6) 0,001 + t3 = (0,1 + t)(0,01 − 0,1t + t2).

36.5. Подайте вираз у

1) 8a3 + 1 = (2a + 1)(4a2 − 2a + 1);

2) 27 − 1 27 c3 = (3 − 1 3c)(9 + c + 1 9c2);

3) y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 − 4xy + 16x2);

4) 0,125b3 − 64y3 = (0,5b − 4y)(0,25b2 + 2by + 16y2);

5) 1 + 1000m3 = (1 + 10m)(1 − 10m + 100m2);

6) 1 125 a3 − 1 216 b3 = (1 3 a − 1 6b)( 1 9 a2 + 1 18 ab + 1 36 b2).

36.6. Розкладіть на множники:

1) 1 27 + b3 = (1 3 + b)( 1 9 − 1 3 b + b2);

2) 1 8 x3 − 8 = (1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4);

3) 1 + 125p3 = (1 + 5p)(1 − 5p + 25p2);

4) 0,064m3 − 1 1000 n3 = (0,4m − 1 10n)(0,16m2 + 1 25 mn + 1 100n2);

5) 27 8 a3 + 8 27 b3 = (3 2 a + 2 3b)( 9 4 a2 − ab + 4 9 b2);

6) 216p3 − 1 216q3 = (6p − 1 6q)(36p2 + pq + 1 36q2).

36.7. Подайте у вигляді многочлена:

1) (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3; 2) (a + 3)(a2 − 3a + 9) = a3 + 27; 3) (1 − d + d2)(1 + d) = 1 + d3; 4) (m − 2)(m2 + 2m + 4) = m3 − 8.

36.8. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3; 2) (m − 1)(m2 + m + 1) = m3 − 1; 3) (b + 4)(b2 − 4b + 16) = b3 + 64; 4) (25 + 5q + q2)(5 − q) = 125 − q3 .

36.9. Знайдіть значення виразу: 1) (4p − 1)(16p2 + 4p + 1) = 64p3 − 1.

Якщо p = −0,25, то 64 · (−0,25)3 − 1 = 64 · (−1 4)3 − 1 = 64 · (− 1 64) − 1 = −1 − 1 = −2. 2) (2a + b)(4a2 − 2ab + b2) = 8a3 + b3

Якщо a = −1 2, b = 2, то 8 · (−1 2)3 + 23 = 8 · (−1 8) + 8 = −1 + 8 = 7.

36.10. Знайдіть значення виразу: 1) (3x + 1)(9x2 − 3x + 1) = 27x3 + 1.

Якщо x = 2 3, то 27(2 3)3 + 1 = 27 8 27 = 8 + 1 = 9. 2) (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 − 8y3 .

Якщо x = −2, y = 0,5, то (−2)3 − 8 · 0,53 = −8 − 8 · 0,125 = −8 − 1 = −9.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4);

2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)(t8 − t4c3 + c6);

3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)(p12 − p6m8 + m16);

4) −c3 + m15 = m15 − c3 = (m5)3 − c3 = (m5 – c3)(m10 + m5c3 + c6);

5) 1 8 − a24 = −(1 8 + a24) = − ((1 2)3 + (a8)3) = −(1 2 + a8)( 1 8 − 1 2 a8 + a16);

6) −c99 – d60 = −(c99 + d60) = −((c33)3 + (d20)3) = −(c33 + d20)(c60 − c33d20 + d40);

7) (x3y3 + 1) = (xy + 1)(x2y2 − xy + 1);

8) 27 − a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(9 + 3ab3 + a3b9);

9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m3)3 = (x2y4 + m3)(x4y8 − x2y4m3 + m6);

10) 64m6p21 − 125x3 = (4m2p7)3 − 5x = (4m2p7 − 5x)(16m4p14 + 20m2p7x + 25x2);

11) 1 27 c24m18 + 27t9 = (1 3 c8m6)3 + (3t3)3 = (1 3 c8m6 + 3t3)( 1 9 c16m12 + 9t6 – c8m6t3);

12) 343a18b33 − 0,001c36 = (7a6b11)3 − (0,1c12)3 = = (7a6b11 − 0,1c12)(49a12b22 + 0,7a6b11c12 + 0,01c24).

36.12. Запишіть вираз у

1) x9 − y6 = (x3)3 − (y2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4);

2) −p12 − 27 = –(p12 + 27) = − ((p4)3 + 33) = –(p4 + 3)(p8 − 3p4 + 9) = (p4 + 3)(–p8 + 3p4 – 9);

3) −a9b6 + 1 = 1 − (a3b2)3 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4);

4) 216p15 + 0,008t18 = (6p5)3 + (0,2t6)3 = (6p5 + 0,2t6)(36p10 – 1,2p5t6 + 0,04t12);

5) 64m21с3 − p30 = (4m7c)3 − (p10)3 = (4m7c − p10)(16m14c2 + 4m7cp10 + p20);

6) 512t24p27 − 729x33 = (8t8p9)3 − (9a11)3 = (8t8p9 − 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22).

36.13. Виконайте множення:

1) (b3 − d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 − d6;

2) (c3 + 2p)(c6 − 2pc3 + 4p2) = c6 + 8p3;

3) (9x2 + 3xy + y2)(3x − y) = 27x3 − y3; 4) (4c + 3d)(16c2 − 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3; 5) (a8 − 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64; 6) (5m2 − 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 − 216p9 .

36.14. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a5 − m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 − m6; 2) (25a2 − 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3; 3) (2x − 7y2)(4x2 − 14xy2 + 49y4) = 8x3 − 343y6; 4) (3p2 + 4c3)(9p4 − 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9 .

36.15. Виконайте дії:

1) (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a2 − 5) = a3 + 8 − a3 + 5a = 5a + 8; 2) (b − 3)(b2 + 3b + 9) − b(b − 3)(b + 3) = b3 − 27 − b(b2 − 9) = b3 − 27 − b3 + 9b = 9b − 27; 3) (x + 4)(x2 − 4x + 16) − (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + 64 − (x3 − 1) = x3 + 64 − x3 + 1 = 65; 4) (2b2 − 1)(4b4 + 2b2 + 1) − (2b3 + 1)2 = 8b6 − 1 − (4b6 + 4b3 + 1) = 8b6 − 1 − 4b6 − 4b3 − 1 = = −4b6 − 4b3 − 2.

36.16. Спростіть вираз:

1) (a − 4)(a2 + 4a + 16) − a(a − 2)(a + 2) = a8 − 64 – a(a2 – 4) = a3 − 64 – a3 + 4a = 4a − 64; 2) (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9) – (x2 – 2)(x4 − 2x2 + 4) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35;

3) b(b − 1)2 − (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 − 2b2 + b3 +125 = = 125 + b – 2b2;

4) (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = (a3 − 1)(a3 + 1) = a6 − 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.17. Знайдіть значення виразу:

1) (2a + 1)(4a2 − 2a + 1) − 7a3 = 8a3 + 1 − 7a3 = a3 + 1.

Якщо a = −2, то

(−2)3 + 1 = −8 + 1 = −7.

2) (x2 + 5xy + 25y2)(x − 5y) + 25y3 − x3 = x3 − 125y3 + 25y3 − x3 = −100y3

Якщо x = −2015, то

−100y3 = −100 × (0,1)3 = −100 × 0,001 = −0,1.

36.18. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 4)(x2 + 4x + 16) = x3 − 8x; x3 − 64 = x3 − 8x; 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8.

Відповідь: 8.

2) (x3 + 1)(x6 – x3 + 1) = x9 − 5x; x9 + 1 = x9 − 5x; 5x = −1; x = −1 : 5; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

3) (9x2 − 6x + 4)(3x + 2) = 3x(3x + 4)(3x − 4) + 32; 27x3 + 8 = 3x(9x2 − 16) + 32; 27x3 + 8 = 27x3 − 48x + 32; 48x = 32 − 8;

48x = 24; x = 24 48; x = 1 2 .

Відповідь: 1 2 .

4) 8(1 2 x − 2)( 1 4 x2 + x + 4) − x(x − 3)2 = 6x2 − 46;

8(1 8 x3 − 8) − x(x2 − 6x + 9) = 6x2 − 46; x3 − 64 − x3 + 6x2 − 9x = 6x2 − 46; −9x = 64 − 46; −9x = 18; x = 18 : (−9); x = −2.

Відповідь: −2.

36.19. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 24x + x3; x3 − 8 = 24x + x3; −24x = 8; x = − 8 24; x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

36.20. Розкладіть на множники:

2) (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) = 2x(2x − 3)(2x + 3) + 37; 8x3 + 1 = 2x(4x2 − 9) + 37; 8x3 + 1 = 8x3 − 18x + 37; 18x = 37 − 1; 18x = 36; x = 2.

Відповідь: 2.

1) (a + 3)3 − a3 = (a + 3 − a)((a + 3)2 + a(a + 3) + a2) = 3 · (a2 + 6a + 9 + a2 + 3a + a2) = = 3 · (3a2 + 9a + 9) = 9(a2 + 3a + 3);

2) (x − 4)3 + 8 = (x − 4 + 2)(x − 4)2 − 2(x − 4) + 4 = = (x − 2)(x2 − 8x + 16 − 2x + 8 + 4) = (x − 2)(x2 − 10x + 28).

3) 27p3 − (p + 1)3 = (3p − p − 1)(9p2 + 3p(p + 1)) + (p + 1)2) = = (2p − 1)(9p2 + 3p2 + 3p + p2 + 2p + 1) = (2p − 1)(13p2 + 5p + 1);

4) 64x3 + (x − 1)3 = (4x + x − 1)(16x2 − 4x(x − 1) + (x − 1)2) = = (5x − 1)(16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x + 1) = (5x − 1)(13x2 + 2x + 1).

36.21. Розкладіть на множники:

1) (a + 1)3 + a3 = (a + 1 + a)(a2 + 2a + 1 + a2 + a + a2) = (2a + 1)(3a2 + 3a + 1);

2) (b – 2)3 − 8 = (b – 2 − 2)((b − 2)2 + 2(b – 2) + 4) = (b – 4)(b2 − 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = = (b – 4)(b2 – 2b +4);

3) 125b3 − (b − 1)3 = (5b – (b – 1))(25b2 + 5b(b − 1) + (b − 1)2) =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

= (5b −b + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1); 4) 64a3 + (a + 2)3 = (4a + a +2)(16a2 – 4a(a+2) + (a + 2)2) = = (5a + 2)(16a2 – 4a2 – 8a + a2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a2 – 4a + 4).

36.22. Доведіть, що дві

цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями. 4153 + 853 = (415 + 85)(4152 − 415 · 85 + 852) = 500 · (4152 − 415 · 85 + 852). Останні

36.23. Чи ділиться число 1153 − 153 на 100? 1153 − 153 = (115 − 15)(1152 + 115 · 15 + 152) =

Рівняння:

90 − 2x = 5(30 − x);

90 − 2x = 150 − 5x;

−2x + 5x = 150 − 90;

3x = 60; x = 60 : 3; x = 20.

30 − 20 = 10 зошитів

Відповідь: 10 і 50. 36.27

1 2(���� 2 − 1 2) + 1 2 = ���� 4 − 1 4 + 1 2 = ���� 4 + 1 4 (курей):

Після цього

2 − 1 2 − ���� 4 − 1 4 = ���� 4 –3 4 (курей). Третій покупець купив: 1 2(���� 4 − 3 4) + 1 2 = ���� 8 − 3 8 + 1 2 = ���� 8 + 1 8 (курей):

Рівняння: (

2 + 1 2) + (���� 4 + 1 4) + (���� 8 + 1 8) = x; 7���� 8 + 7 8 = x; 1 8 x = − 7 8; x = − 7 8 : (−1 8); x = 7 8 · 8 1; x = 7.

Відповідь: 7 курей. §37. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

37.1. (Усно.) З формул виберіть ті, що є тотожностями:

1) (a + b)2 = a2 + ab + b2 ні;

2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) тотожність;

3) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 тотожність;

4) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) тотожність;

5) a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) ні; 6) a2 − b2 = (a − b)2 ні.

37.2. Які з формул є тотожностями:

1) (m − n)2 = m2 − mn + n2 ні; 2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2) ні; 3) p2 − q2 = (p − q)(p + q) тотожність;

4) (c + d)2 = c2 + 2cd + d2 тотожність;

5) m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) тотожність; 6) a2 − b2 = (a + b)(a + b) ні.

37.3. Закінчіть розкладання на множники:

1) xa2 − 9x = x(a2 − 9) = x(a2 − 32) = x(a − 3)(a + 3);

2) bm2 − 2mb + b = b(m2 − 2m + 1) = b(m − 1)2 .

37.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) mp2 − m = m(p2 − 1) = m(p − 1)(p + 1);

3) b3 − b = b(b2 − 1) = b(b − 1)(b + 1).

37.5. Розкладіть на множники:

1) 5a2 − 5b2 = 5(a2 − b2) = 5(a − b)(a + b);

2) ap2 − aq2 = a(p2 − q2) = a(p − q)(p + q);

3) 2xm2 − 2xn2 = 2x(m2 − n2) = 2x(m − n)(m + n);

4) 7b2 − 7 = 7(b2 − 1) = 7(b − 1)(b + 1);

5) 16x2 − 4 = 4(4x2 − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1);

6) 75 − 27c2 = 3(25 − 9c2) = 3(5 − 3c)(5 + 3c);

7) 5mk2 − 20m = 5m(k2 − 4) = 5m(k − 2)(k + 2);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) 63ad2 − 7a = 7a(9d2 − 1) = 7a(3d − 1)(3d + 1);

9) 125px2 − 5py2 = 5p(25x2 − y2) = 5p(5x − y)(5x + y).

37.6. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 − m = m(m2 − 1) = m(m − 1)(m + 1);

2) p2 − p4 = p2(1 − p2) = p2(1 − p)(1 + p);

3) 7a − 7a3 = 7a(1 − a2) = 7a(1 − a)(1 + a);

4) 9b5 − 9b3 = 9b3(b2 − 1) = 9b3(b − 1)(b + 1);

5) 81c3 – c5 = c3(81 – c2) = c3(9 − c)(9 + c);

6) 3a5 − 300a7 = 3a5(1 − 100a2) = 3a5(1 − 10a)(1 + 10a).

37.7. Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) ma2 − 4mb2 = m(a2 − 4b2) = m(a − 2b)(a + 2b);

3) 28 − 7m2 = 7(4 − m2) = 7(2 − m)(2 + m);

4) p5 − p3 = p3(p2 − 1) = p3(p − 1)(p + 1);

5) b − 4b3 = b(1 – 4b2) = b(1 – 2b)(1 + 2b);

6) a5 – a3c2 = a3(a2 – c2) = a3(a – c)(a + c);

7) 15d − 15d3 = 15d(1 − d2) = 15d(1 − d)(1 + d);

8) 625b3 − b5 = b3(625 − b2) = b3(25 − b)(25 + b);

9) 500a5 − 45a3 = 5a3(100a2 − 9) = 5a3(10a − 3)(10a + 3).

37.8. Розв’яжіть рівняння:

1) 3x2 − 27 = 0;

3(x2 − 9) = 0;

3(x − 3)(x + 3) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3.

Відповідь: 3; −3.

37.9. Знайдіть корені рівняння:

1) 8 − 2x2 = 0; 2(4 − x2) = 0;

2(2 − x)(2 + x) = 0;

2 − x = 0; x = 2; або

2 + x = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2.

37.10. Розкладіть на множники:

2) 5 − 20x2 = 0; 5(1 − 4x2) = 0; 5(1 − 2x)(1 + 2x) = 0; 1 − 2x = 0; −2x = −1; x = 1 2;

або 1 + 2x = 0; 2x = −1; x = −1 2 .

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

2) 75x2 − 3 = 0; 3(25x2 − 1) = 0;

3(5x − 1)(5x + 1) = 0;

5x − 1 = 0; 5x = 1; x = 1 5; або

5x + 1 = 0; 5x = −1; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5; − 1 5

1) 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a2 + 2ab + b2) = 3(a + b)2; 2) −2m2 + 4mn − 2n2 = −2(m2 − 2mn + n2) = −2(m − n)2;

3) −a2 − 4a − 4 = −(a2 + 4a + 4) = −(a + 2)2;

4) 6a2 + 24ab + 24b2 = 6(a2 + 4ab + 4b2) = 6(a + 2b)2;

5) 2am2 + 4am + 2a = 2a(m2 + 4m + 1) = 2a(m + 1)2;

6) 8a4 − 8a3 + 2a2 = 2a2(4a2 − 4a + 1) = 2a2(2a − 1)2 .

37.11. Подайте многочлен

1) −4a2 + 8ab − 4b2 = −4(a2 − 2ab + b2) = −4(a − b)2;

2) −25by2 − 10by − b = −b(25y2 + 10y + 1) = −b(5y + 1)2;

3) a5 + 6a4m + 9a3m2 = a3(a2 + 6am + 9m2) = a3(a + 3m)2;

4) 6by2 + 36by3 + 54by4 = 6by2(1 + 6y + 9y2) = 6by2(1 + 3y)2 .

37.12. Знайдіть значення виразу:

1) 3m2 − 3n2 = 3(m − n)(m + n).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо m = 41, n = 59, то

3(m − n)(m + n) = 3(41 − 59)(41 + 59) = 3(−18) · 100 = −5400;

2) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2.

Якщо x = 29, y = −28, то

2(x + y)2 = 2(29 − 28)2 = 2 · 1 = 2.

37.13. Знайдіть значення виразу:

1) 5x2 − 5y2 = 5(x − y)(x + y).

Якщо x = 49, y = 51, то

5(x − y)(x + y) = 5(49 − 51)(49 + 51) = 5(−2)(100) = −1000.

2) 3a2 − 6ab + 3b2 = 3(a2 − 2ab + b2) = 3(a − b)2 .

Якщо a = 102, b = 101, то

3(a − b)2 = 3(102 − 101)2 = 3 · 1 = 3.

37.14. Подайте у вигляді добутку:

1) 3a3 − 3b3 = 3(a3 − b3) = 3(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 7x3 + 7y3 = 7(x3 + y3) = 7(x + y)(x2 − xy + y2).

3) −pm3 − pn3 = −p(m3 + n3) = −p(m + n)(m2 − mn + n2);

4) 16a3 − 2 = 2(8a3 − 1) = 2(2a − 1)(4a2 + 2a + 1);

5) 125m + m4 = m(125 + m3) = m(5 + m)(25 − 5m + m2);

6) a7 − a4 = a4(a3 − 1) = a4(a − 1)(a2 + a + 1).

37.15. Розкладіть на множники:

1) bx3 − by3 = b(x3 − y3) = b(x − y)(x2 + xy + y2);

2) −2a3 − 2b3 = −2(a3 + b3) = −2(a + b)(a2 − ab + b2);

3) 8a – a4 = a(8 – a3) = a(2 − a)(4 + 2a + a2).

37.16. Розкладіть на множники:

1) a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9)(a2 + 9) = (a − 3)(a + 3)(a2 + 9);

2) 16 − c4 = 42 – (c2)2 = (4 − c2)(4 + c2) = (2 – c)(2 + c)(4 + c2); 3) x8 − 1 = (x4)2 – 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); 4) a4 – b8 = (a2)2 − (b4)2 = (a2 – b4)(a2 + b4) = (a – b2)(a + b2)(a2 + b4).

37.17. Доведіть: a8 – b8 = (a4)2 – (b4)2 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).

37.18. Розв’яжіть рівняння: 1) x3 − x = 0;

x(x2 − 1) = 0;

x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0 або x − 1 = 0; x = 1 або

x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 0; 1; −1.

3) 64x3 + x = 0;

x(64x2 + 1) = 0; x = 0; 64x2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

2) 112y − 7y3 = 0;

7y(16 − y2) = 0;

7y(4 − y)(4 + y) = 0;

7y = 0; y = 0 або

4 − y = 0; y = 4 або

4 + y = 0; y = −4.

Відповідь: 0; 4; −4.

4) y3 + 4y2 + 4y = 0;

y(y2 + 4y + 4) = 0;

y(y + 2)2 = 0; y = 0

або (y + 2)2 = 0; y + 2 = 0; y = −2.

Відповідь: 0; −2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.19. Розв’яжіть рівняння:

1) y − y3 = 0;

y(1 − y2) = 0;

y(1 − y)(1 + y) = 0; (y = 0) або

1 + y = 0; y = 1 або

1 + y = 0; y = −1.

Відповідь:0; 1; −1.

3) 16y3 + y = 0; y(16y2 + 1) = 0; y = 0 або 16y2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

37.20. Розкладіть на множники:

2) 5x3 − 180x = 0; 5x(x2 − 36) = 0; 5x(x − 6)(x + 6) = 0; x = 0 або x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 0; 6; −6.

4) x3 − 2x2 + x = 0; x(x2 − 2x + 1) = 0; x(x − 1)2 = 0; (x = 0 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 0; 1.

1) 7ab + 21a − 7b − 21 = 7a(b + 3) − 7(b + 3) = (b + 3)(7a − 7) = 7(b + 3)(a − 1);

2) 6mn + 60 – 30m − 12n = (6mn – 30m) + (60 − 12n) = 6m(n − 5) + 12(5 − n) = = (n − 5)(6m − 12) = 6(n − 5)(m − 2);

3) −abc − 3ac − 4ab − 12a = −(ac(b + 3) − 4a(b + 3)) = −a(b + 3)(c − 4);

4) a3 – ab – a2b + a2 = (a3 − a2b) + (a2 − ab) = a2(a − b) + a(a − b) = (a – b)(a2 + a) = = a(a – b)(a + 1).

37.21. Подайте вираз у

1) 90 + 3ab − 45a − 6b = (90 − 45a) + (3ab − 6b) = 45(2 − a) + 3b(a − 2) = = (2 − a)(45 − 3b) = (2 − a) · 3(15 − b);

2) −3mn − 9m − 18n − 54 = − 3(mn + 3m + 6n + 18) = −3(m(n + 3) + 6(n + 3)) = = −3(n + 3)(m + 6);

3) a4x + a4 + a3x + a3 = a4(x + 1) + a3(x + 1) = (x + 1)(a4 + a3) = a3(x + 1)(a + 1);

4) p3a2 + pa2 − 3ap3 − 3ap = pa2(p2 + 1) − 3ap(p2 + 1) = (p2 + 1)(pa2 – 3ap) = (p2 + 1) · ap(a – 3).

37.22. Розкладіть на множники:

1) a2 + 2ab + b2 − 16 = (a + b)2 − 16 = (a + b − 4)(a + b + 4);

2) a2 − x2 − 2xy − y2 = a2 − (x2 + 2xy + y2) = a2 − (x + y)2 = (a + x + y)(a − x − y);

3) p2 − x2 + 10p + 25 = (p2 + 10p + 25) − x2 = (p + 5)2 − x2 = (p + 5 − x)(p + 5 + x);

4) p2 − x2 + 20x − 100 = p2 − (x2 − 20x + 100) = p2 − (x − 10)2 = (p + (x − 10))(p − (x − 10)) = = (p + x − 10)(p − x + 10).

37.23. Розкладіть на множники:

1) x2 + 2xy + y2 − 25 = (x + y)2 − 52 = (x + y + 5)(x + y – 5);

2) m2 − a2 + 2ab − b2 = m2 − (a2 − 2ab + b2) = m2 − (a − b)2 = (m − (a − b))(m + (a − b)) = = (m − a + b)(m + a − b).

3) m2 − a2 − 8m + 16 = (m2 − 8m + 16) − a2 = (m − 4)2 − a2 = (m − 4 − a)(m + 4 + a);

4) m2 − b2 − 8b − 16 = m2 − (b2 + 8b + 16) = m2 − (b + 4)2 = m2 − (b + 4)2 = = (m + b + 4)(m − b − 4).

37.24. Подайте вираз у вигляді

1) a2 − 81 + a − 9 = (a2 − 81) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9 + 1) = = (a – 9)(a + 10);

2) m2 – a2 – (a + m) = (m − a)(m + a) + (a + m) = (a + m)(m − a + 1);

3) x2 − y2 – x + y = (x2 − y2) – (x − y) = (x − y)(x + y) – (x − y) = (x – y)(x + y –1);

4) x + x2 – y – y2 = (x − y)(x2 − y2) = (x − y) + (x − y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y);

5) a − 3b + a2 − 9b2 = (a − 3b)(a2 − 9b2) = (a − 3b) + (a − 3b)(a + 3b) = (a − 3b)(1+ a + 3b);

6) 16m2 – 25n2 − 4m − 5n = (16m2 − 25n2) − (4m + 5n) = (4m – 5n)(4m + 5n) – (4m + 5n) = = (4m + 5n)(4m – 5n – 1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.25. Розкладіть на множники:

1) a2 − b2 − (a − b) = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1); 2) p2 − b − p − b2 = p2 − b2 − (b + p) = (p − b)(p + b) − (p + b) = (p + b)(p − b − 1); 3) 16x2 − 25y2 + 4x − 5y = (4x − 5y)(4x + 5y) + (4x − 5y) = (4x − 5y)(4x + 5y + 1); 4) 100m2 − 10m + 9n − 81n2 = (100m2 − 81n2) + (9n − 10m) = = (10m − 9n)(10m + 9n) − (10m − 9n) = (10m − 9n)(10m + 9n − 1).

37.26. Перетворіть вираз на добуток: 1) p2(m − 3) − 2p(m − 3) + (m − 3) = (m − 3)(p2 − 2p + 1) = (m − 3)(p − 1)2; 2) 1 − a2 − 4b(1 − a2) + 4b2(1 − a2) = (1 − a2)(1 − 4b + 4b2) = (1 − a2)(1 − 2b)2 = = (1 − a)(1 + a)(1 − 2b)2 .

37.27. Доведіть тотожність: c2(c − 2) − 10c(c − 2) + 25(c − 2) = (c − 2)(c2 − 10c + 25) = (c − 2)(c − 5)2 .

37.28. Подайте у вигляді добутку:

1) ab2 – b3 – a + b = b2(a − b) – (a − b) = (a − b)(b2 − 1) = (a − b)(b – 1)(b + 1);

2) ax2 – a3 + 7x2 – 7a2 = a(x2 – a2) + 7(x2 – a2) = (x2 – a2)(a + 7) = (x – a)(x + a)(a + 7);

3) p3 + p2q − 4p − 4q = p2(p + q) − 4(p + q) = (p + q)(p2 − 4) = (p + q)(p − 2)(p + 2);

4) a3 − 5m2 + 5a2 − am2 = (a3 + 5a2) + (−5m2 − am2) = a2(a + 5) − m2(a + 5) = = (a + 5)(a2 − m2) = (a + 5)(a − m)(a + m).

37.29. Розкладіть на множники:

1) m3 + n3 + m + n = (m3 + n3) + (m + n) = (m + n)(m2 − mn + n2) + (m + n) = = (m + n)(m2 − mn + n2 + 1);

2) a − b − (a3 − b3) = (a − b) − (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)(1 − a2 − ab − b2);

3) a3 + 8 − a2 − 2a = (a3 + 8) − (a2 + 2a) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a + 2) = = (a + 2)(a2 − 2a + 4 − a) = (a + 2)(a2 − 3a + 4); 4) 8p3 − 1 − 12p2 + 6p = (8p3 − 1) − (12p2 − 6p) = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1) − 6p(2p − 1) = = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1 − 6p) = (2p − 1)(4p2 − 2p + 1).

37.30. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 + m2n − m − n = m2(m + n) − (m + n) = (m + n)(m2 − 1) = (m + n)(m − 1)(m + 1); 2) ba2 − 3a2 − 4b + 12 = a2(b − 3) − 4(b − 3) = (b − 3)(a2 − 4) = (b − 3)(a − 2)(a + 2);

3) a3 − b3 + a − b = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 + 1); 4) (x3 + 1) + (−5x − 5) = (x + 1)(x2 − x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 − 5) = = (x + 1)(x2 − x − 4).

37.31. Розв’яжіть рівняння:

1) y3 − 5y2 − y + 5 = 0; y2(y − 5) − (y − 5) = 0; (y − 5)(y2 − 1) = 0; (y − 5)(y − 1)(y + 1) = 0; y − 5 = 0; y = 5 або y − 1 = 0; y = 1 або y + 1 = 0; y = −1.

Відповідь: 5; 1; −1.

2) x3 = 2x2 + 4x − 8;

x3 – 2x2 − 4x + 8 = 0; x2(x − 2) −4(x − 2) = 0; (x − 2)(x2 – 4) = 0; (x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0; x − 2 = 0; x = 2 або x + 2 = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2. 37.32. Для якого значення x: 1) значення виразу x3 − x2 − x + 1 дорівнює

нулю;

x3 − x2 − x + 1 = 0;

x2(x − 1) − (x − 1) = 0; (x − 1)(x2 − 1) = 0; (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0; 2) значення виразів x3 − 9x і x2 − 9 між собою рівні?

x3 − 9x − x2 − 9 = 0;

x3 − 9x − x2 + 9 = 0; (x3 − x2) + (−9x + 9) = 0; x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0;

x − 1 = 0; x = 1 або x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 1; −1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(x2 − 9)(x − 1) = 0; (x − 3)(x + 3)(x − 1) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 3; −3; 1.

37.33. Запишіть у вигляді добутку:

1) 9(a + b)2 − (a2 − 2ab + b2) = 9(a + b)2 − (a − b)2 = (3(a + b) − (a − b))(3(a + b) + (a − b)) = = (3a + 3b − a + b)(3a + 3b + a − b) = (2a + 4b)(4a + 2b) = 4(a + 2b)(2a + b). 2)25(3y − 2m)2 − 36(9y2 + 12my + 4m2) = (5(3y − 2m))2 − (6(3y + 2m))2 = = (5(3y − 2m) + 6(3y + 3m))(5(3y − 2m) − 6(3y + 2m)) = = (15y − 10m + 18y + 12m)(15y − 10m − 18y − 12m) = (33y + 2m)(−3y − 22m) = = −(33y + 2m)(3y + 22m).

37.34. Розкладіть на множники:

1) a3 + 8b3 + a2 − 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) + (a2 − 2ab + 4b2) = = (a2 − 2ab + 4b2)(a + 2b + 1); 2) m3 − 8n3 + m2 − 4mn + 4n2 = (m3 − 8n3) + (m2 − 4mn + 4n2) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2) + (m − 2n)2 = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n).

37.35. Перетворіть многочлен на добуток многочленів:

1) a3 − b3 + a2 − 2ab + b2 = (a3 − b3) + (a2 − 2ab + b2) = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)2 = = (a − b)(a2 + ab + b2 + a − b); 2) c2 + 2cd + d2 − x2 − 2xy − y2 = (c2 + 2cd + d2) − (x2 + 2xy + y2) = (c + d)2 − (x + y)2 = = (c + d + x + y)(c + d − x − y).

37.36. Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередню квадрат двочлена:

1) x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1 −

= (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1);

2) x2 + 8x − 9 = x2 − 2 · 4x + 42 − 42 − 9 = (x − 4)2 − 25 = (x − 4)2 − 52 = = (x − 4 − 5)(x − 4 + 5) = (x − 9)(x + 1);

3)

+

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x(x2 − 4x + 4 + 4x) = 64((1 4x)3 − 13);

x(x2 + 4) = 64( 1 64 x3 − 1);

x3 + 4x = x3 − 64; 4x = −64; x = −64 : 4; x = −16.

Відповідь: −16.

37.40. Супермаркет

Відповідно

(141 – 12х) шт., а смартфонів (95 – 10х) шт. Рівняння:

141 – 12х = 3(95 –10х); 141 – 12х = 285 – 30х; –12х + 30х = 285 – 141; 18х = 144; х = 8.

Відповідь: через 8 годин. 37.41.

за рік?

1) 15000 ∙ 0,2 = 3000 (грн) –

2) 20000 ∙ 0,08 = 1600 (грн) –

3) 60000 – 15000 – 20000 = 25000 (грн) –

4) 25000 ∙ 0,1 = 2500 (грн) – збиток з акцій «Гама»;

5) (3000 + 1600) – 2500 = 2100 (грн) –

загальний

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1. Якому многочлену тотожно дорівнює

(m − n)2? (m – n)2 = m2 – 2mn + n2.

Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток (a − x)(a + x): (а – х)(а + х) = а2 – х2 .

Відповідь: Б).

3. Подайте вираз x2 + 2xy + y2 у вигляді квадрата двочлена: x2 + 2ху + y2 = (х + у)2 .

Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x − 1)2 на многочлен: (5х – 1)2 = 25x2 – 10x + 1.

Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен −16 + 9a2 на множники: –16 + 9а2 = 9а2 – 16 = (3а + 4)(3а – 4).

Відповідь: В).

6. Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку: m3 + 64 = m3 + 43 = (m + 4)(m2 – 4m + 16).

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: x(x + 2) − (x − 3)2 = 7:

х(х + 2) – (х – 3)2 = 7; x2 + 2х – x2 + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.

Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз (m2 + 2p)(m4 − 2m2p + 4p2): (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4p2) = (m2)3 + (2р)3 = m6 + 8p3.

Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен 3ab − 3b + 6a − 6 на множники: 3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).

Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз x2 + 4x + 3? x2 + 4х + 3 = x2 + 4х + 4 – 1 = (х + 2)2 – 1.

Вираз (х + 2)2 – додатний, тому найменше значення виразу (х + 2)2 – 1 дорівнює –1.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 − x − 2 = 0: x3 + 2х2 – х – 2 = 0; x2(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2. Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз (b − 2)3 – b3 на множники: (b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) = = –2(3b2 – 6b + 4).

Відповідь: В).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1. 25х2 – 70х + 49 = (5х – 7)2 = (5 · 1,4 – 7)2 = (7 – 7)2 = 0.

2. (5х – 1)(25х2 + 5х + 1) – 125х3 = 125х3 + 1 – 125х3 = 1.

3. 72 – 120х + 50х2 = 2(25х2 – 60х + 36) = 2(5х – 6)2 = 2(7 – 6)2 = 2.

Відповідь: 1 – Б; 2 – В; 3 – Г.

1. Перетворіть вираз на многочлен:

x = 1,4 (А–

ДО §§ 32-37

1) (р + а)2 = р2 + 2ра + а2; 2) (с – m)(с + m) = с2 – m2.

2. Розкладіть на множники:

1) t2 – 2tb + b2 = (t – b)2; 2) d2 – n2 = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)2 = р2 – 2ра + a2 ≠ p2 – ра + а2 не тотожність;

2) р3 + q3 = (p + q)(p2 – pq + q2) тотожність;

3) m2 – c2 = (m – с)(m + с) тотожність; 4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + dt + t2) ≠ (d – t)(d2 + 2dt + t2) не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)2 = 9a2– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b2 – 49.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2; 2) –25 + 36х2 = (6х – 5)(6х + 5); 3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16); 4) 7c2 – 7d2 = 7(с – d)(c + d).

6. Спростіть вираз (2x + 3)2 + (7 − 2x)((7 + 2x)) та

(2х + 3)2 + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x2 + 12x + 9 + 49 – 4x2 = 12х + 58.

Якщо х = –1 12, то 12х + 58 = 12 ∙ (–1 12) + 58 = –1 + 58 = 57.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x3 – 50x = 0;

2х(х2 – 25) = 0;

2х(х – 5)(х + 5) = 0;

х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0;

х = 0 або x = 5 або х = –5;

Відповідь: –5; 0; 5; 2) x3 – 10x2 + 25x = 0;

8. Спростіть вираз:

якщо x = –1 12

x(x2 – 10x + 25) = 0;

х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або х = 5.

Відповідь: 0; 5.

1) (–4а + 3b)2 + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b2 – 24аb + 16а

+ 25b

– 16а

+

= 34b2; 2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а3 – 8

+

+

= = а3 + 9а2 + 27а + 27; 2) (2m – 5)3 = (2m – 5)2(2m – 5) = (4m2 – 20m + 25)(2m – 5) = = 8m3 – 20m2 – 40m2 + 100m + 50m – 125 = 8m3 –

1. Піднесіть двочлен до степеня:

1) (x − p)2 = x2 − 2px + p2; 2) (m + a)2 = m2 + 2ma + a2; 3) (b − k)2 = b2 − 2bk + k2; 4) (y + c)2 = y2 + 2yc + c2.

2. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3a − 7)2 = 9a2 − 42a + 49; 2) (2b + 5)2 = 4b2 + 20b + 25; 3) (10m − 5k)2 = 100m2 − 100mk + 25k2; 4) (4p + 9q)2 = 16p2 + 72pq + 81q2;

5) (0,1m − 5p)2 = 0,01m2 − mp + 25p2; 6) (1 6 a + 6b)2 = 1 36 a2 + 2ab + 36b2

3. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (a − 1)2 − (a − 2)2 = a2 − 2a + 1 − (a

Якщо a = 1,5, то 2a − 3 = 2 · 1,5 − 3 = 3 − 3 = 0. 2) (3b + 2)2 + (3b − 2)2 = 9b2 + 12b + 4 + 9b2 − 12b + 4 = 18b2 + 8.

Якщо b = −1 3 , то 18(−

x число; x2 квадрат числа; (x + 3)2 = x2 + 159; x2 + 6x + 9 = x2 + 159; 6x = 150; x = 25.

Відповідь: 25.

5. Чи є рівність (a − b)2 = |a − b|2 тотожністю?

Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|2 = (а – b)2 .

Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|2 = (–(а – b))2 = (а – b)2 .

Отже, рівність (а – b)2 = |a – b|2 є тотожністю.

6. Подайте у вигляді многочлена:

1) ((x + y) + a)2 = (x + y)2 + 2a(x + y) + a2 = x2 + 2xy + y2 + 2ax + 2ay + a2 2) ((b − c) − d)2 = (b − c)2 − 2d(b

3) (m + n + 2)2 = m2 + n2 + 4 + 2mn + 4m +

4) (a + 3 − c)(a + 3 − c) = ((a + 3) − c)2 = (a + 3)2 − 2c(a + 3) + c2 =

§ 33

7. Подайте у

. Розкладіть на множники: 1) m2 + 20m + 100 = (m + 10)2; 2) 49 − 14b + b2 = (7 − b)2; 3) 0,09x2 + 0,6x + 1 = (0,3x + 1)2; 4) 1 36 − 1 3 p + p2 = ( 1 6 − p)2; 5) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2; 6) 14m2 − 12mp + 9p2 = (7m − 3p)2 . 9. Знайдіть значення виразу: 1) −100m2 + 20m − 1 = −(100m2 − 20m + 1) = −(10m − 1)2 .

Якщо m = 0,1, то (10 · 0,1 − 1)2 = (1 − 1)2 = 0;

якщо m = −0,9, то (10(−0,9) − 1)2 = (−10)2 = 100.

2) −4x2 − 12xy − 9y2 = −(4x2 + 12xy + 9y2) = −(2x + 3y)2

Якщо x = 0,03, y = −0,02, то − (2 · 0,03 + 3(−0,02)) = (−0,06 − 0,06) = 0.

.

10. Розв’яжіть

1) 3x2 − 2x + 1 3 = 0;

9x2 − 6x + 1 = 0; (3x − 1)2 = 0; 3x − 1 = 0; x = 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

11.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 5y2 + 2y + 1 5 = 0; 25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0; 5y + 1 = 0; 5y = −1; y = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

1) 100m2 + 20mn + n2 = (10m + n)2; 2) 25a2 − 30ab + 9b2 = (5a − 3b)2 12

1) 4x(4x − 10) + 25 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2 > 0;

2) (a − 2)((a − 2) + 2m) + m2 = (a − 2)(a − 2 + 2m) + m2 = = a2 − 2a + 2am − 2a + 4 − 4m + m2 = (a − 2 + m)2; 3) (a + b)(a + b + 8) + 16 = a2 + ab + 8a + ab + b2 + 8b = (a + b + 4)2 . До § 34

13. Які з рівностей є тотожностями:

1) (b − x)(b + x) = b2 + x2; b2 − x2 = b2 + x2, не є тотожністю; 2) (c − d)(c + d) = c2 − d2 тотожність;

3) (m + n)(m − n) = (m + n)2, не є тотожністю; 4) (p − q)(p − q) = p2 − q2 тотожність.

14. Виконайте множення:

1) (c + 7)(7 − c) = 49 − c2; 2) (0,5m − 3)(0,5m + 3) = 0,25m2 – 9; 3) (3k + 7)(3k − 7) = 9k2 – 49; 4) (2p – 9q)(9a + 2p) = 4p2 – 81q2; 5) (10m + 9n)(9n – 10m) = 81n2 – 100m2; 6) (2 3 c − 4 5 d)(2 3 c +

=

15. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(a − 1)(a + 1) = 4(a2 − 1) = 4a2 − 4; 2) b(b − 2)(b + 2) = b(b2 − 4) = b3 − 4b; 3) 7p(p + 3)(p − 3) = 7p(p2 − 9) = 7p3 − 63p; 4) −3x(x + 4)(x − 4) = −3x(x2 − 16) = −3x3 + 48x.

16. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9x − 3)(3 + 1,9x) + 0,39x2 = 3,61x2 − 9 + 0,39x2 = 4x2 − 9 = 4 · 22 − 9 = 4 · 4 − 9 = = 16 − 9 = 7;

2) 9,99 − (5y − 0,1)(5y + 0,01) = 9,99 − (25y2 − 0,01) = 9,99 − 25y2 + 0,01 = 10 − 15y2 .

Якщо y = 1 5, то 10 − 25(1 5)2 = 10 − 25 1 25 = 9;

3) (2x − 3y)(2x + 3y) − (3x + 2y)(3x − 2y) = 4x2 − 9y2 − (9x2 − 4y2) = = 4x2 − 9y2 − 9x2 + 4y2 = −5x2 − 5y2;

Якщо x = 1,8, y = −1,8, то −5 · 1,82 – 5(−1,8)2 = −5 · 1,82 − 5 · 1,82 = −10 · 3,24 = −32,4.

4) (ab + 1)(ab − 1)(a2b2 + 1) = (a2b2 − 1)(a2b2 + 1) = a4b4 − 1 = 54 · (1 5) − 1 = (51 5)4 − 1 = 0.

17. Обчисліть: 740 · 340 − (2120 − 1)(2120 + 1) = 740 · 340 − (2140 − 1) = 740 · 340 − 2140 + 1 = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

18. Які з рівностей є тотожностями:

1) m2 − p2 = (m + p)(m − p) тотожність; 2) a2 – 72 = (a − 7)(a + 7) тотожність; 3) c2 – d2 = (c – d)(c + d) тотожність; 4) 92 – a2 = (9 – a)2 не є тотожність.

19. Розкладіть на множники двочлен: 1) x2 − 49 = (x − 7)(x + 7); 2) 100 − p2 = (10 − p)(10 + p); 3) 0,04m2 − n2 = (0,2m − n)(0,2m + n); 4) 25x2 − 36y2 = (5x − 6y)(5x + 6y);

5) 16a2 − b2c2 = (4a − bc)(4a + bc); 6) 121m2a2 − 1 9 b2 = (11ma − 1 3b)(11ma + 1 3b).

20. Розв’яжіть рівняння, де x – змінна:

1) a2x2 − b2 = 0; (ax − b)(ax + b) = 0; ax − b = 0; ax = b; x = ���� ���� ;

або ax + b = 0; ax = −b; x = −���� ���� .

Відповідь: ���� ���� ; − ���� ���� .

21. Чи ділиться:

2) x2 − 0,09a2 = 0; (x − 0,3a)(x + 0,3a) = 0; x = 0,3a; x = −0,3a.

Відповідь: 0,3a; −0,3a.

1) 1382 − 1362 = (138 − 136)(138 + 136) = 2 · 274 = 4 · 137 ділиться на 4;

2) 3492 − 3472 = (349 − 347)(349 + 347) = 2 · 696 = 2 · 3 · 232 = 6 · 232 ділиться на 6.

22. Розкладіть на множники вираз:

1) 9 − (2x − 8)(3x + 2) − 2x(5x + 10) = 9 − (6x2 + 4x − 24x − 16) − 10x2 − 20x = = 9 − 6x2 + 20x + 16 − 10x2 − 20x = 9 − 16x2 + 16 = 25 − 16x2 = (5 − 4x)(5 + 4x).

2) (3x + 5)(4x − 5) − 2x(2,5 + 1,5x) = 12x2 − 15x + 20x − 25 − 5x − 3x2 = = 9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5).

.

їх різниці:

2) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2;

m

n; 4) m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

m і n.

24. Розкладіть на множники: 1) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2); 2) p3 + k3 = (p + k)(p2 − pk + k2); 3) a3 − 64 = (a − 8)(a2 + 8a + 16); 4) 1 125 + b3 = (1 5 + b)( 1 25 − 1 5 b + b2);

5) 0,001m3 − 1 = (0,1m − 1)(0,01m2 + 0,1m + 1); 6) 8x3 + 27p3 = (2x + 3p)(4x2 − 6xp + 9p2).

25. Доведіть, що значення

373 + 133

на 50. 373 + 133 = (37 + 13)(372 − 37·13 + 132) = 50(372 – 37 · 13 + 132) ділиться на 50, один із множників є 50.

26. Доведіть тотожність: x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x3 − xy + y2); (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = (x − y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 − xy + y2) = = (x3 – y3)(x3 + y3) = (x3)2 − (y3)2 = x6 − y6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

27. Закінчіть розкладання

1) ym2 − 4y = y(m2 − 4) = y(m2 − 22) = y(m – 2)(m + 2) ;

2) ca2 + 2ac + c = c(a2 + 2a + 1) = c(a + 1)2 .

28. Розкладіть на множники многочлен:

1) mp2 − mq2 = m(p2 − q2) = m(p − q)(p + q);

2) 20a2 − 5 = 5(4a2 − 1) = 5(2a − 1)(2a + 1);

3) c − c3 = c(1 − c2) = (1 − c)(1 + c);

4) 64a2 − a4 = a2(64 − c2) = a(82 – a2) = a(8 – a)(8 + a);

5) 5x2 − 10xy + 5y2 = 5(x2 − 2xy + y2) = 5(x − y)2;

6) 2b + 4bn + 2bn2 = 2b(1 + 2n + n2) = 2b(1 + n)2 .

29. Подайте у вигляді добутку:

1) 9a3 − 9b3 = 9(a3 − b3) = 9(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 2mn − 2bn + 6m − 6b = (2mn − 2bn) + (6m − 6b) = 2n(m − b) + 6(m − b) = = (m − n)(2n + 6) = 2(m − b)(n + 3);

3) 1 81p4 − 1 = (1 9p2 − 1)( 1 9p2 + 1) = (1 3p − 1)( 1 3p + 1)( 1 9p2 + 1);

4) m2 − 4mn + 4n2 − 25 = (m2 − 4mn + 4n2) − 25 = (m − 2n)2 − 52 = (m − 2n − 5)(m − 2n + 5);

5) b2 − 36 + b − 6 = (b2 − 36) + (b − 6) = (b – 6)(b + 6) + (b − 6) = (b − 6)(b + 6 + 1); 6) m2 − 4m – m2n + 4n = (m2 – m2n) + (−4m + 4n) = m2(m – n) – 4(m – n) = = (m – n)(m2 – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).

30. Розкладіть на множники многочлен:

1) am4 − m4 − an2 + m2 = (am4 − m4) + (−am2 + m2) = m4(a − 1) − m2(a − 1) = = (a − 1)(m4 − m2) = m2(a − 1)(m2 − 1) = m2(a − 1)(m − 1)(m + 1); 2) a3b − a3 − ab + a = (a3b − a3) + (−ab + a) = a3(b − 1) − a(b − 1) = (b − 1)(a3 − a) = = (b − 1) · a(a2 − 1) = a(b − 1)(a − 1)(a + 1); 3) (b3 + 1) + (−b2 − b) = (b + 1)(b2 − b + 1) − b(b + 1) = (b + 1)(b2 − b + 1 − b) = = (b + 1)(b2 – 2b + 1) = (b + 1)(b − 1)2; 4) x3 − 27 + x4 − 9x2 = (x3 − 27) + (x4 − 9x2) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x2(x − 3)(x + 3) = = (x − 3)(x2 + 3x + 9 + x2 (x + 3)) = (x − 3)(x3 – 4x2 + 3x + 9).

31. Доведіть тотожність: 1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)2 – 4 ) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3) тотожність доведена; 2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m2 + 9 – 6m)(m2 + 9 + 6m) = (m – 3)2(m + 3)2

2)

1)

2)

50° + 70° + 80° = 200° ≠ 180°.

30° + 60° + 90° = 180°.

1) ∠A = 180° - (43° + 54°) = 180° - 97° = 83°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.

38.5.

Нехай ∠3 невідомий кут трикутника.

1) ∠3 = 180° - (15° + 38°) = 180° - 53° = 127°.

2) ∠3 = 180° - (28° + 105°) = 180° - 133° = 47°.

3) ∠3 = 180° - (7° + 91°) = 180° - 98° = 82°.

38.6.

1) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші два

2) якщо

38.7.

∠3 = 180° - 126° = 54°.

38.8.

∠A + ∠B + ∠C = 180°,

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 58° = 122°.

38.9.

Нехай ∠1 = 62°. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.

38.10.

shkola.in.ua

38.11.

shkola.in.ua

38.12.

Нехай в ΔABC AB = BC. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA. AB = AC, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°.

Відповідь: 60°.

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 70°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо:

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь: 40°.

CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.

90°. 38.13.

shkola.in.ua shkola.in.ua

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°,

ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°.

∠ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°.

50°.

38.14.

shkola.in.ua

38.15.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠CAB = 50°.

∠ACB = ∠ABC як кути

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°.

Отже, ∠ACB = ∠ABC = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 65°.

shkola.in.ua

38.16.

38.17.

shkola.in.ua

38.18.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Мал. 1. ∠ABC = 70° (як вертикальний

з кутом, який дорівнює 70°).

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180°(80° + 70°) = 180° - 150° = 30°.

Мал. 2. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°).

∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180°(75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.

Мал. 1. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°).

∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°.

Мал. 2. ∠NML = 180° - 140° = 40° (як суміжний кут з кутом, рівним 140°).

∠MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML) = 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.

У ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 70°.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°. Оскільки CP бісектриса кута C, то ∠ACP = ∠PCB = 60° : 2 = 30°. Відповідь: 30°.

У ΔABC ∠B = 65°, ∠ACP = 40°. Оскільки CP бісектриса

C, то ∠ACB = 2∠ACP = 2 × 40° = 80°.

Отже, ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°.

Відповідь: 35°.

38.19.

shkola.in.ua

38.20.

shkola.in.ua

38.21.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

У трикутнику MNL ∠M + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°.

∠M + ∠N + ∠L = 180° як сума кутів трикутника.

∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°,

∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°,

∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°.

Відповідь: 60°, 80°, 40°.

У ΔABC ∠A + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°.

∠A + ∠B + ∠C = 180° як сума кутів трикутника.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°,

∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°,

∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°.

Припустимо, що в трикутнику всі кути

від 180°, що суперечить теоремі про суму

не менший ніж 60°.

38.22.

Припустимо,

180°, що суперечить

є кут, не більший за 60°.

38.23.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді

A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 5x. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°.

Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°.

Відповідь: 45°, 60°, 75°.

38.24.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х.

Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

10х = 180°; х = 18°.

Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 × 18° = 36°, 3 × 18° = 54°, 5 × 18° = 90°.

Відповідь: 36°, 54°, 90°.

38.25.

shkola.in.ua

38.26.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°.

Складемо рівняння: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°.

Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

shkola.in.ua

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠K = ∠M = x, тоді ∠L = x + 24°. Складемо рівняння: x + x + (x + 24°) = 180° (за теоремою

суму кутів трикутника). 3x + 24° = 180°; 3x = 156°; x = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

38.27

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином,

трикутник рівносторонній. 38.29.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∠C = х, тоді ∠В = х + 14°. Маємо рівняння:

80° + х + х + 14° = 180°;

2х = 180° – 94°;

2х = 86°;

х = 86° : 2;

х = 43°.

Отже, ∠С = 43°; ∠В = 43° + 14° = 57°.

2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х. Маємо рівняння:

80° + х + 3х = 180°;

х + 3х = 180° – 80°;

4х = 100°;

х = 25°;

Отже, ∠B = 25°; ∠C = 3 × 25° = 75°.

3) ∠В ∠С = 2 3. Введемо

∠В = 2х, ∠С = 3х:

80° + 2х + 3х = 180°;

2х + 3х = 180° – 80°;

5х = 100°;

х = 20°;

20° ∙ 2 = 40° –

В; 20° ∙ 3 = 60° –

x + 2x + 36° = 180°; 3x = 144°; x = 48.

38.31.

38.32.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Розглянемо ΔAOB і ΔDOC.

∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути).

∠A = 180° - (∠B + ∠AOB),

∠D = 180° - (∠C + ∠DOC).

Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D.

Отже, ΔAOB = ΔDOC за другою ознакою рівності трикутників.

shkola.in.ua

38.33.

shkola.in.ua

BC = B1C1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1

У ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B).

У ΔA1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1).

Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1.

Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою

трикутників (BC = B1C1, ∠B = ∠B1 - за умовою, ∠C = ∠C1 -

розв'язанням).

Нехай у ΔABC ∠A = 46°, ∠C = 64°, AP бісектриса ∠A, СК бісектриса ∠C. Розглянемо ΔAOC.

Оскільки AP бісектриса ∠A, то ∠OAC = 46° 2 = 23°.

Оскільки СК бісектриса ∠C, то ∠OCA = 64° 2 = 32°.

Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.

Звідси ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°.

Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать

бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC.

Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 55°.

38.34.

shkola.in.ua

Нехай у ΔABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. BM ⊥ AC, AK ⊥ BC.

У ΔABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки BM висота). ∠A + ∠ABM + ∠BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.

З ΔABK: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ BC).

За теоремою про суму кутів трикутника

∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°.

Звідси ∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°. Розглянемо ΔAOB. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°. Звідси ∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.

AOM = 180° - 150° = 30°.

30°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.35.

дорівнює 168° : 2 = 84°.

Відповідь: 12°, 84°, 84°.

180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.

Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2)

кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 92°, 44°, 44°.

38.36.

1) I випадок. Нехай кут 28° це кут у вершині рівнобедреного трикутника.

в основі дорівнює 180° - 28° = 152°,

152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 28°, 76°,

дорівнює 28°,

кут

= 124°.

Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут

180° - 106° = 74°, а кожен з

сума

shkola.in.ua

106°, 37°, 37°. 38.37. Нехай a ∥ b, c січна. ∠DAB і ∠EBA внутрішні односторонні кути, AC бісектриса кута DAB, BC бісектриса кута ABE. ∠DAB + ∠EBA = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів). Оскільки АС бісектриса ∠DAB, то ∠BAC = 1 2 ∠DAB.

Оскільки ВС бісектриса ∠EBA, то ∠ABC = 1 2 ∠EBA.

Отже, ∠BAC + ∠ABC = 1 2 ∠DAB + 1 2 ∠EBA = 1 2(∠DAB + ∠EBA) = 1 2 × 180° = 90°.

З ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (за теоремою

Звідси ∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже,

72°, 72°, 36°. 38.39

3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, кут у

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут

+

=

x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + x + 15° = 180°; 3x = 165°; x = 55°. Отже, кожен

дорівнює 55° + 15° = 70°.

Відповідь: 55°, 55°, 70°.

38.40.

тоді кут у вершині

ΔKLM рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°, KP

∠K, KP = 5 см.

Оскільки KP бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM.

∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою

трикутника).

Звідси ∠KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.

Отже, ∠KPM = ∠LMK. За ознакою рівнобедреного

38.41. PK = PL - KL = 56 мм - 3 см 4 мм = 56 мм - 34 мм = 22 мм. 38.42.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.44. ΔABC = ΔABD, оскільки AB = AC = CB, AB = AD = DB.

shkola.in.ua

38.45.

висотою, тобто AO ⊥ CD, O ∈ AB, отже, AB ⊥ CD.

1. 1) 20 ∙ 6 = 120 (м2) – площа клумби; 2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.

2. 1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) – ціна упаковки зі знижкою; 2) 7200 : 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин;

3) 2400 ∙ 23,8 = 57120 (грн) – потрібно заплатити за тюльпани.

Відповідь: 1) 23,8 грн; 2) 57120 грн.

38.46.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

39.6

39.7.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

39.12.

shkola.in.ua

39.13.

shkola.in.ua

39.14.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔABC

вершині В.

∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1).

Отже, ∠BAC + ∠BCA = 100°,

∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 50°.

Нехай ΔMNK рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55°.

∠DNK зовнішній кут

зовнішнього кута маємо:

∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110°.

Відповідь: 110°.

shkola.in.ua

Нехай ∠CAP = 105° (зовнішній кут

CAP = ∠B + ∠C

вершині A), ∠C = 45°.

Звідси ∠B = ∠CAP - ∠C = 105° - 45° = 60°.

Відповідь: 60°.

39.15. Нехай ∠BCD

shkola.in.ua

39.16.

shkola.in.ua

39.17.

shkola.in.ua

C, ∠A = 18°, ∠BCD = 120°.

∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута

трикутника).

Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102°.

Відповідь: 102°.

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.

∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом C).

∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з кутом A).

Відповідь: 115°, 110°, 135°.

Нехай ΔKLM даний трикутник, ∠NKL = 110°, ∠LMP = 140°.

∠NKL + ∠LKM = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°.

∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).

39.18.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°.

∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника).

Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

shkola.in.ua

28° 55° 85° 28° 112°

.

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140°.

Нехай ∠B = x, тоді ∠C = x + 30°.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння:

x + x + 30° = 140°;

2x = 110°; x = 55°.

Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.

Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠B = x, тоді ∠C = 4x. За

кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння:

x + 4x = 140°; 5x = 140°; x = 28°.

Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° × 4 = 112°.

Відповідь: 28°, 112°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠B = x, тоді ∠A = x + 20°. За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + x + 20° = 120°; 2x = 100°; x = 50°.

Отже, ∠B = 50°, ∠A = 50° + 20° = 70°.

Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = x, ∠B = 3x.

За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + 3x = 120°; 4x = 120°; x = 30°.

Отже, ∠A = 30°, ∠B = 3 × 30° = 90°.

Відповідь: 30°, 90°.

39.20.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

I

BC), ∠A = ∠C. За властивістю

∠DBC = ∠A + ∠C = 118°,

∠A = ∠C = 118° : 2 = 59°.

∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок. Нехай ΔABC даний рівнобедрений трикутник (BA = BC). ∠DAB і ∠BAC суміжні, їх сума дорівнює 180°.

∠BAC = 180° - 118° = 62°.

Оскільки ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠BCA = 62°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56°.

Відповідь: 62°, 62°, 56°.

39.21.

shkola.in.ua

I випадок. Зовнішній кут при вершині.

Нехай ΔABC даний рівнобедрений трикутник (AB = BC).

∠A = ∠C (як кути в основі рівнобедреного трикутника).

∠BDC = ∠A + ∠C за властивістю зовнішнього кута трикутника.

42° = ∠A + ∠C, звідси ∠A = ∠C = 42° : 2 = 21°.

∠B = 180° - 42° = 138°.

Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут при основі.

Цей випадок неможливий, бо тоді

а у трикутнику можливий тільки один тупий кут. 39.22. Нехай ΔKNL даний трикутник.

shkola.in.ua

RML =

shkola.in.ua

39.24.

shkola.in.ua

39.25.

shkola.in.ua

39.26.

shkola.in.ua

39.27.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

∠NLK = ∠K + ∠M = 7x + 9x = 16x.

∠PKL = ∠L + ∠M = 8x + 9x = 17x.

∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15x. Отже, відношення

кутів 17 : 16 : 15.

Відповідь: 17 : 16 : 15.

Нехай ΔPLK даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR суміжні. KM бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM. KN бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180°, ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180°, 2∠LKM + 2∠LKN = 180°, 2(∠LKM + ∠LKN) = 180°, ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.

Нехай ОК промінь, що проходить між сторонами ∠AOB, ∠AOK = x, ∠KOB = 90° - x. ∠KOB - ∠AOK = (90° - x) - x = 90° - 2x.

∠AOK + ∠KOB = 90°, 1 3(∠AOK + ∠KOB) = 30°.

Отже, 90° - 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°.

∠AOK = 30°, ∠KOB = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°.

39.28.

Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см.

Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 = 22,8; 5x = 21; x = 4,2.

Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см.

Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.

1. 1) 2 ∙ (32 + 18) = 100 (м) – периметр прямокутної ділянки; 2) 32 ∙ 18 = 576 (м2) – площа ділянок; 3) S□ = a2; a2 = 576 = 24 ∙ 24 ⇒ a = 24 (м) – сторона квадратної ділянки; 4) 24 ∙ 4 = 96 (м) – периметр квадратної ділянки. 100 м > 97 м; 96 м < 97 м.

Відповідь: садівник зможе

2. 1) 100 + 96 = 196 (м) – всього потрібно паркану; 2) 196 – 97 = 99 (м) – потрібно докупити.

Відповідь: 99 м.

39.29.

shkola.in.ua

АВ = 6 см, ВС = 3 см.

АВ : ВС = 6 : 3 = 2 (рази)

Відповідь: сторона ВС у 2

39.30.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

40.2.

3)

shkola.in.ua

40.3.

1) PF гіпотенуза, PL і LF катети.

2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF гіпотенуза.

shkola.in.ua

40.4.

shkola.in.ua

мал. 1 трикутники рівні за двома катетами. Оскільки AC = ML, CB = LP, то ΔACB = ΔMLP.

мал. 2 трикутники рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ΔNFE = ΔDKO.

мал. 1 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, ∠C = ∠B, то ΔCMK = ΔBAP. На мал. 2 трикутники рівні за катетом і гіпотенузою. Оскільки EF = LN, DF = QN, то ΔEDF = ΔLQN.

40.5.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.6.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠B = 18°, тоді

∠C = 90° - ∠B = 90° - 18° = 72°.

2) Якщо ∠L = 87°, тоді

∠M = 90° - 87° = 3°.

Відповідь: 1) 72°; 2) 3°.

1) Нехай ∠M = 75°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 75° = 15°.

2) Нехай ∠R = 23°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 23° = 67°.

Відповідь: 1) 15°; 2) 67°.

40.7. Нехай ΔABC прямокутний і рівнобедрений (∠B = 90°, BA = BC).

shkola.in.ua

∠A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника.

трикутника дорівнює 90° і вони рівні, то ∠A = ∠C = 90° : 2 = 45°.

90°, 45°, 45°.

40.8. Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ∠A = 45°, тоді ∠C = 45° (оскільки

shkola.in.ua

40.9.

shkola.in.ua

40.10.

shkola.in.ua

трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180°90° = 90°. Отже, ΔABC прямокутний.

1) Згідно з властивістю 3, катет

Отже, BC = 1 2 AB = 1 2 × 14 = 7 (см).

2) AB = 2BC = 2 × 5 = 10 (дм).

Відповідь: 1) 7 см; 2) 10 дм.

1) PF = 1 2 PL = 1 2 × 12 = 6 (дм); 2) PL = 2PF = 2 × 4 = 8 (см).

Відповідь: 1) 6 дм; 2) 8 см.

40.11.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.12.

shkola.in.ua

40.13.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠ABK = 36°, ∠KBC = 64°.

∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 36° + 64° = 100°.

З

прямокутного ΔABK маємо:

∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 36° = 54°.

З прямокутного ΔCBK маємо:

∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 64° = 26°.

Відповідь: 100°, 54°, 26°.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN медіана рівнобедреного трикутника, то LN бісектриса і висота ΔKLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 × 31° = 62°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то

∠K + ∠M + ∠L = 180°,

∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 62° = 118°.

∠K = ∠M як кути в основі рівнобедреного трикутника.

∠K = ∠M = 118° : 2 = 59°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

40.14.

shkola.in.ua

40.15.

кутом.

shkola.in.ua

катет. Отже, ΔMPK = ΔMLK за

shkola.in.ua

1)

90°, то маємо рівняння: x + x + 28° = 90°; 2x = 90° - 28° = 62°; x = 62° : 2 = 31°.

Отже, ∠B = 31°, ∠A = 31° + 28° = 59°.

Відповідь: 31°, 59°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 5x°. Оскільки

90°, то маємо: x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.

Отже, ∠A = 15°, ∠B = 15° × 5 = 75°.

Відповідь: 15°, 75°.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) Нехай в прямокутному

то маємо: 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 2 × 18° = 36°, ∠B = 3 × 18° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

Відповідь: українська поетеса Ліна Василівна Костенко.

40.16.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠A = 2x°, ∠B = 3x°.

shkola.in.ua

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 4x°.

Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо:

x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° × 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x, тоді ∠B = x + 16°.

Оскільки в прямокутному трикутнику сума

90°, то маємо:

x + x + 16° = 90°; 2x = 74°; x = 37°.

Отже, ∠A = 37°, ∠B = 37° + 16° = 53°.

Відповідь: 37°, 53°.

3) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = 5x, ∠A = 4x.

Оскільки сума гострих

90°, то маємо: 5x + 4x = 90°; 9x = 90°; x = 10°.

Отже, ∠B = 5 × 10° = 50°, ∠A = 4 × 10° = 40°.

Відповідь: 50°, 40°.

40.17. Нехай в прямокутному ΔKNM (∠M = 90°) MP бісектриса, ∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3 ΔKMP: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180° - (26° + 45°) = 109°.

Тоді ∠MPK = 180° - ∠KPM = 180° - 109° = 71°. Отже, менший

+ 68°) = 67° (за

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.19.

40.20.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

40.21.

shkola.in.ua

40.22.

BAC, MB ⊥ AB, MC ⊥

AC, BM = CM. Доведемо, що точка М належить

A, тобто ∠BAM = ∠CAM.

ΔABM = ΔACM за гіпотенузою і катетом (AM спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32°.

З ΔBDC: ∠C = 90° - ∠DBC = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°.

Відповідь: 58°, 32°.

Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°).

CM і BN бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45°,

∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°.

З ΔCOB за теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°.

Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°.

Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 × 20° = 40°.

З ΔABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ΔA1B1C1 рівнобедрений, A1B1 = B1C1, BK ⊥ AC, B1K1 ⊥ A1C1.

ΔABK = ΔA1B1K1 (за гіпотенузою AB = A1B1 і катетом BK = B1K1).

З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, AK = A1K1. Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = K1C1. Враховуючи, що AK = A1K1, маємо AC = A1C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними (AB = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, AC = A1C1 за доведенням). 40.23.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, AB + CB = 30 см, СК медіана. ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°). Нехай BC = x, тоді AB = 2x (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10, тоді 2x = 2 × 10 = 20. Отже, AB = 20 см. Оскільки СК медіана, проведена до гіпотенузи, то CK = 1 2 AB = 1 2 × 20 = 10 (см). Відповідь: 20 см, 10 см.

40.24.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔKMN прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, MP = 4 см.

З ΔKMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки MP бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30°. Отже, ΔPKM рівнобедрений, оскільки ∠K = ∠KMP, звідси PK = MP = 4 (см).

З ΔPMN: ∠PMN = 30°. Отже, PN = 1 2 MP = 1 2 × 4 = 2 (см).

KN = PK + PN = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

40.25.

shkola.in.ua

40.26.

shkola.in.ua

40.27.

shkola.in.ua

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠PAB і

∠ABK - зовнішні кути при вершинах гострих кутів.

Нехай ∠PAB = x°, тоді ∠ABK = x° + 20°.

∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси

∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - x°.

∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси

∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (x° + 20°) = 160° - x°.

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника

90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2x = 250°; x = 125°.

Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°.

Відповідь: 55°, 35°.

Нехай у прямокутному ΔKLM (∠M = 90°) ∠NKL і ∠KLP

зовнішні кути, ∠NKL = 2x°, ∠KLP = 3x°.

∠MKL = 180° - 2x°, ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутів).

∠MKL + ∠KLM = 90°;

Отже, 180° - 2x + 180° - 3x = 90°; 5x = 270°; x = 54°.

Отже, ∠MKL = 180° - 2 × 54° = 180° - 108° = 72°,

∠KLM = 180° - 3 × 54° = 180° - 162° = 18°.

Відповідь: 72°, 18°.

40.28.

shkola.in.ua

Нехай CM - медіана, PΔACM = PΔCMB. Оскільки PΔACM = AC + CM + AM, PΔCMB = BC + CM + MB і ці периметри рівні, то AC + CM + AM = BC + CM + MB.

Звідси AC + AM = BC + MB. Враховуючи, що AM = MB, матимемо AC = BC.

Отже, у трикутника ABC хоча б дві сторони рівні, а отже, рівні і хоча

Нехай в ΔABC ∠A = x°, ∠B = x° + 20°, ∠C = 3x°. За теоремою про суму

x + x + 20° + 3x = 180°; 5x = 160°; x = 32°.

Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 × 32° = 96°.

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.29.

40.30.

shkola.in.ua

Нехай у ∆ABC AB = BC = x см, тоді AC = (x + 3) см. За умовою задачі маємо: x + 3 + 4 = x + x; x + 7 = 2x; x = 7.

Отже, AB = BC = 7 см, AC = 7 + 3 = 10 (см).

PΔABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

1) 3,5 × 5,5 = 19,25 ≈ 20 (м2) – площа кімнати.

2) 130 × 20 = 2600 (грн) – потрібно заплатити за лінолеум.

Відповідь: 2600 грн. 40.31.

shkola.in.ua

АВ = 89 мм; ВС = 48 мм; АС = 66 мм.

(АВ + ВС) = 89 + 48 = 137 мм > АС = 66 мм; (AB + AC) = 89 + 66 = 155 мм > ВС = 48 мм; (AC + BC) = 66 + 48 = 114 мм > АВ = 89 мм.

Висновок: сума довжин двох сторін трикутника завжди більше

третьої сторони.

shkola.in.ua

40.32. § 41. Нерівність трикутника 41.1.

1) Трикутник зі сторонами 1 см, 2 см і 4 см

4 см > 1 см + 2 см. 2) Трикутник зі сторонами 7 дм, 6 дм, 5 дм існує,

7 дм < 6 дм + 5 дм.

3) Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 7 см не існує, бо не виконується

оскільки 7 см = 3 см + 4 см.

1) Трикутник зі сторонами 2 дм, 5 дм і 7 дм не існує, бо не виконується

оскільки 7 дм = 2 дм + 5 дм. 2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.4.

Тоді 4,3 - 2,7 < a < 4,3 + 2,7, тобто 1,6 < a < 7. Оскільки а - найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < a < 7, то a = 2 см.

Відповідь: 2 см.

41.5.

1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m.

числам 2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.

2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m.

Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 7, 8 і 15, оскільки 15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.

3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m.

Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника.

41.6.

1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 5, 1 і 4, бо не виконується

нерівність трикутника, оскільки 5m = m + 4m, де 5m, m, 4m довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 6 і 7, бо виконується

нерівність трикутника 7m < 6m + 5m, де 5m, 6m, 7m довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 8, 2, 11,бо не виконується

нерівність трикутника 11m > 8m + 2m, де 8m, 2m, 11m довжини сторін трикутника.

41.7.

Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, тоді

дорівнює 3 см, а основа дорівнює PΔ - (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см).

Трикутника зі сторонами 3 см, 3 см і 6 см не

трикутника, оскільки 6 см = 3 см + 3 см.

Відповідь: ні, не може.

41.8.

Бічною стороною даного рівнобедреного трикутника

см. Отже, бічна сторона

41.9.

3,7.

a = 2 або a = 3.

Якщо a = 2, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 2 = 5,7 (см). Якщо a = 3, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 3 = 6,7 (см).

Відповідь: 5,7 см або 6,7 см.

41.10.

1) Якщо одна

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

30 см - 16

1)

2)

40 дм - 20 дм = 20

20

= 20 дм (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати

дорівнює 40 дм - 19 дм = 21 дм і виконується нерівність трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін).

41.12.

Припустимо, що такий трикутник існує. Тоді х см довжина

сторони, (х - 2) см довжина другої сторони, (х + 4) см

x + (x - 2) + (x + 4) = 20; 3x + 2 = 20; 3x = 18; x = 6.

Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см. Але трикутника

такими сторонами не існує, бо

виконується нерівність трикутника 10 см = 6 см + 4 см. Відповідь: ні.

41.13.

Припустимо, що такий трикутник існує. Нехай х см довжина однієї сторони, (х + 6) см довжина другої сторони, (х - 1) см довжина третьої сторони.

Складемо рівняння: x + (x + 6) + (x - 1) = 23; 3x + 5 = 23; 3x = 18; x = 6.

Але трикутника зі сторонами 6 см, 12 см і 5 см не існує, бо не виконується нерівність

трикутника 12 см > 6 см + 5 см.

Відповідь: ні.

41.14.

shkola.in.ua

41.15.

shkola.in.ua

Нехай у ∆ABC ∠A = x°, тоді ∠B = 3x°, ∠C = x° - 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + 3x + (x - 15°) = 180°; 5x = 195°; x = 39°.

Отже, ∠A = 39°, ∠B = 3 × 39° = 117°, ∠C = 39° - 15° = 24°.

Відповідь: 39°, 117°, 24°.

Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 - прямокутні. AB = A1B1, BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1, BH = B1H1.

∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, BH = B1H1), тоді ∠A = ∠A1.

∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом і гострим кутом: AB = A1B1, ∠A = ∠A1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.17.

shkola.in.ua

Отже,

2) Розглянемо 2025. Це число непарне, тобто воно

не зможе опинитися у точці, віддаленій на 2025 см.

Відповідь: 1) зможе; 2) не зможе. Домашня самостійна

1.

6).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

7.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

оскільки 8 см > 2,7 см + 4,2 см.

кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см.

Правильна відповідь Б).

8.

9.

shkola.in.ua

AK бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°.

CM бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = 30°.

З ∆AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180°(25° + 30°) = 125°.

Оскільки кутом між прямими є кут градусною мірою менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з

кутом AOC, який дорівнює 180° - 125° = 55°.

Правильна відповідь Г).

Довжина однієї з його

трикутника, оскільки 16 см - 8 см = 8 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших).

Правильна відповідь А).

10.

shkola.in.ua

Нехай в ∆ABC AB = BC, AK бісектриса, ∠KAC = 1 2 ∠BAC. Нехай ∠KAC = x, тоді ∠A = 2x, ∠C = ∠A = 2x (як кути при основі рівнобедреного трикутника). Оскільки AK = AC, то ∆KAC рівнобедрений з основою KC. ∠K = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника), ∠K = 2x.

За властивістю суми

x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.

∠A = ∠C = 36° × 2 = 72°. Правильна відповідь Б).

дорівнює 360°, маємо: 3x + 5x + 7x = 360°, 15x = 360°; x = 24°.

Отже, зовнішні кути дорівнюють 72°, 120°, 168°.

Тоді найменший

відповідь А). 12.

shkola.in.ua

вершині,

180° - 168° = 12°.

Нехай ∆АСВ прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 60°, CM медіана. ∠CAB = 30°, CB

CB = x см.

AB = 2x (за

30°), CM = 1 2AB = x (за

Отже, CM + CB = 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см.

В).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1.

то

CMB = 90°.

∠MCB = 180° – (∠CMB + ∠MBC) = 180° – (90° + 40°) = 50°. 2. Оскільки

то ∠MCB = 45°.

∠CMB = 180° – (∠MCB + ∠MBC) = 180° – (45° + 40°) = 85°.

3. ∠РBС = 1 2 ∠B = 1 2 × 40° = 20°.

∠MCB = 1 2 ∠С = 1 2 × 90° = 45°.

Згідно теореми про суму кутів трикутника:

∠CОB = 180° – (∠ОCB + ∠ОBC) = 180° – (45° + 20°) = 115°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6.

shkola.in.ua

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному △ABP: ∠A = 90° − 32° = 58°.

3) В прямокутному △PBC: ∠C = 90° − 67° = 23°.

Відповідь: 99°; 58°; 23°.

Нехай третя сторона дорівнює x см. Тоді |6,3 − 5,2| < x < 6,3 + 5,2; 1,1 < x < 11,5. x = 11 (см) найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя

сторона.

Відповідь: 11 см.

7.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x; ∠C = x − 16°.

2) Маємо x + 2x + x − 16° = 180°. 4x = 196°; x = 196° : 4; x = 49°.

3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 · 49° = 98°; ∠C = 49° − 16° = 33°.

Відповідь: 49°; 98°; 33°.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KCB = 112° зовнішній

трикутника.

2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна

позначити ∠B = 3x; ∠A = 5x.

3) Маємо за властивістю зовнішнього кута

трикутника: 3x + 5x = 112°; 8x = 112°; x = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 · 14° = 42°; ∠C = 5 · 14° = 70°.

Відповідь: 42°; 70°.

shkola.in.ua

1) ∠CBM = ∠MBD = 60° 2 = 30°.

2) У △CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).

3) В △CBM: ∠B = 90° − 60° = 30°.

4) Трикутник BMD рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°, тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA

трикутника.

∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6.

Позначимо ∠KAB = 4x; ∠ABM = 5x; ∠NCA = 6x.

2) Маємо 4x + 5x + 6x = 360°.

15x = 360°; x = 360° : 15; x = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° − 4 · 24° = 84°;

∠ABC = 180° − 5 · 24° = 60°;

∠BCA = 180° − 6 · 24° = 36°.

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

1) Нехай AB = x см, тоді AC = (x − 3) см, BC = (x + 5) см.

2) Тоді x + x − 3 + x + 5 = 23; 3x − 5 = 23; 3x = 21; x = 7 (см).

3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 − 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.

Відповідь: Не існує.

Вправи для повторення теми 8 До § 38

1.

1) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (65° + 29°) = 86°

2) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (37° + 116°) = 27°

Відповідь: 1) 86°; 2) 27°.

2.

shkola.in.ua

1) Оскільки ∠KCB = 32° і СК - бісектриса, то ∠ACB = 2∠KCB = 2 × 32° = 64°.

∠B = ∠ACB = 64°, оскільки кути при основі рівнобедреного

трикутника рівні. Тоді ∠A = 180° - ∠ACB - ∠B = 180° - 64° - 64° = 52°.

2) ∠ACB = ∠B - оскільки ΔABC - рівнобедрений. ∠ACB = ∠B = 180° 56° 2 = 62°.

Оскільки СК - бісектриса, то ∠ACK = ∠KCB = 1 2 ∠ACB = 1 2 × 62° = 31°.

Відповідь: 1) 52°; 2) 31°.

shkola.in.ua

180° - 60° = 120°. Звідси 2x + 3x = 120°; 5x = 120°; x = 24°.

Отже, один із шуканих

Відповідь: 48°, 72°.

6.

shkola.in.ua

дорівнює 2 х 24° = 48°, другий - 3 х 24° = 72°.

Нехай ΔABC - рівносторонній, AB = BC = AC, AL, BH - медіани, AH = HC, BL = LC.

Оскільки ΔABC - рівносторонній, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки AL і BH - медіани рівностороннього трикутника, то вони є бісектрисами і висотами, тоді ∠LAH = 60° : 2 = 30°, ∠BHA = 90°.

З ΔAOH: ∠AOH = 180° - ∠OAH - ∠OHA = 180° - 30° - 90° = 60°.

Відповідь: 60°. 7.

shkola.in.ua

Нехай в ΔABC: BL бісектриса, BK висота, BK ⊥ AC, ∠KBL = 16°, ∠BCA = 50°. З ΔBKL: ∠BLK = 180° - ∠BKL - ∠KBL = 180°90° - 16° = 74°. ∠BLC + ∠BLK = 180° як суміжні

∠BLC = 180° - ∠BLK = 180° - 74° = 106°.

З ΔBLC: ∠LBC = 180° - ∠BLC - ∠C = 180° - 106° - 50° = 24°.

Оскільки BL - бісектриса, то ∠ABC = 2 × 24° = 48°.

З ΔABC: ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 48° - 50° = 82°.

Відповідь: 48°, 82°.

8.

1) Нехай x° - шуканий кут, тоді сума двох інших кутів дорівнює 5x. Звідси x + 5x = 180°; 6x = 180°; x = 30°. Отже, шуканий кут дорівнює 30°.

2) Нехай x° - шуканий кут, тоді маємо рівняння: x + 40° = 180° - x; 2x = 140°; x = 70°.

Отже, шуканий кут дорівнює 70°.

9.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай △ABC - рівнобедрений, AC = CB, ∠A = ∠B, AK –бісектриса, ∠AKB = 60°. Нехай ∠KAB = x, тоді ∠CBA = 2x. ∠KAB + ∠CBA + ∠AKB = 180° (за властивістю суми кутів трикутника). x + 60° + 2x = 180°; 3x = 120°; x = 40°. Отже, ∠KAB = 40°, ∠KBA = 2 × 40° = 80°.

2) Нехай ΔABC - рівнобедрений, AC = AB, ∠A = ∠B.

AK - бісектриса, ∠CAK = ∠KAB, ∠AKC = 111°.

∠AKC + ∠AKB = 180° - як суміжні кути. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 111° = 69°.

Нехай ∠KAB = x, тоді ∠B = 2x.

З ΔAKB: ∠KAB + ∠AKB + ∠KBA = 180°, x + 69° + 2x = 180°; 3x = 111°; x = 37°.

Отже, ∠A = ∠B = 37° × 2 = 74°, тоді ∠C = 180° - 2 × 74° = 180° - 148° = 32°.

Відповідь: 1) 80°; 2) 32°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

∠1, ∠2, ∠3 – зовнішні кути трикутника MNK при вершинах M, N, K відповідно.

11. Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠BCA. ∠BCK + ∠BCA = 180° - як суміжні кути. ∠BCA = 180° - 150° = 30°. ∠A = ∠BCA = 30°.

shkola.in.ua

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠BCA = 180°.

Звідси ∠B = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 120°, 30°, 30°. 12.

1) Зовнішній

102° > 80°.

2) Зовнішній кут трикутника, не суміжний

80°, не

оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який

дорівнювати 80°,

3) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, не може дорівнювати 75°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

13.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

.

shkola.in.ua

Нехай ∠1 = 115°, ∠2 = 137°.

маємо: ∠NMK = 180° - ∠1 = 180° - 115° = 65°.

NKM = 180° - ∠3 = 180° - 137° = 43°.

2 = ∠NMK + ∠NKM = 65° + 43° = 108°

∠CBD = 140°, ∠A = 2x, ∠C = 3x.

2x + 3x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠A = 2 × 28° = 56°, ∠C = 3 × 28° = 84°, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 56° - 84° = 40°. Відповідь: 56°, 84°, 40°.

shkola.in.ua

100°, це неможливо

Нехай в ΔKMN ∠PMN = 80°, тоді ∠KMN = 180° - 80° = 100° (оскільки

За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо ∠K+∠L = ∠PMN, ∠K = ∠L = 1 2 ∠PMN = 1 2 × 80° = 40°.

Відповідь: 100°, 40°, 40°. 17.

Припустимо, що існує трикутник, у якого зовнішні кути при кожній

120°, тоді кожний внутрішній кут буде меншим 60° і сума внутрішніх кутів трикутника

буде меншою за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

Отже, припущення невірне. Не існує трикутника, у якому зовнішні кути при кожній

вершин більші за 120°. 18.

shkola.in.ua

Нехай ∠CBF = ∠CAD = ∠C. ∠CBF = 180° - ∠CBA, ∠CAD = 180° - ∠CAB, тоді ∠C = ∠CBF - ∠CAD = 180° - ∠CBA - 180° + ∠CAB = ∠CAB∠CBA.

Звідси ∠CAB = ∠C + ∠CBA. ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки ∠C + ∠CBA = ∠CAB, маємо ∠CAB + ∠CAB = 180°, 2∠CAB = 180°, ∠CAB = 90°. Отже, ΔABC – прямокутний. До § 40 19.

shkola.in.ua

20.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Не слідує. На мал. ΔABC ≠ ΔDBC, проте BC ΔABC = BC ΔBCD.

2) Слідує.

3) Не слідує ΔABC ≠ ΔA1B1C1, проте ∠A = ∠A1 = 30°, ∠C = ∠C1 = 60°.

1) ∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°, оскільки сума

90°.

2) PK = �������� 2 = 24 2

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай ΔKLM - прямокутний, ∠K = 3x°, ∠L = 7x°. Оскільки сума

кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3x + 7x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. Отже, ∠K = 3 × 9° = 27°, ∠L = 7 × 9° = 63°. Відповідь: 27°, 63°.

shkola.in.ua

ΔABC (∠B = 90°), BF ⊥ AC, ∠ABD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC -

∠DBF = 45° - 15° = 30°.

З прямокутного трикутника BCF: ∠BCF = 90° - ∠FBC = 90°30° = 60°.

З прямокутного ΔABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих

трикутника дорівнює 90°.

24.

25.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

26.

Відповідь: 60°, 30°.

Нехай ΔABC - прямокутний, AC = BC, CD ⊥ AB, CD = 5 см. Оскільки ΔABC - рівнобедрений, то CD - є медіаною.

Отже, AB = 2CD = 2 × 5 = 10 (см) за властивістю медіани

прямокутного трикутника. Відповідь: 10 см.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°. ∠MAB = ∠���� 2 = ���� 2 , ∠MBA = ∠���� 2 = ���� 2 , тоді ∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠MBA = = 180°���� 2���� 2 = 180°1 2(α + β) = 180°1 2 × 90° = 180° - 45° = 135°.

∠LMB - суміжний з кутом AMB. ∠LMB = 180° - 135° = 45°. Відповідь: 45°.

Нехай в ΔABC (∠A = 90°), ∠B = 30°, BA = 24 см, CD - бісектриса кута C;

∠BCD = ∠DCA. З ΔABC маємо: ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

BCD = ∠DCA = 60° : 2 = 30°. ΔBCD - рівнобедрений,

∠B =

shkola.in.ua

BCD, отже, CD = BD. З ΔDCA: DA = 1 2CD (оскільки ∠DCA = 30°).

маємо: BA = BD + DA = CD + 1 2CD = 24, 11 2CD = 24, CD = 24 : 11 2 = 24 : 3 2 = 48 3 = 16 (см). Відповідь: 16 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

29.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, AD ⊥ BC, ∠ABC = 120°, AD = a см.

З ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

З прямокутного ΔADC: AC = 2AD = 2 × a = 2a (см).

Відповідь: 2a см.

Нехай в прямокутному ΔABC CD - медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) × 2 = 60°.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині

гіпотенузи, то AB = 2CD = 2 × 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, ΔCDB – рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, ΔCDB – рівносторонній, CB = CD = DB = 10 см. Відповідь: 20 см, 10 см.

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), CH - висота, CL - бісектриса, CM - медіана, ∠HCL = β. Доведемо, що ∠LCM = β. Оскільки CL - бісектриса, то ∠ACL = ∠LCB = 90° : 2 = 45°, тоді ∠ACH = ∠ACL - ∠HCL = 45° - β.

З прямокутного ΔACH: ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - (45° - β) = 45° + β.

З прямокутного ΔABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° + β) = 45° - β.

ΔCMB - рівнобедрений, оскільки CM = MB (за властивістю медіани, проведеної до

гіпотенузи), тоді ∠MCB = ∠B = 45° - β.

Отже, ∠LCM = ∠LCB - ∠MCB = 45° - (45° - β) = 45° - 45° + β = β.

Отже, бісектриса прямого

вершини прямого кута, навпіл. До § 41 30.

Нехай третя сторона

DA = AB : 2 = 21 : 2 = 10,5 (см).

< 6 + 4 = 10 (см).

shkola.in.ua

2)

см + 2 см. Отже, бічна сторона дорівнює 5 см

трикутника

5 см, 5 см, 2 см.

3) Бічною стороною рівнобедреного трикутника

сторона, що дорівнює 6 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 12 см = 6 см + 6 см. Отже, бічна сторона дорівнює 12 см і сторони трикутника дорівнюють 12 см, 12 см, 6 см. 34.

Нехай одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3m см, друга - 7m см. Сторона 3m см не може бути стороною рівнобедреного трикутника,

оскільки 7m > 3m + 3m. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7m, 7m, 3m,

тоді 7m + 7m + 3m = 51, 17m = 51, m = 3.

Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 × 3 = 21 (см), 3 × 3 = 9 (см).

Відповідь: 21 см, 21 см, 9 см.

42.1. Чи

3)

ТЕМА 9. ФУНКЦІЇ

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

P

Р = 2(х + 6).

Якщо x = 2, то P = 2(2 + 6) = 2 ∙ 8 = 16 (дм);

якщо x = 4, то P = 2(4 + 6) = 2 ∙ 10 = 20 (дм);

якщо x = 5, то P = 2(5 + 6) = 2 ∙ 11 = 22 (дм);

якщо x = 15, то P = 2(15 + 6) = 2 ∙ 21 = 42 (дм).

42.8. Функцію

2) Якщо x = –3, то у = –2 ∙ (–3) = 6; якщо х = 0, то у = –2 ∙ 0 = 0;

якщо x = 8, то у = –2 ∙ 8 = –16.

42.9. Обчисліть значення функції,

що дорівнюють –2; 0; 5; 10.

Якщо x = –2, то у = 5 ∙ (–2) – 7 = – 10 – 7 = –17; якщо x = 0, то y = 5 ∙ 0 – 7 = 0 – 7 = –7;

якщо x = 5, то y = 5 ∙ 5 – 7 = 25 – 7 = 18;

якщо x = 10, то y = 5 ∙ 10 – 7 = 50 – 7 = 43.

42.10. Знайдіть

дорівнюють –40; –10; 4; 5.

Якщо х = – 40, то у = –20 40 = –1 2 = –0,5;

якщо x = –10, то у = –20 10 = –2;

якщо х = 4, то у = 20 4 = 5;

якщо х = 5, то у = 20 5 = 4.

42.11.

20

х = –12, то у = –6 12 = –0,5;

x = –5 , то у = –6 5 = –1,2; якщо х = –3 , то у = –6 3 = –2;

х = 2, то у = 6 2 = 3; якщо x = 4, то у = 6 4 = 1,5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

якщо х = 8, то у = 6 8 = 0,75; якщо х = 10, то у = 6 10 = 0,6.

Якщо х = –7, то у = 4 ∙ (–7 ) + 3 = –28 + 3 = –25;

якщо х = –5, то у = 4 ∙ (–5) + 3 = –20 + 3 = –17; якщо х = –3, то у = 4 ∙ (–3) + 3 = –12 + 3 = –9;

якщо х = –1, то у = 4 ∙ (–1) + 3 = –4 + 3 = –1;

якщо х = 2, то у = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11;

якщо х = 4, то у = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19;

якщо х = 6, то у = 4 ∙ 6 + 3 = 24 + 3 = 27;

якщо х = 8, то у = 4 ∙ 8 + 3 = 32 + 3 = 35. x –7 –5 –3 –1 2 4 6 8

–25

значенням аргументу, що дорівнюють 1; 2,4; 3; 5,8.

Залежність S від t задається формулою S = 65t.

Якщо t = 1, то S = 65 ∙ 1 = 65;

якщо t = 2,4, то S = 65 ∙ 2,4 = 156;

якщо t = 3, то S = 65 ∙ 3 = 195;

якщо t = 5,8, то S = 65 ∙ 5,8 = 377.

42.16. Кожному

2; 7; 13; 20. N = 3n.

Якщо n = 2, то N = 3 ∙ 2 = 6;

якщо n = 7, то N = 3 ∙ 7 = 21;

якщо n = 13, то N = 3 ∙ 13 = 39;

якщо n = 20, то N= 3 ∙ 20 = 60.

42.17.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

в нуль. 42.19. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція

6; 9; 15; 2) функція у = 5х – 1 набуває

–1; 4; 14. 1) у = –3х.

якщо y = –6: –6 = –3х; х = 6 : 3; х = 2; якщо y = 9: 9 = –3х; х = –9 : 3; х = –3 ; якщо y = 15: 15 = –3х; х = –15 : 3; х = –5; 2) y = 5х – 1. якщо y = –1: –1 = 5х – 1; 5х = 0; х = 0; якщо y = 4: 4 = 5х – 1; 5х = 5; х = 1; якщо y = 14: 14 = 5х – 1; 5х = 15; х = 3.

42.20. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція у = 4х

–8; 0; 12; 2) функція у = 3 – 2х набуває значення –1; 3; 17. 1) у = 4х.

якщо у = –8: –8 = 4х; х = –8 : 4; х = –2; якщо у = 0: 0 = 4х; х = 0 : 4; х = 0; якщо у = 12: 12 = 4х; х = 12 : 4; х = 3; 2) у = 3 – 2х. якщо у = –1: –1 = 3 – 2х; 2х = 4 ; х = 2; якщо у = 3: 3 = 3 – 2х; 2х = 0; х = 0; якщо у = 17: 17 = 3 – 2х; 2х = –14; х = –7.

42.21. Функцію

2)

4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) x2 – х = 0; х(х – 1) = 0; х = 0

2)

1) T = 20 + 5t;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

t = 7; 9; 10. 3)

T = 45; 60; 70. 4)

2) якщо t = 7, то T = 20 + 5 ∙ 7 = 20 + 35 = 55; якщо t = 9, то T = 20 + 5 ∙ 9 = 20 + 45 = 65; якщо t = 10, то T= 20 + 5 ∙ 10 = 20 + 50 = 70;

3) T = 45, якщо: 45 = 20 + 5t; 5t = 25; t = 5; T = 60, якщо: 60 = 20 + 5t; 5t = 40; t = 8; T = 70, якщо: 70 = 20 + 5t; 5t = 50; t = 10;

4) вода закипить, якщо T= 100, тому: 100 = 20 + 5t; 5t = 80; t = 16.

42.28. Велосипедистка

t, для якого s = 34; 55; 70. 1) S = 10 + 15t; 2)

якщо t = 1, то S = 10 + 15 ∙ 1 = 10 + 15 = 25; якщо t = 2, то S = 10 + 15 ∙ 2= 10 +30 = 40; якщо t = 5, то S = 10 + 15 ∙ 5 = 10 + 75 = 85; 3)

42.29. У таблиці

якщо S = 34: 34 = 10 + 15t; 15t = 24; t = 1,6; якщо S = 55: 55 = 10 + 15t; 15t = 45; t = 3; якщо S = 70: 70 = 10 + 15t; 15t = 60; t = 4.

х.

1) значення у, якщо х = –4; –1; 0; 3; 2) значення х,

то у =

х =

то у = 5; якщо х = 3, то у = –2; 2) у = –3, якщо x = –4 або х = – 1; у = –2, якщо х = –3 або х = 3; у = 5, якщо х = 0; 3) якщо х = 1, то у = 1;

числа –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4; 5) область значень функції складають числа

х = –8, то у = –1; якщо

х = –2; у = 2; 4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

0. у = 0,6 – 0,3х. x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 1,2 0,9 0,6 0,3 0 –0,3 –0,3 –0,9

1) якщо х = 0, то у = 0,6; 2) у = 0, якщо х = 2.

42.32. Знайдіть значення функції

1) y = �4x – 3, якщо х < 0, – 2x, якщо х ≥ 0,

Якщо x = –5, то y = 4(–5) – 3 = –23;

якщо x = 0, то y = –2 · 0 = 0;

якщо x = 3, то y = –2 · 3 = –6;

42.33. Знайдіть значення

1) y = �7x – 2, якщо х ≤ 0, – 3x, якщо х > 0,

Якщо x = –2, то y = 4(–2) – 2 = –16;

якщо x = 0, то y = 7 · 0 – 2 = –2;

х = –5; х = 0; х = 3, якщо:

2) y = � 7, якщо х ≤ 0, – x², якщо х > 0.

Якщо x = –5, то y = 7;

якщо x = 0, то y = 7;

якщо x = 3, то y = 32 = 9.

якщо x = 4, то y = –3 · 4 = –12; 2) y = � 3, якщо х ≤ 2, – x², якщо х > 2.

42.34. Знайдіть найменше значення функції

= х2 + 2х + 5 = x2 + 2х + 4 + 1 = (х + 2)2 + 1.

–2; 0; 4, якщо:

Якщо x = –2, то y = 3; якщо x = 0, то y = 3; якщо x = 4, то y = –42 = –16.

2 + 2х + 5.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) y = x + 2, де –4 ≤ х ≤ 3;

shkola.in.ua

2) точка С(2; 5) не належить

3) якщо х = –3 , то у = –1; якщо х = 1, то y = 3;

4) y = 1, якщо x = –1; y = 5, якщо x = 3.

43.5. He виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = 5х; у = 0, якщо: 0 = 5х; х = 0; 2) y = 3х – 6; y = 0, якщо: 0 = 3х – 6; 3x = 6; x = 2;

3) y = –���� 10 ; у = 0, якщо: 0 = –���� 10 ; х = 0;

4) y = 5 x 8 ; y = 0, якщо: 0 = 5 x 8 ; 0 = 5 – x; x = 5.

43.6. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = –3x; y = 0, якщо: 0 = –3х; х = 0;

2) y = 12 – 4х; y = 0, якщо: 0 = 12 – 4x; 4x = 12; х = 3;

3) y = ���� 3 ; y = 0, якщо 0 = ���� 3 ; х = 0;

4) y = x + 2 4 ; y = 0, якщо: 0 = x + 2 4 ; х + 2 = 0; х = –2.

43.7. За графіком, знайдіть:

2)

1) Точка (1; –2 ) належить

–2 = 12 – 3 ∙ 1; –2 = –2

рівність; 2) точка (–2; –2 ) не належить графіку функції у – у2 – 3х, бо: –2 = (–2)2 – 3 ∙ (–2); –2 = 10 неправильна рівність;

3) точка (0; –3) не належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –3 = 0 – 3 ∙ 0; –3 = 0 неправильна рівність;

4) точка (–1; 4) належить графіку функції у = х2 – 3х, бо:

4 = (–1)2 – 3 ∙ (–1); 4 = 4 правильна рівність.

43.10. He будуючи графіка функції у = 2х + х2, з’ясуйте, чи належить йому точка:

1) Точка (1; 3) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ 1 + 1; 3 = 3 правильна рівність;

2) точка (–1; 3) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ (–1) + (–1)2; 3 = –1 неправильна рівність;

3) точка (0; 0) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

0 = 2 ∙ 0 + 0; 0 = 0 правильна рівність; 4) точка (–2; 4) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 4 = 2 ∙ (–2) + (–2)2; 4 = 0 неправильна рівність. 43.11. За графіком знайдіть: 1) значення

1,5; 4; 2) значення х,

у = –2,5; –1,5; 1; 3) нулі функції; 4) значення аргументу,

яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція

від’ємних значень.

1) Якщо х = –3, то у = –2; якщо х = –2, то у = –2,5; якщо х = –0,5, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 2,5; якщо х = 4, то у = –1; 2) у = –2,5, якщо х = –2; у = –1,5, якщо х = –1,5 або х = 3,5; у = 1, якщо х = –0,5 або х = 2,5;

3) х = –1 і х = 3 нулі функції; 4) функція

додатних значень, якщо –1 < х < 3; 5) функція

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2; 0; 1; 2)

shkola.in.ua

у = 2; 4; 6. 1) Якщо х = –2, то у = 3; якщо x = 0, тo y = 5; якщо х = 1, то у = 6; 2) у = 2, якщо x = –3 і х = 3; у = 4, якщо x = –1 і х = 2; у = 6, якщо х = 1. 43.14.

М(–2; –1), N(2; 3), L(6; –1).

= –2; 0; 2; 5; 2)

у = –1; 1; 3. 1) Якщо х = –2, то у = –1; якщо x = 0, то у = 1; якщо х = 2, то у = 3; якщо х = 5, то y = 0; 2) у = –1, якщо x = –2 і x = 6; у = 1, якщо x = 0 і x = 4; у = 2, якщо x = 1 і x = 3.

shkola.in.ua

43.15. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) у = x2 – 4x; у = 0, якщо: 0 = x2 – 4x; x(x – 4) = 0; x = 0 або x – 4 = 0; x = 0 або х = 4; 2) у = 16 – х2; у = 0, якщо: 0 = 16 – х2; (4 – x) (4 + x) = 0; 4 – x = 0 або 4 + x = 0; x = 4 або х = –4; 3) у = 2х2 + 10х; у = 0, якщо: 0 = 2x2 + 10x; 2x(x + 5) = 0; 2x = 0 або x + 5 = 0; x = 0 або x = –5.

43.16. He будуючи графіка, знайдіть

1) у = x2 + 2х; у = 0, якщо: x2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x + 2 = 0; x = 0 або х = –2;

2) у = x2 – 25; у = 0, якщо: x2 – 25 = 0; (х – 5)(x + 5) = 0; x – 5 = 0 або x + 5 = 0; x = 5 або x = –5;

3) у = 12x – 3x2; у = 0, якщо: 12x – 3x2 = 0; 3x(4 – x) = 0; х = 0 або 4 – х = 0; x = 0 або х = 4.

43.17.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

43.18.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

43.19

1)

якщо

43.21. Спростіть вираз:

1) (а – 5)(а + 5) – а(а + 7) = a2 – 25 – a2 – 7а = –7a – 25;

2) m(m – 4) + (9 – m)(m + 9) = m2 – 4m + 81 – m2 = 81 – 4m;

3) 2а(а – b) – (а – b)2 = (а – b)(2а – а + b) = (а – b)(а + b) = а2 – b2;

4) (q + 5р)(5р – q) – (p – 5q)2 – 10pq =

43.22. Доведіть,

трицифрове

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові. § 44. Лінійна функція, її графік та властивості 44.1. Чи є лінійною функція: 1) Функція, задана формулою у = 2х – 3, є лінійною;

2) функція, задана формулою у = 4х – х2, не є лінійною;

3) функція, задана формулою у = 3, є лінійною;

4) функція, задана формулою у = 4 ���� , не є лінійною функцією;

5) функція, задана формулою y = ���� 3 – 1, є лінійною;

6) функція, задана формулою у = х – 1 – х6, не є лінійною функцією.

44.2. Які з даних функцій є лінійними:

1) Функція у = 2х2 – 7 не є лінійною;

2) у = 3х – 1

3) функція у = 10 ���� не є лінійною функцією;

4) у = ���� 2 + 3

5) у = –4 лінійна функція; 6) функція у = 7х – x3 не є лінійною.

44.3.

1) y = 2х; 5) y = –���� 2 ; 6) y = ���� 2 .

44.4. Чи є

1) у = –3х; 5) у = ���� 3 ; 6) у = –���� 3 . 44.5. Назвіть коефіцієнти k і l у

функцій: 1) у = –0,8х + 7. Коефіцієнт k дорівнює –0,8, а коефіцієнт b 7; 2) у = 6 – х. Коефіцієнт k дорівнює – 1, а коефіцієнт b 6; 3) y = ���� 3 . Коефіцієнт k дорівнює 1 3, а коефіцієнт b 0; 4) у = 2,4х. Коефіцієнт k дорівнює 2,4, а коефіцієнт b 0; 5) у = –15. Коефіцієнт k дорівнює 0, а коефіцієнт b –15; 6) у = 0. Коефіцієнт k дорівнює 0 і

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12; 0; 18; 2)

2,5. 1) Якщо х = –12, то у = 0,5 ∙ (–12) + 3 = –6 + 3 = –3; якщо х = 0, то у = 0,5 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 3; якщо х = 18, то у = 0,5 ∙ 18 + 3 = 9 + 3 = 12; 2) якщо у = –4: –4 = 0,5х + 3; 0,5х = –7; х =

2,5: 2,5 = 0,5х + 3; 0,5х = –0,5; х = –1. 44.10. Дано лінійну функцію

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.15.

1) y = x – 3;

x 0 3

y –3 0

44.16.

1) y = x + 2;

x 0 –2

y 2 0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = 0,5x – 3; x 0 2 y –3 –2

2) y = –3x + 1; x 0 2 y 1 –5

2) y = –3x + 4; x 0 1 y 4 1

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

4) y = 2 3 x – 1; x 0 3 y –1 1

 shkola.in.ua

shkola.in.ua

5) y = –1; x 0 2 y –1 –1

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6) y = –x + 2,5. x 0 2,5 y 2,5 0 44.17.

shkola.in.ua

1) y = x – 1; x 0 1 y –1 0

shkola.in.ua

3) y = –0,5x + 3; x 0 2 y 3 2

shkola.in.ua

2) y = –2x + 5. x 0 1 y 5 3

shkola.in.ua

shkola.in.ua

4) y = 3 4x + 1; x 0 4 y 1 4

shkola.in.ua

5) y = 4;

6) y = x – 1,5;

 shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.18

у = –5; i у = 2х –7.

44.21. Серед

функції у = 4x

4 = 4 ∙ 1; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції y – 2x – 2 не проходить через точку (1; –4 =), бо: –4 = 2 ∙ 1 – 2; – 4 = 0 неправильна рівність;

3) графік функції у = 1 не проходить через точку (1; –4), бо: –4 = 1 неправильна рівність;

4) графік функції у = –4 проходить через точку ( 1; –4), бо: –4 = –4 правильна рівність;

5) графік функції у = –4x проходить через точку (1; –4), бо:

2 = 1,8

4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5 – 7; –2 = 2

11 = 1,8 ∙ 10 – 7; 11 = 11

44.23. He

у = –3х + 7

–4 = –3 ∙ 1 + 7; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку B(0; 7), бо: 7 = –3 ∙ 0 + 7; 7 = 7 правильна рівність;

3) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку С(–1; 10), бо: 10 = –3 ∙ (–1) + 7; 10 = 10 правильна рівність;

4) графік функції y = –3х + 7 не проходить через точку D(10; –37), бо: –37 = –3 ∙ 10 + 7; –37 = –23 неправильна рівність.

44.24. He виконуючи побудови, знайдіть нулі функції:

1) у = 2х – 6; у = 0, якщо: 2x – 6 = 0; 2х = 6; х = 3;

2) y = –1 2x + 8; y = 0, якщо: –1 2x + 8 = 0; –1 2 х = –8; х = 16;

3) у = 7х; у = 0, якщо: 7х = 0; х = 0;

4) у = –5х; у = 0, якщо: –5х = 0; х = 0.

44.25. He будуючи

1) у = 4х + 12; у = 0, якщо: 4х + 12 = 0; 4х = –12; х = –3;

2) у = –8х; у = 0, якщо: –8х = 0; х = 0.

44.26. Побудуйте графік прямої пропорційності:

1) y = x; x 0 2 y 0 2 2) y = –2,5x; x 0 2 y 0 –5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = –x; x 0 2 y 0 –2 4) y = 1 2 x. x 0 4 y 0 2

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

x 0 2

y 5 0

shkola.in.ua

1) Якщо х = 0, то у = 5; якщо х = 2, то y = 0; 2) якщо у = –5 , то х = 4; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 10, то

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Якщо х = –2, то у = –6; якщо х = 0, то у = –3; якщо х = 4, то у = 3;

2) якщо y = –3, то х = 0; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 6, то х = 6;

3) якщо у – 0, то х = 2 нуль функції;

4) функція набуває додатних значень, якщо х > 2;

5) функція набуває від’ємних значень, якщо х < 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; –3).

44.30. Графік функції у = kx – 2 проходить через точку (6; –11). Знайдіть значення k. Якщо графік функції у = kх –2 проходить через точку А(6; –11), то: –11 = k ∙ 6 – 2; 6k = –11 + 2; 6k = –9; k = –1,5.

44.31. Знайдіть значення l, якщо графік

М(10; –5), то: –5 = –1 5 ∙ 10 + l; –5 = –2 + l; l = –3.

44.32. He виконуючи побудови,

осями координат: 1) Координати точки перетину графіка функції у = 1,5х – 20: а) з віссю абсцис (131 3; 0), бо, якщо у = 0, то: 1,5x – 20 = 0; 1,5x = 20; х = 131 3;

б) з віссю ординат (0; –20), бо, якщо х = 0, то: у – 1,5 ∙ 0 – 20; у = –20; 2) координати точки перетину

(20; 0), бо, якщо у =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

з віссю абсцис (54; 0), бо, якщо = 0, то: 18 –1 3х = 0; –1 3 х = –18; х = 54

б) з віссю ординат (0; 18), бо, якщо x = 0, то: у = 18 –1 34 ∙ 0; y = 18.

44.34. Точка А(0,7; 70) належить

функцію. Якщо точка A(0,7; 70)

то: 70 = k ∙ 0,7; k = 70 : 0,7; k = 100.

44.35

B(–

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

х = 4х – 6; –3х = –6; х = 2. Отже, шукана точка (2; 2);

2) якщо

числа, то: –х = 4х – 6; –5х = –6; х = 1,2. Отже, шукана точка (1,2; –1,2); 3) якщо

менша за ординату, то: 2х = 4х – 6; –2х = –6; х = 3, тоді у = 2 ∙ 3 = 6. Отже, шукана точка (3; 6).

44.44. Побудуйте графік функції: 1) y = x + 1, x ≤ 0 x 0 –2 y 1 –1 y = 1, x > 0 x 1 4 y 1 1 2) y = 2x, x < –2 x –3 –4 y –6 –8 y = 3x + 2, x ≥ –2 x 0 –2

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.45. Побудуйте графік функції: y = 2 – 3x, x < 1 x 0 –1 y 2 5

y = 2x – 3, x ≥ 1 x 1 2

y –1 1

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.46.

1) y = |x|;

x 0 3 –3

y 0 3 3

3) y = 4x – |x|;

x 0 2 –1

y 0 6 –5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.47. Побудуйте

1) y = –|x|;

x 0 3 –3

y 0 –3 –3

shkola.in.ua

2) y = |x| + x; x 0 3 –3

y 0 6 0

shkola.in.ua

4) y = |2x| + 3x +1. x 0 1 –2 –1 y 1 6 –1 0

shkola.in.ua

2) y = |x| – x; x 0 3 –3 y 0 0 6

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) y = 2x + |x|; x 0 2 –2 y 0 6 –2

shkola.in.ua

4) y = |3x| – x – 1. x 0 2 –2 –1 y –1 3 7 3

shkola.in.ua

44.48. Розв’яжіть рівняння:

1) (2x + 5)2 – (2х – 3)2 = 16;

4х2 + 20х + 25 – (4х2 – 12х + 9) = 16;

4х2 + 20х + 25 – 4х2 + 12х – 9 = 16;

4х2 +20х – 4х2 + 12х = 16 – 25 + 9;

32х = 0; х = 0.

Відповідь: 0; 2) (7х + 1)2 – (49х – 2)(х – 1) = –66; 49x2 + 14х + 1 – (49х2 – 49х – 2х + 2) = –66; 49х2 + 14х + 1 – 49x2 + 49х + 2х – 2 = –66; 49х2+ 14х – 49х2 + 49х + 2х = –66 – 1 + 2; 65х = –65; х = –1.

Відповідь: –1.

44.49. Спростіть вираз: 1) (5m –2)(5m + 2) – m(10m – 1) + (m –1 2)2 = 25m2 – 4 – 10m2 + m + m2 – m + 1 4 = 16m2 – 33 4; 2) (a + 4y)2 – (a – 2y)(a + 2y) – y(4a – 5y) = a2 + 8ay + 16у2 – a2 + 4y2 – 4ay + 5y2 = = 25y2 + 4ay.

44.50. Ha столі

кількість

столі залишиться (73 – х) зошитів,

Рівняння: 73 – х = 2 ∙ (17 + х); 73 – х = 34 + 2х;

х – 2х = 34 – 73;

3х = –39; х = 13. Відповідь: 13 зошитів.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3200

2)

1)

2)

44.53. Накресліть коло

центром у точці O, радіус якого дорівнює 25 мм. Проведіть діаметр кола AB та позначте точку M, що належить колу.

1) Виміряйте довжину діаметра AB та порівняйте

2) Виміряйте градусну міру кута AMB.

1) AB = 50 мм; AB = 2OA = 2OB.

2) ∠AMB = 90°.

1) Мудрець додав до

2) 18 : 2 = 9 верблюдів

3) 18 : 3 = 6 верблюдів одержав середній син;

4) 18 : 9 = 2 верблюди одержав найменший син.

Відповідь: 9; 6; 2.

1. Яка з формул задає функцію?

Функцію задає формула у = 4 х – 3 Відповідь: Б).

2. Яка з функцій є лінійною?

є функція у = х – 2.

А).

3.

В).

4.

х = –4; y = –20 –4 = 5. Відповідь: Г).

№9 (§§ 42-44)

shkola.in.ua

5. He виконуючи

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

у = 1 3 x – 2. y = 0; 0 = 1 3 x – 2; 1 3x = 2; х = 6.

Відповідь: В).

6. На якому з малюнків зображено графік функції у = 3 – х?

Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А).

Відповідь: А).

7. Знайдіть область визначення функції

Областю визначення функції y = 3 x² + x є всі числа, крім тих, для яких; x2 + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1.

Відповідь: Г).

8. Яка з точок належить графіку функції

Графіку функції y = x2 – 2х належить точка (1; –1), бо: –1 = 12 – 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1.

Відповідь: Б).

9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає вісь абсцис. y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0).

Відповідь: В).

10. Знайдіть для х = 2 значення функції

Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому значення функції обчислюємо за

формулою у = x2: y = 22; у = 4.

Відповідь: А).

11. Графік прямої пропорційності проходить

яку також проходить цей графік.

у = kх; –4 = k ∙ 2; k = –2.

Отже, у = –2х. Дане рівняння задовольняє лише точка (3; –6).

Відповідь: Г).

12. He будуючи графіка функції у = 3x – 8, знайдіть таку

ордината є протилежними числами. y = –х; –x = 3x – 8; 4х = 8; x = 2; у = –2; (2; –2).

Відповідь: Б).

13. Установіть відповідність між функціями (1–3) та точками,

перетинає осі координат (А–Г).

1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).

2. у = 4. – А. (0; 4).

3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0).

1. Які з даних формул задають функцію: Функцію

формули 1) y = x2 + x; 3) y = 1 ���� 8 .

є функції 1) 3x – 7; 3) y = 4.

1) y = –2x + 6; k = –2; l = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; l = 0.

4.

задано формулою у = –2х + 7. Знайдіть:

§§ 42-44

1)

у = –2х+ 7; х = 5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

5;

у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

5.

3. у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

y = 2x – 5 x 0 2 y –5 –1

1) x = 4; y = 3; 2) y = –3; x = 1.

6.

1)

shkola.in.ua

у = 0; у = 0,8х – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 0,8x = 7,2; х = 9; 2)

точку (10; 1). у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙ 10 – 7,2; 1 = 8 – 7,2; 1 = 0,8 хибна рівність. Отже, графік функції

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6; 2) у > 0, якщо –3 < х < 6; 3) у < 0, якщо х < –3 або х > 6.

shkola.in.ua

a) у = x + 2 x 3;

якщо х = –4 , то у = 4 + 2 4 3 = 2 7;

якщо х = –2, то y = 2 + 2 2 3;

якщо х = 0, то у = 0 + 2 0 3 = –2 3;

якщо х = 2, то у = 2 + 2 2 3 = –4;

якщо х = 4, то у = 4 + 2 4 3 = 6; б) g = x 4 5 ;

x –4 –2 0 2 4 y 2 7 0 –2 3 –4 6 g –1,6 –1,2 –0,8 –0,4 0

якщо х = –4, то g = 4 4 5 = –1,6;

якщо х = –2, то g = 2 4 5 = –1,2;

якщо х = 0, то g = 0 4 5 = –0,8;

якщо х = 2, то g = 2 4 5 = –0,4;

якщо х = 4, то g = 4 4 5 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

S = 48 – 14t.

1) Якщо t = 1,5,то S = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27;

2) якщо S = 13, то : 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.

4. Знайдіть область визначення функції:

1) у = 12 9����² – 17���� .

9х2 – 17х = 0;

х(9х – 17) = 0;

х = 0 або 9х – 17 = 0;

х = 0 або х = 17 9 .

Областю визначення функції є всі числа,

в нуль;

2) у = x │x│ 1 .

– 1 = 0;

= 1; x = 1 або x = – 1. Областю визначення

в нуль;

3) у = x │x│+ 5 .

4) у = 9 3 │x 1│

3 – |x – 1| = 0;

|х – 1| = 3;

х – 1 = 3 або х – 1 = –3; х = 4 або х = –2.

Областю визначення

в нуль;

5) у = 15 │2x 3│ – 5 . |2х – 3| – 5 = 0; |2х – 3| = 5;

2х – 3 = 5 або 2х – 3 = –5;

2х = 8 або 2х = –2; x = 4 або х = –1.

в нуль;

6) у = 2 1 1 x .

1 –1 x = 0; 1 x = 1; x = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5; якщо х = 3, то у = 2; 2) y = –1,5, якщо х = –2 або х = –3, або х = 4; у = 2, якщо х = 0,5 або х = 3; у = 3, якщо х = 1 або х = 2,5;

3)

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За

y = � – x – 3, якщо x + 3 < 0, тобто x < – 3, x + 3, якщо x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ – 3. y = –x – 3, –5 ≤ x < –3 x –5 –4 y 2 1 y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3 x –3 3 y 0 6 До §

8.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Якщо х = –4, то у = 3; якщо х = 0, то у = 0; якщо х = 8, то у = –6; 2) якщо у = –6, то x = 8; якщо у = 3, то х = –4; якщо у = 6, то х = –8; 3) якщо у = 0, то х = 0 нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х < 0; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 0. 11. Графіки функцій

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1)

2)

3)

4) Щохвилини виливається 5 л води.

V = 15 + 2,5t залежність

резервуару водою. V = 50 − 5t залежність об’єму води V у

резервуару від води.

13. Побудуйте графік функції.

1) y = 2|x|; x 0 2 –2 y 0 4 4 2) y = 5|x| + x; x 0 1 –1 y 0 6 4

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = |х|–3х 2 ; x 0 2 –2 y 0 –2 4

shkola.in.ua

4) y = |x| + |−2x|.

shkola.in.ua

45.1. (Усно.)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

45.2.

shkola.in.ua

45.3. Обчисліть

1) 4 см; d = 2r = 2 ∙ 4 = 8 (см); 2) 3,7 дм. d = 2r = 2 ∙ 3,7 = 7,4 (дм).

1) 7 мм; d = 2r = 2 ∙ 7 = 14 (мм); 2) 4,8 см. d = 2r = 2 ∙ 4,8 = 9,6 (см).

45.5. Знайдіть радіус

1) 8 дм;

r = ���� 2 = 8 2 = 4 (дм); 2) 2,6 см. r = ���� 2 = 2,6 2 = 1,3 (см);

45.6.

1) 18 см;

r = ����

2 = 18 2 = 19 (см);

2) 3,8 дм.

r = ���� 2 = 3,8 2 = 1,9 (дм); 45.7.

shkola.in.ua

OM = 4 см, ∠NKM = 90°. 45.8.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

45.10.

shkola.in.ua

45.11.

1) 2 см; 2) 5 см; 3) 7 см; 4) 9,8 см; 5) 10,2 см; 6) 1 дм? Оскільки

1) Може; 2) може; 3) може; 4) може; 5) не може; 6) не може. 45.12. Радіус

1) 1 дм; 2) 4 дм; 3) 6,7 дм; 4) 7,95 дм; 5) 8,3 дм; 6) 1 м? Хорда

1) Може; 2)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

45.16. На

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔOAB – рівнобедрений,

∠A = ∠B.

1) Якщо ∠A = 52°, то ∠B = 52°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 52° – 52° = 76°.

2) Якщо ∠O = 94°, то

∠B = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 94°) : 2 = 43°.

Відповідь: 1) 76°; 2) 43°.

міру:

1) кута O, якщо ∠B = 48°; 2) кута A, якщо ∠O = 102°. ΔAOB – рівнобедрений, оскільки OA = OB – як радіуси

shkola.in.ua

45.17. На

shkola.in.ua

∠A = ∠B.

1) Якщо ∠B = 48°, то ∠A = 48°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 48° – 48° = 84°.

2) Якщо ∠O = 102°, то

∠A = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 102°) : 2 = 39°.

Відповідь: 1) 84°; 2) 39°.

точка O центр кола, ∠COA = 32°. Знайдіть ∠CBA.

ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси кола, тоді

∠C = ∠B.

∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути.

Звідси ∠COB = 180° – ∠COA = 180° – 32° = 148°.

Отже, ∠CBA = (180° – ∠COB) : 2 = (180° – 148°) : 2 = 16°.

Відповідь: 16°.

45.18. На малюнку точка O центр кола, ∠BCO = 18°. Знайдіть ∠AOC.

shkola.in.ua

ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси

∠C = ∠B.

∠COB = 180° – (∠C + ∠B) = 180° – 18° – 18° = 144°.

∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути.

Звідси ∠COA = 180° – ∠COB = 180° – 144° = 36°.

Відповідь: 36°.

45.19. Дано коло радіусом

shkola.in.ua

45.20.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

діаметр з точки кола), ∠M = 90°.

∠MAB = 90° – 60° = 30°.

AB = 2MB = 2 ∙ 5 см = 10 см.

Відповідь: 10 см.

45.21. У колі на малюнку AB діаметр, ∠ABM = 60°, AB = 18 см.

хорди MB.

shkola.in.ua

ΔAMB – прямокутний (згідно з теоремою 2 про кут, під яким видно діаметр з точки кола), ∠M = 90°.

∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

MB = 1 2 AB = 1 2 ∙ 18 = 9 см.

Відповідь: 9 см.

45.22. Доведіть, що коли хорди рівновіддалені від центра

shkola.in.ua

собою рівні. Нехай AB і CD – хорди. OM ⊥ AB, ON ⊥ CD і OM = ON. Доведемо, що AB = CD. Оскільки OM ⊥ AB; ON ⊥ CD, то AM = MB, DN = CD, тобто, щоб довести, що AB = CD, досить довести, що AM = CN.

ΔAOM = ΔCON (за гіпотенузою і катетом: OM = ON – за умовою, OA = OC – як радіуси кола), тоді AM = CN.

Отже, AB = 2AM = 2CN = CD. 45.23. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від його центра.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай AB = CD, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що OM = ON.

Оскільки OM ⊥ AB, то AM = MB, оскільки ON ⊥ CD, то CN = ND. ΔOMA = ΔONC (за

OA = OC

радіуси, AM = CN – як

рівних відрізків). Тоді OM = ON.

Нехай CF ⊥ AB, DE ⊥ AB, ∠CKF = ∠EKD = 30°.

CK = 4 см, KD = 7 см.

З ΔKCF: ∠F = 90°, CF = 1 2KC (оскільки ∠CKF = 30°), CF = 1 2 ∙ 4 = 2 см.

З ΔDEK: ∠E = 90°, ED = 1 2KD (оскільки ∠EKD = 30°), ED = 1 2 ∙ 7 = 3,5 см.

2 см, 3,5 см. 45.25.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.26.

shkola.in.ua

45.27. Доведіть рівність

кутів.

Оскільки ∠CFD = 90°, то ∠CFA = ∠DFA = 90° : 2 = 45°, тоді ∠CFB = ∠DFB = 180° – 45° = 135°.

Відповідь: 135°.

shkola.in.ua

проведеною до бічної сторони. Нехай у рівнобедрених трикутниках KLM і K1L1M1 KL = LM, K1L1 = L1M1, KM = K1M1, KN ⊥ LM, K1N1 ⊥ L1M1, KM = K1M1. Доведемо, що ΔKLM = ΔK1L1M1. ΔKNM = ΔK1N1M1 (за гіпотенузою і катетом: KM = K1M1, KN = K1N1 – за умовою). З рівності трикутників

1) 6,5 ∙ 0,3 ∙ 0,45 = 0,8775 (м3) – об’єм балки; 2) 810 ∙ 0,8775 = 710,775 ≈ 711 (кг) – вага

shkola.in.ua

shkola.in.ua

46.2. (Усно.)

46.3. Накресліть

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Оскільки KP

до кола, то ∠OMP = ∠OMK 90°. Тому ∠NMP = 90° – ∠OMN = 90° – 53° = 37°.

2) ∠OMN = ∠KMN – 90° = 130° – 90° = 40°.

Відповідь. 1) 37°; 2) 40°.

і

(B і C точки дотику). Доведіть, що промінь OA бісектриса кута BOC.

shkola.in.ua

PQ

shkola.in.ua

MPN. ΔQMP і ΔQNP – прямокутні, оскільки QM ⊥ MP, QN ⊥ NP.

ΔQMP = ΔQNP за двома катетами (QM = QN – як

кола, PM = PN – як відрізки

точки до кола). З рівності трикутників маємо ∠MPQ = ∠NPQ. Отже, PQ – бісектриса кута MPN.

46.11. Пряма MK дотична до кола, точка O центр кола. Знайдіть ∠NMK, якщо ∠MON = 82°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Оскільки MK - дотична

кола, то OM ⊥ MK, ∠OMK

MON) : 2 = (180° – 82°) : 2 = 49°. ∠NMK = 90° – ∠OMN = 90° – 49° = 41°.

M,

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

МК і МN – дотичні. OK ⊥ MK, ON ⊥ MN.

З прямокутного ΔOKM: оскільки OM = 2OK, то ∠KMO = 30°.

З прямокутного ΔOMN: оскільки OM = 2ON, то ∠OMN = 30°.

Отже, ∠KMN = ∠KMO + ∠OMN = 30° + 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

46.14. Прямі MN і MK дотикаються до кола із центром O в точках N і K. Знайдіть NK, якщо ∠OMN = 30°, MN = 7 см.

shkola.in.ua

46.15. Один

що

shkola.in.ua

ΔONM = ΔOKM за двома катетами (ON = OK – як радіуси кола,

MN = MK – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки

кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°.

ΔKMN – рівнобедрений, оскільки MN = MK,

∠MNK = ∠MKN = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°.

Отже, ΔKMN – рівносторонній і NK = NM = 7 см.

Відповідь: 7 см.

рівнобедрений. Нехай ∠A = 1 2 ∠DCB, тоді ∠B = 1 2 ∠DCB, оскільки

суміжних з ним. Тоді, оскільки ∠B = ∠A, то трикутник ABC – рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

46.16. На малюнку: ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, ∠ADB = 15°, AC = 6 см. Знайдіть BD.

shkola.in.ua

З прямокутного ΔABC: AB = 2AC = 2 ∙ 6 = 12 (см) (за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°). ∠ABC – зовнішній кут трикутника ADB. ∠BAD + ∠D = ∠ABC (за властивістю

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠IBK = 35°, ∠MCI = 25°.

shkola.in.ua

∠CBK = 2∠IBK (оскільки BI – бісектриса кута A), ∠CBK = 2 ∙ 35° = 70°.

∠ACB = 2∠MCI (оскільки CI – бісектриса кута C),

∠ABC = 2 ∙ 25° = 50°.

∠B = 180° – ∠A – ∠C = 180° – 70° – 50° = 60°. Відповідь: 60°. 47.5. У △ABC

CAB = 70°,

CBA = 60°. Знайдіть ∠MCI. ∠C = 180° – ∠CAB – ∠CBA = 180° – 70° – 60° = 50°, CI

shkola.in.ua

C. Отже, ∠MCI = ∠C : 2 = 50° : 2 = 25°. Відповідь: 25°.

.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔCMI = ΔCLI (CM = CL, MI = IL).

ΔAMI = ΔAKI (AM = AK, MI = IK).

ΔKIB = ΔLIB (KB = LB, KI = LI).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

47.12. У △ABC вписано коло, яке дотикається

сторін AB, AC і BC у точках P, F і M

відповідно. Знайдіть AP, PB, BM, MC, CF і FA, якщо AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 12 см. Складемо систему рівнянь: � x − z = 2

shkola.in.ua

z + x = 12

x + z = 12 ⇒ � x z = 2 x + z = 12

2x = 14, x = 7.

Отже, AP = FA = 7 см, PB = 8 – 7 = 1 см, BM = PB = 1 см, MC = 6 – 1 = 5 см, FC = MC = 5 см.

Відповідь: AP = 7 см, PB = 1 см, BM = 1 см, MC = 5 см, CF = 5 см, FA = 7 см.

47.13.

shkola.in.ua

Нехай BK = 4 см, CL = 6 см, AM = 8 см.

BK = 4 см,

CM = CL = 6 см, AK = AM = 8 см.

AB = AK + BK = 8 см + 4 см = 12 см,

BC = BL + CL = 4 см + 6 см = 10 см,

AC = AM + CM = 8 см + 6 см = 14 см. Відповідь: 12 см, 10 см, 14 см. 47.14. Коло, вписане

shkola.in.ua

shkola.in.ua

ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), AK = 3 см, KB = 4 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

Отже, CK = AM. 47.17. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 2 : 3. Знайдіть кут між

бісектрисою й висотою, проведеними з вершини прямого кута. Нехай ΔABC – прямокутний (∠B = 90°), BK ⊥ AC, BM –бісектриса, ∠ABM = ∠CBM. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника

shkola.in.ua

90°, маємо: ∠BCA = 90° 5 ∙ 2 = 18° ∙ 2 = 36°, ∠BAC = 90° – 36° = 54°.

Оскільки BM – бісектриса, то ∠ABM = ∠CBM = 90° : 2 = 45°.

З прямокутного ΔBKC маємо: ∠CBK = 90° – ∠BCK = 90° – 36° = 54°.

Тоді ∠KBM = ∠CBK – ∠CBM = 54° – 45° = 9°.

Відповідь: 9°.

47.18. Яка швидкість поїзда (у км/год),

робить 360

1) C = π ∙ d = 3 ∙ 1,2 = 3,6 (м)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

48.3. 1)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) AB = 4,6см.

2) CA = CB.

shkola.in.ua

ΔCKO = ΔAKO (за

ΔAMO = ΔBMO (за

ΔCLO = ΔBLO (за

AM = MB, OM

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

ΔABC – рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки в рівносторонньому трикутнику медіани перпендикулярні до сторін і одночасно є бісектрисами, то центр вписаного і описаного кола співпадають і лежать на бісектрисі.

∠OAD = 1 2 ∠BAD = 60° : 2 = 30°.

ΔAOD - прямокутний, тоді AO = 2OD. OD – радіус вписаного кола, AO –

48.14. LM діаметр кола,

KLM.

shkola.in.ua

48.15. I точка

прямим кутом, то ∠LKM = 90°.

- прямокутний, KL = KM

∠L = ∠M = 90° : 2 = 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

AB. Доведіть, що IN = IM.

ΔAMB = ΔANB за стороною

прилеглими кутами (AB –спільна сторона, ∠A = ∠B – як

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.18

shkola.in.ua

1) ∠COB, якщо ∠CAO = 50°; 2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.

shkola.in.ua

48.19. Точка O

NMB, якщо

1) ∠АОС = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠COB = 180° – 80° = 100°.

2) ∠АОС = 180° – 110° = 70°; ∠CAO = (180° – 70°) : 2 = 55°.

MON = 140°; 2)

MON, якщо

BMN = 65°.

48.20.

shkola.in.ua

1) ∠OMN = (180° – 140°) : 2 = 20°;

∠NMB = 90° – 20° = 70°.

2) ∠OMN = 90° – 65° = 25°.

∠MON = 180° – (25° + 25°) = 180° – 50° = 130°.

Нехай AB = 32 см, EF = 20 см.

AE + FB = 32 см – 20 см = 12 см, тоді EC + DF = AE + FB = 12 см.

Отже, CD = EF – (EC + DF) = 20 см – 12 см = 8 см.

Відповідь: 8 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.2.

1) 70°; 2) 190°. 1) 70° : 2 = 35°; 2) 190° : 2 = 95°.

49.3. Визначте

1) 20°; 2) 100°. 1) 20° ∙ 2 = 40°; 2) 100° ∙ 2 = 200°.

49.4. Точки A і

shkola.in.ua

49.5. Точки A і B

◡MBN + ◡MAN = 360°.

∠MAN + ∠MBN = 1 2 ◡MBN + 1 2 ◡MAN = = 1 2(◡MBN + ◡MAN) = 1 2 ∙ 360° = 180°.

shkola.in.ua

AMB = 70°

2 =

◡ANB + ◡AMB = 360° ⇒ ◡ANB = 360° – ◡AMB = 360° – 140° = 220°.

∠AMB = ◡ANB : 2 = 220° : 2 = 110°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

CPD = 126°.

49.8.

shkola.in.ua

∠CPD = 1 2 ◡CKD. ◡CKD = 2∠CPD = 2 ∙ 126° = 252°.

◡CPD = 360° – ◡CKD = 360° – 252° = 108°.

COD = ◡CPD = 108°.

Відповідь: 108°.

LOK = 128°.

49.9.

shkola.in.ua

спираються

∠LOK = ◡LAK = 128°.

∠LAK = 1 2 ◡LPK = 1 2(360° – ∠LOK) = 1 2(360° – 128°) = 116°. Відповідь: 116°.

Сума градусних мір двох дуг 360°:

х + 2х = 360;

3х = 360;

х = 120.

Отже, градусні міри дуг 120°

120° : 2 = 60°; 240° : 2 = 120°.

Відповідь: 60°, 120°.

49.10. Хорда AB

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.11.

shkola.in.ua

49.12. Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпендикулярні. Вписані

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

спираються

дугу, а значить, вони рівні: ∠ВСD = ∠ВАD = 55°. У △ВСМ ∠СМВ = 180° – (∠ВСD + ∠АВС)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

має дуга, на яку він спирається, а вписаний кут АСВ, що спирається на ту ж дугу, вдвічі менший:

∠АСВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.

∠ВАС = ∠АСВ = 40° як кути при основі.

∠АВС = 180° – (∠АСВ + ∠ВАС) = = 180° – (40° + 40°) = 100°.

Відповідь: 40°, 40°, 100°.

II випадок. ∠АОВ = ◡АСВ = 80° (∠АОВ центральний), ◡АКВ = 360° – ◡АСВ = = 360° – 80° = 280°.

∠АСВ вписаний.

∠АСВ = 1 2 ◡АKВ = 280° : 2 = 140°.

∠CAB = ∠CBA = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 140°) : 2 = 20°.

Відповідь: 140°, 20°, 20°.

III випадок. ∠АОВ = ◡AРВ = 80°, ∠АСВ = 1 2 ◡АРВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.

∠САВ = ∠СВА = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.

Відповідь: 40°, 70°, 70°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

МNК = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 100° = 50°. NMК = ∠NKM = (180° – ∠МNК) : 2 = = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

49.17.

shkola.in.ua

II випадок. ∠МОК = ◡МNK = 100.

◡МРK = 360° – ◡МNK = 360° – 100° = 260°.

◡МNK = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 260° = 130°.

∠NМК = ∠NКМ = (180° – 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°.

Відповідь: 130°, 25°, 25°.

III випадок. ∠МОК = ◡МРК = 100°.

∠МNК = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 100° = 50°.

КМN = ∠МNК = 50° як кути при основі.

МКN = 180° – (∠КМN + ∠МNК) = = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°.

Відповідь: 50°, 50°, 80°.

shkola.in.ua

= 240° : 2 = 120°;

АВС = 40 : 2 = 20°; ∠АСВ = 80 : 2 = 40°.

120°, 20°, 40°.

30°.

◡AC : ◡AB : ◡BC = 1 : 2 : 6.

тоді ◡

= x; ◡AB = 2x; ◡BC = 6x. Складемо рівняння:

х + 2х + 6х = 360;

9х = 360;

х = 40° – ◡АС.

2 ∙ 40° = 80° – ◡AB.

6 ∙ 40° = 240° – ◡ВС.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.20.

1) l = 3

shkola.in.ua

32 = 96 (см)

2) 12 ∙ 96 = 1152 см = 11 м 52 см.

11 м 52 см.

49.21. Накресліть відрізок MN завдовжки 6 см.

1)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

= 7 см

5см = 2см. OM = 7 см, O1M = 5 см, OO1 = OM + O1M = 7 см + 5 см = 12 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.7.

1)

дотик; OM = 3 см, O1M = 8 см. OO1 = O1M + OM = 8 см + 3 см = 11 см.

shkola.in.ua

50.8.

shkola.in.ua

50.9. Два

2) внутрішній дотик. OM = 8 см, O1M = 3 с, OO1 = OM – O1M = 8 см – 3 см = 5 см.

shkola.in.ua

як 2 : 5. OO1 = 12 дм, O1M : OM = 2 : 5. Нехай O1M = 2x, OM = 5x, тоді OO1 = 5x – 2x = 3x; 3x = 12; x = 12 : 3 = 4.

Отже, O1M = 2 ∙ 4 = 8 (дм), OM = 5 ∙ 4 = 20 (дм).

Відповідь: 20 дм, 8 дм.

2 : 3.

15 см.

OM = 2x, O1M = 3x.

shkola.in.ua

OO1 = OM + O1M = 2x + 3x = 5x.

За умовою OO1 = 15см.

Отже, 5x = 15; x = 3.

OM = 2 ∙ 3 = 6 (см), O1M = 3 ∙ 3 = 9 (см).

Відповідь: 6 см, 9 см.

50.10. Відстань

відстань між центрами кіл O1O2, радіуси

1) Оскільки 9 см + 3 см = 12 см, тобто O1O2 = r1 + r2, то

кіл).

2) Оскільки 5 + 2 < 12, тобто O1O2 > r1 + r2, то кола не перетинаються.

3) Оскільки 13 см – 1 см = 12

дотик).

4) 9 см – 7 см < 12 см < 9 см + 7 см, тобто r1 – r2 < O1O2 < r1 + r2, то кола

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

.

O1O2 ⊥ AB.

shkola.in.ua

ΔAO1O2 = ΔBO1A2 (за трьома сторонами (O1A = O1B – як радіуси, O2A = O2B – як радіуси, O1O2 – спільна сторона). З рівності трикутників маємо: ∠AO1O2 = ∠BO1O2. ΔAO1B – рівнобедрений, оскільки O1A = O1B, O1M –бісектриса, отже, O1M – висота, тобто O1M ⊥ AB, а звідси O1O2 ⊥ AB (так як O1O2 містить O1M).

50.13. Два кола перетинаються в точках C і D. Точки O1 і O2 центри

що промінь O1O2 бісектриса кута CO1D. ΔCO1O2 = ΔDO1O2 (за трьома сторонами: O1C = O1D –як радіуси,

shkola.in.ua

shkola.in.ua

O1O2 = 5

3 = 7 см,

2 = 8 см. Нехай O1A = r1, O2A = r2, O2B = r3, тоді O1O2 + O2O3 + O1O3 = r1 + r2 + r2 + r3 + r3 + r1 = = 2(r1 + r2 + r3).

Тоді r1 + r2 + r3 = O₁O₂+O₂O₃+O₁O₃ 2 = 5+7+8 2 = 10 (см). r1 = (r1 + r2 + r3) – O2O3 = 10 – 7 = 3 (см); r2 = (r1 + r2 + r3) – O1O3 = 10 – 8 = 2 (см); r3 = (r1 + r2 + r3) – O1O2 = 10 – 5 = 5 (см).

Відповідь: 3 см, 2 см, 5 см.

O1O2 = 14 см, O3B = O3C = 6 см.

O1B + O2C = O1A + O2A = O1O2 = 14 см.

PΔО1О2О3 = O1O2 + O1B + O2C + O3B + O3C = = 14 см + 14 см + 6 см + 6 см = 40 см.

Відповідь: 40 см.

50.16.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.17. На малюнку коло

CB = 1 2 AB = 20 2 = 10 (см) (за

трикутника з кутом 30°).

Відповідь: 10 см.

сторін). Доведіть, що AB + CD = AD + BC.

shkola.in.ua

Нехай K, L, M, N точки дотику. Тоді за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо:

AK = AL, BL = BM, CM = CN, DN = DK.

Додавши почленно

AK + BM + CM + DK = AL + BL + CN + DN; (AK + DK) + (BM + CM) = (AL + BL) + (CN + DN); AD + BC = AB + CD.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2(a + b) = 12; a + b = 6; (1)

2(a + c) = 13; a + c = 6,5; (2)

2(b + d) = 16; b + d = 8. (3)

Отримаємо: c – b = 0,5.

c + d = 0,5 + 8 = 8,5.

2 ∙ 8,5 = 17 (см).

17 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) Знаходимо точку M перетину прямої FN та

4) Проведемо дугу кола

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

2)

3)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2)

3) Дуга з центром у точці В і з радіусом r = с = 5 см.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються

1) AC = 7 см.

2) Дуга з центром у точці A із радіусом AB = 4 см.

3)

4)

з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці В.

5) ∆ABC шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) KL = AB.

2)

3)

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці М. 5) ∆KLM = ∆ABC.

1) AB довільний відрізок.

2)

3)

BA.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці С.

5) ∆ABC рівносторонній і шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.25. Побудуйте ∆DEF, якщо DE = 6 см, ∠D = 40°, ∠E = 80°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) DE = 6 см.

2) ∠ADE = 40°.

3) ∠DEB = 80°.

4) Промені DA i EB перетинаються у точці F. 5) ∆DEF шуканий.

51.26. Побудуйте ∆NPT, якщо NP = 4 см, ∠N = 50°, ∠P = 100°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) NP = 4 см.

2) ∠ANP = 50°.

3) ∠BPN = 100°.

4) Промені NA і PB перетинаються у точці Т. 5) ∆NPT – шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

точках A і C.

3) ΔABC шуканий.

51.29.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Будуємо AB = 4 см.

2) Будуємо ∠BAC = 70°.

3) Будуємо ∠BAC = 70°.

4) ΔABC шуканий.

51.32. Побудуйте рівносторонній трикутник зі стороною 5 см і впишіть у нього коло.

shkola.in.ua

1) Будуємо відрізок AC = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього трикутника. 2) За

3) Оскільки центр

1) Знайдемо середини відрізків

AB і AC.

2) Побудуємо перпендикуляри до сторін трикутника AB і

перетину серединних перпендикулярів центр описаного кола.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.35.

51.36.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

теоремою

трикутника: ∠A = ∠B = (180° − 80°) : 2 = 50° Щоб отримати кут 50° для побудови, проведемо в умові PC⊥CD → ∠PCD = 90°.

Побудуємо бісектрису ∠MCD:

∠KCM = 40°; ∠MCP = 10°

∠KCP = 40° + 10° = 50°

Будуємо △

50°.

Сторони кутів A і B

перетинаються в т. C. △АВС шуканий.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

перпендикулярні

2) На прямій m відкладаємо

CA.

3) CM бісектриса прямого

4) Відкладаємо відрізок CK

бісектрисі CM.

5) Промінь AK перетинає пряму n

точці В.

6) ∆ABC шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2)

3)

shkola.in.ua

2)

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

6)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1)

2) ∠MAB = ∠A.

3) AL -

4)

5)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.46.

51.47.

shkola.in.ua

кути 30° і 60°.

1) Накреслити коло; 2) від довільної т. А відкласти радіус; AB = OA; ∠BOA = ∠OBA = ∠BAO = 60°;

3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL медіана, бісектриса і висота; ∠BOL = ∠LOA = 30°.

15°.

1) Накреслити коло; 2) від т. А відкласти OA = AB; ∠BOA = 60°;

3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL медіана, бісектриса і висота; ∠LOA = 30°;

4) поділити кут LOA навпіл: ON бісектриса; ∠NOM = ∠NOL = 15°.

51.48. Побудуйте без транспортира ∆ABC, у якого:

1) AB = 5 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°; 2) AB = BC = 4 см, ∠B = 150°.

1) 1) Накреслити AB = 5 см; 2) із т. А і т. В радіусом циркуля 5 см опишемо дуги і отримаємо т. М; 3) провести промінь AM; ∠MAB = 60°;

4) продовжити відрізок AB і

NB = BK;

5) з точок N і K провести рівні

з'єднати т. L з т. B; LB ⊥ AB;

6) побудувати бісектрису ∠LBN; ∠NBF = ∠FBL = 45°;

7) продовжити відрізок BF до перетину з AM; т. C вершина ΔАСВ.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2) Якщо AB = BC, то трикутник рівнобедрений.

∠A = ∠C = (180° – 150°) : 2 = 15°.

1) Побудувати рівносторонній

трикутник APB;

2) поділити AP і PB навпіл:

AM = MP, PN = NB;

∠NAB = ∠MBA = 30°;

3) відкласти AK = AB і BM = AB, з'єднати т. A і т. М, т. B і т. K;

4) поділити KB і AF навпіл:

AE = EM, KL = LB; ∠LAB = ∠EBA = 15°;

∠ACB = 150°.

ACB шуканий трикутник.

51.49. Побудуйте без

1) KM = 4 см, ∠K = 30°, ∠M = 45°;

2) KM = MP = 5 см, ∠M = 120°.

1) 1) Накреслити KM = 4 см;

2) побудувати рівносторонній ΔKMF;

3) поділити бісектрису KN (вона також медіана і висота) ⇒ ∠NKM = 30°;

4) продовжити відрізок KM і відкласти від т. М рівні відрізки: CM = MD;

5) з точок C і D провести рівні дуги; з'єднати т. L і т. М; LM ⊥ KM;

6) побудувати бісектрису ∠LMC; ∠CME = ∠EML = 45°;

7)

shkola.in.ua

2) KM = MP, ∠M = 120° ⇒ ∠K = ∠P = 30°.

1)

AC

AE = EC; ∠EKC = 30°; 3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5) відкласти FP = KF. KMP – шуканий трикутник.

shkola.in.ua

51.50. Побудуйте рівносторонній трикутник за його медіаною. Нехай задано CK медіану рівностороннього трикутника ABC.

shkola.in.ua

1)

2)

3)

1) Побудувати рівносторонній трикутник ABC, AC вдвічі більша за дану медіану;

2) поділити навпіл AB і BC; 3) позначити точку F

3) з т. F

AC

5)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Нехай у ∆ABC: ∠A = 15°; ∠B : ∠C = 7 : 8.

Позначимо ∠B = 7х; ∠C = 8х.

2) Маємо 15° + 7х + 8х = 180°; 15х = 165°; х = 11°.

Отже, ∠B = 7 ∙ 11° = 77°; ∠C = 8 ∙ 11° = 88°.

3) Найменший із зовнішніх кутів

кутом трикутника. ∠KCA = 180° – 88° = 92°.

Відповідь. 92°.

51.53. Доведіть,

кутів, однакової довжини.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∆ABC = ∆A1B1C1; CK і C1K1 бісектриси.

2) Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то BC = B1C1; ∠B = ∠B1. 3) Оскільки ∠ACB = ∠A1C1B1 та CK і C1K1

рівних кутів). 4) ∆KCB = ∆K1C1B1 (за другою ознакою). Тому CK = C1K1, що й треба

∠C = 90°; ∠A = 30°; AB = 60 см; CK – висота.

1)

2) ∠B = 90° – ∠A = 60°.

(см).

3) У ∆CKB: ∠KCB = 180° – (60° + 90°) = 30°.

4)

30°,

KB = �������� 2 = 30 2 = 15 (см).

5) AK = AB – BK = 60 – 15 = 45 (см).

15 см і 45 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.55. 1)

S = π ∙ r2 = 3,14 ∙ 15 = 47,1 (м2)

47,1 ∙ 40 = 1884 (л)

2)

35 ∙ 1884 = 65940 (грн).

51.56.

України.

∠ABC = 120°;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) ∠ABK = x°; ∠KBC = (x + 20)°; x + x + 20 = 120; 2x = 100; x = 50; x + 20 = 70;

2) ∠KBC = x°;

∠ABK = 3x°; x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30; 3x = 90;

3) ∠ABK = 3x°; ∠KBC = 5x°; 3x + 5x = 120; 8x = 120; x = 15; 3x = 45; 5x = 75.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

Відповідь:

4.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

6. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають

Б) 40°.

центрами. А. 2 см; Б. 4 см; В. 6 см; Г. 8 см O1O2 = O1A – O2A = 6 – 2 = (см). Відповідь: Б).

shkola.in.ua

7. Точка O центр кола, AB

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

OO1 = 14 см, O1A = x, OA = x + 4.

Тоді x + x + 4 = 14; 2x = 10; x = 5.

Отже, O1A = 5 см, OA = 5 + 4 = 9 (см).

Відповідь: Б). 9. Хорди MN і KL перетинаються

точці A. ∠MKL = 30°, ∠KLN = 70°. Знайдіть

міру кута KAM. А. 30°; Б. 70°; В. 80°; Г. 100° Вписаний кут MKL спирається на хорду ML. Також, на цю хорду, спирається вписаний кут MNL. Отже, ці

shkola.in.ua

рівні: ∠MKL = ∠MNL = 30°. Розглянемо трикутник ANL. В ньому нам відомі

В) 80°

дорівнює 10 см. А. 10 см; Б. 15 см; В. 20 см; Г. 25 см

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай OB = OA = 10 см, ∠MBA = 60°.

З ΔBKM: ∠K = 90°,

∠OMB = 90° – 60° = 30°.

З ΔOMB: ∠B = 90°.

Згідно властивості катета, що лежить

навпроти кута 30° маємо:

OM = 2OB = 2 ∙ 10 см = 20 см. Відповідь: В) 20 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2.

1 – В; 2 – А; 3 – Г.

52 мм.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Будуємо пряму, позначаємо точку

2) Визначаємо кути при основі: ∠A = ∠B = 180° – 50° 2 = 65°.

3) Будуємо ∠KAB = 65°.

4) Будуємо ∠LBA = 65°.

5) Промені AK і BL перетинаються у точці С.

6) ∆ABC шуканий.

трикутника. Нехай ΔABC рівнобедрений (AB = AC),

shkola.in.ua

AK = AL = 5 см, LB = MB = KC = MC = 2 см.

PΔABC = AB + BC + CA = AL + LB + MB + MC + KC + KA = = 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 = 18 (см).

Відповідь: 18 см.

10. З точки A, що лежить

точки дотику, ∠BAC = 60°.

кола дорівнює 8 см.

shkola.in.ua

3)

Нехай AB і AC

∠BAC = 60°, OA = 8 см.

точки

ΔABO = ΔACO (за катетом і гіпотенузою: OC = OB – як радіуси

рівності трикутників: ∠BAO = ∠CAO = 1 2 ∠BAC = 1 2 ∙ 60° = 30°.

BAO = 30°) маємо: OB = 1 2 OA = 1 2 ∙ 8 = 4 (см).

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AKB, якщо ∠KOB = 130°.

shkola.in.ua

∠AOK = зовнішній

до кута KOB.

AOK = 180° – 130° = 50°.

ΔAOK – рівнобедрений, оскільки OA = OK –

радіуси, тоді ∠OAK = ∠AKO = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°. ΔKOB – рівнобедрений, оскільки OK = OB – як радіуси, тоді ∠OKB = ∠OBK = (180° – 130°) : 2 = 25°.

ΔAKB – прямокутний,

∠AKB = 90°. Отже, ∠A = 65°, ∠K =

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай AB = BC = OC = OA, тоді ΔAOB і ΔBOC

∠A = ∠AOB = ∠ABO = 60°, ∠C = ∠OBC = ∠OCB = 60°.

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

8. AB

shkola.in.ua

ABK, якщо

AKB = 90°,

90°.

∠KAB = x°, тоді ∠KBA = 4x°. x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18.

Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° ∙ 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°, 90°.

трикутника MON.

shkola.in.ua

Нехай ОК = АК, MN ⊥ OA.

З ΔOMK: ∠OMK = 30°, оскільки OK = 1 2 OM.

ΔMON – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси, тоді ∠ONM = ∠OMN = 30°, ∠MON = 180° – ∠ONM – ∠OMN = 180° – 30° – 30° = 120°.

Отже, в ΔMON ∠MON = 120°, ∠OMN = 30°, ∠MNO = 30°. Відповідь: 30°, 30°, 120°. 1.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

12. Нехай OK відстань від центра кола O

і кола, якщо: 1) OK = 12 см, r = 14 см; 2) r = 7 см, OK = 70 мм; 3) OK = 2 дм, r = 18 см; 4) r = 32 мм, OK = 0,3 дм?

shkola.in.ua

1) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 12 см < 14 см.

2) Пряма p дотикається до кола, оскільки OK = r, 7 см = 70 мм.

3) Пряма p не має спільних

оскільки OK > r, 2 дм > 18 см.

4) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 0,3 дм < 32 мм. 13.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AM = AN – за умовою).

рівності трикутників

що OM =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

рівносторонній. Нехай BD і CK медіани, O центр кола,

O точка перетину бісектрис, то BD і CK бісектриси, медіани і

shkola.in.ua

Отже, ΔABC рівносторонній.

19. Вписане в рівнобедрений трикутник

см.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC рівнобедрений (AB = CB), E, F, D – точки дотику.

За умовою EA : EB = 2 : 3. Нехай EA = 2x, EB = 3x.

Враховуючи рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо:

PΔABC = AB + BC + CA = (2x + 3x) + (3x + 2x) + (2x + 2x) = 14x.

За умовою P = 70 см, отже, 14x = 70 см, x = 5 см.

Тоді AB = BC = 2x + 3x = 5x = 5 ∙ 5 = 25 (см), AC = 2x + 2x = 4x = 4 ∙ 5 = 20 (см).

Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см. 20.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

22. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1 + 2 + 3 = 4 = 10. Коло поділили на 10 частин. Стороні АВ чотирикутника відповідає 1 частина, стороні ВС 2, СD З і АD 4 частини. Дуга, що відповідає одній частині, дорівнює 360° : 10 = 36°.

∠А спирається на дугу ◡АD = 6 ∙ 36° = 216°.

∠A = 1 2 ◡AD = 216° : 2 = 108°.

Аналогічно, ∠B = 1 2 ◡AC = 1 2 ∙ 7 ∙ 36° = 126°.

∠C = 1 2 ◡BD = 1 2 ∙ 5 ∙ 36° = 90°.

∠D = 1 2 ◡AC = 1 2 ∙ 3 ∙ 36° = 54°.

Відповідь: 108°, 126°, 90°, 54°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3 см, 8 см і 3 см.

1) AB = 4 см. Кола не перетинаються.

2) AB = 4 см. Кола перетинаються.

Нехай CA = 3 см, AB = 8 см, BD = 3 см.

AO = AB : 2 = 8 см : 2 = 4 см.

CO = CA + AO = 3 см + 4 см = 7 см.

4 см, 7 см.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

якщо AB = 12 см. Нехай OB = 10x, OA = 7x.

AB = OB – OA = 10x – 7x = 3x.

За умовою 3x = 12 см, x = 4 см.

Тоді OB = 10 ∙ 4 = 40 (см),

OA = 7 ∙ 4 = 28 (см).

Відповідь: 40 см, 28 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

якщо вони відносяться як 5 : 3. Розгляньте

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай O1K = 5x, OK = 3x,

тоді 5x + 3x = 16;

8x = 16; x = 2.

Отже, O1K = 5 ∙ 2 = 10 (см),

OK = 3 ∙ 2 = 6 (см).

Відповідь: 10 см, 6 см.

дотик.

II випадок. Кола мають внутрішній дотик.

Нехай OK = 5x, O1K = 3x.

Тоді O1O = OK – O1K = 5x – 3x = 2x; 2x = 16; x = 8.

Отже, OK = 5 ∙ 8 = 40 (см), O1K = 3 ∙ 8 = 24 (см).

Відповідь: 40 см, 24 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠A тупий.

1) Довільним радіусом

з т. A; 2) довільним радіусом провести

з т. B і т. C; з'єднати т. A і т. D; ∠BAD = ∠DAC; 3) радіусом AB = AC провести дугу з т. A, що перетинає AD; 4) довільним радіусом

F, F і C; 5) з'єднати т. A з т. M, т. A з т. N; ∠BAM = ∠MAD = ∠DAN = ∠NAC = 1 4 ∠BAC ⇒ ∠BAM = 1 4 ∠BAC, ∠MAC = 3 4 ∠BAC.

1) На сторонах

A позначимо точки B і C; з'єднаємо їх; 2) побудуємо ΔOMN = ΔABC, OM = AB, MN = BC, ON = AC; 3) на сторонах кута K позначимо точки F і L; з'єднаємо їх;

4) побудуємо ΔQPE = ΔKFL, KL = PQ, KF = EQ, FL = PE;

5) ∠BAC = ∠MON, ∠FKL = ∠EQP; продовжимо OM і QE до перетину; ∠ODQ є шуканим.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AB = AC, ∠A = 90° ⇒ ∠B = ∠C = 45°; AK ⊥ BC; BK = AK = KC.

1) Накреслити BC; 2) поділити BC навпіл і провести через т. K

перпендикуляр; 3) відкласти KA = KB = KC; 4) з'єднати т. A з т. B і т. C. ΔABC є шуканим.

shkola.in.ua

1) Накреслити катет AB; 2) на сторонах ∠B провести дугу та позначити точки M і N;

3) по трьом сторонам

побудувати ΔBFK = ΔBMN; BF = BN, BK = BM, FK = MN; продовжити промінь BK; 4) від точки A відкласти

AE = AL;

E

провести дуги; 5) з'єднати т. D з т. A і продовжити промінь AD;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

46.

AB < AC; ∠C = α.

1) Накреслити відрізок AC;

2) Побудувати ∠C = α;

3) з т. A провести дугу радіусом AB. Точки B1 і В2 вершина трикутників AB1C і AB2C, які є шуканими.

LNM промінь NT. Тоді ∠LNT= ∠B = ∠C.

shkola.in.ua

2) NP – бісектриса кута ∠LNT. Тоді ∠PNL = ∠KBC.

3) ∠KBC = 180° – (∠C + ∠KBC). Для побудови кута BKC від розгорнутого

відкладемо ∠C і ∠KBC; ∠DEF = ∠C; ∠DEG = ∠KBC. Тоді ∠GEH = ∠BKC.

4) Будуємо ∠KBC за стороною і

прилеглими кутами.

5) ∠KBQ = ∠CBK.

6) CK і BQ перетинаються

7) ∆ABC – шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2) Будуємо серединний

перпендикуляр

3)

shkola.in.ua

змінними: 1) 4х – 5у = 9; 3) 2х + 11y = 0; 5) 0x + 3y = 12.

52.3. Укажіть рівняння

є

Рівняннями з двома змінними є: 1) 3х – 2y = 5; 2) 2x2 – 3y2 = 1; 4) 4x – 0y = 8; 6) 1 7 x + 1 8y = 1 9; з них лінійними: 1) 3х – 2y = 5; 4) 4x – 0y = 8; 6) 1 7 x + 1 8y = 1 9 .

52.4. Чи є пара чисел розв’язком рівняння х – у = 0:

1) Пара чисел (4; 4) є розв’язком рівняння х

52.6. Які

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

пар чисел (10; 1), (1; 10), (7; 2), (7; –2), (9; 0) є розв’язками

чисел (10; 1) є

– у = 9, бо: 10 – 1 = 9; 9 = 9;

чисел (1; 10) не є розв’язком рівняння х

у = 9, бо: 1 – 10 = –9; –9 ≠ 9;

чисел (7; 2) не є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 7 – 2 = 5; 5 ≠ 9;

чисел (7; –2) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 7 – (–2) = 7 + 2 = 9; 9 = 9;

чисел (9; 0) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 9 – 0 = 9; 9 = 9.

52.7. Які з пар чисел (2; 1), (2; –1), (0; 5), (1; 3), (–1; 5) є розв’язками рівняння 2х + у = 5?

Пара чисел (2; 1) є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 + 1 = 5; 5 = 5;

пара чисел (2; –1) не є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 – 1 = 3; 3 ≠ 5;

пара чисел (0; 5) є розв’язком рівняння 2х

чисел (1; 3) є розв’язком

чисел (–1; 5) не є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ (–1) + 5 = 3; 3 ≠ 5.

52.8. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел (–1; 3):

1) Пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 2х – 17y = 53, бо:

2 ∙ (–1) – 17 ∙ 3 = –2 – 51 = – 53; – 53 ≠ 53;

2) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 3х2 + у2 = 12, бо:

3 ∙ (–1)2 + 32 = 3 + 9 = 12; 12 = 12;

3) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння (х – 3)(у + 2) = –20; бо: ((–1) – 3)(3 + 2) = –4 ∙ 5 = –20; –20 = –20;

4) пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 0x + 4у = –12, бо:

0 ∙ (–1) + 4 ∙ 3 = 12; 12 ≠ –12;

5) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 0x + 0у = 0, бо:

0 ∙ (–1) + 0 ∙ 3 = 0; 0 = 0;

6) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння х2 + 1 = у2 – 7, бо: (–1)2 + 1 = 32 – 7 = 2; 2 = 2.

52.9. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел х = 2; у = –1:

1) Пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння 3х + у = 5, бо:

3 ∙ 2 – 1 = 5; 5 = 5;

2) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння х2 + у2 = 3, бо: 22 + (–1)2 = 5; 5 ≠ 3;

3) пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння 2х + 0y = 4, бо:

2 ∙ 2 + 0 (–1) = 4; 4 = 4;

4) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння х(у + 3) = 14, бо:

2 ∙ (–1 + 3) = 2 ∙ 2 = 4; 4 ≠ 14;

5) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння 0x + 0y = 7, бо:

0 ∙ 2 + 0 ∙ (–1) = 0; 0 ≠ 7;

6) пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння 1 2x + у = 0, бо: 1 2 ∙ 2 – 1 = 0 ; 0 = 0.

52.10. Знайдіть три будь–яких розв’язки рівняння: 1) х + у = –3.

Якщо х = 0, то 0 + у = –3; у = –3.

Якщо x = 3, то 3 + у = –3; у = –6.

Якщо х = –3 , то –3 + у = –3; у = 0.

Отже, пари чисел (0; –3), (3; –6), (–3 ; 0) є

розв’язками рівняння; 2) х – 2у = 5.

Якщо х = 0, то 0 – 2у = 5; 2у = –5; у = –2,5.

Якщо х = = 3, то 3 – 2у = 5; 2у = –2; у = – 1.

Якщо х = 5, то 5 – 2у = 5; 2у = = 0; у = 0.

Отже, пари чисел (0; –2,5), (3; –1), (5; 0) є розв’язками рівняння.

52.11. Знайдіть

1) х – у = 2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

-

Якщо х = 0, то 0 – у = 2; у = –2.

Якщо х = 3, то 3 – у = 2; у = 1.

Якщо х = –3 , то – 3 – у = 2; у = –5.

Отже, пари чисел (0; –2), (3; 1), (–3; –5) є

розв’язками рівняння; 2) х + 3у = 0.

52.12. Складіть лінійне рівняння з двома

=

Якщо х = 0, то 0 + 3у = 0; 3у = 0; у = 0.

Якщо х = 3, то 3 + 3у = 0; 3у = –3; у = –1.

Якщо х = 6, то 6 + 3у = 0; 3у = –6; у = –2.

Отже, пари чисел (0; 0), (3; –1), (6; –2 ) є розв’язками рівняння.

змінними 5х + 2у = 11, бо: 5 ∙ 3 + 2 ∙ (–2) = 11; 11

52.13

чисел (–2; 0) є розв’язком,

5x + 2у = –10, бо: 5 ∙ (–2) + 2 ∙ 0 = –10; –10 = –10. 52.14. Виразіть з рівняння

х = 9 + 3у.

у. 1) 3х – 2у = 12; –2у = 12 – 3х; у = –6 + 1,5х;

52.17. Виразивши

рівняння:

1) х + у = 29; у = 29 – х.

Якщо х = 0, то у = 29 – 0 = 29.

Якщо х = 9, то у = 29 – 9 = 20.

Отже, пари чисел (0; 29), (9; 20) є

розв’язками рівняння;

3) 3x – 2y = 15$ -2y = 15 – 3x;

y = (15 – 3x) : (-2);

y = 15 : (-2) + (-3x) : (-2);

y = -7,5 + 1,5x;

y = 1,5x – 7,5.

Якщо х = 0, то у = 1,5 ∙ 0 – 7,5 = 7,5.

Якщо х = 4, то у = 1,5 ∙ 4 – 7,5 = 1,5.

Отже, пари чисел (0; -7,5), (4; -1,5) є

розв’язками рівняння.

2) 3х – 2у = 12; 3х = 12 + 2у; х = 4 + 2 3у.

2) 5x + у = 7; у = 7 – 5х.

Якщо х = 0, то y = 7 – 5 ∙ 0 = 7.

Якщо х = 2, то у = 7 – 5 ∙ 2 = –3.

Отже, пари чисел (0; 7), (2; –3) є

розв’язками рівняння.

4) 6у – х = 5; 6у = 5 + х; у = (5 + х) : 6;

Якщо х = 1, то у = (5 + 1) : 6 = 6 : 6 = 1.

Якщо х = 7, то у = (5 + 7) : 6 = 12 : 6 = 2.

Отже, пари чисел (1; 1), (7; 2) є

розв’язками рівняння.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) х – 2y = –8; х = –8 + 2у.

Якщо у = 0, то х = –8 + 2 ∙ 0 = –8.

Якщо у = 1, то х = –8 + 2 ∙ 1 = –6.

Якщо у = 4, то х = –8 + 2 ∙ 4 = 0.

Отже, пари чисел (–8; 0), (–6; 1), (0; 4) є

розв’язками рівняння;

3) 3х + 2у = 6; 2y = 6 – 3х; у = 3 – 1,5х.

Якщо х = 0,то y = 3 – 1,5 ∙ 0 = 3.

Якщо х = 2, то у = 3 – 1,5 ∙ 2 = 0.

Якщо х = 4, то у = 3 – 1,5 ∙ 4 = –3.

Отже, пари чисел (0; 3), (2; 0), (4; –3) є

розв’язками рівняння;

2) 7x – у = 9; –у = 9 – 7х; у = 7x – 9.

Якщо х = 0, то у = 7 ∙ 0 – 9 = –9.

Якщо х = 2, то 7 ∙ 2 – 9 = 5.

Якщо х = 4, то у = 7 ∙ 4 – 9 = 19.

Отже, пари чисел (0; –9), (2; 5), (4; 19) є

розв’язками рівняння;

4) 5x – 7y = 12; 5х = 12 + 7y; х = 1,4у + 2,4.

Якщо у = 0, то х = 1,4 ∙ 0 + 2,4 = 2,4.

Якщо у = 5, то х = 1,4 ∙ 5 + 2,4 = 9,4.

Якщо у = 10, то х = 1,4 ∙ 10 + 2,4 = 16,4.

Отже, пари чисел (2,4; 0), (9,4; 5), (16,4; 10) є розв’язками рівняння.

52.19. Пара чисел (–5; р) є розв’язком рівняння 2х – у = –13. Знайдіть р.

Якщо пара чисел (–5; р) є розв’язком рівняння 2х – у = –13, то:

2 ∙ (–5) – р = –13; –10 – р = – 13; –р = –13 + 10; р = 3.

52.20. Пара чисел (n; –1) є розв’язком рівняння 3х + 5у = 4. 3найдіть n.

Якщо пара чисел (n; –1) є розв’язком рівняння 3х + 5y = 4, то:

3n + 5 ∙ (–1) = 4; 3n = 9; n = 3.

52.21. Знайдіть m, якщо пара чисел (–1; –3) є розв’язком рівняння: 1) Якщо пара чисел (–1; –3 ) є розв’язком рівняння 8х + 9у = m, то: 8 ∙ (–1) + 9 ∙ (–3) = m; – 8 – 27 = m; m = –35; 2) якщо пара чисел (–1; –3 ) є розв’язком рівняння mх –2у = –9, то: m ∙ (–1) – 2 ∙ (–3) = –9; –m + 6 = –9; –m = –15; m = 15.

52.22. При якому значенні d пара чисел (2; –1) є розв’язком рівняння:

1) Якщо пара чисел (2; –1) є розв’язком рівняння 7x – 5y = d, то:

7 ∙ 2 – 5 ∙ (–1) = d; 14 + 5 = d; d = 19;

2) якщо пара чисел (2; –1 ) є розв’язком рівняння 3х + dy = 8, то:

3 ∙ 2 + d ∙ (–1) = 8; 6 – d = 8; d = –2.

52.23. Знайдіть два деяких розв’язки рівняння

2(х – у) = 3(х +у) + 4;

2х – 2у = 3х + 3у + 4;

2х – 2у – 3х – 3у = 4;

– х – 5у = 4;

х = –5y – 4.

Якщо у = 0, то х = –5 ∙ 0 – 4 = –4.

Якщо y = 2, то х = –5 ∙ 2 – 4 = –14.

Отже, пари чисел (–4; 0), (–14; 2) є розв’язками рівняння.

52.24. Серед розв’язків рівняння х + 3у = 20

Якщо х = у, то х + 3х = 20; 4х = 20; х = 5. Отже, розв’язком рівняння х + 3у = 20 є,

+ 12у = 105.

чисел (р; р) є розв’язком

(5; 5).

4х – 9у = –10, то: 4р – 9р = –10; –5р = –10; р = 2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) якщо пара чисел (р; –р) є розв’язком

17х + 12у = 105, то: 17p – 12p = 105; 5p = 105; p = 21.

52.26. Знайдіть усі пари натуральних чисел,

1) 2х + у = –7.

Якщо х і у натуральні числа, то

дорівнювати від’ємному числу.

Отже, таких пар натуральних чисел немає; 2) 3х + 2у = 5.

Якщо х і у натуральні числа, то х може набирати лише значення 1.

Маємо: якщо х = 1, то 3 ∙ 1 + 2у = 5; 2у = 2; у = 1.

Розв’язком рівняння є пара чисел (1; 1);

3) х + 7y = 15.

Якщо х і у натуральні числа, то у може набирати лише значення 1 або 2.

Маємо: якщо у = 1, то х + 7 ∙ 1 = 15; х = 8; якщо у = 2, то х + 7 ∙ 2 = 15; х = 1.

Розв’язком рівняння є пари чисел: (8; 1) або (1; 2);

4) ху = 7.

Якщо х і у

Маємо: якщо у = 1, то x ∙ 1 = 7; х = 7; якщо у = 7, то х ∙ 7 = 7;

1 або 7.

52.28. Спростіть

1) (х – 10)2 – х(х + 80) = х2 – 20х + 100 – х2 – 80x = 100 – 100х.

Якщо x = –0,83, то 100 – 100x = 100 – 100 ∙ (–0,83) = 100 + 83 = 183; 2) (5m + 3)2 – (5m – 3)2 = (5m + 3 – 5m + 3)(5m + 3 + 5m – 3) = 6 ∙ 10m = 60m.

Якщо m = –17 60, то 60m = 60 ∙ (–17 60) = –17.

52.29. Відомо, що а + b = –1, ab = –6. Знайдіть

1) a2b + ba2 = ab(a + b).

Якщо а + b = –1, ab = –6, то ab(a + b) = –6 ∙ (–1) = 6; 2) а2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (а + b)2 – 2ab.

Якщо а + b = –1, ab = –6, то (а + b)2 – 2ab = (–1)2 – 2 ∙ (–6) = 13; 3) (а – b)2 = а2 – 2ab + b2 + 2ab – 2ab = а2 + 2ab + b2 – 2ab – 2ab = (а + b)2 – 4ab.

Якщо а + b = – 1, ab = –6, то (а + b)2 – 4ab = (–1)2 – 4 ∙ (–6) = 25; 4) а3 + b3 = (а + b)(a2 – ab + b2) = (а + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (а + b)((а + b)2 – 3аb). Якщо а + b = –1, ab = –6, то (а + b)((a + b)2 – 3ab) = –1 ∙ ((–1)2 – 3 ∙ (–6)) = = –1 ∙ ( 1 + 18) = –19.

52.30. Роздрібна

1) 180 ∙ (1 – 0,2) = 180 ∙ 0,8 = 144 (грн) –

2) 28 ∙ 144 = 4032 (грн) –

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) точка (4; –2)

3) точка (1; 6)

4) точка (6; 0) належить

53.2.

= 4?

точок А(4; 0), В(1; 3), С(3; –1), D(0; 4), Е(5; 1)

Точка A(4; 0) належить

х

у = 4, бо: 4 – 0 = 4; 4 = 4; точка B(1; 3) не належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 1 – 3 = –2; –2 ≠ 4; точка С(3; –1) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 3 + 1 = 4; 4 = 4;

точка D(0; 4) не належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 0 – 4 = –4; –4 ≠ 4;

точка E(5; 1) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 5 – 1 = 4; 4 = 4.

53.3. Чи проходить графік рівняння 7x + 5у = 25 через точку:

1) Пряма, що є графіком рівняння 7х + 5у = 25 не проходить через точку А(7; –4), бо:

7 ∙ 7 + 5 ∙ (–4) = 49 – 20 = 29; 29 ≠ 25;

2) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 проходить через точку B(5; –2), бо:

7 ∙ 5 + 5 ∙ (–2) = 25; 25 = 25;

3) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 не проходить через точку С (–1,4; 7), бо:

7 ∙ (–1,4) + 5 ∙ 7 = –9,8 + 35 = 25,2; 25,2 ≠ 25;

4) пряма, що є графіком рівняння 7х + 5y = 25 проходить через точку D(35; –44), бо:

7 ∙ 35 + 5 ∙ (–44) = 245 – 220 = 25; 25 = 25.

53.4. Графіки яких рівнянь проходять через точку Р(–2; 3):

1) Графік рівняння 7х + 9у = 15 не проходить через точку Р(–2; 3), бо:

7 ∙ (–2) + 9 ∙ 3 = –14 + 27 = 13; 13 ≠ 15;

2) графік рівняння 4х – 17у = –59 проходить через точку Р(–2; 3), бо:

4 ∙ (–2) – 17 ∙ 3 = –8 – 51 = –59; –59 = –59;

3) графік рівняння 0x + 5у = 15 проходить через точку Р(–2; 3), бо:

0 ∙ (–2) + 5 ∙ 3 = 0 + 15 = 15; 15 = 15;

4) графік рівняння 1 2 х + 1 6y = –1 не проходить через точку Р(–2; 3), бо:

1 2 ∙ (–2) + 1 6 ∙ 3 = –1 + 1 2 = –0,5; –0,5 ≠ –1;

5) графік рівняння 0x + 0y = 5 не проходить через точку Р(–2; 3), бо:

0 ∙ (–2) + 0 ∙ 3 = 0; 0 ≠ 5;

6) графік рівняння 1,7x + 1,2y = 0,2 проходить через точку Р(–2; 3), бо:

1,7 ∙ (–2) + 1,2 ∙ 3 = –3,4 + 3,6 = 0,2; 0,2 = 0,2.

53.5. Доведіть, що графіки рівнянь 5х – 8у = –66; 0x + 3у = 21 та 7y – 4х = 57 проходять

через точку М(–2; 7).

Графік рівняння 5х – 8y = –66 проходить через точку М(–2; 7), бо:

5 ∙ (–2) – 8 ∙ 7 = –10 – 56 = –66; –66 = –66; графік рівняння 0x + 3y = 21 проходить через точку М(–2; 7), бо:

0 ∙ (–2) + 3 ∙ 7 = 21; 21 = 21;

графік рівняння –4x + 7у = 57 проходить через точку М(–2; 7), бо: –4 ∙ (–2) + 7 ∙ 7 = 8 + 49 = 57; 57 = 57.

Отже, графіки рівнянь 5х – 8y = –66, 0x + 3y = 21, і –4х + 7y = 57 проходять через

М(–2; 7).

53.6. Назвіть

+ 2y = 12

(6; 4) і (–5; 0).

53.8.

1) x – y = 5

y = x – 5 x 0 5 y –5 0

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 0,5x + y = 3 y = 3 – 0,5x x 0 6

3) x + 3y = 0 ���� =–x 3 x 0 3 y 0 –1

53.9.

1) x + y = 6 y = 6 – x x 1 5 y 5 1

4) 0,2x – 0,4y = 2 y = 0,5x – 5 x 0 2 y –5 –4

2) y – 2x = 0 y = 2x x 0 2 y 0 4

3) x – 0,5y = 4; ���� = 2x – 8 x 4 5 y 0 2 4) 2x + 3y = 5; ���� = 5 –2x 3 x 1 4 y 1 -1

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5x – 7y = 16

5x – 7 ∙ (–2) = 16; 5x + 14 = 16; 5x = 2; x = 0,4.

53.13. Побудуйте графік рівняння: 1) 0x + 2,5y = 12,5; 2,5y = 12,5; y = 5 x 0 2 y 5 5

2) 7x + 0y = –14; 7x = –14; x = –2 x –2 –2 y 0 2

3x = –12; x = –4 x –4 –4 y 0 2 x –4 0 y –3 –3

точку (–1; 5)?

1) Якщо

рівняння 5х + 7у = m

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) якщо у = 0, то 5х – 3 ∙ 0 = 15; 5х = 15; х = 3.

Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15

Якщо х = 0, то 5 ∙ 0 – 3у = 15; 3у = –15; у = –5.

Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15

53.18. He виконуючи

осями координат:

1) Якщо у = 0, то 3х + 0 = 18; 3х = 18; х = 6.

Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає

Якщох = 0, то 3 ∙ 0 + у = 18; у = 18.

(3; 0).

(6; 0).

Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає вісь у у точці (0; 18); 2) якщо у = 0, то –7x – 2 ∙ 0 = 28; –7x = 28; х = –4.

Отже, графік рівняння –7x – 2у = 28 перетинає вісь х у точці (–4; 0).

Якщо х = 0, то –7 ∙ 0 – 2у = 28; –2у = 28; у = –14.

Отже, графік рівняння –7х – 2у = 28 перетинає

53.19. Побудуйте графік рівняння:

у у точці (0; –14).

1) 2(x + y) – 3y = 1; 2x + 2y – 3y = 1; 2x – y = 1; ���� = 2x – 1 x 0 2 2) x 2 –y 3 = 1 6 | ∙ 6; 3x – 2y = 1;

1) 5(x y) 4(x + y) = 7; 5x – 5y – 4x – 4y = –7; x – 9y = –7 ���� = 7 + x 9 x –7 2 y 0 1 ���� = 6 – 2x 3 x 0 3

53.21. He виконуючи

графік рівняння:

1) 2х – 6у = 0; 2x = 6у; х = 3у. З рівності х = 3у слідує, що х і у

рівняння 2х – 6у = 0 розміщений у І і III

2) 3х + у = 0; у = –3х. З рівності у = –3х слідує, що х і у

Отже, графік рівняння 3х + у = 0 розміщений у II і IV координатних чвертях;

3) 1,9х = 190; х = 100.

Графіком рівняння 1,9х = 190 є

4) –8y = 720; у = –90.

x

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3 5 + y+4 3 = 7 15 | ∙ 15; 3(x – 3) + 5(y + 4) = 7; 3x – 9 + 5y + 20 = 7; 3x + 5y = –4; ���� = 3x – 4 5 3x + 5y = –4 x 2 –3 y –2 1

53.24. Пряму пропорційність задано формулою у =

1) значення у, якщо х = –8; 0; 12; 20; Якщо х = –8 , то у = –1 4 ∙ (–8) = 2;

якщо х = 0,то у = –1 4 ∙ 0 = 0; якщо x = 12, то у = –1 4 ∙ 12 = –3; якщо x = 20, то y = –1 4 ∙ 20 = –5;

53.25. Подайте у вигляді многочлена:

2) значення х, якщо у = –2; 3; 10. y = –2, якщо: –2 = –1 4х; х = 8; у = 3, якщо: 3 = –1 4х; х = –12; у = 10, якщо: 10 = –1 4x; х = –40.

1) 64а2 – (8а – 1)2 + 14а = 64а2 – 64а2 + 16а – 1 + 14а = 30а – 1; 2) m2 + 4n2 – (m + 2n)2 – 12mn = m2 + 4n2 – m2 – 4mn – 4n2 – 12mn = –16mn; 3) 2m(m – 5) – (m – 5)2 = 2m2 – 10m – m2 + 10m – 25 = m2 – 25; 4) (х – 3)(х + 5) – (х + 1)2 = х2 + 5х – 3х – 15 – x2 – 2х – 1 = –16.

53.26. Автомобіль і

проїхав автобус до зустрічі, дорівнює 2х км, а автомобіль 1,5(х + 20) (км). (x + 20)(2 – 0,5) = 1,5(х + 20) = (1,5x + 30) (км).

Рівняння: 2x + 1,5(х + 20) = 240; 2x + 1,5x + 30 = 240; 3,5x = 210; x = 210 : 3,5; x = 60 (км/год) – швидкість автобуса

Швидкість автомобіля дорівнює 60 + 20 = 80 (км/год).

Відповідь: 60 км/год і 80 км/год.

53.27. Відомо, що маса

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

53.28.

у = 0,5х + 2

x –4 2

y 0 3 у = 5 – х

x 0 5

y 5 0

А(2; 3) – точка перетину.

53.29. Доведіть, що для будь-якого значення х

додатним.

Розглянемо вираз x8 – x5 + x2 – x + 1.

1) Якщо х ≤ 0, то х8 ≥ 0, x5 ≤ 0, тоді –x5 ≥ 0, x2 ≥ 0, x ≤ 0, тоді –x ≥ 0,1 > 0.

Отже, x8 + (–x5) + x2 + (–x) + 1 > 0 ;

2) 0 < x ≤ 1. Врахувавши, що якщо 0 < x ≤ 1,то 0 < xn ≤ 1, одержимо:

х8 – x5 + х2 – x + 1 = х8 + x2(1 – х3) + (1 – x).

1 – x3 ≥ 0,1 – x ≥ 0, x8 > 0, x2 > 0, тому х8 – х5 + х2 – х + 1 > 0;

3) якщо x > 1, то xn > 1.

x8 – x5 + x2 – x + 1 = x5(x3 – 1) + х( x – 1) + 1.

Отже, x5 > 1, x3 – 1 > 0, х > 0, х – 1 > 0, тому x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0.

Отже, x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0 для будь-якого

54. Система

2) �3x + 2y = 5, 7x – 4y = 3.

системи

x + y = 7, x y = 1. бо: x − y = 3 − 4 = −1; −1 ≠ 1;

2) Пара чисел (4; 3) є розв’язком

x + y = 7, x y = 1, бо: �4 + 3 = 7, 4 − 3 = 1, � 7 = 7, 1 = 1;

x + y = 5, x y = 1, бо: x + y = 5 + 0 = 5; 5 ≠ 1;

х.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) Пара чисел (2; 3) не є розв’язком системи �x + y = 5, x y = 1, бо: x + y = 2 + 3 = 5; 5 ≠ 1;

3) Пара чисел (3; 2) є розв’язком системи

� x + y = 5, x y = 1; �3 + 2 = 5, 3 2 = 1

54.4. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображено на малюнку 54.4?

На малюнку 54.5?

Система, графіки рівнянь якої зображено на мал. 54.4,

(–2 ; 1), а на мал. 54.5 не має жодного розв’язку, бо графіки рівнянь є паралельними прямими.

54.5. Чи є пара чисел (−2; 1) розв’язком системи:

1) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи � x + 2y = 0, 3x 7y = 13 бо: � 2 + 2 = 0, 3 · ( 2) 7 · 1 = 13; � 0 = 0, 13 = 13.

2) Пара чисел (−2; 1) не є розв’язком системи

5x + 7y = 3

9x 11y = 29. бо: 9 · (−2) − 11 · 1 = −18 − 11 = −29; −29 ≠ −29;

3) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи

2x = 5 9���� , 7y 12x = 31 бо: � 2 · ( 2) = 5 9 · 1 , 7 · 1 − 12 · (−2) = 31, � 4 = 4, 31 = 31.

54.6. Яка з пар (3; −4), (7; 2), (4; −3) є розв’язком системи:

1) Пара чисел (4; −3) є розв’язком системи

2x 3y = 17, 5x 2y = 14, бо: � 2 · 4 3 · ( 3) = 8 + 9 = 17, 5 · 4 + 2 · ( 3) = 20 6 = 14, � 17 = 17, 14 = 14;

2) Пара чисел (7; 2) є розв’язком системи

2x 7y = 0, 3x 5y = 31, бо: � 2 · 7 7 · 2 = 14 14 = 0, 3 · 7 + 5 · 2 = 21 + 10 = 31; � 0 = 0, 31 = 31.

54.7. Складіть систему лінійних

1) (1; −3); 2) (4; 5).

1) Пара чисел (1; −3) є розв’язком, наприклад, такої

змінними: �3x + 2y = 3, 5x − y = 8, бо: �3 · 1 + 2 · ( 3) = 3, 5 · 1 ( 3) = 8;

2) Пара чисел (4; 5) є розв’язком, наприклад, такої

3x + 2y = 22, 5x y = 15, бо: �3 · 4 + 2 · 5 = 22, 5 · 4 5 = 15;

x + y = 1, 2x y = 4, бо: � 1 + 2 = 1, 2 · ( 1) 2 = 4; � 1 = 1, 4 = 4.

1) Побудуємо графіки рівнянь на одній

площині: y = −x

x 0 3 y 0 −3

y = 4 + x

x −2 0

y 2 4

Графіки перетинаються в точці C(−2; 2).

Розв’язком системи є пара чисел (−2; 2).

2) Побудую графіки рівнянь на одній

площині: y = 2x x 0 2 y 0 4 y = 3+ x

x 0 2

y 3 5

Графіки перетинаються в точці K(3; 6). Розв’язком системи є пара чисел (3; 6).

3) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: x + y = 2

x 1 0

y 1 2

x + 2y = −1

x −1 −3

y 0 1

Графіки перетинаються в точці N(5; −3).

системи є пара чисел (5; −3).

Графіки перетинаються в точці M(−3; −7).

1) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: y = x x 0 2 y 0 2 y = 6 − x x 2 3 y 4 3

Графіки перетинаються в точці F(3; 3).

системи є пара чисел (3; 3).

2) Побудую графіки рівнянь на одній

площині y = −2x x 0 2 y 0 −4 y = 4 − x x 0 2 y 4 2

Графіки перетинаються в точці E(−4; 8).

чисел (−4; 8).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) Побудую графіки рівнянь на одній

координатній площині:

x – y = 1

x 1 2

y 0 1

x – 2y = 4

x 0 4

y −2 0

Графіки перетинаються в точці P(−2; −3).

Розв’язком системи є пара чисел (−2; −3).

4) Побудую графіки рівнянь на одній

координатній площині: 3x + y = 7

x 1 2

y 4 1 x + y = 3

x 0 3

y 3 0

Графіки перетинаються в точці D(2; 1).

Розв’язком системи є пара чисел (2; 1).

shkola.in.ua

54.11. Пара (2; −5) є розв'язком системи рівнянь. Знайдіть a і b.

Якщо пара чисел (2; −5) є розв'язком: � 2x + by = 5, ax 6y = 13, то: � 2 · 2 + b · ( 5) = 5, a · 2 b · ( 5) = 13; � 4 5b = 5, 2a + 30 = 13; � 5b = 1, 2a = 17; �b = 0,2, a = 8,5.

54.12. Знайдіть a і b, якщо пара (10; −2) є розв'язком системи рівнянь.

Якщо пара чисел (10; −2) є розв'язком: �ax + 5y = 17, 3x by = 9, то: �a · 10 5 · ( 2) = 17, 3 · 10 + b · ( 2) = 9; �10a + 10 = 17, 30 + 2b = 9; � 10a = 7, 2b = 21; � a = 0,7, b = 10,5.

54.13. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) побудую графіки рівнянь на одній

площині. 2x + 3y = 13

x 5 –1 y 1 5 3x – y = 3 x 1 0

y 0 −3

перетинаються

точці E(2; 3).

чисел (2; 3);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + 7y = 12 x 6 −1 y 0 2 3x − 2y = −7 x 1 −3 y 5 –1

Графіки перетинаються в точці O(−1; 2). Розв'язком системи є пара чисел (−1; 2).

54.14.

систему рівнянь

1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. 2x − 3y = −10 x −2 −5 y 2 0 6x − y = 2

x 0 1 y −2 4

Графіки перетинаються в точці F(1; 4).

системи є пара чисел (1; 4).

2) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. 2x + 5y = −4

x 3 −2 y −2 0 7x − 2y = 25 x 3 5 y –2 5

Графіки перетинаються в точці E(3; −2).

чисел (3; −2).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1)

координатній

2x − y = 5

x 0 2 y −5 −1

3x + y = 7 x 1 3 y 4 −2

Прямі перетинаються в точці E, отже,

система �2���� y = 5, 3x + y = 7 має єдиний розв’язок;

2) система �0,5x y = 4 | · ( 2), x + 2y = 8 � x + 2y = 8, x + 2y = 8 має безліч розв’язків;

3) система �x + 5y = 76, y = 0,2x � x + 5y = 7, 0,2x + y = 0 | · 5; � x + 5y = 7, x + 5y = 7 не має розв'язків;

4) побудую графіки рівнянь на одній

координатній площині. x + 2y = 0 x 2 −2 y –1 1 2x + y = 0 x –1 1 y 2 −2

Прямі перетинаються у початку

отже, система �x + 2y = 0, 2x + y = 0 має єдиний розв'язок;

54.16. Чи має система розв’язки і скільки: 1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. x + y = 7 x 3 5 y 4 2 3x − y = 0 x 0 1 y 0 3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) система �x 2y = 5 | · 2, 2x 4y = 7 �2x 4y = 10 2x 4y = 7 не має розв'язку; 3) система �x = 2y 1,5 | · 1,5, y = 0,2���� �1,5x − 3y = 0, 1,5x 3y =

x –1 0

y −1 −3 x + 5y = 4

x 4 −1

y 0 1 Наближеним розв’язком

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

� x + 3y = 7, 3x + y = 4; � 1,9 + 3 · 1,8 = 7, 3 · 1,9 1,8 = 4; �7,3 ≠ 7, 3,9 ≠ 4.

Отже, пара чисел (1,9; 1,8) не є розв’язком системи. Пара чисел (1,9; 1,7) є розв’язком системи: � x + 3y = 7, 3x y = 4; бо: � 1,9 + 3 · 1,7 = 1,9 + 5,1 = 7, 3 · 1,9 1,7 = 5,7 1,7 = 4; �7 = 7, 4 = 4.

54.19. Не виконуючи побудови, доведіть, що система рівнянь не має розв’язків. Система �x 7y = 8 | · ( 4), 4x + 28y = 31; � 4x + 28y = 32 4x + 28y = 31; не має розв’язків.

54.20. Не виконуючи побудови,

має безліч розв’язків.

Система �2x + 5y = 18 | · ( 1,5), −x − 7,5y = −27; � 3x 7,5y = 27, 3x 7,5y = 27; має безліч розв’язків.

54.21. Знайдіть які-небудь розв’язки системи. Скільки всього розв’язків вона має?

Розв’яжіть її. Розв’язком системи � 3x + y = 5, 9x 3y = 15 є, наприклад, пара (1; 2), бо: � 3 · 1 + 2 = 5, 9 · 1 3 · 2 = 15 � 5 = 5, 15 = 15;

Система

3x + y = 5 | · ( 3), 9x 3y = 15; � 9x 3y = 15, 9x 3y = 15;

Виразимо з першого рівняння першої системи

Розв’язком системи є будь-яка пара чисел, яка є

розв’язків.

y = 5 − 3x. 54.22.

1) Система �3x 2y = 5 | · ( 2), 6x + 4y = 10; � 6x + 4y = 10, 6x + 4y = 10; має безліч розв’язків.

Виразимо з першого

y через змінну x: 2y = 3x – 5; y = 1,5x − 2,5.

Розв’язком системи є будь-який розв’язок рівняння: y = 1,5x − 2,5;

2) Система �x + 3y = 4 | · 3, 3x + 9y = 12; �3x + 9y = 12, 3x + 9y = 12; не має розв’язків. 54.23. До рівняння x + 3y = 5

рівнянь � x + 3y = 5, 0x + 3y = 15 має єдиний розв’язок;

Система рівнянь � x + 3y = 5, x + 3y = 5 | · 3 � x + 3y = 5, 3x + 9y = 15

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

54.26. Спростіть вираз: 1) 7m(m – 3) – 3(m – 2)(m + 2) = 7m2 – 21m – 3m2 + 12 = 4m2 – 21m + 12; 2) (1 – 2х)(2x + 1) – (3x – 1)2 = 1 – 4х2 – 9х2 + 6х – 1 = –13x2 + 6х; 3) (2х + 3у)2 – (х + 3у)(2х – у) = 4х2 + 12ху + 9у2 – 2х2 + ху – 6ху + 3у2 = 2х2 + 7xy + 12у2; 4) (4а – 5b)(5b + 4а) – (2а – 5b)2 = 16а2 – 25b2 – 4а2 + 20аb – 25b2 = 12а2 + 20ab – 50b2

54.27.

рівнянь.

рівності 3) 2(7y − 5) + 3y = 9. 55.2.

розв’язування системи рівнянь � y = 4x + 3, 7x + 2y = 9

рівності 3) 7x + 2(4x + 3) = 9.

55.3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

1) � 7x = 21 | ∶ 7, 2x 3y = 3; � x = 3, 2 · 3 − 3y = 3; � x = 3, 6 − 3y = 3; � x = 3, −3y = −3; � x = 3, y = 1;

Відповідь: (3; 1).

2) � 6x y = 17, 2y = 10 | ∶ ( 2); �6x y = 17, y = 5; �6x + 5 = 17, y = −5; � 6x = 12, y = 5; � x = 2, y = 5.

Відповідь: (2; −5).

55.4. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � x = y + 2, x 2y = 5; � x = y + 2, y + 2 2y = 5; � x = y + 2, y 2y = 5 2; �x = y + 2, y = 3; � x = 1, y = −3.

Відповідь: (−1; −3).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) � y = x 3, 5x + 2y = 29; � y = x − 3, 5x + 2(x 3) = 29; � y = x 3, 5x + 2x 6 = 29; � y = x − 3, 5x + 2x = 29 + 6; �y = x − 3, 7x = 35; �y = x − 3, x = 5; �y = 5 3, x = 5; � y = 2, x = 5.

Відповідь: (5; 2).

55.5. Знайдіть розв’язок системи:

1) � 4x = 8 | ∶ ( 4), 5x 2y = 4; � x = 2, 5( 2) 2y = 4; � x = 2, −10 − 2y = 4; � x = 2, 2y = 14; � x = 2, 5y = −7.

Відповідь: (−2; −7);

2) � y = x + 5, 7x + 3y = 5; � y = x + 5, 7x + 3(x + 5) = −5; � y = x + 5, 7x + 3x + 15 = 5; � y = x + 5, 7x + 3x = 5 15; � y = x + 5, 10x = 20; �y = x + 5, x = 2; � y = 3, x = 2.

Відповідь: (−2; 3).

55.6. Знайдіть розв’язок системи:

1) � x + y = 7, 2x + y = 9; � y = 7 x, 2x + 7 x = 9; � y = 7 x, x + 7 = 9; �y = 7 x, x = 2; � y = 5, x = 2.

Відповідь: (2; 5);

2) � x − y = −2, x 2y = 5; � x = y − 2, y 2 2y = 5; � x = y − 2, y 2y = 5 + 2; �x = y 2, y = −7; �x = 7 2, y = 7; � x = 9, y = 7.

Відповідь: (−9; −7);

3) � y x = 0, 4x + y = 15; � y = x, 4x + x = 15; � y = x, 5x = 15; � y = x, x = 3; � y = 3, x = 3.

Відповідь: (3; 3).

4) � 5x + 2y = 2, x 2y = 10; � 5x + 2y = 2, x = 2y + 10; �5(2y + 10) + 2y = 2, x = 2y + 10; �10y + 50 + 2y = 2, x = 2y + 10; �10y + 2y = 2 50, x = 2y + 10; � 12y = 48, x = 2y + 10; � y = −4, x = 2( 4) + 10; �y = −4, x = 2.

Відповідь:(2; −4).

5) � x 3y = 7, 2x 3y = 3; � x = 3y + 7, 2(3y + 7) 3y = 3; � x = 3y + 7, 6y + 14 3y = 3; � x = 3y + 7, 6y 3y = 3 14; �x = 3y + 7, 3y = 17; �x = 3y + 7, y = 17 3 ; �x = 3 � 17 3 � + 7, y = 17 3 ; � x = 10, y = 17 3 .

Відповідь: (−10; 17 3 ).

6) �5x − 3y = −19, 2x + y = −1; �5x − 3y = −19, y = −1 − 2x; �5x 3( 1 2x) = 19, y = 1 2x; �5x + 3 + 6x = 19, y = 1 2x; � 11x = 22, y = −1 − 2x; � x = 2, y = 1 2( 2); �x = 2, y = 3.

Відповідь: (−2; 3).

55.7. Розв’яжіть

1) � x + y = 4, 3x + y = 6; � y = 4 x, 3x + 4 x = 6; �y = 4 x, 2x = 2; �y = 4 x, x = 1; � y = 3, x = 1.

Відповідь: (1; 3).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) � x − y = 0, x − 2y = 8; � x = y, x 2y = 8; � x = y, y = 8; � x = y, y = 8; � x = 8, y = 8;

Відповідь: (−8; −8).

3) � y x = 5, 2x + y = 4; � y = x 5, 2x + x 5 = 4; � y = x 5, 2x + x = 4 + 5; �y = x 5, 3x = 9; �y = x 5, x = 3; �y = 2, x = 3;

Відповідь: (3; −2).

4) �3x 2y = 6, x + 2y = 2; �3x 2y = 6, x = 2 − 2y; �3(2 2y) 2y = 6, x = 2 2y; �6 6y 2y = 6, x = 2 − 2y; � 6y 2y = 6 6, x = 2 2y; � 8y = 0, x = 2 2y; � y = 0, x = 2.

Відповідь: (2; 0).

55.8. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х + у = 4 і 2х + 3у = 9.

2x + 3у = 9,

систему:

x + y = 4, 2x + 3y = 9; � x = 4 y, 2(4 y) + 3y = 9; � x = 4 − y, 8 − 2y + 3y = 9; � x = 4 y, 2y + 3y = 9 8; �x = 4 y, y = 1; � x = 3, y = 1.

Відповідь: (3; 1).

55.9. He виконуючи

у = 3 і 3х + 2у = 14.

знайти координати точки

систему рівнянь:

x

у = 3 і 3x + 2у = 14,

x – у = 3, 3x + 2у = 14; � x = 3 + у, 3(3 + у) + 2у = 14; � x = 3 + у, 9 + 3у + 2у = 14; � x = 3 + у, 3у + 2у = 14 – 19; �x = 3 + у, 5у = 5; �x = 3 + у, y = 1; � x = 4, y = 1;

Відповідь: (4; 1).

55.10. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � 3x + 4y = 0, 2x 7y = 29; � 3x = 4y, 2x 7y = 29; � x = 4 3 y, 2( 4 3 y 7y = 29 | · 3;

x = 4 3 y, 8y + 21y = 87; � x = 4 3 y, 29y = 87; �

Відповідь: (4; −3).

=

3 y, y = 3;

=

3 · ( 3), y = 3; � x = 4, y = 3.

2) � 8x 5y = 41, 4x + 3y = 7; � 5y = 8x 41, 4x + 3y = 7; � y =

5 , 4x + 3 8x

5 = 7 | · 5;

y = 8x 41 5 , 20x + 3(8x 41) = 35; � y = 8x 41 5 , 20x + 24x 123 = 35; � y =

y = 8 · 2 41 5 , x = 2; �y = 5, x = 2.

Відповідь: (2; −5).

5 , 44x = 88; �y = 8x 41 5 , x = 2;

3) � 2a 5b = 0, 7a + 4b = 27; � 2a = 5b, 7a + 4b = 27; � a = 5 2 b, 7 5 2 b + 4b = 27 | · 2;

a = 5 2 b, 35b + 8b = 54;

Відповідь: (−5; −2).

a = 5 2 b, 27b = 54;

= 5 2 b, b = 2;

a = 5 2 ( 2), b = 2;

a = 5, b = 2.

4) � 10m 2n = 9, 9m + 4n = 38; �2n = 10m 39, 9m + 4n = 38; � n = 10m 39 2 , 9m + 4 10m 39 2 = 38;

n = 10m 39 2 , 9m + 20m − 78 = 38; �n = 10m 39 2 , 29m = 116; �n = 10m 39 2 , m = 4; �n = 10 4 39 2 , m = 4; � n = 1 2 , m = 4.

Відповідь: (1 2; 4). 55.11.

1) � 4x + 3���� = 0, 5���� 7y = 43; � 4x = −3y, 5���� 7y = 43; � x = 3 4 y, 5( 3 4 y) 7y = 43 | · ( 4);

x = 3 4 y, 15y + 28y = 172; � x = 3 4 y, 43y = 172;

Відповідь: ( 3; 4).

2) �2x + 9���� = 59, 5���� 4y = 38; � 2x = 59 9y, 5���� 4y = 38; � x = 59 9y 2 , 5 59 9y 2 4y = 38 · ( 2);

x = 59 9y 2 , 5(59 + 9����) + 8���� = −76; � x = 59 9y 2 , 295 + 45���� + 8���� = −76; � x = 59 9y 2 , 53���� = 371; �x = 59 9y 2 , ���� = −7; �x = 59 9( 7) 2 , ���� = 7; � x = 2, y = 7.

Відповідь: (2; –7).

3) � 3p – 7q = 0, 2p + 9���� = 41; � 3p – 7q = 0, 2p = 41 – 9q; �3(20,5 – 4,5q) – 7q = 0, p = 20,5 – 4,5q; �61,5 – 13,5q – 7q = 0, p = 20,5 – 4,5q; � – 20,5q = – 61,5, p = 20,5 – 4,5q; � q = 3, p = 20,5 – 4,5 ∙ 3; � q = 3, p = 7.

Відповідь: (7; 3);

4) � 6a – 7b = 51, 2a + 3b = – 15; � 6a – 7b = 51, 2a = – 15 – 3b; �6a – 7b = 51, a = –15 – 3b 2 ; �6 –15 – 3b 2 – 7b = 51 | · ( 2), a = –15 – 3b 2 ; �6(15 + 3b) + 14b = – 102, a = –15 – 3b 2 ;

90 + 18b + 14b = – 102, a = –15 – 3b 2 ; � 32b = – 192, a = –15 – 3b 2 ; � b = – 6, a = –15 – 3(–6) 2 ; � b = – 6, a = 1,5.

Відповідь: (1,5; –6).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

55.12. Знайдіть розв’язок

1) �

:

7(x – 3) + 8 = 4 + 5x, 4(x – y) – 7y = 6,5; �7x – 21 + 8 = 4 + 5x, 4x – 4y – 7y = 6,5; �7x – 5x = 4 + 21 – 8, 4x – 11y = 6,5; � 2x = 17, 4x – 11y = 6,5; � x = 8,5, 4 · 8,5 – 11���� = 6,5; � x = 8,5, 34 – 11y = 6,5; � x = 8,5, 11y = 27,5; � x = 8,5, y = 2,5;

Відповідь: (8,5; 2,5);

2) � 4(x + y) – 3y = 2, 9(x – 2y) – 6x = – 11; � 4x + 4y – 3y = 2, 9x – 18y – 6x = – 11; � 4x + y = 2, 3x – 18y = – 11;

y = 2 – 4x, 3x – 18(2 – 4x) = – 11; � y = 2 – 4x, 3x – 36 + 72x = – 11; � y = 2 – 4x, 75x = 25; � y = 2 – 4x, x = 1 3 ; � y = 2 – 4 1 3 , x = 1 3 ; � y = 2 3 , x = 1 3 .

Відповідь: (1 3; 2 3)

55.13. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � 4(x + y) – 8y = – 4, 7(y + 1) – (y + 3) = 19; � 4x + 4y – 8y = – 4, 7y + 7 – y – 3 = 19; �4x – 4y = – 4 | ∶ 4, 6y = 15; �x – y = – 1, y = 2,5; �x – 2,5 = – 1, y = 2,5; �x = 1,5, y = 2,5.

Відповідь: (1,5; 2,5); 2) � 8(x + y)– 12y = 6, 6(3x– 1) + 18x = 13; � 8x + 8y – 12y = 6, 18x – 6y + 18x = 13; �8x – 4y = 6 | ∶ 2, 36x – 6y = 13; � 4x – 2y = 3, 36x – 6y = 13;

2y = 4x – 3, 36x – 6y = 13; � y = 4x – 3 2 , 36x – 6 4x – 3 2 = 13; � y = 4x – 3 2 , 36x– 3(4x– 3) = 13; � y = 4x – 3 2 , 36x – 12x + 9 = 13; �y = 4x – 3 2 , 24x = 4; �y = 4x – 3 2 , x = 1 6 ; �y = 4 1 6 – 3 2 , x = 1 6 ; �y =–7 6 , x = 1 6 .

Відповідь: (1 6;7 6)

55.14. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � 1 8 (x – y) = 9 | · 8, 1 3 (x – y) = 7 | · 3; � x – y = 72, x + y = 21; � x = y + 72, y + 72 + y = 21; �x = y + 72, y = – 25,5; � x = 46,5, y = – 25,5.

Відповідь: (46,5; –25,5); 2) � 0,2(2x + y) = 3 | · 5, 0,7(x – 4y) = – 1,05 | ∶ 0,7; � 2x + y = 15, x – 4y = – 1,5; � y = 15 – 2x, x – 4(15 – 2x) = – 1,5; � y = 15 – 2x, x – 60 + 8x = 1,5; �y = 15 – 2x, 9x = 58,5; �y = 15 – 2x, x = 6,5; � y = 2, x = 6,5;

Відповідь: (6,5; 2).

55.15. Знайдіть розв’язки системи рівнянь: 1) �0,4(x + y) = 12 | ∶ 0,4, 0,6(x – y) = 19 | ∶ 0,6; �x + y = 30, x – y = 15; � y = 30 – x, x – 30 + x = 15; � y = 30 – x, 2x = 45; � y = 30 – x, x = 22,5; � y = 7,5, x = 22,5.

Відповідь: (22,5; 7,5);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

7 (2x + y) = 13 | · 7, 1

3 (x – 3y) = 14 | · 3; �2x + y = 91, x – 3y = 42; � y = 91 – 2x, x – 3(91 – 2x) = 42;

y = 91 – 2x, x – 273 + 6x = 42; �y = 91 – 2x, 7x = 315; �y = 91 – 2x, x = 45; � y = 1, x = 45.

Відповідь: (45; 1);

55.16. Розв’яжіть систему рівнянь:

x + 1

5 + y – 1 3 = 1 | · 15, x + 2

6 + y + 2 3 = 2 | · 6; �3(x + 1) + 5(y – 1) = 15, x + 2 + 2(y + 2) = 12; � 3x + 3 + 5y – 5 = 15, x + 2 + 2y + 4 = 12;

3x + 5y = 17, x + 2y = 6; �3x + 5y = 17, x = 6 – 2����; �3(6 – 2y) + 5y = 17, x = 6 – 2y; �18 – 6y + 5y = 17, x = 6 – 2y;

– y = – 1, x = 6 – 2y; � y = 1, x = 4;

Відповідь: (4; 1)

55.17. Розв’яжіть систему рівнянь:

x 4 2 + y + 11 4 = 1 | · 4, x + 7

3 + y 4 7 = 2 | · 21; � 2(x 4) + y + 11 = 4, 7(x + 7) + 3(y 4) = 42; � 2x 8 + y + 11 = 4, 7x + 49 + 3y 12 = 42;

2x + y = 1, 7x + 3y = 5; � y = 1 − 2x, 7x + 3(1 2x) = 5; � y = 1 2x, 7x + 3 6x = 5; � y = 1 − 2x, x = 2; � y = 1 − 2 · 2, x = 2; � y = 3, x = 2.

Відповідь: (2; −3).

55.18. Доведіть, що графіки

систему рівнянь:

2х – 3у = 4 , 4х – 6у = 9; � 2х = 4 + 3у, 4х – 6у = 9; �

х

+ 3y 2 , 8 + 6y – 6у = 9; � х = 4 + 3y 2 , 0у = 1.

рівнянь розв’язку не має, тому

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

– 4 = k · (– 6) + l, 11 = k · 4 + l; � l = – 4 + 2k, 11 = 4k – 4 + 2k; �l = – 4 + 2k, 6k = 15; �l = – 4 + 2k, k = 2,5;

l = – 4 + 2 · 2,5, k = 2,5; � l = 1, k = 2,5;

Відповідь: у = 2,5x + 1.

55.21. При яких значеннях m система:

1) не має розв’язків; �2x + y = 8 | · 2, 4x + my = 10; � 4x + 2y = 16, 4x + my = 10 не має розв’язків, якщо m = 2.

2) має безліч розв’язків? � x 3y = 5 | · 4, mx 12y = 20; � 4x − 12y = 20, mx 12y = 20

55.22. Побудуйте графік

безліч розв’язків, якщо m = 4.

яких у = –2; 0; 4. y = 2 3 x x 0 3 y 0 2

1) Якщо х = –6, то у = 74; якщо х = 0, то у = 0; якщо x = 3, то у = 2; 2) у = –2, якщо х = – 3; у = 0, якщо х = 0; у = 4, якщо х = 6.

55.23. Розкладіть многочлен на множники:

1) 9m2 + 12m5 – 18m3 = 3m2 (3 + 4m3 – 6m); 2) 3x4y2 – 9х2y3 + 12x3y = 3х2у(x2у – 3у2 + 4х);

3) а6 – 6 – 2а2 + 3а4 = (а6 – 2a2) + (3а4 – 6) = а2(а4 – 2) + 3(а4 – 2) = (a4 – 2)(a2 + 3); 4) рq – 6р + р2 – 6q = (pq + р2) – (6р + 6q) = p(q + р) – 6(q + р) = (q + р)(р – 6).

55.24. Доведіть, що рівняння не має розв’язків: 1) Рівняння x2 + 4 = 0 не має розв’язків, бо сума невід’ємного

дорівнювати нулю;

2) x2 – 6х + 13 = 0; x2 – 6х + 9 + 4 = 0; (х – 3)2 + 4 = 0. Рівняння не

нулю;

3) 4x2 – 12х + 16 = 0;

4х2 – 12х + 9 + 7 = 0;

(2х – 3)2 + 7 = 0.

4) x2 + x + 2 = 0;

x2 + x + 1 4 + 1 3 4 = 0;

(х + 1 2)2 + 13 4 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) 2 ∙ 1,5 – 1,5 = 1,5 (л)

2)

3) 3

2)

1м3 = 1000

1м3 = 35

3,15 грн. 55.26.

х, х + 1, х + 2 і х + 3

збільшений на 1 : х(х + 1)(х + 2)(х + 3) + 1 = х(х + 3) ∙ (х + 1)(х + 2) + 1 = = (х2 + 3х)((х2 + 3х) + 2) + 1 = (х2 + 3х)2 + 2(х2 + 3х) + 1 = (х2 + 3х + 1)2, що й слід було довести. §56. Розв’язування систем способом

56.1. Яке рівняння одержимо, якщо

1) Якщо почленно

2x + y = 7, 3x y = 8,

5x = 15;

2) Якщо

4x + 3y = 9, 4x + y = 1, то дістанемо рівняння: 4y = 10.

56.2. На яке число треба

1) �2x + y = 8 | · 2, 3x 2y = 10; � 4x + 2y = 16, 3x − 2y = 10.

На число –3. 56.3.

На число 2. 2) �4x + 7y = 5 | · ( 3), 3x + 21y = 7; � 12x 21y = 15, 3x + 21y = 7.

1) �x – 4y = 9 | · 2, – 2x + 7y = 8; � 2x – 8y = 18, – 2x + 7y = 8.

Відповідь: На число 2;

2) �3x + 7y = 19 | · (– 4), 12x 8y = 4; �– 12x – 28y = – 76, 12x 8y = 4.

Відповідь: На число – 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) � 3x + y = 9, 17x + 19y = 15; � y = 9 – 3x, 17x + 19y = 15

й одержимо: 17x + 19(9 – 3x) = 15;

2) � 5x + 7y = 8, 10x 7y = 17; –

15x = 25;

3) �4x + 15y = 27 | · (– 3), 12x + 17y = 49; � 12x 45y = 81, 12x + 17y = 49; –

додавання й одержимо рівняння: –28x = –32;

4) � x + y = 10 | · (– 2016), 2015x + 2016y = 2017; �– 2016x – 2016 y = – 20160, 2015x + 2016y = 2017; – систему

розв’язати способом додавання.

56.5. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

1) � x + y = 7, x y = 8;

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = 15; x = 7,5. Підставимо

значення x = 7,5 у перше рівняння системи

7,5 + y = 1; y = −0,5.

Відповідь: (7,5; −0,5).

2) �2x + y = 3, 2x y = 5.

Додамо почленно ліві і праві

значення x = 2 у перше рівняння системи й отримаємо:

4x = 8; x = 2.

2 · 2 + y = 3; y = −1.

Відповідь: (2; −1);

3) � 4x + 3y = 7, 4x y = 5.

Додамо почленно ліві і праві

значення y = 1 у перше рівняння системи й отримаємо: 4x + 3 = 7; 4x = 4; x = 1.

Відповідь: (1; 1).

4) � 2x – 8y = 7, 2x + 7y = 5

2y = 2; y = 1. Підставимо

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: –y = 12; y = –12. Підставимо

значення y = –12 у перше рівняння системи

2x − 8 · (−12) = 7; 2x + 96 = 7; 2x = −89; x = −44,5.

Відповідь: (−44,5; −12).

56.6. Розв’яжіть систему

1) � 2x – y = 8, 3x + y = 12 Додамо почленно

2 · 4 − y = 8; 7 = 0.

(4; 0).

2) � 3x + 2y = 8, 3x + 5y = 1

5x = 20; x = 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3x + 2 · 1 = 8; 3x = 6; x = 2.

Відповідь: (2; 1).

56.7. Розв’яжіть систему рівнянь

1) �2x + 3y = −1 | · (– 1), 4x + 3y = 1; � 2x 3y = 1, 4x + 3y = 1;

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = 2, x = 1. Підставимо

значення x = 1 у друге рівняння системи

4 · 1 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1.

Відповідь: (1; −1)

2) �7x + 2y = 5 | · (– 1), 7x 3y = 45; � 7x 2y = 5, 7x 3y = 45

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −5y = −40, y = −8. Підставимо

значення y = −8 у друге рівняння системи й отримаємо: 7x – 3(−8) = 45; 7x + 24 = 45; 7x = 21; x = 3.

Відповідь: (3; −8).

56.8. Знайдіть розв’язок

1) �4x + y = 7 | · (– 1), 5x + y = 1; � 4x y = 7, 5x + y = 1.

Додамо

−8 у друге рівняння системи й отримаємо:

−40 + y = −1; y = 39.

Відповідь: (−8; 39).

2) �2x + 3y = 5 | · (– 1), 2x − 4y = −9; �−2x − 3y = −5, 2x − 4y = −9.

Додамо почленно ліві і

частини

системи: −7y = −14; y = 2. Підставимо значення y = 2 у

2x − 8 = −9; 2x = −1; x = −0,5.

Відповідь: (−0,5; 2).

56.9. Знайдіть розв’язок системи

1) �x + y = 4 | · 5, 3x 5y = 20; � 5x + 5y = 20, 3x 5y = 20.

Додамо

значення x = 5 у друге рівняння системи

3 · 5 − 5y = 20; 15 − 5y = 20; 5y = −5;y = −1.

Відповідь: (5; −1);

2) �3x − y = 5 | · 7, 2x + 7y = 11; �21x − 7y = 35, 2x + 7y = 11.

Додамо почленно ліві

значення x = 2 у

2 · 2 + 7y = 11; 4 + 7y = 11; 7y = 7; y = 1.

Відповідь: (2; 1). 56.10.

1) �x y = 3 | · 3, 2x + 3y = 1; � 3x − 3y = 9, 2x + 3y = 1.

x = 2

4 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1.

(2; −1);

8x = 40, x = 5. Підставимо

23x = 46, x = 2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) �7x + y = 2 | · 4, 5x 4y = 25; � 28x + 4y = 8, 5x 4y = 25.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 33x = 33; x = 1. Підставимо значення x = 1 у друге рівняння системи й отримаємо:

5 − 4y = 25; 4y = −20; y = −5.

Відповідь: (1; −5).

56.11. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) �7x + 2y = −3 | · 2, −14x + 3y = 20; � 14x + 4y = 6, 14x + 3y = 20.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 7y = 14, y = 2. Підставимо

значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: −14x + 6 = 20; −14x = 14; x = −1.

Відповідь: (−1; 2);

2) �3x + 5y = 19 | · 2, 7x 10y = 1; �6x + 10y = 38, 7x − 10y = 1.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13x = 39; x = 3. Підставимо

значення x = 3 у друге рівняння системи й отримаємо: 21 − 10y = 1; 10y = 20; y = 2.

Відповідь: (3; 2).

3) � 4x + 5y = 7, 2x 3y = 2 | · ( 2); � 4x + 5y = 7, 4x + 6y = 4

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 11y = 11; y = 1. Підставимо

значення y = 1 у перше рівняння системи

4x + 5 = 7; 4x = 2; x = 0,5.

Відповідь: (0,5; 1).

4) �2x + 9y = 1 | · ( 4), 7x + 36y = 8; � 8x 36y = 4, 7x + 36y = 8.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −x = −4, x = 4. Підставимо

значення x = 4 у друге рівняння системи й отримаємо: 28 + 36y = −8; 36y = −36; y = −1.

Відповідь: (4; −1).

56.12. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) �3x + 2y = 1 | · 3, 9x + 7y = 23; � 9x + 6y = 3, 9x + 7y = 23.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13y = 26; y = 2. Підставимо

значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: −9x + 7 · 2 = 23; −9x + 14 = 23; −9x = 9; x = −1.

Відповідь: (−1; 2).

2) �4x + 2y = 2 | · 2, 5x 4y = 9; � 8x + 4y = 4, 5x − 4y = 9.

Додамо

x = 1

5 − 4y = 9; −4y = 4; y = −1.

(1; −1).

3) �5x + 3y = 1 | · ( 3), 15x 7y = 51; � 15x 9y = 3, 15x − 7y = 51.

13x = 13; x = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5x − 9 = 1; 5x = 10; x = 2.

Відповідь: (2; −3).

4) �4m + 5b = 5| · ( 4), 7m + 20b = 11; � 16m 20b = 20, 7m + 20b = 11;

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −9m = −9; m = 1. Підставимо значення m = 1 у перше рівняння

системи й

4 + 5b = 5; 5b = 1; b = 0,2.

Відповідь: (1; 0,2).

56.13. Знайдіть розв’язок системи способом додавання:

1) �2x + 3y = 1 | · ( 3), 3x + 5y = 2 | · 2; � 6x 9y = 3, 6x + 10y = 4;

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння першої системи й отримаємо:

2x + 3 = 1; 2x = −2; x = −1.

Відповідь: (−1; 1).

2) �2a − 3b = 7 | · (−3), 3a + 4b = 2 | · 2; �−6a + 9b = −21, 6a + 8b = 4.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 17b = −17; b = −1. Підставимо значення b = −1 у перше рівняння

2a + 3 = 7; 2a = 4; a = 2.

Відповідь: (2; −1).

3) �10m 6n = 18 | · ( 3), 15m + 7n = 59 | · 2; � 30 + 18n = 54, 30m + 14n = 118.

Додамо почленно ліві і

частини рівнянь системи: 32n = 64; n = 2. Підставимо

значення n = 2 у перше рівняння

системи й отримаємо: 10m − 12 = 18; 10m = 30; m = 3.

Відповідь: (3; 2).

4) �14x 8y = 6 | · ( 3), 21x + 10y = 2 | · 2;

Додамо

44y = 22; y = 0,5. Підставимо значення y = 0,5 у

14x − 4 = −6; 14x = −2; x = −1 7 .

Відповідь: (−1 7; 0,5). 56.14. Знайдіть

1) �3x + 4y = 10 | · ( 5), 5x − 7y = 3 | · 3; � 15x 20y = 50, 5x 21y = 9;

y = 1 у

3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2.

(2; 1).

−41y = −41; y = 1. Підставимо

2) �15x − 3y = −15 | · (−7), 20x 7y = 41 | · 3; � 105x + 21y = 105, 60x 21y = 123.

x = 0,4

6 − 3y = −15; −3y = −21; y = 7.

(0,4; 7).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

56.15. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � 5(x 2) = 2y 1, 3(x + 3) = 12(y + 3); � 5x 10 = 2y 1, x + 3 = 4y + 12; �5x 2y = 1 + 10, x 4y = 12 3; �5x 2y = 9 | · ( 2), x 4y = 9; � 10x + 4y = 18), x 4y = 9.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −9x = −9; x = 1. Підставимо

значення x = 1 у перше рівняння четвертої системи й отримаємо: 5 · 1 − 2y = 9; 5 − 2y = 9; 2y = −4; y = −2.

Відповідь: (1; −2); 2) � 4(a + 2b) 5a = 0,4, 7(3a 4b) + 3b = 5,9; � 4a + 8b 5a = 0,4, 21a 28b + 3b = 5,9; � a + 8b = 0,4 | · 21, 21a 25b = 5,9; � 21a 168b = 8,4, 21a 25b = 5,9.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 143b = 14,3; b = 0,1. Підставимо

значення b = 0,1 у перше рівняння передостанньої системи й отримаємо:

−a + 8 · 0,1 = 0,4; −a + 0,8 = 0,4; −a = −0,4; a = 0,4.

Відповідь: (0,4; 0,1).

56.16. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � 7(x + 3) = 3y + 1, 4(2 x) = 5(y + 1) + 1; � 7x + 21 = 3y + 1, 8 4x = 5y + 5 + 1; � 7x 3y = 1 21, 4x 5y = 5 + 1 8; � 28x 12y = 80, 28x 35y = 14.

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −47y = −94; y = 2. Підставимо

значення y = 2. у перше рівняння передостанньої системи

отримаємо: 7x − 6 = −20; 7x = −14; x = −2.

Відповідь: (−2; 2).

2) � 4(m 2n) 7m = 9,6, 5(4m + 3n) + 8n = 18,5; � 4m 8n 7m = 9,6, 20m + 15n + 8n = 18,5; � 3m 8n = 9,6 | · 20, 20m + 23n = −18,5 = | · 3; � 60m 160n = 192, 60m + 69n = −55,5.

Додамо

значення n = –1.5 у перше рівняння третьої системи

–3m + 12 = 9,6; –3m = −2,4; m = 0,8. Відповідь: (0,8; −1,5).

56.17. Складіть рівняння прямої,

1) А(4; –4) і B(12; –1); 2) М(–3; 6) і N(9; –2). Якщо пряма виду у = kх + b проходить через точки А(4;–4) і B(12; –1), то координати кожної з цих точок повинні задовольняти систему:

4 = k · 4 + b, – 1 = k · 12 + b; � b = 4 4k, – 1 = 12k 4 4k; �b = 4 4k, 8k = 3; �b = 4 4k, k = 3 8 ;

b = 4 4 3 8 , k = 3 8 ; �b = −5,5, k = 3 8 . Відповідь: y = 3 8 x – 5,5; 2) Якщо

y = kx + b проходить через точки M(−3; 6) і N(9; −2), то

6 = k · ( 3) + b, – 2 = k · 9 + b; � b = 3k + 6, 2 = 9k + 3k + 6; �b = 3k + 6, 12k = 8;

системи: −91n = 136.5; n = –1.5. Підставимо

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

b = 3k + 6, k = 2 3 ; �b = 3( 2 3) + 6, k = 2 3 ; � b = 4, k = 2 3 .

56.18.

y = − 2 3 x + 4.

5 = 1+ b; b = 4.

Відповідь: у = –0,25х + 4. 56.19.

x + 2y = 7, x + 2y = 5.

Додамо почленно

= 3

–x + 6 = 7; x = –1.

Відповідь: (–1; 3).

2) � (х – 1)² + у = (х + 2)² – 23, (х + 2)² + (у – 1)² = х² + (у + 7)²;

х² + 2х + 1 + у = х² + 4х + 4 – 23,

х² – 4х + 4 + у² – 2у + 1 = х² + у² + 14у + 49;

х² – 2х + у – х² – 4х = 4 – 23 – 1,

х² + 4х + у² – 2у – х² – у² – 14у = 49 – 4 – 1; � – 6х + у = – 20, 4х – 169у = 44 | · 1,5; �– 6х + у = – 20, 6х – 24у = 66. –23у = 46; у = –2; –6х + (–2) = –20; –6х = –18; х = 3.

Відповідь: (3; –2).

56.20. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � x + 3 4 y 4 8 = 1 3 4 | · 18, x 4 4 y + 2 9 = 1 2 | · 18; � 2(x + 3) (y 4) = 14, 3(x 4) + 2(y + 2) = 9; � 2x + 6 y + 4 = 14, 3x 12 + 2y + 4 = 9; � 2x − y = −9 + 12 − 4, 3x + 2y = −9 + 12 − 4; �2x y = 4 | · 2, 3x + 2y = 1; � 4x − y = 8, 3x + 2y = −1.

Відповідь: (1; –2); 2) � (x y)(y + 2) = x(y – 1) , x(y + 3) = (x + 1)(y − 2); � xy + 2x y 2 = xy x , xy + 3x = xy 2x + y 2; � xy + 2x y xy + x = 2 , xy + 3x xy + 2x y = 2; �3x y = 2 | · ( 1) , 5x y = 2; � 3x + y = 2, 5x y = 2.

2x =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6 + y = –2; y = –8.

Відповідь: (–2; –8).

56.21. З’ясуйте, чи

1) �3x y = 2 | · ( 2), 6x + 2y = 5; � 6x + 2y = 4, −6x + 2y = 5; cистема не має розв’язку.

Відповідь: Не має розв’язку;

2) � 4x + 3y = 7 | · 2, 8x + 6y = 14; � −8x + 6y = 14, −8x + 6y = 14; cистема має безліч розв’язків.

Відповідь: Має безліч розв’язків.

56.22. Чи належать графіку функції у = –4,5х + 1 точки: А(–2; 10), B(0; –1), С(4; 17), D(10; –44)?

1) Точка А(–2; 10) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: 10 = –4,5 ∙ (–2) + 1; 10 = 9 + 1; 10 = 10 правильна рівність;

2) точка B(0; –1) не належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –1 = –4,5 ∙ 0 + 1; –1 = 1 неправильна рівність;

3) точка С(4; 17) не належить графіку функції у = –4,5x + 1, бо: 17 = –4,5 ∙ 4 + 1; 17 = –18 + 1; 17 = –17 неправильна рівність;

4) точка D(10; –44) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –44 = –4,5 ∙ 10 + 1; –44 = –44 правильна рівність. 56.23. Пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: Знайдіть a і b. Якщо пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: � ax – 2y = 8, bx – ay = 7; то повинна задовольняти систему:

– 2a + 6 = 8, – 2b + 3a = 7; � – 2a = 2, – 2b + 3a = 7; � a = – 1, – 2b – 3 = 7; � a = – 1, b = – 5.

Відповідь: a = –1; b = –5.

56.24.

1) (7m – 5а)2 = 49m2 – 70mа + 25а2; 2) (6р2 + 11b)2 = 36р4 +

1) 400 : 4 = 100 (г) – моркви або селери;

2) 100 + 60 = 160 (г) – яблук;

3) 100 : 5 = 20 (г) – горіхів;

4) 20 : 2 = 10 (г) – лимонного соку.

5) 400 – (100 + 100 + 160 + 20 + 10) = 10 (г) –

56.26.

x2 + 2018 = у2; x2 – y2 = –2018; (х – у)(х + у)= –2018.

часнику.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

за другу? Нехай кухар

Система: �x + y = 260, y – x = 20; � x + y = 260, – x + y = 20; 2y = 280; у = 140.

х + 140 = 260; х = 120.

Відповідь: 120 пельменів; 140 пельменів.

57.3. За олівець

x + 3y = 32│

(– 3), 3x + y = 24;

отримаємо: х + 3 ∙ 9 = 32; х + 27 = 32; х = 5.

2x

57.5.

3 км/год і 12 км/год.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

за один футбольний?

Нехай футбольний м’яч коштує

� 3x + 2y = 1088, 2y – x = 192│ ∙ 3; � 3x + 2y = 1088, – 3x + 6y = 576; 8y = 1664; у = 208.

рівняння першої системи отримаємо:

2 ∙ 208 – x = 192; х = 224.

Футбольний

57.8. 2 акумулятори і 3 батарейки разом

3y = 252, x = 3y;

дорівнює 10 см, бічна сторона 8см. 57.10. Довжина прямокутника

Нехай довжина прямокутника x м, а ширина у

�2(x + y) = 56, x – y = 8;

у = 8; y = 10.

(x – y) км/год, а за течією (x + y) км/год. Система: �3(x + y) + 2(x – y) = 92, 9(x + y) = 5 · 2x; �3x + 3y + 2x – 2y = 92, 9x + 9y = 10x; �5x + y = 92, 9y = x; �5 · 9y + y = 92, x = 9y; �46y = 92, x = 9y; � y = 2, x = 18.

Відповідь: Власна швидкість човна 18 км/год, швидкість течії 2 км/год.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2(x + y) + 5(x – y) = 110, 0,7(x + y) = x – y; �2x + 2y + 5x – 5y = 110, 0,7x + 0,7y – x + y = 0; � 7x – 3y = 110, – 0,3x + 1,7y = 0 | · 10; � 7x – 3y = 110 | · 3, – 3x + 17y = 0 | · 7; � 21x – 9y = 330, – 21x + 119y = 0; 110y = 330; y = 3

першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 7x – 9 = 110; 7x = 119; x = 17. Відповідь: Власна швидкість човна 17 км/год, швидкість течії 3 км/год.

3x + 3y = 168, 6y – 6x = 168 | ∶ 2; � 3x + 3y = 168, – 3x + 3y = 84; y = 42.

рівняння системи

3х + 126 = 168; 3х = 42; х = 14.

Швидкість велосипедиста 14 км/год, а мотоцикліста 42 км/год. 57.14. Сума двох чисел дорівнює 62. Знайдіть кожне із чисел, якщо 70 % від одного і 60 % від другого разом складають 39,6.

х + y = 62│ ∙ (– 7), 0,7x + 0,6y = 39,6 | ∙ 10; �– 7x – 7y = – 434, 7x + 6y = 396; –y =

38 = 62; х = 24.

Відповідь: Перше число 24, друге число 38.

57.15. 20 %

сума дорівнює 72.

Нехай перше число дорівнює х,

x + y = 72, 0,2x – 0,1y = 2,4

32 + y = 72; y = 40.

років кожній з них

4y = –40; y = 10.

x + 10 = 42; x = 32.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

.

1) �x + y = 17, x – y = 5; 2х = 22; х = 11. З першого рівняння системи

11 + у = 17; y = 6.

Відповідь: (11; 6).

За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: сума

чисел дорівнює 17, а їх різниця 5. Знайти ці числа.

2) � 2x + 3y = 15, x – y = 1 | ∙ 3; �2x + 3y = 15, 3x – 3y = 3;

5х = 18; х = 3,6.

З другого рівняння системи отримаємо: 3,6 – у = 1; у = 2,6.

Відповідь: (3,6; 2,6).

За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку

картоплі заплатили 15 грн. Скільки

1) � x – y = 8, x + y = 12; 2х = 20; х = 10. З першого рівняння системи отримаємо: 10 – у = 8; у = 2.

Відповідь: (10; 2).

За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: разом

12 років. Скільки років кожному, якщо

2) �2x + y = 18, 3x – y = 2; 5х – 20; х –

8 + у = 18; у =10.

(4; 10).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

. Знайдіть

� x + y = 200, 11 24 ���� = 3 8 y | · 24; �x + y = 200, 11x = 9y; � x = 200 – у, 11(200 – у) = 9y; � x = 200 – у, 2200 – 11у = 9y; � x = 200 – у, 2200 = 20y; �x = 200 – у, у = 110; � x = 90, у = 110.

Відповідь: Перше число 90, а друге 110. 57.22.

виду взяли для суміші?

Система:

x + y = 20 | · (– 6), 6x + 7,5���� = 132; � – 6x – 6y = – 120, 6x + 7,5���� = 132; 1,5y = 12; y = 8.

60x + 75y = 66 · 20; 6x + 7,5y =

: x + 8 = 20; x = 12.

Відповідь: 12

печиво заплатили (40х + 55у) грн. Друге рівняння: 40х + 55у = 49 ∙ 25; 40х + 55у = 1225. Система:

x + y = 25 │ ∙ (– 40), 40x + 55y = 1225; �– 40x – 40y = – 1000, 40x + 55y = 1225; 15у = 225; у = 15.

4 · 0,5x = ���� + 0,5

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

вартість світильника становить х – 0,15 х = 0,85х (грн), а ліхтарика y + 0,1y – 1,1y (грн). Друге рівняння: 0,85х + 1,1y = 196. Система: � 5x + 4y = 896│ ∙ 1,1, 0,85x + 1,1y = 196 │ ∙ (– 4); � 5,5x + 4,4y = 985,6, – 3,4x – 4,4y = – 784; 2,1x = 201,6; х = 96.

З першого рівняння першої системи отримаємо: 480 + 4у = 896; 4y = 416; у = 104.

Відповідь: Світильник коштував 96 грн, а ліхтарик 104 грн. 57.27. Два кондитерських цехи

x + y = 300 │ ∙ 0,6, 0,55x – 0,6y = 27; �0,6x + 0,6y = 180, 0,55x – 0,6y = 27; 1,15х = 207; х = 180.

180 + у = 300; у = 120. Відповідь: 180 деталей і 120 деталей. 57.28

3(x + 7) = 2y, 4x = y + 2; �3x + 21 = 2y, 4x = y + 2;

3x – 21 = – 21, – 8x + 2y = – 4; –5x = –25; x = 5.

20 = y + 2; y = 18.

5

3x – 21 = – 21, 4x – y = 2 | · ( – 2);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(0,02x + 0,06у) грамів.

Система:

0,02х + 0,06у = 0,05 ∙ 200; 0,02х + 0,06у = 10.

x + y = 200; 0,02x + 0,06y = 10│: (– 0,02); � x + y = 200; – x – 3y = – 500; –2у = –300; у =150.

З першого рівняння першої

х + 150 = 200; х = 50.

(0,09х + 0,24у) г цинку.

0,09х + 0,24у = 39. Система:

x + y = 260 │ ∙ (– 0,09); 0,09x + 0,24y = 39; �– 0,09x – 0,09y = – 23,4; 0,09x + 0,24y = 39; 0,15y = 15,6; у = 104.

першого рівняння першої системи отримаємо:

х + 104 = 260; х = 156.

Відповідь: 156

.

x – 4 = 8(y – 4), x + 20 = 2y + 40; �x – 4 = 8y – 32, x – 2y = 20; �x – 8y = – 28 │ ∙

6у = 48; у = 8.

х – 16 = 20; х = 36. Відповідь: Батькові

2y

5(x + y) = 10x + y; 5x + 5y = 10x +

яке

+ x.

(10y + x) –(10x + y) = 9; 10y + x – 10x – y = 9; 9y – 9x = 9; y – x = 1. Система: � 5(x + y) = 10x + y, 10x + y = 10y + x + 9; � 5x + 5y – 10x – y = 0, 10x + x – 10y – y = 9; � 4y – 5x = 0; 9y – 9x = 9; � x = 0,8y; y – x = 1; � x = 0,8y; 0,2y = 1; �x = 0,8y; y = 5; �y = 0,8 · 5; y = 5; � x = 4; y = 5.

Дане число – 45.

Відповідь: 45. 57.34. Розкладіть на

многочлен: 1) m2 + 10m + 25 = (m + 5)2; 2) с2 – 8с + 16 = (с – 4)2; 3) р2 – 0,36 = (р – 0,6)(p + 0,6); 4) –49а2 + b2 = b2 – 49а2 = (b – 1a)(b + 1а).

57.35. Спростіть

1) 2х(3х – 4x3) – (х + 3х2)2 = 6х2 – 8х4 – x2 – 6х3 – 9х4 = 5x2 – 17х4 – 6х3; 2) 2р2(2р2 – 6pm) – (2p2 – 3mр)2 = 4р4 – 12р3m – 4р4 + 12р3m – 9m2р2 = –9m2р2 .

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

57.36. Побудуйте

y = � – 3x, якщо x < – 1, 3, якщо – 1 ≤ x ≤ 1, 2x + 1, якщо x > 1.

y = –3x, x < –1

x –2 –3

y 6 9

y = 3, –1 ≤ x ≤ 1

x –1 1

y 3 3

y = 2x + 1, x > 1

x 2 3

y 5 7

57.37. Діти 11–15 років на

на 1800 – 1680 = 120 (днів).

20 корів.

1. Яке з рівнянь є лінійним

є рівняння 2х – 3y = 7.

Відповідь: B). 2. Укажіть точку, що належить графіку

за 1800 + 120 = 1920 (днів), за 60 + 36 = 96 (днів) можуть з’їсти 1920 : 96 = 20 (корів).

рівняння належить точка (2; 4), бо 2 + 4 = 6.

Відповідь: Б).

3. Укажіть пару чисел, що

� 4 – (– 3) = 7, 4 + (– 3) = 1; � 7 = 7, 1 = 1 Відповідь: Г).

4.

3х + у = 5; 3 · 2 + (–1) = 5.

рівняння 3х + у = 5 є розв’язком

Б).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5. Розв’яжіть способом

3���� – y = 5, 4x + 3y = 11; � y = 3x – 5, 4x + 3(3x – 5) = 11; � y = 3x – 5, 4x + 9x – 15 = 11; �y = 3x – 5, 13x = 26; �y = 3 · 2 – 5, x = 2; � x = 2, y = 1.

Відповідь: А).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь � 4x – 7���� = 11, 3x + 7y = – 4; � 7x = 7, 3x + 7y = – 4; � x = 1, 3 · 1 + 7y = – 4; � x = 1, 7y = – 7; � x = 1, y = – 1.

Відповідь: Г).

7. Серед розв'язків рівняння x + 2y = −18

x + 2y = −18; х = –2у – 18.

Якщо у = –6, то х = –2 · (–6) – 18; х = –6.

Відповідь: Б).

8. Для якого значення m графік рівняння

3)? mx + 3y = 5; mx = 5 – 3y; ���� = 5 3���� ���� ; ���� = 5 3 3 2 ; m = 2.

Відповідь: A).

9. З пунктів A i В, відстань

Друге рівняння: 5х + 60 = 5у. Одержуємо систему:

3x + 3y = 60, 5x + 60 = 5y; �x + y = 20, y – x = 12; �x + y = 20, 2y = 32; �x + 16 = 20, y = 16; � x = 4, y = 16.

Отже швидкість пішохода дорівнює 4 км/год.

Відповідь: Б).

10. Скільки є пар натуральних чисел, які є розв'язками рівняння 2x + y = 9? y = 9 – 2x > 0; 9 – 2x > 0; 2x < 9; x < 4,5.

Оскільки х натуральне число, можливі значення х: 1, 2, 3, 4.

Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 1 = 9 – 2 = 7;

Якщо х = 2, то y = 9 – 2 2 = 9 – 4 = 5;

Якщо х = 1, то y = 9 – 2 3 = 9 – 6 = 3;

Якщо х = 1, то y = 9 – 2 4 = 9 – 8 = 1.

Можливі 4 пари: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Відповідь: Б).

11. Графік функції y = kx + b проходить через точки (1; 4) і (−2; 13). Знайдіть k.

Точка (1; 4): тобто k · 1 + b = 4;

Точка (–2; 13): тобто k · (–2) + b = 13;

Маємо систему рівнянь: � ���� + ���� = 4, 2k + b = 13;

Віднімемо перше рівняння від другого: (–2k + b) – (k + b) = 13 – 4; –3k = 9; k = –3.

Відповідь: B).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

пропорційні: 2 a = –3 –6 = 8 16 = 1 2; 2 a = 1 2, звідки а = 4.

Відповідь: A).

13. Установіть відповідність між

осями координат (А–Г).

1. 2х – 5у = 10 – В. (5; 0), (0; –2).

2. 5х + 3у = 15 – Г. (3; 0), (0; 5).

3. –3x + 4у = 12 – А. (–4; 0), (0; 3).

Відповідь: 1 – В); 2 – Г); 3 – А).

1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними:

1) 2х + 3у = 9.

2. Чи є розв’язком рівняння 2х + у = 7 пара чисел:

1) 2 ∙ 3 + (–5) ≠ 7;

6 – 5 ≠ 7; 1 ≠ 7.

Отже, пара чисел (3 ;–5) не є розв’язком рівняння 2х + у = 7; 2) 2 ∙ 4 + (–1) = 7; 8 – 1 = 7; 7 = 7.

§§ 52-57

пара чисел (4; –1) є розв’язком рівняння 2х + у = 7. 3.

1) (6; 5) – Ні. 2) (7; 4) – Так. 4. Розв’яжіть графічним способом

� y = 3���� , 2x + y =– 5 у = 3х

x 0 1 y 0 3

2х + у = –5

x –2 0 y –1 –5

Відповідь: (–1; –3).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему

� x 3y = 5, 2x + y = 3; � x = 3y + 5, 2(3y + 5) + y = 3; � x = 3y + 5, 6y + 10 + y = 3; �x = 3y + 5, 7y = 7; �x = 3(−1) + 5, y = −1; � x = 2, y = 1.

Відповідь: (2; −1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6. Розв’яжіть способом

� 5x + 3y = 3, 4x 3y = 24; � 9x = 27, 4x − 3y = 24; � x = 3, 4 · 3 − 3y = 24; � x = 3, 12 − 3y = 24; � x = 3, 3y = 12; � x = 3, y = 4.

Відповідь: (3; −4).

7. Розв’яжіть систему рівнянь: � 2(x + 3) = 7y 5, 6(x − 3) − 5(y + 1) = −24; � 2x + 6 7y = 5, 6x 18 5y 5 = 24; �2x 7y = 11 | · – 3, 6x 5y = 1; � 6x + 21y = 33, 6x 5y = 1; � 6x + 21y = 33, 16y = 32; � 6x + 21 · 2 = 33, y = 2; � 6x = – 9, y = 2. �x = 1,5, y = 2.

Відповідь: (1,5; 2).

8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили

8х + 3у = 93.

блокноту y – 0,1y = 0,9y (грн).

Друге рівняння: 1,15х + 0,9y = 20,4.

Система: � 8x + 3y = 93 │ ∙ 1,2, 1,15x + 0,9y = 20,4 │ ∙ (– 4); �9,6x + 3,6y = 111,6, – 4,6x – 3,6y = – 81,6

5x = 30; х = 6.

х + 0,15х = 1,15х (грн),

З першого рівняння першої системи отримаємо: 48 + 3у = 93; 3y = 45; у = 15.

Відповідь: зошит коштував 6 грн, а блокнот 15 грн. 9. Побудуйте графік рівняння x + 2 4 + y – 3 6 = –1 12 | · 12;

3(x + 2) + 2(y – 3) = –1;

3x + 6 + 2y = –1; 3x + 2y = –1; 2y = –3x – 1; y = –1,5x – 0,5. y = –1,5x – 0,5 x –1 1 y 1 –2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4 = 3k + b, 9 = 12k + b; � 4 = 3k b, 9 = 12k + b; � 5 = 15k, 4 = – 3k – b; � k = 1 3 , 4 = – 3 · 1 3 – b; � k = 1 3 , b = – 5

Відповідь: k = 1 3, b = −5.

11. Для якого значення a система рівнянь

7x – ay = 5 │ ∙ 3, 21x + 6y = 15; � 21x – ay = 15, 21x + 6y = 15; a = 6.

повторення теми 11

1. Чи є пара чисел (7; 1) розв’язком рівняння х – у = 6? Знайдіть ще

чотири розв’язки цього рівняння.

Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 7 – 1 = 6; 6 = 6;

пара чисел (9,5; 3,5) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 9,5 – 3,5 = 6; 6 = 6;

пара чисел (–8; –14) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: –8 + 14 = 6; 6 = 6;

пара чисел (122 3; 62 3) є розв’язком рівняння x – у = 6, бо: 122 3 – 62 3 = 6; 6 = 6.

2. Знайдіть два будь–яких розв’язки рівняння:

1) Розв’язками рівняння 2x + у = 4 є, наприклад, пара чисел (1; 2), бо: 2 ∙ 1 + 2 = 4; 4 = 4

і пара чисел (–5; 14), бо: 2 ∙ (–5) + 14 = 4; 4 = 4;

2) розв’язками рівняння х – 3у = 7 є, наприклад, пара чисел (1; –2), бо: 1 – 3 ∙ (–2) = 7; 7 = 7 і пара чисел (11,5; 1,5), бо: 11,5 – 3 ∙ 1,5 = 7; 7 = 7.

3. Виразіть: 1) змінну у через змінну

у

3х + 9у = 0; 3) змінну

рівняння 8х + 15у = 24.

1) 7х – у = 18; у = 7x – 18; 2) 3x + 9у = 0; 3х = –9у; х = –3у;

13x – 2у = 6; 4) змінну х через

3) 13х – 2у = 6; 2у = 13х – 6; у = 6,5х – 3; 4) 8х + 15у = 24; 8x = 24 – 15у; х = 3 – 1,875х.

4. Замініть «зірочки» числами так, щоб кожна з пар (*; 3); (6; *); (*; –3); (15; *) була

розв’язком рівняння х – 3у = 9.

Пара чисел (18; 3) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 18 – 3 ∙ 3 = 9; 9 = 9; пара чисел (6; –1) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 6 – 3 ∙(–1)= 9; 9 = 9; пара чисел (0; –3) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 0 – 3 ∙(–3) = 9; 9 = 9; пара чисел (15; 2) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 15 – 3 ∙ 2 = 9; 9 = 9. 5. Доведіть, що рівняння

розв’язків: 1) x2 + у2 = –4. Рівняння не має розв’язків, бо сума

(0; 2); (1; 1); (2; 0).

(0; 2); (0; –2), (–1; 1); (–1; –1); (1; 1); (1; –1); (–2 ; 0); (2; 0).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

9х + 5у = 27. Якщо у = 0, то: –9х = 27; х = –3.

10. Побудуйте графік рівняння:

1) |x| + y = 0;

y = – � x , якщо ���� < 0. – x, якщо ���� ≥ 0. y = x, x < 5

x –2 –5

y –2 –5

y = –x, x ≥ 0

x 2 3

y –2 –3

2) |x| + x – y = 0; y = |x| = x; y = � 0 , якщо ���� < 0. 2x, якщо ���� ≥ 0. y = 0, x < 0

x –1 –5

y 0 0

y = 2x, x ≥ 0

x 0 2

y 0 4

11. Побудуйте частину графіка рівняння 2x + y = 6, яка розташована в першій координатній чверті.

частина графіка 2x + y = 6 розміщена у першій чверті, то x ≥ 0 і y ≥ 0. 2x + y = 6, x ≥ 0, y ≥ 0

x 0 3

y 6 0

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Пара чисел (5; 5) не є розв’язком системи �x − y = 0, x + y = 8, бо: x + y = 5 + 5 = 10; 10 ≠ 8;

2) Пара чисел (4; 4) є розв’язком системи �x y = 0, x + y = 8, бо: � 4 4 = 0, 4 + 4 = 8; � 0 = 0, 8 = 8.

13. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) y = –4x x 0 1 y 0 –4 2x + y = –6 x –1 –2 y –4 –2

Графіки перетинаються в точці S(3; –12).

Розв’язком системи є пара чисел (3; –12);

2)

5x + y = 3

x 0 1

y 3 –2

x + 2y = –3

x 1 –3

y –2 0

Графіки перетинаються в точці C (1; –2).

Розв’язком системи є пара чисел (1; –2).

14. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) 0x + 3y = 6; y = 2. y = 2

x 0 5 y 2 2

3x – 2y = 2

x 0 2

y –1 2

Графіки перетинаються в точці L(2; 2).

Розв’язком системи є пара чисел (2; 2);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 7,1x = –14,2; x = –2. x = –2 x –2 –2 y 3 0 2x + 7y = 17 x 5 –2 y 1 3

Графіки перетинаються в точці B(–2; 3).

Розв’язком системи є пара чисел (–2; 3).

15. При якому значенні a система рівнянь:

1)

Система: �2x + y = 5 | · 3, 6x + ay = 15; � 6x + 3y = 15, 6x + ay = 15; має безліч розв’язків, якщо a = 3;

2) Система �3x – 2y = 7 | · (– 2), – 6x + 4y = a; �– 6x + 4y = – 14, – 6x + 4y = a; не має розв’язків, якщо a ≠ –14.

1) � x = y 7, 2x y = 6; � x = y 7, 2(y 7) y = 6; � x = y − 7, 2y − 14 − y = −6; �x = y 7, y = 8; � x = 1, y = 8.

Відповідь: (1; 8).

2) � 2x + y = 1, 3x − 5y = 21; � y = 1 2x, 3x − 5(1 − 2x) = 21; � y = 1 2x, 3x 5 + 10x = 21; �y = 1 2x, 13x = 26; �y = 1 2x, x = 2; �y = 3, x = 2.

Відповідь: (2; −3).

3) �3x 4y = 19, x + 7y = 27; �3x 4y = 19, x = 27 7y; �3(27 7y) 4y = 19, x = 27 7y; �81 − 21y − 4y = −19, x = 27 − 7y; � 25y = 100, x = 27 7y; � y = 4, x = 1.

Відповідь: (−1; 4);

4) � 5x + 7y = −3, 8x − y = −17; �5x + 7y = −3, y = 8x + 17; �5x + 7(8x + 17) = −3, y = 8x + 17; �5x + 56x + 119 = 3, y = 8x + 17; � 61x = 122, y = 8x + 17; �x = 2, y = 1.

Відповідь: (−2; 1).

17.

2x + 3y = 0

4x − 5y = −22

розв’язати систему. � 2x + 3y = 0, 4x 5y = 22; � x = 1,5y, 4(−1,5y) − 5y = −22; � x = 1,5y, −6y − 5y = −22; � x = 1,5y, 11y = 22; �x = 1,5y, y = 2; �x = 3, y = 2.

Відповідь: (−3; 2).

18. Розв’яжіть

1)

3(у х) 4 = 7y, 5(х + у) + 9 = 8х; �3у

3х = 10y 4, 5y − 3x = −9;

Відповідь: (22 3 ; 13 5 ).

2) � x 2 + y = 5 | · 2, x − y 3 = 3 | · 3; �x + 2y = 10, 3x y = 9; � x = 10 2y, 3(10 − 2y) − y = 9; � x = 10 2y, 30 6y y = 9; �x = 10 2y, 7y = 21; �x = 10 2y, y = 3; �x = 4, y = 3.

Відповідь: (4; 3).

19. Розв’яжіть систему рівнянь:

2x 1 5 + y + 7 2 = 5 | · 6, 3x 1 5 + 2y + 1 3 = 2x + 8y 15 | · 15; � 2(2x 1) + 3(y + 7) = 30, 3(3x 1) + 5(2y + 1) = 6x + 8y;

4x 2 + 3y + 21 = 30, 9x 3 + 10y + 5 = 6x + 8y; � 4x + 3y = 11, 3x + 2y = 2; � 4x + 3y = 11, 2y = 2 3x;

4x + 3y = 11, y = 2 3x 2 ; �4x + 3 2 3x 2 = 11 | · 2, y = 2 3x 2 ; �8x − 3(2 + 3x) = 22, y = 2 3x 2 ;

8x 6 9x = 22, y = 2 3x 2 ; �x = 28, y = 41.

Відповідь: ( 28; 41).

20. Розв’яжіть рівняння з двома змінними: 1) |x − y| + (x + 2y − 1)2 = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: � |x y| = 0, (x + 2y 1)² = 0; � x y = 0, x + 2y 1 = 0; � x = y, y + 2y 1 = 0; � x = y, 3y = 1;

x = y, y = 1 3 ; �x = 1 3 , y = 1 3 .

(1 3; 1 3). 2) |x + y − 6| + x2 − 4xy + 4y2 = 0; |x + y − 6| + (x − 2y)2 = 0.

чисел |x + y − 6| і (x − 2y)2

Маємо: �x + y − 6 = 0, x 2y = 0; �−x − y = −6, x 2y = 0; � −3y = −6, x 2y = 0; � y = 2, x 2 · 2 = 0; �y = 2, x = 4.

(4; 2).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) � 2x + y = 3, 3x y = 7; 5x = 10, x = 2.

З

першого рівняння системи отримаємо:

4 + y = 3; y = −1.

Відповідь: (2; −1).

3) �x + 9y = 7 | · ( 3), 3x 7y = 13; � 3x 27y = 21, 3x 7y = 13; −34y = 34; y = −1.

З першого рівняння першої системи

отримаємо: x − 9 = −7, x = 2.

Відповідь: (2; −1);

22. Розв’яжіть систему рівнянь способом

1) �7x + 2y = 3 | · ( 3), 4x + 3y = 2 | · 2;

21x − 6y = −9, 8x + 6y = 4; −13x = −13, x = 1.

З першого рівняння першої системи

отримаємо:

7 + 2y = 3; 2y = −4; y = −2.

Відповідь: (1; −2);

3) �4x + 7y = 5 | · ( 3), 6x + 9y = 6 | · 2;

12x − 21y = −15, 12x + 18y = −12; −3y = −3; y = 1.

З першого рівняння першої системи

отримаємо: 4x − 7 = −5; 4x = 2, x = 0,5.

Відповідь: (0,5; −1);

2) �5x + y = 6 | · ( 1), 5x + 9y = 14; � 5x y = 6, 5x + 9y = 14; 8y = 8; y = 1.

З першого рівняння першої системи

отримаємо: 5x + 1 = 6; 5x = 5; x = 1.

Відповідь: (1; 1);

4) �4x 5y = 2 | · 3, 7x + 15y = 51; � 12x 15y = 6, 7x + 15y = 51; 19x = 57; x = 3. З першого рівняння першої системи

отримаємо: 12 – 5y = 2; 5y = 10; y = 2.

Відповідь: (3; 2).

2) �7x + 12y = 53 | · ( 3), 5x 18y = 2 | · 2; �21x + 36y = 159, 10x 36y = 4; 31x = 155; x = 5.

З першого рівняння першої системи

отримаємо: 35 + 12y = 53, 12y = 18; y = 1,5.

Відповідь: (5; 1,5).

4) � 5(a 3b) + 6a = 7, 0,5(a + 6b) 1,5b = 2,5; � 5a 15b + 6a = 7, 0,5a + 3b 1,5b = 2,5; � 11a − 15b = 7, 0,5a + 1,5b = 2,5 | · 10; � 11a − 15b = 7, 5a + 15b = 25; 16a = 32; a = 2. З першого рівняння

отримаємо: 22 – 15b = 7; 156 = 15; b = 1.

Відповідь: (2; 1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + y = 3 | · 2, 4x + ay = 6; �4x + 2y = 6, 4x + ay = 6.

1) a) Розв’язування системи

x

Наближено графіки перетинаються в точці L(1 3 ; − 4 3).

Наближеним розв’язком системи є пара чисел (1 3 ; − б) розв’язування системи рівнянь методом підстановки: � x 2y = 3, x + y = 1; � x 2y = 3, x = 1 y; � 1 y 2y = 3, x = 1 y; � 3y = 4, x = 1 y; �y = 4 3

Відповідь: (1 3 ; − 4 3).

в) розв’язування системи рівнянь методом додавання: �x 2y = 3 | · ( 1), x + y = 1; � x + 2y = 3, x + y = 1; 3y = −4; y = −4 3

Відповідь: (1 3 ; 4 3); 2) а) розв’язування системи рівнянь графічним способом: 2x + y = 7 x 1 2 y 5 3 −x + 3y = 0 x −3 0 y −1 0

перетинаються в точці E(3; 1).

(3; 1). б) розв’язування системи

� 2x + y = 7, x + 3y = 0; � y = 7 2x, x + 3(7 2x) = 0; � y = 7 2x, x + 21 6���� = 0; � y = 7 2x, 7x = 21;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

�y = 7 − 2x, x = 3; �y = 1, x = 3.

Відповідь: (3; 1);

в) розв’язування системи рівнянь

� 2x + y = 7, x + 3y = 0 | · 2; � 2x + y = 7, 2x + 6y = 0; 7y = 7; y = 1.

З

першого рівняння першої системи отримаємо: 2x + 1 = 7; 2x = 6; x = 3.

Відповідь: (3; 1).

25. Знайдіть розв’язок системи рівнянь:

1) � 2 5x = 3(1 y), 2(x + y) = 0,5x + 5,5; � 2 − 5x = 3 − 3y, 2x + 2y = 0,5x + 5,5; �3y − 5x = 1 | · (−2), 1,5x + 2y = 5,5 | · 3

10x 6y = 2, 4,5x + 6y = 16,5; 14,5x = 14,5; x = 1.

З

першого рівняння останньої системи отримаємо:

10 – 6y = −2; −6y = −12; y = 2.

Відповідь: (1; 2);

2) �4(x + 7) 9(y 136) = 139, 5(x 1) + 4(3 y) = 15; �4x + 28 9y + 117 = 139, 5x 5 + 12 4y = 15;

�4x 9y = 6 | · ( 5), 5x 4y = 22 | · 4; � 20x + 45y = 30, 20x − 16y = −88; 29y = −58; y = −2.

З

першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 4x + 18 = −6; 4x = −24; x = −6.

Відповідь: (−6; −2).

26. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) �

2����

3 4���� 5 = 2 4 15 | · 15, 3���� 7 2���� 5 = 13 35 | · 35; � 5 · 2x 3 · 4y = 34, 5 · 3x + 7 · 2y = 13; �10x 12y = 34 | · 1,5, 15x + 14y = 13; � 15x + 18y = 51, 15x + 14y = 13; 32y = −64; y = −2.

З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 10x + 24 = 34; 10x = 10; x = 1.

Відповідь: (1; −2);

2) � 2x 5 y 4 = 23 40 | · 40, 4x 15 3y 5 = 1 1 30 | · 30; � 16x 10y = 23, 8x 18y = 31 | · ( 2); � 16x − 10y = 23, 16x + 36y = 62; 26y = −39; y = −1,5.

З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: 8x + 27 = 31; 8x = 4; x = 0,5.

Відповідь: (0,5; 1,5).

27. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � x + 2 3 + y 5 3 = 2 | · 3, x + 2 5 y 5 6 = 5 3 | · 6; � x + 2 + y 5 = 6, 3(x + 2) + ( y 5) = 10; � x + y = 9, 3x + 6 ���� + 5 = 10; � x + y = 9, 3x ���� = 9; 4x = 8; x = 2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2 + y = 9; y = 7.

Відповідь: (2; 7);

2)

+ 1 7 2���� + 2 6 = 1 5 | · 35, 3���� 2 2 ���� + 4 4 = 4 | · 4; �5(2x + 1) + 7(2y + 2) = 7, 2(3x 2) + ���� + 4 = 16; �10x + 5 + 14y + 14 = 7, 6x 4 + ���� + 4 = 16; �10x + 14y = 12 | ∶ 2, 6x + ���� = 16 | · ( 7); � 5x + 7y = 6, 42x 7���� = 112;

рівняння передостанньої системи отримаємо:

6 · 3 7 37 + y = 16; y = 16 – 19 5 37 = −3 5 37 .

Відповідь: (3 7 37; –3 5 37).

28. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) Система � 2���� + y = – 2, – 6x– 3y = 6|: (– 3); � 2���� + y = – 2, 2x + y = – 2; має безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x).

Відповідь: безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x).

2)

Система ����� – 3y = 5 | · 2, 2x – 6y = 7; �2x – 6y = 10, 2x – 6y = 7; не має розв’язку.

Відповідь: Не має розв’язку.

29. Чи має розв’язок система рівнянь:

1) �4x + 3y = 1, 7x + 5y = 2, 3x + 2y = 4.

Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь (наприклад, першого і третього),

перевіряємо, чи буде знайдений розв’язок розв’язком

Маємо: �4x + 3y = 1 | · ( 2), 3x + 2y = 4 | · 3; � 8x 6y = 2, 9x + 6y = 12; x = 10.

З першого рівняння першої системи отримуємо: 40 + 3y = 1; 3y = −39; y = −13.

Підставляємо значення x = 10 і y = −13 у

70 − 65 = 5; 5 ≠ 2. Отже, задана система не має розв’язку.

Відповідь: Не має розв’язку.

2) �3x 4y = 10, 4x + 7y = 1, 5x + 6y = 4. Розв’язуємо систему,

�3x 4y = 10 | · ( 4), 4x + 7y = 1 | · 3; � 12x 16y = 40, 12x + 21y = 3; 37y = −37; y = −1.

З першого рівняння першої системи отримуємо: 3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2. Підставляємо значення

6 = 4; 4 = 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

� 0 = k · 4 + l, 5 = k · 0 + l; �4k + l = 0, l = 5; �4k 5 = 0, l = 5; � 4k = 5, l = 5; �k = 1,25, l = 5.

Відповідь: y = 1,25x – 5; 2) З’ясуйте, чи

(−80; −105).

Графік прямої y = 1,25x – 5 проходить через точку (−80; −105), бо: −105 = 1,25 · (−80) – 5; −105 = −105.

Відповідь: так.

31. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) �3(x 2y) + x(7 2y) = 2y(1 x), 4(x – y – 1) + 5(x + y – 1) = 32; �3x 6y + 7x 2xy = 2y 2xy, 4x – 4y – 4 + 5x + 5y – 5 = 32; �3x − 6y + 7x − 2xy − 2y + 2xy = 0, 4x – 4y + 5x + 5y = 32 + 4 + 5; � 10x − 8y = 0, 9x + y = 41 | · 8; � 10x 8y = 0, 72x + 8y = 328.

Відповідь: (4; 5);

2) � (x + 2)² + (y 1)² = (x + 3)² + (y + 1)², (y 2)² + (y + 2)² = (x + 6)² (x 1)²; � x² + 4x + 4 + y² 2y + 1 = x² + 6x + y² + 2y + 1, y² − 4y + 4 − y² − 4y − 4 = x² + 12x + 36 − x² + 2x − 1;

x² + 4x + y² 2y x² 6x y² 2y = 9 + 1 4 1, y² − 4y − y² − 4y − x² − 12x + x² − 2x = 36 − 1; ,

2x 4y = 5 | · ( 2), 14x 8y = 35; � 4x + 8y = 10, 14x 8y = 35. −10x = 25; x = −2,5.

−10 + 8y = −10; 8y = 0; y = 0.

(−2,5; 0). 32. Для

1) Система � 12x – 9y = 15, 4x + by = 5 | · 3; � 12x – 9y = 15, 12x + 3by = 15;

3b = –9; b = –3;

2) � 12x – 9y = 15, 4x + by = 5 | · 3; � 12x – 9y = 15, – 12x – 3by = – 15; –9y – 3by = 0; (–9 – 3b)y = 0.

y = 0, 12x = 15; x = 1,25.

34. За 3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3x + 5y = 450, y – x = 10 │ ∙ 3; � 3x + 5y = 450, – 3x + 3y = 30; 8y = 480; y = 60.

60 – х = 10; х = 50.

теплохода

Система:

за течією (x + y) км/год.

3(x + y) + 2(���� – ����) = 142, 4(x – y) – 3(x + y) = 14; � 3x + 3y + 2���� – 2���� = 142, 4x – 4y – 3x – 3y = 14; � 5x + y = 142, x – 7y = 14 | · (– 5); � 5x + y = 142, – 5x + 35y = – 70; 36y = 72; y = 2. З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: x – 14 = 14; x = 28.

Відповідь: Власна швидкість теплохода

2y + 3x + 3y = 114, 2x – 3y = 0; � 3x + 5y = 114 | · | (– 2), 2x – 3y = 0 | · 3; � – 6x – 10y = – 228, 6x – 9y =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

рівняння: 0,5x – 0,75y = 8 | · 4; 2x – 3y = 32.

x –1 7 x = 6 7x, друге

рівняння: 6 7 x + 11 9y = 100.

y + 1 9y = 11 9y.

Система: � 2x – 3y = 32, 6 7 x + 10 9 y = 100 | · 63; �2x – 3y = 32 | · (– 27), 4(x – 44) = y + 44; �– 54x + 81y = – 864, 54x + 70y = 6300; 151y = 5436; y = 36. З першого рівняння першої

2x – 108 = 32; 2x = 140; x = 70. Відповідь:

70,

36. 40. Сума

збільшити на 15 %, третє зменшити на 10 %,

Перше рівняння:

х = 5(140 – х – у); х = 700 – 5х – 5у; 6х +5у = 700.

0,1у = 0,9у.

Друге рівняння: 1,15х + 0,9у + 140 – х – у = 139,5; 0,15х – 0,1у = –0,5.

Система: � 6x + 5y = 700 │ ∙ 2, 0,15x – 0,1y = – 0,5 │ ∙ 100; � 12x + 10y = 1400, 15x – 10y = – 50; 27х = 1350; х = 50.

300 + 5у = 700; 5у = 400; у = 80.

Перше число дорівнює: 140 – 50 – 80 = 10.

Відповідь: Перше число 10, друге 50, третє 80. 41. Периметр прямокутника на 154 см

за другу. Знайдіть площу прямокутника.

Нехай довжина

2x + 2y

х = 154, 2x + 2y – у = 140; � x + 2y = 154, 2x + y = 140│ ∙ (– 2); � x + 2y = 154, – 4x – 2у =– 280; –3x = –126; x = 42.

42 + 2y = 154; 2y = 112; y = 56.

у

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

= 10y + x.

Друге рівняння:

10у + х – 10х – у = 18; 9у – 9х = 18; у – х = 2.

Система:

� x + y = 8, y – x = 2; 2y = 10; у = 5.

З першого рівняння системи отримаємо:

5 + х = 8; x = 3.

Шукане число 35.

Відповідь: 35.

43. У двох бідонах

2 x + y = 20 │ ∙ 2, – 6 – 2y = – 90; � x +

системи отримаємо: 10 + 2y = 40; 2y = 30; y = 15. Відповідь: У меншому

1. Накресліть довільний

MN.

2. Виконайте дії: 1) р4р3 = р4+3 = р7; 2) t9 : t5 = t9–5 = t4.

3.

1) х – y = 5; М(6; 2);

6 – 2 ≠ 5;

4 ≠ 5

2) х – у = 5; N(4; –1);

4 – (–1) = 5;

5 = 5

4. Спростіть вираз:

1) (х – 3)(х + 3) – х(х – 5) = х2 – 9 – х2 + 5х = 5х – 9;

2) (а + 2)2 + (а – 7)(а + 3) = a2 + 4а + 4 + а2 – 7а + 3а – 21 = 2а2 – 17.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5. Розкладіть на множники:

1) 14р3 – 21р2m = 7р2(2р – 3m);

2) 3а2 – 12b2 = 3(а2 – 4b2) = 3(а – 2b)(а + 2b).

см, а бічна сторона 9 см.

Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC = 9 см, PΔABC = 24 см, тоді AC = PΔABC – (AB + BC) = 24 – (9 + 9) = 24 – 18 = 6 (см). Відповідь: 6 см.

7. Один з кутів трикутника дорівнює 68°,

трикутника.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠B = 68°.

Нехай ∠A = x°, тоді ∠C = x° + 14°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°, x + 68° + x + 14° = 180°; 2x = 98°; x = 49°.

Отже, ∠A = 49°, ∠C = 49° + 14° = 63°.

Відповідь: 49°, 63°.

8. Розв’яжіть систему рівнянь: �3x + 2y = 5 | · (– 3), – 4x + 3y = 16 | · 2; � – 9x – 6y = – 15, – 8x + 6y = 32; � – 17x = 17, – 8x + 6y = 32; � x = – 1, – 8 · (– 1) + 6y = 32; � x = – 1, 6y = 32 – 8; � x = – 1, 6y = 24; � x = – 1, 6y = 4;

Відповідь: (–1; 4).

9. З пункту

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

шукати лише серед значень 1, 2, 4, 8.

Якщо х = 1, то (a + 2) ∙ 1 = 8; а + 2 = 8; a = 6;

якщо х = 2, то (a + 2) ∙ 2 = 8; а + 2 = 4; а = 2;

якщо х = 4, то (а + 2) ∙ 4 = 8; а + 2 = 2; а = 0;

якщо х = 8, то (а + 2) ∙ 8 = 8; а + 2 = 1, а = –1.

Відповідь: –1, 0, 2, 6. 2.

чотирицифрового

місце, то

число.

Нехай початкове число дорівнює 7abc = 7000 + abc, тоді змінене abc7 = 10abc + 7 і

позначимо abc = х.

Рівняння:

7000 + х – 10x – 7 = 1746;

9х = 5247; х = 583.

Початкове число 7583.

Відповідь: 7583.

3. He розв’язуючи рівняння 5(2024х + 2025) = 13, доведіть, що його корінь не є цілим числом.

Припустимо, що корінь рівняння 5(2024х + 2025) = 13 є цілим числом, тоді 2024х + 2025 також ціле число. Отже, число 13 є добутком цілого числа і числа 5, що неможливо, оскільки 13 просте число.

4. Розв’яжіть рівняння:

1) |х| + |х – 2| = 0; |х| = 0 і |х – 2| = 0;

х = 0 і х – 2 = 0;

х = 0 і х = 2 не має розв’язку.

Відповідь: He має розв’язку;

2) |х – 3| + |6 – 2х| = 0; |х – 3| = 0 і |6 – 2х| = 0; х – 3 = 0 і 6 – 2х = 0; х = 3 і х = 3.

Відповідь: 3.

5. Скільки розв’язків залежно від числа а (кажуть: параметра а) має рівняння: 1) ах = 2; 2) ах = 0?

1) ах = 2.

Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 2 рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то х = 2 : а.

Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь; 2) ах = 0.

Якщо a = 0, то 0 ∙ х = 0 рівняння має безліч розв’язків; якщо а ≠ 0, то x = 0 ���� = 0 рівняння має єдинии

Якщо а = 0, то рівняння має

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (а – 3)х = 7.

Якщо а ≠ 3, то х = 7 ���� – 3 ;

якщо а = 3, то 0 ∙ х = 7 рівняння не має а –

3

коренів.

Відповідь: Якщо а ≠ 3, то х = 7 ���� – 3 ; якщо а = 3, то коренів немає;

5) ах + 1 = x + а; ax – х = а – 1; х(а – 1) = а – 1.

Якщо а = 1, то х ∙ 0 = 0 будь-яке число;

якщо а ≠ 1, то х = а – 1 а – 1; х = 1.

Відповідь: Якщо а ≠ 1, то х = 1;

якщо а = 1, то х будь–яке число;

4) ах = а.

Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 0, де х будь-яке число; якщо а ≠ 0, то х = a ���� ; х = 1.

Відповідь: Якщо а = 0, то х будь-яке число; якщо а ≠ 0, то х = 1;

6) а(х – 2) = х(а + 3); ах – 2а = ах + 3х; ах – ах – 3х = 2а; – 3х = = 2а; х = –2а 3 для всіх значень а.

Відповідь: х = –2а 3 для всіх значень а.

7. Для якого значення параметра а є рівносильними рівняння:

1) 7х + а = 5(х – а);

7х + а = 5х – 5а;

7х – 5х = – 5а – а;

2х = –6а;

х = –3а.

7(х + а) = 4(10 – а);

7х + 7а = 40 – 4а;

7х = 40 – 4а – 7а;

7х = 40 – 11а;

х = 40 – 11a 7 . – 3а = 40 – 11a 7 │ ∙ 7;

–21а = 40 – 11а; –21а + 11а = 40; –10а = 40; а = –4.

Отже, рівняння 7х + а = 5(х – а) і 7(х + а) = 4(10 – а) рівносильні, якщо а = –4.

Відповідь: Якщо а = –4; 2) (а + 7)х = 18 рівняння не має коренів, якщо а = –7; |х| = –1 рівняння не має коренів.

Отже, рівняння (а + 7)х= 18 і |х| = –1 рівносильні, якщо а = –7.

Відповідь: Якщо а = –7. 8. Потяг проїжджає повз нерухомого

7х = 25x – 378; 18х = 378; х = 21.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(27х – 171)

б) (9х + 9)

Рівняння:

27х – 171 = 9х + 9; 18х = 180; х = 10.

Довжина

дорівнює 9 ∙ 10 + 9 = 99 (м).

Відповідь: 10 м/с; 99 м.

1)

по (0,25х)°.

Рівняння:

х + 0,25х + 0,25х = 180;

1,5х = 180;

х = 120.

Кути

вершині 0,25х°.

Рівняння:

х + х + 0,25х = 180; 2,25х = 180;

х = 80.

Третій

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

рулонів, а другої 2 3 (0,5x + 2) рулонів.

Рівняння:

(0,5х + 2) + 2 3 (0,5х + 2) + 1 = х;

1 2 х + 2 + 1 3 х + 4 3 + 1 = х | ∙ 6;

3х +12 + 2х + 8 + 6 = 6х; х = 26.

Відповідь: 26 рулонів.

1 7(х + 320) + 0,4х = 100 │ ∙ 7;

х + 320 + 2,8х = 700;

3,8х = 380;

х = 100.

Початкова

Відповідь: 520 г.

14. Рівність (І + В + А + H)4 = ІВАН є правильною.

буквам відповідають різні цифри.

Цифри І, В, A, H можуть набувати значень 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, бо сума з цифрою 7 в

комбінації з іншими, навіть з найменшими дорівнює: 7 + 0 + 1 + 2 = 10, а 104 = 100000 є

п’ятизначне число, що суперечить умові. Найменше сума цифр може дорівнювати 0 + 1 + 2 + 3 = 6. Отже, 6 ≤ І + В + А + Н < 10. Маємо: 64 = 1296 не підходить, бо є цифра 9; 74 = 2401; 84 = 4096 – не підходить, бо є цифра 9; 94 = 6561 не підходить, бо є дві однакових цифри. Шуканим числом є 2401.

Відповідь: 2401.

15. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 15 %, а ширину – на 20%? Нехай довжина прямокутника х см, а ширина y см, тоді площа дорівнює ху см2. Після змін довжина становить х + 0,15х = 1,15х (см), ширина y + 0,2y = 1,2y(см), а площа 1,15х ∙ 1,2 = 1,38xy (см2). Площа прямокутника збільшилася на (1,38хy – хy): ху = 0,38 = 38%.

Відповідь: На 38%.

16. Що більше:

10¹⁵ + 1

10¹⁶ + 1 = (10¹⁵ + 1)(10¹⁷ + 1) (10¹⁶ + 1)(10¹⁷ + 1);

10¹⁶ + 1

10¹⁷ + 1 = (10¹⁶ + 1)(10¹⁶ + 1) (10¹⁷ + 1)(10¹⁶ + 1) . (1015 + 1)(1017 + 1) = 1032 + 1015 + 1017 + 1 = 1015(1017 + 102 + 1) + 1 = 1015(1017 + 101) + 1; (1016 + 1)(1016 + 1) = 1032 + 2 · 1016 + 1 = 1015(1017 + 2 · 10) + 1 = 1015(1017 + 20) + 1. 1015(1017 + 101) + 1 > 1015(1017 + 20) + 1.

Отже, 10¹⁵ + 1 10¹⁶ + 1 > 10¹⁶ + 1 10¹⁷ + 1 .

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

+ 1

саме?

Нехай шукане натуральне число дорівнює n.

Якщо n2 =2007∙ 2009 + 1, то n2 – 1 = 2007 ∙ 2009; (n – 1)(n + 1) = 2007 ∙ 2009, де n – 1 і n + 1 суміжні до 2008.

Отже, n = 2008.

18. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n

n кратне числу 24. 8n3 – 8n = 8n(n2 – 1) = 8n(n – 1)(n + 1) кратне 24, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n, n + 1 існує число, кратне 3.

19. Подайте вираз 2m2 + 2n2 у

квадратів. 2m2 + 2n2 = m2 + m2 + 2mn – 2mn + n2 + n2 = m2 + 2mn + n2 + m2 – 2mn + n2 = = (m + n)2 + (m – n)2.

20. Який

тотожність: 1) (х + 1)(х – 5) = x2 – 5х + х – 5 = x2 – 4х – 5; 2) (x2 – х + 1)(х + 3) = x3 + 3х2 – x2 – 3х + х + 3 = х3 + 2x2 – 2х + 3.

21. Розкладіть на множники:

1) а2b2 – 2аb2 + b2 + а4 – 2a2 + 1 = (ab – b)2 + (а2 – 1)2 = (b(а – 1))2 + ((а – 1)(a + 1))2 = = b2(а – 1)2 + (а – 1)2(а + 1)2 = (а – 1)2(b2 + (а + 1)2) = (a – 1)2(b2 + a2 + 2a + 1); 2) 1 –3t + 3t2 – t3 = (1 – t3) – (3t – 3t2) = (1 – t)(1 + t + t2) – 3t (1 – t) = (1 – t)(1 + t + t2 – 3t) = = (1 – t)(1 – 2t + t2) = (1 – t)(1 – t)2 = (1 – t3);

3) x6 – 3х4 + 6х2 – 4 = x6 + 8 – 3х4 + 6х2 – 12 = (х6 + 8) – 3(х4 – 2x2 + 4) = = (х2 + 2)(х4 – 2х2 + 4) – 3(х4 – 2х2 + 4) = (х4 – 2х2 +4)(х2 + 2 – 3) = (х4 – 2х2 + 4)(х2 – 1) = = (х4 – 2х2 + 4)(х – 1)(х + 1);

4) 2(m + 3n) + (m – n)(m + n) – 8 = 2m + 6n + m2 – n2 – 8 = (m2 + 2m + 1) – (n2 – 6n + 9) = = (m + 1)2 – (n – 3)2 = (m + 1 – n + 3)(m + 1 + n – 3) = (m – n + 4)(m + n – 2);

5) a3 + a2 – b3 – b2 = a3 – b3 + a2 – b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + (a – b)(a + b) = = (a – b)(a2 + ab + b2 + a + b);

6) 8x3 + 4x2 – 2 = (8x3 – 1) + (4x2 – 1) = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) + (2x – 1)(2x + 1) = = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1 + 2x + 1) = (2x – 1)(4x2 + 4x + 2) = 2(2x – 1)(2x2 + 2x + 1).

22. Чи може сума

числа? Нехай n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2

(n

2)2

+ 1 + n2 + 4n + 4 = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2).

або 8, тому запис числа n2 + 2 не може закінчуватися цифрами

23. Спростіть вираз: (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (24 – 1) (24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = (232 – 1)(232 + 1)(264 + 1) = (264 – 1)(264

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Задача Лагранжа. Доведіть тотожність (x2 + y2 + z2)(m2+ n2+р2) – (xm + yn + zp)2 = x2m2 + x2n2 + х2р2 + y2m2 + y2n2 + у

р2 + z2m2 + z2n2 + z2p2 – x2m2 – y2n2 – z2p2 – 2xmyn – 2xmzp – 2ynzp = (x2n2 – 2xmyn + z2m2) + (z2p2 –2xmzp + z2m2) + (z2n2 – 2ynzp + y2p2) =(xn – ym)2 + (xp – zm)2 + (yp – zn)2.

Тотожність (x2 + у2 + z2)(m2 + n2 + p2) – (xm + yn + zp)2 = (xn – ym)2 +(xp – zm)2 + (yp –zn)2

доведена.

26. Доведіть, що число аbсаbс є кратним числам 7, 11 і 13. аbсаbс = 1000abc + abc = 1001abc = 7 ∙ 11 13abc кратне 7, 11, 13.

27. Доведіть, що значення виразу 555777 + 777555 є

555777 + 777555 = (111 ∙ 5)777 + (111

7555) = (37 ∙3)555(111222 ∙ 5777 + 7555)

28. Яке трицифрове число є

числа?

Нехай трицифрове число abc таке, що abc = (ху)2 і

тільки 5, 6, 7, 8 і 9, піднесені до третього

53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729.

З поданих чисел лише 729 є квадратом числа 27.

Отже, 729 = 93 і 729 = 272 .

29. Доведіть, що значення виразу 1916 + 7346 – 5933 ділиться на 10.

Число 1916 закінчується цифрою 1, 7346 цифрою 6,

виразу 1916 + 7346 – 5933 = ...1 + ...6 – 7 = ...0 кратне 10.

30. Доведіть, що значення виразу

у3 = (х + у)3 + x3 – 3х2у + 3ху2

3 . 32. Доведіть тотожність: 1) (x2 – x – 1)2 = (x2 – x – 1)(х2 – х – 1) = x4 – x3 – x2 – x3 + х2 + х – x2 + x + 1 = = x4 – 2x3 – x2 + 2х + 1 = х3(х – 2) – х(х – 2) + 1 = (х – 2)(х3 – x) + 1 = = (х – 2)(х2 – 1) + 1 = (х – 2)(х – 1)х(х + 1) + 1 тотожність доведена;

2) (x2 + 3х + 1)2 = (х2 + 3х + 1)(x2 + 3х + 1) = x4 + 3х3 + x2 + 3х3 + 9x2 + 3х + x2 + 3х + 1 = = x4 + 3х3 + 3х3 + 9x2 + 2x2 + 6х + 1 = x3(x + 3) + 3х2(х + 3) + 2х(х + 3) + 1 = = (х + 3)(х3 + 3х2 + 2х) + 1 = (х + 3)x(x2 + 3х + 2) + 1 = (х + 3)x(x2 + 2х + х + 2) + 1 = = (х + 3)x(x(х + 2) + (х + 2)) + 1 = х(х + 3)(х + 2)(х + 1) + 1 тотожність доведена. 33.

у(у + 1)(у + 2)(у + 3) + 1 = (у2 + 3у + 1)2

2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 = 2017 ∙ (2017 + 1)(2017 + 2)(2017 + 3) + 1 = = (20172 + 3 ∙ 2017 + 1)2 = (4 068 289 + 6051 + 1)2 = 4 074 3412 .

у = 4 074 341.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8. (2n + 2)3 – (2n)3 = (2n + 2 – 2n)((2n + 2)2 + 2n(2n + 2) + (2n)2) = 2(4n2 + 8n + 4 + 4n2 + 4n + 4n2) = 2(12n2 + 12n + 4) = 24n2 + 24n + 8 = 24(n2 + n) + 8 = 24n(n + 1) + 8 ділиться

8.

35. Розкладіть на множники:

1) у5 + у + 1 = (у5 – у2) + (у2 + у + 1) = y2(y3 – 1) + (y2 + у + 1) = = y2(y – 1)(y2 + y + 1) + (y2 + y + 1) = (y2 + y + 1)(y2(y – 1) + 1) = (y2 + у + 1)(y3 – y2 + 1);

2) m4 + m2 + 1 = (m4 + 2m2 + 1) – m2 = (m2 + 1)2 – m2 = (m2 + 1 – m)(m2 + 1 + m);

3) x4 + 5x2 + 9 = (х4 + 6х2 + 9) – x2 = (х2 + 3)2 – x2 = (х2 + 3 – х)(х2 + 3 + х);

4) n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 = (n2 + 2)2 – 4n2 = (n2 + 2 – 2n) ∙ (n2 + 2 + 2n);

5) x4 + 2a2x2 – 4a2b2 – 4b4 = (х4 + 2а2x2 + а4) – (а4 + 4а2b2 + 4b4) = (х2 + а2)2 – (а2 + 2b2)2 = = (х2 + а2 – а2 – 2b2)(х2 + а2 + а2 + 2b2) = (х2 – 2b2)(х2 + 2а2 + 2b2);

6) m3 – 2m – 1 = m3 + m2 – (m2 + 2m + 1) = m2(m + 1) – (m + 1)2 = (m + 1) (m2 – m – 1);

7) m3 – 5m – 2 = (m3 + 8) – (5m + 10) = (m + 2)(m2 – 2m + 4) – 5(m + 2) = = (m + 2)(m2 – 2m + 4 – 5) = (m + 2)(m2 – 2m – 1); 8) x4 – 2х3у – 6х2у2 – 4ху3 – у4 = (х4 – у4) – (2х3у + 2x2y2) – (4x2y2 + 4ху3) = (х2 – у2)(х2 + у2) – 2х2у(х + у) – 4xy2(х + у) = (х – у)(х + у)(х2 + у2) – 2х2у(х + у) – 4хy2(х + у) = = (х + у)((х – у)(x2 + y2) – 2x2y – 4xy2) = (x + y)(x3 + xy2 – ух2 – y3 – 2х2у – 4xy2) = = (х + у)(х3 – 3ху2 – 3х2у – у3).

36. Порівняйте 515 і 323 . 515 = 5(52)7 = 5 ∙ 257; 323 = 32 ∙ 321 = 9(33)7 = 9 ∙ 277; 9 ∙ 277 > 5 ∙ 257 . Отже, 323 > 515.

37. Побудуйте графік функції: 1) y = 2 |x| + x; y = �2(– x) + x, якщо x < 0, 2x + x, якщо x ≥ 0; y = � – x, якщо x < 0, 3x, якщо x ≥ 0 y = –x, x < 0 x –1 –3 y 1 3 y = 3x, x ≥ 0 x 0 1 y 0 3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x| –4x;

y = �– x – 4x, якщо x < 0, x – 4x, якщо x ≥ 0;

y = � – 5x, якщо x < 0, – 3x, якщо x ≥ 0. y = –5x, x < 0

x –1 –2

y 5 10

y = –3x, x ≥ 0

x 0 1

y 0 –3

3) y = |2x| + 2x – 1;

y = �– 2x + 2x – 1, якщо x < 0, 2x + 2x, якщо x ≥ 0;

y = � – 1, якщо x < 0, 4x – 1, якщо x ≥ 0. y = –1, x < 0

x –1 –3

y –1 –1

y = 4x – 1, x ≥ 0

x 0 1

y –1 3

4) y = 3x – |4x| + 3;

y = �3x – (– 4x) + 3, якщо x < 0, 3x – 4x + 3, якщо x ≥ 0; � 7x + 3, якщо x < 0, – x + 3, якщо x ≥ 0. y = 7x + 3, x < 0

x –1 –0,5

y –4 –0,5

y = –x + 3, x ≥ 0

x 0 3

y 3 0

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + 1, якщо x ≤ 0, – 3x + 3, якщо x > 0. y = � 4x + x, якщо x ≤ 0, – 4x + 3, якщо x > 0.

a) � y = 2x + 1, y = 4x + 3, якщо х ≤ 0;

2х + 1 = 4х + 3;

2х – 4х = 3 – 1; –2х = 2; х = –1.

Підставимо у перше рівняння системи

значення х = –1 : у = 2 ∙ (–1) + 1 = – 1.

Шукана точка (–1; –1);

Відповідь: Графіки

41. Оля

б) � y = – 3x + 1, y = – 4x + 3, якщо х > 0; –3х + 1 = –4х + 3; –3х + 4х = 3 – 1; х = 2.

Підставимо у перше рівняння системи

значення x = 2; у = –3 ∙ 2 + 1 = –5. Шукана точка (2; –5).

(–1; –1) і (2; –5).

Нехай рогалик коштує x грн, а вертута у грн.

Рівняння:

7х + 3у = 3х + 4у;

4х = у;

х = y 4 = 0,25у;

0,25 = 25%;

х = 25% від у.

Відповідь: 25%.

42. Чи має розв’язки рівняння з двома змінними: 1) Рівняння x2 + y2 = –1 не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може

дорівнювати від’ємному числу;

2) розв’язком рівняння |у| + х = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0);

3) розв’язком рівняння x2 – |у| = 5 є, наприклад, пара чисел (3; 4);

4) розв’язком рівняння 5x2 + у8 + |х| = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0).

43. У рівнянні ах + by = 43 коефіцієнти

чисел (5; 10)?

5a + 10b = 43; 5(а + 2b) = 43

1) (х + 1)2 + y2 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнюють нулю: х + 1 = 0; х = –1 і у = 0.

Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (–1; 0).

Відповідь: Один розв’язок; 2) x2 + у2 + (у – 2)2 = 0.

Сума квадратів трьох виразів дорівнює

дорівнюють нулю: х = 0 і у = 0, i у = 2. Змінна у не

значень 2 та 0, отже, рівняння не має розв’язків.

Відповідь: Жодного розв’язку;

3) |х| + (у + 1)2 = 0.

Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді,

нулю: |х| = 0 і (у + 1)2 = 0, тоді х = 0 і у = –1.

Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (0; –1).

Відповідь: Один розв’язок;

4) х((х – 3)2 + (у + 4)2) = 0.

Добуток

нулю: х = 0 або (х – 3)2 + (у + 4)2 = 0. Якщо х = 0, то у

Рівняння:

10х + 12,5у = 150;

10х = 150 – 12,5у;

х = 15 – 1,25у.

Оскільки х натуральне число, то у = 4 або 8.

Тоді х = 15 – 1,25 ∙ 4 = 10 або х = 15 – 1,25 ∙ 8 = 5.

Відповідь: 5 або 10 зошитів.

46. Побудуйте графік рівняння:

1) (х + 1)(х – 2у) = 0;

х + 1 = 0 або х – 2у = 0;

х = –1 або у = 0,5х.

Будуємо графіки прямих х = –1 і у = 0,5х. x = –1 x –1 –1 y 1 3 у = 0,5х

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) х2 – ху = 0;

x(x – у) = 0;

x = 0 або у = х.

Будуємо графіки прямих x = 0 і у = x.

x = 0

x 0 0

y 1 3

у = х

x 0 2

y 0 2

3) (x2 – 4)(y2 + 4) = 0;

x2 – 4 = 0 або y2 + 4 = 0 не має

розв’язків;

x2 = 4;

x = 2 або x = –2.

Будуємо графіки прямих x = 2 і x = –2. x = 2

x 2 2

y 1 3

x = –2

x –2 –2

y 0 2

4) (|x| + 1)( |у| – 3) = 0;

|x| + 1 = 0 не має розв’язків або

|у| – 3 = 0;

|у| = 3;

у = 3 i у = –3.

Будуємо графіки прямих у = 3 і у = –3. y = 3

x 2 4

y 3 3

y = –3

x –2 1

y –3 –3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5) |x| + x = y.

Якщо x < 0, то рівняння матиме вигляд:

–

x + x = y; y = 0,

а якщо x ≥ 0, то: x + x = y; y = 2x.

Будуємо графік функції:

y = � 0, якщо x < 0, 2x, якщо x ≥ 0. y = 0, x < 0

x –1 –3

y 0 0

y = 2x, x ≥ 0

x 0 2

y 0 4

6) х = у|х|.

Якщо х < 0, то: х = –ху, х + ху = 0;

х(1 + у) = 0;

х = 0 не підходить або 1 + у = 0;

у = – 1.

Якщо х ≥ 0, то: х = ху;

х – ху = 0;

х(1 – у) = 0;

х = 0 або у = 1.

Будуємо графік функції:

y = � – 1, якщо х < 0, 1 або х = 0, якщо х ≥ 0. y = –1, x < 0

x –1 –3

y –1 –1

y = 1, x ≥ 0

x 1 3 y 1 1 x = 0, x ≥ 0

x 0 0

y 1 2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) у = 0, якщо: x2 = 4; х = 2 або х = –2.

Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає

(–2; 0) і (2; 0); 2) якщо х = 0, то у = 4.

Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає вісь у в точці (0; 4).

49. Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння 11x + 8у = 104. 11x = 104 – 8у; 11x = 8(13 – у) кратне 8, тому х може приймати значення лише 8. Якщо х = 8, то 88 + 8у = 104; 8у = 16; у = 2.

Отже, рівняння 11x + 8у = 104 задовольняє лише пара натуральних

50. He виконуючи

3)(у + 5) = 0: 1) з віссю х; 2) з віссю у.

1) у = 0, якщо: 5(х – 3) = 0;

х – 3 = 0;

х = 3.

Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) =

2) якщо х = 0, то – 3(у + 5) = 0;

у + 5 = 0;

у = –5.

Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0

51. Яна

(3; 0);

(8; 2).

(0; –5).

Нехай

6х ∙ 6у = х6 ∙ у6; (60 + х)(60 + у) = (10х + 6)(10у + 6);

3600 + 60у + 60х + ху = 100xy + 60х + 60у + 36;

60у + 60х + ху – 100xy – 60х – 60у = 36 – 3600;

99ху = 3564;

ху = 36.

Останню рівність можуть задовольняти

Отже, шукані числа: 69 і 64.

Відповідь: 69 і 64.

52. Олесь народився у

2009 – 19ху = 1 + 9 + х + у;

1999 – 19ху = х + у; 1999 – (1900 + 10x + у) = х + у; 99 – (10х + у) = х + у; –10х – у – х – у = –99;

11х – 2у = –99; 11х + 2у = 99;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2у = 99 – 11x; 2у = 11(9 – х)

на осі у?

Знайдемо координати точки перетину

1,25 = а; а = 10.

Відповідь: а = 10.

Доберіть,

1)

2x – y = 7, mx – y = 5; �2x – y = 7, 2x – y = 5

3x + 2y = 6, 1,5x + y = m │ ∙ 2; � 3x + 2y = 6, 3x + 2y = 2m

розв’язку, якщо m ≠ 3;

3) система �mx– 2y = 1│ ∙ 4, 4x – 8y = 4; �4mx – 8y = 4, 4x – 8y = 4, m = 1 і має єдиний розв’язок, якщо m

1. 55. При якому значенні а система

4x – 3y = 10, 2x + 5y = – 8, a(x + y) = 7

Розв’яжемо систему, утворену

Maємо: � 4x – 3y = 10, 2x + 5y = – 8│ ∙ (– 2); � 4x – 3y = 10, – 4x – 10y = 16; –13y = 26; у = –2.

Підставимо значення y = –2 у перше рівняння системи й одержимо: 4х + 6 = 10; х = 1.

Підставимо значення х = 1 i у = –2 у

а ∙ (1 – 2) = 7; а = –7. Отже, задана система

Відповідь: а = –7.

56. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) � x – y = 2, y – z = 3, z + x = 5.

Додамо почленно перше, друге і третє рівняння системи й одержимо:

x – y + y – z + z + x = 10; 2x = 10; х = 5.

З першого рівняння отримаємо: 5 – y = 2; y = 3.

3 другого рівняння отримаємо: 3 – z = 3; z = 0.

Відповідь: х = 5, y = 3, z = 0;

2) � x + y = 7, y + z = 5, z + x = – 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2х + 2y + 2z = 8; х + y + z = 4.

Віднімемо

z = –3; x = –1; y = 8.

Відповідь: х = –1, y = 8, z = –3. 57. У

який одержали в добутку. (4х3 – 2х2 + 3х – 8)(aх2 + bх + 1) = 4ах5 + 4bx4 + 4х

8ах2 – 8bx – 8 = 4ах5 + х4(4b – 2a) + х3(4 – 2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8. Якщо многочлен не містить ні х4, ні х3, то а) 4b – 2а = 0; 4b = 2а; а = 2b; б) 4 – 2b + 3а = 0; 4 – а + 3а = 0; 4 + 2а = 0; 2а = –4; а = –2.

Підставимо значення а = –2 у рівність а = 2b і одержимо: 2b = –2; b = –1. Шуканий

многочлен буде мати вигляд: 4aх5 + х4(4b – 2а) + х3(4 –2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 –8b) – 8 = –8х5 + х2(–2 – 3 + 16) + х(3 + 8) – 8 = –8х5 + 11x2 + 11x – 8.

58. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) �(x – 1)(y – 4x) = 0, x + y = 3, �x – 1 = 0 або (y – 4x) = 0, x + y = 3,

Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем: a) � x – 1 = 0, x + y = 3, �x = 1, y = 2, б) �y – 4x = 0, x + y = 3, � y = 4x, x + 4x = 3, � y = 4x, 5x = 3, � y = 2,4, x = 0,6.

Відповідь: (1; 2); (0,6; 2,4);

2) � (x – 1)(x + y) = 0, (y – 2)(x + y – 6) = 0; � ���� – 1 = 0 або x + 1 = 0, y – 2 = 0 або x + y – 6 = 0.

Розв’язування системи зводиться до розв’язування чотирьох систем: a) � x – y = 0, y – 2 = 0, �x = 2, y = 2, б) � x – y = 0, x + y – 6 = 0, � x = y, 2x – 6 = 0, � y = 3, x = 3;

в) �x + 1 = 0, y – 2 = 0; � x = – 1, y = 2; г) � x + 1 = 0, x + y – 6 = 0; � x = – 1, y = 7.

Відповідь: (2; 2); (3; 3); (–1; 2); (–1; 7);

3) �x² − y² = 0, 3x − y = 4, �(x y)(x + y) = 0, 3x y = 4, �x y = 0 або x + y = 0, 3x − y = 4.

Розв'язання системи зводиться до розв'язання двох систем: а) � x y = 0, 3x y = 4; � x = y, 3x x = 4; � x = 2, y = 2.

б) � x + y = 0, 3x y = 4; � x = 4, 3x + x = 4; � x = 1, y = 1.

Відповідь: (2; 2); (1; −1).

4) �x² + 2xy + y² 1 = 0, 3x y = 3; �(x + y)² = 1, 3x y = 3; �x + y = 1 або ���� + ���� = 1, 3x y = 3.

Розв'язання системи зводиться

а) � x + y = 1, 3x y = 3; � x = 1, y = 0. б) � x + y = −1, 3x y = 3; � x = 0,5, y = −1,5.

Відповідь: (1; 0); (0.5; −1.5).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) (x − 2)2 + (3x − y)2 = 0.

� x 2 = 0, 3x y = 0; � x = 2, y = 6.

Розв'язком системи і

Відповідь: (2; 6);

2) (2x − y)2 + x2 + 8x + 16 = 0; (2x − y)2 + (x + 4)2 = 0.

(2; 6).

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно

дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: �2x y = 0, x + 4 = 0; � x = 4, y = 8.

Розв'язком системи і рівняння

Відповідь: (−4; −8);

3) (1x + y − 3)2 + x2 + 2xy + y2 = 0; (7x + y − 3)2 + (x + y)2 = 0.

Сума квадратів

дорівнюють

є розв'язок системи: �7x + y 3 = 0, x + y = 0; � 7y + y 3 = 0, x = −y; � 6y = 3, x = 0,5.

Розв'язком системи

Відповідь: (0,5; −0,5).

4) |x − y + 5| + x2 – 4xy + 4y2 = 0; |x − y + 5| + (x − 2y)2 = 0.

Сума двох невід'ємних виразів дорівнює

дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: � x y + 5 = 0, x 2y = 0 | · ( 1); �x y + 5 = 0, x + 2y = 0; y + 5 = 0; y = −5.

Підставимо у перше рівняння системи значення

x + 5 + 5 = 0; x = −10.

Розв'язком системи рівняння є пара чисел (−10; −5).

Відповідь: (−10; −5).

5) x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0; (x2 − 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = 0; (x – 2)2 + (y + 1)2 = 0.

Сума квадратів

� x 2 = 0, y + 1 = 0; � x = 2, y = 1. Розв'язком

(2; −1); 6) x2 − 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0; (x2 − 2xy + y2) + (y2 + 6y + 9) = 0; (x – y)2 + (y + 3)2 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

� x − y = 0, y + 3 = 0; � y = 3, x = 3.

Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−3; −3).

Відповідь: (−3; −3).

60. Число b на 10 % більше за число а і на 30 % більше

якщо а на 8 більше за с.

Нехай а, b і с числа, для яких виконуються умови: а – с = 8; b = 1,1a; b = 1,3с; 1,1а = 1,3с.

Система рівнянь: � а – с = 8,

1,1a = 1,3c; � a = c + 8, 1,1(c + 8) = 1,3c; � a = c + 8, 1,1c + 8,8 – 1,3���� = 0; � a = c + 8,

0,2c = 8,8; � a = 52, c = 44.

Далі маємо: b = 1,1; a = 1,1 · 52 = 57,2.

Отже, шукані числа: a = 52; b = 57,2; c = 44.

Відповідь: a = 52; b = 57,2; c = 44.

61.

5y + 10x = 10, 5y 7x = 8; 3x = 18; x = 6.

Підставимо у друге рівняння

x = 6

отримаємо: 5y − 42 = 8; y = 10.

число дорівнює xy = 10x + y. Система:

10x + y = 4(x + y) + 6, 10x + y − 3(x + y) = 16; � 10x + y = 4x + 4y + 6, 10x + y 3x 3y = 16; � 6x 3y = 6 | · 2, 7x 2y = 16 | · ( 3); � 12x 6y = 12, 21x + 6y = 48; −9x = −36; x = 4.

24 − 3y = 6; 3y = 18; y = 6.

Отже, задумане двоцифрове число 46. Відповідь: 46.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

y = 2z, x + y + z = 13, 99x 99z = 495 | ∶ 99; � y = 2z, x + y + x = 13, x − z = 5; � y = 2z, x + 3z = 13, x − z = 5 | · 3; � y = 2z, x + 3z = 13, 3x 3z = 15;

y = 2x, 4x = 28, x z = 5; �y = 4, x = 7, x = 2.

Отже, шукане число: 742.

Відповідь: 742.

64.

1,1x + 1,15y = 1,13(x + y) | · 100, 0,95x + 0,9y = x + y – 48 | · 100 ; � 110x + 115y = 113(x + y), 95x + 90y = 100x + 100y 4800; � 110x + 115y 113x 113y = 0, 95x + 90y − 100x − 100y = −4800; � 3x + 2y = 0, 5x 10y = 4800;

3x + 2y = 0, x 2y = 960; � 4x = 960 , x + 2y = 960; � x = 240, 240 + 2y = 960; � x = 240, 2y = 720; � x = 240, y = 360.

Відповідь: 240; 360.

(х + 3) см, ширина (у + 2) см, а площа (х + 3)(у + 2) (см2).

Перше рівняння:

(х + 3)(y + 2) – xу = 37; xy + 2х + 3y + 6 – хy = 37; 2х + 3y = 31.

Після другої зміни розмірів

(у – 1)см, а площа (х – 1)(y – 1)(см2).

Друге рівняння:

ху – (х – 1)(у – 1) = 12; ху – ху + х + у – 1 = 12; х + y = 13.

Система: � 2x + 3y = 31, x + y = 13 │ ∙ (– 2); � 2x + 3y = 31, – 2x – 2y = – 26; y = 5.

З першого рівняння системи отримаємо:

2х + 15 = 31; 2х = 16; х = 8.

Периметр початкового прямокутника дорівнює: 2 ∙ (8 + 5) = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

y 3

1 год 40 хв = 140 60 = 12 3 = 5 3 (год).

Перше рівняння:

x 10 + y 3 = 5 3 │ ∙ 30;

3х + 10y = 50.

У

частину шляху x 12 год 58 хв = 58/60 год.

Друге рівняння:

y 15 + x 12 = 58 60 │ ∙ 60; 4у+ 5х + 58.

Система: �

3x + 10y = 50 │ ∙ (– 5), 5x + 4y = 58 │ ∙ 3; �– 15x – 50y = – 250, 15x + 12y = 174; –38y = –76; y = 2. З

5х + 8 = 58; 5x = 50; х = 10.

Отже, від села до міста 2 + 10 = 12 (км).

Відповідь: 12 км. 70.

Перше рівняння: х + 0,5y = 1050. Якщо другий резервуар

тільки на третину. Друге рівняння: 1 3x + y = 1050.

Система: � x + 0,5y = 1050, 1 3 x + y = 1050 │ ∙ (– 3); � x + 0,5y = 1050, – x – 3y = – 3150; –2,5y = –2100; y = 840.

+ 420 = 1050; х = 630.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Перше рівняння: 12 60 х + 12 60y = 24.

8х = 360; х = 45.

1 2y (км).

рівняння: 2 3 х + 1 2у = 37.

y(8 1 60 – 710 60) = 51 60y (км), Друге рівняння: 31 60 х + 51 60у = 37.

Система: � 2 3 х + 1 2 у = 37 | ∙ 6, 31 60 х + 51 60 у =

–37x = –1544; х = 42.

З першого рівняння передостанньої системи отримаємо:

168 + 3y = 222; 3у = 54; у = 18.

Відповідь: Швидкість кожного автобуса

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Система: � 1 5 6 x = 1 2 y │ ∙ 6, 3 1 3 х + 2y = 48 | ∙ 3; � 11x – 3y = 0, 10x + 6y = 144 │ ∶ 2; � 11x – 3y = 0, 5x + 3y = 72; 16x = 72; x = 4,5. З

рівняння останньої системи отримаємо: 22,5 + 3у = 72; 3у = 49,5; у = 16,5. Відповідь: Швидкість туриста 4,5 км/год,

= 11 3 х ( км), автобус 11 3у (км).

Перше рівняння: 11 3 x + 11 3y = 120.

7 12у (11 – 9) = 7 6у (км).

Друге рівняння: 2х + 7 6у = 120.

Система: �1 1 3 x + 1 1 3 y = 120 | · 3, 2х + 7 6 у = 120 | · 6; �4x + 4y = 360 │ ∙ (– 3), 12x + 7y = 720; �– 12x – 12y = – 1080, 12x + 7y = 720;

–5y = –360; у = 72.

З другого рівняння системи одержимо:

12х + 504 = 720; 12х = 216; х = 18.

Швидкість другого автобуса дорівнює 72 7 12 = 42 (км).

Відповідь:

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3.

1) 1 пряма;

Нехай ∠AOK = x.

Тоді ∠KOB = 120 – x.

3x – 2(120 – x) = 10; 3x – 240 + 2x = 10; 5x – 240 = 10; 5x = 250; x = 50.

∠AOK = 50°; ∠KOB = 70°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

4) 6 точок; 5) 5 точок;

shkola.in.ua

AC < 1,9AB.

shkola.in.ua

BC = AC – AB;

BC < 1,9x – x; BC < 0,9x; BC < 0,9AB.

6. На малюнку: ∠AOC − ∠BOD. OL і OP

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

0,5x = 0,4(180 – x); 0,5x = 72 – 0,4x; 0,9x = 72; x = 80; 80° і 100. 10.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) 1 3 x + 5 6(180 – x) = 90; 2x + 900 – 5x = 540; 3x = 360; x = 120; α = 120°;

2) 1 3 x + 5 6x = 90; 2x + 5x = 540; 7x = 540; x = 771 7; α = 77

180°. KO ⊥ OB; OL ⊥ AO.

shkola.in.ua

27° ∙ 10 = 270°; 360° – 270° = 90°.

Відповідь: так. 15.

∠AOK = 90° – β; ∠LOB = 90° – β; 90° – β + β + 90° – β = α; α + β =

Нехай α = x.

2,6x = x + 180 – x + 180 – x; 2,6x = –x + 360; 3,6x = 360; x = 100.

Відповідь: 100°; 100°; 80°; 80°.

shkola.in.ua

+ c = 13,

+ b = 9; 2a + 2b + 2c = 32; a + b + c = 16. P = 16 см.

AC.

shkola.in.ua

що

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

NLK = ∠MKL.

AM = 1 2 AB = 1 2AC = AN; ∠A спільний; ∠AMK = ∠ANL = 90° ⇒ ΔAMK = ΔANL ⇒ MK = NL. ΔMLK і ΔNLK: MK = LN; ∠LMK = ∠LNK = 90°; LK спільна сторона ⇒ ΔMLK = ΔNLK ⇒ ∠NLK = ∠MKL. 18.

shkola.in.ua

19.

Нехай AC = x.

Тоді AB + BO + OC + AC = 40 + 10 + x + 30 + x = 100; 2x + 80 = 100; x = 10.

AC = 10; AO = 40 – OC.

PΔAOC = 10 + 40 + 40 = 90 (см). 20. ΔABC

що ∠ALC = ∠BKC.

shkola.in.ua

ΔAB1B = ΔAA1B: AB спільна; AB1 = BA1;

∠A = ∠B ⇒ ΔAB1B = ΔAA1B ⇒ AA1 = BB1, BL = AK.

ΔABL = ΔABK: AB спільна; BL = AK; ∠A1AB = ∠B1BA ⇒ ΔABL = ΔABK; AL = BK.

∠LAB = ∠KBA, ∠LAC = ∠KBC ⇒ ΔALC = ΔBKC.

∠A + ∠C < 180° ⇒ ∠OAC + ∠OCA < 90° ⇒ ∠AOC > 90°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

трикутника. Доведіть, що ці

shkola.in.ua

1) Нехай AB = A1B1; BC = B1C1 і BM = B1M1, де BM і B1M1 медіани трикутників ABC і A1B1C1.

2) Продовжимо BM за точку M на відрізок BM; MD = BM; аналогічно B1M1 за точку M1 на відрізок M1D1 = B1M1.

3) Оскільки AM = MC і ∠AMD = ∠BMC (як вертикальні), то ∆AMD = ∆CMB, тому AD = BC. Аналогічно A1D1 = B1С1

4) ∆ABD = ∆A1B1D1 (за третьою ознакою), тому ∠ABM = ∠A1B1M1

5) ∆ABM = ∆A1B1M1 (за першою ознакою), тому AM = A1M1, а отже і AC = A1С1 (як

подвоєні рівні відрізки).

6) Отже, ∆ABC = ∆A1B1С1 (за трьома сторонами), що й треба було довести.

24. Визначте вид трикутника (за кутами), якщо:

1) сума будь-яких двох його кутів більша за 90°; ∠A + ∠B > 90° ⇒ ∠C > 90°. Аналогічно ∠A > 90°; ∠B < 90°.

Трикутник гострокутний.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Позначимо ∠CAD = ∠DAB = х.

2) CP серединний перпендикуляр і

∆ABC. Тому АР висота ∆ADO.

3) Оскільки висота ∆ADO є також і медіаною, то AD = AO, а тому AP також і бісектриса ∆ADO. Маємо ∠OAP = х.

4) OA = OC (як радіуси), тому ∠OCA = ∠OAC = 3х.

5) Але в ∆ACP: ∠C = 90° – 2х.

Маємо 3х = 90° – 2х; 5х = 90°; х = 18°.

6) Отже, ∠CAB = ∠CBA = 2 ∙ 18° = 36°; ∠ACB = 180° – 2 ∙ 36° = 108°.

Відповідь: 36°; 36°; 108°.

27. Відрізки AC і BD перетинаються.

shkola.in.ua

AB > AC. Доведіть, що BD > CD. ΔABC: AB > AC ⇒ ∠BCA > ∠ABC.

∠CBD < ∠ABC, ∠BCD > ∠BCA ⇒ BD > CD.

28. У трикутнику ABC AB > AC, AM медіана. Доведіть, що ∠CAM > ∠MAB.

shkola.in.ua

1) Продовжимо медіану AM за точку M на довжину AM, отримаємо точку D.

2) ∠CMD = ∠AMB (як вертикальні). Тому ∆CMD = ∆BMA (за першою ознакою). Тому ∠CDM = ∠MAB i CD = AB.

3) Оскільки AB > АС, то й CD > АС. 4) У ∆CAD: CD > АС, а тому ∠CAD > ∠CDA. Тому ∠CAM > ∠MAB, що й треба було довести.

рівностороннього трикутника ABC узято довільну точку K. Доведіть, що AK < BK + KC.

shkola.in.ua

1) ∠KAC < 60°; ∠KCA < 60°, тому ∠AKC > 60° і у ∆AКC кут AKC є найбільший. А отже, AC > AK.

2) У ∆BKC за нерівністю трикутника: BK + KC > BC.

3) Оскільки AC = BC і AC > AK і BK + KC > BC, то AK < BK + KC, що й треба було довести.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Позначимо ∠B = х, тоді ∠A = 2х.

Тоді х + 2х = 90°; 3x = 90°; x = 30°.

2) Отже, ∠B = 30°, а тому AC = �������� 2

3) Позначимо AC = у (см), тоді AB = 2у см. За умовою у + 2у = а; 3у = а; у = ���� 3 (см).

4) Оскільки у прямокутному трикутнику радіус

то R = 2���� 2 = у = ���� 3 (см).

Відповідь: ���� 3 см.

кола R

31. У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах AB і BC позначено точки K і L так, що ∠LAK = 5°, ∠LCK = 10°. Знайдіть ∠LKC.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) ∠BAC = 90° – ∠B = 50°.

2) ∠LAC = 50° – 5° = 45°.

3) ∠KCA = 90° – 10° = 80°.

4) У ∆CKA – ∠CKA = 180° – (80° + 50°) = 50°, тому

∆CKA рівнобедрений і CK = CA.

5) ∠CLA = 90° – 45° = 45°; тому ∆CLA –

рівнобедрений і CL = CA.

6) CK =CA і CL = CA, тому CK = CL; тобто ∆CLK

рівнобедрений і ∠LKC = ∠CLK = 180° – 110° 2 = 85°.

Відповідь: 85°.

1) За умовою AA1 ⊥ BC; BB1 ⊥ AC; AA1 = BB1 і AB1 = CA1.

2) ∆ABB1 = ∆CAA1 (за двома катетами), тому AB = CA, ∠ABB1 = ∠CAA1 і ∠C = ∠BAB1.

3) Оскільки ∠C = ∠BAB1, то ∆ABC рівнобедрений і AB = BC.

4) AB = CA і AB = BC, тому AB = CA = BC; ∆ABC рівносторонній; ∠C = 60°.

60°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

2)

3)

точки А, М, N і L

було довести.

120° і бічною стороною, що дорівнює a см, описано коло. Знайдіть його радіус.

shkola.in.ua

1) Нехай ∆ABC рівнобедрений; ∠ACB = 120°; AC = CB = а (см); точка O центр кола,

2) OC серединний перпендикуляр до AB, а тому CD висота ∆ABC.

3) ∆ABC рівнобедрений

AB, тому CD є також і бісектрисою; ∠OCB = 120 2 = 60°.

4) OC = OB (як радіуси), тому ∆OCB рівнобедрений і ∠OBC = ∠OCB = 60°.

5) ∠СОВ = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.

6) ∆COB рівносторонній; OC = CB = а см.

Відповідь: а см.

35. AM і AN дотичні до кола, AM = m см. Пряма BC дотикається

K. Знайдіть периметр трикутника ABC.

shkola.in.ua

властивістю

однієї точки,

AN = AM = m cм, BM = BK і CK = CN.

Нехай P см

трикутника ABC.

Тоді P = AB + BC + CA = AB + BK + KC + CA = AB + BM + CN + CA = (AB + BM) + (АС + CN) = AM + AN = m + m = 2m (см).

Відповідь. 2m см.

shkola.in.ua

1) Нехай периметр ∆ОО1О2 = 20 см і R см радіус

2) Нехай K i L – точки

3) P∆OO1O2 = OO1 + OO2 + O1O2 = (OK – KO1) + (OL –O2L) + O1O2 = R – r + R – r + 2r = 2R.

4) Маємо 2R = 20; R = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) За

5) AK = AC – KC = b – r; BL = BC – CL = а – r.

6) Маємо AM = AK = b – r ; BM = BL = а – r.

7) AB = AM + MB; c = b – r + a – r; 2r = a + b – c ; r = a + b –

1) Нехай BC = a; AC = b; AB = с; К; L і М точки дотику.

2) CO бісектриса

= 45°.

3) У ∆KCO: ∆КОС = 90° – 45° = 45°; ∆KCO рівнобедрений і CK = OK = r.

shkola.in.ua

2) ∆O1M1P рівнобедрений. Позначимо ∠O1M1P = ∠O1PM2 = α. Тоді α

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2.

2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1)

2) Знайдіть середину відстані

прямі (a i b).

ними (побудувати пряму n⊥а і n⊥b, М – середина відрізка AB).

3) Проведіть пряму,

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2)

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

4) ∆AB1C і ∆AB2C шукані. Задача

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

цієї сторони. Нехай АС сторона трикутника, BL –висота, проведена до АС, r – радіус

shkola.in.ua

описаного кола.

1) Будуємо рівнобедрений ∆OAC за стороною АС та радіусом r;

2) Будуємо коло радіусом r з центром у

точці О;

3) Будуємо серединний перпендикуляр відрізка АС;

4) З точки перетину відрізка АС

BL, яка перетинає

5) будуємо пряму m, що проходить

К;

6) пряма m перетинає коло в двох точках. Одну з них

7) будуємо BL⊥АС; 8) ∆ABC шуканий трикутник.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Нехай AB основа рівнобедреного трикутника.

Тоді P∆АВС – AB = 18 (см).

2) Але P∆АВС – AB = AC + CB. Оскільки AC = CB, то

AC = CB = 18 2 = 9 (см).

Відповідь: так, 9 см.

1) Нехай ∠ABL = 120°

= 90°.

2) ∠ABC = 180° – 120° = 60°.

3) ∠A = 90° – 60° = 30°.

4) 3а властивістю

shkola.in.ua

∠O1AO2 = 60°;

1) 2 ∙ (3,6 + 4,9) = 17 (м)

2) 17 – 0,9 = 16,1 (м)

1) Нехай радіус кола із центром у

точці O1 дорівнює r.

2) Тоді O1O2 = r, і коло, центром якого є точка O2 також має радіус r.

3) В ∆O1AO2: O1O2 = O1A = O2A = r.

Тому AO1O2 рівносторонній, і ∠O1AO2 = 60°.

4) ∠AO1O2 = ∠O2O1B = 60°.

Тому ∠AO1B =120°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) За умовою ad = 6; ab = 16; cd = 15; bc = x (див. схему).

2) Оскільки ad = 6 і bс = х, то abcd = 6х.

3) Оскільки ab = 16 і cd = 15, то abcd = 16 ∙ 15; abcd = 240.

4) Тому 6х = 240; х = 40.

Відповідь. 40.