https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) m + n сума m і n; б) m − x різниця m і x;
в) 1 : c частка одиниці на c;
г) 2ax добуток 2, a і x;
ґ) 1 2 (x + y)
д) 2 3 (x − 2) добуток двох третіх та різниці x і 2.
2. Які із записів є виразами?
А. 2аx − х.
3. Який з виразів є виразом зі змінною?
А. 37а − 2,4.
4. Знайди значення
2х − 2 = 4;
2х = 4 + 2;
2х = 6;
х = 3.
5. Довжини сторін
картини;
2(a + b) − периметр рамки картини; a + b − напівпериметр.
6.
a) 5 + 7 = 12;
б) 8 – (–3) : 2 = –11 : 2 = –5,5;
в) 15 : (–4) = –60; г) 12 : 4 = 3.
8. Запишіть у
чисел 38 і 7,6; в) добуток суми чисел
a) 7,4 • 0,5 • 2 = 74; б) 3,8 – 7,6 = 31,4; в) (3,8 + 12) • (3,8 – 12) = 50 • 26 = 130.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (x + y) : 2; ґ) (а − х) : 2;
д) 2 · (а · х).
11. Знайдіть значення виразу:
а) 0,5х − 3, якщо х = 10, то 0,5 · 10 − 3 = 5 − 3 = 2;
б) х + 97, якщо х = −10, то −10 + 9,7 = 0,3;
в) х(x + 2), якщо х = 0,5, то 0,5 · (0,5 + 2) = 0,5 · 0,25 = 1,25;
г) 3х(5 − x), якщо х = −2,5, то 3 · (−2,5) · (5 + 2,5) = −7,5 · 7,5 = 56,25.
12. Знайдіть значення виразу: а) а + с − 3, якщо а = 2 і с = 7,5, то 2 + 7,5 − 3 = 6,5; б) 2х − 3z + 1, якщо х = 1 і z = 1 3, то 2 · 1 −
2ху(х − у), якщо х = 2 і у = 5, то 2 · 2 · 5 · (2 − 5)
а) а · 10 + 6;
б) 5 · 10 + b;
в) m · 10 + n;
г) а · 100 + c.
16. Запиши у
a) 10m + n; б) 100a + c в) 1000d + 100c + a
17. ГРА
18. Знайдіть значення виразу: а) (2,75 − 0,65 : 2,6) · 4 − 1 = (2,75 − 0,25) · 4 − 1 = 2,5 · 4 − 1 = 10 − 1
5 − (0,8 + 15,15 : 7,5) = 5 − (0,8 +
в) (2 5 − 3 10 + 1 1 20) · 12 3
=
=
3,18 − (0,13 + 4,27 : 1,4) = 3,18 − (0,13 + 3,05) = 3,18 − 3,18 = 0;
5,9 − (6,3 : 3,5 5,6) = 5,9 − (1,8 − 5,6) = 5,9 + 3,8 = 9,7;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) (1 5 + 1 10 + 12 2 15) : 1 15 = ( 3 10 + 12 2 15) : 1 15 = (12 + 9 + 4 30 ) : 1 15 = 1213 30 : 1 15 = 373 15 30 · 1 = 186,5;
г) (7,344 : 0,36 + 161 4 : 5 – 0,5 · 0,2) · 0,08 = (20,4 + 65 1 4 5 − 0,1) · 0,08 = = (20,4 + 13 5 0,1) · 0,08 = (20,4 + 3,25 − 0,1) · 0,08 = (23,65 − 0,1) · 0,08 = 1,884.
20. Для яких значень х дорівнюють
а) 3(х + 1) − 7 = 2х − 9;
3х + 3 − 7 = 2х − 9;
3х − 4 = 2х − 9;
3х − 2х = −9 + 4;
х = −5;
б) 2x + 5x = 2(x + 5);
7x = 2x + 10;
7x – 2x = 10;
5x = 10; x = 2.
в) 0,5х + 2(7 − х) = 1,5х − 5(х + 2);
0,5х + 14 − 2х = 1,5х − 5х − 10;
−1,5х + 14 = −3,5х − 10;
3,5х − 1,5х = −14 − 10;
2х = −24;
х = −12.
21. Для яких значень х дорівнюють
а) 8 − 2(3 − х) = 5 − 3(3 − 2х);
8 − 6 + 2х = 5 − 9 + 6х;
2 + 2х = −4 + 6x;
2x – 6x = −4 – 2; −4x = −6;
x = 1,5;
б) 1 + 3(x – 5) = 1(1 + 3x) – 5x;
1 + 3x – 15 = 1 + 3x – 5x; 3x – 14 = 3x + 1; 3x – 14 = 1 – 2x; 3x + 2x = 15; 5x = 15; x = 3.
в) 2 3 х − 7 9 + 5 = х − 1 6 (2 − 6х); 2 3 х − 7 9 + 5 = х; 2 3 х – 2x + = 7 9 х – 5 –1 3; 4 3 x = 41 9 ; x = − 41 9 : ( 4 3);
x = 41 12; x = 3 5 12 . 22.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) ���� 1000 (км); в) v 3 6 .
23. Запиши у
а) 1000x; б) 100p; в) 1000v.
24. Запиши відповідь
а) 5k + 900x.
б) (a + (a – 10)) · 2 = (2a – 10) · 2 = 4a – 20
25. За малюнком
а) a · S (грн);
б) (n + k) · 0,95a; в) p – 9,5a.
26. Напишіть у
десятків, a одиниць, n десятих і m сотих.
а) а + 0,1п + 0,01т; б) 10с + а + 0,1п + 0,01т.
27. Трицифрове
(100а + 10b + с) + (100с + 10b + а) = 101а + 20b + 101с = 101(а + с) + 20b.
а) 5n, n
число; б) 5 · 2n = 10n; в) 5(2n + 1); г) 15n.
31.
1) P = 2(a + b − c);
2) P = 2a + 2b = 2(a + b);
3) P = 2(a + b).
32.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) (2х + 3) + (4х − 8) = 37;
2х + 3 + 4х − 8 = 37;
6х − 5 = 37;
6х = 37 + 5;
6х = 42;
х = 42 : 6;
х = 7;
в) 0,7 + х − (−0,7 + 4х) = −37;
0,7 + х + 0,7 − 4х = −37;
−3х = −37 − 1,4;
−3х = −38,4;
х = −38,4 : (−3);
х = 12,8;
б) 5 − 3z − (3 − 4z) = 42; 5 − 3z − 3 + 4z = 42; z + 2 = 42; z = 42 − 2; z = 40;
г) −7,2 − (3,6 − 4,5х) = 2,7х; −7,2 − 3,6 + 4,5х = 2,7х; −10,8 + 4,5х = 2,7х; 4,5х − 2,7х = 10,8; 1,8х = 10,8;
х = 6.
x + 2x = 120
3x = 120
x = 40 (н.) отримали
2 · 40 = 80 (н.)
80 нетбуків і 40 нетбуків.
34. Знайди суму всіх дільників числа:
а) 1 + 2 + 4 + 8 = 15;
б) 1 + 2 + 6 + 3 + 9 + 18 = 39;
в) 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56;
г) 1 + 2 + 19 + 38 = 60.
35. Чи тотожні вирази:
а) 2a + a і 3a так, тотожні;
б) х + 2x − 3x і 0 так, тотожні;
в) 8с − 3с і 5с так, тотожні;
г) aх + ах + ах і 3ах так, тотожні;
ґ) 7xy − 2x і 5y ні, не тотожні;
д) −3с + 9 і 9 − 3с так, тотожні;
е) p2p і p3 ні, не тотожні;
є) x + x2 + x3 + x4 і x5 ні, не тотожні;
ж) а − с і с − а ні, не тотожні;
з) а2 і (−a)2 ні, не тотожні;
и) 4а + p і 5ар ні, не тотожні;
і) x − 2а і 2а + х так, тотожні.
36. Який із виразів не тотожний виразу 2x − y?
Б. 4(y − 2x) + 10x − 5y 37. Якому
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Чи є рівність (m + 2) − (m − 2) = 0 тотожністю?
39. Наведи контрприклад, щоб
при c = 1, (c − 2)3 = (1 − 2)3 = (−1)3 = −1, але c3 8 = 1
Оскільки −1 ≠ −7, рівність не є тотожністю.
40. Спростіть вираз:
а) 2с + 3с − 5 = 5с − 5; б) 3х − 4х + х = 0х = 0;
в) 12n − 17 − 2n = 10n − 17;
г) 19с − 3с + 8 = 16с + 8; ґ) 63 − 23р + 32р = 63 + 9р; д) 4х + 65 − 10х = 65 − 6х.
41. Спростіть вираз:
а) −4а + 3а − 7а = −4ac − 4а; б) 9 − 23х + 40х = 9 + 17х; в) −4 − 12 + 8ас = −16 + 8ас.
42. ГРА
43. Чи є тотожністю рівність:
а) 19x − 4(x + 5) + 20 = 15x;
19x − 4(x + 5) + 20 = 19x − 4x − 20 + 20 = 15x 15x = 15x
Отже, 19x − 4(x + 5) + 20 = 15x є тотожністю.
б) 7(2 − 3x) + 21 = 14;
7(2 − 3x) + 21 = 14 − 21x + 21 = 35 – 21x
35 − 21x ≠ 14, тому ця рівність не є тотожністю.
в) 2,5 + 5(a − 1,5) a = −4a – 5;
2,5 + 5(a − 1,5) − a = 2,5 + 5a − 7,5 – a = 4a − 5
Отже, 2,5 + 5(a − 1,5) − a = 4a – 5 є тотожністю.
г) −2(x + 5) + 3(x − 7) = x + 11.
2(x + 5) + 3(x − 7) = 2x − 10 + 3x − 21 = x – 31 x − 31 ≠ x + 11, тому ця рівність не є тотожністю.
44. Чи є тотожністю рівність:
а) 35 + 7(x − 1) − 28 = 7x;
35 + 7(x − 1) − 28 = 35 + 7x − 7 − 28 = 7x
Отже, 35 + 7(x − 1) − 28 = 7x є тотожністю.
б) −3(2y + 1) + 6 = −3
−3(2y + 1) + 6 = 6y − 3 + 6 = −6y + 3
−6y + 3 ≠ −3, nому ця рівність не є тотожністю.
в) −13 − 3(5 − 6x) + 6x = 12x − 28
−13 − 3(5 − 6x) + 6x = 13 − 15 + 18x + 6x = 24x – 28
24x – 28 ≠ 12x – 28, тому ця рівність не є тотожністю.
г) 1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 13 + 2x.
1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 7,5x 3x + 5,5 + 5x = 2x + 13
Отже, 1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 13 + 2x є тотожністю.
45. Доведіть тотожність:
а) 3с − 3(с − 1) = 3; 3с − 3с + 3 = 3; 3 = 3. Доведено;
в) 15х = 9 − 3(3 − 5х);
15х = 9 − 9 + 15х; 15х = 15х. Доведено;
46. Доведіть тотожність:
а) 8х = 6 + 2(4х − 3);
8х = 6 + 8х − 6; 8х = 8х. Доведено;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 2ху + 2(3 − ху) = 6; 2ху + 6 − 2ху = 6; 6 = 6. Доведено;
г) 1 − 2х = 5 − 2(х + 2); 1 − 2х = 5 − 2х − 4; 1 − 2х = 1 − 2х. Доведено.
б) 5(2х + у) = 10(х + у) − 5у;
10х + 5у = 10х + 10у − 5у; 10х + 5у = 10х + 5у;
в) 7 = 12х − (−7 + 12х);
7 = 12х + 7 − 12х;
7 = 7. Доведено;
г) 3с − 3(1 + с − х) = 3х − 3; 3с – 3 − 3с + 3х = 3х − 3;
3х − 3 = 3х – 3.
47. 1) Що означає вираз:
а) 35t відстань, яку
б) 45t відстань, яку пройде друга машина
2) Запишіть вираз для знаходження:
а) Загальної відстані, що пройдуть машини разом: 35t + 45t = (35 + 45) · t = 80t.
б) На скільки більше довжина червоного
45t − 35t = (45 − 35) · t = 10t.
Тотожно рівні вирази:
загальної відстані: 35t + 45t тотожно рівній
швидкістю 35 км/год.
45 км/год.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) −(5а − с + 2) + 3а − с + 2 = −5а + с − 2 + 3а − с + 2 = −2а; в) 5(12а − 23х) − 8(6х − 13а) = 60а − 115х − 48х + 104а = 164а − 163х;
г) −6(ас − 4) + 3(7 − 2ас) = −6ас + 24 + 21 − 6ас = −12ас + 45.
52. Спростіть вираз:
а) 2(х2 − 3) − 4(17 − 4х2) = 2х2 − 6 − 68 + 16х2 = 18х2 − 74;
б) 4(х2 − 3) − х(4х − 5) = 4х2 − 12 − 4х2 + 5х = 5х − 12;
в) с(3 − 2с) + 3(с − 2с2) = 3с − 2с2 + 3с − 6с2 = 6с − 8с2;
г) 2у − 3 − 2(а + у − 1) = 2у − 3 − 2а − 2у + 2 = −1 − 2а.
53. Доведіть тотожність:
а) 2(х − 3) − 5(х − 4) = 14 − 3х; 2х − 6 − 5х + 20 = 14 − 3х; 3х + 14 = −3х + 14.
б) 3(2а − 1) − 2(3а − 1) = −1; 6а − 3 − 6а + 2 = −1; 1 = −1. Доведено
в) 5(0,5 + 2х) − 5(1,1 − х) = 15х − 3; 2,5 + 10х − 5,5 + 5х = 15х − 3; 15х − 3 = 15х – 3. Доведено.
г) 9(х − 1) − 3(2х − 3) = 3х;
9х − 9 − 6х + 9 = 3х;
3х = 3х. Доведено.
54. Доведіть тотожність:
а) 9х − 4(х + 5) – 1 = 7(х − 3) − 2х;
9х − 4х − 20 − 1 = 7х − 21 − 2х;
5х − 21 = 5х – 21. Доведено.
б) −2(2а + 5) = 5(2а − 9) − 7(2а − 5);
4а − 10 = 10а − 45 − 14а + 35;
4а − 10 = −4а – 10. Доведено.
в) 0,5(а + b + c) − 0,5(а − b + c) 0,5(а + b − c) = = 0,5a + 0,5b + 0,5c 0,5а + 0,5b − 0,5c 0,5а − 0,5b + 0,5c = = 0,5b + 0,5c − 0,5а = 0,5(b + c – а)
55. Доведіть тотожність:
а) 3(а + с + х) − 2(а + с − х) − (а − с + х) = 2(с + 2х);
3а + 3с + 3х − 2а − 2с + 2х − а + с х = 2с + 4х; 2с + 4х = 2с + 4х. Доведено.
б) 2х + 2 = 2(х2 + х + 1) − (х2 − х + 1) (х2 + х 1);
2х + 2 = 2х2 + 2х + 2 − х2 + х − 1 − х2 − х + 1;
2х + 2 = 2х + 2. Доведено.
56. Чи тотожні вирази:
а) 1 – (1 − (1 − с)) = 1 − 1 + (1 – с) = 1 − с;
1 − с = 1 – с. Так.
б) а − b + 1 − 2(b + 1) = а − b + 1 − 2b − 2 = а − 3b − 1; 2(а − b – 1) – (a + b – 1) = 2a – 2b – 2 – a – b + 1 = a – 3b – 1;
а − 3b − 1 = а − 3b – 1. Так.
57. Чи тотожні вирази:
а) 0,5(х + у) − 0,5(х − у) − у = 0,5х + 0,5у − 0,5х + 0,5у − у = 0; 0 = 0. Так.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) n − (1 − (n − (1 − n))) = 3n − 2; n – 1 + (n − (1 − n)) = 3n − 2; n − 1 + n − (1 − n) = 3n − 2; 2n − 1 − 1 + n = 3n − 2; 3n − 2 = 3n – 2. Так.
58. Замініть у тотожності 3x – 2 = 2(x 1) + x змінну x виразом: а) c + 3; б) ac 1; в) m + 5. Чи є тотожністю одержана рівність?
Спочатку розкриємо дужки у вихідній тотожності:
3x 2 = 2x 2 + x
3x 2 = 3x 2
Отже, початкова рівність є тотожністю
(x)).
а) Заміна x на c + 3
Ліва частина:
3(c + 3) 2 = 3c + 9 2 = 3c + 7
Права частина:
2((c + 3) 1) + (c + 3) = 2(c + 2) + (c + 3) = 2c + 4 + c + 3 = 3c + 7
Обидві частини однакові: 3c + 7 = 3c + 7 тотожність
б) Заміна x на ac 1
Ліва частина:
3(ac 1) 2 = 3ac 3 2 = 3ac 5
Права частина:
2((ac 1) 1) + (ac 1) = 2(ac 2) + (ac 1) = 2ac 4 + ac 1 = 3ac 5
Обидві частини однакові: 3ac 5 = 3ac 5 тотожність.
в) Заміна x на m + 5
Ліва частина:
3(m + 5) 2 = 3m + 15 2 = 3m + 13
Права частина:
2((m + 5) 1) + (m + 5) = 2(m + 4) + (m + 5) = 2m + 8 + m + 5 = 3m + 13
Обидві частини однакові: 3m + 13 = 3m + 13 тотожність.
59. У тотожності 5х + 3х = 8х замініть
рівність? Якщо х = а2 − ас + с2, то 5(а2 − ас + с2) + 3(а
в) ab = ( a) · ( b).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
66. Чи є тотожністю рівність:
а) |x + 3| = х + 3. Ні.
б) |x2 + 5| = x2 + 5. Так, для будь–якого х.
в) |а − b| · |b − а| = (а − b)2. Так.
67. Чи є тотожністю рівність:
а) |x − y| = x − y. Ні.
б) |a + b| = |a| + |b|, якщо a ≥ 0, b ≥ 0. Так.
в) |x| − |y| = |y| − |x|. Ні.
68. Проаналізуй формули та виконай завдання.
а) R = 1 2π;
б) S = ���� V ; m = V · S;
в) I = S – vt.
69. Знайди відповідність між умовою
70. Розгадай ребуси.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
AB: (0; 3); BC: (0; −1); AC: (−3; 0).
73. За якої умови правильна пропорція:
а) 3 : x = x : 27; x2 = 81; x = 9 або x = −9;
б) y : 4 = 16 : y2; y3 = 64; y = 4. § 3. Вирази зі степенями
74. Назви основу та показник степеня.
1) Основа: 3,5. Показник степеня: 4.
2) Основа: −0,1. Показник степеня: 3.
3) Основа: −100. Показник степеня: 4.
4) Основа: −a. Показник степеня: 6.
5) Основа: 1 2 x. Показник степеня: 5.
75 Знайди квадрати чисел.
1) 12 = 1;
2) (−3)2 = 9;
3) 72 = 49;
4) 82 = 64;
5) (−9)2 = 81;
6) 102 = 100;
7) 202 = 900;
8) 302 = 900;
9) (−40)2 = 1600;
10) (0,2)2 = 0,04; 11) (0,03)2 = 0,0009.
76. Знайди куби чисел.
1) 13 = 1;
2) (−2)3 = −8;
3) 33 = 27;
4) 43 = 64;
5) (−5)3 = −125;
6) 103 = 1000;
7) (0,1)3 = 0,001;
8) (−1 3)3 = 1 27;
9) (−11 2)3 = (−3 2)3 = − 27 8 ;
10) (2 3)3 = 8 27;
11) (1 4)3 = 1 64 .
77. Чи правильно, що:
а) 51 = 5 (правильно);
б) 71 = 7 (правильно);
в) (−2)4 = 16 (правильно);
г) (−7)2 = 49 (правильно);
ґ) Число 0,16 є квадратом числа 0,4 (правильно, бо 0,42 = 0,16);
д) (2 3)5 (правильно);
е) Добуток 5 · 5 · 5 можна записати як 53 (правильно);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
78. Істинною чи хибною є нерівність?
1) (−15)10 < 0 хибно, (−15)10 > 0 (парний степінь);
2) (−3,2)13 > 0 хибно, (−3,2)13 < 0 (непарний степінь);
3) −4,112 < 0 істинно;
4) −(−2)62 > 0 хибно, (−2)62 < 0 (парний степінь);
5) (−3,4)2 > −3,42 істинно; 6) x122 < 0 хибно (парний степінь);
7) ( 15)⁴ 15⁴ < 0 істинно;
8) (−6,5)4 > (−8,4)3 істинно, (−6,5)4 > 0 і (−8,4)3 < 0.
79. Прочитай вираз, використовуючи терміни «квадрат суми та
різниці», «сума та різниця квадратів».
а) a² + b² – «сума квадратів»
б) (a + b)² – «квадрат суми»
в) a² – b² – «різниця квадратів»
г) (a – b)² – «квадрат різниці»
80. Розв’яжи рівняння.
а) x7 = 0,
x = 0;
б) x8 = −1,
Немає дійсних розв'язків;
в) 15x6 = 0,
x = 0;
г) x8 = 1,
x = 1 або x = −1;
ґ) x3 = 1,
x = 1.
81. Запиши добуток у вигляді степеня.
а) 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = (0,3)5;
б) c · c · c · c · c · c · c = c7;
в) (−16) · (−16) · (−16) · (−16) = (−16)4;
г) (−b) · (−b) · (−b) · (−b) · (−b) = (−b)5.
82. Write the product as a power.
a) (a − b) · (a − b) · (a − b) = (a − b)3; b) k · k · k · k = k4; c) 5 · 5 · 5 · ... · 5 (18 разів) = 518.
83. Запиши добуток у
степеня.
1) (−y) · (−y) · (−y) · (−y) = (−y)4;
2) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) = (ab)6;
3) m · m · m · ... · m (20 разів) = m20;
4) (p − a) · (p − a) · (p − a) · (p − a) · (p − a) = (p − a)5.
84. ГРА
85.
7 · 7 = 49
· 7 =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3) 343 · 7 = 2401 з'їдають мишки колосків; 4) 2401 · 7 = 16 807 може вирости ячменю;
5) 7 + 49 + 343 + 2401 + 16 807 = 19 607.
Відповідь: 19 607.
86. Подай числа, якщо це можливо, у вигляді степеня: а) З основою 2:
1. 4 = 22;
2. 8 = 23;
3. 64 = 26;
4. 16 = 24;
5. 144 не можна; 6. 256 = 28;
7. −8 = −23;
8. −32 = −25;
9. −64 = −26;
б) З основою 5:
1. 5 = 51;
2. 25 = 52;
3. 125 = 53;
4. 225 не можна; 5. −25 = −52;
6. −125 = −53 .
87. Подай числа, якщо це можливо, у вигляді степеня:
а) З основою 3:
1. 27 = 33;
2. 81 = 34;
3. −9 = −32;
4. −27 = −33; б) Вибери основу самостійно:
1. 100 = 102 або 100 = (2 · 5)2; 2. 49 = 72;
3. 121 = 112;
4. −144 = (12)2 або −144 = −(24 · 32);
5. 169 = 132;
6. 196 = 142 .
88. Обчисліть
а) 52 = 25; 25 = 32; 103 = 1000;
1003 = 1 000 000; 252 = 625; б) (0,2)3 = 0,008; (0,3)2 = 0,09; (0,04)3 = 0,000064;
89. Обчисли а) 82 = 64, 102 = 100, 33 = 27, 53 = 125, 63 = 216; б) (0,1)2 = 0,01, (0,3)3 = 0,027, (0,5)3 = 0,125; в) 1,12 = 1,21, 1,62 = 2,56, 2,72 = 7,29, 3,52 = 12,25; г) (−1)5 = −1, (−2)6 = 64, (−9)3 = −729, (−12)2 = 144.
в) (−3)4 = 81; (−34) = −81; (−0,5)2 = 0,25; −0,52 = −0,25; (−1)150 = 1; (−1)105 = −1.
90. Обчисли а) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91; б) 32 − 42 + 52 − 62 + 72 = 9 − 16 + 25 − 36 + 49 = 31.
91. Обчисли а) (−2)2 + (−2)3 + (−2)4 + (−2)5 + (−2)6 = 4 − 8 + 16 − 32 + 64 = 44; б) 92 – 82 + 72 – 62 = 81 – 64 + 49 – 36 = 30.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
92. Чи правильна рівність:
а) 32 + 42 = 52;
9 + 16 = 25; 25 = 25; так; б) 152 + 162 ≠ 172; 225 + 256 ≠ 289; 481 ≠ 289; ні;
г) 32 + 32 ≠ 62; 9 + 9 ≠ 36; 18 ≠ 36; ні; ґ) 43 + 62 = 102; 64 + 36 = 100; 100 = 100; так;
93. Доведіть, що:
а) 102 + 112 + 122 = 132 + 142; 100 + 121 + 144 = 169 + 196; 365 = 365. Доведено.
в) 352 + 362 ≠ 372; 1225 + 1296 ≠ 1369; ні;
д) 972 − 962 = 97 + 96; 9409 − 9216 = 193; 193 = 193; так.
б) 13 + 23 + 33 + ... + 93 = 452; 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2025; 2025 = 2025. Доведено.
94. Обчисліть площу квадрата, сторона якого дорівнює: S = a2
а) Якщо a = 3 дм, то S = 32 = 9 (дм2);
б) Якщо a = 10 см, то S = 102 = 100 (см2).
95. Обчисли
V = a3
а) Якщо a = 2 м, то V = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 м3;
б) Якщо a = 5 дм, то V = 53 = 5 · 5 · 5 = 125 дм3 .
96. Знайдіть значення виразу:
а) (−7)2 − (−1)9 · 34 = 49 + 1 · 81 = 130;
б) (0,02 + 0,28)4 · 105 = 0,34 · 105 = 0,0081 · 100 000 = 810;
в) 63 − (4 · 2 5)2 · 61 4 = 63 – (8 5)2 · 25 4 = 63 − 64 25 · 25 4 = 63 – 16 = 47;
г) (−1)24 : (1 2)6 + (−3)5 = 1 · 64 − 243 = 64 − 243 = −179;
ґ) (5,6 − 4,5)3 : 0,1 = 1,13 : 0,1 = 1,331 : 0,1 = 13,31; д) (0,32 + 0,42) − 0,52 = (0,09 + 0,16) − 0,25 = 0,25 − 0,25 = 0.
97. Знайдіть значення виразу: а) 102 − (−1)12 · 62 = 100 − 36 = 64; б) (0,44 + 0,46)3 · (−10)4 = 0,93 · 10 000 = 0,729 · 10 000 = 7290; в) (7,8 − 7,7)4 : (0,1)5 = 0,14 : 0,15 = 0,0001 : 0,00001 = 10; г) 32 · (2,7 − 2,8)2 = 9 · (−0,1)2 = 9 · 0,01 = 0,09.
98.
значення виразу: а) Якщо a = −3, то 3 · (−3)4 − 2 · (−3)2 = 3 · 81 − 2 · 9 = 243 − 18 = 225; б) Якщо m = 2, то (2m − 1)2 : m3 = (2 · 2 – 1)2 : 23 = (4 – 1)2 : 8 = 32
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
101. Не
а) (−21)7 < 0; б) (−3)6 > 0;
в) (−5)5 < (−4)4; г) −78 < (−7)8.
102. Розв’яжи рівняння:
а) 5x4 = 5; x4 = 1;
x = 1 або x = −1;
в) x2 + 5 = 0;
x2 = −5; коренів немає.
103. Розв’яжи рівняння:
б) 4x2 = x2; 3x2 = 0; x = 0;
г) −2x3 = 2; x3 = −1; x = −1.
а) x2 + 1 = 0; x2 = −1; x = −1; б) x8 − 1 = 0; x2 = 1; x1 = 1; x2 = −1;
в) 2x7 = 2; x7 = 1;
x = 1; г) x3 − 6 = 2;
x3 = 8;
x = 2.
104. Запишіть у стандартному вигляді
км/с; маса Землі − 6 000 000 000 000 000 000 000 т;
000 т; об'єм Землі − 1 083 000 000 000 км³.
а) 3 · 105 км/с;
б) 6 · 1021 т;
в) 7,35 · 1019 т;
г) 1,083 · 1012 км³.
105. Запишіть у стандартному
000; ґ) 33 000; д) 1 000 000; е) 7004.
а) 2 · 104;
б) 7,53 · 106;
в) 1,05 · 107;
г) 9,099 · 108; ґ) 3,3 · 104;
д) 1,05 · 102;
е) 1 · 109; є) 7,004 · 103 .
106. Запишіть у
а) 9 · 104 = 9000;
б) 1,31 · 103 = 1310;
в) 7,1 · 105 = 710000; г) 4,3 · 102 = 430;
ґ) 2,05 · 104 = 20500; д) 3,125 · 106 = 3125000.
107. Чи правильна рівність:
а) 22 + 22 + 62 + 102 = 122; 4 + 4 + 36 + 100 = 144; 144 = 144. Так.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 22 + 42 + 62 + 132 = 152;
4 + 16 + 36 + 169 = 225; 225 = 225. Так.
108. Чи правильна рівність:
а) 22 + 62 + 82 + 252 = 272;
4 + 36 + 64 + 625 = 729; 729 = 729. Так.
б) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2; 1 + 8 + 27 + 64 = 100; 100 = 100. Так.
109. Обчисліть значення виразу:
а) (36 − 42)3 = (36 − 16)3 = 203 = 8000; б) (34 + 19)5 = (81 + 19)5 = 1005 = 10 000 000 000;
в) (0,875 + 0,53)10 = (0,875 + 0,125)10 = 110 = 1;
г) (−0,3)4 · 103 = 0,081 · 1000 = 81; ґ) (2 3)3 · (3 4) 2 = 8 9 27 16 = 1 6; д) (44 − 35 − 13)12 = (256 − 243 − 13)12 = 012 = 0.
110. Установи
1) (35 − 25) 4 = (35 − 32)4 = 34 = 81; (Г).
2) 104 · (0,2)3 = 10000 · 0,008 = 80; (В).
3) (0,33 − 0,017)2 = (0,027 − 0,017)6 = 0,016 = 0,000001; (Д).
4) (27 − 53 − 4)15 = (128 − 125 − 4)15 = (−1)15 = −1; (А).
111. Знайдіть значення виразу:
a) Якщо x = 0,6, y = −0,2, то:
(4 · 0,62 − (−0,2)2)2 : (2 · 0,6 − (−0,2)2)2 = 12 = 1;
б) Якщо a = 1,1, b = 0,1, то:
((1 + 0,1)2 − (1,1 − 1)2)3 − (1,1 + 0,1)2 = ((1,1)2 − (0,1)2)3 – (1,2)2 = (1,21 − 0,01)3 − 1,44 = 1,23 − 1,44 = 1,728 − 1,44 = 0,288.
112. Знайдіть значення виразу: a) Якщо x = −2, y = 3, то: 2 · (−2)5 + (−2 + 2 · 3)3 + 32 = 2 · (−32) + 43 + 9 =
б) Якщо m = 1,3; n = 2,5, то: (2 · 1,3 − 2,5)2 − (4 ·
+
+
=
114. Обчисліть, користуючись калькулятором: a) 3,45 = 454,35424; б) 5,754 + 57 = 1093,1288 + 57 = 1150,1288; в) 47,2 · 2,842 = 47,2 · 22,906304 = 1081,1775; г) 3,7 + 2,74 = 3,7 + 53,1441 = 56,8441.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
32 + 52 = 9 + 25 = 34; (3 + 5)2 = 82 = 64;
32 + 52 < (3 + 5)2;
102 − 62 = 100 − 36 = 64; (10 − 6)2 = 42 = 16; 102 − 62 > (10 − 6)2 .
116. Обчисліть і порівняйте:
33 + 23 = 27 + 8 = 35; (3 + 2)3 = 53 = 125;
33 + 23 < (3 + 2)3 б)
53 − 23 = 125 − 8 = 117; (5 − 2)3 = 33 = 27;
53 − 23 > (5 − 2)3 .
117.
a) Неправильне.
Контрприклад: 22 = (−2)2, але 2 ≠ 2.
б) Правильне.
в) Неправильне.
Контрприклад: −1 + (−1) 2 = −1 + 1 = 0 (не додатне число).
г) Правильне.
118. Значення якого з виразів є: 1) найбільше, 2) найменшим?
a) 7² + 3² 2 = 49 + 9 2 = 58 2 = 29; найбільше значення;
(7 + 3
2 ) = 5; найменше значення;
(7 2)2 + (3 2)2 = 49 4 + 9 4 = 58 4 = 14,5; б) 7² 5² 2 = 49 25 2 = 12; найбільше значення;
(7 5 2 )2 = 12 = 1; найменше значення; (7 2)2 + (5 2)2 = 49 4 25 4 = 24 4 = 6.
119. Значення якого з виразів найменше?
5³ + 3³ 2 = 125 + 8 2 = 66,5; найбільше значення; (5 + 3
2 )3 = 43 = 64; середнє значення;
(5 2)3 + (3 2)3 = 125 8 + 27 8 = 19; найменше значення.
120. Доведіть, що рівняння не має розв'язків: а) x4 + 3 = 0; x4 = −3; Розв’язків немає. б) 3x2 + 8 = 0; 3x2 = −8; Розв’язків немає. в) (y − 3)2 + 1 = 0; (y − 3)2 = −1; Розв’язків немає.
121. Яке
1) x2 + 9
значення: 9 при x = 0.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2) 4 + (2 − a)2
Найменше значення: 4 при a = 2. 3) (x2 + 2)4 − 10
Найменше значення: −9 при x = 0.
122. Яке
1) 3 − x2
Найбільше значення: 3 при x = 0. 2) 6 − (x − 4)8
Найбільше значення: 6 при x = 4.
123. Запишіть у стандартному
числа: a) 2,87287 · 108; 1,753 · 107;
2,205 · 105; 9,099 · 10. б) 3 · 10 4;
2,35 · 10 1; 5 · 10 2;
4,1 · 10 9 . в) 1 2 = 0,5 = 5 · 10 1; 1 20 = 0,05 = 5 · 10 2;
1 200 = 0,005 = 5 · 10 3;
3 500 = 0,006 = 6 · 10 3; 73 500000 = 0,000146 = 1,46 · 10 4; 999 1000000000 = 9,99 · 10 7 .
124. Запишіть у
a) 1,2 · 103 = 1200; 3,47 · 105 = 347 000; 7,3 · 104 = 73 000; 14,23 · 105 = 1 423 000; 6) 2 · 10 4 = 0,0002; 1,1 · 10 3 = 0,0011; 9 · 10 5 = 0,00009; 6,75 · 10 6 = 0,00000675.
125. Доведіть, що: a) 1012 + 2, сума цифр отриманого числа дорівнює 3,
3 (1 + 2 = 3; 3 : 3); б) 1015 + 8, сума цифр
1015 = 100...0; 1 + 8 = 9; 9 : 9 = 1).
126. Доведіть, що:
a) 1 + 1010 + 10100, сума
3 (1 + 1 + 1 = 3; 3 : 3);
б) 1010 − 1 = 1 000 000 000 − 1 = 999 999 999
127.
2)
б:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
точками C(x2) і B(x3).
3) На графіку в: праворуч від точки C(x2).
128.
еес
а) 33;
б) 2 · 22 .
129. Чи тотожні
а) 2a + a + a = 4a; 4a = 4a. Так.
б) 2b – 2a = −2(a − b) = −2a + 2b. Так.
в) x + x + x = 3x; 3x ≠ x3. Ні.
г) 5 + 5 + 5x = 10 + 5x ≠ 15x. Ні. ґ) 3y + 2y + y − 6 = 6y – 6. Ні.
д) a3 – a ≠ a2. Ні.
130. Площа
бічна сторона рівнобедреного трикутника (x + 3) см, основа: (x) см.
а) Якщо P = 54 см, то 2(x + 3) + x = 54; 2x + 6 + x = 54;
3x = 54 − 6; 3x = 48; x = 16.
Основа 16 см, бічна сторона 19 см.
б) Якщо P = 6 см, то 2(x + 3) + x = 6; 2x + 6 + x = 6; 3x = 0; x = 0.
Немає розв'язків.
в) Якщо P = а см, то 3x + 6 = а; 3x = a – 6; x = a – 6
3 .
Основа: a – 6 3 ; бічна сторона:
Відповідь: а) 16; 19; 19;
б) немає розв'язків; в) a – 6
3 ; a + 3 3 ; a + 3 3 .
132. Спрости b30 : b5
b30 : b⁵ = b30–5 = b²⁵
133. Обчисли (22)3
(2²)³ = 2²·³ = 2⁶ = 64
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
134. Спрости вираз
1) 3⁵ · 3⁷ = 3⁵⁺⁷ = 3¹²
2) 12⁴ : 12³ = 12⁴⁻³ = 12¹ = 12
3) (1 2)⁴ · (1 2)³ = (1 2)⁴⁺³ = (1 2)⁷ = 1 128
4) (–4)² · (–4)³ = (–4)²⁺³ = (–4)⁵ = –1024
135. Спрости вираз
1) x⁵ · x⁸ = x⁵⁺⁸ = x¹³
2) m³ · m⁷ = m³⁺⁷ = m¹⁰
3) f⁴ : f = f⁴⁻¹ = f³
4) c³ · c⁴ · c⁵ = c³⁺⁴⁺⁵ = c¹²
5) z² · z⁵ · z = z²⁺⁵⁺¹ = z⁸
136. Подай вираз у вигляді степеня.
а) 625 = 5⁴;
б) (x³)⁵ = x¹⁵;
в) x² · y² = (xy)²;
г) 8 · 3³ = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³;
д) 64 · 49 = (2⁶ · 7²);
е) x⁴ · y³ = (xy)⁷.
137. Розв’яжи рівняння.
1) z³z² = 0
z³⁺¹ = 0
z⁴ = 0 z = 0 2) 4x⁵x⁶ = 0
4x⁵⁺⁶ = 0 4x¹¹ = 0 x = 0
138. Подай добуток
1) 3¹³ · 3⁶ = 3¹³⁺⁶ = 3¹⁹
2) 18 · 18¹⁴ = 18¹⁺¹⁴ = 18¹⁵
3) (–11)⁵ · (–11)⁴ = (–11)⁵⁺⁴ = (–11)⁹
4) (1 6)² · (1 6)7 = (1 6)²⁺⁷ = (1 6)⁹
5) (12 3)¹⁰ · (12 3)⁹ = (12 3)¹⁰⁺⁹ = (12 3)¹⁹
6) (–2 5)⁹ · (–2 5)¹⁶ = (–2 5)⁹⁺¹⁶ = (–2 5)²⁵
139. Подай добуток у вигляді степеня
1) 5⁶ · 5⁷ = 5⁶⁺⁷ = 5¹²
2) (−1.2)¹³ · (−1.2) = (−1.2)¹³⁺¹ = (−1.2)¹⁴ 3) 7¹⁰ · 7⁷ = 7¹⁰⁺⁷ = 7¹⁷ 4) (1.8)⁵ · (1.8)⁷ = (1.8)⁵⁺⁷ = (1.8)¹²
5) (0.66)¹⁵ · (0.66)²⁵ = (0.66)¹⁵⁺²⁵ = (0.66)⁴⁰
6) (−12)¹² · (−12)¹³ = (−12)¹²⁺¹³ = (−12)²⁵
1) a⁵ · a³ = a⁵⁺³ = a⁸
2) x¹ · x⁴ = x¹⁺⁴ = x⁸
3) m · m⁸ = m¹⁺⁸ = m⁹
4) y⁷ · y¹ · y⁷ = y⁷⁺¹⁺⁷ = y¹⁶
5) z · z² · z³ = z¹⁺²⁺³⁺⁵ = z¹¹
6) (a + b)² · (a + b)⁵ = (a + b)²⁺⁵ = (a + b)⁷
3) p⁵y² = 1 p⁵⁺² = 1 y7 = 1 y = 1
4) x¹x³ = 1 x¹⁺³ = 1 x⁴ = 1 x = 1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1) c⁷ · c⁵ = c⁷⁺⁵ = c¹²
2) x¹ · x² · x³ = x¹⁺²⁺³ = x⁶
3) a⁷ · a⁷ = a⁷⁺⁷ = a¹⁴
4) p · p¹² = p¹⁺¹² = p¹³
5) m · m⁷ · m³ · m¹⁰ = m¹⁺⁷⁺³⁺¹⁰ = m²¹
6) (x – y)³ · (x – y) = (x – y)³⁺¹ = (x – y)⁴ 142.
1) 5⁸ · 25 = 5⁸ · 5² = 5⁸⁺² = 5¹⁰
2) 3¹² · 27 = 3¹² · 3³ = 3¹²⁺³ = 3¹⁵
3) 6¹⁵ · 36 = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁵⁺² = 6¹⁷
4) 2⁹ · 32 = 2⁹ · 2⁵ = 2⁹⁺⁵ = 2¹⁴
5) 0.4⁵ · 0.16 = 0.4⁵ · 0.4² = 0.4⁵⁺² = 0.4⁷
6) 0.001 · 0.1³ = (0.1¹) · 0.1⁴ = 0.1³⁺⁴ = 0.1⁷ 143.
1) 3⁶ · 9 = 3⁶ · 3² = 3⁶⁺² = 3⁸
2) 5¹⁷ · 125 = 5¹⁷ · 5³ = 5¹⁷⁺³ = 5²⁰
3) 2¹¹ · 16 = 2¹¹ · 2⁴ = 2¹¹⁺⁴ = 2¹⁵
4) 4²² · 64 = 4²² · 2⁶ = 4²² · 2⁴⁺⁶ = 2⁵⁰
5) 0.3⁹ · 0.027 = 0.3⁹ · (0.3³) = 0.3⁹⁺³ = 0.3¹²
6) 0.01 · 0.1¹⁸ = (0.1²) · 0.1¹⁸ = 0.1²⁺¹⁸ = 0.1²⁰
144. Подай
1) x¹² : x⁵ = x¹²⁻⁵ = x⁷
2) a⁴ : a⁻⁶ = a⁴⁺⁶ = a¹ = a
3) m²³ : m = m²³⁻¹ = m²²
4) c¹⁷ : c¹⁶ = c¹⁷⁻¹⁶ = c¹ = c
5) y¹⁹ : y⁵ = y¹⁹⁻⁵ = y¹⁴
6) (m + n)⁵ : (m + n)³ = (m + n)⁵⁻³ = (m + n)²
145. Подай у вигляді степеня частку
1) p⁶ : p³ = p⁶⁻³ = p⁵
2) n¹¹ : n⁸ = n¹¹⁻⁸ = n³
3) a²³ : a = a²³⁻¹ = a²²
4) x¹² : x⁷ = x¹²⁻⁷ = x⁵
5) y¹⁷ : y¹⁵ = y¹⁷⁻¹⁵ = y²
6) (a + c)¹⁶ : (a + c)¹² = (a + c)¹⁶⁻¹² = (a + c)⁴
146. Знайди значення виразу
1) 7⁶ : 7⁵ = 7⁶⁻⁵ = 7¹ = 7
2) 12¹³ : 12¹¹ = 12¹³⁻¹¹ = 12² = 144
3) 1.8⁶ : 1.8⁴ = 1.8⁶⁻⁴ = 1.8²
4) 2¹⁰ : 2⁶ = 2¹⁰⁻⁶ = 2⁴ = 16
5) 3¹² 3¹⁰ = 3¹²⁻¹⁰ = 3² = 9
6) 5¹⁰ (25)⁵ = 5¹⁰ (5²)⁵ = 5¹⁰ : 5¹⁰ = 1
147. Знайди значення виразу
1) 2 · 7¹³ : 2 · 7¹² = 7¹³⁻¹² = 7¹ = 7
2) 65 : 6³ = 65 ³ = 6² = 36
3) (−0.8)5 : (−0.8)3 = (−0.8)5–3= (−0.8)² = 0.64
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
4) (11 3)8 : (11 3)6 = (1 3)8–6 = (1 3)² = 1 9
5) (11 3)⁸ : (11 3)⁶ = (11 3)⁸⁻⁶ = (11 3)² = 16 9
6) 0.5⁸ : 0.5⁶ = 0.5⁸⁻⁶ = 0.5² = 0.25
7) 224: (22)10 = 224 20 = 24 = 16
148. Виконай піднесення до степеня
а) (a²)³ = a²⋅³ = a⁶
б) (x³)² = x³⋅² = x⁶
в) (y⁷)² = y⁷⋅² = y¹⁴
г) ((2 – a)³)⁴ = (2 – a)³⋅⁴ = (2 – a)¹²
ґ) ((x⁵)⁶)³ = x⁵ ⁶ ³ = x⁹⁰
д) (((x – y)⁵)⁴)³ = (x – y)⁵ · ⁴ · ³ = (x – y)⁶⁰
149. Виконай піднесення до степеня
1) (m³)³ = m⁸⋅³ = m²⁴
2) (x¹⁰)³ = x¹⁰⋅³ = x³⁰
3) (a⁵)ⁿ = a⁵ⁿ
4) ((z²)⁸)³ = z²⋅⁸⋅³ = z⁴⁸
5) ((3 – b)³)⁷ = (3 – b)³⋅⁷ = (3 – b)²¹
6) ((m + n)³)⁵)² = (m + n)³⋅⁵⋅² = (m + n)³⁰
150. Гра
151. Подай вирази
1) (c⁴)² = c⁴⋅² = c⁸
2) (c²)⁴ = c²⋅⁴ = c⁸
152. Виконай піднесення до степеня
1) (xy)⁴ = x⁴y⁴
2) (3a)² = 3²a² = 9a²
3) (5x)³ = 5³x³ = 125x³
4) (–10ab)² = (–10)²a²b² = 100a²b²
5) (–2xy)⁵ = (–2)⁵x⁵y⁵ = –32x⁵y⁵
6) (–0.3b²d)³ = (–0.3)³(b²)³d³ = –0.027b⁶d³
153. Виконай піднесення до степеня
1) (ac)⁹ = a⁹c⁹
2) (5x)⁴ = 5⁴x⁴ = 625x⁴
3) (2y)⁶ = 2⁶y⁶ = 64y⁶
4) (–8mn)² = (–8)²m²n² = 64m²n²
5) (–3pk)³ = (–3)³p³k³ = –27p³k³
6) (–0.5c⁴d)³ = (–0.5)³(c⁴)³d³ = –0.125c¹²d³
154. Додатне чи
1) (–5)²¹ : (–5)¹³ = (–5)²¹–¹³ = (–5)⁸
(8),
2) (–8)⁸ · (–8)¹¹ = (–8)⁸+¹¹ = (–8)¹⁹
(19),
3) (–3)⁵ · (–3)⁷ · (–3)4 = (–3)5+7+4 = (–3)¹⁶
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
155.
а) (–2)³ · (–2)¹⁰ і (–2)⁸
(–2)³ · (–2)¹⁰ = (–2)³⁺¹⁰ = (–2)¹³
(–2)¹³ < (–2)⁸
б) (–3)⁷ : (–3)⁵ і (–3)⁷⁵
(–3)⁷ : (–3)⁵ = (–3)⁷⁻⁵ = (–3)²
(–3)² > (–3)⁷⁵
в) (–10)⁵ · (–10)³⁵ і (–100)⁹¹
(–10)⁵ · (–10)³⁵ = (–10)⁵⁺³⁵ = (–10)⁴⁰
(–100)⁹¹ = (10²)⁹¹ = 10¹⁸²
(–10)⁴⁰ < 10¹⁸²
г) (–7)³² : (–7)³¹ і (–7) : (–7)
(–7)³² : (–7)³¹ = (–7)³²⁻³¹ = (–7)¹
(–7) : (–7) = (–7)¹⁻¹ = (–7)⁰ = 1
(–7)¹ = –7, 1 = 1
156. Compare the values of the expressions.
1) (–6)²¹ · (–6)² < (–6)³⁰
(–6)²¹ · (–6)² = (–6)²¹⁺² = (–6)²³
(–6)²³ < (–6)³⁰
2) (–4)¹² : (–4)⁷ < (–4)¹⁶
(–4)¹² : (–4)⁷ = (–4)¹²⁻⁷ = (–4)⁵
(–4)⁵ < (–4)¹⁶
3) (–2)⁹ · (–2)¹⁵ > (–2)²⁵
(–2)⁹ · (–2)¹⁵ = (–2)⁹⁺¹⁵ = (–2)²⁴
(–2)²⁴ > (–2)²⁵
4) (–5)⁶ · (–5)⁵ < (–5) : (–2) (–5)⁶ · (–5)⁵ = (–5)⁶⁺⁵ = (–5)¹¹
(–5) : (–2) > (–5)¹¹
157. Обчисли значення виразу
1) 2¹³ · 0.5¹³ = (2 · 0.5)¹³ = 1¹³ = 1
2) 0.5¹⁸ · 2¹⁸ = (0.5 · 2)¹⁸ = 1¹⁸ = 1
3) 2⁷ · 0.04⁷ = (25 · 0.04)⁷ = 1⁷ = 1
4) 5³³ · 0.2³³ = (5 · 0.2)³³ = 1³³ = 1
5) 8⁵ · (1 4)⁵ = (8 · 1 4)⁵ = 2⁵ = 32
6) (21 3)¹² · (33 7)¹² = (7 3 · 3 7)¹² = 1¹² = 1
158.
1) 2⁷ · 5⁷ = (2 · 5)⁷ = 10⁷ = 10000000
2) 0.25¹⁰ · 4¹⁰ = (0.25 · 4)¹⁰ = 1¹⁰ = 1
3) (–8)¹¹ · 0.125¹¹ = (–8 · 0.125)¹¹ = (–1)¹¹ = –1
4) 0.2⁸ · 0.5⁸ = (0.2 · 0.5)⁸ = 0.1⁸
5) 6⁶ · (1 3)⁶ = (6 · 1 3)⁶ = 2⁶ = 64
6) (13 5)¹⁶ · (5 8)¹⁶ = (8 5)¹⁶ · (5 8)¹⁶ = 1¹⁶ = 1
159. Чи має розв’язки рівняння?
1) x² · x4 = 1 x²⁺4 = x³ = 1
2) x³ · x⁶ = –1 x³⁺⁶ = x⁹ = –1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Рівняння не має розв'язків x = –1
3) (x¹)³ = 0
x⁷ ³ = x²¹ = 0
x = 0
160. Розв’яжи рівняння.
1) x⁸ · x⁷ = 1
x⁸⁺⁷ = x¹⁵ = 1
x = 1
3) x2 · x² = 1
x2+2 = x4 = 1
x = 1 або x = –1
161. Знайдіть суму, різницю,
4) (x⁸)² = 1
x¹⁶ = 1 x = 1 або x = –1
2) y4 · y5 = –1 y4+5 = y⁹ = –1 y = –1
4) z³ · z² · z⁸ = –1
z³⁺²⁺⁸ = z¹³ = –1 z = –1
a + b = 2.4 · 10⁵ + 3 · 10⁵ = (2.4 + 3) · 10⁵ = 5.4 · 10⁵
a – b = 2.4 · 10⁵ – 3 · 10⁵ = (2.4 – 3) · 10⁵ = –0.6 · 10⁵ = –6 · 10⁴
a · b = 2.4 · 10⁵ · 3 · 10⁵ = (2.4 · 3) · 10⁵⁺⁵ = 7.2 · 10¹⁰
a : b = (2.4 · 10⁵) : (3 · 10⁵) = (2.4 : 3) · (10⁵ : 10⁵) = 0.8 б)
a + b = 1.5 · 10⁷ + 5 · 10⁷ = (1.5 + 5) · 10⁷ = 6.5 · 10⁷
a – b = 1.5 · 10⁷ – 5 · 10⁷ = (1.5 – 5) · 10⁷ = –3.5 · 10⁷
a · b = 1.5 · 10⁷ · 5 · 10⁷ = (1.5 · 5) · 10⁷⁺⁷ = 7.5 · 10¹⁴
a : b = (1.5 · 10⁷) : (5 · 10⁷) = (1.5 : 5) · (10⁷ : 10⁷) = 0.3
в)
a + b = 1.5 · 10⁷ + 5 · 10⁷ = (1.5 + 5) · 10⁷ = 6.5 · 10⁷
a – b = 1.5 · 10⁷ – 5 · 10⁷ = (1.5 – 5) · 10⁷ = –3.5 · 10⁷
a · b = 1.5 · 10⁷ · 5 · 10⁷ = (1.5 · 5) · 10⁷⁺⁷ = 7.5 · 10¹⁴
a : b = (1.5 · 10⁷) : (5 · 10⁷) = (1.5 : 5) · (10⁷ : 10⁷) = 0.3
г)
a + b = 6.4 · 10⁴ + 3.2 · 10⁴ = (6.4 + 3.2) · 10⁴ = 9.6 · 10⁴
a – b = 6.4 · 10⁴ – 3.2 · 10⁴ = (6.4 – 3.2) · 10⁴ = 3.2 · 10⁴
a · b = 6.4 · 10⁴ · 3.2 · 10⁴ = (6.4 · 3.2) · 10⁴⁺⁴ = 20.48 · 10⁸ = 2.048 · 10⁹
a : b = (6.4 · 10⁴) : (3.2 · 10⁴) = (6.4 : 3.2) · (10⁴ : 10⁴) = 2
162. Виконай дії.
1) 2.5 · 10⁵ + 3.3 · 10⁵ = (2.5 + 3.3) · 10⁵ = 5.8 · 10⁵
2) 7.7 · 10⁷ – 5 · 10⁷ = (7.7 – 5) · 10⁷ = 2.7 · 10⁷
3) (6.4 · 10⁶) : (1.6 · 10⁶) = (6.4 : 1.6) · (10⁶ : 10⁶) = 4 · 1 = 4
4) (6.4 · 10³) · (2 · 10³) = (6.4 · 2) · (10³ · 10³) = 12.8 · 10⁶
163. Заміни зірочку
1) x⁶ · x* = x¹⁵
x⁶⁺* = x¹⁵ ⇒ * = 9
x⁶ · x9 = x¹⁵ 2) a¹⁰ · a* · a = a¹⁷
= a¹⁷ ⇒ * = 6
· a⁶ · a = a¹⁷ 3) (*)⁵ = x²⁰
= x²⁰ ⇒ * = x⁴ (x4)⁵ = x²⁰ 164.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3) 0.125⁴¹ · (–8)⁴⁰ = (0.125 · –8)⁴⁰ · 0.125 = (–1)⁴⁰ · 0.125 · 0.125 = 0.125
4) 5²⁷ · 0.2³⁰ = (5 · 0.2)²⁷ · 0.2³ = 1²⁷ · 0.008 = 0.008
5) (–0.25)¹⁵ · 4¹⁶ = (–0.25 · 4)¹⁵ · 4 = (–1)¹⁵ · 4 = –1 · 4 = –4
6) 4³¹ · 2.5³⁰ = (4 · 2.5)³⁰ · 4 = 10³⁰ · 4
166. Обчисли
1) 5²⁰ · 0.2¹⁸ = (5 · 0.2)¹⁸ · 5² = 1¹⁸ · 25 = 25
2) 0.04¹² · 25¹¹ = (0.04 · 25)¹¹ · 0.04 = 1¹¹ · 0.04 = 0.04
3) (–2.5)¹⁷ · (0.4)¹⁹ = (–2.5 · 0.4)¹⁷ · 0.4² = (–1)¹⁷ · 0.16 = –1 · 0.16 = –0.16
4) 10²⁶ · 0.1²⁸ = (10 · 0.1)²⁶ · 0.1² = 1²⁶ · 0.01 = 0.01
5) 2²² · 0.5²⁰ = (2 · 0.5)²⁰ · 2² = 1²⁰ · 4 = 4
6) 1.25²²
Обчисли
а) (–5 7)¹² · (–7 5)¹⁴ = (–5 7)(–7 5))¹² · (–7 5)2 = 1¹² · (49 50) = 49 50 б) 7¹⁵ · (–1 7)¹⁶ = (7 · (–1 7))¹⁵ · (–1 7) = (–1)¹⁵ · (–1 7) = 1 7 в) (2 3)¹⁰ · (3 2)¹¹ = ((2 3) · (3 2))¹⁰ · (3 2) = 1¹⁰ · (3 2) = 11 2 г) (–0,4)⁸ · 3⁴ · (–2,5)⁸ = ((–0,4) · (–2,5))⁸ · 3⁴ = 1⁸ · 81 = 81
ґ) 0,2⁷ · 0,3² · 5⁷ = (0,2 · 5)⁷ · 0,09 = 1⁷ · 0,09 = 0,09
25¹⁰ · 2⁸ · 0,04¹⁰ = (25 · 0,04)¹⁰ · 256 = 1¹⁰ · 2⁸ = 256 168. Обчисли
1) (3 8)¹⁵ · (8 3)¹³ = ((3 8) · (8 3))¹³ · (3 8)² = 1¹³ · (3 8)² = (3 8)² = 9 64
2) 6¹² · (1 6)¹⁴ = 6¹² · (1 6)¹² · (1 6)² = 1¹²⁻¹² · (1 6)² = 1 · (1 6)² = 1 36
3) (5 9)¹³ · (–9 5)¹⁴ = ((5 9) · (–9 5))¹³ · (–9 5) = (–1)¹³ · (–9 5) = 9 5
4) (–0.2)⁷ · 6³ · (–5)⁷ = ((–0.2) · (–5))⁷ · 6³ = 1⁷ · 6³ = 216
5) 2.5⁹ · 0.7³ · 0.4⁹ = (2.5 · 0.4)⁹ · 0.7³ = 1⁹ · 0.7³ = 0.343
6) 0.25¹² · 54 · 4¹² = (0.25 · 4)¹² · 54 = 1¹² · 54 = 625
169. Подай у вигляді степеня добуток
1) a⁵ · (a²)⁷ = a⁵ · a¹⁴ = a⁵⁺¹⁴ = a¹⁹
2) (x²)³ · (x³)⁴ = x⁶ · x¹² = x⁶⁺¹² = x¹⁸
3) y · (y5)² · y⁶ = y · y¹⁰ · y⁶ = y1+¹0⁺⁶ = y¹⁷
4) (b³ · b⁵)² = (b3+5)² = b¹⁶
5) (−a2)³ · (−y3)⁵ = −a6 · а15 = −a6⁺¹⁵ = −a²¹
6) (−y)⁶ · (−y4)⁵ = y⁶ · y²⁰ = y⁶⁺²⁰ = y²⁶
7) (x · x⁸)³ · x³ = (x¹⁺⁸)³ · x³ = x⁹ · 3 · x³ = x27 · x³ = x³⁰
8) (–a⁴)³ · ((–a)³)⁵ = –a¹² · –a¹⁵ = а12+15 = a²⁷
9) (((–x)³)² · (–x)⁴ = x⁶ · x⁴ = x¹⁰
170. Подай у вигляді степеня добуток
1) c⁶ · (c³)⁹ = c⁶⁺²⁷ = c³³
2) (a⁴)³ · (a³)⁶ = a¹² · a¹⁸ = a¹²⁺¹⁸ = a³⁰
3) x · (x⁵)⁴ · (x⁶)³ = x · x²⁰ · x¹⁸ = x¹⁺²⁰⁺¹⁸ = x³⁹
4) (p⁵ · p⁷)³ = (p⁵⁺⁷)³ = p¹² · p³ = p³⁶
5) (–х)⁶ · (–x⁸)³ = (–x)⁶ · (–х)²⁴ = (–x)⁶⁺²⁴ = –x³⁰
6) (–a⁶)³ · ((–a)²)⁵ = –a¹⁸ · a¹⁰ = –a¹⁸⁺¹⁰ = –a²⁸
171. Подай у
1) 5⁶ · 125 = 5⁶ · 5³ = 5⁶⁺³ = 5⁹
2) 2¹⁰ · 64 = 2¹⁰ · 2⁶ = 2¹⁰⁺⁶ = 2¹⁶
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3) 0.001 · 0.1⁵ = 0.1³ · 0.1⁵ = 0.1³⁺⁵ = 0.1⁸
4) 27 64 · 9 16 = (3 4)³ · (3 4)² = (3 4)³⁺² = (3 4)⁵
5) 0.4 · 0.16 = (0.2²) · (0.2⁴) = 0.2²⁺⁴ = 0.2⁶
6) (–0.3)⁵ · (–0.027)² = (–0.3)⁵ · (–0.3)⁶ = (–0.3)⁵⁺⁶ = (–0.3)¹¹ 172.
1) 36 · 6⁸ = (6²) · 6⁸ = 6²⁺⁸ = 6¹⁰
2) 128 · 2⁵ = 2⁷ · 2⁵ = 2⁷⁺⁵ = 2¹²
3) 0.25 · 0.125 = (0.5²) · (0.52) = 0.5²⁺³ = 0.5⁵
4) 16 625 · (–8 125)² = –(2 5)⁴ · (2 5)³ = –(2 5)7
5) 0.6 · 0.216 = (0.6) · (0.6³) = 0.6¹⁺³ = 0.6⁴
6) (–0.4)⁶ · (–0.064)⁴ = (–0.4)⁶ · (–0.4)⁹ = (–0.4)⁶⁺⁹ = (–0.4)¹⁵ 173. Знайди значення виразу а) ( 11⁶ 11²³)⁴ = 11²⁴ 11²³ = 11; б) (6⁵)³ · (6²)⁵ (6¹⁷ · (6²)³) = 6¹⁵ · 6¹⁰ (6¹⁷ · 6⁶) = 6²⁵ 6²³ = 36;
в)
5⁶ 25⁴
25 · 125⁴ = 5⁶ 5⁸ 5² · 5¹² = 5¹⁴ 5¹⁴ = 1;
6⁹
2⁹ 3¹⁰ = 6⁹ 6⁹ 3 = 1 3;
5⁷ 3⁸ 15⁶ = (5 3² 15) 15⁶ = 45; д) 12 3⁸ · 8⁶ = (3 · 3⁸ · 4⁹) (3⁸ · (2³)⁶) = 3 · 2¹⁸ 2¹⁸ = 3¹ = 3.
а) (13⁵)⁶ 13²⁹ = 13³⁰ 13²⁹ = 13;
б) (8⁴)³ (8³)⁴ 8¹⁰ (8²)⁶ = 8¹² 8¹² 8¹⁰ 8¹⁶ = 8²⁴ 8²⁶ = 1 64;
в) 9⁴ 275 3⁵ 8¹⁴ = (3²)⁴ (3³)⁵ 3⁵ (3⁴)⁴ = 3⁸ 3¹⁵ 3⁵ 3¹² = 3²³ 3¹⁷ = 3⁶ = 729;
г) 3⁹ 4⁸
12¹²⁸ = 3 12⁸ 12⁸ = 3;
д)
е)
7⁹ 3³
2¹⁷ = 7² 3 21¹⁷ 2¹⁷ = 147;
16⁹ · 5²⁰ 20¹⁸ = 4¹⁸ · 5¹⁸ · 5² 20¹⁸ = 5² = 25
175. Розв’яжи рівняння.
а) 3x² · x⁵ + 3 = 0
3x⁷ + 3 = 0
3x⁷ = –3
x⁷ = –1
x = –1; б) –2y⁴ · y⁷ = 2 y¹¹ = –1 y = –1;
в) (2x)⁵ = –32
32x⁵ = –32
x⁵ = –1
x = 1;
176. Знайди
а) 5 + z = 7; z = 2;
б) 2x = x + 5; x = 5;
в) 12x = x + 22; 11x = 22; x = 2.
г) (x³ · x⁴)³ = –1 (x¹³)³ = –1
x³⁹ = –1
x = –1.
а) 6ˣ · 6⁴ = ((6³)ˣ)
6ˣ⁺⁴ = 6³ˣ
x + 4 = 3x
2x = 4
x = 2
6² · 6⁴ = 6⁶
= (6³)² · (6³)⁶ = 7¹²⁻⁴ = 7⁴⁸
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) (7⁶)⁸ = 7¹²ˣ
7⁴⁸ = 7¹²ˣ
48 = 12x
x = 4
7⁸ = 7⁴⁸ = 7¹²⁻⁴
в) (2⁵)ˣ · 2² = (2⁴)ˣ · (2¹)⁴
2⁵ˣ · 2² = 2³ˣ · 2⁴
2⁵ˣ⁺² = 2⁷ˣ
5x + 2 = 7x 2x = 2 x = 1
(2⁵)¹ · 2² = 2⁵ · 2² = 2⁷ = 2³⁺¹ · 2¹⁺¹ = 2⁷
178. Знайди суму, різницю, добуток
а)
3 · 10⁻¹ + 2 · 10⁻⁷ = 5 · 10⁻¹;
3 · 10⁻¹ – 2 · 10⁻⁷ = 1 · 10⁻¹ = 10⁻¹;
(3 · 10⁻¹) · (2 · 10⁻⁷) = 6 · 10⁻¹⁴;
(3 · 10⁻¹) : (2 · 10⁻⁷) = 1,5;
б)
4,5 · 10¹⁰ + 3 · 10⁹ = 4,5 · 10¹⁰ + 3 · 10⁹ = 48 · 10⁹ = 4,8 · 10¹⁰;
4,5 · 10¹⁰ – 3 · 10⁹ = 45 · 10⁹ – 3 · 10⁹ = 42 · 10⁹ = 4,2 · 10¹⁰;
(4,5 · 10¹⁰) · (3 · 10⁹) = 13,5 · 10⁹ = 1,35 · 10¹⁰;
(4,5 · 10¹⁰) : (3 · 10⁹) = 1,5 · 10 = 15 = 1,5 · 10;
в) –6 · 10¹⁸ + 1,2 · 10¹² = –60 · 10¹² + 1,2 · 10¹² = –58,8 · 10¹² = –5,88 · 10¹³; –6 · 10¹³ – 1,2 · 10¹² = –60 · 10¹² – 1,2 · 10¹² = –61,2 · 10¹² = –6,12 · 10¹³;
(–6 · 10¹³) · (1,2 · 10¹²) = –7,2 · 1025; (–6 · 10¹³) : (1,2 · 10¹²) = –5 · 10 = –50 = –5 · 10.
179. Знайди суму, різницю, добуток і частку чисел
а) 1,4 · 10⁻⁶ + 7 · 10⁻⁶ = 8,4 · 10⁻⁶;
1,4 · 10⁻⁶ – 7 · 10⁻⁶ = –5,6 · 10⁻⁶;
(1,4 · 10⁻⁶) · (7 · 10⁻⁶) = 9,8 · 10⁻¹²;
(1,4 · 10⁻⁶) : (7 · 10⁻⁶) = 0,2 = 2 · 10⁻¹;
б) 3,5 · 10⁻⁴ + 5 · 10⁻⁴ = 8,5 · 10⁻⁴;
3,5 · 10⁻⁴ – 5 · 10⁻⁴ = –1,5 · 10⁻⁴;
(3,5 · 10⁻⁴) · (5 · 10⁻⁴) = 17,5 · 10⁻⁶ = 1,75 · 10⁻⁷;
(3,5 · 10⁻⁴) : (5 · 10⁻⁴) = 0,7 = 7 · 10⁻¹.
в)
2,8 · 10¹⁹ + 7 · 10²⁰ = 2,8 · 10¹⁹ + 70 · 10¹⁹ = 72,8 · 10¹⁹ = 7,28 · 10²⁰;
2,8 · 10¹⁹ – 7 · 10²⁰ = 2,8 · 10¹⁹ – 70 · 10¹⁹ = –67,2 · 10¹⁰ = –6,72 · 10²⁰;
(2,8 · 10¹⁹) · (7 · 10²⁰) = 19,6 · 10³⁹ = 1,96 · 10⁴⁰;
(2,8 · 10¹⁹) : (7 · 10²⁰) = 0,4 · 10⁻¹ = 0,04 = 4 · 10⁻².
180. Виконай дії.
а) 2,5 · 10⁴ + 3,3 · 10⁵ = 2,5 · 10⁴ + 3,3 · 10 · 10⁴ = 35,5 · 10⁴ = 3,55 · 10⁵;
б) 5,5 · 10⁷ + 8,3 · 10⁶ = 55 · 10⁶ + 8,3 · 10⁶ = 63,3 · 10⁶ = 6,33 · 10⁷; в) 7,7 · 10⁴ – 7,1 · 10⁶ = 7,7 · 10⁴ – 710 · 10⁴ = –702,3 · 10⁴ = –7,023 · 10⁸; г) 6,4 · 10⁻³ · 2 · 10⁴ = 6,4 · 20 = 128.
181. Користуючись малюнком 4.1, вирази
суму n перших непарних чисел. 1²; 3²; 5², тобто (2n + 1)², де n = 0, 1, 2.
182. Продовж послідовність.
а) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...; б) 1, 8, 27, 64, 125, ...
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
183. Чи є тотожністю рівність?
а) 3x + 5 ≠ 3(x + 5); 3x + 5 ≠ 8x + 15. Ні.
б) 3(x – 4) = 3x – 12; 3x – 12 = 3x – 12. Так.
в) (2a – b)² = (b – 2a)²; 4a² – 4ab + b² = b² – 4ab + 4a². Так. г) (2x – 3y)² ≠ (3y – 2x)²; (2x – 8y)³ ≠ –((2x + 3y)³). Ні.
д) (a + b) · 0 = a + b. Ні. е) y · (x – x) = 0. Так.
184. Добова потреба підлітка
Нехай вага семикласника 60 кг.
Отже, 60 • 52 = 3120 (ккал) треба
3120 + 3120 · 1 6 = 3120 + 520 = 3640 (ккал) Відповідь: щоденно потрібно 3640 калорій
степенів.
400 2 6561 3
200 2 2187 3
100 2 729 3
50 2 243 3 25 5 81 3 5 5
одночленами?
а) 2 3 abcˣ так, це одночлен, оскільки це добуток
б) (a + b)x ні, це не одночлен, оскільки
а) Вартість покупки: 3а. Так, це одночлен. б) Кількість печива: 6а ∙ 20 = 120а. Так, це одночлен.
в) Площа новоутвореної ділянки: 2а ∙ а = 2а². Так, це одночлен.
193. Запиши одночлен у стандартному вигляді й підкресли його коефіцієнт.
а) 6аb;
б) 12а³х;
в) –5с²z²;
г) 0, 6а²b²; ґ) 6аb; д) 1аа³; е) 1 2 x⁶; є) –4x³y²z; ж) 5аb²c.
194. Write the monomial in standard form and underline its coefficient. а) 30xy; б) –6m³n; в) 3k⁶p³; г) –1,2a³c⁴; ґ) –2k²c³; д) 10,5mn; е) –8,1kc; є) 16x²y⁷.
195. Обчисли значення одночлена а) 2 · (–1)⁴ · 5 = 10; б) –0,2² · (–3)² = 0,04 · 27 = 1,08; в) 2 3 · 36 1 · 1 2 = 12; г) –5 · 0,2 · 1 8 = –1 8
196. Обчисли значення одночлена а) –3 · 8 · 1 = –24; б) –20 · 0,01 · 8 = –1,6.
197. Перемнож одночлени а) 2ab · 3a²c = 6a³bc; б) 0, 2xy · (–5xy) = –1x²y² = –x²y²;
в) –am² · 3m³p = –3am⁵p; г) 3a³ · 2a²z · 6az³ = 36a⁶z⁴;
ґ) 3xgy² · 1 3 x²y = x³a³y¹;
д) 1 2 3 ax · 3 5 z = 5 3 ax · 3 5 z = axz.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
198. Перемнож одночлени
а) 3m²n · mn² = 3m³n³;
б) 3xy · 1,5x³y² = 4,5x⁴y³;
в) –a⁵c³ · 9ac³ = –9a⁶c⁶;
г) abcd · (–ab²c³) = –a²b³c⁴d; ґ) 2y · (–3y)² · y³ = –6y⁶;
д) 2 5 x⁵y⁴ · (–5 7 xy³) = –2 5 · 5 7 x⁶y⁷ = –2 7 x⁶y⁷.
199.Гра
200. Піднеси до квадрата і до куба одночлен
а) (2аx)² = 4a²x²; (2аx)³ = 80a³x³;
б) (5bc²)² = 25b²c⁴; (5bc²)³ = 125b³c⁶;
в) (–1 2 x⁵c²)² = 1 4 x¹⁰c⁴; (–1 2 x⁵c²)³ = –1 8 x¹⁵c⁶;
г) (0, 2x³m)² = 0,04x⁶m²; (0, 2x³m)³ = 0,008x⁹m³
201. Піднеси до квадрата і до куба одночлен
а) (–3a²)² = 9a⁴; (–3a²)³ = –27a⁶;
б) (0, 2x³m)² = 0,04x⁶m²; (0, 2x³m)³ = 0,008x⁹m³;
в) (0,3a³c⁴)² = (0,3a³c⁴)² = 0,09a⁶c⁸; (0,3a³c⁴)³ = 0,027a⁹c¹²;
г) (–2 3a²x³)² = 4 9 a⁴x⁶; (–2 3 a²x³)³ = –8 27 a⁶x⁹
202. Спрости вираз
а) (3аx²)³ = 27a³x⁶;
б) (x³y³)² = x⁶y⁶;
в) (–2ab)³ = –8a³b³;
г) (–3xy³) · 2xy² = –6x²y⁵;
ґ) 2 3 a³(–3ax)⁴ = 2 3 · 81a³a⁴x⁴ = 54a⁷x⁴;
Д) –0,7y³(–1 7 y³)² = –0,7 · 1 49 y⁶ = –1 70 y⁹
203. Спрости вираз
а) (3m³c)² = 9m⁶c²;
б) (k⁵p³)⁷ = k³⁵ · p²¹;
в) (–2a²b)⁴ = 16a⁸b⁴;
г) (–2a²c)³ · a³c² = –8a⁶c³ · a³ · c² = –8a⁹c⁵;
ґ) 1 8 c²(–2xc)³ = 1 8 · (–8)c²x³c³ = –c⁵x³;
д) (1 3 pq)⁴ · p³ · p³ = 1 81 p⁴q8p³q³ = 1 81 p⁷q¹¹
204. Подай вираз у вигляді квадрата одночлена.
а) 16a⁴b² = (4a²b)²;
б) 0,36x⁸y¹² = (0,6x⁴y⁶)²;
в) 0,01a¹⁸c¹⁰ = (0,1a⁹c⁵)²;
г) 361m⁶n³⁰ = (19m³n¹⁵)²;
ґ) 9 25 a²⁶p¹⁴ = (3 5 a¹³p⁷)²;
д) 16 49 x¹⁶y¹²z⁴ = (4 7 x⁸y⁶z²)².
205. Подайте вираз у вигляді куба одночлена.
а) –8a⁶ = (–3a²)³;
б) 27x⁹y¹⁵ = (3x³y⁵)³;
в) –0,001a³b¹² = (–0,1ab⁴)³;
г) 0,064x¹⁸y²⁷ = (0,4x⁶y⁹)³;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) –1 125 a⁹b⁶c³ = (–1 5 a³b²c)³; д) 1000000y²¹x³⁰ = (100y⁷x¹⁰)³.
206. Перемножте
X 5x –0,1x 2x² a Ax 5ax –0,1ax 2a x² 2a 2ax 10ax –0,2ax 4a x² –3ax –3a x² –15a x² 0,3a x² –6a x³ 4a² 4a²x 20a³x –0,4a²x 8a²x²
207. Запиши у стандартному
а) 2a · 5x · (–1 2 5 a) = 2 · (–7 5) · 5a²x = –14a²x;
б) c³ · (–2 7)cx = –2 7 c⁴x; в) –5a²z³ · (–3 5 z) = 3a²z⁴;
г) –3aax² · 2a · (–6x³) = 36a²x⁵;
ґ) 2 3 ac² (c²) = –2 3 ac⁵;
д) –4a · 3axy (–3 4 x²y) = 9a²x³y².
208. Запиши у стандартному вигляді одночлен
а) 0, 8xyz • (–5y)³ = 100xу⁴z;
б) 3a³ • (–2 3ab⁵c²) = –2a³b⁵c²;
в) 5 7xy • (–7 10xy) = –1 2x²y²;
г) –2cz³ • 3z • (–5cz) = 30z⁵c²;
д) (–3 4acx) • (–4 5ax²) = 3 5a²x²4c;
е) –1 2cz² • 4cx • (–c) = 2c³xz³.
209. Обчисли значення одночлена
а) Якщо a = 1 2, c = –3, то –2 3 • (1 2)² • (–3)⁴ = –2 3 • 1 4 • 81 = –27 2 = –13,5; б) якщо a = 2, b = –0,1 то 0,5 • (2)² • (–0,1) = –1,6.
210. Обчисли значення одночлена а) якщо c = 1,5 і x = –10, то 2 • (1,5)² • (–10)³ = 2 • 2,25 • (–1000) = –4500; б) –8xz⁶, якщо x = 0 і z = –2, то –8 • 0 • (–2)⁶ = 0; в) 113 27 • (6xy)² • (1 3xy)³, якщо x = 3 і y = 1 2, то 40 27 • 36x²y⁶ • 1
211. Знайди добуток
а) –axyz · 2az² · (–3x) = 6a²x²yz³; б) 6x²y · 0,2x²z · 10y²z = 10x⁴y³z²; в) 5a² · 3xy³ · (–2 3 axy³) = –10a³x²y⁶; г) (–2 1 3 ab²) · (–3 7 ab²) · 3b² = –7 3 · (–3 7) · 3a²b⁶ = 3a²b⁶.
212. Знайди добуток одночленів а) 0,5mnk³ · m²n² · 4n² = 2 · m³ · n⁴ · k⁵;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) –1 2 3 an² m · (–3an²) · (–0,2a) = –a³ · n⁴ · m.
213. Піднеси до куба одночлен
а) (3cx)³ = 27c³x³;
б) (2a²m)³ = 8a³m³;
в) (–2 3 ab²c³)³ = –8 27 c³b⁶c⁹;
г) (–1 1 2 c²n²p)³ = –8 3 c⁶n⁶p³;
г) (–1 2 3 an²c³)³ = –125 27 a³n⁶c⁹.
214. Піднеси до четвертого степеня одночлен
а) (3x²)⁴ = 81x⁸;
б) (–0,1ac²)⁴ = 0,0001a⁴c⁸;
в) (–2 3 x²y)⁴ = 16 81 x⁸y⁴;
г) (–1 1 2 ab²c)⁴ = 81 16 a⁴b⁸c⁴ = 5 1 16 a⁴b⁸c⁴.
215. Спрости вираз
а) –x² · (3x²y)³ = –x² · 27x⁹y³ = –27x¹¹y³;
б) c³ · (3cx²)² = c³ · 9c²x⁴ = 9c⁵x⁴;
в) 0,5mn⁴ · (–2m)⁵ = 0,5mn⁴ · (–32)m⁵ = –16m⁶n⁴; г) (–a⁶b³)⁷ · 6a³b⁴ = –a⁴²b²¹ · 6a³b⁴ = –6a⁴⁵b²⁵;
г) (2a²x)² · 1 2 a = 4a⁴x² · 1 2 a = 2a⁵x²;
д) (3nz²)² · (1 3 nzx)³ = 9n²z⁶ · 1 27 n³z³x³ = 1 3 n⁵z⁹x³.
216. Спрости вираз 1) – Г; 2) – В; 3) – Б.
217. Покажи, що рівняння не має розв’язків
а) x¹² + 3 = 0; x¹² = –3; б) 2x¹² = –31; x¹² = –15,5; в) –8y¹² = 64; y¹² = –8. Парна степінь числа
дані рівняння коренів не мають.
218. Розв’яжи рівняння.
а) (x³)⁴ • x • 2 = –1 x¹² • x³ = –1 x¹⁵ = –1 x = –1; б) (–x)³ • x⁵ • (x³)³ = –1
x⁵ • x⁹ = –1
x²⁰ = –1 x²⁰ = 1 x = 1 або x = –1; в) x⁴ • x⁵ • x⁷ = 1 x¹⁶ = 1 x = 1.
219. Замініть зірочку одночленом так, щоб утворилася правильна рівність.
а) –3 10 y² · 1 2 x⁴y⁶ = –0,1x⁴y⁸;
б) –8a²b · (–1 2)a³b⁶ = 4a⁵b⁷;
в) 0,6a²b · 10b² = 6a²b³;
г) 5m²n³ · (–1 5 m³n³) = –m⁵n⁶.
220. Відомо, що 3x²y³ = 7. Знайди
а) Якщо 3x²y³ = 7, то 1,8x²y³ = 0,6 · (3x²y³) = 0,6 · 7 = 4,2;
б) 5x²y⁸ = 5 3 · 3x²y³ = 5 3 · 7 = 35 3 = 11 2 3;
в) –9x⁴y⁶ = –(3x²y³)² = –7² = –49;
г) 7 5 7 x⁶y⁹ = 54 7 x⁶y⁹ = 6 7 · (3y²y³)² = 6 7 · 7² = 42.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
221. Відомо, що 2b²c = 5, (a²b)² = 2. Знайди значення
Якщо 2b²c = 5, (a²b)² = 2, то
а) a⁴b² · 0,5 · 2b² · c = 2 · 0,5 · 5 = 5; б) (a⁴b²)² · 1 2 · 2b²c = 2² · 1 2 · 5 = 10;
в) a⁴ b² · 2 b²c · 2 b²c · 1 4 = 2 · 5 · 5 · 1 4 = 12,5;
г) (–2a²b²c)³ · (3ab²)² = –(2b²c)³ · a⁶ · 9a²b⁴ = = –9 · (2b²c)³ · (a²b)⁴ = –9 · 5³ · 2² = –9 · 125 · 4 = –4500; д) (–0,5a²b⁴)² · (2a²bc)⁵ · (a²b) = 0,25 · 5³ · 2³ = = 0,25 · 125 · 8 = 250.
222. Заповни
грані куба (грань – квадрат) Р = 4х (см).
Так як сума
12х – 4х = 16
8х = 16
х = 2
Сума довжин ребер куба 12 • 2 = 24 (см).
Відповідь: 24 см
б) Ребро куба 2 см.
Sп = 6x² = 6 • 2² = 24 (см²); V = x³ = 2³ = 8 (см³).
Відповідь: 24 см²; 8 см³
225. У саду росли
на 64 більше, ніж яблунь. Скільки
Нехай у саду росли x дерев, яблуні становлять 0,4х, вишень 0,4х + 64. Рівняння:
0,4х + 0,4х + 64 = х;
0,8х + 64 = х;
0,8х – х = –64; –0,2х = –64; х = 64 : 0,2; х = 320.
Яблунь було: 320 • 0,4 = 128;
Вишень було: 128 + 64 = 192.
Відповідь: 320, 128, 192 дерева.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
226. Розв’яжи рівняння.
а) 2х – 3(х + 1) = 0; 2х – 3х – 3 = 0; –х = 3; х = –3;
б) 2х + 3 = 3(х + 1) – х; 2х + 3 = 3х + 3 – х; 2х + 3 = 2х + 3; х – будь–яке число; в) 7(2х – 5) + 3 = 45; 14х – 35 + 3 = 45; 14х = 45 + 32; 14х = 77; х = 77 : 14; х = 5,5; г) 9(х + 2) – 3х = 6(х + 3); 9х + 18 – 3х = 6х + 18; 6х + 18 = 6х + 18; х – будь–яке число.
227. Які з виразів є многочленами?
a) 2x – 3 – многочлен б) 3π����² – многочлен в) x² 3x + 5 x – не многочлен (через наявність змінної у знаменнику) г) g(x – y) – многочлен д) –21 – многочлен
228. Сумою яких одночленів є многочлен?
Відповідь: в) –m² – n² є многочленом, бо складається
229. Обери многочлен стандартного вигляду. Оберіть многочлен стандартного вигляду: a) 2x + 3a – 5 – не стандартний
б) a⁴ – a + 5a + b – не стандартний
в) –x + 3xa – ax + a² – не стандартний
г) –0,5a – 4a² + 3a – 1 – стандартний вигляд
230. Укажи степінь многочлена відносно змінної x.
а) 2ax – 3a + 5 – степінь 1
б) x³ – x⁴ + 4x – степінь 4
в) 2x²y – 3x²y⁶ – 1 – степінь 6
г) 0,7ax + 8a²x + 5 – степінь 2
д) 3x¹ – 27px – степінь 1
е) y5x – a³y⁻ – степінь 1
231. Гра
232. Один
заплатити
8m + 4n
233. Книжка коштує a грн, а 10 зошитів m
книжки і 5 зошитів? 3a + 0,5m
234. Зведи подібні члени многочлена.
а) 4x² + x – 5x² – 12 = –x² + x – 12;
б) –6ab + 2a² + b² – ab = –7ab + 2a² + b²; в) 8a – 10ab + 3a = 11a – 10ab; г) –0,5x² – y² + 2, 2x² + 0,8y = 1,7x² – y² + 0,8y;
1) 20a²b – b²a + 7ab² = 20a²b + 6ab²;
д) (2 3)xy³ – (3 5)x³y – 1 1 3 xy³ + 2x³y = 1 1 5 x³y – (2 3)xy³.
235. Виконай зведення
а) 4x² + 2x – 7x² – 9x³ – 2x = –3x² – 9x³;
б) 8a⁴ – 12 + 13a² + 5 – a² + 8a⁴ = 11a⁴ + 12a² – 7;
в) 27m⁵ – 17m³ – 7 + 10m³ – 30m⁵ = –3m⁵ – 7m³ – 7;
г) y⁴ – 2y³ + 2 + 5y⁸ – 2y – 14 + 7y⁴ = 8y⁴ + 3y³ – 2y – 12.
236.
а) a – b + 3a + 2b² = 4a + 2b² – b;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 7x – y² + 5xy – 2x • 3y = 7x – y² + 5xy – 6xy = 7x – y² – xy;
в) 37 – z³ + 3t – 35z³ = –36z³ + 3t + 37;
г) –105p + 15q + 10p • 10,5 = –105p + 15q + 105p = 15q.
237. Simplify the expression. Find the degree of the polynomial.
а) x + x² + x³ – 2x² – x = x³ – x²;
б) (1 2)a + (1 3)a • 3c – ac = (1 2)a + ac – ac = (1 2)a
238. Обчисліть значення многочлена.
а) Якщо x = 2, то
(2)² – 5 • 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0;
б) якщо x = 0,5, то
0,7 • (0,5)² + 0,3 • (0,5)² = 0,5² = 0,25;
в) якщо a = –0,2, то
2,8 • (–0,2) – 1,8 • (–0,2)² = –0,56 – 1,8 • 0,04 = –0,632;
г) якщо a = 0,4, b = –0,5, то 3ab² = 3 • 0,4 • (–0,5)² = 1,2 • 0,25 = 0,3.
239. Обчисли значення многочлена.
а) Якщо m = 2; n = –8, то 2³ – (–8)² = 8 – 9 = –1;
б) якщо s = 2,3; t = 0,5, то 2,3 + 2 • (0,5)² – 4 = 2,8 + 2 • 0,25 – 4 = –1,2.
240. Визнач площу
квадрат, сторона якого дорівнює c. S = ab – 4c² 241.
25m + 20m + 50 = 45m +
многочленом, m = 12. 45m + 50 = 45 • 12 + 50 = 590 (кг)
маса всього
дорівнює 590 кг 244. Обчисли
многочлена, попередньо звівши
члени а) якщо с = –2, 1, то 2 · (–2, 1)³ – 5 · (–2, 1)² – (–2, 1) + 7 = = –18,522 – 22,05 + 2,1 + 7 = –31,472
б) якщо а = –0,4, х = 1,2, то 3 · (–0,4)² – 2 · (–0,4) · 1,2 – 1,2² = = 0,48 + 0,8 · 1,2 – 1,44 = 1,44 – 1,44 = 0
245. Обчисли значення
а) Якщо х = –7, то –2x² + 6x = –2 · (–7)² – 6 · 7 = –98 – 42 = –140; б) якщо а = 10, b = 0,9, то –a³b² – 10ab = –10³ · 0,9² – 10 · 10 · 0,9 = –810 – 90 = –
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(А–Г), якщо x = 0,1.
1) – В; 2) – Г; 3) – А; 4) – Б.
247. Спрости
1. а) (2a²)³ + 4 · 3a⁶ – 5a – 9 – 13a⁶ + a = = 8a⁶ + 12a⁶ – 5a – 9 – 13a⁶ + a = 7a⁶ – 4a – 9; степінь: 6; б) x² + 2x³ – (3x)² – 4x² · x³ + 7x⁵ – 2x³ = –8x² + 3x⁵; степінь: 5.
248. Спрости
а) (3a³)³ + 4 · 3a⁶ – 14a⁹ – 9 – 13a⁶ – 3a⁴ · 4a⁵ = = 27a⁹ + 12a⁶ – 14a⁹ – 9 – 13a⁶ – 12a⁹ = a⁹ – a⁶ – 9; степінь: 9; б) (–5x) · 2x – (x⁴)² + 6x² + 10 + x³ · 3x⁵ – 3x² = = –10x² – x⁸ + 6x² + 10 + 3x⁸ – 3x² = 2x⁸ – 7x² + 10;
степінь: 8.
249. Запиши у
а) 1000a + 100b + 10 · 0 + c · 1 = 1000a + 100b + c; б) 10000a + 100b + 10c.
250. Запиши
(251–255).
а) 29a + 7; б) 52a + c. 251.
Відповідь:
+ 0,5v₂ = v₁ + 0,5v₂ Відповідь: відстань дорівнює v₁ + 0,5v₂ 254. З
як показано на малюнку 6.2.
многогранника, що залишився. S₆ = 6a² + 9a² + 6a² + 6a² + 9a² + a² + 2a² + 2a² + a² + a² + 2a²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
257.
1) P = (2a + a) · 2 + (2a + a) · 2 + 4a = 6a + 6a + 4a = 16a.
2) P = 2(a + c) + 2(c + c – a) + 2(a + a) = 2a + 2c + 4c – 2a + 2a = 2a + 6c.
258. Обчисли.
а) 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2⁶ = 64; 2⁷ = 128; 2⁸ = 256; 2⁹ = 512; 2¹⁰ = 1024; б) (–1)² = 1; (–1)³ = –1; (–1)⁴ = 1; (–1)²ⁿ = 1; (–1)²ⁿ⁺¹ = –1; в) 10² = 100; 10³ = 1000; 10⁴ = 10000; 10⁵ = 100000; 10⁶ = 1000000; 10⁷ = 10000000; 10⁸ = 100000000;
г) 0,1² = 0,01; 0,1³ = 0,001; 0,1⁴ = 0,0001; 0,1⁵ = 0,00001; 0,2² = 0,04; 0,3³ = 0,027; 0,4⁴ = 0,0256.
259. Дано вирази 3x і 5y.
їх квадратів; г) квадрат їх сум a) (3x)² – (5y)² = 9x² – 25y²; б) (3x – 5y)²; в) (3x)² + (5y)² = 9x² + 25y²; г) (3x + 5y)².
260. Пенсіонер
Яка вартість путівки?
5600 : 10 • 100 = 56000 (грн)
Відповідь: вартість путівки дорівнює 56000 гривень
261. Знайди суму і різницю многочленів.
а) 2x³ - c і 3c:
Сума: (2x³ - c) + 3c = 2x³ - c + 3c = 2x³ + 2c
Різниця: (2x³ - c) - 3c = 2x³ - c - 3c = 2x³ - 4c
б) 5ax - 4 і -4ax + 4:
Сума: (5ax - 4) + (-4ax + 4) = 5ax - 4 - 4ax + 4 = ax + 0 = ax
Різниця: (5ax - 4) - (-4ax + 4) = 5ax - 4 + 4ax - 4 = 9ax - 8
в) 0,5n - p² і p²:
Сума: (0,5n - p²) + p² = 0,5n - p² + p² = 0,5n
Різниця: (0,5n - p²) - p² = 0,5n - p² - p² = 0,5n - 2p²
г) -2y + c² і c² + 2y:
Сума: (-2y + c²) + (c² + 2y) = -2y + c² + c² + 2y = 2c² + 0 = 2c²
Різниця: (-2y + c²) - (c² + 2y) = -2y + c² - c² - 2y = -4y
262.
0?
-(x² - 3x - 2) = -x² + 3x +
x + y
Г -x² + 3x + 2 263.
(x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y
В 2y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
264. Обчисли значення виразу.
а) (2a - 3c + 5) + (a + 3c - 2), якщо a = 3, c = -0,5:
Спочатку підставимо значення:
(2·3 - 3·(-0,5) + 5) + (3 + 3·(-0,5) - 2)
(6 + 1,5 + 5) + (3 - 1,5 - 2)
12,5 + (-0,5) = 12
б) (2a - 3c + 5) - (2a + 3c + 2), якщо a = -0,3, c = 2:
Спочатку підставимо значення:
(2·(-0,3) - 3·2 + 5) - (2·(-0,3) + 3·2 + 2)
(-0,6 - 6 + 5) - (-0,6 + 6 + 2)
(-1,6) - (7,4) = -9
265. Додай многочлени
a) 3a² + 8a – 5 + (–5a² + 2a + 4) = 3a² + 8a – 5 – 5a² + 2a + 4 = –2a² + 10a – 1;
б) 7a² + 15 + (3a² + 2a – 15) = 10a² + 2a;
в) 12x² – 7x + (4x² + 3x – 2) = 16x² – 4x – 2;
г) –7a³b + 5ab² – ab + (3ab² – 4ab + 7a²b) = –7a³b + 5ab² – ab + 3a²b – 4ab + 2a³b = = –5a³b + 3a²b + 5ab² – 5ab;
д) 6a² – 4b² + c² + 2ab – 3bc + (–10b² – 6a² – c² – ac) = = 6a² – 4b² + c² + 2ab – 3bc – 10b² – 6a² – c² – ac = –4b² – 9c² + 2ab – 3bc – ac.
266. Додай многочлени
a) –3n³ + 3p² – 3n² + 3p – 5 = –3n³ + 3p² – 3n² + 3p – 5;
б) 3x²y³ + 5xy² – x²y² – 3x²y² + 5xy⁸ – 3x²y³ = = 3x²y³ + 5xy² – x²y² – 3x²y² + 5xy⁸ – 3x²y³ = 10xy² – 4x²y².
267. Знайдіть різницю многочленів.
a) 2x³ – x² – 3x + 7 – (x² – 3x + 17) = 2x³ – x² – 3x + 7 – x² + 3x – 17 = x³ – x² – 10; б) 4x⁵ + x – 2x³ – 7 – (x⁵ + 3x – 2) = 4x⁵ + x – 2x³ – 7 – x⁵ + x² – 3x + 2 = 3x⁵ – 2x³ – 2x – 5.
268. Find the difference of polynomials
a) 8a²c – 7ac² – a + c – (7a²c² – a + 4) = 8a²c – 7ac² – a + c – 7a²c² + a – 4 = = 8a²c – 7ac² – 7a²c² + c – 4; б) –3x²y – 2xy² – 9 – 3x²y – 2xy² – 4 = –3x²y – 2xy² – 9 – 3x²y – 2xy² + 4 = –5.
269. Знайди різницю многочленів
a) 5a³ – 3a² + 9a – 3a³ – 3a² + 11 = 5a³ – 3a² + 9a – 3a³ + 3a² – 11 = 2a³ + 9a – 11; б) 12c⁵ + 2c³ – 3c + 6 – 2c⁵ – 3c – 2c = 12c⁵ + 2c³ – 3c + 6 – 2c⁵ + 3c + 2c = 10c⁵ + 4c³ + 6.
270.Гра
271. Спрости вираз
a) (7x³ – 2x) + (5 + 11x – 6x³) = x² + 9x + 5;
б) (8ab + 7b – (4ab + 7b – 3)) = 8ab + 7b – 4ab – 7b + 3 = 4ab + 3;
в) (1 – n + n²) – (3n² – 2n + 5) – 7n = 1 – n + n² – 3n² + 2n – 5 – 7n = –2n² – 6n – 4;
г) (x²y + xy²) – (3x²y – 2xy² – 7) + 2x²y = x²y + xy² – 3x²y + 2xy² + 7 + 2x²y = 3xy² + 7;
д) 8ac – (3a² – 2c² + 2ac) – (4a² + 2c²) = 8ac – 3a² + 2c² – 2ac – 4a² – 2c² = –7a² + 6ac.
272. Спрости вираз
a) (2a² + 3a – 4) + (5a² – a + 7) = 2a² + 3a – 4 + 5a² – a + 7 = 7a² + 2a + 3;
б) (6x³ + 8x – 5) – (4x² + 8x – 5) = 6x³ + 8x – 5 – 4x² – 8x + 5 = 6x³ – 4x²; в) (3z⁴ – 2z³ + 12z – 5) – (3z⁴ – 2z – 5) = 3z⁴ – 2z³ + 12z – 5 – 3z⁴ + 2z + 5 = –2z³ + 14z; г) (–5c³ – 2c + 3c²) – (1 – c – 2c² – 5c³) = –5c³ – 2c + 3c² – 1 + c + 2c² + 5c³ = 5c² – c – 1.
273. Обчисли значення виразу a) (c³ – 2c² + 3c – 4) – (c³ – 3c² – 5), якщо c = 2, то
c³ – 2c² + 3c + 4 – c³ + 3c² + 5 = c² + 3c + 1 = 2² + 3 • 2 + 1 = 11;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 4x² – (–2x³ + 4x² – 5), якщо x = –3, то
4x² + 2x³ – 4x² + 5 = 2x³ + 5 = 2 • (–3)³ + 5 = –54 + 5 = –49;
в) 2p – (1 – p² – p³) – (2p + p² – p³), якщо p = –4, то 2p – 1 + p² + p³ – 2p – p² + p³ = 2p³ – 1 = 2 • (–4)³ – 1 = –128 – 1 = –129.
274. Обчисли
a) (x³ – 3x² + 3x – 1) – (3x – 3x²), якщо x = 3, то
x³ – 3x² + 3x – 1 – 3x + 3x² = x³ – 1 = 3³ – 1 = 27 – 1 = 26; б) (5a⁴ – 2a³) – (4a⁴ – 2a³ + 1), якщо a = –2, то
5a⁴ – 2a³ – 4a⁴ + 2a³ – 1 = a⁴ – 1 = 16 – 1 = 15;
в) a² – 2ab + b² – (a² – b² – 3), якщо a = 5, b = 4, то
a² – 2ab + b² – a² + b² + 3 = 2b² – 2ab + 3 = 2 • 4² – 2 • 5 • 4 + 3 = 32 – 40 + 3 = –5.
один одному?
x² + 8x + 9 = x² + 6x + 4
8x – 6x = 4 – 9
2x = –5
х
один одному?
2x² + 10x + 12 = 2x² – 4x – 2
2x² – 2x² + 10x + 4x = –2 – 12
14x = –14
х = –14 : 14
x = –1
7t² + 5?
7t² – 2t + 1 – (7t² + 5) = 2
7t² – 2t + 1 – 7t² – 5 = 2
2t = 2 + 4
–2t = 6
t = 6 : (–2)
t = –3 278.
двочлена 3y² + 11?
3y² + 11 – 3y² – 5y + 3 = 4 –5y = 4 – 14 –5y = –10
y = –10 : (–5)
y = 2
279. Розв’яжи рівняння a) (4x – 5) – (7x + 8) = 2
4x – 5 – 7x – 8 = 2 –3x = 2 + 13
x = 15 : (–3)
9z + 17 – 4z + 6 = 38
x = –5; б) 9z + 17 – (4z – 6) = 38
5z = 38 – 23
z = 15 : 5
z = 3;
в) (5x + x³ – 7) – (2xa + 3x) = –(1 + x³)
5x + x³ – 7 – 2x – 3x = –
1 – x³
2x = –1 + 7
x = 6 : 2
x = 3;
280. Розв’яжи рівняння
a) (2x – 8) – (5x + 6) = 4
2x – 8 – 5x – 6 = 4 –3x = 4 + 14
x = 18 : (–3)
x = –6;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) 19 – (3x² – 2x) – (6x –
x²) = 7 – 2x²
19 – 3x² + 2x – 6x + x² = 7 – 2x²
–4x = 7 – 19
x = –12 : (–4)
x = 3.
в) 24 – (x² + 8x – 17) = 5 – 5x – x²
24 – x² – 8x + 17 = 5 – 5x – x² –8x + 5x = 5 – 24 – 17 –3x = –36
x = –36 : (–3)
x = 12;
281. Знайди суму многочленів.
б) 16y – (3 – 2y) + (7y + 1) = 48
16y – 3 + 2y + 7y + 1 = 48
25y = 48 + 2
y = 50 : 25
y = 2;
г) (x – 2x⁴ + 7) – (3x + 3 – 5x⁴) = 6 + 3x⁴
x – 2x⁴ + 7 – 3x – 3 + 5x⁴ = 6 + 3x⁴ –2x = 6 – 7 + 3
x = 2 : (–2)
x = –1.
а) −5xy − 4x² + y² + y³ − 3x² + 5xy − y² − 2 = y³ − 7y² − 2;
б) 2a⁴ − 12a² + 15a − 8 − 3a⁴ + 12a² − 5a + 8 = −a⁴ + 10a; в) (3 5)m³ − (5 8)m² + 6 + (2 5)m³ + (3 8)m² − 6 = m³ − (1 4)m².
282. Знайди різницю многочленів
а) −2xc² − 2,5x² + 7,2x + 2,8x − 0,25x² + 2x² = −2,5x² − 0,5x² + 10x б) −4a³ − b³ + 4a³b² + 3a²b² − 3a³ + b³ − 3a²b² + 4a³b² = −7a² + 8a³b²
в) −(2 3)xy − (3 5)x²y − 2(1 3)xy + x²y + 2(1 2)y² = −3xy + (2 5)x²y + 2(1 2)y²
283. Спрости вираз
а) (2az − 3z²) − (−az − z²) − (4z² − 5az) = 2az − 3z² + az + z² − 4z² + 5az = −4az; б) (0,7a − 0,7a² − 0,7) − (5,7a² − 4,7a − 1,7) = 0,7a − 0,7a² − 0,7 − 5,7a² + 4,7a + 1,7 = −6,4a² + 5,4a + 1;
в) −4m² − (m − n²) + (3m + 4m²) − 2n² = −4m² − m + n² + 3m + 4m² − 2n² = 2m − n²; г) 2(1 2)an − 3(1 2)am − (1 2)an + 3,5am − 5 − 1,5an = 2(1 2)an − 3(1 2)am − 1 2an − 3,5am + 5 − 1,5an = 0,5an + 5.
284. Спрости вираз
а) (2x² − x + c) − (x² + c + 5) − (3c − x² − x) = 2x² − x + c − x² − c − 5 − 3c + x² + x = = 2x² − 3c − 5; б) 3,6cx² + 1,8c²x − 1,2x + (−1,8c²x − 1,6cx² − 1,2x) = = 3,6cx² + 1,8c²x − 1,2x − 1,8c²x − 1,6cx² − 1,2x = 2cx² − 2,4x в) 2(1 2)ax²c + (1 3)x²c − (4 3)cx² + (5 2)ax²c = 2(1 2)ax²c + (1 3)x²c − (4 3)cx² + (5 2)ax²c = 5ax²c г) 2(1 3)az² − (2 3)a²z − 2(1 6)az² − (1 3)z − 4(1 2)az² = 2(1 3)az² − (2 3)a²z + 2(1 6)az² + 11 3z − 4(1 2)az² = = 11 3 z − 2 3 a²z
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
DC = a − b;
PABCDEF = AB + AF + FE + ED + DC + BC; PABCDEF = a + c + b + ED + a − b + BC; ED = BC − c; a + c + b + BC − b + a − b + BC = 2p; 2BC = 2p − 2a; BC = p − a; ED = p − a − c.
286. Доведи, що
-яких
а) x3 + 3x² − 3x + x⁶ + 4x3 − 7x + 5x3 + 10x + 5 = x⁶ + 3x² + 5, так як x⁶ ≥ 0, x² ≥ 0, то x⁶ + 3x² + 5 > 0 для
–
x. б) −4x⁶ + 7x9 − 5x⁶ + x9 + 5 + 10x6 8x9 = x6 + 5, так як x⁶ ≥ 0, то x6 + 5 > 0 для будь–якого x.
а) (5x5 + 3x³ − 1 − x³ − 4x5 + 8x³ − x5 − 5x⁴ − 11x³) = −x³ − 5x⁴ − 1 = від'ємне для
якого x = −(x⁴ + 5x⁴ + 1);
б) 4 − 27x15 − 9x¹⁰ + 32x15 − x¹⁰ − 9 − 5x15 =
x = −(5 + 11x¹⁰).
288.
(А–Д)
10,5y − 4,3y − 2,7 + 0,3 = 46,3
3,5y = 49
y = 49 : (−3,5)
y = −14 Д
2 − 2,5x − 3,7 + 4,3x = 1,7
1,8x = 5,4
x = 5,4 : 1,8
x = 3 Б
3(1 3)t + 2 5 + 3 5 + 2 3 t = 2 − 3t
4t = 1
t = 0,25 A
4(2 5)z = −2 5 + z + 3 5 z + 10
1(1 5)z = 9(3 5)
(6 5)z = 48 5
z = 48 5 : (6 5)
z = −8Г
Відповідь: 1 – Д; 2 – Б; 3 – А; 4 – Г
289.
а) P − (8a³ − 2a² + 7) = 3 − a²
P = 3 − a² + (8a³ − 2a² + 7); P = 3 − a² + 8a³ − 2a² + 7; P = 10 + 8a³ − 3a²
б) P + (3x + 8) = −3x² + 2x − 15; P = −3x² + 2x − 15 − (3x + 8); P = −3x² + 2x − 15 − 3x − 8; P = −3x² − x − 23
в) (2xy − 11x² + 10y²) − P = 5x² + 4y² − 6; P = (2xy − 11x² + 10y²) − (5x² + 4y² − 6); P = 2xy − 11x² + 10y² − 5x² − 4y² + 6
P = −16x² + 6y² + 2xy + 6.
290. Який многочлен слід додати до 2a³ - a² - a + 3, щоб одержати: а) 3a³ - 5a² - a + 7; б) a² - 6a + 13?
а) (2a³ – a² – a + 3) + P = 3a³ – 5a² – a + 7 – (2a³ – a² – a + 3);
P = 3a³ – 5a² – a + 7 – (2a³ – a² – a + 3);
P = 3a³ – 5a² – a + 7 – 2a³ + a² + a – 3; P = a³ – 4a² + 4;
б) (2a³ – a² – a + 3) + P = a² – 6a + 13;
P = a² – 6a + 13 – (2a³ – a² – a + 3); P = a² – 6a + 13 – 2a³ + a² + a – 3 P = –2a³ + 2a² – 5a + 10
291. Доведи тотожність
а) 2a⁴ – (6a⁴ – 5ab) + (4a⁴ – 3ab + 2) = 2a⁴ – 6a⁴ + 5ab + 4a⁴ – 3ab + 2 = 2ab + 2; б) (3a² + 2b² + c²) – (3c² + 2a² – b²) + (–3b² + 2c² – a²) = = 3a² + 2b² + c² – 3c² – 2a² + b² – 3b² + 2c² – a² = 0;
в) –z² – (x² + (y² – (x² + y² + z²) + z²) + y²) – x² = –z² – x² – y² + x² + y² + z² – z² – y² – x² = = –x² – y² – z²;
г) a³ – (b³ – (a²b – ab²))² – (–((–a²b + ab²) + b³) – a³) = = a³ – b³ + a²b – ab² – a²b + ab² + b³ + a³ = 2a³.
292. Доведи тотожність
a) 3a² + (−(2a² + 5a + 1) − (a² + 5a − 1)) = 3a² − 2a² + 5a + 1 − a² − 5a + 1 = 2;
б) (−3a⁵ + a + 17) − (a⁵ − a + 2) − (4a⁵ + 2a + 10) = −3a⁵ + a + 17
в) ab + bc + ac − (abc + ab − (abc − bc − (abc + ac)) = = ab + bc + ac − abc − ab + abc − bc − abc − ac = −abc.
293. Доведи, що
а) 7n + 21 − 10 + 4n = 11n + 11 = 11(n + 1) кратне 11. Доведено.
б) 8n² + 7n − 4 − 3n² − 12n + 19 = 5n² − 5n + 15 = 5(n² − n + 3) кратне 5. Доведено.
в) 12n − 5 − 5n + 9 = 7n + 4. Доведено.
294. Доведи, що при будь-якому
а) (12n + 17) − (10 + 5n) = 12n + 17 − 10 − 5n = 7n + 7 = 7(n + 1);
б) 9n² + (21n − 4) − (12n − 13) = 9n² + 21n − 4 − 12n + 13 = 9n² + 9n + 9 = 9(n² + n + 1);
в) (10n − 3) − (4n − 6) = 10n − 3 − 4n + 6 = 6n + 3.
295. Подай у вигляді
а) abc = 100a + 10b + c;
б) abc + ac = 100a + 10b + c + 10a + c = 110a + 10b + 2c;
в) xyz − xy = 100x + 10y + z − 10x − y = 90x + 9y + z
296. Подай у вигляді многочлена число
а) xyz = 100x + 10y + x = 101x + 10y;
б) xyz − xyz = 100x + 10y + z − 100z − 10x − y = 90x + 9y − 99z;
в) abc + bca = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a = 101a + 110b + 11c
297. Доведи, що: а) різниця
різниця чисел abb і bba кратна 99.
а) ab − ba = 10a + b − 10b − a = 9a − 9b = 9(a − b);
б) ab + bc + ca = 10a + b + 10b + c + 10c + a = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c) кратно 11.
Доведено.
в) a0b − b0a = 100a + b − 100b − a = 99a − 99b = 99(a − b) кратно 99. Доведено.
298. Доведи, що: а) сума чисел ab̄ і ba кратна 11; б) різниця чисел abc і cba кратна 99; в) різниця (ab+ac+bc)−(ca+cb+ba) кратна 18.
а) ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b);
б) abc − cba = 100a + 10b + b − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99(a − c);
299. Покажи, що
10 = = 8a⁵ + 5;
в) (ab + ac − bc) − (ca + cb + ba) = 10a + b + 10a + c + 10b + c − 10c − a − 10c − b − 10b − a = = 18a − 18c = 18(a − c) кратно 18. Доведено.
-яких
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a + 7c + a + a + 5c = 3a + 12c; a + 7c + a + 2c + a + 3c = 3a + 12c
a + 2c + a + 4c + a + 6c = 3a + 12c; a + a + 4c + a + 8c = 3a + 12c
a + 3c + a + 8c + a + c = 3a + 12c; a + 5c + a + 6c + a + c = 3a + 12c
Сума діагоналей: a + 7c + a + 4c + a + c = 3a + 12c
a + 5c + a + 4c + a + 3c = 3a + 12c
300. Доведи, що: а) сума
n + n + 1 +
301. Обчисли
303. Знайди
x = 0,25
304. Подай у
а) (x + y)c, (x - y)c, (2x - y)c:
(x + y)c = xc + yc
(x - y)c = xc - yc
(2x - y)c = 2xc - yc
б) (x + y)n, (x - y)n, (3x - y)n:
(x + y)n = xn + yn
(x - y)n = xn - yn
(3x - y)n = 3xn - yn
в) (2 + a)c, (2 - a)c, (2 - an)c:
(2 + a)c = 2c + ac
(2 - a)c = 2c - ac
(2 - an)c = 2c - anc
305. Чи тотожні вирази?
а) 2(a - 5) і 2a - 10:
2(a - 5) = 2a - 10
Так, вирази тотожні.
б) (x - y)5 і 5x - 5y:
(x - y)5 = 5x - 5y
Так, вирази тотожні.
в) 3c(a - x) і 3ac - x:
3c(a - x) = 3ca - 3cx
3ac - x = 3ac - x
3cx,
г) (x - 7)(-2) і 14 - 2x:
(x - 7)(-2) = -2x + 14
14 - 2x = 14 - 2x
Так, вирази тотожні.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
-x.
306. Розв'яжи рівняння 2(x - 3) + 2(x + 3) = 8.
2(x - 3) + 2(x + 3) = 8
2x - 6 + 2x + 6 = 8
4x = 8 x = 2
Відповідь: В 2
307. Знайди значення виразу 3(a + 2) - 3(a - 1), якщо a = -0,07.
3(a + 2) - 3(a - 1) = 3a + 6 - 3a + 3 = 9
Перевіримо, підставивши a = -0,07: 3(-0,07 + 2) - 3(-0,07 - 1) = 3(1,93) - 3(-1,07) = 5,79 + 3,21 = 9
Відповідь: Г 9
308. Скільки доданків
а) При множенні двочлена на одночлен утворюються 2 доданки. б) При множенні тричлена на одночлен утворюються 3 доданки.
309. Помнож вирази.
а) (3a + c) · 2a = 6a² + 2ac;
б) (8x − y) · 3xy = 24x²y − 3xy²;
в) (x² − x) · 2x = 2x³ − 2x²;
г) (m³ + 3m) · m² = m² + 3m³;
ґ) (2a + 3) · 4a = 8a² + 12a;
д) (3x − y) · (−2xy) = −6x²y + 2xy².
310. Подай у вигляді многочлена вираз
а) (x + 1)x² = x³ + x²;
б) a²(b – c) = a²b – a²c;
в) (n² – n)n³ = n⁵ – n⁴;
г) 3(2x – 7) = 6x – 21;
ґ) –3n(n² + 5n – 1) = –3n³ – 15n² + 3n;
д) 2ac(3a – 5ac + 2c) = 6a²c – 10a²c² + 4ac²
311.
а) (2a + 3b²)a = 2a² + 3ab²;
б) (–a + ac)c² = –ac² + ac³;
в) –2a² (a² – 1) = –2a⁴ + 2a²;
г) 6(2xy – 3) = 12xy – 18; ґ) 5p(2p² – 3p + 4) = 10p³ – 15p² + 20p;
д) 3xy(5x + 6xy – 9y) = 15x²y + 18x²y² – 27xy².
312.
313.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
314. Спрости вираз
а) 2a³(4a² + 3a) – 6a⁴ = 8a⁵ + 6a⁴ – 6a⁴ = 8a⁵; б) 7x² – 2x(3x – y) = 7x² – 6x² + 2xy = x² + 2xy; в) 2x(x – 1) – x² = 2x² – 2x – x² = x² – 2x; г) (3 – a)a² – 3a² = 3a² – a³ – 3a² = –a³; ґ) (m – n)mn + m(mn + n²) = m²n – mn² + m²n + mn² = 2m²n; д) –3z(z – 2) – z(6 + 2z) = –3z² + 6z – 6z – 2z² = –5z².
315. Спрости вираз
а) –3c³ + c(3c² – 1) = –3c³ + 3c³ – c = –c; б) 2p – (p² + 2)p = 2p – p³ – 2p = –p³;
в) 5m(6 – 2m²) + 10(m³ – 3m) = 30m – 10m³ + 10m³ – 30m = 0;
г) –2p(3p – 2a) – 4a(p + q) = –6p² + 4pq – 4pq – 4q² = –6p² – 4q².
316. Обчисли значення виразу.
а) b³ – 4b – b³ + 3b = –b, якщо b = –2,7, то (–(–2,7)) = 2,7;
б) (a² – 1)a – (a – 1)a² = a³ – a – a³ + a² = a² – a,
якщо a = 0,8, то 0,8² – 0,8 = 0,64 – 0,8 = –0,16.
317. Find the value of the expression.
а) c(1 + c + c²) – c(1 + c) = c + c² + c³ – c – c² = c³,
якщо c = –0,5, то c + c² + c³ – c – c² = c³ = (–0,5)³ = –0,125;
б) (x – y)x + (x – y)y = x² – xy + xy – y² = x² – y², якщо x = 2 і y = 3, то 2² – 3² = 4 – 9 = –6.
318. Спрости вираз і знайди його значення.
а) a³ – 2a² + a – a³ = –2a² + a = –2 · (–0,5)² – 0,5 = –2 · 0,25 – 0,5 = –1;
б) c⁴ – 3c³ – c⁴ + c² = –3c³ + c² = –3 · 8 + 4 = –20;
в) 2x – x² + x³ + x² – x³ = 2x = –0,7 · 2 = –1,4;
г) ac – c² – a² – ac = –c² – a² = –12 – 32 = –10.
319. Розв’яжи рівняння
а) 2(x – 3) + 5(x – 2) = 12
2x – 6 + 5x – 10 = 12
7x – 16 = 12
7x = 28 x = 4;
б) 3(1 – x) – 2(3 – x) = 5 3 – 3x – 6 + 2x = 5 –x – 3 = 5 –x = 8 x = –8;
г) 2 + 3y – 7(5 – y) = 15
2 + 3y – 36 + 7y = 16
10y – 33 = 16
10y = 48 y = 4,8;
320. Розв’яжи рівняння
а) 2x – 15(1 – 2x) = 7z
2x – 15 + 30z = 7z
32z – 7z = 15
25z = 15
ґ) x² – 3x + 1 = x(x – 2) x² – 3x – x² – 2x = –1 –5x = – 1 x = –1 5;
б) 8c – 2(3 – 7c) = 9c + 20
8c – 6 + 21c = 9c + 20
29c – 6 = 9c + 20
29c – 9c = 20 + 6
20c = 26
в) 3z – 7(2z + 4) = 16 3z – 14z – 28 = 18 –11z = 18 + 28 –11z = 46 z = –4, (18) z = –4 2 11;
д) 0,7x + 0,5 = 2,6(x – 2)
0,7x + 0,5 = 2,6x – 5,2 1,9x = 5,7 x = 5,7 : 1,9 x = 3.
в) 1 – 8(3 – 2y) = 2(2 – y) 1 – 24 + 16y = 4 – 2y –23 + 16y = 4 – 2y 18y = 27
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
z = 15 25
z = 3 5
z = 0,6
г) 3z – (z – 5) • 4 = (2 – 5z) • 3 3z – 4z + 20 = 6 – 15z
–z + 15z = 6 – 20 14z = –14
z = –1;
c = 26 20 c = 1,3 y = 27 18 y = 1 9 18;
ґ) 3t – t² + 7 = t(2 – t) 3t – t² + 7 = 2t – t² 3t – 2t = –7 t = –7;
д) 1,7(a – 3) + 0,2 = 2,3(a + 1) 1,7a – 5,1 + 0,2 = 2,3a + 2,3 2,3a – 1,7a = –5,1 + 0,2 – 2,3 0,6a = –7,2
a = –7,2 : 0,6
a = –12.
321. Доведи тотожність а) 5(8y – 1) – 7(4y + 1) + 2y(y – 6) = 40y – 5 – 28y – 7 + 2y² – 12y = 2y² – 12;
б) 3(–5z – 2) + 5z(7 – 12z) + 6(1 – 10z²) = –15z – 6 + 35z – 60z² + 6 + 60z² = 20z.
322. Доведи тотожність
а) 3x(2x – 5) + 7(3x – 4) – 2(3x² – 14) = 6x² – 15x + 21x – 28 – 6x² + 28 = 6x;
б) 8(x² + 5x) – 3x²(5x + 1) + 5x(3x² – 8) = 8x² + 40x – 15x³ – 3x² + 15x³ – 40x = 5x².
323. На 315
12x
12x + 270 – 9x =
3x = 30
x = 30 : 3 x = 10 (шт.)
6x + 13(35 – x) = 315
6x + 455 – 13x = 315
–7x = 315 – 455
–7x = –140
x = –140 : (–7)
x = 20 (шт.)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
12x = 24
x = 24 : 12
x = 2 (см) – менша сторона
4 • 2 = 8 (см) – більша сторона
Відповідь: 2 см; 8 см
326. Одна сторона прямокутника у 3 рази більша
зменшити на 5 см, то площа прямокутника
прямокутника.
Нехай менша сторона прямокутника x см, а
x(3x – 5) + 200 = x·3x
3x² – 5x + 200 = 4x²
5x = 200
x = 200 : 5
x = 40 (см) – менша сторона 3 · 40 = 120 (см) – більша сторона
Відповідь: 40 см; 120 см
327. Перетвори у многочлен добуток.
а) 2ac³ · (3a² – 4ac + 5c) = 6a³c³ – 8a²c⁴ + 40ac⁴; б) 0,4a²c · (5a³ – 10a²c + 7c² – 20) = 2a⁵c – 4a⁴c² + 2,8a²c³ – 8a²c;
в) 15yz² · (1 3 z⁴ –2 5 z³ – 2y + 3 5) = 5yz⁶ + 6yz⁵ + 30yz³ – 9yz²;
г) –2 3xy² · (6xy² – 3x²y – 9xy) = –4x²y⁴ + 2x³y³ + 6x²y³.
328. Подай у вигляді многочлена вираз.
а) (2ax + 3a – 5) · a³x³ = 2a³x⁴ + 3a³x³ – 5a²x³; б) (–0,7tg²y – 2²) · 2c³z = –1,4c⁴y²z – 2c³z²;
в) 0,3nz · (1 3 n² –2 3z²) = 0,1n³z – 0,2nz²;
г) –2 1 3x³y · (6xy² + 3 7x²) = –14x⁴y³ – x⁵y.
329. Розв’яжи рівняння а) 0,4(2x – 3) – 0,5(3x – 0,2) = –2,5
0,8x – 1,2 – 1,5x + 0,1 = –2,5 –0,7x = –1,4
x = 2;
б) 6(2z – 12) – 5(11 + 3z) = –3z + 5
12z – 72 – 55 – 15z = –3z + 5 –3z + 3z = 5 + 127
0 = 132 коренів немає;
в) –2 3 (y – 6) –3 4 (2y – 16) = –3 1 2 Домножимо на 12
–8(y – 6) – 9(2y – 16) = –7 2 · 12 1
–8y + 48 – 18y + 144 = –42 –26y = –234
y = –234 : (–26)
y = 9
г) 1 3 (3x + 2) –1 3 (9 – 2x) = 1 2 x Домножимо на 6
2(3x + 2) – 2(9 – 2x) = 3x
6x + 4 – 18 + 4x – 3x = 0
7x = 14
x = 2
330. Розв’яжи рівняння
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 0,8(x – 0,4) + 0,6(x – 0,6) = 1
0,8x – 0,32 + 0,6x – 0,36 = 1
1,4x = 1,68
x = 1,68 : 1,4 x = 1,2; б) 4(3y – 13) + 7(15 – 3y) = –9y + 47 12y – 52 + 105 – 21y = –9y + 47 0 = –5 коренів немає; в) 4,3 – 2x – 3(1,1 + 2 3x) = x + 2 3
4,3 – 2x – 3,3 – 2x = x + 2 3 –4x + 1 = x + 2 3 –5x = –1 3 x = 1 15 г) 1 6 (5 – 4z) = 1 2 z + 3 Домножимо на 6
5 – 4z = 3z + 18 7z = –13
z = –13 7 z = –1 6 7 331. Доведи, що при будь-
а) 9x(3x – 4) + 4(x + 2) – 8x(2x – 4) = 27x² – 36x + 4x + 8 – 16x² + 32x = 11x² + 8; б) 2x(3x – 4) + 5(x + 6) – x(x – 3) = 6x² – 8x + 5x + 30 – x² + 3x = 5x² + 30.
332.
а) 6(–3y – 4) – 5y(y – 3) + 3(y – 11y²) = –18y – 24 – 5y² + 15y + 3y – 33y² = –38y² – 24; б) 5y(1 – 2y) – 2(y + 5) – y(3 + 5y) = 5y – 10y² – 2y – 10 – 3y – 5y² = –15y² – 10.
334. Доведи, що значення
а) 2(a³ + 6) + 5(3a – a²) – 3a²(5 – a) = 2a³ + 12 + 15a² – 5a³ – 15a² + 3a³ = 12; б) 6x(2y² – (5x + y) · 3y) + 3xy(2y + 30x) = 12y²x – 6(15xy + 3y²²) + 6xy² + 90x²y = = 12xy² – 90x²y – 18xy² + 6xy² + 90x²y = 0.
335. Спрости вираз і
а) –4x³ + 4x² + 12x + 4x³ + 2x² – 10x = 6x² + 2x = 6 · 9 + 2 · 3 = 60
б) 10a²b – 40a²b + 24a²b + 16a²b = 10a²b = 10 · 3² · 1,2 = 9 · 12 = 108. 336.
a) 12a³ – 9a² – 24 – 12a³ – 10a + 25a² = 16a² – 10a – 24 = 16 · 0,25 – 10 · 0,5 – 24 = = 4 – 5 – 24 = –25 б) 9x²y + 6xy² – 4x²y – 5x²y = 6x²y = –6 · 1 6 · 121 = –121
337.
a) (2x 3) 3 + (6 3x) 2 = –3
2(2x – 3) + 3(6 – 3x) = –18 4x – 6 + 18 – 9x = –18 – 5x = –30 x = 6; б) 4x 1 2 + 3x + 5 4 = 2 4(4x – 1) – 2(3x + 5) = 2 · 8 16x – 4 – 6x – 10 = 16 10x = 30 x = 3;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) x 5 2 + 3x 8 5 = –3
5(x – 5) + 2(3x – 8) = –3 · 10
5x – 25 + 6x – 16 = –30
11x = 11
x = 1
338. Розв’яжи рівняння a) 2 3x 4 + x + 1 3 = 5
3(2 – 3x) + 4(x + 1) = 5 · 12 6 – 9x + 4x + 4 = 60 – 5x = 50
x = 50 : (–5) x = –10
339. Три
років кожному?
2x · x + 2 8 = 3x
2x · 8 – (x + 2) = 4(3x – 2) 16x – x – 2 = 12x – 8 3x = –6 x = –2
3x
3 + (5
)
= 2 2(3x – 7) + (5 – 9x) = 6 · 2 6x – 14 + 5 – 9x = 12 – 3x = 21 x = –7
Нехай сину (x + 3) років, батьку (5x + 3) у теперішній
учетверо, маємо рівняння:
5x + 3 = 4(x + 3)
5x + 8 = 4x + 12
x = 9
Сину: 9 + 3 = 12 років.
Батьку: 6 · 9 + 4 = 48 років.
Відповідь: 12 років, 48 років 340. Скільки років
був 10 років тому?
Нехай учневі x років,
x + 10 = 5(x –
4x = 10 + 60
x = 60 : 4
x = 16.
99 – 12x = 8(57 – 10x)
99 – 12x = 8(57 – 10x)
99 – 12x = 171 – 80x
30x – 12x = 171 – 99
18x = 72
x = 4.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
рівняння:
84 – x = 2(12 + x)
84 – x = 24 + 2x
3x = 60
x = 20.
Відповідь: 20 г
343. Замість
a) –4x³ · (–0,2 – 3x) = 2x³ + 12x⁴, б) 5ac(10a – 3c² –1 5) = 50a²c – 15ac³ – ac,
в) (–x² – 7x⁴)·(–6x) = 6x³ + 42x⁵.
344. Замість
a) (1 2y + 0,25xy + 5y²)·(–4x²y) = (0,5y + 0,25xy + 5y²)·(–4x²y) = 2x²y² + x³y² + 20x²y³
б) (2m³ – 9m)·5m³ = 10m⁶ – 45m⁴
в) 4x²y(3y² – xy³ + 4y⁴) = 12x²y³ – 4x³y⁴ + 16x²y⁵
345. Визнач
1) (2a + c) · b – 2cm
2) (a + b) · (a + b) + 2a²
3) b · c – 2am
346. Перемалюй
квадрат.
16 3 2 13
5 10 11 8 9 6 7 12
4 15 14 1
34, заповнюємо квадрат.
347. Додатне чи від’ємне значення виразу?
a) (–5)⁷ · (–8)⁵ = (–5)⁵ · (–8)⁵ · (–5)² = (–5)⁵ · (–8)⁵ · (–5)² = 40⁵ · 25 додатне; б) (–4)⁸ · (–13)¹⁰ = (–4)⁸ · (–13)⁸ · (–13)² = (4 · 13)⁸ · 169 додатне; в) (–61)¹² · (–7)¹⁷ = (61 · 7)¹² · (–7)⁵ від'ємне. г) (–9)³ · 0²⁵ = 0.
348. Який із виразів є одночленом стандартного вигляду? a) 5a² · 3x = 15a²x; одночлен не стандартний;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б)
(x + 1)(a + 1):
(x + 1)(a + 1) = x·a + x·1 + 1·a + 1·1 = xa + x + a + 1
в) (x - 1)(n + 1):
(x - 1)(n + 1) = x·n + x·1 - 1·n - 1·1 = xn + x - n - 1
г)
(2 + a)(c + 1):
(2 + a)(c + 1) = 2·c + 2·1 + a·c + a·1 = 2c + 2 + ac + a
ґ)
(3 - y)(5 + c):
(3 - y)(5 + c) = 3·5 + 3·c - y·5 - y·c = 15 + 3c - 5y - yc
д)
(2 - a)(c + 1):
(2 - a)(c + 1) = 2·c + 2·1 - a·c - a·1 = 2c + 2 - ac - a
351. Розкрий дужки у виразі.
а) (x + 1)(x + 1):
(x + 1)(x + 1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1
б) (1 - y)(1 - y):
(1 - y)(1 - y) = 1·1 - 1·y - y·1 + y·y = 1 - y - y + y² = 1 - 2y + y²
в) (a + c)(a - c):
(a + c)(a - c) = a·a - a·c + c·a - c·c = a² - ac + ac - c² = a² - c²
352. Якому з многочленів тотожно дорівнює добуток (a + 2)(a + 3)? (a + 2)(a + 3) = a·a + a·3 + 2·a + 2·3 = a² + 3a + 2a + 6 = a² + 5a + 6
Відповідь: Г a² + 5a + 6
353. Яке з чисел є коренем рівняння (x - 1)(x + 2) - x² = 0?
Розкриємо дужки: (x - 1)(x + 2) - x² = x² + 2x - x - 2 - x² = 2x - x - 2 = x - 2 = 0 x = 2
Відповідь: Б 2
354. Перемнож многочлени a) (a + b)(m – n) = am – an + bm – bn; б) (x – y)(x + y) = x² – y²; в) (2a – 1)(a – 2) = 2a² – 4a – a + 2 = 2a² – 5a + 2; г) (c + ax)(a + x) = ac + cx + axc + ax²; д) (1 – c)(1 + c²) = 1 + c² – c – c³; ж) (1 – a)(2a – 3) = 2a – 3 + 2a² + 3a = 5a – 3 – 2a².
355. Перемнож многочлени
а) (x – 2)(2x + 3) = 2x² + 3x – 4x – 6 = 2x² – x – 6; б) (3y + 5)(2y – 6) = 6y² – 18y + 10y – 30 = 6y² – 8y – 30; в) (7 – c)(c + 2) = 7c + 14 – c² – 2c = –c² + 5c + 14.
356. Подай у вигляді многочлена
a) (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd;
б) (x – 2)(x – 3) = x² – 3x – 2x + 6 = x² – 5x + 6; в) (2x – 3)(a – b) = 2xa – 2xb – 3a + 3b; г) (2a – 3c)(a + 5c) = 2a² + 10ac – 3ac – 15c² = 2a² + 7ac – 15c²;
г) (a² – b)(a – b²) = a³ – a²b² – ab + b³;
д) (1 – 2xz) (1 + 2xz) = 1 + 2xz – 2xz – 4x²z² = 1 – 4x²z²;
е) (x² – x + 1)(x + 1) = x³ + x² – x² – x + x + 1 = x³ + 1;
є) (c – q)(1 – c – q) = c – c² – cq – q + cq + q² = q² – c² + c – q.
357. Подай у вигляді многочлена
а) (2x + 3)(3x – 2) = 6x² – 4x + 9x – 6 = 6x² + 5x – 6;
б) (5a – 4)(3a – 2) = 15a² – 10a – 12a + 8 = 15a² – 22a + 8;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) (7c – 1)(5 – 6c) = 35c – 42c² – 5 + 6c = –42c³ + 41c – 5; г) (–2n + 3)(3n – 2) = –6n² + 4n + 9n – 6 = –6n² + 13n – 6; г) (a² + b)(a² + b) = a⁴ + a²b + a²b + b² = a⁴ + 2a²b + b²; д) (–2 + c)(–3 + c) = 6 – 2c – 3c + c² = 6 – 5c + c²; е) (p – 1)(p² + p + 1) = p³ + p² + p – p³ – p – 1 = p³ – 1; є) (x – 2)(x² – 5x + 2) = x³ – 5x² + 2x – 2x² + 10x – 4 = x³ – 7x² + 12x – 4.
359. Установи відповідність між виразами, заданими умовами (1–3), та тотожно
їм виразами (А–Д).
1 – Г; 2 – В; 3 – Д.
360. Спрости вираз a) (x – 1)(x + 2) – x(x + 1) = x² + 2x – x – 2 – x² – x = –2; б) (1 + a)(a² – a) + a(1 + a²) = a² – a + a³ – a² + a + a³ = 2a³; в) (a + 2)(a – 5) + 3(a – 1) = a² – 5a + 2a – 10 + 3a – 3 = a² – 13; г) (n – 2)(n – 2) + 4(n – 1) = n² – 4n + 4 + 4n – 4 = n²; г) (x – 4)(3x + 5) + 3x(7 – x) + 20 = 3x² + 5x – 12x – 20 + 21x – 3x² + 20 = 14x; д) (a + b)(a – b) – (a – 2b)(a + 2b) = a² – b² – a² – 2ab + 2ab + 4b² = 3b².
361. Спрости вираз
а) (a + 1)(a – 3) + 2a(1 – a) = a² – 3a + a – 3 + 2a – a² = –a² – 3; б) (3a + b)(a – b) – (3a² – b²) = 3a² – 3ab + ab – b² – 3a² + b² = –2ab;
в) (3x + 1)(x – 6) + (2 – 3x)(x – 5) = 3x² – 18x + x – 6 + 2x – 10 – 3x² + 15x = –16; г) (x – y)(x + 7) – (y + x)(x + 7) + 14y = x² + 7x – xy – 7y – xy – 7y – x² – 7x + 14y = –2xy .
362. Спрости вираз і знайди його значення. a) a² – 3a + 2a – 6 + a² – 4a + 6a – 24 = 2a² + a – 30 = 2 • 6² + 6 – 30 = 48; б) 2x² – 2x + 3x – 3 – x² – 4x + 3x + 12 = x² + 9 = 9 + 9 = 18; в) a² – ab + ab – b² + b² = a² = 0,36; г) –x² + y⁴ + xy + x² + xy² – xy² – y⁴ = x • y = –7 • 5 = –35.
363. Обчисли значення виразу.
а) a² – 5a – 3a + 15 + a² + 7a + a + 7 = 2a² + 22 = 2 • 4 + 22 = 30; б) 2x² + 5x – 8x – 20 – x – 3 – 3x² – 6x = –10x – 23 = –10 • (–3,3) – 23 = 33 – 23 = 10.
364. Find the value of the expression.
а) x² + 2xy + y² – x² + y² = 2xy + 2y² = 2 • 0,2 • 5 + 2 • 5² = 2 + 50 = 52;
б) a⁴ – b² – a⁴ = –b² = –0,04.
365. Подай у вигляді многочлена вираз
а) (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²;
б) (x – y)² = (x – y)(x – y) = x² – 2xy + y²
в) (2a – x)² = (2a – x)(2a + x) = 4a² – 4ax + x²; г) (3a + 2)² = (3a + 2)(3a + 2) = 9a² + 12a + 4.
366. Подай у вигляді
a) (x + y)² = x² + 2xy + y²;
б) (a – c)² = a² – 2ac + c²;
в) (3x + y)² = 9x² + 6xy + y²;
г) (2a – 3)² = 4a² – 12a + 9.
367. Розв’яжи рівняння
1. a) (x – 1)(x – 3) = x² – 5
x² – 3x – x + 3 – x² + 5 = 0 –4x = –8
x = 2;
б) (y + 2)(y – 5) – y(y – 1) = 2 y² – 5y + 2y – 10 – y² + y = 2 –2y = 12
y = 12 : (–2)
y = –6;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) (2x + 1)(x – 5) = 2(x² + 11)
2x² – 10x + x – 5 = 2x² + 22 –9x = 27
x = –3;
368. Розв’яжи рівняння
1. a) (x – 2)(x + 5) = x² + 2
x² + 5x – 2x – 10 – x² = 2
3x = 12
x = 4;
в) (x – 1)(x + 5) = (x + 2)(x + 3)
x² + 5x – x – 5 = x² + 3x + 2x + 6
x² + 4x – x² – 5x = 6 + 5
–x = 11
x = –11;
369. Доведи тотожність
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Геометричне знайдемо
S = ad + bd + ac + bc
або S = (a + b)(c + d).
370. Зобразіть у
г) 3z(z – 2) – 9 = (1 – z)(1 – 3z)
3z² – 6z – 9 = 1 – 3z – z + 3z² –2z = 10 z = 10 : (–5)
z = –5.
б) (x – 6)(x – 2) – x(x + 2)= 2 x² – 2x – 6x + 12 – x² – 2x = 2 –10x = 2 – 12
x = 10 : (–10)
x = –1;
г) (2x + 3)(x – 7) + 6 = (x + 3)(2x + 1)
2x² – 14x + 3x – 21 + 6 = 2x² + x + 6x + 3 2x² – 11x – 2x² – 7x = 3 – 6 + 21 –18x = 18 x = –1.
яка ілюструвала б множення виразів a + b + c + d і m + n.
371. Подай у
многочлена a) (a² – 2a – 2)(a – 1) = a³ – a² – 2a² + 2a + 2a – 2 = a³ – 3a² + 4a – 2; б) (4x² + 6x + 9)(2x – 3) = a³ – a² – 2a² + 2a – 2a + 1 = a³ – 3a² + 1.
372. Подай у
многочлена a) (x + 1)(x³ – x² + x – 1) = x⁴ – x³ + x² – x + x³ – x² + x – 1 = x⁴ – 1;
б) (4a² – 2ab + b²)(2a + b) = 8a³ + 4a²b – 4a²b – 2ab² + 2ab² + b³ = 8a³ + b³.
373. Спрости вираз a) (a² – a + 1)(a + 1) – a³ = a³ + 1 – a³ = 1; б) (2a + 3x)(4a² – 6ax + 9x²) – 27(x³ – a³) = 8a³ + 27x³ – 27x³ + 27a³ = 35a³; в) (c – 5)(c + 2) + 3(c + 4) = c² + 2c – 5c – 10 + 3c + 12 = c² + 2; г) (x² – y)(x – y²) + xy(1 + xy) = x³ – x²y² – xy + y³ + xy + x²y² = x³ + y³; ґ) 4 9 – (2 3 – a³)(2 3 + a³) = 4 9 –4 9 + a⁶ = a⁶;
д) 1 8 x³ – (1 2 x – a²)(1 4 x² + 1 2 a²x + a⁴) = 1 8 x³ –1 8 x³ + a⁶ = a⁶.
374.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a) (x² + ax + a²)(x – a) + a³ = x³ – a³ + a³ = x³; б) (9c² + 12ac + 16a²)(4a – 3c) – 64(a³ – c³) = 64a³ – 27c³ = 64a³ + 64c³ = 37c³; в) (m + 7)(3 – m) + 4(m – 5) = 3m – m² + 21 – 7m + 4m – 20 = –m² + 1; г) (4n² – p)(2n – p²) + 2np(2np + 1) = 8n³ – 4n²p² – 2np + p³ + 4n²p² + 2np = 8n³ + p³.
375. Подай у вигляді многочлена вираз a) (2x – 3y)² = (2x – 3y)(2x – 3y) = 4x² – 12xy + 9y²; б) (3ac + b²)² = (3ac + b²)(3ac + b²) = 9a²c² + 6ab²c + b⁴; в) (2a – 1)² = (2a – 1)(2a – 1) = 4a² – 4a + 1.
376. Доведи тотожність
a) (2a – 3)(a + 6) – 3(3a – 6) = 2a² + 12a – 3a – 18 – 9a + 18 = 2a²; б) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) + 1 = (a² – 1)(a² + 1) + 1 = a⁴ – 1 + 1 = a⁴; в) (2a – 3)² + 3(4a – 3) = 4a² – 12a + 9 + 12a – 9 = 4a²; г) (a – b)³ + 3ab(a – b) = (a – b)(a² – 2ab + b²) + 3a²b – 3ab² = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² = = b³ + 3a²b – 3ab² = a³ – b³.
377. Доведи тотожність a) (3x + 2)(x – 4) + 2(4 + 5x) = 3x² – 12x + 2x + 8 + 8 + 10x = 3x²; б) c⁴ – (c – 1)(c + 1)(c² + 1) = c⁴ – (c² – 1)(c² + 1) = c⁴ – c⁴ + 1 = 1; в) (3a + 2)² – 4(3a + 1) = 9a² + 12a + 4 – 12a – 4 = 9a²; г) (x + y)₃ – 3xy(x + y) = (x + y)(x² + 2xy + y²) – 3x²y – 3xy² = = x³ + 2x²y + y²x + yx² + 2xy² + y³ – 3x²y – 3x²y – 3xy² = x³ + y³.
378. Доведи, що значення виразу не
a) (x + 5)(x² – 2x – 3) – (5x + x²)(x – 2) + 3(x + 5) = x³ – 2x² – 3x + 5x² – 10x – 15 – (5x² – 10x + x³ – 2x²) + 3x + 15 = = x³ + 3x² – 13x – 5x² + 10x – x³ + 2x² = –2x² + 2x² = 0; б) (2x² – 3x + 6)(x + 4) – (x² + 4x + 3)(2x – 3) = = 2x³ + 8x² – 3x² – 12x + 6x + 24 – (2x³ – 3x² + 8x² – 12x + 6x – 9) = = 2x³ + 8x² – 3x² – 6x + 24 – 2x³ + 3x² – 8x² + 12x – 6x + 9 = 33
379. Доведи, що значення
a) (2x – 4)(3x + 2) – (2x – 3)(4x + 2) + 2x² = 6x² + 4x – 12x – 8 – (8x² + 4x – 12x – 6) + 2x² = = 6x² – 8x – 8 – 8x² + 8x + 6 + 2x² = –2; б) (x – 3)(x + 3)(x² + 9) – (x + 1)(x – 1)(x² + 1) = (x² – 9)(x² + 9) – (x² – 1)(x² + 1) = = x⁴ – 81 – x⁴ + 1 = –80.
380. Доведіть, що
(n – 3)(n + 6) – (n –9)(n + 6) кратне 6. (n + 6)(n – 3 – n – 9) = (n + 6) • 6
381. Доведи, що
(n + 12)(n + 3) – (n –3)(n + 9) кратне 9 n² + 3n + 12n + 36 – n² – 9n + 3n + 27 = 9n + 63 = 9 • (n + 7)
382. Розв’яжи рівняння a) (3z² – 1)(z – 1) = 3z²(z – 1) + 7
3z³ – 3z² – z + 1 = 3z³ – 3z² + 7 –z = 7 – 1
z = –6;
б) (1 – 2y)² = 2(y – 2)(2y – 3)
1 – 4y + 4y² = (2y – 4)(2y – 3)
1 – 4y + 4y² = 4y² – 6y – 8y + 12 1 – 4y = –14y + 12 10y = 11
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = 1,1;
в) (x² – x + 1)(x² + x + 1) = x⁴ + x² + x
x⁴ + x³ + x² – x³ – x² – x + x² + x + 1 = x⁴ + x² + x x = 1.
383. Розв’яжи рівняння
a) (2x² – 3)(x – 3) = 2x(x – 3) + 6
2x³ – 6x² – 3x + 9 = 2x³ – 6x² + 6
–3x = 6 – 9
–3x = –3
x = 1;
б) (0,1 + x)(0,01 – 0,1x + x²) = 2x(0,5 + 0,5x²)
0,001 + x³ = x + x³ x = 0,001;
в) (3z – 2)² = 9(z – 2)(z + 3) – 5
9z² – 12z + 4 = 9z² + 27z – 18z – 54 – 5 –12z – 9z = –5 – 4 –21z = –9
г) (x³ + x² + x + 1)(x – 1) = x⁴ + 10x
x⁴ – x³ + x³ – x² + x² – x + x – 1 = x⁴ + 10x
10x = –1
10x = –1
x = –0,1;
ґ) 2 3 x – (2 3 x – 3)( 4 9 x2 + 2x +
2x = 27
x = 27 : 2
x = 13,5
384. Знайди три
1 число x
2 число x + 1
3 число x + 2
x² + 8 = (x + 1)(x + 2)
x² + 8 = x² + 2x + x + 2
x² – x² – 2x – x = 2 – 8 –3x = –6
x = 2
Відповідь: 2, 3, 4
385. Знайди
x(x + 1) + 18 = (x + 2)(x + 3)
x² + x + 18 = x² + 3x + 2x + 6
x² + x – 5x = 6 – 18 –4x = –12
x = 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: 3, 4, 5, 6
386. Дано
щоб
Нехай це число x. Маємо: (11 + x) • (44 + x) = (16 + x)(32 + x)
484 + 11x + 44x + x² = 512 + 16x + 32x + x²
55x + 484 = 48x + 512
7x = 28
x = 4.
Відповідь: 4
щоб
Нехай це число x. Маємо:
(25 + x)(51 + x) = (31 + x)(40 + x)
1275 + 25x + 51x + x² = 1240 + 31x + 40x + x²
76x + 1275 = 71x + 1240
5x = –35 x = –7.
Відповідь: –7
388. Знайди
S = 3r · 2r + πr² = 6r² + p², якщо r = 0,8 m, то S = 6 · 0,8² + 0,8² · π = 0,64(6 + p) = 5,8496 m²; P = 2(3r + 2r) + 2πr = 12r + 2πr, якщо r = 0,8 m, то P = 12 · 0,8 + 2 · π · 0,8 = 9,6 + 1,6π = 9,6 + 5,024 = 14,624.
389. Обчисли (1 –
390. Подай кількома
стандартного вигляду.
а) 36a⁸ = 9a • 4a⁷ = 18a⁴ • 2a⁴;
б) 30x⁴y⁹ = 15x³ • 2xy⁹ = 3x³y⁵ • 3xy⁴;
в) –18a¹⁰b⁵ = –9a³ • 2a⁷b⁵ = –6a⁵ • 3a⁵b⁵.
391. Знайди спільний множник многочлена.
а) cx + cy: cx + cy = c(x + y)
б) a²x - a²y:
a²x - a²y = a²(x - y)
в) nx + ax: nx + ax = x(n + a)
г) 2ax + 4ax²:
2ax + 4ax² = 2ax(1 + 2x)
ґ) 6cy - 9cy²: 6cy - 9cy² = 3cy(2 - 3y)
д) -ac² + c²: -ac² + c² = c²(1 - a)
392. Які з рівностей хибні?
А ay - 5y = y(a - 5)
Перевіримо: ay - 5y = y(a - 5) = ya - 5y
Ця рівність правильна.
– 3 = –2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Б cx + x = x(c + x)
Перевіримо: cx + x = x(c + x) = cx + x²
Ця рівність хибна, бо праворуч маємо доданок x².
В -9 + 6x = -3(3 - 2x)
Перевіримо: -9 + 6x = -3(3 - 2x) = -9 + 6x
Ця рівність правильна.
Г a⁶ - a = a(a⁵ - 1)
Перевіримо: a⁶ - a = a(a⁵ - 1) = a⁶ - a
Ця рівність правильна.
Хибною є тільки рівність Б.
393. Розклади на множники 18x⁶ - 12x³.
18x⁶ - 12x³ = 6x³(3x³ - 2)
Відповідь: Б 6x³(3x³ - 2)
394. Розклади на множники 4 - 4x. 4 - 4x = 4(1 - x)
Відповідь: Г 4(1 - x)
395. Розв'яжи рівняння x² - 3x = 0.
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
Звідси x = 0 або x = 3.
Відповідь: Г x = 0 або x = 3.
396. Обчисли зручним способом.
а) 6 · 19 + 6:
6 · 19 + 6 = 6(19 + 1) = 6 · 20 = 120
б) 27 · 5 + 13 · 5:
27 · 5 + 13 · 5 = 5(27 + 13) = 5 · 40 = 200
в) 17 · 6 + 17 · 4:
17 · 6 + 17 · 4 = 17(6 + 4) = 17 · 10 = 170
г) 5 · 32 + 32 · 15:
5 · 32 + 32 · 15 = 32(5 + 15) = 32 · 20 = 640
397. Обчисли. 2,74 · 1,68 + 2,74 · 8,32. 2,74 · 1,68 + 2,74 · 8,32 = 2,74(1,68 + 8,32) = 2,74 · 10 = 27,4
Відповідь: Б 27,4
398. Винеси за дужки спільний множник.
а) xa + xb = x(a + b);
б) 2m + 2p = 2(m + p);
в) cp + tp = c(p + t);
г) ab + 3b² = b(a + 3b);
ґ) 4b² − 2ab = 2b(2b − a);
д) 6x² − 2x = 2x(3x − 1);
е) m²x + my = m(mx + y);
є) 3a²x − 2ax = ax(3a − 2);
ж) a³b³ − 6ab⁴ = ab³(a² − 6b);
з) 5y³z + 20az³ = 5z(y³ + 4az²);
и) −3a²b − 6ab² = −3ab(a + 2b);
і) −12x − 15x² = −3x(4 + 5x).
399. Taking out a common factor
а) 12a + 12b = 12(a + b);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 7n − 14n² = 7n(1 − 2n);
в) 5p³ − 5p = 5p(p2 − 1) = 5p(p − 1)(p + 1);
г) 2a² + 3a = a(2a + 3);
ґ) 13x − 26y = 13(x − 2y);
д) 15ab + 45c = 15(ab + 3c);
е) 4cy² − 2c²y = 2cy(2y − c);
є) 10a²x + 5a²x² = 5a²x(2 + x).
400. Розклади на множники многочлен
а) 2ac² − 8c³d + 4acd = 2c(ac − 4c²d + 2ad);
б) 3acx − 6a²x − 9a³c²x = 3ax(c − 2a − 3a²c²);
в) 8a⁴x + 7a²x² + ax³ = ax(8a³ + 7ax + x²);
г) 10n²c³ − 15nc² − 5nc³ = 5nc²(2nc − 3 − c);
ґ) −a²x³ − a⁵cx⁴ + 3a²cx² = a²x²(−x − a³cx² + 3c);
д) 7x³ − 14x² + 21x − 28x⁴ = 7x(x² − 2x + 3 − 4x³).
401. Розклади на множники многочлен
а) 5c + 12c² − c³ = c(5 + 12c − c²);
б) 5x + 10x² − 15x³ = 5x(1 + 2x − 3x²);
в) 6py² + 8p²y − 4p²z = 2p(3y² + 4py − 2pz);
г) 3x³ − 6x²y − 12xy⁴ = 3x(x² − 2xy − 4y⁴);
ґ) −m²x + 4mx² + 3m³ = m(−mx + 4x² − 3m);
д) a²b − 2a³b² + 3ab³ − ab² = ab(a − 2a²b + 3b² − b).
402. Розклади на множники многочлен
а) 3x(a + b) − 2y(a + b) = (a + b)(3x − 2y);
б) 3(2x + 5) + x(5 + 2x) = (2x + 5)(3 + x);
в) 5a(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(5a + 3);
г) 2(m² − 2) − x(m² − 2) = (m² − 2)(2 − x);
ґ) 7p(3x + y) + (3x + y) = (3x + y)(7p + 1);
д) (3x − 1) − 17x(3x − 1) = (3x − 1)(1 − 17x).
403. Розклади на множники многочлен
а) 7p(a + b) + 8k(a + b) = (a + b)(7p + 8k); б) 3y(5x + 2) + 2(5x + 2) = (5x + 2)(3y + 2); в) 5z(m − n) − 2(m − n) = (m − n)(5z − 2); г) 2n(a² + 2b) − 3(a² + 2b) = (a² + 2b)(2n − 3); ґ) 2a(3a − b) − (3a − b) = (3a − b)(2a − 1); д) (6n + 5) − x(6n + 5) = (6n + 5)(1 − x).
404. Знайди значення виразу, попередньо розклавши його
множники а) 12,3(x + y), якщо x = 0,23; y = 0,77, то 12,3 • (0,23 + 0,77) = 12,3 • 1 = 12,3; б) x² − 1,3x = x(x − 1,3), якщо x = 11,3, то 11,3 • (11,3 − 1,3) = 11,3 • 10 = 113; в) 2,63(x + y), якщо x = 0,16; y = 0,84, то 2,63 • (0,16 + 0,84) = 2,63 • 1 = 2,63; г) x(5,24 − x), якщо x = 4,24, то 4,24 • (5,24 − 4,24) = 4,24 • 1 = 4,24.
405. Знайди
а) 16,23(a + b) = 16,23 • (8,37 + 1,63) = 162,3; б) a(a + 3,6) = −13,6(−13,6 + 3,6) = −13,6 • (−10) = 136; в) 6,34(a − b) = 6,34(0,36 + 0,64) = 6,34;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) a(17,3 − a) = 7,3(17,3 − 7,3) = 73.
406. Обчисли зручним способом
а) 1,2 • 21,11 + 1,2 • 75,56 = 1,2(24,44 + 75,56) = 1,2 • 100 = 120; б) 17,8 • 0,13 − 0,13 • 7,8 = 0,13(17,8 − 7,8) = 0,13 • 10 = 1,3; в) 0,12² + 0,12 • 0,88 = 0,12(0,12 + 0,88) = 0,12 • 1 = 0,12.
407. Обчисли зручним способом
а) 3,7 • 2,16 + 3,7 • 7,84 = 3,7(2,16 + 7,84) = 3,7 • 10 = 37; б) 36,6 • 2,34 – 2,34 • 26,6 = 2,34(36,6 – 26,6) = 2,34 • 10 = 23,4; в) 93,7² – 93,7 • 83,7 = 93,7(93,7 – 83,7) = 937.
408. Розв’яжи рівняння
а) x(x − 3) = 0
x₁ = 0; x₂ = 3;
г) x² − 12x = 0
x(x − 12) = 0
x₁ = 0; x₂ = 12;
409. Розв’яжи рівняння
a) x(x + 2) = 0
x₁ = 0; x₂ = −2;
г) x² − 6x = 0
x(x − 6) = 0
x₁ = 0; x₂ = 6;
б) y(5 − y) = 0 y₁ = 0; y₂ = 5;
ґ) 10x − 4x² = 0
2x(5 − 2x) = 0
x₁ = 0; x₂ = 2.5;
б) z(3 − z) = 0
z₁ = 0; z₂ = 3;
ґ) 10x² + x = 0
x(10x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = −0,1;
410. Винеси за дужки спільний множник
a) 3a²b + 2ab – 5a = a(3ab + 2b – 5);
б) 7xy³ + 8x²y² – 9y⁴ = y²(7xy + 8x² – 9y²);
в) 5ac² – ac³ – 3a²c = ac(5c – c² – 3a);
г) 8az⁴ – 7az³ – 4az² = az²(8z² – 7z – 4);
ґ) 4a²b³c⁴ – 5ab³c² = ab³c²(4ac² – 5);
д) 9x³yz⁴ + 7x⁴y²z³ = x²yz³(9z + 7xy).
411. Винеси за дужки спільний
а) 4a² – 5ab + a = a(4a – 5b + 1);
б) 3x² + 8x²y – x³ = x²(3 + 8y – x);
в) –7m² – m²z + m³ = m²(–7 – z + m);
г) –x⁶ – 10x⁴y² – x² = –x²(x⁴ + 10x²y² + 1);
ґ) 18a³c²x – 9ac²x³ = 9ac² + (2a² – x²);
д) 15mn²y + 45m²n³ = 15mn²(y + 3mn).
412. За малюнком 10.1
am + bm + cm (a + b + c)m
413.
а) a³ + 3a²x – 3ax² – a⁴ + 2a = a(a² + 3ax – 3x² – a³ + 2);
в) 3z(z + 4) = 0
z₁ = 0; z₂ = −4; д) 4x² + x = 0
x(4x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = −1 4
в) 4y(y − 2) = 0
y₁ = 0; y₂ = 2;
д) 5x² − x = 0
x(5x − 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 0,2.
б) 1,2a²b³c⁴ – 0,6a³b³c⁴ + 1,8a⁴b³c⁴ = 0,6a²b³c⁴(2 – a + 3a²);
в) 144x²⁰y¹⁸ + 36x¹⁸y¹⁰ = 36x¹⁸y¹⁰(4x²y⁸ + 1);
г) 169a²³b²⁰ – 49a²⁰b¹⁸ = a²⁰b¹⁸(169a³b² – 49).
414. Винеси за
спільний множник
a) 3x³ – 2ax² + 4a²x + ax – x⁴ = x(3x² – 2ax + 4a² + a – x³);
б) 10,5b²c⁴ + 1,5b³c²a² – 20b⁵c³a = 5b²c²(2,1c² + 0,3bd² – 4b³cd);
в) 92a¹⁵m³⁵ – 46a¹⁷b³⁰ = 46a¹⁵(2m³⁵ – a²b³⁰);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) 576n²⁰x³¹ + 240n¹⁷x³² = 240n¹⁷x³¹(2,4n³ + x).
415. Винеси
a) 3, 24a⁷c⁹ – 6, 48a¹⁰c¹⁵ = 3, 24a⁷c¹⁵ (c⁴ – 2a³);
б) 28, 9m³⁰x¹⁶ – 57, 8m⁴⁵x¹³ = 28, 9m³ · x¹³ (x³ – 2m¹⁵);
в) 2 5 a²x¹⁰ –3 5 a⁴x⁷ = 1 5a²x⁷ (2x³ – 3a²);
г) 6 7x⁵y¹⁸ + 3 7x¹⁸y⁵ = 3 7x⁵y⁵ (2y¹³ + x¹³).
416. Розклади на множники вираз
а) x(a – 2) + y(a – 2) = (a – 2)(x + y);
б) (x + 1)² – 2x(x + 1) = (x + 1)(x + 1 – 2x) = (x + 1)(1 – x);
в) 2y(y – 6)³ – 3y(y – 6)² = y(y – 6)²(2y – 12 – 3y) = y(y – 6)²(–y – 12);
г) 4(x – y) – 3a(y – x) = (x – y)(4 + 3a);
ґ) 3(2x – 5) – 2x(5 – 2x) = (2x – 5)(3 + 2x);
д) 6(m – n)² – m(n – m) = (m – n)(6m – 6n + m) = (m – n)(7m – 6n);
е) (4x – 3y)(x + 2y) + 2x(x + 2y) = (x + 2y)(4x – 3y + 2x) = (x + 2y)(6x – 3y)
є) (a + b)(x – y) + (b – a)(y – x) = (x – y)(a + b – b + a) = 2a(x – y).
417. Розклади на множники вираз
а) a(a² + 1) + 5(a² + 1) = (a² + 1)(a + 5);
б) 8(a² – 3) + (a² – 3)² = (a² – 3)(8 + a² – 3);
в) 5b(3 + 2c)³ + 2b(3 + 2c)² = b(3 + 2c)(15 + 10c + 2b);
г) x(a – b) + 3y(b – a) = (a – b)(x – 3y);
ґ) 4(b – 3) + 5b(3 – b) = (b – 3)(4 – 5b);
д) 7(a – 4)² + (4 – a) = (a – 4)(7a – 28 – 1) = (a – 4)(7a – 29);
е) 5a(3a – b) + (b – 3a)(5a + 2b) = (3a – b)(5a – 5a – 2b) = –2b(3a – b);
є) (a + 7b)(a – 5b) – (b – a)(a – 5b) = (a – 5b)(a + 7b – b + a) = (a – 5b)(4b + 6b).
418. Розклади на множники вираз
a) 6a(x – 2) + 8b(x – 2) + 4c(2 – x) = (x – 2)(6a + 8b – 4c);
б) (x³ + 1)(2x + 3) + 3(2x⁴ + 3x³) + (x³ – 1)(3 + 2x) = (2x + 3)(x³ + 1 + 3x³ + x³ – 1) = = (2x + 3) • 5x³;
в) (x³ – 1) + 5a(x³ – 1) + b(1 – x³) = (x³ – 1)(1 + 5a – b);
г) (2x – 1)(x² + 1) + (x² – 1)(2x – 1) + (1 – 2x)(x² + 2) = (2x – 1)(x² + 1 + x² – 1 – x² – 2) = = (2x – 1)(x² – 2).
419. Винеси за дужки спільний множник
a) (5x + 10)² = (5(x + 2))² = 25(x + 2)²; б) (3 – 12y)² = 9(1 – 4y)²;
в) (4a – 4b)³ = 64(a – b)³;
г) (3a + 6c)⁴ = 3⁴ • (a + 2c)⁴ = 81(a + 2c)⁴;
ґ) (6ab² – 3a²)³ = (3a)³(2b² – a)³ = 27a³ • (2b² – a)³;
д) (–6a – 2ab)⁴ = (2a)⁴(–3 – b)⁴ = 16a⁴(–3 – b)⁴.
420. Винеси за дужки спільний множник
a) (16y + 12)² = 4²(4y + 3)² = 16(4y + 3)²;
б) (15 – 5y)² = 25(3 – y)²;
в) (6x – 8)³ = 8(3x – 4)³;
г) (3x – 9)⁴ = 81(x – 3)⁴;
ґ) (2x³y + 4x⁴)² = (2x³)²(y + 2x)² = 4x⁶(y + 2x)²;
д) (–2x³ + 4x²)⁴ = (2x²)⁴(–x + 2)⁴ = 16x⁸(–x + 2)⁴.
421. Розв’яжи рівняння
a) 3(4x – 1)² – (1 – 4x) = 0 б) x² + 6(x + 2) = 12
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(4x – 1)(12x – 3 + 1) = 0
(4x – 1)(12x – 2) = 0
1) 4x – 1 = 0 2) 12x – 2 = 0 4x = 1 12x = 2
x₁ = 1 4 x₂ = 1 6 x² + 6x + 12 = 12 x(x + 6) = 0 x₁ = 0; x₂ = –6
в) 2x³ – 5(x² – 2) = 10
2x³ – 5x² + 10 = 10
x²(2x – 5) = 0
x₁ = 0; x₂ = 2,5
422. Розв’яжи рівняння
a) 2(3x – 2)² – (2 – 3x) = 0
(3x – 2)(6x – 4 + 1) = 0 1) 3x – 2 = 0 2) 6x – 3 = 0
3x = 2 6x = 3
x₁ = 2 3 x₂ = 1 2
в) 2z⁴ – 7(z³ – 3) = 21
2z⁴ – 7z³ + 21 = 21
z³(2z – 7) = 0
z₁ = 0
2z = 7
x² – 5(x – 3) = 15 x² – 5x + 15 = 15 x₁ = 0; x₂ = 5
z₂ = 3,5 г) 2z⁴ –1 3z(6z² – 3) = z 2z⁴ – 2z³ + z = z
2z³(z – 1) = 0 z₁ = 0 z₂ = 1
423. Обчисли a) (3,72 · 2,41 2,41 · 2,72) (24,1 · 1,4 + 24,1 · 1,01 24,1 · 1,41) = (2,41(3,72 2,72)) (24,1(1,4 + 1,01 1,41)) = (2,41 · 1) (24,1 · 1) = 0,1;
б) (1,3 27 + 1,3 63 + 2,3 64 + 2,3 26) (1,8 · 5,7 + 1,8 · 4,3) = (1,3(27 + 63) + 2,3(64 + 26)) (1,8(5,7 + 4,3)) = (1,3 90 + 2,3 90) (1,8 · 10) = (90 (1,3 + 2,3)) 18 = = 5 · 3,6 = 18.
424. Обчисли а) 7,6 4,6 + 7,6 6,6 7,6 1,2 0,4 2,3 0,4
= 50 12,5 = –4.
Доведи, що: а) 16¹⁶ • (16 + 1) = 17 • 16¹⁶; б) 6⁷ • (6² − 6 + 1) = 31 • 6⁷; в) (7²)⁵ + 7⁸ = 7¹⁰ + 7⁸ = 7⁸(7² + 1) = 50 • 7⁸ = 350 • 7⁷; г) 7⁹⁹ • (7 + 3) = 10 • 49 • 7⁹⁷ = 490 • 7⁹⁷.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
426. Доведи, що:
а) 5¹⁰ • (5² + 1) = 26 • 5¹⁰ = 2 • 13 • 5¹⁰;
б) 8¹³ • (8² – 8 – 1) = 55 • 8¹³ = 5 • 11 • 8¹³;
в) (9²)³¹ – 9⁶⁰ = 9⁶² – 9⁶⁰ = 9¹⁰(81 – 1) = 9⁹ • 720;
г) 37⁵⁹ • (37 + 63) = 100 • 37⁵⁹.
427. Подай у вигляді добутку, якщо n, m і k
а) xⁿ⁺¹ + xⁿ = xⁿ(x + 1);
б) aᵐ – aᵐ ² = aᵐ(1 –1 a²);
в) 9aᵏ⁺⁵ – 3aᵏ⁺² = 9a⁵aᵏ – 3a²aᵏ = 3a²aᵏ(3a³ – 1);
г) 8²ⁿ⁺¹ – 4³ⁿ⁺⁴ = 2³⁽²ⁿ⁺¹⁾ – 2²⁽³ⁿ⁺⁴⁾ = 2⁶ⁿ⁺³ –
= 2⁶ⁿ⁺³(1 – 32) = –31 · 2⁶ⁿ⁺³; ґ) yᵐ⁺⁵ – yᵐ = yᵐ(y⁵ – 1);
д) xᵏ⁺¹ + xᵏ⁺³ = xᵏ⁺¹(1 + x²);
е) 4xⁿ⁺⁶ + 12xⁿ⁺¹ = 4xⁿ⁺¹(x⁵ + 3); є) 3²ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺² = 3²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺⁴ = 3²ⁿ⁺¹(1 + 27) = 28 · 3²ⁿ⁺¹.
428. Продовж послідовність: а) 4x, 12x, 36x, 108x, 324x; б) 2a – 4x, 4a – 8x, 8a – 16x, 16a – 32x.
429. Із букв, написаних
30,4 см 431. Обчисли а) –2 1 8 + 2 3 = –2 3 24 + 16 24 = –1 27 24 + 16 24 = –
3 2 7 + (
3 7
= 3
=
;
–4 3 4 + (–5 1 2) = –4 3 4 – 5 2 4 = –9 5 4 = –10,25; г) 4 1 2 + (–1 1 3) = 4 3 6 – 1 2 6 = 3 1 6; ґ) 3 4 + (–0,5) = 0,75 – 0,5 = 0,25; д) –3 5 + 4,2 = –0,6 + 4,2 = 3,6. 432. Знайди
а) 3a² + 2a + 7 + a³ – 2a² + a – 3 = a³ + a² + 3a + 4; б) 1,5x – x² – x³ + 2,5x⁴ – 1,5x³ – 2x + 3 = 2,5x⁴ – 2,5x³ – x² – 0,5x + 3. 433. Розклади
а) (a + 1)x + (a + 1)y: (a + 1)x + (a + 1)y = (a + 1)(x + y)
б) x(2 - c) - y(2 - c): x(2 - c) - y(2 - c) = (2 - c)(x - y)
в) p - n + c(p - n):
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
p - n + c(p - n) = (p - n)(1 + c)
г) (x + y)² + x + y:
(x + y)² + x + y = (x + y)² + (x + y) = (x + y)(x + y + 1)
434. Розклади на множники вираз ax - ay + 7x - 7y.
ax - ay + 7x - 7y = a(x - y) + 7(x - y) = (x - y)(a + 7)
Відповідь: Б (x - y)(a + 7)
435. Які доданки слід згрупувати, щоб вираз можна було розкласти на множники?
Розгляньте кілька варіантів.
а) 2a + 4b + ca + 2bc:
2a + 4b + ca + 2bc = 2a + ca + 4b + 2bc = a(2 + c) + 2b(2 + c) = (2 + c)(a + 2b)
б) kx + ky + 5x + 5y:
kx + ky + 5x + 5y = kx + 5x + ky + 5y = x(k + 5) + y(k + 5) = (k + 5)(x + y)
в) x³ + 3x² + x + 3:
x³ + 3x² + x + 3 = x²(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x² + 1)
г) am + 3n + an + 3m:
am + 3n + an + 3m = am + an + 3m + 3n = a(m + n) + 3(m + n) = (m + n)(a + 3)
436. Чи правильно виконано перетворення?
ax + 7x + a + 7 = (ax + a) + (7x + 7) = a(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(a + 7)
Так, перетворення виконано правильно:
Згрупували доданки з однаковими множниками: (ax + a) + (7x + 7)
Винесли спільні множники за дужки: a(x + 1) + 7(x + 1)
Винесли спільний множник (x + 1): (x + 1)(a + 7) 437. Розкладаючи на множники многочлен ax + ay + bx + by + x + y, учень одержав вираз (x + y)(a + b). Якої помилки він припустився?
Правильний розклад: ax + ay + bx + by + x + y = ax + ay + bx + by + x + y = = a(x + y) + b(x + y) + (x + y) = (x + y)(a + b + 1)
Учень забув врахувати доданки x + y, тобто пропустив доданок +1 у другій
Правильний вираз: (x + y)(a + b + 1)
438. Подай вираз у вигляді добутку
а) xa + x + ya + y = a(x + y) + x + y = (x + y)(a + 1);
б) 3m – xm + 3n – xn = m(3 – x) + n(3 – x) = (3 – x)(m + n);
в) 3c + 3y + ac + ay = 3(c + y) + a(c + y) = (c + y)(3 + a);
г) 2ax – 2ay + 3x – 3y = 2a(x – y) + 3(x – y) = (x – y)(2a + 3);
ґ) ax – ay – bx + by = a(x – y) – b(x – y) = (x – y)(a – b);
д) ca + 2cx – na – 2nx = c(a + 2x) – n(a + 2x) = (a + 2x)(c – n);
е) 3m + 3n – am – an = 3(m + n) – a(m + n) = (m + n)(3 – a);
є) am – an – m + n = a(m – n) – 1(m – n) = (m – n)(a – 1);
ж) a(x + y + z) + b(x + y + z) = (x + y + z)(a + b).
439. Подай вираз у вигляді
а) 2x + 2y + ax + ay = 2(x + y) + a(x + y) = (x + y)(2 + a);
б) xa – xb + ca – cb = x(a – b) + c(a – b) = (a – b)(x + c);
в) 2a – 2b + ca – cb = 2(a – b) + c(a – b) = (a – b)(2 + c);
г) nx + ny + mx + my = n(x + y) + m(x + y) = (x + y)(n + m);
ґ) ax – bx – ay + by = x(a – b) – y(a – b) = (a – b)(x – y);
д) mx + my – cx – cy = m(x + y) – c(x + y) = (x + y)(m – c);
е) 2x + 2y – ax – ay = 2(x + y) – a(x + y) = (x + y)(2 – a);
є) ap – ak – p + k = a(p – k) – 1(p – k) = (p – k)(a – 1).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
440. Подай
а) a(x + 3) + b(x + 3) + c(x + 3) = (x + 3)(a + b + c);
б) m(a – z) – n(a – z) + 2(a – z) = (a – z)(m – n + 2).
441. Розклади на множники многочлен
а) az – z² + ac – cz = z(a – z) + c(a – z) = (a – z)(z + c);
б) 5a – 10 + ac³ – 2a³ = 5(a – 2) + c²(a – 2) = (a – 2)(5 + c²); в) 2a²b + ac – 6abc – 3c² = a(2ab + c) – 3c(2ab + c) = (2ab + c)(a – 3c);
г) 3a³ – 5a² – 3ab + 5b = a²(3a – 5) – b(3a – 5) = (3a – 5)(a² – b).
442. Розклади на множники многочлен
а) 3m² + 9mn – 2m – 6n = 3m(m + 3n) – 2(m + 3n) = (m + 3n)(3m – 2);
б) a³ – a²n – 3a + 3n = a²(a – n) – 3(a – n) = (a – n)(a² – 3);
в) y³ – 3y⁵ + 3y² – 9y⁴ = y³(1 – 3y²) + 3y²(1 – 3y²) = (1 – 3y²)(y³ + 3y²);
г) 3a³ + 12a² – a – 4 = 3a²(a + 4) – 1(a + 4) = (a + 4)(3a² – 1);
ґ) 4x²y² – 4xy – 5axy + 5a = 4xy(xy – 1) – 5a(xy – 1) = (xy – 1)(4xy – 5a);
д) a²x² + a²x³ – a – x = a²x²(a + x) – 1(a + x) = (a + x)(a²x² – 1).
443. Розклади на множники многочлен
а) ac + bc + a² + ab = c(a + b) + a(a + b) = (a + b)(c + a);
б) 7x⁴ – x² + 7ax² – a = x²(7x² – 1) + a(7x² – 1) = (7x² – 1)(x² + a);
в) m²p + 3my – mnp – 3ny = m(mp + 3y) – n(mp + 3y) = (mp + 3y)(m – n);
г) 3a² + 6ab – 2a – 4b = 3a(a + 2b) – 2(a + 2b) = (a + 2b)(3a – 2);
г) 5a²c² – 5ax – 8a²c³ + 8cx = 5a(a²c² – x) – 8c(a²c² – x) = (a²c² – x)(5a – 8c); д) 2x³y² + 2x³y – x²y – 1 = 2x³y(x²y – 1) – (x²y – 1) = (x²y – 1)(2x³y – 1).
444. Обчисли значення виразу, розклавши його
a) x⁸ – 9x² + x – 9 = (x³ – 9x²) + (x – 9) = x²(x – 9) + (x – 9) = (x – 9)(x² + 1), якщо x = 19, то (19 – 9) · (19² + 1) = 10 · (361 + 1) = 3620; б) m² – mn – 2m + 2n = (m² – mn) – (2m – 2n) = m(m – n) – 2(m – n) = (m – n)(m – 2), якщо m = 0,35; n = 0,25; то (0,35 – 0,25) · (0,35 – 2) = 0,1 · (–1,65) = –0,165.
445. Обчисли значення виразу, розклавши
a) a²(a – 5) + (a – 5) = (a – 5) • (a² + 1) = (–15 – 5)(225 + 1) = –20 • 226 = –4520; б) x(x – 2y) – 3(x – 2y) = (x – 2y)(x – 3) = (0,7 – 2 • 0,15) • (0,7 – 3) = 0,4 • (–2,3) = –0,92.
446. Обчисли
а) 20,5 • 17 + 79,5 • 17 + 20,5 • 0,28 + 79,5 • 0,28 = = (20,5 • 17 + 20,5 • 0,28) + (79,5 • 17 + 79,5 • 0,28) = 20,5 • (17 + 0,28) + 79,5 • (17 + 0,28) = = (17 + 0,28) • (20,5 + 79,5) = 100 • 17,28 = 1728.
б) 42,2² – 42,2 • 41,2 + 57,8² – 57,8 • 56,8 = (42,2² – 42,2 • 41,2) + (57,8² – 57,8 • 56,8) = = 42,2 • (42,2 – 41,2) + 57,8 • (57,8 – 56,8) = 42,2 • 1 + 57,8 • 1 = 42,2 + 57,8 = 100.
447. Обчисли
а) 36,7 • 15 + 63,3 • 15 + 36,7 • 1,3 + 63,3 • 1,3 = = (36,7 • 15 + 36,7 • 1,3) + (63,3 • 15 + 63,3 • 1,3) = 36,7 • (15 + 1,3) + 63,3 • (15 + 1,3) = = (15 + 1,3) • (36,7 + 63,3) = 16,3 • 100 = 1630. б) 76,2² – 76,2 • 73,2 + 23,8² – 23,8 • 20,8 = (76,2² – 76,2 • 73,2) + (23,8² – 23,8 • 20,8) = = 76,2 • (76,2 – 73,2) + 23,8 • (23,8 – 20,8) = 76,2 • 3 + 23,8 • 3 = = 3 • (76,2 + 23,8) = 3 • 100 = 300.
448. Розв’яжи рівняння а) x³ – 5x² + 3x – 15 = 0
(x³ – 5x²) + (3x – 15) = 0
x²(x – 5) + 3(x – 5) = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(x – 5)(x² + 3) = 0,
звідси x – 5 = 0 або x² + 3 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 5, а
друге рівняння розв'язків не має, бо
x² ≠ –3.
Відповідь: x = 5.
б) x² – 2x³ + 7 – 14x = 0
(–2x³ + x²) + (–14x + 7) = 0
x²(–2x + 1) – 7(2x – 1) = 0
(–2x + 1)(x² – 7) = 0,
звідси –2x + 1 = 0 або x² – 7 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 0,5,
а друге рівняння розв'язків не має.
Відповідь: x = 0,5
в) x³ – 3x² + x – 3 = 0
(x³ – 3x²) + (x – 3) = 0
x²(x – 3) + 1(x – 3) = 0
(x – 3)(x² + 1) = 0,
звідси x – 3 = 0 або x² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 3, а
друге рівняння розв'язків не має, бо
x² ≠ –1.
Відповідь: x = 3.
г) x³ + 4x² + 3x + 12 = 0
(x³ + 4x²) + (3x + 12) = 0
x²(x + 4) + 3(x + 4) = 0
(x + 4)(x² + 3) = 0,
звідси x + 4 = 0 або x² + 3 = 0.
Коренем першого рівняння є x = –4, а
друге рівняння розв'язків не має, бо x² ≠ –3.
Відповідь: x = –4.
449. Розв’яжи рівняння
а) 2z³ – 3z² + 2z – 3 = 0
(2z³ – 3z²) + (2z – 3) = 0
z²(2z – 3) + 1(2z – 3) = 0 (2z – 3)(z² + 1) = 0,
звідси 2z – 3 = 0 або z² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є z = 1,5,
а
друге рівняння розв'язків не має, бо z² ≠ –1.
Відповідь: z = 1,5.
б) z³ – 5z² + 2z – 10 = 0
(z³ – 5z²) + (2z – 10) = 0
z²(z – 5) + 2(z – 5) = 0 (z – 5)(z² + 2) = 0,
звідси z – 5 = 0 або z² + 2 = 0.
Коренем
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
рівняння є z = 5, а
рівняння розв'язків не має, бо
z² ≠ –2.
Відповідь: z = 5.
в) y³ + 3y² + 5y + 15 = 0
(y³ + 3y²) + (5y + 15) = 0
y²(y + 3) + 5(y + 3) = 0
(y + 3)(y² + 5) = 0,
звідси y + 3 = 0 або y² + 5 = 0.
Коренем першого рівняння є y = –3, а
друге рівняння розв'язків не має, бо y² ≠ –5.
Відповідь: y = –3.
г) 3x³ + 9x² + x + 3 = 0
(3x³ + 9x²) + (x + 3) = 0
3x²(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(3x² + 1) = 0,
звідси x + 3 = 0 або 3x² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є x = –3, а
друге рівняння розв'язків не має, бо 3x² ≠ –1.
Відповідь: x = –3.
450. Подай у вигляді добутку вираз
1) 4a² + 3z – 4az – 3a = (4a² – 4az) + (3z – 3a) = 4a(a – z) + 3(z – a) = (a – z)(4a + 3) 2) 3x² – 2y³ – 3x²y + 2y² = (3x² – 3x²y) + (–2y³ + 2y²) = 3x²(1 – y) + 2y²(1 – y) = = (1 – y)(3x² + 2y²)
3) a³ – 2c² – a²c + 2ac = (a³ – a²c) + (2ac – 2c²) = a²(a – c) + 2c(a – c) = (a – c)(a² + 2c)
4) a³ – 3b³ + a²b² – 3ab = (a³ + a²b²) + (–3b³ – 3ab) = a²(a + b²) – 3b(b² + a) = (a + b²)(a² – 3b)
451. Подай у вигляді добутку вираз
а) a + 12ab² – 3b – 4a²b = a – 3b – 4a²b + 12ab² = (a – 3b) – 4ab(a – 3b) = (a – 3b)(1 – 4ab).
б) a³ – 2x² – 2a²x + ax = (a³ – 2a²x) + (ax – 2x²) = a²(a – 2x) + x(a – 2x) = (a – 2x)(a² + x)
в) a²b + c³ + a²c² + bc = (a²b + a²c²) + (c³ + bc) = a²(b + c²) + c(b + c²) = (b + c²)(a² + c)
г) m²n + 2x² + 2mnx + mx = (m²n + 2mnx) + (2x² + mx) = mn(m + 2x) + x(2x + m) = = (m + 2x)(mn + x)
452. Знайдіть помилки в роботах учнів. Виконайте правильно.
Учениця
1) ax + ay – az + nx + ny – nz = a(x + y + z) + n(x + y + z)
Помилка: Учениця неправильно згрупувала доданки.
Правильне розв'язання: ax + ay – az + nx + ny – nz = (ax + ay + nx + ny) – (az + nz) = (a + n)(x + y) – (a + n)z = (a + n)(x + y – z).
Відповідь: (a + n)(x + y – z).
2) 2ax + cx – 6ax² – 3cx² + 2ac + c² ≠ (x + 3x² + c)(2a + c)
Помилка: Неправильне винесення спільних множників за дужки.
Правильне розв'язання: 2ax + cx – 6ax² – 3cx² + 2ac + c²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
= x(2a + c) – 3x²(2a + c) + c(2a + c)
= (x – 3x² + c)(2a + c).
Відповідь: (x – 3x² + c)(2a + c).
Учень
1) a + b – 2 – ax – bx + 2x ≠ (a + b – 2)x
Помилка: Неправильно згрупував доданки та виніс спільний множник.
Правильне розв'язання: a + b – 2 – ax – bx + 2x
= (a + b – 2) – x(a + b – 2)
= (a + b – 2)(1 – x).
Відповідь: (a + b – 2)(1 – x).
2) ax² + bx² – bx – ax + cx² – cx ≠ x²(a + b + c) – x(b – a – c)
Помилка: Неправильне винесення спільного множника x.
Правильне розв'язання:
ax² + bx² – bx – ax + cx² – cx
= x²(a + b + c) – x(a + b + c)
= (a + b + c)(x² – x).
Відповідь: (a + b + c)(x² – x).
453. Розклади на множники многочлен
1) ax² + bx² – cx² + at + bm – cm = x²(a + b – c) + m(a + b – c) = (a + b – c)(x² + m)
2) a + b + ax² + bx² – bx – ax = (a + b) + x²(a + b) – x(a + b) = (a + b)(x² – x + 1) 3) 2am + 3mx – 7m – 2ac – 3cx + 7c = 2a(m – c) + 3x(m – c) – 7(m – c) = (m – c)(2a + 3x – 7)
4) 4ax² – ax + 5a – 4bx² + bx – 5b = 4x²(a – b) – x(a – b) + 5(a – b) =(a – b)(4x² – x + 5)
454. Розклади на множники многочлен
1) 9c³x² + 2c³x – c³ + 9x² + 2x – 1 = (9x² + 2x – 1) + c³(9x² + 2x – 1) = (9x² + 2x – 1)(1 + c³)
б) 4abc² – 4ac + 4b + abc²x – acx + bx = (4abc² – 4ac + 4b) + (abc²x – acx + bx) = = 4(abc² – ac + b) + x(abc² – ac + b) = (abc² – ac + b)(4 + x).
в) x³ + x²y + x³y – xy³ – xy² – y³ = (x³ + x²y + x³y) – (xy³ + xy² + y³) = = x²(x + y + xy) – y²(xy + x + y) = (x + y)(x² – y²) = (x + y)(x – y)(x + y).
г) x² – x³ + y – y² – xy + xy² = x²(1 – x) + y(1 – x) – y²(1 – x) = (1 – x)(x² + y – y²).
455. Розклади на множники многочлен
а) az² – bz² – bz + az – a + b = (az² + az – a) – (bz² + bz – b) = a(z² + z – 1) – b(z² + z – 1) = = (z² + z – 1)(a – b).
б) x² + 2x – ca – 2c – cx + ax = (x² + 2x + ax) – (ca + 2c + cx) = x(x + 2 + a) – c(a + 2 + x) = = (x + 2 + a)(x – c).
в) x⁴ – a⁴ + a³x – a³x³ + c³x – ac³ = (x⁴ – a³x³) + (–a⁴ + a³x) + (c³x – ac³) = = x³(x – a) + a³(x – a) + c³(x – a) = (x – a)(x³ + a³ + c³).
г) a³ – a² + x³ – x² + a²x + x²a = a²(a – 1 + x) + x²(x – 1 + a) = (a – 1 + x)(a² + x²).
ґ) x³ + y³ + x²y + y²x + xyz + x²z + y²z = x²(x + y + z) + y(y + z)(x + y) = = (x + y + z)(x² + y² + z²).
д) a³ + a + ab² – ab – b – b³ = (a³ + a + ab²) – (ab + b + b³) = a(a² + 1 + b²) – b(a + 1 + b²) = = (a + 1 + b²)(a – b).
456. Розклади многочлен на множники і
а) 15a²mx – 20am – 21ax + 28 = (15a²mx – 20am) – (21ax – 28) = 5am(3ax – 4) – 7(3ax – 4) = = (3ax – 4)(5am – 7).
Перевірка: (3ax – 4)(5am – 7) = 15a²mx – 21ax – 20am + 28.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 0,9ax + 1,2x² – 1,2ac – 1,6cx = 0,3x(3a + 4x) – 0,4c(3a + 4x) = (3a + 4x)(0,3x – 0,4c).
Перевірка:
(3a + 4x)(0,3x – 0,4c) = 0,9ax + 1,2x² – 1,2ac – 1,6cx.
457. Factoring polynomial and check.
а) a²b + 10ab – 20a – 2a² – b + 2 = a²b – 2a² + 10ab – 20a – b + 2 = = a²(b – 2) + 10a(b – 2) – 1(b – 2) = (b – 2)(a² + 10a – 1).
Перевірка:
(b – 2)(a² + 10a – 1) = a²b + 10ab – 20a – 2a² – b + 2
б) 3 13ax²y –1 13 x + 12 13a²xy² –4 13ay = 3 13ax²y + 12 13a²xy² –1 13 x –4 13ay = = 3axy ( 1 13 x + 4 13ay) – ( 1 13 x + 4 13ay) = ( 1 13 x + 4 13ay) · (3axy – 1).
458. Розклади на множники тричлен
а) x² + 4x + 3 = x² + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x + 1).
б) x² + 6x + 8 = x² + 4x + 2x + 8 = x(x + 4) + 2(x + 4) = (x + 4)(x + 2).
в) x² − 4x + 3 = x² − 3x − x + 3 = x(x − 3) − 1(x − 3) = (x − 3)(x − 1).
г) x² + 3x − 10 = x² + 5x − 2x − 10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2).
459. Розклади на множники тричлен
а) x² + 6x + 5 = x² + 5x + x + 5 = x(x + 5) + 1(x + 5) = (x + 5)(x + 1).
б) x² + 7x + 6 = x² + 6x + x + 6 = x(x + 6) + 1(x + 6) = (x + 6)(x + 1).
в) x² – 10x + 21 = x² – 7x – 3x + 21 = x(x – 7) – 3(x – 7) = (x – 7)(x – 3).
г)
x² + 2x – 8 = x² – 2x + 4x – 8 = x(x – 2) + 4(x – 2) = (x – 2)(x + 4).
460. Розв’яжи рівняння
а) x² + 7x + 10 = 0
x² + 5x + 2x + 10 = 0
x(x + 5) + 2(x + 5) = 0
(x + 5)(x + 2) = 0
461. Розв’яжи рівняння
а)
x² + 4x + 3 = 0
x² + 3x + x + 3 = 0
x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x₁ = –3; x₂ = –1.
462. Доведи, що:
x² + 7x + x + 7 = 0
x(x + 7) + 1(x + 7) = 0
(x + 7)(x + 1) = 0
x₁ = –7; x₂ = –1.
x₁ = –5; x₂ = –2. б) x² + 8x + 7 = 0
б) x² + 8x + 12 = 0
x² + 6x + 2x + 12 = 0
x(x + 6) + 2(x + 6) = 0
(x + 6)(x + 2) = 0
x₁ = –6; x₂ = –2.
в) x² – 5x + 6 = 0
x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
x₁ = 3; x₂ = 2.
в) x² – 9x + 18 = 0
x² – 6x – 3x + 18 = 0
x(x – 6) – 3(x – 6) = 0
(x – 6)(x – 3) = 0
x₁ = 6; x₂ = 3.
а) 2⁹ • 3⁵ + 2⁹ • 3³ – 2⁶ • 3⁵ – 2⁶ • 3³ = 2⁶ • 3³ • (2³ • 3² + 2³ – 3² – 1) = = 2⁶ • 3³ • (2³ • (3² + 1) – (3² + 1)) = 2⁶ • 3³ • (3² + 1) • (2³ – 1) = = 10 • 7 • 2⁶ • 3³ = 70 • 2 • 3 • 2⁵ • 3² = 420 • 2⁵ • 3². Доведено. Кратно 420. б) 5¹⁰ • 7¹⁰ + 5¹⁰ • 7⁸ – 5⁸ • 7¹⁰ – 5⁸ • 7⁸ = 5⁸ • 7⁸ • (5² • 7² + 5² – 7² – 1) = = 5⁸ • 7⁸ • (5² • (7² + 1) – (7² + 1)) = 5⁸ • 7⁸ • (7² + 1) • (5² – 1) = (7² + 1) • (5² – 1) • 5⁸ • 7⁸ = = 50 • 24 • 5⁸ • 7⁸ = 1200 • 5⁸ • 7⁸. Доведено. Кратно 1200.
в) 2¹¹ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁴ + 2¹¹ • 3⁴ = (2¹¹ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁶) – (2⁷ • 3⁴ – 2¹¹ • 3⁴) = = 2⁷ • 3⁶(2⁴ – 1) – 2⁷ • 3⁴(1 – 2⁴) = 2⁷ • 3⁶(2⁴ – 1) + 2⁷ • 3⁴(2⁴ – 1) = (2⁴ – 1)(2⁷ • 3⁶ + 2⁷ • 3⁴) = = 2⁷ • 3⁴ • (3² + 1)(16 – 1) = 150 • 2⁷ • 3⁴. Кратно 150. Доведено. 463. Доведи, що: а) 2¹⁰ • 3¹² + 2⁸ • 3¹² + 2¹⁰ • 3¹⁰ + 2⁸ • 3¹⁰ = (2¹⁰ • 3¹² + 2⁸ • 3¹²) + (2¹⁰ • 3¹⁰ + 2⁸ • 3¹⁰) = = 2⁸ • 3¹² (2² + 1) + 2⁸ • 3¹⁰ (2² + 1) = (2² + 1) (2⁸ • 3¹² + 2⁸ • 3¹⁰) = 5 • 2⁸ • 3¹⁰ (3² + 1) = = 50 • 2 • 3 • 27 • 3³ = 300 • 2 • 3³. Кратно 300. Доведено.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
• 2¹⁰ + 7⁷ • 2¹⁴) = = 7⁷ • 2¹⁰ (7³ – 7) + 7⁷ • 2¹⁰ (2⁴ – 7) = (2⁴ – 7) • (7⁷ • 2¹⁰ + 7⁷ • 2¹⁰) = = 9 • 7⁷ • 2¹⁰ • (7² + 1) = 9 • 5 • 10 • 7⁷ • 2¹⁰ = 45 • 5 • 7⁷ • 2¹⁰. Кратно 45. Доведено.
464. Розклади на множники а) a² + 3ab + 2b² = a² + 2ab + b² + ab + b² = (a + b)² + b(a + b) = (a + b)(a + b + b) = = (a + b)(a + 2b).
б) 2x² – 7xy + 3y² = 2x² – 6xy – xy + 3y² = 2x(x – 3y) – y(x – 3y) = (2x – y)(x – 3y).
465. Розв’яжи математичні кросворди. x − y = 10 x + z = 47 y − z = 5
2z + 15 = 47
2z = 47 – 15
2z = 32
z = 16.
Виразимо x через y з першого рівняння: x = y + 10.
Виразимо y через z з третього рівняння: y = z + 5.
Підставимо y = z + 5 у вираз для x: x = (z + 5) + 10 = z + 15.
Підставимо x = z + 15 у
рівняння для z:
рівняння: (z + 15) + z = 47.
Підставимо z = 16 у вираз для y:
y = z + 5 = 16 + 5 = 21.
Підставимо z = 16 у вираз для x:
x = z + 15 = 16 + 15 = 31.
Відповідь: x = 31; y = 21; z = 16. x + y = 80 n − m = 16 x • 20 = n y + 30 = m З першого рівняння x + y = 80 виразимо y: y = 80 − x. З четвертого рівняння y + 30 = m підставимо y: m = (80 − x) + 30 = 110 − x. З третього рівняння x • 20 = n знаходимо n: n = 20x.
З другого рівняння n − m = 16 підставимо знайдені n і m: 20x − (110 − x) = 16.
Розв'яжемо рівняння: 20x − 110 + x = 16. 21x = 126. x = 6.
Підставимо x = 6 у вираз для y: y = 80 − 6 = 74.
Підставимо x = 6 у вираз для n: n = 20 • 6 = 120.
Підставимо x = 6 у вираз для m: m = 110 − 6 = 104.
Відповідь: x = 6, y = 74, n = 120, m = 104.
Розв'яжемо рівняння: 2x – x = 5 + 5. x = 10.
Знайдемо y, n і m: y = x + 8 = 10 + 8 = 18. n = x + 5 = 10 + 5 = 15. m = 2x = 2 • 10 = 20.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + 8 = y
y – 3 = n
x • 2 = m m – 5 = n З першого рівняння x + 8 = y виразимо y: y = x + 8. З другого рівняння y – 3 = n підставимо y: n = (x + 8) – 3 = x + 5. З третього рівняння x • 2 = m знаходимо m: m = 2x. З четвертого рівняння m – 5 = n підставимо m і n: 2x – 5 = x + 5.
Відповідь: x = 10, y = 18, n = 15, m = 20.
466. Скільки
координатній прямій.
|x| < 5; –5 < x < 5.
467. Обчисли а) 45 : 100 • 20 = 9; б) 56 : 100 • 0,5 = 0,28; в) 28 : 100 • 400 = 112.
468. Яка
3 6 = 1 2 = 0,5 = 50%
469.
(x+y)² 470. Перетвори на
(х – 2у)2 . Г (x – 2y)² = x² – 4xy + 4y² 471. Якому
(x
а) (1 + c)² = 1 + 2c + c² в) (a – n)² = a² – 2an + n² б) (1 – x)² = 1 – 2x + x² г) (x + 2)² = x² + 4x + 4
473. Якому
В a² – 8a + 16 = (a – 4)²
474. Подай у вигляді степеня.
а) 1 + 2a + a² = (a + 1)²
б) x² – 4yx + 4y² = (x – 2y)²
в) 16 – 8c + c² = (c – 4)²
г) 9z² + 12z + 4 = (3z + 2)²
ґ) 25p² + 20px + 4x² = (5p + 2x)²
2 – 8а + 16?
д) y² – 14y + 49 = (y – 7)²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
В 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
476. Піднеси
а) (a + c)² = a² + 2 • a • c + c² = a² + 2ac + c².
б) (x + y)² = x² + 2 • x • y + y² = x² + 2xy + y².
в) (n + 2)² = n² + 2 • n • 2 + 2² = n² + 4n + 4.
г) (m + 3)² = m² + 2 • m • 3 + 3² = m² + 6m + 9.
ґ) (1 + ab)² = 1² + 2 • 1 • ab + (ab)² = 1 + 2ab + a²b².
д) (p + 3q)² = p² + 2 • p • 3q + (3q)² = p² + 6pq + 9q².
е) (2x + 4)² = (2x)² + 2 • 2x • 4 + 4² = 4x² + 16x + 16.
є) (3a + b)² = (3a)² + 2 • 3a • b + b² = 9a² + 6ab + b².
ж) (3x + 2y)² = (3x)² + 2 • 3x • 2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y².
з) (5a + 3b)² = (5a)² + 2 • 5a • 3b + (3b)² = 25a² + 30ab + 9b².
и) (2a² – 3x)² = (2a²)² – 2 • 2a² • 3x + (3x)² = 4a⁴ – 12a²x + 9x².
і) (3a² – 5c³)² = (3a²)² – 2 • 3a² • 5c³ + (5c³)² = 9a⁴ – 30a²c³ + 25c⁶.
477. Піднеси до квадрата двочлен
а) (m + 2)² = m² + 2 • m • 2 + 2² = m² + 4m + 4.
б) (2a + x)² = (2a)² + 2 • 2a • x + x² = 4a² + 4ax + x².
в) (3 + 6a)² = 3² + 2 • 3 • 6a + (6a)² = 9 + 36a + 36a².
г) (x – 1)² = x² – 2 • x • 1 + 1² = x² – 2x + 1.
ґ) (2c – 3a)² = (2c)² – 2 • 2c • 3a + (3a)² = 4c² – 12ac + 9a².
д) (5x – y)² = (5x)² – 2 • 5x • y + y² = 25x² – 10xy + y².
е) (1 – ab)² = 1² – 2 • 1 • ab + (ab)² = 1 – 2ab + a²b².
є) (cq – 2p)² = (cq)² – 2 • cq • 2p + (2p)² = c²q² – 4cqp + 4p².
ж) (ax + 5)² = (ax)² + 2 • ax • 5 + 5² = a²x² + 10ax + 25.
з) (a + c²)² = a² + 2 • a • c² + (c²)² = a² + 2ac² + c⁴.
и) (n² + 2a³)² = (n²)² + 2 • n² • 2a³ + (2a³)² = n⁴ + 4n²a³ + 4a⁶.
і) (2a² – 3cx²)² = (2a²)² – 2 • 2a² • 3cx² + (3cx²)² = 4a⁴ – 12a²cx² + 9c²x⁴.
478. Подай у вигляді многочлена вираз
а) (m + 2)(m + 2) = m² + 2 • m • 2 + 2² = m² + 4m + 4.
б) (3 + p)(3 + p) = 3² + 2 • 3 • p + p² = 9 + 6p + p².
в) (3a – 5)(3a – 5) = (3a)² – 2 • 3a • 5 + 5² = 9a² – 30a + 25.
г) (2a – b²)(2a – b²) = (2a)² – 2 • 2a • b² + (b²)² = 4a² – 4ab² + b⁴.
479. Подай у вигляді многочлена вираз
а) (5 + c)(5 + c) = 5² + 2 • 5 • c + c² = 25 + 10c + c².
б) (p – 10)(p – 10) = p² – 2 • p • 10 + 10² = p² – 20p + 100.
в) (2a³ + 1)(2a³ + 1) = (2a³)² + 2 • 2a³ • 1 + 1² = 4a⁶ + 4a³ + 1.
і) (1 – xy)(1 – xy) = 1² – 2 • 1 • xy + (xy)² = 1 – 2xy + x²y².
480. Віднови записи на дошці.
а) a² – 4ab² + 4b⁴ = (a – 2b²)².
б) a²b² + 12abc + 36c² = (ab + 6c)².
481. Подай тричлен у
а) m² + 2m + 1 = (m + 1)².
б) x² – 4x + 4 = (x – 2)².
в) c² – 12c + 36 = (c – 6)².
г) a² + 14a + 49 = (a + 7)².
ґ) 9 – 6x + x² = (3 – x)².
д) 4x² + 25y² – 20xy = (2x – 5y)².
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
482. Подай тричлен
а) a² + 4a + 4 = (a + 2)².
б) n² – 12n + 36 = (n – 6)².
в) x² – 10x + 25 = (x – 5)².
г) 9a² + 6ac + c² = (3a + c)².
ґ) 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)².
д) b⁴ – 6b² + 9 = (b² – 3)².
483. Спрости вираз.
а) (x – 3)² – x(x – 6) = (x² – 6x + 9) – (x² – 6x) = x² – 6x + 9 – x² + 6x = 9
б) (m + 5)² – (m – 5)² = (m² + 10m + 25) – (m² – 10m + 25) = = m² + 10m + 25 – m² + 10m – 25 = 20m
в) 1 – (2a – 1)² = 1 – (4a² – 4a + 1) = 1 – 4a² + 4a – 1 = –4a² + 4a
г) z² + 1 – (1 + z)² = z² + 1 – (1 + 2z + z²) = z² + 1 – 1 – 2z – z² = –2z
ґ) (x – 2)(x – 4) – (x – 6)² = (x² – 6x + 8) – (x² – 12x + 36) = x² – 6x + 8 – x² + 12x – 36 = = 6x – 28
д) (2a – 3c)² – 3c(3c – 4a) = (4a² – 12ac + 9c²) – (9c² – 12ac) = = 4a² – 12ac + 9c² – 9c² + 12ac = 4a²
484. Simplify the expression.
а) (x – 2)² + (x + 5)(x – 1) = (x² – 4x + 4) + (x² + 5x – x – 5) = = x² – 4x + 4 + x² + 4x – 5 = 2x² – 1
b) (3a – 1)² + 3a(2 – 3a) = (9a² – 6a + 1) + (6a – 9a²) = 9a² – 6a + 1 + 6a – 9a² = 1
c) y(y + 2x) – (x + y)² = y² + 2xy – (x² + 2xy + y²) = y² + 2xy – x² – 2xy – y² = –x²
d) (b + 4)² – (b – 3)² = (b² + 8b + 16) – (b² – 6b + 9) = b² + 8b + 16 – b² + 6b – 9 = 14b + 7
e) 4(1 – 3a) – (3a – 2)² = 4 – 12a – (9a² – 12a + 4) = 4 – 12a – 9a² + 12a – 4 = –9a²
f) (2x + 3y)² – 3y(4x + 3y) = (4x² + 12xy + 9y²) – (12xy + 9y²) = = 4x² + 12xy + 9y² – 12xy – 9y² = 4x²
485. Розв’яжи рівняння
а) (x – 2)² = x(x – 3)
x² – 4x + 4 = x² – 3x
x² – 4x – x² + 3x = –4
–x = –4
x = 4
486. Розв’яжи рівняння
а) (x – 4)² = x(x + 8)
x² – 8x + 16 = x² + 8x
x² – 8x – x² – 8x = –16
–16x = –16
x = 1
б) (3y + 5)² = 9y² + 55
9y² + 30y + 25 = 9y² + 55
30y = 55 – 25
30y = 30
y = 30 : 30
y = 1
б) (5 – 2y)² = 4y² + 65
25 – 20y + 4y² = 4y² + 65 –20y + 4y² – 4y² = 65 – 25 –20y = 40
y = –2
г) (6 – x)² = (x + 8)(x – 4) + 4
36 – 12x + x² = x² – 4x + 8x – 32 + 4
–12x + x² – x² + 4x – 8x = –32 + 4 – 36
–16x = –64
x = –64 : (–16)
x = 4
в) (c – 7)² – 2(c – 2) = c² + 21
c² – 14c + 49 – 2c + 4 = c² + 21
c² – 14c – 2c – c² = 21 – 49 – 4 –16c = –32
c = –32 : (–16)
c = 2
в) (x + 7)² – x² = 3(5x + 15)
x² + 14x + 49 – x² = 15x + 45
x² + 14x – x² – 15x = 45 – 49
–x = –4
x = 4
ґ) (x – 3)(x – 4) – (x – 5)² = –10
x² – 4x – 3x + 12 – x² + 10x – 25 = –10
x² – 4x – 3x – x² + 10x = –10 – 12 + 25
3x = 3
x = 1
487. Розв’яжи рівняння
а) x² + 10x + 25 = 0
(x + 5)² = 0
x + 5 = 0
x = –5
в) 1 – 8x + 16x² = 0
(1 – 4x)² = 0
1 – 4x = 0 –4x = –1
x = 1 4
488. Розв’яжи рівняння
а) x² – 14x + 49 = 0
(x – 7)² = 0
x – 7 = 0
x = 7
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 25x² – 30x + 9 = 0
(5x – 3)² = 0
5x – 3 = 0
5x = 3
x = 3 5
г) 36 + 12x + x² = 0
(6 + x)² = 0
6 + x = 0
x = –6
в) 4 – 12x + 9x² = 0
(2 – 3x)² = 0
2 – 3x = 0
–3x = –2
x = 2 3
489. Подай у вигляді многочлена вираз.
б) 9x² + 12x + 4 = 0
(3x + 2)² = 0
3x + 2 = 0
3x = –2
x = –2 3
г) 1 + 16x + 64x² = 0
(1 + 8x)² = 0
1 + 8x = 0
8x = –1
x = –1 8
а) (0,5x² + 3y³)² = (0,5x²)² + 2(0,5x²)(3y³) + (3y³)² = 0,25x⁴ + 3x²y³ + 9y⁶.
б) (0,2m⁵ + 5ab)² = (0,2m⁵)² + 2(0,2m⁵)(5ab) + (5ab)² = 0,04m¹⁰ + 2abm⁵ + 25a²b².
в) (7a³ + 2a²)² = (7a³)² + 2(7a³)(2a²) + (2a²)² = 49a⁶ + 28a⁵ + 4a⁴.
г) (2x²y⁴ + 0,5y³)² = (2x²y⁴)² + 2(2x²y⁴)(0,5y³) + (0,5y³)² = 4x⁴y⁸ + 2x²y⁷ + 0,25y⁶.
д) (–5x² – 0,4y³)² = (–5x²)² + 2(–5x²)(–0,4y³) + (–0,4y³)² = 25x⁴ + 4x²y³ + 0,16y⁶.
490. Замініть зірочки одночленами, щоб
а) (c + b)² = c² + 2cb + b²
б) (3x – 1)² = 9x² – 6x + 1
в) (a + m)² = a² + 2am + m²
г) (a – 3bx)² = a² – 6abx + 9b²x²
491. Спрости вираз
а) (2a – 5)² – (2a – 5)(2a + 5) = 4a² – 20a + 25 – (4a² + 25) = –20a + 50,
якщо a = 1,5, то –20 · 1,5 + 50 = –30 + 50 = 20; б) (6x – 2)(6x + 2) – (6x – 2)² = 36x² – 4 + (36x² – 24x + 4) = 36x² – 4 – 36x² + 24x – 4 = = 24x – 8, якщо x = 0,5, то 24 · 0,5 – 8 = 12 – 8 = 4; в) 2(x – 1)² + 3(5 – x)² + 14x = 2(x² – 2x + 1) + 3(25 – 10x + x²) + 14x = = 2x² – 4x + 2 + 75 – 30x + 3x² + 14x = 5x² – 20x + 77, якщо x = 2, то 5 · 2² – 20 · 2 + 77 = 20 – 40 + 77 = 57; г) 0,5(2c – 3)² + 0,75(c + 4)² = 0,5(4c² – 12c + 9) + 0,75(c² + 8c + 16) = = 2c² – 6c + 4,5 + 0,75c² + 6c + 12 = 2,75c² + 16,5,
якщо c = 2, то 2,75 · 2² + 16,5 = 11 + 16,5 = 27,5.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
492. Спрости
а) (a – 5)² – a(a + 8) = a² – 10a + 25 – (a² + 8a) = a² – 10a + 25 – a² – 8a = –18a + 25
якщо a = 0,5, то –18 • 0,5 + 25 = –9 + 25 = 16.
б) (3c + 0,5)² – (3c – 0,5)² = (9c² + 3c + 0,25) – (9c² – 3c + 0,25) = = 9c² + 3c + 0,25 – 9c² + 3c – 0,25 = 6c
якщо c = –1,2, то 6 • (–1,2) = –7,2.
в) (2x – 5)² – 4(x – 2)(x – 3) = (4x² – 20x + 25) – 4(x² – 5x + 6) = = 4x² – 20x + 25 – 4x² + 20x – 24 = 25 – 24 = 1
якщо x = 0,125. значення виразу не залежить від змінної x.
493. Спрости вираз
а) (a – 5)² – (a – 3)(a + 3) + 10a = a² – 10a + 25 – (a² – 9) + 10a = = a² – 10a + 25 – a² + 9 + 10a = 25 + 9 = 34.
б) (4a² + c)² + (a² – 4c)² – 17a⁴ = (16a⁴ + 8a²c + c²) + (a⁴ – 8a²c + 16c²) – 17a⁴ = = 16a⁴ + a⁴ – 17a⁴ + 8a²c – 8a²c + c² + 16c² = 17c².
в) 10c² – (x² + 3c)² – (3x² – c)² = 10c² – (x⁴ + 6x²c + 9c²) – (9x⁴ – 6x²c + c²) = = 10c² – x⁴ – 6x²c – 9c² – 9x⁴ + 6x²c – c² = 10c² – 9c² – c² – x⁴ – 9x⁴ = –10x⁴.
г) 3a²z² – 9(2 3 az – 3)² + 4(1 2 az – 1)² = 3a²z² – 9(4 9 a²z² – 4az + 9) + 4(1 4 a²z² – az + 1) = 3a²z² – (4a²z² – 36az + 81) + (a²z² – 4az + 4) = 3a²z² – 4a²z² + 36az – 81 + a²z² – 4az + 4 = = (3a²z² – 4a²z² + a²z²) + (36az – 4az) + (–81 + 4) = 0 + 32az – 77 = 32az – 77.
494. Спрости вираз
а) (3a – 2b)² – (2a – 3b)² + 5b² = (9a² – 12ab + 4b²) – (4a² – 12ab + 9b²) + 5b² = = 9a² – 12ab + 4b² – 4a² – 12ab + 9b² + 5b² = (9a² – 4a²) + (–12ab + 12ab) + (4b² – 9b² + 5b²) = = 5a² + 0 – b² = 5a² – b².
б) (2c – 1)² – (2c + 7)(2c – 7) + 5c = (4c² – 4c + 1) – (4c² – 49) + 5c = = 4c² – 4c + 1 – 4c² + 49 + 5c = (4c² – 4c²) + (–4c + 5c) + (1 + 49) = c + 50.
в) 3(2x – y)² – 2(3x – y)² + 6x² = 3(4x² – 4xy + y²) – 2(9x² – 6xy + y²) + 6x² = = (12x² – 12xy + 3y²) – (18x² – 12xy + 2y²) + 6x² = = (12x² – 18x² + 6x²) + (–12xy + 12xy) + (3y² – 2y²) = 0 + 0 + y² = y².
г) 1,5(ac – 2x²)² – 3(x² – ac)² = 1,5(a²c² – 4acx² + 4x⁴) – 3(x⁴ – 2acx² + a²c²) = = 1,5a²c² – 6acx² + 6x⁴ – 3x⁴ + 6acx² – 3a²c² = = (1,5a²c² – 3a²c²) + (–6acx² + 6acx²) + (6x⁴ – 3x⁴) = –1,5a²c² + 0 + 3x⁴ = 3x⁴ – 1,5a²c².
495. Доведи тотожність
а) (a – b)² = a² – 2ab + b² = b² – 2ab + a² = (b – a)²
б) (a + b)² + (a – b)² = a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
в) a² + b² = (a + b)² – 2ab = a² + 2ab + b² – 2ab = a² + b²
г) (2a + b)² + (a – 2b)² = 4a² + 4ab + b² + a² – 4ab + 4b² = 5a² + 5b² = 5(a² + b²)
496. Доведи тотожність.
а) (-a - b)² = (a + b)²:
(-a - b)² = (-a)² + 2(-a)(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ця тотожність неправильна, бо a² - 2ab + b² ≠ a² + 2ab + b².
б) (a + b)² - (a - b)² = 4ab: (a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 4ab
Тотожність доведено.
в) (3a + b)² + (a - 3b)² = 10(a² + b²):
(3a + b)² + (a - 3b)² = (9a² + 6ab + b²) + (a² - 6ab + 9b²) = 10a² + 10b² = 10(a² + b²)
Тотожність доведено.
497. Знайди корінь рівняння
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) (x – 6)² + (2x + 3)² = 5x(x – 9)
(x – 6)² + (2x + 3)² = 5x(x – 9)
(x² – 12x + 36) + (4x² + 12x + 9) = 5x² – 45x
x² – 12x + 36 + 4x² + 12x + 9 = 5x² – 45x
5x² + 45 = 5x² – 45x
5x² – 5x² + 45x = –45
45x = –45
x = –1
498. Знайди корінь рівняння
a) (x – 5)² – 2x(x + 3) + (x – 6)² = 5
x² – 10x + 25 – 2x² – 6x + (x² – 12x + 36) = 5
x² – 10x + 25 – 2x² – 6x + x² – 12x + 36 = 5
x² – 10x – 2x² – 6x + x² – 12x = 5 – 25 – 36
–28x = –56
x = –56 : (–28)
x = 2.
499. Знайди корінь рівняння
1) (2x + 5)² + 2x(x – 6,5) = (2x – 3)(3x + 1)
4x² + 20x + 25 + 2x² – 13x = 6x² + 2x – 9x – 3
20x – 13x – 2x + 9x = –3 – 25
14x = –28
x = –28 : 14
x = –2.
2) (3x + 8)² + 11(x² + 2) – 2(3x + 4)² = 2(x – 3)²
б) 2(3 – x)² – x(x + 6) = (x – 4)²
2(9 – 6x + x²) – (x² + 6x) = x² – 8x + 16
18 – 12x + 2x² – x² – 6x = x² – 8x + 16
x² – 18x + 18 = x² – 8x + 16
x² – 18x – x² + 8x = 16 – 18
–10x = –2
x = 0,2
б) (3z + 1)² – 8z(z + 1) = (z – 3)²
(9z² + 6z + 1) – 8z² – 8z = z² – 6z + 9
9z² + 6z + 1 – 8z² – 8z = z² – 6z + 9
z² – 2z + 1 = z² – 6z + 9
z² – 2z – z² + 6z = 9 – 1
4z = 8
z = 2
9x² + 48x + 64 + 11x² + 22 – 18x² – 48x – 32 = 2x² – 12x + 18
12x = –36
x = –36 : 12
x = –3.
3) (6x – 5)² – 4(2x + 1)² = 10(2x – 1)(x – 3)
36x² – 60x + 25 – 16x² – 16x – 4 = 20x² – 70x + 30
–60x – 16x + 70x = 30 – 25 + 4 –6x = 9
x = 9 : (–6)
x = –1,5.
500. Знайди корінь рівняння
а) 1 4 x² + 1 + x = 0
(1 2x + 1)² = 0
1 2 x + 1 = 0
0,5x = –1
x = –1 : 0,5
x = –10 : 5
x = –2
б) 16 + 4x + 0,25x² = 0
(4 + 0,5x)² = 0
4 + 0,5x = 0
0,5x = –4
x = –4 : 0,5
x = –40 : 5
x = –8.
а) 1 36 x² – x + 9 = 0
(1 6 x – 3)² = 0
1 6 x – 3 = 0
1 6 x = 3 x = 3 : 1 6 x = 3 • 6 1 x = 18.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 2x + 25 + 0,04x² = 0
(5 + 0,2x)² = 0
5 + 0,2x = 0 0,2x = –5
x = –5 : 0,2
x = –50 : 2
x = –25.
502. Обчисли, використовуючи формулу
а) 11² = (10 + 1)² = 10² + 2 • 10 • 1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121; б) 99² = (100 – 1)² = 100² – 2 • 100 • 1 + 1 = 10000 – 200 + 1 = 9801; в) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 • 100 • 1 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201; г) 202² = (200 + 2)² = 200² + 200 • 2 • 2 + 2² = 40000 + 800 + 4 = 40804.
503. Обчисли, використовуючи формулу
a) 52² = (50 + 2)² = 2500 + 2 • 50 • 2 + 4 = 2500 + 200 + 4 = 2704; б) 61² = (60 + 1)² = 60² + 2 • 60 • 1 + 1 = 3600 + 120 + 1 = 3721; в) 79² = (80 – 1)² = 80² – 2 • 80 • 1 + 1 = 6400 – 160 + 1 = 6241;
г) 81² = (80 + 1)² = 80² + 2 • 80 • 1 + 1 = 6400 + 160 + 1 = 6561.
504. Виділи повний
а) x² + 10x + 30 = (x + 5)² + 5
б) x² – 12x + 41 = (x – 6)² + 5
в) 9x² – 24x + 19 = (3x – 4)² + 3
г) x² + 22x + 130 = (x + 11)² + 9
505. Виділи
а) a² – 14a + 50 = (a – 7)² + 1
б) a² + 16a + 65 = (a + 8)² – 19
в) 25a² – 20a + 7 = (5a – 2)² + 3
г) a² + 26a + 190 = (a + 13)² + 61
506. Якого найменшого
a) a² – 2 • 2a + 4 + 6 = (a – 2)² + 6
при a = 2 значення виразу буде найменшим
б) a² + 2 • 4a + 16 + 164 = (a + 4)² + 164
при a = −4
507. Якого
a) n² – 2 • 7n + 49 + 1 = (n – 7)² + 1 при n = 7
б) m² + 2 • 3m + 9 + 29 = (m + 3)² + 29
при m = –3
508.
a) x² + 2 • 5x + 25 + y² + 2y + 1 = 0
(x + 5)² + (y + 1)² = 0
x = –5; y = –1;
б) x² – 2 • 6x + 36 + y² + 2 • 2y + 4 = 0
(x – 6)² + (y + 2)² = 0
164.
29.
x = 6; y = –2.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a) x² + 2 • 4x + 16 + y² + 2 • 3y + 9 = 0
(x + 4)² + (y + 3)² = 0
x = –4; y = –3;
б) x² + 2 • 7x + 49 + y² – 2y + 1 = 0
(x + 7)² + (y – 1)² = 0
x = –7; y = 1.
510. Доведи тотожність (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 1) ((a + b) + c)² = (a + b)² + 2 • c • (a + b) + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc +
+
+ 2ab + 2ac + 2bc; 2) (a + (b + c))² = a² + 2a(b + c) + (b + c)² = a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.
511. Використовуючи тотожність,
многочлена вираз
a) (x + y + 5)² = x² + y² + 25 + 2xy + 10x + 10y; б) (x + 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz; в) (x + y – 1)² = x² + y² + 1 + 2xy – 2x – 2y.
512. Використовуючи тотожність, наведену
многочлена вираз (511, 512)
a) (a + b + 1)² = a² + b² + 1 + 2a + 2b + 2a; б) (a + 3b + c)² = a² + 9b² + c² + 6ab + 2ac + 6bc;
в) (a + c – 3)² = a² + c² + 9 – 2ac – 6a – 6c.
513. Доведіть формули куба двочлена:
1) (a + b)2 = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3ab² – b + 3ab² + b³;
2) (a – b)³ = (a – b)²(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b) = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
a) x + 3 = (x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27; б) 4a + c = (4a + c)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³;
в) x – y = (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y;
г) m + 2a = (m + 2a)³ = m³ + 6m²a + 12ma² + 8a³.
514. Подай вираз у вигляді многочлена.
a) (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8;
б) (y – 2)³ = y³ – 6y² + 12y – 8 ;
в) (2x – 1)³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1; г) (3x + 1)³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1.
515. Подай многочлен у вигляді степеня
a) a³ – 3a² + 3a – 1 = (a – 1)³; б) 8a³ – 36a² + 54a – 27 = (2y – 3)³.
516. Подай многочлен у вигляді степеня
a) x³ + 9x² + 27x + 27 = (x + 3)²; б) x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³.
517. Доведи тотожність
a) (a + b)³ = (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); б) (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab(a – b).
518. Розв’яжи рівняння
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0
(x + 1)³ = 0
x = –1
Відповідь: В –1
519. Розв’яжи рівняння
a) (x – 1)³ = x²(x – 3)
x³ – 3x² + 3x – 1 = x³ – 3x²
3x – 1 = 0
x = 1 3
б) (x – 2)³ + 6x² = (x – 2)(x² + 2x + 4)
x³ – 6x² + 12x – 8 + 6x² = x³ – 8
12x = 0
x = 0
520. Розв’яжи рівняння
a) (x + 1)³ = x³ + 3x² – 2
x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ – 3x² = –2
3x = –3
x = –1;
б) (x + 2)³ – 6x² = (x + 2)(x² – 2x + 4)
x³ + 6x² + 12x + 8 – 6x² = x³ + 8
12x = 0
x = 0.
521. Заміни * такими цифрами, щоб рівність була правильною.
a) 5775 = 75 • 7 • 11;
б) 805 = 23 • 5 • 7.
522. Задача Ж. Л. Лагранжа (1736-1813). Перевір тотожність.
(A²+B²+C²)(A₁²+B₁²+C₁²)-(A·A₁+B·B₁+C·C₁)² = (A·B₁-A₁B)²+(A·C₁-A₁·C)²+(B·C₁-B₁·C)²
Для перевірки цієї тотожності розкриємо дужки в лівій частині:
Перший множник: (A²+B²+C²)
Другий множник: (A₁²+B₁²+C₁²)
При перемноженні отримаємо:
(A²+B²+C²)(A₁²+B₁²+C₁²) = A²A₁² + A²B₁² + A²C₁² + B²A₁² + B²B₁² + B²C₁² + C²A₁² + C²B₁² + C²C₁²
Тепер розкриємо квадрат виразу:
(A·A₁+B·B₁+C·C₁)² = (A·A₁)² + (B·B₁)² + (C·C₁)² + 2(A·A₁)(B·B₁) + 2(A·A₁)(C·C₁) + 2(B·B₁)(C·C₁)
Віднімаємо другий вираз від першого, отримуємо ліву частину тотожності.
Тепер перевіримо праву частину:
(A·B₁-A₁B)² = A²B₁² + A₁²B² - 2AB₁A₁B
(A·C₁-A₁·C)² = A²C₁² + A₁²C² - 2AC₁A₁C
(B·C₁-B₁·C)² = B²C₁² + B₁²C² - 2BC₁B₁C
Додаючи ці три вирази, отримуємо
523. Обчисли. a) (–1 1 24 – 1 3 8) : (1 2 3 – 33 4) = (–1 1 24 – 1 9 24) : (1 8 12 – 3 9 12) = –2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
524. Чи тотожні
1) Так; 2) так; 3) ні.
525. ФОП, що
прибуток отримає банк.
1) 500000 : 100 • 7 = 35000 (грн) – прибуток
2) 500000 + 35000 = 535000 (грн)
Відповідь: ФОП повинен повернути банку 535000 гривень
526.Подай у вигляді многочлена
а) (x + m)(x - m) = x² - m²
б) (x + z)(x - z) = x² - z²
в) (m + 4)(m - 4) = m² - 16
г) (5 + a)(5 - a) = 25 - a²
ґ) (ab + c)(ab - c) = (ab)² - c²
д) (ab - 1)(ab + 1) = (ab)² - 1
527. Подай у вигляді многочлена добуток (a - 2b)(a + 2b).
(a - 2b)(a + 2b) = a² - (2b)² = a² - 4b²
Відповідь: Б a² - 4b²
528. На який вираз треба помножити двочлен 6x - p, щоб дістати 36x² - p²?
Якщо помножити (6x - p) на (6x + p), отримаємо: (6x - p)(6x + p) = (6x)² - p² = 36x² - p²
Відповідь: В 6x + p
529. На який вираз треба помножити двочлен 1 + 9a², щоб дістати 1 - 81a⁴?
Якщо помножити (1 + 9a²) на (1 - 9a²), отримаємо: (1 + 9a²)(1 - 9a²) = 1² - (9a²)² = 1 - 81a⁴
Відповідь: треба помножити на (1 - 9a²)
530. Якому з виразів тотожно дорівнює двочлен 16 - c²? 16 - c² = 4² - c² = (4 + c)(4 - c)
Відповідь: Г (4 + c)(4 - c)
531. Розклади на множники двочлен.
а) 25 - x² = 5² - x² = (5 + x)(5 - x)
б) a² - 1 = a² - 1² = (a + 1)(a - 1)
в) m² - 4n² = m² - (2n)² = (m + 2n)(m - 2n)
г) 100a² - 9b² = (10a)² - (3b)² = (10a + 3b)(10a - 3b)
532. Подай у вигляді многочлена вираз
a) (4a + 1)(4a – 1) = 16a² – 1; б) (2a – c)(2a + c) = 4a² – c²;
в) (2d + x)(2d – x) = 4d² – x²;
г) (a – c²)(a + c²) = a² – c⁴;
ґ) (8x – y²)(y² + 8x) = 64x² – y⁴;
д) (2a² + 3b)(2a² – 3b) = 4a⁴ – 9b².
533. Подай у вигляді многочлена вираз
a) (3p – q)(3p + q) = 9p² – q²;
б) (m – 4c²)(m + 4c²) = m² – 16c⁴;
в) (4a – b)(4a + b) = 16a² – b²;
г) (5 + abc)(5 – abc) = 25 – a²b²c²;
ґ) (2y + x²)(x² – 2y) = 4y² – x⁴;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
д) (m² – n²)(n² + m²) = m⁴ – n⁴.
534. Спрости вираз
а) (2x − c)(2x + c) − 4x² = 4x² − c² − 4x² − c²;
б) 49z² − (7z − 3x)(7z + 3x) = 49z² − 49z² + 9x² = 9x²;
в) (4a − 5b)(4a + 5b) − 8a(2a − b) = 16a² − 25b² − 16a² + 8ab = 8ab − 25b²; г) (y − 2)(y + 3) + (7c − y)(7c + y) = y² − 2y + 3y − 6 + 49c² − y² = 49c² + y − 6.
535. Спрости вираз
а) (a − 2b)(a + 2b) + 4b² = a² − 4b² + 4b² = a²;
б) (m² + 3y)(m² − 3y) − m⁴ = m⁴ − 9y² − m⁴ = −9y²;
в) (3a + x)(3a − x) − 9a(a − x) = 9a² − x² − 9a² + 9ax = 9ax − x²; г) 4a² + 12a − a − 3a − 4a² + 25y² = 25y² + 11y − 3.
536. Розв’яжи рівняння
а) (x − 2)(x + 2) = x² − 8x
x² − 4 = x² − 8x
8x = 4
x = 0,5;
в) x(x + 4) + (3 − x)(3 + x) = x
x² + 4x + 9 − x² = x
4x − x = −9
3x = −9
x = −3;
537. Розв’яжи рівняння
а) (9 − x)(9 + x) = 3x − x²
81 − x² = 3x − x²
3x = 81
x = 27;
в) x(x + 4) + (3 − x)(3 + x) = x
x² + 4x + 9 − x² = x
4x − x = −9
3x = −9
x = −3;
б) (3 + c)(3 − c) = 3c − c²
9 − c² = 3c − c²
3c = 9
c = 3;
г) (y + 4)(y − 4) = y² − 8y
y² − 16 = y² − 8y
8y = 16
y = 2.
б) 1 − z² = 2z − (z + 3)(z − 3)
1 − z² = 2z − z² + 9
2z = 1 − 9
z = −8 : 2
z = −4;
г) 2b − 9b² = (2 − 3b)(2 + 3b)
2b − 9b² = 4 − 9b²
2b = 4
b = 2.
538. Замініть зірочки одночленом, щоб утворилась
а) (5m − 3a)(5m + 3a) = 25m² − 9a²;
б) (4a − 3x²)(4a + 3x²) = 16a² − 9x⁴;
в) (4m + 2p)(4m − 2p) = 16m² − 4p²;
г) (6x − 5a²)(6x + 5a²) = 36x² − 25a⁴.
539. Подай у
а) x² − m² = (x − m)(x + m);
б) a² − 9 = (a − 3)(a + 3);
в) b² − 16c² = (b − 4c)(b + 4c);
г) 1 − 16z² = (1 − 4z)(1 + 4z);
ґ) q² − p²n² = (q − pn)(q + pn);
д) 0,04 − x² = (0,2 − x)(0,2 + x);
е) c⁴ − 9a² = (c² − 3a)(c² + 3a);
є) 121x² − y⁶ = (11x − y³)(11x + y³).
540. Подай у вигляді добутку
а) n² − m² = (n − m)(n + m);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) x² − 16 = (x − 4)(x + 4);
в) 4c² − 9 = (2c − 3)(2c + 3);
г) 1 − 25n = (1 − 5n)(1 + 5n);
ґ) 9q² − p² = (3q − p)(3q + p);
д) 0,01 − a² = (0,1 − a)(0,1 + a);
е) x⁴ − 4y⁶ = (x² − 2y³)(x² + 2y³);
є) 169a² − c⁸ = (13a − c⁴)(13a + c⁴).
541. Розв’яжи рівняння
а) x² − 16 = 0
(x − 4)(x + 4) = 0
x₁ = −4; x₂ = 4;
б) 4x² − 9 = 0
(2x − 3)(2x + 3) = 0
1) 2x − 3 = 0 2) 2x + 3 = 0
2x = 3 2x = −3
x₁ = 1,5 x₂ = −1,5
в) x² + 64 = 0
коренів немає.
542. Розв’яжи рівняння
а) x² − 25 = 0
(x − 5)(x + 5) = 0
x₁ = −5; x₂ = 5;
б) 9x² − 16 = 0
(3x − 4)(3x + 4) = 0
1) 3x − 4 = 0
3x = 4
x₁ = 11 3
2) 3x + 4 = 0
3x = −4
x₂ = −11 3
в) x² + 81 = 0 коренів немає.
543. Обчисли
a) 35² – 15² = 1225 – 225 = 1000; б) 73² – 27² = 5329 – 729 = 4600;
в) 136² – 64² = 18496 – 4096 = 14400;
г) 17² 8²
150 = (17 8)(17+8) 150 = 9·25 150 = 3·3·5·5 3 5 5 2 = 1,5;
г) 16² 9²
13² 12² = (16 9)(16+9) (13 12)(13+12) = 7 25 1 25 = 7;
д) 45² 35²
26² 24² = (45 35)(45+35) (26 24)(26+24) = 10 80 2 50 = 8.
544. Обчисли
а) 51² – 49² = 2601 – 2401 = 200;
б) 27² – 23² = 729 – 529 = 200;
в) 146² – 54² = 21316 – 2916 = 18400;
г) 19² 17²
144 = (19 17)(19+17) 144 = 2 36 144 = 0,5;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г)
32² 12²
23² 21² = (32 12)(32+12) (23 21)(23+21) = 20 44 2·44 = 10; д)
56² 46²
33² 18² = (56 46)(56 + 46) (33 18)(33 + 18) = 10 102 15 · 51 = 2 2 3 · 1 = 1 1 3 .
545. Обчисли без калькулятора
а) 104 • 96 = 9984; б) 1007 • 993 = 999951; в) 0,95 • 1,05 = 0,9975.
546. Обчисли без калькулятора а) 102 • 98 = 9996; б) 1001 • 999 = 999999; в) 0,97 • 1,03 = 0,9991.
547. Обчисли без калькулятора
а) (–3a + 5x²y)(3a + 5x²y) = 25x⁴y² – 9a²; б) (–2abc – 3a²)(–2abc + 3a²) = 4a²b²c² – 9a⁴; в) (–5x³ + 3y)(–5x³ – 3y) = (3y – 5x³)(3y + 5x³) • (–1) = (9y² – 25x⁶) • (–1) = 25x⁶ – 9y²; г) (–0,5ac + 1,1c²)(–0,5ac – 1,1c²) = 0,25a²c² – 1,21c⁴.
548. Обчисли без калькулятора
а) (–1 2 ax + 2 3 z²)(–1 2 ax –2 3 z²) = 1 4 a²x² –4 9 z⁴; б) (–1 2 ac –1 3 a²)(–1 2 ac + 1 3 a²) = 9 4 a²c² –1 9 a⁴.
549. Обчисли без калькулятора
а) 2(4x – 1)(4x + 1) = 2(16x² – 1) = 32x² – 2; б) k(m² – 2pt)(m² + 2pt) = k(m⁴ – 4p²t²) = km⁴ – 4kp²t²;
в) 9a(2 3 x – 1)( 2 3x + 1) = 9a(4 9 x² – 1) = 4ax² – 9a;
г) (2 5 m – 2n)( 2 5m + 2n) · 25m² = = ( 4 25 m² – 4n²) · 25m² = 4m⁴ – 100n²m²
550. Обчисли без калькулятора
Запиши у вигляді многочлена:
а) 3(2q – cn)(2q + cn) = 3(4q² – c²n²) = 12q² – 3c²n²;
б) (0,5 + 2a)(0,5 – 2a) · 2c² = (0,25 – 4a²) · 2c² = 0,5c² – 8c²a²; в) (1 4a + 4b)( 1 4 a – 4b) · 16a = ( 1 16 a² – 16b²) · 16a = a³ – 256ab²; г) 4c(1 2 c – p)( 1 2c + p) = 4c(1 4 c² – p²) = c³ – 4cp².
551. Обчисли без калькулятора a) (x − 3)(x + 3)(x² + 9) = (x² − 9)(x² + 9) = x⁴ − 81; б) (4a² + 1)(2a + 1)(2a − 1) = (4a² + 1)(4a² − 1) = 16a⁴ − 1; в) (1 − x)(1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x²)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x⁴)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x⁸)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x¹⁶)(1 + x¹⁶) = 1 − x³².
552. Обчисли без калькулятора a) (m + 5)(m − 5)(m² + 25) = (m² − 25)(m² + 25) = m⁴ − 625; б) (9y² + z²)(z + 3y)(3y − z) = (9y² + z²)(9y² − z²) = 81y⁴ − z⁴; в) (a − b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a² − b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a⁴ − b⁴)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a⁸ − b⁸)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a¹⁶ − b¹⁶)(a¹⁶ + b¹⁶) = a³² − b³².
553. Розв’яжи рівняння
a) (2x − 1)(2x + 1) = 9 + 4x(x + 5)
4x² − 1 = 9 + 4x² + 20x 20x = −1 − 9
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = −10 : 20
x = −0,5;
б) 8z² − (3z + 5)(3z − 5) = z(5 − z)
8z² − 9z² + 25 = 5z − z²
5z = 25
z = 5;
в) (2,5y − 2)(2,5y + 2) − (1,5y + 3)(1,5y − 3) = 4y(y − 5)
6,25y² − 4 − 2,25y² + 9 = 4y² − 20y
20y = 5
y = 5 : (−20)
y = −0,25;
г) (2x + 3)(2x − 3) − 2x(x − 4) = (x + 3)(2x − 1)
4x² − 9 − 2x² + 8x = 2x² − x + 6x − 3
8x + x − 6x = −3 + 9
3x = 6
x = 2.
554. Розв’яжи рівняння
a) (3z + 2)(3z − 2) = 7z + 9(z² − 2)
9z² − 4 = 7z + 9z² − 18
7z = −4 + 18
z = 14 : 7
z = 2;
б) x² − (1,2x − 3)(3 + 1,2x) = 0,2x(1,5 − 2,2x)
x² − 1,44x² + 9 = 0,3x − 0,44x²
0,3x = 9
x = 9 : 0,3
x = 30;
в) 3x(x − 2) − (3x − 1)(3x + 1) = (3 + 2x)(1 − 3x)
3x² − 6x − 9x² + 1 = 3 − 9x + 2x − 6x²
6x + 9x − 2x = 3 − 1
x = 2.
555. Спрости вираз
a) (a − 2)(a + 2) (a² + 4) − (a² − 2)² = (a² − 4) (a² + 4) − (a² − 2)² = a⁴ − 16 − a⁴ + 4a² − 4 = 4a² − 20
б) a⁴b⁴ − (ab − c)(ab + c) (a²b² + c²) = a⁴b⁴ − (a²b² − c²) (a²b² + c²) = a⁴b⁴ − a⁴b⁴ + c⁴ = c⁴ в) (3x² + y) (3x² − y) (9x⁴ + y²) − 9 (9x⁸ − y⁴) = (9x⁴ − y²) (9x⁴ + y²) − 81x⁸ + 9y⁴ = 81x⁸ − y⁴ − 81x⁸ + 9y⁴ = 8y⁴
г) 1 16 − (1 2 − 3a²b) (1 2 + 3a²b) (1 4 + 9a⁴b²) = 1 16 − (1 4 − 9a⁴b²) (1 4 + 9a⁴b²) = = 1 16 − 1 16 + 81a⁸b⁴ = 81a⁸b⁴
556. Спрости вираз a) (2x² − 1)(2x² + 1)(4x² + 1) − (4x² + 1)² = (4x⁴ − 1)(4x² + 1) − (4x² + 1)² = 16x8 − 1 − 16x8 − 8x⁴ − 1 = −8x⁴ − 2; б) 4(4a⁴ − c⁸) − (2a − c²)(2a + c²)(4a² + c4) = 16a⁴ − 4a⁸ − 16a⁴ + c⁸ = −3c⁸.
557. Обчисли (2 + 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2 + 1) · (2 – 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2² – 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(2⁴ – 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2⁸ – 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2¹⁶ – 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = 2³² – 1 – 2³² = –1.
558. Обчисли
(3 + 2)(3² + 2²)(3⁴ + 2⁴)(3⁸ + 2⁸)(3¹⁶ + 2¹⁶) – 3³² – 2³² = = (3 – 2)(3 + 2)(3² + 2²)(3⁴ + 2⁴)(3² + 2²)(3¹⁶ + 2¹⁶) – 3³² + 2³² = = (3² – 2²)(3² + 2²)(3⁴ + 2⁴)(3⁸ + 2⁸)(3¹⁶ + 2¹⁶) – 3³² + 2³⁶ = = (3¹⁶ – 2¹⁶)(3¹⁶ + 2¹⁶) – 3³² + 2³² = 3³² – 2³² – 3³² + 2³² = 0.
559. Розклади на множники
a) (a – 3)² – 4 = (a – 3 – 4)(a – 3 + 4) = (a – 7)(a + 1);
б) (x + 5)² – 16y² = (x + 5 – 4y)(x + 5 + 4y); в) (3n + 5)² – (2n – 1)² = (3n + 5 – 2n + 1)(3n + 5 + 2n – 1) = (n + 6)(5n + 4); г) (m – 6)² – (m + 7)² = (m – 6 – m – 7)(m – 6 + m + 7) = –13 • (2m + 1).
560. Розклади на множники
a) (p + 6)² – 16 = (p + 6 – 4)(p + 6 + 4) = (p + 2)(p + 10);
б) (a – 7)² – 25c² = (a – 7 – 5c)(a – 7 + 5c);
в) (2x – 5y)² – (6x + y)² = (2x – 5y – 6x – y)(2x – 5y + 6x + y) = (–4x – 6y)(8x – 4y);
г) (a – 9)² – (a + 5)² = (a – 9 – a – 5)(a – 9 + a + 5) = –14 • (2a – 4).
561. Доведи
60² + 899² = 901²
901² – 899² = 60² (901 – 899)(901 + 899) = 60²
2 • 1800 = 60²
3600 = 60²
60² = 60²
562. Prove that 10² + 11² + 12² = 13² + 14².
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
10² = 14² – 12² + 13² – 11²
10² = (14 – 12)(14 + 12) + (13 – 11)(13 + 11)
10² = 2 • 26 + 2 • 24
10² = 2 • 50
10² = 100
10² = 10²
563. Доведи, що:
a)
Доведемо, що: 2113² – 2112² = 65² (2113 – 2112)(2113 + 2112) = 1 * 4225 = 65²;
б)
доведемо, що: 25² – 22² + 26² – 23² + 27² – 24² = 21² (25 – 22)(25 + 22) + (26 – 23)(26 + 23) + (27 – 24)(27 + 24) = 3 •
= 3(47 + 49 + 51) = 3 • 147 = 441 = 21².
564. Доведи, що
n: 1) n² + 10n + 25 – n² = 5(2n + 5); б) n² + 14n + 49 – n² = 7(2n + 7); в) 4n² + 36n + 81 – 4n² + 20n – 25 = 56n + 56 = 56(n + 1).
565. Доведи, що при кожному
a) 36n² + 12n + 1 – 1 = 12(3n² + n);
б) 25n² + 80n + 64 – 25n² + 60n – 36 = 140n + 28 = 28(5n + 1).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Нехай ОА – х см.
π • (r + 2)² – πr² = 18,84
π(r² + 4r + 4 – r²) = 18,84
4r + 4 = 18,84 : 3,14
4r = 6 – 4
4r = 2
r = 2 : 4
r = 0,5 (см) – внутрішній радіус
0,5 + 2 = 2,5 (см) – зовнішній радіус
Відповідь: 0,5 см і 2,5 см
567. Доведи тотожність Платона (IVст. до н. е.),
(p² + 1)² - (p² - 1)² = 4p².
(p² + 1)² – (p² – 1)² = 4p²
(p² + 1 + p² – 1)(p² + 1 – p² + 1) = 4p²
2 • 2p² = 4p²
4p² = 4p²
Доведено.
568. Доведи тотожність Піфагора
(VI ст. до н. е.).
(2a² + 2a + 1)² - (2a² + 2a)² = (2a + 1)². (2a² + 2a + 1)² – (2a² + 2a)² = (2a² + (2a + 1))² – (2a² + 2a)² = 4a⁴ + 4a²(2a + 1) + (2a + 1)² – 4a⁴ – 8a³ – 4a² = 4a⁴ + 8a³ + 4a² + 4a² + 4a + 1 – 4a2 – 8a³ – 4a² = (2a + 1)²
569. Доведи, що кожне непарне
2x + 1
2x + 1 = (x + 1)² – x²
2x + 1 = x² + 2x + 1 – x²
2x + 1 = 2x + 1
570.
x,
x + 1. Їх сума x + x + 1 = 2x + 1. (x + 1)² – x² = 2x + 1
x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1
2x + 1 = 2x + 1
571.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
На малюнку 13.3 зображено квадрат зі стороною c.
В цьому квадраті розміщено інший квадрат зі стороною (b-a)².
Також бачимо, що в квадраті зі стороною c розміщено чотири однакові прямокутні
трикутники з катетами a і b та гіпотенузою c.
Площа великого квадрата дорівнює c².
Цей квадрат складається з площі внутрішнього квадрата (b-a)² і площі чотирьох
прямокутних трикутників.
Площа одного трикутника = (a b) 2
Площа чотирьох трикутників = 4·(a b) 2 = 2ab
Отже, маємо рівність:
c² = (b-a)² + 2ab
За формулою квадрата різниці:
(b-a)² = b² - 2ab + a²
Підставимо у попереднє рівняння:
c² = b² - 2ab + a² + 2ab
c² = a² + b²
Що й треба було довести. Це і є теорема Піфагора.
572. На основі теореми Піфагора
трикутника, катети якого дорівнюють:
а) 3 см і 4 см;
б) 5 м і 12 м;
в) 7 дм і 24 дм.
а) 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
Відповідь: 5 см
б) 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
Відповідь: 13 м
в) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
Відповідь: 25 дм
573. Обчисли.
а) 4,37 • 5,8 + (–4,7) • (–4,2) = 4,7(5,8 + 4,2) = = 4,7 • 10 = 47;
б) –6,3 : (–0,21) – 1,7 = 30 – 1,7 = 28,3;
в) –1,7 – 36,6 : (–6,1) = 1,7 + 6 = 7,7.
574. Автомобіль,
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
v = 300 : 2t = 150 : t
575.
70000
35 = x 100
x = 70000 • 100 : 35
x = 200000
Відповідь: 200000 видів біоти 576. Чому
а) суми виразів a і c;
(a + c)² - 2ac = a² + 2ac + c² - 2ac = a² + c²
б) різниці виразів a і c?
(a - c)² + 2ac = a² - 2ac + c² + 2ac = a² + c²
577. Як можна спростити вираз?
а) (x - 1)(x² + x + 1);
(x - 1)(x² + x + 1) = x³ + x² + x - x² - x - 1 = x³ - 1
б) (a² - a + 1)(a + 1).
(a² - a + 1)(a + 1) = a³ + a² - a² - a + a + 1 = a³ + 1
578. Спрости вираз (2m + 1)(4m² - 2m + 1) і знайди
значення, якщо m = -1. (2m + 1)(4m² - 2m + 1) = 8m³ - 4m² + 2m + 4m² - 2m + 1 = 8m³ + 1
При m = -1:
8m³ + 1 = 8·(-1)³ + 1 = 8·(-1) + 1 = -8 + 1 = -7
Відповідь: Г -7
579. Яка з рівностей правильна?
a³ - 27 = a³ - 3³ = (a - 3)(a² + 3a + 9)
Відповідь: В a³ - 27 = (a - 3)(a² + 3a + 9)
580. Розклади на множники x³ - 8. x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)
Відповідь: В (x - 2)(x² + 4x + 4)
581. Розклади на множники двочлен. а) n³ - 1;
n³ - 1 = n³ - 1³ = (n - 1)(n² + n + 1)
б) c³ + 27.
c³ + 27 = c³ + 3³ = (c + 3)(c² - 3c + 9)
582. Розклади на множники двочлен
а) a³ – c³ = (a – c) (a² + ac + c²);
б) x³ + 8 = (x + 2) (x² – 2x + 4);
в) 1 – p³ = (1 – p) (1 + p + p²);
г) c³ – 64x³ = (c – 4x) (c² + 4cx + 16x²); г) n⁶ – 1 = (n² – 1) (n⁴ + n² + 1);
д) 27a³ + b³ = (3a + b) (9a² – 3ab + b²);
е) a³ – 8m³n³ = (a – 2mn) (a² + 2am + 4m²n²); є) –z³ – p³ = –(z + p) (z² – zp + p³);
ж) 1 125 + y³z⁹ = (1 5 + yz³) ( 1 25 –1 5·yz³ + 6);
з) 1 8 + c³ = (1 2 + c) (1 4 –1 2·c + c²);
и) 8 27·x³ + 1 = (2 3·x + 1) (4 9 ·x² –2 3·x + 1);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
і) 27 64 + z³ = (3 4 + z) ( 9 16 –3 4·z + z²).
583. Розклади на множники двочлен
а) p³ + q³ = (p + q) (p² – pq + q²);
б) 1 – a³ = (1 – a) (1 + a + a²);
в) c³ + 8x³ = (c + 2x) (c2 – 2xc + 4x²);
г) a³ – 8 = (a – 2) (a² + 2a + 4); г) 27 + m³ = (3 + m) (9 – 3m + m²);
д) 64a³ – n³ = (4a – n) (16a² + 4an + n²);
е) –125 – z³ = –(5 + z) (25 – 5z + z²);
е) 27x⁶ – a³y³ = (3x² – ay) (9x⁴ + 3x²ay + a²y²);
ж) 1 1000 – a⁶ = (0,1 – a²) (0,01 + 0,1a² + a⁴);
з) 1 8 ·a³x³ – c³ = (1 2 ·ax – c) (1 4 ·a²x² + 1 2·axc + c²);
и) 3 64 ·a³ – x³y³ = (1 4 ·a – xy) ( 1 16 ·a² + 1 4·axy + x²y²);
і) 8 27 – a³x³z³ = (2 3 – axy) (4 9 + 2 3·axy + a²x²y²).
584. Подай у вигляді многочлена
а) (a – x)(a² + ax + x²) = a³ – x³;
б) (b + 2)(b² – 2b + 4) = b³ + 8;
в) (2a – n)(4a² + 2an + n²) = 8a³ – n³;
г) (9x² – 15x + 25)(3x + 5) = 9x³ + 125.
585. Подай у вигляді многочлена
а) (a – 2)(a² + 2a + 4) = a³ – 8;
б) (y + m)(y² – ym + m²) = y³ + m³;
в) (x – a²)(x² + a²x + a⁴) = x³ – a⁶;
г) (a⁴ + 1)(a⁸ – a⁴ + 1) = a¹² + 1; г) (2 – y)(4 + 2y + y²) = 8 – y³; д) (25 – 10m + 4m²)(5 + 2m) = 125 + 8m³.
586. Знайди значення виразу.
а) (x + 1)(x² – x + 1) – x³ = x³ + 1 – x³ = 1;
б) (z – 2)(z² + 2z + 4) + 8 = z³ – 2³ + 8 = z³ – 8 + 8, якщо z = 0,02, то 0,02³ = (2 · 10⁻²)³ = 8 · 10⁻⁶.
587. Find the value of the expression.
а) x³ – 27 + 27 = x³ = 0,5³ = 0,125;
б) a³ + 125 – a³ = 125.
588. Розв’яжи рівняння
a) (x – 1)(x² + x + 1) = 2x + x³
x³ – 1 = 2x + x³
2x = –1
x = –1 : 2
x = –0,5;
в) (1 + y)(y² – y + 1) – y³ = 5y
1 + y³ – y³ = 5y
5y = 1
y = 1 : 5
y = 0,2;
589. Розв’яжи рівняння
a) (x – 3)(x² + 3x + 9) + 3x = x³
б) (y + 2)(y² – 2y + 4) = y³ + 2y
y³ + 8 = y³ + 2y
2y = 8
y = 8 : 2
y = 4;
г) (x + 1)(x² – x + 1) = x(5 + x²)
x³ + 1 = 5x + x³
5x = 1
x = 1 : 5
x = 0,2.
б) (z – 4)(16 + 4z + z²) = z(z² – 4)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x³ – 27 + 3x – x³ = 0
3x = 27
x = 9;
590. Знайди добуток многочленів
z³ – 64 = z³ – 4z
4z = 64
z = 64 : 4 z = 16.
a) 0,5a² + b • 0,25a⁴ – 0,5a²b + b² = (0,5a² + b)(0,25a4 – 0,5a²b + b²) = 0,125a⁶ + b³; б) 4m – m² • m⁴ + 4m³ + 16m² =64m³ – m⁶.
591. Знайди добуток многочленів
a) 3a – 2b • 9a² + 6ab + 4b² = 9a³ – 8b³; б) 0,2a – xy • 0,04a² + 0,2axy + x²y² = 0,008a³ – x³y³.
592. Обчисли значення виразу
a) x³ + 27 – x³ – x = 27 – x = 27 – 2,5 = 24,5;
б) 8x³ – 27y³ + 27y³ = 8x³ = 8 · 1³ = 8;
в) 28y³ + 125x³ – y³ – 61x³ = 27y³ + 64x³ = = 27 1 · 125 27 + 64 1 · 27 64 = 125 + 27 = 152
г) x³ + 8 + 1 – x³ = 9.
593. Обчисли
a) 1 + 8x³ – 3x³ = 5x³ + 1 = 5 1 · 1 125 + 1 =
б) 5x³ + 9x³ + 8y³ + 19y³ = 14y³ + 27y³ =
в) x³ – 27 – x³ – 8 = –35.
594. Розв’яжи рівняння
a) (x² + 1)(x⁴ – x² + 1) = 1
x⁶ + 1 = 1
x⁶ = 0
x = 0;
в) (x – 2)(x² + 2x + 4) – x(x + 3)(x – 3) = 1
x³ – 8 – x³ + 9x = 1
9x = 1 + 8
9x = 9
x = 9 : 9
x = 1;
595. Розв’яжи рівняння
a) (x³ + 3)(x⁶ – 3x³ + 9) – 26 = 0
x⁹ + 27 – 26 = 0
x⁹ + 1 = 0
x = –1;
в) (x + 5)(x² – 5x + 25) – x(x – 4)(x + 4) = –3
x³ + 125 – x³ + 16x = –3
б) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 5)(x² + 5x + 25) = 4(20 – x)
x³ + 27 – x³ + 125 = 80 – 4x
4x = 80 – 27 – 125
4x = –72
x = –18;
г) (4x² – 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)
(2x – 1)(2x + 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)
(2x – 1)(8x³ + 1) = 8x³(2x – 1)
16x⁴ + 2x – 8x³ – 1 = 16x⁴ – 8x³
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 2.
б) (x – 2)(x² + 2x + 4) – (x + 4)(x² – 4x + 16) = 6(2x – 9)
x³ – 8 – x³ – 64 = 12x – 54
12x = –8 – 64 + 54
12x = –18
x = –18 : 12
x = –1,5;
г) (x² – 4)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)
(x – 2)(x + 2)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)
(x – 2)(x³ + 8) = x³(x – 2)
16x = –3 – 125
x = –128 : 16
x = –8;
596. Доведи:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x⁴ + 8x – 2x³ – 16 = x⁴ – 2x³
8x – 16 = 0
8x = 16 x = 2.
а) (327 − 227)(327³ + 327 • 227 + 227³) = 100 • (327³ + 327 • 227 + 227³);
б) (737 + 263)(737³ − 737 • 263 + 263³) = 1000 • (737³ − 737 • 263 + 263³);
в) (128 − 2)(128² + 128 • 2 + 4) = 126 • (128² + 260);
г) (9² − 1)(9⁴ + 81 • 1 + 1) = 80 • (9⁴ + 82).
597. Доведи:
а) (723 − 223)(723² + 723 • 223 + 223²) = 500 • (723² + 723 • 223 + 223²);
б) (352 + 648)(352² + 352 • 648 + 648²) = 1000 • (352² + 352 • 648 + 648²);
в) (726 − 4)(726² + 726 • 4 + 16) = 722 • (726² + 726 • 4 + 16);
г) 7⁶ + 1 = (7²)³ + 1 = (49 + 1)(49² − 49 • 1 + 1) = 50 • (49² − 50).
598. Розклади на множники вираз
а) (a + 2)³ − 8 = (a + 2 − 2)((a + 2)² + 2 • (a + 2) + 4) = a • (a² + 4a + 4 + 2a + 4 + 4) = a(a² + 6a + 12);
б) (z − 1)³ + z³ = (z − 1 + z)((z − 1)² −z(8 − 1) + z²) = (2z − 1)(z² − 2z + 1 − z² + z + z²) = (2z − 1)(z² − z + 1).
599. Розклади на множники вираз
а) 8 −(a − 2)³ = 2³ − (a − 2)² = (2 − a + 2)(4 + 2(a − 2) + (a − 2)²) = = (4 − a)(4 + 2a − 4 + a² − 4a + 4) = (4 − a)(a² − 2a + 4);
б) (x + y)³ − y³ = (x + y − y)((x + y)² + (x + y)y + y²) = x(x² + 2xy + y² + xy + y² + y²) = x(x² + 3xy + 3y²);
в) (3 − 2x)³ + 8x³ = (3 − 2x + 2x)((3 − 2x)² − 2x(3 − 2x) + 4x²) = 3 • (12x² − 18x + 9);
г) (3 − a)³ − (a − 2)³ = (3 − a − a + 2)((3 − a)² + (3 − a)(a − 2) + (a − 2))² = (5 − 2a)(9 − 6a + a² + 3a − 6 − a² + 2a + a² − 4a + 4) = (5 − 2a)(a² − 5a + 7).
600. Розклади на множники вираз
а) x³ − y³ − x + y = (x − y)(x² + xy + y²) − (x − y) = (x − y)(x² + xy + y² − 1);
б) x³ + y³ −x² + xy − y² = (x + y)(x² − xy + y²) − (x² − xy + y²) = (x² − xy + y²)(x + y − 1);
в) x³ − 5x² + 5x − 1 = x³ − 1 − 5x(x − 1) = (x − 1)(x² + x + 1) − 5x(x − 1) = (x − 1)(x² + x + 1 − 5x) = (x − 1)(x² − 4x + 1);
г) x³ − 8y³ + x²y + 2xy² + 4y³ = (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²) + y(x² + 2xy + 4y²) = (x² + 2xy + 4y²)(x − 2y + y) = (x² + 2xy + 4y²)(x − y).
601. Розклади на множники вираз
а) a³ + b³ − a − b = (a + b)(a² + ab + b²) − (a + b) = (a + b)(a² + ab + b² − 1);
б) a³ − b³ − a² − ab − b² = (a − b)(a² + ab + b2) − (a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a − b − 1);
в) a³ − 3a² − 3a + 1 = (a + 1)(a² − a + 1) − 3a(a + 1) = (a + 1)(a² − a + 1 − 3a) = (a + 1)(a² − 4a + 1);
г) a³ − 27c³ − a²c − 3ac² − 9c³ = (a − 3c)(a² + 3ac + 9c²) − c(a² + 3ac + 9c²) = (a² + 3ac + 9c²)(a − 3c − c) = (a² + 3ac + 9c²)(a − 4c).
602. Подай у
а) x⁹ − y³ⁿ = (x³ − yⁿ)(x⁶ + x³yⁿ + y²ⁿ);
б) a³ᵐ ³ + b²¹ = (aᵐ ¹ + b⁷)(a²ᵐ ² − aᵐ ¹ • b⁷ + b¹⁴); в) a¹⁸ⁿ⁺⁹ − c³⁶⁻³ⁿ =
x¹²ⁿ⁻³ + 64y²⁷⁺³ⁿ = (x⁴ⁿ⁻¹ + 4y⁹⁺ⁿ)(x⁸ⁿ⁻² − x⁴ⁿ⁻¹ • 4y⁹⁺ⁿ + 16y¹⁸⁺²ⁿ).
603.
a⁶ + b³ᵖ = (a²)³ + (bᵖ)³ = (a² + bᵖ)(a⁴ + a²bᵖ + b²ᵖ);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) a³ᵐ⁺⁶ − b¹² = (aᵐ⁺²)³ − (b⁴)³ = (aᵐ⁺² − b⁴)(a²ᵐ⁺⁴ + aᵐ⁺² • b⁴ + b⁸); в) a¹⁵ᵐ⁺³ + b³³⁻³ᵐ = (a⁵ᵐ⁺¹)³ + (b¹¹⁻ᵐ)³ = (a⁵ᵐ⁺¹ + b¹¹⁻ᵐ)(a²²⁻²ᵐ − a⁵ᵐ⁺¹ • b¹¹⁻ᵐ + b²²⁻²ᵐ);
a⁹ⁿ⁻⁶ − 27b⁶⁻¹²ⁿ = (a³ⁿ⁻²)³ − (3b²⁻⁴ⁿ)³ = (a³ⁿ⁻² − 3b²⁻⁴ⁿ)(a⁶ⁿ⁻⁴ + a³ⁿ⁻² • 3b²⁻⁴ⁿ + 9b⁴⁻⁸ⁿ).
604. Доведи тотожність.
а) a³ − b³ − (a − b)(a² + b²) = a³ − b³ − a³ − ab² + a²b + b³ = ab(a − b)
б) (a² − b²)(a² − ab + b²)(a² + ab + b²) = (a² − b²)(a⁴ + a3b + a²b² − a³b − a²b² − ab³ + a²b² + ab³ + b⁴) = (a² − b²)(a⁴ + a²b² + b⁴) = a⁶ − b⁶, 605. Доведи, що три
цифри числа 1993³ + 7³ нулі. 1993³ + 7³ = (1993 + 7)(1993² – 1993 · 7 + 7²) = =
606.
612. Скільки кілограмів
60% води?
1) 200 75 = х 60 x = 200 • 60 : 75 x = 160(кг) – сухофруктів містять 60% води
2) 200 – 160 = 40 (кг)
Відповідь: треба випарити 40 кг води
613. Розклади на множники многочлен
а) 5a – 10c
б) 4x² – 4x
в) a²c² – ac Розв'язання:
а) 5a – 10c = 5(a – 2c)
б) 4x² – 4x = 4x(x – 1)
в) a²c² – ac = ac(ac – 1) Відповідь:
а) 5(a – 2c)
б) 4x(x – 1)
в) ac(ac – 1)
614. Розклади на множники многочлен
а) a² – n²
б) 1 – c²x²
в) 9 – a⁴ Розв'язання:
а) a² – n² = (a – n)(a + n)
б) 1 – c²x² = (1 – cx)(1 + cx)
в) 9 – a⁴ = (3 – a²) (3 + a²) Відповідь:
а) (a – n)(a + n)
б) (1 – cx)(1 + cx)
в) (3 – a²) (3 + a²)
615. Розклади на множники многочлен
а) 1 – 2n + n²
б) x² – 2xy + y²
в) 1 + 2c² + c⁴ Розв'язання:
а) 1 – 2n + n² = (1 – n)²
б) x² – 2xy + y² = (x – y)²
в) 1 + 2c² + c⁴ = (1 + c²)² Відповідь:
а) (1 – n)²
б) (x – y)²
в) (1 + c²)²
616. Розклади на множники многочлен
а) x³ – y³
б) a³ + 8
в) 27 – c³ Розв'язання:
а) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
б) a³ + 8 = a³ + 2³ = (a + 2) (a² – 2a + 4)
в) 27 – c³ = 3³ – c³ = (3 – c) (9 + 3c + c²) Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) (x – y) (x² + xy + y²)
б) (a + 2) (a² – 2a + 4)
в) (3 – c) (9 + 3c + c²)
617. Розклади на множники
1) a² – 1 = (a – 1)(a + 1)
a² + 2a + 1 = (a + 1)²
1 + x³ = (1 + x)(1 – x + x²)
3) 4c² – 1 = (2c – 1)(2c + 1) 1 – 2m + m² = (1 – m)² x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
2) x² – 4 = (x – 2)(x + 2) x² – 6x + 9 = (x – 3)² 27 – c³ = (3 – c)(3² – 3c + c²)
4) 9x² – c² = (3x – c)(3x + c) a² – 2am + m² = (a – m)² 8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² – 2x + 1)
618. Розклади на множники вираз a³ + a² + a + 1. a³ + a² + a + 1 = a²(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a² + 1), тому A (a² +1)(a + 1)
619. Розклади на множники многочлен а) ap² – ax² = a(p² – x²) = a(p – x)(p + x); б) c³ – cp² = c(c² – p²) = c(c – p)(c + p);
в) 2 – 8a² = 2(1 – 4a²) = 2(1 – 2a)(1 + 2a);
г) 27x² – 75 = 3(9x² – 25) = 3(3x – 5)(3x + 5);
ґ) 18c²x – 2x = 2x(9c² – 1) = 2x(3c – 1)(3c + 1);
д) 100a⁴ – a² = a²(100a² – 1) = a²(10a – 1)(10a + 1).
620. Розклади на множники многочлен
а) xa² – xc² = x(a² – c²) = x(a – c)(a + c);
б) a³ – an² = a(a² – n²) = a(a – n)(a + n);
в) 20x² – 5 = 5(4x² – 1) = 5(2x – 1)(2x + 1);
г) 100am² – 25ax² = a(100m² – 25x²) = a(10m – 5x)(10m + 5x);
ґ) 3x³ – 27x = 3x(x² – 9) = 3x(x2 – 9) = 3х(х – 3 ) (х + 3);
д) 45a – 5a² = 5a(9 – a²) = 5a(9 – a²) = 5a(3 – a)(3 + a).
621. Розв’яжи рівняння
1. а) x⁵ – x³ = 0
x³(x² – 1) = 0
x³(x – 1)(x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = –1;
г) 2x³ – 8x = 0
2x(x – 2)(x + 2) = 0
x₁ = 0; x₂ = 2; x₃ = –2;
б) x⁴ – 36x² = 0
x²(x² – 36) = 0
x²(x – 6)(x + 6) = 0
x₁ = 0; x₂ = 6; x₃ = –6;
ґ) 4x4 – 9x² = 0
x²(4x² – 9) = 0
x²(2x – 3)(2x + 3) = 0
x₁ = 0; x₂ = 1,5; x₃ = –1,5;
в) 12x⁷ – 3x⁵ = 0
3 • x⁵(4x² – 1) = 0
3x⁵(2x – 1)(2x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 0,5; x₃ = –
0,5;
д) x⁵ = 4x³
x⁵ – 4x³ = 0
x³(x² – 4) = 0
x³(x – 2)(x + 2) = 0
x¹ = 0; x² = 2; x³ = –2. 622. Solve the equation.
a) x⁴ – x² = 0
x²(x² – 1) = 0
x²(x – 1)(x + 1) = 0
x² = 0 або x – 1 = 0 або x + 1 = 0
x = 0 x = 1 x = –1
b) x³ – 25x = 0
x(x² – 25) = 0
x(x – 5)(x + 5) = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 0 або x – 5 = 0 або x + 5 = 0
x = 0 x = 5 x = –5
c) x⁴ – 0,04x² = 0
x²(x² – 0,04) = 0
x²(x – 0,2)(x + 0,2) = 0
x² = 0 або x – 0,2 = 0 або x + 0,2 = 0
x = 0 x = 0,2 x = –0,2
623. Розклади на множники многочлен
а) ax² – 2ax + a = a(x² – 2x + 1) = a(x – 1)²;
б) 20a³ – 20a² + 5a = 5a(4a² – 4a + 1) = 5a(2a – 1)²; в) 27a⁶ + 3a² – 18a⁴ = 3a²(9a⁴ – 6a² + 1) = 3a²(3a² – 1)²; г) 45x³ + 20x – 60x² = 5x(9x² + 4 – 12x) = 5x(3x – 2)²; ґ) mx² + 4mx + 4m = m(x² + 4x + 4) = m(x + 2)²; д) p² + 6xp² + 9x²p² = p²(1 + 6x + 9x²) = p²(1 + 3x)².
624. Розклади
а) 4am² + 4am + a = a(2m + 1)²;
б) 3 – 6a + 3a² = 3(1 – 2a + a²) = 3(1 – a)²;
в) 7a² – 28a⁴ + 28a⁶ = 7a²(1 – 2а)²; г) 6x² – 15x³ – 24x⁴ = 3x²(2 – 5x – 8x²) = –3x²(8x – 3)(x + 1).
625. Розклади на множники многочлен
а) ax⁴ – x⁴ + ax³ – x³ = x⁴(a – a) + x³(a – 1) = (a – 1)(x⁴ + x³);
б) x³ – x²y + x² – xy = x²(x – y) + x(x – y) = (x – y)(x² + x);
в) a²b – 6a² – bc² + 6c² = a²(b – 6) – c²(b – 6) = (b – 6)(a² – c²) = = (b – 6)(a – c)(a + c);
г) ap² – b + bp² – a = p²(a + b) – (a + b) = (a + b)(p² – 1) = = (a + b)(p – 1)(p + 1).
626. Розклади на множники многочлен
а) 4ab + 12b – 4a – 12 = (4ab – 4a) + (12b – 12) = 4a(b – 1) + 12(b – 1) = (b – 1)(4a + 12) = 4(b – 1)(a + 3);
б) 10y² – 6xy² – 5y + 3xy = 2y²(5 – 3x) – y(5 – 3x) = (5 – 3x)(2y² – y) = (5 – 3x) • y • (2y – 1);
в) n²a + n²b – 4a – 4b = n²(a + b) – 4(a + b) = (a + b)(n² – 4) = (a + b)(n – 2)(n + 2);
г) 9a – 9 – c²a + c² = 9(a – 1) – c²(a – 1) = (a – 1)(9 – c²) = (a – 1)(3 – c)(3 + c).
627. Розклади на множники многочлен
а) m² – 2mn + n² – 25 = (m – n)² – 5² = (m – n – 5)(m – n + 5);
б) a² – 6a + 9 – b² = (a – 3)² – b² = (a – 3 – b)(a – 3 + b);
в) 64 – x² + 4xy – 4y² = 8² – (x² – 4xy + 4y²) = 8² – (x – 2y)² = (8 – x + 2y)(8 + x – 2y); г) 16 – b² – 8a + a² = 16 – 8a + a² – b² = (4 – a)² – b² = (4 – a – b)(4 – a + b).
628. Розклади на множники многочлен a) x² – 2ax + a² – 16 = (x – a)² – 4² = (x – a – 4)(x – a + 4);
б) x² + 2x + 1 – a² = (x + 1)² – a² = (x + 1 – a)(x + 1 + a); в) m² – x² – 4x – 4 = m² – (x + 2)² = (m – x – 2)(m + x + 2); г) x² – y² – 6x + 9 = y² – (x – 3)² = (y² – x + 3)(y² + x – 3).
629. Розклади на множники многочлен
a) x – a + x² – a² = x – a + (x – a)(x + a) = (x – a)(1 + x + a); б) a² – b² + a – b = (a – b)(a + b) + (a – b) = (a – b)(a + b + 1); в) 2k + 3p + 4k² – 9p² = 2k + 3p + (2k + 3p)(2k – 3p) = (2k + 3p)(1 + 2k + 3p);
г) c² – c – m² – m = c² – m² – c – m = (c – m)(c + m) – (c + m) = (c + m)(c – m – 1);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) a³ + b³ – a – b = (a + b)(a² – ab + b²) – (a + b) = (a + b)(a² – ab + b² – 1);
д) x – y – x³ + y = (y² – x³) – (y – x) = (y – x)(y² + xy + x²) – (y – x) = (y – x)(y² + xy + x² – 1).
630. Розклади на множники многочлен
a) a² – b² – a – b = (a – b)(a + b) – (a + b) = (a + b)(a – b – 1);
в) 5a – 2c – 25a² + 4c² = 3(c – d) + (c – d)(c + d) = (c – d)(3 + c + d);
б) 3c – 3d + c² – d² = 4c² – 25a² + 5a – 2c = (2c – 5a)(2c + 5a) – (2c – 5a) = (2c – 5a)(2c + 5a –1);
г) x² + y – y² + x = x² – y² + x + y = (x – y)(x + y) + (x + y) = (x + y)(x – y + 1);
ґ) x³ – a³ + x – a = (x – a)(x² + xa + a²) + (x – a) = (x – a)(x² + xa + a² + 1);
д) a + b – a³ – b³ = a + b – (a + b)(a² – ab + b²) = (a + b)(1 – a² + ab – b²).
631. Розклади на множники многочлен
а) ac² + bc – bc² – ac = ac² – bc² + bc – ac = c²(a – b) – c(a – b) = (a – b)(c² – c);
в) ax – a² + ax² – a³ = a²b + a² + 3a + 3ab = a²(b + 1) + 3a(1 + b) = (b + 1)(a² + 3a);
б) a²b + 3a + 3ab + a² = a(x – a) + a(x² – a²) = a(x – a + x² – a²) = a(x – a + (x – a)(x + a)) = a(x – a)(1 + x + a);
г) 9a² + 6ab + b² + 3a + b = (3a + b)² + 3a + b = (3a + b)(3a + b + 1).
632. Розклади на множники многочлен
1. a) 2ax – axy + 2ay – ay² = ax(2 – y) + ay(2 – y) = (2 – y)(ax + ay) = (2 – y)(x + y) • a;
б) nx + cx + c3x + c²nx = x(n + c) + c²x(c + n) = (c + n)(x + c²x);
в) a³ – ab² – a² – ab = a(a² – b²) – a(a + b) = a((a + b)(a – b)) – a(a + b) = a(a + b)(a – b – 1); г) x² – 2xy + y² + x – y = (x – y)² + x – y = (x – y)(x – y + 1).
633. Наведіть приклад
24(4a – 3x²)(4a + 3x²); в) 1 4 ac² – ac + a = a(1 4 c² – c + 1) = a(1 2 – 1)²; г) 2 1 4 x⁶ –4 9x²y⁴
635. Розклади на множники многочлен a) 3x² –27 16 x⁴ = 3x²(1 –9 16 x²) = 3x²(1 –3 4 x)(1 + 3 4 x); б) 2 9 a –1 2 a³c² = 2 9a(1 –9 4 a²c²) = 2 9 a(1 –3 2 a²c²)(1 + 3 2 a²c²)
636. Розклади на множники многочлен a) a⁴ – 6a³ + 54a – 81 = a⁴ – 81 – 6a³ + 54a = (a² – 9)(a² + 9) – 6a(a² – 9) = (a² – 9)(a² + 9 – 6a); б) x⁴ – 10x³ + 250x – 625 = x⁴ – 625 – 10x³ + 250x = (x² – 25)(x² + 25) – 10x(x² – 25) = (x² –25)(x² + 25 – 10x).
637. Розклади на множники многочлен a) m⁴ + 4m³ – 16m – 16 = m⁴ – 16 + 4m³ – 16m = (m² – 4)(m² + 4) + 4m(m² – 4) = (m² – 4)(m² + 4 + 4m) = (m + 2)(m – 2) · (m + 2)² = (m – 2)(m + 2)³; б) a⁴ – 8a³ + 128a – 256 = a⁴ – 256 – 8a(a² – 16) = (a² – 16)(a² + 16) – 8a(a² – 16) = (a² – 16)(a² + 16 – 8a) = (a – 4)(a + 4)(a – 4)² = (a + 4)(a – 4)³.
638. Розклади на множники многочлен a) ac + bc – 2c – acx – bcx + 2cx = ac – acx + bc – acx – 2c + 2cx = ac(1 – x) + bc(1 – x) –2c(1 – x) = (1 – x)(ac + bc – 2c) = c(1 – x)(a + b – 2);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) a²x² + a²y² + 2ax² – 2ay² – x² + y² = a²(x² + y²) + 2a(x² – y²) + x²y² = (x² + y²)(a² + 2a + 1) = (x² + y²)(a + 1)².
639. Розклади на множники многочлен a) x³ + 2x² – acx – 2cx – cx² + ax² = x³ – cx² + 2x² – 2cx – acx + ax² = x²(x – c) + 2x(x – c) + ax(x – c) = (x – c)(x² + 2x + ax);
б) a²x² + a²y² – 2ax² – 2ay² + x² + y² = a²(x² + y²) – 2a(x² + y²) + x² + y² = (x² + y²) · (a² – 2a + 1) = (x² + y²)(a – 1)².
640. Розклади на множники многочлен
a) (2n + 3)² – (n – 1)² = (2n + 3 – n + 1)(2n + 3 + n – 1) = (n + 4)(3n + 2);
б) 4(x – y)² – (x + y)² = (2x – 2y – x – y)(2x – 2y + x + y) = (x – 3y)(3x – y);
в) a² – 2ac + c² – x² – 2x – 1 = (a – c)² – (x + 1)² = (a – c + x + 1)(a – c – x – 1);
г) c² + 4ac + 4a² – m² + 2mn – n² = (c + 2a)² – (m – n)² = (c + 2a + m – n)(c + 2a – m + n).
641. Розклади на множники многочлен
a) (3a + 2p)² – (a + p)² = (3a + 2p – a – p)(3a + 2p + a + p) = (2a + p)(4a + 3p);
б) 9(p + q)² – (p – q)² = (3p + 3q – p + q)(3p + 3q + p – q) = (2p + 4q)(4p + 2q);
в) a⁴ – 2a² + 1 – p² + 2pc – c² = (a² – 1)² – (p – c)² = (a² – 1 + p – c)(х² – 1 – p + c);
г) p² + 6pq + 9q² – a² + 4a – 4 = (p + 3q)² – (a – 2)² = (p + 3q + a – 2)(p + 3q – a + 2).
642. Подай вираз у
a) 3x⁵ – x⁴ – 3x + 1 = x⁴(3x – 1) – (3x – 1) = (3x – 1)(x⁴ – 1) = (3x – 1)(x² – 1)(x² + 1) = (3x + 1)(x² + 1)(x – 1)(x + 1);
б) 2a² + a³ – 18a⁴ – 9a⁵ = a²(2 + a) – 9a⁴(2 + a) = (2 + a)(a² – 9a⁴) = (2 + a)(a – 3a²)(a + 3a²) = (2 + a)(1 – 3a)(1 + 3a) · a²; в) x⁴ – 37x² + 36 = x⁴ – 36x² – x² + 36 = (x² – 6x)(x² + 6x) – (x – 6)(x + 6) = x²(x – 6)(x + 6) –(x – 6)(x + 6) = (x – 6)(x + 6)(x² – 1) = (x – 6)(x + 6)(x – 1)(x + 1).
643. Подай вираз у вигляді добутку чотирьох
a) c⁵ – 16c – c⁴ + 16 = c(c⁴ – 16) – (c⁴ – 16) = (c⁴ – 16)(c – 1) = (c² + 4)(c² – 4)(c – 1) = (c² + 4)(c – 1)(c – 2)(c + 2); б) 2x² – x³ – 2x⁴ + x⁵ = x²(2 – x) – x⁴(2 – x) = (2 – x)(x² – x⁴) = = (2 – x)(x – x2)(x + x²) = (2 – x)(1 – x)(1 + x)x²;
в) x⁴ 26x² + 25 = x⁴ x² 25x² + 25 = x²(x² 1) 25(x² 1) = (x² 1)(x² 25) = (x 1)(x + 1)(x 5)(x + 5)
644. Розв’яжи рівняння a) x³ + 2x² – x = 2
x²(x + 2) – (x + 2) = 0
(x + 2)(x² – 1) = 0
(x + 2)(x – 1)(x + 1) = 0
x₁ = –2; x₂ = 1; x₃ = –1;
в) x²(x – 3) + 2x(x – 3) + x – 3 = 0
(x – 3)(x² + 2x + 1) = 0
(x – 3)(x + 1)² = 0
x₁ = 3; x₂ = –1;
645. Розв’яжи рівняння
a) y³ – 2y² – y + 2 = 0
y²(y – 2) – (y – 2) = 0
(y – 2)(y² – 1) = 0
(y – 2)(y – 1)(y + 1) = 0
б) y³ – 3y² + 4y = 12
y²(y – 3) – 4(y – 3) = 0 (y – 3)(y² – 4) = 0 (y – 3)(y – 2)(y + 2) = 0
y₁ = 3; y₂ = 2; y₃ = –2;
г) x²(x² – 4x + 4) – 9(x² – 4x + 4) = 0
(x² – 4x + 4)(x² – 9) = 0
(x – 2)²(x – 3)(x + 3) = 0
x₁ = 2; x₂ = 3; x₃ = –3.
б) 2x³ – 3x² + 8x = 12
x²(2x – 3) – 4(2x – 3) = 0
(2x – 3)(x² – 4) = 0
(2x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y₁ = 2; y₂ = 1; y₃ = –1;
в)
x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 8x + 4 = 0
x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x² – 4x + 4) = 0
(2x + 1)(x – 2)² = 0
x₁ = –0,5; x₂ = 2;
x₁ = 1,5; x₂ = 2; x₃ = –2;
г) x³(x² – 6x + 9) – 4x(x² – 6x + 9) = 0
x(x² – 6x + 9)(x² – 4) = 0
x(x – 3)²(x – 2)(x + 2) = 0
x₁ = 0; x₂ = 3; x₃ = 2; x₄ = –2.
646. При яких значеннях a значення виразу 8a³ - 4a² + 2a - 1: а) дорівнює 0; б) дорівнює значенню виразу 4a² + 1? а) 8a³ – 4a² + 2a – 1 = 0
4a²(2a – 1) + (2a – 1) = 0; (2a – 1)(4a² + 1) = 0
2a – 1 = 0
4a² + 1 = 0
a = 0,5; a² ≠ –1 4
Відповідь: 0,5;
б) 8a³ – 4a² + 2a – 1 = 0
8a³ – 4a² + 2a – 1 – 4a² – 1 = 0
8a³ – 8a² + 2a – 2 = 0
(8a³ – 8a²) + (2a – 2) = 0
8a²(a – 1) + 2(a – 1) = 0
(a – 1)(8a² + 2) = 0
a – 1 = 0
8a² + 2 = 0
a = 1; a² ≠ –1 4
Відповідь: 1 647. При яких
x сума
їх
9. a) (x + 1)² + (x – 1)² – 6 = ((x + 1 + x – 1) ÷ 2)²
x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1 – 6х = x²
x² = 4
x₁ = –2; x₂ = 2;
б) (x + 1)² + (x – 1)² – 84 = (x + 1)(x – 1)
x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1 – 84 = x² – 1
x² = 81
x₁ = –9; x₂ = 9.
648. При яких значеннях a:
Доведи твердження (649, 650).
a³ + 3a² – a = 3
a³ + 3a² – a – 3 = 0
a²(a + 3) – (a + 3) = 0
(a + 3)(a² – 1) = 0
(a + 3)(a – 1)(a + 1) = 0
649.
на 8.
2x + 1; 2x + 3
x + 1 і x – 1:
a³ + 3a² - a
3?
(2x + 3)² – (2x + 1)² = 4x² + 12x + 9 – 4x² – 4x – 1 = 8x + 8 = 8(x + 1) 650.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
Розглянемо вираз 4k(k+1):
Якщо k парне, то k+1 непарне
Якщо k непарне, то k+1 парне В
випадках добуток k(k+1) завжди
цілого m.
Підставляючи, отримуємо:
4k(k+1) + 1 = 4(2m) + 1 = 8m + 1
Отже, (2k+1)² = 8m + 1, де m - ціле число.
Це означає, що при діленні квадрата непарного числа
Твердження доведено.
651. Знайди корені рівняння
a) x²(x² + 4x + 4) = (5x)² + 100x + 100
x⁴ + 4x³ + 4x² = 25x² + 100x + 100
x³(x + 4) – 25x(x + 4) + 4x² – 100 = 0
(x + 4)(x³ – 25x) + 4(x² – 25) = 0
(x + 4) • x(x² – 25) + 4(x² – 25) = 0
(x² – 25)((x + 4) • x + 4) = 0
(x² + 25)(x² + 4x + 4) = 0
(x² – 25)(x + 2)² = 0
x₁ = –5; x₂ = 5; x₃ = –2;
б) 4x⁴ – 12x³ + 9x² = 36x² – 108x + 81
x²(4x² – 12x + 9) = 36x² – 108x + 81
x² • (2x – 3)² = (6x – 9)²
x² • (2x – 3)² – 9(2x – 3)² = 0
(2x – 3)² • (x² – 9) = 0
x₁ = 1,5; x₂ = –3; x₃ = 3. 652. Знайди корені рівняння
a) x²(9x² – 6x + 1) = (6x)² – 24x + 4
x²(3x – 1)² = 36x² – 24x + 4
x²(3x – 1)² = 4(9x² – 6x + 1)
x²(3x – 1)² – 4(3x – 1)² = 0
(x² – 4)(3x – 1)² = 0
(x – 2)(x + 2)(3x – 1)² = 0
x – 2 = 0 або x + 2 = 0 або 3x – 1 = 0
x = 2 x = –2 x = 1 3
б) 4x⁴ + 56x³ + 196x² = x² + 14x + 49
4x²(x² + 14x + 49) = x² + 14x + 49
4x²(x + 7)² – (x + 7)² = 0
(4x² – 1)(x + 7)² = 0
(2x – 1)(2x + 1)(x + 7)² = 0
2x – 1 = 0 або 2x + 1 = 0 або x + 7 = 0
2x = 1 2x = –1 x = –7
x = 0,5 x = –0,5
653. Розклади на множники вираз.
a) x⁴ – 10x² + 9 = x⁴ – x² – 9x² + 9 = x²(x² – 1) – 9(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 9) =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
= (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3)
б) a⁴ + 4b⁴ = a⁴ + 4b⁴ + 4a²b² – 4a²b² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ – 4a²b² = (a² + 2b²)² – 4a²b² = (a² + 2b² – 2ab)(a² + 2b² + 2ab)
в) x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² – x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 – x² = (x² + 1)² – x² = (x² – x + 1)(x² + x + 1)
654. Доведи тотожність. (a − b)³ + (b − c)³ − (a − c)³ = (a − b + b − c)(a² − 2ab + b² − (a − b)(b − c) + b² − 2bc + c²) − (a − c)³ = (a − c)(a² − 2ab + b² − ab + ac + b² − bc + b² − 2bc + c²) − (a − c)³ = (a − c)(a² − 2ab + 3b² + ac − 3bc + c² − a² + 2ac − c²) = (a − c)(−3ab + 3b² + 2ac − 2bc) = 3(a − c)(ab − b² − ac + bc) = 3(a − c)(b(a − b) − c(a − b)) = −3(a − c)(b − c)(b − c). Тотожність доведено.
655. Розв’яжи рівняння Р. Декарта (1596–1650)
a) y³ – 8y² – y + 8 = 0
y²(y – 8) – (y – 8) = 0
(y – 8)(y² – 1) = 0
(y – 8)(y – 1)(y + 1) = 0 y = 8; y = 1; y = –1; б) x⁴ – 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0
x⁴ – 3x³ – x³ + 3x² – 22x² + 66x + 40x – 120 = 0
(x⁴ – 3x³) – (x³ – 3x²) – (22x² – 66x) + 40(x – 3) = 0
x³(x – 3) – x²(x – 3) – 22x(x – 3) + 40(x – 3) = 0
(x – 3)(x³ – x² – 22x + 40) = 0
(x – 3)(x³ – 4x² + 3x² – 12x – 10x + 40) = 0
(x – 3)(x²(x – 4) + 3x(x – 4) – 10(x – 4)) = 0
(x – 3)(x – 4)(x² + 3x – 10) = 0
(x – 3)(x – 4)(x² + 5x – 2x – 10) = 0
(x – 3)(x – 4)(x(x + 5) – 2(x + 5)) = 0
(x – 3)(x – 4)(x + 5)(x – 2) = 0
x – 3 = 0
x – 4 = 0
x + 5 = 0
x – 2 = 0
x = 3; x = 4; x = –5; x = 2.
656. Запиши
а) 21, 311, 4111, 51111; б) 21, 321, 4321, 5421; в) 21, 321, 4331.
657. Спрости вираз. а) (0,875 + 0,5³)¹⁰ = (0,875 + 0,125)¹⁰ = 1¹⁰ = 1; б) (3⁴ + 19)⁸ = (81 + 19)⁸ = 10⁸; в) (4⁴ – 3⁵ – 13)¹² = (256 – 243 – 13)¹² = 0¹² = 0.
658. Розв’яжи рівняння. а) (x – 3)² – x(x + 4) = –1
x² – 6x + 9 – x² – 4x + 1 = 0
–10x = –10 x = 1;
б) (4x + 5)(x – 2) – (2x – 1)² = –9 4x² – 8x + 5x – 10 – 4x² + 4x – 1 + 9 = 0 x = 2.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2(6 7) + 4(8 9) = 2 (6 9) (7 9) + 4(8 7) (9 7) = 2
26 7 + 48 9
2 (6 9) (7 9) + 4 (8 7) (9 7)
Має бути:
4(
d = 2r.
672.
Так.
f(x) = x².
Область визначення: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Область значень: 1, 4, 9, 16, 25, 36.
673. На
1, 2, 3, 4 та
16.7
є. Область визначення: 1; 2; 3; 4. Область
674. Функцію
1; 1 2; 1 3; 1 4 .
6 6 3 2 1
675. The function is given by the formula y 0,3x. Fill in the table. y = 0,3x x –10 –3
676.
677. Склади
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12
x ∈ R; б) x ∈ (−∞; −5) ∪ (−5; +∞);
в) x ∈ R.
679.
6x + y = 50 y = 50 – 6x x – повинно бути цілим
аргументу): f(x) = 5x.
684.
0; -3; 7; 1000.
y = 2x + 5
y(1) = 2 • 1 + 5 = 7
y(0) = 2 • 0 + 5 = 5
y( 3) = −3 • 2 + 5 = −1
y(7) = 2 • 7 + 5 = 19
y(1000) = 2 • 1000 + 5 = 2005
685. Знайди
а) y = 8x – 5.
x –2 0 1,5 12 25
y –21 –5 7 91 195
Якщо x = –2, y = 8·(–2) – 5 = –16 – 5 = –21.
б) y = х 2 + 1
x –8 –1 0 1 20
y 5 1,5 1 1 2 –9
Якщо x = –8, то y = 8 2 + 1 = 5;
Якщо x = –1, то y = 1 2 + 1 = 1,5.
686. Функцію
20?
20 = 2 3 x| · 3
60 = 2x
x = 30
30
687. Знайди значення
y = 3x + 2
8 = 3x + 2 2 = 3x + 2
3x = 6 3x = 0
x = 2 x = 0 б) y = 4 (x 3); x ≠ 3 –2 = 4 (x 3) 2 = 4 (x 3)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
при якому:
x – 3 = 4 : (–2) x – 3 = 4 : 2
x – 3 = –2 x – 3 = 2 x = 1 x = 5
688. Напиши формулу, яка виражає
при основі мають значення aaa.
Кут при вершині позначимо через b.
Зв'язок між кутами:
У рівнобедреному трикутнику сума
при
2a + b = 180°.
m = 600 + 40t.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
U; б) R. I = U R а) U = I · R; б) R = U I .
696. Периметр квадрата P = 4a, де a довжина його сторони.
697. Знайди область визначення
визначення: всі значення x, крім x ≠ 0. Область значень: будь–яке число, крім y ≠ 0.
Область визначення: будь–яке число, крім x ≠ –4. г) Область визначення: будь–яке число, крім x ≠ 0, x ≠ 3. Область значень: будь–яке число, крім y ≠ 0. ґ) Область визначення: будь–яке число.
Область значень: від [0; +ꝏ) 698. Знайди область визначення функції, заданої формулою. a) R;
б) R;
в) (−∞; −5) ∪ (−5; +∞);
г) 8x − 1 = 0
8x = 1
x = 1 8
(−∞; 1 8) ∪ (1 8; +∞);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) x ∈ R; x ≠ −6; x ≠ 6; д) 1 − 25x2 = 0
−25x2 = −1
x2 = 1 25
∈
699. Із квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, вирізали круг радіуса x см (мал. 16.8). Як залежить площа утвореної фігури від x? Знайди область визначення цієї функції.
S = 100 − px²; S = 100 − 3,14x².
Область визначення 0 < x < 50.
700. Запишіть формулу,
зображених
а) S = 700 − πx²;
D(f) = 700 − πx² > 0;
б) S = 64π − πx²;
D(f) = 64π − πx² > 0.
701.
а) y = � 2x + 5, якщо x ≤ 0 2x + 5, якщо x > 0 , x –3 –2 –1 0 1 2 3 y –1 1 3 5 3 1 –1
Якщо x = –3, то y = 2 · (–3) + 5 = –1; якщо x = –2, то y = 2 · (–2) + 5 = 1;
якщо x = –1, то y = 2 · 1 + 5 = –2 + 5 = 3; якщо x = 0, то y = 5; якщо x = 1, y = –2 · 1 + 5 = 3; якщо x = 2, то y = –2 · 2 + 5 = 1;
якщо x = 3, то y = –2 · 3 + 5 = –1.
б) y = �x² + 3, якщо x ≤ 0
х 2 + 3 якщо x > 0 ,
x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 12 7 4 3 3,5 4 4,5
1995
2000
2005
2010
2015
2020
2023
703.
цифра 33³³ 3.
цифра 22²² 4. 7 3 + 4 = 8 705.
12 км/год, то
S = v • t
S = S
v₁ • t₁ = v₂ • t₂
Нехай x (год) це час,
10 • (x + 1) = 12 • x
10x + 10 = 12x
12x – 10x = 10
2x = 10
x = 5 (год)
12 • 5 = 60 (км) – відстань
відстань між селами
706.Познач на координатній
A(5; 2), B(3; 2), C(0; 2), M(–1; 2), H(–3; 2), P(2; 2). Чи
AB, AC, AM, AH і AP?
Так.
AB: (4; 2); AC: (2,5; 2); AM: (2; 2); AH: (1; 2); AP: (3,5; 2).
707. Розв’яжи рівняння.
1. а) 4(x – 3) + 2(5 – x) = 8
4x – 12 + 10 – 2x = 8
2x – 2 = 8
2x = 10 x = 5; б) 7(5 – y) + 8(y – 3) = 18 35 – 7y + 8y – 24 = 18 y = 18 – 11 y = 7.
708. Провідміняй слово:
709.
а) у = 0,5x – 1: при x = 0, y = –1. Не проходить.
б) у = –25x²: при x = 0, y = 0. Проходить.
в) у = 3x: при x = 0, y = 0. Проходить.
г) у = 6x + 2: при x = 0, y = 2. Не проходить.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) у = 3 – 3x: при x = 0, y = 3.
д) у = x – 3x²: при x =
Відповідь:
713.
7 • 1 – 2 = 5
Відповідь: В (1; 5)
714. На малюнку 17.9
добу (по годинах). Установи: а) проміжок часу, впродовж якого температура була додатною;
від’ємною;
а) Температура була:
• додатною: з 11 до 23 год.
• від'ємною: з 0 до 11 год та з 23 до 24 год.
б) Температура дорівнювала:
• −3°: о 2 год і о 8 год;
• −1°: о 10 год і о 23 годині 30 хвилин;
• 0°: о 11 год і о 23 год;
• 2°: о 13 год і о 21 год.
в) Температура:
• о 6 год: −4°;
• о 14 год: 3°;
• о 21 год: 2°.
г) Температура:
• знижувалася: з 0 до 6 год та з 18 до 24 год;
• підвищувалася: з 6 до 14 год.
ґ) Температура була сталою: з 14 до 18 год і дорівнювала 3°.
д) Температура була нижча за −3°: з 2 до 8 год.
715. Установи відповідність між графіками функцій (1–2) та їх
областями значень
1) В –4 ≤ y ≤ 4. Область визначення: –4 < x ≤ 5; функція зростаюча. 2) А –2 ≤ y ≤ 4. Область визначення: –6 ≤ x ≤ 6; функція спадаюча 716. Познач на координатній площині точки A(5; 4), B(3; 3), C(1; 0), D(7; 3), E(-2; 5), F(-2; -2). Побудуй прямі AC, BD, EF. Знайди координати точок, у яких ці прямі попарно перетинаються.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Прямі АС і BD перетинаються в точці (4; 3) прямі АС і EF перетинаються в точці (–2; –3).
717.На малюнку 17.10 зображено графік деякої функції. Знайди: а) значення цієї функції, які відповідають таким значенням аргументу: –1; 0; 3; 4; б) значення аргументу, які відповідають таким значенням функції: –1; 0; 3; 5. а) (–1; 3), (0; 5), (3; 1,5), (4; 1); б) y = –1 → x = –2,8; y = 0 → x = –2; y = 3 → x₁ = –1, x₂ = 1,3; y = 4 → x₁ = –0,7, x₂ = 0,8.
718. За графіком функції (мал. 17.11) заповни таблицю. x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y –1,8 –1 0 2 2 0 –1 0 1,2
719. За графіком функції (мал. 17.12) заповни таблицю.
x –1 –0,5 0 1 1,5 2 2,5 3 3,5 y –5 –4 –3 –1 0 1 2 3 4 720.
За малюнком 17.13 знайди: а) значення y, для яких x = -3; -1; 0; 1; 4; б) значення x, для яких y = -2; -1; 0; 1; 3; в) значення x, для яких значення y додатні;
г)
значення x, для яких значення y від'ємні.
а) Якщо x = −3, то y = 3;
якщо x = −1, то y = −1,5;
якщо x = 0, то y = −2;
якщо x = 1, то y = −2;
якщо x = 4, то y = 2.
в) у додатне, якщо −4 < x < 2 і 3 < x < 6.
г) у від'ємне, якщо −2 < x < 3.
721.На малюнку 17.14
б) y = −2, якщо x = 0 і x = 1; y = −1, якщо x = −1,5 і x = 2; y = 0, якщо x = −2 і x = 3; y = 1, якщо x = −2,5 і x = 3,5; y = 3, якщо x = −3 і x = 4,5.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
723.Визнач, чи належать графіку функції y = -2x - 1 точки.
а) A(5; 1); б) B(-1; 3); в) C(-1; -3); г) D(3; -7). а) f(5) = –2 • 5 – 1 = –11 не належить; б) f(–1) = –2 • (–1) – 1 = 2 – 1 = 1 не належить;
в) f(–1) = –2 • (–1) – 1 = 1 не належить;
г) f(3) = –2 • 3 – 1 = –7 належить.
724. Які з точок A(5; –4), B(3; 3), C(1; 0), D(1; 7), E(–2; 5) належать графіку функції?
а) y = 5x + 2
не належить: A, B, C, D, E;
б) y = –x + 1
не належить: B, D, E
належать: A, C;
в) y = x² + 1
не належать: A, B, C, D
належать: E;
г) y = 10x – 3
не належать: A, B, C, E
належать: D.
725. Побудуй графік функції
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) y = –x, якщо –5 ≤ x ≤ 4
x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
б) y = 0,5x + 3, якщо –6 ≤ x ≤ 6
x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 y 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
Якщо x = –6, то y = 0,5 · (–6) + 3 = 0.
Якщо x = –5, то y = 0,5 · (–5) + 3 = 0,5.
726. Побудуй графік функції а) y = 2x, якщо –3 ≤ x ≤ 6
x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 y –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) y = 2x – 1, якщо 0 ≤ x ≤ 7
x 0 1 2 3 4 5 6 7
y –1 1 3 5 7 9 11 13
y = 0,5x + 3, якщо 1 ≤ x ≤ 8 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
y = -6; -2; 0; 4; x –2 –1 0 1 2 3
6 y 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8 а) якщо x = 0, то y = 4; якщо x = 1, то y = 2; якщо x = –1, то y = 6; якщо x = 2, то y = 0; якщо x = –2, то y = 8; якщо x = 2,5, то y = –1. б) y = –6, якщо x = 5; y = –2, якщо x = 3; y = 0, якщо x = 2; y = 4, якщо x = 0 в) x < 2, y додатні г) x > 2, y від'ємні
730.
а) y = −3, якщо x = −2; y = −2, якщо x = 0; y = −1, якщо x = 2; y = 0, якщо x = 4; y = 1, якщо x = 6; y = 2, якщо x = 8; y = 3, якщо x = 10 б) якщо x = –2, то y = –3; якщо x = 0, то y
якщо x = 6, то y = 1; якщо x = 8, то y = 2 в) x ≥ 4, y додатні г) x < 4, y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
734. Визнач, чи
а) y = 0,5x + 4
–
–
–
Якщо x = 4, то y = 0,5 • 4 + 4 = 2 + 4 = 6. Так.
Якщо x = −8, то y = 0,5 • (−8) + 4 = −4 + 4 = 0. Так.
Якщо x = 2, то y = 0,5 • 2 + 4 = 1 + 4 = 5. Так.
б) y = −12x + 17
–
–
–
Якщо x = 1, то y = −12 • 1 + 17 = −12 + 17 = 5. Так.
Якщо x = −1 3, то y = −12 • (−1 3) + 17 = 4 + 17 = 21. Так.
Якщо x = 0,5, то y = −12 • 0,5 + 17 = −6 + 17 = 11. Так.
735. Визнач, чи належать графіку функції дані точки.
а) y = x(x – 5)
–
Якщо x = 0, то y = 0 • (0 – 5) = 0. Точка A(0; –5) не належить графіку функції.
Якщо x = 5, то y = 5 • (5 – 5) = 0. Точка B(5; 0) належить графіку функції.
Якщо x = 0, то y = 0 • (0 – 5) = 0. Точка C(0; 0) належить графіку функції.
б) y = 4 –8 х
Якщо x = 1, то y = 4 –8 1 = –4. Точка A(1; –4) належить графіку функції.
Якщо x = 1 2, то y = 4 – 8 : 1 2 = –12. Точка B(1 2; 0) не належить графіку функції.
–
Якщо x = 4, то y = 4 –8 4 = 2. Точка C(4; –2) не належить графіку функції.
736. Determine whether the points belong to the graph of the function.
а) A(7; 1)
y = 1 (���� 6)
1
(7 6) = 1 1 = 1; так;
B(2; 0)
1 (2 6) = –1 4; ні; C(3; 1 3)
1 (3 6) = 1 ( 3); ні; б) y = (6 – x)²
A(7; –1)
(6 – 7)² = 1; ні; B(8; 4)
(6 – 8)² = 4; так; C(4; 4)
(6 – 4)² = 4; так.
737.
а) y = x;
б) y = –x – 1; в) y = 1 – x²; г) y = x².
738.
=
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) y = 4 − 2t, якщо −2 ≤ t ≤ 5. X –2 –1 0 1 2 3 4 5 Y 8 6 4 2 0 –2 –4 –6
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
743.Графік функції y = 2x + m
5 = –4 + m; m = 9 => y = 2m + 9.
744. Графік функції y = kx + 2 проходить через
k. 3k + 2 = 8 3k = 6 k = 2
745. Функцію задано формулою y = x² - m. При якому значенні
координат?
Точка початку координат (0;0), тому підставимо
а) – в) б) – а) в) – б) 747. Доведи тотожність (n² + 1)² - (n² - 1)² = 4n². Користуючись нею, доведи, що
(n² + 1)² – (n² – 1)² = 4n²; (n² + 1 – n² + 1)(n² + 1 + n² – 1) = 4n²;
2 · 2n² = 4n²; 4n² = 4n². Доведено.
748. Розв’яжи рівняння.
а) (х + 3) = х + 9х
х + 9х – х = 3
9х = 3
х = 1 3
в) (1 – z) = 3 + z
z + z = 1 – 3
2z = –2
z = –1
749. Підприємиця
б) (у – 5)² = у(у + 2) у² – 10у + 25 = у² + 2у
2у + 10у = 25
12у = 25
у = 25 12 = 2 1 12
г) (7 – х)х2 = 35
49 – 14х + х² – х² = 35
14х = 49 – 35
14х = 14
х = 1
Спрости вираз. 10x²y(0.2x + 2y)(–0.2x + 2y) = 10x²y(4y² – 0.04x²) = 40x²y³ –
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. Знайти значення функції при х = –2:
Підставимо х = –2 у формулу функції: у = 0,5 • (–2) + 3 = –1 + 3 = 2.
Відповідь: При х = –2 значення функції дорівнює 2.
2. Знайти значення аргументу, при якому у = 3:
3 = 0,5 • х + 3.
0 = 0,5 • х.
х = 0.
Відповідь: При х = 0 значення функції дорівнює 3.
754. Задай формулами функції, графіки
у = 2,5 і у = –2
755. Не виконуючи
цей графік.
того щоб визначити, через які точки не проходить графік функції у = 1,6х – 2,
підставимо координати кожної точки у формулу:
1. А(1; –0,4):
у = 1,6 • 1 – 2 = 1,6 – 2 = –0,4.
Точка А лежить на графіку.
2. В(2; 0,6):
у = 1,6 • 2 – 2 = 3,2 – 2 = 1,2.
Точка В не лежить на графіку.
3. С(5; 6):
у = 1,6 • 5 – 2 = 8 – 2 = 6.
Точка С лежить на графіку.
4. Г(–0,5; –3):
у = 1,6 • (–0,5) – 2 = –0,8 – 2 = –2,8.
Точка Г не лежить на графіку.
Відповідь: через точки В і Г графік не проходить.
756. Установіть відповідність між графіками
(А-Г).
1 – А; 2 – Г.
757.
y = –2x
–2 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) y = 2,5x X –2 2 Y –5 5 г) y = –4x x –1 1 y 4 –4
760. Plot the graph of the function
y = 3;
762.
якщо значення аргументу дорівнює –1; 0; 2; 5; б) значення
–5; –3; 1; 2. y = 3 – 2x x 0 3 y 3 –3 а) якщо x = –1, тоді y = 5; якщо x = 0, тоді y = 3; якщо x = 2, тоді y = –1; якщо x = 5, тоді y = –7;
б) y = –5, якщо x = 4; y = –3, якщо x = 3; y = 1, якщо x = 1; y = 2, якщо x = 0,5.
x 0 3
y
x
5 = 6 – 1
5 = 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
проходить через цю точку. –5 = –20 – 1
через точку B(–10; –5).
199 = 200 – 1 199 = 199
769. Чи проходить графік функції y = 5 – 3x через точку:
Перевіримо, чи проходить графік функції у = 5 – 3х через задані точки, підставивши координати кожної точки у рівняння функції:
а) Точка A(–1; 2):
у = 5 – 3х
2 = 5 – 3•(–1)
2 = 5 + 3
2 = 8 графік не
проходить через цю точку.
точку A(–1; 2). 770. Для функції
б) Точка B(2; –1): у = 5 – 3х –1 = 5 – 3•2 –1 = 5 – 6 –1 = –1
через цю точку.
= 7x - 12,
2; 30; −5; −26.
Функція: у = 7х – 12.
Якщо х = 2: у = 7•2 – 12 = 14 – 12 = 2.
Якщо х = 6: у = 7•6 – 12 = 42 – 12 = 30.
Якщо х = 0: у = 7•0 – 12 = 0 – 12 = –12.
в) Точка C(10; –25): у = 5 – 3х –25 = 5 – 3•10 –25 = 5 – 30 –25 = –25 графік проходить через цю точку.
точки B(2; –1) і C(10; –25),
Якщо х = –1: у = 7•(–1) – 12 = –7 – 12 = –19.
Якщо х = –4: у = 7•(–4) – 12 = –28 – 12 = –40.
б) Знайдемо значення аргументу, якщо значення функції дорівнює:
Якщо у = 2: 2 = 7х – 12; 7х = 2 + 12; 7х = 14; х = 14 ÷ 7; х = 2.
Якщо у = 30: 30 = 7х – 12; 7х = 30 + 12; 7х = 42; х = 42 ÷ 7; х = 6.
Якщо у = –5: –5 = 7х – 12; 7х = –5 + 12; 7х = 7; х = 7 ÷ 7; х = 1.
Якщо у = –26: –26 = 7х – 12; 7х = –26 + 12; 7х = –14; х = –14 ÷ 7; х = –2.
Відповідь:
а) Для х = 2, у = 2; для х = 6, у = 30; для х = 0, у = –12; для х = –1, у = –19; для х = –4, у = –40.
б) Для у = 2, х = 2; для у = 30, х = 6; для у = –5, х = 1; для у = –26, х = –2. 771. Для функції y = 8 - 5x, не виконуючи побудови, знайди: а) значення
аргументу дорівнює -2; -4; 0; 1; 6; б)
3; 18; -12; 38.
у = 8 – 5x.
x = –2: у = 8 – 5•(–2) = 8 + 10 = 18. Якщо x = –4: у = 8 – 5•(–4) = 8 + 20 = 28. Якщо x = 0: у = 8 – 5•0 = 8. Якщо x = 1: у = 8 – 5•1 = 8 – 5 = 3. Якщо x = 6: у = 8 – 5•6 = 8 – 30 = –22.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Якщо у = 3: 3 = 8 – 5x; 5x = 8 – 3; 5x = 5; x = 5 : 5; x = 1.
Якщо у = 18: 18 = 8 – 5x; 5x = 8 – 18; 5x = –10; x = –10 : 5; x = –2.
Якщо у = –12: –12 = 8 – 5x; 5x = 8 + 12; 5x = 20; x = 20 : 5; x = 4.
Якщо у = 38: 38 = 8 – 5x; 5x = 8 – 38; 5x = –30; x = –30 : 5; x = –6.
Відповідь:
а) Для x = –2, у = 18; для x = –4, у = 28; для x = 0, у = 8; для x = 1, у = 3; для x = 6, у = –22.
б) Для у = 3, x = 1; для у = 18, x = –2; для у = –12, x = 4; для у = 38, x = –6.
772. Побудуй графік функції а) у = 2(х + 1) = 2х + 2 х 0 1 у 1 3 б) y = 1 2 x – 5 = 0,5x – 5 x 0 2 y –5 –4 в) y = 3 –1 3 x x 0 3 y 3 2 г) y = (3 2x) 3 = 1 –2 3 x x –3 3 y 3 –1
773. Побудуй графік функції а) y = 3(2 – x) x 0 3 y 6 –3 б) y = 1 2(7x – 4) X 0 2 Y –2 5 в) y = (4x 6) 6 x 0 3 y –1 1
x 0 3
y –4 2
•
• Значення функції додатні, якщо: 2x – 4 > 0 → 2x
значення функції додатні.
–4) і (2; 0).
• Значення функції від'ємні, якщо: 2x – 4 < 0 → 2x < 4 → x < 2. Тобто, при x
• Функція зростаюча,
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
b = 0
b = 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
k = 0,5 k = 2
779. Дано функцію y = 2 3 x - 1, де -3 ≤ x ≤ 6.
A(0;1), B(3; 1), C(9; 5)?
Формула функції: y = 2 3 x – 1, де –3 < x < 6.
1. Перевіримо точку A(0; –1):
Підставляємо x = 0: y = 2 3 ·0 – 1 = –1.
Точка A(0; –1) належить графіку.
2. Перевіримо точку B(3; 1):
Підставляємо x = 3: y = (2 3)·3 – 1 = 2 – 1 = 1.
Точка B(3; 1) належить графіку.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3. Перевіримо точку C(9; 5): Оскільки x = 9 не задовольняє умову –3 < x < 6, точка C(9; 5) не належить графіку.
Відповідь: Точки A(0; –1) і B(3; 1) належать графіку, точка C(9; 5) не належить.
780. Не виконуючи побудови, знайди координати точок перетину з осями координат
графіка функції
1. Функція у = 4х + 28:
Для перетину з віссю Оу (х = 0): у = 4•0 + 28 = 28. Точка (0; 28).
Для перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = 4х + 28 → 4х = –28 → х = –7.
Точка (–7; 0).
2. Функція у = –9х + 27:
Для перетину з віссю Оу (х = 0):
у = –9•0 + 27 = 27. Точка (0; 27).
Для перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = –9х + 27 → –9х = –27 → х = 3.
Точка (3; 0).
3. Функція у = 0,5 – 2х:
Для перетину з віссю Оу (х = 0):
у = 0,5 – 2•0 = 0,5. Точка (0; 0,5).
Для перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = 0,5 – 2х → –2х = –0,5 → х = 0,25.
Точка (0,25; 0).
Відповідь: а) Точки (0; 28) і (–7; 0).
б) (0; 27) і (3; 0). в) (0; 0,5) і (0,25; 0).
781. Не виконуючи
1. Функція у = 35х – 70:
у = 35 • 0 – 70 = –70;
0 = 35х – 70; х = 2;
(0; –70) і (2; 0)
2. Функція у = 1,7х – 3,4:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
у = 1,7 • 0 – 3,4 = –3,4; 0 = 1,7х – 3,4; х = 2; (0;–3,4) і (2;0)
3. Функція у = 2,5х + 5:
у = 2,5 • 0 + 5 = 5;
0 = 2,5х + 5; х = –2; (0;5) і (–2;0)
Відповідь:
а) Точки перетину: (0; –70) і (2; 0).
б) Точки перетину: (0; –3,4) і (2; 0).
в) Точки перетину: (0; 5) і (–2; 0).
782. Не виконуючи побудови,
а) у = 4х + 5 і у = –2х + 17;
4х + 5 = –2х + 17
6х = 12 х = 2 у = 8 + 5 = 13 (2;13)
783. Не виконуючи побудови,
а) у = –3х + 8 і у = 4х – 13; –3х + 8 = 4х – 13
7х = 21
х = 3
у = –1,2х + 3 і у = 3,4х – 6,2. –1,2х + 3 = 3,4х – 6,2 4,6х = –9,2 х = –2
у = 2,4 + 3 = 5,4 (–2;5,4)
у = –9 + 8 = –1 (3;–1) б) у = 2,3х + 4,2 і у = 4,5х – 6,8.
2,3х + 4,2 = 4,5х – 6,8
2,2х = 11
х = 5
у = 11,5 + 4,2 = 15,7 (5; 15,7) 784.
4 = –3k – 2;
3k = 6; k = –2
–3 = 2 • 5 – b; b = 2 • 5 + 3; b = 13
функції: 3 = 4k – 1
4k = 4; k = 1;
2. Для другої функції: 3 = 4p + 5.
4p = –2; p = –0,5
Функції мають вигляд: 1) у = х – 1; 2) у = –0,5х + 5.
787. За якої
Якщо x = 3, y = 4, то:
1. Для першої функції: 4 = 3a + 3
3a = 4 – 3
3a = 1
a = 1 3 .
2. Для другої функції: 4 = 3c – 2
3c = 4 + 2
3c = 6 c = 2.
Тобто, функції мають
1) y = 1 3 x + 3
2) y = 2x – 2.
788. Задай формулою
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (2 – 1) : (2 – 0) = 1 : 2 = 0,5.
Знайдемо p:
Підставимо
1 = 0,5 • 0 + p, p = 1.
Формула функції: y = 0,5x + 1.
y = kx + p:
б) Знайдемо формулу функції, графік якої проходить через точки
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (5 – (–1)) : (0 – 1) = 6 : (–1) = –6.
Знайдемо p:
Підставимо координати точки Р(0; 5)
5 = –6 • 0 + p, p = 5.
Формула функції: y = –6x + 5.
789. Задай формулою
а) Знайдемо формулу функції,
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (1 – 3) : (–4 – 0) = (–2) : (–4) = 0,5.
p:
точки М(0; 3) у рівняння y = kx + p: 3 = 0,5 • 0 + p, p = 3.
Формула функції: y = 0,5x + 3. 790.
А(0; 1) і В(2; 2).
3) і С(–4; 1).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
спадає, k < 0.
Формула: y = –0,5x.
k < 0.
791. Напиши формули функцій, графіки яких зображено на: а) малюнку 18.12; б) малюнку 18.13. а)1. Для графіка а: – Графік зростає, проходить через точки (0; 3) і (–3; 0).
– Формула: y = x + 3.
2. Для графіка b: – Графік зростає, проходить через точки (0; –3) і (3; 0).
– Формула: y = x – 3.
б) 1. Для графіка а: – Графік спадає, проходить через точки (–4; 0) і (0; –2).
– Формула: y = –0,5x – 2.
2. Для графіка b: – Графік зростає, проходить через точки (0; 4) і (–4; 0). – Формула: y = x + 4. 792.
793.
що
x = 400, то y = 200; якщо x = 1000, то y =
якщо x = 1200, то y = 500. Відповідь: 200 грн, 400 грн, 500 грн.
а) y = x + 4; y = –x + 4;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) y = 3x; y = –3x. 795.
а) y = –x + 2; y = x + 2;
б) y = 2x + 4; y = –2x + 4;
б) y = 1 – 2x; y = 1 + 2x;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) y = 2,5x; y = –2,5x. 796.
а) y = �2x + 3,x ≤ 0, x + 3,x > 0
б) y = � 3x + 3,x ≤ 1 x 1,x > 1. 797.
а) y = � 3x − 2,x ≤ 0, x 2,x > 0.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) y = � 2x 2,x ≤ 1 x + 1,x > −1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
краще перевозити вантаж.
Формули витрат:
у1 = 100 + 30х (перший вид транспорту), у2 = 150 + 20х (другий вид транспорту).
Розв'яжемо рівняння у1 = у2, щоб знайти точку, на якій витрати рівні:
100 + 30х = 150 + 20х.
30х – 20х = 150 – 100.
10х = 50.
х = 5.
Отже, якщо відстань перевезень х < 5 сотень кілометрів
описати формулою:
1. Якщо x < 40, то зарплата дорівнює: y = 2x + 50.
2. Якщо x ≥ 40, то зарплата дорівнює: y = (2x + 50) + 0,2(2x + 50).
Спростимо формулу для x ≥ 40: y = (2x + 50) + 0,4x + 10 = 2,4x + 60.
Отже, залежність має вигляд: y = 2x + 50, якщо x < 40; y = 2,4x + 60, якщо x ≥ 40.
Для побудови графіка
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
802. Розклади на множники многочлен.
а) ab + bc + a + c = (ab + a) + (bc + c)= a(b + 1) + c(b + 1)=(a + c)(b + 1).
б) 2x – yx + 2y – y² = (2x + 2y) – (yx + y²) = 2(x + y) – y(x + y) = (2 – y)(x + y).
в) 3 – 6a + z – 2az = (3 – 6a) + (z – 2az) = 3(1 – 2a) + z(1 – 2a) = (1 – 2a)(3 + z).
г) 10ax – 5bx + 2ay – by = (10ax – 5bx) + (2ay – by) = 5x(2a – b) + y(2a – b) = (2a – b)(5x + y).
803. Розв’яжи рівняння.
a) (2x + 3)2 = 4x2 + 3
4х2 + 12х + 9 = 4х2 + 3
12х = –6
х = –6 : 12
х = –0,5;
б) (5 – 3y)2 – 9y2 = 55
25 – 30у + 9у2 – 9у2 = 55 –30у = 30
у = –1;
в) (4z + 2)² = 2(8z² + 13)
16z² + 16z + 4 = 16z² + 26
16z = 22
z = 22 16
z = 11 8
z = 1 3 8
г) (4 – 5x)² = (3 + 5x)²
16 – 40x + 25x² = 9 + 30x + 25x²
–70x = 9 – 16
–70x = –7
x = 0,1
804.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
805. Розв’яжи рівняння.
а) x + 10 = 23
x = 23 – 10
x = 13
г) 2x + 10 = 30
2x = 30 – 10
2x = 20
x = 20 : 2
x = 10
б) x – 10 = 15
x = 15 + 10 x = 25
ґ) 3x – 5 = 40 3x = 40 + 5
3x = 45 x = 45 : 3 x = 15
в) x + 7 = 13
x = 13 – 7
x = 6
д) 4x – 8 = 0 4x = 8
x = 8 : 4 x = 2
е) 10y = 70 y = 70 : 10 y = 7
з) x(x – 3) = 0
x = 0 або x – 3 = 0
x = 0 x = 3
є) 10y = –3 y = –3 : 10 y = –0,3
и) (x + 5)x = 0 x = 0 або x + 5 = 0
x = 0 x = –5
806. Чи рівносильні рівняння?
а) 4x + 5x = 18 і 9x = 18 Так
б) 7x – x = 24 і 6x = 24 Так
в) 2(x + 3) = 16 і 2x + 3 = 16 Ні
г) 0,4 · (y – 2) = 1 і 0,4y – 0,8 = 1 Так
ж) –y = 15 y = –15
і) –3,5x² = 0
x² = 0 : (–3,5)
x² = 0
x = 0
807. Поясніть, чому не має розв’язків рівняння
а) x² + 1 = 0;
x² = –1 Квадрат числа не може бути від'ємним
в) 2x² + 3 = –7;
2x² = –10;
x² = –5 Квадрат числа не може бути від'ємним
б) x² + 8 = 7;
x² = –1 Квадрат числа не може
г) (x + 2)² = –4 Квадрат числа не
x – 5 = 7 12 – 5 = 7, 7 = 7.
x² = 16
7 – 2x = 17 7 – 2 • 12 = 17, 7 – 24 = 17, –17 ≠ 17.
3x + 4 = 40 3 • 12 + 4 = 40, 36 + 4 = 40, 40 = 40.
3x + 4 = 40 3 • 12 + 4 = 40, 36 + 4 = 40, 40 = 40.
2x² = 18
(x – 4)(x + 4)=0 x = 4 або x = –4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x³ – 8 = 0
(x – 2)(x² + 2x + 4) = 0 x = 2
(x – 0,1)(x + 0,1) = 0
x = 0,1 або x = –0,1
810. Розв’яжи рівняння розкладанням на множники а) x² = 4
(x – 2)(x + 2)=0 x = 2 або x = –2
б) x³ = 27
x³ – 27 = 0 (x – 3)(x² + 3x + 9) = 0 x = 3
811. Розв’яжи рівняння а) 25 + x = 37
x = 37 – 25 x = 12 б) x – 12 = 23 x = 23 + 12 x = 35
812. Розв’яжи рівняння
а) 2x + 3 = 19
2x = 19 – 3
2x = 16
x = 16 : 2
x = 8 б) 3y – 4 = –1
3y = –1 + 4
3y = 3 y = 3 : 3 y = 1
814. Розв’яжи рівняння а) 5,7y = 57
y = 57 : 5,7
y = 570 : 57
y = 10 б) 7x = 4,2 x = 4,2 : 7 x = 42 : 70
x = 0,6
815. Розв’яжи рівняння а) 2 3 x = 5
x = 5 • 3 2 x = 15 : 2 x = 7,5 б) –5 7y = 1 y = 1 • (–7 5) y =
в) (x – 2)(x + 2)=0 x = 2 або x = –2
x² = 18 : 2 x² = 9
(x – 3)(x + 3) = 0 x = 3 або x = –3
г) x(x – 2) = 0 x = 0 або x – 2 = 0 x = 0 або x = 2
в) 24 – 10x = 18 –10x = 18 – 24 –10x = –6 x = –6 : (–10) x = 0,6
г) 13x + 6 = 32 13x = 32 – 6 13x = 26 x = 26 : 13 x = 2
в) 1 – 3x = 25 –3x = 25 – 1 –3x = 24 x = 24 : (–3) x = –8 г) 4z – 12 = –8 4z = –8 + 12 4z = 4 z = 4 : 4 z = 1
в) 0,6x = 0,3
= 0,3 : 0,6
= 3 : 6
= 0,5
3,7x = 11,1 x = 11,1 : 3,7 x = 111 : 37 x = 3
816. Покажи, що рівняння: а) x – 2 = 3x 2x = –2 x = –1
z – 2 = 0
z(z – 2)(z + 3) = 0 z = 0
z + 3 = 0 z = 0
z = 2
817. Покажи, що рівняння: а) 8z – 5 = 5z –3z = –5 z = 5 3 б) x(x – 3) = 0 x = 0 або x – 3 = 0 x = 0 x = 3
z = –3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
818. Які
а) x(3x – 6) = 0
x = 0 або 3x – 6 = 0
x = 0 x = 2
819. Розв’яжи рівняння і зроби
а) x – (3 – 2x) = 9
x – 3 + 2x = 9
3x – 3 = 9
3x = 9 + 3
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
4 – (3 – 8) = 4 + 5 = 9
б) (2n + 2)n = 0
2n + 2 = 0 або n = 0 n = –1 n = 0
б) 8 – (3x – 2) = 13
8 – 3x + 2 = 13
10 – 3x = 13
–3x = 13 – 10 –3x = 3
x = 3 : (–3)
x = –1
8 – (–3 – 2) = 8 + 5 = 13
820. Solve the equations and check.
а) x – (3x – 5) = 9
x – 3x + 5 = 9
–2x + 5 = 9
–2x = 9 – 5
–2x = 4
x = 4 : (–2)
x = –2
–2 – (3 • (–2) – 5) = = –2 + 11 = 9
821. Розв’яжи рівняння
а)
2(x – 3) = 36
2x – 6 = 36
2x = 36 + 6
2x = 42
x = 42 : 2 x = 21
г) 36 – (y – 3) = 12y
36 – y + 3 = 12y
39 – y = 12y
39 = 12y + y
39 = 13y
y = 39 : 13 y = 3
822. Розв’яжи рівняння
а) 3(x + 5) = 27
3x + 15 = 27
3x = 27 – 15
б) 12 – (5x + 4) = 13
12 – 5x – 4 = 13
8 – 5x = 13
–5x = 13 – 8
–5x = 5
x = 5 : (–5)
x = –1
12 – (5 • (–1) + 4) = = 12 + 1 = 13
б) 4(5 – x) = 12
20 – 4x = 12 –4x = 12 – 20 –4x = –8
x = –8 : (–4) x = 2
ґ) 2x – (3 – x) = 18 – 4x
2x – 3 + x = 18 – 4x
3x – 3 = 18 – 4x
3x + 4x = 18 + 3
7x = 21
x = 21 : 7 x = 3
б) 5(x – 3) = 15
5x – 15 = 15
5x = 15 + 15
в) 3(x – 2) = 27
3x – 6 = 27
3x = 27 + 6
3x = 33
x = 33 : 3
x = 11
3(11 – 2) = 3 · 9 = 27
в) 6(2x – 1) = 18
12x – 6 = 18
12x = 18 + 6
12x = 24
x = 24 : 12
x = 2
6(2 • 2 – 1) = 6 • 3 = 18
в) 3x + (8 – x) = 10x
3x + 8 – x = 10x
2x + 8 = 10x
8 = 10x – 2x
8 = 8x x = 8 : 8 x = 1
д) 8z – 3(5 – 4z) = 25
8z – 15 + 12z = 25
8z + 12z = 25 + 15
20z = 40
z = 40 : 20 z = 2
в) 8(3 – x) + 4x = 40
24 – 8x + 4x = 40
24 – 4x = 40
3x = 12
x = 12 : 3
x = 4
г) 17 + 2(x + 4) = 7x
17 + 2x + 8 = 7x
25 + 2x = 7x
2x – 7x = –25
–5x = –25
x = –25 : (–5)
x = 5
823. Розв’яжи рівняння
а) 8(4 – 7z) = 5(4 – 11z)
32 – 56z = 20 – 55z
32 – 20 = –55z + 56z
z = 12
г) 17 + 3(z – 2)=5(z –1)
17 + 3z – 6 = 5z – 5
11 + 3z = 5z – 5
11 + 5 = 5z – 3z
16 = 2z
z = 16 : 2
z = 8
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6
ґ) 12x – (x – 9) = 20x
12x – x + 9 = 20x
11x + 9 = 20x
9 = 20x – 11x
9 = 9x
x = 9 : 9
x = 1
б) 4(x + 1) = 3(3x – 17)
4x + 4 = 9x – 51
4 = 9x – 4x – 51
4 + 51 = 5x
55 = 5x
x = 55 : 5
x = 11
ґ) 0,4z – 0,3(7 + 3z)=1,4 0,4z – 2,1 – 0,9z = 1,4 –0,5z – 2,1 = 1,4 –0,5z = 1,4 + 2,1 –0,5z = 3,5
z = 3,5 : (–0,5)
z = 35 : (–5)
z = –7
824. Складіть і розв’яжіть задачу за малюнком 19.1.
–4x = 40 – 24
–4x = 16
x = 16 : (–4)
x = –4
д) 5 – (4y – 7) = –10y
5 – 4y + 7 = –10y
12 – 4y = –10y
12 = –10y + 4y
12 = –6y
y = 12 : (–6)
y = –2
в) 0,2(3 – 8x) = 0,5(–2x + 6)
0,6 – 1,6x = –x + 3
0,6 – 3 = 1,6x – x –2,4 = 0,6x
x = –2,4 : 0,6
x = –24 : 6
x = –4
д) 1,7(y + 1) + 0,2(8 –15y)=3 1,7y + 1,7 + 1,6 – 3y = 3 –1,3y + 3,3 = 3 –1,3y = 3 – 3,3 –1,3y = –0,3
y = –0,3 : (–1,3)
y = 3 : 13 y = 3 13
Нехай зошит коштував x грн, тоді книга 3x грн. Складаємо рівняння: 3x – x = 120
2x = 120
x = 60 (грн) – ціна зошита; 3 • 60 = 180 (грн) – ціна книги. Відповідь: 60 грн і 180 грн.
825. Розв’яжи рівняння а) 16 – x² = 0
x² = 16
(x – 4)(x + 4) = 0 x = 4 або x = –4 б) 36x² = 1,44 x² = 1,44 36 x² = 0,04 (x – 0,2)(x + 0,2) = 0 x = 0,2 або x = –0,2
826. Розв’яжи рівняння а) 4x² – 1 = 0
(2x – 1)(2x + 1) = 0 б) 0,09x² = 36
2x = 1 або 2x = –1
x = 1 2 x = –1 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x² = 36 0,09 x² = 400
(x – 20)(x + 20) = 0 x = 20 або x = –20
827. Знайди корінь рівняння а) x² – 16x + 64 = 0
(x – 8)² = 0
x – 8 = 0
x = 8
828. Знайди корінь рівняння а) x² – 18x + 81 = 0
(x – 9)² = 0
x – 9 = 0
x = 9
б) 0,25x² + 3x + 9 = 0
(0,5x + 3)² = 0
0,5x + 3 = 0
0,5x = –3
x = –6
б) 0,25x² + 5x + 25 = 0
(0,5x + 5)² = 0
0,5x + 5 = 0
0,5x = –5
x = –10
829. Перевір частину коду для розв’язування рівняння c – ax = b.
830. Розв’яжи рівняння
а) 2(11 6x) 3(7 4x) = 1
22 12x 21 + 12x = 1
22 21 = 1
1 = 1
будь яке значення x
в) 0,4(6x 1) = 0,1(12x+5)
2,4x 0,4 = 1,2x + 0,5
2,4x 1,2x = 0,5 + 0,4
1,2x = 0,9
x = 0,9 : 1,2
x = 0,75
ґ) 2 3(6 9x) = 15
4 6x = 15
6x = 15 4
6x = 11
x = 11 6 = 1 5 6
831. Розв’яжи рівняння
а) 3(5 8x) 2(7 12x) = 1
15 24x 14 + 24x = 1
15 14 = 1
1 = 1 будь яке значення x
в) 7(y + 6) = 4(3y 5) 3
7y + 42 = 12y 20 3
7y + 42 = 12y 23
x.
б) 2,5(y + 6) = y + 1,5(y 10)
2,5y + 15 = y + 1,5y 15
2,5y y 1,5y = 15 15 0y = 30
Немає розв'язків
г) 5(0,6m 2) = 2(m 3,6) 3m 10 = 2m 7,2 3m 2m = 7,2 + 10 m = 2,8
д) 3 4 (12 x) = 3 2
9 3х 4 = 3 2
36 – 3х = 6 3х = 30
х = 30 : ( 3) х = 10
б) 1,2(x + 3) = 2x 4(0,2x 5)
1,2x + 3,6 = 2x 0,8x + 20
1,2x + 3,6 = 1,2x + 20 3,6 ≠ 20
г) 7,5(4 x) 5x = 5(0,5x+3)
30 7,5x 5x = 2,5x + 15
30 15 = 7,5x + 5x + 2,5x
42 + 23 = 12y 7y
65 = 5y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = 65 : 5 y = 13 15 = 15x x = 15 : 15 x = 1
ґ) 2 5(8 5x) = 1 5
16 5 10х 5 = 1 5
16 10x = 1
10x = 1 16
10x = 15
x = 15 : ( 10)
=
= 1
832. Розв’яжи рівняння а)
3x + 7 4 (x 3) 2 = (5x + 2) 8 8 · 8
2 · (3x + 7) 4 · (x 3) = 5x + 2 6x + 14 4x + 12 = 5x + 2
2x + 26 = 5x + 2
26 2 = 5x 2x
24 = 3x x = 24 3 x = 8
833. Розв’яжи рівняння а)
(8 3y) 5 (1 2y) 2 = (6y + 17) 10 | · 10
2 · (8 3y) 5 · (1 2y) = 6y + 17
16 6y 5 + 10y = 6y + 17
11 + 4y = 6y + 17
11 17 = 6y 4y
6 = 2y y = 6 2 y = 3
− x = 3(83 − x)
− x = 249 − 3x
2x = 114
= 12
· (5x 4) = 3 · (7 x) + (3x + 1) 10x 8 = 21 3x + 3x + 1 10x 8 = 22 10x = 22 + 8 10x = 30 x = 30 10 x = 3
(2 4x) 5 = (1 2x) 2 + (x + 3) 4 | · 20 4 · (2 4x) = 10 · (1 2x) + 5 · (x + 3) 8 16x = 10 20x + 5x + 15
8 16x = 25 15x
16x + 15x = 25 8 x = 17 x = 17
2 3 • 1 3 x = 70
2 9 x = 70
x = 70 : 2 9
x = 70 • 9 2 x = 315 (б.) − худоби
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6x : 8 = 3 : 2
6x
8 = 3 2
6x · 2 = 8 · 3
12x = 24
x = 24 : 12
x = 2 б)
г)
7 : 2 = 5(x 1) : 3
7 2 = 5(x 1) 3
7 · 3 = 2 · 5(x 1)
21 = 10(x 1)
21 = 10x 10
10x = 31
x = 31 : 10
5 : (2x) = 3 : 18 5 2х = 3 18
5 · 18 = 2x · 3
90 = 6x x = 90 : 6 x = 15 в) (x 5) : 2 = 5 : 4 (x 5) 2 = 5 4 4(x 5) = 10 4x 20 = 10 4x = 30 x = 30 : 4 x = 7,5
x = 3,1 ґ)
837. За
1 : (3x) = 4 : 12
1
3х = 4 12
1 · 12 = 3x · 4
12 = 12x
x = 12 : 12
2 : m = m : 8
2 m = m 8
2 · 8 = m · m
16 = m²
m = 4 або m = 4
x = 1 б)
5 : (c 3) = 2 : 3
5 (c 3) = 2 3
5 · 3 = 2 · (c 3)
15 = 2(c 3)
15 = 2c 6
2c = 21
c = 21 : 2
д)
2n : 9 = 2 : n
2n
9 = 2 ����
2n · n = 9 · 2
2n² = 18 n² = 18 : 2 n² = 9 n = 3 або n = 3
в)
x : 10 = 0,1 : x x 10 = 0,1 х
x · x = 10 · 0,1
x² = 1
x = 1 або x = 1
838. Розв’яжи рівняння
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
c = 10,5
а) (x + 4)(x 4) = x² 5x + 9
x² 16 = x² 5x + 9
x² x² 16 = 5x + 9
16 = 5x + 9
16 9 = 5x
25 = 5x
x = 5
839. Розв’яжи рівняння
а) (6 y)(y + 6) = y² 2y(y 3)
36 y² = y² 2y² + 6y
36 y² = y² + 6y
36 = 6y
y = 36 : 6 y = 6
840. Знайди корені рівняння
а) (x + 1)² 9 = 0
x² + 2x + 1 9 = 0
x² + 2x 8 = 0
(x 2)(x + 4) = 0
x = 2 або x = 4
в) (x 1)² (3 x)² = 0
(x 1 3 + x)(x 1 + 3 x) = 0
2(2x 4) = 0
4(x 2) = 0
x 2 = 0
x = 2
б) 8 + 9x(x + 4) = (3x 2)(3x + 2)
8 + 9x² + 36x = 9x² 4
9x² + 36x + 8 = 9x² 4
36x + 8 = 4
36x = 12 x = 12 36 x = 1 3
б) 2x(2x 4) 17 = (5 + 2x)(2x 5)
4x² 8x 17 = 10x 25 + 4x² 10x 4x² 8x 17 = 4x² 25 8x 17 = 25 8x = 8 x = 8 : ( 8) x = 1
б) (3x 2)² = 121
(3x 2)² 11² = 0
(3x 2 11)(3x 2 + 11) = 0
(3x 13)(3x + 9) = 0
3x 13 = 0 або 3x + 9 = 0
3x = 13 або 3x = 9 x = 41 3 або x = 3
г) (4x 10)² = (3x 4)² (4x 10)² (3x 4)² = 0
(4x 10 3x + 4)(4x 10 + 3x 4) = 0
(x 6)(7x 14) = 0
x 6 = 0 або 7x 14 = 0
x = 6 або x = 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) (x² + x + 1)(x 1) = x(x² + 1)
x³ 1 = x³ + x x = 1
д) (9x² + 4) · 3x = (3x + 2)(9x² 6x + 4)
27x³ + 12x = 27x³ + 8 12x = 8
x = 8 12 = 2 3
841. Знайди корені рівняння
а) 4 (x 3)² = 0
(2 x + 3)(2 + x 3) = 0
(5 x)(x 1) = 0
5 x = 0 або x 1 = 0
x = 5 або x = 1
в) (3x 2)² (x + 6)² = 0
(3x 2 x 6)(3x 2 + x + 6) = 0
(2x 8)(4x + 4) = 0
2x 8 = 0 або 4x + 4 = 0 x = 4 або x = 1
ґ) (2x + 1)(4x² 2x + 1) = 4x(2x² 5)
8x³ + 1 = 8x³ 20x
1 = 20x
x = 1 20
б) (5x + 4)² = 196
(5x + 4)² 14² = 0
(5x + 4 14)(5x + 4 + 14) = 0
(5x 10)(5x + 18) = 0 5x 10 = 0 або 5x + 18 = 0 x = 2 або x = 33 5
г) (2x 1)² = (4 5x)²
(2x 1)² (4 5x)² = 0
(2x 1 4 + 5x)(2x 1 + 4 5x) = 0
(7x 5)(3 3x) = 0
7x 5 = 0 або 3 3x = 0
x = 5 7 або x = 1
д) x(8x² 5) = (4x² 10x + 25)(2x + 5)
8x³ 5x = 8x³ + 125 5x = 125 x = 25 842.
а) Якщо х = 8, то
24a + 96 = 0;
24a = 96; a = 4 б) Якщо х = 2, то 1 а
843.
Якщо х = 3, то
15a + 120 = 0;
15a = 120; a = 8 б) Якщо х = 6,
2(x 1) = 4 x і ax = x + a
2(x 1) = 4 x
2x 2 = 4 x
3x = 6
x = 2
ax = x + a
a·2 = 2 + a
2a = 2 + a
a = 2
3) = 48; a 3 = 2; a = 5
x² = 0 x² = 0
x = 0 (1 a)x = x
a) · 0 = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 3(x 2) + 5 = 2x і ax + a = x
3(x 2) + 5 = 2x
3x 6 + 5 = 2x
3x 1 = 2x
x = 1
ax + a = x
a·1 + a = 1
a + a = 1
a = 1 2
846. При яких значеннях m рівняння
а) 4(х + 3) = 36 і 3х + 2m = 19
4(х + 3) = 36
4х + 12 = 36
4х = 24
х = 6
3х + 2m = 19
18 + 2m = 19
2m = 1
m = 1 2
847. При яких
2m(x + 8) = 44 і 2(3x − 2) = 11 + x
2(3x − 2) = 11 + x
6x − 4 = 11 + x
5x = 15
x = 3
848. При якому
x² = k; при k < 0 б) |x| + k = 0; при k > 0
в) k + 2x = 2(x − 3), k ≠ −6
б) (1 + 2a)x = x і x 1 = 0
x 1 = 0
x = 1
(1 + 2a)x = x
(1 + 2a)·1 = 1
1 + 2a = 1
2a = 0
a = 0
спільний
б) (8 − х) − 7 = 28 і 5(2х − 3m) = 0
(8 − х) − 7 = 28
8 − х = 35
х = −27
5(2х − 3m) = 0
5(−54 − 3m) = 0
270 − 15m = 0
15m = −270
m = −18
2m(x + 8) = 44
2m(3 + 8) = 44
22m = 44
m = 2
80 =
1001 = 7 · 11 · 13
852. Обчисли (4, 3 · 3 43 + 113 5 · 2, 25) : 2, 75 = (
= 9,6
853. Є білий хліб, чорний хліб, сир, ковбаса і
або відсутня. Оскільки для кожного
становить: 2 • 8 = 16 Отже, можна приготувати 16
854. Яке рівняння не є лінійним?
Рівняння, яке не є лінійним, це:
855. Яке рівняння
не дорівнює нулю.
856. Яке повідомлення має
857. Знайди корінь рівняння. а) 0x = 35 0 ≠ 35
немає б)
а) 2 – 3x = 5 – 7x
2 + 7x = 5 + 3x
4x = 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 3 4 б) 15 – 3x = 7x – 5 15 + 5 = 7x + 3x 20 = 10x x = 2 в) 3x + 2(x + 7) = 2x 3x + 2x + 14 = 2x 5x + 14 = 2x 3x = 14 x = 14 3 = 42 3
г) 4(2 + x) – x = 3x + 9
8 + 4x – x = 3x + 9
8 + 3x = 3x + 9
8 = 9
Розв'язків
а) 2x + x 7x + 3=8
4x + 3 = 8
4x = 8 3
4x = 5
x = 5 4 = 11 4
в) c + 31(2 c)=32c c + 62 31c = 32c
62 c 31c = 32c
62 = 32c + 32c
62 = 64c
c = 62 64 = 31 35
863. Розв’яжи рівняння
а) 32x = 16
x = 16 : 32 x = 0,5
г) 2(5 8x) = 4(4x + 3)
10 16x = 16x 12
16x 16x = 12 10
0x = 22
Розв'язків не має
864. Розв’яжи рівняння
а) 0,5y = 0,5
y = 0,5 : ( 0,5) y = 1
г) 2 5y = 5(1 2y)
2 5y = 5 10y
10y 5y = 5 2
б) x + 4x = 5x 5x = 5x
г) 0,7=2(x + 3,5) 2x 0,7 = 2x + 7 2x
0,7 = 7 Розв'язків не
ґ) 2(x 3) = 3(2x 1) 2x 6 = 6x 3 2x 6x = 6 3 4x = 3 x = 3 4
б) 6x = 8 + 6x
6x 6x = 8
0x = 8
Розв'язків не має
ґ) 8(9 2x) = 5(2 3x)
72 16x = 10 15x
15x 16x = 10 72
в) x = 3(x + 1) 2x x = 3x + 3 2x x x = 3 0x = 3
Розв'язків не має
д) 4(5 x) = 5x + 2
20 4x = 5x + 2
5x 4x = 2 20 x = 18
в) 4 3x = 8(1 x) 4 3x = 8 8x
8x 3x = 8 4
5x = 4 x = 4 5
д) 5(z + 3) = 8(10 z)
5z + 15 = 80 8z
5z + 8z = 80 15
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5y = 3 y = 3 5 x = 62 x = 62
865.
Ні, неправильно.
866. Установіть
1 – Б один; 2 – А жодного; 3 – Г безліч.
867. Розв’яжи рівняння a) 3(x + 4) + 6(11 x) = 9
3x + 12 + 66 6x = 9
78 3x = 9
3x = 9 78 3x = 69 x = 23
в) 7(x 5) 3(2x 6) = 10
7x 35 6x + 18 = 10
x 17 = 10
x = 27
868. Розв’яжи рівняння
a) 7(4 t) + 3(t 5) = 9t
28 7t + 3t 15 = 9t
13 4t = 9t
4t 9t = 13
13t = 13
t = 1
в) 5(3 2x) (12 7x) = 0
15 10x 12 + 7x = 0
3 3x = 0
3x = 3
x = 1
869. Розв’яжи рівняння
a) 3(2x + 3) 5(7 4x) 2(5x + 4) =
2
6x + 9 35 + 20x 10x 8 = 2
16x 34 = 2
16x = 34 2
16x = 32
x = 2
870. Розв’яжи рівняння
a) 6(x + 2) + 3(3x + 7) = 4(5 + 4x) 7
13z = 65 z = 65 : 13 z = 5
6x + 12 + 9x + 21 = 20 + 16x 7
б) 8(1 x) + 5(x 2) = 2 8 8x + 5x 10 = 2 3x 2 = 2
3x = 4 x = 4 3 = 11 3
г) 18 + 3(x 5) + 8x = 2(5 + 2x) 18 + 3x 15 + 8x = 10 + 4x
11x + 3 = 10 + 4x
11x 4x = 10 3
7x = 7
x = 1
б) 3(x + 1,5) + 2(3 + x) = 5
3x + 4,5 + 6 + 2x = 5
5x + 10,5 = 5
5x = 5 10,5
5x = 15,5
x = 15,5 : 5
x = 155 : 50
x = 3,1
г) 5z + 2(4 + z) = 3z + 28
5z + 8 + 2z = 3z + 28
7z + 8 = 3z + 28
7z 3z = 28 8
4z = 20
z = 5
б) 8(4 3x) + 7(x 3) + 3(9 + 7x) = 10
32 24x + 7x 21 + 27 + 21x = 10
4x + 38 = 10
4x = 28
x = 7
б) 5(12 x) 11(4x 5) = 9(9 5x)
26
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
15x + 33 = 16x + 13
15x 16x = 13 33
x = 20 x = 20
871. Розв’яжи рівняння
a) 1 2 x + 1 4 (x 2) = x | · 4
2x + x 2 = 4x
2x + x 4x = 2
x = 2 x = 2
в) 2 3(5 3x) + 1 3 (2 + 9x) = 2x 1 | · 3
2(5 3x) + 1(2 + 9x) = 3(2x 1)
10 6x + 2 + 9x = 6x 3
6x + 9x 6x = 3 10 2
3x = 15
60 5x 44x + 55 = 81 45x 26
115 49x = 55 45x
45x 49x = 55 115 4x = 60 x = 15
б) 1 2 (4x 5) + 3 2 (2x + 1) = x + 3 | · 2
4x 5 + 6x + 3 = 2x + 6
4x + 6x 2x = 6 + 5 3
8x = 8 x = 1
x = 5 г) 2 + 1 4 (8x + 1) = 5x + 3 4 (4x 1) | · 4
872. Розв’яжи рівняння
a) 1 2 + 2(1 3n + 1) = 3n
1 2 + 2 3n + 2 = 3n | · 6
3 + 4n + 12 = 18n
3 + 12 = 18n 4n
15 = 14n
n = 15 14 = 1 1 4
873. Розв’яжи рівняння
a) (2x 3) 3 + (x 1) 2 = (5x 3) 6 | · 6
2(2x 3) + 3(x 1) = 5x 3
4x 6 + 3x 3 = 5x 3
7x 9 = 5x 3
7x 5x = 3 + 9
2x = 6
x = 6 2 x = 3
в) (2 3x) 2 + (6x + 1) 5 = (x 4) 4 | · 20
10(2 3x) + 4(6x + 1) = 5(x 4)
20 30x + 24x + 4 5x 20
24 6x 5x 20
24 + 20 = 5x + 6x
4 · 2 + (8x + 1) = 4 · 5x + 4(4x 1) 8 + 8x + 1 = 20x + 12x 3
9 + 8x = 32x 3 8x 32x = 3 9 24x = 12 x = 1 2
б) 3 5 (6 + 7x) 2x = 2 5 (4 + 3x) + 3 | · 5
5 · 3 5 (6 + 7x) 5·2x = 5 · 2 5 (4 + 3x) + 5·3
3(6 + 7x) 10x = 2(4 + 3x) + 15
18 + 21x 10x = 8 + 6x + 15
18 + 11x = 23 + 6x 11x 6x = 23 – 18 5x = 5 x = 1
б) (3x + 1) 4 (2x 4) 3 = 3 (7 x) 2 | · 12
3(3x + 1) 4(2x 4) = 36 6(7 x)
9x + 3 8x + 16 = 36 42 + 6x
x + 19 = 6x 6
x 6x = 6 19
5x = 25 x = 25 5 x = 5
г) (x + 6) 5 (5 2x) 3 = 2x (3x 2) 9 | · 30
6(x + 6) 10(5 2x) = 60x + 15(3x 2)
6x + 36 50 + 20x = 60x 45x + 30
26x 14 = 15x + 30
44 = 11x
x = 44 11
x = 4
874. Розв’яжи рівняння а)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
26x 15x = 30 + 14 11x = 44 x = 44 11 x = 4
(x + 1) 2 + (3x 5) 6 = (5x 6) 4 | · 12
6(x + 1) + 2(3x 5) = 3(5x 6)
6x + 6 + 6x 10 = 15x 18
12x 4 = 15x 18
12x 15x = 18 + 4
3x = 14
x = 14 3 x = 42 3 б) (3x + 1) 5 (6 x) 4 = 3x + (5x + 16) 2 | · 20
4(3x + 1) 5(6 x) = 60x + 10(5x + 16)
12x + 4 30 + 5x = 60x + 50x + 160 12x + 5x 60x 50x = 160 + 30 4
93x = 186 x = 186 93 x = 2 875.
1) 5x 4(x 6) = 40 5x 4x + 24 = 40 x = 16
2) 16 6 = 10
Відповідь: 10 і 16.
876.
1) 6x 37 = x + 73
5x = 110 x = 22
2) 6 • 22 = 132
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 7 або x = 7
Перевірка:
|7| + 5 = 7 + 5 = 12
| 7| + 5 = 7 + 5 = 12
в) |x 2| = 12
x 2 = 12 або x 2 = 12
x = 14 або x = 10
Перевірка:
|14 2| = |12| = 12
| 10 2| = | 12| = 12
|x| = 22 : 2 |x| = 11
x = 11 або x = 11
Перевірка: 2|11| + 3 = 2 • 11 + 3 = 22 + 3 = 25 2| 11| + 3 = 2 • 11 + 3 = 22 + 3 = 25
г) |2x 3| + 8 = 5 |2x 3| = 5 8 |2x 3| = 3 Розв'язків не має
879. Розв’яжи рівняння і зроби перевірку
а) |x| 8 = 3
|x| = 3 + 8
|x| = 5
x = 5 або x = 5
Перевірка:
|5| 8 = 5 8 = 3
| 5| 8 = 5 8 = 3
в) |x + 4| = 0
x + 4 = 0 або x + 4 = 0
x = 4
Перевірка:
| 4 + 4| = |0| = 0
880. Розв’яжи тільки ті рівняння,
а) (x² 2)² x⁴ = 0
(x² 2)² = x⁴
(x² 2)(x² 2) = x⁴
x⁴ 4x² + 4 = x⁴
4x² + 4 = 0
4x² = 4
x² = 1
x = 1 або x = 1
б) |2x| 3 = 5 |2x| = 5 + 3 |2x| = 8 2x = 8 або 2x = 8 x = 4 або x = 4
Перевірка: |2(4)| 3 = |8| 3 = 8 3 = 5 |2( 4)| 3 = |8| 3 = 8 3 = 5
г) |x 1| + 7 = 3 |x 1| = 3 7 |x 1| = 4 Розв'язків не має
б) (x + 2)² (x + 1)² = 0
(x + 2 + x + 1)(x + 2 x 1) = 0
(2x + 3) · 1 = 0
2x + 3 = 0
2x = 3 x = 3 2
881. Solve only those equations that can be reduced to linear equations.
a) (x² 4)² x⁴ 8 = 0
(x² 4)² = x⁴ + 8
x⁴ 8x² + 16 = x⁴ + 8
8x² + 16 = 8
8x² = 8 16
8x² = 8
x² = 1
x = 1
або x = 1
882. Розв’яжи рівняння
а) (a + 3)x = 12
x = 12
(a + 3)
б) (x + 3)² (x 3)² = 12
(x + 3 + x 3)(x + 3 x + 3) = 12
2x • 6 = 12
12x = 12
x = 1
б) (a 6)x = a + 6
x = (a + 6)
(a 6) = 1
в) (a² + 5)x = 2
x = 2
(a² + 5)
3
883.
(a 4)x = 15 x = 15 (a 4)
884.
Тому рівняння завжди
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(a + 7)x = a 7
= (a 7) (a + 7)
(a² + 2)x = 4 x = 4 (a² + 2)
корінь.
в) 4 5x = a²x; 4 = x(5 + a²); x = 4 (5+a²), де 5 + a² ≠ 0. Оскільки
значень a. Отже, рівняння завжди
а) (a² + 6)x = 5; x = 5 (a²+6), де a² + 6 ≠ 0. Оскільки a²
a² + 6 > 0
корінь.
б) (a² + 8)x = a; x = a (a²+8), де a² + 8 ≠ 0.
Оскільки a²
0, то a² + 8 > 0
в) a²x = 2x + 3; x(a² + 2) = 3; x = 3 (a²+2), де a² + 2 ≠ 0.
a² ≥ 0, то a² + 2 > 0
корінь.
886.
єдиний корінь; 2) не має коренів; 3)
a) kx = 8:
Єдиний корінь при k ≠ 0.
Не має коренів при k = 0.
Безліч коренів немає. б) (k + 3)x = 5:
Єдиний корінь при k ≠ 3.
Не має коренів при k = 3.
Безліч коренів немає. в) kx = k:
Єдиний корінь при k ≠ 0.
Не має коренів немає.
Безліч коренів при k = 0.
г) (2 k)x = (2 k):
Єдиний корінь при k ≠ 2.
немає.
коренів при k = 2. 887.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
m = 0; немає коренів; не можливо безліч.
б) 1) m ≠ 5; x = 15 (m 5); ;
2) m = 5;
3) не можливо.
в) m ≠ 0; x = 2;
2) не можливо;
3) m = 0;
г) (7 + m)x = 7 + m
m ≠ 7; x = 1;
неможливо;
m = 7.
888. Для кожного пункту
щоб утворилось рівняння, яке: 1)
коренів.
а) 1) 5x 4 + 2x = 0;
2) 5x 4 + 2x = 7x 4; 3) 5x 4 + 2x = 7x;
б) 1) 2(1, 5x 7) 3x = x;
2) 2(1, 5x 7) 3x = 14; 3) 2(1, 5x 7) 3x = 0; в)1) (3x+2) 5 = 1;
2) (3x+2) 5 = (3x+2) 5 ;
3) (3x+2) 5 = 3x 5 . 889. Задача
2x = 300 + x
2x x = 300 x = 300
150 + 300 = 450 (г)
• 2 = 600 (г)
+ 600 + 150 = 1200 (г) =
3(x + a)
2 + 0,5x + 3 = 4, при x = 1
3( 1 + a)
2 + 0,5( 1) + 3 = 4
( 3 + 3a)
2 1 2 + 3 = 4
( 3 + 3a)
2 + 5 2 = 4| · 2
3 + 3a + 5 = 8
3a = 6 a = 2
3(5 + 2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Вартість розмови за 6 хвилин однакова.
892. Знайди значення виразу. а) Якщо а = 0,2, то
5 • 0,2³ = 5 • 0,008 = 0,04; б) якщо х = 2, то
2 • ( 2)² ( 2)⁴ 5 = 8 16 5 = 13;
в) якщо а = 0,2, то
0,2³ + 3 • 0,2² = 0,008 + 3 • 0,04 = 0,008 + 0,12 = 0,128;
г) якщо а = 1,2, то
3 • ( 1,2)⁴ ( 1,2)² = ( 1,2)² • (3 • ( 1,2)²) 1) = 1,44 • 3,32 = 4,7808.
893. Знайди:
а) 350 : 100 • 20 = 350 • 0,2 = 70;
б) 5600 : 100 • 30 = 1680;
в) 0,75 : 100 • 12 = 0,09;
г) 1,4 • 1,25 = 1,75.
894. Наведи приклад:
а) Абстрактна
сестру на
895. Чи правильні
1) Так, правильний висновок.
(рівняння, схеми, таблиці).
2) Так, правильний висновок. Математичний
тому його потрібно перевіряти. 896. Знайди два числа, сума
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
рівняння:
x + 4x = 10
5x = 10
x = 2 −
число;
4 • 2 = 8 − друге число.
Відповідь: 2 і 8.
898. Знайди числа x і y, якщо x + y = 25 і x = y.
Підставимо
у + у = 25
2у = 25
у = 25 : 2
у = 12,5
x = y = 12,5
Відповідь: 12,5 і 12,5.
899.
(x − 7) : 3 = 5
x − 7 = 5 • 3
x − 7 = 15 x = 15 + 7 x = 22
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
7,6 – 1,6 = 6
Загальна площа поля складається з площі обох частин, тобто: x + (x + 130) = 430.
Спрощуємо рівняння: 2x + 130 = 430.
Віднімаємо 130 з обох частин рівняння: 2x = 300.
Ділимо обидві частини на 2: x = 150.
Отже, площа меншої частини поля становить 150 га.
Площа більшої частини було: x + 130 = 150 + 130 = 280 га.
Таким чином, площа
1. Позначимо довжину коротшої частини мотузки через
2. Тоді довжина більшої частини буде 3х метрів, оскільки
іншу.
3. Загальна довжина мотузки – 84 метри, отже: х + 3х = 84.
4. Розв'язуємо рівняння для знаходження х.
1. Спрощуємо рівняння: 4х = 84.
2. Ділимо обидві частини на 4: х = 84 : 4 х = 21
Отже, довжина коротшої частини мотузки х = 21 метрів.
3. Довжина більшої частини: 3х = 3 • 21 = 63 метри.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Маємо рівняння:
2(х + х + 12) = 118
2(2х + 12) = 118
4х + 24 = 118
4х = 118 – 24
4х = 94
х = 94 : 4
х = 23,5 – коротша сторона.
х + 12 = 23,5 + 12 = 35,5 – довша сторона.
Відповідь: коротша сторона – 23,5 см,
904. В другому
х + 15 = 2х – 15
15 + 15 = 2х – х 30 = х.
2х = 2 • 30 = 60.
Відповідь: у
Нехай
х + 8 = 3х – 8
8 + 8 = 3х – х
16 = 2х
х = 8.
3х = 3 • 8 = 24. Відповідь:
х + (х + 10) = 50
х + х + 10 = 50
2х + 10 = 50
2х = 50 – 10
2х = 40
х = 20
х + 10 = 20 + 10 = 30
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(х – 87) грн. Маємо рівняння:
х – 48 = 4(х – 87)
х – 48 = 4х – 348
х – 4х = 348 + 48
3х = 300
х = 100 (грн) – було грошей в
кожного спочатку.
Відповідь: 100 грн.
908. Для благодійної ярмарки Остап
Перевірка:
У Оксани залишилося: 100 – 48 = 52 грн.
У Івана залишилося: 100 – 87 = 13 грн.
52 дійсно у 4 рази більше, ніж 13.
(х – 15) браслетів.
х – 6 = 2х – 30
х – 2х = 30 + 6
х = 24
х = 24 (бр.) – сплів кожен. Відповідь: 24 браслетів. 909. Три трактористи
Нехай третій тракторист зорав x га, тоді
га. Маємо рівняння:
x + (x + 9) + (x + 15) = 72
x + x + 9 + x + 15 = 72
3x + 24 = 72
3x = 72 24
3x = 48
x = 16 (га) зорав третій трактор;
(x + 9) га,
(x + 9 + 6) = (x + 15)
x + 9 = 16 + 9 = 25 (га) зорав другий трактор; x + 15 = 16 + 15 = 31 (га) зорав перший трактор.
Відповідь: 31 га, 25 га, 16 га. 910. У трьох класах 79 учениць. У другому на 3 учениці
третьому на 2 учениці менше, ніж у першому. Скільки учениць у кожному класі? Нехай в першому класі х учениць, тоді в другому (x
рівняння:
x + (x + 3) + (x 2) = 79
x + x + 3 + x 2 = 79
3x + 1 = 79
3x = 79 1
3x = 78
x = 26 (уч.) в першому
x + 3 = 26 + 3 = 29 (уч.) в
x 2 = 26 2 = 24 (уч.) в третьому
Відповідь: 26 учнів, 29 учнів, 24 учні.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2(х 12) = 2х 24 доставок.
х 12 + х + 2х 24 = 56
4х 36 = 56
4х = 56 + 36
4х = 92
х = 92 : 4
х = 23 (д.) здійснено в другий день; 23 12 = 11 (д.) здійснено в перший день;
2х 24 = 2 • 23 24 = 22 (д.) здійснено в третій день.
Відповідь: 11 доставок, 23 доставки, 22 доставки. 912. Поле
рівняння:
х + 1,5 х + 2,5х = 860
5х = 860
х = 860 : 5
х = 172 (га) площа
172 • 1,5 = 258 (га) площа другої ділянки; 258 + 172 = 430 (га) площа третьої ділянки.
Відповідь: 172 га, 258 га, 430 га.
913. Батько в 5 разів старший
років кожному з них?
Нехай синові х років.
5х х = 32
4х = 32
х = 8 (років) синові;
8 • 5 = 40 (років) батькові.
Відповідь: 8 років, 40 років
914. Матері 38 років, а доньці
матері? А вдвічі?
Нехай через х років донька буде
втричі молодшою за матір. Тоді, тоді
матері зараз (38 + x) років, а доньці (12 + x) років. Маємо рівняння.
38 + x = 3 • (12 + x)
38 + x = 36 + 3x
x 3x = 36 38
2x = 2
x = 1
Відповідь: через 1 рік донька буде втричі молодшою за матір.
Нехай мати вдвічі старшою від дочки стане через x років, тоді матері зараз (38 + x) років, а доньці (12 + x) років. Маємо рівняння.
38 + x = 2 • (12 + x)
38 + x = 24 + 2x
x 2x = 24 38 x = 14 x = 14
Відповідь: через 14 років донька буде вдвічі молодшою за матір.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
915. A father is 40 years old and his son is 10. In how many years will the son be three times younger than the father?
Нехай
40 + х = 3 • (10 + х)
40 + х = 30 + 3х
2х = 10
х = 5
Відповідь:
утричі?
зараз
роки, а Сороці (2х 2) років. Маємо рівняння:
2х 2 = 3(х 2)
2х 2 = 3х 6
2х 3х = 6 + 2
х = 4
х = 4 (р.) років Галці;
4 • 2 = 8 (р.) років Сороці.
Відповідь: 8 років і 4 роки. 917. Скільки
матері в 5 разів, а в наступному
доньці буде (х + 3) років, а матері – (5х + 3) років. Маємо рівняння:
5х + 3 = 4(х + 3)
5х + 3 = 4х + 12 х = 9 (р.) – років доньці в позаминулому році;
9 • 5 = 45 (р.) – років матері в позаминулому році;
Додамо 2 роки до кожного:
9 + 2 = 11 (років) – доньці;
45 + 2 = 47 (років) – матері.
Відповідь: 47 років і 11 років.
918. Кількість
будинку, як 8 : 5. Скільки
ніж у другому?
8n = 5n + 12.
8n 5n = 12
3n = 12
n = 4.
5
4 = 20
4 = 32
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
7n – 2n = 20
5n = 20 n = 4
7 • 4 = 28 (років) – вік матері; 2 • 4 = 8 (років) – вік синові. Відповідь: 28 років і 8 років. 920. Поїзд проходить відстань від A
3x = 2,5(x + 10)
3x = 2,5x + 25
0,5x = 25
x = 25 : 0,5
x = 250 : 5
x = 50 (км/год) – швидкість
50 • 3 = 150 (км)
921. Швидкість
3
945 6 х : 23x = 945 6 • 1 23 = 945 138 = 27 6 = 9 2 = 4,5 (год)
4,5 год.
3х + 3(х + 10) = 450
3х + 3х + 30 = 450
6х + 30 = 450
6х = 450 – 30
6х = 420
х = 420 : 6
х = 70 (км/год)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
х – (210 – х) = 30
х – 210 + х = 30
2х = 240
х = 120 (км) – проїхав перший автомобіль до зустрічі; 210 – 120 = 90 (км) – проїхав
120 : 1,5 = 80 (км/год) –
90 : 1,5 = 60 (км/год) – швидкість
Відповідь: 80 км/год і 60 км/год. 924. Велосипедист
рівняння:
2х + (х + 4) = 28
2х + х + 4 = 28
3х + 4 = 28
3х = 28 – 4
3х = 24
х = 24 : 3
х = 8 (км/год) – швидкість
8 + 4 = 12 (км/год)
Відповідь: 8 км/год і 12 км/год. 925. Катер у стоячій
км/год. Знайди
22x = 18(5 x)
22x = 90 18x
40x = 90
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
За течією 18x 18 x
Проти течії 14(x + 0,5) 14 x + 0,5
18x = 14(x + 0,5)
18x = 14x + 7
4x = 7
x = 1,75 (год) – час руху за течією річки; 1,75 • 18 = 31,5 (км) – відстань між пристанями.
Відповідь: 31,5 км.
927. До якого числа слід додати 4 і 19, щоб утворені суми відносились, як 8 : 11?
Нехай число, до якого потрібно
19). Маємо рівняння:
х + 4
х +19 = 8 11
11(x + 4) = 8(x + 19)
11x + 44 = 8x + 152
11x 8x = 152 44
3x = 108 x = 36
Відповідь:
(10(8 x) + x) (10x + (8 x)) = 18; 80 10x + x 10x 8 + x = 18; 18x + 72 = 18; 18x = 54; x = 3.
Цифри 3 і 5, число 35. Відповідь: 35. 929.
8000 + x + 619 = 40x
8619 + x = 40x
x 40x = 8619
39x = 8619
x = 221
Перевірка: (8000 + 221) + 619 = 8840; 8840 = 40 •
4000 + 10x + 4 = 54x
4004 + 10x = 54x
44x = 4004
x = 91
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
10x + 9 + 2x = 633
12x + 9 = 633
12x = 633 9
12x = 624
x = 624 : 12
x = 52
Відповідь: двоцифрове
Нехай час,
Маємо рівняння:
70(x – 0,5) = 60x
70x – 35 = 60x
10x = 35 x = 3,5.
Відстань: 60 • 3,5 = 210 км.
Відповідь: 210 км
933. Пасажирський
Швидкість товарного
Знайди ці швидкості.
Потяг s, км v, км/год t, год Пасажирський 3x x 3 Товарний 4(x 20) x 20 4
3x 4(x 20) = 10
3x 4x + 80 = 10 x = 70 (км/год)
6,75 + (32x 216) 27 = x + 5 12
729 + 4(32x 216) = 108x + 9 • 5
729 + 128x 864 = 108x + 45
128x 108x = 864 729 + 45
20x = 180 x = 9 (год) запланований час руху; 9 • 32 = 288 (км)
Відповідь: 288 км.
936. Майстри мали
Параметр
+ 1,5x =
2,5x = 25, x = 10 (м)
1,5x = 1,5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
залишиться 3x 8, а
В стане 2x + 8. Маємо рівняння: (3x 8) : (2x + 8) = 5 : 6
6(3x 8) = 5(2x + 8)
18x 48 = 10x + 40
8x = 88 x = 11 (ос.)
11 • 3 8 = 33 8 = 25 (ос.) в команді А; 11 • 2 + 8 = 22 + 8 = 30 (ос.) в команді В.
Відповідь: 25 осіб і 30 осіб.
939. За моделлю складіть умову
виготовлення
x + 5x + x 5 = 555
7x 5 = 555
7x = 555 + 5
7x = 560
x = 80 (г) використали вовни на
80 • 5 = 400 (г)
80 5 = 75 (г) використали
Відповідь: 400 г, 80 г, 75 г.
940.
0,5x = 6
x = 12 (км/год)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Швидкість v₂: 200 км/год
Час зупинки: 30 хв = 0,5 год
Знайти відстань S.
Знайдемо
Складаємо рівняння:
S 250 + 0,5 + S 250 = 7,25
S 250 + S 250 = 7,25 0,5
4S 1000 + 5S 1000 = 6,75 · 1000
4S + 5S = 6750
9S = 6750
S = 750 (км) –
Відповідь: 750 км.
942.
3 +
5 +
6 +
4 + 6 = x |· 60
20x + 12x + 10x + 15x + 360 = 60x
20x + 12x + 10x + 15x 60x = 360
3x = 360
x = 120 (шт.)
Відповідь: 120 квіток.
943. Стародавня
2х
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: 18 і 54. 2)
рівняння:
х + 5х = 100
6х = 100
х = 100 6 = 50 3 = 162 3 – число праворуч; 50 3 • 5 = 250 3 = 831 3 –
Відповідь: 831 3 і 162 3 . 945. Сума
4 і в остачі 5. Знайди ці числа.
більше число
х = (100 х) • 4 + 5
х = 400 4х + 5
5х = 405
х = 81 більше число;
100 81 = 19 менше число. Відповідь: 81 і 19. 946. Обчисли значення виразу.
а) | 2,7| + 2,4 = 2,7 + 2,4 = 5,1
б) 2,4 + | 2,3| = 2,4 + 2,3 = 0,1 в) | 10,5| : 7 3,2 = 10,5 : 7 3,2 = 1,5 3,2 = 1,7 г) 4,8 |3,2| : | 0,8| = 4,8 3,2 : 0,8 = 4,8 4 = 0,8
947. Ти
рівняння:
(від 0 до 9).
948.
(2с 1) (3с 2) = 2с 1 3с + 2 = с + 1 б) (1 2а) + 3(1 а) = 1 + 2а + 3 3а = 2 а в) х² 2(8 + х) + 16 =
949. Назви рівняння з двома змінними.
Лінійні рівняння з двома змінними: а) 3x − y = 5; д) x − 2(3 − y) = 5.
950. Знайдіть кілька розв’язків рівняння.
а) x + y = 5; (0; 5), (1; 4), (2; 3).
б) x − y = 2; (2; 0), (3; 1), (4; 2).
в) xy = 30. (5; 6), (6; 5), (3; 10).
951. Чи має розв’язки рівняння?
а) x² + y² = −3; Рівняння не має розв'язків, оскільки x² + y² ≥ 0
б) |x| + |y| = 0; Рівняння має безліч розв'язків, наприклад: (1; −1), (2; −2), (0; 0).
в) x⁴ + |y| = −8. Рівняння не має розв'язків, оскільки x⁴ + |y| ≥ 0
952. Чи задовольняють значення x = 5 і y = –2 рівняння
Якщо x = 5, y = 2, то 5 • 5 2 • ( 2) = 25 + 4 = 29
29 ≠ 10. Ні.
953.
5у = 9?
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
А) Якщо x = 1, y = 2, то 2 • 1 5 • 2 = 2 10 = 8, 8 ≠ 9. Ні.
Б) Якщо x = 1, y = 2, то 2 • ( 1) 5 • 2 = 2 10 = 12, 12 ≠ 9. Ні.
В) Якщо x = 2, y = 1, то 2 • ( 2) 5 • 1 = 4 5 = 9, 9 ≠ 9. Ні.
Г) Якщо x = 2, y = 1, то 2 • 2 5 • ( 1) = 4 + 5 = 9, 9 = 9. Так.
Відповідь: Г (2; 1).
954. Які з пар (3; 2), (4; –3), (1; 4) є розв’язками рівняння?
а) 2x + 7у = 20:
(3; 2): 2•3 + 7•2 = 6 + 14 = 20. Так.
(4; 3): 2•4 + 7•( 3) = 8 21 = 13. Ні.
(1; 4): 2•1 + 7•4 = 2 + 28 = 30. Ні.
б) 2t + 3z = 10:
(3; 2): 2•3 + 3•2 = 6 + 6 = 0. Ні.
(4; 3): 2•4 + 3•( 3) = 8 9 = 17. Ні.
(1; 4): 2•1 + 3•4 = 2 + 12 = 10. Так.
в) x 4y = 16:
(3; 2): 3 4•2 = 3 8 = 5. Ні.
(4; 3): 4 4•( 3) = 4 + 12 = 16. Так.
(1; 4): 1 4•4 = 1 16 = 15. Ні.
Відповіді: а) (3; 2). б) (1; 4). в) (4; 3).
955. Які з пар (1; 2), (2; 7), (–1; 1) є розв’язками рівняння?
а) x + y = 0:
(1; 2): 1 + 2 = 3. Ні.
(2; 7): 2 + 7 = 9. Ні.
( 1; 1): 1 + 1 = 0. Так.
б) 5x y = 3:
(1; 2): 5•1 2 = 5 2 = 3. Так.
(2; 7): 5•2 7 = 10 7 = 3. Так.
( 1; 1): 5•( 1) 1 = 5 1 = 6. Ні.
в) 2x + 3y = 1:
(1; 2): 2•1 + 3•2 = 2 + 6 = 8. Ні.
(2; 7): 2•2 + 3•7 = 4 + 21 = 25. Ні.
( 1; 1): 2•( 1) + 3•1 = 2 + 3 = 1. Так.
Відповідь: а) ( 1; 1). б) (1; 2), (2; 7). в) ( 1; 1).
956. Знайди три будь-які розв’язки рівняння
а) x y = 16: (16; 0), (17; 1), (18; 2).
б) 2x + y = 3,5: (0; 3,5), (1; 1,5), ( 1; 5,5).
957. Find any two solutions of the equation.
а) 2x + y = 7; x = 2; y = 3; (2; 3); x = 0; y = 7; (0; 7).
958.Гра
959. Заміни
б) 2x + 3z = 10; x = 5; z = 0; (5; 0); x = 2; z = 2; (8; 2).
в) 4a + 5b = 20: (0; 4), (5; 0), ( 5; 8).
в) 4x + 5n = 21; x = 0; n = 4,2; (0; 4,2); x = 5; n = 0,2; (5; 0,2).
числами так, щоб пари (1; *), (4; *), (–2; *), (*; 2), (*; 0), (*; –5)
x + 3y = 10. x + 3y = 10
1. Якщо x = 1, то 1 + 3y = 10; 3y = 9; y = 3. Пара: (1; 3).
2. Якщо x = 4, то 4 + 3y = 10; 3y = 6; y = 2. Пара: (4; 2).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3. Якщо x = 2, то 2 + 3y = 10; 3y = 12; y = 4. Пара: ( 2; 4).
4. Якщо y = 2, то x + 3 · 2 = 10; x + 6 = 10; x = 4. Пара: (4; 2).
5. Якщо y = 0, то x + 3 · 0 = 10; x = 10. Пара: (10; 0).
6. Якщо y = 5, то x + 3 · ( 5) = 10; x 15 = 10; x = 25. Пара: (25; 5).
Відповідь: (1;3), (4;2), ( 2;4), (4;2), (10;0), (25; 5)
960. Заміни зірочки числами так, щоб пари (1; *), (3; *), (–4; *), (*; 2), (*; –3), (*; 0)
задовольняли рівняння 5x + y = 12. 5x + y = 12
1. Якщо x = 1, то 5 · 1 + y = 12; 5 + y = 12; y = 7. Пара: (1; 7).
2. Якщо x = 3, то 5 · 3 + y = 12; 15 + y = 12; y = 3. Пара: (3; 3).
3. Якщо x = 4, то 5 · ( 4) + y = 12; 20 + y = 12; y = 32. Пара: ( 4; 32).
4. Якщо y = 2, то 5x + 2 = 12; 5x = 10; x = 2. Пара: (2; 2).
5. Якщо y = 3, то 5x 3 = 12; 5x = 15; x = 3. Пара: (3; 3).
6. Якщо y = 0, то 5x + 0 = 12; 5x = 12; x = 2,4. Пара: (2,4; 0).
Відповідь: (1;7), (3; 3), ( 4;32), (2;2), (3; 3), (2,4;0)
961. Склади рівняння
a) (3;2);
2x + y = 8
2·3+2=6+2=8 б) ( 2;5); 3x y = 11 3·( 2) 5= 6 5= 11.
962. Склади рівняння
a) (1;4);
3x + y = 7.
в) (1 2; 2 5). 6x + 2y = 4 5 · 1 2 + 2 · 2 5 = 5 2 + 4 5 = 4.
3·1 + 4 = 3 + 4 = 7 б) ( 2;3); 2x + y = 1 2·( 2) + 3 = 4 + 3 = 1 в) ( 4,2; 1,5). 5x 8y = 9
963. З
a) x y = 2
1) x = 2 + y
2) y = x – 2
964. З лінійного рівняння
a) x y = 7
1) x = 7 + y
2) y = x – 7
б) 5x + y = 15
1) x = (15 y) 5
2) y = 15 5x
б) x + 3y = 12
1) x = 12 3y 2) y = (12 x) 3
965. Знайдіть таке число c, щоб
a) 2x + 3y = 20
2c 3c = 20
c = 20
c = 20 ( 20; 20). б) 5x y = 12
5c + c = 12
6c = 12
c = 2 (2; 2).
в) x 8y = 9
c + 8c = 9
9c = 9
c = 1 (1; 1).
в) x 2y = 6
1) x = 6 + 2y
2) y = (x 6) 2
в) x 2y = 6
1) x = 6 + 2y 2) y = (x 6) 2
г) 7x 3y = 20
7c + 3c = 20
10c = 20
c = 2 (2; 2).
966. Знайди таке число n, щоб пара (n; –n) задовольняла рівняння.
a) 5x + 4y = 3
5n 4n = 3
n = 3
б) 9x² y = 0
9n² + n = 0
n(9n + 1) = 0
n = 0 або 9n + 1 = 0
n = 0 або n = 1 9
в) x² + 4y = 0
n² 4n = 0
n(n 4) = 0
n = 0 або n = 4
г) x + |y| = 4
n + | n| = 4
n + n = 4
2n = 4
n = 2
967. Знайди
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3a + 5 • ( 4) = 1
3a 20 = 1
3a = 21
a = 7
968. Знайди значення
цього рівняння.
3 • (−2) + 5k = 14
6 + 5k = 14
5k = 20 k = 4
969. Знайди значення
a) 5 • 2 a = 2
10 a = 2 a = 8 б) 5 • 1 2a = 2 5 2a = 2
2a = 3 a = 1,5 в) 5
970. Доведіть, що рівняння x² + y² = -5 не має розв'язків.
Так як x² ≥ 0, y² ≥ 0 приймають
дорівнювати від'ємному числу.
971. Чи має розв’язки рівняння з двома змінними?
а) x² + y² = 1;
Розв'язків немає, оскільки x² ≥ 0 та y² ≥ 0, x² + y² ≥ 0. б) x² y² = 3;
Рівняння має розв'язок при y > x. в) x² + 3y² = 0.
Рівняння має розв'язок при x = 0 та y = 0.
972. Доведи, що рівняння не має розв’язків
а) x² + (y 1)² = 3;
x² ≥ 0 та (y 1)² ≥ 0, сума x² + (y 1)² ≥ 0. Отже, ліва частина рівняння не може дорівнювати від'ємному числу.
б) x² + y² + 2 = 2y;
x² + y² 2y + 1 + 1 = 0;
x² + (y 1)² = 1. Оскільки x² ≥ 0 та (y 1)² ≥ 0, сума
в) |x| + y² + 1 = 0.
|x| ≥ 0 та y² ≥ 0, а отже |x| + y² + 1 ≥ 1, тому не може рівняння дорівнювати 0
Відповідь: Усі рівняння не мають розв'язків.
973. Розв’яжи рівняння
а) x² + (y 1)² = 0
x² = 0 і (y 1)² = 0
x = 0 y = 1
б) (x + 3)² + y² = 0 (x + 3)² = 0 і y² = 0
x = 3 y = 0
в) (2x + 3)⁴ + y² = 0 (2x + 3)⁴ = 0, y² = 0 2x + 3 = 0 і y = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(0;1) ( 3;0)
974. Розв’яжи рівняння
a)
x² + (y 2)² = 0
x² = 0 i (y 2)² = 0
x = 0 y = 2
(0;2)
975. Розв’яжи рівняння
а) x² + y² + 1 = 2x
x² 2x + 1 + y² = 0
(x 1)² + y² = 0
(x 1)² = 0 i y² = 0
x = 1 y = 0
(1;0)
б) x² + y² + 9 = 6x
x² 6x + 9 + y² = 0
(x 3)² + y² = 0
(x 3)² = 0 i y² = 0
x = 3 y = 0
(3;0)
976. Розв’яжи рівняння
а) x² + y² + 4 = 4x
x² + y² + 4 + 4x = 0
x² + 4x + 4 + y² = 0
(x + 2)² + y² = 0
(x + 2)² = 0 i y² = 0
x = 2 y = 0
( 2;0)
б) x² + y² + 16 = 8y
x² + y² 8y + 16 = 0
x² + (y 4)² = 0
x² = 0 i (y 4)² = 0
x = 0 y = 4
(0;4)
x = 3 2 y = 0
( 3 2;0)
б) (x 3)² + (y + 1)⁴ = 0 (x 3)² = 0 i (y + 1)⁴ = 0
x = 3 y = 1
(3; 1)
в) |x| + y² = 0 |x| = 0 i y² = 0
x = 0 y = 0
(0;0)
в) x² + 4y² + 1 = 4y
x² + 4y² 4y + 1 = 0
x² + (2y 1)² = 0
x² = 0 i (2y 1)² = 0
x = 0 y = 1 2
(0; 1 2)
г) 4x² + y² + 2 = 2(2x y) 4x² + y² + 2 = 4x 2y 4x² 4x + 1 + y² + 2y + 1 = 0
(2x 1)² + (y + 1)² = 0
(2x 1)² = 0 i (y + 1)² = 0
x = 1 2 y = 1
(1 2; 1)
в) x² + 2x + y² + 5 = 4y
x² + 2x + y² 4y + 4 = 0
(x + 1)² + (y 2)² = 0
(x + 1)² = 0 i (y 2)² = 0
x = 1 y = 2
( 1;2)
г) x² + y² + 8 = 4(y x)
x² + y² + 8 4y + 4x = 0
x² + 4x + 4 + y² 4y + 4 = 0
(x + 2)² + (y 2)² = 0
(x + 2)² = 0 i (y 2)² = 0
x = 2 y = 2
( 2;2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
978. При яких
а) |x| + |y| = n + 2
рівняння має тільки один розв'язок (0;0), якщо n = 2 б) (x 3)⁴ + y⁴ = n⁴,
рівняння має тільки один розв'язок (3;0), якщо n = 0
Відповідь: а) n = 2. б) n = 0.
979. Установи відповідність між рівняннями (1–3) та кількістю їх розв’язків 1) А; 2) В; 3) Г.
980. Знайди натуральні значення x і y, які задовольняють рівняння
а) x + 4y = 13; (9;1), (5;2), (1;3)
б) 5x + y = 14; (1;9), (2;4)
в) 3x + 2y = 22. (2;8), (4;5), (6;2)
981. Знайди натуральні значення x і y, які
а) x + 12y = 37; (25;1), (13;2), (1;3)
б) 3x + y = 16; (1;13), (2;10), (3;7), (4;4), (5;1)
в) 4x + 5y = 29. (1;5), (6;1)
982. Знайди цілі розв’язки рівняння
а) x² + y² = 2
x = 1, y = 1 → 1² + 1² = 2; (1; 1).
б) 2x² + y² = 9;
x = 2, y = 1 → 2•2² + 1² = 9;
x = 0, y = 3 → 2•0² + 3² = 9; (2; 1), (0; 3).
983. Знайди цілі розв’язки рівняння
а) x² + y² = 5; (2;1), (1;2)
x = 2, y = 1 → 2² + 1² = 5;
x = 1, y = 2 → 1² + 2² = 5;
б) x² + 3y² = 31. (2;3)
x = 2, y = 3 → 2² + 3 • 3² = 31;
984. Знайди таке значення a, щоб рівняння 3x – 2y2 =
а) 3a 2 • 3² = 6
3a 18 = 6
3a = 24
a = 8 б) 3 • 2 2a² = 6 6 2a² = 6 2a² = 0 a = 0
985. Знайдіть
3a 2
= 6 3a = 6 a = 2
3 • 8 2a² = 6 24 2a² = 6 2a² = 18 a² = 9 a = 3 або a = 3
у: а) 2 рази:
10a + b = 2(a + b)
10a + b = 2a + 2b
10a 2a = 2b b
8a = b
a = b 8
b = 0 i a = 0;
b = 8 i a = 1.
(0;0) не підходить. Невідоме число: 18 б) 6 разів:
10a + b = 6(a + b)
10a + b = 6a + 6b
4a = 5b
a = 5b 4
b = 4, тоді a = 5; b = 8, тоді a = 10. (10;8) не підходить. Невідоме число: 54
в) 4 рази:
10a + b = 4(a + b)
10a + b = 4a + 4b
6a = 3b
a = 3b 6
b = 8 i a = 4;
b = 6 i a = 3;
b = 4 i a = 2;
b = 2 i a = 1.
Невідомі числа: 12; 24; 36; 48
986. Знайди
3 рази;
10a + b = 3(a + b)
10a + b = 3a + 3b
7a = 2b
a = 2b 7
b = 7 і a = 2.
Невідоме число: 27
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 5 разів;
10a + b = 5(a + b)
10a + b = 5a + 5b
5a = 4b
a = 4b 5
b = 5 і a = 4.
Невідоме число: 45
987. Знайди двоцифрове число, яке у 2,5
Позначимо двоцифрове
одиниць (від 0 до 9).
10a + b = 2,5ab | • 2
20a + 2b = 5ab
Оскільки 5ab і 20a діляться
10a + 5 = 2,5 • 5a; 10a + 5 = 12,5a; 2,5a = 5; a = 2.
Відповідь: 25.
988. Знайди двоцифрове число,
Позначимо шукане двоцифрове число як 10a + b,
а цифра десятків (а може бути від 1 до 9), b цифра одиниць (b може бути від 0 до 9).
10a + b = 2ab;
Оскільки 2ab і 10a
натуральні значення 2; 4; 6; 8.
Якщо b = 2, 4, 6, 8, то а набуває
Єдиний розв'язок а = 3, b = 6.
Відповідь: 36.
989. Є труби
8y
в) 8 разів.
10a + b = 8(a + b)
10a + b = 8a + 8b
2a = 7b
a = 7b 2
b = 2 і a = 7;
b = 4 і a = 14;
b = 6 і a = 21;
b = 8 і a = 28.
(7:2) підходить.
Невідоме число: 72
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x + 5y = 37
5y = 37 − 2x
y = (37 2x) 5 ,
Щоб у було цілим числом, вираз 37 − 2x має ділитися на 5.
Отже, 37 − 2x = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35.
Розв'яжемо для кожного значення:
Якщо 37 − 2x = 5, тоді x = 16, у = 1.
Якщо 37 − 2x = 15, тоді x = 11, у = 3.
Якщо 37 − 2x = 25, тоді x = 6, у = 5.
Якщо 37 − 2x = 35, тоді x = 1, у = 7.
Отже, хлопчик може заплатити без решти так:
16 монет по 2 грн і 1 монета по 5 грн.
11 монет по 2 грн і 3 монети по 5 грн.
6 монет по 2 грн і 5 монет по 5 грн.
1 монета по 2 грн і 7 монет по 5 грн.
Відповідь: хлопчик може заплатити
200x + 300y = 3000
2x + 3y = 30
x = (30 3y) 2 ,
Перебираємо значення у: Якщо у = 2, тоді x = (30 3 • 2) 2 = 12. Якщо у = 4, тоді x = (30 4 • 2) 2 = 9.
Якщо у = 6, тоді x = (30 3 • 6) 2 = 6.
Якщо у = 8, тоді x = (30 3 • 8) 2 = 3. Отже, хлопець може взяти: 12 коробок по 200 г і 2 коробки по 300 г. 9
по 200 г і 4 коробки по 300 г. 6 коробок
( 2;6) і (0;0); 3x + y = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) (5;0) і ( 1; 3); x + 2y = 5
в) ( 5;2) і (0; 4); 2x + y = −4
г) (2;1) і (1;−1); 2x + y = 3
994. Побудуй
y = 1,5x + 2
Х 0 2
У 2 1
y = –1,5x + 2.
995. Доведи тотожність двома способами:
а) 4a⁴ + 1 = (2a² − 2a + 1)(2a² + 2a + 1);
1 спосіб:
4a⁴ + 1 = = 4a⁴ + 4a² + 1 − 4a² = = (1 + 2a²)² − (2a)² = = (1 + 2a² − 2a)(1 + 2a² + 2a) = = (2a² − 2a + 1)(2a² + 2a + 1)
Тотожній доведено
б) a⁴ + a² + 1 = (a² − a + 1)(a² + a + 1)
1 спосіб:
a⁴ + a² + 1 = = a⁴ + 2a² + 1 − a² = = (a² + 1)² − a² = = (a⁴ + 1 − a)(a² + 1 + a)
Тотожність доведено
2 спосіб:
(2a² − 2a + 1)(2a² + 2a + 1) = = (2a² + 1)² − (2a)² = = 4a⁴ + 4a² + 1 − 4a² = = 4a⁴ + 1
Тотожність доведено
2 спосіб:
(a² − a + 1)(a² + a + 1) = = (a² + 1)² − a² = = a⁴ + 2a² + 1 − a² = = a⁴ + a² + 1.
Тотожність доведено 996. За якої умови рівняння (a – 1)x = 3a – 3 має безліч розв’язків? (а − 1)х = 3(а − 1)
а − 1 = 0
а = 1.
Відповідь: рівняння має безліч розв'язків, якщо а = 1. 997. Скільки розв’язків має рівняння?
а) 0x + 0y = 20; жодного
б) 0x + 0y = 0; безліч
в) 0x + 2y = 0; безліч
г) 9x + 0y = 18;
ґ) x + y = 0; безліч
д) x − y = 1.
998. Графіком
Б) y = 2x + 8. 999.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 3x − 2y = 0;
б) 2x − 3y = 7;
в) 3(x − 4) = 4(y − 3).
Розв'язання:
Початок координат - це точка з координатами (0; 0).
Щоб перевірити, чи проходить
підставити x = 0 та y = 0 у рівняння.
дорівнює правій), то графік проходить
а) 3x − 2y = 0
Підставимо x = 0 та y = 0:
3·0 − 2·0 = 0
0 − 0 = 0
0 = 0
координат.
б) 2x − 3y = 7
Підставимо x = 0 та y = 0:
2·0 − 3·0 = 7
0 − 0 = 7
0 = 7
Рівність неправильна,
координат.
в) 3(x − 4) = 4(y − 3)
Підставимо x = 0 та y = 0:
3(0 − 4) = 4(0 − 3)
3(−4) = 4(−3)
12 = −12
Рівність
координат.
Відповідь: графіки
Точка А(5;0) належить графіку. 5 3 • 0 = 5
Точка Б (8;1) належить графіку. 8 3 • 1 = 5
Точка В ( 1; 2) належить графіку. 1 3 • ( 2) = 5 Точка Г (4; 3) не належить графіку. 4 3 • ( 3) = 13 1002. Точка з абсцисою 2 належить
рівняння 7x – 2y = 12.
ординату цієї точки. Якщо х = 2, то 7 • 2 2у = 12; 14 2у = 12; 2у = 12 14; 2у = 2; у = 1
1003.Точка з ординатою 1,5 належить графіку рівняння 5x + 4y = 16. Знайди
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Якщо у = 1,5, то 5х + 4 • 1,5 = 16;
5х + 6 = 16;
5х = 16 − 6;
5х = 10;
х = 2
1004. Чи належить точка A(–3; 2) графіку рівняння?
а) 5x + 12y = 9; Так 5 • ( 3) + 12 • 2 = 15 + 24 = 9 б) 2x + 3y = x; Ні 2 • ( 3) + 3 • 2 = 6 + 6 = 0; 0 ≠ 3 в) 5(x + 3) = 4(y 2). Так 5 • ( 3 + 3) = 4 • (2 2), 0 = 0
1005. Чи належить точка М(2; –1) графіку рівняння?
а) 3x + 5y = 1; Так 3 • 2 + 5 • ( 1) = 6 5 = 1
б) 3x + 7y = y; Так 3 • 2 + 7 • ( 1) = 6 7 = 1; в) 2(x 2) = 4(y 1). Ні 2 • (2 2) = 4 • ( 1 1), 0 ≠ 8
1006. Виразіть з
рівняння.
a) x + y = 7 y = 7 x
Якщо x = 0, то y = 7 Якщо x = 1, то y = 6 (0;7) і (1;6) б) 2x + y = 5 y = 5 2x
Якщо x = 0, то y = 5
Якщо x = 1, то y = 3 (0;5) і (2;1)
в) 4x + 3y = 12 y = (12 4x) 3 y = 4 4 3 x
Якщо x = 0, то y = 4
Якщо x = 3, то y = 0 (0;4) і (3;0)
1007.
рівняння.
a) x y = 4
x = y + 4
Якщо y = 0, то x = 4
Якщо y = 1, то x = 5
(4;0) і (5;1)
б) x + 3y = 6 x = 6 3y
Якщо y = 0, то x = 6
Якщо y = 1, то x = 3
(6;0) і (3;1)
розміщені? 3x + 4y = 8 y = (8 3x) 4 y = 2 3 4 x
x = 0, то y = 2 (3 4) • 0 = 2;
x = 4, то y = 2 (3 4) • 4 = 2 3 = 1; Якщо x = 8, то y = 2 (3 4) • 8 = 2 6 = 4; Якщо x = 4, то y = 2 (3 4) • ( 4) = 2 + 3 = 5; Якщо x = 8, то y = 2 (3 4) • ( 8) = 2 + 6 = 8; Відповідь: (0;2), (4; 1), (8; 4), ( 4;5), ( 8;8).
в) 2x + 5y = 10
x = (10 5y) 2 x = 5 5 2y
Якщо y = 0, то x = 5
Якщо y = 2, то x = 0 (5;0) і (0;2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1009.
3y = 6 − 2x
y = (2x 6)
3
y = (2 3)x − 2
Якщо x = 0, то y = (2 3) • 0 − 2 = 2;
Якщо x = 3, то y = (2 3) • 3 − 2 = 0;
Якщо x = 6, то y = (2 3) • 6 − 2 = 4 − 2 = 2;
Якщо x = 3, то y = (2 3) • (−3) − 2 = 2 − 2 = 4.
Відповідь: (0; 2), (3;0), (6;2), ( 3;−4).
Точки на
1010. Побудуй
0 4
1011. Graph the equation.
y = 7.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
7. y = 4.
в) Якщо абсциса x = 2:
0,6•2 + y = 2,2
1,2 + y = 2,2 y = 2,2 1,2 y = 1.
Ордината дорівнює 1.
1013. Знайди абсцису точки, взятої
4.
г) Якщо абсциса x = 7:
0,6•7 + y = 2,2
4,2 + y = 2,2 y = 2,2 4,2 y = 2.
Ордината дорівнює 2.
рівняння 11x – 4y = 80, якщо її ордината дорівнює 11x – 4y = 80:
а) Якщо ордината у = 31:
11х – 4•( 31) = 80
11х + 124 = 80
11х = 80 124
11х = 44
х = 44 : 11
х = 4.
Абсциса дорівнює 4.
в) Якщо ордината у = 3,5:
11х – 4•( 3,5) = 80
11х + 14 = 80
11х = 80 14
11х = 66
х = 66 : 11
х = 6.
Абсциса дорівнює 6.
б) Якщо ордината у = 20:
11х – 4•( 20) = 80
11х + 80 = 80
11х = 80 80
11х = 0
х = 0 : 11
х = 0. Абсциса дорівнює 0.
г) Якщо ордината у = 2:
11х – 4•2 = 80
11х 8 = 80
11х = 80 + 8
11х = 88
х = 88 : 11
х = 8.
Абсциса дорівнює 8. 1014. Графік рівняння 2x + 5y = c
точками, заданими умовами (1–4), та значенням с (А
1. Точка A(3; 1):
2•3 + 5•1 = c
6 + 5 = c
c = 11.
Відповідь: Г.
3. Точка C( 3; 4):
2 • ( 3) + 5•4 = c
6 + 20 = c
c = 14.
Відповідь: Д.
Відповідність: 1 – Г, 2 – В, 3 – Д, 4 – Б.
1015. Яким має
через точку: а) Точка М(10; 2)
ax – 4y = 12
a • 10 – 4 • 2 = 12
10a – 8 = 12
2. Точка B( 5; 2):
2 • ( 5) + 5•2 = c 10 + 10 = c
c = 0.
Відповідь: В.
4. Точка D( 2; 1):
2 • ( 2) + 5 • ( 1) = c 4 5 = c
c = 9.
Відповідь: Б.
Точка N(–1; –1) ax – 4y = 12 a • (–1) – 4 • (–1) = 12 –a + 4 = 12
10a = 12 + 8
10a = 20
a = 20 : 10
a = 2
в) Точка P(2; –3)
ax – 4y = 12
a • 2 – 4 • (–3) = 12
2a + 12 = 12
2a = 12 – 12
2a = 0
a = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
–a = 12 – 4
–a = 8
a = –8
г) Точка Q(6; 6)
ax – 4y = 12
a • 6 – 4 • 6 = 12
6a – 24 = 12
6a = 12 + 24
6a = 36
a = 36 : 6
a = 6
Відповідь: а) a = 2 б) a = –8 в) a = 0 г) a = 6
1016. При якому значенні b графік рівняння 6x + by = 0 проходить через точку?
а) Точка N(2; 3)
6x + by = 0
6 • 2 + b • 3 = 0
12 + 3b = 0
3b = 12
b = 12 : 3
b = 4
в) Точка P( 4; 8)
6x + by = 0
6 • ( 4) + b • 8 = 0
24 + 8b = 0
8b = 24
b = 24 : 8
b = 3
Відповідь: а) b = 4; б) b будь
3x 2y = 4
2y = 3x + 4
y = ( 3x + 4) 2
y = 1,5x 2
1,5x + c = 1,5x 2 c = 2
Відповідь: c = 2..
1018. Не виконуючи побудови,
б) Точка O(0; 0)
6x + by = 0
6 • 0 + b • 0 = 0
0 + 0 = 0
г) Точка R( 3; 2)
6x + by = 0
6 • ( 3) + b • ( 2) = 0 18 2b = 0 2b = 18
b = 18 : ( 2)
b = 9
а) Ось абсцис: y = 0; 3x = в; x = 2; (2; 0); ось ординат: x = 0; 2y = 6; y = 3; (0; 3); б) якщо y = 0, то x = 10; (10; 0); якщо x = 0, то 5y = 10; y = 2; (0; 2);
в) вісь Ox: якщо y = 0
3x + 4 • 0 = 24
3x = 24
x = 8 (8; 0);
вісь Oy: якщо x = 0
3 • 0 + 4y = 24
4y = 24
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = 6 (0; 6). 1019.
графіка рівняння
а) 2x − 7y = 14
Перетин з віссю Ox (y = 0):
2x − 7 • 0 = 14
2x = 14
x = 14 : 2
x = 7
Точка: (7; 0)
Перетин з віссю Oy (x = 0):
2 • 0 − 7y = 14
7y = 14
y = 14 : (−7)
y = −2
Точка: (0; −2)
в) 5x − 6y = 30
Перетин з віссю Ox (y = 0):
5x − 6 • 0 = 30
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6
Точка: (6; 0)
Перетин з віссю Oy (x = 0):
5 • 0 − 6y = 30
6y = 30
y = 30 : (−6)
y = −5
Точка: (0; −5)
б) −x + 2y = 4
Перетин з віссю Ox (y = 0):
x + 2 • 0 = 4
x = 4
x = −4
Точка: (−4; 0)
Перетин з віссю Oy (x = 0): 0 + 2y = 4
2y = 4
y = 4 : 2
y = 2
Точка: (0; 2)
Відповідь: а) (7; 0) і (0; −2); б) (−4; 0) і (0; 2); в) (6; 0) і (0; −5).
1020. Побудуй
2x + 3y = 5
Х 1 2.5
У 1 0
2x + 3y = 10
Х 2 5
У 2 0
1021.
5x − y = 7
0 2
7 3 10x − 2y = 14
0 2
7 3
рівнянь а) 2x − 9y = 18 і 3x − 5y = 15
2 3 ≠ −9 −5
перетинаються.
2x − 9y = 18 і 4x − 18y = 20
2 4 = −9 −18 ≠ 18 20 Прямі паралельні. в) 3x − 5y = 15 і 9x − 15y = 45
3 9 = −5 −15 = 15 45 Прямі збігаються. 1023. Не
рівнянь
3x + 2y = 6 і 2x + 4y = 11 3 2 ≠ 2 4 Прямі перетинаються.
3x + 2y = 6 і 6x + 4y = 12 3 6 = 2 4 = 6 12 Прямі збігаються.
2x − 7y = 1 і 6x − 21y = 5
2 6 = −7 −21 ≠ 1 5 Прямі
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 4
0 • x + 3y = 6
3y = 15
а) Точка А(4; 3)
y = 2x − 5
Перевірка: 3 = 2 • 4 − 5
y = 0,5x + 5
Перевірка: 3 = 0,5 • 4 + 5
y = x − 1
Перевірка: 3 = 4 – 1
в) Точка К( 2; 4)
y = x + 2
Перевірка: 4 = ( 2) + 2
y = 2x + 8
Перевірка: 4 = 2 • ( 2) + 8
y = 0,5x + 3
Перевірка: 4 = 0,5 • ( 2) + 3
Відповідь:
а) y = 2x − 5, y = 0,5x + 5, y = x − 1
б) y = 2x − 3, y = x − 3, y = 4x − 3
в) y = x + 2, y = 2x + 8, y = 0,5x + 3
г) y = x − 1, y = 3x − 3, y = 2x + 2
1033. Склади
а) Точка Х(2; 2)
y = kx
2 = 2k
k = 1
Рівняння: y = x
Відповідь: а) y = x; б) y = 2 5 x
1034. Склади рівняння,
Точка Р( 4; 6)
y = kx
6 = 4k
k = 6 4 = 3 2
y = 3 2 x
б) Точка С(0; 3)
y = 2x − 3
Перевірка: 3 = 2 • 0 − 3
y = x − 3
Перевірка: 3 = 0 − 3
y = 4x − 3
Перевірка: 3 = 4 • 0 3
г) Точка М(1; 0)
y = x − 1
Перевірка: 0 = 1 − 1
y = 3x − 3
Перевірка: 0 = 3 • 1 − 3
y = 2x + 2
Перевірка: 0 = 2 • 1 + 2
Точка Y( 5; 2)
y = kx
2 = 5k;
k = 2 5
Рівняння: y = 2 5 x
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = kx + b, де: k кутовий коефіцієнт, b значення перетину з віссю Оу.
а) А( 3;0) і В(0;1)
Точка В(0;1) лежить на прямій.
1 = 0 • k + b
b = 1
y = kx + 1
Точка А( 3;0) лежить на прямій.
0 = 3k + 1
3k = 1
k = 1 3
Рівняння прямої: y = 1 3 x + 1
б) М(4; 0) і N(0; 5)
Точка М(4;0) лежить на прямій.
0 = 4k + b
b = 4k
y = kx + 5
Точка N(0;5) лежить на прямій.
5 = 0 • k + b
b = 5
0 = 4k + 5 4k = 5
k = 5 4
Рівняння: y = 5 4 x + 5
1036. Склади рівняння, графік якого перетинає осі координат у точках
а) Точки Р(0; 3) і Q(3; 0)
y = kx + b
Точка Р(0; 3) лежить на прямій.
3 = 0 • k + b
b = 3
y = kx 3
Точка Q(3;0) лежить на прямій.
0 = 3k 3
3k = 3
k = 1
Рівняння: y = x 3
Відповідь: а) y = x 3, б) y = 2x – 4 1037. Запиши рівняння, графіки
а) (0;2) і ( 1;0)
y = kx + b
Точка (0;2) лежить на прямій.
2 = 0 • k + b
b = 2
y = kx + 2
Точка ( 1;0) лежить на прямій.
0 = k + 2
k = 2
Рівняння: y = 2x + 2
с) (0;2) і (2;0)
y = kx + b
Точка (0;2) лежить на прямій.
2 = 0 • k + b
b = 2
y = kk + 2
Точка (0;2) лежить на прямій.
0 = 2k + 2
б) Точки С(0; 4) і D( 2; 0) y = kx + b
Точка С(0; 4) лежить на прямій.
4 = 0 • k + b
b = 4
y = kx 4
Точка D( 2;0) лежить на прямій.
0 = 2k 4
2k = 4
k = 2
Рівняння: y = 2x – 4
б) (0; 4) і (4;0)
Точка (0; 4) лежить на прямій. 4 = 0 • k + b
b = 4
y = kx 4
Точка (4;0) лежить на прямій.
0 = 4k 4
4k = 4
k = 1
Рівняння: y = x – 4
d) (0; 2) і ( 4;0) y = kx + b
Точка (0; 2) лежить на прямій.
2 = 0 • k + b
b = 2
y = kx 2
Точка ( 4;0) лежить на прямій.
0 = 4k 2
2k = 2
k = 1
Рівняння: y = x + 2
1038. Склади рівняння,
через точку
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
4k = 2
k = 1 2
Рівняння: y = 1 2 x − 2
Прямі, які проходять паралельно, матимуть рівняння виду 2x − y = b, де b ≠ 0.
а) Точка К(4; 2)
2x − y = b
2 • 4 − 2 = b
8 − 2 = b
b = 6
Рівняння: 2x y = 6
1039. Склади рівняння, графік якого
б) Точка L(0; 5)
2x − y = b
2 • 0 − 5 = b
0 − 5 = b b = −5
Рівняння: 2x y = 5
паралельно графіку рівняння 3х – y = 0
через точку: Прямі, які проходять паралельно, матимуть вигляд 3x – y = c, де b ≠ 0.
а) Точка М(–3; 0)
3x – y = b
3 • (–3) – 0 = b
b = –9
Рівняння: 3x – y = –9
б) Точка А(2; –1)
3x – y = b
3 • 2 – (–1) = b b = 7
Рівняння: 3x – y = 7
1040. Чи правильно, що графіком рівняння |x – 2| + |y – 3| = 0
x – 2 = 0 і y – 3 = 0 x = 2 y = 3
Висновок: Графіком рівняння є точка К(2; 3).
|x – 2| = |y – 3|
x – 2 = y – 3 або x – 2 = −(y – 3)
x – y = 3 + 2 x – 2 = y + 3
x – y = 1 x + y = 3 + 2
x + y = 5
Висновок: Графіком рівняння є дві прямі x – y = 1 та x + y = 5. 1041. Побудуй графік рівняння.
а) x² − 9y² = 0
(x − 3y)(x + 3y) = 0
x − 3y = 0 або x + 3y = 0
y = 1 3 x y = 1 3 x
б) (y − 2)² = (x + 1)²
y − 2 = x + 1
y = x + 3
днів: 2000 + 2500 + 1500 + 3000 + 2500 = 11000 грн Висновок:
рівняння.
а) x² = 64
x = 8 або x = −8
б) (x − 2)² = 25
x − 2 = 5 або x − 2 = −5
x = 5 + 2 x = 5 + 2
x = 7 x = 3
1047.
А (0;4)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
системи рівнянь В ( 7; 3) � x y = 4, x 2y = 7 � 7 ( 3) = 4, 7 2 • ( 3) = 1 Г (1;4)
1048. Скільки розв’язків має система рівнянь?
3x + 4y = 2, 9���� + 12���� = 6 |: 3 ⇒
� 2x y = 5 4x + 2y = 10 |: 2, ⇒
3x + 4y = 2 3���� + 4���� = 2,
розв'язків
2x y = 5, 2���� + ���� = 5 Один розв'язок в) � x 5y = 4, 2x + 10y = 8 |: ( 2), ⇒ � x 5y = 4 ���� 5���� = 4, Жодного розв'язку
1049. Чи є пара чисел (2; –1) розв’язком системи рівнянь?
а) � x + y = 1 ���� 2���� = 6, ⇒ � 2 + ( 1) = 1 2 2 • ( 1) = 4, Не є розв'язком
б) � x + y = 1, 4x 3y = 11, ⇒ � 2 + ( 1) = 1, 4 • 2 3 • ( 1) = 11, Є розв'язком
в) � x y = 3 2���� + ���� = 3, ⇒ � 2 ( 1) = 3 2 • 2 + ( 1) = 3, Є розв'язком
1050. Чи є пара чисел (–1; 3) розв’язком системи рівнянь?
а) � x + y = 2, 3x y = 6, ⇒ � 1 + 3 = 2 3 • ( 1) 3 = 6, Є розв'язком
б) �3x + y = 0 x + 2y = 5, ⇒ �3 • ( 1) + 3 = 3 + 3 = 0 1 + 2 • 3 = 1 + 6 = 5 , Є розв'язком в) � 3x 2y = 9 3x + 2y = 3 ⇒ �3 • ( 1) 2 • 3 = 9 3 • ( 1) + 2 • 3 = 3 , Не є розв'язком
1051. Склади систему рівнянь, що має розв’язок а) (3;4) � x y = 1, 2x + y = 10 б) (2; 5) �x + 2y = 8, 3x y = 11 в) (0;3) � x + y = 3 2x y = 3 , г) ( 2;0) � x y = 2, 3x + 2y = 6 1052.
(2;1)
x + y = 3 2x − y = 3
(−3;2)
�x + y = 6
���� = 2
+ y = 6 ⇒ y = −x + 6
= 2 ⇒ y = x−2 y = −x + 6
0 6 У 6 0
y = x – 2
Х 0 1
У 2 1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: (4;2) y = x Х 1 1
в) �
2x + y = 4
3����−���� = 1 ;
2x + y = 4 ⇒ y = −2x + 4
3x−y = 1 ⇒ y = 3x−1
y = −2x + 4
Х 0 1
У 4 2 y = 3x – 1
Х 0 1 У 1 2
1 1 y = 4x – 6 Х 0 1 у 6 2
Відповідь: (2;2)
Відповідь: (1;2) г) � x y = 2 ���� + 3���� = 10 x−y = −2 ⇒ y = x + 2 x + 3y = −10 ⇒ y = − 1 3 x − 10 3 y = x + 2 Х 0 1 У 2 3 y = − 1 3 x − 10 3 Х 1 2 У 3 4
в) �
2x y = 2
3x − y = 5,
2x−y = 2 ⇒ y = 2x−2
3x−y = 5 ⇒ y = 3x−5
y = 2x – 2
Відповідь: (−4;−2)
г) �x + y = 4, ����−���� = 2
x + y = 4 ⇒ y = −x + 4 x−y = 2 ⇒ y = x−2
y = −x + 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2 0 y = 3x – 5
0 1
5 2 Відповідь: (3;4)
1054.
x y = 0 3����−���� = 4 x−y = 0 ⇒ y = x 3x−y = 4 ⇒ y = 3x−4 y = x
Відповідь: (3;1)
x + y = 7
= 3
+ y = 7 ⇒ y = −x + 7
= 3 ⇒ y = x−3
= −x + 7
= x – 3
(2;2)
1055.
� 4x y = 5 3���� + 2���� = 12;
Відповідь: (5;2)
�5x + 4y = 13 3x + 5y = 13
Відповідь: (2;3)
x + 3y = 5 3x + 9y = 21
Відповідь: не
Відповідь: (1;2)
x + y = 1 2x 2y = 2
Відповідь: безліч розв'язків 1056.
5x 2y = 3 2x 3y = 1
Відповідь: ( 1; 1)
� 3x + 5y = 1 4x y = 10
Відповідь: (3; 2) 1057.
2x + 1 2 y = 6 4x + y = 12
� x y = 2 3x − 3y = 6
паралельні. Немає розв'язків. 1060. How many solutions does the system of equations have? а)
b₁ b₂
перетинаються. 1 розв'язок б)
a₁ a₂ = b₁ b₂ = c₁ c₂ Прямі співпадають. Безліч розв'язків. 1061. Не будуючи графіків, доведи, що система рівнянь не має розв’язків.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) a₁ a₂ = b₁ b₂ ≠ c₁ c₂ Прямі паралельні. Немає розв'язків.
Прямі паралельні. Немає розв'язків.
1062. Не будуючи графіків, доведи, що має безліч розв’язків система рівнянь Знайди три будь-які її розв’язка �6���� + 10���� = 36
3���� + 5���� = 18
Має безліч розв'язків. (1; 3), (0; 3,6).
1063.
� 0,5x + y = 2 0,4x + y = 2
Відповідь: (0;2)
� 1,5x y = 3 0,3x + y = 1,2
Відповідь: (1; 1,5) 1064. Розв’яжи
�0,2x + 0,6y = 1,8 x − 0,5y = 2
Відповідь: (3;2)
б) �1,1x + y = 0,1 1,2x y = 2,2
Відповідь: (1; 1) 1065.
3x − 2y = −6 x + 2y = 2 ,
3x − 2y = −6
Х 0 2
У 3 0
A( 2; 0)
3x 2y = 6 5x + 2y = 22 , x + 2y = 2 х 2 0 у 0 1
розв'язок системи �3x 2y = 6 x + 2y = 2 ,. B(2; 6)
x + 2y = 2 5x + 2y = 22, 5x + 2y = 22 х 4,4 0 у 0 11
3x − 2y = −6, 5x + 2y = 22
C(6;
� 3x y = 3, ���� �������� = 1;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
єдиний розв'язок, якщо
b 3 ≠ 2 1
b 3 ≠ 2
b ≠ 6
Система не має розв'язків, якщо
b
3 = 2 1
b = 6
Тобто:� bx + 2y = 7 −6���� + 2���� = −10 � 4x + 8y = 5, 2x + by = 1
Система має єдиний розв'язок, якщо
4 2 ≠ 8 b
2 ≠ 8 b b ≠ 4
Система
4 2 = 8 b = 5 1 b = 4
Тобто: � 4x + 8y = 5,
4���� + 2�������� = 2
1072. Чи має розв’язок система рівнянь?
а) �x − y = 1, x + y = 3, 2x = 6.
Розв'яжемо систему:
З третього рівняння: 2x = 6, ⇒ x = 3.
Підставимо x = 3 у перше рівняння: 3 y = 1, ⇒ y = 2.
Перевіряємо друге рівняння: 3 + 2 = 5, 5 ≠ 3.
Оскільки одне з рівнянь не
виконується, система не має розв'язку.
в) � 3x + y = 13, 5x 4y = 1, 7x − 5y = 1.
Розв'яжемо систему:
Візьмемо перше рівняння: 3x + y = 13, y = 13 3x.
Підставимо y = 13 3x у друге
рівняння:
б) �3x − y = 1 x + y = 3 4y = 8.
Розв'яжемо систему:
З третього рівняння: 4y = 8, y = 2.
Підставимо y = 2 у друге рівняння: x + 2 = 3, x = 1.
Перевіряємо перше рівняння: 3 · 1 2 = 3 2 = 1.
Усі рівняння виконуються, отже, система має розв'язок: (1; 2).
г) �2x + 7y = 16, 3x y = 1, ���� + 4���� = 1.
З другого рівняння: 3x y = 1, y = 3x 1
Підставляємо в перше рівняння 2x + 7y = 16: 2x + 7(3x 1) = 16
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5x 4(13 3x) = 1
5x − 52 + 12x = 1
17x = 51 x = 3.
Підставимо x = 3 у y = 13 − 3x: y = 13 − 3 · 3 = 13 − 9 = 4.
Перевіримо в третьому рівнянні: 7·3 − 5·4 = 21 − 20 = 1.
Усі рівняння виконуються, отже, система має розв'язок: (3; 4).
1073. При якому значенні k система
а) �3x 2y = 1
5x 3y = 2
2x + ky = 25 �3x 2y = 1
5���� 3���� = 2
Розв'язок (7;11), тому
2x + ky = 25
2 · 7 + k · 11 = 25
14 + 11k = 25
11k = 11
k = 1
Відповідь: при k = 1
2x + 21x 7 = 16 23x = 23 x = 1
Підставляємо x в друге рівняння: y = 3 · 1 − 1 = 2
Підставляємо x і y в третє рівняння: 1 + 4 · 2 = 9, 9 ≠ 1. Не задовільняє рівняння, тому система не має розв'язку.
б) �k(x + y) + 5x = 2, 9���� + 11���� = 7, 4x 3y = 11 �9���� + 11���� = 7
4���� 3���� = 11
Розв'язок (2; 1), тому
k(x + y) + 5x = 2
k(2 − 1) + 5 · 2 = 2
k + 10 = 2
k = −8
Відповідь: при k = −8
1074. Розв’яжи графічно систему рівнянь.
а) �x² y² = 0
2x y = 6 �(x y)(x + y) = 0
2���� ���� = 6 �x y = 0 або x + y = 0
2���� ���� = 6
(6;6); (2; 2)
б) �x²
2xy + y² = 9, 2x + y = 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(x + y)² = 3²
2���� + ���� = 5
+ ���� = 3 або ���� + ���� = 3 2���� + ���� = 5
(2;1), (8; 11)
в) �|x − y| = 2
|x + y| = 2
���� = 2 x + y = 2 або � x y = 2 x + y = 2
− ���� = −2 x + y = 2 або �x − y = −2 x + y = −2 (2;0), ( 2;0), (0;2), (0; 2)
1075.
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
1076. Обчисли значення виразу. а) 3x³ − 2x² − x(3x² + 2x − 5) = 3x³ − 2x² − (3x³ + 2x² − 5x) = 3x³ − 2x² − 3x³ − 2x² + 5x = 4x² + 5x Якщо х = 5, то 4 • 5² + 5 • 5 = 4 • 25 + 25 = 100 + 25 = 75 б) (8a² − a³)a + (a² − 8a + 5)a² = 8a³ − a⁴ + a⁴ − 8a³ + 5a² = 5a² Якщо a = 0,2, то 5 • 0,2² = 5 • 0,04 = 0,2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1077. Перемнож двочлени.
а) (x + 3)(x 2) = x² 2x + 3x 6 = x² + x 6
б) (a 5)(a + 4) = a² + 4a 5a 20 = a² a 20 в) (m + n)(m n) = m² mn + mn n² = m² n²
г) (3 z)(5 + z) = 15 + 3z 5z z² = 15 2z z² 1078. Щоб одержати бронзу,
олова. Скільки
Нехай міді 17k, цинку 2k, олова k. Маємо рівняння: 17k + 2k + k = 200; 20k = 200; k = 10.
17 • 10 = 170 (кг) – узяли міді; 2 • 10 = 20 (кг) – узяли цинку; 1 • 10 = 10 (кг) – узяли олова.
Відповідь: 170 кг; 20 кг; 10 кг.
1079. Вирази із рівняння змінну y через x.
a) 2x + y = 3; y = 3 2x б) 5x y = 0; y = 5x в) x 2y = 0. 2y = x y = х 2
1080. Вирази із рівняння змінну x через y.
a) x y = 2;
x = 2 + y б) x + 3y = 5; x = 5 3y
1081. Розв’яжи систему рівнянь.
а) �x = y + 2
x + y = 4, � x = y + 2
(y + 2) + y = 4
(y + 2) + y = 4
2y + 2 = 4
2y = 2
y = 1
x = y + 2 = 1 + 2 = 3
Відповідь: (3;1)
1082. Розв’яжи способом
а) � x 2y = 5,
�
3x + 5y = 26
x = 5 + 2y
3(5 + 2����) + 5���� = 26
3(5 + 2y) + 5y = 26
15 + 6y + 5y = 26
11y = 11
y = 1
x = 5 + 2y = 5 + 2 • 1
x = 5 + 2
x = 7
в) 2x + 5y = 0. 2x = 5y, x = 5 2y y = 2,5у
б) �y = 2x 1 x + y = 5 ,
y = 2x 1
���� + (2���� 1) = 5
x + 2x 1 = 5
3x = 6
x = 2
y = 2x 1 = 2 • 2 1 = 4 1 = 3
Відповідь: (2;3)
Відповідь: (7;1) б) �3x + 4y = 10 7x y = 13 , �3x + 4(7x − 13) = 10 ���� = 7���� − 13
3x + 4(7x 13) = 10
3x + 28x 52 = 10
31x = 62
x = 2
y = 7 • 2 13
y = 14 13
y = 1
Відповідь: (2;1)
в) � y − 2z = 6, y + 2z = 10; � y = 6 + 2z
(6 + 2����) + 2���� = 10
(6 + 2z) + 2z = 10
6 + 4z = 10
4z = 4
z = 1
y = 6 + 2z = 6 + 2 • 1
y = 6 + 2
y = 8
Відповідь: (8;1)
г) �2z + 3y = 3, ���� + ���� = 2; �2(2 y) + 3y = 3
���� = 2 − ����
2(2 y) + 3y = 3
4 2y + 3y = 3
y = 1
z = 2 y = 2 ( 1)
z = 3
Відповідь: (3; 1)
ґ) �9x + 2y − 4 = 0
8x + y − 2 = 0 , �9x + 2(2 8x) 4 = 0 y = 2 − 8x
9x + 2(2 8x) 4 = 0
9x + 4 16x 4 = 0
7x = 0
x = 0 y = 2 8x = 2 8 • 0 y = 2
Відповідь: (0;2)
1083. Розв’яжи способом підстановки систему рівнянь
а) � 3x y = 1
3x + 8y = 19;, � y = 3x 1
3x + 8(3x 1) = 19,
б) �
3x + 2y = 27
x + 5y = 35; ,
3(35 − 5y) + 2y = 27
x = 35 5y ,
в) � 2p + q = 11
5p 2q = 41,
� q = 11 2p
5p 2q = 41
5p 2q = 41
5p 2(11 2p) = 41
5p 22 + 4p = 41
9p = 63
p = 7
q = 11 2 • 7 = 3
Відповідь: (7; 3)
г) � 3x + z − 1 = 0, 5x + 4z 11 = 0; � z = 1 3x
5x + 4z 11 = 0
5x + 4z 11 = 0
5x + 4(1 3x) 11 = 0
5x + 4 12x 11 = 0
7x 7 = 0
x = 1
z = 1 3 • ( 1) = 4
Відповідь: ( 1; 4)
д) �5u + 7v + 33 = 0
10u − v + 6 = 0 ,
5u + 7(10u + 6) + 33 = 0
���� = 10���� + 6
5u + 7(10u + 6) + 33 = 0
5u + 70u + 42 + 33 = 0
75u = 75
u = 1
v = 10 • ( 1) + 6
v = 4
Відповідь: ( 1; 4)
3x + 24x 8 = 19; 27x = 27; x = 1; y = 3 · 1 1 = 2; Відповідь: (1; 2).
105 15y + 2y = 27; 13y = 78; y = 6; x = 35 5 · 6 = 5. Відповідь: (5; 6).
г) �6a 3b = 9 2a + b = 5 , � q = 11 2p
5p 2q = 41
5p 2q = 41
5p 2(11 2p) = 41
5p 22 + 4p = 41
9p = 63
p = 7
q = 11 2 • 7 = 3
Відповідь: (7; 3)
д) �5x + 7z 45 = 0, 7x z 9 = 0; � z = 1 3x
5x + 4z 11 = 0
5x + 4z 11 = 0
5x + 4(1 3x) 11 = 0
5x + 4 12x 11 = 0
7x 7 = 0
x = 1
z = 1 3 • ( 1) = 4
Відповідь: ( 1; 4)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
�
15y 8z = 29, 3y + 2z = 13;
z = (13 3y) 2
15y 8 (13 3y) 2 ) = 29
15y 4(13 3y) = 29
15y 52 + 12y = 29
27y = 81
y = 3
z = (13 3 • 3)
2
z = (13 9) 2
z = 4 2
z = 2
Відповідь: (3; 2)
б) � 3x + 8t = 30
6x + 5t = 27;,
t = (30 3x) 8
6x + 5 (30 3x) 8 = 27
6x + 5(30 3x) 8 = 27 | • 8
48x + 5(30 3x) = 216
48x + 150 15x = 216
33x = 66 x = 2
t = (30 3 • 2)
8
t = (30 6)
8
t = 24 8 t = 3
Відповідь: (2; 3)
в) �14u 9v = 24
7u 2v = 17 �2 · 7u 9v = 24
7u = 17 + 2v;
2 · (17 + 2v) 9v = 24
34 + 4v 9v = 24
34 5v = 24
5v = 10
v = 2;
7u = 17 + 2 · 2;
7u = 21; u = 3
Відповідь: u = 3; v = 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) �5x + 4y = 13 3x + 2y = 7
5x = 13 − 4y
3x + 5y = 13
x = 13 5 4 5 y
3( 13 5 4 5 y) + 5y = 13 39 5 12 5 y + 5y = 13 13
5 y = 13 39 5 13
5 y = 26 5 y = 2; x = 13 5 8 5 = 1
Відповідь: (1; 2)
1085. Розв’яжи
а) � 6a 5b = 13, 2a + 7b = 13;
З другого рівняння:
2a + 7b = 13, 2a = 13 7b,
a = (13 7b) 2 .
Підставимо у перше рівняння:
6(13 7b)
2 5b = 13,
3(13 7b) 5b = 13,
39 21b 5b = 13,
39 26b = 13, 26b = 13 39, 26b = 26, b = 1.
Знаходимо a:
a = (13 7•1) 2 = (13 7) 2 = 6 2 = 3.
Відповідь: (3; 1)
в) � 6x 4y = 2, 3x − 5y = −7;
З
другого рівняння:
3x 5y = 7,
3x = 7 + 5y,
x = ( 7 + 5y)
3 .
Підставимо у перше рівняння:
6( 7 + 5y)
3 4y = 2,
2( 7 + 5y) 4y = 2,
14 + 10y 4y = 2,
14 + 6y = 2
6y = 2 + 14
б) � 2a 7b = 5, 4a 9b = 15; З першого рівняння:
2a 7b = 5, 2a = 5 + 7b,
a = (5 + 7b)
2
Підставимо у друге рівняння:
4(5 + 7b) 2 9b = 15, 2(5 + 7b) 9b = 15, 10 + 14b 9b = 15, 10 + 5b = 15, 5b = 15 10, 5b = 5, b = 1.
Знаходимо a:
a = (5 + 7•1) 2 = (5 + 7) 2 = 12 2 = 6.
Відповідь: a = 6; b = 1.
г) �7x + 4y = 3, 9x + 16y = 7.
З першого рівняння: 7x + 4y = 3, 7x = 3 4y,
x = ( 3 4y)
7 .
Підставимо у друге рівняння:
9( 3 4y)
7 + 16y = 7, ( 27 36y)
7 + 16y = 7, | • 7
27 36y + 112y = 49
27 + 76y = 49
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6y = 12 y = 2.
Знаходимо x:
x = ( 7 + 5•2) 3 = ( 7 + 10) 3 = 3 3 = 1.
Відповідь: x = 1; y = 2.
1086. Не виконуючи
а)
x + y = 37
x y = 5
x = 5 + y
(5 + y) + y = 37
(5 + y) + y = 37
5 + 2y = 37
2y = 32
y = 16
x = 5 + 16 = 21
76y = 49 + 27
76y = 76, y = 1.
Знаходимо x: x = ( 3 4•1) 7 = ( 3 4) 7 = 7 7 = 1.
Відповідь: x = 1; y = 1.
Координати точки (21; 16) а) �2x 3y = 16 x + 2y = 1
1087. Не
x + 2y = 8
���� 2���� = 2
x = 2 + 2y
(2 + 2����) + 2���� = 8
(2 + 2y) + 2y = 8
2 + 4y = 8
4y = 6
y = 1,5
x = 2 + 2 • 1,5 = 2 + 3 = 5
Координати точки (5;1,5)
x = 1 − 2y 2(1 2y) 3y = 16
2(1 2y) 3y = 16
2 4y 3y = 16
2 7y = 16 7y = 14
y = 2 x = 1 2 • ( 2) = 1 + 4 = 5
Координати точки (5; 2)
4x − 7y = 15
3���� + ���� = 5
y = 5 3x
4���� 7(5 3���� ) = 15
4x 7(5 3x) = 15
4x 35 + 21x = 15
25x = 50
x = 2
y = 5 3 • 2 = 5 6 = 1
Координати точки (2; 1)
1088. Розв’яжи способом підстановки систему рівнянь.
а) �3x + 0,5y = 1
x + 0,25y = 1,
�3(1 0,25y) + 0,5y = 1 ���� = 1 0,25����
3(1 0,25y) + 0,5y = 1
3 0,75y + 0,5y = 1
3 0,25y = 1
0,25y = 2
y = 8
x = 1 0,25 • 8 = 1 2 = 1
Відповідь: ( 1;8)
б) � 0,2x + y = 7 1,5x + y = 13,5, � y = 7 0,2x
1,5���� + (7 0,2����) = 13,5
1,5x + (7 0,2x) = 13,5
1,5x + 7 0,2x = 13,5
1,3x + 7 = 13,5
1,3x = 6,5 x = 5
y = 7 0,2 • 5 = 7 1 = 6
Відповідь: (5;6)
1089. Solve the system of equations by substitution.
а) �0,6x + 0,8y = 1,
x + 4y = 3
�
0,6(3 4y) + 0,8y = 1 ���� = 3 4����
b) � 0,5x y = 1,5, 0,3x 0,4y = 1 � y = 0,5x 1,5
0,3���� − 0,4(0,5���� − 1,5) = 1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0,6(3 4y) + 0,8y = 1
1,8 2,4y + 0,8y = 1
1,8 1,6y = 1
1,6y = 0,8
y = 0,5
x = 3 4 • 0,5 = 3 2 = 1
Відповідь: (1;0,5)
0,3x 0,4(0,5x 1,5) = 1
0,3x 0,2x + 0,6 = 1
0,1x + 0,6 = 1
0,1x = 0,4
x = 4
y = 0,5 • 4 1,5 = 2 1,5 = 0,5
Відповідь: (4;0,5)
1090. Solve the system of equations by substitution.
2x + y = 5
0,5x + 2y = 3
y = 5 2x
0,5x + 2(5 − 2x) = 3
0,5x + 10 4x = 3
3,5x = 7
x = 2
y = 5 2 • 2 = 5 4 = 1
Відповідь: розв'язки співпадають.
1091. Розв’яжи систему рівнянь
a) �
4(x + 2y) = 5x + 6
3(2x y) = 24y + 6
4x + 8y = 5x + 6
6x − 3y = 24y + 6
x = 8y 6
6 · (8y 6) = 27y + 6
48y 36 27y = 6
21y = 6 + 36
21y = 42
y = 2
x = 8 · 2 6
x = 16 6
x = 10
Відповідь: (10; 2)
б) � 5(x 3y) = 2x + 7
3(x + 6y) = 9y + 15;
5x − 15y = 2x + 7,
3x + 18y = 9y + 15;
5x − 2x − 15y = 7;
3x + 18y 9y = 15;
3x 15y = 7
3x + 9y = 15;
3x 15y = 7
3x = 15 9y;
x = 5 3y
3 · (5 − 3y) − 15y = 7; 15 9y 15y = 7
24y = 7 15
y = 8 : ( 24)
y = 1 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 5 3 · 1 3
x = 5 1
x = 4
Відповідь: (4; 1 3)
1092. Розв’яжи систему рівнянь
а)
5x − 2 = 4(x + 2y) − 8,
3(2x y) + 6 = 24y + 12;
5x 2 = 4x + 8y 8
6x 3y + 6 = 24y + 12 � x 8y = 6
6x 27y = 6
x = 8y − 6
6(8y 6) 27y = 6
6(8y 6) 27y = 6
48y 36 27y = 6
21y = 42
y = 2
x = 8 • 2 6 = 16 6 = 10
Відповідь: (10;2)
1093. Знайди розв’язок системи рівнянь
(7 + x) 2 = (y + 13) 3 · 6
5x − 3y = 8
3(7 + x) 2(y + 3)
5x 3y = 8
21 + 3x 2y + 6
5x − 3y = 8
3x 2y = 27
5x 3y = 8
2y = 5 3x
5x 3y = 8
y = 2,5 + 1,5x
5x − 3(−2,5 + 1,5x) = 8
5x 3( 2,5 + 1,5x) = 8
5x + 7,5 4,5x = 8
0,5x = 0,5 x = 1
y = 2,5 + 1,5 · 1 = 2,5 + 1,5 = 1
Відповідь: (1; 1)
б) � 2x − 3 = 5(x − y), 2(3x 1) = y 35. �2x 3 = 5x 5y 6x − 2 = y − 35
3x + 5y = 3 6x y = 33
3x + 5(6x + 33) = 3 y = 6x + 33 3x + 30x + 165 = 3 27x = 162 x = 6 y = 6 • ( 6) + 33 = 36 + 33 = 3
Відповідь: ( 6; 3)
(5x 3y) 4 = (x 5y) 3 | · 12 7x + y = 12
3(5x 3y) = 4(x 5y) 7x + y = 12
15x 9y = 4x 20y 7x + y = 12
11x + 11y = 0 y = 12 7x
�11x + 11(12 7x) = 0 y = 12 7x
11x + 132 77x = 0 66x = 132 x = 2 y = 12 7 · 2 = 12 14 = 2
Відповідь: (2; 2)
1 3 (x + y) 1 4 (x y) = 5, | · 12 1 12 (���� + ����) + 1 3 (���� ����) = 6; | · 12
4(x + y) 3(x y) = 60, (x + y) + 4(x − y) = 72; �4x + 4y 3x + 3y = 60, x + y + 4x 4y = 72;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + 7y = 60, → x = 60 − 7y, 5x 3y = 72;
5(60 7y) 3y = 72;
300 35y 3y = 72; 38y = 228; y = 6;
→ x = 60 7 · 6 = 60 42 = 18
Відповідь: (18; 6).
г)
1
(x + 2y) 4 = 3 + (3x 5y) 2
3 · x + 1 2 · y = 7 1 4 (x 2y) · 12
x + 2y = 12 + 2(3x 5y)
4x + 6y = 84 3(x 2y)
x + 2y = 12 + 6x − 10y
4x + 6y = 84 − 3x + 6y
5x + 12y = 12
7x = 84
5 · 12 + 12y = 12 x = 12
5 · 12 + 12y = 12
60 + 12y = 12
12y = 72 y = 6
Відповідь: (12;6) 1094. Знайди розв’язок системи рівнянь
a)
4(x 3z) + 33z = 50
5(x + 2z) 3x = 18
4x 12z + 33z = 50
5x + 10z 3x = 18
4x + 21z = 50
2x + 10z = 18
2x = 18 − 10z
4x + 21z = 50
x = 9 5z
4 · (9 5z) + 21z = 50
36 20z + 21z = 50
z = 50 36
z = 14
x = 9 5 · 14
x = 9 70
x = 61
Відповідь: x = 61; z = 14
б) � 4x + 7 = 5(x + t)
3(x + 5t) − 6t = 15
4x + 7 = 5x + 5t
3x + 15t 6t = 15 � x = 7 5t
3x + 9t = 15
3 · (7 5t) + 9t = 15
21 15t + 9t = 15
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6t = 15 21
6t = 6
t = 1
x = 7 5 · 1
x = 7 5
x = 2
Відповідь: x = 2; t = 1
1095. Знайди
a) � 3x + 1 = 5(3 2y)
4(x 1) = 2(8,5 5y)
3x + 1 = 15 − 10y
4x 4 = 17 10y
3x + 10y = 14
4x = 21 10y
x = 5,25 2,5y
3 · (5,25 2,5y) + 10y = 14
15,75 7,5y + 10y = 14
2,5y = 14 15,75
y = 1,75 : 2,5
y = 0,7
x = 5,25 2,5 · ( 0,7)
x = 5,25 + 1,75 x = 7
Відповідь: (7; 0,7)
б) � 6(x 2y) = 7 9y
8x + 3y = 5(2x + 1)
6x 12y = 7 9y
8x + 3y = 10x + 5
6x − 3y = 7
3y 2x = 5;
2x = 3y − 5
6x − 3y = 7;
x = 1,5y 2,5
6 · (1,5y 2,5) 3y = 7 9y 15 3y = 7
6y = 22
y = 22 : 6 y = 32 3 x = 3 2 · 11 3 2,5
x = 5,5 2,5 x = 3
Відповідь: (3; 32 3) 1096. Знайди розв’язок системи рівнянь
а)
2x 5 5 = (y 3) 4 x 2y = 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2(2 + 2y) 5 5 = (y 3) 4 x = 2 + 2y
Розв'язуємо рівняння:
2(2 + 2y) 5 5 = (y 3) 4 · 20
4(2(2 + 2y) 5) = 5(y 3)
4(4 + 4y 5) = 5y 15
4 + 16y = 5y 15
11y = 11 y = 1
Підставляємо y у рівняння x = 2 + 2y: x = 2 + 2 · ( 1) = 2 2 = 0
Відповідь: (0; 1)
б)
(4x 1) 3 = (3y 11) 2 4x − y = 9
(4���� 1) 3 = (3(4���� 9) 11) 2 ���� = 4���� 9
Розв'язуємо рівняння: (4x 1)
3 = (3(4x 9) 11) 2 · 6
2(4x 1) = 3(3(4x 9) 11)
8x 2 = 3(12x 27 11)
8x 2 = 3(12x 38)
8x 2 = 36x 114
28x = 112 x = 4
Підставляємо x у рівняння y = 4x 9: y = 4 · 4 9 = 16 9 = 7
Відповідь: (4; 7)
В)
( 1 4)(y 1) ( 1 3)(x + 1) = 2 | · 12 ( 1 4)(���� + 3) ( 1 3)(���� + 1) = 4 | · 12
3(y − 1) − 4(x + 1) = 24
3(x + 3) 4(y + 1) = 48
3y 3 4x 4 = 24
3x + 9 4y 4 = 48
3y 4x = 31
3x 4y = 53
3y 4 (( 53 + 4y) 3 ) = 31 x = ( 53 + 4y) 3
Розв'язуємо рівняння:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3y 4(( 53 + 4y) 3 = 31 | · 3
9y + 212 16y = 93
7y = 119 y = 17
Підставляємо y у рівняння x = ( 53 + 4y) 3 :
x = ( 53 + 4 · 17) 3 = ( 53 + 68) 3 = 15 3 = 5
Відповідь: (5; 17) Г)
(x + y) 4 (x − y) 3 = 5 | · 12
(���� + ����) 8 + (���� ����) 6 = 1,5 | · 24
3(x + y) 4(x y) = 60
3(���� + ����) + 4(���� ����) = 36
3x + 3y − 4x + 4y = 60
3x + 3y + 4x − 4y = 36
x + 7y = 60
7x y = 36
x = 7y 60
7(7y 60) y = 36
Розв'язуємо рівняння:
7(7y 60) y = 36
49y 420 y = 36
48y = 456 y = 9,5
Підставляємо y у рівняння x = 7y 60: x = 7 · 9,5 60 = 66,5 60 = 6,5
Відповідь: (6,5; 9,5)
1097. При яких значеннях
С(–1; –1)?
a + 3b = 1 a b = 1
a = 1 3b
1 + 3b b = 1
1 + 3b − b = 1
2b = 2
b = 1
a = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
Відповідь: a = −2, b = 1
1098.
K(3; –2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a + 4b = 7
3a 2b = 7
a = 7 4b
3(7 4b) 2b = 7
3(7 − 4b) − 2b = 7
21 − 12b − 2b = 7
21 − 14b = 7
14b = 14
b = 1
a = 7 − 4 · 1 = 7 − 4 = 3
Відповідь: a = 3, b = 1 1099.
розв’язками (А–Д).
7(2x + y) 5(3x + y) = 6
3(x + 2y) 2(x + 3y) = 6 → Г ( 6; 0)
u + (1 3)(u + v 3) = 14 (1 3)v − (1 6)(u + v) = 5 6 → В (8; 13)
0,2a + 4b = 5 0,8a
2,5a + 0,5b = 1 (1 2)b → A (1; 1,5)
1100.
⎧x + ( 1 3)y + ( 1 3))z = 14 | · 3 y + ( 1 4))x + ( 1 4))z = 8 | · 4
z + ( 1 5))x + ( 1 5))y = 8 | · 5
3x + y + z = 42
4y + x + z = 32
5z + x + y = 40
3x + y + (32 − 4y − x) = 42 z = 32 4y x
5(32 4y x) + x + y = 40 Розв'язуємо систему рівнянь:
2x 3y = 10
160 20y 5x + x + y = 40
2x 10 = 3y 4x 19y = 120
умовами (1–3), та їх
25y = 100 y = 4
x = 5 + 1,5y 4(5 + 1,5y) 19y = 120 Розв'язуємо рівняння: 4(5 + 1,5y) 19y = 120 20 6y 19y = 120
x = 5 + 1,5y: x = 5 + 1,5 · 4 = 5 + 6 = 11
Підставляємо знайдені
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x і y у рівняння z = 32 4y x: z = 32 4 · 4 11 = 32 16 11 = 5
Відповідь: x = 11, y = 4, z = 5. 1101. Задача Е. Безу (1730–1783). Розв’яжи систему
�
5x + 3y = 65
2y z = 11
3x + 4z = 57
Крок 1: Виразимо z із другого рівняння.
З другого рівняння: 2y z = 11
Виразимо z : z = 2y 11
Крок 2: Підставимо z = 2y 11 у третє рівняння.
Третє рівняння:
3x + 4z = 57
Підставимо значення z : 3x + 4(2y 11) = 57
Розкриємо дужки:
3x + 8y 44 = 57
3x + 8y = 101
Крок 3: Розв'яжемо систему рівнянь (1) і (2).
5���� + 3���� = 65
3���� + 8���� = 101
Розв'яжемо її далі.
Розрахунки для x і y:
x = 7, y = 10
Крок 4: Знайдемо z.
Підставимо y = 10 у рівняння для z:
z = 2(10) 11. z = 20 11 = 9.
1102. Який многочлен треба додати до 3y⁴-2y²+5, щоб
(3y⁴ 2y² + 5) + P = 5y⁴ + y³ 2y² + 8; P = 5y⁴ + y³ 2y² + 8 (3y⁴ 2y² + 5); P = 5y⁴ + y³ 2y² + 8 3y⁴ + 2y² 5; P = 2y⁴ + y³ + 3.
1103. Знайди добуток многочленів.
а) (2a – n)(4a² + 2an + n²) = (2a)³ – n³ = 8a³ – n³; б) (1 + c + c²)(1 – c) = 1 – c³.
1104. Обчисли значення виразу.
а) 2¹³ • 0,5¹³ = (2 • 0,5)¹³ = 1¹³ = 1;
б) 0,5¹⁸ • 2¹⁸ = (0,5 • 2)¹⁸ = 1¹⁸ = 1;
в) 25⁷ • 0,04⁷ = (25 • 0,04)⁷ = 1⁷ = 1;
г) 5³³ • 0,2³³ = (5 • 0,2)³³ = 1³³ = 1.
1105. Додай почленно ліві й праві частини рівнянь.
5���� ���� = 12
а) �3���� + 2���� = 7
3x + 2y + 5x y = 7 + 12
8x + y = 19
1106. Розв’яжи систему
а) � x + y = 5, 2x y = 1
3x = 6
x = 2
x + y = 5
2 + y = 5 y = 3
Відповідь: (2;3)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) � x − 2y = 2, 3x + 2y = 6
4x = 8 x = 2 x 2y = 2 2 2y = 2 2y = 0 y = 0
Відповідь: (2;0) в) � a − c = 3, 2a + c = 6
1107. Скільки розв’язків має
Має єдиний розв'язок. 1108. Розв’яжи способом додавання
3a = 9 a = 3 a c = 3
3 c = 3 c = 0
Відповідь: (3;0)
8 2 + у 3 = 6
4 + у 3 = 6
3 = 2 y = 6
Відповідь: (8;6)
1109. Розв’яжи способом
а) �x + y = 7, x y = 3
2x = 10 x = 5
x + y = 7
5 + y = 7 y = 2
Відповідь: (5;2)
б) �5x − y = 16 x + y = 14 , 6x = 30 x = 5 x + y = 14
5 + y = 14 y = 9
Відповідь: (5;9) в) �3x + 2y = 18 7x 2y = 2 , 10x = 20 x = 2
3x + 2y = 18
3 · 2 + 2y = 18
6 + 2y = 18
2y = 12
y = 6
Відповідь: (2;6)
1110. Розв’яжи способом додавання систему рівнянь
а)
�2x + y = 17
2x y = 3 ,
4x = 20
x = 5
2x + y = 17
2 · 5 + y = 17
10 + y = 17
y = 7
б)
� 3u v = 26, 5u + v = 38;
8u = 64
u = 8
3u v = 26
3 · 8 v = 26
24 v = 26
v = 2
в)
� x 2y = 5
3x + 2y = 7,
4x = 12
x = 3
3x + 2y = 7
3 · 3 + 2y = 7
9 + 2y = 7
2y = 2
г)
�4x 3y = 2
3x + 3y = 5, 7x = 7 x = 1
3x + 3y = 5
3 · 1 + 3y = 5
3 + 3y = 5
3y = 2
y = 2 3
Відповідь: (1; 2 3)
г)
�3���� + 4���� = 25, 7x 4y = 5
10x = 30
x = 3
3x + 4y = 25
3 · 3 + 4y = 25
9 + 4y = 25
4y = 16
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(5;7)
а) � x 4y = 5
���� 3���� = 12 | · ( 1)
x 4y = 5
x + 3y = 12
y = 7
y = 7
x 4y = 5
x 4 · 7 = 5
x 28 = 5
x = 33
Відповідь: (33;7)
в) � 15y 8z = 29
3���� + 2���� = 13 | · 4
15y 8z = 29
12y + 8z = 52
27y = 81
y = 3
3y + 2z = 13
3 · 3 + 2z = 13
9 + 2z = 13
2z = 4
z = 2
Відповідь: (3;2)
1112. Розв’яжи способом
а)
x + 7z = 26
���� + 4���� = 17 | · (−1)
x + 7z = 26
���� 4���� = 17
z = 9
z = 3
x + 7z = 26
x + 7 · 3 = 26
x + 21 = 26
x = 5
Відповідь: (5;3)
в) � 14u 9v = 24
7���� − 2���� = 17 | · (−2) � 14u 9v = 24
14u + 4v = 34
5v = 10
v = 2
7u 2v = 17
7u 2 · 2 = 17
7u 4 = 17
7u = 21
(8; 2) y = 1 Відповідь: (3; 1) y = 4 Відповідь: (3;4)
u = 3
�3x − y = 1 | · (−1)
3���� + 8���� = 19
3x + y = 1
3x + 8y = 19
9y = 18
y = 2
3x y = 1
3x 2 = 1
3x = 3
x = 1
Відповідь: (1;2)
г) � 3x + 8t = 29 | · 2 6���� + 5���� = 47 | · ( 1) � 6x + 16t = 58 6x 5t = 47 11t = 11 t = 1
3x + 8t = 29
3x + 8 · 1 = 29
3x + 8 = 29
3x = 21
x = 7
Відповідь: (7;1)
б) � 5x + 7z = 29
5���� 2���� = 34 | · ( 1) � 5x + 7z = 29
5x + 2z = 34
9z = 63
z = 7
5x + 7z = 29
5x + 7 · 7 = 29
5x + 49 = 29
5x = 20
x = 4
Відповідь: ( 4;7)
г) �5x + 4y = 13 | · (−3)
3���� + 2���� = 13 | · 5 � 15x 12y = 39 15x + 10y = 65
5v = 10
v = 2
7u 9v = 24
7u 2·2 = 17
7u 4 = 17
7u = 21
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: (3;2)
1113. Розв’яжи
3a 5b = 13 | · ( 2)
2a + 7b = 81 | · 3
6a + 10b = 26
6a + 21b = 243
31b = 217
b = 7
3a 5b = 13
3a 5 · 7 = 13
3a 35 = 13
3a = 48
a = 16
Відповідь: (16;7) в)
3x + 2y = 27 | · 5
4x + 5y = 50 | · ( 2)
15x + 10y = 135
8x 10y = 100
7x = 35
x = 5
3x + 2y = 27
3 · 5 + 2y = 27
15 + 2y = 27
2y = 12
y = 6
Відповідь: (5;6)
u = 3
Відповідь: (3;2)
б) � 2a 7b = 8 | · 5
5���� 9���� = 3 | · ( 2)
10a 35b = 40
10a + 18b = 6
17b = 34
b = 2
2a 7b = 8
2a 7 · ( 2) = 8
2a + 14 = 8
2a = 6
a = 3
Відповідь: ( 3; 2) Г)
� 4x + 5y = 11 | · 3
3x + 8y = 24 | · ( т 4) �12x + 15y = 33 12x 32y = 16
17y = 17
y = 1
4x + 5y = 11
4x + 5 · 1 = 11
4x + 5 = 11
4x = 16
x = 4
Відповідь: ( 4;1)
1114. Solve the following system of equations by addition.
а) �
8z + 3t = 7 | · 5
−3z − 5t = 9 | · 3 �
40z + 15t = 35
9���� 15���� = 27
31z = 62
z = 2
8z + 3t = 7
8 · 2 + 3t = 7
16 + 3t = 7
3t = 9
t = 3
Відповідь: (2; 3)
В)
� 3x + 5y = 7 | · 5
5x + 6y = 26 | · 3
� 15x + 25y = 35
15x + 18y = 78
б)
� 3m 7n = 8 | · 5 5m + 8n = 26 | · (−3)
� 15m 35n = 40 15m 24n = 78
59n = 118
n = 2
3m 7n = 8
3m 7 · 2 = 8
3m 14 = 8
3m = 6
m = 2
Відповідь: (2;2)
Г)
� 4x + 3y = 22 | · 3
3x − 7y = −2 | · (−4)
� 12x + 9y = 66
12���� + 28���� = 8
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
43y = 43
y = 1
3x + 5y = 7
3x + 5 · 1 = 7
3x + 5 = 7
3x = 12
x = 4
Відповідь: (4;1)
1115. Знайди координати точки
побудувавши графіки цих рівнянь а)
� x 2y = 1
2x + y = 7 | · 2 � x 2y = 1
4x + 2y = 14
5x = 15
x = 3
x 2y = 1
3 2y = 1
2y = 2
y = 1
Точка перетину: (3;1)
1116. Знайди
графіки цих рівнянь
а)
� 2x y = 3
x 3y = 4 | · ( 2)
� 2x y = 3
2x + 6y = 8
5y = 5
y = 1
x 3y = 4
x 3 · ( 1) = 4
x + 3 = 4
x = 1
Точка перетину: (1; 1)
1117. Розв’яжи
37y = 74
y = 2
4x + 3y = 22
4x + 3 · 2 = 22
4x + 6 = 22
4x = 16
x = 4
Відповідь: (4;2)
б)
� 5x + 2y = 1 | · 7 4x 7y = 18 | · 2
35x + 14y = 7 8x 14y = 36
43x = 43
x = 1
5x + 2y = 1
5 · 1 + 2y = 1
5 + 2y = 1
2y = 4
y = 2
Точка перетину: (1; 2)
б)
�3x + 2y = 8 | · 3 5x 3y = 7 | · 2
� 9x + 6y = 24 10x 6y = 14
19x = 38
x = 2
3x + 2y = 8
3 · ( 2) + 2y = 8 6 + 2y = 8
2y = 2
y = 1
Точка перетину: ( 2; 1)
а) Метод додавання
3x + y = 7
4x − y = 7
7x = 14
x = 2
3x + y = 7
6 + y = 7
y = 1
Відповідь: (2;1)
б) Метод додавання
3x 2y = 2
5x + 4y = 18
12x 8y = 8
10x + 8y = 36
22x = 44
x = 2
11x = 22
3x 2y = 2
3 · 2 2y = 2
6 2y = 2
2y = 4
y = 2
Відповідь: (2;2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3x + y = 7
4x − y = 7
y = 7 3x 4x (7 3x) = 7
4x (7 3x) = 7
4x 7 + 3x = 7
7x = 14
x = 2
y = 7 3x
y = 7 3 • 2 = 1
Відповідь: (2;1)
Метод підстановки � 3x 2y = 2
5x + 4y = 18 � y = 1.5x 1
5x + 4(1.5x 1) = 18
5x + 4(1,5x 1) = 18
5x + 6x 4 = 18
11х = 22
x = 2
y = 1.5x 1
y = 1,5 · 2 1 = 2
Відповідь: (2;2)
Метод додавання
3x − y = 11
5x + y = 13
8x = 24
x = 3
3x y = 11
3 • 3 y = 11
9 y = 11
y = 2
Відповідь: (3; 2)
б) Метод додавання
4���� + 3���� = 10
2���� + 7���� = 12
4x + 3y = 10
4���� + 14���� = 24
17y = 34
y = 2
4x + 3y = 10
4x + 3 · 2 = 10
4x + 6 = 10
4x = 4
x = 1
Відповідь: (1;2)
1119.
10���� 28���� = 58
49y = 49
y = 1
10x 21y = 9
10x 21 · 1 = 9
10x 21 = 9
10x = 30
x = 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3x − y = 11
5x + y = 13
y = 3x 11 5x + (3x 11) = 13
5x + (3x 11)=13
5x + 3x 11 = 13
8x = 24
x = 3
y = 3x 11
y = 3 • 3 11
y = 9 11
y = 2
Відповідь: (3; 2)
Метод підстановки � 4���� + 3���� = 10
2���� + 7���� = 12
���� = 2.5 0.75����
2(2.5 0.75����) + 7���� = 12
2(2.5 0.75y) + 7y = 12
5 + 1.5y + 7y = 12
8.5y = 17
y = 2
x = 2.5 0.75y
x = 2.5 0.75 • 2
x = 2.5 1.5
x = 1
Відповідь: (1;2)
8x 6 = 2
8x = 8 x = 1 Відповідь: (1;2)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0.1���� + 0.2���� = 0.3 | · 5
0.4���� + 0.5���� = 0.9 | · (−2)
0 5���� + ���� = 1 5
0 8���� ���� = 1 8
0.3p = 0.3
p = 1
0.1p + 0.2q = 0.3
0.1 · 1 + 0.2q = 0.3
0.2q = 0.2
q = 1
Відповідь: (1;1)
1123. Розв’яжи
5���� 2 = 4(���� + 2����) 8
3(2���� ����) + 6 = 24���� + 12
5���� − 2 = 4���� + 8���� − 8
6���� 3���� + 6 = 24���� + 12
8���� = 6 | · ( 6)
6���� 27���� = 6
6���� + 48���� = 36
6���� − 27���� = 6
21y = 42
y = 2
x 8y = 6
x 8 · 2 = 6
x 16 = 6
x = 10
Відповідь: (10;2)
1.2���� 3.4���� = 12 | · 7 2.5���� + 1.4���� = 25 | · 17 � 8.4���� 23.8���� = 84 42.5x + 23.8y = 425 50.9x = 509 x = 10 1.2x 3.4y = 12 1.2 · 10 3.4y = 12 12 3.4y = 12 y = 0
Відповідь: (10;0)
10���� + 7���� = 51 ���� − 1 5 ���� =
= 27 v = 3
10u + 7v = 51 10u + 7 · 3 = 51
10u + 21 = 51
10u = 30 u = 3
Відповідь: (3;3) 1124. Розв’яжи
5���� − 6 = 5(���� − ����)
2(3���� 1) = 4���� 5
5���� 6 = 5���� 5����
6���� 2 = 4���� 5
�0 5���� = 6 | · ( 4)
6���� 4���� = 3 | · 5
0 + 20���� = 24
30���� 20���� = 15
30x = 9
x = 0,3
6x 4y = 3
6 · 0,3 4y = 3
1,8 4y = 3
4y = 4,8
y = 1,2
Відповідь: (0,3;1,2)
5x 4y = 0 15x + 8y = 200
10x 8y = 0
15x + 8y = 200
25x = 200
x = 8
25x = 200
x = 8
5x 4y = 0
5 • 8 4y = 0
40 4y = 0
4y = 40
y = 10
Відповідь: (8;10)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6(x − 1) − (5y 2x) 2 = 0 | · 2 12x 5 y = 2 | · 5
12(x 1) (5y 2x) = 0
12x 5y = 10
12x 12 5y + 2x = 0
12x 5y = 10 | · ( 1)
14x 5y = 12
12x + 5y = 10
2x = 2
x = 1
14x 5y = 12
14 · 1 5y = 12
14 5y = 12
5y = 2 y = 0,4 Відповідь: (1;0,4)
1125. Розв’яжи способом
x 4y + 6x = 24 2x 3x + 6y = 2
7x 4y = 24 −x + 6y = 2
7x − 4y = 24 7x + 42y = 14 38y = 38 y = 1 x + 6y = 2 x + 6 · 1 = 2 x = 4 x = 4
(4;1)
�1,5���� 2,2���� = 0,1
4,2���� 2,5���� = 7,6
·2,5: 3,75x - 5,5y = 0,25
·2,2: 9,24x - 5,5y = 16,72
3,75x - 9,24x = 0,25 - 16,72 -5,49x = -16,47
x = 3
y = 2
2,7���� − 3(���� + ����) = 2,1 3,2���� 2(���� ���� ) = 17,6 -0,3x - 3y = 2,1 5,2x - 2y = 17,6 ·(2 3): 0,2x + 2y = -1,4 5,2x - 2y = 17,6
5,4x = 16,2 x = 3
y = -1 в) �6(���� 1) (5���� 2����) 2 = 0 12���� 5 ���� = 2
7x - 2,5y = 6 y = 12x 5 - 2
7x - 2,5(12x 5 - 2) = 6 x = 1
y = 0,4
3,5x - 2y = 121 3 ·x + 2y = 2 3
·3: -x + 6y = 2
3,5x - 2y = 12
2,5x = 14 x = 5,6
y = 1,27 1126.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2.5u 0.2(u v) = 2.3
3.7u 1.5(v u) = 5.2
2.5u 0.2u + 0.2v = 2.3
3.7u 1.5v + 1.5u = 5.2
2.3u + 0.2v = 2.3
5.2u 1.5v = 5.2
23u + 2v = 23 | · 15
52u 15v = 52 | · 2
345u + 30v = 345
104u 30v = 104
449u = 449
u = 1
23u + 2v = 23
23 + 2v = 23
v = 0
Відповідь: (1;0) В)
2x + 7(x y) 2 = 5 | · 2
5(x 1) + 3x 7y 2 = 0 | · 2
4x + 7x 7y = 10
10x 10 + 3x 7y = 0
11x 7y = 10
13x 7y = 10 | · ( 1)
11x 7y = 10
13x + 7y = 10
2x = 0
x = 0
11x 7y = 10
7y = 10
y = 10 7
y = 13 7
Відповідь: (0; 13 7)
3.5y 0.2(2y z) = 31.2 5.2z + 0.7(y 2z) = 10.8
35y 4y + 2z = 312
52z + 7y 14z = 108
31y + 2z = 312 | · ( 19)
7y + 38z = 108
589y − 38z = −5928
7y + 38z = 108
582y = 5820
y = 10
7y + 38z = 108
70 + 38z = 108
38z = 38
z = 1
Відповідь: (10;1)
8x 15y = 20y 160 x 3y = 9x 30
8x 35y = 160
8x − 3y = −30 38y = 190 y = 5
8x 15y = 30
8x 15·5 = 30 8x 75 = 30
8x = 45 x = 1,875
Відповідь: (1,875;5)
х 4 4 · 2y 3 = 0 | · 12 0 7 = 0 4���� 0 3���� | · 10
3(1 3���� ) 4(4 2����) = 0 4y 3x = 7
3 9x 16 + 8y = 0 4y 3x = 7
9x + 8y = 13 3x + 4y = 7 | · ( 3)
9x + 8y = 13 9x 12y = 21 4y = 8
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6 = 15 2
5a = 45
a = 9
Підставимо a = 9 у рівняння a ���� 2 = 5:
9 ���� 2 = 5
���� 2 = 9 5 ���� 2 = 4
b = 8
Відповідь: a = 9, b = 8. B)
���� 2 ���� 3 = 1 | · 6 (2���� 1) 2 = (3���� 1) 3 + 5 6 | · 6
3���� − 2���� = 6
3(2���� 1) = 2(3���� 1) + 5
3���� 2���� = 6 | · ( 2)
6���� 3 = 6���� 2 + 5
6x + 4y = 12
6x 6y = 6
2y = 6
y = 3
3x 2y = 6
3x 6 = 6
3x = 12
x = 4
Відповідь: (4;3) y = 2 4y 3x = 7 8 3x = 7 3x = 1 x = 1 3
Відповідь: (1 3;2) г)
5n
5x = 35 x = 7 Відповідь: (7;1)
8���� + 15���� = 31 20���� 15���� = 25
28x = 56 x = 2
8x + 15y = 31 16 + 15y = 31
15y = 15 y = 1 Відповідь: (2;1)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
m 7 2 · ( 4 5) = 2
m + 28 10 = 2
m + 14 5 = 2
m = 2 –14 5
m = 10 5 14 5
m = 4 5
Відповідь: m = 0.8, n = 0.8 в)
(���� + ����) 2 − (���� ����) 3 = 8 | · 6 (���� + ����) 3 + (���� ����) 4 = 11 | · 12
3(x + y) 2(x y) = 48
4(���� + ����) + 3(���� ����) = 132
3���� + 3���� 2���� + 2���� = 48
4���� + 4���� + 3���� 3���� = 132
x + 5y = 48
7x + y = 132 | · ( 5)
���� + 5���� = 48 35���� 5���� = 660
34x = 612
x = 18
x + 5y = 48
18 + 5y = 48
5y = 30
y = 6
Відповідь: (18;6)
1129. Запишіть
Точки: (0; 4), (4; 0)
= 9 | · 7
5x + 7y = 66 5���� + 9���� = 52 | · ( 1) � 5���� + 7���� = 66 5���� 9���� = 52 2y = 14
y = 7 5x + 7y = 66
5x + 7( 7) = 66
5x 49 = 66
5x = 115 x = 23
Відповідь: (23; 7)
26.2
Точки: (0; 3), ( 5; 0)
3 = k · 0 + b
�4 = k · 0 + b
0 = k · 4 + b
� b = 4
0 = 4k + 4
4k = 4
k = 1
y = x + 4
1130. Розв’яжи
a) � 3���� 8���� = ����
4x + 8y = 20a
7x = 21a
x = 21a ÷ 7
x = 3a
4 · 3a + 8y = 20a
8y = 20a 12a
8y = 8a
0 = k · ( 5) + b � b = 3
0 = 5k + 3 5k = 3 k = 3 5 = 0.6 y = 0.6x + 3
Точки: (0; 2), (2; 0) � 2 = k · 0 + b 0 = k · 2 + b � b = 2 0 = 2k − 2 2k = 2 k = 1 y = x – 2
б) �3x + 7y = m, | · ( 1) 8x + 7y = n � 3x 7y = m
8���� + 7���� = ����; + 5x = n m
x = (n m) 5
3 · (n m)
5 + 7y = m
y = a
Відповідь: (3a; a)
1131.
a) � 5x + y = 10c
5���� 2���� = 10����; +
y = 20c
y = 20c
5x – 2у = 10c
5x + 40c = 10c
5x = 10c 40c
5x = 30c
x = 6c
Відповідь: ( 6c; 20c)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0,6(n m) + 7y = m
7y = m 0,6n + 0,6m
7y = 1,6m 0,6n
y = (1,6m 0,6n) 7
б) �3x 4y = k, | · ( 1) 5x 4y = p
3x + 4y = −k 5x 4y = p
2x = p k
x = 0,5(p k)
3 · 0,5 · (p k) 4y = k
4y = 1,5p 1,5k k
4y = 1,5p 2,5k
y = 0,375p 0,625k
Відповідь: (0,5(p k); 0,375p 0,625k)
1132.
a) � (���� + 3)² 2���� = ����² + 13
6���� + (���� 1)² = ����(���� 5)
����² + 6���� + 9 2���� = ����² + 13
6���� + ����² − 2���� + 1 = ����² − 5����
6���� 2���� = 4
6���� + 3���� = 1 | · ( 1)
6���� − 2���� = 4 −6���� − 3���� = 1
5y = 5 y = 1
6x 2y = 4
6x + 2 = 4
6x = 2 x = 1 3
Відповідь: (1 3; 1)
б) � 10x + (y + 4)² = y² + 18 (2x 1)² + 7y = 2x(2x + 3)
10x + y² + 8y + 16 = y² + 18
4x² 4x + 1 + 7y = 4x² + 6x
10x + 8y = 2
10���� 7���� = 1
y = 3
10x 7y = 1
10x 21 = 1
10x = 22
x = 22
10 = 2,2
Відповідь: (2,2; 3)
1133.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a) �x(x + 3) + 9 = (x y)(x + y) + y(y 3)
26 + 3(2x y) = 9x 5(3x + 2y)
+ 3x + 9 = x² y² + y² 3y
26 + 6x 3y = 9x 15x 10y
3���� + 3���� = 9 | · ( 4)
12���� + 7���� = 26
12���� 12���� = 36
12���� + 7���� = 26
5y = 10
y = 2
3x 3y = 9
3x 6 = 9
3x = 3 x = 1
Відповідь: ( 1; 2)
б) �(���� + 3)² − 5 + ����(���� − 1) = ���� (���� + 3) + (���� + 1)² 7(2���� + 3) 6���� = 9 4(2���� 7)
+ 6���� + 9 5 + ����² ���� = ����² + 3���� + ����² + 2���� + 1 14���� + 21 6���� = 9 8���� + 28
3���� − 3���� = −3 | ∶ 3
8���� + 8���� = 16 | ∶ 8
x y = 1
���� + ���� = 2
2x = 1 x = 1 2 x + y = 2 1 2 + y = 2 y = 1 1 2
Відповідь: (1 2, 11 2)
1134. Розв’яжи систему рівнянь a) �x + y = 3, x + z = 4 y + z = 5 · ( 1) ⟺ � x + y = 3, x z = 4 y + z = 5 ⟺ � x + y = 3, y z = 1 y + z = 5 ⟺ �x + y = 3 2y = 4, y + z = 5 ⟺�x = 3 − y y = 2 z = 5 y �x = 1 y = 2 z = 3
Відповідь: (1; 2; 3).
б) �x + y = 5, x z = 2 y z = 1 · ( 1) ⟹
x + y = 5 x + z = 2 y z = 1 ⟺
x + y = 5 x + y = 1 y z = 1 , ⟺ �x + y = 5, 2y = 4 y z = 1 ⟺ �x = 5 y, y = 2 z = y 1 ⟺ �x = 3 y = 2 z = 1 ,
Відповідь: (3; 2; 1).
В)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
7x + 6y + 7z = 100,
x 2y + z = 0,• ( 7)
3x + y 2z = 0
7x + 6y + 7z = 100, −7x + 14y − 7z = 0
3x + y − 2z = 0.
Додаємо перше і друге рівняння
20y = 100.
y = 5.
Підставимо y = 5 у друге рівняння
x 2(5) + z = 0.
x 10 + z = 0.
x + z = 10.
z = 10 x.
Знайдемо z z = 10 3 = 7.
Відповідь: (3; 5; 7). 1135.
Підставимо y = 5 у третє рівняння
3x + 5 2z = 0.
Підставимо z = 10 x.
3x + 5 2(10 x) = 0.
3x + 5 20 + 2x = 0.
5x 15 = 0.
5x = 15.
x = 3.
3x + 2z = 13
3���� + 4���� = 29
а) � 2x + 3y = 11
З першого: 2x = 11 - 3y
x = (11 3y)
2
Підставляю в друге:
3(11 3y)
2 + 2z = 13
(33 9y)
2 + 2z = 13
33 - 9y + 4z = 26 -9y + 4z = -7
З третього: 4z = 29 - 3y
z = (29 3y)
4
Підставляю в рівняння -9y + 4z = -7: -9y + 4(29 3y) 4 = -7 -9y + 29 - 3y = -7 -12y = -36 y = 3
Знаходжу z: z =(29 3·3) 4 = (29 9) 4 = 20 4 = 5
Знаходжу x: x =(11 3·3) 2 = (11 9) 2 = 2 2 = 1
Відповідь: x = 1, y = 3, z = 5
б) �x + y z = 11 x y + z = 1
���� + ���� − ���� = 5
Додаю
і друге:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x = 12
x = 6
Додаю друге і третє: 2z = 6
z = 3
Підставляю в перше: 6 + y - 3 = 11 y = 8
Відповідь: x = 6, y = 8, z = 3
в) �2x 2z 3t = 1 x + 4z + 2t = 7 3x − z + t = 0
З третього: t = z - 3x
Підставляю в перше: 2x - 2z - 3(z - 3x) = 1 2x - 2z - 3z + 9x = 1 11x - 5z = 1
Підставляю t у друге: x + 4z + 2(z - 3x) = 7 x + 4z + 2z - 6x = 7 -5x + 6z = 7
Розв'язую систему з двох рівнянь: 11x - 5z = 1 -5x + 6z = 7
Множу перше на 5: 55x - 25z = 5
Множу друге на 11: -55x + 66z = 77
Додаю:
41z = 82 z = 2
Підставляю в 11x - 5z = 1:
11x - 5·2 = 1
11x - 10 = 1
11x = 11 x = 1
Знаходжу t: t = z - 3x = 2 - 3·1 = -1
Відповідь: x = 1, y = 2, z = -1 1136. Проаналізуй
її два члени.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 1137.
x + y + z = 12
2x + y + 1 2 z = 12
x + y + z = 12
4x + 2y + z = 24
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + y + z = 12
3x + y + (x + y + z) = 24
x + y + z = 12
3x + y + 12 = 24
x + y = 12 z
2x + 12 z + 12 = 24
x + y = 12 z
2x z = 0
x + y = 12 2x
z = 2x
y = 12 − 3x
z = 2x
Якщо x=1, то y = 12 3 = 9, z = 2
Якщо x=2, то y = 12 6 = 6, z = 4
Якщо x=3, то y = 12 9 = 3, z = 6
Якщо x=4, то y = 12 12 = 0, z = 8
Якщо x > 4, тоді y < 0, не підходить.
Відповідь: (1;9;2), (2;6;4), (3;3;6).
б)
x + y + z = 12
8x + 5y + 3z = 60
x + y + z = 12
3x + (5x + 5y + 5z) 2z = 60
x + y + z = 12
3x + 60 2z = 60
x + y + z = 12
3x = 2z
x + y + 1,5x = 12
z = 1,5x
y = 12 2,5x z = 1,5x
Якщо x = 2, y = 12 2,5 • 2 = 7, z = 1,5 • 2 = 3
Якщо x = 4, y = 12 2,5 • 4 = 2, z = 1,5 • 4 = 6
Якщо x = 6, y = 12 2,5 • 6 = 3, z = 1,5 • 6 = 9
Якщо x > 6, тоді y < 0, не
підходить.
Відповідь: (2;7;3), (4;2;6).
В)
x + y + z = 12
4x + 3y + 2z = 36
x + y + z = 12
x + 3(x + y + z) z = 36
x + y + z = 12
x + 36 z = 36
x + y + z = 12
z = x
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
�y = 12 − 2x z = x
Якщо x = 1, то y = 12 2 • 1 = 10, z = 1
Якщо x = 2, то y = 12 2 • 2 = 8, z = 2
Якщо x = 3, то y = 12 2 • 3 = 6, z = 3
Якщо x = 4, то y = 12 2 • 4 = 4, z = 4
Якщо x = 5, то y = 12 2 • 5 = 2, z = 5
Якщо x = 6, то y = 12 2 • 6 = 0, z = 6
Якщо x > 6, тоді y < 0, не підходить.
Відповідь: (1;10;1), (2;8;2), (3;6;3), (4;4;4), (5;2;5).
1138. Обчисли значення многочлена. а) 2y² + 8,6y – 6,5, якщо y = –4,3, то 2 • (–4,3)2 + 8,6 • (–4,3) – 6,5 = 2 • 4,32 + 2 • 4,3 • (–4,3) – 6,5 = –6,5; б) 19,7a + 19,7c + 10, якщо a = 3,8; c = 6,2, то
19,7 • 3,8 + 19,7 • 6,2 + 10 = 19,7 • (3,8 + 6,2) + 10 = 19,7 • 10 + 10 = 197 + 10 = 207.
1139. Доведи, що сума п’яти послідовних натуральних чисел
чотирьох послідовних натуральних чисел
4? Нехай це числа n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4.
Знайдемо суму цих чисел: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2). Кратно 5. Доведено.
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 не ділиться на 4.
1140. Функцію задано формулою у =6 х
Якщо y = 12, то 6 x = 12;
12x = 6; x = 1 2
Якщо y = 12, то 6 x = 12;
12x = 6; x = 1 2
1141. Склади системи
�x + y = 40
y = 3x
x + 3x = 40
y = 3x
x + 3x = 40
4x = 40
x = 10
y = 3 • 10 y = 30
Відповідь: 10 і 30
1142. Якій
x + y = 37
���� ���� = 7 Додаємо рівняння:
x + y = 40 y x = 20
x + y = 40 x + y = 20
2y = 60 y = 30
30 x = 20 x = 10
10 і 20.
�y x = 10 y = 3x
3x x = 10 y = 3x
3x x = 10
2x = 10
x = 5
y = 3 • 5
y = 15
Відповідь: 5 і 15
2y = 44
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = 22
Підставляємо y = 22 у рівняння x + y = 37: x + 22 = 37 x = 15
Відповідь: x = 15, y = 22.
�x + y = 80 y = 3x
Підставляємо y = 3x у перше рівняння: x + 3x = 80
4x = 80 x = 20
Підставляємо x = 20 у рівняння y = 3x: y = 3 · 20 = 60
Відповідь: x = 20, y = 60.
1143. Знайди два числа, сума яких дорівнює 35,5, а
Нехай перше число x, друге y, так як їх сума, то
x + y = 35, 5; різниця x y = 12, 5.
+ ���� = 35, 5 ���� ���� = 12, 5
2x = 48
x = 24
24 + y = 35, 5 y = 35, 5 24 = 11, 5
Відповідь: 24; 11,5
1144. Знайди два числа, півсума яких
Нехай перше число x,
(x + y) 2 = 37,9 | · 2 (x y) 2 = 7,5 | · 2 �x + y = 75,8 x y = 15
Додаємо рівняння: 2x = 90,8 x = 45,4
Підставляємо x = 45,4 у рівняння x + y
45,4 + y = 75,8 y = 30,4
Відповідь: 45,4 і 30,4. 1145.
x + y = 9
+ 900y = 9900
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1200x + 900(9 x) = 9900
1200x + 8100 900x = 9900
300x + 8100 = 9900
300x = 1800
x = 6
y = 9 6
y = 3
Відповідь:
рази, а теслярів у 3 рази, то 2x + 3y = 130.
Маємо систему:
x + y = 50, | · ( 2)
2x + 3y = 130
2x 2y = 100
2x + 3y = 130 y = 30
Теслярів 30 , мулярів 50 30 = 20.
Відповідь: 30 теслярів; 20 мулярів 1147. Швидкість
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 1,6 + y
0,5(1,6 + y) + 0,5y = 9
0,5(1,6 + y) + 0,5y = 9
0,8 + 0,5y + 0,5y = 9
y = 8,2
x = 1,6 + 8,2
x = 9,8
Відповідь:
6x 6y = 3
6x + 6y = 57
12x = 60
x = 5
6 • 5 6y = 3
30 6y = 3
6y = 27
y = 4,5
км/год більша, маємо рівняння: x y
Туристи 6
6x + 3y = 570 v, км/год t,
Поїзд X 6 6х
Автобус y 3 3у
6x + 3y = 570
x y = 5
6(y + 5) + 3y = 570
x = y + 5
6(y + 5) + 3y = 570
6y + 30 + 3y = 570
9y = 540
y = 60
x = 60 + 5
x = 65
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3x + 5y = 212 | · 5
5x + 3y = 268 | · ( 3)
15x + 25y = 1060
15���� 9���� = 804
16y = 256
y = 16
3x + 5 · 16 = 212
3x + 80 = 212
3x = 132 x = 44
Відповідь:
160
сіна
10x + 16y = 160.
Так як 5
10x + 16y = 160
5x 7y = 5; | · ( 2)
10x + 16y = 160
10x + 14y = 10
30y = 150
y = 5
10x + 16 · 5 = 160
10x + 80 = 160
10x = 80 x = 8
Відповідь:
як
2(x + y) = 168
2(x + y) = 168
x y = 8
x + y = 84
x − y = 8
2x = 92
x = 46
y = 84 46 = 38
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x − y = 24
x = 3y
3y y = 24 x = 3y
3y y = 24
2y = 24
y = 12
x = 3 • 12
x = 36
Відповідь: Матері 36 років, доньці 12 років. 1156. Знайди довжини сторін рівнобедреного трикутника, якщо
82 см, а основа більша за бічну сторону на 10 см.
Нехай бічна сторона трикутника x см, основа y см.
� y x = 10
2x + y = 82
� y = x + 10
2x + (x + 10) = 82
2x + x + 10 = 82
3x = 72
x = 24
y = 24 + 10
y = 34
Відповідь:
більше, ніж було Антону
Нехай Антону x років, Насті y років, разом x + y = 17. Антону
� x + y = 17
2(x 8) = y � x + y = 17
2x y = 16
3x = 33 x = 11
Якщо x = 11, то y = 6. Відповідь: Антону 11 років,
2x =
36 + y = 65 y = 29
=
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + y = 65
x y = 7
2x = 60
x = 30
30 + y = 78
y = 48
Відповідь: 30 книжок і 48 книжок.
1160. There are 72 students in two seventh grades. If 2 students moved from class 7A to class 7B, there would be an equal number of students in both classes. How many students are in each class?
Нехай
x + y = 72
x 2 = y + 2 �x + y = 72
x − y = 4
2x = 76
x = 38
38 + y = 72
y = 34
Відповідь: в 7А класі навчаються
x y = 4
x² y² = 44
���� = ���� + 4
(���� + 4)² ����² = 44
(y + 4)² y² = 44
y² + 8y + 16 y² = 44
8y = 28
y = 3,5
x = 3,5 + 4
x = 7,5
Відповідь: 7,5 і 3,5. б)
x + y = 12
x² − y² = 60 � x = 12 y
(12 y)² y² = 60 (12 y)² y² = 60
144 24y + y² y² = 60
144 24y = 60
24y = 84
y = 3,5
x = 12 3,5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 8,5
Відповідь: 8,5 і 3,5. 1162. Сформулюйте
задачі.
Два види болтів коштують разом 250
грн за певну кількість. Якщо від
вартості першого виду відняти
вартість другого, різниця становить
130 грн. Скільки коштує кожен вид
болтів?
Розв'язання:
Нехай x вартість першого виду
болтів (грн); y вартість другого
виду болтів (грн).
Складаємо систему рівнянь:
�x + 2y = 250
x y = 130
130 + y + 2y = 250 x = 130 + y
130 + y + 2y = 250
130 + 3y = 250
3y = 120
y = 40
x = 130 + 40
x = 170
Відповідь: Перший вид болтів
коштує 170 грн, другий 40 грн.
35 голів і 94 ноги?
Нехай фазанів
4x + 2y = 94.
Маємо систему: �x + y = 35, | · ( 2) 4x + 2y = 94; � 2x 2y = 70 4x + 2y = 94 2x = 24 x = 12
Якщо x = 12, то y = 35 12 = 23.
5x + 2y = 11 | · ( 2)
2x + 8y = 8 | ∶ 2
10x − 4y = −22 x + 4y = 4
Маса груші на 50 г більша за масу
яблук. Маса трьох яблук дорівнює
масі двох груш. Знайдіть масу
одного яблука та однієї груші.
Розв'язання:
Нехай x маса одного яблука (г); y маса однієї груші (г)
Складаємо систему рівнянь:
y x = 50 3x = 2y �1,5x x = 50 y = 1,5x 1,5x x = 50
0,5x = 50
9x = 18
x = 2
2 + 4y = 4
4y = 2
y = 0,5
5x = 5 · 2 = 10 (таслів)
10 : 0,5 = 20 (б.)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
�y + 1 = 2(x − 1)
x + 1 = y 1
�y + 1 = 2((y − 2) − 1)
x = y − 2
y + 1 = 2((y 2) 1)
y + 1 = 2(y 3)
y + 1 = 2y 6
2y y = 1 + 6
y = 7
x = 7 2
x = 5
Відповідь:
x 1 = 10 y = 1 x 1 = 10 x = 11
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x (x y) = 26
2(x y) (x y) = 24
2x x + y = 26
2x 2y x + y = 24
x + y = 26
x y = 24
2x = 50
x = 25
25 + y = 26
y = 1
Відповідь: 25 і 1. 1168. Різниця
275 і 121. Знайди ці числа.
Нехай ці числа x і y. Так як різниця квадратів x²
121, то маємо систему:
x² y² = 275 (x − y)² = 121;
(x y)(x + y) = 275 x − y = 11;
або �(x y)(x + y) = 275 x − y = −11
Розв'яжемо системи:
(x y)(x + y) = 275 x − y = 11;
або �(x y)(x + y) = 275 x y = 11; �11(���� + ����) = 275, x y = 11
11(x + y) = 275 x y = 11;
�x + y = 25 x y = 11 2x = 36 x = 18
Якщо x = 18, y = 7.
Відповідь: 18; 7 або 18; 7 1169. Відстань 320
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + y = 40
x − y = 32
2x = 72
x = 36
36 + y = 40
y = 4
Відповідь: 36 км/год; 4 км/год 1170. Відстань 210 км катер
Знайди швидкість течії річки і власну швидкість катера.
Нехай швидкість катера x км/год, а швидкість течії у км/год.
�5 · (x + y) = 210
6 · (x y) = 210
�x + y = 42
x y = 35
2x = 77
x = 38,5(км/год) швидкість катера
38,5 + y = 42
y = 42 38,5 y = 3,5(км/год) швидкість течії Відповідь: швидкість катера 38,5 км/год; швидкість течії 3,5 км/год 1171. Якщо з одного
� 2(x y) = 14
3(x + y) = 174
� x y = 7
x + y = 58
2x = 65
x = 32,5
32,5 y = 7
y = 25,5
Відповідь:
−x + 2y + 2 = 0
y = 5 y = 5
x 3·5 = 3
x 15 = 3
x = 12
xy = 12 · 5 = 60
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + 0,5x = 4x 0,5x
x + 0,5x 4x + 0,5x = 10000
4x = 10000
x = 2500
2500 + y = 10000 y = 7500
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + 1
3 y = 3 · 2 3 y | · 3
x + y = 80
3x + y = 6y
x = 80 − y
3(80 y) = 5y
3(80 y) = 5y
240 3y = 5y
3y 5y = 240
8y = 240
y = 30
x = 80 30
x = 50
x + y = 100
0,35x + 0,4y = 38
x = 100 − y
0,35(100 y) + 0,4y = 38
0,35(100 y) + 0,4y = 38
35 0,35y + 0,4y = 38
0,35y + 0,4y = 38 35
0,05y = 3
y = 60
x = 100 60
x = 40 Відповідь:
0,4y 0,3x = 59
� y = 760 − x
0,4(760 x) 0,3x = 59
0,4(760 x) 0,3x = 59
304 0,4x 0,3x = 59
0,4x 0,3x = 59 304
0,7x = 245
x = 350
y = 760 350
y = 410
2 = y + 3
3 = y 1;
x = 2y + 6, x = 3y 3; 2y + 6 = 3y 3 y = 9 x = 24. Відповідь:
x 2 = y x 2 = y 2 | · 2
x 2 = y
x = 2y 4
x 2 = y
x = 2(x − 2) − 4
x = 2(x 2) 4
x = 2x 4 4
x = 8
x = 8
y = 8 2
y = 6
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x − y = 12
x + y = 30
2x = 42
x = 21
21 y = 12 y = 9
Відповідь:
6x − 6y = 90
x = 4y
6 · 4y 6y = 90
x = 4y
6 · 4y 6y = 90
24y 6y = 90
18y = 90
y = 5
x = 4 · 5
x = 20
Відповідь:
x + y = 35 x = 1,5y
1,5y + y = 35 x = 1,5y
1,5y + y = 35
2,5y = 35
y = 14
x = 1,5 • 14
x = 21
Відповідь: 21 кВт і 14 кВт.
7 3 x = 35 x = 35 : 7 · 3 35 15 = 20(м )
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
рівнянь:
x + y = 79
y = x + 26,5
79 x y = x + y + 7
y = x + 26,5
Підставимо у = х + 26,5 у перше рівняння:
79 x (x + 26,5) = x + (x + 26,5) + 7
79 2x 26,5 = 2x + 33,5
52,5 2x = 2x + 33,5
52,5 33,5 = 4x
19 = 4x
x = 4,75
y = x + 26,5 = 4,75 + 26,5 = 31,25
79 x y = 79 4,75 31,25 = 43
Відповідь: На
2x + 3y + 7z = 131
2x + 3y + 8z = 140
2x + 3y + 7z = 131 | · ( 1)
2x + 3y + 8z = 140
2x 3y 7z = 131
2x + 3y + 8z = 140 z = 9
Підставимо знайдене значення z у систему рівнянь:
2x + 3y + 63 = 131
2x + 3y + 72 = 140
2x + 3y = 68
2x + 3y = 68 x = 34 (3 2)y
Якщо y = 2, x = 34 (3 2)·2 = 34 3 = 31, z = 9
Якщо y = 4, x = 34 (3 2)·4 = 34 6 = 28, z = 9
Якщо y = 6, x = 34 (3 2)·6 = 34 9 = 25, z = 9
Якщо y = 8, x = 34 (3 2)·8 = 34 12 = 22, z = 9
Відповідь: (2; 31; 9), (4; 28; 9), (6; 25; 9), (8; 22; 9).
1186.
x ≡ 2( mod 4)
x ≡ 1( mod 7)
x ≡ 6( mod 11)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
рівняння:
x = 4k + 2, k ∈ ℤ
Підставимо у друге рівняння:
4k + 2 ≡ 1( mod 7)
4k ≡ 1( mod 7)
4k ≡ 6( mod 7)
Знайдемо обернене до 4 за модулем 7.
Множимо 4 на 2:
4 · 2 = 8 ≡ 1( mod 7)
Обернене 2.
k ≡ 6 · 2( mod 7)
k ≡ 12 ≡ 5( mod 7)
k = 7m + 5
З першого рівняння:
x = 4(7m + 5) + 2
x = 28m + 20 + 2
x = 28m + 22
Підставимо в третє рівняння:
28m + 22 ≡ 6( mod 11)
28m ≡ 16 ≡ 5 ≡ 6( mod 11)
6m ≡ 6( mod 11)
Поділимо на 6 (обернене до 6 це 2 за модулем 11): m ≡ 1
Перевірка:
50 mod 4 = 2
50 mod 7 = 1
50 mod 11 = 6
Умова на частки: Частки:
50 : 4 = 12, 50 : 7 = 7, 50 : 11 = 4
Сума часток:
12 + 7 + 4 = 23
Половина числа:
50 2 = 25
Відповідь: шукане число 50.
1187. Побудуй
x − y = 3
3x + y = 1
y = x 3 y = 3x + 1 x 0 3 y 3 0 x 0 1 y 3 2
x y = 6
x = 2y
2y y = 6
2y y = 6
3y = 6
y = 2
x = 2 · 2
x = 4
Координати
Найменша кількість резинок була в 12:00.
Найбільша зміна кількості резинок відбулася між 11:00 і 12:00.
Що відбувалось з 13:00 до 14:00: обідня перерва.
1190. Вирази у відсотках число 1 5 1 5 • 100% = 20%
Відповідь: Б 20% 1191.
200 • 10
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1195.
3 12 × 100% = 25%
1 Б 25%; (2 1) 1 × 100% = 100% 2 Д 100%; (16 8) 16 × 100% = 50% 3 Г 50%;
1196. Скільки грамів солі в 125 грамах 8 % розчину?
125 • 8 100 = 10 (г) – маса солі.
Відповідь: 10 г.
1197. У скількох грамах 16 %-го розчину є 24 г солі?
24 : 16 100 = 150 (г) – маса розчину.
Відповідь: 150 г.
1198. How many grams of the 15 % solution contain 30 g of salt?
30 : 15 100 = 200 (г) – маса розчину.
Відповідь: 200 г.
1199. У 750 г розчину є 15 г солі. Яка його концентрація?
15 750 • 100% = 2% – концентрація розчину.
Відповідь: 2%.
1200.
4
20 • 100% = 20% – концентрація розчину.
Відповідь: 20%.
1201.
154 г води?
18 • 200 100 = 36 (г) – маса білка; 154 : 77 100 = 200 (г) – маса напою. Відповідь: 1) 36 г; 2) 200 г.
1202. Щорічний приріст
10⁵ + 10⁵ • 10 100 = 10⁵ + 10⁴ = 1,1
1) 13 + 2 + 1 + 1 = 17 %
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2) 42650 • (1 – 0,17) = 35399,5 (грн)
Відповідь:
(мал. 28.4).
було лише 2?
1) 100 – (45 + 30 + 15) = 10 % – на сорок
2) 2 : 10 • 100 = 20 (пташок) – усього
Відповідь: 1) 10 %; 2) 20 пташок 1206. Першого
у пункті?
д. – ? кг, 20 %
– ? кг, 32 %
д. – 240 кг, ? % Усього – ? кг
1) 100 – (20 + 32) = 48 % – третього
2) 240 : 48 • 100 = 500 (кг) – усього
третього
І д. – ? км, 15 %
ІІ д. – ? км, 25 %
ІІІ д. – 24 км, ? %
Усього – ? км
1) 100 – (15 + 25) = 60
2) 24 : 60 • 100 = 40 (км) – усього
1208. 55 %
1) 100 – 55 = 45 %
2) 45 : 100 • 70 = 31,5 %
1)
2)
x = 0,7 • 100 : 2,5 x = 28%
Відповідь: на 28 % 1211.
40?
Розв'язання
Число 40 більше за число 32.
Для обчислення відсотків використовуємо формулу:
Відсотки = (Різниця чисел) (Базове число) · 100
Базове число: 32 .
Обчислюємо різницю чисел: 40 − 32 = 8
Підставляємо в формулу:
Відсотки = 8 32 · 100 = 0,25 · 100 = 25%
Отже, число 40 більше за число 32 на 25%.
2. Число 32 менше від числа 40
У цьому випадку базове число 40.
Формула залишається такою ж:
Відсотки = (Різниця чисел) (Базове число) · 100
Обчислюємо різницю чисел: 40 − 32 = 8
Підставляємо в формулу:
Відсотки = 8 40 · 100 = 0,2 · 100 = 20
Отже, число 32 менше від числа 40 на 20%.
Відповідь:
Число 40 більше за число 32 на 25.
Число 32 менше від числа 40 на 20.
1212. До 80 г 15% го розчину додали 20 г води. Якої концентрації став розчин?
Розв'язання
Визначимо масу речовини, розчиненої
Маса розчину 80 г.
Концентрація 15.
m₍речовини₎ = 15 100 · 80 = 12г.
розчину₎ = 80 + 20 = 100г.
розчині.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Розв'язання Визначимо
Маса розчину 40 г. Концентрація 20.
Обчислимо масу розчиненої речовини:
m₍речовини₎ = 20 100 · 40 = 8г
Знайдемо масу нового розчину. До 40 г додали 60 г води:
m₍нового розчину₎ = 40 + 60 = 100г.
Обчислимо нову концентрацію розчину.
Нова концентрація обчислюється за формулою:
Концентрація = m₍речовини₎ m₍розчину₎ · 100
Підставимо значення:
Концентрація = 8 100 · 100 = 8
Відповідь: після додавання 60 г води концентрація розчину становить 8. 1214. Зливок міді зі сріблом масою 15 кг містить 45% міді. Скільки чистого срібла
потрібно додати, щоб утворений сплав містив 30% міді?
Розв'язання
зливка 15 кг, концентрація міді 45%.
m₍міді₎ = 45 100 · 15 = 6,75 кг.
Позначимо масу доданого срібла.
Позначимо масу чистого срібла, яке потрібно додати, як x кг.
Після додавання срібла загальна маса нового сплаву буде:
m₍нового сплаву₎ = 15 + x
Запишемо умову для концентрації
m₍міді₎
m₍нового сплаву₎ · 100 = 30
Підставимо значення m₍міді₎ = 6,75 кг і m₍нового сплаву₎ = 15 + x: 6,75
(15 + x) · 100 = 30
Розв'яжемо рівняння.
Спрощуємо рівняння: 6,75
(15 + x) = 0,3
Помножимо обидві частини рівняння на 15 + x:
6,75 = 0,3 · (15 + x)
Розкриємо дужки:
6,75 = 4,5 + 0,3x
Віднімемо 4,5 від обох частин: 2,25 = 0,3x
Поділимо на 0,3: x = 2,25 0,3 = 7,5
Перевіримо розрахунок. Якщо
7,5
m₍нового сплаву₎ = 15 + 7,5 = 22,5 кг.
Маса міді залишиться 6,75 кг.
Концентрація:
6,75
22,5 · 100 = 30 Відповідь:
40
100 = x 5
x = 40 · 5 : 100
x = 2(кг) солі
2 2 = x 100
x = 2 · 100 : 2
x = 100(кг)
100
Розв'язання
m₍солі₎ = 40 100 · 300 = 120 г.
Позначимо масу нового розчину.
Нехай маса нового розчину дорівнює x г.
m₍солі₎
х · 100 = 6
Розв'яжемо рівняння
Підставимо m₍солі₎ = 120 г:
120
х · 100 = 6
Спрощуємо рівняння:
120
х = 0,06
Помножимо обидві частини на x: 120 = 0,06x
Поділимо на 0,06:
x = 120 0,06 = 2000
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Загальна маса нового розчину:
mрозчину = 100 + 50 = 150 г.
Обчислимо концентрацію нового розчину.
Концентрація обчислюється за формулою:
Концентрація = mречовини/mрозчину · 100.
Підставимо значення:
Концентрація = 36 150 · 100 = 24
Відповідь: отримали розчин концентрації 24. 1218. Є два розчини:
Перший містить 15 солі,
Другий містить 30 солі.
Скільки грамів кожного розчину
містить 18 солі?
Розв'язання
Позначимо:
x г маса першого розчину, 800 − x г маса другого розчину.
Запишемо рівняння для концентрації солі.
Маса солі в першому розчині:
0,15x
Маса солі в другому розчині:
0,30(800 − x)
Маса солі в отриманому розчині:
0,18 · 800 = 144 г
Рівняння:
0,15x + 0,30(800 − x) = 144
Розв'яжемо рівняння
Розкриємо дужки:
0,15x + 240 − 0,30x = 144
Зведемо подібні доданки:
0,15x + 240 = 144
Віднімемо 240 від обох частин: 0,15x = −96
Поділимо на −0,15 : x = 96 0,15 = 640
Знайдемо масу другого розчину
800 − x = 800 − 640 = 160 г.
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Позначимо:
x кг маса першого сплаву (20% олова),
200 x кг маса другого сплаву (30 олова).
Запишемо рівняння для вмісту олова.
Маса олова в першому сплаві: 0,2x
Маса олова в другому сплаві: 0,3(200 − x)
Загальна маса олова в новому сплаві (24 від 200 кг):
0,24 · 200 = 48 кг.
Складаємо рівняння: 0,2x + 0,3(200 − x) = 48
Розв'яжемо рівняння.
Розкриваємо дужки: 0,2x + 60 − 0,3x = 48
Зводимо подібні доданки: 0,1x + 60 = 48
Віднімаємо 60 від обох частин: 0,1x = −12
Ділимо на −0,1: x = 12 0,1 = 120
Знайдемо масу другого сплаву 200 − x = 200 − 120 = 80 кг.
Відповідь:
(30% олова).
1220. Власник
25% нова ціна стала: x + 0.25x = 1.25x
Потім власник зменшив нову ціну на 25%. Відповідно, знижка обчислюється
ціни 1.25x, тому ціна стала: 1.25x − 0.25 · 1.25x = 1.25x · (1 − 0.25) = 1.25x · 0.75 = 0.9375x
x = 24 0
x + 0.2x = 1.2x
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: зарплата зменшилась на 4.
1222. Розгляньте діаграми, на яких зображено склад симфонічного
Зі скількох музикантів складається оркестр, якщо
скрипачок?
Скрипалі – 27 людей, 45 %
Струнно–смичкові інструменти – ? люд., 15 %
Оркестр – ? людей
1) 27 : 45 • 100 = 60 (людей) – струнно–смичкові інструменти
2) 60 : 15 • 100 = 400 (людей)
Відповідь: оркестр складається із 400 людей 1223. Сплав складається з 50 % цинку, 40 %
міді?
Цинк – ? г, 50 %
Мідь – ? г, 40 %
Алюміній – ?
1) 40 – 10 = 30 %
2) 60 : 30 • 100 = 200 (г) – весь сплав
3) 200 • 0,1 = 20 (г) алюмінію
4) 200 • 0,5 = 100 (г) – цинку
5) 200 • 0,4 = 80 (г) – міді
Відповідь: 100 г; 80 г; 20 г 1224. З 1 т руди, яка
10 %
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1.25x + 1.5y = 35000
Розв'яжемо систему рівнянь (1) та (2): З рівняння (1) виразимо y: y = 25000 – x
Підставимо y = 25000 − x у рівняння (2):
1.25x + 1.5(25000 − x) = 35000
Розкриємо дужки:
1.25x + 1.5 · 25000 − 1.5x = 35000
1.25x + 37500 − 1.5x = 35000
0.25x + 37500 = 35000
0.25x = 35000 − 37500
0.25x = −2500
x = 2500 0 25 = 10000
Знайдемо y: y = 25000 − x = 25000 − 10000 = 15000
Відповідь:
рівняння: 1.1x = 1.3z
Підставимо x = z + 80 із рівняння (1) у рівняння (2): 1.1(z + 80) = 1.3z
Підставимо x = z + 80 із рівняння (1) у рівняння (2):
1.1(z + 80) = 1.3z
Розкриємо дужки:
1.1z + 88 = 1.3z
1.3z − 1.1z = 88
0.2z = 88 z = 88 0,2 = 440
Знайдемо x: x = z + 80 = 440 + 80 = 520
Знайдемо кількість
1.1x = 1.1 · 520 = 572
Відповідь: у першому
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
і скільки стілець?
2x + 8y = 8800, | · (−0,5)
1,1 · ���� + 0,8 · 5���� = 4520;
x 4y = 4400
1,1x + 4y = 4520 ,
0,1х = 120
х = 120 : 0,1
х = 1200(грн) – стіл
2 • 1200 + 8у = 8800
8у = 8800 – 2400
у = 6400 : 8
у = 800(грн) стілець
Відповідь: 1200 грн і 800 грн 1228.
Нехай футбольний м'яч коштував x
5x + 3y = 4650
3 · 1, 2x + 2 · 0, 9y = 3222
5x = 4650 3y
3, 6x + 1, 8y = 3222
x = 930 0, 6y
3, 6 · (930 0, 6y) + 1, 8y = 3222
3348 − 2, 16y + 1, 8y = 3222
0, 36y = −126
y = −126 ÷ (−0, 36)
y = 350(грн) волейбольний м'яч x = 930 − 0, 6 · 350 = 930 − 210 =
5���� + 3���� = 4650
3(���� + 0,2���� ) + 2(���� 0,1����) = 3222
5���� + 3���� = 4650
3(1,2���� ) + 2(0,9����) = 3222
5���� + 3���� = 4650
3,6���� + 1,8���� = 3222
3���� + 1,8���� = 2790
3,6���� + 1,8���� = 3222
Віднімаю
0,6x = 432 x = 720
Підставляю x
5·720 + 3y = 4650
3600 + 3y = 4650
3y = 1050 y = 350
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
сума внеску: x + y = 100000.
Відсоткові
0.12x
Відсоткові
Загальний
0.12x + 0.15y = 13800
З рівняння (1) виразимо y: y = 100000 x
Підставимо y = 100000 x у рівняння (2):
0.12x + 0.15(100000 x) = 13800
Розкриємо дужки:
0.12x + 0.15 · 100000 0.15x = 13800
0.12x + 15000 0.15x = 13800.
0.03x + 15000 = 13800
0.03x = 13800 15000.
0.03x = 1200.
x = 1200 0 03 = 40000
Знайдемо y:
y = 100000 x = 100000 40000 = 60000
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відсоткові
0.14y 0.12x = 3400
Розв'яжемо систему рівнянь (1) і (2):
З рівняння (1) виразимо y: y = 80000 x
Підставимо y = 80000 x у рівняння (2): 0.14(80000 x) 0.12x = 3400
Розкриємо дужки: 0.14 · 80000 0.14x 0.12x = 3400
11200 0.14x 0.12x = 3400
11200 3400 = 0.26x
7800 = 0.26x x = 7800 0 26 = 30000
Знайдемо y: y = 80000 x = 80000 30000 = 50000
Відповідь:
x + ( p 100) · x = x · (1 + p 100).
x + ( k 100) · x = x · (1 + k 100).
Разом за два тижні шахта видобула:
x · (1 + p 100) + x · (1 + k 100).
Понад норму добули m тонн, тобто:
[x · (1 + p 100) + x · (1 + k 100)] 2x = m
Розкриємо дужки:
x · (1 + p 100) + x · (1 + k 100) 2x = m
x + p
100 · x + x + k 100 · x 2x = m
p 100 · x + k
100 · x = m
Винесемо x за дужки:
x · ( p
100 + k 100) = m
Спрощуємо:
x · (p+k)
100 = m
Звідси знайдемо x:
x = m · 100 (p+k)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x 8 17 4 = 1
рівняння: x 8 17 4 = 1
Приведемо до спільного
x 8 34 8 = 1 (x 34) 8 = 1
Помножимо обидві частини на 8: x 34 = 8 x = 42
Перевірка: Спочатку у
2 1 = 21 1 = 20 яблук залишилось.
Другому другу: 20
2 2 = 10 2 = 8 яблук залишилось.
Третьому другу:
2 3 = 4 3 = 1 яблуко залишилось.
умови виконуються. Відповідь: спочатку у Марини було 42 яблука.
1234. Запиши наступні члени числової послідовності. а) 11, 33, 99, 297 (множимо на 3). б) 45, 23, 69, 47, 141, 119.
1235. Знайди добуток многочленів.
а) (a³ 1)(a³ + 1)(a⁶ + 1) = (a⁶ 1)(a⁶ + 1) = a¹² 1; б) (m 2)(m + 2)(m² + 4) = (m² 4)(m² + 4) = m⁴ 16.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) A(1; 3) і B(3; 7);
б) K(3; 2) і P( 1; 2);
в) C(2; 4) і D(5; 2); г) E(1; 2) і F(3; 3).
Розв'язання:
а) Точки A(1; 3) і B(3; 7):
Знайдемо k:
k = (7 3)
(3 1) = 4 2 = 2.
Підставимо A(1; 3) у рівняння y = kx + p:
3 = 2(1) + p ⇒ p = 3 2 = 1.
Рівняння:
y = 2x + 1
б) Точки K(3; 2) і P( 1; 2):
Знайдемо k:
k = ( 2 2)
( 1 3) = 4 4 = 1.
Підставимо K(3; 2) у рівняння y = kx + p:
2 = 1(3) + p ⇒ p = 2 3 = 1
Рівняння:
y = x 1
в) Точки C(2; 4) і D(5; 2):
Знайдемо k:
k = ( 2 4) (5 2) = 6 3 = 2.
Підставимо C(2; 4) у рівняння y = kx + p:
4 = 2(2) + p ⇒ p = 4 + 4 = 8
Рівняння:
y = 2x + 8
г) Точки E(1; 2) і F(3; 3):
Знайдемо k:
k = (3 2) (3 1) = 1 2 .
Підставимо E(1; 2) у рівняння y = kx + p:
2 = 1 2 (1) + p ⇒ p = 2 1 2 = 4 2 1 2 = 3 2
Рівняння:
y = (1 2)x + 3 2
Відповідь:
а) y = 2x + 1,
б) y = x 1,
в) y = 2x + 8,
г) y = (1 2)x + (3 2).
1237.
на 30?
7x + 30
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Тому маємо рівняння: 7x + 30 = x
Віднімаю x від
6x = -30
x =30 6 = -5
частин: 6x + 30 = 0
Отримали від'ємне число, що неможливо для номера квартири.
Перевірю, чи правильно я зрозумів умову.
Альтернативне розуміння: якщо номер квартири
яке на 30 більше за номер квартири.
Тоді: 7x = x + 30
6x = 30
x = 5
Відповідь: Орися живе в квартирі номер 5. 1238. Користуючись малюнком 29.3,
На малюнку 29.3 зображено олівці: 6 + 11 + 7 = 8 + 8 + 8
малюнка видно, що сума чисел 6, 11 і 7 дорівнює 24,
порівну на 3 групи,
(2 + 10 + 7 + 10 + 5 + 5 + 20) ÷ 7 = 59 ÷ 7 =
кожну пору року: 3 + 2 + 20 + 0 = 25 Яка пора року найулюбленіша серед опитаних учнів?
таблиці видно, що найбільше учнів (20) обрали літо. У скількох учнів найулюбленішою
обрали 2 учні, осінь - 0 учнів. Разом: 2 + 0 = 2 учні. Відповідь: 1) 25 дітей; 2) літо; 3) 2 учні. 1242.
(56 + 46 + 30 + 35 + 38 + 26) : 6 = 231 : 6 = 38,5 (т. грн) Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(150 + 200 + 300 + 400) ÷ 4
150 + 200 + 300 + 400 = 1050
всі запитання тесту відповіли 2 учня.
Писали тест 9 учнів.
(5 + 7 + 2 · 8 + 3 · 9 + 2 · 10) ÷ 9 = 75 ÷ 9 = 81 3 – середнє арифметичне 1247. Знайди найбільше, найменше та середнє значення вибірки:
Знайдемо найбільше, найменше та середнє значення вибірок.
Вибірка:
2; 5; 4; 5; 3; 2; 2; 2; 4; 5; 5; 6; 5; 6; 5
Найменше значення:
Найменше число в вибірці 2.
Найбільше значення:
Найбільше число в вибірці 6.
Середнє значення: Середнє значення обчислюється за формулою: Середнє = Сума всіх
2 + 5 + 4 + 5 + 3 + 2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 5 + 6 + 5 + 6 + 5 = 61
значень: 15. Середнє значення: Середнє = 61 15 ≈ 4,07.
Вибірка: 1, 5; 1, 6; 1, 2; 2, 1; 2, 4; 2, 7; 2, 8; 3, 0; 3, 0; 3, 0; 3, 1; 3, 1; 3, 1; 3, 4
Найменше значення:
Найбільше значення: Найбільше
Середнє значення: Сума всіх значень:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1, 2.
3,4.
1, 5 + 1, 6 + 1, 2 + 2, 1 + 2, 4 + 2, 7 + 2, 8 + 3, 0 + 3, 0 + 3, 0 + 3
Кількість значень: 14.
Середнє значення:
Середнє = 36,0 14 ≈ 2,57.
Відповідь:
а) найменше: 2, найбільше: 6, середнє: 4,07;
б) найменше: 1,2, найбільше: 3,4, середнє: 2,57
1248. Find the greatest and the lowest values of the sample and sample mean:
a) 12; 17; 11; 13; 14; 15; 16; 13; 13.
b) 0,95 ; 0,99 ; 1,03 ; 1,06 ; 0,97 ; 0,97 ; 1,0 ; 1,01 ; 0,98 ; 0,97 ; 0,99; 0,96; 1,02; 0,97; 1,0.
a) Sample:
12, 17, 11, 13, 14, 15, 16, 13, 13
Greatest value:
The largest number in the sample is 17.
Lowest value:
The smallest number in the sample is 11.
Sample mean:
The sample mean is calculated as:
Mean = Sum of all values / Number of values
Sum of all values:
12 + 17 + 11 + 13 + 14 + 15 + 16 + 13 + 13 = 124
Number of values: 9.
Mean:
Mean = 124 9 ≈ 13.78
b) Sample:
0.95, 0.99, 1.03, 1.06, 0.97, 0.97, 1.00, 1.01, 0.98, 0.97, 0.99, 0.96, 1.02, 0.97, 1.00
Greatest value:
The largest number in the sample is 1.06. Lowest value:
The smallest number in the sample is 0.95.
Sample mean:
Sum of all values:
0.95 + 0.99 + 1.03 + 1.06 + 0.97 + 0.97 + 1.00 + 1.01 + 0.98 + 0.97 + 0.99 + 0.96 + 1.02 + 0.97 + 1.00 = 14.78
Number of values: 15.
Mean:
Mean = 14 78 15 ≈ 0.985 Відповідь:
Найбільше: 1,06, Найменше: 0,95, Середнє: 0,985.
а) +7°С : У
Відповідь: 4 дні.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
що
б) +2°С : Частота для +2°C = 4.
Відповідь: 4 дні.
в) +1°С : Частота для +1°C = 5.
Відповідь: 5 днів.
для +7°C = 4.
Якою була денна середня температура:
а) Найбільшою: Найбільша температура у таблиці + 10°С.
Відповідь: +10°С.
б) Найменшою: Найменша температура у таблиці + 1°С.
Відповідь: +1°С.
в) Знайди середнє значення середніх температур місяця: Середнє значення обчислюємо за формулою:
Середнє значення = ∑(Температура × Частота) ∑ Частота
+
+ (3 · 5) + (2 · 4) + (1 · 5) = 20 + 18 + 8 + 28 + 24 + 20 + 24 + 15 + 8 + 5 = 170 Сума частот:
Частота = 2 + 2 + 1 + 4 + 4 + 4 + 6 + 5 + 4 + 5 = 37 Середнє значення:
Середнє значення = 170/37 ≈ 4,59.
Відповідь: 4,59°С.
На твою думку, про який місяць йде мова?
Середня температура близько +4,59°С характерна
регіону.
Відповідь:
а) 4 дні, б) 4 дні, в) 5 днів. а) +10°С, б) +1°С. 4,59°С.
Березень або листопад.
1250. Чому дорівнює середнє
(мал. 29.8).
а) (39 + 41 + 43) : 3 = 123 : 3 = 41
б) (39 + 40 + 42) : 3 = 121 : 3 ≈ 40
в) (41 + 42 + 43) : 3 = 42
1251. За
2 + 4 + 2 + 8
1253.
Найбільше 5 (кг); найменше 0 (кг); середнє значення 21 9 = 2,1(кг).
Найбільше 90 (балів);
найменше 45 (балів);
середнє значення (90 + 65 + 55 + 90 + 90 + 65 + 55 + 45 + 90 + 75) : 10 = = 72 (бала).
1255. Перед вами оцінки
Математика: 6, 10, 4, 7, 8, 4, 9, 10, 6, 8, 5, 9, 10
Англійська мова:
1) (9 + 10 + 4 + 7 + 8 + 4 + 9 + 10 + 6 + 8 + 5 + 9 + 10) : 13 ≈
≈ 7,38 – з математики
124 : 16 = 7,75 – з англійської мови
63 : 8 = 7,875 – з географії
2) Математика:
найменше: 4;
найбільше: 10.
Англійська мова:
найбільше: 10;
найменша: 4.
Географія:
найбільше: 10;
найменша 5.
1256. За розв’язання задач п’ять
від 0 до 3 5
від 4 до 6 10
від 7 до 9 30
від 10 до 12 4
від 13 до 15 16
від 16 до 18 10
від 19 до 21 2
від 22 до 24 3 Найбільше 30; найменше 2. 1257.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
липень 7
серпень 3
вересень 4
жовтень 2
листопад 3
грудень 3
січень 4
лютий 1
березень 6
квітень 6
травень 7
Найбільше 7; найменше 1. 1258. Опитавши 60 чоловік про розміри їх взуття (у см), склали таблицю. Складіть
частотну таблицю. Знайдіть
2. Найменше і найбільше значення: Найменше значення: 25 см; найбільше значення: 30,5 см.
3. Середнє значення (математичне сподівання):
значень де: x середнє значення,
Сума всіх значень сума всіх розмірів взуття з таблиці, Кількість значень кількість опитаних
1)
3)
4)
1262.
Виходить, що 60 грн. це дві третини від ціни.
Отже 60 : 2 • 3 = 90 грн.
Відповідь: 90 грн
1263. Склади рівняння прямих,
Пряма а y = 3,
пряма b y = –0,5x + 2,
пряма c x = –4.
1264. Доведи тотожність a) a² + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2)
a² + 3a + 2 = a² + 2a + a + 2
a² + 3a + 2 = a² + 3a + 2
б) 7x³ + 5x² 6x + 3 = ((7x + 5)x 6)x + 3
7x³ + 5x² 6x + 3 = (7x² + 5x 6)x + 3
7x³ + 5x² 6x + 3 = 7x³ + 5x² 6x + 3
1265. Після
Розв'язання:
29.11
Скільки
Оскільки
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: 5
капітана?
Розв'язок: Капітаном
Розв'язок:
вибираємо заступника з 4 гравців, що залишились (4 способи).
Загальна кількість способів за правилом множення: 5 × 4 = 20 способів.
Відповідь: Б 20 1270. Скількома способами можна
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1.
номер.
2. Підрахунок вільних номерів:
Тримісні номери:
Загальна кількість тримісних номерів: 10
Зайнято тримісних номерів: 3
Вільних тримісних номерів: 10 − 3 = 7.
Чотиримісні номери:
Загальна кількість чотиримісних номерів: 3
Зайнято чотиримісних номерів: 1
Вільних чотиримісних номерів: 3 − 1 = 2
3. Загальна кількість варіантів поселення:
Сім'я може заселитися або в тримісний, або в чотиримісний номер.
Тому підсумуємо кількість вільних номерів: 7 + 2 = 9 Відповідь:
1. Перша страва: 3 варіанти.
2. Друга страва: 6 варіантів.
3. Салат: 4 варіанти.
Оскільки ми
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3. Толя, Олег, Ігор
4. Толя, Ігор, Олег
5. Ігор, Олег, Толя
6. Ігор, Толя, Олег
2. Варіанти, в яких Ігор на першому місці
Якщо Ігор на першому місці, то залишаються 2 місця для Олега і Толі.
Вони можуть помінятися місцями, і отже є 2 варіанти розташування:
1. Ігор, Олег, Толя
2. Ігор, Толя, Олег
Тобто, є 2 варіанти, в яких Ігор на першому місці.
3. Варіанти, в яких Олег не на останньому місці
Щоб знайти варіанти, де Олег не на останньому місці, потрібно подивитись на всі
можливі варіанти черги (всього 6 варіантів), а потім виключити ті, де Олег на
останньому місці.
Варіанти, де Олег на останньому місці:
1. Толя, Ігор, Олег
2. Ігор, Толя, Олег
Є 2 варіанти, де Олег на останньому місці.
Отже, кількість варіантів, де Олег не на останньому місці: 6 − 2 = 4.
Тобто, є 4 варіанти, в яких Олег не на останньому місці.
Відповіді:
а) кількість
Кількість
3! = 3 • 2 • 1 = 6
Тобто, існує 6 варіантів маршруту, які
1. Варшава, Краків, Гданськ
2. Варшава, Гданськ, Краків
3. Краків, Варшава, Гданськ
4. Краків, Гданськ, Варшава
5. Гданськ, Варшава, Краків
6. Гданськ, Краків, Варшава
Відповідь: існує 6
5!
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1276. Скількома способами
5!=5
1277. How many ways can 4 different books be arranged on a shelf?
Потрібно
перестановок.
Потрібно знайти, скільки парних
цифри 3, 4, 5, 7 і 1, за умови, що всі цифри різні.
1. Умови:
• Число повинно бути п'ятицифровим.
• Число повинно бути парним.
• Цифри числа повинні бути різними.
• Для запису числа доступні цифри: 3, 4, 5, 7, 1.
2. Визначимо, які числа є парними:
• Для того, щоб число було парним,
4 • 3 • 2 • 1 = 24.
4.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
використовуючи цифри 3, 4, 6, 8?
Потрібно визначити, скільки непарних чотирицифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати, використовуючи цифри 3, 4, 6, 8.
1. Умови:
• Число повинно бути чотирицифровим.
• Число повинно бути непарним.
• Цифри числа мають бути різними.
• Для запису числа доступні цифри: 3, 4, 6, 8.
2. Умови для непарності:
• Для того, щоб число було непарним, його остання цифра повинна бути непарною.
• У нашому наборі цифр є тільки 3 (непарна).
Отже, остання цифра нашого числа повинна бути 3.
3. Вибір перших трьох цифр:
• Після того, як ми вибрали 3 для останньої цифри, залишаються цифри 4, 6, 8.
• Для першої цифри є 3 варіанти (можна вибрати одну з цифр 4, 6, 8).
• Для другої цифри, після того, як вибрана перша, залишиться 2 варіанти.
• Для третьої цифри залишиться 1 варіант.
Отже, кількість способів вибрати і розставити перші три цифри дорівнює:
3 • 2 • 1 = 6.
4. Загальна кількість варіантів:
• Оскільки остання цифра вже визначена (це 3), загальна кількість
чотирицифрових чисел дорівнює 6.
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Загальна кількість можливих варіантів коду
як: 24 = 16. Тобто, всього є 16 можливих варіантів коду.
У найгіршому випадку, щоб відчинити двері, потрібно перебрати всі 16 варіантів, якщо правильний код знаходиться на останньому місці.
Відповідь: у найгіршому випадку потрібно перебрати 16 варіантів коду 1283. У групі 13 учнів/учениць. Скількома способами можна скласти список
учнів/учениць?
Це задача на перестановки 13 елементів.
Кількість перестановок 13 учнів/учениць обчислюється за допомогою факторіала числа 13: 13! = 13 • 12 • 11 • 10 • ⋯ • 1.
Враховуючи великий розмір числа, точне значення 13! дорівнює: 13! = 6,227,020,80013! = 6,227,020,80013! = 6,227,020,800
Отже, існує 6,227,020,800 способів скласти
Відповідь: існує 13! = 6,227,020,800 способів скласти список учнів/учениць. 1284. Зустрілися семеро друзів і
всього було рукостискань.
Розв'язання:
потискає руку А), потрібно
руки.
Кількість таких пар можна знайти
C(n,2) = n(n 1) 2
де n = 7 це кількість друзів. Отже, кількість рукостискань
C(7,2) = (7(7 1)) 2 = (7×6) 2 = 21
Відповідь: Всього було 21 рукостискання
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
C(n,2) = n(n 1) 2
де n = 14 це кількість клубів.
Отже, кількість унікальних пар
C(14,2) = 14(14 1) 2 = 14×13 2 = 91
Оскільки
91×2 = 182
Відповідь:
цифри.
1. Перша цифра (сотні): • Перша цифра не може бути нулем (оскільки це
цифри є 9 варіантів (цифри від 1 до 9).
2. Друга цифра (десятки):
• Друга цифра
Отже, для другої цифри є 9 варіантів (цифри
3. Третя цифра (одиниці): • Третя цифра повинна бути відмінною
Таким чином, загальна
як: 9 • 9 • 8 = 648. Відповідь: існує
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. Умови для парності: Для того, щоб число було парним,
цифри. Розглянемо поетапно:
1. Перша цифра (тисячі):
варіанти.
2. Друга цифра (сотні): Після вибору
набору {0, 3, 9}.
Тому для другої цифри є
3. Третя цифра (десятки):
1291. Потрібно знайти,
цифри (6) залишається
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. Чисельник: Можна вибрати будь–яке з одноцифрових простих чисел (2, 3, 5, 7), тобто 4 варіанти.
2. Знаменник: Також можна вибрати будь–яке з одноцифрових простих чисел (2, 3, 5, 7),
але знаменник не може бути рівний чисельнику.
Отже, для кожного вибору чисельника є 3
варіантів (той, який вибраний для чисельника) виключається.
Загальна кількість дробів: 4 • 3 = 12.
Але нам потрібно врахувати, що
це різні дроби).
Отже, кількість можливих дробів дорівнює 12.
будь–якою з 10
Отже, кількість можливих
обчислюється як: 10
10
10 • 10 = 104 =
Відповідь: В
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
розрахована на 10,000 абонентів 1294. Із цифр від 0 до 9 складають двоцифрове число, що має певну властивість. Установіть відповідність між сформульованою властивістю числа (1–3) та
способів його утворення (А–Г) 1. Число, що ділиться на 5
число ділилося на 5, його остання цифра повинна бути або 0, або 5.
• Перша цифра може бути будь–якою від 1 до 9 (9 варіантів).
• Остання цифра повинна бути або 0, або 5 (2 варіанти). Отже, кількість двоцифрових чисел, що діляться на 5, дорівнює: 9 • 2 = 18.
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. Число, що ділиться на 5 – Г (18 способів)
2. Число, що ділиться на 10 – А (9 способів)
3. Число, що ділиться на 2 – Б (45 способів)
1295. Комплексний обід, вартість якого 72
(гарнір і м’ясо) та
м'ясо) та напій. Кафе пропонує на вибір:
• 2 перші страви,
• 3 гарніри,
• 2 м'ясні страви,
5 = 45.
• напій (кількість варіантів не вказана, але припустимо, що є один напій на вибір).
Потрібно визначити, скільки існує варіантів різних
1. Перша страва: Є 2 варіанти.
2. Гарнір: Є 3 варіанти.
3. М'ясна страва: Є 2 варіанти.
4. Напій: Є 1 варіант (як припускаємо з умови).
Для визначення загальної
варіантів для кожної страви:
2 • 3 • 2 • 1 = 12
Відповідь: існує 12 варіантів
k₅, k₂ та k₁
Треба знайти
5k₅ + 2k₂ + k₁ = 10
страв.
дають 10 грн, тобто:
Розглянемо всі можливі випадки для кількості монет по 5 грн:
k₅ = 2: 5×2 = 10 грн 1 варіант (2 монети по 5 грн)
k₅ = 1: 5×1 = 5 грн, залишилось заплатити 5 грн
Для решти 5 грн можливі варіанти:
k₂ = 2, k₁ = 1: (5 грн, 2 грн, 2 грн, 1 грн)
k₂ = 1, k₁ = 3: (5 грн, 2 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
k₂ = 0, k₁ = 5: (5 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
Всього 3 варіанти
k₅ = 0: залишилось заплатити 10 грн
Можливі варіанти:
k₂ = 5, k₁ = 0: (2 грн, 2 грн, 2 грн, 2 грн, 2 грн)
k₂ = 4, k₁ = 2: (2 грн, 2 грн, 2 грн, 2 грн, 1 грн, 1 грн)
k₂ = 3, k₁ = 4: (2 грн, 2 грн, 2 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
k₂ = 2, k₁ = 6: (2 грн, 2 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
k₂ = 1, k₁ = 8: (2 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
k₂ = 0, k₁ = 10: (1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн, 1 грн)
Всього 6 варіантів Загалом: 1 + 3 + 6 = 10
10
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
грн?
Розв'язок:
Позначимо кількість монет кожного номіналу:
x - кількість монет по 1 грн
y - кількість монет по 2 грн
z - кількість монет по 5 грн За умовою маємо рівняння:
1·x + 2·y + 5·z = 10
Треба знайти всі можливі комбінації цілих невід'ємних значень x, y, z, що задовольняють це рівняння.
Розглянемо можливі значення для z:
z = 0: 1·x + 2·y = 10
y = 0: x = 10 (10 монет по 1 грн)
y = 1: x = 8 (8 монет по 1 грн та 1 монета по 2 грн)
y = 2: x = 6 (6 монет по 1 грн та 2 монети по 2 грн)
y = 3: x = 4 (4 монети по 1 грн та 3 монети по 2 грн)
y = 4: x = 2 (2 монети по 1 грн та 4 монети по 2 грн)
y = 5: x = 0 (5 монет по 2 грн)
z = 1: 1·x + 2·y = 5
y = 0: x = 5 (5 монет по 1 грн та 1 монета по 5 грн)
y = 1: x = 3 (3 монети по 1 грн, 1 монета
y = 2: x = 1 (1 монета по 1 грн, 2 монети
z = 2: 1·x + 2·y = 0
y = 0: x = 0 (2 монети по 5 грн)
Отже, всього маємо 10 різних варіантів.
Відповідь: 10 варіантів
1298. Розв’яжи рівняння.
а) z² + 14z + 49 = 0
(z + 7)² = 0
z = 4;
б) x² x + 0,25 = 0
(x 0,5)² = 0
x = 0,5
1299. В таблиці подано дані про
токшоу. Знайди найменше, найбільше і
а) танцювальних номерів; б)
180, 220, 260, 300, 360
значення: 180.
1. Найбільше значення: 360.
2. Середнє значення:
= 180 + 220 + 260 + 300 + 360 = 1320
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Середнє = 1320 5 = 264
Середнє: 264
б) Музичні номери Дані: 540, 680, 620, 760, 660.
Найменше значення: 540.
Найбільше значення: 760.
Середнє значення:
Сума = 540 + 680 + 620 + 760 + 660 = 3260
Середнє = 3260 / 5 = 652
Відповідь для музичних номерів:
Найменше: 540.
Найбільше: 760.
Середнє: 652.
1300. Знайди суму, різницю, добуток і частку чисел.
а) 4 · 10⁸ і 2 · 10⁷; б) 3,6 · 10¹⁹ і 2 · 10¹⁹.
Розв'язок:
а) 4 · 10⁸ і 2 · 10⁷
Сума: 4 · 10⁸ + 2 · 10⁷ = 4 · 10⁸ + 0,2 · 10⁸ = 4,2 · 10⁸
Різниця: 4 · 10⁸ - 2 · 10⁷ = 4 · 10⁸ - 0,2 · 10⁸ = 3,8 · 10⁸
Добуток: 4 · 10⁸ · 2 · 10⁷ = 8 · 10¹⁵
Частка: 4 · 10⁸ : 2 · 10⁷ = 4 : 2 · 10⁸ : 10⁷ = 2 · 10¹
б) 3,6 · 10¹⁹ і 2 · 10¹⁹
Сума: 3,6 · 10¹⁹ + 2 · 10¹⁹ = 5,6 · 10¹⁹
Різниця: 3,6 · 10¹⁹ - 2 · 10¹⁹ = 1,6 · 10¹⁹
Добуток: 3,6 · 10¹⁹ · 2 · 10¹⁹ = 7,2 · 10³⁸
Частка: 3,6 · 10¹⁹ : 2 · 10¹⁹ = 3,6 : 2 = 1,8 1301. Яка з чотирьох
Випадкова
1304.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Ймовірність вгадати правильну парну цифру = 1 5 .
місці: 10 (від 0 до 9).
Або: ймовірність вгадати будь-яку парну цифру з 10 можливих = 5 10 = 1 2 .
Оскільки власник знає, що остання
1.
тижня.
Тому 29 лютого може випасти
четвер, п'ятниця, субота, неділя).
3. Вихідні дні: Вихідними днями є субота та неділя.
Отже, з усіх 7 днів тижня 2 є вихідними.
4. Ймовірність: 37 можливих днів для 29 лютого 2 дні є вихідними (субота та неділя).
Тому ймовірність того, що
як: Р = 2 7
Відповідь: ймовірність того, що 29 лютого
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Розв'язання:
1. Усього учасників 10.
2.
3.
P(червоний) = 18 36 = 1 2
б) Дама пікова:
У колоді є 4 дами (по одній на кожну масть), і одна
Загальна кількість карт 36.
Ймовірність того, що
P(дама пікова) = 1 36
в) Чорний король:
є 2 королі (один з них
того, що
36.
1 – Г, 2 – Д, 3 – Б, 4 – В 1311. Яка
3; б) не менше 2? а) 2 6 = 1 3; б) 5 6 .
1312. Яка
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
того, що
вибране двоцифрове число: Розв'язання: а) Є кратним числа 13:
Двоцифрові числа, кратні 13, це числа від 13 до 99, які діляться на 13.
Перелік двоцифрових чисел, кратних 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Це 7 чисел.
Загальна кількість двоцифрових чисел це числа від 10 до 99, тобто: 99 10 + 1 = 90.
Ймовірність того, що навмання вибране число є кратним 13:
P(кратне 13) = 7 90
б) Є дільником числа 80:
Щоб число було дільником 80, воно повинно ділити 80 без остання.
Дільники числа 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80.
Тільки двоцифрові числа серед цих
Загальна кількість двоцифрових чисел 90. Ймовірність
P(дільник 80) = 3 90 = 1 30
в) Має суму цифр 9:
18(1 + 8)
27(2 + 7)
36(3 + 6)
45(4 + 5)
54(5 + 4)
63(6 + 3)
72(7 + 2)
81(8 + 1)
90(9 + 0) Це 9 чисел.
Загальна
P(сума цифр 9) = 9 90 = 1 10
однакові: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 Це 9 чисел.
це: 10, 20, 40. Це 3 числа.
80:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
28 = 2² × 7
Дільниками числа 28 є: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Числа від 1 до 30:
Ми працюємо з числами від 1 до 30. Тобто, з усіх натуральних чисел від 1 до 30 нам потрібно
вибране число є одним із дільників числа 28.
Кількість сприятливих варіантів:
Дільники числа 28, які знаходяться
Кількість всіх можливих варіантів:
Загальна кількість натуральних
Ймовірність:
Ймовірність того, що
10 синіх ручок,
4 фіолетових ручки, 8 червоних ручок,
5 зелених ручок.
Загальна кількість ручок в пакеті:
10 + 4 + 8 + 5 = 27.
Кількість сприятливих варіантів:
Сприятливий варіант це вибір червоної ручки.
Всього червоних ручок 8.
2. Ймовірність: ймовірність того, що вчитель
відношення кількості червоних
P(червона ручка) = 8 27
Відповідь: ймовірність того, що
8
1316. Букет складено з 13 білих та 18 червоних троянд. Навмання з букету виймають
одну квітку. Яка ймовірність того, що ця квітка виявиться: Розв'язання: a) Червоною: 1. Загальна кількість
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) Ймовірність того, що квітка буде білою: 13 31
1317. У коробці 6 синіх, 3 червоних і 1 зелена картки.
ймовірність того, що вона не синя?
Розв'язання:
1. Загальна кількість карток:
У коробці є:
6 синіх карток, 3 червоних картки, 1 зелена картка.
Загальна кількість карток: 6 + 3 + 1 = 10.
Кількість карток, що не є синіми:
Оскільки ми шукаємо ймовірність того, що картка
кількість карток, які не сині:
3 (червоних) + 1 (зелена) = 4.
Ймовірність того,
P(не синя) = 4 10 = 2 5 1318. У
кількість карток:
коробці є:
синіх карток,
червоних картки, 4 зелених картки. Загальна кількість карток: 5 + 2 + 4 = 11. Кількість карток, що не є синіми:
потрібно знайти
сума червоних
2 (червоні) +4 (зелені) = 6.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1.
2.
3. Кількість сприятливих варіантів: Тільки
варіант.
4. Ймовірність того, що картки
P(ДІМ) = 1 6
1320. Серед
1.
кількість деталей: Загальна
2. Кількість
виду А: 28,
виду В: 36.
3. Кількість деталей виду С: Оскільки всього
знайти за формулою: Деталі виду С = 100 − 28 − 36 = 36.
Тобто, 36 деталей є виду С.
3. Ймовірність того,
3.
4. Ймовірність
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
P(не червоний і не синій) = 12 42 = 2 7
Відповідь: ймовірність того, що навмання
2 7 .
1322. У лотереї розігрується 16 грошових і 20 речових
квитків. Яка ймовірність, придбавши
1. Загальна кількість квитків: Загальна кількість лотерейних квитків – 1800.
2. Кількість призів:
У лотереї розігрується: 16 грошових призів, 20 речових призів.
Загальна кількість призів: 16 + 20 = 36.
Кількість квитків, які не виграють приз:
Якщо всього 1800 квитків, а 36 з них – виграшні, то кількість квитків, які не виграють
приз, дорівнює: 1800 – 36 = 1764.
Ймовірність того, що придбаний квиток
Ймовірність того, що
P(не виграє) = 1764
1800
Спростимо дроб: 1764
450
1800 = 441
Тому ймовірність
P(не виграє) = 441 450
Відповідь:
0,98 (приблизно
випадає двічі:
Г,Г
Це один
P(герб двічі) = 1 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
дорівнювала 1?
Розв'язання:
1. Загальна кількість кульок: У коробці є:
• 6 білих кульок, • 2 сині кульки.
Отже, всього кульок у коробці: 6 + 2 = 8.
Що означає ймовірність 1?
Ймовірність 1 означає, що
Тому потрібно взяти таку
синя кулька.
2. Кількість кульок, які не можуть бути
3. Що відбудеться, якщо виймемо 7 кульок?
6 білих
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2.
3.
4. Що відбудеться, якщо виймемо
Розв'язання:
У, K, P, A, Ï, H, A. Звертаємо
2. Загальна кількість
3. Скільки слів можна утворити з
то це буде
із 7. Але оскільки буква "А" повторюється двічі, потрібно врахувати це
4. Кількість способів вибору 4 букв, коли буква "А" не використовується: У нас є 6
C(6, 4) = 6! (4!(6 4)!) = 15 Для кожної з цих 15 вибраних букв
360 + 480 + 120 = 960
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
річки.
Пароплав рухається швидше при русі з течією і повільніше проти течії.
Пліт також рухатиметься під впливом течії, але з іншою швидкістю.
Позначимо:
• Vпліт – швидкість плота відносно води.
• Vтечія – швидкість течії річки.
• Vпароплав−1v– швидкість пароплава по
В.
• Vпароплав−2v – швидкість
1. Визначимо швидкість пароплава:
течії:
течії: v
2 = vпліт vтечія
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Час = S vпліт = S (6S 35) = 35 6 ≈ 5.83 діб
Відповідь: пліт
1328. Розклади на множники.
а) 1 (a b)² = (1 a + b)(1 + a b);
б) (x + c)² 9x²c⁴ = (x + c 3xc²)(x + c + 3xc²).
1329. Розв’яжи рівняння.
а) 9x² + 6x + 1 = 0
(3x + 1)² = 0
3x + 1 = 0
3x = 1
x = 1 3
б) 48x³ + 12x = 0
12x(4x² + 1) = 0
4x² + 1 = 0
x² = 1 4
коренів немає.
1330. Мама і донька йдуть на прогулянку. У мами є 5 кишень, а у доньки 4 кишені.
Скільки є варіантів покласти серветки в одну
Розв'язання:
Ми маємо 2 осіб – маму та доньку.
Мама має 5 кишень, а донька – 4 кишені.
Потрібно визначити
серветку.
1. Кількість кишень у мами: 5
2. Кількість кишень у доньки: 4
Оскільки серветка може
(23 4 23 8 0,3) :
Вираз: (5 9 25 2,36) : (3 4 5 + 0,2)
(134 25 236 100)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
12,5 · 2,25 (4,128 3,75) : 0,4 = 28,125 (4,128 3,75) : 0,4 = 28,125 (0,378) : 0,4 = 28,125 0,945 = 27,18
Відповідь: 27,18
1333. Знайди значення виразу а) Вираз:
9x⁴ 4x², якщо x = 1 3
Розв'язання:
9(1 3)⁴ 4(1 3)² = 9( 1 81) 4(1 9) = 9 81 4 9 =
Б) Вираз:
10a² + 125a³, якщо a = 0,2.
Розв'язання:
10a² + 125a³ = 5a²(2 + 25a)
Підставимо a = 0,2:
5( 0,2)²(2 + 25( 0,2)) = 5(0,04)(2 5) = 5(0,04)( 3) = 5( 0,12) = 0,6
Відповідь: 0,6
1334. Перемнож одночлени а) Знайдемо добуток одночленів:
5a²b · 3 5 ab³ · 3ac⁴
Множимо коефіцієнти:
5 · 3 5 · 3 = 3 · 3 = 9
Множимо змінні: a² · a · a = a²⁺¹⁺¹ = a⁴ b · b³ = b¹⁺³ = b⁴
c⁴
Відповідь:
9a⁴b⁴c⁴
б) Знайдемо добуток: 8xy · ( 2,5)b² · 0,1ax
Множимо коефіцієнти: 8 · ( 2,5) · 0,1 = 20 · 0,1 = 2
Множимо змінні: x · x = x² y a b²
Відповідь: 2ax²yb²
1335. Перемнож одночлени
а) Знайдемо добуток: 4pq² · 0,15pz² · 5pqz
Множимо коефіцієнти: 4 · 0,15 · 5 = 3
Множимо змінні: p · p · p = p³
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
q² · q = q³ z² · z = z³
Відповідь: 3p³q³z³
б) Знайдемо добуток:
5 7 ax² · 1 3 ax²y · 2 5 8 xy
Приведемо коефіцієнти: 5 7 · 1 3 · 21 8
5 7 · 1 3 · 21 8 = 5 1 21 7 3 8 = 105 168 = 5 8
Множимо змінні: a·a = a²
x²·x²·x = x⁵
y·y = y²
Відповідь: 5 8 a²x⁵y²
1336. Піднеси до степеня одночлен. Зведемо одночлени до степеня: а)
(2x³)⁵ = 2⁵ · x³·⁵ = 32x¹⁵ б)
( xy)⁷ = ( 1)⁷ · x⁷ · y⁷ = x⁷y⁷
в)
( 3a)⁴ = ( 3)⁴ · a⁴ = 81a⁴ г)
(0,5m²)³ = 0,5³ · m²·³ = 0,125m⁶
Відповіді:
а) 32x¹⁵
б) x⁷y⁷
в) 81a⁴
г) 0,125 m⁶
1337. Спрости вираз.
Спрощуємо вирази: а)
3x² · 4x²ym = (3 · 4) · x²⁺² · y · m = 12x⁴ym б)
2 3 aⁿ⁺¹ · 6aⁿ⁻² = (2 3 · 6) · a⁽ⁿ⁺¹⁾⁺⁽ⁿ⁻²⁾ = 12 3 · a²ⁿ⁻¹ = 4a²ⁿ⁻¹
Відповіді: а) 12x⁴ym
б) 4a²ⁿ⁻¹
1338. Знайди різницю многочленів. а)
(6x³ 2x⁵ + x) (8x³ + 3x⁵ 4x²)
Розкриваємо дужки:
6x³ 2x⁵ + x 8x³ 3x⁵ + 4x²
б)
(3a² + 2ab b²) (2b² 2a²) Розкриваємо дужки: 3a² + 2ab b² 2b² + 2a²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Групуємо подібні члени: ( 2x⁵ 3x⁵) + (6x³ 8x³) + 4x² + x
5x⁵ 2x³ + 4x² + x
Відповідь:
5x⁵ 2x³ + 4x² + x
(3a² + 2a²) + 2ab + ( b² 2b²)
5a² + 2ab 3b²
Відповідь: 5a² + 2ab 3b²
1339. Перетвори вираз у многочлен стандартного
12x² − (−3x⁶ + 8 − 10x²)
Розкриваємо дужки:
12x² + 3x⁶ − 8 + 10x²
Групуємо подібні члени:
3x⁶ + (−12x² + 10x²) − 8
3x⁶ − 2x² − 8
Відповідь:
3x⁶ − 2x² − 8
б)
9m³ − 5m + (m − 6m³ − 2m⁴)
Розкриваємо дужки:
9m³ − 5m + m − 6m³ − 2m⁴
Групуємо подібні члени:
2m⁴ + (9m³ − 6m³) + (−5m + m)
2m⁴ + 3m³ − 4m
Відповідь:
2m⁴ + 3m³ − 4m
в)
(−4xy + 7y²) − (−8x²) + (6xy − 10x² − 5)
Розкриваємо дужки:
4xy + 7y² + 8x² + 6xy − 10x² − 5
Групуємо подібні члени:
(8x² − 10x²) + (−4xy + 6xy) + 7y² − 5
2x² + 2xy + 7y² − 5
Відповідь:
2x² + 2xy + 7y² − 5 г)
(3b² + 4b²c) + (6b² − c²b + b²c) − (2b² + 5b²c)
Розкриваємо дужки:
3b² − 4b²c + 6b² − c²b + b²c − 2b² − 5b²c
Групуємо подібні члени:
(−3b² + 6b² − 2b²) + (−4b²c + b²c − 5b²c) − c²b b² − 8b²c − c²b
Відповідь: b² − 8b²c − c²b
1340. Виконай множення: а)
3x (2x⁴ − 5x + 1) = 3x · 2x⁴ − 3x · 5x + 3x · 1 = 6x⁵ − 15x² + 3x
Відповідь:
6x⁵ − 15x² + 3x
б)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5a² (3a² + 4a − 2) = −5a² · 3a² + (−5a² · 4a) + (−5a² · (−2)) = −15a⁴ − 20a³ + 10a²
Відповідь:
15a⁴ − 20a³ + 10a² в)
(−ab + 2a² − 3b²) (−a²b) = (−ab · −a²b) + (2a² · −a²b) + (−3b² · −a²b) = a³b² − 2a⁴b + 3a²b³
Відповідь:
a³b² − 2a⁴b + 3a²b³ г)
(4x²y − 3xy² + 5) · 2xy = (4x²y · 2xy) + (−3xy² · 2xy) + (5 · 2xy) = 8x³y² − 6x²y³ + 10xy
Відповідь:
8x³y² − 6x²y³ + 10xy ґ)
0,25 (2m² − 4m + 6) = −0,25 · 2m² + (−0,25 · (−4m)) + (−0,25 · 6) = −0,5m² + m − 1,5
Відповідь:
0,5m² + m − 1,5 д)
(−10n⁵ − 6n³ + 2)(−1,5m) = (−10n⁵ · −1,5m) + (−6n³ · −1,5m) + (2 · −1,5m) = 15n⁵m + 9n³m − 3m
Відповідь:
15n⁵m + 9n³m − 3m
1341. Перемнож вирази: а) Перемножимо:
12x³ · (1 6 x + 2 3 x² − 3 4)
Розподіляємо множник:
12x³ · 1 6 x + (−12x³ · 2 3x²) + (−12x³ · (−3 4))
Обчислюємо:
2x⁴ − 8x⁵ + 9x³
Відповідь:
8x⁵ − 2x⁴ + 9x³
в)
(−3 5 ax²) · (5ax² − 5 8 a²x + 1 2 a)
Розподіляємо множник:
3 5 ax² · 5ax² + (−3 5 ax² · −5 8a²x) + (−3 5 ax² · 1 2a)
Обчислюємо:
3a²x⁴ + 15 40 a³x³ − 3 10 a²x²
3a²x⁴ + 3 8 a³x³ − 3 10 a²x²
Відповідь:
3a²x⁴ + 3 8 a³x³ − 3 10 a²x² г)
0,5y⁶ · (−0,8xy + 1,2x³ + 7x²y)
Або, якщо
0,5y⁶ · (−0,8xy) + 0,5y⁶ · 1,2x³ + 0,5y⁶ · 7x²y
Обчислюємо:
0,4xy⁷ + 0,6x³y⁶ + 3,5x²y⁷
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0,4xy⁷ + 0,6x³y⁶ + 3,5x²y⁷ 1342.
5x(x + 4) − x (6 − 2x²)
Розкриваємо дужки: 5x² + 20x − 6x + 2x³
Групуємо подібні члени:
2x³ + 5x² + 14x
Відповідь:
2x³ + 5x² + 14x
б)
y²(2y − 6) + 4y (y² − y)
Розкриваємо дужки:
2y³ + 6y² + 4y³ − 4y²
Групуємо подібні члени:
(−2y³ + 4y³) + (6y² − 4y²)
2y³ + 2y²
Відповідь:
2y³ + 2y²
в)
6a²b³ b²(5a²b + b² 1)
Розкриваємо дужки:
6a²b³ 5a²b³ b⁴ + b²
Групуємо подібні члени:
(6a²b³ 5a²b³) + b² b⁴
a²b³ + b² b⁴
Відповідь:
a²b³ + b² b⁴
Г)
3xy(2 4x²y + xy²) 7xy
Розкриваємо дужки: (3xy · 2) + (3xy · 4x²y) + (3xy · xy²) 7xy 6xy 12x³y² + 3x²y³ 7xy
Групуємо подібні члени: (6xy 7xy) 12x³y² + 3x²y³
xy 12x³y² + 3x²y³
Відповідь:
xy 12x³y² + 3x²y³
1343. Доведи тотожності: а)
x(y z) + y(z x) = z(y x)
Розкриваємо дужки: xy xz + yz yx
Групуємо подібні члени: (xy yx) + (yz xz)
0 + z(y x)
Отримали рівність
z(y x) = z(y x)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Доведено.
б)
x(y + z yz) y(x + z xz) = z(x y)
Розкриваємо дужки:
xy + xz xyz yx yz + yxz
Групуємо подібні члени: (xy yx) + (xz yz) + ( xyz + yxz)
0 + z(x y) + 0
Доведено.
В)
ab(a + b + c) b²(a c) = bc(a + b + c) b(c² a²)
Розкриваємо дужки:
a²b + ab² + abc ab² + b²c
Групуємо подібні члени:
a²b + (ab² ab²) + (abc + b²c)
a²b + bc(a + b)
З іншого боку:
bc(a + b + c) b(c² a²)
Розкриваємо дужки:
abc + b²c + bc² bc² + ba²
a²b + bc(a + b)
Доведено.
Г)
ab(b + c) bc(a + b) + ac(a + c) = a(b² + c²) + c(a² b²)
Розкриваємо дужки:
abb + abc abc bca + aca + acc
ab² + ac² abc + abc
ab² + ac²
Розкриваємо іншу частину рівності:
a(b² + c²) + c(a² b²)
ab² + ac² + ca² cb²
ab² + ac² + ca² cb²
Видно, що обидві сторони рівні.
Доведено.
1344. Знайди добуток: а)
( 2a b) · ( 2a + b)
Використовуємо формулу
(A B)(A + B) = A² B² ( 2a)² b² = 4a² b²
Відповідь: 4a² b²
б)
( x² + y³) · ( x² y³)
Знову використовуємо формулу
(A B)(A + B) = A² B²
( x²)² (y³)² = x⁴ y⁶
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
( abc + 1) · (abc + 1)
Формула різниці квадратів:
A² B²
( abc)² 1² = a²b²c² 1
Відповідь: a²b²c² 1
г)
(a + b + c) · (a b c)
Розкриваємо дужки:
a² ab ac + ab b² bc + ac bc c²
Групуємо подібні члени:
a² b² c² 2bc
Відповідь:
a² b² c² 2bc
д)
(x + y z) · (x y + 2)
Розкриваємо дужки: x² xy + 2x + xy y² + 2y xz + yz 2z
Групуємо подібні члени:
x² y² xz + yz + 2x + 2y 2z
Відповідь:
x² y² xz + yz + 2x + 2y 2z
1345. Спрости вирази: а)
(2x 3)(2x + 3)(4x² + 9) + 81
Використовуємо формулу різниці квадратів:
(A B)(A + B) = A² B²
(2x 3)(2x + 3) = 4x² 9
Підставляємо у вираз: (4x² 9)(4x² + 9) + 81
Знову застосовуємо формулу
(4x²)² 9² + 81
16x⁴ 81 + 81
16x⁴
Відповідь: 16x⁴
б)
(5 + x⁵)(5 x⁵)(x¹⁰ + 25) + x²⁰ Застосовуємо формулу
(5 + x⁵)(5 x⁵) = 25 x¹⁰
Підставляємо у вираз: (25 x¹⁰)(x¹⁰ + 25) + x²⁰
x¹⁰·x¹⁰ + x²⁰
625 x²⁰ + x²⁰
625
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: 625 B)
256a⁴ (4a b³)(4a + b³)(16a² + b⁶)
Крок 1: Використаємо формулу різниці
(4a b³)(4a + b³) = 16a² b⁶
Підставляємо у вираз:
256a⁴ (16a² b⁶)(16a² + b⁶)
Крок 2: Знову застосовуємо формулу різниці квадратів
(16a² b⁶)(16a² + b⁶) = (16a²)² (b⁶)² = 256a⁴ b¹²
Підставимо у вираз: 256a⁴ (256a⁴ b¹²)
Крок 3: Розкриваємо дужки
256a⁴ 256a⁴ + b¹² = b¹²
Відповідь: b¹² г)
(0,1y²)⁴ + ( x 0,1y²)(0,1y² x)(0,01y⁴ + x²)
Обчислюємо перший доданок: (0,1y²)⁴ = 0,0001y⁸
Другий доданок має вигляд формули різниці
( x 0,1y²)(0,1y² x) = x² (0,1y²)² = x² 0,01y⁴
Помножимо на останній множник: (x² 0,01y⁴)(0,01y⁴ + x²)
Знову застосовуємо формулу
x⁴ (0,01y⁴)²
=x⁴ 0,0001y⁸
Підставимо у вираз: 0,0001y⁸ + (x⁴ 0,0001y⁸) 0,0001y⁸ + x⁴ 0,0001y⁸ x⁴
Відповідь: x⁴
1346. Подай двочлен у
а) p² q²
Застосовуємо формулу
p² q² = (p q)(p + q)
Відповідь: (p q)(p + q) б) 25 0,25m²
Перетворюємо в квадрат: (5)² (0,5m)²
Застосовуємо формулу різниці
(5 0,5m)(5 + 0,5m)
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(5 0,5m)(5 + 0,5m)
в)
9x² a⁴
Перетворюємо в квадрат: (3x)² (a²)²
Застосовуємо формулу різниці
(3x a²)(3x + a²)
Відповідь: (3x a²)(3x + a²)
г)
0,04x⁶ 1
Перетворюємо в квадрат: (0,2x³)² 1²
Застосовуємо формулу
(0,2x³ 1)(0,2x³ + 1)
Відповідь: (0,2x³ 1)(0,2x³ + 1)
ґ)
x²y⁴ + a⁶b⁸
Перетворюємо в квадрат:
a⁶b⁸ (xy²)²
Застосовуємо формулу різниці
(a³b⁴ xy²)(a³b⁴ + xy²)
Відповідь: (a³b⁴ xy²)(a³b⁴ + xy²) д)
a²b²c² 121x⁶
Перетворюємо в квадрат: (abc)² (11x³)²
Застосовуємо формулу
(abc 11x³)(abc + 11x³)
Відповідь: (abc 11x³)(abc + 11x³) е)
64 + 36m²n²
Перетворюємо в квадрат: (6mn)² 8²
Застосовуємо формулу різниці
(6mn 8)(6mn + 8)
Відповідь: (6mn 8)(6mn + 8)
ж)
a² (b + c)²
Застосовуємо формулу різниці квадратів: (a (b + c))(a + (b + c))
Відповідь:
(a b c)(a + b + c) 1347. Обчисли.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 24² 14² = (24 14)(24 + 14) = 10 · 38 = 380
б) 62² 38² = (62 38)(62 + 38) = 24 · 100 = 2400
в) 98² 97² = (98 97)(98 + 97) = 1 · 195 = 195
г) 52,5² 48,5² = (52,5 48,5)(52,5 + 48,5) = 4 · 101 = 404
г) 14,3² 4,3² = (14,3 4,3)(14,3 + 4,3) = 10 · 18,6 = 186
е) (173 4)² (163 4)² = (71 4 )² (67 4 )² = (71 4 67 4 )( 71 4 +
є)
(72 3)² (21 3)² = (23 3 )² (7 3)² = (23 3 7 3) · (23 3 + 7 3) = (16 3 ) · (30 3
1348. Подай вираз у вигляді многочлена Розкриємо квадрати виразів.
а) (0, 4a² 5ab)² = 0, 16a⁴ 2 (0, 4a² · 5ab) + 25a²b² = 0, 16a⁴ 4a³b + 25a²b²
б) (6, 5xy + 8y²)² = 42, 25x²y² + 2 (6, 5xy · 8y²) + 64y⁴ = 42, 25x²y² + 104xy³ + 64y⁴
в) (xy 1)² = x²y² 2xy + 1
г) (2 + a⁶b⁴)² = 4 + 4a⁶b⁴ + a¹²b⁸
1349. Подай вираз у вигляді многочлена
Розкриємо квадрати виразів.
а) ( x + y²)² = x² 2xy² + y⁴
б) ( 2a² + 3y³)² = 4a⁴ 12a²y³ + 9y⁶
в) ( 1 3 3x²)² = ( 1 3 3x²)² = 1 9 + 2 · 1 3 · 3x² + 9x⁴ = 1 9 + 2x² + 9x⁴
г) ( 1 2 m³ 0,2n)² = 1 4 m⁶ + 2 · 1 2m³ · 0,2n + 0,04n² = 1 4m⁶ + 0,2m³n + 0,04n²
ґ) ( 0,1xy + 5)² = 0,01x²y² 2(0,1xy · 5) + 25 = 0,01x²y² xy + 25
д) ( 6x²y 0,5y)² = 36x⁴y² + 2(6x²y · 0,5y) + 0,25y² = 36x⁴y² + 6x²y² + 0,25y² 1350. Спрости вирази.
а)
(3x 5y)² 3x(3x 10y) = x² 30xy + 25y² (9x² 30xy) = 9x² 30xy + 25y² 9x² + 30xy = 25y² б)
8a(b 2a) + (4a + b)² = 8ab 16a² + 16a² + 8ab + b² = 16ab + b² в)
(4x + y)(3x + 4y) (2y + 3x)² = 12x² + 16xy + 3xy + 4y² (4y² + 12xy + 9x²) = 12x² + 19xy + 4y² 4y² 12xy 9x² = 3x² + 7xy г)
(3a + 6b)² (2a + 9b)(3a + 4b) = 9a² + 36ab + 36b² (6a² + 12ab + 27ab + 36b²) = 9a² + 36ab + 36b² 6a² 39ab 36b² = 3a² 3ab 1351. Доведи, що значення
x а)
(2x − 5y)² + 4x(5y − x) = 4x² − 20xy + 25y² + 20xy − 4x² = 4x² − 20xy + 25y² + 20xy − 4x² = 25y²
від y. б)
3x(12x − 4y) − (6x − y)² = 36x² − 12xy − (36x² − 12xy + y²) = 36x² − 12xy − 36x² + 12xy − y² = −y²
лише від y. 1352. Доведи, що
x а)
(4x + 5y)² − 8(2x − y)(x + 3y) = 16x² + 40xy + 25y² − 8 (2x² + 6xy − yx − 3y²) =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
16x² + 40xy + 25y² − (16x² + 48xy − 8yx − 24y²) = 16x² + 40xy + 25y² − 16x² − 40xy + 24y² = 25y² + 24y² = 49y²
Залежить лише від y.
б)
4(x − 6y)(x − 3y) − (2x − 9y)² = 4 (x² − 3xy − 6xy + 18y²) − (4x² − 36xy + 81y²) = 4x² − 12xy − 24xy + 72y² − 4x² + 36xy − 81y² = 4x² − 36xy + 72y² − 4x² + 36xy − 81y² = −9y²
Залежить лише від y. 1353.Подай вираз у вигляді многочлена.
Розкриємо куби виразів.
Використовуємо формулу куба суми та куба різниці:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
а) (x + 3)³ = x³ + 3x²(3) + 3x(9) + 27 = x³ + 9x² + 27x + 27
б) (y − 2)³ = y³ − 3y²(2) + 3y(4) − 8 = y³ − 6y² + 12y − 8
в) (2x − 1)³ = (2x)³ − 3(2x)²(1) + 3(2x) (1²) − 1³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1
г) (3x + 1)³ = (3x)³ + 3(3x)²(1) + 3(3x) (1²) + 1³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1
ґ) (m − 2n)³ = m³ − 3m²(2n) + 3m (4n²) − 8n³ = m³ − 6m²n + 12mn² − 8n³
д) (2a + 3)³ = (2a)³ + 3(2a)²(3) + 3(2a)(9) + 27 = 8a³ + 36a² + 54a + 27 1354. Розклади на
а) x³ + x²y + 2x² + 2xy = x²(x + y) + 2x(x + y) = (x² + 2x)(x + y) = x(x + 2)(x + y)
б) a³c² − a²c² + a³ − a² = a²c²(a − 1) + a²(a − 1) = a²(a − 1) (c² + 1)
в) 4xy + 12x²y − 4x − 12x² = 4x(y − 1) + 12x²(y − 1) = (4x + 12x²)(y − 1) = 4x(1 + 3x)(y − 1)
г) xyz − 4xz − 5xy + 20x = x(yz − 4z − 5y + 20) = x[(yz − 5y) − (4z − 20)] =
x[y(z − 5) − 4(z − 5)] = x(y − 4)(z − 5)
ґ) 6a²b − 18a² − 3ab + 9a = 6a²(b − 3) − 3a(b − 3) = (6a² − 3a)(b − 3) = 3a(2a − 1)(b − 3)
д) 4ab + 3ac − abc − 12a = 4ab − 12a + 3ac − abc = 4a(b − 3) + 3c(a − b) =
4a(b − 3) − 3(a − b) = (b − 3)(4a − 3c)
1355. Розклади на множники многочлен
а) a² − b² − a + b = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1)
б) x + y + x² − y² = x² − y² + x + y = (x − y)(x + y) + (x + y) = (x + y)(x − y + 1)
в) 4a² − 9 − 2a − 3 = 4a² − 2a − 12 = (2a − 4)(2a + 3)
г) 5 − 3x + 25 − 9x² = 30 − 3x − 9x² = −3 (x² + x − 10) = −3(x − 2)(x + 5)
1356. Подай у вигляді добутку.
а) x² − 2xy + y² − z² = (x − y)² − z²
(x − y − z)(x − y + z)
б) a² + 2a + 1 − b² = (a + 1)² − b²
(a + 1 − b)(a + 1 + b)
в) x² − y² + 8y − 16 = x² − (y² − 8y + 16)
x² − (y − 4)² = (x − (y − 4))(x + (y − 4))
(x − y + 4)(x + y − 4)
г) a² − b² − 14b − 49 = a² − (b² + 14b + 49)
a² − (b + 7)² = (a − (b + 7))(a + (b + 7))
(a − b − 7)(a + b + 7)
1357. Подай
а) ab² − 4a − b³ + 4b = a (b² − 4) − b³ + 4b
a(b − 2)(b + 2) − b (b² − 4)
a(b − 2)(b + 2) − b(b − 2)(b + 2) = (a − b)(b − 2)(b + 2)
б) x³ + x²y − 9x − 9y = x²(x + y) − 9(x + y)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(x² − 9)(x + y) = (x − 3)(x + 3)(x + y)
в) x²a + 3a² − a³ − 3x² = x²(a − 3) + 3a² − a³
x²(a − 3) − a³ + 3a² = x²(a − 3) − a²(a − 3)
(a − 3) (x² − a²) = (a − 3)(x − a)(x + a)
г) x³ − 5b² + 5x² − xb² = x³ + 5x² − xb² − 5b²
x²(x + 5) − b²(x + 5) = (x² − b²)(x + 5)
(x − b)(x + b)(x + 5)
1358. Розклади на множники
а) Розкладемо вираз на множники:
a²x² − 2abx² + 2ab + b²x² − a² − b²
Групуємо члени: (a²x² − 2abx² + b²x²) + (2ab − a² − b²)
Першу групу можна подати як повний квадрат:
(ax − bx)² + (2ab − a² − b²)
Перетворимо другу групу: 2ab − a² − b² = − (a² − 2ab + b²) = −(a − b)²
Отже, маємо:
(ax − bx)² − (a − b)²
Це різниця квадратів, тож розкладемо за формулою:
(ax − bx − (a − b))(ax − bx + (a − b))
Піднесемо до спрощеного вигляду:
(x(a − b) − (a − b))(x(a − b) + (a − b))
Винесемо (a − b) за дужки:
(a − b)(x − 1)(x + 1)
Отже, остаточний розклад: (a − b)(x − 1)(x + 1)
б) Розкладемо вираз на множники:
ax² − 4b²x + 4b² + 4a² − 4ax + b²x²
Перепишемо, групуючи члени: (ax² + b²x²) + (−4b²x − 4ax) + (4b² + 4a²)
Винесемо спільні множники:
x² (a + b²) − 4x (b² + a) + 4 (a² + b²)
Замітимо, що це квадрат двочлена: (x(a + b) − 2(a + b))²
Отже, остаточний розклад: (x − 2)(a + b)(x − 2)
або (a + b)(x − 2)²
Відповідь:
а) (a − b)(x − 1)(x + 1)
б) (a + b)(x − 2)²
1359. Розклади на множники
а) a² − b² + x² − y² + 2ax + 2by
Розглянемо вираз:
a² − b² + x² − y² + 2ax + 2by
Групуємо доданки:
(a² − b²) + (x² − y²) + (2ax + 2by)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
множник.
2. Застосовуємо формулу різниці квадратів:
(a − b)(a + b) + (x − y)(x + y) + 2(ax + by)
Об'єднуємо в повний квадрат:
a² + x² − b² − y² + 2ax + 2by = (a + x)² − (b + y)²
Застосовуємо формулу різниці квадратів:
(a + x − (b + y))(a + x + (b + y))
Спрощуємо:
(a b + x − y)(a + b + x + y)
Відповідь:
(a − b + x − y)(a + b + x + y)
б). Розкладемо на множники.
Розглянемо вираз:
x⁴ + y⁴ x² y² + 2x²y² 2xy
Групуємо доданки Звернемо увагу, що перші три доданки утворюють (x² + y²)², а
три це (x + y)². Отже, весь вираз можна записати як різницю квадратів: (x² + y²)² (x + y)²
Застосовуємо формулу різниці
a² b² = (a b)(a + b)
де a = x² + y², b = x + y
Виконуємо розкладення (x² + y²)² (x + y)² = ((x² + y²) (x + y)) ((x² + y²) + (x + y))
Остаточна відповідь (x² + y² x y) (x² + y² + x + y)
1360. Доведи, що:
а) 145² 144² = 17²
Застосуємо формулу: 145² 144² = (145 144)(145 + 144) = 1 · 289 = 289
Оскільки 17² = 289, рівність доведена.
б) 221² 220² = 21²
Застосуємо формулу: 221² 220² = (221 220)(221 + 220) = 1 · 441 = 441
Оскільки 21² = 441, рівність також доведена.
1361. Обчисли вирази.
Використовуємо формулу різниці квадратів: a² b² = (a b)(a + b)
а)
47² 41²
28² 16² = (47 41)(47 + 41) (28 16)(28 + 16) = 6 88 12 44 = 528 528 = 1
б)
57² 42²
29² 26² = (57 42)(57 + 42) (29 26)(29 + 26) = 15 99 3 55 = 1485 165 = 9
в)
51² 12²
30² 9² = (51 12)(51 + 12) (30 9)(30 + 9) = 39 63 21 · 39 = 2457 819 = 3
г)
61² 11²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
36² 24² = (61 11)(61 + 11) (36 24)(36 + 24) = 50 72 12 · 60 = 3600 720 = 5
1362. Обчисли вирази. а)
6³² · 4³² (24¹⁶ 5) (24¹⁶ + 5)
Запишемо степені по іншому:
(6 · 4)³² (24¹⁶)² + 5²
Оскільки 6 · 4 = 24, то маємо:
24³² 24³² + 5² = 25 б)
(56¹⁰ 7) (56¹⁰ + 7) 7²⁰ · 8²⁰
Застосуємо формулу різниці квадратів:
56²⁰ 7² 7²⁰ · 8²⁰
Перепишемо 8²⁰ як (2³)²⁰ = 2⁶⁰, тому:
56²⁰ 49 7²⁰ · 2⁶⁰
Знаючи, що 56 = 7 · 8, отримуємо:
(7 · 8)²⁰ 49 7²⁰ · 8²⁰
Розписуємо:
7²⁰ · 8²⁰ 7²⁰ · 8²⁰ 49 = 49
в) Обчислимо вираз:
4¹⁸ · 9¹⁸ + (4 36⁹) (36⁹ + 4)
Обчислимо перший множник:
4¹⁸ · 9¹⁸
Оскільки 4 = 2², а 9 = 3², то:
4¹⁸ = (2²)¹⁸ = 2³⁶, 9¹⁸ = (3²)¹⁸ = 3³⁶
Тому:
4¹⁸ · 9¹⁸ = 2³⁶ · 3³⁶ = (2 · 3)³⁶ = 6³⁶
Обчислимо другий множник: (4 36⁹) (36⁹ + 4)
Це також різниця квадратів: (2² 36⁹) (36⁹ + 2²)
Розписуємо правильно: 16 36¹⁸
Підставимо у вираз:
6³⁶ + (16 36¹⁸)
Враховуємо, що 6³⁶ = 36¹⁸:
36¹⁸ + 16 36¹⁸
Розписуємо правильно: 16 36¹⁸
Підставимо у вираз:
6³⁶ + (16 36¹⁸)
Враховуємо, що 6³⁶ = 36¹⁸:
36¹⁸ + 16 36¹⁸
Спрощуємо:
36¹⁸ 36¹⁸ + 16 = 16
Відповідь: 16
1363. Розв'яжи рівняння.
а) 5x⁵ x⁴ = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Винесемо x⁴ за дужки: x⁴(5x 1) = 0.
Добуток
x⁴ = 0 ⇒ x = 0.
5x 1 = 0 ⇒ x = 1 5
Відповідь: x = 0 або x = 1 5 .
б) 3x³ 12x = 0
Винесемо 3x за дужки: 3x (x² 4) = 0
Розв'яжемо: 3x = 0 ⇒ x = 0. x² 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2.
Відповідь: x = 0, 2, 2. в) 10x⁶ = 3x⁵
Перенесемо все в одну сторону:
10x⁶ 3x⁵ = 0
Винесемо x⁵ за дужки:
x⁵(10x 3) = 0
Розв'яжемо:
x⁵ = 0 ⇒ x = 0.
10x 3 = 0 ⇒ x = 3 10 .
Відповідь: x = 0 або x = 3 10 .
1364. Розв'яжи рівняння.
а) x³ + 4x² x = 4
Перенесемо все в одну сторону: x³ + 4x² x 4 = 0.
Групуємо доданки: (x³ x) + (4x² 4) = 0
Винесемо спільний множник: x(x² 1) + 4(x² 1) = 0
Винесемо (x² 1): (x + 4)(x² 1) = 0
Розпишемо різницю квадратів: (x + 4)(x 1)(x + 1) = 0
Розв'язки: x = 4, 1, 1
Відповідь: x = 4, 1, 1.
б) x³ 3x² + 2x = 6
Перенесемо все в одну сторону: x³ 3x² + 2x 6 = 0.
Групуємо: (x³ 3x²) + (2x 6) = 0.
Винесемо спільний множник:
x²(x 3) + 2(x 3) = 0
Винесемо (x 3): (x 3)(x² + 2) = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Розв'язки:
x 3 = 0 ⇒ x = 3
Рівняння x² + 2 = 0 дійсних коренів не має.
Відповідь: x = 3.
в) 2x³ + x² 8x = 4
Перенесемо все в одну сторону: 2x³ + x² 8x 4 = 0
Групуємо:
(2x³ 8x) + (x² 4) = 0
Винесемо спільний множник: 2x(x² 4) + 1(x² 4) = 0
Винесемо (x² 4): (x² 4)(2x + 1) = 0
Розпишемо різницю квадратів: (x 2)(x + 2)(2x + 1) = 0
Розв'язки: x = 2, 2, 1 2 .
Відповідь: x = 2, 2, 1 2 .
г) 12x³ 8x² 3x = 2
Перенесемо все в одну сторону: 12x³ 8x² 3x + 2 = 0
Групуємо: (12x³ 8x²) + ( 3x + 2) = 0
Винесемо спільний множник: 4x²(3x 2) 1(3x 2) = 0
Винесемо (3x 2): (3x 2)(4x² 1) = 0
Розпишемо різницю квадратів: (3x 2)(2x 1)(2x + 1) = 0
Розв'язки: x = 2 3, 1 2, 1 2 .
Відповідь: x = 2 3, 1 2, 1 2 .
1365. Задай формулою функцію, значення якої: Нехай аргумент функції x, тоді:
f(x) = x + 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) f(x) = x 9
в) f(x) = 3x
г) f(x) = x
ґ) f(x) = 1 x , x ≠ 0.
1366. Прямокутний
a. Знайдемо залежність b від a.
Формула об'єму прямокутного паралелепіпеда: V = a · b · h
За умовою: a · b · 6 = 72
Поділимо обидві частини рівняння на 6: a · b = 72 6 a · b = 12
Виразимо b через a: b = 12 а , a ≠ 0
Відповідь: b = 12 а , a ≠ 0
1367. У трикутнику один із кутів
формулу для знаходження третього кута.
Знайдемо третій кут трикутника.
Сума кутів у трикутнику дорівнює
тобто: α + 2α + x = 180°.
Спростимо рівняння: 3α + x = 180°
Виразимо x: x = 180° 3α
Відповідь: x = 180° 3α.
1368. Щоб пошити одну
залишку
залишок тканини.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x ∈ {0, 1, 2, . . . , 80}
Відповідь:
Формула залишку тканини: S = 200 2.5x
Можливі значення x: x ∈ {0, 1, 2, . . . , 80} 1369. Знайди область визначення функції,
Знайдемо область визначення функції.
Область визначення функції це всі допустимі значення аргументу x, при яких функція має зміст.
а) y = x(x 5)
Функція є многочленом, а область визначення многочленів всі дійсні числа:
D(y) = ( ∞; +∞)
б) y = x² + 6x + 8
Це також
D(y) = ( ∞; +∞)
г) y = (x²+9)/(3x 1)
Знаменник не повинен дорівнювати нулю:
3x 1 ≠ 0.
x ≠ 1 3
Отже, область визначення:
D(y) = ( ∞; 1 3) ∪ (1 3; +∞)
ґ) y = 1
х 1 (x 2)
Знаменники не повинні дорівнювати нулю:
x ≠ 0, x 2 ≠ 0
x ≠ 0, x ≠ 2
Отже, область визначення:
D(y) = ( ∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞)
д) y = 3 (x(x+1))
Знаменник не повинен дорівнювати нулю: x(x + 1) ≠ 0
x ≠ 0, x ≠ 1
Отже, область визначення:
D(y) = ( ∞; 1) ∪ ( 1; 0) ∪ (0; +∞)
1370. Функцію задано
x y = 0.25x 1 1 0.75
2 0.5 3 0.25
4
1.25
1.5 1371.
x y = 24 (2 x)
6 3 5 24 7
4 6 3 24 5
2 6
1 8
0 12
1 24
2 Невизначено 3 24
4 12
5 8 6 6 1372. Знайди
y = −3x + 2, шукаємо x
Якщо y = −7:
3x + 2 = −7 ⇒ x = 3
Якщо y = 0:
3x + 2 = 0 ⇒ x = 2 3
Якщо y = 5:
3x + 2 = 5 ⇒ x = −1
Рівняння y = x(x − 3), шукаємо x
Якщо y = −2:
x(x − 3) = −2
Розв'язки: x = 1 або x = 2.
Якщо y = 0:
x(x − 3) = 0
Розв'язки: x = 0 або x = 3.
Якщо y = 10:
x(x − 3) = 10
Розв'язки: x = −2 або x = 5.
1373.
y:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0 = k · 0 + b ⇒ b = 0
Тобто функція
y = kx
Тепер підставимо іншу точку, наприклад, ( 4, 12): 12 = k · ( 4)
Звідси: k = 12 4 = 3
Отже, рівняння функції: y = 3x
1375.
y = 5x y = 5x 1 y = 5x y = 5x + 3
1376.
y = x + 4
y = 1 2x
y = 3x y = х 3
1377. Знайди формулу функції.
Функція проходить через точки A(3; 2) і B(−5; 4).
Загальне рівняння лінійної функції: y = kx + b
Запишемо систему рівнянь для двох точок: � 3k + b = 2 5k + b = 4
Розв'яжемо систему:
Віднімемо друге рівняння від першого:
(3k + b) − (−5k + b) = 2 − 4.
3k + b + 5k − b = −2.
8k = −2.
k = −1 4
Підставимо k = −1 4 у перше рівняння:
3 · (−1 4) + b = 2.
3 4 + b = 2.
b = 2 + 3 4 = 8 4 + 3 4 = 11 4 .
Записуємо рівняння функції: y = 1 4 x + 11 4 .
Відповідь: y = 1 4 x + 11 4
1378. Розв'яжи рівняння. а) 7x + 15 + 15x + 8 10 = 9x
Спрощуємо:
(7x + 15x) + (15 + 8 10) = 9x
22x + 13 = 9x
Переносимо 9x вліво: 22x 9x = 13.
13x = 13.
x = 1
Відповідь: x = 1.
б) 25 + 5y 17 + 7y = 150 130y
Спрощуємо:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(5y + 7y) + (25 17) = 150 130y
12y + 8 = 150 130y
Переносимо 130y вліво та 8 вправо:
12y + 130y = 150 8
142y = 142
y = 1
1379. Розв'яжи рівняння.
а) 7x − 39 = 2(x + 3) + 11 − 2x
Розкриваємо дужки:
7x − 39 = 2x + 6 + 11 − 2x
Спрощуємо:
7x − 39 = 6 + 11
7x − 39 = 17
Переносимо 39 вправо:
7x = 17 + 39.
7x = 56
x = 8
Відповідь: x = 8.
б) 3(x − 5) = 5(x − 3) − 4(7 − 3x)
Розкриваємо дужки:
3x − 15 = 5x − 15 − 4 · 7 + 4 · 3x
3x − 15 = 5x − 15 − 28 + 12x
Спрощуємо:
3x − 15 = 17x − 43
Переносимо 17x вліво, а 15 вправо:
3x − 17x = −43 + 15
14x = −28
x = 2
1380. Розв'яжи рівняння.
а) 1 2(2x − 4) + 1 2 (4x − 2) = x + 5
Розкриваємо дужки:
1 2 · (2x−4) + 1 2 · (4x−2) = x + 5. (x−2) + (2x−1) = x + 5
Спрощуємо:
x−2 + 2x−1 = x + 5.
3x−3 = x + 5.
Переносимо x вліво, а 3 вправо:
3x−x = 5 + 3.
2x = 8. x = 4.
Відповідь: x = 4.
б) 2 3(3x + 1) + 1 3 (6x − 2) = x + 6
Розкриваємо дужки:
2 3 · (3x + 1) + 1 3 · (6x − 2) = x + 6. (2x + 2 3) + (2x − 2 3) = x + 6.
Спрощуємо:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x + 2 3 + 2x − 2 3 = x + 6.
4x = x + 6
Переносимо x вліво:
4x − x = 6.
3x = 6.
x = 2.
1381. Розв'яжи рівняння.
а) 5(x − 3) + 7(3x + 6) = 2(x − 2) + 103
Розкриваємо дужки:
5x − 15 + 21x + 42 = 2x − 4 + 103.
Спрощуємо:
26x + 27 = 2x + 99.
Переносимо 2x вліво та 27 вправо:
26x − 2x = 99 − 27.
24x = 72.
x = 3.
б) 8(y − 2) + 5(3y − 2) = 3(y − 5) + 69
Розкриваємо дужки: 8y − 16 + 15y − 10 = 3y − 15 + 69
Спрощуємо: 23y − 26 = 3y + 54
Переносимо 3y вліво та 26 вправо:
23y − 3y = 54 + 26.
20y = 80.
y = 4.
1382. Розв'яжи рівняння.
Розкриваємо дужки: x 4
3 4 + x 8
4 8 = x 2
4 8 = 4x 8
3x 8 10 8 = 5x 8 21 8
20 8 + x 8
1 8
11 8
= 11 2 = 5.5 Відповідь: x = 5.5. б) 1 6(8 − x) − 1 3(5 − 4x) = 1 2(x + 6) Розкриваємо дужки: 8 6 − x 6 − 5 3 + 4x 3 = x 2 + 3
8 6 − х 6 − 10 6 + 8x 6 = 3x 6 + 18 6
Спрощуємо:
(8 10 + 8x x) 6 = (3x + 18) 6 .
2 6 + 7x 6 = 3x 6 + 18 6
Переносимо
6 3x 6 = 18 6 + 2 6
4x
6 = 20 6
2x
3 = 10 3
2x = 10
x = 5
Відповідь: x = 5.
1383. Доведіть,
Дано рівняння: (a + 2)x − (a + 3)x = 5
Перевіримо, чи
Винесемо x за дужки:
x · [(a + 2) − (a + 3)] = 5
Спрощуємо:
x · [a + 2 − a − 3] = 5
x · (−1) = 5
x = −5
Отримали, що x
воно стає тотожно рівним 0
Дане рівняння: (a² + 1)x = 7
Дослідимо
x = 12
1386.
Розв'язання:
Розв'яжемо рівняння: (a − 2)x − x = 1 (a − 3)x = 1
Рівняння
a − 3 = 0 a = 3
При
a = 3.
+ b(8) = 0
40 + 8b = 0
b : 8b = −40 b = −5 Відповідь: b = −5.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1389.
2x + 3y = c
2(6) + 3(−1) = c 12 − 3 = c c = 9
Відповідь: c = 9.
1390.
1391. Розв’яжи систему рівнянь
а) Розв'яжемо систему рівнянь: �2x + y = 12
3x 5y = 5
Розв'язання:
Виразимо y з першого рівняння: y = 12 − 2x
Підставимо у друге рівняння: 3x − 5(12 − 2x) = 5
3x − 60 + 10x = 5
13x = 65 x = 5
Знайдемо y : y = 12 − 2(5) = 12 − 10 = 2
Відповідь: x = 5, y = 2.
б) Розв'яжемо систему рівнянь: �x 4y = 11
3x + 2y = 5
Розв'язання:
Виразимо x з першого рівняння: x = 11 + 4y
Підставимо у друге рівняння: 3(11 + 4y) + 2y = 5
33 + 12y + 2y = 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
14y = −28 y = −2
Знайдемо x :
x = 11 + 4(−2) = 11 − 8 = 3
Відповідь: x = 3, y = −2.
в) Розв'яжемо систему рівнянь: �2x 3y = 3 x + 3y = 21
Розв'язання:
Виразимо x з другого рівняння: x = 21 - 3y.
Підставимо у перше рівняння:
2(21 - 3y) - 3y = -3
42 - 6y - 3y = -3 -9y = -45 y = 5
Знайдемо x: x = 21 - 3(5) = 21 - 15 = 6
Відповідь: x = 6, y = 5.
1392. Розв’яжи систему рівнянь
а) Розв'яжемо систему рівнянь:
2x − 3(x − y) = 7
5y 2(x 2y) = 23
Розв'язання:
Розкриємо дужки в першому рівнянні:
2x - 3x + 3y = 7
-x + 3y = 7 x = 3y - 7
Розкриємо
5y - 2x + 4y = 23
-2x + 9y = 23
Підставимо x = 3y - 7 у друге рівняння: -2(3y - 7) + 9y = 23
-6y + 14 + 9y = 23
3y = 9 y = 3
Знайдемо x:
x = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2
Відповідь: x = 2, y = 3.
б) Розв'яжемо систему рівнянь: � 4y 5(y x) = 8
2(3x y) + 7y = 9
Розв'язання:
4y - 5y + 5x = 8 -y + 5x = 8 y = 5x - 8
Розкриємо
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6x - 2y + 7y = -9
6x + 5y = -9
Підставимо y = 5x - 8 у друге рівняння:
6x + 5(5x - 8) = -9
6x + 25x - 40 = -9
31x = 31
x = 1
Знайдемо y: y = 5(1) - 8 = 5 - 8 = -3
Відповідь: x = 1, y = -3.
в) Розв'яжемо систему рівнянь: �0.5���� + 0.3���� = 8 1.2���� 0.5���� = 7
Розв'язання:
Помножимо перше рівняння на 10 для зручності:
5x + 3y = 80
Помножимо друге рівняння на 10:
12x - 5y = 70
Розв'яжемо методом підстановки або додавання.
Помножимо перше рівняння на 5, а друге на 3, щоб позбутися y:
25x + 15y = 400
36x - 15y = 210
Додаємо рівняння:
61x = 610 x = 10
Знайдемо y:
5(10) + 3y = 80
50 + 3y = 80
3y = 30 y = 10
Відповідь: x = 10, y = 10.
г) Розв'яжемо систему рівнянь: �1.4x − 2.5y = 39
0.8x − 1.3y = 21
Розв'язання:
Помножимо перше рівняння на 10: 14x - 25y = 390
Помножимо друге рівняння на 10: 8x - 13y = 210
Розв'яжемо методом підстановки або додавання.
Помножимо перше рівняння на 8, а друге на 14:
112x - 200y = 3120
112x - 182y = 2940
Віднімемо друге рівняння від першого: -18y = 180
y = -10
Знайдемо x:
8x - 13(-10) = 210.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
8x + 130 = 210
8x = 80
x = 10
Відповідь: x = 10, y = -10.
1393. Розв’яжи систему рівнянь
а) Розв'яжемо систему рівнянь:
4
5 ���� ���� = 7
2 3 ���� + 1 5 ���� = 11
Розв'язання:
Помножимо перше рівняння на 5, щоб позбутися дробу:
4x - 5y = 35
Помножимо друге рівняння на 15 (спільний знаменник 3 і 5): 10x + 3y = 165
Розв'яжемо систему: � 4���� 5���� = 35
10���� + 3���� = 165
Помножимо перше рівняння на 3,
12x - 15y = 105
50x + 15y = 825
Додаємо рівняння:
62x = 930 x = 15
Підставимо x = 15 у перше рівняння:
4(15) - 5y = 35
60 - 5y = 35
-5y = -25 y = 5
Відповідь: x = 15, y = 5.
б) Розв'яжемо систему рівнянь: � 3
7 x z = 15 2 5 x + 3 7 z = 14
Розв'язання: Помножимо перше рівняння на 7, щоб
дробу: 3x - 7z = 105
Помножимо друге рівняння на 35 (спільний знаменник 5 і 7): 14x + 15z = 490
при x:
Розв'яжемо систему: � 3x 7z = 105
14x + 15z = 490
Помножимо перше рівняння на 14, а друге на 3:
42x - 98z = 1470
42x + 45z = 1470
Віднімемо
-143z = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
z = 0
Підставимо z = 0 у перше рівняння:
3x - 0 = 105 x = 35
Відповідь: x = 35, z = 0.
в) Розв'яжемо систему рівнянь: �(x + y)
3 + x = 15 (y x) 5 = 6
Розв'язання:
Перше рівняння домножимо на 3:
(x + y) + 3x = 45
4x + y = 45
Друге рівняння домножимо на 5: y - x = 30
Розв'яжемо систему: �4x + y = 45 y x = 30
Виразимо y з другого рівняння: y = x + 30
Підставимо у перше рівняння:
4x + (x + 30) = 45.
5x + 30 = 45.
5x = 15. x = 3.
Знайдемо y: y = 3 + 30 = 33
Відповідь: x = 3, y = 33.
1394. Розв’яжи систему рівнянь
а) Розв'яжемо систему рівнянь: � (7 + x) 5 (2x − y) 4 = 3y 5 (5y 7) 6 + (4x 3) 2 = 20 5x
Розв'язання:
Помножимо перше рівняння на 20 (спільний знаменник 5 і 4):
4(7 + x) - 5(2x - y) = 60y - 100
28 + 4x - 10x + 5y = 60y - 100 -6x + 5y = 60y - 128 -6x - 55y = -128
Помножимо друге рівняння на 6 (спільний знаменник 6 і 2): (5y - 7) + 3(4x - 3) = 120 - 30x
5y - 7 + 12x - 9 = 120 - 30x
12x + 5y - 16 = 120 - 30x
42x + 5y = 136
Маємо систему:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6���� 55���� = 128 42���� + 5���� = 136
Помножимо перше рівняння на 7, щоб
(-6x - 55y) × 7 = -128 × 7
-42x - 385y = -896
Помножимо перше рівняння на 7, щоб
(-6x - 55y) × 7 = -128 × 7 -42x - 385y = -896
Додаємо рівняння:
(-42x - 385y) + (42x + 5y) = -896 + 136. -380y = -760 y = 2
Підставимо y = 2 у рівняння -6x - 55y = -128:
-6x - 55(2) = -128 -6x - 110 = -128
-6x = -18 x = 3
Відповідь: x = 3, y = 2. б) Розв'яжемо систему рівнянь: �x² y² = 80 x + y = 10
Розв'язання:
Виразимо y з другого рівняння: y = 10 - x
Підставимо у перше рівняння:
x² - (10 - x)² = 80
Розкриємо дужки:
x² - (100 - 20x + x²) = 80
x² - 100 + 20x - x² = 80
20x - 100 = 80
20x = 180 x = 9
Знайдемо y: y = 10 - 9 = 1
Відповідь: x = 9, y = 1. 1395. Розв’яжи систему рівнянь а) Розв'яжемо систему рівнянь: � (5 + y) 3 (3x + 4y) 4 = 3x + 1 (7x + 2) 3 + (4x − 3) 2 + 11 6 = 1 3x
Розв'язання:
при x:
при x:
Помножимо перше рівняння на 12 (спільний знаменник 3 і 4):
4(5 + y) - 3(3x + 4y) = 36x + 12
20 + 4y - 9x - 12y = 36x + 12
-9x - 8y + 20 = 36x + 12
-9x - 8y = -8
9x + 8y = 8
Помножимо
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
6 (спільний
2(7x + 2) + 3(4x - 3) + 11 = 6(1 - 3x)
14x + 4 + 12x - 9 + 11 = 6 - 18x
26x + 6 = 6 - 18x
26x + 18x = 6 - 6
44x = 0
x = 0
Знайдемо y:
9(0) + 8y = 8.
8y = 8. y = 1.
Відповідь: x = 0, y = 1.
б) Розв'яжемо систему рівнянь: � (7 + x) 5 (2x y) 4 3y = 5 (5y 7) 2 (3 4x) 6 18 = 5x
Розв'язання:
3,2 і 6):
Помножимо перше рівняння на 20 (спільний знаменник 5 і 4):
4(7 + x) - 5(2x - y) - 60y = -100
28 + 4x - 10x + 5y - 60y = -100 -6x - 55y = -128
Помножимо друге рівняння на 6 (спільний знаменник 2 і 6):
3(5y - 7) - (3 - 4x) - 108 = -30x
15y - 21 - 3 + 4x - 108 = -30x
15y + 4x - 132 = -30x
34x + 15y = 132
Маємо систему рівнянь: �−6x − 55y = −128
34x + 15y = 132
Помножимо перше рівняння на 3, а друге
(-6x - 55y) × 3 = (-128) × 3 -18x - 165y = -384 (34x + 15y) × 11 = (132) × 11
374x + 165y = 1452
Додаємо рівняння: (-18x - 165y) + (374x + 165y) = -384 + 1452. 356x = 1068 x = 3
Знайдемо y: -6(3) - 55y = -128 -18 - 55y = -128 -55y = -110 y = 2
Відповідь: x = 3, y = 2. 1396.
x = 1. Розв'язок:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Спочатку знайдемо корені рівнянь:
2x + 3 = -7
2x = -10
x = -5
Корінь: x = -5
(x - 7)² = 0
x - 7 = 0
x = 7
Корінь: x = 7
3x² + 2x = 3x(x - 1)
3x² + 2x = 3x² - 3x
2x + 3x = 0
5x = 0
x = 0
Корінь: x = 0
(5 + x) : 7 = 1
5 + x = 7
x = 2
Корінь: x = 2
Тепер знайдемо значення функцій при x = 1:
А) y = 6x - 1 = 6·1 - 1 = 5
Б) y = x - 1 = 1 - 1 = 0
В) y = 10x + 3 = 10·1 + 3 = 13
Г) y = 1 + 6x = 1 + 6·1 = 7
Д) y = x² + x = 1² + 1 = 2
Встановлюємо
2 → x = 7 → Г (y = 7)
3 → x = 0 → Б (y = 0)
4 → x = 2 → Д (y = 2)
Відповідь:
45 - 3 = 7x - 5x.
42 = 2x.
x = 21.
Знайдемо y:
y = 5(21) + 45
y = 105 + 45 = 150.
Відповідь: баран
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
сина Діофант прожив ще 4 роки.
Складаємо рівняння:
х 6 + х 12 + х 7 + 5 + х 2 + 4 = x
Зведемо дроби до спільного знаменника
Спільний знаменник для 6, 12, 7, 2 - це 84: 14x 84 + 7x 84 + 12x 84 + 5 + 42x 84 + 4 = x.
(14x + 7x + 12x + 42x) 84 + 9 = x.
75x 84 + 9 = x
Розв'яжемо рівняння 75x + 756 = 84x.
756 = 9x. x = 84.
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3 × ( х 3х 5)
Одна бджілка насолоджується жасмином і панданусом.
Записуємо рівняння: х
5 + х 3 + 3( х 3х 5) + 1 = x
Зведемо дроби до спільного знаменника
Спільний знаменник для 5 і 3 - це 15:
3x
15 + 5x 15 + 3(5x 153x 15) + 1 = x 3x
15 + 5x 15 + 3 × 2x 15 + 1 = x (3x + 5x + 6x) 15 + 1 = x 14x 15 + 1 = x
14x + 15 = 15x
15 = x - 14x x = 15
Відповідь: всього 15 бджіл 1400. Поділи число 10 на дві частини, різниця яких дорівнювала 65.
Розв'язання
Позначимо дві частини як x і y, де x ≥ y.
Складаємо систему рівнянь:
x + y = 10
x - y = 5
Розв'яжемо систему методом додавання:
Додаємо рівняння:
(x + y) + (x - y) = 10 + 5
2x = 15
x = 7.5
Знайдемо y: y = 10 - 7.5 = 2.5
Відповідь: число 10 можна поділити на 7.5
5x · 3 = 10(10 - x)
15x = 100 - 10x.
15x + 10x = 100.
25x = 100 x = 4
Знайдемо y: y = 10 - 4 = 6
Відповідь:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + 10
За 7 місяців він отримав одяг і 2 флорини: x + 2
7 12 × (x + 10) = x + 2
Розв'яжемо рівняння
Розкриємо дужки:
7 12 x + 70 12 = x + 2
Помножимо на 12, щоб позбутися дробів: 7x + 70 = 12x + 24
Перенесемо всі доданки з x в один бік: 7x - 12x = 24 - 70. -5x = -46. x = 9.2.
Відповідь: одяг
2x + 1
3(2x + 1)
стало 100: 2x + 1 + 3(2x + 1) = 100
рівняння
дужки: 2x + 1 + 6x + 3 = 100. Спростимо: 8x + 4 = 100
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Віднімаємо 4: 8x = 96.
Ділимо на 8: x = 12
Відповідь: селянин мав 12 овець.
1404. Батько трьох синів каже, що:
Середній син на 2 роки старший за молодшого.
Найстарший має стільки років, скільки двоє молодших разом +6 років.
Сума років усіх трьох дорівнює 58.
Скільки років кожному синові?
Розв'язання
Позначимо:
Вік молодшого сина ����.
Вік середнього ���� + 2.
Вік старшого (���� + ���� + 2) + 6.
Записуємо рівняння:
���� + (���� + 2) + ((���� + ���� + 2) + 6) = 58
Розкриваємо дужки:
���� + ���� + 2 + ���� + ���� + 2 + 6 = 58
Спрощуємо:
4���� + 10 = 58
Розв'язуємо рівняння:
4���� = 48
���� = 12
Знайдемо вік інших братів:
Середній: ���� + 2 = 12 + 2 = 14.
Старший: (12 + 12 + 2) + 6 = 32.
Відповідь:
Молодший син - 12 років,
Середній син - 14 років,
Старший син - 32 роки.