h-8-ma-is-2 by sloven

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

ГДЗ Математика 8 клас Істер 2025 Частина 2

Вибери номер параграфа або завдання: §29

§30

§31

§32

№29.1-29.23

№30.1-30.32

№31.1-31.29

№32.1-32.32

§33

§34

§35

№33.1-33.45

№34.1-34.44

№35.1-35.20

ДСР №7

ЗПЗ до §29-35

ВПТ №7

§36

§37

§38

§39

№36.1-36.59

№37.1-37.29

№38.1-38.46

№39.1-39.23

ДСР №8

ЗПЗ до §36-39

ВПТ №8

§40

§41

§42

§43

№40.1-40.33

№41.1-41.28

№42.1-42.29

№43.1-43.28

ДСР №9

ЗПЗ до §40-43

ВПТ №9

§44

§45

§46

§47

§48

№44.1-44.34

№45.1-45.40

№46.1-46.27

№47.1-47.34

№48.1-48.37

ДСР №10

ЗПЗ до §44-48

ВПТ №10

§49

§50

§51

№49.1-49.42

№50.1-50.37

№51.1-51.27

ДСР №11

ЗПЗ до §49-51

ВПТ №11

ЗПЗ за 8 клас

ЗПС з алгебри

ЗПС з геометрії

№1-9

№1-57

№1-42

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тема 7. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА § 29. Функція y = x2, її графік і властивості 29.1. (Усно.) Гіперболою, параболою чи прямою є графік функції: 8

1. 𝑦𝑦 = – гіпербола 𝑥𝑥

2. 𝑦𝑦 = 8𝑥𝑥 – пряма

3. 𝑦𝑦 = 8 – пряма (горизонтальна) 4. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 – парабола

5. 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 4 – пряма 6

6. 𝑦𝑦 = − – гіпербола 𝑥𝑥

la. in.

29.2. Для функції y = x2 знайдіть значення y, що відповідає значенням x = –3; 0; 5. Якщо 𝑥𝑥 = −3, то 𝑦𝑦(−3) = (−3)2 = 9; якщо 𝑥𝑥 = 0, то 𝑦𝑦(0) = 02 = 0; якщо 𝑥𝑥 = 5, то 𝑦𝑦(5) = 52 = 25. 29.3. Для функції y = x2 знайдіть значення y, що відповідає значенням x = –2; 1; 6. Якщо 𝑥𝑥 = −2, то 𝑦𝑦(−2) = (−2)2 = 4; якщо 𝑥𝑥 = 1, то 𝑦𝑦(1) = 12 = 1; якщо 𝑥𝑥 = 6, то 𝑦𝑦(6) = 62 = 36. 29.4. За графіком функції y = x2 знайдіть: 1) значення y, що відповідає значенню x = –2,5; –1; 1,5; 3; Якщо 𝑥𝑥 = −2,5, то 𝑦𝑦 = 6,25; якщо 𝑥𝑥 = −1, то 𝑦𝑦 = 1; якщо 𝑥𝑥 = 1,5, то 𝑦𝑦 = 2,25; якщо 𝑥𝑥 = 3, то 𝑦𝑦 = 9. 2) значення x, якому відповідає значення y = 1; 3,5; 9; Якщо 𝑦𝑦 = 1, то 𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 = 1; якщо 𝑦𝑦 = 3,5, то 𝑥𝑥1 = 1,87, 𝑥𝑥2 = −1,87; якщо 𝑦𝑦 = 9, то 𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = 3. 3) кілька значень x, для яких значення функції більші за 2; менші від 2. 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 3; 𝑥𝑥3 = 4; 𝑥𝑥4 = 5;... 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 0,5; 𝑥𝑥3 = 1. 29.5. Використовуючи графік функції y = x2 , знайдіть: 1) значення y, що відповідає значенню x = –3; –0,5; 2,5; Якщо 𝑥𝑥 = −3, то 𝑦𝑦 = 9; якщо 𝑥𝑥 = −0,5, то 𝑦𝑦 = 0,25; якщо 𝑥𝑥 = 2,5, то 𝑦𝑦 = 6,25. 2) значення x, для якого значення y = 4; 5; Якщо 𝑦𝑦 = 4, то 𝑥𝑥1 = −2, 𝑥𝑥2 = 2; якщо 𝑦𝑦 = 5, то 𝑥𝑥1 = 2,2, 𝑥𝑥2 = −2,2. 3) кілька значень x, для яких значення функції менші від 1; більші за 1. 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 0,5; 𝑥𝑥3 = 0,8; 𝑥𝑥1 = 1,5; 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥3 = 2,5. 29.6. Побудуйте графік функції y = x2, якщо –1 ≤ x ≤ 4.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 , якщо −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4. –1

la. in.

29.7. Побудуйте графік функції y = x2, якщо –2 ≤ x ≤ 3. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 , якщо −2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3. –2

–1

29.8. Чи проходить графік функції y = x2 через точку: 1) A(–1; –1); Оскільки (−1)2 = 1 ≠ −1, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 не проходить через точку A 2) B(–5; 25); Оскільки (−5)2 = 25, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 проходить через точку B. 3) C(0; 0);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2 4

1 2

Оскільки 02 = 0, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 проходить через точку C. 4) D(25; 5)? Оскільки 252 = 625 ≠ 5, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 не проходить через точку D. 29.9. Чи належить графіку функції y = x2 точка: 1) A(–4; 16); Оскільки (−4)2 = 16, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 проходить через точку A. 2) B(16; –4); Оскільки 162 = 256 ≠ 4, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 не проходить через точку B. 1 1 3) C( ; ); 1

la. in.

Оскільки � � = , то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 проходить через точку C. 2 4 4) D(0; 2)? Оскільки 02 = 0 ≠ 2, то графік функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 не проходить через точку D. 29.10. Знайдіть область значень функції y = x2, якщо: Функція y = x2 на відрізку, що містить 0, має найменше значення при x = 0 тобто ymin = 0, а найбільше – в точці, де |x| найбільше. 1. -3 ≤ x ≤ 0 x = 0 ⇒ y = 02 = 0 – мінімум. x = -3 ⇒ y = (-3)2 = 9 – максимум. Отже, 0 ≤ y ≤ 9. 2. -1 ≤ x ≤ 2 x = 0 ⇒ y = 0 – мінімум. Порівнюємо модулі кінців: |-1| = 1, |2| = 2, тобто максимум при x = 2: y = 22 = 4. Отже, 0 ≤ y ≤ 4. Відповідь: 1) y ∈ [0; 9]; 2) y ∈ [0; 4]. 29.11. Порівняйте значення функції y = x2, якщо: 1. x = 2,6 і x = -2,6:

y(2,6) = y(-2,6).

2. x = -1,9 і x = 1,8: y(-1,9) > y(1,8).

3. x = 0 і x = -3,5: y(0) < y(-3,5).

4. x = -1,1 і x = 1,2:

y(-1,1) < y(1,2).

29.12. Розв’яжіть графічно рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 = 3𝑥𝑥. Побудуємо в одній і тій же системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥. x 0 1 2 –1 –2 y

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥

la. in.

𝑦𝑦

Точки A (3; 9) та A (–4; 16) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥. Отже, 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 3. Відповідь: 0; 3. 8 2. 𝑥𝑥 2 = − . 𝑥𝑥 Побудуємо в одній і тій же системі координат графіки функцій 8 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = − . 0

–1

–2

–8

–4

–2

–1

–2

–4

–8

𝑥𝑥

 shkola.in.ua

la. in.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

A(–2; 4) – точка перетину графіків 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = − . Отже, 𝑥𝑥 = −2. 𝑥𝑥 Відповідь: –2. 29.13. Розв’яжіть графічно рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 = 4. Побудуємо і одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 4. x 0 1 2 –1 –2 0

A(2; 4), B(–2; 4) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 4. Отже, 𝑥𝑥1 = −2, 𝑥𝑥2 = 2. Відповідь: –2; 2. 2. 𝑥𝑥 2 = −2𝑥𝑥. Побудуємо і одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥. x 0 1 2 –1 –2 y

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

–2

𝑦𝑦

la. in.

𝑥𝑥

A(–2; 4), O(0; 0) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥. Отже, 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = −2. Відповідь: 0; –2. 29.14. Побудуйте графік функції: 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 1) 𝟏𝟏. 𝑦𝑦 = = = 𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 1 D(y) = {x – будь-які, крім –1}. –

–1

–

–2

4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 2 (4 − 𝑥𝑥 2 ) 𝟐𝟐. 𝑦𝑦 = = = 𝑥𝑥 2 ; 4 − 𝑥𝑥 2 4 − 𝑥𝑥 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

D(y) = {x – будь-які, крім –2 і 2}.

29.15. Побудуйте графік функції: 𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥 2 ; 𝟏𝟏. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 D(y) = {x – будь-які, крім 0}. 0

–1

–2

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 2 (1 − 𝑥𝑥 2 ) 𝟐𝟐. 𝑦𝑦 = = = 𝑥𝑥 2 ; 2 2 1 − 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

D(y) = {x – будь-які, крім –1 і 1}.

29.16. Для яких значень a справджується рівність: 1. 𝑎𝑎2 = (−𝑎𝑎)2 , 𝑎𝑎 – будь-які; 2. 𝑎𝑎2 = |𝑎𝑎|2 , 𝑎𝑎 – будь-які; 3. 𝑎𝑎2 = −𝑎𝑎2 , при 𝑎𝑎 = 0; 4. (−𝑎𝑎)2 = −𝑎𝑎2 , при 𝑎𝑎 = 0. 29.17. Знайдіть:

1) найменше значення виразу x2 – 19; 18 + (x – 3)2;

2) найбільше значення виразу 17 – x2; –9 – (x + 7)2. Для яких значень x досягається це значення?

1. Найменше значення виразу 𝑥𝑥 2 − 19 дорівнює –19 при 𝑥𝑥 = 0. Найменше значення виразу 18 + (𝑥𝑥 − 3)2 дорівнює 18 при 𝑥𝑥 = 3. 2. Найбільше значення виразу 17 − 𝑥𝑥 2 дорівнює 17 при 𝑥𝑥 = 0. Найбільше значення виразу −9 − (𝑥𝑥 + 7)2 дорівнює –9 при 𝑥𝑥 = −7. 29.18. Обчисліть:

𝟏𝟏. 252 + (−6)2 = 625 + 36 = 661;

3 2 16 64 48 23 4 2 − =− = −1 ; 𝟐𝟐. � � − �1 � = 5 25 25 25 25 5

𝟑𝟑. 0,012 : (−0,1)2 = 0,0001 ∶ 0,01 = 0,01;

𝟒𝟒. (−4)2 ⋅ (−0,5)2 = (−4 ⋅ (−0,5))2 = 22 = 4.

29.19. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1) 9 см2; 𝑎𝑎2 = 9; 𝑎𝑎 = 3 (см); 2) 0,25 м2.

𝑎𝑎2 = 0,25; 𝑎𝑎 = 0,5(м).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

29.20. Розв’яжіть рівняння: 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 − 16 = 0;

(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) = 0;

𝑥𝑥 − 4 = 0 або 𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −4.

la. in.

4 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 = ; 9 4 𝑥𝑥 2 − = 0; 9 2 2 �𝑥𝑥 − � �𝑥𝑥 + � = 0; 3 3 2 2 𝑥𝑥 − = 0 або 𝑥𝑥 + = 0 3 3 2 2 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = − . 3 3

29.21. 1) Побудуйте графіки функцій y = x2 і y = 9 та знайдіть координати точок їх перетину. 2) Скільки точок перетину мають графіки функцій y = x2 і y = 0? 3) Скільки точок перетину мають графіки функцій y = x2 і y = a, де a > 0? 4) Скільки точок перетину мають графіки функцій y = x2 і y = a, де a > 0? 0

–1

–2

–3

1. A(3; 9); B(−3; 9).

2. Графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 0 мають одну точку перетину (0; 0).

3. Графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, де 𝑎𝑎 > 0 мають дві точки перетину.

4. Графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, де 𝑎𝑎 < 0 точок перетину не мають.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

29.22. Автомобільний двигун за одну годину роботи спалює 200 л кисню. Добова норма для дихання однієї людини становить 80 л кисню. Скільки добових норм кисню спалюють щоденно 200 автомобілів, якими мешканці деякого населеного пункту їздять на роботу в сусідній населений пункт, за умови, що шлях в один бік займає чверть години?

1) 200 ⋅ 200 ∶ 2 = 40000 ∶ 2 = 20000 (л) – спалюють 200 автомобілів за 30 хв; 2) 20000 ∶ 80 = 250 – добових норм.

Відповідь: 200 автомобілів спалюють 250 добових норм кисню.

la. in.

29.23. Один годинник зі стрілками поспішає на 1 хв за добу, а другий – відстає на 30 с за добу. Зараз обидва годинники показують однаковий час. Через скільки діб вони знову покажуть однаковий час? Різниця між показами збільшується на 1 + 0,5 = 1,5 хв за добу.

Щоб стрілки годинників знову показали однаковий час на 12-годинному циферблаті, різниця між їхніми показами має дорівнювати повному колу, тобто 12 год = 720 хв. Отже, 1,5 ∙ t = 720 ⇒ t=

720 = 480 діб. 1,5

Відповідь: через 480 діб.

§ 30. Арифметичний квадратний корінь 30.1. (Усно.) Чи існує квадратний корінь із числа: 1) 9; — Так; 2) 16; — Так; 3) –4; — Ні;

4) 0? — Так;

30.2. Знайдіть значення квадратного кореня із числа: 1) 4; –2 і 2; 2) 25.

–5 i 5.

30.3. Знайдіть значення квадратного кореня із числа: 1) 0; 0;

2) 1;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

–1 і 1; 3) 36. –6 i 6.

30.4. (Усно.) Чи має зміст вираз: 1. √1 = 1 – має зміст; 2. √0 = 0 – має зміст;

3. √−9 — не має змісту в множині дійсних чисел. 30.5. Чи має зміст вираз: 1. √9 = 3 – має зміст;

la. in.

2. √−49 — не має змісту в множині дійсних чисел.

30.6. Доведіть, що число: 1) 2 є арифметичним квадратним коренем із числа 4; Оскільки 22 = 4 і 2 ≥ 0, то √4 = 2.

2) –2 не є арифметичним квадратним коренем із числа 4; Оскільки −2 < 0, то √4 ≠ −2.

3) 0,1 є арифметичним квадратним коренем із числа 0,01; Оскільки 0,12 = 0,01 і 0,1 ≥ 0, то √0,01 = 0,1.

4) 0,2 не є арифметичним квадратним коренем із числа 0,4. Оскільки 0,22 ≠ 0,4, то √0,4 ≠ 0,2.

30.7. Доведіть, що:

1. Оскільки 169 > 0 і 132 = 169, то √169 = 13; 1 1 1 1 2 1 𝟐𝟐. Оскільки > 0 і � � = , то � = . 9 9 9 3 3

30.8. Обчисліть:

1. √16 = 4; 2. √49 = 7;

3. �0,25 = 0,5;

4. √6400 = 80; 5. √0,09 = 0,3; 𝟔𝟔. �

1 1 = ; 121 11

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟕𝟕. �1

9 1 25 5 =� = =1 ; 16 4 16 4

1 81 9 1 𝟖𝟖. �20 = � = = 4 . 4 4 2 2 30.9. Обчисліть: 1. √25 = 5; 3. √0,16 = 0,4;

4. √4900 = 70; 5. √0,04 = 0,2; 1 1 𝟔𝟔. � = ; 64 8

𝟕𝟕. �1 𝟖𝟖. �3

la. in.

2. √36 = 6;

36 6 1 11 =� = =1 ; 25 5 5 25

1 49 7 3 =� = =1 . 16 16 4 4

30.10. Чи правильна рівність:

1. √900 = 30; 900 = 303 ; 900 = 900, так; 2. √4 = −2; 4 = (−2)2 ; 4 = 4, так; 3. √0,9 = 0,3; 0,9 = 0,32 ; 0,9 ≠ 0,09, ні; 4. √0,64 = 0,8; 0,64 = 0,82 ; 0,64 = 0,64, так. Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) так.

30.11. За допомогою таблиці квадратів двоцифрових натуральних чисел або калькулятора знайдіть:

1. √1296 = 36; 2. √9409 = 97; 3. √2916 = 54;

4. �30,25 = 5,5.

30.12. Знайдіть значення виразу: 1. √64 + √25 = 8 + 5 = 13;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. √9 ⋅ √0,36 = 3 ⋅ 0,6 = 1,8;

3. 2√100 − √144 = 2 ⋅ 10 − 12 = 8; 4. √81 ∶ √0,01 = 9 ∶ 0,1 = 90;

6. √52 − 25 = √25 − 25 = √0 = 0;

7. √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10;

8. �0,25 − 0,42 = �0,25 − 0,16 = √0,09 = 0,3;

5. −5√0,64 + 3,9 = −5 ⋅ 0,8 + 3,9 = −4 + 3,9 = −0,1;

9. �2(0, 22 + 0,46) = �2(0,04 + 0,46) = �2 ⋅ 0,5 = √1 = 1.

la. in.

30.13. Знайдіть значення виразу: 1. √49 + √9 = 7 + 3 = 10;

2. √4 ⋅ √100 = 2 ⋅ 10 = 20;

3. 2√121 − √81 = 2 ⋅ 11 − 9 = 22 − 9 = 13; 4. √64 ∶ �0,25 = 8 ∶ 0,5 = 16;

5. −5√0,36 + 2,8 = −5 ⋅ 0,6 + 2,8 = −3 + 2,8 = −0,2; 6. √102 − 82 = √100 − 64 = √36 = 6; 7. √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5;

8. �0, 32 − 0,09 = √0,09 − 0,09 = √0 = 0;

9. �5(0,42 + 0,64) = �5(0,16 + 0,64) = �5 ⋅ 0,8 = √4 = 2.

30.14. Обчисліть значення виразу:

1. √12 + 𝑎𝑎. Якщо 𝑎𝑎 = 4, то √12 + 𝑎𝑎 = √12 + 4 = √16 = 4; якщо 𝑎𝑎 = −8, то √12 + 𝑎𝑎 = √12 − 8 = √4 = 2; якщо 𝑎𝑎 = −12, то √12 + 𝑎𝑎 = √12 − 12 = √0 = 0.

2. √𝑚𝑚 + 𝑛𝑛. Якщо 𝑚𝑚 = 0,09; 𝑛𝑛 = 0,07, то √𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = √0,09 + 0,07 = √0,16 = 0,4.

3. 𝑥𝑥 + 4√𝑥𝑥. Якщо 𝑥𝑥 = 49, то 49 + 4√49 = 49 + 4 ⋅ 7 = 49 + 28 = 77; якщо 𝑥𝑥 = 121, то 121 + 4√121 = 121 + 4 ⋅ 11 = 165.

4. 3√𝑏𝑏 − 𝑏𝑏. Якщо 𝑏𝑏 = 1,96, то 3√1,96 − 1,96 = 3 ⋅ 1,4 − 1,96 = 4,2 − 1,96 = 2,24; якщо 𝑏𝑏 = 0,04, то 3√0,04 − 0,04 = 3 ⋅ 0,2 − 0,04 = 0,6 − 0,04 = 0,56. 30.15. Обчисліть значення виразу:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. Якщо 𝑏𝑏 = −9, то √16 − 𝑏𝑏 = √16 + 9 = √25 = 5; якщо 𝑏𝑏 = 15, то √16 − 𝑏𝑏 = √16 − 15 = √1 = 1;

1. √𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 4;

2. √𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0;

la. in.

3. √𝑥𝑥 = −2; рівняння розв'язків не має;

2. якщо 𝑚𝑚 = 1,69, то 2√𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 = 2√1,69 − 1,69 = 2 ⋅ 1,3 − 1,69 = 2,6 − 1,69 = 0,91; якщо 𝑚𝑚 = 0,49, то 2√𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 = 2√0,49 − 0,49 = 2 ⋅ 0,7 − 0,49 = 1,4 − 0,49 = 0,91. 30.16. Розв’яжіть рівняння:

4. √𝑥𝑥 − 3 = 0; √𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 9; 5. 2√𝑥𝑥 = 8; √𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 16;

1 √𝑥𝑥 = 2; √𝑥𝑥 = 6; 𝑥𝑥 = 36. 3 30.17. Розв’яжіть рівняння: 𝟔𝟔.

1. √𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 1;

2. √𝑥𝑥 = −3; рівняння розв'язків не має; 3. √𝑥𝑥 − 5 = 0; √𝑥𝑥 = 5; 𝑥𝑥 = 25; 4. 3√𝑥𝑥 = 21; √𝑥𝑥 = 7; 𝑥𝑥 = 49. 30.18. Чи має зміст вираз:

1. √12 ⋅ 14 − 132 = √168 − 169 = √−1 - вираз змісту не має;

2. √20092 − 20082 = �(2009 − 2008)(2009 + 2008) = √4017 - вираз має зміст;

3. √10002 − 10012 = �(1000 − 1001)(1000 + 1001) = √−2001 - вираз змісту не має. 30.19. Для яких значень x має зміст вираз: 5

√𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 > 0;

2. √𝑥𝑥 2 , 𝑥𝑥 - будь-яке; 3. �𝑥𝑥 5 , 𝑥𝑥 ≥ 0; 4.

�−𝑦𝑦

, 𝑦𝑦 < 0.

30.20. Для яких значень y має зміст вираз:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. �2𝑦𝑦, 𝑦𝑦 ≥ 0; 2.

�𝑦𝑦 3

, 𝑦𝑦 > 0;

3. �𝑦𝑦 6 , 𝑦𝑦 - будь-які;

4. �−𝑦𝑦, 𝑦𝑦 ≤ 0.

30.21. Розв’яжіть рівняння:

7 𝟏𝟏. 3√𝑥𝑥 + 7 = 0; 3√𝑥𝑥 = −7; √𝑥𝑥 = − . 3 Відповідь: рівняння розв’язків не має.

la. in.

𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝟐𝟐. 2� − 4 = 0; 2� = 4; � = 2; = 4; 𝑥𝑥 = 4 · 8; 𝑥𝑥 = 32. 8 8 8 8 Відповідь: 32.

16 ⋅ 1 ; √𝑥𝑥 + 3 = 4; 4 √𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 = 16; 𝑥𝑥 = 16 − 3; 𝑥𝑥 = 13. Відповідь: 13 . 𝟑𝟑.

= 4; √𝑥𝑥 + 3 =

𝟒𝟒. 7√2𝑥𝑥 − 5 − 14 = 0; 7√2𝑥𝑥 − 5 = 14; √2𝑥𝑥 − 5 = 14: 7; √2𝑥𝑥 − 5 = 2; 2𝑥𝑥 − 5 = 4; 2𝑥𝑥 = 4 + 5; 2𝑥𝑥 = 9; 𝑥𝑥 = 9 ∶ 2; 𝑥𝑥 = 4,5. Відповідь: 4,5. 30.22. Розв’яжіть рівняння:

1 1 √3𝑥𝑥 − 3 = 0; √3𝑥𝑥 = 3; 2 2 √3𝑥𝑥 = 6; 3𝑥𝑥 = 36; 𝑥𝑥 = 36: 3; 𝑥𝑥 = 12. Відповідь: 12.

𝟏𝟏.

𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝟐𝟐. 2� + 6 = 0; 2� = −6; � = −3. 3 3 3 Відповідь: рівняння розв’язків не має. 14

= 28; √2𝑥𝑥 =

14 ⋅ 1 1 ; √2𝑥𝑥 = ; 28 2

𝟑𝟑.

√2𝑥𝑥 1 1 2𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = . 8 4 1 Відповідь: . 8

𝟒𝟒. 2 ⋅ √2𝑥𝑥 + 7 − 6 = 0; 2√2𝑥𝑥 + 7 = 6; √2𝑥𝑥 + 7 = 3; 2𝑥𝑥 + 7 = 9; 2𝑥𝑥 = 9 − 7; 2𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 2 ∶ 2; 𝑥𝑥 = 1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 1. 30.23. Для яких значень a має зміст вираз:

1. √−𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎 = 0; 2. �−(𝑎𝑎 + 3)2 , 𝑎𝑎 = −3; 3. √𝑎𝑎10 + 1, 𝑎𝑎 – будь-які; √𝑎𝑎 𝑎𝑎 ≥ 0, 𝑎𝑎 ≥ 0, 𝟒𝟒. ;� � 𝑎𝑎 − 3 𝑎𝑎 − 3 ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ 3; a – будь-які невід'ємні, крім 3. 1. �|2𝑥𝑥 − 1| = 3; |2𝑥𝑥 − 1| = 9;

la. in.

30.24. Розв’яжіть рівняння:

2𝑥𝑥 − 1 = −9; або 2𝑥𝑥 − 1 = 9; 2𝑥𝑥 = −9 + 1; 2𝑥𝑥 = −8;

2𝑥𝑥 = 9 + 1; 2𝑥𝑥 = 10;

𝑥𝑥 = −4; 𝑥𝑥 = 5. Відповідь: –4; 5.

2. �5 + √𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 ≥ 0; 5 + √𝑥𝑥 = 9; √𝑥𝑥 = 9 − 5;

√𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 16. Відповідь: 16.

3. �1 + �2 + √𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 ≥ 0; 1 + �2 + √𝑥𝑥 = 4;

�2 + √𝑥𝑥 = 4 − 1;

�2 + √𝑥𝑥 = 3; 2 + √𝑥𝑥 = 9; √𝑥𝑥 = 9 − 2;

√𝑥𝑥 = 7; 𝑥𝑥 = 49. Відповідь: 49.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

30.25. Розв’яжіть рівняння: 1. �|2𝑥𝑥 + 3| = 5;

|2𝑥𝑥 + 3| = 25; 2𝑥𝑥 + 3 = −25 або 2𝑥𝑥 + 3 = 25; 2𝑥𝑥 = −25 − 3; 2𝑥𝑥 = 25 − 3; 2𝑥𝑥 = −28; 2𝑥𝑥 = 22; 𝑥𝑥 = −28: 2; 𝑥𝑥 = 22: 2; 𝑥𝑥 = −14; 𝑥𝑥 = 11. Відповідь: −14; 11.

9 + √𝑥𝑥 = 16; √𝑥𝑥 = 16 − 9;

√𝑥𝑥 = 7; 𝑥𝑥 = 49. Відповідь: 49.

la. in.

2. �9 + √𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 ≥ 0;

30.26. Спростіть вираз:

2 4𝑎𝑎 3 − (𝑎𝑎 − 2)2 ⋅ � + � = −1; 𝑎𝑎 + 2 (𝑎𝑎 − 2)2 𝑎𝑎2 − 4

3 2 3 2 3(𝑎𝑎 + 2) + 2(𝑎𝑎 − 2) + = + = = (𝑎𝑎 − 2)2 𝑎𝑎2 − 4 (𝑎𝑎 − 2)2 (𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 + 2) (𝑎𝑎 − 2)2 (𝑎𝑎 + 2)

3𝑎𝑎 + 6 + 2𝑎𝑎 − 4 5𝑎𝑎 + 2 = ; (𝑎𝑎 − 2)2 (𝑎𝑎 + 2) (𝑎𝑎 − 2)2 (𝑎𝑎 + 2)

в)

4𝑎𝑎 5𝑎𝑎 + 2 4𝑎𝑎 − (5𝑎𝑎 + 2) 4𝑎𝑎 − 5𝑎𝑎 − 2 −𝑎𝑎 − 2 𝑎𝑎 + 2 − = = = =− = −1. 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2

5𝑎𝑎 + 2 5𝑎𝑎 + 2 = ; (𝑎𝑎 − 2)2 (𝑎𝑎 + 2) 𝑎𝑎 + 2

б)(𝑎𝑎 − 2)2 ⋅

30.27. Розв’яжіть рівняння з двома змінними: 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦 2 = 0; (𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9) + 𝑦𝑦 2 = 0;

(𝑥𝑥 − 3)2 + 𝑦𝑦 2 = 0;

𝑥𝑥 − 3 = 0, 𝑥𝑥 = 3; � � 𝑦𝑦 = 0; 𝑦𝑦 = 0. Відповідь: 𝑥𝑥 = 3; 𝑦𝑦 = 0.

𝟐𝟐. |𝑥𝑥 + 2| + 𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦 + 1 = 0; |𝑥𝑥 + 2| + (𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦 + 1) = 0; |𝑥𝑥 + 2| + (𝑦𝑦 + 1)2 = 0; 𝑥𝑥 + 2 = 0, 𝑥𝑥 = −2, � � 𝑦𝑦 + 1 = 0; 𝑦𝑦 = −1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Відповідь: 𝑥𝑥 = −2; 𝑦𝑦 = −1. 30.28. Подайте у вигляді звичайного дробу або мішаного числа: 3 𝟏𝟏. 0,3 = ; 10 25 1 𝟐𝟐. 0,25 = = ; 100 4 1 12 6 = =1 ; 𝟑𝟑. 1,2 = 5 10 5 25 5 1 𝟒𝟒. 2,5 = = =2 . 10 2 2 30.29. Подайте десятковим дробом: 1 𝟏𝟏. = 0,5; 2 3 𝟐𝟐. = 0,75; 4 1 𝟑𝟑. 2 = 2,2; 5 1 𝟒𝟒. 3 = 3,25. 4

30.30. Запишіть звичайний дріб у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу: 2 𝟏𝟏. = 0,666 … = 0, (6); 3 3 = 0,2727 … = 0, (27); 𝟐𝟐. 11 7 𝟑𝟑. = 0,777 … = 0, (7); 9 5 𝟒𝟒. = 0,833 … = 0,8(3). 6

30.31. Пуд – старовинна одиниця маси, яка вживалася в Україні з княжих часів і аж до впровадження метричної системи мір. Її використовували для визначення врожайності або під час заготівлі сільськогосподарських продуктів: для вимірювання збіжжя, борошна, солі, меду тощо. Знайдіть в інтернеті, скільком кілограмам дорівнює 1 пуд. З’ясуйте, скільки тонн картоплі зібрала родина зі своєї земельної ділянки, якщо, за словами найстаршого члена родини, урожай картоплі склав 150 пудів. 16,3807 · 150 = 2457,1 (кг) ≈ 2 т 457 кг ≈ 2,457 (т) — зібрали картоплі. Відповідь: родина зібрала 2,457 т картоплі.

30.32. Чи існують такі прості числа x, y, z і t, для яких має місце рівність xyzt + 4 = x2 + y2 + z2 + t2? Прості числа — завжди непарні числа, або число 2. 1. Нехай 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 — непарні числа, тоді 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4 — непарне число; 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 = (2𝑛𝑛 + 1)2 + (2𝑚𝑚 + 1)2 + (2𝑘𝑘 + 1)2 + (2𝑙𝑙 + 1)2 =  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

= 4𝑛𝑛2 + 4𝑛𝑛 + 1 + 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 + 1 + 4𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 + 1 + 4𝑙𝑙 2 + 4𝑙𝑙 + 1 =

= 4(𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 +𝑙𝑙 2 + 𝑙𝑙 2 ) + 4(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 𝑘𝑘 + 𝑙𝑙) + 4 − парне число. А рівність непарного і парного числа неможлива. 2. Нехай 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 = 2, тоді 16 + 4 ≠ 4 + 4 + 4 + 4.

3. Нехай 𝑥𝑥 = 2; 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 — непарні числа, тоді 2 · 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 . Ліва частина цієї рівності парна, а права частина 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 = (2𝑛𝑛 + 1)2 + (2𝑚𝑚 + 1)2 + (2𝑘𝑘 + 1)2 =

= 4𝑛𝑛2 + 4𝑛𝑛 + 1 + 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 + 1 + 4𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 + 1 = 4(𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 + 𝑘𝑘 2 ) + 4(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 𝑘𝑘) + 3 — непарне число. А рівність парного і непарного числа неможлива.

la. in.

4. Нехай 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 2, 𝑧𝑧, 𝑡𝑡 — непарні числа, тоді 4𝑧𝑧𝑧𝑧 = 4 + 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 ; 4𝑧𝑧𝑧𝑧 − 4 = 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 ; 4(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 1) = (2𝑛𝑛 + 1)2 + (2𝑚𝑚 + 1)2 ; 4(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 1) = 4𝑛𝑛2 + 4𝑛𝑛 + 1 + 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 + 1; 4(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 1) = 4(𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 ) + 4(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) + 2; 4(𝑧𝑧𝑧𝑧 − 1) = 4(𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) + 2.

Ліва частина цієї рівності націло ділиться на 4, а права частина при діленні на 4 дає остачу 2 , що неможливо.

5. Нехай 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 2, 𝑡𝑡 — непарне число, тоді 8𝑡𝑡 + 4 = 4 + 4 + 4 + 𝑡𝑡 2 ; 8𝑡𝑡 = 8 + 𝑡𝑡 2 ; 8𝑡𝑡 − 8 = 𝑡𝑡 2 ; 8(𝑡𝑡 − 1) = (2𝑛𝑛 + 1)2 ; 8(𝑡𝑡 − 1) = 4𝑛𝑛2 + 4𝑚𝑚 + 1. Ліва частина цієї рівності парне число, а права - непарне число, що неможливо. Відповідь: не існують такі прості числа 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 і 𝑡𝑡, для яких має місце рівність 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 𝑡𝑡 2 .

§ 31. Множина. Числові множини 31.1. (Усно.) Чи правильно, що: 1) 5 – натуральне число; Так, 5 – натуральне число; 2) –2,1 – ціле число; ні, −2,1 – не є цілим числом; 3) √3 – раціональне число; ні, √3 – не є раціональним числом; 5 4) – – дійсне число? 7

так, − – дійсне число. 7

31.2. Із чисел √7; 0,222...; 52; –2,(4); π; 19; –3,7; 0; –√5; –2 випишіть: 9 1) натуральні числа; 52; 19; 2) цілі невід’ємні числа; 52; 19; 0; 3) раціональні від’ємні числа; 1 −2, (4); −3,7; −2 ; −5; 9 4) ірраціональні числа. √7; 𝜋𝜋; −√5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 2

31.3. Із чисел 8; –√7; –5; ; √17; 3,(7); √13; –1 ; 0; 5,137 випишіть: 3 3 1) натуральні числа; 8; 2) цілі недодатні числа; −5; 0; 3) раціональні додатні числа; 2 8; ; 3, (7); 5,137; 3 4) ірраціональні числа. −√7; √17; √13.

la. in.

31.4. Подайте число як відношення цілого числа до натурального: 31 ; 𝟏𝟏. 31 = 1 −8 𝟐𝟐. − 8 = ; 1 1 15 𝟑𝟑. 2 = ; 7 7 −51 . 𝟒𝟒. − 5,1 = 10

31.5. Подайте число як відношення цілого числа до натурального: −21 𝟏𝟏. − 21 = ; 1 10 ; 𝟐𝟐. 10 = 1 1 −16 𝟑𝟑. − 3 = ; 5 5 28 14 = . 𝟒𝟒. 2,8 = 5 10 1

31.6. З множини � ; ; ; ; ; 8

1) правильних дробів;

10 1

� виділіть підмножину:

1 7 2 � , , � 8 9 3

2) неправильних дробів. 7 5 10 � , , � 3 5 1

31.7. З множини {27; 36; 48; 19; 2; 11} виділіть підмножину: 1) парних чисел; {36, 48, 2}

2) непарних чисел.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

{27, 19, 11}

31.8. Подайте число у вигляді нескінченного десяткового дробу й округліть його: 33 2 = 0,060606 … = 0, (06). 33

4 ≈ 0,36; 11 2) до тисячних. 4 ≈ 0,364. 11

la. in.

1) до сотих; 2 ≈ 0,06; 33 2) до тисячних. 2 ≈ 0,061. 33 4 31.9. Подайте число у вигляді нескінченного десяткового дробу й округліть його: 11 4 = 0,363636 … = 0, (36). 11 1) до сотих;

31.10. (Усно.) Чи правильно, що: 1) 7 ∉ N;

Нi, 7 ∈ N; 2) 10 ∈ Z;

так, 10 ∈ Z; 3) 5 ∉ Q;

ні, 5 ∈ Q;

4) 32 ∈ R;

так, 32 ∈ R; 5) –3,9 ∉ N;

так, −3,9 ∉ N; 6) –9,2 ∈ Q;

так, −9,2 ∈ Q; 7) –3,17 ∉ R;

ні, −3,17 ∈ R; 8) √3 ∈ Q;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

так, √3 ∈ Q; 9) √64 ∈ N;

так, √64 ∈ N;

10) –√27 ∉ R;

так, −√27 ∉ R; 4

11) � ∉ Z; 9

12) �1 ∈ Q? 9

так, �1 ∈ Q. 9

la. in.

так, � ∉ Z;

31.11. Порівняйте: 1. 1,366 < 1,636;

2. −2,63 < −2,36; 𝟑𝟑. −

1 < 0; 17

4. 𝜋𝜋 < 3,2;

5. −𝜋𝜋 < −3,1; 6. 1,7 < 1,(7);

7. оскільки √2 ≈ 1,414, то −1,41 > −√2; 8. оскільки √3 ≈ 1,73, то √3 < 1,8; 9. оскільки 2

≈ 2,385, то 2

31.12. Порівняйте:

< 2, (39).

1. −2,17 > −2,71; 1 𝟐𝟐. 0 < ; 16 3. 2, (3) > 2,3;

4. оскільки √2 ≈ 1,41, то √2 > 1,4;

5. оскільки √3 ≈ 1,73, то −√3 < −1,7; 1 1 6. оскільки ≈ 0, (09), то > 0, (08). 11

31.13. Знайдіть наближене значення виразу, округливши значення кореня до сотих:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. √17 + 2,12 ≈ 4,12 + 2,12 = 6,24; 2. 3,18 − √5 ≈ 3,18 − 2,24 = 0,94.

31.14. Знайдіть наближене значення виразу, округливши значення кореня до сотих:

1. √3 + 4,17 ≈ 1,73 + 4,17 = 5,9; 2. 4,82 − √11 ≈ 4,82 − 3,32 = 1,5.

31.15. Множина A складається з коренів рівняння 0x = 7. Що це за множина? 0𝑥𝑥 = 7. A = {∅} – порожня множина.

31.16. Чи правильно, що A ⸦ B, якщо: 1) A = {1}; B = {1; 3; 5};

la. in.

Так, A ⊂ B, бо {1} ⊂ {1; 3; 5}. 2) A = {△; @}; B = {△; □; !};

Ні, A ⊄ B, бо 𝐴𝐴 = {△, @}, а @ ∉ B = {△, □, !}. 3) A = Ø; B = {1; 2; 3};

Так, A ⊂ B, бо порожня множина ∅ є підмножиною будь-якої множини. 4) A = {α; β; γ}; B = {α};

Ні, A ⊄ B, бо A = {α, β, γ}, а в B = {α} немає β і γ.

5) A – множина простих чисел; B – множина натуральних чисел;

Так, A ⊂ B, бо кожне просте число є натуральним, тобто множина простих чисел є підмножиною множини натуральних. 6) A – множина цілих чисел; B – множина натуральних чисел, кратних числу 5?

Ні, A ⊄ B, бо множина цілих чисел містить, наприклад, -1, 0, 2, які не належать множині натуральних чисел, кратних 5. 31.17. Чи правильно, що C ⸦ D, якщо: 1) C = {1; 7}; D = {1; 5; 17}; Ні, C ⊄ D, бо 7 ∉ D.

2) C = {а; б}; D = {а; б; в; г};

Так, C ⊂ D, бо всі елементи множини C = {𝑎𝑎; б} належать множині D = {𝑎𝑎; б; в; г}. 3) C = {𝑚𝑚; 𝑛𝑛; 𝑙𝑙}; D = Ø;

Ні, C ⊄ D, бо жоден непорожній набір не може бути підмножиною порожньої множини D = Ø. 4) C = {△; Օ}; D = {△; Օ}?

Так, C ⊂ D, бо C = D = {△; Օ}, а кожна множина є підмножиною самої себе. 31.18. Розмістіть у порядку спадання числа: 0,11; 0,(1); 0,01;  shkola.in.ua

; .

10 2

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1 ; 0, (1); 0,11; ; 0,01. 10 2 1 1 31.19. Розмістіть у порядку зростання числа: 0,(2); 0,22; ; ; 0,02. 4 5

1 1 ; 0,22; 0, (2); 4 5 31.20. Чи правильно, що: 1) сума двох цілих чисел – ціле число;

0,02; Так;

2) частка двох раціональних чисел – число раціональне; так;

la. in.

3) будь-яке ціле число є натуральним; ні, ціле число 0 не є натуральним;

4) множина дійсних чисел складається із додатних і від’єм них чисел?

ні, до множини дійсних чисел крім додатних і від'ємних чисел входить ще й число 0. 31.21. Запишіть три раціональних числа, що містяться між числами 1,55 і 1,(5). 1,55; 1,555; 1,5555; 1, 555555; 1(5).

31.22. Запишіть два раціональних числа, що містяться між числами 2,333 і 2,(3). 2,333; 2,3333; 2,33333; 2,(3).

𝑏𝑏

31.23. Використовуючи формулу √S = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏 ≈ a + , знайдіть сторону квадрата, 2𝑎𝑎 площа якого дорівнює: 1) 39 см2; 2) 83 дм2. Порівняйте відповідь із числом, знайденим за допомогою калькулятора. 3 1 = 6 + = 6,25; √39 ≈ 6,245. 2⋅6 4

𝟏𝟏. √39 = √36 + 3 = �62 + 3 ≈ 6 + Відповідь: 6,25cм.

𝟐𝟐. √83 = √81 + 2 = �92 + 2 ≈ 9 + 1

Відповідь: 9 дм. 9

2 1 1 = 9 + = 9 ≈ 9,1; √83 ≈ 9,11. 2⋅9 9 9

31.24. Доведіть, що число √2 є ірраціональним. 𝑚𝑚

Нехай √2 = , де

𝑚𝑚

𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚2

– нескоротний дріб.

Тоді 2 = � � ; 2 = 2; 2𝑛𝑛2 = 𝑚𝑚2 . 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 Оскільки 𝑚𝑚 – парне число, то 𝑚𝑚 – парне число, тобто 𝑚𝑚 = 2𝑘𝑘; 2𝑛𝑛2 = (2𝑘𝑘)2 ; 2𝑛𝑛2 = 4𝑘𝑘 2 ; 𝑛𝑛2 = 2𝑘𝑘 2 . Оскільки 𝑛𝑛2 – парне число, то 𝑛𝑛 – парне число, тобто 𝑛𝑛 = 2𝑙𝑙. 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 2𝑘𝑘, Отже, � тобто дріб – скоротний, що суперечить нашому припущенню. 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 2𝑙𝑙.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 𝑚𝑚

Тому √2 не можна записати у вигляді нескоротного дробу . 𝑛𝑛

Отже, √2 – число ірраціональне. 31.25. Доведіть, що число √3 є ірраціональним. 𝑚𝑚

Тоді 3 =

𝑚𝑚2 𝑛𝑛2

𝑛𝑛

– нескоротний дріб.

𝑚𝑚

Нехай √3 = , де

' 𝑚𝑚2 = 3𝑛𝑛2 .

la. in.

Оскільки 𝑚𝑚2 кратне 3 , то 𝑚𝑚 також кратне 3 , тобто 𝑚𝑚 = 3𝑘𝑘. (3𝑘𝑘)2 = 3𝑛𝑛2 ; 9𝑘𝑘 2 = 3𝑛𝑛2 ; 3𝑘𝑘 2 = 𝑛𝑛2 . Оскільки 𝑛𝑛2 кратне 3 , то 𝑛𝑛 також кратне 3 , тобто 𝑛𝑛 = 3𝑙𝑙. 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 3𝑘𝑘, Отже, � тобто дріб – скоротний, що суперечить нашому припущенню. 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 3𝑙𝑙, 𝑚𝑚 Тому √3 не можна записати у вигляді нескоротного дробу . 𝑛𝑛 Отже, √3 – число ірраціональне. 31.26. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 − 16 = 0; 𝑥𝑥 2 = 16; 𝑥𝑥 = −4 або 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: −4; 4. 2. 4𝑥𝑥 2 − 9 = 0; 4𝑥𝑥 2 = 9; 9

𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥 = − = −1,5 або 𝑥𝑥 = = 1,5. 4

Відповідь: −1,5; 1,5. 3.

− 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 1 1

Відповідь: − ; .

4 4 2

− 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 3 3

Відповідь: − ; .

; 𝑥𝑥 = − або 𝑥𝑥 = .

3 5

1 4

3 5

5 5

31.27. З міст M і N одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі. Відстань між містами дорівнює s км, швидкості автомобілів – v1 і v2 (у км/год). Через t год автомобілі зустрілися. Виразіть t через s, v1 і v2. Обчисліть значення t, якщо s = 375 км, v1 = 78 км/год, v2 = 72 км/год. 𝑠𝑠 𝑡𝑡(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 ) = 𝑠𝑠; 𝑡𝑡 = . 𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2

Якщо s = 375 км, v1 = 78 км / год, v2 = 72 км / год, 375 376 𝑡𝑡 = = = 2,5 (год) . 78+72

150

Відповідь: 𝑡𝑡 =

𝑠𝑠

𝑣𝑣1 +𝑣𝑣2

; 2,5 год.

31.28. Одна цигарка руйнує 25 мг вітаміну С. Якщо людина не курить, але перебуватиме в приміщенні, де курять інші, упродовж години, то для неї це все одно, що викурити й самій 4 цигарки. Скільки вітаміну С втратить Марина, якщо перебуватиме в такому приміщенні 1,5 год?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 4 · 1,5 = 6 (ц) – за 1,5 год; 2. 6 · 25 = 150 (мг) – втратила Марина; Відповідь: за 1,5 год Марина втратила 150 мг вітаміну C.

31.29. Два гравці по черзі беруть з купки камінці. За правилами гри дозволяється за один хід брати 1, 2, 4, 8, … (будь-який степінь двійки) камінців. Виграє той, хто візьме останній камінець. Хто переможе в цій грі за правильної стратегії, якщо початкова кількість камінців у купці дорівнюватиме: 1) 2016; 2) 2017?

la. in.

Проаналізуємо виграшні позиції, починаючи з кінця гри. Нехай N – кількість камінців у купці. Перебираючи варіанти для малих N, нескладно побачити, що програшними для першого гравця є числа 3,6,9,12, …, а останні числа є виграшними. При цьому стратегія гри другого гравця полягає в тому, щоб весь час залишати своєму супернику число камінців, кратні 3. Після цього, при будь–якому ході суперника, число камінів в купці не може залишатися кратним 3, а, отже, не може залишитися і 0 камінців. 1. N = 2016. Оскільки 2016 – число кратне 3, то при правильній стратегії виграє другий гравець.

2. N = 2017. Якщо перший гравець візьме один камінець, то в купці залишиться 2016 камінців. Оскільки 2016 – число, кратне 3, то для другого гравця – це програшна ситуація при правильній стратегії першого гравця. Відповідь: 1. переможе другий гравець; 2. переможе перший гравець (за умови правильної стратегії).

32.1. Обчисліть: 2

1. �√7� = 7; 2

2. �√0� = 0;

§ 32. Тотожність (√a)2 = a, a ≥ 0. Рівняння x2 = a

3. �√2,9� = 2,9; 1

4. �� = . 3

32.2. Знайдіть значення виразу: 2

1. �√6� = 6; 2

2. ��5,3� = 5,3.

32.3. (Усно.) Чи має корені рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 = 9 — має корені (𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = −3);

2. 𝑥𝑥 2 = 47 — має корені �𝑥𝑥 = √47; 𝑥𝑥 = −√47�; 3. 𝑥𝑥 2 = 0 — має корінь (𝑥𝑥 = 0);

4. 𝑥𝑥 2 = −7 — не має коренів у множині дійсних чисел.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

32.4. Чи має корені рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 = 25; 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = 5; 2. 𝑥𝑥 2 = −10; рівняння коренів не має. 𝟏𝟏. (−√7)2 = (√7)2 = 7;

𝟐𝟐. √11 ⋅ √11 = (√11)2 = 11;

2 1 1 3 1 1 𝟑𝟑. � ⋅ √3� = ⋅ (√3)2 = ⋅ 3 = = ; 9 9 9 3 3

𝟒𝟒. (−2√5)2 = 4 ⋅ (√5)2 = 4 ⋅ 5 = 20;

la. in.

𝟓𝟓. − 5√2 ⋅ √2 = −5(√2)2 = −5 ⋅ 2 = −10;

32.5. Знайдіть значення виразу:

𝟔𝟔. 0,3 ⋅ (−√10)2 = 0,3 ⋅ (√10)2 = 0,3 ⋅ 10 = 3; 𝟕𝟕. �

1 1 = ; � = (√7)2 7 √7 1

(√7)2 7 3 √7 √7 = =1 . 𝟖𝟖. �− � = � � = 4 4 2 2 4 32.6. Обчисліть:

𝟏𝟏. (−√11)2 = (√11)2 = 11;

𝟐𝟐. √19 ⋅ √19 = (√19)2 = 19;

𝟑𝟑. (2√7)2 = 4 ⋅ (√7)2 = 4 ⋅ 7 = 28;

2 1 1 1 8 1 𝟒𝟒. �− √8� = (√8)2 = ⋅8= = ; 4 16 16 16 2

𝟓𝟓. − 7√3 ⋅ √3 = −7 ⋅ (√3)2 = −7 ⋅ 3 = −21; 𝟔𝟔. 0,2 ⋅ (−√5)2 = 0,2 ⋅ (√5)2 = 0,2 ⋅ 5 = 1; 𝟕𝟕. �

1 1 = ; � = (√15)2 15 √15 1

(√10)2 10 1 √10 √10 = =1 . 𝟖𝟖. �− � =� � = 9 9 3 3 9 32.7. Обчисліть:

𝟏𝟏. (√15)2 − 3,8 = 15 − 3,8 = 11,2; 2

4 4 𝟐𝟐. 5 ⋅ �−� � = 5 ⋅ = 4; 5 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 2

𝟒𝟒.

1 1 1 ⋅ (−√24)2 = ⋅ (√24)2 = ⋅ 24 = 3. 8 8 8

32.8. Знайдіть значення виразу:

7 7 7 7 8 𝟑𝟑. 7: �� = : = ⋅ = 8; 8 1 8 1 7

𝟏𝟏. 2,7 + (−√13)2 = 2,7 + (√13)2 = 2,7 + 13 = 15,7; 2

la. in.

5 5 𝟐𝟐. 8 �� = 8 ⋅ = 5; 8 8

3 12 3 12 4 𝟑𝟑. 12: �−� � = : = ⋅ = 4 ⋅ 4 = 16; 4 1 4 1 3

𝟒𝟒.

1 1 ⋅ (√19)2 = ⋅ 19 = 1. 19 19

32.9. Розв’яжіть рівняння:

𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 = 25; 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = 5;

𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 = 0,36; 𝑥𝑥1 = −0,6; 𝑥𝑥2 = 0,6;

𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 = 121; 𝑥𝑥1 = −11; 𝑥𝑥2 = 11;

𝟒𝟒. 𝑥𝑥 2 = −9; рівняння розв'язків не має;

𝟓𝟓. 𝑥𝑥 2 = 11; 𝑥𝑥1 = −√11; 𝑥𝑥2 = √11;

4 2 2 𝟔𝟔. 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = − . 9 3 3

32.10. Розв’яжіть рівняння:

𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 = 49; 𝑥𝑥1 = −7; 𝑥𝑥2 = 7;

𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 = 0,16; 𝑥𝑥1 = −0,4; 𝑥𝑥2 = 0,4; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 = 169; 𝑥𝑥1 = −13; 𝑥𝑥2 = 13;

𝟒𝟒. 𝑥𝑥 2 = −4; рівняння розв’язків не має;

𝟓𝟓. 𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥1 = −√5; 𝑥𝑥2 = √5; 𝟔𝟔. 𝑥𝑥 2 =

9 3 3 ; 𝑥𝑥1 = − ; 𝑥𝑥2 = . 16 4 4

32.11. Знайдіть корені рівняння: 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 − 0,05 = 0,04; 𝑥𝑥 2 = 0,04 + 0,05;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟐𝟐. 24 + 𝑥𝑥 2 = 25; 𝑥𝑥 2 = 25 − 24; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 1. Відповідь: ±1. 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 + 12 = 0; 𝑥𝑥 2 = −12.

Відповідь: рівняння розв’язків не має. 1 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 2 = 7; 𝑥𝑥 2 = 7 · 3; 𝑥𝑥 2 = 21; 𝑥𝑥1 = −√21; 3 𝑥𝑥2 = √21. Відповідь: ±√21.

la. in.

32.12. Розв’яжіть рівняння:

𝑥𝑥 2 = 0,09; 𝑥𝑥1 = −0,3; 𝑥𝑥2 = 0,3. Відповідь: ±0,3.

1. 𝑥𝑥 2 + 0,01 = 0,26; 𝑥𝑥 2 = 0,26 − 0,01; 𝑥𝑥 2 = 0,25; 𝑥𝑥1 = −0,5; 𝑥𝑥2 = 0,5. Відповідь: ±0,5.

2. 𝑥𝑥 2 − 14 = 2; 𝑥𝑥 2 = 2 + 14; 𝑥𝑥 2 = 16;

𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = 4. Відповідь: ±4.

3. 17 − 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 17; 𝑥𝑥1 = −√17; 𝑥𝑥2 = √17. Відповідь: ±√17. 1 𝟒𝟒. − 𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥 2 = 5 · (−4); 𝑥𝑥 2 = −20. 4 Відповідь: рівняння розв’язків не має.

32.13. Чи належить графіку функції y = x2 точка: 𝟏𝟏. M(√5; 5). Оскільки (√5)2 = 5, то точка M належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

𝟐𝟐. N(7; √7). Оскільки 72 = 49 ≠ √7, то точка N не належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 . 𝟑𝟑. P(−√3; 3). Оскільки (−√3)2 = 3, то точка P належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

𝟒𝟒. T(√10; √10). Оскільки (√10)2 = 10 ≠ √10, то точка T не належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

32.14. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: Нехай 𝑎𝑎 – довжина сторони квадрата, тоді

𝟏𝟏. 𝑎𝑎2 = 36; 𝑎𝑎1 = −6 < 0 (умові задачі не задовольняє); 𝑎𝑎2 = 6. Відповідь: 6 см. 𝟐𝟐. 𝑎𝑎2 = 49; 𝑎𝑎1 = −7 < 0 (умові не задовольняє); 𝑎𝑎2 = 7. Відповідь: 7 дм.

𝟑𝟑. 𝑎𝑎2 = 0,09; 𝑎𝑎1 = −0,3 < 0 (умові задачі не задовольняє); 𝑎𝑎2 = 0,3. Відповідь: 0,3 м.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟒𝟒. 𝑎𝑎2 =

25 36

; 𝑎𝑎1 = − < 0 (умові задачі не задовольняє); 𝑎𝑎2 = 5

Відповідь: дм. 6 32.15. Обчисліть: 2

𝟏𝟏. �−(√5)2 � = �(√5)2 � = 52 = 25; 𝟐𝟐. (2√5)2 − (5√2)2 = 4 · 5 − 25 · 2 = 20 − 50 = −30; 2 1 1 1 1 𝟑𝟑. 36 ⋅ �− √17� − (2√15)2 = 36 ⋅ ⋅ 17 − ⋅ 4 ⋅ 15 = 5 9 5 3

la. in.

= 4 · 17 − 4 · 3 = 4 · (17 − 3) = 4 · 14 = 56; 2 1 17 1 = 7,7 + 8,5 = 16,2; 𝟒𝟒. �59,29 + � √34� = 7,7 + ⋅ 34 = 7,7 + 4 2 2 𝟓𝟓. (−3√5)2 − 3(√5)2 = 9 ⋅ 5 − 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ (9 − 3) = 5 ⋅ 6 = 30; 2

16 25 9 8 1 1 4 25 3 8 ⋅ − ⋅ = − = 0. 𝟔𝟔. �− ⋅ � � − � ⋅ � � = 25 32 16 9 2 2 5 32 4 9

32.16. Обчисліть: 2

𝟏𝟏. �(−√7)2 � = 72 = 49; 𝟐𝟐. (3√7)2 − (7√3)2 = 9 · 7 − 49 · 3 = 7 · 3 · (3 − 7) = 21 · (−4) = −84; 2 1 1 1 1 𝟑𝟑. 16 ⋅ �− √7� + ⋅ (4√3)2 = 16 ⋅ ⋅ 7 + ⋅ 16 ⋅ 3 = 4 · 7 + 16 = 3 4 3 2 = 4 · (7 + 4) = 4 · 11 = 44;

2 1 21 1 = 8,4 − 10,5 = −2,1; 𝟒𝟒. �70,56 − � √42� = 8,4 − ⋅ 42 = 8,4 − 4 2 2

𝟓𝟓. (5√2)2 − 5 ⋅ (−√2)2 = 25 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 = 50 − 10 = 40; 2

5 36 4 9 25 36 2 5 26 + 25 51 2 9 + · = + = = ; 𝟔𝟔. � � � + �− � � = ⋅ 6 65 9 10 36 65 5 13 65 65 3 10

32.17. Розв’яжіть рівняння:

𝟏𝟏. (𝑥𝑥 − 2)2 = 36; 𝑥𝑥 − 2 = −6; 𝑥𝑥 − 2 = 6; 𝑥𝑥 = −6 + 2; 𝑥𝑥 = 6 + 2; 𝑥𝑥 = −4; або 𝑥𝑥 = 8. Відповідь: −4; 8. 𝟐𝟐. (𝑦𝑦 + 3)2 = 4;

𝑦𝑦 + 3 = −2, або 𝑦𝑦 + 3 = 2, 𝑦𝑦 = −2 − 3; 𝑦𝑦 = 2 − 3 𝑦𝑦 = −5; 𝑦𝑦 = −1 Відповідь: −5; −1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟑𝟑. (𝑥𝑥 − 1)2 = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: 1. 𝟒𝟒. (𝑥𝑥 + 3)2 = 7;

𝑥𝑥 + 3 = −√7, або 𝑥𝑥 + 3 = √7, 𝑥𝑥 = −√7 − 3; 𝑥𝑥 = √7 − 3. Відповідь: −√7 − 3; √7 − 3.

3 9

la. in.

5 2 4 𝟓𝟓. �𝑦𝑦 − � = ; 9 81 5 2 5 2 𝑦𝑦 − = − , 𝑦𝑦 − = ; 9 9 9 9 2 5 2 5 𝑦𝑦 = − + ; 𝑦𝑦 = + ; 9 9 9 9 7 3 1 𝑦𝑦 = = або 𝑦𝑦 = . 9 9 3 1 7 Відповідь: ; .

𝟔𝟔. (𝑥𝑥 + 5)2 = −9. Відповідь: рівняння не має розв'язків. 32.18. Розв’яжіть рівняння: 1. (𝑥𝑥 + 1)2 = 16; 𝑥𝑥 + 1 = −4, 𝑥𝑥 + 1 = 4, 𝑥𝑥 = −4 − 1; 𝑥𝑥 = 4 − 1; 𝑥𝑥 = −5; або 𝑥𝑥 = 3. Відповідь: −5; 3.

2. (𝑦𝑦 − 2)2 = 25;

𝑦𝑦 − 2 = −5, або 𝑦𝑦 − 2 = 5, 𝑦𝑦 = −5 + 2; 𝑦𝑦 = 5 + 2 𝑦𝑦 = −3; 𝑦𝑦 = 7 Відповідь: −3; 7.

3. (𝑚𝑚 + 2)2 = 0; 𝑚𝑚 + 2 = 0; 𝑚𝑚 = −2. Відповідь: −2.

4. (𝑥𝑥 − 2)2 = 3; 𝑥𝑥 − 2 = −√3, 𝑥𝑥 − 2 = √3, 𝑥𝑥 = 2 − √3; або 𝑥𝑥 = 2 + √3. Відповідь: 2 + √3; 2 − √3. 3 2 1 𝟓𝟓. �𝑦𝑦 − � = ; 10 100 3 1 𝑦𝑦 − =− , 10 10 1 3 = , 𝑦𝑦 − 10 10

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 3 𝑦𝑦 = − + 10 10 3 1 + ; 𝑦𝑦 = 10 10 1 4 2 2 = або 𝑦𝑦 = = . 𝑦𝑦 = 10 5 10 5 2 1 Відповідь: ; . 5 5

6. (𝑚𝑚 − 3)2 = −4. Відповідь: рівняння розв’язків не має. 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0;

la. in.

32.19. Наведіть приклад рівняння вигляду x2 = a, де x – змінна, a – число, яке: 1) має один цілий корінь; 2) має два цілих корені; 𝑥𝑥 2 = 64; 𝑥𝑥 = ±8;

3) не має коренів; 𝑥𝑥 2 = −4; ∅;

4) має два раціональних корені; 1 1 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥 = ± ; 9 3

5) має корені, але вони не є раціональними. 𝑥𝑥 2 = 3; 𝑥𝑥 = ±√3.

32.20. Розв’яжіть рівняння: 4 𝑥𝑥 + 1 = ; 𝑥𝑥 − 1 6

𝟏𝟏.

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 24, 𝑥𝑥 2 − 1 = 24, � � 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1;

𝑥𝑥 2 = 24 + 1, 𝑥𝑥 2 = 25 𝑥𝑥 = ±5, 𝑥𝑥 = ±5. � � � 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1;

Відповідь: −5; 5.

2. (2𝑥𝑥 − 3)2 + (2𝑥𝑥 + 3)2 = 20; 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 9 + 4𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 9 = 20; 8𝑥𝑥 2 = 20 − 18; 8𝑥𝑥 2 = 2; 2 1 1 𝑥𝑥 2 = = ; 𝑥𝑥 = ± . 8 4 2 1 1 Відповідь: − ; . 2 2 32.21. Розв’яжіть рівняння:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 − 2 12 = ; 5 𝑥𝑥 + 2

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 60, 𝑥𝑥 2 − 4 = 60, � � 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0;

𝑥𝑥 2 = 60 + 4, 𝑥𝑥 2 = 64, 𝑥𝑥 = ±8, � 𝑥𝑥 = ±8. � � 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 ≠ −2; Відповідь: −8; 8.

la. in.

2. (3𝑥𝑥 + 1)2 + (3𝑥𝑥 − 1)2 = 4; 9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 + 9𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 1 = 4; 18𝑥𝑥 2 + 2 = 4; 18𝑥𝑥 2 = 4 − 2; 18𝑥𝑥 2 = 2; 2 1 1 𝑥𝑥 2 = = ; 𝑥𝑥 = ± 18 9 3 1 1 Відповідь: − ; . 3 3 32.22. Розв’яжіть рівняння:

𝟏𝟏.

1. �7 + √2 + 𝑥𝑥 2 = 3; 7 + √2 + 𝑥𝑥 2 = 9; √2 + 𝑥𝑥 2 = 9 − 7; √2 + 𝑥𝑥 2 = 2; 2 + 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 2 = 4 − 2; 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥 = ±√2. Відповідь: −√2; √2.

2. 2|𝑥𝑥 2 − 5| + 3 = 5; 2|𝑥𝑥 2 − 5| = 5 − 3; 2|𝑥𝑥 2 − 5| = 2; |𝑥𝑥 2 − 5| = 1; 𝑥𝑥 2 − 5 = −1 або 𝑥𝑥 2 − 5 = 1; 𝑥𝑥 2 = −1 + 5; 𝑥𝑥 2 = 1 + 5; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 2 = 6; 𝑥𝑥 = ±2; 𝑥𝑥 = ±√6. Відповідь: −2; 2; −√6; √6. 32.23. Знайдіть корені рівняння:

𝟏𝟏. �1 + �𝑥𝑥 2 + 4 = 2;

1 + √𝑥𝑥 2 + 4 = 4; √𝑥𝑥 2 + 4 = 4 − 1; √𝑥𝑥 2 + 4 = 3; 𝑥𝑥 2 + 4 = 9; 𝑥𝑥 2 = 9 − 4; 𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥 = ±√5. Відповідь: −√5; √5. 𝟐𝟐. 2|𝑥𝑥 2 − 4| + 1 = 11;

2|𝑥𝑥 2 − 4| = 11 − 1; 2|𝑥𝑥 2 − 4| = 10; |𝑥𝑥 2 − 4| = 5; 𝑥𝑥 2 − 4 = −5, або 𝑥𝑥 2 − 4 = 5; 𝑥𝑥 2 = −5 + 4; 𝑥𝑥 2 = 5 + 4; 𝑥𝑥 2 = −1; 𝑥𝑥 2 = 9; рівняння розв'язків не має; 𝑥𝑥 = ±3. Відповідь: −3; 3.

32.24. Для яких значень b справджується рівність:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

32.25. Для яких значень m рівняння mx2 = 1: 1 𝑚𝑚𝑥𝑥 2 = 1 ⇒ 𝑥𝑥 2 = . 𝑚𝑚 1) має два корені;

При 𝑚𝑚 > 0 рівняння має два корені; 2) має один корінь;

немає таких значень 𝑚𝑚, оскільки

≠ 0;

la. in.

3) не має коренів?

𝑚𝑚

𝟏𝟏. (√𝑏𝑏)2 = −𝑏𝑏 при 𝑏𝑏 = 0; 𝟐𝟐. (√𝑏𝑏 − 4)2 = 𝑏𝑏 − 4 при 𝑏𝑏 ≥ 4; 3. 𝑏𝑏(√𝑏𝑏)2 = 𝑏𝑏 2 при 𝑏𝑏 ≥ 0.

при 𝑚𝑚 ≤ 0 рівняння не має коренів. 32.26. Спростіть вираз: �𝑥𝑥 −

2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 3 4𝑥𝑥 − 9 ; � : �2𝑥𝑥 − �= 𝑥𝑥 − 2 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2

4𝑥𝑥 − 9 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) − (4𝑥𝑥 − 9) 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 (𝑥𝑥 − 3)2 = = = = ; а) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) − 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) б) 2𝑥𝑥 − = = = = ; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 3)2 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 − 3)2 ⋅ (𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 3 в) : = = . 𝑥𝑥 − 2 2𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 2) ⋅ 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 − 2 32.27. Відомо, що 2x – 4y = 1. Знайдіть значення виразу:

𝟐𝟐.

2⋅4 8 8 4 = = = = 8; 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2 ⋅ (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 1

𝟏𝟏.

2 8𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 2(4𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥) = = − = −0,4; 5 5 5

(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) 𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 = = = 𝟑𝟑. 2,5𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2,5(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) 2,5(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦) 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2 ⋅ (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 1 = = = = 0,2. 2,5 2 ⋅ 2,5 5 5

32.28. Порівняйте значення виразів:

𝟏𝟏. √4 ⋅ 9 = √36 = 6; √4 ⋅ √9 = 2 ⋅ 3 = 6. Отже, √4 ⋅ 9 = √4 ⋅ √9. 25 5 √25 5 = . 𝟐𝟐. � = ; 36 6 √36 6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Отже, �

25 √25 = . 36 √36

32.29. Знайдіть значення виразу:

𝟏𝟏. | − 2,5| + |3,7| = 2,5 + 3,7 = 6,2;

3 4 3 4⋅3 1 4 = = . 𝟐𝟐. � � ⋅ �− � = ⋅ 16 9 16 9 ⋅ 16 12 9

32.30. Спростіть вираз:

1. Якщо 𝑎𝑎 ≥ 0, то |5𝑎𝑎| = 5𝑎𝑎;

2. якщо 𝑏𝑏 < 0, то |7𝑏𝑏| = −7𝑏𝑏.

la. in.

32.31. Початковий розмір депозиту вкладниці склав 20 000 грн. Через два роки вкладниця закрила депозит, отримавши за ним кошти в розмірі 25 088 грн. За якою відсотковою ставкою було відкрито депозит, якщо відсотки нараховуються один раз на рік на поточний рахунок (так звані «відсотки на відсотки»)? Позначимо річну відсоткову ставку через 𝑝𝑝. Тоді: (1 + 𝑝𝑝) — множник приросту за один рік;

(1 + 𝑝𝑝)(1 + 𝑝𝑝) = (1 + 𝑝𝑝)2 — приріст за два роки;

За умовою депозит з відсотками на відсотки (щорічне нарахування) рахується так: 20000(1 + 𝑝𝑝)2 = 25088

Знайдемо (1 + 𝑝𝑝): (1 + 𝑝𝑝)2 =

25088 = 1,2544, 20000

1 + 𝑝𝑝 = �1,2544 = 1,12,

𝑝𝑝 = 1,12 − 1 = 0,12 = 12%

Відповідь: депозит було відкрито під 12% річних.

32.32. (Київська математична олімпіада, 1989 р.) Двоє гравців по черзі здійснюють хід за такими правилами: у клітинках нескінченного аркуша один гравець ставить хрестики, а другий – нулики. Чи може другий гравець грати так, щоб перший ніколи не зміг заповнити хрестиками якийсь квадрат 2 ⨯ 2?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Уявімо, що всі клітинки сітки заздалегідь розбито на «кістки доміно» розміру 1 × 2 (тобто на прямокутники, що покривають по дві сусідні клітинки). Нехай це розбиття зафіксоване й більше не змінюється. Другий гравець може дотримуватися такої стратегії:

якщо перший гравець у деякій клітинці однієї з кісток доміно ставить хрестик, то другий гравець у відповідь ставить нулик у другій клітинці цієї ж кістки. Таким чином у кожній кістці доміно буде або один хрестик і один нулик, або взагалі нічого, але ніколи — два хрестики.

la. in.

Зауважимо, що будь-який квадрат 2 × 2 обов’язково містить принаймні одну цілу кістку доміно (тобто обидві клітинки якої входять до цього квадрата). А отже, у кожному квадраті 2 × 2 є хоча б одна клітинка з нуликом (бо в цій кістці не можуть стояти два хрестики).

Отже, перший гравець ніколи не зможе заповнити всі чотири клітинки якогось квадрата 2 × 2 хрестиками. Тому другий гравець справді може грати так, щоб квадрат 2 × 2 з одних лише хрестиків ніколи не з’явився. Відповідь: Так. § 33. Властивості арифметичного квадратного кореня 33.1. (Усно.) Чи правильно обчислено: 1. Так; 2. Ні.

33.2. Чи правильно виконано обчислення:

1. Ні; 2. Так.

33.3. Знайдіть значення виразу:

1. √25 ⋅ 9 = √25 ⋅ √9 = 5 ⋅ 3 = 15; 2. √16 ⋅ 900 = √16 ⋅ √900 = 4 ⋅ 30 = 120; 3. �0,25 ⋅ 1,44 = �0,25 ⋅ √1,44 = = 0,5 ⋅ 1,2 = 0,6; 4. √0,04 ⋅ 169 = √0,04 ⋅ √169 = = 0,2 ⋅ 13 = 2,6; 5. �2,25 ⋅ 0,09 ⋅ 100 = �2,25 ⋅ √0,09 · √100 = 1,5 ⋅ 0,3 ⋅ 10 = 1,5 ⋅ 3 = 4,5; 6. �1,96 ⋅ 0,01 ⋅ 6,25 = √1,96 ⋅ √0,01 · �6,25 = 1,4 ⋅ 0,1 ⋅ 2,5 = 3,5 ⋅ 0,1 = 0,35. 33.4. Обчисліть:

1. √36 ⋅ 49 = √36 ⋅ √49 = 6 ⋅ 7 = 42; 2. √100 ⋅ 4 = √100 ⋅ √4 = 10 ⋅ 2 = 20; 3. √0,49 ⋅ 1,69 = √0,49 ⋅ √1,69 = = 0,7 ⋅ 1,3 = 0,91; 4. √0,09 ⋅ 196 = √0,09 ⋅ √196 = 0,3 ⋅ 14 = 4,2; 5. √1,44 ⋅ 0,16 ⋅ 400 = √1,44 ⋅ √0,16 · √400 = 1,2 ⋅ 0,4 ⋅ 20 = 1,2 ⋅ 8 = 9,6;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

6. �2,89 ⋅ 10000 ⋅ 0,25 = √2,89 ⋅ √10000 · �0,25 = 1,7 ⋅ 100 ⋅ 0,5 = 1,7 ⋅ 50 = 85. 33.5. Знайдіть значення кореня:

49 √49 7 𝟏𝟏. � = = ; 81 √81 9

121 √121 11 𝟐𝟐. � = = ; 400 √400 20

la. in.

36 6 √36 𝟑𝟑. � = = ; 625 √625 25

1 9 √9 3 1 𝟒𝟒. �2 = � = = = 1 = 1,5; 4 4 √4 2 2 𝟓𝟓. �1

9 1 25 √25 5 =� = = = 1 = 1,25; 16 4 16 √16 4

400 √400 20 2 4 = = =6 . 𝟔𝟔. �44 = � 9 3 3 9 √9

33.6. Знайдіть значення кореня:

25 √25 5 = ; 𝟏𝟏. � = 64 √64 8

289 √289 17 = = ; 𝟐𝟐. � 900 √900 30

9 3 √9 𝟑𝟑. � = = ; 784 √784 28

36 √36 6 1 11 =� = = = 1 = 1,2; 25 √25 5 5 25

𝟒𝟒. �1

𝟓𝟓. �1

19 100 √100 10 1 =� = = =1 ; 81 81 9 9 √81

1 169 √169 13 1 𝟔𝟔. �42 = � = = = 6 = 6,5. 4 4 2 2 √4 33.7. Обчисліть:  shkola.in.ua

1. �0, 22 = |0,2| = 0,2; 2. �(−0,9)2 = | − 0,9| = 0,9; 3. 2√32 = 2 ⋅ |3| = 2 ⋅ 3 = 6; 4. −3 ⋅ √92 = −3 ⋅ |9| = −3 ⋅ 9 = −27; 5. 0,5 ⋅ �(−10)2 = 0,5 ⋅ | − 10| = 0,5 ⋅ 10 = 5; 1 1 1 𝟔𝟔. − �52 = − ⋅ |5| = − ⋅ 5 = −1; 5 5 5 2 7. −3 ⋅ �(−7) = −3 ⋅ | − 7| = −3 ⋅ 7 = −21; 2⋅7 1 2 7 2 2 7 𝟖𝟖. ⋅ �� = ⋅ � � = = . 7⋅8 4 7 8 7 8 33.8. Обчисліть:

la. in.

1. �1, 72 = |1,7| = 1,7; 2. �(−0,3)2 = | − 0,3| = 0,3; 3. 3√42 = 3 ⋅ |4| = 3 ⋅ 4 = 12; 4. −2√72 = −2 ⋅ |7| = −2 ⋅ 7 = −14; 1 1 1 𝟓𝟓. �(−9)2 = ⋅ | − 9| = ⋅ 9 = 3; 3 3 3 2 6. −0,1 ⋅ √20 = −0,1 ⋅ |20| = −0,1 ⋅ 20 = −2; 7. −5�(−3)2 = −5 ⋅ | − 3| = −5 ⋅ 3 = −15;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1⋅8 2 8 2 1 8 1 = . 𝟖𝟖. ⋅ �� = ⋅ � � = 4⋅9 9 9 4 9 4

33.9. Подайте вираз у вигляді добутку коренів: 1. √2 ⋅ 7 = √2 ⋅ √7;

2. √35 = √5 ⋅ 7 = √5 ⋅ √7; 3. √17𝑏𝑏 = √17 ⋅ √𝑏𝑏;

4. �6𝑝𝑝 = √6 ⋅ �𝑝𝑝.

33.10. Подайте вираз у вигляді добутку коренів:

1. √3 ⋅ 11 = √3 ⋅ √11; 2. √15 = √3 ⋅ 5 = √3 ⋅ √5; 3. √19𝑎𝑎 = √19 ⋅ √𝑎𝑎; 4. √10𝑏𝑏 = √10 ⋅ √𝑏𝑏.

33.11. Подайте вираз у вигляді частки коренів: 2 √2 𝟏𝟏. � = ; 5 √5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. �

7 √7 = ; 𝑚𝑚 √𝑚𝑚

4. �

𝑝𝑝 �𝑝𝑝 = . 23 √23

3 √3 ; 𝟏𝟏. � = 11 √11

la. in.

33.12. Подайте вираз у вигляді частки коренів:

2 23 √23 2. �3 = � = ; 7 7 √7

19 √19 1 ; 𝟐𝟐. �9 = � = 2 2 √2 𝟑𝟑. �

𝑎𝑎 √𝑎𝑎 = ; 37 √37

5 √5 . 𝟒𝟒. � = 𝑏𝑏 √𝑏𝑏

33.13. Обчисліть значення добутку: 𝟏𝟏. √2 ⋅ √32 = √2 ⋅ 32 = √64 = 8;

𝟐𝟐. √2 ⋅ √50 = √2 ⋅ 50 = √100 = 10;

𝟑𝟑. √20 ⋅ �0,05 = �20 ⋅ 0,05 = √1 = 1; 𝟒𝟒. �0,9 ⋅ �2,5 = �0,9 ⋅ 2,5 = �

9 25 9 ⋅ 25 √9 ⋅ √25 3 ⋅ 5 15 ⋅ =� = = = = 1,5; 10 10 10 10 100 √100

1 7 13 1 ⋅ 7 ⋅ 13 1 1 𝟓𝟓. � ⋅ � ⋅ � = � =� = ; 7 13 36 7 ⋅ 13 ⋅ 36 36 6

3 1 3⋅3⋅1 9 3 √9 𝟔𝟔. � ⋅ √3 ⋅ � = � =� = = . 7 7 7⋅1⋅7 49 √49 7

33.14. Обчисліть значення добутку:

1. √5 ⋅ √20 = √5 ⋅ 20 = √100 = 10;

2. √5 ⋅ √45 = √5 ⋅ 45 = √5 ⋅ 5 ⋅ 9 = √25 ⋅ 9 = 5 ⋅ 3 = 15; 3. √0,02 ⋅ √50 = �0,02 ⋅ 50 = √1 = 1;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4 9 4⋅9 36 6 ⋅ =� =� = = 0,6; 10 10 10 ⋅ 10 100 10

1 √1 1 5 1 7 5⋅1⋅7 =� = = ; 𝟓𝟓. � ⋅ � ⋅ � = � 9 √9 3 7 5 9 7⋅5⋅9

𝟒𝟒. �0,4 ⋅ �0,9 = �0,4 ⋅ 0,9 = �

11 1 11 ⋅ 11 112 √112 11 � � � � 𝟔𝟔. ⋅ ⋅ √11 = = = = . 12 12 12 ⋅ 12 122 √122 12 33.15. Обчисліть значення частки:

𝟑𝟑. 𝟒𝟒. 𝟓𝟓. 𝟔𝟔.

√5

=�

�7,5 √0,3 √24

�1,5 √3

√27 √8

√50

45 = √9 = 3; 5

=� =�

√0,27

la. in.

𝟐𝟐.

√45

7,5 75 = � = √25 = 5; 0,3 3

240 24 =� = √16 = 4; 15 1,5

3 1 √1 1 =� = = ; 27 9 √3 3

8 4 2 = � = = 0,4; 50 25 5

27 9 3 0,27 =� =� = . 75 25 5 0,75

𝟏𝟏.

�0,75

=�

33.16. Обчисліть значення частки: √50 √2

=�

50 = √25 = 5; 2

𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

𝟑𝟑.

27 2,7 √2,7 =� = � = √9 = 3; 3 0,3 √0,3 √160 �2,5

=�

1600 160 =� = √64 = 8; 25 2,5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟓𝟓. 𝟔𝟔.

√2

√72

√12

√27

=� =�

2 1 1 =� = ; 72 36 6 12 4 2 =� = ; 27 9 3

18 9 3 0,18 √0,18 =� =� =� = . 128 64 8 1,28 √1,28

33.17. Знайдіть значення виразу:

1. √94 = �(92 )2 = |92 | = 92 = 81;

la. in.

2. √26 = �(23 )2 = |23 | = 23 = 8;

𝟒𝟒.

3. √58 = �(54 )2 = |54 | = 54 = 625;

4. �(−2)10 = �((−2)5 )2 = |(−2)5 | = | − 32| = 32; 5. �(−3)4 = �((−3)2 )2 = |(−3)2 | = |9| = 9; 6. �(−1)12 = √1 = 1. 33.18. Знайдіть значення виразу:

1. √104 = �(102 )2 = |102 | = |100| = 100; 2. √36 = �(33 )2 = |33 | = 33 = 27; 3. √28 = �(24 )2 = |24 | = 24 = 16;

4. �(−5)4 = �((−5)2 )2 = |(−5)2 | = |25| = 25; 5. �(−1)10 = √1 = 1;

6. �(−2)12 = �((−2)6 )2 = |(−2)6 | = |64| = 64. 33.19. Замініть вираз йому тотожно рівним: 1. √𝑚𝑚2 = |𝑚𝑚|;

2. 4�𝑝𝑝2 = 4|𝑝𝑝|;

3. −0,1√𝑎𝑎2 = −0,1|𝑎𝑎|;

17 . √𝑐𝑐 2 |𝑐𝑐| 33.20. Замініть вираз йому тотожно рівним: 𝟒𝟒.

1. √𝑡𝑡 2 = |𝑡𝑡|;

2. −2√𝑏𝑏2 = −2|𝑏𝑏|;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 2 |𝑥𝑥| �𝑥𝑥 = ; 7 7 7 7 𝟒𝟒. = . √𝑎𝑎2 |𝑎𝑎|

33.21. Обчисліть: 𝟏𝟏. �4

𝟑𝟑.

9 289 841 17 29 493 13 33 ⋅ 52 =� ⋅ = ⋅ = = 15 ; 16 64 16 18 4 32 32 64

3 13 16 16 4 1 4 =� ⋅ =� = =1 ; 𝟐𝟐. �1 ⋅ �1 13 9 13 9 3 3 9

la. in.

𝟑𝟑. �202 − 162 = �(20 − 16)(20 + 16) = √4 ⋅ 36 = 2 ⋅ 6 = 12;

𝟒𝟒. �0, 852 − 0, 842 = �(0,85 − 0,84)(0,85 + 0,84) = √0,01 ⋅ 1,69 = 0,1 ⋅ 1,3 = 0,13. 33.22. Обчисліть: 𝟏𝟏. �4

𝟐𝟐. �1

73 121 1936 11 44 484 34 21 ⋅ 23 =� ⋅ = ⋅ = = 10 ; 81 25 81 5 9 45 45 25

12 37 49 37 49 49 7 1 1 ⋅ �1 =� ⋅� =� ⋅ =� = =1 ; 37 36 37 36 37 36 6 6 36

3. √372 − 122 = �(37 − 12)(37 + 12) = √25 ⋅ 49 = √25 ⋅ √49 = 5 ⋅ 7 = 35; 4. �0, 252 − 0, 242 = �(0,25 − 0,24)(0,25 + 0,24) = √0,01 ⋅ 0,49 =

= √0,01 ⋅ √0,49 = 0,1 · 0,7 = 0,07. 33.23. Обчисліть:

1. √90 ⋅ 490 = √9 ⋅ 49 ⋅ 100 = √9 ⋅ √49 · √100 = 3 ⋅ 7 ⋅ 10 = 210;

2. √72 ⋅ 32 = √36 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 16 = √36 ⋅ 4 ⋅ 16 = √36 ⋅ √16 ⋅ √4 = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 48; 49 324 √49 ⋅ √324 7 ⋅ 18 126 ⋅ = = = = 12,6; 10 10 10 10 √100

𝟑𝟑. �4,9 ⋅ 32,4 = �

4. �4,5 ⋅ 72 = �4,5 ⋅ 2 ⋅ 36 = √9 ⋅ √36 = 3 ⋅ 6 = 18;

5. √13 ⋅ √3 ⋅ √39 = √13 ⋅ 3 ⋅ 39 = √13 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 13 = √132 ⋅ √32 = 13 ⋅ 3 = 39; 6. √22 ⋅ √14 ⋅ √77 = √22 ⋅ 14 ⋅ 77 = √2 ⋅ 11 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 11 = = √22 ⋅ √112 ⋅ √72 = 2 · 7 · 11 = 14 · 11 = 154. 33.24. Обчисліть:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. √40 ⋅ 640 = √4 ⋅ 64 ⋅ 100 = √4 ⋅ √64 · √100 = 2 ⋅ 8 ⋅ 10 = 160; 2. √45 ⋅ 125 = √5 ⋅ 9 ⋅ 25 ⋅ 5 = √9 ⋅ 252 = 3 ⋅ 25 = 75;

𝟒𝟒. �1,6 ⋅ √90 = �

144 81 144 ⋅ 81 √144 ⋅ √81 12 ⋅ 9 108 ⋅ =� = = = = 10,8; 10 10 100 10 10 √100

𝟑𝟑. �14,4 ⋅ 8,1 = �

16 ⋅ 90 16 ⋅ 9 ⋅ 10 =� = √16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12; 10 10

5. √17 ⋅ √34 ⋅ √2 = √17 ⋅ 34 ⋅ 2 = √17 ⋅ 2 ⋅ 17 ⋅ 2 = √172 ⋅ 22 = 17 ⋅ 2 = 34; 6. √63 ⋅ √18 ⋅ √14 = √63 ⋅ 18 ⋅ 14 = √9 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = √92 ⋅ 22 ⋅ 72 =

la. in.

= 9 · 2 · 7 = 18 · 7 = 126.

33.25. Знайдіть значення виразу:

1. �34 ⋅ 62 ⋅ (−2)6 = �34 ⋅ (3 ⋅ 2)2 ⋅ 26 = = √34 ⋅ 32 ⋅ 22 ⋅ 26 = √36 ⋅ 28 = = �(33 )2 · �(24 )2 = |33 | ⋅ |24 | = 33 ⋅ 24 = 27 ⋅ 18 = 432;

2. √210 ⋅ 52 − �(−4)4 = �(25 )2 ⋅ 52 − √44 = �(25 ⋅ 5)2 − �(42 )2 = = 25 · 5 − 42 = 32 · 5 − 16 = 16 · (2 · 5 − 1) = 16 · 9 = 144; 3. √253 = √25 ⋅ 252 = √25 ⋅ √252 = 5 ⋅ 25 = 125;

4. √95 = √9 ⋅ 94 = √9 ⋅ √94 = 3 ⋅ �(92 )2 = 3 · 92 = 3 · 81 = 243. 33.26. Обчисліть:

1. �(−2)4 ⋅ 72 − �(−3)6 = √24 ⋅ 72 − √36 = �(22 )2 ⋅ 72 − �(33 )2 = = �(22 ⋅ 7)2 − 33 = 22 · 7 − 27 = 28 − 27 = 1;

2. √363 = √36 ⋅ 362 = √36 ⋅ √362 = 6 ⋅ 36 = 216.

33.27. Обчисліть, попередньо розклавши підкореневий вираз на прості множники:

1. 12544 | 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 196 | 4 = 2 · 2 49 | 7 7|7 1|

12544 = 26 · 22 · 72 = 28 · 72 . Отже, √12544 = √28 ⋅ 72 = √28 ⋅ √72 = 24 ⋅ 7 = = 16 ⋅ 7 = 112; 2. 186 624 | 9 = 3 · 3 20 736 | 9 = 3 · 3 2304 | 9 = 3 · 3 256 | 4 = 2 · 2 64 | 8 = 2 · 2 · 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

8|8=2·2·2 1|

1. Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то �0,36𝑥𝑥 2 = 0,6|𝑥𝑥| = 0,6𝑥𝑥; 2. якщо 𝑦𝑦 < 0, то �121𝑦𝑦 2 = 11|𝑦𝑦| = −11𝑦𝑦; 3. якщо P < 0, то 1 1 1 −3� 𝑝𝑝2 = −3 ⋅ |𝑝𝑝| = −3 ⋅ (−𝑝𝑝) = 𝑝𝑝; 9 3 3

�

la. in.

4. 5√𝑥𝑥 4 = 5�(𝑥𝑥 2 )2 = 5|𝑥𝑥 2 | = 5𝑥𝑥 2 ; 5. якщо 𝑎𝑎 ≥ 0, то �25𝑎𝑎6 = √5 ⋅ �𝑎𝑎6 = 5�(𝑎𝑎3 )2 = 5|𝑎𝑎3 | = 5𝑎𝑎3 ; 6. якщо 𝑐𝑐 < 0, то

186624 = 36 · 28 . Отже, √186624 = √28 ⋅ 36 = √28 ⋅ √36 = |24 | ⋅ |33 | = 16 ⋅ 27 = 432. 33.28. Спростіть вираз:

5 5 5 25 10 25 𝑐𝑐 = � ⋅ �𝑐𝑐 10 = ⋅ �(𝑐𝑐 5 )2 = |𝑐𝑐 5 | = − 𝑐𝑐 5 . 7 7 7 49 49

33.29. Спростіть вираз:

1. Якщо P ≥ 0, то �0,49𝑝𝑝2 = 0,7|𝑝𝑝| = 0,7𝑝𝑝; 𝟐𝟐. якщо 𝑚𝑚 < 0, то �

5 25 2 5 𝑚𝑚 = |𝑚𝑚| = − 𝑚𝑚; 8 8 64

3. 7√𝑏𝑏8 = 7�(𝑏𝑏 4 )2 = 7|𝑏𝑏 4 | = 7𝑏𝑏 4 ; 4. якщо 𝑎𝑎 < 0, то �0,01𝑎𝑎14 = √0,01 ⋅ √𝑎𝑎14 = 0,1�(𝑎𝑎7 )2 = 0,1|𝑎𝑎7 | = −0,1𝑎𝑎7 . 33.30. Спростіть вираз:

1. Якщо 𝑚𝑚 ≤ 0, то √25𝑚𝑚2 𝑛𝑛12 = √25 ⋅ √𝑚𝑚2 ⋅ �(𝑛𝑛6 )2 = 5|𝑚𝑚| ⋅ |𝑛𝑛6 | = −5𝑚𝑚𝑛𝑛6 ; 2. якщо 𝑚𝑚 ≥ 0, 𝑛𝑛 < 0, то

7 49 7 49 14 18 |𝑚𝑚7 | ⋅ |𝑛𝑛9 | = − 𝑚𝑚7 𝑛𝑛9 ; 𝑚𝑚 𝑛𝑛 = � ⋅ �(𝑚𝑚7 )2 ⋅ �(𝑛𝑛9 )2 = 13 169 13 169

�

𝑝𝑝3 𝑚𝑚6 𝑝𝑝6 𝑚𝑚12 �(𝑝𝑝3 )2 ⋅ �(𝑚𝑚6 )2 |𝑝𝑝3 | ⋅ |𝑚𝑚6 | = = =− 4 ; |𝑥𝑥 4 | 𝑥𝑥 8 𝑥𝑥 �(𝑥𝑥 4 )2

�

3. якщо 𝑦𝑦 > 0, то 1 1 1 3 𝑥𝑥𝑦𝑦 �64𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ⋅ √64 ⋅ �(𝑥𝑥 2 )2 · �𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ⋅ 8 ⋅ |𝑥𝑥 2 | ⋅ |𝑦𝑦| = 𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ⋅ 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 4 ; 8 8 8 4. якщо P < 0, то

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

5. якщо 𝑚𝑚 < 0, то

2𝑚𝑚5 𝑝𝑝10 𝑝𝑝20 �(𝑝𝑝10 )2 2𝑚𝑚5 ⋅ |𝑝𝑝10 | 5 2𝑚𝑚 = 2𝑚𝑚 = =− = −2𝑚𝑚4 𝑝𝑝10 ; 2 𝑚𝑚2 𝑚𝑚 |𝑚𝑚| √𝑚𝑚 6. якщо 𝑥𝑥 > 0, 𝑧𝑧 < 0, то 𝑥𝑥 7 𝑦𝑦 8 𝑧𝑧13 �𝑥𝑥 14 𝑦𝑦16 𝑧𝑧 26 �(𝑥𝑥 7 )2 ⋅ �(𝑦𝑦 8 )2 ⋅ �(𝑧𝑧13 )2 |𝑥𝑥 7 | ⋅ |𝑦𝑦 8 | ⋅ |𝑧𝑧 13 | = = = − 3 8 12 = −𝑥𝑥 4 𝑧𝑧. 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 8 𝑧𝑧 12 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 8 𝑧𝑧12 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 8 𝑧𝑧 12

5�

33.31. Спростіть вираз:

1. Якщо 𝑎𝑎 ≥ 0, то √64𝑎𝑎2 𝑏𝑏8 = √64 ⋅ √𝑎𝑎2 ⋅ �(𝑏𝑏 4 )2 = 8 ⋅ |𝑎𝑎| ⋅ |𝑏𝑏 4 | = 8𝑎𝑎𝑏𝑏 4 ;

la. in.

2. якщо 𝑏𝑏 < 0, 𝑐𝑐 > 0, то 1 1 𝑏𝑏𝑏𝑏�25𝑏𝑏6 𝑐𝑐10 = 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⋅ √25 ⋅ �(𝑏𝑏3 )2 · �(𝑐𝑐 5 )2 = 10 10 =

1 1 1 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⋅ 5|𝑏𝑏 3 | ⋅ |𝑐𝑐 5 | = − 𝑏𝑏𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐 5 = − 𝑏𝑏 4 𝑐𝑐 6 ; 10 2 2

�

𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 6 𝑥𝑥 8 𝑦𝑦12 �(𝑥𝑥 4 )2 ⋅ �(𝑦𝑦 6 )2 |𝑥𝑥 4 | ⋅ |𝑦𝑦 6 | = = =− ; |𝑧𝑧| 𝑧𝑧 2 𝑧𝑧 √𝑧𝑧 2

3. якщо 𝑧𝑧 < 0,

4. якщо 𝑏𝑏 > 0, 3𝑎𝑎

2�

𝑏𝑏14 3𝑎𝑎2 ⋅ �(𝑏𝑏 7 )2 3𝑎𝑎2 ⋅ |𝑏𝑏 7 | 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 7 = = = = 3𝑏𝑏 7 . 2| 2 2 2 |𝑎𝑎 𝑎𝑎4 𝑎𝑎 �(𝑎𝑎 )

33.32. Відомо, що x < 0, y < 0. Подайте вираз: 1. Якщо 𝑥𝑥 < 0, 𝑦𝑦 < 0, то �7𝑥𝑥𝑥𝑥 = √7 ⋅ �|𝑥𝑥| ⋅ �|𝑦𝑦|; 2. якщо 𝑥𝑥 < 0, 𝑦𝑦 < 0, то �

33.33. Спростіть вираз:

2𝑥𝑥

3𝑦𝑦

�2|𝑥𝑥|

�3|𝑦𝑦|

6. якщо 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏,

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4 2(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 2(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 2(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)� 2 = = = − = −2. 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 �(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 33.34. Спростіть вираз:

1. Якщо 𝑚𝑚 ≥ 2, �(𝑚𝑚 − 2)2 = |𝑚𝑚 − 2| = 𝑚𝑚 − 2; 2. якщо P < −4, �𝑝𝑝2 + 8𝑝𝑝 + 16 = �(𝑝𝑝 + 4)2 = |𝑝𝑝 + 4| = −(𝑝𝑝 + 4); 3. якщо 𝑎𝑎 > 5, 4. якщо 𝑥𝑥 < 1, то

la. in.

1 𝑎𝑎 − 5 𝑎𝑎 − 5 (𝑎𝑎 − 5) (𝑎𝑎 − 5)� 2 = = = = 1. 𝑎𝑎 − 10𝑎𝑎 + 25 �(𝑎𝑎 − 5)2 |𝑎𝑎 − 5| (𝑎𝑎 − 5)

3(𝑥𝑥 − 1) 3(𝑥𝑥 − 1) 3(𝑥𝑥 − 1) 9 = = =− = −3. (𝑥𝑥 − 1)� 2 |𝑥𝑥 − 1| 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 1 �(𝑥𝑥 − 1)2 33.35. Спростіть вираз:

1. �(√3 − 5)2 + (�√3 − 1)2 = |√3 − 5| + (√3 − 1) = = −(√3 − 5) + (√3 − 1) = −√3 + 5 + √3 − 1 = 4;

2. �(3 − √7)2 + �(2 − √7)2 = �3 − √7� − �2 − √7� =

= (3 − √7) − (2 − √7) = 3 − √7 + √7 − 2 = 1;

3. �(√21 − 5)2 − �(√21 − 4)2 = �√21 − 5� − �√21 − 4� =

= −(√21 − 5) − (√21 − 4) = −√21 + 5 − √21 + 4 = 9 − 2√21;

4. �7 + 4√3 = �(2 + √3)2 = |2 + √3| = 2 + √3.

33.36. Спростіть вираз:

1. (�5 − √8)2 − �(√8 − 13)2 = (5 − √8) − |√8 − 13| = = (5 − √8) + (√8 − 13) = 5 − √8 + √8 − 13 = −8; 2. �3 − 2√2 = �(1 − √2)2 = |1 − √2| = √2 − 1. 33.37. Розкладіть многочлен на множники: 1. 2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 − 8𝑥𝑥𝑦𝑦 5 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 3 (𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 2 );

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 49𝑎𝑎2 − 36 = (7𝑎𝑎 − 6)(7𝑎𝑎 + 6);

3. 36𝑚𝑚3 𝑛𝑛 + 27𝑚𝑚2 𝑛𝑛8 = 9𝑚𝑚2 𝑛𝑛(4𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛7 ); 33.38. Скоротіть дріб:

𝑚𝑚2 − 4 (𝑚𝑚 − 2)(𝑚𝑚 + 2) 𝑚𝑚 − 2 𝟏𝟏. = = ; 3(𝑚𝑚 + 2) 3 6 + 3𝑚𝑚 𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎 + 25 (𝑎𝑎 + 5)2 𝑎𝑎 + 5 𝟐𝟐. = = ; 4 4𝑎𝑎 + 20 4(𝑎𝑎 + 5)

la. in.

(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 2 − 25 = = ; 𝟑𝟑. 2 (𝑥𝑥 − 5)2 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 25

25 8 5 5 4 2 5 4 𝟒𝟒. 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 = � 𝑚𝑚 � − (𝑛𝑛2 )2 = � 𝑚𝑚4 − 𝑛𝑛2 � � 𝑚𝑚4 + 𝑛𝑛2 �. 49 7 7 7

(𝑥𝑥 − 2)2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = = . 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 3 − 8 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4

33.39. Доведіть тотожність:

𝑎𝑎 − 8 2𝑎𝑎 12𝑎𝑎 𝑎𝑎 − 2 + = −𝑎𝑎; �: 𝑎𝑎 − 6 𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎 + 36 36 − 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 − 6 𝑎𝑎 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 2𝑎𝑎 a) − 2 = − = 𝑎𝑎 − 6 𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎 + 36 𝑎𝑎 − 6 (𝑎𝑎 − 6)2 �

𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 6) − 2𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 8) = = = ; = (𝑎𝑎 − 6)2 (𝑎𝑎 − 6)2 (𝑎𝑎 − 6)2 (𝑎𝑎 − 6)2

в)

𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 8) 𝑎𝑎 − 8 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 8) (6 − 𝑎𝑎)(6 + 𝑎𝑎) : = ⋅ = (𝑎𝑎 − 6)2 36 − 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 6)2 𝑎𝑎 − 8

𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 8) ⋅ (6 − 𝑎𝑎)(6 + 𝑎𝑎) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 6) = ; 6 − 𝑎𝑎 (6 − 𝑎𝑎)2 ⋅ (𝑎𝑎 − 8)

б)

𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 6) 12𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 6) − 12𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 6) 12𝑎𝑎 + = − = = 𝑎𝑎 − 6 6 − 𝑎𝑎 6 − 𝑎𝑎 6 − 𝑎𝑎 6 − 𝑎𝑎

𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 6) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 6) = = = =− = −𝑎𝑎. 6 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 − 6 6 − 𝑎𝑎 6 − 𝑎𝑎

33.40. Побудуйте графік функції

Якщо 𝑥𝑥 ≤ 0, то 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 2 = 3𝑥𝑥 + |𝑥𝑥| = 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥. D(𝑦𝑦) = {𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 0}. x

–1

–2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

33.41. Розкладіть на прості множники число: 1. 18 = 2 · 9 = 2 · 32 ; 2. 72 = 8 · 9 = 23 · 32 ; 3. 175 = 5 · 35 = 5 · 5 · 7 = 52 · 7; 4. 448 = 4 · 112 = 4 · 4 · 28 = 4 · 4 · 4 · 7 = 22 · 22 · 22 · 7 = 26 · 7. 33.42. Спростіть вираз: 1. 2𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎; 2. 7𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 = 6𝑏𝑏; 3. 5𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 7𝑚𝑚 = 6𝑚𝑚 − 7𝑚𝑚 = −𝑚𝑚.

33.43. Подайте вираз у вигляді многочлена:

1. 𝑎𝑎(3𝑎𝑎 − 4) = 3𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎; 2. (𝑏𝑏 − 3)(𝑏𝑏 + 2) = 𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 − 3𝑏𝑏 − 6 = 𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 − 6.

33.44. 1) Під час чищення зубів ми часто користуємося постійним потоком води з крана замість того, щоб набрати воду в індивідуальний стакан. Це призводить до марних витрат майже 4 л води щохвилини. Скільки літрів води може заощадити за тиждень родина з 4 осіб, якщо всі вони чистять зуби двічі на день протягом 3 хвилин? 2) Проєктна діяльність. Дізнайтеся тариф на 1 м3 води у вашій місцевості. Обчисліть, скільки коштів може заощадити така родина протягом місяця за умови правильного використання води під час чищення зубів.

1. 1) 3 хв · 2 · 4 = 24 (хв) — часу витрачає сім’я за 1 день; 2) 24 · 7 = 168 (хв) — часу витрачає сім’я за тиждень; 3) 168 · 4 = 672 (л) — може заощадити сім’я за тиждень. Відповідь: сім’я за тиждень може заощадити 672 л води. 2. 1) 3 хв · 2 · 4 = 24 (хв) — часу витрачає сім’я за 1 день; 2) 24 · 30 = 720 (хв) — часу витрачає сім’я за місяць; 3) 720 · 4 = 2880 (л) — може заощадити сім’я за місяць. Тариф — 31,2 грн/м³ або 31,2 грн за 1000 л.

4) 2880 : 1000 · 31,2 = 2,88 · 31,2 = 89,86 (грн) — заощадити.

Відповідь: родина протягом місяця може заощадити 89,86 грн.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

33.45. (Зовнішнє незалежне оцінювання, 2012 р.) Батьки разом із двома дітьми, Ясею (4 роки) та Тарасом (7 років), збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше ніж три атракціони і кожний атракці он – лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паровозик» Тарас не піде. Для відвідування будь-якого атракціону потрібно купити квиток для кожної дитини. Скориставшись таблицею, визначте максимальну суму коштів (у грн), яку витратять батьки на придбання квитків для дітей

la. in.

Назва атракціону Вартість квитка для однієї дитини, грн «Веселі гірки» 17 «Паровозик» 16 «Електричні машинки» 20 «Карусель» 12 «Батут» 15 «Дитяча риболовля» 8 «Лебеді» 13

Яся може відвідати наступні атракціони: «Паровозик» – 16 грн, «Батут» – 15 грн та «Лебеді» – 13 грн. Тарас може відвідати наступні атракціони: «Електронні машинки» – 20 грн, «Веселі гірки» – 17 грн, «Батут» – 15 грн. Отже, максимальна сума коштів, яку витратять батьки на придбання квитків для дітей, становитиме 16 + 15 + 13 + 20 + 17 + 15 = (13 + 17) + (15 + 15 + 20) + 16 = 30 + 50 + 16 = 80 + 16 = 96(грн). Відповідь: 96 грн. § 34. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені 34.1. (Усно.) Виконайте дії:

1. 5√2 + 4√2 = 9√2; 2. 7√3 − 2√3 = 5√3; 3. 3√7 + √7 = 4√7; 4. 2√5 − 3√5 = −√5. 34.2. Виконайте дії:

1. 7√11 + 2√11 = 9√11; 2. 5√2 − 3√2 = 2√2; 3. √3 + 6√3 = 7√3; 4. 3√7 − √7 = 2√7. 34.3. Подайте у вигляді кореня: 1. √2 ⋅ √5 = √10; 𝟐𝟐.

√7

=�

7 ; 11

√11 3. √3 ⋅ √𝑏𝑏 = √3𝑏𝑏;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟒𝟒.

√13 √𝑎𝑎

=�

13 . 𝑎𝑎

𝟏𝟏. √3 ⋅ √7 = √21;

√2

√13

=�

2 ; 13

𝟑𝟑. √5 ⋅ √𝑎𝑎 = √5𝑎𝑎; √17

=�

la. in.

17 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 34.5. Винесіть множник з-під знака кореня: 4.

34.4. Подайте у вигляді кореня:

1. √8 = √4 ⋅ 2 = √4 ⋅ √2 = 2√2;

2. √63 = √9 ⋅ 7 = √9 ⋅ √7 = 3√7;

3. √250 = √25 ⋅ 10 = √25 ⋅ √10 = 5√10; 4. √363 = √121 ⋅ 3 = √121 ⋅ √3 = 11√3; 5. √32 ⋅ 19 = √32 ⋅ √19 = 3√19;

6. √24 ⋅ 7 = �(22 )2 ⋅ √7 = 22 ⋅ √7 = 4√7;

7. √52 ⋅ 73 = √52 ⋅ 72 ⋅ 7 = �(5 ⋅ 7)2 ⋅ 7 = √352 ⋅ √7 = 35√7;

8. √53 ⋅ 25 = √5 ⋅ 52 ⋅ 24 ⋅ 2 ⋅ �52 ⋅ (22 )2 ⋅ 10 = �(4 ⋅ 5)2 ⋅ 10 = √202 ⋅ √10 = 20√10. 34.6. Винесіть множник з-під знака кореня: 1. √20 = √4 ⋅ 5 = √4 ⋅ √5 = 2√5;

2. √50 = √25 ⋅ 2 = √25 ⋅ √2 = 5√2; 3. √27 = √9 ⋅ 3 = √9 ⋅ √3 = 3√3;

4. √192 = √64 ⋅ 3 = √64 ⋅ √3 = 8√3; 5. √52 ⋅ 17 = √52 ⋅ √17 = 5√17;

6. √34 ⋅ 2 = √34 ⋅ √2 = 32 √2 = 9√2;

7. √72 ⋅ 23 = √72 ⋅ 22 ⋅ 2 = �(7 ⋅ 2)2 ⋅ 2 = √142 ⋅ √2 = 14√2; 8. √35 ⋅ 53 = √3 ⋅ 34 ⋅ 52 ⋅ 5 = �52 ⋅ (32 )2 ⋅ 15 = = �(5 ⋅ 9)2 ⋅ 15 = √452 ⋅ √15 = 45√15.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

34.7. Винесіть множник з-під знака кореня і спростіть отриманий вираз: 1 1 1 1 √28 = √4 ⋅ 7 = √4 ⋅ √7 = ⋅ 2√7 = √7; 2 2 2 2 3 3 3 𝟐𝟐. − √500 = − √100 ⋅ √5 = − ⋅ 10√5 = −6√5; 5 5 5 𝟑𝟑. 1,2√75 = 1,2√25 ⋅ 3 = 1,2 ⋅ 5√3 = 6√3;

𝟏𝟏.

𝟒𝟒. − 1,25√48 = −1,25√16 ⋅ 3 = −1,25 ⋅ 4√3 = −5√3.

34.8. Винесіть множник з-під знака кореня і спростіть отриманий вираз: 𝟏𝟏. 0,5√44 = 0,5√4 ⋅ √11 = 0,5 ⋅ 2√11 = √11;

la. in.

2 2 2 𝟐𝟐. − √125 = − √25 ⋅ 5 = − ⋅ 5√5 = −2√5; 5 5 5

𝟑𝟑. 0,7√300 = 0,7√100 ⋅ √3 = 0,7 ⋅ 10√3 = 7√3;

𝟒𝟒. − 1,5√112 = −1,5√16 ⋅ 7 = −1,5 ⋅ 4√7 = −6√7. 34.9. Внесіть множник під знак кореня: 1. 3√2 = √32 ⋅ √2 = √9 ⋅ 2 = √18;

2. 7√5 = √72 ⋅ √5 = √49 ⋅ √5 = √245;

3. −2√3 = −√22 ⋅ √3 = −√4 ⋅ 3 = −√12;

4. −5√10 = −√52 ⋅ √10 = −√25 ⋅ 10 = −√250; 5. 10√𝑚𝑚 = √102 ⋅ √𝑚𝑚 = √100𝑚𝑚;

1 1 2 8𝑥𝑥 𝟔𝟔. √8𝑥𝑥 = �� ⋅ √8𝑥𝑥 = � = √2𝑥𝑥; 2 2 4

𝟕𝟕. − 0,1√10𝑎𝑎 = −�

1 10𝑎𝑎 𝑎𝑎 ⋅ √10𝑎𝑎 = −� = −� = −�0,1𝑎𝑎; 100 100 10

1 49𝑐𝑐 1 = √7𝑐𝑐. 𝟖𝟖. 7� 𝑐𝑐 = �72 ⋅ � 𝑐𝑐 = � 7 7 7 34.10. Внесіть множник під знак кореня: 1. 4√3 = √42 ⋅ √3 = √16 ⋅ 3 = √48;

2. 2√11 = √22 ⋅ √11 = √4 ⋅ 11 = √44;

3. −3√5 = −√32 ⋅ √5 = −√9 ⋅ 5 = −√45;

4. −7√2 = −√72 ⋅ √2 = −√49 ⋅ 2 = −√98; 5. 5�𝑝𝑝 = √52 ⋅ �𝑝𝑝 = �25𝑝𝑝;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟔𝟔.

1 1 18𝑥𝑥 = √2𝑥𝑥; √18𝑥𝑥 = � ⋅ √18𝑥𝑥 = � 3 9 9

1 1 36𝑦𝑦 𝟖𝟖. 6� 𝑦𝑦 = �62 ⋅ � 𝑦𝑦 = � = �6𝑦𝑦. 6 6 6

34.11. Спростіть вираз:

1 2 1 10t 2t 𝟕𝟕. − 0,2√10t = −�� ⋅ √10t = −� ⋅ 10t = −� = −� = −�0,4t; 5 25 25 5

1. √25𝑥𝑥 + √49𝑥𝑥 − √36𝑥𝑥 = 5√𝑥𝑥 + 7√𝑥𝑥 − 6√𝑥𝑥 = 6√𝑥𝑥;

la. in.

2. √18 + √32 + √50 = √9 ⋅ 2 − √16 ⋅ 2 + √25 ⋅ 2 = 3√2 − 4√2 + 5√2 = 4√2; 1 1 𝟑𝟑. √8𝑎𝑎 + √200𝑎𝑎 − √50𝑎𝑎 = √4 ⋅ 2𝑎𝑎 + · √100 ⋅ 2𝑎𝑎 − √25 ⋅ 2𝑎𝑎 = 2 2 1 = 2√2𝑎𝑎 + · 10√2𝑎𝑎 − 5√2𝑎𝑎 = 2√2𝑎𝑎 + 5√2𝑎𝑎 = −5√2𝑎𝑎 = 2√2𝑎𝑎; 2

4. √3𝑚𝑚 − �𝑝𝑝 + √12𝑚𝑚 = √3𝑚𝑚 − �𝑝𝑝 + √4 ⋅ 3𝑚𝑚 = √3𝑚𝑚 − �𝑝𝑝 + 2√3𝑚𝑚 = 3√3𝑚𝑚 − �𝑝𝑝. 34.12. Спростіть вираз:

1. √100𝑎𝑎 + √64𝑎𝑎 − √121𝑎𝑎 = 10√𝑎𝑎 + 8√𝑎𝑎 − 11√𝑎𝑎 = 7√𝑎𝑎;

2. √48 − √27 + √75 = √16 ⋅ 3 − √9 ⋅ 3 + √25 ⋅ 3 = 4√3 − 3√3 + 5√3 = 6√3;

1 1 𝟑𝟑. √5𝑏𝑏 − √20𝑏𝑏 + √500𝑏𝑏 = √5𝑏𝑏 − √4 ⋅ 5𝑏𝑏 + √100 ⋅ 5𝑏𝑏 = 2 2 1 = √5𝑏𝑏 − ⋅ 2√5𝑏𝑏 + 10√5𝑏𝑏 = √5𝑏𝑏 − √5𝑏𝑏 + 10√5𝑏𝑏 = 10√5𝑏𝑏; 2

4. √7𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 + √63𝑎𝑎 = √7𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 + √9 ⋅ 7𝑎𝑎 = √7𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 + 3√7𝑎𝑎 = 4√7𝑎𝑎 + √𝑏𝑏. 34.13. Виконайте множення:

1. √2�√8 − √72� = √2�√8 − √8 ⋅ 9� = √2�√8 − 3√8� = = −2√8 ⋅ √2 = −2√16 = −2 ⋅ 4 = −8;

2. �2√3 − √27 + √48�√3 = �2√3 − √3 ⋅ 9 + √16 ⋅ 3�√3 =

= (2√3 − 3√3 + 4√3)√3 = √3 ⋅ 3√3 = 3(√3)2 = 3 ⋅ 3 = 9;

3. (2 + √3)(1 − √3) = 2 − 2√3 + √3 − (√3)2 = 2 − √3 − 3 = −1 − √3;

4. (3 − √5)(1 + √5) = 3 + 3√5 − √5 − (√5)2 = 3 + 2√5 − 5 = −2 + 2√5. 34.14. Виконайте множення:

1. √5(√5 + √20) = √5(√5 + √4 ⋅ 5) = √5(√5 + 2√5) = √5 ⋅ 3√5 = 3 ⋅ 5 = 15;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. �5√2 − √18 + √50�√2 = √2�5√2 − √9 ⋅ 2 + √25 ⋅ 2� =

= √2(5√2 − 3√2 + 5√2) = √2 ⋅ 7√2 = 7 ⋅ (√2)2 = 7 ⋅ 2 = 14; 3. (1 − √2)(3 + √2) = 3 + √2 − 3√2 − 2 = 1 − 2√2;

4. (2 + √7)(1 − √7) = 2 − 2√7 + √7 − 7 = −5 − √7.

34.15. Спростіть вираз, використовуючи формули скороченого множення: 1. (√11 + √7)(√11 − √7) = (√11)2 −(√7)2 = 11 − 7 = 4; 2. (2 − √3)(2 + √3) = 22 − (√3)2 = 4 − 3 = 1;

3. (2√3 − √5)(2√3 + √5) = (2√3)2 −(√5)2 = 4 ⋅ 3 − 5 = 12 − 5 = 7;

la. in.

4. (√2 + √7)2 − 9 = 2 + 2√2 ⋅ √7 + 7 − 9 = 2√14; 5. (√2 − √3)2 + 2√6 = 2 − 2√6 + 3 + 2√6 = 5;

6. (√3 − √27)2 = (√3 − √3 ⋅ 9)2 = (√3 − 3√3)2 = (−2√3)2 = 4 ⋅ 3 = 12. 34.16. Спростіть вираз, використовуючи формули скороченого множення 1. (√19 + √3)(√19 − √3) = (√19)2 − (√3)2 = 19 − 3 = 16; 2. (3 − √2)(3 + √2) = 32 − (√2)2 = 9 − 2 = 7;

3. (4√3 − √19)(4√3 + √19) = (4√3)2 − (√19)2 = 16 ⋅ 3 − 19 = 48 − 19 = 29; 4. (√3 − √5)2 − 8 = 3 − 2√15 + 5 − 8 = −2√15;

5. (√5 + √2)2 − 2√10 = 5 + 2√10 + 2 − 2√10 = 7;

6. (√50 − √2)2 = (√25 ⋅ 2 − √2)2 = (5√2 − √2)2 = (4√2)2 = 16 ⋅ 2 = 32.

34.17. Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці квадратів: 1. 𝑥𝑥 2 − 3 = 𝑥𝑥 2 − (√3)2 = (𝑥𝑥 − √3)(𝑥𝑥 + √3);

2. 17 − 𝑎𝑎2 = (√17)2 − 𝑎𝑎2 = (√17 − 𝑎𝑎) · (√17 + 𝑎𝑎);

3. 4𝑎𝑎2 − 5 = (2𝑎𝑎)2 − (√5)2 = (2𝑎𝑎 − √5) · (2𝑎𝑎 + √5); 4. 1 − 2𝑥𝑥 2 = 12 − (√2𝑥𝑥)2 = (1 − √2𝑥𝑥) · (1 + √2𝑥𝑥);

5. якщо 𝑎𝑎 ≥ 0, то 𝑎𝑎 − 9 = (√𝑎𝑎)2 − 32 = (√𝑎𝑎 − 3)(√𝑎𝑎 + 3);

6. якщо 𝑏𝑏 ≥ 0, 𝑐𝑐 ≥ 0, то 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = (√𝑏𝑏)2 − (√𝑐𝑐)2 = (√𝑏𝑏 − √𝑐𝑐)(√𝑏𝑏 + √𝑐𝑐).

34.18. Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці квадратів: 1. 5 − 𝑥𝑥 2 = (√5)2 − 𝑥𝑥 2 = (√5 − 𝑥𝑥)(√5 + 𝑥𝑥);

2. 9𝑚𝑚2 − 7 = (3𝑚𝑚)2 − (√7)2 = (3𝑚𝑚 − √7) · (3𝑚𝑚 + √7); 3. 16 − 3𝑏𝑏 2 = 42 − (√3𝑏𝑏)2 = (4 − √3𝑏𝑏) · (4 + √3𝑏𝑏);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. якщо 𝑏𝑏 ≥ 0, то 𝑏𝑏 − 2 = (√𝑏𝑏)2 − (√2)2 = (√𝑏𝑏 − √2) · (√𝑏𝑏 + √2). 34.19. Скоротіть дріб:

𝟑𝟑.

𝟒𝟒.

𝑥𝑥 + √5

𝟐𝟐.

𝟑𝟑.

𝟒𝟒.

𝑥𝑥 + √5

= 𝑥𝑥 − √5;

7 − √𝑎𝑎 7 − √𝑎𝑎 7 − √𝑎𝑎 1 = 2 = = ; 49 − 𝑎𝑎 7 − (√𝑎𝑎)2 (7 − √𝑎𝑎)(7 + √𝑎𝑎) 7 + √𝑎𝑎 √2 − 2 √2

2 √3 + 3 5 √3

√2 − (√2)2

√2

2√3 + (√3)2 5 √3

34.20. Скоротіть дріб: 𝟏𝟏.

(𝑥𝑥 − √5)(𝑥𝑥 + √5)

𝟐𝟐.

𝑥𝑥 + √5

𝑥𝑥 2 − (√5)2

𝑎𝑎2 − 3

𝑎𝑎 − √3

√2(1 − √2) =

√2

= 1 − √2;

√3(2 + √3)

2 + √3 . 5

la. in.

𝟏𝟏.

𝑥𝑥 2 − 5

𝑎𝑎2 − (√3)2 𝑎𝑎 − √3

5 √3

(𝑎𝑎 − √3)(𝑎𝑎 + √3) 𝑎𝑎 − √3

= 𝑎𝑎 + √3;

5 + √𝑏𝑏 5 + √𝑏𝑏 5 + √𝑏𝑏 1 = = = ; 25 − 𝑏𝑏 52 − (√𝑏𝑏)2 (5 − √𝑏𝑏)(5 + √𝑏𝑏) 5 − √𝑏𝑏 √5 + 5 √5

7√2 − 2 3√2

√5 + (√5)2

√5

7√2 − (√2)2 3√2

√5(1 + √5) =

√5

= 1 + √5;

√2(7 − √2) 3√2

7 − √2 . 3

𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

√3 10

√5 𝑚𝑚

√𝑛𝑛

= =

2 √3

√3 ⋅ √3 10√5

√5 ⋅ √5 𝑚𝑚√𝑛𝑛

√𝑛𝑛 ⋅ √𝑛𝑛

= =

2 √3 ; 3

10√5 = 2√5; 5 𝑚𝑚√𝑛𝑛

= (√𝑛𝑛)2

𝑚𝑚√𝑛𝑛 ; 𝑛𝑛

𝟑𝟑.

34.21. Позбудьтеся ірраціональності в знаменнику дробу:

𝟒𝟒.

5 √3

6 √3

5 √3 ⋅ √3

6 √3 2 √3 = . 5⋅3 5

34.22. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 𝟏𝟏.

√2

5√2

√2 ⋅ √2

5√2 ; 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟑𝟑.

𝟒𝟒.

√3 𝑎𝑎

√𝑏𝑏 8

3√2

9 √3

√3 ⋅ √3 𝑎𝑎√𝑏𝑏

√𝑏𝑏 ⋅ √𝑏𝑏

8√2

3√2 ⋅ √2

9 √3 = 3√3; 3 𝑎𝑎√𝑏𝑏

(√𝑏𝑏)2 =

𝑎𝑎√𝑏𝑏 ; 𝑏𝑏

8√2 4√2 = . 3⋅2 3

34.23. Винесіть множник з-під знака кореня: 1. Якщо 𝑚𝑚 ≥ 0, то 2. ОДЗ 𝑏𝑏 ≥ 0.

la. in.

√13𝑚𝑚2 = √13 ⋅ √𝑚𝑚2 = √13 ⋅ |𝑚𝑚| = 𝑚𝑚√13;

𝟐𝟐.

√𝑏𝑏 3 = √𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏 2 = √𝑏𝑏 ⋅ √𝑏𝑏 2 = |𝑏𝑏|√𝑏𝑏 = 𝑏𝑏√𝑏𝑏; 3. Якщо 𝑎𝑎 < 0, то

√7𝑎𝑎6 = √7 ⋅ �(𝑎𝑎3 )2 = |𝑎𝑎3 | ⋅ √7 = −𝑎𝑎3 √7; 4. ОДЗ 𝑥𝑥 ≥ 0.

√16𝑥𝑥 7 = √16𝑥𝑥 2 = √16 ⋅ √𝑥𝑥 7 = 4√𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 6 = 4√𝑥𝑥 ⋅ �(𝑥𝑥 3 )2 = 4|𝑥𝑥 3 |√𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 3 √𝑥𝑥. 34.24. Винесіть множник з-під знака кореня:

1. Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то √11𝑥𝑥 2 = √11 ⋅ √𝑥𝑥 2 = |𝑥𝑥|√11 = 𝑥𝑥√11; 2. ОДЗ 𝑐𝑐 ≥ 0.

√𝑐𝑐 5 = √𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐 4 = �𝑐𝑐 ⋅ (𝑐𝑐 2 )2 = 𝑐𝑐 ⋅ �(𝑐𝑐 2 )2 = |𝑐𝑐 2 |√𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 2 √𝑐𝑐; 3. Якщо 𝑝𝑝 < 0, то

�2𝑝𝑝10 = √2 ⋅ �(𝑝𝑝5 )2 = |𝑝𝑝5 |√2 = −𝑝𝑝5 √2 4. ОДЗ 𝑚𝑚 ≥ 0.

√36𝑚𝑚11 = √36 ⋅ 𝑚𝑚10 ⋅ 𝑚𝑚 = 6√𝑚𝑚 ⋅ �(𝑚𝑚5 )2 = 6√𝑚𝑚 ⋅ |𝑚𝑚5 | = 6𝑚𝑚5 √𝑚𝑚. 34.25. Внесіть множник під знак кореня: 1. Якщо a ≥ 0, то 𝑎𝑎√2 = √𝑎𝑎2 √2 = √2𝑎𝑎2 ; 2. Якщо 𝑏𝑏 < 0, то

𝑏𝑏 3 √5 = −�(𝑏𝑏 3 )2 ⋅ √5 = −√5𝑏𝑏 6 ; 3. ОДЗ 𝑏𝑏 > 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3 3 3𝑏𝑏2 2 � � � 𝑏𝑏 = �𝑏𝑏 ⋅ = = √3𝑏𝑏; 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏

4. ОДЗ 𝑥𝑥 ≤ 0.

34.26. Внесіть множник під знак кореня: 1. Якщо 𝑏𝑏 ≥ 0, то

𝑥𝑥 3 √−𝑥𝑥 = −�(𝑥𝑥 3 )2 ⋅ √−𝑥𝑥 = −�𝑥𝑥 6 ⋅ (−𝑥𝑥) = −√−𝑥𝑥 7 . 𝑏𝑏√3 = √𝑏𝑏 2 √3 = √3𝑏𝑏 2 ; 2. Якщо 𝑐𝑐 < 0, то 𝑐𝑐 5 √7 = −�(𝑐𝑐 5 )2 √7 = −√7𝑐𝑐10 ; 3. ОДЗ 𝑥𝑥 > 0.

la. in.

5𝑥𝑥 4 5 5 2 2 � � = �(𝑥𝑥 ) = = �5𝑥𝑥 3 ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 4. ОДЗ 𝑦𝑦 ≤ 0. 𝑦𝑦�−𝑦𝑦 = −�𝑦𝑦 2 �−𝑦𝑦 = −�−𝑦𝑦 3 . 2�

34.27. Спростіть вираз: 1. (√2 − 3√5)2 + √360 = 2 − 6√10 + 45 + √36 ⋅ 10 = 47 − 6√10 + 6√10 = 47; 2. (3√2 + 7√3)2 − √150 = 18 + 42√6 + 147 − √25 ⋅ 6 = = 165 + 42√6 − 5√6 = 165 + 37√6; 3. (2√3 − 3√2)2 − (2√3 − 3√2)(2√3 + 3√2) = = 4 ∙ 3 − 12√6 + 9 ∙ 2 – �(2√3)2 − (3√2)2 � = = 12 − 12√6 + 18 − 12 + 18 = 36 − 12√6. 34.28. Розкладіть на множники:

1. √𝑎𝑎 − √3𝑎𝑎 = √𝑎𝑎 − √3 ⋅ √𝑎𝑎 = √𝑎𝑎(1 − √3); 2. �7𝑝𝑝 + �4𝑝𝑝 = √7 ⋅ �𝑝𝑝 + 2�𝑝𝑝 = �𝑝𝑝(√7 + 2); 3. √21 + √7 = √3 ⋅ 7 + √7 = √7(√3 + 1); 4. √6 − √10 = √2 ⋅ 3 − √2 ⋅ 5 = √2(√3 − √5); 5. 2√𝑚𝑚 − √6𝑚𝑚 = √𝑚𝑚(√2 − √6); 6. √5𝑥𝑥 − √10𝑥𝑥 = √5 ⋅ (√𝑥𝑥)2 − √2 ⋅ 5𝑥𝑥 = √5𝑥𝑥(√𝑥𝑥 − √2). 34.29. Розкладіть на множники:

1. �𝑝𝑝 + �2𝑝𝑝 = �𝑝𝑝(1 + √2); 2. √42 − √6 = √6 ⋅ 7 − √6 = √6(√7 − 1); 3. 3√𝑎𝑎 + √6𝑎𝑎 = (√3)2 √𝑎𝑎 + √2 ⋅ 3(√𝑎𝑎)2 = √3𝑎𝑎(√3 + √2𝑎𝑎). 34.30. Скоротіть дріб:

𝑥𝑥 + 6√𝑥𝑥 (√𝑥𝑥)2 + 6√𝑥𝑥 √𝑥𝑥(√𝑥𝑥 + 6) √𝑥𝑥 = = = ; 1. 𝑥𝑥 − 36 (√𝑥𝑥 − 6)(√𝑥𝑥 + 6) √𝑥𝑥 − 6 (√𝑥𝑥)2 − 62  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑎𝑎 + 6√𝑎𝑎√𝑏𝑏 + 9𝑏𝑏 (√𝑎𝑎)2 + 6√𝑎𝑎√𝑏𝑏 + (3√𝑏𝑏)2 (√𝑎𝑎 + 3√𝑏𝑏)2 √𝑎𝑎 + 3√𝑏𝑏 𝟐𝟐. = = = ; 𝑎𝑎 − 9𝑏𝑏 (√𝑎𝑎)2 − (3√𝑏𝑏)2 (√𝑎𝑎 − 3√𝑏𝑏)(√𝑎𝑎 + 3√𝑏𝑏) √𝑎𝑎 − 3√𝑏𝑏 2 − √10

√2 ⋅ 5 − (√5)2

(√2)2 − √2 ⋅ 5

34.31. Скоротіть дріб: 𝟏𝟏.

𝑎𝑎 − 25

𝑎𝑎 − 5√𝑎𝑎

(√𝑎𝑎)2 − 52

(√𝑎𝑎)2 − 5√𝑎𝑎

√5(√2 − √5)

√2(√2 − √5)

5 = � = �2,5. 2 √2

√5

𝟑𝟑.

√10 − 5

(√𝑎𝑎 − 5)(√𝑎𝑎 + 5) √𝑎𝑎(√𝑎𝑎 − 5)

√𝑎𝑎 + 5 ; √𝑎𝑎

𝟑𝟑.

11 + √22 √22 + 2

la. in.

𝑥𝑥 − 4√𝑥𝑥 �𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦 (√𝑥𝑥)2 − 4√𝑥𝑥 �𝑦𝑦 + (2�𝑦𝑦)2 (𝑥𝑥 − 2�𝑦𝑦)2 √𝑥𝑥 − 2�𝑦𝑦 𝟐𝟐. = = = ; 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 (√𝑥𝑥)2 − (2�𝑦𝑦)2 (𝑥𝑥 − 2�𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2�𝑦𝑦) √𝑥𝑥 + 2�𝑦𝑦 (√11)2 + √11 ⋅ 2 √2 ⋅ 11 + (√2)2

√11(√11 + √2) √2(√11 + √2)

√11 √2

=�

34.32. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

𝟐𝟐. =

𝟑𝟑. =

√6 − 1 2

√11 + √7

15(√6 + 1)

(√6 − 1)(√6 + 1) =

15(√6 + 1)

2�√11 − √7�

(√6)2 − 1

�√11 + √7��√11 − √7�

3√2 − 2√3

3√2 + 2√3

�3√2 − 2√3��3√2 + 2√3�

3√2 + 2√3 3√2 + 2√3 = . 18 − 12 6

15(√6 + 1) = 3(√6 + 1); 5

(√11)2 − (√7)2

2(√11 − √7) 2(√11 − √7) √11 − √7 = = ; 11 − 7 4 2 1

2�√11 − √7�

𝟏𝟏.

11 = �5,5. 2

3√2 + 2√3

(3√2)2 − (2√3)2

34.33. Позбудьтеся ірраціональності в знаменнику дробу: 10

√3 + 1

10(√3 − 1)

(√3 + 1)(√3 − 1)

𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

𝟑𝟑. =

√15 − √3 1

5√2 − 2√5

10(√3 − 1) (√3)2 − 1

3 ∙ (√15 + √3)

(√15 − √3)(√15 + √3)

5√2 + 2√5

10(√3 − 1) 10(√3 − 1) = = 5(√3 − 1); 3−1 2

3 ∙ (√15 + √3)

(√15)2 − (√3)2

�5√2 − 2√5��5√2 + 2√5�

5√2 + 2√5 5√2 + 2√5 = . 50 − 20 30

5√2 + 2√5

3 ∙ (√15 + √3) √15 + √3 = ; 12 4

(5√2)2 − (2√5)2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

34.34. Обчисліть: 2

𝟏𝟏. ��3 − √5 − �3 + √5� = ��3 − √5� − 2��3 − √5��3 + √5� + ��3 + √5� =

= 𝟑𝟑. =

11 + 2√30

11 − 2√30

15�11 − 2√30 + 11 + 2√30�

165 − 30√30 + 165 + 30√30 112 − (2√30)2

√5 + √3

√5 − √3

�11 − 2√30��11 + 2√30� =

330 330 = = 330; 121 − 120 1

(√5 + √3)2 + (√5 − √3)2

la. in.

𝟐𝟐.

= 3 − √5 − 2�32 − (√5)2 + 3 + √5 = 6 − 2√9 − 5 = 6 − 2√4 = 6 − 2 · 2 = 6 − 4 = 2;

√5 + √3

�√5 − √3��√5 + √3�

5 + 2√15 + 3 + 5 − 2√15 + 3 (√5)2 − (√3)2 2

16 16 = = 8; 5−3 2

1 − √3 1 + √3 �1 − √3��1 − √3� �1 + √3��1 + √3� 𝟒𝟒. � � +� � =� � +� � = 1 + √3 1 − √3 �1 + √3��1 − √3� �1 − √3��1 + √3� 2

1 + 3 − 2 √3 1 + 3 + 2 √3 4 − 2 √3 4 + 2 √3 =� � +� � =� � +� � = 1−3 1−3 −2 −2

(4 − 2√3)2 + (4 + 2√3)2 16 − 16√3 + 12 + 16 + 16√3 + 12 56 = = = 14. = 4 4 4 34.35. Знайдіть:

𝟏𝟏. ��7 + 4√3 + �7 − 4√3� = 2

= ��7 + 4√3� + 2��7 − 4√3��7 + 4√3� + ��7 − 4√3� =

= 7 + 4√3 + 2√49 − 48 + 7 − 4√3 = 14 + 2√1 = 14 + 2 = 16; 3

sh 𝟐𝟐.

𝟑𝟑.

10 − 3√11 60

10 + 3√11

102 − (3√11)2 √7 + √6

√7 − √6

3�10 + 3√11 + 10 − 3√11� �10 − 3√11��10 + 3√11�

60 60 = = 60; 100 − 99 1

√7 − √6

√7 + √6

(√7 + √6)2 + (√7 − √6)2 �√7 − √6��√7 + √6�

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

7 + 2√42 + 6 + 7 − 2√42 + 6 (√7)2 − (√6)2 2

26 = 26; 7−6

1 + √5 1 − √5 �1 + √5��1 + √5� �1 − √5��1 − √5� 𝟒𝟒. � � +� � =� � +� � = 1 − √5 1 + √5 �1 − √5��1 + √5� �1 − √5��1 + √5� 2

1 + 5 + 2√5 1 + 5 − 2√5 6 + 2√5 6 − 2√5 =� � +� � =� � +� � = 1−5 1−5 −4 −4

(6 + 2√5)2 + (6 − 2√5)2 36 + 20 + 24√5 + 36 + 20 − 24√5 112 = = = = 7. 16 16 16

34.36. Обчисліть значення виразу: 2 2 2 + + +…+ √5 + √9

√9 + √13

√45 + √49

la. in.

√1 + √5

відтак дізнаєтеся, скільки разів футболіст Андрій Шевченко був володарем кубка України у складі команди «Динамо» (Київ). Раціоналізуємо кожен дріб: 2

√1 + √5 2

√5 + √9 2

= =

√9 + √13

�√5� − �√1� 2�√9 − √5� 2

�√9� − �√5�

2 = 2 =

2�√13 − √9� 2

�√13� − �√9�

2�√5 − √1� √5 − √1 = , 2 25 − 1 √9 − √5 , 2

2 =

2�√49 − √45�

√13 − √9 , 2

√49 − √45 . 2

…

2�√5 − √1�

√45 + √49

Складаємо:

2 = 2 �√49� − �√45�

√5 − √1 √9 − √5 √13 − √9 √49 − √45 + + + ⋯+ . 2 2 2 2 Всі середні члени скорочуються:

= −√1 + √5 − √5 + √9 − √9 + √13 + ⋯ + √49 − √45. Залишається:

1 6 1 �√49 − √1� = (7 − 1) = = 3. 2 2 2 Відповідь: 3.

Отже, Андрій Шевченко тричі ставав володарем Кубка України у складі «Динамо».  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

34.37. Спростіть вираз: 1 𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚 �√𝑚𝑚 + 1��√𝑚𝑚 − 1� √𝑚𝑚 + 1 : = · = 𝟏𝟏. 1 𝑚𝑚√𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 + √𝑚𝑚 𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚 �√𝑚𝑚 − 1��𝑚𝑚√𝑚𝑚 + (√𝑚𝑚)2 + √𝑚𝑚�

𝟐𝟐. =

√𝑚𝑚4 − √𝑚𝑚

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

√𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

−

2√𝑎𝑎

√𝑏𝑏(√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)

�(𝑚𝑚2 )2 − √𝑚𝑚 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 2√𝑎𝑎√𝑏𝑏

(𝑚𝑚 − 1)�𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚� √𝑎𝑎𝑎𝑎 − (√𝑏𝑏)2

−

√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏

(√𝑎𝑎)2 − 2√𝑎𝑎𝑎𝑎 + (√𝑏𝑏)2 √𝑏𝑏(√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)

= б) = 𝟒𝟒.

−

𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

√𝑏𝑏�√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏�

(√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)2

√𝑥𝑥

𝑥𝑥 − �(√𝑥𝑥)2 − (�𝑦𝑦)2 � √𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�

√𝑏𝑏(√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)

�√𝑥𝑥 � − �√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦��√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦� √𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�

𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�

𝑦𝑦�𝑦𝑦

�𝑦𝑦 ⋅ �𝑦𝑦(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

2√𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

𝑦𝑦�𝑦𝑦

√𝑏𝑏

𝑦𝑦(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)

√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏

2√𝑎𝑎�√𝑏𝑏 + √𝑎𝑎� 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 2√𝑎𝑎𝑎𝑎

2√𝑎𝑎�√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏�

34.38. Обчисліть:

= 𝑚𝑚 − 1;

−

2√𝑎𝑎

√𝑎𝑎 − √𝑏𝑏

√𝑏𝑏

𝑦𝑦

�𝑦𝑦

√𝑏𝑏

√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦

2�√𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎� =

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏

2√𝑎𝑎�√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏� 2

�√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏�

2√𝑎𝑎�√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏�

√𝑏𝑏 +

√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 . 2√𝑎𝑎

2163 (36 ⋅ 6)3 363 ⋅ 63 63 63 𝟏𝟏. = = = = = 6; 364 364 364 36 62 816 (34 )6 324 𝟐𝟐. = = = 1; 278 (33 )8 324

2�𝑎𝑎√𝑏𝑏

2√𝑎𝑎�√𝑎𝑎 + √𝑏𝑏�

 shkola.in.ua

;

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦�

𝑦𝑦 ⋅ √𝑥𝑥 𝑦𝑦 �𝑦𝑦 = = = √𝑥𝑥�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦� 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 ⋅ �𝑦𝑦�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦� �𝑦𝑦�√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦� 𝑦𝑦

√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦

а)

2√𝑎𝑎

𝑦𝑦 √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 𝟑𝟑. � − ; �:� = 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 √𝑥𝑥

(𝑚𝑚 − 1)�𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚�

la. in.

(𝑚𝑚 − 1)�𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚�

𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚 (𝑚𝑚 − 1) ⋅ �𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚� = · = = 3 − 1� 1 √𝑚𝑚�√𝑚𝑚 − 1��𝑚𝑚 + √𝑚𝑚 + 1� 𝑚𝑚�√𝑚𝑚 √ 𝑚𝑚 − 1

;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

28 ⋅ 138 (2 ⋅ 13)8 268 𝟒𝟒. = = 7 = 261 = 26. 7 7 26 26 26

34.39. Розв’яжіть рівняння 1 2𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥 + 1 − = ; 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥

1 2𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥 + 1 − − = 0; 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥

la. in.

(2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1) − 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)

48 ⋅ 16 (22 )8 ⋅ 24 216 ⋅ 24 220 𝟑𝟑. = = = 18 = 22 = 4; 3 6 3 18 (2 ) 64 2 2

−2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1 − 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 = 0; = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)

1 −2𝑥𝑥 − 1 = 0, −2𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = − , 2 𝑥𝑥 ≠ 0, � � 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1. 1 Відповідь: − . 2

34.40. Доведіть, що значення виразу √10𝑛𝑛 – 3 , де n ∈ N, не може бути натуральним числом. √10𝑛𝑛 − 3, де 𝑛𝑛 ∈ N.

Припустимо, що значення виразу √10𝑛𝑛 − 3 може бути натуральним числом, тоді √10𝑛𝑛 − 3 = 𝑘𝑘, де 𝑘𝑘 ∈ N. 10𝑛𝑛 − 3 = 𝑘𝑘 2 . При будь–якому натуральному 𝑛𝑛 число 10𝑛𝑛 – З закінчується цифрою 7, а ми знаємо, що квадрат натурального числа може закінчуватися лише цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9. Отже, рівність 10𝑛𝑛 − 3 = 𝑘𝑘 2 неможлива, тому значення виразу √10𝑛𝑛 − 3 не може бути натуральним числом. 34.41. Побудуйте графік функції y = x2, де x ≥ 0. Якою буде область значень цієї функції? 0

𝐸𝐸(𝑦𝑦) = {𝑦𝑦 : такі, що 𝑦𝑦 ≥ 0}.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

34.42. Використовуючи графік функції y = 2x, знайдіть: 1) значення y, що відповідає x = –3, x = 1; 2) значення x, що відповідає y = –2, y = 6; 3) два значення x, для яких значення функції більше за 3; менше від 3.

1. Якщо 𝑥𝑥 = −3, то 𝑦𝑦 = −6; якщо 𝑥𝑥 = 1, то 𝑦𝑦 = 2.

2. Якщо 𝑦𝑦 = −2, то 𝑥𝑥 = −1; якщо 𝑦𝑦 = 6, то 𝑥𝑥 = 3.

3. 𝑦𝑦 > 3 при 𝑥𝑥 > 1,5(𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 5); 𝑦𝑦 < 3 при 𝑥𝑥 < 1,5(𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 0).

34.43. Будівельна компанія хоче придбати 75 кубометрів пінобетону в одного з трьох постачальників. Ціни та умови доставки наведено в таблиці. Скільки коштуватиме найбільш дешевий варіант покупки?

Ціна піноблоку (грн за 1 м³) 1325

Вартість доставки (грн) 2200

1350

3000

1330

2000

Постачальник

 shkola.in.ua

Спеціальні умови Немає Для замовлень понад 75 тис. грн доставка безкоштовна Для замовлень від 80 м³ доставка безкоштовна

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 1325 · 75 + 2200 = 99375 + 2200 = 101 575 (грн) — у постачальника А; 2. 1350 · 75 = 101 250 (грн) — у постачальника Б; 3. 1330 · 75 + 2000 = 99 750 + 2000 = 101 750 (грн) — у постачальника В. Відповідь: найбільш дешевий варіант покупки у постачальника Б.

14𝑛𝑛 + 3

34.44. (Перша міжнародна математична олімпіада школярів, 1959 р.) Доведіть, що для 21𝑛𝑛 + 4 будь-якого натурального значення n дріб є нескоротним. За допомогою алгоритму Евкліда знайдемо НСД ( 21𝑛𝑛 + 4; 14𝑛𝑛 + 3 ).

la. in.

21𝑛𝑛 + 4 (14𝑥𝑥 + 3) + (7𝑛𝑛 + 1) 7𝑛𝑛 + 1 = =1+ ; 14𝑛𝑛 + 3 14𝑛𝑛 + 3 14𝑛𝑛 + 3 7𝑛𝑛 + 2 14𝑛𝑛 + 3 (7𝑛𝑛 + 1) + (7𝑛𝑛 + 2) = =1+ ; 7𝑛𝑛 + 1 7𝑛𝑛 + 1 7𝑛𝑛 + 1 1 7𝑛𝑛 + 2 (7𝑛𝑛 + 1) + 1 = =1+ . 7𝑛𝑛 + 1 7𝑛𝑛 + 1 7𝑛𝑛 + 1

Отже, НСД ( 21𝑛𝑛 + 4; 14𝑛𝑛 + 3 ) = НСД( 14𝑛𝑛 + 3; 7𝑛𝑛 + 1) = НСД (7𝑛𝑛 + 1) = 1.

Оскільки найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу дорівнює 1, то дріб нескоротний, що й треба було довести.

§ 35. Функція y = √x, її графік і властивості 35.1. Для функції y = √𝑥𝑥 знайдіть значення y, що відповідає значенню x = 9; 0; 81. Якщо 𝑥𝑥 = 9, то 𝑦𝑦 = √9 = 3; якщо 𝑥𝑥 = 0, то 𝑦𝑦 = √0 = 0;

якщо 𝑥𝑥 = 81, то 𝑦𝑦 = √81 = 9.

35.2. Для функції y = √𝑥𝑥 знайдіть значення y, що відповідає значенню x = 1; 4; 100. Якщо 𝑥𝑥 = 1, то 𝑦𝑦 = √1 = 1; якщо 𝑥𝑥 = 4, то 𝑦𝑦 = √4 = 2;

якщо 𝑥𝑥 = 100, то 𝑦𝑦 = √100 = 10.

35.3. Використовуючи графік функції y = √𝑥𝑥 , знайдіть: 1. Якщо 𝑥𝑥 = 1,5, то 𝑦𝑦 = 1,2; якщо 𝑥𝑥 = 3, то 𝑦𝑦 = 1,7; якщо 𝑥𝑥 = 4, то 𝑦𝑦 = 2; якщо 𝑥𝑥 = 6,5, то 𝑦𝑦 = 2,5; 2. якщо 𝑦𝑦 = 1, то 𝑥𝑥 = 1; якщо 𝑦𝑦 = 2,5, то 𝑥𝑥 = 6,3;

3. 𝑥𝑥1 = 5, 𝑥𝑥2 = 7; 𝑦𝑦(5) > 2, 𝑦𝑦(7) > 2; 𝑥𝑥3 = 1, 𝑥𝑥4 = 2; 𝑦𝑦(1) < 2, 𝑦𝑦(2) < 2. 35.4. За графіком функції знайдіть y = √𝑥𝑥 : 1. Якщо 𝑥𝑥 = 0,5, то 𝑦𝑦 = 0,7;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. якщо 𝑦𝑦 = 0,5, то 𝑥𝑥 = 0,3; якщо 𝑦𝑦 = 4, то 𝑥𝑥 = 16;

3. 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = 3; 𝑦𝑦(2) > 1, 𝑦𝑦(3) > 1; 𝑥𝑥3 = 0,3; 𝑥𝑥4 = 0,6; 𝑦𝑦(0,3) < 1, 𝑦𝑦(0,6) < 1.

якщо 𝑥𝑥 = 2, то 𝑦𝑦 = 1,4; якщо 𝑥𝑥 = 5,5, то 𝑦𝑦 = 2,3;

la. in.

35.5. Не будуючи графіка функції y = √𝑥𝑥 , визначте, через які з даних точок він проходить: 1. A(36; 4). Оскільки √36 = 6 ≠ 4, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку A не проходить. 2. B(4; 16). Оскільки √4 = 2 ≠ 16, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку B не проходить. 3. C(–4; 2). Оскільки вираз √−4 не має змісту, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку C не проходить. 4. D(0; 0). Оскільки √0 = 0, 0 = 0, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку D проходить. 5. M(1; –1). Оскільки √1 = 1 ≠ −1, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку M не проходить. 6. P(0,5; 0,25). Оскільки �0,5 = 0,7 ≠ 0,25, то графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 через точку P не проходить. 35.6. Чи належить графіку функції y = √𝑥𝑥 точка:

1. F(16; 6). Оскільки √16 = 4 ≠ 6, то точка F не належить графіку функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥. 2. K(–36; 6). Оскільки вираз √−36 не має змісту, то точка K не належить графіку функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥. 3. L(5; 25). Оскільки √5 ≠ 25, то точка L не належить графіку функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥. 4. N(0,9; 0,81). Оскільки √0,9 ≈ 0,95 ≠ 0,81, то точка N не належить графіку функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥. 35.7. Порівняйте числа:

1. 2√3 = √22 ⋅ √3 = √4 ⋅ 3 = √12. Оскільки √12 < √13, то 2√3 < √13; 2. 2√7 = √22 ⋅ √7 = √4 ⋅ 7 = √28. Оскільки √29 > √28, то √29 > 2√7;

3. 3√5 = √32 ⋅ √5 = √9 ⋅ 5 = √45; 2√10 = √22 ⋅ √10 = √4 ⋅ 10 = √40. Оскільки √45 > √40, то 3√5 > 2√10;

4. 4√3 = √42 ⋅ √3 = √16 ⋅ 3 = √48; 3√7 = √32 ⋅ √7 = √9 ⋅ 7 = √63. Оскільки √48 < √63, то 4√3 < 3√7. 35.8. Порівняйте значення виразів:

1. 5√2 = √52 ⋅ √2 = √25 ⋅ 2 = √50. Оскільки √50 < √51, то 5√2 < √51;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 7√3 = √72 ⋅ √3 = √49 ⋅ 3 = √147. Оскільки √146 < √147, то √146 < 7√3;

3. 2√5 = √22 ⋅ √5 = √4 ⋅ 5 = √20; 3√2 = √32 ⋅ √2 = √9 ⋅ 2 = √18. Оскільки √20 > √18, то 2√5 > 3√2; 4. 2√7 = √22 ⋅ √7 = √4 ⋅ 7 = √28; 3√3 = √32 ⋅ √3 = √9 ⋅ 3 = √27. Оскільки √28 > √27, то 2√7 > 3√3. 35.9. Порівняйте числа: 2 45 ⋅ 4 √45 = � = √20; 3 9

la. in.

𝟏𝟏.

84 1 √84 = � = √21. 4 2

Оскільки √20 < √21, то √45 < √84; 3 2

1 2 11 11 3 ; 𝟐𝟐. 0,2�1 = �� ⋅ � = � 5 8 25 ⋅ 8 8

11 2 2 11 4 ⋅ 11 11 � 0,4� = � � ⋅ � = � =� . 32 5 32 25 ⋅ 32 25 ⋅ 8 Оскільки �

25⋅8

=�

, то 0,2�1 = 0,4� .

25⋅8

35.10. Порівняйте числа:

3 3 2 9 ⋅ 48 𝟏𝟏. √48 = �� ⋅ √48 = � = √9 ⋅ 3 = √27; 4 4 16 3 2 3 75 ⋅ 9 � √75 = � � ⋅ √75 = � = √3 ⋅ 9 = √27. 5 5 25 3

Оскільки √27 = √27, то √48 = √75. 4 5

4 3 2 13 9 ⋅ 13 13 � � 𝟐𝟐. 0,3 1 = � � ⋅ � = � =� 9 10 9 100 ⋅ 9 100 1 2 7 1⋅7 7 3 =� . 0,2�1 = �� ⋅ � = � 5 4 25 ⋅ 4 100 4

Оскільки �

100

>�

100

, то 0,3�1 > 0,2�1 . 9

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4. Оскільки √0 = 0, √4 = 2, то 0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2. 2. 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥, 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 9. Оскільки √1 = 1, √9 = 3, то 1 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 3. 35.12. Розв’яжіть графічно рівняння

35.11. Знайдіть область значень функції y = √𝑥𝑥 , якщо:

√𝑥𝑥 = 6 − 𝑥𝑥. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 та 𝑦𝑦 = 6 − 𝑥𝑥. 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑦𝑦

6 0

𝑦𝑦 = 6

𝑦𝑦

la. in.

𝑥𝑥

A(4; 2) – точка перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 та 𝑦𝑦 = 6 − 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: 4.

35.13. Розв’яжіть графічно рівняння

3 − 2𝑥𝑥 = √𝑥𝑥. Для розв'язання рівняння побудуємо графіки функцій 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 i 𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥. 1

𝑦𝑦 = √𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑦𝑦

9 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 1.

la. in.

A(1; 1) – точка перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 та 𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 = 1. 35.14. Побудуйте графік функції:

𝑥𝑥 − 2, якщо 𝑥𝑥 < 4, 1. 𝑦𝑦 = � √𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 4. Графіком функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2 є пряма. x

2 0

𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑦𝑦 = √𝑥𝑥

𝟐𝟐. 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥 − 2√𝑥𝑥 √𝑥𝑥 − 2

(√𝑥𝑥)2 − 2√𝑥𝑥 √𝑥𝑥 − 2

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = {𝑥𝑥: 𝑥𝑥 ≥ 0, крім 4}.

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 − 2� = √𝑥𝑥, √𝑥𝑥 − 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

35.15. Побудуйте графік функції:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 x

–2

–1

0 0

𝑦𝑦

16 4

𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 𝑥𝑥

la. in.

𝑥𝑥 2 , якщо 𝑥𝑥 < 1, 𝟏𝟏. 𝑦𝑦 = � √𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1.

√𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 − (√𝑥𝑥)2 √𝑥𝑥�1 − √𝑥𝑥� = = = √𝑥𝑥. 𝟐𝟐. 𝑦𝑦 = 1 − √𝑥𝑥 1 − √𝑥𝑥 1 − √𝑥𝑥

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = {𝑥𝑥: 𝑥𝑥 > 0, крім 1}.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

35.16. Розв’яжіть рівняння: 2 4 2 2 2 𝟏𝟏. √𝑥𝑥 = ; (√𝑥𝑥) = � � ; 𝑥𝑥 = . 3 9 3 4 9

2. √𝑥𝑥 = −5.

Відповідь: рівняння розв’язків не має. 3. 𝑥𝑥 2 = 16; 𝑥𝑥1 = −4, 𝑥𝑥2 = 4.

Відповідь: −4; 4. 4. 𝑥𝑥 2 = −1. Відповідь: рівняння розв’язків не має.

la. in.

35.17. Винесіть множник з-під знака кореня:

Відповідь: .

1. √𝑐𝑐 5 = √𝑐𝑐 4 ⋅ 𝑐𝑐 = �(𝑐𝑐 2 )2 ⋅ 𝑐𝑐 = |𝑐𝑐 2 | ⋅ √𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 2 √𝑐𝑐; 2. якщо 𝑏𝑏 < 0, то √3𝑏𝑏10 = �3(𝑏𝑏 5 )2 = √3 ⋅ |𝑏𝑏 5 | = −𝑏𝑏 5 √3. 35.18. Знайдіть значення виразу 2

��9 + 4√5 + �9 − 4√5� =

= ��9 + 4√5)2 + 2��9 − 4√5��9 − 4√5� + (�9 − 4√5� =

= 9 + 4√5 + 2√81 − 80 + 9 − 4√5 = 18 + 2√81 − 80 =

= 18 + 2√1 = 18 + 2 = 20.

35.19. Оператор мобільного зв’язку пропонує для використання 4G-інтернету такі тарифні плани. Наталя передбачає, що її трафік становитиме 700 Мб на місяць, і з огляду на це вибирає найдешевший тарифний план. Скільки Наталя заплатить за місяць, якщо її трафік дійсно становитиме 700 Мб?

Тарифний план Абонентська плата Плата за трафік План «0» Немає 0,1 грн за 1 Мб План «500» 40 грн за 500 Мб трафіку на місяць 0,08 грн за 1 Мб понад 500 Мб План «1000» 70 грн за 1000 Мб трафіку на місяць 0,06 грн за 1 Мб понад 1000 Мб План «Безліміт» 100 грн – 1. 0,1 грн · 700 = 70 (грн) – тарифний план «0»; 2. 40 грн + 0,08 грн · (700 – 500) = 40 грн + 16 грн = 56 (грн) – план «500»; Відповідь: Наталя заплатить 56 грн за місяць по тарифному плану «500». 35.20. Обчисліть:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1973 1991 3 3 ⋅ 20 −6 ⋅4 + 1997 2000 2000 1997 400

Переходимо до суми цілого й дробу та трохи перетворимо дробові частини: 1973 27 1973 = 20 + = 21 − , 2000 2000 2000 1991 9 1991 =6+ =7− , 6 2000 2000 2000 1 1 = 13 + , 13 1997 1997 3 3 =4+ . 4 1997 1997

la. in.

Тоді

27 9 3 3 1 = � �21 − � − �7 − � �4 + �+ 2000 2000 1997 400 1997 3 27 1 9 3 3 1 = 21 �13 + = � − 7 �4 + �− �13 + �+ �4 + �+ 1997 2000 1997 2000 1997 400 1997

�13 +

= 7 �3 �13 +

3 9 3 1 3 1 = � − �4 + �� + ��4 + � − 3 �13 + �� + 1997 2000 1997 1997 400 1997

9 3 3 3 3 3 −4− − 39 − = �+ �4 + �+ 2000 1997 400 1997 1997 1997 9 3 315 3 = 7 ⋅ 35 + ⋅ (−35) + = 245 − + = 2000 400 2000 400 3 60 3 17 63 + = 245 − = 245 − = 244 . = 245 − 400 20 20 400 400

= 7 �39 +

Домашня самостійна робота 7 (§§ 29–35) 1. Для функції y = x знайдіть значення y, що відповідає значенню x = –3. 2

y = x2, якщо x = –3, то y(–3) = (–3)2 = 9. Відповідь: В. 9

2. Укажіть вираз, що не має змісту.

Єдиний вираз, що не має змісту (в дійсних числах), це: Б. √−4 — підкореневий вираз від’ємний. Усі інші мають зміст. Відповідь: Б. √−4

3. Укажіть число, що є ірраціональним. Ірраціональним є число:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Г. √5 (бо 5 не є повним квадратом, корінь з нього – нескінченний неперіодичний десятковий дріб). Відповідь: Г. √5

5 · �0,16 − 2�1

4. Обчисліть

9 5 5 25 = 5 · 0,4 − 2� = 2 − 2 · = 2 − = 2 − 2,5 = −0,5. 16 4 2 16

Відповідь: А. −0,5

5. Розв’яжіть рівняння x2 = 36.

6. Скоротіть дріб 2 √3 + 3

la. in.

x2 = 36; x1 = 6; x2 = –6. Відповідь: Б. −6; 6

2√3 + (√3)2

7 √3 7 √3 2+√3 Відповідь: В. 7

√3(2 + √3) 7 √3

1 = (2 + √3). 7

7. Укажіть нерівність, що є правильною. 2

А. √27 > √13 3

4 2 2 �� ⋅ 27 = � ⋅ 27 = √4 ⋅ 3 = √12 > √13 9 3 Неправильно, оскільки 12 < 13 1

Б. √48 < √108 2 9 2

��1� ⋅ 48 < ��1� ⋅ 108 1

� ⋅ 48 < � 4

108

⋅ 108

√12 < � 81

√12 < �

4 3

Неправильно, оскільки 12 > 1

В. 0,1√120 < √15 5

4 3

Перетворимо коефіцієнти: 0,1 =

, =

10 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

√120 < 10 √15

Помножимо обидві частини на 10: √120 < 2√15

√120 < √22 ⋅ 15 √120 < √4 ⋅ 15 √120 < √60

Неправильно, оскільки 120 > 60 2

Г. √125 > 0,2√300 5 2

√125 > 5 √300 5

= .

la. in.

Перетворимо коефіцієнт: 0,2 =

Помножимо обидві частини на 5: 2√125 > √300

√22 ⋅ 125 > √300 √4 ⋅ 125 > √300 √500 > √300

Правильно, оскільки 500 > 300 Відповідь: Г.

8. Розв’яжіть рівняння

𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 3� − 6 = 0; 3� = 6; � = 2; = 4; 𝑥𝑥 = 16. 4 4 4 4 Відповідь: Б.

9. Винесіть множник з-під знака кореня у виразі �7𝑎𝑎¹⁰, якщо відомо, що a < 0.

√7a10 = �7(a5 )2 = √7|a5 |, якщо a < 0, то −√7a5 = −a5 √7. Відповідь: А. 10. Спростіть вираз

�(√13 − 12)2 + �(√13 − 2)2 = �√13 − 12� + �√13 − 2� = �12 − √13 + √13 − 2� = 10.

Відповідь: В.

11. Укажіть усі такі значення a, для яких рівняння ax2 = –9 має два різних дійсних корені. 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 = −9; 𝑥𝑥 2 = −

9 має два кореня, якщо 𝑎𝑎 < 0. 𝑎𝑎

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: В. 12. Знайдіть значення виразу 2

��9 − 4√5 − �9 + 4√5� = ��9 − 4√5� − 2�9 − 4√5�9 + 4√5 + ��9 + 4√5� = = 9 − 4√5 − 2√81 − 80 + 9 + 4√5 = 18 − 2√1 = 18 − 2 = 16. Відповідь: Г.

13. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням (А–Г). Обчислимо вирази: 1. �√17 − √2��√17 + √2� = 17 − 2 = 15 2

la. in.

2. �√27 − √3� = �√27� − 2�27√3 + �√3� = 27 − 2 ⋅ 9 + 3 = 12 2

3. �√3 + √10� − 2√30 = 3 + 2√30 + 10 − 2√30 = 13 Відповідь: 1 – Г, 2 – А, 3 – Б.

Завдання для перевірки знань до §§ 29–35 1. Для функції y = x знайдіть значення y, яке відповідає значенню x = –4; 7. 2

Якщо 𝑥𝑥 = −4, то 𝑦𝑦 = (−4)2 = 16; Якщо 𝑥𝑥 = 7, то 𝑦𝑦 = 72 = 49.

2. Чи має зміст вираз: 1. √9 – має зміст (підкореневий вираз невід’ємний);

2. √−4 – не має змісту (у світі дійсних чисел не існує такого числа, яке при піднесенні до квадрата дало б -4); 3. √0 – має зміст (підкореневий вираз невід’ємний);

4. √3,7 – має зміст (підкореневий вираз невід’ємний). 4

3. Із чисел 2; 1 ; –8; √3 ; 5; 0; –√8 ; 2 випишіть: 5 3 1) натуральні числа;

2 ; 5;

2) цілі недодатні числа; −8; 0;

3) раціональні додатні числа; 4

2; 1 ; 5; 5

4) ірраціональні числа. √3; −√8.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. Обчисліть: 𝟏𝟏. �2

64 8 14 − 10�0,04 = � − 10 ⋅ 0,2 = − 2 = −0,4; 25 5 25

2. (−3√5)2 = (−3)2 ⋅ (√5)2 = 9 ⋅ 5 = 45; 3. √0,1 ⋅ √1,6 = √0,1 ⋅ 1,6 = √0,16 = 0,4; 𝟒𝟒.

√6

�1,5

=�

6 = √4 = 2. 1,5

5. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

3 9 3 2 𝟏𝟏. √𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = � � ; 𝑥𝑥 = . 4 16 4 2. √𝑥𝑥 = −1; рівняння не має розв’язків.

𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥 = √9; 𝑥𝑥 = −√9; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −3;

4. 𝑥𝑥 2 = −4. рівняння не має розв’язків. 6. Скоротіть дріб: 𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

𝑥𝑥 2 − 3

𝑥𝑥 + √3

4 √7 + 7 5 √7

𝑥𝑥 2 − (√3)2

𝑥𝑥 + √3

√7(4 + √7) 5 √7

(𝑥𝑥 − √3)(𝑥𝑥 + √3)

𝑥𝑥 + √3

4 + √7 . 5

= 𝑥𝑥 − √3;

7. Порівняйте числа:

3 2 9 4 √50 > √75; � ⋅ 50 > � ⋅ 75; √18 > √12. 5 5 25 25

3 19 19 19 2. 0,2�2 = 0,4� ; �0,04 ⋅ = �0,16 ⋅ ; �0,095 = �0,095. 8 8 32 32 8. Винесіть множник з-під знака кореня:

1. √𝑏𝑏 7 . ОДЗ: 𝑏𝑏 ≥ 0 �𝑏𝑏 7 = �𝑏𝑏 6 √𝑏𝑏 = �(𝑏𝑏3 )2 √𝑏𝑏 = |𝑏𝑏 3 |√𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 3 √𝑏𝑏; 2. √5𝑚𝑚6 = √5�(𝑚𝑚3 )2 = √5|𝑚𝑚3 | = −𝑚𝑚3 √5. 9. Знайдіть значення виразу

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 2

��5 − 2√6 + �5 + 2√6� = ��5 − 2√6� + 2�5 − 2√6�5 + 2√6 + ��5 + 2√6� = = 5 − 2√6 + 2�25 − 22 ⋅ 6 + 5 + 2√6 = 10 + 2 ⋅ 1 = 12.

10. Побудуйте графік функції 6 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 4, 𝑦𝑦 = � √𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 4. 𝑦𝑦1 = 6 − 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 < 4. –1

𝑦𝑦2 = √𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≥ 4. 4

la. in.

11. Спростіть вираз

�(√7 − 13)2 + �(√7 − 2)2 = �√7 − 13� + �√7 − 2� =

= −(√7 − 13) + √7 − 2 = −√7 + 13 + √7 − 2 = 11.

Вправи для повторення теми 7 До § 29

1. Укажіть область визначення й область значень функції y = x2. Область визначення: x –– будь-яке число; область значень: y ≥ 0. 2. Побудуйте графік функції y = x2, якщо –3 ≤ x ≤ 2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 , якщо −3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2. –3

–2

–1

la. in.

3. Побудуйте графік функції, що задає залежність площі квадрата S (у см2) від довжини його сторони a (у см). Якою є область визначення цієї функції?

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎2 . 𝐷𝐷(𝑆𝑆) = {𝑎𝑎: 𝑎𝑎 > 0}.

4. 1) Як зміниться площа квадрата, якщо кожну його сторону збільшити в 3 рази; зменшити в 9 разів?

Якщо 𝑎𝑎–– довжина сторони квадрата, то 𝑎𝑎2 – його площа; якщо 3𝑎𝑎 – довжина сторони квадрата, то 9𝑎𝑎2 – його площа. Отже, якщо кожну сторону квадрата збільшити у 3 рази, то площа квадрата збільшиться у 9 разів; 𝑎𝑎

𝑎𝑎2

якщо – довжина сторони квадрата, то – його площа. 9 81 Отже, якщо кожну сторону квадрата зменшити в 9 разів, то його площа зменшиться в 81 раз. 2) Як треба змінити кожну сторону квадрата, щоб його площа збільшилася в 4 рази; зменшилась у 25 разів?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Щоб площа квадрат збільшилася в 4 рази, треба кожну його сторону збільшити в 2 рази, оскільки (2𝑎𝑎)2 = 4𝑎𝑎2 ; щоб площа квадрата зменшилася в 25 разів, треба кожну його 𝑎𝑎 2

сторону зменшити в 5 разів, бо � � = 5

𝑎𝑎2

5. Точка A (m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0, належить графіку функції y = x2. Чи належить цьому графіку точка: Оскільки точка A(m; n), де 𝑚𝑚 ≠ 0, 𝑛𝑛 ≠ 0, належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 , то 𝑚𝑚2 = 𝑛𝑛. 1. B(m; –n) 𝑚𝑚2 = 𝑛𝑛 ≠ −𝑛𝑛. Отже, точка B графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 не належить.

2. C(–m; n). Оскільки (−𝑚𝑚)2 = 𝑚𝑚2 = 𝑛𝑛, то точка C належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

3. D(–m; –n). Оскільки (−𝑚𝑚)2 = 𝑚𝑚2 = 𝑛𝑛 ≠ −𝑛𝑛, то точка D не належить графіку функції 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 x

–1

–2

–3

–6 0

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 6

la. in.

6. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = x2 та y = x + 6 і знайдіть координати точок їх перетину.

A(–2; 4); B(3; 9) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 6 та 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 . 7. Побудуйте графік функції: x

𝑥𝑥 2 , якщо 𝑥𝑥 ≤ 1, 2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 > 1.

–2

–1

𝟏𝟏. 𝑦𝑦 = �

 shkola.in.ua

–4

–2

–1

la. in.

6 + 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < −2, 𝑥𝑥 2 , якщо − 2 ≤ 𝑥𝑥 < 2, 𝟐𝟐. 𝑦𝑦 = � 8 , якщо 𝑥𝑥 > 2. 𝑥𝑥

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

До § 30

8. Доведіть, що:

1. √0,49 = 0,7, оскільки 0,7 > 0 і 0, 72 = 0,49; 2. √2500 = 50, оскільки 50 > 0 і 502 = 2500.

9. Обчисліть:

1. √49 = 7; 2. √2601 = 51; 3. �5,76 = 2,4; 25 5 𝟒𝟒. � = ; 36 6

5. √10,89 + √0,01 − 3,2 = 3,3 + 0,1 − 3,2 = 0,1 + 0,1 = 0,2;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

10. Знайдіть значення виразу �2𝑥𝑥 – 8𝑦𝑦 , якщо: 1. Якщо 𝑥𝑥 = 1,6; 𝑦𝑦 = 0,4, то

1 25 𝟔𝟔. �6 − 2�1,44 + 0,9 = � − 2 ⋅ 1,2 + 0,9 = 2,5 − 2,4 + 0,9 = 0,1 + 0,9 = 1. 4 4

�2𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = √2 ⋅ 1,6 − 8 ⋅ 0,4 = √3,2 − 3,2 = √0 = 0. 2. Якщо 𝑥𝑥 = 0,08; 𝑦𝑦 = −0,3, то

�2𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 = �2 ⋅ 0,08 − 8 ⋅ (−0,3) = √0,16 + 2,4 = �2,56 = 1,4. 11. Обчисліть:

la. in.

2 2 𝟏𝟏. � �0,09 + 0,78√100� ��2,25 + 2�30,25� = � ⋅ 0,3 + 0,78 ⋅ 10� ⋅ (1,5 + 2 ⋅ 5,5) = 3 3 = (2 · 0,1 + 7,8) · (1,5 + 11) = (0,2 + 7,8) · 12,5 = 8 · 12,5 = 100; 4 𝟐𝟐. �−7� + 3�5,29� : ��52 + 122 − �65,61) = 49

2 = �−7 ⋅ + 3 ⋅ 2,3� : �√25 + 144 − 8,1� = 7

= (−2 + 6,9): (√169 − 8,1) = 4,9: (13 − 8,1) = 4,9: 4,9 = 1.

12. Розв’яжіть рівняння:

1. √5𝑥𝑥 + 3 = 13; √5𝑥𝑥 = 13 − 3; √5𝑥𝑥 = 10;

5𝑥𝑥 = 102 ; 5𝑥𝑥 = 100; 𝑥𝑥 = 100 ∶ 5; 𝑥𝑥 = 20. Відповідь: 20. 1 𝟐𝟐. √𝑥𝑥 − 1 = 1,2; √𝑥𝑥 − 1 = 1,2 ⋅ 3; 3 √𝑥𝑥 − 1 = 3,6; 𝑥𝑥 − 1 = 3, 62 ; 𝑥𝑥 − 1 = 12,96; 𝑥𝑥 = 12,96 + 1; 𝑥𝑥 = 13,96. Відповідь: 13,96.

13. Для яких значень x має зміст вираз: 𝟏𝟏. √𝑥𝑥 − 2; 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 2; 𝟐𝟐. �(𝑥𝑥 − 3)5 ; 𝑥𝑥 − 3 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 3; √−𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≤ 0, 𝑥𝑥 ≤ 0, 𝟑𝟑. ;� ;� 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −1. 𝑥𝑥 + 1 Отже, вираз

√−𝑥𝑥 має зміст при всіх недодатних 𝑥𝑥, крім –1 ; 𝑥𝑥+1

𝑥𝑥 ≥ 0, 𝟒𝟒. √𝑥𝑥 + √−𝑥𝑥; � 𝑥𝑥 ≤ 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Отже, даний вираз має зміст лише при 𝑥𝑥 = 0. 14. Розв’яжіть рівняння відносно змінної x для всіх можливих значень a: 1. 𝑎𝑎√𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 ≥ 0. 0 Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то √𝑥𝑥 = ; √𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0. 𝑎𝑎

2. 𝑎𝑎√𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 ≥ 0.

1 2

Якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 ≥ 0, бо при 𝑥𝑥 < 0 вираз √𝑥𝑥 не має змісту. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 ≥ 0; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 0. 1

Якщо 𝑎𝑎 > 0, то √𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = � � = 2 > 0. 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 Якщо 𝑎𝑎 ≤ 0, то рівняння розв'язків не має. 1 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 ≤ 0, то рівняння розв'язків не має; якщо 𝑎𝑎 > 0, то 𝑥𝑥 = 2 .

la. in.

5 2

𝑎𝑎

3. 𝑎𝑎√𝑥𝑥 − 1 = 5, 𝑥𝑥 ≥ 1. Якщо 𝑎𝑎 > 0, то √𝑥𝑥 − 1 = ; 𝑥𝑥 − 1 = � � ; 𝑥𝑥 − 1 = 2 ; 𝑥𝑥 = 2 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 ≥ 1. Якщо 𝑎𝑎 ≤ 0, то рівняння розв'язків не має. 25 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 ≤ 0, торівняння розв'язків не має; якщо 𝑎𝑎 > 0, то 𝑥𝑥 = 2 + 1. 4. √𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0; 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 0. Якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 − будь-яке. Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 – будь-яке число; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 0.

𝑎𝑎

До § 31

15. Раціональним чи ірраціональним є дане число? Раціональне число запишіть без знака кореня: 1. √9 = 3 – раціональне число; 2. √11 – ірраціональне число; 3. −√4 = −2 – раціональне число; 4. √13 – ірраціональне число.

16. Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу число: 1 𝟏𝟏. = 0,333 … = 0, (3); 3 2. −29 = −29,000 …; 3. 5,17 = 5,17000 …; 7 𝟒𝟒. = 0, (259). 27

17. Між якими двома послідовними натуральними числами міститься число: 𝟏𝟏. 1 < √2 < 2; 2. 2 < √7 < 3; 3. 9 < √99 < 10; 𝟒𝟒. 4 < √20 < 5. 18. Чи правильно, що: 1) різниця двох цілих від’ємних чисел – число ціле від’ємне; Hi , наприклад −2 − (−2) = −2 + 2 = 0,0 – ціле число, але невід'ємне; 2) добуток двох раціональних чисел – число раціональне;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

так; 3) сума кубів двох цілих чисел – число натуральне; ні, наприклад 03 + (−1)3 = 0 + (−1) = −1 не є натуральним числом;

4) сума квадратів двох цілих чисел – число ціле невід’ємне? так.

19. Укажіть два раціональних числа, що лежать між числами: 4 49 𝟏𝟏. √5 < �5 < √7; √5 < � < √7; 9 9 7 1 < √7; √5 < �6 < √7; 3 4

√5 < �

la. in.

√5 <

25 5 < √7; √5 < < √7. 4 2 1

Відповідь: 2 ; 2 . 3

1 𝟐𝟐. − √13 < −�12 < −√11; 4

−√13 < −�

49 7 < −√11; −√13 < − < −√11; 4 2

4 −√13 < −�13 < −√11; 9 121 < −√11; 9 11 < −√11. −√13 < − 3

−√13 < −�

Відповідь: −3 ; −3 . 2 3 20. Доведіть, що не існує раціонального числа, що є розв’язком рівняння x2 = 7. 𝑚𝑚

Припустимо, що існує раціональне число , що є розв'язком рівняння 𝑥𝑥 2 = 7. Будемо вважати, що дріб 𝑚𝑚2

𝑚𝑚 𝑛𝑛

– нескоротний.

𝑛𝑛

Тоді 2 = 7; 𝑚𝑚2 = 7𝑛𝑛2 . Оскільки 𝑚𝑚2 – число, кратне 7 , то число 𝑚𝑚 також кратне 7 , тобто 𝑛𝑛 𝑚𝑚 = 7𝑘𝑘. Отже, (7𝑘𝑘)2 = 7𝑛𝑛2 ; 49𝑘𝑘 2 = 7𝑛𝑛2 ; 𝑛𝑛2 = 7𝑘𝑘 2 . Оскільки 𝑛𝑛2 – число, кратне 7 , то 𝑛𝑛 також число, кратне 7.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑚𝑚 = 7𝑘𝑘, 𝑚𝑚 7𝑘𝑘 ⇒ = – скоротний дріб, що суперечить нашому припущенню. 𝑛𝑛 7𝑙𝑙 𝑛𝑛 = 7𝑙𝑙 2 Отже, корінь рівняння 𝑥𝑥 = 7 не раціональне число, а ірраціональне. Отже, 𝑛𝑛 = 7𝑙𝑙; �

𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

2 1 4 3 1 − = − = = 0,1(6); 3 2 6 6 6

9 1 10 5 3 1 + = + = = = 0,8(3). 4 12 12 12 12 6

До § 32

23. Обчисліть:

la. in.

22. Чи є правильною рівність: 1. Так; 2. ні; 3. ні; 4. так.

21. Доведіть, що:

1. (−√8)2 = (√8)2 = 8; 2. √13 = (−√13) = −(√13)2 = −13; 2 1 2 1 1 ⋅2= = ; 𝟑𝟑. � √2� = 64 64 32 8 4. (−0,1√10)2 = 0,01 ⋅ 10 = 0,1; 2

(√7)2 7 1 √7 = =2 ; 𝟓𝟓. � � = 3 (√3)2 3 √3 2

5 √5 √5 𝟔𝟔. �− � = � � = ; 9 3 3 2

1 4 1 𝟕𝟕. �−2� � = 4 ⋅ = = 2; 2 2 2 2

4 ⋅ 3 12 2 √3 𝟖𝟖. � = . � = 25 25 5

24. Розв’яжіть рівняння:

1 2 𝑥𝑥 = 32; 𝑥𝑥 2 = 32 · 2; 𝑥𝑥 2 = 64; 𝑥𝑥1 = −8, 𝑥𝑥2 = 8. 2 Відповідь: –8; 8.

𝟏𝟏.

2. 𝑥𝑥 2 − 5 = 0; 𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥1 = −√5, 𝑥𝑥2 = √5. Відповідь: −√5; √5.

3. 2𝑥𝑥 2 = 18; 𝑥𝑥 2 = 18: 2; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = 3. Відповідь: –3; 3.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1

Відповідь: − ; . 7 7

1 1 1 ; 𝑥𝑥1 = − , 𝑥𝑥2 = 49 7 7

1. 𝑥𝑥 2 = 25; 2. 𝑥𝑥 2 = 0,01; 1 ; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 = 16 9 ; 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 2 = 49 5. 𝑥𝑥 2 = 7; 5 𝟔𝟔. 𝑥𝑥 2 = . 4

la. in.

25. Складіть рівняння, коренями якого є числа:

𝟒𝟒. 49𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥 2 =

26. Спростіть вираз:

√3 ⋅ √3 ⋅ √3 √3 ⋅ (√3)2 3√3 √3 = = = ; 𝟏𝟏. 9 9 9 3 2. (�√7)2 = √7; 3. (�3√2)2 = 3√2; 2

4. (�√5)4 = �(�√5)2 � = (√5)2 = 5.

27. Розв’яжіть рівняння: 𝟏𝟏.

1 1 (𝑥𝑥 − 1)2 = ; 2 8

1 (𝑥𝑥 − 1)2 = 8 ⋅ . 2

𝑥𝑥 − 1 = −2; або (𝑥𝑥 − 1)2 = 4 𝑥𝑥 = −2 + 4; 𝑥𝑥 − 1 = 2; 𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = 2 + 1; 𝑥𝑥 = 3. Відповідь: –1; 3.

(𝑥𝑥 + 2)2 16 = � ⋅ 5; 𝟐𝟐. 5 5

(𝑥𝑥 + 2)2 = 16;

𝑥𝑥 + 2 = −4; 𝑥𝑥 + 2 = 4; 𝑥𝑥 = −4 − 2; 𝑥𝑥 = 4 − 2; 𝑥𝑥 = −6; або 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: –6; 2.

28. Відомо, що xy = 20, x2 + y2 = 41. Знайдіть x + y.  shkola.in.ua

(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥) − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 41; (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 41; (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 2 · 20 = 41; (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 41 + 40; (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 81; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −9 або 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9. Відповідь: –9 або 9.

29. Для яких значень m рівняння x2 = m – 1: 1) має два корені; 1. 𝑚𝑚 − 1 > 0, 𝑚𝑚 > 1. Відповідь: при 𝑚𝑚 > 1;

2) має тільки один корінь;

la. in.

2. 𝑚𝑚 − 1 = 0, 𝑚𝑚 = 1. Відповідь: прим 𝑚𝑚 = 1.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3) не має коренів?

3. 𝑚𝑚 − 1 > 0, 𝑚𝑚 < 1. Відповідь: при 𝑚𝑚 < 1.

До § 33

30. Для яких значень змінних рівність є тотожністю: 1. √𝑚𝑚 ⋅ 𝑛𝑛 = √𝑚𝑚 ⋅ √𝑛𝑛, якщо 𝑚𝑚 ≥ 0, 𝑛𝑛 ≥ 0; 𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝟐𝟐. � = √ , якщо 𝑝𝑝 ≥ 0, 𝑞𝑞 > 0. 𝑞𝑞

√𝑞𝑞

31. Обчисліть:

0,36 ⋅ 49 √0,36 ⋅ √49 0,6 ⋅ 7 6 ⋅ 7 3 ⋅ 7 21 𝟏𝟏. � = = = = = ; 121 11 110 55 55 √121 25 ⋅ 100 5 ⋅ 10 50 = = ; 𝟐𝟐. � 9 9 81

1 9 1 3 3 𝟑𝟑. � ⋅ = ⋅ = ; 16 25 4 5 20

8 2 16 64 4 = ⋅ = . 𝟒𝟒. � ⋅ 9 289 3 17 51

32. Обчисліть:

1. Якщо 𝑎𝑎 = 13, то √𝑎𝑎2 = √132 = |13| = 13; якщо 𝑎𝑎 = −17, то √𝑎𝑎2 = �(−17)2 = | − 17| = 17.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. Якщо 𝑥𝑥 = 0,5, то −2√𝑥𝑥 2 = −2�0, 52 = −2 ⋅ |0,5| = −1; якщо 𝑥𝑥 = −2,1 то −2√𝑥𝑥 2 = −2�(−2,1)2 = −2 ⋅ | − 2,1| = −4,2. 33. Відомо, що 372 = 1369. Знайдіть:

𝟐𝟐. �13,69 = �

1. √136900 = √1369 ⋅ √100 = √1369 ⋅ √100 = 37 ⋅ 10 = 370; 1369 √1369 37 = = = 3,7; 100 10 √100

𝟑𝟑. �0,1369 = �

1369 37 = = 0,37. 10000 100

la. in.

34. У скільки разів сторона квадрата, площа якого дорівнює 12 см2, більша за сторону квадрата, площа якого дорівнює 3 см2? 12 𝑎𝑎 √12 = = � = √4 = 2. 3 𝑏𝑏 √3

Відповідь: у 2 рази. 35. Обчисліть: 𝟏𝟏. �4

1 2 81 20 81 20 ⋅ �2 − (√7)2 = � ⋅ −7=� ⋅ − 7 = √9 − 7 = 3 − 7 = −4; 20 9 20 9 20 9

𝟐𝟐. �1 − �

8 8 2 2 8 = � + �−� � = ��1 − � �1 + � + 17 17 17 17 17

9 25 2 3⋅5 2 15 2 17 √9 ⋅ 25 2 ⋅ + = + = + = + = = 1. 17 17 17 17 17 17 17 17 17 √172

=�

9 2 16 2 4 2 3 2 25 9 2 √2 � − =� − − = � − = − = 0,4; 𝟑𝟑. 1 − �− � − �− � = �1 − 25 5 25 5 5 5 5 25 25 5 √5 2

1 1 2 11 12 12 3 3 𝟒𝟒. �2 ⋅ �1 ⋅ �2 + �� − (√3)2 = � ⋅ � ⋅ � + − 3 = 5 11 5 5 11 5 5 5 =�

122 3 12 3 15 11 ⋅ 12 ⋅ 12 3 + −3=� 2 + −3= + −3= − 3 = 3 − 3 = 0. 5 5 5 5 5 5 ⋅ 11 ⋅ 5 5 4

36. Відношення площ двох кругів дорівнює , а радіус одного з них дорівнює 10 см. 9 Знайдіть радіус другого.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑅𝑅 = �

100 ⋅ 4 10 ⋅ 2 20 2 = = = 6 (см) 9 3 3 3

𝑅𝑅 = �

100 ⋅ 9 10 ⋅ 3 30 = = = 15 (см). 4 2 2

𝜋𝜋 ⋅ 102 4 100 4 2 100 ⋅ 9 або = ; 2 = ; 𝑅𝑅 = ; 9 𝑅𝑅 9 4 𝜋𝜋𝑅𝑅 2

Відповідь: 15 см або 6 см. 3

la. in.

37. Знайдіть значення виразу:

4 𝑅𝑅2 4 2 100 ⋅ 4 𝜋𝜋𝑅𝑅 2 = ; = ; 𝑅𝑅 = ; 9 𝜋𝜋 ⋅ 102 9 100 9

1. �3,6 ⋅ 105 = �3,6 ⋅ 104 ⋅ 10 = √36 ⋅ 104 = √36 ⋅ √104 = 6 ⋅ 102 = 600;

2. �8,1 ⋅ 0, 13 = �81 ⋅ 0, 12 ⋅ 0,1 = �0,81 ⋅ 0, 12 = √0,81 ⋅ �0, 12 = 0,9 ⋅ 0,1 = 0,09; 3. 3√15 ⋅ 2√30√8 = 3√15 ⋅ 2√2 ⋅ 15 ⋅ √8 = 6(√15)2 ⋅ √2 ⋅ 8 = = 6 ⋅ 15 ⋅ √16 = 6 ⋅ 60 = 360;

4. √35 ⋅ 123 = �35 ⋅ (3 ⋅ 4)3 = √35 ⋅ 33 ⋅ 43 = √38 ⋅ 42 ⋅ 4 = = �(34 )2 ⋅ √42 ⋅ √4 = 34 · 4 · 2 = 81 · 8 = 648. 38. Спростіть вираз:

1. �𝑝𝑝4 𝑐𝑐 8 𝑎𝑎12 = �(𝑝𝑝2 )2 ⋅ (𝑐𝑐 4 )2 ⋅ (𝑎𝑎6 )2 = |𝑝𝑝2 | ⋅ |𝑐𝑐 4 | ⋅ |𝑎𝑎6 | = 𝑝𝑝2 𝑐𝑐 4 𝑎𝑎6 ; 2. Якщо 𝑥𝑥 < 0, 𝑦𝑦 > 0, то �49(−𝑥𝑥)2 𝑦𝑦 6 = �49𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 6 = √49 ⋅ �𝑥𝑥 2 · �(𝑦𝑦 3 )2 = 7 ⋅ |𝑥𝑥| ⋅ |𝑦𝑦 3 | = −7𝑥𝑥𝑦𝑦 3 ;

𝑚𝑚20 �(𝑚𝑚10 )2 |𝑚𝑚10 | 𝑚𝑚10 = 12 = 12 ; 𝟑𝟑. � 24 = |𝑛𝑛 | 𝑛𝑛 𝑛𝑛 �(𝑛𝑛12 )2 4. Якщо 𝑎𝑎 < 0, 𝑏𝑏 < 0, то 𝑎𝑎10 |𝑎𝑎5 | −𝑎𝑎5 𝑎𝑎5 = = = . 𝑏𝑏14 |𝑏𝑏 7 | −𝑏𝑏 7 𝑏𝑏 7 39. Спростіть вираз:

�

1. ��0, 162 = √0,16 = 0,4;

2. ��(−0,09)2 = �| − 0,09| = √0,09 = 0,3;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. �(√5 − √2)2 = |√5 − √2| = √5 − √2;

4. �(√11 − √13)2 = |√11 − √13| = −(√11 − √13) = √13 − √11.

40. Спростіть вираз: 1. Якщо 𝑥𝑥 > 7, то

𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 49 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 (𝑥𝑥 − 7)2 �(𝑥𝑥 + 2)2 ⋅� = · = (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 − 7)2 (𝑥𝑥 + 2)2 �(𝑥𝑥 − 7)2 (𝑥𝑥 − 7)2 |𝑥𝑥 + 2| (𝑥𝑥 − 7)2 ⋅ (𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 − 7 ⋅ = = ; = (𝑥𝑥 + 2)2 |𝑥𝑥 − 7| (𝑥𝑥 + 2)2 ⋅ (𝑥𝑥 − 7) 𝑥𝑥 + 2

la. in.

2. Якщо 𝑝𝑝 < −3, то

𝑝𝑝2 − 4 𝑝𝑝2 + 6𝑝𝑝 + 9 (𝑝𝑝 − 2)(𝑝𝑝 + 2) �(𝑝𝑝 + 3)2 � ⋅ = · = (𝑝𝑝 + 3)2 (𝑝𝑝 + 2)2 (𝑝𝑝 + 3)2 �(𝑝𝑝 + 2)2 =

(𝑝𝑝 − 2)(𝑝𝑝 + 2) |𝑝𝑝 + 3| −(𝑝𝑝 + 3)(𝑝𝑝 − 2)(𝑝𝑝 + 2) 𝑝𝑝 − 2 ⋅ = = . (𝑝𝑝 + 3)2 |𝑝𝑝 + 2| −(𝑝𝑝 + 2)(𝑝𝑝 + 3)2 𝑝𝑝 + 3

41. Доведіть, що:

1. �16 + 6√7 + �23 − 8√7 = �(3 + √7)2 + �(4 − √7)2 = = �3 + √7� + �4 − √7� = 3 + √7 + 4 − √7 = 7;

2. �15 + 4√11 − �20 − 6√11 = �(2 + √11)2 − �(√11 − 3)2 =

= |2 + √11| − |√11 − 3| = (2 + √11) + (3 − √11) = 2 + √11 + 3 − √11 = 5. До § 34

42. Виконайте дії:

1. 3√7 + 2√7 = 5√7; 2. 5√11 − √11 = 4√11; 3. √3 ⋅ √11 = √33; 𝟒𝟒.

√7

√15

=�

7 . 15

43. Спростіть вираз:

1. �√7 − √12��√7 + 3√3� = �√7 − 2√3� · �√7 + 3√3� =

= (√7)2 + 3√21 − 2√21 − 6(√3)2 = 7 + √21 − 18 = √21 − 11; 2. (√3 − √11)(√33 + 1) = (√3 − √11) · (√3 ⋅ √11 + 1) =  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

= 3√11 + √3 − 11√3 − √11 = 2√11 − 10√3;

3. 4√2(2 − 7√8) − 7√2 = 4√2(2 − 7 ⋅ 2√2) − 7√2 = 8√2 − 112 − 7√2 = √2 − 112; 4. (√5 + 1)(2 − √5) − √5 = 2√5 − 5 + 2 − √5 − √5 = −3;

5. (√3 − 7)(4 − √3) − 11√3 = 4√3 − 3 − 28 + 7√3 − 11√3 = −3 − 28 = −31; 6. (2 + √3)(1 − √3) + 1 = 2 − 2√3 + √3 − 3 + 1 = −√3. 44. Винесіть множник з-під знака кореня:

7𝑚𝑚3 𝟐𝟐. � , 𝑚𝑚 ≥ 0 36

Отже,

la. in.

1. √28𝑥𝑥 9 , 𝑥𝑥 ≥ 0. Отже, √28𝑥𝑥 9 = √4 ⋅ 7 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 8 = 2�(𝑥𝑥 4 )2 ⋅ √7𝑥𝑥 = 2|𝑥𝑥 4 | ⋅ √7𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 4 √7𝑥𝑥;

1 1 1 7𝑚𝑚3 1 = �7𝑚𝑚2 ⋅ 𝑚𝑚 = �𝑚𝑚2 ⋅ √7𝑚𝑚 = |𝑚𝑚| ⋅ √7𝑚𝑚 = 𝑚𝑚√7𝑚𝑚; 6 6 6 6 36 3. Якщо 𝑎𝑎 < 0, то √25𝑎𝑎2 𝑏𝑏5 = √25𝑎𝑎2 𝑏𝑏 4 ⋅ 𝑏𝑏 = 5√𝑎𝑎2 ⋅ �(𝑏𝑏2 )2 · √𝑏𝑏 = 5|𝑎𝑎| ⋅ |𝑏𝑏 2 | ⋅ √𝑏𝑏 = −5𝑎𝑎𝑏𝑏 2 √𝑏𝑏; 4. Якщо 𝑦𝑦 > 0, 𝑥𝑥 > 0, то �8𝑥𝑥 3 𝑦𝑦10 = �4 ⋅ 2𝑥𝑥 2 ⋅ 𝑥𝑥𝑦𝑦10 = 2√𝑥𝑥 2 ⋅ �(𝑦𝑦 5 )2 · √2𝑥𝑥 = 2|𝑥𝑥| ⋅ |𝑦𝑦 5 | ⋅ √2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 5 √2𝑥𝑥; 5. �−8𝑝𝑝7 , 𝑝𝑝 ≤ 0. Отже, �−8𝑝𝑝7 = �−4 ⋅ 2 ⋅ 𝑝𝑝6 ⋅ 𝑝𝑝 = 2�(𝑝𝑝3 )2 · �−2𝑝𝑝 = 2|𝑝𝑝3 | ⋅ �−2𝑝𝑝 = −2𝑝𝑝3 �−2𝑝𝑝; 6. Якщо 𝑥𝑥 < 0, 𝑦𝑦 < 0, то �𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 = �𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 2 ⋅ 𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 2 = |𝑥𝑥| ⋅ |𝑦𝑦| ⋅ �𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑥𝑥 ⋅ (−𝑦𝑦) ⋅ �𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑥𝑥�𝑥𝑥𝑥𝑥. 45. Зведіть вираз до вигляду a√𝑏𝑏 , де b – ціле число:

�

1 1 √7 √7 1 𝟏𝟏. � = = = = √7; 7 √7 √7 ⋅ √7 7 7

2 √2 √2 ⋅ √3 √6 1 = = = √6 𝟐𝟐. � = 3 3 √3 √3 ⋅ √3 3

1 13 √13 √13 ⋅ √3 √39 1 𝟑𝟑. �4 = � = = = = √39; 3 3 3 3 √3 √3 ⋅ √3 1 11 √11 √11 ⋅ √2 √22 1 𝟒𝟒. �5 = � = = = = √22. 2 2 2 2 ⋅ √2 √2 √2

46. Спростіть вираз:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. (�7 + 2√6 + �7 − 2√6)2 = 7 + 2√6 + 2��7 − 2√6��7 + 2√6� + 7 − 2√6 = = 14 + 2√49 − 24 = 14 + 2√25 = 14 + 2 ⋅ 5 = 14 + 10 = 24;

2 3 √2 √3 √2 ⋅ √3 √3 ⋅ √8 √6 √24 √6 2√6 𝟐𝟐. � − � = − = − = − = − = 3 8 √3 √8 √3 ⋅ √3 √8 ⋅ √8 3 8 3 4 2 √6 √6 2 √6 4 √6 − 3 √6 √6 √6 − = = =− =− . 3 4 12 12 12 6

47. Доведіть, що рівність є правильною:

la. in.

1. �8 − 4√3 = √6 − √2;

(�8 − 4√3)2 = (√6 − √2)2 ;

8 − 4√3 = 6 − 2√12 + 2; 8 − 4√3 = 8 − 2√4 ⋅ 3; 8 − 4√3 = 8 − 4√3. Отже, рівність є правильною. 2. √2 + 5 = �27 + 10√2;

(√2 + 5)2 = (�27 + 10√2)2 ;

2 + 25 + 10√2 = 27 + 10√2; 27 + 10√2 = 27 + 10√2. Отже, рівність є правильною. 48. Скоротіть дріб:

2√2 − 𝑥𝑥 √𝑥𝑥

√𝑥𝑥 − √2

√22 ⋅ 2 − √𝑥𝑥 2 ⋅ 𝑥𝑥

√𝑥𝑥 − √2

�√2 − √𝑥𝑥��2 + √2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥� 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

=−

√𝑥𝑥 − √2

√8 − √𝑥𝑥 3

√𝑥𝑥 − √2

(√2)3 − (√𝑥𝑥)3

�√𝑥𝑥 − √2��2 + √2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥�

�(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 + �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

𝟐𝟐.

√𝑥𝑥 − √2

𝟏𝟏.

�2 + √2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥�

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⋅ ��𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1� �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

49. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 4

1 + √2 − √3 =

4�1 + √2 + √3�

�1 + √2 − √3��1 + √2 + √3�

4�1 + √2 + √3�

1 + 2 + 2√2 − 3

4�1 + √2 + √3� 2√2

4�1 + √2 + √3�

(1 + √2)2 − (√3)2

2�1 + √2 + √3� √2

 shkola.in.ua

;

= �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2√2(1 + √2 + √3) = √2(1 + √2 + √3). 2

50. Доведіть, що �7 + 2√6 – �7 – 2 √6 – число натуральне.

�7 + 2√6 − �7 − 2√6 = �(1 + √6)2 − �(1 − √6)2 =

= |1 + √6| − |1 − √6| = (1 + √6) + (1 − √6) = 1 + √6 + 1 − √6 = 2.

51. Внесіть множник під знак кореня та спростіть отриманий вираз: 1. Якщо 𝑥𝑥 > −2, то 2. Якщо 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏, то

la. in.

3 (𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 2 3 = (𝑥𝑥 + 2)� = = (𝑥𝑥 + 2)� 2 √3 √3 = √3 (𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4

1 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 1 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)� = = − = −1; (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)� 2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏| 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2

3. Якщо 𝑝𝑝 < −1, то

𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 1) 7 7 𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 1)� 2 = 𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 1)� = √7 = |𝑝𝑝 + 1| 𝑝𝑝 + 2𝑝𝑝 + 1 (𝑝𝑝 + 1)2

=−

𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 1) = −√7𝑝𝑝 = −�7𝑝𝑝2 ; 𝑝𝑝 + 1

4. (𝑏𝑏 − 3)�

, 𝑏𝑏 < 3. Отже,

6−2𝑏𝑏

3 − 𝑏𝑏 1 1 (𝑏𝑏 − 3)2 (3 − 𝑏𝑏)2 (𝑏𝑏 − 3)� = (𝑏𝑏 − 3)� = −� = −� = −� . 2 6 − 2𝑏𝑏 2(3 − 𝑏𝑏) 2(3 − 𝑏𝑏) 2(3 − 𝑏𝑏) До § 35

52. Чи можна обчислити значення функції y = √𝑥𝑥 для значень x = 4; x = –1; x = 100; x = – 9?

Якщо 𝑥𝑥 = 4, то 𝑦𝑦(4) = √4 = 2; Якщо 𝑥𝑥 = 100, то 𝑦𝑦(100) = √100 = 10. В точках 𝑥𝑥 = −1 та 𝑥𝑥 = −9 функція 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 не існує. 53. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥, якщо: 1. 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4; x

2  shkola.in.ua

2. 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 9; 1

3. 4 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 16. 4

16 4

la. in.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

54. Чи перетинається графік функції y = √𝑥𝑥 з прямою: 1) y = 1; 2) y = 8; 3) y = 0; 4) y = –1? Якщо перетинається, то в якій точці? 1. √𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 1. Отже, графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 перетинається з прямою 𝑦𝑦 = 1 в точці (1; 1).

2. √𝑥𝑥 = 8; 𝑥𝑥 = 64. Отже, графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 перетинається з прямою 𝑦𝑦 = 8 в точці (64; 8).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. √𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Отже, графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 перетинається з прямою 𝑦𝑦 = 0 в точці (0; 0). 55. Розташуйте в порядку зростання числа: 1) √19,1; 3; √16,2; 4; √14; 1

2) ; √0,1; 0,2; � 4

1. 3; √14; 4; √16,2; √19,1.

4. √𝑥𝑥 = −1; рівняння розв'язків не має. Отже, графік функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 не перетинається з прямою 𝑦𝑦 = −1.

la. in.

1 1 𝟐𝟐. 0,2; ; � ; �0,1. 4 11 56. Для яких значень x справджується нерівність: ( 𝑥𝑥)2 ≥ 12 𝑥𝑥 ≥ 1, 𝟏𝟏. √𝑥𝑥 ≥ 1; 𝑥𝑥 ≥ 0; � √ ,� 𝑥𝑥 ≥ 1. 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; Відповідь: при 𝑥𝑥 ≥ 1. 2 2 𝑥𝑥 < 4, 0 ≤ 𝑥𝑥 < 4. 𝟐𝟐. √𝑥𝑥 < 2; �(√𝑥𝑥) < 2 , � 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 0 Відповідь: при 0 ≤ 𝑥𝑥 < 4. (√𝑥𝑥)2 ≤ 42 𝑥𝑥 ≤ 16 𝟑𝟑. 1 < √𝑥𝑥 ≤ 4; �(√𝑥𝑥)2 > 12 , �𝑥𝑥 > 1 1 < 𝑥𝑥 ≤ 16. 𝑥𝑥 ≥ 0 𝑥𝑥 ≥ 0 Відповідь: при 1 < 𝑥𝑥 ≤ 16. 4. 9 ≤ √𝑥𝑥 < 100; (√𝑥𝑥)2 < 1002 , 𝑥𝑥 < 10 000, 81 ≤ 𝑥𝑥 < 10 000. �(√𝑥𝑥)2 ≥ 92 , �𝑥𝑥 ≥ 81, 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; Відповідь: при 81 ≤ 𝑥𝑥 < 10 000. 5. √𝑥𝑥 > −1; 𝑥𝑥 ≥ 0. Відповідь: при 𝑥𝑥 ≥ 0. 6. √𝑥𝑥 ≤ −2,5. Відповідь: таких не існує.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Тема 8. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ § 36. Теорема Піфагора 36.1 (Усно) ΔMKL – прямокутний, ∠M = 90°. Які з рівностей правильні: 1. KM2 = ML2 – KL2; 2. KL2 = ML2 + KM2; 3. ML2 = KL2 + KM2; 4. KM2 = KL2 – ML2; 5. KL2 = ML2 – KM2; 6. ML2 = KL2 – KM2?

2, 4, 6. 36.2 ΔEFP – прямокутний, ∠P = 90°. Заповніть пропуски: 1. EF2 = ...2 + ...2; 2. EP2 = ...2 – ...2. 1. EF2 = EP2 + PF2; 2. EP2 = EF2 − PF2. 36.3 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1. 6 см і 8 см; 2. 12 см і 35 см. c2 = a2 + b2, c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏². 1. c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, c = √100 = 10 (см); 2. c = �12² + 35² = √144 + 1225 = √1369 = 37 (см). 36.4 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1. 5 см і 12 см; 2. 8 см і 15 см. 1. c = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см);

2. c = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). 36.5 Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють: 1. 17 см і 8 см; 2. 26 см і 10 см. a = �𝑐𝑐² − 𝑏𝑏², b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎².

1. a = �17² − 8² = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см); 2. b = �26² − 10² = �(26 − 10)(26 + 10) = √16 · 36 = 4 · 6 = 24 (см). 36.6 Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють: 1. 25 см і 7 см; 2. 41 см і 40 см. 1. a = �25² − 7² = �(25 + 7)(25 − 7) = √32 · 18 = √576 = 24 (см);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2. b = �41² − 40² = �(41 + 40)(41 − 40) = √81 · 1 = 9 · 1 = 9 (см). 36.7 Драбину приставлено до вікна, розміщеного на висоті 15 м над землею. Нижній кінець драбини віддалений від стіни будинку на 8 м. Яка довжина драбини?

BC = �AB² + AC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (м). Відповідь: довжина драбини 17 м. 36.8 Стовп гімнастичної трапеції укріплений за допомогою троса завдовжки 3 м так, що його нижній кінець віддалений від основи стовпа на 1,8 м. Яка висота стовпа?

AC = �BC² − AB² = �3² − 1,8² = √9 − 3,24 = �5,76 = 2,4 (м) Відповідь: висота стовпа 2,4 м. 36.9 Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 5 см. Знайдіть його найменшу сторону. Найбільша сторона прямокутного трикутника — це гіпотенуза, c = 7 см. Нехай b = 5 см. Тоді: a = �𝑐𝑐² − 𝑏𝑏² = �7² − 5² = √49 − 25 = √24 = √4 · 6 = 2√6 (см). Відповідь: 2√6 см. 36.10 Дві менші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 2 см і 3 см. Знайдіть його найбільшу сторону. a = 2 см, b = 3 см. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �2² + 3² = √4 + 9 = √13 (см). Відповідь: √13 см. 36.11 Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть його діагональ.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

У прямокутнику ABCD, AB = CD = 6 см, BC = AD = 8 см. BD2 = AB2 + AD2; BD = �AB² + AD² = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 36.12 Діагональ прямокутника дорівнює 13 см, а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

У прямокутнику ABCD, BD = 13 см, AB = 12 см. AD = �BD² − AB² = �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (см). Відповідь: 5 см. 36.13 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а висота, проведена до основи, – 12 см. Знайдіть основу трикутника.

У ΔABC, AB = BC = 15 см, BD ⊥ AC, BD = 12 см. Висота BD у рівнобедреному трикутнику є медіаною, отже, AD = CD. З ΔABD: AD = �AB² − BD² = �15² − 12² = √225 − 144 = √81 = 9 (см). AC = AD · CD = 2 · 9 = 18 (см). Відповідь: 18 см. 36.14 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, а висота, проведена до основи, – 15 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

У ΔABC, AB = BC, AC = 16 см, BD ⊥ AC, BD = 15 см. Висота BD у прямокутному трикутнику є медіаною:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AD = DC =

1 1 AC = · 16 = 8 (см). 2 2

З ΔABC: AB2 = AD2 + BD2; AB = �AD² + BD² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). Відповідь: 17 см. 36.15 Діагоналі ромба дорівнюють 24 см і 70 см. Знайдіть сторону ромба.

la. in.

У ромбі ABCD, AC = 70 см, BD = 24 см. Діагоналі ромба перпендикулярні і точкою перетину O діляться навпіл. У ΔAOB (∠O = 90°) 1 1 AO = AC = · 70 = 35 (см), 2 2 1 1 BO = BD = · 24 = 12 (см). 2 2 AB = �AO² + BO² = �35² + 12² = √1225 + 144 = √1369√ = 37 (см). Відповідь: 37 см. 36.16 Сторона ромба дорівнює 13 см, а одна з його діагоналей – 10 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

У ромбі ABCD, AB = 13 см, AC = 10 см. Діагоналі ромба перпендикулярні й точкою перетину O діляться навпіл. У ΔAOB (∠O = 90°) 1 1 AO = AC = · 10 = 5 (см). 2 2 BO = �AB² − AO² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). BD = 2BO = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 36.17 Діагональ квадрата дорівнює 3√2 см. Знайдіть його сторону.

Нехай сторона квадрата a. Тоді a2 + a2 = BD2; 2a2 = (3√2)2; 2a2 = 18;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

a2 = 9; a = 3. Сторона квадрата 3 см. Відповідь: 3 см. 36.18 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 8 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до більшого катета.

la. in.

У ΔABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 8 см. AM — медіана. 1 1 Тоді CM = BM = BC = · 8 = 4 (см). 2 2 У ΔAMC, ∠C = 90°, AM = �AC² + CM² = �7² + 4² = √49 + 16 = √65 (см). Відповідь: √65 см. 36.19 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 9 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до меншого катета.

У ΔABC, ∠C = 90°, CB = 9 см, AC = 6 см. BM — медіана, значить, 1 1 A𝑀𝑀 = MC = AC = · 6 = 3 (см). 2 2 У ΔBMC, BM = �CB² + CM² = �9² + 3² = √81 + 9 = √90 = √9 · 10 = 3√10 см. Відповідь: 3√10 см. 36.20 З точки A до кола із центром O проведено дотичну, B – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка AO, якщо OB = 2 см, AB = 7 см.

AB — дотична до кола. OB ⊥ AB як радіус, проведений у точку дотику. AO2 = OB2 + AB2; AO = �OB² + AB² = �2² + 7² = √4 + 49 = √53 см. Відповідь: √53 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

36.21 З точки M до кола із центром O проведено дотичну, P – точка дотику. Знайдіть довжину відрізка PM, якщо OP = 3 см, OM = 6 см.

la. in.

PM — дотична до кола, OP ⊥ PM — радіус, проведений у точку дотику. PM = �OM² − OP² = �6² − 3² = √36 − 9 = √27 = 3√3 см. Відповідь: 3√3 см. 36.22 Чи є прямокутним трикутник зі сторонами: 1. 15; 20; 25; 2. 4; 5; 6? 1. 252 = 625; 152 + 202 = 225 + 400 = 625. 252 = 202 + 152. Відповідь: так. 2. 42 + 52 = 16 + 25 = 41; 62 = 36. 42 + 52 ≠ 62. Відповідь: ні. 36.23 Чи є прямокутним трикутник зі сторонами: 1. 5; 6; 9; 2. 16; 30; 34? 1. 52 + 62 = 25 + 36 = 61; 92 = 81; 52 + 62 ≠ 92. Відповідь: ні. 2. 162 + 302 = 256 + 900 = 1156; 342 = 1156; 162 + 302 = 342. Відповідь: так. 36.24 У колі, радіус якого дорівнює 13 см, проведено хорду, завдовжки 10 см. Знайдіть відстань від центра кола до даної хорди.

OA = OB = 13 см — радіус, AB = 10 см — хорда. OK ⊥ AB — відстань від центра кола до хорди. У ΔAOB (OA = OB), OK — висота і медіана, AK = KB = 10 см : 2 = 5 см. У ΔAOK OK = �AO² − AK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 36.25 У колі проведено хорду завдовжки 16 см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

центра кола до хорди дорівнює 6 см.

AB = 16 см — хорда, OK ⊥ AB, OK = 6 см — відстань від центра кола до хорди AB. OA = OB — радіуси кола. У ΔAOB, OK — висота і медіана. 1 1 AK = KB = AB = · 16 = 8 (см). 2

la. in.

У ΔAOK AO = �AK² + OK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 36.26 Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 6 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки). I випадок: a = 5 см, b = 6 см — катети, c — гіпотенуза. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �5² + 6² = √25 + 36 = √61 (см). II випадок: a = 5 см — катет, c = 6 см — гіпотенуза, b — катет. b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² = �6² − 5² = √36 − 25 = √11 (см). Відповідь: √61 см або √11 см. 36.27 Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 5 см і 2 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки). I випадок: a = 5 см, b = 2 см — катети, c — гіпотенуза. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �5² + 2² = √25 + 4 = √29 см. II випадок: a = 2 см — катет, c = 5 см — гіпотенуза, b — катет. b = �𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² = �5² − 2² = √25 − 4 = √21 см. Відповідь: √29 см або √21 см. 36.28 Від стовпа заввишки 9 м до будинку натягнуто провід, що кріпиться на висоті 3 м від землі. Відстань від будинку до стовпа – 8 м. Обчисліть довжину проводу.

1. 9 − 3 = 6 (м) – протилежний катет (частина стовпа); 2. �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (м) – довжина проводу. Відповідь: довжина проводу 10 м. 36.29 Від стовпа до будинку натягнуто дріт завдовжки 13 м, який закріплено на стіні  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

будинку на висоті 3 м від землі. Обчисліть висоту стовпа, якщо відстань від будинку до стовпа – 12 м.

la. in.

1. �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (м) – довжина частини стовпа; 2. 5 + 3 = 8 (м) – довжина стовпа. Відповідь: довжина проводу − 8 м. 36.30 Катети прямокутного трикутника відносяться як 7 : 24, а гіпотенуза дорівнює 50 см. Знайдіть периметр трикутника.

Нехай катети a = 7x см, b = 24x см, гіпотенуза c = 50 см. a2 + b2 = c2; (7x)2 + (24x)2 = 502; 49x2 + 576x2 = 2500; 625x2 = 2500; x2 = 4; x = 2. a = 7 · 2 = 14 (см); b = 24 · 2 = 48 (см). PΔ = a + b + c = 14 + 48 + 50 = 112 (см). Відповідь: 112 см. 36.31 Катет відноситься до гіпотенузи як 8 : 17. Знайдіть периметр трикутника, якщо другий катет дорівнює 30 см.

Нехай катет a = 8x см, гіпотенуза c = 17x см, катет b = 30 см. a2 + b2 = c2; (8x)2 + 302 = (17x)2; 64x2 + 900 = 289x2; 225x2 = 900; x2 = 4; x = 2. a = 8 · 2 = 16 (см); c = 17 · 2 = 34 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

PΔ = a + b + c = 16 + 30 + 34 = 80 (см). Відповідь: 80 см. 36.32 Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках.

la. in.

1. ΔACD: AC = �AD² − CD² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12; BC = CD + BD = 5 + 11 = 16. x = �AC² + BC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20. Відповідь: 20. 2. ΔABC: BC = �AB² − AC² = �10² − 6² = √100 − 36 = √64 = 8. ΔBCD: ∠D = 90° − ∠BCD = 90° − 60° = 30°. x = 2BC = 2 · 8 = 16. Відповідь: 16. 3. ΔABC: AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10. ΔABD: x = �AB² + BD² = �10 + 2² = √14. Відповідь: √14. 4. Проведемо CE ⊥ AD, ABCE – прямокутник (BC || AE, AB || CE, ∠A = 90°). CE = AB = 12, AE = BC = 10. DE = AD − AE = 15 − 10 = 5. ΔCED: x = �CE² + ED² = �12² + 5² = √144 + 25 = √169 = 13. Відповідь: 13. 36.33 Знайдіть довжину невідомого відрізка x на малюнках.

1. ΔBCD: BD2 = BC2 − CD2 = 172 − 152 = (17 − 15)(17 + 15) = 2 · 32 = 64. ΔABD: x = �AB² − BD² = �10² − 64 = √100 − 64 = √36 = 6. Відповідь: 6.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. ΔABC: AB = �AC² + BC² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5. ΔABD: ∠D = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°. AD = 2AB = 2 · 5 = 10. Відповідь: 10. 36.34 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а другий на 2 см менший від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника.

la. in.

AC = 6 см. Нехай AB = x см, тоді BC = (x − 2) см. За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2. x2 = (x − 2)2 + 62; x2 = x2 − 4x + 4 + 36; 4x = 40, x = 10. AB = 10 см, BC = 10 − 2 = 8 (см). PΔABC = 6 + 10 + 8 = 24 (см). Відповідь: 24 см. 36.35 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а гіпотенуза на 1 см більша за другий катет. Знайдіть периметр трикутника.

AC = 5 см, BC = x см, AB = (x + 1) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. (x + 1)2 = 52 + x2; x2 + 2x + 1 = 25 + x2; 2x = 24; x = 12. BC = 12 см; AB = 12 + 1 = 13 (см). PΔABC = 5 + 12 + 13 = 30 (см). Відповідь: 30 см. 36.36 У △ ABC кут A тупий, BC = 39 см, AB = 17 см. BK – висота трикутника, BK = 15 см. Знайдіть AC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔAKB: AK = �AB² − BK² = �17² − 15² = �(17 − 15)(17 + 15) = √2 · 32 = √64 = 8 (см). У ΔBCK: KC = �BC² − BK² = �39² − 15² = �(39 − 15)(39 + 15) =

la. in.

= √24 · 54 = √4 · 6 · 6 · 9 = 2 · 6 · 3 = 36 (см). AC = KC − AK = 36 − 8 = 28 (см). Відповідь: 28 см. 36.37 BK – висота трикутника ABC, у якого ∠C – тупий. AB = 20 см, BC = 13 см, CK = 5 см. Знайдіть AC.

У ΔBKC: BK = �BC² − KC² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). У ΔABK: AK = �AB² − BK² = �20² − 12² = �(20 − 12)(20 + 12) =

= √8 · 32 = √8 · 4 · 8 = 8 · 2 = 16 (см). AC = AK − KC = 16 − 5 = 11 (см). Відповідь: 11 см. 36.38 У рівнобедреному △ висота, проведена до бічної сторони, дорівнює 5 см і поділяє її на два відрізки, так що прилеглий до вершини рівнобедреного трикутника відрізок дорівнює 12 см. Знайдіть основу трикутника.

У ΔABC AB = BC, AH ⊥ BC, AH = 5 см, BH = 12 см. У ΔAHB AB = �AH² + BH² = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см). BC = AB = 13 см, CH = BC − HB = 13 − 12 = 1 (см). У ΔAHC: AC = �AH² + HC² = �5² + 1² = √25 + 1 = √26 (см). Відповідь: √26 см. 36.39 Висота BK рівнобедреного трикутника ABC (AB = AC) ділить сторону AC на відрізки AK = 24 см і KC = 1 см. Знайдіть основу трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

У ΔABC AB = AC, BK ⊥ CA, AK = 24 см, KC = 1 см. У ΔABC AC = AB = AK + KC = 24 + 1 = 25 (см). BK2 = AB2 − AK2 = 252 − 242 = (25 − 24)(25 + 24) = 1 · 49 = 49 см. У ΔBKC CB = �B𝐾𝐾² + KC² = √49 + 1 = √50 = √25 · 2 = 5√2 (см). Відповідь: 5√2 см. 36.40 Знайдіть сторони паралелограма, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см, і одна з них перпендикулярна до сторони.

ABCD — паралелограм, BD ⊥ AB. BD = 8 см, AC = 10 см. 1 1 AO = CO = AC = · 10 = 5 (см). 2 2 1 1 BO = DO = BD = · 8 = 4 (см). 2 2 У ΔABO AB = �AO² − BO² = �5² − 4² = √25 − 16 = √9 = 3 (см). У ΔABD AD = �AB² − BD² = �3² + 8² = √9 + 64 = √73 (см). Відповідь: 3 см, √73 см. 36.41 Радіус кола, описаного навколо тупокутного рівнобедреного трикутника, дорівнює 37 см, а його основа – 70 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC, ∠B — тупий, тому центр O знаходиться поза трикутником. OB = OC = 37 см, AC = 70 см. OB ⊥ AC, AK = KC. У ΔOKC OK = �OC² − KC² = �37² − 35² = �(37 − 35)(37 + 35) =

= √2 · 72 = √144 = 12 (см). BK = OB − OK = 37 − 12 = 25 (см). У ΔBKC BC = �BK² + KC² = �25² + 35² = √625 + 1225 = √1850 = 5√74 (см). Відповідь: 5√74 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

36.42 Висота рівнобедреного гострокутного трикутника, проведена до основи, дорівнює 18 см, а радіус кола, описаного навколо нього, – 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

la. in.

O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC, ∠B — гострий, тому точка O лежить на висоті BK, проведеної до основи трикутника. BK = 18 см, AO = OB = 13 см. У ΔAOK (∠K = 90°) AK2 = AO2 − OK2. OK = BK − BO = 18 − 13 = 5 см. Тоді: AK2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144. У ΔABK (∠K = 90°) AB = �AK² + BK² = �144 + 18² = √468 = √36 · 13 = 6√13 (см). Відповідь: 6√13 см. 36.43 Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює √13 см. Подамо число 13 у вигляді суми двох квадратів: 13 = 9 + 4, √13 = 32 + 22. Таким чином, відрізок √13 см — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 3 см і 2 см.

36.44 Побудуйте відрізок, довжина якого дорівнює √10 см. Подамо число 10 у вигляді суми двох квадратів: 10 = 9 + 1; 10 = 32 + 12. Таким чином, (√10)2 = 32 + 12, тобто відрізок довжиною √10 — це гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 3 і 1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

36.45 Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки завдовжки 10 см і 26 см. Знайдіть периметр трикутника.

Бісектриса AD ділить катет BC на відрізки CD = 10 см і DB = 26 см, тоді AC : AB = 10 : 26 = 5 : 13. Нехай AC = 5x см, AB = 13x см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. BC = CD + BD = 10 + 26 = 36 (см). (13x)2 = (5x)2 + 362; 169x2 = 25x2 + 1296; 144x2 = 1296; x2 = 9; x = 3. Отже, AC = 5 · 3 = 15 (см); AB = 13 · 3 = 39 (см). PΔABC = 15 + 39 + 36 = 90 (см). Відповідь: 90 см. 36.46 Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, що дорівнюють 15 см і 20 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC ∠C = 90°, CL — бісектриса кута C. AL = 15 см, LB = 20 см, AB = AL + LB = 15 + 20 = 35 (см). За властивістю бісектриси: AC AL 15 3 = = = . CB LB 20 4 Позначимо AC = 3x см, CB = 4x см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Тоді AB2 = AC2 + BC2; 352 = (3x)2 + (4x)2; 1225 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 1225; x2 = 49; x = 7. AC = 3 · 7 = 21 (см); CB = 4 · 7 = 28 (см). PΔABC = 35 + 21 + 28 = 84 (см). Відповідь: 84 см. 36.47 У прямокутному △ точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 2 см і 10 см. Знайдіть периметр трикутника.

ΔABC — прямокутний, ∠C = 90°. Центр вписаного кола O — точка перетину бісектрис кутів трикутника, OK ⊥ BC — радіус вписаного кола, проведений у точку дотику. CK = 2 см, BK = 10 см. OK = ON = OP. ΔNOC = ΔKOC за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді CN = CK = 2 см. Аналогічно PB = BK = 10 см, AP = AN = x см, AC = (x + 2) см, AB = (x + 10) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (x + 10)2 = (x + 2)2 + (10 + 2)2; x2 + 20x + 100 = x2 + 4x + 4 + 144; 20x − 4x = 148 − 100; 16x = 48; x = 3. AP = AN = 3 см; AC = 3 + 2 = 5 (см); AB = 3 + 10 = 13 (см). PΔABC = AC + BC + AB = 5 + 12 + 13 = 30 (см). Відповідь: 30 см. 36.48 Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ABCD — трапеція (AD || BC), BD ⊥ AC, BD = 8 см, AC = 6 см. Продовжимо BC і проведемо DK ⊥ AC. Оскільки ACKD — паралелограм, то DK = AC = 6 см. BD ⊥ DK, оскільки BD ⊥ AC а AC || DK. ΔBDK — прямокутний. BK2 = BD2 + DK2. BK = �BD² + DK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). BK = BC + AD, тоді середня лінія дорівнює BK, тобто 5 см. Відповідь: 5 см. 36.49 Рівнобічну трапецію з основами a і b описано навколо кола. Доведіть, що її висота дорівнює √ab.

ABCD — трапеція, AD || BC, AB = CD, AD = a, BC = b. CK ⊥ AD — висота трапеції. Оскільки в трапецію вписано коло, то AB + CD = AD + BC, тоді 2CD = a + b, a + b . CD = 2 a − b AD − BC = . KD = 2 2 a + b 2 a − b 2 � −� � = 2 2

CK = �CD2 − KD2

= ��

4ab a2 + 2ab + b 2 − a2 + 2ab − b 2 = � = √ab. 4 2 36.50 Відношення бічної сторони до основи рівнобедреного трикутника дорівнює 5 : 8, а різниця відрізків, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника.

=�

У ΔABC AB = BC, AB : AC = 5 : 8; BD ⊥ AC — висота, AL — бісектриса. Висота BD, проведена до основи, є медіаною. AD = DC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тоді AB ∶ AD =

5 4

la. in.

За властивістю бісектриси трикутника = . AD KD Оскільки AB > AD, то і BK > KD. Нехай KD = x см, тоді BK = (x + 3) см. 𝑥𝑥 + 3 5 = ; 𝑥𝑥 4 5x = 4x + 12; x = 12. KD = 12 см, BK = 12 + 3 = 15 (см), BD = BK + KD = 15 + 12 = 27 см. У ΔABD AB2 = BD2 + AD2. AB = 5y, AD = 4y. (5y)2 = 272 + (4y)2; 25y2 = 729 + 16y2; 9y2 = 729; y2 = 81; y = 9. AB = 5 · 9 = 45 (см); AD = 4 · 9 = 36 (см); AC = 2 · AD = 2 · 36 = 72 (см). PΔABC = 45 + 45 + 72 = 162 (см). Відповідь: 162 см. 36.51 Бічна сторона рівнобедреного трикутника на 5 см менша від основи. Відрізки, на які бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, відносяться як 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, AB = AC = 5 см. BD ⊥ AC — висота, AL — бісектриса кута A. 1 У ΔABD BD ⊥ AD, AD = AC (висота є медіаною). 2 Оскільки AB > AD, то BK > KD, тоді BK : KD = 5 : 3. Нехай AC = x см, тоді AB = (x − 5) см, AD = 0,5x см. За властивістю бісектриси: AB : AD = BK : KD, 𝑥𝑥 − 5 5 = ; 0,5𝑥𝑥 3 3x – 15 = 2,5x; 0,5x = 15; x = 30. Отже, AC = 30 см, AB = 30 − 5 = 25 (см). PΔABC = AC + 2AB = 30 + 2 ⋅ 25 = 80 (см). Відповідь: 80 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

36.52 Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть медіану цього трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо сума гіпотенузи і меншого катета дорівнює 18 см.

la. in.

У ΔABC (∠C = 90°) 1 CM = AB = AM = BM, 2 1 AC = AB = AM = BM як катет, що лежить проти кута 30°. 2 За умовою AC + AM + BM = 18 см, 3AC = 18 см, AC = 6 см. CM = AC = 6 см. Відповідь: 6 см. 36.53 Коло радіуса 3 см вписано в ромб. Один з відрізків, на які точка дотику ділить сторону ромба, дорівнює 9 см. Знайдіть периметр ромба.

ABCD — ромб, O — точка перетину його діагоналей і центр вписаного кола. OK ⊥ BC — радіус, проведений в точку дотику. OK = 3 см, KC = 9 см. З ΔOKC OC2 = OK2 + KC2 = 32 + 92 = 9 + 81 = 90. З ΔBOC OC2 = BC ⋅ KC, BC = OC2 : KC = 90 : 9 = 10 (см). PΔABC = 4 ⋅ BC = 4 ⋅ 10 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 36.54 Трапецію вписано в коло так, що діаметр кола є її більшою основою, а відношення основ дорівнює 2 : 1. Знайдіть кути трапеції.

ABCD — трапеція, вписана в півколо. AD — діаметр кола. Проведемо BO і CO — радіуси кола. Тоді AO = BO = CO = DO = BC як радіуси кола, 1 BC = AD за умовою, 2 ΔBOC — рівносторонній, всі його кути дорівнюють 60°. ∠BOA = ∠COD як внутрішні різносторонні з кутами CBO і BCO відповідно.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Тоді в рівнобедрених трикутниках ABO і DOC решта кутів також дорівнюють 60°. Отже, у трапеції ABCD ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°. Відповідь: 60°, 120°. 36.55 Побудуйте пряму m та точку A на відстані 2 см від прямої m. Позначте точку B на відстані 3 см від прямої m.

36.56 Побудуйте пряму a та позначте точку B, яка їй не належить. 1. Побудуйте перпендикуляр BK до прямої a. 2. Побудуйте відрізок BM, де M – деяка точка прямої a. 3. Обчисліть довжини відрізків BK і BM.

Позначимо BK = h — це відстань від точки B до прямої a. Нехай KM = x — відхилення точки M уздовж прямої від основи перпендикуляра K. У прямокутному трикутнику BKM: BM = �BK 2 + KM 2 = �h2 + x 2 . 36.57 Побудуйте паралельні прямі, відстань між якими дорівнює 2 см.

m ∥ n, FE ⊥ m, FE ⊥ n, FE = 2 см. 36.58 Потрібно пофарбувати стелю у двох тренажерних залах: один з них квадратної форми зі стороною 3,5 м, а другий – прямокутний, його розміри 4,5 ∙ 4 м. Для фарбування  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1 м2 стелі витрачають 240 г фарби. Фарба продається у банках по 2,5 кг. Яку найменшу кількість банок фарби потрібно придбати? 1) S1 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (м2) — площа першого залу; 2) S2 = 4,5 · 4 = 18 (м2) — площа другого залу; 3) S = 12,25 + 18 = 30,25 (м2) — загальна площа; 4) m = 30,25 · 240 = 7260 г = 7,26 кг — кількість фарби; 5) 7,26 : 2,5 = 2,904 (шт) — кількість банок Потрібно купити ціле число банок, отже беремо 3 банки. Відповідь: потрібно придбати 3 банки фарби. 36.59 Чи можна розмістити на площині 6 точок так, щоб будь−які три з них були вершинами рівнобедреного трикутника?

Якщо п’ять точок розмістити на колі на однаковій відстані одна від одної, а шосту точку — в центр цього кола. Будь−який трикутник, вершинами якого є точки A1, ..., A5, є рівнобедреним, бо дві його сторони — рівні хорди. Трикутник, одна з вершин якого — центр кола O, є рівнобедреним, оскільки дві його сторони — це радіуси кола. Відповідь: Так.

§ 37. Перпендикуляр і похила, їхні властивості 37.1 (Усно) Назвіть на малюнку: 1. перпендикуляр, проведений з точки B до прямої b; 2. основу перпендикуляра; 3. похилу, проведену з точки B до прямої b; 4. основу похилої; 5. проєкцію похилої.

1. BM; 2. M; 3. BP; 4. P; 5. PM. 37.2 Накресліть пряму m і позначте точку P, що їй не належить. Проведіть перпендикуляр PK і похилу PM до прямої m.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

37.3 (Усно) BM – перпендикуляр до прямої b, BP – похила. Порівняйте BM і BP.

la. in.

BM < BP. 37.4 Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до прямої, дорівнює 5 см, а довжина похилої, проведеної до цієї самої точки, – 13 см. Знайдіть проєкцію похилої на дану пряму.

PK = 5 см, PM = 13 см. KM = �PM² − PK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 37.5 Перпендикуляр, проведений з даної точки до прямої, дорівнює 6 см. Із цієї самої точки до прямої проведено похилу, проєкція якої на пряму дорівнює 8 см. Знайдіть довжину похилої.

PK = 6 см, KM = 8 см. PM = �𝑃𝑃𝑃𝑃² + KM² = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 37.6 З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Проекція однієї з них дорівнює 7 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Оскільки рівні похилі мають рівні проекції, то проекція другої похилої теж дорівнює 7 см, а відстань між основами похилих — 7 + 7 = 14 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 14 см. 37.7 З точки до прямої проведено дві рівні між собою похилі. Відстань між їхніми основами дорівнює 12 см. Знайдіть проєкції похилих на дану пряму. Якщо з однієї точки до прямої провести дві рівні похилі, то їх проекції також рівні. Проекція кожної похилої 12 см : 2 = 6 см. Відповідь: 6 см. 37.8 Точка лежить на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та її проекції на пряму.

la. in.

AC ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. AC = 6 см. AB — похила, ∠ABC = 30°. За властивістю катета, що лежить проти кута 30° 1 AC = AB. 2 AB = 2AC = 2 · 6 см = 12 см. З ΔABC BC = �AB² − AC² = �12² − 6² = �(12 − 6)(12 + 6) = √6 · 18 = 6√3 (см).

Відповідь: 12 см, 6√3 см. 37.9 Точка лежить на відстані 4 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, що утворює з прямою кут 45°. Знайдіть проекцію похилої на пряму та довжину похилої.

AC ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. AC = 4 см. AB — похила, ∠ABC = 45°. Тоді ∠BAC = 90° − ∠ABC = 90° − 45° = 45°. ΔABC — рівнобедрений, BC = AC = 4 см. З ΔABC AB = �AC² + BC² = �4² + 4² = √16 + 16 = 4√2 (см). Відповідь: 4 см, 4√2 см. 37.10 З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 13 см, а її проекція – 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.

MN і MP — похилі, проведені з точки M до прямої a, MN = 13 см. Проведемо MK ⊥ a — перпендикуляр.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

NK = 5 см — проєкція похилої NK, KP — проєкція похилої MP, ∠MPK = 45°. З ΔMNK MK = �MN² − NK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). У ΔMPK ∠PMK = 90° − 45° = 45°. Тоді ΔMPK — рівнобедрений, MK = KP = 12 см. Відповідь: 12 см. 37.11 З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 12 см та утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину другої похилої, якщо її проєкція на пряму – 8 см.

la. in.

NM і NK — похилі, NK = 12 см. NP ⊥ a. MP = 8 см — проєкція похилої NM, ∠NKP = 30°. 1 1 З ΔNKP NP = NK = · 12 см = 6 см 2 2 (за властивістю катета, що лежить проти кута 30°). З ΔNMP MN = �NP² + MP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 37.12 З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 13 см і 20 см. Проекція першої на пряму дорівнює 5 см. Знайдіть проекцію другої похилої.

AB = 13 см, AC = 20 см — похилі, AK ⊥ a. З ΔABK AK2 = AB2 − BK2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144. З ΔACK KC = �AC² − AK² = �20² − 144 = √400 − 144 = √256 = 16 (см). Відповідь: 16 см. 37.13 З точки, що міститься на відстані 24 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 25 см і 26 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

AK ⊥ m — перпендикуляр, AK = 24 см. AB = 25 см і AC = 26 см — похилі. З ΔABK BK = �AB² − AK² = �25² − 24² = �(25 − 24)(25 + 24) = √1 · 49 = 7 (см).

З ΔACK KC = �AC² − AK² = �26² − 24² = �(26 − 24)(26 + 24) = = √2 · 50 = √100 = 10 (см). I випадок. Точки B і C лежать по різні сторони від K. BC = BK + KC = 7 + 10 = 17 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

II випадок. Точки B і C лежать по один бік від K. BC = CK − BK = 10 − 7 = 3 (см). Відповідь: 17 см або 3 см. 37.14 З точки, що міститься на відстані 8 см від прямої, проведено дві похилі завдовжки 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

la. in.

AK ⊥ m, AK = 8 см — відстань від точки A до прямої m. AB = 10 см, AC = 17 см — похилі. З ΔABK BK = �AB² − AK² = �10² − 8² = √100 − 64 = √36 = 6 (см).

З ΔAKC KC = �AC² − AK² = �17² − 8² = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). I випадок. BC = BK + KC = 6 + 15 = 21 (см). II випадок. BC = KC − BK = 15 − 6 = 9 (см). Відповідь: 21 см або 9 см. 37.15 З точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 5 см і 8 см. Який кут утворює друга похила з прямою, якщо проекція першої похилої на пряму дорівнює 3см?

AB = 5 см, AC = 8 см — похилі, AD ⊥ BC, BD = 3 см. З ΔABD AD = �AB² − BD² = �5² − 3² = √25 − 9 = √16 = 4 (см). З ΔACD: катет AD = 4 см дорівнює половині гіпотенузи, AC = 8 см, значить, ∠ACD = 30°. Відповідь: 30°. 37.16 З точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з похилих дорівнює 41 см, а її проекція – 9 см. Який кут утворює інша похила з прямою, якщо її проєкція на пряму дорівнює 40 см?

AB = 41 см і AC — похилі, AD ⊥ BC. BD = 9 см, CD = 40 см — проекції похилих. З ΔABD AD = �AB² − BD² = �41² − 9² = �(41 − 9)(41 + 9) = √32 · 50 =  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

= √16 · 2 · 2 · 25 = 4 · 2 · 5 = 40 (см). У ΔACD AC = CD, тоді ΔACD — прямокутний і рівнобедрений, ∠ACD = 45°. Відповідь: 45°. 37.17 Точки M і N лежать по один бік від прямої a. Із цих точок до прямої a проведено перпендикуляри завдовжки 2 см і 7 см. Знайдіть відстань між основами перпендикулярів, якщо MN = 13 см.

la. in.

MM1 ⊥ a, NN1 ⊥ a, MM1 = 2 см, NN1 = 7 см, MN = 13 см. Проведемо MK ⊥ NN1. M1MKN1 — прямокутник (MM1 || KN1, MK || M1N1, ∠MKN1 = 90°). M1N1 = MK, KN1 = MM1 = 2 см. З ΔMKN NK = NN1 − KN1 = 7 см − 2 см = 5 см. MK = �MN² − NK² = �13² − 5² = √169 − 25 = √144 = 12 (см). M1N1 = MK = 12 см. Відповідь: 12 см. 37.18 Точки A і B лежать по один бік від прямої m. Із цих точок до прямої m проведено перпендикуляри завдовжки 1 см і 7 см. Знайдіть AB, якщо відстань між основами перпендикулярів дорівнює 8 см.

AA1 ⊥ a, BB1 ⊥ a — перпендикуляри. A1B1 = 8 см, AA1 = 1 см, BB1 = 7 см. Проведемо A1P ⊥ BB₁. Чотирикутник A1APB1 — прямокутник (AA1 || PB1, AP || A1B1, ∠A1 = 90°). Отже, AA1 = B1P = 1 см, AP = A1B1 = 8 см. У ΔABP BP = BB1 − PB1 = 7 − 1 = 6 (см). AB = �AP² + BP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 37.19 3 точки до прямої проведено дві похилі завдовжки 10 см і 14 см, різниця проєкцій яких дорівнює 8 см. Знайдіть проєкції похилих та відстань від точки до прямої.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

AB = 10 см, AC = 14 см — похилі, AD ⊥ BC — відстань від точки A до прямої BC. BD — проекція AB, CD — проекція AC. AB < AC, тому BD < CD. Нехай BD = x см, тоді CD = (x + 8) см. З ΔABD AD2 = AB2 − BD2 = 102 − x2 = 100 − x2. З ΔACD AD2 = AC2 − CD2 = 142 − (x + 8)2 = 196 − x2 − 16x − 64 = 132 − x2 − 16x. Звідси 100 − x2 = 132 − x2 − 16x; 16x = 32; x = 2. BD = 2 см, CD = 2 + 8 = 10 (см). AD = �100 − 2² = √100 − 4 = √96 = √16 · 6 = 4√6 (см). Відповідь: 2 см, 10 см, 4√6 см. 37.20 3 точки до прямої проведено дві похилі, різниця яких дорівнює 2 см. Знайдіть ці похилі та відстань від точки до прямої, якщо проєкції похилих дорівнюють 1 см і 5 см.

AB і AC — похилі, AC > AB, AC − AB = 2 см. AK ⊥ m — відстань від точки A до прямої m. BK = 1 см — проекція AB, KC = 5 см — проекція AC. Нехай AB = x см, тоді AC = (x + 2) см. З ΔABK AK2 = AB2 − BK2 = x2 − 12 = x2 − 1. З ΔACK AK2 = AC2 − CK2 = (x + 2)2 − 52 = x2 + 4x + 4 − 25 = x2 + 4x − 21. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні: x2 − 1 = x2 + 4x − 21; 4x = 20; x = 5. AB = 5 см, AC = 5 + 2 = 7 (см). AK = �AB² − BK² = �5² − 1² = √25 − 1 = √24 = 2√6 (см). Відповідь: 5 см, 7 см, 2√6 см. 37.21 Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть проєкції двох менших сторін на більшу сторону.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

У ΔABC AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Проведемо BK ⊥ AC — перпендикуляр, проведений з вершини B до більшої сторони AC. AK — проекція сторони AB, CK — проекція сторони CB на сторону AC. Нехай AK = x см, тоді CK = (15 − x) см. З ΔABK BK2 = AB2 − AK2 = 132 − x2 = 169 − x2. З ΔBCK BK2 = BC2 − CK2 = 142 − (15 − x)2 = 196 − 225 + 30x − x2 = −29 + 30x − x2. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні. 169 − x2 = −29 + 30x − x2; 30x = 198; x = 6,6. Отже, AK = 6,6 см, CK = 15 − 6,6 = 8,4 (см). Відповідь: 6,6 см, 8,4 см. 37.22 Сторони гострокутного трикутника дорівнюють 25 см, 29 см і 36 см. Знайдіть проєкції двох більших сторін на меншу сторону.

У ΔMNP MN = 36 см, NP = 29 см, MP = 25 см. Проведемо NK ⊥ MP — перпендикуляр, проведений з вершини N до меншої сторони MP. MK — проекція сторони MN, KP — проекція сторони NP на сторону MP. Нехай MK = x см, тоді PK = (25 − x) см. З ΔMNK NK2 = MN2 − MK2 = 362 − x2 = 1296 − x2. З ΔNPK NK2 = NP2 − PK2 = 292 − (25 − x)2 = 841 − 625 + 50x − x2 = 50x − x2 + 216. Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні. 1296 − x2 = 50x − x2 + 216; 50x = 1296 − 216; 50x = 1080; x = 21,6. Отже, MK = 21,6 см, PK = 25 − 21,6 = 3,4 (см). Відповідь: 21,6 см, 3,4 см. 37.23 3 точки A до прямої m проведено похилі AB і AC та перпендикуляр AK, причому точка K лежить між точками B і C. AB = 15 см, AK = 12 см, KC = 16 см. Знайдіть ∠ BAC.

AB і AM — похилі до прямої m, AB = 15 см. AK ⊥ m, AK = 12 см, KC = 16 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

З ΔABK BK = �AB² − AK² = �15² − 12² = √225 − 144 = √81 = 9 (см). З ΔAKC AC = �AK² + KC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20 (см). BC = BK + KC = 9 + 16 = 25 (см). У ΔABC AB2 = 152 = 225; AC2 = 202 = 400; BC2 = 252 = 625. 625 = 225 + 400. Отже, BC2 = AB2 + AC2. Тоді за оберненою теоремою Піфагора ∠A = 90°. Відповідь: 90°. 37.24 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 5 см і 11 см, а її висота – 6 см. Знайдіть діагональ трапеції.

ABCD — трапеція, AB = CD, CK = 6 см, CK ⊥ AD. BC = 5 см, AD = 11 см. BC + AD AK = ; 2 16 5 + 11 = = 8 (см). AK = 2 2 З ΔACK (∠K = 90°) AC = �AK² + CK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 37.25 Радіуси двох кіл, які мають зовнішній дотик, дорівнюють 1 см і 4 см. Пряма a – спільна дотична цих кіл. Знайдіть відстань між точками дотику прямої a з колами.

O1A ⊥ a, O2B ⊥ a — радіуси, проведені в точці дотику. O1O2 — відрізок, що з'єднує центри кіл. Проведемо O1C ⊥ O2A. CABO2 — прямокутник (AB || CO2, AC || BO2, AC ⊥ AB), тоді CO2 = AB, O2B = CA, тому O1C = O1A – AC = 4 – 1 = 3 (см). З ΔO1CO2 (∠C = 90°) CO2 = �O₁O₂² – CO₁² = �(1 + 4)² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 37.26 У △ ABC (∠C = 90°) проведено середню лінію KL. KL = 3 см, LB = 4 см. 1. У ΔKBL та ΔABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до катета, прилеглого до кута B, і порівняйте отримані значення.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. У ΔKBL та ΔABC знайдіть відношення катета, протилежного до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення. 3. У ΔKBL і ΔABC знайдіть відношення катета, прилеглого до кута B, до гіпотенузи та порівняйте отримані значення.

la. in.

3 KL = ; 𝟏𝟏. У ΔKBL 4 BL AC 2 · 3 3 у ΔABC = = . BC 2 · 4 4 AC KL = . Отже, BC BL 2. У ΔKBL BK = �KL² + LB² = �3² + 4² = √9 + 6 = √25 = 5. 3 KL = . 5 KB У ΔABC AB = 2KB = 2 · 5 = 10 см; AC = 2KL = 2 · 3 = 6. AC 6 3 KL AC = = . = . AB 10 5 KB AB BL 4 𝟑𝟑. У ΔKBL = ; KB 5 8 4 BC = = . у ΔABC 10 5 AB BC BL = . AB KB 37.27 Визначте міру кутів трикутника зі сторонами завдовжки: 1. 1 см; √3 см; 2 см; 2. 1 см; 1 см; √2 см. 1. 12 = 1; (√3)2 = 3; 22 = 4. Оскільки 4 = 1 + 3, тобто 22 = 12 + (√3)2, то трикутник прямокутний. Найбільша сторона — гіпотенуза, вона дорівнює 2 см. Один з катетів вдвічі менший — 1 см. Значить, у трикутнику один з гострих кутів 30°, тоді другий — 60°. Відповідь: 90°, 30°, 60°. 2. 12 = 1; (√2)2 = 2. Маємо: (√2)2 = 12 + 12. Тоді трикутник прямокутний. Його катети рівні по 1 см. Отже, гострі кути трикутника дорівнюють по 45°. Відповідь: 90°, 45°, 45°. 37.28 Відомо, що 1 га лісу за рік очищує 18 млн м3 повітря. Скільки м3 повітря очистить за рік ліс площею: 1. 5 га? 2. 2 км2? 2 км2 = 200 га  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 5 · 18 · 106 = 90 · 106 = 9 · 107 (м3) очистить ліс за рік. 2. 200 · 18 · 106 = 2 · 18 · 108 = 36 · 108 (м3) очистить ліс за рік. Відповідь: ліс за рік очищує: 1. 9 · 107 м3 2. 36 · 108 м3. 37.29 (Задача Стенфордського університету.) Точку P так розташовано всередині прямокутника так, що відстань від неї до вершини прямокутника дорівнює 5 ярдів, до протилежної вершини – 14 ярдів, до третьої вершини – 10 ярдів. Якою є відстань від точки P до четвертої вершини?

la. in.

ABCD — прямокутник. PB = 5, PC = 10, PD = 14. Проведемо PK ⊥ BC і PS ⊥ AD. Через точку P можна провести тільки один спільний перпендикуляр до паралельних прямих BC і AD. Тоді ABKS — прямокутник. Нехай AD = BC = b, BK = AS = x, тоді KC = SD = b − x. З ∆BKP KP2 = BP2 − BK2 = 52 − x2 = 25 − x2. З ∆PKC KP2 = PC2 − KC2 = 102 − (b − x)2 = 100 − b2 + 2bx − x2 = −b2 + 2bx − x2. Ліві частини рівностей однакові, значить, і праві частини рівні: 25 − x2 = 100 − b2 + 2bx − x2; b2 − 2bx – 75 = 0. (1) З ∆APS PS2 = AP2 – AS2 = AP2 − x2. З ∆PSD PS2 = PD2 – SD2 = 142 − (b − x)2 = 196 − b2 + 2bx − x2; AP2 − x2 = 196 − b2 + 2bx − x2; AP2 + b2 − 2bx – 196 = 0. (2) 3 (1) і (2): b2 − 2bx − 75 = AP2 + b2 − 2bx − 196. AP2 = 196 − 75; AP2 = 121; AP = 11. Відповідь: 11 ярдів.

§ 38. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника 38.1 Дано △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. sin A; 2. cos B; 3. tg A; 4. cos A; 5. sin B; 6. tg B.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

BC 8 4 = = ; AB 10 5 8 4 BC = = ; 𝟐𝟐. cos ∠B = 10 5 AB 8 4 BC = = ; 𝟑𝟑. tg ∠A = 6 3 AC 6 3 BC = = ; 𝟒𝟒. cos ∠A = 10 5 AB 6 3 AC = = ; 𝟓𝟓. sin ∠B = 10 5 AB 6 3 AC = = . 𝟔𝟔. tg ∠B = 8 4 BC 38.2 Дано △MNK, ∠K = 90°. Знайдіть: 1. cos M; 2. sin N; 3. tg M; 4. sin M; 5. cos N; 6. tg N.

la. in.

𝟏𝟏. sin ∠A =

4 MK = ; 5 MN 4 MK = ; 𝟐𝟐. sin ∠N = 5 MN 3 KN = ; 𝟑𝟑. tg ∠M = 4 MK KN 3 𝟒𝟒. sin ∠M = = ; MN 5 3 KN = ; 𝟓𝟓. cos ∠N = 5 MN MK 4 𝟔𝟔. tg ∠N = = . KN 3 38.3 Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера: 1. cos 22°; 2. sin 50°; 3. tg 17°; 4. cos 12°10'; 5. sin 67°30'; 6. tg 81°48'. 1. cos 22° = 0.9272; 2. sin 50° = 0.7660; 3. tg 17° = 0.3057;

𝟏𝟏. cos ∠M =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

4. cos 12°10' = 0,9775; 5. sin 67°30' = 0,9239; 6. tg 81°48' = 6,9395. 38.4 Знайдіть за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера: 1. sin 43°; 2. cos 57°; 3. tg 70°; 4. sin 14°42'; 5. cos 49°30'; 6. tg 15°12'. 1. sin 43° ≈ 0.6820; 2. cos 57° ≈ 0.5446; 3. tg 70° ≈ 2.7475; 4. sin 14°42' ≈ 0,2538; 5. cos 49°30' ≈ 0,6494; 6. tg 15°12' ≈ 0,2717. 38.5 Обчисліть: 1. sin 30° + tg 45°; 2. cos 30° · sin 60°. 1 1 𝟏𝟏. sin 30° + tg 45° = + 1 = 1 ; 2 2 3 √3 √3 · = . 𝟐𝟐. cos 30° · sin 60° = 4 2 2 38.6 Обчисліть: 1. sin 45° − cos 60°; 2. sin 45° : cos 45°. 1 1 𝟏𝟏. tg 45° − cos 60° = 1 − = ; 2 2 √2 2 √2 √2 ∶ = · = 1. 𝟐𝟐. sin 45° ∶ cos 45° = 2 2 2 √2 38.7 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 5 см, BC = 12 см. Знайдіть: sin A, cos A. AB = �AC² + BC² = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см). 12 BC = ; sin ∠A = 13 AB 5 AC = . cos ∠A = 13 AB 38.8 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см. Знайдіть: sin B, cos B. AB = �AC² + BC² = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). 7 AC = ; sin ∠B = 25 AB 24 BC = . cos ∠B = 25 AB 38.9 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AC, якщо BC = a, ∠B = β; 2. AB, якщо AC = b, ∠A = α. AC AC ; tg 𝛽𝛽 = ; AC = 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽; 𝟏𝟏. tg ∠B = 𝑎𝑎 BC  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AC 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ; cos 𝛼𝛼 = ; AB = . AB AB cos 𝛼𝛼 38.10 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. BC, якщо AC = b, ∠A = α; 2. AB, якщо BC = a, ∠B = β. BC BC ; tg 𝛼𝛼 = ; BC = 𝑏𝑏 tg 𝛼𝛼; 𝟏𝟏. tg ∠A = 𝑏𝑏 AC 𝑎𝑎 𝑎𝑎 BC ; cos 𝛽𝛽 = ; AB = . 𝟐𝟐. cos ∠B = AB cos 𝛽𝛽 AB 38.11 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1 1. AB, якщо AC = 5 см, cos A = ; 4 2. AB, якщо BC = 3 см, sin A = 0,6; 3 3. AC, якщо AB = 8 см, sin B = ; 4

𝟐𝟐. cos ∠A =

la. in.

4. BC, якщо AB = 20 см, cos B = ; 5 5. AC, якщо BC = 10 см, tg B = 0,5. AC 1 AC ; AB = = 5: = 5 · 4 = 20(см); 𝟏𝟏. cos∠A = cos ∠A 4 AB BC BC 3 𝟐𝟐. sin∠A = ; AB = = = 5(см); AB sin ∠A 0,6 AB 3 𝟑𝟑. sin∠B = ; AC = ABsin∠B = 8 · = 6(см); AC 4 4 BC ; BC = ABcos∠B = 20 · = 16(см); 𝟒𝟒. cos∠B = 5 AB AC ; AC = BCtg∠B = 10 · 0,5 = 5(см). 𝟓𝟓. tg∠B = BC 38.12 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1 1. AB, якщо BC = 8 см, cos B = ; 2 2. AB, якщо AC = 10 см, sin B = 0,25; 1 3. BC, якщо AB = 6 см, sin A = ; 3 4. AC, якщо AB = 20 см, cos A = 0,4; 3 5. BC, якщо AC = 12 см, tg A = . 4 BC 1 BC ; AB = = 8: = 8 · 2 = 16(см); 𝟏𝟏. cos∠B = cos ∠B 2 AB AC 10 AC ; AB = = = 40(см); 𝟐𝟐. sin∠B = sin ∠B 0,25 AB BC 1 𝟑𝟑. sin∠A = ; BC = ABsin∠A = 6 · = 2(см); AB 3 AC ; AC = ABcos∠A = 20 · 0,4 = 8(см); 𝟒𝟒. cos∠A = AB BC 3 𝟓𝟓. tg∠A = ; BC = ACtg∠A = 12 · = 9(см). AC 4 38.13 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AB, якщо AC = 4√3 см, ∠A = 30° 2. AC, якщо AB = 5√2 см, ∠B = 45°  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AC AC 4 √3 4 √3 · 2 √3 ; AB = = = 4√3 ∶ = = 8 (см); AB cos ∠A cos 30° 2 √3 AC √2 ; AC = AB sin ∠B = 5√2 · sin 45° = 5√2 · = 5 (см). 𝟐𝟐. sin ∠B = AB 2 38.14 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть: 1. AB, якщо BC = 6√3 см, ∠B = 30° 2. BC, якщо AB = 10√2 см, ∠A = 45° BC BC 6 √3 6 √3 · 2 √3 𝟏𝟏. cos ∠B = ; AB = = = 6√3 ∶ = = 12 (см); AB cos ∠B cos 30° 2 √3 BC √2 ; BC = AB sin ∠A = 10√2 · sin 45° = 10√2 · = 10 (см). 𝟐𝟐. sin ∠A = AB 2 38.15 Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут α, якщо: 1. sin α = 0,4226 2. cos α = 0,8192 3. tg α = 0,2679 4. sin α = 0,8231 5. cos α = 0,9373 6. tg α = 0,6924 1. sin α = 0,4226; α = 25°; 2. cos α = 0,8192; α = 35°; 3. tg α = 0,2679; α = 14°; 4. sin α = 0,8231; α = 55°24'; 5. cos α = 0,9373; α = 20°24'; 6. tg α = 0,6924; α = 34°42'. 38.16 Знайдіть (за допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера) гострий кут β, якщо: 1. cos β = 0,1908 2. sin β = 0,8387 3. tg β = 0,7265 4. cos β = 0,5493 5. sin β = 0,3518 6. tg β = 1,1792 1. cos β = 0,1908; β = 79°; 2. sin β = 0,8387; β = 57°; 3. tg β = 0,7265; β = 36°; 4. cos β = 0,5493; β = 56°39'; 5. sin β = 0,3518; β = 20°36'; 6. tg β = 1,1792; β = 49°42'. 38.17 У △ABC, ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра: 1. AB, якщо BC = 5 см, ∠A = 42° 2. BC, якщо AB = 10 см, ∠B = 37° 3. BC, якщо AC = 4 см, ∠A = 82°

la. in.

𝟏𝟏. cos ∠A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

BC ; AB = BC ∶ sin ∠A = 5 ∶ sin 42° ≈ 5 ∶ 0,6691 ≈ 7,47 (см); AB BC 𝟐𝟐. cos ∠B = ; BC = AB cos ∠B = 10 · cos 37° ≈ 10 · 0,7986 ≈ 7,99 (см); AB BC 𝟑𝟑. tg ∠A = ; BC = AC tg ∠A = 4 · tg 82° ≈ 4 · 7,1154 ≈ 28,46 (см). AC 38.18 У △ABC, ∠C = 90°. За допомогою таблиць, калькулятора або комп’ютера знайдіть із точністю до сотих сантиметра: 1. AC, якщо AB = 8 см, ∠A = 15° 2. AB, якщо BC = 9 см, ∠A = 43° 3. BC, якщо AC = 5 см, ∠B = 29°

la. in.

𝟏𝟏. sin ∠A =

AC ; AC = AB cos ∠A = 8 cos 15° ≈ 8 · 0,9659 ≈ 7,73 (см); AB BC BC 9 9 𝟐𝟐. sin ∠A = ; AB = = ≈ ≈ 13,20 (см); AB sin ∠A sin 43° 0,6820 AC 5 5 AC ; BC = = ≈ ≈ 9,02 (см). 𝟑𝟑. tg ∠B = tg ∠B tg 29° 0,5543 BC 38.19 Побудуйте кут: 3 1. тангенс якого дорівнює ;

𝟏𝟏. cos ∠A =

2. синус якого дорівнює ; 7

3. косинус якого дорівнює . 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. синус якого дорівнює ; 5

38.20 Побудуйте кут: 2 1. тангенс якого дорівнює ; 7

3. косинус якого дорівнює .

la. in.

38.21 Діагональ прямокутника утворює з його стороною, довжина якої a, кут β. Знайдіть периметр прямокутника.

З ΔBCD BC = BC cos β = a cos β; CD = BD sin β = a sin β. PABCD = 2(BC + CD) = 2(a cos β + a sin β) = 2a(cos β + sin β). Відповідь: 2a(cos β + sin β). 38.22 Одна сторона прямокутника дорівнює b. Його діагональ утворює з другою стороною кут α. Знайдіть площу прямокутника.

BC BC 𝑏𝑏 ; CD = = . CD tg 𝛼𝛼 tg 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑏𝑏² SABCD = BC · CD = 𝑏𝑏 · = . tg 𝛼𝛼 tg 𝛼𝛼 З ΔBCD tg ∠BDC = Відповідь:

𝑏𝑏²

tg 𝛼𝛼

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

38.23 Кут ромба дорівнює 42°, а діагональ, що лежить проти нього, – 6 см. Знайдіть другу діагональ ромба (з точністю до сотих сантиметра).

la. in.

У ромбі ABCD ∠A = 42°; BD = 6 см. За властивістю діагоналей ромба AC ⊥ BD, ∠BAO = ∠DAO = 42° : 2 = 21°, 1 1 BO = BD = · 6 = 3 (см). 2 2 BO 3 3 З ΔAOB AO = = ≈ ≈ 7,8145 (см). tg ∠BAO tg 21° 0,3839 AC = 2AO = 2 · 7,8145 = 15,63 (см). Відповідь: 15,63 см. 38.24 Сторона ромба дорівнює 8 см, а один з його кутів – 78°. Знайдіть (з точністю до сотих сантиметра) діагональ ромба, що виходить із цього кута.

В ромб ABCD ∠A = 78°, AB = BC = CD = AD = 8 см. За властивістю діагоналей ромба AC ⊥ BD, 1 ∠BAO = ∠DAO = 78° ∶ 2 = 39°, AO = AC. 2 З ΔAOB cos∠BAO = AO : AB; AO = AB · cos∠BAO = 8 · cos39° ≈ 8 · 0,7771 ≈ 6,22 (см). AC = 2 · 6,22 = 12,44 (см). Відповідь: 12,44 см. 38.25 Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює c, а один з гострих кутів – α. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

З ΔABC (∠C = 90°) BC = AB α cos ∠B = c cos α.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

З ΔCBD CD = BC sin α = c sin α cos α. Відповідь: c sin α cos α. 38.26 Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо один з його гострих кутів дорівнює β.

CK 𝑛𝑛 = . sin 𝛽𝛽 sin 𝛽𝛽 BC ; З ∆ABC cos 𝛽𝛽 = AB ℎ BC = . AB = sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 ℎ . Відповідь:

la. in.

З ∆СKВ CB =

sin 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽

38.27 Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета цього трикутника як 8 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

Якщо відношення гіпотенузи до катета дорівнює 8 : 5, то синус одного з гострих кутів дорівнює 5 sin ∠A = ≈ 0,625. 8 Тоді ∠A ≈ 39°. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 39° = 51°. Відповідь: 39°, 51°. 38.28 Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 9 : 5. Знайдіть (з точністю до градуса) гострі кути цього трикутника.

За умовою тангенс одного з гострих кутів дорівнює: 9 tg ∠A = = 1,8. 5 ∠A = 61°, ∠B = 90° − ∠A = 90° − 61° = 29°. Відповідь: 61°, 29°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

38.29 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть: а. AB і BC, якщо AC = 6 см, cos B = 0,8; 5 б. AC і BC, якщо AB = 13 см, tg A = .

𝐚𝐚. За умовою cos ∠B = 0,8 =

BC 4 4 , тобто = . AB 5 5

la. in.

Позначимо BC = 4x, AB = 5x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (5x)2 = 62 + (4x)2; 25x2 = 36 + 16x2; 25x2 − 16x2 = 36; 9x2 = 36; x2 = 4; x = 2. Отже, BC = 4 · 2 = 8 (см), AB = 5 · 2 = 10 (см). Відповідь: 8 см, 10 см. 5 BC 5 б. За умовою tg ∠A = , тобто = . 12 AC 12 Позначимо BC = 5x, AB = 12x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; 132 = (12x)2 + (5x)2; 169 = 144x2 + 25x2; 169x2 = 169; x2 = 1; x = 1. BC = 5 · 1 = 5 (см), AC = 12 · 1 = 12 (см). Відповідь: 5 см, 12 см. 38.30 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть: а. AB і BC, якщо AC = 4 см, sin A = 0,6; 8 б. AC і BC, якщо AB = 34 см, tg B = .

а. За умовою sin ∠A = 0,6 =

BC = 3x, AB = 5x. Тоді AB2 = BC2 + AC2; (5x)2 = (3x)2 + 42; 25x2 − 9x2 = 16;

3 𝐵𝐵𝐵𝐵 3 6 = , тобто = . 5 AB 5 10

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

16x2 = 16; x2 = 1; x = 1. BC = 3 · 1 = 3 (см), AB = 5 · 1 = 5 (см). Відповідь: 5 см, 3 см. 8 𝐴𝐴𝐴𝐴 8 б. За умовою tg ∠B = , тобто = . 15 BC 15 Нехай AC = 8x, BC = 15x, тоді AB2 = BC2 + AC2; 342 = (15x)2 + (8x)2; 1156 = 225x2 + 64x2; 289x2 = 1156; x2 = 4; x = 2. AC = 8 · 2 = 16 (см), BC = 15 · 2 = 30 (см). Відповідь: 16 см, 30 см. 38.31 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 2а і 2b (а > b), а гострий кут – α. Знайдіть бічну сторону трапеції.

AD − BC 2𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 = = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏. 2 2 AK cos ∠A = ; AB 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 AK = . AB = cos 𝛼𝛼 cos ∠A 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 Відповідь: . cos 𝛼𝛼 38.32 На малюнку ∠ACB = ∠K = 90°, AC = b, ∠ABC = β, ∠BCK = γ. Знайдіть BC, CK, KB.

AK =

AC 𝑏𝑏 = . tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽

З ΔABC BC =

𝑏𝑏 sin 𝛾𝛾 𝑏𝑏 · sin 𝛾𝛾 = ; tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽 𝑏𝑏 c𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛾𝛾 𝑏𝑏 · cos 𝛾𝛾 = . CK = BC cos 𝛾𝛾 = tg 𝛽𝛽 tg 𝛽𝛽 𝑏𝑏 𝑏𝑏 sin 𝛾𝛾 𝑏𝑏 c𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛾𝛾 Відповідь: , , . З ΔBCK BK = BC sin 𝛾𝛾 = tg 𝛽𝛽

tg 𝛽𝛽

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

38.33 На малюнку ∠ACB = ∠K = 90°, BK = a, ∠ABC = β, ∠BCK = α. Знайдіть BC, AC, AB.

BK 𝑎𝑎 = . sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 ; З ΔABC AC = BC tg 𝛽𝛽 = sin 𝛼𝛼 𝑎𝑎 BC = . AB = sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 cos 𝛽𝛽 𝑎𝑎 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 𝑎𝑎 , , . Відповідь: З ΔBCK BC =

la. in.

sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 sin 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽

38.34 Сторони прямокутника дорівнюють 19 см і 50 см. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника (з точністю до хвилин).

З ΔACD tg ∠ACD =

AD 50 = ≈ 2,632. CD 19

∠ACD ≈ = 69°12'. ΔCOD — рівнобедрений (CO = DO), тоді ∠ODC = ∠ACD = 69°12'. ∠COD = 180° − 2 ∙ 69°12' = 180° − 138°24' = 41°36'. Відповідь: 41°36'. 38.35 Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 12 см. Знайдіть кути ромба (з точністю до хвилини).

ABCD — ромб, AC = 12 см, BD = 10 см. 1 1 AO = AC = ∙ 12 = 6 (см); 2 2 1 1 BO = BD = ∙ 10 = 5 (см). 2 2 У ΔAOB ∠O = 90° (за властивістю діагоналей). 1 ∠BAO = ∠A. 2 5 BO = ≈ 0,8333. tg ∠BAO = 6 AO ∠BAO ≈ = 39°48'. ∠A = 2∠BAO = 2 ∙ 39°48' = 79°36'.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

∠C = ∠A = 79°36'. ∠B = ∠D = 180° − 79°36' = 100°24'. Відповідь: 79°36', 100°24'. 38.36 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює m, а кут при основі – α. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

la. in.

Центр O кола, вписаного в ΔABC, лежить у точці перетину бісектрис кутів. AO — бісектриса кута A, BD — бісектриса, висота і медіана, проведена з вершини B. З ΔABD AD = AB cos α = m cos α. 𝛼𝛼 З ΔAOD ∠OAD = , OD — радіус вписаного кола. 2

𝛼𝛼

OD = AD · tg ∠OAD = m cos α · tg . 𝛼𝛼

Відповідь: m cos α · tg . 2 38.37 Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює β, а радіус вписаного кола – r. Знайдіть бічну сторону трикутника.

ΔABC — рівнобедрений, ∠A = ∠C = β. Центр O вписаного кола лежить у точці перетину бісектрис. Бісектриса BD є висотою і медіаною. OD = r — радіус вписаного кола. OD З ΔAOD tg ∠OAD = , AD 𝑟𝑟 OD = . AD = 𝛽𝛽 tg ∠OAD tg 2 AD 𝑟𝑟 З ΔABD AB = = . 𝛽𝛽 cos ∠A tg cos 𝛽𝛽 2 𝑟𝑟 Відповідь: 𝛽𝛽 . cos 𝛽𝛽

38.38 Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 20 см.

ABCD — паралелограм. ∠A = ∠C = 45°. ∠CBD : ∠ABD = 1 : 2. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 45° = 135°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Позначимо ∠CBD = x, ∠ABD = 2x. x + 2x = 135°; 3x = 135°; x = 45°. Отже, ∠CBD = 45°, ∠ABD = 45° ∙ 2 = 90°. У ΔABD ∠BDA = ∠BAD = 45°, тоді AB = BD; AB 1 AD = = AB ∶ = √2AB. cos 45° √2 PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + √2AB) = 2AB(1 + √2). За умовою 2AB(1 + √2) = 20; 2AB(1 + √2) = 20; AB(1 + √2) = 10; 10(√2 – 1) 10(√2 – 1) 10 = = = 10(√2 – 1) (см). AB = 1 + √2 (1 + √2)( √2 − 1) (√2)² − 1 BD = AB = 10(√2 − 1) (см). Відповідь: 10(√2 − 1) см. 38.39 Гострий кут паралелограма дорівнює 60°. Діагональ ділить тупий кут у відношенні 1 : 3. Знайдіть цю діагональ, якщо периметр паралелограма дорівнює 24 см.

ABCD — паралелограм, ∠A = ∠C = 60°, BD — діагональ. ∠CBD : ∠ABD = 1 : 3. ∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°. ∠CBD = x, ∠ABD = 3x. x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30. Отже, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 3 · 30° = 90°. У ΔABD ∠ADB = 90° − 60° = 30°. 1 Тоді AB = AD, як катет, що лежить проти кута 30°. 2 PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + 2AB) = 6AB. За умовою 6AB = 24 см; AB = 4 см. З ΔABD BD = AB · tg ∠A = 4 · tg 60° = 4√3 (см). Відповідь: 4√3 см. 38.40 У трикутнику одна зі сторін дорівнює 10 см, а прилеглі до неї кути – 135° і 30°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до даної сторони.

Тоді ΔABD — рівнобедрений: BD = AD. Нехай AD = x см, тоді CD = (x + 10) см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

ЗΔBCDBD = CD · tg∠C = (𝑥𝑥 + 10) · tg30° =

√3 (𝑥𝑥 + 10)(см). 3

la. in.

З ΔABD BD = AD · tg ∠A = x tg 45° = x (см). √3 (𝑥𝑥 + 10) = 𝑥𝑥; 3 10√3 √3 𝑥𝑥 + = 𝑥𝑥; 3 3 10√3 √3 ; �1 − � 𝑥𝑥 = 3 3 10√3 �3 − √3�𝑥𝑥 = ; 3 3 (3 − √3)x = 10√3; 10√3 10√3 10�√3 + 1� 10�√3 + 1� x= = = = = 5�√3 + 1�(см). 3 − 1 3 − √3 √3�√3 − 1� �√3 − 1��√3 + 1� Відповідь: 5(√3 + 1) см. 38.41 У трикутнику одна зі сторін дорівнює 8 см, а прилеглі до неї кути – 60° і 45°. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

У ΔABC ∠A = 60°, ∠C = 45°, BD ⊥ AC, AC = 8 см. У ΔBDC ∠CBD = 90° − ∠C = 90° − 45° = 45°, тоді BD = CD. Нехай CD = x см, тоді AD = (8 − x) см. З ΔABD BD = AD tg ∠A = (8 − x) tg 60° = (8 − x)√3 (см). З ΔBCD BD = CD = x см. Отже, (8 − x)√3 = x. 8√3 − √3x = x; x + √3x = 8√3; x(1 + √3) = 8√3; 8 √3 8√3 (√3 − 1) 8√3 (√3 − 1) 𝑥𝑥 = = = = 4√3 (√3 − 1). 3 − 1 (1 + √3)(√3 − 1) 1 + √3 Отже, BD = 4√3 (√3 − 1) см. Відповідь: 4√3 (√3 − 1) см. 38.42 Похила, проведена з точки до прямої, у два рази більша за перпендикуляр, який сполучає цю точку з прямою. Знайдіть кут між похилою і перпендикуляром.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

PS — похила, PK ⊥ a. ΔPKS — прямокутний. 1 За умовою PK = PS, тоді ∠S = 30°. 2 Відповідь: 30°. 38.43 Катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а його проекція на гіпотенузу – 7,2 см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC ∠C = 90°, AC = 12 см. Проведемо CD ⊥ AB. Тоді AD = 7,2 см — проекція катета AC на гіпотенузу AB. За властивістю катета: AC2 = AD · AB; AB = AC2 : AD = 122 : 7,2 = 20 (см). З ΔABC BC = �AB² − AC² = �20² − 12² = √400 − 144 = √256 = 16 (см). PΔABC = 12 + 20 + 16 = 48 (см). Відповідь: 48 см. 38.44 Побудуйте ромб за висотою і меншою діагоналлю.

План побудови. 1. Накреслити пряму m і через її довільну точку K провести перпендикулярну пряму n. 2. На прямій n відкласти відрізок KA = h. 3. Побудувати коло з центром A радіусом d1. Точка перетину кола з прямою m — C. 4. Поділити відрізок AC навпіл (точка O). 5. Через точку O провести пряму, перпендикулярну AC. D — точка перетину цієї прямої з прямою m. 6. Відкласти OB = OD. 7. ABCD — шуканий ромб. 38.45 Кут 3° розглядають крізь збільшувальне скло, яке збільшує в п’ять разів. Яка градусна міра кута?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Збільшувальне скло збільшує лінійні розміри, але градусна міра кута не залежить від розмірів фігури. Тобто при будь-якому збільшенні або зменшенні фігури кут залишається таким самим. Отже, градусна міра кута не зміниться. Відповідь: 3°. 38.46 (Задача Архімеда). Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це.

Нехай a, b, c, d — дані відрізки хорд AB і CD. Нехай AC = x, BD = y. Тоді за теоремою Піфагора для ΔAED: x2 = a2 + c2. (1) Для ΔBEC: y2 = b2 + d2. (2) Проведемо AK || CD. Тоді BK = 2R — діаметр (оскільки AK || CD, а AB ⊥ CD, то AB ⊥ AK). ACKD — рівнобічна трапеція, оскільки в коло можна вписати лише рівнобічну трапецію і AK = KD = x. ∠BDK = 90° (спирається на діаметр). За теоремою Піфагора для ΔBDK: BD2 + KD2 = BK2; x2 + y2 = (2R)2; a2 + c2 + b2 + d2 = 4R2, тобто AE2 + BE2 + CE2 + DE2 = 4R2.

§ 39. Розв’язування прямокутних трикутників 39.1 За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3 і 4) знайдіть із точністю до сотих. 1. AB = 6 см; ∠A = 30°; 2. AB = 10 дм; ∠B = 45°; 3. AB = 12 см; ∠A = 18°; 4. AB = 15 дм; ∠B = 73°.

 shkola.in.ua

1. ∠B = 90° − ∠A, ∠B = 90° − 30° = 60°; 1 BC = AB sin ∠A = 6 · = 3 (см); 2

√3 = 3√3 (см). 2

AC = AB cos ∠A = 6 · cos 60° = 6 ·

Відповідь: 60°, 3 см, 3√3 см. 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.

√2 = 5√2 (дм). 2

la. in.

AC = AB sin ∠B = 10 · sin 45° = 10

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

BC = AC = 5√2 (дм). Відповідь: 45°, 5√2 дм, 5√2 дм. 3. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 18° = 72°. BC = AB sin ∠A = 12 · sin 18° ≈ 12 · 0,309 ≈ 3,71 (см). AC = AB cos ∠A = 12 · cos 18° ≈ 12 · 0,9511 ≈ 11,41 (см). Відповідь: 72°, 3,71 см, 11,41 см. 4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 73° = 17°. AC = AB sin ∠B = 15 · sin 73° ≈ 15 · 0,9613 ≈ 14,34 (дм); BC = AB cos 73° ≈ = 15 · 0,2924 ≈ 4,35 (дм). Відповідь: 17°, 14,34 дм, 4,35 дм. 39.2 За гіпотенузою AB прямокутного трикутника ABC і гострим кутом знайдіть інші його сторони та другий гострий кут (сторони трикутника в задачах 3 і 4) знайдіть із точністю до сотих. 1. AB = 14 дм; ∠A = 45°; 2. AB = 6 см; ∠B = 60°; 3. AB = 3 дм; ∠A = 82°; 4. AB = 8 см; ∠B = 25°.

1. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 45° = 45°.

BC = AB sin ∠A = 14 · sin 45° = 14 ·

AC = AB cos ∠A = BC = 7√2 (дм). Відповідь: 45°, 7√2 дм, 7√2 дм. 2. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°. 1 1 BC = AB = · 6= 3 (см). 2

√2 = 7√2 (дм); 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AC = AB sin ∠B = 6 sin 60° = 6 ·

√3 = 3√3 (см). 2

la. in.

Відповідь: 30°, 3 см, 3√3 см. 3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 82° = 8°. BC = AB sin ∠A = 3 sin 82° = 3 · 0,9903 ≈ 2,97 (дм); AC = AB cos ∠A = 3 cos 82° = 3 · 0,1392 ≈ 0,417 (дм). Відповідь: 8°, 2,97 дм, 0,417 дм. 4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 25° = 65°. AC = AB sin ∠B = 8 sin 25° ≈ 8 · 0,4226 ≈ 3,38 (см); BC = AB cos ∠B = 8 cos 25° ≈ 8 · 0,9063 ≈ 7,25 (см). Відповідь: 65°, 3,38 см, 7,25 см. 39.3 За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2 і 3) знайдіть із точністю до сотих. 1. AC = 6 см; ∠B = 30°; 2. AC = 12 см; ∠A = 24°; 3. BC = 8 дм; ∠A = 42°; 4. BC = 5 см; ∠B = 45°.

1. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 30° = 60°. AC 6 1 = = 6 : = 6√3 (см); BC = AB =

tg ∠B AC

sin ∠B

tg 30° 6

sin 30°

√3 1

= 6 : = 12 (см). 2

Відповідь: 60°, 6√3 см, 12 см. 2. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 24° = 66°. BC = AC tg ∠A = 12 · tg 24° ≈ 12 · 0,4452 ≈ 5,34 (см); AC 12 12 = ≈ ≈ 13,14 (см). AB = cos ∠A

cos 24°

tg ∠A BC

tg 42° 8

0,9135

Відповідь: 66°, 5,34 см, 13,14 см. 3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 42° = 48°. BC 8 8 AC = = ≈ ≈ 8,88 (дм); =

≈

≈ 1,96 (дм).

AB =

0,9004 8

sin ∠A

sin 42°

0,6691

Відповідь: 48°, 6,66 дм, 8,97 дм. 4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 45° = 45°. AC = BC = 5 см. BC BC 1 AB = = = 5∶ = 5√2 (см). cos ∠B cos 45° √2 Відповідь: 45°, 5 см, 5√2 см. 39.4 За катетом трикутника ABC (∠C = 90°) і його гострим кутом знайдіть інші сторони та другий гострий кут трикутника (сторони трикутника в задачах 2 і 3) знайдіть із  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

точністю до сотих. 1. AC = 10 см; ∠A = 60°; 2. AC = 8 дм; ∠B = 12°; 3. BC = 6 см; ∠B = 71°; 4. BC = 12 дм; ∠A = 45°.

AB =

tg ∠B AC

sin ∠B

tg 12° 8

la. in.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°. AB = 2AC = 2 · 10 = 20 (см). BC = AC tg ∠A = 10 tg 60° ≈ 10 · 1,732 ≈ 17,32 (см). Відповідь: 30°, 20 см, 17,32 см. 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 12° = 78°. AC 8 8 = ≈ ≈ 37,63 (дм). BC = sin 12°

0,2126 8

≈

0,2079

≈ 38,48 (дм).

Відповідь: 78°, 37,63 дм, 38,48 дм. 3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 71° = 19°. AC = BC tg ∠B = 6 · tg 71° ≈ 6 · 2,904 ≈ 17,42 (см). BC 6 ≈ ≈ 18,43 (см). AB = BC : cos ∠B = cos 71°

0,3256

Відповідь: 19°, 17,42 см, 18,43 см. 4. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°. AC = BC = 12 дм. AB =

sin ∠A

= 12 :

√2 = 12√2 (дм). 2

Відповідь: 45°, 12 дм, 12√2 дм. 39.5 Діагональ прямокутника дорівнює 6 см й утворює кут 25° з однією з його сторін. Знайдіть кут, що утворює діагональ прямокутника з другою стороною, та сторони прямокутника (з точністю до сотих см).

З ΔBCD ∠BDC = 90° – ∠CBD = 90° – 25° = 65°. BC = BD cos ∠CBD = 6 cos 25° ≈ 6 · 0,9063 ≈ 5,44 (см). CD = BD sin ∠CBD = 6 sin 25° ≈ 6 · 0,4226 ≈ 2,54 (см). Відповідь: 65°, 5,44 см, 2,54 см. 39.6 З точки, що розміщена на відстані 6 см від прямої, проведено похилу, яка утворює з прямою кут 52°. Знайдіть кут, який утворює похила з перпендикуляром, проведеним із тієї самої точки, довжину перпендикуляра та проєкцію похилої (з точністю до сотих см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

∠A = 90° – ∠B = 90° – 52° = 38°. 6 6 C = ≈ ≈ 4,69 (см). BC = tg 52° 1,2799 tg ∠B 6 6 AC = ≈ ≈ 7,61 (см). AB = sin 52° 0,7880 sin ∠B Відповідь: 38°, 4,69 см, 7,61 см. 39.7 Знайдіть висоту дерева AC, якщо BC = 40 м, а ∠B = 27°.

AC = BC · tg ∠B = 40 · tg 27° ≈ 40 · 0,5095 ≈ 20,38 (cм). Відповідь: 20,38 cм. 39.8 Якщо висота сонця над горизонтом 28°, то тінь від башти дорівнює 60 м. Знайдіть висоту башти (з точністю до десятих м).

AB ; BC AB = BC · tg 28° = 60 · 0,5317 = 31,9 (м). 39.9 Телеграфний стовп заввишки 10 м розміщено на березі річки. Верхній кінець стовпа видно з іншого берега під кутом 20° до горизонту. Знайдіть ширину річки (з точністю до десятих м).

tg C =

CB AC CB AC = = 10 ∶ 0,364 = 27,5 (м) – ширина річки. tg A Відповідь: ширина річки 27,5 м. tg A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

39.10 За малюнком знайдіть відстань від об’єкта B до недоступного об’єкта A, якщо ∠C = 90°, BC = 80 м, ∠B = 57°.

80 80 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ≈ ≈ 146,90 (м). cos 57° 0,5446 cos ∠B Відповідь: 146,90 м. 39.11 За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AC = 4 см; BC = 4√3 см; 2. AC = 8 дм; BC = 15 дм; 3. AC = 3 см; BC = 9 см; 4. AC = 7m дм; BC = 24m дм.

la. in.

AB =

1. AB = �AC² + BC² = �(4² + (4√3)² = √16 + 48 = √64 = 8 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵

4√3

tg ∠A = = = √3; A𝐶𝐶 4 ∠A = 60°. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°. Відповідь: 8 см, 60°, 30°. 2. AB = �AC² + BC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (дм). 𝐵𝐵𝐵𝐵

tg ∠A = = = 1,875; ∠A = 61°56'. A𝐶𝐶 8 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 61°56' = 28°4'. Відповідь: 17 дм, 61°56', 28°4'. 3. AB = �AC² + BC² = �3² + 9² = √9 + 81 = √90 = 3√10 (см). 9 BC = = 3; ∠A = 71°34′. tg ∠A = 3 AC ∠B = 90° – 71°34' = 18°26'. Відповідь: 3√10 см, 71°34', 18°26'. 4. AB = �AC² + BC² = �7𝑚𝑚² + 24𝑚𝑚² = �49𝑚𝑚² + 576𝑚𝑚² = �625𝑚𝑚² = 25m (дм). 𝐵𝐵𝐵𝐵

24𝑚𝑚

= 3,429; ∠A = 73°44'. ∠B = 16°16'. tg ∠A = = A𝐶𝐶 7𝑚𝑚 Відповідь: 25m дм, 73°44', 16°16'. 39.12 За двома катетами трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його гіпотенузу та гострі кути з точністю до хвилини:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. AC = 2√3 см; BC = 2 см; 2. AC = 8 см; BC = 6 см; 3. AC = 2 дм; BC = 5 дм; 4. AC = 9k дм; BC = 40k дм.

la. in.

1. AB = �AC² + BC² = �(2√3)² + 2² = √12 + 4 = √16 = 4 (см). 𝐵𝐵𝐵𝐵 2 1 tg ∠A = = = ; ∠A = 30°. A𝐶𝐶 2 √3 √3 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 30° = 60°. Відповідь: 4 см, 30°, 60°. 2. AB = �AC² + BC² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см). 6 3 BC = = = 0,75; ∠A = 36°52′. tg ∠A = 8 4 AC ∠B = 90° – ∠A = 90° – 36°52' = 53°8'. Відповідь: 10 см, 36°52', 53°8'. 3. AB = �AC² + BC² = �2² + 5² = √4 + 25 = √29 дм ≈ 5,39 (дм). 5 BC = = 2,5; ∠A = 68°12′. tg ∠A = 2 AC ∠B = 90° – ∠A = 90° – 68°12' = 21°48'. Відповідь: 5,39 дм, 68°12', 21°48'. 4. AB = �AC² + BC² = �(9𝑘𝑘)² + (40𝑘𝑘)² = �81𝑘𝑘² + 1600𝑘𝑘² = �1681𝑘𝑘² = 41k (дм). 40𝑘𝑘 BC = = 4,444; tg ∠A = 9𝑘𝑘 AC ∠A = 77°19'. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 77°19' = 12°41'. Відповідь: 41k дм, 77°19', 12°41'. 39.13 За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AB = 6 см; AC = 3√3 см; 2. AB = 65 дм; AC = 16 дм; 3. AB = 7 см; AC = 4 см; 4. AB = 13a см; AC = 5a см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. BC = �AB² – AC² = �6² – (3√3)² = √36 – 27 = √9 = 3 (см).

3 √3 AC = ; ∠B = 60°. AB 2 ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°. Відповідь: 3 см, 60°, 30°. 2. AC = �AB² – AC² = �65² – 16² = �(65 – 16)(65 + 16) = √49 · 81 = 7 · 9 = 63 (дм). 16 BC = ≈ 0,2462; ∠A ≈ 14°15′. sin ∠A = 65 AB ∠B = 90° – ∠A = 90° – 14°15' = 75°45'. Відповідь: 63 дм, 14°15', 75°45'. 3. BC = �AB² – AC² = �7² – 4² = √49 – 16 = √33 ≈ 5,74 (дм). 𝐴𝐴𝐴𝐴

sin ∠B =

la. in.

sin ∠B = = ≈ 0,5714; ∠B ≈ 34°51'. A𝐵𝐵 7 ∠A = 90° – ∠B = 90° – 34°51' = 55°9'. Відповідь: 5,74 дм, 34°51', 55°9'. 4. AC = �AB² – AC² = �(13𝑎𝑎)² – (5𝑎𝑎)² = �169𝑎𝑎² – 25𝑎𝑎² = �144𝑎𝑎² = 12a (см). 5𝑎𝑎 BC = ≈ 0,3846; ∠A ≈ 22°37′. sin ∠A = 13𝑎𝑎 AB ∠B = 90° – ∠A = 90° – 22°37' = 67°23'. Відповідь: 12a см, 22°37', 67°23'. 39.14 За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його другий катет та гострі кути з точністю до хвилини: 1. AB = 8 см; AC = 4√2 см 2. AB = 37 дм; BC = 12 дм 3. AB = 10 см; AC = 7 см 4. AB = 61b дм; BC = 60b дм

1. BC = �AB² – AC² = �8² – (4√2)² = √64 – 32 = √32 = 4√2 (см).

4√2 AC √2 = = . AB 8 2 ∠B = 45°; ∠A = 45°. Відповідь: 4√2 см, 45°, 45°. 2. AC = �AB² – AC² = �37² – 12²() = �(37 – 12)(37 + 12) = √25 · 49 = 5 · 7 = 35 (дм). 12 BC = ≈ 0,3243; ∠A ≈ 18°55′. sin ∠A = 37 AB ∠B = 90° – ∠A = 90° – 18°55' = 71°5'. Відповідь: 35 дм, 18°55', 71°5'.

sin ∠B =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

3. BC = �AB² – AC² = �10² – 7² = √100 – 49 = √51 ≈ 7,14 (см). 7 AC = = 0,7; ∠B ≈ 44°26′. sin ∠B = 10 AB ∠A = 90° – ∠B = 90° – 44°26' = 45°34'. Відповідь: 7,14 см, 44°26', 45°34'. 4. AC = �AB² – AC² = �(61𝑏𝑏)² – (60𝑏𝑏)² = �(61𝑏𝑏 – 60𝑏𝑏)(61𝑏𝑏 + 60𝑏𝑏) = = √𝑏𝑏 · 121𝑏𝑏 = 11b (дм). BC 60𝑏𝑏 = ≈ 0,9836; ∠A ≈ 79°37′. sin ∠A = AB 61𝑏𝑏 ∠B = 90° – ∠A = 90° – 79°37' = 10°23'. Відповідь: 11b дм, 79°37', 10°23'. 39.15 Тінь від антени мобільного зв’язку, висота якої 5 м, дорівнює 2,6 м. Знайдіть з точністю до хвилин її висоту сонця над горизонтом (кут α).

tg α = 5 : 2,6 ≈ 1,923. α ≈ 62°32′. Відповідь: 62°32′. 39.16 Знайдіть укiс дороги (значення тангенса кута α) за малюнком. Знайдіть мiру кута α.

10 AC = = 0,02. 500 BC α = 1°9′. Відповідь: 1°9′. 39.17 Переріз залізничного насипу має форму рівнобічної трапеції. Нижня основа трапеції дорівнює 10 м, висота насипу – 2 м, а його укiс – 35°. Знайдіть ширину верхньої частини насипу (верхню основу трапеції).

tg 𝛼𝛼 =

З ∆ABK tg ∠A =

BK ; AK

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

BK 2 2 = ≈ = 2,856 (м). tg ∠A tg 35° 0,7002 BC = AD – 2AK = 10 – 2 · 2,856 = 4,29 (м). Відповідь: ≈ 4,29 м. 39.18 На горі розміщена башта, висота якої l м. За деяким об’єктом A, що розміщений бiля пiднiжжя гори, спостерігають спочатку з вершиною M башти під кутом 60° до горизонту, а потім вiд основи башти N пiд кутом 30°. Знайдіть висоту x гори.

la. in.

AK =

a ∥ b ∥ c. Тоді ∠MAP = 60° (внутрішні різносторонні). ∠KNA = ∠NAP = 30° (внутрішні різносторонні); ∠NAK = ∠KAP – ∠NAP = 60° – 30° = 30°. Тоді ∆NKA – рівнобедрений, NK = KA. З ∆MNK: ∠NMK = 90° – 60° = 30°. 𝑙𝑙√3 MN = 𝑙𝑙, NK = MN tg 30° = ; 2 2𝑙𝑙 2√3𝑙𝑙 MN = = . MK = cos 30° 3 √3 2√3𝑙𝑙 Тоді AK = ; 3 2√3𝑙𝑙 3√3𝑙𝑙 √3𝑙𝑙 AM = MK + AK = + = = √3𝑙𝑙. 3 3 3 3 √3 = 𝑙𝑙. З ∆AMP MP = AM cos 30° = √3 · 𝑙𝑙 · 2 2 3 1 NP = MP – MN = 𝑙𝑙 – 𝑙𝑙 = 𝑙𝑙. 2 2 1 Відповідь: l. 2 39.19 Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 30 см. Знайдіть периметр ромба.

BD = 16 см, AC = 30 см. BD ⊥ AC, 1 1 BO = BD = · 16 = 8(см); 2 2 1 1 AO = AC = · 30 = 15(см)(властивостідіагоналейромба). 2 2 З ∆AOB AB = �AO² + BO² = �15² + 8² = √225 + 64 = √289 = 17 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 17 см. 3 39.20 У ∆ABC ∠C = 90°, BC = 12 см, sin B = . Знайдіть периметр трикутника.

3 AC = . 5 AB Нехай AC = 3x, AB = 5x. Тоді за теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2; (5x)2 = (3x)2 + 122; 25x2 = 9x2 + 144; 16x2 = 144; x2 = 9; x = 3. Отже, AC = 3 · 3 = 9 (см), AB = 5 · 3 = 15 (см). P∆ABC = 12 + 9 + 15 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 39.21 Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, які дорівнюють 30 см і 40 см. Знайдіть найменшу сторону трикутника.

la. in.

sin ∠B =

За властивістю бісектриси кута трикутника 30 3 AD = = . AC ∶ CB = 40 4 DB Нехай AC = 3x см, а CB = 4x см. За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2; (30 + 40)2 = (3x)2 + (4x)2; 4900 = 9x2 + 16x2; 4900 = 25x2; x2 = 196; x = 14. AC = 3 · 14 = 42 (см). Відповідь: 42 см. 39.22 За санітарними нормами на кожного учня в класі повинно припадати не менше ніж 4,5 м3 повітря. Яку найбільшу кількість учнів можна розмістити в кабінеті іноземної мови, якщо висота стін 6 м, ширина менша від довжини в 1,5 раза, а висота складає 80 % від ширини? Враховуючи, що об’єм меблів займає 10 % від об’єму кабінету. 1. 6 : 1,5 = 4 (м) – ширина; 2. 6 · 0,8 = 3,2 (м) – висота; 3. 6 · 4 · 3,2 = 76,8 (м3) – об’єм кабінету;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

4. 76,8 : 10 · 9 = 7,68 · 9 = 69,12 (м3) – об’єм повітря в кабінеті; 5. 69,12 : 4,5 = 15,36 ≈ 15 (уч.) – найбільша кількість. Відповідь: у кабінеті іноземної мови можна розмістити найбільше 15 учнів. 39.23 Аркуш паперу склали вчетверо так, що отримали прямокутник зі сторонами вдвічі меншими, ніж сторони аркуша. Потім отриманий прямокутник прокололи у двох місцях, аркуш розгорнули й через кожні дві отримані точки (проколу) провели пряму. Яку найменшу і яку найбільшу кількість прямих при цьому можна отримати?

1. Найменшу кількість прямих отримаємо, якщо проколи зробити так, що вони лежать на прямій, паралельній стороні прямокутника. В цьому випадку після розгортання ми отримаємо 8 точок, розміщених у два ряди. З'єднавши кожну точку першого ряду з кожною точкою другого ряду, отримаємо 4 · 4 = 16 прямих. І ще дві прямі проходять через кожну з четвірок точок. Відповідь: 18 прямих.

2. Якщо проколи не лежать на прямій, паралельній стороні многокутника, то на розгорнутому аркуші проколи утворюють опуклий восьмикутник. Кожна з 8 точок утворює пару, через яку проведено пряму, з кожною з решти семи точок. Всього 7 · 8 = 56 пар. Оскільки порядок в парі не суттєвий, то пари, наприклад, 1–а і 3–я та 3–я і 1–а точки — це та сама пара. Таким чином, найбільша можлива кількість прямих  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

56 : 2 = 28. Відповідь: 28.

la. in.

Домашня самостійна робота 8 (§§ 36–39) 1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 7 см і 24 см. c = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). Відповідь: B. 25 см. 2. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а один з його катетів – 12 см. Знайдіть другий катет трикутника. a = �15² − 12² = �(15 − 12)(15 + 12) = √3 ⋅ 27 = √81 = 9 (см). Відповідь: Б. 9 см. 3. На малюнку зображено прямокутний трикутник ABC. Знайдіть sin B.

12 AC = . 13 AB 12 Відповідь: A. . 13 4. Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть сторону ромба.

sin B =

16 AC = = 8 (см). 2 2 BD 12 𝟐𝟐. BD = 12 см; OD = = = 6 (см). 2 2 3. У △AOD (∠O = 90°): AD = �AO² + OD² = �8² + 6² =10 (см). Відповідь: Б. 10 см. 5. Точка розміщена на відстані 8 см від прямої. З неї до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з перпендикуляром кут 60°. Знайдіть довжину похилої.

𝟏𝟏. AC = 16 см; AO =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. ∠ABC = 90° − 60° = 30°. 2. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо: AB = 2 ⋅ AC = 2 ⋅ 8 = 16 (см). Відповідь: Г. 16 см. 6. AB – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, AC = 8 см, ∠A = 50°. Знайдіть AB з точністю до десятих.

AC cos A = ; AB AC 8 AB = = ≈ 12,4(см). cos A cos 50° Відповідь: В. 12,4 см. 7. Знайдіть х за малюнком.

1. У △ADC: AC = �10² − 6² = 8 (см).

2. У △ACB: BC = �(√233)² – 8² = √233 – 64 = √169 = 13 (см).

3. x = 13 – 6 = 7 (см). Відповідь: Б. 7 см. 8. З точки до прямої проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 1 см. Знайдіть довжину меншої похилої, якщо проекції похилих дорівнюють 4 см і 7 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. BD = 4 см; DC = 7 см. BD < DC, тому AB < AC. 2. Позначимо AB = x см, тоді AC = x + 1 (см). 3. Маємо у △ABD: AD2 = x2 – 42; а у △ADC: AD2 = (x + 1)2 − 72. 4. Тоді x2 – 16 = x2 + 2x + 1 – 49; 2x = 32; x = 16. Відповідь: Б. 16 см. 9. У ∆ABC ∠C = 90°, AB = 20 см, tgA = 0,75. Знайдіть PABC.

3 BC BC ; = 0,75 = . 4 AC AC 2. Позначимо BC = 3x см; AC = 4x см. 3. Тоді AB2 = BC2 + AC2; 202 = (3x)2 + (4x)2; 400 = 25x2; x2 = 16; x = 4 (см). 4. BC = 3 ⋅ 4 = 12 (см); AC = 4 ⋅ 4 = 16 (см). 5. PABC = 12 + 16 + 20 = 48 (см). Відповідь: Г. 48 см. 10. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 10 см і 26 см. Знайдіть гіпотенузу.

𝟏𝟏. tg A =

CK AC = . KB AB 2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 10 см; KB = 26 см. AC 10 5 𝟑𝟑. Маємо = = . AB 26 13

𝟏𝟏. AK — бісектриса, тому

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Можна позначити AC = 5x см; AB = 13x см. 4. AB2 = AC2 + CB2; (13x)2 = (5x)2 + 362; 144x2 = 362; x2 = 9; x = 3 (см). 5. AB = 13 ⋅ 3 = 39 (см). Відповідь: Б. 39 см. 11. Сторони трикутника – 5 см, 29 см і 30 см. Знайдіть проекцію меншої сторони трикутника на його більшу сторону.

1. BK — висота трикутника. Позначимо AK = x см, тоді KC = 30 − x (см). 2. У △ABK: BK2 = 52 − x2, а у △BKC: BK2 = 292 − (30 − x)2. 3. Маємо 25 − x2 = 841 − (900 − 60x + x2); 60x = 84; x = 1,4 (см). Відповідь: А. 1,4 см. 12. Сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника (з точністю до градуса).

5 10 = ; ∠DAC ≈ 59°2′. 3 6 2. △AOD — рівнобедрений, AO = OD. Тоді ∠AOD = 180° − 2 ⋅ ∠DAC ≈ 62°. Відповідь: В. 62°. 13. З точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них дорівнює 16 см і утворює кут 30° із прямою. Проекція іншої похилої дорівнює 6 см. Установіть відповідність між відрізками (1−3) та їхніми довжинами (А−Г). Відрізок 1. Проекція першої похилої на пряму 2. Перпендикуляр до прямої 3. Друга похила

𝟏𝟏. У △ ACD: tg ∠DAC =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Довжина A. 6 см; Б. 8 см; B. 8√3 см; Г. 10 см

√3

la. in.

1. DB = AB ∙ cos30° = 16 ∙ = 8√3 (см) — В 2 2. AD = AB ∙ sin30° = 16 ∙ 0,5 = 8 (см) — Б 3. AC = √𝐴𝐴𝐴𝐴2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶2 = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10 (см) — Г Відповідь: 1 — В, 2 — Б, 3 — Г.

Завдання для перевірки знань до §§ 36–39 1. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 10 см і 24 см. c = �10² + 24² = √100 + 576 = √676 = 26 (см). 2. За малюнком назвіть: 1. перпендикуляр, проведений з точки A до прямої m; 2. похилу, проведену з точки A до прямої m; 3. проекцію цієї похилої.

1. AT; 2. AF; 3. TN. 3. За малюнком знайдіть:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3 ; 5 3 𝟐𝟐. cos B = ; 5 3 𝟑𝟑. tg A = ; 4 4 𝟒𝟒. sin B = . 5 4. Сторона ромба дорівнює 25 см, а одна з його діагоналей – 14 см. Знайдіть другу діагональ ромба.

la. in.

𝟏𝟏. sin A =

1. AD = 25 см; BD =14 см. BD 14 = = 7 (см). 2. OD = 2

3. У △AOD (∠O = 90°): AO = �AD² − OD² = �25² − 7² = 24 (см). 4. AC = 2 ⋅ AO = 2 ⋅ 24 = 48 (см). Відповідь: 48 см. 5. Точка міститься на відстані 6 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та довжину проекції похилої на пряму.

1. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо AB = 2 ⋅ AC = 2 ⋅ 6 = 12 (см). 2. У △ABC: BC = �AB² − BC² = �12² − 6² = 6√3 (см). 6. AB = 16 см – гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, ∠A = 35°. Розв’яжіть цей прямокутний трикутник. (Сторони трикутника знайдіть із точністю до сотих сантиметра.)

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. ∠B = 90° − 35° = 55°. 2. BC = AB sin A = 16 sin 35° ≈ 9,18 (см). 3. AC = AB cos A = 16 cos 35° ≈ 13,11 (см). Відповідь: ∠B = 55°; BC ≈ 9,18 см; AC ≈ 13,11 см. 7. У △ABC ∠A – тупий, BC = 20 см, AB = 15 см, BK = 12 см – висота трикутника. Знайдіть AC.

1. У △ABK: AK = �AB² − BK² = �15² − 12² = 9 (см). 2. У △ABC: KC=�BC² − BK² = �20² − 12² = 16 (см). 3. AC = KC – KA = 16 – 9 = 7 (см). Відповідь: 7 см. 5 8. У ∆ABC ∠C = 90°, AC = 24 см, sin A = . Знайдіть PABC.

BC BC 5 ; = . AB AB 13 Можна позначити BC = 5x см; AB = 13x см. 2. AB2 = AC2 + BC2; (13x)2 = 242 + (5x)2; 144x2 = 242; x2 = 4; x = 2. 3. BC = 5 ⋅ 2 = 10 (см); AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см). 4. P = 24 + 10 + 26 = 60 (см). Відповідь: 60 см. 9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см. Знайдіть сторони трикутника.

𝟏𝟏. sin A =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. AK − бісектриса △ABC. CK AC = . Тому KB AB 2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 6 см; KB = 10 см; CB = 6 + 10 = 16 (см). AC 6 3 𝟑𝟑. = = . AB 10 5 Можна позначити AC = 3x см; AB = 5x см. 4. AB2 = AC2 + CB2; (5x)2 = (3x)2 + 162; 16x2 = 162; x2 = 16, x = 4. 5. Тоді AB = 5 ⋅ 4 = 20 (см); AC = 3 ⋅ 4 = 12 (см). Відповідь: CB = 16 см; AB = 20 см; AC = 12 см. 10. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Знайдіть проекції двох менших сторін на більшу сторону.

1. BK − висота △ABC. 2. Позначимо AK = x см, тоді KC = 15 – x (см). 3. У △ABK: BK2 = 42 − x2, а у △BKC: BK2 = 132 − (15 − x)2. 4. Тоді 16 − x2 = 169 − (225 − 30x + x2); 30x = 72; x = 2,4 (см). 5. Отже, AK = 2,4 см; KC = 15 − 2,4 = 12,6 (см). Відповідь: 2,4 см; 12,6 см. 11. Діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 12 см. Знайдіть кути ромба з точністю до хвилин.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

12 BD 6 AC = = 6 (см); OD = = = 3 (см). 2 2 2 2 OD 3 𝟐𝟐. У △ AOD (∠O = 90°): tg ∠OAD = = = 0,5; AO 6 ∠OAD ≈ 26°34′. 3. ∠BAD = 53°8′. 4. ∠ABC = 180° − 53°8′ = 126°52′. Відповідь: 53°8'; 126°52'.

la. in.

𝟏𝟏. AO =

Вправи для повторення теми 8 До § 36 1. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза. Знайдіть: 1. c, якщо a = 11 см; b = 60 см; 2. a, якщо c = 13 см; b = 12 см; 3. b, якщо a = 24 см; c = 25 см. 1. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �11² + 60² = √121 + 3600 = √3721 = 61 (см); 2. a = �𝑐𝑐² – 𝑏𝑏² = �13² – 12² = �(13 – 12)(13 + 12) = √25 = 5 (см);

3. b = �𝑐𝑐² – 𝑎𝑎² = �25² – 24² = �(25 – 24)(25 + 24) = √49 = 7 (см). 2. Сторона квадрата – 5 см. Знайдіть його діагональ. d = �𝑎𝑎² + 𝑎𝑎² = �5² + 5² = √2 · 25 = 5√2 (см). 3. У рівнобедреному △ABC AB = AC = 37 см, BC = 24 см. Знайдіть довжину висоти AK.

Висота AK в трикутнику ABC (AC = AB) є медіаною. 1 1 K = BK = BC = · 24 = 12 (см). 2

З ∆ABK AK = �AB² – BK² = �37² – 12² = �(37 – 12)(37 + 12) = √25 · 49 = 5 · 7 = 35 (см). Відповідь: 35 см. 4. Чи є прямокутним трикутник, сторони якого пропорційні числам: 1. 3; 4; 5;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2. 6; 7; 10? 1. 52 = 25; 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 52 = 32 + 42. Відповідь: так. 2.102 = 100; 62 + 72 = 36 + 49 = 85; 102 ≠ 62 + 72. Відповідь: ні. 5. Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін – 3 см. Знайдіть діагональ прямокутника. Нехай a і b – сторони, d – діагональ прямокутника. Sпр = ab; ab = 12; 3b = 12; b = 4. d = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 (см). Відповідь: 5 см. 6. На малюнку AB – дотична до кола із центром у точці O, OC = 3 см, CB = 2 см. Знайдіть AB.

AO = OC = 3 см як радіуси. З △AOB OB = OC + BC = 3 + 2 = 5 (см). AB = �𝑂𝑂B² – O𝐴𝐴² = �5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 7. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 17 см, а більша бічна сторона – 15 см. Знайдіть периметр трапеції.

ABCD – трапеція (BC ∥ AD), BC = 8 см, AD = 17 см; AB ⊥ AD, CD = 15 см. Проведемо CK ⊥ AD, тоді ABCK – прямокутник. AK = BC = 8 см, CK=AB.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

KD = AD – AK = 17 – 8 = 9 (см). З △CDK CK = �𝐶𝐶𝐶𝐶² – K𝐷𝐷² = �15² – 9² = �(15 – 9)(15 + 9) =

= √6 · 24 = √6 · 6 · 4 = 6 · 2 = 12 (см). PABCD = 12 + 8 + 15 + 17 = 52 (см). Відповідь: 52 см. 8. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 26 см, висота – 12 см, а діагональ – 20 см. Знайдіть меншу основу трапеції та її бічну сторону.

la. in.

З ΔBDK KD = �BD² – BK² = �20² – 12² = √400 – 144 = √256 = 16 (см). AK = AD – KD = 26 – 16 = 10 (см). З ΔABK AB = �AK² + BK² = �10² + 12² = √100 + 144 = √244 = 2√61 (см). AD + BC ; KD = 2 2KD = AD + BC; BC = 2KD – AD = 2 · 16 – 26 = 32 – 26 = 6 (см). Відповідь: 6 см, 2√61 см. 9. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 15 см, а катети відносяться як 3 : 4. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC (∠C = 90°) CM — медіана, тоді M — середина AB, центр описаного кола, AM = BM = CM = 15 см. Нехай AC = 3x см, BC = 4x см. AB2 = AC2 + BC2; (2 · 15)2 = (3x)2 + (4x)2; 900 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 900; x2 = 36; x = 6. AC = 3 · 6 = 18 (см); BC = 4 · 6 = 24 (см). PΔABC = 30 + 18 + 24 = 72 (см). Відповідь: 72 см. 10. Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 5 : 6. Висота трикутника, проведена до основи, дорівнює 8 см. Знайдіть периметр трикутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

У ΔABC AB = BC, BD ⊥ AC, BD = 8 см; AB : AC = 5 : 6, тоді AB = BC = 5x, AC = 6x. 1 AD = AC = 6𝑥𝑥 ∶ 2 = 3𝑥𝑥. 2 З ΔABD AB2 = BD2 + AD2; (5x)2 = 82 + (3x)2; 25x2 = 64 + 9x2; 25x2 – 9x2 = 64; 16x2 = 64; x2 = 4; x = 2. AB = BC = 5 · 2 = 10 (см); AC = 6 · 2 = 12 (см). PΔABC = 2 · 10 + 12 = 32 (см). Відповідь: 32 см. 11. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 50 см і 80 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть висоту трикутника, проведену до основи.

У △ABC AB = BC, BD ⊥ AC, AK — бісектриса, BK = 50 см, KC = 80 см. За властивістю бісектриси кута BK 50 5 AB = = = , KC 80 8 AC тобто AB = BC = 5x см, AC = 8x см. BC = BK + KC = 50 + 80 = 130 (см). 5x = 130; x = 26. 1 1 DC = AC = ⋅ 8 ⋅ 26 = 104 (см). 2 2 З △BDC BD = �BC² − CD² = �130² − 104² = �(130 − 104)(130 + 104) = = √26 ⋅ 234 = √26 ⋅ 26 ⋅ 9 = 26 ⋅ 3 = 78 (см). Відповідь: 78 см. 12. У трикутнику ABC AB = √2 см, BC = 2 см. На стороні AC позначено точку K так, що AK = KB = 1 см. Знайдіть довжину AC.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

У △ABC, AB = √2 см, BC = 2 см, AK = KB = 1 см. Проведемо KD ⊥ AB. У рівнобедреному △ABK KD — висота і медіана. 1 √2 DB = AB = (см). 2 2 DB √2 √2 = ∶ 1 = , звідси ∠DBK = 45°. cos ∠DBK = BK 2 2 ∠A = ∠DBK = 45°, тоді ∠AKB = 90°. BK 1 З △ BCK cos ∠CBK = = ; BC 2 ∠CBK = 60°. ∠ABC = 45° + 60° = 105°. Відповідь: 105°. 13. Бічні сторони трапеції дорівнюють 9 см і 12 см, а основи – 30 см і 15 см. Знайдіть кут, що утворюють між собою продовження бічних сторін.

ABCD — трапеція (BC ∥ AD), AB = 9 см, BC = 15 см, CD = 12 см, AD = 30 см. N — точка перетину продовжень бічних сторін. 1 За умовою BC ∥ AD, BC = AD, 2 тоді BC — середня лінія △AND. AN = 2AB = 2 ⋅ 9 = 18 (см). DN = 2CD = 2 ⋅ 12 = 24 (см). AN2 = 182 = 324; DN2 = 242 =576; AN2 + DN2 =324 + 576 = 900. AD2 = 302 =900. Отже, AD2 = AN2 + DN2. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, у △AND ∠N = 90°. Відповідь: 90°. 14. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 25 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо його найменша висота дорівнює 24 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

З ΔCDK KD = �CD² – CK² = �25² – 24² = �(25 – 24)(25 + 24) = √1 · 49 = 7 (см). KB = KD + DB = 7 + 25 = 32 (см) (середина гіпотенузи рівновіддалена від вершин трикутника). З ΔBCK: BC = �CK² + BK² = �24² + 32² = √576 + 1024 = √1600 = 40 (см). З ΔABC: AC = �AB² – BC² = �50² – 40² = �(50 – 40)(50 + 40) = √10 · 90 = √900 = 30 (см). PΔABC = 50 + 30 + 40 = 120 (см). Відповідь: 120 см.

До § 37 15. 3 точки до прямої проведено похилу, довжина якої 5 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проекція похилої дорівнює 4 см.

AK = 5 см, HK = 4 см, AH ⊥ HK — відстань від точки A до прямої. AH = �AK² – HK² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см). Відповідь: 3 см. 16. 3 точки до прямої проведено дві похилі, які утворюють з прямою рівні кути. Відстань між основами похилих дорівнює 8 см. Знайдіть проекції похилих на дану пряму.

△ABD = △ACD за катетом і гострим кутом. (AD — спільний катет, ∠ABD = ∠ACD за умовою). Тоді BD = CD = 8 : 2 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 17. 3 точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу, яка утворює з прямою кут 60°. Знайдіть перпендикуляр і проекцію похилої, якщо довжина похилої 12 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

AK ⊥ a, AB — похила, ∠ABK = 60°, AB = 12 см. √3 = 6√3 (см). AK = AB sin 60° = 12 2 1 BK = AB cos 60° = 12 = 6 (см). 2 Відповідь: 6√3 см, 6 см. 18. 3 точки, що міститься на відстані 4 см від прямої, проведено до неї дві похилі. Довжина однієї з них 5 см, а друга утворює с прямою кут 45°. Знайдіть відстань між основами похилих. Скільки випадків слід розглянути?

AK ⊥ m, AK = 4 см — відстань від точки A до прямої m. AB = 5 см, ∠ACK = 45°. З ΔABK BK = �AB² – AK² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см). З △ACK CK = AK = 4 см (△ACK — прямокутний з гострим кутом 45°). I випадок. BC = BK + KC = 3 + 4 = 7 (см). II випадок. BC = KC – BK = 4 – 3 = 1 (см). Відповідь: 7 см або 1 см. 19. 3 точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 13 : 15, а довжини їхніх проекцій дорівнюють 10 см і 18 см. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до прямої.

AD ⊥ BC — відстань від точки A до прямої BC. AB і AC — похилі. AB : AC = 13 : 15. BD = 10 см, CD = 18 см. Нехай AB = 13x, AC = 15x. З △ABD AD2 = AB2 − BD2 = (13x)2 – 102 = 169x2 − 100. З △ACD AD2 = AC2 − CD2 = (15x)2 – 182 = 225x2 − 324. 169x2 – 100 = 225x2 – 324;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

225x2 − 169x2 = 324 − 100; 56x2 = 224; x2 = 4; x = 2. AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см); AC = 15 ⋅ 2 = 30 (см). AD = �169 ⋅ 2² – 100 = √676 − 100 = √576 = 24 (см). Відповідь: 26 см, 30 см, 24 см. 20. Знайдіть меншу з висот трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см.

la. in.

Менша сторона — це висота, проведена до більшої сторони: BD ⊥ AC. Нехай AD = x см, тоді CD = (15 − x) см. З △ABD BD2 = AB2 − AD2 = 42 − x2 = 16 − x2. З △BCD BD2 = BC2 − CD2 = 132 − (15 − x)2 = 169 – 225 + 30x − x2 = −56 + 30x − x2. 16 − x2 = −56 + 30x − x2; 30x = 72; x = 2,4. BD = �16 − 2,4² = �16 – 5,76 = √10,24 = 3,2 (см). Відповідь: 3,2 см.

До § 38 21. На малюнку трикутник ABC – прямокутний. Чи правильні рівності: 5 12 12 12 13 12 𝟏𝟏. sin A = ; 𝟐𝟐. cos A = ; 𝟑𝟑. tg A = ; 𝟒𝟒. sin B = ; 𝟓𝟓. cos B = ; 𝟔𝟔. tg B = . 12 13 5 13 5 5

5 ; 13

𝟏𝟏. Ні, sin A =

2. так;

𝟑𝟑. ні, tg A =

4. так;

5 ; 12

𝟓𝟓. ні, cos B =

5 ; 13

6. так. 22. Знайдіть синус, косинус і тангенс кута M трикутника MNP (∠P = 90°), якщо MP = 24 см, MN = 25 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

PN = √MN 2 – MP 2 = √252 – 242 = �(25 − 24)(25 + 24) = √49 = 7 (см). 7 PN = ; sin ∠M = 25 MN PM 24 = ; cos ∠M = MN 25 PN 7 tg ∠M = = . MP 24 23. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Знайдіть: 1. синус гострого кута, що лежить проти меншого катета; 2. косинус гострого кута, прилеглого до більшого катета; 3. тангенси обох гострих кутів.

Знайдемо гіпотенузу: AB = �A𝐶𝐶² + BC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см). 8 AC = ; 𝟏𝟏. sin ∠B = 17 AB 15 BC = ; 𝟐𝟐. cos ∠B = 17 AB 15 BC = ; 𝟑𝟑. tg ∠A = 8 AC 8 C = . 𝟒𝟒. tg ∠B = 15 BC 24. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює R. Діагональ прямокутника утворює зі стороною кут α. Знайдіть периметр прямокутника.

Діагональ прямокутника — це діаметр описаного кола: BD = 2R. З △ABD AB = BD sin α = 2R sin α; AD = BD cos α = 2R cos α. PABCD = 2(2R sin α + 2R cos α) = 4R(sin α + cos α).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 4R(sin α + cos α). 25. Кут ромба дорівнює 80°, а діагональ, що лежить проти цього кута, – 10 см. Знайдіть (з точністю до сотих см).

la. in.

Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами кутів ромба. 1 1 У △ AOB AO = AC = ⋅ 10 = 5 (см). 2 2 1 ∠ABO = ∠B = 40°. 2 5 AO = = 7,78 (см). З △ AOB AB = 0,6428 sin 40° PABCD = 4AB = 4 ⋅ 7,78 = 31,11 (см). Відповідь: 31,11 см. 26. У ΔABC ∠C = 90°, CK – висота, CA = b, ∠A = α. Знайдіть CK і KB. 1. З △ACK△ CK = AC sin ∠A = b sin α. AK = AC cos ∠A = b cos α. 𝑏𝑏 AC = . 𝟐𝟐. З △ ABC AB = cos 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑏𝑏(1 − cos² 𝛼𝛼) BK = AB – AK = – 𝑏𝑏 cos 𝛼𝛼 = . cos 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 Або розглянути △CKB. ∠B = 90° − α, тоді ∠KCB = α. KB З △CKB tg ∠KCB = ; CK KB = CK tg α = b sin α tg α. Відповідь: b sin α, b sin α tg α. 27. У рівнобедреному трикутнику синус кута при основі дорівнює 0,96, а основа – 28 см. Знайдіть бічну сторону.

У △ABC AB = BC, sin ∠A = sin ∠C = 0,96; AC = 28 см, BD ⊥ AC — висота і медіана, AD = AC : 2 = 28 : 2 = 14 (см). BD 96 24 sin ∠A = = 0,96 = = . AB 100 25 Отже, BD : AB = 24 : 25. BD = 24x см, AB = 25x см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

З △ABD AB2 = BD2 + AD2; (25x)2 = (24x)2 + 142; 625x2 = 576x2 + 196; 49x2 = 196; x2 = 4; x = 2. AB = 25 ⋅ 2 = 50 (см). Відповідь: 50 см. 28. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює r, а один із гострих кутів – β. Знайдіть катет, прилеглий до цього гострого кута.

Центр кола, вписаного в трикутник, лежить в точці перетину бісектрис кутів трикутника: 𝛽𝛽 AO — бісектриса кута A, ∠CAO = ∠BAO = tg . 2 OD ⊥ AC, OK ⊥ BC — радіуси кола. CDOK — прямокутник, CD = r. OD 𝑟𝑟 З △ AOD AD = = ; 𝛽𝛽 𝛽𝛽 tg tg 2 2

AC + CD =

1 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 �1 + �. 𝛽𝛽 𝛽𝛽 tg tg 2 2

Відповідь: 𝑟𝑟 �1 +

�.

𝛽𝛽 2

29. Основи трапеції дорівнюють 14 см і 10 см, кути при більшій основі дорівнюють 60° і 30°. Знайдіть висоту діагоналі трапеції.

ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AD = 14 см, BC = 10 см. ∠A = 30°, ∠D = 60°. Проведемо BK ⊥ AD і CP ⊥ AD — висоти, BK = CP. KP = BC =10 см (KBCP — прямокутник). Тоді AK + PD = 14 – 10 =4 (см). Нехай AK = x см, тоді PD = (4 – x) (см). √3 З △ ABK BK = AK tg ∠A = 𝑥𝑥 tg 30° = 𝑥𝑥 ⋅ . 3 З △CPD CP = PD tg ∠D = (4 − x) tg 60° = (4 − x)√3. 𝑥𝑥 √3 BK = CP, = (4 − 𝑥𝑥)√3. 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

x√3 = 12√3 − 3√3x; 4√3x = 12√3; x = 3. Отже, AK = 3 см, PD = 1 см. √3

BK = 3 ⋅ = √3 (см). 3 З △ACP AP = AK + KP = 3 + 10 = 13 см.

AC = �AP² + PC² = �13² + (√3)² = √169 + 3 = √172 = 2√43 (см).

З △KBD BD = �B𝐾𝐾² + KD² = �(√3)² + (10 + 1)² = √3 + 121 = √124 = 2√31 (см).

la. in.

Відповідь: √3 см, 2√43 см, 2√31 см. 30. З точки до прямої проведено дві похилі, що утворюють з прямою кути 30° і 60°. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо відстань між основами похилих дорівнює a см. Скільки випадків треба розглянути?

AK ⊥ a — відстань від точки A до прямої m. а. KB = x см, KC = (x + a) см. З △ABK AK = KB tg 60° = x√3 (см). З △ACK AK = KC tg 30° = (x + a) ⋅

√3 ; 3 𝑥𝑥 √3 𝑎𝑎√3 + ; 𝑥𝑥√3 = 3 3 3√3x = √3x + √3a; 2√3x = √3a; 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = . 2 √3𝑎𝑎 . Отже, AK = 2 б. KB = x, KC = (a − x).

𝑥𝑥√3 = (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) ⋅

√3 (см). 3

З △ACK AK = KC ∙ tg 30° = (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) ⋅ З △ABK AK = KB ∙ tg 60° = 𝑥𝑥√3 (см). √3 𝑥𝑥√3 = (𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) ⋅ ; 3 3√3x = √3a − √3x; 4√3x = √3a; √𝑎𝑎 𝑥𝑥 = . 4

√3 (см). 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

√3𝑎𝑎 . 4 √3𝑎𝑎 √3𝑎𝑎 Відповідь: або . 2 4 31. Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Доведіть, що sin2A + cos2A = 1. (Запис sin2A є тотожним запису (sinA)2.)

Отже, AK =

la. in.

Проведемо висоту CH до гіпотенузи. З △ABC△ AC = AB ⋅ cos ∠A, BC = AB ⋅ cos ∠B. AH З △ACH cos ∠A = ; AH = AC ⋅ cos ∠A. AC Тоді AH = (AB ⋅ cos ∠A) ⋅ cos ∠A = AB ⋅ cos2 ∠A. З △BCH BH = BC ⋅ cos ∠B = AB ⋅ cos2 ∠B. AB = AH + BH. AB = AB ⋅ cos2 ∠A + AB ⋅ cos2 ∠B. AB = AB (cos2 ∠A + cos2 ∠B); cos2 ∠A + cos2 ∠B = 1. BC BC Зауважимо, що у △ABC sin ∠A = і cos ∠B = , AB AB тому cos2 ∠A + sin2 ∠A = 1.

До § 39 32. За двома елементами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть інші його сторони та кути: 1. AB = 7 см; ∠A = 19°; 2. AB = 20 дм; ∠B = 48°; 3. BC = 5 см; ∠B = 57°; 4. AC = 18 дм; ∠B = 32°.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 19° = 71°. BC = AC sin ∠A = 7 sin 19° ≈ 7 ⋅ 0,3256 ≈ 2,28 (см). AC = AB cos ∠A = 7 cos 19° = 7 ⋅ 0,9455 ≈ 6,62 (см). 2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 48° = 42°. BC = AB cos ∠B = 20 cos 48° ≈ 20 ⋅ 0,6691 ≈ 13,38 (см). AC = AB sin ∠B = 20 sin 48° ≈ 20 ⋅ 0,7431 ≈ 14,86 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 57° = 33°. 5 5 BC = ≈ ≈ 9,18 (см). AB = cos 57° 0,5446 cos ∠B AC = BC tg ∠B = 5 ⋅ tg 57° ≈ 5 ⋅ 1,5399 ≈ 7,70 (см). 4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 32° = 58°. 18 18 AC = ≈ ≈ 28,80 (дм). BC = tg 32° 0,6249 tg ∠B 18 18 AC = ≈ ≈ 33,97 (дм). AB = s𝑖𝑖𝑖𝑖 32° 0,5299 sin ∠B 33. За двома сторонами прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) знайдіть його третю сторону та гострі кути: 1. AC = 9 см; BC = 12 см; 2. AC = 7 дм; BC = 5 дм; 3. AB = 34 см; BC = 30 см; 4. AB = 8 дм ; AC = 7 дм.

1. AB = �AC² + BC² = �9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 (см). 12 BC = = 1,333; ∠A ≈ 53°8′. tg ∠A = 9 AC ∠B = 90° − ∠A = 36°52′. 2. AB = �AC² + BC² = �7² + 5² = √49 + 25 = √74 = 8,6 (дм). 5 BC = ≈ 0,7143; ∠A ≈ 35°32′. tg ∠A = 7 AC ∠B = 90° − ∠A = 54°28′. 3. AC = �AB² − BC² = �34² − 30² = √1156 − 900 = √256 = 16 (см). 30 BC = = 0,8824; ∠A ≈ 61°56′. sin ∠A = 34 AB ∠B = 90° − ∠A = 28°4′. 4. BC = �AB² − BC² = �8² − 7² = �(8 − 7)(8 + 7) = √15 = 3,87 (дм). 7 AC = = 0,875; ∠B = ≈ 61°3′. sin ∠B = 8 AB ∠A = 90° − ∠B = 28°57′. 34. Для визначення ширини l річки взяли два будинки A і B на одному березі та будинок C на другому, AB = a м, ∠CAB = α, ∠CBA = β. Знайдіть ширину річки.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Позначимо основу перпендикуляра, проведеного з точки C на AB, буквою H. Нехай AH = x м, тоді HB = (a − x) м. З △ACH CH = l = AH tg α = x tg α. З △CBH CH = l = HB tg β = (a − x) tg β. x tg α = (a − x) tg β; x tg α = a tg β − x tg β; x (tg α + tg β) = a tg β; 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 𝑥𝑥 = . tg 𝛼𝛼 + tg 𝛽𝛽 𝑎𝑎 tg𝛽𝛽 tg𝛼𝛼 𝑎𝑎 tg 𝛽𝛽 ⋅ tg α = . CH = l = tg𝛼𝛼 + tg𝛽𝛽 tg 𝛼𝛼 + tg 𝛽𝛽

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тема 9. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ § 40. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння 40.1. (Усно.) Які з рівнянь є квадратними: 2. x2 − 7x3 = 0 — є x3 (кубічне), не квадратне ✘ 3. x2 +

𝑥𝑥 2

1. x2 − 3x + 4 = 0 — квадратне ✔ = 9 — після перетворення виходить рівняння 4 степеня, не квадратне ✘

4. 8x − x2 = 0 → −x2 + 8x = 0 — квадратне ✔ 5. 5x − 4 = 3x + 7 → 2x − 11 = 0 — лінійне ✘ 6. 1 − 5x2 = 0 → −5x2 + 1 = 0 — квадратне ✔

la. in.

Відповідь: 1), 4), 6).

40.2. (Усно.) Серед квадратних рівнянь знайдіть: а) неповні; б) зведені: 1. 3x2 + 2x = 0 — c = 0 → неповне ✔

2. x2 − 5x + 6 = 0 — a = 1 → зведене ✔

3. 3x2 − 4x + 7 = 0 — повне, не зведене ✘ 4. 5x2 = 0 — b = 0 і c = 0 → неповне ✔ 5. 7x2 − 21 = 0 — b = 0 → неповне ✔ 1

6. x2 − x + = 0 — a = 1 → зведене ✔ 2

Відповідь:

а) неповні: 1), 4), 5).

б) зведені: 2), 6).

40.3. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння: 1. а = 2; b = 3; с = –5; 2. а = 3; с = 9; b = 0;

3. а = –1; b = 3; с = 7;

4. а = 3; b = 0; с = 0;

5. а = –1; b = 7; с = 0; 6. а = –1; b = 4; с = 2.

40.4. Складіть квадратне рівняння за його коефіцієнтами: 1) a = 3; b = 5; c = –2; 2) a = –1; b = 5; c = 0; 3) a = –4; b = 0; c = 0; 4) a = 13; b = 0; c = –39. 1. 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 = 5, 𝑐𝑐 = −2,3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 = 0; 2. 𝑎𝑎 = −1, 𝑏𝑏 = 5, 𝑐𝑐 = 0, −𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. 𝑎𝑎 = −4, 𝑏𝑏 = 0, 𝑐𝑐 = 0, −4𝑥𝑥 2 = 0;

4. 𝑎𝑎 = 13, 𝑏𝑏 = 0, 𝑐𝑐 = −39,13𝑥𝑥 2 − 39 = 0.

40.5. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її: Коефіцієнти рівняння

Квадратне рівняння

5x2 – 3x – 17 = 0

–3

–17

2x2 – 3x + 4 = 0

–3

–15x2 + 14x = 0

–15

–3x2 + 7 = 0

–3

–x2 + 5x + 6 = 0

–1

–5x2 – x + 19 = 0

–5

–1

la. in.

ax2 + bx + c = 0

40.6. Зведіть до вигляду ax2 + bx + c = 0 рівняння: 1. (5𝑥𝑥 − 1)(5𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥(7𝑥𝑥 − 13); 25𝑥𝑥 2 − 12 = 7𝑥𝑥 2 − 13𝑥𝑥; 25𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 2 + 13𝑥𝑥 − 1 = 0; 18𝑥𝑥 2 + 13𝑥𝑥 − 1 = 0;

2. (2𝑥𝑥 − 3)2 = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 7); 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 9 = 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 14; 4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 9 + 14 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 23 = 0.

40.7. Замініть рівняння рівносильним йому квадратним рівнянням:

1. (2𝑥𝑥 + 3)(2𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥(9𝑥𝑥 − 12); (2𝑥𝑥)2 − 32 = 9𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥; 4𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 9 = 0; −5𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 9 = 0;

2. (4𝑥𝑥 + 1)2 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2); 16𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 6; 16𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1 + 6 = 0; 15𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 + 7 = 0.

40.8. Які із чисел –2; –1; 0; 1; 2 є коренями рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0, бо 02 − 5 · 0 = 0; 2. 3𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0, бо 3 · 02 = 0; 3. 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = 1, бо 12 − 3 · 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = −2 + 2 = 0; 22 − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = −2 + 2 = 0; 4. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 = −1, бо (−1)2 − 2 · (−1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 3 − 3 = 0.

40.9. Які із чисел –5; –2; 0; 2; 5 є коренями рівняння:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = −2, бо (−2)2 + 2 · (−2) = 4 − 4 = 0; 02 + 2 · 0 = 0; 3. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 = −2, бо (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 6 − 6 = 0; 4. 𝑥𝑥 2 − 25 = 0; 𝑥𝑥 = −5, 𝑥𝑥 = 5, бо (−5)2 − 25 = 25 − 25 = 0; 52 − 25 = 25 − 25 = 0.

40.10. Розв’яжіть рівняння:

2. −5𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0, бо − 5 · 02 = 0;

la. in.

1. 3𝑥𝑥 2 − 27 = 0; 3𝑥𝑥 2 = 27; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 3. Відповідь: −3; 3. 2. 3,7𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0 .

3. 2𝑥𝑥 2 + 8 = 0; 2𝑥𝑥 2 = −8; 𝑥𝑥 2 = −4. Відповідь: рівняння розв'язків не мае.

4. −5𝑥𝑥 2 + 10 = 0; −5𝑥𝑥 2 = −10; 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥1 = −√2; 𝑥𝑥2 = √2. Відповідь: −√2; √2.

5. −5,7𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0 . 𝟔𝟔.

1 2 7 𝑥𝑥 − = 0� · 9; 9 9

𝑥𝑥 2 = 7; 𝑥𝑥1 = −√7; 𝑥𝑥2 = √7. Відповідь: −√7; √7. 40.11. Знайдіть корені рівняння:

1. 2𝑥𝑥 2 − 2 = 0; 2𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 1. Відповідь: −1; 1.

2. 3𝑥𝑥 2 + 9 = 0; 3𝑥𝑥 2 = −9; 𝑥𝑥 2 = −3. Відповідь: рівняння розв'язків не має. 3. 1,4𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0 .

4. −7𝑥𝑥 2 + 21 = 0; −7𝑥𝑥 2 = −21; 𝑥𝑥 2 = 3; 𝑥𝑥1 = −√3; 𝑥𝑥2 = √3. Відповідь: −√3; √3. 5. −1,8𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0 .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 2 5 𝑥𝑥 − = 0� ⋅ 7; 7 7

𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥1 = −√5; 𝑥𝑥2 = √5. Відповідь: −√5; √5.

40.12. Знайдіть корені рівняння:

𝟔𝟔.

1. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 6) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 6 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −6. Відповідь: −6; 0.

2. 2𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 = 0; 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: 0; 4.

3. 4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 1 4𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 4𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = . Відповідь: 0; . 4

la. in.

4. 0,1𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 20) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 20 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −20. Відповідь: −20; 0. 𝟓𝟓.

1 2 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0� ∙ 6; 6 3

2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 0;

𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 2𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = 0 1 або 2𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = − . 1

Відповідь: − ; 0. 2

6. 3𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 7) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 3𝑥𝑥 − 7 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 3𝑥𝑥 = 7; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 7 1 =2 . 3

Відповідь: 0; 2 . 3

40.13. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 5. Відповідь: 0; 5.

2. 3𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 = 0 ∣: 3;

𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −3. Відповідь: −3; 0. 3. 5𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 1 5𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 5𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = − . 1

Відповідь: − ; 0. 5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 0,2𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 100𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 − 50𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 50) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 50 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 50. Відповідь: 0; 50.

1 2 1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0� ⋅ 12; 12 4

𝟓𝟓.

3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 3𝑥𝑥 − 1 = 0; 1 𝑥𝑥 = 0 або 3𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = . 3

Відповідь: 0; . 3

la. in.

6. 4𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(4𝑥𝑥 + 9) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 4𝑥𝑥 + 9 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 4𝑥𝑥 = −9; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 9 1 − = −2 .

Відповідь: −2 ; 0. 4 40.14. Складіть квадратне рівняння, у якого: 1) немає коренів; 2) тільки один корінь; 3) два цілих корені; 4) два ірраціональних корені. 1. 𝑥𝑥 2 + 7 = 0; 2. 5𝑥𝑥 2 = 0; 3. 𝑥𝑥 2 − 25 = 0; 4. 𝑥𝑥 2 − 13 = 0.

40.15. За якого значення коефіцієнта a число 3 є коренем рівняння

𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 7 = 0. 𝑥𝑥 = 3, то 𝑎𝑎 · 32 + 2 · 3 − 7 = 0; 9𝑎𝑎 + 6 − 7 = 0; 1 9𝑎𝑎 − 1 = 0; 9𝑎𝑎 = 1; 𝑎𝑎 = . 1

Відповідь: при 𝑎𝑎 = . 9

40.16. За якого значення коефіцієнта b число –2 є коренем рівняння

𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 8 = 0. 𝑥𝑥 = −2, то (−2)2 + 𝑏𝑏 · (−2) − 8 = 0; 4 − 2𝑏𝑏 − 8 = 0; −2𝑏𝑏 = 8 − 4; 2𝑏𝑏 = −4; 𝑏𝑏 = −2. Відповідь: при 𝑏𝑏 = −2.

40.17. За яких значень коефіцієнтів a і b числа 1 і 2 є коренями рівняння 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 2; 𝑎𝑎 ⋅ 12 + 𝑏𝑏 ⋅ 1 + 4 = 0, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = −4, � � ⋅ (−2) � 𝑎𝑎 ⋅ 22 + 𝑏𝑏 ⋅ 2 + 4 = 0; 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = −4; −2𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏 = 8; � � + 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = −4; 2𝑎𝑎 = 4; 𝑎𝑎 = 2; 2 + 𝑏𝑏 = −4; 𝑏𝑏 = −4 − 2; 𝑏𝑏 = −6. Відповідь: при 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = −6.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

40.18. За яких значень коефіцієнтів b і c числа 1 і 3 є коренями рівняння

𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0. ; 𝑥𝑥1 = 1 i 𝑥𝑥2 = 3; 12 + 𝑏𝑏 ⋅ 1 + 𝑐𝑐 = 0, 1 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0, � � 2 3 + 𝑏𝑏 ⋅ 3 + 𝑐𝑐 = 0; 9 + 3𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0; 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = −1, −𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 1, � � ⋅ (−1) � � + 3𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = −9; 3𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = −9; 2𝑏𝑏 = −8; 𝑏𝑏 = −4; −4 + 𝑐𝑐 = −1; 𝑐𝑐 = −1 + 4 = 3. Відповідь: при 𝑏𝑏 = −4, 𝑐𝑐 = 3. 40.19. Розв’яжіть рівняння:

𝟐𝟐.

la. in.

1. (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 3) = −6; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 6 + 6 = 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −1. Відповідь: −1; 0. 1 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 16)� ⋅ 24; 3 8

8𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) = 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 16); 8𝑥𝑥 2 + 72𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 2 − 48𝑥𝑥; 8𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 2 + 72𝑥𝑥 + 48𝑥𝑥 = 0; 5𝑥𝑥 2 + 120𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 24) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 24 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −24. Відповідь: −24; 0.

3. (3𝑥𝑥 − 1)2 = (𝑥𝑥 − 3)2 ; 9𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 +9; 9𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 1 − 9 = 0; 8𝑥𝑥 2 − 8 = 0; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −1. Відповідь: −1; 1.

4. (2𝑥𝑥 + 1)(3𝑥𝑥 − 1) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) + 3 �𝑥𝑥 − �; 3 6𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 1; 6𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 1 + 1 = 0; 5𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0.

40.20. Розв’яжіть рівняння:

1. (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 5) = −15; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 15 = −15; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 2∘ Відповідь: 0; 2. 𝟐𝟐.

1 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4)� ⋅ 6 2 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. (2𝑥𝑥 − 3)2 = (3𝑥𝑥 − 2)2 ; 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 9 = 9𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 4; 5𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 1. Відповідь: −1; 1.

4. (5𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 1) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) − 6 �𝑥𝑥 + �; 6 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 − 1; 10𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 1 + 1 = 0; 9𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0.

4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4); 4𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) = 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 24. Відповідь: 0; 24.

la. in.

40.21. Для яких значень x значення виразу (3x – 1)(x + 4) на 4 менше від значення виразу x(x + 2)?

(3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 4) + 4 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2); 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 4 + 4 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥; 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 0; 2𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 9) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 2𝑥𝑥 + 9 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 2𝑥𝑥 = −9; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −4,5. Відповідь: при 𝑥𝑥 = 0 або при 𝑥𝑥 = −4,5. 40.22. Для яких значень x значення виразу (2x + 1)(x + 3) на 3 більше за значення виразу x(x – 4)?

(2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 3) − 3 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4); 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 3 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 3 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 11) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 11 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −11. Відповідь: при 𝑥𝑥 = 0 або при 𝑥𝑥 = −11.

40.23. Добуток двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному. Знайдіть ці числа, якщо їх різниця дорівнює 1.

Нехай 𝑥𝑥 – перше число, тоді (𝑥𝑥 + 1) – друге число. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 + 1) = � ⋅ 2; 2 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) = 2𝑥𝑥 + 1; 2𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 1; 2𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 1 = 0; 2𝑥𝑥 2 = 1; 1 1 1 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥1 = −� , 𝑥𝑥2 = � ; 2 2 2 𝑥𝑥1 = −

√2

=−

1 √2 √2 , 𝑥𝑥2 = = . 2 2 √2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь:

√2 √2 √2 √2 і + 1 або − і − + 1. 2 2 2 2

la. in.

Нехай 𝑥𝑥 − перше число, тоді (𝑥𝑥 + 2) − друге число. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2 = ⋅ 2; 2 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 2; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥1 = −√2, 𝑥𝑥2 = √2. Відповідь: √2 і √2 + 2 або − √2 і − √2 + 2. 40.25. Розв’яжіть рівняння:

40.24. Половина добутку двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному. Знайдіть ці числа, якщо їх різниця дорівнює 2.

1. 𝑥𝑥 2 − 5|𝑥𝑥| = 0. а) Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 5. Оскільки числа 0 і 5 невід'ємні, то 0 і –5 – корені даного рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то 𝑥𝑥 2 − 5 · (−𝑥𝑥) = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −5. Оскільки −5 < 0, то –5 – корінь даного рівняння. Відповідь: −5; 0; 5. 𝑥𝑥 3 + 4 = 0. 𝟐𝟐. − |𝑥𝑥|

𝑥𝑥 3

а) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то − + 4 = 0; −𝑥𝑥 2 + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥1 = −2, 𝑥𝑥2 = 2. Оскільки 2 > 0, то 𝑥𝑥 2 – корінь даного рівняння. 𝑥𝑥 3

б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то − + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 = −4 (рівняння розв'язків не мае). −𝑥𝑥 Відповідь: 2.

40.26. Розв’яжіть рівняння:

1. −𝑥𝑥 2 + 3|𝑥𝑥| = 0. а) Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то −𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 3. Оскільки 0 і 3 – невід'ємні числа, то 0 і 3 – корені даного рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то −𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −3. Оскільки −3 < 0, то –3 є коренем даного рівняння. Відповідь: −3; 0; 3.

𝑥𝑥 3 𝟐𝟐. − 9 = 0. |𝑥𝑥|

𝑥𝑥 3

а) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то − 9 = 0; 𝑥𝑥 2 − 9 = 0; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = 3. Оскільки 3 > 0, то 3 є 𝑥𝑥 коренем даного рівняння. 𝑥𝑥 3

б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то − 9 = 0; −𝑥𝑥 2 − 9 = 0; 𝑥𝑥 2 + 9 = 0; 𝑥𝑥 2 = −9 (рівняння розв'язків не −𝑥𝑥 має). Відповідь: 3.

40.27. Доведіть тотожність:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

б)

1 3𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 : − � = 3. � 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 1 𝑥𝑥 + 3 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) − (𝑥𝑥 − 1) а) 2 − 2 = − = = 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 (𝑥𝑥 + 1)2 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 1 = = = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 3𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 3(𝑥𝑥 + 1) ⋅ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 3𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 1 : = ⋅ = = 3. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1

40.28. Побудуйте графік функції

−0,4 2

–2

–1

–8

la. in.

8 − , якщо 𝑥𝑥 < −2, 𝑦𝑦 = � 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 , якщо − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, 8 − 2𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 > 2.

40.29. Знайдіть значення виразу b2 – 4ac, якщо

1. Якщо 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 5, 𝑐𝑐 = −6, то 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (5)2 − 4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49; 2. якщо 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = −6, 𝑐𝑐 = 9, то 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0; 3. якщо 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = −3, 𝑐𝑐 = −5, то 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−3)2 − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49; 4. якщо 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 5, 𝑐𝑐 = −9, то 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 52 − 4 · 4 · (−9) = 25 + 144 = 169. 40.30. Винесіть множник з-під знака кореня: 1. √18 = √2 ⋅ 9 = √9 ⋅ √2 = 3√2; 2. √300 = √100 ⋅ 3 = √100 ⋅ √3 = 10√3; 3. √108 = √36 ⋅ 3 = √36 ⋅ √3 = 6√3; 4. √361 = √121 ⋅ 3 = √121 ⋅ √3 = 11√3. 40.31. Скоротіть дріб:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4 + 2√7 2(2 + √7) = = 2 + √7; 2 2 6 − √12 6 − √4 ⋅ 3 6 − 2√3 2(3 − √3) 𝟐𝟐. = = = = 3 − √3; 2 2 2 2 8 − 2√3 2(4 − √3) 4 − √3 𝟑𝟑. = = ; 6 6 3 16 + √20 16 + √4 ⋅ 5 16 + 2√5 2(8 + √5) 8 + √5 = = = = . 𝟒𝟒. 8 8 8 8 4

𝟏𝟏.

la. in.

40.32. Офіс обладнано приладами освітлення, які споживають 600 Ват щогодини і працюють по 10 годин щодня. Якщо замінити їх на енергоощадні, то витрати електроенергії зменшаться на 80 %. 1) Скільки Ват ⋅ год протягом тижня (5 робочих днів) можна заощадити в цьому офісі, якщо обладнати його енергоощадним освітленням? 2) Проєктна діяльність. Дізнайтеся тариф на 1 кВт ⋅ год (1 кВт = 1000 Вт) та обчисліть, скільки грошей можна заощадити протягом 5 робочих днів у цьому офісі після впровадження згаданих заходів енергозбереження.

1. 600 · (100% − 80%) = 600 · 20% = 600 · 0,2 = 120 (Вт) — споживатиме енергозберігаюча лампа щогодини; 120 · 10 = 1200 (Вт) — енергозберігаючі щодня; 1200 · 5 = 6000 (Вт) — енергозберігаючі за тиждень; 600 · 10 = 6000 (Вт) — звичайні щодня; 6000 · 5 = 30000 (Вт) — звичайні за тиждень; 30000 − 6000 = 24000 (Вт) — заощадити протягом тижня. Відповідь: в офісі можна заощадити 24000 Ват протягом тижня.

2. 1 кВт·год = 3,6 грн 24000 Вт = 24 кВт 24 кВт · 3,6 грн = 86,4 (грн) — заощадити протягом тижня. Відповідь: в офісі можна заощадити 86,4 грн протягом тижня.

40.33. У ящику лежать лише чорні, білі та зелені кульки. Які б n(n > 2) кульок навмання не витягали з ящика, серед них обов’язково будуть біла й чорна. Яка найбільша кількість кульок може лежати в цьому ящику? Якщо в ящику (n − 2) білі, (n − 2) чорні кульки і 1 зелена кулька, то такий склад задовольняє умову задачі. Якщо кількість кульок хоча б одного кольору збільшити на 1, то одержаний склад не буде задовольняти умову. Наприклад, якщо білих кульок буде n − 1, то витягнувши ці кульки разом з однією зеленою, отримаємо набір, в якому немає чорної кульки. Таким чином, найбільша кількість усіх кульок у ящику 2(n − 2) + 1 = 2n − 3. Відповідь: 2n − 3. § 41. Формула коренів квадратного рівняння 41.1. (Усно.) Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщо його дискримінант дорівнює: 1. Якщо D = 4, то квадратне рівняння має два різні корені; 2. якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. якщо D = −9, то квадратне рівняння коренів не має; 4. якщо D = 17, то квадратне рівняння має два різні корені. 41.2. Чи має корені квадратне рівняння, і якщо має, то скільки, якщо його дискримінант дорівнює: 1. Якщо D = −7, то квадратне рівняння коренів немає; 2. якщо D = 49, то квадратне рівняння має два різні корені; 3. якщо D = 13, то квадратне рівняння має два різні корені; 4. якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь. 41.3. (Усно.) Чи правильно записано дискримінант квадратного рівняння: 1. Hi, D = 32 = 4 · 2 · (−1); 2. так, D = (−4)2 − 4 · 3 · 2; 1 3. так, D = (−5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ �− �; 2 1

la. in.

4. ні, D = 22 − 4 ⋅ ⋅ (−4). 8 41.4. Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів квадратного рівняння:

1. 6𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−5)2 − 4 · 6 · (−1) = 25 + 24 = 49. Оскільки D > 0, то квадратне рівняння має два різні корені; 2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0. Оскільки D = 0, то квадратне рівняння має один корінь;

3. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 5 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 22 − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0. Оскільки D < 0, то квадратне рівняння коренів не має;

4. 7𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 22 − 4 · 7 · (−1) = 4 + 28 = 32 > 0. Оскільки D > 0, то квадратне рівняння має два різні корені. 41.5. Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів квадратного рівняння: 1. 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−3)2 − 4 · 2 · (−1) = 9 + 8 = 17 > 0. Оскільки D > 0, то квадратне рівняння має два різні корені;

2. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 7 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 12 − 4 · 1 · 7 = 1 − 28 = −27 < 0. Оскільки D < 0, то квадратне рівняння коренів не має;

3. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 62 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0. Оскільки D = 0, токвадратне рівняння має один корінь;

4. 3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 42 − 4 · 3 · (−1) = 16 + 12 = 28 > 0. Оскільки D > 0, то квадратне рівняння має два різні корені. 41.6. Розв’яжіть рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

5+1 6 5−1 4 = = 3; 𝑥𝑥2 = = = 2. 2 2 2 2 Відповідь: 2; 3.

𝑥𝑥1 =

2. 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 52 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49; −5 + 7 2 1 = = = 0,5; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 −5 − 7 12 =− = −3. 𝑥𝑥2 = 4 4 Відповідь: 0,5; −3.

la. in.

3. 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = 52 − 4 · 3 · 2 = 25 − 24 = 1; −5 + 1 4 2 =− =− ; 𝑥𝑥1 = 6 6 3 −5 − 1 6 𝑥𝑥2 = = − = −1. 6 6 2 Відповідь: − ; −1.

4. 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 25 = 0; D = 102 − 4 · 1 · 25 = 100 − 100 = 0; −10 𝑥𝑥 = = −5. 2 Відповідь: –5 .

5. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 90 = 0; D = 12 − 4 · 1 · (−90) = 1 + 360 = 361; −1 + 19 18 𝑥𝑥1 = = = 9; 2 2 −1 − 19 20 𝑥𝑥2 = =− = −10. 2 2 Відповідь: −10; 9.

6. 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 24 = 0; D = (−10)2 − 4 · 1 · (−24) = 100 + 96 = 196; 10 + 14 24 𝑥𝑥1 = = = 12; 2 2 10 − 14 4 𝑥𝑥2 = = − = −2. 2 2 Відповідь: –2; 12. 41.7. Розв’яжіть рівняння:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−4)2 − 4 · 1 · (−5) = 16 + 20 = 36; −𝑏𝑏 + √D 4 + √36 4 + 6 = = = 5; 𝑥𝑥1 = 2 2𝑎𝑎 2⋅1 −𝑏𝑏 − √D 4 − √36 4 − 6 𝑥𝑥2 = = = = −1. 2 2𝑎𝑎 2⋅1 Відповідь: −1; 5. 2. 2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 72 − 4 · 2 · (−4) = 49 + 32 = 81; −𝑏𝑏 + √D −7 + √81 −7 + 9 2 1 = = = = = 0,5; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 2𝑎𝑎 2⋅2

la. in.

−𝑏𝑏 − √D −7 − √81 −7 − 9 16 = = =− = −4. 4 4 2𝑎𝑎 2⋅2 Відповідь: –4; 0,5.

𝑥𝑥2 =

𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 36 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−12)2 − 4 · 1 · 36 = 144 − 144 = 0; 12 12 −𝑏𝑏 = = = 6. 𝑥𝑥 = 2 2𝑎𝑎 2 ⋅ 1

Відповідь: 6.

4. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 56 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = (−1)2 − 4 · 1 · (−56) = 1 + 224 = 225; −𝑏𝑏 + √D 1 + √225 1 + 15 16 𝑥𝑥1 = = = = = 8; 2 2 2𝑎𝑎 2⋅1 −𝑏𝑏 − √D 1 − √225 1 − 15 14 = = =− = −7. 𝑥𝑥2 = 2 2 2𝑎𝑎 2⋅1 Відповідь: −7; 8.

41.8. Розв’яжіть рівняння:

1. 10𝑥𝑥 2 = 5𝑥𝑥 + 0,6; 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 0,6 = 0; 100𝑥𝑥 2 − 50𝑥𝑥 − 6 = 0; 50𝑥𝑥 2 − 25𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−25)2 − 4 · 50 · (−3) = 625 + 600 = 1225; 25 + √1225 25 + 35 60 = = = 0,6; 𝑥𝑥1 = 100 100 2 ⋅ 50 25 − √1225 25 − 35 10 = =− = −0,1. 𝑥𝑥2 = 100 100 2 ⋅ 50 Відповідь: −0,1; 0,6. 2. 𝑥𝑥 2 + 3 = 4𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 = 0; D = (−4)2 − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4; 4 + √4 4 + 2 6 𝑥𝑥1 = = = = 3; 2 2 2 4 − √4 4 − 2 2 = = = 1. 𝑥𝑥2 = 2 2 2 Відповідь: 1; 3.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = −6; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0; D = 52 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1; −5 + 1 4 = − = −2; 𝑥𝑥1 = 2⋅1 2 −5 − 1 6 = − = −3. 𝑥𝑥2 = 2 2 Відповідь: −3; −2.

4. 1 − 4𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 2 ; 5𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 42 − 4 · 5 · (−1) = 16 + 20 = 36; −4 + 6 2 = = 0,2; 𝑥𝑥1 = 10 10 −4 − 6 10 =− = −1. 𝑥𝑥2 = 10 10

la. in.

Відповідь: −1; 0,2.

5. 81𝑦𝑦 2 + 1 = −18𝑦𝑦; 81𝑦𝑦 2 + 18𝑦𝑦 + 1 = 0; D = 182 − 4 · 1 · 81 = 324 − 324 = 0; 1 −18 =− . 𝑦𝑦 = 9 2 ⋅ 81 1

Відповідь: − . 9

6. 3𝑝𝑝 = 5𝑝𝑝2 − 2; 5𝑝𝑝2 − 3𝑝𝑝 − 2 = 0; D = (−3)2 − 4 · 5 · (−2) = 9 + 40 = 49; 3 + 7 10 3−7 4 𝑝𝑝1 = = = 1; 𝑝𝑝2 = =− = −0,4. 2⋅5 10 10 10 Відповідь: −0,4; 1.

41.9. Розв’яжіть рівняння:

1. 10𝑥𝑥 2 = 0,4 − 3𝑥𝑥 10𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 0,4 = 0 ∣· 10 100𝑥𝑥 2 + 30𝑥𝑥 − 4 = 0 ∣: 2 50𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 − 2 = 0 D = 152 − 4 · 50 · (−2) = 225 + 400 = 625 −15 + 25 10 𝑥𝑥1 = = = 0,1 100 100 −15 − 25 40 =− = −0,4. 𝑥𝑥2 = 100 100 Відповідь: −0,4; 0,1.

2. 𝑥𝑥 2 + 7 = −8𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 7 = 0; D = 82 − 4 · 1 · 7 = 64 − 28 = 36; −8 + 6 2 = − = −1; 𝑥𝑥1 = 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥2 =

−8 − 6 14 =− = −7. 2 2

3. 7𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 + 12; 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 12 = 0 D = (−7)2 − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1 7+1 8 7−1 6 = = 4; 𝑥𝑥2 = = =3 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Відповідь: 3; 4.

Відповідь: 0,5.

la. in.

4. 4𝑦𝑦 = 4𝑦𝑦 2 + 1; 4𝑦𝑦 2 − 4𝑦𝑦 + 1 = 0; D = (−4)2 − 4 · 4 · 1 = 16 − 16 = 0 −𝑏𝑏 4 1 = = = 0,5. 𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎 8 2

Відповідь: −7; −1.

41.10. Для яких значень x: 1) значення многочлена x2 – 2x – 3 дорівнює нулю; 2) значення многочленів x2 + 2x і 0,5x + 2,5 між собою рівні; 3) значення двочлена 10x2 – 8x дорівнює значенню тричлена 9x2 + 2x – 25? 1. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16; 2+4 6 2−4 2 𝑥𝑥1 = = = 3; 𝑥𝑥2 = = − = −1. 2 2 2 2

Відповідь: −1; 3.

2. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0,5𝑥𝑥 + 2,5; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 0,5𝑥𝑥 − 2,5 = 0; 𝑥𝑥 2 + 1,5𝑥𝑥 − 2,5 = 0 ∣· 10; 10𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 − 25 = 0 ∣: 5; 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 32 − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49; −3 + 7 4 𝑥𝑥1 = = = 1; 4 4 −3 − 7 10 5 =− = − = −2,5. 𝑥𝑥2 = 4 4 2

Відповідь: −2,5; 1.

3. 10𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 = 9𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 25; 10𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 25 = 0; 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 = 0; D = (−10)2 − 4 · 1 · 25 = 100 − 100 = 0; 𝑏𝑏 10 𝑥𝑥 = − = = 5. 2𝑎𝑎 2 Відповідь: 5. 41.11. Для яких значень y: 1) значення многочлена y2 + 4y – 5 дорівнює нулю;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2) значення многочленів y2 – 3y і 0,5y + 4,5 між собою рівні; 3) значення тричлена 4 + 2y – y2 дорівнює значенню двочлена 4y2 – 6y?

1. 𝑦𝑦 2 + 4𝑦𝑦 − 5 = 0; D = 42 − 4 · 1 · (−5) = 16 + 20 = 36; −4 + 6 2 −4 − 6 10 = = 1; 𝑦𝑦2 = =− = −5. 𝑦𝑦1 = 2 2 2 2 Відповідь: −5; 1.

𝑦𝑦2 =

la. in.

2. 𝑦𝑦 2 − 3𝑦𝑦 = 0,5𝑦𝑦 + 4,5; 𝑦𝑦 2 − 3𝑦𝑦 − 0,5𝑦𝑦 − 4,5 = 0; 𝑦𝑦 2 − 3,5𝑦𝑦 − 4,5 = 0 ∣· 10; 10𝑦𝑦 2 − 35𝑦𝑦 − 45 = 0 ∣: 5; 2𝑦𝑦 2 − 7𝑦𝑦 − 9 = 0; D = (−7)2 − 4 · 2 · (−9) = 49 + 72 = 121; 7 + 11 18 9 = = = 4,5; 𝑦𝑦1 = 4 4 2 7 − 11 4 = − = −1. 4 4

Відповідь: −1; 4,5.

3. 4 + 2𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 = 4𝑦𝑦 2 − 6𝑦𝑦; 4𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 2 − 6𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 − 4 = 0; 5𝑦𝑦 2 − 8𝑦𝑦 − 4 = 0; D = (−8)2 − 4 · 5 · (−4) = 64 + 80 = 144; 8 + 12 20 = = 2; 𝑦𝑦1 = 10 10 8 − 12 4 =− = −0,4. 𝑦𝑦2 = 2⋅5 10

Відповідь: −0,4; 2.

41.12. Розв’яжіть рівняння:

𝟏𝟏. (𝑥𝑥 − 3)2 = 2𝑥𝑥 − 3; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 − 2𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 12 = 0; D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16; 8 + 4 12 8−4 4 𝑥𝑥1 = = = 6; 𝑥𝑥2 = = = 2. 2 2 2 2 Відповідь: 2; 6.

2. 3(𝑥𝑥 + 1)2 = 2𝑥𝑥 + 2; 3(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1) = 2𝑥𝑥 + 2; 3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 3 − 2𝑥𝑥 − 2 = 0; 3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 42 − 4 · 3 · 1 = 16 − 12 = 4; −4 + 2 2 1 𝑥𝑥1 = =− =− ; 6 6 3 −4 − 2 6 = − = −1. 𝑥𝑥2 = 6 6 1 Відповідь: − ; −1. 3

𝟑𝟑. (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) = 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) + 5;

 shkola.in.ua

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 3 = 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 5; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 5 + 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8 = 0; D = (−6)2 − 4 · 1 · 8 = 36 − 32 = 4; 6+2 8 6−2 4 = = 4; 𝑥𝑥2 = = = 2. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Відповідь: 2 ; 4.

la. in.

4. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) − (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) = (𝑥𝑥 + 1)2 ; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 2 − 25) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 25 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1 = 0; −𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 24 = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 24 = 0; D = 52 − 4 · 1 · (−24) = 25 + 96 = 121; −5 + 11 6 = = 3; 𝑥𝑥1 = 2 2 −5 − 11 16 =− = −8. 𝑥𝑥2 = 2 2 Відповідь: −8; 3. 41.13. Розв’яжіть рівняння:

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. (𝑥𝑥 + 2)2 = 2𝑥𝑥 + 3; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 2𝑥𝑥 + 3; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 4 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 22 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0; 2 𝑏𝑏 = − = −1. 𝑥𝑥 = − 2 2𝑎𝑎 Відповідь: –1 .

2. 5(𝑥𝑥 − 2)2 = 3𝑥𝑥 − 6; 5(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4) − 3𝑥𝑥 + 6 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 20 − 3𝑥𝑥 + 6 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 23𝑥𝑥 + 26 = 0; D = (−23)2 − 4 · 5 · 26 = 529 − 520 = 9; 23 + 3 26 23 − 3 20 = = 2,6; 𝑥𝑥2 = = = 2. 𝑥𝑥1 = 10 10 10 10 Відповідь: 2; 2,6.

3. (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3) = 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) + 6; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 6 = 2𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 6; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 6 + 6 = 0; 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 12 = 0; D = (−7)2 − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1; 7+1 8 7−1 6 𝑥𝑥1 = = = 4; 𝑥𝑥2 = = = 3. 2 2 2 2 Відповідь: 3; 4.

4. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) − (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) = (𝑥𝑥 + 2)2 − 1; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 2 − 9) = 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 − 1; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 9 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 4 + 1 = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 52 − 4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49; −5 + 7 2 −5 − 7 12 = = 1; 𝑥𝑥2 = =− = −6. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Відповідь: −6; 1. 1)

𝑥𝑥² + 𝑥𝑥 3 y+2

4𝑥𝑥 + 1

5 𝑦𝑦² – 1

41.14. Розв’яжіть рівняння: ;

2) + = . 3 2 3 3) Нехай x – найбільший корінь першого рівняння, y – найбільший корінь другого рівняння. Знайдіть значення виразу, відтак дізнаєтеся, якої довжини (у км) є одна з найбільш мальовничих і найдовших набережних у світі, що знаходиться у місті Дніпро.

la. in.

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 4𝑥𝑥 + 1 1. = ⋅ 15; 5 3 5(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥) = 3(4𝑥𝑥 + 1); 5𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 = 12𝑥𝑥 + 3; 5𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 − 3 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−2)2 − 4 · 5 · (−3) = 4 + 60 = 64; 2 + 8 10 2−8 6 = = 1; 𝑥𝑥2 = =− = −0,6. 𝑥𝑥1 = 10 10 10 10 Відповідь: −0,6; 1.

𝑦𝑦 + 2 𝑦𝑦 2 − 1 1 + = � ⋅ 6; 2. 3 3 2 2 2(𝑦𝑦 + 2) + 3(𝑦𝑦 − 1) = 2; 2𝑦𝑦 + 4 + 3𝑦𝑦 2 − 3 − 2 = 0; 3𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦 − 1 = 0; D = 22 − 4 · 3 · (−1) = 4 + 12 = 16; −2 + 4 2 1 −2 − 4 −6 𝑦𝑦1 = = = ; 𝑦𝑦2 = = = −1. 6 6 3 6 6 1 Відповідь: −1; . 3

3. Найбільший корінь першого: x = 1. 1

Найбільший корінь другого: y = . 1

21x + 6y = 21·1 + 6· = 21 + 2 = 23.

Відповідь: 23 км.

41.15. Розв’яжіть рівняння:

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 2𝑥𝑥 + 5 𝟏𝟏. = ⋅ 12; 3 4 3(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥) = 4(2𝑥𝑥 + 5); 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 = 8𝑥𝑥 + 20; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 − 20 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 17𝑥𝑥 − 20 = 0; D = (−17)2 − 4 · 3 · (−20) = 289 + 240 = 529; 17 + 23 40 20 2 𝑥𝑥1 = = = =6 ; 2⋅3 6 3 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

17 − 23 6 = − = −1. 2⋅3 6 2 Відповідь: −1; 6 . 3

la. in.

𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 − 1 + = 1 ⋅ 10; 𝟐𝟐. 5 2 5(𝑥𝑥 + 1) + 2(𝑥𝑥 2 − 1) = 10; 5𝑥𝑥 + 5 + 2𝑥𝑥 2 − 2 − 10 = 0; 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 7 = 0; D = 52 − 4 · 2 · (−7) = 25 + 56 = 81; −5 + 9 4 = = 1; 𝑥𝑥1 = 2⋅2 4 −5 − 9 −14 7 = = − = −3,5. 𝑥𝑥2 = 2⋅2 4 2 Відповідь: −3,5; 1.

𝑥𝑥2 =

41.16. Розв’яжіть рівняння:

1 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 7 = 0| · 2; 2 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 14 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · (−14) = 4 + 56 = 60; 2 + √60 2 + √4 ⋅ 5 2 + 2√15 2(1 + √15) 𝑥𝑥1 = = = = = 1 + √15; 2 2 2 2 2 − √60 2 − 2√15 2(1 − √15) 𝑥𝑥2 = = = = 1 − √15. 2 2 2 Відповідь: 1 − √15; 1 + √15. 𝟏𝟏.

2. −𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 22 − 4 · 1 · (−4) = 4 + 16 = 20; −2 + √20 −2 + √4 ⋅ 5 −2 + 2√5 2(√5 − 1) 𝑥𝑥1 = = = = = √5 − 1 = −1 + √5; 2 2 2 2 −2 − √20 −2 − 2√5 −2(√5 + 1) = = = −(√5 + 1) = −1 − √5. 2 2 2 Відповідь: −1 − √5; −1 + √5.

𝑥𝑥2 =

3. 0,1𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 5 = 0 ∣· 10; 𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 − 50 = 0; D = (−30)2 − 4 · 1 · (−50) = 900 + 200 = 1100; 30 + √1100 30 + √100 ⋅ 11 30 + 10√11 10(3 + √11) = = = = 5(3 + √11) 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 = 15 + 5√11; 30 − √1100 30 − √100 ⋅ 11 30 − 10√11 10(3 − √11) 𝑥𝑥2 = = = = = 5(3 − √11) 2 2 2 2 = 15 − 5√11. Відповідь: 15 ± 5√11. 4. 0,5𝑥𝑥 2 + 1,5𝑥𝑥 − 4 = 0 ∣· 10; 5𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 − 40 = 0 ∣: 5; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 8 = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

D = 32 − 4 · 1 · (−8) = 9 + 32 = 41; −3 + √41 −3 − √41 ; 𝑥𝑥2 = . 𝑥𝑥1 = 2 2 −3±√41 . Відповідь: 2

41.17. Розв’яжіть рівняння:

1 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 3 = 0| ⋅ 2; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 6 = 0; 2 D = 22 − 4 · 1 · (−6) = 4 + 24 = 28; −2 + √28 −2 + √4 ⋅ 7 −2 + 2√7 2(−1 + √7) 𝑥𝑥1 = = = = = −1 + √7; 2 2 2 2 −2 + √28 −2 − √4 ⋅ 7 −2 − 2√7 2(−1 − √7) 𝑥𝑥2 = = = = = −1 − √7. 2 2 2 2 Відповідь: −1 ± √7.

la. in.

𝟏𝟏.

𝟐𝟐. − 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 11 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 11 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · (−11) = 4 + 44 = 48; 2 + √48 2 + √16 ⋅ 3 2 + 4√3 2(1 + 2√3) 𝑥𝑥1 = = = = = 1 + 2√3; 2 2 2 2 2 − √48 2 − √16 ⋅ 3 2 − 4√3 2(1 − 2√3) = = = = 1 − 2√3. 𝑥𝑥2 = 2 2 2 2 Відповідь: 1 ± 2√3.

𝟑𝟑. 0,2𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ∣· 10; 2𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 − 30 = 0 ∣: 2; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 15 = 0; D = 102 − 4 · 1 · (−15) = 100 + 60 = 160; −10 + √160 −10 + √16 ⋅ 10 −10 + 4√10 2(−5 + 2√10) 𝑥𝑥1 = = = = = −5 + 2√10; 2 2 2 2 −10 − √160 −10 − 4√10 2(−5 − 2√10) 𝑥𝑥2 = = = = −5 − 2√10. 2 2 2 Відповідь: −5 ± 2√10.

4. 0,5𝑥𝑥 2 − 2,5𝑥𝑥 − 4 = 0 ∣· 10; 5𝑥𝑥 2 − 25𝑥𝑥 − 40 = 0 ∣: 5; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 8 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · (−8) = 25 + 32 = 57; 5 + √57 5 − √57 ; 𝑥𝑥2 = . 𝑥𝑥1 = 2 2 5±√57 . Відповідь: 2

41.18. Розв’яжіть рівняння:

1. (√𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2) = 0; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≥ 0; √𝑥𝑥 − 2 = 0 або 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0; √𝑥𝑥 = 2; (√𝑥𝑥)2 = 22 ; 𝑥𝑥 = 4; або D = 1 − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9; −1 + 3 2 −1 − 3 −4 = = 1; 𝑥𝑥2 = = = −2. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Оскільки − 2 < 0, то − 2 не 𝜖𝜖 коренем рівняння. Відповідь: 1; 4. 3𝑥𝑥 2 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 − − 4 = 0; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 0. |𝑥𝑥| 2

3𝑥𝑥 2

− 4 = 0; а) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−4) = 9 + 16 = 25; 3+5 8 3−5 2 = = 4; 𝑥𝑥2 = = − = −1 < 0, 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 тому –1 не є коренем рівняння. 3𝑥𝑥 2

la. in.

− 4 = 0; б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то 𝑥𝑥 2 − −𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−4) = 9 + 16 = 25; −3 + 5 2 = = 1 > 0; 𝑥𝑥3 = 2 2 −3 − 5 −8 = = −4. 𝑥𝑥4 = 2 2

Оскільки 1 > 0, то 1 неєкоренем рівняння. Відповідь: –4; 4.

3. 𝑥𝑥|𝑥𝑥| + 3𝑥𝑥 − 4 = 0. a) Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−4) = 9 + 16 = 25; −3 + 5 2 −3 − 5 −8 = = 1; 𝑥𝑥2 = = = −4 < 0. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2

Оскільки −4 < 0 то –4 не є коренем рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то −𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 4 = 0; D = 32 − 4 · (−1) · (−4) = 9 − 16 = −7 < 0. Оскільки D < 0, то рівняння 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 4 = = 0 коренів не має. Відповідь: 1 . 𝑥𝑥 3 𝟒𝟒. − 𝑥𝑥 − 2 = 0; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 0. |𝑥𝑥| 𝑥𝑥 3

а) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то − 𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9; 1+3 4 1 − 3 −2 𝑥𝑥1 = = = 2; 𝑥𝑥2 = = = −1. 2 2 2 2

Оскільки −1 < 0, то –1 не є коренем рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 2 = 0; D = 12 − 4 · 1 · 2 = 1 − 8 = −7 < 0. Оскільки D < 0, то рівняння 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 2 = 0 коренів не має. Відповідь: 2 . 41.19. Розв’яжіть рівняння:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

а) √𝑥𝑥 − 3 = 0; √𝑥𝑥 = 3; (√𝑥𝑥)2 = 32 ; 𝑥𝑥 = 9; б) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25; 1+5 6 1−5 4 = = 3; 𝑥𝑥2 = = − = −2. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Оскільки −2 < 0, то –2 не є коренем рівняння. Відповідь: 9; 3. 2. 𝑥𝑥 2 −

2𝑥𝑥 2 |𝑥𝑥|

− 3 = 0; одз: 𝑥𝑥 ≠ 0.

la. in.

а) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16; 2+4 2−4 = 3; 𝑥𝑥2 = = −1. 𝑥𝑥1 = 2 2 Оскільки −1 < 0, то –1 не є коренем рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 22 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16; −2 + 4 2 −2 − 4 𝑥𝑥3 = = = 1; 𝑥𝑥4 = = −3. 2 2 2 Оскільки 1 > 0, то 1 не є коренем рівняння. Відповідь: −3; 3.

1. (√𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6) = 0; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≥ 0.

3. 𝑥𝑥|𝑥𝑥| − 4𝑥𝑥 − 5 = 0. а) Якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; D = (−4)2 − 4 · 1 · (−5) = 36; 4 + 6 10 4−6 2 𝑥𝑥1 = = = 5; 𝑥𝑥2 = = − = −1. 2 2 2 2 Оскільки −1 < 0, то –1 не є коренем рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то −𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 5 = 0; D = 42 − 4 · 1 · 5 = 16 − 20 = −4 < 0. Оскільки D < 0, то рівняння 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 5 = 0 коренів не має. Відповідь: 5. 𝑥𝑥 3

|𝑥𝑥|

+ 4𝑥𝑥 − 12 = 0; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 0.

a) Якщо 𝑥𝑥 > 0, то 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12 = 0; D = 42 − 4 · 1 · (−12) = 64; −4 + 8 4 −4 − 8 12 = = 2; 𝑥𝑥2 = =− = −6. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Оскільки −6 < 0, то –6 не є коренем рівняння. б) Якщо 𝑥𝑥 < 0, то −𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 12 = 0; D = (−4)2 − 4 · 1 · 12 = 16 − 48 = −32 < 0. Оскільки D < 0, то рівняння 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 12 = = 0 коренів не має. Відповідь: 2.

41.20. Для яких значень a рівняння має лише один корінь:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0; D = 12 − 4 · 2 · (−𝑎𝑎) = 1 + 8𝑎𝑎; 1 1 + 8𝑎𝑎 = 0; 8𝑎𝑎 = −1; 𝑎𝑎 = − . 1

Відповідь: при 𝑎𝑎 = − . 8

2. 𝑥𝑥 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4 = 0; D = (−𝑎𝑎)2 − 4 · 1 · 4 = 𝑎𝑎2 − 16;

𝑎𝑎2 − 16 = 0; 𝑎𝑎2 = 16; 𝑎𝑎1 = −4; 𝑎𝑎2 = 4. Відповідь: −4; 4. 41.21. Для яких значень b рівняння має лише один корінь:

1. 4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 0; 1 D = (−1)2 − 4 · 4 · 𝑏𝑏 = 1 − 16𝑏𝑏; 1 − 16𝑏𝑏 = 0; −16𝑏𝑏 = −1; 𝑏𝑏 = . 16

la. in.

Відповідь: при 𝑏𝑏 =

2. 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 9 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4 · 1 · 9 = 𝑏𝑏 2 − 36; 𝑏𝑏 2 − 36 = 0; 𝑏𝑏 2 = 36; 𝑏𝑏1 = −6; 𝑏𝑏2 = 6. Відповідь: −6; 6. 41.22. Скоротіть дріб:

(𝑎𝑎 − 7)(𝑎𝑎 + 7) 𝑎𝑎 + 7 𝑎𝑎2 − 49 = = ; 𝟏𝟏. 2 (𝑎𝑎 − 7)2 𝑎𝑎 − 7 𝑎𝑎 − 14𝑎𝑎 + 49 (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 3 + 1 = = 𝑥𝑥 + 1. 𝟐𝟐. 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1

41.23. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіка функції y = 0,2x – 15 з осями координат. 𝑦𝑦 = 0,2𝑥𝑥 − 15.

1. Знайдемо точку перетину графіка функції 𝑦𝑦 = 0,2𝑥𝑥 − 15 з віссю абсцис: 0,2𝑥𝑥 − 15 = 0; 0,2𝑥𝑥 = 15; 𝑥𝑥 = 150: 2; 𝑥𝑥 = 75; 𝑦𝑦 = 0.

2. Знайдемо точку перетину графіка функції 𝑦𝑦 = 0,2𝑥𝑥 − 15 з віссю ординат: 𝑦𝑦(0) = 0,2 · 0 − 15; 𝑦𝑦 = −15. Відповідь: (75; 0), (0; −15).

41.24. Відомо, що a + b = 5, ab = –7. Знайдіть значення виразу:

1. 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑎𝑎) = −7 · 5 = −35;

2. 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎) − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = 52 − 2 · (−7) = 25 + 14 = 39.

41.25. Розв’яжіть рівняння, порівняйте суму його коренів із числом, протилежним другому коефіцієнту рівняння, а добуток коренів – з вільним членом рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25; 1+5 6 1−5 4 = = 3; 𝑥𝑥2 = = − = −2; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 + (−2) = 1. Сума коренів даного рівняння дорівнює другому коефіцієнту,  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

взятого з протилежним знаком. 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥1 = 3 · (−2) = −6.

Добуток коренів даного рівняння дорівнює вільному члену.

2. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 8 = 0; D = 62 − 4 · 1 · 8 = 36 − 32 = 4; −6 + 2 −4 𝑥𝑥1 = = = −2; 2 2 −6 − 2 −8 𝑥𝑥2 = = = −4; 2 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + (−4) = −6.

la. in.

Сума коренів даного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятого з протилежним знаком. 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = −2 · (−4) = 8. Добуток коренів даного рівняння дорівнює вільному члену.

41.26. 1) Нехай a, b і c – коефіцієнти квадратного рівняння, x1 і x2 – його корені. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її. 2) Порівняйте 1. Рівняння 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − −8 = 0

2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − −7 = 0

𝑏𝑏 𝑎𝑎

–8

−

5 2

−

16 3

𝑥𝑥1

7 2

5 3

𝑥𝑥2

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2

7 2

−

5 2

−

–2

−

1 3

16 3

3𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 + +5 = 0

𝑐𝑐 𝑎𝑎

−

𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝟐𝟐. 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − ; 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = . 𝑎𝑎 𝑎𝑎

–8

7 2

5 3

41.27. Визначте, скільки відсотків свого щомісячного доходу витрачає на цигарки особа із зарплатнею 12 800 грн, якщо викурює за добу одну пачку цигарок? Вважайте, що в місяці 30 днів, а пачка цигарок коштує 80 грн. Дано:

зарплата — 12800 грн

ціна пачки — 80 грн 1 пачка на добу

30 днів у місяці

Знайти: відсоток витрат на цигарки. Розв’язок:

Витрати за місяць:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

80 · 30 = 2400 грн 2400 12800

Знайдемо відсотки:

2400 ⋅ 100% = 0.1875 ⋅ 100% = 18.75% 12800 Відповідь: 18.75%.

Частка від зарплати:

41.28. (XV Всеукраїнська олімпіада, 1975 р.) Для яких натуральних значень n число 2n + 65 є квадратом цілого числа? 𝑛𝑛

2𝑛𝑛

la. in.

Розглянемо степені числа 2. 3

...

128

...

Останньою цифрою числа 2𝑛𝑛 е 2,4,8 або 6.

1. Нехай 𝑛𝑛 - непарне число. Тоді останньою цифрою числа 2𝑛𝑛 є 2 або 8 , а останньою цифрою числа 2𝑛𝑛 + 65 − 7 або 3 . Квадрат цілого числа не може мати останньоко цифрою 7 або 3. 2. Нехай 𝑛𝑛 = 2𝑘𝑘 ( 𝑘𝑘 ˗ натуральне), тобто є парним числом. Тоді 22𝑘𝑘 + 65 = 𝑎𝑎2 .

Тоді 𝑎𝑎 = 2𝑘𝑘 + 𝑦𝑦. Маємо 22𝑘𝑘 + 65 = (2𝑘𝑘 + 𝑦𝑦)2 ; 22𝑘𝑘 + 65 = 22𝑘𝑘 + 2𝑦𝑦 ⋅ 2𝑘𝑘 + 𝑦𝑦 2 ; 2𝑦𝑦 ⋅ 2𝑘𝑘 + 𝑦𝑦 2 = 65. Звідси 𝑘𝑘 ≤ 5.

3. Розглядаємо по черзі. 𝑘𝑘 = 1; 22⋅1 + 65 = 69; 𝑘𝑘 = 2; 22⋅2 + 65 = 81 = 92 ; тоді 𝑛𝑛 = 4; 𝑘𝑘 = 3; 22⋅3 + 65 = 129; 𝑘𝑘 = 4; 22⋅4 + 65 = 321; 𝑘𝑘 = 5; 22⋅5 + 65 = 1089 = 332 ; тоді 𝑛𝑛 = 10. Відповідь: 𝑛𝑛 = 4; 𝑛𝑛 = 10.

§ 42. Теорема Вієта та обернена до неї теорема 42.1. (Усно.) Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму і добуток його коренів: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 15, 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 + 14 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 14;

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −12, 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 28 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −28;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 6 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 5 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 5

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, 𝟓𝟓. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 0, 𝟔𝟔. 𝑥𝑥 2 − 8 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −8.

42.2. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:

la. in.

1. 2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2,5 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2,5;

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −17 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 + 52 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 52

2. −𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 6;

3. 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 8 = 0; 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2, 8 2 8 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − = 0; � 3 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = − = −2 ; 3 3 4. 4𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 = 0;

7 3 7 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = = 1 , 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0; � 4 4 4 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 = 0. 2

42.3. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму і добуток його коренів:

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 8 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −8; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −6;

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −9, 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 + 5 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 5;

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, 𝟒𝟒. 2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1,5 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 1,5.

42.4. Розв’яжіть рівняння, використовуючи формулу коренів, та перевірте істинність теореми Вієта для кожного з рівнянь: 1. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 42 − 4 · 1 · (−5) = 16 + 20 = 36; −4 + 6 2 −4 − 6 −10 𝑥𝑥1 = = = 1; 𝑥𝑥2 = = = −5; 2 2 2 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4 = −5 + 1, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −5 = −5 ⋅ 1;  shkola.in.ua

2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 21 = 0; D = (−4)2 − 4 · (−21) = 16 + 84 = 100; 4 + 10 14 4 − 10 6 = = 7; 𝑥𝑥2 = = − = −3; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 4 = 7 + (−3), � 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −21 = 7 ⋅ (−3);

la. in.

3. 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 3 = 0; D = (−5)2 − 4 · 2 · 3 = 25 − 24 = 1; 5+1 6 3 5−1 4 = = ; 𝑥𝑥2 = = = 1; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 4 4 5 3 3 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = = + 1 = + , 2 2 2 2 � 3 3 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = = ⋅ 1; 2 2

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = 52 − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9; −5 + 3 −2 1 −5 − 3 −8 𝑥𝑥1 = = = − ; 𝑥𝑥2 = = = −2; 4 4 2 4 4 5 1 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − = − + (−2) = −2 , 2 2 2 � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 1 = − ⋅ (−2). 2

42.5. Розв’яжіть квадратне рівняння за формулою коренів та перевірте для нього істинність теореми Вієта:

1. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 28 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−28) = 9 + 112 = 121; −3 + 11 8 −3 − 11 14 = = 4; 𝑥𝑥2 = =− = −7; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3 = −7 + 4, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −28 = −7 ⋅ 4;

2. 2𝑥𝑥 2 − 13𝑥𝑥 + 15 = 0; D = (−13)2 − 4 · 1 · 15 = 169 − 120 = 49; 13 + 7 20 = = 5; 𝑥𝑥1 = 4 4 13 − 7 6 3 1 𝑥𝑥2 = = = =1 ; 4 4 2 2 13 1 1 =6 =5+1 , 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2 2 2 � 15 1 3 15 =7 =5⋅ = . 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 2 2 2 2

42.6. Усі дані рівняння мають корені. У яких з них корені є числами одного знака, а в яких – числами різних знаків: 1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0. Оскільки 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = −8 < 0, то 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 мають різні знаки.

2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0. Оскільки 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = 4 > 0, то 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 мають однакові знаки.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

3. 3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1 = 0. Оскільки 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = > 0, то 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 мають однакові знаки. 3

4. 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 5 = 0. Оскільки 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = − < 0, то 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 мають різні знаки. 2

42.7. Складіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 2 і 3; 2) –3 і 4; 3) –7 і 2; 4) 0,3 і –0,5.

1. 𝑝𝑝 = −(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −(2 + 3) = −5; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 2 ⋅ 3 = 6. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0.

2. 𝑝𝑝 = −(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −(−3 + 4) = −1; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −3 ⋅ 4 = −12. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0.

3. 𝑝𝑝 = −(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −(−7 + 2) = 5; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −7 ⋅ 2 = −14. 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 14 = 0. 4. 𝑝𝑝 = −(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −(0,3 + (−0,5)) = 0,2; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −0,5 ⋅ 0,3 = −0,15. 𝑥𝑥 2 + 0,2𝑥𝑥 − 0,15 = 0.

1) x1 = 5, x2 = 1

la. in.

42.8. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють: 1) 5 і 1; 2) 2 і –7; 3) –2 і –3; 4) 0,7 і –0,1. Шукане квадратне рівняння має вигляд x2 + px + q = 0.

За теоремою, оберненою до теореми Вієта: p = −(x1 + x2) = −(5 + 1) = −6; q = x1 · x2 = 5 · 1 = 5.

Отже, x2 − 6x + 5 = 0 — шукане рівняння. Відповідь: x2 − 6x + 5 = 0.

2) x1 = 2, x2 = −7

p = −(x1 + x2) = −(2 + (−7)) = 5; q = x1 · x2 = 2 · (−7) = −14.

Відповідь: x2 + 5x − 14 = 0. 3) x1 = −2, x2 = −3

p = −(x1 + x2) = −(−2 + (−3)) = 5;

q = x1 · x2 = (−2) · (−3) = 6. Відповідь: x2 + 5x + 6 = 0. 4) x1 = 0,7, x2 = −0,1

p = −(x1 + x2) = −(0,7 + (−0,1)) = −0,6; q = x1 · x2 = 0,7 · (−0,1) = −0,07.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: x2 − 0,6x − 0,07 = 0. 42.9. Знайдіть підбором корені рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥1 = 2, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 6; 𝑥𝑥2 = 3. Відповідь: 2; 3.

2. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 8 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −6, 𝑥𝑥1 = −2, � 1 𝑥𝑥2 = −4. 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 8; Відповідь: −2; 4.

la. in.

3. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 7 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 6, 𝑥𝑥1 = 7, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −7; 𝑥𝑥2 = −1. Відповідь: −1; 7.

4. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥1 = −4, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −4; 𝑥𝑥2 = 1. Відповідь: −4; 1.

5. 𝑥𝑥 2 − 17𝑥𝑥 + 42 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 17, 𝑥𝑥1 = 14, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 42; 𝑥𝑥2 = 3. Відповідь: 3; 14.

6. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 24 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥1 = −3, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −24; 𝑥𝑥2 = 8. Відповідь: −3; 8.

42.10. Знайдіть підбором корені рівняння: 1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5. 𝑥𝑥1 = 1, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 4; 𝑥𝑥2 = 4. Відповідь: 1; 4.

2. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥1 = 3, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = −2. Відповідь: −2; 3.

3. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4, 𝑥𝑥1 = −1, � 1 𝑥𝑥2 = −3. 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 3; Відповідь: −3; −1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 27 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 12, 𝑥𝑥1 = 3, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 27; 𝑥𝑥2 = 9. Відповідь: 3; 9 .

5. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥1 = −3 � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = 2 Відповідь: −3; 2.

la. in.

6. 𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 22 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −9, 𝑥𝑥1 = −11, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −22; 𝑥𝑥2 = 2. Відповідь: −11; 2. 24.11. Доведіть, що рівняння 12x2 + 17x – 389 = 0 не може мати коренів, що є числами одного знака.

389 < 0. 12 Оскільки 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 < 0, то корені даного рівняння не можуть бути числами одного знака.

12𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 − 389 = 0. 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −

42.12. Не розв’язуючи рівняння, визначте знаки його коренів (якщо корені існують): 1. 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 5 = 0; D = 82 − 4 · 5 = 64 − 20 = 44 > 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −8, 𝑥𝑥1 < 0, � � 1 𝑥𝑥2 < 0; 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 5;

2. 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 1 = 0; D = (−12)2 = 4 · 1 · (−1) = 144 + 4 = 148 > 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 12, 𝑥𝑥1 > 0, � 1 � 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥2 < 0;

3. 3𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 − 7 = 0; D = 142 − 4 · 3 · (−7) = 196 + 84 = 280 > 0; 14 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − , 𝑥𝑥 > 0, 3 � 1 � 7 𝑥𝑥2 < 0; 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = − ; 3

4. 4𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−7)2 − 4 · 4 · 2 = 49 − 32 = 17 > 0; 7 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = , 𝑥𝑥 > 0, 4 � 1 � 1 𝑥𝑥2 > 0. 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = ; 2 42.13. Не розв’язуючи рівняння, визначте, чи має воно корені. Якщо так, то знайдіть знаки коренів: 1. 𝑥𝑥 2 − 13𝑥𝑥 − 2 = 0; D = (−13)2 − 4 · 1 · (−2) > 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 172 − 4 · 1 · 1 = 289 − 4 = 285 > 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −17, 𝑥𝑥1 < 0, � 1 � 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥2 < 0;

3. 5𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (−14)2 − 4 · 1 · 5 = 196 − 20 = 176 > 0; 14 , 𝑥𝑥 > 0, 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 5 � 1 � 1 𝑥𝑥2 > 0; 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = ; 5

la. in.

4. 3𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 18 = 0; D = 72 − 4 · 3 · (−18) = 49 + 216 = 265 > 0; 7 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − , 𝑥𝑥1 > 0, � 3 �𝑥𝑥 < 0. 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −18; 2

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 13, 𝑥𝑥1 > 0, � 1 � 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2; 𝑥𝑥2 < 0;

42.14. Один з коренів рівняння x2 + 6x + q = 0 дорівнює –3,5. Знайдіть q і другий корінь. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0; 𝑥𝑥1 = −3,5. За теоремою Вієта: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −6; −3,5 + 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = −2,5; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = (−3,5) · (−2,5) = 8,75. Відповідь: 𝑥𝑥2 = −2,5; 𝑞𝑞 = 8,75.

42.15. Один з коренів рівняння x2 + px – 9 = 0 дорівнює 1,5. Знайдіть p і другий корінь.

𝑥𝑥 2 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 − 9 = 0, 𝑥𝑥1 = 1,5. За теоремою Вієта: 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = −9; 1,5 · 𝑥𝑥2 = −9; 9 90 𝑥𝑥2 = − =− = −6; 1,5 15 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝; 1,5 + (−6) = −𝑝𝑝; 𝑝𝑝 = 4,5. Відповідь: 𝑥𝑥2 = −6; 𝑝𝑝 = 4,5

42.16. Корені x1 і x2 рівняння x2 + px – 10 = 0 задовольняють умову 2x1 + 5x2 = 0. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт p. 2𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥2 = 0, 𝑥𝑥 2 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 − 10 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −10; 2𝑥𝑥1 = −5𝑥𝑥2 ; 2𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = −20; −5𝑥𝑥2 · 𝑥𝑥2 = −20; 5𝑥𝑥22 = 20; 𝑥𝑥22 = 4; 𝑥𝑥2 = −2 або 𝑥𝑥2 = 2; −10 10 = 5 або 𝑥𝑥1 = − = −5; 𝑥𝑥1 = −2 2 𝑝𝑝 = −(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −(−2 + 5) = −3 або 𝑝𝑝 = −(−5 + 2) = −(−3) = 3. Відповідь: 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −2; 𝑝𝑝 = −3 або 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = 2; 𝑝𝑝 = 3.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0; 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥2 = 13; 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥2 = 13; |⋅3 � 1 |+ � 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 4; 3𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 12; 5𝑥𝑥1 = 25; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = 4 − 5 = −1; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = 5 · (−1) = −5. Відповідь: 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑞𝑞 = −5.

42.17. Корені x1 і x2 рівняння x2 – 4x + q = 0 задовольняють умову 2x1 – 3x2 = 13. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт q.

42.18. Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1

la. in.

𝟏𝟏. 𝑥𝑥1 = − ; 𝑥𝑥2 = 5, то 3 1 2 1 5 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − + 5 = 4 ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = − ⋅ 5 = − . 3 3 3 3 Маємо квадратне рівняння: 2 5 14 5 𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 − = 0; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − = 0� ⋅ 3; 3 3 3 3 3𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 5 = 0. 1

𝟐𝟐. 𝑥𝑥1 = − ; 𝑥𝑥2 = , то 4 6 1 5 −3 + 10 7 1 5 5 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − + = = ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = − ⋅ = − . 4 6 12 12 4 6 24 Маємо квадратне рівняння: 7 5 = 0� ⋅ 24, 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 24 то 24𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 5 = 0.

3. 𝑥𝑥1 = √5; 𝑥𝑥2 = −√5, то 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = √5 + (−√5) = 0; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = √5 ⋅ (−√5) = −5. Маємо квадратне рівняння: 𝑥𝑥 2 + 0𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥 2 − 5 = 0.

4. 𝑥𝑥1 = 2 − √3; 𝑥𝑥2 = 2 + √3, то 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2 − √3 + 2 + √3 = 4; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (2 − √3)(2 + √3) = 22 − (√3)2 = 4 − 3 = 1. Маємо квадратне рівняння: 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0. Відповідь: 1. 3𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 5 = 0; 2. 24𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 5 = 0; 3. 𝑥𝑥 2 − 5 = 0; 4. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0.

42.19. Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1

1. 𝑥𝑥1 = −2; 𝑥𝑥2 = , то 3 1 1 5 1 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + = −1 = − ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (−2) ⋅ = − . 3 3 3 3 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Маємо квадратне рівняння: 5 2 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − = 0� ⋅ 3; 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 = 0. 3 3 1

2. 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = , то 8 2 1 1 1+4 5 1 1 1 = ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = ⋅ = . 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = + = 8 2 8 8 8 2 16 Маємо квадратне рівняння: 5 1 = 0� ⋅ 16; 16𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 1 = 0. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 8 16

la. in.

3. 𝑥𝑥1 = −√7; 𝑥𝑥2 = √7, то 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −√7 + √7 = 0; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (−√7) ⋅ (√7) = −7. Маємо квадратне рівняння: 𝑥𝑥 2 + 0𝑥𝑥 − 7 = 0; 𝑥𝑥 2 − 7 = 0.

4. 𝑥𝑥1 = 3 + √7; 𝑥𝑥2 = 3 − √7, то 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 + √7 + 3 − √7 = 6;

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (3 + √7)(3 − √7) = 9 − 7 = 2. Маємо квадратне рівняння: 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2 = 0. Відповідь: 1. 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 = 0; 2. 16𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 1 = 0; 3. 𝑥𝑥 2 − 7 = 0; 4. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2 = 0. 42.20. x1 і x2 – корені рівняння x2 + 4x – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4, 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 3 = 0. � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3.

1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 −4 4 1 1 + = = = =1 ; −3 3 3 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝟏𝟏.

𝟐𝟐. 𝑥𝑥12 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −3 ⋅ (−4) = 12; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = (𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = = (−4)2 − 2 ⋅ (−3) = 16 + 6 = 22;

22 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 22 + = = =− = −7 ; 𝟒𝟒. −3 3 3 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

1 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 22 22 4 1 = = = 2 ; 𝟓𝟓. 2 + 2 = 2 2 = (𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 )2 (−3)2 9 9 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝟔𝟔. (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )2 = 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 22 − 2 ⋅ (−3) = 22 + 6 = 28.

42.21. x1 і x2 – корені рівняння x2 – 5x – 2 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 2 = 0. � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟏𝟏.

1 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 5 + = = − = −2,5; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2

𝟐𝟐. 𝑥𝑥12 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = −2 ⋅ 5 = −10; = 52 − 2 ⋅ (−2) = 25 + 4 = 29;

29 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 29 + = = =− = −14,5; 𝟒𝟒. −2 2 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝟑𝟑. 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = (𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 =

1 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 29 29 1 1 = = = 7 = 7,25; 𝟓𝟓. 2 + 2 = 2 2 = (𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 )2 (−2)2 4 4 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝟔𝟔. (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )2 = 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 29 − 2 ⋅ (−2) = 29 + 4 = 33.

la. in.

42.22. Складіть квадратне рівняння, корені якого відповідно на 2 більші за корені рівняння x2 – 3x – 9 = 0. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 9 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −9; (𝑥𝑥1 + 2) + (𝑥𝑥2 + 2) = 3 + 4 = 7; (𝑥𝑥1 + 2) · (𝑥𝑥2 + 2) = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) + 4 =

= −9 + 2 · 3 + 4 = −9 + 10 = 1. Отже, 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 1 = 0. Відповідь: 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 1 = 0. 42.23. Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 менші від відповідних коренів рівняння x2 + 2x – 7 = 0.

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 7 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −7; (𝑥𝑥1 − 3) + (𝑥𝑥2 − 3) = −2 − 6 = −8; (𝑥𝑥1 − 3) · (𝑥𝑥2 − 3) = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 + 9 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 3(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) + 9 = = −7 − 3 · (−2) + 9 = −7 + 6 + 9 = −1 + 9 = 8. Отже, 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 8 = 0. Відповідь: 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 8 = 0.

42.24. Маємо два шматки сплаву міді й цинку. Перший містить 20 % міді, а другий – 35 % міді. Скільки кілограмів першого сплаву і скільки другого треба взяти, щоб отримати сплав масою 200 кг, який містив би 29 % міді? Нехай треба взяти 𝑥𝑥 кг першого сплаву та 𝑦𝑦 кг другого сплаву.

1. 29% від 200𝜅𝜅𝜅𝜅 = 0,29 · 200 = 58 (кг) – маса міді в 200 кг сплаву; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 200 𝟐𝟐. � | ⋅ 100 0,2𝑥𝑥 + 0,35𝑦𝑦 = 58; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 200 |: 5 � 20𝑥𝑥 + 35𝑦𝑦 = 5800; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 200, ∣⋅ (−4) −4𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = −800 � � + � 4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 1160; 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 1160;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3𝑦𝑦 = 360; 𝑦𝑦 = 360: 3; 𝑦𝑦 = 120; 𝑥𝑥 = 200 − 120 = 80. Відповідь: 120кг, 80кг. 42.25. Спростіть вираз:

б) − =−

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦� 𝑦𝑦

√𝑥𝑥 ⋅ �𝑦𝑦

=−

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦

𝑦𝑦

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦�

;

𝑦𝑦 ⋅ �√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦�

la. in.

(√𝑥𝑥)2 − (�𝑦𝑦)2 − (√𝑥𝑥)2

𝑦𝑦 √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 − = −� ; �⋅ � 𝑥𝑥 √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 �𝑦𝑦 (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) − (√𝑥𝑥)2 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 a) − = = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦� � √𝑥𝑥 √ √ √ � �

⋅

�𝑦𝑦

𝑦𝑦�𝑦𝑦

√𝑥𝑥(�𝑦𝑦)2

=−

√𝑥𝑥�√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦� ⋅ �𝑦𝑦

𝑦𝑦�𝑦𝑦

𝑦𝑦 = −� . 𝑥𝑥 𝑦𝑦√𝑥𝑥

42.26. Сума двох чисел дорівнює 32, а одне з них у 7 разів більше за друге. Знайдіть ці числа. Нехай одне з чисел −𝑥𝑥, тоді інше −7𝑥𝑥. Маємо рівняння: 𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 = 32; 8𝑥𝑥 = 32; 𝑥𝑥 = 4. Отже, одне число дорівнює 4 , а інше 7 · 4 = 28. Відповідь: 4; 28.

42.27. Різниця двох чисел дорівнює 3, а різниця між квадратом більшого і квадратом меншого з них становить 81. Знайдіть ці числа.

Нехай менше з чисел – 𝑥𝑥, більше −𝑥𝑥 + 3. За умовою маємо рівняння: (𝑥𝑥 + 3)2 − 𝑥𝑥 2 = 81. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 − 𝑥𝑥 2 = 81; 6𝑥𝑥 = 72; 𝑥𝑥 = 12. Отже, менше число 12 , а більше −12 + 3 = 15. Відповідь: 12; 15.

42.28. На графіку зображено зміни температури повітря, які реєструвалися метеорологічною станцією протягом трьох діб. По горизонталі вказано дату і час доби, по вертикалі – значення температури в °С. Визначте за графіком найменшу температуру повітря 27 січня.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

27 січня мінімальна температура ˗ 7°С (о 3 годині ночі).

42.29. До збірної команди України на Всесвітній шаховій олімпіаді входить 6 шахістів і капітан, який керує командою, але не бере участі в змаганнях. Середній вік усіх членів команди на 2 роки більший за середній вік її шахістів. На скільки років вік капітана більший за середній вік членів його команди? Нехай 𝑥𝑥 – сумарний вік шахістів, 𝑦𝑦 – вік капітана команди, тоді 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 > ( на 2 роки ) ⋅ = + 2� ⋅ 42; 6 7 6 7 6(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 7𝑥𝑥 + 84; 6𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 + 84; 6𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 84; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 7𝑦𝑦 − (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 7𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 6𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 84 = = = = = 12. 𝑦𝑦 − 7 7 7 7 7 Відповідь: на 12 років

§ 43. Квадратне рівняння як математична модель текстових і прикладних задач 43.1. Одне з двох натуральних чисел на 5 менше від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 204. Нехай 𝑥𝑥 – перше натуральне число, тоді (𝑥𝑥 − 5) – друге число. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 204; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 204 = 0. D = (−5)2 − 4 · 2 · (−204) = 25 + 816 = 841;

5 + 29 34 5 − 29 = = 17; 𝑥𝑥2 = <0 2 2 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 − 5 = 17 − 5 = 12. Відповідь: 12; 17.

𝑥𝑥1 =

43.2. Добуток двох натуральних чисел дорівнює 180. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 3 більше за друге.

Нехай 𝑥𝑥 – перше натуральне число, тоді (𝑥𝑥 + 3) – друге число. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 180; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 180 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−180) = 9 + 720 = 729;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−3 + 27 24 = = 12; √D = 27; 𝑥𝑥1 = 2 2 −3 − 27 30 𝑥𝑥2 = =− = −15 < 0 2 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 + 3 = 12 + 3 = 15. Відповідь: 12; 15. 43.3. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 108 см2, а одна зі сторін на 3 см більша за другу. Нехай одна зі сторін прямокутника 𝑥𝑥 см, тоді інша – (𝑥𝑥 + 3) см. Маємо рівняння: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 108; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 108 = 0; 2 −3−21

la. in.

D = 32 − 4 · 1 · (−108) = 441; √𝐷𝐷 = 21; −3+21 = 9 — одна сторона прямокутника; 𝑥𝑥1 =

= −12 — не задовольняє умові задачі. 𝑥𝑥2 = 2 𝑥𝑥 + 3 = 9 + 3 = 12; P = 2 · (9 + 12) = 42 (см). Відповідь: 42 см.

43.4. Ділянку прямокутної форми, одна зі сторін якої на 10 м більша за другу, треба обнести парканом. Знайдіть довжину паркана, якщо площа ділянки 375 м2.

Нехай 𝑥𝑥 м – ширина ділянки прямокутної форми, тоді (𝑥𝑥 + 10) м – її довжина. Маємо рівняння: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 375; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 375 = 0; D = 102 + 4 · 375 = 100 + 1500 = 1600; −10 + 40 30 = = 15 (м) − √D = 40; 𝑥𝑥1 = 2 2 одна сторона прямокутника; −10 − 40 𝑥𝑥2 = <0 2 – не задовольняє умові задачі. 𝑥𝑥 + 10 = 15 + 10 = 25; P = (15 + 25) · 2 = 40 · 2 = 80 м. Відповідь: 80 м.

43.5. Сума двох сусідніх сторін прямокутника – 17 см, а його площа – 70 см2. Знайдіть сторони прямокутника.

Нехай 𝑥𝑥 см – довжина однієї сторони прямокутника, тоді ( 17 − 𝑥𝑥 ) см довжина суміжної ій сторони. Маємо рівняння: 𝑥𝑥(17 − 𝑥𝑥) = 70; 𝑥𝑥 2 − 17𝑥𝑥 − 70 = 0; 𝑥𝑥1 = 7, 𝑥𝑥1 = 10. 17 − 𝑥𝑥 = 17 − 7 = 10 або 17 − 𝑥𝑥 = 17 − 10 = 7. Відповідь: 7 см, 10 см. 43.6. Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см менший від другого. Знайдіть периметр трикутника, якщо його гіпотену за дорівнює 13 см.

Нехай AC = 𝑥𝑥, тоді BC = 𝑥𝑥 − 7.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

За теоремою Піфагора AC 2 + BC2 = AB 2 ; 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 − 7)2 = 132 ; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 49 − 169 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 120 = 0; 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 − 60 = 0; 𝑥𝑥1 = 12; 𝑥𝑥2 = −5 < 0 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 − 7 = 12 − 7 = 5; P = 12 + 5 + 13 = 25 + 5 = 30 (см). Відповідь: 30 см.

la. in.

43.7. Знайдіть площу прямокутника, якщо сума двох його непаралельних сторін дорівнює 14 см, а діагональ дорівнює 10 см. Нехай AC = 10 см, AB = 𝑥𝑥, BC = 14 − 𝑥𝑥.

За теоремою Піфагора AB 2 + BC 2 = AC 2 ; 𝑥𝑥 2 + (14 − 𝑥𝑥 2 ) = 102 ; 𝑥𝑥 2 + 196 − 28𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 − 100 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 28𝑥𝑥 + 96 = 0; 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 48 = 0; D = (−14)2 − 4 · 48 = 196 − 192 = 4; √D = 2; 14 + 2 16 14 − 2 12 𝑥𝑥1 = = = 8; 𝑥𝑥2 = = = 6. 2 2 2 2 14 − 𝑥𝑥 = 14 − 8 = 6 або 14 − 𝑥𝑥 = 14 − 6 = 8; 𝑆𝑆 = 6 · 8 = 48( см2 ). Відповідь: 48 см2 .

43.8. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 181 більший за їх суму. Знайдіть ці числа.

Нехай 𝑥𝑥 – натуральне число, тоді (𝑥𝑥 + 1) – йому послідовне натуральне число. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) > 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1) (на 181); 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1) + 181;

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 + 181; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1 − 181 = 0; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 182 = 0; D = (−1)2 − 4 · (−182) = 1 + 728 = 729; √D = 27;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 + 27 28 −1 − 27 = = 14; 𝑥𝑥2 = <0 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 1 = 14 + 1 = 15. Відповідь: 14; 15.

𝑥𝑥1 =

43.9. Шматок скла має форму квадрата. Коли від нього відрізали смужку 30 см завширшки, його площа стала дорівнювати 2800 см2. Знайдіть початкові розміри шматка скла.

la. in.

Нехай 𝑥𝑥 см – довжина сторони квадрата, тоді 𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 = 2800; 𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 − 2800 = 0; D = (−30)2 − 4 · 1 · (−2800) = 900 + 11200 = 12100; √D = 110; 30 + 110 140 30 − 110 = = 70; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 70 · 70 см2 . 43.10. Площа прямокутного листа фанери дорівнює 300 дм2. Його розрізали на дві частини, одна з яких – квадрат, а друга – прямокутник. Знайдіть сторону квадрата, якщо сторона одержаного прямокутника, що не є стороною квадрата, дорівнює 5 дм. Нехай AB = BM = MN = AN = 𝑥𝑥, MC = ND = 5 дм.

𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 300; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 300 = 0; D = 52 − 4 · 1 · (−300) = 25 + 1200 = 1225; √D = 35; −5 + 35 30 −5 − 35 = = 15; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 15 дм.

43.11. Знайдіть три послідовних цілих числа, якщо потроєний квадрат меншого з них на 242 більший за суму квадратів двох інших.

Нехай 𝑥𝑥 − ціле число, тоді (𝑥𝑥 + 1) i (𝑥𝑥 + 2) − йому послідовні числа. 3𝑥𝑥 2 > (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 ( на 242); 3𝑥𝑥 2 = (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 + 242; 3𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 242; 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 4 − 1 − 242 = 0; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 247 = 0; D = (−6)2 − 4 · (−247) = 1024; √D = 32; 6 + 32 38 = = 19; 𝑥𝑥1 = 2 2 6 − 32 26 𝑥𝑥2 = =− = −13. 2 2 Відповідь: 19; 20; 21 або −13; −12; −11.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

43.12. Знайдіть три послідовних цілих числа, якщо квадрат більшого з них на 970 менший від подвоєної суми квадратів двох інших.

Нехай 𝑥𝑥 – ціле число, тоді (𝑥𝑥 + 1) і (𝑥𝑥 + 2) – йому послідовні числа. (𝑥𝑥 + 2)2 < 2(𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 + 1)2 )( на 970); (𝑥𝑥 + 2)2 + 970 = 2(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1); 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 970 − 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 2 = 0; −3𝑥𝑥 2 + 972 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 972 = 0; 972 𝑥𝑥 2 = = 324; 𝑥𝑥1 = −18; 𝑥𝑥2 = 18. 3 Відповідь: 18; 19; 20 або −18; −17; −16.

la. in.

43.13. Сума кубів двох натуральних чисел дорівнює 468. Знайдіть ці числа, якщо їх сума дорівнює 12.

Нехай 𝑥𝑥 − перше натуральне число, тоді (12 − 𝑥𝑥) − друге натуральне число. 𝑥𝑥 3 + (12 − 𝑥𝑥)3 = 468; (𝑥𝑥 + 12 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥(12 − 𝑥𝑥) + (12 − 𝑥𝑥)2 ) = 468 12(𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 144 + 𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥) = 468; 12(3𝑥𝑥 2 − 36𝑥𝑥 + 144) = 468; 3𝑥𝑥 2 − 36𝑥𝑥 + 144 = 39; 3𝑥𝑥 2 − 36𝑥𝑥 + 144 − 39 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 36𝑥𝑥 + 105 = 0 ∣: 3; 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 35 = 0; 𝑥𝑥1 = 5, 12 − 𝑥𝑥 = 12 − 5 = 7 або 𝑥𝑥2 = 7,12 − 𝑥𝑥 = 12 − 7 = 5. Відповідь: 5 і 7.

43.14. Дві дороги перетинаються під прямим кутом. Від перехрестя доріг одночасно рушили два велосипедисти, один у східному напрямку, другий – у північному. Швидкість першого була на4 км/год більшою за швидкість другого. Через 2 год відстань між ними становила 40 км. Якою була швидкість кожного з велосипедистів?

Нехай швидкість другого велосипедиста 𝑥𝑥 км/год, тоді швидкість першого −(𝑥𝑥 + 4) км/год. AB = 40 км.

(2𝑥𝑥)2 + (2(𝑥𝑥 + 4))2 = 402 ; 4𝑥𝑥 2 + (2𝑥𝑥 + 8)2 = 1600; 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 2 + 32𝑥𝑥 + 64 − 1600 = 0; 8𝑥𝑥 2 + 32𝑥𝑥 − 1536 = 0 ∣: 8; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 192 = 0; D = 42 − 4 · 1 · (−192) = 16 + 768 = 784;

 shkola.in.ua

√D = 28; −4 + 28 24 −4 − 28 = = 12; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 4 = 12 + 4 = 16 (км/год). Відповідь: 12 км/год; 16 км/год.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

43.15. Периметр прямокутника дорівнює 44 см, а сума площ квадратів, побудованих на сусідніх сторонах, дорівнює 244 см2. Знайдіть сторони прямокутника.

la. in.

Нехай CD = 𝑥𝑥, тоді BC = 22 − 𝑥𝑥.

𝑥𝑥 2 + (22 − 𝑥𝑥)2 = 244; 𝑥𝑥 2 + 484 − 44𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 = 244; 𝑥𝑥 2 + 484 − 44𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 − 244 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 44𝑥𝑥 + 240 = 0; 𝑥𝑥 2 − 22𝑥𝑥 + 120 = 0; D = (−22)2 − 4 · 1 · 120 = 484 − 480 = 4; √D = 4; 22 + 2 24 22 − 2 20 = = 12; 𝑥𝑥2 = = = 10; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 22 − 𝑥𝑥 = 22 − 12 = 10 або 22 − 𝑥𝑥 = 22 − 10 = 12. Відповідь: 10 см і 12 см.

43.16. Фотокартку розміром 10 · 15 (у см) помістили в рамку сталої ширини, площа якої 204 см2. Визначте ширину рамки.

Нехай 𝑥𝑥 см – ширина рамки, тоді (10 + 2𝑥𝑥) · (15 + 2𝑥𝑥) = 204; 150 + 20𝑥𝑥 + 30𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 2 − 204 = 0;

4𝑥𝑥 2 + 50𝑥𝑥 − 54 = 0; 2𝑥𝑥 2 + 25𝑥𝑥 − 27 = 0; D = 252 − 4 · 2 · (−27) = 625 + 216 = 841; √D = 29 −25 + 29 4 −25 − 29 = = 1; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 4 4 4 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 1 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AD = 6 − 2𝑥𝑥, AB = 8 − 2𝑥𝑥.

la. in.

(6 − 2𝑥𝑥)(8 − 2𝑥𝑥) = 15; 48 − 12𝑥𝑥 − 16𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 2 − 15 = 0; 4𝑥𝑥 2 − 28𝑥𝑥 + 33 = 0; D = (−28)2 − 4 · 4 · 33 = 784 − 528 = 256; √D = 16; 28 + 16 44 = = 5,5 𝑥𝑥1 = 8 8 (умові задачі не задовольняє); 28 − 16 12 𝑥𝑥2 = = = 1,5. 2 8 Відповідь: 1,5 м.

43.17. На земельній ділянці прямокутної форми зі сторонами 8 м і 6 м треба розмістити прямокутну клумбу площею 15 м2 так, щоб навколо клумби впритул до меж ділянки утворилася доріжка сталої ширини. Визначте, яку ширину матиме ця доріжка.

43.18. На шаховому турнірі серед людей з інвалідністю було зіграно 45 партій. Кожний з учасників зіграв з кожним по одному разу. Скільки шахістів узяло участь у турнірі?

Нехай 𝑥𝑥 шахістів брало участь у 𝑦𝑦 турнірі, тоді 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 45; 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 90; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 90 = 0; 𝑥𝑥1 = 10; 𝑥𝑥2 = −9 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 10 шахістів. 43.19. До Різдва всі члени родини Петренків підготували одне одному подарунки та поклали їх під ялинку. Скільки осіб у родині Петренків, якщо під ялинкою виявилося 20 подарунків?

Нехай у родині Петренків 𝑥𝑥 тоді 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 20; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 = 0; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −4 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 5 осіб. 43.20. Висота h (у м), на якій через t с опиниться м’яч, котрий підкинули вертикально вгору, обчислюється за формулою h = v0t – 5t2, де v0 – початкова швидкість (у м/с). Після удару футболіста м’яч полетів вертикально вгору і через 1 с опинився на висоті 10 м. Через який час м’яч буде на висоті 10,8 м? ℎ = 𝑣𝑣0 𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 2 . Якщо 𝑡𝑡 = 1 c, 𝑣𝑣0 − 5 = 10, 𝑣𝑣0 = 10 + 5 = 15 (м/с).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

15𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 2 = 10,8; 5𝑡𝑡 2 − 15𝑡𝑡 + 10,8 = 0; D = (−15)2 − 4 · 5 · 10,8 = 225 − 216 = 9; √D = 3; 15 + 3 18 15 − 3 12 = = 1,8; 𝑡𝑡2 = = = 1,2. 𝑡𝑡1 = 10 10 10 10

Відповідь: 1,2 c; 1,8 c. 43.21. Футболістка, зріст якої 1,8 м, підбиває м’яч головою, і через 0,4 с м’яч опиняється на висоті 3,8 м. Через який час м’яч буде на висоті 4,25 м?

la. in.

1. 3,8 − 1,8 = 2 (м). 2. Якщо 𝑡𝑡 = 0,4 c, то 𝑣𝑣0 · 0,4 = 5 · 0,4 = 2; 0,4𝑣𝑣0 = 2 + 0,8; 0,4𝑣𝑣0 = 2,8; 2,8 28 = = 7; 𝑣𝑣0 = 0,4 4 3. 4,25 − 1,8 = 2,45; 4. 7𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 2 = 2,45; 5𝑡𝑡 2 − 7𝑡𝑡 + 2,45 = 0; D = (−7)2 − 4 · 5 · 2,45 = 49 − 49 = 0; 7 = 0,7. 𝑡𝑡 = 10 Відповідь: через 0,7 c. 43.22. Сигнальна ракета, яку випустили вертикально вгору, через 2 с опинилася на висоті 40 м. Через який час вона буде на висоті 44,2 м?

1. Якщо 𝑡𝑡 = 2 с, то 𝑣𝑣0 · 2 − 5 · 22 = 40; 2𝑣𝑣0 = 40 + 20; 2𝑣𝑣0 = 60; 𝑣𝑣0 = 30. 2. 30𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 2 = 44,2; 5𝑡𝑡 2 − 30𝑡𝑡 + 44,2 = 0; D = (−30)2 − 4 · 5 · 44,2 = 900 − 884 = 16; √D = 4; 30 + 4 34 = = 3,4; 𝑡𝑡1 = 10 10 30 − 4 26 = = 2,6. 𝑡𝑡2 = 10 10 Відповідь: 2,6 c; 3,4 c. 43.23. Для промивання труб завод придбав 6 літрів кислоти. Частину кислоти використали, а вміст посудини з кислотою доповнили до початкового об’єму водою. Іншим разом із цієї посудини використали таку саму кількість суміші, як кислоти першого разу, а посудину знов долили водою до початкового об’єму. Після цього чистої кислоти в посудині стало втричі менше, ніж води. Скільки літрів кислоти використали першого разу? Нехай першого разу використали x л кислоти.

Було 6 л кислоти.

Після першого разу:

кислоти — 6 − x, води — x.

Другого разу відлили x л суміші. 𝑥𝑥

Кислоти забрали: · (6 − x). 6

Залишилось кислоти:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(6 − x) −

x(6 − x) 6

Після доливання води знову стало 6 л. Отже, кислоти — 1,5 л (бо 6 л діляться як 1 : 3). Складаємо рівняння: (6 − x) −

x(6 − x) 6

= 1,5

Помножимо на 6: 6(6 − x) − x(6 − x) = 9 (6 − x)2 = 9 6−x=3 x=3 Відповідь: 3 л.

la. in.

(6 − x)(6 − x) = 9

За умовою: кислоти стало втричі менше, ніж води.

43.24. Знайдіть корені рівняння:

1. 3𝑥𝑥 2 − 12 = 0; 3𝑥𝑥 2 = 12; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥1 = −2; 𝑥𝑥2 = 2. Відповідь: –2; 2. 2. 5𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 9) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 5𝑥𝑥 − 9 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 5𝑥𝑥 = 9; 𝑥𝑥 = 0 або 4 9 𝑥𝑥 = = 1 = 1,8. 5 5 Відповідь: 0; 1,8.

3. 3𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 3 = 0; D = 102 − 4 · 3 · 3 = 100 − 36 = 64; −10 + 8 2 1 =− =− ; 𝑥𝑥1 = 6 6 3 −10 − 8 18 =− = −3. 𝑥𝑥2 = 6 6 1 Відповідь: −3; − . 3

4. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 0; (𝑥𝑥 + 2)2 = 0; 𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥 = −2. Відповідь: –2. 43.25. Розв’яжіть рівняння: 1. (𝑥𝑥 + 2)2 = 5𝑥𝑥 + 7; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 − 5𝑥𝑥 − 7 = 0; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−3) = 1 + 12 = 13; 1 + √13 1 − √13 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = . 2 2 1±√13 Відповідь: 𝑥𝑥 = . 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 5 = 0� · 4; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 20 = 0; 4 D = (−4)2 − 4 · 1 · (−20) = 16 + 80 = 96; 4 + √96 4 + √16 ⋅ 6 4 + 4√6 4(1 + √6) 𝑥𝑥1 = = = = = 2�1 + √6�; 2 2 2 2 4 − √96 4 − √16 ⋅ 6 4 − 4√6 𝑥𝑥2 = = = = 2 2 2 4(1 − √6) = 2�1 − √6�. 2 Відповідь: 2(1 ± √6). 43.26. Для яких значень а рівняння ax2 + 6x – 4 = 0 має лише один корінь?

𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 4 = 0.

𝟐𝟐.

la. in.

1. Якщо 𝑎𝑎 = 0, то 6𝑥𝑥 − 4 = 0; 6𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = = . 6

2. Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то D = 62 − 4 · 𝑎𝑎 · (−4) = 36 + 16𝑎𝑎; 36 + 16𝑎𝑎 = 0; 16𝑎𝑎 = −36; 9 1 36 = − = −2 = −2,25. 𝑎𝑎 = − 4 4 16 Відповідь: при 𝑎𝑎 = 0 та при 𝑎𝑎 = −2,25. 43.27. За даними Головного управління статистики Київської області, станом на 1 листопада 2019 року в Київській області (без урахування Києва) постійно проживало 1 772 353 особи. А за даними Головного управління статистики в м. Києві, у столиці України на цю саму дату постійно проживало 2 922 794 особи. Скільки відсотків становить населення Києва від загальної кількості населення Київської області, включаючи столицю України? Результат округліть із точністю до сотих відсотка. 1. 1 772 353 + 2 922 794 = 4 695 147 (ос.) ˗ всього населення;

1772353 ⋅ 100% = 0,3775 ⋅ 100% = 37,75% ˗ населення Києва. 4695147

𝟐𝟐.

Відповідь: населення Києва складає 37,75% від кількості населення області. 43.28. Доведіть, що з будь-яких ста натуральних чисел можна вибрати кілька (можливо, й одне), сума яких ділитиметься на 100.

1. Нехай 𝑥𝑥1 , … 𝑥𝑥100 ˗ дані числа. Розглянемо суми 𝑆𝑆1 = 𝑥𝑥1 ; 𝑆𝑆2 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ; … ; 𝑆𝑆100 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑥100 . Якщо хоча б одна із сум ділиться на 100, то задача розв'язана.

2. Нехай жодна із сум не ділиться на 100. При цьому остачі від ділення будуть числа 1; 2; 32. . . ; 99. За принципом Діріхле, як мінімум дві деякі суми будуть мати одну й ту саму остачу при діленні на 100.

3. Нехай це будуть суми 𝑆𝑆𝑘𝑘 і 𝑆𝑆𝑙𝑙 де 𝑘𝑘 > 𝑙𝑙. Тоді 𝑆𝑆𝑘𝑘 − 𝑆𝑆𝑙𝑙 = 𝑥𝑥𝑙𝑙+1 + 𝑥𝑥𝑙𝑙+2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑘𝑘 — ділиться на 100. Отже, 𝑥𝑥𝑙𝑙+1 + 𝑥𝑥𝑙𝑙+2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑘𝑘 — шукана сума.

Домашня самостійна робота 9 (§§ 40–43) 1. Укажіть рівняння, що є квадратним. Відповідь: Б.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює 15, то квадратне рівняння… А. Не має коренів Б. Має один корінь В. Має два різних корені Г. Має безліч коренів

Відповідь: B. 3. Нехай x1 і x2 – корені рівняння x2 + x – 5 = 0, тоді Відповідь: Г. 4. Укажіть корені рівняння 5x2 – 4x = 0.

la. in.

𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0, 5𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 4) = 0; � � 1 5𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥2 = 0,8. Відповідь: Б. 5. Розв’яжіть рівняння 3x2 – 10x + 3 = 0.

3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 = −10, 𝑐𝑐 = 3; 𝐷𝐷 = (−10)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 100 − 36 = 64 = 82 ; 𝐷𝐷 > 0; 10 + 8 18 10 − 8 2 1 𝑥𝑥1 = = = 3; 𝑥𝑥2 = = = . 2⋅3 6 2⋅3 6 3 Відповідь: А. 6. Площа прямокутника дорівнює 168 см2, а одна з його сторін на 2 см менша від другої. Знайдіть меншу сторону прямокутника.

Нехай одна сторона прямокутника 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0, то друга (x – 2) см. За умовою площа прямокутника дорівнюе 168 см2 . Маємо рівняння: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 168; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 168 = 0. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, За теоремою Вієта: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −168. Звідки 𝑥𝑥1 = 14; 𝑥𝑥2 = −12 — не є розв'язком рівняння. Тобто одна сторона прямокутника 14 см, а друга 12 см. Відповідь: В. 7. Для якого значення a число 2 буде коренем рівняння ax2 + 4x – 20 = 0? За умовою 𝑥𝑥1 = 2, тобто маемо: 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 20 = 0; 4𝑎𝑎 + 8 − 20 = 0; 4𝑎𝑎 = 12; 𝑎𝑎 = 3. Відповідь: Б. 8. Розв’яжіть рівняння (x + 2)2 = 4x + 5.

(𝑥𝑥 + 2)2 = 4𝑥𝑥 + 5; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 4𝑥𝑥 + 5; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −1. Відповідь: А. 9. Дано три послідовних натуральних числа. Потроєний квадрат меншого з них на 50 більший за суму квадратів двох інших. Знайдіть менше із даних чисел.

Нехай перше натуральне число 𝑥𝑥, друге — (𝑥𝑥 + 1), третє — (𝑥𝑥 + 2). Враховуючи умову, що потроєний квадрата меншого з них (3x2) на 30 більший за суму квадратів двох інших, тобто (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 , маємо рівняння: 3𝑥𝑥 2 − 50 = (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 ; 3𝑥𝑥 2 − 50 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4; 3𝑥𝑥 2 − 50 = 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 55; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 55 = 0. За теоремою Вієта маємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 6, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −55. Звідки: 𝑥𝑥1 = 11; 𝑥𝑥2 = −5 – не є розв'язком задачі. Тобто менше число 11. Відповідь: Б.

la. in.

�√𝑥𝑥 − 3�(2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5) = 0; √𝑥𝑥 − 3 = 0, �𝑥𝑥 ≥ 0, 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0; √𝑥𝑥 − 3 = 0; √𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 9; 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 = 3, 𝑐𝑐 = −5; D = 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) = 49 = 72 ; D > 0; −3 + 7 −3 − 7 −10 = 1; 𝑥𝑥2 = = = −2,5 𝑥𝑥1 = 2⋅2 2⋅2 4 не є розв'язком задачі. Відповідь: Г.

10. Розв’яжіть рівняння (√𝑥𝑥 – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0.

11. Нехай x1 і x2 – корені рівняння. Не розв’язуючи рівняння, знай діть значення виразу

За умовою 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 – корені рівняння 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 7 = 0. За теоремою Вієта маємо: 3 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = , 2 � 7 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = − . 2 Розглянемо: 3 9 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = ; (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 = ; 2 4 9 9 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 = ; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 . 4 4 Тобто маємо: 9 7 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = − 2 �− � ; 4 2 9 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = + 7; 4 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 2,25 + 7; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 9,25. Відповідь: А.

12. Під час ділової зустрічі було здійснено 36 потисків руки, причому всі учасники потисли руку одне одному. Скільки осіб взяло участь у діловій зустрічі?

Нехай 𝑥𝑥 учасників ділової зустрічі, вони потиснули руку (x – 1) учаснику. Всього потисків було 36. Маємо рівняння: (𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 = 36; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 72 = 0. 2 За теоремою Вієта маемо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −72, Відповідь: Б.

звідки 𝑥𝑥1 = 9; 𝑥𝑥2 = −8 − не задовольняє умовам задачі. 9 учасників.

13. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Г).

𝟏𝟏. (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 4) = −8 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 8 = −8 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 8 + 8 = 0

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 = 0

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 0

Отже, 𝑥𝑥1 = 0 або 𝑥𝑥2 = 2. (Б)

la. in.

𝟐𝟐. (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1) = 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1

Ліва частина — це різниця квадратів: (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 . 4𝑥𝑥 2 − 1 = 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1

4𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 − 1 = 0

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0

За теоремою Вієта:

Сума коренів 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1

Добуток коренів 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2

Це числа 𝑥𝑥1 = 2 та 𝑥𝑥2 = −1. (А) 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 2 𝟑𝟑. = 3 4

Використовуємо властивість пропорції (множимо навхрест): 3(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥) = 4(4𝑥𝑥 − 2) 3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 = 16𝑥𝑥 − 8

3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 16𝑥𝑥 + 8 = 0 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 8 = 0

𝐷𝐷 = (−10)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 8 = 100 − 96 = 4

10 ± √4 10 ± 2 = 6 2⋅3 12 =2 𝑥𝑥1 = 6 8 4 1 𝑥𝑥2 = = = 1 (Г) 6 3 3 𝑥𝑥 =

Відповідь: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Завдання для перевірки знань до §§ 40–43 1. Які з рівнянь є квадратними: Рівняння 1), 3). 1. Два; 2. один; 3. жодного; 4. два. 3. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння

1. 2𝑥𝑥 2 − 18 = 0; 2𝑥𝑥 2 = 18; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −3.

la. in.

𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −17. 4. Розв’яжіть неповне квадратне рівняння:

2. Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщо його дискримінант дорівнює:

2. 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 4) = 0; 𝑥𝑥1 = 0 або 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 3𝑥𝑥 = 4; 1 𝑥𝑥 = 1 . 3

5. Розв’яжіть рівняння:

1. 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0. D = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9; √D = 3; 5+3 8 5−3 2 1 = = 2; 𝑥𝑥2 = = = . 𝑥𝑥1 = 2⋅2 4 4 4 2

2. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0. D = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0. 6 𝑥𝑥 = = 3. 2 6. Одна зі сторін прямокутника на 4 см більша за другу, а площа прямокутника дорівнює 192 см2. Знайдіть його периметр. 1. Нехай сторона a = x, тоді сторона b = x + 4. За умовою:

𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) = 192; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 192 = 0. D = 42 − 4 ⋅ (−192) = 784; √D = 28; −4 + 28 = 12; 𝑥𝑥1 = 2 −4 − 28 𝑥𝑥2 = < 0 − не задовольняє умову задачі. 2 Отже, a = x = 12 (см),

b = x + 4 = 12 + 4 = 16 (см).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. P = 2(𝑎𝑎 + b) = 2(12 + 16) = 56 (см). Відповідь: 56 см.

1. (𝑥𝑥 + 1)2 = 4𝑥𝑥 − 5; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 − 4𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 6 = 0. D = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 < 0. Рівняння не має розв'язків.

1 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 6 = 0. 2 D = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 28; √D = √28 = 2√7. 2 ± 2√7 2(1 ± √7) = = 1 ± √7 𝑥𝑥1,2 = 2 2

la. in.

𝟐𝟐.

7. Розв’яжіть рівняння:

8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат більшого з них на 140 менший від суми квадратів двох інших.

I − 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁; II −𝑥𝑥 + 1; III −𝑥𝑥 + 2. За умовою (𝑥𝑥 + 2)2 + 140 = 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 + 1)2 . Маємо 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 + 140 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 − 4𝑥𝑥 − 144 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 143 = 0. D = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−143) = 576; √D = 24; 2 + 24 2 − 24 = 13; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 не належить множині N. Отже, шукані числа 13; 14; 15. Відповідь: 13; 14; 15. 9. Розв’яжіть рівняння (√𝑥𝑥 – 2)(x2 + 3x – 4) = 0.

(√𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4) = 0. ОДЗ: 𝑥𝑥 ≥ 0. √𝑥𝑥 − 2 = 0 або 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 32 − 4 ⋅ 1(−4) = 25; √D = 5; √𝑥𝑥 = 2; −3+5 𝑥𝑥2 = = 1; 𝑥𝑥1 = 4.

< 0 − не входить в ОДЗ.

𝑥𝑥3 =

2 −3−5

Відповідь: 1; 4

10. Числа x1 і x2 є коренями рівняння x2 – 5x – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 3 = 0. За теоремою Вієта 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 5; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 5 2 + = = = −1 ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −3 3 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

2. 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 52 − 2 ⋅ (−3) = 25 + 6 = 31. 1. Нехай у першості брало участь 𝑥𝑥 команд. 𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) матчів. Тоді було зіграно 𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)

la. in.

2. За умовою = 28. 2 Маємо 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 56 = 0. D = (−1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−56) = 225; √D = 15; 1 + 15 1 − 15 = 8; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 не задовольняє умову задачі.

11. На першості школи з баскетболу було зіграно 28 матчів, причому кожна команда зіграла з кожною по одному матчу. Скільки команд брало участь у першості школи з баскетболу?

Відповідь: 8 команд.

Вправи для повторення теми 9 До § 40 1. Перепишіть рівняння в зошит та підкресліть однією рискою його перший коефіцієнт, двома – другий і «хвилькою» вільний член (за потреби допишіть коефіцієнтом число 1) за зразком: ax2 + bx + c = 0, 2x2 – 1x + 5 = 0: 1. 7x2 - 3x + 5 = 0; 2. -2x2 + 1x – 4 = 0; 3. 3x + 1x2 – 7 = 0;

4. 3x2 = 0;

5. 2x2 – 7 = 0;

6. 2x + 5x2 = 0.

2. Розв’яжіть рівняння:

1. 1,8𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0 .

2. 2𝑥𝑥 2 − 32 = 0; 2𝑥𝑥 2 = 32; 𝑥𝑥 2 = 16; 𝑥𝑥 = ±4. Відповідь: −4; 4.

3. 5𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 7) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 2 7 𝑥𝑥 = = 1 = 1,4; 5 5 Відповідь: 0; 1,4.

4. −𝑥𝑥 2 − 9 = 0; −𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥 2 = −9 < 0. Відповідь: рівняння коренів не має.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 2 1 𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 + 8� = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 2 2 1 1 𝑥𝑥 + 8 = 0; 𝑥𝑥 = −8; 𝑥𝑥 = −16. 2 2 Відповідь: −16; 0.

𝟓𝟓.

6. 3𝑥𝑥 2 − 15 = 0; 3𝑥𝑥 2 = 15; 𝑥𝑥 2 = 5; 𝑥𝑥 = ±√5. Відповідь: −√5; √5. 3. Чи є число 1 – √2 коренем рівняння x2 – 2x – 1 = 0?

(1 − √2)2 − 2(1 − √2) − 1 = 1 − 2√2 + 2 − 2 + 2√2 − 1 = 0. Відповідь: число 1 − √2 є коренем рівняння 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1 = 0. 4. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 5𝑥𝑥 + 4 𝟏𝟏. + = � ⋅ 6; 3 6 2 3(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) + 2(𝑥𝑥 − 1) = 5𝑥𝑥 = 4; 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 2 − 5𝑥𝑥 − 4 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 6 = 0; 3𝑥𝑥 2 = 6; 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥 = ±√2. Відповідь: √2.

2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 + 16 + = 𝟐𝟐. � ⋅ 8; 2 8 4 2(2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥) + 4(𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 + 16; 4𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 16 − 𝑥𝑥 − 16 = 0; 4𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 3) = 0; 𝑥𝑥 − 0 або 3 4𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = . 3

Відповідь: 0; . 4 5. Довжина прямокутника у 1,5 раза більша за ширину. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа 54 см2.

Нехай 𝑥𝑥 см – ширина прямокутника, тоді 1,5𝑥𝑥 см – довжина прямокутника. Маємо рівняння: 𝑥𝑥 · 1,5 = 54; 1,5𝑥𝑥 2 = 54; 54 540 = = 36; 𝑥𝑥 2 = 1,5 15 𝑥𝑥 = ±6; 𝑥𝑥 = −6 (умові задачі не задовольняє). 1,5𝑥𝑥 = 1,5 · 6 = 9; P = (6 + 9) · 2 = 15 · 2 = 30(см). Відповідь: 30 см. 6. Для яких значень a число 3 є коренем рівняння: 1. 𝑎𝑎 · 32 − 7 · 3 + (𝑎𝑎2 + 21) = 0; 9𝑎𝑎 − 21 + 𝑎𝑎2 + 21 = 0 𝑎𝑎2 + 9𝑎𝑎 = 0; 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 9) = 0; 𝑎𝑎 = 0 або 𝑎𝑎 + 9 = 0; 𝑎𝑎 = 0 або 𝑎𝑎 = −9. Відповідь: –9 .  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 32 + (𝑎𝑎2 − 4) · 3 − 9 = 0; 9 + 3𝑎𝑎2 − 12 − 9 = 0; 3𝑎𝑎2 − 12 = 0; 𝑎𝑎2 − 4 = 0; 𝑎𝑎2 = 4; 𝑎𝑎 = ±2. Відповідь: –2; 2. 7. Для яких значень a рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 − (4𝑎𝑎 − 5)𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥�𝑥𝑥 − (4𝑎𝑎 − 5)� = 0; 𝑥𝑥1 = 0 або 𝑥𝑥 − (4𝑎𝑎 − 5) = 0. Для того, шоб рівняння мало один корінь необхідия, щоб 4𝑎𝑎 − 5 = 0, тобто 𝑎𝑎 = 1,25. 2. 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 − 𝑎𝑎 = 0.

la. in.

1. Якщо 𝑎𝑎 = 0, то маємо 0𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 – будь-яке число. Рівняння має безліч розв'язків. 1

2. Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то маємо 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 = 𝑎𝑎; 𝑥𝑥 2 = . a Щоб рівняння мало два корені, необхідно і достатньо, щоб 𝑎𝑎 > 0. Відповідь: 1. 𝑎𝑎 = 1,25; 2. 𝑎𝑎 > 0. До § 41

8. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння та визначте кількість його коренів: 1. 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 8 = 0; D = 72 − 4 · 1 · (−8) = 49 + 32 = 81 > 0; −7 + 9 2 = = 1; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 корені;

2. 3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 0; D = (−2)2 − 4 · 3 · 3 = 4 − 36 < 0, коренів не має;

3. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 0, один корінь;

4. 7𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 12 − 4 · 7 · (−1) = 1 + 28 = 29 > 0,2 корені. 9. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 8 = 0; D = 72 − 4 · 1 · (−8) = 49 + 32 = 81 > 0; −7 + 9 2 −7 − 9 16 = = 1; 𝑥𝑥2 = =− = −8. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 Відповідь: −8; 1. 2. 16𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 1 = 0; (4𝑥𝑥 − 1)2 = 0; 4𝑥𝑥 − 1 = 0; 1 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = . 1

Відповідь: . 4

3. 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−1)2 − 4 · 2 · (−3) = 1 + 24 = 25;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1+5 6 3 = = = 1,5; 4 4 2 1−5 4 = − = −1. 𝑥𝑥2 = 4 4 Відповідь: −1; 1,5.

𝑥𝑥1 =

4. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−10) = 49 > 0; −3 + 7 4 = = 2; 𝑥𝑥1 = 2 2 −3 − 7 10 =− = −5. 𝑥𝑥2 = 2 2 Відповідь: −5; 2.

la. in.

5. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 7 = 0; D = 42 − 4 · 1 · 7 = 16 − 28 < 0; Відповідь: рівняння розв'язків не має.

6. 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 52 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49; −5 + 7 2 1 𝑥𝑥1 = = = ; 4 4 2 −5 + 7 12 =− = −3. 𝑥𝑥2 = 4 4 Відповідь: −3; 0,5. 10. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 2 = 6𝑥𝑥 − 7; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 7 = 0; D = (−6)2 − 4 · 1 · 7 = 36 − 28 = 8; 6 + √8 6 + 2√2 2(3 + √2) = = = 3 + √2; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 6 − √8 6 − 2√2 2(3 − √2) = = = 3 − √2. 𝑥𝑥2 = 2 2 2 Відповідь: 3 ± √2.

2. 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 = −12; 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 12 = 0; D = 72 − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1 > 0; −7 + 1 6 𝑥𝑥1 = = − = −3; 2 2 −7 − 1 8 𝑥𝑥2 = = − = −4. 2 2

3. 10𝑥𝑥 = 25𝑥𝑥 2 + 1; 25𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 1 = 0; 1 (5𝑥𝑥 − 1)2 = 0; 5𝑥𝑥 − 1 = 0; 5𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 0,2. 5 Відповідь: 0,2. 4. 2 − 9𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 2 ; 5𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 2 = 0; D = 92 − 4 · 5 · (−2) = 81 + 40 = 121 > 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−9 + 11 2 = = 0,2; 10 10 −9 − 11 20 =− = −2. 𝑥𝑥2 = 10 10 Відповідь: −2; 0,2.

𝑥𝑥1 =

11. Розв’яжіть рівняння графічно, а потім перевірте розв’язок аналітично:

1. 𝑥𝑥 2 = 3 − 2𝑥𝑥. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 . 0

–1

–2

𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥. x

la. in.

Точки A(−3; 9) та B(1; 1) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 3 − 2𝑥𝑥. Отже, 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 22 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16; −2 + 4 2 𝑥𝑥1 = = = 1; 2 2 −2 − 4 6 𝑥𝑥2 = = − = −3. 2 2 Відповідь: −3; 1.

2. 𝑥𝑥 2 = 0,5𝑥𝑥 + 3.

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 + 3. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 . x

–1

–2

𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 + 3. x

4  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Точки A(−1,5; 2,25) та B(2; 4) – точки перетину графіків функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 та 𝑦𝑦 = 0,5𝑥𝑥 + 3. Отже, 𝑥𝑥1 = −1,5, 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥 2 = 0,5𝑥𝑥 + 3; 𝑥𝑥 2 − 0,5𝑥𝑥 − 3 = 0; 10𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 30 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; D = (−1)2 − 4 · 2 · (−6) = 1 + 48 = 49; 1+7 8 = = 2; 𝑥𝑥1 = 2 4 1−7 6 3 𝑥𝑥2 = = − = − = −1,5. 2 4 2 Відповідь: −1,5; 2. 12. Розв’яжіть рівняння:

1. 5(𝑥𝑥 − 2) = (3𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2); 5𝑥𝑥 − 10 = 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 4; 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 4 + 10 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 6 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 6 = 0 ∣: 3; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−3)2 − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1, 3+1 4 𝑥𝑥1 = = = 2; 2 2 3−1 2 𝑥𝑥2 = = = 1. 2 2 Відповідь: 1; 2.

1 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 7 = 0 ⋅ 5; 5 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 35 = 0; D = (−10)2 − 4 · (−35) = 100 + 140 = 240; 10 + √240 10 + √16 ⋅ 15 10 + 4√15 2(5 + 2√15) = = = = 5 + 2√15; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 𝑥𝑥2 = 5 − 2√15; Відповідь: 5 ± 2√15.

𝟐𝟐.

3. 𝑥𝑥 2 + √2𝑥𝑥 − 12 = 0; D = (√2)2 − 4 ⋅ (−12) = 2 + 48 = 50; −√2 + √50 −√2 + √25 ⋅ 2 −√2 + 5√2 √2(5 − 1) 4√2 = = = = = 2√2; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 2 −√2 − 5√2 √2(−1 − 5) 6√2 = =− = −3√2. 𝑥𝑥2 = 2 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. √3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − √3 = 0; D = (−2)2 + 4√3 ⋅ √3 = 4 + 12 = 16 = 42 ; 2+4 6 3 3 = = = = √3; 𝑥𝑥1 = 2 √3 2 √3 √3 √3 2−4 2 1 √3 =− =− =− . 𝑥𝑥2 = 3 2 √3 2 √3 √3 Відповідь: −

√3 ; √3. 3

Відповідь: −3√2; 2√2.

13. Для якого значення m має лише один корінь рівняння:

la. in.

1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 = 0; D = (2𝑚𝑚)2 − 4 · 1 · 𝑚𝑚 = 4𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚; 4𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 = 0; 4𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1) = 0; 𝑚𝑚 = 0 або 𝑚𝑚 − 1 = 0; 𝑚𝑚 = 0 або 𝑚𝑚 = 1. Відповідь: 0; 1. 2. 𝑚𝑚𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−4)2 − 4 · 2𝑚𝑚 = 16 − 8𝑚𝑚; 16 − 8𝑚𝑚 = 0; 8𝑚𝑚 = 16; 𝑚𝑚 = 2. Відповідь: при 𝑚𝑚 = 2.

14. Доведіть, що для будь-якого a рівняння 2x2 + ax – 3 = 0 має два різних корені. 2𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3 = 0. D = 𝑎𝑎2 − 4 · (−4) · 2 = 𝑎𝑎2 + 24. Оскільки 𝑎𝑎2 + 24 > 0 при будь–якому 𝑎𝑎, то рівняння 2𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3 = 0 при будь–якому 𝑎𝑎 має два різних корені.

15. Розв’яжіть рівняння відносно x:

1. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥(3 − 2𝑎𝑎) − 6𝑎𝑎 = 0; D = (2𝑎𝑎 − 3)2 − 4 · 1 · (−6𝑎𝑎) = 4𝑎𝑎2 − 12𝑎𝑎 + 9 + 24𝑎𝑎 = 4𝑎𝑎2 + 12𝑎𝑎 + 9 = (2𝑎𝑎 + 3)2 ; 3 − 2𝑎𝑎 ± (2𝑎𝑎 + 3) 𝑥𝑥 = ; 2 3 − 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 3 6 𝑥𝑥1 = = = 3; 2 2 3 − 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 − 3 4𝑎𝑎 𝑥𝑥2 = =− = −2𝑎𝑎. 2 2 Відповідь: −2𝑎𝑎; 3.

2. 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2 = 0; D = (−3𝑎𝑎)2 − 4 · 2𝑎𝑎2 = 9𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 ; 3𝑎𝑎 ± 𝑎𝑎 ; 𝑥𝑥 = 2𝑎𝑎2 3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 4𝑎𝑎 2 = = ; 𝑥𝑥1 = 2𝑎𝑎2 2𝑎𝑎2 𝑎𝑎

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 2𝑎𝑎 1 = = . 2𝑎𝑎2 2𝑎𝑎2 𝑎𝑎 2 1 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = ; 𝑎𝑎 𝑎𝑎 якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння розв'язків не має. 16. Знайдіть корені рівняння:

la. in.

1. |𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3| = 3; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 = 3, 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0, � � 2 𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 3 = −3; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 0, 𝑥𝑥 = −5, � � (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥 = −6, 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: −6; −5; 01.

𝑥𝑥2 =

|𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1| − 4 = 3, 2. ‖𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1| − 4| = 3; � 2 |𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 1| − 4 = −3; 2 |𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 1| = −3 + 4, |𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1| = 1, � � 2 |𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 1| = 3 + 4; |𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1| = 7; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1 = −1, 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0, ⎡ 2 ⎡ 2 ⎢ 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 1, ⎢ 2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 = 0, ⎢ 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 1 = −7, ⎢ 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 8 = 0, ⎣ 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 7; ⎣ 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 6 = 0;

1) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 8 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · 2 = 25 − 8 = 17; 5 ± √17 𝑥𝑥 = ; 2 2) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 5;

3) 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 8 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · 8 = 25 − 32 = −7 < 0. Отже, дане рівняння розв'язків не має;

4) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 6 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · (−6) = 25 + 24 = 49; 5 + 7 12 5−7 2 = = 6; 𝑥𝑥1 = = − = −1. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 5±√17 Відповідь: −1; 0; 5; 6; .

4 4 = + 6; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝐷𝐷 = 12 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25; −1 + 5 4 −1 − 5 6 𝑥𝑥1 = = = 2; 𝑥𝑥2 = = − = −3. 2 2 2 2 Відповідь: –3. 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 +

𝟒𝟒. �

√𝑥𝑥

− 3� (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥) = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 > 0;

√𝑥𝑥

− 3 = 0 або 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0;

√𝑥𝑥

= 3;

1 або 𝑥𝑥 = 0 або 3 1 𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −2 < 0; 9 𝑥𝑥 = 0 і 𝑥𝑥 = −2 не є коренями рівняння. 1 Відповідь: .

або 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 0; √𝑥𝑥 = 9

ОДЗ:

До § 42

17. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:

la. in.

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −17, 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 + 60 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 60; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 0, 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 2 − 12 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −12;

𝟑𝟑. 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 3 = 0;

5 + 𝑥𝑥 = = 2,5, 𝑥𝑥 1 2 5 3 2 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + = 0; � 3 2 2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = = 1,5; 2

4. −𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4, � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −5.

18. Не використовуючи формулу коренів квадратного рівняння, знайдіть другий корінь, якщо відомо перший:

1. 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 10 = 0; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = 10; то 5𝑥𝑥2 = 10; 𝑥𝑥2 = 2;

2. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 18 = 0; 𝑥𝑥1 = −6; 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = −18; то −6𝑥𝑥2 = −18; 𝑥𝑥2 = 3.

19. Різниця коренів квадратного рівняння x2 + 2x + q = 0 дорівнює 6. Знайдіть ці корені та коефіцієнт q.

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 6, + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0; � 1 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = −2; 2𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = −2 − 𝑥𝑥1 = −2 − 2 = −4; 𝑞𝑞 = 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 = 2 · (−4) = −8. Відповідь: 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = −4; 𝑞𝑞 = −8.

20. Доведіть, що рівняння 3x2 + bx – 7 = 0 для будь-якого значення b має один додатний і один від’ємний корінь. 3𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 7 = 0. 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 2 − 4 · 3 · (−7) = 𝑏𝑏 2 + 84 > 0; 2 різних корені.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑏𝑏 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − , 𝑏𝑏 7 3 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − = 0; � 7 3 3 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = − < 0. 3 Оскільки 𝑥𝑥1 · 𝑥𝑥2 < 0 то 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 − 0 числа різних знаків.

21. Відношення коренів рівняння дорівнює 2 : 3. Знайдіть p та корені рівняння.

Нехай x1 : x2 = 2 : 3, тоді x1 = 2m, x2 = 3m, де m > 0 (оскільки кратне відношення можна розглядати лише для додатних чисел). За теоремою Вієта x1 + x2 = −p; x1x2 = 54.

Маємо 2m · 3m = 54; m2 = 9. Враховуючи m > 0, отримаємо m = 3.

la. in.

Тоді x1 = 6; x2 = 9 і p = −(x1 + x2) = −(6 + 9) = −15. Відповідь: p = −15; x1 = 6; x2 = 9.

22. Один з коренів рівняння 5x2 – 6x + c = 0 удвічі більший за другий. Знайдіть c. 5𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0; D = (−6)2 − 4 · 5𝑐𝑐 = 36 − 20𝑐𝑐 > 0; 6 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = , 5 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 6 ; 3𝑥𝑥 = 6 ; � 2 2 𝑐𝑐 2 5 5 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = ; 5 6 2 6 2 4 𝑐𝑐 4 2 8 = ; 𝑥𝑥1 = − = ; = ⋅ = ; 𝑥𝑥2 = 3⋅5 5 5 5 5 5 5 5 25 3 5⋅8 8 = = 1 = 1,6. 𝑐𝑐 = 5 5 25 Відповідь: 𝑐𝑐 = 1,6.

23. Сума квадратів коренів рівняння 3x2 + bx – 12 = 0 дорівнює 33. Знайдіть b.

3𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 12 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4 · 3 · (−12) = 𝑏𝑏 2 + 144 > 0; 𝑏𝑏 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 33 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 4 = 0; � 1 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −4; 3 2 2 (𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 33; (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2 · (−4) = 33; (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 = 33 − 8; (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 = 25; 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −5 або 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −5; 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − = −5 або − = 5; 𝑏𝑏 = 15 або 𝑏𝑏 = −15. 3 3 Відповідь: –15 або 15.

24. Для яких значень a сума коренів рівняння x2 – 2ax + (2a – 1) = 0 дорівнює сумі квадратів його коренів? 𝑥𝑥 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + (2𝑎𝑎 − 1) = 0.

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2𝑎𝑎, За теоремою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 2𝑎𝑎 − 1. 2 2 Звідки: (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) = 4𝑎𝑎 ; 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 = 4𝑎𝑎2 ; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝐷𝐷 = 4𝑎𝑎2 − 4(2𝑎𝑎 − 1) = 4𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎 + 4 = 4(𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 +1) = 4(𝑎𝑎 − 1)2 ≥ 0; (𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ; (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ; (2𝑎𝑎)2 − 2 · (2𝑎𝑎 − 1) = 2𝑎𝑎; 4𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 2 = 0; 4𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 2 = 0; 2𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 1 = 0; D = (−3)2 − 4 · 2 · 1 = 9 − 8 = 1; 3+1 4 3−1 2 1 𝑎𝑎1 = = = 1; 𝑎𝑎2 = = = . 4 4 4 4 2 1 Відповідь: ; 1. 2

25. Складіть квадратне рівняння, корені якого вдвічі менші від відповідних коренів рівняння 5x2 – 16x + 4 = 0.

la. in.

5𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 + 4 = 0; D = (−16)2 − 4 · 5 · 4 = 256 − 80 = 176; 16 + √176 16 + √16 ⋅ 11 16 + 4√11 4(4 + √11) 2(4 + √11) = = = = ; 𝑥𝑥1 = 10 5 10 10 10 16 − √176 16 − 4√11 4(4 − √11) 2(4 − √11) 𝑥𝑥2 = = = = ; 10 5 10 10 4 + √11 4 − √11 4 + √11 + 4 − √11 8 + = = ; 5 5 5 5 2 2 16 − 11 5 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 1 4 + √11 4 − √11 4 − (√11) ⋅ = = = = ; = , 25 25 5 2 ⋅ 2 5 5 5 25 8 1 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + = 0� ⋅ 5; 5 5 5𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 1 = 0. 4 16 ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = . 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 5 5 Відповідь: 5𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 1 = 0.

До § 43

26. Периметр прямокутника дорівнює 30 см, а його площа – 54 см2. Знайдіть сторони прямокутника.

Оскільки PАВС = 30 см, то AB + BC = 15 см. Нехай AB = 𝑥𝑥, тоді BC = 15 − 𝑥𝑥. Маємо рівняння: 𝑥𝑥(15 − 𝑥𝑥) = 54; 15𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 54 = 0; 𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 + 54 = 0. 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = 9; 15 − 𝑥𝑥 = 15 − 6 = 9 або 15 − 𝑥𝑥 = 15 − 9 = 6.

Відповідь: 6 см і 9 см. 27. Знайдіть три послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорівнює 302.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Нехай 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 + 2 – три послідовні цілі числа, тоді 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 = 302; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 − 302 = 0; 3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 297 = 0; D = 62 − 4 · 3 · (−297) = 36 + 3564 = 3600; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 99 = 0. −6 + 60 54 = = 9; 𝑥𝑥1 = 6 6 −6 − 60 66 𝑥𝑥2 = =− = −11. 6 6 Відповідь: 9; 10; 11 або −11; −10; −9. 28. Знайдіть п’ять послідовних цілих чисел, якщо відомо, що сума квадратів трьох перших чисел дорівнює сумі квадратів двох останніх.

la. in.

Нехай 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 + 2, 𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 + 4 – п'ять послідовних цілих чисел, тоді 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 = (𝑥𝑥 + 3)2 + (𝑥𝑥 + 4)2 ; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 16; 3𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥 + 5 − 25 = 0; 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 20 = 0. 𝑥𝑥1 = 10; 𝑥𝑥2 = −2. Відповідь: 10; 11; 12; 13; 14 або –2; –1; 0; 1; 2. 29. Один з катетів прямокутного трикутника на 2 см менший від другого, а периметр трикутника дорівнює 24 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай AC = 𝑥𝑥, BC = 𝑥𝑥 − 2; AB = 24 − (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2) = 24 − 2𝑥𝑥 + 2 = 26 − 2𝑥𝑥. За теоремою Піфагора маємо: AB 2 = AC 2 + BC2 ; (26 − 2𝑥𝑥)2 = 𝑥𝑥 2 + (𝑥𝑥 − 2)2 ; 676 − 104𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4; 4𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 2 − 104𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 676 − 4 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 100𝑥𝑥 + 672 = 0; 𝑥𝑥 2 − 50𝑥𝑥 + 336 = 0; D = (−50)2 − 4 · 1 · 336 = 2500 − 1344 = 1156; 50 + 34 84 𝑥𝑥1 = = = 42 2 2 (умові задачі не задовольняє, бо тоді AB < 0 ); 50 − 34 16 = = 8. 𝑥𝑥2 = 2 2 𝑥𝑥 − 2 = 8 − 2 = 6. Отже, AC⋅BC 8⋅6 S△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 4 ⋅ 6 = 24(см2 ). 2

Відповідь: 24 см2 .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

30. У чемпіонаті України з футболу було зіграно 240 матчів. Скільки команд узяло участь у чемпіонаті, якщо всі команди зіграли одна з одною по два матчі?

Нехай 𝑥𝑥 команд взяло участь у чемпіонаті України з футболу, тоді 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 240; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 240 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−240) = 1 + 960 = 961; 1 + 31 32 1 − 31 𝑥𝑥1 = = = 16; 𝑥𝑥1 = = −15 < 0 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 16 команд. 31. Дно ящика – прямокутник, ширина якого в 1,5 раза менша від довжини. Висота ящика 0,4 м. Знайдіть об’єм ящика, якщо відомо, що площа його дна на 0,66 м2 менша від суми площ усіх бічних стінок.

375

la. in.

Нехай 𝑥𝑥 м – ширина прямокутника, тоді 1,5𝑥𝑥 м – довжина прямокутника. 1,5𝑥𝑥 · 𝑥𝑥 < 0,4𝑥𝑥 · 2 + 0,4 · 1,5𝑥𝑥 · 2 (на 0,66 ); м, 1,5𝑥𝑥 2 + 0,66 = 0,8𝑥𝑥 + 1,2𝑥𝑥; 1,5𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 0,66 = 0; 150𝑥𝑥 2 − 200𝑥𝑥 + 66 = 0; 75𝑥𝑥 2 − 100𝑥𝑥 + 33 = 0; D = (−100)2 − 4 · 75 · 33 = 10000 − 9900 = 100; 100 + 10 110 11 = = ; 𝑥𝑥1 = 150 150 15 100 − 10 90 9 3 𝑥𝑥2 = = = = = 0,6; 150 150 15 5 11 15 11 11 = ⋅ = = 1,1 1,5𝑥𝑥 = 1,5 ⋅ 15 10 15 10 або 1,5𝑥𝑥 = 1,5 · 0,6 = 0,9. 11 11 4411 121 3 11 (м ) ⋅ 1,1 ⋅ 0,4 = ⋅ 0,44 = ⋅ = V= 15 15 10025 375 15 або V = 0,5 · 0,9 · 0,4 = 0,216(м3 ). 121 (м3 ) або 0,216 м3 . Відповідь:

32. Відкриту коробку об’ємом 10 500 см3 виготовили з аркуша картону прямокутної форми, довжина якого вдвічі більша за ширину, вирізавши з кутів аркуша квадрати зі стороною 5 см. Знайдіть початкові розміри аркуша.

Нехай AB = 2𝑥𝑥 см, BC = 2𝑥𝑥 см, MK = 2𝑥𝑥 − 10 см, NP = 𝑥𝑥 − 10 см, тоді V = (2𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 10) · 5 = 10500; (2𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 10) · 5 = 10500: 5; (2𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 − 10) · 5 = 2100; 2𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 100 − 2100 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 − 2000 = 0; 𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 − 1000 = 0. D = (−15)2 − 4 · 1 · (−1000) = 225 + 4000 = 4225; 15 + 65 80 15 − 65 = = 40; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(умові задачі не задовольняє). 2𝑥𝑥 = 40 · 2 = 80 (см).

la. in.

Відповідь: 40 см і 80 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тема 10. МНОГОКУТНИКИ. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ § 44. Многокутник і його елементи. Сума кутів опуклого многокутника. Многокутник, вписаний у коло, і многокутник, описаний навколо кола 44.1 1. Назвіть усі вершини, сторони, кути п’ятикутника ABCDE. 2. Назвіть деяку пару сусідніх сторін, несусідніх сторін. 3. Назвіть деяку пару сусідніх вершин, несусідніх вершин. 4. Чи є п’ятикутник опуклим?

la. in.

1. Вершини: A; B; C; D; E; сторони: AB; BC; CD; DE; EA; кути: A; B; C; D; E. 2. Сусідні сторони: AB і AE; несусідні сторони: AB і CD. 3. Сусідні вершини: A і B; несусідні вершини: A і C. 4. П’ятикутник є опуклим. 44.2 Накресліть опуклий шестикутник ABCDEF. Запишіть усі його вершини, сторони й кути.

Вершини: A; B; C; D; E; F; сторони: AB; BC; CD; DE; EF; FA; кути: A; B; C; D; E; F. 44.3 Накресліть опуклий семикутник. A1A2A3A4A5A6A7 та проведіть у ньому всі діагоналі, що виходять з вершини A5.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

44.4 Накресліть будь-який неопуклий многокутник, у якого два кути більші за 180°.

la. in.

44.5 Накресліть будь-який неопуклий п’ятикутник.

44.6 Знайдіть на малюнках вписані та описані многокутники.

На мал. 1 — вписаний многокутник; на мал. 2 та мал. 3 — описані многокутники. 44.7 Накресліть коло та впишіть у нього п’ятикутник.

44.8 Накресліть коло та впишіть у нього будь-який многокутник.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

44.9 Накресліть коло та опишіть навколо нього будь-який многокутник.

la. in.

44.10 Накресліть коло та опишіть навколо нього шестикутник.

44.11 Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1. n = 12; 2. n = 18. 1. n = 12; 180° · (12 − 2) = 180° · 10 = 1800°; 2. n = 18; 180° · (18 − 2) = 180° · 16 = 2880°. 44.12 Обчисліть суму кутів опуклого n-кутника, якщо: 1. n = 7; 2. n = 22. 1. n = 7; 180° · (7 − 2) = 180° · 5 = 900°; 2. n = 22; 180° · (22 − 2) = 180° · 20 = 3600°. 44.13 В опуклому дев’ятикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути. n = 9; 180° · (9 − 2) = 180° · 7 = 1260° — сума кутів. 1260° : 9 = 140° — градусна міра кожного кута. Відповідь: 140°. 44.14 В опуклому шестикутнику всі кути між собою рівні. Знайдіть ці кути. n = 6; 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. 720° : 6 = 120°. Відповідь: 120°. 44.15 (Усно) Чи можна побудувати опуклий п’ятикутник, усі кути якого між собою рівні? Відповідь поясніть. Так. Сума кутів опуклого п’ятикутника: 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. Якщо кути рівні, то градусна міра кожного кута: 540° : 5 = 108°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Відповідь: так. 44.16 (Усно) Чотири кути одного опуклого п’ятикутника відповідно дорівнюють чотирьом кутам другого опуклого п’ятикутника. Чи рівні між собою їхні п’яті кути? Так, оскільки сума кутів будь–якого опуклого п’ятикутника дорівнює 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. 44.17 Чи може найменший кут опуклого п’ятикутника дорівнювати 110°? Сума кутів п’ятикутника 180° · (5 − 2) = 540°. Якщо 110° — це найменший кут, то решта кутів більші за 110°, а їх сума більша за 110° · 5 = 550°. Але це неможливо. Відповідь: ні. 44.18 Чи може найбільший кут опуклого шестикутника дорівнювати 115°? Якщо 115° — це найбільший кут, тоді решта кутів шестикутника менші від 115°, а їх сума менша від 115° · 6 = 690°. Але сума кутів опуклого шестикутника дорівнює 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. Відповідь: ні. 44.19 Визначте кути опуклого шестикутника, якщо їхні градусні міри відносяться як 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7. Сума кутів шестикутника дорівнює 180° · (6 − 2) = 180° · 4 = 720°. Позначимо кути шестикутника 3x, 4x, 5x, 5x, 6x і 7x. Тоді 3x + 4x + 5x + 5x + 6x + 7x = 720; 30x = 720; x = 24. ∠1 = 3 · 24° = 72°; ∠2 = 4 · 24° = 96°; ∠3 = ∠4 = 5 · 24° = 120°; ∠6 = 6 · 24° = 144°; ∠7 = 7 · 24° = 168°. Відповідь: 72°, 96°, 120°, 120°, 144°, 168°. 44.20 Знайдіть кути опуклого п’ятикутника, якщо кожен з них, починаючи з другого більший за попередній на 10°. Сума кутів: 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540°. За умовою ∠1 = x; ∠2 = x + 10; ∠3 = x + 20; ∠4 = x + 30; ∠5 = x + 40. x + x + 10 + x + 20 + x + 30 + x + 40 = 540; 5x + 100 = 540; 5x = 440; x = 88. ∠1 = 88°; ∠2 = 88° + 10° = 98°; ∠3 = ∠2 + 10° = 98° + 10° = 108°; ∠4 = ∠3 + 10° = 108° + 10° = 118°; ∠5 = ∠4 + 10° = 118° + 10° = 128°. Відповідь: 88°, 98°, 108°, 118°, 128°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

44.21 Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1. 1080°; 2. 2100°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього сторін і скільки діагоналей. Позначимо кількість сторін многокутника n. 1. Тоді 180° (n − 2) = 1080°; n − 2 = 6; n = 8. Кількість діагоналей: 40 8 · (8 − 3) = = 20. 2 2 Відповідь: 8, 20. 2. 180° (n − 2) = 2100°; 2 𝑛𝑛 − 2 = 11 . 3 2 𝑛𝑛 = 13 . 3 Але число сторін не може бути дробовим, отже, такий многокутник не існує. Відповідь: ні. 44.22 Чи існує опуклий многокутник, у якого сума кутів дорівнює: 1. 2500°; 2. 1260°? Якщо так, то знайдіть, скільки в нього вершин і скільки діагоналей. Позначимо кількість вершин многокутника n. 1. 180°(n − 2) = 2500°; 8 𝑛𝑛 − 2 = 13 ; 9 8 𝑛𝑛 = 15 . 9 Але кількість вершин не може бути дробовою. Отже, такий многокутник не існує. 2. 180°(n − 2) = 1260°; n − 2 = 7; n = 9. Число діагоналей: 9 · 6 9 · (9 − 3) = = 27. 2 2 Відповідь: 9, 27. 44.23 Кожен із зовнішніх кутів многокутника дорівнює 30°. Знайдіть кількість його сторін. 360° : 30° = 12. Відповідь: 12 сторін. 44.24 Усі зовнішні кути многокутника – прямі. Визначте вид цього многокутника. 360° : 90° = 4. Відповідь: прямокутник. 44.25 Чи існує многокутник, у якого кількість діагоналей дорівнює кількості сторін? Кількість діагоналей:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) , де 𝑛𝑛 — кількість сторін. 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 𝑛𝑛, 2 n2 − 3n = 2n; n2 − 5n = 0; n (n − 5) = 0; n = 0 — не задовольняє умови; n – 5 = 0; n = 5. Відповідь: так, п’ятикутник. 44.26 Сума внутрішніх кутів многокутника в 5 разів більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки вершин у многокутника? Сума внутрішніх кутів 180°(n − 2), сума зовнішніх — 360°. За умовою 180°(n − 2) = 5 · 360°; n − 2 = 10; n = 12. Відповідь: 12. 44.27 Знайдіть кількість сторін опуклого многокутника, якщо сума його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, на 1980° менша від суми внутрішніх кутів. Сума внутрішніх кутів 180°(n − 2), сума зовнішніх — 360°. За умовою 180°(n − 2) = 360° + 1980°; 180°(n − 2) = 2340°; n − 2 = 13; n = 15. Відповідь: 15. 44.28 В опуклому п’ятикутнику ABCDE вершину B сполучено рівними між собою діагоналями з двома іншими вершинами. Відомо, що ∠BEA = ∠BDC, ∠ABE = ∠CBD. Порівняйте периметри чотирикутників ABDE і BEDC.

ΔABE = ΔCBD за стороною і прилеглими кутами (BE = BD, ∠AEB = ∠CDB, ∠ABE = ∠CBD за умовою). Тоді AB = BC, AE = CD. Очевидно, що ABDE = CBED, їх периметри рівні. 44.29 AK і BM – висоти гострокутного трикутника ABC. Використовуючи подібність трикутників, доведіть, що AK · BC = AC · BM.

ΔACK ∼ ΔBCM за двома кутами (∠C — спільний, ∠AKC = ∠BMC = 90°).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AK AC = , BM BC звідси AK · BC = AC · BM. 44.30 Навколо кола описано трапецію, периметр якої дорівнює P см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.

Якщо навколо трапеції описане коло, то сума її основ дорівнює сумі бічних сторін і P дорівнює половині периметра см.

la. in.

Середня лінія дорівнює півсумі основ, тобто см. P

Відповідь: см. 4 44.31 Знайдіть площу прямокутника зі сторонами: 1. 5 см і 9 см; 2. 2,1 дм і 0,8 дм; 3. 7 см і 1 дм; 4. 4,1 дм і 0,32 м. S = ab. 1. 5 · 9 = 45 (см2); 2. 2,1 · 0,8 = 1,68 (дм2); 3. 7 см · 1 дм = 7 см · 10 см = 70 (см2); 4. 4,1 дм · 0,32 м = 4,1 дм · 3,2 дм = 13,12 (дм2). 44.32 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 7 см; 2. 29 мм; 3. 4,5 мм; 5 4. м. 8 S = a2 . 1. S = 72 = 49 (см2); 2. S = 292 = 841 (мм2); 3. S = 4,52 = 20,25 (мм2); 25 2 5 2 𝟒𝟒. S = � � = м . 64 8 44.33 Тренажерний майданчик, що має форму прямокутника 8,5 м завдовжки і 3,5 м завширшки, потрібно покрити плиткою, що має форму квадрата, довжина сторони якого дорівнює 50 см. Скільки грошей буде витрачено на це, якщо одна плитка коштує 50 грн, а вартість додаткових матеріалів та укладання становить 40 % від вартості плитки. 1. 8,5 · 3,5 = 29,75 (м2) – площа майданчика; 2. 0,5 · 0,5 = 0,25 (м2) – площа однієї плитки; 3. 29,75 : 0,25 = 119 (шт.) – кількість плиток; 4. 119 · 50 = 5950 (грн) – вартість плиток; 5. 5950 + 5950 · 0,4 = 5950 + 2380 = 8330 (грн) – буде витрачено;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: буде витрачено 8330 грн. 44.34 (Національна олімпіада Бразилії, 1983 р.) Доведіть, що всі точки кола можна розбити на дві множини так, що серед вершин будь-якого вписаного в коло прямокутного трикутника, знайдуться точки з обох множин. Розіб'ємо всі точки кола на пари діаметрально протилежних точок і в кожній парі одну точку віднесемо до першої множини, а іншу — до другої. Оскільки гіпотенуза будь–якого вписаного прямокутного трикутника є діаметром кола, то вершини гострих кутів трикутника належатимуть до різних множин.

la. in.

§ 45. Поняття площі многокутника. Площа прямокутника 45.1 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 3 см; 2. 5 дм; 3. 12 см; 4. 8 м. S = a2. 1. S = 32 = 9 (см2); 2. S = 52 = 25 (дм2); 3. S = 122 = 144 (см2); 4. S = 82 = 64 (м2). 45.2 Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює: 1. 2 см; 2. 6 дм; 3. 9 см; 4. 7 м. 1. S = 22 = 4 (см2); 2. S = 62 = 36 (дм2); 3. S = 92 = 81 (см2); 4. S = 72 = 49 (м2). 45.3 Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1. 7 см і 9 см; 2. 12 дм і 4 дм. S = ab. 1. S = 7 · 9 = 63 (см2); 2. S = 11 · 4 = 44 (дм2). 45.4 Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють: 1. 8 см і 6 см; 2. 10 дм і 7 дм. 1. S = 8 · 6 = 48 (см2); 2. S = 10 · 7 = 70 (дм2). 45.5 Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з його сторін – 4 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. 12 S S = 𝑎𝑎𝑎𝑎, звідки 𝑎𝑎 = = = 3 (см). 4 𝑏𝑏 45.6 Одна зі сторін прямокутника дорівнює 5 см, а його площа дорівнює 20 см². Знайдіть другу сторону прямокутника. 20 S S = 𝑎𝑎𝑎𝑎, звідки 𝑎𝑎 = = = 4 (см). 5 𝑏𝑏  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

45.7 (Усно) Знайдіть площі многокутників, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 1 см.

1 · 8 = 28 (см2 ). 2 1 𝟐𝟐. S = 18 + · 6 = 21 (см2 ). 2 45.8 Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1. 4 см2; 2. 25 дм2. 1. a2 = 4 см2; a = 2 см; 2. a2 = 25 дм2; a = 5 дм. 45.9 Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1. 9 дм2; 2. 100 см2. 1. a2 = 9 дм2; a = 3 дм; 2. a2 = 100 см2; a = 10 см. 45.10 Розміри футбольного поля 110 · 70 м. Більша чи менша за гектар його площа? S = 110 · 70 = 7700 м2. 7799 м2 < 10 000 м2; 7700 м2 < 1 га. 45.11 Квадрат і прямокутник мають однакові площі. Сторона квадрата дорівнює 4 см, а одна зі сторін прямокутника – 2 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. Sкв = 42 = 16 (см2); Sпр = Sкв = 16 см2. Sпр = ab, a = 2 см, Sпр 16 b = = = 8 (см). 2 𝑎𝑎 Відповідь: 8 см. 45.12 Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 4 см, а сторона квадрата – 8 см. Знайдіть другу сторону прямокутника. Sкв = 82 = 64 (см2); Sпр = Sкв = 64 см2. Sпр 64 Sпр = 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎 = 4 см, 𝑏𝑏 = = = 16 (см). 4 𝑎𝑎 Відповідь: 16 см. 45.13 Знайдіть площу прямокутника, одна зі сторін якого дорівнює 12 см, а діагональ – 13 см.

la. in.

𝟏𝟏. S = 24 +

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Нехай a і b — сторони прямокутника, d — його діагональ, a = 12 см, d = 13 см. d2 = a2 + b2; b = �d² – a² = �13² – 12² = �(13 − 12)(13 + 12) = √1 · 25 = 5 (см). Sпр = ab = 12 · 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2. 45.14 Діагональ прямокутника дорівнює 17 см, а одна з його сторін – 8 см. Знайдіть площу прямокутника.

la. in.

Нехай a і b — сторони прямокутника, а d — його діагональ. d2 = a2 + b2; 172 = 82 + b2; b2 = 172 – 82; b = �(17 − 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). Sпр = ab = 8 · 15 = 120 (см2). Відповідь: 120 см2. 45.15 Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює: 1. 8 см; 2. d см.

SABCD = AB2. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2 = 2AB2; AB² =

BD² BD BD² ; AB = � = (см). 2 2 √2

𝟏𝟏. AB =

8√2

= 4√2 (см). √2 √2 SABCD = (4√2) 2 = 16 · 2 = 32 (см2). Відповідь: 32 см2. 𝑑𝑑 (см). 𝟐𝟐. AB = √2 𝑑𝑑 𝑑𝑑² SABCD = ( )² = (см²). 2 √2

𝑑𝑑²

Відповідь: см2. 2 45.16 Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 4√2 см.

 shkola.in.ua

AB =

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4√2

la. in.

= 4(см); √2 SABCD = 42 = 16 (см2). Відповідь: 16 см2. 45.17 Периметр прямокутника 26 см, а одна з його сторін на 5 см більша за другу. Знайдіть сторону квадрата, що має таку саму площу, як і прямокутник.

Нехай одна сторона прямокутника x см, а друга — (x + 5) см. Тоді його периметр 2(x + x + 5), що за умовою дорівнює 26 см: 2(2x + 5) = 26; 4x + 10 = 26; 4x = 16; x = 4. Отже, сторони прямокутника дорівнюють 4 см і 4 + 5 = 9 (см). Sпр = 4 · 9 = 36 (см). Площа квадрата Sкв = Sпр = 36 см2. Сторона квадрата a = √36 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 45.18 Прямокутник і квадрат мають однакові площі. Периметр прямокутника дорівнює 50 см, а одна з його сторін на 15 см більша за іншу. Знайдіть сторону квадрата.

Нехай менша сторона прямокутника дорівнює x см, тоді його більша сторона (x + 15) см, а периметр Pпр = 2(x + x + 15) = 2(2x + 15) = 4x + 30 (см). За умовою 4x + 30 = 50; 4x = 20; x = 5. Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 5 + 15 = 20 см. Sпр = 5 · 20 = 100 (см2).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

За умовою Sкв = Sпр, a2 = 100, a = √100 = 10 (a > 0), де a — сторона квадрата. Відповідь: 10 см. 45.19 Як зміниться площа прямокутника, якщо: 1. одну з його сторін збільшити вдвічі; 2. одну з його сторін зменшити втричі; 3. кожну зі сторін збільшити в 4 рази; 4. одну сторону збільшити вдвічі, а другу – у 5 разів; 5. одну зі сторін збільшити у 12 разів, а другу – зменшити вдвічі? Нехай a і b — сторони прямокутника, S = ab. 1. Якщо одну із сторін збільшити вдвічі, то S1 = 2a · b = 2(ab) = 2S. Площа збільшиться вдвічі. 2. Якщо одну із сторін зменшити втричі, то 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 1 1 S1 = ( ) · 𝑏𝑏 = = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = S. 3 3 3 3 Площа зменшиться втричі. 3. Якщо кожну сторону збільшити в 4 рази, то S1 = 4a · 4b = 4 · 4 · ab = 16ab = 16S. Площа збільшиться в 16 разів. 4. Якщо одну сторону збільшити вдвічі, а другу — у 5 разів, то S1 = 2a · 5b = 2 · 5 · ab = 10ab = 10S. Площа збільшиться в 10 разів. 5. Якщо одну сторону збільшити у 12 разів, а другу — зменшити вдвічі, то 12 𝑏𝑏 S1 = 12𝑎𝑎 · = · 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 6𝑎𝑎𝑎𝑎 = 6S. 2 2 Площа збільшиться в 6 разів. 45.20 Як зміниться площа квадрата, якщо кожну з його сторін: 1. збільшити в 5 разів; 2. зменшити втричі? Площа квадрата дорівнює S = a2. 1. Якщо сторону збільшити у 5 разів, то S1 = (5a)2 = 25a2 = 25S. Площа збільшиться у 25 разів. 2. Якщо сторону зменшити втричі, то 𝑎𝑎² 1 𝑎𝑎 2 = S. S1 = � � = 3 9 3 Площа зменшиться в 9 разів. 45.21 (Усно) Чи можуть два не рівних між собою квадрати мати однакові площі? Ні, не можуть. Якщо a2 = b2, то a = b (a > 0, b > 0). 45.22 1. Чи можуть два не рівних між собою прямокутники мати однакові площі? 2. Два прямокутники мають однакові площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні? 3. Два прямокутники мають однакові площі. Чи можна стверджувати, що вони рівні, якщо одна зі сторін першого прямокутника дорівнює стороні другого? 1. Так, можуть. Наприклад, площу 24 см2 можуть мати прямокутники зі сторонами 1 см і 24 см, 2 см і 12 см, 3 см і 8 см, 4 см і 6 см тощо. 2. Ні, див. пункт 1. 3. Так.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

45.23 Сторони квадратів 15 см і 17 см. Визначте сторону квадрата, площа якого дорівнює різниці площ даних квадратів. S1 = 152 = 225 (см2); S2 = 172 = 289 (см2). S3 = S2 – S1 = 289 – 225 = 64 (см2). a = √64 = 8 см (a > 0). Відповідь: 8 см. 45.24 Сторони квадратів 8 дм і 6 дм. Визначте сторону квадрата, площа якого дорівнює сумі площ даних квадратів. S1 = 82 = 64 (дм2); S2 = 62 = 36 (дм2). S3 = S1 + S2 = 64 + 36 = 100 (дм2). a = √100 = 10 (дм) (a > 0). Відповідь: 10 дм. 45.25 Прямокутник, сторони якого 8 м і 6,5 м, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 м. Скільки утворилося квадратів? S1 = 8 · 6,5 = 52 (м2) — площа прямокутника. S2 = (0,5)2 = 0,25 (м2) — площа квадрата. 52 : 0,25 = 208 — кількість квадратів. Відповідь: 208. 45.26 Знайдіть площу квадрата, описаного навколо кола, радіус якого r.

Якщо квадрат описаний навколо кола, то його сторона дорівнює діаметру кола: 2r. Тоді Sкв = (2r)2 = 4r2. Відповідь: 4r2. 45.27 Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 3 : 4, а площа дорівнює 108 см².

Нехай одна сторона прямокутника 3x см, тоді друга його сторона 4x см. Площа прямокутника 3x · 4x, що за умовою дорівнює 108 см2: 3x · 4x = 108; 12x2 = 108; x2 = 9; x = 3 (x > 0). Отже, сторони прямокутника 3 · 3 = 9 (см) і 4 · 3 = 12 (см). Відповідь: 9 см, 12 см. 45.28 Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 24 см2, а одна зі  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

сторін у 1,5 раза більша за другу.

la. in.

Нехай одна сторона прямокутника x см, тоді друга — 1,5x см. Площа прямокутника x · 1,5x або 24 см2 за умовою. x · 1,5x = 24; 1,5x2 = 24; x² = 16; x = 4 (x > 0). Перша сторона 4 см, друга — 1,5 · 4 = 6 (см). Pпр = 2 · (4 + 6) = 2 · 10 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 45.29 Бісектриса AM кута прямокутника ABCD поділяє сторону BC на відрізки BM = 3 см і MC = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

∠BMA = ∠MAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AM. Але ∠BAM = ∠MAD за умовою. Тоді ∠BAM = ∠BMA, у ΔABM AB = BM = 3 см, BC = BM + MC = 3 + 5 = 8 (см). SABCD = AB · BC = 3 · 8 = 24 (см2). Відповідь: 24 см2. 45.30 Бісектриса BK кута прямокутника ABCD поділяє сторону AD на відрізки AK = 7 см і KD = 5 см. Знайдіть площу прямокутника.

∠BKA = ∠CBK як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній BK. Але ∠KBC = ∠ABK за умовою. Тоді ∠ABK = ∠BKA, AB = AK = 7 см (ΔABK — рівнобедрений). AD = AK + KD = 7 + 5 = 12 (см). SABCD = AB · AD = 7 · 12 = 84 (см2). Відповідь: 84 см2. 45.31 Одна зі сторін прямокутника на 3 см більша за іншу, а діагональ прямокутника дорівнює 15 см. Знайдіть площу прямокутника.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Нехай AB = x см, AD = (x + 3) см, BD = 15 см. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2; x2 + (x + 3)2 = 152; x2 + x2 + 6x + 9 = 225; 2x2 + 6x + 9 = 225; 2x2 + 6x − 216 = 0; x2 + 3x − 108 = 0; x1 = −12; x2 = 9. Число −12 не задовольняє умові задачі. Отже, AB = 9 см, AD = 9 + 3 = 12 (см). SABCD = 9 · 12 = 108 (см2). Відповідь: 108 см2. 45.32 Одна зі сторін прямокутника дорівнює 7 см, а його діагональ на 1 см більша за іншу сторону. Знайдіть площу прямокутника.

Нехай AB = 7 см, AD = x см, BD = (x + 1) см. З ΔABD BD2 = AB2 + AD2; (x + 1)2 = 72 + x2; x2 + 2x + 1 = 49 + x2; 2x = 48; x = 24. Отже, AD = 24 см. SABCD = 7 · 24 = 168 (см2). Відповідь: 168 см2. 45.33 На малюнку ABCD – прямокутник, M – середина відрізка AK. Доведіть, що SABCD = SAKD.

BC || AD, M — середина AK за умовою. Тоді за теоремою Фалеса N — середина KD. Проведемо KP ⊥ BC. ΔABM = ΔKPM за гіпотенузою і гострим кутом (AM = KM за умовою, ∠BMA = ∠KMP як  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

вертикальні) ΔDCN = ΔKPN за гіпотенузою і гострим кутом (KN = ND, ∠KNP = ∠DNC як вертикальні). SABCD = SΔABM + SAMND + SΔDCN; SΔAKD = SΔMKP + SAMND + SΔKNP. Оскільки SΔABM = SΔKMP, SΔDCN = SΔKNP, то SABCD = SΔAKD. 45.34 Відношення площ двох квадратів дорівнює 5. Знайдіть відношення їхніх периметрів. S1 = a12; S2 = a22; 𝑎𝑎₁² S₁ = = 5. S₂ 𝑎𝑎₂² 𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ 2 = √5. � � = 5; 𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P1 = 4a1, P2 = 4a2. 4𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ P₁ = = = √5. 4𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P₂ Відповідь: √5. 45.35 Відношення периметрів двох квадратів дорівнює 3. Знайдіть відношення їхніх площ. P1 = 4a1, P2 = 4a2. 4𝑎𝑎₁ 𝑎𝑎₁ P₁ = = = 3. 4𝑎𝑎₂ 𝑎𝑎₂ P₂ 𝑎𝑎₁² = 32 = 9. 𝑎𝑎₂² Відповідь: 9. 45.36 Сума кутів одного опуклого многокутника дорівнює сумі кутів іншого опуклого многокутника. Чи можна стверджувати, що многокутники мають однакову кількість сторін? Так, оскільки вираз 180°(n − 2) приймає при кожному натуральному значенні n єдине значення. 45.37 Доведіть, що навколо паралелограма, який не має прямих кутів, не можна описати коло.

Припустимо, що ми змогли описати коло навколо паралелограма ABCD, всі кути якого нерівні. Це означає, що всі вершини паралелограма належать колу. Тоді, наприклад, кут ABC є вписаним, що спирається на діаметр AC, тобто ∠ABC = 90°. Це суперечить умові. Припущення хибне. Коло не можна описати навколо паралелограма.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

45.38 Накресліть будь-який паралелограм, у якого одна зі сторін дорівнює 5 см, а висота, що проведена до цієї сторони, – 3 см.

la. in.

AD = 5 см; BЕ – висота; BЕ = 3см. 45.39 Басейн має форму прямокутного паралелепіпеда, довжина якого дорівнює 50 м, ширина – 25 м і глибина – 4 м. Скільки плиток квадратної форми розміром 50 · 50 см потрібно для облицювання дна та стін басейну? 1. 50 · 25 = 1250 (м2) – площа дна; 2. 2 ⋅ 4 ⋅ (50 + 25) = 8 ⋅ 75 = 600 (м2) – площа стін; 3. 1250 + 600 = 1850 (м2) – площа дна та стін; 4. 0,5 · 0,5 = 0,25 (м2) – площа однієї плитки; 5. 1850 : 0,25 = 7400 (шт.) – всього плитокю Відповідь: для облицювання дна та стін басейну потрібно 7400 плиток. 45.40 Центр трьох рівних між собою кіл є вершинами рівностороннього трикутника. Ці кола не мають спільних точок. Скільки існує кіл, які мають зовнішній або внутрішній дотик з трьома даними колами?

8 кіл: коло з центром у точці перетину бісектрис кутів трикутника, що дотикається трьох кіл зовнішньо; коло з тим же центром, що дотикається всіх трьох кіл внутрішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл внутрішньо, а двох інших — зовнішньо; три кола, що дотикаються одного з даних кіл зовнішньо, а двох інших — внутрішньо.

§ 46. Площа паралелограма 46.1 Сторона паралелограма дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1. a = 6 см, h = 5 см; 2. a = 7 дм, h = 3 дм. 1. S = ah = 6 · 5 = 30 (см2); 2. S = 7 · 3 = 21 (дм2). 46.2 Сторона паралелограма дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу паралелограма, якщо: 1. a = 5 см, h = 4 см; 2. a = 6 дм, h = 8 дм. 1. S = 5 · 4 = 20 (см2);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. S = 6 · 8 = 48 (дм2). 46.3 Площа паралелограма дорівнює 24 см2, а одна з його сторін – 6 см. Знайдіть висоту паралелограма, проведену до цієї сторони. S = aha, ha = S : a = 24 : 6 = 4 (см). 46.4 Площа паралелограма – 18 дм2, а одна з його висот дорівнює 3 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. S = aha, a = S : ha = 18 : 3 = 6 (дм). 46.5 Діагональ паралелограма завдовжки 5 см перпендикулярна до сторони паралелограма, що дорівнює 6 см. Знайдіть площу паралелограма.

la. in.

AB = a = 6 см, BD = ha = 5 см. S = aha = 6 · 5 = 30 (см2). Відповідь: 30 см2. 46.6 Сторона паралелограма завдовжки 8 см перпендикулярна до діагоналі паралелограма, що дорівнює 5 см. Знайдіть площу паралелограма.

a = 8 см, ha = 5 см. S = aha = 8 · 5 = 40 (см2). Відповідь: 40 см2. 46.7 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

1. a = 4,5 см, ha = 2 см. S = 4,5 · 2 = 9 (см2). 2. a = 1,5 см, ha = 2,5 см. S = 1,5 · 2,5 = 3,75 (см2). 46.8 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. a = 3 см, ha = 2,5 см. S = 3 · 2,5 = 7,5 (см2). 2. a = 4 см, ha = 1,5 см. S = 4 · 1,5 = 6 (см2). 46.9 Одна зі сторін паралелограма дорівнює 6 см, а висота, проведена до другої сторони, – 4 см. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа дорівнює 36 см2.

Нехай a і b – сторони паралелограма. a = 6 см, hb = 4 см. S = b · hb = 36 см2, звідси b = S : hb = 36 : 4 = 9 (см). P = 2(a + b) = 2 · (6 + 9) = 30 (см). Відповідь: 30 см. 46.10 Площа паралелограма дорівнює 48 см2. Одна з його сторін – 8 см, а одна з висот – 4 см. Знайдіть периметр паралелограма.

Нехай a і b – сторони паралелограма. S = aha або 48 см2 за умовою. aha = 48; a · 4 = 48; a = 48 : 4; a = 12 (см). Тоді b = 8 см. P = 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 46.11 Сторони паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см. Висота, проведена до меншої

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

сторони, дорівнює 3 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.

la. in.

Нехай a = 4 см, b = 5 см. Оскільки a < b, то ha = 3 см. S = aha = 4 · 3 = 12 (см2). Але S = bhb, звідки hb = S : b = 12 : 5 = 2,4 (см). Відповідь: 2,4 см. 46.12 Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до неї, – 6 см. Знайдіть другу сторону паралелограма, якщо його висота, проведена до неї, дорівнює 4,8 см.

Нехай a = 8 см, ha = 6 см, hb = 4,8 см. S = aha = 8 · 6 = 48 (см2). S 48 S = 𝑏𝑏ℎb , звідки 𝑏𝑏 = = = 10 (см). ℎb 4,8 Відповідь: 10 см. 46.13 Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а його гострий кут – 30°. Знайдіть площу паралелограма.

В паралелограмі ABCD AD = BC = 12 см, AB = CD = 10 см, ∠A = 30°. Нехай BK ⊥ AC. 1 1 З ΔABK BK = AB = · 10 = 5 (см) як катет, що лежить проти кута 30°. 2 2 S = AD · BK = 12 · 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2. 46.14 Сторона ромба дорівнює 4 см, а один з його кутів – 150°. Знайдіть площу ромба.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

В ромбі ABCD AB = BC = CD = AD = 4 см, ∠B = ∠D = 150°, тоді ∠A = ∠C = 180° − 150° = 30°. ВР ⊥ AD. 1 1 З ΔABP BP = AB = · 4 = 2 (см). 2 2 S = AD · BP = 4 · 2 = 8 (см2). Відповідь: 8 см2. 46.15 Висота паралелограма втричі більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа паралелограма дорівнює 12 см2.

Нехай a = x см, тоді ha = 3x см. S = aha = x · 3x. За умовою x · 3x = 12. 3x2 = 12; x2 = 4; x = 2 (x > 0). ha = 3 · 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 46.16 Сторона паралелограма в 5 разів більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа паралелограма дорівнює 45 см2.

Нехай ha = x см, a = 5x см. S = aha = x · 5x, за умовою — 45 см2. x · 5x = 45; 5x2 = 45; x2 = 9; x = 3 (x > 0). a = 5 · 3 = 15 (см). Відповідь: 15 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

46.17 Периметр ромба дорівнює P см. Знайдіть його площу, якщо одна з діагоналей ромба утворює зі стороною кут 75°.

la. in.

У ромбі ABCD 4AB = P см. P Тоді AB = BC = CD = AD = . 4 У ΔABD ∠ABD = 75°, тоді ∠ADB = 75°, ∠A = 180° − 2 · 75° = 30°. Проведемо BK ⊥ AD — висоту ромба. 1 P P 1 = (см). У ΔABK BK = AB = · 2 4 8 2 P P P² SABCD = BK · AD = · = (см²). 8 4 32 P² Відповідь: см2. 32 46.18 Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, дорівнює 15 см. Знайдіть площу паралелограма.

Нехай a = 8 см, b = 12 см, ha = x см, тоді hb = (15 − x) см. S1 = aha = 8x (см2); S2 = bhb = 12(15 − x) (см2). S1 = S2, 8x = 12(15 − x); 8x = 180 − 12x; 20x = 180; x = 9. Отже, ha = 9 см. S = 8 · 9 = 72 (см2). Відповідь: 72 см2. 46.19 Дві висоти паралелограма дорівнюють 2 см і 3 см, а сума двох його суміжних сторін – 10 см. Знайдіть площу паралелограма.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ha = 2 см, hb = 3 см, a = x см, b = (10 − x) см. S1 = aha = x · 2 = 2x (см2); S2 = ahb = (10 − x) · 3 (см2). 2x = 3(10 − x); 2x = 30 − 3x; 5x = 30; x = 6. S = 2 · 6 = 12 (см2). Відповідь: 12 см2. 46.20 Висоти паралелограма дорівнюють 8 см і 6 см, а кут між ними – 30°. Знайдіть площу паралелограма.

BK ⊥ AD, BK = 6 см; BP ⊥ CD, BP = 8 см, ∠KBP = 30°. У чотирикутнику KBPD ∠K + ∠B + ∠P + ∠D = 360°; 90° + 30° + 90° + ∠D = 360°; ∠D = 150°. Тоді ∠A = ∠C = 180° − ∠D = 180° − 150° = 30°. З ΔABK AB = 2BK = 2 · 6 = 12 (см). CD = AB = 12 см. SABCD = CD · BP = 12 · 8 = 96 (см2). Відповідь: 96 см2. 46.21 Дві сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 5 см. Чи може його площа дорівнювати: 1. 41 см2; 2. 40 см2; 3. 39 см2?

У паралелограмі ABCD AB = CD = 5 см, AD = BC = 8 см. BM ⊥ AD і BN ⊥ CD — висоти. SABCD = AD · BM = CD · BN (BM < BN). Оскільки в прямокутних трикутниках ABM і CBN AB > BM і BC > BN (як гіпотенуза, що більша за катет), то BM < 5 см, BN < 8 см. AD · BM < 8 · 5, AD · BM < 40. Відповідь: 1. ні; 2. ні; 3. так. 46.22 Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 12 см, а одна з його висот – 6 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків має задача?

la. in.

Задача має два розв’язки. 1. a = 9 см, b = 12 см, ha = 6 см. aha = bhb; 𝑎𝑎ℎₐ 9 · 6 54 = = = 4,5 (см). ℎ𝑏𝑏 = 12 12 𝑏𝑏 2. a = 9 см, b = 12 см, hb = 6 см. a · ha = b · hb; 12 · 6 72 𝑏𝑏ℎ𝑏𝑏 = = = 8 (см). ℎ𝑎𝑎 = 9 9 𝑎𝑎 Відповідь: 4,5 см або 8 см. 46.23 Сума кутів одного з многокутників на 540° більша за суму кутів другого многокутника. На скільки більше вершин у першого многокутника, ніж у другого? Сума кутів першого многокутника 180°(n1 − 2), тобто − 180°(n2 − 2). Їх різниця за умовою дорівнює 540°. 180°(n1 − 2) − 180°(n2 − 2) = 540°. (n1 − 2) − (n2 − 2) = 3; n1 − n2 = 3. Відповідь: на 3 вершини. 46.24 Середини сторін ромба послідовно сполучено відрізками. Обчисліть площу чотирикутника, що утворився, якщо діагоналі ромба дорівнюють 6 см і 10 см.

ABCD — ромб, M, N, P, K — середини його сторін. BD ⊥ AC як діагоналі ромба, BD = 10 см, AC = 6 см. У ΔABC MN — середня лінія, MN || AC, 1 1 MN = · AC = · 6 = 3 (см). 2 2 У ΔACD PK — середня лінія, PK || AC, 1 1 PK = AC = · 6 = 3 см. 2 2 Тоді MN || PK, MN = PK. MNPК — паралелограм. У ΔBCD NP — середня лінія, NP || BD, 1 1 NP = BD = · 10 = 5 (см). 2 2 MN || AC, NP || BD, AC ⊥ BD, тоді MN ⊥ NP. MNPK — прямокутник.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

SMNPK = MN · NP = 3 · 5 = 15 (см2) Відповідь: 15 см2. 46.25 Накресліть два нерівних між собою трикутники, у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 4 см, а висоти, проведені до цих сторін, – 2,5 см.

la. in.

AC = A1C1 = 4 см; BK і B1K1 — висоти. BK = B1K1 = 2,5 см. При цьому AB ≠ A1B1 і BC ≠ B1C1. Отже, △ABC і △A1B1C1 — нерівні. 46.26 Відношення висоти до ширини екрана телевізора дорівнює 9 : 16. Діагональ екрана телевізора – 32 дюйми. Знайдіть ширину екрана в сантиметрах, якщо 1 дюйм = 2,54 см.

Припустимо, що ширина телевізора — 16x, а висота — 9x. Тоді за теоремою Піфагора: (9x)2 + (16x)2 = 322. В одному дюймі 2,54 см. 81x2 + 256x2 = 1024; 337x2 = 1024;

1024 ; 337 x = 1,74. 1,74 · 2,54 = 4,43 4,43 · 16 ≈ 71 см Відповідь: ширина екрана телевізора 71 см. 46.27 (Задача ал-Караджи.) Знайдіть площу прямокутника, основа якого вдвічі більша за висоту, а площа чисельно дорівнює периметру.

𝑥𝑥 = �

1. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює x, тоді друга — 2x.  shkola.in.ua

2. За умовою 2x · x = 2(x + x); 2x2 = 2 · 3x; x2 − 3x = 0; x(x − 3) = 0; x = 3. 3. Отже, сторони 3 і 6, а площа 3 · 6 = 18. Відповідь: 18.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

§ 47. Площа трикутника 47.1 Сторона трикутника дорівнює a, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1. a = 9 см, h = 6 см; 2. a = 4 дм, h = 7 дм. 1 S△ = 𝑎𝑎ℎ. 2 1 𝟏𝟏. S = · 9 · 6 = 27 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 4 · 7 = 14 (дм²). 2 47.2 Нехай a – сторона трикутника, h – висота, проведена до цієї сторони. Знайдіть площу трикутника, якщо: 1. a = 7 дм, h = 3 дм; 2. a = 5 см, h = 2 см. 1 𝟏𝟏. S = · 7 · 3 = 10,5 (дм²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 5 · 2 = 5 (см²). 2 47.3 Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють: 1. 5 см і 4 см; 2. 8 дм і 7 дм. 1 𝟏𝟏. S = · 5 · 4 = 10 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 8 · 7 = 28 (дм²). 2 47.4 Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють: 1. 6 см і 2 см; 2. 9 дм і 4 дм. 1 𝟏𝟏. S = · 6 · 2 = 6 (см²); 2 1 𝟐𝟐. S = · 9 · 4 = 18 (дм²). 2 47.5 Площа трикутника дорівнює 36 дм2, а одна з його висот – 8 дм. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. SΔ = 36 дм2; ha = 8 дм; 1 · 𝑎𝑎 · ℎ𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑎𝑎 ; 2 1 · a · 8 = 36; 2 4a = 36;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

a = 9 (дм). Відповідь: 9 дм. 47.6 Площа трикутника дорівнює 20 см2, а одна з його сторін – 8 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони. Sa = 20 см2; a = 8 см. 1 𝑆𝑆𝑎𝑎 = · 𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎 ; 2 1 20 = · 8ℎ𝑎𝑎 ; 2 20 = 4 · ℎ𝑎𝑎 ; ha = 5 (см). Відповідь: 5 см. 47.7 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

1 · 3 · 2 = 3 (см2 ); 2 1 𝟐𝟐. SΔMKL = · 2 · 2,5 = 2,5 (см2 ). 2 47.8 Знайдіть площі фігур, зображених на малюнках, якщо сторона клітинки дорівнює 0,5 см.

𝟏𝟏. SΔABC =

1 · 2,5 · 4 = 5 (см2 ); 2 1 𝟐𝟐. SΔABC = · 3 · 2 = 3 (см2 ). 2 47.9 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а висота, проведена до основи, – 3 см. Знайдіть площу трикутника.

𝟏𝟏. SΔDEF =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Дано ΔABC: AB = BC = 5 см; BD ⊥ AC, BD = 3 см. AD = CD за властивістю висоти. З ΔABD AC = �AB² – BD² = �5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см). 1 AD = AC = 4 см. 2 1 SΔABC = AC · BD = 4 · 3 = 12 (см2 ). 2 Відповідь: 12 см2. 47.10 Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 7 см, а гіпотенуза – 25 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай a і b — катети, c — гіпотенуза. a = 7 см, c = 25 см. a2 + b2 = c2; b = �c² – a² = �25² – 7² = �(25 – 7)(25 + 7) =

= √18 · 32 = √9 · 2 · 2 · 16 = 3 · 2 · 4 = 24 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 7 · 24 = 84(см2 ). 2 2 Відповідь: 84 см2. 47.11 Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть площу трикутника.

Нехай a і a — катети, c = 8 см — гіпотенуза, a2 + a2 = c2; 2a2 = 82; 2a2 = 64; a2 = 32. 1 1 SΔ = 𝑎𝑎2 = · 32 = 16 (см2 ). 2 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 16 см2. 47.12 Висота рівнобедреного прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть площу трикутника.

la. in.

Висота h рівнобедреного прямокутного трикутника є медіаною, а медіана дорівнює половині гіпотенузи c: c = 2h. 1 1 SΔ = ℎ · 𝑐𝑐 = · 6 · 2 · 6 = 36 (см2 ). 2 2 Відповідь: 36 см2. 47.13 1. Діагоналі ромба дорівнюють 8 см і 10 см. Знайдіть площу ромба. 2. Використовуючи формулу площі прямокутного трикутника, виведіть формулу площі ромба через його діагоналі d1 і d2.

ABCD — ромб, AC і BD — діагоналі. 1. AC = 10 см, BD = 8 см. 1 1 SABCD = SΔABC + SΔADC = AC · BO + DO · AC = 2 2 1 1 1 · 10 · 8 = 40 (см2 ). = AC (BO + DO) = AC · BD = 2 2 2 Відповідь: 40 см2. 2. AC = 𝑑𝑑1 , BD = 𝑑𝑑2 . 1 1 SABCD = SΔABC + SΔADC = AC · BO + DO · AC = 2 2 1 1 1 = AC (BO + DO) = AC · BD = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 . 2 2 2 1 2 1 Відповідь: d1d2. 2 47.14 Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 12 см і 6 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 · 12 · 6 = 36 (см2 ). 2 47.15 У прямокутнику ABCD BD = 10 см. Вершина B віддалена від прямої AC на 3 см. Знайдіть площі трикутника ABC і прямокутника ABCD.

Sp =

la. in.

AC = BD = 10 см як діагоналі прямокутника. BK ⊥ AC — відстань від вершини B до прямої AC, BK = 3 см. 1 1 SΔABC = AC · BK = · 10 · 3 = 15 (см2 ). 2 2 ΔABC = ΔCDA за двома катетами. SABCD = 2SΔABC = 2 · 15 = 30 (см2). Відповідь: 15 см2, 30 см2. 47.16 Сторона трикутника вдвічі більша за висоту, проведену до неї. Знайдіть цю сторону, якщо площа трикутника дорівнює 16 см2.

Нехай сторона трикутника a, а висота, проведена до неї — ha. За умовою ha = x см, a = 2x см. 1 SΔ = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 16 = · 2𝑥𝑥 · 𝑥𝑥; 2 2 x = 16; x = 4 (x > 0). a = 2 · 4 = 8 (см). Відповідь: 8 см. 47.17 Висота трикутника в 4 рази більша за сторону, до якої вона проведена. Знайдіть цю висоту, якщо площа трикутника дорівнює 18 см2.

Нехай сторона трикутника a = x см, тоді висота, проведена до неї, — ha = 4x см. 1 SΔ = 𝑎𝑎 · ℎ𝑎𝑎 ; 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 𝑥𝑥 · 4𝑥𝑥; 2 2x2 = 18; x2 = 9; x = 3. ha = 4 · 3 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 47.18 На стороні AC трикутника ABC, площа якого дорівнює 12 см2, узято точку D так, що AD : DC = 1 : 2. Знайдіть площі трикутників ABD і DBC.

la. in.

18 =

Трикутники ABD і DBC мають ту ж саму висоту BK, проведену до прямої AC, яка містить сторони AD і DC. Тоді площі трикутників відносяться як ці сторони. SΔABD : SΔDBC = 1 : 2, SΔDBC = 2SΔABD. Оскільки SΔABD + SΔDBC = SΔABC = 12 см2, то SΔABD = 2SΔABD = 12; SΔABD = 4 (см2). SΔDBC = 2 · 4 = 8 (см2). Відповідь: 4 см2, 8 см2. 47.19 На стороні AB трикутника ABC, площа якого дорівнює 20 см2, узято точку K так, що AK : KB = 1 : 3. Знайдіть площі трикутників ACK і CKB.

Висоти трикутників ACK і CKB рівні, тому SΔACK : SΔCKB = AK : KB = 1 : 3, тобто SΔCKB = 3SΔACK. SΔABC = SΔACK + SΔCKB = SΔACK + 3SΔACK = 4SΔACK. За умовою 4SΔACK = 20; SΔACK = 5 см2. SΔCBK = 3 · 5 = 15 (см2). Відповідь: 5 см2, 15 см2. 47.20 ABCD – трапеція, AD || BC. Доведіть, що SACD = SABD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 AD · CK, де CK ⊥ AD. 2 1 SΔABD = AD · BM, де BM ⊥ AD. 2 Але CK = BM, як відстані між паралельними прямими AD і BC. Отже, SΔACD = SΔABD. 47.21 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 1 см, починаючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть площу трикутника.

la. in.

SΔACD =

У ΔABC AB = BC, AD ⊥ BC, BD = 4 см, DC = 1 см. BC = AB = BD + DC = 4 + 1 = 5 (см). З ΔABD AD = �AB² – BD² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см) (AD > 0). 1 1 SΔABC = BC · AD = · 5 · 3 = 7,5 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 7,5 см . 47.22 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до бічної сторони, ділить її на відрізки 4 см і 6 см, починаючи від вершини при основі. Знайдіть площу трикутника.

У ΔABC AB = BC, AD ⊥ BC, CD = 4 см, BD = 6 см. BC = AB = BD + DC = 6 + 4 = 10 (см). З ΔABD AD = �AB² – BD² = �10² – 6² = √100 – 36 = √64 = 8 (см) (AD > 0). 1 1 SΔABC = BC · AD = · 10 · 8 = 40 (см2 ). 2 2 Відповідь: 40 см2. 47.23 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Катети трикутника a = 6 см, b = 8 см, c — гіпотенуза, hc — висота, проведена до гіпотенузи. За теоремою Піфагора c2 = a2 + b2, c = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 6 · 8 = 24 (см2 ). 2 2 1 2SΔ 2 · 24 = = 4,8 (см). SΔ = 𝑐𝑐ℎc , звідки ℎc = 2 10 𝑐𝑐 Відповідь: 4,8 см. 47.24 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 24 см. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Катети трикутника a = 7 см, b = 24 см, c — гіпотенуза, hc — висота, проведена до гіпотенузи. c = �𝑎𝑎² + 𝑏𝑏² = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см). 1 1 SΔ = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = · 7 · 24 = 84 (см2 ). 2 2 1 2SΔ 2 · 84 SΔ = 𝑐𝑐ℎc , звідки ℎc = = = 6,72 (см). 2 25 𝑐𝑐 Відповідь: 6,72 см. 47.25 У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 9 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.

У ΔABC (∠C = 90°) N, P і K — точки дотику вписаного кола. AP = 9 см, BP = 6 см. ON ⊥ AC, OP ⊥ AB, OK ⊥ BC — радіуси вписаного кола. AN = AP = 9 см, BP = 6 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. СNОК — квадрат, CN = CK = x см. Тоді AC = (x + 9) см, BC = (x + 6) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2. AB = AP + PB = 9 + 6 = 15 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

152 = (x + 9)2 + (x + 6)2; 225 = x2 + 18x + 81 + x2 + 12x + 36; 2x2 + 30x – 108 = 0; x2 = 12x – 54 = 0; x1 = 3, x2 = –18 – не задовольняє умові x > 0. Отже, AB = 3 + 9 = 12 (см), BC = 3 + 6 = 9 (см). 1 1 SΔ = AC · BC = · 12 · 9 = 54 см2 2 2 Відповідь: 54 см2. 47.26 У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить катет на відрізки 3 см і 5 см. Знайдіть площу трикутника.

У ΔABC (∠C = 90°) N, P і K — точки дотику вписаного кола. AN = 5 см, NC = 3 см. ON ⊥ AC, PO ⊥ AB, OK ⊥ BC — радіуси вписаного кола. AP = AN = 5 см, BK = NC = 3 см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки. AC = AN + CN = 5 + 3 = 8 (см). СNОК — квадрат (PK ⊥ CB, AC ⊥ BC, тому PK ⊥ AC; ON ⊥ AC, BC ⊥ AC, тому ON ⊥ BC). СNОК — паралелограм з прямим кутом і рівними сусідніми сторонами, тобто квадрат. Нехай KB = PB = x см. Тоді AB = (x + 5) см, BC = (x + 3) см. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2, (x + 5)2 = (x + 3)2 + 82; x2 + 10x + 25 = x2 + 6x + 9 + 64; 10x – 6x = 73 – 25; 4x = 48; x = 12. Отже, BC = 3 + 12 = 15 (см). 1 1 SΔABC = AC · BC = · 8 · 15 = 60 (см2 ). 2 2 2 Відповідь: 60 см . 47.27 Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 6 см. Чи може площа трикутника дорівнювати: 1. 11 см2; 2. 12 см2; 3. 13 см2?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Площа трикутника SΔ = aha. 2 Нехай, наприклад, a = 4 см, тоді ha < 6 см, оскільки висота менша за сторону, якщо вони виходять з однієї вершини, а 1 SΔ < · 4 · 6 = 12 (см). 2 Якщо дані сторони — катети прямокутного трикутника, то 1 SΔ = · 4 · 6 = 12 (см2 ). 2 Відповідь: 1. так; 2. так; 3. ні. 47.28 Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, яка є серединою відрізка AB. Знайдіть відношення площ трикутників AOC і BOD, якщо CO = 3 см, DO = 6 см.

Проведемо AK ⊥ OC, BP ⊥ OD — висоти трикутників AOC і BOD. ΔAOK = ΔBOP за гіпотенузою і гострим кутом (AO = BO за умовою, ∠AOK = ∠BOP як вертикальні). З рівності трикутників випливає, що AK = BP. 1 SΔAOC = CO · AK; 2 1 SΔBOD = OD · BP. 2 1 CO · AK SΔAOC CO = 2 = = 1 ∶ 2. 1 OD SΔBOD OD · BP 2 Відповідь: 1 : 2. 47.29 MN – середня лінія трикутника ABC, M ∈ AB, N ∈ AC. Знайдіть відношення площ трикутників AMN і ABC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

la. in.

MN — середня лінія ΔABC, MN || BC, MN = BC. 2 Проведемо AP ⊥ BC. Оскільки MN || BC, то за теоремою Фалеса K — середина AP. Отже, BC = 2MN, AP = 2AK. 1 MN · AK SΔAMN MN · AK 1 · 1 1 = 2 = – = . 1 2MN · 2AK 2 · 2 4 SΔABC BC · AP 2 Відповідь: 1 : 4. 47.30 Навколо кола, радіус якого дорівнює 3 см, описано квадрат. Знайдіть периметр і площу квадрата.

Сторона квадрата дорівнює діаметру вписаного кола: 2 · 3 = 6 (см). Pкв = 4 · 6 = 12 (см); Sкв = 62 = 36 (см2). Відповідь: 24 см, 36 см2. 47.31 Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношенні 1 : 2. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 48 см.

ABCD — прямокутник, AP — бісектриса кута A, BD — діагональ, K — точка їх перетину. BK : KD = 1 : 2. ∠BPA = ∠PAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC і січній AP. Тоді в ΔABP ∠BAP = ∠BPA, AB = BP. ΔBKP ∼ ΔDKA за двома кутами (∠BPK = ∠KAD, ∠BKP = ∠AKD як вертикальні). BK : KD = 1 : 2 за умовою, тоді BP : AD = 1 : 2. Нехай AB = x см, тоді AD = 2x см. PABCD = 2(AB + AD) = 2(x + 2x) = 6x. За умовою 6x = 48 см, звідки x = 8 см. Отже, AB = 8 см, AD = 2 · 8 = 16 см. SABCD = AB · AD = 8 · 16 = 128 (см2). Відповідь: 128 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

47.32 Накресліть трапецію, основи якої дорівнюють 5 см і 3 см, а висота – 4 см.

la. in.

47.33 Чавунна труба має квадратний перетин, її зовнішня ширина дорівнює 25 см, товщина стінок – 3 см. Яка маса одного погонного метра труби? Густина чавуну становить 7,3 г/см3.

1. 2 · 25 · 3 + 2 · (25 − 6) · 3 = 150 + 114 = 264 (см2) – площа перетину труби; 2. 264 · 100 = 26400 (см3) – об’єм труби; 3. 7,3 · 26400 = 192720 г = 192 кг 720 г – маса 1 метра труби. Відповідь: маса одного погонного метра труби 192 кг 720 г. 47.34 Стіна заввишки 3,5 м відкидає тінь завдовжки 5 м. Олександр Семенович, зріст якого 1 м 75 см, стоїть на відстані 10 м від краю тіні. Яку найменшу кількість кроків він має зробити, щоб повністю потрапити в тінь, якщо довжина його кроку 0,5 м?

Об'єкт і його тінь — це катети двох подібних трикутників. Знайдемо довжину тіні чоловіка. MK AC = ; KN CB 1,75 3,5 = ; KN 5 5 · 1,75 = 2,5 (м). KN = 3,5 Щоб повністю потрапити в тінь, Олександр Семенович повинен переміститися в бік стіни на 10 м + 2,5 м = 12,5 м.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Кількість кроків: 12,5 м : 0,5 = 25. Відповідь: 25 кроків.

la. in.

§ 48. Площа трапеції 48.1 Нехай a і b – основа трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1. a = 4 см, b = 8 см, h = 5 см; 2. a = 7 дм, b = 3 дм, h = 6 дм. 4 + 8 𝟏𝟏. S = · 5 = 30 (см²); 2 7 + 3 𝟐𝟐. S = · 6 = 30 (см²). 2 48.2 Нехай a і b – основа трапеції, h – її висота. Знайдіть площу трапеції, якщо: 1. a = 5 см, b = 3 см, h = 4 см; 2. a = 1 дм, b = 9 дм, h = 8 дм. 5 + 3 · 4 = 16 (см²); 𝟏𝟏. S = 2 1 + 9 𝟐𝟐. S = · 8 = 40 (см²). 2 48.3 Знайдіть площу трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 7 см, а висота – 6 см. S = 7 · 6 = 42 (см2). 48.4 Висота трапеції дорівнює 4 см, а середня лінія – 10 см. Знайдіть площу трапеції. S = 4 · 10 = 40 (см2). 48.5 Основи трапеції дорівнюють 7 см і 13 см, а її площа – 40 см2. Знайдіть висоту трапеції. 2S 2 · 40 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ, звідки ℎ = = = 4 (см). S = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 20 2 Відповідь: 4 см. 48.6 Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її основи – 8 см і 10 см. Знайдіть висоту трапеції. S = 36 см2, a = 8 см, b = 10 см. 2S 2 · 36 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ, ℎ = = = 4 (см). S = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 8 + 10 2 Відповідь: 4 см. 48.7 Висота трапеції дорівнює 6 см, а її площа – 24 см2. Знайдіть суму основ трапеції. h = 6 см, S = 24 см2. 2S 2 · 24 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ, ℎ = = = 8 (см). S = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 6 2 Відповідь: 8 см. 48.8 Висота трапеції дорівнює 8 см, а площа – 40 см2. Знайдіть середню лінію трапеції. h = 8 см, S = 40 см2. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 . Середня лінія 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑆𝑆 40 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; = = = 5 (см²). S = 2 ℎ 8 2 Відповідь: 5 см2. 48.9 Площа трапеції дорівнює 63 см2, одна з її основ – 5 см, а висота – 7 см. Знайдіть другу основу трапеції. S = 63 см2; a = 5 см, h = 7 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; 2 2S 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ; ℎ 2 · 63 2S –a = – 5 = 13 (см). 𝑏𝑏 = 7 ℎ Відповідь: 13 см. 48.10 Одна з основ трапеції дорівнює 17 см, а її висота – 3 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 33 см2. a = 17 см, h = 3 см, S = 33 см2. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ; S = 2 2S 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ; ℎ 2 · 33 2S – 𝑎𝑎 = – 17 = 5 (см). 𝑏𝑏 = 3 ℎ Відповідь: 5 см. 48.11 ABCD (AD || BC) – рівнобічна трапеція з тупим кутом B, BK – її висота, AK = 3 см, BC = 5 см, BK = 4 см. Знайдіть площу трапеції.

la. in.

S =

KD = BC + AK = 5 + 3 = 8 (см). AD + BC 3 + 8 + 5 · BK = · 4 = 32 (см2 ). SΔABC𝐷𝐷 = 2 2 Відповідь: 32 см2. 48.12 ABCD (AB || CD) – прямокутна трапеція з тупим кутом D, DK – висота трапеції, AK = 4 см, CD = 7 см, DK = 5 см. Знайдіть площу трапеції.

BA = CD + AK = 7 + 4 = 11 (см). AB + CD 11 + 7 · DK = · 5 = 45 (см2 ). SΔABCD = 2 2 Відповідь: 45 см2. 48.13 Площа прямокутної трапеції дорівнює 30 см2, її периметр – 28 см, а менша бічна сторона – 3 см. Знайдіть більшу бічну сторону.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

SABCD = 30 см2, PABCD = 28 см; AB = 3 см. AB ⊥ AD, отже, AB — висота трапеції. AD + BC SABCD = · AB, звідки 2 2SABCD 2 · 30 AD + BC = = = 20 (см). 3 AB PABCD = AB + BC + CD + AD; CD = PABCD – (AB + BC + AD) = 28 – (3 + 20) = 5 (см). Відповідь: 5 см. 48.14 Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 32 см, її бічна сторона – 5 см, а площа – 44 см2. Знайдіть висоту трапеції. Нехай a і b — основи трапеції, h — її висота, c — бічна сторона, c = 5 см. Pтр = 2c + a + b; a + b = Pтр – 2c = 32 – 2 · 5 = 22 (см). 2Sтр 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 · 44 Sтр = · ℎ, звідки ℎ = = = 4 (см). 22 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Відповідь: 4 см. 48.15 У трапеції ABCD менша основа AB дорівнює 6 см, а висота трапеції – 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо площа трикутника ADC дорівнює 40 см2.

ABCD — трапеція, AB ∥ CD. AK ⊥ CD, AK = 8 см — висота трапеції, AB = 6 см. 1 SΔADC = CD · AK, 2 2SΔADC CD = ; AK 2 · 40 CD = = 10 (см). 8 AB + CD 6 + 10 · AK = · 8 = 8 · 8 = 64 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 64 см2. 48.16 У трапеції ABCD основи AD і BC дорівнюють відповідно 10 см і 8 см. Площа трикутника ABD дорівнює 25 см2. Знайдіть площу трапеції.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 2SABCD 2 · 25 BP · AD, BP = = = 5 (см). 2 10 AD AD + BC 10 + 8 · BP = · 5 = 45 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 45 см2. 48.17 Площа трапеції дорівнює 36 см2, а її висота – 6 см. Знайдіть основи трапеції, якщо вони відносяться як 1 : 3. a і b — основи трапеції, h — її висота. 2Sтр 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 · 36 Sтр = · h, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = = = 12 (см). 2 6 ℎ a : b = 1 : 3, тоді a = x см, b = 3x см. x + 3x = 12; 4x = 12; x = 3. a = 3 см, b = 3 · 3 = 9 (см). Відповідь: 3 см, 9 см. 48.18 Основи трапеції відносяться як 1 : 4. Знайдіть ці основи, якщо висота трапеції дорівнює 4 см, а площа трапеції – 50 см2. a : b = 1 : 4, h = 4 см, S = 50 см2. 2S 2 · 50 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · h, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = = = 25 (см). S = ℎ 4 2 a = x см, b = 4x см; x + 4x = 25; 5x = 25; x = 5. a = 5 см, b = 4 · 5 = 20 (см). Відповідь: 5 см, 20 см. 48.19 Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють a см і b см, а бічна сторона завдовжки c см утворює з меншою основою кут 150°.

la. in.

SΔABD =

∠D = 180° − ∠C = 180° − 150° = 30°. 1 𝑐𝑐 Тоді CP = ℎ = CD = (см) (як катет, що лежить проти кута 30°). 2 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑐𝑐 AD + BC · h = · = (см2 ). S = 2 4 2 2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑐𝑐 2 Відповідь: (см ). 4 48.20 У прямокутній трапеції менша основа дорівнює 6 см й утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Знайдіть площу трапеції, якщо її тупий кут дорівнює 135°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, BC = 6 см. ∠A = ∠B = 90°, ∠C = 135°, ∠BCA = 45°. У ΔABC (∠B = 90°) ∠BCA = 45°, тоді ∠BAC = 45°, AB = BC = 6 см. ∠BCA = ∠CAD = 45° як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і BC і січній AC. У ΔACD ∠ACD = ∠BCD − ∠BCA = 135° − 45° = 90°. Тоді ∠D = 45°, AC = CD. 12 AB √2 З ΔABC AC = = 6∶ = (см), sin 45° 2 √2 12 CD = AC = (см). √2 1 1 1 1 12 12 SABCD = SΔABC + SΔACD = AB · BC + AC · CD = · 6 · 6 + · · 2 2 2 2 √2 √2 = 18 + 36 = 54 (см2 ). Відповідь: 54 см2. 48.21 У прямокутній трапеції менша бічна сторона дорівнює 4 см й утворює з меншою діагоналлю кут 45°. Гострий кут трапеції також дорівнює 45°. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, AD ∥ BC, AB = 4 см, ∠A = ∠B = 90°, ∠BCA = 45°, ∠D = 45°. ΔABC — рівнобедрений, AB = CB = 4 см (∠A = 45°, ∠B = 90° − 45° = 45°). ∠BCA = ∠CAD = 45° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BC і AD і січній AC). Тоді ∠ACD = 90°. ΔACD — рівнобедрений, AC = CD. 4 · 2 8 AB = = (см). З ΔABC AC = sin 45° √2 √2 8 CD = AC = см. √2 1 1 1 1 8 8 · SABCD = SΔABC + SΔACD = AB · BC + AC · CD = · 4 · 4 + · 2 2 2 2 √2 √2 2 = 8 + 16 = 24 (см ). Відповідь: 24 см2. 48.22 Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а більша основа – 12 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ABCD — трапеція, BC ∥ AC, ∠A = ∠B = 90°, BC = 4 см, AD = 12 см, BD = 13 см. З ΔABD AD = �BD² − AB² = �13² − 12² = �(13 − 12) (13 + 12) = √25 = 5 (см) — висота трапеції. AD + BC 4 + 12 SABCD = · AB = · 5 = 40 (см2 ). 2 2 Відповідь: 40 см2. 48.23 Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 17 см, а висота – 8 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 5 см.

ABCD — трапеція, ∠C = ∠D = 90°, BC = 5 см, AC = 17 см. З ΔACD AD = �AC² − CD² = �17² − 8² = �(17 − 8) (17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см). BC + AD 5 + 15 · CD = · 8 = 80 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 80 см2. 48.24 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 38 см і 52 см, а бічна сторона – 25 см. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD = 25 см, BC = 38 см, AD = 52 см. BP ⊥ AD і CK ⊥ AD — висоти трапеції. 52 − 38 AD − BC = = 7 (см). AP = KD = 2 2 З ΔABP: BP = �AB² − AP² = �25² − 7² = �(25 − 7)(25 + 7) = √18 · 32 = √9 · 2 · 2 · 16 = 3 · 2 · 4 = 24 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AD + BC 52 + 38 · BP = · 24 = 1080 (см2 ). 2 2 Відповідь: 1080 см2. 48.25 Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см, бічна сторона – 13 см, а висота – 12 см. Знайдіть площу трапеції.

SABCD =

la. in.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, AB = CD = 13 см, AD = 18 см, BP = CK = 12 см. З ΔABD: AP = �AB² − BP² = �13² − 12² = √169 − 144 = √25 = 5 (см). KD = AP = 5 см, PK = BC = AD − 2AP = 18 − 2 · 5 = 8 (см). BC + AD 8 + 18 SABCD = · BP = · 12 = 156 (см2 ). 2 2 Відповідь: 156 см2. 48.26 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 6 см, бічна сторона – 5 см, а висота – 3 см. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD, BC = 6 см, AB = CD = 5 см, BP ⊥ AD — висота, BP = 3 см. З ΔABD: AP = �AB² − BP² = �5² − 2² = √25 − 9 = √16 = 4 (см). AD = AP + PK + KD = AP + BC = AP = 4 + 6 + 4 = 14 (см). AD + BC 14 + 6 SABCD = · BP = · 3 = 30 (см2 ). 2 2 Відповідь: 30 см2. 48.27 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює 10 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

MNPK — трапеція, NP ∥ MK, NP = 10 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Діагоналі NK і MR перетинаються в точці O. Проведемо OR ⊥ NP і OB ⊥ MK, O ∈ RB. OR = 2 см, OB = 3 см, RB = OR + OB = 2 + 3 = 5 (см) — висота трапеції. ΔNOP ∼ ΔMOK за двома кутами (∠NOP = ∠MOK як вертикальні, ∠NPM = ∠PMK як внутрішні різносторонні при NP ∥ MK і січній MP). OR NP Тоді = ; OB MK 10 · 3 NP · OB = = 15 (см). MK = 2 OR NP + MK 10 + 15 · RB = · 5 = 62,5 (см2 ). SΔMNPK = 2 2 Відповідь: 62,5 см2. 48.28 Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 18 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 см і 6 см. Знайдіть площу трапеції.

MNPK — трапеція, NP ∥ MK, MK = 18 см. Діагоналі NK і MP перетинаються в точці O. Проведемо OR ⊥ NP і OB ⊥ MK, O ∈ RB. OR = 5 см, OB = 6 см, RB = 5 + 6 = 11 (см) — висота трапеції. ΔNOP ∼ ΔMOK за двома кутами (∠NOP = ∠MOK як вертикальні, ∠NPM = ∠PMK як внутрішні різносторонні при NP ∥ MK і січній MP). NP OR Тоді = ; MK OB 18 · 5 MK · OR = = 15 (см). NP = 6 OB MK + NP 18 + 15 · RB = · 11 = 181,5 (см2 ). SΔMNPK = 2 2 Відповідь: 181,5 см2. 48.29 Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює h см. Знайдіть площу трапеції.

Проведемо висоту PK = h через точку перетину діагоналей O. Прямокутні трикутники  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

AOD і BOC — рівнобедрені (з основами AD і BC). Тому їх висоти OP і OK є також медіанами. Тоді за властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи 1 1 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝐵𝐵𝐵𝐵. 2 2 AD + BC AD BC SΔABCD = · 𝑃𝑃𝑃𝑃 = � + � · 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 2 2 2 = (OK + OP) · PK = PK · PK = PK2 = ℎ2 . Відповідь: h2. 48.30 Знайдіть площу рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, а основи дорівнюють 10 см і 4 см.

Проведемо висоту PK через точку перетину діагоналей O. Прямокутні трикутники AOD і BOC — рівнобедрені з основами AD і BC. Тоді їх висоти OK і OP є також медіанами. За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, 1 1 OK = AD = · 10 = 5 (см); 2 2 1 1 OP = BC = · 4 = 2 (см). 2 2 PK = OK + OP = 5 + 2 = 7 (см). AD + BC 10 + 4 SΔABCD = · PK = · 7 = 49 (см2 ). 2 2 Відповідь: 49 см2. 48.31 Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 1 см і 4 см. Знайдіть площу трапеції.

ABCD — трапеція (BC || AD), ∠A = ∠B = 90°. Проведемо висоти PK (через центр вписаного кола) і CM. ON ⊥ CD — радіус, проведений в точку дотику, CM = 1 см, ND = 4 см. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки до кола, CN = PC = 1 см, KD = ND = 4 см. PCMК — прямокутник (PK || CM, PK = CM, ∠K = 90°), тоді KM = PC = 1 см. MD = KD − KM = 4 − 1 = 3 (см). З ∆CMK CM = �CD² − MD² = �5² − 3² = √25 − 9 = √16 = 4 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

PK = CM = 4 см, 1 ON = PK = 2 см (як радіуси). 2 AK = BP = 2 см. BC = BP + PC = 2 + 1 = 3 (см); AD = 2 + 4 = 6 (см). BC + AD 3 + 6 SΔABCD = · CM = · 4 = 18 (см2 ). 2 2 Відповідь: 18 см2. 48.32 Обчисліть суму кутів опуклого 17-кутника. 180° · (17 − 2) = 180° · 15 = 2700°. 48.33 Скільки плиток квадратної форми зі стороною 20 см знадобиться, щоб викласти ними підлогу в кімнаті прямокутної форми, довжина якої 4,6 м, а ширина 3,4 м? 1. 4,6 · 3,4 = 15,64 (м2) — площа кімнати; 2. 20 см = 0,2 м2 · (0,2 м)2 = 0,04 м2 — площа однієї плитки; 3. 15,64 : 0,04 = 391 (шт.). Відповідь: 391 шт. 48.34 Один з кутів ромба на 120° більший за другий, а сторона ромба дорівнює 6 см. Знайдіть площу ромба.

ABCD — ромб, AB = BC = CD = AD = 6 см. ∠A = ∠B + 120°. Нехай ∠B = x, тоді ∠A = x + 120°. x + x + 120° = 180; 2x = 60; x = 30°. Отже, ∠B = 30°. 1 Тоді висота AK = AB = 3 см (як катет, що лежить проти кута 30°). 2 SABCD = BC · AK = 6 · 3 = 18 (см2). Відповідь: 18 см2. 48.35 Розкладіть на множники многочлен: 1. 4𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 5);

2. 7𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2);

3. 𝑥𝑥 2 − 36 = (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6); 𝟒𝟒.

1 2 1 1 𝑥𝑥 − 25 = � 𝑥𝑥 − 5� � 𝑥𝑥 + 5� ; 9 3 3

5. 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 = (𝑥𝑥 − 5)2 = (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 5);

6. 16𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 1 = (4𝑥𝑥 + 1)2 = (4𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 + 1).

48.36 Скільки кілограмів фарби потрібно, щоб пофарбувати паркан з одного боку, якщо для фарбування 1 м2 паркану витрачається 250 г фарби?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. 12 · 3 = 36 (м2) — площа прямокутної частини паркана; 2. (12 · 1) : 2 = 6 (м2) — площа трикутної частини паркана; 3. 36 + 6 = 42 (м2) — площа паркана; 4. 42 · 250 = 10500 г = 10 кг 500 г — усього фарби. Відповідь: потрібно 10 кг 500 г фарби. 48.37 З трьох квадратів, довжина сторони кожного з яких є цілим числом сантиметрів, складено прямокутник, площа якого 150 см2. Знайдіть периметр прямокутника.

Квадрати не можуть бути однаковими, бо 150 : 2 = 50, не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює 50. 150 = 2 · 5 · 5 · 3. Існує єдиний спосіб подати число 150 у вигляді суми трьох квадратів: 150 = 25 + 25 + 100 = 52 + 52 + 102. P = 2 · (10 + 15) = 2 · 25 = 50 (см). Відповідь: 50 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Домашня самостійна робота 10 (§§ 44–48) 1. На якому з малюнків зображено п’ятикутник, описаний навколо кола? А. 1; Б. 2; В. 3; Г. 4.

la. in.

Відповідь: Б. 2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 7 см і 4 см. А. 28 см; Б. 22 см; В. 28 см2; Г. 11 см2. S = 7 ⋅ 4 = 28 (см2). Відповідь: В. 28 см2. 3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 8 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 5 см. А. 40 см2; Б. 26 см2; В. 20 см2; Г. 13 см2. S = 8 ⋅ 5 = 40 (см2). Відповідь: А. 40 см2. 4. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 10-кутника. А. 360°; Б. 1800°; В. 1620°; Г. 1440°. 180°(10 − 2) = 180° ⋅ 8 = 1440°. Відповідь: Г. 1440°. 5. Знайдіть сторону трикутника, якщо його площа дорівнює 24 см², а висота, проведена до цієї сторони, – 6 см. А. 4 см; Б. 18 см; В. 8 см; Г. 12 см. 1 S = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 ⋅ 6𝑎𝑎 = 24; 2 3a = 24; a = 8 (см). Відповідь: В. 8 см. 6. Одна з основ трапеції дорівнює 5 см, а її висота – 4 см. Знайдіть другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 28 см². А. 11 см; Б. 2 см;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

В. 7 см; Г. 9 см. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ h; S = 2 5 + 𝑏𝑏 ⋅ 4 = 28; 2 5 + b = 14; b = 9 (см). Відповідь: Г. 9 см. 7. Прямокутник, сторони якого дорівнюють 16 дм і 9,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки отримали квадратів? А. 612; Б. 608; В. 51; Г. 618. 1. S1 = 16 ⋅ 9,5 = 152 (дм2). 2. S2 = 0,52 = 0,25 (дм2). 3. n = S1 : S2 = 152 : 0,25 = 608 (квадратів). Відповідь: Б. 608. 8. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а висота – 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см. А. 50 см2; Б. 52,5 см2; В. 100 см2; Г. 62,5 см2.

1. AB = 5 см — висота трапеції й бічна сторона. 2. У △ABD: AD = �BD² − AD² = �13² − 5² = 12 (см). AD + BC 12 + 8 𝟑𝟑. S = ⋅ AB = ⋅ 5 = 50 (см2 ). 2 2 Відповідь: А. 50 см2. 9. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см. А. 80 см2; Б. 20 см2; В. 40 см2; Г. 36 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Нехай ABCD заданий ромб. Діагоналі: AC = 10 см, BD = 8 см. Згідно означення ромба усі його сторони рівні. Тому, його діагональ ділить ромб на два рівних трикутники (△ABD = △BCD). Тому: SABCD = SABD + SBCD = 2SABD

Згідно властивості ромба. Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл: AO = OC = AC : 2 = 5 см.

Площа трикутника: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ A𝑂𝑂 8 ⋅ 5 = = 20 см2 2 2

Тоді площа ромба:

la. in.

SABCD = 2 ∙ 20 = 40 см2.

Відповідь: В. 40 см2. 10. У прямокутному трикутнику гіпотенуза точкою дотику вписаного кола ділиться на відрізки 3 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника. А. 60 см2; Б. 50 см2; В. 40 см2; Г. 30 см2.

1. За властивістю відрізків дотичних маємо: BM = BK = 3 см; AL = AK = 10 см. 2. Позначимо MC = CL = x см. 3. У △ABC: AB2 = BC2 + CA2; 132 = (3 + x)2 + (10 + x)2; 169 = 9 + 6x + x2 + 100 + 20x + x2; 2x2 + 26x – 60 = 0; x2 + 3x – 30 = 0. D = 132 – 4 ⋅ 1 ⋅ (−30) = 289 =172. −13 + 17 = 2 (см); 𝑥𝑥1 = 2 −13 − 17 𝑥𝑥2 = < 0 − не задовольняє умову. 2 4. Тоді BC = 2 + 3 = 5 (см); AC = 2 + 10 = 12 (см). 1 1 𝟓𝟓. S = AC ⋅ BC = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30 (см2 ). 2 2 Відповідь: Г. 30 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

11. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції. А. 75 см2; Б. 50 см2; В. 100 см2; Г. 150 см2.

1. △BOC ∼ △DOA (за двома кутами). BC BO = . Тому AD OD 2. △BKO ∼ △DLO (за двома кутами). KO BO = . Тому LO OD BC BO KO BO = і = , тому 𝟑𝟑. Маємо AD OD LO OD KO BC = . LO AD 4. За умовою AD = 12 см; OK = 2 см; OL = 3 см. BC 2 Тоді = ; BC = 8 (см). 12 3 5. KL = KO + OL = 2 + 3 = 5 (см). AD + BC 12 + 8 𝟔𝟔. S = ⋅ KL = ⋅ 5 = 50 (см2 ). 2 2 Відповідь: Б. 50 см2. 12. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 9 см, а сума двох його висот, проведених з однієї вершини, – 7 см. Знайдіть площу паралелограма. А. 108 см2; Б. 48 см2; В. 36 см2; Г. 27 см2.

1. Нехай BK і BL — висоти паралелограма. Позначимо BK = x см, тоді BL = 7 − x (см). 2. S = AD ⋅ BK = CD ⋅ BL; 12 ⋅ x = 9(7 − x);

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

12x = 63 − 9x; 21x = 63; x = 3 (см). 3. S = 12 ⋅ 3 = 36 (см2). Відповідь: Б. 36 см2.

13. Установіть відповідність між інформацією про многокутник (1−3) та кількістю його сторін (А−Г). Інформація про многокутник 1. Сума внутрішніх кутів дорівнює 900∘ 2. Усі зовнішні кути рівні між собою і 6 становлять по 45∘ 3. Многокутник має 9 діагоналей Кількість сторін многокутника

la. in.

A. 5 Б. 6 B. 7 Г. 8

1. Формула суми внутрішніх кутів многокутника: 𝑆𝑆 = 180° ⋅ (𝑛𝑛 − 2)

180° ⋅ (𝑛𝑛 − 2) = 900°

𝑛𝑛 − 2 = 5 ⇒ 𝑛𝑛 = 7 → В. 7 сторін

2. Сума всіх зовнішніх кутів будь-якого опуклого многокутника = 360°

360° 45°

= 8 → Г. 8 сторін

3. Формула кількості діагоналей:

𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 9 ⇒ 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 18 2 6 ⋅ (6 − 3) = 6 ⋅ 3 = 18 → Б. 6 сторін

𝐷𝐷 =

Відповідь:1 → В; 2 → Г; 3 → Б.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Завдання для перевірки знань до §§ 44–48 1. Накресліть коло, впишіть у нього п’ятикутник та опишіть навколо нього семикутник. П'ятикутник, вписаний у коло; семикутник, описаний навколо кола.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і 9 см. S = 6 ⋅ 9 = 54 (см2) 3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 7 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 4 см. S = 7 ⋅ 4 = 28 (см2) 4. Обчисліть суму кутів опуклого 15-кутника. 180°(15 − 2) = 180° ⋅ 13 = 2340°. 5. Площа трикутника дорівнює 30 см2, а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони. 1 S = 𝑎𝑎ℎ; 2 1 30 = ⋅ 12 ⋅ ℎ; 2 6h = 30; h = 5 (см). 6. Площа трапеції дорівнює 35 см2, одна з її основ – 8 см, а висота – 7 см. Знайдіть другу основу трапеції. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ h; S = 2 8 + 𝑏𝑏 ⋅ 7; 35 = 2 b + 8 = 10; b = 2 (см) 7. Прямокутник, сторони якого 12 дм і 7,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів? 1. S1 = 12 ⋅ 7,5 = 90 (дм2) 2. S2 = 0,52 = 0,25 (дм2) 3. n = S1 : S2 = 360 (квадратів) Відповідь: 360 квадратів. 8. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 6 см і 12 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Нехай ABCD заданий ромб. Діагоналі: AC = 12 см, BD = 6 см.

la. in.

Згідно означення ромба усі його сторони рівні. Тому, його діагональ ділить ромб на два рівних трикутники (△ABD = △BCD). Тому: SABCD = SABD + SBCD = 2SABD

Згідно властивості ромба. Його діагоналі точкою перетину діляться навпіл: AO = OC = AC : 2 = 6 см.

Площа трикутника:

𝐵𝐵𝐵𝐵 ⋅ A𝑂𝑂 6 ⋅ 6 = = 18 см2 2 2 Тоді площа ромба: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =

SABCD = 2 ∙ 18 = 36 см2.

Відповідь: 36 см2. 9. Менша основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

1. △BOC ∼ △DOA (за двома кутами). BC BO = . Тому AD OD 2. △BKO ∼ △DLO (за двома кутами). KO BO = . Тому LO OD BC BO KO BO = і = , тому 𝟑𝟑. Маємо AD OD LO OD KO BC = . LO AD

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

4. За умовою BC = 12 см; OK = 3 см; OL = 5 см. 12 3 Тоді = ; AD = 20 (см). AD 5 5. KL = KO + OL = 3 + 5 = 8 (см). 20 + 12 AD + BC ⋅ KL = ⋅ 8 = 128 (см2 ). 𝟔𝟔. S = 2 2 10. Відношення площ двох квадратів дорівнює 7. Знайдіть відношення їхніх периметрів. 1. Нехай a — сторона першого квадрата, b — сторона другого. 𝑎𝑎² = 7; 𝟐𝟐. Тоді за умовою 𝑏𝑏² 𝑎𝑎 = √7. 𝑏𝑏 𝑃𝑃₁ 4𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝟑𝟑. = = = √7. 𝑃𝑃₂ 𝑏𝑏 4𝑏𝑏 Відповідь: √7. 11. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а сума двох його суміжних сторін – 22 см. Знайдіть площу паралелограма.

1. BK і BL — висоти паралелограма. 2. Позначимо AD = x см, тоді BC = 22 − x см. 3. S = AD ⋅ BK = CD ⋅ BL; x ⋅ 5 = (22 – x) ⋅ 6; 5x = 132 – 6x; 11x = 132; x = 12 (см). 4. S = 12 ⋅ 5 = 60 (см2). Відповідь: 60 см2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Вправи для повторення теми 10 1. Накресліть опуклий п’ятикутник A1A2A3A4A5 та неопуклий шестикутник B1B2B3B4B5B6. Проведіть усі діагоналі в п’ятикутнику, обчисліть їхню кількість.

П’ятикутник має 5 діагоналей (за формулою 5 ⋅ 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = = 5, 2 2 де 𝑛𝑛 — кількість сторін (кутів, вершин)).

2. Накресліть коло. Впишіть у нього та опишіть навколо нього будь-які многокутники з однаковою кількістю сторін.

Чотирикутник вписаний у коло та чотирикутник описаний навколо кола. 3. Усі зовнішні кути п’ятикутника між собою рівні. Скільки градусів мають внутрішні кути цього п’ятикутника? Якщо зовнішні кути п’ятикутника рівні, то і суміжні з ними внутрішні кути теж рівні. 180° · (5 − 2) = 180° · 3 = 540° — сума всіх кутів п’ятикутника. 540° : 5 = 108° — внутрішній кут. Відповідь: 108°. 4. Знайдіть, скільки діагоналей у восьмикутника. 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) — кількість діагоналей 𝑛𝑛– кутника. 2 8 · 5 8 · (8 − 3) = = 20. Якщо 𝑛𝑛 = 8, то 2 2 Відповідь: 20. 5. Усі внутрішні кути n-кутника дорівнюють по 135°. Знайдіть n. Сума всіх внутрішніх кутів многокутника дорівнює 180°(n − 2) або 135° · n за умовою. 180(n − 2) = 135n;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

180n − 135n = 360; 45n = 360; n = 8. Відповідь: 8. 6. Як зміниться сума внутрішніх кутів опуклого многокутника, якщо кількість його сторін збільшиться на дві? Сума внутрішніх кутів опуклого n–кутника дорівнює 180°(n − 2) = 180°n − 360°. Якщо кількість сторін збільшити на дві, то сума дорівнюватиме 180(n + 2 − 2) = 180n, тобто збільшиться на 360°. Відповідь: збільшиться на 360°. 7. Сума кутів опуклого n-кутника у k разів більша за суму кутів опуклого (n − 1)-кутника (k – натуральне число). Знайдіть k. 180°(n − 2) = 180°n − 360° — сума кутів n–кутника. 180°(n − 1 − 2) = 180°n − 180° · 3 = 180°n − 540° — сума кутів (n − 1)–кутника. За умовою 180°n − 360° = k(180°n − 540°). 180°𝑛𝑛 − 360° 𝑘𝑘 = ; 180°𝑛𝑛 − 540° 180°(𝑛𝑛 − 2) 𝑘𝑘 = ; 180°(𝑛𝑛 − 3) 𝑛𝑛 − 2 ; 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 − 3 k приймає натуральне значення, якщо n − 3 = 1, тобто при n = 4. Тоді k = 2. Відповідь: 2.

8. Порівняйте площу квадрата зі стороною 6 см із площею прямокутника зі сторонами 4 см і 9 см. Sкв = 62 = 36 (см2); Sпр = 4 · 9 = 36 (см2). Sкв = Sпр. 9. 1. Накресліть довільний прямокутник, площа якого 12 см2. 2. Накресліть квадрат, площа якого 9 см2. 1. 12 = 3 · 4 = 2 · 6 = 1 · 12; 2. 9 = 32.

Значить, можна накреслити прямокутники зі сторонами 3 і 4, 2 і 5 або 1 і 12 та квадрат зі стороною 3 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

10. На продовженні сторони AD квадрата ABCD за вершину A взято точку P, CP = 10 см, ∠CPD = 30°. Знайдіть площу квадрата.

la. in.

У ΔCPD ∠D = 90°, CP = 10 см, ∠CPD = 30°. 1 1 Тоді CD = CP = · 10 = 5 (см) як катет, що лежить проти кута 30°. 2 2 SABCD = CD2 = 52 = 25 (см2). Відповідь: 25 см2. 11. 1. Периметр квадрата дорівнює P см. Знайдіть його площу. 2. Площа квадрата дорівнює S см2. Знайдіть його периметр. 3. Площа квадрата чисельно дорівнює його периметру. Знайдіть сторону квадрата. 1. P = 4a, де a — сторона квадрата. P 𝑎𝑎 = см. 4 P² P 2 (см²). S = 𝑎𝑎² = � � = 16 4 P² Відповідь: см2.

2. Sкв = a ; a = �Sкв . P = 4a = 4�Sкв . Відповідь: 4�Sкв . 3. Sкв = Pкв; a2 = 4a; a = 4. Відповідь: 4. 12. На малюнку зображено геометричне доведення формули (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Поясніть його.

Площа квадрата зі стороною (a + b) дорівнює (a + b)2. Інакше, квадрат складається з двох квадратів і двох прямокутників. Тоді його площа дорівнює сумі площ частин: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Отже, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 13. Скільки треба плиток прямокутної форми зі сторонами 30 см і 20 см, щоб викласти ними частину стіни, що має форму прямокутника зі сторонами 2,4 м і 3,6 м? 1. 2,4 · 3,6 = 8,64 (м2) — площа стіни;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 30 см · 20 см = 0,3 м · 0,2 м = 0,06 м2 — площа однієї плитки; 3. 8,64 : 0,04 = 114. Відповідь: 114. 14. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть площу цього прямокутника. Скільки розв’язків має задача?

la. in.

AK — бісектриса кута A прямокутника ABCD. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AK. Але ∠KAD = ∠BAK, тоді ΔABK — рівнобедрений з основою AK, AB = BK. Можливі два випадки. 1. AB = BK = 4 см, KC = 5 см. BC = 4 + 5 = 9 см. SABCD = AB · BC = 4 · 9 = 36 (см2).

2. AB = BK = 5 см, KC = 4 см. SABCD = AB · BC = 5 · 9 = 45 (см2). Відповідь: 36 см2 або 45 см2. 15. У прямокутний трикутник ABC (∠C = 90°) вписано квадрат MNKL так, що точки N і K належать гіпотенузі (причому N лежить між A і K), M належить AC, L належить BC. AN = m, KB = n. Знайдіть площу квадрата.

Позначимо сторону квадрата x. ΔAMN і ΔLBK — прямокутні. ∠AMN = 90° – ∠A, ∠B = 90° – ∠A. Тоді ΔAMN ~ ΔLBK за двома кутами, тому LK AN = ; KB MN 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = ; 𝑛𝑛 𝑥𝑥 x2 = mn. SMNKL = x2, отже, SMNKL = nm. Відповідь: nm.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

16. Накресліть паралелограм, одна зі сторін якого дорівнює 4 см, а висота, проведена до неї, – 2 см. Знайдіть площу паралелограма.

la. in.

S = h ∙ a = 4 · 2 = 8 (см2). 17. Знайдіть площу ромба ABCD, у якого AB = 4 см, а висота, проведена до сторони BC, дорівнює 3 см.

У ромбі всі сторони рівні AB = BC = CD = DA = 4 см S = BC · hBC = 4 · 3 = 12 (см2).

18. У паралелограмі ABCD ∠B – тупий, CE – висота паралелограма, ∠DCE = 60°, AD = 5 см, AB = 4 см. Знайдіть площу паралелограма.

CD = AB = 4 см як протилежні сторони. 1 З ΔCDE CE = CD cos 60° = 4 · = 2 (см). 2 SABCD = AD · CE = 5 · 2 = 10 (см2). Відповідь: 10 см2. 19. Чи існує паралелограм, у якого: 1. сторони дорівнюють 6 см і 8 см, а висоти – 3 см і 4 см; 2. сторони дорівнюють 9 см і 6 см, а висоти – 4 см і 2 см? S = aha = bhb. 1. aha = 6 · 4 = 24 (см2); bhb = 8 · 3 = 24 (см2). Відповідь: так. 2. 9 · 4 ≠ 6 · 2; 9 · 2 ≠ 4 · 4.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: ні. 20. Квадрат і ромб мають рівні між собою сторони, а тупий кут ромба дорівнює 150°. Яка з фігур має більшу площу? У скільки разів?

la. in.

Нехай сторони квадрата і ромба дорівнюють a см. Площа квадрата S1 = a2 см2. В ромбі ABCD ∠A = 180° – ∠B = 180° – 150° = 30°. BK ⊥ AD. 𝑎𝑎 З ΔABK BK = AB sin ∠A = a sin 30° = (см). 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎² Площа ромба S2 = AD · BK = 𝑎𝑎 = . 2 2 𝑎𝑎² S1 ∶ S2 = 𝑎𝑎² ∶ ( ) = 2. 2 Відповідь: площа квадрата у 2 рази більша. 21. У паралелограмі ABCD гострий кут дорівнює 30°, а бісектриса цього кута, перетинаючи сторону, ділить її навпіл. Знайдіть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 24 см.

ABCD — паралелограм, ∠A = 30°, AK — бісектриса кута A, BK = KC. ∠BKA = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і BC та січній AK. Але ∠BAK = ∠KAD за умовою. Тоді ∠BAK = ∠BKA. ΔABK — рівнобедрений з основою AK, AB = BK. За умовою BK = KC, тоді BC = 2AB. PABCD = 2(AB + BC) = 2(AB + 2AB) = 2 · 3AB = 6AB. За умовою 6AB = 24 см, отже AB = 4 см. BC = 2AB = 2 · 4 = 8 (см). BP ⊥ AD — висота паралелограма. BP З ΔABP sin ∠A = ; AB 1 BP = AB · sin ∠A = 4 sin 30° = 4 = 2 (см). 2 SABCD = AD · BP = BC · BP = 8 · 2 = 16 (см2). Відповідь: 16 см2. 22. У ромб ABCD вписано коло, радіус якого 8 см. K – точка дотику кола до сторони AB. Знайдіть площу ромба, якщо AK : KB = 1 : 4.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ABCD — ромб. KP — висота, K і P — точки дотику вписаного кола. KO = OP = 8 см. KP = 2 · 8 = 16 (см). У ΔAOB ∠O = 90° (діагоналі перпендикулярні). За умовою AK : KB = 1 : 4, тоді AK = x см, KB = 4x см. OK2 = AK · KB; 82 = x · 4x; 4x2 = 64; x2 = 16; x = 4 (x > 0), AK = 4 см, KB = 4 · 4 = 16 (см). AB = AK + KB = 4 + 16 = 20 (см). SABCD = AB · KP = 20 · 16 = 320 (см2). Відповідь: 320 см2.

23. Накресліть три різних трикутники (гострокутний, прямокутний і тупокутний), у кожного з яких одна зі сторін дорівнює 3 см, а висота, проведена до неї, – 4 см. Знайдіть площу кожного з трикутників.

1 1 · 𝑎𝑎 · h = · 3 · 4 = 6(см2 ). 2 2 24. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 9 см, а висота, проведена до більшої з них, – 4 см. Знайдіть висоту, проведену до меншої з них.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Нехай a = 6 см, b = 9 см, hb = 4 см (b > a). 1 1 SΔ = 𝑏𝑏ℎb = · 9 · 4 = 18 (см2 ); 2 2 1 SΔ = 𝑏𝑏ℎ𝑎𝑎 ; 2 2SΔ 2 · 18 ℎ𝑎𝑎 = = = 6 (см). 6 𝑎𝑎 Відповідь: 6 см. 25. У трикутнику ABC ∠C = 135°, AC = 4 см, BD – висота трикутника, CD = 3 см. Знайдіть площу трикутника.

∠BCD = 180° – ∠BCA = 180° – 135° = 45° (як зовнішній кут). ΔТоді ABCD — рівнобедрений, BD = CD = 3 см. 1 1 SΔABC = AC · BD = · 4 · 3 = 6 (см2 ). 2 2 Відповідь: 6 см2. 26. У трикутнику проведено всі середні лінії. Доведіть, що площа кожного із чотирьох 1 трикутників, які утворилися, дорівнює площі початкового трикутника.

У ΔABC MN, NK, MK — середні лінії. 1 Тоді MN = AC = AK = KC; 2 1 NK = AB = AM = BM; 2 1 MK = BC = BN = CN. 2 Тоді ΔAMK = ΔMBN = ΔKNC = ΔNKM — за трьома сторонами. Оскільки площа трикутника ABC дорівнює сумі площ цих чотирьох рівних трикутників, 1 то площа кожного з них дорівнює площі ΔABC. 4 27. CK – медіана рівнобедреного трикутника ABC з основою AB. На цій медіані вибрано деяку точку M. Доведіть, що SAMC = SBMC.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔABC AC = BC. Медіана CK є бісектрисою кута C: ∠ACM = ∠BCM. Тоді ΔAMC = ΔBMC (за двома сторонами і кутом між ними (CM — спільна сторона)). Оскільки рівні фігури мають рівні площі, то SΔAMC = SΔBMC.

la. in.

28. Накресліть трапецію, основи якої 4 см і 2 см, а висота – 3 см. Знайдіть площу цієї трапеції.

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 4 + 2 · ℎ= · 3 = 9(см2 ). 2 2

29. Площа трапеції дорівнює 32 см2, а її середня лінія – 8 см. Знайдіть висоту трапеції. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 · ℎ — площа трапеції, S = 2 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 — її середня лінія 𝑚𝑚. 2 𝑆𝑆 32 Тоді S = 𝑚𝑚ℎ, звідки ℎ = = = 4 (см). 𝑚𝑚 8 Відповідь: 4 см. 30. Знайдіть площі трапецій, зображених на малюнках. Довжина однієї клітинки дорівнює 0,5 см.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 + 3 · 2,5 = 5 (см2 ). 2 2 + 3 𝟐𝟐. SMNKP = · 3 = 7,5 (см2 ). 2 1,5 + 3 · 2 = 4,5 (см2 ). 𝟑𝟑. SEFGH = 2 31. Висоти, проведені з вершин меншої основи рівнобічної трапеції, ділять більшу основу на три відрізки, сума двох з яких дорівнює третьому. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа й висота дорівнюють по a см.

la. in.

𝟏𝟏. SABCD =

ABCD — трапеція, BC || AD, AB = CD. BP ⊥ AD, CK ⊥ AD — висоти, BC = BP = CK = a см. Оскільки AP = KD, то AP + KD = PK. PBCK — прямокутник (PB || CK, PB = CK, BP ⊥ PK). Тоді PK = a см, значить 1 𝑎𝑎 AP = KD = PK = (см). 2 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + = 2𝑎𝑎 (см). AD = 2 2 BC + AD 𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 3𝑎𝑎² ⋅ CK = ⋅ a = (см2 ). SABCD = 2 2 2 3𝑎𝑎² 2 см . Відповідь: 2 32. Обчисліть площу прямокутної трапеції, у якої дві менші сторони дорівнюють по b см, а гострий кут – 45°.

ABCD — трапеція, AB ⊥ AD, CK ⊥ AD — висота. AB = BC = b см, ∠D = 45°. CK = AB = b см ΔCKD — прямокутний і рівнобедрений (∠D = 45°), тоді KD = CK = b см. AK = BC = b см (ΔBCK — квадрат). BC + AD 3𝑏𝑏² 𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏 ⋅ AB = ⋅ 𝑏𝑏 = (см2 ). SABCD = 2 2 2 3𝑏𝑏² см2. Відповідь: 2 33. EF – середня лінія трикутника ABC, EF || AB. У скільки разів площа трикутника CEF менша за площу трапеції AEFB?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

EF — середня лінія ΔABC, 1 EF ∣∣ AB, EF = AB. 2 Тоді AB = 2EF. ΔFEC ∼ ΔABC, тоді їх відповідні елементи (сторони, висоти тощо) пропорційні. CF CE FE CK 1 = = = = , тоді KP = CK. AC BC AB CP 2 1 SΔFEC = EF ⋅ CK; 2 EF + AB EF + 2EF 1 SABEF = ⋅ PK = ⋅ CK = EF ⋅ CK. 2 2 2 3 EF ⋅ CK 3 SABEF = 2 = . 1 1 EF ⋅ CK 2 Відповідь: у 3 рази. 34. У рівнобічну трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

Проведемо через центр вписаного кола висоту MN. OK ⊥ CD — радіус, проведений в точку дотику. CK = 2см, KD = 8см. За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки, CK = MC = 2см, ND = KD = 8см. M — середина BC, N — середина AD, BC = 2MC = 2 ⋅ 2 = 4 (см), AD = 2ND = 2 ⋅ 8 = 16 (см). ΔCOD — прямокутний, оскільки 1 1 1 1 ∠OCD + ∠ODC = ∠C + ∠D = (∠C + ∠D) = ⋅ 180° = 90°. 2 2 2 2 2 OK = CK ⋅ KD; OK = √2 ⋅ 8 = √16 = 4 (см). MN = 2OK = 2 ⋅ 4 = 8 (см). AD + BC 4 + 16 ⋅ MN = ⋅ 8 = 80 (см2 ). SABCD = 2 2 Відповідь: 80 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тема 11. КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН. РІВНЯННЯ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ § 49. Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 49.1. (Усно.) Чи є квадратним тричленом вираз:

Щоб вираз був квадратним тричленом, він має відповідати формулі 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, де найбільший степінь — саме квадрат, а змінна не може бути в знаменнику. Квадратні тричлени:

1. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 5: Класичний вигляд. 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 1, 𝑐𝑐 = −5.

7. 2𝑥𝑥 − 7 + 6𝑥𝑥 2 : Так, просто доданки переставлені місцями. Якщо записати правильно: 6𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 7.

la. in.

9. 4 + 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 2 : Теж так. У стандартному вигляді це −3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4.

Не є квадратними тричленами:

2. 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 + 9: Ні, бо є 𝑥𝑥 3 (це кубічний тричлен).

3. 5𝑥𝑥 + 11: Ні, це лінійний двочлен (немає 𝑥𝑥 2 ). 4. 𝑥𝑥 + 7: Ні, теж лінійний вираз. 1

: Ні, це дробовий вираз. Хоча в знаменнику і стоїть квадратний тричлен, сам 5. 2 𝑥𝑥 +𝑥𝑥−4 вираз таким не є. 6. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 3 : Ні, наявність 𝑥𝑥 3 робить його виразом третього степеня. 1

8. −7𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + : Ні. Квадратний тричлен — це многочлен, а в многочлені не може бути 𝑥𝑥 ділення на змінну (𝑥𝑥 у знаменнику).

49.2. З виразів випишіть ті, що є квадратними тричленами:

Квадратним тричленом називають многочлен виду 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, де 𝑥𝑥 — змінна, а 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 — деякі числа (коефіцієнти), причому 𝑎𝑎 ≠ 0. Вибираємо квадратні тричлени: 2. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 7

3. 2𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 +

1 5

7. −5𝑥𝑥 2 + 18 + 4𝑥𝑥

8. −7 + 10𝑥𝑥 + 13𝑥𝑥 2

9. 9𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 7

49.3. Які із чисел 1; 2; 3 є коренями квадратного тричлена:

1. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1, 1 – корінь квадратного тричлена; 2. 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 9, 1 – корінь квадратного тричлена;

3. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6, 2 і 3 – корені квадратного тричлена;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3, 3 − корінь квадратного тричлена.

1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 22 − 4 · 1 · (−5) = 4 + 20 = 24 > 0; 2 корені;

2. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 7 = 0; D = 32 − 4 · 1 · 7 = −19 < 0; коренів немає;

3. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · 1 = 4 − 4 = 0; 1 корінь;

la. in.

4. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; D = (−1)2 − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9 > 0; 2 корені.

49.4. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте кількість його коренів:

49.5. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте кількість його коренів:

1. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 12 − 4 · 1 · (−6) = 25; D > 0; 2 кореня; 2. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 = 0; D = 62 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0; 1 корінь; 3. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 5 = 0; D = (−2)2 − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16; D < 0; коренів немає; 4. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 7 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−7) = 9 + 28 = 37; D > 0; 2 кореня.

49.6. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1. 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = 1;

2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = −2;

3. 5𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0; (𝑥𝑥 − 1)2 = 0; 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 = 1;

4. −2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 2 = 0; D = 9 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25; −3 + 5 2 1 −3 − 5 8 = = ; 𝑥𝑥2 = = − = −2. 𝑥𝑥1 = 4 4 2 4 4 49.7. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1. 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 4;

2. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 = 0; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −4;

3. 6𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (−7)2 − 4 · 1 · 6 = 49 − 24 = 25;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥1 =

7 + 5 12 7−5 2 1 = = 1; 𝑥𝑥2 = = = ; 2⋅6 12 2⋅6 12 6

4. −3𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0; (𝑥𝑥 − 1)2 = 0; 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 = 1.

1. 16𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1; D = (−5)2 − 4 · 16 · 1 = 25 − 64 = −39 < 0. Відповідь: не можна. 2. 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1; D = 42 − 4 · 4 · 1 = 16 − 16 = 0. Відповідь: можна.

la. in.

3. 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 19; D = 12 − 4 · 2 · (−19) = 1 + 152 = 153 > 0. Відповідь: можна.

49.8. Чи можна розкласти на множники квадратний тричлен:

49.9. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 4. Отже, 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 1). 2. 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 8 = 0; 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = 1. Отже, 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 8 = (𝑥𝑥 + 8)(𝑥𝑥 − 1).

3. 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−5) − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9; 5+3 8 5−3 2 1 = = 2; 𝑥𝑥2 = = = . 𝑥𝑥1 = 4 4 4 4 2 1 2 Отже, 2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 2 = 2 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 − 2) = (2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2). 2 4. −𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 − 24 = 0; 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 24 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 8. Отже, −𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 − 24 = −(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 8) = (3 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 8).

5. −3𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 3 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 3 = 0; D = (−8)2 − 4 · 3 · (−3) = 64 + 36 = 100; 8 + 10 18 8 − 10 2 1 𝑥𝑥1 = = = 3; 𝑥𝑥2 = =− =− . 6 6 6 6 3 1 2 Отже, −3𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 + 3 = −3 �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 − 3) = (3𝑥𝑥 + 1)(3 − 𝑥𝑥). 3

6. 4𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 12 − 4 · 4 · (−3) = 1 + 48 = 49; −1 + 7 6 3 −1 − 7 −8 𝑥𝑥1 = = = ; 𝑥𝑥2 = = = −1. 8 8 4 2⋅4 8 3 Отже, 4𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 3 = 4 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 + 1) = (4𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1). 4 49.10. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1. 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 7 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 7. Отже, 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 7 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 7).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. 2𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 3 = 0; D = (−7)2 − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25; 7 + 5 12 7−5 2 1 𝑥𝑥1 = = = 3; 𝑥𝑥2 = = = . 2⋅2 4 4 4 2 1

2. 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 9 = 0; 𝑥𝑥1 = −9; 𝑥𝑥2 = 1. Отже, 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 9 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 9).

Отже, 2𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 3 = 2 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 − 3) = (2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3). 2

4. −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 12 = 0; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −3. Отже, −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 12 = −(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 4) = (𝑥𝑥 + 3)(4 − 𝑥𝑥).

la. in.

5. −6𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 0; 6𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 52 − 4 · 6 · (−1) = 25 + 24 = 49; −5 + 7 2 1 −5 − 7 −12 𝑥𝑥1 = = = ; 𝑥𝑥2 = = = −1. 2⋅6 12 6 2⋅6 12 1

Отже, −6𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1 = −6 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 + 1) = (1 − 6𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 1). 6

6. 7𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 192 − 4 · 7 · (−6) = 361 + 162 = 529; −19 + 23 4 2 𝑥𝑥1 = = = ; 2⋅7 14 7 −19 − 23 42 𝑥𝑥2 = = = −3. 2⋅7 14 2 Отже, 7𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 6 = 7 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 + 3) = (7𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 3). 7

49.11. Покажіть, що квадратні тричлени x2 – 2x – 3, 3x2 – 6x – 9, –4x2 + 8x + 12 мають одні й ті самі корені. Розкладіть на множники кожний із цих тричленів.

1. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1. Отже, 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1);

2. 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 9 = 0 ∣: 3; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1. Отже, 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 9 = 3(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1);

3. −4𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 12 = 0 ∣: (−4); 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1. Отже, −4𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 12 = −4(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1). 49.12. Чи правильно розкладено на множники квадратний тричлен:

1. (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 3 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3. Відповідь: неправильно. 2. 4(𝑥𝑥 − 1)2 = 4(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1) = 4𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 4. Відповідь: правильно.

49.13. Чи правильно розкладено на множники квадратний тричлен:

𝟏𝟏. 3(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) = 3(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 3) = 3(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3) = 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 9; Відповідь: правильно.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. (𝑥𝑥 − 2)2 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4; 2𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 8 = 2(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4). Відповідь: неправильно. 𝑥𝑥 − 1 1 𝑥𝑥 − 1 = = ; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 14 (𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 2) = = 𝑥𝑥 − 7. 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 𝟏𝟏.

49.15. Скоротіть дріб:

la. in.

𝑥𝑥 + 1 1 𝑥𝑥 + 1 = = ; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 5) 𝟐𝟐. = = 𝑥𝑥 + 5. 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝟏𝟏.

49.14. Скоротіть дріб:

49.16. Чому не можна подати у вигляді добутку лінійних множників квадратний тричлен: 1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 7 = 0; D = 22 − 4 · 1 · 7 = 4 − 28 = −24 < 0. Оскільки D < 0, то квадратний тричлен 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 7 не можна подати у вигляді добутку лінійних множників. 2. −2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 7 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 7 = 0; D = (−4)2 − 4 · 2 · 7 = 16 − 56 = −40 < 0. Оскільки D < 0, то квадратний тричлен −2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 7 не можна подати у вигляді добутку лінійних множників.

49.17. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена: 1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 5 = (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1) − 1 − 5 = (𝑥𝑥 + 1)2 − 6;

2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 7 = (𝑥𝑥 2 − 2 · 2𝑥𝑥 + 4) − 4 + 7 = (𝑥𝑥 − 2)2 + 3;

3. 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 10 = 2(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 5) = 2�(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 +1) − 1 + 5) = 2((𝑥𝑥 − 1)2 + 4) = 2(𝑥𝑥 − 1)2 + 8; 4. 3𝑥𝑥 2 − 18𝑥𝑥 + 27 = 3(𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9) = 3(𝑥𝑥 − 3)2 .

49.18. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена:

1. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 7 = (𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1) − 1 + 7 = (𝑥𝑥 − 1)2 + 6;

2. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12 = (𝑥𝑥 2 + 2 · 2𝑥𝑥 + 4) − 4 − 13 = (𝑥𝑥 + 2)2 − 17;

3. 3𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 3 = 3(𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 1) = 3�(𝑥𝑥 2 − 2 · 4𝑥𝑥 + 16) − 16 + 1) = = 3((𝑥𝑥 − 4)2 − 15) = 3(𝑥𝑥 − 4)2 − 45;

4. 2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 2 = 2(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1) = 2(𝑥𝑥 + 1)2 . 49.19. Знайдіть корені квадратного тричлена:

𝟏𝟏.

1 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 7 = 0| ⋅ 3; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 21 = 0; 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

D = (−6)2 − 4 · 1 · (−21) = 36 + 84 = 120; 6 + √120 6 + √4 ⋅ 30 6 + 2√30 2(3 + √30) 𝑥𝑥1 = = = = = 3 + √30; 2 2 2 2 𝑥𝑥2 = 3 − √30. Відповідь: 3 ± √30.

la. in.

2. 0,2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 40 = 0 ∣· 10; 2𝑥𝑥 2 + 70𝑥𝑥 + 400 = 0 ∣: 2; 𝑥𝑥 2 + 35𝑥𝑥 + 200 = 0; D = 352 − 4 · 1 · 200 = 1225 − 800 = 425; −35 + √425 −35 + √25 ⋅ 17 −35 + 5√17 𝑥𝑥1 = = = ; 2 2 2 −35 − √425 −35 − 5√17 𝑥𝑥2 = = . 2 2 −35±5√17 Відповідь: . 49.20. Знайдіть корені квадратного тричлена:

1 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 15 = 0| ⋅ 4; 4 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 60 = 0; D = 82 − 4 · 1 · (−60) = 64 + 240 = 304; −8 + √304 −8 + √16 ⋅ 19 −8 + 4√19 4(−2 + √19) 𝑥𝑥1 = = = = = 2�−2 + √19� 2 2 2 2 = −4 + 2√19; Відповідь: −4 ± 2√19. 𝟏𝟏.

2. 0,2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 9 = 0 ∣· 10; 2𝑥𝑥 2 − 30𝑥𝑥 − 90 = 0 ∣: 2; 𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 − 45 = 0; D = (−15)2 − 4 · 1 · (−45) = 225 + 180 = 405; 15 + √405 15 + √5 ⋅ 81 15 + 9√5 = = ; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 15 − √405 15 − 9√5 𝑥𝑥1 = = . 2 2 15±9√5 Відповідь: . 2

49.21. Розкладіть тричлен на множники, якщо це можливо:

1. 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 11 = (𝑥𝑥 − 1 + 2√3)(𝑥𝑥 − 1 − 2√3); 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 11 = 0; D D = (−1)2 + 11 = 1 + 11 = 12; > 0; 4 4 𝑥𝑥1 = 1 + √12 = 1 + 2√3; 𝑥𝑥2 = 1 − √12 = 1 − 2√3; 2. 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 = 2; 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 = 0; D = (−3)2 − 4 · 2 · 7 = 9 − 56 = −47; D < 0. Неможливо розкласти.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3 √65 3 √65 𝟑𝟑. − 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 = −2 �𝑥𝑥 + − � �𝑥𝑥 + + �; 4 4 4 4 −2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 = 0 ∣· (−1); 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 7 = 0; D = 32 − 4 · 2 · (−7) = 9 + 56 = 65; D > 0; −3 + √65 3 √65 3 √65 𝑥𝑥1 = =− + ; 𝑥𝑥2 = − − ; 4 4 4 4 4

4. −𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 8; −𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 8 = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 8 = 0; D = 52 − 4 · 1 · 8 = 25 − 32 = −7; D < 0. Неможливо розкласти. 49.22. Розкладіть тричлен на множники, якщо це можливо:

la. in.

1. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 7 = �𝑥𝑥 + 2 − √11��𝑥𝑥 + 2 + √11�; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 7 = 0; D = 42 − 4 · 1 · (−7) = 16 + 28 = 44; D > 0; −4 + √44 −4 + 2√11 𝑥𝑥1 = = = −2 + √11; 2 2 𝑥𝑥2 = −2 − √11. 2. −2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 6; −2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 6 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 6 = 0; D = (−3)2 − 4 · 2 · 6 = 9 − 48 = −39; D < 0. Розкласти неможливо. 49.23. Скоротіть дріб:

4(𝑥𝑥 − 3) 4 4𝑥𝑥 − 12 = = ; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 − 4 = = ; 𝟐𝟐. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 1 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 2(𝑥𝑥 + 3) �𝑥𝑥 − 2� 2𝑥𝑥 − 1 = = ; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 2 − 9 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 52 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49 = 72 ; D > 0; −5 + 7 2 1 −5 − 7 = = ; 𝑥𝑥2 = = −3; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 4 (𝑥𝑥 − 2)2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = = ; 𝟒𝟒. 2 𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 14 (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 + 7 1 2 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 + 5) 2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 5 2 = = ; 𝟓𝟓. 2 3𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥 − 5 3 �𝑥𝑥 − 1� (𝑥𝑥 + 5) 3𝑥𝑥 − 1 3 2 2𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 92 − 4 · 2 · (−5) = 81 + 40 = 121 = 112 ; D > 0; −9 + 11 1 −9 − 11 −20 𝑥𝑥1 = = ; 𝑥𝑥2 = = = −5; 4 2 4 4 3𝑥𝑥 2 + 14𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝟏𝟏.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

D = 142 − 4 · 3 · (−5) = 196 + 60 = 256 = 162 ; D > 0; −14 + 16 2 1 −14 − 16 𝑥𝑥1 = = = ; 𝑥𝑥1 = = −5; 2⋅3 6 3 6 2 5𝑥𝑥 2 − 37𝑥𝑥 + 14 5 �𝑥𝑥 − 5� (𝑥𝑥 − 7) 5𝑥𝑥 − 2 𝟔𝟔. = = ; 22𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 − 56 −2(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 − 4) −2𝑥𝑥 + 8 5𝑥𝑥 2 − 37𝑥𝑥 + 14 = 0; D = (−37)2 − 4 · 5 · 14 = 1369 − 280 = 1089 = 332 ; D > 0; 37 + 33 70 37 − 33 4 2 = = 7; 𝑥𝑥2 = = = ; 𝑥𝑥1 = 2⋅5 10 2⋅5 10 5

la. in.

−2𝑥𝑥 2 + 22𝑥𝑥 − 56 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 22𝑥𝑥 + 56 = 0 ∣: 2; 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 28 = 0. 𝑥𝑥 = 7, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 11, За теоремою Вієта маємо: � 1 звідки 1 𝑥𝑥2 = 4. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 28, Відповідь: 𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 − 1 4 ; 2. ; 3. ; 1. 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 2 2𝑥𝑥 − 1 5𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 ; 5. ; 6. . 4. 3𝑥𝑥 − 1 −2𝑥𝑥 + 8 𝑥𝑥 + 7 49.24. Скоротіть дріб:

𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 5 (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 1 𝟏𝟏. = = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 2 − 16 = = ; 𝟐𝟐. 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 8 3 �𝑥𝑥 + 2� (𝑥𝑥 − 4) 3𝑥𝑥 + 2 3 𝐷𝐷 2 3𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 − 8 = 0; = 25 + 24 = 49 = 72 ; 4 5+7 5−7 2 𝑥𝑥1 = = 4; 𝑥𝑥2 = = − , то 3 3 3 2 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 8 = 3 �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 − 4); 3 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 6 (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 + 3 𝟑𝟑. 2 = = ; 𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 + 10 (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 5 2(𝑥𝑥 + 1)2 2(𝑥𝑥 + 1) 2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 2 2(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1) = = = . 𝟒𝟒. 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 9 3(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3) 3(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) 3(𝑥𝑥 − 3) Відповідь: 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 + 3 2(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 1 ; 2. ; 3. ; 4. . 1. 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 5 3(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 49.25. Обчисліть значення дробу: 1. Якщо 𝑥𝑥 = 97

1 2𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 5 2 �𝑥𝑥 − 2� (𝑥𝑥 + 5) 2𝑥𝑥 − 1 = = ; 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 15 (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 3) 2𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 92 − 4 · 2 · (−5) = 81 + 40 = 121 = 112 ;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−9 + 11 2 1 = = ; 4 4 2 −9 − 11 −20 𝑥𝑥2 = = = −5. 4 4 Якщо 𝑥𝑥 = 97, то маємо: 2 ⋅ 97 − 1 194 − 1 193 = = = 1,93. 100 100 97 + 3

2. Якщо 𝑥𝑥 = −

𝑥𝑥1 =

2 3

la. in.

3(𝑥𝑥 − 4)2 𝑥𝑥 − 4 3𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 48 = = ; 5 5 7𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 2 + 20 −3(𝑥𝑥 − 4) �𝑥𝑥 + � − �𝑥𝑥 + � 3 3 2 2 3𝑥𝑥 − 24𝑥𝑥 + 48 = 0 ∣: 3; 𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 + 16 = 0; (𝑥𝑥 − 4)2 = 0. −3𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 20 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 − 20 = 0; D = (−7)2 − 4 · 3 · (−20) = 49 + 240 = 289 = 172 ; D > 0; 7 + 17 24 = = 4; 𝑥𝑥1 = 6 6 7 − 17 −10 −5 = = . 𝑥𝑥2 = 6 6 3 2 Якщо 𝑥𝑥 = − , то 3 2 2 − −4 −4 3 3 = 42. = 2 5 3 −1 − �− + � 3 3 2 Відповідь: 1. 1,93; 2. 4 . 49.26. Виконайте дії:

𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 − 𝑥𝑥 4 1 − 2 = − = = ; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 8 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2) 1 2 1 2 𝑥𝑥 + 2 + 2 (𝑥𝑥 + 4) 𝟐𝟐. + 2 = + = = 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 8 𝑥𝑥 + 4 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 2) 1 = ; 𝑥𝑥 + 2 2 𝑥𝑥 + 4 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 8 (𝑥𝑥 + 4)3(𝑥𝑥 − 4) �𝑥𝑥 + 3� 3𝑥𝑥 + 2 𝟑𝟑. ⋅ = = = 1. (3𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) 3𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 − 16 𝟏𝟏.

3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 8 = 0; D = 25 + 24 = 49 = 72 ; 5+7 5−7 2 = 4; 𝑥𝑥2 = =− ; D > 0; 𝑥𝑥1 = 3 3 3 1 −2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 −2(𝑥𝑥 − 2) �𝑥𝑥 − 2� ⋅ (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) : = 𝟒𝟒. 1 2𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 2 − 25 2(𝑥𝑥 + 5) ⋅ 2(𝑥𝑥 + 3) �𝑥𝑥 − � 2 (𝑥𝑥 −2(𝑥𝑥 − 2) ⋅ (𝑥𝑥 − 5) − 2)(𝑥𝑥 − 5) = =− ; 2(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 + 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 = 0; 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = 25 − 4 · 2 · 2 = 9 = 32 ; D > 0; 5+3 5−3 1 = 2; 𝑥𝑥2 = = ; 𝑥𝑥1 = 4 3 2 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 52 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49 = 72 ; D > 0; −5 + 7 1 −5 − 7 𝑥𝑥1 = = ; 𝑥𝑥2 = = −3. 4 2 3 49.27. Виконайте дії:

7 1 1 + 2 = + 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥 + 2 (𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 − 5 + 7 1 7 = = = ; (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 2) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥1 = 5, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −10. Звідки 𝑥𝑥2 = −2. 2 1 ⋅ 3(𝑥𝑥 + 2) �𝑥𝑥 − � (3𝑥𝑥 − 2) 1 3𝑥𝑥 − 2 1 3 𝟐𝟐. 2 : 2 = = = ; 𝑥𝑥 − 4 3𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 4 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) ⋅ (3𝑥𝑥 − 2) (𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 2 3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 4 = 0; D D = 4 + 12 = 16 = 42 ; > 0; 4 4 −2 + 4 2 −2 − 4 𝑥𝑥1 = = ; 𝑥𝑥2 = = −2. 3 3 3 1 1 ; 2. . Відповідь: 1. 𝑥𝑥−5

la. in.

𝟏𝟏.

𝑥𝑥−2

49.28. Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочлена та доведіть, що для будь-якого значення x квадратний тричлен: 1) x2 – 4x + 9 набуває додатного значення; 2) 2x2 + 8x + 8 набуває невід’ємного значення; 3) –x2 + 6x – 16 набуває від’ємного значення; 4) –x2 + 10x – 25 набуває недодатного значення. 1. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 9 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 + 5 = (𝑥𝑥 − 2)2 + 5. Так як (𝑥𝑥 − 2)2 ≥ 0, то і (𝑥𝑥 − 2)2 + 5 > 0, то і 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 9 > 0. Доведено.

2. 2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 8 = 2(𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4) = 2(𝑥𝑥 + 2)2 . Так як 2(𝑥𝑥 + 2)2 ≥ 0, то і 2𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 8 ≥ 0. Доведено.

3. −𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 16 = −(𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 16) = −(𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9 − 9 + 16) = −((𝑥𝑥 − 3)2 + 7) = −(𝑥𝑥 − 3)2 − 7. Так як −(𝑥𝑥 − 3)2 ≤ 0, то і −(𝑥𝑥 − 3)2 − 7 < 0, звідки −𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 16 < 0. Доведено.

4. −𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 25 = −(𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25) = −(𝑥𝑥 − 5)2 . Так як −(𝑥𝑥 − 5)2 ≤ 0, то і −𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 25 ≤ 0. Доведено. 49.29. Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочлена та доведіть, що для  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

будь-якого значення x квадратний тричлен: 1) x2 + 6x + 17 набуває додатного значення; 2) –x2 + 12x – 37 набуває від’ємного значення.

1. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 17 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 − 9 + 17 = (𝑥𝑥 + 3)2 + 8. Так як (𝑥𝑥 + 3)2 ≥ 0, тоі (𝑥𝑥 + 3)2 + 8 > 0, звідки 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 17 > 0. Доведено.

2. −𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 37 = −(𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 37) = −(𝑥𝑥 2 −12𝑥𝑥 + 36 − 36 + 37) = −((𝑥𝑥 − 6)2 + 1) = −(𝑥𝑥 − 6)2 = 1. Так як −(𝑥𝑥 − 6)2 ≤ 0, то −(𝑥𝑥 − 6)2 − 1 < 0, звідки −𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 37 < 0. Доведено.

49.30. Розкладіть на множники многочлен:

la. in.

1. 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1);

1 𝟐𝟐. − 2𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = −𝑥𝑥(2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3) = −𝑥𝑥 ⋅ 2 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 + 3) 2 = −𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3); 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 3 = 0; D = 25 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49 = 72 ; D > 0; −5 + 7 2 1 −5 − 7 = = ; 𝑥𝑥2 = = −3; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 4 5 1 1 1 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 1); 4 4 4 4 1 5 1 1 𝟒𝟒. − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 4 + 6𝑥𝑥 3 = − 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 12) = − 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 2). 2 2 2

49.31. Розкладіть на множники многочлен:

𝟏𝟏. 𝑥𝑥 3 − 12𝑥𝑥 2 + 32𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 32) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 8)(𝑥𝑥 − 4); 1 1 1 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 + 9𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 27) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 9)(𝑥𝑥 − 3). 3 3 3

49.32. Побудуйте графік функції:

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 𝟏𝟏. 𝑦𝑦 = . 𝑥𝑥 − 1 Спростимо вираз: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) = = 𝑥𝑥 + 2. (𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 − 1 Маємо: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2, 𝑥𝑥 ≠ 1 – пряма, якщо 𝑥𝑥 = 0, то 𝑦𝑦 = 2,

якщо 𝑦𝑦 = 0, то 𝑥𝑥 = −2. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: (1; 3).

la. in.

𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 . 𝟐𝟐. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 Спростимо вираз: 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) = = = 𝑥𝑥 − 3. (𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) Маємо 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −1. Якщо 𝑥𝑥 = 0, то 𝑦𝑦 = −3; якщо 𝑦𝑦 = 0, то 𝑥𝑥 = 3.

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3

Відповідь: (0; –3); (–1; –4). 49.33. Спростіть вираз:

16 𝑥𝑥 3 − 16𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 4 ⋅� 2 − 𝟏𝟏. �= 𝑥𝑥 + 40 3𝑥𝑥 + 11𝑥𝑥 − 4 16 − 𝑥𝑥 2

Розкладемо на множники: 3𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 121 − 4 · 3 · (−4) = 121 + 48 = 169 = 132 ; D > 0; −11 + 13 2 1 −11 − 13 = = ; 𝑥𝑥2 = = −4; 𝑥𝑥1 = 6 6 3 6

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 𝑎𝑎 + 2 𝑎𝑎 + 2 1 𝑎𝑎 𝑎𝑎 = : − ; − � � � � 4(𝑎𝑎 − 1)2 (𝑎𝑎 − 1)2 (𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 − 1) (2𝑎𝑎 − 2)2 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 1 1 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 2) − (𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 − 1) : = � � 4(𝑎𝑎 − 1)2 (𝑎𝑎 − 1)2 (𝑎𝑎 + 2) 1 ⋅ (𝑎𝑎 − 1)2 (𝑎𝑎 + 2) 𝑎𝑎 + 2 1 = = = . 4(𝑎𝑎 − 1)2 ⋅ (𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 2) 4(𝑎𝑎 + 2) 4 𝑥𝑥 2

la. in.

𝟐𝟐.

𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 16) 16 𝑥𝑥 − 4 = ⋅� + 2 � 1 𝑥𝑥 − 16 (𝑥𝑥 + 40) (𝑥𝑥 3 �𝑥𝑥 − � + 4) 3 16 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 − 4 ·� + = � (𝑥𝑥 + 40) (3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 − 4)2 + 16(3𝑥𝑥 − 1) ⋅� = � (3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4) (𝑥𝑥 + 40) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) ⋅ (𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 16 + 48𝑥𝑥 − 16) 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 40) = = (𝑥𝑥 + 40) ⋅ (3𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 40) ⋅ (3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4) 2 (𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 40) = = . (𝑥𝑥 + 40) ⋅ (3𝑥𝑥 − 1) 3𝑥𝑥 − 1

; 2. . Відповідь: 1. 4 3𝑥𝑥−1 49.34. Спростіть вираз: 𝟏𝟏. �

𝑥𝑥 − 4 1 𝑥𝑥 − 1 : − = � 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥

Розкладемо на множники: 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 9 − 4 · 2 · 1 = 1; −3 + 1 1 −3 − 1 𝑥𝑥1 = = − ; 𝑥𝑥2 = = −1; 4 2 4 1 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 2 �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 + 1) = (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1); 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 1 𝑥𝑥 − 1 =� − �· (𝑥𝑥 − 4) (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 2 (𝑥𝑥 − 1) − (2𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = · (𝑥𝑥 − 4) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 + 1) 2 (𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 1 − 2𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥)𝑥𝑥 = = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4) (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4) 2 2 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 4) 𝑥𝑥 = = ; (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4) 2𝑥𝑥 + 1 9(𝑏𝑏 − 3)2 𝑏𝑏 + 2 𝑏𝑏 + 2 𝑏𝑏 𝑏𝑏 2 − 2 ⋅� − 𝟐𝟐. (3𝑏𝑏 − 9) ⋅ � 2 �= � 1 𝑏𝑏 − 6𝑏𝑏 + 9 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 − 6 (𝑏𝑏 − 3)2 (𝑏𝑏 − 3)(𝑏𝑏 + 2) 9(𝑏𝑏 − 3)2 𝑏𝑏(𝑏𝑏 + 2) − (𝑏𝑏 + 2)(𝑏𝑏 − 3) ⋅ = 1 (𝑏𝑏 − 3)2 (𝑏𝑏 + 2) 9(𝑏𝑏 − 3)2 𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 2 + 3𝑏𝑏 − 2𝑏𝑏 + 6 9(𝑏𝑏 − 3)2 ⋅ 3(𝑏𝑏 + 2) = ⋅ = = 27. (𝑏𝑏 − 3)2 (𝑏𝑏 + 2) 1 ⋅ (𝑏𝑏 − 3)2 (𝑏𝑏 + 2) 1  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 1.

𝑥𝑥 2

2𝑥𝑥+1

; 2. 27.

49.35. Спростіть вираз:

1. �0,16𝑎𝑎2 𝑥𝑥 14 , якщо 𝑎𝑎 > 0, 𝑥𝑥 < 0, то 0,4|𝑎𝑎||𝑥𝑥 7 | = −0,4𝑎𝑎𝑥𝑥 7 ; 2. �8𝑚𝑚3 𝑝𝑝6 , якщо 𝑝𝑝 > 09, то 2√2𝑚𝑚|𝑝𝑝3 |√𝑚𝑚 = −2√2𝑚𝑚𝑝𝑝3 . Відповідь: 1. −0,4𝑎𝑎𝑥𝑥 7 ; 2. −2√2𝑚𝑚𝑚𝑚𝑝𝑝3 .

49.36. Числа x1 і x2 є коренями рівняння x2 – 2x – 10 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

la. in.

За умовою 𝑥𝑥1 і 𝑥𝑥2 – корені рівняння 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 10 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −10. 1. 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2; (𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 )2 = 4; 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 = 4; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 4 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 4 − 2 ⋅ (−10) = 24; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = 24;

2. 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )(𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥22 ) = 2 ⋅ (24 + 10) = 2 ⋅ 34 = 68;

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 68 68 𝟑𝟑. 2 + 2 = 2 2 = = = 0,68; (−10)2 100 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 4. 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥24 , (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 )2 = 242 ; 𝑥𝑥14 + 2𝑥𝑥12 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥22 = 576; 𝑥𝑥14 + 𝑥𝑥22 = 576 − 2 ⋅ 100 = 376. Відповідь: 1. 24 ; 2. 0,68 ; 3. 68 ; 4. 376.

49.37. Розкладіть на множники:

1. 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2);

2. 𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 2)2 ;

3. 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 36 = (𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 ) + (−9𝑥𝑥 + +36) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 4) − 9(𝑥𝑥 − 4) = (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 2 − 9) = (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3);

4. 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 = (𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 ) − (𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + +1) − (𝑥𝑥 + 1) = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 1) = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1) = (𝑥𝑥 + 1)2 (𝑥𝑥 − 1).

49.38. Розв’яжіть рівняння, використавши умову рівності дробу нулю: 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5, = 0; 𝟏𝟏. � (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) ≠ 0; 𝑥𝑥 2 − 4 D = 9 − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49 = 72 ; D > 0; −3 + 7 −3 − 7 −5 = 1; 𝑥𝑥2 = = = −2,5. 𝑥𝑥1 = 4 4 2 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥2 = −2,5, Маємо: � 1 𝑥𝑥 ≠ ±2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 28 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 28 = 0, 𝟐𝟐. = 0; � 2𝑥𝑥 + 8 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −4; 2𝑥𝑥 + 8 2 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 28 = 0; D = 1 − 4 · 2 · (−28) = 1 + 224 = 225 = 152 ; D > 0; −1 + 15 14 −1 − 15 = = 3,5; 𝑥𝑥2 = = −4 𝑥𝑥1 = 4 4 4 не є розв'язком. Відповідь: 1. 1; −2,5; 𝑥𝑥 ≠ ±2; 2. 𝑥𝑥 = 3,5; 𝑥𝑥 ≠ −4.

49.39. Розв’яжіть рівняння, використавши основну властивість пропорції.

la. in.

2𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 − 2 = ; 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 − 3 (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 5) = (2𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3), �𝑥𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 + 5 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 5; 2𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 5 = 2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 6; 1 ; 11𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 = 6 − 5; 19𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 19 𝑥𝑥 − 9 𝑥𝑥 − 3 = ; 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥 − 3)(2𝑥𝑥 + 3) = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 9), � 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0,2𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 − 9 = 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 9; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −5. 𝑥𝑥1 = 0, �𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1,5. 1 Відповідь: 1. ; 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 ≠ −1,5; 19 2. 0; −5; 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1,5. 𝟏𝟏.

49.40. Розв’яжіть рівняння множенням обох його частин на спільний знаменник:

1 2 1 + = ; 2𝑥𝑥 − 10 3𝑥𝑥 − 15 6 2 1 1 + = � ⋅ 6(𝑥𝑥 − 5); 2(𝑥𝑥 − 5) 3(𝑥𝑥 − 5) 6 3 + 4 = 𝑥𝑥 − 5; 𝑥𝑥 − 5 = 7; 𝑥𝑥 = 12; 𝑥𝑥 ≠ 5;

𝟏𝟏.

1 1 1 = ; 𝟐𝟐. + 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 1 1 1 + = � ⋅ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1); 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 1 + 1 = 𝑥𝑥, 0 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1. Будь-яке число, крім 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: 1. 𝑥𝑥 = 12; 𝑥𝑥 ≠ 5; 2. будь–яке число, крім 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 1.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

49.41. У меблевому салоні меблі продають у розібраному вигляді. Придбавши меблі в цьому салоні, покупець може самостійно зібрати меблі або замовити послугу збирання меблів, вартість якої становить 12 % від вартості придбаних меблів. Покупець придбав шафу за 9700 грн. Скільки коштів він заощадить, якщо збере цю шафу самостійно?

Вартість послуги збирання становить 12% від ціни шафи. 9700 × 0.12 = 1164 грн

Отже, якщо покупець збере шафу самостійно, він заощадить 1164 грн.

49.42. Вкладниця поклала кошти на депозити в різні банки, перший з яких нараховує 10 % річних, а другий – 15 % річних. За рік її загальний прибуток становив 12 % від початкового розміру внесених коштів. Знайдіть відношення розміру вкладу в першому банку до розміру вкладу в другому банку.

la. in.

Нехай в перший банк вкладниця поклала 𝑥𝑥 грн під 10% = 0,1, тобто 0,1𝑥𝑥 прибутку, а другий 𝑦𝑦 під 15% = 0,15, тобто 0,15𝑦𝑦 прибуток. Загальний прибуток становив 12% = 0,12 від початкового розміру внесених коштів, тобто 0,12(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦), то маємо: 0,1𝑥𝑥 + 0,15𝑦𝑦 = 0,12(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦); 0,1𝑥𝑥 + 0,15𝑦𝑦 = 0,12𝑥𝑥 + 0,12𝑦𝑦; 0,03𝑦𝑦 = 0,02𝑥𝑥; 𝑥𝑥 0,03 𝑥𝑥 3 = ; = . 𝑦𝑦 0,02 𝑦𝑦 2 Відповідь: 3 ∶ 2.

§ 50. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних 50.1. (Усно.) Які з рівнянь – біквадратні: Біквадратне рівняння має вигляд:

𝑎𝑎𝑥𝑥 4 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐 = 0

Перевіримо кожне:

1. 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 5 = 0— є член 𝑥𝑥 3 → ❌

2. 𝑥𝑥 4 + 4𝑥𝑥 2 − 5 = 0 — тільки 𝑥𝑥 4 і 𝑥𝑥 2 → ✅ 3. 𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 1 = 0 — є член 𝑥𝑥 → ❌

4. −5𝑥𝑥 4 − 8𝑥𝑥 2 − 11 = 0 — тільки 𝑥𝑥 4 і 𝑥𝑥 2 → ✅ 1

5. 4 + 2 − 9 = 0 помножимо на 𝑥𝑥 4 : 𝑥𝑥

𝑥𝑥

1 + 4𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 4 = 0 — біквадратне → ✅

6. 10𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 4 − 5 = 0 — тільки 𝑥𝑥 4 і 𝑥𝑥 2 → ✅

Відповідь: 2, 4, 5, 6.

50.2. Випишіть біквадратні рівняння:

Біквадратні мають вигляд:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑎𝑎𝑥𝑥 4 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 + 𝑐𝑐 = 0

3. 𝑥𝑥 4 − 7𝑥𝑥 2 − 6 = 0

5. 7𝑥𝑥 4 + 12𝑥𝑥 2 − 9 = 0

6. 5 − 7𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 2 = 0 Відповідь: 3, 5, 6.

50.3. Розв’яжіть біквадратне рівняння:

la. in.

1. 𝑥𝑥 4 − 5𝑥𝑥 2 + 4 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 + 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 5, звідки 1 �1 𝑡𝑡2 = 1. 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 4, 𝑥𝑥 2 = 4, 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = −2, Обернена заміна: � 2 � 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥3 = 1, 𝑥𝑥4 = −1.

Із поданих підходять

2. 𝑥𝑥 4 − 9𝑥𝑥 2 + 8 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 9𝑡𝑡 + 9 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 8, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 9, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 8, 𝑡𝑡2 = 1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 8, 𝑥𝑥1 = 2√2, 𝑥𝑥2 = −2√2, � 2 � 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥3 = 1, 𝑥𝑥4 = −1.

3. 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 8 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 8 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −8, 𝑡𝑡2 = −2. 𝑡𝑡2 = −2 – не є розв'язком, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑥𝑥 = 2, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 4; � 1 𝑥𝑥2 = −2. 4. 2𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 − 6 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

Маємо: 2𝑡𝑡 4 − 𝑡𝑡 − 6 = 0; D = (−1)2 − 4 · 2 · (−6) = 49 = 72 ; D > 0; 1+7 1 − 7 −6 3 𝑡𝑡1 = = 2; 𝑡𝑡1 = = =− ; 2⋅2 2⋅2 4 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

не є розв'язком, 𝑡𝑡 ≥ 0.

𝑥𝑥 = √2, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 2; � 1 𝑥𝑥2 = −√2.

5. 𝑥𝑥 4 + 5𝑥𝑥 + 4 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

la. in.

6. 9𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 2 + 1 = 0; (3𝑥𝑥 2 − 1)2 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 1 = 0; 3𝑥𝑥 2 = 1; √3 ⎧𝑥𝑥 = 1 , ⎧ ⎪ 1 √3 ⎪𝑥𝑥1 = 3 , 1 𝑥𝑥 2 = ; 1 ⎨ 3 ⎨ 𝑥𝑥 = − ; ⎪𝑥𝑥2 = − √3 . 2 ⎪ √3 ⎩ 3 ⎩ Відповідь: 3. ±2; 1. ±2; ±1; 2. ±2√2; ±1;

Маємо: 𝑡𝑡 2 + 5𝑡𝑡 + 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = −4, 𝑡𝑡1 = −4 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −5, звідки 1 �1 � – не є коренями рівняння, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑡𝑡2 = −1; 𝑡𝑡2 = −1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 4, Коренів немає.

√3

4. ±√2; 5. коренів немає; 6. ± . 3 50.4. Знайдіть корені біквадратного рівняння:

1. 𝑥𝑥 4 − 17𝑥𝑥 2 + 16 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 17𝑡𝑡 + 16 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡1 = 16, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 17, звідки �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 16, 𝑡𝑡2 = 1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥2 = −4, 𝑥𝑥 2 = 16, ⇔� 1 � 2 𝑥𝑥3 = 1, 𝑥𝑥4 = −1. 𝑥𝑥 = 1

2. 𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 2 + 8 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 6𝑡𝑡 + 8 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 6, 𝑡𝑡1 = 4, звідки �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 8, 𝑡𝑡2 = 2. Обернена заміна: 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = −2, 𝑥𝑥 2 = 4, ⇔� � 2 𝑥𝑥3 = √2, 𝑥𝑥4 = −√2. 𝑥𝑥 = 2 3. 𝑥𝑥 4 + 2𝑥𝑥 2 − 15 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 + 5 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −2, 𝑡𝑡 = −5, звідки 1 �1 𝑡𝑡2 = 3; 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −15,

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑡𝑡1 = −5 – не задовольняє умові 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑥𝑥1 = √3, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 3; 𝑥𝑥2 = −√3.

4. 3𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 8 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

la. in.

Маємо: 3𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 8 = 0; D = (−2)2 − 4 · 3 · (−8) = 4 + 96 = 100 = 102 ; D > 0; 2 + 10 −2 − 10 8 4 𝑡𝑡1 = = 2; 𝑡𝑡2 = =− =− 2⋅3 6 6 3 не задовольняє умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑥𝑥1 = √2, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 2; 𝑥𝑥2 = −√2.

5. 𝑥𝑥 4 + 10𝑥𝑥 2 + 9 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 10𝑡𝑡 + 9 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = −9, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −10, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 9, 𝑡𝑡2 = −1; 𝑡𝑡1 = −9; 𝑡𝑡2 = −1 – не є коренями, 𝑡𝑡 ≥ 0. Коренів немає.

6. 25𝑥𝑥 4 − 10𝑥𝑥 2 + 1 = 0; (5𝑥𝑥 2 − 1)2 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 1 = 0; 5𝑥𝑥 2 = 1; √5 ⎧𝑥𝑥 = 1 , ⎧ 1 𝑥𝑥 = , ⎪ ⎪ 1 1 √5 5 2 𝑥𝑥 = ; 1 ⎨ 5 ⎨ 𝑥𝑥 = − ; ⎪𝑥𝑥2 = − √5 . ⎪ 2 √5 ⎩ 5 ⎩ Відповідь: 3. ±√3; 1. ±4; ±1; 2. ±2; ±√2; √5

4. ±√2; 5. коренів немає; 6. ± . 5 50.5. Розв’яжіть рівняння:

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0, 2 𝟏𝟏. = 0; � 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 = 0. 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 + 3

За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, Звідки 1 Звідки � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −2. 𝑥𝑥2 = −1. 𝑥𝑥1 = 2, �𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥 ≠ −3. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0, 2 = 0; � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 6 = 0. 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 − 2  shkola.in.ua

За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, Звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −6. 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥1 = −3, Маємо: �𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥 ≠ 2; корінь рівняння: 𝑥𝑥 = −3. Відповідь: 1. −1; 2; 𝑥𝑥 ≠ −3; 2. − 3; 𝑥𝑥 ≠ 2. 50.6. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0, = 0; � 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 − 4 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 4; 𝑥𝑥 − 4 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3. 𝑥𝑥2 = 1. 𝑥𝑥1 = −3, Тобто �𝑥𝑥2 = 1, 𝑥𝑥 ≠ 4.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0, 𝟐𝟐. = 0; � 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0. 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −3; 𝑥𝑥 + 3

За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −12. 𝑥𝑥2 = −3. 𝑥𝑥1 = 4, Тобто �𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥 ≠ −3; корінь рівняння 𝑥𝑥 = 4. Відповідь: 1. −3; 1; 𝑥𝑥 ≠ 4; 2. 4; 𝑥𝑥 ≠ −3. 50.7. Розв’яжіть рівняння:

𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 0, 𝟏𝟏. = ;� � 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0, 2 � 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 0; � 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 ≠ −1;

𝑥𝑥 2 4 𝑥𝑥 2 = 4, 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥2 = −2, 𝟐𝟐. = ;� � 𝑥𝑥 ≠ 2. 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 = 2, Звідки корінь рівняння: � 𝑥𝑥 ≠ 2; 3𝑥𝑥 − 14 2𝑥𝑥 2 = −(3𝑥𝑥 − 14), 2𝑥𝑥 2 = ;� 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 − 1 ≠ 0; 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−3 − 11 −14 7 = = − = −3,5; 4 4 2 𝑥𝑥1 = 2, звідки �𝑥𝑥2 = −3,5, 𝑥𝑥 ≠ 1. 𝑥𝑥2 =

la. in.

𝑥𝑥 2 − 5 2𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥 2 − 5 = −(2𝑥𝑥 − 10), = ;� 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 − 3 ≠ 0; 3 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 3 2 𝑥𝑥 − 5 + 2𝑥𝑥 − 10 = 0, 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 15 = 0. � 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, За теоремою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −15. 𝑥𝑥 = −5, Звідки 1 𝑥𝑥2 ≠ 3. Корінь рівняння 𝑥𝑥 = −5, 𝑥𝑥 ≠ 3. Відповідь: 1. 0; 1; 𝑥𝑥 ≠ −1; 2. −2; 𝑥𝑥 ≠ 2; 3. −3; 5; 2; 𝑥𝑥 ≠ 1; 4. −5; 𝑥𝑥 ≠ 3.

2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 14 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ 1; 2 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 14 = 0; D = 32 − 4 · 2 · (−14) = 9 + 112 = 121 = 112 ; D > 0; −3 + 11 8 = = 2; 𝑥𝑥1 = 4 4

50.8. Розв’яжіть рівняння:

2 𝑥𝑥 2 3𝑥𝑥 𝟏𝟏. = ; �𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 0; �𝑥𝑥2 = 3, � 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ 2;

9 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥 2 = 9, = ;� ;� 1 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −3. 𝑥𝑥 = 3, Звідки корінь рівняння: � 𝑥𝑥 ± −3; 2 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 14 3𝑥𝑥 2 = −(𝑥𝑥 − 14), 𝟑𝟑. = ;� 𝑥𝑥 − 1 1 − 𝑥𝑥 ≠ 0; 1 − 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 14 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ 1; 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 14 = 0; D = 12 − 4 · 3 · (−14) = 1 + 168 = 169 = 132 ; D > 0; −1 + 13 −1 − 13 −14 7 = 2; 𝑥𝑥2 = = =− . 𝑥𝑥1 = 6 6 6 3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥1 = 2, 7 Звідки �𝑥𝑥2 = − , 3

la. in.

𝑥𝑥 2 − 3 2𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 2 − 3 = −(2𝑥𝑥 − 5), 𝟒𝟒. = ;� 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 3 + 2𝑥𝑥 − 5 = 0, 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0, � � 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ 2. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, За теоремою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −8. 𝑥𝑥1 = −4, 𝑥𝑥1 = −4, �𝑥𝑥2 = 2, ⇒ Маємо: 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥 ≠ 2 𝑥𝑥 = −4 – корінь рівняння. Відповідь: 1. 0; 3; 𝑥𝑥 ≠ 2; 2. 3; 𝑥𝑥 ≠ −3; 7 3. 2; − ; 𝑥𝑥 ≠ 1 3

𝑥𝑥 ≠ 1.

4. −4; 𝑥𝑥 ≠ 2. 50.9. Знайдіть корені рівняння:

𝑥𝑥 − 3 8 = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) = 8𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 − 9 − 8𝑥𝑥 = 0, � � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −3;

𝟏𝟏.

𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 9 = 0.

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 8, За теоремою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −9. 𝑥𝑥1 = 9, 𝑥𝑥 = 9, Тобто �𝑥𝑥2 = −1, Звідки 1 𝑥𝑥2 = −1. 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −3.

𝑥𝑥 2𝑥𝑥 − 3 = ; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 6 (2𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 6) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2), 2𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 18 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥, �𝑥𝑥 + 2 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 + 6 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −6; 2 𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 − 18 = 0, �𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 + 18 = 0. 𝑥𝑥 ≠ 6; За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 9, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 7, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −18 𝑥𝑥2 = −2. 𝑥𝑥 = 9, 𝑥𝑥2 = −2, Тобто � 1 ⇒ корінь 𝑥𝑥 = 9. 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 6

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

10 = 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 − 3 10 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3), 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0, 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0. � � 𝑥𝑥 − 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 3. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 = 5, За теоремою Вієта маємо: � 1 ⇔ 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −10 𝑥𝑥2 = −2. 𝑥𝑥1 = 5, Тобто �𝑥𝑥2 = −2, 𝑥𝑥 ≠ 3.

𝟑𝟑.

8 8 = (3𝑥𝑥 + 2)𝑥𝑥, = 3𝑥𝑥 + 2; � 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ 0; 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0; D = 22 − 4 · 3 · (−8) = 4 + 96 = 100 = 102 ; D > 0; −2 + 10 8 4 −2 − 10 𝑥𝑥1 = = = ; 𝑥𝑥2 = = −2. 6 6 3 6 4 𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = −2, Тобто � 1 3 2 𝑥𝑥 ≠ 0. Відповідь: 1. 9; –1; 2. 9; 1 3. –2; 5; 4. –2; 1 .

la. in.

𝟒𝟒.

50.10. Знайдіть корені рівняння:

3 𝑥𝑥 − 2 = ; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 3𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 − 4 = 3𝑥𝑥, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −2; 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −4 𝑥𝑥2 = −1. 𝑥𝑥1 = 4, 𝑥𝑥2 = −1, Маємо: � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2.

𝟏𝟏.

𝑥𝑥 3𝑥𝑥 − 1 = ; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 3 (3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3), �𝑥𝑥 + 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥, �𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ −1; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 12 − 4 · 2 · (−1) = 1 + 8 = 9 = 32 ; D > 0; 1+3 1−3 1 = 1; 𝑥𝑥2 = =− . 𝑥𝑥1 = 4 4 2

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥2 = − , 2 Маємо: � 1 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −3.

3 = 𝑥𝑥; 4 − 𝑥𝑥 3 = 𝑥𝑥(4 − 𝑥𝑥), 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 3 = 0, � � 4 − 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 4; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 = 0, 2 𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 = 0. � 𝑥𝑥 ≠ 4; За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 3 𝑥𝑥2 = 1. 𝑥𝑥1 = 3, Тобто �𝑥𝑥2 = 1, 𝑥𝑥 ≠ 4.

la. in.

𝟑𝟑.

6 = 2𝑥𝑥 − 1; 𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0, 2 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; �6 = (2𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥, � 𝑥𝑥 ≠ 0; D = (−1)2 − 4 · 2 · (−6) = 49 = 72 ; D > 0; 1+7 8 1−7 6 𝑥𝑥1 = = = 2; 𝑥𝑥2 = = − = −1,5. 4 4 4 4 𝑥𝑥1 = 1,5, Маємо: �𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥 ≠ 0. Відповідь: 1 1. 4; −1; 2. 1; − ; 2 3. 3; 1; 4. −1,5; 2. 50.11. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 𝟒𝟒.

1. 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4) = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥1 = 0, 1 𝑥𝑥1 = 0, � �𝑥𝑥 = 2, � 2 𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥2 = −2; 3

2. 𝑥𝑥 3 + 9𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 9) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 2 + 9 = 0; 𝑥𝑥 2 ≠ −9; коренів немає, тобто 𝑥𝑥 = 0 – єдиний корінь рівняння. 3. 4𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 (4𝑥𝑥 2 − 1) = 0; 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥 2 = 0, 1 � 1 1 � 2 � 4𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥2 = , 𝑥𝑥3 = − ; 4 2 2

4. 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6) = 0; 𝑥𝑥 = 0, � 12 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 𝑥𝑥 3 − 9𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 9) = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = 0, тобто � 1 � 12 � 12 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥2 = −3; 𝑥𝑥 − 9 = 0; 𝑥𝑥 = 9;

la. in.

2. 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 4) = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0 � 12 � 12 𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 = −4; 𝑥𝑥 2 = −4 коренів немає, тобто 𝑥𝑥 = 0 – єдиний корінь рівняння;

𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, За теоремою Вієта маємо: � 1 звідки 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥1 = 0, Маємо: �𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥3 = 2. 1 Відповідь: 1. 0 ; ±2; 2. 0 ; 3. 0 ; ± ; 4. –3 ; 0; 2. 2 50.12. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

3. 16𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 (16𝑥𝑥 2 − 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 2 = 0, 1 ;� 1 1 � � 𝑥𝑥1 = , 𝑥𝑥2 = − ; 16𝑥𝑥 2 − 1 = 0; 𝑥𝑥 2 = 16 4 4

4. 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12) = 0; 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12 = 0. � 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, звідки 1 3a теopeмою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −12, 𝑥𝑥2 = 3. 𝑥𝑥1 = 0, Тобто �𝑥𝑥2 = −4, 𝑥𝑥3 = 3. 1 Відповідь: 1. 0; ±3; 2. 0; 3. 0; ± ; 4. −4; 0; 3. 50.13. Розв’яжіть рівняння:

20 20 20(𝑥𝑥 + 1) − 20𝑥𝑥 − = 1; = 1; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) 20𝑥𝑥 + 20 − 20𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1), �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 20 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 20 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥 = −5, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −20 𝑥𝑥2 = 4, тобто 𝑥𝑥1 = −5, �𝑥𝑥2 = 4, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −1;

𝟏𝟏.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2 1 2(𝑥𝑥 − 2) + 𝑥𝑥 − = 1; = 1; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 2𝑥𝑥 − 4 + 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2), 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 4 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2; 2 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥1 = 4, 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥 = 1, ⇔ 1 тобто � 2 � 1 = 1, 𝑥𝑥 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 4 𝑥𝑥 ≠ 0, 2 𝑥𝑥 ≠ 2. Відповідь: 1. –5; 4; 2. –4; 3.

50.14. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

12 12 12(𝑥𝑥 + 1) − 12𝑥𝑥 − = 1; = 1; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) 12𝑥𝑥 + 12 − 12𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1; 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 12 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥1 = −4, 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥 = 3, ⇔ 1 тобто � 2 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −12 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −1; 3 1 3(𝑥𝑥 − 4) + 𝑥𝑥 𝟐𝟐. + = 1; = 1; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) 3𝑥𝑥 − 12 + 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 12 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 4; 𝑥𝑥 ≠ 4; 2 𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 + 12 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥1 = 6, 𝑥𝑥1 = 6, 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 8, ⇔ тобто �𝑥𝑥2 = 2, � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 12 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 4. Відповідь: 1. 1; 4; 2. 2; 6. 50.15. Розв’яжіть рівняння: 𝟏𝟏.

𝟐𝟐.

𝑥𝑥 4 − 10𝑥𝑥 2 + 9 𝑥𝑥 4 − 10𝑥𝑥 + 9 = 0, = 0; � 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 + 3 4 2 𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 9 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥. 𝑡𝑡 2 − 10𝑡𝑡 + 9 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 9, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 10, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 9, 𝑡𝑡2 = 1.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 = ±3, 𝑥𝑥 2 = 9, Обернена заміна: � 2 ⇔� 𝑥𝑥 ≠ ±1. 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥1,2 = ±3, 𝑥𝑥1 = 3, Отже, �𝑥𝑥3,4 = ±1, корені рівняння: �𝑥𝑥2,3 = ±1, 𝑥𝑥 ≠ −3. 𝑥𝑥 ≠ −3.

la. in.

6𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 7 = 5; 𝟐𝟐. 1 − 3𝑥𝑥 6𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 7 = 5(1 − 3𝑥𝑥), � 1 − 3𝑥𝑥 ≠ 0; 6𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 7 = 5 − 15𝑥𝑥, 1 � 𝑥𝑥 ≠ ; 3 6𝑥𝑥 2 + 34𝑥𝑥 − 12 = 0 ∣: 2; 3𝑥𝑥 2 + 17𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 172 − 4 · 3 · (−6) = 289 + 72 = 361 = 192 ; D > 0; −17 + 19 2 1 𝑥𝑥1 = = = ; 6 6 3 −17 − 19 −36 = = −6. 𝑥𝑥2 = 6 6 1 𝑥𝑥1 = , Отже, �𝑥𝑥2 = −6, 𝑥𝑥 = −6 − корінь рівняння. 1

𝑥𝑥 ≠ , 3

2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 3(𝑥𝑥 2 − 4), 𝟑𝟑. = 3; � 𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 2 − 4 ≠ 0; 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 3𝑥𝑥 2 − 12, 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 14 = 0, � � 𝑥𝑥 ≠ ±2; 𝑥𝑥 ≠ ±2;

𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 14 = 0. За теоремою Вієта маємо:

𝑥𝑥 = −7, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −5, звідки: 1 � 1 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −14, 𝑥𝑥1 = −7, Отже, � 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥 ≠ ±2. Корінь рівняння 𝑥𝑥 = −7.

4𝑥𝑥 + 2 = 6𝑥𝑥 + 5; 1 + 2𝑥𝑥 (4𝑥𝑥 + 2) = (6𝑥𝑥 + 5)(1 + 2𝑥𝑥), � 1 + 2𝑥𝑥 ≠ 0; 4𝑥𝑥 + 2 = 6𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 2 + 5 + 10𝑥𝑥, 1 � 𝑥𝑥 ≠ ; 2 𝟒𝟒.

 shkola.in.ua

la. in.

12𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 3 = 0, 1 � 𝑥𝑥 ≠ . 2 12𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 3 = 0 ∣: 3; 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1 = 0; 1 (2𝑥𝑥 + 1)2 = 0; 2𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = − . 2 1 𝑥𝑥 = − , 2 Отже, � 1 𝑥𝑥 ≠ − . 2 Коренів немає. Відповідь: 1 1. 3; ±1; 𝑥𝑥 ≠ −3; 2. −6; 𝑥𝑥 ≠ ; 3 3.−7; 𝑥𝑥 ≠ ±2; 4. коренів немає.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

50.16. Розв’яжіть рівняння:

𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 − 2 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 − 2 = 0, = 0; � 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 − 2 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 2 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = −2, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −1, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −2, 𝑡𝑡2 = 1, 𝑡𝑡1 = −2 − не задовольняе умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑥𝑥 = 1, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 1, то 1 𝑥𝑥2 = −1. 𝑥𝑥1 = 1, Отже, �𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥 ≠ −1. Корінь рівняння: 𝑥𝑥 = 1.

6𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 5 6𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 5 = 4(1 − 2𝑥𝑥), = 4; � 𝟐𝟐. 1 − 2𝑥𝑥 ≠ 0; 1 − 2𝑥𝑥 2 6𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 − 5 = 4 − 8𝑥𝑥, 6𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 − 9 = 0, 1 1 � � 𝑥𝑥 ≠ ; 𝑥𝑥 ≠ ; 2 2 2 6𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 − 9 = 0; D = 152 − 4 · 6 · (−9) = 225 + 216 = 441 = 212 ; D > 0; −15 + 21 6 1 = = ; 𝑥𝑥1 = 12 12 2 −15 − 21 −36 = = −3. 𝑥𝑥2 = 12 12

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

𝑥𝑥1 = , 2

Отже, �𝑥𝑥2 = −3, Корінь рівняння: 𝑥𝑥 = −3. 1

𝑥𝑥 ≠ . 2

la. in.

3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 2; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 − 9 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 2(𝑥𝑥 2 − 9), �𝑥𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 2𝑥𝑥 2 − 18, � 𝑥𝑥 ≠ ±3; 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 21 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ ±3; 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 21 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 7, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 10, звідки 1 � 1 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 21, 𝑥𝑥2 = 3 − не задовольняє умові. Отже, корінь рівняння 𝑥𝑥 = 7.

8𝑥𝑥 + 2 = 12𝑥𝑥 + 5; 1 + 4𝑥𝑥 8𝑥𝑥 + 2 = (12𝑥𝑥 + 5)(1 + 4𝑥𝑥), � 1 + 4𝑥𝑥 ≠ 0; 8𝑥𝑥 + 2 = 12𝑥𝑥 + 48𝑥𝑥 2 + 5 + 20𝑥𝑥, 1 � 𝑥𝑥 ≠ − ; 4 2 16𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 1 = 0, 48𝑥𝑥 + 24𝑥𝑥 + 3 = 0, 1 1 � �: 3 � 𝑥𝑥 ≠ − ; 𝑥𝑥 ≠ − ; 4 4 (4𝑥𝑥 + 1)2 = 0, 1 4𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = − . � 1 4 𝑥𝑥 ≠ − ; 4 Коренів немає. Відповідь: 1 1. 1; 𝑥𝑥 ≠ −1; 2. −3; 𝑥𝑥 ≠ ; 2 3. 7; 𝑥𝑥 ≠ ±3; 4. коренів немає. 50.17. Розв’яжіть рівняння:

𝟒𝟒.

𝑥𝑥 + 7 𝑥𝑥 − 4 + = 1; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 2) − (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) = 0; (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 − 14 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 8 − 𝑥𝑥 2 + 4 = 0, �𝑥𝑥 + 2 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 18 = 0, 2 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 18 = 0; � 𝑥𝑥 ≠ ±2; 𝟏𝟏.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −18, 𝑥𝑥2 = −18. 𝑥𝑥1 = −6, 𝑥𝑥2 = 3, Отже, � 𝑥𝑥 ≠ ±2.

3𝑥𝑥 + 3 2𝑥𝑥 − 6 + = 2; 3𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 − 2 (3𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 − 2) + (2𝑥𝑥 − 6)(3𝑥𝑥 + 2) − 2(3𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 − 2) = 0; (3𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 − 2) 9𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 6 + 6𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 18𝑥𝑥 − 12 − 18𝑥𝑥 2 + 8 = 0, �3𝑥𝑥 + 2 ≠ 0, 3𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; −3𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 − 10 = 0, ⎧ ⎪𝑥𝑥 ≠ − 2 , 3 ⎨ 2 ⎪𝑥𝑥 ≠ ; ⎩ 3 3𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 + 10 = 0; D = 112 − 4 · 3 · 10 = 121 − 120 = 1; D > 0; −11 + 1 −10 5 −11 − 1 𝑥𝑥1 = = = − ; 𝑥𝑥2 = = −2. 6 6 3 6

la. in.

𝟐𝟐.

2 𝑥𝑥 2 + 15 4 − = ; 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 2 − 25 𝑥𝑥 2 + 15 4(𝑥𝑥 + 5) − 2(𝑥𝑥 − 5) = ; (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) 4𝑥𝑥 + 20 − 2𝑥𝑥 + 10 = 𝑥𝑥 2 + 15, �𝑥𝑥 − 5 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 5 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15 = 0, 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15 = 0. �𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ −5; За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥 = 5, звідки 1 � 1 𝑥𝑥2 = −3. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −15, 𝑥𝑥1 = 5, Отже, �𝑥𝑥2 = −3, Корінь рівняння: 𝑥𝑥 = −3. 𝑥𝑥 ≠ ±5.

2𝑥𝑥 + 2 18 𝑥𝑥 + 6 − 2 = ; 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 9 𝑥𝑥 + 3 18 𝑥𝑥 + 6 2𝑥𝑥 + 2 − − = 0; 𝑥𝑥 − 3 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 + 3 (2𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) − 18 − (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 3) = 0; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 6 − 18 − 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 18 = 0, �𝑥𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 𝟒𝟒.

 shkola.in.ua

la. in.

𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0, 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0. �𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −3; За теоремою Вієта маемо: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −5, звідки 1 � 1 𝑥𝑥2 = −2. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 6, 𝑥𝑥1 = −3, Отже, �𝑥𝑥2 = −2, Корінь рівняння: 𝑥𝑥 = −2. 𝑥𝑥 ≠ ±3. Відповідь: 1. −6; 3; 𝑥𝑥 ≠ ±2; 2 2 2. −1 ; −2; 𝑥𝑥 ≠ ± ; 3 3 3. −3; 𝑥𝑥 ≠ ±5; 4. −2; 𝑥𝑥 ≠ ±3.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

50.18. Розв’яжіть рівняння:

3𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 − 6 + = 3; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 1 (3𝑥𝑥 + 9)(𝑥𝑥 − 1) + (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 1) − 3(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1) 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 9 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 − 6 − 3𝑥𝑥 2 + 3 = 0, �𝑥𝑥 + 1 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12 = 0, �𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12 = 0 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, За теоремою Вієта маємо: � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −12. 𝑥𝑥1 = −4, Отже, 𝑥𝑥2 = 3. 𝑥𝑥1 = −4, Звідки �𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 ≠ ±1. Відповідь: −4; 3; 𝑥𝑥 ≠ ±1. 𝟏𝟏.

10 𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 + 8 + 2 = ; 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 − 25 𝑥𝑥 − 5 10 𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 + 8 + = ; 𝑥𝑥 + 5 (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 − 5 (2𝑥𝑥 + 8)(𝑥𝑥 − 5) + 10 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 5) = ; (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 5) (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 5) 2𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 − 40 + 10 = 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 20, �𝑥𝑥 − 5 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 5 ≠ 0;

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0, 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0. �𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ −5; За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 = 5, Звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −10. 𝑥𝑥2 = −2. 𝑥𝑥1 = 5, 𝑥𝑥 = −2, Отже, � 2 𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ −5. Корінь рівняння 𝑥𝑥 = −2. Відповідь: 𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 ≠ ±5. 50.19. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

𝑥𝑥 + 1 5 2𝑥𝑥 − 3 − = ; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 5 2𝑥𝑥 − 3 − = ; (𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 3) − (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2) 5(𝑥𝑥 + 2)2 = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)2 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 = 5𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 + 20, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0; 4𝑥𝑥 2 + 26𝑥𝑥 + 22 = 0; � 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −2; 4𝑥𝑥 2 + 26𝑥𝑥 + 22 = 0 ∣: 2; 2𝑥𝑥 2 + 13𝑥𝑥 + 11 = 0; 𝐷𝐷 = 132 − 4 · 2 · 11 = 169 − 88 = 81 = 92 ; 𝐷𝐷 > 0; −13 + 9 −4 = = −1; 𝑥𝑥1 = 4 4 −13 − 9 −22 −11 𝑥𝑥2 = = = − 5,5. 4 4 2 Відповідь: − 1; −5,5; 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −2. 𝟏𝟏.

6 4 1 − = ; 𝑥𝑥 2 − 9 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 − 3 4 1 6 − = ; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 3)2 𝑥𝑥 − 3

𝟐𝟐.

(𝑥𝑥 + 3)2 6(𝑥𝑥 + 3) − 4(𝑥𝑥 − 3) = ; (𝑥𝑥 + 3)2 (𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 + 3)2 (𝑥𝑥 − 3) 6𝑥𝑥 + 18 − 4𝑥𝑥 + 12 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9, �𝑥𝑥 + 3 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 21 = 0, �𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ 3;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3 𝑥𝑥 + 12 6 − = ; 𝑥𝑥 2 − 36 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 + 12 6 − = ; (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 6) 6𝑥𝑥 − 3(𝑥𝑥 − 6) (𝑥𝑥 + 12)(𝑥𝑥 + 6) = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6) 6𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 18 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 + 72, 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 − 6 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 6 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 + 54 = 0, 𝑥𝑥1 = 9, 𝑥𝑥2 = −6, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, � � 𝑥𝑥 ≠ 6, 𝑥𝑥 ≠ 6, 𝑥𝑥 ≠ −6; 𝑥𝑥 ≠ −6; 2 𝑥𝑥 + 15𝑥𝑥 + 54 = 0. За теоремою Вієта: 𝑥𝑥 = −9, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −15, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥2 = −6. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 54 Отже, корінь рівняння 𝑥𝑥 = −9. Відповідь: −9; 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ ±6.

𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 21 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −7, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −4, звідки 1 � 1 𝑥𝑥2 = 3. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −21, 𝑥𝑥1 = −7, Отже, �𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −3. Корінь рівняння 𝑥𝑥 = −7. Відповідь: –7 .

la. in.

𝟑𝟑.

3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4 3𝑥𝑥 2 𝟒𝟒. + = . 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3

Врахуємо, що 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1). За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥2 = −1. Тобто: 3𝑥𝑥 2 + 1 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4 + = ; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 3 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) 3𝑥𝑥 2 + 1 (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) + (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 1) = ; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 6 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 4 = 3𝑥𝑥 2 + 1, �𝑥𝑥 + 1 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0, �𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 3;  shkola.in.ua

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 2, 𝑥𝑥1 = 3, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥2 = −1 Не задовольняють умові. Відповідь: розв'язків немає. 50.20. Розв’яжіть рівняння: 21 14 5 − = ; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 14 5 21 − − = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 21(𝑥𝑥 + 2) − 14(𝑥𝑥 − 2) − 5(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 21𝑥𝑥 + 42 − 14𝑥𝑥 + 28 − 5𝑥𝑥 2 + 20 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ −2; −5𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 90 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ −2;

la. in.

𝟏𝟏.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

5𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 − 90 = 0; D = (−7)2 − 4 · 5 · (−90) = 49 + 1800 = 1849 = 432 ; D > 0;

𝑥𝑥1 =

𝑥𝑥2 =

7 + 43 50 = = 5; 2⋅5 10

7 − 43 −36 = = −3,6. 2⋅5 10

Відповідь: −3,6; 5; 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ ±2.

4 1 3 + + = 0; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 + 2 4 1 3 + + = 0; (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 2 3(𝑥𝑥 + 2) + 4(𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 2)2 = 0; (𝑥𝑥 − 2)2 (𝑥𝑥 + 2) 3𝑥𝑥 + 6 + 4𝑥𝑥 − 8 + 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0, �𝑥𝑥 − 2 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −2, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥2 = −1

𝟐𝟐.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥1 = −2 – не задовольняє умові. Відповідь: −1; 𝑥𝑥 ≠ ±2.

5 𝑥𝑥 + 20 10 + = ; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 100 𝑥𝑥 + 20 10 5 + = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) (𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 + 10) 5(𝑥𝑥 − 10) + (𝑥𝑥 + 20)(𝑥𝑥 + 10) 10𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 − 10) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 + 10) 10𝑥𝑥 5𝑥𝑥 − 50 + 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 + 200 = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10)(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 − 10) 𝑥𝑥 2 + 35𝑥𝑥 + 150 = 0, 2 𝑥𝑥 + 25𝑥𝑥 + 150 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 + 10 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 10, 𝑥𝑥 ≠ −10; 𝑥𝑥 − 10 ≠ 0; 𝑥𝑥 2 + 25𝑥𝑥 + 150 = 0. За теоремою Вієта: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −25, 𝑥𝑥 = −15, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥2 = −10; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 150 𝑥𝑥2 = −10 – не задовольняє умові. Корінь рівняння 𝑥𝑥 = −15. Відповідь: −15; 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ ±10.

la. in.

𝟑𝟑.

5 2𝑥𝑥 + 7 𝑥𝑥 − 2 − = 2 . 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 4 Врахуємо, що: 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1). 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3, ⇔ 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −4 𝑥𝑥2 = 1. Маємо: 5 2𝑥𝑥 + 7 𝑥𝑥 − 2 − = ; 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 − 1 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1) (2𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 1) − (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 4) 5 = ; (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1) 5 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 − 7 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 8 = ; (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 5, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 5, �𝑥𝑥 ≠ −4, �𝑥𝑥 + 4 ≠ 0, 𝑥𝑥 − 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 1 � – не є розв'язками рівняння. 𝑥𝑥2 = 1 Коренів немає. Відповідь: коренів немає. 𝟒𝟒.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

50.21. Для якого значення x: 6 𝑥𝑥 1) сума дробів і дорівнює їх добутку; 𝑥𝑥 – 3

𝑥𝑥 + 2 6 𝑥𝑥 + 3

дорівнює їх частці?

la. in.

𝑥𝑥 6 𝑥𝑥 6 + = ⋅ ; 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 6(𝑥𝑥 + 2) + 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥) 6𝑥𝑥 = ; (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) 6𝑥𝑥 6𝑥𝑥 + 12 + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 = ; (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) 6𝑥𝑥 −𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 12 = ; (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) (1 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 2) −𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 12 = 6𝑥𝑥, −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 12 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 1, �1 − 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −2; 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 12 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, 𝑥𝑥1 = 4, ⇒ � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −12 𝑥𝑥2 = −3. Відповідь: 4; −3; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −2. 𝟏𝟏.

2) сума дробів

1 – 𝑥𝑥 2

2 6 2 6 + = : ; 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3 2(𝑥𝑥 + 3) 2(𝑥𝑥 + 3) + 6(𝑥𝑥 − 3) = ; (𝑥𝑥 − 3) ⋅ 6 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 3) 2𝑥𝑥 + 6 + 6𝑥𝑥 − 18 = ; 3(𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 8𝑥𝑥 − 12 (𝑥𝑥 + 3) = ; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 3(𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 + 3) 4(2𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 + 3 4(2𝑥𝑥 − 3) = ; = ; 𝑥𝑥 + 3 3 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 3(𝑥𝑥 − 3) 12(2𝑥𝑥 − 3) = (𝑥𝑥 + 3)2 , � 𝑥𝑥 ≠ ±3; 24𝑥𝑥 − 36 = 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9; 𝑥𝑥 2 − 18𝑥𝑥 + 45 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 18, 𝑥𝑥1 = 15, � � 1 𝑥𝑥2 = 3; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 45; 𝑥𝑥 = 3 – не задовольняє умові. Відповідь: 15; 𝑥𝑥 ≠ 3. 50.22. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

𝟐𝟐.

1. 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 18 = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 2) − 9(𝑥𝑥 − 2) = 0; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 − 9) = 0; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 − 2 = 0, 𝑥𝑥1 = 2, �𝑥𝑥 − 3 = 0, �𝑥𝑥2 = 3, 𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥3 = −3;

2. −

2√3 2 √3 ; −1; . 3 3

la. in.

2. 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 4 = 0; 3𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 1) − 4(𝑥𝑥 + 1) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(3𝑥𝑥 2 − 4) = 0; (𝑥𝑥 + 2)�√3𝑥𝑥 − 2��√3𝑥𝑥 + 2� = 0; 𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥1 = −1, ⎧ ⎧ ⎧ 2 √3 ⎪𝑥𝑥 + 1 = 0, ⎪𝑥𝑥 = 2 , ⎪ 2 𝑥𝑥2 = , √3𝑥𝑥 − 2 = 0, √3 ; 3 ⎨ ⎨ 2 ⎨ ⎪√3𝑥𝑥 + 2 = 0; ⎪𝑥𝑥3 = − ; ⎪𝑥𝑥3 = − 2√3 . ⎩ ⎩ √3 ⎩ 3 Відповідь: 1. −3; 2; 3;

50.23. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1. 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1) − 4(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 4) = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0 aбо 𝑥𝑥 2 − 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 1. 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥3 = −2.

2. 4𝑥𝑥 3 + 8𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 6 = 0; 4𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 2) − 3(𝑥𝑥 + 2) = 0; (𝑥𝑥 + 2)(4𝑥𝑥 2 − 3) = 0; 𝑥𝑥 + 2 = 0 або 4𝑥𝑥 2 − 3 = 0; 3 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥1 = −2. 4 √3 𝑥𝑥2,3 = ± . 2

Відповідь: 1. 1; 2; −2; 2. −2; ± 50.24. Розв’яжіть рівняння:

√3 2

1. (𝑥𝑥 2 + 3)2 − 3(𝑥𝑥 2 + 3) − 4 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 + 3 = 𝑡𝑡. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 3𝑡𝑡 − 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡1 = 4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 3, звідки �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −4; 𝑡𝑡2 = −1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 2 = 1, 2 𝑥𝑥 2 + 3 = 4, ⇔� 2 𝑥𝑥 = 1; � 1 � 2 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥 = −4; 𝑥𝑥 + 3 = −1 2 𝑥𝑥 = −4 – коренів немає.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑡𝑡 = −4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −2, Звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −8. 𝑡𝑡2 = 2. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = −4, 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 4 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 4 = 0; D = 1 − 4 · 4 = −15; D < 0; коренів немає; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, 𝑥𝑥1 = 2, � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −2; 𝑥𝑥2 = −1. Відповідь: 1) ±1; 2) 2; –1.

2. (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥)2 + 2(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥) − 8 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 8 = 0. За теоремою Вієта маємо:

50.25. Розв’яжіть рівняння:

1. (𝑥𝑥 2 + 2)2 − 2(𝑥𝑥 2 + 2) − 3 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 + 2 = 𝑡𝑡. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 3 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 3, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, ⇔ 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −3 𝑡𝑡2 = −1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 1, 𝑥𝑥 2 + 2 = 3, ⇔� 2 � 2 𝑥𝑥 = −3; 𝑥𝑥 + 2 = −1 2 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥 2 = −3 − коренів не має.

2. (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥)2 − 5(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) − 6 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 − 6 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 6, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 5, Звідки 1 �1 𝑡𝑡2 = −1. 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −6. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 6, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0, � 2 � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, 𝑥𝑥1 = −3, ⇒ 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −6 𝑥𝑥2 = 2; 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 1 − 4 · 1 = −3; D < 0; коренів немає. Відповідь: 1. ±1; 2. − 3; 2

50.26. Знайдіть корені рівняння:

𝟏𝟏.

1 1 1 − = . 2(𝑥𝑥 2 + 3) 3(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 12  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1 32 + 2 = 3 . 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2

la. in.

𝟐𝟐.

Врахуємо, що 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 12 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 4) + 3(𝑥𝑥 + 4) = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 2 + 3). Маємо: 1 1 1 − = ; 2(𝑥𝑥 2 + 3) 3(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 2 + 3) 6 3(𝑥𝑥 + 4) − 2(𝑥𝑥 2 + 3) = ; 6(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 2 + 3) 6(𝑥𝑥 2 + 3)(𝑥𝑥 + 4) 3𝑥𝑥 + 12 − 2𝑥𝑥 2 − 6 = 6, 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0, �𝑥𝑥 2 + 3 ≠ 0, �𝑥𝑥 2 ≠ −3, 𝑥𝑥 + 4 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −4; 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 − 3) = 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 1,5; 𝑥𝑥 ≠ −4. Відповідь: 1) 0; 1,5; 𝑥𝑥 ≠ −4.

Врахуємо, що 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥1 = −2, ⇒ � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 2 𝑥𝑥2 = −1. 2 Тобто 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2 = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1); 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 2) − (𝑥𝑥 + 2) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 1) = (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1). Маємо: 1 32 1 + = ; 𝑥𝑥 − 1 (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 − 1) 32 = ; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2 + 𝑥𝑥 − 1 = 32, 𝑥𝑥 − 1 ≠ 0, � 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0, 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 2 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 31 = 0, �x ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 31 = 0; D = 42 − 4 · (−31) = 16 + 124 = 140; D > 0; −4 ± √140 −4 ± 2√35 = = −2 ± √35. 𝑥𝑥1,2 = 2 2 Відповідь: 2. −2 ± √35.

50.27. Розв’яжіть рівняння:

14 1 1 − 3 = . 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 Спростимо знаменник другого і третього дробу, тобто: 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 9 = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1) − 9(𝑥𝑥 − 1) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 9) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3) · (𝑥𝑥 + 3); 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1). Маємо:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥1,2 =

−1±√57 2

−1±√57

Відповідь: . 2 50.28. Розв’яжіть рівняння:

la. in.

1. 𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 5 = 0; (𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 4 ) − (6𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 ) + (5𝑥𝑥 + 5) = 0; 𝑥𝑥 4 (𝑥𝑥 + 1) − 6𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 1) + 5(𝑥𝑥 + 1) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 2 + 5) = 0; 𝑥𝑥 = −1, 𝑥𝑥 + 1 = 0, � 4 � 4 2 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 5 = 0; 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 + 5 = 0; 𝑥𝑥 4 − 6𝑥𝑥 2 + 5 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑡𝑡 2 − 6𝑡𝑡 + 5 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 6, 𝑡𝑡 = 5, звідки 1 �1 𝑡𝑡2 = 1. 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 5, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 5, 𝑥𝑥1,2 = ±√5, � 2 � 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥3,4 = ±1. Відповідь: ±√5; ±1.

14 1 1 − = ; 𝑥𝑥 − 3 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) − 14 𝑥𝑥 − 3 = ; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 3 − 14 = 𝑥𝑥 − 3, �𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −3; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 14 = 0; D = 1 + 4 · 14 = 57; D > 0;

2. 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1 = 0 (𝑥𝑥 3 − 1) + (2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) + 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 + 2𝑥𝑥) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0, 𝑥𝑥 = 1, � 2 � 2 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 32 − 4 · 1 = 9 − 4 = 5; D > 0; −3 + √5 −3 − √5 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = . 2 2 𝑥𝑥1 = 1, Отже, � −3 ± √5 𝑥𝑥2,3 = . 2 −3±√5 Відповідь: 1; 2

50.29. Знайдіть корені рівняння:

 shkola.in.ua

la. in.

1. 𝑥𝑥 5 − 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 4 (𝑥𝑥 − 1) − 2𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1) − 3(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 3) = 0; 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 − 1 = 0, ⇔� 4 � 4 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 − 3 = 0; 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 3 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 3, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −3, 𝑡𝑡2 = −1, 𝑡𝑡1 = −1 – не задовольняє умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 = 3; 𝑥𝑥 = ±√3. 𝑥𝑥 = 1, Отже, � 𝑥𝑥 = ±√3. Відповідь: 1; ±√3.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8 = 0; (𝑥𝑥 3 + 8) − 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 0; (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4) − 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 0; (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 − 3𝑥𝑥) = 0; 𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥 = −2; � 2 � 2 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 5, звідки 1 � 1 𝑥𝑥2 = 1. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 4, 𝑥𝑥1 = −2, Отже, �𝑥𝑥2 = 4, 𝑥𝑥3 = 1. Відповідь: –2; 1; 4. 50.30. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 − 6 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 6 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 3, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 1, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −6, 𝑡𝑡2 = −2; 𝑡𝑡 = −2 – не задовольняє умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. Обернена заміна: √𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 9.

2. (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 4) = 8. Заміна: 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2 = 𝑡𝑡. Маємо: 𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 2) = 8; 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 8 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −8, 𝑡𝑡2 = −2.

 shkola.in.ua

Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 2 = 4, 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 6 = 0, � � 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 2 = −2; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝐷𝐷 = 1 + 6 = 7; 𝑥𝑥1 = −1 + √7; 𝑥𝑥2 = −1 − √7; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 0; 𝑥𝑥1 = 0 або 𝑥𝑥2 = −2. Відповідь: 1. 9; 2. –1 ± √7; −2; 0.

la. in.

3. (𝑥𝑥 − 2)4 − 2(𝑥𝑥 − 2)2 − 3 = 0. Заміна: (𝑥𝑥 − 2)2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 3 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 3, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −3, 𝑡𝑡2 = −1, 𝑡𝑡2 = −1 − не задовольняє умові, t ≥ 0. Обернена заміна: (𝑥𝑥 − 2)2 = 3, тобто 𝑥𝑥 − 2 = √3, 𝑥𝑥 = 2 + √3, � � 𝑥𝑥 − 2 = −√3; 𝑥𝑥 = 2 − √3;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟒𝟒. (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1)2 − 8𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 1 = 0; (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1)2 − 8(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) + 8 − 1 = 0; (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1)2 − 8(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) + 7 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 8𝑡𝑡 + 7 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 7, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 8, звідки 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = 7, 𝑡𝑡2 = 1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 = 7, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0, � � 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 = 1; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −1, звідки 1 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = 2, 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −1. Відповідь: 3. 2 ± √3; 4. −3; −1; 0; 2.

50.31. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 − 8 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 8 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = −4, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = −2, звідки: 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −8, 𝑡𝑡2 = 2; 𝑡𝑡 = −4 – не задовольняє умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. Обернена заміна: √𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 4.

2. (𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3) = 3. Заміна: 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 2, 𝑡𝑡 = 3, звідки: 1 �1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −3, 𝑡𝑡2 = −1. Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 1 = 3, 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1 = −1; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝐷𝐷 = 1 + 4 = 5; 𝐷𝐷 > 0; 𝑥𝑥1 = 1 + √5; 𝑥𝑥2 = 1 − √5; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 = 0; x(𝑥𝑥 − 2) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: 1. 4; 2. 1 ± √5; 0; 2.

la. in.

3. (𝑥𝑥 + 1)2 − 4(𝑥𝑥 + 1)2 = 0. Заміна: (𝑥𝑥 + 1)2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 − 6 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑡𝑡 = 6, 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 5, звідки: 1 �1 𝑡𝑡2 = −1. 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −6, 𝑡𝑡 = −1 – не задовольняє умові, 𝑡𝑡 ≥ 0. Обернена заміна: (𝑥𝑥 + 1)2 = 6; 𝑥𝑥 = √6 − 1, � 𝑥𝑥 + 1 = √6 ; � 1 𝑥𝑥 + 1 = −√6 𝑥𝑥2 = −√6 − 1. Відповідь: √6 − 1; −√6 − 1.

Маємо: 𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 2) = 3; 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 3 = 0. За теоремою Вієта маємо:

4. (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1)2 − 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 1 = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1)2 − 4(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1) − 4 − 1 = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1)2 − 4(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1) − 5 = 0. Заміна: 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. Маємо: 𝑡𝑡 2 − 4𝑡𝑡 − 5 = 0. За теоремою Вієта маємо:

𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2 = 4, 𝑡𝑡 = 5 звідки: 1 �1 𝑡𝑡2 = −1 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 = −5, Обернена заміна: 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 = 5, 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0, � 2 � 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1 = −1; 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0; 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 6 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 1, 𝑥𝑥 = 3, звідки 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −6; 𝑥𝑥2 = −2; 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: −2; 3; 1; 0.

50.32. Корені квадратного тричлена 3x2 + bx + c дорівнюють –7 і . 3 Розкладіть цей квадратний тричлен на множники.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 2

la. in.

Враховуючи, що корені квадратного тричлена 3𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 дорівнюють 𝑥𝑥1 = −7 і 𝑥𝑥2 = , 3 знайдемо 𝑏𝑏 і 𝑐𝑐. Маємо: 3 ⋅ (−7)2 + 𝑏𝑏 ⋅ (−7) + 𝑐𝑐 = 0, � 2 2 2 3 ⋅ � � + 𝑏𝑏 ⋅ + 𝑐𝑐 = 0; 3 3 −7𝑏𝑏 + 147 + 𝑐𝑐 = 0, 𝑐𝑐 = 7𝑏𝑏 − 147, �4 2 � 4 2 3 ⋅ + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0; + 𝑏𝑏 + 7𝑏𝑏 − 147 = 0; 9 3 3 3 4 + 2𝑏𝑏 + 21𝑏𝑏 − 441 = 0; 23𝑏𝑏 = 437; 𝑏𝑏 = 437: 23; 𝑏𝑏 = 19. То 𝑐𝑐 = 7 · 19 − 147 = 133 − 147 = −14. Маємо квадратний тричлен: 2 3𝑥𝑥 2 + 19𝑥𝑥 − 14 = 3(𝑥𝑥 + 7) �𝑥𝑥 − � . 3 2 Відповідь: 3(𝑥𝑥 + 7) �𝑥𝑥 − �. 3 50.33. Сума двох чисел дорівнює 27, а сума їх квадратів дорівнює 369. Знайдіть ці числа.

Нехай ці числа 𝑥𝑥 і 𝑦𝑦, за умовою їх сума дорівнює 27 , маємо рівняння: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 27. А сума їх квадратів, тобто 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 , дорівнює 369. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 27, Маємо систему: � 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 = 369. 𝑥𝑥 = 27 − 𝑦𝑦, Розв'яжемо систему: � (27 − 𝑦𝑦)2 + 𝑦𝑦 2 = 369; 729 − 54𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 2 = 369; 2𝑦𝑦 2 − 54𝑦𝑦 + 729 − 369 = 0; 2𝑦𝑦 2 − 54𝑦𝑦 + 360 = 0 ∣: 2; 𝑦𝑦 2 − 27𝑦𝑦 + 180 = 0. За теоремою Вієта маємо: 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 = 27, 𝑦𝑦 = 15, звідки 1 � 1 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 = 180, 𝑦𝑦2 = 12. Тобто 𝑥𝑥1 = 27 − 15 = 12; 𝑥𝑥2 = 27 − 12 = 15. Відповідь: (15; 12) або (12; 15). 50.34. Спростіть вираз

9𝑥𝑥 2 − 4 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 ⋅ 2 − = 3𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 2 1 − 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−5)2 − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9 = 32 ; D > 0; 5+3 5−3 1 𝑥𝑥1 = = 2; 𝑥𝑥2 = = ; 4 4 2 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 (3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2) ⋅ − = + = 3𝑥𝑥 + 2 2 �𝑥𝑥 − 1� (𝑥𝑥 − 2) 1 − 2𝑥𝑥 (3𝑥𝑥 + 2)(2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 2𝑥𝑥 − 1 2 3𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 − 2 + 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 2 2(2𝑥𝑥 − 1) = + = = = = 2. 2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 − 1 2𝑥𝑥 − 1 (2𝑥𝑥 − 1) Відповідь: 2. 50.35. З двох райцентрів, відстань між якими 84 км, одночасно назустріч одна одній

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

виїхали дві велосипедистки. Знайдіть швидкість кожної з них, якщо вони зустрілися через 3 год і швидкість однієї була на 4 км/год більшою за швидкість іншої.

Нехай швидкість другого велосипедиста 𝑥𝑥 км/год, тоді першого велосипедиста (𝑥𝑥 + 4) км/год. Враховуючи, що вони зустрілися через 3 год, то перший проїхав ( 3𝑥𝑥 ) км, а другий – 3(𝑥𝑥 + 4) км. Відстань між райцентрами 84 км. Маємо рівняння: 3𝑥𝑥 + 3(𝑥𝑥 + 4) = 84; 3𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 12 = 84; 6𝑥𝑥 = 72; 𝑥𝑥 = 72: 6; 𝑥𝑥 = 12. Тобто швидкість другого велосипедиста 12 км/год, а першого 16 км/год. Відповідь: 12 км/год; 16 км/год.

Дано:

la. in.

50.36. Заробітна плата менеджера супермаркету електроніки в 2024 році становила 18 000 грн щомісяця, з якої утримували 18 % податку на доходи фізичних осіб та 1,5 % військового збору. На початку року менеджер вирішив щомісяця відкладати 10 % від отриманих після утримання податків коштів на придбання ноутбука, роздрібна ціна якого в супермаркеті, де він працює, становить 13 500 грн. Через який час він придбає ноутбук, якщо супермаркет своїм співробітникам надає знижку 15 % від роздрібної ціни? Зарплата: 18000 грн

Податки: 18% + 1,5% Відкладає: 10%

Ціна ноутбука: 13500 грн Знижка: 15% Розв’язання:

1) 18% + 1,5% = 19,5% = 0,195

2) 18000 ⋅ 0,195 = 3510 грн — податок

3) 18000 − 3510 = 14490 грн — зарплата «на руки»

4) 14490 ⋅ 0,1 = 1449 грн — відкладає щомісяця 5) 13500 ⋅ 0,15 = 2025 грн — знижка

6) 13500 − 2025 = 11475 грн — ціна ноутбука 7) 11475 ∶ 1449 ≈ 7,92 ≈ 8 міс.

Відповідь: менеджер придбає ноутбук через 8 місяців. 𝑦𝑦 – 𝑥𝑥

50.37. (Зовнішнє незалежне оцінювання з математики, 2014 р.) Відомо, що = , де 0 2𝑥𝑥 4 < x < y. У скільки разів число y більше за число x?

Відомо, що

𝑦𝑦−𝑥𝑥 2𝑥𝑥

= ⋅ 2, де 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦. 4

То маємо: 3 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 = ; −1= ; 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑦𝑦 5 𝑦𝑦 3 = + 1; = . 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 Тобто 𝑦𝑦 більше 𝑥𝑥 в 2,5 рази. Відповідь: 2,5 рази.

§ 51. Розв’язування задач за допомогою дробових раціональних рівнянь 51.1. Одне з натуральних чисел на 2 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщо сума 5 обернених їм чисел дорівнює . 12

la. in.

Нехай 𝑥𝑥 – перше натуральне число, тоді (𝑥𝑥 + 2) – друге натуральне число. 1 5 𝑥𝑥 + 2 + 𝑥𝑥 5 1 + = ; = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 12 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) 12 5𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) = 12(2𝑥𝑥 + 2), � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2; 2 5𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 = 24𝑥𝑥 + 24; 5𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 24𝑥𝑥 − 24 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 − 24 = 0; D = (−14)2 = 4 · 5 · (−24) = 196 + 480 = 676 = 262 ; 14 + 26 40 14 − 26 = = 4; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 10 10 10 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 2 = 4 + 2 = 6. Відповідь: 4 і 6.

51.2. Сума двох натуральних чисел дорівнює 20, а сума чисел, їм обернених, становить 5 . Знайдіть ці числа. 24

Нехай 𝑥𝑥 – перше натуральне число, тоді ( 20 − 𝑥𝑥 ) – друге натуральне число. 1 5 20 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 5 1 + = ; = ; 𝑥𝑥 20 − 𝑥𝑥 24 𝑥𝑥(20 − 𝑥𝑥) 24 20 5 5𝑥𝑥(20 − 𝑥𝑥) = 20 ⋅ 24, = ;� 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥(20 − 𝑥𝑥) 24 𝑥𝑥 ≠ 20; 2 𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥 + 96 = 0; D = (−20)2 − 4 · 1 · 96 = 400 − 384 = 16; 20 + 4 24 20 − 4 16 = = 12; 𝑥𝑥2 = = = 8; 𝑥𝑥1 = 2 2 2 2 20 − 𝑥𝑥 = 20 − 18 = 8 або 20 − 𝑥𝑥 = 20 − 8 = 12. Відповідь: 12 і 8.

51.3. Чисельник звичайного нескоротного дробу на 1 менший від знаменника. Якщо від 1 чисельника відняти 7, а від знаменника відняти 5, то дріб зменшиться на . Знайдіть цей 2 дріб.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 𝑥𝑥−1

– даний звичайний нескоротний дріб. 𝑥𝑥 − 1 − 7 1 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 8 𝑥𝑥 − 1 1 + = ; − + = 0; 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 8) − 2(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 1) + 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 0; 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 2𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 − 2(𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 5) + 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0; 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 2𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 10 + 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 0; 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 10 = 0; 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 10 = 0, 𝑥𝑥 = 10 або 𝑥𝑥 = 1, �𝑥𝑥 ≠ 0, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 5; 𝑥𝑥 ≠ 5; 𝑥𝑥 = 1 – умові задачі не задовольняє. Отже, 𝑥𝑥 = 10, 𝑥𝑥 − 1 = 9. 9 Відповідь: .

la. in.

𝑥𝑥

51.4. Знаменник звичайного нескоротного дробу на 5 більший за чисельник. Якщо 1 знаменник збільшити на 6, а чисельник збільшити на 4, то дріб збільшиться на . 4 Знайдіть цей дріб. 𝑥𝑥

– даний звичайний нескоротний дріб, тоді Нехай 𝑥𝑥+5 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 + 4 = + ; − − = 0; 𝑥𝑥 + 5 + 6 𝑥𝑥 + 5 4 𝑥𝑥 + 11 𝑥𝑥 + 5 4 4(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5) − 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 11) − (𝑥𝑥 2 + 11)(𝑥𝑥 + 5) = 0; 4(𝑥𝑥 + 11)(𝑥𝑥 + 5) 4(𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 + 20) − 4𝑥𝑥 2 − 44𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 2 + 16𝑥𝑥 + 55) = 0; 4(𝑥𝑥 + 11)(𝑥𝑥 + 5) 4𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 + 80 − 4𝑥𝑥 2 − 44𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 16𝑥𝑥 − 55 = 0; 4(𝑥𝑥 + 11)(𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 − 25 = 0, −𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 + 25 = 0; � 𝑥𝑥 ≠ −11, 4(𝑥𝑥 + 11)(𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 ≠ −5; 2 S = 24 − 4 · 1 · (−25) = 576 + 100 = 676; −24 + 26 2 −24 − 26 𝑥𝑥1 = = = 1; 𝑥𝑥2 = = −25. 2 2 2 𝑥𝑥 − 25 умові задачі не задовольняє. Отже, 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 + 5 = 1 + 5 = 6. 1

Відповідь: . 6

51.5. З міста в село, відстань між якими 48 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з них була на 4 км/год більшою за швидкість другого, і тому він прибув у село на 1 год раніше від другого. Знайдіть швидкість кожного з велосипедистів.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

ІІ велосипедист

𝑥𝑥 + 4

48 𝑥𝑥 + 4 48 𝑥𝑥

la. in.

48 48 48 1 48 − = 1; − − = 0; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 48(𝑥𝑥 + 4) − 48𝑥𝑥 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 48𝑥𝑥 + 192 − 48𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 192 = 0, −𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 192 = 0; �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 ≠ −4; 2 D = 4 − 4 · 1 · (−192) = 16 + 768 = 784; −4 + √784 −4 + 28 24 𝑥𝑥1 = = = = 12; 2 2 2

𝑡𝑡, год

І велосипедист

𝑣𝑣, км / год

−4 − 28 < 0. 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 + 4 = 12 + 4 = 16. Відповідь: 12 км/год; 16 км/год.

𝑥𝑥2 =

51.6. З міста A в місто B, відстань між якими 420 км, одночасно виїхали два легковики. Швидкість одного з них на 10 км/год більша за швидкість другого, і тому він прибув у місто B на 1 год раніше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного з легковиків.

I легковик

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

420

𝑥𝑥 + 10

II легковик

𝑣𝑣, км / год

420

𝑡𝑡, год

420 𝑥𝑥 + 10 420 𝑥𝑥

420 420 420 420(𝑥𝑥 + 10) − 420𝑥𝑥 1 420 (на1); > − = 1; = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 1 𝑥𝑥 4200 1 420𝑥𝑥 + 4200 − 420𝑥𝑥 1 = ; = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 4200, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −10; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + 4200 = 0.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

D = 102 − 4 · 1 · (−4200) = 100 + 16800 = 16900; −10 + 130 120 𝑥𝑥1 = = = 60; 2 2 −10 − 130 𝑥𝑥2 = <0 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 + 10 = 60 + 10 = 70. Відповідь: 60 км/год; 70 км/год.

51.7. Щоб ліквідувати запізнення на 40 хв, поїзд на перегоні 300 км завдовжки збільшив швидкість на 5 км/год порівняно зі швидкістю за розкладом. Якою є швидкість поїзда за розкладом? 𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 + 5

300

𝑡𝑡, год

la. in.

За розкладом

𝑣𝑣, км / год 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

Фактично

300

300 𝑥𝑥

300 𝑥𝑥 + 5

40 2 40xв = год = год; 60 3 2 300 300 > �на � ; 3 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 300 300 2 300(𝑥𝑥 + 5) − 300𝑥𝑥 2 − = ; = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 5 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) 3 2 300𝑥𝑥 + 1500 − 300𝑥𝑥 2 1500 = ; = ; 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 4500, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −5; 2𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 4500 = 0; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2250 = 0; D = 52 − 4 · 1 · (−2250) = 25 + 9000 = 9025; −5 + 95 90 −5 − 95 𝑥𝑥1 = = = 45; 𝑥𝑥2 = <0 2 3 2 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 45 км/год. 5 51.8. Автомобіль мав проїхати 810 км. Подолавши шляху, він зробив зупинку на 30 хв. 9 Але потім, збільшивши швидкість на 10 км/год, прибув до пункту призначення вчасно. Якою була швидкість автомобіля до зупинки? 5

𝟏𝟏. від 810 = ⋅ 810 = 9 9 зупинки;

5⋅810 9

= 5 ⋅ 90 = 450 (км) – відстань, яку проїхав автомобіль до

2. 810 − 450 = 360 (км) – залишилося проїхати автомобілю після зупинки. 30 1 30xв = год = год. 60

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Після зупинки За розкладом

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 + 10

360

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

450

810

𝑥𝑥

𝑡𝑡, год 450 𝑥𝑥

360 𝑥𝑥 + 10 810 𝑥𝑥

До зупинки

𝑣𝑣, км / год

la. in.

360 810 450 1 + + = ; 2 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 𝑥𝑥 360 1 360 360 1 810 450 − − = ; − = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 10 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 10 2 𝑥𝑥 360(𝑥𝑥 + 10) − 360𝑥𝑥 1 = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2 3600 1 360𝑥𝑥 + 3600 − 360𝑥𝑥 1 = ; = ; 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 7200, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −10; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 7200 = 0; 𝐷𝐷 = 102 − 4 · 1 · (−7200) = 100 + 28800 = 28900; −10 + 170 160 = = 80; 𝑥𝑥1 = 2 2 −10 − 170 𝑥𝑥2 = <0 2 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 80 км /год. 3 51.9. Поїзд мав проїхати 320 км. Проїхавши шляху, він зупинився на 1 год, а потім 8 продовжив рух зі швидкістю, на 10 км/год меншою за початкову. Знайдіть швидкість поїзда, з якою він рухався до зупинки, якщо до пункту призначення він прибув через 7 год після виїзду. 3

1. від 320 = ⋅ 320 = 8

3⋅320 8

= 3 ⋅ 40 = 120(κм) − проїхав потяг до зупинки;

2. 320 = 120 = 200(км) − залишилося проїхати потягу після зупинки. 𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 − 10

200

𝑣𝑣, км / год

До зупинки

Після зупинки

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

120

𝑡𝑡, год 120 𝑥𝑥

200 𝑥𝑥 − 10

200 120 200 120 +1+ = 7; + = 6; 𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

120(𝑥𝑥 − 10) + 200𝑥𝑥 6 = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) 120𝑥𝑥 − 1200 + 200𝑥𝑥 6 320𝑥𝑥 − 1200 6 = ; = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) 1 6𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) = 320𝑥𝑥 − 1200, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 10; 2 6𝑥𝑥 − 60𝑥𝑥 − 320𝑥𝑥 + 1200 = 0 ∣: 2; 3𝑥𝑥 2 − 190𝑥𝑥 + 600 = 0; D = (−190)2 − 4 · 3 · 600 = 36100 − 7200 = 28900 = 1702 ; 190 + 170 360 = = 60; 𝑥𝑥1 = 2⋅3 6 190 − 170 20 10 1 = = =3 ; 𝑥𝑥2 = 2⋅3 6 3 3 (не задовольняє умові задачі). Відповідь: 60 км/год.

51.10. Човен, власна швидкість якого 18 км/год, проплив 40 км за течією і 16 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії, якщо вона менша від 4 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год, 𝑥𝑥 > 0 – швидкість течії річки. За течією Проти течії

𝑣𝑣, км / год

𝑠𝑠, км

18 − 𝑥𝑥

18 + 𝑥𝑥

𝑡𝑡, год

40 18 + 𝑥𝑥

16 18 − 𝑥𝑥

16 40 + = 3; 18 + 𝑥𝑥 18 − 𝑥𝑥 40(18 − 𝑥𝑥) + 16(18 + 𝑥𝑥) 3 = ; 1 (18 + 𝑥𝑥)(18 − 𝑥𝑥) 720 − 40𝑥𝑥 + 288 + 16𝑥𝑥 3 = ; 1 (18 + 𝑥𝑥)(18 − 𝑥𝑥) 3 1008 − 24𝑥𝑥 = ; (18 + 𝑥𝑥)(18 − 𝑥𝑥) 1 3(324 − 𝑥𝑥 2 ) = 1008 − 24𝑥𝑥; 972 − 3𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 − 1008 = 0, �𝑥𝑥 ≠ −18, 𝑥𝑥 ≠ 18; −3𝑥𝑥 2 + 24𝑥𝑥 − 36 = 0; 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥 = 6 умові задачі не задовольняє, оскільки 6 > 4. Відповідь: 2 км/год.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

За течією Проти течії

𝑣𝑣, км / год

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥 + 2

𝑡𝑡, год 48 𝑥𝑥 + 2 48 𝑥𝑥 − 2

51.11. Відстань між двома пристанями 48 км. На човні шлях туди і назад можна подолати за 7 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнює 2 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год – власна швидкість човна, 𝑥𝑥 > 0

la. in.

48 48(𝑥𝑥 − 2) + 48(𝑥𝑥 + 2) 7 48 + = 7; = ; (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) 1 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 48𝑥𝑥 − 96 + 48𝑥𝑥 + 96 7 96 7 = ; 2 = ; 𝑥𝑥 2 − 4 1 𝑥𝑥 − 4 1 7(𝑥𝑥 2 − 4) = 96𝑥𝑥, �𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 2; 7𝑥𝑥 2 − 96𝑥𝑥 − 28 = 0; D = 962 − 4 · 7 · (−28) = 9216 − 784 = 10000; 96 + 100 196 96 − 100 𝑥𝑥1 = = = 14; 𝑥𝑥2 = <0 14 14 14 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 14 км/год. 51.12. Моторний човен проплив 18 км за течією річки і 28 км проти течії за такий самий час, що й 48 км у стоячій воді. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/год.

Нехай 𝑥𝑥 км/год – власна швидкість човна, 𝑥𝑥 > 0. За течією

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 − 3

𝑥𝑥 + 3

Проти течії

𝑣𝑣, км / год

Озером

𝑥𝑥

𝑡𝑡, год 18 𝑥𝑥 + 3 28 𝑥𝑥 − 3 48 𝑥𝑥

28 48 18 28 48 18 + = ; + − = 0; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 − 3 18𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) + 28𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) − 48(𝑥𝑥 2 − 9) = 0; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) 18𝑥𝑥 2 − 54𝑥𝑥 + 28𝑥𝑥 2 + 84𝑥𝑥 − 48𝑥𝑥 2 + 432 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3)

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

−2𝑥𝑥 2 + 30𝑥𝑥 + 432 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) −2𝑥𝑥 2 + 30𝑥𝑥 + 432 = 0; ∣: (−2) �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 2 − 15𝑥𝑥 − 216 = 0; D = (−15)2 − 4 · (−216) = 225 + 864 = 1089 = 332 ; 15 + 33 48 15 − 33 = = 24; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (не задовольняє умові задачі). Відповідь: 24 км/год. 51.13. Катер пропливає 30 км за течією річки і 8 км проти течії річки за такий самий час, який потрібний плоту, щоб проплисти по цій річці 4 км. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість катера дорівнює 18 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість течії річки. За течією Проти течії Плот

𝑣𝑣, км / год

𝑠𝑠, км

18 − 𝑥𝑥

18 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑡𝑡, год

30 18 + 𝑥𝑥

8 18 − 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥

8 4 30 8 4 30 + = ; + − = 0; 18 + 𝑥𝑥 18 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 18 + 𝑥𝑥 18 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 30𝑥𝑥(18 − 𝑥𝑥) + 8𝑥𝑥(18 + 𝑥𝑥) − 4(324 − 𝑥𝑥 2 ) = 0; 𝑥𝑥(18 + 𝑥𝑥)(18 − 𝑥𝑥) 540𝑥𝑥 − 30𝑥𝑥 2 + 144𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 2 − 1296 + 4𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥(18 − 𝑥𝑥)(18 + 𝑥𝑥) −18𝑥𝑥 2 + 684𝑥𝑥 − 1296 = 0; 𝑥𝑥(18 − 𝑥𝑥)(18 + 𝑥𝑥) −18𝑥𝑥 2 + 684𝑥𝑥 − 1296 = 0, ∣: 2 �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 18, 𝑥𝑥 ≠ −18; 2𝑥𝑥 2 − 76𝑥𝑥 + 144 = 0 ∣: 2; 𝑥𝑥 2 − 38𝑥𝑥 + 72 = 0; 𝑥𝑥1 = 36; 𝑥𝑥2 = 2. 𝑥𝑥 = 36 умові задачі не задовольняє, оскільки 36 > 18. Відповідь: 2 км/год. 51.14. Моторний човен проплив 40 км по озеру, а потім 18 км по річці, що впадає в це озеро, витративши на цей шлях 3 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 2 км/год Нехай 𝑥𝑥 км/год – власна швидкість човна.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Проти течії річки

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥

𝑡𝑡, год 40 𝑥𝑥

18 𝑥𝑥 − 2

la. in.

18 40(𝑥𝑥 − 2) + 18𝑥𝑥 3 40 + = 3; = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 40𝑥𝑥 − 80 + 18𝑥𝑥 3 = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 58𝑥𝑥 − 80; 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 58𝑥𝑥 + 80 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 64𝑥𝑥 + 80 = 0; D = (−64)2 − 4 · 3 · 80 = 4096 − 960 = 3136; 64 + 56 120 = = 20; 𝑥𝑥1 = 6 6 64 − 56 8 4 1 = = =1 𝑥𝑥2 = 6 6 3 3 (не задовольняє умові задачі). Відповідь: 20 км/год.

Озером

𝑣𝑣, км / год

51.15. Дві бригади працівників дорожньої служби мали заасфальтувати по 200 м2 дорожнього полотна, причому перша бригада за день асфальтувала на 10 м2 більше, ніж друга, і тому виконала завдання на 1 день раніше за другу. Скільки м2 дорожнього полотна щодня асфальтувала кожна з бригад?

Нехай 𝑥𝑥 м2 дорожнього полотна асфальтувала друга бригада кожного дня, тоді (𝑥𝑥 + 10)м2 дорожнього полотна асфальтувала кожного дня перша бригада 200 200 200 200 +1= ; = = 1; 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 10 200(𝑥𝑥 + 10) − 200𝑥𝑥 1 = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 200𝑥𝑥 + 2000 − 200𝑥𝑥 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 2000, = ;� 𝑥𝑥 ≠ 0, 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥 ≠ −10; 2 𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 − 2000 = 0; D = 102 − 4 · 1 · (−2000) = 100 + 8000 = 8100; −10 + 90 80 −10 − 90 𝑥𝑥1 = = = 40; 𝑥𝑥2 = <0 2 2 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 + 10 = 40 + 10 = 50; Відповідь: 40 м2 ; 50 м2 . 51.16. Для перевезення 60 т вантажу замовили деяку кількість вантажівок. Оскільки на кожну вантажили на 1 т більше, ніж передбачалося, то 3 вантажівки виявилися зайвими. Скільки вантажівок було використано для перевезення вантажу?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Нехай для перевезення вантажу було використано 𝑥𝑥 вантажівок, тоді 60 60 > (на 1); 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 3 60 60𝑥𝑥 − 60(𝑥𝑥 − 3) 1 60 − = 1; = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 1 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 180, 60𝑥𝑥 − 60𝑥𝑥 + 180 = 1; �𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 ≠ 0; 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 180 = 0; D = (−3)2 − 4 · 1 · (−180) = 9 + 720 = 729; 3 + 27 3 − 27 𝑥𝑥1 = = 15; 𝑥𝑥2 = <0 2 2 (умові задачі не задовольняє); 𝑥𝑥 − 3 = 15 − 3 = 12. Відповідь: 12 вантажівок.

51.17. Майстер і учень, працюючи разом, можуть виконати замовлення за 16 год. За скільки годин виконає це саме замовлення кожен з них самостійно, якщо майстру на це потрібно на 24 год менше, ніж учню? Кількість годин на

виконання завдання Майстер Учень

𝑥𝑥 − 24 𝑥𝑥

Продуктивність праці 1 𝑥𝑥 − 24 1 𝑥𝑥

1 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 24 1 1 + = ; = ; 𝑥𝑥 − 24 𝑥𝑥 16 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) 16 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) = 16(2𝑥𝑥 − 24), � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 24; 𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 − 32𝑥𝑥 + 384 = 0; 𝑥𝑥 2 − 56𝑥𝑥 + 384 = 0; D = (−56)2 − 4 · 2 · 384 = 3136 − 1536 = 1600; 56 + 40 96 = = 48; 𝑥𝑥1 = 2 2 56 − 40 16 = =8 𝑥𝑥2 = 6 2 (не задовольняє умові задачі). 𝑥𝑥 − 24 = 48 − 24 = 24 Відповідь: 48 год; 24 год.

51.18. Два маляри, працюючи разом, можуть пофарбувати певну будівлю за 20 год. За скільки годин може виконати цю роботу кожний з малярів самостійно, якщо одному з них для цього потрібно на 9 год більше, ніж іншому?  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Кількість годин на виконання роботи

1 𝑥𝑥 + 9

𝑥𝑥 + 9

II майстер

1 𝑥𝑥

𝑥𝑥

І майстер

Продуктивність праці

la. in.

1 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 9 1 1 + = ; = ; 𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 20 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) 20 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) = 20(2𝑥𝑥 + 9), �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −9; 𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 40𝑥𝑥 − 180 = 0; 𝑥𝑥 2 − 31𝑥𝑥 − 180 = 0; D = (−31)2 − 4 · 1 · (−180) = 961 + 720 = 1681; 31 + 41 72 31 − 41 = = 36; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 6 (не задовольняє умові задачі); 𝑥𝑥 + 9 = 36 + 9 = 45. Відповідь: 36 год; 45 год.

51.19. Через один кран басейн наповнювали 9 хв, після чого відкрили другий кран. Через 6 хв їх спільної роботи виявилося, що наповнено тільки половину басейну. За скільки хвилин можна наповнити басейн через кожний із цих кранів окремо, якщо першому на це треба на 9 хв більше, ніж другому? Кількість хвилин на

Продуктивність праці

заповнення басейну I

кран II

кран

𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥

1 𝑥𝑥 + 9 1 𝑥𝑥

1 1 1 1 +6⋅� + �= ; 2 𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 9 9 6 6 1 15 6 1 + + = ; + = ; 𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 9 2 𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 2 15𝑥𝑥 + 6(𝑥𝑥 + 9) 1 15𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 54 1 = ; = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 9) = 2 ⋅ (21𝑥𝑥 + 54), �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −9;

9⋅

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 42𝑥𝑥 − 108 = 0; 𝑥𝑥 2 − 33𝑥𝑥 − 108 = 0; D = (−33)2 − 4 · 1 · (−108) = 1089 + 432 = = 1521; 33 + 39 72 33 − 39 = = 36; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (не задовольняє умові задачі); 𝑥𝑥 + 9 = 36 + 9 = 45. Відповідь: 36 хв; 45 хв.

51.20. Одна з операторок-набірниць може набрати текст на 12 днів швидше, ніж інша. Через 6 днів роботи другої набірниці до неї приєдналася перша. Через 10 днів їхньої 5 спільної роботи виявилося, що набрано тексту. За скільки днів може набрати текст 7 кожна з набірниць окремо? набору рукопису I оператор II оператор

Продуктивність праці

la. in.

Кількість днів для

1 𝑥𝑥

𝑥𝑥

1 𝑥𝑥 + 12

𝑥𝑥 + 12

5 1 1 1 + 10 ⋅ � + �= ; 7 𝑥𝑥 + 12 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 12 6 10 10 5 16 10 5 + + = ; + = ; 𝑥𝑥 + 12 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 12 7 𝑥𝑥 + 12 𝑥𝑥 7 16𝑥𝑥 + 10(𝑥𝑥 + 12) 5 = ; 7 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 12) 5𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 12) = 7 · (26𝑥𝑥 + 210); 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −12; 5𝑥𝑥 2 + 60𝑥𝑥 − 182𝑥𝑥 − 840 = 0; 5𝑥𝑥 2 − 122𝑥𝑥 − 840 = 0; D = (−122)2 − 4 · 5 · (−840) = 14884 + 16800 = 31684; 122 + 178 300 𝑥𝑥1 = = = 30; 10 10 122 − 178 <0 𝑥𝑥2 = 10 (не задовольняє умові задачі); 𝑥𝑥 + 12 = 30 + 12 = 42. Відповідь: 30 днів; 42 дні.

6⋅

51.21. Пішохід рухався із села A в село B 4 год. На зворотному шляху перші 10 км він пройшов із тією самою швидкістю, а потім зменшив її на 1 км/год і тому на зворотний шлях витратив на 30 хв більше. Знайдіть відстань між селами.

Нехай 𝑥𝑥 км/год – початкова швидкість, тоді 4𝑥𝑥 км – відстань між селами. Маємо рівняння: 1 10 4𝑥𝑥 − 10 9 10 4𝑥𝑥 − 10 + =4 ; + = ; 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥

 shkola.in.ua

10(𝑥𝑥 − 1) + 𝑥𝑥(4𝑥𝑥 − 10) 9 = ; 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 2 10𝑥𝑥 − 10 + 4𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 9 4𝑥𝑥 2 − 10 9 = ; = ; 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) 2 2 2(4𝑥𝑥 − 10) = 9(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥), �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 1; 9𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 2 + 20 = 0; 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 20 = 0; 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = 5; 4𝑥𝑥 = 4 · 4 = 16 або 4𝑥𝑥 = 4 · 5 = 20. Відповідь: 16 км або 20 км.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

51.22. Відстань від пристані M до пристані N за течією річки човен долає за 3 год. Одного разу, не дійшовши 30 км до пристані N, човен повернув назад і прибув до пристані M через 4,5 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год – власна швидкість човна, тоді 3(𝑥𝑥 + 3) км – відстань від пристані M до пристані N. 𝑣𝑣, км /

За течією Проти течії

год

𝑠𝑠, км

𝑥𝑥 + 3

3(𝑥𝑥 + 3) − 30

𝑥𝑥 − 3

3(𝑥𝑥 + 3) − 30

𝑡𝑡, год

3(𝑥𝑥 + 3) − 30 𝑥𝑥 + 3

3(𝑥𝑥 + 3) − 30 𝑥𝑥 − 3

3(𝑥𝑥 + 3) − 30 3(𝑥𝑥 + 3) − 30 + = 4,5; 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3 3𝑥𝑥 − 21 3𝑥𝑥 − 21 9 + = ; 𝑥𝑥 − 3 2 𝑥𝑥 + 3 (3𝑥𝑥 − 21)(𝑥𝑥 − 3) + (3𝑥𝑥 − 21)(𝑥𝑥 + 3) 9 = ; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) 2 2 2 3𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 − 21𝑥𝑥 + 63 + 3𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 21𝑥𝑥 − 63 9 = ; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 2 2 2 6𝑥𝑥 2 − 42𝑥𝑥 9 9(𝑥𝑥 − 9) = 2(6𝑥𝑥 − 42𝑥𝑥) = ;� 𝑥𝑥 ≠ 3, (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 2 𝑥𝑥 ≠ −3; 2 2 9𝑥𝑥 − 81 − 12𝑥𝑥 + 84𝑥𝑥 = 04 − 3𝑥𝑥 2 + 84𝑥𝑥 − 81 = 0 ∣ (−3); 𝑥𝑥 2 − 28𝑥𝑥 + 27 = 0; 𝑥𝑥1 = 27; 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥 = 1 умові задачі не задовольняє, бо 1 < 3. Відповідь: 27 км/год.

51.23. Розв’яжіть рівняння:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. 2𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 − 5 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡 2 ; 2𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 − 5 = 0; D = 32 − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49; −3 + 7 4 −3 − 7 𝑡𝑡1 = = = 1; 𝑡𝑡2 = < 0. 2⋅2 4 4 Отже, 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥 = ±1. Відповідь: −1; 1. 𝑥𝑥 2 36 𝑥𝑥 2 36 𝟐𝟐. = ; − = 0; 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 2 − 36 𝑥𝑥 2 − 36 = 0, 𝑥𝑥 2 = 36, = 0; � � 𝑥𝑥 − 6 ≠ 0; 𝑥𝑥 − 6 ≠ 0; 𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 = ±6, � 𝑥𝑥 ≠ 6; 𝑥𝑥 = −6. Відповідь: –6. 51.24. Скоротіть дріб:

𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 + 5 𝟏𝟏. = = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 9 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 𝟐𝟐. = = = ; 2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 6 = 0 ∣: 2; 2 2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 6 2(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) 2(𝑥𝑥 + 1) 2𝑥𝑥 + 2 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1. 51.25. Розв’яжіть рівняння:

1. 𝑥𝑥 − 2√𝑥𝑥 − 8 = 0. Нехай √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 8 = 0; 𝑡𝑡1 = 4; 𝑡𝑡2 = −2 < 0; √𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 16. Відповідь: 16 .

2. (𝑥𝑥 + 7)4 − 5(𝑥𝑥 + 7)2 − 6 = 0. Нехай (𝑥𝑥 + 7)2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді (𝑥𝑥 + 7)4 = 𝑡𝑡 2 , 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 − 6 = 0; 𝑡𝑡1 = 6; 𝑡𝑡2 = −1 < 0. Отже, (𝑥𝑥 + 7)2 = 6; 𝑥𝑥 + 7 = ±√6; 𝑥𝑥 = −7 ± √6. Відповідь: −7 ± √6.

51.26. Керамічну плитку однієї і тієї самої торгової марки виробляють трьох різних розмірів. Магазин продає плитку тільки пачками. Подружжя вирішило укласти цією плиткою підлогу на кухні. Користуючись даними таблиці, з’ясуйте, як подружжю придбати плитку найдешевше, якщо кухня має форму квадрата зі стороною 3 м.

Дано:

сторона кухні 3 м = 300 см

S = 300 · 300 = 90000 см2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Для плитки 20 × 20: 1) 20 · 20 = 400 см2 — площа однієї плитки; 2) 90000 : 400 = 225 — кількість плиток; 4) 9 · 300 = 2700 грн — вартість. Для плитки 20 × 30: 1) 20 · 30 = 600 см2 — площа однієї плитки; 2) 90000 : 600 = 150 — кількість плиток; 3) 150 : 16 = 9,375 ≈ 10 — кількість пачок;

la. in.

4) 10 · 290 = 2900 грн — вартість.

3) 225 : 25 = 9 — кількість пачок;

Для плитки 30 × 30:

1) 30 · 30 = 900 см2 — площа однієї плитки; 2) 90000 : 900 = 100 — кількість плиток;

3) 100 : 11 ≈ 9,09 ≈ 10 — кількість пачок; 4) 10 · 280 = 2800 грн — вартість.

Відповідь: найменша вартість 2700 грн, плитка 20 × 20. 51.27. Побудуйте графік функції

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 ⎧ − 2, якщо 𝑥𝑥 > 0, 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 −2= 𝑦𝑦 = 2 |𝑥𝑥| ⎨ 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 2, якщо 𝑥𝑥 < 0; ⎩− 𝑟𝑟 𝑥𝑥 + 2 − 2, якщо 𝑥𝑥 > 0, 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 > 0, =� � −(𝑥𝑥 + 2) − 2, якщо 𝑥𝑥 < 0; −𝑥𝑥 − 4, якщо 𝑥𝑥 < 0; 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = {𝑥𝑥 − будь–які, крім 0}. –2

–2

–4

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Домашня самостійна робота 11 (§§ 49–51) 1. Укажіть вираз, який є квадратним тричленом.

D = (−3)2 − 4 ⋅ 2. (−7) = 9 + 56 = 65, D > 0. Відповідь: Г. 3. Укажіть біквадратне рівняння.

Відповідь: Б. 2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена 2x2 – 3x – 7.

Відповідь: Б. 4. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен –2x2 + 3x + 5

la. in.

−2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 5 = −2(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 2,5); −2𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 5 = 0 ∣⋅ (−1); 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 = 0; D = (−3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) = 49 = 72 , D > 0; 3 + 7 10 3−7 𝑥𝑥1 = ⋅ = 2,5; 𝑥𝑥1 = = −1. 2 4 4 Відповідь: А. 5. Розв’яжіть рівняння

𝑥𝑥²

𝑥𝑥 – 7

49 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 = 7, 𝑥𝑥2 = −7 𝑥𝑥 2 = 49 = ;� � 1 𝑥𝑥 − 7 𝑥𝑥 − 7 𝑥𝑥 − 7 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 7.

Корінь: –7 . Відповідь: В. 6. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 – 3x = 0, розклавши його ліву частину на множники.

𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3) = 0; 𝑥𝑥 = 0, � 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0. За теоремою Вієта маемо: 𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −2, Отже, 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −3. 𝑥𝑥2 = 1. Корені: 0; –3; 1. Відповідь: Г. 𝑥𝑥² – 5𝑥𝑥 + 6 𝑥𝑥² – 9

7. Скоротіть дріб

𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 − 2 = = . (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 2 − 9 Відповідь: Б. 6 8. Для яких значень x сума дробів і 𝑥𝑥 6 𝑥𝑥 6 + = ⋅ ; 1 + 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥

1 + 𝑥𝑥

𝑥𝑥

3 – 𝑥𝑥

дорівнює їх добутку?

 shkola.in.ua

6𝑥𝑥 6(3 − 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥(1 + 𝑥𝑥) = ; (1 + 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) (1 + 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) 18 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 = 6𝑥𝑥, 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 18 = 0, � � 𝑥𝑥 + 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1, 3 − 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 3; 2 𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 + 18 = 0; За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = 9, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 11, Звідки: 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 18. 𝑥𝑥2 = 2. Відповідь: В.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 автомобіль 2 автомобіль

la. in.

9. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість іншого, і тому він прибув до пункту призначення на 30 хв раніше. Знай діть швидкість автомобіля, який рухався повільніше. 𝑣𝑣, км / год 𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 10

8, км

360

𝑡𝑡, год 360 𝑥𝑥

360 𝑥𝑥 + 10

Маємо рівняння: 360 1 360(𝑥𝑥 + 10) − 360𝑥𝑥 1 360 − = ; = ; 𝑥𝑥 + 10 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2 𝑥𝑥

Другий автомобіль

приїхав в місто B на 1

30 хв = год раніше. 2

2 360𝑥𝑥 + 3600 − 360𝑥𝑥 1 3600 1 𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 − 7200 = 0, = ; = ; �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2 𝑥𝑥 ≠ −10.

За теоремою Вієта маємо: 𝑥𝑥 = −90, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = −10, Звідки: 1 � 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −7200. 𝑥𝑥2 = 80. 𝑥𝑥 = −90 – не задовольняє умові задачі. Швидкість першого автомобіля 80 км/ год . Відповідь: Б. 1 10. Розкладіть на множники многочлен – x4 – x3 + 3x2. 4

1 1 1 − 𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 = − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12) = − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2). 4 4 4 Відповідь: A. 11. Розв’яжіть рівняння x3 + 3x2 – 6x – 8 = 0.

𝑥𝑥 3 + 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 8 = 0; (𝑥𝑥 3 − 8) + (3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥) = 0; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) + 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 0; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4 + 3𝑥𝑥) = 0; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 4) = 0;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

рух проти течії

𝑥𝑥 + 2

𝑡𝑡, год

s, км –

s, км

3(𝑥𝑥 − 2) − 24

𝑡𝑡, год

3(𝑥𝑥 − 2) − 24 𝑥𝑥 + 2

la. in.

pyx за течією

𝑣𝑣, км/год

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 1) = 0. 𝑥𝑥1 = 2, 𝑥𝑥 − 2 = 0, Отже, �𝑥𝑥 + 4 = 0, ⇒ �𝑥𝑥2 = −4, 𝑥𝑥3 = −1. 𝑥𝑥 + 1 = 0 Відповідь: Б. 12. Відстань від пристані A до пристані B проти течії річки човен долає за 3 год. Одного разу, не допливши 24 км до пристані B, човен повернув назад і прибув до пристані A через 3 год 18 хв. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнювала 2 км/год.

𝑥𝑥 − 2

3(𝑥𝑥 − 2) 18

3(𝑥𝑥 − 2) − 24 33

3(𝑥𝑥 − 2) − 24 𝑥𝑥 − 2

Витратив на всю дорогу 3 год 18 хв = 3 = 3 = год. 60 10 10 3(𝑥𝑥 − 2) − 24 3(𝑥𝑥 − 2) − 24 33 + = ; 𝑥𝑥 − 2 10 𝑥𝑥 + 2 33 1 1 (3(𝑥𝑥 − 2) − 24) � + ; �= 10 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 2 33 𝑥𝑥 + 2 + 𝑥𝑥 − 2 (3(𝑥𝑥 − 2) − 24) ⋅ = ; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 10 (3𝑥𝑥 − 6 − 24) ⋅ 2𝑥𝑥 33 = ; 10 𝑥𝑥 2 − 4 (3𝑥𝑥 − 30) ⋅ 2𝑥𝑥 33 = ; 10 𝑥𝑥 2 − 4 (𝑥𝑥 − 10) ⋅ 2𝑥𝑥 11 = ; 10 𝑥𝑥 2 − 4 20𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 10) = 11(𝑥𝑥 2 − 4); 20𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 = 11𝑥𝑥 2 − 44, � 𝑥𝑥 ≠ ±2; 2 9𝑥𝑥 − 200𝑥𝑥 + 44 = 0; D = 40000 − 4 ⋅ 9 ⋅ 44 = 40000 − 1584 = 38416 = 1962 , D > 0; 200 + 196 200 − 196 4 2 2 𝑥𝑥1 = = 22; 𝑥𝑥2 = = = . 𝑥𝑥 = 18 18 18 9 9 − не задовольняє умові задачі. Тобто 22 км/год - власна швидкість човна. Відповідь: Б. 13. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та його коренем (А–Г). 𝟏𝟏.

𝑥𝑥 − 7 𝑥𝑥 + 4 + = 1; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 2

(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 2) + (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2) = 1; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 22 = 1; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)

2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 22 = (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2); 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 22 = 𝑥𝑥 2 − 4;

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 18 = 0;

𝐷𝐷 = (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−18) = 81,

𝑥𝑥1 = 6,

𝑥𝑥2 = −3.

√𝐷𝐷 = 9;

(Б. )

la. in.

𝟐𝟐. 𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 54 = 0;

𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 14 + 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 1; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)

(𝑥𝑥 3 + 6𝑥𝑥 2 ) − (9𝑥𝑥 + 54) = 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 + 6) − 9(𝑥𝑥 + 6);

(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 2 − 9) = (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3); (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) = 0; 𝑥𝑥1 = −6,

𝑥𝑥2 = 3,

𝑥𝑥3 = −3.

(Г. )

𝟑𝟑. (𝑥𝑥 2 − 2)2 − 4(𝑥𝑥 2 − 2) − 21 = 0;

𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑡𝑡;

𝑡𝑡 2 − 4𝑡𝑡 − 21 = 0;

𝐷𝐷 = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−21) = 100,

𝑡𝑡1 = 7,

𝑡𝑡2 = −3;

𝑥𝑥 2 = 9,

𝑥𝑥 = ±3;

𝑥𝑥 2 − 2 = 7;

√𝐷𝐷 = 10;

𝑥𝑥 2 − 2 = −3;

𝑥𝑥 2 = −1 - немає дійсних коренів; 𝑥𝑥1 = 3,

𝑥𝑥2 = −3.

(А. )

Відповідь: 1 — Б; 2 — Г; 3 — А.

Завдання для перевірки знань до §§ 49–51 1. З даних виразів випишіть ті, що є квадратними три членами: 1), 4) – квадратні тричлени.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте кількість його коренів: 1. D = 32 − 4 ⋅ (−7) = 37; — два корені;

2. D = 12 − 4 ⋅ 9 = −35; — жодного кореня.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. Чи є біквадратним рівняння: 1), 3) Hi; 2), 4) так. 4. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 42 − 4 ⋅ (−5) = 36; −4 + 6 −4 − 6 = 1; 𝑥𝑥2 = = −5. 𝑥𝑥1 = 2 2 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5 = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 5).

la. in.

2. −2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2. 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9; 5+3 5−3 1 𝑥𝑥1 = = 2; 𝑥𝑥2 = = . 4 4 2

1 −2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 2 = −2(𝑥𝑥 − 2) �𝑥𝑥 − � = (𝑥𝑥 − 2)(1 − 2𝑥𝑥). 2

5. Знайдіть корені рівняння:

1. 𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 − 4 = 0. 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, де 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 . Маємо 𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 − 4 = 0; D = 32 − 4(−4) = 25; −3 + 5 −3 − 5 𝑡𝑡1 = = 1; 𝑡𝑡2 = = −4 2 2 – не задовольняє умову задачі 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −1.

𝑥𝑥 2 16 𝟐𝟐. = 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 2 = 16, 𝑥𝑥 = 4. � 𝑥𝑥 ≠ −4; Відповідъ: 1. −1; 1; 2. 4

6. Розв’яжіть рівняння x3 – 5x2 + 6x = 0, розклавши його ліву частину на множники.

𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6) = 0; 𝑥𝑥1 = 0 або 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0; D = (−5)2 − 4 ⋅ 6 = 1; 5+1 5−1 𝑥𝑥2 = = 3; 𝑥𝑥3 = = 2. 2 2 Відповідь: 0; 2; 3. 7. Скоротіть дріб:

𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 . 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0; D = 22 − 4 ⋅ (−8) = 36;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−2 + 6 −2 − 6 = 2; 𝑥𝑥2 = = −4. 2 2 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4) 𝑥𝑥 − 2 = = . 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥

𝑥𝑥1 =

𝑥𝑥 2 − 4 𝟐𝟐. . 2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 22 2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 22 = 0; D = 72 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−22) = 225; −7 + 15 −7 − 15 = 2; 𝑥𝑥2 = = −5,5. 𝑥𝑥1 = 4 4 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 − 4 = = . 2 2𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 − 22 2(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 5,5) 2𝑥𝑥 + 11

Велосипедист I II

la. in.

8. З одного міста в інше одночасно виїхали дві велосипедистки. Швидкість першої була на 3 км/год більшою, ніж швидкість другої, тому до пункту призначення вона прибула на 1 год раніше, ніж друга. Знайдіть швидкість кожної з велосипедисток, якщо відстань між містами 60 км. s, км

v, км / год

t, год

x+3

60 𝑥𝑥 + 3 60 𝑥𝑥

60 60 + 180 − 60𝑥𝑥 60 − = 1; = 1; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 180 = 0; D = 32 − 4 ⋅ (−180) = 729; −3+27 24 = = 12 (км/год ) − II; 12 + 3 = 15( км/год ) − I; 𝑥𝑥1 = 2 −3−27

< 0 – не має змісту, оскільки швидкість не може набувати від'ємних значень. 𝑥𝑥2 = 2 Відповідь: 15 км/год ; 12 км/год . 9. Розв’яжіть рівняння

1. 𝑥𝑥 + 3√𝑥𝑥 − 10 = 0. √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, де 𝑡𝑡 ≥ 0. Тоді 𝑥𝑥 = (√𝑥𝑥)2 = 𝑡𝑡 2 . Маємо 𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 − 10 = 0; D = 32 − 4 ⋅ (−10) = 49; −3 + 7 −3 − 7 = 2; 𝑡𝑡2 = = −5 𝑡𝑡1 = 2 2 не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0. √𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 4. 2. (𝑥𝑥 − 3)4 − 7(𝑥𝑥 − 3)2 − 8 = 0. (𝑥𝑥 − 3)2 = 𝑡𝑡, де 𝑡𝑡 ≥ 0. Тоді 𝑡𝑡 2 − 7𝑡𝑡 − 8 = 0; D = (−7)2 − 4 ⋅ (−8) = 81; 7+9 7−9 = 8; 𝑡𝑡2 = = −1 𝑡𝑡1 = 2 2 не задовольняє вимогу, що 𝑡𝑡 ≥ 0. (𝑥𝑥 − 3)2 = 8; 𝑥𝑥 − 3 = ±2√2; 𝑥𝑥1.2 = 3 ± 2√2.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5). 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; D = (−4)2 − 4 ⋅ (−5) = 36; 4+6 4−6 = 5; 𝑥𝑥 = = −1. 𝑥𝑥1 = 2 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 1).

la. in.

1 1 𝟐𝟐. − 𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 2 = − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8). 2 2 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8 = 0; D = (−6)2 − 4 ⋅ 8 = 4; 6+2 6−2 = 4; 𝑥𝑥2 = = 2. 𝑥𝑥1 = 2 2 1 1 − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 8) = − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 2). 2 2 11. Побудуйте графік функції

Відповідь: 1. 4 ; 2. 3 ± 2√2. 10. Розкладіть на множники многочлен:

𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 = . 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥

ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2. 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = = . 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0; D = (−1)2 − 4 ⋅ (−2) = 9; 1+3 1−3 = 2; 𝑥𝑥2 = = −1. 𝑥𝑥1 = 2 2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 1) = = 𝑥𝑥 + 1. Oтже, 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 Маємо 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1, якщо 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2. Графіком функції 𝑦𝑦 = –3

–2

𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥

є пряма 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 з "виколотими" точками (0; 1) і (2; 3).

𝑥𝑥 3 −𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Вправи для повторення теми 11 До § 49 1. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте, чи можна розкласти цей тричлен на лінійні множники: 1. 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 1 − 4 · (−5) = 1 + 20 = 21 > 0. Отже, квадратний тричлен 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 5 можна розкласти на лінійні множники; 2. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 6 = 0; D = 22 − 4 · 7 = 4 − 28 = −24 < 0. Отже, квадратний тричлен 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 6 на лінійні множники розкласти не можна; 3. 9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 62 − 4 · 2 · 9 = 36 − 36 = 0. Отже, квадратний тричлен 9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 можна розкласти на лінійні множники: 9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1 = (3𝑥𝑥 + 1)2 = (3𝑥𝑥 + 1) · (3𝑥𝑥 + 1). 2. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1. 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 4; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = −1; 2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 12; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = −2; 3. 2𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 18; 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 9; (𝑥𝑥 − 3)2 = 0; 𝑥𝑥 = 3; 4. −4𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 2; 4𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 − 2 = 0; D = (−7)2 − 4 · 4 · (−2) = 49 + 32 = 81 > 0; 7 + 9 16 7−9 2 1 = = 2; 𝑥𝑥2 = =− =− . 𝑥𝑥1 = 8 8 8 8 4 3. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1. 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = 1. Отже, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4); 2. 2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 4 = 0; D = 72 − 4 · 2 · (−4) = 49 + 32 = 81; 7 + 9 16 = = 4; 𝑥𝑥1 = 4 4 7−9 2 1 𝑥𝑥1 = =− =− . 4 4 2 1 2 Отже, 2𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 − 4 = 2(𝑥𝑥 − 4) �𝑥𝑥 + � = (2𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4); 2 2 2 3. −𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 18 = 0; 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 18 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = −3. Отже, −𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 18 = −(𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 3) = (6 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 3); 4. −4𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 2 = 0; 4𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝐷𝐷 = (−9)2 − 4 · 4 · 2 = 81 − 32 = 49; 9 + 7 16 9−7 2 1 = = 2; 𝑥𝑥1 = = = . 𝑥𝑥1 = 8 8 8 8 4 Отже, −4𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 2 = 1 −4 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 − 2) = (1 − 4𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 2). 4 4. Виділіть квадрат двочлена із квадратного тричлена:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1. 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 7 = (𝑥𝑥 2 + 2 · 3𝑥𝑥 + 9) − 9 − 7 = (𝑥𝑥 + 3)2 − 16; 2. 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 − 9 = (𝑥𝑥 2 − 2 · 4𝑥𝑥 + 16) − 16 − 9 = (𝑥𝑥 − 4)2 − 25. 5. Скоротіть дріб: (2𝑥𝑥 − 9)(2𝑥𝑥 + 9) (2𝑥𝑥 − 9)(2𝑥𝑥 + 9) 2𝑥𝑥 + 9 4𝑥𝑥 2 − 81 = = = ; 𝟏𝟏. (𝑥𝑥 + 2)(2𝑥𝑥 − 9) 𝑥𝑥 + 2 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 18 2(𝑥𝑥 + 2) �𝑥𝑥 − 9� 2 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 18 = 0; D = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−18) = 25 + 144 = 169; 5 + 13 18 9 5 − 13 8 = = ; 𝑥𝑥2 = = − = −2; 𝑥𝑥1 = 4 4 2 4 4 2(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 2) 2(𝑥𝑥 + 5) 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 20 = = ; 𝟐𝟐. (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 3 − 8 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 20 = 0; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 = 0; D = 32 − 4 · 1 · (−10) = 9 + 40 = 49; −3 + 7 4 −3 − 7 𝑥𝑥1 = = = 2; 𝑥𝑥1 = = −5; 2 2 2 2(𝑥𝑥 − 3)2 𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 18 = = ; 3. 5 𝑥𝑥 + 2,5 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 15 2 �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 − 3) 2 2 2 2𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 + 18 = 0; 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0; (𝑥𝑥 − 3)2 = 0𝑥𝑥 = 3; 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 15 = 0; D = (−1)2 + 4 ⋅ 2 ⋅ (−15) = 1 + 120 = 121; 1 + 11 12 = = 3; 𝑥𝑥1 = 4 4 1 − 11 10 5 =− =− ; 𝑥𝑥2 = 4 4 2 1 4 �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 − 3) 4𝑥𝑥 + 1 4𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 − 3 4 = = ; 4𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 − 3 = 0; 4. 2 1 −3𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 − 3 −3 �𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥 − 3) 1 − 3𝑥𝑥 3 D = (−11)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−3) = 121 + 48 = 169; 11 + 13 24 = = 3; 𝑥𝑥1 = 8 8 11 − 13 2 1 =− =− ; 𝑥𝑥2 = 4 8 4 −3𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 0; D = (−10)2 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 10 036 = 64; 10 + 8 18 10 − 8 2 1 = = 3; 𝑥𝑥2 = = = . 𝑥𝑥1 = 6 6 6 6 3 6. Виконайте дії: 𝑥𝑥 + 1 (𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 1) 1 1 𝑥𝑥 − 1 + 2 = + = + 𝟏𝟏. 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 2 = ; 𝑥𝑥 + 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2𝑥𝑥 2 − 7 𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 2 − 7 𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 2 − 7 − (𝑥𝑥 + 1)2 𝟐𝟐. 2 − = − = 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 − 4 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 − 4 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1) 2 2 2 2𝑥𝑥 − 7 − 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 8 (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 2 = = = = ; (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 4) ⋅ 𝑥𝑥(2 − 𝑥𝑥) ⋅ = = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5); 𝟑𝟑. (2 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 4) 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 (𝑥𝑥 + 5) 𝑥𝑥 − 3 (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 + 5 𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 + 30 : = ⋅ = 𝟒𝟒. 2(𝑥𝑥 − 3) (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 6) 2(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 6) 2𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 − 3 1 = . 2(𝑥𝑥 + 6) 7. Один з коренів квадратного тричлена x2 + px + 6дорівнює –3. Знайдіть p та другий корінь. 𝑥𝑥 2 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 6 = 0; 𝑥𝑥1 = −3. (−3)2 + 3𝑝𝑝 + 6 = 0; 9 + 6 − 3𝑝𝑝 = 0; 3𝑝𝑝 = 15; 𝑝𝑝 = 5; 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝; −3 + 𝑥𝑥2 = −5; 𝑥𝑥2 = −5 + 3 = −2. Відповідь: 𝑥𝑥2 = −2; 𝑝𝑝 = 5. 8. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена: 1 1 1 1 2 5 2 2 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 1 = �𝑥𝑥 + 2 ⋅ 𝑥𝑥 + � + − 1 = �𝑥𝑥 + � − ; 4 2 4 2 4 9 7 3 7 3 9 𝟐𝟐. 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 7 = 2 �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + � = 2 ��𝑥𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 + � − + � 16 2 2 2 4 16 3 2 47 3 2 47 = 2 ��𝑥𝑥 − � − � = 2 �𝑥𝑥 − � + ; 4 16 8 4 25 7 5 7 5 25 + � 𝟑𝟑. 3𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 7 = 3 �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + � = 3 ��𝑥𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 + � − 36 3 3 3 6 36 5 2 59 5 2 59 = 3 ⋅ ��𝑥𝑥 − � − � = 3 �𝑥𝑥 − � + ; 6 6 36 12 81 1 9 1 9 81 + � 𝟒𝟒. − 4𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 − 2 = −4 �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + � = −4 ��𝑥𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥 + � − 64 2 4 2 8 64 9 2 49 9 2 49 = −4 ��𝑥𝑥 − � − � = −4 �𝑥𝑥 − � + . 8 64 16 8 9. Укажіть таке значення невідомого коефіцієнта, щоб тричлен мав один корінь: 1. 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 4; D = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4 · 1 · 4 = 𝑏𝑏 2 − 16; 𝑏𝑏 2 − 16 = 0; 𝑏𝑏 2 = 16; 𝑏𝑏 = ±4. Відповідь: −4; 4. 2. 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 64 = 0; D = 64 − 4𝑎𝑎 · 64 = 64 − 256𝑎𝑎; 64 − 256𝑎𝑎 = 0; 256𝑎𝑎 = 64 1 64 = ; 𝑎𝑎 = 256 4 1 Відповідь: .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

3. 𝑥𝑥 2 − 18𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0; D = (−18)2 − 4c = 324 − 4𝑐𝑐; 324 − 4𝑐𝑐 = 0; 4𝑐𝑐 = 324; 324 = 81. 𝑐𝑐 = 4 Відповідь: 81. 10. Розкладіть на множники квадратний тричлен відносно змінної x: 1. 𝑥𝑥 2 − 5𝑎𝑎𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎2 = 0; D = 25𝑎𝑎2 + 4 · 1 · (−6𝑎𝑎2 ) = 25𝑎𝑎2 + 24𝑎𝑎2 = 49𝑎𝑎2 ≥ 0; 5𝑎𝑎 + 7𝑎𝑎 12𝑎𝑎 5𝑎𝑎 ± 7𝑎𝑎 ; 𝑥𝑥1 = = = 6𝑎𝑎; 𝑥𝑥 = 2 2 2 5𝑎𝑎 − 7𝑎𝑎 −2𝑎𝑎 = = −𝑎𝑎; 𝑥𝑥2 = 2 2 Отже, 𝑥𝑥 2 − 5𝑎𝑎𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎2 = (𝑥𝑥 − 6𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎); 2. 𝑥𝑥 2 + 3𝑏𝑏𝑏𝑏 − 10𝑏𝑏 2 = 0; D = 9𝑏𝑏 2 + 4 · 1 · (−10𝑏𝑏2 ) = 9𝑏𝑏 2 + 40𝑏𝑏 2 = 49𝑏𝑏 2 , ≥ 0; −3𝑏𝑏 + 7𝑏𝑏 4𝑏𝑏 −3𝑏𝑏 ± 7𝑏𝑏 ; 𝑥𝑥1 = = = 2𝑏𝑏; 𝑥𝑥 = 2 2 2 −3𝑏𝑏 − 7𝑏𝑏 10𝑏𝑏 =− = −5𝑏𝑏. 𝑥𝑥2 = 2 2 Отже, 𝑥𝑥 2 + 3𝑏𝑏𝑏𝑏 − 10𝑏𝑏2 = (𝑥𝑥 − 2𝑏𝑏)(𝑥𝑥 + 5𝑏𝑏). 11. Якого найменшого значення може набувати квадратний тричлен x2 – 8x + 19? Для якого значення x воно досягається? 𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 19 = (𝑥𝑥 2 − 2 · 4𝑥𝑥 + 16) − 16 + 19 = (𝑥𝑥 − 4)2 + 3 > 0. Відповідь: найменше значення 3 при 𝑥𝑥 = 4. 12. Для якого a квадратний тричлен –a2 – 4a – 17 набуває найбільшого значення? Знайдіть це значення. −𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 − 17 = −(𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 17) = −�(𝑎𝑎2 + 2 · 2𝑎𝑎 + 4) − 4 + 17� = −((𝑎𝑎 + 2)2 + 13) = −(𝑎𝑎 + 2)2 − 13 < 0. Відповідь: найбільше значення –13 при 𝑎𝑎 = −2. До § 50 13. Розв’яжіть рівняння: 1. 2𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 − 3 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 ≥ 0; 2𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 3 = 0; D = 12 − 4 · 2 · (−3) = 1 + 24 = 25; −1 + 5 4 −1 − 5 6 = = 1; 𝑡𝑡2 = = − < 0; 𝑡𝑡1 = 4 4 4 4 2 𝑥𝑥 = 1, тобто 𝑥𝑥 = ±1. Відповідь: −1; 1. 2. 3𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 40 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 ; 3𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 40 = 0; D = (−2)2 − 4 · 3 · (−40) = 4 + 480 = 484; 2 + 22 24 2 − 22 20 𝑡𝑡1 = = = 4; 𝑡𝑡2 = =− < 0; 2⋅3 6 6 6 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 = ±2. Відповідь: −2; 2. 3. 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 + 9 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 + 9 = 0;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

D = 12 − 4 · 9 = 1 − 36 < 0. Отже, рівняння коренів не має. Відповідь: ∅. 4. 𝑥𝑥 4 − 7𝑥𝑥 2 + 10 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 2 − 7𝑡𝑡 + 10 = 0. 𝑥𝑥 2 = 5, 𝑥𝑥 = ±√5, � � 2 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = ±√2. Відповідь: −√2; −√5; √5; √2. 14. Знайдіть корені рівняння: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0, = 0; � 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 = −2 або 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = −2. � 𝑥𝑥 ≠ 1; Відповідь: −2. 3𝑥𝑥 2 5𝑥𝑥 3𝑥𝑥 2 5𝑥𝑥 2. = ; − = 0; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 3𝑥𝑥 2 5𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 5) = 0, = 0; � � 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 + 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 + 2 2 5 = 1 , 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = � 3 3 𝑥𝑥 ≠ −2. 2 Відповідь: 0; 1 . 3 2 𝑥𝑥 + 1 1 − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 1 − 3𝑥𝑥 = ; − = 0; 3. 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 2 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 + 1 1 − 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 + = 0; = 0; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0, 𝑥𝑥 = 2 або 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 1. � � 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; Відповідь: 1. 21 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 1) = 21, 𝟒𝟒. = 2𝑥𝑥 + 1; � 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 21 = 0; D = 12 − 4 · 2 · (−21) = 1 + 168 = 169; −1 + 13 12 𝑥𝑥1 = = = 3; 4 4 −1 − 13 14 7 𝑥𝑥2 = =− = − = −3,5. 4 4 2 Відповідь: −3; 3. 15. Розв’яжіть рівняння: 1. 𝑥𝑥 4 − 16𝑥𝑥 2 = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 16) = 0; 𝑥𝑥 2 = 0 або 𝑥𝑥 2 − 16 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 2 = 16𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = ±4. Відповідь: −4; 0; 4. 2. 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 3 або 𝑥𝑥 = −2. Відповідь: −2; 0; 3.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

16. Знайдіть координати точок перетину графіка функції y = x4 – 3x2 – 4 з віссю абсцис. 𝑥𝑥 4 − 3𝑥𝑥 2 − 4 = 0; Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 − 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 2 − 3𝑡𝑡 − 4 = 0; 𝑡𝑡1 = 4; 𝑡𝑡2 = −1 < 0; 𝑥𝑥 2 = 4; 𝑥𝑥 = ±2. Відповідь: (2; 0); (–2; 0). 17. Розв’яжіть рівняння: 1 4 1 𝟏𝟏. − = ; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 4 1 1 − − = 0; 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) − 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) − (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) −4𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 6 = 0, 2 −4𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 ≠ 0, = 0; � 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 ≠ −3; 2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3 = 0; D = 52 − 4 · 2 · 3 = 25 − 24 = 1; −5 + 1 4 6 3 = − = −1; 𝑥𝑥2 = − = − = −1,5. 𝑥𝑥1 = 4 4 4 2 Відповідь: −1,5; −1. 1 1 3 𝟐𝟐. + = ; 2(1 − 𝑥𝑥) 2 − 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 1 3 1 + − = 0; 2(1 − 𝑥𝑥) 2 − 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 (2 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) + 2(1 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) − 3 ⋅ 2(1 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥) = 0; 2(1 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) 6 − 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 2(3 − 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ) − 6(2−𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ) = 0; 2(1 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) 6 − 5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 6 − 8𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 2 − 12 + 18𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 = 0; 2(1 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) −3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 0, 2 −3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≠ 1, = 0; � 𝑥𝑥 ≠ 2, 2(1 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥)(3 − 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 ≠ 3; 5 2 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 5) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = = 1 . 2

Відповідь: 0; 1 . 3 7 18 + = 1; 𝟑𝟑. 2 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 + 3 7 1 18 + − = 0; 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 + 3 1 18 + 7(𝑥𝑥 + 3) − (𝑥𝑥 + 3)2 = 0; (𝑥𝑥 + 3)2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

18 + 7𝑥𝑥 + 21 − 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 9 = 0; (𝑥𝑥 + 3)2 −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 30 −𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 30 = 0, = 0; � 𝑥𝑥 ≠ −3; (𝑥𝑥 + 3)2 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 30 = 0, 𝑥𝑥 = 6 або 𝑥𝑥 = 5, � � 𝑥𝑥 ≠ −3; 𝑥𝑥 ≠ −3. Відповідь: –5; 6. 13𝑥𝑥 + 4 1 𝟒𝟒. − = 4; 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 + 1 1 13𝑥𝑥 + 4 − = 4; (2𝑥𝑥 + 1)2 2𝑥𝑥 + 1 13𝑥𝑥 + 4 − (2𝑥𝑥 + 1) 4 13𝑥𝑥 + 4 − 2𝑥𝑥 − 1 4 = ; = ; (2𝑥𝑥 + 1)2 1 (2𝑥𝑥 + 1)2 1 4(2𝑥𝑥 + 1)2 = 11𝑥𝑥 + 3, � 1 𝑥𝑥 ≠ − ; 2 2 4(4𝑥𝑥 + 74𝑥𝑥 + 1) − 11𝑥𝑥 − 3 = 0; 16𝑥𝑥 2 + 16𝑥𝑥 + 4 − 11𝑥𝑥 − 3 = 0; 4𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 52 − 4 · 16 · 1 = 25 − 64 < 0. Відповідь: рівняння розв'язків не має. 1 9 6 𝟓𝟓. + = ; (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 𝑥𝑥 2 − 4 9 6 1 + − = 0; (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 − 2)2 𝑥𝑥 2 − 4 (𝑥𝑥 + 2)2 + 9(𝑥𝑥 − 2)2 − 6(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) = 0; (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 + 9𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 + 36 − 6𝑥𝑥 2 + 24 = 0; (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 + 2)2 4𝑥𝑥 2 + 32𝑥𝑥 + 64 = 0, 4𝑥𝑥 2 + 32𝑥𝑥 + 64 = 0; �𝑥𝑥 ≠ 2, (𝑥𝑥 + 2)2 (𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥 ≠ −2; 2 𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 + 16 = 0; (𝑥𝑥 + 4)2 = 0; 𝑥𝑥 = −4. Відповідь: –4. 3 4 4 6. − = ; 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 9𝑥𝑥 2 − 1 9𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 1 4 4 3 − = ; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1) (3𝑥𝑥 − 1)(3𝑥𝑥 + 1) (3𝑥𝑥 − 1)2 3(9𝑥𝑥 2 − 1) − 4𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1) − 4𝑥𝑥(3𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1)2 (3𝑥𝑥 + 1) 27𝑥𝑥 2 − 3 − 12𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1)2 (3𝑥𝑥 + 1)

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

3𝑥𝑥 2 3 = 0, ⎧ 𝑥𝑥 ≠ 0, ⎪ 2 3𝑥𝑥 − 3 1 = 0; 𝑥𝑥 ≠ , 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 1)2 (3𝑥𝑥 + 1) 3 ⎨ 1 ⎪ ; 𝑥𝑥 ≠ − ⎩ 3 3x = 3; 𝑥𝑥 2 = 1; 𝑥𝑥 = ±1. Відповідь: −1; 1. 18. Знайдіть корені рівняння: 1 1 8 𝟏𝟏. − = ; 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 2 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 1 8 1 − − = 0; 𝑥𝑥(2 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥(2 − 𝑥𝑥)(2 + 𝑥𝑥) 1 8 1 − − = 0; 𝑥𝑥(2 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 − 2 − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) + 8 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 6 𝑥𝑥 − 2 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 8 = 0; = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) −𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 6 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0. 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 2 (не є коренем). Відповідь: –3 . 1 1 10 𝟐𝟐. + = ; 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 1 10 1 + − ; 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥(1 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(1 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥(1 + 𝑥𝑥) + (1 − 𝑥𝑥) − 10 = 0; 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(1 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 − 9 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 1 − 𝑥𝑥 − 10 = 0; = 0; 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(1 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥)(1 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 − 9 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, � 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 2 = 9; 𝑥𝑥 = ±3. Відповідь: –3; 3. 7𝑥𝑥 + 6 1 1 𝟑𝟑. 3 = 2 + ; 𝑥𝑥 − 27 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 − 3 1 1 7𝑥𝑥 + 6 − − = 0; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9 𝑥𝑥 − 3 7𝑥𝑥 + 6 − (𝑥𝑥 − 3) − (𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) = 0; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) 7𝑥𝑥 + 6 − 𝑥𝑥 + 3 − 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + (−9) = 0; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9)

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

−𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 0, = 0; � 𝑥𝑥 ≠ 3; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 9) 𝑥𝑥(3 − 𝑥𝑥) = 0, 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 0, � � 𝑥𝑥 ≠ 3; 𝑥𝑥 = ±3. 𝑥𝑥 ≠ 3; Відповідь: 0. 19. Розв’яжіть рівняння: 1. 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 − 1; (𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 2 ) − (𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1) − (𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0; або 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = 1 або 𝑥𝑥 = −1. Відповідь: −1; 1. 2. (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥)2 − 2(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥) − 3 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 3 = 0; 𝑡𝑡 = 3 або 𝑡𝑡 = −1; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0, � � 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 = 0; 1. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = −3𝑥𝑥2 = 1. 2. 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 = 0; (𝑥𝑥 + 1)2 = 0; 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = −1. Відповідь: −3; −1; 1. 7 20. Знайдіть координати точок перетину графіків y = 4x і y = – 1. 𝑥𝑥 + 1 7 7 − 1 = 4𝑥𝑥; = 4𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 1 (4𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1) = 7, 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 − 7 = 0, � � 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1; 4𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝐷𝐷 = 52 − 4 · 4 · (−6) = 25 + 96 = 121; −5 + 11 6 3 𝑥𝑥1 = = = ; 8 8 4 3 −5 − 11 16 3 =− = −2; 𝑦𝑦 � � = 4 ⋅ = 3; 𝑥𝑥2 = 4 8 8 4 𝑦𝑦(−2) = 4 · (−2) = −8. 3 Відповідь: � ; 3� ; (−2; −8). 4 21. Розв’яжіть рівняння: 18𝑥𝑥 + 5 25 8𝑥𝑥 + 29 + = ; 𝟏𝟏. 16𝑥𝑥 4 − 1 8𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 4𝑥𝑥 2 + 1 18𝑥𝑥 + 5 25 8𝑥𝑥 + 29 + − = 0; (4𝑥𝑥 2 − 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) (8𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 ) + (2𝑥𝑥 + 1) 4𝑥𝑥 2 + 1 18𝑥𝑥 + 5 25 8𝑥𝑥 + 29 + − = 0; (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) 4𝑥𝑥 2 (2𝑥𝑥 + 1) + (2𝑥𝑥 + 1) 4𝑥𝑥 2 + 1 8𝑥𝑥 + 29 18𝑥𝑥 + 5 25 + − = 0; (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) (2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) 4𝑥𝑥 2 + 1 8𝑥𝑥 + 29 + (2𝑥𝑥 − 1)(18𝑥𝑥 + 5) − 25(4𝑥𝑥 2 − 1) = 0; (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) 8𝑥𝑥 + 29 + 36𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 18𝑥𝑥 − 5 − 100𝑥𝑥 2 + 25 =0 (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

−64𝑥𝑥 2 + 49 = 0; (2𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥 + 1)(4𝑥𝑥 2 + 1) −64𝑥𝑥 2 + 49 = 0, ⎧ ⎪𝑥𝑥 ≠ 1 , 2 ⎨ ⎪𝑥𝑥 ≠ − 1 ; −64𝑥𝑥 2 = −49; ⎩ 2 49 7 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥 = ± . 64 8 7 7 Відповідь: − ; . 8 8 3𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 − 1 2. − = ; 27𝑥𝑥 3 + 18𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 − 8 9𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 4 4𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 3 1 𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − − = 0; (27𝑥𝑥 3 − 8) + (18𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥) (3𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(4 − 9𝑥𝑥 2 ) 1 𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − − = 0; (3𝑥𝑥 − 2)(9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 4) + 6𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2) (3𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2) 1 𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − − = 0; (3𝑥𝑥 − 2)(9𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 4) (3𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2) 1 𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 − − = 0; (3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2)2 (3𝑥𝑥 + 2)2 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2) 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2) + (3𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2)2 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 2 = 0; 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2)2 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0, ⎧ 𝑥𝑥 ≠ 0, ⎪ 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 2 = 0; 𝑥𝑥 ≠ , 𝑥𝑥(3𝑥𝑥 − 2)(3𝑥𝑥 + 2)2 3 ⎨ 2 ⎪ ; 𝑥𝑥 ≠ − ⎩ 3 3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0; D = 12 + 4 · 3 · (−2) = 1 + 24 = 25 = 52 ; −1 + 5 4 2 = = (не є коренем); 𝑥𝑥1 = 6 6 3 −1 − 5 6 = − = −1. 𝑥𝑥2 = 6 6 Відповідь: −1. 22. Знайдіть корені рівняння: 1. (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 2)2 + 3 = 0; (𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4) + 3 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 𝑡𝑡(𝑡𝑡 + 4) + 4 = 0; 𝑡𝑡 2 + 4𝑡𝑡 + 3 = 0; 𝑡𝑡1 = −3; 𝑡𝑡2 = −1. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = −3, 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 = 0, Отже, � 2 � 𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 3;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2) 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (−4)2 − 4 · 1 · 1 = 16 − 4 = 12;

4+√12 4+2√3 2(2+√3) = = = 2 + √3; 𝑥𝑥2 = 2 − √3. 2 2 2

la. in.

Відповідь: 1; 3; 2 ± √3. 𝟐𝟐. 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) = 24; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) = 24; (𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2) = 24. Нехай 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 𝑡𝑡(𝑡𝑡 + 2) − 24 = 0; 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 24 = 0; 𝑡𝑡1 = −6; 𝑡𝑡2 = 4. 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = −6, [𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 6 = 0; � 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = 4; [𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0; (коренів немає, бо D < 0 ); 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −1. Відповідь: −1; 4. 8 ; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 ≠ 0. 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 2 Нехай 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 8 𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 2) = 0, = 𝑡𝑡; � 𝑡𝑡 ≠ 2; 𝑡𝑡 − 2 2 𝑡𝑡 − 2𝑡𝑡 − 8 = 0; 𝑡𝑡1 = 4; 𝑡𝑡2 = −2. 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 = 4, 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −1; 2) 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 2. Відповідь: −1; 1; 2; 4. 19 ; 𝟒𝟒. (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 7) = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 4) 19 ; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 14 = 2 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 4 (𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4) = 19, �𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ 4. Нехай 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = 𝑡𝑡, тоді 19 𝑡𝑡 − 18 = � ⋅ 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 (𝑡𝑡 − 14)(𝑡𝑡 + 4) = 0; 𝑡𝑡 2 − 18𝑡𝑡 − 56 = 19; 𝑡𝑡 2 − 10𝑡𝑡 − 75 = 0; D = (−10)2 − 4 · 1 · (−75) = 100 + 300 = 400; 10 + 20 30 10 − 20 𝑡𝑡1 = = = 15; 𝑡𝑡1 = = −5; 2 2 2 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 = 15, 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 15 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 = −5; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 5 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 5 = 0; D = (−5)2 − 4 · 1 · (−15) = 25 + 60 = 85; 5 + √85 5 − √85 ; 𝑥𝑥2 = ; 𝑥𝑥1 = 2 2

𝑥𝑥1 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 5 = 0; D = (−5)2 − 4 · 5 = 25 − 20 = 5; 5 + √5 5 − √5 ; 𝑥𝑥4 = . 𝑥𝑥3 = 2 2 5±5√85 5±√5 ; . Відповідь: 2 2 1 5 + 2 = 2. 𝟓𝟓. 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 5 Нехай 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тому 1 5(𝑡𝑡 − 5) + 𝑡𝑡 − 1 2 5 + = 2; = ; (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 − 5) 1 𝑡𝑡 − 1 𝑡𝑡 − 5 2 2 29𝑡𝑡 − 6𝑡𝑡 + 5 = 6𝑡𝑡 − 26, 6𝑡𝑡 − 26 = ; �𝑡𝑡 ≠ 1, 𝑡𝑡 − 6𝑡𝑡 + 5 1 𝑡𝑡 ≠ 5; 2 2𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡 + 10 − 6𝑡𝑡 + 26 = 0; 2𝑡𝑡 2 − 18𝑡𝑡 + 36 = 0; 𝑡𝑡 2 − 9𝑡𝑡 + 18 = 0; 𝑡𝑡1 = 4; 𝑡𝑡2 = −2. 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 6; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; D = (−1)2 − 4 · (−3) = 1 + 12 = 13; 1 + √13 1 − √13 ; 𝑥𝑥2 = ; 𝑥𝑥1 = 2 2 2) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −2. 1±√13

. Відповідь: −2; 3; 2 3 8 2 + 2 = 2 . 𝟔𝟔. 2 𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 − 2 Нехай 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 3 8 2 + − = 0; 𝑡𝑡 + 4 𝑡𝑡 + 1 𝑡𝑡 − 2 2(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 2) + 3(𝑡𝑡 + 4)(𝑡𝑡 − 2) − 8(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 + 4) = 0; (𝑡𝑡 + 4)(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 2) 2(𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 2) + 3(𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 8) − 8(𝑡𝑡 2 + 5𝑡𝑡 + 4) = 0; (𝑡𝑡 + 4)(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 2) 2𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 4 + 3𝑡𝑡 2 + 6𝑡𝑡 − 24 − 8𝑡𝑡 2 − 40𝑡𝑡 − 32 = 0; (𝑡𝑡 + 4)(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 2) −3𝑡𝑡 2 − 36𝑡𝑡 − 60 = 0; (𝑡𝑡 + 4)(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 2) 3𝑡𝑡 2 − 36𝑡𝑡 − 60 = 0, 𝑡𝑡 ≠ −4, � 𝑡𝑡 ≠ −1, 𝑡𝑡 ≠ 2; 2 𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡 + 20 = 0; D = 122 − 4 · 1 · 20 = 144 − 80 = 64; −12 + 8 4 𝑡𝑡1 = = − = −2; 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−12 − 8 20 =− = −10; 2 2 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 = −2 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 2 = 0; � 2 � 𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 = −10; 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 10 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 2 = 0; D = (−11)2 − 4 · 1 · 2 = 121 − 8 = 113; 11+√113

11−√113

la. in.

𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = ; 2 2 2) 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 10 = 0; D = (−11)2 − 4 · 1 · 10 = 121 − 40 = 81; 11 + 9 20 11 − 9 2 𝑥𝑥3 = = = 10; 𝑥𝑥1 = = = 1. 2 2 2 2 11±√113 Відповідь: 1; 10; . 2 23. Розв’яжіть рівняння: 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 − 13 + 2 = 2,5. 𝟏𝟏. 𝑥𝑥 − 13 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 1 = 𝑡𝑡, Нехай 2 𝑥𝑥 − 13 1 1 5 𝑥𝑥 + 1 = ; 𝑡𝑡 + = ; тоді 2 𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 − 13 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2 + 1 5 2(𝑡𝑡 2 + 1) = 5𝑡𝑡, = ;� 2 𝑡𝑡 ≠ 0; 𝑡𝑡 2 2𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡 + 2 = 0; D = (−5)2 − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9; 5+3 8 5−3 2 1 = = 2; 𝑡𝑡2 = = = . 𝑡𝑡1 = 4 4 4 4 2 𝑥𝑥 2 − 13 ⎡ = 2, 𝑥𝑥 2 − 13 = 2(𝑥𝑥 + 1), 𝑥𝑥 + 1 ⎢ 2 ��2(𝑥𝑥 2 − 13) = 𝑥𝑥 + 1; ⎢𝑥𝑥 − 13 1 𝑥𝑥 ≠ −1 ⎣ 𝑥𝑥 + 1 = 2 ; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15 = 0, � 2 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 27 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15 = 0; 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −3; 2) 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 27 = 0; D = (−1)2 − 4 · 2 · (−27) = 1 + 216 = 217; 1 ± √217 𝑥𝑥 = . 4 1±√217 Відповідь: −3; 5; . 4 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 5𝑥𝑥 − 5 + = 4; 𝟐𝟐. 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 5(1 − 𝑥𝑥) − 2 = 4. 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, Нехай 1 − 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 1 5 𝑡𝑡 2 − 5 4 тоді 2 = ; 𝑡𝑡 − = 4; = ; 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 𝑡𝑡

𝑡𝑡2 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑡𝑡 2 − 4𝑡𝑡 − 5 = 0; 𝑡𝑡1 = 5; 𝑡𝑡2 = −1; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 ⎡ 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 5(1 − 𝑥𝑥), 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 5 = 0, = 5, � � ⎢ 12 − 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 = 0, � 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 1, ⎢𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ 1; ⎣ 1 − 𝑥𝑥 = −1; 1) 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 82 − 4 · 1 · (−5) = 64 + 20 = 84; −8 ± √84 −8 ± 2√21 2(−4 ± √21) 𝑥𝑥 = = = = −4 ± √21; 2 2 2 2) 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 = 0; (𝑥𝑥 + 1)2 = 0; 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 = −1; Відповідь: −1; −4 ± √21. До § 51 24. З міста в село, відстань між якими 16 км, вийшов пішохід. Через 2 год 40 хв у тому самому напрямку виїхала велосипедистка і прибула в село одночасно з пішоходом. Знайдіть швидкість велосипедистки, якщо вона на 8 км/год більша за швидкість пішохода. 40 2 8 12 год 40 хв = 2 год = 2 год = год. 60 3 3 Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість пішохода, тоді (𝑥𝑥 + 8) км/год – швидкість велосипедиста. Маємо рівняння: 16 8 16(𝑥𝑥 + 8) − 16𝑥𝑥 8 16 − = ; = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 8) 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 8 3 128 8 16𝑥𝑥 + 128 − 16𝑥𝑥 8 = ; = ; 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 8) 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 8) 8𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 8) = 128 ⋅ 3, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −8; 8𝑥𝑥 2 + 64𝑥𝑥 − 384 = 0 ∣: 8; 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 − 48 = 0; 𝑥𝑥1 = −12; 𝑥𝑥2 = 4; 𝑥𝑥 = −12 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 8 = 4 + 8 = 12 (км/год). Відповідь: 12 км/год. 25. Поїзд, який було затримано на 2 год, компенсував запізнення на перегоні 400 км завдовжки, збільшивши швидкість на 10 км/год. Знайдіть, за який час поїзд мав подолати цей перегін за розкладом. Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість потягу за розкладом. Маємо рівняння: 400 400(𝑥𝑥 + 10 − 𝑥𝑥) 400 − = 2; = 2; 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 𝑥𝑥 400𝑥𝑥 + 4000 − 400𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 10) = 4000, �𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −10; 2𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 − 4000 = 0; 𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 2000 = 0; D = 102 − 4 · 1 · (−2000) = 100 + 8000 = 8100; −10 + 90 80 −10 − 90 = = 40; 𝑥𝑥2 = <0 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (умові задачі не задовольняє).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

400 400 = = 10. 40 𝑥𝑥 Відповідь: за 10 год. 26. Катер проплив 45 км за течією і 7 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Яка власна швидкість катера, якщо швидкість течії 2 км/год? Нехай 𝑥𝑥 км/год – власна швидкість катера, тоді 7 45(𝑥𝑥 − 2) + 7(𝑥𝑥 + 2) 45 − = 3; = 3; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 45𝑥𝑥 − 90 + 7𝑥𝑥 + 14 3 = ; (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) 1 2 3(𝑥𝑥 − 4) = 52𝑥𝑥 − 76, � 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 2; 3𝑥𝑥 2 + 52𝑥𝑥 − 12 + 76 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 52𝑥𝑥 + 64 = 0; D = (−52)2 − 4 · 3 · 64 = 2704 − 768 = 1936; 52 + 44 96 = = 16; 𝑥𝑥1 = 6 6 52 − 44 8 4 1 = = =1 <2 𝑥𝑥2 = 6 6 3 3 (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 16 км/год. 27. О 8-й годині ранку від пристані за течією річки відійшов пліт, а о 17-й годині в тому самому напрямку відійшов човен, який наздогнав пліт на відстані 20 км від пристані. О котрій годині човен наздогнав пліт, якщо власна швидкість човна дорівнює 18 км/год? Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість плота (швидкість течії річки). Маємо рівняння: 20 20(18 + 𝑥𝑥) − 20𝑥𝑥 20 − = 9; = 9; 𝑥𝑥(18 + 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 18 360 9 360𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥 9 = ; = ; 1 𝑥𝑥(18 + 𝑥𝑥) 1 𝑥𝑥(18 + 𝑥𝑥) 9𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 18) = 360, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −18; 9𝑥𝑥 2 + 162𝑥𝑥 − 360 = 0 ∣: 9; 𝑥𝑥 2 + 18𝑥𝑥 − 40 = 0; 𝑥𝑥 = −20 < 0 умові задачі не задовольняе. 20 20 20 = = = 1 (год). Отже, 18 + 𝑥𝑥 18 + 2 20 17 + 1 = 18. Відповідь: 18 год. 28. Рибалка відплив на човні з пункту A проти течії річки. Подолавши 5 км, він кинув весла, і через 3 год після відплиття з пункту A його знову віднесло до цього пункту. Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 12 км/год. Знайдіть швидкість течії, якщо вона менша, ніж 5 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість течії річки. Маємо рівняння: 5 5𝑥𝑥 + 5(12 − 𝑥𝑥) 3 5 + = 3; = ; 𝑥𝑥(12 − 𝑥𝑥) 1 12 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 5𝑥𝑥 + 60 − 5𝑥𝑥 3 3𝑥𝑥(12 − 𝑥𝑥) = 60, = ;� 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 12; 𝑥𝑥(12 − 𝑥𝑥) 1 2 −36𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 60 = 0; 3𝑥𝑥 2 − 36𝑥𝑥 + 60 = 0 ∣: 3; 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 20 = 0. 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 10; 𝑥𝑥 = 10 > 5.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

умові задачі не задовольняє. Отже, 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: 2 км/год 29. Перша операторка-набірниця набрала 120 сторінок тексту, а друга – 144 сторінки. Перша щодня набирала на 4 сторінки більше, ніж друга, і працювала на 3 дні менше, ніж друга. Скільки сторінок щодня набирала перша набірниця і скільки – друга? Нехай 𝑥𝑥 сторінок рукопису набирала друга набірниця, тоді (𝑥𝑥 + 4) сторінок рукопису набирала перша. Маємо рівняння: 144(𝑥𝑥 + 4) − 120𝑥𝑥 144 120 − = 3; = 3; 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 𝑥𝑥 144𝑥𝑥 + 576 − 120𝑥𝑥 3 = ; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 1 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) = 24𝑥𝑥 + 576; � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −4; 2 3𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥 − 24𝑥𝑥 − 576 = 0; 3𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 576 = 0; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 192 = 0. D = (−4)2 − 4 · 1 · (−192) = 16 + 768 = 784; 4 + 28 2 4 − 28 = = 16; 𝑥𝑥1 = < 0. 𝑥𝑥1 = 2 2 2 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 4 = 16 + 4 = 20. Відповідь: 16 сторінок; 20 сторінок. 30. Робочий день становить 8 год. Щоб виготовити 15 деталей, Богдану треба на 1 год менше, ніж Михайлу. Скільки деталей за день виготовляє кожен з майстрів, якщо Богдан за робочий день виготовляє на 20 деталей більше, ніж Михайло? Нехай 𝑥𝑥 деталей за робочий день виготовляє Степан, тоді (𝑥𝑥 + 20) деталей за робочий день виготовляє Петро. Час, не– обхідний для виго– товлення 1 деталі

Час, необ– хідний для виготов– лення 15 деталей

Кіль– кість деталей за 8 год

8 8 ⋅ 15 𝑥𝑥 𝑥𝑥 8 8 ⋅ 15 Богдан 𝑥𝑥 + 20 𝑥𝑥 + 20 𝑥𝑥 + 20 120(𝑥𝑥 + 20) − 120𝑥𝑥 8 ⋅ 15 8 ⋅ 15 − = 1; = 1; 𝑥𝑥 + 20 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 20) 𝑥𝑥 2400 1 120𝑥𝑥 + 2400 − 120𝑥𝑥 1 = ; = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 20) 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 20) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 20) = 2400, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −20; 2 𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 − 2400 = 0. D = 202 − 4 · 1 · (−2400) = 4000 + 9600 = 10 000; −20 + 100 80 𝑥𝑥1 = = = 40; 2 2 𝑥𝑥

Михайло

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−20 − 100 <0 2 (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 20 = 40 + 20 = 60. Відповідь: 40 деталей; 60 деталей. 31. Через перший кран водоочищувач на фермі наповнюється на 4 год швидше, ніж через другий спорожнюється. Якщо одночасно відкрити обидва крани, то водоочищувач наповниться за 3 год. За скільки годин водоочищувач може через перший кран наповнитися і за скільки годин через другий кран спорожнитися? Нехай за 𝑥𝑥 год водоочищувач наповнюється через перший кран, тоді за (𝑥𝑥 + 4) год водоочищувач спорожнюється через другий кран. Маємо рівняння: 1 1 𝑥𝑥 + 4 − 𝑥𝑥 1 1 − = ; = ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 4 3 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 3 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) = 12, 4 = ;� 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) 3 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −4; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 12 = 0; 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥 = −6 < 0. (умові задачі не задовольняє). 𝑥𝑥 + 4 = 2 + 4 = 6. Відповідь: 2 год; 6 год. 32. Майстер може виконати завдання на 3 год швидше, ніж учень. Якщо майстер пропрацює 4 год, а потім його замінить учень і пропрацює 3 год, то завдання буде виконано. За скільки годин самостійно може виконати завдання майстер і за скільки – учень? Нехай за 𝑥𝑥 год може виконати завдання учень, тоді за (𝑥𝑥 − 3) год виконає це завдання 1 1 – продуктивність праці майстра. Маємо майстер. – продуктивність праці учня; 𝑥𝑥 𝑥𝑥−3 рівняння: 3 4𝑥𝑥 + 3(𝑥𝑥 − 3) 4 + = 1; = 1; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 9 1 7𝑥𝑥 − 9 1 = ; = ; 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3) = 7𝑥𝑥 − 9, � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 3; 2 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 + 9 = 0; 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 9 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 9; 𝑥𝑥 = 1 (умові задачіне задовольняє). Отже, 𝑥𝑥 = 9; 𝑥𝑥 − 3 = 9 − 3 = 6. Відповідь: 6 год; 9 год. 33. Зливок міді й цинку, що містить 1 кг міді, сплавили з 2 кг міді. Отримали зливок, у якому міді на 25 % більше, ніж було в попередньому зливку. Якою була маса початкового зливка?

la. in.

𝑥𝑥2 =

І сплав

Цинк

Мідь

𝑥𝑥

ІІ сплав 3 𝑥𝑥 1 1 3(𝑥𝑥 + 1) − (𝑥𝑥 + 3) 1 3 − = ; = ; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) 4 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 1 4  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2𝑥𝑥 1 3𝑥𝑥 + 3 − 𝑥𝑥 − 3 1 = ; = ; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) 4 (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) 4 (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) = 8𝑥𝑥, � 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 3; 𝑥𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2 або 𝑥𝑥 + 1 = 3 + 1 = 4. Відповідь: 2 кг або 4 кг. 34. З міст A і B одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти і зустрілися через 5 год. Швидкість велосипедиста, який виїхав з міста A, на 5 км/год менша від швидкості другого велосипедиста. Якби другий велосипедист виїхав на 4,5 год пізніше, ніж перший, то вони зустрілися б на відстані 75 км від міста B. Знайдіть відстань між містами A і B. Нехай 𝑥𝑥 км/год – швидкість велосипедиста, що виїхав з пункту B, тоді (𝑥𝑥 − 5) км/год – швидкість велосипедиста, що виїхав з пункту A. Відстань між містами A і B становить 5𝑥𝑥 + 5(𝑥𝑥 − 5) = 5𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 25 = 10𝑥𝑥 − 25. Маємо рівняння: 10𝑥𝑥 − 25 − 75 75 9 10𝑥𝑥 − 100 75 9 − = ; − = ; 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥(10𝑥𝑥 − 100) − 75(𝑥𝑥 − 5) 9 = ; 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 2 10𝑥𝑥 − 100𝑥𝑥 − 75𝑥𝑥 + 375 9 = ; 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 2 2(10𝑥𝑥 − 175𝑥𝑥 + 375) = 9𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5), � 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 5; 20𝑥𝑥 2 − 350𝑥𝑥 + 750 − 9𝑥𝑥 2 + 45𝑥𝑥 = 0; 11𝑥𝑥 2 − 305𝑥𝑥 + 750 = 0; D = (−305)2 − 4 · 11 · 750 = 93025 − 33000 = 60025 = 2452 ; 305 + 245 550 = = 25; 𝑥𝑥1 = 22 22 305 − 245 60 30 8 = = =2 <5 𝑥𝑥2 = 22 22 11 11 (умові задачі не задовольняє). AB = 10𝑥𝑥 − 25 = 10 · 25 − 25 = 250 − 25 = 225 (км). Відповідь: 225 км. 35. Бригада робітників мала виготовити у певний термін 800 однакових віконних блоків. У перші 5 днів бригада щоденно виготовляла заплановану кількість блоків, а потім кожного дня – на 5 блоків більше, ніж планувала, тому вже за день до визначеного терміну було виготовлено 830 віконних блоків. Скільки віконних блоків мала щодня виготовляти бригада за планом? 800 визначений термін. Нехай 𝑥𝑥 віконних блоків мала виготовляти бригада за планом, тоді 𝑥𝑥 Маємо рівняння: 800 5𝑥𝑥 + � − 6� (𝑥𝑥 + 5) = 830; 𝑥𝑥 4000 − 6𝑥𝑥 − 30 = 830; 5𝑥𝑥 + 800 + 𝑥𝑥 4000 4000 − 𝑥𝑥 = 830 + 30 − 800; − 𝑥𝑥 = 60; 𝑥𝑥 𝑥𝑥  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4000 − 𝑥𝑥 2 60 400 − 𝑥𝑥 2 = 60𝑥𝑥, = ;� 1 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 60𝑥𝑥 − 4000 = 0. D = 602 − 4 · 1 · (−4000) = 3600 + 16 000 = 19 600; −60 + 140 80 𝑥𝑥1 = = = 40; 2 2 −60 − 140 𝑥𝑥2 = <0 2 (умові задачі не задовольняе). Відповідь: 40 деталей.

la. in.

Завдання для перевірки знань за курс математики 8 класу 1. Виконайте дії: 3𝑚𝑚 − 4 4 3𝑚𝑚 − 4 + 4 3𝑚𝑚 𝟏𝟏. + = = ; 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 2 6 2𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 𝟐𝟐. : 2 = = . 𝑏𝑏 𝑏𝑏 6𝑏𝑏 3 2. Подайте у вигляді степеня з основою a: 1. 𝑎𝑎−7 : 𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎−7−3 = 𝑎𝑎−10 ; 2. (𝑎𝑎−2 )5 = 𝑎𝑎−10 . 3. Один з кутів ромба дорівнює 46°. Знайдіть інші кути ромба. Згідно властивостей ромба: 1) Протилежні кути рівні між собою 2) Сусідні кути в сумі дають 180°

Протилежний кут: ∠B = 46° Сусідній кут: ∠C = 180° − 46° = 134° Відповідь: 46°, 134°, 46°, 134°. 4. Знайдіть значення виразу:

7 5 2 25 𝟏𝟏. �2 + 10�0,16 = � + 10 ⋅ 0,4 = + 4 = 5 ; 9 3 3 9

𝟐𝟐. √2 ⋅ �0,5 + (−√7)2 = �2 ⋅ 0,5 + 7 = √1 + 7 = 8. 5. Розв’яжіть рівняння: 1. 2𝑥𝑥 2 + 13𝑥𝑥 + 6 = 0. 𝐷𝐷 = 132 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 121;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥2 =

2 3−1 2

= 1 — не задовольняє умову 𝑥𝑥 ≠ 1. 1 2

la. in.

Відповідь: 1) − ; −6; 2) 2.

−13+11

=− ; 2 −13 − 11 = −6. 𝑥𝑥2 = 4 3𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 2 = 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 1 2 �𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 − 2, 𝑥𝑥 ≠ 1. 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝐷𝐷 = (−3)2 − 4 ⋅ 2 = 1; 3+1 𝑥𝑥1 = = 2; 𝑥𝑥1 =

6. Середня лінія трапеції дорівнює 12 см. Знайдіть основи трапеції, якщо одна з них на 4 см більша за іншу.

1. Нехай одна з основ трапеції дорівнює x см, тоді друга — (x + 4) см. 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 4 𝟐𝟐. = 12; 2 2x + 4 = 24; 2x = 20; x = 10 (см). 3. Отже, основи трапеції 10 см і 10 + 4 = 14 (см). Відповідь: 10 см і 14 см. 7. У △ABC ∠C = 90°, AC = 6 см, AB = 10 см. Розв’яжіть цей трикутник (кути трикутника знайдіть із точністю до градуса).

1. BC = �AB² − AC² = �10² − 6² = 8 (см). 6 AC = = 0,75; ∠B ≈ 37°. 𝟐𝟐. tgB = 8 BC 3. ∠A ≈ 90° – 37° = 53°. Відповідь: BC = 13 см; ∠B ≈ 37°; ∠A ≈ 53°.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

8. Моторний човен подолав 36 км проти течії і повернувся назад, витративши на весь шлях 5 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. Нехай 𝑥𝑥 км/год - власна швидкість човна. Рух 𝑠𝑠, км U, км/год 𝑡𝑡, год 36 За течією 36 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 3 Проти течії 36 𝑥𝑥 − 3 36 𝑥𝑥 − 3 36 36 + = 5; 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 − 3 36𝑥𝑥 − 108 + 36𝑥𝑥 + 108 = 5; 𝑥𝑥 2 − 9 72𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 2 − 45; 5𝑥𝑥 2 − 72𝑥𝑥 − 45 = 0; 𝐷𝐷 = (−72)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−45) = = 6084; √𝐷𝐷 = 78; 72 + 78 𝑥𝑥1 = = 15 (км/год); 10 72 − 78 < 0 - не має змісту 𝑥𝑥2 = 10 Відповідь: 15 км/год. 8𝑥𝑥−32 9. Побудуйте графік функції 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 4; 𝑥𝑥 ≠ 0. Маємо 8(𝑥𝑥 − 4) 8 8𝑥𝑥 − 32 = = − , 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) 8𝑥𝑥−32 8 є гіпербола 𝑦𝑦 = − з «виколотою» точкою (4; −2). Отже, графіком функції 𝑦𝑦 = 2

4𝑥𝑥−𝑥𝑥

𝑥𝑥 −8 −4 −2 −1 1 2 8 𝑦𝑦 1 2 4 8 −8 −4 −1

 shkola.in.ua

𝑥𝑥

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Задачі підвищеної складності з алгебри 1. Доведіть, що для додатних значень a і b (a ≠ b) значення дробу 𝑎𝑎² + 𝑏𝑏²

𝑎𝑎² – 𝑏𝑏² 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏

більше за

la. in.

відповідне значення дробу . 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Якщо 𝑎𝑎 > 0, 𝑏𝑏 > 0 і 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏, то 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 )(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ) − = = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ) 2𝑎𝑎𝑎𝑎 = = = > 0. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 > . Отже, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2. Скоротіть дріб (𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 )2 − (𝑚𝑚𝑚𝑚)2 𝑚𝑚4 + 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛4 (𝑚𝑚4 + 2𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛4 ) − 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 = = = (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)(𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 ) 𝑚𝑚3 + 𝑛𝑛3 𝑚𝑚3 + 𝑛𝑛3 (𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚)(𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 = = . 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)(𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛2 ) 3. Спростіть вираз: 1 1 − 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝟏𝟏. ⋅ �1 + = ; �: 1 1 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 𝑥𝑥 2 2𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)2 − 𝑥𝑥 2 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥) а) 1 + = = = ; 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 1 = ; б) − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 1 1 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 в) + = ; 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥) ⋅ 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 г) : = = ; 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥) 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥) (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)2 ⋅ = ; д) 2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 2𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)2 ⋅ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 − (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧))2 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2 e) : = = = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2𝑦𝑦𝑦𝑦 ⋅ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) 2𝑦𝑦𝑦𝑦 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)𝑥𝑥 = ; 2 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 + 1 2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 2𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑛𝑛2 2 (𝑛𝑛 ⋅ + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚) = ; 𝟐𝟐. (4𝑛𝑛4 + 4𝑚𝑚𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 ): (2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚) 𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 a) − = − (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛) 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑛𝑛2 2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 (4𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2 ) − (2𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 = − 2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(2𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) − 𝑚𝑚(2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛) 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 (𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) − (𝑚𝑚2 + 𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚) = − = 2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(2𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚) (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 2 2 2 2 2 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 = =− ; (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 4𝑛𝑛4 + 4𝑚𝑚𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚2 (2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚)2 = = 2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚; б) 2 2 2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 2𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 1 2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚 : =− = ; в) − (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 1 (2𝑚𝑚 − 𝑛𝑛)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)(2𝑛𝑛2 + 𝑚𝑚) (𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 1 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) + 𝑚𝑚(𝑛𝑛 + 1) (𝑛𝑛 + 1)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) г) ⋅ (𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚) = = (𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) (𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) (𝑛𝑛 − 2𝑚𝑚)(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 + 1 = . 𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 1 4 4 : − = 4; 𝟑𝟑. 1 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 1 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝑧𝑧 1 = ; a) 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 б) 𝑥𝑥 + = ; 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 4 4(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 = ; в) 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1 4(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) 1 4(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1) 𝑦𝑦 4(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1) г) : = : = ; 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦 4 4(𝑦𝑦 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 − 1) 4𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥) 4(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 1)(𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1) − = = д) 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) 𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧) = 4; 2 𝑎𝑎4 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 −2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 4. �� = ; � − � ⋅ 2 2 2 4 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 2 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 𝑎𝑎 −2 = ; а) � � =� � = 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 − 𝑎𝑎(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎) − = б) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 3 − 𝑎𝑎3 + 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 −𝑏𝑏 3 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 2 = = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) −𝑏𝑏(𝑏𝑏 2 + 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎) −𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 −𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑏𝑏(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) = = 2 = = ; 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑎𝑎4 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 в) ⋅ = = = ; 𝑎𝑎4 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 4 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑝𝑝2 4𝑝𝑝2 (2𝑝𝑝 + 1) 𝑝𝑝−6 − 64 ⋅ − = 1 + 2𝑝𝑝; 𝟓𝟓. 4 + 2𝑝𝑝−1 + 𝑝𝑝−2 4 − 4𝑝𝑝−1 + 𝑝𝑝−2 1 − 2𝑝𝑝 1 1 − 64𝑝𝑝6 12 − (8𝑝𝑝3 )2 (1 − 8𝑝𝑝3 )(1 + 8𝑝𝑝3 ) −6 = = = a) 𝑝𝑝 − 64 = 6 − 64 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝6 𝑝𝑝6 𝑝𝑝6 (1 − 2𝑝𝑝)(1 + 2𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2 )(1 + 2𝑝𝑝)(1 − 2𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2 ) = ; 𝑝𝑝6 2 1 4𝑝𝑝2 + 2𝑝𝑝 + 1 −1 −2 ; б) 4 + 2𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 = 4 + + 2 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝2 4 1 4𝑝𝑝2 − 4𝑝𝑝 + 1 (2𝑝𝑝 − 1)2 −1 −2 = ; в) 4 − 4𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 = 4 − + 2 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 𝑝𝑝2 𝑝𝑝4 (1 − 2𝑝𝑝)(1 + 2𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2 )(1 + 2𝑝𝑝)(1 − 2𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2 ) ⋅ 2 ⋅ г) 4𝑝𝑝 + 2𝑝𝑝 + 1 (1 − 2𝑝𝑝)2 𝑝𝑝6 (1 + 2𝑝𝑝)(1 − 2𝑝𝑝 + 4𝑝𝑝2 ) = ; 1 − 2𝑝𝑝 1 + 8𝑝𝑝3 4𝑝𝑝2 (2𝑝𝑝 + 1) 1 + 8𝑝𝑝3 − 8𝑝𝑝3 − 4𝑝𝑝2 1 − 4𝑝𝑝2 д) − = = = 1 − 2𝑝𝑝 1 − 2𝑝𝑝 1 − 2𝑝𝑝 1 − 2𝑝𝑝 (1 − 2𝑝𝑝)(1 + 2𝑝𝑝) = 1 + 2𝑝𝑝; 1 − 2𝑝𝑝 −1 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 −1 − 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 : ⋅ = − ; 𝟔𝟔. −3 � � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 −3 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 1 1 − −1 −1 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) ⋅ 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 a) −3 = = 3 = = ; 3 + 𝑦𝑦 3 1 1 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 ) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 −3 + 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) ⋅ (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 б) : = = ; 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) ⋅ 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑥𝑥𝑥𝑥 в) ⋅ 2 = − = − . 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 4. Доведіть тотожність: 1 𝑥𝑥 1 𝑦𝑦−𝑥𝑥 2 �𝑥𝑥 − 2 � ⋅ �𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑦𝑦 . 𝟏𝟏. 𝑦𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 = � � 𝑦𝑦 1 1 �𝑦𝑦 2 − 2 � ⋅ �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦� 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 1 2 a) �𝑥𝑥 − 2 � = � � ; 𝑦𝑦 𝑦𝑦 2 1 𝑦𝑦−𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦−𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 =� =� ; б) �𝑦𝑦 + � � � :� � = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)4 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 1 в) � = = � ⋅ 4 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ; = 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 𝑦𝑦  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 𝑦𝑦

la. in.

1 𝑦𝑦 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − 1 2 г) �𝑦𝑦 − 2 � = � � ; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 1 𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥−𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 𝑦𝑦 =� = : = 𝑥𝑥 ; д) �𝑥𝑥 − � � 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑦𝑦 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 1 𝑥𝑥−𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 𝑦𝑦 2 = e) �𝑦𝑦 − 2 � ⋅ �𝑥𝑥 − � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1) ⋅ 𝑦𝑦 = ; 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 𝑦𝑦 : є) 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 2𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 −𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥+𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 = = = ; � � 𝑦𝑦 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1)𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ⋅ 𝑦𝑦 −𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 𝑦𝑦 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)2 1 1 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 1 1 ; 𝟐𝟐. �1 + � : �� + �:� − �� = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2𝑏𝑏𝑏𝑏 2𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 (2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 ) − 𝑎𝑎2 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 − 𝑎𝑎2 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) = = = ; a) 1 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏 2𝑏𝑏𝑏𝑏 2𝑏𝑏𝑏𝑏 2𝑏𝑏𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 1 = ; б) + 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 1 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 1 = ; в) − 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) ⋅ 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 г) : = = ; 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) ⋅ (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) ⋅ (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) : = д) 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 2𝑏𝑏𝑏𝑏 ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) 2𝑏𝑏𝑏𝑏 2 (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) = ; 2𝑏𝑏𝑏𝑏 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 5 + 𝑦𝑦 5 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 2 3. : = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦; (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 )(𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 ) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦))(𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 · 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 3 ) + �(𝑦𝑦 5 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 3 ) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥)(𝑥𝑥 3 − 𝑦𝑦 3 ) = 2 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ) + 𝑦𝑦 3 (𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥 2 ) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) (𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 )(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 2 ⋅ = (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )(𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 ) 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦; 1 2 − 𝑦𝑦 2(𝑥𝑥 − 1) 𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥(2 − 𝑦𝑦) + + ; 4. � �:� �= 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑦𝑦 − 1 𝑦𝑦 − 1 2 − 𝑦𝑦 2(𝑥𝑥 − 1) (2 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − 2) + 2(𝑥𝑥 − 1)(𝑦𝑦 − 1) + = a) 𝑥𝑥 − 2 (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 𝑦𝑦 − 1 2𝑥𝑥 − 4 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2 = = ; (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2)  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥(2 − 𝑦𝑦) 𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) + 𝑥𝑥(2 − 𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − 1) + = 𝑦𝑦 − 1 𝑥𝑥 − 2 (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 = = (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) + 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) − 𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥) = = = ; (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥) 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 1 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 2 : =− ⋅ =− в) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) (𝑦𝑦 − 1)(𝑥𝑥 − 2) 1 = . 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 5. Доведіть одну з тотожностей видатного математика Л. Ейлера (1707–1783): 3 3 𝑎𝑎(𝑎𝑎3 + 2𝑏𝑏 3 ) 𝑏𝑏(2𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3 ) � −� � = 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏 3 ; � 3 3 3 3 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 3 3 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 3 3 3 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 �1 + 2 ⋅ 3 � 𝑏𝑏 ⋅ 𝑎𝑎 �2 + 3 � 𝑏𝑏 3 𝑎𝑎 𝑎𝑎 3 � −� � == 𝑎𝑎 �1 + 3 � ; � 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 3 𝑎𝑎 3 3 𝑎𝑎 �1 − 3 � 𝑎𝑎 �1 − 3 � 𝑎𝑎 𝑎𝑎 3 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 3 1+2⋅� � 2+� � 𝑏𝑏 3 𝑎𝑎 𝑎𝑎 3 3 3 𝑎𝑎 ⋅ � � − 𝑏𝑏 ⋅ � � = 𝑎𝑎 �1 + � � � ; 𝑎𝑎 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 3 1−� � 1−� � 𝑎𝑎 𝑎𝑎 3 3 3 𝑏𝑏 𝑏𝑏 3 3 1+2⋅� � 2+� � 𝑏𝑏 𝑏𝑏 3 𝑎𝑎 𝑎𝑎 � � −� � ⋅� � =1+� � . 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 3 𝑏𝑏 3 1−� � 1−� � 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 3

la. in.

б)

Нехай � � = 𝑡𝑡, тоді 𝑎𝑎 3

1 + 2𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 3 � − 𝑡𝑡 ⋅ � � = 1 + 𝑡𝑡; � 1 − 𝑡𝑡 1 − 𝑡𝑡 (1 + 2𝑡𝑡)3 − 𝑡𝑡(2 + 𝑡𝑡)3 1 + 6𝑡𝑡 + 12𝑡𝑡 2 + 8𝑡𝑡 3 − 8𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡 2 − 6𝑡𝑡 3 − 𝑡𝑡 4 2𝑡𝑡 3 − 2𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 4 + 1 = = (1 − 𝑡𝑡)3 (1 − 𝑡𝑡)3 (1 − 𝑡𝑡)3 3 4 2 2 2 (2𝑡𝑡 − 2𝑡𝑡) − (𝑡𝑡 − 1) 2𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 1) − (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1) = = (1 − 𝑡𝑡)3 (1 − 𝑡𝑡)3 (𝑡𝑡 2 − 1)(2𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 2 − 1) (𝑡𝑡 2 − 1)(𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 + 1) (𝑡𝑡 2 − 1)(𝑡𝑡 − 1)2 = =− = (𝑡𝑡 − 1)3 (1 − 𝑡𝑡)3 (1 − 𝑡𝑡)3 (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 − 1)2 (𝑡𝑡 − 1)3 (𝑡𝑡 + 1) = = = 𝑡𝑡 + 1. (𝑡𝑡 − 1)3 (𝑡𝑡 − 1)3 𝑡𝑡 + 1 = 𝑡𝑡 + 1, що й треба було довести. 1 1 2 4 8 6. Доведіть, що значення виразу + + + + є від’ємним для будь1 – 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎² 1 + 𝑎𝑎⁴ 1 + 𝑎𝑎⁸ якого значення a > 1. 1 2 4 8 1 + 𝑎𝑎 + 1 − 𝑎𝑎 2 4 8 1 + + + + = + + + = 1 − 𝑎𝑎2 1 + 𝑎𝑎2 1 + 𝑎𝑎4 1 + 𝑎𝑎8 1 − 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎2 1 + 𝑎𝑎4 1 + 𝑎𝑎8 4 8 4(1 + 𝑎𝑎4 ) + 4(1 − 𝑎𝑎4 ) 8 2(1 + 𝑎𝑎2 ) + 2(1 − 𝑎𝑎2 ) + + = + = = 1 + 𝑎𝑎4 1 + 𝑎𝑎8 1 + 𝑎𝑎8 1 − 𝑎𝑎4 1 − 𝑎𝑎8  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

8 8 8(1 + 𝑎𝑎8 ) + 8(1 − 𝑎𝑎8 ) 8 + 8𝑎𝑎8 + 8 − 8𝑎𝑎8 16 = + = = = . 1 − 𝑎𝑎8 1 + 𝑎𝑎8 1 − 𝑎𝑎16 1 − 𝑎𝑎16 1 − 𝑎𝑎16 16 Оскільки 𝑎𝑎 > 1, то 𝑎𝑎16 > 1. Отже, 1 − 𝑎𝑎16 < 0, тому < 0, що й треба було довести. 1−𝑎𝑎16 7. Доведіть, що коли x + y = 1, то 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − = − . 𝑦𝑦 3 − 1 𝑥𝑥 3 − 1 (𝑦𝑦 − 1)(𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 + 1) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) Оскільки 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1, то 𝑦𝑦 = 1 − 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 = 1 − 𝑦𝑦. Отже, 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − = 𝑦𝑦 3 − 1 𝑥𝑥 3 − 1 −𝑥𝑥(1 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 1 − 𝑥𝑥 + 1) 1 − 𝑥𝑥 1 1 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3 − (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) − =− 2 + = (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 (𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3 − 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 1 = 2 (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3) 2 − 4𝑥𝑥 2(1 − 2𝑥𝑥) = 2 = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 3) ((1 − 𝑦𝑦)2 + 1 − 𝑦𝑦 + 1)(𝑥𝑥 2 − 3(𝑥𝑥 − 1)) 2(1 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = = (1 + 𝑦𝑦 2 − 2𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 + 2)(𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦) (𝑦𝑦 2 − 3𝑦𝑦 + 3)(𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 2 = (𝑦𝑦 − 3(𝑦𝑦 − 1))(𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦) (𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 2 2 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦 3 + 3𝑥𝑥 3 + 9𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + 3(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) + 9𝑥𝑥𝑥𝑥 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 2 2 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 3(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 + 3𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + 3(𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) 2(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) = 2 2 = , 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 3(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + 3 оскільки 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1. 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑚𝑚 𝑛𝑛 8. Доведіть, що коли для чисел x, y, z, m, n, p справджуються рівності + + = 1 і + 𝑝𝑝

+ = 0, то для них справджується і рівність 𝑧𝑧

Піднесемо рівність 2

𝑥𝑥

𝑚𝑚

𝑦𝑦

𝑧𝑧

𝑥𝑥²

𝑚𝑚²

+ + = 1 до квадрата: 𝑛𝑛

𝑝𝑝

𝑦𝑦²

𝑛𝑛²

𝑧𝑧²

𝑝𝑝²

= 1.

𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 + + + 2 + 2 + 2 = 1; 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 𝑝𝑝2 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + + + 2 ⋅ = 1. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 𝑝𝑝2 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑝𝑝 З рівності + + = 0 маємо 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0. 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 Звідси 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0. Отже, 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + + = 1, 𝑚𝑚2 𝑛𝑛2 𝑝𝑝2 що й треба було довести. 1 1 1 9. Доведіть, що коли a + = b + = c + , то a2b2c2 = 1 або a = b = c. 𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑎𝑎

 shkola.in.ua

𝑚𝑚

𝑛𝑛

𝑝𝑝

𝑥𝑥

𝑦𝑦

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 1

la. in.

Оскільки 𝑎𝑎 + = 𝑏𝑏 + = 𝑐𝑐 + , то 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 1 1 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 1 1 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 ; 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = − = ; 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = − = 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 1 1 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 . 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 = − = 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 Перемножимо отримані рівності, маємо (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) ; (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏) = 1. 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) Якщо (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎) = 0, то 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 0, 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, �𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 0, �𝑏𝑏 = 𝑐𝑐, 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 = 0; 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎; 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐. Отже, 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 = 1 або 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐, що й треба було довести. 10. Розв’яжіть відносно змінної x рівняння: 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 = 0, 𝑥𝑥 = 2, 𝟏𝟏. = 0; � � 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎. 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥−2 = 1 ≠ 0. Якщо 𝑎𝑎 = 2, то 𝑥𝑥−𝑎𝑎 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 2, то рівняння розв'язків не має; якщо 𝑎𝑎 ≠ 2, то 𝑥𝑥 = 2. 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝟐𝟐. 2 = 0; � 2 � 𝑥𝑥 − 1 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ ±1. 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥−1 1 Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 2 = ≠ 0; 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥+1

𝑥𝑥+1 1

≠ 0. якщо 𝑎𝑎 = −1, 2 = 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥−1 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 1 або 𝑎𝑎 = −1, то рівняння не має розв'язків; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1 і 𝑎𝑎 ≠ −1, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 3. (𝑎𝑎 − 2)𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2 − 4; 𝑎𝑎2 − 4 (𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 + 2) 𝑥𝑥 = = = 𝑎𝑎 + 2, 𝑎𝑎 − 2 𝑎𝑎 − 2 якщо 𝑎𝑎 ≠ 2. Якщо 𝑎𝑎 = 2, то 0𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 – будь–яке. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 2, то 𝑥𝑥 – будь–яке число; якщо 𝑎𝑎 ≠ 2, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 2. 4. (𝑎𝑎2 − 1)𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1; 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1 (𝑎𝑎 − 1)2 𝑎𝑎 − 1 𝑥𝑥 = = = , 𝑎𝑎2 − 1 (𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 + 1) 𝑎𝑎 + 1 якщо 𝑎𝑎 ≠ 1 і 𝑎𝑎 ≠ −1. Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 0𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 – будь–яке; якщо 𝑎𝑎 = −1, то 0𝑥𝑥 = 4, рівняння розв'язків не має. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 – будь–яке число; якщо 𝑎𝑎 = −1, то рівняння розв'язків не 𝑎𝑎−1 . має; якщо 𝑎𝑎 ≠ −1 і 𝑎𝑎 ≠ 1, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎+1 11. Розв’яжіть відносно змінної x рівняння: 𝑥𝑥 𝑎𝑎 2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝟏𝟏. − = − ; 𝑎𝑎 2𝑥𝑥 2𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 2 𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − 2𝑎𝑎2 2𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − = 0; 2𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑎𝑎𝑎𝑎  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑥𝑥 2 − 𝑎𝑎2 − 2𝑥𝑥 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎2 = 0; = 0; 2𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0, 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 𝑥𝑥) = 0, � � 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0; 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑎𝑎 = 0 або 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 = 0, 𝑎𝑎 = 0 або 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, � � 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 0. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння розв'язків не має. 1 + 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎(1 − 𝑥𝑥) = 𝑏𝑏(1 + 𝑥𝑥), = ; �𝑥𝑥 ≠ 1, 𝟐𝟐. 1 − 𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑏𝑏 ≠ 0; 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑏𝑏; 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏; 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 , 𝑥𝑥(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≠ 0, 𝑎𝑎 ≠ −𝑏𝑏. Якщо 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏, то 1 + 𝑥𝑥 −𝑏𝑏 1 + 𝑥𝑥 = ; = −1; 𝑏𝑏 1 − 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 −(1 − 𝑥𝑥) = 1 + 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 − 1 = 1 + 𝑥𝑥; 0𝑥𝑥 = 2 (рівняння розв'язку не має). Відповідь: якщо 𝑏𝑏 ≠ 0 і 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏, то рівняння не має розв'язків; якщо 𝑏𝑏 ≠ 0 і 𝑎𝑎 ≠ −𝑏𝑏, то 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑥𝑥 = . 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 𝟑𝟑. − = ; 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − − = 0; 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) = 0; 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎2 = 0; 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) 2𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0, 3𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑎𝑎2 , � � 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎; 𝑥𝑥 =

2𝑎𝑎2 3𝑎𝑎

2𝑎𝑎 3

, якщо 𝑎𝑎 ≠ 0.

2𝑎𝑎

Відповідь: якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = ; якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння розв'язків не має. 3 2 4𝑥𝑥 + 7𝑎𝑎 3 + = ; 𝟒𝟒. 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 − 𝑎𝑎2 2 4𝑥𝑥 + 7𝑎𝑎 3 + − = 0; 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 3(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) + 2(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) − (4𝑥𝑥 + 7𝑎𝑎) = 0; (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 3𝑥𝑥 + 3𝑎𝑎 + 2𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎 − 4𝑥𝑥 − 7𝑎𝑎 = 0; (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 − 6𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 6𝑎𝑎 = 0 = 0; � (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) ≠ 0; (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 = 6𝑎𝑎, 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, � 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎; 6𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 або 6𝑎𝑎 = −𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 = 0. Отже, 𝑥𝑥 = 6𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 ≠ 0; якщо 𝑎𝑎 = 0, то  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

якщо

𝑏𝑏1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1

la. in.

3 2 4 + ≠ . 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння розв'язків не має; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 6𝑎𝑎. 12. Порядок числа a дорівнює –3, а порядок числа b дорівнює 5. Яким може бути порядок числа: Нехай 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 · 10−3 , де 1 ≤ 𝑎𝑎1 < 10; 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏1 · 105 , де 1 ≤ 𝑏𝑏1 < 10. 1. 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1 · 𝑏𝑏1 · 102 ; 1 ≤ 𝑎𝑎1 · 𝑏𝑏1 < 100. Якщо 1 ≤ 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 < 10, то порядок числа 𝑎𝑎𝑎𝑎 дорівнює 2; якщо 10 ≤ 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 < 100, то порядок числа 𝑎𝑎𝑎𝑎 дорівнює 3. Наприклад, якщо 𝑎𝑎 = 3 · 10−3 , 𝑏𝑏 = 5 · 105 , то 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 15 · 102 = 1,5 · 10 · 102 = 1,5 · 103 (порядок 3). 𝑎𝑎 𝑎𝑎1 ⋅ 10−3 𝑎𝑎1 𝑎𝑎 1 −8 1 𝟐𝟐. = = ⋅ 10 ; = 𝑎𝑎 ⋅ . 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 ⋅ 105 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 1 1 1 𝑎𝑎1 Оскільки < ≤ 1, то < < 10. 10 𝑏𝑏1 10 𝑏𝑏1 𝑎𝑎 𝑎𝑎 Якщо 1 ≤ 1 < 10, то порядок числа дорівнює –8 ; 𝑎𝑎

𝑏𝑏

< 1, то порядок числа дорівнює –9 . 𝑏𝑏

Наприклад, якщо 𝑎𝑎 = 4 · 10 , 𝑏𝑏 = 2 · 105 , то 𝑎𝑎 4 ⋅ 10−3 = = 2 ⋅ 10−8 (порядок – 8 ); 𝑏𝑏 2 ⋅ 105 якщо 𝑎𝑎 = 2 · 10−3 , 𝑏𝑏 = 5 · 105 , то 𝑎𝑎 2 ⋅ 10−3 = = 0,4 ⋅ 10−8 = 4 ⋅ 10−1 ⋅ 10−8 = 4 ⋅ 10−9 ( порядок − 9). 5 𝑏𝑏 5 ⋅ 10 1 𝑏𝑏1 ⋅ 105 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 𝑏𝑏 8 = ⋅ 10 ; = 𝑏𝑏 ⋅ . 𝟑𝟑. = 1 𝑎𝑎1 𝑎𝑎 𝑎𝑎1 ⋅ 10−3 𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 1 1 1 𝑏𝑏 Оскільки < ≤ 1, то < 1 < 10. 10 𝑏𝑏1

𝑎𝑎1

𝑎𝑎

< 10, то порядок числа дорівнює 8;

Якщо 1 ≤

−3

якщо

𝑎𝑎1 𝑏𝑏1

𝑎𝑎1

𝑎𝑎

𝑏𝑏

< 1, то порядок числа дорівнюе 7. 𝑏𝑏

Наприклад, якщо 𝑎𝑎 = 2 · 10 , 𝑏𝑏 = 6 · 105 , то 6 ⋅ 105 𝑏𝑏 = = 3 ⋅ 108 (порядок 8); 𝑎𝑎 2 ⋅ 10−3 якщо 𝑎𝑎 = 5 · 10−3 , 𝑏𝑏 = 2 · 105 , то 2 ⋅ 105 𝑏𝑏 = = 0,4 ⋅ 108 = 4 ⋅ 10−1 ⋅ 108 = 4 ⋅ 107 (порядок 7 ). −3 𝑎𝑎 5 ⋅ 10 4. 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎1 · 10−3 + 𝑏𝑏1 · 105 = 𝑎𝑎1 · 10−3 + 𝑏𝑏1 · 10−3 · 108 = 10−3 · (𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 · 108 ). Якщо 100 000 001 < 𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 · 108 < 1 000 000 000, то порядок числа 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 дорівнює 5 ; якщо 1 000 000 000 ≤ 𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 · 108 < 1 000 000 009, то порядок числа 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 дорівнює 6 . Наприклад, якщо 𝑎𝑎 = 3 · 10−3 , 𝑏𝑏 = 5 · 105 , то 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 3 · 10−3 + 5 · 105 = 3 · 10−3 + 5 · 10−3 · 108 = 10−3 · (3 + 5 · 108 ) = 10−5 · 500 000 003 = 5,00000003 · 108 · 10−3 = 5,00000003 · 105 (порядок 5); якщо 𝑎𝑎 = 1 · 10−3 , 𝑏𝑏 = 9,99999999 · 105 , то 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 1 · 10−3 + 9,99999999 · 10−3 · 108 = 10−3 · (1 + 999 999 999) = 10−3 · 1 000 000 000 = 10−3 · 109 = 106 (порядок 6).

−3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

13. Розв’яжіть відносно змінної x рівняння: √𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 3. 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝟏𝟏. �𝑎𝑎 + 3 ≥ 0, (√𝑥𝑥)2 = (𝑎𝑎 + 3)2 , 𝑥𝑥 = (𝑎𝑎 + 3)2 ; якщо 𝑎𝑎 + 3 ≥ 0; 𝑥𝑥 = (𝑎𝑎 + 3)2 , якщо 𝑎𝑎 ≥ −3. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 < −3, то рівняння не має розв'язків; якщо 𝑎𝑎 ≥ −3, то 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 3)2 . 𝑎𝑎 𝟐𝟐. 𝑎𝑎√𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; √𝑥𝑥 = = 1, 𝑎𝑎 якщо 𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑥𝑥 = 1, якщо 𝑎𝑎 ≠ 0. Якщо 𝑎𝑎 = 0, 𝑥𝑥 ≥ 0. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 ≥ 0; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 1. 3. (𝑎𝑎 + 3)√𝑥𝑥 + 2 = 𝑎𝑎2 − 9; 𝑎𝑎2 − 9 (𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 + 3) = = 𝑎𝑎 − 3, √𝑥𝑥 + 2 = 𝑎𝑎 + 3 𝑎𝑎 + 3 якщо 𝑎𝑎 ≠ −3. Якщо 𝑎𝑎 − 3 ≥ 0, то (√𝑥𝑥 + 2)2 = (𝑎𝑎 − 3)2 ; 𝑥𝑥 + 2 = 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 9; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 9 − 2; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 7, якщо 𝑎𝑎 ≥ 3. Якщо 𝑎𝑎 = −3, то 0 ⋅ √𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥 + 2 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ −2. Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = −3, то 𝑥𝑥 ≥ −2; якщо 𝑥𝑥 < −3 або −3 < 𝑎𝑎 < 3, то рівняння розв'язків не має; якщо 𝑎𝑎 ≥ 3, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 7. 14. Укажіть ціле число, що є найближчим до кореня рівняння: 1. (5√2 − 3√3)𝑥𝑥 + 4 = 0; 4 𝑥𝑥 = − . 5√2 − 3√3 Оскільки √3 > √2, то 5√2 − 3√3 < 5√2 − 3√2 = 2√2; 4 2 2√2 4 > = = = √2. 2 5√2 − 3√3 2√2 √2 4 Отже, 𝑥𝑥 = − < −√2 ≈ −1,4. 5√2 − 3√3 Відповідь: –2 . 13 + 2√3 . 𝟐𝟐. (5√2 + 7√5)𝑥𝑥 = 13 + 2√3; 𝑥𝑥 = 5√2 + 7√5 Оскільки √2 < √5, √3 > 1, то 13 + 2 15 5 5√5 √5 13 + 2√3 > = = = = ≈ 0,6. 𝑥𝑥 = 4 5√2 + 7√5 5√5 + 7√5 12√5 4√4 4 ⋅ 5 Відповідь: 1. 15. Знайдіть значення виразу: 𝟏𝟏. �3 − �13 − 4√3 = �3 − �(2√3 − 1)2 = �3 − |2√3 − 1| = �3 − (2√3 − 1) = �3 − 2√3 + 1 = �4 − 2√3 = �(1 − √3)2 = |1 − √3| = −(1 − √3) = √3 − 1;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟐𝟐. �√6 − �6 − �25 − 4√6 = �√6 − �6 − �(2√6 − 1)2 = �√6 − �6 − |2√6 − 1| =

�√6 − �6 − (2√6 − 1) = �√6 − �6 − 2√6 + 1 = �√6 − �7 − 2√6 =

�√6 − �(1 − √6)2 = �√6 − |1 − √6| = �√6 + (1 − √6) = �√6 + 1 − √6 = √1 = 1; 𝟑𝟑. �|30√3 − 52| − �52 + 30√3 = A;

la. in.

A2 = |30√3 − 52| + (52 + 30√3) − 2�(52 − 30√3)(52 + 30√3);

A2 = 52 − 30√3 + 52 + 30√3 − 2√2704 − 2700; A2 = 104 − 2√4; A2 = 104 − 4; A2 = 100; A = ±10. Оскільки 52 − 30√3 < 52 + 30√3, то A < 0. Відповідь: –10. 16. Спростіть вираз: 1. Якщо 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2, то

�𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 − 1 + �𝑥𝑥 − 2√𝑥𝑥 − 1 = �(√𝑥𝑥 − 1 + 1)2 + �(√𝑥𝑥 − 1 − 1)2 = |√𝑥𝑥 − 1 + 1| + |√𝑥𝑥 − 1 − 1| = √𝑥𝑥 − 1 + 1 − (√𝑥𝑥 − 1 − 1) = √𝑥𝑥 − 1 + 1 − √𝑥𝑥 − 1 + 1 = 2;

2. �10 + √24 + √40 + √60 = �10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = �(√2 + √3 + √5)2 = |√2 +

√3 + √5| = √2 + √3 + √5. 17. Обчисліть: √5 + √3 √5 + √3 − √15 3 √ √5 = √5(√5 + √3) − √3(√5 + √3) · 𝟏𝟏. √5 − √3 √5 − √3 √5(√5 − √3) + √3(√5 − √3) √15 + √3 √5 5 + √15 − √15 − 3 = = 1; 5 − √15 + √15 − 3 𝟐𝟐. (√3 + √2 + 1)(√3 + √2 − 1) · (√3 + 1 − √2)(1 + √2 − √3) = �(√3 + √2)2 − 1�(1 − (√2 − √3)) · (1 + (√2 − √3)) = �(√3 + √2)2 − 1� · �1 − (√2 − √3)2 � = (3 + 2 + 2√6 − 1) · (1 − (2 + 3 − 2√6)) = (4 + 2√6) · (1 − 5 + 2√6) = (2√6 + 4)(2√6 − 4) = (2√6)2 − 4 2 = 24 − 16 = 8. 18. Побудуйте графік функції: 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, 1. 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 2 = 4𝑥𝑥 − |𝑥𝑥| = � 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 0. x 0 1 –1 y 0 3 –5

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2. 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1 − 𝑥𝑥 = �(𝑥𝑥 − 1)2 − 𝑥𝑥 = |𝑥𝑥 − 1| − 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 1 − 𝑥𝑥 = −1, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1, � 1 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 1 − 2𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 1. x 1 0 y –1 1

𝟏𝟏.

19. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: �3√2 − 2√3 �3√2 + 2√3

�(3√2 − 2√3)2

�(3√2 + 2√3)(3√2 − 2√3)

|3√2 − 2√3|

�(3√2)2 − (2√3)2

3√2 − 2√3 √18 − 12

√6(3√2 − 2√3) 3√12 − 2√18 3√3 ⋅ 4 − 2√2 ⋅ 9 = = 6 6 6 √6 6√3 − 6√2 6(√3 − √2) = = = √3 − √2; 6 6 (1 + √3)2 − 7 �1 + √3 − √7��1 + √3 + √7� 𝟐𝟐. = = 1 + √3 − √7; √7 + √3 + 1 √7 + √3 + 1 =

3√2 − 2√3

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

√2 + �6 + 4√2 =

𝟒𝟒.

2 �√2 − �6 + 4√2�

�√2 + �6 + 4√2� �√2 − �6 + 4√2�

2 �√2 − �6 + 4√2�

2 − �6 + 4√2�

2 �√2 − �(2 + √2)2 �

= −4 − 4√2 −4�1 + √2� −2 1 √2 − 2 − √2 = = = = −4�1 + √2� −2�1 + √2� −2�1 + √2� 1 + √2 1 − √2 1 − √2 1 − √2 = = = = √2 − 1; 1−2 −1 �1 + √2��1 − √2� 2 − 6 − 4√2 2�√2 − �2 + √2��

2 + √3

2 �√2 − �6 + 4√2�

2 + √3

𝟑𝟑.

2 + √3

�

la. in.

√6 − √3 + √2 − 1 (√2 ⋅ 3 − √3) + (√2 − 1) √3(√2 − 1) + (√2 − 1) 2 + √3 (2 + √3)(√2 + 1) = = (√2 − 1)(√3 + 1) (√2 − 1)(√2 + 1)(√3 + 1) (2 + √3)(√2 + 1)(√3 − 1) (2 + √3)(√3 − 1)(√2 + 1) = = 2 2 (2√3 − 2 + 3 − √3)(√2 + 1) (√3 + 1)(√2 + 1) = = . 2 2 20. Чи є взаємно оберненими числа

7 − 2√10 √5 + √2 (√5 − √2)2 (√5 + √2)2 ((√5 − √2)(√5 + √2))2 � � � � ⋅ = ⋅ = 3 3 3 9 √5 − √2

32 9 = � = √1 = 1. 9 9 Оскільки добуток даних чисел дорівнює 1, то вони є взаємно оберненими. 21. Спростіть вираз: (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 − 4𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 + 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 1 : = ; 𝟏𝟏. 1 1 𝑥𝑥𝑥𝑥 3 1 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦): � + � 𝑥𝑥 √ �𝑦𝑦 �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 − 2�𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 + 2�𝑦𝑦) (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 − 4𝑦𝑦 = a) 3 1 �𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦): � + � ⋅ 1 �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦 (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦) (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦) ⋅ (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2 = = �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2 = ; �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) 𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 + 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2 �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2 б) = = ; 1 1 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 √ � √ � + √𝑥𝑥 �𝑦𝑦 �𝑥𝑥𝑥𝑥

=�

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝟐𝟐.

�𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2

: √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) 1 1 = = . (�𝑥𝑥𝑥𝑥)2 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 1 1 2 ⋅ �1 + � − √𝑎𝑎� 4 √𝑎𝑎

2 1 1 1 1 �1 + � − √𝑎𝑎� − � − √𝑎𝑎� 4 √𝑎𝑎 2 √𝑎𝑎

(√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2 ⋅ (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)

�𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦) ⋅ �𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ (√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2

1 + 𝑎𝑎 ; 𝑎𝑎

в)

(√𝑥𝑥 + 3�𝑦𝑦)2

la. in.

2 1 1 1 1 𝑎𝑎 1 1 − + a) 2 ⋅ �1 + � − √𝑎𝑎� = 2 ⋅ �1 + � − 2 + 𝑎𝑎� = 2 ⋅ �1 + 4 𝑎𝑎 4𝑎𝑎 2 4 4 √𝑎𝑎

1 1 + 𝑎𝑎2 2𝑎𝑎 + 1 + 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎 + 1)2 |𝑎𝑎 + 1| =2⋅� + =2⋅� =2⋅� = . 2 4𝑎𝑎 4𝑎𝑎 4𝑎𝑎 √𝑎𝑎

Оскільки 𝑎𝑎 ≥ 0, то

|𝑎𝑎+1| √𝑎𝑎

𝑎𝑎+2 √𝑎𝑎

;

2 𝑎𝑎 + 1 1 1 1 1 1 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 √𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 1 − 1 + 𝑎𝑎 � б) 1 + � − √𝑎𝑎� − � − √𝑎𝑎� = − + = = = ; 4 √𝑎𝑎 2 √𝑎𝑎 2 2√𝑎𝑎 2√𝑎𝑎 2√𝑎𝑎 2√𝑎𝑎 √𝑎𝑎

𝑎𝑎 + 1 𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 1 √𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 1 : = ⋅ = . 𝑎𝑎 𝑎𝑎 √𝑎𝑎 √𝑎𝑎 √𝑎𝑎 22. Спростіть вираз: 1. Якщо 𝑥𝑥 > 0, 𝑦𝑦 > 0, то в)

��𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 �

2�𝑥𝑥 3 𝑦𝑦

(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 𝑦𝑦 𝑥𝑥 : �� + � − 2� = ; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 2

a) ��𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 � = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − = 2��𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 � �𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 � = 2𝑥𝑥 2 − 2�𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 3 (𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 )

= 2𝑥𝑥 2 − 2�𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥 2 − 2�𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 = 2𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦); 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = = = ; б) 𝑥𝑥 �𝑥𝑥𝑥𝑥 2�𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑥𝑥 𝑦𝑦 √𝑥𝑥 �𝑦𝑦 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦)2 в)� + � − 2 = + − = = ; 𝑦𝑦 𝑥𝑥 �𝑦𝑦 √𝑥𝑥 1 �𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥𝑥𝑥

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ⋅ (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 (√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦)2 : = = = г) 2 2 2 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) (( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)) 𝑥𝑥𝑥𝑥 √ √ √ � � � � (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 = ; 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2. Якщо 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎 > 0, то  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

�:�

+ � √𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 √𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + = a) 2 2 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + − 𝑎𝑎 √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 √𝑏𝑏 √

�𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

√𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎) � − 1� 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

𝑏𝑏 2 − 1 = 1. 𝑎𝑎2

√𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ��𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 1�

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

√𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 − (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

√𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

�𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

�

𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 −1 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2

𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 � � 2 2 1 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 = + = = = = 2𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 �𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 1 �𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 − 1 ��𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 1� ��𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 − 1� 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 − 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

la. in.

𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 2� 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 �(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑎𝑎) √𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)� 𝑎𝑎 = = ; 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎

𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 √𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 � � −1= = ; б) 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 𝑎𝑎

√𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 √𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎2 : = 1. в) 𝑎𝑎 𝑎𝑎 23. Спростіть вираз: �(𝑎𝑎 + 2)2 − 8𝑎𝑎 √𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 4 − 8𝑎𝑎 √𝑎𝑎√𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 4 √𝑎𝑎 ⋅ �(𝑎𝑎 − 2)2 𝟏𝟏. = = = = 2 𝑎𝑎 − 2 (𝑎𝑎 − 2) 𝑎𝑎 − 2 √𝑎𝑎 − √𝑎𝑎 √𝑎𝑎 ⎧√𝑎𝑎 ⋅ (𝑎𝑎 − 2) = √𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 > 2, √𝑎𝑎 ⋅ |𝑎𝑎 − 2| ⎪ 𝑎𝑎 − 2 = = 𝑎𝑎 − 2 ⎨−√𝑎𝑎 ⋅ (𝑎𝑎 − 2) = −√𝑎𝑎, якщо 0 < 𝑎𝑎 < 2; ⎪ 𝑎𝑎 − 2 ⎩ 2. ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 0. Якщо 𝑥𝑥 > 0, то 𝑥𝑥 2 + 4 𝑥𝑥 2 + 4 𝑥𝑥 2 + 4 2(𝑥𝑥 2 + 4) 𝑥𝑥 2 + 4 = = 2 = 2 = |𝑥𝑥 − 4| |𝑥𝑥 − 4| + 8 |𝑥𝑥 2 − 4| + 8 2 − 4)2 (𝑥𝑥 2 +4 � 𝑥𝑥 2 − 4 +4 2 2 4 𝑥𝑥 �� +4 � 2𝑥𝑥

2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) = 2 = = 2, 𝑥𝑥 − 4 + 8 𝑥𝑥 2 + 4 якщо 𝑥𝑥 ≥ 2; якщо 0 < 𝑥𝑥 < 2, то 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) = = . |𝑥𝑥 2 − 4| + 8 4 − 𝑥𝑥 2 + 8 12 − 𝑥𝑥 2 Якщо 𝑥𝑥 < 0, то

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥 2 + 4

𝑥𝑥 2 + 4 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) =− 2 =− 2 =− 2 = −2, |𝑥𝑥 − 4| |𝑥𝑥 − 4| + 8 𝑥𝑥 + 4 2 +4 𝑥𝑥 2 − 4 2 𝑥𝑥 �� +4 � 2𝑥𝑥

la. in.

якщо 𝑥𝑥 ≤ −2; якщо −2 < 𝑥𝑥 < 0, то 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) 2(𝑥𝑥 2 + 4) =− =− = 2 . − 2 |𝑥𝑥 − 4| + 8 4 − 𝑥𝑥 2 + 8 12 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − 12 24. Доведіть тотожність: 𝑥𝑥 2 1 1 2 + 𝟏𝟏. �1 + �1 − 𝑥𝑥 + �:� � = �1 − 𝑥𝑥 2 ; 2 2 2 1 − 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 + 1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 + 1 2 = = ; a) 1 + �1 − 𝑥𝑥 + √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 1 1 √1 − 𝑥𝑥 2 1 + √1 − 𝑥𝑥 2 1 + = + = ; б) 1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 (1 − 𝑥𝑥 2 )√1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 + 1 1 + √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 + 1 : = ⋅ = = в) 1 − 𝑥𝑥 2 1 − 𝑥𝑥 2 1 + √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 √1 − 𝑥𝑥 2 = �1 − 𝑥𝑥 2 ; 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 = 𝑎𝑎; + 2. 𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 √𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 = + 𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)2 �𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎√𝑏𝑏��𝑎𝑎 + √𝑏𝑏� (𝑎𝑎 + √𝑏𝑏)2 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 + − + 2 = = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 (𝑎𝑎 − √𝑏𝑏)2 + 𝑎𝑎�𝑎𝑎2 − √𝑏𝑏� − (𝑎𝑎 + √𝑏𝑏)2 + 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 = = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 − 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 + 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎√𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎√𝑏𝑏 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏) = 2 = = 𝑎𝑎. = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 25. Відомо, що √3 – 𝑥𝑥 + √5 + 𝑥𝑥 = 3. Не знаходячи значення x, знайдіть значення виразу �(3 – 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥). √3 − 𝑥𝑥 + √5 + 𝑥𝑥 = 3; (√3 − 𝑥𝑥 + √5 + 𝑥𝑥)2 = 9; 3 − 𝑥𝑥 + 5 + 𝑥𝑥 + 2�(3 − 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥) = 9; 8 + 2�(3 − 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥) = 9; 2�(3 − 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥) = 1; 1 �(3 − 𝑥𝑥)(5 + 𝑥𝑥) = . 2 26. Відомо, що �24 – 𝑥𝑥² − �12 − 𝑥𝑥² = 2. Не знаходячи значення х, знайдіть значення виразу �24 – 𝑥𝑥² + �12 − 𝑥𝑥². �24 − 𝑥𝑥 2 + �12 − 𝑥𝑥 2 = 2, �√24 − 𝑥𝑥 2 − √12 − 𝑥𝑥 2 ��√24 − 𝑥𝑥 2 + √12 − 𝑥𝑥 2 � �√24 − 𝑥𝑥 2 + √12 − 𝑥𝑥 2 �

= 2;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

√24 − 𝑥𝑥 2 + √12 − 𝑥𝑥 2 24 − 𝑥𝑥 2 − 12 + 𝑥𝑥 2 √24 − 𝑥𝑥 2 + √12 − 𝑥𝑥 2 12

√24 − 𝑥𝑥 2 + √12 − 𝑥𝑥 2

= 2; = 2; = 2;

�24 − 𝑥𝑥 2 + �12 − 𝑥𝑥 2 =

24 − 𝑥𝑥 2 − (12 − 𝑥𝑥 2 )

12 = 6. 2

la. in.

Відповідь: 6. 27. Відомо, що √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5, xy = 9. Не знаходячи значень х і у, знайдіть √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5, � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 9; 1. (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 = 25; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 25; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2√9 = 25; 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 25 − 6 = 19; 2. 𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 𝑦𝑦�𝑦𝑦 = (√𝑥𝑥)3 + (�𝑦𝑦)3 = (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − �𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = = 5 ⋅ (19 − √9) = 5 ⋅ (19 − 3) = 5 ⋅ 16 = 80; 3. 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = (𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 ) − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 = 192 − 2 · 9 = 361 − 18 = 343∘ . 28. Для якого значення a має лише один корінь рівняння: 1. (𝑎𝑎 + 4)𝑥𝑥 2 − (𝑎𝑎 + 5)𝑥𝑥 + 1 = 0; D = (𝑎𝑎 + 5)2 − 4 · (𝑎𝑎 + 4) · 1 = 𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 9 = (𝑎𝑎 + 3)2 = 0; (𝑎𝑎 + 3)2 = 0; 𝑎𝑎 + 3 = 0; 𝑎𝑎 = −3. Якщо 𝑎𝑎 + 4 = 0, 𝑎𝑎 = −4, то квадратне рівняння перетвориться в лінійне −𝑥𝑥 + 1 = 0, що має один корінь 𝑥𝑥 = 1. Відповідь: −4; −3. 2. (𝑎𝑎 − 4)𝑥𝑥 2 + (2𝑎𝑎 − 8)𝑥𝑥 + 15 = 0; D = (2𝑎𝑎 − 8)2 − 4(𝑎𝑎 − 4) · 15 = 4𝑎𝑎2 + 64 − 32𝑎𝑎 − 60𝑎𝑎 + 240 = 4𝑎𝑎2 − 92𝑎𝑎 + 304 = 4(𝑎𝑎2 −23𝑎𝑎 + 76); 𝑎𝑎2 − 23𝑎𝑎 + 76 = 0; 𝑎𝑎1 = 19; 𝑎𝑎2 = 4. Якщо 𝑎𝑎 = 4, то маємо лінійне рівняння 0𝑥𝑥 = −15, що розв'язків не має. Відповідь: 19. 29. Розв’яжіть рівняння: 1. 2(𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 2 + (𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 + 1 = 0. 1 Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 2𝑥𝑥 + 1 = 0; 2𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = − . 2 Якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, то D = (𝑎𝑎 + 1)2 − 8(𝑎𝑎 − 1) = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 + 1 − 8𝑎𝑎 + 8 = 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 9 = (𝑎𝑎 − 3)2 ; −(𝑎𝑎 + 1) ± (𝑎𝑎 − 3) 𝑥𝑥1,2 = ; 4(𝑎𝑎 − 1) −𝑎𝑎 − 1 + 𝑎𝑎 − 3 −4 1 = = ; 𝑥𝑥1 = 4(𝑎𝑎 − 1) 4(𝑎𝑎 − 1) 1 − 𝑎𝑎 −𝑎𝑎 + 1 − 𝑎𝑎 + 3 −2𝑎𝑎 + 2 2(1 − 𝑎𝑎) 1 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎 − 1 1 𝑥𝑥2 = = = = =− =− . 4(𝑎𝑎 − 1) 4(𝑎𝑎 − 1) 4(𝑎𝑎 − 1) 2(𝑎𝑎 − 1) 2(𝑎𝑎 − 1) 2 1 Відповідь: 1. якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = − ; 2 якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, то  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1 , 𝑥𝑥2 = − . 1 − 𝑎𝑎 2 2 2. (𝑎𝑎 + 1)𝑥𝑥 − (𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎 = 0. Якщо 𝑎𝑎 = −1, то 2𝑥𝑥 + 2 = 0; 2𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 = −1. Якщо 𝑎𝑎 ≠ −1, то D = (𝑎𝑎 − 1)2 − 4(𝑎𝑎 + 1) · (−2𝑎𝑎) = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1 + 8𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1 + 8𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 = 9𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 1 = (3𝑎𝑎 + 1)2 ≥ 0; 𝑎𝑎 − 1 ± (3𝑎𝑎 + 1) ; 𝑥𝑥1,2 = 2(𝑎𝑎 + 1) 𝑎𝑎 − 1 + 3𝑎𝑎 + 1 4𝑎𝑎 2𝑎𝑎 = = ; 𝑥𝑥1 = 2(𝑎𝑎 + 1) 2(𝑎𝑎 + 1) 𝑎𝑎 + 1 𝑎𝑎 − 1 − 3𝑎𝑎 − 1 −2𝑎𝑎 − 2 −2(𝑎𝑎 + 1) 𝑥𝑥2 = = = = −1. 2(𝑎𝑎 + 1) 2(𝑎𝑎 + 1) 2(𝑎𝑎 + 1) Відповідь: 1. якщо 𝑎𝑎 = −1, то 𝑥𝑥 = −1; якщо 2𝑎𝑎 , 𝑥𝑥 = −1. 𝑎𝑎 ≠ −1, то 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎+1 2 30. Знайдіть корені рівняння: 1. √𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) = 0, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥1 = 3, 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = −1, � 𝑥𝑥 = −1 або 𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = −1. Відповідь: –1 . 2. 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 + |𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8| = 0; (𝑥𝑥 − 2)2 + |𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8| = 0; 𝑥𝑥 − 2 = 0, 𝑥𝑥 = 2, � � 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 8 = 0; 𝑥𝑥 = −4 або 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: 2. 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 − 6 = 0, 2 3. |𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 − 6| + √𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 = 0; �𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 ≥ 0; 1) 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 − 6 = 0. Нехай √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 2 . 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 6 = 0; 𝑡𝑡1 = 3, 𝑡𝑡2 = −2 < 0; √𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 9; 2) 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) = 0; 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 4. 𝑥𝑥 = 9, Отже, � Ø. 𝑥𝑥 = 0 або 𝑥𝑥 = 4; Відповідь: рівняння розв'язків не має. 31. Доведіть, що число 3 не може бути дискримінантом квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0, якими б не були цілі числа a, b, c. 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0; D = 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎. Нехай 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3, тоді 𝑏𝑏 2 = 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3. Оскільки 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3 – непарне число, то 𝑏𝑏 = 2𝑘𝑘 + 1, 𝑘𝑘 ∈ Z. (2𝑘𝑘 + 1)2 = 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3; 4𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 + 1 = 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3; 4𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2; 4(𝑘𝑘 2 + 𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) = 2; 2(𝑘𝑘 2 + 𝑘𝑘 − 𝑎𝑎𝑎𝑎) = 1, що неможливо, бо ліва частина рівності – парне число, а права – число непарне.

la. in.

𝑥𝑥1 =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Отже, 𝑏𝑏 2 − 4𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 3. 32. Для якого значення a сума квадратів коренів рівняння x2 – (a + 2)x + a – 3 = 0 буде найменшою? 𝑥𝑥 2 − (𝑎𝑎 + 2)𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 − 3 = 0; D = (𝑎𝑎 + 2)2 − 4(𝑎𝑎 − 3) = 𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 4 − 4𝑎𝑎 + 1 +2 = 𝑎𝑎2 + 16 > 0; 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (𝑎𝑎 + 2)2 − 2(𝑎𝑎 − 3) = 𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 4 − 2𝑎𝑎 + 6 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 + 10 = (𝑎𝑎2 +2𝑎𝑎 + 1) − 1 + 10 = (𝑎𝑎 + 1)2 + 9 Отже, сума квадратів коренів даного рівняння буде найменшою при 𝑎𝑎 = −1. Відповідь: при 𝑎𝑎 = −1. 33. Для якого значення b сума квадратів коренів рівняння x2 + (b + 1)x + b2 – 1,5 = 0 буде найбільшою? 𝑥𝑥 2 + (𝑏𝑏 + 1)𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 2 − 1,5 = 0; D = (𝑏𝑏 + 1)2 − 4(𝑏𝑏 2 − 1,5) = 𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 + 1 − 4𝑏𝑏 2 + 6 = −3𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 + 7; Якщо D ≥ 0, то 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = (−(𝑏𝑏 + 1))2 − 2(𝑏𝑏 2 − 1,5) = 𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 + 1 − 2𝑏𝑏 2 + 3 = −𝑏𝑏 2 + 2𝑏𝑏 + 4 = −(𝑏𝑏 2 − 2𝑏𝑏 − 4) = −(𝑏𝑏 2 − 2𝑏𝑏 + 1 − 1 −4) = −((𝑏𝑏 − 2)2 − 5) = −(𝑏𝑏 − 2)2 + 5 Отже, сума квадратів коренів даного рівняння буде найбільшою при 𝑏𝑏 = 1. Відповідь: при 𝑏𝑏 = 1. 1 1 18 34. Корені x1 і x2 рівняння x2 + √𝑎𝑎 – 4 · x – 5 = 0 задовольняють умову + = . 𝑥𝑥₁²

𝑥𝑥₂²

Знайдіть a. 𝑥𝑥 2 + √𝑎𝑎 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑎𝑎 ≥ 4. 1 18 1 2 + 2 = 25 ; 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 D = 𝑎𝑎 − 4 + 20 = 𝑎𝑎 + 16 > 0; 𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (−√𝑎𝑎 − 4)2 − 2 ⋅ (−5) 𝑎𝑎 − 4 + 10 𝑎𝑎 + 6 18 = = = = = ; (𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 )2 25 25 25 (−5)2 𝑥𝑥12 ⋅ 𝑥𝑥22 𝑎𝑎 + 6 = 18; 𝑎𝑎 = 18 − 6 = 12. Відповідь: 12. 35. Нехай x1 і x2 – корені рівняння 2x2 + 7x – 1 = 0. Складіть квадрат не рівняння, коренями якого є числа: 2𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 − 1 = 0; D = 49 + 8 = 57 > 0; 7 1 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − = 0; 2 2 7 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 2 1 + = = = 7; 𝟏𝟏. 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 − 2 1 1 1 1 ⋅ = = = −2. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 − 1 2 Відповідь: 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 − 2 = 0. 7 2 1 2 2 2 �− 2� − 2 ⋅ �− 2� (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 𝟐𝟐. −3+ −3= −6= −6= −6= 1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

49 53 +1 53 65 4 = −6= 4 −6=− −6=− ; 1 1 2 2 − − 2 2 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 = � − 3� � − 3� = 1 − 3 − 3 + 9 = 10 − 3 � + � = 10 − 3 ⋅ 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 7 2 1 49 2 − 2 ⋅ �− � � �− (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2 2 = 10 − 3 ⋅ 4 + 1 = = 10 − 3 ⋅ = 10 − 3 ⋅ 1 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − − 2 2 53 159 20 + 159 179 = 10 + 3 ⋅ = 10 + = = . 2 2 2 2 65 179 Отже, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + = 0 ⋅ 2; 2 2 2𝑥𝑥 2 + 65𝑥𝑥 + 179 = 0. Відповідь: 2𝑥𝑥 2 + 65𝑥𝑥 + 179 = 0. 𝟑𝟑. 𝑥𝑥1 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥13 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥22 + 𝑥𝑥12 ) = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ((𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 1 49 7 2 1 53 1 = − ⋅ ��− � − 2 ⋅ �− �� = − ⋅ � + 1� = − ; 2 4 2 2 8 2

1 4 1 . � = 2 16 53 1 Отже, 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + = 0� ⋅ 16; 8 16 16𝑥𝑥 2 + 106𝑥𝑥 + 1 = 0. 36. Доведіть, що коли a, b і c – сторони трикутника, то рівняння b2x2 + (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0 не має коренів. 𝑏𝑏 2 𝑥𝑥 2 + (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 )𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 = 0; D = (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 + 𝑎𝑎2 )2 − 4𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 = (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 − 2𝑏𝑏𝑏𝑏) · (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 + 2𝑏𝑏𝑏𝑏) = �(𝑏𝑏 2 − 2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 ) − 𝑎𝑎2 ��(𝑏𝑏 2 +2𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 2 ) − 𝑎𝑎2 ) = ((𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2 − 𝑎𝑎2 )((𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 − 𝑎𝑎2 ) = (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) = �𝑏𝑏 − (𝑐𝑐 + 𝑎𝑎)��(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑐𝑐��(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑎𝑎�(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎). Оскільки 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 і 𝑐𝑐 − сторони трикутника, то 𝑏𝑏 − (𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) < 0, (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − 𝑐𝑐 > 0, (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) − 𝑎𝑎 > 0, 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 > 0. Отже, D < 0, тому рівняння 𝑏𝑏2 𝑥𝑥 2 + (𝑏𝑏 2 + 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 )𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 = 0 не має коренів. 37. Доведіть, що модуль різниці коренів рівняння 5x2 – 2(5a + 3)x + 5a2 + 6a + 1 = 0 не залежить від значення a. 5𝑥𝑥 2 − 2(5𝑎𝑎 + 3)𝑥𝑥 + 5𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 1 = 0; D = 4(5𝑎𝑎 + 3)2 − 4 · 5 · (5𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 1) = 4 · (25𝑎𝑎2 + 30𝑎𝑎 + 9) − 20 · (5𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 + 1) = 100𝑎𝑎2 + 120𝑎𝑎 + 36 − 100𝑎𝑎2 − 120𝑎𝑎 − 20 = 16; 2(5𝑎𝑎 + 3) + 4 10𝑎𝑎 + 6 + 4 10𝑎𝑎 + 10 10(𝑎𝑎 + 1) = = = = 𝑎𝑎 + 1; 𝑥𝑥1 = 2⋅5 10 10 10 2(5𝑎𝑎 + 3) − 4 10𝑎𝑎 + 6 − 4 10𝑎𝑎 + 2 2(5𝑎𝑎 + 1) 5𝑎𝑎 + 1 = = = = ; 𝑥𝑥1 = 2⋅5 10 10 5 10

𝑥𝑥1 𝑥𝑥23 ⋅ 𝑥𝑥2 𝑥𝑥13 = (𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 )4 = �−

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

|5𝑎𝑎 + 5 − 5𝑎𝑎 − 1| 4 5𝑎𝑎 + 1 5(𝑎𝑎 + 1) − (5𝑎𝑎 + 1) 4 �=� �=� �=� �= . 5 5 5 5 5 38. Розв’яжіть рівняння: 1. 𝑥𝑥 3 − 7𝑥𝑥 + 6 = 0; 𝑥𝑥 3 − 7𝑥𝑥 + 7 − 1 = 0; (𝑥𝑥 3 − 1) − (7𝑥𝑥 − 7) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) − 7(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 − 7) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6) = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0 або 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0; 𝑥𝑥 = 1 або 𝑥𝑥 = −3, або 𝑥𝑥 = 2. Відповідь: −3; 1; 2. 2. 𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 5 = 0; 𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 5 = 0; 𝑥𝑥 3 − 6𝑥𝑥 2 + 6 − 1 = 0; (𝑥𝑥 3 − 1) − 6(𝑥𝑥 2 − 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) − 6(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 − 6𝑥𝑥 − 6) = 0; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 5) = 0; 𝑥𝑥 − 1 = 0, 𝑥𝑥 = 1 або 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 25 − 4 · 1 · (−5) = 25 + 20 = 45; 5 + √45 5 + 3√5 = ; 𝑥𝑥1 = 2 2 5 − √45 5 − 3√5 𝑥𝑥2 = = . 2 2 5±3√5 . Відповідь: 1, 2 𝟑𝟑. 𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 + 6 = 0; 𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 + 5 + 1 = 0; (𝑥𝑥 3 + 1) − 5(𝑥𝑥 2 − 1) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1) − 5(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1 − 5𝑥𝑥 + 5) = 0; (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 6) = 0; 𝑥𝑥 + 1 = 0, 𝑥𝑥 = −1 aбo 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 6 = 0; D = (−6)2 − 4 · 1 · 6 = 36 − 24 = 12; 6 + √12 6 + 2√3 2(3 + √3) 𝑥𝑥1 = = = = 3 + √3; 2 2 2 6 − √12 6 − 2√3 2(3 − √3) = = = 3 − √3. 𝑥𝑥2 = 2 2 2 Відповідь: −1; 3 ± √3. 4. 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 1 = 0; (𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 ) − (4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 1) − (2𝑥𝑥 + 1)2 = 0; 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 1)2 − (2𝑥𝑥 + 1)2 = 0; (𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1))2 − (2𝑥𝑥 + 1)2 = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 1) = 0; (𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝐷𝐷 = (−3)2 − 4 · (−1) = 9 + 4 = 13;

la. in.

|𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 | = �𝑎𝑎 + 1 −

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3 ± √13 ; 2 або 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 1 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0; коренів немає.

𝑥𝑥 =

3±√13

𝑥𝑥−𝑎𝑎

= 0.

(𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+2)

𝑎𝑎+2

la. in.

𝑎𝑎 +𝑎𝑎−2

𝑥𝑥 2 −5𝑥𝑥+4

. Відповідь: 2 39. Розв’яжіть відносно x рівняння: 1) (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2)𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 − 1. а) 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2 = 0; 𝑎𝑎1 = 1; 𝑎𝑎2 = −2. Якщо 𝑎𝑎 = 1, то маємо 0𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 — будь-яке число. Якщо 𝑎𝑎 = −2, то маємо 0𝑥𝑥 = −3; немає розв'язків. б) 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2 ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ 1; 𝑎𝑎 ≠ −2. 𝑎𝑎−1 𝑎𝑎−1 1 𝑥𝑥 = 2 ; 𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = .

2 �𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0, 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎. Розв'язками першого рівняння є 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 4. а) Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = 4. б) Якщо 𝑎𝑎 = 4, то 𝑥𝑥 = 1. в) Якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ 4, то 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 4. Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = 4; якщо 𝑎𝑎 = 4, то 𝑥𝑥 = 1; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ 4, то 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = 4. 𝑥𝑥−𝑎𝑎 = 0. 3) 2 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥+3 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0, �𝑥𝑥 ≠ 1, � 2 𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 3. Якщо 𝑎𝑎 = 1 або 𝑎𝑎 = 3, рівняння не має розв'язків; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ 3, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 1 або 𝑎𝑎 = 3, рівняння немає розв'язків; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ 3, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 𝑥𝑥 2 −(3𝑎𝑎+4)𝑥𝑥+12𝑎𝑎 𝑥𝑥−3

= 0.

𝑥𝑥 2 − (3𝑎𝑎 + 4)𝑥𝑥 + 12𝑎𝑎 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ 3. 𝐷𝐷 = (3𝑎𝑎 + 4)2 − 4 ⋅ 12𝑎𝑎 = 9𝑎𝑎2 + 24𝑎𝑎 + 16 − 48𝑎𝑎 = 9𝑎𝑎2 − 24𝑎𝑎 + 16 = (3𝑎𝑎 − 4)2 ; 𝑥𝑥1 =

3𝑎𝑎+4+3𝑎𝑎−4 2

= 3𝑎𝑎;

𝑥𝑥2 =

3𝑎𝑎+4−(3𝑎𝑎−4) 2

= 4.

Якщо 3𝑎𝑎 = 3, тобто 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = 4; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, то 𝑥𝑥1 = 3𝑎𝑎; 𝑥𝑥2 = 4. Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = 4; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, то 𝑥𝑥1 = 3𝑎𝑎; 𝑥𝑥2 = 4. 5)

𝑎𝑎(𝑥𝑥−𝑎𝑎) 𝑥𝑥+7

= 0.

Якщо 𝑎𝑎 = 0, то маємо

0𝑥𝑥

𝑥𝑥+7

= 0; 𝑥𝑥 — будь-яке число, крім −7.

Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, проте якщо 𝑎𝑎 = −7, то рівняння немає розв'язків. Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 0, то 𝑥𝑥 — будь-яке число, крім −7; якщо 𝑎𝑎 = −7, то рівняння немає розв'язків; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑎𝑎 ≠ −7, то 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. 6)

𝑎𝑎2 −1

𝑎𝑎𝑎𝑎−1

𝑥𝑥

= ; 𝑎𝑎

𝑎𝑎2 −1

𝑎𝑎𝑎𝑎−1

𝑥𝑥

− = 0; 𝑎𝑎

𝑎𝑎3 −𝑎𝑎−𝑎𝑎𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥 𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎−1)

= 0.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑎𝑎𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − (𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎) = 0, Рівняння рівносильне системі �𝑎𝑎 ≠ 0, 1 𝑥𝑥 ≠ . 𝑎𝑎

𝑥𝑥1 =

1+(2𝑎𝑎2 −1) 2𝑎𝑎

= 𝑎𝑎;

𝑥𝑥2 =

1−(2𝑎𝑎2 −1) 2𝑎𝑎

2(1−𝑎𝑎2 ) 2𝑎𝑎 1

Проте повинна виконуватися умова 𝑥𝑥 ≠ . 1

𝑎𝑎

Перше рівняння для всіх значень 𝑎𝑎 є квадратним. 𝐷𝐷 = 1 + 4𝑎𝑎(𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎) = 4𝑎𝑎4 − 4𝑎𝑎2 + 1 = (2𝑎𝑎2 − 1)2 ,

1−𝑎𝑎2 𝑎𝑎

а) 𝑥𝑥1 = , тобто 𝑎𝑎 = . Це виконується, якщо 𝑎𝑎 = ±1, тоді маємо лише 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 1 1−𝑎𝑎2

б) 𝑥𝑥2 = ; 𝑎𝑎

𝑎𝑎

= . Це рівняння коренів немає. 𝑎𝑎

або 𝑥𝑥2 =

1−𝑎𝑎2 𝑎𝑎

𝑎𝑎

; 𝑥𝑥 = 0.

; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ −1, 𝑎𝑎 ≠ 0, то 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎

la. in.

Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 1 або 𝑎𝑎 = −1, то 𝑥𝑥 =

1−𝑎𝑎2

𝑥𝑥² + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9

40. Для яких значень a рівняння має лише один корінь? 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9 𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 9 = 0, = 0; � 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 + 1 2 D = 𝑎𝑎 − 36 > 0; −𝑎𝑎 + √𝑎𝑎2 − 36 −𝑎𝑎 − √𝑎𝑎2 − 36 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = ; 2 2 −𝑎𝑎 + √𝑎𝑎2 − 36 = −1; 2 −𝑎𝑎 + �𝑎𝑎2 − 36 = −𝑎𝑎; �𝑎𝑎2 − 36 = 𝑎𝑎 − 2; 𝑎𝑎2 − 36 = (𝑎𝑎 − 2)2 , � 𝑎𝑎 ≥ 2; 𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 4 − 𝑎𝑎2 + 36 = 0; −4𝑎𝑎 + 40 = 0, 𝑎𝑎 = 10, � � 𝑎𝑎 ≥ 2; 𝑎𝑎 ≥ 2; 𝑎𝑎 = 10; −𝑎𝑎 − √𝑎𝑎2 − 36 = −1; 2 −𝑎𝑎 − �𝑎𝑎2 − 36 = −2; �𝑎𝑎2 − 36 = 2 − 𝑎𝑎; 𝑎𝑎2 − 36 = (𝑎𝑎 − 2)2 , 4 − 4𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 + 36 = 0, � � 𝑎𝑎 ≤ 2; 2 − 𝑎𝑎 ≥ 0; −4𝑎𝑎 = −40, 𝑎𝑎 = 10, � � 𝑎𝑎 ≤ 2; 𝑎𝑎 ≤ 2; ∅. 2 2. D = 𝑎𝑎 − 36 = 0; 𝑎𝑎2 = 36; 𝑎𝑎 = ±6. Відповідь: −6; 6; 10. 41. Розв’яжіть рівняння 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 10 38 + = ; 𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 − 100 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 10 38 + 2 = 2 ; 4 2 𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥 + 100) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 10 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 10 38 + = ; (𝑥𝑥 2 )2 − (𝑥𝑥 − 10)2 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 + 10 38 + − = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10) 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10 38 + (𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10) − (𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10) = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10) 38 + 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 100 − 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 − 100 = 0; (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10) 2𝑥𝑥 2 − 162 = 0, 2𝑥𝑥 2 − 162 = 0; � 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10 ≠ 0, (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10) 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 10 ≠ 0; 2𝑥𝑥 2 = 162; 𝑥𝑥 2 = 81; 𝑥𝑥 = ±9. Відповідь: −9; 9. 42. Для яких значень a і b тричлен 4x2 + 36x + (a + b) є повним квадратом, якщо відомо, що a – b = 3? Відомо, що 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 3. 4𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 + (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 4𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 + (𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − 3) = 4𝑥𝑥 2 + 36𝑥𝑥 + (2𝑎𝑎 − 3) = = 4𝑥𝑥 2 + 2 · 2𝑥𝑥 · 9 + (2𝑎𝑎 − 3); 2𝑎𝑎 − 3 = 81; 2𝑎𝑎 = 84; 𝑎𝑎 = 42; 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 − 3 = 42 − 3 = 39. Відповідь: 𝑎𝑎 = 42; 𝑏𝑏 = 39. 43. Спростіть вираз: 2 2𝑥𝑥 1 (𝑥𝑥 − 3)2 + 12𝑥𝑥 1 + + = 2; 1. � 2 � · 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 6 2 2𝑥𝑥 1 1 + 2 + 2 a) 2 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 6 1 2𝑥𝑥 1 = + + (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) 𝑥𝑥 + 3 + 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2) + 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 3 + 2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 = = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) 2 2𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 + 4 2(𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 2) 2(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) = = = (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) 2 = ; 𝑥𝑥 + 3 2 2 (𝑥𝑥 − 3)2 + 12𝑥𝑥 4 ⋅ (𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 9) 4(𝑥𝑥 + 3)2 б) � = = = 2; � ⋅ 2 2(𝑥𝑥 + 3)2 𝑥𝑥 + 3 2 ⋅ (𝑥𝑥 + 3)2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

3𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 10(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏 2 ) 3𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 10𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏) 2. 2 − 2 + = − 2 + (𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏 2 ) − 𝑏𝑏 2 (𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 2 𝑎𝑎2 − 9𝑏𝑏 2 2 2 2 2 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 10𝑏𝑏 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 10𝑏𝑏 = − 2 + = − 2 + 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 (𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 (𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)2 − 𝑏𝑏 2 2 2 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 10𝑏𝑏 = −2+ 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 2 2 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) + 10𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 2 2 3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏 2 + 10𝑎𝑎𝑎𝑎 + 10𝑏𝑏 2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 2 2 𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 + 3𝑏𝑏 2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎2 + 3𝑏𝑏 2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 = = = = 1. (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏 2 𝑎𝑎2 + 3𝑏𝑏 2 + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 44. Розв’яжіть відносно x рівняння: 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 − = ; 𝟏𝟏. 2 𝑎𝑎 𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 + − = 0; 𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2) 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2 𝑎𝑎 𝑥𝑥 2 + 1 + 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2) = 0; 𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2) 𝑥𝑥 2 + 1 + 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 0; 𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2) 𝑥𝑥 2 (1 − 𝑎𝑎) + 2𝑥𝑥 + (1 + 𝑎𝑎) = 0. 𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 2) Рівняння рівносильне системі 𝑥𝑥 2 (1 − 𝑎𝑎) + 2𝑥𝑥 + (1 + 𝑎𝑎) = 0, 𝑎𝑎 ≠ 0, � 2 𝑎𝑎 ≠ . 𝑎𝑎 2𝑥𝑥 + 2 = 0, а) 𝑎𝑎 = 1. Маємо � 𝑥𝑥 = −1. 𝑥𝑥 ≠ 2; б) 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ 0. Тоді 𝐷𝐷 = 4 − 4(1 − 𝑎𝑎)(1 + 𝑎𝑎) = 4 − 4(1 − 𝑎𝑎2 ) = 4𝑎𝑎2 ; −2 + 2𝑎𝑎 −2(1 − 𝑎𝑎) = = −1; 𝑥𝑥1 = 2(1 − 𝑎𝑎) 2(1 − 𝑎𝑎) −2 − 2𝑎𝑎 −2(1 + 𝑎𝑎) 𝑎𝑎 + 1 𝑥𝑥2 = = = . 2(1 − 𝑎𝑎) 2(1 − 𝑎𝑎) 𝑎𝑎 − 1 2 Необхідна перевірка умови 𝑥𝑥 ≠ . 𝑎𝑎

Якщо 𝑎𝑎 = −2, то 𝑥𝑥1 = −1 — не є коренем рівняння; 𝑥𝑥2 =

𝑎𝑎+1 𝑎𝑎−1

−2+1 −2−1

= ; 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎 − 2; 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 + 2 = 0; немає розв'язків. 𝑎𝑎

= . 3

Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = −1; якщо 𝑎𝑎 = −2, то 𝑥𝑥 = ; якщо 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 ≠ −2, 𝑎𝑎 ≠ 0, то 3

𝑎𝑎+1

. 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎−1 3 − 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 + 2 = . 𝟐𝟐. 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 3𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

а)

б)

4𝑎𝑎+3

8 4𝑎𝑎+3 8

la. in.

3𝑥𝑥 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 = 3𝑥𝑥 2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 = 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − 𝑎𝑎(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) = (3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎). 3 − 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 2 + − = 0. 3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 (3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 Рівняння рівносильне системі (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) + 3 − 𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 + 2)(3𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 0, 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎, � 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ≠ . 3 2 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 3 − 𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 2 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 6𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎 = 0; −8𝑥𝑥 2 + (4𝑎𝑎 − 5)𝑥𝑥 + (4𝑎𝑎 + 3) = 0 |: (−1); 8𝑥𝑥 2 − (4𝑎𝑎 − 5)𝑥𝑥 − (4𝑎𝑎 + 3) = 0; 𝐷𝐷 = (4𝑎𝑎 − 5)2 − 4 ⋅ 8 ⋅ (−(4𝑎𝑎 + 3)) = 16𝑎𝑎2 − 40𝑎𝑎 + 25 + 128𝑎𝑎 + 96 = = 16𝑎𝑎2 + 88𝑎𝑎 + 121 = (4𝑎𝑎 + 11)2 ; 4𝑎𝑎 − 5 + (4𝑎𝑎 + 11) 8𝑎𝑎 + 6 2(4𝑎𝑎 + 3) 4𝑎𝑎 + 3 = = = ; 𝑥𝑥1 = 16 16 16 8 4𝑎𝑎 − 5 − (4𝑎𝑎 + 11) 𝑥𝑥2 = = −1. 16 𝑎𝑎 Необхідно перевірити виконання умов 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎; 𝑥𝑥 ≠ . 1

= −𝑎𝑎; 4𝑎𝑎 + 3 = −8𝑎𝑎; 12𝑎𝑎 = −3; 𝑎𝑎 = − . Тоді 𝑥𝑥 = −1 — єдиний корінь. 𝑎𝑎

= ; 12𝑎𝑎 + 9 = 8𝑎𝑎; 4𝑎𝑎 = −9; 𝑎𝑎 = − . Тоді 𝑥𝑥 = −1 — єдиний корінь. 3

в) −1 = −𝑎𝑎; 𝑎𝑎 = 1. Тоді 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎

г) −1 = ; 𝑎𝑎 = −3. Тоді 𝑥𝑥 = 3

4𝑎𝑎+3

8 4𝑎𝑎+3 8

= — єдиний корінь.

8 −12+3 9

= − — єдиний корінь. 8

Відповідь: Якщо 𝑎𝑎 = − або 𝑎𝑎 = − , то 𝑥𝑥 = −1; якщо 𝑎𝑎 = 1, то 𝑥𝑥 = ; якщо 𝑎𝑎 = −3, то 9

𝑥𝑥 = − ; якщо 𝑎𝑎 ≠ −3, 𝑎𝑎 ≠ − , 𝑎𝑎 ≠ − , 𝑎𝑎 ≠ 1, то 𝑥𝑥1 = 8

4𝑎𝑎+3 8

; 𝑥𝑥2 = −1.

45. Розв’яжіть рівняння: 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3 𝑥𝑥 + 6 𝑥𝑥 − 6 1. + = + ; 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 2) = ; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 3 + 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 12 + 𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 12 = ; 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 2 − 4 2𝑥𝑥 2 − 6 2𝑥𝑥 2 − 24 2𝑥𝑥 2 − 6 2𝑥𝑥 2 − 24 = 2 ; − 2 = 0; 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 2 − 1 𝑥𝑥 − 4 (2𝑥𝑥 2 − 6)(𝑥𝑥 2 − 4) − (𝑥𝑥 2 − 1)(2𝑥𝑥 2 − 24) = 0; (𝑥𝑥 2 − 1)(𝑥𝑥 2 − 4) 2𝑥𝑥 4 − 8𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 2 + 24 − 2𝑥𝑥 4 + 24𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 2 − 24 = 0; (𝑥𝑥 2 − 1)(𝑥𝑥 2 − 4) 12𝑥𝑥 2 = 0; 12𝑥𝑥 2 = 0; � 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 1, (𝑥𝑥 2 − 1)(𝑥𝑥 2 − 4) 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 = 0. Відповідь: 0. 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 2 28 𝑥𝑥 − 4 𝑥𝑥 + 4 2. + + = + ; 𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 + 1 15 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 4) + (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 4) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) + (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 2) 28 − = ; (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 3) 15 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 12 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 28 − = ; 15 𝑥𝑥 2 − 9 𝑥𝑥 2 − 1 2𝑥𝑥 2 − 24 2𝑥𝑥 2 − 4 28 − 2 = ; 15 𝑥𝑥 2 − 9 𝑥𝑥 − 1 (2𝑥𝑥 2 − 24)(𝑥𝑥 2 − 1 − (2𝑥𝑥 2 − 4)(𝑥𝑥 2 − 9) 28 = ; (𝑥𝑥 2 − 9)(𝑥𝑥 2 − 1) 15 2𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 24𝑥𝑥 2 + 24 − 2𝑥𝑥 4 + 18𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 2 − 36 28 = ; (𝑥𝑥 2 − 9)(𝑥𝑥 2 − 1) 15 −4𝑥𝑥 2 − 12 28 = ; (𝑥𝑥 2 − 9)(𝑥𝑥 2 − 1) 15 28(𝑥𝑥 2 − 9)(𝑥𝑥 2 − 1) = −60(𝑥𝑥 2 + 3), � 𝑥𝑥 ≠ ±3, 𝑥𝑥 ≠ ±1; 7(𝑥𝑥 2 − 9)(𝑥𝑥 2 − 1) = −15(𝑥𝑥 2 + 3); 7(𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 2 + 9) = −15𝑥𝑥 2 − 45; 7𝑥𝑥 4 − 70𝑥𝑥 2 + 63 + 15𝑥𝑥 2 + 45 = 0; 7𝑥𝑥 4 − 55𝑥𝑥 2 + 108 = 0. Нехай 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑥𝑥 4 = 𝑡𝑡 2 . 7𝑡𝑡 2 − 55𝑡𝑡 + 108 = 0. D = (−55)2 − 4 · 7 · 108 = 3025 − 3024 = 1; 55 + 1 56 8 = = = 4; 𝑡𝑡1 = 14 14 2 𝑥𝑥 2 = 4, 55 − 1 54 27 27 = = .� 𝑡𝑡2 = 14 14 7 𝑥𝑥 2 = ; 𝑥𝑥 = ±2; 7 9 √3 9√21 √27 =± =± . 𝑥𝑥 = ± 7 √7 √7 9√21 9√21

; . Відповідь: −2; 2; − 7 7 46. Розв’яжіть рівняння: 1. √𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 − 11. нехай √𝑥𝑥 − 5 = 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді 𝑡𝑡 2 = 𝑥𝑥 − 5; 𝑡𝑡 2 + 5 − 11 = 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 6 = 0; 𝑡𝑡1 = 3; 𝑡𝑡2 = −2 < 0. Отже, √𝑥𝑥 − 5 = 3; 𝑥𝑥 − 5 = 9; 𝑥𝑥 = 9 + 5; 𝑥𝑥 = 14. Відповідь: 14. 2. √𝑥𝑥 2 + 20 = 22 − 𝑥𝑥 2 . Нехай √𝑥𝑥 2 + 20 = 𝑡𝑡 > 0, тоді 𝑡𝑡 2 = 𝑥𝑥 2 + 20; 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡 2 − 20; 22 − (𝑡𝑡 2 − 20) = 𝑡𝑡; 22 − 𝑡𝑡 2 + 20 − 𝑡𝑡 = 0; 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 42 = 0; 𝑡𝑡1 = −7 < 0; 𝑡𝑡2 = 6; Отже, √𝑥𝑥 2 + 20 = 6; 𝑥𝑥 2 + 20 = 36; 𝑥𝑥 2 = 36 − 20; 𝑥𝑥 2 = 16; 𝑥𝑥 = ±4. Відповідь: −4; 4. 47. Розв’яжіть рівняння: 1. |2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5| = |𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥|; 2𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥, � 2 2𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 5 = −(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥);  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 5 = 0, 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0, � � 2 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 5 = 0; 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 5 = 0; 1) 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 9 − 4 · 1 · (−5) = 9 + 20 = 29; −3 ± √29 𝑥𝑥 = ; 2 2) 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 5 = 0; D = 25 − 4 · 3 · (−5) = 25 + 60 = 85; −5 ± √85 . 𝑥𝑥 = 6 −3±√29 −5±√85 Відповідь: ; . 2 6 2. 3𝑥𝑥 2 − 4 = 5|𝑥𝑥 − 1|; 1) 3𝑥𝑥 2 − 4 = 5(𝑥𝑥 − 1), якщо 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0; 3𝑥𝑥 2 − 4 = 5𝑥𝑥 − 5, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1; 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 4 + 5 = 0, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1; 3𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 0, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1. D = 25 + 4 · 3 · 1 = 25 − 12 = 13; 5 ± √13 5 + √13 𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥1 = > 1; 6 6 5 − √13 ≈ 0,2 < 1 𝑥𝑥2 = 6 (не є коренем); 2) 3𝑥𝑥 2 − 4 = −5(𝑥𝑥 − 1), якщо 𝑥𝑥 − 1 < 0; 3𝑥𝑥 2 − 4 = −5𝑥𝑥 + 5 = 0, якщо 𝑥𝑥 < 1; 3𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 9 = 0, якщо 𝑥𝑥 < 1; D = 25 − 4 · 3 · (−9) = 25 + 108 = 133; −5 ± √133 −5 + √133 𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥1 = ≈ 1,09 > 1 6 6 (не є коренем); −5 − √133 < 1. 𝑥𝑥2 = 6 5+√13 −5−√133 ; . Відповідь: 6 6 48. Побудуйте графік рівняння x2 – 5xy + 6y2 = 0. 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 2 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 2 = 0; (𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥) − (3𝑥𝑥𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 2 ) = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) − 3𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦) = 0; (𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) = 0; 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0 або 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0; 2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 або 3𝑦𝑦 = 𝑥𝑥; 1 1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 або 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. 2

 shkola.in.ua

la. in.

49. Розв’яжіть рівняння: 2𝑥𝑥 + 1 2 3𝑥𝑥 − 4 2 1. � � +� � = 2. 3𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 + 1 2 3𝑥𝑥 − 4 2 1 Нехай � � = 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді � � = . 𝑡𝑡 3𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 + 1 2 2 𝑡𝑡 + 1 1 𝑡𝑡 + 1 = 2𝑡𝑡, = 2; � 𝑡𝑡 + = 2; 𝑡𝑡 > 0; 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2 2 𝑡𝑡 − 2𝑡𝑡 + 1 = 0; (𝑡𝑡 − 1) = 0; 𝑡𝑡 − 1 = 0; 𝑡𝑡 = 1. 2𝑥𝑥 + 1 2 Отже, � � = 1; 3𝑥𝑥 − 4 2𝑥𝑥 + 1 2𝑥𝑥 + 1 = 4 − 3𝑥𝑥 ; = −1, � 2𝑥𝑥 + 1 = 3𝑥𝑥 − 4 3𝑥𝑥 − 4 � � 4 2𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 ≠ ; = 1; 3 3𝑥𝑥 − 4 3 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 = 4 − 1, 5𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = = 0,6, � � � 5 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = −4 − 1; −𝑥𝑥 = −5; 𝑥𝑥 = 5. Відповідь: 0,6; 5. 5𝑥𝑥 − 6 2 7𝑥𝑥 − 2 2 2. � � +� � = 4,25; 2 − 7𝑥𝑥 5𝑥𝑥 − 6 5𝑥𝑥 − 6 2 7𝑥𝑥 − 2 2 17 . � � +� � = 4 7𝑥𝑥 − 2 5𝑥𝑥 − 6 7𝑥𝑥 − 2 2 1 5𝑥𝑥 − 6 2 Нехай � � = 𝑡𝑡 ≥ 0, тоді � � = . 𝑡𝑡 7𝑥𝑥 − 2 5𝑥𝑥 − 6 1 17 𝑡𝑡 2 + 1 17 4(𝑡𝑡 2 + 1) = 17𝑡𝑡, ; = ;� 𝑡𝑡 + = 𝑡𝑡 > 0; 4 4 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2 4𝑡𝑡 − 17𝑡𝑡 + 4 = 0; 𝐷𝐷 = (−17)2 − 4 · 4 · 4 = 289 − 64 = 225; 17 + 15 32 17 − 15 2 1 = = 4; 𝑡𝑡2 = = = . 𝑡𝑡1 = 8 8 8 8 4

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

−14𝑥𝑥 + 4 = 5𝑥𝑥 − 6; 14𝑥𝑥 − 4 = 5𝑥𝑥 − 6; � 10𝑥𝑥 − 12 = 7𝑥𝑥 − 2; −10𝑥𝑥 − 12 = 7𝑥𝑥 − 2;

la. in.

⎧ −2(7𝑥𝑥 − 2) = 5𝑥𝑥 − 6, ⎪ ⎪� 2(7𝑥𝑥 − 2) = 5𝑥𝑥 − 6, ⎪ 2(5𝑥𝑥 − 6) = 7𝑥𝑥 − 2, −2(5𝑥𝑥 − 6) = 7𝑥𝑥 − 2; ⎨ ⎪ 1 ⎪ ; 𝑥𝑥 ≠ ⎪ 7 ⎩

5𝑥𝑥 − 6 ⎡ = 2, 7𝑥𝑥 − 2 ⎢ 5𝑥𝑥 − 6 2 5𝑥𝑥 − 6 ⎡� � = 4, ⎢ ⎢ 7𝑥𝑥 − 2 = −2, ⎢ 7𝑥𝑥 − 2 ⎢ 5𝑥𝑥 − 6 2 1 ⎢ 5𝑥𝑥 − 6 1 ⎢� ⎢ = , ⎣ 7𝑥𝑥 − 2� = 4 , ⎢ 7𝑥𝑥 − 2 2 1 ⎢5𝑥𝑥 − 6 = − ; ⎣7𝑥𝑥 − 2 2

10 ⎡ 𝑥𝑥 = ; 19 ⎢ 2 −19𝑥𝑥 = −6 − 4, ⎢ −14 − 5𝑥𝑥 = −6 − 4, 𝑥𝑥 = − ; 9𝑥𝑥 = −2, 14𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 = −6 + 4, 9 ⎢ � � 3𝑥𝑥 = 10, 10𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 = −2 + 12, ⎢𝑥𝑥 = 10 = 3 1 ; −17𝑥𝑥 = −14; ⎢ −10𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 = −2 − 12; 3 3 14 ⎢ ⎣ 𝑥𝑥 = 17 . 2 1 10 14 Відповідь: − ; 3 ; ; . 9 3 19 17 1 1 𝟑𝟑. 7 �𝑥𝑥 + � − 2 �𝑥𝑥 2 + 2 � = 9; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 1 1 7 �𝑥𝑥 + � − 2 ��𝑥𝑥 + � − 2� = 9; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 1 1 2 �𝑥𝑥 + � − 7 �𝑥𝑥 + � − 4 + 9 = 0; 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 1 1 2 �𝑥𝑥 + � − 7 �𝑥𝑥 + � + 5 = 0. 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 Нехай 𝑥𝑥 + = 𝑡𝑡, тоді 2𝑡𝑡 2 − 7𝑡𝑡 + 5 = 0; 𝑥𝑥 D = 49 − 4 · 2 · 5 = 49 − 40 = 9; 7 + 3 10 5 7−3 4 = = ; 𝑡𝑡2 = = = 1. 𝑡𝑡1 = 4 4 2 4 4 Отже, 𝑥𝑥 2 + 1 5 ⎡ ⎧ ⎧ = 1 5 2 ⎪𝑥𝑥 + = , ⎪⎢ 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 ⎢𝑥𝑥 + 1 1 ⎨𝑥𝑥 + = 1; ⎨⎢ 𝑥𝑥 = 1 ⎪ ⎪⎣ 𝑥𝑥 ⎩ ⎩ 𝑥𝑥 ≠ 0  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝑥𝑥

2(𝑥𝑥 2 + 1) = 5𝑥𝑥, 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0, � 2 � 2 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 + 1 = 𝑥𝑥; 1) 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2 = 0; D = 25 − 4 · 2 · 2 = 25 − 16 = 9; 5+3 8 5−3 2 1 = = 2; 𝑥𝑥2 = = = ; 𝑥𝑥1 = 4 4 4 4 2 2 2. 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 1 = 0; D = 1 − 4 · 1 · 1 < 0. 1 Відповідь: ; 2. 2 𝑥𝑥 2 4 𝑥𝑥 2 𝟒𝟒. 3 � 2 + � + 4 � − � − 8 = 0; 3 𝑥𝑥 9 𝑥𝑥 2 4 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 3 �� − � + � + 4 � − � = 0. 3 3 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4

la. in.

Нехай − = 𝑡𝑡, тоді 3 �𝑡𝑡 2 + � + 4𝑡𝑡 − 8 = 0; 3 𝑥𝑥 3 3𝑡𝑡 2 + 4 + 4𝑡𝑡 − 8 = 0; 3𝑡𝑡 2 + 4𝑡𝑡 − 4 = 0; D = 16 − 4 · 3 · (−4) = 16 + 48 = 64; −4 + 8 4 2 −4 − 8 12 = = ; 𝑡𝑡2 = =− = −2. 𝑡𝑡1 = 6 6 3 6 6 Отже, 𝑥𝑥 2 2 ⎧ − = , 𝑥𝑥 2 − 6 2 ⎡ ⎪�3 𝑥𝑥 3 = , 𝑥𝑥 2 3 3𝑥𝑥 ⎢ − = −2; 2 ⎢𝑥𝑥 − 6 ⎨ 3 𝑥𝑥 ⎪ ⎣ 3𝑥𝑥 = −2; ⎩𝑥𝑥 ≠ 0; 3(𝑥𝑥 2 − 6) = 6𝑥𝑥, 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 18 = 0, � � 2 𝑥𝑥 − 6 = −6𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 6 = 0; 1) 3𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 − 18 = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 4 + 24 = 28; 2 ± √28 2(1 ± √17) 𝑥𝑥 = = = 1 ± √7; 2 2 2) 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 6 = 0; D = 36 + 24 = 60; −6 ± √60 −2�3 ± √15� 𝑥𝑥 = = = −3 ± √15. 2 2 Відповідь: 1 ± √7; −3 ± √15. 50. У супермаркет привезли яблука першого сорту на суму 2280 грн і другого сорту на суму 1800 грн. Якщо продати всі яблука оптом по одній ціні – на 9 грн нижчій від ціни кілограма першого сорту, то виручка складе заплановану суму. Скільки кілограмів яблук привезли в маркет, якщо яблук другого сорту було на 5 кг більше, ніж яблук першого сорту? Нехай у маркет завезли 𝑥𝑥 кг яблук першого сорту, тоді другого сорту — (𝑥𝑥 + 5) кг. 1 кг 2280 1800 грн., а другого грн. Загальна маса яблук (2𝑥𝑥 + 5) яблук першого сорту коштує 𝑥𝑥

2280

кг, і всі яблука продавали за ціною � 2280

𝑥𝑥

− 9� грн за кілограм. Виручка склала

� 𝑥𝑥 − 9� (2𝑥𝑥 + 5), що за умовою дорівнює 2280 + 1800 = 4080 (грн).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 2280

Маємо �

𝑥𝑥

− 9� (2𝑥𝑥 + 5) = 4080; 11400

la. in.

− 45 = 4080; 4560 − 18𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 11400 − 18𝑥𝑥 + 435 = 0; 𝑥𝑥 18𝑥𝑥 2 − 435𝑥𝑥 − 11400 = 0. 𝐷𝐷 = (−435)2 − 4 ⋅ 18 ⋅ (−11400) = 1010025; 𝑥𝑥1 = 40 (кг); 𝑥𝑥2 < 0 — не задовольняє умову. Отже, всього привезли до магазину 2 ⋅ 40 + 5 = 85 (кг). Відповідь: 85 кг. 51. Загадали ціле додатне число. До нього праворуч дописали цифру 7 і від отриманого числа відняли квадрат числа, що загадали. Різницю зменшили на 75 % і одержали загадане число. Яке число загадали? Нехай 𝑎𝑎–ціле додатне число, що загадали, тоді маємо рівняння: (𝑎𝑎7 − 𝑎𝑎2 ) − 0,75(𝑎𝑎7 − 𝑎𝑎2 ) = 𝑎𝑎; Коли ми дописуємо цифру праворуч, попереднє число зміщується на один розряд ліворуч (стає в 10 разів більшим), а нова цифра стає одиницями. Отже, нове число дорівнює 10 ⋅ 𝑎𝑎 + 7. 10𝑎𝑎 + 7 − 𝑎𝑎2 − 0,75 · (10𝑎𝑎 + 7 − 𝑎𝑎2 ) = 𝑎𝑎; 10𝑎𝑎 + 7 − 𝑎𝑎2 − 7,5𝑎𝑎 − 5,25 + 0,75𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 = 0; −0,25𝑎𝑎2 + 1,5𝑎𝑎 + 1,75 = 0; 25𝑎𝑎2 − 150𝑎𝑎 − 175 = 0; 𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 − 7 = 0; 𝑎𝑎 = 7 або 𝑎𝑎 = −1; (умові задачі не задовольняє). Відповідь: 7. 52. З міста A в місто B, відстань між якими 164 км, зі швидкістю 20 км/год виїхав велосипедист. Через 2 год у тому самому напрямку виїхав мотоцикліст, який, обігнавши велосипедиста, прибув у місто B і одразу повернув назад. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо він зустрів велосипедиста через 2 год 45 хв після того, як його обігнав. Нехай C – пункт, в якому мотоцикліст обігнав велосипедиста, D − пункт, в якому мотоцикліст зустрів велосипедиста, повертаючись назад; 𝑥𝑥 год – час, за який велосипедист подолав відстань AD, тоді (𝑥𝑥 − 2) год – час, який був у дорозі мотоцикліст. 𝑡𝑡

𝑥𝑥

AB + BD

2 год 45 хв = 2 𝑥𝑥 − 2

𝑠𝑠

Велосипедист

Мотоцикліст

CB + BD

11 4

𝑣𝑣

20 45 60

год = 2 =

 shkola.in.ua

11 4

год

20 AB + BD 𝑥𝑥 − 2 4(CB + BD) 11

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

AD = 20𝑥𝑥; CD = AB − AD = 164 − 20𝑥𝑥; AB + BD = 164 + 164 − 20𝑥𝑥 = 328 − 20𝑥𝑥; CB + BD = 55 + 164 − 20𝑥𝑥 + 164 − 20𝑥𝑥 = 55 + 328 − 40𝑥𝑥 = 383 − 40𝑥𝑥. Маємо рівняння: AB + BD 4(CB + BD) = ; 𝑥𝑥 − 2 11 328 − 20𝑥𝑥 4(328 − 10𝑥𝑥) = ; 𝑥𝑥 − 2 11 82 − 5𝑥𝑥 383 − 40𝑥𝑥 = ; 11 𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 − 2)(383 − 40𝑥𝑥) = 11(82 − 5𝑥𝑥), � 𝑥𝑥 ≠ 2; 383𝑥𝑥 − 766 − 40𝑥𝑥 2 + 80𝑥𝑥 = 902 − 55𝑥𝑥; 40𝑥𝑥 2 − 518𝑥𝑥 + 1668 = 0; 20𝑥𝑥 2 − 259𝑥𝑥 + 834 = 0; 𝐷𝐷 = 67081 − 66720 = 361; 259 + 19 𝑥𝑥1 = = 6,95; 40 259 − 19 240 = = 6. 𝑥𝑥1 = 40 40 AB + BD 328 − 20𝑥𝑥 328 − 20 ⋅ 6,95 328 − 139 189 = = = = = 𝑥𝑥 − 2 6,95 − 2 4,95 4,95 𝑥𝑥 − 2 18 900 3780 420 2 = = = = 38 (км/год) 495 99 11 11 AB + BD 328 − 20𝑥𝑥 328 − 20 ⋅ 6 328 − 120 208 = = = = = 52(км/год). або 𝑥𝑥 − 2 6−2 4 4 𝑥𝑥 − 2 2 Відповідь: 52 км/год або 38 км/год. 11 53. З міста M у місто N зі швидкістю 12 км/год виїхав велосипедист. Через 1 год у тому самому напрямку зі швидкістю 15 км/год виїхала велосипедистка. Ще через 1 год з міста M у тому самому напрямку виїхав ще й мотоцикліст, який обігнав одного з велосипедистів через 10 хв після того, як обігнав іншого. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо вона більша за 50 км/год. 1. Нехай мотоцикліст обігнав в пункті A першим першого велосипедиста, а пункті B обігнав другого велосипедиста. D – пункт, до якого доїхав перший велосипедист, в момент часу, коли мотоцикліст наздогнав другого велосипедиста. 𝑠𝑠

І велосипедист

ІІ велосипедист

Мотоцикліст

𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 1

10xв = год

𝑥𝑥 − 2

MB AB

10хв = год 6

 shkola.in.ua

𝑣𝑣

MB 𝑥𝑥 − 2 6AB

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 = 2(км); 6 MB = 15(𝑥𝑥 − 1); AB = AD + BD = AD + (MB − MD) = 2 + (15(𝑥𝑥 − 1) − 12𝑥𝑥) = 2 + 15𝑥𝑥 − 15 − 12𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 − 13. Маємо рівняння: 15(𝑥𝑥 − 1) 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 6𝐴𝐴𝐴𝐴; = 6(3𝑥𝑥 − 13); 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 2(3𝑥𝑥 − 13)(𝑥𝑥 − 2) = 5(𝑥𝑥 − 1), � 𝑥𝑥 ≠ 2; 2 6𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 − 26𝑥𝑥 + 52 − 5𝑥𝑥 + 5 = 0; 6𝑥𝑥 2 − 43𝑥𝑥 + 57 = 0; D = (−43)2 − 4 · 6 · 57 = 1849 − 1368 = 481; 43 + √481 43 − √481 𝑥𝑥1 = ≈ 5,4; 𝑥𝑥2 = = 1,8. 40 40 𝑣𝑣 = 6AB = 6(3𝑥𝑥 − 13) = 6(3 · 5,4 − 13) = 19,2 < 50 − умові задачі не задовольняє; 2. Нехай мотоцикліст в пункті A першим обігнав другого велосипедиста, а пункті B обігнав першого велосипедиста. D − пункт, до якого доїхав другий велосипедист, в момент часу, коли мотоцикліст наздогнав першого велосипедиста.

І велосипедист II велосипедист

𝑠𝑠

𝑡𝑡

𝑥𝑥

𝑣𝑣

𝑥𝑥 − 1

10хв = год

𝑥𝑥 − 2

1 6

MB 𝑥𝑥 − 2

Мотоцикліст

la. in.

MD = 12𝑥𝑥; AD = 12 ⋅

10хв = год 6

6AB 5

MB = 12𝑥𝑥; MD = 15(𝑥𝑥 − 1); AD = 15 ⋅ = ; 5

AB = AD + BD = AD + (MB − MD) = + �12𝑥𝑥 − 15(𝑥𝑥 − 1)� = 2 35 − 6𝑥𝑥 5 . = + 12𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥 + 15 = 2 2 Маємо рівняння: MB 12𝑥𝑥 35 − 6𝑥𝑥 = 6𝐴𝐴𝐴𝐴; =6⋅ ; 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 2 3(35 − 6𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 2) = 12𝑥𝑥; � 𝑥𝑥 ≠ 2; (35 − 6𝑥𝑥)(𝑥𝑥 − 2) = 4𝑥𝑥; 35𝑥𝑥 − 70𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 = 0; 62 − 43𝑥𝑥 + 70 = 0; D = (−43)2 − 4 · 5 · 70 = 1849 − 1680 = 169; 43 + 13 56 14 = = ; 𝑥𝑥1 = 2 12 3 43 − 13 30 5 = = ; 𝑥𝑥2 = 2 12 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

14 12 ⋅ 12𝑥𝑥 MB 3 = 56 ⋅ 3 = 7 ⋅ 3 = 21 = = 8 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 14 − 2 3 (км/год) < 50–умові задачі не задовольняє або 5 12 ⋅ 12𝑥𝑥 MB 2 = 30 ⋅ 2 = 60 = 60 > 50. = = 1 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 5 − 2 5 − 4 2 Відповідь: 60 км/год. 54. З містечка A до містечка B і з B до A одночасно вийшли два пішоходи. Перший прибув до B через 0,8 год після їхньої зустрічі, а другий прибув до A через 1,25 год після їхньої зустрічі. Скільки годин був у дорозі кожний з пішоходів? Нехай 𝑥𝑥 були у дорозі пішоходи до зустрічі, тоді 𝑣𝑣1 𝑥𝑥 + 𝑣𝑣2 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 ); 𝑥𝑥(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 ) ⎧ = 𝑣𝑣1 , 𝑥𝑥𝑣𝑣 + 𝑥𝑥𝑣𝑣2 = 𝑥𝑥𝑣𝑣1 + 0,8𝑣𝑣1 , 𝑥𝑥 + 0,8 � 1 𝑥𝑥𝑣𝑣1 + 𝑥𝑥𝑣𝑣2 = 𝑥𝑥𝑣𝑣2 + 1,25𝑣𝑣2 ; ⎨𝑥𝑥(𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣2 ) = 𝑣𝑣2 ; ⎩ 𝑥𝑥 + 1,25 0,8𝑣𝑣1 𝑥𝑥𝑣𝑣2 = 0,8𝑣𝑣1 , 𝑣𝑣2 = ; � 𝑥𝑥𝑣𝑣1 = 1,25𝑣𝑣2 ; 𝑣𝑣1 1,25𝑣𝑣2 5 5 0,8𝑣𝑣12 = 1,25𝑣𝑣22 ; 𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣2 ; 𝑥𝑥𝑣𝑣2 = 0,8 ⋅ 𝑣𝑣2 ; 4 4 𝑥𝑥 = 0,2 · 5 = 1; 𝑥𝑥 + 0,8 = 1 + 0,8 = 1,8; 𝑥𝑥 + 1,25 = 1 + 1,25 = 2,25. Відповідь: 1,8 год; 2,25 год. 55. По двох взаємно перпендикулярних дорогах рухаються в напрямку перехрестя пішохід і велосипедист. У деякий момент часу пішохід знаходиться на відстані 2 км, а велосипедист – на відстані 3,75 км від перехрестя доріг. Через який час відстань між ними дорівнюватиме 1,25 км, якщо швидкість пішохода 5 км/год, а велосипедиста – 15 км/год?

Нехай через 𝑥𝑥 год відстань CD = 1,25км, AO = 2км; BO = 3,75 км; CD = 1,25 км; AC = 5𝑥𝑥 км; OC = 2 − 5𝑥𝑥; BD = 15𝑥𝑥 км; OD = 3,75 − 15𝑥𝑥. За теоремою Піфагора OC2 + OD2 = CD2 . Маємо рівняння: (2 − 5𝑥𝑥)2 + (3,75 − 15𝑥𝑥)2 = 1, 252 ; 4 − 20𝑥𝑥 + 25𝑥𝑥 2 + 14,0625 + 225𝑥𝑥 2 − 112,5𝑥𝑥 = 1,5625; 250𝑥𝑥 2 − 132,5𝑥𝑥 + 16,5𝑥𝑥 = 0; 2500𝑥𝑥 2 − 1325𝑥𝑥 + 165𝑥𝑥 = 0; 500𝑥𝑥 2 − 265𝑥𝑥 + 33 = 0; D = 70 225 − 66 000 = 4225; 265 + 65 330 = = 0,33; 𝑥𝑥1 = 1000 1000  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

265 − 65 200 = = 0,2. 1000 1000 Відповідь: 0,2 год або 0,33 год. 56. Іра та Олег мали разом набрати текст до певного терміну. Після того як було набрано половину тексту, Олег захворів, і тому Іра закінчила роботу на 2 дні пізніше, ніж передбачалося. За скільки днів міг би набрати текст кожний з них самостійно, якщо Ірі на це знадобилося б на 5 днів менше, ніж Олегу? Нехай 𝑥𝑥 днів потрібно Олегу для того, щоб набрати рукопис, тоді (𝑥𝑥 − 5) днів потрібно Ірі, щоб набрати цей рукопис. 1 – продуктивність праці Олега; 𝑥𝑥

𝑥𝑥2 =

– продуктивність праці Іри; 1 𝑥𝑥 − 5 + 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 1 1 :� + = �= : 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 2(2𝑥𝑥 − 5) 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 5 днів Олег та Іра працювали разом; 1 1 𝑥𝑥 − 5 : = 2 𝑥𝑥 − 5 2 днів працював Сергій; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) 1 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 1 = 1: � + �= 2𝑥𝑥 − 5 2(2𝑥𝑥 − 5) 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 5 за планом мали працювати Олег та Іра. Маємо рівняння: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) + − = 2; 2 2(2𝑥𝑥 − 5) 2𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥 − 5 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) − = 2; 2 2𝑥𝑥 − 5 (𝑥𝑥 − 5)(2𝑥𝑥 − 5) − 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5) = 2; 2(2𝑥𝑥 − 5) 2𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 25 − 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 = 2; 2(2𝑥𝑥 − 5) 𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 25 = 8𝑥𝑥 − 20, � 𝑥𝑥 ≠ 2,5; 𝑥𝑥 2 − 18𝑥𝑥 + 45 = 0; 𝑥𝑥1 = 15; 𝑥𝑥2 = 3; 𝑥𝑥 = 3 умові задачі не задовольняє. 𝑥𝑥 − 5 = 15 − 5 = 10. Відповідь: 15 днів; 10 днів. 57. Через перший кран можна наповнити резервуар водою на 24 хв швидше, ніж через 2 другий. Якщо спочатку резервуара заповнять через перший кран, а потім частину, що 3 залишилася, – через другий, то витрачений на це час буде на 33 хв більшим, ніж час наповнення резервуара одночасно через обидва крани. За який час можна наповнити резервуар через кожний кран окремо? 1 – продуктивність праці другого крану;

la. in.

𝑥𝑥−5

𝑥𝑥

– продуктивність праці першого крану; 𝑥𝑥 − 24 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) 1 1 = 1: � + � = 1: 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) 2𝑥𝑥 − 24 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 24 час, необхідний для заповнення басейну через обидва крани.

𝑥𝑥−24

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1 2(𝑥𝑥 − 24) 2 : = 3 3 𝑥𝑥 − 24 2 час, за який заповнює басейну І кран; 3 1 1 𝑥𝑥 : = 3 𝑥𝑥 3 1 час. за який заповнить басейну II кран. 3 Маємо рівняння: 2(𝑥𝑥 − 24) 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) + = + 33; 3 3 2𝑥𝑥 − 24 2𝑥𝑥 − 48 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) − = 33; 3 2𝑥𝑥 − 24 (3𝑥𝑥 − 48)(2𝑥𝑥 − 24) − 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 24) = 33; 3(2𝑥𝑥 − 24) 6𝑥𝑥 2 − 72𝑥𝑥 − 96𝑥𝑥 + 1152 − 3𝑥𝑥 2 + 72𝑥𝑥 − 198𝑥𝑥 + 2376 = 0, � 𝑥𝑥 ≠ 12; 3𝑥𝑥 2 − 294𝑥𝑥 + 3528 = 0; D = 86 436 − 42336 = 44 100; 294 + 210 = 84; 𝑥𝑥1 = 6 294 − 210 84 = = 14; 𝑥𝑥2 = 6 6 𝑥𝑥 = 14 – умові задачі не задовольняє; 𝑥𝑥 − 24 = 84 − 24 = 60. Відповідь: за 84 хв; за 60 хв.

Задачі підвищеної складності з геометрії 1. На сторонах AB і CD паралелограма ABCD зовні нього побудовано два рівносторонніх трикутники ABK і CDL. Доведіть, що відрізок KL проходить через точку перетину діагоналей паралелограма.

Розглянемо чотирикутник KBLD. ΔBCL = ΔDAK за двома сторонами і кутом між ними: BC = AD як протилежні сторони паралелограма, CL = AK = AB = CD за побудовою; ∠BCL = ∠BCD + 60°, ∠KAD = ∠BAD + 60°, ∠BCD=∠BAD як протилежні. З рівності трикутників BL = KD. KB = DL як сторони рівних рівносторонніх трикутників. Отже, KBLD — паралелограм (протилежні сторони попарно рівні). Тоді діагоналі BD і KL перетинаються в точці, що є серединою кожної з них, значить, KL проходить через середину діагоналі BD, а це і є точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. 2. На основі AB рівнобедреного трикутника ABC взято довільну точку K. Через цю точку  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

паралельно BC і AC проведено прямі, які перетинають сторони трикутника. Доведіть, що периметр паралелограма, який при цьому утворився, не залежить від положення точки K.

la. in.

У ΔABC AC = BC, ∠A = ∠B, K ∈ AB, PK ∣∣ BC, KN ∣∣ AC. ∠PKA=∠B як відповідні при паралельних прямих PK і BC та січній AB. Тоді в ΔAPK ∠A = ∠PKA, тому AP = PK. ∠NKB = ∠A як відповідні при паралельних прямих NK і AC і січній AB. Тоді ΔKNB ∠NKB = ∠B, тому NK = NB. PPCNK = PC + CN + NK + PK = PC + AP + CN + NB = AC + BC. Таким чином, периметр не залежить від положення точки K. 3. Точки A, B і C лежать на колі із центром O. ABCO – паралелограм. Знайдіть його кути.

AO = BO = CO як радіуси. AO = BC як протилежні сторони паралелограма. Тоді BO = CO = BC, ΔOBC — рівносторонній. ∠C = 60°, ∠A = ∠C = 60° як протилежні. ∠B = ∠O = 180° − 60° = 120°. Відповідь: 60°; 120°. 4. Побудуйте паралелограм за двома діагоналями й висотою.

Нехай нам дано висоту h і діагоналі d1 і d2. План побудови: 1. Накреслити пряму a, вибрати на ній довільну точку K і побудувати пряму KP, перпендикулярну до a.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

2. На прямій KP відкласти відрізок KB = h. 3. Накреслити коло з центром B і радіусом, рівним d1. Коло перетне пряму a в точці D. 4. Поділити відрізок BD навпіл (точка O). 5. Поділити відрізок d2 навпіл. 𝑑𝑑₂ 6. Побудувати коло з центром O і радіусом . 2 A — точка перетину кола з прямою a. 7. На промені AO відкласти відрізок AC = d2. 8. ABCD — шуканий паралелограм. 5. Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники, периметри яких однакові. Визначте вид чотирикутника.

Розглянемо два випадки. 1. Точка O — середина однієї діагоналі і не є серединою іншої діагоналі. Нехай AO = OC, BO < OD. Позначимо на відрізку OD точку B1, так, що OB1 = OB. Оскільки △ABO ∼ △CB1O (за двома сторонами і кутом між ними: AO = CO. BO = B1O, ∠AOB = ∠COB1 (як вертикальні), то AB = CB1. За умовою P△ABO = P△CDO, або AB + AO + OB = OB1 + BD1 + DC + CO. Звідси, враховуючи, що AO = OC і OB = OB1, отримаємо, що AB = B1D + DC або CB1 = B1D + DC. Але в △CB1D CB1 < B1D + DC. Отримали суперечність, значить, перший випадок неможливий.

2. Точка O не є серединою жодної з діагоналей. Нехай AO < OC, BO < OD. Позначимо точки A1 і B1 на відрізках OC і OD, так, що OA1 = OA, OB1 = OB, і розглянемо △OA1B1. Оскільки △AOB = △A1OB1, то AB = A1B1. За умовою P△ABO = P△CDO або AB + AO + OB = OB1 + B1D + DC + CA1 A1O. Звідки, враховуючи рівності OA1 = OA і OB = OB1, отримаємо AB = B1D + DC + CA1 або A1B1 = B1D + DC + CA1. Але в чотирикутнику A1B1DC A1B1 < B1D + DC + CA1. Отримали суперечність, значить, випадок 2 також не може бути. Отже, AO = OC, BO = OD, тому ABCD — паралелограм. А з умови P△AOB = P△COB випливає, що AB = BC, тобто сусідні сторони паралелограма рівні. Тоді ABCD — ромб. Відповідь: ромб. 6. Коло з діаметром AC проходить через середину сторони AB ромба ABCD. Знайдіть тупий кут ромба.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

За умовою M — середина AB, △AOB — прямокутник (AC ⊥ BD), медіана OM дорівнює половині гіпотенузи AB: OM = AM. Але OM = OA як радіуси, тоді OM = AM = OA. У △AOM ∠MOA = 60°. Діагональ AC є бісектрисою кута BAD і ∠BAD = 2∠BAO = 2 ⋅ 60° = 120°. Відповідь: 120°. 7. Зовні прямокутника ABCD вибрано точку K так, що ∠AKC = 90°. Знайдіть ∠DKB.

За умовою ∠AKC = 90°. Тоді в △AKC KO — медіана, 1 KO = AC. 2 Оскільки діагоналі прямокутника рівні, а точка O — середина кожної з них, то в △BKD KO — медіана і KO = BO = OD. Це означає, що ∠BKD = 90°. Відповідь: 90°. 8. На катетах AC і BC прямокутного трикутника ABC побудовано квадрати ACDE і BCKL. Прямі ED і KL перетинаються в точці P. Під яким кутом перетинаються прямі PC і AB?

△PKC = △ACB за двома катетами (PK = AC, CK = BC за побудовою).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Звідси ∠CPK = ∠BAC. ∠PCK ∼ ∠ACR як вертикальні. △PCK = △ACR за двома кутами. Тоді ∠ARC = ∠PKC = 90°. Відповідь: 90°. 9. Сторони прямокутника дорівнюють a і b (a > b). Бісектриса одного кутів прямокутника, що утворюється, утворює чотирикутник. Знайдіть його діагоналі.

la. in.

△AND — рівнобедрений, оскільки ∠NAD = ∠NDA = 45°. Тому AN = ND. △ABM = △DPC за стороною і прилеглими кутами (AB = CD = b, ∠MBA = ∠BAM = ∠PCD = ∠CDP =45°). Звідси AM = PD. Тоді MN = NP. Аналогічно MK = KP. ∠NMK = 90° як вертикальний до кута BMD. Отже, MNPK — квадрат. ∠NMP = 45°, ∠NMP = ∠MAD, а ці кути є відповідними при прямих MP і AD і січній AM. Тоді MP ∥ AD. Аналогічно можна довести, що AN ∥ KC. AMPS — паралелограм. MP = AS = AD – DS = a – b (△SCD — прямокутний і рівнобедрений, SD = CD = b). NK = MP = a − b. Відповідь: a − b. 10. Доведіть, що бісектриса кута паралелограма ділить його кут між висотами, проведеними з вершини цього кута.

Нехай ∠A = ∠C = α. Тоді ∠B = ∠D = 180° − α. 𝛼𝛼 1 1 ∠ABL = ∠B = (180° − 𝛼𝛼) = 90° − . 2 2 2 З △ABK ∠ABK = 90° − α. Тоді ∠KBL = ∠ABL − ∠ABK = 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 = 90° − − (90° − 𝛼𝛼) − 90° − − 90° + 𝛼𝛼 = . 2 2 2 ∠KBP = 360° − (∠BKD + ∠D + ∠BPD) = 360° − (90° + 180° − α + 90°) = = 360° − (360° − α) = α.

Тоді ∠PBL = 𝛼𝛼 − ∠KBL = α −

𝛼𝛼 𝛼𝛼 = . 2 2

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html 𝛼𝛼

Отже, ∠KBL = ∠PBL = . 2 11. Усередині квадрата ABCD взято точку P і на відрізку AP, як на стороні, побудовано квадрат APNM, сторона якого PN перетинає сторону AD квадрата ABCD. Порівняйте між собою відрізки BP і DM.

la. in.

Розглянемо трикутники △ABP і △ADM. AB = AD, AP = AM як сторони квадратів. ∠BAP = 90° − ∠PAD, ∠DAM = 90° − ∠PAD, тоді ∠BAP = ∠DAM. Отже, △ABP = △ADM за двома сторонами і кутом між ними. Значить, AP = DM. Відповідь: AP = DM. 12. Доведіть, що в будь-якій трапеції сума бічних сторін більша за різницю більшої і меншої основ.

ABCD — трапеція, BC ∥ AD. Нехай BC = a, AD = b. Проведемо CK || AB. ABCK — паралелограм, CK = AB. У △KCD за нерівністю трикутника KC + CD > KD. Оскільки AK = BC = a, то KD = b − a. Тоді KC + CD > b − a, AB + CD > b − a. 13. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони трапеції. Знайдіть периметр трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 10 см. Оскільки існує точка, рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони трапеції, то в неї можна вписати коло. Тоді сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін. Середня лінія дорівнює півсумі основ (бічних сторін). 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Тоді = 10 см, 2 a + b = 20 см; P = 2(a + b) = 2 ⋅ 20 = 40 (см). Відповідь: 40 см. 14. Відомо, що існує точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції, один з кутів якої дорівнює 40°. Знайдіть інші кути трапеції. Точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції, — це центр описаного кола. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то вона є рівнобічною, і сума протилежних кутів  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

дорівнює 180°. Отже, якщо один з кутів 40°, то другий кут при тій же основі теж дорівнює 40°. Два інші кути дорівнюють 180°−40°=140°. Відповідь: 140°, 40°, 140°. 15. Основи трапеції дорівнюють a і b (a > b), а сума кутів, прилеглих до більшої основи, дорівнює 90°. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.

la. in.

Продовжимо бічні сторони трапеції до їх перетину в точці P. За умовою в трикутнику △APD ∠A + ∠D = 90°, тому ∠P = 90°. PM — медіана, проведена з вершини прямого кута. 1 𝑎𝑎 PM = AD = AM = MD = . 2 2 △BPC ∼ △APD за гострим кутом (∠PAD = ∠PBC як відповідні при BC ∥ AD і січній AP). BC PK Отже, = . AD PM 𝑎𝑎 Позначимо KM = 𝑥𝑥, тоді PK = – 𝑥𝑥. 2 𝑎𝑎 – 𝑥𝑥 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎 ; 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎² 𝑎𝑎𝑎𝑎 = – 𝑎𝑎𝑎𝑎; 2 2 𝑎𝑎² – 𝑎𝑎𝑎𝑎 ; 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 . 𝑥𝑥 = 2 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 . Отже, KM = 2 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 . Відповідь: 2 16. Діагоналі чотирикутника ABCD, вписаного в коло, перетинаються в точці M. Відомо, що ∠ABC = 73°, ∠BCD = 103°, ∠AMD = 110°. Знайдіть ∠ACD.

Кут, вершина якого лежить усередині кола, вимірюється півсумою двох дуг, одна з яких міститься між його сторонами, а інша — між продовженням сторін. ᴗBAD = 2∠BCD = 2 · 103° = 206°.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

ᴗADC = 2∠ABC = 2 · 73° = 146° Шуканий кут ∠ACD вимірюється половиною дуги, на яку він спирається: ᴗAD . ∠ACD = 2 ∠AMB = 180° − ∠AMD = 180° − 110° = 70°. ᴗAB + ᴗCD Але ∠AMB = . 2 Визначимо дугу ᴗAD: ᴗAD = ᴗBAD − ᴗAB або ᴗAD = ᴗADC − ᴗCD. Додамо ці рівності: 2ᴗAD = ᴗADC + ᴗBAD − (ᴗAB + ᴗCD), але ᴗAB + ᴗCD = 70° · 2 = 140°, а ᴗADC + ᴗBAC = 206° + 146° + 352°. Тоді 2ᴗAD = 352° − 140° = 212°, ᴗAD = 106°. 1 1 ∠ACD = ᴗAD = · 106° = 53°. 2 2 Відповідь: 53° 17. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти AH1, BH2 і CH3. H – точка їхнього перетину. Серед семи точок A, B, C, H1, H2, H3 і H укажіть усі такі їхні четвірки, через які можна провести коло.

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів (а значить, і двох інших) дорівнює 180°. Наприклад, у чотирикутнику AH3HH2: ∠H3 + ∠H2 = 90° + 90° = 180°. Відповідь: A, H3, H, H2; H3, B, H1, H; H1, C, H2, H; A, H3, H1, C; B, H3, H2, C; B, H1, H2, A. 18. У п’ятикутнику ABCDE всі кути однакові та всі сторони між собою рівні. Діагоналі AD і BE перетинаються в точці O. Доведіть, що △AED ~ △AOE.

△ABE = △EDA за двома сторонами і кутом між ними  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

(AB = AE = DE, ∠A = ∠E за умовою). Тоді ∠DAE = ∠BEA. У △AED AE = DE, тому ∠DAE = ∠ADE. △AED ∼ △AOE за двома кутами. 19. Через вершину A паралелограма ABCD проведено пряму, яка перетинає продовження сторін CB і CD відповідно в точках N і M. Доведіть, що добуток BN · DM не залежить від того, як проведено цю пряму.

∠BNA = ∠DAM як відповідні при паралельних прямих NC і AD і січній NM. ∠NBA = ∠BCD (AB ∥ CD, BC — січна); ∠ADM = ∠BCD (BC ∥ AD, CM — січна) як відповідні. Тоді ∠NBA = ∠ADM. △NBA ∼ △ADM за двома сторонами. BA BN = , Тому DM DA звідки BN ⋅ DM = DA ⋅ AB. 20. Діагональ трапеції ділить її на два подібних трикутники. Визначте довжину цієї діагоналі, якщо основи трапеції дорівнюють a і b.

△CBA ∼ △ACD за умовою. AC BC = ; Значить, AD AC AC2 = BC ⋅ AD; AC = √BC ⋅ AD = √𝑎𝑎𝑎𝑎. Відповідь: √𝑎𝑎𝑎𝑎. 21. Через середину найбільшої сторони трикутника проведено пряму, яка відтинає від нього трикутник, подібний даному. Знайдіть найменшу сторону трикутника, що відтинається, якщо сторони даного дорівнюють: 1. 42 см; 49 см; 56 см; 2. 42 см; 49 см; 63 см; 3. 42 см; 49 см; 70 см. Скільки розв’язків має задача в кожному з випадків?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

I випадок. MK перетинає BC і MK || AC. △ACB ∼ △MKB. Тоді найменша сторона трикутника MKB дорівнює половині найменшої сторони трикутника ABC, тобто половині AC, а саме: 1. 21 см; 2. 21 см; 3. 21 см.

la. in.

II випадок. MK перетинає AC і MK || BC. △AKM ∼ △ACB. В цьому випадку також найменша сторона ΔAKM дорівнює половині AC.

III випадок. MK перетинає BC, проте MK не паралельна AC, тоді ∠C = ∠KMB і △ABC ∼ △KBM. AB AC BC = = ; найменша – KM. KB KM BM 42 49 56 = = ; 𝟏𝟏. KM 28 KB KM = 24 см; KB = 32 см. 63 42 49 𝟐𝟐. = = ; KB KM 31,5 KM = 27 см; KB = 40,5 см. 70 42 49 𝟑𝟑. = = ; KB KM 35 KM = 30 см; KB = 50 см. Але KB < CB. Тому неможливо KB = 50 см.

IV випадок. MK перетинає AC, проте MK не паралельна до BC. Тоді ∠AKM = ∠B і △AKM ∼ △ABC. AK AM KM = = . AB AC BC 28 KM AK = = ; 𝟏𝟏. 42 49 56 2 1 AK = 37 см; KM = 32 см. 3 3 AM = 28 см — найменша сторона △AKM. 31,5 KM AK = = ; 𝟐𝟐. 42 49 63 AK = 47,25 см. Це неможливо, оскільки AC = 42 см. 35 KM AK = = ; 𝟑𝟑. 42 49 70 1 AK = 58 см. 3 Це неможливо, оскільки AC = 42 см. Відповідь: 1. 21 см або 24 см або 28 см; 2. 21 см або 27 см; 3. 21 см.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

22. У трикутнику ABC кут B – тупий. Позначте на стороні AC таку точку D, щоб виконувалась рівність AB2 = AD · AC.

la. in.

Побудуємо коло, що проходить через точки B і C і при цьому дотикається до прямої AB в точці B. Діаметр перпендикулярний до прямої AB в точці B. Побудуємо перпендикуляр до AB. Коло проходить через точку C, тоді вписаний кут з вершиною C спирається на діаметр і дорівнює 90°. Будуємо перпендикуляр до BC в точці C. Два перпендикуляри перетинаються в точці K. BK — діаметр кола. Середина BK — центр кола. Коло перетинає сторону AC в точці D. Отже, AB — дотична до кола, AC — січна, що перетинає коло в точках D і C. Тоді за теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної: AB2 = AD ⋅ AC. 23. AD і BC – основи трапеції ABCD. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. AC = 15 см, CE – висота трапеції, AE = 9 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

Проведемо через вершину меншої основи трапеції пряму, паралельну діагоналі: CF || BD. Чотирикутник BCFD — паралелограм, оскільки його протилежні сторони лежать на паралельних прямих (CF || BD за побудовою, BC || AD як основи). Отже, DF = BC, CF = BD. Оскільки діагоналі трапеції перпендикулярні, то CF ⊥ AC (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій). Проведемо CE ⊥ AF — висоти трапеції. AE = 9 см — проекція катета AC на гіпотенузу. З △ACE CE2 = AC2 – AE2; CE2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144. З △ACF CE2 = AE ⋅ EF, тоді EF = CE2 : AE = 144 + 9 = 16 (см). AF = AE + EF = 9 + 16 = 25 (см). AF = AD + DF — сума основ трапеції (DF = BC). Середня лінія трикутника ACF дорівнює 1 1 1 1 AF = (AD + DF) = (AD + BC) = ⋅ 25 = 12,5 (см) 2 2 2 2 Відповідь: 12,5 см. 24. Діагоналі чотирикутника ABCD взаємно перпендикулярні. Доведіть, що AD2 + BC2 = AB2 + CD2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

За умовою AC ⊥ BD, O — точка перетину діагоналей. З ΔAOB AB2 = AO2 + BO2. З ΔCOD CD2 = CO2 + DO2. Додамо ці рівності: AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2. (1) З ΔAOD AD2 = AO2 + DO2. З ΔBOC BC2 = BO2 + CO2. Додамо ці рівності: AD2 + BC2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2. (2) Праві частини рівностей (1) і (2) рівні, то ліві також рівні: AB2 + CD2 = AD2 + BC2. 25. Точка M лежить усередині кута, який дорівнює 60°. Відстані від точки M до сторін кута дорівнюють a і b. Знайдіть відстань від точки M до вершини кута.

Нехай MA і MB — перпендикуляри, проведені до сторін кута — відстані до них від точки M. Продовжимо AM до перетину з OB у точці C. ΔAOC ∼ ΔBMC (∠C спільний кут), трикутники прямокутні. AO AC Тоді = ; BM BC ∠CMB = ∠COA = 60°. З ΔBMC BC = BM tg 60° = b√3. MC = 2BM = 2b(∠C = 90° − 60° = 30°). AC = AM + MC = a + 2b. 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏) BM ⋅ AC = = . Отже, AO = BС 𝑏𝑏√3 √3 З ΔAOM OM = �AM² + OA² = �𝑎𝑎² + �

3𝑎𝑎² + 𝑎𝑎² + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏² 3

Відповідь: 2�

𝑎𝑎² + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏²

= 2�

𝑎𝑎² + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏² 3

(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏)² (√3)²

= �𝑎𝑎² +

𝑎𝑎² + 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑏𝑏² 3

26. Два кола різних радіусів мають зовнішній дотик. MN – їхня спільна зовнішня  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

дотична, M і N – точки дотику. Доведіть, що довжина відрізка MN є середнім геометричним діаметрів кіл.

la. in.

Нехай R і r — радіуси даних кіл, R > r. Радіуси O1M і O2N, проведені в точці дотику, перпендикулярні дотичній, а отже, паралельні. Проведемо відрізок, паралельний MN, з центра меншого кола до радіуса більшого — O2K. KMNO2 — прямокутник (KM || NO2, MN ⊥ KO2, O2N ⊥ MN). Тоді O2K = MN. З ΔO1KO2 O2K2 = MN2 = O1O22 – O1K2 = (R + r)2 − (R − r)2 =

= R2 + 2Rr + r2 − R2 + 2Rr − r2 = 4Rr = 2R ⋅ 2r = Dd. 27. 1) У гострокутному трикутнику ABC BH – висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 − 2AC · AH. 2) У трикутнику ABC ∠A – тупий, BH – висота. Доведіть, що BC2 = AB2 + AC2 + 2AC · AH.

1. З ΔABH BH2 = AB2 − AH2. З ΔCBH BH2 = BC2 − CH2 = BC2 − (AC − AH)2 = BC2 − AC2 + 2AC ⋅ AH − AH2. Ліві частини рівностей однакові, тому AB2 – AH2 = BC2 – AC2 + 2AC ⋅ AH − AH2; BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC ⋅ AH + AH2; BC2 = AB2 + AC2 – 2AC ⋅ AH. 2. З ΔABH BH2 = AB2 − AH2. З ΔBCH BH2 = BC2 – (AH + AC)2 = BC2 − AH2 – 2AH ⋅ AC – AC2. AB2 – AH2 = BC2 – AH2 – 2AH ⋅ AC – AC2; BC2 = AB2 – AH2 + AH2 + 2AH ⋅ AC + AC2; BC2 = AB2 + AC2 + 2AC ⋅ AH. 28. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо центр вписаного кола міститься на відстані m√2 від вершини прямого кута.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Точка K ділить гіпотенузу AB так, що: AK : KB = 2 : 3. Тоді AK = 2x, BK = 3x. Проведемо OS ⊥ BC і OP ⊥ AC — радіуси в точки дотику кола з катетами. POSC − квадрат, OC = m√2 − його діагональ. Тоді PC = SC = m. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, AP = AK = 2x, BS = BK = 3x. За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (2x + 3x)2 = (2x + m)2 + (3x + m)2; 25x2 = 4x2 + 4xm + m2 + 9x2 + 6xm + m2; 12x2 − 10xm − 2m2 = 0; 6x2 − 5xm − m2 = 0; D = (−5m)2 – 4 ⋅ 6 ⋅ (−m) = 25m2 + 24m2 = 49m2; 5𝑚𝑚 + √49𝑚𝑚2 5𝑚𝑚 + 7𝑚𝑚 = = 𝑚𝑚; 𝑥𝑥1 = 12 12 5𝑚𝑚 − �49𝑚𝑚² < 0 — не задовольняє умові. 𝑥𝑥2 = 12 Отже, AB = 5m; AC = 2m + m = 3m; BC = 3m + m = 4m. P△ABC = 5m + 3m + 4m = 12m. Відповідь: 12m. 29. Нехай a і b – катети прямокутного трикутника, c – його гіпотенуза, h – висота, проведена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник зі сторонами h, c + h, a + b – прямокутний.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

(c + h)2 − (a + b)2 = c2 + 2ch + h2 − a2 − 2ab − b2. За умовою c2 = a2 + b2. Маємо (c + h)2 − (a + b)2 = a2 + b2 + 2ch + h2 − a2 − 2ab − b2 = 2ch + h2 − 2ab. Площа трикутника можна обчислити двома способами: 1 1 S = 𝑎𝑎𝑎𝑎 або S = 𝑐𝑐ℎ. 2 2 Тоді ab = ch. Отже, (c + h)2 − (a + b)2 = h2, звідки (c + h)2 = h2 + (a + b)2. За оберненою теоремою Піфагора це означає, що трикутник прямокутний, c + h — його гіпотенуза, h і a + b — катети. 30. ABCD – прямокутник, у якого ∠A = B = 90°, AB = a, CD = b, BC = c, BC < DA. Знайдіть відстань від точки B до прямої, що містить CD.

Проведемо CH ⊥ AD. ABCH — прямокутник, тому CH = AB = a. ΔBKC ∼ ΔCHD (∠BKC = ∠CHD = 90°), ∠KCB = ∠CDH — відповідні кути при паралельних прямих BC і AD та січній CD. З подібності трикутників випливає, що: BK CH = , BC CD CH ⋅ BC . звідки BK = BC 𝑎𝑎𝑎𝑎 . BK = 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 Відповідь: . 𝑏𝑏 31. Обчисліть: 1. sin 15°; 2. sin 75°.

1. Розглянемо ΔABD, у якого ∠D = 90°;

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

∠A = ∠B = 45°, і ΔBDC, у якого ∠D = 90°; ∠DBC = 30°. 2. Тоді ∠ABC = 75°. 3. Позначимо AD = BD = 1, тоді AB = √AD2 + BD2 = √12 + 12 = √2. 4. У ΔBDC: DC 1 tg ∠DBC = ; DC = . BD √3

1 4 2 = � = . 3 3 √3 5. Проведемо висоту AK трикутника ABC. 1 1 𝟔𝟔. S△ABC = AC ⋅ BD = BC ⋅ AK; 2 2 2 1 AK; �1 + � ⋅ 1 = √3 √3 √3 + 1 = 2 AK; √3 + 1 AK = . 2 7. У ΔAKB: ∠KAB = 90° – 75° = 15°.

la. in.

Тоді BC = �BD2 + DC 2 = �1 +

3 + 2 √3 + 1 √3 + 1 KB = �AB 2 − AK 2 = ��√2� − � = � �2 − 2 4 2

4 − 2 √3 8 − 3 − 2 √3 − 1 �√3� − 2√3 + 12 = � = � = = � 4 4 4 =

√3 − 1 . 2

�(√3 − 1)² 2

8. У ΔABK: sin ∠KAB = √3 − 1

KB AB

;

√2(√3 − 1) √6 − √2 = . 2 ⋅ 2 4 2√2 AK √3 + 1 √6 + √2 𝟗𝟗. sin ∠ABK = sin 75° = = = . AB 4 2√2 sin 15° =

√6 − √2

√6 + √2

; 2. sin 75° = . Відповідь: 1. sin 15° = 4 4 32. Чи існує многокутник, у якого: 1. 20 діагоналей? 2. 21 діагональ? 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) Кількість діагоналей n–кутника дорівнює , де n — натуральне. 2 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) 𝟏𝟏. = 20; 2 n2 − 3n – 40 = 0; n1 = −5 — не задовольняє умові;  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

n2 = 8. Відповідь: так, восьмикутник. 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 3) = 21; 2 n2 − 3n – 42 = 0; D = 9 + 4 ⋅ 42 = 177. Рівняння не має натуральних розв’язків. Відповідь: не існує. 33. В опуклому n-кутнику п’ять кутів мають градусну міру 140° кожний, інші кути – гострі. Знайдіть n. 140° ⋅ 5 = 700° — сума даних 5–ти кутів. n = 6, 180° ⋅ (6 − 2) = 180° ⋅ 4 = 720°; 720° − 700° = 20°; n = 7, 180° ⋅ (7 − 2) = 180° ⋅ 5 = 900°; 900° − 700° = 200°. Отже, у шестикутника шостий кут 20° — гострий. При n = 7 сума решти двох кутів дорівнює 200°. Тоді серед них обов’язково є тупий кут. Відповідь: n = 6. 34. Доведіть, що відстані від довільної точки діагоналі паралелограма до непаралельних сторін обернено пропорційні довжинам цих сторін.

la. in.

𝟐𝟐.

PP — довільна точка діагоналі AC паралелограма ABCD. PK ⊥ BC, PT ⊥ CD — відстані від точки P до суміжних сторін. Розглянемо трикутники BOC і COD. Нехай CF ⊥ OD — спільна висота трикутників BOC і COD. 1 SΔBOC = BO ⋅ CF; 2 1 SΔCOD = OD ⋅ CF. 2 Оскільки BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма, то SΔBOC = SΔCOD. 1 Інакше SΔBOC = MO ⋅ BC; 2 1 SΔCOD = ON ⋅ CD, 2 де OM ⊥ ON — відповідні висоти трикутників, проведені до сторін паралелограма. Оскільки площі рівні, то MO ⋅ BC = ON ⋅ CD, MO CD звідки = . ON BC  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

△MOC ∼ △KPC, △NOC ∼ △TPC (прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом). З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін: KP MO = . PT ON CD KP = . Тоді BC PT Що і треба було довести. 35. Усередині прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) взято точку M так, що площі трикутників AMB, BMC і CMA рівні між собою. Доведіть, що MA2 + MB2 = 5MC2.

Проведемо перпендикуляри OM і ON до прямих AC і BC. Нехай площа трикутника ABC дорівнює S. 1 За умовою S△AOC = S або 3 1 1 1 OM ⋅ AC = ⋅ AC ⋅ BC. 3 2 2 Звідси випливає, що: 1 OM = BC. 3 Аналогічно доводимо, що 1 ON = AC. 2 1 CM = AC, 3 2 тому AM = AC – CM = AC. 3 2 Аналогічно, BN = BC. 3 За теоремою Піфагора: 1 4 з △ AOM OA2 = OM 2 + MA2 = BC 2 + AC 2 ; 9 9 1 4 з △ BON OB2 = ON 2 + NB 2 = AC 2 + BC 2 ; 9 9 1 1 з △ COM OC 2 = OM 2 + MC 2 = BC2 + AC 2 . 9 9 З цих рівностей випливає, що OA2 + OB2 = 5 ⋅ OC2. 36. У скільки разів площа трикутника ABC більша за площу трикутника ABM, де M – точка перетину медіан трикутника ABC?

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Доведемо, що площа кожного з шести трикутників, на які медіани розбивають трикутник 1 ABC, дорівнює площі △ABC. 6 Розглянемо △ABM. Опустимо з вершини A перпендикуляр AD на пряму CK. 1 1 1 1 Тоді S△AKM = MK ⋅ AD = ⋅ KC ⋅ AD = S△AKC 2 2 3 3 (за властивістю медіани CM : MK = 2 : 1). Оскільки медіана ділить △ABC на два трикутники з рівними площами, то S△AKC = S△BKC. 1 1 1 S△AKM = ⋅ S△ABC = S△ABC . 2 3 6 1 1 Тоді S△ABM = 2S△AMK = 2 ⋅ S△ABC = S△ABC . 6 3 Відповідь: у 3 рази. 37. У трикутнику ABC h1, h2, h3 – висоти, проведені відповідно до сторін AB, BC і CA, а d1, d2, d3 – відстані від довільної точки P, що міститься всередині цього трикутника, до d₁ d₂ d₃ сторін AB, BC і CA відповідно. Доведіть, що + + = 1. h₂

h₁

h₃

1 1 1 AB ⋅ ℎ1 = BC ⋅ ℎ2 = AC ⋅ ℎ3 . 2 2 2 1 1 1 S△ABC = S△APB + S△BPC + S△APC = AB ⋅ 𝑑𝑑1 + BC ⋅ 𝑑𝑑2 + AC ⋅ 𝑑𝑑3 . 2 2 2 Враховуючи ці рівності, маємо: AB ⋅ 𝑑𝑑1 BC ⋅ 𝑑𝑑 2 AC ⋅ 𝑑𝑑 3 AB ⋅ 𝑑𝑑1 + BC ⋅ 𝑑𝑑 2 + AC ⋅ 𝑑𝑑 3 = + + = 1 = 2 2S 2S 2S AB ⋅ 𝑑𝑑₁ BC ⋅ 𝑑𝑑₂ AC ⋅ 𝑑𝑑₃ 𝑑𝑑₁ 𝑑𝑑₂ 𝑑𝑑₃ = + + = + + . AB ⋅ ℎ₁ BC ⋅ ℎ₂ AC ⋅ ℎ₃ ℎ₁ ℎ₂ ℎ₃ 38. Точка перетину бісектрис трикутника на 3 см віддалена від прямої, що містить одну зі сторін трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо його периметр дорівнює 36 см.

S△ABC =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Точка перетину бісектрис кутів трикутника O є центром вписаного кола. OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ AC — відстані від точки O до сторін трикутника. OM = ON = OP = 3 см, як радіуси вписаного кола. 1 1 1 S△ABC = S△AOC + S△AOB + S△BOC = AC ⋅ OP + AB ⋅ OM + BC ⋅ ON = 2 2 2 1 1 = OP ⋅ (AB + BC + AC) = OP. 2 2 1 P△ABC = ⋅ 3 ⋅ 36 = 54 (см2 ). 2 Відповідь: 54 см2. 39. На сторонах AB, BC, AC трикутника ABC позначено точки M, K, P так, що AM : MB = BK : KC = CP : PA = 2 : 1. Площа трикутника ABC дорівнює S. Знайдіть площу чотирикутника APKM.

Поділимо кожну сторону трикутника ABC на три рівних частини і позначимо точки M, K і P так, що AM : MB = BK : KC = CP : AP = 2 : 1. Проведемо MR (BR = RK) і висоти трикутників MBR і MTK: BD ⊥ MR, KE ⊥ MR. △BDR = △KER за гіпотенузою і гострим кутом (BR = RK, ∠BRD = ∠ERK як вертикальні). Тоді BD = KE.

1 MR ⋅ BD; 2 1 S△MRK = MR ⋅ EK, тому S △ MBR = S△MRK . 2 Проведемо KT (PT = CT) і KF ⊥ AC — висоту трикутників PKT і TKC. △REK = △CFK за гіпотенузою і гострим кутом (RK = KC, ∠RKE = ∠CKF як вертикальні). Тоді KF = EK. Отже, KF = KE = BD. 1 S△PKT = PT ⋅ KF; 2 1 S△TKC = TC ⋅ KT. 2

S△MBR =

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Оскільки PT = TC =

1 AC, 3

la. in.

то S△PKT = S△TKC. △MBR ∼ △SBK ∼ △ABC за двома сторонами і кутом B між ними. 1 Тоді BD = KE = KF = ℎ 3 (h — висота △ABC, проведена до сторони AC), 1 MR = PT = TC = AC. 3 1 1 1 1 1 AC ⋅ ℎ = S. S△MBR = S△MRK = S△PKT = S△TKC = ⋅ AC ⋅ ℎ = 2 3 3 18 9 1 5 SAMKP = S – 4 ⋅ S = S. 9 9 5 Відповідь: S. 9 40. Бісектриси всіх кутів трапеції перетинаються в точці O, яка міститься на відстані d від більшої сторони трапеції. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють m і n.

Точка перетину O всіх бісектрис трапеції ABCD — це центр вписаного кола, тоді OK ⊥ AD — радіус цього кола, OK = d, а висота трапеції дорівнює 2d. Оскільки в трапецію вписано коло, то сума основ дорівнює сумі бічних сторін m + n. 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 SABCD = ⋅ 2𝑑𝑑 = (𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)𝑑𝑑. 2 Відповідь: (m + n)d. 41. AD і BC – основи трапеції ABCD, CD = c. Точка K – середина більшої сторони AB. Відстань від точки K до прямої, що містить сторону CD, дорівнює d. Знайдіть площу трапеції.

Проведемо відрізок KM паралельно основам трапеції. Оскільки K — середина AB, то M — середина CD, KM — середня лінія трапеції. Вона ділить висоту трапеції h навпіл, значить, висоти трикутників KCM і KMD, ℎ проведені до сторони KM, дорівнюють . 2 1 ℎ 1 ℎ 1 = KM ⋅ ℎ = S△KCD = S△KCM + S△KMD = KM ⋅ + KM ⋅ 2 2 2 2 2  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 1 ⋅ ℎ = SABCD . 2 2 2

la. in.

1 1 SABCD = 2S△KCD = 2(S△KND − S△KNC ) = 2 � KN ⋅ ND– KN ⋅ NC� = 2 2 1 = 2 ⋅ (𝑑𝑑 ⋅ (𝑐𝑐 + NC) – 𝑑𝑑 ⋅ NC) = 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 ⋅ NC – 𝑑𝑑 ⋅ NC = 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2 Відповідь: dc. 42. У трапеції ABCD M – середина більшої основи AD, AB = BC = CD = a. Точка перетину діагоналей трапеції збігається з точкою перетину висот трикутника BMC. Знайдіть площу трапеції.

O — точка перетину діагоналей і точка перетину висот трикутника BMC. У △ABC ∠BAC = ∠BCA (кути при основі). ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC. Отже, AC — бісектриса кута A, але діагональ AC містить висоту CP (CP ⊥ BM). Отже, в △ABM AB = AM = a, MD = AM = a. ABCM — ромб (BM ⊥ AC), тоді MC = AB = a. Аналогічно, BM = CD = a. Отже, △ABM = △BMC = △CMD — рівносторонні. 𝑎𝑎²√3 Площа кожного дорівнює . 4 𝑎𝑎²√3 3𝑎𝑎²√3 SABCD = 3 ⋅ = . 4 4 3𝑎𝑎²√3 Відповідь: .

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

ГОТУЄМОСЯ ДО ЗНО (НМТ)

1. (2011 р.) На малюнку зображено коло із центром у точці O та рівносторонній трикутник AOB, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN.

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки, у рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють 60°, а △AOB — рівносторонній, то всі його кути рівні. Отже: ∠AOB = 60° 2) Розглянемо кут MDN. Точки M, N та D лежить на колі. Кут MDN є вписаним кутом, який спирається на дугу MN. Центральний кут MON = ∠AOB = 60° 3) Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу (згідно теореми про вписаний кут): ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 60° ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 30° 2 2 Відповідь: Б. 30°.

2. (2015 р.) На діагоналі AC квадрата ABCD задано точку, відстань від якої до сторін AB і BC дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата ABCD.

Розв'язок: 1) Нехай M ∈ AC; MK ⊥ AB; ML ⊥ BC. MK = 2 см, ML = 6 см. 2) KBLM — прямокутник, тому KB = ML = 6 см. 3) Діагональ квадрата ділить кут навпіл, тому: ∠MAK = 45°, отже ∠AMK = 90° − 45° = 45°. Оскільки трикутник AKM рівнобедрений (∠MAK = ∠AMK = 45°), то: AK = KM = 2 см. 4) AB = AK + KB = 2 + 6 = 8 (см). 5) P = 4 · AB = 4 · 8 = 32 (см).  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: В. 32 см. 3. (2012 р.) Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону BC в точці M. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо BC = 24 см, AM = 10√2 см.

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки AM — бісектриса кута A прямокутника, а кут A = 90°, то: ∠BAM = 90° : 2 = 45°. 2) У трикутнику ABM: BM = AM · sin45° = 10√2 ·

√2 = 10 (см); 2 √2

= 10 (см). AB = AM · cos45° = 10√2 · 2 3) У трикутнику ABC (∠ABC = 90°), діагональ AC: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �𝐴𝐴𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 2 = �102 + 242 = √100 + 576 = √676 = 26 (см) 4) Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює половині діагоналі (оскільки діагональ прямокутника є діаметром описаного кола): 𝐴𝐴𝐴𝐴 26 𝑅𝑅 = = = 13 (см) 2 2 Відповідь: 13 см. 4. (2011 р.) У трикутнику ABC: AB = 31 см, BC = 15 см, AC = 26 см. Пряма a, паралельна стороні AB, перетинає сторони BC і AC у точках M і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо MC = 5 см.

Розв'язок: 1) Оскільки MN ∥ AB, то кути трикутника MNC рівні відповідним кутам трикутника ABC (як кути при паралельних прямих). Отже: △ACB ⁓ △NCM (за двома кутами). 2) Для подібних трикутників відношення периметрів дорівнює відношенню відповідних сторін: P△MNC MC = BC P△ABC 3) Периметр трикутника ABC: P△ABC = 31 + 15 + 26 = 72 (см) 4) Знаходимо периметр трикутника MNC:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Розв'язок:

5 P△MNC = 15 72 5 ⋅ 72 = 24 (см) P△MNC = 15 Відповідь: Б. 24 см. 5. (2013 р.) У трикутник ABC вписано квадрат KLMN (див. мал.). Висота цього трикутника, проведена до сторони AC, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата (у см), якщо AC = 10 см.

1) BD — висота трикутника ABC; BD = 6 см, AC = 10 см. 2) Позначимо сторону квадрата: KN = KL = x; BF = y. Тоді FD = x і x + y = 6. 3) △KBL ⁓ △ABC (за двома кутами), тому: x y KL BF = ⇒ = ⇒ y = 0,6x AC BD 10 6 4) Складаємо систему: x + y = 6 � y = 0,6x Підставляємо: 0,6x + x = 6 ⇒ 1,6x = 6 ⇒ x = 3,75 (см). 5) Периметр квадрата: P = 4 ⋅ x = 4 ⋅ 3,75 = 15 (см) Відповідь: 15 см. 6. (2015 р.) На малюнку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою c та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

Розв'язок:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

Косинус гострого кута прямокутного трикутника — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. До кута α прилеглий катет — b, гіпотенуза — c, тому: 𝑏𝑏 cos α = 𝑐𝑐 Відповідь: Д. 7. (2009 р.) У трапеції ABCD: ∠A = 90°, AB = 12 см (див. мал.). Діагональ BD ділить середню лінію KL трапеції на відрізки KM і ML, причому KM = 5,5 см і ML = 3 см. Обчисліть периметр трапеції ABCD (у см).

Розв'язок: Середня лінія трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 , 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 5,5 + 3 = 8,5 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 см 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 2 △ABD ⁓ △KBM (за двома кутами), тому: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 12 ⋅ 5,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 11 см 6 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 17 − 11 = 6 см З точки C опустимо висоту на AD. Отримаємо прямокутний трикутник зі сторонами AB = 12 см, AD − BC = 11 − 6 = 5 см та CD. За теоремою Піфагора: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13 см 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 + 6 + 13 + 11 = 42 см Відповідь: 42 см. 8. (2006 р.) (Задача Л. Пізанського, XII–XIII ст.) Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що розміщена між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах). Розв'язок:

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Розв'язок:

la. in.

1) Оскільки птахи летіли з однаковою швидкістю і прилетіли одночасно, то: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 2) Позначимо 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥, тоді 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 50 − 𝑥𝑥. 3) За теоремою Піфагора у прямокутному △ABK: 𝐵𝐵𝐾𝐾 2 = 𝐴𝐴𝐵𝐵2 + 𝐴𝐴𝐾𝐾 2 = 402 + 𝑥𝑥 2 = 1600 + 𝑥𝑥 2 У прямокутному △CDK: 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 = 𝐶𝐶𝐷𝐷2 + 𝐾𝐾𝐷𝐷2 = 302 + (50 − 𝑥𝑥)2 = 900 + (50 − 𝑥𝑥)2 4) Оскільки 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐶𝐶, то 𝐵𝐵𝐾𝐾 2 = 𝐶𝐶𝐾𝐾 2 : 1600 + 𝑥𝑥 2 = 900 + (50 − 𝑥𝑥)2 1600 + 𝑥𝑥 2 = 900 + 2500 − 100𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 1600 = 3400 − 100𝑥𝑥 100𝑥𝑥 = 1800 𝑥𝑥 = 18 (футів) 5) Отже, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 18 футів, 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 50 − 18 = 32 фути. Відповідь: 18 футів. 9. (2006 р.) У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см2. Обчисліть площу прямокутника ABCD.

1) Оскільки прямі m і n проходять через центр O, то трикутники, які вони утворюють, попарно рівні (вертикальні кути рівні, а відрізки від центра до сторін рівні між собою). Тому: △OFE = △OLK Отже, площа фігури з трьох зафарбованих трикутників дорівнює площі △DOC. 2) Діагоналі прямокутника ділять його на 4 рівних трикутники, тому: 1 𝑆𝑆△𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = ⋅ 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 4 3) Отже: 1 ⋅ 𝑆𝑆 = 12 4 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⋅ 12 = 48 см2 Відповідь: Д. 48 см2.  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

10. (2010 р.) На малюнку зображено прямокутник ABCD і рівносторонній трикутник ABK, периметри яких відповідно дорівнюють 20 см і 12 см. Знайдіть периметр п’ятикутника AKBCD (у см).

√3

la. in.

Розв'язок: 1) Оскільки △ABK — рівносторонній, то AB = BK = AK. З периметра трикутника: 12 = 4 (см) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3 2) З периметра прямокутника ABCD знаходимо BC і AD: 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 2 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20 20 − 2 ⋅ 4 12 = = 6 (см) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 2 3) Периметр п'ятикутника AKBCD складається зі сторін AK, KB, BC, CD, DA: 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 + 4 + 6 + 4 + 6 = 24 (см) Відповідь: 24 см. 11. (2013 р.) Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м та утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника сполучено послідовно. Знайдіть значення 𝑆𝑆 виразу , де S – площа (у м2) утвореного чотирикутника.

Розв'язок: 1. Розглянемо трикутник ABD У прямокутному трикутнику ABD: AB = 16 м, ∠ABD = 60°, AD — протилежний катет. Тоді: 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡𝑡𝑡60∘ = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝑡𝑡𝑡𝑡60∘ = 16 ⋅ √3 = 16√3 2. Чотирикутник KLMN K, L, M, N — середини сторін ⇒ KLMN — ромб. Його діагоналі: 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16√3 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 16 3. Площа ромба  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 1 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⋅ 𝐿𝐿𝐿𝐿 = ⋅ 16√3 ⋅ 16 = 128√3 2 2 4. Обчислюємо вираз 128√3 𝑆𝑆 = = 128 √3 √3 Відповідь: 128. 12. (2013 р.) У трикутнику ABC точка M – середина сторони BC, AC = 24 см (див. мал.). Знайдіть відстань d (у см) від точки M до сторони AC, якщо площа трикутника ABC дорівнює 96 см2.

Розв'язок:

la. in.

𝑆𝑆 =

1) BK ⊥ AC — висота. За формулою площі трикутника: 1 1 𝑆𝑆 = ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 96 = ⋅ 24 ⋅ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 см 2 2 2) M — середина BC, N — середина KC ⇒ MN — середня лінія △BKC. Згідно властивості: середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, якій вона паралельна: 𝐵𝐵𝐵𝐵 8 𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 4 см 2 2 3) d = MN = 4 см Відповідь: 4 см. 13. (2014 р.) Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки 13 см і 23 см завдовжки. Обчисліть (у см2) площу трапеції. Розв'язок:

1. Знайдемо основи трапеції. Згідно властивість середньої лінії трапеції:  shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 , 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 13 = 26 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 23 = 46 см 2. Знайдемо бічні сторони трапеції. Бісектриса ділить кут навпіл: ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (як внутрішні різносторонні) ⇒ △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений ⇒ AB = BC = 26 см 3. Знайдемо висоту трапеції BP: 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 − 26 𝐴𝐴𝑃𝑃 = = = 10 см 2 2 У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 (теорема Піфагора): 𝐵𝐵𝑃𝑃 = �262 − 102 = 24 см 4. Площа трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 + 26 𝑆𝑆 = ⋅ 𝐵𝐵𝑃𝑃 = ⋅ 24 = 864 см2 . 2 2 Відповідь: 864 см2.

la. in.

𝑀𝑀𝑀𝑀 =

ГОТУЄМОСЯ ДО ЗНО (НМТ)

1) Оскільки, у рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють 60°, а △AOB — рівносторонній, то всі його кути рівні. Отже: ∠AOB = 60° 2) Розглянемо кут MDN. Точки M, N та D лежить на колі. Кут MDN є вписаним кутом, який спирається на дугу MN. Центральний кут MON = ∠AOB = 60° 3) Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу (згідно теореми про вписаний кут): ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 60° ∠𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = = = 30° 2 2 Відповідь: Б. 30°. 2. (2015 р.) На діагоналі AC квадрата ABCD задано точку, відстань від якої до сторін AB і BC дорівнює 2 см і 6 см відповідно. Визначте периметр квадрата ABCD.

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1) Нехай M ∈ AC; MK ⊥ AB; ML ⊥ BC. MK = 2 см, ML = 6 см. 2) KBLM — прямокутник, тому KB = ML = 6 см. 3) Діагональ квадрата ділить кут навпіл, тому: ∠MAK = 45°, отже ∠AMK = 90° − 45° = 45°. Оскільки трикутник AKM рівнобедрений (∠MAK = ∠AMK = 45°), то: AK = KM = 2 см. 4) AB = AK + KB = 2 + 6 = 8 (см). 5) P = 4 · AB = 4 · 8 = 32 (см). Відповідь: В. 32 см. 3. (2012 р.) Бісектриса кута A прямокутника ABCD перетинає його більшу сторону BC в точці M. Визначте радіус кола (у см), описаного навколо прямокутника, якщо BC = 24 см, AM = 10√2 см.

1) Оскільки AM — бісектриса кута A прямокутника, а кут A = 90°, то: ∠BAM = 90° : 2 = 45°. 2) У трикутнику ABM:

BM = AM · sin45° = 10√2 ·

√2 = 10 (см); 2 √2

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

1) Оскільки MN ∥ AB, то кути трикутника MNC рівні відповідним кутам трикутника ABC (як кути при паралельних прямих). Отже: △ACB ⁓ △NCM (за двома кутами). 2) Для подібних трикутників відношення периметрів дорівнює відношенню відповідних сторін: P△MNC MC = BC P△ABC 3) Периметр трикутника ABC: P△ABC = 31 + 15 + 26 = 72 (см) 4) Знаходимо периметр трикутника MNC: 5 P△MNC = 15 72 5 ⋅ 72 = 24 (см) P△MNC = 15 Відповідь: Б. 24 см. 5. (2013 р.) У трикутник ABC вписано квадрат KLMN (див. мал.). Висота цього трикутника, проведена до сторони AC, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата (у см), якщо AC = 10 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

6. (2015 р.) На малюнку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою c та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

la. in.

Середня лінія трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐾𝐾𝐾𝐾 = , 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 5,5 + 3 = 8,5 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 см 2 △ABD ⁓ △KBM (за двома кутами), тому: 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 12 ⋅ 5,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = = = 11 см 6 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 17 − 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 17 − 11 = 6 см З точки C опустимо висоту на AD. Отримаємо прямокутний трикутник зі сторонами AB = 12 см, AD − BC = 11 − 6 = 5 см та CD. За теоремою Піфагора: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13 см 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 12 + 6 + 13 + 11 = 42 см Відповідь: 42 см. 8. (2006 р.) (Задача Л. Пізанського, XII–XIII ст.) Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга – 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що розміщена між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).

 shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

la. in.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: Д. 48 см2.

√3

la. in.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. Площа ромба 1 1 ⋅ 𝐾𝐾𝐾𝐾 ⋅ 𝐿𝐿𝐿𝐿 = ⋅ 16√3 ⋅ 16 = 128√3 2 2 4. Обчислюємо вираз 128√3 𝑆𝑆 = = 128 √3 √3 Відповідь: 128. 12. (2013 р.) У трикутнику ABC точка M – середина сторони BC, AC = 24 см (див. мал.). Знайдіть відстань d (у см) від точки M до сторони AC, якщо площа трикутника ABC дорівнює 96 см2.

la. in.

𝑆𝑆 =

1. Знайдемо основи трапеції. Згідно властивість середньої лінії трапеції: 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀 = , 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 2 2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 2 ⋅ 13 = 26 см, 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2 ⋅ 23 = 46 см 2. Знайдемо бічні сторони трапеції. Бісектриса ділить кут навпіл: ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶

 shkola.in.ua

la. in.

∠𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 (як внутрішні різносторонні) ⇒ △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 — рівнобедрений ⇒ AB = BC = 26 см 3. Знайдемо висоту трапеції BP: 𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 − 26 𝐴𝐴𝑃𝑃 = = = 10 см 2 2 У прямокутному △ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 (теорема Піфагора): 𝐵𝐵𝑃𝑃 = �262 − 102 = 24 см 4. Площа трапеції: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 46 + 26 𝑆𝑆 = ⋅ 𝐵𝐵𝑃𝑃 = ⋅ 24 = 864 см2 . 2 2 Відповідь: 864 см2.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

 shkola.in.ua