Matematika 8 zbirka hrvatski

Mirjana Stojisavljević-Radovanović Ljiljana Vuković

Matematika Zbirka zadataka

za 8. razred osnovne škole

MATEMATIKA Zbirka zadataka za osmi razred osnovne škole prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Dragoslav Herceg, redovni profesor, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu Zorica Jončić, profesorica, XIV. beogradska gimnazija u Beogradu Vesna Stanojević, profesorica, OŠ „1300 kaplara“ u Beogradu Nedeljka Vidović, profesorica, OŠ „Ratko Mitrović“ u Beogradu Darko Medan, profesor, OŠ „Borislav Pekić“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod na hrvatski Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Jelena Reljić Crteži Mirjana Stojsavljević-Radovanović Priprema za tisak Nebojša Mitić Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011 / 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 Za izdavača Ljiljana Marinković Tisak Tiraž ISBN Copyrigvt © Kreativni centar 2015

Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković

Matematika Zbirka zadataka za osmi razred osnovne škole

8

Vodič

Dodatna objašnjenja definicija i pravila

Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva

Pokušaj i ovo – Zadaci za dodatni rad

Zadaci osnovne razine*

Zadaci srednje razine

Zadaci napredne razine

* Za određivanje razine najvećeg broja zadataka korišteni su opisi iz dokumenta Opći standardi postignuća – obrazovni standardi za kraj obveznog obrazovanja za predmet matematika. Dokument je objavljen na mrežnoj stranici: www.mpn.gov.rs

Tematski sadržaj Sličnost trokuta Proporcionalnost dužine ..............................................4–6 Talesov poučak ........................................................... 6−11 Sličnost trokuta .......................................................12−20

Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom Što smo naučili o polinomima ................................22−23 Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom .......23−26 Rješenja linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom ....................................................27−28 Primjena linearnih jednadžbi ...............................28−34 Rješavanje linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom ..................................... 36–43

Točka, pravac, ravnina Određenost pravca i ravnine. Dva pravca .............. 44–46 Pravac i ravnina ....................................................... 46–49 Dvije ravnine. Ortogonalna projekcija ................... 49–54

Prizma Prizma. Mreža .......................................................... 56–59 Oplošje i obujam prizme .............................59–65, 67–72 Jedinice mjere za obujam tijela.

Obujam kocke i kvadra ....................................... 65–67

Linearna funkcija Linearna funkcija ..................................................... 74–75 Graf linearne funkcije.............................................. 76–79 Nultočka, znak, rast i padanje linearne funkcije ................................................................ 80–84 Linearne funkcije – eksplicitni i implicitni oblik ................................................. 85–88

Grafičko prikazivanje podataka Grafičko prikazivanje podataka u obliku dijagrama .............................................. 91–97 Srednja vrijednost i medijana ...............................97−100

Mreža piramide ....................................................108−109 Oplošje i obujam piramide..................................110−122

Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice Rješenje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – grafički prikaz ........................125−126 Rješavanje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice – metoda supstitucije, metoda suprotniv koeficijenata ...................................127−132 Primjena sustava linearnih jednadžbi ...............132−138

Valjak, stožac, kugla Valjak – elementi. Mreža valjka .........................141−143 Oplošje i obujam valjka.......................................144−151 Stožac – elementi. Mreža stošca ........................154−156 Oplošje i obujam stošca ......................................156−167 Kugla – elementi. Presjeci kugle i ravnine.........170−171 Oplošje i obujam kugle .......................................172−174

Sistematizacija teme Sličnost trokuta ..............................................................21 Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom .............35 Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ..........43 Točka, pravac, ravnina ............................................. 54–55 Prizma ....................................................................... 72–73 Linearna funkcija ..................................................... 88–90 Grafičko prikazivanje podataka ..........................100−104 Piramida ...............................................................123−124 Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.....................................................139−140 Valjak ....................................................................152−153 Stožac ...................................................................168−169 Kugla .....................................................................174−175

Piramida

Pokušaj i ovo ..............................5, 11, 18, 20, 28, 33−34, 40–43, 49, 54, 59, 62, 65, 67, 69, 71–72, 87–88, 107, 111−112, 115, 117, 120, 136−138, 143, 147−148, 151, 156, 158, 160, 165−166, 167, 171, 173−174

Uočavanje pravokutniv trokuta kod piramide ...........................................................105−107

Rješenja i upute ...................................................176−198

Sličnost trokuta Proporcionalnost dužine - obnavljanje 1

Dane su dužine a = 0.5 cm, b = 1 cm, c = 0.8 cm, e = 30 m, f = 2 mm.

Izračunaj omjere: a) a : c b) b : e c) a : e d) f : b

2

Milan je napravio limunadu s jednom litrom vode i 1 dl limunova soka.

Maja je napravila limunadu od 0.5 litara vode i 0.5 decilitara limunova soka.

Koliki je omjer vode i limunova soka u Milanovoj, a koliki u Majinoj limunadi?

3

Milena je nacrtala plan svoje sobe u obliku pravokutnika, u omjeru 1 : 30. Ako su dimenzije pravokutnika 10 cm i 12 cm, kolike su stvarne dimenzije Milenine sobe?

4

Nacrtaj dva kvadrata čije su stranice a = 2 cm i a1 = 3 cm.

Nacrtaj njihove dijagonale i izračunaj njihov omjer.

5

U tablici su dane duljine stranica dva pravokutnika. a) Popuni tablicu.

Pravokutnik

a

b

I.

12 cm

8 cm

II.

15 cm

10 cm

Opseg

Površina

b) Izračunaj omjer odgovarajućih stranica ovih pravokutnika. c) Izračunaj omjer opsega prvog i drugog pravokutnika. d) Izračunaj omjer površina prvog i drugog pravokutnika.

4

6

Udaljenost dva mjesta na geografskoj karti je 8 cm.

Koliko je stvarna udaljenost između tih mjesta ako je geografska karta rađena u omjeru 1 : 1 000 000?

7

U kojem je omjeru rađena karta ako je stvarna udaljenost dva mjesta 40 kilometara, a na karti 5 cm.

8

Stranice pravokutnika stoje u omjeru 3 : 4.

Ako je kraća stranica 12 cm kolika je dulja stranica pravokutnika?

Jednom centimetru na karti odgovara 1 000 000 centimetara u prirodi.

Ako su stranice pravokutnika a i b, onda vrijedi a : b = 3 : 4.

9

Opseg jednakokračnog trokuta je 108 cm, a omjer osnovice i kraka je 4 : 7. Izračunaj osnovicu i krak.

10

Dužina AB podijeljena je točkom C na dužini AC i CB tako da je AC : CB = 3 : 8. Ako je AC = 6 cm, koliko je AB?

11

Dane su četiri kolinearne točke A, B, C i D kao na slici.

D

Iz AB : BC = 1 : 2, 1 BC slijedi AB .

2

Ako je AB : BC = 1 : 2 i BC : CD = 2 : 3, koliko je: a) AB : CD b) AC : CD c) AC : BD?

Iz BC : CD = 2 : 3, slijedi CD 3 BC. 2

A

12

a = 4k, b = 7k

B

C

Neka je dužina a podijeljena na dužine m, n i p, kao na slici, tako da je m : n : p = 3 : 6 : 5. m n Odredi omjere: a) m : n b) m : p d) p : a e) a : (m + p)

p

Jednakosti m : n = 3 : 6 i n : p = 6 : 5 zapisujemo i na sljedeći način: m : n : p = 3 : 6 : 5.

c) a : m f) (m + n) : (n + p)

13

Dužina a podijeljena je na dužine m, n i p, tako da je m : n = 4 : 3 i n : p = 3 : 4.

Ako je m = 2 cm, kolike su dužine n, p i a?

14

Neka je dužina a podijeljena na dužine m, n i p, tako da je m : n : p = 6 : 8 : 3.

Ako je n = 4 cm, izračunaj m, p i a.

Pokušaj i ovo

Neka je dužina AD podijeljena točkama B i C tako da je AB : BC = 2 : 3 i AC : CD = 4 : 5.

A B C Koliki je omjer: a) AC : BD b) BC : BD

D c) AD : CD?

Rješenje AB : BC = 2 : 3, AC = 5k AC : CD = 4 : 5, AC = 4m V(5k, 4m) = 20 k m (k i m su uzajamno prosti brojevi) AC = 20 k m, AB = 8 k m, BC = 12 k m, CD = 25 k m AB : BC = 8 : 12, AC : CD = 20 : 25 a) AC : BD = 20 : 37

b) BC : BD = 12 : 37

c) AD : CD = 45 : 25 = 9 : 5 5

15

Dužina AB podijeljena je točkama P i Q tako da je AP : PB = 2 : 5 i AQ : QB = 3 : 2. Koliki je omjer: a) AP : AQ b) AQ : PQ c) QB : AB?

3k A

2k Q

16

Dužina AB podijeljena je točkama P i Q tako da je AP : PB = 1 : 6 i PB : PQ = 4 : 3.

Koliki je omjer: a) AB : AQ b) PQ : AP?

17

Dana je dužina AB = 12 cm. Konstruiraj točke M i P na dužini AB tako da je AM : MB = 3 : 2 i AP : PB = 4 : 3. a) Odredi omjere AM : AP i MP : PB. b) Kolike su duljine dužina AM, MP i PB?

Talesov poučak 1

Ako su pravci a i b na slici paralelni, izračunaj nepoznatu dužinu x. a) b) a b

2

5 cm

7 cm

a x

8 cm

b

x

3 cm

2 cm

3 cm

Neka su pravci a i b paralelni. Izračunaj nepoznatu dužinu x.

32 cm

a 20 cm b x

3

10 cm

Ako je AC __ DE i ako je AC = 32.4 cm, AB = 16 cm i AD = 9.4 cm, izračunaj DE. C

E

A

6

D

B

DB = AB – AD = 6.6 cm

B

4

Neka su pravci a i b paralelni. Izračunaj nepoznatu dužinu x ako su podaci na slici dani u centimetrima. a) b) a x b

10.5

x 15

12.6

b

8.4 a

16

5

5.6

Neka je četverokut ABCD paralelogram i neka je CF __ DB. Odredi omjere: a) AB : AF b) EB : CF D

C E

A

6

F

B

Pravci a i b na slici presječeni su paralelnim pravcima PQ i RS. Ako je OQ = 5 cm, OP = 6 cm, PQ = 4 cm, OS = 2.5 cm, izračunaj RS i OR. b Q

R O

a

7

S

P

Kraci kuta xVy presječeni su paralelnim pravcima AC i BD. Ako je VD = 18 cm, CD = 4 cm, VA =12 cm i AC = 6 cm, izračunaj VB i BD. D

y

C V

A

B

x

8

Nacrtaj dužinu AB i podijeli je na: a) pet jednakih dijelova b) sedam jednakih dijelova.

9

Nacrtaj dužinu AB. Ako ona prikazuje opseg pravilnog šesterokuta, konstruiraj taj šesterokut.

10

Nacrtaj proizvoljnu dužinu AB. Konstruiraj dužinu CD tako da je: a) CD = 1.5AB b) CD = 3 AB c) CD = 5 AB d) CD = 0.8AB 2 7

Pogledaj zadatke 1 i 2, str.

6 u udžbeniku.

Uputa za dio zadatka pod b): CD : AB = 3 : 7 Dužinu AB treba podijeliti na sedam jednakih dijelova.

7

11

Dužinu AB podijeli točkom M u omjeru: a) AM : MB = 3 : 4 b) AB : MB = 7 : 2

c) AM : AB = 3 : 8.

12

Nacrtaj dužinu MN duljine 6 cm. a) Konstruiraj točku P na toj dužini tako da je MN : MP = 5 : 2, a zatim izračunaj MP i NP. b) Konstruiraj točku Q na toj dužini tako da je MQ : QN = 4 : 1, a zatim izračunaj MQ i QN.

13

Na polupravcu OA konstruiraj točku A tako da je: b) OA : AA1 = 3 : 2 a) OA : OA1 = 3 : 2

14

c) OA1 : AA1 = 3 : 2.

Ako je BC __ DE i AC : CE = 3 : 1, nađi omjere: a) AB : AD b) AE : CE c) BC : DE. E C

A

15

B

D

Izračunaj nepoznatu dužinu y na slici ako jeDE __ AB i AD : DC = 2 : 3.

C 18 cm D

E

A

16

y B

Kraci kuta D presječeni su paralelnim pravcima BC i DE. Izračunaj AD i BC, ako je AC : AE = 4 : 5, BD = 12 cm i DE = 18 cm.

E C D

A

17

B

D

Neka su stranice AC i AB i visina CD trokuta ABC jednake 15 cm, 20 cm i 12 cm. Ako je DE __ AC, izračunaj DE. C E

A

8

D

Izračunaj AD, a zatim primijeni Talesov poučak.

B

18

Ako je AA1 = 16 cm, BB1 = 12 cm, AC = 20 cm, izračunaj duljine dužina BC i A1B1.

B1 A

B

C

A1

19

Pravci a i b na slici su paralelni. Ako je CS : CM = 5 : 8, napiši omjere: a) PD : DS b) MP : CD. M

y

C a x

20

S

b D

P

Dužina EC jednaka je trećini dijagonale paralelograma ABCD. Odredi omjere: a) AE : EC b) DE : EF c) DC : AF. D

C E

A

F

B

21

Presječna točka dijagonala jednakokračnog trapeza dijeli dijagonalu u omjeru 3 : 2. a) Koliki je omjer osnovica trapeza? b) Kada krake jednakokračnog trapeza produljiš do njihovog presjeka, dobit ćeš dva jednakokračna trokuta. Koliki je omjer kraka jednakokračnog trapeza i kraka većeg jednakokračnog trokuta?

22

Točka E je polovište stranice AB kvadrata ABCD. Ako je CG __ DE, odredi omjer dužina: a) AF : FC b) EF : GC. C

D F A

23

B

E

G

Produlji krake pravokutnog trapeza i njihov presjek označi s E. Izračunaj CE i DE. D

6 cm

C

6 cm A

18 cm

B

9

24

Osnovice jednakokračnog trapeza su a = 8 cm i b = 6 cm. Izračunaj duljine odsječaka dijagonala ako je dijagonala d = 12 cm.

25

Osnovice jednakokračnog trapeza su a = 15 cm i b = 7 cm i krak c = 10 cm.

Izračunaj udaljenost od vrha kraće osnovice trapeza do presječne točke pravaca kojima pripadaju kraci trapeza.

Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu d tako da je: a) a : b = d : c b) a : c = b : d.

Rješenje Zadajmo najprije dužine a, b, c.

a b c

a) Prvi korak Nacrtajmo proizvoljni kut xVy. Prenesimo dužine a i b na krak Vx tako da je VA = a i VB = b.

y

V

x

B

A

C y

Drugi korak Prenesimo dužnu c na krak Vy tako da je VC = c.

V

Treći korak Spojimo točke B i C jer dužini b odgovara dužina c.

Nacrtajmo pravac koji sadrži točku A i paralelan je s BC. Taj pravac siječe krak Vy u točki D. V Dužina VD je tražena dužina d, to jest d = VD.

x

B

A D

C y

x

B

A

Konstrukcija dužine d zasnovana je na Talesovom poučku.

Kako je AD __ BC, na temelju Talesova poučka slijedi: OA : OB = OD : OC, odnosno: a : b = OD : c Iz a : b = VD i iz zahtjeva zadatka a : b = d : c slijedi da je: OD = d. b) Nacrtajmo proizvoljni kut xVy. Prenesimo dužine a i c na krak Vx i dužinu b na krak Vy tako da je VA = a, VC = c i VB = b.

B

Spojimo točke B i A jer dužina b odgovara dužini a.

Nacrtajmo pravac koji sadrži točku C i paralelan je s AB. Taj pravac siječe krak Vy u točki D. Dužina VD je tražena dužina d, to jest d = VD.

10

V

y

D

A

C

x

26

Ne izračunavajući duljinu dužine, konstruiraj dužinu x tako da je: a) x : 3 cm = 5 cm : 12 cm b) 42 mm : x = 24 mm : 20 mm

27

Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x : a = b : c b) a : x = b : c.

28

Dane su dužine a i b. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) a : b = x : a b) a : b = b : x.

29

Dane su dužine m, n i p. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x = m ⋅ n p

b) x

m2 p

Pogledaj riješen primjer.

a) Iz x = m ⋅ n slijedi da je x : m = n : p. p m2 slijedi da je x : m = m : p. p

b) Iz x

30

Ne izračunavajući duljinu dužine, konstruiraj dužinu x tako da je: x = 4 cm b) a) x = 5 cm + 2 cm 2.5 cm + 3 cm 3 cm 2 cm 6 cm

31

Dane su dužine a, b i c. Konstruiraj dužinu x tako da je: a) x = a + b b) x = a b+c c b c

32

Dan je kvadrat stranice a. Konstruiraj kvadrat stranice a1 tako da je a : a1 = 3 : 4.

Koliki je omjer njihovih površina? Koliki je omjer njihovih opsega?

Pokušaj i ovo 33

Pravci a, b i c na slici su paralelni.

Ako je CS : CM = 2 : 3 i CS : CQ = 1 : 3, napiši omjere: a) PD : DS y M b) MP : CD R C c) DS : DR S a b c d) CD : RQ D e) MS : SQ Q P x f) MP : RQ

34

Neka je CD __ EF __ AB, DC : EF = 4 : 3 i EF : AB = 1 : 2. Koliki je omjer: a) DP : FP b) PB : EP c) DC : AB d) DP : PA. B

D

F

P A

C

Pogledaj riješen primjer, str. 5.

E

11

35

Četiri paralelna pravca na slici odsijecaju na pravcima x i y odsječke a, b, c, m, n i p. Ako je a : b = 4 : 5 i b : c = 4 : 3, koliko je: n a) m : n m b) m : p c) (m + n) : m d) (n + p) : p a e) (m + p) : (n + p)?

y

p

x

c

b

Sličnost trokuta 1

Na kojim su slikama dani trokuti slični? a) b)

c)

d)

36°

m

m

c

m 25° 50°

50°

Kolika je stranica BC trokuta ABC ako su trokuti ABC i DEF slični?

F C 25,2 cm

A

3

D

E

B

35 cm

D

E

D

E

42 cm

Izračunaj stranice RP i QR trokuta PQR ako je ΔABC a ΔPQR. C R 4 cm

A

12

D

3 cm

92°

72°

c

2

80°

65°

m

30°

2,5 cm

E

B

P

D

2,4 cm

E

Q

30°

60°

4

Ako su jednakokračni trokuti ABC i EDF slični, izračunaj stranicu DE trokuta DEF. D C

E

2 cm

A

5

D

E

3,6 cm

B

E

D

1,5 cm

F

Izračunaj hipotenuzu GL i katetu HL trokuta GHL ako je ΔMPQ a ΔGHL. L Q 25 mm

M

D

P

20 mm

G

D 30 mm

H

6

Odredi visinu tvorničkog dimnjaka čija sjenka ima duljinu 20 m, ako u istom trenutku vertikalni štap duljine 2.5 m na istoj horizontalnoj podlozi baca sjenku duljine 2 m.

7

Mjesto B nalazi se na nepristupačnom terenu.

Koliko je kilometara mjesto B udaljeno od mjesta D? A 4 km C 5,2 km

11,7 km D

B

8

Ako su pravci AB i CD paralelni, dokaži da su trokuti BOA i DOC slični. a) b) D D B

B O

O A

9

C

A

Pravac koji sadrži težište T trokuta ABC i paralelan je s BC, siječe stranice AB i AC u točkama D i E. Dokaži da je ΔABC a ΔADE. Koliki je koeficijent sličnosti?

C

Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2 : 1.

13

a

a

a

K

K

K r

S

S

S