https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) m + n сума m і n; б) m − x різниця m і x;
в) 1 : c частка одиниці на c; г) 2ax
2, a і x; ґ) 1 2 (x + y)
д) 2 3 (x − 2) добуток
2. Які із записів є виразами?
А. 37а − 2,4.
4. Знайди значення
2х − 2 = 4;
2х = 4 + 2;
2х = 6;
х = 3.
5. Довжини
картини;
2(a + b) − периметр рамки картини; a + b − напівпериметр.
6.
a) 5 + 7 = 12;
б) 8 – (–3) : 2 = –11 : 2 = –5,5;
в) 15 · (–4) = –60;
г) 12 : 4 = 3. 8. Запиши
0,5;
7,4 • 0,5 • 2 = 74; б) 3,8 – 7,6 = 31,4; в) (38 + 12) • (38 – 12) = 50 • 26 = 130.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (x + y) : 2; ґ) (а − х) : 2;
д) 2 · (а · х).
11. Знайдіть значення виразу:
а) 0,5х − 3, якщо х = 10, то 0,5 · 10 − 3 = 5 − 3 = 2;
б) х + 97, якщо х = −10, то −10 + 9,7 = 0,3;
в) х(x + 2,4), якщо х = 0,6, то 0,6 · (0,6 + 2,4) = 0,6 · 3 = 1,8;
г) 3х(5 − x), якщо х = −2,5, то 3 · (−2,5) · (5 + 2,5) = −7,5 · 7,5 = 56,25.
12. Знайдіть значення виразу: а) а + с − 3, якщо а = 2 і с = 7,5, то 2 + 7,5 − 3 = 6,5; б) 2х − 3z + 1, якщо х = 1 і z = 1 3, то 2 ·
2ху(х − у), якщо х = 2 і у = 5, то 2 · 2 · 5 · (2 −
в) m · 10 + n;
г) с · 100 + b · 10 + a
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (0,02 · 0,5 + 7,904 : 0,38 − 21 : 101 2) ·2,9 = (0,010 + 20,8 − 21 1 · 2 21) · 2,9 = = (20,81 − 2) · 2,9 = 18,81 · 2,9 = 54,549.
19. Знайдіть значення виразу: а) 3,18 − (0,13 + 4,27 : 1,4) = 3,18 − (0,13 + 3,05) = 3,18 − 3,18 = 0; б) 5,9 − (6,3 : 3,5 − 5,6) = 5,9 − (1,8 − 5,6) = 5,9 + 3,8 = 9,7; в) (1 5 + 1 10 + 12 2 15) : 1 15 = ( 3 10 + 12 2 15) : 1 15 = (12 + 9 + 4 30 ) : 1 15 = 1213 30 :
·
· 1 = 186,5; г) (7,344 : 0,36 + 161 4 : 5 – 0,5 · 0,2) · 0,08 = (20,4 + 65 · 1 4 · 5 − 0,1) · 0,08 = = (20,4 + 13 5 − 0,1) · 0,08 = (20,4 + 3,25 − 0,1) · 0,08 = (23,65 − 0,1) · 0,08 = 1,884.
а) 3(х + 1) − 7 = 2х − 9;
3х + 3 − 7 = 2х − 9;
3х − 4 = 2х − 9;
3х − 2х = −9 + 4;
х = −5;
б) 2x + 5x = 2(x + 5);
7x = 2x + 10;
7x – 2x = 10;
5x = 10; x = 2.
в) 0,5х + 2(7 − х) = 1,5х − 5(х + 2);
0,5х + 14 − 2х = 1,5х − 5х − 10;
−1,5х + 14 = −3,5х − 10;
3,5х − 1,5х = −14 − 10;
2х = −24;
х = −12.
а) 8 − 2(3 − х) = 5 − 3(3 − 2х);
8 − 6 + 2х = 5 − 9 + 6х; 2 + 2х = −4 + 6x; 2x – 6x = −4 – 2; −4x = −6; x = 1,5;
б) 1 + 3(x – 5) = (1 + 3x) – 5x; 1 + 3x – 15 = 1 + 3x – 5x;
3x – 14 = 3x + 1;
3x – 14 = 1 – 2x; 3x + 2x = 15;
5x = 15; x = 3.
в) 2 3 х − 7 9 + 5 = х − 1 6 (2 − 6х); 2 3 х − 7 9 + 5 = х; 2 3
гривнях;
а) 1000x; б) 100p; в) 1000v.
24. Запиши
б)
а) a · S (грн);
б) (n + k) · 0,95a; в) p – 9,5a. 26.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
30. Складіть формулу числа: а)
непарного; г) кратного 5 і 3 одночасно.
а) 5n, n натуральне число; б) 5 · 2n = 10n; в) 5(2n + 1); г) 15n.
31. Визначте периметри многокутників, зображених
1) P = 2(a + b − c);
2) P = 2a + 2b = 2(a + b); 3) P = 2(a + b).
32. Розв’яжіть рівняння:
а) (2х + 3) + (4х − 8) = 37;
2х + 3 + 4х − 8 = 37;
6х − 5 = 37;
6х = 37 + 5;
6х = 42;
х = 42 : 6;
х = 7;
в) 0,7 + х − (−0,7 + 4х) = −37;
0,7 + х + 0,7 − 4х = −37;
−3х = −37 − 1,4;
−3х = −38,4;
х = −38,4 : (−3);
х = 12,8;
1 + 2 + 4 + 8 = 15;
1 + 2 + 6 + 3 + 9 + 18 = 39;
1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56;
1 + 2 + 19 + 38 = 60.
б) 5 − 3z − (3 − 4z) = 42; 5 − 3z − 3 + 4z = 42; z + 2 = 42; z = 42 − 2; z = 40;
г) −7,2 − (3,6 − 4,5х) = 2,7х; −7,2 − 3,6 + 4,5х = 2,7х; −10,8 + 4,5х = 2,7х; 4,5х − 2,7х = 10,8; 1,8х = 10,8; х = 6.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
35. Чи тотожні вирази:
а) 2a + a і 3a так, тотожні;
б) х + 2x − 3x і 0 так, тотожні;
в) 8с − 3с і 5с так, тотожні;
г) aх + ах + ах і 3ах так, тотожні;
ґ) 7xy − 2x і 5y ні, не тотожні;
д) −3с + 9 і 9 − 3с так, тотожні;
е) p2p і p3 ні, не тотожні;
є) x + x2 + x3 + x4 і x5 ні, не тотожні;
ж) а − с і с − а ні, не тотожні;
з) −а2 і (−a)2 ні, не тотожні;
и) 4а + p і 5ар ні, не тотожні;
і) x − 2а і − 2а + х так, тотожні.
36. Який із виразів не тотожний виразу 2x − y?
Б. 4(y − 2x) + 10x − 5y
37. Якому з виразів тотожно дорівнює вираз 3(2a + c) − 3с?
Б. 6a
38. Чи є рівність (m + 2) − (m − 2) = 0 тотожністю? (m + 2) − (m – 2) = m + 2 – m + 2 = 4.
4 = 0.
Отже, дана рівність не є тотожністю.
39. Наведи контрприклад, щоб довести, що рівність (c
при c = 1, (c − 2)3 = (1 − 2)3 = (−1)3 = −1, але c3 − 8 = 13 − 8 = 1 − 8 = −7.
Оскільки −1 ≠ −7, рівність не є тотожністю.
40. Спрости вираз, замінивши його тотожно
а) 2с + 3с − 5 = 5с − 5;
б) 3х − 4х + х = 0х = 0;
в) 12n − 17 − 2n = 10n − 17;
г) 19с − 3с + 8 = 16с + 8; ґ) 63 − 23р + 32р = 63 + 9р;
д) 4х + 65 − 10х = 65 − 6х.
41. Спрости вираз,
а) −4а + 3а − 7а = −4ac − 4а;
б) 9 − 23х + 40х = 9 + 17х;
в) −4 − 12 + 8ас = −16 + 8ас.
42. ГРА 43. Чи є тотожністю рівність: а) 19x − 4(x + 5) + 20 = 15x; 19x − 4(x + 5) + 20 = 19x − 4x − 20 + 20 = 15x 15x = 15x
Отже, 19x − 4(x + 5) + 20 = 15x є тотожністю.
б) 7(2 − 3x) + 21 = 14; 7(2 − 3x) + 21 = 14 − 21x + 21 = 35 – 21x 35 − 21x ≠ 14, тому
в) 2,5 + 5(a − 1,5) − a = 4a – 5; 2,5 + 5(a − 1,5) − a = 2,5 + 5a − 7,5 – a = 4a − 5
Отже, 2,5 + 5(a − 1,5) − a = 4a – 5 є тотожністю.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) −2(x + 5) + 3(x − 7) = x + 11.
−2(x + 5) + 3(x − 7) = −2x − 10 + 3x − 21 = x – 31
x − 31 ≠ x + 11, тому ця рівність не є тотожністю.
44. Чи є тотожністю рівність:
а) 35 + 7(x − 1) − 28 = 7x;
35 + 7(x − 1) − 28 = 35 + 7x − 7 − 28 = 7x
Отже, 35 + 7(x − 1) − 28 = 7x є тотожністю.
б) −3(2y + 1) + 6 = −3
−3(2y + 1) + 6 = 6y − 3 + 6 = −6y + 3
−6y + 3 ≠ −3, nому ця рівність не є тотожністю.
в) −13 − 3(5 − 6x) + 6x = 12x − 28
−13 − 3(5 − 6x) + 6x = 13 − 15 + 18x + 6x = 24x – 28
24x – 28 ≠ 12x – 28, тому ця рівність не є тотожністю.
г) 1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 13 + 2x.
1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 7,5x − 3x + 5,5 + 5x = 2x + 13
Отже, 1,5(5 – 2x) + 5(1,1 + x) = 13 + 2x є тотожністю.
45. Доведіть тотожність:
а) 3с − 3(с − 1) = 3; 3с − 3с + 3 = 3; 3 = 3. Доведено;
в) 15х = 9 − 3(3 − 5х);
15х = 9 − 9 + 15х;
15х = 15х. Доведено;
46. Доведіть тотожність:
а) 8х = 6 + 2(4х − 3);
8х = 6 + 8х − 6; 8х = 8х. Доведено;
б) 5(2х + у) = 10(х + у) − 5у;
10х + 5у = 10х + 10у − 5у; 10х + 5у = 10х + 5у; в) 7 = 12х − (−7 + 12х); 7 = 12х + 7 − 12х; 7 = 7. Доведено;
г) 3с − 3(1 + с − х) = 3х − 3;
3с – 3 − 3с + 3х = 3х − 3;
3х − 3 = 3х – 3
47. 1) Що
а) 35t
б) 2ху + 2(3 − ху) = 6; 2ху + 6 − 2ху = 6; 6 = 6. Доведено;
г) 1 − 2х = 5 − 2(х + 2); 1 − 2х = 5 − 2х − 4; 1 − 2х = 1 − 2х. Доведено.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Спрости
а) 2х + 4 + 2(х + 4) + 4(х − 8) = 2х + 4 + 2х + 8 + 4х − 32 = 8х − 20; б) −(5а − с + 2) + 3а − с + 2 = −5а + с − 2 + 3а − с + 2 = −2а; в) 5(12а − 23х) − 8(6х − 13а) = 60а − 115х − 48х + 104а = 164а − 163х; г) −6(ас − 4) + 3(7 − 2ас) = −6ас + 24 + 21 − 6ас = −12ас + 45. 52. Спрости вираз, замінивши
а) 2(х2 − 3) − 4(17 − 4х2) = 2х2 − 6 − 68 + 16х2 = 18х2 − 74; б) 4(х2 − 3) − х(4х − 5) = 4х2 − 12 − 4х2 + 5х = 5х − 12; в) с(3 − 2с) + 3(с − 2с2) = 3с − 2с2 + 3с − 6с2 = 6с − 8с2; г) 2у − 3 − 2(а + у − 1) = 2у − 3 − 2а − 2у + 2 = −1 − 2а.
53. Доведи тотожність
а) 2(х − 3) − 5(х − 4) = 14 − 3х; 2х − 6 − 5х + 20 = 14 − 3х; 3х + 14 = 14 − 3х; Доведено.
б) 3(2а − 1) − 2(3а − 1) = −1; 6а − 3 − 6а + 2 = −1; 1 = −1. Доведено.
в) 5(0,5 + 2х) − 5(1,1 − х) = 15х − 3; 2,5 + 10х − 5,5 + 5х = 15х − 3; 15х − 3 = 15х – 3. Доведено.
г) 9(х − 1) − 3(2х − 3) = 3х;
9х − 9 − 6х + 9 = 3х; 3х = 3х. Доведено.
54. Доведи тотожність
а) 9х − 4(х + 5) – 1 = 7(х − 3) − 2х;
9х − 4х − 20 − 1 = 7х − 21 − 2х;
5х − 21 = 5х – 21. Доведено.
б) −2(2а + 5) = 5(2а − 9) − 7(2а − 5);
4а − 10 = 10а − 45 − 14а + 35; 4а − 10 = −4а – 10. Доведено.
в) 0,5(а + b + c) − 0,5(а − b + c) − (а + b − c) = с – а;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0,5(a + b + c) − 0,5(a − b + c) − (a + b − c)=
= 0,5a + 0,5b + 0,5c − 0,5a + 0,5b − 0,5c − a − b + c =
= (0,5a − 0,5a − a) + (0,5b + 0,5b − b) + (0,5c − 0,5c + c)= = −a + b + c = = c – a Доведено.
55. Доведи тотожність:
а) 3(а + с + х) − 2(а + с − х) − (а − с + х) = 2(с + 2х);
3а + 3с + 3х − 2а − 2с + 2х − а + с − х = 2с + 4х;
2с + 4х = 2с + 4х. Доведено.
б) 2х + 2 = 2(х2 + х + 1) − (х2 − х + 1) − (х2 + х − 1);
2х + 2 = 2х2 + 2х + 2 − х2 + х − 1 − х2 − х + 1;
2х + 2 = 2х + 2. Доведено.
56. Чи тотожні вирази:
а) 1 – (1 − (1 − с)) = 1 − 1 + (1 – с) = 1 − с; 1 − с = 1 – с. Так.
б) а − b + 1 − 2(b + 1) = а − b + 1 − 2b − 2 = а − 3b − 1; 2(а − b – 1) – (a + b – 1) = 2a – 2b – 2 – a – b + 1 = a – 3b – 1;
а − 3b − 1 = а − 3b – 1. Так.
57. Чи тотожні вирази: а) 0,5(х + у) − 0,5(х − у) − у = 0,5х + 0,5у − 0,5х + 0,5у − у = 0; 0 = 0. Так.
б) n − (1 − (n − (1 − n))) = 3n − 2; n – 1 + (n − (1 − n)) = 3n − 2; n − 1 + n − (1 − n) = 3n − 2; 2n − 1 − 1 + n = 3n − 2; 3n − 2 = 3n – 2. Так.
58. Замініть у тотожності 3x – 2 = 2(x 1) + x змінну x виразом: а) c + 3; б) ac 1; в) m + 5. Чи є тотожністю одержана
Спочатку розкриємо дужки у
3x − 2 = 2x − 2 + x
3x − 2 = 3x − 2
Отже, початкова рівність є тотожністю
-якому (x)).
а) Заміна x на c + 3
Ліва частина:
3(c + 3) − 2 = 3c + 9 − 2 = 3c + 7
Права частина:
2((c + 3) − 1) + (c + 3) = 2(c + 2) + (c + 3) = 2c + 4 + c + 3 = 3c + 7
Обидві частини однакові: 3c + 7 = 3c + 7
б) Заміна x на ac − 1
Ліва частина:
3(ac − 1) − 2 = 3ac − 3 − 2 = 3ac − 5
Права частина: 2((ac − 1) − 1) + (ac − 1) = 2(ac − 2) + (ac − 1) = 2ac − 4 + ac − 1 = 3ac − 5
Обидві частини однакові: 3ac − 5 = 3ac − 5
в) Заміна x на m + 5
Ліва частина:
3(m + 5) − 2 = 3m + 15 − 2 = 3m + 13
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
периметр прямокутника. P = 2(а + а − с) = 2(2а − с) (см).
61. Основа рівнобедреного трикутника
дорівнює периметр трикутника?
Нехай бічна сторона: (а + 2) см,
P = 2а + 4 + а; P = 3а + 4.
62.
а) a + (−a) = 0;
б) a 1 ���� = 1;
в) ab = (−a)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
випускників ще не працевлаштовано?
1) 150 : 100 · 10 =
2)
4) 150 − (15 + 30 + 45) = 150 − 90 = 60
Відповідь: 60 випускників.
72. Укажіть координати точок,
A(−1; 4); B(3; 0); C(−4; −2).
AB: (0; 3); BC: (0; −1); AC: (−3; 0).
73. За якої умови
а) 3 : x = x : 27; x2 = 81; x = 9 або x = −9; б) y : 4 = 16 : y2; y3 = 64; y = 4.
3,5.
квадрати чисел. 1) 12 = 1; 2) (−3)2 = 9;
.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3) 72 = 49;
4) 82 = 64;
5) (−9)2 = 81; 6) 102 = 100;
7) 202 = 900;
8) 302 = 900;
9) (−40)2 = 1600; 10) (0,2)2 = 0,04; 11) (0,03)2 = 0,0009.
76. Знайди куби чисел. 1) 13 = 1;
2) (−2)3 = −8; 3) 33 = 27;
4) 43 = 64;
5) (−5)3 = −125;
6) 103 = 1000;
7) (0,1)3 = 0,001;
8) (−1 3)3 = 1 27;
9) (−11 2)3 = (−3 2)3 = − 27 8 ;
10) (2 3)3 = 8 27;
11) (1 4)3 = 1 64
77. Чи правильно, що:
а) 51 = 1 5 (неправильно);
б) 71 = 7 (правильно);
в) (−2)4 = 16 (правильно);
г) (−7)2 = 49 (правильно);
(2 3)
е) Добуток 5 · 5 · 5 можна записати як 53 (правильно); є) Значення виразу 23 дорівнює 2 · 3 = 6; Ні, дорівнює 8, а не 6 (правильно).
78. Істинною чи хибною є нерівність?
а) (−15)10 < 0 хибно, (−15)10 > 0 (парний степінь);
б) (−3,2)13 > 0 хибно, (−3,2)13 < 0 (непарний степінь);
в) −4,112 < 0 істинно;
г) −(−2)62 > 0 хибно, (−2)62 < 0 (парний степінь);
ґ) (−3,4)2 > −3,42 істинно;
д) x122 < 0 хибно (парний степінь);
е) (−15)⁴ −15⁴ < 0 істинно;
8) (−6,5)4 > (−8,4)3 істинно, (−6,5)4 > 0 і (−8,4)3 < 0.
79. Прочитай
а) a² + b² – «сума квадратів»
б) (a + b)² – «квадрат суми»
a² – b²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (a – b)² – «квадрат різниці»
80. Розв’яжи рівняння.
а) x7 = 0, x = 0;
б) x8 = −1,
Немає дійсних розв'язків;
в) 15x6 = 0, x = 0;
г) x8 = 1, x = 1 або x = −1; ґ) x3 = 1, x = 1.
81. Запиши добуток у
степеня.
а) 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = (0,3)5;
б) c · c · c · c · c · c · c = c7;
в) (−16) · (−16) · (−16) · (−16) = (−16)4;
г) (−b) · (−b) · (−b) · (−b) · (−b) = (−b)5.
82. Запиши
a) (a − b) · (a − b) · (a − b) = (a − b)3; b) k · k · k · k = k4; c) 5 · 5 · ... · 5 (18 разів) = 518.
83. Запиши добуток у
а) (−y) · (−y) · (−y) · (−y) = (−y)4;
б) (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) · (ab) = (ab)6; в) m · m · m · ... · m (20 разів) = m20; г) (p − a) · (p − a) · (p − a) · (p − a) · (p − a) = (p − a)5.
84. ГРА
1) 7 · 7 = 49
2) 49 · 7 = 343
3) 343 · 7 = 2401
4) 2401 · 7 = 16 807
5) 7 + 49 + 343 + 2401 + 16 807 = 19 607. Відповідь: 19 607. 86. Подай
а) З основою 2:
1. 4 = 22;
2. 8 = 23;
3. 64 = 26; 4. 16 = 24;
5. 144 не можна; 6. 256 = 28;
7. −8 = −23;
8. −32 = −25; 9. −64 = −26; б) З основою 5: 1. 5 = 51; 2. 25 = 52; 3. 125 = 53; 4.
а) З основою 3:
1. 27 = 33; 2. 81 = 34;
3. −9 = −32; 4. −27 = −33;
88. Обчисли:
а) 52 = 25; 25 = 32; 103 = 1000; 1003 = 1 000 000; 252 = 625;
г) (−0,5)2 = 0,25; −0,52 = −0,25; (−1)160 = 1; (−1)105 = −1.
89. Обчисли
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. 100 = 102 або 100 = (2 · 5)2; 2. 49 = 72;
3. 121 = 112; 4. −144 = (12)2 або −144 = −(24 · 32);
5. 169 = 132;
6. 196 = 142 .
б) (0,2)3 = 0,008; (0,3)2 = 0,09; (0,04)3 = 0,000064;
а) 82 = 64, 102 = 100, 33 = 27, 53 = 125, 63 = 216; б) (0,1)2 = 0,01, (0,3)3 = 0,027, (0,5)3 = 0,125;
в) 1,12 = 1,21, 1,62 = 2,56, 2,72 = 7,29, 3,52 = 12,25; г) (−1)5 = −1, (−2)6 = 64, (−9)3 = −729, (−12)2 = 144.
в) (3)4 = 81; (−34) = −81; (34) = −81; 34 = −81;
90. Обчисли а) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91; б) 32 − 42 + 52 − 62 + 72 = 9 − 16 + 25 − 36 + 49 = 31.
91. Обчисли а) (−2)2 + (−2)3 + (−2)4 + (−2)5 = 4 − 8 + 16 − 32 = -20; б) 92 – 82 + 72 – 62 = 81 – 64 + 49 – 36 = 30.
92. Чи правильна рівність: а) 32 + 42 = 52; 9 + 16 = 25; 25 = 25; так; б) 152 + 162 =172; 225 + 256 ≠ 289; 481 ≠ 289; ні; в) 352 + 362 = 372; 1225 + 1296 ≠ 1369; ні;
г) 32 + 32 = 62; 9 + 9 ≠ 36; 18 ≠ 36; ні; ґ) 43 + 62 = 102; 64 + 36 = 100; 100 = 100; так; д) 972 − 962 = 97 + 96; 9409 − 9216 = 193; 193 = 193; так.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
93. Доведи, що:
а) 102 + 112 + 122 = 132 + 142;
100 + 121 + 144 = 169 + 196; 365 = 365. Доведено.
б) 13 + 23 + 33 + ... + 93 = 452;
1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2025; 2025 = 2025. Доведено.
94. Обчисли площу квадратної серветки, сторона
дорівнює: S = a2
а) Якщо a = 3 дм, то S = 32 = 9 (дм2); б) Якщо a = 10 см, то S = 102 = 100 (см2).
95. Обчисли об’єм бака у формі
V = a3
а) Якщо a = 2 м, то V = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 м3; б) Якщо a = 5 дм, то V = 53 = 5 · 5 · 5 = 125 дм3
96.
а) (−7)2 − (−1)9 · 34 = 49 + 1 · 81 = 130; б) (0,02 + 0,28)4 · 105 = 0,34 · 105 = 0,0081 · 100 000 = 810; в) 63 − (4 · 2 5)2 · 61 4 = 216 – (8
г) (−1)24 : (1 2)6 + (−3)5 = 1 · 64 − 243 = 64 − 243 = −179; ґ) (5,6 − 5,5)3 : 0,1 = (0,1)3 : 0,1 = 0,001 : 0,1 = 0,01; д) (0,32 + 0,42) − 0,52 = (0,09 + 0,16) − 0,25 = 0,25 − 0,25 = 0.
97. Знайдіть значення виразу: а) 102 − (−1)12 · 62 = 100 − 36 = 64; б) (0,44 + 0,46)3 · (−10)4 = 0,93 · 10 000 = 0,729 · 10 000 = 7290; в) (7,8 − 7,7)4 : (0,1)5 = 0,14 : 0,15 = 0,0001 : 0,00001 = 10; г) 32 · (2,7 − 2,8)2 = 9 · (−0,1)2 = 9 · 0,01 = 0,09.
98.
0,625 − 0,5 + 0,5 = 0,625. 100.
а) (−7)10 > 0; б) (−10)7 < 0; в) (−2)6 > (−3)5; г) −56 < (−5)6
а) (−21)7 < 0; б) (−3)6 > 0; в) (−5)5 < (−4)4; г) −78 < (−7)8.
102. Розв’яжи рівняння: а) 5x4 = 5; x4 = 1; x = 1 або x = −1; б) 4x2 = x2; 3x2 = 0; x = 0;
в) x2 + 5 = 0;
x2 = −5;
103. Розв’яжи рівняння:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) −2x3 = 2; x3 = −1; x = −1.
а) x2 + 1 = 0; x2 = −1; x = −1; б) x8 − 1 = 0; x2 = 1; x1 = 1; x2 = −1;
в) 2x7 = 2; x7 = 1; x = 1; г) x3 − 6 = 2; x3 = 8; x = 2.
104. Запиши у
000; ґ) 33 000; д) 105; е) 1000 000 000; є) 7004. а) 2 · 104; б) 7,53 · 106;
в) 1,05 · 107;
г) 9,099 · 108; ґ) 3,3 · 104; д) 1,05 · 102; е) 1 · 109; є) 7,004 · 103 .
106. Запиши у
чисел: а) 9 · 104 = 9000;
б) 1,31 · 103 = 1310; в) 7,1 · 105 = 710000; г) 4,3 · 102 = 430; ґ) 2,05 · 104 = 20500; д) 3,125 · 106 = 3125000.
107. Чи правильна рівність: а) 22 + 22 + 62 + 102 = 122; 4 + 4 + 36 + 100 = 144; 144 = 144. Так. б) 22 + 42 + 62 + 132 = 152; 4 + 16 + 36 + 169 = 225; 225 = 225. Так.
108. Чи правильна рівність: а) 22 + 62 + 82 + 252 = 272; 4 + 36 + 64 + 625 = 729; 729 = 729. Так.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2;
1 + 8 + 27 + 64 = 100;
100 = 100. Так.
109. Обчисліть
а) (36 − 42)3 = (36 − 16)3 = 203 = 8000;
б) (34 + 19)5 = (81 + 19)5 = 1005 = 10 000 000 000;
в) (0,875 + 0,53)10 = (0,875 + 0,125)10 = 110 = 1;
г) (−0,3)4 · 103 = 0,081 · 1000 = 81;
ґ) (2 3)3 · (3 4)2 = 8 · 9 27 · 16 = 1 6;
д) (44 − 35 − 13)12 = (256 − 243 − 13)12 = 012 = 0.
110. Установи
1) (35 − 25)4 = (35 − 32)4 = 34 = 81; (Г).
2) 104 · (0,2)3 = 10000 · 0,008 = 80; (В).
3) (0,33 − 0,017)2 = (0,027 − 0,017)6 = 0,016 = 0,000001; (Д).
4) (27 − 53 − 4)15 = (128 − 125 − 4)15 = (−1)15 = −1; (А).
111. Знайдіть значення виразу:
a) (4x2 – y2) 2 : (2x – y) 2, якщо x = 0,6, y = −0,2, то:
(4 · 0,62 − (−0,2)2)2 : (2 · 0,6 − (−0,2)2)2 = 12 = 1; б) (1 + b)2 – (a – 1)2 – (a + b)2, якщо a = 1,1, b = 0,1, то: = (1 + (−0,1))2 − (1,1 − 1)2 − (1,1 + (−0,1))2 = (0,9)
= - 0,2
112. Знайдіть значення виразу: a) 2xy + (x + 2y)3 + y2 , якщо x = −2, y = 3, то: 2 · (−2)5
a) 3,45 = 454,35424; б) 5,754 + 57 = 1093,1288 + 57 = 1150,1288; в) 47,2 · 2,843 = 47,2 · 22,9215 = 1081,96; г) 3,7 + 2,74 = 3,7 + 53,1441 = 56,8441.
32 + 52 = 9 + 25 = 34; (3 + 5)2 = 82 = 64; 32 + 52 < (3 + 5)2;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(10 − 6)2 = 42 = 16; 102 − 62 > (10 − 6)2 .
116. Обчисли і порівняй: a)
33 + 23 = 27 + 8 = 35; (3 + 2)3 = 53 = 125;
33 + 23 < (3 + 2)3 . б)
53 − 23 = 125 − 8 = 117; (5 − 2)3 = 33 = 27;
53 − 23 > (5 − 2)3 .
спростовує)
а)
a) Неправильне.
Контрприклад: 22 = (−2)2, але 2 ≠ −2.
б) якщо
б) Правильне.
в) якщо
в) Неправильне.
Контрприклад: −1 + (−1) 2 = −1 + 1 = 0 (не
г) якщо
г) Правильне.
118. Значення якого з виразів є: 1)
(7 + 3
2 ) = 5; найменше значення;
(7 2)2 + (3 2)2 = 49 4 + 9 4 = 58 4 = 14,5; б) 7² 5² 2 = 49 25 2 = 12; найбільше значення;
(7 5 2 )2 = 12 = 1; найменше значення; (7 2)2 + (5 2)2 = 49 4 − 25 4 = 24 4 = 6.
119. Значення якого з виразів найменше?
5³ + 3³
2 = 125 + 8 2 = 66,5; найбільше значення;
(5 + 3
2 )3 = 43 = 64; середнє значення;
(5 2)3 + (3 2)3 = 125 8 + 27 8 = 19; найменше значення.
120. Доведіть, що рівняння не має розв'язків: а) x4 + 3 = 0; x4 = −3; Розв’язків немає. б) 3x2 + 8 = 0; 3x2 = −8; Розв’язків немає.
Яке
а) x2 + 9 Найменше значення: 9 при x = 0. б) 4 + (2 − a)2 Найменше значення: 4 при a = 2.
в) (y − 3)2 + 1 = 0; (y − 3)2 = −1; Розв’язків немає.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) (x2 + 2)4 − 10
Найменше значення: −9 при x = 0.
122. Яке
а) 3 − x2
Найбільше значення: 3 при x = 0. б) 6 − (x − 4)8
Найбільше значення: 6 при x = 4.
123. Запиши у стандартному
числа: a) 2,87287 · 108; 1,753 · 107; 2,205 · 105; 9,099 · 10. б) 3 · 10−4; 2,35 · 10 1; 5 · 10 2; 4,1 · 10−9.
в) 1 2 = 0,5 = 5 · 10 1; 1 20 = 0,05 = 5 · 10 2; 1 200 = 0,005 = 5 · 10 3; 3 500 = 0,006 = 6 · 10 3; 73
500000 = 0,000146 = 1,46 · 10−4; 999 1000000000 = 9,99 · 10 7
124. Запишіть у
a) 1,2 · 103 = 1200; 3,47 · 105 = 347 000; 7,3 · 104 = 73 000; 14,23 · 106 = 1 423 000; 6) 2 · 10 4 = 0,0002; 1,1 · 10 3 = 0,0011; 9 · 10−5 = 0,00009; 6,75 · 10−6 = 0,00000675.
125. Доведи, що: a) 1012 + 2 ділиться на 3; 1012 + 2, сума
3,
буде ділитися на 3 (1 + 2 = 3; 3 : 3); б) 691 – 1191 ділиться на 5; 1015 + 8, сума цифр отриманого числа дорівнює 9, тобто
ділиться на 9 (так як 1015 = 100...0; 1 + 8 = 9; 9 : 9 = 1). в) 1015 + 8 ділиться на 9; 1015 = 1000000000000000 Сума цифр: 1 + 8 = 91 + 8 = 9 А 9 ділиться на 9 → ділиться на 9. 126. Доведи, що: a) а) 1 + 1010 + 10100
3, тобто ділиться на 3 (1 + 1 + 1 = 3; 3 : 3); б) б) 2613 + 1013
9. в) 1010 – 1 ділиться на 9. 1010 – 1 = 9999999999
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1) На графіку а: ліворуч від точки B(x3), оскільки x < 0.
2) На графіку б: між точками C(x2) і B(x3).
3) На графіку в: праворуч від точки C(x2).
128. Заміни букви цифрами так, щоб була правильною рівність: а) куб = eе; б) степінь = еее.
а) 33;
б) 2 · 22 .
129. Чи тотожні вирази:
а) 2a + a + a = 4a; 4a = 4a. Так.
б) 2b – 2a = −2(a − b) = −2a + 2b. Так.
в) x + x + x = 3x;
3x ≠ x3. Ні.
г) 5 + 5 + 5x = 10 + 5x ≠ 15x. Ні.
ґ) 3y + 2y + y − 6 = 6y – 6 ≠ у. Ні.
д) a3 – a ≠ a2. Ні.
130.
Якщо P = 54 см, то 2(x + 3) + x =
2x + 6 + x = 54; 3x = 54 − 6; 3x = 48; x = 16.
16 см,
2x + 6 + x = 6;
3x = 0; x = 0.
3x = a – 6; x = a – 6 3 .
см,
3x + 6 =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: а) 16; 19; 19; б) немає розв'язків;
в) a – 6 3 ; a + 3 3 ; a + 3 3 .
132. Спрости b30 : b5
b30 : b⁵ = b30–5 = b²⁵
133. Обчисли (22)3 (2²)³ = 2²·³ = 2⁶ = 64
134. Спрости вираз
а) 3⁵ · 3⁷ = 3⁵⁺⁷ = 3¹²
б) 12⁴ : 12³ = 12⁴⁻³ = 12¹ = 12
в) (1 2)⁴ · (1 2)³ = (1 2)⁴⁺³ = (1 2)⁷ = 1 128
г) (–4)² · (–4)³ = (–4)²⁺³ = (–4)⁵ = –1024
135. Спрости вираз
а) x⁵ · x⁸ = x⁵⁺⁸ = x¹³
б) m³ · m⁷ = m³⁺⁷ = m¹⁰
в) f⁴ : f = f⁴⁻¹ = f³
г) c³ · c⁴ · c⁵ = c³⁺⁴⁺⁵ = c¹²
ґ) z² · z⁵ · z = z²⁺⁵⁺¹ = z⁸
136. Подай вираз у вигляді степеня.
а) 625 = 5⁴;
б) (x³)⁵ = x¹⁵;
в) x² · y² = (xy)²;
г) 8 · 3³ = 2³ · 3³ = (2 · 3)³ = 6³;
д) 64 · 49 = (2⁶ · 7²);
е) x⁴ · y6 = (xy)4 ⋅ y2
137. Розв’яжи рівняння.
а) z³z = 0
z³⁺¹ = 0
z⁴ = 0 z = 0
а) 3¹³ · 3⁶ = 3¹³⁺⁶
б) 4x⁵x⁶ = 0
4x⁵⁺⁶ = 0 4x¹¹ = 0 x = 0
= 1 y7 = 1 y = 1 г) xx³ = 1 x¹⁺³ = 1 x⁴ = 1 x = 1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) a⁵ · a³ = a⁵⁺³ = a⁸
б) x4 · x⁴ = x4⁺⁴ = x⁸
в) m · m⁸ = m¹⁺⁸ = m⁹
г) y⁷ · y · y⁷ · y = y⁷⁺¹⁺⁷ = y¹⁶
ґ) z · z² · z³ · z5 = z¹⁺²⁺³⁺⁵ = z¹¹
д) (a + b)² · (a + b)⁵ = (a + b)²⁺⁵ = (a + b)⁷
141. Подай
а) c⁷ · c⁵ = c⁷⁺⁵ = c¹²
б) a⁷ · a⁷ = a⁷⁺⁷ = a¹⁴
в) p · p¹² = p¹⁺¹² = p¹³
г) x · x² · x³ = x¹⁺²⁺³ = x⁶
ґ) m · m⁷ · m³ · m¹⁰ = m¹⁺⁷⁺³⁺¹⁰ = m²¹
д) (x – y)³ · (x – y) = (x – y)³⁺¹ = (x – y)⁴
142. Подай добуток у
а) 5⁸ · 25 = 5⁸ · 5² = 5⁸⁺² = 5¹⁰
б) 3¹² · 27 = 3¹² · 3³ = 3¹²⁺³ = 3¹⁵
в) 6¹⁵ · 36 = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁵⁺² = 6¹⁷ г) 2⁹ · 32 = 2⁹ · 2⁵ = 2⁹⁺⁵ = 2¹⁴ ґ) 0.4⁵ · 0.16 = 0.4⁵ · 0.4² = 0.4⁵⁺² = 0.4⁷
д) 0.001 · 0.14 = 0.1-⁷
3⁶ · 9 = 3⁶ · 3² = 3⁶⁺² = 3⁸ б) 5¹⁷ · 125 = 5¹⁷ · 5³ = 5¹⁷⁺³ = 5²⁰
в) 2¹¹ · 16 = 2¹¹ · 2⁴ = 2¹¹⁺⁴ = 2¹⁵
г) 4²² · 64 = 4²² · 2⁶ = 4²² · 2⁴⁺⁶ = 2⁵⁰
ґ) 0.3⁹ · 0.027 = 0.3⁹ · (0.3³) = 0.3⁹⁺³ = 0.3¹²
д) 0.01 · 0.1¹⁸ = (0.1²) · 0.1¹⁸ = 0.1²⁺¹⁸ = 0.1²⁰
144.
а) x¹² : x⁵ = x¹²⁻⁵ = x⁷
б) a7 : a6 = a7⁺⁶ = a¹3
в) m²³ : m = m²³⁻¹ = m²²
г) c¹⁷ : c¹⁶ = c¹⁷⁻¹⁶ = c¹ = c
ґ) y¹⁹ : y⁵ = y¹⁹⁻⁵ = y¹⁴
д) (m + n)⁵ : (m + n)³ = (m + n)⁵⁻³ = (m + n)²
а) p8 : p³ = p8 ³ = p⁵ б) n¹¹ : n⁸ = n¹¹⁻⁸ = n³
a²³ : a = a²³⁻¹ = a²²
x¹²
(a + c)¹⁶ : (a + c)¹² = (a + c)¹⁶⁻¹² = (a + c)⁴
1.8⁶ : 1.8⁴ = 1.8⁶⁻⁴ = 1.8²
2¹⁰ : 2⁶ = 2¹⁰⁻⁶ = 2⁴ = 16
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
д) 5¹⁰ 25⁵ = 5¹⁰ (5²)⁵ = 5¹⁰ : 5¹⁰ = 1
147. Знайди значення виразу
а) 2,7¹³ : 2,7¹² = 7¹³⁻¹² = 7¹ = 7
б) 65 : 6³ = 65 ³ = 6² = 36
в) 0.58 : 0.56 = 0.5⁸⁻⁶ = 0.5² = 0.25
г) (−0,8)5 (−0,8)3 = (−0.8)5–3= (−0.8)² = 0.64
ґ) (11 3)8 : (11 3)6 = (11 3)⁸⁻⁶ = (11 3)² = 16 9 д) 224 4 10 = 224 20 = 24 = 16.
148. Виконай піднесення до степеня
а) (a²)³ = a²⋅³ = a⁶
б) (x³)² = x³⋅² = x⁶
в) (y⁷)² = y⁷⋅² = y¹⁴
г) ((x⁵)⁶)³ = x⁵·⁶·³ = x⁹⁰
ґ) ((2 – a)³)⁴ = (2 – a)³⋅⁴ = (2 – a)¹²
д) (((x – y)⁵)⁴)³ = (x – y)⁵ · ⁴ · ³ = (x – y)⁶⁰
149. Виконай піднесення до степеня
а) (m8)³ = m⁸⋅³ = m²⁴
б) (x¹⁰)³ = x¹⁰ ³ = x³⁰
в) (a⁵)ⁿ = a⁵ⁿ
г) ((z²)⁸)³ = z²⋅⁸⋅³ = z⁴0
ґ) ((3 – b)³)⁷ = (3 – b)³ ⁷ = (3 – b)²¹
д) ((m + n)³)⁵)² = (m + n)³⋅⁵⋅² = (m + n)³⁰
150. Гра
151. Подай вирази (c⁴)²
1) (c⁴)² = c⁴
2) (c²)⁴ = c²
(xy)⁴ = x⁴y⁴
(3a)² = 3²a² = 9a² в) (5x)³ = 5³x³ = 125x³
(–10ab)² = (–10)²a²b² = 100a²b²
(–2xy)⁵ = (–2)⁵x⁵y⁵ = –32x⁵y⁵
д) (–0.3b²d)³ = (–0.3)³(b²)³d³ = –0.027b⁶d³
153. Виконай піднесення до степеня а) (ac)⁹ = a⁹c⁹
б) (5x)3 = 53x3 = 125x3
в) (2y)⁶ = 2⁶y⁶ = 64y⁶
г) (–8mn)² = (–8)²m²n² = 64m²n²
ґ) (–3pk)³ = (–3)³p³k³ = –27p³k³
д) (–0.5c⁴d)³ = (–0.5)³(c⁴)³d³ = –0.125c¹²d³
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
154. Додатне чи
а) (–5)²¹ : (–5)¹³ = (–5)²¹–¹³ = (–5)⁸
Оскільки показник парний (8), значення буде додатним.
б) (–8)⁸ · (–8)¹¹ = (–8)⁸+¹¹ = (–8)¹⁹
Оскільки показник непарний (19), значення буде від'ємним.
в) (–3)⁵ · (–3)⁷ · (–3)4 = (–3)5+7+4 = (–3)¹⁶
Оскільки показник парний (16), значення буде додатним.
155. Порівняй значення виразів
а) (–2)³ · (–2)¹⁰ і (–2)⁸
(–2)³ · (–2)¹⁰ = (–2)³⁺¹⁰ = (–2)¹³
(–2)¹³ < (–2)⁸
б) (–3)⁷ : (–3)⁵ і (–3)⁷⁵
(–3)⁷ : (–3)⁵ = (–3)⁷⁻⁵ = (–3)²
(–3)² > (–3)⁷⁵
в) (–10)⁵ · (–10)³⁵ і (–100)⁹¹
(–10)⁵ · (–10)³⁵ = (–10)⁵⁺³⁵ = (–10)⁴⁰
(–100)⁹¹ = (10²)⁹¹ = 10¹⁸²
(–10)⁴⁰ < 10¹⁸²
г) (–7)³² : (–7)³¹ і (–7) : (–7)
(–7)³² : (–7)³¹ = (–7)³²⁻³¹ = (–7)¹
(–7) : (–7) = (–7)¹⁻¹ = (–7)⁰ = 1
(–7)¹ = –7, 1 = 1
156. Порівняй значення виразів
1) (–6)²¹ · (–6)² < (–6)³⁰
(–6)²¹ · (–6)² = (–6)²¹⁺² = (–6)²³
(–6)²³ < (–6)³⁰
2) (–4)¹² : (–4)⁷ < (–4)¹⁶
(–4)¹² : (–4)⁷ = (–4)¹²⁻⁷ = (–4)⁵
(–4)⁵ < (–4)¹⁶
3) (–2)⁹ · (–2)¹⁵ > (–2)²⁵
(–2)⁹ · (–2)¹⁵ = (–2)⁹⁺¹⁵ = (–2)²⁴
(–2)²⁴ > (–2)²⁵
4) (–5)⁶ · (–5)⁵ < (–5) : (–5)
(–5)⁶ · (–5)⁵ = (–5)⁶⁺⁵ = (–5)¹¹ (–5) : (–2) > (–5)¹¹
а) 2¹³ · 0.5¹³ = (2 · 0.5)¹³ = 1¹³ = 1
б) 0.5¹⁸ · 2¹⁸ = (0.5 · 2)¹⁸ = 1¹⁸ = 1
в) 2⁷ · 0.04⁷ = (25 · 0.04)⁷ = 1⁷ = 1
г) 5³³ · 0.2³³ = (5 · 0.2)³³ = 1³³ = 1 ґ) 8⁵ · (1 4)⁵ = (8 · 1 4)⁵ = 2⁵ = 32
(21 3)¹² · (3 7)¹² = (7 3 · 3 7)¹² = 1¹² = 1
2⁷ · 5⁷ = (2 · 5)⁷ = 10⁷ = 10000000
0.25¹⁰ · 4¹⁰ = (0.25 · 4)¹⁰ = 1¹⁰ = 1 в) (–8)¹¹ · 0.125¹¹ = (–8 · 0.125)¹¹ = (–1)¹¹ = –1
0.2⁸ · 0.5⁸ = (0.2 · 0.5)⁸ = 0.1⁸
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) 6⁶ · (1 3)⁶ = (6 · 1 3)⁶ = 2⁶ = 64
д) (13 5)¹⁶ · (5 8)¹⁶ = (8 5)¹⁶ · (5 8)¹⁶ = 1¹⁶ = 1
159. Чи має розв’язки рівняння?
а) x² · x4 = -1
x²⁺4 = x6 = -1
Рівняння не має розв'язків
в) (x7)³ = 0
x⁷ ³ = x²¹ = 0
x = 0
160. Розв’яжи рівняння.
а) x⁸ · x⁷ = 1
x⁸⁺⁷ = x¹⁵ = 1
x = 1
в) x2 · x² = 1
x2+2 = x4 = 1
x = 1 або x = –1
161. Знайдіть суму, різницю, добуток
б) x³ · x⁶ = –1
x³⁺⁶ = x⁹ = –1
x = –1
г) (x⁸)² = 1 x¹⁶ = 1 x = 1 або x = –1
б) y4 · y5 = –1 y4+5 = y⁹ = –1 y = –1
г) z³ · z² · z⁸ = –1 z³⁺²⁺⁸ = z¹³ = –1 z = –1
a + b = 2.4 · 10⁵ + 3 · 10⁵ = (2.4 + 3) · 10⁵ = 5.4 ·
: b = (2.4 · 10⁵) : (3 · 10⁵) = (2.4 : 3) · (10⁵ : 10⁵) = 0.8 б)
a + b = 1.5 · 10⁷ + 5 · 10⁷ = (1.5 + 5) · 10⁷ = 6.5 · 10⁷ a – b = 1.5 · 10⁷ – 5 · 10⁷ = (1.5 – 5) · 10⁷ = –3.5 · 10⁷ a · b = 1.5 · 10⁷ · 5 · 10⁷ = (1.5 · 5) · 10⁷⁺⁷ = 7.5 · 10¹⁴ a : b = (1.5 · 10⁷) : (5 · 10⁷) = (1.5 : 5) · (10⁷ : 10⁷) = 0.3
a + b = 6.4 · 10⁴ + 3.2 · 10⁴ = (6.4 + 3.2) · 10⁴ = 9.6 · 10⁴ a – b = 6.4 · 10⁴ – 3.2 · 10⁴ = (6.4 – 3.2) · 10⁴ = 3.2 · 10⁴ a · b = 6.4 · 10⁴ · 3.2 · 10⁴ = (6.4 · 3.2) · 10⁴⁺⁴ = 20.48 · 10⁸ = 2.048 · 10⁹ a : b = (6.4 · 10⁴) : (3.2 · 10⁴) = (6.4 : 3.2) · (10⁴ : 10⁴) = 2
Виконай дії. а) 2.5 · 10⁵ + 3.3 · 10⁵ = (2.5 + 3.3) · 10⁵ = 5.8 · 10⁵ б) 7.7 · 10⁷ – 5 · 10⁷ = (7.7 – 5) · 10⁷ = 2.7 · 10⁷
(6.4 · 10⁶) : (1.6 · 10⁶) = (6.4 : 1.6) · (10⁶ : 10⁶) = 4 · 1 = 4
(6.4 · 10³) · (2 · 10³) = (6.4 · 2) · (10³ · 10³) = 12.8 · 10⁶
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 0.1²¹ · 10²⁰ = (0.1 · 10)²⁰ · 0.1 = 1²⁰ · 0.1 = 0.1
в) 0.125⁴¹ · (–8)⁴⁰ = (0.125 · –8)⁴⁰ · 0.125 = (–1)⁴⁰ · 0.125 · 0.125 = 0.125
г) 5²⁷ · 0.2³⁰ = (5 · 0.2)²⁷ · 0.2³ = 1²⁷ · 0.008 = 0.008
ґ) (–0.25)¹⁵ · 4¹⁶ = (–0.25 · 4)¹⁵ · 4 = (–1)¹⁵ · 4 = –1 · 4 = –4 д) 4³¹ · 2.5³⁰ = (4 · 2.5)³⁰ · 4 = 10³⁰ · 4
166. Обчисли
а) 5²⁰ · 0.2¹⁸ = (5 · 0.2)¹⁸ · 5² = 1¹⁸ · 25 = 25
б) 0.04¹² · 25¹¹ = (0.04 · 25)¹¹ · 0.04 = 1¹¹ · 0.04 = 0.04 в) (–2.5)¹⁷ · (0.4)¹⁹ = (–2.5 · 0.4)¹⁷ · 0.4² = (–1)¹⁷ · 0.16 = –1 · 0.16 = –0.16
г) 10²⁶ · 0.1²⁸ = (10 · 0.1)²⁶ · 0.1² = 1²⁶ · 0.01 = 0.01
2²² · 0.5²⁰ = (2 · 0.5)²⁰ · 2² = 1²⁰ · 4 = 4 д) 1.25²² · (–0.8)²³ = (–1.25 · –0.8)²² · (–0.8) = 1²² · (–0.8) = –0.8 167. Обчисли а) (–5 7)¹² ·
7¹⁵ · (–1 7)¹⁶ = (7 · (–1 7))¹⁵ · (–1 7) = (–1)¹⁵ · (–1 7) = 1 7 в) (2 3)¹⁰ · (11 2)¹¹ = ((2 3)¹⁰ · (3 2))¹1 =
25¹⁰ · 2⁸
(b³
(x ·
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 2¹⁰ · 64 = 2¹⁰ · 2⁶ = 2¹⁰⁺⁶ = 2¹⁶ в) 0.001 · 0.1⁵ = 0.1³ · 0.1⁵ = 0.1³⁺⁵ = 0.1⁸
г) 27 64 · 9 16 = (3 4)³ · (3 4)² = (3 4)³⁺² = (3 4)⁵ ґ) 0.4 · 0.16 = (0.2²) · (0.2⁴) = 0.2²⁺⁴ = 0.2⁶ д) (–0.3)⁵ · (–0.027)² = (–0.3)⁵ · (–0.3)⁶ = (–0.3)⁵⁺⁶ = (–0.3)¹¹ 172. Подай у вигляді степеня добуток
а) 36 · 6⁸ = (6²) · 6⁸ = 6²⁺⁸ = 6¹⁰ б) 128 · 2⁵ = 2⁷ · 2⁵ = 2⁷⁺⁵ = 2¹²
в) 0.25 · 0.125 = (0.5²) · (0.52) = 0.5²⁺³ = 0.5⁵
г) 16 625 · (–8 125) = –(2 5)⁴ · (2 5)³ = –(2 5)7 ґ) 0.6 · 0.216 = (0.6) · (0.6³) = 0.6¹⁺³ = 0.6⁴
д) (–0.4)⁶ · (–0.064)⁴ = (–0.4)⁶ · (–0.4)⁹ = (–0.4)⁶⁺⁹ = (–0.4)¹⁵
173. Знайди значення виразу
((11⁶)⁴ 11²³ ) = 11²⁴ 11²³ = 11; б) (6⁵)³ · (6²)⁵ 6¹⁷ · (6²)³ = 6¹⁵ · 6¹⁰ (6¹⁷ · 6⁶) = 6²⁵ 6²³ = 36;
в) 5⁶ · 25⁴
25 · 125⁴ = 5⁶ · 5⁸ 5² · 5¹² = 5¹⁴ 5¹⁴ = 1;
6⁹
2⁹ · 3¹⁰ = 6⁹ 6⁹ · 3 = 1 3; ґ)
5⁷ · 3⁸ 15⁶ = (5 · 3² · 15) 15⁶ = 45; д) 12⁹
3⁸ · 8⁶ = (3 · 3⁸ · 4⁹) (3⁸ · (2³)⁶) = 3 · 2¹⁸ 2¹⁸ = 3¹ = 3. 174.
а) (13⁵)⁶
13²⁹ = 13³⁰ 13²⁹ = 13;
б) (8⁴)³ · (8³)⁴ 8¹⁰ · (8²)⁶ = 8¹² · 8¹² 8¹⁰ · 8¹⁶ = 8²⁴ 8²⁶ = 1 64; в)
9⁴ · 27⁵
3⁵ · 81⁴ = (3²)⁴ · (3³)⁵ 3⁵ · (3⁴)⁴ = 3⁸ · 3¹⁵ 3⁵ · 3¹² = 3²³ 3¹⁷ = 3⁶ = 729;
г) 3⁹ · 4⁸
ґ)
д)
12⁸ = 3 · 12⁸ 12⁸ = 3;
7⁹ · 3⁸
21⁷ = 7² · 3 · 21¹⁷ 21⁷ = 147;
16⁹ · 5²⁰
20¹⁸ = 4¹⁸ · 5¹⁸ · 5² 20¹⁸ = 5² = 25
175. Розв’яжи рівняння.
а) 3x² · x⁵ + 3 = 0
3x⁷ + 3 = 0
3x⁷ = –3
x⁷ = –1
x = –1; б) –2y⁴ · y⁷ = 2 y¹¹ = –1 y = –1; в) (2x)⁵ = –32
32x⁵ = –32
x⁵ = –1
x = –1. 176.
x = 1; г) (x⁹ · x⁴)³ = –1 (x¹³)³ = –1 x³⁹ = –1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) ((43)x)4 = 4x · 422; 12x = x + 22; 11x = 22; x = 2. ((43)2)4 = (46)4 = 424; 42 ⋅ 422 = 42+22 = 424
а) 6ˣ · 6⁴ = (6³)ˣ
6ˣ⁺⁴ = 6³ˣ
x + 4 = 3x
2x = 4
x = 2
6² · 6⁴ = 6⁶ = (6³)² · (6³)⁶ = 7¹²⁻⁴ = 7⁴⁸
178. Знайди
б) (7⁶)⁸ = 7¹²ˣ 7⁴⁸ = 7¹²ˣ 48 = 12x x = 4
7⁸ = 7⁴⁸ = 7¹²⁻⁴
3 · 10⁻7 + 2 · 10⁻⁷ = 5 · 10⁻7;
3 · 10⁻7 – 2 · 10⁻⁷ = 1 · 10⁻7 ;
(3 · 10⁻7) · (2 · 10⁻⁷) = 6 · 10⁻¹⁴;
(3 · 10⁻7) : (2 · 10⁻⁷) = 1,5; б)
в) (2⁵)ˣ · 2² = (2³)ˣ · (2ˣ)⁴
2⁵ˣ · 2² = 2³ˣ · 2⁴
2⁵ˣ⁺² = 2⁷ˣ
5x + 2 = 7x
2x = 2 x = 1
(2⁵)¹ · 2² = 2⁵ · 2² = 2⁷ = 2³⁺¹ · 2¹⁺¹ = 2⁷
4,5 · 10¹⁰ + 3 · 10⁹ = 4,5 · 10¹⁰ + 3 · 10⁹ = 48 · 10⁹ = 4,8 · 10¹⁰;
4,5 · 10¹⁰ – 3 · 10⁹ = 45 · 10⁹ – 3 · 10⁹ = 42 · 10⁹ = 4,2 · 10¹⁰;
(4,5 · 10¹⁰) · (3 · 10⁹) = 13,5 · 10⁹ = 1,35 · 10¹⁰;
(4,5 · 10¹⁰) : (3 · 10⁹) = 1,5 · 10 = 15 = 1,5 · 10; в) –6 · 10¹³ + 1,2 · 10¹² = –60 · 10¹² + 1,2 · 10¹² = –58,8 · 10¹² = –5,88 · 10¹³; –6 · 10¹³ – 1,2 · 10¹² = –60 · 10¹² – 1,2 · 10¹² = –61,2 · 10¹² = –6,12 · 10¹³; (–6 · 10¹³) · (1,2 · 10¹²) = –7,2 · 1025; (–6 · 10¹³) : (1,2 · 10¹²) = –5 · 10 = –50 = –5 · 10.
1,4 · 10⁻⁶ + 7 · 10⁻⁶ = 8,4 · 10⁻⁶;
1,4 · 10⁻⁶ – 7 · 10⁻⁶ = –5,6 · 10⁻⁶;
(1,4 · 10⁻⁶) · (7 · 10⁻⁶) = 9,8 · 10⁻¹²;
(1,4 · 10⁻⁶) : (7 · 10⁻⁶) = 0,2 = 2 · 10⁻¹;
б)
3,5 · 10⁻⁴ + 5 · 10⁻⁴ = 8,5 · 10⁻⁴;
3,5 · 10⁻⁴ – 5 · 10⁻⁴ = –1,5 · 10⁻⁴;
(3,5 · 10⁻⁴) · (5 · 10⁻⁴) = 17,5 · 10⁻⁶ = 1,75 · 10⁻⁷;
(3,5 · 10⁻⁴) : (5 · 10⁻⁴) = 0,7 = 7 · 10⁻¹.
в)
2,8 · 1021 + 7 · 10²⁰ = 2,8 · 1021 + 7 · 1020 = 3,5 · 1021
2,8 · 1021 – 7 · 10²⁰ = 2,8 · 1021 - 7 · 1020 = 2,1 · 1021
(2,8 · 1021) · (7 · 10²⁰) = 2,8 · 1021 · 7 · 1020 = 1,96 ·1042 (2,8 · 1021) : (7 · 10²⁰) = 2,8 · 1021 / 7 · 1020 = 4. 180. Виконай
2,5 · 10⁴ + 3,3 · 10⁵ = 2,5 · 10⁴ + 3,3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...;
б) 1, 8, 27, 64, 125, ...
183. Чи є тотожністю рівність?
а) 3x + 5 = 3(x + 5); 3x + 5 ≠ 8x + 15. Ні.
б) 3(x – 4) = 3x – 12; 3x – 12 = 3x – 12. Так.
в) (2a – b)² = (b – 2a)²; 4a² – 4ab + b² = b² – 4ab + 4a². Так.
г) (2x – 3y)3 = (3y – 2x) 3; (2x – 3y)³ ≠ –((2x + 3y)³). Ні.
ґ) (a + b) · 0 = a + b. Ні.
д) y · (x – x) = 0. Так.
184. Добова потреба
Нехай вага семикласника 60 кг.
Отже, 60 • 52 = 3120 (ккал) треба як мінімум. А при збільшенні
3120 + 3120 · 1 6 = 3120 + 520 = 3640 (ккал)
щоденно
Вартість покупки: 3а. Так, це одночлен.
б) Кількість печива: 6а ∙ 20 = 120а. Так, це одночлен.
в) Площа новоутвореної ділянки: 2а ∙ а = 2а². Так, це одночлен.
193. Запиши одночлен у стандартному вигляді
а) 6аb;
б) 12а³х;
в) –5с²z²;
г) 0,6а²b²;
ґ) 6аb;
д) 1,0ах³;
е) 1 2 x⁶;
є) –4x³y²z;
ж) 5аb²c.
194. Запиши одночлен
а) 30xy;
б) –6m³n; в) 3k⁶p³; г) –1,2a³c⁴; ґ) –2k²c³;
д) 10,5mn;
е) –8,1kc; є) 16x²y⁷.
195. Обчисли значення одночлена а) 2 · (–1)⁴ · 5 = 10; б) –0,2² · (–3)² = 0,04 · 27 = 1,08; в) 2 3 · 36 1 · 1 2 = 12; г) –5 · 0,2 · 1 8 = –1 8
196. Обчисли значення одночлена а) –3 · 8 · 1 = –24; б) –20 · 0,01 · 8 = –1,6.
197. Перемнож одночлени а) 2ab · 3a²c = 6a³bc; б) 0, 2xy · (–5xy) = –1x²y² = –x²y²; в) –am² · 3m³p = –3am⁵p; г) 3a³ · 2a²z · 6az³ = 36a⁶z⁴;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) 3xy² · 1 3 x²y = x³у³;
д) 1 2 3 ax · 3 5 z = 5 3 ax · 3 5 z = axz.
198. Перемнож одночлени
а) 3m²n · mn² = 3m³n³;
б) 3xy · 1,5x³y² = 4,5x⁴y³;
в) –a⁵c³ · 9ac³ = –9a⁶c⁶; г) abcd · (–ab²c³) = –a²b³c⁴d;
ґ) 2y · (–3y)² · y³ = –6y⁶;
д) 2 5 x⁵y⁴ · (–5 7 xy³) = –2 5 · 5 7 x⁶y⁷ = –2 7 x⁶y⁷.
199.Гра
200. Піднеси до квадрата і до куба одночлен
а) (2аx)² = 4a²x²; (2аx)³ = 80a³x³;
б) (5bc²)² = 25b²c⁴; (5bc²)³ = 125b³c⁶;
в) (– 1 2 x⁵c²)² = 1 4 x¹⁰c⁴; (–1 2 x⁵c²)³ = –1 8 x¹⁵c⁶; г) (0, 2x²у⁵)² = 0,04x4у10; (0, 2x²у⁵)3 = 0,008x6у15
201. Піднеси до квадрата і до
а) (–3a²)² = 9a⁴; (–3a²)³ = –27a⁶;
б) (0, 2x³m)² = 0,04x⁶m²; (0, 2x³m)³ = 0,008x⁹m³;
в) (0,3a³c⁴)² = (0,3a³c⁴)² = 0,09a⁶c⁸; (0,3a³c⁴)³ = 0,027a⁹c¹²;
г) (– 2 3a²x³)² = 4 9 a⁴x⁶; (–2 3 a²x³)³ = –8 27 a⁶x⁹
202. Спрости вираз
а) (3аx²)³ = 27a³x⁶;
б) (x³y³)² = x⁶y⁶;
в) (–2ab)³ = –8a³b³;
г) (–3xy³)² · 2xy² = –6x²y⁵;
ґ) 2 3 a³(–3ax)⁴ = 2 3 · 81a³a⁴x⁴ = 54a⁷x⁴;
Д) –0,7y³(–1 7 y³)² = –0,7 · 1 49 y⁶ = –1 70 y⁹
203. Спрости вираз
а) (3m³c)² = 9m⁶c²;
б) (k⁵p³)⁷ = k³⁵ · p²¹;
в) (–2a²b)⁴ = 16a⁸b⁴;
г) (–2a²c)³ · a³c² = –8a⁶c³ · a³ · c² = –8a⁹c⁵;
ґ) 1 8 c²(–2xc)³ = 1 8 · (–8)c²x³c³ = –c⁵x³;
д) (1 3 pq²)⁴ · p³ · p³ = 1 81 p⁴q8· p³ · p³ = 1 81 p10q8
204. Подай вираз
а) 16a⁴b² = (4a²b)²;
б) 0,36x⁸y¹² = (0,6x⁴y⁶)²; в) 0,01a¹⁸c¹⁰ = (0,1a⁹c⁵)²;
г) 361m⁶n³⁰ = (19m³n¹⁵)²;
ґ) 9 25 a²⁶b¹⁴ = (3 5 a¹³b⁷)²;
д) 16 49 x¹⁶y¹²z⁴ = (4 7 x⁸y⁶z²)².
205. Подайте вираз у
а) –8a⁶ = (–3a²)³;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 27x⁹y¹⁵ = (3x³y⁵)³;
в) –0,001a³b¹² = (–0,1ab⁴)³;
г) 0,064x¹⁸y²⁷ = (0,4x⁶y⁹)³;
ґ) –1 125 a⁹b⁶c³ = (–1 5 a³b²c)³;
д) 1000000y²¹x³⁰ = (100y⁷x¹⁰)³.
206. Перемножте одночлени, щоб
таблицю. x 5x –0,1x 2x²
a Ax 5ax –0,1ax 2a x²
2a 2ax 10ax –0,2ax 4a x²
–3ax –3a x² –15a x² 0,3a x² –6a x³ 4a² 4a²x 20a³x –0,4a²x 8a²x²
207. Запиши у стандартному
а) 2a · 5x · (–1 2 5 a) = 2 · (–7 5) · 5a²x = –14a²x;
б) c³ · (–2 7)cx = –2 7 c⁴x;
в) –5a²z³ · (–3 5 z) = 3a²z⁴;
г) –3ax² · 2a · (–6x³) = 36a²x⁵;
ґ) 2 3 ac² (–c²) = –2 3 ac4;
д) –4a · 3axy (–3 4 x²y) = 9a²x³y².
208. Запиши у стандартному вигляді
а) 0, 8xyz • (–5y)³ = 100xу⁴z;
б) 3a³ • (–2 3ab⁵c²) = –2a³b⁵c²;
в) 5 7xy • (–7 10xy) = –1 2x²y²;
г) –2cz³ • 3z • (–5cz) = 30z⁵c²; ґ) (– 3 4acx) • (–4 5ax³) = 3 5 a²cx4; е) –1 2cz² • 4cx • (–c) = 2c³xz³.
209. Обчисли значення одночлена а) –2 3 a2c4, Якщо a = 1 2, c = –3, то –2 3 • (1 2)² • (–3)⁴ = –2 3 • 1 4 • 81 = –27 2 = –13,5; б) 0,5a5b, якщо a = 2, b = –0,1 то 0,5 • (2)5 • (–0,1) = –1,6.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (–2 1 3 ab²) · (–3 7 ab²) · 3b² = –7 3 · (–3 7) · 3a²b⁶ = 3a²b⁶.
212. Знайди добуток одночленів
а) 0,5mnk³ · m²n² · 4nk² = 2m³n⁴k⁵;
б) –1 2 3 an² m · (–3an²) · (–0,2a) = –a³ · n⁴ · m.
213. Піднеси до куба одночлен
а) (3cx)³ = 27c³x³;
б) (2a²m)³ = 8a³m³;
в) (–2 3 ab²c³)³ = –8 27 c³b⁶c⁹;
г) (–1 1 2 c²n²p)³ = –8 3 c⁶n⁶p³;
ґ) (–1 2 3 an²c³)³ = –125 27 a³n⁶c⁹.
214. Піднеси до четвертого степеня одночлен
а) (3x²)⁴ = 81x⁸;
б) (–0,1ac²)⁴ = 0,0001a⁴c⁸;
в) (–2 3 x²y)⁴ = 16 81 x⁸y⁴;
г) (–1 1 2 ab²c)⁴ = 81 16 a⁴b⁸c⁴ = 5 1 16 a⁴b⁸c⁴.
215. Спрости вираз
а) –x² · (3x²y)³ = –x² · 27x⁹y³ = –27x¹¹y³;
б) c³ · (3cx²)² = c³ · 9c²x⁴ = 9c⁵x⁴;
в) 0,5mn⁴ · (–2m)⁵ = 0,5mn⁴ · (–32)m⁵ = –16m⁶n⁴; г) (–a⁶b³)⁷ · 6a³b⁴ = –a⁴²b²¹ · 6a³b⁴ = –6a⁴⁵b²⁵;
ґ) (2a²x)² · 1 2 a = 4a⁴x² · 1 2 a = 2a⁵x²;
д) (3nz³)² · (1 3 nzx)³ = 9n²z⁶ · 1 27 n³z³x³ = 1 3 n⁵z⁹x³.
216. Установи відповідність
(А–Д) 1) – Г; 2) – В; 3) – Б.
217. Покажи, що рівняння
а) x¹² + 3 = 0; x¹² = –3; б) 2x¹² = –31; x¹² = –15,5; в) –8y¹² = 64; y¹² = –8. Парна
дані рівняння коренів не
218. Розв’яжи рівняння. а) (x³)⁴ • x • x2 = –1
• x³ = –1 x¹⁵
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 5x²y³ = 5 3 · 3x²y³ = 5 3 · 7 = 35 3 = 11 2 3;
в) –9x⁴y⁶ = –(3x²y³)² = –7² = –49;
г) 7 5 7 x⁶y⁹ = 54 7 x⁶y⁹ = 6 7 · (3y²y³)² = 6 7 · 7² = 42.
221. Відомо, що 2b²c = 5, (a²b)² = 2. Знайди
а) a⁴b²с = a⁴b² · b²c = 2 · 5 2 = 5
б) a8b6с = 4 · b² · c = 4 · 5 2 = 10
в) a⁴b6с² = a⁴b² · b⁴ · c² = 2 · b⁴ · ( 25 4b⁴
(–0,5a²b⁴)² · (2a²bc)³ · a²b = 2a12b12 ⋅
грані куба (грань – квадрат) Р = 4х (см).
Так як сума
12х – 4х = 16
8х = 16
х = 2
Сума довжин ребер куба
= 24 (см). Відповідь: 24 см
б) Ребро куба 2 см.
Sп = 6x² = 6 • 2² = 24 (см²); V = x³ = 2³ = 8 (см³).
Відповідь: 24 см²; 8 см³
0,4х + 0,4х + 64 = х;
0,8х + 64 = х; 0,8х – х = –64; –0,2х = –64;
х = 64 : 0,2;
х = 320.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Яблунь було: 320 • 0,4 = 128;
Вишень було: 128 + 64 = 192.
Відповідь: 320, 128, 192 дерева.
226. Розв’яжи рівняння.
а) 2х – 3(х + 1) = 0;
2х – 3х – 3 = 0; –х = 3; х = –3;
б) 2х + 3 = 3(х + 1) – х;
2х + 3 = 3х + 3 – х; 2х + 3 = 2х + 3; х – будь–яке число;
в) 7(2х – 5) + 3 = 45;
14х – 35 + 3 = 45; 14х = 45 + 32; 14х = 77; х = 77 : 14; х = 5,5;
г) 9(х + 2) – 3х = 6(х + 2);
9х + 18 – 3х = 6х + 12; 6х + 18 = 6х + 12; 6х – 6х + 18 = 12; 18 ≠ 12. Не
227. Які з виразів є многочленами?
a) 2x – 3 – многочлен б) 37а����² – многочлен в) x² 3x + 5 x – не многочлен
г) у(x – y) – многочлен д) –21 – многочлен
228. Сумою яких одночленів є многочлен? Відповідь: в) –m² – n² є многочленом,
229. Обери многочлен
a) 2x + 3a – 5 – не стандартний б) a⁴ – a + 5a + b – не стандартний
в) –x + 3xa – ax + a² – не стандартний
г) –0,5a – 4a² + 3a – 1 –
а) 2ax – 3a + 5 – степінь 1
б) x³ – x8 + 4x – степінь 8 в) 2x³y – 3x²y² – 1 – степінь 3 г) 0,7ax + 8a²x + 5 – степінь 1 ґ) 3x – x³ – 27px – степінь 3 д) y5x – a³y – степінь 1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 4x² + 2x – 7x² – 9x³ – 2x = –3x² – 9x³; Степінь 3.
б) 3a⁴ – 12a² + 13a² + 5 – a² + a⁴ = 4a⁴ + 5; Степінь 4.
в) 27m⁵ – 17m³ + 3m⁵ + 10m³ – 30m⁵ = – 7m³; Степінь 3.
г) y⁴ – 2y³ + 2у + 5y³ – 2y³ – 14 + 7y⁴ = 8y⁴ + y³ + 2y – 14. Степінь 4.
236. Спрости вираз. Знайди степінь многочлена
а) a – b + 3a + 2b² = 4a + 2b² – b; Степінь 2
б) 7x – y² + 5xy – 2x • 3y = 7x – y² + 5xy – 6xy = 7x – y² – xy; Степінь 2.
в) 37 – z³ + 3t – 35z³ = –36z³ + 3t + 37; Степінь 3.
г) –105p + 15q + 10p • 10,5 = –105p + 15q + 105p = 15q; Степінь 1.
237. Спрости вираз. Знайди степінь многочлена
а) x + x² + x³ – 2x² – x = x³ – x²; Степінь 3.
б) (1 2)a + (1 3)a • 3c – ac = (1 2)a + ac – ac = (1 2)a; Степінь 1.
238. Обчисли значення многочлена.
а) x2 – 5x + 6, якщо x = 2, то (2)² – 5 • 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0; б) 0,7x2 + 0,3x2 , якщо x = 0,5, то
0,7 • (0,5)² + 0,3 • (0,5)² = 0,5² = 0,25; в) 2,8a2 – 1,8a2 , якщо a = –0,2, то 2,8 • (–0,2) – 1,8 • (–0,2)² = –0,56 – 1,8 • 0,04 = –0,632; г) 3а2b + 2аb2 – 2,5а2b + аb2 – 0,5а2b, якщо a = 0,4, b = –0,5, то
3ab² = 3 • 0,4 • (–0,5)² = 1,2 • 0,25 = 0,3.
239. Обчисли значення многочлена. а) m3 – n2 , якщо m = 2; n = –3, то 2³ – (–8)² = 8 – 64 = –56; б) s + 2t2 – 2,8, якщо s = 2,3; t = 0,5, то 2,3 + 2 • (0,5)² – 2,8 = 2,3 + 2 • 0,25 – 2,8 =
240. Визнач
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
= 0,48 + 0,8 · 1,2 – 1,44 = 1,44 – 1,44 = 0
245. Обчисли значення
а) 9x2 – 4x2 + 15х5 – 7x5 + 6х – 7x2 – 8x5, якщо х = –7, то –2x² + 6x = –2 · (–7)² – 6 · 7 = –98 – 42 = –140; б) –6a3b2 + a2b3 – 10ab + 5a3b2 – a2b3 , якщо а = 10, b = 0,9, то –a³b² – 10ab = –10³ · 0,9² – 10 · 10 · 0,9 = –810 – 90 = –900.
246. Установіть відповідність між значеннями числових виразів (1–4) і значеннями многочленів (А–Г), якщо x = 0,1. 1) – В; 2) – Г; 3) – А; 4) – Б.
247. Спрости вираз та знайди степінь многочлена а) (2a²)³ + 4 · 3a⁶ – 5a – 9 – 13a⁶ + a = = 8a⁶ + 12a⁶ – 5a – 9 – 13a⁶ + a = 7a⁶ – 4a – 9; степінь: 6; б) x² + 2x³ – (3x)² – 4x² · x³ + 7x⁵ – 2x³ = –8x² + 3x⁵; степінь: 5.
248. Спрости вираз та знайди степінь многочлена а) (3a³)³ + 4 · 3a⁶ – 14a⁹ – 9 – 13a⁶ – 3a⁴ · 4a⁵ = = 27a⁹ + 12a⁶ – 14a⁹ – 9 – 13a⁶ – 12a⁹ = a⁹ – a⁶ – 9; степінь: 9;
б) (–5x) · 2x – (x⁴)² + 6x² + 10 + x³ · 3x⁵ – 3x² = = –10x² – x⁸ + 6x² + 10 + 3x⁸ – 3x² = 2x⁸ – 7x² + 10;
степінь: 8.
249. Запиши у вигляді многочлена число, яке
а) a
b сотень, 0
і c одиниць; б) a десятків тисяч, b сотень,
а) 1000a + 100b + 10 · 0 + c · 1 = 1000a + 100b + c; б) 10000a + 100b + 10c.
250. Запиши у
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
S₆ = 6a² + 9a² + 6a² + 6a² + 9a² + a² + 2a² + 2a² + a² + a² + 2a² + 2a² + 4a² + a² = 52a² см². Степінь 2.
V = 3a · 2a · 3a + a · a · 2a = 18a³ + 2a³ + 2a³ = 22a³ см³. Степінь 3. 255.
Відповідь:
1) P = (2a + a) · 2 + (2a + a) · 2 + 4a = 6a + 6a + 4a = 16a. 2) P = 2(a + c) + 2(c + c – a) + 2(a + a) = 2a + 2c + 4c – 2a + 2a = 2a + 6c.
258. Обчисли.
а) 2² = 4; 2³ = 8; 2⁴ = 16; 2⁵ = 32; 2⁶ = 64; 2⁷ = 128; 2⁸ = 256; 2⁹ = 512; 2¹⁰ = 1024; б) (–1)² = 1; (–1)³ = –1; (–1)⁴ = 1; (–1)²ⁿ = 1; (–1)²ⁿ⁺¹ = –1;
в) 10² = 100; 10³ = 1000; 10⁴ = 10000; 10⁵ = 100000; 10⁶ = 1000000; 10⁷ = 10000000; 10⁸ = 100000000;
г) 0,1² = 0,01; 0,1³ = 0,001; 0,1⁴ = 0,0001; 0,1⁵ = 0,00001; 0,2² = 0,04; 0,3³ = 0,027; 0,4⁴ = 0,0256.
259. Дано вирази 3x
їх квадратів; г) квадрат
a) (3x)² – (5y)² = 9x² – 25y²; б) (3x – 5y)²; в) (3x)² + (5y)² = 9x² + 25y²; г) (3x + 5y)².
260. Пенсіонер
5600 : 10 • 100 = 56000 (грн)
2x³ - c і 3c:
(2x³ - c) + 3c = 2x³ - c + 3c = 2x³ + 2c
(2x³ - c) - 3c = 2x³ - c - 3c = 2x³ - 4c
5ax - 4 і -4ax + 4:
(5ax - 4) + (-4ax + 4) = 5ax - 4 - 4ax + 4 = ax + 0 = ax
(5ax - 4) - (-4ax + 4) = 5ax - 4 + 4ax - 4 = 9ax - 8
0,5n - p² і p²:
(0,5n - p²) + p² = 0,5n - p² + p² = 0,5n
(0,5n - p²) - p² = 0,5n - p² - p² = 0,5n - 2p²
г) -2y + c² і c² + 2y:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Сума: (-2y + c²) + (c² + 2y) = -2y + c² + c² + 2y = 2c² + 0 = 2c²
Різниця: (-2y + c²) - (c² + 2y) = -2y + c² - c² - 2y = -4y
262.
2
Отже, відповідь: Г -x² + 3x + 2
263. Різниця многочленів x + y і x - y дорівнює:
Різниця: (x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y
Отже, відповідь: В 2y
264. Обчисли значення виразу.
а) (2a - 3c + 5) + (a + 3c - 2), якщо a = 3, c = -0,5:
Спочатку підставимо значення:
(2·3 - 3·(-0,5) + 5) + (3 + 3·(-0,5) - 2)
(6 + 1,5 + 5) + (3 - 1,5 - 2)
12,5 + (-0,5) = 12
б) (2a - 3c + 5) - (2a + 3c + 2), якщо a = -0,3, c = 2:
Спочатку підставимо значення:
(2·(-0,3) - 3·2 + 5) - (2·(-0,3) + 3·2 + 2)
(-0,6 - 6 + 5) - (-0,6 + 6 + 2)
(-1,6) - (7,4) = -9
265. Додай многочлени
x² - 3x - 2,
-(x² - 3x - 2) = -x² + 3x +
a) (3a² + 8a – 5) + (–5a² + 2a + 4) = 3a² + 8a – 5 – 5a² + 2a + 4 = –2a² + 10a – 1;
б) (7a² + 15) + (3a² + 2a – 15) = 10a² + 2a;
в) (12x² – 7x) + (4x² + 3x – 2) = 16x² – 4x – 2;
г) (–7a³b + 5ab² – ab) + (3ab² – 4ab + 7a²b) = –7a³b + 5ab² – ab + 3a²b – 4ab + 2a³b = = –5a³b + 3a²b + 5ab² – 5ab; ґ) (6a² – 4b² + c² + 2ab – 3bc) + (–10b² – 6a² – c² – ac) = = 6a² – 4b² + c² + 2ab – 3bc – 10b² – 6a² – c² – ac = –4b² – 9c² + 2ab – 3bc – ac.
266. Додай многочлени a) (–3n³ + 3p²) + (3n³ + 3p² – 5) = 6p² – 5; б) (3x²y³ + 5xy² – x²y²) + (–3x²y² + 5xy² – 3x²y³) = = 3x²y³ + 5xy² – x²y² – 3x²y² + 5xy² – 3x²y³ = 10xy² – 4x²y².
267. Знайдіть різницю многочленів. a) (2x³ – x² – 3x + 7) – (x³ – 3x + 17) = 2x³ – x² – 3x + 7 – x² + 3x – 17 = x³ – x² – 10; б) (4x⁵ + x – 2x³ – 7) – (x⁵ + 3x – 2х³) = 4x⁵ + x – 2x³ – 7 – x⁵ + x² – 3x + 2 = 3x⁵ – 2x³ – 2x –5.
268. Знайди різницю многочленів a) (8a²c – 7ac² – a + c) – (7ac² – a + 4) = 8a²c – 7ac² – a + c = = – 7ac² + а – 4; б) (–3x²y – 2xy² – 9) – (3x²y – 2xy² – 4) = –3x²y – 2xy² –
a) (5a³ – 3a² + 9a) – (3a³ – 3a² + 11) = 5a³ – 3a² + 9a – 3a³ + 3a² – 11 = 2a³ + 9a – 11; б) (12c⁵ + 2c³ – 3c + 6) – (2c⁵ – 3c – 2c³) = 12c⁵ + 2c³ – 3c + 6 – 2c⁵ + 3c + 2c = 10c⁵ + 4c³ + 6.
271. Спрости вираз a) (7x³ – 2x) + (5 + 11x – 6x³) = x² + 9x + 5; б) (8ab + 7b) – (4ab + 7b – 3) = 8ab + 7b – 4ab – 7b + 3 = 4ab + 3; в) (1 – n + n²) – (3n² – 2n + 5) – 7n = 1 – n + n² – 3n² + 2n – 5 – 7n = –2n² – 6n – 4;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) (x²y + xy²) – (3x²y – 2xy² – 7) + 2x²y = x²y + xy² – 3x²y + 2xy² + 7 + 2x²y = 3xy² + 7; ґ) 8ac – (3a² – 2c² + 2ac) – (4a² + 2c²) = 8ac – 3a² + 2c² – 2ac – 4a² – 2c² = –7a² + 6ac.
272. Спрости вираз a) (2a² + 3a – 4) + (5a² – a + 7) = 2a² + 3a – 4 + 5a² – a + 7 = 7a² + 2a + 3; б) (6x³ + 8x – 5) – (4x² + 8x – 5) = 6x³ + 8x – 5 – 4x² – 8x + 5 = 6x³ – 4x²; в) (3z⁴ – 2z³ + 12z – 5) – (3z⁴ – 2z – 5) = 3z⁴ – 2z³ + 12z – 5 – 3z⁴ + 2z + 5 = –2z³ + 14z;
г) (–5c³ – 2c + 3c²) – (1 – c – 2c² – 5c³) = –5c³ – 2c + 3c² – 1 + c + 2c² + 5c³ = 5c² – c – 1.
273. Обчисли значення виразу a) (c³ – 2c² + 3c – 4) – (c³ – 3c² – 5), якщо c = 2, то
c³ – 2c² + 3c + 4 – c³ + 3c² + 5 = c² + 3c + 1 = 2² + 3 • 2 + 1 = 11;
б) 4x² – (–2x³ + 4x² – 5), якщо x = –3, то
4x² + 2x³ – 4x² + 5 = 2x³ + 5 = 2 • (–3)³ + 5 = –54 + 5 = –49;
в) 2p – (1 – p² – p³) – (2p + p² – p³), якщо p = –4, то
2p – 1 + p² + p³ – 2p – p² + p³ = 2p³ – 1 = 2 • (–4)³ – 1 = –128 – 1 = –129.
274. Обчисли значення виразу
a) (x³ – 3x² + 3x – 1) – (3x – 3x²), якщо x = 3, то
x³ – 3x² + 3x – 1 – 3x + 3x² = x³ – 1 = 3³ – 1 = 27 – 1 = 26;
б) (5a⁴ – 2a³) – (4a⁴ – 2a³ + 1), якщо a = –2, то
5a⁴ – 2a³ – 4a⁴ + 2a³ – 1 = a⁴ – 1 = 16 – 1 = 15; в) a² – 2ab + b² – (a² – b² – 3), якщо a = 5, b = 4, то a² – 2ab + b² – a² + b² + 3 = 2b² – 2ab + 3 = 2 • 4² – 2
275. При якому
один одному?
x² + 8x + 9 = x² + 6x + 4
8x – 6x = 4 – 9
2x = –5
х = –5 : 2
x = –2,5
один одному?
2x² + 10x + 12 = 2x² – 4x – 2
2x² – 2x² + 10x + 4x = –2 – 12 14x = –14
х = –14 : 14
x = –1
+ 5?
7t² – 2t + 1 – (7t² + 5) = 2
7t² – 2t + 1 – 7t² – 5 = 2
–2t = 2 + 4
–2t = 6
t = 6 : (–2)
t = –3
278.
3y² + 11?
3y² + 11 – 3y² – 5y + 3 = 4
–5y = 4 – 14
–5y = –10
y = –10 : (–5) y = 2
279. Розв’яжи рівняння a) (4x – 5) – (7x + 8) = 2
4x – 5 – 7x – 8 = 2
–3x = 2 + 13
x = 15 : (–3)
x = –5;
в) (5x + x³ – 7) – (2x³ + 3x) = –(1 + x³)
5x + x³ – 7 – 2x – 3x = –
1 – x³
2x = –1 + 7
x = 6 : 2
x = 3;
280. Розв’яжи рівняння a) (2x – 8) – (5x + 6) = 4
2x – 8 – 5x – 6 = 4
–3x = 4 + 14
x = 18 : (–3)
x = –6;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 9z + 17 – (4z – 6) = 38 9z + 17 – 4z + 6 = 38
5z = 38 – 23
z = 15 : 5 z = 3;
г) 19 – (3x² – 2x) – (6x –x²) = 7 – 2x² 19 – 3x² + 2x – 6x + x² = 7 – 2x² –4x = 7 – 19
x = –12 : (–4)
x = 3.
в) 24 – (x² + 8x – 17) = 5 – 5x – x²
24 – x² – 8x + 17 = 5 – 5x – x²
–8x + 5x = 5 – 24 – 17 –3x = –36
x = –36 : (–3)
x = 12;
281. Знайди суму многочленів.
б) 16y – (3 – 2y) + (7y + 1) = 48 16y – 3 + 2y + 7y + 1 = 48
25y = 48 + 2 y = 50 : 25 y = 2;
г) (x – 2x⁴ + 7) – (3x + 3 – 5x⁴) = 6 + 3x⁴
x – 2x⁴ + 7 – 3x – 3 + 5x⁴ = 6 + 3x⁴ –2x = 6 – 7 + 3 x = 2 : (–2)
x = –1.
а) ( 5xy − 4x² + y²) + (y³ − 3x² + 5xy − y² − 2) = y³ − 7y² − 2; б) (2a⁴ − 12a² + 15a – 8) + (-3a⁴ + 12a² − 5a + 8) = −a⁴ + 10a; в) ((3 5)m³ − (5 8)m² + 6) + ((2 5)m³ + (3 8)m² − 6) = m³ − (1 4)m².
282. Знайди різницю многочленів а) ( 2xc² − 2,5x² + 7,2x) – ( 2,8x + 0,25x² − 2x²) = −2xс² − 0,75x² + 10x б) ( 4a³ − b³ + 4a³b² + 3a²b²) – (3a³ − b³ + 3a²b² − 4a³b²) = −7a³ + 8a³b² в) (− 2 3xy − 3 5x²y) – (2(1 3)xy –
=
+ (
− (2
283. Спрости вираз
(2az − 3z²) + (−az − z²) + (4z² − 5az) = 2az − 3z² + az + z² − 4z² + 5az = −4az; б) (0,7a − 0,7a² − 0,7) −
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 3,6cx² + 1,8c²x − 1,2x + (−1,8c²x − 1,6cx² − 1,2x) = = 3,6cx² + 1,8c²x − 1,2x − 1,8c²x − 1,6cx² − 1,2x = 2cx² − 2,4x
в) 21 2 ax²c + 11 3x²c − (4 3 cx² + 5 2ax²c) = 0 г) 21 3az² − (2 3 a²z − 21 6 az² − 11 3z) − 41 2 az² = 2 3 a²z + 4 3 z
285. Периметр килима ABCDEF дорівнює 2p. AB = a, AF = c, EF = b.
BC, ED і DC (мал. 7.1). DC = a − b;
PABCDEF = AB + AF + FE + ED + DC + BC; PABCDEF = a + c + b + ED + a − b + BC; ED = BC − c; a + c + b + BC − b + a − b + BC = 2p; 2BC = 2p − 2a; BC = p − a; ED = p − a − c.
286. Доведи, що при будь-яких
а) (x3 + 3x² − 3x) + (x² + 4x3 − 7x) − (5x3 − 10x – 5) = 4x² + 5 > 0. Доведено. б) –((2x3)2 – 7x9) – (6(x3)2 – (x3)3 – 3) + (10(x2)3 – (2x3)3) = 3 > 0. Доведено.
287. Доведи, що
-яких
а) (5x5 + 3x³ − 1) – (x⁴ − 4x5 + 8x³) – (x5 − 5x⁴ − 11x³) = 8x5 − 4x⁴ + 6x3 − 1 =
0, тобто не завжди від’ємне б) (4 − (3x5)3) – ((3x5)2) – (2x3)5) + 9 + 5x15) = −54х15 + 9x¹⁰ − 13, що завжди < 0
Доведено. 288.
(А–Д)
1) 0,5y – (4,3y + 2,7) + 0,3у = 46,3
3,5y = 49
y = 49 : (−3,5)
y = −14 Д
2) − 2,5x – (3,7 + 4,3x) = 1,7
1,8x = 5,4
x = 5,4 : 1,8
x = 3 Б
3)1 3 t + 2 5 + (3 5 + 2 3t) = 2 − 3t
4t = 1
t = 0,25 A
4)2 5 z = −(2 5 + z) + 3 5 z + 10
1(1 5)z = 9(3 5) (6 5)z = 48 5
z = 48 5 : (6 5)
z = −8Г
Відповідь: 1 – Д; 2 – Б; 3 – А; 4 – Г
а) * − (8a³ − 2a² + 7) = 3 − a² * = 3 − a² + (8a³ − 2a² + 7); * = 3 − a² + 8a³ − 2a² + 7; * = 10 + 8a³ − 3a²
б) * + (3x + 8) = −3x² + 2x − 15; * = −3x² + 2x − 15 − (3x + 8); * = −3x² + 2x − 15 − 3x − 8; * = −3x² − x − 23
в) (2xy − 11x² + 10y²) − * = 5x² + 4y² − 6; * = (2xy − 11x² + 10y²) − (5x² + 4y² − 6); * = 2xy − 11x² + 10y² − 5x² − 4y² + 6
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
* = −16x² + 6y² + 2xy + 6.
290. Який
- 6a + 13?
2a³ - a² - a + 3,
а) (2a³ – a² – a + 3) + * = 3a³ – 5a² – a + 7
* = 3a³ – 5a² – a + 7 – (2a³ – a² – a + 3);
* = 3a³ – 5a² – a + 7 – 2a³ + a² + a – 3; * = a³ – 4a² + 4;
б) (2a³ – a² – a + 3) + * = a² – 6a + 13;
* = a² – 6a + 13 – (2a³ – a² – a + 3); * = a² – 6a + 13 – 2a³ + a² + a – 3
* = –2a³ + 2a² – 5a + 10
291. Доведи тотожність
а) 2a⁴ – (6a⁴ – 5ab) + (4a⁴ – 3ab + 2) = 2ab + 2; 2a⁴ – 6a⁴ + 5ab + 4a⁴ – 3ab + 2 = 2ab + 2; Доведено.
б) (3a² + 2b² + c²) – (3c² + 2a² – b²) + (–3b² + 2c² – a²) = 0;
= 3a² + 2b² + c² – 3c² – 2a² + b² – 3b² + 2c² – a² = 0; Доведено.
в) –z² – (x² + (y² – (x² + y² + z²) + z²) + y²) – x² = –x² – y² – z²; –z² – x² – y² + x² + y² + z² – z² – y² – x² = –x² – y² – z²; Доведено.
г) a³ – (b³ – (a²b – ab²)) – (–(–(a²b – ab²) + b³) – a³) = 2a³; = a³ – b³ + a²b – ab² – a²b + ab² + b³ + a³ = 2a³. Доведено.
292. Доведи тотожність
a) 3a² + (−2a² + 5a + 1) − (a² + 5a − 1) = 2; 3a² − 2a² + 5a + 1 − a² − 5a + 1 = 2; Доведено.
б) (−3a⁵ + a + 17) − (a⁵ − a + 2) − (4a⁵ + 2a + 10) = −8a⁵ + 5; 3a⁵ + a + 17 − a⁵ + a − 2 − 4a⁵ − 2a − 10 = −8a⁵ + 5; Доведено.
в) ab + bc + ac − (abc + ab − (abc − bc − (abc + ac))) = −abc; = ab + bc + ac − abc − ab + abc − bc − abc − ac = −abc. Доведено.
293. Доведи, що при будь-якому
а) (7n + 21) – (10 – 4n) кратне 11. 11n + 11 = 11(n + 1). Доведено.
б) 8n² + 7n − 4 – (3n² + 12n – 19) кратне 5. 5n²
в) (12n – 5) – (5n – 9) при
294. Доведи, що
а) (12n + 17) − (10 + 5n) = 12n + 17 − 10 − 5n = 7n + 7 = 7(n + 1);
3a³ - 5a² - a + 7;
б) 9n² + (21n − 4) − (12n − 13) = 9n² + 21n − 4 − 12n + 13 = 9n² + 9n + 9 = 9(n² + n + 1);
в) (10n − 3) − (4n − 6) = 10n − 3 − 4n + 6 = 6n + 3.
295. Подай у
а) abc = 100a + 10b + c;
б) abc + ac = 100a + 10b + c + 10a + c = 110a + 10b + 2c;
в) xyz − zxy = 100x + 10y + z − 100z − 10x − y = 90x + 9y − 99z;
296.
а) xyz = 100x + 10y + x = 101x + 10y;
б) xyz − xy = 100x + 10y + z − 10x − y = 90x + 9y + z
в) abc + bca = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a = 101a + 110b + 11c
297. Доведи, що: а)
ab − ba = 10a + b − 10b − a = 9a − 9b = 9(a − b); б) ab + bc + ca = 10a + b + 10b + c + 10c + a = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c)
в) a0b − b0a = 100a + b − 100b − a = 99a − 99b = 99(a − b)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
298. Доведи, що:
різниця (ab+ac+bc)−(ca+cb+ba) кратна 18.
а) ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b); б) abc − cba = 100a + 10b + b − 100c − 10b − a = 99a − 99c = 99(a − c); в) (ab + ac − bc) − (ca + cb + ba) = 10a + b + 10a + c + 10b + c − 10c − a − 10c − b − 10b − a = = 18a − 18c = 18(a − c) кратно 18. Доведено.
299. Покажи, що числа, розташовані так, як на
при будь-яких значеннях змінних a і c
Сума рядків квадрата:
Сума стовпців квадрата: a + 7c + a + a + 5c = 3a + 12c; a + 7c + a + 2c + a + 3c = 3a + 12c
a + 2c + a + 4c + a + 6c = 3a + 12c; a + a + 4c + a + 8c = 3a + 12c a + 3c + a + 8c + a + c = 3a + 12c; a + 5c + a + 6c + a + c = 3a + 12c
Сума діагоналей: a + 7c + a + 4c + a + c = 3a + 12c a + 5c + a + 4c + a + 3c = 3a + 12c
300. Доведи, що:
303.
2 : x = 7 : 10; x = 2 · 10 : 7 x = 2 6 7
2 x = 10 в) 6 : 5 = 0,9 : 3x; 3x = 5 · 0,9 : 6 3x = 0,75 x = 0,75 : 3 x = 0,25 304.
а) (x + y)c, (x - y)c, (2x - y)c:
(x + y)c = xc + yc
(x - y)c = xc - yc
(2x - y)c = 2xc - yc
б) (x + y)n, (x - y)n, (3x - y)n: (x + y)n = xn + yn
(x - y)n = xn - yn
(3x - y)n = 3xn - yn
в) (2 + a)c, (2 - a)c, (2 - an)c:
(2 + a)c = 2c + ac
(2 - a)c = 2c - ac
(2 - an)c = 2c - anc
305.
= 12
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) 2(a - 5) і 2a - 10:
2(a - 5) = 2a - 10
Так, вирази тотожні.
б) (x - y)5 і 5x - 5y: (x - y)5 = 5x - 5y
Так, вирази тотожні.
в) 3c(a - x) і 3ac - x:
3c(a - x) = 3ca - 3cx
3ac - x = 3ac - x
Ні, вирази не тотожні, бо в
3cx, а в другому лише -x.
г) (x - 7)(-2) і 14 - 2x:
(x - 7)(-2) = -2x + 14
14 - 2x = 14 - 2x
Так, вирази тотожні.
306. Розв'яжи рівняння 2(x - 3) + 2(x + 3) = 8.
2(x - 3) + 2(x + 3) = 8
2x - 6 + 2x + 6 = 8
4x = 8
x = 2
Відповідь: В 2
307. Знайди значення виразу 3(a + 2) - 3(a - 1), якщо a = -0,07. 3(a + 2) - 3(a - 1) = 3a + 6 - 3a + 3 = 9
Перевіримо, підставивши a = -0,07: 3(-0,07 + 2) - 3(-0,07 - 1) = 3(1,93) - 3(-1,07) = 5,79 + 3,21 = 9
Відповідь: Г 9
308. Скільки доданків має утворитися
а) двочлена на одночлен; б) тричлена на одночлен?
а) При множенні двочлена на одночлен утворюються
б) При множенні тричлена
309. Помнож вирази.
а) 3a + c · 2a = 6a² + 2ac;
б) (8x − y) · 3xy = 24x²y − 3xy²;
в) (x² − x) · 2x = 2x³ − 2x²;
г) (m³ + 3m) · m² = m² + 3m³;
ґ) (2a + 3) · 4a = 8a² + 12a;
д) (3x − y) · (−2xy) = −6x²y + 2xy².
310. Подай у вигляді
а) (x + 1)x² = x³ + x²;
б) a²(b – c) = a²b – a²c;
в) (n² – n)n³ = n⁵ – n⁴;
г) 3(2x – 7) = 6x – 21;
ґ) –3n(n² + 5n – 1) = –3n³ – 15n² + 3n;
д) 2ac(3a – 5ac + 2c) = 6a²c – 10a²c² + 4ac²
311. Подай у
а) (2a + 3b²)a = 2a² + 3ab²;
б) (–a + ac)c² = –ac² + ac³;
в) –2a² (a² – 1) = –2a⁴ + 2a²;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) 6(2xy – 3) = 12xy – 18; ґ) 5p(2p² – 3p + 4) = 10p³ – 15p² + 20p; д) 3xy(5x + 6xy – 9y) = 15x²y + 18x²y² – 27xy².
312. Чи тотожні вирази
а) Так; б) ні; в) так; г) ні.
313. Чи тотожні вирази
а) Так
б) ні
в) так
г) ні
314. Спрости вираз а) 2a³(4a² + 3a) – 6a⁴ = 8a⁵ + 6a⁴ – 6a⁴ = 8a⁵; б) 7x² – 2x(3x – y) = 7x² – 6x² + 2xy = x² + 2xy;
в) 2x(x – 1) – x² = 2x² – 2x – x² = x² – 2x; г) (3 – a)a² – 3a² = 3a² – a³ – 3a² = –a³;
ґ) (m – n)mn + m(mn + n²) = m²n – mn² + m²n + mn² = 2m²n;
д) –3z(z – 2) – z(6 + 2z) = –3z² + 6z – 6z – 2z² = –5z².
315. Спрости вираз
а) –3c³ + c(3c² – 1) = –3c³ + 3c³ – c = –c; б) 2p – (p² + 2)p = 2p – p³ – 2p = –p³;
в) 5m(6 – 2m²) + 10(m³ – 3m) = 30m – 10m³ + 10m³ – 30m = 0; г) –2p(3p – 2q) – 4q(p + q) = –6p² + 4pq – 4pq – 4q² = –6p² – 4q².
316. Обчисли значення виразу.
а) (b² – 4)b – (b³ – 3b) = –b, якщо b = –2,7, то (–2,7² – 4)(–2,7) – (–2,7³ – 3(–2,7)) = 2,7; б) (a² – 1)a – (a – 1)a² = a³ – a – a³ + a² = a² якщо a = 0,8, то 0,8² – 0,8 = 0,64 – 0,8 = –0,16.
317. Обчисли значення виразу.
а) c(1 + c + c²) – c(1 + c) = c + c² + c³ – c – c² = c³, якщо c = –0,5, то c + c² + c³ – c – c² = c³ = (–
б) (x – y)x + (x – y)y = x² – xy + xy – y² = x² – y², якщо x = 2 і y = 3, то 2² – 3² = 4 – 9 = –6.
318. Спрости вираз і знайди його значення.
c⁴ – 3c³ – c⁴ + c² = –3c³ + c² = –3 · 8 + 4 = –20; в) 2x – x² + x³ + x² – x³ = 2x = –0,7 · 2 = –1,4;
2(x – 3) + 5(x – 2) = 12 2x – 6 + 5x – 10 = 12 7x – 16 = 12 7x = 28 x = 4;
3(1 – x) – 2(3 – x) = 5 3 – 3x – 6 + 2x = 5 –x – 3 = 5 –x = 8 x = –8; в) 3z – 7(2z + 4) = 16 3z – 14z – 28 = 18 –11z = 18 + 28 –11z = 46 z = –4, (18) z = –4 2 11;
2 + 3y – 36 + 7y = 16
10y – 33 = 16
10y = 48 y = 4,8;
320. Розв’яжи рівняння
а) 2z – 15(1 – 2z) = 7z
2z – 15 + 30z = 7z
32z – 7z = 15
25z = 15
z = 15 25
z = 3 5
z = 0,6
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x² – 3x – x² – 2x = –1 –5x = – 1
x = –1 5;
г) 3z – (z – 5) • 4 = (2 – 5z) • 3
3z – 4z + 20 = 6 – 15z –z + 15z = 6 – 20
14z = –14
б) 8c – 2(3 – 7c) = 9c + 20
8c – 6 + 21c = 9c + 20
29c – 6 = 9c + 20
29c – 9c = 20 + 6
20c = 26 c = 26 20 c = 1,3
z = –1; ґ) 3t – t² + 7 = t(2 – t) 3t – t² + 7 = 2t – t² 3t – 2t = –7 t = –7;
321. Доведи тотожність
а) 5(8y – 1) – 7(4y + 1) + 2y(y – 6) = 2y² – 12; 40y – 5 – 28y – 7 + 2y² – 12y = 2y² – 12; Доведено.
б) 3(–5z – 2) + 5z(7 – 12z) + 6(1 + 10z²) = 20z; –15z – 6 + 35z – 60z² + 6 + 60z² = 20z. Доведено.
322. Доведи тотожність
а) 3x(2x – 5) + 7(3x – 4) – 2(3x² – 14) = 6x; 6x² – 15x + 21x – 28 – 6x² + 28 = 6x; Доведено. б) 8(x² + 5x) – 3x²(5x + 1) + 5x(3x² – 8) = 5x²; 8x² + 40x – 15x³ – 3x² + 15x³ – 40x = 5x². Доведено.
323. На 315
0,7x + 0,5 = 2,6x – 5,2 1,9x = 5,7
x = 5,7 : 1,9 x = 3.
в) 1 – 8(3 – 2y) = 2(2 – y) 1 – 24 + 16y = 4 – 2y –23 + 16y = 4 – 2y 18y = 27 y = 27 18 y = 1 9 18;
1,7(a – 3) +
= 2,3(a + 1) 1,7a – 5,1 +
= 2,3a + 2,3 2,3a – 1,7a = –5,1 +
– 2,3
= –7,2 a = –7,2 : 0,6 a = –12.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2. Визнач кількість
листівок.
3. Запиши виразом вартість усіх односторонніх листівок:
4. Розв’яжи рівняння.
Рішення:
Односторонніх ш. по 12 грн
Двосторонніх (30 – x) ш. по 9 грн
Усього 30 шт. за 300 грн
12x + 9(30 – x) = 300
12x + 270 – 9x = 300
3x = 30
x = 30 : 3
x = 10 (шт.) – односторонніх листівок 30 – 10 = 20 (шт.) – двосторонніх листівок
Відповідь: купили 10
План:
1. Познач меншу сторону прямокутника за х.
2. Познач більшу сторону прямокутника за 4х.
3. Розв’яжи рівняння
Рішення:
Нехай менша сторона прямокутника x см,
(x + 3) • 4x = x • 4x + 24
4x² + 12x = 4x² + 24
12x = 24
x = 24 : 12
x = 2 (см) – менша сторона
4 • 2 = 8 (см) – більша сторона
Відповідь: 2 см; 8 см
326. Одна сторона прямокутника
на 5 см, то
менша сторона прямокутника x см,
x(3x – 5) + 200 = x·3x
3x² – 5x + 200 =
40 см; 120 см
2ac³ · (3a² – 4ac + 5c) = 6a³c³ – 8a²c⁴ + 40ac⁴;
0,4a²c · (5a³ – 10a²c + 7c² – 20) = 2a⁵c – 4a⁴c² + 2,8a²c³ – 8a²c; в) 15yz² · (1 3 z⁴ –2 5 z³ – 2z + 3 5) = 5yz⁶ – 6yz⁵ – 30yz³ + 9yz²; г) –2 3xy² · (6xy² – 3x²y – 9xy) = –4x²y⁴ + 2x³y³ + 6x²y³.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
328. Подай у вигляді
а) (2ax + 3a – 5) · a²x³ = 2a³x⁴ + 3a³x³ – 5a²x³; б) (–0,7cy² – z²) · 2c³z = –1,4c⁴y²z – 2c³z³; в) 0,3nz · (1 3 n² –2 3z³) = 0,1n³z – 0,2nz4; г) –2 1 3x³y · (6xy² + 3 7x²) = –14x⁴y³ – x⁵y.
329. Розв’яжи рівняння а) 0,4(2x – 3) – 0,5(3x – 0,2) = –2,5
0,8x – 1,2 – 1,5x + 0,1 = –2,5 –0,7x = –1,4 x = 2;
б) 6(2z – 12) – 5(11 + 3z) = –3z + 5
12z – 72 – 55 – 15z = –3z + 5 –
3z + 3z = 5 + 127
0 = 132 коренів немає; в) –2 3 (y – 6) –3 4 (2y – 16) = –3 1 2 Домножимо на 12
–8(y – 6) – 9(2y – 16) = –7 2 · 12 1 –8y + 48 – 18y + 144 = –42 –26y = –234
y = –234 : (–26)
y = 9
г) 1 3 (3x + 2) –1 3 (9 – 2x) = 1 2 x Домножимо на 6
2(3x + 2) – 2(9 – 2x) = 3x
6x + 4 – 18 + 4x – 3x = 0
7x = 14
x = 2
330. Розв’яжи рівняння
а) 0,8(x – 0,4) + 0,6(x – 0,6) = 1
0,8x – 0,32 + 0,6x – 0,36 = 1
1,4x = 1,68
x = 1,68 : 1,4 x = 1,2; б) 4(3y – 13) + 7(15 – 3y) = –9y + 47 12y – 52 + 105 – 21y = –9y + 47
0 = –5 коренів немає; в) 4,3 – 2x – 3(1,1 + 2 3x) = x + 2 3 4,3 – 2x – 3,3 – 2x = x + 2 3 –4x + 1 = x + 2 3 –5x = –1 3 x = 1 15
г) 1 6 (8 – z) –1 3 (5 – 4z) = 1 2 z + 3 8 6 − ���� 6 − (5 3 − 4���� 3 ) = 1 2 z + 3 4 3
5 3 + 4���� 3 = 1 2 z + 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1 3 + 7���� 6 = 1 2 z + 3
2 + 7z = 3z + 18
4z = 20
Z = 5
331. Доведи, що при
а) 9x(3x – 4) + 4(x + 2) – 8x(2x – 4) = 27x² – 36x + 4x + 8 – 16x² + 32x = 11x² + 8; Сума
невід’ємного і додатного додатна.
б) 2x(3x – 4) + 5(x + 6) – x(x – 3) = 6x² – 8x + 5x + 30 – x² + 3x = 5x² + 30. Сума
невід’ємного і додатного додатна.
332. Доведи, що при будь-яких
а) 6(–3y – 4) – 5y(y – 3) + 3(y – 11y²) = –18y – 24 – 5y² + 15y + 3y – 33y² = –38y² – 24; Cума
двох від’ємних від’ємна.
б) 5y(1 – 2y) – 2(y + 5) – y(3 + 5y) = 5y – 10y² – 2y – 10 – 3y – 5y² = –15y² – 10. Cума двох
від’ємних від’ємна 333. Доведи, що
a) 2(a3 + 6) + 5a(3a – a2) – 3a2(5 – a) = 2a³ + 12 + 15a² – 5a³ – 15a² + 3a³ = 12;
залежить від a. б) 6x(2y2 – (5x + y) · 3y) + 3xy(2y + 30x) = 6x(2y² – 15xy – 3y²) + 3xy · 2y + 3xy · 30x = 0. Значення
залежить
x і y. 334.
a) 2x3(8-5x) – 8x(2x2 + x3) + 6(3x4 – 4) = 16x³ – 10x⁴ – 16x³ – 8x⁴ + 18x⁴ – 24 = (16x³ – 16x³) + (–10x⁴ – 8x⁴ + 18x⁴) – 24 = 0 + 0 – 24 = –24
від x. б) 3ab + 6((2a + b)a + 5) – 3a(3b + 4a) = 3ab + 6(2a² + ab + 5) – 3a = (3ab + 6ab – 9ab) + (12a² – 12a²) + 30 = (3b + 4a) = 3ab + 12a² + 6ab + 30 – 9ab – 12a² = 0 + 0 + 30 = 30. Значення не залежить від a і b.
а) –4x³ + 4x² + 12x + 4x³ + 2x² – 10x = 6x² + 2x = 6 · 9 + 2 · 3 = 60 б) 10a²b – 40a²b +
9x²y + 6xy² – 4x²y
= –30 x = 6;
338. Розв’яжи рівняння
a) 2 3x 4 + x + 1 3 = 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3(2 – 3x) + 4(x + 1) = 5 · 12
6 – 9x + 4x + 4 = 60 – 5x = 50 x = 50 : (–5)
x = –10
339. Три роки тому
років кожному?
3x 7 3 + 5 9x 6 = 2 2(3x – 7) + (5 – 9x) = 6 · 2 6x – 14 + 5 – 9x = 12 – 3x = 21 x = –7
Нехай сину (x + 3) років, батьку (5x + 3) у
учетверо, маємо рівняння:
5x + 3 = 4(x + 3)
5x + 8 = 4x + 12
x = 9
Сину: 9 + 3 = 12 років.
Батьку: 6 · 9 + 4 = 48 років.
Відповідь: 12 років, 48 років
340. Скільки років учневі, якщо відомо,
був 10 років тому?
Нехай учневі x років, через 10 років (x + 10), як
тому, то маємо
4x = 10 + 60
x = 60 : 4
x = 16.
– 12x = 8(57 – 10x)
99 – 12x = 8(57 – 10x)
99 – 12x = 171
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3x = 60 x = 20.
Відповідь: 20 г
343.
a) –4x³ · (–0,2 – 3x) = 2x³ + 12x⁴, б) 5ac(������������ – �������� –���� ����) = 50a²c – 15ac² – ac, в) (–x² – 7x⁴)·(–6x) = 6x³ + 42x⁵.
344.
a) (���� ����y + 0,25xy + 5y²)· 4x²y = 2x²y² + x³y² + 20x²y³
б) (2m³ – 9m)·5m³ = 10m⁶ – 45m⁴
в) 4x²y(3y² – xy³ + 4y⁴) = 12x²y³ – 4x³y⁴ + 16x²y⁵
345.
1) (2a + c) · b – 2cm
2) (a + b) · (a + b) + 2a²
3) b · c – 2am 346.
г) (–9)³ · (-10)²⁵ = 0.
348. Який
не стандартний; б) стандартний; в) не стандартний;
(x
1)(n
1)(n
г) (2 + a)(c + 1):
(2 + a)(c + 1) =
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) (3 - y)(5 + c):
(3 - y)(5 + c) = 3·5 + 3·c - y·5 - y·c = 15 + 3c - 5y - yc
д) (2 - a)(c + 1):
(2 - a)(c + 1) = 2·c + 2·1 - a·c - a·1 = 2c + 2 - ac - a
351. Розкрий дужки у виразі.
а) (x + 1)(x + 1):
(x + 1)(x + 1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1
б) (1 - y)(1 - y):
(1 - y)(1 - y) = 1·1 - 1·y - y·1 + y·y = 1 - y - y + y² = 1 - 2y + y²
в) (a + c)(a - c):
(a + c)(a - c) = a·a - a·c + c·a - c·c = a² - ac + ac - c² = a² - c²
352. Якому з многочленів тотожно дорівнює добуток (a + 2)(a + 3)?
(a + 2)(a + 3) = a·a + a·3 + 2·a + 2·3 = a² + 3a + 2a + 6 = a² + 5a + 6
Відповідь: Г a² + 5a + 6
353. Яке з чисел є коренем рівняння (x - 1)(x + 2) - x² = 0?
Розкриємо дужки: (x - 1)(x + 2) - x² = x² + 2x - x - 2 - x² = 2x - x - 2 = x - 2 = 0 x = 2
Відповідь: Б 2
354. Перемнож многочлени
a) (a + b)(m – n) = am – an + bm – bn;
б) (x – y)(x + y) = x² – y²; в) (2a – 1)(a – 2) = 2a² – 4a – a + 2 = 2a² – 5a + 2;
г) (c + ax)(a + x) = ac + cx + axc + ax²; ґ) (1 – c)(1 + c²) = 1 + c² – c – c³; д) (– a + 1)(2a – 3) = – 2a² + 3а + 2a – 3 = – 2a² + 5a – 3
355. Перемнож многочлени
а) (x – 2)(2x + 3) = 2x² + 3x – 4x – 6 = 2x² – x – 6;
б) (3y + 5)(2y – 6) = 6y² – 18y + 10y – 30 = 6y² – 8y – 30;
в) (7 – c)(c + 2) = 7c + 14 – c² – 2c = –c² + 5c + 14.
356. Подай у вигляді многочлена
a) (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd;
б) (x – 2)(x – 3) = x² – 3x – 2x + 6 = x² – 5x + 6;
в) (2x – 3)(a – b) = 2xa – 2xb – 3a + 3b;
г) (2a – 3c)(a + 5c) = 2a² + 10ac – 3ac – 15c² = 2a² + 7ac – 15c²;
ґ) (a² – b)(a – b²) = a³ – a²b² – ab + b³;
д) (1 – 2xz)(1 + 2xz) = 1 + 2xz – 2xz – 4x²z² = 1 – 4x²z²;
е) (x² – x + 1)(x + 1) = x³ + x² – x² – x + x + 1 = x³ + 1;
є) (c – q)(1 – c – q) = c – c² – cq – q + cq + q² = q² – c² + c – q.
357. Подай у вигляді многочлена
а) (2x + 3)(3x – 2) = 6x² – 4x + 9x – 6 = 6x² + 5x – 6;
б) (5a – 4)(3a – 2) = 15a² – 10a – 12a + 8 = 15a² – 22a + 8;
в) (7c – 1)(5 – 6c) = 35c – 42c² – 5 + 6c = –42c³ + 41c – 5;
г) (–2n + 3)(3n – 2) = –6n² + 4n + 9n – 6 = –6n² + 13n – 6;
ґ) (a² + b)(a² + b) = a⁴ + a²b + a²b + b² = a⁴ + 2a²b + b²;
д) (–2 + c)(–3 + c) = 6 – 2c – 3c + c² = 6 – 5c + c²;
е) (p – 1)(p² + p + 1) = p³ + p² + p – p³ – p – 1 = p³ – 1;
є) (x – 2)(x² – 5x + 2) = x³ – 5x² + 2x – 2x² + 10x – 4 = x³ – 7x² + 12x – 4.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
.
(А–Д). 1 – Г; 2 – В; 3 – Д.
360. Спрости вираз a) (x – 1)(x + 2) – x(x + 1) = x² + 2x – x – 2 – x² – x = –2; б) (1 + a)(a² – a) + a(1 + a²) = a² – a + a³ – a² + a + a³ = 2a³; в) (a + 2)(a – 5) + 3(a – 1) = a² – 5a + 2a – 10 + 3a – 3 = a² – 13; г) (n – 2)(n – 2) + 4(n – 1) = n² – 4n + 4 + 4n – 4 = n²; ґ) (x – 4)(3x + 5) + 3x(7 – x) + 20 = 3x² + 5x – 12x – 20 + 21x – 3x² + 20 = 14x; д) (a + b)(a – b) – (a – 2b)(a + 2b) = a² – b² – a² – 2ab + 2ab + 4b² = 3b².
361. Спрости вираз а) (a + 1)(a – 3) + 2a(1 – a) = a² – 3a + a – 3 + 2a – a² = –a² – 3; б) (3a + b)(a – b) – (3a² – b²) = 3a² – 3ab + ab – b² – 3a² + b² = –2ab; в) (3x + 1)(x – 6) + (2 – 3x)(x – 5) = 3x² – 18x + x – 6 + 2x – 10 – 3x² + 15x = –16; г) (x – y)(x + 7) – (y + x)(x + 7) + 14y = x² + 7x – xy – 7y – xy – 7y – x² – 7x + 14y = –2xy .
362. Спрости вираз і знайди його значення. a) a² – 3a + 2a – 6 + a² – 4a + 6a – 24 = 2a² + a – 30 = 2 • 6² + 6 – 30 = 48; б) 2x² – 2x + 3x – 3 – x² – 4x + 3x + 12 = x² + 9 = 9 + 9 = 18; в) a² – ab + ab – b² + b² = a² = 0,36; г) –x² + y⁴ + xy + x² + xy² – xy² – y⁴ = x • y = –7 • 5 = –35.
363. Обчисли значення виразу а) a² – 5a – 3a + 15 + a² + 7a + a + 7 = 2a² + 22 = 2 • 4 + 22 = 30; б) 2x² + 5x – 8x – 20 – x – 3 – 3x² – 6x = –10x – 23 = –10 • (–3,3) – 23 = 33 – 23 = 10.
364. Обчисли значення виразу.
а) x² + 2xy + y² – x² + y² = 2xy + 2y² = 2 • 0,2 • 5 + 2 •
= 2 + 50 = 52; б) a⁴ – b² – a⁴ = –b² = –0,04.
365. Подай у вигляді многочлена вираз
а) (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²; б) (x – y)² = (x – y)(x – y) = x² – 2xy + y²
в) (2a – x)² = (2a – x)(2a + x) = 4a² – 4ax + x²; г) (3a + 2)² = (3a + 2)(3a + 2) = 9a² + 12a + 4.
366. Подай у вигляді многочлена вираз
a) (x + y)² = x² + 2xy + y²;
б) (a – c)² = a² – 2ac + c²;
в) (3x + y)² = 9x² + 6xy + y²;
г) (2a – 3)² = 4a² – 12a + 9.
367. Розв’яжи рівняння
a) (x – 1)(x – 3) = x² – 5
x² – 3x – x + 3 – x² + 5 = 0 –4x = –8 x = 2;
в) (2x + 1)(x – 5) = 2(x² + 11)
2x² – 10x + x – 5 = 2x² + 22 –9x = 27
x = –3;
б) (y + 2)(y – 5) – y(y – 1) = 2 y² – 5y + 2y – 10 – y² + y = 2 –2y = 12 y = 12 : (–2) y = –6;
г) 3z(z – 2) – 9 = (1 – z)(1 – 3z)
3z² – 6z – 9 = 1 – 3z – z + 3z² –2z = 10 z = 10 : (–5) z = –5.
368. Розв’яжи рівняння
a) (x – 2)(x + 5) = x² + 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x² + 5x – 2x – 10 – x² = 2
3x = 12
x = 4;
в) (x – 1)(x + 5) = (x + 2)(x + 3)
x² + 5x – x – 5 = x² + 3x + 2x + 6
x² + 4x – x² – 5x = 6 + 5
–x = 11
x = –11;
9.2. Яке
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
S = ad + bd + ac + bc
або S = (a + b)(c + d).
Алгебраїчне
б) (x – 6)(x – 2) – x(x + 2)= 2
x² – 2x – 6x + 12 – x² – 2x = 2 –10x = 2 – 12
x = 10 : (–10)
x = –1;
г) (2x + 3)(x – 7) + 6 = (x + 3)(2x + 1) 2x² – 14x + 3x – 21 + 6 = 2x² + x + 6x + 3
2x² – 11x – 2x² – 7x = 3 – 6 + 21 –18x = 18 x = –1.
на малюнку).
+ 4a – 2; б) (4x² + 6x + 9)(2x – 3) = a³ – a² – 2a² + 2a – 2a + 1 =
– 3a² + 1. 372. Подай
– x² + x – 1 = x⁴ – 1; б) (4a² – 2ab + b²)(2a + b) = 8a³ + 4a²b – 4a²b – 2ab² + 2ab² + b³ = 8a³ + b³.
373. Спрости вираз a) (a² – a + 1)(a + 1) – a³ = a³ + 1 – a³ = 1; б) (2a + 3x)(4a² – 6ax + 9x²) – 27(x³ – a³) = 8a³ + 27x³ – 27x³ + 27a³ = 35a³; в) (c – 5)(c + 2) + 3(c + 4) = c² + 2c – 5c – 10 + 3c + 12 = c² + 2; г) (x² – y)(x – y²) + xy(1 + xy) = x³ – x²y² – xy + y³ + xy + x²y² = x³ + y³; ґ) 4 9 – (2 3 – a³)(2 3 + a³) = 4 9 –4 9 + a⁶ = a⁶; д) 1 8 x³ – (1 2 x – a²)(1 4 x² + 1 2 a²x + a⁴) = 1 8 x³ –1 8 x³ + a⁶ = a⁶.
374. Спрости вираз
a) (x² + ax + a²)(x – a) + a³ = x³ – a³ + a³ = x³;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) (9c² + 12ac + 16a²)(4a – 3c) – 64(a³ – c³) = 64a³ – 27c³ = 64a³ + 64c³ = 37c³;
в) (m + 7)(3 – m) + 4(m – 5) = 3m – m² + 21 – 7m + 4m – 20 = –m² + 1;
г) (4n² – p)(2n – p²) + 2np(2np + 1) = 8n³ – 4n²p² – 2np + p³ + 4n²p² + 2np = 8n³ + p³.
375. Подай у
a) (2x – 3y)² = (2x – 3y)(2x – 3y) = 4x² – 12xy + 9y²; б) (3ac + b²)² = (3ac + b²)(3ac + b²) = 9a²c² + 6ab²c + b⁴;
в) (2a – 1)³ = (2a – 1)(2a – 1) = 4a² – 4a + 1.
376. Доведи тотожність
a) (2a – 3)(a + 6) – 3(3a – 6) = 2a²; 2a² + 12a – 3a – 18 – 9a + 18 = 2a²; Доведено.
б) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) + 1 = a⁴; (a² – 1)(a² + 1) + 1 = a⁴ – 1 + 1 = a⁴; Доведено.
в) (2a – 3)² + 3(4a – 3) = 4a²; 4a² – 12a + 9 + 12a – 9 = 4a²; Доведено.
г) (a – b)³ + 3ab(a – b) = a³ – b³.
(a – b)(a² – 2ab + b²) + 3a²b – 3ab² = a³ – b³.
a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² = a³ – b³.
= b³ + 3a²b – 3ab² = a³ – b³. Доведено.
377. Доведи тотожність
a) (3x + 2)(x – 4) + 2(4 + 5x) = 3x²; 3x² – 12x + 2x + 8 + 8 + 10x = 3x²; Доведено.
б) c⁴ – (c – 1)(c + 1)(c² + 1) = 1;
c⁴ – (c² – 1)(c² + 1) = 1;
c⁴ – c⁴ + 1 = 1; Доведено.
в) (3a + 2)² – 4(3a + 1) = 9a²; 9a² + 12a + 4 – 12a – 4 = 9a²; Доведено.
г) (x + y)3 – 3xy(x + y) = x³ + y³. (x + y)(x² + 2xy + y²) – 3x²y – 3xy² = x³ + y³.
= x³ + 2x²y + y²x + yx² + 2xy² + y³ – 3x²y – 3x²y – 3xy² = x³ + y³. Доведено.
378. Доведи, що
a) (x + 5)(x² – 2x – 3) – (5x + x²)(x – 2) + 3(x + 5) = x³ – 2x² – 3x + 5x² – 10x – 15 – (5x² – 10x + x³ – 2x²) + 3x + 15 = = x³ + 3x² – 13x – 5x² + 10x – x³ + 2x² = –2x² + 2x² = 0;
(2x² – 3x + 6)(x + 4) – (x² + 4x + 3)(2x – 3) = = 2x³ + 8x² – 3x² – 12x + 6x + 24 – (2x³ – 3x² + 8x² – 12x + 6x – 9) = = 2x³ + 8x² – 3x² – 6x + 24 – 2x³ + 3x² – 8x² + 12x – 6x + 9 = 33
xx
33.
(2x – 4)(3x + 2) – (2x – 3)(4x + 2) + 2x² = 6x² + 4x – 12x – 8 – (8x² + 4x – 12x – 6) + 2x² = = 6x² –
. б) (x – 3)(x + 3)(x² + 9) – (x + 1)(x – 1)(x² + 1) = (x² – 9)(x² + 9) – (x² – 1)(x² + 1) = = x⁴ – 81 – x⁴ + 1 = –80.
+ 6)
6. (n + 6)(n – 3 – n – 9) = (n + 6) • 6
значення n.
381. Доведи, що при
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(n + 6) • 6,
(n + 12)(n + 3) – (n –3)(n + 9) кратне 9 n² + 3n + 12n + 36 – n² – 9n + 3n + 27 = 9n + 63 = 9 • (n + 7)
Отже, вираз завжди кратний 9, бо містить множник 9
382. Розв’яжи рівняння a) (3z² – 1)(z – 1) = 3z²(z – 1) + 7
3z³ – 3z² – z + 1 = 3z³ – 3z² + 7
–z = 7 – 1
z = –6;
б) (1 – 2y)² = 2(y – 2)(2y – 3)
1 – 4y + 4y² = (2y – 4)(2y – 3)
1 – 4y + 4y² = 4y² – 6y – 8y + 12
1 – 4y = –14y + 12
10y = 11
y = 1,1;
в) (x² – x + 1)(x² + x + 1) = x⁴ + x² + x
x⁴ + x³ + x² – x³ – x² – x + x² + x + 1 = x⁴ + x² + x
x = 1.
383. Розв’яжи рівняння
a) (2x² – 3)(x – 3) = 2x²(x – 3) + 6
2x³ – 6x² – 3x + 9 = 2x³ – 6x² + 6
–3x = 6 – 9 –3x = –3
x = 1;
б) (0,1 + x)(0,01 – 0,1x + x²) = 2x(0,5 + 0,5x²)
0,001 + x³ = x + x³
x = 0,001;
в) (3z – 2)² = 9(z – 2)(z + 3) – 5
9z² – 12z + 4 = 9z² + 27z – 18z –
–12z – 9z = –5 –
–21z = –9
г) (x³ + x² + x + 1)(x – 1) = x⁴ + 10x
x⁴ – x³ + x³ – x² + x² – x + x – 1 = x⁴ + 10x
10x = –1
10x = –1
x = –0,1; ґ) 2 3 x – (2 3 x – 3)( 4 9 x2 + 2x + 9) = 4 9x(6 –2 3 x2)
2 3 x –8 27 x3 + 27 = 8 3 x –8 27 x3 8 3 x –2 3 x = 27 2x = 27 x = 27 : 2 x = 13,5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2 число x + 1
3 число x + 2
x² + 8 = (x + 1)(x + 2)
x² + 8 = x² + 2x + x + 2
x² – x² – 2x – x = 2 – 8
–3x = –6
x = 2
Відповідь: 2, 3, 4
385. Знайди
більший
x(x + 1) + 18 = (x + 2)(x + 3)
x² + x + 18 = x² + 3x + 2x + 6
x² + x – 5x = 6 – 18 –4x = –12
x = 3
Відповідь: 3, 4, 5, 6
386. Дано два
множників,
Нехай це число x. Маємо: (11 + x) • (44 + x) = (16 + x)(32 + x)
484 + 11x + 44x + x² = 512 + 16x + 32x + x²
55x + 484 = 48x + 512
7x = 28
x = 4.
Відповідь: 4
387. Дано
множників,
Нехай це число x. Маємо:
(25 + x)(51 + x) = (31 + x)(40 + x)
1275 + 25x + 51x + x² = 1240 + 31x + 40x + x²
76x + 1275 = 71x + 1240
5x = –35
x = –7.
Відповідь: –7
388. Знайди
якщо r = 0,8 м. S = 3r · 2r + πr² = 6r² + p², якщо r = 0,8 m, то S = 6 · 0,8² +
то P = 12 · 0,8 + 2 · π · 0,8 = 9,6 + 1,6π = 9,6 + 5,024 = 14,624.
389. Обчисли (1 –1 4) · 4 3 – (
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
cx + cy = c(x + y)
б) a²x - a²y:
a²x - a²y = a²(x - y)
в) nx + ax:
nx + ax = x(n + a)
г) 2ax + 4ax²:
2ax + 4ax² = 2ax(1 + 2x)
ґ) 6cy - 9cy²:
6cy - 9cy² = 3cy(2 - 3y)
д) -ac² + c²: -ac² + c² = c²(1 - a)
392. Які з рівностей хибні?
А ay - 5y = y(a - 5)
Перевіримо: ay - 5y = y(a - 5) = ya - 5y
Ця рівність правильна.
Б cx + x = x(c + x)
Перевіримо: cx + x = x(c + x) = cx + x²
Ця рівність хибна, бо праворуч маємо доданок x².
В -9 + 6x = -3(3 + 2x)
Перевіримо: -9 + 6x = -3(3 - 2x) = -9 + 6x
Ця рівність правильна.
Г a⁶ - a = a(a⁵ - 1)
Перевіримо: a⁶ - a = a(a⁵ - 1) = a⁶ - a
Ця рівність правильна.
Хибною є тільки рівність Б.
393. Розклади на множники 18x⁶ - 12x³.
18x⁶ - 12x³ = 6x³(3x³ - 2)
Відповідь: Б 6x³(3x³ - 2)
394. Розклади на множники 4 - 4x. 4 - 4x = 4(1 - x)
Відповідь: Г 4(1 - x)
395. Розв'яжи рівняння x² - 3x = 0. x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
Звідси x = 0 або x = 3.
Відповідь: Г x = 0 або x = 3.
396. Обчисли зручним способом.
а) 6 · 19 + 6:
6 · 19 + 6 = 6(19 + 1) = 6 · 20 = 120
б) 27 · 5 + 13 · 5:
27 · 5 + 13 · 5 = 5(27 + 13) = 5 · 40 = 200
в) 17 · 6 + 17 · 4:
17 · 6 + 17 · 4 = 17(6 + 4) = 17 · 10 = 170
г) 5 · 32 + 32 · 15:
5 · 32 + 32 · 15 = 32(5 + 15) = 32 · 20 = 640
397. Обчисли. 2,74 · 1,68 + 2,74 · 8,32. 2,74 · 1,68 + 2,74 · 8,32 = 2,74(1,68 + 8,32) = 2,74 · 10 = 27,4
Відповідь: Б 27,4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
398. Винеси за дужки спільний
а) xa + xb = x(a + b);
б) 2m + 2p = 2(m + p);
в) cp + tp = c(p + t);
г) ab + 3b² = b(a + 3b);
ґ) 4b² − 2ab = 2b(2b − a);
д) 6x² − 2x = 2x(3x − 1);
е) m²x + my = m(mx + y);
є) 3a²x − 2ax = ax(3a − 2);
ж) a³b³ − 6ab⁴ = ab³(a² − 6b);
з) 5y³z + 20az³ = 5z(y³ + 4az²);
и) −3a²b − 6ab² = −3ab(a + 2b);
і) −12x − 15x² = −3x(4 + 5x).
399. Винеси за дужки спільний множник.
a) 12a + 12b = 12(a + b);
b) 7n − 14n² = 7n(1 − 2n);
c) 5p³ − 5p = 5p(p2 − 1) = 5p(p − 1)(p + 1);
d) 2a² + 3a = a(2a + 3);
e) 13x − 26y = 13(x − 2y);
f) 15ab + 45c = 15(ab + 3c);
g) 4cy² − 2c²y = 2cy(2y − c);
h) 10a²x + 5a²x² = 5a²x(2 + x).
400. Розклади на множники многочлен
а) 2ac² − 8c³d + 4acd = 2c(ac − 4c²d + 2ad);
б) 3acx − 6a²x − 9a³c²x = 3ax(c − 2a − 3a²c²);
в) 8a⁴x + 7a²x² + ax³ = ax(8a³ + 7ax + x²);
г) 10n²c³ − 15nc² − 5nc³ = 5nc²(2nc − 3 − c);
ґ) −a²x³ − a⁵cx⁴ + 3a²cx² = a²x²(−x − a³cx² + 3c);
д) 7x³ − 14x² + 21x − 28x⁴ = 7x(x² − 2x + 3 − 4x³).
401. Розклади на множники многочлен
а) 5c + 12c² − c³ = c(5 + 12c − c²);
б) 5x + 10x² − 15x³ = 5x(1 + 2x − 3x²);
в) 6py² + 8p²y − 4p²z = 2p(3y² + 4py − 2pz);
г) 3x³ − 6x²y − 12xy⁴ = 3x(x² − 2xy − 4y⁴);
ґ) −m²x + 4mx² + 3m³ = m(−mx + 4x² − 3m);
д) a²b − 2a³b² + 3ab³ − ab² = ab(a − 2a²b + 3b² − b).
402. Розклади на множники многочлен
а) 3x(a + b) − 2y(a + b) = (a + b)(3x − 2y);
б) 3(2x + 5) + x(5 + 2x) = (2x + 5)(3 + x);
в) 5a(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(5a + 3);
г) 2(m² − 2) − x(m² − 2) = (m² − 2)(2 − x);
ґ) 7p(3x + y) + (3x + y) = (3x + y)(7p + 1);
д) (3x − 1) − 17x(3x − 1) = (3x − 1)(1 − 17x).
403. Розклади на множники многочлен
а) 7p(a + b) + 8k(a + b) = (a + b)(7p + 8k);
б) 3y(5x + 2) + 2(5x + 2) = (5x + 2)(3y + 2);
в) 5z(m − n) − 2(m − n) = (m − n)(5z − 2);
г) 2n(a² + 2b) − 3(a² + 2b) = (a² + 2b)(2n − 3);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
ґ) 2a(3a − b) − (3a − b) = (3a − b)(2a − 1); д) (6n + 5) − x(6n + 5) = (6n + 5)(1 − x).
404. Знайди значення
а) 12,3х + 12,3y, якщо x = 0,23; y = 0,77, то 12,3(0,23 + 0,77) = 12,3 ⋅ 1 = 12,3 б) x² − 1,3x = x(x − 1,3), якщо x = 11,3, то 11,3 • (11,3 − 1,3) = 11,3 • 10 = 113; в) 2,63х 2,63y, якщо x = 0,16; y = 0,84, то 2,63 • (0,16 + 0,84) = 2,63 • 1 = 2,63; г) 5,24x - x², якщо x = 4,24, то 4,24 • (5,24 − 4,24) = 4,24 • 1 = 4,24.
405. Знайди значення виразу, попередньо розклавши
а) 16,23(a + b) = 16,23 • (8,37 + 1,63) = 162,3; б) a(a + 3,6) = −13,6(−13,6 + 3,6) = −13,6 • (−10) = 136; в) 6,34(a − b) = 6,34(0,36 + 0,64) = 6,34; г) a(17,3 − a) = 7,3(17,3 − 7,3) = 73.
406. Обчисли зручним способом
а) 1,2 • 24,44 + 1,2 • 75,56 = 1,2(24,44 + 75,56) = 1,2 • 100 = 120; б) 17,8 • 0,13 − 0,13 • 7,8 = 0,13(17,8 − 7,8) = 0,13 • 10 = 1,3; в) 0,12² + 0,12 • 0,88 = 0,12(0,12 + 0,88) = 0,12 • 1 = 0,12.
407. Обчисли зручним способом а) 3,7 • 2,16 + 3,7 • 7,84 = 3,7(2,16 + 7,84) = 3,7 • 10 = 37; б) 36,6 • 2,34 – 2,34 • 26,6 = 2,34(36,6 – 26,6) = 2,34 • 10 = 23,4; в) 93,7² – 93,7 • 83,7 = 93,7(93,7 – 83,7) = 937.
408. Розв’яжи рівняння
а) x(x − 3) = 0
x₁ = 0; x₂ = 3;
г) x² − 12x = 0
x(x − 12) = 0
x₁ = 0; x₂ = 12;
409. Розв’яжи рівняння
a) x(x + 2) = 0
x₁ = 0; x₂ = −2;
г) x² − 6x = 0
x(x − 6) = 0
x₁ = 0; x₂ = 6;
shkola.in.ua
б) y(5 − y) = 0
y₁ = 0; y₂ = 5;
ґ) 10x − 4x² = 0
2x(5 − 2x) = 0
x₁ = 0; x₂ = 2.5;
б) z(3 − z) = 0
z₁ = 0; z₂ = 3;
ґ) 10x² + x = 0
x(10x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = −0,1;
410. Винеси за дужки спільний множник
a) 3a²b + 2ab – 5a = a(3ab + 2b – 5);
б) 7xy³ + 8x²y² – 9y⁴ = y²(7xy + 8x² – 9y²);
в) 5ac² – ac³ – 3a²c = ac(5c – c² – 3a);
г) 8az⁴ – 7az³ – 4az² = az²(8z² – 7z – 4);
ґ) 4a²b³c⁴ – 5ab³c² = ab³c²(4ac² – 5);
д) 9x³yz⁴ + 7x⁴y²z³ = x²yz³(9z + 7xy).
411. Винеси за дужки спільний множник
а) 4a² – 5ab + a = a(4a – 5b + 1);
б) 3x² + 8x²y – x³ = x²(3 + 8y – x);
в) –7m² – m²z + m³ = m²(–7 – z + m);
в) 3z(z + 4) = 0
z₁ = 0; z₂ = −4; д) 4x² + x = 0
x(4x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = −1 4
в) 4y(y − 2) = 0
y₁ = 0; y₂ = 2;
д) 5x² − x = 0
x(5x − 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 0,2.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) –x⁶ – 10x⁴y² – x² = –x²(x⁴ + 10x²y² + 1);
ґ) 18a³c²x – 9ac²x³ = 9ac² + (2a² – x²);
д) 15mn²y + 45m²n³ = 15mn²(y + 3mn).
412. За малюнком 10.1 з’ясуйте
am + bm + cm = (a + b + c)m для додатних
Це формула площі великого прямокутника.
413. Винеси за дужки спільний множник
a, b, c і m.
а) a³ + 3a²x – 3ax² – a⁴ + 2a = a(a² + 3ax – 3x² – a³ + 2);
б) 1,2a²b³c⁴ – 0,6a³b³c⁴ + 1,8a⁴b³c⁴ = 0,6a²b³c⁴(2 – a + 3a²);
в) 144x²⁰y¹⁸ + 36x¹⁸y¹⁰ = 36x¹⁸y¹⁰(4x²y⁸ + 1);
г) 169a²³b²⁰ – 49a²⁰b¹⁸ = a²⁰b¹⁸(169a³b² – 49).
414. Винеси за дужки спільний множник
a) 3x³ – 2ax² + 4a²x + ax – x⁴ = x(3x² – 2ax + 4a² + a – x³);
б) 10,5b²c⁴ + 1,5b³c²a² – 20b⁵c³a = 5b²c²(2,1c² + 0,3bd² – 4b³cd);
в) 92a¹⁵m³⁵ – 46a¹⁷b³⁰ = 46a¹⁵(2m³⁵ – a²b³⁰);
г) 576n²⁰x³¹ + 240n¹⁷x³² = 240n¹⁷x³¹(2,4n³ + x).
415. Винеси за дужки спільний множник
a) 3, 24a⁷c⁹ – 6, 48a¹⁰c¹⁵ = 3, 24a⁷c¹⁵ (c⁴ – 2a³);
б) 28, 9m³⁰x¹⁶ – 57,8m⁴⁵x¹³ = 28, 9m³ · x¹³ (x³ – 2m¹⁵);
в) 2 5 a²x¹⁰ –3 5 a⁴x⁷ = 1 5a²x⁷ (2x³ – 3a²);
г) 6 7x⁵y¹⁸ + 3 7x¹⁸y⁵ = 3 7x⁵y⁵ (2y¹³ + x¹³).
416. Розклади на множники вираз
а) x(a – 2) + y(a – 2) = (a – 2)(x + y);
б) (x + 1)² – 2x(x + 1) = (x + 1)(x + 1 – 2x) = (x + 1)(1 – x);
в) 2y(y – 6)³ – 3y(y – 6)² = y(y – 6)²(2y – 12 – 3y) = y(y – 6)²(–y – 12);
г) 4(x – y) – 3a(y – x) = (x – y)(4 + 3a);
ґ) 3(2x – 5) – 2x(5 – 2x) = (2x – 5)(3 + 2x);
д) 6(m – n)² – m(n – m) = (m – n)(6m – 6n + m) = (m – n)(7m – 6n);
е) (4x – 3y)(x + 2y) + 2x(x + 2y) = (x + 2y)(4x – 3y + 2x) = (x + 2y)(6x – 3y)
є) (a + b)(x – y) + (b – a)(y – x) = (x – y)(a + b – b + a) = 2a(x – y).
417. Розклади на множники вираз
а) a(a² + 1) + 5(a² + 1) = (a² + 1)(a + 5);
б) 8(a² – 3) + (a² – 3)² = (a² – 3)(8 + a² – 3);
в) 5b(3 + 2c)³ + 2b(3 + 2c)² = b(3 + 2c)(15 + 10c + 2b);
г) x(a – b) + 3y(b – a) = (a – b)(x – 3y);
ґ) 4(b – 3) + 5b(3 – b) = (b – 3)(4 – 5b);
д) 7(a – 4)² + (4 – a) = (a – 4)(7a – 28 – 1) = (a – 4)(7a – 29);
е) 5a(3a – b) + (b – 3a)(5a + 2b) = (3a – b)(5a – 5a – 2b) = –2b(3a – b);
є) (a + 7b)(a – 5b) – (b – 3a)(a – 5b) = (a – 5b)(4a + 6b) = 2(2a + 3b)(a – 5b)
418. Розклади
множники вираз a) 6a(x – 2) + 8b(x – 2) + 4c(2 – x) = (x – 2)(6a + 8b – 4c); б) (x³ + 1)(2x + 3) + 3(2x⁴ + 3x³) + (x³ – 1)(3 + 2x) = (2x + 3)(x³ + 1 + 3x³ + x³ – 1) = = (2x + 3) • 5x³; в) (x³ – 1) + 5a(x³ – 1) + b(1 – x³) = (x³ – 1)(1 + 5a – b); г) (2x – 1)(x² + 1) + (x² – 1)(2x – 1) + (1 – 2x)(x² + 2) = (2x – 1)(x² + 1 + x² – 1 – x² – 2) = = (2x – 1)(x² – 2).
419. Винеси
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a) (5x + 10)² = (5(x + 2))² = 25(x + 2)²; б) (3 – 12y)² = 9(1 – 4y)²;
в) (4a – 4b)³ = 64(a – b)³; г) (3a + 6c)⁴ = 3⁴ • (a + 2c)⁴ = 81(a + 2c)⁴; ґ) (6ab² – 3a²)³ = (3a)³(2b² – a)³ = 27a³ • (2b² – a)³; д) (–6a – 2ab)⁴ = (2a)⁴(–3 – b)⁴ = 16a⁴(–3 – b)⁴.
420. Винеси за дужки спільний множник
a) (16y + 12)² = 4²(4y + 3)² = 16(4y + 3)²;
б) (15 – 5y)² = 25(3 – y)²;
в) (6x – 8)³ = 8(3x – 4)³; г) (3x – 9)⁴ = 81(x – 3)⁴; ґ) (2x³y + 4x⁴)² = (2x³)²(y + 2x)² = 4x⁶(y + 2x)²; д) (–2x³ + 4x²)⁴ = (2x²)⁴(–x + 2)⁴ = 16x⁸(–x + 2)⁴.
421. Розв’яжи рівняння a) 3(4x – 1)² – (1 – 4x) = 0
(4x – 1)(12x – 3 + 1) = 0 (4x – 1)(12x – 2) = 0
1) 4x – 1 = 0 2) 12x – 2 = 0 4x = 1 12x = 2 x₁ = 1 4 x₂ = 1 6
в) 2x³ – 5(x² – 2) = 10
2x³ – 5x² + 10 = 10
x²(2x – 5) = 0
x₁ = 0; x₂ = 2,5
x² + 6(x + 2) = 12 x² + 6x + 12 = 12 x(x + 6) = 0 x₁ = 0; x₂ = –6
422. Розв’яжи рівняння a) 2(3x – 2)² – (2 – 3x) = 0
(3x – 2)(6x – 4 + 1) = 0 1) 3x – 2 = 0 2) 6x – 3 = 0
3x = 2 6x = 3
x₁ = 2 3 x₂ = 1 2 б) x² – 5(x – 3) = 15 x² – 5x + 15 = 15 x₁ = 0; x₂ = 5
в) 2z⁴ – 7(z³ – 3) = 21
2z⁴ – 7z³ + 21 = 21
z³(2z – 7) = 0
z₁ = 0
2z = 7
z₂ = 3,5
2z⁴ –1 3z(6z² – 3) = z 2z⁴ – 2z³ + z = z 2z³(z – 1) = 0
= 0
= 1
= 5 · 3,6 = 18. 424. Обчисли
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
= −50 12,5 = –4.
425. Доведи, що: а) 1617 + 1616 ділиться на 17; 16¹⁶ • (16 + 1) = 17 • 16¹⁶; б) 69 – 68 + 67 ділит ься на 31; 6⁷ • (6² − 6 + 1) = 31 • 6⁷; в) 495 + 78 ділиться на 350; (7²)⁵ + 7⁸ = 7¹⁰ + 7⁸ = 7⁸(7² + 1) = 50 • 7⁸ = 350 • 7⁷; г) 7100 + 3 · 799 ділиться на 490; 7⁹⁹ • (7 + 3) = 10 • 49 • 7⁹⁷ = 490 • 7⁹⁷.
426. Доведи, що:
а) 512 + 510 ділиться на 13; 5¹⁰ • (5² + 1) = 26 • 5¹⁰ = 2 • 13 • 5¹⁰;
б) 815 – 814 – 813 ділиться на 11; 8¹³ • (8² – 8 – 1) = 55 • 8¹³ = 5 • 11 • 8¹³; в) 8131 – 960 ділиться на 720; (9²)³¹ – 9⁶⁰ = 9⁶² – 9⁶⁰ = 9¹⁰(81 – 1) = 9⁹ • 720; г) 3760 + 63 · 3759 ділиться на 100; 37⁵⁹ • (37 + 63) = 100 • 37⁵⁹.
427. Подай у вигляді добутку, якщо n, m і k натуральні числа.
а) xⁿ⁺¹ + xⁿ = xⁿ(x + 1);
б) aᵐ – aᵐ⁻² = aᵐ(1 –1 a²);
в) 9aᵏ⁺⁵ – 3aᵏ⁺² = 9a⁵aᵏ – 3a²aᵏ = 3a²aᵏ(3a³ – 1);
г) 8²ⁿ⁺¹ – 4³ⁿ⁺⁴ = 2³⁽²ⁿ⁺¹⁾ – 2²⁽³ⁿ⁺⁴⁾ = 2⁶ⁿ⁺³ – 2⁶ⁿ⁺⁸ = 2⁶ⁿ⁺³(1 – 32) = –31 · 2⁶ⁿ⁺³;
ґ) yᵐ⁺⁵ – yᵐ = yᵐ(y⁵ – 1);
д) xᵏ⁺¹ + xᵏ⁺³ = xᵏ⁺¹(1 + x²);
е) 4xⁿ⁺⁶ + 12xⁿ⁺¹ = 4xⁿ⁺¹(x⁵ + 3);
є) 3²ⁿ⁺¹ + 9ⁿ⁺² = 3²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺⁴ = 3²ⁿ⁺¹(1 + 27) = 28 · 3²ⁿ⁺¹.
428. Продовж послідовність:
а) 4x, 12x, 36x, 108x, 324x; б) 2a – 4x, 4a – 8x, 8a – 16x, 16a – 32x.
429. Із букв, написаних
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) 3 2 5 + (–3 7) = 3 14 35 –15 35 = 2 34 35; в) –4 3 4 + (–5 1 2) = –4 3 4 – 5 2 4 = –9 5 4 = –10,25; г) 4 1 2 + (–1 1 3) = 4 3 6 – 1 2 6 = 3 1 6; ґ) 3 4 + (–0,5) = 0,75 – 0,5 = 0,25; д) –3 5 + 4,2 = –0,6 + 4,2 = 3,6.
432. Знайди суму многочленів.
а) 3a² + 2a + 7 + a³ – 2a² + a – 3 = a³ + a² + 3a + 4;
б) 1,5x – x² – x³ + 2,5x⁴ – 1,5x³ – 2x + 3 = 2,5x⁴ – 2,5x³ – x² – 0,5x + 3.
433. Розклади на множники вираз.
а) (a + 1)x + (a + 1)y:
(a + 1)x + (a + 1)y = (a + 1)(x + y)
б) x(2 - c) - y(2 - c):
x(2 - c) - y(2 - c) = (2 - c)(x - y)
в) p - n + c(p - n):
p - n + c(p - n) = (p - n)(1 + c)
г) (x + y)² + x + y: (x + y)² + x + y = (x + y)² + (x + y) = (x + y)(x + y + 1)
434. Розклади на множники вираз ax - ay + 7x - 7y.
ax - ay + 7x - 7y = a(x - y) + 7(x - y) = (x - y)(a + 7)
Відповідь: Б (x - y)(a + 7)
435. Які доданки слід згрупувати,
Розгляньте кілька варіантів.
а) 2a + 4b + ca + 2bc:
2a + 4b + ca + 2bc = 2a + ca + 4b + 2bc = a(2 + c) + 2b(2 + c) = (2 + c)(a + 2b)
б) kx + ky + 5x + 5y:
kx + ky + 5x + 5y = kx + 5x + ky + 5y = x(k + 5) + y(k + 5) = (k + 5)(x + y)
в) x³ + 3x² + x + 3:
x³ + 3x² + x + 3 = x²(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x² + 1)
г) am + 3n + an + 3m: am + 3n + an + 3m = am + an + 3m + 3n = a(m + n) + 3(m + n) = (m + n)(a + 3)
436. Чи правильно виконано перетворення? ax + 7x + a + 7 = (ax + a) + (7x + 7) = a(x + 1) + 7(x + 1) = (x + 1)(a + 7)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) 3c + 3y + ac + ay = 3(c + y) + a(c + y) = (c + y)(3 + a);
г) 2ax – 2ay + 3x – 3y = 2a(x – y) + 3(x – y) = (x – y)(2a + 3);
ґ) ax – ay – bx + by = a(x – y) – b(x – y) = (x – y)(a – b);
д) ca + 2cx – na – 2nx = c(a + 2x) – n(a + 2x) = (a + 2x)(c – n);
е) 3m + 3n – am – an = 3(m + n) – a(m + n) = (m + n)(3 – a);
є) am – an – m + n = a(m – n) – 1(m – n) = (m – n)(a – 1);
ж) a(x + y + z) + b(x + y + z) = (x + y + z)(a + b).
439. Подай вираз у вигляді добутку
а) 2x + 2y + ax + ay = 2(x + y) + a(x + y) = (x + y)(2 + a);
б) xa – xb + ca – cb = x(a – b) + c(a – b) = (a – b)(x + c);
в) 2a – 2b + ca – cb = 2(a – b) + c(a – b) = (a – b)(2 + c);
г) nx + ny + mx + my = n(x + y) + m(x + y) = (x + y)(n + m);
ґ) ax – bx – ay + by = x(a – b) – y(a – b) = (a – b)(x – y);
д) mx + my – cx – cy = m(x + y) – c(x + y) = (x + y)(m – c);
е) 2x + 2y – ax – ay = 2(x + y) – a(x + y) = (x + y)(2 – a);
є) ap – ak – p + k = a(p – k) – 1(p – k) = (p – k)(a – 1).
440. Подай вираз у вигляді добутку
а) a(x + 3) + b(x + 3) + c(x + 3) = (x + 3)(a + b + c);
б) m(a – z) – n(a – z) + 2(a – z) = (a – z)(m – n + 2).
441. Розклади на множники многочлен
а) az – z² + ac – cz = z(a – z) + c(a – z) = (a – z)(z + c);
б) 5a – 10 + ac³ – 2с³ = 5(a – 2) + c³ (a – 2) = (a – 2)(5 + c³); в) 2a²b + ac – 6abc – 3c² = a(2ab + c) – 3c(2ab + c) = (2ab + c)(a – 3c);
г) 3a³ – 5a² – 3ab + 5b = a²(3a – 5) – b(3a – 5) = (3a – 5)(a² – b).
442. Розклади на множники многочлен
а) 3m² + 9mn – 2m – 6n = 3m(m + 3n) – 2(m + 3n) = (m + 3n)(3m – 2);
б) a³ – a²n – 3a + 3n = a²(a – n) – 3(a – n) = (a – n)(a² – 3);
в) y³ – 3y⁵ + 3y² – 9y⁴ = y³(1 – 3y²) + 3y²(1 – 3y²) = (1 – 3y²)(y³ + 3y²);
г) 3a³ + 12a² – a – 4 = 3a²(a + 4) – 1(a + 4) = (a + 4)(3a² – 1);
ґ) 4x²y² – 4xy – 5axy + 5a = 4xy(xy – 1) – 5a(xy – 1) = (xy – 1)(4xy – 5a);
д) a³x² + a²x³ – a – x = a²x²(a + x) – 1(a + x) = (a + x)(a²x² – 1).
443. Розклади на множники многочлен
а) ac + bc + a² + ab = c(a + b) + a(a + b) = (a + b)(c + a);
б) 7x⁴ – x² + 7ax² – a = x²(7x² – 1) + a(7x² – 1) = (7x² – 1)(x² + a);
в) m²p + 3my – mnp – 3ny = m(mp + 3y) – n(mp + 3y) = (mp + 3y)(m – n);
г) 3a² + 6ab – 2a – 4b = 3a(a + 2b) – 2(a + 2b) = (a + 2b)(3a – 2);
г) 5a³c² – 5ax – 8a²c³ + 8cx = 5a(a²c² – x) – 8c(a²c² – x) = (a²c² – x)(5a – 8c); д) 2x5y² + 2x³y – x²y – 1 = 2x³y(x²y – 1) – (x²y – 1) = (x²y – 1)(2x³y – 1).
444. Обчисли
a) x³ – 9x² + x – 9 = (x³ – 9x²) + (x – 9) = x²(x – 9) + (x – 9) = (x – 9)(x² + 1), якщо x = 19, то (19 – 9) · (19² + 1) = 10 · (361 + 1) = 3620; б) m² – mn – 2m + 2n = (m² – mn) – (2m – 2n) = m(m – n) – 2(m – n) = (m – n)(m – 2), якщо m = 0,35; n = 0,25; то (0,35 – 0,25) · (0,35 – 2) = 0,1 · (–1,65) = –0,165.
445. Обчисли
a) а3 – 5а2 + а – 5, якщо а = -15; a²(a – 5) + (a – 5) = (a – 5) • (a² + 1) = (–15 – 5)(225 + 1) = –20 • 226 = –4520; б) х2 + 2ху – 3х – 6у, якщо х = 0,7 і у = 0,15; x(x – 2y) – 3(x – 2y) = (x – 2y)(x – 3) = (0,7 – 2 • 0,15) • (0,7 – 3) = 0,4 • (–2,3) = –0,92.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
446. Обчисли
а) 20,5 • 17 + 79,5 • 17 + 20,5 • 0,28 + 79,5 • 0,28 = = (20,5 • 17 + 20,5 • 0,28) + (79,5 • 17 + 79,5 • 0,28) = 20,5 • (17 + 0,28) + 79,5 • (17 + 0,28) = = (17 + 0,28) • (20,5 + 79,5) = 100 • 17,28 = 1728.
б) 42,2² – 42,2 • 41,2 + 57,8² – 57,8 • 56,8 = (42,2² – 42,2 • 41,2) + (57,8² – 57,8 • 56,8) = = 42,2 • (42,2 – 41,2) + 57,8 • (57,8 – 56,8) = 42,2 • 1 + 57,8 • 1 = 42,2 + 57,8 = 100.
447. Обчисли
а) 36,7 • 15 + 63,3 • 15 + 36,7 • 1,3 + 63,3 • 1,3 = = (36,7 • 15 + 36,7 • 1,3) + (63,3 • 15 + 63,3 • 1,3) = 36,7 • (15 + 1,3) + 63,3 • (15 + 1,3) = = (15 + 1,3) • (36,7 + 63,3) = 16,3 • 100 = 1630.
б) 76,2² – 76,2 • 73,2 + 23,8² – 23,8 • 20,8 = (76,2² – 76,2 • 73,2) + (23,8² – 23,8 • 20,8) = = 76,2 • (76,2 – 73,2) + 23,8 • (23,8 – 20,8) = 76,2 • 3 + 23,8 • 3 = = 3 • (76,2 + 23,8) = 3 • 100 = 300.
448. Розв’яжи рівняння
а) x³ – 5x² + 3x – 15 = 0
(x³ – 5x²) + (3x – 15) = 0
x²(x – 5) + 3(x – 5) = 0
(x – 5)(x² + 3) = 0,
звідси x – 5 = 0 або x² + 3 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 5, а
друге рівняння розв'язків не має, бо x² ≠ –3.
Відповідь: x = 5.
б) x² – 2x³ + 7 – 14x = 0
(–2x³ + x²) + (–14x + 7) = 0
x²(–2x + 1) – 7(2x – 1) = 0
(–2x + 1)(x² – 7) = 0,
звідси –2x + 1 = 0 або x² – 7 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 0,5,
а друге рівняння розв'язків не має.
Відповідь: x = 0,5
в) x³ – 3x² + x – 3 = 0
(x³ – 3x²) + (x – 3) = 0
x²(x – 3) + 1(x – 3) = 0
(x – 3)(x² + 1) = 0,
звідси x – 3 = 0 або x² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є x = 3, а
рівняння розв'язків не має, бо x² ≠ –1.
Відповідь: x = 3.
г) x³ + 4x² + 3x + 12 = 0
(x³ + 4x²) + (3x + 12) = 0
x²(x + 4) + 3(x + 4) = 0
(x + 4)(x² + 3) = 0,
звідси x + 4 = 0 або x² + 3 = 0. Коренем першого рівняння є x = –4, а
рівняння розв'язків не має, бо x² ≠ –3.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь: x = –4.
449. Розв’яжи рівняння
а) 2z³ – 3z² + 2z – 3 = 0
(2z³ – 3z²) + (2z – 3) = 0
z²(2z – 3) + 1(2z – 3) = 0
(2z – 3)(z² + 1) = 0,
звідси 2z – 3 = 0 або z² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є z = 1,5,
а друге рівняння розв'язків не має, бо z² ≠ –1.
Відповідь: z = 1,5.
б) z³ – 5z² + 2z – 10 = 0
(z³ – 5z²) + (2z – 10) = 0
z²(z – 5) + 2(z – 5) = 0
(z – 5)(z² + 2) = 0,
звідси z – 5 = 0 або z² + 2 = 0.
Коренем першого рівняння є z = 5, а
друге рівняння розв'язків не має, бо
z² ≠ –2.
Відповідь: z = 5.
в) y³ + 3y² + 5y + 15 = 0
(y³ + 3y²) + (5y + 15) = 0
y²(y + 3) + 5(y + 3) = 0
(y + 3)(y² + 5) = 0,
звідси y + 3 = 0 або y² + 5 = 0.
Коренем першого рівняння є y = –3, а
друге рівняння розв'язків не має, бо y² ≠ –5.
Відповідь: y = –3.
г) 3x³ + 9x² + x + 3 = 0
(3x³ + 9x²) + (x + 3) = 0
3x²(x + 3) + 1(x + 3) = 0 (x + 3)(3x² + 1) = 0,
звідси x + 3 = 0 або 3x² + 1 = 0.
Коренем першого рівняння є x = –3, а
друге рівняння розв'язків не має, бо 3x² ≠ –1.
Відповідь: x = –3.
450. Подай у вигляді добутку вираз
1) 4a² + 3z – 4az – 3a = (4a² – 4az) + (3z – 3a) = 4a(a – z) + 3(z – a) = (a – z)(4a + 3) 2) 3x² – 2y³ – 3x²y + 2y² = (3x² – 3x²y) + (–2y³ + 2y²) = 3x²(1 – y) + 2y²(1 – y) = = (1 – y)(3x² + 2y²)
3) a³ – 2c² – a²c + 2ac = (a³ – a²c) + (2ac – 2c²) = a²(a – c) + 2c(a – c) = (a – c)(a² + 2c)
4) a³ – 3b³ + a²b² – 3ab = (a³ + a²b²) + (–3b³ – 3ab) = a²(a + b²) – 3b(b² + a) = (a + b²)(a² – 3b)
451. Подай у
а) a + 12ab² – 3b – 4a²b = a – 3b – 4a²b + 12ab² = (a – 3b) – 4ab(a – 3b) = (a – 3b)(1 – 4ab).
б) a³ – 2x² – 2a²x + ax = (a³ – 2a²x) + (ax – 2x²) = a²(a – 2x) + x(a – 2x) = (a – 2x)(a² + x)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) a²b + c³ + a²c² + bc = (a²b + a²c²) + (c³ + bc) = a²(b + c²) + c(b + c²) = (b + c²)(a² + c)
г) m²n + 2x² + 2mnx + mx = (m²n + 2mnx) + (2x² + mx) = mn(m + 2x) + x(2x + m) = = (m + 2x)(mn + x)
452. Знайдіть помилки в роботах учнів. Виконайте правильно.
1) ax + ay – az + nx + ny – nz = (a + n) (x + y + z)
Помилка: Учениця неправильно згрупувала доданки.
Правильне розв'язання: ax + ay – az + nx + ny – nz
= (ax + ay + nx + ny) – (az + nz)
= (a + n)(x + y) – (a + n)z = (a + n)(x + y – z).
Відповідь: (a + n)(x + y – z).
2) 2ax + cx – 6ax² – 3cx² + 2ac + c² = x(2a + c) – 3x2(2a + c) + c(2a +
Помилка: Неправильне винесення спільних множників за дужки.
Правильне розв'язання: 2ax + cx – 6ax² – 3cx² + 2ac + c²
= x(2a + c) – 3x²(2a + c) + c(2a + c)
= (x – 3x² + c)(2a + c).
Відповідь: (x – 3x² + c)(2a + c).
Учень
1) a + b – 2 – ax – bx + 2x = (а + b – 2) – x(a + b – 2) = (a + b – 2)x
Помилка: Неправильно згрупував доданки та виніс спільний множник.
Правильне розв'язання: (a − ax) + (b − bx) + (−2 + 2x) = a(1 − x) + b(1 − x) + 2(x − 1)
Відповідь: (1−x)(a+b−2)
2) ax² + bx² – bx – ax + cx² – cx = (ax2 + bx2 + cx2) – (bx – ax – cx) = x2(a + b+ c) – x(b – a - c)
Помилка: Неправильне винесення спільного множника x.
Правильне розв'язання:
ax² + bx² – bx – ax + cx² – cx = x²(a + b + c) – x(a + b + c) = (a + b + c)(x² – x).
Відповідь: (a + b + c)(x² – x).
453. Розклади на множники многочлен
а) ax² + bx² – cx² + am + bm – cm = x²(a + b – c) + m(a + b – c) = (a + b – c)(x² + m)
б) a + b + ax² + bx² – bx – ax = (a + b) + x²(a + b) – x(a + b) = (a + b)(x² – x + 1)
в) 2am + 3mx – 7m – 2ac – 3cx + 7c = 2a(m – c) + 3x(m – c) – 7(m – c) = (m – c)(2a + 3x – 7)
г) 4ax² – ax + 5a – 4bx² + bx – 5b = 4x²(a – b) – x(a – b) + 5(a – b) =(a – b)(4x² – x + 5)
454. Розклади на множники многочлен
а) 9c³x² + 2c³x – c³ + 9x² + 2x – 1 = (9x² + 2x – 1) + c³(9x² + 2x – 1) = (9x² + 2x – 1)(1 + c³)
б) 4abc² – 4ac + 4b + abc²x – acx + bx = (4abc² – 4ac + 4b) + (abc²x – acx + bx) = = 4(abc² – ac + b) + x(abc² – ac + b) = (abc² – ac + b)(4 + x).
в) x³ + x²y + x³y – xy³ – xy² – y³ = (x³ + x²y + x³y) – (xy³ + xy² + y³) = = x²(x + y + xy) – y²(xy + x + y) = (x + y)(x² – y²) = (x + y)(x – y)(x + y).
г) x² – x³ + y – y² – xy + xy² = x²(1 – x) + y(1 – x) – y²(1 – x) = (1 – x)(x² + y – y²).
455. Розклади на множники многочлен
а) az² – bz² – bz + az – a + b = (az² + az – a) – (bz² + bz – b) = a(z² + z – 1) – b(z² + z – 1) = = (z² + z – 1)(a – b).
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) x² + 2x – ca – 2c – cx + ax = (x² + 2x + ax) – (ca + 2c + cx) = x(x + 2 + a) – c(a + 2 + x) = = (x + 2 + a)(x – c).
в) x⁴ – a⁴ + a³x – a³x + c³x – ac³ = x⁴ – a⁴ + a³x – a³x + c³x – ac³ = x⁴ – a⁴ + c³x – ac³ = (x² –a²)(x² + a²) + c³(x – a)
г) a³ – a² + x³ – x² + a²x + аx² = a³ – a² + x³ – x² + a²x + ax² = a²(a – 1 + x) + x²(x – 1 + a)
ґ) x³ + y³ + xу² + х²у + x²z + y²z = x³ + y³ + xy² + x²y + x²z + y²z = x²(x + y + z) + y²(x + y + z) = (x² + y²)(x + y + z)
д) a³ + a + ab² – a²b – b – b³ = a³ + a + ab² – a²b – b – b³ = a(a² – ab + b²) + (a – b) – b³
456. Розклади многочлен
а) 15a²mx – 20am – 21ax + 28 = (15a²mx – 20am) – (21ax – 28) = 5am(3ax – 4) – 7(3ax – 4) = = (3ax – 4)(5am – 7).
Перевірка: (3ax – 4)(5am – 7) = 15a²mx – 21ax – 20am + 28.
б) 0,9ax + 1,2x² – 1,2ac – 1,6cx = 0,3x(3a + 4x) – 0,4c(3a + 4x) = (3a + 4x)(0,3x – 0,4c).
Перевірка:
(3a + 4x)(0,3x – 0,4c) = 0,9ax + 1,2x² – 1,2ac – 1,6cx.
457. Розклади многочлен на
а) a²b + 10ab – 20a – 2a² – b + 2 = a²b – 2a² + 10ab – 20a – b + 2 = = a²(b – 2) + 10a(b – 2) – 1(b – 2) = (b – 2)(a² + 10a – 1).
Перевірка: (b – 2)(a² + 10a – 1) = a²b + 10ab – 20a – 2a² – b + 2 б) 3 13ax²y –1 13 x + 12 13a²xy² –4 13ay = 3 13ax²y + 12 13a²xy² –1 13 x –4 13ay = = 3axy ( 1 13 x + 4 13ay) – ( 1 13 x + 4 13ay) = ( 1 13 x + 4 13ay) · (3axy – 1).
458. Розклади на множники тричлен
а) x² + 4x + 3 = x² + 3x + x + 3 = x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(x + 1). б) x² + 6x + 8 = x² + 4x + 2x + 8 = x(x + 4) + 2(x + 4) = (x + 4)(x + 2).
в) x² − 4x + 3 = x² − 3x − x + 3 = x(x − 3) − 1(x − 3) = (x − 3)(x − 1).
г) x² + 3x − 10 = x² + 5x − 2x − 10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2).
459. Розклади на множники тричлен
а) x² + 6x + 5 = x² + 5x + x + 5 = x(x + 5) + 1(x + 5) = (x + 5)(x + 1).
б) x² + 7x + 6 = x² + 6x + x + 6 = x(x + 6) + 1(x + 6) = (x + 6)(x + 1).
в) x² – 10x + 21 = x² – 7x – 3x + 21 = x(x – 7) – 3(x – 7) = (x – 7)(x – 3).
г) x² + 2x – 8 = x² – 2x + 4x – 8 = x(x – 2) + 4(x – 2) = (x – 2)(x + 4).
460. Розв’яжи рівняння а) x² + 7x + 10 = 0
x² + 5x + 2x + 10 = 0
x(x + 5) + 2(x + 5) = 0
(x + 5)(x + 2) = 0
461. Розв’яжи рівняння
а) x² + 4x + 3 = 0
x² + 3x + x + 3 = 0
x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x₁ = –3; x₂ = –1.
x² + 7x + x + 7 = 0
x(x + 7) + 1(x + 7) = 0 (x + 7)(x + 1) = 0
x₁ = –7; x₂ = –1.
x₁ = –5; x₂ = –2. б) x² + 8x + 7 = 0
б) x² + 8x + 12 = 0
x² + 6x + 2x + 12 = 0
x(x + 6) + 2(x + 6) = 0
(x + 6)(x + 2) = 0
x₁ = –6; x₂ = –2.
462. Доведи, що: а) 2⁹ • 3⁵ + 2⁹ • 3³ – 2⁶ • 3⁵ – 2⁶ • 3³ ділиться
в) x² – 5x + 6 = 0
x² – 3x – 2x + 6 = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
x₁ = 3; x₂ = 2.
в) x² – 9x + 18 = 0
x² – 6x – 3x + 18 = 0
x(x – 6) – 3(x – 6) = 0
(x – 6)(x – 3) = 0
x₁ = 6; x₂ = 3.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Кратно 1200.
в) 2¹¹ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁴ + 2¹¹ • 3⁴ ділиться на 150; (2¹¹ • 3⁶ – 2⁷ • 3⁶) – (2⁷ • 3⁴ – 2¹¹ • 3⁴) = = 2⁷ • 3⁶(2⁴ – 1) – 2⁷ • 3⁴(1 – 2⁴) = 2⁷ • 3⁶(2⁴ – 1) + 2⁷ • 3⁴(2⁴ – 1) = (2⁴ – 1)(2⁷ • 3⁶ + 2⁷ • 3⁴) = = 2⁷ • 3⁴ • (3² + 1)(16 – 1) = 150 • 2⁷ • 3⁴. Кратно 150. Доведено. 463. Доведи, що:
а) 2¹⁰ • 3¹² + 2⁸ • 3¹² + 2¹⁰ • 3¹⁰ + 2⁸ • 3¹⁰ ділиться на 300; (2¹⁰ • 3¹² + 2⁸ • 3¹²) + (2¹⁰ • 3¹⁰ + 2⁸ • 3¹⁰) = = 2⁸ • 3¹² (2² + 1) + 2⁸ • 3¹⁰ (2² + 1) = (2² + 1) (2⁸ • 3¹² + 2⁸ • 3¹⁰) = 5 • 2⁸ • 3¹⁰ (3² + 1) =
= 50 • 2 • 3 • 27 • 3³ = 300 • 2 • 3³. Кратно 300. Доведено.
б) 5¹⁰ • 3¹⁵ – 5⁸ • 3¹⁶ + 5¹¹ • 3¹² – 5⁹ • 3¹³ ділиться на 110; 5⁸ • 3¹² (5² • 3³ – 5⁰ • 3⁴ + 5³ – 5¹ • 3) = = (5² – 3) • (5⁸ • 3¹⁵ + 5⁹ • 3¹²) = 22 • 5⁸ • 3¹² = 2 • 11 • 2³ • 5⁸ • 3¹² = 11
2⁶ • 5⁸ • 3¹². Кратно 11. Доведено.
в) –7¹⁰ • 2¹⁰ + 7⁹ • 2¹⁴ – 7⁸ • 2¹⁰ + 7⁷ • 2¹⁴ ділиться на 450; (–7¹⁰ • 2¹⁰ + 7⁹ • 2¹⁴) + (–7⁸ • 2¹⁰ + 7⁷ • 2¹⁴) = = 7⁷ • 2¹⁰ (7³ – 7) + 7⁷ • 2¹⁰ (2⁴ – 7) = (2⁴ – 7) • (7⁷ • 2¹⁰ + 7⁷ • 2¹⁰) = = 9 • 7⁷ • 2¹⁰ • (7² + 1) = 9 • 5 • 10 • 7⁷ • 2¹⁰ = 45 • 5 • 7⁷ • 2¹⁰. Кратно 45. Доведено.
464. Розклади на множники
а) a² + 3ab + 2b² = a² + 2ab + b² + ab + b² = (a + b)² + b(a + b) = (a + b)(a + b + b) = = (a + b)(a + 2b). б) 2x² – 7xy + 3y² = 2x² – 6xy – xy + 3y² = 2x(x – 3y) – y(x – 3y) = (2x – y)(x – 3y).
465. Розв’яжи математичні кросворди. x − y = 10 x + z = 47 y − z = 5 Виразимо x через y
2z + 15 = 47
2z = 47 – 15
2z = 32 z = 16. Підставимо z = 16 у вираз для y: y = z + 5 = 16 + 5 = 21.
Підставимо z = 16 у вираз для x: x = z + 15 = 16 + 15 = 31.
Відповідь: x = 31; y = 21; z = 16.
y = z + 5
x = z + 15 у
рівняння: x = y + 10.
рівняння: y = z + 5.
для x: x = (z + 5) + 10 = z + 15.
рівняння: (z + 15) + z = 47.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x + y = 80
n − m = 16
x • 20 = n y + 30 = m
З першого рівняння x + y = 80 виразимо y: y = 80 − x. З четвертого рівняння y + 30 = m підставимо y: m = (80 − x) + 30 = 110 − x. З третього рівняння x • 20 = n знаходимо n: n = 20x.
З другого рівняння n − m = 16 підставимо знайдені n і m: 20x − (110 − x) = 16.
Розв'яжемо рівняння: 20x − 110 + x = 16.
21x = 126.
x = 6.
Підставимо x = 6 у вираз для y: y = 80 − 6 = 74.
Підставимо x = 6 у вираз для n: n = 20 • 6 = 120.
Підставимо x = 6 у вираз для m: m = 110 − 6 = 104.
Відповідь: x = 6, y = 74, n = 120, m = 104.
Розв'яжемо рівняння:
2x – x = 5 + 5.
x = 10.
Знайдемо y, n і m: y = x + 8 = 10 + 8 = 18. n = x + 5 = 10 + 5 = 15. m = 2x = 2 • 10 = 20.
x + 8 = y
y – 3 = n
x • 2 = m
m – 5 = n
n = (x + 8) – 3 = x + 5.
Відповідь: x = 10, y = 18, n = 15, m = 20.
466. Скільки
прямій.
|x| < 5; –5 < x < 5. Числа: 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Всього: 9 чисел.
y: y = x + 8.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
В (x+y)²
470. Перетвори на многочлен (х – 2у)2 . Г x² – 4xy + 4y²
471. Якому тричлену тотожно
а) (a + x)² = a² + 2ax + x² в) (a – 2)² = a² – 4a + 4
б) (x + 1)² = x² + 2x + 1 г) (x – 1)² = x² – 2x + 1
472. Піднеси до квадрата двочлен.
а) (1 + c)² = 1 + 2c + c² в) (a – n)² = a² – 2an + n² б) (1 – x)² = 1 – 2x + x² г) (x + 2)² = x² + 4x + 4
473. Якому з виразів тотожно дорівнює вираз а2 – 8а + 16?
В (a – 4)²
474. Подай у вигляді степеня.
а) 1 + 2a + a² = (a + 1)²
б) x² – 4yx + 4y² = (x – 2y)²
в) 16 – 8c + c² = (c – 4)²
г) 9z² + 12z + 4 = (3z + 2)²
ґ) 25p² + 20px + 4x² = (5p + 2x)²
д) y² – 14y + 49 = (y – 7)²
475. Вкажи вираз, що є квадратом
В 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
476. Піднеси до квадрата двочлен
а) (a + c)² = a² + 2 • a • c + c² = a² + 2ac + c².
б) (x + y)² = x² + 2 • x • y + y² = x² + 2xy + y².
в) (n + 2)² = n² + 2 • n • 2 + 2² = n² + 4n + 4.
г) (m + 3)² = m² + 2 • m • 3 + 3² = m² + 6m + 9.
ґ) (1 + ab)² = 1² + 2 • 1 • ab + (ab)² = 1 + 2ab + a²b².
д) (p + 3q)² = p² + 2 • p • 3q + (3q)² = p² + 6pq + 9q².
е) (2x + 4)² = (2x)² + 2 • 2x • 4 + 4² = 4x² + 16x + 16.
є) (3a + b)² = (3a)² + 2 • 3a • b + b² = 9a² + 6ab + b².
ж) (3x + 2y)² = (3x)² + 2 • 3x • 2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y².
з) (5a + 3b)² = (5a)² + 2 • 5a • 3b + (3b)² = 25a² + 30ab + 9b².
и) (2a² – 3x)² = (2a²)² – 2 • 2a² • 3x + (3x)² = 4a⁴ – 12a²x + 9x².
і) (3a² – 5c³)² = (3a²)² – 2 • 3a² • 5c³ + (5c³)² = 9a⁴ – 30a²c³ + 25c⁶. 477. Піднеси до квадрата двочлен
а) (m + 2)² = m² + 2 • m • 2 + 2² = m² + 4m + 4.
б) (2a + x)² = (2a)² + 2 • 2a • x + x² = 4a² + 4ax + x².
в) (3 + 6a)² = 3² + 2 • 3 • 6a + (6a)² = 9 + 36a + 36a².
г) (x – 1)² = x² – 2 • x • 1 + 1² = x² – 2x + 1.
ґ) (2c – 3a)² = (2c)² – 2 • 2c • 3a + (3a)² = 4c² – 12ac + 9a².
д) (5x – y)² = (5x)² – 2 • 5x • y + y² = 25x² – 10xy + y².
е) (1 – ab)² = 1² – 2 • 1 • ab + (ab)² = 1 – 2ab + a²b².
є) (cq – 2p)² = (cq)² – 2 • cq • 2p + (2p)² = c²q² – 4cqp + 4p².
ж) (ax + 5)² = (ax)² + 2 • ax • 5 + 5² = a²x² + 10ax + 25.
з) (a + c²)² = a² + 2 • a • c² + (c²)² = a² + 2ac² + c⁴.
и) (n² + 2a³)² = (n²)² + 2 • n² • 2a³ + (2a³)² = n⁴ + 4n²a³ + 4a⁶.
і) (2a² – 3cx²)² = (2a²)² – 2 • 2a² • 3cx² + (3cx²)² = 4a⁴ – 12a²cx² + 9c²x⁴.
478.
а) (m + 2)(m + 2) = m² + 2 • m • 2 + 2² = m² + 4m + 4.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) (3 + p)(3 + p) = 3² + 2 • 3 • p + p² = 9 + 6p + p².
в) (3a – 5)(3a – 5) = (3a)² – 2 • 3a • 5 + 5² = 9a² – 30a + 25.
г) (2a – b²)(2a – b²) = (2a)² – 2 • 2a • b² + (b²)² = 4a² – 4ab² + b⁴.
479. Подай у вигляді
а) (5 + c)(5 + c) = 5² + 2 • 5 • c + c² = 25 + 10c + c².
б) (p – 10)(p – 10) = p² – 2 • p • 10 + 10² = p² – 20p + 100.
в) (2a³ + 1)(2a³ + 1) = (2a³)² + 2 • 2a³ • 1 + 1² = 4a⁶ + 4a³ + 1.
г) (1 – xy)(1 – xy) = 1² – 2 • 1 • xy + (xy)² = 1 – 2xy + x²y².
480. Віднови записи на дошці.
а) a² – 4ab² + 4b⁴ = (a – 2b²)².
б) a²b² + 12abc + 36c² = (ab + 6c)².
481. Подай тричлен у вигляді квадрата
а) m² + 2m + 1 = (m + 1)².
б) x² – 4x + 4 = (x – 2)².
в) c² – 12c + 36 = (c – 6)².
г) a² + 14a + 49 = (a + 7)².
ґ) 9 – 6x + x² = (3 – x)².
д) 4x² + 25y² – 20xy = (2x – 5y)².
482. Подай тричлен у
а) a² + 4a + 4 = (a + 2)².
б) n² – 12n + 36 = (n – 6)².
в) x² – 10x + 25 = (x – 5)².
г) 9a² + 6ac + c² = (3a + c)².
ґ) 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)².
д) b⁴ – 6b² + 9 = (b² – 3)².
483. Спрости вираз.
а) (x – 3)² – x(x – 6) = (x² – 6x + 9) – (x² – 6x) = x² – 6x + 9 – x² + 6x = 9
б) (m + 5)² – (m – 5)² = (m² + 10m + 25) – (m² – 10m + 25) = = m² + 10m + 25 – m² + 10m – 25 = 20m
в) 1 – (2a – 1)² = 1 – (4a² – 4a + 1) = 1 – 4a² + 4a – 1 = –4a² + 4a
г) z² + 1 – (1 + z)² = z² + 1 – (1 + 2z + z²) = z² + 1 – 1 – 2z – z² = –2z
ґ) (x – 2)(x – 4) – (x – 6)² = (x² – 6x + 8) – (x² – 12x + 36) = x² – 6x + 8 –
+ 12x – 36 = = 6x – 28
д) (2a – 3c)² – 3c(3c – 4a) = (4a² – 12ac + 9c²) – (9c² – 12ac) = = 4a² – 12ac + 9c² – 9c² + 12ac = 4a²
484. Спрости вираз.
а) (x – 2)² + (x + 5)(x – 1) = (x² – 4x + 4) + (x² + 5x – x – 5) = = x² – 4x + 4 + x² + 4x – 5 = 2x² – 1
b) (3a – 1)² + 3a(2 – 3a) = (9a² – 6a + 1) + (6a – 9a²) = 9a² – 6a + 1 + 6a – 9a² = 1
c) y(y + 2x) – (x + y)² = y² + 2xy – (x² + 2xy + y²) = y² + 2xy – x² – 2xy – y² = –x²
d) (b + 4)² – (b – 3)² = (b² + 8b + 16) – (b² – 6b + 9) = b² + 8b + 16 – b² + 6b – 9 = 14b + 7
e) 4(1 – 3a) – (3a – 2)² = 4 – 12a – (9a² – 12a + 4) = 4 – 12a – 9a² + 12a – 4 = –9a²
f) (2x + 3y)² – 3y(4x + 3y) = (4x² + 12xy + 9y²) – (12xy + 9y²) = = 4x² + 12xy + 9y² – 12xy – 9y² = 4x²
485. Розв’яжи рівняння а) (x – 2)² = x(x – 3)
x² – 4x + 4 = x² – 3x
x² – 4x – x² + 3x = –4
б) (3y + 5)² = 9y² + 55
9y² + 30y + 25 = 9y² + 55 30y = 55 – 25
в) (c – 7)² – 2(c – 2) = c² + 21
c² – 14c + 49 – 2c + 4 = c² + 21
c² – 14c – 2c – c² = 21 – 49 – 4
x = –4
x = 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
30y = 30 y = 30 : 30 y = 1
г) (6 – x)² = (x + 8)(x – 4) + 4
36 – 12x + x² = x² – 4x + 8x – 32 + 4
–12x + x² – x² + 4x – 8x = –32 + 4 – 36 –16x = –64
x = –64 : (–16)
x = 4
486. Розв’яжи рівняння
а) (x – 4)² = x(x + 8)
x² – 8x + 16 = x² + 8x
x² – 8x – x² – 8x = –16 –16x = –16
x = 1
б) (5 – 2y)² = 4y² + 65 25 – 20y + 4y² = 4y² + 65 –20y + 4y² – 4y² = 65 – 25 –20y = 40 y = –2
г) (x – 3)(x – 4) – (x – 5)² = –10
x² – 4x – 3x + 12 – x² + 10x – 25 = –10
x² – 4x – 3x – x² + 10x = –10 – 12 + 25
3x = 3
x = 1
487. Розв’яжи рівняння
а) x² + 10x + 25 = 0
(x + 5)² = 0
x + 5 = 0
x = –5
в) 1 – 8x + 16x² = 0
(1 – 4x)² = 0
1 – 4x = 0
–4x = –1
x = 1 4
488. Розв’яжи рівняння
а) x² – 14x + 49 = 0
(x – 7)² = 0
x – 7 = 0
x = 7
–16c = –32
c = –32 : (–16)
c = 2
в) 4 – 12x + 9x² = 0
(2 – 3x)² = 0
2 – 3x = 0
–3x = –2
в) (x + 7)² – x² = 3(5x + 15)
x² + 14x + 49 – x² = 15x + 45
x² + 14x – x² – 15x = 45 – 49 –x = –4 x = 4
б) 25x² – 30x + 9 = 0
(5x – 3)² = 0 5x – 3 = 0 5x = 3 x = 3 5
г) 36 + 12x + x² = 0
(6 + x)² = 0
6 + x = 0
x = –6
б) 9x² + 12x + 4 = 0
(3x + 2)² = 0
3x + 2 = 0
3x = –2
x = –2 3
г) 1 + 16x + 64x² = 0
(1 + 8x)² = 0
1 + 8x = 0
8x = –1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 2 3 x = –1 8
489. Подай у вигляді многочлена вираз.
а) (0,5x² + 3y³)² = (0,5x²)² + 2(0,5x²)(3y³) + (3y³)² = 0,25x⁴ + 3x²y³ + 9y⁶.
б) (0,2m⁵ + 5ab)² = (0,2m⁵)² + 2(0,2m⁵)(5ab) + (5ab)² = 0,04m¹⁰ + 2abm⁵ + 25a²b².
в) (7a³ + 2a²)² = (7a³)² + 2(7a³)(2a²) + (2a²)² = 49a⁶ + 28a⁵ + 4a⁴.
г) (2x²y⁴ + 0,5y³)² = (2x²y⁴)² + 2(2x²y⁴)(0,5y³) + (0,5y³)² = 4x⁴y⁸ + 2x²y⁷ + 0,25y⁶.
ґ) (–3c2 + 0,8х2у3)2 = 9c⁴ – 4,8c²x²y³ + 0,64x⁴y⁶
д) (–5x² – 0,4y³)² = (–5x²)² + 2(–5x²)(–0,4y³) + (–0,4y³)² = 25x⁴ + 4x²y³ + 0,16y⁶.
490. Замініть зірочки одночленами, щоб утворилась тотожність.
а) (c + b)² = c² + 2cb + b²
б) (a + m)² = a² + 2am + m²
в) (3x – 1)² = 9x² – 6x + 1
г) (a – 3bx)² = a² – 6abx + 9b²x²
491. Спрости
а) (2a – 5)² – (2a – 3)(2a – 6), якщо a = 1,5.
4a² – 20a + 25 – (4a² – 18a + 18) = –2a + 7
якщо a = 1,5, то –2 · 1,5 + 7 = –3 + 7 = 4
б) (6x – 2)(6x + 2) – (6x – 2)², якщо x = 0,5.
36x² – 4 + (36x² – 24x + 4) = 36x² – 4 – 36x² + 24x – 4 = = 24x – 8, якщо x = 0,5, то 24 · 0,5 – 8 = 12 – 8 = 4;
в) 2(x – 1)² + 3(5 – x)² + 34x, якщо x = 2. 2x² – 4x + 2 + 3x² – 30x + 75 + 34x = 5x² + 77
якщо x = 2, то 5 4 + 77 = 20 + 77 = 97
г) 0,5(2c – 3)² + 0,75(c + 4)², якщо c = 2.
0,5(4c² – 12c + 9) + 0,75(c² + 8c + 16) = = 2c² – 6c + 4,5 + 0,75c² + 6c + 12 = 2,75c² + 16,5, якщо c = 2, то 2,75 · 2² + 16,5 = 11 + 16,5 = 27,5.
492. Спрости вираз та обчисли його значення
а) (a – 5)² – a(a + 8), якщо a = 0,5.
a² – 10a + 25 – (a² + 8a) = a² – 10a + 25 – a² – 8a = –18a + 25
якщо a = 0,5, то –18 • 0,5 + 25 = –9 + 25 = 16.
б) (3c + 0,5)² – (3c – 0,5)², якщо c = –1,2. (9c² + 3c + 0,25) – (9c² – 3c + 0,25) = = 9c² + 3c + 0,25 – 9c² + 3c – 0,25 = 6c
якщо c = –1,2, то 6 • (–1,2) = –7,2.
в) (2x – 5)² – 4(x – 2)(x – 3), якщо x = 0,125. (4x² – 20x + 25) – 4(x² – 5x + 6) = = 4x² – 20x + 25 – 4x² + 20x – 24 = 25 – 24 = 1
якщо x = 0,125. значення
493. Спрости вираз
x.
а) (a – 5)² – (a – 3)(a + 3) + 10a = a² – 10a + 25 – (a² – 9) + 10a = = a² – 10a + 25 – a² + 9 + 10a = 25 + 9 = 34.
б) (4a² + c)² + (a² – 4c)² – 17a⁴ = (16a⁴ + 8a²c + c²) + (a⁴ – 8a²c + 16c²) – 17a⁴ = = 16a⁴ + a⁴ – 17a⁴ + 8a²c – 8a²c + c² + 16c² = 17c².
в) 10c² – (x² + 3c)² – (3x² – c)² = 10c² – (x⁴ + 6x²c + 9c²) – (9x⁴ – 6x²c + c²) = = 10c² – x⁴ – 6x²c – 9c² – 9x⁴ + 6x²c – c² = 10c² – 9c² – c² – x⁴ – 9x⁴ = –10x⁴.
г) 3a²z² – 9(2 3 az – 3)² + 4(1 2 az – 1)² = 3a²z² – 9(4 9 a²z² – 4az + 9) + 4(1 4 a²z² – az + 1)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
= 3a²z² – (4a²z² – 36az + 81) + (a²z² – 4az + 4) = 3a²z² – 4a²z² + 36az – 81 + a²z² – 4az + 4 = = (3a²z² – 4a²z² + a²z²) + (36az – 4az) + (–81 + 4) = 0 + 32az – 77 = 32az – 77.
494. Спрости вираз
а) (3a – 2b)² – (2a – 3b)² + 5b² = (9a² – 12ab + 4b²) – (4a² – 12ab + 9b²) + 5b² = = 9a² – 12ab + 4b² – 4a² – 12ab + 9b² + 5b² = (9a² – 4a²) + (–12ab + 12ab) + (4b² – 9b² + 5b²) = = 5a² + 0 – b² = 5a² – b².
б) (2c – 1)² – (2c + 7)(2c – 7) + 5c = (4c² – 4c + 1) – (4c² – 49) + 5c = = 4c² – 4c + 1 – 4c² + 49 + 5c = (4c² – 4c²) + (–4c + 5c) + (1 + 49) = c + 50.
в) 3(2x – y)² – 2(3x – y)² + 6x² = 3(4x² – 4xy + y²) – 2(9x² – 6xy + y²) + 6x² = = (12x² – 12xy + 3y²) – (18x² – 12xy + 2y²) + 6x² = = (12x² – 18x² + 6x²) + (–12xy + 12xy) + (3y² – 2y²) = 0 + 0 + y² = y².
г) 1,5(ac – 2x²)² – 3(x² – ac)² = 1,5(a²c² – 4acx² + 4x⁴) – 3(x⁴ – 2acx² + a²c²) = = 1,5a²c² – 6acx² + 6x⁴ – 3x⁴ + 6acx² – 3a²c² = = (1,5a²c² – 3a²c²) + (–6acx² + 6acx²) + (6x⁴ – 3x⁴) = –1,5a²c² + 0 + 3x⁴ = 3x⁴ – 1,5a²c².
495. Доведи тотожність
а) (a – b)² = (b – a)²
a² – 2ab + b² = b² – 2ab + a² = (b – a)². Доведено.
б) (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b² = 2(a² + b²). Доведено.
в) a² + b² = (a + b)² – 2ab
a² + b² = a² + 2ab + b² – 2ab
a² + b² = a² + b². Доведено.
г) (2a + b)² + (a – 2b)² = 5(a² + b²)
4a² + 4ab + b² + a² – 4ab + 4b² = 5(a² + b²)
5a² + 5b² = 5(a² + b²). Доведено.
496. Доведи тотожність.
а) (-a - b)² = (a + b)²:
(-a - b)² = (-a)² + 2(-a)(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ця тотожність неправильна, бо a² - 2ab + b² ≠ a² + 2ab + b².
б) (a + b)² - (a - b)² = 4ab:
(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 4ab
Тотожність доведено.
в) (3a + b)² + (a - 3b)² = 10(a² + b²):
(3a + b)² + (a - 3b)² = (9a² + 6ab + b²) + (a² - 6ab + 9b²) = 10a² + 10b² = 10(a² + b²)
Тотожність доведено.
497. Знайди корінь рівняння
а) (x – 6)² + (2x + 3)² = 5x(x – 9)
(x – 6)² + (2x + 3)² = 5x(x – 9)
(x² – 12x + 36) + (4x² + 12x + 9) = 5x² – 45x
x² – 12x + 36 + 4x² + 12x + 9 = 5x² – 45x
5x² + 45 = 5x² – 45x
5x² – 5x² + 45x = –45
45x = –45
x = –1
б) 2(3 – x)² – x(x + 6) = (x – 4)²
2(9 – 6x + x²) – (x² + 6x) = x² – 8x + 16
18 – 12x + 2x² – x² – 6x = x² – 8x + 16
x² – 18x + 18 = x² – 8x + 16
x² – 18x – x² + 8x = 16 – 18
–10x = –2
x = 0,2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
498. Знайди
a) (x – 5)² – 2x(x + 3) + (x – 6)² = 5
x² – 10x + 25 – 2x² – 6x + (x² – 12x + 36) = 5
x² – 10x + 25 – 2x² – 6x + x² – 12x + 36 = 5
x² – 10x – 2x² – 6x + x² – 12x = 5 – 25 – 36
–28x = –56
x = –56 : (–28)
x = 2.
499. Знайди корінь рівняння
1) (2x + 5)² + 2x(x – 6,5) = (2x – 3)(3x + 1)
4x² + 20x + 25 + 2x² – 13x = 6x² + 2x – 9x – 3
20x – 13x – 2x + 9x = –3 – 25
14x = –28
x = –28 : 14
x = –2.
2) (3x + 8)² + 11(x² + 2) – 2(3x + 4)² = 2(x – 3)²
б) (3z + 1)² – 8z(z + 1) = (z – 3)²
(9z² + 6z + 1) – 8z² – 8z = z² – 6z + 9
9z² + 6z + 1 – 8z² – 8z = z² – 6z + 9
z² – 2z + 1 = z² – 6z + 9
z² – 2z – z² + 6z = 9 – 1
4z = 8
z = 2
9x² + 48x + 64 + 11x² + 22 – 18x² – 48x – 32 = 2x² – 12x + 18
12x = –36
x = –36 : 12
x = –3.
3) (6x – 5)² – 4(2x + 1)² = 10(2x – 1)(x – 3)
36x² – 60x + 25 – 16x² – 16x – 4 = 20x² – 70x + 30
–60x – 16x + 70x = 30 – 25 + 4 –6x = 9
x = 9 : (–6)
x = –1,5.
500. Знайди
рівняння а) 1 4 x² + 1 + x = 0
(1 2x + 1)² = 0
1 2 x + 1 = 0
0,5x = –1
x = –1 : 0,5
x = –10 : 5
x = –2
а) 1 36 x² – x + 9 = 0
(1 6 x – 3)² = 0 1 6 x – 3 = 0
1 6 x = 3
x = 3 : 1 6 x = 3 • 6 1 x = 18.
б) 16 + 4x + 0,25x² = 0 (4 + 0,5x)² = 0 4 + 0,5x = 0 0,5x = –4
x = –4 : 0,5
x = –40 : 5
x = –8.
б) 2x + 25 + 0,04x² = 0 (5 + 0,2x)² = 0 5 + 0,2x = 0
0,2x = –5
x = –5 : 0,2
x = –50 : 2
x = –25.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
502. Обчисли,
а) 11² = (10 + 1)² = 10² + 2 • 10 • 1 + 1² = 100 + 20 + 1 = 121;
б) 99² = (100 – 1)² = 100² – 2 • 100 • 1 + 1 = 10000 – 200 + 1 = 9801;
в) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 • 100 • 1 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201; г) 202² = (200 + 2)² = 200² + 200 • 2 • 2 + 2² = 40000 + 800 + 4 = 40804.
503. Обчисли, використовуючи формулу
a) 52² = (50 + 2)² = 2500 + 2 • 50 • 2 + 4 = 2500 + 200 + 4 = 2704;
б) 61² = (60 + 1)² = 60² + 2 • 60 • 1 + 1 = 3600 + 120 + 1 = 3721;
в) 79² = (80 – 1)² = 80² – 2 • 80 • 1 + 1 = 6400 – 160 + 1 = 6241;
г) 81² = (80 + 1)² = 80² + 2 • 80 • 1 + 1 = 6400 + 160 + 1 = 6561.
504. Виділи
а) x² + 10x + 30 = (x + 5)² + 5
б) x² – 12x + 41 = (x – 6)² + 5
в) 9x² – 24x + 19 = (3x – 4)² + 3
г) x² + 22x + 130 = (x + 11)² + 9
505.
а) a² – 14a + 50 = (a – 7)² + 1
б) a² + 16a + 65 = (a + 8)² – 19
в) 25a² – 20a + 7 = (5a – 2)² + 3
г) a² + 26a + 190 = (a + 13)² + 61
506. Якого
a) a² – 4a + 10 = a² – 2 • 2a + 4 + 6 = (a – 2)² + 6
при a = 2 значення
б) a² + 8a + 180 = a² + 2 • 4a + 16 + 164 = (a + 4)² + 164
при a = −4
n = 7
1; б) m² + 6m + 38 = m² + 2 • 3m + 9 + 29 = (m + 3)² + 29
при m = –3
508. Для
a) x² + 2 • 5x + 25 + y² + 2y + 1 = 0
(x + 5)² + (y + 1)² = 0
x = –5; y = –1;
б) x² – 2 • 6x + 36 + y² + 2 • 2y + 4 = 0
(x – 6)² + (y + 2)² = 0 x = 6; y = –2.
509.
a) x2 + у2 + 8х + 6у + 25 = 0;
x2 + y2 + 8x + 6y + 25=0
(x2 + 8x + 16) + (y2 + 6y + 9) + 25 – 16 – 9 = 0
(x + 4)2 + (y + 3)2 = 0
x = 4, y = 3
б) x2 + у2 + 14x – 2у + 50 = 0
x2 + y2 + 14x – 2у + 50 = 0
(x2 + 14x + 49) + (y2 – 2y + 1) + 50 – 49 – 1 = 0
(x + 7)2 + (y – 1)2 = 0
x = 7, y = 1
510.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 1) ((a + b) + c)² = (a + b)² + 2 • c • (a + b) + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc; 2) (a + (b + c))² = a² + 2a(b + c) + (b + c)² = a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c² =
+ c² + 2ab + 2bc + 2ac.
511. Використовуючи тотожність, наведену
многочлена вираз
a) (x + y + 5)² = x² + y² + 25 + 2xy + 10x + 10y; б) (x + 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz; в) (x + y – 1)² = x² + y² + 1 + 2xy – 2x – 2y.
512. Використовуючи тотожність,
многочлена вираз
a) (a + b + 1)² = a² + b² + 1 + 2a + 2b + 2a; б) (a + 3b + c)² = a² + 9b² + c² + 6ab + 2ac + 6bc; в) (a + c – 3)² = a² + c² + 9 – 2ac – 6a – 6c.
513. Доведіть формули куба двочлена: 1) (a + b) ³ = (a + b)²(a + b) = (a² − 2ab + b²)(a −
3a²b + 3ab² − b³
2) (a – b)³ = (a – b)²(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b) = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.
Користуючись ними, піднесіть до
a) x + 3 = (x + 3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27;
б) 4a + c = (4a + c)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³;
в) x – y = (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y;
г) m + 2a = (m + 2a)³ = m³ + 6m²a + 12ma² + 8a³.
514. Подай вираз у вигляді многочлена.
a) (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8;
б) (y – 2)³ = y³ – 6y² + 12y – 8 ;
в) (2x – 1)³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1; г) (3x + 1)³ = 27x³ + 27x² + 9x + 1.
515. Подай многочлен у вигляді степеня
a) a³ – 3a² + 3a – 1 = (a – 1)³; б) 8у³ – 36у² + 54у – 27 = (2y – 3)³.
516. Подай многочлен у вигляді степеня
a) x³ + 9x² + 27x + 27 = (x + 3)²; б) x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³.
517. Доведи тотожність
a) (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b);
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); Доведено. б) (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b).
a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab(a – b). Доведено.
518. Розв’яжи рівняння x³ + 3x² + 3x + 1 = 0
(x + 1)³ = 0
x = –1
Відповідь: В –1
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
519. Розв’яжи рівняння
a) (x – 1)³ = x²(x – 3)
x³ – 3x² + 3x – 1 = x³ – 3x²
3x – 1 = 0
x = 1 3
б) (x – 2)³ + 6x² = (x – 2)(x² + 2x + 4)
x³ – 6x² + 12x – 8 + 6x² = x³ – 8
12x = 0
x = 0
520. Розв’яжи рівняння
a) (x + 1)³ = x³ + 3x² – 2
x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ – 3x² = –2
3x = –3
x = –1;
б) (x + 2)³ – 6x² = (x + 2)(x² – 2x + 4)
x³ + 6x² + 12x + 8 – 6x² = x³ + 8
12x = 0
x = 0.
521. Заміни * такими цифрами, щоб рівність
a) 5775 = 75 • 7 • 11;
б) 805 = 23 • 5 • 7.
522. Задача Ж. Л. Лагранжа (1736-1813).
(A² + B² + C²)(A₁² + B₁² + C₁²) – (A A₁ + B B₁ + C C₁)² = (A B₁ – A₁B)² + (A C₁ –A₁ C)² + (B · C₁ – B₁ · C)²
Для перевірки цієї тотожності розкриємо
Перший множник: (A²+B²+C²)
Другий множник: (A₁²+B₁²+C₁²)
При перемноженні отримаємо:
частині:
(A²+B²+C²)(A₁²+B₁²+C₁²) = A²A₁² + A²B₁² + A²C₁² + B²A₁² + B²B₁² + B²C₁² + C²A₁² + C²B₁² + C²C₁²
Тепер розкриємо квадрат виразу:
(A·A₁+B·B₁+C·C₁)² = (A·A₁)² + (B·B₁)² + (C·C₁)² + 2(A·A₁)(B·B₁) + 2(A·A₁)(C·C₁) + 2(B·B₁)(C·C₁)
Віднімаємо другий вираз від першого, отримуємо
Тепер перевіримо праву частину:
(A·B₁-A₁B)² = A²B₁² + A₁²B² - 2AB₁A₁B
(A·C₁-A₁·C)² = A²C₁² + A₁²C² - 2AC₁A₁C
(B·C₁-B₁·C)² = B²C₁² + B₁²C² - 2BC₁B₁C
частину тотожності.
1) Так; 2) так; 3) ні. 525. ФОП,
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1) 500000 : 100 • 7 = 35000 (грн) –
2) 500000 + 35000 = 535000 (грн)
Відповідь: ФОП повинен повернути
526.Подай у
а) (x + m)(x - m) = x² - m²
б) (x + z)(x - z) = x² - z²
в) (m + 4)(m - 4) = m² - 16
г) (5 + a)(5 - a) = 25 - a²
ґ) (ab + c)(ab - c) = (ab)² - c²
д) (ab - 1)(ab + 1) = (ab)² - 1
527. Подай у
(a - 2b)(a + 2b). (a - 2b)(a + 2b) = a² - (2b)² = a² - 4b²
Відповідь: Б a² - 4b²
528. На який
Якщо помножити (6x - p) на (6x + p), отримаємо: (6x - p)(6x + p) = (6x)² - p² = 36x² - p²
Відповідь: В 6x + p
529. На який
1 + 9a²,
Якщо помножити (1 + 9a²) на (1 - 9a²), отримаємо: (1 + 9a²)(1 - 9a²) = 1² - (9a²)² = 1 - 81a⁴
Відповідь: треба помножити на (1 - 9a²)
530. Якому
16 - c² = 4² - c² = (4 + c)(4 - c)
Відповідь: Г (4 + c)(4 - c)
531. Розклади на множники двочлен.
а) 25 - x² = 5² - x² = (5 + x)(5 - x)
б) a² - 1 = a² - 1² = (a + 1)(a - 1)
в) m² - 4n² = m² - (2n)² = (m + 2n)(m - 2n)
г) 100a² - 9b² = (10a)² - (3b)² = (10a + 3b)(10a - 3b)
532. Подай у
a) (4a + 1)(4a – 1) = 16a² – 1;
б) (2a – c)(2a + c) = 4a² – c²;
в) (2d + x)(2d – x) = 4d² – x²;
г) (a – c²)(a + c²) = a² – c⁴;
ґ) (8x – y²)(y² + 8x) = 64x² – y⁴;
д) (2a² + 3b)(3b – 2a²) = –4a⁴ – 9b².
533.
a) (3p – q)(3p + q) = 9p² – q²;
б) (m – 4c²)(m + 4c²) = m² – 16c⁴;
в) (4a – b)(4a + b) = 16a² – b²;
г) (5 + abc)(5 – abc) = 25 – a²b²c²;
ґ) (2y + x²)(x² – 2y) = 4y² – x⁴;
д) (m² – n²)(n² + m²) = m⁴ – n⁴.
534.
16 - c²?
36x² - p²?
1 - 81a⁴?
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) (2x − c)(2x + c) − 4x² = 4x² − c² − 4x² − c²;
б) 49z² − (7z − 3x)(7z + 3x) = 49z² − 49z² + 9x² = 9x²;
в) (4a − 5b)(4a + 5b) − 8a(2a − b) = 16a² − 25b² − 16a² + 8ab = 8ab − 25b²; г) (y − 2)(y + 3) + (7c − y)(7c + y) = y² − 2y + 3y − 6 + 49c² − y² = 49c² + y − 6.
535. Спрости вираз а) (a − 2b)(a + 2b) + 4b² = a² − 4b² + 4b² = a²; б) (m² + 3y)(m² − 3y) − m⁴ = m⁴ − 9y² − m⁴ = −9y²; в) (3a + x)(3a − x) − 9a(a − x) = 9a² − x² − 9a² + 9ax = 9ax − x²; г) (4а – 1)(а + 3) – (2a – 5y)(2a + 5y) = 4a² + 11a – 3 – (4a² – 25y²) = 11a + 25y² – 3
536. Розв’яжи рівняння а) (x − 2)(x + 2) = x² − 8x
x² − 4 = x² − 8x
8x = 4
x = 0,5;
в) x(x + 4) + (3 − x)(3 + x) = x
x² + 4x + 9 − x² = x
4x − x = −9
3x = −9
x = −3;
537. Розв’яжи рівняння
а) (9 − x)(9 + x) = 3x − x²
81 − x² = 3x − x²
3x = 81
x = 27;
в) x(x + 4) + (3 − x)(3 + x) = x
x² + 4x + 9 − x² = x
4x − x = −9
3x = −9
x = −3;
538. Замініть зірочки одночленом, щоб
а) (5m − 3a)(5m + 3a) = 25m² − 9a²;
б) (4a − 3x²)(4a + 3x²) = 16a² − 9x⁴;
в) (4m + 2p)(4m − 2p) = 16m² − 4p²;
г) (6x − 5a²)(6x + 5a²) = 36x² − 25a⁴.
539. Подай у
а) x² − m² = (x − m)(x + m);
б) a² − 9 = (a − 3)(a + 3);
в) b² − 16c² = (b − 4c)(b + 4c);
г) 1 − 16z² = (1 − 4z)(1 + 4z);
ґ) q² − p²n² = (q − pn)(q + pn);
д) 0,04 − x² = (0,2 − x)(0,2 + x);
е) c⁴ − 9a² = (c² − 3a)(c² + 3a);
є) 121x² − y⁶ = (11x − y³)(11x + y³).
540. Подай у
а) n² − m² = (n − m)(n + m);
б) x² − 16 = (x − 4)(x + 4);
б) (3 + c)(3 − c) = 3c − c²
9 − c² = 3c − c²
3c = 9
c = 3;
г) (y + 4)(y − 4) = y² − 8y y² − 16 = y² − 8y
8y = 16 y = 2.
б) 1 − z² = 2z − (z + 3)(z − 3)
1 − z² = 2z − z² + 9
2z = 1 − 9
z = −8 : 2
z = −4;
г) 2b − 9b² = (2 − 3b)(2 + 3b)
2b − 9b² = 4 − 9b²
2b = 4 b = 2.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) 4c² − 9 = (2c − 3)(2c + 3);
г) 1 − 25n² = (1 − 5n)(1 + 5n);
ґ) 9q² − p² = (3q − p)(3q + p);
д) 0,01 − a² = (0,1 − a)(0,1 + a);
е) x⁴ − 4y⁶ = (x² − 2y³)(x² + 2y³);
є) 169a² − c⁸ = (13a − c⁴)(13a + c⁴).
541. Розв’яжи рівняння
а) x² − 16 = 0
(x − 4)(x + 4) = 0
x₁ = −4; x₂ = 4;
б) 4x² − 9 = 0
(2x − 3)(2x + 3) = 0
1) 2x − 3 = 0 2) 2x + 3 = 0
2x = 3 2x = −3
x₁ = 1,5 x₂ = −1,5
в) x² + 64 = 0
коренів немає.
542. Розв’яжи рівняння
а) x² − 25 = 0
(x − 5)(x + 5) = 0
x₁ = −5; x₂ = 5;
б) 9x² − 16 = 0
(3x − 4)(3x + 4) = 0
1) 3x − 4 = 0
3x = 4
x₁ = 11 3
2) 3x + 4 = 0
3x = −4
x₂ = −11 3
в) x² + 81 = 0 коренів немає
543. Обчисли
a) 35² – 15² = 1225 – 225 = 1000; б) 73² – 27² = 5329 – 729 = 4600; в) 136² – 64² = 18496 – 4096 = 14400; г) 17²−8² 150 = (17−8)(17+8) 150 = 9·25 150 = 3·3·5·5 3·5·5·2 = 1,5; г) 16²−9² 13²−12² = (16−9)(16+9) (13−12)(13+12) = 7 25 1 25 = 7; д) 45²−35² 26²−24² = (45−35)(45+35) (26−24)(26+24) = 10·80 2 50 = 8.
544. Обчисли
а) 51² – 49² = 2601 – 2401 = 200; б) 27² – 23² = 729 – 529 = 200;
в) 146² – 54² = 21316 – 2916 = 18400;
г) 19²−17² 144 = (19−17)(19+17) 144 = 2 36 144 = 0,5; г)
32²−12² 23²−21² = (32−12)(32+12) (23−21)(23+21) = 20 44 2·44 = 10;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
д) 56² 46² 33² 18² = (56 46)(56 + 46) (33 18)(33 + 18) = 10 · 102 15 · 51 = 2 · 2 3 · 1 = 1 1 3 .
545. Обчисли без калькулятора а) 104 • 96 = 9984; б) 1007 • 993 = 999951; в) 0,95 • 1,05 = 0,9975.
546. Обчисли без калькулятора а) 102 • 98 = 9996; б) 1001 • 999 = 999999; в) 0,97 • 1,03 = 0,9991.
547. Запиши у вигляді многочлена а) (–3a + 5x²y)(3a + 5x²y) = 25x⁴y² – 9a²; б) (–2abc – 3a²)(–2abc + 3a²) = 4a²b²c² – 9a⁴; в) (–5x³ + 3y)(–5x³ – 3y) = (3y – 5x³)(3y + 5x³) • (–1) = (9y² – 25x⁶) • (–1) = 25x⁶ – 9y²; г) (–0,5ac + 1,1c²)(–0,5ac – 1,1c²) = 0,25a²c² – 1,21c⁴.
548. Запиши у вигляді многочлена
а) (–1 2 ax + 2 3 z²)(–1 2 ax –2 3 z²) = 1 4 a²x² –4 9 z⁴;
б) (–1 1 2 ac –1 3 a²)(–1 1 2 ac + 1 3 a²) = 9 4 a²c² –1 9 a⁴.
549. Запиши у вигляді многочлена
а) 2(4x – 1)(4x + 1) = 2(16x² – 1) = 32x² – 2;
б) k(m² – 2pt)(m² + 2pt) = k(m⁴ – 4p²t²) = km⁴ – 4kp²t²;
в) 9a(2 3 x – 1)( 2 3x + 1) = 9a(4 9 x² – 1) = 4ax² – 9a; г) (2 5 m – 2n)( 2 5m + 2n) · 25m² = = ( 4 25 m² – 4n²) · 25m² = 4m⁴ – 100n²m²
550. Запиши у вигляді многочлена
а) 3(2q – cn)(2q + cn) = 3(4q² – c²n²) = 12q² – 3c²n²; б) (0,5 + 2a)(0,5 – 2a) · 2c² = (0,25 – 4a²) · 2c² = 0,5c² – 8c²a²; в) (1 4a + 4b)( 1 4 a – 4b) · 16a = ( 1 16 a² – 16b²) · 16a = a³ – 256ab²; г) 4c(1 2 c – p)( 1 2c + p) = 4c(1 4 c² – p²) = c³ – 4cp².
551. Запиши у вигляді многочлена a) (x − 3)(x + 3)(x² + 9) = (x² − 9)(x² + 9) = x⁴ − 81; б) (4a² + 1)(2a + 1)(2a − 1) = (4a² + 1)(4a² − 1) = 16a⁴ − 1; в) (1 − x)(1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x²)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x⁴)(1 + x⁴)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x⁸)(1 + x⁸)(1 + x¹⁶) = (1 − x¹⁶)(1 + x¹⁶) = 1 − x³².
552. Запиши у вигляді многочлена
a) (m + 5)(m − 5)(m² + 25) = (m² − 25)(m² + 25) = m⁴ − 625; б) (9y² + z²)(z + 3y)(3y − z) = (9y² + z²)(9y² − z²) = 81y⁴ − z⁴; в) (a − b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a² − b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a⁴ − b⁴)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a⁸ − b⁸)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a¹⁶ − b¹⁶)(a¹⁶ + b¹⁶) = a³² − b³².
553. Розв’яжи рівняння a) (2x − 1)(2x + 1) = 9 + 4x(x + 5) 4x² − 1 = 9 + 4x² + 20x 20x = −1 − 9 x = −10 : 20 x = −0,5; б) 8z² − (3z + 5)(3z − 5) = z(5 − z)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
8z² − 9z² + 25 = 5z − z²
5z = 25
z = 5;
в) (2,5y − 2)(2,5y + 2) − (1,5y + 3)(1,5y − 3) = 4y(y − 5)
6,25y² − 4 − 2,25y² + 9 = 4y² − 20y
20y = 5
y = 5 : (−20)
y = −0,25;
г) (2x + 3)(2x − 3) − 2x(x − 4) = (x + 3)(2x − 1)
4x² − 9 − 2x² + 8x = 2x² − x + 6x − 3
8x + x − 6x = −3 + 9
3x = 6
x = 2.
554. Розв’яжи рівняння a) (3z + 2)(3z − 2) = 7z + 9(z² − 2)
9z² − 4 = 7z + 9z² − 18
7z = −4 + 18
z = 14 : 7
z = 2;
б) x² − (1,2x − 3)(3 + 1,2x) = 0,2x(1,5 − 2,2x)
x² − 1,44x² + 9 = 0,3x − 0,44x²
0,3x = 9
x = 9 : 0,3
x = 30;
в) 3x(x − 2) − (3x − 1)(3x + 1) = (3 + 2x)(1 − 3x)
3x² − 6x − 9x² + 1 = 3 − 9x + 2x − 6x²
6x + 9x − 2x = 3 − 1
x = 2.
555. Спрости вираз a) (a − 2)(a + 2) (a² + 4) − (a²
б) a⁴b⁴ − (ab − c)(ab + c) (a²b² + c²) = a⁴b⁴ − (a²b² − c²) (a²b² + c²) = a⁴b⁴ − a⁴b⁴
(3x² + y) (3x² − y) (9x⁴ + y²) − 9 (9x⁸ − y⁴) = (9x⁴ − y²) (9x⁴ + y²) − 81x⁸ + 9y⁴ = 81x⁸ − y⁴ − 81x⁸ + 9y⁴ = 8y⁴
г) 1 16 − (1 2 − 3a²b) (1 2 + 3a²b) (1 4 + 9a⁴b²) = 1 16 − (1 4 − 9a⁴b²) (1 4 + 9a⁴b²) = = 1 16 − 1 16 + 81a⁸b⁴ = 81a⁸b⁴
556. Спрости вираз a) (2x² − 1)(2x² + 1)(4x4 + 1) − (4x4 + 1)² = (4x⁴ − 1)(4x² + 1) − (4x² + 1)² = 16x8 − 1 − 16x8 − 8x⁴ − 1 = −8x⁴ − 2; б) 4(4a⁴ − c⁸) − (2a − c²)(2a + c²)(4a² + c4) = 16a⁴ − 4a⁸ − 16a⁴ + c⁸ = −3c⁸.
557. Обчисли (2 + 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2 + 1) · (2 – 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2² – 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2⁴ – 1) · (2⁴ + 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2⁸ – 1) · (2⁸ + 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = (2¹⁶ – 1) · (2¹⁶ + 1) – 2³² = 2³² – 1 – 2³² = –1.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
558. Обчисли (3 + 2)(3² + 2²)(3⁴ + 2⁴)(3⁸ + 2⁸)(3¹⁶ + 2¹⁶) – 3³² + 2³²=332 + 232 −
559. Розклади на множники a) (a – 3)² – 4 = (a – 3 – 4)(a – 3 + 4) = (a – 7)(a + 1);
б) (x + 5)² – 16y² = (x + 5 – 4y)(x + 5 + 4y);
+
=
=
в) (3n + 5)² – (2n – 1)² = (3n + 5 – 2n + 1)(3n + 5 + 2n – 1) = (n + 6)(5n + 4); г) (m – 6)² – (m + 7)² = (m – 6 – m – 7)(m – 6 + m + 7) = –13 • (2m + 1).
560. Розклади на множники a) (p + 6)² – 16 = (p + 6 – 4)(p + 6 + 4) = (p + 2)(p + 10);
б) (a – 7)² – 25c² = (a – 7 – 5c)(a – 7 + 5c);
в) (2x – 5y)² – (6x + y)² = (2x – 5y – 6x – y)(2x – 5y + 6x + y) = (–4x – 6y)(8x – 4y);
г) (a – 9)² – (a + 5)² = (a – 9 – a – 5)(a – 9 + a + 5) = –14 • (2a – 4).
561. Доведи, що
60² + 899² = 901²
901² – 899² = 60²
(901 – 899)(901 + 899) = 60²
2 • 1800 = 60²
3600 = 60²
60² = 60²
562. Доведи, що 10² + 11² + 12² = 13² + 14².
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
10² = 14² – 12² + 13² – 11²
10² = (14 – 12)(14 + 12) + (13 – 11)(13 + 11)
10² = 2 • 26 + 2 • 24
10² = 2 • 50
10² = 100
10² = 10²
563. Доведи, що: a) Доведемо, що: 2113² – 2112² = 65² (2113 – 2112)(2113 + 2112) = 1 * 4225 = 65²; Доведено.
б) доведемо, що:
25² – 22² + 26² – 23² + 27² – 24² = 21² (25 – 22)(25 + 22) + (26 – 23)(26 + 23) + (27 – 24)(27 + 24) = 3
= 3(47 + 49 + 51) = 3 • 147 = 441 = 21². Доведено.
564. Доведи, що при кожному натуральному значенні n:
а) число (n + 5)2 – n2 ділиться на 5; n² + 10n + 25 – n² = 5(2n + 5); Доведено.
б) число (n + 7)2 – n2 ділиться на 7; n² + 14n + 49 – n² = 7(2n + 7); Доведено.
в) число (2п + 9)2 – (2п – 5)2 ділиться на 56. 4n² + 36n + 81 – 4n² + 20n – 25 = 56n + 56 = 56(n + 1). Доведено.
565.
a) (6n + 1)2 – 1 ділиться на 12; 36n² + 12n + 1 – 1 = 12(3n² + n); б) (5п + 8)2 – (5п – 6)2
28. 25n² + 80n + 64 – 25n² + 60n – 36 = 140n + 28 = 28(5n + 1).
566.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Нехай ОА – х см.
π • (r + 2)² – πr² = 18,84
π(r² + 4r + 4 – r²) = 18,84
4r + 4 = 18,84 : 3,14
4r = 6 – 4
4r = 2
r = 2 : 4
r = 0,5 (см) – внутрішній радіус
0,5 + 2 = 2,5 (см) – зовнішній радіус
Відповідь: 0,5 см і 2,5 см
567. Доведи тотожність Платона (IVст. до н. е.), (p² + 1)² - (p² - 1)² = 4p². (p² + 1)² – (p² – 1)² = 4p²
(p² + 1 + p² – 1)(p² + 1 – p² + 1) = 4p²
2 • 2p² = 4p²
4p² = 4p²
Доведено.
568. Доведи тотожність Піфагора (VI ст. до н. е.).
(2a² + 2a + 1)² - (2a² + 2a)² = (2a + 1)². (2a² + 2a + 1)² – (2a² + 2a)² = (2a² + (2a + 1))² – (2a² + 2a)² = 4a⁴ +
– 8a³ – 4a² = 4a⁴ + 8a³ + 4a² + 4a² + 4a + 1 – 4a2 – 8a³ – 4a² = (2a + 1)²
569. Доведи, що
2x + 1 = (x + 1)² – x² 2x
(x + 1)² – x² = 2x + 1 x² + 2x + 1 – x² = 2x + 1
2x + 1 = 2x + 1 571.
+
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
На малюнку 13.3 зображено квадрат зі стороною c.
В цьому квадраті розміщено інший квадрат зі стороною (b-a)².
Також бачимо, що в квадраті зі стороною c розміщено чотири однакові прямокутні
трикутники з катетами a і b та гіпотенузою c.
Площа великого квадрата дорівнює c².
Цей квадрат складається з площі внутрішнього
прямокутних трикутників.
Площа одного трикутника = (a b) 2
Площа чотирьох трикутників = 4·(a b) 2 = 2ab
Отже, маємо рівність:
c² = (b-a)² + 2ab
За формулою квадрата різниці:
(b-a)² = b² - 2ab + a²
Підставимо у
c² = b² - 2ab + a² + 2ab
c² = a² + b²
Що й треба було
а) 3 см і 4 см;
б) 5 м і 12 м;
в) 7 дм і 24 дм.
а) 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
Відповідь: 5 см
б) 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
Відповідь: 13 м
в) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
Відповідь: 25 дм
573. Обчисли.
а) 4,7 • 5,8 + (–4,7) • (–4,2) = 4,7(5,8 + 4,2) = 4,7 • 10 = 47; б) –6,3 : (–0,21) – 1,7 = 30 – 1,7 = 28,3;
в) –1,7 – 36,6 : (–6,1) = 1,7 + 6 = 7,7.
574. Автомобіль,
чотирьох
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
70000
35 = x 100
x = 70000 • 100 : 35 x = 200000
Відповідь: 200000 видів біоти
576. Чому дорівнює неповний квадрат: а) суми виразів a і c;
(a + c)² - 2ac = a² + 2ac + c² - 2ac = a² + c² б) різниці виразів a і c?
(a - c)² + 2ac = a² - 2ac + c² + 2ac = a² + c²
577. Як можна спростити вираз?
а) (x - 1)(x² + x + 1);
(x - 1)(x² + x + 1) = x³ + x² + x - x² - x - 1 = x³ - 1
б) (a² - a + 1)(a + 1).
(a² - a + 1)(a + 1) = a³ + a² - a² - a + a + 1 = a³ + 1
578. Спрости вираз (2m + 1)(4m² - 2m + 1) і
(2m + 1)(4m² - 2m + 1) = 8m³ - 4m² + 2m + 4m² - 2m + 1 = 8m³ + 1
При m = -1:
8m³ + 1 = 8·(-1)³ + 1 = 8·(-1) + 1 = -8 + 1 = -7
Відповідь: Г -7
579. Яка з рівностей правильна?
a³ - 27 = (a - 3)(a² + 3a + 9)
a³ - 3³ = (a - 3)(a² + 3a + 9)
Відповідь: В a³ - 27 = (a - 3)(a² + 3a + 9)
580. Розклади на множники x³ - 8. (x - 2)(x² + 4x + 4)
x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)
Відповідь: В (x - 2)(x² + 4x + 4)
581. Розклади на множники двочлен.
а) n³ - 1;
n³ - 1 = n³ - 1³ = (n - 1)(n² + n + 1)
б) c³ + 27.
c³ + 27 = c³ + 3³ = (c + 3)(c² - 3c + 9)
582. Розклади на множники двочлен
а) a³ – c³ = (a – c) (a² + ac + c²);
б) x³ + 8 = (x + 2) (x² – 2x + 4);
в) 1 – p³ = (1 – p) (1 + p + p²);
г) c³ – 64x³ = (c – 4x) (c² + 4cx + 16x²);
ґ) n⁶ – 1 = (n² – 1) (n⁴ + n² + 1);
д) 27a³ + b³ = (3a + b) (9a² – 3ab + b²);
е) a³ – 8m³n³ = (a – 2mn) (a² + 2am + 4m²n²);
є) –z³ – p³ = –(z + p) (z² – zp + p³);
ж) 1 125 + y³z⁹ = (1 5 + yz³) ( 1 25 –1 5·yz³ + 6);
якщо m = -1.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
з) 1 8 + c³ = (1 2 + c) (1 4 –1 2·c + c²);
и) 8 27x³ + 1 = (2 3·x + 1) (4 9 ·x² –2 3·x + 1);
і) 27 64 + z³ = (3 4 + z) ( 9 16 –3 4·z + z²).
583. Розклади на множники двочлен
а) p³ + q³ = (p + q) (p² – pq + q²);
б) 1 – a³ = (1 – a) (1 + a + a²);
в) c³ + 8x³ = (c + 2x) (c2 – 2xc + 4x²);
г) a³ – 8 = (a – 2) (a² + 2a + 4);
ґ) 27 + m³ = (3 + m) (9 – 3m + m²);
д) 64a³ – n³ = (4a – n) (16a² + 4an + n²);
е) –125 – z³ = –(5 + z) (25 – 5z + z²);
є) 27x⁶ – a³y³ = (3x² – ay) (9x⁴ + 3x²ay + a²y²);
ж) 1 1000 – a⁶ = (0,1 – a²) (0,01 + 0,1a² + a⁴);
з) 1 8 a³x³ – c³ = (1 2 ·ax – c) (1 4 ·a²x² + 1 2·axc + c²);
и) 1 64 a³ – x³y³ = (1 4 ·a – xy) ( 1 16 ·a² + 1 4·axy + x²y²);
і) 8 27 – a³x³z³ = (2 3 – axz) (4 9 + 2 3 ·axz + a²x²z²).
584. Подай у вигляді многочлена
а) (a – x)(a² + ax + x²) = a³ – x³;
б) (b + 2)(b² – 2b + 4) = b³ + 8;
в) (2a – n)(4a² + 2an + n²) = 8a³ – n³;
г) (9x² – 15x + 25)(3x + 5) = 9x³ + 125.
585. Подай у вигляді многочлена
а) (a – 2)(a² + 2a + 4) = a³ – 8;
б) (y + m)(y² – ym + m²) = y³ + m³;
в) (x – a²)(x² + a²x + a⁴) = x³ – a⁶;
г) (a⁴ + 1)(a⁸ – a⁴ + 1) = a¹² + 1; ґ) (2 – y)(4 + 2y + y²) = 8 – y³; д) (25 – 10m + 4m²)(5 + 2m) = 125 + 8m³.
586. Знайди значення виразу.
а) (x + 1)(x² – x + 1) – x³ , якщо x = 5,73; x³ + 1 – x³ = 1;
б) (z – 2)(z² + 2z + 4) + 8, якщо z = 0,2.
z³ – 2³ + 8 = z³ – 8 + 8, якщо z = 0,02, то 0,02³ = (2 · 10⁻²)³ = 8 · 10⁻⁶.
587. Знайди значення виразу.
а) x³ – 27 + 27 = x³ = 0,5³ = 0,125;
б) a³ + 125 – a³ = 125.
588. Розв’яжи рівняння a) (x – 1)(x² + x + 1) = 2x + x³
x³ – 1 = 2x + x³
2x = –1
x = –1 : 2
x = –0,5;
в) (1 + y)(y² – y + 1) – y³ = 5y
1 + y³ – y³ = 5y
б) (y + 2)(y² – 2y + 4) = y³ + 2y
y³ + 8 = y³ + 2y
2y = 8
y = 8 : 2
y = 4;
г) (x + 1)(x² – x + 1) = x(5 + x²)
x³ + 1 = 5x + x³
5y = 1
y = 1 : 5
y = 0,2;
589. Розв’яжи рівняння
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5x = 1
x = 1 : 5
x = 0,2.
a) (x – 3)(x² + 3x + 9) + 3x = x³
x³ – 27 + 3x – x³ = 0
3x = 27
x = 9;
590. Знайди добуток многочленів
б) (z – 4)(16 + 4z + z²) = z(z² – 4)
z³ – 64 = z³ – 4z
4z = 64
z = 64 : 4
z = 16.
a) (0,5a² + b) • (0,25a⁴ – 0,5a²b + b²) = (0,5a² + b)(0,25a4 – 0,5a²b + b²) = 0,125a⁶ + b³; б) (4m – m²) • (m⁴ + 4m³ + 16m²) = 64m³ – m⁶.
591. Знайди добуток многочленів
a) (3a – 2b) • (9a² + 6ab + 4b²) = 27a³ – 8b³; б) (0,2a – xy) • (0,04a² + 0,2axy + x²y²) = 0,008a³ – x³y³.
592. Обчисли значення виразу a) x³ + 27 – x³ – x = 27 – x = 27 – 2,5 = 24,5; б) 8x³ – 27y³ + 27y³ = 8x³ = 8 · 1³ = 8; в) 28y³ + 125x³ – y³ – 61x³ = 27y³ + 64x³ =
г) x³ + 8 + 1 – x³ = 9.
593. Обчисли значення виразу
a) 1 + 8x³ – 3x³ = 5x³ + 1 = 5 1 · 1 125 + 1 = 1 25 + 1 = 1 1
б) 5x³ + 9x³ + 8y³ + 19y³ = 14y³ + 27y³ =
в) x³ – 27 – x³ – 8 = –35.
594. Розв’яжи рівняння
a) (x² + 1)(x⁴ – x² + 1) = 1
x⁶ + 1 = 1
x⁶ = 0
x = 0;
в) (x – 2)(x² + 2x + 4) – x(x + 3)(x – 3) = 1
x³ – 8 – x³ + 9x = 1
9x = 1 + 8
9x = 9
x = 9 : 9
x = 1;
595. Розв’яжи рівняння
a) (x³ + 3)(x⁶ – 3x³ + 9) – 26 = 0
x⁹ + 27 – 26 = 0
x⁹ + 1 = 0
x = –1;
б) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 5)(x² + 5x + 25) = 4(20 – x)
x³ + 27 – x³ + 125 = 80 – 4x
4x = 80 – 27 – 125
4x = –72
x = –18;
г) (4x² – 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)
(2x – 1)(2x + 1)(4x² – 2x + 1) = 8x³(2x – 1)
(2x – 1)(8x³ + 1) = 8x³(2x – 1)
16x⁴ + 2x – 8x³ – 1 = 16x⁴ – 8x³
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 2.
б) (x – 2)(x² + 2x + 4) – (x + 4)(x² – 4x + 16) = 6(2x – 9)
x³ – 8 – x³ – 64 = 12x – 54
12x = –8 – 64 + 54
12x = –18
x = –18 : 12
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = –1,5;
в) (x + 5)(x² – 5x + 25) – x(x – 4)(x + 4) = –3
x³ + 125 – x³ + 16x = –3
16x = –3 – 125
x = –128 : 16
x = –8;
596. Доведи, що:
г) (x² – 4)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)
(x – 2)(x + 2)(x² – 2x + 4) = x³(x – 2)
(x – 2)(x³ + 8) = x³(x – 2)
x⁴ + 8x – 2x³ – 16 = x⁴ – 2x³
8x – 16 = 0
8x = 16 x = 2.
а) (327 − 227)(327³ + 327 • 227 + 227³) = 100 • (327³ + 327 • 227 + 227³);
б) (737 + 263)(737³ − 737 • 263 + 263³) = 1000 • (737³ − 737 • 263 + 263³);
в) (128 − 2)(128² + 128 • 2 + 4) = 126 • (128² + 260);
г) (9² − 1)(9⁴ + 81 • 1 + 1) = 80 • (9⁴ + 82).
597. Доведи, що:
а) (723 − 223)(723² + 723 • 223 + 223²) = 500 • (723² + 723 • 223 + 223²);
б) (352 + 648)(352² + 352 • 648 + 648²) = 1000 • (352² + 352 • 648 + 648²);
в) (726 − 4)(726² + 726 • 4 + 16) = 722 • (726² + 726 • 4 + 16);
г) 7⁶ + 1 = (7²)³ + 1 = (49 + 1)(49² − 49 • 1 + 1) = 50 • (49² − 50).
598. Розклади на множники вираз
а) (a + 2)³ − 8 = (a + 2 − 2)((a + 2)² + 2 • (a + 2) + 4) = a • (a² + 4a + 4 + 2a + 4 + 4) = a(a² + 6a + 12);
б) (z − 1)³ + z³ = (z − 1 + z)((z − 1)² −z(8 − 1) + z²) = (2z − 1)(z² − 2z + 1 − z² + z + z²) = (2z − 1)(z² − z + 1).
599. Розклади на множники вираз
а) 8 −(a − 2)³ = 2³ − (a − 2)² = (2 − a + 2)(4 + 2(a − 2) + (a − 2)²) = = (4 − a)(4 + 2a − 4 + a² − 4a + 4) = (4 − a)(a² − 2a + 4);
б) (x + y)³ − y³ = (x + y − y)((x + y)² + (x + y)y + y²) = x(x² + 2xy + y² + xy + y² + y²) = x(x² + 3xy + 3y²);
в) (3 − 2x)³ + 8x³ = (3 − 2x + 2x)((3 − 2x)² − 2x(3 − 2x) + 4x²) = 3 • (12x² − 18x + 9); г) (3 − a)³ − (a − 2)³ = (3 − a − a + 2)((3 − a)² + (3 − a)(a − 2) + (a − 2))² = (5 − 2a)(9 − 6a + a² + 3a − 6 − a² + 2a + a² − 4a + 4) = (5 − 2a)(a² − 5a + 7).
600. Розклади на множники вираз
а) x³ − y³ − x + y = (x − y)(x² + xy + y²) − (x − y) = (x − y)(x² + xy + y² − 1); б) x³ + y³ −x² + xy − y² = (x + y)(x² − xy + y²) − (x² − xy + y²) = (x² − xy + y²)(x + y − 1); в) x³ − 5x² + 5x − 1 = x³ − 1 − 5x(x − 1) = (x − 1)(x² + x + 1) − 5x(x − 1) = (x − 1)(x² + x + 1 − 5x) = (x − 1)(x² − 4x + 1);
г) x³ − 8y³ + x²y + 2xy² + 4y³ = (x − 2y)(x² + 2xy + 4y²) + y(x² + 2xy + 4y²) = (x² + 2xy + 4y²)(x − 2y + y) = (x² + 2xy + 4y²)(x − y).
601.
а) a³ + b³ − a − b = (a + b)(a² + ab + b²) − (a + b) = (a + b)(a² + ab + b² − 1);
б) a³ − b³ − a² − ab − b² = (a − b)(a² + ab + b2) − (a² + ab + b²) = (a² + ab + b²)(a − b − 1);
в) a³ − 3a² − 3a + 1 = (a + 1)(a² − a + 1) − 3a(a + 1) = (a + 1)(a² − a + 1 − 3a) = (a + 1)(a² − 4a + 1);
г) a³ − 27c³ − a²c − 3ac² − 9c³ = (a − 3c)(a² + 3ac + 9c²) − c(a² + 3ac + 9c²) = (a² + 3ac + 9c²)(a − 3c − c) = (a² + 3ac + 9c²)(a − 4c).
602.
а) x⁹ − y³ⁿ = (x³ − yⁿ)(x⁶ + x³yⁿ + y²ⁿ);
б) a³ᵐ⁻³ + b²¹ = (aᵐ⁻¹ + b⁷)(a²ᵐ⁻² − aᵐ⁻¹ • b⁷ + b¹⁴);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
a¹⁸ⁿ⁺⁹ − c³⁶⁻³ⁿ = (a⁶ⁿ⁺³ − c¹²⁻ⁿ)(a¹²ⁿ⁺⁶ + a⁶ⁿ⁺³ • c¹²⁻ⁿ + c²⁴⁻²ⁿ); г) x¹²ⁿ⁻³ + 64y²⁷⁺³ⁿ = (x⁴ⁿ⁻¹ + 4y⁹⁺ⁿ)(x⁸ⁿ⁻² − x⁴ⁿ⁻¹ • 4y⁹⁺ⁿ + 16y¹⁸⁺²ⁿ).
603. Подай у вигляді добутку
а) a⁶ + b³ᵖ = (a²)³ + (bᵖ)³ = (a² + bᵖ)(a⁴ + a²bᵖ + b²ᵖ);
б) a³ᵐ⁺⁶ − b¹² = (aᵐ⁺²)³ − (b⁴)³ = (aᵐ⁺² − b⁴)(a²ᵐ⁺⁴ + aᵐ⁺² • b⁴ + b⁸);
в) a¹⁵ᵐ⁺³ + b³³⁻³ᵐ = (a⁵ᵐ⁺¹)³ + (b¹¹⁻ᵐ)³ = (a⁵ᵐ⁺¹ + b¹¹⁻ᵐ)(a²²⁻²ᵐ − a⁵ᵐ⁺¹ • b¹¹⁻ᵐ + b²²⁻²ᵐ);
г) a⁹ⁿ⁻⁶ − 27b⁶⁻¹²ⁿ = (a³ⁿ⁻²)³ − (3b²⁻⁴ⁿ)³ = (a³ⁿ⁻² − 3b²⁻⁴ⁿ)(a⁶ⁿ⁻⁴ + a³ⁿ⁻² • 3b²⁻⁴ⁿ + 9b⁴⁻⁸ⁿ).
604. Доведи тотожність.
а) a³ − b³ − (a − b)(a² + b²) = ab(a − b)
a³ − b³ − a³ − ab² + a²b + b³ = ab(a − b). Доведено.
б) a6 – b6 = (a2 – b2)(a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2) = a6 b6 = (a2 b2)(a2
Доведено.
605. Доведи, що три останні цифри числа 1993³ + 7³ нулі. 1993³ + 7³ закінчується трьома нулями, бо воно
1000.
606. У Діани і Матвія
що x³ + y³ = (x + y)(x² + xy + y²).
607. Доведи,
(x + 1)³ – x³ = x³
: 24 то
610. Яке із тверджень
shkola.in.ua
611. Знайди
612. Скільки кілограмів
60% води?
1) 200 75 = х 60 x = 200 • 60 : 75 x = 160(кг) – сухофруктів містять 60% води
2) 200 – 160 = 40 (кг)
Відповідь: треба випарити 40 кг води
613. Розклади на множники многочлен
а) 5a – 10c
б) 4x² – 4x
в) a²c² – ac
Розв'язання:
а) 5a – 10c = 5(a – 2c)
б) 4x² – 4x = 4x(x – 1)
в) a²c² – ac = ac(ac – 1)
Відповідь:
а) 5(a – 2c)
б) 4x(x – 1)
в) ac(ac – 1)
614. Розклади на множники многочлен
а) a² – n²
б) 1 – c²x²
в) 9 – a⁴
Розв'язання:
а) a² – n² = (a – n)(a + n)
б) 1 – c²x² = (1 – cx)(1 + cx)
в) 9 – a⁴ = (3 – a²) (3 + a²)
Відповідь:
а) (a – n)(a + n)
б) (1 – cx)(1 + cx)
в) (3 – a²) (3 + a²)
615. Розклади на множники многочлен
а) 1 – 2n + n²
б) x² – 2xy + y²
в) 1 + 2c² + c⁴
Розв'язання:
а) 1 – 2n + n² = (1 – n)²
б) x² – 2xy + y² = (x – y)²
в) 1 + 2c² + c⁴ = (1 + c²)²
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Відповідь:
а) (1 – n)²
б) (x – y)²
в) (1 + c²)²
616. Розклади на множники многочлен
а) x³ – y³
б) a³ + 8
в) 27 – c³
Розв'язання:
а) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
б) a³ + 8 = a³ + 2³ = (a + 2) (a² – 2a + 4)
в) 27 – c³ = 3³ – c³ = (3 – c) (9 + 3c + c²)
Відповідь:
а) (x – y) (x² + xy + y²)
б) (a + 2) (a² – 2a + 4)
в) (3 – c) (9 + 3c + c²)
617. Розклади на множники многочлени, наведені
1) a² – 1 = (a – 1)(a + 1)
a² + 2a + 1 = (a + 1)²
1 + x³ = (1 + x)(1 – x + x²)
3) 4c² – 1 = (2c – 1)(2c + 1)
1 – 2m + m² = (1 – m)² x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
2) x² – 4 = (x – 2)(x + 2) x2 – 4 = (x 2)(x + 2) a2 b2 = (a b)(a + b)
4) 9x² – c² = (3x – c)(3x + c) a² – 2am + m² = (a – m)² 8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² – 2x + 1)
618. Розклади на множники вираз a³ + a² + a + 1.
a³ + a² + a + 1 = a²(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a² + 1), тому A (a² +1)(a + 1)
619. Розклади на множники многочлен
а) ap² – ax² = a(p² – x²) = a(p – x)(p + x);
б) c³ – cp² = c(c² – p²) = c(c – p)(c + p);
в) 2 – 8a² = 2(1 – 4a²) = 2(1 – 2a)(1 + 2a);
г) 27x² – 75 = 3(9x² – 25) = 3(3x – 5)(3x + 5);
ґ) 18c²x – 2x = 2x(9c² – 1) = 2x(3c – 1)(3c + 1);
д) 100a⁴ – a² = a²(100a² – 1) = a²(10a – 1)(10a + 1).
620. Розклади на множники многочлен
а) xa² – xc² = x(a² – c²) = x(a – c)(a + c);
б) a³ – an² = a(a² – n²) = a(a – n)(a + n);
в) 20x² – 5 = 5(4x² – 1) = 5(2x – 1)(2x + 1);
г) 100am² – 25ax² = a(100m² – 25x²) = a(10m – 5x)(10m + 5x);
ґ) 3x³ – 27x = 3x(x² – 9) = 3x(x2 – 9) = 3х(х – 3 ) (х + 3);
д) 45a – 5a³ = 5a(3 – a)(3 + a).
621. Розв’яжи рівняння 1. а) x⁵ – x³ = 0
x³(x² – 1) = 0
x³(x – 1)(x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = –1; б) x⁴ – 36x² = 0
г) 2x³ – 8x = 0
2x(x – 2)(x + 2) = 0
x²(x² – 36) = 0
x²(x – 6)(x + 6) = 0
x₁ = 0; x₂ = 6; x₃ = –6; в) 12x⁷ – 3x⁵ = 0
ґ) 4x4 – 9x² = 0
x²(4x² – 9) = 0
3 • x⁵(4x² – 1) = 0
3x⁵(2x – 1)(2x + 1) = 0
x₁ = 0; x₂ = 0,5; x₃ = –0,5;
д) x⁵ = 4x³
x⁵ – 4x³ = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x₁ = 0; x₂ = 2; x₃ = –2; x²(2x – 3)(2x + 3) = 0
x₁ = 0; x₂ = 1,5; x₃ = –1,5; x³(x² – 4) = 0
x³(x – 2)(x + 2) = 0
x¹ = 0; x² = 2; x³ = –2.
622. Розв’яжи рівняння
a) x⁴ – x² = 0
x²(x² – 1) = 0
x²(x – 1)(x + 1) = 0
x² = 0 або x – 1 = 0 або x + 1 = 0
x = 0 x = 1 x = –1
b) x³ – 25x = 0
x(x² – 25) = 0
x(x – 5)(x + 5) = 0
x = 0 або x – 5 = 0 або x + 5 = 0
x = 0 x = 5 x = –5
c)
x⁴ – 0,04x² = 0
x²(x² – 0,04) = 0
x²(x – 0,2)(x + 0,2) = 0
x² = 0 або x – 0,2 = 0 або x + 0,2 = 0
x = 0 x = 0,2 x = –0,2
623. Розклади на множники многочлен
а) ax² – 2ax + a = a(x² – 2x + 1) = a(x – 1)²;
б) 20a³ – 20a² + 5a = 5a(4a² – 4a + 1) = 5a(2a – 1)²;
в) 27a⁶ + 3a² – 18a⁴ = 3a²(9a⁴ – 6a² + 1) = 3a²(3a² – 1)²;
г) 45x³ + 20x – 60x² = 5x(9x² + 4 – 12x) = 5x(3x – 2)²;
ґ) mx² + 4mx + 4m = m(x² + 4x + 4) = m(x + 2)²; д) p² + 6xp² + 9x²p² = p²(1 + 6x + 9x²) = p²(1 + 3x)².
624. Розклади на множники многочлен
а) 4am² + 4am + a = a(2m + 1)²;
б) 3 – 6a + 3a² = 3(1 – 2a + a²) = 3(1 – a)²;
в) 7a² – 28a⁴ + 28a⁶ = 7a²(1 – 2а)²;
г) 6x² – 15x³ – 24x⁴ = 3x²(2 – 5x – 8x²) = –3x²(8x – 3)(x + 1).
625. Розклади на множники многочлен
а) ax⁴ – x⁴ + ax³ – x³ = x⁴(a – a) + x³(a – 1) = (a – 1)(x⁴ + x³);
б) x³ – x²y + x² – xy = x²(x – y) + x(x – y) = (x – y)(x² + x);
в) a²b – 6a² – bc² + 6c² = a²(b – 6) – c²(b – 6) = (b – 6)(a² – c²) = = (b – 6)(a – c)(a + c);
г) ap² – b + bp² – a = p²(a + b) – (a + b) = (a + b)(p² – 1) = = (a + b)(p – 1)(p + 1).
626. Розклади на множники многочлен
а) 4ab + 12b – 4a – 12 = (4ab – 4a) + (12b – 12) = 4a(b – 1) + 12(b – 1) = (b – 1)(4a + 12) = 4(b – 1)(a + 3);
б) 10y² – 6xy² – 5y + 3xy = 2y²(5 – 3x) – y(5 – 3x) = (5 – 3x)(2y² – y) = (5 – 3x) • y • (2y – 1);
в) n²a + n²b – 4a – 4b = n²(a + b) – 4(a + b) = (a + b)(n² – 4) = (a + b)(n – 2)(n + 2);
г) 9a – 9 – c²a + c² = 9(a – 1) – c²(a – 1) = (a – 1)(9 – c²) = (a – 1)(3 – c)(3 + c).
627. Розклади на множники многочлен
а) m² – 2mn + n² – 25 = (m – n)² – 5² = (m – n – 5)(m – n + 5);
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
б) a² – 6a + 9 – b² = (a – 3)² – b² = (a – 3 – b)(a – 3 + b);
в) 64 – x² + 4xy – 4y² = 8² – (x² – 4xy + 4y²) = 8² – (x – 2y)² = (8 – x + 2y)(8 + x – 2y);
г) 16 – b² – 8a + a² = 16 – 8a + a² – b² = (4 – a)² – b² = (4 – a – b)(4 – a + b).
628. Розклади на множники многочлен
a) x² – 2ax + a² – 16 = (x – a)² – 4² = (x – a – 4)(x – a + 4);
б) x² + 2x + 1 – a² = (x + 1)² – a² = (x + 1 – a)(x + 1 + a);
в) m² – x² – 4x – 4 = m² – (x + 2)² = (m – x – 2)(m + x + 2);
г) x² – y² – 6x + 9 = y² – (x – 3)² = (y² – x + 3)(y² + x – 3).
629. Розклади на множники многочлен
a) x – a + x² – a² = x – a + (x – a)(x + a) = (x – a)(1 + x + a);
б) a² – b² + a – b = (a – b)(a + b) + (a – b) = (a – b)(a + b + 1);
в) 2k + 3p + 4k² – 9p² = 2k + 3p + (2k + 3p)(2k – 3p) = (2k + 3p)(1 + 2k + 3p);
г) c² – c – m² – m = c² – m² – c – m = (c – m)(c + m) – (c + m) = (c + m)(c – m – 1);
ґ) a³ + b³ – a – b = (a + b)(a² – ab + b²) – (a + b) = (a + b)(a² – ab + b² – 1);
д) x – y – x³ + y³ = (y – x)(y² + xy + x²) – (y – x) = (y – x)(y² + xy + x² – 1).
a) a² – b² – a – b = (a – b)(a + b) – (a + b) = (a + b)(a – b – 1);
б) 3c – 3d + c² – d² = 4c² – 25a² + 5a – 2c = (2c – 5a)(2c + 5a) – (2c – 5a) = (2c – 5a)(2c + 5a –1);
в) 5a – 2c – 25a² + 4c² = 3(c – d) + (c – d)(c + d) = (c – d)(3 + c + d);
г) x² + y – y² + x = x² – y² + x + y = (x – y)(x + y) + (x + y) = (x + y)(x – y + 1);
ґ) x³ – a³ + x – a = (x – a)(x² + xa + a²) + (x – a) = (x – a)(x² + xa + a² + 1);
д) a + b – a³ – b³ = a + b – (a + b)(a² – ab + b²) = (a + b)(1 – a² + ab – b²).
631. Розклади на множники многочлен
а) ac² + bc – bc² – ac = ac² – bc² + bc – ac = c²(a – b) – c(a – b) = (a – b)(c² – c);
б) a²b + 3a + 3ab + a² = a(x – a) + a(x² – a²) = a(x – a + x² – a²) = a(x – a + (x – a)(x + a)) = a(x – a)(1 + x + a);
в) ax – a² + ax² – a³ = a²b + a² + 3a + 3ab = a²(b + 1) + 3a(1 + b) = (b + 1)(a² + 3a);
г) 9a² + 6ab + b² + 3a + b = (3a + b)² + 3a + b = (3a + b)(3a + b + 1).
632. Розклади на множники многочлен a) 2ax – axy + 2ay – ay² = ax(2 – y) + ay(2 – y) = (2 – y)(ax + ay) = (2 – y)(x + y) • a; б) nx + cx + c3x + c²nx = x(n + c) + c²x(c + n) = (c + n)(x + c²x); в)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
636. Розклади на множники многочлен
a) a⁴ – 6a³ + 54a – 81 = a⁴ – 81 – 6a³ + 54a = (a² – 9)(a² + 9) – 6a(a² – 9) = (a² – 9)(a² + 9 – 6a); б) x⁴ – 10x³ + 250x – 625 = x⁴ – 625 – 10x³ + 250x = (x² – 25)(x² + 25) – 10x(x² – 25) = (x² –25)(x² + 25 – 10x).
637. Розклади на множники многочлен a) m⁴ + 4m³ – 16m – 16 = m⁴ – 16 + 4m³ – 16m = (m² – 4)(m² + 4) + 4m(m² – 4) = (m² – 4)(m² + 4 + 4m) = (m + 2)(m – 2) · (m + 2)² = (m – 2)(m + 2)³; б) a⁴ – 8a³ + 128a – 256 = a⁴ – 256 – 8a(a² – 16) = (a² – 16)(a² + 16) – 8a(a² – 16) = (a² – 16)(a² + 16 – 8a) = (a – 4)(a + 4)(a – 4)² = (a + 4)(a – 4)³.
638. Розклади на множники многочлен a) ac + bc – 2c – acx – bcx + 2cx = ac – acx + bc – acx – 2c + 2cx = ac(1 – x) + bc(1 – x) –2c(1 – x) = (1 – x)(ac + bc – 2c) = c(1 – x)(a + b – 2); б) a²x² + a²y² + 2ax² + 2ay² + x² + y² = (a+1)2(x2+y2)
639. Розклади на множники многочлен a) x³ + 2x² – acx – 2cx – cx² + ax² = x³ – cx² + 2x² – 2cx – acx + ax² = x²(x – c) + 2x(x – c) + ax(x – c) = (x – c)(x² + 2x + ax); б) a²x² + a²y² – 2ax² – 2ay² + x² + y² = a²(x² + y²) – 2a(x² + y²) + x² + y² = (x² + y²) · (a² – 2a + 1) = (x² + y²)(a – 1)².
640. Розклади на множники многочлен a) (2n + 3)² – (n – 1)² = (2n + 3 – n + 1)(2n + 3 + n – 1) = (n + 4)(3n + 2);
б) 4(x – y)² – (x + y)² = (2x – 2y – x – y)(2x – 2y + x + y) = (x – 3y)(3x – y);
в) a² – 2ac + c² – x² – 2x – 1 = (a – c)² – (x + 1)² = (a – c + x + 1)(a – c – x – 1);
г) c² + 4ac + 4a² – m² + 2mn – n² = (c + 2a)² – (m – n)² = (c + 2a + m – n)(c + 2a – m + n).
641. Розклади на множники многочлен
a) (3a + 2p)² – (a + p)² = (3a + 2p – a – p)(3a + 2p + a + p) = (2a + p)(4a + 3p);
б) 9(p + q)² – (p – q)² = (3p + 3q – p + q)(3p + 3q + p – q) = (2p + 4q)(4p + 2q); в) a⁴ – 2a² + 1 – p² + 2pc – c² = (a² – 1)² – (p – c)² = (a² – 1 + p – c)(х² – 1 – p + c);
г) p² + 6pq + 9q² – a² + 4a – 4 = (p + 3q)² – (a – 2)² = (p + 3q + a – 2)(p + 3q – a + 2).
642. Подай
a) 3x⁵ – x⁴ – 3x + 1 = x⁴(3x – 1) – (3x – 1) = (3x – 1)(x⁴ – 1) = (3x – 1)(x² – 1)(x² + 1) = (3x + 1)(x² + 1)(x – 1)(x + 1); б) 2a² + a³ – 18a⁴ – 9a⁵ = a²(2 + a) – 9a⁴(2 + a) = (2 + a)(a² – 9a⁴) = (2 + a)(a – 3a²)(a + 3a²) = (2 + a)(1 – 3a)(1 + 3a) · a²; в) x⁴ – 37x² + 36 = x⁴ – 36x² – x² + 36 = (x² – 6x)(x² + 6x) – (x – 6)(x + 6) = x²(x – 6)(x + 6) –(x – 6)(x + 6) = (x – 6)(x + 6)(x² – 1) = (x – 6)(x + 6)(x – 1)(x + 1).
643. Подай
a) c⁵ – 16c – c⁴ + 16 = c(c⁴ – 16) – (c⁴ – 16) = (c⁴ – 16)(c – 1) = (c² + 4)(c² – 4)(c – 1) = (c² + 4)(c – 1)(c – 2)(c + 2); б) 2x² – x³ – 2x⁴ + x⁵ = x²(2 – x) – x⁴(2 – x) = (2 – x)(x² – x⁴) = = (2 – x)(x – x2)(x + x²) = (2 – x)(1 – x)(1 + x)x²; в) x⁴ − 26x² + 25 = x⁴ − x² − 25x² + 25 = x²(x² − 1) − 25(x² − 1) = (x² − 1)(x² − 25) = (x − 1)(x + 1)(x − 5)(x + 5)
644. Розв’яжи рівняння a) x³ + 2x² – x = 2
x²(x + 2) – (x + 2) = 0
(x + 2)(x² – 1) = 0
(x + 2)(x – 1)(x + 1) = 0
x₁ = –2; x₂ = 1; x₃ = –1; б) y³ – 3y² + 4y = 12 y²(y – 3) – 4(y – 3) = 0
(y – 3)(y² – 4) = 0 (y – 3)(y – 2)(y + 2) = 0
y₁ = 3; y₂ = 2; y₃ = –2;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
в) x²(x – 3) + 2x(x – 3) + x – 3 = 0
(x – 3)(x² + 2x + 1) = 0
(x – 3)(x + 1)² = 0
x₁ = 3; x₂ = –1;
645. Розв’яжи рівняння
a) y³ – 2y² – y + 2 = 0
y²(y – 2) – (y – 2) = 0
(y – 2)(y² – 1) = 0
(y – 2)(y – 1)(y + 1) = 0
y₁ = 2; y₂ = 1; y₃ = –1;
в) x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 8x + 4 = 0
x²(2x + 1) – 4x(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x² – 4x + 4) = 0
(2x + 1)(x – 2)² = 0
x₁ = –0,5; x₂ = 2;
646. При яких значеннях a значення
г) x²(x² – 4x + 4) – 9(x² – 4x + 4) = 0
(x² – 4x + 4)(x² – 9) = 0
(x – 2)²(x – 3)(x + 3) = 0
x₁ = 2; x₂ = 3; x₃ = –3.
б) 2x³ – 3x² + 8x = 12
x²(2x – 3) – 4(2x – 3) = 0
(2x – 3)(x² – 4) = 0
(2x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
x₁ = 1,5; x₂ = 2; x₃ = –2;
г) x³(x² – 6x + 9) – 4x(x² – 6x + 9) = 0
x(x² – 6x + 9)(x² – 4) = 0
x(x – 3)²(x – 2)(x + 2) = 0
x₁ = 0; x₂ = 3; x₃ = 2; x₄ = –2.
8a³ - 4a² + 2a - 1:
4a² + 1? а) 8a³ – 4a² + 2a – 1 = 0
4a²(2a – 1) + (2a – 1) = 0; (2a – 1)(4a² + 1) = 0
2a – 1 = 0
4a² + 1 = 0
a = 0,5; a² ≠ –1 4 Відповідь: 0,5; б) 8a³ – 4a² + 2a – 1 = 0
– 4a² + 2a – 1 – 4a² – 1 = 0 8a³ – 8a² + 2a – 2 = 0 (8a³ – 8a²) + (2a – 2) = 0
8a²(a – 1) + 2(a – 1) = 0 (a – 1)(8a² + 2) = 0
a – 1 = 0
8a² + 2 = 0 a = 1; a² ≠ –1 4
1
a) (x + 1)² + (x – 1)² – 6 = ((x + 1 + x – 1) ÷ 2)²
= 4
= –2; x₂ = 2; б) (x + 1)² + (x – 1)² – 84 = (x + 1)(x – 1) x² + 2x + 1 + x² – 2x + 1 – 84 = x² – 1 x² = 81 x₁ = –9; x₂ = 9.
a³ + 3a² – a = 3
a³ + 3a² – a – 3 = 0
a²(a + 3) – (a + 3) = 0 (a + 3)(a² – 1) = 0
(a + 3)(a – 1)(a + 1) = 0
649.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x + 1; 2x + 3 (2x + 3)² – (2x + 1)² = 4x² +
ділиться на 8 без остачі.
Твердження доведено. 650. Квадрат непарного числа при діленні
Нехай непарне число має вигляд 2k+1, де k - ціле число.
Знайдемо квадрат цього числа:
(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
Розглянемо вираз 4k(k+1):
Якщо k парне, то k+1 непарне
Якщо k непарне, то k+1 парне
що
1.
В обох випадках добуток k(k+1) завжди парне число, тобто k(k+1) = 2m для деякого
цілого m.
Підставляючи, отримуємо:
4k(k+1) + 1 = 4(2m) + 1 = 8m + 1
Отже, (2k+1)² = 8m + 1, де m - ціле число.
Це означає, що при
Твердження доведено.
651. Знайди корені рівняння
a) x²(x² + 4x + 4) = (5x)² + 100x + 100
x⁴ + 4x³ + 4x² = 25x² + 100x + 100
x³(x + 4) – 25x(x + 4) + 4x² – 100 = 0
(x + 4)(x³ – 25x) + 4(x² – 25) = 0
(x + 4) • x(x² – 25) + 4(x² – 25) = 0
(x² – 25)((x + 4) • x + 4) = 0
(x² + 25)(x² + 4x + 4) = 0
(x² – 25)(x + 2)² = 0
x₁ = –5; x₂ = 5; x₃ = –2; б) 4x⁴ – 12x³ + 9x² = 36x² – 108x + 81
x²(4x² – 12x + 9) = 36x² – 108x + 81
x² • (2x – 3)² = (6x – 9)²
x² • (2x – 3)² – 9(2x – 3)² = 0
(2x – 3)² • (x² – 9) = 0
x₁ = 1,5; x₂ = –3; x₃ = 3.
652. Знайди корені рівняння
a) x²(9x² – 6x + 1) = (6x)² – 24x + 4
x²(3x – 1)² = 36x² – 24x + 4
x²(3x – 1)² = 4(9x² – 6x + 1)
x²(3x – 1)² – 4(3x – 1)² = 0
(x² – 4)(3x – 1)² = 0
(x – 2)(x + 2)(3x – 1)² = 0
x – 2 = 0
або x + 2 = 0 або 3x – 1 = 0
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x = 2 x = –2 x = 1 3
б) 4x⁴ + 56x³ + 196x² = x² + 14x + 49
4x²(x² + 14x + 49) = x² + 14x + 49
4x²(x + 7)² – (x + 7)² = 0
(4x² – 1)(x + 7)² = 0
(2x – 1)(2x + 1)(x + 7)² = 0
2x – 1 = 0 або 2x + 1 = 0 або x + 7 = 0
2x = 1 2x = –1 x = –7
x = 0,5 x = –0,5
653. Розклади на множники вираз.
a) x⁴ – 10x² + 9 = x⁴ – x² – 9x² + 9 = x²(x² – 1) – 9(x² – 1) = (x² – 1)(x² – 9) = = (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3)
б) a⁴ + 4b⁴ = a⁴ + 4b⁴ + 4a²b² – 4a²b² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ – 4a²b² = (a² + 2b²)² – 4a²b² = (a² + 2b²
2ab)(a² + 2b² + 2ab) в) x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² – x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 – x² = (x² + 1)² – x² = (x² – x + 1)(x² + x + 1)
654. Доведи тотожність. (a − b)³ + (b − c)³ − (a − c)³ = (a − b + b − c)(a² − 2ab + b² − (a − b)(b − c) + b² − 2bc
2ab + 3b² + ac − 3bc + c² − a² + 2ac − c²) = (a − c)(−3ab + 3b² + 2ac − 2bc) = 3(a − c)(ab − b² − ac + bc) = 3(a − c)(b(a − b) − c(a −
655. Розв’яжи рівняння Р. Декарта (1596–1650)
a) y³ – 8y² – y + 8 = 0
y²(y – 8) – (y – 8) = 0
(y – 8)(y² – 1) = 0
(y – 8)(y – 1)(y + 1) = 0 y = 8; y = 1; y = –1;
б) x⁴ – 4x³ – 19x² + 106x – 120 = 0
x⁴ – 3x³ – x³ + 3x² – 22x² + 66x + 40x – 120 = 0
(x⁴ – 3x³) – (x³ – 3x²) – (22x² – 66x) + 40(x – 3) = 0
x³(x – 3) – x²(x – 3) – 22x(x – 3) + 40(x – 3) = 0
(x – 3)(x³ – x² – 22x + 40) = 0
(x – 3)(x³ – 4x² + 3x² – 12x – 10x + 40) = 0
(x – 3)(x²(x – 4) + 3x(x – 4) – 10(x – 4)) = 0
(x – 3)(x – 4)(x² + 3x – 10) = 0
(x – 3)(x – 4)(x² + 5x – 2x – 10) = 0
(x – 3)(x – 4)(x(x + 5) – 2(x + 5)) = 0
(x – 3)(x – 4)(x + 5)(x – 2) = 0
x – 3 = 0
x – 4 = 0
x + 5 = 0
x – 2 = 0
x = 3; x = 4; x = –5; x = 2.
656.
а) 21, 311, 4111, 51111;
б) 21, 321, 4321, 5421;
в) 21, 321, 4331.
657.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
а) (0,875 + 0,5³)¹⁰ = (0,875 + 0,125)¹⁰ = 1¹⁰ = 1;
б) (3⁴ + 19)⁸ = (81 + 19)⁸ = 10⁸;
в) (4⁴ – 3⁵ – 13)¹² = (256 – 243 – 13)¹² = 0¹² = 0.
658. Розв’яжи рівняння.
а) (x – 3)² – x(x + 4) = –1 x² – 6x + 9 – x² – 4x + 1 = 0 –10x = –10 x = 1;
б) (4x + 5)(x – 2) – (2x – 1)² = –9 4x² – 8x + 5x – 10 – 4x² + 4x – 1 + 9 = 0 x = 2.
659. Знайди помилку в записі.
26 7 + 48 9 = 2 6·9 7 9 + 48·7 9 7 = 254 63 + 4 8 63 = 662 63
Розглянемо цей запис крок за кроком:
26 7 + 48 9 початковий вираз
2 (6 9) (7 9) + 4 (8 7) (9 7)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
f(x) = x².
Область визначення: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Область значень: 1, 4, 9, 16, 25, 36.
673. На
1, 2, 3, 4
область визначення; б) область
значень
Так, є.
f(x) = 1 х
Область визначення: 1; 2; 3; 4. Область значень: 1; 1 2; 1 3; 1 4 .
674. Функцію
y = 6
x –6 –3 –2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
де y -
гривнях.
Знайдемо вартість товару,
y = 250 · 18 = 4500
Знайдемо
125 = 250m
m = 125 ÷ 250 = 0,5 кг
Відповіді:
Залежність вартості від маси: y = 250m
Вартість товару масою 18 кг: 4500 грн
Товар масою 0,5 кг коштує 125 грн
681. Нафта проходить трубою зі швидкістю 12 т/год. Скільки
нафти проходить такою трубою за 3 год; за t год? Напиши
відповідну формулу.
1) 12 • 3 = 36 т;
2) m = 12t, t – години, m – маса у тоннах.
y = 2x + 5
y(1) = 2 • 1 + 5 = 7
y(0) = 2 • 0 + 5 = 5
y( 3) = −3 • 2 + 5 = −1
y(7) = 2 • 7 + 5 = 19
y(1000) = 2 • 1000 + 5 = 2005
685.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
x –2 0 1,5 12 25 y –21 –5 7 91 195
Якщо x = –2, y = 8 · (–2) – 5 = –16 – 5 = –21.
Якщо x = 0, y = 8 ⋅ 0 5 = 0 – 5 = −5
Якщо x = 1,5, y = 8 ⋅ 1,5 – 5 = 12 – 5 = 7
Якщо x = 12, y = 8 ⋅ 12 – 5 = 96 – 5 = 91
Якщо x = 25, y = 8 ⋅ 25 – 5 = 200 – 5 = 195
б) y = − х 2 + 1, яке відповідає значенню аргументу, що дорівнює –8; –1; 0; 1; 20. x –8 –1 0 1 20 y 5 1,5 1 1 2 –9
Якщо x = –8, то y = −8 −2 + 1 = 5;
Якщо x = –1, то y = −1 −2 + 1 = 1,5.
Якщо x = 0, то y = 0 2 + 1 = 1.
Якщо x = 1, то y = 1 2 + 1 = 1 2 .
Якщо x = 20, то y = 20 2 + 1 = -9.
686. Функцію задано формулою y = 2 3 x.
дорівнює 20?
20 = 2 3 x| · 3
60 = 2x x = 30
Відповідь: 30
687. Знайди значення аргументу, при якому: а) значення функції y = 3x + 2
8 = 3x + 2 2 = 3x + 2 3x = 6 3x = 0 x = 2 x = 0
2a + b = 180°.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Звідси можемо виразити кут a через b :
a = (180° b)
2
Область визначення: b ∈ (0°; 180°)
689. Швидкість автомобіля 70 км/год. Вирази
пройденого цим автомобілем, від часу t.
Заповни таблицю.
s = vt = 70t км
t, год 1 2 3 4
км
нього зі швидкістю 4 км/год.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
r = 1 (2π)
695. З формули I = U R вирази: а) U; б) R.
I = U R
а) U = I · R; б) R = U I .
696. Периметр квадрата P = 4a, де a довжина його сторони. Вирази a через P. a = P 4
697. Знайди область визначення функції. а) Область визначення і область значень функції: будь–яке число.
б) Область визначення: всі значення x, крім x ≠ 0.
Область значень: будь–яке число, крім y ≠ 0. в) Область визначення: будь–яке число, крім x ≠ –4. г) Область визначення: будь–яке число, крім x ≠ 0, x ≠ 3.
Область значень: будь–яке число, крім y ≠ 0. ґ)
Область визначення: будь–яке число.
Область значень: від [0; +ꝏ)
698. Знайди область визначення функції,
a) R; б) R;
в) (−∞; −5) ∪ (−5; +∞); г) 8x − 1 = 0
8x = 1 x = 1 8
(−∞; 1 8) ∪ (1 8; +∞); ґ) x ∈ R; x ≠ −6; x ≠ 6; д) 1 − 25x2 = 0
−25x2 = −1
x2 = 1 25
x ∈ R; x ≠ −1 5; x ≠ 1 5 .
699. Із
S = 100 − px²; S
а) y = �
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
2x + 5, якщо x ≤ 0
2x + 5, якщо x > 0 ,
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y –1 1 3 5 3 1 –1
Якщо x = –3, то y = 2 · (–3) + 5 = –1; якщо x = –2, то y = 2 · (–2) + 5 = 1;
якщо x = –1, то y = 2 · 1 + 5 = –2 + 5 = 3; якщо x = 0, то y = 5;
якщо x = 1, y = –2 · 1 + 5 = 3; якщо x = 2, то y = –2 · 2 + 5 = 1;
якщо x = 3, то y = –2 · 3 + 5 = –1.
б) y = �x² + 3, якщо x ≤ 0 х 2 + 3 якщо x > 0 ,
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 12 7 4 3 3,5 4 4,5
702. З'ясуй числові
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
S = v • t
S = S
v₁ • t₁ = v₂ • t₂
Нехай x (год) це
10 • (x + 1) = 12 • x
10x + 10 = 12x
12x – 10x = 10
2x = 10
x = 5 (год)
12 • 5 = 60 (км) – відстань
Відповідь: відстань між селами дорівнює 60
706.Познач на координатній
точки A(5; 2), B(3; 2), C(0; 2), M(–1; 2), H(–3; 2), P(2; 2). Чи
серединами відрізків AB, AC, AM, AH і AP? Так.
AB: (4; 2); AC: (2,5; 2); AM: (2; 2); AH: (1; 2); AP: (3,5; 2). 707.
рівняння. а) 4(x – 3) + 2(5 – x) = 8
4x – 12 + 10 – 2x = 8
2x – 2 = 8
2x = 10 x = 5; б) 7(5 – y) + 8(y – 3) = 18 35 – 7y + 8y – 24 = 18 y = 18 – 11 y = 7.
711.
(x − 3)(x + 3) = 0 x = 3 або x = −3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
кожну функцію:
а) у = 0,5x – 1: при x = 0, y = –1. Не проходить.
б) у = –25x²: при x = 0, y = 0. Проходить.
в) у = 3x: при x = 0, y = 0. Проходить.
г) у = 6x + 2: при x = 0, y = 2. Не проходить.
ґ) у = 3 – 3x: при x = 0, y = 3. Не проходить.
д) у = x – 3x²: при x = 0, y = 0. Проходить.
Відповідь: графіки функцій б), в), д)
713. Яка з точок
7 • 1 – 2 = 5
Відповідь: В (1; 5)
714.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
715. Установи відповідність між графіками функцій (1–2) та їх областями значень (А-Г): 1) В –4 ≤ y ≤ 4. Область визначення: –4 < x ≤ 5; функція зростаюча. 2) А –2 ≤ y ≤ 4. Область визначення: –6 ≤ x ≤ 6; функція спадаюча 716. Познач на координатній площині точки A(5; 4), B(3; 3), C(1; 0), D(7; 3), E(-2; 5), F(-2; -2). Побудуй прямі
–1; 0; 3; 5. а) (–1; 3), (0; 5), (3; 1,5), (4; 1); б) y = –1 → x = –2,8; y = 0 → x = –2; y = 3 → x₁ = –1, x₂ = 1,3; y = 4 → x₁ = –0,7, x₂ = 0,8. 718.
(мал. 17.11)
таблицю. x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 y –1,8 –1 0 2 2 0 –1 0 1,2 719.
17.12)
x –1 –0,5 0 1 1,5 2 2,5 3 3,5 y –5 –4 –3 –1 0 1 2 3 4 720.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
17.13 знайди:
а) значення y, для яких x = -3; -1; 0; 1; 4;
б) значення x, для яких y = -2; -1; 0; 1; 3;
в) значення x, для яких значення y додатні;
г) значення x, для яких значення y від'ємні.
а) Якщо x = −3, то y = 3;
якщо x = −1, то y = −1,5; якщо x = 0, то y = −2;
якщо x = 1, то y = 2; якщо x = 4, то y = 2.
б) y = −2, якщо x = 0 і x = 1; y = −1, якщо x = −1,5 і x = 2; y = 0, якщо x = −2 і x = 3; y = 1, якщо x = −2,5 і x = 3,5; y = 3, якщо x = −3 і x = 4,5.
в) у додатне, якщо −4 < x < 2 і 3 < x < 6. г) у від'ємне, якщо −2 < x < 3. 721.На малюнку 17.14 зображено графік деякої функції.
1.Знайди: а) область визначення функції; б) значення функції, яке відповідає значенню аргументу, що дорівнює -4; -3; 0; 2; 3; 4; 6.
2.При яких значеннях аргументу: а) значення функції дорівнює -1; 0; 2; 3; б) функція набуває додатних значень;
724.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
точок A(5; –4), B(3; 3), C(1; 0), D(1; 7), E(–2; 5)
а) y = 5x + 2
не
належить: A, B, C, D, E; б) y = –x + 1
не
належить: B, D, E
належать: A, C; в) y = x² + 1
не
належать: A, B, C, D
належать: E;
г) y = 10x – 3
не
належать: A, B, C, E
належать: D.
725.
а) y = –x, якщо –5 ≤ x ≤ 4 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 б) y = 0,5x + 3, якщо –6 ≤ x ≤ 6 x
Якщо x = –6, то y = 0,5 · (–6) + 3 = 0.
Якщо x = –5, то y = 0,5 · (–5) + 3 = 0,5.
726. Побудуй
а) y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
якщо x = 0, то y = 4; якщо x = 1, то y = 2; якщо x = –1, то y = 6; якщо x = 2, то y = 0; якщо x = –2, то y = 8; якщо x = 2,5, то y = –1. б) y = –6, якщо x = 5; y = –2, якщо x = 3; y = 0, якщо x = 2; y = 4, якщо x = 0 в) x < 2, y додатні г) x > 2, y від'ємні
значення x, для яких y = –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; y = −3, якщо x = −2; y = −2, якщо x = 0; y = −1, якщо x = 2; y = 0, якщо x = 4; y = 1, якщо x = 6; y = 2, якщо x = 8; y = 3, якщо x = 10
б)
значення y, для яких x = –2; 0; 2; 4; 6; 8; якщо x = –2, то y = –3; якщо x = 0, то y = –2; якщо x = 2, то y = –1; якщо x = 4, то y = 0; якщо x = 6, то y = 1; якщо x = 8, то y = 2
в) значення x, для яких значення y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
733.
б) y = 2(х – 4) = 2(3 – 4) = 2 · (–1) = –2;
г) y = 3х – 2 = 7 3 · 3 – 9 = 7 – 9 = –2;
г) y = 21 3 х− 9= 1 7 · (1 – 5 · 3) = 1 7 – (–14) = –2.
734. Визнач, чи належать графіку функції
а) y = 0,5x + 4; A(4; 6), B(–8; 0), C(2; 5); –
Якщо x = 4, то y = 0,5 • 4 + 4 = 2 + 4 = 6. Так. –
Якщо x = −8, то y = 0,5 • (−8) + 4 = −4 + 4 = 0. Так.
Якщо x = 2, то y = 0,5 • 2 + 4 = 1 + 4 = 5. Так.
б) y = −12x + 17; A(1; 5), В(−1 3;11), C(0,5; 11).
Якщо x = 1, то y = −12 • 1 + 17 = −12 + 17 = 5. Так.
Якщо x = −1 3, то y = −12 • (−1 3) + 17 = 4 + 17 = 21. Так.
Якщо x = 0,5, то y = −12 • 0,5 + 17 = −6 + 17 = 11. Так.
735. Визнач, чи
а) y = x(x – 5); A(0; –5), B(5; 0), C(0; 0); –
точки.
Якщо x = 0, то y = 0 • (0 – 5) = 0. Точка A(0; –5) не
функції.
Якщо x = 5, то y = 5 • (5 – 5) = 0. Точка B(5; 0) належить графіку функції.
Якщо x = 0, то y = 0 • (0 – 5) = 0. Точка C(0; 0) належить
б) y = 4 –8 х ; A(1; –4), В(1 2; 0), C(4; –2).
Якщо x = 1, то y = 4 –8 1 = –4. Точка A(1; –4) належить
Якщо x = 1 2, то y = 4 – 8 : 1 2 = –12. Точка B(1 2; 0)
функції.
графіку функції.
Якщо x = 4, то y = 4 –8 4 = 2. Точка C(4; –2) не належить графіку функції.
736. Визнач, чи
а) A(7; 1)
y = 1 ���� 6
1 (7 6) = 1 1 = 1; так;
B(2; 0)
1 (2 6) = –1 4; ні; C(3; 1 3)
1 (3 6) = 1 (−3); ні; б) y = (6 – x)²
A(7; –1)
(6 – 7)² = 1; ні; B(8; 4)
(6 – 8)² = 4; так; C(4; 4)
(6 – 4)² = 4; так.
737.Функцію
а) y = x; ( 2,−2), (0,−1), (2,0), (4,1)
б) y = –x – 1; (0,2), (1,1), (2,0), (3,−1)
в) y = 1 – x²; (0,0), (1,1), (2,0), (3,−3)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
г) y = x². (0,0), (1,−1), (2,0), (3,3) 738.
y = 1,5x + 2, якщо −3 < x < 4; X –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Y –2,5 –1 0,5 2 3,5 5 6,5 8 б) y = 4 − 2t, якщо −2 ≤ t ≤ 5. X –2 –1 0 1 2 3 4 5 Y 8 6 4 2
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
0 1 741.
y = –1 5 + 2x;
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
тотожність (n² + 1)² - (n² - 1)² = 4n².
(n² + 1)² – (n² – 1)² = 4n²; (n² + 1 – n² + 1)(n² + 1 + n² – 1) = 4n²; 2 · 2n² = 4n²; 4n² = 4n². Доведено.
748. Розв’яжи рівняння.
а) (х + 3)² = х² + 9х
x2 + 6x + 9 = x2 + 9x
9 = 3х
х = 3
в) (1 – z)2 = 3 + z2
z + z = 1 – 3
2z = –2
z = –1
749. Підприємиця
б) (у – 5)² = у(у + 2)
у² – 10у + 25 = у² + 2у
2у + 10у = 25
12у = 25
у = 25 12 = 2 1 12
г) (7 – х)2 – х2 = 35 49 – 14х + х² – х² = 35
14х = 49 – 35
14х = 14 х = 1
122,2; 122,2 % – 100 % = 22,2 %.
750. Спрости вираз.
а)10x²y(0.2x + 2y)(–0.2x + 2y) = 10x²y(4y² – 0.04x²) = 40x²y³ – 0.4x⁴y
б)(1 3 x –2 3y)( 1 3 x + 2 3y) · (–9xy) = (1 9 x² –4 9y²) · (–9xy) = –x³y + 4xy³
751. Чи є лінійною функція, задана формулою?
а) y = 5x + 0,2y = 5x + 0,2y = 5x + 0,2 → так, це лінійна
б) y = −3,5x + 2,8y = -3,5x + 2,8y = −3,5x + 2,8 → так, це
в) y= 3 2x = −2x + 3y = 3 - 2x = -2x + 3y = 3 2x = −2x + 3
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3
0
х = 0.
Відповідь:
755.
підставимо координати кожної точки у формулу:
1. А(1; –0,4):
у = 1,6 • 1 – 2 = 1,6 – 2 = –0,4.
Точка А лежить на графіку.
2. В(2; 0,6):
у = 1,6 • 2 – 2 = 3,2 – 2 = 1,2.
Точка В не лежить на графіку.
3. С(5; 6):
у = 1,6 • 5 – 2 = 8 – 2 = 6.
Точка С лежить на графіку.
4. Г(–0,5; –3):
у = 1,6 • (–0,5) – 2 = –0,8 – 2 = –2,8.
Точка Г не лежить на графіку.
Відповідь: через точки В і Г графік не проходить.
756. Установіть
(А-Г).
1 – А; 2 – Г.
757.
в) y = –2x
–2 2
4 –4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = 3,5x
759. Побудуй графік функції. а) y = 5x – 3 X 0 1 Y –3 2 б) y = 4 – 2x x 0 4 y 4 –4
в) y = 2,5x X –2 2 Y –5 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = –4x x –1 1 y 4 –4
760. Plot the graph of the function
762.
y = –5, якщо x = 4; y = –3, якщо x = 3; y = 1, якщо x = 1; y = 2, якщо x = 0,5.
y
x
y
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
5 = 6 – 1
5 = 5
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
проходить через цю точку. –5 = –20 – 1
через точку B(–10; –5).
199 = 200 – 1 199 = 199
769. Чи проходить графік функції y = 5 – 3x через точку:
Перевіримо, чи проходить графік функції у = 5 – 3х через задані точки, підставивши координати кожної точки у рівняння функції:
а) Точка A(–1; 2):
у = 5 – 3х
2 = 5 – 3•(–1)
2 = 5 + 3
2 = 8 графік не
проходить через цю точку. б) Точка B(2; –1): у = 5 – 3х –1 = 5 – 3•2
точку A(–1; 2).
1 = 5 – 6
1 = –1
через цю точку.
= 7x - 12,
2; 30; −5; −26. Функція: у = 7х – 12.
Якщо х = 2: у = 7•2 – 12 = 14 – 12 = 2.
Якщо х = 6: у = 7•6 – 12 = 42 – 12 = 30.
Якщо х = 0: у = 7•0 – 12 = 0 – 12 = –12.
Якщо х = –1: у = 7•(–1) – 12 = –7 – 12 = –19.
Якщо х = –4: у = 7•(–4) – 12 = –28 – 12 = –40.
б) Знайдемо значення
в) Точка C(10; –25): у = 5 – 3х –25 = 5 – 3•10 –25 = 5 – 30 –25 = –25
через
B(2; –1) і
функції дорівнює:
Якщо у = 2: 2 = 7х – 12; 7х = 2 + 12; 7х = 14; х = 14 ÷ 7; х = 2.
Якщо у = 30: 30 = 7х – 12; 7х = 30 + 12; 7х = 42; х = 42 ÷ 7; х = 6.
Якщо у = –5: –5 = 7х – 12; 7х = –5 + 12; 7х = 7; х = 7 ÷ 7; х = 1.
Якщо у = –26: –26 = 7х – 12; 7х = –26 + 12; 7х = –14; х = –14 ÷ 7; х = –2.
Відповідь:
а) Для х = 2, у = 2; для х = 6, у = 30; для х = 0, у = –12; для х = –1, у = –19; для х = –4, у = –40. б) Для у = 2, х = 2; для у = 30, х = 6; для у = –5, х = 1; для у = –26, х = –2. 771. Для функції y = 8 - 5x, не
3; 18; -12; 38.
у = 8 – 5x.
x = –2: у = 8 – 5•(–2) = 8 + 10 = 18.
x = –4: у = 8 – 5•(–4) = 8 + 20 = 28. Якщо x = 0: у = 8 – 5•0 = 8.
x = 1: у = 8 – 5•1 = 8 – 5 = 3.
x = 6: у = 8 – 5•6 = 8 – 30 = –22.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
Якщо у = 3: 3 = 8 – 5x; 5x = 8 – 3; 5x = 5; x = 5 : 5; x = 1.
Якщо у = 18: 18 = 8 – 5x; 5x = 8 – 18; 5x = –10; x = –10 : 5; x = –2.
Якщо у = –12: –12 = 8 – 5x; 5x = 8 + 12; 5x = 20; x = 20 : 5; x = 4.
Якщо у = 38: 38 = 8 – 5x; 5x = 8 – 38; 5x = –30; x = –30 : 5; x = –6.
Відповідь:
а) Для x = –2, у = 18; для x = –4, у = 28; для x = 0, у = 8; для x = 1, у = 3; для x = 6, у = –22. б) Для у = 3, x = 1; для у = 18, x = –2; для у = –12, x = 4; для у = 38, x = –6.
772. Побудуй графік функції а) у = 2(х + 1) = 2х + 2
0 1
1 3
773. Побудуй графік функції а) y = 3(2 – x) x 0 3 y 6 –3
x 0 3
y –4 2
•
• Значення функції додатні, якщо: 2x – 4 > 0 → 2x
значення функції додатні.
• Значення функції від'ємні, якщо: 2x
функції від'ємні.
• Функція зростаюча, оскільки
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
b = 0
b = 4
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
k = 0,5 k = 2 779. Дано функцію y = 2 3 x - 1,
-3 ≤ x ≤ 6.
A(0;1), B(3; 1), C(9; 5)?
функції: y = 2 3 x – 1, де –3 < x < 6.
1. Перевіримо точку A(0; –1): Підставляємо x = 0: y = 2 3 ·0 – 1 = –1. Точка A(0; –1) належить графіку.
2. Перевіримо точку B(3; 1):
Підставляємо x = 3: y = (2 3)·3 – 1 = 2 – 1 = 1.
Точка B(3; 1) належить графіку.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
3. Перевіримо точку C(9; 5): Оскільки x = 9 не задовольняє
–3 < x < 6, точка C(9; 5) не належить графіку.
Відповідь: Точки A(0; –1) і B(3; 1) належать графіку, точка C(9; 5) не належить.
780. Не виконуючи побудови, знайди координати точок перетину з осями координат
графіка функції
а) Функція у = 4х + 28:
Для перетину з віссю Оу (х = 0): у = 4•0 + 28 = 28. Точка (0; 28).
Для
перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = 4х + 28 → 4х = –28 → х = –7.
Точка (–7; 0).
б) Функція у = –9х + 27:
Для перетину з віссю Оу (х = 0):
у = –9•0 + 27 = 27. Точка (0; 27).
Для перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = –9х + 27 → –9х = –27 → х = 3.
Точка (3; 0).
в) Функція у = 0,5 – 2х:
Для перетину з віссю Оу (х = 0):
у = 0,5 – 2•0 = 0,5. Точка (0; 0,5).
Для перетину з віссю Ох (у = 0):
0 = 0,5 – 2х → –2х = –0,5 → х = 0,25.
Точка (0,25; 0).
Відповідь: а) Точки (0; 28) і (–7; 0).
б) (0; 27) і (3; 0). в) (0; 0,5) і (0,25; 0).
781. Не виконуючи
а) Функція у = 35х – 70:
у = 35 • 0 – 70 = –70;
0 = 35х – 70; х = 2;
(0; –70) і (2; 0)
б) Функція у = 1,7х – 3,4:
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
у = 1,7 • 0 – 3,4 = –3,4; 0 = 1,7х – 3,4; х = 2; (0;–3,4) і (2;0)
в) Функція у = 2,5х + 5:
у = 2,5 • 0 + 5 = 5;
0 = 2,5х + 5; х = –2; (0;5) і (–2;0)
Відповідь:
а) Точки перетину: (0; –70) і (2; 0).
б) Точки перетину: (0; –3,4) і (2; 0).
в) Точки перетину: (0; 5) і (–2; 0).
782. Не виконуючи побудови,
а) у = 4х + 5 і у = –2х + 17;
4х + 5 = –2х + 17
6х = 12 х = 2 у = 8 + 5 = 13 (2;13)
783. Не виконуючи побудови,
у = –3х + 8 і у = 4х – 13; –3х + 8 = 4х – 13
7х = 21
х = 3
= –2
= 2,4 + 3 = 5,4 (–2;5,4)
у = –9 + 8 = –1 (3;–1) б) у = 2,3х + 4,2 і у = 4,5х – 6,8. 2,3х + 4,2 = 4,5х – 6,8
точку
2,2х = 11 х = 5
у = 11,5 + 4,2 = 15,7 (5; 15,7)
1. Для
функції: 3 = 4k – 1
4k = 4; k = 1;
2. Для другої функції: 3 = 4p + 5.
4p = –2; p = –0,5
Функції мають вигляд: 1) у = х – 1; 2) у = –0,5х + 5.
787. За якої
Якщо x = 3, y = 4, то:
1. Для першої функції: 4 = 3a + 3
3a = 4 – 3
3a = 1
a = 1 3 .
2. Для другої функції: 4 = 3c – 2
3c = 4 + 2
3c = 6 c = 2.
Тобто, функції
1) y = 1 3 x + 3
2) y = 2x – 2.
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (2 – 1) : (2 – 0) = 1 : 2 = 0,5.
Знайдемо p:
Підставимо
1 = 0,5 • 0 + p, p = 1.
Формула функції: y = 0,5x + 1.
б) Знайдемо формулу
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (5 – (–1)) : (0 – 1) = 6 : (–1) = –6.
Знайдемо p:
+ p:
Підставимо координати точки Р(0; 5) у рівняння y = kx + p:
5 = –6 • 0 + p, p = 5.
Формула функції: y = –6x + 5.
789. Задай формулою
а) М(0; 3) і С(–4; 1); б) K(–3; 1) і Т(0; –2).
а) М(0; 3) і С(–4; 1);
Обчислимо k: k = (y₂ – y₁) : (x₂ – x₁) = (1 – 3) : (–4 – 0) = (–2) : (–4) = 0,5.
Знайдемо p:
Підставимо координати точки М(0; 3) у рівняння y = kx + p: 3 = 0,5 • 0 + p, p = 3.
Формула функції: y = 0,5x + 3. б) K(–3; 1) і Т(0; –2).
Знаходимо кутовий коефіцієнт: k= -1. Підставляємо точку T(0; –2) у формулу y = kx + p: −2 = −1 ⋅ 0 + p ⇒ p= −2 Отже, функція має вигляд: y = −x −2.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
1. Для графіка a: – Графік зростає, k > 0. – Формула: y = x + 2.
3. Для графіка c: – Графік спадає, k < 0. – Формула: y = –0,5x.
791. Напиши формули функцій,
малюнку 18.13.
2. Для графіка b: – Графік зростає, k > 0. – Формула: y = 2x – 1.
4. Для графіка d: – Графік спадає, k < 0. – Формула: y = –x – 1.
а) Для графіка а: – Графік зростає, проходить через точки (0; 3) і (–3; 0).
– Формула: y = x + 3.
2. Для графіка b:
– Графік зростає, проходить через точки (0; –3) і (3; 0).
– Формула: y = x – 3.
б)
Для графіка б:
– Графік спадає, проходить через точки (–4; 0) і (0; –2).
– Формула: y = –0,5x – 2.
2. Для графіка b:
– Графік зростає, проходить через точки (0; 4) і (–4; 0).
– Формула: y = x + 4.
792. На фарбування
t
а) малюнку 18.12; б)
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
794.
y = x + 4; y = –x + 4;
y = 1 – 2x; y = 1 + 2x; в) y = 3x; y = –3x. 795.
https://shkola.in.ua/3317-hdz-alhebra-7-klas-bevz.html
y = x + 2;
б) y = 2x + 4; y = –2x + 4;
в) y = 2,5x; y = –2,5x.
796. Побудуй графік функції
а) y = �2x + 3,x ≤ 0, x + 3,x > 0
