Matematika 6 knjiga 1 hrvatski

Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Jagoda Rančić Zorica Jončić

udžbenik za šesti razred osnovne škole k

C

1. dio

sa sb O

x –a

0

a

B

A sc

MATEMATIKA

udžbenik za šesti razred osnovne škole – 1. dio prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković, Jagoda Rančić, Zorica Jončić Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Zorana Lužanin, redovna profesorica, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu dr. Zoran Lučić, izvanredni profesor, Matematički fakultet u Beogradu dr. Dragica Pavlović-Babić, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikolić, profesorica, OŠ „Duško Radović“ u Beogradu Vesna Stanojević, nastavnica, OŠ „1300 kaplara“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod na hrvatski Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Dušan Pavlić Priprema za tisak Ljiljana Pavkov Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs

Za izdavača mr. Ljiljana Marinković Tisak Publikum Naklada x.000 copyright © Kreativni centar 2015

Mirjana Stojsavljević-Radovanović, LJiljana Vuković Jagoda Rančić, Zorica Jončić

MATEMATIKA udžbenik za šesti razred osnovne škole prvi dio

ŠTO SADR@AVA OVA KNJIGA

UVOD U TEME Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–8 Trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–61 CIJELI BROJEVI Pojam negativnog cijelog broja.

Skup cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–11 Brojevni pravac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–16 Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost cijelog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–21 Uspoređivanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–24 Zbrajanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–33 Oduzimanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36 Množenje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–49 Izrazi s cijelim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–53 Dijeljenje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–57 TROKUT Trokut, elementi, označavanje . . . . . . . . . . . . . . . 62–64 Odnos stranica trokuta. Vrste trokuta prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–69

Unutarnji kutovi trokuta. Zbroj unutarnjih kutova trokuta. Vrste trokuta prema kutovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–73 Vanjski kutovi trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–76 Odnos stranica i kutova trokuta . . . . . . . . . . . . . 77–82 Konstrukcije kutova od 30°, 60°, 120° . . . . . . 83–85 Sukladnost trokuta. Poučci o sukladnosti trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88–101 Određenost i konstrukcija trokuta . . . . . . . . 102–107 Opisana i upisana kružnica trokuta . . . . . . . 108–113 Težišnice i težište, visine i ortocentar trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–119 I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . 37, 58, 86, 120 ISTRAŽIVAČKI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 59, 87, 121 RJEŠENJA I UPUTE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122–126

VODI^

1, 2, 3, KRENI…

Kratki test za provjeru prethodno usvojenih znanja

Ključni pojmovi

Obrada novog gradiva

Definicije i pravila

Dodatna objašnjenja definicija i pravila

P RIMJER

4

Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva

Provjeri što znaš

Provjera usvojenosti novog gradiva

ZAPAMTI

Kratki pregled obrađenih pojmova i pravila u poglavlju udžbenika

Podsjeti se

Povezivanje s ranije usvojenim znanjima

Kažem ti

Mala pomoć za rješavanje zadataka

Znanja iz matematike primijenjena u raznim područjima

Matematičke igre i razni logički zadaci

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

I TO JE MATEMATIKA

Različite informacije i zanimljivosti iz povijesti i svakodnevnog života koje su povezane s matematičkim zadacima

5

CIJELI BROJEVI U ovom poglavlju uÄ?it ćeĹĄ: nĹŤsTOĹŤSUĹŤTOĹŤNEGATIVNIĹŤIĹŤCIJELIĹŤBROJEVI ĹŤKAKOĹŤSEĹŤZAPISUJUĹŤIĹŤUSPOREĂŁUJU nĹŤsTOĹŤSUĹŤSUPROTNIĹŤBROJEVIĹŤIĹŤAPSOLUTNAĹŤVRIJEDNOSTĹŤBROJEVA nĹŤRAĂĽUNATIĹŤSĹŤCIJELIMĹŤBROJEVIMAĹŤoĹŤZBRAJATIĹŤIH ĹŤODUZIMATI ĹŤMNOĂŠITIĹŤIĹŤDIJELITI

Simbol za nulu pojavio se u Indiji u IX. stoljeću. Njegovo podrijetlo je neizvjesno.

Ne zna se pouzdano je li 0 asocijacija na prazan kruĹžić ili na prvo slovo grÄ?ke rijeÄ?i ouden (niĹĄta), koja poÄ?inje slovom O (omikron).

Iz povijesti matematike Pojam negativnog broja pojavljuje se u starokineskoj knjizi o matematiÄ?kim vjeĹĄtinama oko 200. godine prije nove ere. Negativni brojevi zapisivani su crnom bojom, a pozitivni brojevi crvenom bojom. Danas negativne brojeve piĹĄemo tako ĹĄto prirodnim brojevima dodajemo znak „–â€?.

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

Negativni brojevi poÄ?inju se koristiti u Europi N ttijekom XVI. i XVII. stoljeća. Talijanski matematiÄ?ar Leonardo Fibonacci joĹĄ je u XII. stoljeću, rjeĹĄavajući L ďŹ nancijske probleme, gubitak prikazivao ďŹ negativnim brojem, a dobitak pozitivnim brojem. n Leonardo Fibonacci (1175.–1240.)

Francuski matematiÄ?ar RenĂŠ Descartes uveo je u suvremenu matematiku negativne brojeve.

RenÊ Descartes (1596.–1650.)

6

Girolamo Cardano (1501.–1576.)

Talijanski matematiÄ?ar Cardano u knjizi Ars Magna prvi je formulirao jednostavne zakone s negativnim brojevima. Koristio je simbol „m:â€? za negativan broj.

Za broj –5 pisao je m:5.

Evo nekoliko primjera iz kojih se vidi da se negativni brojevi koriste u svakodnevnom životu.

Trenutačna temperatura u zamrzivaču iznosi minus dvadeset stupnjeva Celzija.

U dizalu je brojem –1 1 označena prva razina ispod prizemlja.

Po izvješću s ovog računa, računa vlasnik je dužan banci 15 615 dinara i 71 paru.

Sniženje cijena 50%

Temperatura u Beogradu 18. 2. 2009. bila je sedam stupnjeva ispod nule.

7

1, 2, 3, KRENI… ! Napiši i izračunaj zbroj, razliku, umnožak i količnik brojeva 21 i 3. " Kojim izrazom zapisuješ rečenicu: Broju 24 dodaj količnik brojeva 18 i 6?

Zaokruži slovo ispred točnog odgovora. a) (24 + 18) : 6

b) 24 + 18 : 6

c) 24 : 6 + 18

# Izračunaj.

a) 40 – 28 : 4 b) (18 + 12) : 6 – 5 c) 156 0 2008 $ Popuni tablicu.

a

5

10

13

a+1 13 – a 2 a+5 100 – a 4 % Riješi jednadžbe.

a) x + 17 = 33

b) 2 x – 17 = 33

& Dan je skup {19, 9, 109, 99}.

a) Napiši najmanji i najveći broj iz danog skupa. b) Poredaj brojeve iz skupa od najmanjeg do najvećeg.

M

' Dan je brojevni polupravac i na

njemu je označena točka M.

0

2

Koji je broj pridružen točki M? Zaokruži slovo ispred točnog odgovora. a) 7 b) 8 c) 14 d) 16 ( Napiši prirodne brojeve:

a) koji su manji od 4 b) koji su veći od 2 i manji od 5 ili jednaki broju 5 c) koji nisu manji od 3.

8

x

y cijeli broj y pozitivni broj y negativni broj

POJAM NEGATIVNOG CIJELOG BROJA. SKUP CIJELIH BROJEVA ! Na karti Srbije obilježeni su neki gradovi

i zapisana je dnevna temperatura zraka koja je u njima izmjerena u ožujku.

Kažem ti

Sombor –8°C

nūū #ūJESTūTEMPERATURAū iznad nule i čita se: pet stupnjeva Celzija. nūū– 3°C jest temperatura ispod nule i čita se: minus tri stupnja Celzija.

Novi Sad –6°C

Koristeći kartu, odgovori na sljedeća pitanja.

Beograd –2°C

a) U kojim je gradovima temperatura iznad nule? b) Kolika je temperatura u Valjevu i Leskovcu? c) U kojim je gradovima temperatura ispod nule?

Valjevo 0°C Kraljevo 2°C

Zaječar –3°C Niš 1°C Leskovac 0°C Vranje 2°C

O CIJELIM BROJEVIMA U svakodnevnom životu brojeve koristimo da bismo nešto prebrojali, da bismo zapisali izmjerenu veličinu, iskazali količinu, numerirali objekte i slično.

Evo nekih primjera korištenja vrste brojeva koju nismo do sada učili. x Kada je temperatura zraka sedam stupnjeva ispod nule, zapisujemo: –7°C. x Označenu temperaturu u zamrzivaču –4°C čitamo: četiri stupnja ispod nule. x U dizalu zgrade prvu razinu ispod zemlje označavamo s –1.

Brojeve –7, –4 i –1 iz navedenih primjera nazivamo negativnim cijelim brojevima. Čitamo ih: minus sedam, minus četiri i minus jedan.

Negativni cijeli brojevi jesu brojevi koji nastaju kada se ispred svakog prirodnog broja napiše znak „–“.

Prirodne brojeve nazivamo i pozitivni cijeli brojevi. Možemo ih zapisati i tako što ćemo ispred svakog broja staviti znak „+“.

Na primjer: broj 8 možemo napisati kao +8, broj 56 kao +56, a 401 kao +401; čitamo ih: plus osam, plus pedeset šest i plus četiristo jedan.

Znak „+“ ili „–“ ispred broja nazivamo predznak broja ili znak broja.

9

Osim veličina koje se izražavaju pozitivnim ili negativnim brojevima, postoje veličine koje se izražavaju nulom.

Na primjer: y Voda se ledi na 0°C. y U dizalu je razina na kojoj se nalazi ulaz u zgradu označena brojem 0. y Nadmorska visina određuje se u odnosu na razinu mora, koja, po dogovoru, predstavlja nultu razinu.

Broj nula je cijeli broj koji nije ni pozitivan ni negativan.

0m

" Zapiši riječima sljedeće cijele brojeve, kao što je započeto.

a) –8 minus osam

b) 45

c) –103

# Zapiši sljedeće brojeve.

b) plus osamdeset osam

c) minus osamdeset osam

iv n i c

ijeli br

oj

ga

i cijeli br tivn oj

i

evi

zit

ev

19, –4, 5, 0, 62, –71, –101 i 490 upiši u odgovarajući skup.

po

$ a) Svaki od brojeva:

ne

a) minus pedeset

b) Koji broj nije napisan ni u jednom skupu?

SKUP CIJELIH BROJEVA Skup cijelih pozitivnih brojeva označavamo sa Z +.

Z + = {1, 2, 3, 4, 5…} Skup cijelih pozitivnih brojeva Z + jednak je skupu prirodnih brojeva N. Z– + Z =N Skup negativnih cijelih brojeva označavamo sa Z – .

Z – = {… –5, –4, –3, –2, –1} Skup cijelih brojeva jest skup koji čine svi negativni cijeli brojevi, nula i svi pozitivni cijeli brojevi. Označavamo ga sa Z. Z = {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Kada skup prirodnih brojeva N proširimo nulom, dobivamo skup koji označavamo s N0.

Slično tome, skup prirodnih brojeva proširujemo nulom i negativnim cijelim brojevima i dobivamo skup cijelih brojeva Z. Za skupove N, N0 i Z vrijedi: i N0 Z N N0 Spomenuti skupovi mogu se prikazati Vennovim dijagramom.

10

Z – {0} Z + = Z 0

Z Z+

N N0 Z

% Dani su brojevi: –20, 10, 40, 0, –50, –30 i +60. Napiši koji od njih pripada skupu:

a) Z +

b) Z –

c) Z.

& Koje su tvrdnje točne?

79 Z

–41 Z –

0 Z

–93 Z +

16 Z –

0 N0

500 Z +

' Koliku temperaturu pokazuje svaki termometar sa slike? °C

°C

Podsjeti se N0 = {0, 1, 2, 3, 4…}

°C

( Dan je skup T = {27°C, 36°C, –7°C, –2°C, 28°C, –13°C, 39°C, 0°C, –5°C, +1°C}.

Napiši brojeve iz tog skupa koji prikazuju uobičajene: a) ljetne temperature b) zimske temperature. ) Do sada je u Srbiji:

a) najniža izmjerena temperatura bila u Karajukića Bunarima na Pešterskoj visoravni 13. 1. 1985. godine; iznosila je 39 stupnjeva Celzija ispod nule b) najviša izmjerena temperatura bila u Smederevskoj Palanci 24. 7. 2007. godine; iznosila je 45 stupnjeva Celzija iznad nule.

Zapiši izmjerene temperature kao cijele brojeve.

Provjeri što znaš ! Napiši:

a) deset pozitivnih brojeva c) pet troznamenkastih pozitivnih brojeva

b) deset negativnih brojeva d) pet dvoznamenkastih negativnih brojeva.

" Dan je skup S = {7, –8, +11, 0, –4, –9, 8, +2, –2, –5, 1}.

a) Prikaži skup S Vennovim dijagramom. b) Izdvoji Vennovim dijagramom podskup pozitivnih cijelih brojeva P. c) Izdvoji Vennovim dijagramom podskup negativnih cijelih brojeva G. d) Napiši elemente skupova P i G. # Za svaki od danih brojeva, 17, +56, 0, –48, –203, napiši pripada li ili ne pripada

skupu N i Z, koristeći simbole ili .

$ Napiši sve dvoznamenkaste cijele brojeve koji se zapisuju znamenkama 3 i 8.

11

y brojevni pravac y veći broj y manji broj

BROJEVNI PRAVAC. USPORE|IVANJE CIJELIH BROJEVA

! Na prvom crtežu skala termometra prikazuje temperaturu zraka od nula stupnjeva Celzija.

a) Kolika je temperatura prikazana na drugom crtežu? b) Oboji skalu na trećem crtežu tako da prikazuje temperaturu od 5 stupnjeva. c) Oboji skalu na četvrtom crtežu tako da prikazuje temperaturu od minus tri stupnja i napiši temperaturu. d) Kolika je najniža, a kolika najviša prikazana temperatura?

BROJEVNI POLUPRAVAC U petom razredu učili smo prirodne brojeve i nulu prikazivati na brojevnom polupravcu.

O

A

0

1

B 2

x

3

4

5

6

Početna točka O brojevnog polupravca Ox naziva se koordinatni početak.

Dužina OA je jedinična dužina.

Točki B pridružen je broj 3.

Broj 3 je koordinata točke B, što se zapisuje: B(3).

Udaljenost točaka O i B jest duljina dužine OB. Duljinu dužine prikazane na brojevnom polupravcu možemo izraziti brojem jediničnih dužina. Duljina dužine OB iznosi tri jedinične dužine.

O 0

" Odredi koordinate točaka M, N i K.

N 2

1

3

4

K 5

6

M 7

x 8

# Označi na brojevnom polupravcu sljedeće točke: T (6), R (12), S (1), V (15) i H (9).

x 0

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

$ Koliko su jediničnih dužina dane točke A, B i C udaljene od nule?

A 0

1 2

3 4

B

5

6

7

8

C

x

9 10 11 12 13 14 15 16 17

% Označi na brojevnom polupravcu točke P (6), R (1) i S (3).

O 0

x 1

& Označi na brojevnom polupravcu broj 225.

0

100

200

x

300

400

Kažem ti Pri rješavanju zadataka 5 i 6 koristi ravnalo ili šestar.

500

Objasni svoj postupak.

PRIKAZIVANJE CIJELIH BROJEVA NA BROJEVNOM PRAVCU Dan je brojevni polupravac Ox. O

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Prvi korak Dopunimo brojevni polupravac Ox do pravca x. Desno od nule prikazani su pozitivni cijeli brojevi. x 0 1 2 3 4

Drugi korak

Jedinične dužine nadovezujemo jednu na drugu od koordinatnog početka ulijevo. x 0 1 2 3 4

Treći korak

Krajevima jediničnih dužina koje se nalaze lijevo od koordinatnog početka redom pridružujemo brojeve –1, –2, –3… kao što je prikazano na crtežu. x … –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4…

Kažem ti Broj 0 nije ni pozitivni ni negativni broj.

pozitivni cijeli brojevi

negativni cijeli brojevi nula

Na brojevnom pravcu desno od nule prikazujemo pozitivne cijele brojeve, a lijevo od nule negativne cijele brojeve.

13