h-8-ma-is-2

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

�� = 3, то �� ( 3)=( 3)2 =9;

�� =0, то ��(0)=02 =0;

�� =5, то ��(5)=52 = 25.

�� = 2, то �� ( 2)=( 2)2 =4;

якщо �� =1, то ��(1)=12 =1; якщо �� =6, то ��(6)=62 = 36 29.4. За

1) значення y, що відповідає

�� = −2,5, то �� =6,25;

�� = 1, то �� =1;

якщо �� =1,5, то �� =2,25;

якщо �� =3, то �� =9.

2) значення x, якому

�� =1, то ��1 = 1, ��2 =1;

якщо �� =3,5, то ��1 =1,87, ��2 = 1,87; якщо �� =9, то ��1 = 3, ��2 =3.

3) кілька

��1 =2; ��2 =3; ��3 =4; ��4 =5;... ��1 =0; ��2 =0,5; ��3 =1 29.5. Використовуючи

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

02 =0, то

4) D(25; 5)?

Оскільки 252 = 625 ≠ 5, то

1) A(–4; 16);

Оскільки ( 4)2 = 16, то

2) B(16; –4);

3) C(1 2; 1 4);

Оскільки

4) D(0; 2)?

29.10.

Функція y = x2 на

0 тобто ymin = 0, а найбільше – в точці, де |x| найбільше.

1. -3 ≤ x ≤ 0

x = 0 ⇒ y = 02 = 0 – мінімум.

x = -3 ⇒ y = (-3)2 = 9 – максимум.

Отже, 0 ≤ y ≤ 9.

2. -1 ≤ x ≤ 2

x = 0 ⇒ y = 0 – мінімум.

Порівнюємо модулі кінців: |-1| = 1, |2| = 2, тобто

при x = 2: y = 22 = 4.

Отже, 0 ≤ y ≤ 4.

Відповідь: 1) y ∈ [0; 9]; 2) y ∈ [0; 4].

29.11. Порівняйте значення функції

1. x = 2,6 і x = -2,6: y(2,6) = y(-2,6).

2. x = -1,9 і x = 1,8: y(-1,9) > y(1,8).

3. x = 0 і x = -3,5: y(0) < y(-3,5).

4. x = -1,1 і x = 1,2: y(-1,1) < y(1,2).

29.12. Розв’яжіть

1. �� 2 =3�� .

Точки A (3; 9) та A (–4;

4)

A(2; 4), B(–2; 4)

A(–2; 4), O(0; 0) –

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. √64 + √25 =8+5= 13;

5. 2√�� =8; √�� =4; �� = 16; ��.

2. 1

3 , �� >0; 3. �� 6 , �� - будь-які; 4. �−��, ��≤ 0.

30.21. Розв’яжіть рівняння: ��. 3√�� +7=0;3√�� = 7; √�� = 7 3 . Відповідь: рівняння розв’язків не має. ��. 2�� 8 4=0;2�� 8 =4; �� 8 =2; �� 8 =4; �� =4·8; �� = 32.

Відповідь: 32.

. 16 √�� +3 =4; √�� +3 = 16 ⋅ 1 4 ; √�� +3 =4; �� +3= 16; �� = 16 3; �� = 13.

Відповідь: 13 .

��. 7√2��− 5 14 =0; 7√2��− 5 = 14; √2��− 5 = 14:7; √

. 1 2 √3�� 3=0; 1 2 √3�� =3; √3�� =6; 3�� = 36; �� = 36:3; �� = 12

12.

. 2�� 3 +6=0;2�� 3 = 6; �� 3 = 3. Відповідь: рівняння розв’язків не має.

. 14

2�� = 28; √2�� = 14 ⋅ 1 28 ; √2�� = 1 2 ; 2�� = 1 4 ; �� = 1 8

1 8 .

. 2 ⋅ √2�� +7 − 6=0;2√2�� +7 =6; √2�� +7 =3;2�� +7=9;2�� =9 7;2�� =2; �� =2 ∶ 2; �� =1.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 1.

30.23. Для яких значень a має

1. √−�� 2 , �� =0;

2. � (�� +3)2 , �� = 3; 3. √��10 +1, �� – будь-які; ��. √�� − 3 ; ��≥ 0, ��− 3 ≠ 0; ��≥ 0, ��≠ 3; a – будь-які невід'ємні, крім 3.

30.24. Розв’яжіть рівняння: 1. �|2��− 1| =3; |2��− 1|=9; 2��− 1= 9; або 2��− 1=9;

2�� = 9+1; 2�� =9+1; 2�� = −8; 2�� = 10; �� = 4; �� =5.

Відповідь: –4; 5.

2. �5+ √�� =3, ��≥ 0; 5+ √�� =9; √�� =9 5;

√�� =4; �� = 16.

Відповідь: 16.

3. �1+ �2+ √�� =2, ��≥ 0; 1+ �2+ √�� =4; �2+ √�� =4 1;

2+ √�� =3; 2+ √�� =9;

√�� =9 2;

√�� =7; �� = 49.

Відповідь: 49.

30.25.

1. �|2�� +3| =5;

|2�� +3| = 25;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2�� +3= 25 або 2�� +3= 25;

2�� = 25 3; 2�� = 25 3;

2�� = 28; 2�� = 22;

�� = 28:2; �� = 22:2; �� = 14; �� = 11.

Відповідь: 14; 11

2. �9+ √�� =4; ��≥ 0; 9+ √�� = 16;

√�� = 16 9;

√�� =7; �� = 49.

Відповідь: 49.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

: �� = −2; �� = −1.

��. 0,3= 3 10 ;

��. 0,25 = 25 100 = 1 4 ; ��. 1,2= 12 10 = 6 5 =1 1 5 ; ��. 2,5= 25 10 = 5 2 =2 1 2 .

30.29. Подайте десятковим дробом: ��. 1 2 =0,5; ��. 3 4 =0,75; ��. 2 1 5 =2,2; ��. 3 1 4 =3,25. 30.30. Запишіть

��. 2 3 =0,666 …=0,(6); ��. 3 11 =0,2727 …=0,(27); ��. 7 9 =0,777 …=0,(7); ��. 5 6 =0,833 …=0,8(3). 30.31.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4(�� 1)=4��2 +4�� +1+4��2 +4�� +1; 4(�� 1)=4(��2 + ��2 ) +4(�� + ��)+2;

4(�� 1)=4(��2 + ��2 + �� + ��) +2.

2 , що неможливо.

5. Нехай �� = �� = �� =2, �� — непарне число, тоді

; 8��− 8= �� 2 ;8(��− 1)=(2�� +1)2 ;

парне число, а права - непарне число, що неможливо. Відповідь: не існують

31.1. (Усно.) Чи правильно, що: 1) 5 – натуральне число; Так, 5 – натуральне число; 2) –2,1 – ціле число; ні, 2,1 – не є цілим числом;

3) √3 – раціональне число; ні, √3 – не є раціональним числом;

4) –5 7 – дійсне число?

так, 5 7 – дійсне число.

31.2. Із чисел √7; 0,222...; 52; –2,(4); π; 19; –3,7; 0; –√5; –21 9 випишіть:

1) натуральні числа; 52; 19;

2) цілі невід’ємні числа; 52; 19;0;

3) раціональні від’ємні числа; 2,(4); 3,7; 2 1 9 ; 5;

4) ірраціональні числа. √7; �� ; √5.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

31.3. Із чисел 8; –√7; –5; 2 3; √17; 3,(7); √13; –11 3; 0; 5,137

1) натуральні числа; 8; 2) цілі недодатні числа; 5;0;

3) раціональні додатні числа; 8; 2 3 ;3,(7); 5,137;

4) ірраціональні числа. −√7; √17; √13.

19, 11}

31.8. Подайте число 2 33

2

33 =0,060606 …=0, (06)

1) до сотих; 2 33 ≈ 0,06;

2) до тисячних. 2 33 ≈ 0,061.

31.9. Подайте число 4 11

31.14.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

31.16. Чи правильно, що A ⸦ B, якщо:

1) A = {1}; B = {1; 3; 5}; Так, A ⊂ B, бо {1} ⊂ {1;3;5}.

2) A = {△; @}; B = {△; □; !};

A ⊄

3) A = Ø; B = {1; 2; 3};

Так, A ⊂ B,

4) A = {α; β; γ}; B = {α};

Ні, A ⊄ B, бо A= {α, β

5) A –

1 2 ; 0,(1); 0,11; 1 10 ; 0,01.

31.19. Розмістіть у порядку

0,(2); 0,22; 1 4; 1 5; 0,02. 0,02; 1 5 ; 0,22; 0,(2); 1 4

31.20. Чи правильно, що: 1)

2)

3) будь

4)

1,55; 1,555; 1,5555; 1, 555555; 1(5).

31.22. Запишіть

2,333; 2,3333; 2,33333; 2,(3).

31.23. Використовуючи формулу

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(3�� )2 =3��2 ;9�� 2 =3��2 ;3�� 2 = ��2 . Оскільки ��2 кратне 3 , то �� також кратне 3 , тобто �� =3�� .

Отже, �� =3�� , �� =3�� , тобто дріб �� – скоротний, що суперечить нашому припущенню.

Тому √3

√3

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. N = 2016. Оскільки 2016 – число кратне 3,

2. N = 2017. Якщо

камінців. Оскільки 2016 – число, кратне 3, то

правильній

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

�� 2 =0,09; ��1 = 0,3; ��2 =0,3.

Відповідь: ±0,3.

��. 24 + �� 2 = 25; �� 2 = 25 − 24; �� 2 =1; ��1 = 1; ��2 =1

Відповідь: ±1.

��. �� 2 + 12 =0; �� 2 = 12

Відповідь: рівняння розв’язків не має.

��. 1 3 �� 2 =7; �� 2 =7·3; �� 2 = 21; ��1 = √21;

��2 = √21

Відповідь: ±√21.

32.12. Розв’яжіть рівняння:

1. �� 2 +0,01 =0,26; �� 2 =0,26 0,01;

�� 2 =0,25; ��1 = 0,5; ��2 =0,5

Відповідь: ±0,5.

2. �� 2 14 =2; �� 2 =2+ 14; �� 2 = 16;

��1 = 4; ��2 =4.

Відповідь: ±4.

3. 17 −�� 2 =0; �� 2 = 17; ��1 = √17; ��2 = √17.

Відповідь: ±√17.

��. 1 4 �� 2 =5; �� 2 =5·( 4); �� 2 = 20.

Відповідь: рівняння

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

32.17. Розв’яжіть рівняння:

��. (��− 2)2 = 36; ��− 2= 6; ��− 2=6; �� = 6+2; �� =6+2; �� = 4; або �� =8.

4;8. ��. (�� +3)2 =4; �� +3= 2, або �� +3=2, �� = −2 − 3; �� =2 − 3

�� = 5; �� = 1

Відповідь: 5; 1.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��. (��− 1)2 =0; ��− 1=0; �� =1.

Відповідь: 1.

��. (�� +3)2 =7;

�� +3= √7, або �� +3= √7,

�� = √7 3; �� = √7 3.

Відповідь: −√7 − 3; √7 − 3. ��. ��− 5 9� 2 = 4 81 ;

��− 5 9 = 2 9 , ��− 5 9 = 2 9 ; �� = 2 9 + 5 9 ; �� = 2 9 + 5 9 ; �� = 3 9 = 1 3 або �� = 7 9 .

Відповідь: 1 3 ; 7 9 .

��. (�� +5)2 = 9

Відповідь: рівняння не має розв'язків.

32.18. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +1)2 = 16; �� +1= 4, �� +1=4, �� = −4 − 1; �� =4 − 1;

�� = 5; або �� =3.

Відповідь: −5;3.

2. (��− 2)2 = 25;

��− 2= 5, або ��− 2=5, �� = 5+2; �� =5+2 �� = 3; �� =7

Відповідь: 3;7

3. (�� +2)2 =0; �� +2=0; �� = 2.

Відповідь: 2.

4. (��− 2)2 =3;

��− 2= √3, ��− 2= √3, �� =2 √3; або �� =2+ √3.

Відповідь: 2+ √3;2 − √3. �� − 3 10�2 = 1 100 ; ��− 3 10 = 1 10 , ��− 3 10 = 1 10 ,

6. (��− 3)2 = −4.

5;5.

2. (2��− 3)2 +(2�� +3)2 = 20; 4�� 2 12�� +9+4�� 2 + 12�� +9= 20; 8�� 2 = 20 − 18;8�� 2 =2; �� 2 = 2 8 = 1 4 ; �� =± 1 2 .

1 2 ; 1 2 .

.

2 5 = 12 �� +2 ;

�(��− 2)(�� +2) = 60, ��≠−2; �� 2 4= 60, �� +2 ≠ 0;

2 = 60 +4, ��≠−2; �� 2 = 64, ��≠−2; �� =±8, ��≠−2; �� =±8.

Відповідь: 8;8.

2. (3�� +1)2 +(3��− 1)2 =4; 9�� 2 +6�� +1+9�� 2 − 6�� +1=4; 18�� 2 +2=4; 18�� 2 =4 2; 18�� 2 =2; �� 2 = 2 18 = 1 9 ; �� =± 1 3

Відповідь: 1 3 ; 1 3 .

32.22. Розв’яжіть рівняння:

1. �7+ √2+ �� 2 =3;7+ √2+ �� 2 =9; √2+ �� 2 =9 7; √2+ �� 2 =2;2+ �� 2 =4; �� 2 =4 − 2; �� 2 =2; �� =±√2.

Відповідь: −√2; √2.

2. 2|�� 2 5| +3=5;2|�� 2 5| =5 3; 2|�� 2 5| =2; |�� 2 5| =1; �� 2 5= 1 або �� 2 5=1;

�� 2 = −1+5; �� 2 =1+5;

�� 2 =4; �� 2 =6; �� =±2; �� =±√6.

Відповідь: 2;2; √6; √6.

32.23. Знайдіть корені рівняння: ��. �1+ �� 2 +4 =2;

1+ √�� 2 +4 =4; √�� 2 +4 =4 − 1; √�� 2 +4 =3; �� 2 +4=9; �� 2 =9 4; �� 2 =5; �� =±√5. Відповідь: −√5; √5. ��. 2|�� 2 4| +1= 11; 2|�� 2 4| = 11 1; 2|�� 2 4| = 10; |�� 2 4| =5; �� 2 4= 5, або �� 2 4=5; �� 2 = −5+4; �� 2 =5+4; �� 2 = 1; �� 2 =9;

розв'язків не має; �� =±3. Відповідь: 3;3.

32.24. Для яких значень b справджується рівність:

20000(1+ ��)2 = 25088

Знайдемо (1+ ��): (1+ ��)2 = 25088 20000 =1,2544, 1+ �� = �1,2544 =1,12, �� =1,12 1=0,12 = 12%

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

33.41.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 1325 · 75 + 2200 = 99375 + 2200 = 101 575 (грн) — у

2. 1350 · 75 = 101 250 (грн) — у

3. 1330 · 75 + 2000 = 99 750 + 2000 = 101 750 (грн) — у

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

якщо �� =2, то �� =1,4; якщо �� =5,5, то �� =2,3;

2. якщо �� =0,5, то �� =0,3; якщо �� =4, то �� = 16;

3. ��1 =2, ��2 =3; ��(2)>1, ��(3)>1; ��3 =0,3; ��4 =0,6; ��(0,3)<1, ��(0,6)<1.

35.5. Не

проходить:

1. A(36; 4). Оскільки √36 =6 ≠ 4, то

2. B(4; 16). Оскільки √4 =2 ≠ 16, то

3. C(–4; 2). Оскільки вираз √−4 не має

4. D(0; 0). Оскільки √0 =0,0=0, то

5. M(1; –1). Оскільки √1 =1 ≠−

6. P(0,5; 0,25). Оскільки �0,5 =0,7 ≠ 0,25,

1. F(16; 6). Оскільки √16

2. K(–36; 6).

3.

1.

35.12.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

35.16.

Відповідь: 4 9

2. √�� = 5

3. �� 2 = 16; ��1 = 4, ��2 =4.

Відповідь: 4;4.

4. �� 2 = 1

Відповідь: рівняння

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: Г. √5

4. Обчисліть

5·

Відповідь: А. 0,5

5. Розв’яжіть рівняння x2 = 36.

x2 = 36; x1 = 6; x2 = –6.

Відповідь: Б. 6; 6

Відповідь: В.

12.

13.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1 ≥ 1.

Відповідь:

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��≤ 0, то рівняння розв'язків не має.

число;

3. √4 = 2 – раціональне число;

4. √13 – ірраціональне число.

��. 1 3 =0,333 …=0,(3);

2. 29 = 29,000 ;

3. 5,17 =5,17000 …; ��. 7 27 =0, (259).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(�� 2 + �� 2 +2��) 2�� = 41;

(�� + ��)2 − 2�� = 41;

(�� + ��)2 2· 20 = 41;

(�� + ��)2 = 41 + 40;

(�� + ��)2 = 81;

�� + �� = 9 або �� + �� =9.

Відповідь: –9 або 9.

29. Для яких значень m рівняння x2 = m – 1:

1) має два корені;

1. ��− 1>0, �� >1.

Відповідь: при �� >1;

2) має тільки один корінь;

2. ��− 1=0, �� =1

Відповідь: прим �� =1.

3) не має коренів?

3. ��− 1>0, �� <1

Відповідь: при �� <1.

1.

3. √�� =0; �� =0.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. √�� = 1; рівняння розв'язків

�� = −1.

55. Розташуйте в порядку зростання числа: 1) √19,1; 3; √16,2; 4; √14; 2) 1 4; √0,1; 0,2; � 1 11 . 1. 3; √14;4; √16,2; √19,1. ��. 0,2; 1 4 ; � 1 11 ; �0,1.

. √�� ≥ 1; ��≥ 0; �(√�� )2 ≥ 12

0; ,

1,

0; ��≥ 1

при ��≥ 1 ��. √�� <2; �(√�� )2 <22 ��≥ 0 , �� <4, ��≥ 0; 0 ≤�� <4. Відповідь: при 0 ≤�� <4 ��. 1< √�� ≤ 4; �(√�� )2 ≤ 42 (√�� )2 >12 ��≥ 0 , ��≤ 16 �� >1 ��≥ 0 1< ��≤ 16.

Відповідь: при 1< ��≤ 16.

4. 9 ≤ √�� < 100; �(√�� )2 < 1002 , (√�� )2 ≥ 92 , ��≥ 0;

Відповідь: при 81 ≤�� < 10 000.

5. √�� > −1; ��≥ 0.

Відповідь: при ��≥ 0

6. √�� ≤−2,5.

Відповідь: таких не існує.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

36.1 (Усно) ΔMKL – прямокутний, ∠M = 90°. Які з рівностей правильні:

1. KM2 = ML2 – KL2;

2. KL2 = ML2 + KM2;

3. ML2 = KL2 + KM2;

4. KM2 = KL2 – ML2;

5. KL2 = ML2 – KM2;

6. ML2 = KL2 – KM2?

2, 4, 6

36.2 ΔEFP – прямокутний, ∠P = 90°.

1. EF2 = ...2 + ...2;

2. EP2 = ...2 – ... 2 .

1. EF2 = EP2 + PF2;

2. EP2 = EF2 − PF2

36.3 Знайдіть

1. 6 см і 8 см;

2. 12 см і 35 см.

c2 = a2 + b2 , c = ��² + ��² .

1. c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100,

c = √100 = 10 (см);

2. c = �12² + 35² = √144 + 1225 = √1369 = 37 (см).

36.4

1. 5 см і 12 см;

2. 8 см і 15 см.

1. c = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см); 2. c = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см).

36.5

1. a =

2. b = �26² 10² = �(26 10)(26 + 10) = √16 · 36 = 4 · 6 = 24 (см). 36.6

1. 25 см і 7 см; 2. 41 см і 40 см.

1. a = �25² − 7² = �(25 + 7)(25 − 7) = √32 · 18 = √576 = 24 (см);

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. b = �41² 40² = �(41 + 40)(41 40) = √81 · 1 = 9 · 1 = 9 (см).

36.7 Драбину

BC = �AB² + AC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (м).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У

прямокутнику ABCD, AB = CD = 6 см, BC = AD = 8 см.

BD2 = AB2 + AD2;

BD = �AB² + AD² = �6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

36.12 Діагональ прямокутника дорівнює 13 см, а

другу сторону прямокутника.

У

прямокутнику ABCD, BD = 13 см, AB = 12 см.

AD = �BD² AB² = �13² 12² = √169 144 = √25 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

36.13 Бічна сторона рівнобедреного

У ΔABC, AB = BC = 15 см, BD ⊥ AC, BD = 12 см.

Висота BD у рівнобедреному

З ΔABD:

AD = �AB² BD² = �15² 12² = √

AC = AD · CD = 2 · 9 = 18 (см).

У ΔABC, AB = BC, AC = 16 см, BD ⊥ AC, BD = 15 см.

AD = DC = 1 2 AC = 1 2 · 16 = 8 (см).

З ΔABC:

AB2 = AD2 + BD2;

AB = �AD² + BD² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (см).

Відповідь: 17 см.

36.15

ромба дорівнюють 24 см і 70 см.

сторону ромба. У ромбі ABCD, AC = 70 см, BD = 24 см. Діагоналі ромба

O діляться навпіл.

У ΔAOB (∠O = 90°)

AO = 1 2 AC = 1 2 · 70 = 35 (см),

BO = 1 2 BD = 1 2 · 24 = 12 (см).

= �AO²

У ромбі ABCD, AB = 13 см,

ΔAOB (∠O = 90°)

AO = 1 2 AC = 1 2 · 10 = 5 (см).

BO = �AB² AO² = �13² 5² = √169 25 = √144 = 12 (см).

BD = 2BO = 2 · 12 = 24 (см). Відповідь: 24 см.

36.17

Тоді a2 + a2 = BD2;

2a2 = (3√2)2; 2a2 = 18;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

a2 = 9; a = 3.

Сторона квадрата 3 см. Відповідь: 3 см.

36.18 Катети прямокутного

У ΔABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 8 см.

AM — медіана.

Тоді CM = BM = 1 2 BC = 1 2 · 8 = 4 (см).

У ΔAMC, ∠C = 90°,

AM = �AC² + CM² = �7² + 4² = √49 + 16 = √65 (см).

Відповідь: √65 см.

36.19 Катети

У ΔABC, ∠C = 90°, CB = 6 см, AC = 9 см.

AM — медіана, значить, CM = MB = 1 2 CB = 1 2 · 6 = 3 (см).

У ΔAMC, AM = �AC² + CM² = �9² + 3² = √81 + 9 = √90 = √9· 10 = 3√10 см.

Відповідь: 3√10 см.

AO, якщо OB = 2 см, AB = 7 см.

—

AO2 = OB2 + AB2;

AO = �OB² + AB² = �2² + 7² = √4 + 49 = √53 см.

√53 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

PM = �OM² OP² = �6² 3² = √36 9 = √27 = 3√3 см.

Відповідь: 3√3 см.

36.22

1. 15; 20; 25;

2. 4; 5; 6?

1. 252 = 625;

152 + 202 = 225 + 400 = 625.

252 = 202 + 152 .

Відповідь: так.

2. 42 + 52 = 16 + 25 = 41; 62 = 36.

42 + 52 ≠ 62

Відповідь: ні.

36.23

1. 5; 6; 9;

2. 16; 30; 34?

1. 52 + 62 = 25 + 36 = 61; 92 = 81;

52 + 62 ≠ 92 .

Відповідь: ні.

2. 162 + 302 = 256 + 900 = 1156; 342 = 1156; 162 + 302 = 342.

Відповідь: так.

36.24 У колі,

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AB = 16 см — хорда, OK ⊥ AB, OK = 6 см —

OA = OB — радіуси кола.

У ΔAOB, OK — висота і медіана.

AK = KB = 1 2 AB = 1 2 · 16 = 8 (см).

У ΔAOK AO = �AK² + OK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

36.26 Дві сторони прямокутного трикутника

5 см і 6 см. Знайдіть третю сторону (розгляньте всі випадки).

I випадок: a = 5 см, b = 6 см — катети, c — гіпотенуза.

c = ��² + ��² = �5² + 6² = √25 + 36 = √61 (см).

II випадок:

a = 5 см — катет, c = 6 см — гіпотенуза, b — катет. b = ��² ��² = �6² 5² = √36 25 = √11 (см).

Відповідь: √61 см або √11 см. 36.27 Дві сторони

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. �13² 12² = √169 144 = √25 = 5 (м) – довжина частини стовпа; 2. 5 + 3 = 8 (м) – довжина стовпа.

Відповідь: довжина проводу − 8 м. 36.30 Катети прямокутного

Нехай катети a = 7x см, b = 24x

a2 + b2 = c2; (7x)2 + (24x)2 = 502;

49x2 + 576x2 = 2500; 625x2 = 2500; x2 = 4; x = 2.

a = 7 · 2 = 14 (см); b = 24 · 2 = 48 (см).

PΔ = a + b + c = 14 + 48 + 50 = 112 (см).

Відповідь: 112 см.

Нехай

a2 + b2 = c2;

a = 8x см,

(8x)2 + 302 = (17x)2; 64x2 + 900 = 289x2;

225x2 = 900;

x2 = 4;

x = 2.

a = 8 · 2 = 16 (см);

c = 17 · 2 = 34 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

PΔ = a + b + c = 16 + 30 + 34 = 80 (см).

Відповідь: 80 см.

36.32 Знайдіть

1. ΔACD:

AC = �AD² CD² = �13² 5² = √169 25 = √144 = 12;

BC = CD + BD = 5 + 11 = 16.

x = �AC² + BC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20.

Відповідь: 20.

2. ΔABC:

BC = �AB² AC² = �10² 6² = √100 36 = √64 = 8.

ΔBCD: ∠D = 90° − ∠BCD = 90° − 60° = 30°.

x = 2BC = 2 · 8 = 16.

Відповідь: 16.

3. ΔABC:

AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10.

ΔABD:

x = �AB² + BD² = �10 + 2² = √14.

Відповідь: √14.

4. Проведемо CE ⊥ AD, ABCE – прямокутник (BC || AE, AB || CE, ∠A = 90°).

CE = AB = 12, AE = BC = 10. DE = AD − AE = 15 − 10 = 5.

ΔCED:

x = �CE² + ED² = �12² + 5² = √144 + 25 = √169 = 13.

Відповідь: 13.

36.33 Знайдіть

1. ΔBCD:

BD2 = BC2 − CD2 = 172 − 152 = (17 − 15)(17 + 15) = 2 · 32 = 64.

ΔABD:

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

x = �AB² BD² = �10² 64 = √100 64 = √36 = 6.

Відповідь: 6.

2. ΔABC:

AB = �AC² + BC² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.

ΔABD:

∠D = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°.

AD = 2AB = 2 · 5 = 10.

Відповідь: 10.

36.34 Один з катетів

від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника.

AC = 6 см.

Нехай AB = x см, тоді BC = (x − 2) см.

За теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2 .

x2 = (x − 2)2 + 62; x2 = x2 − 4x + 4 + 36; 4x = 40, x = 10.

AB = 10 см, BC = 10 − 2 = 8 (см). PΔABC = 6 + 10 + 8 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

36.35 Один з

AC = 5 см, BC = x см, AB = (x + 1) см.

теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2 . (x + 1)2 = 52 + x2; x2 + 2x + 1 = 25 + x2; 2x = 24; x = 12.

BC = 12 см; AB = 12 + 1 = 13 (см). PΔABC = 5 + 12 + 13 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

36.36 У △ ABC кут A тупий, BC = 39 см, AB = 17 см. BK – висота трикутника, BK = 15 см. Знайдіть AC.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔAKB:

AK = �AB² BK² = �17² 15² = �(17 15)(17 + 15) = √2 · 32 = √64 = 8 (см).

У ΔBCK:

KC = �BC² BK² = �39² 15² = �(39 15)(39 + 15) = = √24 · 54 = √4 · 6 · 6 · 9 = 2 · 6 · 3 = 36 (см).

AC = KC − AK = 36 − 8 = 28 (см).

Відповідь: 28 см.

36.37 BK – висота трикутника ABC, у якого ∠C – тупий. AB = 20 см, BC = 13 см, CK = 5 см. Знайдіть AC.

У ΔBKC: BK = �BC² KC² = �13² 5² = √169 25 = √144 = 12 (см).

У ΔABK:

AK = �AB² BK² = �20² 12² = �(20 12)(20 + 12) = = √8 · 32 = √8 · 4 · 8 = 8 · 2 = 16 (см).

AC = AK − KC = 16 − 5 = 11 (см).

Відповідь: 11 см.

36.38 У рівнобедреному △ висота,

12 см. Знайдіть

У ΔABC AB = BC, AH ⊥ BC, AH = 5 см, BH = 12 см.

У ΔAHB AB = �AH² +

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔABC AB = AC, BK ⊥ CA, AK = 24 см, KC = 1 см.

У ΔABC AC = AB = AK + KC = 24 + 1 = 25 (см).

BK2 = AB2 − AK2 = 252 − 242 = (25 − 24)(25 + 24) = 1 · 49 = 49 см.

У ΔBKC CB = �B��²+ KC² = √49 +1 = √50 = √25 · 2 = 5√2 (см).

Відповідь: 5√2 см.

36.40 Знайдіть

них перпендикулярна до сторони.

ABCD — паралелограм, BD ⊥ AB.

BD = 8 см, AC = 10 см.

ΔABO AB = �AO² BO² = �5² 4² = √

OB = OC = 37 см, AC = 70 см.

OB ⊥ AC, AK = KC.

У ΔOKC OK = �OC² KC² = �37² 35² = �(37 35)(37 + 35) = = √2 · 72 = √144 = 12 (см).

BK = OB − OK = 37 − 12 = 25 (см).

У ΔBKC BC = �BK² + KC² = �25² + 35² = √625 + 1225 = √1850 = 5√74 (см).

Відповідь: 5√74 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

O — центр кола, описаного навколо трикутника ABC, ∠B — гострий, тому точка O лежить

BK = 18 см, AO = OB = 13 см.

У ΔAOK (∠K = 90°) AK2 = AO2 − OK2 .

OK = BK − BO = 18 − 13 = 5 см.

Тоді:

AK2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.

У ΔABK (∠K = 90°)

AB = �AK² + BK² = �144 + 18² = √468 = √36 · 13 = 6√13 (см).

Відповідь: 6√13 см. 36.43

число

36.45

Бісектриса AD

тоді AC : AB = 10 : 26 = 5 : 13.

Нехай AC = 5x см, AB = 13x см.

За теоремою Піфагора:

AB2 = AC2 + BC2 .

BC = CD + BD = 10 + 26 = 36 (см).

(13x)2 = (5x)2 + 362;

169x2 = 25x2 + 1296; 144x2 = 1296; x2 = 9; x = 3.

Отже, AC = 5 · 3 = 15 (см); AB = 13 · 3 = 39 (см).

PΔABC = 15 + 39 + 36 = 90 (см).

Відповідь: 90 см.

36.46

У ΔABC ∠C = 90°, CL — бісектриса кута C.

AL = 15 см, LB = 20 см,

AB = AL + LB = 15 + 20 = 35 (см).

За властивістю бісектриси:

AC

CB = AL LB = 15 20 = 3 4 .

Позначимо AC = 3x см, CB = 4x см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Тоді AB2 = AC2 + BC2; 352 = (3x)2 + (4x)2; 1225 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 1225; x2 = 49; x = 7.

AC = 3 · 7 = 21 (см); CB = 4 · 7 = 28 (см).

P

ΔABC = 35 + 21 + 28 = 84 (см).

Відповідь: 84 см.

36.47 У прямокутному △ точка

Знайдіть периметр трикутника.

ΔABC — прямокутний, ∠C = 90°.

Центр вписаного кола O

OK ⊥ BC — радіус

CK = 2 см, BK = 10 см.

OK = ON = OP.

ΔNOC = ΔKOC за гіпотенузою і гострим

Тоді CN = CK = 2 см.

Аналогічно PB = BK = 10 см,

AP = AN = x см,

AC = (x + 2) см, AB = (x + 10) см.

За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (x + 10)2 = (x + 2)2 + (10 + 2)2; x2 + 20x + 100 = x2 + 4x + 4 + 144; 20x − 4x = 148 − 100; 16x = 48; x = 3.

AP = AN = 3 см;

AC = 3 + 2 = 5 (см);

AB = 3 + 10 = 13 (см).

PΔABC = AC + BC + AB = 5 + 12 + 13 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

ABCD — трапеція (AD || BC), BD ⊥ AC, BD = 8 см, AC = 6 см.

Продовжимо BC і проведемо DK ⊥ AC.

Оскільки ACKD — паралелограм, то DK = AC = 6 см.

BD ⊥ DK, оскільки BD ⊥ AC а AC || DK. ΔBDK — прямокутний.

BK2 = BD2 + DK2 .

BK = �BD² + DK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см).

BK = BC + AD, тоді середня лінія дорівнює BK, тобто 5

Відповідь: 5 см.

Тоді AB ∶ AD = 5 4 .

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

За властивістю бісектриси трикутника AB AD = BK KD .

Оскільки AB > AD, то і BK > KD.

Нехай KD = x см, тоді BK = (x + 3) см.

5

4 = �� + 3 �� ; 5x = 4x + 12; x = 12.

KD = 12 см, BK = 12 + 3 = 15 (см), BD = BK + KD = 15 + 12 = 27 см.

У ΔABD AB2 = BD2 + AD2

AB = 5y, AD = 4y. (5y)2 = 272 + (4y)2; 25y2 = 729 + 16y2; 9y2 = 729; y2 = 81; y = 9.

AB = 5 · 9 = 45 (см); AD = 4 · 9 = 36 (см);

AC = 2 · AD = 2 · 36 = 72 (см).

PΔABC = 45 + 45 + 72 = 162 (см).

Відповідь: 162 см. 36.51

бісектриса кута

периметр трикутника.

У ΔABC AB = BC, AB = AC = 5 см.

BD ⊥ AC — висота, AL — бісектриса кута A.

У ΔABD BD ⊥ AD, AD = 1 2AC (висота є медіаною).

Оскільки AB > AD, то BK > KD, тоді BK : KD = 5 : 3.

Нехай AC = x см, тоді AB = (x − 5) см, AD = 0,5x см.

За властивістю бісектриси: AB : AD = BK : KD, �� 5

0,5�� = 5 3 ;

3x – 15 = 2,5x;

0,5x = 15; x = 30.

Отже, AC = 30 см, AB = 30 − 5 = 25 (см).

PΔABC = AC + 2AB = 30 + 2 ⋅ 25 = 80 (см).

Відповідь: 80 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

36.52

18 см.

У ΔABC (∠C = 90°)

CM = 1 2 AB = AM = BM,

AC = 1 2

AB = AM = BM як

За умовою AC + AM + BM = 18 см,

3AC = 18 см,

AC = 6 см.

CM = AC = 6 см.

Відповідь: 6 см. 36.53

ABCD — ромб, O — точка

OK ⊥ BC — радіус,

OK = 3 см, KC = 9 см.

З ΔOKC OC2 = OK2 + KC2 = 32 + 92 = 9 + 81 = 90.

З ΔBOC OC2 = BC ⋅ KC, BC = OC2 : KC = 90 : 9 = 10 (см).

PΔABC = 4 ⋅ BC = 4 ⋅ 10 = 40 (см). Відповідь: 40 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1) S1 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (м2) — площа першого

2) S2 = 4,5 · 4 = 18 (м2) —

3) S = 12,25 + 18 = 30,25 (м2) — загальна

4) m = 30,25 · 240 = 7260 г = 7,26 кг —

5) 7,26 : 2,5 = 2,904 (шт) —

PK = 5 см, PM = 13 см.

KM =

PK = 6 см, KM = 8 см. PM = ��

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AC ⊥ m — відстань від точки A

AC = 6 см. AB — похила, ∠ABC = 30°.

AC = 1 2 AB.

AB = 2AC = 2 · 6 см = 12 см. З ΔABC

BC = �AB² AC² = �12² 6² = �(12 6)(12 + 6) = √6 · 18 = 6√3 (см).

Відповідь: 12 см, 6√3 см.

що утворює

AC ⊥ m —

NK = 5 см —

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

MP, ∠MPK = 45°.

З ΔMNK MK = �MN² NK² = �13² 5² = √169 25 = √144 = 12 (см).

У ΔMPK ∠PMK = 90° − 45° = 45°.

Тоді ΔMPK — рівнобедрений, MK = KP = 12 см.

Відповідь: 12 см.

37.11 З точки

30°.

NM і NK — похилі, NK = 12 см. NP ⊥ a MP = 8 см —

NM, ∠NKP = 30°.

З ΔNKP NP = 1 2 NK = 1 2 · 12 см = 6 см

30°).

З ΔNMP MN = �NP² + MP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см).

Відповідь: 10 см. 37.12

5 см. Знайдіть

AB = 13 см, AC = 20 см — похилі, AK ⊥ a

ACK

=

Відповідь: 16 см.

25 см і 26 см. Знайдіть

= √2 · 50 = √100 = 10 (см).

BC = BK + KC = 7 + 10 = 17 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

B і C

BC = CK − BK = 10 − 7 = 3 (см). Відповідь: 17 см або 3 см.

AK ⊥ m, AK = 8 см — відстань від точки A

m. AB = 10 см, AC = 17 см — похилі.

З ΔABK BK = �AB² − AK² = �10² − 8² = √

З ΔAKC KC = �AC² AK² = �17² 8² = �(17 8)(17 + 8) = √9 · 25 = 3 · 5 = 15 (см).

I випадок. BC = BK + KC = 6 + 15 = 21 (см).

II випадок. BC = KC − BK = 15 − 6 = 9 (см).

Відповідь: 21 см або 9 см. 37.15 З точки до прямої

AB = 5 см, AC = 8 см — похилі, AD ⊥ BC, BD = 3 см.

Δ

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

= √16 · 2 · 2 · 25 = 4 · 2 · 5 = 40 (см).

У ΔACD AC = CD, тоді ΔACD — прямокутний

∠ACD = 45°. Відповідь: 45°. 37.17

M і N

перпендикулярів, якщо MN = 13 см.

MM1 ⊥ a, NN1 ⊥ a, MM1 = 2 см, NN1 = 7 см, MN = 13 см.

Проведемо MK ⊥ NN1.

M1MKN1 — прямокутник (MM1 || KN1, MK || M1N1, ∠MKN1 = 90°).

M1N1 = MK, KN1 = MM1 = 2 см.

З ΔMKN NK = NN1 − KN1 = 7 см − 2 см = 5 см.

MK = �MN² NK² = �13² 5² = √169 25 = √144 = 12 (см).

M1N1 = MK = 12 см.

Відповідь: 12 см.

37.18

завдовжки 1 см і 7 см. Знайдіть AB, якщо

дорівнює 8 см.

AA1 ⊥ a, BB1 ⊥ a — перпендикуляри.

A1B1 = 8 см, AA1 = 1 см, BB1 = 7 см.

Проведемо A1P ⊥ BB₁.

Чотирикутник A1APB1 — прямокутник (AA1 || PB1, AP || A1B1, ∠A1 = 90°).

Отже, AA1 = B1P = 1 см, AP = A1B1 = 8 см.

У ΔABP BP = BB1 − PB1 = 7 − 1 = 6 (см).

AB = �AP² + BP² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см).

Відповідь: 10 см.

37.19 3

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AB = 10 см, AC = 14 см — похилі, AD ⊥ BC — відстань від точки A

BD — проекція AB, CD — проекція AC.

AB < AC, тому BD < CD.

Нехай BD = x см, тоді CD = (x + 8) см.

З ΔABD AD2 = AB2 − BD2 = 102 − x2 = 100 − x2 .

З ΔACD AD2 = AC2 − CD2 = 142 − (x + 8)2 = 196 − x2 − 16x

Звідси 100 − x2 = 132 − x2 − 16x; 16x = 32; x = 2.

BD = 2 см, CD = 2 + 8 = 10 (см).

AD = �100 2² = √100 4 = √96 = √16 · 6 = 4√6 (см).

Відповідь: 2 см, 10 см, 4√6 см. 37.20 3 точки

та

AB і AC — похилі, AC > AB, AC − AB = 2 см. AK ⊥ m — відстань

AB = x см, тоді AC = (x + 2) см. З ΔABK AK2 = AB2 − BK2 = x2 − 12 =

ΔACK AK2 = AC2 − CK

x2 − 1 = x2 + 4x − 21; 4x = 20; x = 5.

AC.

AB = 5 см, AC = 5 + 2 = 7 (см). AK = �AB² BK² = �5² 1² = √25 1 = √24 = 2√6 (см).

BC.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔABC AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.

Проведемо BK ⊥ AC — перпендикуляр, проведений

AK — проекція сторони AB, CK — проекція сторони CB на сторону AC.

Нехай AK = x см, тоді CK = (15 − x) см.

З ΔABK BK2 = AB2 − AK2 = 132 − x2 = 169 − x2 .

З ΔBCK BK2 = BC2 − CK2 = 142 − (15 − x)2 = 196 − 225 + 30x − x2 = −29 + 30

Ліві частини рівності однакові, тоді і праві частини рівні. 169 − x2 = −29 + 30x − x2; 30x = 198; x = 6,6.

Отже, AK = 6,6 см, CK = 15 − 6,6 = 8,4 (см).

Відповідь: 6,6 см, 8,4 см.

37.22 Сторони

У ΔMNP MN = 36 см, NP = 29 см, MP = 25 см.

Проведемо NK ⊥ MP — перпендикуляр,

— проекція сторони MN, KP —

NP

MP. Нехай MK = x см, тоді PK = (25 − x) см.

З ΔMNK NK2 = MN2 − MK2 = 362 − x2 = 1296 − x2 .

З ΔNPK NK2 = NP2 − PK2 = 292 − (25 − x)2 = 841 − 625 +

Ліві частини рівності

1296 − x2 = 50x − x2 + 216; 50x = 1296 − 216; 50x = 1080; x = 21,6.

Отже, MK = 21,6 см, PK = 25 − 21,6 = 3,4 (см).

21,6

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

З ΔABK BK = �AB² AK² = �15² 12² = √225 144 = √81 = 9 (см).

З ΔAKC AC = �AK² + KC² = �12² + 16² = √144 + 256 = √400 = 20 (см).

BC = BK + KC = 9 + 16 = 25 (см).

У ΔABC AB2 = 152 = 225; AC2 = 202 = 400;

BC2 = 252 = 625.

625 = 225 + 400.

Отже, BC2 = AB2 + AC2 .

Тоді за оберненою теоремою Піфагора ∠A = 90°.

Відповідь: 90°.

37.24 Основи

діагональ трапеції.

ABCD — трапеція, AB = CD, CK = 6 см, CK ⊥ AD.

BC = 5 см, AD = 11 см.

AK = BC + AD 2 ;

AK = 5 + 11 2 = 16 2 = 8 (см).

З ΔACK (∠K = 90°)

AC = �AK² + CK² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 =

Відповідь: 10 см.

O1A ⊥ a, O2B ⊥ a — радіуси,

Проведемо O1C ⊥ O2A.

CABO2 — прямокутник (AB || CO2, AC || BO2, AC ⊥ AB), тоді CO2 = AB, O2B = CA, тому O1C = O1A – AC = 4 – 1 = 3 (см).

4 см. 37.26 У △ ABC (∠C = 90°) проведено

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��. У ΔKBL KL BL = 3 4 ;

у ΔABC AC BC = 2 · 3 2 · 4 = 3 4 .

Отже, KL BL = AC BC .

2. У ΔKBL BK = �KL² + LB² = �3² + 4² =

KL

KB = 3 5 .

У ΔABC AB = 2KB = 2 · 5 = 10 см;

AC = 2KL = 2 · 3 = 6.

AC

AB = 6 10 = 3 5 . KL KB = AC AB .

��. У ΔKBL BL KB = 4 5 ;

у ΔABC BC AB = 8 10 = 4 5

BL

KB = BC AB .

1. 1 см; √3 см; 2 см; 2. 1 см; 1 см; √2 см.

1. 12 = 1; (√3)2 = 3; 22 = 4.

Оскільки 4 = 1 + 3, тобто 22 = 12 +

90°, 30°,

2. 12 = 1; (√2)2 = 2.

(√

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 5 · 18 · 106 = 90 · 106 = 9 · 107 (м3)

2. 200 · 18 · 106 = 2 · 18 · 108 = 36 · 108 (м3)

ABCD — прямокутник. PB = 5, PC = 10, PD = 14. Проведемо PK ⊥ BC і PS ⊥ AD. Через точку P

до паралельних прямих BC і AD. Тоді ABKS — прямокутник.

Нехай AD = BC = b, BK = AS = x, тоді KC = SD = b − x.

З ∆BKP KP2 = BP2 − BK2 = 52 − x2 = 25 − x2 .

З ∆PKC KP2 = PC2 − KC2 = 102 − (b − x)2 = 100 −

. Ліві частини рівностей однакові, значить, і

25 − x2 = 100 − b2 + 2bx − x2; b2 − 2bx – 75 = 0. (1)

З ∆APS PS2 = AP2 – AS2 = AP2 − x2 .

З ∆PSD PS2 = PD2 – SD2 = 142 − (b − x)2 = 196 − b2 + 2bx − x2;

AP2 − x2 = 196 − b2 + 2bx − x2;

AP2 + b2 − 2bx – 196 = 0. (2)

3 (1) і (2): b2 − 2bx − 75 = AP2 + b2 − 2bx − 196.

AP2 = 196 − 75;

AP2 = 121;

AP = 11.

Відповідь: 11 ярдів. § 38.

38.1 Дано △ABC, ∠C = 90°.

Знайдіть: 1. sin A; 2. cos B; 3. tg A; 4. cos A;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��. sin ∠A = BC AB = 8 10 = 4 5 ;

��. cos ∠B = BC AB = 8 10 = 4 5 ;

��. tg ∠A = BC AC = 8 6 = 4 3 ;

��. cos ∠A = BC AB = 6 10 = 3 5 ;

��. sin ∠B = AC AB = 6 10 = 3 5 ;

��. tg ∠B = AC BC = 6 8 = 3 4 .

38.2 Дано △MNK, ∠K = 90°.

Знайдіть:

1. cos M;

2. sin N;

3. tg M;

4. sin M;

5. cos N;

6. tg N.

��. cos ∠M = MK MN = 4 5 ;

��. sin ∠N = MK MN = 4 5 ;

��. tg ∠M = KN MK = 3 4 ;

�� sin ∠M = KN MN = 3 5 ;

��. cos ∠N = KN MN = 3 5 ;

��. tg ∠N = MK KN = 4 3 .

38.3 Знайдіть

1. cos 22°;

2. sin 50°;

3. tg 17°;

4. cos 12°10';

5. sin 67°30'; 6. tg 81°48'.

1. cos 22° = 0.9272; 2. sin 50° = 0.7660;

3. tg 17° = 0.3057;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. cos 12°10' = 0,9775;

5. sin 67°30' = 0,9239;

6. tg 81°48' = 6,9395.

38.4 Знайдіть

1. sin 43°;

2. cos 57°;

3. tg 70°;

4. sin 14°42';

5. cos 49°30';

6. tg 15°12'.

1. sin 43° ≈ 0.6820;

2. cos 57° ≈ 0.5446;

3. tg 70° ≈ 2.7475;

4. sin 14°42' ≈ 0,2538; 5. cos 49°30' ≈ 0,6494;

6. tg 15°12' ≈ 0,2717.

38.5 Обчисліть:

1. sin 30° + tg 45°; 2. cos 30° · sin 60°.

.

38.6 Обчисліть:

1. sin 45° − cos 60°; 2. sin 45° : cos 45°.

��. tg 45° cos 60° = 1 1 2 = 1 2 ; ��. sin 45°

38.7 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 5 см, BC = 12 см. Знайдіть: sin A, cos A.

AB = �AC² + BC² = �5² + 12² = √25 + 144 = √169 = 13 (см).

sin ∠A = BC AB = 12 13 ; cos ∠A = AC AB = 5 13 .

38.8 Дано △ABC, ∠C = 90°, AC = 7 см, BC = 24 см. Знайдіть: sin B, cos B.

AB = �AC² + BC² = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см).

sin ∠B = AC AB = 7 25 ;

cos ∠B = BC AB = 24 25 .

38.9 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

1. AC, якщо BC = a, ∠B = β; 2. AB, якщо AC = b, ∠A = α. ��. tg ∠B = AC BC ; tg �� = AC �� ; AC = �� tg �� ;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��. cos ∠A = AC AB ; cos �� = �� AB ; AB = �� cos �� .

38.10 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

1. BC, якщо AC = b, ∠A = α;

2. AB, якщо BC = a, ∠B = β.

��. tg ∠A = BC AC ; tg �� = BC �� ; BC = �� tg ��;

��. cos ∠B = BC AB ; cos �� = �� AB ; AB = �� cos �� .

38.11 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

1. AB, якщо AC = 5 см, cos A = 1 4;

2. AB, якщо BC = 3 см, sin A = 0,6;

3. AC, якщо AB = 8 см, sin B = 3 4;

4. BC, якщо AB = 20 см, cos B = 4 5;

5. AC, якщо BC = 10 см, tg B = 0,5.

��. cos∠A = AC AB ; AB = AC cos ∠A =5: 1 4 =5·4= 20(см);

��. sin∠A = BC AB ; AB = BC sin ∠A = 3 0,6 =5(см);

��. sin∠B = AB AC ; AC = ABsin∠B =8· 3 4 =6(см);

�� cos∠B = BC AB ; BC = ABcos∠B = 20 · 4 5 = 16(см);

��. tg∠B = AC BC ; AC = BCtg∠B = 10 ·0,5=5(см).

38.12 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

1. AB, якщо BC = 8 см, cos B = 1 2;

2. AB, якщо AC = 10 см, sin B = 0,25;

3. BC, якщо AB = 6 см, sin A = 1 3;

4. AC, якщо AB = 20 см, cos A = 0,4;

5. BC, якщо AC = 12 см, tg A = 3 4 .

��. cos∠B = BC AB ; AB = BC cos ∠B =8: 1 2 =8·2= 16(см); ��. sin∠B = AC AB ; AC = AC sin ∠B = 10 0,25 = 40(см);

�� sin∠A = BC AB ; BC = ABsin∠A =6· 1 3 =2(см);

��. cos∠A = AC AB ; AC = ABcos∠A = 20 ·0,4=8(см);

��. tg∠A = BC AC ; BC = ACtg∠A = 12 · 3 4 =9(см).

38.13 У △ABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

1. AB, якщо AC = 4√3 см, ∠A = 30°

2. AC, якщо AB = 5√2 см, ∠B = 45°

1.

2.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

38.15

1. sin α = 0,4226

2. cos α = 0,8192

3. tg α = 0,2679

4. sin α = 0,8231

5. cos α = 0,9373

6. tg α = 0,6924

1. sin α = 0,4226; α = 25°;

2. cos α = 0,8192; α = 35°;

3. tg α = 0,2679; α = 14°;

4. sin α = 0,8231; α = 55°24';

5. cos α = 0,9373; α = 20°24';

6. tg α = 0,6924; α = 34°42'.

38.16 Знайдіть (за

якщо:

1. cos β = 0,1908

2. sin β = 0,8387

3. tg β = 0,7265

4. cos β = 0,5493

5. sin β = 0,3518

6. tg β = 1,1792

1. cos β = 0,1908; β = 79°;

2. sin β = 0,8387; β = 57°;

3. tg β = 0,7265; β = 36°;

4. cos β = 0,5493; β = 56°39';

5. sin β = 0,3518; β = 20°36';

6. tg β = 1,1792; β = 49°42'.

38.17 У △ABC, ∠C = 90°.

1. AB, якщо BC = 5 см, ∠A = 42°

2. BC, якщо AB = 10 см, ∠B = 37°

3. BC, якщо AC = 4 см, ∠A = 82°

З ΔBCD BC = BC cos β = a cos β; CD = BD sin β = a sin β.

PABCD = 2(BC + CD) = 2(a cos β + a sin β) = 2a(cos β + sin β).

2a(cos β + sin β).

ΔBCD tg

=

;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ромбі ABCD ∠A = 42°; BD = 6 см.

За властивістю діагоналей ромба AC ⊥ BD, ∠BAO = ∠DAO = 42° : 2 = 21°, BO = 1 2 BD = 1 2 · 6 = 3 (см).

AC = 2AO = 2 · 7,8145 = 15,63 (см).

Відповідь: 15,63 см. 38.24 Сторона ромба дорівнює 8 см,

сантиметра)

В ромб ABCD ∠A = 78°, AB = BC = CD = AD = 8 см.

=

BAO = 8 · cos39° ≈ 8 · 0,7771 ≈ 6,22 (см). AC = 2 · 6,22 = 12,44 (см).

12,44 см.

ΔABC (∠C = 90°) BC = AB α cos ∠B = c cos α

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

sin ∠A = 5 8 ≈ 0,625.

∠A ≈ 39°.

tg ∠A = 9 5 = 1,8.

∠A = 61°, ∠B = 90° − ∠A = 90° − 61° = 29°.

Відповідь: 61°, 29°.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

38.29 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

а. AB і BC, якщо AC = 6 см, cos B = 0,8;

б. AC і BC, якщо AB = 13 см, tg A = 5 12 .

��. За умовою cos ∠B = 0,8 = 4 5 , тобто BC AB = 4 5 .

Позначимо BC = 4x, AB = 5x.

За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (5x)2 = 62 + (4x)2; 25x2 = 36 + 16x2; 25x2 16x2 = 36; 9x2 = 36; x2 = 4; x = 2.

Отже, BC = 4 · 2 = 8 (см), AB = 5 · 2 = 10 (см).

Відповідь: 8 см, 10 см.

б. За умовою tg ∠A = 5 12 , тобто BC AC = 5 12 .

Позначимо BC = 5x, AB = 12x

За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2;

132 = (12x)2 + (5x)2; 169 = 144x2 + 25x2; 169x2 = 169;

x2 = 1;

x = 1.

BC = 5 · 1 = 5 (см), AC = 12 · 1 = 12 (см).

Відповідь: 5 см, 12 см.

38.30 Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Знайдіть:

а. AB і BC, якщо AC = 4 см, sin A = 0,6;

б. AC і BC, якщо AB = 34 см, tg B = 8 15 .

а. За умовою sin ∠A = 0,6 = 6 10 = 3 5 , тобто �� AB = 3 5 .

BC = 3x, AB = 5x.

Тоді AB2 = BC2 + AC2; (5x)2 = (3x)2 + 42;

25x2 − 9x2 = 16;

16x2 = 16;

x2 = 1;

x = 1.

BC = 3 · 1 = 3 (см), AB = 5 · 1 = 5 (см).

Відповідь: 5 см, 3 см.

б. За умовою tg ∠B = 8 15 , тобто �� BC = 8 15 .

Нехай AC = 8x, BC = 15x,

тоді AB2 = BC2 + AC2; 342 = (15x)2 + (8x)2; 1156 = 225x2 + 64x2; 289x2 = 1156; x2 = 4;

x = 2.

AC = 8 · 2 = 16 (см), BC = 15 · 2 = 30 (см).

Відповідь: 16 см, 30 см.

38.31 Основи рівнобічної трапеції

AK = AD BC 2 = 2�� 2�� 2 = �� .

cos ∠A = AK AB ; AB = AK cos ∠A = �� cos �� .

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

З ΔACD tg ∠ACD = AD CD = 50 19 ≈ 2,632 ∠ACD ≈ = 69°12'. ΔCOD

∠ODC = ∠ACD = 69°12'.

∠COD = 180° − 2 ∙ 69°12' = 180° − 138°24' = 41°36'. Відповідь: 41°36'. 38.35

— ромб, AC = 12 см, BD = 10 см.

∠BAO = 1 2 ∠A.

tg ∠BAO = BO AO = 5 6 ≈ 0,8333.

∠BAO ≈ = 39°48'.

∠A = 2∠BAO = 2 ∙ 39°48' = 79°36'.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

∠C = ∠A = 79°36'.

∠B = ∠D = 180° − 79°36' = 100°24'.

Відповідь: 79°36', 100°24'.

38.36

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Позначимо ∠CBD = x, ∠ABD = 2x.

x + 2x = 135°; 3x = 135°; x = 45°.

Отже, ∠CBD = 45°, ∠ABD = 45° ∙ 2 = 90°.

У ΔABD ∠BDA = ∠BAD = 45°, тоді AB = BD;

AD = AB cos 45° = AB ∶ 1 √2 = √2AB.

PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + √2AB) = 2AB(1 + √2).

За умовою 2AB(1 + √2) = 20; 2AB(1 + √2) = 20;

AB(1 + √2) = 10;

AB = 10 1 + √2 = 10(√2 – 1) (1 + √2)( √2 1) = 10(√2 – 1) (√2)² 1 = 10(√2 – 1) (см).

BD = AB = 10(√2 − 1) (см).

Відповідь: 10(√2 − 1) см. 38.39 Гострий

1 : 3.

ABCD — паралелограм, ∠A = ∠C = 60°, BD — діагональ.

∠CBD : ∠ABD = 1 : 3.

∠ABC = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°.

∠CBD = x, ∠ABD = 3x. x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30.

Отже, ∠CBD = 30°, ∠ABD = 3 · 30° = 90°.

У ΔABD ∠ADB = 90° − 60° = 30°.

Тоді AB = 1 2 AD, як катет,

PABCD = 2(AB + AD) = 2(AB + 2AB) = 6AB.

За умовою 6AB = 24 см; AB = 4 см.

З ΔABD BD = AB · tg ∠A = 4 · tg 60° = 4√3 (см).

4√3

Тоді ΔABD — рівнобедрений: BD = AD.

AD = x см, тоді CD = (x + 10) см.

У ΔABC ∠A = 60°, ∠C = 45°, BD ⊥ AC, AC = 8 см.

У ΔBDC ∠CBD = 90° − ∠C = 90° − 45° = 45°,

тоді BD = CD.

Нехай CD = x см,

тоді AD = (8 − x) см.

З ΔABD BD = AD tg ∠A = (8

З ΔBCD BD = CD = x см.

Отже, (8 − x)√3 = x.

8√3 − √3

x) tg 60° = (8

√3 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

PS — похила, PK ⊥ a.

ΔPKS — прямокутний.

За умовою PK = 1 2 PS, тоді ∠S = 30°.

Відповідь: 30°.

38.43 Катет прямокутного

см. Знайдіть периметр трикутника.

У ΔABC ∠C = 90°, AC = 12 см.

Проведемо CD ⊥ AB.

Тоді AD = 7,2 см — проекція

За властивістю катета:

AC2 = AD · AB;

AB = AC2 : AD = 122 : 7,2 = 20 (см).

З ΔABC BC = �AB² AC² = �20² 12² = √400 144 = √

PΔABC = 12 + 20 + 16 = 48 (см). Відповідь: 48 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Нехай a, b, c, d — дані відрізки хорд AB і CD.

Нехай AC = x, BD = y.

Тоді за теоремою Піфагора для ΔAED:

x2 = a2 + c2. (1)

Для ΔBEC: y2 = b2 + d2. (2)

Проведемо AK || CD.

Тоді BK = 2R — діаметр (оскільки AK || CD, а AB ⊥ CD, то AB ⊥ AK).

ACKD — рівнобічна трапеція, оскільки

і AK = KD = x.

∠BDK = 90° (спирається на

За теоремою Піфагора для ΔBDK: BD2 + KD2 = BK2; x2 + y2 = (2R)2; a2 + c2 + b2 + d2 = 4R2, тобто AE2 + BE2 + CE2 + DE2 = 4R2.

1.

2.

3.

1. ∠B = 90° − ∠A, ∠B = 90° − 30° = 60°;

BC = AB sin ∠A = 6 · 1 2 = 3 (см);

AC = AB cos ∠A = 6 · cos 60° = 6 · √3 2 = 3√3 (см).

Відповідь: 60°, 3 см, 3√3 см.

2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 45° = 45°.

AC = AB sin ∠B = 10 · sin 45° = 10√2 2 = 5√2 (дм).

BC = AC = 5√2 (дм).

Відповідь: 45°, 5√2 дм, 5√2 дм.

3. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 18° = 72°.

BC = AB sin ∠A = 12 · sin 18° ≈ 12 · 0,309 ≈ 3,71 (см).

AC = AB cos ∠A = 12 · cos 18° ≈ 12 · 0,9511 ≈ 11,41 (см).

Відповідь: 72°, 3,71 см, 11,41 см.

4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 73° = 17°.

AC = AB sin ∠B = 15 · sin 73° ≈ 15 · 0,9613 ≈ 14,34 (дм);

BC = AB cos 73° ≈ = 15 · 0,2924 ≈ 4,35 (дм).

Відповідь: 17°, 14,34 дм, 4,35 дм.

39.2 За гіпотенузою

його сторони та

до сотих.

1. AB = 14 дм; ∠A = 45°;

2. AB = 6 см; ∠B = 60°;

3. AB = 3 дм; ∠A = 82°;

4. AB = 8 см; ∠B = 25°.

1. ∠A = 90° – ∠A = 90° – 45° = 45°.

BC = AB sin ∠A = 14 · sin 45° = 14 · √2 2 = 7√2 (дм);

AC = AB cos ∠A = BC = 7√2 (дм).

Відповідь: 45°, 7√2 дм, 7√2 дм.

2. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

BC = 1 2 AB = 1 2 · 6= 3 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AC = AB sin ∠B = 6 sin 60° = 6 · √3 2 = 3√3 (см).

Відповідь: 30°, 3 см, 3√3 см.

3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 82° = 8°.

BC = AB sin ∠A = 3 sin 82° = 3 · 0,9903 ≈ 2,97 (дм);

AC = AB cos ∠A = 3 cos 82° = 3 · 0,1392 ≈ 0,417 (дм).

Відповідь: 8°, 2,97 дм, 0,417 дм.

4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 25° = 65°.

AC = AB sin ∠B = 8 sin 25° ≈ 8 · 0,4226 ≈ 3,38 (см);

BC = AB cos ∠B = 8 cos 25° ≈ 8 · 0,9063 ≈ 7,25 (см).

Відповідь: 65°, 3,38 см, 7,25 см.

39.3 За катетом трикутника ABC (∠C = 90°)

сотих.

1. AC = 6 см; ∠B = 30°;

2. AC = 12 см; ∠A = 24°;

3. BC = 8 дм; ∠A = 42°;

4. BC = 5 см; ∠B = 45°.

1. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 30° = 60°.

BC = AC tg ∠B = 6 tg 30° = 6 : 1 √3 = 6√3 (см);

AB = AC sin ∠B = 6 sin 30° = 6 : 1 2 = 12 (см).

Відповідь: 60°, 6√3 см, 12 см.

2. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 24° = 66°.

BC = AC tg ∠A = 12 · tg 24° ≈ 12 · 0,4452 ≈ 5,34 (см);

AB = AC cos ∠A = 12 cos 24° ≈ 12 0,9135 ≈ 13,14 (см).

Відповідь: 66°, 5,34 см, 13,14 см.

3. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 42° = 48°.

AC = BC tg ∠A = 8 tg 42° ≈ 8 0,9004 ≈ 8,88 (дм);

AB = BC sin ∠A = 8 sin 42° ≈ 8 0,6691 ≈ 1,96 (дм).

Відповідь: 48°, 6,66 дм, 8,97 дм.

4. ∠A = 90° – ∠B = 90° – 45° = 45°.

AC = BC = 5 см.

AB = BC cos ∠B = BC cos 45° = 5 ∶ 1 √2 = 5√2 (см).

Відповідь: 45°, 5 см, 5√2 см.

39.4

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. AC = 10 см; ∠A = 60°;

2. AC = 8 дм; ∠B = 12°;

3. BC = 6 см; ∠B = 71°;

4. BC = 12 дм; ∠A = 45°.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 60° = 30°.

AB = 2AC = 2 · 10 = 20 (см).

BC = AC tg ∠A = 10 tg 60° ≈ 10 · 1,732 ≈ 17,32 (см).

Відповідь: 30°, 20 см, 17,32 см.

2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 12° = 78°.

BC = AC tg ∠B = 8 tg 12° ≈ 8 0,2126 ≈ 37,63 (дм).

AB = AC sin ∠B = 8 sin 12° ≈ 8 0,2079 ≈ 38,48 (дм).

Відповідь: 78°, 37,63 дм, 38,48 дм.

3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 71° = 19°.

AC = BC tg ∠B = 6 · tg 71° ≈ 6 · 2,904 ≈ 17,42 (см).

AB = BC : cos ∠B = BC cos 71° ≈ 6 0,3256 ≈ 18,43 (см).

Відповідь: 19°, 17,42 см, 18,43 см.

4. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 45° = 45°.

AC = BC = 12 дм.

AB = BC sin ∠A = 12 : √2 2 = 12√2 (дм).

Відповідь: 45°, 12 дм, 12√2 дм.

39.5 Діагональ

кут, що утворює діагональ

∠A = 90° – ∠B = 90° – 52° = 38°.

BC = C tg ∠B = 6 tg 52° ≈ 6 1,2799 ≈ 4,69 (см).

AB = AC sin ∠B = 6 sin 52° ≈ 6 0,7880 ≈ 7,61 (см).

Відповідь: 38°, 4,69 см, 7,61 см.

39.7 Знайдіть висоту дерева AC, якщо BC = 40 м, а ∠B = 27°.

AC = BC · tg ∠B = 40 · tg 27° ≈ 40 · 0,5095 ≈ 20,38 (cм).

Відповідь: 20,38 cм.

39.8

tg C = AB BC ; AB = BC · tg 28° = 60 · 0,5317

tg A = CB AC AC = CB tg A = 10

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AB = �� cos ∠B = 80 cos 57° ≈ 80 0,5446 ≈ 146,90 (м

Відповідь: 146,90 м.

39.11

з точністю

хвилини:

1. AC = 4 см; BC = 4√3 см;

2. AC = 8 дм; BC = 15 дм;

3. AC = 3 см; BC = 9 см;

4. AC = 7m дм; BC = 24m дм.

1. AB = �AC² + BC² = �(4² + (4√3)² = √16 + 48 = √64 = 8 (см).

tg ∠A = �� A�� = 4√3 4 = √3;

∠A = 60°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°.

Відповідь: 8 см, 60°, 30°.

2. AB = �AC² + BC² = �8² + 15² = √64 + 225 = √289 = 17 (дм).

tg ∠A = �� A�� = 15 8 = 1,875; ∠A = 61°56'.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 61°56' = 28°4'.

Відповідь: 17 дм, 61°56', 28°4'.

3. AB = �AC² + BC² = �3² + 9² = √9 + 81 = √90 = 3√10 (см).

tg ∠A = BC AC = 9 3 = 3; ∠A = 71°34′

∠B = 90° – 71°34' = 18°26'.

Відповідь: 3√10 см, 71°34', 18°26'.

4. AB = �AC² + BC² = �7��² + 24��² = �49��² + 576��² = �625��² = 25m (дм).

tg ∠A = �� A�� = 24�� 7�� = 3,429; ∠A = 73°44'. ∠B = 16°16'.

Відповідь: 25m дм, 73°44', 16°16'.

39.12

C = 90°)

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. AC = 2√3 см; BC = 2 см;

2. AC = 8 см; BC = 6 см;

3. AC = 2 дм; BC = 5 дм;

4. AC = 9k дм; BC = 40k дм.

1. AB = �AC² + BC² = �(2√3)² + 2² = √12 + 4 = √16 = 4 (см).

tg ∠A = �� A�� = 2 2√3 = 1 √3 ; ∠A = 60°.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°.

Відповідь: 4 см, 60°, 30°.

2. AB = �AC² + BC² = �8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10 (см).

tg ∠A = BC AC = 6 8 = 3 4 = 0,75; ∠A = 36°52′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 36°52' = 53°8'.

Відповідь: 10 см, 36°52', 53°8'.

3. AB = �AC² + BC² = �2² + 5² =

tg ∠A = BC AC = 5 2 = 2,5; ∠A = 68°12′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 68°12' = 21°48'.

Відповідь: 5,39 дм, 68°12', 21°48'.

4. AB = �AC² + BC² = �(9��)² + (40�� )² =

tg ∠A = BC AC = 40�� 9�� = 4,444;

∠A = 77°19'.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 77°19' = 12°41'.

Відповідь: 41k дм, 77°19', 12°41'.

39.13

точністю

1. AB = 6 см; AC = 3√3 см;

2. AB = 65 дм; AC = 16 дм;

3. AB = 7 см; AC = 4 см;

4. AB = 13a см; AC = 5a см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. BC = �AB² – AC² = �6² – (3√3)² = √36 – 27 = √9 = 3 (см).

sin ∠B = AC AB = 3√3 2 ; ∠B = 60°

∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

Відповідь: 3 см, 60°, 30°.

2. AC = �AB² – AC² = �65² – 16² = �(65 – 16)(65 + 16) = √49 · 81 = 7 · 9 = 63 (дм).

sin ∠A = BC AB = 16 65 ≈ 0,2462; ∠A ≈ 14°15′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 14°15' = 75°45'.

Відповідь: 63 дм, 14°15', 75°45'.

3. BC = �AB² – AC² = �7² – 4² = √49 – 16 = √33 ≈ 5,74 (дм).

sin ∠B = �� A�� = 4 7 ≈ 0,5714; ∠B ≈ 34°51'.

∠A = 90° – ∠B = 90° – 34°51' = 55°9'.

Відповідь: 5,74 дм, 34°51', 55°9'.

4. AC = �AB² – AC² = �(13��)² – (5��)² = �169��² – 25

sin ∠A = BC AB = 5�� 13�� ≈ 0,3846; ∠A ≈ 22°37′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 22°37' = 67°23'.

Відповідь: 12a см, 22°37', 67°23'.

² = �144��² = 12a (см).

39.14 За катетом і гіпотенузою трикутника ABC (∠C = 90°)

1. AB = 8 см; AC = 4√2 см

2. AB = 37 дм; BC = 12 дм

3. AB = 10 см; AC = 7 см

4. AB = 61b дм; BC = 60b дм

1. BC = �AB² – AC² = �8² – (4√2)² = √64 – 32 = √32 = 4√2 (см).

sin ∠B = AC AB = 4√2 8 = √2 2 .

∠B = 45°; ∠A = 45°.

Відповідь: 4√2 см, 45°, 45°.

2. AC = �AB² – AC² = �37² – 12²() = �(37 – 12)(37 + 12) = √25 · 49 = 5 · 7 = 35 (дм).

sin ∠A = BC AB = 12 37 ≈ 0,3243; ∠A ≈ 18°55′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 18°55' = 71°5'.

Відповідь: 35 дм, 18°55', 71°5'.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. BC = �AB² – AC² = �10² – 7² = √100 – 49 = √51 ≈ 7,14 (см).

sin ∠B = AC AB = 7 10 = 0,7; ∠B ≈ 44°26′.

∠A = 90° – ∠B = 90° – 44°26' = 45°34'.

Відповідь: 7,14 см, 44°26', 45°34'.

4. AC = �AB² – AC² = �(61��)² – (60��)² = �(61�� – 60��)(61�� + 60��) = = √�� · 121�� = 11b (дм).

sin ∠A = BC AB = 60�� 61�� ≈ 0,9836; ∠A≈ 79°37′.

∠B = 90° – ∠A = 90° – 79°37' = 10°23'.

Відповідь: 11b дм, 79°37', 10°23'.

39.15 Тінь від антени

tg α = 5 : 2,6 ≈ 1,923.

α ≈ 62°32′.

Відповідь: 62°32′.

39.16

tg �� = AC BC = 10 500 = 0,02

α = 1°9′.

1°9′.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

AK = BK tg ∠A = 2 tg 35° ≈ 2 0,7002 = 2,856 (м).

BC = AD – 2AK = 10 – 2 · 2,856 = 4,29 (м). Відповідь: ≈ 4,29 м.

a ∥ b ∥ c. Тоді ∠MAP = 60° (внутрішні різносторонні).

∠KNA = ∠NAP = 30° (внутрішні різносторонні);

∠NAK = ∠KAP – ∠NAP = 60° – 30° = 30°.

Тоді ∆NKA – рівнобедрений, NK = KA.

З ∆MNK: ∠NMK = 90° – 60° = 30°.

Відповідь: 17 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

39.20 У ∆ABC ∠C = 90°, BC = 12 см, sin B = 3 5.

sin ∠B = AC AB = 3 5 .

Нехай AC = 3x, AB = 5x.

Тоді за теоремою Піфагора AB2 = AC2 + BC2;

(5x)2 = (3x)2 + 122; 25x2 = 9x2 + 144; 16x2 = 144; x2 = 9; x = 3.

Отже, AC = 3 · 3 = 9 (см), AB = 5 · 3 = 15 (см).

P∆ABC = 12 + 9 + 15 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.

39.21

AC ∶ CB = AD DB = 30 40 = 3 4 .

Нехай AC = 3x см, а CB = 4x см.

AB2 = AC2 + BC

(30 + 40)2 = (3x)2 + (4x)2; 4900 = 9x2 + 16x2; 4900 = 25x2; x2 = 196; x = 14. AC = 3 · 14 = 42 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 76,8 : 10 · 9 = 7,68 · 9 = 69,12 (м3) –

5. 69,12 : 4,5 = 15,36 ≈ 15 (уч.) –

56 : 2 = 28.

Відповідь: 28.

1. Знайдіть гіпотенузу

c = �7² + 24² = √49 + 576 = √625 = 25 (см).

Відповідь: B. 25 см.

2. Гіпотенуза

Знайдіть другий катет трикутника.

a = �15² 12² = �(15 12)(15 + 12) = √3 ⋅ 27 = √81 = 9 (см).

Відповідь: Б. 9 см.

3.

sin B = AC AB = 12 13

Відповідь: A. 12 13 . 4. Діагоналі ромба дорівнюють

��. AC = 16 см; AO = AC 2 = 16 2 = 8 (см). �� BD = 12 см; OD = BD 2 = 12 2 = 6 (см).

3. У △AOD (∠O = 90°): AD = �AO² + OD² = �8² + 6² =10 (см).

Відповідь: Б. 10 см.

5. Точка розміщена

1. ∠ABC = 90° − 60° = 30°.

2. За властивістю

AB = 2 ⋅ AC = 2 ⋅ 8 = 16 (см).

Відповідь: Г. 16 см.

6. AB – гіпотенуза прямокутного

до десятих.

cos A = AC AB ;

AB = AC cos A = 8 cos 50° ≈ 12,4(см).

Відповідь: Б. 12,4 см.

7. Знайдіть х за малюнком.

1. У △ADC: AC = �10² 6² = 8 (см).

2. У △ACB: BC = �(√233)² – 8² = √233 – 64 = √169 = 13 (см).

3. x = 13 – 6 = 7 (см).

Відповідь: Б. 7 см.

1. BD = 4 см; DC = 7 см. BD < DC, тому AB < AC.

2. Позначимо AB = x см, тоді AC = x + 1 (см).

3. Маємо у △ABD: AD2 = x2 – 42;

а у △ADC: AD2 = (x + 1)2 − 72

4. Тоді x2 – 16 = x2 + 2x + 1 – 49; 2x = 32; x = 16.

Відповідь: Б. 16 см.

9. У ∆ABC ∠C = 90°, AB = 20 см, tgA = 0,75. Знайдіть PABC.

��. tg A = BC AC ; BC AC = 0,75 = 3 4 .

2. Позначимо BC = 3x см; AC = 4x см.

3. Тоді AB2 = BC2 + AC2; 202 = (3x)2 + (4x)2; 400 = 25x2; x2 = 16; x = 4 (см).

4. BC = 3 ⋅ 4 = 12 (см); AC = 4 ⋅ 4 = 16 (см).

5. PABC = 12 + 16 + 20 = 48 (см).

Відповідь: Г. 48 см.

10. Бісектриса

��. AK —

, тому AC AB = CK KB .

2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 10 см; KB = 26 см. �� Маємо AC AB = 10 26 = 5 13

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Можна позначити AC = 5x см; AB = 13x см.

4. AB2 = AC2 + CB2; (13x)2 = (5x)2 + 362; 144x2 = 362; x2 = 9; x = 3 (см).

5. AB = 13 ⋅ 3 = 39 (см).

Відповідь: Б. 39 см.

11. Сторони трикутника – 5 см, 29 см і 30 см.

трикутника на його більшу сторону.

1. BK — висота трикутника. Позначимо AK = x см, тоді KC = 30 − x (см).

2. У △ABK: BK2 = 52 − x2 ,

а у △BKC: BK2 = 292 − (30 − x)2.

3. Маємо 25 − x2 = 841 − (900 − 60x + x2); 60x = 84; x = 1,4 (см).

Відповідь: А. 1,4 см.

12. Сторони

1. DB = AB ∙ cos30° = 16 ∙ √3 2 = 8√3 (см) — В

2. AD = AB ∙ sin30° = 16 ∙ 0,5 = 8 (см) — Б

3. AC = √�� 2 + �� 2 = √82 +62 = √64 + 36 = √100 = 10 (см) — Г

1 — В, 2 — Б, 3 — Г.

. sin A = 3 5 ; ��. cos B = 3 5 ; ��. tg A = 3 4 ; ��. sin B = 4 5 .

4.

ромба.

1. AD = 25 см; BD =14 см.

2. OD = BD 2 = 14 2 = 7 (см).

3. У △AOD (∠O = 90°): AO = �AD² OD² = �25² 7² = 24 (см).

4. AC = 2 ⋅ AO = 2 ⋅ 24 = 48 (см).

Відповідь: 48 см.

5.

1. ∠B = 90° − 35° = 55°.

2. BC = AB sin A = 16 sin 35° ≈ 9,18 (см).

3. AC = AB cos A = 16 cos 35° ≈ 13,11 (см).

Відповідь: ∠B = 55°; BC ≈ 9,18 см; AC ≈ 13,11 см.

7. У △ABC ∠A – тупий, BC = 20 см, AB = 15 см, BK = 12 см – висота трикутника.

Знайдіть AC.

1. У △ABK: AK = �AB² BK² = �15² 12² = 9 (см).

2. У △ABC: KC=�BC² BK² = �20² 12² = 16 (см).

3. AC = KC – KA = 16 – 9 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

8. У ∆ABC ∠C = 90°, AC = 24 см, sin A = 5 13. Знайдіть PABC

��. sin A = BC AB ; BC AB = 5 13 .

Можна позначити BC = 5x см; AB = 13x см.

2. AB2 = AC2 + BC2; (13x)2 = 242 + (5x)2; 144x2 = 242; x2 = 4; x = 2.

3. BC = 5 ⋅ 2 = 10 (см); AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см).

4. P = 24 + 10 + 26 = 60 (см).

Відповідь: 60 см.

9. Бісектриса

1. AK − бісектриса △ABC.

Тому AC AB = CK KB .

2. Оскільки AC < AB, то CK < KB. CK = 6 см; KB = 10 см; CB = 6 + 10 = 16 (см).

��. AC AB = 6 10 = 3 5 .

Можна позначити AC = 3x см; AB = 5x см.

4. AB2 = AC2 + CB2; (5x)2 = (3x)2 + 162; 16x2 = 162; x2 = 16, x = 4.

5. Тоді AB = 5 ⋅ 4 = 20 (см); AC = 3 ⋅ 4 = 12 (см).

Відповідь: CB = 16 см; AB = 20 см; AC = 12 см. 10. Сторони трикутника

сторін на більшу сторону.

1. BK − висота △ABC.

2. Позначимо AK = x см, тоді KC = 15 – x (см).

3. У △ABK: BK2 = 42 x2 , а у △BKC: BK2 = 132 − (15 − x)2.

4. Тоді 16 − x2 = 169 − (225 − 30x + x2); 30x = 72; x = 2,4 (см).

5. Отже, AK = 2,4 см; KC = 15 − 2,4 = 12,6 (см).

Відповідь: 2,4 см; 12,6 см.

��. AO = AC 2 = 12 2 = 6 (см); OD = BD 2 = 6 2 = 3 (см).

��. У △ AOD (∠O = 90°): tg ∠OAD = OD AO = 3 6 = 0,5;

∠OAD ≈ 26°34′.

3. ∠BAD = 53°8′.

4. ∠ABC = 180° − 53°8′ = 126°52′.

Відповідь: 53°8'; 126°52'.

1.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2. 6; 7; 10?

1. 52 = 25;

32 + 42 = 9 + 16 = 25;

52 = 32 + 42 .

Відповідь: так.

2 102 = 100;

62 + 72 = 36 + 49 = 85; 102 ≠ 62 + 72 .

Відповідь: ні.

5. Площа прямокутника дорівнює 12 см2, а одна з

прямокутника.

Нехай a і b – сторони, d – діагональ прямокутника.

Sпр = ab; ab = 12; 3b = 12; b = 4.

d = ��² + ��² = �3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 (см).

Відповідь: 5 см.

6. На малюнку AB – дотична

AB.

AO = OC = 3 см як радіуси.

З △AOB OB = OC + BC = 3 + 2 = 5 (см).

AB = ��B² – O��² = �5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

сторін – 3 см.

7. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 17 см, а більша бічна сторона – 15 см.

периметр трапеції.

ABCD – трапеція (BC ∥ AD), BC = 8 см, AD = 17 см; AB ⊥ AD, CD = 15 см.

Проведемо CK ⊥ AD, тоді ABCK – прямокутник.

AK = BC = 8 см, CK=AB.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

KD = AD – AK = 17 – 8 = 9 (см).

З △CDK CK = ��² – K��² = �15² – 9² = �(15 – 9)(15 + 9) = = √6 · 24 = √6 · 6 · 4 = 6 · 2 = 12 (см).

PABCD = 12 + 8 + 15 + 17 = 52 (см).

Відповідь: 52 см.

8.

–

З ΔBDK KD = �BD² – BK² = �20² – 12² = √400 – 144 = √256 = 16 (см).

AK = AD – KD = 26 – 16 = 10 (см).

З ΔABK AB = �AK² + BK² = �10² + 12² = √100 + 144 = √244 = 2√61 (см).

KD = AD + BC 2 ;

2KD = AD + BC;

BC = 2KD – AD = 2 · 16 – 26 = 32 – 26 = 6 (см).

Відповідь: 6 см, 2√61 см.

9. Медіана, проведена до

відносяться як 3 : 4. Знайдіть

У ΔABC (∠C = 90°) CM — медіана, тоді M — середина AB, центр

BM = CM = 15 см.

Нехай AC = 3x см, BC = 4x см.

AB2 = AC2 + BC2; (2 · 15)2 = (3x)2 + (4x)2; 900 = 9x2 + 16x2; 25x2 = 900; x2 = 36; x = 6.

AC = 3 · 6 = 18 (см);

BC = 4 · 6 = 24 (см).

PΔABC = 30 + 18 + 24 = 72 (см).

Відповідь: 72 см.

10.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У ΔABC AB = BC, BD ⊥ AC, BD = 8 см;

AB : AC = 5 : 6, тоді AB = BC = 5x, AC = 6x.

AD = 1 2 AC = 6��∶ 2 = 3�� .

З ΔABD AB2 = BD2 + AD2; (5x)2 = 82 + (3x)2; 25x2 = 64 + 9x2; 25x2 – 9x2 = 64; 16x2 = 64; x2 = 4; x = 2.

AB = BC = 5 · 2 = 10 (см); AC = 6 · 2 = 12 (см).

PΔABC = 2 · 10 + 12 = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

11.

50 см і 80 см, починаючи

висоту трикутника, проведену до основи.

У △ABC AB = BC, BD ⊥ AC, AK — бісектриса, BK = 50 см, KC = 80 см.

властивістю бісектриси кута AB AC = BK KC = 50 80 = 5 8 ,

тобто AB = BC = 5x см, AC = 8x см. BC = BK + KC = 50 + 80 = 130 (см).

5x = 130; x = 26.

DC = 1 2 AC = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 26 = 104 (см).

З △BDC BD = �BC² CD² = �130² 104² = �(130 104)(130 + 104) = = √26 ⋅ 234 = √26 ⋅ 26 ⋅ 9 = 26 ⋅ 3 = 78 (см).

Відповідь: 78 см.

12. У трикутнику ABC AB = √2 см, BC = 2 см. На стороні AC позначено точку K

AK = KB = 1 см. Знайдіть довжину AC.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

У △ABC, AB = √2 см, BC = 2 см, AK = KB = 1 см. Проведемо KD ⊥ AB.

У рівнобедреному △ABK KD — висота і медіана.

DB = 1 2 AB = √2 2 (см).

cos ∠DBK = DB BK = √2 2 ∶ 1 = √2 2 , звідси ∠DBK = 45°.

∠A = ∠DBK = 45°, тоді ∠AKB = 90°.

З △ BCK cos ∠CBK = BK BC = 1 2 ;

∠CBK = 60°.

∠ABC = 45° + 60° = 105°.

Відповідь: 105°.

13. Бічні сторони

утворюють

ABCD — трапеція (BC ∥ AD),

AB = 9 см, BC = 15 см, CD = 12 см, AD = 30 см.

N — точка перетину продовжень

За умовою BC ∥ AD, BC = 1 2 AD,

тоді BC — середня лінія △AND.

AN = 2AB = 2 ⋅ 9 = 18 (см).

DN = 2CD = 2 ⋅ 12 = 24 (см).

AN2 = 182 = 324; DN2 = 242 =576;

AN2 + DN2 =324 + 576 = 900.

AD2 = 302 =900.

Отже, AD2 = AN2 + DN2 .

AND

90°.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

З ΔCDK KD = �CD² – CK² = �25² – 24² = �(25 – 24)(25 + 24) = √1 · 49 = 7 (см).

KB = KD + DB = 7 + 25 = 32 (см) (середина гіпотенузи рівновіддалена

трикутника).

З ΔBCK:

BC = �CK² + BK² = �24² + 32² = √576 + 1024 = √1600 = 40 (см).

З ΔABC:

AC = �AB² – BC² = �50² – 40² = �(50 – 40)(50 + 40) = √10 · 90 = √900 = 30 (см).

PΔABC = 50 + 30 + 40 = 120 (см).

Відповідь: 120 см. До

AK = 5 см, HK = 4 см, AH ⊥ HK

AH = �AK² – HK² = �5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 (см).

Відповідь:

AK ⊥ a, AB — похила, ∠ABK = 60°, AB = 12 см.

AK = AB sin 60° = 12 √3 2 = 6√3 (см).

BK = AB cos 60° = 12 1 2 = 6 (см).

Відповідь: 6√3 см, 6 см. 18. 3 точки, що

⊥ m, AK = 4 см —

m. AB = 5 см, ∠ACK = 45°.

З ΔABK BK = �AB² – AK² = �5² – 4² = √

(см). З △ACK CK = AK = 4 см (△ACK —

BC = BK + KC = 3 + 4 = 7 (см).

BC = KC – BK = 4 – 3 = 1 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

225x2 169x2 = 324 − 100; 56x2 = 224; x2 = 4; x = 2.

AB = 13 ⋅ 2 = 26 (см); AC = 15 ⋅ 2 = 30 (см).

AD = �169 ⋅ 2² – 100 = √676 − 100 = √576 = 24 (см).

Відповідь: 26 см, 30 см, 24 см.

20. Знайдіть меншу з висот

Менша сторона — це висота, проведена до більшої сторони: BD ⊥ AC.

Нехай AD = x см, тоді CD = (15 − x) см.

З △ABD BD2 = AB2 − AD2 = 42 − x2 = 16 − x2 .

З △BCD BD2 = BC2 − CD2 = 132 − (15 − x)2 = 169 –

. 16 − x2 = −56 + 30x − x2; 30x = 72; x = 2,4.

BD = �16 2,4² = �16 – 5,76 = √10,24 = 3,2 (см).

Відповідь: 3,2 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

PN = √MN 2 –MP 2 = √252 – 242 = �(25 24)(25 + 24) = √49 = 7 (см).

sin ∠M = PN MN = 7 25 ;

cos ∠M = PM MN = 24 25 ;

tg ∠M = PN MP = 7 24 .

. cos ∠B = BC AB = 15 17 ;

. tg ∠A = BC AC = 15 8 ;

. tg ∠B = C BC = 8 15 .

△ABD AB = BD sin α = 2R sin α;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 4R(sin α + cos α). 25.

Діагоналі ромба перпендикулярні, точкою

ромба.

У △ AOB AO = 1 2 AC = 1 2 ⋅ 10 = 5 (см).

∠ABO = 1 2 ∠B = 40°

З △ AOB AB = AO sin 40° = 5 0,6428 = 7,78 (см).

PABCD = 4AB = 4 ⋅ 7,78 = 31,11 (см).

Відповідь: 31,11 см.

26. У ΔABC ∠C = 90°, CK – висота, CA = b, ∠A = α.

1. З △ACK△ CK = AC sin ∠A = b sin α.

AK = AC cos ∠A = b cos α.

��. З △ ABC AB = AC cos �� = �� cos �� .

BK = AB – AK = �� cos �� – �� cos �� = ��(1 cos² �� ) cos �� .

Або розглянути △CKB.

∠B = 90° − α, тоді ∠KCB = α.

З △CKB tg ∠KCB = KB CK ;

KB = CK tg α = b sin α tg α.

Відповідь: b sin α, b sin α tg α.

27. У рівнобедреному трикутнику

Знайдіть бічну сторону.

У △ABC AB = BC, sin ∠A = sin ∠C = 0,96; AC = 28 см, BD ⊥ AC — висота і медіана,

AD = AC : 2 = 28 : 2 = 14 (см).

sin ∠A = BD AB = 0,96 = 96 100 = 24 25

Отже, BD : AB = 24 : 25. BD = 24x см, AB = 25x см.

CK і KB.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

З △ABD AB2 = BD2 + AD2; (25x)2 = (24x)2 + 142;

625x2 = 576x2 + 196; 49x2 = 196; x2 = 4; x = 2.

AB = 25 ⋅ 2 = 50 (см).

Відповідь: 50 см.

28.

ABCD — трапеція (AD ∥ BC), AD = 14 см, BC = 10 см.

∠A = 30°, ∠D = 60°.

Проведемо BK ⊥ AD і CP ⊥ AD — висоти, BK = CP. KP = BC =10 см (KBCP — прямокутник).

Тоді AK + PD = 14 – 10 =4 (см).

Нехай AK = x см, тоді PD = (4 – x) (см).

З △ ABK BK = AK tg ∠A = �� tg 30° = �� ⋅ √3 3 .

З △CPD CP = PD tg ∠D = (4 − x) tg 60° = (4 − x)√3. BK = CP,

3 3 = (4

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

x√3 = 12√3 3√3x;

4√3x = 12√3; x = 3.

Отже, AK = 3 см, PD = 1 см.

BK = 3 ⋅ √3 3 = √3 (см).

З △ACP AP = AK + KP = 3 + 10 = 13 см.

AC = �AP² + PC² = �13² + (√3)² = √169 + 3 = √172 = 2√43 (см).

З △KBD BD = �B��² + KD² = �(√3)² + (10 + 1)² = √3 + 121 = √124 = 2

Відповідь: √3 см, 2√43 см, 2√31 см. 30. З точки до прямої проведено

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Отже, AK = √3�� 4 . Відповідь: √3�� 2 або √3�� 4

31. Дано: ΔABC, ∠C = 90°. Доведіть, що sin2A + cos2A = 1. (

(sinA)2.)

Проведемо висоту CH до гіпотенузи.

З △ABC△ AC = AB ⋅ cos ∠A, BC = AB ⋅ cos ∠B.

З △ACH cos ∠A = AH AC ; AH = AC ⋅ cos ∠A.

Тоді AH = (AB ⋅ cos ∠A) ⋅ cos ∠A = AB ⋅ cos2 ∠A.

З △BCH BH = BC ⋅ cos ∠B = AB ⋅ cos2 ∠B.

AB = AH + BH. AB = AB ⋅ cos2 ∠A + AB ⋅ cos2 ∠B.

AB = AB (cos2 ∠A + cos2 ∠B); cos2 ∠A + cos2 ∠B = 1.

Зауважимо, що у △ABC sin ∠A = BC AB і cos

тому cos2 ∠A + sin2 ∠A = 1.

та кути:

1. AB = 7 см; ∠A = 19°;

2. AB = 20 дм; ∠B = 48°;

3. BC = 5 см; ∠B = 57°;

4. AC = 18 дм; ∠B = 32°.

1. ∠B = 90° − ∠A = 90° − 19° = 71°.

BC = AC sin ∠A = 7 sin 19° ≈ 7 ⋅ 0,3256 ≈ 2,28 (см).

AC = AB cos ∠A = 7 cos 19° = 7 ⋅ 0,9455 ≈ 6,62 (см).

2. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 48° = 42°.

BC = AB cos ∠B = 20 cos 48° ≈ 20 ⋅ 0,6691 ≈ 13,38 (см).

AC = AB sin ∠B = 20 sin 48° ≈ 20 ⋅ 0,7431 ≈ 14,86 (см).

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 57° = 33°.

AB = BC cos ∠B = 5 cos 57° ≈ 5 0,5446 ≈ 9,18 (см).

AC = BC tg ∠B = 5 ⋅ tg 57° ≈ 5 ⋅ 1,5399 ≈ 7,70 (см).

4. ∠A = 90° − ∠B = 90° − 32° = 58°.

BC = AC tg ∠B = 18 tg 32° ≈ 18 0,6249 ≈ 28,80 (дм).

AB = AC sin ∠B = 18 s�� 32° ≈ 18 0,5299 ≈ 33,97 (дм).

1. AC = 9 см; BC = 12 см;

2. AC = 7 дм; BC = 5 дм;

3. AB = 34 см; BC = 30 см;

4. AB = 8 дм ; AC = 7 дм.

1. AB = �AC² + BC² = �9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 (см).

tg ∠A = BC AC = 12 9 = 1,333; ∠A ≈ 53°8′.

∠B = 90° − ∠A = 36°52′.

2. AB = �AC² + BC² = �7² + 5² = √49 + 25 = √74 = 8,6 (дм).

tg ∠A = BC AC = 5 7 ≈ 0,7143; ∠A ≈ 35°32′.

∠B = 90° − ∠A = 54°28′.

3. AC = �AB² − BC² = �34² − 30² = √1156 − 900 = √256 = 16 (см).

sin ∠A = BC AB = 30 34 = 0,8824; ∠A ≈ 61°56′.

∠B = 90° − ∠A = 28°4′.

4. BC = �AB² BC² = �8² 7² = �(8 7)(8 + 7) = √15 = 3,87 (дм).

sin ∠B = AC AB = 7 8 = 0,875; ∠B = ≈ 61°3′.

∠A = 90° − ∠B = 28°57′.

34. Для

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Позначимо

Нехай AH = x м, тоді HB = (a − x) м.

З △ACH CH = l = AH tg α = x tg α.

З △CBH CH = l = HB tg β = (a − x) tg β

x tg α = (a − x) tg β;

x tg α = a tg β − x tg β;

x (tg α + tg β) = a tg β; �� = �� tg �� tg �� + tg �� . CH = l = �� tg �� tg �� + tg �� ⋅ tg α = �� tg�� tg�� tg�� + tg�� .

H.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

40.1. (Усно.) Які з рівнянь є квадратними:

1. x2 − 3x + 4 = 0 — квадратне ✔

2. x2 − 7x3 = 0 — є x3 (кубічне), не квадратне ✘

3. x2 + 1 �� 2 = 9 — після перетворення виходить рівняння 4 степеня, не квадратне ✘

4. 8x − x2 = 0 → −x2 + 8x = 0 — квадратне ✔

5. 5x − 4 = 3x + 7 → 2x − 11 = 0 — лінійне ✘

6. 1 − 5x2 = 0 → −5x2 + 1 = 0 — квадратне ✔

Відповідь: 1), 4), 6).

40.2. (Усно.) Серед квадратних рівнянь

1. 3x2 + 2x = 0 — c = 0 → неповне ✔

2. x2 − 5x + 6 = 0 — a = 1 → зведене ✔

3. 3x2 − 4x + 7 = 0 — повне, не зведене ✘

4. 5x2 = 0 — b = 0 і c = 0 → неповне ✔

5. 7x2 − 21 = 0 — b = 0 → неповне ✔

6. x2 − 1 2 x + 1 4 = 0 — a = 1 → зведене ✔

Відповідь:

а) неповні: 1), 4), 5).

б) зведені: 2), 6).

40.3. Випишіть коефіцієнти a, b і c квадратного рівняння:

1. а = 2; b = 3; с = –5;

2. а = 3; с = 9; b = 0;

3. а = –1; b = 3; с = 7;

4. а = 3; b = 0; с = 0;

5. а = –1; b = 7; с = 0;

6. а = –1; b = 4; с = 2.

40.4. Складіть

1) a = 3; b = 5; c = –2; 2) a = –1; b = 5; c = 0; 3) a = –4; b = 0; c = 0; 4) a = 13; b = 0; c = –39.

1. �� =3, �� =5, �� = 2,3�� 2 +5��− 2=0;

2. �� = 1, �� =5, �� =0, −�� 2 +5�� =0;

3. �� = 4, �� =0, �� =0, 4�� 2 =0; 4. �� = 13, �� =0, �� = 39,13�� 2 39 =0.

40.5.

1. (5��− 1)(5�� +1) = �� (7��− 13); 25

2. (2��− 3)2 =(�� +2)(��− 7); 4�� 2 12�� +9=

1. (2�� +3)(2��− 3) = �� (9��− 12); (2�� )2 − 32 =9�� 2 − 12�� ; 4�� 2 9�� 2 + 12��− 9=0; 5�� 2 + 12��− 9=0; 2. (4�� +1)2 =(��− 3)(

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. �� 2 +2�� =0; �� =0, �� = 2, бо ( 2)2 +2·( 2)=4 4=0;02 +2·0=0;

2. 5�� 2 =0; �� =0, бо 5·02 =0;

3. �� 2 −��− 6=0; �� = 2, бо ( 2)2 ( 2) 6=4+2 6=6 6=0;

4. �� 2 25 =0; �� = 5, �� =5, бо ( 5)2 25 = 25 25 =0; 52 − 25 = 25 − 25 =0.

40.10. Розв’яжіть рівняння:

1. 3�� 2 27 =0;3�� 2 = 27; �� 2 =9; ��1 = 3; ��2 =3.

Відповідь: 3;3

2. 3,7�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 .

3. 2�� 2 +8=0;2�� 2 = 8; �� 2 = 4.

Відповідь: рівняння розв'язків не мае.

4. 5�� 2 + 10 =0; 5�� 2 = 10; �� 2 =2; ��1 = √2; ��2 = √2.

Відповідь: √2; √2.

5. 5,7�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0

Відповідь: 0 . �� 1 9 �� 2 7 9 =0� · 9; �� 2 =7; ��1 = −√7; ��2 = √7.

Відповідь: √7; √7. 40.11. Знайдіть корені рівняння:

1. 2�� 2 2=0;2�� 2 =2; �� 2 =1; ��1 = 1; ��2 =1.

Відповідь: 1;1.

2. 3�� 2 +9=0;3�� 2 = −9; �� 2 = −3.

Відповідь: рівняння розв'язків не має.

3. 1,4�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 .

4. 7�� 2 + 21 =0; 7�� 2 = 21; �� 2 =3; ��1 = √3; ��2 = √3.

Відповідь: √3; √3.

5. 1,8�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0

Відповідь: 0 .

��. 1 7 �� 2 5 7 =0� ⋅ 7;

�� 2 =5; ��1 = √5; ��2 = √5.

Відповідь: √5; √5.

40.12. Знайдіть корені рівняння:

1. �� 2 +6�� =0; �� (�� +6)=0; �� =0 або �� +6=0; �� =0 або �� = 6.

Відповідь: 6;0.

2. 2�� 2 − 8�� =0;2�� (��− 4)=0; �� =0 або ��− 4=0; �� =0 або �� =4.

Відповідь: 0;4

3. 4�� 2 −�� =0; �� (4��− 1)=0; �� =0 або

4��−

Відповідь: 0; 1 4 .

4. 0,1�� 2 +2�� =0;

при �� =2, �� = 6.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

40.18.

�� 2 + �� + �� =0.; ��1 =1 i ��2 =3; � 12 + ��⋅ 1+ �� =0,

32 + ��⋅ 3+ �� =0; � 1+ �� + �� =0, 9+3�� + �� =0; � �� + �� = −1,

3�� + �� = 9; � ⋅ ( 1) � −��−�� =1, 3�� + �� = 9;� +

2�� = 8; �� = 4; 4+ �� = 1; �� = 1+4=3.

Відповідь: при �� = 4, �� =3.

40.19. Розв’яжіть рівняння:

1. (��− 2)(�� +3)= 6; �� 2 +3��− 2��− 6+6=0; �� 2 + �� =0; �� (�� +1)=0; �� =0 або �� +1=0; �� =0

або �� = −1.

Відповідь: 1;0. ��. 1 3 �� (�� +9)= 1 8 �� (��− 16)� ⋅ 24;

8�� (�� +9)=3�� (��− 16);

8�� 2 + 72�� =3�� 2 48�� ; 8�� 2 − 3�� 2 + 72�� + 48�� =0;5�� 2 + 120�� =0; �� 2 + 24�� =0; �� (�� + 24)=0; �� =0 або

�� + 24 =0; �� =0 або �� = 24

Відповідь: 24;0.

3. (3��− 1)2 =(��− 3)2 ;

9�� 2 6�� +1= �� 2 6�� +9; 9�� 2 −�� 2 6�� +6�� +1 9=0; 8�� 2 8=0; �� 2 =1; ��1 =1; ��2 = 1.

Відповідь: 1;1.

4. (2�� +1)(3��− 1)= �� (��− 2)+3 ��− 1 3�; 6�� 2 2�� +3��− 1= �� 2 2�� +3��− 1; 6�� 2 −�� 2 2�� +3�� +2��− 3��− 1+1=0; 5�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0.

40.20. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +3)(��− 5)= −15; �� 2 5�� +3��− 15 = 15; �� 2 2�� =0; �� (��− 2)=0; ��1 =0; ��2 =2∘

Відповідь: 0;2.

��. 2 3 �� (��− 3)= 1 2 �� (�� +4)� ⋅ 6

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4�� (��− 3)=3�� (�� +4);4�� 2 12�� =3�� 2 + 12�� ; �� 2 − 24�� =0; �� (��− 24)=0; ��1 =0; ��2 = 24.

Відповідь: 0; 24.

3. (2��− 3)2 =(3��− 2)2 ; 4�� 2 12�� +9=9�� 2 12�� +4; 5�� 2 =5; �� 2 =1; ��1 = 1; ��2 =1.

Відповідь: 1;1.

4. (5�� +1)(2��− 1)= �� (�� +3) 6 �� + 1 6�; 10�� 2 5�� +2��− 1= �� 2 +3��− 6

1; 10�� 2 −�� 2 5�� +2�� +6��− 3��− 1+1=0; 9�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0.

40.21. Для яких

x(x + 2)?

x

(3��− 1)(�� +4)+4= �� (�� +2); 3�� 2 + 12��−��− 4+4= �� 2 +2�� ; 3�� 2 −�� 2 + 12��−��− 2�� =0;2�� 2 +9�� =0; �� (2�� +9)=0; �� =0 або 2�� +9=0; �� =0

2�� = 9; �� =0 або �� = 4,5.

Відповідь: при �� =0 або при �� = 4,5.

40.22. Для яких значень x значення

x(x – 4)?

(2�� +1)(�� +3) 3= �� (��− 4);

2�� 2 +6�� + �� +3= �� 2 − 4�� +3;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. 600 · (100% − 80%) = 600 · 20% = 600 · 0,2 = 120 (Вт) —

120 · 10 = 1200 (Вт) — енергозберігаючі щодня;

1200 · 5 = 6000 (Вт) — енергозберігаючі

600 · 10 = 6000 (Вт) —

6000 · 5 = 30000 (Вт) — звичайні за тиждень; 30000 − 6000 = 24000 (Вт) — заощадити протягом

2. 1 кВт·год = 3,6 грн

24000 Вт = 24 кВт

24 кВт · 3,6 грн

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4.

1.

2.

3.

41.3. (Усно.) Чи правильно записано дискримінант

1. Hi,D=32 =4·2·( 1);

2. так, D=( 4)2 4·3·2;

3.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��1 = 5+1 2 = 6 2 =3; ��2 = 5 1 2 = 4 2 =2.

Відповідь: 2; 3.

2. 2�� 2 +5��− 3=0;

D=52 4·2·( 3)= 25 + 24 = 49;

��1 = 5+7 4 = 2 4 = 1 2 =0,5;

��2 = 5 7 4 = 12 4 = 3.

Відповідь: 0,5; 3.

3. 3�� 2 +5�� +2=0; D=52 4·3·2= 25 24 =1;

��1 = 5+1 6 = 4 6 = 2 3 ;

��2 = 5 1 6 = − 6 6 = −1.

Відповідь: 2 3 ; 1.

4. �� 2 + 10�� + 25 =0; D= 102 4·1· 25 = 100 100 =0; �� = −10 2 = 5.

Відповідь: –5 .

5. �� 2 + ��− 90 =0; D=12 4·1· ( 90) =1+ 360 = 361; ��1 = 1+ 19 2 = 18 2 =9; ��2 = 1 19 2 = 20 2 = 10.

Відповідь: 10;9.

6. �� 2 10��− 24 =0; D=( 10)2 4·1·( 24)= 100 + 96 = 196;

��1 = 10 + 14 2 = 24 2 = 12; ��2 = 10 14 2 = 4 2 = 2.

Відповідь: –2; 12.

41.7. Розв’яжіть рівняння:

Розв’яжіть рівняння: 1. 10�� 2 =5�� +0,6; 10�� 2 5��− 0,6=0; 100�� 2 50��− 6=0; 50�� 2 25��− 3=0; D=( 25)2 4· 50 ·( 3)= 625 + 600 = 1225;

2. �� 2 +3=4�� ; �� 2 − 4�� +3=0; D=( 4)2 4·1·3= 16 12 =4;

1;3.

3. �� 2 +5�� = 6; �� 2 +5�� +6=0; D=52 − 4·1·6= 25 − 24 =1; ��1 = 5+1 2 ⋅ 1 = 4 2 = 2; ��2 = 5 1 2 = 6 2 = 3. Відповідь: 3; 2.

4. 1 4�� =5�� 2 ;5�� 2 +4��− 1=0; D=42 4·5·( 1)= 16 + 20 = 36; ��1 = 4+6 10 = 2 10 =0,2; ��2 = 4 6 10 = − 10 10 = −1. Відповідь: 1;0,2.

��

1 9 . 6. 3�� =5��2 − 2;5��2 − 3��− 2=0;

��2 = 8 6 2 = 14 2 = 7.

Відповідь: 7; 1.

3. 7�� = �� 2 + 12; �� 2 7�� + 12 =0

D=(−7)2 − 4·1· 12 = 49 − 48 =1 ��1 = 7+1 2 = 8 2 =4; ��2 = 7 1 2 = 6 2 =3

Відповідь: 3; 4.

4. 4�� =4�� 2 +1;4�� 2 4�� +1=0; D=(−4)2 =4·4·1= 16 − 16 =0 �� = −�� 2�� = 4 8 = 1 2 =0,5.

Відповідь: 0,5.

x2 + 2x і 0,5x + 2,5

1. �� 2 +4��− 5=0; D=42 4·1·( 5)= 16 + 20 = 36; ��1 = 4+6 2 = 2 2

5;1

2. �� 2 − 3�� =0,5�� +4,5; �� 2 − 3��− 0,5��− 4,5=0; �� 2 3,5��− 4,5=0 ∣· 10; 10�� 2 35��− 45 =0 ∣:5;2�� 2 7��− 9=0; D=( 7)2 4·2·( 9)= 49 + 72 = 121; ��1 = 7+ 11 4 = 18 4 = 9 2 =4,5; ��2 = 7 − 11 4 = 4 4 = 1.

Відповідь: 1;4,5.

3. 4+2��−�� 2 =4�� 2 6��; 4�� 2 + �� 2 − 6��− 2��− 4=0;5�� 2 − 8��− 4=0; D=( 8)2 4·5·( 4)= 64 + 80 = 144; ��1 = 8+ 12 10 = 20 10 =2; ��2 = 8 12 2 ⋅

0,4;2 41.12. Розв’яжіть рівняння: ��. (��− 3)2 =2��− 3; �� 2 6�� +9 2�� +3=0; �� 2 8�� + 12 =0; D=( 8)2 4·1· 12 = 64 48 = 16; ��1 = 8+4 2 = 12 2 =6; ��2 = 8 4 2 = 4 2 =2.

Відповідь: 2; 6.

2. 3(�� +1)2 =2�� +2;3(�� 2 +2�� +1) =2�� +2; 3�� 2 +6�� +3 2��− 2=0;3�� 2 +4�� +1=0; D=42 4·3·1= 16 12 =4; ��1 = 4+2 6 = − 2 6 = − 1 3 ; ��2 = 4 2 6 = 6 6 = 1.

Відповідь: 1 3 ; 1

�� (�� +3)(��− 1)=2�� (��− 2)+5;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

�� 2 −�� +3��− 3=2�� 2 4�� +5; 2�� 2 −�� 2 − 4�� + ��− 3�� +5+3=0; �� 2 6�� +8=0;

D=( 6)2 4·1·8= 36 32 =4; ��1 = 6+2 2 = 8 2 =4; ��2 = 6 2 2 = 4 2 =2.

Відповідь: 2 ; 4.

4. �� (��− 3) (��− 5)(�� +5)=(�� +1)2 ; �� 2 3��− (�� 2 25) = �� 2 +2�� +1; �� 2 3��−�� 2 + 25 −�� 2 2��− 1=0; −�� 2 5�� + 24 =0; �� 2 +5��− 24 =0; D=52 4·1· ( 24) = 25 + 96 = 121; ��1 = 5+ 11 2 = 6 2 =3; ��2 = 5 11 2 = 16 2 = 8.

Відповідь: 8;3.

41.13. Розв’яжіть рівняння:

1. (�� +2)2 =2�� +3; �� 2 +4�� +4=2�� +3; �� 2

2�� = 2 2 = 1. Відповідь: –1 .

2. 5(��− 2)2 =3��− 6; 5(�� 2 4�� +4) 3�� +6=0; 5�� 2 − 20�� + 20 − 3�� +6=0; 5�� 2 23�� + 26 =0; D=(

��2 = 17 23 2 ⋅ 3 = 6 6 = 1. Відповідь: 1;6 2 3

��. �� +1 2 + �� 2 1 5 =1 ⋅ 10; 5(�� +1)+2(�� 2 1) = 10; 5�� +5+2�� 2 2 10 =0;2�� 2 +5��− 7=0; D=52 4·2·( 7)= 25 + 56 = 81;

41.17. Розв’яжіть рівняння:

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

− 2<0, то − 2 не �� коренем рівняння.

1;4.

. �� 2 3�� 2 |�� | 4=0; ОДЗ: ��≠ 0.

Якщо �� >0, то �� 2 3�� 2 �� 4=0; �� 2 3��− 4=0; D=32 4·1·( 4)=9+ 16 = 25; ��1 = 3+5 2 = 8 2 =4; ��2 = 3 5 2 = 2 2 = 1<0,

–1 не є коренем рівняння.

Якщо �� <0, то �� 2 3�� 2 −�� 4=0; �� 2 +3��− 4=0; D=32 4·1·( 4)=9+

1>0, то 1 неєкоренем рівняння. Відповідь: –4; 4.

3. �� |�� | +3��− 4=0. a) Якщо ��≥ 0, то

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. (√�� 3)(�� 2 −��− 6) =0; ОДЗ: ��≥ 0.

а) √�� 3=0; √�� =3;(√�� )2 =32 ; �� =9;

б) �� 2 −��− 6=0;

D=( 1)2 4·1·( 6)=1+ 24 = 25;

��1 = 1+5 2 = 6 2 =3; ��2 = 1 5 2 = − 4 2 = −2.

Оскільки 2<0, то –2 не є коренем рівняння.

Відповідь: 9; 3.

2. �� 2 − 2�� 2 |��| − 3=0; одз: ��≠ 0. а) Якщо �� >0, то �� 2 2��− 3=0; D=( 2)2 4·1·( 3)=4+ 12 = 16; ��1 = 2+4 2 =3; ��2 = 2 4 2 = 1. Оскільки 1<0, то –1 не є коренем рівняння. б) Якщо �� <0, то �� 2 +2��− 3=0; D=22 4·1·( 3)=4+ 12 = 16; ��3 = 2+4 2 = 2 2 =1; ��4

3;3

3. �� |�� | 4��− 5=0.

а) Якщо ��≥ 0, то �� 2 4��− 5=0; D=( 4)2 4·1·( 5)= 36; ��1

Якщо �� <0, то −�� 2 − 4��− 5=0; �� 2 +4�� +5=0; D=42 4·1·5= 16 20 = 4<0.

· ��1 =3·( 2)= 6.

2. �� 2 +6�� +8=0; D=62 4·1·8= 36 32 =4;

= 6+2 2 = 4 2 = 2;

= 6 2 2 = 8 2 = 4;

+ ��2 = 2+( 4)= 6

7 або 3.

22�� + 65 = �� 2 .

Тоді �� =2�� + ��. Маємо 22�� + 65 = (2�� + ��)2 ; 22�� + 65 =22�� +2��⋅ 2�� + �� 2 ; 2��⋅ 2�� + �� 2 = 65. Звідси ��≤ 5.

3. Розглядаємо по черзі. �� =1;22⋅1 + 65 = 69; �� =2;22⋅2 + 65 = 81 =92 ; тоді �� =4; �� =3;22⋅3 + 65 = 129; �� =4;22⋅4 + 65 = 321;

�� =5;22⋅5 + 65 = 1089 = 332 ; тоді �� = 10

Відповідь: �� =4; �� = 10.

. �� 2 15�� + 14 =0; ��1 + ��2 = 15, ��1 ⋅��2 = 14; ��. �� 2 + 12��− 28 =0; ��1 + ��2 = 12, ��1 ⋅��2 = −28;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 2;3.

2. �� 2 +6�� +8=0;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

+ ��2 = 6, ��1 = 2, ��1 ⋅��2 =8; ��2 = −4.

Відповідь: 2;4

3. �� 2 6��− 7=0;

+ ��2 =6, ��1 =7, ��1 ⋅��2 = 7; ��2 = 1.

Відповідь: 1;7.

4. �� 2 +3��− 4=0; ��1 + ��2 = 3, ��1 = 4, ��1 ⋅��2 = 4; ��2 =1.

Відповідь: 4;1.

5. �� 2 17�� + 42 =0;

+ ��2 = 17, ��1 = 14, ��1 ⋅��2 = 42; ��2 =3.

Відповідь: 3; 14.

6. �� 2 5��− 24 =0;

��1 + ��2 =5, ��1 = 3, ��1 ⋅��2 = 24; ��2 =8.

Відповідь: 3;8

42.10. Знайдіть підбором

1. �� 2 5�� +4=0;

��1 + ��2 =5. ��1 =1, ��1 ⋅��2 =4; ��2 =4.

Відповідь: 1;4

2. �� 2 −��− 6=0;

��1 + ��2 =1; ��1 =3, ��1 ⋅��2 = 6; ��2 = 2.

Відповідь: 2;3.

3. �� 2 +4�� +3=0;

��1 + ��2 = 4, ��1 = 1, ��1 ⋅��2 =3; ��2 = 3.

Відповідь: 3; 1.

4. �� 2 12�� + 27 =0;

��1 + ��2 = 12, ��1 =3, ��1 ⋅��2 = 27; ��2 =9.

Відповідь: 3; 9 .

5. �� 2 + ��− 6=0;

��1 + ��2 = 1, ��1 = 3

��1 ⋅��2 = 6; ��2 =2

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: −3;2.

6. �� 2 +9��− 22 =0; ��1 + ��2 = 9, ��1 = 11, ��1 ⋅��2 = −22; ��2 =2.

Відповідь: 11;2

24.11. Доведіть, що рівняння 12x2 + 17x – 389 = 0 не може мати коренів, що є

12�� 2 + 17��− 389 =0. ��1 ⋅��2 = − 389 12 <0.

1.

2. �� 2 12��− 1=0; D=(−12)2 =4·1·(−1)= 144 +4= 148 >0;

+ ��2 = 12,

⋅��2 = 1; ��1 >0, ��2 <0;

3. 3�� 2 + 14��− 7=0; D= 142 4·3·( 7)= 196 + 84 = 280 >0;

+ ��2 = 14 3 , ��1 ⋅��2 = 7 3 ; ��1 >0, ��2 <0;

4. 4�� 2 7�� +2=0; D=( 7)2 4·4·2= 49 32 = 17 >0;

+ ��2 = 7 4 , ��1 ⋅��2 = 1 2 ; ��1 >0, ��2 >0.

1. �� 2 13��− 2=0;

D=( 13)2 4·1·( 2)>0;

+ ��2 = 13,

⋅��2 = 2; ��1 >0, ��2 <0;

2. �� 2 + 17�� +1=0; D= 172 4·1·1= 289 4= 285 >0;

+ ��2 = 17, ��1 ⋅��2 =1; ��1 <0, ��2 <0;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

3. 5�� 2 14�� +1=0; D=(−14)2 − 4·1·5= 196 − 20 = 176 >0;

+ ��2 = 14 5 , ��1 ⋅��2 = 1 5 ; ��1 >0, ��2 >0;

4. 3�� 2 +7��− 18 =0; D=72 4·3·( 18)= 49 + 216 = 265 >0;

+ ��2 = 7 3 , ��1 ⋅��2 = −18; ��1 >0, ��2 <0.

42.14.

�� 2 +6�� + �� =0; ��1 = −3,5.

теоремою Вієта: ��1 + ��2 = 6; 3,5+ ��2 = 6; ��2 = 2,5; �� = ��1 · ��2 =( 3,5)·( 2,5)=8,75

��2 = 2,5; �� =8,75.

�� 2 + �� 9=0, ��1 =1,5.

+ ��2 =

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

2 5 8 �� + 1 16 =0� ⋅ 16; 16�� 2 10�� +1=0.

3. ��1 = −√7; ��2 = √7, то ��1 + ��2 = √7 + √7 =0; ��1 ��2 =( √7) ⋅ (√7)= 7.

рівняння: �� 2 6�� +2=0.

42.22.

x2 – 3x – 9 = 0 �� 2 3��− 9=0; � ��1 + ��2 =3, ��1 ⋅��2 = −9; (��1 +2) + (��2 +2) =3+4=7; (��1 +2) · (��2 +2) = ��1 ��2 +2��1 +2��2 +4= ��1

) +4= = 9+2·3+4= 9+ 10 =1.

Отже, �� 2 7�� +1=0.

Відповідь: �� 2 7�� +1=0.

42.23. Складіть квадратне рівняння,

рівняння x2 + 2x – 7 = 0. ��2 +2��− 7=0; ��1 + ��2 = 2, ��1 ⋅��2 = −7; (��1 3) + (��2 3) = 2 6= 8; (��1 3) · (��2 3) = ��1 ��2 3��1 3��2

= 7 3· ( 2) +9= 7+6+9= 1+9=8.

Отже, �� 2 +8�� +8=0.

Відповідь: �� 2 +8�� +8=0.

одне з чисел

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

з них становить 81. Знайдіть ці числа. Нехай менше з чисел – �� , більше −�� +3 За умовою

�� 2 +6�� +9 −�� 2 = 81;

6�� = 72; �� = 12.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

�� (��− 5)= 204; �� 2 5��− 204 =0. D=( 5)2 4·2·( 204)= 25 + 816 = 841;

��1 = 5+ 29

Відповідь: 12; 17.

3 більше за друге.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

��2 = −3−21 2 = 12 — не

�� +3=9+3= 12;

P=2· (9+ 12) = 42 (см).

Відповідь: 42 см.

43.4. Ділянку прямокутної форми,

рівняння: �� (�� + 10)= 375; �� 2 + 10��− 375 =0; D= 102 +4· 375 = 100 + 1500 = 1600;

√D = 40; ��1 = 10 + 40 2 = 30 2 = 15 (м)

одна сторона прямокутника; ��2 = 10 40 2 <0

задовольняє умові задачі. �� + 10 = 15 + 10 = 25; P=(15 + 25)·2= 40 ·2= 80 м

Відповідь: 80 м.

43.5. Сума двох сусідніх сторін

прямокутника.

сторони.

рівняння:

(�� +1)= �� +(�� +1)+ 181;

14; 15.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

число. �� 3 +(12 −�� )3 = 468; (�� + 12 −�� )(�� 2 −�� (12 −�� )+(12 −�� )2 ) = 468

12(�� 2 − 12�� + �� 2 + 144 + �� 2 − 24�� ) = 468; 12(3�� 2 36�� + 144) = 468;

3�� 2 36�� + 144 = 39;

3�� 2 36�� + 144 39 =0; 3�� 2 − 36�� + 105 =0 ∣:3; �� 2 − 12�� + 35 =0; ��1 =5, 12 −�� = 12 − 5=7 або ��2 =7,12 −�� = 12 − 7=5.

5 і 7. 43.14.

�� 2 +(22 −�� )2 = 244;

�� 2 + 484 − 44�� + �� 2 = 244;

�� 2 + 484 44�� + �� 2 244 =0;

2�� 2 44�� + 240 =0; �� 2 22�� + 120 =0; D=( 22)2 4·1· 120 = 484 480 =4;

√D =4;

��1 = 22 +2 2 = 24 2 = 12; ��2 = 22 2 2 = 20 2 = 10;

22 −�� = 22 12 = 10 або

22 −�� = 22 10 = 12.

10 см і 12 см.

43.16. Фотокартку розміром 10 · 15 (у см)

204 см2.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(6 − 2�� )(8 − 2�� ) = 15;

48 12��− 16�� +4�� 2 15 =0;

4�� 2 28�� + 33 =0; D=( 28)2 4·4· 33 = 784 528 = 256;

√D = 16;

��1 = 28 + 16 8 = 44 8 =5,5

(умові задачі не задовольняє);

��2 = 28 16 2 = 12 8 =1,5.

Відповідь: 1,5 м.

43.18. На шаховому

��0 = 2,8 0,4 = 28 4 =7;

3. 4,25 1,8=2,45;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

4. 7��− 5�� 2 =2,45;5�� 2 7�� +2,45 =0;

D=(−7)2 − 4·5·2,45 = 49 − 49 =0;

�� = 7 10 =0,7.

через 0,7 c.

1. Якщо �� =2 с, то ��0 ·2 − 5·22 = 40; 2��0 = 40 + 20;2��0 = 60; ��0 = 30.

2. 30��− 5�� 2 = 44,2;5�� 2 30�� + 44,2=0;

D=( 30)2 4·5· 44,2= 900 884 = 16; √D =4; ��1 = 30 +4 10 = 34 10 =3,4; ��2 = 30 4 10 = 26 10 =2,6.

6(6 − x) − x(6 − x) = 9

(6 − x)(6 − x) = 9

(6 − x)2 = 9

6 − x = 3 x = 3

Відповідь: 3 л.

43.24. Знайдіть корені рівняння:

1. 3�� 2 12 =0;3�� 2 = 12; �� 2 =4; ��1 = 2; ��2 =2.

Відповідь: –2; 2.

2. 5�� 2 9�� =0; �� (5��− 9)=0; �� =0 або

5��− 9=0; �� =0 або 5�� =9; �� =0 або �� = 9 5 =1 4 5 =1,8.

Відповідь: 0; 1,8.

3. 3�� 2 + 10�� +3=0; D= 102 4·3·3= 100 36 = 64;

= −10 − 8 6 = 18 6 = 3. Відповідь: 3; 1 3 .

4.

5

теоремою Вієта: ��1 + ��2 =2, ��1 ��2 = 168. Звідки ��1 = 14; ��2 = 12 не є розв'язком рівняння.

В.

7. Для

9. Дано три

1. 2�� 2 18 =0; 2�� 2 = 18; �� 2 =9; ��1 =3; ��2 = 3.

��

: �� (�� +4) = 192; �� 2 +4��− 192 =0. D=42 4 ⋅ ( 192)= 784; √D = 28; ��1 = 4+ 28 2 = 12; ��2

a = x = 12 (см), b = x + 4 = 12 + 4 = 16 (см).

�� +b)=2(12 +

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

зразком: ax2 + bx + c = 0, 2x2 – 1x + 5 = 0:

1. 7x2 - 3x + 5 = 0;

2. -2x2 + 1x – 4 = 0;

3. 3x + 1x2 – 7 = 0;

4. 3x2 = 0;

5. 2x2 – 7 = 0;

6. 2x + 5x2 = 0.

2. Розв’яжіть рівняння:

1. 1,8�� 2 =0; �� 2 =0; �� =0.

Відповідь: 0 .

2. 2�� 2 32 =0;2�� 2 = 32; �� 2 = 16; �� =±4. Відповідь: 4;4

3. 5�� 2 − 7�� =0; �� (5��− 7)=0; �� =0

�� = 7 5 =1 2 5 =1,4;

0; 1,4.

4. −�� 2 9=0; −�� 2 =9; �� 2 = 9<0 Відповідь: рівняння

16;0 6. 3�� 2 15 =0;3�� 2 = 15; �� 2 =5; �� =±√5. Відповідь: √5; √5 3.

2(2�� 2 3�� ) +4(�� +4)= �� + 16; 4�� 2 − 6�� +4�� + 16 −��− 16 =0; 4�� 2 3�� =0; �� (4��− 3)=0; ��− 0 або 4��− 3=0; �� =0 або �� = 3 4 .

Відповідь: 0; 3 4 .

5. Довжина прямокутника у

якщо його площа 54 см2

Нехай �� см – ширина прямокутника, тоді

рівняння:

�� ·1,5= 54;1,5�� 2 = 54;

�� 2 = 54 1,5 = 540 15 = 36; �� =±6; �� = 6 (умові задачі не задовольняє).

1,5�� =1,5·6=9; P=(6+9)·2= 15 ·2= 30(см).

Відповідь: 30 см.

6. Для яких значень a число 3 є коренем рівняння:

1. �� ·32 7·3+ (�� 2 + 21) =0; 9��− 21 + �� 2 + 21 =0 �� 2 +9�� =0; �� (�� +9) =0; �� =0 або �� +9=0; �� =0 або �� = 9.

Відповідь: –9 .

2. 32 + (�� 2 4) ·3 9=0; 9+3�� 2 12 9=0; 3�� 2 12 =0; �� 2 4=0; �� 2 =4; �� =±2.

Відповідь: –2; 2.

7. Для яких значень a рівняння:

1. �� 2 (4��− 5)�� =0; �� − (4��− 5)� =0;

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. �� =1,25;2 �� >0

1. �� 2 +7��− 8=0;

3. �� 2 2�� +1=0;D=( 2)2 4·1·1=0,

4. 7�� 2 + ��− 1=0;D=12 4·7·( 1)=1+ 28 = 29 >0,2 корені.

1. �� 2 +7��− 8=0; D=72 4·1·( 8)= 49 + 32 = 81 >0; ��1 = 7+9 2 = 2 2 =1; ��2 = 7 9 2 = 16 2 = 8.

Відповідь: 8;1

2. 16�� 2 − 8�� +1=0; (4��− 1)2 =0;4��− 1=0; 4�� =0; �� = 1 4 .

Відповідь: 1 4

3. 2�� 2 −��− 3=0; D=( 1)2 4·2·( 3)=1+ 24 = 25; ��1 = 1+5 4 = 6 4 = 3 2 =1,5; ��2 = 1 5 4 = 4 4 = 1.

Відповідь: 1;1,5.

4. �� 2 +3��− 10 =0; D=32 − 4·1· (−10) = 49 >0; ��1 = 3+7 2 = 4 2 =2;

��2 = 3 7 2 = 10 2 = 5.

Відповідь: 5;2

5. �� 2 +4�� +7=0; D=42 4·1·7= 16 28 <0;

Відповідь: рівняння

6. 2�� 2 +5��− 3=0; D=52 4·2· ( 3) = 25 + 24 = 49;

��1 = 5+7 4 = 2 4 = 1 2 ;

��2 = −5+7 4 = 12 4 = 3.

Відповідь: 3;0,5.

10. Розв’яжіть рівняння:

1. �� 2 =6��− 7; �� 2 6�� +7=0; D=( 6)2 4·1·7= 36 28 =8; ��1

Відповідь: 3± √2.

2. �� 2 +7�� = 12; �� 2 +7�� + 12 =0; D=72 4·1· 12 = 49 48 =1>0; ��1 = 7+1

�� = 1 5 0,2 Відповідь: 0,2.

4. 2 − 9�� =5�� 2 ;5�� 2 +9��− 2=0; D=92 4·5·( 2)= 81 + 40

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

A( 1,5;2,25) та B(2;4) – точки

Отже, ��1 = −1,5, ��2 =2; �� 2 =0,5�� +3; �� 2 − 0,5��− 3=0;

10�� 2 5��− 30 =0;2�� 2 −��− 6=0; D=( 1)2 4·2·( 6)=1+ 48 = 49;

��1 = 1+7 2 = 8 4 =2; ��2 = 1 7 2 = 6 4 = 3 2 = 1,5.

Відповідь: 1,5;2. 12. Розв’яжіть рівняння: 1. 5(��− 2) = (3�� +2)(��− 2);

5��− 10 =3�� 2 6�� +2��− 4;

3�� 2 4��− 5��− 4+ 10 =0; 3�� 2 9�� +6=0;3�� 2 9�� +6=0 ∣:3; �� 2 3�� +2=0; D=( 3)2 4·1·2=9 8=1, ��1 = 3+1 2 = 4 2 =2; ��2 = 3 1 2 = 2 2 =1.

Відповідь: 1;2.

=5 2√15; Відповідь:

= �� 2 та �� =0,5�� +3.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

1. �� 2 +2�� + �� =0;

D=(2��)2 4·1· �� =4��2 4�� ; 4��2 4�� =0;4��(��− 1) =0; �� =0 або ��− 1=0; �� =0 або �� =1

Відповідь: 0;1.

2. �� 2 − 4�� +2=0;

D=( 4)2 4·2�� = 16 8��; 16 8�� =0;8�� = 16; �� =2

Відповідь: при �� =2.

14. Доведіть, що для будь-якого a

2�� 2 + �� 3=0.

D= �� 2 4·( 4)·2= �� 2 + 24 Оскільки �� 2 + 24 >0 при будь–якому �� , то рівняння 2�� 2 + ��

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

(�� +5)=0, (�� +6)(��− 1)=0; �� =0, �� = −5, �� = 6, �� =1.

Відповідь: 6; 5; 01.

2 ‖�� 2 5�� +1| 4|=3; � |�� 2 5�� +1| 4=3, |�� 2 5�� +1| 4= 3; �|�� 2 5�� +1|= 3+4, |�� 2 5�� +1|=3+4; � |�� 2 5�� +1| =1, |�� 2 5�� +1| =7;

⎢ ⎢ ⎡ �� 2 5�� +1= 1, �� 2 5�� +1=1, �� 2 − 5�� +1= −7, �� 2 − 5�� +1=7; ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ �� 2 5�� +2=0, �� 2 5�� =0, �� 2 − 5�� +8=0, �� 2 − 5��− 6=0;

1) �� 2 5��− 6=0; �� 2 5�� +8=0; D=( 5)2 4·1·2= 25 8= 17; �� = 5± √17 2 ; 2) �� 2 5�� =0; �� (��− 5)=0; �� =0 або �� =5;

3) �� 2 +5�� +8=0; D=( 5)2 4·1·8= 25 32 = 7<0.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Маємо 2m · 3m = 54; m2 = 9. Враховуючи m > 0, отримаємо m = 3.

Тоді x1 = 6; x2 = 9 і p = −(x1 + x2) = −(6 + 9) = −15.

Відповідь: p = −15; x1 = 6; x2 = 9. 22. Один

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Оскільки PАВС = 30 см, то

рівняння:

(15 −�� )= 54; 15��−�� 2 54 =0; �� 2 15�� + 54 =0. ��1 =6; ��2 =9; 15 −�� = 15 6=9 або 15 −�� = 15 9=6.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Відповідь: 9; 10; 11 або −11; −10; −9.

10; 11; 12; 13; 14

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

= 110 150 = 11 15 ;

= 100 10

= 90 150 = 9 15 = 3 5 =0,6; 1,5�� =1,5 ⋅ 11 15 = 15 10 ⋅ 11 15 = 11 10 =1,1 або 1,5�� =1,5·0,6=0,9 V= 11 15 ⋅ 1,1 ⋅ 0,4= 11 15 ⋅ 0,44 = 11 15 ⋅ 4411 10025 = 121 375 (м3 )

або V=0,5·0,9·0,4=0,216(м3 )

Відповідь: 121 375 (м3 ) або 0,216 м3 . 32.

Нехай AB =2�� см, BC =2�� см, MK =2��− 10 см, NP = ��− 10 см, тоді V=(2��− 10)(��− 10)·5= 10500;

(2��− 10)(��− 10)·5= 10500:5; (2��− 10)(��− 10)·5= 2100;

2�� 2 20��− 10�� + 100 2100 =0; 2�� 2 30��− 2000 =0; �� 2 15��− 1000 =0.

D=( 15)2 4·1·( 1000)= 225 + 4000 = 4225; ��1 = 15 + 65 2 = 80 2 = 40; ��2 = 15 65 2 <0 (умові задачі не задовольняє). 2�� = 40 ·2= 80 (см).

Відповідь: 40 см і 80 см.

https://shkola.in.ua/3363-hdz-matematyka-8-klas-ister-2.html

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook