Predškolac u svetu matematike. Aktivnosti za decu uzrasta od tri do šest i po godina.

ПРИРУЧНИК ЗА ВАСПИТАЧЕ И РОДИТЕЉЕ

4 Ми р к о Деј ић

5

6

сти Активно аста зр у у ц е д за дине о г и р т од по и т с е ш до година

Едиција

Приручници Књига педесет прва

Предшколац у свету математике Активности за децу узраста од три године до шест и по година Прво издање Аутор Др Мирко Дејић Уредник Свјетлана Петровић Лектор Ивана Игњатовић Графички дизајн и корице Душан Павлић Припрема за штампу Љиљана Павков Издавач Креативни центар, Београд Градиштанска 8 Тел.: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 e-mail: info@kreativnicentar.rs www.kreativnicentar.rs За издавача Мр Љиљана Маринковић, директор Штампа Графипроф Година штампе 2016 Тираж 1500 ISBN 978-86-529-0332-0

ПРИРУЧНИК ЗА ВАСПИТАЧЕ И РОДИТЕЉЕ

Мир к о Де јић

сти Активно аста узр у ц е д а з дине о г и р т од и по т с е ш о д година

Садржај Предговор

4

Скуп. Почетни квантитативни појмови

7

Млађи узраст Средњи узраст

16

Старији узраст

19

Природни бројеви

23

Млађи узраст

25

Средњи узраст

27

Старији узраст

35

Половина. Четвртина

45

Старији узраст

45

Просторне релације – релације положаја

49

Млађи узраст

49

Средњи узраст

52

Старији узраст

54

Просторне релације – релације величина

2

7

58

Млађи узраст

58

Средњи узраст

64

Старији узраст

67

Развијање геометријских појмова

71

Млађи узраст

71

Средњи узраст

74

Старији узраст

77

Развијање појма масе

83

Млађи узраст

84

Средњи узраст

85

Старији узраст

87

Оријентација у времену

89

Млађи узраст

90

Средњи узраст

91

Старији узраст

92

Појам мерења Старији узраст Неке игре у функцији развијања математичких појмова

95 96 107

Задаци за развијање математичких способности и математичке даровитости

117

Опис неких васпитно-образовних средстава

125

Литература

131

3

Предговор Oсећај за математику постоји код сасвим мале деце. Већ са пет месеци дете може да разликује бројност скупова до три елемента, па чак и да уочи додавање и одузимање елемената. Иако на предшколском нивоу деца не изучавају математику систематски, у оквиру наставног предмета, она се с математиком сусрећу у свакодневним активностима. Математика је неизбежна свакодневица деце. Разумевање математичких појмова развија се до нивоа интуитивне представе. Дете спонтано учи шта је горе, а шта доле, шта је иза, а шта испред. Среће се с појмовима

лево, десно, у, на, ван, уочава колико има нечега, среће се с бројањем, низовима, мерењем, увиђа да нешто личи на неку геометријску фигуру (квадрат, правоугаоник, круг итд.) или геометријско тело (коцку, квадар, лопту итд.). Такође, оно издваја предмете према неком својству и упоређује их на основу разлика, дели на једнаке делове, уочава где је нечега више, а где мање, итд. Све нас то, иако је реч о малој математици, наводи на потребу за организованијим радом у погледу развијања математичких појмова на предшколском нивоу. Ово нипошто не треба схватити као наметање математичког знања деци. Родитељи и васпитачи треба да прате дечја интересовања и да с децом увек раде оно што за децу има смисла. Када се укаже потреба да дете нешто изброји, да се оријентише, да нешто подели, измери итд., васпитачи и родитељи треба да га усмере тако да му се у игри или одговарајућој активности, на њему јасан начин, приближи математички појам – он у дететовој глави треба да остави неку слику на основу које ће оно касније тај појам препознати у другим ситуацијама. Развијање математичких појмова код деце омогућиће њихов континуирани интелектуални развој. Треба имати у виду то да деца до шесте године не могу да решавају логичке задатке уколико нису посебно надарена. Од њихове шесте до седме године треба подстицати занимање за математику и повећати број логичких задатака. На тај начин олакшаће се касније формирање математичких појмова. Садржина овог приручника највећим се делом ослања на књигу Методика развијања почетних математичких појмова, коју је издао 4

Учитељски факултет у Београду.1 Приручник који је пред вама написан је на популаран начин, па поред тога што васпитачима у вртићима може бити сталан приручник за непосредан рад на математичком образовању предшколске деце, може да послужи и родитељима и свим одраслим особама које раде на васпитању деце. Ради једноставније комуникације са читаоцима у тексту је коришћена искључиво реч васпитач, при чему се подразумева да то може бити и родитељ или било која друга одрасла особа која ради с децом. Приручник садржи известан број описа конкретних активности које можете непосредно изводити с децом. Оне су означене овако: Ако су описане активности које се одвијају у вртићима, родитељи могу да их прилагоде условима у којима раде с децом. Садржина приручника структурисана је тако да су одговори на питања о томе шта и како радити с децом на развијању математичких појмова дати према узрасту: • млађи узраст (од три до четири године); • средњи узраст (од четири године до пет година); • старији узраст (преко пет година – припремни предшколски период од пет и по до шест и по година). Наравно, ову поделу треба схватити условно и поштовати индивидуалне разлике између деце. Ако у тексту стоји да дете нешто може да уради у четвртој години, то не значи да неко дете неће то моћи раније, а неко касније. Приручник пре свега наводи редослед корака у развијању математичких појмова.

Аутор

Мирко Дејић, Методика развијања почетних математичких појмова. Практикум, Београд 2009.

1

5

Један, много, мало

Скуп. Почетни квантитативни појмови Млађи узраст

– од три до четири године

Груписање предмета, класификација и серијација

В

ежбе груписања предмета по неком критеријуму омогућују деци да уче да пажљиво посматрају и опажају свет и предмете око себе, да анализирају и упоређују својства различитих предмета. На тај начин код деце се формира логичка операција класификација. Деци у узрасту од три до четири године треба давати разне предмете да их опипају, да уоче нека њихова својства, да та својства потом запажају на другим предметима и да уочавају њихове међусобне сличности и разлике. Уочавање сличности предмета помаже деци у груписању предмета, то јест у класификацији. Са три године деца издвајају бојице из групе предмета, издвајају лутке из корпе са играчкама, у једну корпу стављају веће лопте, а у другу мање итд. Дете увек треба да каже шта ради и по ком критеријуму издваја предмете. У узрасту од две до четири године дете још нема развијену способност апстраховања, то јест не може у потпуности да одвоји битно од небитног, већ често, уместо да групише предмете према сличности, групише их према неком осећају о припадности групи. На пример, дете уз лопте ставља фигурице фудбалера јер они шутирају лопту, уз издвојене луткице припаја неки њихов одевни предмет итд. Тај ниво груписања

7

представља тзв. фигуралне колекције. Децу у том узрасту треба подстицати да групишу предмете према неком карактеристичном својству: према истом облику, истој боји, то јест да образују нефигуралне колекције, а затим да то својство запажају и на другим предметима. Деца у узрасту од око три године већ групишу предмете по једном критеријуму (по боји, облику итд.). Око четврте године деца могу да класификују по два својства. Треба имати у виду то да ће нека деца класификовати предмете и према више од два својства, па таквој деци треба омогућити да напредују у складу са својим способностима. Корисна вежба је, на пример, да међу логичким блоковима деца пронађу и издвоје све кругове обојене у црвено (облик и боја), или све мале фигуре исте боје (величина и боја), или само велике троуглове (облик и величина) итд. Ако хоћемо да деца класификују нешто по три критеријума, можемо тражити да издвоје велике жуте кругове (величина, боја и облик).

Логички блокови

Деца обављају и серијацију према неком својству: ређају камиончиће по величини (у растућем или опадајућем редоследу), ређају оловке по дужини, нијанси боје итд. Број предмета за децу у узрасту од три до четири године не треба да прелази три. Серијација представља услов за развијање појма скупа, а затим и појма броја.

8

Jедан и много, много и мало

У

зраст од три до четири године можемо назвати пренумеричким. За развијање почетних квантитативних појмова неопходне су практичне манипулације истоврсним и разноврсним предметима. Првобитне представе о појмовима један и много дете почиње да развија веома рано. Сам термин један дете усваја већ од прве године. Када му се каже: „Покажи један прстић“ или „Додај ми једну лопту“, оно тачно зна шта се од њега тражи. У овој фази дете везује термин један искључиво за предмет. Такође, већ у другој години живота дете разграничава појмове једнине и множине. Разуме када му кажемо: „Покажи лутку“ или „Покажи лутке“, „Стави коцку“ или „Стави коцке“ итд. Вежбе у којима се предмети сакупљају у мноштво и поједини предмети издвајају из тог мноштва помажу деци да уоче јединку и целину као састав од тих јединки. То ће касније помоћи у схватању састава броја као скупа јединица. До представе о квантитету нечега воде игре у којима деца састављају групу предмета исте врсте или групу растављају на издвојене предмете. У току вежбања деца треба да схвате да се група (скуп) састоји од посебних предмета (елемената), да науче да издвајају поједине елементе из групе, да установе како је елемент део целине.

На пример, активност у којој ће дете уочавати однос између једног и много – уз употребу речи: много, један, по један, ниједан, више, мање – може се организовати на следећи начин: На столу се налазе играчке, рецимо кока и пилићи, покривене нечим. Деца су окупљена у полукруг око стола. Васпитач открива играчке и разговара с децом: „Шта је ово?“ (показује играчку – коку). „Колико има кока? Ко је још с коком?“ (показује играчке пилиће). Наглашава да се ту налазе једна кока и много пилића. Узима у руку једно пиле и пита децу: „Колико је пилића у мојој руци?“ („Једно пиле.“) „Колико кока има пилића?“ („Много.“) Од деце се очекују исправни одговори и васпитач још једном наглашава речи један и много.

9

Игра се наставља тако што деца узимају по једно пиле, па на столу остаје све мање пилића, док на крају нема ниједног пилета. Васпитач наглашава речи: по један и ниједан. Наглашава се да су деца узела све пилиће, да су узимала по једно пиле и да није остало ниједно. Даље се разговор води о томе како ће на столу поново бити много пилића (биће их опет много када свако дете врати по једно пиле). Док деца враћају једно по једно пиле, васпитач говори да је, на пример, Петар на сто ставио једно пиле, Драгана још једно, Ана још једно и да их сада има све више. На крају се изводи закључак да на столу, када су сви ставили по једно пиле, пилића има много. „Колико има кока?“ („Једна“), „А пилића?“ („Много“), „Чега има више?“ („Пилића је много, а кока је једна“), „Много је веће од један, а један је мање од много.“ Активност даље може да тече тако што ће нека деца узети по једно пиле, а васпитач ће питати: „Колико је пилића узела Ана (Петар, Драган)?“, „Колико пилића имају остала деца?“, „Колико је пилића на столу?“, „Где има више пилића, код Петра или на столу?“ итд. Када дете усвоји појмове један и много, онда га учимо да прави разлику између две групе предмета у којима се налази мало односно много предмета. На пример: у једној групи се налазе три предмета, а у другој их је пет, десет или петнаест и томе слично. За једну скупину рећи ћемо да се у њој налази мало предмета, а за другу да их је у њој много. Да би се почетни квантитативни појмови један, много, мало што боље издиференцирали, од деце треба захтевати да додају једну сличицу, да додају много сличица, да однесу мало сличица итд. Погодне су и следеће вежбе: Васпитач на гомили испред себе има онолико играчака колико је деце у групи. Играчке су једнаке. Даје деци по једну играчку, а затим деца враћају те играчке. Акценат је на томе да деца уоче да се група предмета смањује ако се из ње узимају поједини предмети и да се повећава када јој се додају поједини предмети. Деци може да се каже да узимају по једну играчку. Када остане само једна, васпитач може да пита: „Колико је играчака остало?“ („Једна играчка“), „Колико је играчака

10

узето?“ („Много“). Када дете узме последњу играчку, може да следи питање: „Колико је играчака остало?“ („Ниједна“). Затим, када нека деца врате по једну играчку, могу да следе питања: „Колико је играчака враћено?“ („Мало“), „Колико играчака није враћено?“ („Много“). Обједињавање предмета исте врсте у целину може се спровести помоћу следеће вежбе: У соби се налазе два обруча различитих боја и неколико, на пример, плишаних медведића. Од деце се захтева да ставе једну играчку у плави обруч и много (остале медведиће) у црвени. На тај начин деца ограђују целину истоврсних предмета, што ће водити ка апстрактнијем схватању скупа. Када деца интуитивно схвате да се скуп састоји од појединих елемената, треба у околини потражити групу истоврсних предмета и указати на поједине предмете (један) и целину (много). На пример, деца могу да запазе да је на рукама много прстију, да је у соби много столица итд. Можемо посматрати и разноврсне предмете и закључити да се у соби налазе једна јабука, много лутака (не више од четири) итд. Поред питања у вези с квантитетом, васпитач може да поставља и она која се односе на боју, својство, величину итд. Развијање почетних представа о квантитету наставља се растављањем скупа на мало и много предмета. На пример, скуп картица дели се тако да се мало картица ставља у једну корпицу, а много у другу, и томе слично. Вежбе које се односе на појмове један, много и мало могу се наставити у разним варијантама: „Стави много жетона у плаву корпу“, „Где има мало камиончића и много лутака?“, „Донеси једну оловку и мало гумица“ итд.

11

Упоређивање скупова и развијање релација мање, више, једнако

Р

азвијајући појмовe један, много и мало, деца се припремају за разумевање појмова мање, више и једнако. При развијању тих појмова деца формирају следеће вештине: • успостављају узајамно једнозначну кореспонденцију (један–један) између два скупа; • одређују једнакобројност и неједнакобројност два скупа; • овладавају начинима кореспонденције (стављање предмета на предмет, образовање парова, стављање предмета једног испод другог); • схватају да бројност (у опсегу од три до пет) не зависи од распореда предмета у простору, то јест да је бројност инваријантна (неизмењена) у односу на распоред елемената. На основу узајамно-једнозначне кореспонденције и сравњивања елемената једног скупа са елементима другог скупа дете ће лако уочити

једнакост броја елемената два скупа, одредиће где их има више, а где мање, и проширити фонд речи појмовима: једнако, исто колико, онолико колико, мање од, мање него овде, више од итд. На следећим сликама приказане су различите могућности узајамно-једнозначне кореспонденције.

1. Предмет се ставља на предмет: Шоља има исто колико и тацница.

Шоља има мање него тацница. Тацница има више него шоља.

12

2. Предмети се стављају један испод другог:

3. Образовање парова:

Различите вежбе спаривања елемената двају скупова омогућују правилно развијање почетних квантитативних појмова исто колико, више, мање. На пример, васпитач може слева надесно да поређа тацнице, а затим да на сваку стави по једну шољицу. Потом ће рећи: „На сваку тацну ставио сам по једну шољицу“, па ће питати децу: „Колико сам шољица ставио на тацнице?“ Уобичајен одговор је: „Много.“ Васпитач онда још једном треба да покаже како је свакој тацни додељена по једна шољица и да свака тацна има своју шољицу. Васпитач наводи децу на одговор: „Шољица има исто колико и тацница“ или „Ставио сам онолико шољица колико има тацница.“ Када дете усвоји појам исто колико, прелази се на питање „По колико?“ Децу треба подстицати да на питање: „По колико је шоља и тацни?“ одговоре: „Једнако“, „Шоља и тацни има једнако.“ Нека деца навешће

13

тачан број шољица и тацни, нека ће чак рећи да их има једнако, јер их је по пет, али треба инсистирати на уочавању да их је једнако због једнакобројности која се увиђа на основу кореспонденције елемената једног и другог скупа. Само тако дете ће поступно научити да број генерализује као заједничко својство једнакобројних скупова и да схвати како тај број не зависи од природе и распореда елемената у скупу. На основу сличних примера деца развијају појмовe више од и мање од. При томе, скупови које упоређујемо треба да се разликују по бројности за само један елемент. Предмети који се упоређују у почетку треба да буду у некој вези; то, на пример, могу бити шоље и тацне, корнети и сладолед, црвени и плави модели троуглова, зеке и шаргарепе итд. Вежбе могу бити и такве да деца додају предмете скупу или да их узимају из скупа како би их било исто колико и елемената другог скупа, више или мање од њих. У свакодневним вежбама васпитач деци показује две групе предмета и поставља им питања у вези с појмовима које је развијао очекујући усмени одговор: „Којих играчака има више? Да ли сваки зец има своју шаргарепу? Шта треба да урадимо да би шоља било мање него тацни?“ итд. Оно на шта посебно треба обратити пажњу јесте то да једнакост по бројности два скупа елемената дете мора да усвоји независно од облика и распореда предмета у простору, примењујући различите начине упоређивања. Да би се тај циљ постигао, треба узети две групе предмета (не више од три до пет предмета у групи). Они се распоређују у два реда, један предмет испод другог, на пример жетони облика троугла и жетони облика квадрата.

14

После сравњивања група и увиђања да троуглова има исто онолико колико и квадрата, васпитач узима квадрате и распоређује их другачије – развлачи ред или групише елементе у реду.

Затим предлаже деци да закључе да ли квадрата опет има исто колико и троуглова. Деца ће се усредсредити на просторни облик и у почетку ће, ако је, на пример, ред развучен, тврдити да квадрата има више од троуглова или, ако су елементи груписани, да квадрата има мање него троуглова. Након вежбања и поновног сравњивања, међутим, дете може да закључи како се ништа није променило – да ништа није ни додато ни одузето – па елемената има исто колико и раније. Развијањем почетних квантитативних представа (много, један, мало, исто колико, више, мање) и савладавањем практичних начина успостављања кореспонденције међу скуповима полако се утире пут ка појму броја.

15

Средњи узраст – од четири године до пет година

Скуп, елемент

Н

ајмлађа деца могу да опажају само неколико истоветних предмета (само кликере, само жетоне итд.), али не могу да опазе скуп као целину, с границама и везама између елемената. Разне класификације и игре с груписањем предмета доводе до перципирања скупа као целине са унутрашњом структуром. Са навршене четири године деца разликују елементе једне целине – скупа – и почињу да уочавају скупове с једним елементом, са два и три елемента, а у петој години уочавају и скупове у којима има до пет елемената. С децом треба радити тако да елементи скупа буду повезани неким заједничким својством (животиње, воће, фигуре, алати итд.). Скуп је одређен ако и само ако можемо да утврдимо да ли одређени објекат (елемент) припада или не припада том скупу. Развијање појма скупа треба почети с појмовима или скуповима блиским деци, на пример с породицом. Од деце се тражи да наброје све чланове своје породице, да одреде да ли њихова васпитачица припада њиховој породици, да ли зека припада њиховој породици итд.

Сматрамо да је још рано за реч елемент, а да је реч члан сасвим прикладна. Треба разговарати о групи деце у вртићу и употребљавати реч скуп. Васпитачица поставља захтеве: „Наведите све чланове који чине скуп деце наше групе. Наведите чланове скупа дечака наше групе. Наведите чланове скупа девојчица. Ком скупу припада Милан, а ком скупу не припада? Ком скупу припада Ивана, а ком не припада?“ Васпитачица

16

пита и да ли она припада скупу који чине деца њене групе, да ли му припада њихова другарица, сестра итд. После таквих примера треба прећи и на примере скупова чији су називи деци блиски: јато птица, рој пчела, гомила каменчића, букет цветова итд. Паралелно с наглашавањем речи јато, рој, букет итд. треба говорити да је то скуп птица, скуп пчела, скуп цветова итд.

Затим од деце треба тражити да наброје предмете који се налазе у просторији и питати их да ли тим предметима припада, на пример, и орман из суседне просторије. Дете ће рећи: „Скуп предмета у нашој соби чине клупе, столице, ормани, табла, сто, лењири, слике…“

Деца у почетку треба физички да одвајају групе предмета према неком истакнутом својству. Да би се истакла целина скупа, могу се користити обручи, канап, кругови нацртани на поду, корпице, кантице итд. Ипак, децу постепено треба ослобађати од граничника јер они само асоцирају на целину. У старијим групама те целине мисаоно се формирају. Од конкретних скупова које деца формирају манипулацијом (издвајање црвених жетона, лутака, кестенова итд.) прелази се на околину, па се од деце тражи да се присете неких скупина које знају, то јест да се присете неких целина чији су елементи повезани заједничким својством.

Од деце се тражи да наведу елементе скупа воћа, скупа поврћа, скупа птица, скупа играчака, скупа домаћих животиња, скупа дивљих животиња и других. Деца треба да наброје што више чланова и да објасне зашто наведени чланови припадају или не припадају датом скупу.

Развијању појма скупа доприноси и графичко приказивање скупова. Скуп се на предшколском нивоу приказује помоћу цртежа. Цртежи на поједностављен начин приказују неку реалност (природан скуп). У „оквиру“ (затвореној линији) налазе се поједностављени цртежи 17

ПРИРУЧНИК ЗА ВАСПИТАЧЕ И РОДИТЕЉЕ

ОЛАКШАЈТЕ ДЕЦИ УЛАЗАК У СВЕТ МАТЕМАТИКЕ!

• Овај приручник помоћи ће свим родитељима и васпитачима да правилно, корак по корак, развију код деце предшколског узраста математичке појмове и да децу припреме за полазак у школу.

• У књизи је дато мноштво примера и активности који ће предшколцима олакшати усвајање почетних математичких знања.

• У оквиру сваке области (скупови, природни бројеви, половина и четвртина, просторне релације, геометријски објекти, маса, оријентација у времену и мерење) графички су јасно издвојене активности које се изводе с децом у млађој, средњој и старијој групи у вртићу.

• Приручник садржи и упутства за десет математичких игара, идеје за разна математичка васпитно-образовна средства, као и задатке за подстицање математичке даровитости.

4

5

6 9

788652

903320