h-7-ma

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ГДЗ Математика 7 клас Істер 2024 ЧАСТИНА 2

Вибери номер параграфа або завдання: §32 №32.1-32.48

§33 №33.1-33.30

§34 №34.1-34.32

§35 №35.1-35.31

§36 №36.1-36.29

§37 №37.1-37.43

ДСР №7

ЗПЗ до §32-37

ВПТ №7

§38 №38.1-38.46

§39 №39.1-39.31

§40 №40.1-40.32

§41 №41.1-41.17

ДСР №8

ЗПЗ до §38-41

ВПТ №8

§42 №42.1-42.39

§43 №43.1-43.24

§44 №44.1-44.54

ДСР №9

ЗПЗ до §42-44

ВПТ №9

§45 №45.1-45.29

§46 №46.1-46.18

§47 №47.1-47.19

§48 №48.1-48.20

§49 №49.1-49.23

§50 №50.1-50.19

§51 №51.1-51.56

ДСР №10

ЗПЗ до §45-51

ВПТ №10

§52 №52.1-52.32

§53 №53.1-53.29

§54 №54.1-54.30

§55 №55.1-55.26

§56 №56.1-56.26

§57 №57.1-57.38

ДСР №11

ЗПЗ до §52-57

ВПТ №11

ЗПЗ за 7 клас

ЗПС з алгебри

ЗПС з геометрії  shkola.in.ua

Додаткові теми

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ТЕМА 7. ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ §32. Квадрат суми і квадрат різниці 32.1. (Усно.) Які з виразів є квадратами суми двох виразів, а які — квадратами різниці: Квадратами суми є: Квадратами різниці є: 2 5) (x + 3) ; 2) (a − b)2; 8) (x + y)2; 7) (4 − p)2.

32.2. (Усно.) Які з рівностей є правильними: 1) (b − 2)2 = b2 − 22; не правильна 2) (a + 3)2 = a2 + 2 · a · 3 + 32; правильна 3) (x + 5)2 = x2 + x · 5 + 52; не правильна 4) (7 − y)2 = 72 − 2 · 7 · y + y2? правильна 32.3. Які з рівностей є правильними: 1) (a + 7)2 = a2 + 72; не правильна 2) (x − 3)2 = x2 − 2 · x · 3 + 32; правильна 3) (2 − y)2 = 22 − 2 · y + y2; не правильна 4) (b + 3)2 = b2 + 2 · b · 3 + 32? правильна 32.4. Подайте у вигляді многочлена: 1) (a + m)2 = а2 + 2аm + m2; 2) (b − x)2 = x2 + 2xp + p2; 3) (x + p)2 = b2 – 2bх + x2; 4) (m − y)2 = m2 – 2mу + у2.

32.5. Піднесіть до квадрата: 1) (b − p)2 = b2 – 2bp + p2; 2) (x + t)2 = х2 + 2xt + t2; 4) (y + d)2 = y2 + 2yd + d2.

3) (c − a)2 = c2 – 2ca + a2; 32.6. (Усно.) Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (a + 4)2 = а2 + 8а + 16; 2) (x − 3)2 = x2 – 6х + 9; 3) (b + 2)2 = b2 + 4b + 4; 4) (m − 5)2 = m2 – 10m + 25.

32.7. Піднесіть до квадрата: 1) (x − 9)2 = x2 – 18х + 81; 2) (a + 3)2 = а2 + 6а + 9; 3) (10 − m)2 = 100 – 20m + m2; 4) (7 + y)2 = 49 + 14у + y2; 6) (0,8 + x)2 = 0,64 + 1,6х + х2.

5) (c − 0,2)2 = c2 – 0,4с + 0,04; 32.8. Перетворіть на многочлен: 1) (2x + 5)2 = 4х2 + 20х + 25; 2) (7b − 4)2 = 49b2 – 56b + 16; 3) (10x + 3y)2 = 100x2 + 60ху + 9у2; 4) (9a − 4b)2 = 81а2 – 72ab + 16b2; 1 1 5) ( x + 3y)2 = x2 + 2ху + 9у2; 6) (5m − 0,2t)2 = 25m2 – 2mt + 0,04t2.

3 9 32.9. Перетворіть на многочлен: 1) (a − 3)2 = а2 – 6а + 9; 2) (x + 9)2 = х2 + 18х + 81; 3) (c + 0,3)2 = с2 + 0,6с + 0,09; 4) (2a − 5)2 = 4а2 – 20а + 25; 5) (4y + 3)2 = 16у2 + 24у + 9; 6) (9a − 8b)2 = 81а2 – 144ab + 64b2; 1 1 7) (4b + 7a)2 = 16b2 + 56ab + 49а2; 8) ( m − 2n)2 = m2 – 2mn + 4n2; 2 4 2 2 2 9) (0,5p + 2q) = 0,25p + 2pq + 4q .

32.10. Виконайте дії: 1) (3a + 1)2 − 1 = 9а2 + 6а + 1 – 1 = 9а2 + 6а; 2) 12ab + (2a − 3b)2 =12аb + 4а2 – 12аb + 9b2 = 4а2 + 9b2; 3) (4a + 8)2 − 16(a2 + 4) = 16а2 + 64а + 64 – 16а2 – 64 = 64а; 4) −4y2 + (5x − 2y)2 − 25x2 = –4y2 + 25х2 – 20ху + 4у2 – 25x2 = –20xу.

32.11. Спростіть: 1) 20a + (a − 10)2 = 20а + а2 – 20а + 100 = а2 + 100; 2) (3m + 5)2 − 9m2 = 9m2 + 30m + 25 – 9m2 = 30m + 25;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (x + 4)2 − 8(x + 2) = х2 + 8х+ 16 – 8х – 16 = х2; 4) (2a − 7b)2 − (4a2 + 49b2) = 4а2 – 28аb + 49b2 – 4а2 – 49b2 = –28аb.

32.12. Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду: 1) (a − 2)2 + a(a + 4) = а2 – 4а + 4 + а2 + 4а = 2а2 + 4; 2) (b + 1)(b + 2) + (b − 3)2 = b2 + 2b + b + 2 + b2 – 6b + 9 = 2b2 – 3b + 11.

32.13. Спростіть вираз: 1) (m − 5)2 − m(m − 10) = m2 – 10m + 25 – m2 + 10m = 25; 2) (x + 4)2 + (x + 1)(x − 9) = x2 + 8х + 16 + x2 – 9х + х – 9 = 2х2+ 7.

32.14. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 3)2 − x2 = 12; 2) (y − 2)2 = y2 − 2y. x2 + 6x + 9 – x2 = 12; y2 – 4у + 4 – у2 = –2у; 6х= 12 – 9; –4у + 2у = –4; 6х = 3; –2у = –4; х = 0,5. у = 2. Відповідь: 0,5; Відповідь: 2.

32.15. Розв’яжіть рівняння: 1) (x − 4)2 − x2 = 24; 2) (y + 5)2 = 5y + y2. x2 – 8х + 16 – х2 = 24; у2 + 10y + 25 – у2 = 5у; –8х = 24 – 16; 10y – 5у = –25; –8х = 8; 5у = –25; х = – 1. у = –5. Відповідь: –1; Відповідь: –5.

32.16. Заповніть у зошиті таблицю за зразком. Вираз Ⅰ Вираз Ⅱ Квадрат різниці виразів Ⅰ і Ⅱ 2х b 4x2 – 4xb + b2 2х 7b 4x2 – 28xb + 49b2 1 1 b 9x2 – 2xb + b2 3х 3 9 0,5х 4b 0,25x2 – 4xb + 16b2 32.17. Заповніть у зошиті таблицю за зразком. Вираз Ⅰ Вираз Ⅱ Квадрат різниці виразів Ⅰ і Ⅱ 3m a 9m2 + 6ma + a2 5m 2a 25m2 + 20ma + 4a2 1 1 2 m m + 2ma + 16a2 4a 4 16 0,6m 5a 0,36m2 + 6ma + 25a2 1

m

3

9a

1 9

m2 + 6ma + 81b2

32.18. За формулою квадрата суми або квадрата різниці обчисліть: 1) (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404; 2) 412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681; 3) 992 = (100 – 1)2 = 10000 – 200 + 1 = 9801; 4) 3,82 = (4 – 0,2)2 = 16 – 1,6 + 0,04 = 14,44.

32.19. Обчисліть, використовуючи формули квадрата суми або квадрата різниці: 1) (40 − 1)2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; 2) 892 = (90 – 1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7921; 3) 5012 = (500 + 1)2 = 250000 + 1000 + 1 = 251001; 4) 4,022 = (4 + 0,02)2 = 16 + 0,16 + 0,0004 = 16,1604.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.20. Серед виразів (x − y)2, (x + y)2, (−y + x)2, (−x − y)2 знайдіть ті, що є тотожно рівними виразу: 1) (y + x)2 = (x + у)2 = (–х – у)2; 2) (y − x)2 = (х – у)2 = (–у + х)2.

32.21. Подайте у вигляді многочлена: 1) (−p + 5)2 = (–(p – 5))2 = (р – 5)2 = р2 – 10p + 25; 2) (−a − 7)2 = (–(а + 7))2 = (а + 7)2 = a2 + 14а + 49; 3) (−p − 2m)2 = (–(р + 2m))2 = (р + 2m)2 = р2 + 4рm + 4m2; 4) (−3b + c)2 = (–(3b – с))2 = (3b – с)2 = 9b2 – 6bc + с2.

32.22. Перетворіть на многочлен: 1) (−a + 3)2 = (–(а – 3))2 = (а – 3)2 = а2 – 6а + 9; 2) (−b − 5)2 = (–(b + 5))2 = (b + 5)2 = b2 + 10b + 25; 3) (−4m + p)2 = (–(4b – р))2 = (4b – р)2 = 16b2 – 8mp + р2; 4) (−a − 3b)2 = (–(а + 3b))2 = (а + 3b)2 = а2 + 6аb + 9b2.

32.23. Перетворіть на многочлен: 1) (−9b + 4m)2 = (–(9b – 4m))2 = (9b – 4m)2 = 81b2 – 72bm + 16m2; 2) (−7a − 10b)2 = (–(7а + 10b))2 = (7а + 10b)2 = 49а2 + 140аb + 100b2; 3) (−0,5m − 0,4p)2 = (–(0,5m + 0,4р))2 = (0,5m + 0,4р)2 = 0,25m2 + 0,4рm + 0,16р2; 1 1 3 9 4) (−1 x + 6y)2 = (–(–1 x – 6y))2 = ( x – 6y)2 = x2 – 18xy + 36y2; 2 2 2 4 5) (0,04p − 50q)2 = 0,0016р2 – 4рq – 2500q2; 6) (−0,25c − 0,2d)2 = (–(0,25с + 0,2d))2 = (0,25с + 0,2d)2 = 0,0625с2 + 0,1сd + 0,04d2.

32.24. Подайте у вигляді многочлена: 1) (−3a + 5x)2 = (–(3а – 5х))2 – (3а – 5х)2 = 9а2 – 30а + 25х2; 2) (−8x − 5y)2 = (–(8х + 5y))2 = (8х + 5у)2 = 64х2 + 80хy + 25у2; 3) (−4b − 0,5y)2 = (–(4b + 0,5у))2 = (4b + 0,5у)2 = 16b2 + 4bу + 0,25y2; 1 1 4) (8x + y)2 = 64x2 + xy + y2; 16 256 5) (−0,02a − 10b)2 = (–(0,02а + 10b))2 = (0,02а + 10b)2 =0,0004a2 + 0,4аb + 100b2; 6) (−0,15m + 0,1n)2 = (–(0,15m – 0,1n))2 = (0,15m – 0,1n)2 = 0,0225m2 – 0,03mр + 0,01n2.

32.25. Виконайте дію: 1) (a2 − 9)2 = а4 – 18а2 + 81; 2) (7 − y3)2 = 49 – 14у3 + y6; 3) (2a + c4)2 = 49а2 + 14ас4 + с8; 4) (−5a + b3)2 = (–(5а – b3))2 = (5а – b3)2 = 25а2 – 10аb3 + b6; 5) (4a2 − 5m3)2 = 16а4 – 40a2m3 + 25m6; 1 1 6) ( p4 + 9q3)2 = p8 + 6p4q3 + 81q6.

3 9 32.26. Піднесіть до квадрата: 1) (a2 + 2a)2 = a4 + 4a3 +4a2; 1 1 2) ( m3 − 12m)2 = m6 – 6m4 + 144m2; 4

1 7

16 4 7

16

3) (1 p + 3p ) = ( p + 3p2)2 = p14 + 8p9 + 9p4; 3 3 9 4) (7ab − 2b3)2 = 49a2b2 – 28ab4 + 4b6; 1 1 5) (10p6 + p4a3)2 = 100p12+ 10p10a3 + p8a6; 2 4 6) (0,2m2n + 15m3n4)2 = 0,04m4n2 + 6m5n5 + 225m6n8.

32.27. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (b7 − 5)2 = b14 – 10b7 + 25; 2) (a3 + 2b4)2 = a6 + 4a3b4 + 4b8; 1 1 3) (8x6 − x2)2= 64x12 – 4x8 + x4; 2 2

4

16

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

7

49

4) (6m3 + 1 m5)2 = (6m3 + m5)2 = 36m6 + 14m8 + m10; 6 6 36 2 3 2 4 3 3 2 6 5) (7a + 8ap ) = 49a + 112a p + 64a p ; 1 1 1 1 1 6) ( b2m3 − b3m2)2 = b4m6 – b5m5 + b6m4.

2 3 4 3 9 32.28. Спростіть вираз: 1) (3a − 4b)2 − (3a + 4b)2 = 9a2 – 24ab + 16b2 – (9a2 + 24ab + 16b2) = = 9a2 – 24ab + 16b2 – 9a2 – 24ab – 16b2 = –48ab; 2) (2a + 3b)2 + (a − 6b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 + (a2 – 12ab + 36b2) = = 4a2 + 12ab + 9b2 + a2 – 12ab + 36b2 = 5a2 + 45b2; 3) a(2a − 1)2 − 4a(a + 5)2 = a(4a2 – 4a + 1) – 4a(a2 +10a + 25) = = 4a3 – 4a2 + a – 4a3 – 40a2 – 100a = –44a2 – 99a; 4) 12m2 − 3(2m − n)2 − 12mn = 12m2 – 3(4m2 – 4mn + n2) – 12mn = = 12m2 – 12m2 + 12mn – 3n2 – 12mn = –3n2.

32.29. Виконайте дії: 1) (7a + 9b)2 − (7a − 9b)2 = 49a2 + 126ab + 81b2 – (49a2 – 126ab + 81b2) = = 49a2 + 126ab + 81b2 – 49a2 + 126ab – 81b2 = 252ab; 2) (10a − 3b)2 + (6a + 5b)2 = 100a2 – 60ab + 9b2 + 36a2 + 60ab + 25b2 = 136a2 + 34b2; 3) 18x2 − 12xy − 2(3x − y)2 = 18x2 – 12ху – 2(9х2 – 6ху + у2) = = 18x2 – 12xу– 18x2 + 12ху – 2y2 = –2у2; 4) a(9a − 1)2 − 81a(a − 2)2 = a(81a2 – 18a + 1) – 81a(a2 – 4a + 4) = = 81a3 – 18a2 + a – 81a3 + 324a2 – 324a = 306a2 – 323a.

32.30. Які одночлени потрібно записати замість «зірочки», щоб утворилася тотожність: 1) (b + 2a)2 = b2 + 4ab + 4a2; 2) (2b – 3)2 = 4b2 – 12b + 9 = 4b2 + 9 – 12b; 3) (3a4 + 5)2 = 9a8 + 30a4 + 25; 4) (5x2 – 3m) = 25x4 – 30x2m + 9m2.

32.31. Замініть «зірочку» одночленом так, щоб одержати тотожність: 1) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49; 2) (4p3 + 3)2 = 16p6 + 24р3 + 9 = 16p6 + 9 + 24p3.

32.32. Подайте вираз у вигляді многочлена стандартного вигляду: 1) (x − 2)(x + 1)2 = (х – 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2х2 + х – 2x2 – 4x – 2 = x3 – 3x – 2; 2) (x + 1)(x − 5)2 = (x + 1)(x2 – 10x + 25) = x3 – 10x2 + 25x + x2 – 10x + 25 = = x3 – 9х2 + 15x + 25.

32.33. Доведіть тотожність: 1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2); 2) m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn. (m + n)2 – 2mn = m2 + 2mn + n2 – 2mn = m2 + n2.

32.34. Доведіть тотожність: 1) −4ab = (a − b)2 − (a + b)2; (a – b)2 – (a + b)2 = a2 – 2ab + b2 – a2 – 2ab – b2 = –4ab; 2) (x − y)2 + 2xy = x2 + y2. (x – y)2 + 2xy = х2 – 2xy + y2 + 2xy = x2 + y2.

32.35. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (3x + 2)2 = −24; 2) (2x − 3)2 + (1 − x)(9 + 4x) = 18.

9x2 – 24x + 16 – 9x2 – 12x – 4 = –24; 4x2 – 12x + 9 + 9 + 4x2 – 9x – 4x2 = 18; –36x = –24 – 12; –17x = 18 – 18; –36x = –36; –17x = 0; x = 1. x = 0. Відповідь: 1; Відповідь: 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.36. Розв’яжіть рівняння: 1) x(x − 2) − (x + 5)2 = −1; 2) (2y − 7)2 + (5 − 4y)(y − 7) = 3(y − 6). x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = –1; 4y2 – 28у + 49 + 5y – 35 – 4у2 + 28y = 3у – 18; –12x = –1 + 25; 5y + 14 = 3у – 18; –12x = 24; 5y – 3y = –18 – 14; x = –2.

2y = –32; у = –16. Відповідь: –2; Відповідь: –16.

32.37. Використовуючи малюнок, поясніть геометричний зміст формули (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для a > 0, b > 0, a > b. (a − b)2 — площа квадрата; a2, b2 — площі квадратів зі сторонами a і b; 2ab — периметр прямокутників зі сторонами a і b.

32.38. Спростіть вираз: ((((a + b)2 − 2ab)2 − 2a2b2)2 − 2a4b4)2 − 2a8b8 = = (((а2 + 2ab + b2 – 2ab)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = = (((а2 + b2)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = ((а4 + 2a2b2 + b4 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = = ((а4 + b4)2 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = (a8 +2a4b4 + b8 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = = (а8 + b8)2 – 2а8b8 = а16 + 2a8b8 + b16– 2а8b8 = а16 + b16.

32.39. Доведіть формулу скороченого множення для: 1) Куба суми: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

2) Куба різниці: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3. (а – b)3 = (а – b)2(а – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) = а3 – а2b – 2а2b + 2ab2 + ab2 – b3 = = а3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

32.40. Піднесіть до куба за формулами скороченого множення: 1) (2 + a)3 = (а + 2)2(a + 2) = (a2 + 4a + 4)(a + 2) = a3 + 2a2 + 4a2 + 8a + 4a + 8 = = а3 + 6а2 + 12а + 8; 2) (2b − 1)3 = (2b – 1)2(2b – 1) = (4b2 – 4b + 1)(2b – 1) = 8b3 – 4b2 – 8b2 + 4b + 2b – 1 = = 8b3 – 12b2 + 6b – 1.

32.41. Піднесіть до куба: 1) (x − 2)3 = (x – 2)2(x – 2) – (х2 – 4х + 4)(х – 2) = х3 – 2х2 – 4x2 + 8x + 4x – 8 = = x3 – 6x2 + 12х – 8; 2) (1 + 2m)3 = (2m + 1)2(2m + 1) = (4m2 + 4m + 1)(2m + 1) = = 8m3 + 4m2 + 8m2 + 4m + 2m + 1 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1.

2 9 2 2 32.42. Знайдіть значення виразу 993 + (5,4 : − 11 ) · 2,25 − 4 і дізнайтеся рік початку 7 35 9 7 будівництва Софійського собору в Києві.

2 9 2 2 2 54 35 2 2 993 + (5,4 : – 11 ) ∙ 2,25 – 4 = 993 + ( ∙ – 11 ) ∙ 2,25 – 4 = 7

2

35

2

9

2

7

2

7

7

10 9 1 2

9

2

= 993 + (21 – 11 ) ∙ 2,25 – 4 = 993 + 9 ∙ 2 – 4 = 993 + 7 2

2

9

2

7 5

7 7

9

4

= 993 + 22 – 4 = 993 + 17 = 1010 = 1011 р.

7

7

7

7

7

7

 shkola.in.ua

7

88 9

9

7

2

∙ –4 = 4

7

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.43. Знайдіть три послідовних натуральних парних числа, якщо добуток двох менших з них на 104 менший від добутку двох більших.

2n; 2n + 2; 2n + 4 — три послідовних парних натуральних числа.

2n(2n + 2) + 104 = (2n + 2)(2n + 4); 4n2 + 4n + 104 = 4n2 + 8n + 4n + 8; 4n − 8n − 4n = 8 − 104; −8n = −96; n = −96 : (−8); n = 12.

I число: 2n = 24; II число: 2n + 2 = 26; III число: 2n + 4 = 28. Відповідь: 24; 26; 28.

32.44. Доведіть, що значення виразу: 1) 810 − 89 + 88 кратне числу 152; 810 – 89 + 88 = 88(82 – 8 + 1) = 88 ∙ 57 = 88 ∙ 19 ∙ 3 = 87 ∙ (8 ∙ 19) ∙ 3 = 87 ∙ 152 ∙ 3 — кратне 152; 2) 154 − 104 − 54 ділиться на 80.

154 – 104 – 54 = (5 ∙ 3)4 – (5 ∙ 2)4 – 54 = 54 ∙ 34 – 54 ∙ 24 – 54 = 54(34 – 24 – 1) = 54(81 – 16 – 1) = = 54 ⋅ 64 = 54 ⋅ 4 ⋅ 16 = 53 ⋅ 4 ⋅ (5 ⋅ 16) = 53 ⋅ 4 ⋅ 80 — ділиться на 80.

32.45. На заправці один літр бензину коштує 45 грн. Водій залив у бак 30 л бензину і ще придбав пляшку води за 20 грн. Яку решту отримає водій з 1500 грн?

1) 45 ∙ 30 = 1350 (грн) – вартість бензину; 2) 1350 + 20 = 1370 (грн) – вартість всієї покупки; 3) 1500 – 1370 = 130 (грн) – решта. Відповідь: 130 грн.

32.46. Подайте у вигляді квадрата число: 1) 1 = 12; 2) 9 = 32; 3) 25 = 52; 4) 64 = 82; 5) 100 = 102; 6) 121 = 112; 7) 196 = 142; 8) 900 = 302.

32.47. Подайте у вигляді квадрата одночлен: 1) x4 = (х2)2; 2) y8 = (у4)2; 3) m6 = (m3)2; 4) p10 = (p5)2; 5) 16a2 = (4a)2; 6) 49b10 = (7b5)2; 7) m2n4 = (mn2)2; 8) 36c2a2 = (6ca)2.

32.48. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу (n2 + n)(n + 2) ділиться на 6. (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2); n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n2 + 2n + n + 2) = n((n2 + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) = = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) — це добуток трьох послідовних чисел, ділиться на 2 і 3, отже, ділиться і на 6. § 33. Розкладання многочленів на множники за допомогою формул квадрата суми і квадрата різниці 33.1. (Усно.) Розкладіть на множники: 1) с2 + 2cd + d2 = (c + d)2; 2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2; 3) m2 + 2 ∙ m ∙ 5 + 52 = (m + 5)2.

33.2. Згорніть многочлен у повний квадрат: 1) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2; 2) p2 + 2pq + q2 = (p + q)2; 3) a2 + 2 ∙ a ∙ 3 + 32 = (a + 3)2.

33.3. Розкладіть тричлен на множники: 1) t2 + 2tp + p2 = (t + p)2; 2) a2 − 2ax + x2 = (a - x)2; 3) b2 + 2 · b · 7 + 72 = b2 + 14b + 49 = (b + 7)2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.4. Розкладіть на множники: 1) a2 − 6a + 9 = (a − 3)2; 2) 64 + 16b + b2 = (8 + b)2; 1 2 1 3) 0,01m2 + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)2; 4) − p + p2 = ( − p)2; 25 5 5 5) 4m2 − 12m + 9 = (2m − 3)2; 6) 9c2 + 24cd + 16d2 = (3c + 4d)2.

33.5. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена: 1) a2 + 4a + 4 = (a + 2)2; 2) 9m2 − 6m + 1 = (3m − 1)2; 1 2 1 3) b2 − 1,2b + 0,3b = (b − 0,6)2; 4) m2 − m + 1 = ( m − 1)2; 49 7 7 6) 25m2 − 60mn + 36n2 = (5m − 6n)2.

5) 81a2 + 18ab + b2 = (9a + b)2; 33.6. Обчисліть зручним способом: 1) 362 + 2 · 36 · 14 + 142 = (36 + 14)2 = 502 = 2500; 2) 1172 − 2 · 117 · 17 + 172 = (117 − 17)2 = 1002 = 10000.

33.7. Обчисліть зручним способом: 1) 872 + 2 · 87 · 13 + 132 = (87 + 13)2 = 1002 = 10000; 2) 1372 − 2 · 137 · 47 + 472 = (137 − 47)2 = 902 = 8100.

33.8. Знайдіть значення виразу, попередньо згорнувши його у повний квадрат: 1) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2; Якщо a = 91, то (91 − 1)2 = 902 = 8100. Якщо a = −19, то (91 − (−19))2 = (91 + 19)2 = 1102 = 12100.

2) 4m2 + 28m + 49 = (2m)2 + 2 ∙ 2m ∙ 7 + 72 = (2m + 7)2. Якщо m = –3,5, то (2m + 7)2 = (2 ∙ (–3,5) + 7)2 = 0. Якщо m = 0, то (2m + 7)2 = (2 ∙ 0 + 7)2 = 49; 3) 16x2 – 40xy + 25y2 = (4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 5y + (5y)2 = (4x – 5y)2. Якщо x = 5, у = 4, то (4x – 5у)2 = (4 ∙ 5 – 5 ∙ 4)2 = 0.

33.9. Знайдіть значення виразу: 1) a2 + 10a + 25 = (a + 5)2. Якщо a = −15, то (−15 + 5)2 = (−10)2 = 100. Якщо a = 95, то (95 + 5)2 = 1002 = 10000.

2) 0,01x2 + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)2. Якщо х = 10, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ 10 + 4)2 = 25. Якщо х = –40, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ (–40) + 4)2 = 0; 3) 4m2 + 28mn + 49n2 = (2m + 7n)2.

1 1 Якщо m = –3, n = – , то (2m + 7n)2 = (2 ∙ (–3) + 7 ∙ (– ))2 = (–6–1)2 = (–7)2 = 49.

7 7 33.10. Перетворіть тричлен у квадрат двочлена: 1 1 1 1) m2 + 4n2 + 2mn = m2 + 2mn + 4n2 = ( m + 2n)2; 4 4 2 2) −10mn + 0,25m2 + 100n2 = 0,25m2 − 10mn + 100n2 = (0,5m − 10n)2; 1 1 3) 9p2 + pq + q2 = (3p + q)2; 36 6 4) m6 + 4n2 − 4m3n = (n3)2 − 4m3n + 4n2 = (n3 − 2n)2; 5) 25m12 + p6 − 10m6p3 = 25m12 − 10m6p3 + p6 = (5m6 − p3)2.

9 3 3 6) c6 − 3dc5 + 16d2c4 = ( c3)2 − 3dc5 + (4dc2)2 = ( c3 − 4dc2)2.

64 8 8 33.11. Розкладіть на множники: 1 1 1 1) a4 + 9b2 + 2a2b = ( a2)2 + 2a2b + (3b)2 = ( a2 + 3b)2; 9 3 3 2) −6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = (0,4a2)2 − 6,4a2y4 + (8y4)2 = (0,4a2 − 8y4)2; 3) 16m20 + n12 − 8m10n6 = (4m10)2 − 8m10n6 + (n6)2 = (4m10 – n6)2; 4) 6a4b2 + a6 + 9a2b4 = (a3)2 + 6a4b2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2.

33.12. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена або виразу, протилежного до квадрата двочлена: 1) −1 + 4x − 4x2 = −(1 − 4x + 4x2) = −(1 − 2x)2; 2) −40a + 25a2 + 16 = 25a2 − 40a + 16 = (5a − 4)2; 3) 24xy − 9x2 − 16y2 = −(9x2 − 24xy + 16y2) = −(3x − 4y)2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) −140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 − 140x3y + 49y2 = (10x3 − 7y)2; 5) 4pq − 25p2 − 0,16q2 = −(25p2 − 4pq + 0,16q2) = (5p − 0,4q)2; 6) −0,64m6 − 1,6m3n2 − n4 = −(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = −(0,8m3 + n2)2.

33.13. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена або виразу, що є протилежним до квадрата двочлена: 1) −9 − 30x − 25x2 = −(9 + 30x + 25x2) = −(3 + 5x)2; 2) −36b + 81b2 + 4 = 4 − 36b + 81b2 = (2 − 9b)2; 3) 42xy − 49x2 − 9y2 = −(49x2 − 42xy + 9y2) = −(7x − 3y)2; 4) −0,36a4 − 25b6 + 6a2b3 = −(0,36a4 − 6a2b3 + 25b6) = −(0,6a2 − 5b3)2.

33.14. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 – 10x + 25 = 0; 2) 64y2 + 16y + 1 = 0; (x − 5)2 = 0; (8y + 1)2 = 0; x − 5 = 0; 8y + 1 = 0; x = 5.

8y = −1; 1 Відповідь: 5. y=− .

8

3) 9x2 + 1 = −6x; 9x2 + 6x + 1 = 0; (3x + 1)2 = 0; 3x + 1 = 0; 3x = −1; 1 x=− .

3

1

Відповідь: − .

8 4) 16y2 − 56y = −49; 16y2 − 56y + 49 = 0; (4y − 7)2 = 0; 4y − 7 = 0; 4y = 7; 7 y = = 1,75.

4 Відповідь: 1,75.

1

Відповідь:− .

3

33.15. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 + 16x + 64 = 0; (x + 8)2 = 0; x + 8 = 0; x = −8. Відповідь: −8.

2) 36x2 − 12x + 1 = 0; (6x − 1)2 = 0; 6x − 1 = 0; 6x = 1; 1 x= .

6

1

Відповідь: .

6 4) x2 = 0,4x − 0,04; x2 − 0,4x + 0,04 = 0; (x − 0,2)2 = 0; x − 0,2 = 0; x = 0,2. Відповідь: 0,2.

3) 4x2 + 9 = −12x; 4x2 + 9 + 12x = 0; (2x + 3)2 = 0; 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5. Відповідь: −1,5.

33.16. Запишіть замість «зірочки» такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було перетворити на квадрат двочлена: 1) * − 2mn + n2 = m2 − 2mn + n2 = (m − n)2; 2) 25a2 + 20a + * = 25a2 + 2 · 2 · 5 · a + 4 = (5a + 2)2; 3) 64m2 + * + 49b2 = 64m2 + 112mb + 49b2 = (8m + 7b)2; 4) * −12mb3 + 9b2 = 4m6 − 12bm3 + 9b2 = (2m3 − 3b)2; 5) p2 −0,8p7 + * = p2 − 0,8p7 + 0,16p12 = (p − 0,4p6)2; 1 1 1 6) * + a2b2 + a4 = b4 + a2b2 + a4 = ( a2 + b2)2.

4

4

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.17. Запишіть замість «зірочки» такий одночлен, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена: 1) * − 28x + 49 = * − 2 · 7 · x · 2 + 72 = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2; 2) 64a2 − 16a + * = (8a)2 − 2 · 8a + 1 = (8a − 1)2; 1 1 1 3) 25a2 + * + b6 = (5a)2 + 2ab3 + ( b3)2 = (5a + b3)2; 25 5 5 4) 0,01a8 + 100b6 + * = (0,1a4)2 + * + (10b3)2 = 0,01a8 + 2a4b3 + 100b6 = (0,1a4 + 10b3)2.

33.18. Розкладіть вираз на множники: 1) (x − 2)2 + 2(x − 2) + 1 = (x − 2 + 1)2 = (x − 1)2; 2) (a2 + 6a + 9) + 2(a + 3) + 1 = (a + 3)2 + 2(a + 3) + 1 = (a + 3 + 1)2 = (a + 4)2.

33.19. Доведіть, що нерівність є правильною для будь-якого значення x: 1) x2 + 2 > 0; x2 > 0; 2x > 0; 2) x2 − 6x + 9 ≥ 0; (x − 3)2 ≥ 0.

33.20. Порівняйте з нулем значення виразу: 1) x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 > 0; 2) −x2 − 2x − 1 = −(x2 − 2x + 1) = −(x − 1)2 < 0.

33.21. Вставте пропущені знаки ≤ або ≥ так, щоб для будь-яких значень x нерівність була правильною: 1) x2 + 4x + 4 і 0; 2) −x2 + 30x − 225 і 0; x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 ≥ 0; −(x2 − 30x + 225) = −(x − 15)2 ≤ 0; 3) −x2 − 8x + 16 і 0; 4) 36 − 12x + x2 і 0; −(x2 − 8x + 16) = −(x + 4)2 ≥ 0; 36 − 12x + x2 і 0 = (6 − x)2 ≥ 0.

33.22. Доведіть, що для будь-яких значень змінної вираз x2 + 4x + 5 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x? x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)2 + 1 — вираз набуває лише додатних значень. Найменше значення набуває при x = −2, найменше значення −1.

33.23. Доведіть, що для будь-якого значення змінної вираз x2 + 6x + 11 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x? (x2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)2 + 2 — вираз набуває лише додатних значень, найменше значення виразу 2 при x = −3.

33.24. Замініть «зірочки» одночленами так, щоб одержаний тричлен був повним квадратом (знайдіть три різних розв’язки задачі): 1) * − 48xy + *; 2) * + 20ab + *; 2 2 2 36x − 48xy + 16y = (6x − 4y) ; 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a + 5b)2; 9x2 − 48xy + 64y2 = (3x − 8y)2; 100a2 + 20ab + b2 = (10a + b)2; 1 2 1 144x2 − 48xy + 4y2 = (12x − 2y)2; a + 20ab + 400b2 = ( a + 20b)2.

4 2 33.25. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена, якщо це можливо: 1) x2 − 3x + 9, неможливо; 2) 49a2 − 140ab + 100b2 = (7a − 10b)2; 3) 4a2 − 9b2 − 12ab, неможливо; 4) 16y2 + 8y − 1, неможливо; 1 1 1 1 1 5) x2 + xy + y2, неможливо. 6) −xy + y2 + 4x2 = ( y − 2x)2.

16 40 25 16 4 33.26. Для яких значень x: 1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший 2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази за квадрат двочлена x – 3; більший за квадрат двочлена x + 3?

2 2 (x + 2) = (x − 3) + 225; (2x – 6)2 = 4(x + 3)2; x2 + 4x + 4 = x2 − 6x + 9 + 225; 4x2 – 24х + 36 = 4(х2 + 6х + 9); 4x + 6x = 225 + 9 − 4; 4х2 – 24х + 36 = 4x2 + 24х + 36; 4х2 – 24х – 4х2 – 24х = 36 – 36; 10x = 230; x = 230 : 10; x = 23.

–48х = 0; х = 0. Відповідь: 23. Відповідь: 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.27. Спростіть вираз: 1) (m − 2)(m + 3)(m − 5) = (m2 + 3m − 2m − 6) (m − 5) = (m2 + m – 6)(m – 5) = = m3 − 5m2 + m2 − 5m − 6m + 30 = m3 − 4m2 − 11m + 30; 2) (p2 + 1)(p8 – p6 + p4 – p2 + 1) = p10 − p8 + p6 − p4 + p2 + p8 – p6 + p4 – p2 + 1 = p10 + 1.

33.28. Щосереди в аптеці «Будьте здорові» діє 15-відсоткова знижка для пенсіонерів. Скільки грошей заощадить пенсіонер, придбавши ліки в середу, якщо роздрібна ціна цих ліків становить 580 грн?

580 ∙ 0,15 = 87 (грн) – заощадить пенсіонер. Відповідь: 87 грн.

33.29. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (х – 3)(х + 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9; 2) (у + 2)(у – 2) = y2 – 2y + 2y – 4 = y2 – 4; 3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m + m – m2 = 1 – m2; 4) (4 – а)(4 + а) = 16 + 4a – 4a – a2 = 16 – a2.

33.30. Є піскові годинники двох видів: одним відміряють 7 хв, а другим — 11 хв. Як за допомогою цих годинників відміряти точно 15 хв? Ставимо годинники одночасно: 7 хв і 11 хв, отримаємо 4 хв. Потім ставимо годинник, який відмічає 11 хв. Всього 4 хв + 11 хв = 15 хв. §34. Множення різниці двох виразів на їх суму 34.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 2) (m + p)(m − p) = m2 + p2, ні; 1) (a − c)(a + c) = a2 − с2, тотожність; 3) (y − x)(y + x) = (y − x)2 ні; 4) (d + n)(d − n) = n2 − d2, ні.

34.2. Закінчіть запис: 1) (c − 5)(c + 5) = c2 − 52 = с2 − 25; 2) (b + 7)(b − 7) = b2 − 72 = b2 − 49.

34.3. Знайдіть добуток: 1) (c − d)(c + d) = c2 – d2; 2) (p + a)(p − a) = р2 – a2.

34.4. Виконайте множення двочленів: 2) (a − t)(a + t) = a2 – t2.

1) (b + t)(b − t) = b2 – t2; 34.5. Виконайте множення: 1) (p − 9)(p + 9) = p2 − 81; 2) (5 + x)(5 − x) = 25 − x2; 3) (3 − c)(3 + c) = 9 − c2; 4) (7 + y)(y − 7) = y2 − 49.

34.6. Перетворіть на многочлен: 1) (m − 2)(m + 2) = m2 − 4; 2) (7 + a)(7 − a) = 49 − a2; 4) (11 + b)(b − 11) = b2 − 121.

3) (4 − x)(4 + x) = 16 − x2; 34.7. Подайте добуток у вигляді многочлена: 1) (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9; 2) (3p + 8)(3p − 8) = 9p2 − 64; 3) (4 + 5a)(5a − 4) = 25a2 − 16; 4) (3m − 4p)(4p + 3m) = 9m2 − 16p2; 5) (7a + 10b)(10b − 7a) = 100b2 − 49a2; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6) � p − q� � q + p� = � p − q� � p + q� = � p� ² − � q� ² = p² − 𝑞𝑞².

4 7 7 4 4 7 4 7 4 7 16 49 34.8. Виконайте множення: 1) (p − 2m)(p + 2m) = p2 − 4m2.

2) (2p + 7)(2p − 7) = 4p2 − 49; 3) (2c + 5)(5 − 2c) = 25 − 4c2; 4) (8a − 0,3x)(0,3x + 8a) = 64a2 − 0,09x2; 2 3 2 3 4 9 5) (0,1p + q)(q − 0,1p) = q2 − 0,01p2; 6) � a − b� � a + b� = a² − b².

7

5

 shkola.in.ua

7

5

49

25

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.9. Заповніть у зошиті таблицю за зразком: Вираз 1 Вираз 2 Добуток різниці виразів 3a 5m 1 x 2 0,1p 1 7

c

b 2n 3y 0,7q 1 3

d

(3a – b)(3a + b) (5m – 2n)(5m + 2n) 1 1 ( x – 3y)( x + 3y) 2 2 (0,1p – 0,7q)(0,1p + 0,7q) 1

1

1

1

( c – d)( c + d) 7

3

7

3

Різниця квадратів виразів 9a2 – b2 25m2 – 4n2 1 2 x – 9y2 4 0,01p2 – 0,49q2 1

49

1

c2 – d 2 9

34.10. Виконайте дії: 1) 16 + (3a + 4)(3a − 4) = 16 + (9a2 − 16) = 16 + 9a2 − 16 = 9a2; 2) (5m − 3)(5m + 3) − 25m2 = 25m2 − 9 − 25m2 = −9m2.

34.11. Спростіть вираз: 1) (8x − 5)(8x + 5) + 25 = 64x2 − 25 + 25 = 64x2; 2) 9m2 + (5 − 3m)(5 + 3m) = 9m2 + (25 − 9m2) = 25; 3) (2b − 3)(2b + 3) − 4b2 = 4b2 − 9 − 4b2 = −9; 4) (4a + 7)(7 − 4a) − 49 = 49 − 16a2 − 49 = −16a2.

34.12. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x = (2x − 3)(2x + 3) − 4x2; 2) 9x2 + (8 − 3x)(8 + 3x) = 4x; 3x = 4x2 − 9 − 4x2; 9x2 + 64 − 9x2 = 4x; 3x = −9; 4x = 64; x = −9 : 3; x = 64 : 4; x = −3. x = 16. Відповідь: −3. Відповідь: 16.

34.13. Знайдіть корені рівняння: 1) 8x = (5x − 4)(5x + 4) − 25x2; 2) (9 − 4x)(9 + 4x) + 16x2 = 3x; 8x = 25x2 − 16 − 25x2; 81 − 16x2 + 16x2 = 3x; 8x = −16; 3x = 81; x = −16 : 8; x = 81 : 3; x = −2. x = 27. Відповідь: −2. Відповідь: 27.

34.14. Обчисліть зручним способом: 1) (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599.

2) 81 · 79 = (80 + 1)(80 − 1) = 6400 − 1 = 6399; 3) 1002 · 998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996; 4) 1,03 · 0,97 = (1 + 0,03)(1 − 0,03) = 12 − 0,032 = 1 − 0,0009 = 0,9991.

34.15. Знайдіть значення виразу зручним способом: 1) (80 + 2)(80 − 2) = 802 − 22 = 6400 − 4 = 6396; 2) 59 · 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 602 − 12 = 3600 − 1 = 3599; 3) 108 · 92 = (100 + 8)(100 − 8) = 1002 − 82 = 10000 − 64 = 9936; 4) 12,3 · 11,7 = (12 + 0,3)(12 − 0,3) = 122 − 0,32 = 144 − 0,09 = 143,91 34.16. Подайте добуток у вигляді многочлена: 1) (p2 + 3q)(3q − p2) = (3q)2 − (p2)2 = 9q2 − p4; 2) (2a − m3)(m3 + 2a) = (2a)2 − (m3)2 = 4a2 − m6; 3) (5a − b2)(b2 + 5a) = (5a)2 − (b2)2 = 25a2 − b4; 4) (0,7m + n2)(0,7m − n2) = (0,7m)2 − (n2)2 = 0,49m2 − n4; 5) (4t2 − p4)(4t2 + p4) = 16t4 − p8; 6) (3a3 − 4b4)(3a3 + 4b4) = (3a3)2 − (4b4)2 = 9a6 − 16b8.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.17. Виконайте множення: 1) (1,7a − 1,4p3)(1,4p3 + 1,7a) = 2,89a2 − 1,96p6; 1 1 1 1 1 2) (3a2 − b3)( b3 + 3a2) = (3a2 − b3)(3a2 + b3) = 9a4 − b6;

4 4 4 16 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 3) (5m n + p )( p – 5m n) = ( p + 5m n)( p – 5m n) = p6 – 25m4n2; 7 7 7 7 49 2 7 2 7 2 7 2 14 8 8 8 2 7 8 16 2

4

4) ( a + 1,2y )(1,2y − a ) = (1,2y + a )(1,2y − a ) = 1,44y − a .

3 3 3 3 3 34.18. Виконайте множення: 1) (5a + b2)(b2 − 5a) = (b2)2 − (5a)2 = b4 − 25a2; 2) (4a3 − d2)(d2 + 4a2) = (4a3)2 − (d2)2 = 16a6 – d4; 3) (0,7p – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7p)2 − (m7)2 = 0,49p2 – m14; 1 1 1 1 4) ( m2 + 3b7)(3b7 − m2) = (3b7)2 – ( m2)2 = 9b14 – m4; 5 5 5 25 5) (0,2a2b − 0,3ab2)(0,2a2b + 0,3ab2) = (0,2a2b)2 − (0,3ab2)2 = 0,04a4b2 − 0,09a2b4; 2 2 2 4 6) (1,2p7 − a8)( a8 + 1,2p7) = (1,2p7)2 – ( a8)2 = 1,44p14 − a16.

3 3 3 9 34.19. Подайте у вигляді многочлена: 1) (−a2 + 7)(7 + a2) = 72 − (a2)2 = 49 − a4; 2) (−p2 − q7)(p2 − q7) = −(p2 + q7)(p2 − q7) – ((p2)2 − (q7)2) = −(p4 − q14) = q14 – p4; 3) (−8m − 5p)(−8m + 5p) = (5p − 8m)(−8m − 5p) = (8m − 5p)(8m + 5p) = = (8m)2 − (5p)2 = 64m2 − 25p2; 4) (−2a3 − 3b)(−3b + 2a3) = −(2a3 + 3b)(2a3 − 3b) = (3b − 2a3)(2a3 + 3b) = = (3b)2 − (2a3)2 = 9b2 − 4a6.

34.20. Спростіть вираз: 1) (a − b)(a + b)(a2 + b2) = (a2 − b2)(a2 + b2) = (a2)2 − (b2)2 = a4 − b4; 2) (2a + x)(4a2 + x2)(2a − x) = ((2a)2 − x2)(4a2 + x2) = (4a2 − x2)(4a2 + x2) = = (4a2)2 − (x2)2 = 16a4 − x4; 3) (c3 + d2)(c3 – d2)(d4 + c6) = ((c3)2 − (d2)2)(d4 + c6) = (c6 − d4)(d4 + c6) = (c6)2 − (d4)2 = c12 − d8; 4) (−x − y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = = −(x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x4 − y4)(x4 + y4) = (y4 – x4)(x4 + y4) = (y4)2 − (x4)2 = y8 − x8.

34.21. Перетворіть на многочлен: 1) (−a7 + b5)(a7 + b5) = (b5 − a7)(a7 + b5) = (b5)2 − (a7)2 = b10 − a14; 2) (−0,1m3 − p4)(0,1m3 − p4) = − (0,1m3 + p4)(−0,1m3 − p4) = (p4 − 0,1m3)(0,1m3 + p4) = = (p4)2 – (0,1m3)2 = p8 – 0,01m6; 3) (3x − 2p)(3x + 2p)(9x2 + 4p2) = (9x2 − 4p2) (9x2 + 4p2) = 81x4 − 16p4; 4) (−a2 − 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = −(a2 + 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = = −(a4 − 25b3)(a4 + 25b3) = (25b3 – a4)(a4 + 25b3) = (25b3)2 – (a4)2 = 625b6 – a8.

34.22. Замість «зірочок» запишіть такі одночлени, щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 7b)(2a − 7b) = 4a2 − 49b2; 2) (0,5m2 − 9p)(0,5m2 + 9p) = 0,25m4 − 81p2; 3) 100a8 − 9b6 = (10a4 + 3b3)(10a4 − 3b3); 4) (4x − 3y)(4x + 3y) = 16x2 − 9y2.

34.23. Знайдіть корені рівняння: 1) 8x(1 + 2x) − (4x + 1)(4x − 1) = 17; 2) x − 12x(1 − 3x) = 14 − (5 − 6x)(6x + 5); 2 2 8x + 16x − (16x − 1) = 17; x − 12x + 36x2 = 14 − (25 − 36x2); 8x + 16x2 − 16x2 + 1 = 17; x − 12x + 36x2 = 14 − 25 + 36x2; 8x = 17 − 2; −11x = −11; x = −11: (−11); 8x = 16; x = 16: 8; x = 1. Відповідь: 1. x = 2. Відповідь: 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (4x + 1)(4x − 1) + (2x − 3)2 = 5x(4x − 11); 16x2 − 1 + 4x2 − 12x + 9 = 20x2 − 55x; −12x + 55x = 1 − 9; 43x = −8; x = −8 : 43; 8 Відповідь: − .

43 34.24. Розв’яжіть рівняння: 1) 5x(4x − 1) − (6x − 1)(6x + 1) = (4x + 3)(3 − 4x); 20x2 − 5x − (36x2 − 1) = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 1 = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 16x2 = 9 − 1; −5x = 8; x = 8 : (−5); x = −1,6. Відповідь: −1,6.

2) (3x − 4)(3x + 4) − (5x − 2)(5x + 2) = 2x(1 − 8x); 9x2 − 16 − (25x2 − 4) = 2x − 16x2; 9x2 − 16 − 25x2 + 4 = 2x − 16x2; −2x = 16 – 4; −2x = 12; x = 12 : (−2); x = −6. Відповідь: −6.

3) (5x − 4)2 − 2x(8x − 5) = (3x − 2)(3x + 2); 25x2 − 40x + 16 − 16x2 + 10x = 9x2 − 4; 9x2 − 40x − 9x2 + 10x = −16 − 4; −30x = −20; x = −20 : (−30); 2 x= .

3

2

Відповідь: .

3 34.25. Спростіть вираз: 1) (a + 3)2 − (a + 3)(a − 3) = a2 + 6a + 9 − (a2 − 9) = a2 + 6a + 9 − a2 + 9 = 6a + 18; 2) (8x − 3y)(8x + 3y) − (3x − 8y)2 = 64x2 − 9y2 − (9x2 − 48xy + 64y2) = = 64x2 − 9y2 − 9x2 − 48xy + 64y2 = 55x2 + 48xy − 73y2; 3) (b − 3)2(b + 3)2 = ((b − 3)(b + 3))2 = (b2 − 9)2 = b4 − 18b2 + 81; 4) (a + 5)2(5 − a)2 = ((5 − a)(a + 5))2 = (25 − a2)2 = 625 − 50a2 + a4.

34.26. Спростіть вираз: 1) (c − 2)2 − (c − 3)(c + 3) = c2 − 4c + 4 − (c2 − 9) = c2 − 4c + 4 − c2 + 9 = −4c + 13; 2) (9x − 2y)(9x + 2y) − (5x − 2y)2 = 81x2 − 4y2 − (25x2 − 20xy + 4y2) = = 81x2 − 4y2 − 25x2 + 20xy − 4y2 = 56x2 − 8y2 + 20xy; 3) (a + 6)2(a − 6)2 = ((a + 6)(a − 6))2 = (a2 − 36)2 = a4 − 72a2 + 1296; 4) (2 − m)2(2 + m)2 = ((2 − m)(2 + m))2 = (4 − m2)2 = 16 − 8m2 + m4.

34.27. Доведіть, що квадрат будь-якого цілого числа завжди на одиницю більший за добуток попереднього йому й наступного за ним чисел. Нехай х — будь–яке ціле число, тоді попереднє до нього — х – 1, а наступне — х + 1. Маємо: x2 – (х – 1)(х + 1) = х2 – (х2 – 1) = 1 — що і треба було довести.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.28. Виконайте множення, використавши формули скороченого множення: 1) ((x + y) + 1)((x + y) − 1) = (x + y)2 − 12 = x2 + 2xy + y2 − 1; 2) (a + b + c)(a − (b + c)) = a2 − (b + c)2 = a2 − b2 − 2bc − c2; 3) (m + n + 2p)(m + n − 2p) = (m + n)2 − (2p)2 = m2 + 2mn + n2 − 4p2; 4) (x − y − 2)(x + y + 2) = (x − (y + 2))(x + (y + 2)) = x2 − (y + 2)2 = x2 − y2 − 2y − 4.

34.29. Обчисліть: 7 17 1 4 13 65 27 1 13 100 27 55 20 33 20 59 2,7(8 − 2 ) – 4 : 0,65 = 2,7 · 6 – : = ·6 – · = · − = − = .

12 36 3 36 3 100 10 9 3 65 10 9 3 2 3 6 34.30. Щоб заасфальтувати деяку ділянку дороги за певний час, бригада шляховиків мала асфальтувати по 15 м2 щогодини. Натомість щогодини вони асфальтували на 3 м2 більше, тому за 2 год до закінчення терміну їм залишилося заасфальтувати 12 м2. Якою була площа ділянки та скільки годин її мали асфальтувати? Бригада мала щогодини асфальтувати по 15 м2, а асфальтувала 15 + 3 = 18 (м2) щогодини. Нехай вони повинні були працювати х годин, а працювали (х − 2) години. Вони мали заасфальтувати ділянку площею 15х м2, а заасфальтували 18(х − 2) м2. Рівняння: 15х = 18(х − 2) + 12; 15х = 18х − 36 + 12; 15х − 18х = −36 + 12; −3х = −24; х = −24 : (−3); х = 8.

8 годин мали асфальтувати ділянку площею 15 · 8 = 120 (м2). Відповідь: 8 годин; 120 м2.

34.31. Коли українці обчислюють «індекс борщу», тобто ціну набору продуктів для приготування 5 л класичної української страви, то роблять це за одним із численних рецептів. Так, у 2019 році такий набір коштував у середньому 74,4 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 4173 грн. У 2023 році згаданий набір коштував у середньому 99,2 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 6700 грн. Скільки каструль борщу можна було зварити на мінімальну зарплату в 2023 році? Зробіть висновки. Коли українці обчислюють «індекс борщу», тобто ціну набору продуктів для приготування 5 л класичної української страви, то роблять це за одним з багаточисельних рецептів (див. мал.). Так у 2019 році такий набір коштував у середньому 74,4 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 4173 грн. У 2023 році згаданий набір коштував у середньому 99,2 грн, при цьому мінімальна зарплата в Україні становила 6700 грн. Скільки каструль борщу можна було зварити на мінімальну зарплату в 2023 році? Зробіть висновки.

1) 4173 : 74,4 ≈ 56 (каструль) в 2019 році.

2) 6700 : 99,2 ≈ 67 (каструль) – в 2023 році; Мінімальна зарплата збільшилась більше ніж ціни на продукти.

34.32. Нехай a1; a2; a3 – натуральні числа, b1; b2; b3 – ці самі числа, записані в іншому порядку. Доведіть, що добуток |a1 − b1| · |a2 − b2| · |a3 − b3| є парним числом. Можливі наступні варіанти комбінацій: 1) Всі числа непарні; 2) всі числа парні; 3) два непарних, одно парне; 4) два парних, одно непарне.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо підставити ці числа у формулу |a1 − b1| · |a2 − b2| · |a3 − b3|, отримаємо: 1) Добуток трьох парних чисел; 2) добуток трьох парних чисел; 3) добуток двох непарних чисел і одного парного; 4) добуток двох непарних чисел і одного парного. Отже, добуток завжди парне число. §35. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів 35.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) c2 − d2 = (c − d)(c − d), не тотожність; 2) p2 − t2 = (p + t)(p − t), тотожність; 3) a2 + b2 = (a + b)(a + b), не тотожність; 4) 32 − b2 = (3 − b)(3 + b), тотожність.

35.2. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб рівність перетворилася на тотожність: 2) 4 − m2 = (2 − m)(2 + m).

1) a2 − 1 = (a − 1)(a + 1); 35.3. Доберіть замість пропусків такий вираз, щоб рівність перетворилася на тотожність: 1) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1); 2) 9 − c2 = (3 − c)( 3 + c).

35.4. (Усно.) Розкладіть на множники: 1) a2 − 4 = (a − 2)(a + 2); 2) 36 − b2 = (6 − b)(6 + b); 3) 4x2 − 25m2 = (2x − 5m)(2x + 5m); 4) x2y2 − 1 = (xy − 1)(xy + 1).

35.5. Подайте многочлен у вигляді добутку різниці та суми: 1) a2 − 25 = (a − 5)(a + 5); 2) 16 − p2 = (4 − p)(4 + p); 3) d2 − 1,44 = (d − 1,2)(d + 1,2); 4) 0,09 − m2 = (0,3 − m)(0,3 + m); 4 2 2 25 5 5 5) b2 − = (b − )(b + ); 6) − c2 = ( − c)( + c).

9 3 3 36 6 6 35.6. Розкладіть на множники: 1) 36a2 − b2 = (6a − b)(6a + b); 2) −a2 + b2 = b2 − a2 = (b − a)(b + a); 3) 49x2 − 64 = (7x − 8)(7x + 8); 4) 9m2 − 16n2 = (3m − 4n)(3m + 4n); 5) −100m2 + 121k2 = 121k2 − 100m2 = (11k − 10m)(11k + 10m); 6) 0,25 − a2b2 = (0,5 − ab)(0,5 + ab); 7) 16m2a2 − 0,01 = (4ma − 0,1)(4ma + 0,1); 8) p2 − c2d2 = (p − cd)(p + cd); 9) 81p2m2 − n2 = (9pm − n)(9pm + n).

35.7. Подайте многочлен у вигляді добутку різниці та суми: 1) a2 − 64 = (a − 8)(a + 8); 2) 0,25 − b2 = (0,5 − b)(0,5 + b); 3) −81 + 36x2 = (6x − 9)(6x + 9); 4) 169p2 − q2 = (13p − q)(13p + q); 5) 400a2 − 25m2 = (20a − 5m)(20a + 5m); 6) 49a2b2 − 16 = (7ab − 4)(7ab + 4); 7) 900 – a2b2 = 302 – (ab)2 = (30 – ab)(30 + ab); 8) c2d2 – 4m2 = (cd)2 – (2m)2 = (cd – 2m)(cd + 2m); 9) 100a2b2 – 0,16m2 = (10ab)2 – (0,4m)2 = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m).

35.8. Обчисліть, застосовуючи формулу різниці квадратів: 1) 672 − 572 = (67 − 57)(67 + 57) = 1240; 2) 432 − 532 = (43 − 53)(43 + 53) = 960;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 1122 − 882 = (112 + 88)(112 − 88) = 200 · 24 = 4800; 4) 21,52 − 21,42 = (21,5 − 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 · 42,9 = 4,29; 5) 0,7252 − 0,2752 = (0,725 − 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,45 · 1 = 0,45; 2 1 2 1 2 1 1 4 40 6) (5 )2 − (4 )2 = (5 − 4 )(5 + 4 ) = 1 · 10 = · 10 = .

3 3 3 3 3 3 3 3 3 35.9. Обчисліть зручним способом: 1) 432 − 332 = (43 − 33)(43 + 33) = 10 · 76 = 760; 2) 272 − 372 = (27 − 37)(27 + 37) = −10 · 64 = −640; 3) 0,972 − 0,032 = (0,97 − 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 · 1 = 0,94.

35.10. Знайдіть значення виразу x2 − y2, 1) Якщо x = 55, y = 45, то (x − y)(x + y) = (55 − 45)(55 + 45) = 10 · 100 = 1000; 2) Якщо x = 2,01; y = 1,99, то (x − y)(x + y) = (2,01 − 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 · 4 = 0,08.

35.11. Розв’яжіть рівняння: 1 1) x2 − 16 = 0; 2) − x2 = 0; 9 (x − 4)(x + 4) = 0; 1 1 ( − x)( + x) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або 3 3 1 1 1 x + 4 = 0; x = −4. − x = 0; −x = − ; x = ; 3 3 3 Відповідь: 4; −4.

1 1 або + x = 0; x = − .

3

1

1

3

Відповідь: ; − .

3 3 2 4) 4x − 9 = 0; (2x − 3)(2x + 3) = 0; 2x − 3 = 0; 2x = 3; x = 1,5; або 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5. Відповідь: 1,5; −1,5.

3) y − 0,25 = 0; (y − 0,5)(y + 0,5) = 0; y − 0,5 = 0; y = 0,5 або y + 0,5 = 0; y = −0,5. Відповідь: 0,5; −0,5.

35.12. Знайдіть корені рівняння: 1) x2 − 36 = 0; (x − 6)(x + 6) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6. Відповідь: 6; −6.

2

2) y2 − 1

1

= 0;

16

1

(y − )(y + ) = 0; 4 1

4

1

y = або y = − .

4

1

4 1

Відповідь: ; − .

4 4 4) 64y2 − 49 = 0; (8y − 7)(8y + 7) = 0; 7 8y − 7 = 0; 8y = 7; y = ;

3) 0,49 − x2 = 0; (0,7 − x)(0,7 + x) = 0; 0,7 − x = 0; x = 0,7 або 0,7 + x = 0; x = −0,7. Відповідь: 0,7; −0,7.

7

7

Відповідь: ; − .

8

35.13. Розкладіть на множники: 1) c4 − m6 = (c2)2 − (m3)2 = (c2 − m3)(c2 + m3); 2) p8 − a10 = (p4)2 − (a5)2 = (p4 − a5)(p4 + a5); 3) a6 − 9m4 = (a3)2 − (3m2)2 = (a3 − 3m2)(a3 + 3m2); 4) 100a6 − 25x8 = (10a3 − 5x4)(10a3 + 5x4); 5) 0,49 – m4p12 = (0,7)2 − (m2p6)2 = (0,7 – m2p6)(0,7 + m2p6); 6) 36x2c14 − 0,16d4 = (6xc7)2 − (0,4d2)2 = (6xc7 − 0,4d2)(6xc7 + 0,4d2); 25 36 5 6 5 6 5 6 7) a8 − b6c2 = ( a4)2 − ( b3c)2 = ( a4 − b3c)( a4 + b3c); 49

7

7

або 8y + 7 = 0; 8y = −7; y = − .

8

49

8

7

7

7

7

7

 shkola.in.ua

8

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) −0,01m2 + 0,81x6y8 = (0,9x3y4)2 − (0,1m)2 = (0,9x3y4 − 0,1m)(0,9x3y4 + 0,1m); 7 11 16 36 4 6 9) 1 t20a24 – 1 p16q18 = t20a24 − p16q18 = ( t10a12)2 − ( p8q9)2 = 9 4 10 12

25 9 25 6 8 9 4 10 12 6 8 9 − p q )( t a + p q ).

5 3 5

3

5

=( t a 3 35.14. Розкладіть на множники: 1) a8 − 16m6 = (a4 − 4m3)(a4 + 4m3); 2) 36c6 − 49a10 = (6c3 − 7a5)(6c8 + 7a5); 3) 0,25 − m12a2 = (0,5)2 − (m6a)2 = (0,5 − m6a)(0,5 + m6a); 4) −121p8c4 + 4a2 = (2a)2 − (11p4c2)2 = (2a − 11p4c2)(2a + 11p4c2); 25 36 36 25 6 5 6 5 6 5 5) − a2b4 + c6 = c6 − a2b4 = ( c3)2 − ( ab2)2 = ( c3 − ab2)( c3 + ab2);

36 49 49 36 7 6 7 6 7 6 1 2 8 9 6 18 9 2 8 25 6 18 3 4 2 5 3 9 2 3 4 5 3 9 3 4 5 3 9 6) 2 a b − 1 p c = a b − p c = ( ab ) − ( p c ) = ( ab − p c )( ab + p c ).

4 16 4 16 2 4 2 4 2 4

35.15. Знайдіть значення виразу: 100 100 100 4 1) = = = ;

2)

3)

15² − 10² 29² − 21² 80 47² − 23²

48² − 22²

=

(15 − 10)(15 + 10) (29 − 21)(29 + 21)

= =

=

5 · 25 8 · 50

5

= 5;

80 80 (47 − 23)(47 + 23) 24 · 70 (48 − 22)(48 + 22)

=

26· 70

=

12

.

13

35.16. Подайте вираз у вигляді добутку: 1) (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x + 4 − 1 = x2 + 4x + 3; 2) 4 − (y + 3)2 = 4 – y2 − 6y − 9 – y2 − 6y − 5; 3) (4m − 5)2 − 16 = 16m2 − 40m + 25 − 16 = 16m2 − 40m + 9; 4) 6,25 − (a − 3,5)2 = 6,25 − (a2 − 7a + 12,25) = = 6,25 – a2 + 7a − 12,25 = − 6 – a2 + 7a; 5) (2x − 5)2 − 49 = 4x2 − 20x + 25 − 49 = 4x2 − 20x − 24; 6) 1 − (2x + 1)2 = 1 − (4x2 + 4x + 1) = 1 − 4x2 – 4x – 1 = − 4x2 − 4x.

35.17. Розкладіть на множники: 1) 16x2 − (1 + 3x)2 = (4x − (1 + 3x)) · (4x + (1 + 3x)) = (4x − 1 − 3x)(4x + 1 + 3x) = = (x − 1)(2x + 1); 2) (3y − 5)2 − 16y2 = (3y − 5 − 4y)(3y + 5 + 4y) = (−5 − y)(7y − 5); 3) 49m2 − (a + 3m)2 = (7m − (a + 3m)) · (7m + (a + 3m)) = (4m − a)(10m + a); 4) (5a − 2b)2 − 25a2 = (5a − 2b – 5a)(5a − 2b + 5a) = −2b(10a − 2b).

35.18. Розкладіть на множники: 1) (p + 2)2 − 9 = (p + 2 − 3)(p + 2 + 3) = (p − 1)(p + 5); 2) 16 − (m − 3)2 = (4 − (m − 3))(4 + (m − 3)) = (7 − m)(1 + m); 3) (3x − 2)2 − 36 = (3x − 2 − 6)(3x − 2 + 6) = (3x − 8)(3x + 4); 4) x2 − (2x − 1)2 = (x − (2x − 1))(x + 2x − 1) = (−x + 1)(3x − 1); 5) (5a − 3b)2 − 9b2 = (5a − 3b − 3b)(5a − 3b + 3b) = (5a − 6b) · 5a; 6) (3x + 4y)2 − 100y2 = (3x + 4y − 10y)(3x + 4y + 10y) = (3x − 6y)(3x + 14y).

35.19. Знайдіть корені рівняння: 1) (x − 1)2 − 25 = 0; 2) 49 − (2x + 5)2 = 0; (x − 1 − 5)(x − 1 + 5) = 0; (7 − (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або (2 − 2x)(12 + 2x) = 0; x + 4 = 0; x = −4.

2 − 2x = 0; −2x = −2; x = 1 або Відповідь: 6; −4.

12 + 2x = 0; 2x = −12; x = −6. Відповідь: 1; −6.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (5x + 3)2 = 64; (5x + 3)2 − 64 = 0; (5x + 3 − 8)(5x + 3 + 8) = 0; (5x − 5)(5x + 11) = 0; 5x − 5 = 0; 5x = 5; x = 1 або 11 5x + 11 = 0; 5x = −11; x = − .

11

Відповідь: 1; − .

5

35.20. Розв’яжіть рівняння: 1) (x + 2)2 − 36 = 0; (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0; (x − 4)(x + 8) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 8 = 0; x = −8. Відповідь: 4; −8.

5

4) (0,1x − 0,5)2 = 0,36; (0,1x − 0,5 − 0,6)(0,1x − 0,5 + 0,6) = 0; (0,1x − 1,1)(0,1x + 0,1) = 0; 0,1x − 1,1 = 0; 0,1x = 1,1; x = 11 або 0,1x + 0,1 = 0; 0,1x = −0,1; x = −1. Відповідь: 11; −1.

2) (5x − 4)2 − 81 = 0; (5x − 4 − 9)(5x − 4 + 9) = 0; (5x − 13)(5x + 5) = 0; 13 5x − 13 = 0; 5x = 13; x = ; 5 або 5x + 5 = 0; 5x = −5; x = −1.

13 Відповідь: ; −1.

5 4) (0,2x − 0,5)2 = 0,09; (0,2x − 0,5 − 0,3)(0,2x − 0,5 + 0,3) = 0; (0,2x − 0,8)(0,2x − 0,2) = 0; 0,2x = 0,8; x = 4 або 0,2x = 0,2; x = 1. Відповідь: 4; 1.

3) (2x + 7)2 = 49; (2x + 7)2 − 49 = 0; (2x + 7 − 7)(2x + 7 + 7) = 0; 2x(2x + 14) = 0; 2x = 0; x = 0 або 2x + 14 = 0; 2x = −14; x = −7. Відповідь: 0; −7.

35.21. Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу (n + 7)2 − n2 ділиться на 7. (n + 7)2 − n2 = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7 · (2n + 7) ділиться на 7.

35.22. Подайте вираз у вигляді добутку: 1) a6 − (b − 5a3)2 = (a3 − (b − 5a3))(a3 + (b − 5a3)) = (a3 − b+5a3)(a2+b−5a3) = (6a3 − b)(b − 4a3); 2) (−3m2 + 4p)2 − 9m4 = (−3m2 + 4p − 3m2)(−3m2 + 4p + 3m2) = (−6m2 + 4p) · 4p; 3) (7x + 2y)2 − (2x − 7y)2 = (7x + 2y − 2x + 7y)(7x + 2y + 2x − 7y) = (5x + 9y)(9x − 5y); 4) (a + b + c)2 − (a + b − c)2 = (a + b + c + a + b − c)(a + b + c − a − b + c) = (2a + 2b) · 2c; 5) a2(a + 1)2 – c8 = (a (a + 1) − c4) (a (a + 1) + c4) = (a2 + a − c4)(a2 + a + c4); 6) (5a − b − 1)2 − (5a + b − 1)2 = (5a − b − 1 − 5a − b + 1)(5a − b − 1+5a+b−1) = −2b(10a − 2).

35.23. Розкладіть на множники: 1) (5a2 − 3b)2 − 16a4 = (5a2 − 3b − 4a2)(5a2 − 3b + 4a2) = (a2 − 3b)(9a2 − 3b); 2) m8 − (3c − 2m4)2 = (m4 − 3c + 2m4)(m4 + 3c − 2m4) = (m4 − 3c)(3c − m4); 3) (2a + 3b)2 − (4a − 5b)2 = ((2a + 3b) − (4a − 5b))((2a + 3b) + (4a − 5b)) = = (2a + 3b − 4a + 5b)(2a + 3b + 4a − 5b) = (8b − 2a)(6a − 2b); 4) (x − y + t)2 − (x − y − t)2 = ((x − y + t) − (x − y − t))((x − y + t) + (x − y − t)) = = (x – y + t – x + y + t)(x – y + t + x – y – t) = 2t(2x − 2y).

35.24. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (5x − 8)2 = 0; 2) x4 − 81 = 0; ((3x − 4) − (5x − 8))((3x − 4) + (5x − 8)) = 0; (x2)2 − 92 = 0; (x2 − 9)(x2 + 9) = 0; (3x − 4 − 5x + 8)(3x − 4 + 5x − 8) = 0; (4 − 2x)(8x − 12) = 0; (x − 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0; 4 − 2x = 0; −2x = −4; x = 2 або x − 3 = 0; x = 3 або 12 x + 3 = 0; x = −3; x2 + 9 > 0.

8x − 12 = 0; 8x = 12; x = ; x = 1,5.

8 Відповідь: 3; −3. Відповідь: 2; 1,5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 16x4 − 1 = 0; (4x2 − 1)(4x2 + 1) = 0; (2x − 1)(2x + 1)(4x2 + 1) = 0; 1 2x − 1 = 0; x = або 2

4) 81x2 + 4 = 0; 81x2 + 4 > 0; рівняння не має коренів. Відповідь: Не має коренів.

1

2x + 1 = 0; x = − ; 4x2 + 1 > 0.

1

1

2

Відповідь: ; − .

2

2

35.25. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел, де зменшуваним є більше число, дорівнює сумі цих чисел. n, n + 1 — два послідовні числа; (n + 1)2 − n2 — різниця квадратів двох послідовних чисел; n + (n + 1) — сума цих чисел. (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

35.26. Спростіть вираз: 1) (t + 1)(t − 7) − (t − 1)(t + 7) = t2 − 7t + t − 7 − (t2 + 7t − t − 7) = = t2 − 7t + t − 7 − t2 − 7t + t + 7 = −12t.

2) (a3 − 2b)(a2 + 2b) − (a2 − 2b)(a3 + 2b) = a6 + 2ba3 – 2ba2 − 4b2 – (a6 + 2a2b – 2a3b – 4b2) = = a6 + 2a3b – 2a2b – 4b2 – a6 – 2a2b + 2a3b + 4b2 = 4a3b – 4a2b.

35.27. Обчисліть, використовуючи формулу куба двочлена: 1) (100 − 1)3 = 100000 − 3 · 10000 + 3 · 100 − 1 = 970299; 2) 413 = (40 + 1)3 = 403 + 3 · 402 · 1 + 3 · 40 · 1 + 13 = 68921; 3) 293 = (30 − 1)3 = 303 − 3 · 302 · 1 − 3 · 30 · 1 − 13 = 24389; 4) 0,993 = (1 − 0,1)3 = 1 − 3 · 1 · 0,1 + 3 · 1 · 0,12 − 0,01 = 0,970299.

35.28. Корабель пливе зі швидкістю 11 вузлів. Велосипедист долає 100 м за 18 с. Порівняйте швидкості корабля і велосипедиста. Зверніть увагу на малюнок.

1) 11 вузлів = 11 ∙ 1,852 = 20,372 км/год – швидкість корабля; 2) 18 ∙ 10 = 180 с = 180 : 60 = 3 (хв) – витрачає велосипедист щоб подолати 1 км; 3) 60 : 3 = 20 (км) – подолає велосипедист за 1 год; Швидкість велосипедиста 20 км/год, корабля – 20,372 км/год.

35.29. Подайте у вигляді куба число: 1) 1 = 13; 2) 27 = 33; 3) 64 = 43; 4) 216 = 63.

35.30. Подайте у вигляді куба одночлен: 1) х6 = (х2)3; 2) 8у3 = (2у)3; 3) 1000m12 = (10m4)3; 4) 125p3c9 = (5pс3)3.

35.31. Господиня має важільні терези й гирку масою 100 г. Як їй за чотири зважування відміряти 1,5 кг крупи? За перше зважування можемо відважити 100 г крупи; за друге зважування на одну шальку ставимо гирьку і 100 г крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 100 + 100 = 200 (г) крупи; за третє зважування на одну шальку ставимо гирьку і 100 + 200 = 300 (г) крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 300 + 100 = 400 (г) крупи; за четверте зважування на одну шальку ставимо гирьку і 400 + 300 = 700 (г) крупи, тоді для рівноваги на іншу шальку насипаємо 700 + 100 = 800 (г) крупи; усього відважили 700 + 800 = 1500 (г) = 1,5 кг крупи. §36. Сума і різниця кубів 36.1. (Усно.) Який з виразів є неповним квадратом різниці виразів x і y, а який – неповним квадратом їх суми: Неповним квадратом суми виразів х і у є вираз 1) х2 + ху + у2, а неповним квадратом різниці — вираз 5) х2 – ху + у2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.2. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) c3 + d3 = (c2 + d2)(c + d) — не є тотожність; 2) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) — тотожність; 3) m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) — тотожність; 4) p3 − t3 = (p − t)(p2 + 2pt + t2) — не є тотожність.

36.3. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями: 1) m3 − p3 = (m2 − p2)(m − p), ні; 2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2) — тотожність; 3) c3 – d3 = (c – d)(c2 + cd + d2) — тотожність; 4) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2)ні.

36.4. Розкладіть на множники: 1) m3 − p3 = (m − p)(m2 + mp + p2); 2) a3 + d3 = (a + d)(a2 − ad + d3); 3) 8 − a3 = (2 − a)(4 + 2a + a2); 4) q3 + 27 = (q + 3)(q2 − 3q + 9); 5) n3 − 64 = (n − 4)(n2 + 4n + 16); 6) 0,001 + t3 = (0,1 + t)(0,01 − 0,1t + t2).

36.5. Подайте вираз у вигляді суми або різниці кубів і розкладіть його на множники: 1) 8a3 + 1 = (2a + 1)(4a2 − 2a + 1); 1 1 1 2) 27 − c3 = (3 − c)(9 + c + c2); 27 3 9 3) y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 − 4xy + 16x2); 4) 0,125b3 − 64y3 = (0,5b − 4y)(0,25b2 + 2by + 16y2); 5) 1 + 1000m3 = (1 + 10m)(1 − 10m + 100m2); 1 1 1 1 1 1 1 6) a3 − b3 = ( a − b)( a2 + ab + b2).

125 216 3 6 9 18 36 36.6. Розкладіть на множники: 1 1 1 1 1) + b3 = ( + b)( − b + b2); 27 1 3

3 1

9

3 1 2 − 8 = ( x − 2)( x + x + 4); 2 4

2) x 8 3) 1 + 125p3 = (1 + 5p)(1 − 5p + 25p2); 1 1 1 1 4) 0,064m3 − n3 = (0,4m − n)(0,16m2 + mn + n2); 1000 10 25 8 3 3 2 9 2 4 2 5) a + b = ( a + b)( a − ab + b ); 8 27 2 3 4 9 1 3 1 1 3 2 6) 216p − q = (6p − q)(36p + pq + q2).

216 6 36 27 3

100

36.7. Подайте у вигляді многочлена: 1) (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3; 2) (a + 3)(a2 − 3a + 9) = a3 + 27; 3) (1 − d + d2)(1 + d) = 1 + d3; 4) (m − 2)(m2 + 2m + 4) = m3 − 8.

36.8. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3; 2) (m − 1)(m2 + m + 1) = m3 − 1; 3) (b + 4)(b2 − 4b + 16) = b3 + 64; 4) (25 + 5q + q2)(5 − q) = 125 − q3.

36.9. Знайдіть значення виразу: 1) (4p − 1)(16p2 + 4p + 1) = 64p3 − 1.

1 1 Якщо p = −0,25, то 64 · (−0,25)3 − 1 = 64 · (− )3 − 1 = 64 · (− ) − 1 = −1 − 1 = −2.

4 64 2) (2a + b)(4a2 − 2ab + b2) = 8a3 + b3.

1 1 1 Якщо a = − , b = 2, то 8 · (− )3 + 23 = 8 · (− ) + 8 = −1 + 8 = 7.

2 2 8 36.10. Знайдіть значення виразу: 1) (3x + 1)(9x2 − 3x + 1) = 27x3 + 1.

2 2 8 Якщо x = , то 27( )3 + 1 = 27 = 8 + 1 = 9.

3 3 27 2) (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 − 8y3. Якщо x = −2, y = 0,5, то (−2)3 − 8 · 0,53 = −8 − 8 · 0,125 = −8 − 1 = −9.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.11. Розкладіть многочлен на множники: 1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4); 2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)(t8 − t4c3 + c6); 3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)(p12 − p6m8 + m16); 4) −c3 + m15 = m15 − c3 = (m5)3 − c3 = (m5 – c3)(m10 + m5c3 + c6); 1 1 1 1 1 1 5) − − a24 = −( + a24) = − (( )3 + (a8)3) = −( + a8)( − a8 + a16); 8 8 2 2 8 2 6) −c99 – d60 = −(c99 + d60) = −((c33)3 + (d20)3) = −(c33 + d20)(c60 − c33d20 + d40); 7) (x3y3 + 1) = (xy + 1)(x2y2 − xy + 1); 8) 27 − a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(9 + 3ab3 + a3b9); 9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m3)3 = (x2y4 + m3)(x4y8 − x2y4m3 + m6); 10) 64m6p21 − 125x3 = (4m2p7)3 − 5x = (4m2p7 − 5x)(16m4p14 + 20m2p7x + 25x2); 1 1 1 1 11) c24m18 + 27t9 = ( c8m6)3 + (3t3)3 = ( c8m6 + 3t3)( c16m12 + 9t6 – c8m6t3); 27 3 3 9 12) 343a18b33 − 0,001c36 = (7a6b11)3 − (0,1c12)3 = = (7a6b11 − 0,1c12)(49a12b22 + 0,7a6b11c12 + 0,01c24).

36.12. Запишіть вираз у вигляді добутку: 1) x9 − y6 = (x3)3 − (y2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4); 2) −p12 − 27 = –(p12 + 27) = − ((p4)3 + 33) = –(p4 + 3)(p8 − 3p4 + 9) = (p4 + 3)(–p8 + 3p4 – 9); 3) −a9b6 + 1 = 1 − (a3b2)3 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4); 4) 216p15 + 0,008t18 = (6p5)3 + (0,2t6)3 = (6p5 + 0,2t6)(36p10 – 1,2p5t6 + 0,04t12); 5) 64m21с3 − p30 = (4m7c)3 − (p10)3 = (4m7c − p10)(16m14c2 + 4m7cp10 + p20); 6) 512t24p27 − 729x33 = (8t8p9)3 − (9a11)3 = (8t8p9 − 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22).

36.13. Виконайте множення: 1) (b3 − d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 − d6; 2) (c3 + 2p)(c6 − 2pc3 + 4p2) = c6 + 8p3; 3) (9x2 + 3xy + y2)(3x − y) = 27x3 − y3; 4) (4c + 3d)(16c2 − 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3; 5) (a8 − 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64; 6) (5m2 − 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 − 216p9.

36.14. Подайте у вигляді многочлена: 1) (a5 − m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 − m6; 2) (25a2 − 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3; 3) (2x − 7y2)(4x2 − 14xy2 + 49y4) = 8x3 − 343y6; 4) (3p2 + 4c3)(9p4 − 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9.

36.15. Виконайте дії: 1) (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a2 − 5) = a3 + 8 − a3 + 5a = 5a + 8; 2) (b − 3)(b2 + 3b + 9) − b(b − 3)(b + 3) = b3 − 27 − b(b2 − 9) = b3 − 27 − b3 + 9b = 9b − 27; 3) (x + 4)(x2 − 4x + 16) − (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + 64 − (x3 − 1) = x3 + 64 − x3 + 1 = 65; 4) (2b2 − 1)(4b4 + 2b2 + 1) − (2b3 + 1)2 = 8b6 − 1 − (4b6 + 4b3 + 1) = 8b6 − 1 − 4b6 − 4b3 − 1 = = −4b6 − 4b3 − 2.

36.16. Спростіть вираз: 1) (a − 4)(a2 + 4a + 16) − a(a − 2)(a + 2) = a8 − 64 – a(a2 – 4) = a3 − 64 – a3 + 4a = 4a − 64; 2) (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9) – (x2 – 2)(x4 − 2x2 + 4) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35; 3) b(b − 1)2 − (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 − 2b2 + b3 +125 = = 125 + b – 2b2; 4) (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = (a3 − 1)(a3 + 1) = a6 − 1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.17. Знайдіть значення виразу: 1) (2a + 1)(4a2 − 2a + 1) − 7a3 = 8a3 + 1 − 7a3 = a3 + 1. Якщо a = −2, то (−2)3 + 1 = −8 + 1 = −7.

2) (x2 + 5xy + 25y2)(x − 5y) + 25y3 − x3 = x3 − 125y3 + 25y3 − x3 = −100y3. Якщо x = −2015, то −100y3 = −100 × (0,1)3 = −100 × 0,001 = −0,1.

36.18. Розв’яжіть рівняння: 1) (x − 4)(x2 + 4x + 16) = x3 − 8x; 2) (x3 + 1)(x6 – x3 + 1) = x9 − 5x; x3 − 64 = x3 − 8x; x9 + 1 = x9 − 5x; 1 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8.

5x = −1; x = −1 : 5; x = − .

5 Відповідь: 8.

1 Відповідь: − .

5 3) (9x2 − 6x + 4)(3x + 2) = 3x(3x + 4)(3x − 4) + 32; 27x3 + 8 = 3x(9x2 − 16) + 32; 27x3 + 8 = 27x3 − 48x + 32; 48x = 32 − 8; 24 1 48x = 24; x = ; x = .

1

Відповідь: .

1

2

48

2

1

4) 8( x − 2)( x2 + x + 4) − x(x − 3)2 = 6x2 − 46; 2

4 1 3 8( x − 8) − x(x2 − 6x + 9) = 6x2 − 46; 8

x3 − 64 − x3 + 6x2 − 9x = 6x2 − 46; −9x = 64 − 46; −9x = 18; x = 18 : (−9); x = −2. Відповідь: −2.

36.19. Розв’яжіть рівняння: 1) (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 24x + x3; x3 − 8 = 24x + x3; 8 1 −24x = 8; x = − ; x = − .

1

Відповідь: − .

3

24

3

2) (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) = 2x(2x − 3)(2x + 3) + 37; 8x3 + 1 = 2x(4x2 − 9) + 37; 8x3 + 1 = 8x3 − 18x + 37; 18x = 37 − 1; 18x = 36; x = 2. Відповідь: 2.

36.20. Розкладіть на множники: 1) (a + 3)3 − a3 = (a + 3 − a)((a + 3)2 + a(a + 3) + a2) = 3 · (a2 + 6a + 9 + a2 + 3a + a2) = = 3 · (3a2 + 9a + 9) = 9(a2 + 3a + 3); 2) (x − 4)3 + 8 = (x − 4 + 2)(x − 4)2 − 2(x − 4) + 4 = = (x − 2)(x2 − 8x + 16 − 2x + 8 + 4) = (x − 2)(x2 − 10x + 28).

3) 27p3 − (p + 1)3 = (3p − p − 1)(9p2 + 3p(p + 1)) + (p + 1)2) = = (2p − 1)(9p2 + 3p2 + 3p + p2 + 2p + 1) = (2p − 1)(13p2 + 5p + 1); 4) 64x3 + (x − 1)3 = (4x + x − 1)(16x2 − 4x(x − 1) + (x − 1)2) = = (5x − 1)(16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x + 1) = (5x − 1)(13x2 + 2x + 1).

36.21. Розкладіть на множники: 1) (a + 1)3 + a3 = (a + 1 + a)(a2 + 2a + 1 + a2 + a + a2) = (2a + 1)(3a2 + 3a + 1); 2) (b – 2)3 − 8 = (b – 2 − 2)((b − 2)2 + 2(b – 2) + 4) = (b – 4)(b2 − 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = = (b – 4)(b2 – 2b +4); 3) 125b3 − (b − 1)3 = (5b – (b – 1))(25b2 + 5b(b − 1) + (b − 1)2) =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

= (5b −b + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1); 4) 64a3 + (a + 2)3 = (4a + a +2)(16a2 – 4a(a+2) + (a + 2)2) = = (5a + 2)(16a2 – 4a2 – 8a + a2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a2 – 4a + 4).

36.22. Доведіть, що дві останні цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями.

4153 + 853 = (415 + 85)(4152 − 415 · 85 + 852) = 500 · (4152 − 415 · 85 + 852). Останні дві цифри значення виразу є нулями, бо один із множників 500.

36.23. Чи ділиться число 1153 − 153 на 100?

1153 − 153 = (115 − 15)(1152 + 115 · 15 + 152) = 100(1152 + 115 · 15 + 152) ділиться на 100.

36.24. Обчисліть значення виразу

573 – 433

14 (57 – 43)(572 +57∙43 + 432 )

573 – 433

+ 57 · 43 зручним способом.

14∙(572 +57∙43 + 432 )

+ 57 · 43 = + 57 · 43 = + 57 · 43 = 14 14 14 = 572 + 57 · 43 + 432 + 57 · 43 = 572 + 2 · 57 · 43 + 432 = (57 + 43)2 = 1002 = 10000.

36.25. Доведіть, що різниця натурального трицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку, ділиться на 11. abc − cba = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99(a − c) = 11 × 9(a − c) ділиться на 11.

36.26. В одній упаковці було 90 зошитів, а в другій − 30. Коли з першої взяли вдвічі більше зошитів, ніж з другої, то в першій упаковці залишилося в 5 разів більше зошитів, ніж у другій. По скільки зошитів залишилося в кожній упаковці? Упаковка Було Стало І 90 зошитів 90 – 2x у 5 разів більше ІІ 30 зошитів 30 – x Нехай x зошитів взяли з другої упаковки, а 2x зошитів взяли з першої упаковки. Рівняння: 90 − 2x = 5(30 − x); 90 − 2x = 150 − 5x; −2x + 5x = 150 − 90; 3x = 60; x = 60 : 3; x = 20.

30 − 20 = 10 зошитів залишилося в другій упаковці, а 90 − 40 = 50 зошитів залишилося в першій упаковці. Відповідь: 10 і 50.

36.27. У Марини Олегівни є дисконтна картка книгарні «Олімп», за умовами якої покупцю надається знижка в розмірі 12% від вартості покупки. Скільки Марина Олегівна заплатить за книжку вартістю 90 грн, якщо використає дисконтну картку?

90 ∙ (1 – 0,12) = 90 ∙ 0,88 = 79,2 грн – заплатить за книжку.

36.28. Розкладіть на множники многочлен: 1) а3 + а2 = а2(а + 1); 2) 3c5 – 15с2 = 3с2(с3 – 5); 3) х2 + 6х + 9 = (х + 3)(х + 3); 4) 9х2 – 6х + 1 = (3х – 1)(3х – 1); 9 3 3 5) 0,81 – у2 = (0,9 – у)(0,9 + у); 6) 0,25а2 – b2 = (0,5a – b)(0,5a + b).

16 4 4 36.29. З українського фольклору. Жінка на базарі курей продавала. Першому покупцю вона продала половину всіх курей та ще пів курки. Другому – половину того, що залишилося, та ще пів курки. Третьому – половину того, що залишилося, та ще пів курки. Після цього з’ясувалося, що всіх курей продано, і задоволена жінка повернулася додому. Скільки курей вона винесла на продаж? Нехай жінка винесла на продаж x курей. Перший покупець придбав у неї 1 1 ( x + ) курей. Після цього залишилося: 2

2 𝑥𝑥 1

𝑥𝑥

1

𝑥𝑥

1

x − ( + ) = x − − = − (курей).

2

2

2

2

2

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Другий покупець купив: 1 𝑥𝑥 1 1 𝑥𝑥 1 1 𝑥𝑥 1 ( − ) + = − + = + (курей): 2 2 2 2 4 4 2 4 4 Після цього залишилося: 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 3 − − − = – (курей).

2 2 4 4 4 4 Третій покупець купив: 1 𝑥𝑥 3 1 𝑥𝑥 3 1 𝑥𝑥 1 ( − ) + = − + = + (курей): 2 4 4 2 8 8 2 8 8 Рівняння: 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 ( + ) + ( + ) + ( + ) = x; 2 7𝑥𝑥 8

2 7

4

+ = x;

1

8

7

4

8

8

− x=− ; 8

7

8

1

x = − : (− ); 7

8

8

8

x= · ; 8 1 x = 7. Відповідь: 7 курей. §37. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники 37.1. (Усно.) З формул виберіть ті, що є тотожностями: 1) (a + b)2 = a2 + ab + b2 — ні; 2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) — тотожність; 3) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 — тотожність; 4) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) — тотожність; 5) a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) — ні; 6) a2 − b2 = (a − b)2 — ні.

37.2. Які з формул є тотожностями: 1) (m − n)2 = m2 − mn + n2 — ні; 2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2) — ні; 3) p2 − q2 = (p − q)(p + q) — тотожність; 4) (c + d)2 = c2 + 2cd + d2 — тотожність; 5) m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) — тотожність; 6) a2 − b2 = (a + b)(a + b) — ні.

37.3. Закінчіть розкладання на множники: 1) xa2 − 9x = x(a2 − 9) = x(a2 − 32) = x(a − 3)(a + 3); 2) bm2 − 2mb + b = b(m2 − 2m + 1) = b(m − 1)2.

37.4. (Усно.) Розкладіть на множники: 1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y); 2) mp2 − m = m(p2 − 1) = m(p − 1)(p + 1); 3) b3 − b = b(b2 − 1) = b(b − 1)(b + 1).

37.5. Розкладіть на множники: 1) 5a2 − 5b2 = 5(a2 − b2) = 5(a − b)(a + b); 2) ap2 − aq2 = a(p2 − q2) = a(p − q)(p + q); 3) 2xm2 − 2xn2 = 2x(m2 − n2) = 2x(m − n)(m + n); 4) 7b2 − 7 = 7(b2 − 1) = 7(b − 1)(b + 1); 5) 16x2 − 4 = 4(4x2 − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1); 6) 75 − 27c2 = 3(25 − 9c2) = 3(5 − 3c)(5 + 3c); 7) 5mk2 − 20m = 5m(k2 − 4) = 5m(k − 2)(k + 2);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) 63ad2 − 7a = 7a(9d2 − 1) = 7a(3d − 1)(3d + 1); 9) 125px2 − 5py2 = 5p(25x2 − y2) = 5p(5x − y)(5x + y).

37.6. Подайте у вигляді добутку: 1) m3 − m = m(m2 − 1) = m(m − 1)(m + 1); 2) p2 − p4 = p2(1 − p2) = p2(1 − p)(1 + p); 3) 7a − 7a3 = 7a(1 − a2) = 7a(1 − a)(1 + a); 4) 9b5 − 9b3 = 9b3(b2 − 1) = 9b3(b − 1)(b + 1); 5) 81c3 – c5 = c3(81 – c2) = c3(9 − c)(9 + c); 6) 3a5 − 300a7 = 3a5(1 − 100a2) = 3a5(1 − 10a)(1 + 10a).

37.7. Розкладіть на множники: 1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y); 2) ma2 − 4mb2 = m(a2 − 4b2) = m(a − 2b)(a + 2b); 3) 28 − 7m2 = 7(4 − m2) = 7(2 − m)(2 + m); 4) p5 − p3 = p3(p2 − 1) = p3(p − 1)(p + 1); 5) b − 4b3 = b(1 – 4b2) = b(1 – 2b)(1 + 2b); 6) a5 – a3c2 = a3(a2 – c2) = a3(a – c)(a + c); 7) 15d − 15d3 = 15d(1 − d2) = 15d(1 − d)(1 + d); 8) 625b3 − b5 = b3(625 − b2) = b3(25 − b)(25 + b); 9) 500a5 − 45a3 = 5a3(100a2 − 9) = 5a3(10a − 3)(10a + 3).

37.8. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x2 − 27 = 0; 2) 5 − 20x2 = 0; 5(1 − 4x2) = 0; 3(x2 − 9) = 0; 5(1 − 2x)(1 + 2x) = 0; 1 3(x − 3)(x + 3) = 0; 1 − 2x = 0; −2x = −1; x = ; 2 x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3.

1 або 1 + 2x = 0; 2x = −1; x = − . Відповідь: 3; −3.

2 1 1 Відповідь: ; − .

2 2 37.9. Знайдіть корені рівняння: 1) 8 − 2x2 = 0; 2(4 − x2) = 0; 2) 75x2 − 3 = 0; 3(25x2 − 1) = 0; 2(2 − x)(2 + x) = 0; 3(5x − 1)(5x + 1) = 0; 1 2 − x = 0; x = 2; або 5x − 1 = 0; 5x = 1; x = ; або 5 2 + x = 0; x = −2.

1 5x + 1 = 0; 5x = −1; x = − . Відповідь: 2; −2.

5 1 1 Відповідь: ; − .

5

37.10. Розкладіть на множники: 1) 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a2 + 2ab + b2) = 3(a + b)2; 2) −2m2 + 4mn − 2n2 = −2(m2 − 2mn + n2) = −2(m − n)2; 3) −a2 − 4a − 4 = −(a2 + 4a + 4) = −(a + 2)2; 4) 6a2 + 24ab + 24b2 = 6(a2 + 4ab + 4b2) = 6(a + 2b)2; 5) 2am2 + 4am + 2a = 2a(m2 + 4m + 1) = 2a(m + 1)2; 6) 8a4 − 8a3 + 2a2 = 2a2(4a2 − 4a + 1) = 2a2(2a − 1)2.

37.11. Подайте многочлен у вигляді добутку: 1) −4a2 + 8ab − 4b2 = −4(a2 − 2ab + b2) = −4(a − b)2; 2) −25by2 − 10by − b = −b(25y2 + 10y + 1) = −b(5y + 1)2; 3) a5 + 6a4m + 9a3m2 = a3(a2 + 6am + 9m2) = a3(a + 3m)2; 4) 6by2 + 36by3 + 54by4 = 6by2(1 + 6y + 9y2) = 6by2(1 + 3y)2.

37.12. Знайдіть значення виразу: 1) 3m2 − 3n2 = 3(m − n)(m + n).  shkola.in.ua

5

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо m = 41, n = 59, то 3(m − n)(m + n) = 3(41 − 59)(41 + 59) = 3(−18) · 100 = −5400; 2) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2. Якщо x = 29, y = −28, то 2(x + y)2 = 2(29 − 28)2 = 2 · 1 = 2.

37.13. Знайдіть значення виразу: 1) 5x2 − 5y2 = 5(x − y)(x + y). Якщо x = 49, y = 51, то 5(x − y)(x + y) = 5(49 − 51)(49 + 51) = 5(−2)(100) = −1000.

2) 3a2 − 6ab + 3b2 = 3(a2 − 2ab + b2) = 3(a − b)2. Якщо a = 102, b = 101, то 3(a − b)2 = 3(102 − 101)2 = 3 · 1 = 3.

37.14. Подайте у вигляді добутку: 1) 3a3 − 3b3 = 3(a3 − b3) = 3(a − b)(a2 + ab + b2); 2) 7x3 + 7y3 = 7(x3 + y3) = 7(x + y)(x2 − xy + y2).

3) −pm3 − pn3 = −p(m3 + n3) = −p(m + n)(m2 − mn + n2); 4) 16a3 − 2 = 2(8a3 − 1) = 2(2a − 1)(4a2 + 2a + 1); 5) 125m + m4 = m(125 + m3) = m(5 + m)(25 − 5m + m2); 6) a7 − a4 = a4(a3 − 1) = a4(a − 1)(a2 + a + 1).

37.15. Розкладіть на множники: 1) bx3 − by3 = b(x3 − y3) = b(x − y)(x2 + xy + y2); 2) −2a3 − 2b3 = −2(a3 + b3) = −2(a + b)(a2 − ab + b2); 3) 8a – a4 = a(8 – a3) = a(2 − a)(4 + 2a + a2).

37.16. Розкладіть на множники: 1) a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9)(a2 + 9) = (a − 3)(a + 3)(a2 + 9); 2) 16 − c4 = 42 – (c2)2 = (4 − c2)(4 + c2) = (2 – c)(2 + c)(4 + c2); 3) x8 − 1 = (x4)2 – 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); 4) a4 – b8 = (a2)2 − (b4)2 = (a2 – b4)(a2 + b4) = (a – b2)(a + b2)(a2 + b4).

37.17. Доведіть: a8 – b8 = (a4)2 – (b4)2 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).

37.18. Розв’яжіть рівняння: 1) x3 − x = 0; 2) 112y − 7y3 = 0; x(x2 − 1) = 0; 7y(16 − y2) = 0; x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0 або 7y(4 − y)(4 + y) = 0; x − 1 = 0; x = 1 або 7y = 0; y = 0 або x + 1 = 0; x = −1.

4 − y = 0; y = 4 або Відповідь: 0; 1; −1.

4 + y = 0; y = −4. Відповідь: 0; 4; −4.

3) 64x3 + x = 0; x(64x2 + 1) = 0; x = 0; 64x2 + 1 > 0. Відповідь: 0.

4) y3 + 4y2 + 4y = 0; y(y2 + 4y + 4) = 0; y(y + 2)2 = 0; y = 0 або (y + 2)2 = 0; y + 2 = 0; y = −2. Відповідь: 0; −2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.19. Розв’яжіть рівняння: 1) y − y3 = 0; y(1 − y2) = 0; y(1 − y)(1 + y) = 0; (y = 0) або 1 + y = 0; y = 1 або 1 + y = 0; y = −1. Відповідь:0; 1; −1.

2) 5x3 − 180x = 0; 5x(x2 − 36) = 0; 5x(x − 6)(x + 6) = 0; x = 0 або x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6. Відповідь: 0; 6; −6.

3) 16y3 + y = 0; 4) x3 − 2x2 + x = 0; y(16y2 + 1) = 0; x(x2 − 2x + 1) = 0; y = 0 або 16y2 + 1 > 0. x(x − 1)2 = 0; (x = 0 або x − 1 = 0; x = 1. Відповідь: 0. Відповідь: 0; 1.

37.20. Розкладіть на множники: 1) 7ab + 21a − 7b − 21 = 7a(b + 3) − 7(b + 3) = (b + 3)(7a − 7) = 7(b + 3)(a − 1); 2) 6mn + 60 – 30m − 12n = (6mn – 30m) + (60 − 12n) = 6m(n − 5) + 12(5 − n) = = (n − 5)(6m − 12) = 6(n − 5)(m − 2); 3) −abc − 3ac − 4ab − 12a = −(ac(b + 3) − 4a(b + 3)) = −a(b + 3)(c − 4); 4) a3 – ab – a2b + a2 = (a3 − a2b) + (a2 − ab) = a2(a − b) + a(a − b) = (a – b)(a2 + a) = = a(a – b)(a + 1).

37.21. Подайте вираз у вигляді добутку: 1) 90 + 3ab − 45a − 6b = (90 − 45a) + (3ab − 6b) = 45(2 − a) + 3b(a − 2) = = (2 − a)(45 − 3b) = (2 − a) · 3(15 − b); 2) −3mn − 9m − 18n − 54 = − 3(mn + 3m + 6n + 18) = −3(m(n + 3) + 6(n + 3)) = = −3(n + 3)(m + 6); 3) a4x + a4 + a3x + a3 = a4(x + 1) + a3(x + 1) = (x + 1)(a4 + a3) = a3(x + 1)(a + 1); 4) p3a2 + pa2 − 3ap3 − 3ap = pa2(p2 + 1) − 3ap(p2 + 1) = (p2 + 1)(pa2 – 3ap) = (p2 + 1) · ap(a – 3).

37.22. Розкладіть на множники: 1) a2 + 2ab + b2 − 16 = (a + b)2 − 16 = (a + b − 4)(a + b + 4); 2) a2 − x2 − 2xy − y2 = a2 − (x2 + 2xy + y2) = a2 − (x + y)2 = (a + x + y)(a − x − y); 3) p2 − x2 + 10p + 25 = (p2 + 10p + 25) − x2 = (p + 5)2 − x2 = (p + 5 − x)(p + 5 + x); 4) p2 − x2 + 20x − 100 = p2 − (x2 − 20x + 100) = p2 − (x − 10)2 = (p + (x − 10))(p − (x − 10)) = = (p + x − 10)(p − x + 10).

37.23. Розкладіть на множники: 1) x2 + 2xy + y2 − 25 = (x + y)2 − 52 = (x + y + 5)(x + y – 5); 2) m2 − a2 + 2ab − b2 = m2 − (a2 − 2ab + b2) = m2 − (a − b)2 = (m − (a − b))(m + (a − b)) = = (m − a + b)(m + a − b).

3) m2 − a2 − 8m + 16 = (m2 − 8m + 16) − a2 = (m − 4)2 − a2 = (m − 4 − a)(m + 4 + a); 4) m2 − b2 − 8b − 16 = m2 − (b2 + 8b + 16) = m2 − (b + 4)2 = m2 − (b + 4)2 = = (m + b + 4)(m − b − 4).

37.24. Подайте вираз у вигляді добутку: 1) a2 − 81 + a − 9 = (a2 − 81) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9 + 1) = = (a – 9)(a + 10); 2) m2 – a2 – (a + m) = (m − a)(m + a) + (a + m) = (a + m)(m − a + 1); 3) x2 − y2 – x + y = (x2 − y2) – (x − y) = (x − y)(x + y) – (x − y) = (x – y)(x + y –1); 4) x + x2 – y – y2 = (x − y)(x2 − y2) = (x − y) + (x − y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y); 5) a − 3b + a2 − 9b2 = (a − 3b)(a2 − 9b2) = (a − 3b) + (a − 3b)(a + 3b) = (a − 3b)(1+ a + 3b); 6) 16m2 – 25n2 − 4m − 5n = (16m2 − 25n2) − (4m + 5n) = (4m – 5n)(4m + 5n) – (4m + 5n) = = (4m + 5n)(4m – 5n – 1).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.25. Розкладіть на множники: 1) a2 − b2 − (a − b) = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1); 2) p2 − b − p − b2 = p2 − b2 − (b + p) = (p − b)(p + b) − (p + b) = (p + b)(p − b − 1); 3) 16x2 − 25y2 + 4x − 5y = (4x − 5y)(4x + 5y) + (4x − 5y) = (4x − 5y)(4x + 5y + 1); 4) 100m2 − 10m + 9n − 81n2 = (100m2 − 81n2) + (9n − 10m) = = (10m − 9n)(10m + 9n) − (10m − 9n) = (10m − 9n)(10m + 9n − 1).

37.26. Перетворіть вираз на добуток: 1) p2(m − 3) − 2p(m − 3) + (m − 3) = (m − 3)(p2 − 2p + 1) = (m − 3)(p − 1)2; 2) 1 − a2 − 4b(1 − a2) + 4b2(1 − a2) = (1 − a2)(1 − 4b + 4b2) = (1 − a2)(1 − 2b)2 = = (1 − a)(1 + a)(1 − 2b)2.

37.27. Доведіть тотожність: c2(c − 2) − 10c(c − 2) + 25(c − 2) = (c − 2)(c2 − 10c + 25) = (c − 2)(c − 5)2.

37.28. Подайте у вигляді добутку: 1) ab2 – b3 – a + b = b2(a − b) – (a − b) = (a − b)(b2 − 1) = (a − b)(b – 1)(b + 1); 2) ax2 – a3 + 7x2 – 7a2 = a(x2 – a2) + 7(x2 – a2) = (x2 – a2)(a + 7) = (x – a)(x + a)(a + 7); 3) p3 + p2q − 4p − 4q = p2(p + q) − 4(p + q) = (p + q)(p2 − 4) = (p + q)(p − 2)(p + 2); 4) a3 − 5m2 + 5a2 − am2 = (a3 + 5a2) + (−5m2 − am2) = a2(a + 5) − m2(a + 5) = = (a + 5)(a2 − m2) = (a + 5)(a − m)(a + m).

37.29. Розкладіть на множники: 1) m3 + n3 + m + n = (m3 + n3) + (m + n) = (m + n)(m2 − mn + n2) + (m + n) = = (m + n)(m2 − mn + n2 + 1); 2) a − b − (a3 − b3) = (a − b) − (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)(1 − a2 − ab − b2); 3) a3 + 8 − a2 − 2a = (a3 + 8) − (a2 + 2a) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a + 2) = = (a + 2)(a2 − 2a + 4 − a) = (a + 2)(a2 − 3a + 4); 4) 8p3 − 1 − 12p2 + 6p = (8p3 − 1) − (12p2 − 6p) = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1) − 6p(2p − 1) = = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1 − 6p) = (2p − 1)(4p2 − 2p + 1).

37.30. Подайте у вигляді добутку: 1) m3 + m2n − m − n = m2(m + n) − (m + n) = (m + n)(m2 − 1) = (m + n)(m − 1)(m + 1); 2) ba2 − 3a2 − 4b + 12 = a2(b − 3) − 4(b − 3) = (b − 3)(a2 − 4) = (b − 3)(a − 2)(a + 2); 3) a3 − b3 + a − b = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 + 1); 4) (x3 + 1) + (−5x − 5) = (x + 1)(x2 − x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 − 5) = = (x + 1)(x2 − x − 4).

37.31. Розв’яжіть рівняння: 1) y3 − 5y2 − y + 5 = 0; 2) x3 = 2x2 + 4x − 8; y2(y − 5) − (y − 5) = 0; x3 – 2x2 − 4x + 8 = 0; 2 (y − 5)(y − 1) = 0; x2(x − 2) −4(x − 2) = 0; (x − 2)(x2 – 4) = 0; (y − 5)(y − 1)(y + 1) = 0; (x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0; y − 5 = 0; y = 5 або x − 2 = 0; x = 2 або y − 1 = 0; y = 1 або x + 2 = 0; x = −2. y + 1 = 0; y = −1. Відповідь: 5; 1; −1. Відповідь: 2; −2.

37.32. Для якого значення x: 1) значення виразу x3 − x2 − x + 1 дорівнює 2) значення виразів x3 − 9x і x2 − 9 між нулю; собою рівні?

3 2 x − x − x + 1 = 0; x3 − 9x − x2 − 9 = 0; x2(x − 1) − (x − 1) = 0; x3 − 9x − x2 + 9 = 0; (x − 1)(x2 − 1) = 0; (x3 − x2) + (−9x + 9) = 0; (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0; x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x − 1 = 0; x = 1 або x + 1 = 0; x = −1. Відповідь: 1; −1.

(x2 − 9)(x − 1) = 0; (x − 3)(x + 3)(x − 1) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3 або x − 1 = 0; x = 1. Відповідь: 3; −3; 1.

37.33. Запишіть у вигляді добутку: 1) 9(a + b)2 − (a2 − 2ab + b2) = 9(a + b)2 − (a − b)2 = (3(a + b) − (a − b))(3(a + b) + (a − b)) = = (3a + 3b − a + b)(3a + 3b + a − b) = (2a + 4b)(4a + 2b) = 4(a + 2b)(2a + b).

2)25(3y − 2m)2 − 36(9y2 + 12my + 4m2) = (5(3y − 2m))2 − (6(3y + 2m))2 = = (5(3y − 2m) + 6(3y + 3m))(5(3y − 2m) − 6(3y + 2m)) = = (15y − 10m + 18y + 12m)(15y − 10m − 18y − 12m) = (33y + 2m)(−3y − 22m) = = −(33y + 2m)(3y + 22m).

37.34. Розкладіть на множники: 1) a3 + 8b3 + a2 − 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) + (a2 − 2ab + 4b2) = = (a2 − 2ab + 4b2)(a + 2b + 1); 2) m3 − 8n3 + m2 − 4mn + 4n2 = (m3 − 8n3) + (m2 − 4mn + 4n2) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2) + (m − 2n)2 = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n).

37.35. Перетворіть многочлен на добуток многочленів: 1) a3 − b3 + a2 − 2ab + b2 = (a3 − b3) + (a2 − 2ab + b2) = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)2 = = (a − b)(a2 + ab + b2 + a − b); 2) c2 + 2cd + d2 − x2 − 2xy − y2 = (c2 + 2cd + d2) − (x2 + 2xy + y2) = (c + d)2 − (x + y)2 = = (c + d + x + y)(c + d − x − y).

37.36. Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередню квадрат двочлена: 1) x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1 − 1 − 3 = (x2 − 2x + 1) − 4 = (x − 1)2 − 22 = = (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1); 2) x2 + 8x − 9 = x2 − 2 · 4x + 42 − 42 − 9 = (x − 4)2 − 25 = (x − 4)2 − 52 = = (x − 4 − 5)(x − 4 + 5) = (x − 9)(x + 1); 3 3 3 3 9 3 25 3) x2 − 3x − 4 = x2 − 2 x + ( )2 − ( )2 − 4 = (x − )2 − − 4 = (x − )2 − = 3 2

5 2

2 3

5

2

3

2

5

2

4

= (x − ) – ( ) = (x − − )(x − + ) = (x − 4)(x + 4); 2

2

2

1

2

1 2

2

2 1 2

1

9

1

2

3

4

4) x + x − 2 = x + 2x · + ( ) − ( ) − 2 = (x + )2 − = x + ( )2 − ( )2 = 2

1

3

2

1

3

2

2

2

= (x + + )(x + − ) = (x − 1)(x + 2).

2

2

2

2

2

4

2

2

37.37. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу цілим. 𝑛𝑛³ − 𝑛𝑛

1

1

1

1

𝑛𝑛³ − 𝑛𝑛 6

є числом

= (n3 − n) = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1) — ціле число; 6 6 6 6 6 (n − 1)n(n + 1) — послідовність трьох цілих чисел, яка ділиться на 2 і 3, тобто на 6.

37.38. Спростіть вираз: 1) x(x + 1)(x + 2) − 3(x − 2)(x + 2) + 2(x − 6) = = (x2 + x)(x + 2) − 3(x2 − 4) + 2x − 12 = x3 + 2x2 + x2 + 2x – 3x2 + 12 + 2x – 12 = x3 + 4x.

2)(2x + 3y)(3y − x) − (2x − y)(5x − y) + (2x −3y)(5x + 2y) = = 6xy – 2x2 + 9y2 − 3xy) − 10x2 + 2xy + 5xy – y2 + 10x2 + 4xy – 15xy − 6y2 = = –xy − 2x2 + 2y2.

37.39. Розв’яжіть рівняння: 1 1 1 x((x − 2)2 + 4x) = 64( x − 1)( x2 + x + 1); 4

16

4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

x(x2 − 4x + 4 + 4x) = 64(( x)3 − 13); 1 + 4) = 64( x3 − 1); 64

4

x(x x3 + 4x = x3 − 64; 4x = −64; x = −64 : 4; x = −16. Відповідь: −16.

37.40. Супермаркет електроніки до річниці свого відкриття вирішив продати 141 планшет і 95 смартфонів зі знижками. Щогодини продавали по 12 акційних планшетів та по 10 акційних смартфонів. Через скільки годин від початку дій знижок акційних планшетів у супермаркеті залишилося утричі більше, ніж акційних смартфонів? Було Продавали за годину Залишилось Умови Планшет 141 141 – 12x У рази більше Смартфон 95 95 – 10x Нехай планшетів залишиться у 3 рази більше, ніж смартфонів, через х годин. За цей час супермаркет продав 12х планшетів і 10x смартфонів. Відповідно планшетів залишилося (141 – 12х) шт., а смартфонів — (95 – 10х) шт. Рівняння: 141 – 12х = 3(95 –10х); 141 – 12х = 285 – 30х; –12х + 30х = 285 – 141; 18х = 144; х = 8. Відповідь: через 8 годин.

37.41. Світлана вклала 60 000 грн у цінні папери, придбавши акції фірми «Альфа» на 15 000 грн, акції компанії «Бета» – на 20 000 грн, а решту вклала в акції фірми «Гамма». Через рік акції фірми «Альфа» подорожчали на 20%, акції компанії «Бета» – на 8%, а акції фірми «Гамма» подешевшали на 10%. Яким є загальний прибуток чи збиток Світлани за рік?

1) 15000 ∙ 0,2 = 3000 (грн) – прибуток з акцій «Альфа»; 2) 20000 ∙ 0,08 = 1600 (грн) – прибуток з акцій «Гама»; 3) 60000 – 15000 – 20000 = 25000 (грн) – вклала в акції «Гама» 4) 25000 ∙ 0,1 = 2500 (грн) – збиток з акцій «Гама»; 5) (3000 + 1600) – 2500 = 2100 (грн) – загальний прибуток. Відповідь: загальний прибуток склав 2100 грн.

37.42. Накресліть трикутник ABC та KLM. Знайдіть суму кутів кожного трикутника.

Cума кутів ΔABC: 60° + 45° + 75° = 180°; shkola.in.ua Cума кутів ΔKLM: 45° + 45° + 90° = 180°.

2

37.43. Тарас і Яна живуть в одному під’їзді на одному поверсі й навчаються в одній школі. Тарас пішки витрачає на дорогу до школи 12 хв, а Яна – 18 хв. Через 3 хвилини після того, як вийшла Яна, до школи вирушив і Тарас. Через який час після свого виходу він наздожене Яну? За 12 хв свого ходу Сашко ліквідовує 18 – 12 = 6 (хв) відставання від Марійки. Оскільки Сашко вирушив до школи через 3 хв після Марійки, то йому слід ліквідувати лише 3 хв відставання. Тоді трихвилинне відставання він ліквідує у 6 : 3 = 2 (рази) швидше, ніж шестихвилинне, тобто за 12 : 2 = 6 (хв).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА №7 (§§ 32-37) 1. Якому многочлену тотожно дорівнює вираз (m − n)2? (m – n)2 = m2 – 2mn + n2. Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток (a − x)(a + x): (а – х)(а + х) = а2 – х2. Відповідь: Б).

3. Подайте вираз x2 + 2xy + y2 у вигляді квадрата двочлена: x2 + 2ху + y2 = (х + у)2. Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x − 1)2 на многочлен: (5х – 1)2 = 25x2 – 10x + 1. Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен −16 + 9a2 на множники: –16 + 9а2 = 9а2 – 16 = (3а + 4)(3а – 4). Відповідь: В).

6. Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку: m3 + 64 = m3 + 43 = (m + 4)(m2 – 4m + 16). Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: x(x + 2) − (x − 3)2 = 7: х(х + 2) – (х – 3)2 = 7; x2 + 2х – x2 + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2. Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз (m2 + 2p)(m4 − 2m2p + 4p2): (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4p2) = (m2)3 + (2р)3 = m6 + 8p3. Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен 3ab − 3b + 6a − 6 на множники: 3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1). Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз x2 + 4x + 3? x2 + 4х + 3 = x2 + 4х + 4 – 1 = (х + 2)2 – 1. Вираз (х + 2)2 – додатний, тому найменше значення виразу (х + 2)2 – 1 дорівнює –1. Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 − x − 2 = 0: x3 + 2х2 – х – 2 = 0; x2(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2. Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз (b − 2)3 – b3 на множники: (b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) = = –2(3b2 – 6b + 4). Відповідь: В).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

13. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням, якщо x = 1,4 (А–Г): 1. 25х2 – 70х + 49 = (5х – 7)2 = (5 · 1,4 – 7)2 = (7 – 7)2 = 0.

2. (5х – 1)(25х2 + 5х + 1) – 125х3 = 125х3 + 1 – 125х3 = 1.

3. 72 – 120х + 50х2 = 2(25х2 – 60х + 36) = 2(5х – 6)2 = 2(7 – 6)2 = 2. Відповідь: 1 – Б; 2 – В; 3 – Г. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 32-37 1. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (р + а)2 = р2 + 2ра + а2; 2) (с – m)(с + m) = с2 – m2.

2. Розкладіть на множники: 1) t2 – 2tb + b2 = (t – b)2; 2) d2 – n2 = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями: 1) (р – а)2 = р2 – 2ра + a2 ≠ p2 – ра + а2 — не тотожність; 2) р3 + q3 = (p + q)(p2 – pq + q2) — тотожність; 3) m2 – c2 = (m – с)(m + с) — тотожність; 4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + dt + t2) ≠ (d – t)(d2 + 2dt + t2) — не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (3а – 5)2 = 9a2– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b2– 49.

5. Розкладіть многочлен на множники: 1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2; 2) –25 + 36х2 = (6х – 5)(6х + 5); 3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16); 4) 7c2 – 7d2 = 7(с – d)(c + d).

1 6. Спростіть вираз (2x + 3)2 + (7 − 2x)((7 + 2x)) та знайдіть його значення, якщо x = – .

12 (2х + 3)2 + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x2 + 12x + 9 + 49 – 4x2 = 12х + 58.

1 1 Якщо х = – , то 12х + 58 = 12 ∙ (– ) + 58 = –1 + 58 = 57.

12 12 7. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x3 – 50x = 0; 2) x3 – 10x2 + 25x = 0; 2х(х2 – 25) = 0; x(x2 – 10x + 25) = 0; 2х(х – 5)(х + 5) = 0; х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або x = 5 або х = –5; х = 0 або х = 5. Відповідь: –5; 0; 5; Відповідь: 0; 5.

8. Спростіть вираз: 1) (–4а + 3b)2 + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b2 – 24аb + 16а2 + 25b2 – 16а2 + 24аb = 34b2; 2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а3 – 8 – а(а2 – 9) = а3 – 8 – а3 + 9а = 9а – 8.

9. Доведіть, що для будь-якого значення змінної x вираз x2 + 8x + 17 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і для якого значення x? x2 + 8x + 17 = x2 + 8х + 16 + 1 = (х + 4)2 + 1 > 0. Отже, вираз набуває лише додатних значень. Найменшого значення 1 вираз (х + 4)2 + 1 набуває, якщо х + 4 = 0; х = –4.

10. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (а + 3)3 = (а + 3)2(а + 3) = (а2 + 6а + 9)(а + 3) = a3 + 3а2 + 6а2 + 18а + 9а + 27 = = а3 + 9а2 + 27а + 27; 2) (2m – 5)3 = (2m – 5)2(2m – 5) = (4m2 – 20m + 25)(2m – 5) = = 8m3 – 20m2 – 40m2 + 100m + 50m – 125 = 8m3 – 60m2 + 150m – 125.

11. Знайдіть дві останні цифри числа 2933 − 933.

2933 – 933 = (293 – 93)(2932 + 293 ∙ 93 + 932) = 2 ∙ 100 ∙ (2932 + 293 ∙ 93 + 932). Оскільки серед множників є число 100, то число закінчується двома нулями.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12. Розкладіть тричлен x2 + 6x − 7 на множники. х2 + 6х – 7 = х2 + 6х + 9 – 9 – 7 = (х +3)2 – 16 = (х + 3 – 4) ∙ (х + 3 + 4) = (x – 1)(х + 7). Вправи для повторення теми 7 До § 32 1. Піднесіть двочлен до степеня: 1) (x − p)2 = x2 − 2px + p2; 2) (m + a)2 = m2 + 2ma + a2; 3) (b − k)2 = b2 − 2bk + k2; 4) (y + c)2 = y2 + 2yc + c2.

2. Перетворіть вираз на многочлен: 2) (2b + 5)2 = 4b2 + 20b + 25; 1) (3a − 7)2 = 9a2 − 42a + 49; 3) (10m − 5k)2 = 100m2 − 100mk + 25k2; 4) (4p + 9q)2 = 16p2 + 72pq + 81q2; 1 1 5) (0,1m − 5p)2 = 0,01m2 − mp + 25p2; 6) ( a + 6b)2 = a2 + 2ab + 36b2.

6 36 3. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (a − 1)2 − (a − 2)2 = a2 − 2a + 1 − (a2 − 4a + 4) = a2 − 2a + 1 − a2 + 4a − 4 = 2a − 3. Якщо a = 1,5, то 2a − 3 = 2 · 1,5 − 3 = 3 − 3 = 0.

2) (3b + 2)2 + (3b − 2)2 = 9b2 + 12b + 4 + 9b2 − 12b + 4 = 18b2 + 8.

1 1 1 Якщо b = − , то 18(− )2 + 8 = 18(− ) + 8 = −2 + 8 = 6.

3 3 9 4. Знайдіть число, квадрат якого після збільшення цього числа на 3 збільшується на 159. x — число; x2 — квадрат числа; (x + 3)2 = x2 + 159; x2 + 6x + 9 = x2 + 159; 6x = 150; x = 25. Відповідь: 25.

5. Чи є рівність (a − b)2 = |a − b|2 тотожністю? Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|2 = (а – b)2. Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|2 = (–(а – b))2 = (а – b)2. Отже, рівність (а – b)2 = |a – b|2 є тотожністю.

6. Подайте у вигляді многочлена: 1) ((x + y) + a)2 = (x + y)2 + 2a(x + y) + a2 = x2 + 2xy + y2 + 2ax + 2ay + a2.

2) ((b − c) − d)2 = (b − c)2 − 2d(b − c) + d2 = b2 − 2bc + c2 − 2bd + 2dc + d2.

3) (m + n + 2)2 = m2 + n2 + 4 + 2mn + 4m + 4n.

4) (a + 3 − c)(a + 3 − c) = ((a + 3) − c)2 = (a + 3)2 − 2c(a + 3) + c2 = a2 + 6a + 9 − 2ac − 6c + c2. До § 33

7. Подайте у вигляді квадрата двочлена: 1) m2 − 2mp + p2 = (m − p)2; 2) b2 + 2by + y2 = (b + y)2; 3) a2 − 2 · a · 4 + 42 = (a − 2)2.

8. Розкладіть на множники: 1) m2 + 20m + 100 = (m + 10)2; 2) 49 − 14b + b2 = (7 − b)2; 1 1 1 3) 0,09x2 + 0,6x + 1 = (0,3x + 1)2; 4) − p + p2 = ( − p)2; 36 3 6 2 2 2 5) 4x + 20x + 25 = (2x + 5) ; 6) 14m − 12mp + 9p2 = (7m − 3p)2.

9. Знайдіть значення виразу: 1) −100m2 + 20m − 1 = −(100m2 − 20m + 1) = −(10m − 1)2. Якщо m = 0,1, то (10 · 0,1 − 1)2 = (1 − 1)2 = 0; якщо m = −0,9, то (10(−0,9) − 1)2 = (−10)2 = 100.

2) −4x2 − 12xy − 9y2 = −(4x2 + 12xy + 9y2) = −(2x + 3y)2. Якщо x = 0,03, y = −0,02, то − (2 · 0,03 + 3(−0,02)) = (−0,06 − 0,06) = 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

10. Розв’яжіть рівняння: 1 1) 3x2 − 2x + = 0; 3 9x2 − 6x + 1 = 0; (3x − 1)2 = 0; 3x − 1 = 0; 1 x= .

3

1

Відповідь: .

3

1

2) 5y2 + 2y + = 0; 5 25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0; 5y + 1 = 0; 1 5y = −1; y = − .

1

5

Відповідь: − .

5

11. Змініть один з коефіцієнтів многочлена так, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена (знайдіть три різних розв’язки): 1) 100m2 + 20mn + n2 = (10m + n)2; 2) 25a2 − 30ab + 9b2 = (5a − 3b)2.

12. Доведіть, що для будь-яких значень змінних вираз набуває лише невід’ємних значень: 1) 4x(4x − 10) + 25 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2 > 0; 2) (a − 2)((a − 2) + 2m) + m2 = (a − 2)(a − 2 + 2m) + m2 = = a2 − 2a + 2am − 2a + 4 − 4m + m2 = (a − 2 + m)2; 3) (a + b)(a + b + 8) + 16 = a2 + ab + 8a + ab + b2 + 8b = (a + b + 4)2. До § 34

13. Які з рівностей є тотожностями: 1) (b − x)(b + x) = b2 + x2; b2 − x2 = b2 + x2, не є тотожністю; 2) (c − d)(c + d) = c2 − d2 — тотожність; 3) (m + n)(m − n) = (m + n)2, не є тотожністю; 4) (p − q)(p − q) = p2 − q2 — тотожність.

14. Виконайте множення: 1) (c + 7)(7 − c) = 49 − c2; 2) (0,5m − 3)(0,5m + 3) = 0,25m2 – 9; 3) (3k + 7)(3k − 7) = 9k2 – 49; 4) (2p – 9q)(9a + 2p) = 4p2 – 81q2; 2 4 2 4 4 16 5) (10m + 9n)(9n – 10m) = 81n2 – 100m2; 6) ( c − d)( c + d) = c2 − d2.

3 5 3 5 9 25 15. Подайте у вигляді многочлена: 1) 4(a − 1)(a + 1) = 4(a2 − 1) = 4a2 − 4; 2) b(b − 2)(b + 2) = b(b2 − 4) = b3 − 4b; 3) 7p(p + 3)(p − 3) = 7p(p2 − 9) = 7p3 − 63p; 4) −3x(x + 4)(x − 4) = −3x(x2 − 16) = −3x3 + 48x.

16. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (1,9x − 3)(3 + 1,9x) + 0,39x2 = 3,61x2 − 9 + 0,39x2 = 4x2 − 9 = 4 · 22 − 9 = 4 · 4 − 9 = = 16 − 9 = 7; 2) 9,99 − (5y − 0,1)(5y + 0,01) = 9,99 − (25y2 − 0,01) = 9,99 − 25y2 + 0,01 = 10 − 15y2.

1 1 1 Якщо y = , то 10 − 25( )2 = 10 − 25 = 9; 5 5 25 3) (2x − 3y)(2x + 3y) − (3x + 2y)(3x − 2y) = 4x2 − 9y2 − (9x2 − 4y2) = = 4x2 − 9y2 − 9x2 + 4y2 = −5x2 − 5y2; Якщо x = 1,8, y = −1,8, то −5 · 1,82 – 5(−1,8)2 = −5 · 1,82 − 5 · 1,82 = −10 · 3,24 = −32,4.

1 1 4) (ab + 1)(ab − 1)(a2b2 + 1) = (a2b2 − 1)(a2b2 + 1) = a4b4 − 1 = 54 · ( ) − 1 = (5 )4 − 1 = 0.

5 5 17. Обчисліть: 740 · 340 − (2120 − 1)(2120 + 1) = 740 · 340 − (2140 − 1) = 740 · 340 − 2140 + 1 = 1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

До § 35

18. Які з рівностей є тотожностями: 1) m2 − p2 = (m + p)(m − p) — тотожність; 2) a2 – 72 = (a − 7)(a + 7) — тотожність; 3) c2 – d2 = (c – d)(c + d) — тотожність; 4) 92 – a2 = (9 – a)2 — не є тотожність.

19. Розкладіть на множники двочлен: 1) x2 − 49 = (x − 7)(x + 7); 2) 100 − p2 = (10 − p)(10 + p); 3) 0,04m2 − n2 = (0,2m − n)(0,2m + n); 4) 25x2 − 36y2 = (5x − 6y)(5x + 6y); 1 1 1 6) 121m2a2 − b2 = (11ma − b)(11ma + b).

5) 16a2 − b2c2 = (4a − bc)(4a + bc); 9 3 3 20. Розв’яжіть рівняння, де x – змінна: 1) a2x2 − b2 = 0; 2) x2 − 0,09a2 = 0; (ax − b)(ax + b) = 0; (x − 0,3a)(x + 0,3a) = 0; ax − b = 0; x = 0,3a; 𝑏𝑏 x = −0,3a. ax = b; x = ; 𝑎𝑎 Відповідь: 0,3a; −0,3a. або ax + b = 0; 𝑏𝑏 ax = −b; x = − . 𝑏𝑏

𝑎𝑎

𝑏𝑏

Відповідь: ; − . 𝑎𝑎 𝑎𝑎 21. Чи ділиться: 1) 1382 − 1362 = (138 − 136)(138 + 136) = 2 · 274 = 4 · 137 ділиться на 4; 2) 3492 − 3472 = (349 − 347)(349 + 347) = 2 · 696 = 2 · 3 · 232 = 6 · 232 ділиться на 6.

22. Розкладіть на множники вираз: 1) 9 − (2x − 8)(3x + 2) − 2x(5x + 10) = 9 − (6x2 + 4x − 24x − 16) − 10x2 − 20x = = 9 − 6x2 + 20x + 16 − 10x2 − 20x = 9 − 16x2 + 16 = 25 − 16x2 = (5 − 4x)(5 + 4x).

2) (3x + 5)(4x − 5) − 2x(2,5 + 1,5x) = 12x2 − 15x + 20x − 25 − 5x − 3x2 = = 9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5).

До § 36 23. Який з даних виразів є неповним квадратом суми виразів m і n, а який – неповним квадратом їх різниці: 2) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2; — неповний квадрат суми виразів m і n; 4) m2 − 2mn + n2 = (m − n)2; — неповний квадрат різниці виразів m і n.

24. Розкладіть на множники: 1) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2); 2) p3 + k3 = (p + k)(p2 − pk + k2); 1 1 1 1 3) a3 − 64 = (a − 8)(a2 + 8a + 16); 4) + b3 = ( + b)( − b + b2); 125 5 25 5 5) 0,001m3 − 1 = (0,1m − 1)(0,01m2 + 0,1m + 1); 6) 8x3 + 27p3 = (2x + 3p)(4x2 − 6xp + 9p2).

25. Доведіть, що значення виразу 373 + 133 ділиться на 50.

373 + 133 = (37 + 13)(372 − 37·13 + 132) = 50(372 – 37 · 13 + 132) — ділиться на 50, один із множників є 50.

26. Доведіть тотожність: x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x3 − xy + y2); (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = (x − y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 − xy + y2) = = (x3 – y3)(x3 + y3) = (x3)2 − (y3)2 = x6 − y6.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

До § 37

27. Закінчіть розкладання на множники: 1) ym2 − 4y = y(m2 − 4) = y(m2 − 22) = y(m – 2)(m + 2) ; 2) ca2 + 2ac + c = c(a2 + 2a + 1) = c(a + 1)2.

28. Розкладіть на множники многочлен: 1) mp2 − mq2 = m(p2 − q2) = m(p − q)(p + q); 2) 20a2 − 5 = 5(4a2 − 1) = 5(2a − 1)(2a + 1); 3) c − c3 = c(1 − c2) = (1 − c)(1 + c); 4) 64a2 − a4 = a2(64 − c2) = a(82 – a2) = a(8 – a)(8 + a); 5) 5x2 − 10xy + 5y2 = 5(x2 − 2xy + y2) = 5(x − y)2; 6) 2b + 4bn + 2bn2 = 2b(1 + 2n + n2) = 2b(1 + n)2.

29. Подайте у вигляді добутку: 1) 9a3 − 9b3 = 9(a3 − b3) = 9(a − b)(a2 + ab + b2); 2) 2mn − 2bn + 6m − 6b = (2mn − 2bn) + (6m − 6b) = 2n(m − b) + 6(m − b) = = (m − n)(2n + 6) = 2(m − b)(n + 3); 1 1 1 1 1 1 3) p4 − 1 = ( p2 − 1)( p2 + 1) = ( p − 1)( p + 1)( p2 + 1); 81 9 9 3 3 9 4) m2 − 4mn + 4n2 − 25 = (m2 − 4mn + 4n2) − 25 = (m − 2n)2 − 52 = (m − 2n − 5)(m − 2n + 5); 5) b2 − 36 + b − 6 = (b2 − 36) + (b − 6) = (b – 6)(b + 6) + (b − 6) = (b − 6)(b + 6 + 1); 6) m2 − 4m – m2n + 4n = (m2 – m2n) + (−4m + 4n) = m2(m – n) – 4(m – n) = = (m – n)(m2 – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).

30. Розкладіть на множники многочлен: 1) am4 − m4 − an2 + m2 = (am4 − m4) + (−am2 + m2) = m4(a − 1) − m2(a − 1) = = (a − 1)(m4 − m2) = m2(a − 1)(m2 − 1) = m2(a − 1)(m − 1)(m + 1); 2) a3b − a3 − ab + a = (a3b − a3) + (−ab + a) = a3(b − 1) − a(b − 1) = (b − 1)(a3 − a) = = (b − 1) · a(a2 − 1) = a(b − 1)(a − 1)(a + 1); 3) (b3 + 1) + (−b2 − b) = (b + 1)(b2 − b + 1) − b(b + 1) = (b + 1)(b2 − b + 1 − b) = = (b + 1)(b2 – 2b + 1) = (b + 1)(b − 1)2; 4) x3 − 27 + x4 − 9x2 = (x3 − 27) + (x4 − 9x2) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x2(x − 3)(x + 3) = = (x − 3)(x2 + 3x + 9 + x2 (x + 3)) = (x − 3)(x3 – 4x2 + 3x + 9).

31. Доведіть тотожність: 1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)2 – 4 ) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3) — тотожність доведена; 2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m2 + 9 – 6m)(m2 + 9 + 6m) = (m – 3)2(m + 3)2 — тотожність доведена. ТЕМА 8. СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА. ПРЯМОКУТНІ ТРИКУТНИКИ § 38. Сума кутів трикутника

38.1. Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°, тому: ∠P + ∠L + ∠K = 180° 38.2.

1) Ні, бо 30° + 60° + 70° = 160°, а сума кутів трикутника дорівнює 180°.

2) Так, оскільки 70° + 40° + 70° = 180°.

38.3.

1) Ні, оскільки 50° + 70° + 80° = 200° ≠ 180°.

2) Так, оскільки 30° + 60° + 90° = 180°.

38.4. Нехай ∠A — невідомий кут трикутника.

1) ∠A = 180° - (43° + 54°) = 180° - 97° = 83°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.

38.5. Нехай ∠3 — невідомий кут трикутника.

1) ∠3 = 180° - (15° + 38°) = 180° - 53° = 127°.

2) ∠3 = 180° - (28° + 105°) = 180° - 133° = 47°.

3) ∠3 = 180° - (7° + 91°) = 180° - 98° = 82°.

38.6.

1) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші два гострі; 2) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші два гострі.

38.7. ∠3 = 180° - 126° = 54°.

38.8. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 58° = 122°.

38.9. Нехай ∠1 = 62°. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.

38.10. Нехай в ΔABC AB = BC. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA. shkola.in.ua AB = AC, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°. Відповідь: 60°.

38.11. Нехай ΔABC — рівнобедрений, AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 70°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°. shkola.in.ua Відповідь: 40°.

38.12.

shkola.in.ua

38.13.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 45°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°. Відповідь: 90°.

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AC = AB, ∠CAB = 80°. ∠ACB = ∠ABC — як кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°. Отже, ∠ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°. Відповідь: 50°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.14.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AC = AB, ∠CAB = 50°. ∠ACB = ∠ABC — як кути при основі рівнобедреного трикутника. ∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°. Отже, ∠ACB = ∠ABC = 130° : 2 = 65°. Відповідь: 65°.

38.15.

shkola.in.ua

38.16.

shkola.in.ua

38.17.

shkola.in.ua

38.18.

shkola.in.ua

Мал. 1. ∠ABC = 70° (як вертикальний кут з кутом, який дорівнює 70°). ∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° (80° + 70°) = 180° - 150° = 30°. Мал. 2. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°). ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° (75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.

Мал. 1. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°). ∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°. Мал. 2. ∠NML = 180° - 140° = 40° (як суміжний кут з кутом, рівним 140°). ∠MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML) = 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.

У ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 70°. ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°. Оскільки CP — бісектриса кута C, то ∠ACP = ∠PCB = 60° : 2 = 30°. Відповідь: 30°.

У ΔABC ∠B = 65°, ∠ACP = 40°. Оскільки CP — бісектриса кута C, то ∠ACB = 2∠ACP = 2 × 40° = 80°. Отже, ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°. Відповідь: 35°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.19. shkola.in.ua

38.20. shkola.in.ua

У трикутнику MNL ∠M + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°. ∠M + ∠N + ∠L = 180° — як сума кутів трикутника. ∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°, ∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°, ∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°. Відповідь: 60°, 80°, 40°. У ΔABC ∠A + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° — як сума кутів трикутника. ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°, ∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°, ∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°. Відповідь: 80°, 50°, 50°.

38.21. Припустимо, що в трикутнику всі кути менші від 60°. Тоді сума кутів трикутника менша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не менший ніж 60°.

38.22. Припустимо, що в трикутнику всі кути більші за 60°. Тоді сума кутів трикутника більша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не більший за 60°.

38.23. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 5x. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°. Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°. Відповідь: 45°, 60°, 75°.

38.24. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х. Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

10х = 180°; х = 18°. Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 × 18° = 36°, 3 × 18° = 54°, 5 × 18° = 90°. Відповідь: 36°, 54°, 90°.

38.25. Нехай ΔKLM — рівнобедрений, ∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°. Складемо рівняння: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. shkola.in.ua Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°. Відповідь: 50°, 65°, 65°.

38.26.

Нехай ΔKLM — рівнобедрений, ∠K = ∠M = x, тоді ∠L = x + 24°. Складемо рівняння: x + x + (x + 24°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). shkola.in.ua 3x + 24° = 180°; 3x = 156°; x = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°. Відповідь: 52°, 52°, 76°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.27. Припустимо, що кути в основі рівнобедреного трикутника не гострі, тобто прямі або тупі. Тоді сума цих двох кутів дорівнює 180° або більша за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення є невірним. Кути в основі рівнобедреного трикутника гострі.

38.28.

I випадок. Припустимо, що кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді сума кутів в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - 60° = 120°. Оскільки кути в основі рівні, кожен з них дорівнює 60°. Отже, всі кути трикутника по 60°, тобто трикутник — рівносторонній.

II випадок. Нехай кут в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді і другий кут в основі дорівнює 60°. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника кут у вершині дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином, всі кути трикутника по 60°, отже, трикутник — рівносторонній.

38.29.

1) Нехай ∠C = х, тоді ∠В = х + 14°. Маємо рівняння: 80° + х + х + 14° = 180°; 2х = 180° – 94°; 2х = 86°; shkola.in.ua х = 86° : 2; х = 43°. Отже, ∠С = 43°; ∠В = 43° + 14° = 57°.

2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х. Маємо рівняння: 80° + х + 3х = 180°; х + 3х = 180° – 80°; 4х = 100°; х = 25°; Отже, ∠B = 25°; ∠C = 3 × 25° = 75°.

shkola.in.ua

∠В

shkola.in.ua

Відповідь: 38.30.

shkola.in.ua

2

3) = . Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠С 3 ∠В = 2х, ∠С = 3х: 80° + 2х + 3х = 180°; 2х + 3х = 180° – 80°; 5х = 100°; х = 20°; 20° ∙ 2 = 40° – ∠В; 20° ∙ 3 = 60° – ∠С

75° 57° 60° 57° 25° 43° 57° 40° К О Р О Л Ь О В

Нехай один з кутів трикутника дорівнює x, тоді другий – 2x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + 2x + 36° = 180°; 3x = 144°; x = 48. Отже, один з кутів дорівнює 48°, другий – 48° × 2 = 96°. Відповідь: 48°, 96°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.31.

shkola.in.ua

38.32.

shkola.in.ua

38.33.

shkola.in.ua

Розглянемо ΔAOB і ΔDOC. ∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути). ∠A = 180° - (∠B + ∠AOB), ∠D = 180° - (∠C + ∠DOC). Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D. Отже, ΔAOB = ΔDOC за другою ознакою рівності трикутників.

BC = B1C1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. У ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B). У ΔA1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1). Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою ознакою рівності трикутників (BC = B1C1, ∠B = ∠B1 - за умовою, ∠C = ∠C1 - за розв'язанням).

Нехай у ΔABC ∠A = 46°, ∠C = 64°, AP — бісектриса ∠A, СК — бісектриса ∠C. Розглянемо ΔAOC. 46° Оскільки AP — бісектриса ∠A, то ∠OAC = = 23°.

2 64°

Оскільки СК — бісектриса ∠C, то ∠OCA = = 32°.

2 Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°. Звідси ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°. Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC. Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°. Відповідь: 55°.

38.34. Нехай у ΔABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. BM ⊥ AC, AK ⊥ BC. У ΔABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки BM — висота). shkola.in.ua ∠A + ∠ABM + ∠BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°. З ΔABK: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ BC).

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°. Звідси ∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°. Розглянемо ΔAOB. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°. Звідси ∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°. Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, яким належать висоти, буде кут суміжний з кутом BOA, це кут ∠AOM = 180° - 150° = 30°. Відповідь: 30°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.35.

1) I випадок. Нехай кут 12° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі трикутника дорівнює 180° - 12° = 168°. Отже, кожен із кутів в основі дорівнює 168° : 2 = 84°. Відповідь: 12°, 84°, 84°.

II випадок. Нехай кут 12° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 12°. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°. Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2) Один з кутів дорівнює 92°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Відповідь: 92°, 44°, 44°.

38.36.

1) I випадок. Нехай кут 28° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 28° = 152°, а кожен з кутів дорівнює 152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Відповідь: 28°, 76°, 76°.

II випадок. Нехай кут 28° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 28°, оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124°. Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 106° = 74°, а кожен з кутів дорівнює 74° : 2 = 37° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні між собою). Відповідь: 106°, 37°, 37°.

38.37. Нехай a ∥ b, c — січна. ∠DAB і ∠EBA — внутрішні односторонні кути, AC — бісектриса кута DAB, BC — бісектриса кута ABE. shkola.in.ua ∠DAB + ∠EBA = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх 1 кутів). Оскільки АС — бісектриса ∠DAB, то ∠BAC = ∠DAB. 1

2

Оскільки ВС — бісектриса ∠EBA, то ∠ABC = ∠EBA. 1

1

1

1

2

Отже, ∠BAC + ∠ABC = ∠DAB + ∠EBA = (∠DAB + ∠EBA) = × 180° = 90°.

2 2 2 2 З ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°. Отже, бісектриси двох внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній перетинаються під прямим кутом.

38.38.

I випадок. Кут у вершині удвічі більший за кут в основі. Нехай кут в основі дорівнює x, тоді кут при вершині дорівнює 2x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + 2x = 180°; 4x = 180°; x = 45°. Отже, кути в основі дорівнюють 45° кожен, кут у вершині - 2 × 45° = 90°. Відповідь: 45°, 45°, 90°.

II випадок. Кут в основі рівнобедреного трикутника удвічі більший за кут у вершині. Нехай кут у вершині дорівнює x, тоді кожен з кутів в основі дорівнює 2x.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: 2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже, кут у вершині дорівнює 36°, а кожен з кутів в основі дорівнює 36° × 2 = 72°. Відповідь: 72°, 72°, 36°.

38.39.

I випадок. Нехай кут у вершині дорівнює x, тоді кут в основі дорівнює x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180°; 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, кут у вершині дорівнює 50°, тоді кожен з кутів в основі дорівнює 50° + 15° = 65°. Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут в основі трикутника дорівнює x, тоді кут у вершині дорівнює x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + x + 15° = 180°; 3x = 165°; x = 55°. Отже, кожен з кутів в основі дорівнює 55°, тоді кут у вершині дорівнює 55° + 15° = 70°. Відповідь: 55°, 55°, 70°.

38.40. Нехай ΔKLM — рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°, KP — бісектриса ∠K, KP = 5 см. Оскільки KP — бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM. shkola.in.ua ∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

Звідси ∠KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°. Отже, ∠KPM = ∠LMK. За ознакою рівнобедреного трикутника ΔKPM — рівнобедрений.

KM = KP = 5 см.

38.41.

PK = PL - KL = 56 мм - 3 см 4 мм = 56 мм - 34 мм = 22 мм.

38.42. shkola.in.ua

38.43. shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠1 = ∠3 — як вертикальні кути. ∠4 = ∠2 — як вертикальні кути. Якщо ∠1 = ∠2 (за умовою), то ∠3 = ∠4 — внутрішні різносторонні кути. За наслідком 1, якщо при перетині двох прямих січною внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні. Отже, m ∥ n.

I випадок. ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 60° - 40° = 20°.

II випадок. ∠BOC = ∠AOC + ∠AOB = 60° + 40° = 100°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.44.

ΔABC = ΔABD, оскільки AB = AC = CB, AB = AD = DB. У рівних трикутників відповідні кути рівні, тобто ∠CAB = ∠DAB = 60° (як кути рівностороннього трикутника). ΔCAD — рівнобедрений.

AO — бісектриса, проведена з вершини трикутника до основи. За властивістю бісектриси рівнобедреного трикутника, вона є і висотою, тобто AO ⊥ CD, O ∈ AB, отже, AB ⊥ CD.

shkola.in.ua

38.45.

1.

1) 20 ∙ 6 = 120 (м2) – площа клумби; 2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.

2.

1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) – ціна упаковки зі знижкою; 2) 7200 : 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин; 3) 2400 ∙ 23,8 = 57120 (грн) – потрібно заплатити за тюльпани. Відповідь: 1) 23,8 грн; 2) 57120 грн.

38.46.

shkola.in.ua

39.1.

§ 39. Зовнішній кут трикутника та його властивості. Співвідношення між сторонами і кутами трикутника Кут 1 – зовнішній кут трикутника ABC. shkola.in.ua

39.2.

∠BAK – зовнішній кут при вершині A.

shkola.in.ua

39.3. shkola.in.ua

∠NDP – зовнішній кут при вершині D.

39.4. Оскільки зовнішній кут трикутника завжди є суміжним з кутом цього трикутника, то, за властивістю суміжних кутів, їх сума дорівнює 180°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.5.

shkola.in.ua

39.6.

∠A + ∠B = 65° – за властивістю зовнішнього кута трикутника.

Зовнішній кут трикутника при вершині C дорівнює 70° згідно з властивістю зовнішнього кута трикутника. shkola.in.ua

39.7. shkola.in.ua

39.8. shkola.in.ua

Згідно теореми, проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки. Отже, ∠P > ∠K. PK > PL, оскільки проти більшого кута трикутника лежить більша сторона (за умовою ∠L > ∠K).

39.9.

Згідно з теоремою 1 ∠KCA = ∠A + ∠B = 37° + 62° = 99°. Відповідь: 99°.

shkola.in.ua

39.10.

Згідно з теоремою 1 ∠KCB = ∠A + ∠B = = 43° + 102° = 145°. Відповідь: 145°. shkola.in.ua

39.11. Оскільки серед внутрішніх кутів трикутника не може бути більше одного тупого кута, то серед зовнішніх кутів трикутника не може бути більше одного гострого кута.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.12.

shkola.in.ua

39.13.

shkola.in.ua

39.14.

shkola.in.ua

39.15. shkola.in.ua

39.16.

shkola.in.ua

39.17. shkola.in.ua

Нехай ΔABC — рівнобедрений. ∠KBC — зовнішній кут при вершині В. ∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1). Отже, ∠BAC + ∠BCA = 100°, ∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні). Відповідь: 50°. Нехай ΔMNK — рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55°. ∠DNK — зовнішній кут при вершині N. За властивістю зовнішнього кута маємо: ∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110°. Відповідь: 110°.

Нехай ∠CAP = 105° (зовнішній кут при вершині A), ∠C = 45°. ∠CAP = ∠B + ∠C — за властивістю зовнішнього кута трикутника. Звідси ∠B = ∠CAP - ∠C = 105° - 45° = 60°. Відповідь: 60°.

Нехай ∠BCD — зовнішній кут при вершині C, ∠A = 18°, ∠BCD = 120°. ∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута трикутника). Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102°. Відповідь: 102°.

Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°. ∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника). ∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом C). ∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з кутом A). Відповідь: 115°, 110°, 135°.

Нехай ΔKLM — даний трикутник, ∠NKL = 110°, ∠LMP = 140°. ∠NKL + ∠LKM = 180° (як суміжні кути). Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°. ∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°. ∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника). Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°. Відповідь: 70°, 70°, 40°.

39.18.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

28° 55° 85° 28° 112° 55° П Р А П О Р 39.19.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠BAD = 140°. Нехай ∠B = x, тоді ∠C = x + 30°. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠BAD = ∠B + ∠C. Складемо рівняння: x + x + 30° = 140°; 2x = 110°; x = 55°. Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°. Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠B = x, тоді ∠C = 4x. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠C. Складемо рівняння: x + 4x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° × 4 = 112°. Відповідь: 28°, 112°.

1) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠B = x, тоді ∠A = x + 20°. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠A + ∠B. Складемо рівняння: x + x + 20° = 120°; 2x = 100°; x = 50°. Отже, ∠B = 50°, ∠A = 50° + 20° = 70°. Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠A = x, ∠B = 3x. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠BCD = ∠A + ∠B. Складемо рівняння: x + 3x = 120°; 4x = 120°; x = 30°. Отже, ∠A = 30°, ∠B = 3 × 30° = 90°. Відповідь: 30°, 90°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.20.

39.21.

I випадок. Нехай ΔABC — даний рівнобедрений трикутник (AB = BC), ∠A = ∠C. За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠DBC = ∠A + ∠C = 118°, shkola.in.ua ∠A = ∠C = 118° : 2 = 59°. ∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62°. Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок. Нехай ΔABC — даний рівнобедрений трикутник (BA = BC). ∠DAB і ∠BAC — суміжні, їх сума дорівнює 180°. ∠BAC = 180° - 118° = 62°. shkola.in.ua Оскільки ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠BCA = 62°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56°. Відповідь: 62°, 62°, 56°.

shkola.in.ua

39.22.

shkola.in.ua

39.23.

I випадок. Зовнішній кут при вершині. Нехай ΔABC — даний рівнобедрений трикутник (AB = BC). ∠A = ∠C (як кути в основі рівнобедреного трикутника). ∠BDC = ∠A + ∠C за властивістю зовнішнього кута трикутника.

42° = ∠A + ∠C, звідси ∠A = ∠C = 42° : 2 = 21°. ∠B = 180° - 42° = 138°. Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут при основі. Цей випадок неможливий, бо тоді кути в основі будуть тупими, а у трикутнику можливий тільки один тупий кут.

Нехай ΔKNL — даний трикутник. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо: ∠RML = ∠K + ∠L, ∠MLN = ∠K + ∠M, ∠PKM = ∠M + ∠L. Додамо рівності: ∠RML + ∠MLN + ∠PKM = ∠K + ∠L + ∠K + ∠M + ∠M + ∠L = 2(∠K + ∠L + ∠M) = 2 × 180° = 360°. Отже, сума зовнішніх кутів будьякого трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

shkola.in.ua

Нехай 3х, 5х і 4х — градусні міри зовнішніх кутів трикутника. Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, складемо рівняння: 3х + 5х + 4х = 360°; 12х = 360°; х = 30°. Таким чином, зовнішні кути трикутника дорівнюють: 3 × 30° = 90°, 5 × 30° = 150°, 4 × 30° = 120°. Знайдемо кути трикутника. Оскільки зовнішні кути трикутника суміжні з кутами трикутника, то вони відповідно дорівнюють 90°, 30°, 60° і відносяться як 3 : 1 : 2. Відповідь: 3 : 1 : 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.24.

shkola.in.ua

39.25.

shkola.in.ua

39.26. shkola.in.ua

Нехай градусні міри кутів трикутника ∠K = 7x, ∠L = 8x, ∠M = 9x. Оскільки зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, несуміжних з ним, маємо: ∠NLK = ∠K + ∠M = 7x + 9x = 16x. ∠PKL = ∠L + ∠M = 8x + 9x = 17x. ∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15x. Отже, відношення зовнішніх кутів 17 : 16 : 15. Відповідь: 17 : 16 : 15. Нехай ΔPLK — даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR — суміжні. KM — бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM. KN — бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180°, ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180°, 2∠LKM + 2∠LKN = 180°, 2(∠LKM + ∠LKN) = 180°, ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.

Нехай ОК — промінь, що проходить між сторонами ∠AOB, ∠AOK = x, ∠KOB = 90° - x. ∠KOB - ∠AOK = (90° - x) - x = 90° - 2x.

1

∠AOK + ∠KOB = 90°, (∠AOK + ∠KOB) = 30°.

3

39.27.

Отже, 90° - 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°. ∠AOK = 30°, ∠KOB = 90° - 30° = 60°. Відповідь: 30°, 60°.

Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см. Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 = 22,8; 5x = 21; x = 4,2. Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см. Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.

39.28.

1.

1) 2 ∙ (32 + 18) = 100 (м) – периметр прямокутної ділянки; 2) 32 ∙ 18 = 576 (м2) – площа ділянок; 3) S□ = a2; a2 = 576 = 24 ∙ 24 ⇒ a = 24 (м) – сторона квадратної ділянки; 4) 24 ∙ 4 = 96 (м) – периметр квадратної ділянки.

100 м > 97 м; 96 м < 97 м. Відповідь: садівник зможе огородити квадратну ділянку.

2.

1) 100 + 96 = 196 (м) – всього потрібно паркану; 2) 196 – 97 = 99 (м) – потрібно докупити. Відповідь: 99 м.

39.29. АВ = 6 см, ВС = 3 см. АВ : ВС = 6 : 3 = 2 (рази) Відповідь: сторона ВС у 2 рази менша від сторони АВ. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.30.

СМ = 3 см; АВ = 6 см; АВ : СМ = 6 : 3 = 2 (рази). Відповідь: медіана СМ у 2 рази менша від сторони АВ.

shkola.in.ua

39.31.

shkola.in.ua

40.1.

§ 40. Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників

shkola.in.ua

1) Прямокутний; 2) MK – гіпотенуза, NK та MN – катети; 3) Найдовшою в прямокутному трикутнику завжди є гіпотенуза. В цьому випадку це сторона MK.

40.2. shkola.in.ua

1) PF — гіпотенуза, PL і LF — катети.

2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF — гіпотенуза.

40.3.

На мал. 1 трикутники рівні за двома катетами. Оскільки AC = ML, CB = LP, то ΔACB = ΔMLP. На мал. 2 трикутники рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ΔNFE = ΔDKO.

shkola.in.ua

40.4.

shkola.in.ua

На мал. 1 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, ∠C = ∠B, то ΔCMK = ΔBAP. На мал. 2 трикутники рівні за катетом і гіпотенузою. Оскільки EF = LN, DF = QN, то ΔEDF = ΔLQN.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.5.

1) Нехай ∠B = 18°, тоді ∠C = 90° - ∠B = 90° - 18° = 72°.

2) Якщо ∠L = 87°, тоді ∠M = 90° - 87° = 3°. Відповідь: 1) 72°; 2) 3°.

shkola.in.ua

40.6.

1) Нехай ∠M = 75°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 75° = 15°.

2) Нехай ∠R = 23°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 23° = 67°. Відповідь: 1) 15°; 2) 67°.

shkola.in.ua

40.7.

shkola.in.ua

40.8.

shkola.in.ua

40.9.

shkola.in.ua

40.10. shkola.in.ua

Нехай ΔABC — прямокутний і рівнобедрений (∠B = 90°, BA = BC). ∠A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90° і вони рівні, то ∠A = ∠C = 90° : 2 = 45°. Відповідь: 90°, 45°, 45°.

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AB = BC, ∠A = 45°, тоді ∠C = 45° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° 90° = 90°. Отже, ΔABC — прямокутний.

1) Згідно з властивістю 3, катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

1 1 Отже, BC = AB = × 14 = 7 (см).

2 2 2) AB = 2BC = 2 × 5 = 10 (дм). Відповідь: 1) 7 см; 2) 10 дм.

Оскільки у прямокутному трикутнику ΔPFL ∠F = 90°, ∠L = 30°, то: 1 1 1) PF = PL = × 12 = 6 (дм); 2 2 2) PL = 2PF = 2 × 4 = 8 (см). Відповідь: 1) 6 дм; 2) 8 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.11.

shkola.in.ua

40.12.

shkola.in.ua

40.13. shkola.in.ua

40.14.

shkola.in.ua

40.15.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠ABK = 36°, ∠KBC = 64°. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 36° + 64° = 100°. З прямокутного ΔABK маємо: ∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 36° = 54°. З прямокутного ΔCBK маємо: ∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 64° = 26°. Відповідь: 100°, 54°, 26°.

Нехай ΔKLM — рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN — медіана рівнобедреного трикутника, то LN — бісектриса і висота ΔKLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 × 31° = 62°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠K + ∠M + ∠L = 180°, ∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 62° = 118°. ∠K = ∠M як кути в основі рівнобедреного трикутника. ∠K = ∠M = 118° : 2 = 59°. Відповідь: 62°, 59°, 59°. ΔABC = ΔKLC (оскільки BC = CL за умовою, ∠BCA = ∠LCK — як вертикальні кути) за гіпотенузою і гострим кутом.

У прямокутних трикутниках MPK і MLK ∠PMK = ∠LMK — за умовою, MK — спільний катет. Отже, ΔMPK = ΔMLK за катетом і прилеглим кутом.

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = x°, тоді ∠A = x° + 28°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо рівняння: x + x + 28° = 90°; 2x = 90° - 28° = 62°; x = 62° : 2 = 31°. Отже, ∠B = 31°, ∠A = 31° + 28° = 59°. Відповідь: 31°, 59°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 5x°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°. Отже, ∠A = 15°, ∠B = 15° × 5 = 75°. Відповідь: 15°, 75°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

3) Нехай в прямокутному ΔABC градусна міра ∠A = 2x°, ∠B = 3x°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°. Отже, ∠A = 2 × 18° = 36°, ∠B = 3 × 18° = 54°. Відповідь: 36°, 54°.

Відповідь: українська поетеса Ліна Василівна Костенко.

15° 31° 54° 59° 36° 75° 15° 31° К О С Т Е Н К О 40.16.

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 4x°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18°. shkola.in.ua Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° × 4 = 72°. Відповідь: 18°, 72°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x, тоді ∠B = x + 16°. Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо: x + x + 16° = 90°; 2x = 74°; x = 37°. shkola.in.ua Отже, ∠A = 37°, ∠B = 37° + 16° = 53°. Відповідь: 37°, 53°.

3) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = 5x, ∠A = 4x. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то маємо: 5x + 4x = 90°; 9x = 90°; x = 10°. shkola.in.ua Отже, ∠B = 5 × 10° = 50°, ∠A = 4 × 10° = 40°. Відповідь: 50°, 40°.

40.17.

shkola.in.ua

40.18.

shkola.in.ua

Нехай в прямокутному ΔKNM (∠M = 90°) MP — бісектриса, ∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26°.

3 ΔKMP: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180° - (26° + 45°) = 109°. Тоді ∠MPK = 180° - ∠KPM = 180° - 109° = 71°. Отже, менший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 71°. Відповідь: 71°. Нехай в прямокутному ΔABC (∠C = 90°) CK — бісектриса. ∠ACK = ∠KCB = 90° : 2 = 45°. З ΔCKB ∠CKB = 180° - (∠KCB + ∠B) = 180° - (45° + 68°) = 67° (за теоремою про суму кутів трикутника). Тоді ∠CKA = 180° - ∠CKB = 180° - 67° = 113°. Отже, більший кут між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою дорівнює 113°. Відповідь: 113°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.19.

shkola.in.ua

40.20. shkola.in.ua

40.21.

shkola.in.ua

40.22.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

40.23. shkola.in.ua

Нехай т. М розміщена всередині кута BAC, MB ⊥ AB, MC ⊥ AC, BM = CM. Доведемо, що точка М належить бісектрисі кута A, тобто ∠BAM = ∠CAM. ΔABM = ΔACM за гіпотенузою і катетом (AM — спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32°. З ΔBDC: ∠C = 90° - ∠DBC = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°). ∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°. Відповідь: 58°, 32°.

Нехай ΔABC — прямокутний (∠C = 90°).

CM і BN — бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45°, ∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°. З ΔCOB за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°. Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°. Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 × 20° = 40°. З ΔABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°. Відповідь: 40°, 50°.

Нехай ΔABC — рівнобедрений, AB = BC, ΔA1B1C1 — рівнобедрений, A1B1 = B1C1, BK ⊥ AC, B1K1 ⊥ A1C1. ΔABK = ΔA1B1K1 (за гіпотенузою AB = A1B1 і катетом BK = B1K1). З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, AK = A1K1. Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = K1C1. Враховуючи, що AK = A1K1, маємо AC = A1C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за двома сторонами і кутом між ними (AB = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, AC = A1C1 за доведенням).

Нехай ΔABC — прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, AB + CB = 30 см, СК — медіана. ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°). Нехай BC = x, тоді AB = 2x (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10, тоді 2x = 2 × 10 = 20. Отже, AB = 20 см. Оскільки СК — медіана, проведена до 1 1 гіпотенузи, то CK = AB = × 20 = 10 (см).

2 2 Відповідь: 20 см, 10 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.24. shkola.in.ua

Нехай ΔKMN — прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, MP = 4 см. З ΔKMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки MP — бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30°. Отже, ΔPKM — рівнобедрений, оскільки ∠K = ∠KMP, звідси PK = MP = 4 (см).

1 1 З ΔPMN: ∠PMN = 30°. Отже, PN = MP = × 4 = 2 (см).

2 2 KN = PK + PN = 4 + 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см.

40.25.

shkola.in.ua

40.26.

shkola.in.ua

40.27.

shkola.in.ua

40.28.

shkola.in.ua

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠PAB і ∠ABK - зовнішні кути при вершинах гострих кутів. Нехай ∠PAB = x°, тоді ∠ABK = x° + 20°. ∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси ∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - x°. ∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси ∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (x° + 20°) = 160° - x°. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2x = 250°; x = 125°. Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°. Відповідь: 55°, 35°.

Нехай у прямокутному ΔKLM (∠M = 90°) ∠NKL і ∠KLP — зовнішні кути, ∠NKL = 2x°, ∠KLP = 3x°. ∠MKL = 180° - 2x°, ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутів). ∠MKL + ∠KLM = 90°; Отже, 180° - 2x + 180° - 3x = 90°; 5x = 270°; x = 54°. Отже, ∠MKL = 180° - 2 × 54° = 180° - 108° = 72°, ∠KLM = 180° - 3 × 54° = 180° - 162° = 18°. Відповідь: 72°, 18°. Нехай CM - медіана, PΔACM = PΔCMB. Оскільки PΔACM = AC + CM + AM, PΔCMB = BC + CM + MB і ці периметри рівні, то AC + CM + AM = BC + CM + MB. Звідси AC + AM = BC + MB. Враховуючи, що AM = MB, матимемо AC = BC. Отже, у трикутника ABC хоча б дві сторони рівні, а отже, рівні і хоча б два кути. Нехай в ΔABC ∠A = x°, ∠B = x° + 20°, ∠C = 3x°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + 20° + 3x = 180°; 5x = 160°; x = 32°. Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 × 32° = 96°. Відповідь: 32°, 52°, 96°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.29. shkola.in.ua

Нехай у ∆ABC AB = BC = x см, тоді AC = (x + 3) см. За умовою задачі маємо: x + 3 + 4 = x + x; x + 7 = 2x; x = 7. Отже, AB = BC = 7 см, AC = 7 + 3 = 10 (см).

PΔABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24 (см). Відповідь: 24 см.

40.30.

1) 3,5 × 5,5 = 19,25 ≈ 20 (м2) – площа кімнати.

2) 130 × 20 = 2600 (грн) – потрібно заплатити за лінолеум. Відповідь: 2600 грн.

40.31. АВ = 89 мм; ВС = 48 мм; АС = 66 мм. (АВ + ВС) = 89 + 48 = 137 мм > АС = 66 мм; (AB + AC) = 89 + 66 = 155 мм > ВС = 48 мм; shkola.in.ua (AC + BC) = 66 + 48 = 114 мм > АВ = 89 мм. Висновок: сума довжин двох сторін трикутника завжди більше за довжину третьої сторони.

40.32.

shkola.in.ua

§ 41. Нерівність трикутника

41.1.

1) Трикутник зі сторонами 1 см, 2 см і 4 см не існує, оскільки не виконується нерівність трикутника 4 см > 1 см + 2 см.

2) Трикутник зі сторонами 7 дм, 6 дм, 5 дм існує, бо виконується нерівність трикутника 7 дм < 6 дм + 5 дм.

3) Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 7 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 7 см = 3 см + 4 см.

41.2.

1) Трикутник зі сторонами 2 дм, 5 дм і 7 дм не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 7 дм = 2 дм + 5 дм.

2) Трикутник зі сторонами 2 см, 3 см і 6 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 6 см > 2 см + 3 см.

3) Трикутник зі сторонами 5 дм, 2 дм і 4 дм існує, бо виконується основна нерівність трикутника 5 дм < 2 дм + 4 дм.

41.3. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 8,4 - 2,8 < a < 8,4 + 2,8, тобто 5,6 < a < 11,2. Оскільки а найбільше ціле число, що задовольняє умові 5,6 < a < 11,2, то a = 11 см. Відповідь: 11 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.4. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 4,3 - 2,7 < a < 4,3 + 2,7, тобто 1,6 < a < 7. Оскільки а - найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < a < 7, то a = 2 см. Відповідь: 2 см.

41.5.

1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m. Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.

2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m. Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 7, 8 і 15, оскільки 15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.

3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m. Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника.

41.6.

1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 5, 1 і 4, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 5m = m + 4m, де 5m, m, 4m — довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 6 і 7, бо виконується нерівність трикутника 7m < 6m + 5m, де 5m, 6m, 7m — довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 8, 2, 11,бо не виконується нерівність трикутника 11m > 8m + 2m, де 8m, 2m, 11m — довжини сторін трикутника.

41.7. Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, тоді друга бічна сторона дорівнює 3 см, а основа дорівнює PΔ - (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см). Трикутника зі сторонами 3 см, 3 см і 6 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 6 см = 3 см + 3 см. Відповідь: ні, не може.

41.8. Бічною стороною даного рівнобедреного трикутника не може бути сторона, яка дорівнює 5 см, оскільки тоді б не виконувалася нерівність трикутника, оскільки 11 см > 5 см + 5 см. Отже, бічна сторона дорівнює 11 см, а основа 5 см і PΔ = 11 см + 11 см + 5 см = 27 см. Відповідь: 27 см.

41.9. Нехай невідома сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 2,5 - 1,2 < a < 2,5 + 1,2; 1,7 < a < 3,7. Отже, a = 2 або a = 3. Якщо a = 2, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 2 = 5,7 (см). Якщо a = 3, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 3 = 6,7 (см). Відповідь: 5,7 см або 6,7 см.

41.10.

1) Якщо одна із сторін трикутника дорівнює 14 см, то сума двох інших сторін дорівнює 30 см - 14 см = 16 см і виконується нерівність трикутника. Отже, одна із сторін трикутника може дорівнювати 14 см за умови, що ця сторона найбільша.

2) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 15 см, бо сума двох інших сторін дорівнює 30 см - 15 см = 15 см і не виконується нерівність трикутника, бо 15 см = 15 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 16 см, бо сума двох інших сторін  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнює 30 см - 16 см = 14 см і не виконується нерівність трикутника, бо 16 см > 14 см (одна сторона більша суми двох інших).

41.11.

1) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 21 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 21 дм = 19 дм і не виконується нерівність трикутника, бо 21 дм > 19 дм (одна сторона більша від суми двох інших).

2) Одна із сторін трикутника не може дорівнювати 20 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 20 дм = 20 дм і не виконується нерівність трикутника, бо 20 дм = 20 дм (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати 19 дм, бо сума двох інших сторін дорівнює 40 дм - 19 дм = 21 дм і виконується нерівність трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін).

41.12. Припустимо, що такий трикутник існує. Тоді х см — довжина однієї сторони, (х - 2) см — довжина другої сторони, (х + 4) см — довжина третьої сторони. Складемо рівняння: x + (x - 2) + (x + 4) = 20; 3x + 2 = 20; 3x = 18; x = 6. Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см. Але трикутника з такими сторонами не існує, бо не виконується нерівність трикутника 10 см = 6 см + 4 см. Відповідь: ні.

41.13. Припустимо, що такий трикутник існує. Нехай х см — довжина однієї сторони, (х + 6) см — довжина другої сторони, (х - 1) см — довжина третьої сторони. Складемо рівняння: x + (x + 6) + (x - 1) = 23; 3x + 5 = 23; 3x = 18; x = 6. Але трикутника зі сторонами 6 см, 12 см і 5 см не існує, бо не виконується нерівність трикутника 12 см > 6 см + 5 см. Відповідь: ні.

41.14. Нехай у ∆ABC ∠A = x°, тоді ∠B = 3x°, ∠C = x° - 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + 3x + (x - 15°) = 180°; 5x = 195°; x = 39°. shkola.in.ua Отже, ∠A = 39°, ∠B = 3 × 39° = 117°, ∠C = 39° - 15° = 24°. Відповідь: 39°, 117°, 24°.

41.15.

shkola.in.ua

Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 - прямокутні.

AB = A1B1, BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1, BH = B1H1. ∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, BH = B1H1), тоді ∠A = ∠A1. ∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом і гострим кутом: AB = A1B1, ∠A = ∠A1).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.16.

1) 360° : 32 = 11,25° = 11°15´ - становить 1 румб; 2) 11°15´ × 4 = 44°60´ = 45° Відповідь: 4 румби становлять 45°.

shkola.in.ua

41.17. Коник-стрибунець може переміщуватися на +4, -4, +6 або -6 см. Тобто він може переміщуватися на 4k + 6m, де k і m — цілі числа, які можуть бути як додатні, так і від’ємні.

1) Для того щоб коник зміг опинитися у точці на відстані 2024 см, ця відстань повинна бути кратною найбільшому спільному дільнику чисел 4 і 6. Знайдемо НСД(4, 6) за допомогою алгоритму Евкліда: НСД(6, 4) = 2. Отже, коник може опинитися на відстані 2024 см, яка є парним числом.

2) Розглянемо 2025. Це число непарне, тобто воно не є кратним НСД(4, 6). Отже, коник не зможе опинитися у точці, віддаленій на 2025 см. Відповідь: 1) зможе; 2) не зможе. Домашня самостійна робота 8 (§§38-41) 1. Сума кутів трикутника дорівнює 180°, отже, кути 50°, 60°, 70° можуть бути кутами трикутника. Правильна відповідь В).

2. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона. Правильна відповідь А). shkola.in.ua 3. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, отже, другий кут трикутника дорівнює 90° - 40° = 50°. Правильна відповідь В).

4. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то сума двох інших кутів трикутника дорівнює 180° - 72° = 108°. Правильна відповідь Б).

5. Нехай ΔАВС — рівнобедрений, АВ = ВС. ∠DBC = 140°. ∠A + ∠C = ∠DBC (оскільки зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, shkola.in.ua не суміжних з ним). Отже, ∠A = ∠C = 140° : 2 = 70° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні). Правильна відповідь Г).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6. Третя сторона трикутника не може дорівнювати 8 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 8 см > 2,7 см + 4,2 см. Правильна відповідь Г).

7. Оскільки другий кут прямокутного трикутника дорівнює 60°, то менший катет лежить проти кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см. Правильна відповідь Б).

8.

AK — бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°.

CM — бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = shkola.in.ua 30°. З ∆AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° (25° + 30°) = 125°. Оскільки кутом між прямими є кут градусною мірою менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з кутом AOC, який дорівнює 180° - 125° = 55°. Правильна відповідь Г).

9. Довжина однієї з його сторін не може бути 8 см, бо тоді не буде виконуватися нерівність трикутника, оскільки 16 см - 8 см = 8 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших). Правильна відповідь А).

10.

1 Нехай в ∆ABC AB = BC, AK — бісектриса, ∠KAC = ∠BAC. 2 Нехай ∠KAC = x, тоді ∠A = 2x, ∠C = ∠A = 2x (як кути при основі рівнобедреного трикутника). Оскільки AK = AC, то shkola.in.ua ∆KAC — рівнобедрений з основою KC. ∠K = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника), ∠K = 2x. За властивістю суми кутів трикутника маємо: x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже, ∠A = ∠C = 36° × 2 = 72°. Правильна відповідь Б).

11. Нехай зовнішні кути трикутника дорівнюють 3x, 5x і 7x. Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, маємо: 3x + 5x + 7x = 360°, 15x = 360°; x = 24°. Отже, зовнішні кути дорівнюють 72°, 120°, 168°. Тоді найменший з внутрішніх кутів трикутника дорівнює: 180° - 168° = 12°. Правильна відповідь А).

12. Нехай ∆АСВ — прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 60°, CM — медіана. ∠CAB = 30°, CB — менший катет, CB = x см.

AB = 2x (за властивістю катета, що лежить напроти кута 30°), CM = shkola.in.ua

1

AB = x (за властивістю медіани проведеної до гіпотенузи).

2

Отже, CM + CB = 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см. Правильна відповідь В).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

13.

1. Оскільки CM – висота, то ∠CMB = 90°. Згідно теореми про суму кутів трикутника: ∠MCB = 180° – (∠CMB + ∠MBC) = 180° – (90° + 40°) = 50°.

2. Оскільки бісектриса CM ділить ∠С навпіл, то ∠MCB = 45°. Згідно теореми про суму кутів трикутника: ∠CMB = 180° – (∠MCB + ∠MBC) = 180° – (45° + 40°) = 85°.

1 1 3. ∠РBС = ∠B = × 40° = 20°.

shkola.in.ua

1

2

1

2

∠MCB = ∠С = × 90° = 45°.

2 2 Згідно теореми про суму кутів трикутника: ∠CОB = 180° – (∠ОCB + ∠ОBC) = 180° – (45° + 20°) = 115°. Оскільки кутом між прямими є кут градусною мірою менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з кутом CОB, який дорівнює 180° - 115° = 65°. Відповідь: 1 – Б; 2 – Г; 3 – В.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1.

180° – (30° + 80°) = 70° 2.

Завдання для перевірки знань до §§38-41

∠KPM – зовнішній кут при вершині Р.

shkola.in.ua

3.

∆ABC = ∆DEF (за катетом та прилеглим гострим кутом). shkola.in.ua

4.

shkola.in.ua

∠A = ∠B = 71°; ∠C = 180° − 2 · 71° = 38°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5.

shkola.in.ua

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному △ABP: ∠A = 90° − 32° = 58°.

3) В прямокутному △PBC: ∠C = 90° − 67° = 23°. Відповідь: 99°; 58°; 23°.

6. Нехай третя сторона дорівнює x см. Тоді |6,3 − 5,2| < x < 6,3 + 5,2; 1,1 < x < 11,5. x = 11 (см) — найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя сторона. Відповідь: 11 см.

7.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x; ∠C = x − 16°.

2) Маємо x + 2x + x − 16° = 180°.

4x = 196°; x = 196° : 4; x = 49°.

3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 · 49° = 98°; ∠C = 49° − shkola.in.ua 16° = 33°. Відповідь: 49°; 98°; 33°.

8.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KCB = 112° — зовнішній кут трикутника.

2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна позначити ∠B = 3x; ∠A = 5x.

3) Маємо за властивістю зовнішнього кута трикутника: 3x + 5x = 112°; 8x = 112°; x = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 · 14° = 42°; ∠C = 5 · 14° = 70°. Відповідь: 42°; 70°.

9.

60°

shkola.in.ua

1) ∠CBM = ∠MBD = = 30°.

2 2) У △CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).

3) В △CBM: ∠B = 90° − 60° = 30°.

4) Трикутник BMD — рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°, тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см). Відповідь: 24 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

10.

shkola.in.ua

11.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA — зовнішні кути трикутника. ∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6. Позначимо ∠KAB = 4x; ∠ABM = 5x; ∠NCA = 6x.

2) Маємо 4x + 5x + 6x = 360°.

15x = 360°; x = 360° : 15; x = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° − 4 · 24° = 84°; ∠ABC = 180° − 5 · 24° = 60°; ∠BCA = 180° − 6 · 24° = 36°.

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

1) Нехай AB = x см, тоді AC = (x − 3) см, BC = (x + 5) см.

2) Тоді x + x − 3 + x + 5 = 23; 3x − 5 = 23; 3x = 21; x = 7 (см).

3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 − 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує. Відповідь: Не існує. Вправи для повторення теми 8 До § 38

1.

1) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (65° + 29°) = 86° 2) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (37° + 116°) = 27° Відповідь: 1) 86°; 2) 27°.

2.

1) Оскільки ∠KCB = 32° і СК - бісектриса, то ∠ACB = 2∠KCB = 2 × 32° = 64°. shkola.in.ua ∠B = ∠ACB = 64°, оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. Тоді ∠A = 180° - ∠ACB - ∠B = 180° - 64° - 64° = 52°.

2) ∠ACB = ∠B - оскільки ΔABC - рівнобедрений. ∠ACB = ∠B = 1

1

180°−56° 2

= 62°.

Оскільки СК - бісектриса, то ∠ACK = ∠KCB = ∠ACB = × 62° = 31°.

2 2 Відповідь: 1) 52°; 2) 31°.

3. ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 76° - 28° = 76°. Отже, у трикутника ABC два кути рівні ∠A = ∠C = 76°, тобто ΔABC - рівнобедрений, AB = BC. 4. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо: ∠A + ∠ABK + ∠KBC + ∠C = 180°, 60° + x + 40° + 45° = 180°, x + 145° = 180°, x = 180° - 145° = 35°. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5. Нехай один із шуканих кутів дорівнює 2x°, другий – 3x°. Їхня сума дорівнює 180° - 60° = 120°. Звідси 2x + 3x = 120°; 5x = 120°; x = 24°. Отже, один із шуканих кутів дорівнює 2 х 24° = 48°, другий - 3 х 24° = 72°. Відповідь: 48°, 72°.

6. Нехай ΔABC - рівносторонній, AB = BC = AC, AL, BH - медіани, AH = HC, BL = LC. shkola.in.ua Оскільки ΔABC - рівносторонній, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки AL і BH - медіани рівностороннього трикутника, то вони є бісектрисами і висотами, тоді ∠LAH = 60° : 2 = 30°, ∠BHA = 90°.

З ΔAOH: ∠AOH = 180° - ∠OAH - ∠OHA = 180° - 30° - 90° = 60°. Відповідь: 60°.

7. Нехай в ΔABC: BL — бісектриса, BK — висота, BK ⊥ AC, ∠KBL = 16°, ∠BCA = 50°. З ΔBKL: ∠BLK = 180° - ∠BKL - ∠KBL = 180° shkola.in.ua 90° - 16° = 74°. ∠BLC + ∠BLK = 180° як суміжні кути, звідси ∠BLC = 180° - ∠BLK = 180° - 74° = 106°. З ΔBLC: ∠LBC = 180° - ∠BLC - ∠C = 180° - 106° - 50° = 24°. Оскільки BL - бісектриса, то ∠ABC = 2 × 24° = 48°. З ΔABC: ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 48° - 50° = 82°. Відповідь: 48°, 82°.

8.

1) Нехай x° - шуканий кут, тоді сума двох інших кутів дорівнює 5x. Звідси x + 5x = 180°; 6x = 180°; x = 30°. Отже, шуканий кут дорівнює 30°.

2) Нехай x° - шуканий кут, тоді маємо рівняння: x + 40° = 180° - x; 2x = 140°; x = 70°. Отже, шуканий кут дорівнює 70°.

9.

1) Нехай △ABC - рівнобедрений, AC = CB, ∠A = ∠B, AK – бісектриса, ∠AKB = 60°. Нехай ∠KAB = x, тоді ∠CBA = 2x. shkola.in.ua ∠KAB + ∠CBA + ∠AKB = 180° (за властивістю суми кутів трикутника). x + 60° + 2x = 180°; 3x = 120°; x = 40°. Отже, ∠KAB = 40°, ∠KBA = 2 × 40° = 80°.

2) Нехай ΔABC - рівнобедрений, AC = AB, ∠A = ∠B. AK - бісектриса, ∠CAK = ∠KAB, ∠AKC = 111°. ∠AKC + ∠AKB = 180° - як суміжні кути. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 111° = 69°. shkola.in.ua Нехай ∠KAB = x, тоді ∠B = 2x. З ΔAKB: ∠KAB + ∠AKB + ∠KBA = 180°, x + 69° + 2x = 180°; 3x = 111°; x = 37°. Отже, ∠A = ∠B = 37° × 2 = 74°, тоді ∠C = 180° - 2 × 74° = 180° - 148° = 32°. Відповідь: 1) 80°; 2) 32°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

До § 39

10.

shkola.in.ua

11.

shkola.in.ua

∠1, ∠2, ∠3 – зовнішні кути трикутника MNK при вершинах M, N, K відповідно.

Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠BCA. ∠BCK + ∠BCA = 180° - як суміжні кути. ∠BCA = 180° - 150° = 30°. ∠A = ∠BCA = 30°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠BCA = 180°.

Звідси ∠B = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 180° - 60° = 120°. Відповідь: 120°, 30°, 30°.

12.

1) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, може дорівнювати 102°, оскільки 102° > 80°.

2) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, не може дорівнювати 80°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

3) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, не може дорівнювати 75°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

13. Нехай ∠1 = 115°, ∠2 = 137°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: ∠NMK = 180° - ∠1 = 180° - 115° = 65°. shkola.in.ua ∠NKM = 180° - ∠3 = 180° - 137° = 43°. ∠2 = ∠NMK + ∠NKM = 65° + 43° = 108° згідно з теоремою 1. Відповідь: 108°.

14.

1 Нехай ∠A = ∠BCD, тоді оскільки зовнішній кут трикутника 2 дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, ∠B = 1 shkola.in.ua ∠BCD. Таким чином, ∠A = ∠B, отже, згідно з означенням 2 рівнобедреного трикутника, ΔABC – рівнобедрений.

15.

shkola.in.ua

Нехай ∠CBD = 140°, ∠A = 2x, ∠C = 3x. За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо рівняння: 2x + 3x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠A = 2 × 28° = 56°, ∠C = 3 × 28° = 84°, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 56° - 84° = 40°. Відповідь: 56°, 84°, 40°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

16.

Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°, то зовнішній кут трикутника дорівнює 260° - 180° - 80°. Цей shkola.in.ua зовнішній кут не може бути при основі трикутника, оскільки в такому випадку кути при основі дорівнюватимуть 180° - 80° = 100°, це неможливо. Нехай в ΔKMN ∠PMN = 80°, тоді ∠KMN = 180° - 80° = 100° (оскільки ∠KMN і ∠PMN суміжні). ∠K = ∠N, оскільки трикутник KMN - рівнобедрений. За властивістю 1 1 зовнішнього кута трикутника маємо ∠K+∠L = ∠PMN, ∠K = ∠L = ∠PMN = × 80° = 40°.

2 2 Відповідь: 100°, 40°, 40°.

17. Припустимо, що існує трикутник, у якого зовнішні кути при кожній з вершин більші за 120°, тоді кожний внутрішній кут буде меншим 60° і сума внутрішніх кутів трикутника буде меншою за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення невірне. Не існує трикутника, у якому зовнішні кути при кожній з вершин більші за 120°.

18. Нехай ∠CBF = ∠CAD = ∠C. ∠CBF = 180° - ∠CBA, ∠CAD = 180° - ∠CAB, тоді ∠C = ∠CBF - ∠CAD = 180° - ∠CBA - 180° + ∠CAB = ∠CAB shkola.in.ua ∠CBA. Звідси ∠CAB = ∠C + ∠CBA. ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки ∠C + ∠CBA = ∠CAB, маємо ∠CAB + ∠CAB = 180°, 2∠CAB = 180°, ∠CAB = 90°. Отже, ΔABC – прямокутний. До § 40 19.

1) Не слідує. На мал. ΔABC ≠ ΔDBC, проте BC ΔABC = BC ΔBCD. shkola.in.ua 2) Слідує.

3) Не слідує ΔABC ≠ ΔA1B1C1, проте ∠A = ∠A1 = 30°, ∠C = ∠C1 = 60°.

shkola.in.ua

20.

shkola.in.ua

1) ∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2) PK =

𝑀𝑀𝑀𝑀 2

=

24 2

= 12 (см), оскільки катет прямокутного трикутника,

що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

3) MK = 2PK = 30 × 2 = 60 (мм) - згідно з властивістю з прямокутних трикутників. Відповідь: 1) 30°; 2) 12 см; 3) 60 мм.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

21. shkola.in.ua

22.

shkola.in.ua

Розглянемо ΔABC і ΔAPC: ∠B = ∠P, ∠BCA = ∠PCA, оскільки CA бісектриса кута C, AC - спільна сторона. Отже, ΔABC = ΔAPC за гіпотенузою і гострим кутом.

Нехай ΔKLM - прямокутний, ∠K = 3x°, ∠L = 7x°. Оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3x + 7x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. Отже, ∠K = 3 × 9° = 27°, ∠L = 7 × 9° = 63°. Відповідь: 27°, 63°.

23.

Нехай у прямокутному ΔABC (∠B = 90°), BF ⊥ AC, ∠ABD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC ∠DBF = 45° - 15° = 30°. З прямокутного трикутника BCF: ∠BCF = 90° - ∠FBC = 90° 30° = 60°. З прямокутного ΔABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°. Відповідь: 60°, 30°.

shkola.in.ua

24.

Нехай ΔABC - прямокутний, AC = BC, CD ⊥ AB, CD = 5 см. Оскільки ΔABC - рівнобедрений, то CD - є медіаною. Отже, AB = 2CD = 2 × 5 = 10 (см) за властивістю медіани прямокутного трикутника. Відповідь: 10 см.

shkola.in.ua

25.

shkola.in.ua

26.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°. ∠𝐴𝐴 𝛼𝛼 ∠𝐵𝐵 𝛽𝛽 ∠MAB = = , ∠MBA = = , тоді ∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠MBA = 2 2 𝛼𝛼 𝛽𝛽

1

2

2

1

= 180° - - = 180° - (α + β) = 180° - × 90° = 180° - 45° = 135°.

2 2 2 2 ∠LMB - суміжний з кутом AMB. ∠LMB = 180° - 135° = 45°. Відповідь: 45°.

Нехай в ΔABC (∠A = 90°), ∠B = 30°, BA = 24 см, CD - бісектриса кута C; ∠BCD = ∠DCA. З ΔABC маємо: ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°. ∠BCD = ∠DCA = 60° : 2 = 30°. ΔBCD - рівнобедрений, оскільки ∠B = shkola.in.ua 1 ∠BCD, отже, CD = BD. З ΔDCA: DA = CD (оскільки ∠DCA = 30°).

1

2

1

1

Отже, маємо: BA = BD + DA = CD + CD = 24, 1 CD = 24, CD = 24 : 1 3

2

48

= 24 : = = 16 (см).

2 3 Відповідь: 16 см.

 shkola.in.ua

2

2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

27.

28.

shkola.in.ua

29.

Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, AD ⊥ BC, ∠ABC = 120°, AD = a см. З ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°. З прямокутного ΔADC: AC = 2AD = 2 × a = 2a (см). Відповідь: 2a см. Нехай в прямокутному ΔABC CD - медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) × 2 = 60°. Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то AB = 2CD = 2 × 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, ΔCDB – рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, ΔCDB – рівносторонній, CB = CD = DB = 10 см. Відповідь: 20 см, 10 см.

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), CH - висота, CL - бісектриса, CM - медіана, ∠HCL = β. Доведемо, що ∠LCM = β. shkola.in.ua Оскільки CL - бісектриса, то ∠ACL = ∠LCB = 90° : 2 = 45°, тоді ∠ACH = ∠ACL - ∠HCL = 45° - β. З прямокутного ΔACH: ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - (45° - β) = 45° + β. З прямокутного ΔABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° + β) = 45° - β. ΔCMB - рівнобедрений, оскільки CM = MB (за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи), тоді ∠MCB = ∠B = 45° - β. Отже, ∠LCM = ∠LCB - ∠MCB = 45° - (45° - β) = 45° - 45° + β = β. Отже, бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з вершини прямого кута, навпіл. До § 41

30. Нехай третя сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 8 - 5 < a < 8 + 5, або 3 < a < 13.

1) Третя сторона трикутника не може дорівнювати 2 см, оскільки не задовольняє умові 3 < a < 13.

2) Третя сторона трикутника не може дорівнювати 3 см, оскільки не виконується умова 3 < a < 13.

3) Третя сторона може дорівнювати 6 см, оскільки виконується умова 3 < a < 13.

4) Третя сторона трикутника може дорівнювати 10 см, оскільки виконується нерівність 3 < a < 13.

5) Третя сторона трикутника не може дорівнювати 13 см, оскільки не виконується нерівність 3 < a < 13.

6) Третя сторона трикутника не може дорівнювати 15 см, бо не виконується умова 3 < a < 13.

31. Нехай третя сторона трикутника дорівнює а см. Тоді 8,7 - 5,2 < a < 8,7 + 5,2; 3,5 < a < 13,9. Оскільки а - ціле число, то найменше ціле число, яке задовольняє умові, а = 4, найбільше – 13. Відповідь: 4 см, 13 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.

Припустимо, що сторона AB дорівнює 21 см, тоді DA = AB : 2 = 21 : 2 = 10,5 (см). З нерівності трикутника маємо: DA < AE + DE, тобто DA < 6 + 4 = 10 (см). shkola.in.ua Отже, наше припущення хибне. Сторона AB не може дорівнювати 21 см.

33.

1) Бічною стороною трикутника може бути як сторона 4 см, так і 7 см. Отже, сторони трикутника дорівнюють 4 см, 4 см, 7 см або 7 см, 7 см, 4 см.

2) Бічна сторона рівнобедреного трикутника не може дорівнювати 2 см, оскільки 5 см > 2 см + 2 см. Отже, бічна сторона дорівнює 5 см і сторони трикутника дорівнюють 5 см, 5 см, 2 см.

3) Бічною стороною рівнобедреного трикутника не може бути сторона, що дорівнює 6 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 12 см = 6 см + 6 см. Отже, бічна сторона дорівнює 12 см і сторони трикутника дорівнюють 12 см, 12 см, 6 см.

34. Нехай одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3m см, друга - 7m см. Сторона 3m см не може бути стороною рівнобедреного трикутника, оскільки 7m > 3m + 3m. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7m, 7m, 3m, тоді 7m + 7m + 3m = 51, 17m = 51, m = 3. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 × 3 = 21 (см), 3 × 3 = 9 (см). Відповідь: 21 см, 21 см, 9 см. ТЕМА 9. ФУНКЦІЇ §42. Функція. Область визначення і область значення функції. Способи задання функцій.

42.1. Чи залежить периметр рівностороннього трикутника від довжини його сторони? Чи є периметр цього трикутника функцією від довжини сторони трикутника? Якщо так, то задайте цю функцію формулою за умови, що сторона трикутника дорівнює а. Периметр P рівностороннього трикутника залежить від довжини його сторони. Ця залежність є функцією, яку можна задати формулою P = 3а.

42.2. Які з даних записів задають функцію? Укажіть для них незалежну змінну (аргумент) та залежну змінну: 1) a = 4b + 2 — залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї функції b, а залежна змінна (функція від цього аргументу) — а; 1 3) y = залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї функції x, а 4𝑥𝑥 – 1 залежна змінна (функція від цього аргументу) — у; 5) p = t – t3 – 2 — залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї функції t, а залежна змінна (функція від цього аргументу) — р.

42.3. Які з даних записів задають функцію? Укажіть для них незалежну змінну (аргумент) та залежну змінну: 1) m = 5n2 – 2 — залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї функції n, а залежна змінна (функція від цього аргументу) — m; 2) у = x2 – x + 2 — залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї і функції x, а залежна змінна (функція від цього аргументу) — у; m−1 5) d = — залежність є функцією. Незалежна змінна (аргумент) для цієї функції m, а m²+ 1 залежна змінна (функція від цього аргументу) — d.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

42.4. Площу круга знаходять за формулою S = πr2, де r – радіус круга. Чи задає ця формула функцію? Якщо так, укажіть її аргумент та область визначення. Формула S = πr2 задає функцію. Аргумент функції r, а область визначення — додатні числа.

42.5. Площа прямокутника зі сторонами х см і 8 см дорівнює S. Виразіть формулою залежність S від х. Чи задає ця формула функцію? Залежність S від x можна виразити формулою S = 8x, яка задає функцію.

42.6. Об’єм куба з ребром а см дорівнює V см3. Виразіть формулою залежність V від а. Чи задає ця формула функцію? Знайдіть за цією формулою значення V, якщо: Залежність V від а задається формулою V = а3, яка є функцією.

1) Якщо а = 5, то V = 53 = 125; 2) якщо а = 7, то V= 73 = 343; 3 3 27 3) якщо а = , то V = ( )3 = .

4 4 64 42.7. Периметр прямокутника зі сторонами х дм і 6 дм дорівнює P дм. Запишіть формулу залежності P від х. Для значень аргументу х = 2; 4; 5; 15 знайдіть відповідні значення функції Р. Р = 2(х + 6). Якщо x = 2, то P = 2(2 + 6) = 2 ∙ 8 = 16 (дм); якщо x = 4, то P = 2(4 + 6) = 2 ∙ 10 = 20 (дм); якщо x = 5, то P = 2(5 + 6) = 2 ∙ 11 = 22 (дм); якщо x = 15, то P = 2(15 + 6) = 2 ∙ 21 = 42 (дм).

42.8. Функцію задано формулою у = –2х. 1) Яка змінна є незалежною, а яка – залежною?

2) Знайдіть значення функції, що відповідають значенням аргументу –3 ; 0; 8.

1) Для функції y = –2х змінна x є незалежною, а змінна y — залежною; 2) Якщо x = –3, то у = –2 ∙ (–3) = 6; якщо х = 0, то у = –2 ∙ 0 = 0; якщо x = 8, то у = –2 ∙ 8 = –16.

42.9. Обчисліть значення функції, заданої формулою у = 5х – 7 для значень аргументу, що дорівнюють –2; 0; 5; 10. Якщо x = –2, то у = 5 ∙ (–2) – 7 = – 10 – 7 = –17; якщо x = 0, то y = 5 ∙ 0 – 7 = 0 – 7 = –7; якщо x = 5, то y = 5 ∙ 5 – 7 = 25 – 7 = 18; якщо x = 10, то y = 5 ∙ 10 – 7 = 50 – 7 = 43.

20 42.10. Знайдіть значення функції, заданої формулою у = , для значень аргументу, що x дорівнюють –40; –10; 4; 5.

20 1 Якщо х = – 40, то у = – = – = –0,5; якщо x = –10, то у = – якщо х = 4, то у = якщо х = 5, то у =

20 4 20 5

40 20

10

2

= –2;

= 5; = 4.

6

42.11. Функцію задано формулою у = – . У таблиці наведено х значення її аргументу. 𝑥𝑥 Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції: 6 6 Якщо х = –12, то у = – = –0,5; якщо x = –6, то у = – = –1; 6

12

6

6

якщо x = –5 , то у = – = –1,2; якщо х = –3 , то у = – = –2; 6

5

6

якщо х = 2, то у = = 3; якщо x = 4, то у = = 1,5; 2

4

 shkola.in.ua

3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 6

якщо х = 8, то у = = 0,75; якщо х = 10, то у = 8

x

–12

–6

–5

–3

2

y

–0,5

–1

–1,2

–2

3

6

10

= 0,6.

4

8

10

1,5

0,75

0,6

42.12. Функцію задано формулою у = 4х + 3. У таблиці наведено значення її аргументу. Заповніть таку таблицю в зошиті, обчисливши відповідні значення функції: Якщо х = –7, то у = 4 ∙ (–7 ) + 3 = –28 + 3 = –25; якщо х = –5, то у = 4 ∙ (–5) + 3 = –20 + 3 = –17; якщо х = –3, то у = 4 ∙ (–3) + 3 = –12 + 3 = –9; якщо х = –1, то у = 4 ∙ (–1) + 3 = –4 + 3 = –1; якщо х = 2, то у = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11; якщо х = 4, то у = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19; якщо х = 6, то у = 4 ∙ 6 + 3 = 24 + 3 = 27; якщо х = 8, то у = 4 ∙ 8 + 3 = 32 + 3 = 35. x –7 –5 –3 –1 2 4 6 8 y –25 –17 –9 –1 11 19 27 35 42.13. Складіть таблицю значень функції, заданої формулою у = x2 – 3, для значень аргументу –3; –2; –1; 0; 1; 2. x

–3

–2

–1

0

1

2

y

6

1

–2

–3

–2

1

42.14. Складіть таблицю значень функції, заданої формулою у = 5 – х2, для значень аргументу –2; –1; 0; 1; 2; 3. x

–2

–1

0

1

2

3

y

1

4

5

4

1

–4

42.15. Потяг, рухаючись зі швидкістю 65 км/год, проходить за t год відстань S км. Задайте формулою залежність S від t. Обчисліть значення функції, які відповідають значенням аргументу, що дорівнюють 1; 2,4; 3; 5,8. Залежність S від t задається формулою S = 65t. Якщо t = 1, то S = 65 ∙ 1 = 65; якщо t = 2,4, то S = 65 ∙ 2,4 = 156; якщо t = 3, то S = 65 ∙ 3 = 195; якщо t = 5,8, то S = 65 ∙ 5,8 = 377.

42.16. Кожному натуральному значенню n відповідає втричі більше за нього число N. Задайте формулою залежність N від n. Знайдіть значення функції, що відповідають значенням аргументу 2; 7; 13; 20.

N = 3n. Якщо n = 2, то N = 3 ∙ 2 = 6; якщо n = 7, то N = 3 ∙ 7 = 21; якщо n = 13, то N = 3 ∙ 13 = 39; якщо n = 20, то N= 3 ∙ 20 = 60.

42.17. Знайдіть область визначення функції: 1) Областю визначення функції у = 3х – 5 є всі числа; 2x + 3 2) областю визначення функції у = є всі числа; 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 8

3) областю визначення функції у = є всі числа, крім нуля, бо при цьому значенні 𝑥𝑥 знаменник перетворюється в нуль; 7 4) областю визначення функції у = є всі числа, крім числа –2, бо при цьому х + 2 x+2 значенні знаменник перетворюється в нуль.

42.18. найдіть область визначення функції: 1) Областю визначення функції y = 2х + 3 є всі числа; 8x − 3 2) областю визначення функції у = є всі числа; 7 6

3) областю визначення функції y = – є всі числа, крім нуля, бо при цьому значенні 𝑥𝑥 знаменник перетворюється в нуль; 4 4) областю визначення функції у = є всі числа, крім числа 3, бо при цьому значенні x−3 знаменник перетворюється в нуль.

42.19. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція у = –3х набуває значення –6; 9; 15; 2) функція у = 5х – 1 набуває значення –1; 4; 14.

1) у = –3х.

2) y = 5х – 1. якщо y = –6: –6 = –3х; х = 6 : 3; х = 2; якщо y = –1: –1 = 5х – 1; 5х = 0; х = 0; якщо y = 9: 9 = –3х; х = –9 : 3; х = –3 ; якщо y = 4: 4 = 5х – 1; 5х = 5; х = 1; якщо y = 15: 15 = –3х; х = –15 : 3; х = –5; якщо y = 14: 14 = 5х – 1; 5х = 15; х = 3.

42.20. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція у = 4х набуває значення –8; 0; 12; 2) функція у = 3 – 2х набуває значення –1; 3; 17.

1) у = 4х.

2) у = 3 – 2х. якщо у = –8: –8 = 4х; х = –8 : 4; х = –2; якщо у = –1: –1 = 3 – 2х; 2х = 4 ; х = 2; якщо у = 0: 0 = 4х; х = 0 : 4; х = 0; якщо у = 3: 3 = 3 – 2х; 2х = 0; х = 0; якщо у = 12: 12 = 4х; х = 12 : 4; х = 3; якщо у = 17: 17 = 3 – 2х; 2х = –14; х = –7.

42.21. Функцію задано таблицею: Знайдіть: 1) значення функції, якщо х = –2; 0; 1; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює –3 ; 2; 7; 3) область визначення функції; 4) область значень функції. x

–2

–1

0

1

2

y

–5

–3

–1

2

7

1) Якщо х = –2, то у = –5; якщо х = 0, то у = –1; якщо х = 1, то у = 2; 2) у = –3, якщо х = – 1; у = 2, якщо х = 1; у = 7, якщо х = 2; 3) область визначення функції складають числа –2, –1, 0, 1, 2; 4) область значень функції складають числа –5, –3, –1, 2, 7.

42.22. Функцію задано таблицею: Знайдіть: 1) значення функції, яке відповідає значенню аргументу, що дорівнює 1; 3; 4; 2) значення аргументу, при якому у = 0; 5; 7; 3) область визначення функції; 4) область значень функції. x

1

2

3

4

5

y

–2

0

2

5

7

1) Якщо х= 1, то у = –2; якщо х = 3, то у = 2; якщо х = 4, то у = 5; 2) у = 0, якщо х = 2; у = 5, якщо х = 4; у = 7, якщо х = 5; 3) область визначення функції складають числа 1, 2, 3, 4, 5; 4) область значень функції складають числа –2, 0, 2, 5, 7.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 3

42.23. Функцію задано формулою у = х. Заповніть порожні комірки таблиці: 4

2

x

–8

–12

1,6

0,5

20,8

2

15,525

y

–6

–9

1,2

–

3

15,6

1

20,7

8

3

7 5 7

42.24. Функцію задано формулою у = х. Заповніть порожні комірки таблиці: 1 8,5 22,5 3 y –6 –1,2 0 5,1 13,5 5 42.25. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою: 1) x2 – 9 = 0; (х – 3)(х + 3) = 0; х – 3 = 0 або х + 3 = 0; х = 3 або х = –3. Областю 5 є всі числа, крім чисел –3 і 3, бо при цих значеннях визначення функції y = x² − 9 знаменник перетворюється в нуль; 17 2) областю визначення функції у = є всі числа; x² + 4 3) х(х – 3) = 0; х = 0 або х – 3 = 0 х = 0 або х = 3. Областю визначення функції у є всі числа , крім чисел 0 і 3, бо при цих значеннях знаменник перетворюється в нуль; 4) х2 + х = 0; х(х + 1) = 0; х = 0 або х + 1 = 0 х = 0 або х = –1. Областю визначення функції 7x + 1 у= є всі числа, крім чисел 0 і –1, бо при цих значеннях знаменник перетворюється в x² + x нуль; 5) (х – 1)(х + 4) = 0; х – 1 = 0 або х + 4 = 0; х = 1 або х = –4. Областю визначення функції 9 у= є всі числа, крім чисел 1 і –4, бо при цих значеннях знаменник x

–10

–2

0

5

(x − 1)(x + 4)

перетворюється в нуль; 6) х – 2 = 0; х = 2; і х + 3 = 0; х = –3 . Областю визначення функції y = 7

5

x−2

+

є всі числа, крім чисел 2 і –3, бо при цих значеннях відповідні знаменники перетворюються в нуль.

42.26. Знайдіть область визначення функції: 1) x2 – 4 = 0; (х – 2)(х + 2) = 0; х – 2 = 0 або х + 2 = 0; х = 2; або х = –2. Областю 7 є всі числа, крім чисел –2 і 2, бо при цих значеннях визначення функції у = x² − 4 знаменник перетворюється в нуль; 13 2) областю визначення функції у = є всі числа; x² + 1 3) (х + 2)х = 0; х + 2 = 0 або х = 0; х = –2 або х = 0. Областю визначення функції у = 14 є всі числа, крім чисел –2 і 0, бо при цих значеннях знаменник перетворюється в x+3

(x + 2)x

нуль; 4) x2 – х = 0; х(х – 1) = 0; х = 0 або x – 1 = 0; x = 0 або х = 1. Областю визначення функції 9 у= є всі числа, крім чисел 0 i 1, бо при цих значеннях знаменник перетворюється в x² − x нуль; 5) (х + 5)(х – 3) = 0; х + 5 = 0 або х – 3 = 0; х = –5 або х = 3. Областю визначення функції 7 у= є всі числа , крім чисел –5 і 3, бо при цих значеннях знаменник (x + 5)(x − 3)

перетворюється в нуль; 14 7 6) х + 3 = 0; х = –3 і х – 1 = 0; х = 1. Областю визначення функції y = + є всі x+3 x−1 числа, крім чисел –3 і 1, бо при цих значеннях відповідні знаменники перетворюються в  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

нуль.

42.27. Початкова температура води була 20 °С. Під час нагрівання вона щохвилини підвищувалася на 5 °C. 1) Задайте формулою залежність температури води T від часу t її нагрівання. 2) Знайдіть значення T, що відповідає значенню аргументу t = 7; 9; 10. 3) Знайдіть значення t, яким відповідає T = 45; 60; 70. 4) Знайдіть значення t, за якого вода закипить.

1) T = 20 + 5t; 2) якщо t = 7, то T = 20 + 5 ∙ 7 = 20 + 35 = 55; якщо t = 9, то T = 20 + 5 ∙ 9 = 20 + 45 = 65; якщо t = 10, то T= 20 + 5 ∙ 10 = 20 + 50 = 70; 3) T = 45, якщо: 45 = 20 + 5t; 5t = 25; t = 5; T = 60, якщо: 60 = 20 + 5t; 5t = 40; t = 8; T = 70, якщо: 70 = 20 + 5t; 5t = 50; t = 10; 4) вода закипить, якщо T= 100, тому: 100 = 20 + 5t; 5t = 80; t = 16.

42.28. Велосипедистка зупинилася на відстані 10 км від міста. А через деякий час продовжила рух зі швидкістю 15 км/год. 1) Задайте формулою залежність відстані s (у км), яку загалом подолала велосипедистка, від часу t (у год), який відраховується після зупинки. 2) Знайдіть значення s, що відповідає значенню t = 1; 2; 5. 3) Знайдіть значення t, для якого s = 34; 55; 70.

1) S = 10 + 15t; 2) 3) якщо t = 1, то S = 10 + 15 ∙ 1 = 10 + 15 = 25; якщо S = 34: 34 = 10 + 15t; 15t = 24; t = 1,6; якщо t = 2, то S = 10 + 15 ∙ 2= 10 +30 = 40; якщо S = 55: 55 = 10 + 15t; 15t = 45; t = 3; якщо t = 5, то S = 10 + 15 ∙ 5 = 10 + 75 = 85; якщо S = 70: 70 = 10 + 15t; 15t = 60; t = 4.

42.29. У таблиці подано залежність функції у від аргументу х. Знайдіть: 1) значення у, якщо х = –4; –1; 0; 3; 2) значення х, яким відповідає у = –3; –2; 5; 3) значення х, якому відповідає таке саме значення у; 4) область визначення функції; 5) область значень функції. x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –3 –2 1 –3 5 1 6 –2 –3 1) Якщо х = –4, то у = –3; якщо х = –1, то у = –3 ; якщо х = 0, то у = 5; якщо х = 3, то у = –2; 2) у = –3, якщо x = –4 або х = – 1; у = –2, якщо х = –3 або х = 3; у = 5, якщо х = 0; 3) якщо х = 1, то у = 1; 4) область визначення функції складають числа –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4; 5) область значень функції складають числа –3, –2, 1, 5, 6.

42.30. У таблиці подано залежність функції у від аргументу х. Знайдіть: 1) значення у, якщо х = –8; –2; 4; 6; 2) значення х, яким відповідає у = –1; 4; 7; 3) значення х, якому відповідає протилежне до х значення у; 4) область визначення функції; 5) область значень функції. x –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 y –1 2 4 2 4 7 2 –1 –9 1) Якщо х = –8, то у = –1; якщо х = –2, то у = 2; якщо x = 4, то y = 2; якщо х = 6, то у = –1; 2) у = –1, якщо х = –8 або 6; у = 4, якщо х = –4 або 0; 3) х = –4; у = 4 або х = –2; у = 2; 4) область визначення функції складають числа –8, –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8; 5) область значень функції складають числа –1, 2, 4, 7, 9.

42.31. Складіть таблицю значень функції у = 0,6 – 0,3х, де –2 ≤ х ≤ 5, з кроком, що дорівнює 1. Використовуючи цю таблицю, укажіть: 1) значення функції, яке відповідає  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

значенню аргументу, що дорівнює 0; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0. у = 0,6 – 0,3х. x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 1,2 0,9 0,6 0,3 0 –0,3 –0,3 –0,9 1) якщо х = 0, то у = 0,6; 2) у = 0, якщо х = 2.

42.32. Знайдіть значення функції для х = –5; х = 0; х = 3, якщо: 4x – 3, якщо х < 0, 7, якщо х ≤ 0, 1) y = � 2) y = � – 2x, якщо х ≥ 0, – x², якщо х > 0. Якщо x = –5, то y = 4(–5) – 3 = –23; Якщо x = –5, то y = 7; якщо x = 0, то y = –2 · 0 = 0; якщо x = 0, то y = 7; якщо x = 3, то y = –2 · 3 = –6; якщо x = 3, то y = 32 = 9.

42.33. Знайдіть значення функції для значення аргументу, яке дорівнює –2; 0; 4, якщо: 7x – 2, якщо х ≤ 0, 3, якщо х ≤ 2, 1) y = � 2) y = � – 3x, якщо х > 0, – x², якщо х > 2. Якщо x = –2, то y = 4(–2) – 2 = –16; Якщо x = –2, то y = 3; якщо x = 0, то y = 7 · 0 – 2 = –2; якщо x = 0, то y = 3; якщо x = 4, то y = –3 · 4 = –12; якщо x = 4, то y = –42 = –16.

42.34. Знайдіть найменше значення функції у = х2 + 2х + 5. у = х2 + 2х + 5 = x2 + 2х + 4 + 1 = (х + 2)2 + 1. Вираз (х + 2)2 невід’ємний і набирає найменшого значення 0 при х = –2. Отже, функція у = (х + 2)2 + 1 набуває найменшого значення 0 + 1 = 1 при х = –2.

42.35. Обчисліть 8 11 13 8 8 5625 22 + 26 8 8 9 59 144 8 ∙ 0,5625 – ( + 1 ) ∙ 1,44 + 2 = ∙ –1 ∙ 1,44 + 2 = ∙ –1 ∙ +2 = 15 1 3

131

24 36 144 58 3

131

25 58

15 10000 15 − 131 + 1163

72

25

15

16

72

100

25

∙ – ∙ + = – + = = 0.

2 72 100 25 10 50 25 50 42.36. Якими одночленами треба заповнити клітинки, щоб рівність перетворилася на тотожність: 1) (3х – 2у)(3х + 2у) = 9х2 – 4у2; 2) (5m + 6)(5m – 6) = 25m2 – 36; 3) (7с2 – 3р)(7с2 + 3р) = 49с4 – 9р2; 4) (4m + 9а2)(9а2 – 4m) = 81 · а4 – 16m2.

42.37. Сторона квадрата на 4 см більша за одну сторону прямокутника і на 5 см менша за другу. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа на 10 см2 більша за площу прямокутника. Нехай сторона квадрата дорівнює х см, тоді одна сторона прямокутника дорівнює (x – 4) см, а інша – (х + 5) см. Площа квадрата дорівнює х2 см2, а прямокутника — (х – 4)(х + 5) см2. Рівняння: x2 – (x – 4)(x + 5) = 10; х2 – х2 – 5х + 4х + 20 = 10; –x = –10; x = 10. Відповідь: 10 см.

42.38. Відомо, що 60 кг макулатури зберігають одне дерево. Учні сьомих класів школи зібрали 300 кг макулатури. Скільки дерев зберегли учні?

300 : 60 = 5 (дерев) – зберегли учні. Відповідь: 5 дерев.

5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

42.39. У трьох коробках лежать кульки: у першій – дві білого кольору, у другій – дві чорного кольору, у третій – білого й чорного. На коробках є таблички з написами, що відповідають кольору кульок: ББ, ЧЧ і БЧ, але вміст жодної з коробок не відповідає її табличці. Як, взявши з якоїсь однієї коробки навмання одну кульку, визначити колір кульок, що лежать у кожній з коробок? Візьмемо одну кульку з коробки БЧ. Якщо вона білого кольору, то в цій коробці дві білі кульки (надпис не відповідає вмісту), тоді у коробці ЧЧ — біла й чорна кулька, а в коробці ББ — дві чорні кульки. Якщо витягнута з коробки БЧ кулька чорного кольору, то у цій коробці дві чорні кульки, у коробці ББ — чорна й біла кульки, а в коробці ЧЧ — дві білі кульки. §43. Графік функції. Графічний спосіб задання функції 43.1. На малюнку зображено графік функції. За графіком: 1) заповніть у зошиті таблицю: x

–3

–2,5

–2

–1,5

–0,5

0

1

2

3

y

–1,5

–1

0

1

1,5

2,5

2

2,5

3

2) знайдіть область визначення і область значень функції. областю визначення функції є числа х такі, що –3 ≤ х ≤ 3; областю значень функції є числа у такі, що –1,5 ≤ у ≤ 3.

43.2. На малюнку зображено графік функції. За графіком: 1) заповніть таблицю: x –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2

2,5

3

3,5

4

y 1 0,5 1,5 2 1,5 0 –1 –1,5 –1 –2 –3 –2,5 –2 2) знайдіть область визначення і область значень функції. областю визначення функції є такі числа х, що –2 ≤ х ≤ 4; областю значень функції є такі числа у, що –3 ≤ у ≤ 2.

43.3. Побудуйте графік функції у = х – 3, де –2 ≤ х ≤ 5, склавши таблицю для цілих значень аргументу. 1) Чи належить графіку функції точка А(3; 0); точка В (–1; 2)? 2) Знайдіть за графіком значення функції, якщо х = 2; х = 4. 3) Знайдіть за графіком значення аргументу, якому відповідає значення функції у = –3; у = 2.

1) у = х –3, де –2 ≤ х ≤ 5; x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

shkola.in.ua

2) точка A(3; 0) належить графіку функції; точка B (–1; 2) не належить графіку функції; 3) якщо х = 2, то у = –1; якщо х = 4, то у = 1; 4) у = –3, якщо х = 0; у = 2, якщо х = 5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43.4. Побудуйте графік функції у = х + 2, де –4 ≤ х ≤ 3, склавши таблицю для цілих значень аргументу. 1) Чи належить графіку функції точка С(2; 5), точка D(–2; 0)? 2) Знайдіть за графіком значення функції, якщо х = –3; х = 1. 3) Знайдіть за графіком значення аргументу, якому відповідає значення функції у = 1; у = 5.

1) y = x + 2, де –4 ≤ х ≤ 3; x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 y

–2

–1

0

1

2

3

4

5

shkola.in.ua

2) точка С(2; 5) не належить графіку функції; точка D(–2; 0) належить графіку функції; 3) якщо х = –3 , то у = –1; якщо х = 1, то y = 3; 4) y = 1, якщо x = –1; y = 5, якщо x = 3.

43.5. He виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції: 1) y = 5х; у = 0, якщо: 0 = 5х; х = 0; 2) y = 3х – 6; y = 0, якщо: 0 = 3х – 6; 3x = 6; x = 2; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 3) y = – ; у = 0, якщо: 0 = – ; х = 0; 10 5−x

10 5−x

4) y = ; y = 0, якщо: 0 = ; 0 = 5 – x; x = 5.

8 8 43.6. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції: 1) y = –3x; y = 0, якщо: 0 = –3х; х = 0; 2) y = 12 – 4х; y = 0, якщо: 0 = 12 – 4x; 4x = 12; х = 3; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 3) y = ; y = 0, якщо 0 = ; х = 0; 3 x+2

3

x+2

4) y = ; y = 0, якщо: 0 = ; х + 2 = 0; х = –2.

4 4 43.7. За графіком, знайдіть: 1) якою була температура повітря о 3 год; о 5 год; о 7 год; о 21 год; 2) о котрій годині температура повітря була –5 °С; 0 °С; 5 °С.

1) Температура повітря о 3 год була –5,5°С, о 5 год – –5,2°С, о 7 год – –2°С, о 21 год –2 °С; 2) температура повітря –5°С була о 2 год 15 хв і о 5 год 15 хв; 0°С — о 8 год і о 20 год; 5 °С — о 14 год.

43.8. За графіком, знайдіть: 1) якою була температура повітря в 0 год; о 2 год; о 9 год; о 12 год; о 18 год; 2) о котрій годині температура повітря дорівнювала –6 °С; –2 °С; 1°С; 3 °С; 3) якою була найнижча температура і о котрій годині; 4) якою була найвища температура і о котрій годині; 5) протягом якого часу температура підвищувалась; 6) протягом якого часу температура знижувалась; 7) протягом якого часу температура повітря була нижчою за 0 °С; 8) протягом якого часу температура повітря була вищою за 0 °С.

1) Температура повітря в 0 год була –3 °С, о 2 год – –5°С, о 9 год — 1,2 °С, о 12 год — 3 °С, о 18 год — 3 °С;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) температура повітря була –6 °С о 4 год і 24 год; –2°С о 7 год і 21 год; 1 °С о 8 год 40 хв і 18 год; 3 °С о 12 год і 16 год; 3) найнижча температура –6 °С була о 4 год і 24 год; 4) найвища температура 5 °С була о 14 год; 5) температура повітря підвищувалась від 4 год до 14 год; 6) температура повітря знижувалась від 0 год до 4 год і від 14 год до 24 год; 7) температура повітря була нижча від нуля від 0 год до 8 год і від 20 год до 24 год; 8) температура повітря була вища від нуля від 8 год до 20 год.

43.9. He виконуючи побудови, з’ясуйте, чи належить графіку функції у = x2 – 3х точка: 1) Точка (1; –2 ) належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –2 = 12 – 3 ∙ 1; –2 = –2 — правильна рівність; 2) точка (–2; –2 ) не належить графіку функції у – у2 – 3х, бо: –2 = (–2)2 – 3 ∙ (–2); –2 = 10 — неправильна рівність; 3) точка (0; –3) не належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –3 = 0 – 3 ∙ 0; –3 = 0 — неправильна рівність; 4) точка (–1; 4) належить графіку функції у = х2 – 3х, бо: 4 = (–1)2 – 3 ∙ (–1); 4 = 4 — правильна рівність.

43.10. He будуючи графіка функції у = 2х + х2, з’ясуйте, чи належить йому точка: 1) Точка (1; 3) належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 3 = 2 ∙ 1 + 1; 3 = 3 —правильна рівність; 2) точка (–1; 3) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 3 = 2 ∙ (–1) + (–1)2; 3 = –1 — неправильна рівність; 3) точка (0; 0) належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 0 = 2 ∙ 0 + 0; 0 = 0 — правильна рівність; 4) точка (–2; 4) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 4 = 2 ∙ (–2) + (–2)2; 4 = 0 — неправильна рівність.

43.11. За графіком знайдіть: 1) значення у, якщо х = –3; –2; –0,5; 1,5; 4; 2) значення х, яким відповідає у = –2,5; –1,5; 1; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

1) Якщо х = –3, то у = –2; якщо х = –2, то у = –2,5; якщо х = –0,5, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 2,5; якщо х = 4, то у = –1; 2) у = –2,5, якщо х = –2; у = –1,5, якщо х = –1,5 або х = 3,5; у = 1, якщо х = –0,5 або х = 2,5; 3) х = –1 і х = 3 — нулі функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо –1 < х < 3; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо –3 ≤ х < –1 і 3 < х ≤ 4.

43.12. За графіком функції (мал. 23.10) знайдіть: 1) значення у, якщо х = –3,5; –2; –1,5; 0; 1; 2,5; 2) значення х, яким відповідає у = –1; 1; 2; 3; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень.

1) Якщо х = –3,5 то у = 2; якщо х = –2, то у = 2; якщо х = –1,5, то у = 1,2; якщо х = 0, то у = –2; якщо х = 1, то у = –1,5; якщо х = 2,5, то у = 1; 2) у = –1, якщо х = –0,5 або х = 1,5; у = 1, якщо х = –1,4 або х = 2,5; у = 2, якщо х = –3,5 або х = –2, або х = 3; у = 3, якщо х = 4; 3) х = –1 і х = 2 — нулі функції; 4) функція набуває від’ємних значень, якщо –1 < х < 2; 5) функція набуває додатних значень, якщо –4 ≤ х < –1 і 2 < х ≤ 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43.13. Ламана ABC – графік деякої функції, причому А(–3; 2), B(1; 6), С(4; 0). Побудуйте графік і знайдіть з його допомогою: 1) значення функції, які відповідають значенням х = –2; 0; 1; 2) значення аргументу, яким відповідає значення у = 2; 4; 6.

1) Якщо х = –2, то у = 3; якщо x = 0, тo y = 5; якщо х = 1, то у = 6; 2) у = 2, якщо x = –3 і х = 3; у = 4, якщо x = –1 і х = 2; у = 6, якщо х = 1. shkola.in.ua

43.14. Ламана MNL є графіком деякої функції, причому М(–2; –1), N(2; 3), L(6; –1). Побудуйте графік цієї функції і знайдіть з його допомогою: 1) значення функції, які відповідають значенням х = –2; 0; 2; 5; 2) значення аргументу, яким відповідають значення у = –1; 1; 3.

1) Якщо х = –2, то у = –1; якщо x = 0, то у = 1; якщо х = 2, то у = 3; якщо х = 5, то y = 0; 2) у = –1, якщо x = –2 і x = 6; shkola.in.ua у = 1, якщо x = 0 і x = 4; у = 2, якщо x = 1 і x = 3.

43.15. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції: 1) у = x2 – 4x; у = 0, якщо: 0 = x2 – 4x; x(x – 4) = 0; x = 0 або x – 4 = 0; x = 0 або х = 4; 2) у = 16 – х2; у = 0, якщо: 0 = 16 – х2; (4 – x) (4 + x) = 0; 4 – x = 0 або 4 + x = 0; x = 4 або х = –4; 3) у = 2х2 + 10х; у = 0, якщо: 0 = 2x2 + 10x; 2x(x + 5) = 0; 2x = 0 або x + 5 = 0; x = 0 або x = –5.

43.16. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції: 1) у = x2 + 2х; у = 0, якщо: x2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x + 2 = 0; x = 0 або х = –2; 2) у = x2 – 25; у = 0, якщо: x2 – 25 = 0; (х – 5)(x + 5) = 0; x – 5 = 0 або x + 5 = 0; x = 5 або x = –5; 3) у = 12x – 3x2; у = 0, якщо: 12x – 3x2 = 0; 3x(4 – x) = 0; х = 0 або 4 – х = 0; x = 0 або х = 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43.17. Побудуйте графік функції: 8−x 1) у = , де –2 ≤ x ≤ 10.

2

x

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

5

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1

0,5

0

–0,5 –1

shkola.in.ua

2) у = x(4 + x), де –5 ≤ x ≤ 1. x –5 –4 –3 –2 y

5

0

–3

–4

–1

0

1

–3

0

5

shkola.in.ua

43.18. Побудуйте графік функції: x+3 1) y = , де –5 ≤ x ≤ 7; x

2

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

y

–1

–0,5

0,5

1

1,5 2

2,5

3

3,5

4

0

4,5

5

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) у = x(4 – x), де –1 ≤ x ≤ 5. x –1 0 1 2 y –5 0 3 4

3 3

4 0

5 –5

shkola.in.ua

43.19. Чи є фігура на малюнку графіком деякої функції? Лінія, зображена на малюнку, не є графіком функції, бо, наприклад, якщо х = 0, то у набуває кількох значень.

43.20. На малюнку зображено графік залежності маси m (у кг) відра з водою від об’єму V (у л) води в ньому. Знайдіть за графіком: 1) масу порожнього відра; 2) масу відра, у якому 4 л води; 3) масу 1 л води; 4) об’єм води у відрі, якщо маса відра з водою – 8 кг.

1) Маса порожнього відра дорівнює 2 кг; 2) маса відра з 4л води дорівнює 6 кг; 3) маса одного літра води дорівнює: 3 – 2 = 1 (кг); 4) якщо маса відра з водою дорівнює 8 кг, то об'єм води у відрі –6 л.

43.21. Спростіть вираз: 1) (а – 5)(а + 5) – а(а + 7) = a2 – 25 – a2 – 7а = –7a – 25; 2) m(m – 4) + (9 – m)(m + 9) = m2 – 4m + 81 – m2 = 81 – 4m; 3) 2а(а – b) – (а – b)2 = (а – b)(2а – а + b) = (а – b)(а + b) = а2 – b2; 4) (q + 5р)(5р – q) – (p – 5q)2 – 10pq = 25р2 – q2 – р2 + 10pq – 25q2 – 10pq = 24p2 – 26q2.

43.22. Доведіть, що різниця між будь-яким трицифровим натуральним числом і сумою його цифр є кратною числу 9. Нехай трицифрове натуральне число дорівнює 100x + 10y + z, тоді сума його цифр — x + y + z. Маємо: (100x + 10y + z) – (x + y + z) = 100x + 10y + z – x – y – z = 99х – 9у = 9(11x – у) — ділиться націло на 9.

43.23. 1) Використання проточної води для миття посуду чи прання білизни призводить до марних витрат води в середньому до 15 л за хвилину. Скільки води можна зберегти під час півгодинного прання, якщо правильно ставитися до споживання води?

15 ∙ 30 = 450 (л) – можна зберегти.

2) Практична діяльність. З’ясуйте, який тариф на воду (ціна за 1 м3 води) у вашій місцевості та обчисліть, скільки коштів за годину можна заощадити, якщо правильно ставитися до споживання води.

1м3 = 35 грн; 1м3 = 1000 л; 1 л = 35 : 1000 = 0,035 грн.

450 ∙ 0,035 = 15,75 (грн) – можна заощадити.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43.24. Доведіть, що якщо n – натуральне число (n > 1), то число 4n – 3 не може бути квадратом натурального числа. Припустимо, що 4n – 3 є квадратом натурального числа. Тоді 4n – 3 = а2; (2n)2 – 3 = a2. Звідси (2n)2 – а2 = 3; (2n – а)(2n + а) = 3. Дана рівність має місце для натуральних n лише 2ⁿ – a = 1, тоді, коли � Почленно додавши рівняння системи, одержимо: 2 ∙ 2n = 4; 2n = 2ⁿ + a = 3.

2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові. § 44. Лінійна функція, її графік та властивості 44.1. Чи є лінійною функція: 1) Функція, задана формулою у = 2х – 3, є лінійною; 2) функція, задана формулою у = 4х – х2, не є лінійною; 3) функція, задана формулою у = 3, є лінійною; 4 4) функція, задана формулою у = , не є лінійною функцією; 𝑥𝑥 𝑥𝑥

5) функція, задана формулою y = – 1, є лінійною; 3 6) функція, задана формулою у = х – 1 – х6, не є лінійною функцією.

44.2. Які з даних функцій є лінійними: 1) Функція у = 2х2 – 7 не є лінійною; 2) у = 3х – 1 — лінійна функція; 10 3) функція у = не є лінійною функцією; 𝑥𝑥

𝑥𝑥

4) у = + 3 — лінійна функція; 2 5) у = –4 — лінійна функція; 6) функція у = 7х – x3 не є лінійною.

44.3. Які з функцій задають пряму пропорційність: Пряму пропорційність задають функції: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1) y = 2х; 5) y = – ; 6) y = .

2 2 44.4. Чи є прямою пропорційністю функція, яку задано формулою: Функція, задана формулою, є прямою пропорційністю у випадках: 𝑥𝑥 𝑥𝑥 6) у = – .

1) у = –3х; 5) у = ; 3 3 44.5. Назвіть коефіцієнти k і l у кожній з даних формул лінійних функцій: 1) у = –0,8х + 7. Коефіцієнт k дорівнює –0,8, а коефіцієнт b — 7; 2) у = 6 – х. Коефіцієнт k дорівнює – 1, а коефіцієнт b — 6; 𝑥𝑥 1 3) y = . Коефіцієнт k дорівнює , а коефіцієнт b — 0; 3 3 4) у = 2,4х. Коефіцієнт k дорівнює 2,4, а коефіцієнт b — 0; 5) у = –15. Коефіцієнт k дорівнює 0, а коефіцієнт b — –15; 6) у = 0. Коефіцієнт k дорівнює 0 і коефіцієнт b — 0.

44.6. Ширина прямокутника дорівнює x см, а довжина на З см більша за ширину. Задайте формулою залежність: 1) периметра прямокутника від його ширини; 2) залежність площі прямокутника від його ширини. Яка із цих залежностей є лінійною функцією? Якщо ширина прямокутника х см, то довжина — (х + 3) см. 1) Залежність периметра прямокутника від його ширини можна задати формулою P = 2(х + х + 3) = 4х + 6 см, яка є лінійною функцією; 2) залежність площі прямокутника від його ширини можна задати формулою S = х ∙ (х + 3) = x2 + 3х, яка не є лінійною функцією.

44.7. Учениця купила щоденник за 15 грн і кілька зошитів по 4 грн. Задайте формулою залежність вартості покупки у (у гривнях) від кількості придбаних зошитів х. Чи є ця залежність лінійною функцією? Якою є область визначення цієї функції?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Залежність кількості гривень у, які витратив учень, від кількості куплених зошитів х можна задати формулою у = 15 + 4х, яка є лінійною функцією. Область визначення цієї функції складають натуральні числа.

44.8. Учень мав 30 грн. За ці кошти він придбав х олівців по 1,5 грн кожен, після чого в нього залишилося у грн. Задайте формулою залежність у від х. Чи є ця залежність лінійною функцією? Залежність кількості гривень у, які залишилися в учня, від кількості куплених олівців х можна задати формулою у = 30 – 1,5х. Ця залежність є лінійною функцією.

44.9. Лінійну функцію задано формулою у = 0,5х + 3. Знайдіть: 1) значення у, якщо х = – 12; 0; 18; 2) при якому значенні х значення у дорівнює –4; 8; 2,5.

1) Якщо х = –12, то у = 0,5 ∙ (–12) + 3 = –6 + 3 = –3; якщо х = 0, то у = 0,5 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 3; якщо х = 18, то у = 0,5 ∙ 18 + 3 = 9 + 3 = 12; 2) якщо у = –4: –4 = 0,5х + 3; 0,5х = –7; х = –14; якщо у = 8: 8 = 0,5х + 3; 0,5х = 5; х = 10; якщо у = 2,5: 2,5 = 0,5х + 3; 0,5х = –0,5; х = –1.

44.10. Дано лінійну функцію у = –2х + 3. Знайдіть значення: 1) у, якщо х = 1,5; –4; –6,5; 2) х, при якому у = 5; 0; –8.

1) Якщо х = 1,5, то у = –2 ∙ 1,5 + 3 = –3 + 3 = 0; якщо х = –4, то у = –2 ∙ (–4) + 3 = 8 + 3 = 11; якщо х = –6,5, то у = –2 ∙ (–6,5) + 3 = 13 + 3 = 16; 2) якщо у = 5: 5 = –2х + 3; –2х = 2; х = –1; якщо у = 0: 0 = –2х + 3; –2х = –3; х = 1,5; якщо у = –8: –8 = –2х + 3; –2х = –11; х= 5,5.

44.11. Використовуючи графік функції на малюнку, заповніть таблицю: x –2 0 1 3 –3 –1 2 y –3 1 3 7 –5 –1 5 44.12. Використовуючи графік функції на малюнку, заповніть у зошиті таблицю: x –6 –2 2 8 4 –4 y 4 2 0 –3 –1 3 44.13. Запишіть координати будь-яких двох точок, що належать графіку функції у = 5х–2. Точка A(0; –2) належить графіку функції у = 5x – 2, бо: –2 = 5 ∙ 0 – 2; –2 = –2; — правильна рівність; Точка С(2; 8) належить графіку функції у = 5х – 2, бо: 8 = 5 ∙ 2 – 2; 8 = 8 — правильна рівність.

44.14. Заповніть у зошиті таблицю значень лінійної функції та побудуйте її графік: 1) y = –x + 2; 2) y = 2x – 3. x 0 4 x 0 2 y

2

–2

y

–3

1

shkola.in.ua shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.15. Заповніть у зошиті таблицю значень лінійної функції та побудуйте її графік: 1) y = x – 3; 2) y = –3x + 1; x 0 2 x 0 3 y

–3

1

y

0

–5

shkola.in.ua shkola.in.ua

44.16. Побудуйте графік лінійної функції: 1) y = x + 2; x 0 –2 y

2

0

2) y = –3x + 4; x 0 1 4

y

1

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) y = 0,5x – 3; x 0 2 y

–3

–2

2

4) y = x – 1; x y

3

0

3

–1

1

shkola.in.ua shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5) y = –1; x 0

2

–1

–1

y

6) y = –x + 2,5. x 0 2,5 2,5

y

0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.17. Побудуйте графік лінійної функції: 1) y = x – 1; x 0 1 –1

y

2) y = –2x + 5. x 0 1 5

y

0

3

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) y = –0,5x + 3; x 0 2 y

3

3

4) y = x + 1; x

2

y

4

0

4

1

4

shkola.in.ua shkola.in.ua

5) y = 4;

6) y = x – 1,5;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x

0

4

x

0

4,5

y

4

4

y

-1,5

3

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.18. Мотоциклістка рухається зі швидкістю 65 км/год. Задайте формулою залежність відстані S (у кілометрах), яку вона подолає, від часу t (у годинах). Чи є ця залежність прямою пропорційністю? Залежність пройденого шляху S від часу t можна задати формулою S = 65t. Ця залежність є прямою пропорційністю.

44.19. Задайте формулою залежність: 1) довжини кола C від його радіуса r; 2) площі круга S, обмеженого цим колом, від радіуса r. Яка із цих залежностей є прямою пропорційністю?

1) Залежність довжини кола від його радіуса — C = 2πr – є прямою пропорційністю; 2) залежність площі круга від радіуса — S = πr2 не є прямою пропорційністю.

44.20. Запишіть формули двох будь–яких лінійних функцій, графіки яких проходять через точку Р(1; –5). Через точку Р(1; –5) проходять, наприклад, графіки таких лінійних функцій: у = –5; i у = 2х –7.

44.21. Серед даних функцій знайдіть ті, графіки яких проходять через точку (1; –4): 1) Графік функції у = 4x не проходить через точку (1; –4 ), бо: –4 = 4 ∙ 1; –4 = 4 — неправильна рівність; 2) графік функції y – 2x – 2 не проходить через точку (1; –4 =), бо: –4 = 2 ∙ 1 – 2; – 4 = 0 — неправильна рівність; 3) графік функції у = 1 не проходить через точку (1; –4), бо: –4 = 1 — неправильна рівність; 4) графік функції у = –4 проходить через точку ( 1; –4), бо: –4 = –4 — правильна рівність; 5) графік функції у = –4x проходить через точку (1; –4), бо: –4 = –4 ∙ 1; –4 = – 4 — правильна рівність; 1 1 6) графік функції у = x – не проходить через точку (1; –4 ), бо: 1

1

4

4

–4 = ∙ 1 – ; –4 = 0 — неправильна рівність.

4 4 44.22. He виконуючи побудови графіка функції у = 1,8x – 7, з’ясуйте, чи проходить цей графік через точку: 1) Графік функції у = 1,8х – 7 не проходить через точку A(0; 7), бо: 7 = 1,8 ∙ 0 – 7; 7 = –7 — неправильна рівність; 2) графік функції у = 1,8x – 7 проходить через точку В(–5; –16), бо: –16 = 1,8 ∙ (–5) – 7; –16 = –16 — правильна рівність; 3) графік функції y = 1,8х – 7 не проходить через точку С(5; –2), бо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

–2 = 1,8 ∙ 5 – 7; –2 = 2 — неправильна рівність; 4) графік функції у = 1,8x – 7 проходить через точку D(10; 11), бо: 11 = 1,8 ∙ 10 – 7; 11 = 11 — правильна рівність.

44.23. He будуючи графіка функції у = –3х + 7, з’ясуйте, чи належить йому точка: 1) Графік функції у = –3х + 7 не проходить через точку А(1; –4), бо: –4 = –3 ∙ 1 + 7; –4 = 4 — неправильна рівність; 2) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку B(0; 7), бо: 7 = –3 ∙ 0 + 7; 7 = 7 — правильна рівність; 3) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку С(–1; 10), бо: 10 = –3 ∙ (–1) + 7; 10 = 10 — правильна рівність; 4) графік функції y = –3х + 7 не проходить через точку D(10; –37), бо: –37 = –3 ∙ 10 + 7; –37 = –23 — неправильна рівність.

44.24. He виконуючи побудови, знайдіть нулі функції: 1) у = 2х – 6; у = 0, якщо: 2x – 6 = 0; 2х = 6; х = 3; 1 1 1 2) y = – x + 8; y = 0, якщо: – x + 8 = 0; – х = –8; х = 16; 2 2 2 3) у = 7х; у = 0, якщо: 7х = 0; х = 0; 4) у = –5х; у = 0, якщо: –5х = 0; х = 0.

44.25. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції: 1) у = 4х + 12; у = 0, якщо: 4х + 12 = 0; 4х = –12; х = –3; 2) у = –8х; у = 0, якщо: –8х = 0; х = 0.

44.26. Побудуйте графік прямої пропорційності: 1) y = x; 2) y = –2,5x; x 0 2 x 0 2 y

0

2

0

y

shkola.in.ua

3) y = –x; x 0

2

0

–2

y

–5

shkola.in.ua

1

4) y = x. x y

2

0

4

0

2

shkola.in.ua shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.27. Побудуйте графік прямої пропорційності: 1) y = 1,5x; 2) y = –2x. x 0 2 x 0 y

0

3

y

0

2 –4

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.28. Накресліть графік функції у = 5 – 2,5x. За графіком знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 0; 2; 2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює –5 ; 0; 10; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; 6) точки перетину графіка з осями координат. x 0 2 y

5

0

shkola.in.ua

1) Якщо х = 0, то у = 5; якщо х = 2, то y = 0; 2) якщо у = –5 , то х = 4; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 10, то х = –2; 3) якщо у = 0, то х = 2 — нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х < 2; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; 5).

44.29. Побудуйте графік функції у = 1,5х – 3. За графіком знайдіть: 1) яке значення у відповідає х = –2 ; 0; 4;2) якому значенню х відповідає у = –3 ; 0; 6; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; 6) точки перетину графіка з осями координат. x 0 2 y

–3

0  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Якщо х = –2, то у = –6; якщо х = 0, то у = –3; якщо х = 4, то у = 3; 2) якщо y = –3, то х = 0; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 6, то х = 6; 3) якщо у – 0, то х = 2 — нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х > 2; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х < 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; –3).

44.30. Графік функції у = kx – 2 проходить через точку (6; –11). Знайдіть значення k. Якщо графік функції у = kх –2 проходить через точку А(6; –11), то: –11 = k ∙ 6 – 2; 6k = –11 + 2; 6k = –9; k = –1,5.

1 44.31. Знайдіть значення l, якщо графік функції у = – x + l проходить через точку М(10; 5 –5).

1 Якщо графік функції у = – x + l проходить через точку М(10; –5), то: 5

1

–5 = – ∙ 10 + l; –5 = –2 + l; l = –3.

5 44.32. He виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції з осями координат: 1) Координати точки перетину графіка функції у = 1,5х – 20: 1 а) з віссю абсцис — (13 ; 0), бо, якщо у = 0, то: 3

1

1,5x – 20 = 0; 1,5x = 20; х = 13 ; 3 б) з віссю ординат — (0; –20), бо, якщо х = 0, то: у – 1,5 ∙ 0 – 20; у = –20; 𝑥𝑥 2) координати точки перетину графіка функції у = 5 – : 𝑥𝑥

4

𝑥𝑥

а) з віссю абсцис — (20; 0), бо, якщо у = 0, то: 5 – = 0; – = –5; х = 20; 4

4

0

б) з віссю ординат — (0; 5), бо, якщо х = 0, то: у = 5 – ; y = 5.

4 44.33. У яких точках перетинає осі координат графік функції: 1) Координати точки перетину графіка функції у = 0,2х – 40: а) з віссю абсцис — (200; 0), бо, якщо у = 0, то: 0,2x – 40 = 0; 0,2х = 40; x = 200; б) з віссю ординат — (0; –40), бо, якщо х = 0, то: у = 0,2 ∙ 0 – 40; у = –40; 1 2) координати точки перетину графіка функції у = 18 – x:  shkola.in.ua

3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

а) з віссю абсцис — (54; 0), бо, якщо = 0, то: 1 1 18 – х = 0; – х = –18; х = 54 3 3 б) з віссю ординат — (0; 18), бо, якщо x = 0, то: 1 у = 18 – ∙ 0; y = 18.

34 44.34. Точка А(0,7; 70) належить графіку прямої пропорційності. Задайте формулою цю функцію. Якщо точка A(0,7; 70) належить графіку функції, яка є прямою пропорційністю у = kх, то: 70 = k ∙ 0,7; k = 70 : 0,7; k = 100. Тоді функцію можна задати так: y = 100x.

44.35. Задайте формулою пряму пропорційність, якщо її графік проходить через точку B(–2; 18). Якщо графік прямої пропорційності у = kх проходить через точку В(–2; 18), то: 18 = k ∙ (– 2); k = – 9 і формула набуває вигляду у = –9х.

44.36. Побудуйте графік функції: 1 𝑥𝑥 – 5 1) y = (6 – x); 2) y = ; 2 1

1

y = – x + 3. x y

2

5

y = x – 1.

5

4

0

x

5

0

1

3

y

0

–1

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.37. Побудуйте графік функцій в одній системі координат та знайдіть координати точки їх перетину: 1) y = –0,5x – 1 x y

0 –1

–2 0

x

y=x–4 0

4

y

–4

0

shkola.in.ua

Відповідь: Точкою перетину графіків функцій y = –0,5x – 1 і y = x – 4 є точка А(2; –2);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

y = –2 x y

x y

–2 –2

1 –2

y = 3x – 5 0 2 –5

1

shkola.in.ua

Відповідь: Точкою перетину графіків функцій y = 3x – 5 і y = –2 є точка А(1; –2).

44.38. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = 1,5х –4 і y = 2 та знайдіть координати точки їх перетину. y = 1,5x – 4 x 0 2 y –4 –1 shkola.in.ua y=2 x y

0 2

4 2

Відповідь: Точкою перетину графіків функцій y = 1,5х – 4 і у = 2 є точка A(4; 2).

44.39. Усі точки графіка функції у = kx + l мають одну й ту саму ординату, яка дорівнює 5. Знайдіть k і l. Якщо усі точки графіка у = kх+ l мають одну й ту саму ординату, яка дорівнює 5 при будь-якому х, то формула набирає вигляду 5 = 0x + l. Отже, l = 5; k = 0.

44.40. Графік функції у = kx + l паралельний осі абсцис і проходить через точку М(0; –5). Знайдіть k і l. Якщо графік функції у = kх + l паралельний осі абсцис, то усі точки графіка мають одну й ту саму ординату при будь-якому х і формула набирає вигляду у = 0x + l; у = l. Якщо графік функції у = l ще проходить через точку M(0; –5), то: у = –5. Отже, k = 0; l = –5.

44.41. Установіть відповідність між формулами функцій у = 3х; у = –3х і у = х + 3 та їх графіками I—III, зображеними на малюнку 24. Формула у = 3х відповідає графіку III, формула у = –3х — графіку І, а формула у = х + 3 — графіку II. 44.42. Функцію у = 2х + 1 задано для –3 ≤ х ≤ 4. Знайдіть область значень цієї функції. x –3 4 y –5 9 Областю значень функції є такі числа у, що: –5 ≤ у ≤ 9.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.43. He будуючи графіка функції у = 4х – 6, знайдіть таку його точку, у якої: 1) абсциса дорівнює ординаті; 2) абсциса й ордината – протилежні числа; 3) абсциса вдвічі менша за ординату.

1) Якщо абсциса точки графіка дорівнює ординаті, то: х = 4х – 6; –3х = –6; х = 2. Отже, шукана точка (2; 2); 2) якщо абсциса і ордината точки графіка — протилежні числа, то: –х = 4х – 6; –5х = –6; х = 1,2. Отже, шукана точка (1,2; –1,2); 3) якщо абсциса точки графіка у два рази менша за ординату, то: 2х = 4х – 6; –2х = –6; х = 3, тоді у = 2 ∙ 3 = 6. Отже, шукана точка (3; 6).

44.44. Побудуйте графік функції: 1) y = x + 1, x ≤ 0 x 0 –2 y

1

–1 shkola.in.ua

y = 1, x > 0 x y 2)

1 1

4 1

y = 2x, x < –2 x y

–3 –6

–4 –8

y = 3x + 2, x ≥ –2 x 0 –2 y

2

shkola.in.ua

–4

44.45. Побудуйте графік функції: y = 2 – 3x, x < 1 x y

0 2

–1 5

y = 2x – 3, x ≥ 1 x 1 2 y

–1

shkola.in.ua

1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.46. Побудуйте графік функції: 1) y = |x|; x 0 3 –3 y

0

3

3

2) y = |x| + x; x 0 y

0

3

–3

6

0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = 4x – |x|; x 0 2

–1

0

–5

y

6

4) y = |2x| + 3x +1. x 0 1

–2

–1

1

–1

0

y

6

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.47. Побудуйте графік функції: 1) y = –|x|; x 0 3 –3 y

0

–3

–3

2) y = |x| – x; x 0 y

0

3

–3

0

6

shkola.in.ua

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) y = 2x + |x|; x 0 2

–2

0

–2

y

6

4) y = |3x| – x – 1. x 0 2

–2

–1

–1

7

3

y

3

shkola.in.ua shkola.in.ua

44.48. Розв’яжіть рівняння: 1) (2x + 5)2 – (2х – 3)2 = 16; 2) (7х + 1)2 – (49х – 2)(х – 1) = –66; 4х2 + 20х + 25 – (4х2 – 12х + 9) = 16; 49x2 + 14х + 1 – (49х2 – 49х – 2х + 2) = –66; 4х2 + 20х + 25 – 4х2 + 12х – 9 = 16; 49х2 + 14х + 1 – 49x2 + 49х + 2х – 2 = –66; 4х2 +20х – 4х2 + 12х = 16 – 25 + 9; 49х2+ 14х – 49х2 + 49х + 2х = –66 – 1 + 2; 32х = 0; х = 0.

65х = –65; х = –1. Відповідь: 0; Відповідь: –1.

44.49. Спростіть вираз: 1 1 3 1) (5m –2)(5m + 2) – m(10m – 1) + (m – )2 = 25m2 – 4 – 10m2 + m + m2 – m + = 16m2 – 3 ; 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2) (a + 4y) – (a – 2y)(a + 2y) – y(4a – 5y) = a + 8ay + 16у – a + 4y – 4ay + 5y = = 25y2 + 4ay.

44.50. Ha столі лежать 73 зошити, а в коробці – 17 зошитів. Скільки зошитів треба перекласти зі стола в коробку, щоб у коробці їх стало вдвічі менше, ніж на столі? Нехай кількість зошитів, які треба перекласти зі стола у коробку, дорівнює x. Тоді на столі залишиться (73 – х) зошитів, а в коробці стане (17 + х) зошитів. Рівняння: 73 – х = 2 ∙ (17 + х); 73 – х = 34 + 2х; –х – 2х = 34 – 73; –3х = –39; х = 13. Відповідь: 13 зошитів.

44.51. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена, якщо це можливо: 1 1 1 1 1) Доданок p2 є квадратом виразу p : p2 = ( p)2 Доданок 9р2 — квадратом виразу 3р : 9

1

3

9

3

1

9р = (3р) , а добуток pq ≠ 2 ∙ p ∙ 3р = 2р . Отже, вираз p2 + pq + 9p2 не можна подати у 3 9 вигляді квадрата двочлена; 1 2 1 1 1 2) x2 – xy + y2 = ( x – y)2; 9 15 25 3 5 2 3) доданок 4х є квадратом виразу 2х: 4х2 = (2х)2, 20ху = 2 ∙ 2х ∙ 5y, a – 25y2 ≠ (5y)2. Отже, вираз 4х2 – 20ху – 25у2 не можна подати у вигляді квадрата двочлена; 4) –36ab + 9a2 + 36b2 = 9а2 – 36аb + 36b2 = (3а – 6b)2.

44.52. Вкладниця відкрила у банку «Щасливий» депозит на 20 000 грн. Через рік ій було нараховано 3200 грн відсоткових коштів. 1) Який відсоток річних нараховує банк?

20000 грн – 100% 2

2

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3200 грн – х% 3200 ∙ 100 х= = 16% – річних депозиту «Щасливий».

20000 2) Після сплати податку на доходи фізичних осіб вкладниця отримала відсоткові кошти в сумі 2624 грн. Скільки відсотків складає податок на доходи фізичних осіб?

1) 3200 – 2624 = 576 (грн) – податок; 2) 3200 – 100% 576 – х% 576 ∙ 100 х= = 18% – складає податок.

3200 44.53. Накресліть коло із центром у точці O, радіус якого дорівнює 25 мм. Проведіть діаметр кола AB та позначте точку M, що належить колу.

1) Виміряйте довжину діаметра AB та порівняйте її з радіусом.

2) Виміряйте градусну міру кута AMB. 1) AB = 50 мм; AB = 2OA = 2OB. 2) ∠AMB = 90°. shkola.in.ua

44.54. В Аравії помер старий чоловік. Усе своє майно, 17 верблюдів, він заповів своїм синам, причому старший мав одержати половину, середній – третину, а найменший – дев’яту частину цього майна. Після смерті батька сини не знали, що робити, бо 17 не ділилося без остачі ані на 2, ані на 3, ані на 9. Довго сперечалися брати, аж тут на верблюді під’їхав до них мудрець. Довідався про суперечку і дав братам мудру пораду, яка й допомогла розділити майно відповідно до батькового заповіту. Що саме порадив мудрець?

1) Мудрець додав до 17 верблюдів свого верблюда, стало 18 верблюдів.

2) 18 : 2 = 9 верблюдів одержав старший син; 3) 18 : 3 = 6 верблюдів одержав середній син; 4) 18 : 9 = 2 верблюди одержав найменший син. Відповідь: 9; 6; 2. ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА №9 (§§ 42-44) 1. Яка з формул задає функцію?

4 Функцію задає формула у = . х–3 Відповідь: Б).

2. Яка з функцій є лінійною? Лінійною є функція у = х – 2. Відповідь: А).

3. Яка з функцій задає пряму пропорційність? Пряму пропорційність задає функція y = 2х. Відповідь: В).

20 4. Обчисліть значення функції у = – для значення аргументу, що дорівнює –4.

20

х = –4; y = – = 5.

–4 Відповідь: Г).

х

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

5. He виконуючи побудови, знайдіть нуль функції у = x – 2.

1

3

1

y = 0; 0 = x – 2; x = 2; х = 6.

3 3 Відповідь: В).

6. На якому з малюнків зображено графік функції у = 3 – х? Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А). Відповідь: А).

7. Знайдіть область визначення функції 3 є всі числа, крім тих, для яких; Областю визначення функції y = x² + x 2 x + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1. Відповідь: Г).

8. Яка з точок належить графіку функції Графіку функції y = x2 – 2х належить точка (1; –1), бо: –1 = 12 – 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1. Відповідь: Б).

9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає вісь абсцис. y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0). Відповідь: В).

10. Знайдіть для х = 2 значення функції Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому значення функції обчислюємо за формулою у = x2: y = 22; у = 4. Відповідь: А).

11. Графік прямої пропорційності проходить через точку Р(2; –4). Укажіть точку, через яку також проходить цей графік. у = kх; –4 = k ∙ 2; k = –2. Отже, у = –2х. Дане рівняння задовольняє лише точка (3; –6). Відповідь: Г).

12. He будуючи графіка функції у = 3x – 8, знайдіть таку його точку, у якій абсциса й ордината є протилежними числами. y = –х; –x = 3x – 8; 4х = 8; x = 2; у = –2; (2; –2). Відповідь: Б).

13. Установіть відповідність між функціями (1–3) та точками, у яких графік функції перетинає осі координат (А–Г).

1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).

2. у = 4. – А. (0; 4).

3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0). ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 42-44 1. Які з даних формул задають функцію: 1 . Функцію задають формули 1) y = x2 + x; 3) y = 𝑥𝑥−8 2. Чи є лінійною функція, яку задано формулою: Лінійними є функції 1) 3x – 7; 3) y = 4.

3. Лінійну функцію задано формулою: 1) y = –2x + 6; k = –2; l = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; l = 0.

4. Функцію задано формулою у = –2х + 7. Знайдіть:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює 5; у = –2х+ 7; х = 5; у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 3. у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

5. Побудуйте графік функції у = 2х – 5. За графіком знайдіть: 1) значення функції для х = 4; 2) значення аргументу, при якому у = –3. y = 2x – 5 x 0 2 y –5 –1 1) x = 4; y = 3; 2) y = –3; x = 1. shkola.in.ua

6. Функцію задано формулою у = 0,8x – 7,2. He виконуючи побудови: 1) знайдіть нулі функції; 2) з’ясуйте, чи проходить графік функції через точку (10; 1). у = 0; у = 0,8х – 7,2; у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙ 10 – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 1 = 8 – 7,2; 0,8x = 7,2; 1 = 0,8 — хибна рівність. х = 9; Отже, графік функції y = 0,8х – 7,2 не проходить через точку (10; 1).

7. Знайдіть область визначення функції.

7 – є всі числа, крім тих, для яких х2 – 5x = 0; х(х – Областю визначення функції у = x2 – 5x 5) ≠ 0; х ≠ 0 і х – 5 ≠ 0; х ≠ 0 і х ≠ 5.

8. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = –2,5x; і у = –5 та знайдіть координати їх точки перетину. Графік функції у = –5 — пряма, яка проходить через точки (0; –5) паралельно до осі х. y = –2,5x x

0

–2

y

0

5

shkola.in.ua

Точка перетину графіків функції — (2; –5).

9. Знайдіть найменше значення функції x2 – 6х + 11 = x2 – 6х + 9 + 2 = (х – 3)2 + 2; у = (х – 3)2 + 2; (х – 3)2 ≥ 0, тоді (х – 3)2 + 2 ≥ 2. Отже, найменше значення функції дорівнює 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

10. Функцію у = 3х – 7 задано для –2 ≤ x ≤ 5. Знайдіть область значень цієї функції. Якщо –2 ≤ х ≤ 5, то –6 ≤ 3х ≤ 15; –13 ≤ 3х – 7 ≤ 8; –13 ≤ у ≤ 8.

11. Побудуйте графік функції. За графіком знайдіть: 1) нулі функції; 2) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень. y = 2x + 6, x < 0 x –2 –1 y 2 4 shkola.in.ua

y = 6 – x, x ≥ 0 x

0

2

y

6

4

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6; 2) у > 0, якщо –3 < х < 6; 3) у < 0, якщо х < –3 або х > 6. Вправи для повторення теми 9 До § 42 1. Чи залежить площа квадрата від довжини його сторони? Чи є площа квадрата функцією від довжини сторони квадрата? Як можна задати цю функцію, якщо сторона квадрата дорівнює а? Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Ця залежність є функцією, яку можна задати формулою S = а2, де а — сторона квадрата.

2. Функції задано формулами. Заповніть таблицю, обчисливши відповідні значення функції: x−4 x+2 б) g = ; a) у = ; x−3

якщо х = –4 , то у = якщо х = –2, то y = якщо х = 0, то у =

якщо х = 2, то у = якщо х = 4, то у =

−4 + 2

;

−2 − 3 0+2 2 2−3 4+2 4−3

якщо х = –4, то g =

= ;

−4 − 3 −2 + 2

0−3 2+2

5

2 7

якщо х = –2, то g =

=– ;

якщо х = 0, то g =

= –4;

якщо х = 2, то g =

= 6;

якщо х = 4, то g =

3

x

–4

–2

0

2

4

y

2

0

–

–4

6

–1,2

2

–0,8

–0,4

0

g

7

–1,6

3

−4 − 4 5 −2 − 4

5 0−4 5 2−4 5 4−4 5

= –1,6; = –1,2;

= –0,8; = –0,4; = 0.

3. Із села до міста, відстань між якими дорівнює 48 км, вирушив велосипедист зі швидкістю 14 км/год. Задайте формулою залежність змінної s від змінної t, де S — відстань, яку велосипедисту залишилося проїхати до міста (у км), a t — час його руху (у год). За формулою знайдіть:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

S = 48 – 14t.

1) Якщо t = 1,5,то S = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27; 2) якщо S = 13, то : 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.

4. Знайдіть область визначення функції: 12 .

1) у = 9𝑥𝑥² – 17𝑥𝑥 9х2 – 17х = 0; х(9х – 17) = 0; х = 0 або 9х – 17 = 0; 17 х = 0 або х = .

9

17

Областю визначення функції є всі числа, крім 0 і , при яких знаменник перетворюється 9 в нуль; x 2) у = . │x│− 1

│x│ – 1 = 0; │x│ = 1; x = 1 або x = – 1. Областю визначення функції є всі числа, крім –1 і 1, при яких знаменник перетворюється в нуль; x 3) у = . Областю визначення функції є всі числа; 4) у =

│x│+ 5 9

3 −│x − 1│

.

3 – |x – 1| = 0; |х – 1| = 3; х – 1 = 3 або х – 1 = –3; х = 4 або х = –2. Областю визначення функції є всі числа, крім –2 і 4, при яких знаменник перетворюється в нуль; 15 5) у = . │2x − 3│ – 5

|2х – 3| – 5 = 0; |2х – 3| = 5; 2х – 3 = 5 або 2х – 3 = –5; 2х = 8 або 2х = –2; x = 4 або х = –1. Областю визначення функції є всі числа, крім –1 і 4, при яких знаменник перетворюється в нуль; 2 6) у = 1 .

1

1−

1 – = 0; 1

x

x

= 1; x = 1. Областю визначення функції є всі числа, крім чисел 0 і 1, при яких знаменники перетворюються в нуль. x

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

До § 43 5. Функцію задано формулою у = 2х – 3, де –2 ≤ х ≤ 3. Заповніть таблицю і побудуйте графік функції. x –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 –7

y

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

shkola.in.ua

6. На малюнку 25 зображено графік функції. За графіком знайдіть: 1) значення у, якщо х = –3; х = –1,5; х = 0; х = 1,5; х = 3; 2) значення х, яким відповідає у = –1,5; у = 2; у = 3; 3) область визначення функції; 4) область значень функції; 5) нулі функції; 6) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 7) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5; якщо х = 3, то у = 2; 2) y = –1,5, якщо х = –2 або х = –3, або х = 4; у = 2, якщо х = 0,5 або х = 3; у = 3, якщо х = 1 або х = 2,5; 3) областю визначення функції є всі значення х, такі, що –4 ≤ х ≤ 4; 4) областю значень функції є всі значення у, такі, що –2 ≤ у ≤ 4; 5) х = –0,5 і х = 3,5 — нулі функції; 6) функція набуває додатних значень, якщо –0,5 < х < 3,5; 7) функція набуває від’ємних значень, якщо –4 ≤ х < –0,5 і 3,5 < х ≤ 4.

7. Побудуйте графік функції: – x, якщо 𝑥𝑥 < 0, 1) y = |x|, де –2 ≤ x ≤ 4; y = � x, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, y = –x, –2 ≤ x < 0 x –2 –1 y

2

1

y = x, 0 ≤ x ≤ 4 x 0 4 y 0 4

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За означенням модуля: – x – 3, якщо x + 3 < 0, тобто x < – 3, y=� x + 3, якщо x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ – 3. y = –x – 3, –5 ≤ x < –3 x

–5

–4

y

2

1

y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3 x

–3

3

y

0

6

shkola.in.ua

До § 44 8. Які з даних функцій є лінійними? Які з них є прямою пропорційністю: 1 Функції: 1) у = –3х; 2) у = –3х + 4; 4) у = –3; 6) у = – х — лінійні; 3

1

функції: 1) у = –3х; 6) у = – х — задають пряму пропорційність.

3 9. Побудуйте графік функції: 1) y = 2x 2) y = 1 – x x 0 2 x 0 2 y

0

4

y

1

–1

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = 2 x 0

2

2

2

y

4) y = 4x – 1 x 0

1

–1

3

y

shkola.in.ua

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5) y = –3x x 0

1

0

–3

y

1

6) y = x + 2 2

x y

0

2

2

3

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3

10. Побудуйте графік прямої пропорційності у = – x. Знайдіть за графіком: 1) значення 4 функції, якщо значення аргументу дорівнює –4; 0; 8; 2) значення аргументу, для якого значення функції дорівнює –6; 3; 6; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

3 у=– x x

0

y

0

4

4

–3 shkola.in.ua

1) Якщо х = –4, то у = 3; якщо х = 0, то у = 0; якщо х = 8, то у = –6; 2) якщо у = –6, то x = 8; якщо у = 3, то х = –4; якщо у = 6, то х = –8; 3) якщо у = 0, то х = 0 — нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х < 0; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 0.

11. Графіки функцій y = kx i y = 2x + l перетинаються в точці А(–2; 6). Знайдіть k і l. Якщо графік функції у = kх проходить через точку А(–2; 6), то: 6 = k ∙ (–2); k = –3. Якщо графік функції у = 2х + l теж проходить через точку А(–2; 6), то: 6 = 2 ∙ (–2) + b; b = 10.

12. На малюнках зображено два графіки. Один з них описує процес наповнення резервуара водою, а другий – процес спорожнення резервуара від води. Який з малюнків відповідає кожному із вказаних процесів? По кожному з графіків знайдіть: 1) скільки літрів води було в резервуарі в початковий момент часу; 2) скільки літрів води буде в резервуарі через 1 хв; через 6 хв; через 8 хв від початку процесу; 3) через скільки хвилин від початку процесу в резервуарі буде 25 л води; 4) скільки літрів води надходить  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(виливається) щохвилини? Задайте формулою залежність об’єму води V у резервуарі від часу t для кожного із цих двох процесів.

1) В початковий момент часу в резервуарі було 15 л води.

2) Через 1 хв від початку процесу в резервуарі буде 17,5 л води; через 6 хв буде 30 л води; через 8 хв буде 35 л води.

3) 25 л води від початку процесу буде через 4 хвилини.

4) Щохвилини виливається 5 л води.

V = 15 + 2,5t — залежність об’єму води V у резервуарі від часу t під час наповнення резервуару водою.

V = 50 − 5t — залежність об’єму води V у резервуарі від часу t під час спорожнення резервуару від води.

13. Побудуйте графік функції.

1) y = 2|x|; 2) y = 5|x| + x; x 0 2 –2 x 0 1 –1 0

y

4

4

y

0

6

4 shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = x y

|х|–3х 2

;

0

2

–2

0

–2

4

4) y = |x| + |−2x|. x 0 2

–2

0

6

y

6

shkola.in.ua

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Тема 10. КОЛО І КРУГ § 45. Коло і круг 45.1. (Усно.) Точка O – центр кола. Які з відрізків на малюнку є: 1) хордами кола; 2) діаметрами кола; 3) радіусами кола?

1) FK; QC; PL; 2) PL; 3) OP; OL; ОТ.

shkola.in.ua

45.2. Знайдіть на малюнку хорду, що проходить через центр кола. Як називають таку хорду?

PL – хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. shkola.in.ua

45.3. Обчисліть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює: 1) 4 см; 2) 3,7 дм. d = 2r = 2 ∙ 4 = 8 (см); d = 2r = 2 ∙ 3,7 = 7,4 (дм).

45.4. Знайдіть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює: 1) 7 мм; 2) 4,8 см. d = 2r = 2 ∙ 7 = 14 (мм); d = 2r = 2 ∙ 4,8 = 9,6 (см).

45.5. Знайдіть радіус кола, якщо його діаметр дорівнює: 1) 8 дм; 2) 2,6 см. 𝑑𝑑 8 𝑑𝑑 2,6 r = = = 4 (дм); r = = = 1,3 (см); 2 2 2 2 45.6. Обчисліть радіус кола, якщо його діаметр дорівнює: 1) 18 см; 2) 3,8 дм. 𝑑𝑑 18 𝑑𝑑 3,8 r = = = 19 (см); r = = = 1,9 (дм); 2 2 2 2 45.7. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 4 см. Проведіть у ньому діаметр MN та хорду MK. Знайдіть ∠NKM. OM = 4 см, ∠NKM = 90°. shkola.in.ua

45.8. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3,6 см. Проведіть у ньому діаметр AB та хорду BD. Перевірте за допомогою косинця чи транспортира, що ∠BDA — прямий.

OA = 3,6 см, ∠BDA = 90°. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.9. Усередині кола взято довільну точку, відмінну від центра. Скільки діаметрів і скільки хорд можна провести через цю точку? Через точку K, взяту всередині кола, можна провести тільки один діаметр і безліч хорд. shkola.in.ua

45.10. На колі взято довільну точку. Скільки діаметрів і скільки хорд можна через неї провести? Через т. А, взяту на колі, можна провести тільки один діаметр і безліч хорд. shkola.in.ua

45.11. Радіус кола дорівнює 5 см. Чи може хорда цього кола дорівнювати: 1) 2 см; 2) 5 см; 3) 7 см; 4) 9,8 см; 5) 10,2 см; 6) 1 дм? Оскільки радіус кола дорівнює 5 см, то діаметр дорівнює 10 см. Діаметр кола є найбільшою хордою, отже, хорда цього кола менша або дорівнює 10 см.

1) Може; 2) може; 3) може; 4) може; 5) не може; 6) не може.

45.12. Радіус кола дорівнює 4 дм. Чи може хорда цього кола дорівнювати: 1) 1 дм; 2) 4 дм; 3) 6,7 дм; 4) 7,95 дм; 5) 8,3 дм; 6) 1 м? Хорда кола не більша від діаметра, тобто хорда менша або дорівнює 8 дм.

1) Може; 2) може; 3) може; 4) може; 5) не може; 6) не може.

45.13. У колі проведено діаметри AB і CD. Доведіть, що ∆AOD = ∆BOC. ΔAOD = ΔBOC за двома сторонами і кутом між ними, оскільки AO = BO – як радіуси кола, OD = OC – як радіуси кола, ∠AOD = ∠COB – як вертикальні кути. shkola.in.ua

45.14. У колі із центром O проведено хорди MN і PK та діаметр PM. ∠POK = ∠MON. Доведіть, що ∆MON = ∆POK. ΔMON = ΔPOK за двома сторонами і кутом між ними, оскільки ∠POK = ∠MON – за умовою, OM = OP – як радіуси кола, ON = OK – як радіуси кола. shkola.in.ua

45.15. На малюнку точка O — центр кола. Знайдіть градусну міру: 1) кута O, якщо ∠A = 52°; 2) кута B, якщо ∠O = 94°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔOAB – рівнобедрений, оскільки OA = OB – як радіуси кола, тоді ∠A = ∠B. 1) Якщо ∠A = 52°, то ∠B = 52°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 52° – 52° = 76°. shkola.in.ua 2) Якщо ∠O = 94°, то ∠B = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 94°) : 2 = 43°. Відповідь: 1) 76°; 2) 43°.

45.16. На малюнку точка O — центр кола. Знайдіть градусну міру: 1) кута O, якщо ∠B = 48°; 2) кута A, якщо ∠O = 102°. ΔAOB – рівнобедрений, оскільки OA = OB – як радіуси кола, тоді ∠A = ∠B. 1) Якщо ∠B = 48°, то ∠A = 48°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 48° – 48° = 84°. shkola.in.ua 2) Якщо ∠O = 102°, то ∠A = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 102°) : 2 = 39°. Відповідь: 1) 84°; 2) 39°.

45.17. На малюнку точка O — центр кола, ∠COA = 32°. Знайдіть ∠CBA. ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси кола, тоді ∠C = ∠B. ∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути. shkola.in.ua Звідси ∠COB = 180° – ∠COA = 180° – 32° = 148°. Отже, ∠CBA = (180° – ∠COB) : 2 = (180° – 148°) : 2 = 16°. Відповідь: 16°.

45.18. На малюнку точка O — центр кола, ∠BCO = 18°. Знайдіть ∠AOC. ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси кола, тоді ∠C = ∠B. shkola.in.ua ∠COB = 180° – (∠C + ∠B) = 180° – 18° – 18° = 144°. ∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути. Звідси ∠COA = 180° – ∠COB = 180° – 144° = 36°. Відповідь: 36°.

45.19. Дано коло радіусом 5 см.

1) Проведіть у ньому хорду 6 см завдовжки. Скільки таких хорд можна провести?

2) Точка A належить даному колу. Скільки хорд 6 см завдовжки можна провести з даної точки?

1) OA = OB = 5 см. Хорд довжиною 6 см можна провести безліч, наприклад CD, EF, KL. shkola.in.ua 2) Точка А належить колу. З даної точки можна провести дві хорди завдовжки 6 см – AG і AQ.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.20. У колі на малюнку AB — діаметр, ∠ABM = 60°, BM = 5 см. Знайдіть діаметр кола. ΔAMB – прямокутний (згідно з теоремою 2 про кут, під яким видно діаметр з точки кола), ∠M = 90°. ∠MAB = 90° – 60° = 30°.

AB = 2MB = 2 ∙ 5 см = 10 см. shkola.in.ua Відповідь: 10 см.

45.21. У колі на малюнку AB — діаметр, ∠ABM = 60°, AB = 18 см. Знайдіть довжину хорди MB. ΔAMB – прямокутний (згідно з теоремою 2 про кут, під яким видно діаметр з точки кола), ∠M = 90°. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

1 1 MB = AB = ∙ 18 = 9 см. shkola.in.ua 2 2 Відповідь: 9 см.

45.22. Доведіть, що коли хорди рівновіддалені від центра кола, то вони між собою рівні. Нехай AB і CD – хорди. OM ⊥ AB, ON ⊥ CD і OM = ON. Доведемо, що AB = CD. Оскільки OM ⊥ AB; ON ⊥ CD, то AM = MB, DN = CD, тобто, щоб довести, що AB = CD, досить довести, що AM = CN. ΔAOM = ΔCON (за гіпотенузою і катетом: OM = ON – за умовою, OA shkola.in.ua = OC – як радіуси кола), тоді AM = CN. Отже, AB = 2AM = 2CN = CD. 45.23. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від його центра. Нехай AB = CD, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що OM = ON. Оскільки OM ⊥ AB, то AM = MB, оскільки ON ⊥ CD, то CN = ND. ΔOMA = ΔONC (за гіпотенузою і катетом: OA = OC – як радіуси, AM = CN – як половини рівних відрізків). Тоді OM = ON. shkola.in.ua 45.24. Хорда кола перетинає його діаметр під кутом 30° і ділиться діаметром на відрізки 4 см і 7 см завдовжки. Знайдіть відстань від кінців хорди до прямої, що містить діаметр кола. Нехай CF ⊥ AB, DE ⊥ AB, ∠CKF = ∠EKD = 30°. shkola.in.ua CK = 4 см, KD = 7 см.

1

З ΔKCF: ∠F = 90°, CF = KC (оскільки ∠CKF = 30°), 1

CF = ∙ 4 = 2 см.

1

2

2

1

З ΔDEK: ∠E = 90°, ED = KD (оскільки ∠EKD = 30°), ED = ∙ 7 = 3,5 см.

2

2

Відповідь: 2 см, 3,5 см.

45.25. Побудуйте пряму a, точку M на відстані 3 см від прямої та точку N на відстані 2 см від прямої так, щоб відрізок MN перетинав пряму.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.26. Два рівних між собою тупих кути мають спільну сторону, а дві інші сторони взаємно перпендикулярні. Знайдіть градусну міру тупого кута. Нехай ∠CFB = ∠DFB, ∠CFD = 90°. Оскільки ∠CFB = ∠DFB, то ∠CFA = ∠DFA – як суміжні кути shkola.in.ua до рівних кутів. Оскільки ∠CFD = 90°, то ∠CFA = ∠DFA = 90° : 2 = 45°, тоді ∠CFB = ∠DFB = 180° – 45° = 135°. Відповідь: 135°.

45.27. Доведіть рівність двох гострокутних рівнобедрених трикутників за основою і висотою, проведеною до бічної сторони. Нехай у рівнобедрених трикутниках KLM і K1L1M1 KL = LM, K1L1 = L1M1, KM = K1M1, KN ⊥ LM, K1N1 ⊥ L1M1, KM = K1M1. Доведемо, що ΔKLM = ΔK1L1M1. ΔKNM = ΔK1N1M1 (за гіпотенузою і shkola.in.ua катетом: KM = K1M1, KN = K1N1 – за умовою). З рівності трикутників маємо ∠M = ∠M1. ∠K = ∠M, ∠K1 = ∠M1 – оскільки ΔKLM і ΔK1L1M1 – рівнобедрені. ΔKLM = ΔK1L1M1 за стороною і двома прилеглими кутами (KM = K1M1 – за умовою, ∠K = ∠K1, ∠M = ∠M1 – за доведенням).

45.28. Скільки потрібно робітників для перенесення дубової балки розміром 6,5 м ⨯ 30 см ⨯ 45 см? Кожен робітник може підняти в середньому 70 кг. Щільність дуба — 810 кг/м³.

1) 6,5 ∙ 0,3 ∙ 0,45 = 0,8775 (м3) – об’єм балки; 2) 810 ∙ 0,8775 = 710,775 ≈ 711 (кг) – вага балки; 3) 711 : 70 ≈ 10,16 = 11 робітників. Відповідь: потрібно 11 робітників.

45.29. У коробці шоколадні цукерки квадратної форми викладено у вигляді квадрата в один шар. Марійка з'їла всі цукерки по периметру квадрата — всього 20 цукерок. Скільки цукерок залишилось у коробці? У коробці залишилося 16 цукерок shkola.in.ua

§ 46. Дотична до кола, її властивості 46.1. (Усно.) На якому з малюнків пряма t є дотичною до кола, а на якому — січною? shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

46.2. (Усно.) Скільки різних дотичних можна провести до кола через точку, що лежить: 1) на колі; 1) Одну; 2) поза колом; 2) дві; 3) всередині кола?

3) жодної.

46.3. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3 см, позначте на ньому точку P. За допомогою косинця проведіть через точку P дотичну до цього кола. Проведемо радіус OP, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму m, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма m є дотичною до кола. shkola.in.ua

46.4. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3,5 см, позначте на ньому точку M. За допомогою косинця або транспортира проведіть дотичну через точку M до цього кола. Проведемо радіус OM, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму n, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма n є дотичною до кола. shkola.in.ua

46.5. Радіус кола дорівнює 6 см. Як розміщені пряма a і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює: 1) 4 см; 2) 6 см; 3) 8 см?

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Пряма є січною до кола. 2) Пряма є дотичною до кола. 3) Пряма не перетинає коло.

46.6. Радіус кола дорівнює 3 дм. Як розміщені пряма b і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює: 1) 3,7 дм; 2) 3 дм; 3) 2,7 дм?

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Пряма не перетинає коло. 2) Пряма є дотичною до кола. 3) Пряма є січною до кола.

46.7. На малюнку KP — дотична до кола, точка O — центр кола. Знайдіть: 1) ∠OMN, якщо ∠NMP = 40°; 2) ∠KMN, якщо ∠OMN = 48°.

1) Оскільки KP — дотична до кола, то ∠OMP – ∠OMK = 90°. Тому ∠OMN = 90° – ∠NMP = 90° – 40° = 50°.

2) ∠KMN = 90° + ∠OMN = 90° + 48° = 138°. Відповідь. 1) 50°; 2) 138°. shkola.in.ua  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

46.8. На малюнку KP — дотична до кола, точка O — центр кола. Знайдіть: 1) ∠NMP, якщо ∠OMN = 53°; 2) ∠OMN, якщо ∠KMN = 130°.

1) Оскільки KP — дотична до кола, то ∠OMP = ∠OMK — 90°. Тому ∠NMP = 90° – ∠OMN = 90° – 53° = 37°.

2) ∠OMN = ∠KMN – 90° = 130° – 90° = 40°. Відповідь. 1) 37°; 2) 40°.

46.9. З точки A до кола із центром у точці O проведено дві дотичні AB і AC (B і C — точки дотику). Доведіть, що промінь OA — бісектриса кута BOC. ΔОВА і ΔОСА – прямокутні, оскільки OB ⊥ AB, OC ⊥ AC. ΔОВА = ΔОСА за двома катетами (OB = OC – як радіуси кола, AB = AC – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). shkola.in.ua З рівності трикутників маємо ∠BOA = ∠COA. Отже, ОА – бісектриса кута BOC. 46.10. З точки P до кола із центром у точці Q проведено дотичні PM і PN. Доведіть, що промінь PQ — бісектриса кута MPN. ΔQMP і ΔQNP – прямокутні, оскільки QM ⊥ MP, QN ⊥ NP. ΔQMP = ΔQNP за двома катетами (QM = QN – як радіуси кола, PM = PN – як відрізки дотичних, проведених з однієї shkola.in.ua точки до кола). З рівності трикутників маємо ∠MPQ = ∠NPQ. Отже, PQ – бісектриса кута MPN. 46.11. Пряма MK — дотична до кола, точка O — центр кола. Знайдіть ∠NMK, якщо ∠MON = 82°. Оскільки MK - дотична до кола, то OM ⊥ MK, ∠OMK = 90°. ΔOMN - рівнобедрений, оскільки OM = ON - як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = (180° – ∠MON) : 2 = (180° – 82°) : 2 = 49°. ∠NMK = 90° – ∠OMN = 90° – 49° = 41°. Відповідь: 41°. shkola.in.ua

46.12. Пряма MK — дотична до кола, точка O — центр кола. Знайдіть ∠NOM, якщо ∠KMN = 53°. Оскільки MK - дотична до кола, то OM ⊥ MK, ∠OMK = 90°. ΔOMN – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = ∠OMK – ∠NMK = 90° – 53° = 37°. ∠NOM = 180° – ∠OMN – ∠ONM = 180° – 37° – 37° = 106°. shkola.in.ua Відповідь: 106°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

46.13. З точки M, що лежить поза колом, проведено дві дотичні. Відстань від точки M до центра кола вдвічі більша за радіус кола. Знайдіть кут між дотичними. МК і МN – дотичні. OK ⊥ MK, ON ⊥ MN. З прямокутного ΔOKM: оскільки OM = 2OK, то ∠KMO = 30°. shkola.in.ua З прямокутного ΔOMN: оскільки OM = 2ON, то ∠OMN = 30°. Отже, ∠KMN = ∠KMO + ∠OMN = 30° + 30° = 60°. Відповідь: 60°.

46.14. Прямі MN і MK дотикаються до кола із центром O в точках N і K. Знайдіть NK, якщо ∠OMN = 30°, MN = 7 см. ΔONM = ΔOKM за двома катетами (ON = OK – як радіуси кола, MN = MK – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°. shkola.in.ua ΔKMN – рівнобедрений, оскільки MN = MK, ∠MNK = ∠MKN = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Отже, ΔKMN – рівносторонній і NK = NM = 7 см. Відповідь: 7 см.

46.15. Один з кутів трикутника дорівнює половині зовнішнього кута, не суміжного з ним. Доведіть, що трикутник рівнобедрений.

1

1

Нехай ∠A = ∠DCB, тоді ∠B = ∠DCB, оскільки зовнішній кут 2

2

дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Тоді, оскільки ∠B = ∠A, то трикутник ABC – рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

46.16. На малюнку: ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, ∠ADB = 15°, AC = 6 см. Знайдіть BD. shkola.in.ua

shkola.in.ua

З прямокутного ΔABC: AB = 2AC = 2 ∙ 6 = 12 (см) (за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°). ∠ABC – зовнішній кут трикутника ADB. ∠BAD + ∠D = ∠ABC (за властивістю зовнішнього кута трикутника). ∠BAD = 30° – 15° = 15°. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника ΔABD – рівнобедрений (∠BAD = ∠D).

46.17. Для того щоб визначити відстань від спостерігача B до недоступного дерева A, що росте на другому березі, було виконано побудови. Як тепер можна знайти відстань BA? Трикутники АCD та ВКN рівні тому, що їх сторони АС = KN, СВ = ВК, та кути ∠C = ∠К. Тому АВ буде дорівнювати ВN. Сторону BN вимірюємо на березі. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

46.18. Поставте п’ять шашок на шахову дошку (розмір якої 8⨯8) так, щоб будь-який квадрат, що складається з дев’яти клітинок, містив тільки одну шашку. shkola.in.ua

§ 47. Коло, вписане в трикутник 47.1. (Усно.) На яких з малюнків зображено коло, вписане у трикутник? shkola.in.ua

47.2. Накресліть гострокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля і лінійки побудуйте коло, вписане в цей трикутник. ΔABC - гострокутний трикутник. За допомогою транспортира побудуємо бісектриси кутів ∠A, ∠B, ∠C. shkola.in.ua Вони перетинаються в т. О. Оскільки т. О лежить на бісектрисі кута A, то вона рівновіддалена від сторін AB і AC, OK = OM. 47.3. Накресліть прямокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля і лінійки побудуйте коло, вписане в цей трикутник.

shkola.in.ua

47.4. У △ABC вписано коло із центром у точці I. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо ∠IBK = 35°, ∠MCI = 25°. ∠CBK = 2∠IBK (оскільки BI – бісектриса кута A), ∠CBK = 2 ∙ 35° = 70°. shkola.in.ua ∠ACB = 2∠MCI (оскільки CI – бісектриса кута C), ∠ABC = 2 ∙ 25° = 50°. ∠B = 180° – ∠A – ∠C = 180° – 70° – 50° = 60°. Відповідь: 60°.

47.5. У △ABC вписано коло із центром у точці I. ∠CAB = 70°, ∠CBA = 60°. Знайдіть ∠MCI. ∠C = 180° – ∠CAB – ∠CBA = 180° – 70° – 60° = 50°, CI – бісектриса кута C. shkola.in.ua Отже, ∠MCI = ∠C : 2 = 50° : 2 = 25°. Відповідь: 25°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

47.6. На малюнку точка I – центр кола, вписаного в різносторонній трикутник ABC, M, K і L – точки дотику. Знайдіть усі пари рівних між собою трикутників на цьому малюнку. ΔCMI = ΔCLI (CM = CL, MI = IL). ΔAMI = ΔAKI (AM = AK, MI = IK). ΔKIB = ΔLIB (KB = LB, KI = LI). shkola.in.ua

47.7. Доведіть, що центр кола, яке дотикається до сторін кута, лежить на бісектрисі цього кута. Нехай коло з центром О дотикається до сторін кута, K і M – точки дотику. shkola.in.ua OM ⊥ AM, ON ⊥ AN. ΔAMO = ΔANO за гіпотенузою і катетом (OA – спільна гіпотенуза, OM = ON – як радіуси кола). Отже, з рівності трикутників маємо ∠MAO = ∠NAO, тобто AO – бісектриса кута MAN. 47.8. Накресліть кут градусної міри 110°. За допомогою циркуля, косинця і транспортира впишіть у нього коло довільного радіуса, тобто побудуйте коло, яке дотикається до сторін даного кута. shkola.in.ua

47.9. Накресліть кут градусної міри 70°. За допомогою циркуля, косинця і транспортира впишіть у нього коло довільного радіуса.

shkola.in.ua

47.10. У трикутнику центр вписаного кола лежить на медіані. Доведіть, що це рівнобедрений трикутник. Центр вписаного в трикутник кола лежить на бісектрисі BD, точка О належить бісектрисі. Точка О належить також медіані BD за shkola.in.ua умовою, таким чином в трикутнику бісектриса і медіана співпадають. Отже, ΔABC – рівнобедрений.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

47.11. У трикутнику центр вписаного кола лежить на висоті. Доведіть, що цей трикутник є рівнобедреним. Оскільки точка О належить бісектрисі BD, бо коло вписане в трикутник і точка О належить висоті BD за умовою, то в трикутнику shkola.in.ua висота і бісектриса збігаються. Отже, ΔABC – рівнобедрений.

47.12. У △ABC вписано коло, яке дотикається до сторін AB, AC і BC у точках P, F і M відповідно. Знайдіть AP, PB, BM, MC, CF і FA, якщо AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 12 см. Складемо систему рівнянь: x−z=2 x−z=2 �z + x = 12 ⇒ � x + z = 12 x + z = 12 shkola.in.ua 2x = 14, x = 7. Отже, AP = FA = 7 см, PB = 8 – 7 = 1 см, BM = PB = 1 см, MC = 6 – 1 = 5 см, FC = MC = 5 см. Відповідь: AP = 7 см, PB = 1 см, BM = 1 см, MC = 5 см, CF = 5 см, FA = 7 см.

47.13. Знайдіть довжини сторін трикутника, якщо точки дотику кола, вписаного в цей трикутник, ділять його сторони на відрізки, три з яких дорівнюють 4 см, 6 см і 8 см. Нехай BK = 4 см, CL = 6 см, AM = 8 см. shkola.in.ua За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, BL = BK = 4 см, CM = CL = 6 см, AK = AM = 8 см.

AB = AK + BK = 8 см + 4 см = 12 см, BC = BL + CL = 4 см + 6 см = 10 см, AC = AM + CM = 8 см + 6 см = 14 см. Відповідь: 12 см, 10 см, 14 см.

47.14. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 3 см і 4 см, починаючи від основи. Знайдіть периметр трикутника. Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), AK = 3 см, KB = 4 см. shkola.in.ua За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: AM = AK = 3 см, CM = LC = 3 см, BL = KB = 4 см. Отже, PΔABC = AK + KB + BL + LC + CM + AM = 3 см + 4 см + 4 см + 3 см + 3 см + 3 см = 20 см. Відповідь: 20 см.

47.15. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 7 см, починаючи від вершини, що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника. Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), KB = 5 см, AK = 7 см. shkola.in.ua За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: BL = KB = 5 см, AM = AK = 7 см, CM = CL = 7 см.

PΔABC = AK + KB + BL + CL + CM + AM = = 7 см + 5 см + 5 см + 7 см + 7 см + 7 см = 38 см. Відповідь: 38 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

47.16. Доведіть, що висоти, проведені до бічних сторін гострокутного рівнобедреного трикутника, між собою рівні. Нехай ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), AM ⊥ BC, CK ⊥ AB. shkola.in.ua ΔAKC = ΔAMC за гіпотенузою і гострим кутом (AC – спільна гіпотенуза, ∠A = ∠C – як кути при основі рівнобедреного трикутника). Отже, CK = AM. 47.17. Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 2 : 3. Знайдіть кут між бісектрисою й висотою, проведеними з вершини прямого кута. Нехай ΔABC – прямокутний (∠B = 90°), BK ⊥ AC, BM – бісектриса, ∠ABM = ∠CBM. shkola.in.ua Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, маємо: ∠BCA =

90° 5

∙ 2 = 18° ∙ 2 = 36°, ∠BAC = 90° – 36° = 54°.

Оскільки BM – бісектриса, то ∠ABM = ∠CBM = 90° : 2 = 45°. З прямокутного ΔBKC маємо: ∠CBK = 90° – ∠BCK = 90° – 36° = 54°. Тоді ∠KBM = ∠CBK – ∠CBM = 54° – 45° = 9°. Відповідь: 9°.

47.18. Яка швидкість поїзда (у км/год), якщо діаметр його колеса дорівнює 120 см і воно робить 360 обертів за хвилину? (Прийміть π = 3.)

1) C = π ∙ d = 3 ∙ 1,2 = 3,6 (м) – довжина кола колеса або відстань яку воно проїжджає за один оберт; 2) 360 ∙ 3,6 = 1296 м/хв = 1296 ∙ 60 = 77760 м/год = 77,76 км/год – швидкість потяга.

47.19. Квадрат розрізали на вісім квадратів. Чи обов’язково п’ять з них рівні між собою?

shkola.in.ua

§ 48. Коло, описане навколо трикутника 48.1. (Усно.) На яких з малюнків пряма a є серединним перпендикуляром до відрізка MN? shkola.in.ua

48.2. На якому з малюнків зображено коло, описане навколо трикутника?

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.3. 1) Накресліть відрізок MN, довжина якого 5,4 см. За допомогою лінійки з поділками і косинця проведіть серединний перпендикуляр до відрізка MN. 2) Позначте деяку точку Р, що належить серединному перпендикуляру, і переконайтеся, що PM = PN. 1) MN = 5,4 см. Пряма 𝑙𝑙 – серединний перпендикуляр до відрізка MN. shkola.in.ua 2) PM = PN.

48.4. 1) Накресліть відрізок AB завдовжки 4,6 см. За допомогою лінійки з поділками і косинця проведіть серединний перпендикуляр до відрізка AB. 2) Позначте деяку точку С, що належить серединному перпендикуляру, і переконайтеся, що CA = CB. 1) AB = 4,6см.

2) CA = CB. shkola.in.ua

48.5. На малюнку точка O – центр кола, описаного навколо різностороннього трикутника ABC. Знайдіть усі пари рівних між собою трикутників на цьому малюнку. ΔCKO = ΔAKO (за двома катетами: AK = KC, KO – спільний shkola.in.ua катет). ΔAMO = ΔBMO (за двома катетами: AM = MB, OM – спільний катет). ΔCLO = ΔBLO (за двома катетами: CL = LB, OL – спільний катет).

48.6. Скільки кіл можна провести через: 1) одну точку; 2) дві точки; 3) три точки, що не лежать на одній прямій?

1) через одну точку можна провести безліч кіл.

2) через дві точки можна провести безліч кіл.

3) через три точки, що не лежать на одній прямій можна провести тільки одне коло.

48.7. 1) Накресліть гострокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.

2) Де лежатиме центр цього кола (поза трикутником, усередині трикутника, на одній з його сторін)? Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить усередині трикутника. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.8. Накресліть трикутник, два кути якого дорівнюють 60° і 70°. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.

OM – серединний перпендикуляр до сторони AC, OK – серединний перпендикуляр до сторони BC. О (точка перетину серединних перпендикулярів) – центр описаного shkola.in.ua кола навколо трикутника ABC.

48.9. 1) Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.

2) Де лежатиме центр цього кола (поза трикутником, усередині трикутника, на одній з його сторін)?

OK і OM – серединні перпендикуляри відповідно до сторін AC і BC. О (точка перетину серединних перпендикулярів) – центр кола лежить поза трикутником. shkola.in.ua

48.10. Накресліть рівнобедрений трикутник з кутом 120° при вершині. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.

shkola.in.ua

48.11. У трикутнику центр описаного кола лежить на медіані. Доведіть, що трикутник рівнобедрений. Оскільки центр описаного кола лежить на серединному перпендикулярі і одночасно на медіані, то медіана є висотою трикутника. Трикутник, у якого медіана і висота співпадають, є рівнобедреним. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.12. У трикутнику центр описаного кола лежить на висоті. Доведіть, що трикутник рівнобедрений. Оскільки центр описаного кола лежить на серединному перпендикулярі і одночасно на висоті, то серединний перпендикуляр співпадає з висотою, отже, трикутник є рівнобедреним. shkola.in.ua

48.13. Доведіть, що радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, удвічі більший за радіус кола, вписаного в нього. ΔABC – рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки в рівносторонньому трикутнику медіани перпендикулярні до shkola.in.ua сторін і одночасно є бісектрисами, то центр вписаного і описаного кола співпадають і лежать на бісектрисі.

1

∠OAD = ∠BAD = 60° : 2 = 30°.

2

ΔAOD - прямокутний, тоді AO = 2OD. OD – радіус вписаного кола, AO – радіус описаного кола. Отже, радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, вдвічі більший за радіус кола, вписаного в нього.

48.14. LM — діаметр кола, хорди KL і KM — рівні між собою. Знайдіть кути трикутника KLM. Оскільки діаметр кола видно з будь - якої точки кола під прямим кутом, то ∠LKM = 90°. shkola.in.ua ΔLKM - прямокутний, KL = KM за умовою, отже, він рівнобедрений. ∠L = ∠M = 90° : 2 = 45°. Відповідь: 90°, 45°, 45°.

48.15. I — точка перетину бісектрис AM і BN рівнобедреного трикутника ABC з основою AB. Доведіть, що IN = IM. ΔAMB = ΔANB за стороною і двома прилеглими кутами (AB – спільна сторона, ∠A = ∠B – як кути при основі рівнобедреного трикутника, ∠NBA = ∠MAB – як половини рівних кутів). З рівності трикутників маємо: AN = BM, ∠AMB = ∠ANB. shkola.in.ua ΔAIN = ΔBIM за стороною і двома прилеглими кутами (AN = BM – за доведенням, ∠AMB = ∠ANB – за доведенням, ∠NAI = ∠MBI – як половини рівних кутів). З рівності цих трикутників випливає, що IM = IN. 48.16. Площа земельної ділянки, що має форму прямокутника, дорівнює 9 га, ширина ділянки дорівнює 150 м. Знайдіть довжину огорожі навколо цієї ділянки.

9 га = 90000 м2.

1) 90000 : 150 = 600 (м) – довжина ділянки; 2) 2 ∙ (150 + 600) = 2 ∙ 750 = 1500 (м) – довжина огорожі. Відповідь: 1500 м.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.17. Накресліть коло, радіус якого 3 см. Проведіть у цьому колі діаметр і хорду.

shkola.in.ua

48.18. Точка O — центр кола. Знайдіть: 1) ∠COB, якщо ∠CAO = 50°; 2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.

1) ∠АОС = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠COB = 180° – 80° = 100°.

2) ∠АОС = 180° – 110° = 70°; ∠CAO = (180° – 70°) : 2 = 55°. shkola.in.ua

48.19. Точка O — центр кола, а точка M — точка дотику прямої a з колом. Знайдіть: 1) ∠NMB, якщо ∠MON = 140°; 2) ∠MON, якщо ∠BMN = 65°.

1) ∠OMN = (180° – 140°) : 2 = 20°; ∠NMB = 90° – 20° = 70°. shkola.in.ua 2) ∠OMN = 90° – 65° = 25°. ∠MON = 180° – (25° + 25°) = 180° – 50° = 130°.

48.20. Відрізок 32 см завдовжки поділено двома точками на три нерівних між собою відрізки. Відстань між серединами крайніх відрізків дорівнює 20 см. Знайдіть довжину середнього відрізка. Нехай AB = 32 см, EF = 20 см.

AE + FB = 32 см – 20 см = 12 см, тоді EC + DF = AE + FB = 12 см. Отже, CD = EF – (EC + DF) = 20 см – 12 см = 8 см. Відповідь: 8 см. § 49. Центральні та вписані круги 49.1. (Усно.) Які з кутів на малюнку є вписаними в коло? Вписаними є кути 3 та 5.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.2. Визначте градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює: 1) 70°; 1) 70° : 2 = 35°; 2) 190°.

2) 190° : 2 = 95°.

49.3. Визначте градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому вписаного кута дорівнює: 1) 20°; 1) 20° ∙ 2 = 40°; 2) 100°.

2) 100° ∙ 2 = 200°.

49.4. Точки A і B належать колу й лежать по один бік від хорди CD. Знайдіть ∠CAD, якщо ∠CBD = 55°. Вписані кути CAD і CBD рівні, бо спираються на одну й ту саму дугу, отже, їх градусні міри рівні. ∠CAD = ∠CBD = 55°. shkola.in.ua

49.5. Точки A і B належать колу й лежать по різні боки від хорди MN. Доведіть, що ∠MAN + ∠MBN = 180°. Градусна міра дуг ◡MBN і ◡MAN визначається градусною мірою відповідних центральних кутів, сума яких дорівнює 360°: ◡MBN + ◡MAN = 360°. shkola.in.ua 1 1 ∠MAN + ∠MBN = ◡MBN + ◡MAN = 1

2

1

2

= (◡MBN + ◡MAN) = ∙ 360° = 180°.

2

2

49.6. Точки M і N належать колу й лежать по різні боки від хорди AB. Знайдіть ∠AMB, якщо ∠ANB = 70°. Кути AMB і ANB вписані і їх градусні міри рівні половинам градусних мір дуг, на які вони спираються. Відповідно, ◡AMB = 70° ⋅ 2 = 140°. ◡ANB + ◡AMB = 360° ⇒ shkola.in.ua ◡ANB = 360° – ◡AMB = 360° – 140° = 220°. Відповідно, ∠AMB = ◡ANB : 2 = 220° : 2 = 110°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.7. Точка Р кола і його центр O лежать по різні боки від хорди CD. Знайдіть ∠COD, якщо ∠CPD = 126°.

1 ∠CPD = ◡CKD. ◡CKD = 2∠CPD = 2 ∙ 126° = 252°.

2 ◡CPD = 360° – ◡CKD = 360° – 252° = 108°. ∠COD = ◡CPD = 108°. shkola.in.ua Відповідь: 108°.

49.8. Точка A кола і його центр O лежать по різні боки від хорди LK. Знайдіть ∠LAK, якщо ∠LOK = 128°. ∠LOK = ◡LAK = 128°.

1 1 1 ∠LAK = ◡LPK = (360° – ∠LOK) = (360° – 128°) = 116°.

2 2 2 Відповідь: 116°. shkola.in.ua

49.9. Хорда розбиває коло на дві дуги у відношенні 1 : 2. Знайдіть міри вписаних кутів, що спираються на ці дуги. Сума градусних мір двох дуг 360°: х + 2х = 360; 3х = 360; х = 120. Отже, градусні міри дуг 120° і 120° ∙ 2 = 240°. Градусні міри вписаних кутів, що спираються на дуги, дорівнюють їх половині: 120° : 2 = 60°; 240° : 2 = 120°. Відповідь: 60°, 120°.

49.10. Хорда AB дорівнює радіусу кола. Точка C кола і його центр лежать по один бік від хорди AB. Знайдіть ∠ACB. АВ = АО = ОВ за умовою, тоді ∠АОВ = 60°. Дуга, що відповідає центральному куту АОВ теж дорівнює 60°. Вписаний кут АСВ теж спирається на цю дугу, значить, його shkola.in.ua градусна міра дорівнює половині градусної міри дуги: ∠АСВ = 60° : 2 = 30°. Відповідь: 30°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.11. Хорди AD і BC перетинаються в точці F. ∠ABC = 20°, ∠BCD = 80°. Знайдіть градусну міру кута AFB. Оскільки вписані кути ВАD і ВСD спираються на одну і ту саму дугу, то їх градусні міри однакові: ∠ВАD = ∠ВСD = 80°. shkola.in.ua У △АВF ∠АFВ = 180° – (∠ВАF + ∠АВF) = = 180° – (80° + 20°) = 180° – 100° = 80°. Відповідь: 80°.

49.12. Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпендикулярні. Вписані кути ВАD і ВСD спираються на одну й ту саму дугу, а значить, вони рівні: ∠ВСD = ∠ВАD = 55°. У △ВСМ ∠СМВ = 180° – (∠ВСD + ∠АВС) = = 180° – (55° + 35°) = 180° – 90° = 90°. Отже, хорди АВ і СD перетинаються під прямим кутом, тобто вони взаємно перпендикулярні. shkola.in.ua

49.13. O — центр кола, ∠MBA = 50°. Знайдіть x. Дуга АМВ стягує діаметр, отже, її градусна міра 180°. Вписаний кут АВМ, градусна міра якого 50°, спирається на дугу АNМ: ◡ANМ = 2 ∙ 50° = 100°. Тоді дуга, на яку спирається кут ВNM, дорівнює: 180° – ◡ANM = 180° – 100° = 80°.

1 ∠ВNМ = ∙ 80° = 40°.

2 Відповідь: 40°. shkola.in.ua 49.14. Доведіть, що кут між дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює 1 половині дуги, яка лежить між сторонами кута, тобто ∠CAB = ∠CNA. 2 Проведемо радіуси ОА і ОС. ∠АОС = ◡СNА (як центральний).

180° – ∠АОС 180° – ∠CNA 1 = = 90° – ◡СNА. ∠ОАС = ∠ОСА = 2 2 2 ∠ОАВ = 90° як кут між дотичною і радіусом, проведеним в точку дотику. shkola.in.ua 1 1 ∠САВ = 90° – ∠ОАС = 90° – (90° – ◡СNА) = ◡СNА.

2

 shkola.in.ua

2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.15. Рівнобедрений трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O, ∠AOB = 80°. Знайдіть кути трикутника ABC. Скільки розв'язків має задача? Задача має три розв’язки.

I випадок. Центральний кут АОВ дорівнює 80°, таку ж градусну міру має дуга, на яку він спирається, а вписаний кут АСВ, що спирається на ту ж дугу, shkola.in.ua вдвічі менший: 1 ∠АСВ = ∙ 80° = 40°.

2 ∠ВАС = ∠АСВ = 40° як кути при основі. ∠АВС = 180° – (∠АСВ + ∠ВАС) = = 180° – (40° + 40°) = 100°. Відповідь: 40°, 40°, 100°.

II випадок. ∠АОВ = ◡АСВ = 80° (∠АОВ — центральний), ◡АКВ = 360° – ◡АСВ = = 360° – 80° = 280°. shkola.in.ua ∠АСВ — вписаний.

1 ∠АСВ = ◡АKВ = 280° : 2 = 140°.

2 ∠CAB = ∠CBA = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 140°) : 2 = 20°. Відповідь: 140°, 20°, 20°.

III випадок. ∠АОВ = ◡AРВ = 80°, 1 1 ∠АСВ = ◡АРВ = ∙ 80° = 40°.

2 2 ∠САВ = ∠СВА = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°. Відповідь: 40°, 70°, 70°. shkola.in.ua

49.16. Рівнобедрений трикутник MNK вписано в коло із центром у точці O, ∠MOK = 100°. Знайдіть кути трикутника MNK. Скільки розв'язків має задача? Задача має три розв’язки. І випадок. ∠МОК = ◡МРС = 100°.

1 1 ∠МNК = ◡МРК = ∙ 100° = 50°. shkola.in.ua 2 2 ∠NMК = ∠NKM = (180° – ∠МNК) : 2 = = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°. Відповідь: 50°, 65°, 65°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

II випадок. ∠МОК = ◡МNK = 100. ◡МРK = 360° – ◡МNK = 360° – 100° = 260°.

1 1 ◡МNK = ◡МРК = ∙ 260° = 130°.

2 2 ∠NМК = ∠NКМ = (180° – 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°. Відповідь: 130°, 25°, 25°.

III випадок. ∠МОК = ◡МРК = 100°.

1 1 ∠МNК = ◡МРК = ∙ 100° = 50°.

2 2 ∠КМN = ∠МNК = 50° як кути при основі. ∠МКN = 180° – (∠КМN + ∠МNК) = = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°. Відповідь: 50°, 50°, 80°.

49.17. Коло поділено трьома точками на частини, які відносяться як 1 : 2 : 6, і точки поділу сполучено між собою. Знайдіть кути утвореного трикутника. ◡AC : ◡AB : ◡BC = 1 : 2 : 6. Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді ◡АС = x; ◡AB = 2x; ◡BC = 6x. Складемо рівняння: х + 2х + 6х = 360; 9х = 360; х = 40° – ◡АС. shkola.in.ua 2 ∙ 40° = 80° – ◡AB. 6 ∙ 40° = 240° – ◡ВС.

За теоремою про вписаний кут, знаходимо кути трикутника: ∠ВАС = 240° : 2 = 120°; ∠АВС = 40 : 2 = 20°; ∠АСВ = 80 : 2 = 40°. Відповідь: 120°, 20°, 40°.

49.18. Дано кут 30°. Коло радіусом 5 см дотикається до сторони кута і має центр на його іншій стороні. Обчисліть відстань від центра кола до вершини кута.

1) Нехай точка А — точка дотику кола і сторони кута з вершиною у точці В.

2) Тоді ∠BAO = 90° (за властивістю дотичної).

3) У прямокутному трикутнику BAO за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, BO маємо AO = . Тому BO = 2 ∙ AO = 2 ∙ 5 = 10 (см).

2 Відповідь. 10 см. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.19. Випишіть у порядку зростання внутрішні кути трикутника ABC, якщо AB = 5 см, BC = 9 см, AC = 6 см. Навпроти більшої сторони лежить більший кут. ∠АСВ < ∠АВС < ∠ВАС. shkola.in.ua

49.20. Щоб витягти з колодязя відро води, потрібно зробити 12 обертів вала. Знайдіть глибину колодязя, якщо діаметр вала дорівнює 32 см. Для спрощення обчислень вважайте, що π ≈ 3.

1) l = 3 ∙ 32 = 96 (см) – довжина кола вала.

2) 12 ∙ 96 = 1152 см = 11 м 52 см. Відповідь: 11 м 52 см.

49.21. Накресліть відрізок MN завдовжки 6 см.

1) Узявши точки M і N за центри, проведіть два кола, одне з яких (із центром у точці M) радіусом 4 см, а друге (із центром у точці N) радіусом 2 см.

2) Скільки спільних точок мають ці кола? Одну, спільну точку А в місці дотику кіл.

shkola.in.ua

49.22. Накресліть відрізок AB завдовжки 5 см.

1) Взявши точки A і B за центри, проведіть два кола, одне з яких (із центром у точці A) радіусом 3 см, а друге (із центром у точці B) радіусом 4 см.

2) Скільки спільних точок мають ці кола? Кола мають дві спільні точки К і М.

shkola.in.ua

49.23. У кожній клітинці прямокутної дошки розміром 2025⨯2027 клітинок сидить жук. За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться вільна клітинка? Розфарбуємо клітинки дошки у шаховому порядку у чорний і білий колір. Загальна кількість клітинок 2025⨯2027 — число непарне, отже, кількість чорних і білих клітинок різна. За сигналом жуки переповзають з чорної на білу або з білої на чорну клітинку. Принаймні одна клітинка при цьому залишиться незайнятою. Відповідь: так.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

§ 50. Взаємне розміщення двох кіл 50.1. Що можна сказати про взаємне розміщення кіл на малюнках? shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Кола перетинаються Кола дотикаються Кола не мають спільних точок 50.2. Накресліть два кола, радіуси яких дорівнюють 3 см і 2 см, так, щоб вони: 1) мали внутрішній дотик; 2) перетиналися; 3) були концентричними. shkola.in.ua

shkola.in.ua shkola.in.ua

50.3. Накресліть два кола, радіуси яких дорівнюють 2 см і 1,5 см, так, щоб вони: 1) мали зовнішній дотик; 2) не перетиналися. shkola.in.ua

shkola.in.ua

50.4. Накресліть відрізок 4 см завдовжки. Побудуйте два кола, що мають зовнішній дотик, центрами яких є кінці цього відрізка.

AB = 4 см. Кола дотикаються (зовнішній дотик). shkola.in.ua

50.5. Накресліть відрізок 2 см завдовжки. Побудуйте два кола, що мають внутрішній дотик, центрами яких є кінці цього відрізка.

AB = 2 см. Кола мають внутрішній дотик. shkola.in.ua

50.6. Радіуси двох кіл дорівнюють 7 см і 5 см. Знайдіть відстань між їхніми центрами, якщо кола мають: 1) внутрішній дотик; 2) зовнішній дотик.

OK = 7 см. O1K = 5 см.

OM = 7 см, O1M = 5 см, OO1 = OK – O1K = 7 см – 5см = 2см.

OO1 = OM + O1M = 7 см + 5 см = 12 см. shkola.in.ua

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.7. Радіуси двох кіл дорівнюють 3 см і 8 см. Знайдіть відстань між їхніми центрами, якщо кола мають: 1) зовнішній дотик; 2) внутрішній дотик.

OM = 3 см, O1M = 8 см.

OM = 8 см, O1M = 3 с, OO1 = O1M + OM = 8 см + 3 см = 11 см.

OO1 = OM – O1M = 8 см – 3 см = 5 см. shkola.in.ua

shkola.in.ua

50.8. Два кола мають внутрішній дотик. Відстань між їхніми центрами дорівнює 12 дм. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 2 : 5.

OO1 = 12 дм, O1M : OM = 2 : 5. shkola.in.ua Нехай O1M = 2x, OM = 5x, тоді OO1 = 5x – 2x = 3x; 3x = 12; x = 12 : 3 = 4. Отже, O1M = 2 ∙ 4 = 8 (дм), OM = 5 ∙ 4 = 20 (дм). Відповідь: 20 дм, 8 дм.

50.9. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їхніми центрами дорівнює 15 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 2 : 3. Нехай OM = 2x, O1M = 3x.

OO1 = OM + O1M = 2x + 3x = 5x. shkola.in.ua За умовою OO1 = 15см. Отже, 5x = 15; x = 3.

OM = 2 ∙ 3 = 6 (см), O1M = 3 ∙ 3 = 9 (см). Відповідь: 6 см, 9 см.

50.10. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 12 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їхні радіуси дорівнюють: 1) 9 см і 3 см; 2) 5 см і 2 см; 3) 13 см і 1 см; 4) 9 см і 7 см. Позначимо відстань між центрами кіл O1O2, радіуси кіл r1 і r2.

1) Оскільки 9 см + 3 см = 12 см, тобто O1O2 = r1 + r2, то кола дотикаються (зовнішній дотик кіл).

2) Оскільки 5 + 2 < 12, тобто O1O2 > r1 + r2, то кола не перетинаються.

3) Оскільки 13 см – 1 см = 12 см, тобто O1O2 = r1 – r2, то кола дотикаються (внутрішній дотик).

4) 9 см – 7 см < 12 см < 9 см + 7 см, тобто r1 – r2 < O1O2 < r1 + r2, то кола перетинаються.

50.11. Відстань між центрами двох кіл дорівнює 14 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їхні радіуси дорівнюють: 1) 7 см і 5 см; 2) 16 см і 2 см; 3) 10 см і 5 см; 4) 7 см і 7 см. Позначимо відстань між центрами кіл O1O2, а радіуси кіл r1 і r2.

1) 7 см + 5 см < 14 см, тобто O1O2 > r1 + r2. Отже, кола не перетинаються.

2) 16 см – 2 см = 14 см, тобто O1O2 = r1 - r2. Отже, кола мають внутрішній дотик.

3) 10 см – 5 см < 14 см < 10 см + 5 см, тобто r1 – r2 < O1O2 < r1 + r2. Отже, кола перетинаються.

4) 7 см + 7 см = 14 см, тобто O1O2 = r1 + r2. Отже, кола мають зовнішній дотик.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.12. Два кола перетинаються в точках A і B. Точки O1 і O2 — центри цих кіл. Доведіть, що O1O2 ⊥ AB. ΔAO1O2 = ΔBO1A2 (за трьома сторонами (O1A = O1B – як радіуси, O2A = O2B – як радіуси, O1O2 – спільна сторона). shkola.in.ua З рівності трикутників маємо: ∠AO1O2 = ∠BO1O2. ΔAO1B – рівнобедрений, оскільки O1A = O1B, O1M – бісектриса, отже, O1M – висота, тобто O1M ⊥ AB, а звідси O1O2 ⊥ AB (так як O1O2 містить O1M).

50.13. Два кола перетинаються в точках C і D. Точки O1 і O2 —центри кіл. Доведіть, що промінь O1O2 — бісектриса кута CO1D. ΔCO1O2 = ΔDO1O2 (за трьома сторонами: O1C = O1D – як радіуси, O2C = O2D – як радіуси, O1O2 – спільна shkola.in.ua сторона). З рівності трикутників випливає, що ∠CO1O2 = ∠DO1O2, тобто O1O2 – бісектриса кута CO1D. 50.14. Три кола попарно мають зовнішній дотик. Відрізки, що сполучають їхні центри, утворюють трикутник зі сторонами 5 см, 7 см і 8 см. Знайдіть радіуси цих кіл. Нехай O1O2 = 5 см, O2O3 = 7 см, O1O2 = 8 см. Нехай O1A = r1, O2A = r2, O2B = r3, тоді O1O2 + O2O3 + O1O3 = r1 + r2 + r2 + r3 + r3 + r1 = = 2(r1 + r2 + r3). shkola.in.ua

Тоді r1 + r2 + r3 =

O₁O₂+O₂O₃+O₁O₃ 2

=

5+7+8 2

= 10 (см).

r1 = (r1 + r2 + r3) – O2O3 = 10 – 7 = 3 (см); r2 = (r1 + r2 + r3) – O1O3 = 10 – 8 = 2 (см); r3 = (r1 + r2 + r3) – O1O2 = 10 – 5 = 5 (см). Відповідь: 3 см, 2 см, 5 см.

50.15. Три кола попарно дотикаються ззовні. Радіус одного з кіл дорівнює 6 см, а відрізок, що сполучає центри двох інших кіл, дорівнює 14 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є центри цих кіл. Нехай O1O2 = 14 см, O3B = O3C = 6 см.

O1B + O2C = O1A + O2A = O1O2 = 14 см.

PΔО1О2О3 = O1O2 + O1B + O2C + O3B + O3C = = 14 см + 14 см + 6 см + 6 см = 40 см. Відповідь: 40 см. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.16. У прямокутному трикутнику ABC гіпотенуза AB дорівнює 20 см, ∠B = 60°. Довжину якого з катетів можна знайти? Знайдіть її. Нехай ΔABC – прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°; AB = 20 см. За властивістю суми кутів прямокутного трикутника ∠B + ∠A = 90°, звідси ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°. shkola.in.ua 1

CB = AB = 2

20 2

= 10 (см) (за властивістю прямокутного

трикутника з кутом 30°). Відповідь: 10 см.

50.17. На малюнку коло вписано в чотирикутник ABCD (дотикається до всіх його сторін). Доведіть, що AB + CD = AD + BC. Нехай K, L, M, N — точки дотику. Тоді за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: shkola.in.ua AK = AL, BL = BM, CM = CN, DN = DK. Додавши почленно чотири останні рівності, маємо: AK + BM + CM + DK = AL + BL + CN + DN; (AK + DK) + (BM + CM) = (AL + BL) + (CN + DN); AD + BC = AB + CD. 50.18. Приватна підприємниця має три магазини, розміщені в точках A, B і C, які не лежать на одній прямій. Вона хоче побудувати склад так, щоб відстань від нього до всіх магазинів була однаковою. Де має бути розміщений цей склад? В центрі кола, в точці О.

shkola.in.ua

50.19. Прямокутник поділено на дев’ять прямокутників. Периметри трьох з них відомі, і їх вказано на малюнку. Знайдіть периметр зафарбованого прямокутника.

2(a + b) = 12; a + b = 6; (1) 2(a + c) = 13; a + c = 6,5; (2) 2(b + d) = 16; b + d = 8. (3) Отримаємо: c – b = 0,5. shkola.in.ua Додамо отримане рівняння з третім рівнянням, отримаємо c + d = 0,5 + 8 = 8,5. Отже, периметр зафарбованого прямокутника дорівнює 2 ∙ 8,5 = 17 (см). Відповідь: 17 см. § 51. Основні задачі на побудову та їх розв’язування 51.1. Проведіть довільну пряму та відкладіть на ній відрізок, що дорівнює відрізку на малюнку.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.2. Проведіть довільний промінь та відкладіть від його початку відрізок, що дорівнює відрізку на малюнку.

51.3. Проведіть довільну пряму m, виберіть на ній точку M і опишіть коло із центром у точці M, радіус якого дорівнює відрізку, зображеному на малюнку. У скількох точках коло перетнуло пряму? Коло перетне пряму m у двох точках.

shkola.in.ua

51.4. Накресліть довільний відрізок MN. Побудуйте коло із центром у точці M, радіус якого дорівнює MN. shkola.in.ua

51.5. Побудуйте кут, що дорівнює даному.

shkola.in.ua

51.6. Побудуйте кут, що дорівнює даному.

shkola.in.ua

51.7. Побудуйте за допомогою транспортира кут, що дорівнює 70°, та його бісектрису — без допомоги транспортира. Нехай ∠A = 70°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута A в точках B і C. shkola.in.ua 2) З т. B і C опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D. 3) Проведемо промінь AD. Промінь AD — шукана бісектриса.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.8. Побудуйте за допомогою транспортира кут, що дорівнює 110°, та його бісектрису — без допомоги транспортира. Нехай ∠A = 110°.

1) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром у т. А, яка перетинає сторони кута A в точках B і C. shkola.in.ua 2) З точок B і C опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їх перетину. Отримаємо т. D. 3) Проведемо промінь AD. Промінь AD — шукана бісектриса.

51.9. Побудуйте відрізок, що дорівнює заданому, та поділіть його навпіл.

AM = MB.

shkola.in.ua

51.10. Побудуйте відрізок, що дорівнює заданому, та поділіть його навпіл.

CF = FD.

shkola.in.ua

51.11. Накресліть пряму b та позначте точку M, що їй не належить. Проведіть пряму MN перпендикулярно до прямої b.

CM = MD; CN = ND; MN ⊥ b.

shkola.in.ua

51.12. Накресліть пряму m та позначте точку P, що їй належить. Проведіть пряму PK перпендикулярно до прямої m. Нехай P є m.

1) На даній прямій m довільним радіусом циркуля відкладемо від т. P два рівних відрізки PM і PN. 2) Із точок M і N радіусом, що дорівнює MN, опишемо дуги до їхнього перетину. shkola.in.ua Отримаємо т. K. 3) Проведемо пряму KP. KP — шукана пряма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.13. Побудуйте прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 5 см і 3 см. Щоб побудувати прямокутний трикутник за двома катетами, слід побудувати прямий кут і на його сторонах відкласти відрізки, що дорівнюють катетам: AB = 3 см, AC = 5 см. shkola.in.ua ΔABC — шуканий.

51.14. Накресліть гострокутний ∆ABC та побудуйте його медіану CP. 1) З точки А радіусом циркуля, більшим за половину відрізка АВ, опишемо дугу. shkola.in.ua 2) З точки В таким самим радіусом проведемо дугу до перетину з першою дугою в точках М і N. Через т. М і N проведемо пряму, яка перетинає АВ в точці Р. Р - середина сторони АВ. Проведемо пряму СР. СР - шукана медіана.

51.15. Накресліть прямокутний ∆ABC (∠C = 90°). Побудуйте його медіану CM та бісектрису AK. 1) З точок A і B проводимо кола довільного однакового радіуса, які перетинаються в точках N і F. 2) Знаходимо точку M перетину прямої FN та сторони AB. 3) CM — шукана медіана.

4) Проведемо дугу кола довільного радіуса із центром в т. А, яка перетинає сторони кута A в точках E і R. shkola.in.ua 5) З точок E і R опишемо дуги таким самим радіусом у внутрішній області кута до їхнього перетину. Отримаємо т. P. 6) AP а, отже, і AK — бісектриса кута A. 51.16. Накресліть прямокутний ∆KLM (∠K = 90°). Побудуйте його бісектрису KP та медіану LT. Побудова аналогічна завданню 752. shkola.in.ua

3

51.17. Накресліть довільний відрізок. Побудуйте відрізок, що дорівнює від 4 побудованого відрізка.

1) Ділимо відрізок AB навпіл.

2) ділимо відрізок CB навпіл.

3 shkola.in.ua 3) Відрізок AD = AB. 4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

51.18. Накресліть довільний відрізок. Побудуйте відрізок, що дорівнює від 4 побудованого відрізка.

1) Ділимо відрізок AB навпіл.

2) Ділимо відрізок CD навпіл. shkola.in.ua

1

3) DB = BA. 4

51.19. Побудуйте трикутник зі сторонами a = 8 см, b = 7 см, c = 5 см. План побудови.

1) На довільній прямій відкладаємо BC = а = 8 см.

2) Дуга з центром у точці C і з радіусом r = b = 7 см.

3) Дуга з центром у точці В і з радіусом r = с = 5 см.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці А.

5) ∆АВС — шуканий. shkola.in.ua

51.20. Побудуйте ∆ABC, якщо AB = 4 см, BC = 6 см, CA = 7 см. План побудови.

1) AC = 7 см.

2) Дуга з центром у точці A із радіусом AB = 4 см.

3) Дуга з центром у точці C і з радіусом BC = 6 см.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці В. shkola.in.ua 5) ∆ABC — шуканий.

51.21. Накресліть довільний ∆ABC і побудуйте ∆ABD такий, що дорівнює трикутнику ABC. План побудови.

1) Дуга з центром у точці А і з радіусом АС.

2) Дуга з центром у точці В і з радіусом BC. 3) Дуги з п. 1) і п. 2) перетинаються у точці D. shkola.in.ua 4) ∆ABD — шуканий.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.22. Накресліть довільний трикутник і побудуйте трикутник, що йому дорівнює. Нехай задано ∆ABC. Треба побудувати ∆KLM = ∆ABC. План побудови.

1) KL = AB. 2) Дуга з центром у точці K і з радіусом АС.

3) Дуга з центром у точці L і з радіусом BC. shkola.in.ua 4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці М.

5) ∆KLM = ∆ABC.

shkola.in.ua

51.23. Накресліть довільний відрізок AB. Побудуйте рівносторонній ∆ABC. План побудови.

1) AB — довільний відрізок.

2) Дуга з центром у точці А і з радіусом AB. 3) Дуга з центром у точці В і з радіусом BA. 4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці С.

5) ∆ABC — рівносторонній і шуканий. shkola.in.ua

51.24. Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого основа дорівнює відрізку a, а бічна сторона — відрізку b. План побудови.

1) KL = а.

2) Дуга з центром у точці K i з радіусом b.

3) Дуга з центром у точці L і з радіусом b.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці М.

5) Рівнобедрений трикутник KLM — шуканий. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.25. Побудуйте ∆DEF, якщо DE = 6 см, ∠D = 40°, ∠E = 80°. План побудови.

1) DE = 6 см.

2) ∠ADE = 40°.

3) ∠DEB = 80°.

4) Промені DA i EB перетинаються у точці F. shkola.in.ua 5) ∆DEF— шуканий.

shkola.in.ua

51.26. Побудуйте ∆NPT, якщо NP = 4 см, ∠N = 50°, ∠P = 100°. План побудови.

1) NP = 4 см.

2) ∠ANP = 50°.

3) ∠BPN = 100°.

4) Промені NA і PB перетинаються у точці Т. shkola.in.ua 5) ∆NPT – шуканий.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.27. На даній прямій a знайдіть точки, віддалені від заданої точки A цієї прямої: 1) на 4 см; 2) на відстань, більшу ніж 4 см; 3) на відстань, меншу ніж 4 см.

1) На прямій a існує дві точки M і N, віддалені від т. А на відстань 4 см.

2) На прямій a існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань більше 4 см, це промені NK і ML без початків.

3) На прямій a існує безліч точок, віддалених від даної точки А на відстань меншу ніж 4 см, це відрізок MN без його кінців.

51.28. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і радіусом описаного кола.

1) Будуємо коло з центром у т. О і з радіусом R. 2) З довільної точки B кола будуємо коло радіуса b, яке перетинає побудоване коло в точках A і C. 3) ΔABC — шуканий.

shkola.in.ua

51.29. Побудуйте ∆ABC, якщо AB = 3 см, AC = 5 см, ∠A = 105°.

1) Будуємо кут ∠A = 105°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки AB = 3 см, shkola.in.ua AC = 5 см.

3) ΔABC — шуканий.

51.30. Побудуйте ∆KLM, якщо KL = 6 см, KM = 4 см, ∠K = 80°.

1) Будуємо кут ∠K = 80°.

2) На сторонах кута відкладаємо відрізки KL = 6 см, shkola.in.ua KM = 4 см.

3) ΔKLM — шуканий.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.31. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого 4 см, а кут при основі 70°.

1) Будуємо AB = 4 см.

2) Будуємо ∠BAC = 70°. shkola.in.ua 3) Будуємо ∠BAC = 70°.

4) ΔABC — шуканий.

51.32. Побудуйте рівносторонній трикутник зі стороною 5 см і впишіть у нього коло.

1) Будуємо відрізок AC = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього трикутника.

2) За допомогою циркуля проведемо дуги з центром у точках A і C, радіусом, який дорівнює AC. 3) Оскільки центр вписаного кола є точкою перетину shkola.in.ua бісектрис, будуємо бісектриси кутів A і C. O — точка перетину бісектрис — центр вписаного кола.

51.33. Побудуйте довільний трикутник та опишіть навколо нього коло. ΔABC — довільний трикутник. Оскільки центром описаного кола навколо трикутника є точка перетину серединних перпендикулярів, то побудуємо серединні перпендикуляри до сторін AB і AC. 1) Знайдемо середини відрізків AB і AC. Точки M і K — середини відрізків відповідно AB і AC. 2) Побудуємо перпендикуляри до сторін трикутника AB і AC, які проходять через точки M і K відповідно. т. O — точка перетину серединних перпендикулярів shkola.in.ua — центр описаного кола.

51.34. Побудуйте рівнобедрений трикутник, у якого основа дорівнює 6 см, а висота, проведена до неї, — 4 см.

1) Будуємо прямокутний трикутник ABD за катетом shkola.in.ua

6

BD = = 3 (см) і AD = 4 см.

2

2) На промені BD від точки D відкладаємо DC = 3 см.

3) ΔABC — шуканий. Оскільки AD — висота і медіана трикутника ABC, то трикутник ABC — рівнобедрений.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.35. Побудуйте коло, радіус якого 4 см, позначте на цьому колі деяку точку A і проведіть через неї дотичну до кола — пряму b.

OA = 4 см. Продовжимо OA. AM = AN; MF = NF; FA ⊥ MN; FA — дотична. shkola.in.ua

51.36. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 4 см, а кут при вершині — 80°. Нехай задано основу рівнобедреного трикутника AB = 4 см і ∠C = 80°. Знайдемо кути при основі △АВС. shkola.in.ua За теоремою про суму кутів трикутника: ∠A = ∠B = (180° − 80°) : 2 = 50° Щоб отримати кут 50° для побудови, проведемо в умові PC⊥CD → ∠PCD = 90°. Побудуємо бісектрису ∠MCD: shkola.in.ua ∠KCM = 40°; ∠MCP = 10° ∠KCP = 40° + 10° = 50° Будуємо △АВС за основою AB і кутами при основі, рівними по 50°. Сторони кутів A і B перетинаються в т. C. △АВС — шуканий.

51.37. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 6 см, а кут при вершині — 100°. Нехай задано основу рівнобедреного трикутника AB = 6 см і ∠C = 100°. Знайдемо кути при основі рівнобедреного трикутника. За теоремою про суму кутів трикутника: ∠A = ∠B = (180° − 100°) : 2 = 40°. shkola.in.ua Побудуємо PC ⊥ CD та бісектрису ∠MCD. ∠MCK = 100° : 2 = 50° ∠PCM = 100° − 90° = 10° Отже, ∠PCK = 50° − 10° = 40° — кут при основі △АВС. shkola.in.ua Сторони ∠A і ∠C перетинаються в т. B. △АВС — шуканий.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.38. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і гіпотенузою. Задано катет AC та гіпотенуза AB прямокутного ∆ABC. План побудови.

1) Будуємо перпендикулярні прямі m і n , що перетинаються у точці С.

2) На прямій m відкладаємо відрізок CA. 3) Дуга кола із центром у точці А і з радіусом AB, що перетинає пряму n у точці В.

4) ∆АВС – шуканий.

shkola.in.ua

51.39. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і бісектрисою прямого кута. Задано катет AC і бісектриса CK. План побудови.

1) Будуємо перпендикулярні прямі m і n, що перетинаються у точці С.

2) На прямій m відкладаємо відрізок CA. 3) CM — бісектриса прямого кута С.

4) Відкладаємо відрізок CK на бісектрисі CM. 5) Промінь AK перетинає пряму n у точці В.

6) ∆ABC — шуканий. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.40. Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, проведеною до однієї з них. Нехай задано сторони AB і AC трикутника ABC та медіана BK План побудови.

1) Будуємо ∆ABK, сторони якого AB; 𝐴𝐴𝐴𝐴 AK = і BK відомі.

2 2) На продовженні променя AK відкладаємо KC = AK. 3) ∆ABC — шуканий.

shkola.in.ua

51.41. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і медіаною, проведеною до другого катета. Нехай задано катет AC і медіана AM (AC < AM). План побудови.

1) Будуємо перпендикулярні прямі m і n, що перетинаються в точці С.

2) На прямій m відкладаємо відрізок CA. 3) Дуга кола із центром у точці А, що перетинає пряму n у точці М. AM — медіана.

4) Відкладаємо MB = MC на прямій n.

5) ∆ABC — шуканий.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.42. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і медіаною, проведеною до нього. Нехай задано катет AC і медіана BM трикутника ABC (∠C = 90°). План побудови.

1) Будуємо перпендикулярні прямі m і n, що перетинаються в точці С.

2) На прямій m відкладаємо відрізок АС 𝐴𝐴𝐴𝐴 та відрізок CM = .

2 3) Дуга кола із центром у точці M і з радіусом BM, що перетинає пряму n в точці В.

4) ∆ABC — шуканий. shkola.in.ua

51.43. Побудуйте трикутник за стороною, прилеглим до неї кутом і радіусом описаного кола. Нехай задано сторону AB, кут А і радіус описаного кола R. План побудови.

1) Коло з радіусом R. shkola.in.ua 2) Точка A, що належить колу.

3) Дуга кола із центром у точці А, що перетинає коло з радіусом R у точці В.

4) ∠MAB = ∠A. 5) Промінь AM перетинає коло з радіусом R у точці С.

6) ∆ABC — шуканий.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.44. Побудуйте трикутник за стороною, прилеглим до неї кутом і бісектрисою, проведеною з вершини цього кута. Нехай задано сторону AB, кут А і бісектрису AK. План побудови.

1) На прямій m відкладаємо сторону shkola.in.ua AB. 2) ∠MAB = ∠A. 3) AL - бісектриса кута МАВ.

4) На AL відкладаємо відрізок AK. 5) Промінь BK перетинає AM у точці С.

6) ∆ABC — шуканий. shkola.in.ua

51.45. Побудуйте ∆ABC, якщо AB = 4 см, ∠A = 40°, ∠C = 105°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Накреслити AB = 4 см; 2) провести промінь до AС під кутом 40° через т. А; 3) продовжити промінь кута С. Відкласти на ньому кут 40°; 4) провести промінь до BС під кутом (180° – 40° – 105°) = 35° до AB. Точка перетину двох променів — вершина С. АСВ — шуканий трикутник.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.46. Не користуючись транспортиром, побудуйте кути 30° і 60°.

1) Накреслити коло; 2) від довільної т. А відкласти радіус; AB = OA; ∠BOA = ∠OBA = ∠BAO = 60°; 3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL — медіана, бісектриса і висота; ∠BOL = ∠LOA = 30°.

51.47. Не користуючись транспортиром, побудуйте кут, що дорівнює 15°.

1) Накреслити коло; 2) від т. А відкласти OA = AB; ∠BOA = 60°; 3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; shkola.in.ua OL — медіана, бісектриса і висота; ∠LOA = 30°; 4) поділити кут LOA навпіл: ON — бісектриса; ∠NOM = ∠NOL = 15°.

51.48. Побудуйте без транспортира ∆ABC, у якого: 1) AB = 5 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°; 2) AB = BC = 4 см, ∠B = 150°.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

1) 1) Накреслити AB = 5 см; 2) із т. А і т. В радіусом циркуля 5 см опишемо дуги і отримаємо т. М; 3) провести промінь AM; ∠MAB = 60°; 4) продовжити відрізок AB і відкласти від т. В рівні відрізки: NB = BK; 5) з точок N і K провести рівні дуги; з'єднати т. L з т. B; LB ⊥ AB; 6) побудувати бісектрису ∠LBN; ∠NBF = ∠FBL = 45°; 7) продовжити відрізок BF до перетину з AM; т. C — вершина ΔАСВ. АСВ — шуканий трикутник.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) Якщо AB = BC, то трикутник рівнобедрений. ∠A = ∠C = (180° – 150°) : 2 = 15°.

1) Побудувати рівносторонній трикутник APB; 2) поділити AP і PB навпіл: AM = MP, PN = NB; ∠NAB = ∠MBA = 30°; 3) відкласти AK = AB і BM = AB, з'єднати т. A і т. М, т. B і т. K; 4) поділити KB і AF навпіл: AE = EM, KL = LB; ∠LAB = ∠EBA = 15°; ∠ACB = 150°.

ACB — шуканий трикутник.

shkola.in.ua

51.49. Побудуйте без транспортира ∆KMP, у якого: 1) KM = 4 см, ∠K = 30°, ∠M = 45°; 2) KM = MP = 5 см, ∠M = 120°.

1) 1) Накреслити KM = 4 см; 2) побудувати рівносторонній ΔKMF; 3) поділити бісектрису KN (вона також медіана і висота) ⇒ ∠NKM = 30°; 4) продовжити відрізок KM і відкласти від т. М рівні відрізки: CM = MD; 5) з точок C і D провести рівні дуги; з'єднати т. L і т. М; LM ⊥ KM; 6) побудувати бісектрису ∠LMC; ∠CME = ∠EML = 45°; 7) продовжити відрізок ME до перетину з KN; т. Р — вершина ΔKРМ.

KРM — шуканий трикутник.

shkola.in.ua

2) KM = MP, ∠M = 120° ⇒ ∠K = ∠P = 30°.

1) Побудувати рівносторонній ΔKAC; 2) поділити AC навпіл: AE = EC; ∠EKC = 30°; 3) продовжити відрізок KE і відкласти на цьому промінь KM = 5 см;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) продовжити KC і опустити на цей промінь перпендикуляр MF; MF – висота, бісектриса і медіана; 5) відкласти FP = KF. KMP – шуканий трикутник.

shkola.in.ua

51.50. Побудуйте рівносторонній трикутник за його медіаною. Нехай задано CK — медіану рівностороннього трикутника ABC. 1) Побудувати рівносторонній трикутник ABC, AC вдвічі більша за дану медіану; 2) поділити навпіл AB і BC; 3) позначити точку F – точку перетину медіан і бісектрис.

3) з т. F опустити перпендикуляр на AC і продовжити цей промінь, FK = KN; 4) з'єднати т. N і т. C. FNC — шуканий трикутник, KC — його медіана. shkola.in.ua

51.51. Побудуйте трикутник за двома нерівними сторонами і радіусом описаного кола. Скільки розв'язків має задача? Нехай задано дві сторони трикутника AB і AC (AB ≠ АС) та радіус описаного коло R. План побудови.

1) Коло з радіусом R. 2) Точка А, що належить колу.

3) Дуга кола із центром у точці А і з радіусом AB, що перетинає коло у точці В.

4) Дуга кола із центром у точці А і з радіусом АС, що перетинає коло в точках C і C1.

5) ∆ABC і ∆ABC1 — шукані. Задача має 2 розв’язки. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.52. Один з кутів трикутника дорівнює 15°, а два інших — відносяться як 7 : 8. Знайдіть найменший із зовнішніх кутів трикутника.

shkola.in.ua

1) Нехай у ∆ABC: ∠A = 15°; ∠B : ∠C = 7 : 8. Позначимо ∠B = 7х; ∠C = 8х.

2) Маємо 15° + 7х + 8х = 180°; 15х = 165°; х = 11°. Отже, ∠B = 7 ∙ 11° = 77°; ∠C = 8 ∙ 11° = 88°.

3) Найменший із зовнішніх кутів трикутника – це суміжний із найбільшим внутрішнім кутом трикутника. ∠KCA = 180° – 88° = 92°. Відповідь. 92°.

51.53. Доведіть, що в рівних між собою трикутниках бісектриси, проведені з вершин відповідних кутів, однакової довжини.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∆ABC = ∆A1B1C1; CK і C1K1 — бісектриси.

2) Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то BC = B1C1; ∠B = ∠B1.

3) Оскільки ∠ACB = ∠A1C1B1 та CK і C1K1 — бісектриси, то ∠KCB = ∠K1C1B1 (як половини рівних кутів).

4) ∆KCB = ∆K1C1B1 (за другою ознакою). Тому CK = C1K1, що й треба було довести.

51.54. Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°, а гіпотенуза — 60 см. Знайдіть відрізки, на які ділить гіпотенузу висота, проведена до неї. Нехай у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠A = 30°; AB = 60 см; CK – висота.

1) У ∆ABC за властивістю катета, що лежить 𝐴𝐴𝐴𝐴 60 проти кута 30°, маємо BC = = = 30 (см).

2 2 2) ∠B = 90° – ∠A = 60°. shkola.in.ua 3) У ∆CKB: ∠KCB = 180° – (60° + 90°) = 30°.

4) У ∆CKB за властивістю катета, що лежить 𝐵𝐵𝐵𝐵 30 проти кута 30°, маємо KB = = = 15 (см).

2 2 5) AK = AB – BK = 60 – 15 = 45 (см). Відповідь. 15 см і 45 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.55. 1) Щоб залити один квадратний метр ковзанки, потрібно 40 л води. Скільки потрібно буде води, щоб залити ковзанку круглої форми діаметром 30 м?

S = π ∙ r2 = 3,14 ∙ 15 = 47,1 (м2) – площа ковзанки; 47,1 ∙ 40 = 1884 (л) 2) Дізнайтеся, скільки коштує 1 м³ води, та обчисліть, яку суму повинна буде сплатити муніципальна влада за використану воду.

35 ∙ 1884 = 65940 (грн).

51.56. Розв’яжіть задачу та прочитайте прізвище першого президента незалежної України. ∠ABC = 120°; 1) ∠ABK = x°; ∠KBC = (x + 20)°; x + x + 20 = 120; shkola.in.ua 2x = 100; x = 50; x + 20 = 70;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) ∠KBC = x°; ∠ABK = 3x°; x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30; 3x = 90; 3) ∠ABK = 3x°; ∠KBC = 5x°; 3x + 5x = 120; 8x = 120; x = 15; 3x = 45; 5x = 75.

Відповідь: КРАВЧУК. Домашня самостійна робота 10 (§§45-51) 1. Знайдіть радіус кола, діаметр якого дорівнює 8 см. А. 2 см; Б. 4 см; В. 16 см; Г. 8 см Оскільки радіус кола вдвічі менший від діаметра, то радіус дорівнює 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: Б) 4 см.

2. Знайдіть градусну міру центрального кута, якщо градусна міра відповідного йому вписаного кута дорівнює 40°. А. 20°; Б. 40°; В. 80°; Г. 120° Оскільки центральний кут вдвічі більший за вписаний, то 40° ∙ 2 = 80°. Відповідь: В) 80°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3. Укажіть малюнок, на якому пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка CD. shkola.in.ua

Відповідь: Г.

4. Радіус кола дорівнює 4 см. Як розміщені пряма a і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює 3 см? А. пряма перетинає коло у двох точках Б. пряма є дотичною до кола В. пряма не має з колом спільних точок Г. неможливо визначити Пряма перетинає коло у двох точках. Відповідь: А).

shkola.in.ua

5. Точка O — центр кола, MN — його хорда. Знайдіть ∠MON, якщо ∠OMN = 70°. А. 20°; Б. 40°; В. 60°; Г. 70° ΔMNO – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси кола. Тоді ∠N = ∠M = 70°. Отже, ∠MON = 180° – ∠N – ∠M = 180° – 70° – 70° = 40°. Відповідь: Б) 40°. shkola.in.ua

6. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між їхніми центрами. А. 2 см; Б. 4 см; В. 6 см; Г. 8 см O1O2 = O1A – O2A = 6 – 2 = (см). Відповідь: Б).

shkola.in.ua

7. Точка O — центр кола, AB — його діаметр, BC — хорда, ∠COA = 50°. Знайдіть ∠BCO. А. 25°; Б. 35°; В. 50°; Г. 60° ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси кола. Тоді ∠C = ∠B. ∠COA – зовнішній кут ΔCOB. ∠COA = ∠C + ∠B (за властивістю зовнішнього кута трикутника). shkola.in.ua Отже, ∠BCO = 50° : 2 = 25°. Відповідь: А) 25°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8. Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їхніми центрами дорівнює 14 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо радіус одного з них на 4 см більший за радіус другого. А. 8 см і 4 см; Б. 9 см і 5 см; В. 10 см і 6 см; Г. 11 см і 7 см OO1 = 14 см, O1A = x, OA = x + 4. Тоді x + x + 4 = 14; shkola.in.ua 2x = 10; x = 5. Отже, O1A = 5 см, OA = 5 + 4 = 9 (см). Відповідь: Б).

9. Хорди MN і KL перетинаються в точці A. ∠MKL = 30°, ∠KLN = 70°. Знайдіть градусну міру кута KAM. А. 30°; Б. 70°; В. 80°; Г. 100° Вписаний кут MKL спирається на хорду ML. Також, на цю хорду, спирається вписаний кут MNL. Отже, ці кути рівні: ∠MKL = ∠MNL = 30°. Розглянемо трикутник ANL. В ньому нам відомі градусні міри двох кутів, а сума кутів трикутника рівна 180°. Тому: ∠NAL = 180° - ∠MNL - ∠KLN = 180° - 30° - 70° = 80°. ∠MAL = ∠КАМ як вертикальні кути. shkola.in.ua Отже, ∠КАМ = ∠NAL = 80°. Відповідь: В) 80°.

10. З точки M, що лежить поза колом, проведено до кола дві дотичні MA і MB, де A і B — точки дотику, ∠MBA = 60°. Знайдіть відстань від точки M до центра кола, якщо радіус кола дорівнює 10 см. А. 10 см; Б. 15 см; В. 20 см; Г. 25 см Нехай OB = OA = 10 см, ∠MBA = 60°. З ΔBKM: ∠K = 90°, ∠OMB = 90° – 60° = 30°. shkola.in.ua З ΔOMB: ∠B = 90°. Згідно властивості катета, що лежить навпроти кута 30° маємо: OM = 2OB = 2 ∙ 10 см = 20 см. Відповідь: В) 20 см.

11. Центр кола, описаного навколо трикутника, збігається із серединою сторони в трикутнику, що є... А. прямокутним; Б. гострокутним; В. тупокутним; Г. рівностороннім Відповідь: А).

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12. Три кола, радіуси яких 3 см, 4 см і 5 см, попарно дотикаються зовні. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є центри цих кіл. А. 22 см; Б. 23 см; В. 24 см; Г. 25 см PΔO1O2O3 = 2 ∙ (3 + 4 + 5) = 2 ∙ 12 = 24 (см). shkola.in.ua Відповідь Б) 24 см.

13. Радіуси двох кіл дорівнюють r1 і r2, а відстань між їхніми центрами — 10 см. Установіть відповідність між радіусами кіл r1 і r2 (1–3) та взаємним положенням цих кіл (А–Г). Радіуси кіл Взаємне положення кіл 1. r1 = 4 см, r2 = 7 см А. зовнішній дотик 2. r1 = 8 см, r2 = 2 см Б. внутрішній дотик 3. r1 = 5 см, r2 = 3 см В. кола перетинаються Г. кола не мають спільних точок

shkola.in.ua

1) r1 + r2 = 4 + 7 = 11 см > 10 см – В. кола перетинаються 2) r1 + r2 = 8 + 2 = 10 см = 10 см – А. зовнішній дотик 3) r1 + r2 = 5 + 3 = 8 см < 10 см – Г. кола не мають спільних точок Відповідь: 1 – В; 2 – А; 3 – Г. Завдання для перевірки знань до §§45-51 1. Знайдіть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює 26 мм. Оскільки діаметр кола вдвічі більший від радіуса, то діаметр дорівнює 26 мм ∙ 2 = 52 мм. Відповідь: 52 мм.

2. Знайдіть градусну міру кута, вписаного в коло, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює 70°. Згідно теореми, вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на цю ж дугу. Тому: shkola.in.ua ∠LKM = ∠LOM : 2 = 70° : 2 = 35°. Відповідь: 35°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3. На якому з малюнків зображено коло, описане навколо трикутника, а на якому — вписане у трикутник?

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Коло, описане навколо трикутника Коло, вписане в трикутник 4. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 4 см. Проведіть у ньому діаметр MN і хорду KL. Побудуйте за допомогою косинця дотичну до кола, що проходить через точку M.

shkola.in.ua

5. Точка O — центр кола, AB — його хорда. Знайдіть ∠OAB, якщо ∠AOB = 136°. ΔAOB — рівнобедрений, отже ∠OAB = (180° – ∠AOB) : 2 = (180° – 136°) : 2 = 22°. shkola.in.ua

6. Накресліть відрізок FP завдовжки 5 см. За допомогою лінійки з поділками та косинця проведіть серединний перпендикуляр до відрізка FP.

shkola.in.ua

7. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їхніми центрами дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них утричі більший за інший. Нехай OO1 = 20 см, OA : AO1 = 1 : 3. shkola.in.ua

O1A = OO1 ∙ OA = OO1 ∙

1

1+3 3

1+3

1

= 20 ∙ = 5 (см), 4 3

= 20 ∙ = 15 (см).

4

Відповідь: 5 см, 15 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 55 мм, а кут при вершині — 50°.

1) Будуємо пряму, позначаємо точку А і від неї відкладаємо точку В на відстані 55 мм; 180° – 50° 2) Визначаємо кути при основі: ∠A = ∠B = = 65°.

2 3) Будуємо ∠KAB = 65°.

4) Будуємо ∠LBA = 65°. shkola.in.ua 5) Промені AK і BL перетинаються у точці С.

6) ∆ABC — шуканий.

9. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 5 см і 2 см завдовжки, починаючи від вершини, що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника. Нехай ΔABC — рівнобедрений (AB = AC), в який вписано коло; K, L, M — точки дотику. За властивістю відрізків дотичних, shkola.in.ua проведених з однієї точки до кола, маємо: AK = AL = 5 см, LB = MB = KC = MC = 2 см.

PΔABC = AB + BC + CA = AL + LB + MB + MC + KC + KA = = 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 = 18 (см). Відповідь: 18 см.

10. З точки A, що лежить поза колом, проведено до нього дві дотичні AB і AC, де B і C — точки дотику, ∠BAC = 60°. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки A до центра кола дорівнює 8 см. Нехай AB і AC — дотичні (В і С — точки дотику), ∠BAC = 60°, OA = 8 см. ΔABO = ΔACO (за катетом і гіпотенузою: OC = OB – як радіуси кола, OA – спільна гіпотенуза). З рівності трикутників: shkola.in.ua

1

1

∠BAO = ∠CAO = ∠BAC = ∙ 60° = 30°.

2

2

З прямокутного ΔABO (∠BAO = 30°) маємо: 1

1

OB = OA = ∙ 8 = 4 (см).

2

2

Відповідь: 4 см.

11. Не користуючись транспортиром, побудуйте кут, що дорівнює 120°.

1) Будуємо рівносторонній трикутник ABC. 2) Будуємо зовнішній кут побудованого трикутника.

3) ∠DAB = 120°. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Вправи для повторення теми 10 1. Накресліть коло. Проведіть у ньому радіус, діаметр і хорду.

AB – діаметр, OC – радіус. AD – хорда. shkola.in.ua

2. Дано коло із центром у точці O. Скільки спільних точок має коло з: 1) променем OK; 2) прямою OK? 1) Коло з променем OK має одну спільну точку.

2) Коло з прямою OK має дві спільні точки. shkola.in.ua

3. У колі із центром O проведено хорди AB і BC. Відомо, що ∠AOB = ∠BOC. Доведіть, що AB = BC. ΔAOB = ΔBOC за двома сторонами і кутом між ними (OA = OB, OB = OC – як радіуси кола, ∠AOB = ∠BOC – за умовою). Із рівності трикутників випливає, що AB = BC. shkola.in.ua

4. У колі із центром O проведено діаметр AB і хорди AK і KB. Знайдіть кути трикутника AKB, якщо ∠KOB = 130°. ∠AOK = зовнішній кут до кута KOB. ∠AOK = 180° – 130° = 50°. ΔAOK – рівнобедрений, оскільки OA = OK – як радіуси, shkola.in.ua тоді ∠OAK = ∠AKO = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°. ΔKOB – рівнобедрений, оскільки OK = OB – як радіуси, тоді ∠OKB = ∠OBK = (180° – 130°) : 2 = 25°. ΔAKB – прямокутний, оскільки діаметр видно з будь – якої точки кола під кутом 90°. Отже, ∠AKB = 90°. Отже, ∠A = 65°, ∠K = 90°, ∠B = 25°. Відповідь: 25°, 65°, 90°.

5. Усі радіуси кола продовжили зовні кола на їхню довжину. Яку лінію утворять їхні кінці? Кінці радіусів кола утворюють коло з тим самим центром і радіусом, вдвічі більшим від даного радіуса. shkola.in.ua  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6. Розділіть хорду навпіл за допомогою лише косинця, якщо дано центр кола. Нехай AB — дана хорда. За допомогою косинця проведемо діаметр CD ⊥ AB. Тоді за теоремою 3 діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл. Отже, AK = KB. shkola.in.ua 7. Знайдіть градусну міру кута між двома хордами, що виходять з однієї точки і дорівнюють радіусу. Нехай AB = BC = OC = OA, тоді ΔAOB і ΔBOC – рівносторонні. ∠A = ∠AOB = ∠ABO = 60°, ∠C = ∠OBC = ∠OCB = 60°. ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 60° + 60° = 120°. Відповідь: 120°. shkola.in.ua

8. AB — діаметр кола, K — деяка точка кола. Знайдіть кути трикутника ABK, якщо найменший його кут у 4 рази менший від середнього за градусною мірою кута. ∠AKB = 90°, оскільки діаметр кола видно з будь – якої точки кола під кутом 90°. Нехай ∠KAB = x°, тоді ∠KBA = 4x°. x + 4x = 90°; 5x = 90°; shkola.in.ua x = 18. Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° ∙ 4 = 72°. Відповідь: 18°, 72°, 90°.

9. У колі через середину радіуса OA перпендикулярно до нього проведено хорду MN. Знайдіть кути трикутника MON. Нехай ОК = АК, MN ⊥ OA. 1 З ΔOMK: ∠OMK = 30°, оскільки OK = OM. shkola.in.ua 2 ΔMON – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси, тоді ∠ONM = ∠OMN = 30°, ∠MON = 180° – ∠ONM – ∠OMN = 180° – 30° – 30° = 120°. Отже, в ΔMON ∠MON = 120°, ∠OMN = 30°, ∠MNO = 30°. Відповідь: 30°, 30°, 120°.

1. Хорда перетинає діаметр під кутом 30° і ділить його на два відрізки 7 см і 1 см завдовжки. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди. Нехай DK ⊥ AB, CM ⊥ AB, ∠DPB = ∠CPM = 30°, PD = 7 см.

1 1 З прямокутного ΔDKP: DK = PD = ∙ 7 = 3,5 см.

2 2 З прямокутного ΔCMP: 1 1 MC = CP = ∙ 1 = 0,5 см.

2 2 Відповідь: 0,5 см; 3,5 см. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

11. Накресліть коло, радіус якого 2,5 см. Позначте на ньому точку L. Проведіть за допомогою косинця січну LK та дотичну LM до кола.

shkola.in.ua

12. Нехай OK — відстань від центра кола O до прямої p, а r — радіус кола. Яким є взаємне розміщення прямої і кола, якщо: 1) OK = 12 см, r = 14 см; 2) r = 7 см, OK = 70 мм; 3) OK = 2 дм, r = 18 см; 4) r = 32 мм, OK = 0,3 дм?

1) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 12 см < 14 см.

2) Пряма p дотикається до кола, оскільки OK = r, 7 см = 70 мм.

3) Пряма p не має спільних точок з колом, оскільки OK > r, 2 дм > 18 см.

4) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 0,3 дм < 32 мм. shkola.in.ua

13. Чи перетинаються дотичні до кола, що проходять через кінці його діаметра? Нехай a і b — дотичні, тоді a ⊥ AB, b ⊥ AB, a ∥ b. Отже, дотичні до кола, проведені через кінці діаметра, не перетинаються. shkola.in.ua

14. Пряма в точці A дотикається до кола із центром O. На дотичній з різних боків від точки A відкладено рівні відрізки AM і AN. Доведіть, що OM = ON. Нехай MN – дотична до кола, тоді OA ⊥ MN (оскільки дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений в точку дотику). ΔAOM = ΔAON за двома катетами (OA – спільний катет, AM = AN – за умовою). Із рівності трикутників випливає, що OM = ON. shkola.in.ua

15. Радіус кола ділить навпіл хорду, яка не є діаметром. Доведіть, що дотична, проведена через кінець даного радіуса, паралельна даній хорді. Оскільки BK = KC, то BC ⊥ OA. Оскільки AM — дотична, то AM ⊥ OA. Оскільки BC ⊥ OA і AM ⊥ OA, то BC ∥ AM. Отже, дотична, проведена через кінець радіуса, паралельна даній хорді. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

16. Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля та лінійки побудуйте коло, вписане в цей трикутник. Оскільки центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника, то за допомогою транспортира побудуємо бісектриси кутів A і B. shkola.in.ua Проведемо OP ⊥ AB – це і буде радіус вписаного кола. За допомогою циркуля впишемо коло з центром у т. О радіусом OP. 17. Накресліть кут 80°. За допомогою циркуля, косинця, транспортира та лінійки з поділками впишіть у цей кут коло так, щоб точка дотику до сторін кута містилася на відстані 2 см від його вершини. Будуємо бісектрису кута B. На сторонах кута відкладаємо відрізки BC = BA = 2 см. З точок C і A за допомогою косинця будуємо перпендикуляри до перетину у точці O. За допомогою циркуля впишемо коло з центром у т. O shkola.in.ua радіусом, який дорівнює OA. 18. Центр кола, вписаного у трикутник, лежить на перетині двох медіан трикутника. Доведіть, що трикутник рівносторонній. Нехай BD і CK — медіани, O — центр кола, вписаного в ΔABC. Оскільки O — точка перетину бісектрис, то BD і CK — бісектриси, медіани і висоти, а бісектриси, медіани і висоти співпадають тільки в рівносторонньому трикутнику. Отже, shkola.in.ua ΔABC — рівносторонній.

19. Вписане в рівнобедрений трикутник коло ділить бічну сторону у відношенні 2:3, починаючи від основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 70 см. Нехай ΔABC — рівнобедрений (AB = CB), E, F, D – точки дотику. За умовою EA : EB = 2 : 3. Нехай EA = 2x, EB = 3x. shkola.in.ua Враховуючи рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: PΔABC = AB + BC + CA = (2x + 3x) + (3x + 2x) + (2x + 2x) = 14x. За умовою P = 70 см, отже, 14x = 70 см, x = 5 см. Тоді AB = BC = 2x + 3x = 5x = 5 ∙ 5 = 25 (см), AC = 2x + 2x = 4x = 4 ∙ 5 = 20 (см). Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см.

20. Накресліть прямокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло. ΔABC – прямокутний. O – центр кола – середина гіпотенузи. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

21. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику центр описаного кола належить прямій, що містить висоту трикутника, проведену до основи. Центр описаного кола лежить на серединних перпендикулярах до сторін трикутника. Нехай ΔABC — рівнобедрений (AB = BC), BD ⊥ AC, тоді AD = DC, оскільки висота, проведена до основи, є медіаною. Маємо BD ⊥ AC і AD = DC, отже, DB належить shkola.in.ua серединному перпендикуляру до основи AC. 22. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається із центром кола, вписаного в цей трикутник. Нехай ΔABC — рівносторонній. Точка O — центр вписаного кола в рівносторонній трикутник, отже, точка O — точка перетину shkola.in.ua бісектрис трикутника ABC. Оскільки в рівносторонньому трикутнику бісектриси є висотами і медіанами, то бісектриси лежать на серединних перпендикулярах до сторін трикутника, які перетинаються в т. O. 23. На малюнку точка O — центр кола.

1) ∠1 = 40°. Знайдіть ∠2. 2) ∠2 = 25°. Знайдіть ∠1.

1 1) ∠1 = 40°, ∠2 = ∙ 40° = 20°.

2 2) ∠2 = 25°, ∠1 = 2 ∙ ∠2 = 2 ∙ 25° = 50° shkola.in.ua

24. На малюнку точка O — центр кола. Знайдіть ∠2, якщо: 1) ∠1 − ∠2 = 15°; 2) ∠1 + ∠2 = 54°. ∠1 = 2 ∙ ∠2.

1) ∠1 – ∠2 = 15°; shkola.in.ua 2 ∙ ∠2 – ∠2 = 15°; ∠2 = 15°.

2) ∠1 + ∠2 = 54°; 3 ∙ ∠2 = 54°; ∠2 = 18°.

25. Гострокутний трикутник ABC вписано в коло із центром у точці O. Знайдіть ∠BOC, якщо ∠A = α.

1 ∠А = ◡ВС; 2 ◡ВС = 2∠А = 2α. shkola.in.ua ∠ВОС = ◡ВС = 2α. Відповідь: 2α.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

26. У коло радіуса 2 см вписано кут ABC, що дорівнює 30°. Знайдіть довжину хорди AC. ∠АВС = 30° — вписаний, ◡АС = 2∠АВС = 60°. ∠АОС — центральний, ∠АОС = ◡АС = 60°. △АОС — рівносторонній (АО = ОС, ∠АОС = 60°, ∠ОАС = ∠ОСА = 60°). Отже, АС = АО = 2 см. Відповідь: 2 см.

shkola.in.ua

27. Продовження бісектриси кута A трикутника ABC перетинає коло, описане навколо трикутника, у точці K. Доведіть, що BK = CK. 1 ∠ВАК = ◡ВК; 2 1

shkola.in.ua

∠САК = ◡СК; 2

1

1

∠ВАК = ∠САК за умовою, тоді ◡ВК = ◡СК; 2 2 ◡ВК = ◡СК.

28. Коло поділено чотирма точками на частини, які відносяться як 1 : 2 : 3 : 4, і точки поділу сполучено між собою відрізками. Визначте кути утвореного чотирикутника.

1 + 2 + 3 = 4 = 10. Коло поділили на 10 частин. Стороні АВ чотирикутника відповідає 1 частина, стороні ВС — 2, СD — З і АD — 4 частини. Дуга, що відповідає одній частині, дорівнює 360° : 10 = shkola.in.ua 36°. ∠А спирається на дугу ◡АD = 6 ∙ 36° = 216°.

1 ∠A = ◡AD = 216° : 2 = 108°.

2

1

1

Аналогічно, ∠B = ◡AC = ∙ 7 ∙ 36° = 126°.

1

1

2

2

∠C = ◡BD = ∙ 5 ∙ 36° = 90°.

2 1

2 1

∠D = ◡AC = ∙ 3 ∙ 36° = 54°.

2 2 Відповідь: 108°, 126°, 90°, 54°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

29. Знайдіть геометричне місце точок, з яких даний відрізок MN видно під заданим кутом α. Нехай ММ — даний відрізок. Побудуємо два трикутника MNO1 і MNO2 так, щоб точки О1 і O2 лежали по різні боки від прямої МN і ∠МО1N = ∠МО2N = 2α. Опишемо кола навколо цих трикутників. Розглянемо дугу ◡MAN. З будьякої точки цієї дуги відрізок MN буде видно під тим самим кутом, що вимірюється половиною дуги ◡MSN. Під цим же кутом буде видно відрізок і з точок дуги МВN. З жодної іншої точки, що не лежить на жодній з цих дуг, відрізок не можна бачити під кутом а. Отже, геометричне місце точок, з яких даний відрізок МN видно під кутом а, складається з двох дуг кіл, симетрично розміщених відносно даного відрізка. shkola.in.ua

30. Накресліть відрізок 4 см завдовжки. Побудуйте два кола, центрами яких є кінці заданого відрізка, такі, що: 1) не перетинаються; 2) перетинаються.

1) AB = 4 см. Кола не перетинаються.

shkola.in.ua

2) AB = 4 см. Кола перетинаються.

shkola.in.ua

31. Діаметр більшого з концентричних кіл ділиться меншим колом на три частини, що дорівнюють 3 см, 8 см і 3 см. Знайдіть радіуси кіл. Нехай CA = 3 см, AB = 8 см, BD = 3 см.

AO = AB : 2 = 8 см : 2 = 4 см.

CO = CA + AO = 3 см + 4 см = 7 см. Відповідь: 4 см, 7 см. shkola.in.ua

32. На малюнку зображено концентричні кола, радіуси яких відносяться як 10 : 7. Знайдіть ці радіуси, якщо AB = 12 см. Нехай OB = 10x, OA = 7x.

AB = OB – OA = 10x – 7x = 3x. За умовою 3x = 12 см, x = 4 см. Тоді OB = 10 ∙ 4 = 40 (см), shkola.in.ua OA = 7 ∙ 4 = 28 (см). Відповідь: 40 см, 28 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33. За якого розміщення двох кіл до них можна провести лише три спільні дотичні? Три спільні дотичні можна провести до кіл, які мають зовнішній дотик. shkola.in.ua

34. Відстань між центрами двох кіл, що дотикаються, дорівнює 16 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 5 : 3. Розгляньте всі можливі випадки.

I випадок. Кола мають зовнішній дотик. Нехай O1K = 5x, OK = 3x, тоді 5x + 3x = 16; 8x = 16; x = 2. shkola.in.ua Отже, O1K = 5 ∙ 2 = 10 (см), OK = 3 ∙ 2 = 6 (см). Відповідь: 10 см, 6 см.

II випадок. Кола мають внутрішній дотик. Нехай OK = 5x, O1K = 3x. Тоді O1O = OK – O1K = 5x – 3x = 2x; 2x = 16; x = 8. Отже, OK = 5 ∙ 8 = 40 (см), O1K = 3 ∙ 8 = 24 (см). shkola.in.ua Відповідь: 40 см, 24 см.

35. Накресліть довільний кут A і побудуйте коло із центром у його вершині, радіус якого дорівнює відрізку, зображеному на малюнку. Чи перетинає коло кожну зі сторін кута? Так, перетинає.

shkola.in.ua

36. Побудуйте відрізок, довжина якого вдвічі більша за довжину відрізка на малюнку.

37. Накресліть за допомогою транспортира кут, градусна міра якого дорівнює 80°. Побудуйте (без транспортира) кут, що дорівнює заданому, і його бісектрису. ∠A = 80°.

1) Провести промінь з т. A1; 2) довільним радіусом циркуля провести дуги з т. shkola.in.ua А і т. A1; 3) заміряти циркулем відрізок BC і провести цим радіусом дугу з т. C1; 4) з'єднати т. A1 і т. B1; ∠BAC = ∠B1A1C1; 5) довільним радіусом циркуля провести дуги з т.

B1 і т. C1; 6) з'єднати т. A1 і т. F1; A1F1 — бісектриса ∠B1A1C1, ∠B1A1F1 = ∠FA1C1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38. Накресліть довільний трикутник і проведіть його бісектрису.

1) Довільним радіусом провести дуги з т. A, т. B і т. C; 2) довільним радіусом провести дуги з точок K, L, M, N, F, E; 3) з'єднати т. A з т. P, т. B з shkola.in.ua т. D, т. C з т. Q і продовжити ці промені до перетину. Точка O — точка перетину бісектрис ΔABC. 39. Накресліть гострокутний трикутник та проведіть його медіани. Упевніться в тому, що медіани перетнулися в одній точці.

AK = KB, BM = MC, AN = NC. Точка L — точка перетину медіан ΔABC. shkola.in.ua

40. Накресліть довільний тупий кут. Побудуйте кут, що дорівнює: 1 3 1) від накресленого кута; 2) від накресленого кута.

4 4 ∠A — тупий.

1) Довільним радіусом провести дуги з т. A; 2) довільним радіусом провести дуги з т. B і т. C; з'єднати т. A і т. D; ∠BAD = ∠DAC; 3) радіусом AB = AC провести дугу з т. A, що перетинає AD; shkola.in.ua 4) довільним радіусом провести дуги з точок B і F, F і C; 5) з'єднати т. A з т. M, т. A з т. N; 1 ∠BAM = ∠MAD = ∠DAN = ∠NAC = ∠BAC ⇒ 1

3

4

∠BAM = ∠BAC, ∠MAC = ∠BAC. 4 4 41. За двома даними кутами трикутника побудуйте кут, що дорівнює його третьому куту.

1) На сторонах кута A позначимо точки B і C; з'єднаємо їх; 2) побудуємо ΔOMN = ΔABC, OM = AB, MN = BC, ON = AC; 3) на сторонах кута K позначимо точки F і L; з'єднаємо їх; 4) побудуємо ΔQPE = ΔKFL, KL = PQ, KF = EQ, shkola.in.ua FL = PE; 5) ∠BAC = ∠MON, ∠FKL = ∠EQP; продовжимо OM і QE до перетину; ∠ODQ є шуканим.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

42. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник за його гіпотенузою.

AB = AC, ∠A = 90° ⇒ ∠B = ∠C = 45°; AK ⊥ BC; BK = AK = KC. 1) Накреслити BC; 2) поділити BC навпіл і провести через т. K перпендикуляр; 3) відкласти KA = KB = KC; shkola.in.ua 4) з'єднати т. A з т. B і т. C. ΔABC є шуканим.

43. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом.

1) Накреслити катет AB; 2) на сторонах ∠B провести дугу та позначити точки M і N; 3) по трьом сторонам побудувати ΔBFK = ΔBMN; BF = BN, BK = BM, FK = MN; продовжити промінь BK; 4) від точки A відкласти рівні shkola.in.ua відрізки AE = AL; з точок E і L довільним радіусом провести дуги; 5) з'єднати т. D з т. A і продовжити промінь AD; точка перетину двох променів C — вершина трикутника. ΔABC є шуканим.

44. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою a та радіусом описаного кола R (a < 2R). Скільки розв'язків має задача?

1) Накреслити коло радіусом R; 2) обрати довільну т. А і провести дугу радіусом а; AB = a; 3) опустити перпендикуляр на середину відрізка AB; FK ⊥ AB, AK = KB, т. C — вершина ΔАСВ; 4) продовжити FK до перетину з колом; т. D — вершина ΔADB. Шуканими є трикутники АСВ і ADB. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45. Побудуйте трикутник за двома сторонами та кутом, що лежить проти меншої з них.

AB < AC; ∠C = α.

1) Накреслити відрізок AC; 2) Побудувати ∠C = α; 3) з т. A провести дугу радіусом AB. Точки B1 і В2 — вершина трикутників AB1C і AB2C, які є шуканими. shkola.in.ua

46. Побудуйте рівнобедрений трикутник за кутом між бічними сторонами і бісектрисою, проведеною з вершини кута при основі. Нехай задано кут А при вершині рівнобедреного трикутника ABC та бісектрису BK трикутника.

180° – ∠А

1) Знайдемо кути B i C при основі трикутника; ∠B = ∠C = . Для цього побудуємо 2 ∠MNK = ∠A та суміжний до цього кута кут LNM та побудуємо бісектрису кута LNM — промінь NT. Тоді ∠LNT= ∠B = ∠C.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) NP – бісектриса кута ∠LNT. Тоді ∠PNL = ∠KBC. 3) ∠KBC = 180° – (∠C + ∠KBC). Для побудови кута BKC від розгорнутого кута відкладемо ∠C і ∠KBC; ∠DEF = ∠C; ∠DEG = ∠KBC. Тоді ∠GEH = ∠BKC. 4) Будуємо ∠KBC за стороною і двома прилеглими кутами.

5) ∠KBQ = ∠CBK. 6) CK і BQ перетинаються в точці А.

7) ∆ABC – шуканий.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

47. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і сумою другого катета і гіпотенузи. Нехай задано катет а і суму іншого катета b і гіпотенузи с.

1) Будуємо прямокутний трикутник DCB за двома катетами а і b + с.

2) Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка BD, що перетинає DC у точці А.

3) Тоді AB = AD, а тому AB + AC = AD + AC = b + с, тобто ∆ABC — шуканий трикутник. shkola.in.ua

shkola.in.ua

ТЕМА 11. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ §52. Лінійне рівняння з двома змінними 52.1. Укажіть рівняння, що є рівняннями з двома змінними: 1) х2 – 3ху = 5; 3) 3х + 2y = 5; 5) х + 2х2 = у – 3y2.

52.2. Чи є лінійним рівняння з двома змінними: 1) 4х – 5у = 9; 3) 2х + 11y = 0; 5) 0x + 3y = 12.

52.3. Укажіть рівняння з двома змінними. Які з них є лінійними: Рівняннями з двома змінними є: з них лінійними: 1) 3х – 2y = 5; 1) 3х – 2y = 5; 2 2 2) 2x – 3y = 1; 4) 4x – 0y = 8; 1 1 1 4) 4x – 0y = 8; 6) x + y = .

7 8 9 1 1 1 6) x + y = ; 7 8 9 52.4. Чи є пара чисел розв’язком рівняння х – у = 0: 1) Пара чисел (4; 4) є розв’язком рівняння х – у = 0, бо: 4 – 4 = 0; 0 = 0; 2) пара чисел (–1; 1) не є розв’язком рівняння х – у = 0, бо: –1 – 1 = –2; –2 ≠ 0; 3) пара чисел (0; 0) є розв’язком рівняння х – y = 0, бо: 0 – 0 = 0; 0 = 0.

52.5. Чи є пара чисел х = 2; у = 3 розв’язком рівняння х + у = 5? Знайдіть ще три розв’язки цього рівняння. Пара чисел х = 2; y = 3 є розв’язком рівняння х + y = 5, бо: 2 + 3 = 5; 5 = 5; розв’язком рівняння х + y = 5 є, наприклад, пара чисел х = 1; y = 4, бо: 1 + 4 = 5; 5 = 5; розв’язком рівняння х + у = 5 є, наприклад, пара чисел х = 6; у = –1, бо: 6 + (–1) = 5; 5 = 5; розв’язком рівняння х + y = 5 є, наприклад, пара чисел х = 5; у = 0 є, бо: 5 + 0 = 5; 5 = 5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

52.6. Які з пар чисел (10; 1), (1; 10), (7; 2), (7; –2), (9; 0) є розв’язками рівняння х – у = 9? Пара чисел (10; 1) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 10 – 1 = 9; 9 = 9; пара чисел (1; 10) не є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 1 – 10 = –9; –9 ≠ 9; пара чисел (7; 2) не є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 7 – 2 = 5; 5 ≠ 9; пара чисел (7; –2) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 7 – (–2) = 7 + 2 = 9; 9 = 9; пара чисел (9; 0) є розв’язком рівняння х – у = 9, бо: 9 – 0 = 9; 9 = 9.

52.7. Які з пар чисел (2; 1), (2; –1), (0; 5), (1; 3), (–1; 5) є розв’язками рівняння 2х + у = 5? Пара чисел (2; 1) є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 + 1 = 5; 5 = 5; пара чисел (2; –1) не є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 2 – 1 = 3; 3 ≠ 5; пара чисел (0; 5) є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 0 + 5 = 5; 5 = 5; пара чисел (1; 3) є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ 1 + 3 = 5; 5 = 5; пара чисел (–1; 5) не є розв’язком рівняння 2х + у = 5, бо: 2 ∙ (–1) + 5 = 3; 3 ≠ 5.

52.8. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел (–1; 3): 1) Пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 2х – 17y = 53, бо: 2 ∙ (–1) – 17 ∙ 3 = –2 – 51 = – 53; – 53 ≠ 53; 2) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 3х2 + у2 = 12, бо: 3 ∙ (–1)2 + 32 = 3 + 9 = 12; 12 = 12; 3) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння (х – 3)(у + 2) = –20; бо: ((–1) – 3)(3 + 2) = –4 ∙ 5 = –20; –20 = –20; 4) пара чисел (–1; 3) не є розв’язком рівняння 0x + 4у = –12, бо: 0 ∙ (–1) + 4 ∙ 3 = 12; 12 ≠ –12; 5) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння 0x + 0у = 0, бо: 0 ∙ (–1) + 0 ∙ 3 = 0; 0 = 0; 6) пара чисел (–1; 3) є розв’язком рівняння х2 + 1 = у2 – 7, бо: (–1)2 + 1 = 32 – 7 = 2; 2 = 2.

52.9. Розв’язком яких рівнянь є пара чисел х = 2; у = –1: 1) Пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння 3х + у = 5, бо: 3 ∙ 2 – 1 = 5; 5 = 5; 2) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння х2 + у2 = 3, бо: 22 + (–1)2 = 5; 5 ≠ 3; 3) пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння 2х + 0y = 4, бо: 2 ∙ 2 + 0 (–1) = 4; 4 = 4; 4) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння х(у + 3) = 14, бо: 2 ∙ (–1 + 3) = 2 ∙ 2 = 4; 4 ≠ 14; 5) пара чисел х = 2; у = –1 не є розв’язком рівняння 0x + 0y = 7, бо: 0 ∙ 2 + 0 ∙ (–1) = 0; 0 ≠ 7; 1 6) пара чисел х = 2; у = –1 є розв’язком рівняння x + у = 0, бо: 1

2

∙ 2 – 1 = 0 ; 0 = 0.

52.10. Знайдіть три будь–яких розв’язки рівняння: 1) х + у = –3.

2) х – 2у = 5. Якщо х = 0, то 0 + у = –3; у = –3. Якщо х = 0, то 0 – 2у = 5; 2у = –5; у = –2,5. Якщо x = 3, то 3 + у = –3; у = –6. Якщо х = = 3, то 3 – 2у = 5; 2у = –2; у = – 1. Якщо х = –3 , то –3 + у = –3; у = 0. Якщо х = 5, то 5 – 2у = 5; 2у = = 0; у = 0. Отже, пари чисел (0; –3), (3; –6), (–3 ; 0) є Отже, пари чисел (0; –2,5), (3; –1), (5; 0) є розв’язками рівняння; розв’язками рівняння.

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

52.11. Знайдіть три будь-яких розв’язки рівняння: 1) х – у = 2.

2) х + 3у = 0. Якщо х = 0, то 0 – у = 2; у = –2. Якщо х = 0, то 0 + 3у = 0; 3у = 0; у = 0. Якщо х = 3, то 3 – у = 2; у = 1. Якщо х = 3, то 3 + 3у = 0; 3у = –3; у = –1. Якщо х = –3 , то – 3 – у = 2; у = –5. Якщо х = 6, то 6 + 3у = 0; 3у = –6; у = –2. Отже, пари чисел (0; –2), (3; 1), (–3; –5) є Отже, пари чисел (0; 0), (3; –1), (6; –2 ) є розв’язками рівняння; розв’язками рівняння.

52.12. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел х = 3; у = –2. Пара чисел х – 3 ; у = –2 є розв’язком, наприклад, такого лінійного рівняння з двома змінними 5х + 2у = 11, бо: 5 ∙ 3 + 2 ∙ (–2) = 11; 11 = 11.

52.13. Складіть лінійне рівняння з двома змінними, розв’язком якого є пара чисел (–2; 0). Пара чисел (–2; 0) є розв’язком, наприклад, такого лінійного рівняння з двома змінними 5x + 2у = –10, бо: 5 ∙ (–2) + 2 ∙ 0 = –10; –10 = –10.

52.14. Виразіть з рівняння 5х + у = 7 змінну у через змінну у = 7 – 5х.

52.15. Виразіть з рівняння х – 3у = 9 змінну х через змінну х = 9 + 3у.

52.16. З лінійного рівняння 3х – 2у = 12 виразіть: 1) змінну у через змінну х; 2) змінну х через змінну у.

1) 3х – 2у = 12; 2) 3х – 2у = 12; –2у = 12 – 3х; 3х = 12 + 2у; 2 у = –6 + 1,5х; х = 4 + у.

3 52.17. Виразивши з рівняння змінну у через змінну х, знайдіть два будь-яких розв’язки рівняння: 1) х + у = 29; 2) 5x + у = 7; у = 29 – х. у = 7 – 5х. Якщо х = 0, то у = 29 – 0 = 29. Якщо х = 0, то y = 7 – 5 ∙ 0 = 7. Якщо х = 9, то у = 29 – 9 = 20. Якщо х = 2, то у = 7 – 5 ∙ 2 = –3. Отже, пари чисел (0; 29), (9; 20) є Отже, пари чисел (0; 7), (2; –3) є розв’язками рівняння; розв’язками рівняння.

3) 3x – 2y = 15$ -2y = 15 – 3x; y = (15 – 3x) : (-2); y = 15 : (-2) + (-3x) : (-2); y = -7,5 + 1,5x; y = 1,5x – 7,5. Якщо х = 0, то у = 1,5 ∙ 0 – 7,5 = 7,5. Якщо х = 4, то у = 1,5 ∙ 4 – 7,5 = 1,5. Отже, пари чисел (0; -7,5), (4; -1,5) є розв’язками рівняння.

4) 6у – х = 5; 6у = 5 + х; у = (5 + х) : 6; Якщо х = 1, то у = (5 + 1) : 6 = 6 : 6 = 1. Якщо х = 7, то у = (5 + 7) : 6 = 12 : 6 = 2. Отже, пари чисел (1; 1), (7; 2) є розв’язками рівняння.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

52.18. Виразивши в рівнянні змінну у через змінну х або змінну х через змінну у, знайдіть три будь–яких розв’язки рівняння: 1) х – 2y = –8; 2) 7x – у = 9; х = –8 + 2у.

–у = 9 – 7х; Якщо у = 0, то х = –8 + 2 ∙ 0 = –8. у = 7x – 9. Якщо у = 1, то х = –8 + 2 ∙ 1 = –6. Якщо х = 0, то у = 7 ∙ 0 – 9 = –9. Якщо у = 4, то х = –8 + 2 ∙ 4 = 0. Якщо х = 2, то 7 ∙ 2 – 9 = 5. Отже, пари чисел (–8; 0), (–6; 1), (0; 4) є Якщо х = 4, то у = 7 ∙ 4 – 9 = 19. розв’язками рівняння; Отже, пари чисел (0; –9), (2; 5), (4; 19) є розв’язками рівняння; 3) 3х + 2у = 6; 2y = 6 – 3х; у = 3 – 1,5х.

4) 5x – 7y = 12; 5х = 12 + 7y; х = 1,4у + 2,4. Якщо х = 0,то y = 3 – 1,5 ∙ 0 = 3. Якщо у = 0, то х = 1,4 ∙ 0 + 2,4 = 2,4. Якщо х = 2, то у = 3 – 1,5 ∙ 2 = 0. Якщо у = 5, то х = 1,4 ∙ 5 + 2,4 = 9,4. Якщо х = 4, то у = 3 – 1,5 ∙ 4 = –3. Якщо у = 10, то х = 1,4 ∙ 10 + 2,4 = 16,4. Отже, пари чисел (0; 3), (2; 0), (4; –3) є Отже, пари чисел (2,4; 0), (9,4; 5), (16,4; розв’язками рівняння; 10) є розв’язками рівняння.

52.19. Пара чисел (–5; р) є розв’язком рівняння 2х – у = –13. Знайдіть р. Якщо пара чисел (–5; р) є розв’язком рівняння 2х – у = –13, то: 2 ∙ (–5) – р = –13; –10 – р = – 13; –р = –13 + 10; р = 3.

52.20. Пара чисел (n; –1) є розв’язком рівняння 3х + 5у = 4. 3найдіть n. Якщо пара чисел (n; –1) є розв’язком рівняння 3х + 5y = 4, то: 3n + 5 ∙ (–1) = 4; 3n = 9; n = 3.

52.21. Знайдіть m, якщо пара чисел (–1; –3) є розв’язком рівняння: 1) Якщо пара чисел (–1; –3 ) є розв’язком рівняння 8х + 9у = m, то: 8 ∙ (–1) + 9 ∙ (–3) = m; – 8 – 27 = m; m = –35; 2) якщо пара чисел (–1; –3 ) є розв’язком рівняння mх –2у = –9, то: m ∙ (–1) – 2 ∙ (–3) = –9; –m + 6 = –9; –m = –15; m = 15.

52.22. При якому значенні d пара чисел (2; –1) є розв’язком рівняння: 1) Якщо пара чисел (2; –1) є розв’язком рівняння 7x – 5y = d, то: 7 ∙ 2 – 5 ∙ (–1) = d; 14 + 5 = d; d = 19; 2) якщо пара чисел (2; –1 ) є розв’язком рівняння 3х + dy = 8, то: 3 ∙ 2 + d ∙ (–1) = 8; 6 – d = 8; d = –2.

52.23. Знайдіть два деяких розв’язки рівняння 2(х – у) = 3(х +у) + 4; 2х – 2у = 3х + 3у + 4; 2х – 2у – 3х – 3у = 4; – х – 5у = 4; х = –5y – 4. Якщо у = 0, то х = –5 ∙ 0 – 4 = –4. Якщо y = 2, то х = –5 ∙ 2 – 4 = –14. Отже, пари чисел (–4; 0), (–14; 2) є розв’язками рівняння.

52.24. Серед розв’язків рівняння х + 3у = 20 знайдіть пару рівних між собою чисел. Якщо х = у, то х + 3х = 20; 4х = 20; х = 5. Отже, розв’язком рівняння х + 3у = 20 є, пара чисел (5; 5).

52.25. Знайдіть р, якщо: 1) пара (р; р) є розв’язком рівняння 4х – 9у = –10; 2) пара (р; –р) є розв’язком рівняння 17х + 12у = 105.

1) Якщо пара чисел (р; р) є розв’язком рівняння 4х – 9у = –10, то: 4р – 9р = –10; –5р = –10; р = 2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) якщо пара чисел (р; –р) є розв’язком рівняння 17х + 12у = 105, то: 17p – 12p = 105; 5p = 105; p = 21.

52.26. Знайдіть усі пари натуральних чисел, які є розв’язками рівняння: 1) 2х + у = –7. Якщо х і у — натуральні числа, то сума подвоєного числа х і числа у не може дорівнювати від’ємному числу. Отже, таких пар натуральних чисел немає; 2) 3х + 2у = 5. Якщо х і у — натуральні числа, то х може набирати лише значення 1. Маємо: якщо х = 1, то 3 ∙ 1 + 2у = 5; 2у = 2; у = 1. Розв’язком рівняння є пара чисел (1; 1); 3) х + 7y = 15. Якщо х і у — натуральні числа, то у може набирати лише значення 1 або 2. Маємо: якщо у = 1, то х + 7 ∙ 1 = 15; х = 8; якщо у = 2, то х + 7 ∙ 2 = 15; х = 1. Розв’язком рівняння є пари чисел: (8; 1) або (1; 2); 4) ху = 7. Якщо х і у — натуральні числа, то у може набирати лише значення 1 або 7. Маємо: якщо у = 1, то x ∙ 1 = 7; х = 7; якщо у = 7, то х ∙ 7 = 7; х = 1. Розв’язком рівняння є пари чисел: (7; 1) або (1; 7).

2x + 1 52.27. Функцію задано формулою y = . Заповніть у зошиті таблицю, обчисливши x−6 відповідні значення функції: 2 ∙ (−3) + 1 −6 + 1 5 2 ∙ (−2) + 1 −4 + 1 3 Якщо х = –3, то у = = = . Якщо х = –2, то у = = = . Якщо х = –1, то у = Якщо х = 1, то у =

−3 − 6 2 ∙ (−1) + 1

−1 − 6 2∙1+1 3 1−6 2∙3+1

=

=

−5 7

−9 −2 + 1 −7 3

=– .

5 7

Якщо х = 3, то у = = =– .

3−6 −3 3 x –3 –2 –1 y

5 9

3 8

1 7

1

9

= .

7

Якщо х = 0, то у =

Якщо х = 2, то у =

0 1

–

6

−2 − 6 2∙0+1 1 0−6 2∙1+1 2−6 2∙4+1

= =

−6 5 −4 9

−8 1

=– .

6 5

8

=– .

4 9

Якщо х = 4, то у = = =– .

4−6 −2 2 1 2 3 4 3

–

5

5

–

4

7

–

3

–

9

2

52.28. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (х – 10)2 – х(х + 80) = х2 – 20х + 100 – х2 – 80x = 100 – 100х. Якщо x = –0,83, то 100 – 100x = 100 – 100 ∙ (–0,83) = 100 + 83 = 183; 2) (5m + 3)2 – (5m – 3)2 = (5m + 3 – 5m + 3)(5m + 3 + 5m – 3) = 6 ∙ 10m = 60m.

17 17 Якщо m = – , то 60m = 60 ∙ (– ) = –17.

60 60 52.29. Відомо, що а + b = –1, ab = –6. Знайдіть значення виразів: 1) a2b + ba2 = ab(a + b). Якщо а + b = –1, ab = –6, то ab(a + b) = –6 ∙ (–1) = 6; 2) а2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (а + b)2 – 2ab. Якщо а + b = –1, ab = –6, то (а + b)2 – 2ab = (–1)2 – 2 ∙ (–6) = 13; 3) (а – b)2 = а2 – 2ab + b2 + 2ab – 2ab = а2 + 2ab + b2 – 2ab – 2ab = (а + b)2 – 4ab. Якщо а + b = – 1, ab = –6, то (а + b)2 – 4ab = (–1)2 – 4 ∙ (–6) = 25; 4) а3 + b3 = (а + b)(a2 – ab + b2) = (а + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (а + b)((а + b)2 – 3аb). Якщо а + b = –1, ab = –6, то (а + b)((a + b)2 – 3ab) = –1 ∙ ((–1)2 – 3 ∙ (–6)) = = –1 ∙ ( 1 + 18) = –19.

52.30. Роздрібна ціна підручника для 7 класу складає 180 грн, що на 20 % вище за оптову ціну. Скільки коштуватимуть 28 таких підручників, придбаних для 7 класу, за оптовою  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ціною?

1) 180 ∙ (1 – 0,2) = 180 ∙ 0,8 = 144 (грн) – оптова ціна; 2) 28 ∙ 144 = 4032 (грн) – вартість підручників. Відповідь: 4032 грн.

52.31. Побудуйте графік лінійної функції: 1) y = x + 3; 2) y = –2x + 1; x 0 –3 x 0 1 y

3

0

y

1

–1

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) y = 0,6x + 2; x 0 –5 y

2

–1

4) y = –2. x 0

2

–2

–2

y

shkola.in.ua shkola.in.ua

52.32. Дано два трицифрових числа, сума яких ділиться на 37. Ці числа записали в рядок одне за одним. Доведіть, що одержане в такий спосіб шестицифрове число також ділиться на 37. Нехай abc і mnp — задані числа. За умовою, abc + mnp ділиться на 37. Записавши ці числа в рядок, одержимо число abcmnp = 1000 abc + mnp = 999abc + abc + mnp. Перший доданок ділиться на 37, сума другого й третього ділиться на 37 за умовою, тому і число abcmnp ділиться на 37. §53. Графік лінійного рівняння з двома змінними 53.1. Чи належить графіку рівняння х + у = 6 точка: 1) Точка (5; 1) належить графіку рівняння х + у = 6, бо: 5 + 1 = 6; 6 = 6;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) точка (4; –2) не належить графіку рівняння х + у = 6, бо: 4 – 2 = 2; 2 ≠ 6; 3) точка (1; 6) не належить графіку рівняння х + у = 6, бо: 1 + 6 = 7; 7 ≠ 6; 4) точка (6; 0) належить графіку рівняння х + у = 6, бо: 6 + 0 = 6; 6 = 6.

53.2. Які з точок А(4; 0), В(1; 3), С(3; –1), D(0; 4), Е(5; 1) належать графіку рівняння х – у = 4? Точка A(4; 0) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 4 – 0 = 4; 4 = 4; точка B(1; 3) не належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 1 – 3 = –2; –2 ≠ 4; точка С(3; –1) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 3 + 1 = 4; 4 = 4; точка D(0; 4) не належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 0 – 4 = –4; –4 ≠ 4; точка E(5; 1) належить графіку рівняння х – у = 4, бо: 5 – 1 = 4; 4 = 4.

53.3. Чи проходить графік рівняння 7x + 5у = 25 через точку: 1) Пряма, що є графіком рівняння 7х + 5у = 25 не проходить через точку А(7; –4), бо: 7 ∙ 7 + 5 ∙ (–4) = 49 – 20 = 29; 29 ≠ 25; 2) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 проходить через точку B(5; –2), бо: 7 ∙ 5 + 5 ∙ (–2) = 25; 25 = 25; 3) пряма, що є графіком рівняння 7x + 5y = 25 не проходить через точку С (–1,4; 7), бо: 7 ∙ (–1,4) + 5 ∙ 7 = –9,8 + 35 = 25,2; 25,2 ≠ 25; 4) пряма, що є графіком рівняння 7х + 5y = 25 проходить через точку D(35; –44), бо: 7 ∙ 35 + 5 ∙ (–44) = 245 – 220 = 25; 25 = 25.

53.4. Графіки яких рівнянь проходять через точку Р(–2; 3): 1) Графік рівняння 7х + 9у = 15 не проходить через точку Р(–2; 3), бо: 7 ∙ (–2) + 9 ∙ 3 = –14 + 27 = 13; 13 ≠ 15; 2) графік рівняння 4х – 17у = –59 проходить через точку Р(–2; 3), бо: 4 ∙ (–2) – 17 ∙ 3 = –8 – 51 = –59; –59 = –59; 3) графік рівняння 0x + 5у = 15 проходить через точку Р(–2; 3), бо: 0 ∙ (–2) + 5 ∙ 3 = 0 + 15 = 15; 15 = 15; 1 1 4) графік рівняння х + y = –1 не проходить через точку Р(–2; 3), бо: 1

1

2

1

6

∙ (–2) + ∙ 3 = –1 + = –0,5; –0,5 ≠ –1; 6 2 5) графік рівняння 0x + 0y = 5 не проходить через точку Р(–2; 3), бо: 0 ∙ (–2) + 0 ∙ 3 = 0; 0 ≠ 5; 6) графік рівняння 1,7x + 1,2y = 0,2 проходить через точку Р(–2; 3), бо: 1,7 ∙ (–2) + 1,2 ∙ 3 = –3,4 + 3,6 = 0,2; 0,2 = 0,2.

53.5. Доведіть, що графіки рівнянь 5х – 8у = –66; 0x + 3у = 21 та 7y – 4х = 57 проходять через точку М(–2; 7). Графік рівняння 5х – 8y = –66 проходить через точку М(–2; 7), бо: 5 ∙ (–2) – 8 ∙ 7 = –10 – 56 = –66; –66 = –66; графік рівняння 0x + 3y = 21 проходить через точку М(–2; 7), бо: 0 ∙ (–2) + 3 ∙ 7 = 21; 21 = 21; графік рівняння –4x + 7у = 57 проходить через точку М(–2; 7), бо: –4 ∙ (–2) + 7 ∙ 7 = 8 + 49 = 57; 57 = 57. Отже, графіки рівнянь 5х – 8y = –66, 0x + 3y = 21, і –4х + 7y = 57 проходять через точку М(–2; 7).

53.6. Назвіть дві довільні точки, які належать графіку рівняння 2х – 5у = 20. Графіку рівняння 2х – 5y = 20 належать, наприклад, точки (10; 0) і (5; –2).

53.7. Знайдіть дві точки, які належать графіку рівняння 3х + 2у = 12, і дві точки, які йому не належать. Графіку рівняння 3х + 2y = 12 належать, наприклад, точки (0; 6) і (2; 3), а не належать — 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(6; 4) і (–5; 0).

53.8. Побудуйте графік рівняння: 1) x – y = 5 y=x–5 x 0 5 y –5 0

2) 0,5x + y = 3 y = 3 – 0,5x x 0 6 y 3 0

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) x + 3y = 0 x 𝑦𝑦 =– 3 x 0 3 y 0 –1

4) 0,2x – 0,4y = 2 y = 0,5x – 5 x 0 2 y –5 –4

shkola.in.ua shkola.in.ua

53.9. Побудуйте графік рівняння: 1) x + y = 6 y=6–x x 1 5 y

5

1

2) y – 2x = 0 y = 2x x 0 2 y

 shkola.in.ua

0

4

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) x – 0,5y = 4; 𝑦𝑦 = 2x – 8 x 4 5 y

0

2

4) 2x + 3y = 5; 𝑦𝑦 = x 1 4 y

1

-1

5 –2x 3

shkola.in.ua

shkola.in.ua

53.10. Запишіть яке–небудь лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точку Р( 1; –3). Через точку Р (1 ;–3 ) проходить, наприклад, графік лінійного рівняння з двома змінними х + 3у = –8, бо: 1 + 3 ∙ (–3) = –8; –8 = –8.

53.11. На графіку рівняння 2х + 3у = 7 вибрано точку з абсцисою –4. Знайдіть ординату цієї точки. Якщо точка з абсцисою –4 взята на графіку рівняння 2х +3у = 1, то її ордината дорівнюватиме: 2 ∙ (–4) + 3у = 7; –8 + 3у = 7; 3у = 15; у = 5.

53.12. На графіку рівняння 5х – 7y = 16 взято точку з ординатою –2. Якою є абсциса цієї точки?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо на графіку рівняння 5x – 7y = 16 взята точка з ординатою –2, то її абсциса дорівнюватиме: 5x – 7 ∙ (–2) = 16; 5x + 14 = 16; 5x = 2; x = 0,4.

53.13. Побудуйте графік рівняння: 1) 0x + 2,5y = 12,5; 2) 7x + 0y = –14; 2,5y = 12,5; y = 5 7x = –14; x = –2 x 0 2 x –2 –2 y 0 2 y 5 5

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) 1,9x = 5,7; x = 3 x 3 3 y 0 2

4) 3y = – 7,5; y = –2,5 x 4 5 y –2,5 –2,5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

53.14. Побудуйте графік рівняння: 1) 3x + 0y = –12; 3x = –12; x = –4 x –4 –4 y 0 2

2) 0x – 1,2y = 3,6; 1,2y = –3,6; y = –3 x –4 0 y

 shkola.in.ua

–3

–3

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) 1,8y = 7,2; y = 4 x –4 0 y 4 4

4) 4x = 6; x = 1,5 x 1,5 1,5 y

0

2

shkola.in.ua shkola.in.ua

53.15. Запишіть рівняння, графіки яких зображено на малюнках. На малюнку 1 зображено графік рівняння х = 2, на малюнку 2 – у = 4, на малюнку 3 — у = –3, на малюнку 4 — х = –1.

53.16. При якому значенні m графік рівняння: 1) 5х + 7y = m проходить через початок координат; 2) mх – 2y = 14 проходить через точку (2; –3); 3) 3х – 4у = m + 2 проходить через точку (–1; 5)?

1) Якщо графік рівняння 5х + 7у = m проходить через початок координат, то х = у – 0. Маємо: 0 + 0 = m. Отже, m = 0; 2) якщо графік рівняння mх + 2у = 14 проходить через точку (2; –3), то: 2m – 6 = 14; 2m = 20; m = 10; 3) якщо графік рівняння 3х – 4у = m + 2 проходить через точку (–1 ; 5), то: 3 ∙ (–1) – 4 ∙ 5 = m + 2; – 3 – 20 = m + 2; m = –3 – 20 – 2; m = –25.

53.17. He виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь з осями координат: 1) Якщо у = 0, то х + 7 ∙ 0 = –21; х = –21. Отже, графік рівняння х + 7y = –21 перетинає вісь х у точці (–21; 0). Якщо х = 0, то 0 + 7y = –21; 7у = –21; у = –3. Отже, графік рівняння х + 7y = –21 перетинає вісь у у точці (0; –3);

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) якщо у = 0, то 5х – 3 ∙ 0 = 15; 5х = 15; х = 3. Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15 перетинає вісь х у точці (3; 0). Якщо х = 0, то 5 ∙ 0 – 3у = 15; 3у = –15; у = –5. Отже, графік рівняння 5х – 3у = 15 перетинає вісь у у точці (0; –5).

53.18. He виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь з осями координат: 1) Якщо у = 0, то 3х + 0 = 18; 3х = 18; х = 6. Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає вісь х у точці (6; 0). Якщох = 0, то 3 ∙ 0 + у = 18; у = 18. Отже, графік рівняння 3х + у = 18 перетинає вісь у у точці (0; 18); 2) якщо у = 0, то –7x – 2 ∙ 0 = 28; –7x = 28; х = –4. Отже, графік рівняння –7x – 2у = 28 перетинає вісь х у точці (–4; 0). Якщо х = 0, то –7 ∙ 0 – 2у = 28; –2у = 28; у = –14. Отже, графік рівняння –7х – 2у = 28 перетинає вісь у у точці (0; –14).

53.19. Побудуйте графік рівняння: x y 1 1) 2(x + y) – 3y = 1; 2) – = | ∙ 6; 2 3 6 2x + 2y – 3y = 1; 3x –1 3x – 2y = 1; 𝑦𝑦 = 2x – y = 1; 𝑦𝑦 = 2x – 1 2 x 1 3 x 0 2 y 1 4 y –1 3

shkola.in.ua shkola.in.ua

53.20. Побудуйте графік рівняння: 1) 5(x – y) – 4(x + y) = –7; 5x – 5y – 4x – 4y = –7; x – 9y = –7 7+x 𝑦𝑦 = 9 x –7 2 y

0

1

x

y

2) + = 1 | ∙ 6; 3 2 2x + 3y = 6 6 – 2x 𝑦𝑦 = 3 x 0 3 y 2 0

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua shkola.in.ua

53.21. He виконуючи побудови, визначте, у яких координатних кутах розташовується графік рівняння: 1) 2х – 6у = 0; 2x = 6у; х = 3у. З рівності х = 3у слідує, що х і у набувають значень з однаковими знаками. Отже, графік рівняння 2х – 6у = 0 розміщений у І і III координатних чвертях; 2) 3х + у = 0; у = –3х. З рівності у = –3х слідує, що х і у набувають значень з протилежними знаками. Отже, графік рівняння 3х + у = 0 розміщений у II і IV координатних чвертях; 3) 1,9х = 190; х = 100. Графіком рівняння 1,9х = 190 є пряма, яка проходить через точку (100; 0) паралельно осі у і розміщена у І і IV координатних чвертях; 4) –8y = 720; у = –90. Графіком рівняння –8у = 720 є пряма, яка проходить через точку (0; –90) паралельно осі х і розміщена у III і IV координатних чвертях.

53.22. Побудуйте в одній системі координат графіки рівнянь 2x + 3y = 6 і 4x + 6y = 8. Чи перетинаються ці графіки?

2x + 3y = 6 x 0 3 y

2

0

4x + 6y = 8 x y

2 0

shkola.in.ua

5 –2

Графіки рівнянь 2x + 3y = 6 і 4x + 6y = 8 не перетинаються.

53.23. Побудуйте графік рівняння:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html x –3

y+4

7

+ = | ∙ 15; 3 15 3(x – 3) + 5(y + 4) = 7; 3x – 9 + 5y + 20 = 7; 3x + 5y = –4; −3x – 4 𝑦𝑦 = 5 3x + 5y = –4 5

x

2

–3

y

–2

1

shkola.in.ua

1

53.24. Пряму пропорційність задано формулою у = – х. Знайдіть: 4 1) значення у, якщо х = –8; 0; 12; 20; 2) значення х, якщо у = –2; 3; 10.

1 1 Якщо х = –8 , то у = – ∙ (–8) = 2; y = –2, якщо: –2 = – х; х = 8; у = 3, 1

4

якщо х = 0,то у = – ∙ 0 = 0; 4

1

якщо x = 12, то у = – ∙ 12 = –3; 4 1

1

4

якщо: 3 = – х; х = –12; у = 10, 4

1

якщо: 10 = – x; х = –40.

4

якщо x = 20, то y = – ∙ 20 = –5; 4 53.25. Подайте у вигляді многочлена: 1) 64а2 – (8а – 1)2 + 14а = 64а2 – 64а2 + 16а – 1 + 14а = 30а – 1; 2) m2 + 4n2 – (m + 2n)2 – 12mn = m2 + 4n2 – m2 – 4mn – 4n2 – 12mn = –16mn; 3) 2m(m – 5) – (m – 5)2 = 2m2 – 10m – m2 + 10m – 25 = m2 – 25; 4) (х – 3)(х + 5) – (х + 1)2 = х2 + 5х – 3х – 15 – x2 – 2х – 1 = –16.

53.26. Автомобіль і автобус одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів A і В, відстань між якими 240 км. Швидкість автомобіля на 20 км/год більша за швидкість автобуса. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість автомобіля, якщо вони зустрілися через 2 год після виїзду, при цьому автомобіль зробив на шляху півгодинну зупинку. Нехай швидкість автобуса х км/год, тоді швидкість автомобіля (х + 20) км/год. Відстань, яку проїхав автобус до зустрічі, дорівнює 2х км, а автомобіль — 1,5(х + 20) (км). (x + 20)(2 – 0,5) = 1,5(х + 20) = (1,5x + 30) (км). Рівняння: 2x + 1,5(х + 20) = 240; 2x + 1,5x + 30 = 240; 3,5x = 210; x = 210 : 3,5; x = 60 (км/год) – швидкість автобуса Швидкість автомобіля дорівнює 60 + 20 = 80 (км/год). Відповідь: 60 км/год і 80 км/год.

53.27. Відомо, що маса новонародженої дитини в середньому має становити 3 кг 300 г. Якщо батько дитини є курцем, то її маса буде на 125 г меншою від середньої, якщо ж курить мати, – меншою на 300 г. Визначте, скільки відсотків маси втрачає дитина при народженні, якщо: 1) курить її батько; 2) курить її мати. Відповідь округліть до 3300 г – 100%; цілих відсотків.

125 г – х%.

3300 г – 100%; 3300 100 300 г – х%. = ; 125 х 3300 100 125 ∙ 100 = ; 300 х х= = 3,(78) = 4% – втрачає дитина.

3300 300 ∙ 100 х= = 9,(09) = 9% – втрачає дитина.

3300

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

53.28. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій у = 0,5х + 2 і у = 5 – х. По графіку знайдіть координати точки їх перетину. у = 0,5х + 2 x

–4

2

y

0

3

у=5–х x

0

5

y

5

0

shkola.in.ua

А(2; 3) – точка перетину.

53.29. Доведіть, що для будь-якого значення х значення виразу х8 – х5 + х2 – х + 1 є числом додатним. Розглянемо вираз x8 – x5 + x2 – x + 1.

1) Якщо х ≤ 0, то х8 ≥ 0, x5 ≤ 0, тоді –x5 ≥ 0, x2 ≥ 0, x ≤ 0, тоді –x ≥ 0,1 > 0. Отже, x8 + (–x5) + x2 + (–x) + 1 > 0 ; 2) 0 < x ≤ 1. Врахувавши, що якщо 0 < x ≤ 1,то 0 < xn ≤ 1, одержимо: х8 – x5 + х2 – x + 1 = х8 + x2(1 – х3) + (1 – x).

1 – x3 ≥ 0,1 – x ≥ 0, x8 > 0, x2 > 0, тому х8 – х5 + х2 – х + 1 > 0; 3) якщо x > 1, то xn > 1. x8 – x5 + x2 – x + 1 = x5(x3 – 1) + х( x – 1) + 1. Отже, x5 > 1, x3 – 1 > 0, х > 0, х – 1 > 0, тому x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0. Отже, x8 – x5 + x2 – х + 1 > 0 для будь-якого значення х. §54. Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок.

54.1. Яка з даних систем є системою двох лінійних рівнянь з двома змінними: Системою двох лінійних рівнянь з двома змінними є: 3x + 2y = 5, 2) � 7x – 4y = 3.

54.2. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел: 1) Пара чисел (3; 4) не є розв’язком системи x + y = 7, бо: x − y = 3 − 4 = −1; −1 ≠ 1; � x − y = 1.

2) Пара чисел (4; 3) є розв’язком системи x + y = 7, 7 = 7, 4 + 3 = 7, бо: � � � x − y = 1, 4 − 3 = 1, 1 = 1; 3) Пара чисел (6; 1) не є розв’язком системи x + y = 7, бо: x − y = 6 − 1 = 5; 5 ≠ 1. � x − y = 1.

54.3. Яка з даних пар чисел є розв’язком системи 1) Пара чисел (5; 0) не є розв’язком системи x + y = 5, бо: x + y = 5 + 0 = 5; 5 ≠ 1; � x − y = 1,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) Пара чисел (2; 3) не є розв’язком системи x + y = 5, бо: x + y = 2 + 3 = 5; 5 ≠ 1; � x − y = 1, 3) Пара чисел (3; 2) є розв’язком системи x + y = 5, 3 + 2 = 5, � � x − y = 1; 3 − 2 = 1.

54.4. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображено на малюнку 54.4? На малюнку 54.5? Система, графіки рівнянь якої зображено на мал. 54.4, має єдиним розв’язком пару чисел (–2 ; 1), а на мал. 54.5 — не має жодного розв’язку, бо графіки рівнянь є паралельними прямими.

54.5. Чи є пара чисел (−2; 1) розв’язком системи: 1) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи x + 2y = 0, −2 + 2 = 0, 0 = 0, бо: � � � 3 · (−2) − 7 · 1 = −13; −13 = −13.

3x − 7y = 13 2) Пара чисел (−2; 1) не є розв’язком системи 5x + 7y = −3 бо: 9 · (−2) − 11 · 1 = −18 − 11 = −29; −29 ≠ −29; � 9x − 11y = 29.

3) Пара чисел (−2; 1) є розв’язком системи 2 · (−2) = 5 − 9 · 1 , −4 = −4, 2x = 5 − 9𝑦𝑦 , бо: � � � 7y − 12x = 31 7 · 1 − 12 · (−2) = 31, 31 = 31.

54.6. Яка з пар (3; −4), (7; 2), (4; −3) є розв’язком системи: 1) Пара чисел (4; −3) є розв’язком системи 2x − 3y = 17, 2 · 4 − 3 · (−3) = 8 + 9 = 17, 17 = 17, бо: � � � 5x − 2y = 14, 5 · 4 + 2 · (−3) = 20 − 6 = 14, 14 = 14; 2) Пара чисел (7; 2) є розв’язком системи 2x − 7y = 0, 2 · 7 − 7 · 2 = 14 − 14 = 0, 0 = 0, бо: � � � 3x − 5y = 31, 3 · 7 + 5 · 2 = 21 + 10 = 31; 31 = 31.

54.7. Складіть систему лінійних рівнянь з двома змінними, розв’язком якої є пара чисел: 1) (1; −3); 2) (4; 5).

1) Пара чисел (1; −3) є розв’язком, наприклад, такої системи лінійних рівнянь з двома змінними: 3x + 2y = −3, 3 · 1 + 2 · (−3) = −3, бо: � � 5x − y = 8, 5 · 1 − (−3) = 8; 2) Пара чисел (4; 5) є розв’язком, наприклад, такої системи лінійних рівнянь з двома змінними: 3x + 2y = 22, 3 · 4 + 2 · 5 = 22, бо: � � 5x − y = 15, 5 · 4 − 5 = 15; 54.8. Знайдіть координати точки перетину прямих, зображених на малюнку. Запишіть відповідну систему рівнянь. Перевірте розв’язок, підставивши координати знайденої точки в кожне з рівнянь. Координати точки перетину прямих x + y = 1 і 2x − y = −4 дорівнюють (−1; 2) і є розв’язком системи x + y = 1, −1 + 2 = 1, 1 = 1, бо: � � � 2x − y = −4, 2 · (−1) − 2 = −4; − 4 = −4.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

54.9. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) Побудуємо графіки рівнянь на одній координатній площині: y = −x x 0 3 y 0 −3

x y

y=4+x −2 2

shkola.in.ua

0 4

Графіки перетинаються в точці C(−2; 2). Розв’язком системи є пара чисел (−2; 2).

2) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: y = 2x x 0 2 y 0 4

x y

y = 3+ x 0 3

shkola.in.ua

2 5

Графіки перетинаються в точці K(3; 6). Розв’язком системи є пара чисел (3; 6).

3) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: x+y=2 x 1 0 y 1 2

x y

x + 2y = −1 −1 −3 0 1

shkola.in.ua

Графіки перетинаються в точці N(5; −3). Розв’язком системи є пара чисел (5; −3).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині 2x – y = 1 x 0 2 y −1 3

x y

x–y=4 0 −4

shkola.in.ua

4 0

Графіки перетинаються в точці M(−3; −7). Розв’язком системи є пара чисел (−3; −7).

54.10. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: y=x x 0 2 y 0 2

x y

y=6−x 2 4

shkola.in.ua

3 3

Графіки перетинаються в точці F(3; 3). Розв’язком системи є пара чисел (3; 3).

2) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині y = −2x x 0 2 y 0 −4

x y

y=4−x 0 4

shkola.in.ua

2 2

Графіки перетинаються в точці E(−4; 8). Розв’язком системи є пара чисел (−4; 8).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: x–y=1 x 1 2 y 0 1

shkola.in.ua

x – 2y = 4 x 0 4 y −2 0 Графіки перетинаються в точці P(−2; −3). Розв’язком системи є пара чисел (−2; −3).

4) Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині: 3x + y = 7 x 1 2 y 4 1

shkola.in.ua

x+y=3 x 0 3 y 3 0 Графіки перетинаються в точці P(2; 1). Розв’язком системи є пара чисел (2; 1).

54.11. Пара (2; −5) є розв'язком системи рівнянь. Знайдіть a і b. Якщо пара чисел (2; −5) є розв'язком: 2 · 2 + b · (−5) = 5, 2x + by = 5, 4 − 5b = 5, −5b = 1, b = −0,2, то: � � � � � ax − 6y = 13, a · 2 − b · (−5) = 13; 2a + 30 = 13; 2a = −17; a = −8,5.

54.12. Знайдіть a і b, якщо пара (10; −2) є розв'язком системи рівнянь. Якщо пара чисел (10; −2) є розв'язком: a · 10 − 5 · (−2) = 17, 10a + 10 = 17, 10a = 7, a = 0,7, ax + 5y = 17, то: � � � � � 3x − by = 9, 3 · 10 + b · (−2) = 9; 30 + 2b = 9; 2b = 21; b = 10,5.

54.13. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x + 3y = 13 x 5 –1 y 1 5 shkola.in.ua

3x – y = 3 x 1 0 y 0 −3 Графіки перетинаються в точці E(2; 3). Розв'язком системи є пара чисел (2; 3);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x + 7y = 12 x 6 −1 y 0 2 shkola.in.ua

3x − 2y = −7 x 1 −3 y 5 –1 Графіки перетинаються в точці O(−1; 2). Розв'язком системи є пара чисел (−1; 2).

54.14. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x − 3y = −10 x −2 −5 y 2 0

x y

shkola.in.ua

6x − y = 2 0 1 −2 4

Графіки перетинаються в точці F(1; 4). Розв'язком системи є пара чисел (1; 4).

2) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x + 5y = −4 x 3 −2 y −2 0

shkola.in.ua

7x − 2y = 25 x 3 5 y –2 5 Графіки перетинаються в точці E(3; −2). Розв'язком системи є пара чисел (3; −2).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

54.15. З’ясуйте, чи має система розв’язки і скільки: 1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x − y = 5 x 0 2 y −5 −1

shkola.in.ua

3x + y = 7 x 1 3 y 4 −2 Прямі перетинаються в точці E, отже, 2𝑥𝑥 − y = 5, система � має єдиний 3x + y = 7 розв’язок; 0,5x − y = 4 | · (−2), −x + 2y = −8, 2) система � має безліч розв’язків; � −x + 2y = −8 −x + 2y = −8 x + 5y = 7, x + 5y = 7, x + 5y = 76, 3) система � не має розв'язків; � � y = −0,2x 0,2x + y = 0 | · 5; x + 5y = 7 4) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. x + 2y = 0 x 2 −2 y –1 1 2x + y = 0 x –1 1 y 2 −2 Прямі перетинаються у початку координат, отже, система x + 2y = 0, має єдиний розв'язок; � 2x + y = 0 54.16. Чи має система розв’язки і скільки: 1) побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. x+y=7 x 3 5 y 4 2

x y

3x − y = 0 0 0

1 3

 shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x + y = 7, Графіки перетинаються в точці F, отже, система � має єдиний розв'язок; 3x − y = 0 x − 2y = 5 | · 2, 2x − 4y = 10 2) система � не має розв'язку; � 2x − 4y = 7 2x − 4y = 7 x = 2y | · 1,5, 1,5x − 3y = 0, 3) система � має безліч розв'язків; � 1,5x − 3y = 0 1,5x − 3y = 0 54.17. Розв’яжіть графічно систему рівнянь. Перевірте, чи є одержаний розв’язок точним.

1 2 Чи є розв’язком даної системи пара чисел (−2 ; 1 )?

9 9 Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині.

2x + y = −3 x –1 0 y −1 −3

x y

x + 5y = 4 4 −1 0 1

shkola.in.ua

Наближеним розв’язком системи є: x ≈ −2,1; y ≈ 1,2.

2x + y = −3, 2 · (−2,1) + 1,2 = −3, −3 = −3, � � � x + 5y = 4; 3,9 ≠ 4. −2,1 + 5 · 1,2 = 4; 1 2 Отже, пара чисел (−2,1; 1,2) не є розв’язком системи. Пара чисел (−2 ; 1 ) є 19

11

38

9

9

9

9 11

27

= − + = − = −3, 2 · (− ) + 2x + y = −3, 9 9 9 9 9 розв’язком системи � бо: � 19 11 19 55 36 x + 5y = 4; = − + = = 4; − + 5 · 9

9

9

−3 = −3, � 4 = 4.

54.18. Розв’яжіть графічно систему рівнянь. Перевірте, чи є одержаний розв’язок точним. Чи є розв’язком даної системи пара чисел (1,9; 1,7)? Побудую графіки рівнянь на одній координатній площині. x + 3y = 7 x 1 −2 y 2 3

x y

3x − y = 4 0 −4

shkola.in.ua

2 2

Наближеним розв’язком системи є: x ≈ 1,9; y ≈ 1,8.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x + 3y = 7, 1,9 + 3 · 1,8 = 7, 7,3 ≠ 7, � � � 3x + y = 4; 3 · 1,9 − 1,8 = 4; 3,9 ≠ 4. Отже, пара чисел (1,9; 1,8) не є розв’язком системи. Пара чисел (1,9; 1,7) є розв’язком системи: x + 3y = 7, 1,9 + 3 · 1,7 = 1,9 + 5,1 = 7, 7 = 7, бо: � � � 3x − y = 4; 3 · 1,9 − 1,7 = 5,7 − 1,7 = 4; 4 = 4.

54.19. Не виконуючи побудови, доведіть, що система рівнянь не має розв’язків. x − 7y = 8 | · (−4), −4x + 28y = −32 Система � не має розв’язків. � −4x + 28y = −31; −4x + 28y = −31; 54.20. Не виконуючи побудови, доведіть, що система рівнянь має безліч розв’язків.

2x + 5y = 18 | · (−1,5), −3x − 7,5y = −27, Система � має безліч розв’язків. � −3x − 7,5y = −27; −x − 7,5y = −27; 54.21. Знайдіть які-небудь розв’язки системи. Скільки всього розв’язків вона має? Розв’яжіть її.

3x + y = 5, Розв’язком системи � є, наприклад, пара (1; 2), −9x − 3y = −15 5 = 5, 3 · 1 + 2 = 5, бо: � � −9 · 1 − 3 · 2 = −15 −15 = −15; 3x + y = 5 | · (−3), −9x − 3y = −15, Система � має безліч розв’язків. � −9x − 3y = −15; −9x − 3y = −15; Виразимо з першого рівняння першої системи змінну y через змінну x: y = 5 − 3x. Розв’язком системи є будь-яка пара чисел, яка є розв’язком рівняння y = 5 − 3x.

54.22. Розв’яжіть систему рівнянь: 3x − 2y = 5 | · (−2), −6x + 4y = −10, має безліч розв’язків.

1) Система � � −6x + 4y = −10; −6x + 4y = −10; Виразимо з першого рівняння першої системи змінну y через змінну x: 2y = 3x – 5; y = 1,5x − 2,5. Розв’язком системи є будь-який розв’язок рівняння: y = 1,5x − 2,5; x + 3y = −4 | · 3, 3x + 9y = −12, 2) Система � не має розв’язків. � 3x + 9y = 12; 3x + 9y = 12; 54.23. До рівняння x + 3y = 5 доберіть друге рівняння так, щоб одержана система рівнянь мала: x + 3y = 5, має єдиний розв’язок; 1) Система рівнянь � 0x + 3y = 15 x + 3y = 5, x + 3y = 5, 2) Система рівнянь � має безліч розв’язків � x + 3y = 5 | · 3 3x + 9y = 15 54.24. До рівняння 2x − y = 7 доберіть друге рівняння так, щоб одержана система рівнянь не мала розв’язків. Система не має розв’язків, коли коефіцієнти при невідомих пропорційні, а вільні члени з 2x − y = 7, 2x − y = 7, ними — непропорційні. Наприклад, системи рівнянь � не � 2x − y = 8 4x − 2y = −5 мають розв’язків.

54.25. Які з точок A(4; −2), B(0; 0), C(−1; −5), D(1; 2) належать графіку прямої пропорційності: 1 1) графіку прямої пропорційності, заданої формулою y = − x належать точка 1

1

2

A (4; −2) : −2 = − · 4; −2 = −2 і точка B (0; 0): 0 = − · 0; 0 = 0; 2 2 2) графіку прямої пропорційності, заданої формулою y = 5x, належить точка B (0; 0): 0 = 5 · 0; 0 = 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

54.26. Спростіть вираз: 1) 7m(m – 3) – 3(m – 2)(m + 2) = 7m2 – 21m – 3m2 + 12 = 4m2 – 21m + 12; 2) (1 – 2х)(2x + 1) – (3x – 1)2 = 1 – 4х2 – 9х2 + 6х – 1 = –13x2 + 6х; 3) (2х + 3у)2 – (х + 3у)(2х – у) = 4х2 + 12ху + 9у2 – 2х2 + ху – 6ху + 3у2 = 2х2 + 7xy + 12у2; 4) (4а – 5b)(5b + 4а) – (2а – 5b)2 = 16а2 – 25b2 – 4а2 + 20аb – 25b2 = 12а2 + 20ab – 50b2.

54.27. Доведіть, що вираз –x2 + 8х – 17 при будь–яких значеннях х набуває лише від’ємних значень. Якого найбільшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х? Вираз –x2 + 8x – 17 = –((х2 – 8х + 16) +1) = –((х – 4)2 + 1) = –(х – 4)2 – 1 — набуває лише від’ємних значень. Найбільшого значення –1 вираз набуває при х = 4.

54.28. Тариф на послуги таксі в одній з компаній-перевізників формується так: пасажир сплачує по 6 грн за кожний кілометр шляху та додатково 30 грн за приїзд машини. Задайте формулою залежність витрат р (у грн) на одну поїздку від довжини шляху S (у км). р = 30 + 6s.

54.29. Виразіть з рівняння змінну у через х або х через у: 1) х – 4у = –5; 2) 8х – у = 1; 3) 2х – 3y = 5; 4) 3x + 5у = –10; х = 4у – 5. у = 8х – 1.

2х = 5 + 3у; 3х = –10 – 5у; х = (5 + 3у) : 2. х = (–10 – 5у) : 3.

2025 54.30. Припустимо, що вираз (4 – 3х) подано у вигляді многочлена. Знайдіть суму коефіцієнтів цього многочлена. Сума коефіцієнтів многочлена аnxn + an–1xn–1 + .... + а2х2 + а1х + а0 дорівнює значенню многочлена для х = 1. Тому для многочлена (4 – 3х)2025 сума коефіцієнтів дорівнюватиме його значенню при х = 1, тобто (4 – 3 ∙ 1)2025 = 12025 = 1. Відповідь: 1. §55. Розв`язування систем способом підстановки 55.1. У якій з рівностей 1) − 3) правильно виконано підстановку для розв’язування системи рівнянь. x = 7y − 5, Для розв’язування системи рівнянь � правильно виконано підстановку у 2x + 3y = 9 рівності 3) 2(7y − 5) + 3y = 9.

55.2. Яка з рівностей є правильно застосованою підстановкою для розв’язування системи рівнянь y = 4x + 3, Для розв’язування системи рівнянь � правильно виконано підстановку в 7x + 2y = 9 рівності 3) 7x + 2(4x + 3) = 9.

55.3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: 7x = 21 | ∶ 7, x = 3, x = 3, x = 3, x = 3, 1) � � � � � 2x − 3y = 3; 2 · 3 − 3y = 3; 6 − 3y = 3; −3y = −3; y = 1; Відповідь: (3; 1).

6x − y = 17, 6x − y = 17, 6x + 5 = 17, 6x = 12, x = 2, 2) � � � � � y = −5; y = −5. y = −5; −2y = 10 | ∶ (−2); y = −5; Відповідь: (2; −5).

55.4. Розв’яжіть систему рівнянь: x = y + 2, x = y + 2, x = y + 2, x = y + 2, x = −1, 1) � � � � � y = −3. x − 2y = 5; y + 2 − 2y = 5; y − 2y = 5 − 2; y = −3; Відповідь: (−1; −3).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

y = x − 3, y = x − 3, y = x − 3, � � 5x + 2y = 29; 5x + 2(x − 3) = 29; 5x + 2x − 6 = 29; y = x − 3, y = x − 3, y = x − 3, y = 5 − 3, y = 2, � � � � � 5x + 2x = 29 + 6; 7x = 35; x = 5; x = 5; x = 5. Відповідь: (5; 2).

55.5. Знайдіть розв’язок системи: −4x = 8 | ∶ (−4), x = −2, x = −2, x = −2, x = −2, 1) � � � � � 5(−2) − 2y = 4; −10 − 2y = 4; 2y = 14; 5y = −7.

5x − 2y = 4; Відповідь: (−2; −7); y = x + 5, y = x + 5, y = x + 5, 2) � � � 7x + 3y = −5; 7x + 3(x + 5) = −5; 7x + 3x + 15 = −5; y = x + 5, y = x + 5, y = x + 5, y = 3, � � � � x = −2; 7x + 3x = −5 − 15; 10x = −20; x = −2. Відповідь: (−2; 3).

55.6. Знайдіть розв’язок системи: x + y = 7, y = 7 − x, y = 7 − x, y = 7 − x, y = 5, 1) � � � � � 2x + y = 9; 2x + 7 − x = 9; x + 7 = 9; x = 2; x = 2. Відповідь: (2; 5); x − y = −2, x = y − 2, x = y − 2, x = y − 2, 2) � � � � x − 2y = 5; y − 2 − 2y = 5; y − 2y = 5 + 2; y = −7; x = −7 − 2, x = −9, � � y = −7; y = −7. Відповідь: (−9; −7); y = x, y = x, y = x, y = 3, y − x = 0, 3) � �4x + x = 15; �5x = 15; �x = 3; � 4x + y = 15; x = 3. Відповідь: (3; 3).

5x + 2y = 2, 5x + 2y = 2, 5(2y + 10) + 2y = 2, 10y + 50 + 2y = 2, 4) � � � � x − 2y = 10; x = 2y + 10; x = 2y + 10; x = 2y + 10; y = −4, 10y + 2y = 2 − 50, 12y = −48, y = −4, � � � � x = 2y + 10; x = 2(−4) + 10; x = 2. x = 2y + 10; Відповідь:(2; −4). x = 3y + 7, x − 3y = 7, x = 3y + 7, 5) � � � 2x − 3y = − 3; 2(3y + 7) − 3y = −3; 6y + 14 − 3y = −3; 2) �

17

x = 3y + 7, x = 3y + 7, x = 3y + 7, x = 3 �− 3 � + 7, x = −10, 17 17 � � � � � 17 y = − .

6y − 3y = − 3 − 14; 3y = −17; y = − ; y = − ; 3 17

3

3

Відповідь: (−10; − ).

3 5x − 3y = −19, 5x − 3y = −19, 5x − 3(−1 − 2x) = −19, 6) � � � 2x + y = −1; y = −1 − 2x; y = −1 − 2x; x = −2, x = −2, 5x + 3 + 6x = −19, 11x = −22, � � � � y = −1 − 2x; y = −1 − 2(−2); y = 3. y = −1 − 2x; Відповідь: (−2; 3).

55.7. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: x + y = 4, y = 4 − x, y = 4 − x, y = 4 − x, y = 3, 1) � � � � � 3x + y = 6; 3x + 4 − x = 6; 2x = 2; x = 1; x = 1. Відповідь: (1; 3).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x = y, x = y, x = y, x − y = 0, x = −8, �x − 2y = 8; �−y = 8; �y = −8; � y = −8; x − 2y = 8; Відповідь: (−8; −8). y − x = −5, y = x − 5, y = x − 5, y = x − 5, 3) � � � � 2x + y = 4; 2x + x − 5 = 4; 2x + x = 4 + 5; 3x = 9; y = x − 5, y = − 2, � � x = 3; x = 3; Відповідь: (3; −2).

3x − 2y = 6, 3x − 2y = 6, 3(2 − 2y) − 2y = 6, 6 − 6y − 2y = 6, 4) � � � � x + 2y = 2; x = 2 − 2y; x = 2 − 2y; x = 2 − 2y; −6y − 2y = 6 − 6, 8y = 0, y = 0, � � � x = 2 − 2y; x = 2 − 2y; x = 2. Відповідь: (2; 0).

55.8. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х + у = 4 і 2х + 3у = 9. Щоб знайти координати точки перетину графіків рівнянь x + у = 4 і 2x + 3у = 9, потрібно розв’язати систему: x = 4 − y, x + y = 4, x = 4 − y, � � � 2x + 3y = 9; 2(4 − y) + 3y = 9; 8 − 2y + 3y = 9; x = 4 − y, x = 4 − y, x = 3, � � � y = 1. −2y + 3y = 9 − 8; y = 1; Відповідь: (3; 1).

55.9. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь х – у = 3 і 3х + 2у = 14. Щоб знайти координати точки перетину графіків рівнянь x – у = 3 і 3x + 2у = 14, досить розв’язати систему рівнянь: x = 3 + у, x – у = 3, x = 3 + у, � � � 3x + 2у = 14; 3(3 + у) + 2у = 14; 9 + 3у + 2у = 14; x = 3 + у, x = 3 + у, x = 4, x = 3 + у, � � � � y = 1; 3у + 2у = 14 – 19; 5у = 5; y = 1; Відповідь: (4; 1).

55.10. Розв’яжіть систему рівнянь: 2) �

4

x = − y, 3x + 4y = 0, 3x = −4y, 3 1) � � � 2x − 7y = 29; 2x − 7y = 29; 2(− 4 y − 7y = 29 | · −3; 4

3 4

4

4

x = − y, x = − y, x = − y, x = − · (−3), x = 4, 3 3 3 3 � � � � � y = −3.

8y + 21y = −87; 29y = −87; y = −3; y = −3; Відповідь: (4; −3).

8x − 41

, y = 8x − 5y = 41, 5y = 8x − 41, 5 2) � � � 4x + 3y = −7; 4x + 3y = −7; 4x + 3 8x − 41 = −7 | · 5; y =

8x − 41

,

y =

8x − 41

5

,

8x − 41

8x − 41

y = , y = 5 5 5 5 � � � � 20x + 3(8x − 41) = −35; 20x + 24x − 123 = −35; 44x = 88; x = 2; 8 · 2 − 41 , y = −5, y = 5 � � x = 2. x = 2; Відповідь: (2; −5).  shkola.in.ua

,

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 5

a = b, 2a − 5b = 0, 2a = 5b, 2 3) � � � 5 −7a + 4b = 27; −7a + 4b = 27; −7 b + 4b = 27 | · 2; a =

5

b,

a =

5

b,

a =

5

b,

2

5

a = (−2), a = −5, 2 2 2 2 � � � � � b = −2. −35b + 8b = 54; −27b = 54; b = −2; b = −2; Відповідь: (−5; −2).

10m − 39

, n = 10m − 2n = 9, 2n = 10m − 39, 2 4) � � � 9m + 4n = 38; 9m + 4n = 38; 9m + 4 10m − 39 = 38; 10m − 39

2 10m − 39

10m − 39

n = , n = , n = 2 2 2 � � � m = 4; 9m + 20m − 78 = 38; 29m = 116; 1 Відповідь: ( ; 4).

2 55.11. Розв’яжіть систему рівнянь:

,

10 · 4 − 39

n = 2 � m = 4;

1

, n = , 2 � m = 4.

3

x = − y, 4x + 3𝑦𝑦 = 0, 4x = −3y, 4 1) � � � 5𝑥𝑥 − 7y = −43; 5𝑥𝑥 − 7y = −43; 5(− 3 y) − 7y = −43 | · (−4); 3

3

3

4

3

x = − y, x = − y, x = − · 4, x = −3, 4 4 4 4 � � � � � y = 4; y = 4; y = 4; 15y + 28y = 172; 43y = 172; Відповідь: (−3; 4). x = − y,

2) �

−59 −9y

, 2x + 9𝑦𝑦 = −59, 2x = −59 − 9y, 2 � � −59 −9y 5𝑥𝑥 − 4y = 38; 5𝑥𝑥 − 4y = 38; 5 − 4y = 38 · (−2); −59 −9y

x =

2 −59 −9y

, x = x = , 2 2 � � 5(59 + 9𝑦𝑦) + 8𝑦𝑦 = −76; 295 + 45𝑦𝑦 + 8𝑦𝑦 = −76; −59 −9y −59 −9y −59 −9(−7) x = , x = , x = , x = 2, 2 2 2 � � � � y = −7. 𝑦𝑦 = −7; 53𝑦𝑦 = −371; 𝑦𝑦 = −7; Відповідь: (2; –7).

3p – 7q = 0, 3p – 7q = 0, 3(20,5 – 4,5q) – 7q = 0, 61,5 – 13,5q – 7q = 0, 3) � � � � 2p + 9𝑞𝑞 = 41; 2p = 41 – 9q; p = 20,5 – 4,5q; p = 20,5 – 4,5q; q = 3, – 20,5q = – 61,5, q = 3, � � � p = 20,5 – 4,5 ∙ 3; p = 7. p = 20,5 – 4,5q; Відповідь: (7; 3); 6a – 7b = 51, 6a – 7b = 51, 6a – 7b = 51, –15 – 3b 4) � � � ; 2a + 3b = – 15; 2a = – 15 – 3b; a = –15 – 3b

2

– 7b = 51 | · (−2), 6(15 + 3b) + 14b = – 102, � –15 – 3b –15 – 3b a = ; ; a = 2 2 90 + 18b + 14b = – 102, 32b = – 192, b = – 6, b = – 6, –15 – 3b –15 – 3b –15 – 3(–6) � � � � a = ; a = ; a = ; a = 1,5.

2 2 2 Відповідь: (1,5; –6).

6 �

2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

55.12. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: 7(x – 3) + 8 = 4 + 5x, 7x – 21 + 8 = 4 + 5x, 7x – 5x = 4 + 21 – 8, 1) � � � 4x – 4y – 7y = 6,5; 4x – 11y = 6,5; 4(x – y) – 7y = 6,5; 2x = 17, x = 8,5, x = 8,5, x = 8,5, x = 8,5, � � � � � 4x – 11y = 6,5; 4 · 8,5 – 11𝑦𝑦 = 6,5; 34 – 11y = 6,5; 11y = 27,5; y = 2,5; Відповідь: (8,5; 2,5); 4(x + y) – 3y = 2, 4x + 4y – 3y = 2, 4x + y = 2, 2) � � � 9(x – 2y) – 6x = – 11; 9x – 18y – 6x = – 11; 3x – 18y = – 11; y = 2 – 4x, y = 2 – 4x, y = 2 – 4x, � � � 3x – 18(2 – 4x) = – 11; 3x – 36 + 72x = – 11; 75x = 25; 1 2 y = 2 – 4x, y = 2 – 4 , y = , 3 3 1 � � � 1 1 x = ; x = ; x = .

3 1 2

3

3

Відповідь: ( ; ) 3 3 55.13. Розв’яжіть систему рівнянь: 4(x + y) – 8y = – 4, 4x + 4y – 8y = – 4, 4x – 4y = – 4 | ∶ 4, 1) � � � 6y = 15; 7(y + 1) – (y + 3) = 19; 7y + 7 – y – 3 = 19; x – y = – 1, x – 2,5 = – 1, x = 1,5, � � � y = 2,5; y = 2,5. y = 2,5; Відповідь: (1,5; 2,5); 8x + 8y – 12y = 6, 8x – 4y = 6 | ∶ 2, 4x – 2y = 3, 8(x + y)– 12y = 6, 2) � � � � 6(3x– 1) + 18x = 13; 18x – 6y + 18x = 13; 36x – 6y = 13; 36x – 6y = 13; 4x – 3 4x – 3 4x – 3 y = , 2y = 4x – 3, , y = , y = 2 2 2 � � � � 4x – 3 36x – 6y = 13; 36x – 6 = 13; 36x– 3(4x– 3) = 13; 36x – 12x + 9 = 13; 4x – 3

2

1 6

4 –3

7

, y = 2 , y = 2 , y =– 6 , y = 2 � � � � 1 1 1 x = . x = ; 24x = 4; x = ; 6 6 4x – 3

1 7

6

Відповідь: ( ;- ) 6 6 55.14. Розв’яжіть систему рівнянь: 1

1) �18 3

(x – y) = 9 | · 8,

x = y + 72, x = 46,5, x – y = 72, x = y + 72, � � � � (x – y) = 7 | · 3; x + y = 21; y + 72 + y = 21; y = – 25,5; y = – 25,5.

Відповідь: (46,5; –25,5); 0,2(2x + y) = 3 | · 5, y = 15 – 2x, 2x + y = 15, 2) � � � 0,7(x – 4y) = – 1,05 | ∶ 0,7; x – 4y = – 1,5; x – 4(15 – 2x) = – 1,5; y = 15 – 2x, y = 15 – 2x, y = 15 – 2x, y = 2, � � � � x = 6,5; x – 60 + 8x = 1,5; 9x = 58,5; x = 6,5; Відповідь: (6,5; 2).

55.15. Знайдіть розв’язки системи рівнянь: 0,4(x + y) = 12 | ∶ 0,4, x + y = 30, y = 30 – x, y = 30 – x, 1) � � � � 0,6(x – y) = 19 | ∶ 0,6; x – y = 15; x – 30 + x = 15; 2x = 45; y = 30 – x, y = 7,5, � � x = 22,5; x = 22,5. Відповідь: (22,5; 7,5);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

2) �71 3

(2x + y) = 13 | · 7, 2x + y = 91, y = 91 – 2x, � � (x – 3y) = 14 | · 3; x – 3y = 42; x – 3(91 – 2x) = 42;

y = 91 – 2x, y = 91 – 2x, y = 1, y = 91 – 2x, � � � � x – 273 + 6x = 42; 7x = 315; x = 45; x = 45. Відповідь: (45; 1); 55.16. Розв’яжіть систему рівнянь: x+1

�x +5 2 6

+

+

y–1

3 y+2 3

= 1 | · 15, 3(x + 1) + 5(y – 1) = 15, 3x + 3 + 5y – 5 = 15, � � = 2 | · 6; x + 2 + 2(y + 2) = 12; x + 2 + 2y + 4 = 12;

3x + 5y = 17, 3x + 5y = 17, 3(6 – 2y) + 5y = 17, 18 – 6y + 5y = 17, � � � � x + 2y = 6; x = 6 – 2𝑦𝑦; x = 6 – 2y; x = 6 – 2y; – y = – 1, y = 1, � � x = 6 – 2y; x = 4; Відповідь: (4; 1) 55.17. Розв’яжіть систему рівнянь: x−4

+

y + 11

= 1 | · 4,

2(x − 4) + y + 11 = 4, 2x − 8 + y + 11 = 4, � � + = 2 | · 21; 7(x + 7) + 3(y − 4) = 42; 7x + 49 + 3y − 12 = 42; 3 7 y = 1 − 2x, 2x + y = 1, y = 1 − 2x, y = 1 − 2x, � � � � 7x + 3y = 5; 7x + 3(1 − 2x) = 5; 7x + 3 − 6x = 5; x = 2; y = 1 − 2 · 2, y = −3, � � x = 2; x = 2. Відповідь: (2; −3).

55.18. Доведіть, що графіки рівнянь 2х – 3у = 4 і 4х – 6у = 9 є паралельними прямими. Розв’яжемо систему рівнянь: �x +27

4 y−4

4 + 3y

4 + 3y , х = 2х – 3у = 4 , 2х = 4 + 3у, , х = 2 2 � � � � 4 + 3y 4х – 6у = 9; 4х – 6у = 9; 4 – 6у = 9; 2(4 + 3y)– 6у = 9; 4 + 3y

4 + 3y

2

х = , х = , 2 2 � � 8 + 6y – 6у = 9; 0у = 1. Система рівнянь розв’язку не має, тому графіки рівнянь 2х – 3у = 4 і 4х – 6у = 9 не перетинаються, а значить є паралельними прямими.

55.19. Графік функції у = kx + l проходить через точки М(9; 1) і N(–6; –4). Знайдіть k і l. Якщо графік функції у = kх + l проходить через точки М(9; 1) і N(–6; –4), то координати кожної з цих точок задовольняють рівняння функції. Маємо: 1

1 = k · 9 + l, l = 1 – 9k, l = 1 – 9k, l = 1 – 9 3 , l = – 2, 1 � � � � � 1 – 4 = k · (– 6) + l; – 4 = – 6k + l – 9k; 15k = 5; k = . k = ; 3

1

3

Відповідь: k = ; l = –2.

3 55.20. Графіком функції у = kx + l є пряма, що проходить через точки А(–2; –4) і В(4; 11). Задайте цю функцію формулою. Якщо графік функції у = kх + l проходить через точки А(–2; –4) і В(4; 11), то координати кожної з цих точок задовольняють рівняння функції. Маємо:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

– 4 = k · (– 6) + l, l = – 4 + 2k, l = – 4 + 2k, l = – 4 + 2k, � � � � 11 = 4k – 4 + 2k; 6k = 15; k = 2,5; 11 = k · 4 + l; l = – 4 + 2 · 2,5, l = 1, � � k = 2,5; k = 2,5; Відповідь: у = 2,5x + 1.

55.21. При яких значеннях m система: 1) не має розв’язків; 2x + y = 8 | · 2, 4x + 2y = 16, не має розв’язків, якщо m = 2. � � 4x + my = 10; 4x + my = 10 2) має безліч розв’язків? x − 3y = 5 | · 4, 4x − 12y = 20, має безліч розв’язків, якщо m = 4. � � mx − 12y = 20; mx − 12y = 20 2 55.22. Побудуйте графік функції, заданої формулою y = x. За допомогою графіка 3 знайдіть: 1) значення у, якщо х = –6; 0; 3. 2) значення х, для яких у = –2; 0; 4.

2 y= x 0 0

x y

3

3 2

1) Якщо х = –6, то у = 74; shkola.in.ua якщо х = 0, то у = 0; якщо x = 3, то у = 2; 2) у = –2, якщо х = – 3; у = 0, якщо х = 0; у = 4, якщо х = 6.

55.23. Розкладіть многочлен на множники: 1) 9m2 + 12m5 – 18m3 = 3m2 (3 + 4m3 – 6m); 2) 3x4y2 – 9х2y3 + 12x3y = 3х2у(x2у – 3у2 + 4х); 3) а6 – 6 – 2а2 + 3а4 = (а6 – 2a2) + (3а4 – 6) = а2(а4 – 2) + 3(а4 – 2) = (a4 – 2)(a2 + 3); 4) рq – 6р + р2 – 6q = (pq + р2) – (6р + 6q) = p(q + р) – 6(q + р) = (q + р)(р – 6).

55.24. Доведіть, що рівняння не має розв’язків: 1) Рівняння x2 + 4 = 0 не має розв’язків, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю; 2) x2 – 6х + 13 = 0; x2 – 6х + 9 + 4 = 0; (х – 3)2 + 4 = 0. Рівняння не має розв’язків, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю; 3) 4x2 – 12х + 16 = 0; 4х2 – 12х + 9 + 7 = 0; (2х – 3)2 + 7 = 0. Рівняння не має розв’язків, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю; 4) x2 + x + 2 = 0; 1 3 x2 + x + + 1 = 0; 1 2

4

3

4

(х + ) + 1 = 0.

2 4 Рівняння не має розв’язків, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

55.25. Під час чищення зубів мати витрачає воду економно (доки чистить зуби, кран закручує), а батько цього не робить. За показниками лічильника води діти встановили, що мати витрачає щоранку 1,5 л води, а батько – вдвічі більше.

1) На скільки літрів води щомісяця більше витрачає батько, ніж мати?

1) 2 ∙ 1,5 – 1,5 = 1,5 (л) – на стільки більше витрачає води батько, щоранку; 2) 2 ∙ 1,5 = 3 (л) – на стільки більше витрачає батько щодоби, якщо чистить зуби два рази на день; 3) 3 ∙ 30 = 90 (л) – на стільки більше витрачає батько щомісяця. Відповідь: 90 л.

2) Практична діяльність. Дізнайтеся, скільки коштує 1 м3 води у вашій місцевості та визначте, скільки коштів може заощадити ця родина за місяць (30 днів), якщо батько під час чищення зубів також буде економно витрачати воду.

1м3 = 1000 л; 1м3 = 35 грн; 35 : 1000 = 0,035 грн – 1 л.

90 ∙ 0,035 = 3,15 (грн) – може заощадити родина. Відповідь: 3,15 грн.

55.26. Якщо добуток чотирьох послідовних натуральних чисел збільшити на 1, то він дорівнюватиме квадрату деякого натурального числа. Доведіть це. Нехай х, х + 1, х + 2 і х + 3 — чотири послідовні натуральні числа. Розглянемо їх добуток, збільшений на 1 : х(х + 1)(х + 2)(х + 3) + 1 = х(х + 3) ∙ (х + 1)(х + 2) + 1 = = (х2 + 3х)((х2 + 3х) + 2) + 1 = (х2 + 3х)2 + 2(х2 + 3х) + 1 = (х2 + 3х + 1)2, що й слід було довести. §56. Розв’язування систем способом додавання 56.1. Яке рівняння одержимо, якщо почленно додамо рівняння системи: 1) Якщо почленно додамо рівняння системи 2x + y = 7, то дістанемо рівняння: � 3x − y = 8, 5x = 15; 2) Якщо почленно додамо рівняння системи 4x + 3y = 9, то дістанемо рівняння: � −4x + y = 1, 4y = 10.

56.2. На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння системи, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній у стали протилежними: 2x + y = 8 | · 2, 4x + 7y = 5 | · (−3), 1) � 2) � 3x − 2y = 10; 3x + 21y = 7; 4x + 2y = 16, −12x − 21y = −15, � � 3x − 2y = 10.

3x + 21y = 7. Відповідь: На число 2. Відповідь: На число –3.

56.3. На яке число треба помножити обидві частини першого рівняння, щоб у рівняннях коефіцієнти при змінній х стали протилежними: x – 4y = 9 | · 2, 3x + 7y = 19 | · (– 4), 1) � 2) � – 2x + 7y = 8; 12x − 8y = 4; 2x – 8y = 18, – 12x – 28y = – 76, � � – 2x + 7y = 8.

12x − 8y = 4. Відповідь: На число 2; Відповідь: На число – 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

56.4. Назвіть спосіб (підстановки чи додавання), яким зручніше розв’язувати систему: 3x + y = 9, y = 9 – 3x, 1) � – зручніше розв’язати способом підстановки � 17x + 19y = 15; 17x + 19y = 15 й одержимо: 17x + 19(9 – 3x) = 15; 5x + 7y = 8, 2) � – зручніше розв’язати способом додавання й одержимо рівняння: 10x − 7y = 17; 15x = 25; 4x + 15y = 27 | · (– 3), −12x − 45y = −81, 3) � – зручніше розв’язати способом � 12x + 17y = 49; 12x + 17y = 49; додавання й одержимо рівняння: –28x = –32; x + y = 10 | · (– 2016), – 2016x – 2016 y = – 20160, 4) � – систему зручніше � 2015x + 2016y = 2017; 2015x + 2016y = 2017; розв’язати способом додавання.

56.5. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: x + y = 7, 1) � x − y = 9; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = 16; x = 8. Підставимо значення x = 8 у перше рівняння системи й отримаємо: 8 + y = 7; y = −1. Відповідь: (8; −1).

2x + y = 3, 2) � 2x − y = 5. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 4x = 8; x = 2. Підставимо значення x = 2 у перше рівняння системи й отримаємо: 2 · 2 + y = 3; y = −1. Відповідь: (2; −1); 4x + 3y = 7, 3) � −4x − y = −5. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2y = 2; y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння системи й отримаємо: 4x + 3 = 7; 4x = 4; x = 1. Відповідь: (1; 1).

2x – 8y = 7, 4) � −2x + 7y = 5. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: –y = 12; y = –12. Підставимо значення y = –12 у перше рівняння системи й отримаємо: 2x − 8 · (−12) = 7; 2x + 96 = 7; 2x = −89; x = −44,5. Відповідь: (−44,5; −12).

56.6. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: 2x – y = 8, 1) � 3x + y = 12. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 5x = 20; x = 4. Підставимо значення x = 4 у перше рівняння системи й отримаємо: 2 · 4 − y = 8; 7 = 0. Відповідь: (4; 0).

3x + 2y = 8, 2) � −3x + 5y = −1. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 7y = 7, y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння системи й отримаємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3x + 2 · 1 = 8; 3x = 6; x = 2. Відповідь: (2; 1).

56.7. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: 2x + 3y = −1 | · (– 1), −2x − 3y = 1, 1) � � 4x + 3y = 1; 4x + 3y = 1; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = 2, x = 1. Підставимо значення x = 1 у друге рівняння системи й отримаємо: 4 · 1 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1. Відповідь: (1; −1).

7x + 2y = 5 | · (– 1), −7x − 2y = −5, 2) � � 7x − 3y = 45.

7x − 3y = 45; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −5y = −40, y = −8. Підставимо значення y = −8 у друге рівняння системи й отримаємо: 7x – 3(−8) = 45; 7x + 24 = 45; 7x = 21; x = 3. Відповідь: (3; −8).

56.8. Знайдіть розв’язок системи рівнянь способом додавання: 4x + y = 7 | · (– 1), −4x − y = −7, 1) � � 5x + y = −1.

5x + y = −1; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: x = −8. Підставимо значення x = −8 у друге рівняння системи й отримаємо: −40 + y = −1; y = 39. Відповідь: (−8; 39).

2x + 3y = 5 | · (– 1), −2x − 3y = −5, 2) � � 2x − 4y = −9.

2x − 4y = −9; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −7y = −14; y = 2. Підставимо значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: 2x − 8 = −9; 2x = −1; x = −0,5. Відповідь: (−0,5; 2).

56.9. Знайдіть розв’язок системи рівнянь способом додавання: x + y = 4 | · 5, 5x + 5y = 20, 1) � � 3x − 5y = 20; 3x − 5y = 20. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 8x = 40, x = 5. Підставимо значення x = 5 у друге рівняння системи й отримаємо: 3 · 5 − 5y = 20; 15 − 5y = 20; 5y = −5;y = −1. Відповідь: (5; −1); 3x − y = 5 | · 7, 21x − 7y = 35, 2) � � 2x + 7y = 11; 2x + 7y = 11. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 23x = 46, x = 2. Підставимо значення x = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: 2 · 2 + 7y = 11; 4 + 7y = 11; 7y = 7; y = 1. Відповідь: (2; 1).

56.10. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: x − y = 3 | · 3, 3x − 3y = 9, 1) � � 2x + 3y = 1.

2x + 3y = 1; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 5x = 10, x = 2. Підставимо значення x = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: 4 + 3y = 1; 3y = −3; y = −1. Відповідь: (2; −1);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

7x + y = 2 | · 4, 28x + 4y = 8, � 5x − 4y = 25.

5x − 4y = 25; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 33x = 33; x = 1. Підставимо значення x = 1 у друге рівняння системи й отримаємо: 5 − 4y = 25; 4y = −20; y = −5. Відповідь: (1; −5).

56.11. Розв’яжіть систему рівнянь: 7x + 2y = −3 | · 2, 14x + 4y = −6, 1) � � −14x + 3y = 20. −14x + 3y = 20; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 7y = 14, y = 2. Підставимо значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: −14x + 6 = 20; −14x = 14; x = −1. Відповідь: (−1; 2); 3x + 5y = 19 | · 2, 6x + 10y = 38, 2) � � 7x − 10y = 1.

7x − 10y = 1; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13x = 39; x = 3. Підставимо значення x = 3 у друге рівняння системи й отримаємо: 21 − 10y = 1; 10y = 20; y = 2. Відповідь: (3; 2).

4x + 5y = 7, 4x + 5y = 7, 3) � � 2x − 3y = −2 | · (−2); −4x + 6y = 4. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 11y = 11; y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння системи й отримаємо: 4x + 5 = 7; 4x = 2; x = 0,5. Відповідь: (0,5; 1).

2x + 9y = −1 | · (−4), −8x − 36y = 4, 4) � � 7x + 36y = −8.

7x + 36y = −8; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −x = −4, x = 4. Підставимо значення x = 4 у друге рівняння системи й отримаємо: 28 + 36y = −8; 36y = −36; y = −1. Відповідь: (4; −1).

56.12. Розв’яжіть систему рівнянь: 9x + 6y = 3, 3x + 2y = 1 | · 3, 1) � � −9x + 7y = 23. −9x + 7y = 23; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13y = 26; y = 2. Підставимо значення y = 2 у друге рівняння системи й отримаємо: −9x + 7 · 2 = 23; −9x + 14 = 23; −9x = 9; x = −1. Відповідь: (−1; 2).

4x + 2y = 2 | · 2, 8x + 4y = 4, 2) � � 5x − 4y = 9.

5x − 4y = 9; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 13x = 13; x = 1. Підставимо значення x = 1 у друге рівняння системи й отримаємо: 5 − 4y = 9; −4y = 4; y = −1. Відповідь: (1; −1).

5x + 3y = 1 | · (−3), −15x − 9y = −3, 3) � � 15x − 7y = 51.

15x − 7y = 51; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −16y = 48, y = −3. Підставимо значення y = −3 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 2) �

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5x − 9 = 1; 5x = 10; x = 2. Відповідь: (2; −3).

4m + 5b = 5| · (−4), −16m − 20b = −20, 4) � � 7m + 20b = 11; 7m + 20b = 11; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −9m = −9; m = 1. Підставимо значення m = 1 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 4 + 5b = 5; 5b = 1; b = 0,2. Відповідь: (1; 0,2).

56.13. Знайдіть розв’язок системи способом додавання: 2x + 3y = 1 | · (−3), −6x − 9y = −3, 1) � � 6x + 10y = 4; 3x + 5y = 2 | · 2; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 2x + 3 = 1; 2x = −2; x = −1. Відповідь: (−1; 1).

2a − 3b = 7 | · (−3), −6a + 9b = −21, 2) � � 3a + 4b = 2 | · 2; 6a + 8b = 4. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 17b = −17; b = −1. Підставимо значення b = −1 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 2a + 3 = 7; 2a = 4; a = 2. Відповідь: (2; −1).

10m − 6n = 18 | · (−3), −30 + 18n = −54, 3) � � 15m + 7n = 59 | · 2; 30m + 14n = 118. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 32n = 64; n = 2. Підставимо значення n = 2 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 10m − 12 = 18; 10m = 30; m = 3. Відповідь: (3; 2).

14x − 8y = −6 | · (−3), 4) � 21x + 10y = 2 | · 2; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 44y = 22; y = 0,5. Підставимо значення y = 0,5 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 14x − 4 = −6; 1 14x = −2; x = − .

1

7

Відповідь: (− ; 0,5).

7 56.14. Знайдіть розв’язок системи способом додавання: 3x + 4y = 10 | · (−5), −15x − 20y = −50, 1) � � 15x − 21y = 9; 5x − 7y = 3 | · 3; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −41y = −41; y = 1. Підставимо значення y = 1 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2. Відповідь: (2; 1).

15x − 3y = −15 | · (−7), −105x + 21y = 105, 2) � � 60x − 21y = −123.

20x − 7y = −41 | · 3; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −45x = −18; x = 0,4. Підставимо значення x = 0,4 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 6 − 3y = −15; −3y = −21; y = 7. Відповідь: (0,4; 7).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

56.15. Розв’яжіть систему рівнянь: 5(x − 2) = 2y − 1, 5x − 10 = 2y − 1, 5x − 2y = −1 + 10, 1) � � � x − 4y = 12 − 3; 3(x + 3) = 12(y + 3); x + 3 = 4y + 12; 5x − 2y = 9 | · (−2), −10x + 4y = −18), � � x − 4y = 9; x − 4y = 9. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −9x = −9; x = 1. Підставимо значення x = 1 у перше рівняння четвертої системи й отримаємо: 5 · 1 − 2y = 9; 5 − 2y = 9; 2y = −4; y = −2. Відповідь: (1; −2); 4(a + 2b) − 5a = 0,4, 4a + 8b − 5a = 0,4, 2) � � 7(3a − 4b) + 3b = 5,9; 21a − 28b + 3b = 5,9; −a + 8b = 0,4 | · 21, −21a − 168b = 8,4, � � 21a − 25b = 5,9.

21a − 25b = 5,9; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 143b = 14,3; b = 0,1. Підставимо значення b = 0,1 у перше рівняння передостанньої системи й отримаємо: −a + 8 · 0,1 = 0,4; −a + 0,8 = 0,4; −a = −0,4; a = 0,4. Відповідь: (0,4; 0,1).

56.16. Розв’яжіть систему рівнянь: 7(x + 3) = 3y + 1, 7x + 21 = 3y + 1, 1) � � 4(2 − x) = 5(y + 1) + 1; 8 − 4x = 5y + 5 + 1; 7x − 3y = 1 − 21, 28x − 12y = − 80, � � −4x − 5y = 5 + 1 − 8; −28x − 35y = −14. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −47y = −94; y = 2. Підставимо значення y = 2. у перше рівняння передостанньої системи й отримаємо: 7x − 6 = −20; 7x = −14; x = −2. Відповідь: (−2; 2).

4(m − 2n) − 7m = 9,6, 4m − 8n − 7m = 9,6, 2) � � 5(4m + 3n) + 8n = −18,5; 20m + 15n + 8n = −18,5; −3m − 8n = 9,6 | · 20, −60m − 160n = 192, � � 20m + 23n = −18,5 = | · 3; 60m + 69n = −55,5. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: −91n = 136.5; n = –1.5. Підставимо значення n = –1.5 у перше рівняння третьої системи й отримаємо: –3m + 12 = 9,6; –3m = −2,4; m = 0,8. Відповідь: (0,8; −1,5).

56.17. Складіть рівняння прямої, графік якої проходить через точки: 1) А(4; –4) і B(12; –1); 2) М(–3; 6) і N(9; –2). Якщо пряма виду у = kх + b проходить через точки А(4;–4) і B(12; –1), то координати кожної з цих точок повинні задовольняти систему: −4 = k · 4 + b, b = −4 − 4k, b = −4 − 4k, b = −4 − 4k, 3 � � � � k = ; – 1 = k · 12 + b; – 1 = 12k − 4 − 4k; 8k = 3; 8 3

b = −4 − 4 , b = −5,5, 3 8 3 Відповідь: y = x – 5,5; � � 3 8 k = . k = ; 8 8

2) Якщо пряма виду y = kx + b проходить через точки M(−3; 6) і N(9; −2), то координати кожної з цих точок повинні задовольняти систему: 6 = k · (−3) + b, b = 3k + 6, b = 3k + 6, � � � 12k = −8; – 2 = k · 9 + b; −2 = 9k + 3k + 6;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 2

b = 3k + 6, b = 3(− 3) + 6, b = 4, 2 2 2 Відповідь: y = − � � x + 4. � 2 3 k = − . k = − ; k = − ; 3

3

3

56.18. Графік лінійної функції проходить через точки (–4; 5) і (12; 1). Задайте цю функцію формулою. Якщо графік лінійної функції проходить через точки (–4; 5) і (12; 1), то координати цих точок повинні задовольняти систему: 5 = −4k + b | · (– 1), −5 = 4k − b, � � 1 = 12k + b; 1 = 12k + b. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: –4 = 16k; k = –0,25. Підставимо значення k = –0,25 у перше рівняння першої системи й отримаємо: 5 = 1+ b; b = 4. Відповідь: у = –0,25х + 4.

56.19. Розв’яжіть систему рівнянь: 2−x

1) �x +6 4

−

y+4

= 2 | · 6,

y−4

= 1 | · 18,

3 2−y

5

5 6

2 − x + 2(y + 4) = 17, 2 − x + 2y + 8 = 17, � � x + 4 − 2(2 − y) = 5; x + 4 − 4 + 2y = 5;

− = | · 6; 6 12 −x + 2y = 7, � x + 2y = 5. Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 4y = 12; y = 3. Підставимо значення y = 3 у перше рівняння останньої системи й отримаємо: –x + 6 = 7; x = –1. Відповідь: (–1; 3). (х – 1)² + у = (х + 2)² – 23, 2) � (х + 2)² + (у – 1)² = х² + (у + 7)²; х² + 2х + 1 + у = х² + 4х + 4 – 23, � х² – 4х + 4 + у² – 2у + 1 = х² + у² + 14у + 49; х² – 2х + у – х² – 4х = 4 – 23 – 1, � х² + 4х + у² – 2у – х² – у² – 14у = 49 – 4 – 1; – 6х + у = – 20, – 6х + у = – 20, � � 4х – 169у = 44 | · 1,5; 6х – 24у = 66.

–23у = 46; у = –2; –6х + (–2) = –20; –6х = –18; х = 3. Відповідь: (3; –2).

56.20. Розв’яжіть систему рівнянь: 12

x+3

−

3

2(x + 3) − (y − 4) = 14, 2x + 6 − y + 4 = 14, � � − = − | · 18; 3(x − 4) + 2(y + 2) = −9; 3x − 12 + 2y + 4 = −9; 4 9 2 2x − y = −9 + 12 − 4, 2x − y = 4 | · 2, 4x − y = 8, � � � 3x + 2y = −9 + 12 − 4; 3x + 2y = −1; 3x + 2y = −1. Відповідь: (1; –2); (x − y)(y + 2) = x(y – 1) , xy + 2x − y − 2 = xy − x , 2) � � x(y + 3) = (x + 1)(y − 2); xy + 3x = xy − 2x + y − 2; xy + 2x − y − xy + x = 2 , 3x − y = 2 | · (−1) , −3x + y = −2, � � � xy + 3x − xy + 2x − y = − 2; 5x − y = −2.

5x − y = −2; Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи: 2x = –4; x = –2. Підставимо значення x = –2 у перше рівняння останньої системи й отримаємо: 1) �x −44

8 y+2

4 1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6 + y = –2; y = –8. Відповідь: (–2; –8).

56.21. З’ясуйте, чи має система рівнянь розв’язки і скільки: 3x − y = 2 | · (−2), −6x + 2y = −4, 1) � — cистема не має розв’язку. � −6x + 2y = 5; −6x + 2y = 5; Відповідь: Не має розв’язку; −4x + 3y = 7 | · 2, −8x + 6y = 14, 2) � — cистема має безліч розв’язків. � −8x + 6y = 14; −8x + 6y = 14; Відповідь: Має безліч розв’язків.

56.22. Чи належать графіку функції у = –4,5х + 1 точки: А(–2; 10), B(0; –1), С(4; 17), D(10; –44)?

1) Точка А(–2; 10) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: 10 = –4,5 ∙ (–2) + 1; 10 = 9 + 1; 10 = 10 — правильна рівність; 2) точка B(0; –1) не належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –1 = –4,5 ∙ 0 + 1; –1 = 1 — неправильна рівність; 3) точка С(4; 17) не належить графіку функції у = –4,5x + 1, бо: 17 = –4,5 ∙ 4 + 1; 17 = –18 + 1; 17 = –17 — неправильна рівність; 4) точка D(10; –44) належить графіку функції у = –4,5х + 1, бо: –44 = –4,5 ∙ 10 + 1; –44 = –44 — правильна рівність.

56.23. Пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: Знайдіть a і b. Якщо пара чисел (–2; –3) є розв’язком системи рівнянь: ax – 2y = 8, то повинна задовольняти систему: � bx – ay = 7; – 2a + 6 = 8, – 2a = 2, a = – 1, a = – 1, � � � � – 2b + 3a = 7; – 2b + 3a = 7; – 2b – 3 = 7; b = – 5. Відповідь: a = –1; b = –5.

56.24. Які одночлени треба записати замість зірочки, щоб утворилася тотожність: 1) (7m – 5а)2 = 49m2 – 70mа + 25а2; 2) (6р2 + 11b)2 = 36р4 + 132p2b + 121b2; 3) (3р + 4pm7)2 = 9р2 + 24p2m7 + 16р2m14; 4) (4m – 4n2)2 = 16m2 – 32mn2 + 16n4.

56.25. Визначте масу складників у салаті «Вітамінний», маса якого 400 г, якщо моркви там у 4 рази менше від загальної маси салату, селери – стільки ж, скільки й моркви, яблук – на 60 г більше, ніж селери, горіхів – у 5 разів менше, ніж моркви, лимонного соку – в 2 рази менше, ніж горіхів, і ще салат містить один зубчик часнику.

1) 400 : 4 = 100 (г) – моркви або селери; 2) 100 + 60 = 160 (г) – яблук; 3) 100 : 5 = 20 (г) – горіхів; 4) 20 : 2 = 10 (г) – лимонного соку.

5) 400 – (100 + 100 + 160 + 20 + 10) = 10 (г) – зубчик часнику.

56.26. Чи існують такі цілі числа х і у, для яких виконується рівність x2 + 2018 = у2? x2 + 2018 = у2; x2 – y2 = –2018; (х – у)(х + у)= –2018. Розглянемо розклад числа 2018 на множники: 2018 = 2 ∙ 1009. Даний розклад є єдиним. Якщо числа х і у різної парності, то число (х – у)(х + у) не ділиться на 2, що неможливо. Якщо ж числа х і у однакової парності, то число (х – у)(х + у) ділиться на 4, що теж неможливо, бо 2018 не ділиться на 4. Відповідь: нe існують.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

§57. Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь 57.1. У легкоатлетичній секції тренуються 32 спортсмени, причому дівчат серед них на 4 більше, ніж хлопців. Скільки дівчат і скільки хлопців тренується в цій секції? Нехай у секції х дівчат і у хлопців. Система: x + y = 32, 2x = 36; х = 18. З першого рівняння системи отримаємо: � x – y = 4; 18 + у = 32; у = 14. Відповідь: 18 дівчат і 14 хлопців.

57.2. За дві години кухар наліпив 260 пельменів, причому за першу годину – на 20 пельменів менше, ніж за другу. Скільки пельменів наліпив кухар за першу годину і скільки за другу? Нехай кухар наліпив за першу годину х пельменів, а за другу годину — у пельменів. Система: x + y = 260, x + y = 260, � � y – x = 20; – x + y = 20; 2y = 280; у = 140. З першого рівняння отримаємо: х + 140 = 260; х = 120. Відповідь: 120 пельменів; 140 пельменів.

57.3. За олівець і три зошити заплатили 32 грн, а за три олівці і зошит – 24 грн. Скільки коштує один олівець і скільки один зошит? Нехай один олівець коштує х грн, а один зошит — у грн. Система: – 3x – 9y = – 96, �x + 3y = 32│ ∙ (– 3), � 8у = –72; у = 9. З першого рівняння першої 3x + y = 24; 3x + y = 24; системи отримаємо: х + 3 ∙ 9 = 32; х + 27 = 32; х = 5. Відповідь: Один олівець коштує 5 грн, а один зошит — 9 грн.

27.4. За 2 год пішки і 1 год на велосипеді турист подолав 18 км, а за 1 год пішки і 2 год на велосипеді – 27 км. З якою швидкістю турист рухався пішки і з якою на велосипеді? Нехай швидкість туриста під час руху пішки х км/год, а на велосипеді — у км/год. Система: – 4x – 2y = – 36, �2x + y = 18│ ∙ (– 2), � –3х = –9; х = 3. З першого рівняння першої x + 2y = 27; x + 2y = 27; системи отримаємо: 6 + у = 18; у = 12. Відповідь: 3 км/год і 12 км/год.

57.5. У касі крамниці після переобліку залишилося 12 монет по 50 і по 1 грн, усього на суму 8 гривні. Скільки монет по 50 копійок і скільки по 1 грн залишилося в касі? Нехай в касі х монет по 50 коп. і у монет по 1 грн. Система: x + y = 12, x + y = 12, � –y = –4; у = 4. З першого рівняння першої � 50x + 100y = 800│: (– 50); – x – 2y = – 16; системи отримаємо: х + 4 = 12; х = 8. Відповідь: 8 монет по 50 коп. і 4 монети по 1 грн.

57.6. Було придбано 16 зошитів у клітинку і лінійку, усього на суму 328 грн. Зошит у клітинку коштує 22 грн, а в лінійку – 18 грн. Скільки зошитів у клітинку і скільки в лінійку було придбано? Нехай у клітинку купили х зошитів, а у лінійку — у зошитів. Система:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

– 22x – 22y = – 352, (– � х + y = 16│ ∙ 22), � –4у = –24; у = 6.

22x + 18y = 328; 22x + 18y = 328; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 6 = 16; х = 10. Відповідь: 10 зошитів у клітинку і 6 зошитів у лінійку.

57.7. За 3 футбольних і 2 волейбольних м’ячі заплатили 1088 грн. Скільки коштує футбольний м’яч і скільки волейбольний, якщо два волейбольних м’ячі на 192 грн дорожчі за один футбольний? Нехай футбольний м’яч коштує х грн, а волейбольний — у грн. Система: 3x + 2y = 1088, 3x + 2y = 1088, � 8y = 1664; у = 208. � 2y – x = 192│ ∙ 3; – 3x + 6y = 576; З другого рівняння першої системи отримаємо: 2 ∙ 208 – x = 192; х = 224. Відповідь: Футбольний м’яч коштує 224 грн, а волейбольний — 208 грн.

57.8. 2 акумулятори і 3 батарейки разом коштують 252 грн. Скільки коштує один акумулятор і скільки одна батарейка, якщо акумулятор коштує стільки само, скільки 3 батарейки? Нехай один акумулятор коштує х грн, а одна батарейка — у грн. Система: 2x + 3y = 252, 2 ∙ 3y + 3y = 252, 9y = 252, y = 28, � � � � x = 3y; x = 84. x = 3y; x = 3y; Відповідь: Акумулятор коштує 84 грн, а батарейка — 28 грн.

57.9. Основа рівнобедреного трикутника на 2 см більша за його бічну сторону. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 26 см. Нехай бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює x см, а основа трикутника — y см. Система: y – x = 2, y + x = 2, y + x = 2, y + x = 2, y = 10, � � � � � 2x + y = 26; 2x + x + 2 = 26; 3x = 24; x = 8; x = 8. Відповідь: Основа дорівнює 10 см, бічна сторона — 8см.

57.10. Довжина прямокутника на 8 м більша за ширину. Знайдіть довжину і ширину прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 м. Нехай довжина прямокутника x м, а ширина — у м. Система: 2(x + y) = 56, x + y = 28, � � x – y = 8. x – y = 8; З другого рівняння системи отримаємо: 18 – у = 8; y = 10. Відповідь: Довжина дорівнює 18 м, ширина — 10 м.

57.11. Човен за 3 год руху за течією і 2 год руху проти течії долає 92 км. За 9 год руху за течією човен долає відстань у 5 разів більшу, ніж за 2 год руху по озеру. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії. Нехай власна швидкість човна x км/год, а швидкість течії у км/год, тоді швидкість човна проти течії дорівнює (x – y) км/год, а за течією — (x + y) км/год. Система: 3(x + y) + 2(x – y) = 92, 3x + 3y + 2x – 2y = 92, � � 9x + 9y = 10x; 9(x + y) = 5 · 2x; 5x + y = 92, 5 · 9y + y = 92, 46y = 92, y = 2, � � � � x = 9y; 9y = x; x = 9y; x = 18. Відповідь: Власна швидкість човна 18 км/год, швидкість течії 2 км/год.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

57.12. Човен рухався 2 год за течією і 5 год проти течії, подолавши за цей час 110 км. Швидкість човна проти течії складає 70 % від швидкості човна за течією. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії. Нехай власна швидкість човна x км/год, а швидкість течії — y км/год, тоді швидкість човна проти течії дорівнює (x – y) км/год, а за течією — (x + y) км/год. Система: 2(x + y) + 5(x – y) = 110, 2x + 2y + 5x – 5y = 110, 7x – 3y = 110, � � � 0,7x + 0,7y – x + y = 0; – 0,3x + 1,7y = 0 | · 10; 0,7(x + y) = x – y; 7x – 3y = 110 | · 3, 21x – 9y = 330, 110y = 330; y = 3 � � – 3x + 17y = 0 | · 7; – 21x + 119y = 0; З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 7x – 9 = 110; 7x = 119; x = 17. Відповідь: Власна швидкість човна 17 км/год, швидкість течії 3 км/год.

57.13. З пунктів A i В, відстань між якими 168 км, одночасно вирушають велосипедист і мотоцикліст. Якщо вони будуть рухатися назустріч один одному, то зустрінуться через 3 год. А якщо рухатимуться в одному напрямі, то мотоцикліст наздожене велосипедиста через 6 год. Знайдіть швидкість кожного з них. Нехай швидкість велосипедиста х км/год, а мотоцикліста — у км/год. Система: 3x + 3y = 168, 3x + 3y = 168, y = 42. � � 6y – 6x = 168 | ∶ 2; – 3x + 3y = 84; З першого рівняння системи отримаємо: 3х + 126 = 168; 3х = 42; х = 14. Відповідь: Швидкість велосипедиста 14 км/год, а мотоцикліста — 42 км/год.

57.14. Сума двох чисел дорівнює 62. Знайдіть кожне із чисел, якщо 70 % від одного і 60 % від другого разом складають 39,6. Нехай перше число дорівнює х, а друге число — у. Система: – 7x – 7y = – 434, х + y = 62│ ∙ (– 7), � –y = –38; у = 38. � 0,7x + 0,6y = 39,6 | ∙ 10; 7x + 6y = 396; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 38 = 62; х = 24. Відповідь: Перше число 24, друге число 38.

57.15. 20 % від одного числа на 2,4 більше за 10 % від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 72. Нехай перше число дорівнює х, а друге — у. Система: x + y = 72, x + y = 72, 3х = 96; х = 32. � � 0,2x – 0,1y = 2,4 │ ∶ 0,1; 2x – y = 24; З першого рівняння системи отримаємо: 32 + y = 72; y = 40. Відповідь: Перше число 32, а друге — 40.

57.16. Матері разом з донькою 42 роки. Через рік мати стане втричі старшою за доньку. Скільки років кожній з них зараз? Нехай мамі x років, а доньці y років. Система: x + y = 42, x + y = 42, x + y = 42 | ∙ (– 1), – x – y = – 42, � � � � x – 3𝑦𝑦 = 2. x + 1 = 3(𝑦𝑦 + 1); x + 1 = 3𝑦𝑦 + 3; x – 3𝑦𝑦 = 2; – 4y = –40; y = 10. З першого рівняння першої системи отримаємо: x + 10 = 42; x = 32. Відповідь: Мамі 32 роки, доньці — 10 років.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

57.17. Розв’яжіть систему рівнянь. Складіть задачу, яка б розв’язувалася за допомогою цієї системи: x + y = 17, 1) � 2х = 22; х = 11. З першого рівняння системи отримаємо: x – y = 5; 11 + у = 17; y = 6. Відповідь: (11; 6). За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: сума двох чисел дорівнює 17, а їх різниця — 5. Знайти ці числа.

2x + 3y = 15, 2x + 3y = 15, 2) � � x – y = 1 | ∙ 3; 3x – 3y = 3; 5х = 18; х = 3,6. З другого рівняння системи отримаємо: 3,6 – у = 1; у = 2,6. Відповідь: (3,6; 2,6). За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: за 2 кг моркви і 3 кг картоплі заплатили 15 грн. Скільки коштує 1 кг моркви і 1 кг картоплі, якщо 1 кг моркви дорожчий за 1 кг картоплі на 1 грн?

57.18. Розв’яжіть систему рівнянь. Складіть задачу, яка б розв’язувалася за допомогою цієї системи: x – y = 8, 1) � 2х = 20; х = 10. x + y = 12; З першого рівняння системи отримаємо: 10 – у = 8; у = 2. Відповідь: (10; 2). За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: разом двом братам 12 років. Скільки років кожному, якщо різниця у віці складає 8 років?

2x + y = 18, 2) � 5х – 20; х – 4. З першого рівняння системи отримаємо: 3x – y = 2; 8 + у = 18; у =10. Відповідь: (4; 10). За допомогою цієї системи можна розв’язати, наприклад, таку задачу: за 2 кг капусти і 1 кг помідорів заплатили 18 грн. Скільки коштує 1 кг капусти і 1 кг помідорів, якщо 3 кг капусти дорожчі за 1 кг помідорів на 2 грн?

57.19. У ящику і кошику разом 95 яблук. Якщо кількість яблук у ящику зменшити вдвічі, а кількість яблук у кошику збільшити на 25, то яблук у ящику і кошику стане порівну. Скільки яблук у ящику і скільки в кошику? Нехай спочатку у ящику було x яблук, а в кошику — y яблук. Система: x + y = 95, x + y = 95, 2y + 50 + y = 95, 3y = 45, y = 15, �x � � � � = y + 25 | · 2; x = 2y + 50; x = 2y + 50; x = 2y + 50; x = 80.

2 Відповідь: 80 яблук у ящику, 15 яблук у кошику.

57.20. Сума двох чисел дорівнює 45. Знайдіть ці числа, якщо 60 % від одного з них дорівнюють 75 % від другого. Нехай перше число дорівнює x, а друге число — y. Система: x = 45 – y, x = 45 – y, x = 45 – y, x + y = 45, � � � � 0,6x = 0,75𝑦𝑦; 0,6(45 – y) = 0,75𝑦𝑦; 27 – 0,6y = 0,75𝑦𝑦; 27 = 1,35y; x = 45 – y, x = 25, � � y = 20. y = 20; Відповідь: Перше число 25, друге число 20.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 11

3

57.21. Знайдіть два числа, якщо їх сума дорівнює 200 і від одного з них дорівнюють 24 8 від другого. Нехай перше число дорівнює x, а друге число — y. Система: x + y = 200, x + y = 200, x = 200 – у, x = 200 – у, 3 �11 � � � 11x = 9y; 11(200 – у) = 9y; 2200 – 11у = 9y; 𝑥𝑥 = y | · 24; 24 8 x = 200 – у, x = 200 – у, x = 90, � � � у = 110.

2200 = 20y; у = 110; Відповідь: Перше число 90, а друге — 110.

57.22. Змішали два види цукерок вартістю 60 грн і 75 грн за кілограм. Після чого утворилося 20 кг суміші вартістю 66 грн за кілограм. По скільки кілограмів цукерок кожного виду взяли для суміші? Нехай одного виду цукерок взяли x кг, а іншого — y кг. Перше рівняння: x + y = 20. За цукерки заплатили (60x + 75y) грн. Друге рівняння: 60x + 75y = 66 · 20; 6x + 7,5y = 132. Система: x + y = 20 | · (– 6), – 6x – 6y = – 120, � � 6x + 7,5𝑦𝑦 = 132; 6x + 7,5𝑦𝑦 = 132; 1,5y = 12; y = 8. З першого рівняння першої системи отримаємо: x + 8 = 20; x = 12. Відповідь: 12 кг цукерок по 60 грн і 8 кг цукерок по 75 грн.

57.23. З двох сортів печива вартістю 40 грн і 55 грн за кілограм утворили 25 кг суміші вартістю 49 грн за кілограм. По скільки кілограмів печива кожного виду взяли? Нехай одного виду печива взяли х кг, а іншого виду — у кг. Перше рівняння: х + у = 25. За печиво заплатили (40х + 55у) грн. Друге рівняння: 40х + 55у = 49 ∙ 25; 40х + 55у = 1225. Система: x + y = 25 │ ∙ (– 40), – 40x – 40y = – 1000, � 15у = 225; у = 15. � 40x + 55y = 1225; 40x + 55y = 1225; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 15 = 25; х = 10. Відповідь: 10 кг печива по 40 грн і 15 кг печива по 55 грн.

57.24. У двох бідонах разом було 75 л олії. Після того як половину олії з першого бідона перелили в другий, олії в другому стало в 4 рази більше, ніж у першому. По скільки олії було в кожному бідоні спочатку? Нехай у першому бідоні було x л олії, а в другому — у л. Після змін у першому бідоні залишилося 0,5x л олій, а у другому стало y + 0,5x л олій. Система: x + y = 75, x + y = 75, x + y = 75, x + 1,5x = 75, � � � � 1,5x = 𝑦𝑦; 4 · 0,5x = 𝑦𝑦 + 0,5𝑥𝑥; 2x = 𝑦𝑦 + 0,5𝑥𝑥; 1,5x = 𝑦𝑦; x = 30, 2,5x = 75, � � 1,5x = 𝑦𝑦; y = 45. Відповідь: У першому бідоні було 30 л олії, а у другому — 45 л олій.

57.25. На двох полицях разом 57 книжок. Після того як з першої полиці переставили 5 книжок на другу, книжок на другій полиці стало вдвічі більше, ніж на першій. По скільки книжок було на кожній полиці спочатку? Нехай на першій полиці було x книжок, а на другій — у книжок. Після переставлення на першій полиці залишилося (x – 5) книжок, а на другій стало (y + 5) книжок. Система: x + y = 57, x + y = 57, x + y = 57, 3x = 72; x = 24. З першого � � � 2(x – 5) = 𝑦𝑦 + 5; 2x – 10 = 𝑦𝑦 + 5; 2x – 𝑦𝑦 = 15; рівняння системи отримаємо: 24 + y – 57 = 33. Відповідь: На I полиці 24 книжки, на II полиці 33 книжки.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

57.26. За 5 світильників і 4 ліхтарики заплатили 896 грн. Після того як світильники подешевшали на 15 %, а ліхтарики подорожчали на 10 %, один світильник і один ліхтарик разом стали коштувати 196 грн. Якою була початкова вартість світильника і якою – ліхтарика? Нехай початкова ціна світильника х грн, а ліхтарика — у грн. Перше рівняння: 5х + 4у = 896. Змінена вартість світильника становить х – 0,15 х = 0,85х (грн), а ліхтарика — y + 0,1y – 1,1y (грн). Друге рівняння: 0,85х + 1,1y = 196. Система: 5x + 4y = 896│ ∙ 1,1, 5,5x + 4,4y = 985,6, � 2,1x = 201,6; х = 96. � 0,85x + 1,1y = 196 │ ∙ (– 4); – 3,4x – 4,4y = – 784; З першого рівняння першої системи отримаємо: 480 + 4у = 896; 4y = 416; у = 104. Відповідь: Світильник коштував 96 грн, а ліхтарик — 104 грн.

57.27. Два кондитерських цехи за день мали разом виготовити 300 тортів. Коли перший цех виконав 55 % свого завдання, а другий – 60 % свого, виявилося, що перший цех виготовив на 27 тортів більше, ніж другий. По скільки тортів мав виготовити кожен цех? Нехай перший цех повинен виготовити х тортів, а другий цех — у тортів. Система: x + y = 300 │ ∙ 0,6, 0,6x + 0,6y = 180, � 1,15х = 207; х = 180. � 0,55x – 0,6y = 27; 0,55x – 0,6y = 27; З першого рівняння першої системи отримаємо: 180 + у = 300; у = 120. Відповідь: 180 тортів і 120 тортів.

2 57.28. Якщо чисельник даного дробу збільшити на 7, то дріб дорівнюватиме . Якщо ж 3 знаменник даного дробу збільшити на 2, то дріб дорівнюватиме 0,25. Знайдіть цей дріб. Нехай чисельник дробу дорівнює x, а знаменник дробу — у. Система рівнянь: x+7 2 = , 3(x + 7) = 2y, 3x + 21 = 2y, 3x – 21 = – 21, y 3 � x � � � 1 = ; 4x = y + 2; 4x = y + 2; 4x – y = 2 | · ( – 2); y+2 4 3x – 21 = – 21, –5x = –25; x = 5. � – 8x + 2y = – 4; З другого рівняння другої системи отримаємо: 20 = y + 2; y = 18.

5 Початковий дріб дорівнював .

18

5

Відповідь: .

18 57.29. Якщо чисельник дробу зменшити на 2, то дріб дорівнюватиме 0,5. Натомість, якщо 1 знаменник дробу збільшити на 11, то дріб дорівнюватиме . Знайдіть цей дріб.

3 Нехай чисельник дробу дорівнює x, а знаменник дробу — у. Система рівнянь: x–2 1 = , 2(x– 2) = y, 2x – y = 4 | · ( – 1); 2 · 7 – y = 4; y = 10; y 2 � � x � � � 1 3x – y = 11; x = 7; x = 7. = ; 3x = y + 11; y + 11

3

Тоді початковий дріб 7

7

.

10

Відповідь: .

10 57.30. Скільки грамів кожного з 2–відсоткового і 6–відсоткового розчинів солі треба взяти, щоб з них одержати 200 г 5–відсоткового розчину? Нехай треба взяти х грамів 2–відсоткового розчину солі та у грамів 6–відсоткового розчину солі. Перше рівняння: х + у = 200. У 2–відсотковому розчині буде 0,02х грамів  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

солі, у 6–відсотковому розчині — 0,06у грамів солі, а у 5–відсотковому ; розчині — (0,02x + 0,06у) грамів. Друге рівняння: 0,02х + 0,06у = 0,05 ∙ 200; 0,02х + 0,06у = 10. Система: x + y = 200; x + y = 200; � –2у = –300; у =150. � 0,02x + 0,06y = 10│: (– 0,02); – x – 3y = – 500; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 150 = 200; х = 50. Відповідь: 50 грамів 2%–го розчину і 150 грамів 6%–го розчину.

57.31. В одному сплаві міститься 9 % цинку, а в другому – 24 %. По скільки грамів кожного сплаву треба взяти, щоб одержати зливок масою 260 г, що містить 15 % цинку? Нехай потрібно взяти першого сплаву х г, а другого сплаву — у г. Перше рівняння: х + у = 260. У першому сплаві міститься 0,09х г цинку, в другому — 0,24у г цинку, а у 260 г сплаву — (0,09х + 0,24у) г цинку. Друге рівняння: 0,09х +0,24у = 0,15 ∙ 260; 0,09х + 0,24у = 39. Система: – 0,09x – 0,09y = – 23,4; �x + y = 260 │ ∙ (– 0,09); � 0,15y = 15,6; у = 104.

0,09x + 0,24y = 39; 0,09x + 0,24y = 39; З першого рівняння першої системи отримаємо: х + 104 = 260; х = 156. Відповідь: 156 г першого сплаву і 104 г другого сплаву.

57.32. Чотири роки тому батько був у 8 разів старший за сина, а через 20 років батько стане вдвічі старший за сина. Скільки років кожному з них зараз? Нехай батькові х років, а синові — у років. Система: x – 4 = 8y – 32, x – 8y = – 28 │ ∙ (– 1), – x + 8y = 28, x – 4 = 8(y – 4), � � � � x – 2y = 20; x – 2y = 20; x + 20 = 2y + 40; x – 2y = 20; 6у = 48; у = 8. З другого рівняння останньої системи отримаємо: х – 16 = 20; х = 36. Відповідь: Батькові 36 років, а синові — 8 років.

57.33. Якщо суму цифр двоцифрового числа збільшити в 5 разів, то вона дорівнюватиме самому числу. А якщо його цифри поміняти місцями, то воно збільшиться на 9. Знайдіть дане число. Нехай цифра в розряді десятків дорівнює x, а в розряді одиниць — y. Перше рівняння: 5(x + y) = 10x + y; 5x + 5y = 10x + y; 5x + 5y – 10x – y = 0; 4y – 5x = 0. Якщо цифри числа поміняти місцями, то отримаємо число, яке дорівнює 10y + x. Друге рівняння: (10y + x) – (10x + y) = 9; 10y + x – 10x – y = 9; 9y – 9x = 9; y – x = 1. Система: 5(x + y) = 10x + y, 5x + 5y – 10x – y = 0, � � 10x + x – 10y – y = 9; 10x + y = 10y + x + 9; x = 0,8y; x = 0,8y; x = 0,8y; y = 0,8 · 5; 4y – 5x = 0; x = 4; � � � � � � y = 5. y – x = 1; 0,2y = 1; 9y – 9x = 9; y = 5; y = 5; Дане число – 45. Відповідь: 45.

57.34. Розкладіть на множники многочлен: 1) m2 + 10m + 25 = (m + 5)2; 2) с2 – 8с + 16 = (с – 4)2; 3) р2 – 0,36 = (р – 0,6)(p + 0,6); 4) –49а2 + b2 = b2– 49а2 = (b – 1a)(b + 1а).

57.35. Спростіть вираз: 1) 2х(3х – 4x3) – (х + 3х2)2 = 6х2 – 8х4 – x2 – 6х3 – 9х4 = 5x2 – 17х4 – 6х3; 2) 2р2(2р2 – 6pm) – (2p2 – 3mр)2 = 4р4 – 12р3m – 4р4 + 12р3m – 9m2р2 = –9m2р2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

57.36. Побудуйте графік функції: – 3x, якщо x < – 1, y = �3, якщо – 1 ≤ x ≤ 1, 2x + 1, якщо x > 1. y = –3x, x < –1 x –2 –3 y 6 9 y = 3, –1 ≤ x ≤ 1 x –1 1 y 3 3

shkola.in.ua

y = 2x + 1, x > 1 x 2 3 y 5 7 57.37. Діти 11–15 років на кожний кілограм своєї маси мають щоденно вживати 2,6 г білків, 2,3 г жирів, 10,4 г вуглеводів. Виходячи з власної маси тіла, визначте, скільки жирів, білків і вуглеводів маєте щоденно вживати ви.

1) 2,6 + 2,3 + 10,4 = 15,3 (г) – білків, жирів, вуглеводів щоденно на 1 кг; 2) 48 · 15,3 = 734,4 (г) – всього білків, жирів, вуглеводів щоденно.

57.38. Задача Ньютона. Трава на галявині росте рівномірно щільно й швидко. Відомо, що 70 корів з’їли б її за 24 дні, а 30 корів – за 60 днів. Скільки корів з’їли б усю траву за 96 днів? Траву, яку можуть з’їсти m корів за один день, одна корова може з’їсти за m днів. Тому траву, яку з’їли 70 корів за 24 дні, одна корова з’їсть за 70 · 24 = 1680 (днів), а ту траву, яку 30 корів з’їдають за 60 днів, вистачить одній корові на 30 · 60 = 1800 (днів). Оскільки трава росте рівномірно, то за 60 – 24 = 36 (днів) виросте стільки трави, що вистачить одній корові на 1800 – 1680 = 120 (днів). Отже, ту кількість трави, яку одна корова з’їдає за 1800 + 120 = 1920 (днів), за 60 + 36 = 96 (днів) можуть з’їсти 1920 : 96 = 20 (корів). Відповідь: 20 корів. ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА РОБОТА №11 1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними? Лінійним є рівняння 2х – 3y = 7. Відповідь: B).

2. Укажіть точку, що належить графіку рівняння х + y = 6. Графіку рівняння належить точка (2; 4), бо 2 + 4 = 6. Відповідь: Б).

3. Укажіть пару чисел, що є розв’язком системи рівнянь Розв’язком системи є пара чисел (4; –3), бо 4 – (– 3) = 7, 7 = 7, � � 4 + (– 3) = 1; 1 = 1. Відповідь: Г).

4. Розв'язком якого рівняння є пара чисел (2; −1)?

3х + у = 5; 3 · 2 + (–1) = 5. Отже, рівняння 3х + у = 5 є розв’язком пари чисел (2; –1). Відповідь: Б).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь y = 3x – 5, 3𝑥𝑥 – y = 5, y = 3x – 5, � � � 4x + 3y = 11; 4x + 3(3x – 5) = 11; 4x + 9x – 15 = 11; y = 3x – 5, y = 3 · 2 – 5, x = 2, � � � y = 1.

13x = 26; x = 2; Відповідь: А).

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь 4x – 7𝑦𝑦 = 11, x = 1, x = 1, x = 1, 7x = 7, � � � � � 3x + 7y = – 4; 3x + 7y = – 4; 3 · 1 + 7y = – 4; 7y = – 7; y = – 1. Відповідь: Г).

7. Серед розв'язків рівняння x + 2y = −18 знайдіть пару рівних між собою чисел. x + 2y = −18; х = –2у – 18. Якщо у = –6, то х = –2 · (–6) – 18; х = –6. Відповідь: Б).

8. Для якого значення m графік рівняння mx + 3y = 5 проходить через точку (−2; 3)?

5−3𝑦𝑦 5−3∙3 mx + 3y = 5; mx = 5 – 3y; 𝑚𝑚 = ; 𝑚𝑚 = ; m = 2. 𝑥𝑥 −2 Відповідь: A).

9. З пунктів A i В, відстань між якими 60 км, вирушили одночасно пішохід і велосипедист. Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то зустрінуться через З год, а якщо вони рухатимуться в одному напрямі, то велосипедист наздожене пішохода через 5 год. Знайдіть швидкість пішохода. Нехай швидкість пішохода дорівнює х км/год, а швидкість велосипедиста — y км/год (у > х). Якщо вони рухатимуться назустріч один одному, то пішохід подолає до зустрічі шлях 3х км, а велосипедист — 3 км. Маємо перше рівняння: 3х + 3у = 60. Якщо велосипедист наздоганятиме пішохода, то пішохід за 5 год подолає 5х км, а велосипедист — відстань від A до B і ще шлях, який пройде пішохід, що разом складатиме 5 км. Друге рівняння: 5х + 60 = 5у. Одержуємо систему: 3x + 3y = 60, x + y = 20, x + y = 20, x + 16 = 20, x = 4, � � � � � y = 16; y = 16.

2y = 32; 5x + 60 = 5y; y – x = 12; Отже швидкість пішохода дорівнює 4 км/год. Відповідь: Б).

10. Скільки є пар натуральних чисел, які є розв'язками рівняння 2x + y = 9? y = 9 – 2x > 0; 9 – 2x > 0; 2x < 9; x < 4,5. Оскільки х натуральне число, можливі значення х: 1, 2, 3, 4. Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 1 = 9 – 2 = 7; Якщо х = 2, то y = 9 – 2 · 2 = 9 – 4 = 5; Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 3 = 9 – 6 = 3; Якщо х = 1, то y = 9 – 2 · 4 = 9 – 8 = 1. Можливі 4 пари: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1). Відповідь: Б).

11. Графік функції y = kx + b проходить через точки (1; 4) і (−2; 13). Знайдіть k. Точка (1; 4): тобто k · 1 + b = 4; Точка (–2; 13): тобто k · (–2) + b = 13; 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 = 4, Маємо систему рівнянь: � −2k + b = 13; Віднімемо перше рівняння від другого: (–2k + b) – (k + b) = 13 – 4; –3k = 9; k = –3. Відповідь: B).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12. При якому значенні а система рівнянь має безліч розв’язків? Система рівнянь має безліч розв’язків, коли відповідні коефіцієнти у рівняннях 2 –3 8 1 2 1 пропорційні: = = = ; = , звідки а = 4. a –6 16 2 a 2 Відповідь: A).

13. Установіть відповідність між графіком рівняння (1–3) та точками перетину графіка з осями координат (А–Г).

1. 2х – 5у = 10 – В. (5; 0), (0; –2).

2. 5х + 3у = 15 – Г. (3; 0), (0; 5).

3. –3x + 4у = 12 – А. (–4; 0), (0; 3). Відповідь: 1 – В); 2 – Г); 3 – А). ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО §§ 52-57 1. Яке з рівнянь є лінійним рівнянням з двома змінними: 1) 2х + 3у = 9.

2. Чи є розв’язком рівняння 2х + у = 7 пара чисел: 1) 2 ∙ 3 + (–5) ≠ 7; 2) 2 ∙ 4 + (–1) = 7; 6 – 5 ≠ 7; 8 – 1 = 7; 1 ≠ 7.

7 = 7. Отже, пара чисел (3 ;–5) не є розв’язком Отже, пара чисел (4; –1) є розв’язком рівняння 2х + у = 7; рівняння 2х + у = 7. x + y = 11, 3. Чи є розв’язком системи � пара чисел: x –y = 3 1) (6; 5) – Ні.

2) (7; 4) – Так. y = 3𝑥𝑥, 4. Розв’яжіть графічним способом систему рівнянь: � 2x + y =– 5 у = 3х x 0 1 y 0 3 2х + у = –5 x –2 0 y –1 –5

shkola.in.ua

Відповідь: (–1; –3).

5. Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь: x = 3y + 5, x − 3y = 5, x = 3y + 5, x = 3y + 5, � � � � 2x + y = 3; 2(3y + 5) + y = 3; 6y + 10 + y = 3; 7y = −7; x = 3(−1) + 5, x = 2, � � y = −1. y = −1; Відповідь: (2; −1).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6. Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь: x = 3, 5x + 3y = 3, 9x = 27, x = 3, � � � � 4x − 3y = 24; 4x − 3y = 24; 4 · 3 − 3y = 24; 12 − 3y = 24; x = 3, x = 3, � � 3y = −12; y = −4. Відповідь: (3; −4).

7. Розв’яжіть систему рівнянь: 2(x + 3) = 7y − 5, 2x + 6 − 7y = −5, � � 6(x − 3) − 5(y + 1) = −24; 6x − 18 − 5y − 5 = −24; 2x − 7y = −11 | · – 3, −6x + 21y = 33, � � 6x − 5y = −1; 6x − 5y = −1; −6x + 21y = 33, −6x + 21 · 2 = 33, −6x = – 9, x = 1,5, � � � � y = 2; y = 2. y = 2.

16y = 32; Відповідь: (1,5; 2).

8. За 8 зошитів і 3 блокноти заплатили 93 грн. Після того, як зошит подорожчав на 15 %, а блокнот подешевшав на 10 %, за один зошит і один блокнот заплатили 20,4 грн. Якими були початкові ціни зошита і блокнота? Нехай початкова ціна зошити х грн, а блокноту — у грн. Перше рівняння: 8х + 3у = 93. Змінена вартість зошита становить х + 0,15х = 1,15х (грн), а блокноту — y – 0,1y = 0,9y (грн). Друге рівняння: 1,15х + 0,9y = 20,4. Система: 8x + 3y = 93 │ ∙ 1,2, 9,6x + 3,6y = 111,6, � � 1,15x + 0,9y = 20,4 │ ∙ (– 4); – 4,6x – 3,6y = – 81,6.

5x = 30; х = 6. З першого рівняння першої системи отримаємо: 48 + 3у = 93; 3y = 45; у = 15. Відповідь: зошит коштував 6 грн, а блокнот — 15 грн.

9. Побудуйте графік рівняння x+2 y–3 1 + = – | · 12; 4 6 12 3(x + 2) + 2(y – 3) = –1; 3x + 6 + 2y = –1; 3x + 2y = –1; 2y = –3x – 1; y = –1,5x – 0,5. y = –1,5x – 0,5 x –1 1 y 1 –2

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

10. Графік функції y = kx + b проходить через точки (3; −4) і (−12; −9). Знайдіть k і b.

1

1 k = , −4 = 3k + b, 4 = −3k − b, −5 = −15k, k = , 3 3 � � � � � −9 = −12k + b; −9 = −12k + b; 4 = – 3k – b; 4 = – 3 · 1 – b; b = – 5.

1

Відповідь: k = , b = −5.

3 11. Для якого значення a система рівнянь має безліч розв'язків.

7x – ay = 5 │ ∙ 3, 21x – ay = 15, � � 21x + 6y = 15; 21x + 6y = 15; a = 6.

3

Вправи для повторення теми 11 1. Чи є пара чисел (7; 1) розв’язком рівняння х – у = 6? Знайдіть ще чотири розв’язки цього рівняння. Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 7 – 1 = 6; 6 = 6; пара чисел (9,5; 3,5) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: 9,5 – 3,5 = 6; 6 = 6; пара чисел (–8; –14) є розв’язком рівняння х – у = 6, бо: –8 + 14 = 6; 6 = 6; 2 2 2 2 пара чисел (12 ; 6 ) є розв’язком рівняння x – у = 6, бо: 12 – 6 = 6; 6 = 6.

3 3 3 3 2. Знайдіть два будь–яких розв’язки рівняння: 1) Розв’язками рівняння 2x + у = 4 є, наприклад, пара чисел (1; 2), бо: 2 ∙ 1 + 2 = 4; 4 = 4 і пара чисел (–5; 14), бо: 2 ∙ (–5) + 14 = 4; 4 = 4; 2) розв’язками рівняння х – 3у = 7 є, наприклад, пара чисел (1; –2), бо: 1 – 3 ∙ (–2) = 7; 7 = 7 і пара чисел (11,5; 1,5), бо: 11,5 – 3 ∙ 1,5 = 7; 7 = 7.

3. Виразіть: 1) змінну у через змінну х з рівняння 7х – у = 18; 2) змінну х через змінну у з рівняння 3х + 9у = 0; 3) змінну у через змінну х з рівняння 13x – 2у = 6; 4) змінну х через змінну у з рівняння 8х + 15у = 24.

1) 7х – у = 18; 2) 3x + 9у = 0; 3) 13х – 2у = 6; 4) 8х + 15у = 24; у = 7x – 18; 3х = –9у; 2у = 13х – 6; 8x = 24 – 15у; х = –3у; у = 6,5х – 3; х = 3 – 1,875х.

4. Замініть «зірочки» числами так, щоб кожна з пар (*; 3); (6; *); (*; –3); (15; *) була розв’язком рівняння х – 3у = 9. Пара чисел (18; 3) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 18 – 3 ∙ 3 = 9; 9 = 9; пара чисел (6; –1) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 6 – 3 ∙(–1)= 9; 9 = 9; пара чисел (0; –3) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 0 – 3 ∙(–3) = 9; 9 = 9; пара чисел (15; 2) є розв’язком рівняння х – 3у = 9, бо: 15 – 3 ∙ 2 = 9; 9 = 9.

5. Доведіть, що рівняння з двома змінними не має розв’язків: 1) x2 + у2 = –4. Рівняння не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу –4. Отже, рівняння не має розв’язків; 2) |x| + у2 + 1 = 0. Сума невід’ємних чисел |x|, у2 і додатного числа 1 не може дорівнювати нулю. Отже, рівняння не має розв’язків; 3) –|x| – |у| = 5; –(|x| + |у|) = 5 . Недодатне число не може дорівнювати додатному числу. Отже, рівняння не має розв’язків; 4) 2х4 + 3|y| = –2. Сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу. Отже, рівняння не має розв’язків.

6. Знайдіть усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння. |x| + |y| = 2. Якщо невід’ємні числа |x| і |у| є цілими і ї сума дорівнює 2, то пара (|х|; |y|) може набувати значень: (0; 2); (1; 1); (2; 0). Отже, розв’язками рівняння є пари чисел: (0; 2); (0; –2), (–1; 1); (–1; –1); (1; 1); (1; –1); (–2 ; 0); (2; 0).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

7. Побудуйте графік рівняння: 1) x – y = 1 x 0 1 y –1 0

2) 1,5x + y = 7 x 2 4 y 4 1

shkola.in.ua shkola.in.ua

3) x – 4y = 5 x –3 1 y –2 –1

4) 0,1x + 0,2y = 2 x 4 8 y

8

6

shkola.in.ua shkola.in.ua

8. Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь х + у = 5 і 7x – 4у = 2. Знайдіть координати точки їх перетину. Переконайтеся, що знайдена пара є розв’язком кожного з рівнянь. х+у=5 x 0 5 y 5 0 7x – 4у = 2 x 2 –2 y 3 –4 Графіки рівнянь х + у = 5 і 7х – 4у = 2 перетинаються в точці Н(2; 3). Знайдена пара є розв’язком рівняння х + у = 5, бо: 2 + 3 = 5; 5 = 5 і розв’язком рівняння 7х – 4у = 2, бо: 7 ∙ 2 – 4 ∙ 3 = 2; 2 = 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

9. Ордината деякої точки прямої, що є графіком рівняння –9x + 5у = 27, дорівнює нулю. Знайдіть абсцису цієї точки.

–9х + 5у = 27. Якщо у = 0, то: –9х = 27; х = –3.

10. Побудуйте графік рівняння: 1) |x| + y = 0; x , якщо 𝑥𝑥 < 0. y=–� – x, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0. y = x, x < 5 x –2 –5 y –2 –5 y = –x, x ≥ 0 x 2 3 y –2 –3

shkola.in.ua

2) |x| + x – y = 0; y = |x| = x; 0 , якщо 𝑥𝑥 < 0. y=� 2x, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0. y = 0, x < 0 x

–1

–5

y

0

0

shkola.in.ua

y = 2x, x ≥ 0 x 0 2 y

0

4

11. Побудуйте частину графіка рівняння 2x + y = 6, яка розташована в першій координатній чверті. Якщо частина графіка 2x + y = 6 розміщена у першій чверті, то x ≥ 0 і y ≥ 0.

2x + y = 6, x ≥ 0, y ≥ 0 x

0

3

y

6

0

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел: x − y = 0, 1) Пара чисел (5; 5) не є розв’язком системи � бо: x + y = 8, x + y = 5 + 5 = 10; 10 ≠ 8; x − y = 0, 2) Пара чисел (4; 4) є розв’язком системи � бо: x + y = 8, 4 − 4 = 0, 0 = 0, � � 4 + 4 = 8; 8 = 8.

13. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) y = –4x x

0

1

y

0

–4

2x + y = –6 x

–1

–2

y

–4

–2

shkola.in.ua

Графіки перетинаються в точці S(3; –12). Розв’язком системи є пара чисел (3; –12); 2)

5x + y = 3 x

0

1

y

3

–2

x + 2y = –3 x

1

–3

y

–2

0

Графіки перетинаються в точці C (1; –2). Розв’язком системи є пара чисел (1; –2).

14. Розв’яжіть систему рівнянь графічно: 1) 0x + 3y = 6; y = 2. y=2 x 0 5 y 2 2 3x – 2y = 2 x 0 2 y –1 2 Графіки перетинаються в точці L(2; 2). Розв’язком системи є пара чисел (2; 2);  shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 7,1x = –14,2; x = –2. x = –2 x

–2

–2

y

3

0

shkola.in.ua

2x + 7y = 17 x

5

–2

y

1

3

Графіки перетинаються в точці B(–2; 3). Розв’язком системи є пара чисел (–2; 3).

15. При якому значенні a система рівнянь: 2x + y = 5 | · 3, 6x + 3y = 15, 1) Система: � має безліч розв’язків, якщо a = 3; � 6x + ay = 15; 6x + ay = 15; 3x – 2y = 7 | · (– 2), – 6x + 4y = – 14, 2) Система � не має розв’язків, якщо a ≠ –14. � – 6x + 4y = a; – 6x + 4y = a; 16. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: x = y − 7, x = y − 7, x = y − 7, x = y − 7, x = 1, 1) � � � � � y = 8.

2x − y = −6; 2(y − 7) − y = −6; 2y − 14 − y = −6; y = 8; Відповідь: (1; 8). y = 1 − 2x, 2x + y = 1, 2) � � 3x − 5y = 21; 3x − 5(1 − 2x) = 21; y = 1 − 2x, y = 1 − 2x, y = 1 − 2x, y = −3, � � � � x = 2; 3x − 5 + 10x = 21; 13x = 26; x = 2. Відповідь: (2; −3).

3x − 4y = −19, 3x − 4y = −19, 3(27 − 7y) − 4y = −19, 3) � � � x + 7y = 27; x = 27 − 7y; x = 27 − 7y; 81 − 21y − 4y = −19, −25y = −100, y = 4, � � � x = 27 − 7y; x = 27 − 7y; x = −1. Відповідь: (−1; 4); 5x + 7y = −3, 5x + 7y = −3, 5x + 7(8x + 17) = −3, 4) � � � 8x − y = −17; y = 8x + 17; y = 8x + 17; 5x + 56x + 119 = −3, 61x = −122, x = −2, � � � y = 8x + 17; y = 1. y = 8x + 17; Відповідь: (−2; 1).

17. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь: Щоб знайти координати точки перетину графіків рівнянь 2x + 3y = 0 і 4x − 5y = −22 досить розв’язати систему.

2x + 3y = 0, x = −1,5y, x = −1,5y, x = −1,5y, 1) � � � � 4x − 5y = −22; 4(−1,5y) − 5y = −22; −6y − 5y = −22; −11y = −22; x = −1,5y, x = −3, � � y = 2. y = 2; Відповідь: (−3; 2).

4x − 7y = 34, 7y = −34 + 4x, 7y = −34 + 4x, 7y = −34 + 4 ∙ 5, 2) � � � � 2x + 7y = −4; 2x − 34 + 4x = −4; 2x = 60; x = 5; 7y = −14, y = −2, � � x = 5; x = 5; Відповідь: (5; –2).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

18. Розв’яжіть систему рівнянь: 3(у − х) − 4 = −7y, 3у − 3х − 4 = −7y, 10у − 3х = 4, 1) � � � 5х + 5у + 9 = 8х; 5y − 2x = −9; 5(х + у) + 9 = 8х; 10y − 4

10y − 4 , х = 3х = 10y − 4, , x = 3 3 � � � 5y − 3x = −9; 5y − 3 10y − 4 = −9; 5y − 10y + 4 = −9; 10y − 4

3

13

10

−4

5 , x = x = , x = 3 3 3 � � � 13 13 −5y = −13; ; y = y = ; 5

10y − 4

22 13

Відповідь: ( ; x

5

).

3

5

+

y+7

22

, x = 3 , � 13 y = .

5

+ y = 5 | · 2, x + 2y = 10, x = 10 − 2y, x = 10 − 2y, 2) � 2 y � � � x − = 3 | · 3; 3x − y = 9; 3(10 − 2y) − y = 9; 30 − 6y − y = 9; 3 x = 10 − 2y, x = 10 − 2y, x = 4, � � � y = 3. y = 3; −7y = −21; Відповідь: (4; 3).

19. Розв’яжіть систему рівнянь: 2x − 1 5

�3x − 1

2y + 1

2

= 5 | · 6,

2x + 8y

�

2(2x − 1) + 3(y + 7) = 30, 3(3x − 1) + 5(2y + 1) = 6x + 8y;

+ = | · 15; 5 3 15 4x − 2 + 3y + 21 = 30, 4x + 3y = 11, 4x + 3y = 11, � � � 9x − 3 + 10y + 5 = 6x + 8y; 3x + 2y = −2; 2y = −2 − 3x; −2 − 3x

4x + 3y = 11, 4x + 3 = 11 | · 2, 8x − 3(2 + 3x) = 22, 2 −2 − 3x � � −2 − 3x � −2 − 3x y = ; ; y = ; y = 2

2

2

8x − 6 − 9x = 22, x = −28, −2 − 3x � � y = 41. ; y = 2 Відповідь: (−28; 41).

20. Розв’яжіть рівняння з двома змінними: 1) |x − y| + (x + 2y − 1)2 = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: x = y, x = y, |x − y| = 0, x − y = 0, �y + 2y − 1 = 0; �3y = 1; � � (x + 2y − 1)² = 0; x + 2y − 1 = 0; x = y,

1

, 3 �y = 1 ; � 1 y = .

3

x = 1 1

3

Відповідь: ( ; ).

3 3 2) |x + y − 6| + x2 − 4xy + 4y2 = 0; |x + y − 6| + (x − 2y)2 = 0. Сума двох невід’ємних чисел |x + y − 6| і (x − 2y)2 дорівнює нулю лише тоді, коли кожен із цих доданків дорівнює нулю. Маємо: x + y − 6 = 0, −x − y = −6, −3y = −6, y = 2, y = 2, � � � � � x − 2y = 0; x − 2y = 0; x − 2y = 0; x − 2 · 2 = 0; x = 4. Відповідь: (4; 2).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

21. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: 2x + y = 3, 5x + y = 6 | · (−1), 1) � 5x = 10, x = 2.

2) � 3x − y = 7; 5x + 9y = 14; −5x − y = −6, З першого рівняння системи отримаємо: 8y = 8; y = 1. � 4 + y = 3; 5x + 9y = 14; y = −1. З першого рівняння першої системи Відповідь: (2; −1). отримаємо: 5x + 1 = 6; 5x = 5; x = 1. Відповідь: (1; 1); 4x − 5y = 2 | · 3, x + 9y = −7 | · (−3), 3) � 4) � 3x − 7y = 13; 7x + 15y = 51; −3x − 27y = 21, 12x − 15y = 6, −34y = 34; y = −1. � 19x = 57; x = 3. � 3x − 7y = 13; 7x + 15y = 51; З першого рівняння першої системи З першого рівняння першої системи отримаємо: отримаємо: x − 9 = −7, 12 – 5y = 2; x = 2.

5y = 10; Відповідь: (2; −1); y = 2. Відповідь: (3; 2).

22. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: 7x + 2y = 3 | · (−3), 7x + 12y = 53 | · (−3), 1) � 2) � 4x + 3y = −2 | · 2; 5x − 18y = −2 | · 2; −21x − 6y = −9, 21x + 36y = 159, −13x = −13, x = 1. � 31x = 155; x = 5. � 8x + 6y = −4; 10x − 36y = −4; З першого рівняння першої системи З першого рівняння першої системи отримаємо: отримаємо: 7 + 2y = 3; 35 + 12y = 53, 2y = −4; 12y = 18; y = −2. y = 1,5. Відповідь: (1; −2); Відповідь: (5; 1,5).

4x + 7y = −5 | · (−3), 3) � 6x + 9y = −6 | · 2; −12x − 21y = −15, −3y = −3; y = 1. � 12x + 18y = −12; З першого рівняння першої системи отримаємо: 4x − 7 = −5; 4x = 2, x = 0,5. Відповідь: (0,5; −1);

5(a − 3b) + 6a = 7, 0,5(a + 6b) − 1,5b = 2,5; 5a − 15b + 6a = 7, � 0,5a + 3b − 1,5b = 2,5; 11a − 15b = 7, � 0,5a + 1,5b = 2,5 | · 10; 11a − 15b = 7, 16a = 32; a = 2. � 5a + 15b = 25; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 22 – 15b = 7; 156 = 15; b = 1. Відповідь: (2; 1).

4) �

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

23. З’ясуйте кількість розв’язків системи рівнянь залежно від коефіцієнта a 2x + y = 3 | · 2, 4x + 2y = 6, � � 4x + ay = 6.

4x + ay = 6; Якщо a = 2, то система має безліч розв’язків. Якщо a ≠ 2, то система має один розв’язок.

24. Розв’яжіть систему рівнянь трьома способами (графічним, підстановки, додавання): 1) a) Розв’язування системи рівнянь графічним способом: x − 2y = 3 x 3 5 y 0 1

x y

x + y = −1 0 2 −1 −3

shkola.in.ua 1

4

Наближено графіки перетинаються в точці L( ; − ).

3

1

3

4

Наближеним розв’язком системи є пара чисел ( ; − ).

3

3

б) розв’язування системи рівнянь методом підстановки:

4

y = − , −3y = 4, x − 2y = 3, x − 2y = 3, −1 − y − 2y = 3, 3 � � � � � 1 x = −1 − y; x = −1 − y; x + y = −1; x = −1 − y; x = .

1

4

Відповідь: ( ; − ).

3 3 в) розв’язування системи рівнянь методом додавання: x − 2y = 3 | · (−1), −x + 2y = −3, 4 3y = −4; y = − . � � 3 x + y = −1; x + y = −1; 4 1 З другого рівняння першої системи отримаємо: x − = −1; x = .

1

3

4

Відповідь: ( ; ); 3 3 2) а) розв’язування системи рівнянь графічним способом: 2x + y = 7 x 1 2 y 5 3

3

3

shkola.in.ua

−x + 3y = 0 x −3 0 y −1 0 Графіки перетинаються в точці E(3; 1). Розв’язком системи є пара чисел (3; 1). б) розв’язування системи рівнянь методом підстановки: y = 7 − 2x, 2x + y = 7, y = 7 − 2x, y = 7 − 2x, � � � � −x + 3y = 0; −x + 3(7 − 2x) = 0; −x + 21 − 6𝑥𝑥 = 0; −7x = −21;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

y = 7 − 2x, y = 1, � � x = 3; x = 3. Відповідь: (3; 1); в) розв’язування системи рівнянь методом додавання: 2x + y = 7, 2x + y = 7, 7y = 7; y = 1. � � −x + 3y = 0 | · 2; −2x + 6y = 0; З першого рівняння першої системи отримаємо: 2x + 1 = 7; 2x = 6; x = 3. Відповідь: (3; 1).

25. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: 2 − 5x = 3(1 − y), 2 − 5x = 3 − 3y, 3y − 5x = 1 | · (−2), 1) � � � 2(x + y) = 0,5x + 5,5; 2x + 2y = 0,5x + 5,5; 1,5x + 2y = 5,5 | · 3.

10x − 6y = −2, 14,5x = 14,5; x = 1. � 4,5x + 6y = 16,5; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 – 6y = −2; −6y = −12; y = 2. Відповідь: (1; 2); 4(x + 7) − 9(y − 136) = 139, 4x + 28 − 9y + 117 = 139, 2) � � 5(x − 1) + 4(3 − y) = −15; 5x − 5 + 12 − 4y = −15; 4x − 9y = −6 | · (−5), −20x + 45y = 30, 29y = −58; y = −2. � � 5x − 4y = −22 | · 4; 20x − 16y = −88; З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 4x + 18 = −6; 4x = −24; x = −6. Відповідь: (−6; −2).

26. Розв’яжіть систему рівнянь: 2𝑥𝑥

1) �3𝑥𝑥3

−

4𝑦𝑦

= 2

=

5 2𝑦𝑦

4

15 13

| · 15,

5 · 2x − 3 · 4y = 34, � | · 35; 5 · 3x + 7 · 2y = −13;

− = − 5 35 10x − 12y = 34 | · 1,5, −15x + 18y = −51, 32y = −64; y = −2. � � 15x + 14y = −13; 15x + 14y = −13; З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 10x + 24 = 34; 10x = 10; x = 1. Відповідь: (1; −2); 7

2x

−

y

x+2

+

y−5

23

| · 40, 16x − 10y = 23, 40 2) �4x 5 3y4 � 1 − = 1 | · 30; 8x − 18y = 31 | · (−2); 15 5 30 16x − 10y = 23, 26y = −39; y = −1,5. � −16x + 36y = −62; З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: 8x + 27 = 31; 8x = 4; x = 0,5. Відповідь: (0,5; −1,5).

27. Розв’яжіть систему рівнянь: = 2 | · 3,

x + 2 + y − 5 = 6, 5 − = | · 6; 3(x + 2) + ( y − 5) = 10; 5 6 3 x + y = 9, x + y = 9, 4x = 8; x = 2. � � 3x + 6 − 𝑦𝑦 + 5 = 10; 3x − 𝑦𝑦 = 9;

1) �x +32

3 y−5

�

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

З першого рівняння останньої системи отримаємо: 2 + y = 9; y = 7. Відповідь: (2; 7); 2𝑥𝑥 + 1

2𝑦𝑦 + 2

=

7

5

1

| · 35, 5(2x + 1) + 7(2y + 2) = 7, � 2(3x − 2) + 𝑦𝑦 + 4 = 16; − = 4 | · 4; 2 4 10x + 5 + 14y + 14 = 7, 10x + 14y = −12 | ∶ 2, 5x + 7y = −6, � � � 6x − 4 + 𝑦𝑦 + 4 = 16; 6x + 𝑦𝑦 = 16 | · (−7); −42x − 7𝑦𝑦 = −112; З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: 7 5 5 6 · 3 + y = 16; y = 16 – 19 = −3 .

2) � 3𝑥𝑥7 − 2

37

−

6 𝑦𝑦 + 4

5

37

37

Відповідь: (3 ; –3 ).

37 37 28. Розв’яжіть систему рівнянь: 2𝑥𝑥 + y = – 2, 2𝑥𝑥 + y = – 2, 1) Система � має безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x). � – 6x– 3y = 6|: (– 3); 2x + y = – 2; Відповідь: безліч розв’язків виду (x; –2 – 2x). 𝑥𝑥 – 3y = 5 | · 2, 2x – 6y = 10, 2) Система � не має розв’язку. � 2x – 6y = 7; 2x – 6y = 7; Відповідь: Не має розв’язку.

29. Чи має розв’язок система рівнянь: 4x + 3y = 1, 1) �7x + 5y = 2, 3x + 2y = 4. Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь (наприклад, першого і третього), а потім перевіряємо, чи буде знайдений розв’язок розв’язком для третього рівняння.

4x + 3y = 1 | · (−2), −8x − 6y = −2, Маємо: � x = 10. � 9x + 6y = 12; 3x + 2y = 4 | · 3; З першого рівняння першої системи отримуємо: 40 + 3y = 1; 3y = −39; y = −13. Підставляємо значення x = 10 і y = −13 у друге рівняння заданої системи й отримуємо: 70 − 65 = 5; 5 ≠ 2. Отже, задана система не має розв’язку. Відповідь: Не має розв’язку.

3x − 4y = 10, 2) � 4x + 7y = 1, 5x + 6y = 4. Розв’язуємо систему, утворену з першого і другого рівнянь.

3x − 4y = 10 | · (−4), −12x − 16y = −40, 37y = −37; y = −1. Маємо: � � 12x + 21y = 3; 4x + 7y = 1 | · 3; З першого рівняння першої системи отримуємо: 3x + 4 = 10; 3x = 6; x = 2. Підставляємо значення x = 2 і y = −1 у третє рівняння заданої системи і отримаємо: 10 − 6 = 4; 4 = 4. Отже, задана система має розв’язком пару чисел (2; −1). Відповідь: (2; −1).

30. Графік прямої y = kx + l перетинає вісь x у точці з абсцисою 4, а вісь y – у точці з ординатою −5.

1) Задайте функцію формулою. Якщо графік прямої y = kx + l проходить через точки (4; 0) і (0; −5), то вони повинні задовольняти систему:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

0 = k · 4 + l, 4k + l = 0, 4k − 5 = 0, 4k = 5, k = 1,25, � � � � � −5 = k · 0 + l; l = −5; l = −5; l = −5; l = −5. Відповідь: y = 1,25x – 5; 2) З’ясуйте, чи проходить її графік через точку (−80; −105). Графік прямої y = 1,25x – 5 проходить через точку (−80; −105), бо: −105 = 1,25 · (−80) – 5; −105 = −105. Відповідь: так.

31. Розв’яжіть систему рівнянь: 3(x − 2y) + x(7 − 2y) = 2y(1 − x), 3x − 6y + 7x − 2xy = 2y − 2xy, 1) � � 4x – 4y – 4 + 5x + 5y – 5 = 32; 4(x – y – 1) + 5(x + y – 1) = 32; 3x − 6y + 7x − 2xy − 2y + 2xy = 0, 10x − 8y = 0, 10x − 8y = 0, � � � 4x – 4y + 5x + 5y = 32 + 4 + 5; 9x + y = 41 | · 8; 72x + 8y = 328.

82x = 328; x = 4. З першого рівняння останньої системи отримаємо: 40 – 8y = 0; 8y = 40; y = 5. Відповідь: (4; 5); (x + 2)² + (y − 1)² = (x + 3)² + (y + 1)², 2) � (y − 2)² + (y + 2)² = (x + 6)² − (x − 1)²; x² + 4x + 4 + y² − 2y + 1 = x² + 6x + y² + 2y + 1, � y² − 4y + 4 − y² − 4y − 4 = x² + 12x + 36 − x² + 2x − 1; x² + 4x + y² − 2y − x² − 6x − y² − 2y = 9 + 1 − 4 − 1, , � y² − 4y − y² − 4y − x² − 12x + x² − 2x = 36 − 1; −2x − 4y = 5 | · (−2), 4x + 8y = −10, −10x = 25; x = −2,5. � � −14x − 8y = 35. −14x − 8y = 35; З першого рівняння останньої системи отримаємо: −10 + 8y = −10; 8y = 0; y = 0. Відповідь: (−2,5; 0).

32. Для якого значення а система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) не має розв’язків? 3) Чи існує таке значення а, при якому система має єдиний розв’язок?

5x + 4y = 2 | · 2, 10x + 8y = 4, 1) Система � має безліч розв’язків, якщо a = 4; � 10x + 8y = a.

10x + 8y = a.

5x + 4y = 2 | · 2, 10x + 8y = 4, 2) Система � не має розв’язків, якщо a ≠ 4; � 10x + 8y = a.

10x + 8y = a.

5x + 4y = 2 | · 2, 10x + 8y = 4, 3) � � 10x + 8y = a.

10x + 8y = a. При всіх значеннях a система або має безліч розв’язків, якщо a = 4, або не має розв’язків, якщо a ≠ 4, тому не існує такого значення a, при якому система має єдиний розв’язок.

33. Для якого значення b система рівнянь 1) має безліч розв’язків; 2) має єдиний розв’язок? Знайдіть цей розв’язок.

12x – 9y = 15, 12x – 9y = 15, 1) Система � має безліч розв’язків, якщо 3b = –9; � 4x + by = 5 | · 3; 12x + 3by = 15; b = –3; 12x – 9y = 15, 12x – 9y = 15, 2) � –9y – 3by = 0; (–9 – 3b)y = 0. � 4x + by = 5 | · 3; – 12x – 3by = – 15; Система має єдиний розв’язок, якщо b ≠ –3. Знайдемо цей розв’язок: y = 0, 12x = 15; x = 1,25.

34. За 3 год автобусом і 5 год потягом турист подолав 450 км. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість потяга, якщо швидкість потяга на 10 км/год більша за швидкість  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

автобуса. Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, а потяга — y км/год. Система: 3x + 5y = 450, 3x + 5y = 450, � 8y = 480; y = 60. � y – x = 10 │ ∙ 3; – 3x + 3y = 30; З другого рівняння першої системи отримаємо: 60 – х = 10; х = 50. Відповідь: Швидкість автобуса 50 км/год, потяга — 60 км/год.

35. За 7 порцій млинців і 2 салати заплатили 468 грн. Скільки коштує одна порція млинців і скільки – один салат, якщо дві порції млинців на 27 грн дешевші за три салати? Нехай одна порція млинців коштує х грн, а одна порція салату — y грн. Система: 7x + 2y = 468 │ ∙ (– 3), – 6y – 21x = – 1404, � –25x = –1350; х = 54. � 6y – 4x = 54; 3y – 2x = 27 │ ∙ 2; З другого рівняння першої системи отримаємо: 3у – 2 ∙ 54 = 27; 3у = 135; у = 45. Відповідь: Одна порція млинців коштує 54 грн, а одна порція салату — 45 грн.

36. Теплохід за 3 год за течією і 2 год проти течії долає 142 км. Цей самий теплохід за 4 год проти течії долає на 14 км більше, ніж за 3 год за течією. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії. Нехай власна швидкість теплохода x км/год, а швидкість течії — y км/год, тоді швидкість теплохода проти течії дорівнює (x – y) км/год, а за течією — (x + y) км/год. Система: 3(x + y) + 2(𝑥𝑥 – 𝑦𝑦) = 142, 3x + 3y + 2𝑥𝑥 – 2𝑦𝑦 = 142, 5x + y = 142, � � � 4x – 4y – 3x – 3y = 14; x – 7y = 14 | · (– 5); 4(x – y) – 3(x + y) = 14; 5x + y = 142, 36y = 72; y = 2. � – 5x + 35y = – 70; З другого рівняння передостанньої системи отримаємо: x – 14 = 14; x = 28. Відповідь: Власна швидкість теплохода 28 км/год, а швидкість течії — 2 км/год.

37. Майстер і його учень повинні були виготовити 114 деталей. Після того як учень пропрацював 2 год, до роботи приєднався майстер, і вони разом закінчили виготовлення деталей за 3 год. Скільки деталей за годину виготовляв майстер і скільки учень, якщо майстер за 2 год виготовляє стільки ж деталей, скільки учень за 3 год? Нехай майстер за 1 год виготовив x деталей, а учень — y деталей.

2y + 3(x + y) = 114, 2y + 3x + 3y = 114, Система: � � 2x – 3y = 0; 2x = 3y; 3x + 5y = 114 | · | (– 2), – 6x – 10y = – 228, –19y = –228; y = 12. � � 6x – 9y = 0; 2x – 3y = 0 | · 3; З другого рівняння першої системи отримаємо: 2x = 36; x = 18. Відповідь: Майстер за год виготовив 18 деталей, а учень — 12 деталей.

38. Два ящики наповнено грушами. Якщо з другого ящика перекласти в перший 10 груш, то в обох ящиках груш стане порівну. Якщо ж з першого ящика перекласти в другий 44 груші, то груш у першому ящику залишиться в 4 рази менше, ніж у другому. Скільки груш у кожному ящику? Нехай у першому ящику було x груш, а в другому — y груш. Система: y – 10 = x + 10, y – x = 20, y – x = 20, � � � 4(x – 44) = y + 44; 4x – 176 = y + 44; – y + 4x = 220; З першого рівняння останньої системи отримаємо: y – 80 = 20; y = 100. Відповідь: У першому ящику було 80 груш, а в другому — 100 груш.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39. Різниця між половиною одного числа і 0,75 другого дорівнює 8. Якщо перше число зменшити на свою сьому частину, а друге збільшити на свою дев’яту частину, то їх сума становитиме 100. Знайдіть дані числа. Нехай перше число дорівнює x, а друге число — y. Перше рівняння: 0,5x – 0,75y = 8 | · 4; 2x – 3y = 32. Перше число після зменшення 1 6 1 1 дорівнює: x – x = x, друге число після збільшення — y + y = 1 y.

7

6

7

9

1

9

Друге рівняння: x + 1 y = 100.

7 9 2x – 3y = 32, 2x – 3y = 32 | · (– 27), 10 Система: �6 � x + y = 100 | · 63; 4(x – 44) = y + 44; 7 9 – 54x + 81y = – 864, 151y = 5436; y = 36. � 54x + 70y = 6300; З першого рівняння першої системи отримаємо: 2x – 108 = 32; 2x = 140; x = 70. Відповідь: Перше число дорівнює 70, а друге — 36.

40. Сума трьох чисел, з яких друге в 5 разів більше за перше, дорівнює 140. Якщо друге число збільшити на 15 %, третє зменшити на 10 %, а перше не змінювати, то сума цих чисел становитиме 139,5. Знайдіть дані числа. Нехай друге число дорівнює х, третє — у, тоді перше — 140 – (х + у) = 140 – х – у. Перше рівняння: х = 5(140 – х – у); х = 700 – 5х – 5у; 6х +5у = 700. Друге число після збільшення дорівнює х + 0,15х = 1,15х, а третє після зменшення — у – 0,1у = 0,9у. Друге рівняння: 1,15х + 0,9у + 140 – х – у = 139,5; 0,15х – 0,1у = –0,5. Система: 6x + 5y = 700 │ ∙ 2, 12x + 10y = 1400, � 27х = 1350; х = 50. � 15x – 10y = – 50; 0,15x – 0,1y = – 0,5 │ ∙ 100; З першого рівняння першої системи отримаємо: 300 + 5у = 700; 5у = 400; у = 80. Перше число дорівнює: 140 – 50 – 80 = 10. Відповідь: Перше число 10, друге — 50, третє — 80.

41. Периметр прямокутника на 154 см більший за одну з його сторін і на 140 см більший за другу. Знайдіть площу прямокутника. Нехай довжина прямокутника дорівнює x, а ширина — y. Система: x + 2y = 154, 2x + 2y – х = 154, x + 2y = 154, –3x = –126; x = 42. � � � 2x + 2y – у = 140; 2x + y = 140│ ∙ (– 2); – 4x – 2у =– 280; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 42 + 2y = 154; 2y = 112; y = 56. Площа прямокутника дорівнює S = xy = 42 ∙ 56 = 2352 (см2). Відповідь: площа прямокутника 2352 см2.

42. Сума цифр деякого двоцифрового числа дорівнює 8. Якщо його цифри поміняти місцями, то одержимо число, що на 18 більше за дане. Знайдіть дане число. Нехай двоцифрове число дорівнює ху = 10х + у. Перше рівняння: х + у = 8.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо поміняти місцями цифри, то отримаємо число ух = 10y + x. Друге рівняння: 10у + х – 10х – у = 18; 9у – 9х = 18; у – х = 2. Система: x + y = 8, 2y = 10; у = 5. � y – x = 2; З першого рівняння системи отримаємо: 5 + х = 8; x = 3. Шукане число 35. Відповідь: 35.

43. У двох бідонах ємністю 20 л і 15 л вже є певна кількість молока. Якщо більший бідон долити до краю молоком з меншого, то в меншому залишиться половина початкової кількості. Якщо ж долити менший бідон до краю молоком з більшого, то в більшому 2 залишиться від початкової кількості. По скільки літрів молока в кожному бідоні?

3 Нехай у меншому бідоні х л молока, а у більшому — у л молока. У більший бідон з 1 2 1 меншого долили молока л, у менший бідон з більшого (1 – )y = y л молока. Система: 1

2

3

3

x + y = 20 │ ∙ 2, x + 2y = 40, 1 x + y = 15│∙(–6); х = 10. � 3 – 5x = – 50; – 6 – 2y = – 90; З першого рівняння останньої системи отримаємо: 10 + 2y = 40; 2y = 30; y = 15. Відповідь: У меншому бідоні 10 л молока, а у більшому — 15 л молока. �2

Завдання для перевірки знань за курс математики 7 класу 1. Накресліть довільний відрізок MN та коло із центром у точці M, радіус якого дорівнює MN. shkola.in.ua

2. Виконайте дії: 1) р4р3 = р4+3 = р7; 2) t9 : t5 = t9–5 = t4.

3. Чи проходить графік рівняння х – у = 5 через точку: 1) х – y = 5; М(6; 2); 6 – 2 ≠ 5; 4 ≠ 5 — графік рівняння не проходить через точку М; 2) х – у = 5; N(4; –1); 4 – (–1) = 5; 5 = 5 — графік рівняння проходить через точку N. 4. Спростіть вираз: 1) (х – 3)(х + 3) – х(х – 5) = х2 – 9 – х2 + 5х = 5х – 9; 2) (а + 2)2 + (а – 7)(а + 3) = a2 + 4а + 4 + а2 – 7а + 3а – 21 = 2а2 – 17.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5. Розкладіть на множники: 1) 14р3 – 21р2m = 7р2(2р – 3m); 2) 3а2 – 12b2 = 3(а2 – 4b2) = 3(а – 2b)(а + 2b).

6. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона — 9 см. Знайдіть основу трикутника. Нехай ΔABC — рівнобедрений, AB = BC = 9 см, PΔABC = 24 см, тоді AC = PΔABC – (AB + BC) = 24 – (9 + 9) = 24 – 18 = 6 (см). Відповідь: 6 см. shkola.in.ua

7. Один з кутів трикутника дорівнює 68°, а другий — на 14° більший за третій. Знайдіть невідомі кути трикутника. Нехай ΔABC — даний трикутник, ∠B = 68°. Нехай ∠A = x°, тоді ∠C = x° + 14°. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, x + 68° + x + 14° = 180°; shkola.in.ua 2x = 98°; x = 49°. Отже, ∠A = 49°, ∠C = 49° + 14° = 63°. Відповідь: 49°, 63°.

8. Розв’яжіть систему рівнянь: 3x + 2y = 5 | · (– 3), – 9x – 6y = – 15, – 17x = 17, � � � – 4x + 3y = 16 | · 2; – 8x + 6y = 32; – 8x + 6y = 32; x = – 1, x = – 1, x = – 1, x = – 1, � � � � – 8 · (– 1) + 6y = 32; 6y = 32 – 8; 6y = 24; 6y = 4; Відповідь: (–1; 4).

9. З пункту А до пункту В вирушив пішохід. Через 1 год назустріч йому з пункту В виїхав велосипедист. Відстань між пунктами A i B дорівнює 58 км, а швидкість велосипедиста на 10 км/год більша за швидкість пішохода. Знайдіть швидкість велосипедиста і швидкість пішохода, якщо вони зустрілися через 4 год після виходу пішохода. Нехай х км/год — швидкість пішохода, у км/год — швидкість велосипедиста. Перше рівняння: у – х = 10. За 4 год пішохід пройшов 4x км, а велосипедист за 4 – 1 = 3 (год) проїхав 3у км. Разом вони подолали 58 км. Друге рівняння: 4x + 3y = 58. Система: y – x = 10 │ ∙ 4, 4y – 4x = 40, y – x = 40, 14 – x = 40, x = 4, � � � � � y = 14; y = 14.

4x + 3y = 58; 7y = 98; 4x + 3y = 58; Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 14 км/год, а швидкість пішохода — 4 км/год. Відповідь: 14 км/год, 4 км/год. Задачі підвищеної складності з алгебри 1. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння (а + 2)х = 8 є натуральним числом. (а + 2)х = 8. Оскільки, х = 8 : (а + 2), то натуральний корінь даного рівняння можна  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

шукати лише серед значень 1, 2, 4, 8. Якщо х = 1, то (a + 2) ∙ 1 = 8; а + 2 = 8; a = 6; якщо х = 2, то (a + 2) ∙ 2 = 8; а + 2 = 4; а = 2; якщо х = 4, то (а + 2) ∙ 4 = 8; а + 2 = 2; а = 0; якщо х = 8, то (а + 2) ∙ 8 = 8; а + 2 = 1, а = –1. Відповідь: –1, 0, 2, 6.

2. Перша цифра чотирицифрового числа дорівнює 7. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то одержимо число, менше від початкового на 1746. Знайдіть початкове число. Нехай початкове число дорівнює 7abc = 7000 + abc, тоді змінене — abc7 = 10abc + 7 і позначимо abc = х. Рівняння: 7000 + х – 10x – 7 = 1746; 9х = 5247; х = 583. Початкове число 7583. Відповідь: 7583.

3. He розв’язуючи рівняння 5(2024х + 2025) = 13, доведіть, що його корінь не є цілим числом. Припустимо, що корінь рівняння 5(2024х + 2025) = 13 є цілим числом, тоді 2024х + 2025 також ціле число. Отже, число 13 є добутком цілого числа і числа 5, що неможливо, оскільки 13 — просте число.

4. Розв’яжіть рівняння: 1) |х| + |х – 2| = 0; 2) |х – 3| + |6 – 2х| = 0; |х| = 0 і |х – 2| = 0; |х – 3| = 0 і |6 – 2х| = 0; х = 0 і х – 2 = 0; х – 3 = 0 і 6 – 2х = 0; х = 0 і х = 2 — не має розв’язку. х = 3 і х = 3. Відповідь: He має розв’язку; Відповідь: 3.

5. Скільки розв’язків залежно від числа а (кажуть: параметра а) має рівняння: 1) ах = 2; 2) ах = 0?

1) ах = 2. Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 2 — рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то х = 2 : а. Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння не має розв’язку; якщо а ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь; 2) ах = 0. Якщо a = 0, то 0 ∙ х = 0 — рівняння має безліч розв’язків; 0 якщо а ≠ 0, то x = = 0 — рівняння має єдинии корінь. 𝑎𝑎 Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння має безліч розв’язків; якщо а ≠ 0 то — єдиний корінь 6. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння відносно змінної х: 1) 2х – а = 15; 2) 7х – а = 2х + 4а – 9; 2х = 15 + а; 7х – 2х = 4а – 9 + а; 15 + a 5x = 5a – 9; х= — для всіх значень а.

2 5a – 9 15 + a x= — для всіх 5 — для всіх значень а; Відповідь: х = 2 значень а.

5a – 9 Відповідь: х = — для всіх значень а;  shkola.in.ua

5

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (а – 3)х = 7.

7 Якщо а ≠ 3, то х = ; 𝑎𝑎 – 3 якщо а = 3, то 0 ∙ х = 7 — рівняння не має а – 3 коренів.

7 Відповідь: Якщо а ≠ 3, то х = ; 𝑎𝑎 – 3 якщо а = 3, то коренів немає;

4) ах = а. Якщо а = 0, то 0 ∙ х = 0, де х — будь-яке число; a якщо а ≠ 0, то х = ; х = 1. 𝑎𝑎 Відповідь: Якщо а = 0, то х — будь-яке число; якщо а ≠ 0, то х = 1;

5) ах + 1 = x + а; 6) а(х – 2) = х(а + 3); ax – х = а – 1; ах – 2а = ах + 3х; х(а – 1) = а – 1. ах – ах – 3х = 2а; Якщо а = 1, то х ∙ 0 = 0 — будь-яке число; – 3х = = 2а; а–1 2а якщо а ≠ 1, то х = ; х = 1. х = – — для всіх значень а. а–1 3 2а Відповідь: Якщо а ≠ 1, то х = 1; Відповідь: х = – для всіх значень а.

3 якщо а = 1, то х — будь–яке число; 7. Для якого значення параметра а є рівносильними рівняння: 1) 7х + а = 5(х – а); 7(х + а) = 4(10 – а); 7х + а = 5х – 5а; 7х + 7а = 40 – 4а; 7х – 5х = – 5а – а; 7х = 40 – 4а – 7а; 2х = –6а; 7х = 40 – 11а; 40 – 11a х = –3а. х= .

7 40 – 11a

│ ∙ 7; – 3а = 7 –21а = 40 – 11а; –21а + 11а = 40; –10а = 40; а = –4. Отже, рівняння 7х + а = 5(х – а) і 7(х + а) = 4(10 – а) — рівносильні, якщо а = –4. Відповідь: Якщо а = –4; 2) (а + 7)х = 18 — рівняння не має коренів, якщо а = –7; |х| = –1 — рівняння не має коренів. Отже, рівняння (а + 7)х= 18 і |х| = –1 — рівносильні, якщо а = –7. Відповідь: Якщо а = –7.

8. Потяг проїжджає повз нерухомого пасажира за 7 с, а уздовж платформи завдовжки 378 м – за 25 с. Знайдіть швидкість і довжину потяга. Нехай швидкість потяга х м/с, тоді довжина потяга дорівнює: а) 7х м — як шлях, пройдений потягом повз нерухомого пасажира; б) (25х – 378) м — як шлях, пройдений потягом уздовж платформи без довжини платформи. Рівняння: 7х = 25x – 378; 18х = 378; х = 21. Довжина потяга дорівнює 7 ∙ 21 = 147 (м). Відповідь: 21 м/с; 147 м.

9. Потяг проїжджає по мосту, довжина якого 171 м, за 27 с, а повз пішохода, який рухається зі швидкістю 1 м/с назустріч потягу, – за 9 с. Знайдіть швидкість і довжину  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

потяга. Нехай швидкість потяга х м/с, тоді довжина потяга дорівнює: а) (27х – 171) м — як шлях, який проходить потяг мостом без довжини мосту; б) (9х + 9) м — як шлях, пройдений потягом повз пішохода, який йде назустріч. Рівняння: 27х – 171 = 9х + 9; 18х = 180; х = 10. Довжина потяга дорівнює 9 ∙ 10 + 9 = 99 (м). Відповідь: 10 м/с; 99 м.

10. Через першу трубу басейн заповнюється водою за половину того часу, що потрібний 2 другій трубі для заповнення цього басейну. Через другу трубу окремо басейн 3 заповнюється на 4 год довше, ніж через першу трубу. За який час заповнює басейн кожна труба окремо? Нехай час, за який наповнюється басейн через другу трубу дорівнює х год, тоді час, за 2 2 який наповнюється цього басейну — х год, а час, за який наповнюється басейн через 2

3 1

1

3

першу трубу — х ∙ = х (год).

3 2 3 Рівняння: 1 х – х – 4 | ∙ 3; 3 3х – х = 12; 2x = 12; х = 6.

1 Через першу трубу басейн наповнюється за ∙ 6 = 2 (год).

3 Відповідь: 6 год; 2 год.

11. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них складає 25 % від другого.

1) Нехай кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює х°, а кути при основі — по (0,25х)°. Рівняння: х + 0,25х + 0,25х = 180; 1,5х = 180; х = 120. Кути при основі дорівнюють (180 – 120)° : 2 = 30°; 2) нехай кути при основі рівнобедреного трикутника дорівнюють по х°, тоді кут при вершині — 0,25х°. Рівняння: х + х + 0,25х = 180; 2,25х = 180; х = 80. Третій кут рівнобедреного трикутника дорівнює 180° – (2 ∙ 80)° = 20°. Відповідь: 120°, 30°, 30° або 80°, 80°, 20°.

12. Для ремонту двох кімнат придбали шпалери. На ремонт першої кімнати використали 2 на 2 рулони більше, ніж половина придбаного, а на ремонт другої кімнати – від 3 кількості рулонів, що була використана на ремонт першої кімнати. Скільки рулонів шпалер було придбано, якщо після ремонту обох кімнат залишився невикористаним один рулон? Нехай купили х рулонів шпалер. На обклеювання першої кімнати пішло (2 + 0,5х)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 2

рулонів, а другої — (0,5x + 2) рулонів.

3 Рівняння: 2 (0,5х + 2) + (0,5х + 2) + 1 = х; 1

1

3

4

х + 2 + х + + 1 = х | ∙ 6; 3 3 3х +12 + 2х + 8 + 6 = 6х; х = 26. Відповідь: 26 рулонів.

13. Сплав міді й цинку містить на 320 г більше міді, ніж цинку. Після того як від сплаву 6 відокремили тієї маси міді й 60% тієї маси цинку, що в ньому містилися, маса сплаву 7 стала дорівнювати 100 г. Якою була початкова маса сплаву? Нехай у сплаві міститься х г цинку, тоді міді — (х + 320) г. Після того, як зі сплаву 6 1 виділили міді, то її залишилося — (х + 320) г, а коли виділили 60% = 0,6 цинку, то 7 7 його залишилося — 0,4х г. Рівняння: 1 (х + 320) + 0,4х = 100 │ ∙ 7; 7 х + 320 + 2,8х = 700; 3,8х = 380; х = 100. Початкова маса сплаву дорівнює х + 320 + х = 2х + 320 = 2 ∙ 100 + 320 = 520 (г). Відповідь: 520 г.

14. Рівність (І + В + А + H)4 = ІВАН є правильною. Знайдіть число ІВАН, якщо різним буквам відповідають різні цифри. Цифри І, В, A, H можуть набувати значень 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, бо сума з цифрою 7 в комбінації з іншими, навіть з найменшими дорівнює: 7 + 0 + 1 + 2 = 10, а 104 = 100000 є п’ятизначне число, що суперечить умові. Найменше сума цифр може дорівнювати 0 + 1 + 2 + 3 = 6. Отже, 6 ≤ І + В + А + Н < 10. Маємо: 64 = 1296 — не підходить, бо є цифра 9; 74 = 2401; 84 = 4096 – не підходить, бо є цифра 9; 94 = 6561 — не підходить, бо є дві однакових цифри. Шуканим числом є 2401. Відповідь: 2401.

15. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 15 %, а ширину – на 20%? Нехай довжина прямокутника х см, а ширина — y см, тоді площа дорівнює ху см2. Після змін довжина становить х + 0,15х = 1,15х (см), ширина — y + 0,2y = 1,2y(см), а площа — 1,15х ∙ 1,2 = 1,38xy (см2). Площа прямокутника збільшилася на (1,38хy – хy): ху = 0,38 = 38%. Відповідь: На 38%.

16. Що більше: 2

10¹⁵ + 1 10¹⁶ + 1 10¹⁶ + 1 10¹⁷ + 1

= =

(10¹⁵ + 1)(10¹⁷ + 1)

(10¹⁶ + 1)(10¹⁷ + 1) (10¹⁶ + 1)(10¹⁶ + 1) (10¹⁷ + 1)(10¹⁶ + 1)

; .

(1015 + 1)(1017 + 1) = 1032 + 1015 + 1017 + 1 = 1015(1017 + 102 + 1) + 1 = 1015(1017 + 101) + 1; (1016 + 1)(1016 + 1) = 1032 + 2 · 1016 + 1 = 1015(1017 + 2 · 10) + 1 = 1015(1017 + 20) + 1.

1015(1017 + 101) + 1 > 1015(1017 + 20) + 1. Отже,

10¹⁵ + 1 10¹⁶ + 1

>

10¹⁶ + 1

.

10¹⁷ + 1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

17. Доведіть, що число 2017 ∙ 2019 + 1 є квадратом деякого натурального числа. Якого саме? Нехай шукане натуральне число дорівнює n. Якщо n2 =2007∙ 2009 + 1, то n2 – 1 = 2007 ∙ 2009; (n – 1)(n + 1) = 2007 ∙ 2009, де n – 1 і n + 1 — суміжні до 2008. Отже, n = 2008.

18. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n при будь–якому натуральному значенні n кратне числу 24.

8n3 – 8n = 8n(n2 – 1) = 8n(n – 1)(n + 1) — кратне 24, бо серед трьох послідовних натуральних чисел n – 1, n, n + 1 існує число, кратне 3.

19. Подайте вираз 2m2 + 2n2 у вигляді суми двох квадратів.

2m2 + 2n2 = m2 + m2 + 2mn – 2mn + n2 + n2 = m2 + 2mn + n2 + m2 – 2mn + n2 = = (m + n)2 + (m – n)2.

20. Який многочлен треба записати замість зірочки, щоб одержати тотожність: 1) (х + 1)(х – 5) = x2 – 5х + х – 5 = x2 – 4х – 5; 2) (x2 – х + 1)(х + 3) = x3 + 3х2 – x2 – 3х + х + 3 = х3 + 2x2 – 2х + 3.

21. Розкладіть на множники: 1) а2b2 – 2аb2 + b2 + а4 – 2a2 + 1 = (ab – b)2 + (а2 – 1)2 = (b(а – 1))2 + ((а – 1)(a + 1))2 = = b2(а – 1)2 + (а – 1)2(а + 1)2 = (а – 1)2(b2 + (а + 1)2) = (a – 1)2(b2 + a2 + 2a + 1); 2) 1 –3t + 3t2 – t3 = (1 – t3) – (3t – 3t2) = (1 – t)(1 + t + t2) – 3t (1 – t) = (1 – t)(1 + t + t2 – 3t) = = (1 – t)(1 – 2t + t2) = (1 – t)(1 – t)2 = (1 – t3); 3) x6 – 3х4 + 6х2 – 4 = x6 + 8 – 3х4 + 6х2 – 12 = (х6 + 8) – 3(х4 – 2x2 + 4) = = (х2 + 2)(х4 – 2х2 + 4) – 3(х4 – 2х2 + 4) = (х4 – 2х2 +4)(х2 + 2 – 3) = (х4 – 2х2 + 4)(х2 – 1) = = (х4 – 2х2 + 4)(х – 1)(х + 1); 4) 2(m + 3n) + (m – n)(m + n) – 8 = 2m + 6n + m2 – n2 – 8 = (m2 + 2m + 1) – (n2 – 6n + 9) = = (m + 1)2 – (n – 3)2 = (m + 1 – n + 3)(m + 1 + n – 3) = (m – n + 4)(m + n – 2); 5) a3 + a2 – b3 – b2 = a3 – b3 + a2 – b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + (a – b)(a + b) = = (a – b)(a2 + ab + b2 + a + b); 6) 8x3 + 4x2 – 2 = (8x3 – 1) + (4x2 – 1) = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) + (2x – 1)(2x + 1) = = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1 + 2x + 1) = (2x – 1)(4x2 + 4x + 2) = 2(2x – 1)(2x2 + 2x + 1).

22. Чи може сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел бути квадратом натурального числа? Нехай n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 — послідовні натуральні числа, тоді сума їх квадратів дорівнює: (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 – 4n + 4 + n2 – 2n + 1 + n2 + n2 + 2n + 1 + n2 + 4n + 4 = 5n2 + 10 = 5(n2 + 2). Запис числа n2 не може закінчуватися цифрами 3 або 8, тому запис числа n2 + 2 не може закінчуватися цифрами 5 або 0, а значить число n2 + 2 не ділиться на 5. Число 5(n2 + 2) ділиться на 5, але не ділиться на 25, а тому не може дорівнювати квадрату натурального числа.

23. Спростіть вираз: (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (24 – 1) (24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1) = (232 – 1)(232 + 1)(264 + 1) = (264 – 1)(264 + 1) = 2128 – 1.

24. Число b є середнім арифметичним чисел а і с. Доведіть, що а2 + ас + с2 є середнім арифметичним чисел а2 + ab + b2 і b2 + bс + с2. a + 𝑐𝑐 . Якщо число b є середнім арифметичним чисел а і с, то b = 2 Маємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html (a² + ab + b²) + (b² + bc + c²) 2 (𝑎𝑎 + c)² (𝑎𝑎 + c)² a² + + c² +

=

a²ab + 2b²bc + c² 2

a² + (𝑎𝑎 + c)² + c²

=

a² + 2b² + c² + b(a + c) 2

a² + 𝑎𝑎² + 2ac + c² + c²

=

a² + 2(

𝑎𝑎 + c 𝑎𝑎 + c )² + c² + (a + c) 2 2

2(a² + ac + c²)

2

=

2 2 = = = = = a2 + ac + c2.

2 2 2 2 Отже, число а2 + ас + с2 є середнім арифметичним чисел a2 + ab + b2 і b2 + bс + c2.

25. Задача Лагранжа. Доведіть тотожність (x2 + y2 + z2)(m2+ n2+р2) – (xm + yn + zp)2 = x2m2 + x2n2 + х2р2 + y2m2 + y2n2 + у2р2 + z2m2 + z2n2 + z2p2 – x2m2 – y2n2 – z2p2 – 2xmyn – 2xmzp – 2ynzp = (x2n2 – 2xmyn + z2m2) + (z2p2 – 2xmzp + z2m2) + (z2n2 – 2ynzp + y2p2) =(xn – ym)2 + (xp – zm)2 + (yp – zn)2. Тотожність (x2 + у2 + z2)(m2 + n2 + p2) – (xm + yn + zp)2 = (xn – ym)2 +(xp – zm)2 + (yp – zn)2 — доведена.

26. Доведіть, що число аbсаbс є кратним числам 7, 11 і 13. аbсаbс = 1000abc + abc = 1001abc = 7 ∙ 11 13abc — кратне 7, 11, 13.

27. Доведіть, що значення виразу 555777 + 777555 є кратним числу 37.

555777 + 777555 = (111 ∙ 5)777 + (111 ∙ 7)555 = 111777 ∙ 5777 + 111555 ∙ 7555 = 111555(111222 ∙ 5777 + 7555) = (37 ∙3)555(111222 ∙ 5777 + 7555) — кратне 37.

28. Яке трицифрове число є і квадратом двоцифрового числа, і кубом одноцифрового числа? Нехай трицифрове число abc таке, що abc = (ху)2 і abc = z3. З останньої рівності випливає, що тільки 5, 6, 7, 8 і 9, піднесені до третього степеня, можуть бути трицифровим числом: 53 = 125; 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729. З поданих чисел лише 729 є квадратом числа 27. Отже, 729 = 93 і 729 = 272.

29. Доведіть, що значення виразу 1916 + 7346 – 5933 ділиться на 10. Число 1916 закінчується цифрою 1, 7346 — цифрою 6, а 5933 — цифрою 7. Тоді значення виразу 1916 + 7346 – 5933 = ...1 + ...6 – 7 = ...0 — кратне 10.

30. Доведіть, що значення виразу 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n при будь–якому натуральному значенні п є кратним числу 10.

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n ∙ 32 + 3n) – (2n ∙ 22 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1) = 3n ∙ 10 – 2n ∙ 5. Значення виразів 3n ∙ 10 і 2n ∙ 5 закінчуються цифрою 0, тому значення виразу 3n ∙ 10 – 2n ∙ 5 теж закінчується цифрою 0 і кратне 10.

31. Подайте вираз у вигляді суми кубів двох многочленів.

2х(х2 + 3y2) = 2x3 + 6ху2 = х3 + х3 + 3ху2 + 3xу2 = х3 + 3xу2 + 3х2у + у3 + х3 + 3хy2 – 3x2у – у3 = (х + у)3 + x3 – 3х2у + 3ху2 – у3 = (х + у)3 + (х – у)3.

32. Доведіть тотожність: 1) (x2 – x – 1)2 = (x2 – x – 1)(х2 – х – 1) = x4 – x3 – x2 – x3 + х2 + х – x2 + x + 1 = = x4 – 2x3 – x2 + 2х + 1 = х3(х – 2) – х(х – 2) + 1 = (х – 2)(х3 – x) + 1 = = (х – 2)(х2 – 1) + 1 = (х – 2)(х – 1)х(х + 1) + 1 — тотожність доведена; 2) (x2 + 3х + 1)2 = (х2 + 3х + 1)(x2 + 3х + 1) = x4 + 3х3 + x2 + 3х3 + 9x2 + 3х + x2 + 3х + 1 = = x4 + 3х3 + 3х3 + 9x2 + 2x2 + 6х + 1 = x3(x + 3) + 3х2(х + 3) + 2х(х + 3) + 1 = = (х + 3)(х3 + 3х2 + 2х) + 1 = (х + 3)x(x2 + 3х + 2) + 1 = (х + 3)x(x2 + 2х + х + 2) + 1 = = (х + 3)x(x(х + 2) + (х + 2)) + 1 = х(х + 3)(х + 2)(х + 1) + 1 — тотожність доведена.

33. Використовуючи результат попередньої задачі, доведіть, що число 2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 є квадратом деякого натурального числа у. Знайдіть у. З попередньої задачі маємо: у(у + 1)(у + 2)(у + 3) + 1 = (у2 + 3у + 1)2. Тоді: 2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 = 2017 ∙ (2017 + 1)(2017 + 2)(2017 + 3) + 1 = = (20172 + 3 ∙ 2017 + 1)2 = (4 068 289 + 6051 + 1)2 = 4 074 3412. Отже, у = 4 074 341.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34. Доведіть, що різниця кубів двох послідовних натуральних парних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

(2n + 2)3 – (2n)3 = (2n + 2 – 2n)((2n + 2)2 + 2n(2n + 2) + (2n)2) = 2(4n2 + 8n + 4 + 4n2 + 4n + 4n2) = 2(12n2 + 12n + 4) = 24n2 + 24n + 8 = 24(n2 + n) + 8 = 24n(n + 1) + 8 ділиться на 48 з остачею 8.

35. Розкладіть на множники: 1) у5 + у + 1 = (у5 – у2) + (у2 + у + 1) = y2(y3 – 1) + (y2 + у + 1) = = y2(y – 1)(y2 + y + 1) + (y2 + y + 1) = (y2 + y + 1)(y2(y – 1) + 1) = (y2 + у + 1)(y3 – y2 + 1); 2) m4 + m2 + 1 = (m4 + 2m2 + 1) – m2 = (m2 + 1)2 – m2 = (m2 + 1 – m)(m2 + 1 + m); 3) x4 + 5x2 + 9 = (х4 + 6х2 + 9) – x2 = (х2 + 3)2 – x2 = (х2 + 3 – х)(х2 + 3 + х); 4) n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 = (n2 + 2)2 – 4n2 = (n2 + 2 – 2n) ∙ (n2 + 2 + 2n); 5) x4 + 2a2x2 – 4a2b2 – 4b4 = (х4 + 2а2x2 + а4) – (а4 + 4а2b2 + 4b4) = (х2 + а2)2 – (а2 + 2b2)2 = = (х2 + а2 – а2 – 2b2)(х2 + а2 + а2 + 2b2) = (х2 – 2b2)(х2 + 2а2 + 2b2); 6) m3 – 2m – 1 = m3 + m2 – (m2 + 2m + 1) = m2(m + 1) – (m + 1)2 = (m + 1) (m2 – m – 1); 7) m3 – 5m – 2 = (m3 + 8) – (5m + 10) = (m + 2)(m2 – 2m + 4) – 5(m + 2) = = (m + 2)(m2 – 2m + 4 – 5) = (m + 2)(m2 – 2m – 1); 8) x4 – 2х3у – 6х2у2 – 4ху3 – у4 = (х4 – у4) – (2х3у + 2x2y2) – (4x2y2 + 4ху3) = (х2 – у2)(х2 + у2) – 2х2у(х + у) – 4xy2(х + у) = (х – у)(х + у)(х2 + у2) – 2х2у(х + у) – 4хy2(х + у) = = (х + у)((х – у)(x2 + y2) – 2x2y – 4xy2) = (x + y)(x3 + xy2 – ух2 – y3 – 2х2у – 4xy2) = = (х + у)(х3 – 3ху2 – 3х2у – у3).

36. Порівняйте 515 і 323.

515 = 5(52)7 = 5 ∙ 257; 323 = 32 ∙ 321 = 9(33)7 = 9 ∙ 277; 9 ∙ 277 > 5 ∙ 257. Отже, 323 > 515.

37. Побудуйте графік функції: 1) y = 2|x| + x; 2(– x) + x, якщо x < 0, y=� 2x + x, якщо x ≥ 0; shkola.in.ua – x, якщо x < 0, y=� 3x, якщо x ≥ 0. y = –x, x < 0 x

–1

–3

y

1

3

y = 3x, x ≥ 0 x

0

1

y

0

3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x| – 3x; – x – 3x, якщо x < 0, y=� x – 3x, якщо x ≥ 0; – 4x, якщо x < 0, y=� – 2x, якщо x ≥ 0. y = –4x, x < 0 x

–1

–2

y

4

8

y = –2x, x ≥ 0 x

0

1

y

0

–2

3) y = |2x| + 2x – 1; – 2x + 2x – 1, якщо x < 0, y= � 2x + 2x, якщо x ≥ 0; – 1, якщо x < 0, y=� 4x – 1, якщо x ≥ 0. y = –1, x < 0 x

–1

–3

y

–1

–1

shkola.in.ua

y = 4x – 1, x ≥ 0 x

0

1

y

–1

3

4) y = 3x – |4x| + 3; 3x – (– 4x) + 3, якщо x < 0, y=� 3x – 4x + 3, якщо x ≥ 0; 7x + 3, якщо x < 0, � – x + 3, якщо x ≥ 0. y = 7x + 3, x < 0 x

–1

–0,5

y

–4

–0,5

shkola.in.ua

y = –x + 3, x ≥ 0 x

0

3

y

3

0

38. Точка А(а; b), де а ≠ 0, b ≠ 0, належить графіку функції у = х2. Чи належить цьому графіку точка: Якщо точка А(а; b), де а ≠ 0, b ≠ 0 належить графіку функції у = х2, то b = a2.

1) Точка В(–а; b) належить графіку функції у = х2, бо b = (–а)2 = а2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) Точка С(a; –b) не належить графіку функції у = х2, бо –b = а2; b = –а2; а2 ≠ –а2; 3) Точка D(–a; –b) не належить графіку функції у = х2, бо –b = (–а)2 = а2; b = –а2; а2 ≠ –а2.

39. Точка М(m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0, належить графіку функції у = х3. Чи належить цьому графіку точка: Якщо точка М(m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0 належить графіку функції у = х3, то n = m3.

1) Точка N(–m; n) не належить графіку функції у = х3, бо n = (–m)3 = –m3; m3 ≠ –m3; 2) Точка К(m; –n) не належить графіку функції у = x3, бо n = m3; n = –m3; m3 ≠ –m3; 3) Точка Р(–m; –n) належить графіку функції у = х3, бо –n = (–m)3 = –m3; n = m3.

4x + x, якщо x ≤ 0, 40. Знайдіть точки перетину графіків функцій y = –4|x| + 3; та � – 4x + 3, якщо x > 0.

2x + 1, якщо x ≤ 0, Щоб знайти точки перетину графіків функцій y = � – 3x + 3, якщо x > 0.

4x + x, якщо x ≤ 0, y=� досить розв’язати системи: – 4x + 3, якщо x > 0. y = 2x + 1, y = – 3x + 1, a) � б) � y = 4x + 3, якщо х ≤ 0; y = – 4x + 3, якщо х > 0; 2х + 1 = 4х + 3; –3х + 1 = –4х + 3; 2х – 4х = 3 – 1; –3х + 4х = 3 – 1; –2х = 2; х = –1. х = 2. Підставимо у перше рівняння системи Підставимо у перше рівняння системи значення х = –1 : у = 2 ∙ (–1) + 1 = – 1. значення x = 2; у = –3 ∙ 2 + 1 = –5. Шукана точка (–1; –1); Шукана точка (2; –5). Відповідь: Графіки перетинаються у точках з координатами (–1; –1) і (2; –5).

41. Оля може придбати без решти 7 рогаликів і 3 вертути або 3 рогалики і 4 вертути. Який відсоток складає ціна рогалика від ціни вертути? Нехай рогалик коштує x грн, а вертута— у грн. Рівняння: 7х + 3у = 3х + 4у; 4х = у; y х = = 0,25у; 4 0,25 = 25%; х = 25% від у. Відповідь: 25%.

42. Чи має розв’язки рівняння з двома змінними: 1) Рівняння x2 + y2 = –1 не має розв’язків, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 2) розв’язком рівняння |у| + х = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0); 3) розв’язком рівняння x2 – |у| = 5 є, наприклад, пара чисел (3; 4); 4) розв’язком рівняння 5x2 + у8 + |х| = 0 є, наприклад, пара чисел (0; 0).

43. У рівнянні ах + by = 43 коефіцієнти а і и – цілі числа. Чи може розв’язком цього рівняння бути пара чисел (5; 10)? Нехай пара чисел (5; 10) є розв’язком рівняння ах + by =43. Маємо: 5a + 10b = 43; 5(а + 2b) = 43 — рівність не може виконуватись, якщо a і b — цілі числа, бо ліва частина рівності ділиться на 5, а права — не ділиться. Отже, пара чисел (5; 10) не може бути розв’язком рівняння ах + by = 43.

44. Скільки розв’язків має рівняння?

1) (х + 1)2 + y2 = 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю: х + 1 = 0; х = –1 і у = 0. Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (–1; 0). Відповідь: Один розв’язок; 2) x2 + у2 + (у – 2)2 = 0. Сума квадратів трьох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю: х = 0 і у = 0, i у = 2. Змінна у не може одночасно набувати двох значень 2 та 0, отже, рівняння не має розв’язків. Відповідь: Жодного розв’язку; 3) |х| + (у + 1)2 = 0. Сума невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю: |х| = 0 і (у + 1)2 = 0, тоді х = 0 і у = –1. Отже, розв’язком рівняння є пара чисел (0; –1). Відповідь: Один розв’язок; 4) х((х – 3)2 + (у + 4)2) = 0. Добуток двох невід’ємних чисел дорівнює нулю лише тоді, коли один з виразів дорівнює нулю: х = 0 або (х – 3)2 + (у + 4)2 = 0. Якщо х = 0, то у може набувати будь-яких значень. Отже, рівняння має безліч розв’язків. Відповідь: Безліч розв’язків.

45. Сергій придбав кілька зошитів по 10 грн і кілька ручок по 12 грн 50 коп., заплативши за всю покупку 150 грн. Скільки зошитів придбав Сергій? Нехай Сергій придбав х зошитів і у олівців. Рівняння: 10х + 12,5у = 150; 10х = 150 – 12,5у; х = 15 – 1,25у. Оскільки х — натуральне число, то у = 4 або 8. Тоді х = 15 – 1,25 ∙ 4 = 10 або х = 15 – 1,25 ∙ 8 = 5. Відповідь: 5 або 10 зошитів.

46. Побудуйте графік рівняння: 1) (х + 1)(х – 2у) = 0; х + 1 = 0 або х – 2у = 0; х = –1 або у = 0,5х. Будуємо графіки прямих х = –1 і у = 0,5х. x = –1 shkola.in.ua x

–1

–1

y

1

3

у = 0,5х x

0

2

y

0

1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) х2 – ху = 0; x(x – у) = 0; x = 0 або у = х. Будуємо графіки прямих x = 0 і у = x. x=0 x

0

0

y

1

3

shkola.in.ua

у=х x

0

2

y

0

2

3) (x2 – 4)(y2 + 4) = 0; x2 – 4 = 0 або y2 + 4 = 0 — не має розв’язків; x2 = 4; x = 2 або x = –2. Будуємо графіки прямих x = 2 і x = –2. x=2 x

2

2

y

1

3

shkola.in.ua

x = –2 x

–2

–2

y

0

2

4) (|x| + 1)( |у| – 3) = 0; |x| + 1 = 0 — не має розв’язків або |у| – 3 = 0; |у| = 3; у = 3 i у = –3. Будуємо графіки прямих у = 3 і у = –3. y=3 x

2

4

y

3

3

y = –3 x

–2

1

y

–3

–3

 shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5) |x| + x = y. Якщо x < 0, то рівняння матиме вигляд: –x + x = y; y = 0, а якщо x ≥ 0, то: x + x = y; y = 2x. Будуємо графік функції: 0, якщо x < 0, y=� 2x, якщо x ≥ 0. y = 0, x < 0 x

–1

–3

y

0

0

shkola.in.ua

y = 2x, x ≥ 0 x

0

2

y

0

4

6) х = у|х|. Якщо х < 0, то: х = –ху, х + ху = 0; х(1 + у) = 0; х = 0 — не підходить або 1 + у = 0; у = – 1. Якщо х ≥ 0, то: х = ху; х – ху = 0; х(1 – у) = 0; х = 0 або у = 1. Будуємо графік функції: – 1, якщо х < 0, y=� 1 або х = 0, якщо х ≥ 0. y = –1, x < 0 x –1 –3 y –1 –1

shkola.in.ua

y = 1, x ≥ 0 x 1 3 y 1 1 x = 0, x ≥ 0 x 0 0 y 1 2 47. Доведіть, що рівняння х2 – у2 = 26 не має розв’язків у цілих числах (тобто розв’язками рівняння не можуть бути цілі числа). x2 – у2 = 26; (х –у)(х+ у) = 26. Якщо числа х і у одної парності, то значення виразу (х – у)(x + у) — кратне 4, якщо числа x і у різної парності, то — (х – у)(х + у) — непарне. 26 — некратне 4 і парне, тому рівняння не має розв’язків у цілих числах.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48. Чи перетинає графік рівняння у + x2 = 4 вісь х; вісь у? Якщо так, то вкажіть координати точок перетину.

1) у = 0, якщо: x2 = 4; х = 2 або х = –2. Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає вісь х в точках (–2; 0) і (2; 0); 2) якщо х = 0, то у = 4. Отже, графік рівняння у + x2 = 4 перетинає вісь у в точці (0; 4).

49. Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння 11x + 8у = 104.

11x = 104 – 8у; 11x = 8(13 – у) — кратне 8, тому х може приймати значення лише 8. Якщо х = 8, то 88 + 8у = 104; 8у = 16; у = 2. Отже, рівняння 11x + 8у = 104 задовольняє лише пара натуральних чисел (8; 2).

50. He виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіка рівняння (x – 3)(у + 5) = 0: 1) з віссю х; 2) з віссю у.

1) у = 0, якщо: 5(х – 3) = 0; х – 3 = 0; х = 3. Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0 перетинає вісь х в точці (3; 0); 2) якщо х = 0, то – 3(у + 5) = 0; у + 5 = 0; у = –5. Отже, графік рівняння (х – 3)(у + 5) = 0 перетинає вісь у в точці (0; –5).

51. Яна загадала два двоцифрових числа, кожне з яких починається цифрою 6, причому інші цифри кожного із чисел відмінні від числа 6. Якщо переставити місцями цифри в кожному із загаданих чисел, то значення їх добутку не зміниться. Які числа загадала Яна? Нехай Яна загадала два двоцифрових числа: 6х і 6у. Маємо: 6х ∙ 6у = х6 ∙ у6; (60 + х)(60 + у) = (10х + 6)(10у + 6); 3600 + 60у + 60х + ху = 100xy + 60х + 60у + 36; 60у + 60х + ху – 100xy – 60х – 60у = 36 – 3600; 99ху = 3564; ху = 36. Останню рівність можуть задовольняти числа: х = 9 і у = 4 або х = 4 і у = 9. Отже, шукані числа: 69 і 64. Відповідь: 69 і 64.

52. Олесь народився у XX столітті. У 2009 році йому було стільки років, якою є сума цифр його року народження. У якому році народився Олесь? Нехай Олесь народився у 19ху році. Тоді в 2009 році йому виповнилося 2009 – 19xу років. Рівняння: 2009 – 19ху = 1 + 9 + х + у; 1999 – 19ху = х + у; 1999 – (1900 + 10x + у) = х + у; 99 – (10х + у) = х + у; –10х – у – х – у = –99; –11х – 2у = –99; 11х + 2у = 99;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2у = 99 – 11x; 2у = 11(9 – х) — кратне 11. Для даного рівняння у може набувати лише значення 0. Якщо у = 0, то 11x + 0 = 99; х = 9. Отже, розв’язком рівняння 11x + 2у = 99 є пара цілих невід’ємних чисел (9; 0) і шукане число 1990. Відповідь: У 1990 році.

53. При якому значенні а прямі 3х + 4у = 5 і 2х + 8у = а перетинаються в точці, що лежить на осі у? Знайдемо координати точки перетину прямої 3х + 4у = 5 з віссю у: 3 ∙ 0 + 4у = 5; 4у = 5; у = 1,25. Пряма 2х + 8y = а теж повинна перетинати вісь у в точці (0; 1,25). Маємо: 2 ∙ 0 + 8 ∙ 1,25 = а; а = 10. Відповідь: а = 10.

54. Доберіть, якщо це можливо, таке значення m, при якому система рівнянь має єдиний розв’язок; не має розв’язків; має безліч розв’язків: 2x – y = 7, 2x – y = 7, 1) Система � не має розв’язку, якщо m = 2 і має єдиний � mx – y = 5; 2x – y = 5 розв’язок, якщо m ≠ 2; 3x + 2y = 6, 3x + 2y = 6, 2) система � має безліч розв’язків, якщо 2m = 6; � 1,5x + y = m │ ∙ 2; 3x + 2y = 2m m = 3 і не має розв’язку, якщо m ≠ 3; 4mx – 8y = 4, 3) система �mx– 2y = 1│ ∙ 4, � m = 1 і має єдиний розв’язок, якщо m ≠ 1.

4x – 8y = 4, 4x – 8y = 4; 55. При якому значенні а система рівнянь має розв’язок?

4x – 3y = 10, �2x + 5y = – 8, a(x + y) = 7. Розв’яжемо систему, утворену з першого і другого рівнянь. Maємо: 4x – 3y = 10, 4x – 3y = 10, � � – 4x – 10y = 16; 2x + 5y = – 8│ ∙ (– 2); –13y = 26; у = –2. Підставимо значення y = –2 у перше рівняння системи й одержимо: 4х + 6 = 10; х = 1. Підставимо значення х = 1 i у = –2 у третє рівняння вихідної системи і отримаємо: а ∙ (1 – 2) = 7; а = –7. Отже, задана система має розв’язок при а = –7. Відповідь: а = –7.

56. Розв’яжіть систему рівнянь: x – y = 2, 1) � y – z = 3, z + x = 5. Додамо почленно перше, друге і третє рівняння системи й одержимо: x – y + y – z + z + x = 10; 2x = 10; х = 5. З першого рівняння отримаємо: 5 – y = 2; y = 3.

3 другого рівняння отримаємо: 3 – z = 3; z = 0. Відповідь: х = 5, y = 3, z = 0; x + y = 7, 2) � y + z = 5, z + x = – 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Додамо почленно перше, друге і третє рівняння системи й одержимо: 2х + 2y + 2z = 8; х + y + z = 4. Віднімемо від цього рівняння почергово перше, друге і третє рівняння системи і отримаємо: z = –3; x = –1; y = 8. Відповідь: х = –1, y = 8, z = –3.

57. У результаті множення многочлена 4x3 – 2x2 + 3х – 8 на многочлен ах2 + bx + 1 одержали многочлен, який не містить ані х4, ані х3. Знайдіть коефіцієнти а і b та многочлен, який одержали в добутку.

(4х3 – 2х2 + 3х – 8)(aх2 + bх + 1) = 4ах5 + 4bx4 + 4х3 – 2ах4 – 2bх3 – 2х2 + 3ах3 + 3bх2 + 3х – 8ах2 – 8bx – 8 = 4ах5 + х4(4b – 2a) + х3(4 – 2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8. Якщо многочлен не містить ні х4, ні х3, то а) 4b – 2а = 0; б) 4 – 2b + 3а = 0; 4b = 2а; 4 – а + 3а = 0; а = 2b; 4 + 2а = 0; 2а = –4; а = –2. Підставимо значення а = –2 у рівність а = 2b і одержимо: 2b = –2; b = –1. Шуканий многочлен буде мати вигляд: 4aх5 + х4(4b – 2а) + х3(4 –2b + 3а) + х2(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8 = –8х5 + х2(–2 – 3 + 16) + х(3 + 8) – 8 = –8х5 + 11x2 + 11x – 8.

58. Розв’яжіть систему рівнянь: (x – 1)(y – 4x) = 0, x – 1 = 0 або (y – 4x) = 0, 1) � � x + y = 3, x + y = 3, Розв’язування системи зводиться до розв’язування двох систем: x – 1 = 0, x = 1, y – 4x = 0, y = 4x, y = 2,4, y = 4x, a) � � б) � � � � x + y = 3, y = 2, x + y = 3, x + 4x = 3, 5x = 3, x = 0,6. Відповідь: (1; 2); (0,6; 2,4); (x – 1)(x + y) = 0, 𝑥𝑥 – 1 = 0 або x + 1 = 0, 2) � � (y – 2)(x + y – 6) = 0; y – 2 = 0 або x + y – 6 = 0. Розв’язування системи зводиться до розв’язування чотирьох систем: x = y, x – y = 0, x = 2, x – y = 0, y = 3, a) � б) � �2x – 6 = 0, � � y – 2 = 0, y = 2, x + y – 6 = 0, x = 3; x + 1 = 0, x = – 1, x + 1 = 0, x = – 1, в) � г) � � � y – 2 = 0; y = 2; x + y – 6 = 0; y = 7. Відповідь: (2; 2); (3; 3); (–1; 2); (–1; 7); x − y = 0 або x + y = 0, x² − y² = 0, (x − y)(x + y) = 0, 3) � � � 3x − y = 4.

3x − y = 4, 3x − y = 4, Розв'язання системи зводиться до розв'язання двох систем: x = y, x − y = 0, x = 2, а) � �3x − x = 4; � y = 2.

3x − y = 4; x + y = 0, x = 1, x = −4, б) � � � 3x − y = 4; 3x + x = 4; y = −1. Відповідь: (2; 2); (1; −1). x² + 2xy + y² − 1 = 0, (x + y)² = 1, x + y = 1 або 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −1, 4) � � � 3x − y = 3.

3x − y = 3; 3x − y = 3; Розв'язання системи зводиться до розв'язання двох систем: x + y = 1, x = 1, x + y = −1, x = 0,5, а) � б) � � � 3x − y = 3; y = 0.

3x − y = 3; y = −1,5. Відповідь: (1; 0); (0.5; −1.5).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

59. Розв'яжіть рівняння з двома змінними: 1) (x − 2)2 + (3x − y)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: x − 2 = 0, x = 2, � � 3x − y = 0; y = 6. Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (2; 6). Відповідь: (2; 6); 2) (2x − y)2 + x2 + 8x + 16 = 0; (2x − y)2 + (x + 4)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: 2x − y = 0, x = −4, � � x + 4 = 0; y = −8. Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−4; −8). Відповідь: (−4; −8); 3) (1x + y − 3)2 + x2 + 2xy + y2 = 0; (7x + y − 3)2 + (x + y)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: 7x + y − 3 = 0, −7y + y − 3 = 0, −6y = 3, � � � x = −y; x + y = 0; x = 0,5. Розв'язком системи рівняння є пара чисел (0,5; −0,5). Відповідь: (0,5; −0,5).

4) |x − y + 5| + x2 – 4xy + 4y2 = 0; |x − y + 5| + (x − 2y)2 = 0. Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: x − y + 5 = 0, x − y + 5 = 0, � � x − 2y = 0 | · (−1); −x + 2y = 0; y + 5 = 0; y = −5. Підставимо у перше рівняння системи значення y = −5 й отримаємо: x + 5 + 5 = 0; x = −10. Розв'язком системи рівняння є пара чисел (−10; −5). Відповідь: (−10; −5).

5) x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0; (x2 − 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = 0; (x – 2)2 + (y + 1)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи: x − 2 = 0, x = 2, � � y + 1 = 0; y = −1. Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (2; −1). Відповідь: (2; −1); 6) x2 − 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0; (x2 − 2xy + y2) + (y2 + 6y + 9) = 0; (x – y)2 + (y + 3)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x − y = 0, y = −3, � � y + 3 = 0; x = −3. Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−3; −3). Відповідь: (−3; −3).

60. Число b на 10 % більше за число а і на 30 % більше за число с. Знайдіть числа а, b і с, якщо а на 8 більше за с. Нехай а, b і с — числа, для яких виконуються умови: а – с = 8; b = 1,1a; b = 1,3с; 1,1а = 1,3с. Система рівнянь: a = c + 8, а – с = 8, a = c + 8, � � � 1,1a = 1,3c; 1,1(c + 8) = 1,3c; 1,1c + 8,8 – 1,3𝑐𝑐 = 0; a = c + 8, a = 52, � � 0,2c = 8,8; c = 44. Далі маємо: b = 1,1; a = 1,1 · 52 = 57,2. Отже, шукані числа: a = 52; b = 57,2; c = 44. Відповідь: a = 52; b = 57,2; c = 44.

61. Через 4 роки відношення віку брата до віку сестри дорівнюватиме 7 : 5. Скільки років нині кожному з них, якщо 2 роки тому брат був удвічі старший за сестру? Нехай сестра має х років, а брат — у років. Система: y–2

2 �yx − +4

= 2, 7

y – 2 = 2(x − 2), y – 2 = 2x − 4, y – 2x = −2 | · (−5), � � � 5y − 7x = 8; , 5(y + 4) = 7(x + 4); 5y + 20 = 7x + 28;

= 5 −5y + 10x = 10, 3x = 18; x = 6. � 5y − 7x = 8; Підставимо у друге рівняння останньої системи значення x = 6 й отримаємо: 5y − 42 = 8; y = 10. Отже, сестра має 6 років, а брат — 10 років. Відповідь: Сестра має 6 років, а брат — 10 років.

62. Загадали деяке двоцифове число. Якщо це число поділити на суму його цифр, одержимо неповну частку, що дорівнює 4, та 6 в остачі. Якщо ж від цього числа відняти потроєну суму його цифр, то одержимо 16. Яке число загадали? Нехай задумане двоцифрове число дорівнює xy = 10x + y. Система: 10x + y = 4(x + y) + 6, 10x + y = 4x + 4y + 6, � � 10x + y − 3(x + y) = 16; 10x + y − 3x − 3y = 16; 6x − 3y = 6 | · 2, 12x − 6y = 12, −9x = −36; x = 4. � � 7x − 2y = 16 | · (−3); −21x + 6y = −48; Підставимо у перше рівняння передостанньої системи значення x = 4 й отримаємо: 24 − 3y = 6; 3y = 18; y = 6. Отже, задумане двоцифрове число — 46. Відповідь: 46.

63. Кількість десятків деякого трицифрового числа вдвічі більша за кількість одиниць. Сума цифр цього числа дорівнює 13. Якщо поміняти місцями цифри сотень і одиниць, то одержимо число, яке на 495 менше від даного. Знайдіть дане число. Нехай задумане трицифрове число дорівнює xyz = 100x + 10y + z, тоді змінене число буде мати вигляд: zyx = 100z + 10y + x. Система: y = 2z, y = 2z, x + y + z = 13, � x + y + z = 13, � xyz − zyx = 495; 100x + 10y + z − 100z − 10y + x = 495; x+4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

y = 2z, y = 2z, y = 2z, y = 2z, x + y + z = 13, � �x + y + x = 13, � x + 3z = 13, � x + 3z = 13, x − z = 5 | · 3; 3x − 3z = 15; 99x − 99z = 495 | ∶ 99; x − z = 5; y = 2x, y = 4, � 4x = 28, �x = 7, x − z = 5; x = 2. Отже, шукане число: 742. Відповідь: 742.

64. Якщо перше з двох даних чисел збільшити на 10 %, а друге – на 15 %, то їх сума збільшиться на 13 %. Якщо перше 3 даних чисел зменшити на 5 %, а друге – на 10 %, то сума чисел зменшиться на 48. Знайдіть дані числа. Нехай перше число дорівнює х, а друге число — у. Система: 1,1x + 1,15y = 1,13(x + y) | · 100, 110x + 115y = 113(x + y), � � 0,95x + 0,9y = x + y – 48 | · 100 ; 95x + 90y = 100x + 100y − 4800; −3x + 2y = 0, 110x + 115y − 113x − 113y = 0, � � 95x + 90y − 100x − 100y = −4800; −5x − 10y = −4800; −3x + 2y = 0, −4x = −960 , x = 240, x = 240, x = 240, � � � � � −x − 2y = −960; x + 2y = 960; 240 + 2y = 960; 2y = 720; y = 360. Відповідь: 240; 360.

1 65. Для проведення ремонту придбали пісок і цемент. Першого дня використали від 5

1

маси придбаного піску і від маси придбаного цементу, що разом склало 205 кг. Другого 4 дня використали чверть тієї маси піску, яка залишилася, що на 37 кг більше за масу п’ятої частини цементу, яка залишилася після першого дня. Скільки піску і скільки цементу було придбано для ремонту? Нехай купили х кг піску, а цементу — у кг.

1 1 За перший день використали х кг піску, а цементу — y кг.

1

1

5

Перше рівняння: х + y = 205 │ ∙ 20; 4x + 5y = 4100.

5

4

1

1

1

4

1

4

1

1

1

За другий день використали (x – x) = ∙ x = x(кг) піску, а цементу — ∙ (у – у) = ∙ 1

у=

4

1

3

4

1

y (кг). Друге рівняння: x –

20

3

5

5 3

4

5

5

y = 37. Система:

20

5

4

5

4x – 3y = 740, 8y = 3360; у = 420. � 4x + 5y = 4100; 4x + 5y = 4100; З другого рівняння останньої системи отримаємо: 4х + 2100 = 4100; 4х = 2000; х = 500. Відповідь: 500 кг піску і 420 кг цементу.

66. Одна сторона трикутника утричі більша за другу. Периметр трикутника на 22 см більший за їх півсуму і на 27 см більший за їх піврізницю. Знайдіть сторони трикутника. Нехай друга сторона трикутника дорівнює х см, тоді перша сторона — 3х см, а третя сторона — y см. Отже, периметр — х + 3х + у = (4х + у) (см). Півсума двох перших сторін трикутника становить: 3x + x 3х − х = 2x (см), а їх піврвзниця – = х (см).

2 2 Система: 4x + y – 2x = 22, 2x + y = 22 │ ∙ (– 1), – 2x – y = – 22, � x = 5. � � 4x + y – x = 27; 3x + y = 27; 3x + y = 27; З другого рівняння системи одержимо: 15 + y = 27; y = 12. Друга сторона трикутника дорівнює 3 ∙ 5 = 15 (см). Отже, сторони трикутника, відповідно, дорівнюють 5 см; 15 см і �4

x–

20

y = 37 │ ∙ 20,

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12 см. Відповідь: 5 см; 15 см і 12 см.

67. Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину – на 2 см, то його площа збільшиться на 37 см2. Якщо ж кожну сторону прямокутника зменшити на 1 см, то його площа зменшиться на 12 см2. Знайдіть периметр даного прямокутника. Нехай початкова довжина прямокутника дорівнює х см, ширина — y см, тоді площа — ху (см2). Після першої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х + 3) см, ширина — (у + 2) см, а площа — (х + 3)(у + 2) (см2). Перше рівняння: (х + 3)(y + 2) – xу = 37; xy + 2х + 3y + 6 – хy = 37; 2х + 3y = 31. Після другої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х – 1)см, ширина — (у – 1)см, а площа — (х – 1)(y – 1)(см2). Друге рівняння: ху – (х – 1)(у – 1) = 12; ху – ху + х + у – 1 = 12; х + y = 13. Система: 2x + 3y = 31, 2x + 3y = 31, � y = 5. � x + y = 13 │ ∙ (– 2); – 2x – 2y = – 26; З першого рівняння системи отримаємо: 2х + 15 = 31; 2х = 16; х = 8. Периметр початкового прямокутника дорівнює: 2 ∙ (8 + 5) = 26 (см). Відповідь: 26 см.

68. Зливок складається з двох металів, маси яких відносяться як 3 : 4. Інший зливок містить ті самі метали, але у відношенні 1 : 2. По скільки кілограмів від кожного зливку треба взяти, щоб одержати зливок масою 10 кг, у якому маси тих самих металів відносяться як 2 : 3? У 10 кг зливку міститься 10 : (2 + 3) ∙ 2 = 4 кг одного металу, а іншого — 10 – 4 = 6 (кг). Нехай маса першого зливку дорівнює а кг, а другого — b кг. У першому зливку одного 3 4 1 металу є а (кг), а іншого – а (кг). У другому зливку одного металу є b (кг), а іншого – 2

b (кг).

3

7

3

1

3

b = 4 │ ∙ 21, 9a + 7b = 84 │ ∙ (– 2), – 18a – 14b = – 168, 3 Система: �47 � � 2 12a + 14b = 126; 12a + 14b = 126; a + b = 6 │ ∙ 21; 7

a +

7

3

–6a = –42; a = 7. З першого рівняння передостанньої системи одержимо: 63 + 7b = 84; 7b = 21; b = 3. Отже, від першого зливку треба взяти 7 кг, а від другого — 3 кг. Відповідь: 7 кг від першого зливку і 3 кг від другого зливку.

69. Дорога від села до міста спочатку пролягає горизонтально, а потім угору. Турист проїхав на велосипеді горизонтальну її частину зі швидкістю 10 км/год, а вгору йшов пішки зі швидкістю 3 км/год і прибув до міста через 1 год 40 хв після виїзду із села. У зворотному напрямку шлях униз турист проїхав зі швидкістю 15 км/год, а горизонтальну ділянку – зі швидкістю 12 км/год і прибув до села через 58 хв після виїзду з міста. Знайдіть відстань між містом і селом.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай довжина горизонтальної частини шляху дорівнює х км, тоді час, затрачений на x подолання цієї ділянки — год. Частина шляху, що йде вгору, нехай дорівнює y км, тоді 10

y

час, затрачений на подолання цієї ділянки — год.

40

2

5

3

1 год 40 хв = 1 = 1 = (год).

60 3 3 Перше рівняння: x y 5 + = │ ∙ 30; 10 3 3 3х + 10y = 50. y У зворотному напрямку на шлях, що йде з гори, турист витратив год, а на 15

x

горизонтальну частину шляху — год 58 хв = 58/60 год.

12 Друге рівняння: y x 58 + = │ ∙ 60; 15 12 60 4у+ 5х + 58. Система: 3x + 10y = 50 │ ∙ (– 5), – 15x – 50y = – 250, � –38y = –76; y = 2. � 15x + 12y = 174; 5x + 4y = 58 │ ∙ 3; З другого рівняння першої системи отримаємо: 5х + 8 = 58; 5x = 50; х = 10. Отже, від села до міста — 2 + 10 = 12 (км). Відповідь: 12 км.

70. В одному резервуарі 490 л води, а в іншому 560 л. Якщо долити перший резервуар до країв водою з другого, то другий резервуар виявиться заповненим тільки наполовину. Якщо другий резервуар до країв долити водою з першого, то перший буде заповнений водою тільки на третину. Визначте ємність кожного з резервуарів. Нехай об’єм першого резервуара х л, а другого — y л. В обох резервуарах знаходиться 490 + 560 = 1050 (л) води. Якщо долити перший резервуар доверху водою з другого, то другий резервуар виявиться наповненим тільки наполовину. Перше рівняння: х + 0,5y = 1050. Якщо другий резервуар долити доверху водою з першого, то перший буде наповнений водою тільки на третину.

1 Друге рівняння: x + y = 1050.

3 x + 0,5y = 1050, x + 0,5y = 1050, –2,5y = –2100; y = 840. Система: �1 � x + y = 1050 │ ∙ (– 3); – x – 3y = – 3150; 3 З першого рівняння першої системи одержимо: х + 420 = 1050; х = 630. Відповідь: Об’єм першого резервуара 630 л, а другого — 840 л.

71. Автобус і маршрутне таксі, які за розкладом вирушають назустріч один одному о 8 год з пунктів A i В, зазвичай зустрічаються о 8 год 12 хв. Але одного разу маршрутне таксі вирушило в рейс о 8 год 8 хв і зустрілося з автобусом о 8 год 17 хв. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість маршрутного таксі, якщо відстань між A i B дорівнює 24 км. Нехай швидкість автобуса дорівнює х км/год, а маршрутного таксі — у км/год. Якщо 12 виїзд відбувся за розкладом, то до зустрічі автобус проїжджає відстань х км, а

маршрутне таксі

60

12

у км.

60

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Перше рівняння:

12

х+

60

12

y = 24.

60

17

При порушенні часу виїзду автобус проїхав відстань Друге рівняння: 12

17

х+

60

12

y = 24.

60

60

у км.

y = 24 | · 5, x + y = 120 │ ∙ (– 9), – 9x – 9y = – 1080, 60 � Система: �1760 � 9 17x + 9y = 1440; 17x + 9y = 1440; х + y = 24 | · 60; 60

х +

9

9

х км, а маршрутне таксі

60

60

8х = 360; х = 45. З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 45 +y = 120; y = 75. Відповідь: Швидкість автобуса 45 км/год, маршрутного таксі — 75 км/год.

72. З пункту M до пункту N о 7 год і о 7 год 30 хв виїхали два автобуси з однією і тією самою швидкістю. O 7 год 10 хв з пункту N до пункту M виїхав велосипедист. Він зустрів перший автобус о 7 год 40 хв, а другий – о 8 год 01 хв. Знайдіть швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо відстань між пунктами M i N дорівнює 37 км. Нехай швидкість кожного автобуса дорівнює х км/год, а велосипедиста — y км/год. До 40 2 40 10 зустрічі перший автобус проїхав – х(7 – 7) = х (км), а велосипедист — y (7 – 7 ) = 1

60

y (км).

2

2

1

3

60

60

Перше рівняння: х + у = 37.

3

2

Другий автобус до зустрічі проїхав – x(8 y(8

1

60

10

–7 )= 60

51

y (км),

60

Друге рівняння: Система: �31 60

2 3

31

х+

60

1

х +

х +

2 51 60

51

1

60

30

–7 )= 60

31

x (км), а велосипедист —

60

у = 37.

60

у = 37 | ∙ 6,

4x + 3y = 222 │ ∙ (– 17), – 68x – 51y = – 3774, � � 31x + 51y = 2220.

31x + 51y = 2220; у = 37 | ∙ 60;

–37x = –1544; х = 42. З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 168 + 3y = 222; 3у = 54; у = 18. Відповідь: Швидкість кожного автобуса 42 км/год, велосипедиста — 18 км/год.

73. З міста в село, відстань між якими 24 км, вирушив турист. Через 1 год 20 хв услід за ним виїхав велосипедист, який через півгодини наздогнав туриста. Після прибуття в село велосипедист, не зупиняючись, повернув назад і зустрівся з туристом через півтори години після першої зустрічі. Знайдіть швидкість туриста і швидкість велосипедиста.

2 Нехай швидкість туриста х км/год, а велосипедиста — y км/год. 1 год 20 хв = 1 год; 0,5 3

2

3

5

6

1

год = год. До першої зустрічі турист пройшов 1 х + x = 1 х (км.), а велосипедист y км.

6

5

1

Перше рівняння: 1 х = y.

6

2

1

1

6

6

6

5

2

3

До другої зустрічі велосипедист проїхав y + 1 y = 2y (км), а турист пройшов 1 х + 1 х = 1

3 х(км).

3

1

2

2

Друге рівняння: 3 х + 2y= 48.

3

 shkola.in.ua

6

6

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 5

1

1 x =

y │ ∙ 6,

11x – 3y = 0, 11x – 3y = 0, � Система: � 1 � 3 х + 2y = 48 | ∙ 3; 10x + 6y = 144 │ ∶ 2; 5x + 3y = 72; 3

6

2

16x = 72; x = 4,5. З другого рівняння останньої системи отримаємо: 22,5 + 3у = 72; 3у = 49,5; у = 16,5. Відповідь: Швидкість туриста 4,5 км/год, велосипедиста — 16,5 км/год.

74. З міста А в місто В о 9 год виїхали два автобуси. У той самий час з міста В в місто А виїхав велосипедист. Один автобус трапився на його шляху о 10 год 20 хв, а другий – об 11 год. Знайдіть швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо швидкість 7 одного автобуса становить від швидкості другого, а відстань між містами – 120 км.

12 Нехай швидкість велосипедиста х км/год, швидкість першого автобуса у км/год, а 7 20 другого — у км/год. Велосипедист до зустрічі з першим автобусом проїхав х(10 – 9 ) 1

12

60

1

= 1 х ( км), автобус — 1 у (км).

3

3 1

1

Перше рівняння: 1 x + 1 y = 120.

3 3 До зустрічі з другим автобусом велосипедист проїхав у(11 – 9 ) = 2у (км), а автобус — 7 7 у (11 – 9) = у (км).

12

6

7

Друге рівняння: 2х + у = 120.

6 1

1

1 x + 1 y = 120 | · 3, 4x + 4y = 360 │ ∙ (– 3), – 12x – 12y = – 1080, 3 � Система: � 3 � 7 12x + 7y = 720; 12x + 7y = 720; 2х + у = 120 | · 6; 6

–5y = –360; у = 72. З другого рівняння системи одержимо: 12х + 504 = 720; 12х = 216; х = 18.

7 Швидкість другого автобуса дорівнює 72 = 42 (км).

12 Відповідь: Швидкість велосипедиста 18 км/год, а автобусів — 42 км/год і 72 км/год.

75. По колу, довжина якого 500 м, рухаються дві точки. Вони зустрічаються через кожні 10 с, якщо рухаються у протилежних напрямках, і через кожні 50 с, якщо в одному. Знайдіть швидкість кожної з точок. Нехай швидкість першої точки х м/с, а швидкість другої — у м/с.

50x – 50y = 500 │ ∶ 5, 10x – 10y = 100, Система: � 20x = 600; x = 30. � 10x + 10y = 500; 10x + 10y = 500; З другого рівняння першої системи отримаємо: 300 + 10y = 500; 10y = 200; у = 20. Відповідь: швидкість першої точки 30 м/с, швидкість другої — 20 м/с.

Задачі підвищеної складності з геометрії 1. Дано відрізок AB. Позначте всі такі точки K на відрізку AB, для яких виконується співвідношення: 1) BK = 3AK; 2) BK ≥ 3AK. 1) т. K; 2) відрізок AK. 2. ∠AOB = 120°. Побудуйте промінь OK, який проходить між сторонами даного кута так, що 3∠AOK − 2∠KOB = 10°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ∠AOK = x. Тоді ∠KOB = 120 – x.

3x – 2(120 – x) = 10; shkola.in.ua 3x – 240 + 2x = 10; 5x – 240 = 10; 5x = 250; x = 50. ∠AOK = 50°; ∠KOB = 70°.

3. Скільки різних прямих можна провести через чотири точки так, щоб кожна пряма проходила щонайменше через дві із заданих точок? Розгляньте всі можливі випадки. До кожного зробіть малюнок.

1) 1 пряма; 2) 4 прямі; 3) 6 прямих; shkola.in.ua shkola.in.ua

4. Скільки різних точок перетину можуть мати чотири прямі, кожні дві з яких перетинаються? Розгляньте всі можливі випадки. До кожного виконайте малюнок.

2) 4 точки; 1) 4 точки; а∥b, c∥d; 3) 3 точки; a∥b; shkola.in.ua

4) 6 точок; shkola.in.ua

shkola.in.ua

5) 5 точок; a∥b.

shkola.in.ua

5. Точки A, B і C належать прямій a, причому точка B лежить між точками A і C. Відомо, що AC < 1,9AB. Порівняйте довжини відрізків BC і AB. Нехай AB = x. Тоді AC < 1,9x.

BC = AC – AB; BC < 1,9x – x; BC < 0,9x; BC < 0,9AB. 6. На малюнку: ∠AOC − ∠BOD. OL і OP — бісектриси кутів ∠AOD і ∠COB. Порівняйте кути: 1) AOL і COP; 2) LOP і AOC. 1) ∠COB = ∠AOB – ∠AOC; ∠AOD = ∠AOB – ∠BOD ⇒ ∠COB = ∠AOD. OL, OP — бісектриси ⇒ ∠AOL = ∠COP. shkola.in.ua 2) ∠LOP = ∠AOB – ∠AOL – ∠POB = ∠AOB – 2∠AOL. ∠AOC = ∠AOB – ∠COB = ∠AOB – 2∠COP ⇒ ∠LOP = ∠AOC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

7. Дано п’ять прямих, кожні дві з яких перетинаються. Відомо, що через точку перетину будь-яких двох з них проходить принаймні ще одна з даних прямих. Доведіть, що всі ці прямі проходять через одну точку.

1) Неправильно, бо маємо три точки перетину, а залишилося дві прямі; shkola.in.ua

2) Правильно.

8. Чи можна градусні міри двох суміжних кутів записати: 1) тільки непарними цифрами; Так; 171° і 9°; 175° і 5°; 2) тільки парними цифрами? Ні.

9. Знайдіть суміжні кути, якщо: 1 1 1) градусні міри цих кутів відносяться як : ; 1

2

1

3

1

1

x + x = 180; 3x + 2x = 1080; 5x = 1080; x = 216; x = 108; x = 72; 108° і 72°; 2 3 2 3 2) половина одного з них становить 40 % від іншого.

0,5x = 0,4(180 – x); 0,5x = 72 – 0,4x; 0,9x = 72; x = 80; 80° і 100.

10. У якому з випадків утвориться більше пар вертикальних кутів: при перетині трьох прямих в одній точці чи в трьох точках?

1) 6 пар кутів: ∠AOB і ∠FOD; ∠BOC і ∠FOG; ∠COD і ∠GOA; ∠AOC і ∠DOG; ∠BOD і shkola.in.ua ∠FOA; ∠COF і ∠GOB.

2) 6 пар кутів. Однаково.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html 1

11. Знайдіть кут між двома прямими, що перетинаються, якщо сума одного з утворених 3

5

кутів і іншого дорівнює 90°.

6 Нехай α = x.

1 5 1) x + (180 – x) = 90; 3

6

2x + 900 – 5x = 540; 3x = 360; x = 120; α = 120°;

1

5

2) x + x = 90; 3

6

2x + 5x = 540; 7x = 540; 1

x = 77 ;

7 1°

α = 77 .

7

12. Через вершину тупого кута, градусна міра якого дорівнює α, проведено промені, перпендикулярні до сторін кута. Промені утворили гострий кут β. Доведіть, що α + β = 180°.

KO ⊥ OB; OL ⊥ AO. ∠AOK = 90° – β; ∠LOB = 90° – β; shkola.in.ua 90° – β + β + 90° – β = α; α + β = 180°.

13. Чи є паралельними прямі AB і CD на малюнку?

112° + 108° + 139° = 359°; 359° ≠ 360°. Відповідь: нi.

14. Чи можна, використовуючи шаблон кута, градусна міра якого 27°, побудувати перпендикулярні прямі?

27° ∙ 10 = 270°; 360° – 270° = 90°. Відповідь: так.

15. Знайдіть градусну міру кожного з кутів, утворених при перетині двох прямих, якщо один з них у 2,6 раза менший від суми трьох інших. Нехай α = x.

2,6x = x + 180 – x + 180 – x; 2,6x = –x + 360; 3,6x = 360; x = 100. Відповідь: 100°; 100°; 80°; 80°.

16. Периметр трикутника на 10 см більший за одну зі сторін, на 13 см — за другу і на 9 см — за третю. Знайдіть периметр трикутника. a + b + c − a = 10, b + c = 10, �a + b + c − b = 13, �a + c = 13, a + b + c – c = 9; a + b = 9; shkola.in.ua 2a + 2b + 2c = 32; a + b + c = 16.

P = 16 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

17. Точки M і N — середини сторін AB і AC трикутника ABC, AB = AC, MK ⊥ AB, NL ⊥ AC. Доведіть, що ∠NLK = ∠MKL. 1 1 AM = AB = AC = AN; ∠A — спільний; 2

shkola.in.ua

2

∠AMK = ∠ANL = 90° ⇒ ΔAMK = ΔANL ⇒ MK = NL. ΔMLK і ΔNLK: MK = LN; ∠LMK = ∠LNK = 90°; LK — спільна сторона ⇒ ΔMLK = ΔNLK ⇒ ∠NLK = ∠MKL.

18. Прямі, що містять бісектриси зовнішніх кутів при вершинах B і C трикутника ABC, перетинаються в точці O. Знайдіть ∠BOC, якщо ∠A = α. ∠A + ∠B + ∠C = 180°; shkola.in.ua

∠B + ∠CBO + ∠MBO = 180° ⇒ ∠CBO = ∠C + ∠BCO + ∠OCN = 180°; ∠BCO = ∠BOC = 180° – = 180° – α –

α+∠C

2 180°−α 2

–

α+∠B 2

α+∠C

2 α+∠B

= 180° – α – α

;

;

2 ∠C+∠B 2

= α

= 180° – α – 90° + = 90° – .

2

2

19. На малюнку: ΔABC = ΔCDA, AB = CD = 40 см, BO = DO = 10 см. Периметр трикутника ABC дорівнює 100 см. Знайдіть периметр трикутника AOC, якщо AO більша за AC на 30 см. Нехай AC = x. Тоді AB + BO + OC + AC = 40 + 10 + x + 30 + x = 100; 2x + 80 = 100; x = 10. shkola.in.ua AC = 10; AO = 40 – OC. PΔAOC = 10 + 40 + 40 = 90 (см).

20. ΔABC — рівнобедрений з основою AB. Медіани AA₁ і BB₁ продовжено за точки A₁ і B₁ на відрізки A₁K і B₁L відповідно так, що A₁K = AA₁ і B₁L = BB₁. Доведіть, що ∠ALC = ∠BKC. ΔAB1B = ΔAA1B: AB — спільна; AB1 = BA1; ∠A = ∠B ⇒ ΔAB1B = ΔAA1B ⇒ AA1 = BB1, BL = AK. ΔABL = ΔABK: AB — спільна; BL = AK; ∠A1AB = ∠B1BA ⇒ ΔABL = ΔABK; AL = BK. shkola.in.ua ∠LAB = ∠KBA, ∠LAC = ∠KBC ⇒ ΔALC = ΔBKC.

21. Доведіть, що з точки перетину бісектрис кожну зі сторін трикутника видно під тупим кутом. ∠A + ∠C < 180° ⇒ ∠OAC + ∠OCA < 90° ⇒ ∠AOC > 90°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

22. Дві сторони і висота, що проведена до третьої сторони одного трикутника, відповідно дорівнюють двом сторонам і висоті, що проведена до третьої сторони другого трикутника. Чи можна стверджувати, що трикутники рівні між собою? ΔABM і ΔA1B1M1: AB = A1B1, AM = A1M1, ∠BMA = ∠B1M1A1 = 90° ⇒ ΔABM = ΔA1B1M1. Аналогічно ΔAMC = ΔA1M1C1 ⇒ ΔABC = ΔA1B1C1.

23. Дві сторони і медіана, що проведена до третьої сторони одного трикутника, дорівнюють відповідно двом сторонам і медіані, проведеній до третьої сторони другого трикутника. Доведіть, що ці трикутники рівні між собою.

1) Нехай AB = A1B1; BC = B1C1 і BM = B1M1, де BM і B1M1 — медіани shkola.in.ua трикутників ABC і A1B1C1.

2) Продовжимо BM за точку M на відрізок BM; MD = BM; аналогічно B1M1 за точку M1 на відрізок M1D1 = B1M1.

3) Оскільки AM = MC і ∠AMD = shkola.in.ua ∠BMC (як вертикальні), то ∆AMD = ∆CMB, тому AD = BC. Аналогічно A1D1 = B1С1.

4) ∆ABD = ∆A1B1D1 (за третьою ознакою), тому ∠ABM = ∠A1B1M1 5) ∆ABM = ∆A1B1M1 (за першою ознакою), тому AM = A1M1, а отже і AC = A1С1 (як подвоєні рівні відрізки).

6) Отже, ∆ABC = ∆A1B1С1 (за трьома сторонами), що й треба було довести.

24. Визначте вид трикутника (за кутами), якщо: 1) сума будь-яких двох його кутів більша за 90°; ∠A + ∠B > 90° ⇒ ∠C > 90°. Аналогічно ∠A > 90°; ∠B < 90°. Трикутник гострокутний.

2) кожний з кутів менший від суми двох інших. ∠A < ∠B + ∠C ⇒ ∠A не може бути більше 90°. Аналогічно ∠B і ∠C теж менше 90°. Трикутник гострокутний.

25. У трикутнику ABC кут C — прямий. Сторону AB трикутника продовжено за точку A на відрізок AP = AC і за точку B на відрізок BT = BC. Знайдіть суму градусних мір кутів СРТ і СТР. Нехай ∠A = α. Тоді ∠B = 90° – α. ∠PAC = 180° – α; ∠APC = ∠ACP –

180°−(180°−α) 2

𝛼𝛼

= .

2

∠CBT = 180° – (90° – α) = 90° + α;

shkola.in.ua

∠BCT = ∠BTC = 90°−α 2

.

180°−(90°−α) 2

α

∠CPT + ∠CTP = + α + 90° −α

 shkola.in.ua

2

=

90° 2

2

= 45°.

90° −α 2

=

=

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

26. У трикутнику ABC AC = BC, D — точка перетину бісектрис трикутника, а точка O — центр кола, описаного навколо трикутника. Відрізок OD перетинає сторону AB трикутника в точці P і ділиться цією точкою навпіл. Знайдіть кути трикутника ABC. 1) Позначимо ∠CAD = ∠DAB = х.

2) CP — серединний перпендикуляр і висота ∆ABC. Тому АР— висота ∆ADO. 3) Оскільки висота ∆ADO є також і медіаною, то AD = AO, а тому AP також і бісектриса ∆ADO. Маємо ∠OAP = х.

4) OA = OC (як радіуси), тому shkola.in.ua ∠OCA = ∠OAC = 3х.

5) Але в ∆ACP: ∠C = 90° – 2х. Маємо 3х = 90° – 2х; 5х = 90°; х = 18°.

6) Отже, ∠CAB = ∠CBA = 2 ∙ 18° = 36°; ∠ACB = 180° – 2 ∙ 36° = 108°. Відповідь: 36°; 36°; 108°.

27. Відрізки AC і BD перетинаються. Відомо, що AB > AC. Доведіть, що BD > CD. ΔABC: AB > AC ⇒ ∠BCA > ∠ABC. ∠CBD < ∠ABC, ∠BCD > ∠BCA ⇒ BD > CD. shkola.in.ua 28. У трикутнику ABC AB > AC, AM — медіана. Доведіть, що ∠CAM > ∠MAB. 1) Продовжимо медіану AM за точку M на довжину AM, отримаємо точку D. 2) ∠CMD = ∠AMB (як вертикальні). Тому ∆CMD = ∆BMA (за першою ознакою). Тому ∠CDM = ∠MAB i CD = AB. 3) Оскільки AB > АС, то й CD > АС.

4) У ∆CAD: CD > АС, а тому ∠CAD > ∠CDA. Тому ∠CAM > ∠MAB, що й треба було довести. shkola.in.ua

29. Усередині рівностороннього трикутника ABC узято довільну точку K. Доведіть, що AK < BK + KC. 1) ∠KAC < 60°; ∠KCA < 60°, тому ∠AKC > 60° і у ∆AКC кут AKC є найбільший. А отже, AC > AK. 2) У ∆BKC за нерівністю трикутника: BK + KC > BC. 3) Оскільки AC = BC і AC > AK і BK + KC > BC, то shkola.in.ua AK < BK + KC, що й треба було довести.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

30. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів удвічі менший від другого, а сума гіпотенузи та меншого катета дорівнює a см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

1) Позначимо ∠B = х, тоді ∠A = 2х. Тоді х + 2х = 90°; 3x = 90°; x = 30°. shkola.in.ua 𝐴𝐴𝐴𝐴 2) Отже, ∠B = 30°, а тому AC = .

2 3) Позначимо AC = у (см), тоді AB = 2у см. За умовою у + 2у = а; 3у = а; 𝑎𝑎 у = (см).

3

4) Оскільки у прямокутному трикутнику радіус описаного кола R дорівнює половині 2𝑦𝑦 𝑎𝑎 гіпотенузи, то R = = у = (см). 𝑎𝑎

2

3

Відповідь: см.

3 31. У трикутнику ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах AB і BC позначено точки K і L так, що ∠LAK = 5°, ∠LCK = 10°. Знайдіть ∠LKC. 1) ∠BAC = 90° – ∠B = 50°.

2) ∠LAC = 50° – 5° = 45°.

3) ∠KCA = 90° – 10° = 80°.

4) У ∆CKA – ∠CKA = 180° – (80° + 50°) = 50°, тому ∆CKA — рівнобедрений і CK = CA. 5) ∠CLA = 90° – 45° = 45°; тому ∆CLA – рівнобедрений і CL = CA. 6) CK =CA і CL = CA, тому CK = CL; тобто ∆CLK — 180° – 110° = 85°. рівнобедрений і ∠LKC = ∠CLK = shkola.in.ua 2 Відповідь: 85°.

32. У трикутнику ABC висоти AA₁ і BB₁ рівні й AB₁ = CA₁. Знайдіть ∠C. 1) За умовою AA1 ⊥ BC; BB1 ⊥ AC; AA1 = BB1 і AB1 = CA1.

2) ∆ABB1 = ∆CAA1 (за двома катетами), тому shkola.in.ua AB = CA, ∠ABB1 = ∠CAA1 і ∠C = ∠BAB1.

3) Оскільки ∠C = ∠BAB1, то ∆ABC —рівнобедрений і AB = BC. 4) AB = CA і AB = BC, тому AB = CA = BC; ∆ABC — рівносторонній; ∠C = 60°. Відповідь: 60°.

33. Відрізок BD — висота гострокутного трикутника ABC. Від вершини B на прямій BC відкладено відрізки BM і BN, завдовжки як сторона AB. На стороні AC від точки D відкладено відрізок DL, що дорівнює DA. Доведіть, що точки A, M, N, L лежать на одному колі.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Побудуємо коло із центром у точці В і радіусом BA. Зрозуміло, що точки M і N належать цьому колу (оскільки BA = BN = BM).

2) BD є висотою і медіаною ∆BLA, тому ∆BLA — рівнобедрений і BL = BA. Тому точка L також належить побудованому колу.

3) Отже, точки А, М, N і L лежать на одному колі, що й треба було довести.

34. Навколо рівнобедреного трикутника з кутом при вершині 120° і бічною стороною, що дорівнює a см, описано коло. Знайдіть його радіус.

1) Нехай ∆ABC — рівнобедрений; ∠ACB = 120°; AC = CB = а (см); точка O — центр кола, описаного навколо ∆ABC. 2) OC — серединний перпендикуляр до AB, а тому CD — висота ∆ABC. 3) ∆ABC — рівнобедрений з основою AB, тому CD є також і shkola.in.ua 120 бісектрисою; ∠OCB = = 60°.

2 4) OC = OB (як радіуси), тому ∆OCB — рівнобедрений і ∠OBC = ∠OCB = 60°.

5) ∠СОВ = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.

6) ∆COB — рівносторонній; OC = CB = а см. Відповідь: а см.

35. AM і AN — дотичні до кола, AM = m см. Пряма BC дотикається до кола в точці K. Знайдіть периметр трикутника ABC. За властивістю відрізків дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо AN = AM = m cм, BM = BK і CK = CN. shkola.in.ua Нехай P см — периметр трикутника ABC. Тоді P = AB + BC + CA = AB + BK + KC + CA = AB + BM + CN + CA = (AB + BM) + (АС + CN) = AM + AN = m + m = 2m (см). Відповідь. 2m см.

36. Два кола однакового радіуса, що дотикаються між собою, внутрішньо дотикаються до третього кола. Сполучивши центри трьох кіл, отримали трикутник, периметр якого 20 см. Знайдіть радіус більшого кола.

1) Нехай периметр ∆ОО1О2 = 20 см і R см — радіус великого кола; r см — радіус малого кола.

2) Нехай K i L – точки дотику великого кола з малими. shkola.in.ua 3) P∆OO1O2 = OO1 + OO2 + O1O2 = (OK – KO1) + (OL – O2L) + O1O2 = R – r + R – r + 2r = 2R. 4) Маємо 2R = 20; R = 10 (см). Відповідь: 10 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37. Нехай r — радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами a і b та a+b−c гіпотенузою c. Доведіть, що r = .

2 1) Нехай BC = a; AC = b; AB = с; К; L і М — точки дотику.

90° 2) CO — бісектриса кута ACB, тому ∠АСО = 2 shkola.in.ua = 45°.

3) У ∆KCO: ∆КОС = 90° – 45° = 45°; ∆KCO — рівнобедрений і CK = OK = r.

4) За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки, CL = CK = r.

5) AK = AC – KC = b – r; BL = BC – CL = а – r.

6) Маємо AM = AK = b – r ; BM = BL = а – r.

7) AB = AM + MB; c = b – r + a – r; 2r = a + b – c ; a+b–c r= , щo й тpe6a було довести.

2 38. Два кола мають зовнішній дотик у точці P. Точки M1 і M2 — точки дотику спільної зовнішньої дотичної до кіл. Доведіть, що ∠M1PM2 = 90°.

1) Оскільки O1M1 ⊥ M1M2 і O2M2 ⊥ M1M2, то O1M1 ∥ O2M2. Тому AM1O1O2 + AM2O2O1 = 180° (за властивістю внутрішніх shkola.in.ua різносторонніх кутів).

2) ∆O1M1P — рівнобедрений. Позначимо 180° – ∠M₁O₁P ; ∠O1M1P = ∠O1PM2 = α. Тоді α = 2 3) ∆O2M2P – рівнобедрений. Позначимо 180° – ∠M₂O₂P ∠O2M2P = ∠O2PM2 = β. Тоді β = ; 180° – ∠M₁O₁P

4) ∠M1PM2 = 180° – (а + β) = 180° – ( 360° – (∠M₁O₁P + ∠M₂O₂P)

180°

2

+

180° – ∠M₂O₂P 2

) = 180° –

2

= 180° – 180° + = 90°, що й треба було довести.

2 2 39. За допомогою циркуля і лінійки поділіть кут 54° на три рівні частини. І спосіб. Оскільки 54° ∙ 3 = 162°, то можна побудувати кут 180° – 162° = 18°; після чого поділити заданий кут на три рівні частини.

II спосіб. 1) Побудуємо AO ⊥ OB. Тоді ∠АОС = 90° – 54° = shkola.in.ua 36°.

2) Поділимо кут AOC на два рівних кути по 36° : 2 = 18°; після чого ділимо заданий кут на три рівні частини.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40. Знаючи суму і різницю двох кутів, побудуйте їх.

1) Спочатку слід побудувати кут ∠NQC = ∠AOB + ∠KLM = α + β + α – β = 2α.

2) Поділити кут ∠NQC навпіл; отримаємо кут α.

3) Після чого відкласти кут α від променя OA; отримаємо кут β. shkola.in.ua

41. Побудуйте ΔABC за стороною BC, прилеглим до неї кутом B і сумою двох інших сторін CA + AB. 1) Спочатку побудуємо трикутник BCD за стороною BC; кутом В та у якого BD = CA + AB. 2) Точку А можна визначити з умови ∠ADC = ∠ACD. 3) ∆ABC — шуканий.

shkola.in.ua

42. Побудуйте ΔABC за двома кутами A і B та периметром P. ∠A α ∠B β 1) Побудуємо трикутник CMN, у якого NM = P i ∠CNM = = , ∠CMN = = . α

2

2

β

2

2

2) Далі від променя CN треба відкласти кут , а від променя CM — кут . Отримаємо 2 2 точки A і B. 3) ∆ABC — шуканий.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43. Дано пряму a і відрізок AB, що перетинає цю пряму. Побудуйте на прямій a точку C так, щоб пряма містила бісектрису трикутника ABC. 1) Побудуємо відрізок BK⊥а; BO = OK. 2) Пряма AK перетинає пряму а у точці С.

3) CO — висота і медіана ∆BKC; shkola.in.ua тому ∆BKC — рівнобедрений. Отже, CO — бісектриса кута ACB; тобто пряма а містить бісектрису трикутника ABC.

44. Побудуйте точку, яка лежить на даному колі й рівновіддалена від кінців даного відрізка. Скільки розв'язків має задача?

1) Шукана точка — точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB та кола. shkola.in.ua 2) Задача може мати один розв’язок; два розв’язки або не мати розв’язків взагалі. Відповідь: жодного, один або два розв’язки.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Додаткові теми 1. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на: 1) відстань 2 см; 2) відстань, не більшу за 2 см.

1) Геометричним місцем точок, віддалених від заданої точки на 2 см, є коло радіусом 2 см із центром у заданій точці.

2) Геометричним місцем точок, віддалених від заданої точки на відстань, не більшу за 2 см, є круг радіусом 2 см із центром у заданій точці, включаючи його внутрішню область та границю (тобто саме коло).

2. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від заданої точки на: 1) відстань a см; 2) відстань, не більшу за a см.

1) Геометричним місцем точок, віддалених від заданої точки на відстань a см, є коло радіусом a см із центром у заданій точці.

2) Геометричним місцем точок, віддалених від заданої точки на відстань, не більшу за a см, є круг радіусом a см із центром у заданій точці, включаючи його внутрішню область та границю (тобто саме коло).

3. Накресліть довільний відрізок AB і знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка. Заданим геометричним місцем точок є серединний перпендикуляр LK до відрізка AB.

shkola.in.ua

4. Побудуйте відрізок MN завдовжки 4 см і геометричне місце точок, рівновіддалених від його кінців. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка MN, є його серединний перпендикуляр. Це пряма, яка проходить через середину відрізка MN і перпендикулярна до нього. shkola.in.ua

5. Побудуйте тупий кут і геометричне місце точок, що належать внутрішній області кута, рівновіддалених від сторін цього кута. Заданим геометричним місцем точок є бісектриса заданого тупого кута.

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6. Побудуйте гострий кут і геометричне місце точок, що належать внутрішній області кута, рівновіддалених від сторін цього кута. Заданим геометричним місцем точок є бісектриса заданого гострого кута.

shkola.in.ua

7. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від даної точки на задану відстань. Нехай задано точку О і r – задана відстань, тоді геометричним місцем точок, які віддалені від точки О на задану відстань r, є колом.

shkola.in.ua

8. Побудуйте прямий кут і геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін цього кута, що належать його внутрішній області. Геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін даного кута, є його бісектрисою. shkola.in.ua Нехай задано прямий кут з вершиною в точці O та сторонами OA і OB. Тоді множина всіх точок, які рівновіддалені від цих сторін і лежать у внутрішній області кута, є його бісектрисою — тобто прямою, яка ділить кут навпіл.

9. Чи буде пряма, що містить висоту рівнобедреного трикутника, проведену до основи, геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців основи? У рівнобедреному трикутнику (з основою BC і вершиною A, де AB=AC) висота з вершини A до основи BC збігається з медіаною та бісектрисою кута при вершині. Оскільки ця висота проходить shkola.in.ua через середину відрізка BC і перпендикулярна до нього, вона одночасно є і перпендикулярною бісектрисою відрізка BC. А перпендикулярна бісектриса відрізка — це якраз геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців цього відрізка. Отже, пряма, що містить висоту (і водночас медіану, бісектрису) до основи рівнобедреного трикутника, дійсно є геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців основи.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

10. Позначте точки P і F, відстань між якими 4 см. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від кожної з них на відстань 3 см.

PF = 4 см.

1) Будуємо дугу кола з центром у точці P і з радіусом 3 см.

2) Будуємо дугу кола з центром у точці F і з радіусом 3 см.

3) Побудовані дуги перетинаються у точках A і B, які і є шуканими точками. shkola.in.ua

11. Побудуйте геометричне місце точок, що містяться від заданої прямої на відстані, що дорівнює заданому відрізку a. Геометричним місцем точок, що знаходяться на відстані а від заданої прямої m є дві прямі, паралельні прямій m, кожна точка яких знаходиться на відстані а від прямої m. План побудови.

1) n ⊥ m; n і m перетинаються в точці O; 2) Від точки K відкладаємо на прямій n два shkola.in.ua відрізки довжиною а см: OM = ON = а см; 3) Через точки M і N проводимо прямі b і с, кожна з яких перпендикулярна до n. Прямі b і с — шукане геометричне місце точок.

12. Побудуйте геометричне місце точок, що містяться на відстані 4 см від заданої прямої. Геометричним місцем точок, що знаходяться на відстані 4 см від заданої прямої m є дві прямі, паралельні прямій m, кожна точка яких знаходиться на відстані 4 см від прямої m. Побудова аналогічна до завдання 11. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

13. Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіусом r, що проходять через точку P. Геометричним місцем центрів кіл радіусом r, що проходять через точку P, є коло радіусом r із центром у точці P. Це означає, що будь-який центр такого кола має бути на відстані r від точки P, тобто всі такі центри лежать на колі з радіусом r і центром у точці P. shkola.in.ua

14. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що дотикаються до даної прямої в заданій точці M. Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до даної прямої в заданій точці M, є перпендикуляр до цієї прямої, проведений через точку M. Будь-яке коло, що дотикається до прямої в точці M, має центр на цьому перпендикулярі, shkola.in.ua оскільки радіус кола в точці дотику завжди перпендикулярний до дотичної.

15. Дано основу AB рівнобедреного трикутника. Знайдіть геометричне місце точок — вершин рівнобедрених трикутників з основою AB. 1) Будуємо точку M — середину AB та серединний перпендикуляр, що проходить через точку M. 2) Заданим геометричним місцем точок є серединний перпендикуляр до відрізка AB (за виключенням точки M).

shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

16. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять через дві задані точки — P і L. Геометричним місцем центрів кіл, що проходять через дві задані точки P і L, є серединний перпендикуляр до відрізка PL. Будь-яке коло, яке проходить через точки P і L, має центр рівновіддалений shkola.in.ua від них. Геометричним місцем таких точок є пряма, яка проходить через середину відрізка PL і перпендикулярна до нього.

17. Побудуйте геометричне місце точок, рівновіддалених від двох заданих паралельних прямих. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох заданих паралельних прямих, є пряма, що проходить між ними та паралельна до них. Для побудови: shkola.in.ua 1) Накресліть дві паралельні прямі (a i b).

2) Знайдіть середину відстані між ними (побудувати пряму n⊥а і n⊥b, М – середина відрізка AB).

3) Проведіть пряму, паралельну до даних прямих, через середину цієї відстані (пряма m проходить через точку М, m∥а∥b). Пряма m є шуканим геометричним місцем точок.

18. Побудуйте коло радіусом r, що проходить через дві дані точки. Скільки розв’язків має задача? Нехай задано точки А і В, r – радіус кола.

1) З’єднаємо точки А і В.

2) Побудуємо серединний перпендикуляр до відрізка АВ, який перетинає його в точці L. 3) З точок А і В проводимо дуги радіусом r. На перетині цих дуг із серединним перпендикуляром утворяться точки О1 і О2 – центри кіл.

4) Будуємо два кола радіусом r з центрами у точках О1 і О2. Задача моє два розв’язки. shkola.in.ua

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

19. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника, є центр описаного кола цього трикутника. Цей центр є точкою перетину серединних перпендикулярів до всіх трьох сторін трикутника. Щоб знайти це геометричне місце: shkola.in.ua 1) Проведіть серединні перпендикуляри до кожної сторони трикутника.

2) Знайдіть точку їхнього перетину — це і буде центр описаного кола, рівновіддалений від усіх трьох вершин трикутника.

20. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, радіус кожного з яких дорівнює r, що дотикаються до даної прямої. Геометричним місцем центрів кіл радіусом r, що дотикаються до даної прямої, є дві паралельні прямі, розташовані по обидва боки від даної прямої на відстані r. Це пояснюється тим, що центр будьякого такого кола має знаходитися на відстані рівно r від даної прямої, оскільки радіус кола в точці дотику shkola.in.ua завжди перпендикулярний до дотичної.

21. На стороні трикутника знайдіть точку, рівновіддалену від двох інших його сторін. Точкою на стороні трикутника, рівновіддаленою від двох інших його сторін, є точка перетину бісектриси цього трикутника з даною стороною. Це випливає з властивості бісектриси: shkola.in.ua будь-яка її точка рівновіддалена від двох сторін кута, який вона ділить навпіл. В нашому випадку такою точкою є точка L точка перетину бісектриси ∠BAC зі стороною ВС трикутника.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

22. Дано пряму a і точку A. Знайдіть геометричне місце точок, що віддалені від прямої a на 3 см, а від точки A — на 2 см. Скільки розв’язків може мати задача залежно від розміщення точки A і прямої a? Геометричне місце точок, які віддалені від прямої а на 3 см — дві прямі, паралельні до а, кожна з яких знаходиться на відстані 3 см від прямої а. Геометричне місце точок, що знаходяться на відстані 2 см від точки А — коло із центром у точці А і радіусом 2 см. Розглянемо випадки.

1 випадок. A ∈ a. Тоді задача не має розв’язків. shkola.in.ua

2 випадок. A ∉ a. Задача може мати 0, 1 або 2 розв'язки.

shkola.in.ua shkola.in.ua

23. Скопіюйте малюнок у зошит. Побудуйте таку точку A, щоб AM = AN і AC = AD. 1) Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка MN. 2) Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка CD. 3) Продовжуємо серединні shkola.in.ua перпендикуляри до перетину в точці А, яка і є шуканою точкою.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

24. Побудуйте коло даного радіуса, яке дотикається до двох даних кіл, що мають зовнішній дотик. Нехай задано кола із центрами у точках O1 і O2, радіуси яких r1 і r2. Кола дотикаються. Необхідно побудувати коло з радіусом r, яке дотикається до двох даних кіл.

1) Будуємо ∆O1O2O, у якого O1O2 = r1 + r2, OO1 = r + r1; shkola.in.ua OO2 = r + r2.

2) Будуємо коло з центром у точці O і з радіусом r, яке і є шуканим.

25. Центр кола, радіус якого дорівнює 1,5 см, належить прямій a. Побудуйте коло радіусом 2 см, що дотикається до заданих прямої і кола. Нехай центр кола — точка O — shkola.in.ua належить прямій а.

1) Будуємо ГМТ, що знаходяться на відстані 2 см від прямої а.

2) Будуємо коло з центром у точці O і з радіусом 2 + 1,5 = 3,5 см.

3) Отримали точки O1; O2; O3; O4 — центри кіл, що задовольняють умову задачі.

26. Два населених пункти A і B розташовані з різних боків від річки a. У якому місці потрібно побудувати міст через річку, щоб він був рівновіддаленим від пунктів A і B? Шукане місце — точка перетину серединного перпендикуляра до відрізка AB та прямої а. Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка AB, який перетинає пряму а в точці shkola.in.ua М, яка і є шуканою точкою.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

27. Побудуйте трикутник за двома сторонами та висотою, що проведена до однієї з них. Скільки розв’язків має задача? Нехай задано сторони трикутника AB і AC та висота BK. BK < AB. Якщо BK > AB, то задача не матиме розв’язків. План побудови.

1) Відкладаємо на прямій m відрізок АС.

2) Проведемо пряму b на відстані BK від прямої m.

3) Дуга кола із центром у точці А і з радіусом AB, що перетинає пряму b у точках B1 і B2.

4) ∆AB1C і ∆AB2C — шукані. Задача має два розв’язки, якщо BK < AB. Зауваження. Якщо BK = AB, то AB є висотою і ∆ABC — прямокутний з прямим кутом А. Тоді задача має єдиний розв’язок.

shkola.in.ua

28. Побудуйте трикутник за стороною, прилеглим до неї кутом і висотою, що проведена до цієї сторони.

shkola.in.ua

Нехай задано сторону АС, висоту BK i кут А трикутника ABC. План побудови.

1) Відкладаємо на прямій m відрізок АС.

2) Будуємо ∠MAC = ∠A. 3) Проводимо пряму b на відстані BK від прямої m.

4) Пряма b перетинає промінь AM у точці В.

5) ∆ABC — шуканий трикутник.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

29. Знайдіть геометричне місце точок, що містяться на відстані, яка не перевищує 3 см від даної прямої. Геометричним місцем точок, які знаходяться на відстані, що не перевищує 3 см від даної прямої, є дві паралельні прямі, розташовані на відстані 3 см по обидва боки від даної прямої, разом з усіма точками між ними. Отже, шукане геометричне місце точок – це смуга завширшки 6 см, обмежена двома паралельними прямими, які розташовані на 3 см ліворуч і праворуч shkola.in.ua від даної прямої.

30. Побудуйте коло, що проходить через дану точку M і дотикається до даної прямої a в даній точці A. 1) будуємо пряму b⊥a, що проходить через точку А.

2) з’єднуємо точки А і М та будуємо серединний перпендикуляр до цього відрізка.

3) продовжуємо серединний перпендикуляр до перетину з прямою b в точці О.

4) так як ОА=ОМ, будуємо коло з центром у shkola.in.ua точці О радіусом ОА, яке і буде шуканим.

31. Побудуйте трикутник за його кутом, бісектрисою, проведеною із цього кута, і висотою, що проведена до прилеглої до цього кута сторони. Нехай задано кут А, АК – бісектриса кута А, BL – висота трикутника, що проведена до одного з променів кута А.

1) проводимо пряму m, ставимо на ній точку А та будуємо кут А.

2) будуємо пряму b⊥m.

3) будуємо дугу радіус BL із shkola.in.ua центром у точці О.

4) через точку перетину дуги з прямою b проводимо пряму а⊥b.

5) продовжуємо промінь АМ кута А до перетину з прямою а в точці В.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6) з точки В проводимо перпендикуляр до прямої m. BL – висота трикутника.

7) будуємо бісектрису кута А та відкладаємо точку К.

8) з’єднуємо точки В і К та продовжуємо даний відрізок до перетину з променем АL кута А до перетину в точці С.

9) ∆ABC — шуканий трикутник.

32. Побудуйте трикутник за радіусом описаного кола, стороною та висотою, що проведена до цієї сторони. Нехай АС сторона трикутника, BL – висота, проведена до АС, r – радіус описаного кола.

1) Будуємо рівнобедрений ∆OAC за стороною АС та радіусом r; 2) Будуємо коло радіусом r з центром у точці О; 3) Будуємо серединний перпендикуляр відрізка АС; 4) З точки перетину відрізка АС з власним серединним перпендикуляром будуємо дугу рівну BL, яка перетинає його в точці К; 5) будуємо пряму m, що проходить перпендикулярно до серединного перпендикуляра в точці К; 6) пряма m перетинає коло в двох точках. Одну з них позначимо точкою В, яка буде shkola.in.ua вершиною шуканого трикутника; 7) будуємо BL⊥АС; 8) ∆ABC — шуканий трикутник.

33. Знайдіть геометричне місце вершин прямокутних трикутників зі спільною гіпотенузою. Геометричним місцем вершин прямокутних трикутників, які мають спільну гіпотенузу, є коло, описане навколо цієї гіпотенузи, окрім точок А і В. Це випливає з теореми про вписаний кут: якщо точка лежить на колі, описаному навколо відрізка, то кут, під яким цей відрізок видно з цієї точки, є прямим. Таким чином, усі shkola.in.ua вершини прямокутних трикутників із фіксованою гіпотенузою лежать на колі, діаметр якого дорівнює довжині цієї гіпотенузи.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34. Периметр рівнобедреного трикутника на 18 см більший за його основу. Чи можливо знайти довжину бічної сторони?

1) Нехай AB — основа рівнобедреного трикутника. Тоді P∆АВС – AB = 18 (см).

2) Але P∆АВС – AB = AC + CB. Оскільки AC = CB, то 18 AC = CB = = 9 (см).

2 Відповідь: так, 9 см. shkola.in.ua

35. Один із зовнішніх кутів прямокутного трикутника дорівнює 120°. Знайдіть відношення меншого катета до гіпотенузи.

1) Нехай ∠ABL = 120° — зовнішній кут ∆ABC, у якого ∠C = 90°.

2) ∠ABC = 180° – 120° = 60°.

3) ∠A = 90° – 60° = 30°. shkola.in.ua 4) 3а властивістю катета, що лежить проти кута 30°, 𝐴𝐴𝐴𝐴 маємо BC = , тому BC : AB = 1 : 2.

2 Відповідь: 1 : 2.

36. Два кола із центрами в точках O1 і O2 перетинаються в точках A і B, і кожне з них проходить через центр іншого. Знайдіть ∠O1AO2 і ∠AO1B. 1) Нехай радіус кола із центром у точці O1 дорівнює r.

2) Тоді O1O2 = r, і коло, центром якого є точка O2 також має радіус r.

3) В ∆O1AO2: O1O2 = O1A = O2A = r. Тому AO1O2 — рівносторонній, і ∠O1AO2 = 60°.

4) ∠AO1O2 = ∠O2O1B = 60°. Тому ∠AO1B =120°. shkola.in.ua

Відповідь. ∠O1AO2 = 60°; ∠AO1B = 120°.

37. Кімната у формі прямокутника має розміри 3,6 ⨯ 4,9 м. У кімнаті є двері 90 см завширшки.

1) Скільки метрів плінтуса потрібно купити для цієї кімнати?

1) 2 ∙ (3,6 + 4,9) = 17 (м) – периметр кімнати з дверями; 2) 17 – 0,9 = 16,1 (м) – потрібно купити плінтуса.

2) Скільки коштуватиме ця покупка, якщо один погонний метр плінтуса коштує 50 грн?

16,1 ∙ 50 = 805 (грн)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38. Прямокутну плитку шоколаду розламали на 4 прямокутних шматки. Один з них містить 6 квадратних частинок, другий — 15, а третій — 16. Скільки квадратних частинок у четвертому шматку цієї плитки?

1) За умовою ad = 6; ab = 16; cd = 15; bc = x (див. схему).

2) Оскільки ad = 6 і bс = х, то abcd = 6х.

3) Оскільки ab = 16 і cd = 15, то abcd = 16 ∙ 15; abcd = 240.

4) Тому 6х = 240; х = 40. shkola.in.ua Відповідь. 40.

 shkola.in.ua