Školski katalog 2021/2022. Matematika

Kаталог уџбеника за математику по новом програму наставе и учења 2021/2022

ЗА СВЕ РАЗРЕДЕ: • ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИЦИ • НАСТАВНЕ ПРИПРЕМЕ • КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ • ДОДАТНИ НАСТАВНИ МАТЕРИЈАЛИ

Математика 8 Уџбеник за осми разред основне школе

Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић

••

Препоручени садржаји, који воде остварењу предвиђених исхода, обрађени су кроз осам тематских целина (Сличност, Тачка, права, раван, Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом, Призма, Линеарна функција, Пирамида, Систем линеарних једначина с две непознате, Ваљак, купа, лопта).

••

Свака наставна тема почиње уводном страном, где се налазе примери из свакодневног живота, понешто из историје математике и кратка најава садржаја који ће се обрађивати, као и кратак тест за проверу претходно усвојених знања, неопходних за успешно савладавање садржаја који следе.

••

У оквиру сваке наставне јединице издвојени су и посебним иконичким знацима означени следећи делови: кључни појмови, обрада новог градива, додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива и одељак Провери шта знаш, с неколико задатака који се односе на обрађено градиво.

••

У оквиру сваке наставне теме постоје одељци Сазнај и ово, у којима се указује на то како се обрађени садржаји могу повезати с појавама из свакодневног живота или на који су се начин тим садржајима бавили стари математичари.

••

Градиво је у уџбенику изложено тако да ученика активно води кроз лекцију: полазећи од једноставних примера, преко правила, решених примера до задатака за вежбу.

•• •• ••

На крају сваке наставне теме налази се рубрика Запамти. То су прегледне систематизације градива обрађеног у оквиру наставне теме. На крају уџбеника дати су резултати и упутства за решавање свих задатака. Уџбеник ће бити доступан и у дигиталном формату, с мултимедијалним материјалом, интерактивним задацима и проверама знања.

2

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Уводна страна у наставну тему

Најава садржаја који ће се обрађивати

Тачка, права, раван

Кратак тест за проверу претходно усвојених знања

У овом поглављу учићеш о: • одређености праве и равни; • међусобном односу две праве, две равни, као и праве и равни; • нормалности праве на раван; • полиедрима.

Еуклид из Александрије један је од најпознатијих матема­ тичара античког доба. Тај велики учитељ математике аутор је чувеног списа Елементи, који се састоји од 13 књига. Еу­ клид је оснивач геометрије као науке: дао је законитости и правила у геометрији који важе и данас. Његови Елементи, као уџбеник из геометрије, проучавају се скоро 24 века и преведени су на готовo све светске језике.

Eуклид се у том делу бавио основама геометрије у равни и простoру. Његова геометрија обухвата облике који се мо­ гу конструисати помоћу лењира и шестара и проблеме који се могу решити помоћу та два инструмента.

1

d

а) Која је права паралелна са правом а? б) Kоjа је права нормална на праву а?

e c a b

Од тринаест Еуклидових књига првих шест посвећено је геометрији у равни, док су последње три књиге посвећене геометрији у простору. У осталим књигама Еуклид разматра аритметичке проблеме.

2

Колико правих одређују дате тачке?

D

C

E A

Еуклид

Архимед из Сиракузе други је велики зналац геометрије. Његов рад одвија се у непосредном контакту са Еукли­ довом школом. Поред осталог, тај ма­ тематичар постао је славан у области геометрије по томе што се бавио про­ блемима који нису решиви путем кон­ струкција лењиром и шестаром. Бројни антички математичари, под­ стакнути развојем астрономије и ме­ ханике, бавили су се проблемима гео­ метрије. Међу њима се истиче Аполо­ није из Пергама.

B

3

Колико постоји правих које садрже тачку А и које су нормалне на праву а? Колико постоји правих које садрже тачку А и које су паралелне с правом а?

4

Која од дужи на слици има дужину једнаку растојању између тачке А и праве а?

a

A

B

5

C

E

D

F

Конструиши заједничку нормалу, а затим измери у милиметрима растојање између датих правих и запиши га. b a

Архимед

Аполоније 6

Еуклид, Архимед и Аполоније, с другим мање познатим математичарима, сакупили су, записали и објаснили сва тадашња позната математичка знања. Та знања преузели су из арапских извора западноевропски научници у раном средњем веку, што је био изузетно снажан подстицај за рађање модерне науке.

7

Који су многоуглови на слици конвексни? а) б) в)

г)

д)

Који су многоуглови на слици правилни? а) б) в) г) д)

ђ)

е)

ж)

34

35

Кључни појмови

Подсети се

Решени задаци

Подела дужи на једнаке делове

Pomo}u lewira i {estara podeli du` AB ta~kama C i D na tri jednaka dela.

A

B

Решење Prvi korak

• одсечци између паралелних правих на крацима угла

Nacrtaj proizvoqnu polupravu Ax i na woj izaberi ta~ku M. Zatim na polupravoj odredi ta~ke P i Q tako da du`i AM, MP i PQ budu jednake.

• подела дужи на једнаке одсечке • подела дужи у датој размери 1

A

Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta stranica trougla.

x

B

2 B

B1

B2

F

c

O

F E

O

O

a

a

b) Du` AB podelimo na tri jednaka dela.

Odredimo ta~ku M na du`i AB tako da du`i AM odgovaraju dva dela od dobijena tri jednaka dela du`i AB. Uglovi EOC i FEP jesu uglovi na transverzali b za prave e i a.

b F

E

C

b) AB : AM = 3 : 2

a) Primenimo postupak iz re{enog primera i du` AB podelimo na pet jednakih delova.

Odredimo ta~ku M na du`i AB tako da je du` AM jednaka du`ini dva dela od dobijenih pet jednakih delova du`i AB.

e

D d

c

B

P D

A

M

B

b

P

C

D

Nacrtaj du` a = 7 cm. Koristi lewir i {estar i podeli je na: a) ~etiri jednaka dela b) pet jednakih delova.

a) AM : MB = 2 : 3

b

D d

c

C

Pomo}u lewira i {estara podeli datu du` AB ta~kom M tako da je:

E

C

A

Решење

d

Neka su du`i OC i CD na kraku Oa jednake.

Paralelne prave c i d kroz ta~ke C i D seku krak Ob u ta~kama E i F.

P

M

Zakqu~ujemo da su du`i AC, CD i DB jednake, odnosno da je du` AB podeqena na tri jednake du`i.

Poka`imo da va`i tvr|ewe: Ako paralelne prave seku krake datog ugla i ako na jednom kraku ugla odsecaju jednake du`i, onda one i na drugom kraku ugla odsecaju du`i jednakih du`ina.

Na osnovu jednakosti EOC = FEP, OCE = EPF i OC = EP sledi da su trouglovi OCE i EPF podudarni prema stavu USU. To zna~i da su du`i OE i EF jednake.

Q

A

Nacrtaj pravu QB. Kroz ta~ke M i P povuci prave paralelne pravoj QB i ozna~i sa C i D wihove preseke sa du`i AB.

Odse~ci koje paralelne prave odsecaju na kracima ugla

Povucimo kroz ta~ku E pravu e, paralelnu s krakom Oa, i ozna~imo sa P presek pravih e i d.

Kako je četvorougao CDPE paralelogram, sledi da je CD = EP. Iz jednakosti OC = CD i CD = EP sledi da je OC = EP.

x

Drugi korak

C2

Du` BC je sredwa linija trougla AB1C1, a du` B1C1 je sredwa linija trougla AB2C2 na slici. Da li su prave BC, B1C1 i B2C2 paralelne?

Napi{i razmere du`i: C1 a) AC : AC1 i AB : AB1 b) AC : AC2 i AB : AB2 C v) CC1 : CC2 i BB1 : BB2

Q P

M

e a

3

Podeli du` AB ta~kom M tako da je: a) AM : MB = 4 : 3 b) AB : AM = 5 : 3

A

v) AB : MB = 5 : 2

M

B

Du` AB podeli na: a) 7 jednakih delova; b) 5 jednakih delova.

Zakqu~ujemo da dve paralelne prave koje na jednom kraku ugla odsecaju jednake odse~ke odsecaju i na drugom kraku ugla jednake odse~ke.

Ovo svojstvo mo`emo primeniti kada datu du` delimo na jednake delove, {to }emo po­ kazati u re{enom primeru.

10

11

Обрада новог градива

3

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Додатна објашњења дефиниција и правила

Решавaње система од две линеарне једначине са две непознате – метода замене

x = 3 − 5y y=1

Применили смо правило П1: израчунали смо y.

x=3−5⋅1 y=1

Применили смо правило П2: заменили смо y у првој једначини бројем 1.

x = −2 y=1

Применили смо правило П1.

• методa замене

1

Изрази променљиву y преко променљиве x из једначине: а) 7x − y − 21 = 0 б) 9x + 3y = 15

Провера: -2 + 5 ⋅ 1 = 3 3 ⋅ (-2) - 2 ⋅ 1 = -8 Уређени пар (−2, 1) јесте решење датог система.

Методa замене Научили смо да решити систем од две линеарне једначине са две непознате, x и y, значи одредити све уређене парове бројева (x0, y0) који су решења обе једначине тог система.

У овом примеру било је погодније да непознату x изразимо преко y, јер нам је коефицијент уз x број 1. Добили бисмо исто решење и да смо непознату y изразили преко x.

Једна од метода којом ћемо решавати систем од две линеарне једначине са две непознате јесте методa замене. Методa замене састоји се у томе да се једна непозната (на пример x) из једне једначине система изрази помоћу друге непознате, а затим да се та непозната x у другој једначини замени добијеним изразом. На тај начин једну од једначина система са две непознате свели смо на једначину с једном непознатом. На пример, решимо следећи систем једначина методом замене: x + 5y = 3 3x − 2y = −8

Уопште, код методе замене нема правила за избор непознате коју ћемо изражавати. Избор зависи од нас, мада је погодно изабрати непознату уз коју је коефицијент 1 или −1 кад год је то могуће.

2

Реши систем једначина методом замене и провери решење. б) x = 4 − y в) y = x − 5 а) y = 10 + 4x 3x + y = 8 3x + y = 7 2x − y = 4

3

Реши систем једначина. б) − x + y = 8 а) x − y = 12 2x + y = 3 5x − 2y = 5

4

Реши систем једначина. а) 5x + 2y = 17 б) 3y + 2x = 7 3y + x = 5 x−y=2

5

Реши систем једначина. б) 7x + y = 6 а) 4x + y = 4 5x − 4 y = 5 x − 6y = 7

x + 5y = 3 3x − 2y = −8 x = 3 − 5y 3x − 2y = −8

Применили смо правило П1: једначину x + 5y = 3 заменили смо еквивалентном једначином x = 3 − 5y.

x = 3 − 5y 3(3 - 5y) − 2y = −8

Применили смо правило П2: променљиву x у другој једначини заменили смо изразом 3 – 5y.

x = 3 − 5y 9 − 15y − 2y = −8

Применили смо правило П1.

x = 3 − 5y 9 − 17y = −8

Применили смо правило П1.

x = 3 − 5y −17y = −17

Упутство Прво примени правило П2.

Провери шта знаш 1. Реши систем једначина методом замене. б) 8 y = 13x − 1 в) y = 2x − 2 а)x = 5y − 10 x − 2y = 2 x − 2y = 25 −14x + 8 y = −2

д)3x + y = 10 x − 3y = 10

г) − x + y = −1

−7x + 3y = 25

Применили смо правило П1.

182

183

Задаци

Провери шта знаш Систематизација градива

Сазнај и ово

ЗАПАМТИ Сазнај и ово

Тачка, права, раван

Кристали

Права је одређена двема различитим тачкама. За две различите тачке постоји само једна права која их садржи.

Већина чистих супстанци у чврстом стању има правилну структуру и геометријски облик, то јест јавља се у виду кристала. Правилан геометријски облик кристала условљен је правилним распоредом структурних јединица у простору. Честице су у кристалима распоређене на тачно одређен начин, а такав распоред периодично се понавља у простору и тако се образује тзв. кристална решетка. Структура кристала сликовито се представља помоћу јединичне ћелије кристалне решетке. Слагањем елементарних ћелија у простору дуж три осе може се изградити читав кристал. Број типова кристалних решетки математички је врло ограничен. Спољашња форма кристала има полиедарски облик.

A

B a

Тачно једна раван одређена је: • трима неколинеарним тачкама

• једном правом и тачком која јој не припада A

C α

A

• двема правама које се секу

B

• двема паралелним правама b

a

α

b a

α

a α

Однос двеју правих Снежна пахуљица је кристал леда. У највећем броју снежне пахуљице јесу срасли кристали леда. Снежну пахуљицу одликују посебан облик и симетрија.

Праве се поклапају

Праве се секу b А

b

a

a

А ∈а А ∈b

Немају заједничких тачака и припадају једној равни (паралелне праве) b a

Немају заједничких тачака и не припадају једној равни (мимоилазне праве) b

a || b

a

Однос праве и равни Права припада равни

Права пресеца раван

Права је паралелна с равни

Сваки кристал натријум­хлорида или кухињске соли представља готово савршену коцку. p α

α

Кристал кварца је основни састојак седиментних и магматских стена.

p || a

α

p

Права нормална на раван p^a p^b p^a

p

P

Угао између праве и равни p

p

α

P

Отрогонална пројекција праве p на раван a јесте права p'. (p, p') = (p, a)

a b

p’

P

α

Однос двеју равни Равни се поклапају

Равни се секу β

γ = δ α

64

4

p

Равни су паралелне

ϕ θ

j || q

65

МАТЕМАТИКА 8 – ЗБИРКА

••

Збирка прати уџбеник и у њој се налазе задаци за даље вежбање. Заступљени су разноврсни задаци, свих типова и нивоа тежине, а поред њих у збирци се могу наћи и додатна објашњења дефиниција и правила, као и решени задаци који помажу у разумевању градива. У рубрици Пробај и ово налазе се задаци намењени оним ученицима који могу и желе да науче нешто више.

••

••

На крају сваке тематске целине у збирци налазе се систематизације дате кроз задатке за проверу знања. Задаци су градирани у три нивоа: основни, средњи и напредни. Одређивање нивоа највећег броја задатака урађено је према документу Општи стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовања за предмет математика, а аутори су се ослонили и на исходе дефинисане у програму наставе и учења за осми разред основне школе.

На крају збирке дати су резултати и упутства за решавање свих задатака.

Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић

Задаци

Решен задатак

График линеарне функције 5 1 Дата је функција y = x + .

6 2 а) Израчунај y за x = −3.

1 б) Израчунај x за y = .

2

5 4 3 2

Објашњење: Да бисмо помоћу графика одредили y (вредност функције) за x = 3, повуцимо из тачке (3, 0) праву паралелну са y-осом до пресека с графиком. Из те тачке повуцимо праву паралелну са x-осом до пресека са y-осом. Та права сече y-осу у тачки чија је координата 5, па је y = 5 за x = 3. Слично томе закључујемо да је y = −5 за x = −2.

y=

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

x

–2 –3

–4 –5

y

–x

+

1

Нацртај график функције y = x − 1. Провери да ли је y = −1 за x = −1 и y = 3 за x = 4.

1 3

1

x

-3

А(3, 9) x-координата

y-координата

Тачка А(3, 9) припада графику неке функције ако је за x = 3 вредност функције y једнака 9, а не припада ако је она различита од 9.

4

Можеш проверити на два начина – рачунски и графички – да ли нека тачка припада графику функције, као у претходном решеном примеру.

1

3

B(0, 3)

Други начин Проверимо рачунски да ли тачке А и B припадају графику дате функције. Заменимо вредности x-координате и y-координате тачке А(3, 9) у формули y = 4x − 3.

9=4·3−3 9 = 12 − 3 9=9 Тачка А(3, 9) припада графику дате функције. Поновимо исти поступак за тачку B(0, 3).

3=4·0−3 3≠−3 Тачка B(0, 3) не припада графику дате функције.

1

A(3, 9) x–3

Решење Први начин Нацртајмо у координатном систему график функције y = 4x − 3 и тачке А(3, 9) и B(0, 3). На цртежу видимо да тачка А припада том графику, а да му тачка B не припада.

y

Решење y = 5 за x = 3 y = −5 за x = −2

Дат је график функције y = −x + 4. Прочитај са графика и запиши колико је: а) y за x = −1, x = 0 и x = 5 б) x за y = −1, y = 0 и y = 5

y 9

Провери да ли тачке А(3, 9) и B(0, 3) припадају графику функције y = 4x − 3.

Дат је график функције y = 2x − 1. Одреди вредност функције y за x = 3 и x = −2.

2

Нацртај график линеарне функције y = kx + n ако је: a) k = 2 и n = −1 б) k = −3 и n = 1 2

y=4

1

5

x

6 График линеарне функције y = kx + n је права. Како је права одређена двема тачкама, довољно је да нађеш вредност функције y за две различите вредности независне променљиве x. Можеш да формираш табелу.

Дат је график функције y = 3 x − 3.

4 а) Које од тачака Е(0, 4), F(4, 0), G(8, 3) припадају том графику? б) Колико је y за x = 0? в) Колико је x за y = −3?

y 4 3 2 1 –2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8 x

–2 –3

4

Нацртај график линеарне функције. a) y = 4x − 3 б) y = −2x + 5

–4 –5

86

87

Подсети се

Додатно објашњење

5

ВОДИЧ КРОЗ ЗБИРКУ Пробај и ово

22

Подсети се

Површина и запремина пирамиде – примена

Од квадра на слици направљено је тело које се састоји од две правилне четворостране пирамиде. Израчунај запремину тела ако је а = 12 cm. a

a a

1

Стаклени држач за књиге има облик правилне четворостране пирамиде. Израчунај масу држача ако је а = 12 cm, а H = 8 cm. Густина g стакла је ρ = 2,4 3 . cm

Маса тела једнака је производу његове запремине и густине: m=V⋅ρ

2

Кров куће има облик правилне четворостране пирамиде и покривен је бакарним лимом. Дужина основне ивице је 4,5 m, а бочне 5 m. Израчунај масу лима ако је његова дебљина 4 mm g и густина ρ = 8,9 3 . cm

Свака бочна страна пирамиде може се посматрати као призма чија је основа тај троугао, а висина је једнака дебљини лима.

3

Од дрвене коцке чија је ивица дужине 18 cm изрезана је пирамида као на слици. Основна ивица пирамиде једнака је 2 ивице коцке, 3 а висина је 10 cm. Колика је маса преосталог g дела коцке? Густина дрвета је ρ = 0,8 3 . cm

4

За лакирање коцке из задатка 3 потребно је 200 g лака. Колико је грама лака потребно за лакирање тела када се од коцке изреже пирамида као на слици у задатку 3?

5

За постављање ограде потребно је 50 дрвених стубова чије су димензије дате на слици. Да ли камион носивости две тоне може да превезе те стубове одједанпут?

a 2a

Пробај и ово 23

Од правилне пирамиде на слици изрезане су обојене пирамиде. Ако је а = 12 cm и h = 12 cm, израчунај запремину обојених пирамида. а) б) b 2

b

H

a

a

a

a a

a

24

Упутство: а) Изрезана је тространа пирамида. б) Изрезане су две шестостране пирамиде.

b

Од коцке чија је ивица а = 10 cm изрезана је пирамида као што је приказано на слици. Израчунај површину и запремину преосталог дела коцке.

a

10 cm

a 2

kg m3

6

Украс од порцелана има облик две правилне подударне шестостране пирамиде које су спојене основама. Ако је дужина основне ивице 36 mm, а бочне ивице 54 mm, g израчунај његову масу. Густина порцелана је ρ = 2,4 3 . cm

7

Колико милилитара воде стане у чашу облика правилне шестостране пирамиде с бочном ивицом дужине 13 cm и висином 12 cm?

8

Ваза има облик правилне тростране пирамиде чије су унутрашње основне ивице дужине 10 cm, а висина је 30 cm. Колико се литара воде налази у вази ако је она напуњена до 4 висине?

5

Од коцке је изрезана правилна тространа пирамида као што је приказано на слици. Израчунај површину и запремину изрезане пирамиде ако је а = 12 cm. а) б) a

a

a 2

a

a a

a

26

ρ2 = 800

12 cm

a

a

25

Густина дрвета:

1,5 m

Израчунај површину и запремину преосталог дела коцке у задатку 25а).

9

1 ml = 1 cm3

Вода у вази заузима запремину правилне тростране пирамиде чија је основна ивица 4 од 10 cm, 5 а висина 4 од 30 cm.

5

У чашу облика правилне шестостране пирамиде стаје 300 милилитара воде. Колика је основна ивица ако је висина чаше 6 cm?

116

117

Систематизација градива

Задаци средњег нивоа

а

Купа – систематизација

5

Нацртај скицу купе која настаје када правоугли троугао на слици ротира око праве а за 360°.

4 cm 3 cm

1

2

Измери у милиметрима дужину полупречника основе и висину купа на слици и запиши их.

6

Израчунај висину купе ако је изводница s = 39 cm, а пречник основе 2r = 30 cm.

7

Израчунај површину омотача купе ако је r = 4 cm и s = 12 cm.

8

Израчунај површину купе ако је дужина пречника основе 2r = 8 cm, а изводница s = 5 cm.

9

Две купе имају једнаке висине. Полупречник основе једне купе четири је пута краћи од полупречника основе друге купе. Како се односе њихове запремине? а) 1 : 2 б) 1 : 4 в) 1 : 8 г) 1 : 16

10

Која купа на слици у задатку 3 има најмању запремину?

11

Правоугли троугао ротира једанпут око краће катете, а други пут око дуже катете. Која од тако добијених купа има већу запремину ако су катете а = 12 cm и b = 18 cm?

12

Колико децилитара млека стаје у чашу облика купе чији је пречник основе 2r = 9 cm, а висина H = 20 cm? (p ≈ 3)

13

Запремина купе је 4 800 cm3, а дужина полупречника основе 20 cm. Израчунај површину купе. (p ≈ 3)

14

Површина купе је 108p cm2, а површина њеног омотача 72p cm2. Израчунај запремину купе.

15

Запремина једне купе два пута је већа од запремине друге купе. Ако обе купе имају једнаке висине, у ком су односу полупречници њихових основа?

16

У вази облика купе чији је пречник основе 2r = 12 cm, а висина H = 24 cm, налази се вода која допире до половине висине вазе. Израчунај запремину воде у вази. Узети да је p ≈ 3.

17

Дат је ромб странице а = 6 cm и оштрог угла a = 60°. Колика је запремина тела насталог обртањем тог ромба за 360° око странице?

Нацртај у квадратној мрежи скицу купе чији је полупречник основе r = 1,5 cm, а висина H = 2,5 cm.

O

3

Која купа на слици има највећу висину? а) б) 3 cm

7 cm

5,1 cm

4 cm

5 cm 4,2 cm

3,6 cm

6 cm

в) 3 cm

4 cm

5,1 cm

г) 5 cm 4,2 cm

7 cm 3,6 cm

6 cm

4

Полупречник основе купе је r = 2,5 cm. Који је кружни исечак омотач те купе? Узети да је p ≈ 3. а) б) в) s

s

s

20 cm

8 cm

15 cm

160

6

161

Задаци основног нивоа

Задаци напредног нивоа

Математика 7 Уџбеник за седми разред основне школе

r = 5m

Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић

••

Препоручени садржаји, који воде остваривању предвиђених исхода, обрађени су у шест тематских целина (Реални бројеви, Питагорина теорема, Цели алгебарски изрази, Многоугао, Круг, Обрада података).

••

Свака наставна тема почиње уводном страном, где се налазе примери из свакодневног живота, понешто из историје математике и кратка најава садржаја који ће се обрађивати, као и кратак тест за проверу претходно усвојених знања неопходних за успешно савладавање садржаја који следе.

••

У оквиру сваке наставне јединице издвојени су и посебним симболима означени следећи делови: кључни појмови, обрада новог градива, додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива и одељак Провери шта знаш, с неколико задатака који се односе на обрађено градиво.

•• ••

Уџбеник је обликован тако да ученика активно води кроз лекцију, почев од једноставних примера, преко правила, до задатака за вежбу. На крају сваке наставне теме налазе се рубрике И то је математика и Запамти. У првој се ученици упознају с примерима и задацима који указују на различите области живота у којима математика има примену, а друга се односи на прегледне систематизације градива обрађеног у оквиру те наставне теме.

7

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Задаци

Кључни појмови

Приближна вредност реалног броја. Апсолутна грешка

Апсолутна вредност разлике тачног броја а и њему приближне вредности a′ назива се апсолутна грешка приближног броја a′. Обележавамо је са D(a′) и читамо: делта од а прим. (a ) = a a У задатку 1. тачна вредност је а = 33,3333333... cm, приближна вредност је a′ = 33,3 cm, а апсолутна грешка (a ) = a a = 33,33333... 33,3 = 0,0333...

• приближан број • правила заокругљивања бројева

3

• апсолутна грешка

На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу број а = 1,87.

1

Миња прави интегрални хлеб тако што помеша: 2 kg ражаног брашна, 1 kg овсеног брашна и 1 kg јечменог брашна.

3 5 4 Најприближнија маса брашна потребна за овај хлеб је:

1

а) 1,100 kg б) 1,110 kg в) 1,120 kg.

4

2

На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу бројеве а = 125 и b = 164.

100

Од једног метра сатенске траке Вера може да направи три једнаке машне. Колико је центиметара траке потребно за једну машну?

2

1,1

а) Ком је броју број а ближи: броју 1,8 или 1,9? б) Ако је a′ = 1,8, израчунај апсолутну грешку. в) Ако је a′ = 1,9, израчунај апсолутну грешку. г) Упореди израчунате апсолутне грешке.

110

200

a) Заокругли те бројеве на десетице и обележи их са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке. б) Заокругли те бројеве на стотине и обележи са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке.

а) Мање од 33 cm. б) Тачно 33 cm. в) Више од 33 cm.

1 m = 0,333333333... m = 33,33333333... cm 3 1 m 33,3 cm 3

Заокругли децимални број на означено декадно место и одреди апсолутну грешку приближног броја.

Ознака ≈ чита се: приближно је једнако.

Решење

а) 3,35

б) 0,503

а) а = 3,35 a′ = 3,4 D(a′) = 3,35 – 3,4 D(a′) = 0,05

Приближан број. Aпсолутна грешка У свакодневном животу често смо у прилици да меримо масу, дужину, површину, запремину итд. Понекад је немогуће доћи до тачног резултата мерења, па смо принуђени да као резултат, уместо тачног броја а, узмемо неки њему приближан број a′.

5

На пример: За једну машну Вери је потребно 33,3333333... cm сатенске траке. Како је лењир којим Вера мери дужину подељен на милиметре, она ће за трећину метра узети број 33,3 cm, а остале децимале ће занемарити. Уместо тачне вредности једне трећине метра а = 33,3333333... cm, Вера је измерила приближну вредност a′ = 33,3 cm.

в) 219,0006 б) а = 0,503 a′ = 0,5 D(a′) = 0,503 – 0,5 D(a′) = 0,003

в) а = 219,0006 a′ = 219,001 D(a′) = 219,0006 – 219,001 D(a′) = 0,0004

Заокругли број x = 8,09538545 на: а) једну децималу б) три децимале в) четири децимале. Одреди апсолутне грешке приближних вредности.

Правила заокругљивања у скупу реалних бројева

Приликом практичних мерења и израчунавања тачне вредности често замењујемо приближним.

Научили смо да се бројеви који имају неограничен број децимала, а који нису периодични, називају ирационалним бројевима. На пример:

Узимајући уместо тачне вредности броја њему приближну вредност, увек правимо извесну грешку.

2 = 1,41421356..., 3 = 1,732050807..., 5 = 2,236067...

24

25

Обрада новог градива

Решен задатак

Провери шта знаш

Подсети се

5

Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je stranica: a) a = 12 cm

Ako je data dijagonala d kvadrata, stranicu a mo`e{ da izra~una{ i na slede}i na~in:

b) a = 3,6 cm

a2 + a2 = d2 2a2 = d2

Izra~unavawe dijagonale kvadrata

a 2=d a= d 2 a= d ⋅ 2 2 2 a=d 2 2 Na primer, ako je dijagonala kvadrata d = 10 cm, 2 cm 5 2 cm. onda je stranica = a 10 = 2

Dijagonala d deli kvadrat na dva podudarna jednakokrako-pravougla trougla. Katete tih trouglova stranice su datog kvadrata, a hipotenuze su jednake dijagonali d. Primenom Pitagorine teoreme na jedan od tih trouglova dobijamo: d2 = a2 + a2

d

d2 = 2a2 d= a 2

a

a

Na primer, ako je stranica kvadrata a = 3 cm, onda je d = 3 2 cm.

6

Провери шта знаш

Na osnovu podataka sa slike izra~unaj du`inu nepoznate stranice pravougaonika. Izra~unaj obim i povr{inu tog pravougaonika.

O = 2a + 2b

34 mm

b

P=a⋅b a

30 mm

7

3. Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je data stranica: a) a = 12 cm

Izra~unaj obim i povr{inu pravougaonika ako je: a) d = 26 cm, a = 10 cm

1. Izra~unaj du`inu dijagonale pravougaonika ako su date stranice: 2 a) a = 12,6 cm b = 3,2 cm b) a = 11 cm b = 4 cm 3 2. Izra~unaj du`inu druge stranice pravougaonika ako su date jedna stranica i dijagonala: a) a = 4,5 cm d = 5,3 cm b) a = 2 5 cm d = 8 cm

b) d = 5,3 cm, a = 2,8 cm

b) a = 2,4 cm

4. Izra~unaj obim kvadrata ako je data dijagonala: a) d = 16 cm b) d = 5 2 cm

Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je dijagonala d = 6 cm. Решење a2 + a2 = (6 cm)2

6 cm

2a2 = 36 cm2 a2 = 18 cm2 a = 18 cm = 9 ⋅ 2 cm = 3 2 cm

8

a

Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je data dijagonala: a) 10 cm

9

О ирационалном броју

a

b) 1,2 cm

Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je: a) d = 12 cm

b) d = 3,6 cm

O = 4a

2 P = a2 ili P = d 2

a

2

Pitagori se pripisuje i otkri}e iracionalnog broja 2.

Pitagora i wegovi u~enici prou~avali su svojstva jednakokrakog pravouglog trougla, to jest odnos stranice i dijagonale kvadrata. Do{li su do saznawa da ne postoji prirodan broj ~iji je kvadrat jednak zbiru kvadrata dva ista broja. To je bilo otkri}e iracionalnog broja 2.

Ovo epohalno otkri}e spada me|u najzna~ajnija otkri}a u matematici i bez wega se ne bi mogao zamisliti razvoj nauke i ~ove~anstva. Pitagorejci su dugo ~uvali u tajnosti taj rezultat jer se on kosio s tada{wim shvatawem pojma broja.

52

53

Пример из историје математике

8

Spomenik Pitagori na Samosu

a

МАТЕМАТИКА 7 – ЗБИРКА

••

Збирка прати уџбеник и у њој се налазе разноврсни задаци за даље вежбање. Поред задатака, у збирци се могу наћи и додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива, а у рубрици Пробај и ово налазе се задаци намењени оним ученицима који могу и желе да науче нешто више.

••

На крају сваке тематске целине у збирци налазе се задаци за проверу знања, градирани у три нивоа: основни, средњи и напредни.

••

На крају уџбеника и збирке дати су резултати и упутства за решавање свих задатака.

Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић Тематски садржај

Водич

Водич

Додатна објашњења дефиниција и правила

Тематски садржај Реални бројеви Питагорина теорема

Решени задаци који помажу у разумевању градива

Цели алгебарски изрази Многоугао

Пробај и ово

– Задаци у овом одељку намењени су оним ђацима који могу и желе да науче нешто више

4–24 25–47 48–65, 90–105 66–89

Круг

106–127

Резултати и упутства

128–148

Задаци основног нивоа*

Задаци средњег нивоа

Задаци напредног нивоа

* За одређивање нивоа највећег броја задатака коришћени су описи из документа Општи стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовања за предмет математика. Документ је објављен на сајту www.mpn.gov.rs Аутори су се ослонили и на исходе дефинисане у Плану и програму за седми разред основне школе.

Одређивање нивоа задатака урађено је према документу Општи стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовања за предмет математика

9

ВОДИЧ КРОЗ ЗБИРКУ Додатно објашњење

Задаци

Цели алгебарски изрази (први део)

U nauci se veoma ~esto susre}emo s velikim brojevima. Da bi se izbegle gre{ke prilikom zapisivawa i ~itawa takvih brojeva, kao i prilikom ra~unawa, korisno je zapisati ih u kra}em obliku, to jest u obliku stepena.

Степен чији је изложилац природни број

Na primer: Zapremina Zemqe pribli`no iznosi 1 080 000 000 000 km3.

1

Zapisano u kra}em obliku: 1 080 000 000 000 km3 = 1,08 ⋅ 1012 km3

Zapi{i u obliku stepena.

Kada veliki broj zapisujemo u kra}em obliku, pravilo je da ga pi{emo u obliku proizvoda kod kojeg je jedan ~inilac broj izme|u 1 i 10, a drugi broj 10 na neki stepen.

a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

( ) ( ) ( ) ( )

b) −3 ⋅ −3 ⋅ −3 ⋅ −3 v) 1 1 ⋅ 3 2 2

g) x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x

Na primer: 1 080 000 000 000 = 1,08 ⋅ 1012 km3

}

2

Izra~unaj vrednost stepena.

3 1 b) −3 3 v) a) 104 5

()

( )

3

(

)

g) −0,2

broj izme|u 1 i 10

0 =0 8

4

d) 08

Pribli`an broj stanovnika u Evropi jeste 710 000 000. Kra}i zapis tog broja je:

9

Koje su jednakosti tačne?

a) 7,1 ⋅ 107

a) 104 = 1 000 v) 106 = 1 000 000

10

g) 109 = 10 000 000 000 4

Broj 64 napisan u obliku stepena je: a) 2

b) 2

5

7

Koji je odgovor tačan?

5

b) 6 = 216

(

a) −4 ⋅ 5

v)

)

b) 2 ⋅ −10

Decimalni zarez pomeramo za šest mesta ulevo.

b) 1,353 ⋅ 1013

v) 1,353 ⋅ 1014

11

Zemqa je od Sunca udaqena 150 miliona kilometara.

Napi{i tu udaqenost u kra}em obliku.

17

=1

g)

5

= 32

12

Izra~unaj vrednost izraza.

( )

6

( )

DA

( )

v) −25 ⋅ −2

(−5)

4

NE

()

5

=− 5

DA

NE

(−1)

5

DA

4

= −12

DA

Koja je jednakost tačna? b) 3,56 ⋅ 10 = 356 000 5

a) −10

b) −4

Prioritet ima stepenovawe.

3

( )

v) −2

g) 4

Koji je odgovor tačan?

Izra~unaj vrednost izraza.

( )

a) 12 − 4 ⋅ −1

Kako je 104 = 10 000, prilikom ovog mno`ewa decimalni zarez pomeramo za četiri mesta udesno.

v) 3,56 ⋅ 105 = 3 560 000

( )

g) 44 − −4

Vrednost izraza −1 − 3 je:

14

NE

3,1 ⋅ 104 = 3,1 ⋅ 10 000 = 31 000

a) 3,56 ⋅ 105 = 35 600

3

2

− −3 = −32

NE

()

1 1 v) 4 − 4

7

13

( )

4

b) −2 − 32

3

U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no.

24 = −2

8

3 490 000 = 3,49 ⋅ 106

a) 1,353 ⋅ 1012

a) 53 − 10

Izra~unaj.

4

7

Superkompjuter mo`e da uradi 135 300 000 000 000 operacija u sekundi. Kra}i zapis tog broja je:

Koji broj treba upisati u prazno poqe da bi se dobila ta~na jednakost? a) 34 =

6

v) 7,1 ⋅ 109

Koji je odgovor tačan?

b) 2

6

b) 7,1 ⋅ 108

Koji je odgovor tačan?

b) 105 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

3

Redosled operacija: 1. stepenovawe 2. mno`ewe i deqewe 3. sabirawe i oduzimawe

( )

b) 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ −2

3

Izra~unaj vrednost izraza.

15

( 52 + 58 )

4

a)

(

b) 36 ⋅ 3,7 + 6,3

(

)

v) 33 − 9 ⋅ 5 − 0, 25 4

3

)

5

Prvo izra~unaj vrednost stepena 23 i 32.

[ta je ve}e, 23 ili 32?

16

48

49

Подсети се Пробај и ово

Задаци средњег нивоа

11

Правоугаоник MPQS чије су странице MP = 6 cm и PQ = 3 cm ротирај око пресека дијагонала за +90°. Обележи са M1, P1, Q1, S1 одговарајућа темена. Докажи да је четвороугао MM1QQ1 квадрат и израчунај његов обим и површину.

12

Нацртај правилан шестоугао ABCDEF, па га ротирај око његовог центра у позитивном смеру за угао од 30°. Обележи са А1, B1, C1, D1, E1 и F1 одговарајућа темена. Докажи да су тачке A, А1, B, B1, C, C1, D, D1, E, E1, F, и F1 темена правилног дванаестоугла.

Колики je централни, а колики периферијски угао који одговара петини кружнице?

7

Од полукруга с пречником дужине 12 cm изрезан је највећи круг. Колика је површина отпалог дела?

а) α

б) β

в) γ

9

Круг с полупречником r = 3 cm подељен је на шест једнаких делова. Израчунај обим и површину једног таквог дела.

10

На ком је цртежу приказана ротација једнакостраничног троугла ABC у троугao A1B1C1 око његовог центра О за позитивно оријентисан угао α = 30°? а) C

C1

A1

3

б) 16π cm2

4

2

в) 36π cm2

г) 64π cm2

в) 3π cm

б) π cm

2

O

C1 B

A

O

O B

A

C1 B

A

A1

B1

B1

k

в) 1,5π cm

70°

O

12

Колика је размера површина уписаног круга и описаног круга једнакостраничног троугла?

13

Дужина кружног лука круга описаног око правилног шестоугла који одговара краћој дијагонали износи 2π cm. Израчунај полупречник круга и површину одговарајућег кружног исечка.

14

У правоугаоник чија је површина P = 54 cm2 уписан је полукруг као што је приказано на слици. Колики је обим тог полукруга, а колика његова површина?

15

Од кружног исечка одрезана су два полукруга као што је приказано на слици. Израчунај површину осенченог дела.

г) 6π cm

2

Центар кружнице k приказане на слици је тачка О. На основу података са слике израчунај углове α, β. γ, δ и f.

г) 2π cm

2

У квадрат чија је дужина странице а = 10 cm уписана је кружница. Колики је обим тог круга? Колика је површина тог круга?

6 cm 126

Задаци основног нивоа

10

C

30°

Колика је површина кружног исечка ако је централни угао α = 60°, а дужина полупречника круга r = 3 cm? а) 0,5π cm

5

б) 2π cm

A1

A1

B1

O

Дужина полупречника круга је r = 12 cm. Колика је дужина лука који одговара периферијском углу чија је мера 45°? а) π cm

B1

г) C

C1

40°

Два круга имају обиме: О1 = 6π cm и О2 = 10π cm. За колико се разликују њихове површине? а) 4π cm2

в) C

B

11

2

б)

O

г) δ

r

8

A k

г) 9π cm2

У квадрат чија је дужина странице 4 cm уписана је кружница и око њега је описана кружница. Колика је површина кружног прстена који одређују те две кружнице?

Круг – провера знања На слици је кружница k са центром у тачки О. Који угао има меру 40°?

в) 18π cm2

r

Једнакостранични троугао ABC ротирај у троугао А1B1C1 око његовог центра за 30° у позитивном смеру. Ако је полупречник описаног круга тог троугла ro = 4 cm, израчунај површину шестоугла АА1BB1CC1.

1

б) 27π cm2

а) 36π cm2

Пробај и ово

13

6

150°

6 cm 127

Задаци напредног нивоа

Дигитални материјали ВРХУНСКИ ЕВРОПСКИ ОБРАЗОВНИ СОФТВЕР КОЈИ ЋЕ ВАМ БИТИ СВАКОДНЕВНА ПОМОЋ У НАСТАВИ

••

Дигитални уџбеници припремљени су у сарадњи с највећим финским произвођачем образовног софтвера, чији су партнери и неки од највећих издавача у Финској и Европи.

•• •• •• •• •• ••

Предност им је лако и интуитивно коришћење и кретање кроз програм, као и модеран и иновативан изглед платформе. Могу се користити на телефону, таблету и компјутеру и нема потребе за додатном инсталацијом програма. Могу се користити и на електронској табли и погодни су за рад у учионици с већом групом ђака. Истовремено могу бити и материјал из којег ученик учи у школи или код куће и помоћно средство намењено наставнику за ефикасније извођење наставе. Демо-верзијама дигиталних уџбеника Креативног центра може приступити сваки наставник без регистрације, преко адресе www.ekcskola.rs Корисници наших штампаних књига могу користити комплетне верзије уџбеника уколико се региструју на истој адреси. ТОКОМ ПРОТЕКЛЕ ДВЕ ГОДИНЕ ОВАЈ МАТЕРИЈАЛ ЈЕ УСПЕШНО КОРИСТИЛО ВИШЕ ХИЉАДА НАСТАВНИКА.

e-K C

НОВО!

Наставник може да прати рад својих ученика тако што ће прегледати резултат који је ученик остварио радећи задатке из одређене лекције или области.

11

ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИК МАТЕМАТИКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

••

Уџбеник се састоји од седам поглавља у којима се обрађује градиво предвиђено новим програмом наставе и учења.

Провери шта знаш – задаци на крају сваке обрађене целине које ученик може да ради самостално у свесци или на табли и могућност брзе провере тачности резултата

Запамти – сумирани појмови који су обрађени у поглављу

12

Oмогућено је увеличавање делова текста уџбеника, што је изузетно погодно за демонстрацију у учионици, а такође чини материјал прегледним за ученика

ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИК МАТЕМАТИКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

••

Различити визуелни прикази који на сликовит начин демонстрирају математичке садржаје који се обрађују 2.

4.

3.

1.

••

Тестови – Седам група и у свакој од њих налази се 14-15 задатака за рад на компјутеру. Њима се проверава усвојено знање из одређене области, а решења је могуће одмах проверити. У задацима се од ученика захтевају различите активности: превлачење, уписивање. Повезивање, проналажење парова. Дат је велики број типова задатака, што је разноврсније од уобичајених дигиталних материјала. Задаци се разликују према типу и нивоу знања које се њима проверава

На крају сваке провере знања ученик и наставник имају увид у проценат успешности у решавању, а ученик има могућност да се врати на задатке које није тачно урадио и покуша поново

••

Кретање кроз материјал је једноставно. Систем памти где је ученик последњи пут био како би лакше могао да настави рад.

Дигитални уџбеници за 8. разред основне школе биће спремни за школску 2021/2022. годину 13

Meтодичка подршка Припреме за час

•• •• •• •• •• •• •• •• ••

(у електронској или штампаној форми) садрже: исходе из којих произлазе компетенције образовне стандарде структуру часа тип часа

Наставне припреме за 5, 6, 7. и 8. разред пратећи су део уџбеника

облик рада

Припреме за 8. разред биће спремне до априла 2021. године

н аставне методе наставна средства корелације активности ученика/наставника

Пример припреме – 7. разред

Школа Редни број часа: 28 Циљ часа

Исходи часа

Тип часа Облик рада Метода рада Наставна средства Корелација Међупредметне компетенције Планиране активности ученика Планиране активности наставника Провера остварености исхода

Наставник

Разред и одељење Датум VII Наставна тема: ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Наставна јединица: Питагорина теорема • уочавање односа катета и хипотенузе правоуглог троугла • формулација Питагорине теореме и обрнуте Питагорине теореме • примена Питагорине теореме за израчунавање хипотенузе или катете правоуглог троугла • проверавање да ли је троугао правоугли применом Питагорине теореме Ученик/ученица је у стању да: - формулише Питагорину теорему и њен обрат - одређује трећу страницу правоуглог троугла ако су две странице познате - проверава да ли је троугао правоугли обрада индивидуални, фронтални рад на тексту, разговор, демонстрација уџбеник/ стр. 44, 45, 46, 47; прибор за геометрију, пројектор историја Ученик развија: - компетенцију за учење - комуникацију - решавање проблема - цртање, читање - извођење закључка - рачунање - упознаје ученике са новим садржајима трудећи се да ученици буду што више укључени у рад - проверава усвојеност градива - усмена провера, кроз разговор са ученицима - увид у свеске ученика

Ток и садржај часа Уводни део (5 минута) • Наставник увидом у свеске проверава домаћи задатак . Главни део часа (35 минута) • Наставник на табли напише наслов Питагорина теорема.

• Наставник на табли нацрта правоугли троугао катета 3 dm и 4 dm. Наставник поставља питања ученицима: Како се зове најдужа страница правоуглог троугла, шта су катете, колики је збир оштрих углова правоуглог троугла? Најпре каже да унапред зна да је хипотенуза овог троугла 5 dm, затим мерењем то и доказује.

• Наставник каже да је мерне бројеве хипотенуза знао унапред захваљујући познавању Питагорине теореме и да је захваљујући њој могуће знати колика је хипотенуза било ког правоуглог троугла уколико су познате његове катете. Исписује Питагорину једначину на табли.

14

Наставник пројектује страну 44 из књиге. Ученици читају текст Из историје математике.Ученици мере странице троуглова у задатку 1 на страни 32. Проверавају Питагорину једнакост за измерене величине.

• Приказ књиге страна 45. Ученици тумаче цртеже о разлагању два квадрата и њиховом поновном састављању у нов квадрат. Наставник помаже да се у свескама исцртају скице подела квадрата. Наставник понавља: Збир површина два мања квадрата једнак је површини новодобијеног квадрата. Ученици цртају правоугли троугао са катетама a и b, хипотенузу обележавају са c. Цртају квадрате над страницама троугла. Усмена провера да ли ученици повезују слике у свесци. Истаћи да је ово један од доказа Питагорине теореме. Поновити: c2 = a2 + b2 • Наставник истиче обрат Питагорине теореме.

• Ученици ће код куће преписати у свеску текст из испрекиданог оквира с дна стране 45.

• Дискутујемо урађен пример.

• Ученици решавају задатак 2 на страни 34 по угледу на решени пример.

• Наставник поставља питање: Ако је позната хипотенуза и још једна катета, може ли се израчунати непозната катета?

• Ученици решавају задатак 3 на табли.

• Наставник упућује ученике на други урађен пример страна 47. и заједно са ученицима проверава да ли је троугао из примера 4а) правоугли. Завршни део часа (око 5 минута) • За домаћи: преписати текст са стране 45 у уџбенику и са стране 47 задаци 1, 2 и 3. из Провери шта знаш. Анализа часа (запажања наставника) •

Додатни материјали ВЕЖБАМ МАТЕМАТИКУ

•• ••

Одлична припрема за контролне вежбе и писмене задатке Свака област се завршава задацима који систематизују знања на основном, средњем и напредном нивоу (Провера знања) Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић

••

Садржи 670 задатака кључних за разумевање школског градива

Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић

•• ••

Садржи 716 задатака кључних за разумевање школског градива Припрема ученике за контролне вежбе

Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић

•• ••

Садржи 687 задатака кључних за разумевање школског градива Помаже ученицима да поправе оцену из математике

Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић

•• ••

Садржи 884 задатака кључна за разумевање школског градива Корисна за вежбање и утврђивање градива

МАТЕМАТИКА, ЗБИРКА ЗАДАТАКА ЗА ЗАВРШНИ ИСПИТ Аутори: Недељка Видовић, Горица Станојевић, Злата Ступаревић, Весна Станојевић, Љиљана Врачар, Марина Станчић

•• •• ••

Садржи 786 задатака који су груписани у пет области, подељени у три нивоа постигнућа (основни, средњи, напредни) и усклађени са Општим стандардима постигнућа – образовним стандардима за крај обавезног образовања за предмет математика На крају сваке области налазе се тестови за проверу усвојености знања На крају збирке су решења свих задатака, а уз свако је наведена шифра стандарда који се односи на тај задатак

15

Додатни материјали КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ школа Креативнашкола Креативна Злата Ступаревић Свјетлана Петровић

КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ за шести разред основне школе

6 Аутори: Злата Ступаревић, Свјетлана Петровић

•• ••

Садрже 17 кратких контролних вежби подељених у две групе (15 минута по вежби) Садрже 7 контролних вежби (А и Б група) које обухватају све садржаје предвиђене планом и програмом у петом разреду (45 минута по вежби)

Аутори: Злата Ступаревић, Свјетлана Петровић

•• ••

Садрже 18 кратких контролних вежби подељених у две групе (15 минута по вежби) Садрже 9 контролних вежби (А и Б група) које обухватају све садржаје предвиђене планом и програмом у шестом разреду (45 минута по вежби)

Аутори: Злата Ступаревић, Свјетлана Петровић

•• ••

Садрже 12 кратких контролних вежби подељених у две групе (15 минута по вежби) Садрже 6 контролних вежби (А и Б група) које обухватају све садржаје предвиђене програмом наставе и учења у седмом разреду (45 минута по вежби)

Контролне вежбе за 8. разред основне школе биће спремне за школску 2021/2022. годину

За све информације јавите се тиму за вашу територију

Креативни центар • Градиштанска 8, 11120 Београд 35 • Тел./факс: (011) 30 88 446, 38 20 483 Продаја: за град Београд – тел. 011 / 24 40 659, 38 20 464 • e-mail: jelena.banjanin@kreativnicentar.rs за Војводину – тел. 011 / 24 00 333 • e-mail: jelena.markovic@kreativnicentar.rs за централну Србију и КиМ – тел. 011 / 38 20 483 • e-mail: dragan.nikolic@kreativnicentar.rs

info@kreativnicentar.rs www.kreativnicentar.rs

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд ISBN 978-86-529-0896-7 COBISS.SR-ID 29387529